apostila de dinâmica

UNIVERSIDADE LUTERANA DO BRASIL

CADERNO UNIVERSITAacuteRIOCADERNO UNIVERSITAacuteRIO

DINAcircMICADINAcircMICA

Prof Moacyr MarranghelloProf Renato de Aacutevila Consul

iacutendice

1 Introduccedilatildeo4

2 Cinemaacutetica do ponto5

21 Sistemas de Referecircncia5

211 Sistema Cartesiano5

212 Sistema Polar5

213 Sistema Ciliacutendrico5

214 Sistema Esfeacuterico6

3 Equaccedilotildees Parameacutetricas7

31 Representaccedilatildeo Vetorial Parameacutetrica7

311 Curvas Estudadas7

3111 Equaccedilatildeo da Elipse (Curva plana)7

3112 Equaccedilatildeo da circunferecircncia (Curva Plana)8

3113 Equaccedilatildeo da Heacutelice Ciliacutendrica Circular (Curva Reversa)9

32 Exerciacutecios sobre Equaccedilotildees Parameacutetricas10

4 Movimento Curviliacuteneo Geral ndash Coordenadas Cartesianas12

41 Exerciacutecio sobre Coordenadas cartesianas15

5 Cinemaacutetica da rotaccedilatildeo18

51 Exerciacutecios sobre Cinemaacutetica da Rotaccedilatildeo21

6 Dinacircmica Rotacional26

61 Torque 26

62 Momento angular 26

63 Momento de Ineacutercia (I)27

64 Exerciacutecios sobre Momento de Ineacutercia28

65 Energia cineacutetica de rotaccedilatildeo trabalho e potecircncia30

66 Teorema dos eixos paralelos (STEINER)31

67 Raio de Giraccedilatildeo (K)31

68 Coordenadas Normal e Tangencial (n ndash t)31

69 Velocidade e Aceleraccedilatildeo32

691 Vetores unitaacuterios32

692 Aceleraccedilatildeo Tangencial33

610 Exerciacutecios sobre dinacircmica da rotaccedilatildeo34

7 Movimento sob forccedila resistiva38

71 Exemplos de Atrito Viscoso (Discussotildees Qualitativas)38

711 Gota da chuva (caso linear)38

712 Paacutera-quedista (caso quadraacutetico)39

713 Discussatildeo Quantitativa (caso linear)39

714 Graacutefico da velocidade de descida em funccedilatildeo do tempo (v = f(t))40

2

72 Exerciacutecios sobre coeficiente de arrasto41

8 Sistemas de massa variaacutevel45

81 Movimento de um foguete45

82 Exerciacutecios sobre Movimento de Foguetes46

9 Momento Angular 48

91 Exerciacutecios sobre Momento Angular49

10Centro instantacircneo de velocidade nula51

101 Exerciacutecios sobre Centro Instantacircneo de velocidade nula53

11Bibliografia57

3


1 Introduccedilatildeo

O propoacutesito deste trabalho eacute iniciaacute-lo no caminho para tornar-se um bom

engenheiro Apesar dos fundamentos da fiacutesica e da matemaacutetica serem importantes

nessa missatildeo enfatizamos as aplicaccedilotildees dos princiacutepios da fiacutesica e da matemaacutetica na

engenharia Enquanto os fiacutesicos estatildeo interessados primariamente na compreensatildeo

dos preceitos que governam o mundo natural e os matemaacuteticos concentram-se no

desenvolvimento de modelos matemaacuteticos que descrevem os fenocircmenos naturais os

engenheiros procuram criar o que natildeo existe na natureza e melhorar a vida das

pessoas resolvendo os problemas enfrentados pela sociedade moderna Na realidade

o engenheiro eacute um solucionador de problemas Para tornar-se um engenheiro eficiente

vocecirc deve adquirir uma profunda compreensatildeo dos princiacutepios da fiacutesica e da matemaacutetica

e de sua aplicaccedilatildeo do mundo agrave nossa volta

4

2 Cinemaacutetica do ponto

21 Sistemas de Referecircncia

211 Sistema Cartesiano

a) no Plano b) no Espaccedilo

y y

P (x y) P (x y z)

x

x

z

212 Sistema PolarDizemos que o sistema polar eacute uma representaccedilatildeo no plano

y

P ( )

Relaccedilatildeo entre o sistema polar e o sistema cartesiano

x = cos y = sen x2 + y2 = 2

213 Sistema Ciliacutendrico z

x = cos y = sen z = z

P ( z) y Prsquo x

5

214 Sistema Esfeacuterico z

x = r sen cos P y = r sen sen

Z = r cos r y

x Prsquo

Obs- r = raio da circunferecircncia- variando e e mantendo r constante descreve-se a aacuterea da esfera- variando e r descreve-se o volume da esfera

6

3 Equaccedilotildees Parameacutetricas

31 Representaccedilatildeo Vetorial Parameacutetrica

Dado o sistema cartesiano de referecircncia uma curva c do espaccedilo pode

ser representada atraveacutes de

Representaccedilatildeo vetorial parameacutetrica

Z Pn

(tn)

c eacute uma curva qualquer(t1) P1

P0

(t0) c

Y t [ t0 tn ]

t = Paracircmetro da representaccedilatildeo X

Nota Cartesianamente uma curva pode ser representada no espaccedilo por uma funccedilatildeo de trecircs variaacuteveis parametricamente satildeo trecircs funccedilotildees com uma variaacutevel

311 Curvas Estudadas

3111 Equaccedilatildeo da Elipse (Curva plana)

Y

b

X t [0 2) ou t (0 2] ndash a a

mais corretamente seraacute

ndash b

t [0 2]

t = 0 a t = b t = ndash a t = ndash b t = 2 a

Desenvolvimento da Equaccedilatildeo Cartesiana da Elipse

7

X = acos t cos t =

Sistema cossup2 t + sensup2 t =

Y = bsen t sen t = 1

3112 Equaccedilatildeo da circunferecircncia (Curva Plana)

t [0 2]

y

a = b b

xa

Desenvolvimento da Equaccedilatildeo Cartesiana da Circunferecircncia

xsup2 + ysup2 = (a cos t)sup2 + (a sen t)sup2X = a cos t

xsup2 + ysup2 = asup2 cossup2 t + asup2 sensup2 tY = a sen t

xsup2 + ysup2 = asup2 (cossup2 t + sensup2 t)

1

xsup2 + ysup2 = asup2

A expressatildeo acima representa a equaccedilatildeo da circunferecircncia no centro com raio igual a ldquoardquo

3113 Equaccedilatildeo da Heacutelice Ciliacutendrica Circular (Curva Reversa)

8

Z

t acircngulo formado pela projeccedilatildeo do ponto P com a origem e o eixo z

P Obs O sinal de c indica o sentido de rolamento da curva

Condiccedilotildees c 0 0

Q Y

t

t ( ndash + )

X

Notaa) Se c gt 0 a heacutelice apresenta parafuso com rosca voltada para direitab) Se c lt 0 a heacutelice apresenta parafuso com rosca voltada para esquerda

Obs Quando t experimenta um acreacutescimo igual a 2 x e y reassumem os mesmos valores enquanto que z recebe um acreacutescimo igual ao passo da heacutelice

Caacutelculo do passo da heacuteliceP = V T

Onde

e

Onde T = periacuteodo [s] = velocidade angular [rads] = deslocamento angular [rad]V = velocidade linear [ms]

9

32 Exerciacutecios sobre Equaccedilotildees Parameacutetricas

1 Para o movimento definido pela expressatildeo no SI Determinea) A equaccedilatildeo da curvab) A trajetoacuteria do movimento

2 Uma partiacutecula descreve um movimento definido pela expressatildeo no SI determine

a) A trajetoacuteriab) O valor do passo

3 Um ponto material descreve uma curva definida por determinea) A trajetoacuteria do ponto materialb) A equaccedilatildeo da curva

4 A rosca de um parafuso tem por equaccedilatildeo Pede-sea) O passo da roscab) Indicar o tipo de giro da rosca

5 Para um ponto material que tem por equaccedilatildeo no SI determinara) A equaccedilatildeo da curvab) A equaccedilatildeo do deslocamento angularc) A velocidade angular

6 Um parafuso sem-fim tem por equaccedilatildeo Com as dimensotildees em mm e o tempo em segundo Pede-sea) Indicar o sentido de giro da rosca do sem-fimb) O tamanho do passo da roscac) A equaccedilatildeo do deslocamento angular

7 Para o movimento definido pela expressatildeo no SI determinea) Tipo de trajetoacuteriab) Distacircncia percorrida nos 5s iniciaisc) Vetores v e a

8 Uma partiacutecula descreve um movimento definido pela expressatildeo no SI Determine

a) Tipo de trajetoacuteria

b) Vetores V e a para s

9 O movimento de uma caixa transportada por uma esteira helicoidal eacute definido pelo vetor posiccedilatildeo onde t eacute dado em segundos e os argumentos das funccedilotildees trigonomeacutetricas em radiano Determine a posiccedilatildeo da

10

caixa quando t = 075 s Calcule tambeacutem os moacutedulos da velocidade e da aceleraccedilatildeo da caixa neste instante

10 A posiccedilatildeo de um ponto material eacute definida por m onde t eacute dado em segundos e os argumentos das funccedilotildees trigonomeacutetricas em radianos Determine os moacutedulos da velocidade e da aceleraccedilatildeo do ponto material quando t = 1 s Prove que a trajetoacuteria eacute eliacuteptica

11 Uma figura tridimensional eacute gerada por uma partiacutecula com trajetoacuteria definida pelas equaccedilotildees x = 9cos(3t ndash 5) y = 6cos(4t + 6) z = 3cos(8t ndash 2) Expresse a velocidade escalar da partiacutecula em termos de t

12 As equaccedilotildees do movimento de uma partiacutecula que se move no plano XY satildeox = 3cos 5t e y = 4sen 5tonde x e y satildeo expressos em polegadas (inch ndash in ou ldquo) e t em segundos a) Mostre que a trajetoacuteria eacute uma elipse cujos raios principais satildeo 4 polegadas e 3

polegadasb) Determine o tempo t no qual a partiacutecula percorre a elipse uma vez


a) O tipo de trajetoacuteria

b) Os vetores velocidade e aceleraccedilatildeo para s

14 As equaccedilotildees do movimento de uma partiacutecula que se move no plano xy satildeox = rcos wt e y = r sem wt onde r e w satildeo constantes positivas e t representa o tempo Com essas informaccedilotildeesa) Mostre que a trajetoacuteria eacute um ciacuterculo de raio rb) Determine o tempo t no qual a partiacutecula percorre o ciacuterculo uma vezc) Mostre que a partiacutecula percorre a uma velocidade constante

15 As equaccedilotildees do movimento de uma partiacutecula satildeox = rcos wt y = rsen wt z = kt onde r w e k satildeo constantes positivasa) Mostre que a trajetoacuteria eacute uma heacutelice (uma curva semelhante a uma rosca de

parafuso) em torno de um cilindro de raio rb) Determine o passo da heacutelice (a distacircncia que a partiacutecula avanccedila paralela ao

eixo do cilindro em uma volta em torno do cilindro)c) Determine o tempo t no qual a partiacutecula percorre uma volta em torno do

cilindrod) Mostre que a partiacutecula se move com velocidade escalar constante

16 As equaccedilotildees do movimento de uma partiacutecula que se move no plano xy satildeox = 3cos 5t e y = 4sen 5t onde x e y estatildeo expressos em in e t em segundosa) Mostre que a trajetoacuteria eacute uma elipse cujos raios principais satildeo 3rdquo e 4rdquob) Determine o tempo t no qual a partiacutecula percorre a elipse uma vez

4 Movimento Curviliacuteneo Geral ndash Coordenadas Cartesianas

11

Denomina-se movimento curviliacuteneo todo movimento de um ponto

material cuja trajetoacuteria eacute uma curva Uma vez que a trajetoacuteria eacute frequumlentemente descrita

em TRE s dimensotildees utiliza-se anaacutelise vetorial para definir a posiccedilatildeo a velocidade e a

aceleraccedilatildeo do ponto

Seraacute introduzido o sistema de coordenadas cartesianas para a anaacutelise

do movimento curviliacuteneo

Componentes Cartesianas

Muitas vezes o movimento de um ponto material pode ser

convenientemente descrito utilizando-se um sistema de referecircncia fixo x y z

Posiccedilatildeo

Se em um dado instante o ponto material P estaacute no plano (x y z) da

trajetoacuteria curviliacutenea s sua localizaccedilatildeo eacute entatildeo definida pelo vetor posiccedilatildeo

Por causa do movimento do ponto material e da forma da trajetoacuteria os

componentes x y z de r satildeo em geral funccedilotildees de tempo isto eacute x = x(t) y = y(t) z =

z(t) de modo que r = r(t)

z Moacutedulo do vetor posiccedilatildeo

s P

Vetor unitaacuterio do vetor posiccedilatildeo

z y

x

y

x

Velocidade

A primeira derivada temporal de s fornece a velocidade instantacircnea do

ponto material logo

12

Como o sistema de referecircncia eacute fixo as derivadas dos vetores unitaacuterios satildeo nulos

porque os mesmos satildeo constantes Assim tem-se

Ou em termos de derivadas temporais tem-se

Graacutefico v = f (t)Moacutedulo do vetor velocidade

P

Vetor unitaacuterio da velocidade

Aceleraccedilatildeo

A segunda derivada temporal de s fornece a aceleraccedilatildeo instantacircnea do

ponto material ou a primeira derivada da velocidade v tambeacutem fornece a aceleraccedilatildeo

logo

Em funccedilatildeo da derivada temporal tem-se ou

Moacutedulo do vetor aceleraccedilatildeo

Vetor unitaacuterio da aceleraccedilatildeo ( )

Nota

1 O vetor velocidade eacute sempre tangente agrave trajetoacuteria

2 O vetor aceleraccedilatildeo em geral eacute tangente agrave trajetoacuteria mas eacute sempre tangente ao

hodoacutegrafo

Hodoacutegrafo Essa curva quando construiacuteda eacute um lugar geomeacutetrico das extremidades

do vetor velocidade assim como a trajetoacuteria eacute o lugar geomeacutetrico das

extremidades do vetor posiccedilatildeo

hodoacutegrafo

13

Orsquo

Equaccedilotildees utilizadas

Equaccedilatildeo principal

Demonstraccedilatildeo pela regra da cadeia tem-se

como fica o que fornece

14

41 Exerciacutecio sobre Coordenadas cartesianas

1 Um moacutevel tem por equaccedilotildees parameacutetricas da posiccedilatildeox(t) = t3 + 2t2 + t y(t) = sen t z(t) = et2 Pede-sea) Onde estaraacute o moacutevel na data t = 2sb) Qual agrave distacircncia mo moacutevel agrave origemc) Qual o vetor velocidade na data t = 2sd) Qual a aceleraccedilatildeo na data t = 2s

2 A aceleraccedilatildeo de um ponto material eacute definida por a = -2 ms2 Sabendo que v = 8 ms e x = 0 quando t = 0 determinar a velocidade a posiccedilatildeo e a distacircncia percorrida quando t = 6s

3 Um ponto material oscilante apresenta aceleraccedilatildeo a= - kx Ache o valor de k tal que v = 10 ms quando x = 0 e x = 2m quando v = 0

4 A aceleraccedilatildeo de um ponto material eacute dada por a = 21 ndash 12 x2 no SI A partiacutecula tem velocidade zero para x = 0 Determinara) A velocidade quando x = 15b) A posiccedilatildeo diferente de zero quando a velocidade eacute novamente zeroc) A posiccedilatildeo onde a velocidade eacute maacutexima

5 O pistatildeo de um determinado mecanismo de amortecimento em oacuteleo desacelera segundo a expressatildeo a = - kv Se x = 0 v ne 0 para t = 0 Determinea) A velocidade do pistatildeo em funccedilatildeo do tempo (v = f (t))b) A posiccedilatildeo em funccedilatildeo do tempo (x = f (t))c) A velocidade em funccedilatildeo da posiccedilatildeo (v = f (x))

6 Uma particular desacelera segundo a expressatildeo a = ndash 10v no SI Sabendo que em t = 0 v = 30 ms e x = 0 determinea) Agrave distacircncia percorrida ateacute o repousob) O tempo gasto para alcanccedilar o repousoc) O tempo gasto para a velocidade ficar reduzida a 5 da velocidade inicial

7 A trajetoacuteria de vocirco de um helicoacuteptero eacute definida pelas equaccedilotildees parameacutetricasx = 2t2 e y = 004t3 no SI Determinar para t = 10 sa) A distacircncia do helicoacuteptero ao ponto Ab) O moacutedulo da velocidadec) O moacutedulo da aceleraccedilatildeo

8 Se a velocidade de uma partiacutecula eacute definida por V = (06t + 03) i + 09 j [ms] e seu vetor posiccedilatildeo a t = 1s eacute r(t) = 12 i + 09 j [m] determine a trajetoacuteria da partiacutecula em termos de suas coordenadas x e y

9 Uma partiacutecula move-se na direccedilatildeo anti-horaacuteria numa trajetoacuteria circular de 120 m de raio Ela inicia de uma posiccedilatildeo a qual estaacute horizontalmente agrave direita do centro da trajetoacuteria e move-se de forma que s = 3t2 + 6t onde s eacute a distacircncia do arco em metros e t em segundos Calcule as componentes horizontais e verticais da aceleraccedilatildeo no final de 3 s

15

10 O movimento de uma partiacutecula eacute definido por r(t) = (2t3 ndash 4t2 + 5t + 20 )i no SI Determine para o instante t = 3sa) Posiccedilatildeob) Velocidade escalarc) Aceleraccedilatildeo escalar

11 Um moacutevel desloca-se segundo a expressatildeo r(t) = 4tj ndash 3t2k no SI Determinara) Deslocamento (moacutedulo) no intervalo de tempo que vai de 1s a 3sb) Velocidade escalar em t = 2sc) Aceleraccedilatildeo escalar em t = 2s

12 O movimento de uma partiacutecula no plano xy eacute definido por x = 3sen(2t -5 ) y = 2sen(4t + 1) sendo x e y em metros e o tempo t em segundos Pede-sea) Determine as componentes (xy) da velocidade e da aceleraccedilatildeo para t = 1sb) Determine a velocidade escalar da partiacutecula para t = 1s

13 Uma figura de Lissajous tridimensional eacute gerada por uma partiacutecula com trajetoacuteria definida pelas expressotildees x = 9cos(3t ndash 5) y = 6cos(4t + 6) z = 3cos(8t ndash 2) Expresse a velocidade escalar da partiacutecula em termos de t

14 A coordenada da posiccedilatildeo de uma partiacutecula que estaacute confinada a se mover ao longo de uma linha reta aacute dada por r(t) = 2t3 ndash 24t + 6 no SI Determinea) A aceleraccedilatildeo da partiacutecula quando v = 30 msb) O deslocamento da partiacutecula no intervalo de tempo desde t = 1s ateacute t = 4s

15 Um menino opera um modelo de aviatildeo controlado por raacutedio O vetor de posiccedilatildeo do aviatildeo eacute dado por r (t) = (15t2 + 3t)i + (15t ndash t2)j + 12t2k no SI O menino estaacute posicionado na origem do sistema coordenado com o eixo z direcionado verticalmente para cimaa) Determine as projeccedilotildees (xyz) da velocidade e da aceleraccedilatildeo em t = 2sb) Determine a velocidade escalar do aviatildeo em t = 2sc) Determine os cossenos de direccedilatildeo da tangente agrave trajetoacuteria do aviatildeo em t = 2s

16 O vetor posiccedilatildeo r de uma partiacutecula eacute dado pela equaccedilatildeo r (t) = (c1 ndash c2t3)i + t2j ndash 4sent2k onde r em peacutes e t em segundos Expresse os vetores velocidade e aceleraccedilatildeo em termos de c1 c2 e t

17 Uma partiacutecula move-se no plano xy Suas coordenadas (xy) satildeo dadas pelas relaccedilotildees x = t3 ndash 3t2 + 6 e y = t2 + 3 tudo no SI determinea) Os vetores posiccedilatildeo velocidade e aceleraccedilatildeo da partiacutecula no instante t = 1sb) Determine a velocidade e aceleraccedilatildeo meacutedia no intervalo de tempo de t = 0 a t

= 1sc) Determine o vetor deslocamento da partiacutecula no instante t = 2s em relaccedilatildeo a

sua posiccedilatildeo em t = 0d) Determine a velocidade escalar em t = 2s

18 Um moacutevel tem por equaccedilatildeo da posiccedilatildeo x = t3 + 2t2 + t y = sent z = et2 no SI Pede-sea) Onde estaraacute o moacutevel na data t = 2sb) Qual a distacircncia do moacutevel agrave origemc) Qual o vetor velocidade na data t = 2sd) Qual a velocidade escalar na data t = 2s

16

e) Qual o valor aceleraccedilatildeo para a data t = 2sf) Qual o acircngulo entre a(2) e v(2)

19 Se a velocidade de uma partiacutecula eacute definida por v = (06t + 03)i + 09j e seu vetor posiccedilatildeo quando t = 1s eacute r = 12 i + 09 j determine a trajetoacuteria da partiacutecula em termos de suas coordenadas x e y

20 O movimento de uma caixa B transportada por uma esteira helicoidal eacute definida pelo vetor de posiccedilatildeo r = [05sen(2t)i + 05 cos(2t)j ndash 02tk]m onde t eacute dado em segundos e os argumentos das funccedilotildees trigonomeacutetricas em radianos Determine a posiccedilatildeo da caixa quando t = 075s Calcule tambeacutem os moacutedulos da velocidade e da aceleraccedilatildeo da caixa nesse mesmo instante

17

5 Cinemaacutetica da rotaccedilatildeo

Rotaccedilatildeo Pura

Dizemos que uma rotaccedilatildeo eacute pura quando todas as partiacuteculas que

constituem o corpo vatildeo transcrever trajetoacuterias circulares cujo centro se encontra sobre

uma mesma reta e essa reta eacute o seu centro ou eixo de rotaccedilatildeo

+

onde s arco [m]

arco r raio [m]

0 x posiccedilatildeo angular [rad]

Obs O acircngulo eacute uma grandeza adimensional

Velocidade angular meacutedia ( )

prsquo no instante t2

= 2 - 1

t = t2 ndash t1


2 1

0 x unidade de medida

Obs natildeo eacute um vetor

Velocidade angular instantacircnea ( )

Obs Note que eacute uma grandeza vetorial Direccedilatildeo perpendicular ao plano que estaacute sendo descrito a trajetoacuteria Sentido regra da matildeo direita e eacute dado pelo polegar

Aceleraccedilatildeo angular meacutedia ( )

18

unidade

Aceleraccedilatildeo angular instantacircnea ( )


Equaccedilotildees para aceleraccedilatildeo angular constante

Relaccedilatildeo entre velocidade e aceleraccedilatildeo lineares com velocidade e aceleraccedilatildeo angulares

P +

s

0 x

Como e tem-se

v = velocidade linear [ ]

19

= velocidade angular [ ]

r = raio [m]

Aceleraccedilatildeo linear (a)

Como e tem-se

a = aceleraccedilatildeo linear

= aceleraccedilatildeo angular

r = raio [m]

Aceleraccedilatildeo tangencial e aceleraccedilatildeo centriacutepeta ou radial ( e )

P

0 x

Equaccedilotildees complementares

e

numero de voltas (n)

20

51 Exerciacutecios sobre Cinemaacutetica da Rotaccedilatildeo

1 Uma roda gira com uma aceleraccedilatildeo angular constante de 35 rads2 Se a velocidade angular da roda eacute de 2 rads em t = 0 (a) Qual eacute o acircngulo percorrido pela roda entre t = 0 e t = 2s (b) Qual eacute a velocidade angular da roda em t = 2s

2 Um volante gira a 240 rotmin Determinara) A frequumlecircncia em hertzb) O periacuteodoc) A velocidade angulard) A aceleraccedilatildeo centriacutepeta de um ponto situado a 10 cm do eixoe) Se a partir do instante em que foram aplicados os freios o volante paacutera em 5s

determine a aceleraccedilatildeo angular durante a freada e o nuacutemero de voltas efetuadas durante os 5 segundos

3 Um disco tem aceleraccedilatildeo angular constante Com seis rotaccedilotildees completas sua velocidade angular varia de 2 rads para 6 rads Quanto tempo demora para completar essas rotaccedilotildees

4 Um disco de raio 08 m gira em torno de seu eixo com aceleraccedilatildeo angular de 3 rads2 em certo instante sua velocidade angular eacute de 2 rads pede-sea) O moacutedulo da aceleraccedilatildeo linear resultante de um ponto a 05 m do eixob) O moacutedulo da velocidade angular 25 s apoacutes esse instante

5 Durante o intervalo de tempo t um disco gira um acircngulo θ dado por θ = 10π - 2πt2

+ 5πt3 onde θ em rad e t em s Determinara) O valor da aceleraccedilatildeo angular para t = 1sb) A velocidade angular meacutedia entre 2 e 5s

6 Um volante parte do repouso e com aceleraccedilatildeo angular constante atinge 1200 rotmin em 6 s Determinara) Qual o valor da aceleraccedilatildeo angularb) Quantas voltas ele efetuou durante os 6 sc) Quanto tempo ele levou para dar as primeiras 30 voltas

7 Um toca-discos encontra-se girando na frequumlecircncia de 3313 rotmin quando eacute desligado parando apoacutes 25 sa) Qual o valor da aceleraccedilatildeo angularb) Quantas voltas ele executa ateacute parar

8 Se vocecirc estaacute tentando soltar um parafuso preso a um bloco de madeira com uma chave de fenda e natildeo consegue vocecirc deve procurar uma chave de fenda cujo cabo eacute (a) mais longo b) mais grosso Por quecirc

9 Tanto o torque quanto o trabalho satildeo produtos de forccedila e distacircncia De que forma eles satildeo diferentes

10 Duas esferas uma oca e uma cheia estatildeo girando com a mesma velocidade angular ao redor de seus centros As duas esferas tecircm a mesma massa e o mesmo raio Qual delas tem energia cineacutetica rotacional maior

21

11 Se vocecirc desliga o esmeril da sua oficina ao mesmo tempo em que sua furadeira eleacutetrica o esmeril leva muito mais tempo para parar de girar Por quecirc

12 A posiccedilatildeo angular de uma porta vaiveacutem eacute descrita por θ = 5 + 10t + 2t2 Determine a posiccedilatildeo angular velocidade angular e a aceleraccedilatildeo angular da portaa) em t = 0b) para t = 3s

13 O cilindro de uma maacutequina de lavar entra em rotaccedilatildeo partindo do repouso e ganhando velocidade angular uniformemente durante 8s quando entatildeo estaacute girando a 5 revs Nesse ponto a pessoa lavando as roupas abre a tampa e um botatildeo de seguranccedila desliga a maacutequina de lavar O cilindro diminui sua rotaccedilatildeo suavemente ateacute parar em 12s Quantas revoluccedilotildees realizam enquanto estaacute em movimento

14 Encontre a velocidade angular da rotaccedilatildeo da Terra ao redor do seu eixo Enquanto a Terra gira para leste vemos o ceacuteu girando para oeste agrave mesma taxa

15 Uma roda parte do repouso e gira com aceleraccedilatildeo angular constante ateacute uma velocidade angular de 12 rads em 3s Encontrea) A aceleraccedilatildeo angular da roda eb) O acircngulo em radianos que ela gira durante esse tempo


17 Quando um motorista de automoacutevel pisa no acelerador o bico do carro sobe Quando o motorista breca o bico desce Por que ocorre esse efeito

18 Um motor girando um esmeril a 100 revmim eacute desligado Supondo aceleraccedilatildeo angular negativa constante de 2 rads2a) quanto tempo leva a roda para pararb) quantos radianos ela gira enquanto estaacute se tornando mais lenta

19 Um aviatildeo chega ao terminal e seus motores satildeo desligados O rotor de um dos motores tem uma velocidade angular inicial no sentido horaacuterio de 2000 rads A rotaccedilatildeo do motor diminui com uma aceleraccedilatildeo angular com moacutedulo de 80 rads2a) determine a velocidade angular apoacutes 10 sb) Quanto tempo leva o rotor para parar

20 A broca de um dentista parte do repouso Apoacutes 32 s com aceleraccedilatildeo angular constante a broca gira a uma taxa de 251 x 104 revmina) Encontre a aceleraccedilatildeo angular da brocab) Determine o acircngulo (em radianos) percorrido pela broca durante esse periacuteodo

21 A posiccedilatildeo angular de uma porta vaiveacutem eacute descrita por θ = 5 + 10t + 2t 2 rad Determine a posiccedilatildeo angular velocidade angular e aceleraccedilatildeo angular da portaa) em t = 0b) em t = 3s

22

22 Uma roda girando necessita de 3 s para girar a 37 rev Sua velocidade angular ao final de um intervalo de 3 s eacute de 98 rads Qual eacute a aceleraccedilatildeo angular constante da roda

23 Um disco com 8 cm de raio gira ao redor de seu eixo central a uma taxa constante de 1200 revmin Determinea) sua velocidade angularb) a velocidade tangencial em um ponto a 3 cm do centroc) a aceleraccedilatildeo radial de um ponto na bordad) a distacircncia total percorrida de um ponto sobre a borda em 2 s

24 Um carro acelera uniformemente a partir do repouso e alcanccedila uma velocidade de 22 ms em 9 s Se o diacircmetro de um pneu eacute de 58 cm encontrea) o nuacutemero de revoluccedilotildees que o pneu realiza durante esse movimento supondo

que natildeo ocorra deslizamentob) Qual eacute a velocidade rotacional final de um pneu em revoluccedilotildees por segundo

25 Durante um intervalo de tempo t o volante de um gerador gira de um acircngulo θ = at + bt3 ndash ct4 onde a b e c satildeo constantes Escreva expressotildees paraa) O vetor velocidade angularb) A aceleraccedilatildeo angular do volante

26 A posiccedilatildeo angular de um ponto sobre a borda de uma roda em rotaccedilatildeo eacute dada por θ = 4t ndash 3t2 +t3 onde θ estaacute em radianos e t estaacute em segundos Quais as velocidades angulares ema) Em t = 2sb) Em t = 4sc) Qual a aceleraccedilatildeo angular meacutedia para o intervalo de tempo que comeccedila em

t = 2s e termina em t = 4sd) Quais satildeo as aceleraccedilotildees angulares instantacircnease) No iniacuteciof) No final desse intervalo de tempo

27 Um volante com um diacircmetro de 120 m estaacute girando a uma velocidade angular de 200 rpma) Qual a velocidade angular do volante em radsb) Qual a velocidade linear de um ponto na borda do volante

28 Encontre uma expressatildeo que forneccedila a velocidade escalar linear de um ponto da superfiacutecie da Terra referida apenas ao movimento de rotaccedilatildeo em funccedilatildeo da latitude (L) A Terra suposta esfeacuterica tem raio R e seu periacuteodo de rotaccedilatildeo eacute T

29 A velocidade angular de um volante aumenta uniformemente de 15 rads para 60 rads em 80 s Se o diacircmetro do volante eacute de 2 peacutes determine os moacutedulos dos componentes normal e tangencial da aceleraccedilatildeo de um ponto de sua periferia quando t = 80 s Determine tambeacutem a distacircncia percorrida pelo ponto durante esse tempo

30 Enrola-se um cabo em torno de um disco inicialmente em repouso como indica a figura Aplica-se uma forccedila ao cabo que entatildeo adquire uma aceleraccedilatildeo a = (4t) ms2 onde t eacute

23

dado em segundosDetermine como funccedilatildeo do tempo a) a velocidade angular do disco e b) a posiccedilatildeo angular do segmento OP em radianos

31 Usa-se o motor para girar uma roda com suas paacutes no interior do equipamento mostrada na figura Se a polia A conectada ao motor inicia seu movimento a partir do repouso com uma aceleraccedilatildeo angular αA = 2 rads2 determine os moacutedulos da velocidade e da aceleraccedilatildeo do ponto P da roda B apoacutes esta ter completado uma revoluccedilatildeo Suponha que a correia de transmissatildeo natildeo escorregue na polia nem na roda

32 Uma roda tem velocidade angular inicial de 10 rads no sentido horaacuterio e aceleraccedilatildeo angular de 3 rads2 Determine o nuacutemero de revoluccedilotildees que devem ocorrer para se atingir uma velocidade angular de 15 rads no sentido horaacuterio Qual eacute o tempo necessaacuterio para isso

33 A velocidade angular do disco eacute definida por ω = (5t2 + 2) rads onde t eacute dado em segundos Determine os moacutedulos da velocidade e da aceleraccedilatildeo do ponto A do disco mostrado na figura ao lado quando t = 05 s

34 Imediatamente apoacutes o ventilador ter sido ligado o motor comunica agraves lacircminas uma aceleraccedilatildeo α =( 20 e-06t )rads2 onde t eacute dado em segundos Determine a velocidade escalar da ponta P de uma das lacircminas quando t = 3 s Quantas revoluccedilotildees satildeo realizadas em 3 s As lacircminas estatildeo em repouso em t = 0

35 Em virtude de um aumento de potecircncia o motor M gira o eixo A com aceleraccedilatildeo angular α = ( 0060θ2 ) rads2 onde θ eacute dado em radianos Se o eixo estava girando inicialmente a uma velocidade angular ωo = 50 rads determine a velocidade angular do eixo B apoacutes esse eixo ter sofrido um deslocamento angular Δθ = 10 rev

36 O gancho movimenta-se a partir do repouso com aceleraccedilatildeo de 20 peacutess2 Se ele estaacute preso a uma corda enrolada no tambor determine a aceleraccedilatildeo angular do tambor e sua velocidade angular apoacutes se completarem 10 rev Quantas revoluccedilotildees adicionais ocorreratildeo se o gancho continuar em movimento por mais 4 s

37 O disco movimentado pelo motor tem sua posiccedilatildeo angular definida por θ = ( 20 t + 4 t2 ) rad onde t eacute dado em segundos Determinea) o nuacutemero de revoluccedilotildeesb) a velocidade angular do disco quando t = 90 s

24

c) a aceleraccedilatildeo angulares do disco quando t = 90 s

38 O disco mostrado na figura ao lado estaacute girando inicialmente com velocidade angular ωo = 8 rads Se ele for submetido a uma aceleraccedilatildeo constante α = 6 rads2 determine os moacutedulos da velocidade e dos componentes n e t da aceleraccedilatildeo do ponto A no instante t = 05 s

39 Um disco gira inicialmente com velocidade angular ωo = 6 rads Se ele for submetido a uma aceleraccedilatildeo constante α = 6 rads2 determine os moacutedulos da velocidade e dos componentes n e t da aceleraccedilatildeo do ponto B imediatamente apoacutes o disco ter completado 2 revoluccedilotildees

40 Um motor comunica a um disco aceleraccedilatildeo angular α = ( 06 t2 + 075 ) rads2 onde t eacute dado em segundos Se a velocidade angular do disco eacute ωo = 6 rads como mostra a figura ao lado determine os moacutedulos da velocidade e da aceleraccedilatildeo do bloco B quando t = 2 s

41 O disco ao lado estaacute girando inicialmente com velocidade angular ωo = 8 rads Considerando uma aceleraccedilatildeo angular constante α = 6 rads2 determine os moacutedulos da velocidade e dos componentes n e t da aceleraccedilatildeo do ponto A no instante t = 3 s

42 Considere as engrenagens A e B mostradas na figura Se A parte do repouso e tem aceleraccedilatildeo angular constante αA = 2 rads2 determine o tempo necessaacuterio para B atingir uma velocidade angular ωB = 50 rads

43 Partindo do repouso quando s = 0 a polia A tem aceleraccedilatildeo angular constante αC = 6 rads2 Determine a velocidade do bloco B quando ele atinge a posiccedilatildeo s = 6 m A polia tem um cubo interno D que estaacute fixo em C e gira com ela

44 Um motor gira uma engrenagem A com aceleraccedilatildeo αA = ( 025 θ3 + 05) rads2 onde θ eacute dado em radianos Se A tem velocidade inicial (ωA)o = 20 rads

25

determine a velocidade angular da engrenagem B apoacutes A ter sofrido um deslocamento angular de 10 ver

6 Dinacircmica Rotacional

61 Torque

Torque eacute uma grandeza vetorial O torque vai comunicar uma

aceleraccedilatildeo angular

Desenvolvimento onde eacute um produto vetorial

z Moacutedulo do torque

A Direccedilatildeo Perpendicular ao plano que conteacutemos vetores e

xSentido Eacute dado pela regra da matildeo direita

y

Nota O Torque eacute maacuteximo quando = 90ordm

Torque no Espaccedilo

Seja o vetor de posiccedilatildeo dado por e a forccedila por

O torque eacute calculado pelo determinante que segue

62 Momento angular

O momento angular eacute uma grandeza vetorial

Desenvolvimento onde eacute o vetor momento linear

z Moacutedulo do momento angular

A ou

xDireccedilatildeo Perpendicular ao plano que conteacutem

os vetores e y

Sentido Eacute dado pela regra da matildeo direita

Relaccedilatildeo entre momento de uma forccedila e o momento angular

26

Apoacutes as operaccedilotildees matemaacuteticas necessaacuterias tem-se

Conservaccedilatildeo do momento angular para uma partiacutecula

se = 0 = constante

Quando o torque externo resultante sobre a partiacutecula for nula haacute

conservaccedilatildeo do momento angular

63 Momento de Ineacutercia (I)

Desenvolvimento

corpo extenso como v = r tem-se

ri mi partiacutecula

0 onde o termo

eixo de giro

O momento de ineacutercia depende de

distribuiccedilatildeo da massa

do eixo de rotaccedilatildeo

do formato do corpo extenso

Torque em funccedilatildeo do momento de ineacutercia e da aceleraccedilatildeo angular

apoacutes o devido tratamento matemaacutetico tem-se

Nota A segunda lei de Newton para a rotaccedilatildeo eacute

Obs O momento de ineacutercia para uma massa contiacutenua eacute dados por

27

64 Exerciacutecios sobre Momento de Ineacutercia

1 Uma roda girando em torno de um eixo fixo tem energia cineacutetica de 29 J quando sua velocidade angular eacute 13 rads Qual eacute o momento de ineacutercia da roda em relaccedilatildeo ao eixo de rotaccedilatildeo

2 Estime o momento de ineacutercia de uma bola de tecircnis para rotaccedilatildeo em torno de um diacircmetro A bola tem massa de 0070 kg raio exterior de 32 mm e espessura de 5 mm

3 Com auxiacutelio da tabela determine o momento de ineacutercia de uma esfera soacutelida de densidade uniforme massa M e raio ro em relaccedilatildeo a um eixo que passa agrave distacircncia 12 ro do centro Decirc a resposta em termos de M e ro

4 Uma porta tem 21 m de altura 11 m de largura 42 mm de espessura e densidade de 088 x 103 kgm3 Qual eacute o momento de ineacutercia da porta em relaccedilatildeo a um eixo ao longo das dobradiccedilas

5 a) Determine a densidade de massa da Terra supondo-a uniforme (m t = 597 x 1024kg Rt = 64 Mm)

b) Estime o momento de ineacutercias da Terra em relaccedilatildeo a um eixo passando pelo seu centro admitindo que a Terra tenha uma densidade de massa uniforme

6 Uma roda de 340 mm de raio rola em linha reta sem deslizar No instante em que o centro da roda tem uma velocidade linear de 14 ms determine a) a velocidade angular da roda em relaccedilatildeo ao seu centro b) a velocidade angular de uma partiacutecula no topo da roda

7 Uma heacutelice de aviatildeo tem 32 m de ponta a ponta e massa de 35 kg Qual eacute a energia cineacutetica rotacional da heacutelice ao girar a 1000 revmin

8 Estime o momento de ineacutercia de um pneu de 58 kg cujo raio externo eacute de 031m

9 Mostre que a energia cineacutetica de um corpo riacutegido girando em torno de um eixo fixo

pode ser escrita como

10 Considere o momento de ineacutercia I de um cubo uniforme de massa m e aresta L a) Escreva uma expressatildeo de I para a rotaccedilatildeo em torno de um eixo paralelo a uma aresta do cubo e passando pelo centro b) Escreva a expressatildeo de I para uma rotaccedilatildeo em torno de um eixo ao longo de uma aresta do cubo

11 Trecircs pequenos corpos que podem ser considerados como partiacuteculas satildeo unidos por barras riacutegidas leve conforme figura Qual eacute o momento de ineacutercia deste sistema a) Em relaccedilatildeo a um eixo que passa por A e perpendicular ao plano da figura e b) em relaccedilatildeo a um eixo que coincide com a barra BC

12 Uma roda de bicicleta com momento de ineacutercia de 025 kgm2 em torno do seu eixo e velocidade angular inicial 12 rads reduz sua velocidade ateacute parar em

28

razatildeo do atrito nos mancais em um intervalo de tempo de 320 s Determine o moacutedulo do torque devido ao atrito supondo-o constante

13 Um helicoacuteptero tem um rotor de trecircs paacutes Cada paacute tem 55 m de comprimento e massa de 250 kg Determine o moacutedulo do momento angular do rotor quando sua velocidade angular eacute de 300 revmin

14 Considere o momento de ineacutercia I de um cubo uniforme de massa m e aresta La) Escreva uma expressatildeo de I para a rotaccedilatildeo em torno de um eixo paralelo a

uma aresta do cubo e passando pelo centrob) Escreva a expressatildeo de I para uma rotaccedilatildeo em torno de um eixo ao longo de

uma aresta do cubo

15 Quatro esferas pequenas estatildeo presas agrave extremidades de uma estrutura de massa despreziacutevel no plano xy (conforme figura) a) Se a rotaccedilatildeo do sistema ocorre ao redor do

eixo y com velocidade angular ω encontre o momento de ineacutercia Iy ao redor do eixo y e a energia cineacutetica rotacional desse eixo

b) Suponha que o sistema gire no plano xy ao redor de um eixo passando por O (eixo z) Calcule o momento de ineacutercia ao redor do eixo z e a energia rotacional desse eixo

16 Um cilindro cheio uniformemente tem um raio R massa M e comprimento L Calcule seu momento de ineacutercia ao redor de seu eixo central (eixo z mostrado na figura)

29

65 Energia cineacutetica de rotaccedilatildeo trabalho e potecircncia

Energia Cineacutetica (K)

(para a translaccedilatildeo)

para uma partiacutecula soacute

Para um sistema de partiacuteculas tem-se

K = [joules] = [J]

Trabalho ()

ds

d

0

Nota O torque eacute exercido por Fs e natildeo por F

Potecircncia (P)

P = Fs v P = Fs r P =

= [watt] = [W]

Nota = K

30

66 Teorema dos eixos paralelos (STEINER)

I = ICM + m d2

ICM = momento de ineacutercia do centro de massa

R m = massa total

d = distacircncia entre dois eixos paralelos

67 Raio de Giraccedilatildeo (K)

I = m k2

k = raio de giraccedilatildeo k

68 Coordenadas Normal e Tangencial (n ndash t)

C t n n

A n t B t

O sentido positivo de n em qualquer posiccedilatildeo eacute sempre tomado para o

centro de curvatura da trajetoacuteria

O sentido positivo de n muda de um lado para outro da curva se a

curvatura mudar de sentido

31

69 Velocidade e Aceleraccedilatildeo

691 Vetores unitaacuteriosVamos definir como sendo o vetor unitaacuterio na direccedilatildeo t e como

sendo o vetor unitaacuterio na direccedilatildeo n Assim podemos escrever

trsquo

apoacutes algumas devidas ope- Vrsquo raccedilotildees matemaacuteticas chega- Arsquo se a

nrsquo t

C

n

V

A

trajetoacuteria

Onde an = aceleraccedilatildeo normalaT = aceleraccedilatildeo tangencial

Obs

a) No ponto de inflexatildeo sobre a curva a aceleraccedilatildeo normal vai para zero pois

tende para o infinito (Se um ponto material se move ao largo de uma linha reta entatildeo e aN = 0 sendo assim

b) Se o ponto material se move ao longo de uma curva com velocidade escalar

constante entatildeo e

onde eacute o raio de curvatura quando a trajetoacuteria eacute expressa da forma y = f (x)

c) O plano que conteacutem os eixos normal e tangencial eacute denominado Plano Osculador e no caso de movimento plano coincide com o plano do movimento

d) O eixo tangente t tem o sentido do movimento e o eixo normal n eacute sempre voltado para o centro de curvatura da trajetoacuteria

32

692 Aceleraccedilatildeo Tangencial

O componente tangencial da aceleraccedilatildeo eacute o resultado da taxa temporal

de variaccedilatildeo do moacutedulo da velocidade Esse componente teraacute o sentido do vetor

velocidade se o moacutedulo de estiver aumentando e teraacute o sentido oposto caso o

moacutedulo de esteja decrescendo

Nota

a)

b)

c)

33

610 Exerciacutecios sobre dinacircmica da rotaccedilatildeo

1 Quando o esquiador alcanccedila o ponto A de sua trajetoacuteria paraboacutelica ele tem uma velocidade escalar de 6 ms que estaacute aumentando agrave taxa de 2 ms2 Determine a sua velocidade e a aceleraccedilatildeo no instante considerado Despreze o tamanho do esquiador

2 Um carro de corrida parte do repouso e percorre uma pista circular horizontal de raio de 300 peacutes Se sua velocidade escalar aumenta a uma taxa constante de 7 peacutess2 determine o tempo necessaacuterio para ele alcanccedilar uma aceleraccedilatildeo de 8 peacutess2 Qual eacute sua velocidade escalar nesse instante

3 Um carro faz uma curva circular de 50 m de raio aumentando sua velocidade a uma taxa de 8 ms2 Se num dado instante sua velocidade eacute de 16 ms determine o moacutedulo da sua aceleraccedilatildeo nesse instante

4 Um carro se move ao longo de uma pista circular de 250 peacutes de raio de modo que sua velocidade varia no tempo de acordo com v =3(t + t2) peacutess no intervalo de tempo 0le t le 4s Determine o moacutedulo de sua aceleraccedilatildeo quando t = 3s Que distacircncia ela percorreu ateacute esse instante

5 Num dado instante um aviatildeo a jato tem uma velocidade de 400 peacutess e uma aceleraccedilatildeo de 70 peacutess2 orientada como mostra a figura Determine a taxa de aumento da velocidade do aviatildeo e o raio de curvatura R de sua trajetoacuteria

6 Um bote desloca-se numa curva circular de 100 peacutes de raio Sua velocidade no instante t = 0 eacute de 15 peacutess e estaacute aumentando a uma taxa dada por v = (08t) peacutess2 onde t eacute expresso em segundos Determine o moacutedulo de sua aceleraccedilatildeo no instante t =5s

7 Um bote estaacute deslocando numa trajetoacuteria circular de 20 m de raio Determine o moacutedulo da aceleraccedilatildeo do bote quando sua velocidade escalar eacute v = 5 ms e estaacute aumentando a uma taxa de v = 2 ms2

8 O aviatildeo a jato desloca-se na trajetoacuteria paraboacutelica mostrada na figura Quando ele passa pelo ponto A sua velocidade eacute de 200 ms e estaacute crescendo a uma taxa de 08 ms2 Determine o moacutedulo da aceleraccedilatildeo do jato no ponto A

34

9 Partindo do repouso um bote segue uma trajetoacuteria circular R = 50 m a uma velocidade escalar v = (02t2) ms onde t eacute dado em segundos Determine os moacutedulos da velocidade e da aceleraccedilatildeo do bote no instante t = 3s

10 Partindo do repouso um bote segue uma trajetoacuteria circular R = 50 m a uma velocidade de moacutedulo v = (08 t) ms onde t eacute dado em segundos Determine os moacutedulos da velocidade e da aceleraccedilatildeo do bote no instante em que ele completa um percurso de 20 m

11 Um carro se move ao longo de uma pista circular de 250 peacutes de raio a uma velocidade dada por v = 3(t + t2) peacutess no intervalo de tempo 0le t le 2s Determine o moacutedulo da sua aceleraccedilatildeo quando t = 2s Que distacircncia ele percorreu ateacute esse instante

12 Num dado instante a locomotiva em E tem uma velocidade de 20 ms e uma aceleraccedilatildeo de 14 ms2 orientada como indicado na figura Determine a taxa de aumento da velocidade do trem nesse instante e o raio de curvatura da trajetoacuteria

13 Um trenoacute desliza ao longo de uma curva que pode ser aproximada pela paraacutebola y = 001x2 Determine o moacutedulo de sua aceleraccedilatildeo quando ele atinge o ponto A onde a sua velocidade eacute de 10 ms e estaacute aumentando a uma taxa de 3 ms2

14 A velocidade de um automoacutevel inicialmente em repouso em s = 0 varia de acordo com v = (005t2) peacutess2 onde t eacute dado em segundos Determine os moacutedulos da velocidade e da aceleraccedilatildeo do carro quando t = 18 s

15 A velocidade de um automoacutevel inicialmente em repouso em s = 0 varia de acordo com v = (005t2) peacutess2 onde t eacute dado em segundos Determine os moacutedulos da velocidade e da aceleraccedilatildeo do carro em s = 550 peacutes

16 Um caminhatildeo desloca-se numa trajetoacuteria circular de 50 m de raio a uma velocidade de 4 ms Num pequeno trecho a partir de s = 0 sua velocidade aumenta agrave taxa v = (005s) ms2 onde s eacute medido em metros Determine os moacutedulos da velocidade e da aceleraccedilatildeo do caminhatildeo quando s = 10 m

17 Um aviatildeo a jato desloca-se com velocidade de moacutedulo constante igual a 110 ms ao longo da trajetoacuteria mostrada na figura Determine o moacutedulo da sua aceleraccedilatildeo quando ele atinge o ponto A (y = 0)

35

18 Um trem estaacute viajando a uma velocidade escalar constante de 14 ms Determine o moacutedulo da aceleraccedilatildeo da frente do trem no instante em que ele atinge o ponto A (y = 0) (502 ms2)

19 Uma motocicleta inicia a partir do repouso em A um movimento circular ao longo da pista vertical Sua velocidade aumenta agrave taxa v = (03t) peacutess2 onde t eacute dado em segundos Determine os moacutedulos da velocidade e da aceleraccedilatildeo da moto quando ela passa por B

20 O movimento de um ponto material eacute definido pelas equaccedilotildees x = (2t + t2) m e y = (t2) m onde t eacute dado em segundos Determine os componentes normal e tangencial da velocidade e da aceleraccedilatildeo do ponto quando t = 2 s

21 Os pontos materiais A e B partem da origem O e deslocam-se em sentidos opostos ao longo da trajetoacuteria circular com velocidades de moacutedulos vA = 07 ms e vB = 15 ms respectivamente Determine o instante em que eles colidem e o moacutedulo da aceleraccedilatildeo de B imediatamente antes da colisatildeo

22 Um menino que brinca num carrossel localiza-se a uma distacircncia r = 8 peacutes do eixo de rotaccedilatildeo O carrossel estaacute inicialmente em repouso e entatildeo eacute posto para girar de tal modo que a velocidade do menino aumenta a uma taxa de 2 peacutess2 Determine o tempo necessaacuterio para que a aceleraccedilatildeo da crianccedila se torne igual a 4 peacutess2

23 A caixa de dimensotildees despreziacuteveis desliza ao longo da trajetoacuteria curva definida pela paraacutebola y = 04x2 quando ela estaacute em (xA = 2m yA = 16 m) a velocidade eacute vA = 8 ms e aumenta de acorda com dvAdt = 4 ms2 Determine o moacutedulo da aceleraccedilatildeo da caixa nessa posiccedilatildeo

24 Um ponto material P desloca-se numa heacutelice eliacuteptica tal que seu vetor posiccedilatildeo eacute definido por r = [2cos(01t)i + 15 sen(01t)j + (2t)k] m onde t eacute dado em segundos e os argumentos das funccedilotildees trigonomeacutetricas em radianos Determine para t = 8 s os acircngulos diretores coordenados α β e γ que o eixo binormal ao plano osculador forma com os eixos cartesianos Resolva o problema para a velocidade VP e a aceleraccedilatildeo aP do ponto material em funccedilatildeo dos seus componentes cartesianos O eixo binormal eacute paralelo a VP x aP

36

25 A trajetoacuteria de um ponto material eacute definida por X = 2t2 e Y = 004t3 Determinea) O moacutedulo da velocidade para t = 10 sb) O moacutedulo da sua aceleraccedilatildeo normal e tangencial para t = 10 s

26 O vetor posiccedilatildeo de uma partiacutecula eacute dado por r(t) = 06t2i + 3tj + 01t3k tudo no SI Determine as componentes normal e tangencial da aceleraccedilatildeo e o raio principal de curvatura da trajetoacuteria da partiacutecula quando t = 3s

27 A velocidade de uma partiacutecula eacute definida por vx = 30 ndash 03 t32 e vy = 30 + 3 t ndash 06 t2 tudo no SI Determine o raio de curvatura no topo da trajetoacuteria

28 Usando os dados do problema anterior determine o raio de curvatura da trajetoacuteria de uma partiacutecula quando t = 12 s

37

7 Movimento sob forccedila resistiva

Eacute o movimento estudado com forccedilas que opotildeem resistecircncia ao

movimento

ldquoAtrito secordquo ( = N estaacutetico [e] cineacutetico [c]

A experiecircncia mostra que e gt c

ldquoAtrito viscosordquo (R = ndash b vn)

n eacute sempre positivon = 1 R = ndash b v caso linearn = 2 R = ndash c v2 caso quadraacuteticon = 3 R = ndash c v3 caso cuacutebico

Forccedilas resistivas n = fracionaacuterio

b = coeficiente de forma e meio depende de- forma do corpo- do meio onde o corpo se move- das dimensotildees do corpo

c = coeficiente de forma e meio depende de- forma do corpo- do meio onde o corpo se move- das dimensotildees do corpo- velocidade de queda do corpo

71 Exemplos de Atrito Viscoso (Discussotildees Qualitativas)

711 Gota da chuva (caso linear) hmiacutenimo da nuvem de chuva = 2 km hmaacuteximo da nuvem de chuva = 10 km hprovaacutevel para nuvens de chuva normalmente = 15 km 2 ms lt v lt 10 ms onde v eacute a velocidade terminal

R = caso linear = ndash b v

Obs Se ldquovrdquo cresce ldquoRrdquo tambeacutem cresce

logo depois que a gota sai da nuvem ela entra emvelocidade terminal

MRU velocidade const

38

nuvem

de chegada

A velocidade terminal (vT) depende da massa

712 Paacuteraquedista (caso quadraacutetico)

R = caso quadraacutetico = ndash c v2

O paacutera-quedas eacute projetado para ter uma velocidade terminal de 5 ms

713 Discussatildeo Quantitativa (caso linear)

R = ndash b v

Equaccedilotildees

a) Velocidade de subida (vs)

b) Posiccedilatildeo (y)

c) Tempo de subida (ts)

d) Altura maacutexima (hmaacutex)

e) Velocidade de descida (vD)

(t vD = vterminal)

714 Graacutefico da velocidade de descida em funccedilatildeo do tempo (v = f(t))

39

v

onde T eacute um paracircmetro chamado constante de tempo

vT

0632 vT

0 T t

Obs A constante de tempo T representa o tempo necessaacuterio para o corpo alcanccedilar 632 de sua velocidade terminal

40

72 Exerciacutecios sobre coeficiente de arrasto

1 Um automoacutevel possui coeficiente de arraste de 038 e aacuterea frontal de 25m2 Calcule a potecircncia dissipada pelo atrito do ar para o carro movendo-se a 40 ms

2 Um paacutera-quedista com massa de 60kg solta com um paacutera-quedas cuja aacuterea frontal eacute de 15m2 sabendo que a densidade do ar eacute ρ = 12 kgm3 e que o coeficiente de arrasto do paacutera-quedas eacute Cd = 14 calcule a velocidade terminal do paacutera-quedas

3 Um carro com aacuterea frontal de 21 m2 tem coeficiente de arraste Cd = 035 Qual a forccedila de atrito do ar quando o carro viaja a 140 kmh

4 Um edifiacutecio de altura de 100m e frente com largura de 15 m tem coeficiente de arraste 020 Qual eacute agrave forccedila de um vento de 90 kmh faz sobre o edifiacutecio

5 Um carro bauacute tem coeficiente de arraste igual a 096 e aacuterea frontal de 6 m2 Qual a potecircncia dissipada pelo atrito com o ar (ρ = 123 kgm3) quando sua velocidade eacute de 120 kmh

6 Um aviatildeo cujo coeficiente de arraste eacute Cd = 020 possui aacuterea frontal de 18 m2 Qual eacute a potecircncia gasta para vencer o atrito do ar quando o aviatildeo voa a 950 kmh agrave altitude de 900m onde a densidade do ar eacute ρ = 039 kgm3

7 Um pingo de chuva com raio R = 15mm cai de uma nuvem a um altura de 1200m acima do solo O Cd para a gota eacute de 060 Suponha que a gota seja esfeacuterica durante toda a queda A massa especifica da aacutegua eacute ρw = 1000 kgm3 e a massa especifica do ar eacute ρ = 12 kgm3 Qual a velocidade terminal dessa gota de chuva

8 Calcule a forccedila de arrasto sobre um miacutessil de 53 cm de diacircmetro se deslocando a uma velocidade de 250 kmh a baixa altitude onde a massa esfeacuterica do ar eacute de 12 kgm3 Suponha que o Cd = 075 para esse miacutessil

9 Um paacutera-quedas seraacute usado para descer uma caixa que natildeo pode colidir com o solo com velocidade superior a 3ms Sendo 100 kg a massa da caixa e 14 o coeficiente de arraste do paacutera-quedas qual deve ser o valor miacutenimo da aacuterea frontal deste A densidade do ar eacute ρ =12 kgm3

10 Calcule a velocidade terminal de queda de uma bola de futebol com massa m = 0453 kg e diacircmetro D = 0226 m (aacuterea A = 0040 m2 )

11 Uma paacutera-quedista com massa de 60 kg salta com um paacutera-quedas cuja aacuterea frontal eacute de 15 m2 Sabendo que a densidade do ar eacute 12 kgm3 e que o coeficiente de arraste do paacutera-quedas eacute Cd = 14 calcule a velocidade terminal da paacutera-quedista

12 Um ciclista corre em uma bicicleta com o dorso abaixado para minimizar atrito Sua aacuterea frontal eacute de 036 m2 seu coeficiente de arraste eacute de 088 e sua velocidade eacute de 40 kmh Qual eacute a potecircncia dissipada pelo atrito do ar Com o dorso posicionado na posiccedilatildeo vertical a aacuterea frontal do ciclista e sua bicicleta eacute 051 m2 e seu coeficiente de arraste eacute 11 Realizando o mesmo esforccedilo anterior qual eacute a velocidade do ciclista

41

13 Um carro com aacuterea frontal de 185 m2 tem coeficiente de arraste Cd = 055 Qual eacute agrave forccedila de atrito do ar quando o carro viaja a 80 kmh

14 Um edifiacutecio tem altura de 30 m e frente com largura de 10 m Seu coeficiente de arraste eacute 20 (a) Qual eacute a forccedila que um vento de 110 kmh faz sobre o edifiacutecio (b) Supondo-se que a forccedila do vento seja aplicada uniformemente ao longo da altura do preacutedio qual eacute o torque da forccedila em relaccedilatildeo ao solo

15 Um caminhatildeo bauacute tem coeficiente de arraste igual a 126 e aacuterea frontal de 534 m2 Qual eacute a potecircncia dissipada pelo atrito com o ar (densidade 120 kgm3) quando sua velocidade eacute 95 kmh

16 Um aviatildeo cujo coeficiente de arraste eacute Cd = 035 possui aacuterea frontal de 38 m2 Qual eacute a potecircncia gasta para vencer o atrito do ar quando o aviatildeo voa a 875 kmh agrave altitude de 12000 m onde a densidade do ar eacute 023 kgm3

17 Uma bolinha de massa de 0015kg e coeficiente de forma (b = 8 Nsm) Encontre a velocidade terminal dessa bolinha Considere g = 9805 ms2

18 Verifica-se que uma bolinha de massa m = 0012 kg tem uma velocidade terminal de 0072 ms ao cair em oacuteleo Suponha a forccedila resistiva de R = - bv e despreze a forccedila de empuxo Determine a) A constante de formab) O moacutedulo da forccedila resultante sobre a bolinha quando sua velocidade for de

0050 ms

19 A forccedila resistiva sobre uma pedra de massa 0081 kg caindo no oacuteleo eacute dada por R = ndash (13 Nsm)v Qual a velocidade terminal da pedra Despreze as forccedilas de empuxo

20 O moacutedulo da forccedila exercida pelo ar sobre uma bola de beisebol ao cair eacute quase proporcional ao quadrado da velocidade Sendo R = ndash cv2 onde a constante de proporcionalidade c = 00013 Ns2m2 Determine a velocidade terminal de uma bola de beisebol no ar Sendo a massa de uma bola oficial de beisebol igual a 0142 kg

21 Suponha que a forccedila resistiva sobre um patinador de corrida seja dada por R = ndash kmv2 em que k eacute uma constante e m eacute a massa do patinador Ele cruza a linha de chegada de uma corrida em linha reta com velocidade escalar v0 e entatildeo se torna mais lento deslizando em seus patins Mostre que a velocidade do patinador em qualquer tempo t apoacutes cruzar a linha de chegada eacute

22 Um corpo de massa 0025 kg eacute solto do repouso dentro de um grande tanque que conteacutem oacuteleo Sendo b = 6 Nsm e g = 98 ms2 Calcular a velocidade da bolinha apoacutes um tempo de queda muito grande

23 Um corpo de massa 10x10-3 kg eacute solto do repouso em um grande recipiente cheio de oacuteleo Sendo b = 8 Nsm e g = 98 ms2 calcular a sua velocidade apoacutes ter caiacutedo 5 ms

24 Deduza as equaccedilotildees paraa) A velocidade terminal para corpos de pequenas massas

42

b) A velocidade num instante qualquer a partir do repouso caindo em um meio viscoso

25 Uma pequena esfera de massa de 2 g eacute solta do repouso em um grande recipiente cheio com oacuteleo A esfera aproxima-se de uma velocidade terminal de 5 cms Determine a) A constante de tempo τb) O tempo necessaacuterio para a esfera alcanccedilar 90 de sua velocidade terminal

26 Solta-se uma pequena quantidade de espuma para embalagem a uma altura de 2 m acima do solo Ateacute que ela atinja a velocidade terminal o moacutedulo da aceleraccedilatildeo eacute dado por a = g ndash bv Apoacutes cair por 05 m a espuma alcanccedila efetivamente a velocidade terminal levando entatildeo outros 5s para alcanccedilar o chatildeoa) Qual eacute o valor da constante bb) Qual eacute a aceleraccedilatildeo em t = 0c) Qual eacute a aceleraccedilatildeo quando a velocidade escalar eacute de 0150 ms

27 Solta-se uma pequena esfera de massa de 3 g do repouso em t =0 em um vidro de xampu Observa-se que a velocidade terminal eacute de vT = 2 cms Encontre a) o valor da constante b na Equaccedilatildeo dvdt = g ndash b v mb) o tempo τ necessaacuterio para se alcanccedilar 0632 VTc) O valor da forccedila resistiva quando a esfera alcanccedila a velocidade terminal

28 a) Estime a velocidade terminal de uma esfera de madeira (densidade de 0830 gcm3) caindo no ar se seu raio for de 8 cm

b) De que altura um corpo em queda livre alcanccedilaria essa velocidade na ausecircncia da resistecircncia do ar sendo CD = 050

29 Um barco desliga seu motor quando sua velocidade escalar eacute de 10 ms e navega ateacute parar A equaccedilatildeo descrevendo o movimento do barco durante esse periacuteodo eacute v = vie-ct em que v eacute a velocidade escalar no tempo t v i eacute a velocidade escalar inicial e c eacute uma constante Em t = 20 s a velocidade escalar eacute de 5 msa) Encontre a constante cb) Qual eacute a velocidade escalar em t = 40 sc) Diferencie a expressatildeo para v(t) e mostre assim que a aceleraccedilatildeo do barco eacute

proporcional agrave velocidade escalar em qualquer tempo

30 Deduza a equaccedilatildeo da velocidade para um corpo com velocidade inicial diferente de zero

31 Um barco desloca-se sob a accedilatildeo de uma forccedila motora F constante A resistecircncia ao avanccedilo eacute proporcional a sua velocidade admitindo x0 = v0 = 0 determine a) v = f (t)b) x = f (t) c) Vmaacutex do barco

32 O movimento de um corpo caindo do repouso em um meio resistivo eacute descrito pela equaccedilatildeo dvdt = A ndash Bv onde A e B satildeo constantes Em termos de A e B achara) A aceleraccedilatildeo inicialb) A velocidade para a qual a aceleraccedilatildeo torna-se zeroc) Mostrar que em qualquer instante a velocidade eacute dada por

43

33 Quando se desliga o motor de uma lancha ela sofre uma aceleraccedilatildeo no sentido oposto ao da velocidade e diretamente proporcional ao quadrado dessa velocidade isto eacute dvdt = -kv2 onde k eacute uma constante a) Mostrar que a velocidade no instante t depois de desligar o motor eacute dada porb) Mostrar que velocidade depois de percorrer uma distacircncia x eacutec) Mostrar que a distacircncia percorrida num tempo t eacute

44

8 Sistemas de massa variaacutevel

81 Movimento de um foguete

O movimento de um foguete eacute diferente do de outros veiacuteculos como

automoacuteveis ou trens Quando um automoacutevel acelera o pavimento exerce uma forccedila de

atrito horizontal sobre os pneus e esta forccedila externa eacute responsaacutevel pela aceleraccedilatildeo do

carro Mas um foguete deve ser capaz de acelerar em um espaccedilo vazio onde natildeo haacute

um agente externo sobre o qual possa apoiar-se Um foguete se move ejetando parte

de si mesmo na direccedilatildeo oposta agrave de sua projetada trajetoacuteria Quando o motor de um

foguete estaacute queimando seu combustiacutevel o material queimado (os gases de exaustatildeo)

e o resto do foguete exercem forccedilas um sobre o outro A forccedila exercida pelos gases de

exaustatildeo sobre o resto do foguete eacute chamada empuxo do motor e eacute esta forccedila que

impulsiona o resto do foguete Uma caracteriacutestica de um foguete eacute que sua massa m

Vaira significativamente (decrescendo) enquanto seu motor estaacute funcionando

Abaixo fornecemos um exemplo de um motor de foguete Duas

caracteriacutesticas satildeo importantes

a) A taxa de queima de combustiacutevel

b) A velocidade dos gases de exaustatildeo (ve)

Equaccedilotildees

m dv = - ve dm

a) b)

M M ndash m

m

45

82 Exerciacutecios sobre Movimento de Foguetes

1 A variaccedilatildeo na velocidade de um foguete eacute diretamente proporcional agrave velocidade dos gases de exaustatildeo e depende logaritmicamente da reduccedilatildeo relativa da massa Suponhamos que um foguete parta do repouso e realize a queima de modo que sua massa se reduza de um fator 2 suponhamos tambeacutem que a velocidade de exaustatildeo seja de 25 x 103 ms A velocidade do foguete apoacutes a queima seraacute de

2 O motor de um foguete tem taxa de queima 38 kgs e a velocidade dos gases de exaustatildeo eacute de 23 x 103 ms Determinea) O moacutedulo do empuxo do motor b) A massa maacutexima que o foguete pode ter ao decolar da superfiacutecie da Terrac) Se a massa do foguete eacute de 900 kg no instante em que o motor atinge

potecircncia plena quanto tempo levaraacute ateacute que o foguete comece a descolar

3 Mostre que o produto tem a dimensatildeo de uma forccedila

4 Qual eacute o modulo da aceleraccedilatildeo de um foguete de 5860 kg logo apoacutes a decolagem O motor do foguete tem moacutedulo de empuxo de 727 kN

5 Um foguete de 2000 kg estaacute em repouso quando seu motor eacute ligado O foguete estaacute em uma regiatildeo interplanetaacuteria do sistema solar onde sum Fext eacute despreziacutevel Qual a massa do foguete no instante em que a velocidade eacute igual a vecirc

6 Uma nave espacial de 10000 kg estaacute equipada com um pequeno motor de foguete para manobrar no espaccedilo O motor tem uma velocidade de exaustatildeo de 2 kms e uma taxa de queima de 0010 kgsa) Qual eacute o empuxo do motor b) Estime o intervalo de tempo durante o qual o motor deve operar para aumentar

a velocidade da espaccedilonave de 0 para 2 msc) Quanta massa eacute ejetada durante esse intervalo de tempo

7 Um foguete estaacute em uma regiatildeo do espaccedilo em que sum Fext eacute despreziacutevel O motor do foguete eacute utilizado para aceleraacute-lo segundo uma linha reta da velocidade zero a 5 kms A velocidade de exaustatildeo do foguete eacute 20 x 103 ms Que fraccedilatildeo da massa do foguete eacute ejetada durante esse intervalo de tempo

8 Um foguete cuja massa inicial Mi eacute igual a 850 kg consome combustiacutevel a uma taxa 23 kgs A velocidade dos gases de exaustatildeo em relaccedilatildeo ao motor do foguete eacute igual a 2800 ms a) Qual o empuxo fornecido pelo motor do foguete b) Qual a aceleraccedilatildeo inicial do foguete c) Suponha que o foguete seja lanccedilado de uma nave espacial jaacute no espaccedilo

sideral onde podemos desprezar qualquer forccedila gravitacional atuando sobre ele A massa final do foguete quando seu combustiacutevel acaba eacute de 180 kg Qual a sua velocidade relativa agrave nave neste instante Suponha que a nave possua uma massa tatildeo grande que o lanccedilamento natildeo altere a sua velocidade

46

9 Uma sonda espacial de 6090 kg viajando para Juacutepter com uma velocidade de 105 ms em relaccedilatildeo ao sol aciona o motor ejetando 80 kg de gases com uma velocidade de 253 ms em relaccedilatildeo agrave sonda Supondo que os gases satildeo ejetados no sentido oposto ao movimento inicial da sonda qual a sua velocidade final

10 Um foguete em repouso no espaccedilo em uma regiatildeo que a forccedila gravitacional eacute despreziacutevel tem uma massa de 255 x 105 kg da qual 18 x 105 kg satildeo combustiacutevel O consumo de combustiacutevel do motor eacute de 480 kgs e a velocidade de escapamento dos gases eacute de 327 kms O motor eacute acionado durante 250 sa) Determine o empuxo do fogueteb) Qual eacute a massa do foguete depois do motor eacute desligadoc) Qual a velocidade final do foguete

11 Um foguete em movimento no espaccedilo vazio tem velocidade escalar de 3 x 103 ms em relaccedilatildeo agrave Terra Seus motores satildeo ligados e eacute ejetado combustiacutevel em uma direccedilatildeo oposta ao movimento do foguete com velocidade escalar de 5 x 103 ms em relaccedilatildeo ao foguetea) Qual eacute a velocidade escalar do foguete em relaccedilatildeo agrave Terra uma vez que sua

massa eacute reduzida agrave metade de sua massa antes da igniccedilatildeob) Qual eacute a propulsatildeo sobre o foguete se ele gasta combustiacutevel na taxa de 50

kgs

12 O primeiro estaacutegio do veiacuteculo espacial Saturno V consome combustiacutevel na taxa de 15 x 104 kgs com velocidade de escape de 260 x 103 msa) Calcule a propulsatildeo produzida por esses motoresb) Encontre a aceleraccedilatildeo do veiacuteculo no momento em que deixa a plataforma de

lanccedilamento se a sua massa inicial eacute de 3 x 106 kg

13 Motores de foguete de modelos satildeo classificados de acordo com o tamanho pela propulsatildeo duraccedilatildeo de propulsatildeo e impulso total entre outras caracteriacutesticas Um motor de foguete de modelo de tamanho C5 tem propulsatildeo meacutedia de 526 N massa de combustiacutevel de 127 g e massa inicial de 255 g A duraccedilatildeo da queima do seu combustiacutevel eacute de 190 sa) Qual eacute a velocidade de escape meacutedia do motorb) Se o motor for colocado em um corpo de foguete de massa de 535 g qual eacute a

velocidade final do foguete se ele for acionado no espaccedilo exterior Suponha que o combustiacutevel seja consumido a uma taxa constante

14 Um foguete para ser utilizado no espaccedilo sideral tem de ter a capacidade de lanccedilar uma carga total (carga uacutetil mais estrutura do foguete e do motor) de 3 toneladas meacutetricas agrave velocidade escalar de 10000 msa) Ele tem um motor e combustiacuteveis projetados para produzir velocidade escalar

de escape de 2000 ms Quanto combustiacutevel eacute necessaacuteriob) Se um projeto diferente para o combustiacutevel e para o motor pudesse fornecer a

velocidade escalar de escape de 5000 ms qual quantidade de combustiacutevel seria necessaacuterio para realizar a mesma tarefa

47

9 Momento Angular

O momento angular de um ponto material em relaccedilatildeo a um ponto O eacute

definido como o ldquomomentordquo da quantidade de movimento do ponto material em relaccedilatildeo

ao ponto O O momento angular H0 eacute reconhecido como o momento e a quantidade

de movimento

Formulaccedilatildeo escalar

z

y d

P mv

x

Formulaccedilatildeo vetorial

48

91 Exerciacutecios sobre Momento Angular

1 Determine o momento angular do ponto material A de 2 lb em relaccedilatildeo ao ponto O Use uma soluccedilatildeo vetorial cartesiana

2Determine o momento angular Ho do ponto material em relaccedilatildeo a O

3 Determine o momento angular HO

de cada um dos pontos materiais em relaccedilatildeo a O

4 Determine o momento angular HP

da cada um dos pontos materiais em relaccedilatildeo a P em relaccedilatildeo ao problema anterior

5 Determine o momento angular HO do ponto material em relaccedilatildeo ao ponto O

6 Determine o momento angular HP do ponto material em relaccedilatildeo ao ponto P no problema anterior

49

7 Determine o momento angular HO para cada um dos dois pontos materiais em relaccedilatildeo ao ponto O

8 Determine o momento angular HP de cada um dos pontos materiais em relaccedilatildeo ao ponto P no problema anterior

9 Determine o momento angular Ho para o sistema de trecircs pontos materiais em relaccedilatildeo ao ponto O Os trecircs pontos materiais estatildeo se movendo no plano x ndashy

50

10Centro instantacircneo de velocidade nula

Por exemplo consideremos a roda mostrada na figura Se ela rola sem

escorregar entatildeo em cada instante o ponto de contato com o solo tem velocidade nula

Logo esse ponto representa o ponto (CI) Onde CI eacute denominado centro instantacircneo

de velocidade nula

vb

B

O vo

RB C RO RC vc

CI

Localizaccedilatildeo do CI

Para localizar o CI podemos usar o fato de que a velocidade de um

ponto qualquer do corpo eacute sempre perpendicular ao vetor de posiccedilatildeo do ponto

relativamente ao CI

Exemplos

a) b) centrado

A CI

vA vCI = 0 CI vA vCI = 0

B A

vB

Localizaccedilatildeo do CIconhecendo-se vA e

Localizaccedilatildeo do CI conhecendo-se as direccedilotildees de vA e vB

c) vA

51

A

vB B

52

101 Exerciacutecios sobre Centro Instantacircneo de velocidade nula

1 Dois cursores A e B articulados nos centros geomeacutetricos estatildeo ligados por uma barra de comprimento l Para o momento representado vA = 4 ms θ = 30deg e w = 5 rads Determinar a) A velocidade no cursor B (vB)b) Comprimento l da barrac) Coordenadas do centro instantacircneo de rotaccedilatildeo

2 Um automoacutevel trafega para a direita com velocidade de 72 kmh Se o diacircmetro de uma das rodas eacute de 80 cm determinara) Velocidade angular da rodab) Velocidade dos pontos I A BC

3 No sistema motor da figura a manivela AB possui frequumlecircncia de 2000 rpm no sentido anti-horaacuterio Na posiccedilatildeo mostrada determinea) Curso do pistatildeob) Frequumlecircncia de oscilaccedilatildeo do pistatildeo

4 A manivela AB gira a 500 rads em torno de um eixo fixo passando por A Determine a velocidade do pistatildeo P no instante em que ele passa pela posiccedilatildeo mostrada na figura

5 Num dado instante o caminhatildeo estaacute se deslocando para a direita a 8 ms Se o tambor natildeo escorrega em B determine sua velocidade angular considerando que para um observador no solo o centro de massa G parece estar estacionaacuterio

6 Na situaccedilatildeo mostrada na figura O disco gira com velocidade angular w = 4 rads Determine as velocidades dos pontos A B e C

53

7 O cilindro mostrado na figura rola sem escorregar entre as placas E e D Determine a velocidade angular do cilindro e a velocidade de seu centro C

8 Um elo AB desliza ao longo das guias AO e OB A velocidade do ponto A eacute 6 ms para baixo a) Determine a velocidade angular do elo AB para θ = 60degb) Determine as velocidades dos pontos G e B para θ = 60deg

9 O disco 1 estaacute acoplado ao disco fixo 2 pela barra 3 A barra gira no sentido horaacuterio com velocidade angular de 30 rpm Os discos estatildeo em contato rolante no ponto C Determine a velocidade vo do centro O do disco 1 e a velocidade angular w1 do disco 1

10 O diagrama esquemaacutetico de uma articulaccedilatildeo de quatro barras (considerando a base AB como elo) eacute mostrado na figura A velocidade angular do elo AC eacute de 50 radsa) Para θ = 60deg e os comprimentos das articulaccedilotildees como

mostrado na figura determine o centro instantacircneo de rotaccedilatildeo do elo CD

b) Determine as velocidades das extremidades das juntas C e D e as velocidades angulares dos elos CD e BD

11 A lacircmina de uma ceifadeira mecacircnica gira no sentido anti-horaacuterio a uma velocidade angular de 1800 rpm Se o centroacuteide do corpo eacute um ciacuterculo com 075 mm de raio calcule a velocidade vo da ceifadeira

12 O eixo do conjunto da roda mostrada na figura rola sem deslizar sobre a superfiacutecie horizontal fixa e o ponto O possui uma velocidade de 08 ms para a direita Determine as velocidades dos pontos A B C e D

13 Localize graficamente o centro instantacircneo de rotaccedilatildeo nos casos a seguir

a) b) c) d)

54

14 Em cada caso da figura abaixo mostre graficamente como localizar o centro instantacircneo de velocidade nula da barra AB Suponha que a geometria seja conhecida

15 Mostre como se pode determinar o centro instantacircneo de velocidade nula para

a) a barra BC mostrada na figura abaixo

b) a barra da ligaccedilatildeo CB mostrada na figura abaixo

16O bloco mostrado na figura abaixo move-se

com velocidade de 3 ms Determine as velocidades angulares das barras

BD e AB nesta situaccedilatildeo

17 A extremidade A da barra possui uma velocidade VA = 2 ms para baixo durante

certo intervalo de seu movimento Para a posiccedilatildeo em que Ө = 30deg determine a velocidade

angular W da barra AB e a velocidade VG

do centroacuteide G da barra

18 Calcule a velocidade angular da barra OB mostrada na figura ao lado

19 Determine a velocidade do centroacuteide G da barra AB do mecanismo da figura ao lado para o instante representado quando a manivela AO passa pela posiccedilatildeo horizontal

55

20 Para o instante representado na figura abaixo o centro instantacircneo de velocidade nula para a chapa retangular sujeita a um movimento plano eacute localizado em C Se a chapa possui uma velocidade no sentido anti-horaacuterio nesse instante determine o moacutedulo da velocidade VO do centroacuteide O da chapa

21 Na figura ao lado a oscilaccedilatildeo vertical do punccedilatildeo F armado agrave mola eacute controlada atraveacutes da variaccedilatildeo perioacutedica na pressatildeo no cilindro hidraacuteulico vertical E Determine a velocidade angular

da barra AD e a velocidade do rolete A em sua guia horizontal para o instante em que o acircngulo Ө = 60deg Considere que nessa posiccedilatildeo o punccedilatildeo F tem uma velocidade de 2 ms para baixo

22 A roda representada na figura ao lado rola para a direita sem deslizar Considerando que seu centro O tenha uma velocidade vo = 3 ms localize o centro instantacircneo de velocidade nula e a velocidade do ponto A

23 O braccedilo OB mostrado na figura ao lado do mecanismo de quatro barras possui uma velocidade angular de 10 rads no sentido horaacuterio na posiccedilatildeo mostrada onde Ө = 45deg Determine a velocidade do pino A a velocidade do ponto D e a velocidade angular da barra AB para essa posiccedilatildeo

56

11 Bibliografia

1 HIBBELER R C Dinacircmica Mecacircnica para Engenharia vol 2 Prentice Hall 2005 ndash Satildeo Paulo SP

2 KELLER F J Fiacutesica vol 1 Makron Books 1997 - Satildeo Paulo SP

BORESI A P Dinacircmica Thomson 2003 ndash Satildeo Pa

57





212 Sistema Polar

213 Sistema Ciliacutendrico

214 Sistema Esfeacuterico













61 Torque

62 Momento angular








691 Vetores unitaacuterios





711 Gota da chuva (caso linear)








9 Momento Angular


10 Centro instantacircneo de velocidade nula


11 Bibliografia

iacutendice

1 Introduccedilatildeo4

2 Cinemaacutetica do ponto5

21 Sistemas de Referecircncia5

211 Sistema Cartesiano5

212 Sistema Polar5

213 Sistema Ciliacutendrico5

214 Sistema Esfeacuterico6

3 Equaccedilotildees Parameacutetricas7

31 Representaccedilatildeo Vetorial Parameacutetrica7

311 Curvas Estudadas7

3111 Equaccedilatildeo da Elipse (Curva plana)7

3112 Equaccedilatildeo da circunferecircncia (Curva Plana)8

3113 Equaccedilatildeo da Heacutelice Ciliacutendrica Circular (Curva Reversa)9

32 Exerciacutecios sobre Equaccedilotildees Parameacutetricas10

4 Movimento Curviliacuteneo Geral ndash Coordenadas Cartesianas12

41 Exerciacutecio sobre Coordenadas cartesianas15

5 Cinemaacutetica da rotaccedilatildeo18

51 Exerciacutecios sobre Cinemaacutetica da Rotaccedilatildeo21

6 Dinacircmica Rotacional26

61 Torque 26

62 Momento angular 26

63 Momento de Ineacutercia (I)27

64 Exerciacutecios sobre Momento de Ineacutercia28

65 Energia cineacutetica de rotaccedilatildeo trabalho e potecircncia30

66 Teorema dos eixos paralelos (STEINER)31

67 Raio de Giraccedilatildeo (K)31

68 Coordenadas Normal e Tangencial (n ndash t)31

69 Velocidade e Aceleraccedilatildeo32

691 Vetores unitaacuterios32

692 Aceleraccedilatildeo Tangencial33

610 Exerciacutecios sobre dinacircmica da rotaccedilatildeo34

7 Movimento sob forccedila resistiva38

71 Exemplos de Atrito Viscoso (Discussotildees Qualitativas)38

711 Gota da chuva (caso linear)38

712 Paacutera-quedista (caso quadraacutetico)39

713 Discussatildeo Quantitativa (caso linear)39

714 Graacutefico da velocidade de descida em funccedilatildeo do tempo (v = f(t))40

2









11Bibliografia57

3














4





y y

P (x y) P (x y z)

x

x

z


y

P ( )


x = cos y = sen x2 + y2 = 2



P ( z) y Prsquo x

5



Z = r cos r y

x Prsquo


6






Z Pn

(tn)


P0

(t0) c

Y t [ t0 tn ]





Y

b



ndash b

t [0 2]



7

X = acos t cos t =




t [0 2]

y

a = b b

xa





1




8

Z




Q Y

t

t ( ndash + )

X




Onde

e


9














10
















11










Posiccedilatildeo







s P


z y

x

y

x

Velocidade


ponto material logo

12





P





logo




Nota



hodoacutegrafo




hodoacutegrafo

13

Orsquo





14











15












16




17






+

onde s arco [m]

arco r raio [m]





= 2 - 1

t = t2 ndash t1


2 1






18

unidade





P +

s

0 x

Como e tem-se


19


r = raio [m]


Como e tem-se



r = raio [m]


P

0 x


e


20














21












22












23









24









25



61 Torque







y





62 Momento angular




A ou


os vetores e y



26



se = 0 = constante




Desenvolvimento



0 onde o termo

eixo de giro









27
















28





uma aresta do cubo





29






K = [joules] = [J]

Trabalho ()

ds

d

0


Potecircncia (P)


= [watt] = [W]

Nota = K

30


I = ICM + m d2


R m = massa total



I = m k2



C t n n

A n t B t





31




trsquo


nrsquo t

C

n

V

A

trajetoacuteria


Obs








32






Nota

a)

b)

c)

33










34










35








36





37



movimento














38

nuvem

de chegada






R = ndash b v

Equaccedilotildees






(t vD = vterminal)


39

v


vT

0632 vT

0 T t


40














41







0050 ms







42












43


44


















Equaccedilotildees

m dv = - ve dm

a) b)

M M ndash m

m

45













46





kgs








47

9 Momento Angular




de movimento


z

y d

P mv

x


48










49




50





de velocidade nula

vb

B

O vo

RB C RO RC vc

CI




relativamente ao CI

Exemplos

a) b) centrado

A CI


B A

vB



c) vA

51

A

vB B

52








53










a) b) c) d)

54














55






56

11 Bibliografia




57





212 Sistema Polar















61 Torque

62 Momento angular





















9 Momento Angular




11 Bibliografia









11Bibliografia57

3














4





y y

P (x y) P (x y z)

x

x

z


y

P ( )


x = cos y = sen x2 + y2 = 2



P ( z) y Prsquo x

5



Z = r cos r y

x Prsquo


6






Z Pn

(tn)


P0

(t0) c

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Como e tem-se


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r = raio [m]


Como e tem-se



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A ou


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K = [joules] = [J]

Trabalho ()

ds

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= [watt] = [W]

Nota = K

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I = ICM + m d2


R m = massa total



I = m k2



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RB C RO RC vc

CI




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A CI


B A

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212 Sistema Polar















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11 Bibliografia














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P (x y) P (x y z)

x

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x = cos y = sen x2 + y2 = 2



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Como e tem-se


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212 Sistema Polar















61 Torque

62 Momento angular





















9 Momento Angular




11 Bibliografia





y y

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x

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212 Sistema Polar















61 Torque

62 Momento angular





















9 Momento Angular




11 Bibliografia



Z = r cos r y

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11 Bibliografia






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212 Sistema Polar















61 Torque

62 Momento angular





















9 Momento Angular




11 Bibliografia

X = acos t cos t =




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y

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de velocidade nula

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RB C RO RC vc

CI




relativamente ao CI

Exemplos

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A CI


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11 Bibliografia




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212 Sistema Polar















61 Torque

62 Momento angular





















9 Momento Angular




11 Bibliografia










Posiccedilatildeo







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Como e tem-se


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A ou


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0 onde o termo

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= [watt] = [W]

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212 Sistema Polar















61 Torque

62 Momento angular





















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11 Bibliografia





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212 Sistema Polar















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62 Momento angular





















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11 Bibliografia












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61 Torque

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212 Sistema Polar















61 Torque

62 Momento angular





















9 Momento Angular




11 Bibliografia






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61 Torque

62 Momento angular





















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K = [joules] = [J]

Trabalho ()

ds

d

0


Potecircncia (P)


= [watt] = [W]

Nota = K

30


I = ICM + m d2


R m = massa total



I = m k2



C t n n

A n t B t





31




trsquo


nrsquo t

C

n

V

A

trajetoacuteria


Obs








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Nota

a)

b)

c)

33










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movimento














38

nuvem

de chegada






R = ndash b v

Equaccedilotildees






(t vD = vterminal)


39

v


vT

0632 vT

0 T t


40














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0050 ms







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43


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Equaccedilotildees

m dv = - ve dm

a) b)

M M ndash m

m

45













46





kgs








47

9 Momento Angular




de movimento


z

y d

P mv

x


48










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50





de velocidade nula

vb

B

O vo

RB C RO RC vc

CI




relativamente ao CI

Exemplos

a) b) centrado

A CI


B A

vB



c) vA

51

A

vB B

52








53










a) b) c) d)

54














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11 Bibliografia




57





212 Sistema Polar















61 Torque

62 Momento angular





















9 Momento Angular




11 Bibliografia









24









25



61 Torque







y





62 Momento angular




A ou


os vetores e y



26



se = 0 = constante




Desenvolvimento



0 onde o termo

eixo de giro









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uma aresta do cubo





29






K = [joules] = [J]

Trabalho ()

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0


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= [watt] = [W]

Nota = K

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Nota

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Equaccedilotildees






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Equaccedilotildees

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51

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212 Sistema Polar















61 Torque

62 Momento angular





















9 Momento Angular




11 Bibliografia









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61 Torque







y





62 Momento angular




A ou


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26



se = 0 = constante




Desenvolvimento



0 onde o termo

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uma aresta do cubo





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11 Bibliografia



61 Torque







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A ou


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0 onde o termo

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212 Sistema Polar















61 Torque

62 Momento angular





















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se = 0 = constante




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0 onde o termo

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K = [joules] = [J]

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212 Sistema Polar















61 Torque

62 Momento angular





















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11 Bibliografia
















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K = [joules] = [J]

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61 Torque

62 Momento angular





















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K = [joules] = [J]

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212 Sistema Polar















61 Torque

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K = [joules] = [J]

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212 Sistema Polar















61 Torque

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11 Bibliografia


I = ICM + m d2


R m = massa total



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61 Torque

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Equaccedilotildees

m dv = - ve dm

a) b)

M M ndash m

m

45













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kgs








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9 Momento Angular




de movimento


z

y d

P mv

x


48










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de velocidade nula

vb

B

O vo

RB C RO RC vc

CI




relativamente ao CI

Exemplos

a) b) centrado

A CI


B A

vB



c) vA

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A

vB B

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a) b) c) d)

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212 Sistema Polar















61 Torque

62 Momento angular





















9 Momento Angular




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Equaccedilotildees

m dv = - ve dm

a) b)

M M ndash m

m

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9 Momento Angular




de movimento


z

y d

P mv

x


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de velocidade nula

vb

B

O vo

RB C RO RC vc

CI




relativamente ao CI

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a) b) centrado

A CI


B A

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c) vA

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A

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61 Torque

62 Momento angular





















9 Momento Angular




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Equaccedilotildees

m dv = - ve dm

a) b)

M M ndash m

m

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kgs








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9 Momento Angular




de movimento


z

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P mv

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B

O vo

RB C RO RC vc

CI




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a) b) centrado

A CI


B A

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A

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M M ndash m

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A CI


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m dv = - ve dm

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M M ndash m

m

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RB C RO RC vc

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A CI


B A

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RB C RO RC vc

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A CI


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B A

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a) b) centrado

A CI


B A

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a) b) centrado

A CI


B A

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61 Torque

62 Momento angular





















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11 Bibliografia

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61 Torque

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11 Bibliografia

apostila de dinâmica

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