apostila de apoio aos cursos de estatística aplicada (aaea) · faculdade de tecnologia de...
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FACULDADE DE TECNOLOGIA DE GUARATINGUETÁ
Apostila de Apoio aos cursos de
Estatística Aplicada (AAEA) Estatística Aplicada
Prof. Dr. Herivelto Tiago Marcondes dos Santos
Guaratinguetá, Março de 2017
1 Conteúdo 2 A estatística como ferramenta de estudo.................................... 5
3 Estatística Descritiva ................................................................. 5
3.1 Amostragem ..................................................................................................................................... 5
3.2 Tipos de amostragem ........................................................................................................................ 6
3.2.1 Amostragem simples ................................................................................................................ 6
3.2.2 Amostragem estratificada ......................................................................................................... 6
3.2.3 Amostragem sistemática ........................................................................................................... 6
3.2.4 Amostragem por conglomerados .............................................................................................. 6
3.2.5 Exercícios ................................................................................................................................. 7
3.3 Organização de dados ....................................................................................................................... 7
3.3.1 Classificação de variáveis ......................................................................................................... 9
3.3.2 Tabelas de frequências ............................................................................................................ 10
3.3.3 Ferramentas gráficas ............................................................................................................... 12
4 Medidas resumo ...................................................................... 19
4.1 Introdução ....................................................................................................................................... 19
4.2 Medidas de posição ou de tendência central ................................................................................... 19
4.2.1 Moda, mediana e média .......................................................................................................... 19
4.3 Medidas de dispersão...................................................................................................................... 21
4.3.1 Amplitude ( ......................................................................................................................... 21
4.3.2 Variância populacional ( ) ................................................................................. 22
4.3.3 Variância amostral ( ) ........................................................................................... 22
4.3.4 Desvio padrão ( ) ................................................................................................................... 22
4.3.5 Coeficiente de variação ........................................................................................................... 23
4.3.6 Teorema de Tchebyschev ....................................................................................................... 23
4.3.7 Curtose(K) .............................................................................................................................. 24
4.3.8 Assimetria (As) ....................................................................................................................... 24
5 Análise combinatória ............................................................... 24
5.1 Princípio fundamental de contagem ................................................................................................ 24
5.2 Princípio fundamental de contagem generalizado ........................................................................... 25
5.3 Permutação ..................................................................................................................................... 25
6 Probabilidades ......................................................................... 26
6.1 Teoria de conjuntos ........................................................................................................................ 26
6.1.1 Espaço Amostral e Eventos .................................................................................................... 26
6.1.2 Identidades:............................................................................................................................. 27
6.1.3 Leis de De Morgan ................................................................................................................. 27
6.1.4 Axiomas de probabilidade: ..................................................................................................... 27
6.1.5 Probabilidade condicional e independência ............................................................................ 28
6.1.6 Exercícios: .............................................................................................................................. 29
7 Modelos de probabilidade ....................................................... 36
7.1 Variável aleatória ............................................................................................................................ 36
7.2 Variável aleatória discreta .............................................................................................................. 36
7.3 Principais modelos discretos de probabilidade ............................................................................... 36
7.3.1 Modelo uniforme discreto ....................................................................................................... 36
7.3.2 Modelo de Bernoulli ............................................................................................................... 37
7.3.3 Modelo Binomial, X~B(n,p) ................................................................................................... 37
7.3.4 Modelo Geométrico, X~G(p) .................................................................................................. 37
7.3.5 Modelo de Poisson, X~P( ) .................................................................................................... 37
7.3.6 Exercícios ............................................................................................................................... 38
7.4 Variável aleatória contínua ............................................................................................................. 41
7.4.1 Função distribuição acumulada ............................................................................................... 41
7.5 Principais modelos contínuos de probabilidade .............................................................................. 41
7.5.1 Modelo uniforme contínuo, X~U[a,b] .................................................................................... 42
7.5.2 Modelo exponencial, X~exp( ) .............................................................................................. 42
7.5.3 Modelo normal, X~N( ) .................................................................................................. 43
8 Inferência estatística ................................................................ 45
8.1 Distribuições amostrais ................................................................................................................... 45
9 Teorema central do limite ........................................................ 46
9.1 Intervalo de confiança para estimar a média e o tamanho da amostra ............................................. 46
9.2 Testes de hipóteses ......................................................................................................................... 47
10 Referência bibliográfica .......................................................... 48
2 A estatística como ferramenta de estudo
Desde tempos remotos há um interesse das organizações sociais, principalmente, por parte de
instituições governamentais, em obter informações sobre a população, a respeito da acumulação de riquezas,
isso aplicado tanto a fins militares como para os interesses tributários (MEMÓRIA, 2004). Muitas aplicações
designadas ao interesse de estudo da estatística são do nosso cotidiano. Entre estas aplicações temos os
estudos meteorológicos, estudos em logística, prospecções áreas como transporte, energia, economia,
biologia, astronomia. A estatística é um campo da ciência que estuda o planejamento, coleta, organização e
síntese de dados, além do ajuste de modelos estatístico-matemáticos.
De alguma maneira, os cursos de estatística oferecidos em diversas universidades são similares em
conteúdo, porém a necessidade de proporcionar ao aluno um curso de estatística relacionado cada vez mais
ao mercado de trabalho e as suas reais necessidades profissionais, esses cursos diferenciam-se quanto aos
métodos de ensino aplicados. Contudo, a essência permeia sobre três tópicos bem experimentados em
atividades de pesquisa, as Estatísticas Descritivas, Probabilidades e Inferência Estatística.
3 Estatística Descritiva
A necessidade de evidenciar alguns fenômenos constantes no dia-a-dia do ser humano permitiu que,
com o desenvolvimento de técnicas matemáticas adequadas, pudessem apresentar resultados satisfatórios e
adequados para explicar esses fenômenos.
Diferentes áreas tomam como necessárias o uso das ferramentas estatísticas na tentativa de explicar
suas atividades, pode-se citar: biologia, ciências sociais, engenharias, ciências humanas e tecnologia da
informação. Inda mais com a evolução constante do processamento de dados, no qual os estudos estatísticos
se enquadram e evoluem paralelamente. Atualmente, o uso intenso de computadores pessoais permite que
uma grande massa de dados seja analisada por qualquer operador. Entretanto, fica claro, que um indivíduo
não preparado para analisar e identificar as técnicas mais adequadas limita o estudo a conclusões sem
sentido.
De maneira sucinta, a estatística é composta por áreas que definem o início da pesquisa, em que se
podem tirar as primeiras conclusões (Estatísticas descritivas), as tomadas de incerteza (probabilidade) e
modelagem estatística matemática, e a extrapolação de características de uma pequena amostra para um
grande conjunto de dados (inferência estatística).
3.1 Amostragem
Os procedimentos de amostragem utilizados em uma pesquisa estatística são formas de representar a
totalidade de uma população por meio de uma pequena parte dessa população.
Ao grande conjunto de dados denomina-se uma população
Assim, a teoria de amostragem é a afirmação de que o conhecimento científico pode ser uma boa
representação de grandezas desconhecidas de determinadas populações.
Uma pequena parte da população, ou seja, um subconjunto da população será chamado de amostra.
3.2 Tipos de amostragem
Os procedimentos de amostragem são comuns entre as técnicas estatísticas, pois há nesses uma
possibilidade de processamento de dados menos custoso, mais rápido e, bem próximo de explicar as
características de uma população.
Há dois tipos de amostragem, a probabilística e a não probabilística. A amostragem é dita
probabilística quando cada elemento amostral tem uma probabilidade de pertencer à amostra. De forma
simplificada, uma amostragem é probabilística, se a amostra pertence, de fato, à população. Assim, existe a
condição de probabilidade diferente de zero. Caso contrário a essas condições a amostragem será não
probabilística.
A amostragem probabilística pode ser simples, estratificada, sistemática e por conglomerados.
3.2.1 Amostragem simples
Se amostras de tamanho k são tomadas de uma população de tamanho N então tem-se1
amostras distintas possíveis de tamanho k a partir dessa população, todas com probabilidade de serem
selecionadas.
3.2.2 Amostragem estratificada
Em algumas populações a existência de subconjuntos bem definidos, denominados estratos, como
exemplos de características como sexo, idade, cores, estados físicos, possibilitam um procedimento de
amostragem que visa estudar as particularidades de cada estrato.
3.2.3 Amostragem sistemática
Uma amostragem é dita sistemática se a partir de uma população de tamanho N, extraem-se amostras
de tamanho n, em intervalos de tamanho h.
3.2.4 Amostragem por conglomerados
A amostragem por conglomerados é similar a por estratos, porém, um conglomerado (ou
agrupamento) é um subconjunto da população melhor caracterizado pela individualidade como exemplo de
um bairro de uma cidade, um setor geográfico, zona urbana ou rural.
1
3.2.5 Exercícios
1. Para as situações descritas a seguir, identifique a população e a amostra correspondente.
a. Para avaliar a eficácia de uma campanha de vacinação no Estado de São Paulo, 200 mães de recém-
nascidos, durante o primeiro semestre de um dado ano e em uma dada maternidade em São Paulo, foram
entrevistadas a respeito da última vez em que vacinaram seus filhos.
b. Uma amostra de sangue foi retirada de um paciente com suspeita de anemia.
c. Para verificar a audiência de um programa de TV, 563 indivíduos foram entrevistados por telefone com
relação ao canal em que estavam sintonizados.
d. A fim de avaliar a intenção de voto para presidente dos brasileiros, 122 pessoas foram entrevistadas em
Brasília.
2. Exemplo no MS Excel (a incluir junto aos professores da disciplina)
3. Exemplo no SPSS ou R-project (a incluir junto aos professores da disciplina)
3.3 Organização de dados
Para a análise inicial de um conjunto de dados pode-se dizer que as ferramentas mais utilizadas são:
tabelas de frequências e os gráficos. Para exemplificar, será utilizado um exemplo, o qual apresenta os dados
de um questionário feito junto a alunos de uma universidade2. Os elementos abaixo são as características
requeridas no questionário. Ao conjunto de informações disponíveis formulado na execução do questionário
estudantil chamamos de tabela de dados brutos. Cada característica respondida pelos estudantes é
denominada por variável.
Id: identificação do aluno
Turma: turma a que o aluno foi alocado (A ou B)
Sexo: F se feminino, M se masculino
Idade: idade em anos
Alt: altura em metros
Peso: peso em quilogramas
Filhos: número de filhos na família
Fuma: hábito de fumar, sim ou não
Toler: tolerância ao cigarro:
(I) indiferente, (P) incomoda pouco e (M) incomoda muito
Exerc: horas de atividade física, por semana
Cine: número de vezes em que vai ao cinema por semana
OpCine: opinião a respeito das salas de cinema na cidade
(B) regular a boa e (M) muito boa
TV: horas gastas assistindo TV, por semana
OpTV: opinião a respeito da qualidade da programação na TV:
2 (MAGALHÃES, M. N. AND LIMA, 2007)
(R) ruim, (M) média, (B) boa e (N) não sabe
Tabela 1 Tabela de dados brutos – questionário estudantil
Id Turma Sexo Idade Alt Peso Filhos Fuma Toler Exerc Cine OpCine TV OpTV
1 A F 17 1,60 60,5 2 NAO P 0 1 B 16 R
2 A F 18 1,69 55,0 1 NAO M 0 1 B 7 R
3 A M 18 1,85 72,8 2 NAO P 5 2 M 15 R
4 A M 25 1,85 80,9 2 NAO P 5 2 B 20 R
5 A F 19 1,58 55,0 1 NAO M 2 2 B 5 R
6 A M 19 1,76 60,0 3 NAO M 2 1 B 2 R
7 A F 20 1,60 58,0 1 NAO P 3 1 B 7 R
8 A F 18 1,64 47,0 1 SIM I 2 2 M 10 R
9 A F 18 1,62 57,8 3 NAO M 3 3 M 12 R
10 A F 17 1,64 58,0 2 NAO M 2 2 M 10 R
11 A F 18 1,72 70,0 1 SIM I 10 2 B 8 N
12 A F 18 1,66 54,0 3 NAO M 0 2 B 0 R
13 A F 21 1,70 58,0 2 NAO M 6 1 M 30 R
14 A M 19 1,78 68,5 1 SIM I 5 1 M 2 N
15 A F 18 1,65 63,5 1 NAO I 4 1 B 10 R
16 A F 19 1,63 47,4 3 NAO P 0 1 B 18 R
17 A F 17 1,82 66,0 1 NAO P 3 1 B 10 N
18 A M 18 1,80 85,2 2 NAO P 3 4 B 10 R
19 A F 20 1,60 54,5 1 NAO P 3 2 B 5 R
20 A F 18 1,68 52,5 3 NAO M 7 2 B 14 M
21 A F 21 1,70 60,0 2 NAO P 8 2 B 5 R
22 A F 18 1,65 58,5 1 NAO M 0 3 B 5 R
23 A F 18 1,57 49,2 1 SIM I 5 4 B 10 R
24 A F 20 1,55 48,0 1 SIM I 0 1 M 28 R
25 A F 20 1,69 51,6 2 NAO P 8 5 M 4 N
26 A F 19 1,54 57,0 2 NAO I 6 2 B 5 R
27 B F 23 1,62 63,0 2 NAO M 8 2 M 5 R
28 B F 18 1,62 52,0 1 NAO P 1 1 M 10 R
29 B F 18 1,57 49,0 2 NAO P 3 1 B 12 R
30 B F 25 1,65 59,0 4 NAO M 1 2 M 2 R
31 B F 18 1,61 52,0 1 NAO P 2 2 M 6 N
32 B M 17 1,71 73,0 1 NAO P 1 1 B 20 R
33 B F 17 1,65 56,0 3 NAO M 2 1 B 14 R
34 B F 17 1,67 58,0 1 NAO M 4 2 B 10 R
35 B M 18 1,73 87,0 1 NAO M 7 1 B 25 B
36 B F 18 1,60 47,0 1 NAO P 5 1 M 14 R
37 B M 17 1,70 95,0 1 NAO P 10 2 M 12 N
38 B M 21 1,85 84,0 1 SIM I 6 4 B 10 R
39 B F 18 1,70 60,0 1 NAO P 5 2 B 12 R
40 B M 18 1,73 73,0 1 NAO M 4 1 B 2 R
41 B F 17 1,70 55,0 1 NAO I 5 4 B 10 B
42 B F 23 1,45 44,0 2 NAO M 2 2 B 25 R
43 B M 24 1,76 75,0 2 NAO I 7 0 M 14 N
44 B F 18 1,68 55,0 1 NAO P 5 1 B 8 R
45 B F 18 1,55 49,0 1 NAO M 0 1 M 10 R
46 B F 19 1,70 50,0 7 NAO M 0 1 B 8 R
47 B F 19 1,55 54,5 2 NAO M 4 3 B 3 R
48 B F 18 1,60 50,0 1 NAO P 2 1 B 5 R
49 B M 17 1,80 71,0 1 NAO P 7 0 M 14 R
50 B M 18 1,83 86,0 1 NAO P 7 0 M 20 B
Fonte 1 (MAGALHÃES, M. N. AND LIMA, 2007)
3.3.1 Classificação de variáveis
Uma variável estatística pode ser classificada em dois grupos: métricas e não métricas.
As variáveis métricas, também conhecidas como quantitativas, são variáveis formadas por conjuntos
numéricos finitos ou infinitos. Se a variável representa um conjunto de valores enumeráveis, então se
denomina uma variável quantitativa discreta (exemplo: número de acidentes de trabalho em uma empresa,
número de imperfeições em uma peça fabricada, número de chegadas e saídas de aviões em um aeroporto,
número de grãos de areia em uma praia, número de automóveis que passam por um determinado trecho de
estrada). Se a variável representa um conjunto de valores provenientes de mensuração, então a variável é
quantitativa contínua (exemplo: volume ocupado por líquidos ou gases, extensão ou altura de um depósito,
tempo decorrido entre entregas de um produto, viscosidade de óleos, pressão, massa de um corpo, diâmetro
de uma esfera).
Já as variáveis não métricas, qualitativas, representam atributos dados a objetos, eventos da natureza,
intenções e desejos de uma pessoa. Quando os atributos de uma variável são ordenados, ou seja, apresentam
ordenação natural entre os resultados possíveis da variável, então a chamamos de variável qualitativa ordinal
(exemplos: Características de um jantar: muito bom, bom, regular, ruim ou muito ruim; Colocação de um
candidato em um vestibular: 1º colocado, 2º colocado, 3º colocado, ... , 40º colocado), caso contrário,
denominaremos variável qualitativa nominal (exemplo: respostas de um questionário simples com respostas:
sim, não, às vezes, frequentemente; nomes de pessoas, estados, cores, animais;
ATENÇÃO: RG, CPF, Título de Eleitor, RA – registro de aluno, são exemplos de variáveis qualitativas
nominais, pois são números que substituem os nomes das pessoas para os órgãos competentes, não se deve
atribuir o fato de ser um número e associá-lo a uma variável quantitativa, por isso). Pode-se também chamar
atenção às variáveis similares a Idade, idade é uma variável que representa tempo, e tempo é uma variável
quantitativa contínua, portanto mensurável, porém a idade quase sempre é tratada como uma variável
discreta, ou seja, um indivíduo tem 18 anos de idade, sem contabilizar os meses dias, horas, minutos e
segundos. Isso é perfeitamente permitido quando for o caso de aplicação.
variável
métrica
quantitativa
discreta contínua
não métrica
qualitativa
nominal ordinal
3.3.2 Tabelas de frequências
Entre as possibilidades que existem para organizar e resumir um conjunto de dados, a tabela de
frequências é uma das mais conhecidas. Nela estão contidas informações a respeito da variável em estudo: ou
representadas por (frequência simples, número de elementos na variável em estudo com a característica
destacada) ou por (ou – frequência relativa, representa o número de elementos com a característica
destacada relativa ao número total de elementos estudados,
) ou por (frequência relativa
acumulada representa a frequência relativa adicionada, uma a uma, entre as características ordenadas de uma
variável). Esses valores de frequências referem-se ao processo de contagem sobre a variável que contém a
característica definida em cada linha da tabela. É conveniente afirmar que cada tipo de variável, classificada
anteriormente (v. 3.3.1), deve estar representado em uma tabela de frequências de maneira adequada. Para
variáveis qualitativas só há necessidade de inclusão das frequências simples e relativa, pois a frequência
acumulada não possui significado prático. Já para as outras variáveis, quantitativas, deve-se acrescentar a
coluna para a frequência relativa acumulada.
Tabela 2 Tabela de frequências de uma variável qualitativa
sexo ni Fr fr %
feminino 37 0,74 74%
masculino 13 0,26 26%
Total 50 1,00 100% Fonte 2 (MAGALHÃES, M. N. AND LIMA, 2007)
O elemento mais importante na criação de tabelas de frequências é a oportunidade de demonstração
de bom senso do avaliador, o que permitirá transformar uma tabela de dados brutos em uma tabela de
frequências informativa é o conhecimento do público que receberá aquele resumo de dados, se é um
especialista em estatística, ou um empresário, um diretor financeiro ou uma dona de casa. Para cada público,
a riqueza de informações de uma tabela de frequências depende das escolhas do analista que produz esse
resumo de dados que pretende ser compreendido tanto por especialistas, financiadores de projetos ou mesmo
pessoas leigas em estatística.
Tabela 3 Tabela de frequências de uma variável quantitativa
idade ni fr fr % fac fac %
17 9 0,18 18% 0,18 18%
18 22 0,44 44% 0,62 62%
19 7 0,14 14% 0,76 76%
20 4 0,08 8% 0,84 84%
21 3 0,06 6% 0,90 90%
22 0 0 0% 0,90 90%
23 2 0,04 4% 0,94 94%
24 1 0,02 2% 0,96 96%
25 2 0,04 4% 1,00 100%
Total 50 1 100% - - Fonte 3 (MAGALHÃES, M. N. AND LIMA, 2007)
Outro elemento importante para a construção de tabelas de frequências para variáveis quantitativas
contínuas é a necessidade de construir intervalos, chamados intervalos de classe convenientes. Para isso, há
algumas regras práticas.
A regra suficiente é quando o pesquisador consegue adequar seus dados a intervalos que sejam
facilmente interpretados nas tabelas de frequências construídas. Além disso, qualquer leitor deve conseguir
identificar com facilidade o resumo informativo que representa cada tabela.
Como regra básica, se n é o tamanho da amostra, ou número de valores da variável em estudo, a
quantidade k (números de intervalos de classe) recomendada para a tabela de frequências será:
Ou
(Formula de Sturges)
Exemplo: Dada a variável peso, em kg, da Tabela 1, uma variável quantitativa contínua temos:
;
Em ambos os casos, utilizaremos 7 intervalos de classe. Assim, basta escolher um método apenas e
calcular o número de intervalos de classe, em geral, utiliza-se a fórmula de Sturges.
Sugere-se que o valor de k esteja entre 5 e 8 intervalos de classe, as exceções devem ser definidas pelo
analista de acordo com sua necessidade. Um exemplo disso é dado pela variável TV, da Tabela 1. Nesse
caso, o tempo dividido em períodos de 6 em 6 horas torna-se conveniente para compreensão do analista.
Além disso, há intervalos de 12 horas no fim da mesma tabela de frequências, e isso se deve a facilidade na
interpretação dos dados.
Tabela 4 Variável quantitativa contínua
TV ni fr fr % fac fac %
0|--6 14 0,28 28% 0,28 28%
6|--12 17 0,34 34% 0,62 62%
12|--18 11 0,22 22% 0,84 84%
18|--24 4 0,08 8% 0,92 92%
24|--36 4 0,08 8% 1,00 100%
Total 50 1 100% - - Fonte 4 (MAGALHÃES, M. N. AND LIMA, 2007)
Com o número de intervalos de classe pode-se agora encontrar a amplitude de cada classe, que
comumente é a mesma para todos os intervalos, mas é permitido que nos extremos, superior ou inferior,
sejam tratados intervalos com amplitudes diferentes dos intervalos centrais, como apresentado na Tabela 4.
A amplitude ( ) é calculada por:
Exemplo: Dos mesmos dados da variável peso do exemplo anterior tem-se:
Assim, uma forma para construir a tabela de frequências para essa variável pode ser:
Tabela 5 Tabela de frequências da variável PESO
peso ni fr fr % fac fac %
44,0|-- 51,3 10 0,2 20% 0,2 20%
51,3|-- 58,6 20 0,4 40% 0,6 60%
58,6|-- 65,9 6 0,12 12% 0,72 72%
65,9|-- 73,1 7 0,14 14% 0,86 86%
73,1|-- 80,4 1 0,02 2% 0,88 88%
80,4|-- 87,7 5 0,1 10% 0,98 98%
87,7|-- 95,0 1 0,02 2% 1 100%
TOTAL 50 1 100% - -
3.3.3 Ferramentas gráficas
Outro recurso bem conhecido em um resumo de dados estatísticos é a ferramenta gráfica, a qual, se
bem utilizada, pode organizar muito bem um conjunto de dados. Há alguns tipos comuns em análises
estatísticas: gráfico de setores circulares, gráfico de barras, gráfico de dispersão, gráfico de linhas (ou de
tendência), histograma e box-plot (diagrama de caixa). Assim como, para as tabelas de frequências, as
ferramentas gráficas dependem sensivelmente da habilidade, coerência e bom senso do analista.
i. Gráfico de setores circulares ou “pizza”, ou “torta”
O gráfico circular representa, em geral, uma variável qualitativa (ou quando associada a uma variável
quantitativa). Cada elemento chamado setor circular que compõem o gráfico circular representa uma
característica diferente. Essa característica pode ser representada, ou pela frequência relativa, ou pela
frequência simples. Há casos no cotidiano em que o gráfico circular pode representar como exemplos:
valores monetários, parcela de contribuição por certa região do país, quantidade de venda por funcionários.
Figura 1 Gráfico circular das receitas municipais das regiões de governo da região metropolitana do vale do Paraíba
Observação: Os gráficos de setores circulares são muito utilizados, porém para variáveis binárias, como
sexo – masculino ou feminino – como possíveis atributos, esse tipo de gráfico pode ser facilmente
substituído por um texto. Por exemplo: se em um grupo de pessoas, há 70% de mulheres, fica claro nessa
frase que 30% são homens. Não há necessidade de um gráfico para explicar isso ao leitor.
ii. Gráfico de barras – verticais ou horizontais
O gráfico de barras representa, em geral, uma variável qualitativa Ordinal, ou quantitativa discreta. É
claro, que apenas nos casos em que for conveniente e que a informação apresentada não crie dúvidas para o
próprio analista ou outra pessoa. Em seus eixos coordenados devem-se representar os valores da variável
estudada na abscissa (eixo x) e sua frequência relativa, ou frequência simples na ordenada (eixo y). Com
exceção, se for conveniente para o analista trocar as variáveis para facilitar a leitura e interpretação.
Figura 2 Gráfico de barras para variável idade do questionário estudantil
248.541.248; 5%
583.151.465; 13%
2.477.462.597; 53%
1.323.664.882; 29% Região de Governo de Cruzeiro
Região de Governo de Guaratinguetá
Região de Governo de São José dos Campos
Região de Governo de Taubaté
0%
5%
10%
15%
20%
25%
30%
35%
40%
45%
50%
17 18 19 20 21 22 23 24 25
iii. Gráfico de dispersão de dados
O gráfico de dispersão representa a associação entre duas variáveis quantitativas. Em geral, esse tipo
de gráfico está relacionado à variável tempo (minuto, segundo, hora, dias, meses, anos, séculos). É de fácil
interpretação, principalmente se o interesse é identificar se há alguma nuvem de pontos evidente entre o
conjunto de dados.
Figura 3 Gráfico de dispersão entre variável peso e a altura dos alunos
Figura 4 Gráfico de dispersão entre variável peso e a altura dos alunos – por sexo
Observação: Note que na Figura 3 a dispersão de dados fica menos significativa, porém quando destacamos
o sexo do indivíduo, percebe-se uma clara diferença entre os sexos, na Figura 4.
iv. Gráfico de linhas de tendências
O gráfico de linhas de tendências representa a associação entre duas variáveis quantitativas. Assim,
como o gráfico de dispersão, pode definir ao longo de um período a existência (ou não) de tendência da
variável estudada.
Figura 5 Gráfico de dispersão da variável ano versus número de habitantes da região metropolitana do vale do Paraíba
Figura 6 Gráfico de linhas de tendências da população da região metropolitana do vale do Paraíba
v. Histograma
O histograma é um tipo de gráfico de barras, porém há um detalhe poucas vezes estudado e pode ser
mais bem entendido:
Um gráfico de barras associa os valores de uma variável a sua frequência relativa, isto é, um
eixo cartesiano (abscissa) é composto por valores da variável estudada e o outro (ordenada)
pela frequência relativa, ou frequência simples.
Para esse gráfico não há necessidade da variável ser tratada em intervalos de classes, observe
o exemplo da Figura 2, e sua área não representa significado. A sua analogia básica ao
histograma diz respeito a sua forma que pode ser a mesma apresentada em um histograma.
Assim, o histograma relaciona a área sobre um de seus intervalos de classe ao valor de sua
frequência relativa, ou seja, a altura de cada retângulo não será representada pela frequência relativa e, sim,
por um valor chamado densidade.
A densidade representará o eixo das ordenadas e a abscissa será composta por intervalos de classe
predefinidos em uma tabela de frequências.
Tabela 6 Tabela de frequências da variável de potássio no sangue de uma pessoa
Nível de K ni fr fr % fac fac % d
2,25|-- 2,55 1 0,048 4,8% 0,048 4,8% 0,159
2,55|-- 2,75 3 0,143 14,3% 0,190 19,0% 0,714
2,75|-- 2,95 2 0,095 9,5% 0,286 28,6% 0,476
2,95|-- 3,15 4 0,190 19,0% 0,476 47,6% 0,952
3,15|-- 3,35 5 0,238 23,8% 0,714 71,4% 1,190
3,35|-- 3,65 6 0,286 28,6% 1,000 100,0% 0,952
Total 21 1 100,0%
Figura 7 Histograma da variável nível de potássio no sangue de uma pessoa
Do aspecto computacional, os softwares praticamente não se preocupam com o valor da densidade
de área, porém para o analista isso deve ser tomado uma atenção especial.
vi. Gráfico de Pareto
O gráfico de Pareto é uma representação das atividades mais frequentes em um conjunto de dados, e
é mais comum quando se trata uma variável qualitativa, de forma a sinalizar oportunidades de melhoria na
variável estudada. O exemplo da Figura 8 produz o efeito de que a tolerância ao cigarro é pouco aceita entre
os estudantes, e de forma decrescente estão as pessoas que toleram muito e os indiferentes. É nesse sentido
que o gráfico de Pareto sinaliza as oportunidades de mudanças ou melhorias em algumas análises na área de
produção.
0,000
0,200
0,400
0,600
0,800
1,000
1,200
1,400
[2,25; 2,55] [2,55; 2,75] [2,75;2,95] [2,95;3,15] [3,15;3,35] [3,35;3,65]
A densidade (d) foi calculada para cada
intervalo de classe como o ex. do
primeiro intervalo.
Observe que alguns intervalos possuem
amplitudes diferentes entre si.
Figura 8 Gráfico de Pareto associado a tolerância ao cigarro por parte dos alunos do questionário estudantil
vii. Diagrama de caixas – Box plot
O Box plot é um tipo de gráfico muito útil para representar a dispersão de um conjunto de dados. A
variável estudada deve ser numérica, ou seja, quantitativa Discreta ou Contínua. Além disso, o Box plot
apresenta algumas medidas de tendência central que podem auxiliar a resumir um conjunto de dados ou
explicar as características de uma variável, como exemplo, temos os valores quartis. É importante observar
que esse tipo de gráfico só será construído se a variável for Contínua, ou ainda, se a variável for Discreta e
tratada através do uso de intervalos de classe.
Figura 9 Diagrama de caixas da variável altura – comparação entre sexos
Para construir um diagrama de caixas devem-se tomar as seguintes medidas como referências:
Variável quantitativa discreta
Os 1º e 3º quartis poderão ser encontrados a partir do 2º quartil, pois o analista saberá o número
de elementos inferior ou superior ao 2º quartil, assim buscará as suas metades inferior e superior
para definir o 1º e o 3º quartil.
Variável quantitativa contínua
tal que é dado por:
Nesse caso o valor a representará o limite inferior do retângulo a que pertence o quartil, no
caso da Figura 10, o 1º quartil deve estar no terceiro retângulo do histograma.
Se observar a Tabela 6, verifica-se o mesmo fato, na coluna da frequência relativa
acumulada, ou seja, no seu terceiro intervalo de classe, deverá estar presente o 1º quartil, pois
essa frequência é a primeira superior a 25%.
Ainda por meio da tabela, o valor a será o limite inferior do mesmo intervalo de classe, logo
igual a 2,75, pode ser determinado pela diferença entre 25% e a do intervalo de classe
imediatamente inferior, no caso, 19%. Assim, . Como a densidade
para cada intervalo de classe já foi calculada previamente, pode-se calcular:
Figura 10 Definição de fQ no cálculo de Qi
Os limites de definição das discrepâncias serão:
Ou quando for o caso, devem-se tomar os valores probabilísticos para a média e o desvio padrão da
variável para:
, é a média e σ é o desvio padrão da variável estudada.
Como parte das interpretações destaca-se o exemplo na Figura 9:
O grupo masculino apresenta maiores alturas entre os alunos do questionário.
Dentro do grupo feminino há dois eventos discrepantes (outliers), elementos 17 e 42. Isso
significa que a maior homogeneidade do grupo não inclui esses elementos. O que não ocorre no
grupo masculino.
A dispersão de dados do grupo masculino é maior dentro do seu intervalo interquartil ( )
do dentro do grupo feminino.
4 Medidas resumo
4.1 Introdução
As medidas resumo pertencem ao grupo de ferramentas matemáticas que permitem caracterizar um
conjunto de dados quanto ao ponto de vista da tendência central ou da dispersão dos dados estudados. Isso
quer dizer, são ferramentas que exibem a relação existente entre os dados coletados em uma pesquisa
estatística e pode ser mais bem explicada – pelo analista – com o conhecimento do ambiente de análise e das
diferentes perturbações que podem alterar o comportamento das características estudadas tais como:
equipamentos, métodos de trabalho, interpretações na leitura de medições, alterações ambientais, recursos
econômicos e aspectos físicos limitados. As ferramentas selecionadas para representar essas técnicas são:
média, moda, mediana, variância, amplitude, desvio padrão, erro padrão, assimetria, curtose, coeficiente de
variação. E, aqui serão caracterizadas segundo as suas aplicações possíveis e discutidas quando são mal
utilizadas em uma análise estatística.
4.2 Medidas de posição ou de tendência central
A teoria estatística permite que muitas decisões, sobre eventos do cotidiano, sejam tomadas em
comparação a situações simples em que todos podem presenciar.
Exemplo 3.1: Coloque-se em uma fila de espera (em agências bancárias, em campos de futebol, em um
Shopping Center, em estacionamentos, em agências públicas de atendimento) – é possível que todos tenham
alguma noção do tempo que poderá aguardar até serem atendidos, alguns podem ser otimistas, outras pessoas
nem tanto. Certamente, não há em nenhuma hipótese um quadro de resultados de espera disponível, ou
mesmo um gráfico informando, conforme o horário de chegada à fila, que indique o tempo previsto para ser
atendido. Para isso, justifica-se o uso de ferramentas que possam resumir e em muitas vezes coincide com o
conhecimento prático observado por todos que são submetidos a essas situações.
4.2.1 Moda, mediana e média
i. Moda (mo)
A moda é uma ferramenta que representa o elemento mais frequente no conjunto de dados. Em muitos
casos, a moda pode ser representada por mais de um elemento, se isso representar dois casos mais frequentes
do que outro, diz-se que o conjunto apresenta dois valores de moda, ou seja, o conjunto é bimodal. Se há
mais elementos na mesma situação, diz-se um conjunto multimodal. Na situação em que não há um elemento
mais frequente diz-se que o conjunto é amodal.
Exemplo: Foi observado o número de peças defeituosas em 20 lotes (com 100 peças cada) na produção
de peças automotivas. Considerou-se que X representa o número de peças com algum tipo de imperfeição e
construiu-se a seguinte tabela:
Tabela 7 Tabela de frequências do número de peças com algum tipo de imperfeição em 20 lotes
X ni fr fr % fac fac %
12 1 0,05 5% 0,05 5%
13 7 0,35 35% 0,4 40%
14 8 0,4 40% 0,8 80%
15 4 0,2 20% 1 100%
Total 20 1 100%
Nesse exemplo o elemento de maior frequência simples (ou relativa) é X=14, isso representa que entre
esses 20 lotes (com 100 peças cada) a moda é igual a 14, ou seja, há 8 lotes com 14 peças com algum tipo de
imperfeição.
ii. Mediana (md)
A mediana representa o elemento que ocupa a posição central dos dados ordenados (rol). É também,
conhecida como segundo quartil (Q2), isto é, o maior valor dos 50% menores valores, ou ainda, o menor
valor dos 50% maiores valores. É calculada exatamente como o segundo quartil (v. diagramas de caixa –
box plot).
iii. Média ( )
A média é uma das ferramentas mais utilizadas na análise estatística, em muitos casos, confundida com
os conceitos de mediana e moda. A média é definida como a soma de todos os elementos do conjunto de
dados avaliados dividido pelo número total de observações.
Em termos práticos, a média é o valor esperado para um conjunto de dados, ou ainda, se há um
elemento que pode substituir e representar o conjunto amostral, ele então será dado pela média.
Observação: Geralmente, é uma ferramenta que é mal interpretada, em função da conclusão errônea de
que o elemento central é dado pela média. Um cuidado com as conclusões sobre os efeitos causados pelo uso
incorreto do valor médio deve ser considerado crucial na análise estatística.
Os softwares estatísticos apresentam resumos de dados completos, dos quais podemos definir esses
valores de medidas de posição de forma bem simples.
iv. Separatrizes – valores quantis
Os valores quantis são medidas que limitam um conjunto de dados em pontos específicos e são
utilizados para explicar a dispersão ou mesmo de posição em um conjunto de dados. Entre eles existem os
decis (10%, 20%, 30%,...,80%, 90%), percentis (1%, 2%, 3%, 4%, 5%,..., 10%,..., 98%, 99%), quartis (25%,
50%, 75%)
Os elementos quartis representam valores de ordem definidos por 25%, 50% ou 75%. Eles assumem
valores de posição dados por:
= 1º Quartil = Maior valor entre os 25% menores valores do conjunto de dados.
= 2º Quartil = Maior valor entre os 50% menores valores do conjunto de dados (Mediana).
= 3º Quartil = Maior valor entre os 75% menores valores do conjunto de dados.
O significado de um elemento quartil é dado principalmente pela noção de dispersão dos dados.
Se esses valores são próximos significa pouca dispersão entre os valores centrais.
Se é igual a então se pode afirmar que há uma simetria entre os valores
centrais da variável estudada.
Se é diferente de então se pode afirmar que há um deslocamento dos
valores da variável, sempre com tendência a uma maior dispersão onde a diferença entre
é maior.
4.3 Medidas de dispersão
4.3.1 Amplitude (
A amplitude é definida pela diferença entre o valor máximo e o valor mínimo do conjunto de dados
avaliados.
O uso dessa ferramenta permite que o analista perceba a dispersão dos dados de maneira simples, porém
é uma ferramenta que não define a relação existente entre os diferentes valores que estão presentes entre o
valor máximo e o mínimo. A amplitude é extremamente sensível na presença de valores discrepantes em um
conjunto de dados. Para isso insere-se o cálculo da variância e do desvio padrão para tentar explicar o
comportamento de dispersão dos dados centrais.
4.3.2 Variância populacional ( )
A variância populacional é definida como a média das distâncias quadráticas existentes entre cada
observação em relação à média. É definida por:
ou
Observação: Cuidado com o uso do valor da variância, afinal o seu valor físico é sempre diferente da unidade
física das observações.
4.3.3 Variância amostral ( )
A variância amostral é aplicada a problemas em que uma amostra da população é apresentada e
pretende-se estudar e estimar as características de dispersão da sua população.
ou
4.3.4 Desvio padrão ( )
O desvio padrão é um elemento importante para definição da relação existente entre os diferentes
valores em um conjunto de dados. Ele permite que a discussão sobre a variabilidade dos dados ocorra na
unidade em que os dados são apresentados, assim os termos relacionados ao desvio do conjunto de dados em
relação à média será dado pelo valor de . Observação: o mesmo ocorre com o desvio padrão amostral.
Um resultado importante para o uso do desvio padrão é a relação existente entre o conjunto de dados e o
valor da média:
i. Se os valores estão a um desvio padrão distantes da média, então se pode afirmar que a incerteza, em
torno da média, está em 68,26%.
ii. Se os valores estão a dois desvios padrões distantes da média, então se pode afirmar que a incerteza
em torno da média está em 95,45%. Esse valor é muito aplicado em estudos sobre variáveis quantitativas
contínuas, especialmente, as mensuráveis.
4.3.5 Coeficiente de variação
O coeficiente de variação é o valor encontrado pela divisão do desvio padrão (amostral ou populacional)
pela sua média. Esse valor permite uma medida comparativa entre duas ou mais distribuições. A distribuição
que apresentar o menor valor de CV é a que possui menor dispersão entre os seus valores.
Na prática, considera-se uma distribuição com baixa dispersão quando o coeficiente de variação for
menor ou igual a 10%; dispersão moderada quando o coeficiente de variação for maior que 10% e menor ou
igual a 20% e alta dispersão quando for superior a 20%.
Exemplo: Os retornos mensais dos investimentos A e B durante os últimos seis meses estão apresentadas na
tabela seguinte. Qual dos dois investimentos apresentou maior dispersão?
Tabela 8 Retornos mensais dos investimentos A e B
A B
5% 6%
9% 7%
15% 9%
12% 7%
9% 6%
6% 8%
MÉDIA 9,33% 7,17%
DESVIO PADRÃO 3,7% 1,2%
CV 39,9% 16,3%
Daí, conclui-se que o investimento A apresenta maior variabilidade do que B. Pois o CV do
investimento A é maior do que o CV do investimento B.
4.3.6 Teorema de Tchebyschev
Para qualquer grupo de valores de uma amostra ou população, a proporção mínima de valores que se
encontram dentro de k desvios padrões ao redor da média é pelo menos igual a
, sendo k uma
constante maior que um.
4.3.7 Curtose(K)
A medida de curtose apresenta o grau de achatamento da distribuição de frequências em relação à
curva normal [Gaussiana!].
4.3.8 Assimetria (As)
As medidas de assimetria medem o deslocamento da distribuição de frequências em relação aos seus
valores centrais. Há dois métodos conhecidos:
i. Coeficiente de assimetria de Pearson
ii. Coeficiente de assimetria de Bowley
5 Análise combinatória
5.1 Princípio fundamental de contagem
Suponha que dois experimentos sejam executados. Então, se o primeiro experimento pode ocorrer em
alguma de m possibilidades e, se para cada resultado do experimento 1 existem n possibilidades de
ocorrências do segundo experimento, então existem, quando ocorrem juntos, possibilidades dos dois
experimentos ocorrerem.
Exemplo. Uma pequena comunidade possui 10 mulheres, cada qual possui três filhos. Se uma mulher
e uma de suas crianças são escolhidas como “mãe e filho do ano”. Quantas possibilidades de escolhas
diferentes existem?
Resposta.
5.2 Princípio fundamental de contagem generalizado
Se existirem k procedimentos sendo executados e o i-ésimo procedimento puder ser executado de
maneiras, , então o procedimento formado pelo procedimento k poderá ser executado de
maneiras.
Exemplo 2. Um comitê escolar consiste de três novatos, quatro do 2º semestre, cinco do 3º semestre e dois
do 4º semestre. Um subcomitê de quatro elementos, consistindo de um elemento de cada semestre é
escolhido. Quantos subcomitês diferentes podem ser formados?
Resposta.
Exemplo 3. Quantas licenças de placas de carro são possíveis existir, quando há sete posições em cada
placa, das quais as três primeiras são letras e as quatro últimas são números?
Exemplo 4. Se, no Exemplo 3, não pudéssemos repetir as letras e os números quantas possibilidades
existiriam?
5.3 Permutação
Quantos arranjos ordenados diferentes podem ser formados com as letras A, B, C?
ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA
Cada arranjo desses é conhecido por permutação. Então, para três elementos têm-se seis possibilidades.
Suponha um arranjo ordenado formado por n objetos, nesse caso haverá
permutações diferentes dos n objetos.
Exemplo 5. Quantas são as possibilidades diferentes para organizar um time de baseball, o qual consiste de
nove jogadores?
OBS: Quando tomamos permutações em que há ao menos uma repetição entre os elementos, utilizaremos a
divisão:
Nesse caso quando houver k elementos com ao menos uma repetição com elementos.
Exemplo 6. Quantos anagramas podem ser formados com as letras:
a. PARE
b. SOFIA
c. CARAMELADA
d. PARAIBUNA
6 Probabilidades
Algumas ocorrências de nosso cotidiano de certos fenômenos naturais não podem ser previstos
antecipadamente. Há nessas ocorrências o interesse em estudar a intensidade de chuvas em uma determinada
região do país, durante o verão; ocorrências de acidentes de trabalho, execução de manutenções corretivas,
estimativas de crescimento econômico, índices sociais. Como também podemos citar a previsão do tempo de
vida útil de equipamentos, dos quais inserimos algumas medidas de incerteza para caracterizar estes eventos.
A estes fenômenos cujos resultados não podem ser previstos com total precisão, chamamos de fenômenos
aleatórios.
6.1 Teoria de conjuntos
6.1.1 Espaço Amostral e Eventos
Ao conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento será chamado de espaço amostral
do experimento e, é comumente denotado por S ou .
Para qualquer subconjunto de denominaremos como evento e representaremos por E.
Exemplo:
i. Quando apresentamos as possibilidades de sexo de uma criança ao nascer:
= {Masculino, Feminino}
ii. Quando lançamos uma moeda e apresentamos as suas possibilidades de ocorrências:
= {Cara, Coroa}
Exercício:
1. Para cada um dos casos a seguir, escreva o espaço amostral correspondente e conte seus elementos:
a. Uma moeda é lançada duas vezes e observam-se as faces obtidas.
Resposta {(K, K), (K, C), (C, K), (C, C)}
b. Uma urna contém 10 bolas azuis e 10 vermelhas com dimensões rigorosamente iguais. Três
bolas são selecionadas ao acaso com reposição e as cores são anotadas.
Resposta. {(A, A, A), (A, A, V), (A, V, A), (V, A, A), (A, V, V), (V, A, V), (V, V, A), (V,
V, V)}.
c. Dois dados são lançados simultaneamente e estamos interessados na soma das faces
observadas.
Resposta. {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}
Observações:
Chamamos o conjunto de conjunto vazio, ou seja, o conjunto que não apresenta nenhum elemento
contido nele.
Chamamos o evento EC de evento complementar, formado por todos os elementos, se existirem, que
não pertencem ao evento E.
Para quaisquer dois eventos E e F pertencentes a um mesmo espaço amostral, então definiremos o
evento como a união de E e F a qual consiste de todos os elementos que estão ou em F ou em
E ou em ambos os conjuntos.
é a interseção de E e F, que consiste dos resultados que estão em E e em F (ao mesmo tempo).
Se , então E e F são ditos ser eventos mutuamente exclusivos, ou disjuntos.
6.1.2 Identidades:
e.
f.
g.
h.
i.
j.
k.
l.
6.1.3 Leis de De Morgan
6.1.4 Axiomas de probabilidade:
Isso quer dizer, quando o número de casos possíveis de um evento E sobre o número total de
possibilidades tende a um valor constante, então chamaremos de probabilidade do evento E. Para:
Axioma 1:
Axioma 2:
Axioma 3: Para uma sequencia de eventos mutuamente exclusivos (isto é,
eventos tais que a interseção entre si é igual ao conjunto vazio) temos:
Proposição 1:
Proposição 2: Se então
Proposição 3:
6.1.5 Probabilidade condicional e independência
Definição 1: Se então
Observação: É importante verificar que a condição é evidenciada pelo termo “sabendo-
se”, o qual também poderá ser “dado que” ou “visto que” ou “se”.
Definição 2: Se E e F são eventos independentes então
Observação: nesse caso a definição 1é dada por: , pois E é independente
de F.
6.1.6 Exercícios:
1. Sejam A e B dois eventos em um dado espaço amostral, tais que , ,
e . Determine o valor de p.
2. 2. Uma universidade tem 10 mil alunos dos quais 4 mil são considerados esportistas. Temos, ainda,
que 500 são alunos do curso de biologia diurno, 700 da biologia noturno, 100 são esportistas e da
biologia diurno e 200 são esportistas e da biologia noturno. Um aluno é escolhido, ao acaso, e
pergunta-se a probabilidade de:
a. Ser esportista.
b. Ser esportista e aluno da biologia noturno.
c. Não ser da biologia.
d. Ser esportista ou aluno da biologia.
e. Não ser esportista, nem aluno da biologia.
3. Dois dados equilibrados são lançados. Calcule a probabilidade de:
a. Obter o par (3,4), sabendo-se que ocorreu face ímpar no primeiro dado.
b. Ocorrer face ímpar no segundo dado, sabendo-se que ocorreu face par no primeiro dado.
4. Em um bairro existem três empresas de TV a cabo e 20 mil residências. A empresa TA tem 2100
assinantes, a TB tem 1850 e a empresa TC tem 2600 assinantes, sendo que algumas residências em
condomínios subscrevem aos serviços de mais de uma empresa. Assim, temos 420 residências que
são assinantes de TA e TB, 120 de TA e TC, 180 de TB e TC e 30 que são assinantes das três
empresas. Se uma residência desse bairro é sorteada ao acaso, qual é a probabilidade de?
a. Ser assinante somente da empresa TA?
b. Assinar pelo menos uma delas?
c. Não ter TV a cabo?
5. A urna 1 contém x bolas brancas e y bolas vermelhas. A urna 2 contém z bolas brancas e v bolas
vermelhas. Uma bola é escolhida ao acaso da urna 1 e posta na urna 2. A seguir, uma bola é
escolhida ao acaso da urna 2. Qual será a probabilidade de que esta bola seja branca?
6. Suponha que A e B sejam eventos independentes associados a um experimento. Se a probabilidade
de A ou B ocorrerem for igual a 0,6, enquanto a probabilidade da ocorrência de A for igual a 0,4,
determine a probabilidade da ocorrência de B.
7. Suponha que temos duas urnas 1 e 2, cada uma com duas gavetas. A urna 1 contém uma moeda de
ouro em uma gaveta e uma moeda de prata em outra gaveta; enquanto a urna 2 contém uma moeda
de ouro em cada gaveta. Uma urna é escolhida ao acaso; a seguir uma de suas gavetas é aberta ao
acaso. Verifica-se que a moeda encontrada nessa gaveta é de ouro. Qual a probabilidade de que a
moeda provenha da urna 2?
8. Um saco contém três moedas, uma das quais foi cunhada com duas caras, enquanto as duas outras
moedas são normais e não viciadas. Uma moeda é tirada ao acaso do saco e jogada quatro vezes, em
sequencia. Se sair cara toda vez, qual será a probabilidade de que essa seja a moeda de duas caras?
9. Um número binário é constituído apenas dos dígitos zero e um. (Por exemplo, 1011, 1100,…) Esses
números têm importante papel na utilização de computadores eletrônicos. Suponha que um número
binário seja formado de n dígitos. Suponha que a probabilidade de um dígito incorreto aparecer seja
p e que os erros em diferentes dígitos sejam independentes uns dos outros. Qual será a probabilidade
de formar-se um número incorreto?
10. Um dado não viciado é lançado n vezes. Qual é a probabilidade de que o “6” apareça ao menos uma
vez em n jogadas?
11. Cada uma de duas pessoas joga três moedas equilibradas. Qual é a probabilidade de que elas
obtenham o mesmo número de caras?
12. Uma montagem eletrônica é formada de dois subsistemas A e B. De procedimentos de ensaio
anteriores, as seguintes probabilidades se admitem conhecidas:
Calcule as
seguintes probabilidades:
a.
b.
13. Um dado é lançado e, independentemente, uma carta é extraída de um baralho completo (52 cartas).
Qual será a probabilidade de que:
a. O dado mostre um número par e a carta seja de um naipe vermelho?
b. O dado mostre um número par ou a carta seja de um naipe vermelho?
14. Dois dados não viciados são lançados. Qual é a probabilidade condicional de que no mínimo uma
das faces seja o número 6 dado que as faces são números diferentes?
15. Se dois dados não viciados são lançados, qual é a probabilidade condicional de que a primeira face
seja o número 6 dado que a soma das faces é igual a i? Calcule para todos os valores possíveis de i.
16. Se dois dados não viciados são lançados, qual é a probabilidade condicional de que pelo menos uma
das faces seja o número 6 dado que a soma das faces é i?
17. Uma urna contém 6 bolas brancas e 9 bolas pretas. Se 4 bolas são selecionadas ao acaso sem
reposição, qual é a probabilidade de que as duas primeiras bolas selecionadas sejam brancas e as
duas últimas bolas pretas?
18. Considere três urnas. A urna A contém 2 bolas brancas e 4 vermelhas; a urna B contém 8 bolas
brancas e 4 vermelhas; e a urna C contém uma branca e três vermelhas. Se uma bola é selecionada
de cada urna, qual é a probabilidade de que a bola escolhida a partir da urna A seja branca, dado que
exatamente duas bolas brancas foram selecionadas?
19. Em certa comunidade, 36% das famílias possuem um cachorro, e 22% das famílias que possuem um
cachorro também possuem um gato. Além disso, 30% das famílias possuem um gato. Qual é:
a. A probabilidade de que uma família selecionada ao acaso tenha ambos, um gato e um
cachorro?
b. A probabilidade condicional de que uma família selecionada ao acaso tenha um cachorro
dado que possui um gato?
20. Dos eleitores de uma cidade 46% são classificados como Independentes, e 30% são classificados
como Liberais e 24% como Conservadores. Em recente eleição, 35% dos Independentes, 62% dos
Liberais e 58% dos Conservadores votaram. Um eleitor é escolhido ao acaso. Dado que esta pessoa
votou nessa eleição, qual é a probabilidade de que ele ou ela sejam:
a. Um Independente?
b. Um Liberal?
c. Um Conservador?
d. Qual a parcela de eleitores que participaram dessa eleição?
21. Cinquenta e dois por cento dos estudantes de uma universidade são mulheres. Cinco por cento dos
estudantes dessa universidade fazem Ciência da Computação. Dois por cento são mulheres que
fazem Ciência da Computação. Se um estudante é selecionado ao acaso, encontre a probabilidade
condicional de que:
a. Este estudante seja mulher, dado que o estudante faz Ciência da Computação?
b. Este estudante faça Ciência da Computação, dado que o estudante é mulher?
22. Uma moeda é viciada de modo que a probabilidade de sair cara é 4 vezes maior que a de sair coroa.
Para dois lançamentos independentes dessa moeda, determinar:
a. O espaço amostral.
b. A probabilidade de sair somente uma cara.
c. A probabilidade de sair pelo menos uma cara.
d. A probabilidade de dois resultados iguais.
23. Considere um conjunto de 4 números dos quais nenhum deles é zero, dois são positivos e dois são
negativos. Sorteamos ao acaso, com reposição, 2 números desse conjunto. Determine a
probabilidade de:
a. Somente um deles ser negativo.
b. O quociente ser negativo.
c. Os dois números terem o mesmo sinal.
24. Uma classe de estatística teve a seguinte distribuição das notas finais: 4 do sexo masculino e 6 do
feminino foram reprovados, 8 do sexo masculino e 14 do feminino foram aprovados. Para um aluno
sorteado dessa classe, denote por M se o aluno escolhido for do sexo masculino e por A se o aluno
foi aprovado. Calcule:
a.
b.
c.
d.
e.
25. Numa cidade do interior de São Paulo, estima-se que cerca de 20% dos habitantes tem algum tipo de
alergia. Sabe-se que 50% dos alérgicos praticam esporte, enquanto que essa porcentagem entre os
não alérgicos é de 40%. Para um indivíduo escolhido aleatoriamente nessa cidade, obtenha a
probabilidade de:
a. Não praticar esporte.
b. Ser alérgico dado que não pratica esporte.
26. As preferências de homens e mulheres, por gênero de filme alugado em uma locadora de vídeos,
estão apresentadas na próxima tabela.
Sexo/Filme Comédia Romance Policial
Homens 136 92 248
Mulheres 102 195 62
Sorteando-se, ao acaso, uma dessas locações de vídeo, pergunta-se a probabilidade de:
a. Uma mulher ter alugado um filme policial?
b. O filme alugado ser uma comédia?
c. Um homem ter alugado ou o filme ser um romance? IO
d. O filme ser policial dado que foi alugado por um homem?
27. Das pacientes de uma Clínica de Ginecologia com idade acima de 40 anos, 60% são ou foram
casadas e 40% são solteiras. Sendo solteira, a probabilidade de ter tido um distúrbio hormonal no
último ano é de 10%, enquanto que para as demais essa probabilidade aumenta para 30%. Pergunta-
se:
a. Qual a probabilidade de uma paciente escolhida ao acaso ter um distúrbio hormonal?
b. Se a paciente sorteada tiver distúrbio hormonal, qual a probabilidade de ser solteira?
c. Se escolhermos duas pacientes ao acaso e com reposição, qual é a probabilidade de pelo
menos uma ter o distúrbio?
28. Você entrega a seu amigo uma carta, destinada a sua namorada, para ser colocada no correio.
Entretanto, ele pode se esquecer com probabilidade 0,1. Se não se esquecer, a probabilidade de que o
correio extravie a carta é de 0,1. Finalmente, se foi enviada pelo correio a probabilidade de que a
namorada não a receba é de 0,1.
a. Sua namorada não recebeu a carta, qual a probabilidade de seu amigo esquecer-se de colocá-
la no correio?
b. Avalie as possibilidades de esse namoro continuar, se a comunicação depender das cartas
enviadas.
29. Numa região, a probabilidade de chuva em um dia qualquer de primavera é de 0,1. Um
meteorologista da TV acerta suas previsões em 80% dos dias em que chove e em 90% dos dias em
que não chove.
a. Qual é a probabilidade do meteorologista acertar a sua previsão?
b. Se houve acerto na previsão feita, qual a probabilidade de ter sido um dia de chuva?
30. A tabela a seguir apresenta informações de alunos de uma universidade quanto às variáveis: Período,
Sexo, Opinião sobre a Reforma Agrária. Determine a probabilidade de escolhermos:
a. Uma pessoa do sexo masculino e sem opinião sobre a reforma agrária?
b. Uma mulher contrária a reforma agrária?
c. Dentre os estudantes do noturno, um que seja a favor da reforma agrária?
d. Uma pessoa sem opinião, sabendo-se que ela é do sexo feminino?
Período Sexo Reforma Agrária
Contra A Favor Sem opinião
Diurno Feminino 2 8 2
Masculino 8 9 8
Noturno Feminino 4 8 2
Masculino 12 10 1
31. Três candidatos disputam as eleições para o Governo do Estado. O candidato do partido de direita
tem 30% da preferência eleitoral, o de centro tem 30% e o de esquerda 40%. Sendo eleito, a
probabilidade de dar prioridade para Educação e Saúde é de 0,4; 0,6 e 0,9 para os candidatos de
direita, centro e esquerda, respectivamente.
a. Qual é a probabilidade de não ser dada prioridade a essas áreas no próximo governo?
b. Se a área teve prioridade, qual a probabilidade do candidato de direita ter sido eleito?
32. A tabela a seguir apresenta dados dos 1000 ingressantes de uma universidade, com informações
sobre área de estudo e classe sócio econômica.
Se um aluno ingressante é escolhido ao acaso, determine a probabilidade de:
a. Ser da classe econômica mais alta.
b. Estudar na área de exatas.
c. Estudar na área de humanas, sendo de classe média.
d. Ser da classe baixa, dado que estuda na área de biológicas.
33. Numa população, a probabilidade de gostar de teatro é 1/3, enquanto que a de gostar de cinema é ½.
Determine a probabilidade de gostar de teatro e não de cinema, nos seguintes casos:
a. Gostar de teatro e gostar de cinema são eventos disjuntos.
b. Gostar de teatro e gostar de cinema são eventos independentes.
c. Todos que gostam de teatro gostam de cinema.
d. A probabilidade de gostar de teatro e de cinema é 1/8.
e. Dentre os que não gostam de cinema, a probabilidade de não gostar de teatro é ¾.
34. Acredita-se que numa população, 20% de seus habitantes sofrem de algum tipo de alergia, e são
classificados como alérgicos para fins de saúde pública. Sendo alérgico, a probabilidade de ter
reação a certo antibiótico é de 0,5. Para os não alérgicos essa probabilidade é de apenas 0,05. Uma
pessoa dessa população teve reação ao ingerir o antibiótico, qual a probabilidade de?
a. Ser do grupo não alérgico?
b. Ser do grupo alérgico?
35. Uma família viaja ao litoral para passar um fim de semana. A probabilidade de congestionamento na
estrada é de 0,6. Havendo congestionamento, a probabilidade dos seus dois filhos brigarem no carro
de 0,8 e, sem congestionamento, a briga pode aparecer com probabilidade 0,4. Quando há briga, com
ou sem congestionamento, a probabilidade do pai perder a paciência com os filhos é de 0,7. É claro
que havendo congestionamento o pai pode perder a paciência com os filhos mesmo sem brigas, o
que aconteceria com probabilidade 0,5. Quando não há congestionamento, nem briga, o pai dirige
tranquilo e não perde a paciência. Determine a probabilidade de:
a. Não ter havido congestionamento se o pai não perdeu a paciência com seus filhos.
b. Ter havido briga, dado que o pai perdeu a paciência.
c. Quatro sinais de radio são emitidos sucessivamente. Se a recepção de cada um for
independente da recepção de outro, e se essas probabilidades forem, 0.1, 0.2, 0.3, 0.4,
respectivamente, calcule a probabilidade de que k sinais venham a ser recebidos para k=0, 1,
2, 3, 4.
36. Numa sala com 15 pessoas, quantas amostras (de 15 pessoas) com a condição de que todas elas
tenham nascido em dias diferentes podem ser formadas? Assuma que o ano tem 365 dias.
37. Uma professora distribui para classe um conjunto de dez problemas, sendo que o exame final
consistirá de uma seleção aleatória de cinco desses problemas. Se um aluno tiver resolvido
corretamente sete problemas, qual a probabilidade de que:
a. Ele consiga nota máxima no exame.
b. Ele consiga acertar pelo menos quatro problemas no exame.
38. Uma urna contém duas bolas brancas e três bolas vermelhas. Duas bolas são extraídas ao acaso, em
sequencia, e suas cores são registradas.
a. Calcule a probabilidade de que a segunda bola escolhida seja branca, dado que a primeira
escolhida é vermelha.
b. Calcule a probabilidade de que a segunda bola escolhida seja vermelha, dado que a primeira
escolhida é vermelha.
c. Há diferença se as retiras ocorrerem com ou sem reposição? Explique.
39. Sejam A e B eventos independentes tais que a
.
Calcule:
.
40. Considere um experimento em que um dado não viciado é lançado e, independentemente, uma
moeda não viciada é lançada.
a. Escreve o espaço amostral.
b. Qual é a probabilidade de que a face da moeda seja Cara e apareça um número ímpar na face
do dado?
c. Se ocorrer um número par na face do dado, qual a probabilidade de que ocorra uma coroa na
face da moeda?
41. Suponha que uma pessoa lance dois dados equilibrados três vezes em sequencia. Determine a
probabilidade de que em cada um dos três lançamentos a soma dos dois números seja igual a 7.
42. Suponha que 10.000 bilhetes sejam vendidos de uma loteria A e 5000 bilhetes sejam vendidos de
uma loteria B. Se uma pessoa compra 100 bilhetes de cada loteria, qual é a probabilidade de que ela
receba o primeiro prêmio em pelo menos uma das loterias? (Suponha que haja apenas um bilhete
premiado na loteria A e outro na loteria B)
43. Suponha que A, B e C sejam três eventos, tais que: A e B são mutuamente exclusivos, A e C são
independentes, e B e C são independentes. Suponha também que e
. Determine a .
44. A Urna 1 contém 2 bolas brancas e 4 vermelhas, além disso a Urna 2 contém 1 bola branca e 1
vermelha. Um bola é selecionada aleatoriamente da Urna 1 e colocada na Urna 2, e uma bola é
selecionada na Urna 2. Qual é:
a. A probabilidade de que a bola selecionada na Urna 2 seja branca.
b. A probabilidade de que a bola transportada seja branca, dado que uma bola branca foi
selecionada na Urna 2?
45. A Urna A tem 5 bolas brancas e 7 bolas pretas. A Urna B tem 3 bolas brancas e 12 bolas pretas. Uma
moeda não viciada é lançada. Se o resultado da face da moeda é Cara, então uma bola é selecionada
da Urna A, se for Coroa, então a bola selecionada será da Urna B. Suponha que uma bola branca foi
selecionada, qual a probabilidade de que a moeda tenha apresentado a face Coroa?
46. Uma escola do ensino médio do interior de São Paulo tem 40% de estudantes do sexo masculino.
Entre estes, 20% nunca viram o mar, ao passo que, entre as meninas, essa porcentagem, é de 50%.
Qual a probabilidade de que um aluno selecionado ao acaso seja:
a. Do sexo masculino e nunca tenha visto o mar?
b. Do sexo feminino ou nunca tenha visto o mar?
47. O São Paulo Futebol Clube ganha com probabilidade 0.7 se chove e com 0.8 se não chove. Em
setembro a probabilidade de chuva é de 0.3. O São Paulo ganhou uma partida em Setembro, qual a
probabilidade de ter chovido nesse dia?
48. Dois processadores tipos A e B são colocados em teste por 50 mil horas. A probabilidade de que um
erro de cálculo aconteça em um processador do tipo A é de 1/30, no tipo B, 1/80 e, em ambos,
1/1000. Qual a probabilidade de que:
a. Pelo menos um dos processadores tenha apresentado erro?
b. Nenhum processador tenha apresentado erro?
c. Apenas o processador A tenha apresentado erro?
49. Em uma fábrica de parafusos, as máquinas A, B e C produzem 25%, 35% e 40% do total produzido,
respectivamente. Da produção de cada máquina 5%, 4% e 2%, respectivamente, são parafusos
defeituosos. Escolhe-se ao acaso um parafuso e verifica-se ser defeituoso. Qual será a probabilidade
de que o parafuso venha da máquina A? Da B? Da C?
50. Três jornais A, B e C são publicados em uma cidade e uma recente pesquisa entre os leitores indica o
seguinte: 20% leem A; 26% leem B; 14% leem C; 8% leem A e B; 5% leem A e C; 2% leem A, B e
C e 4% leem B e C. Para um adulto escolhido ao acaso, calcule a probabilidade de que:
a. Ele não leia qualquer dos jornais.
b. Ele leia exatamente um dos jornais;
c. Ele leia ao menos A e B, se se souber que ele lê ao menos um dos jornais publicados.
51. Em um espaço amostral com uma probabilidade P, são dados os eventos A, B e C tais que:
P(A) = P (B) = ½, com A e B independentes, , e sabe-se que
. Calcule as probabilidades condicionais e .
52. Suponha que um fabricante de sorvetes recebe 20% de todo o leite que utiliza de uma fazenda F1,
30% de outra fazenda F2 e 50% de F3. Um órgão de fiscalização inspecionou as fazendas de
surpresa e observou que 20% do leite produzido por F1 estava adulterado por adição de água,
enquanto que para F2 e F3, essa proporção era de 5% e 2%, respectivamente. Na indústria de
sorvetes os galões de leite são armazenados em um refrigerador sem identificação das fazendas.
Para um galão escolhido ao acaso, analise as possibilidades de o leite estar adulterado ou não.
Sabendo-se que o leite está adulterado, qual a probabilidade do leite provir da fazenda F1, F2 ou F3.
7 Modelos de probabilidade
7.1 Variável aleatória
Definição: Sejam ε um experimento e S um espaço amostral associado ao experimento. Uma função X, que
associe a cada um número real, X(s), é denominada variável aleatória.
Exemplo 1: No lançamento independente de duas moedas obtemos as faces: S = {(Cara, Cara), (Cara,
Coroa), (Coroa, Cara), (Coroa, Coroa)}. Nesse caso, pode-se afirmar que o número de caras X associado a
cada experimento , deve ser considerado um X(s) = {2, 1, 1, 0}.
7.2 Variável aleatória discreta
Definição: Seja X uma variável aleatória. Se o número de valores possíveis de X for finito ou infinito
numerável, denominar-se-á X como variável aleatória discreta. Isto é, os valores possíveis de X, podem ser
colocados em listas como .
Definição: Se X é uma variável aleatória discreta então, a cada valor possível de , associaremos um
número , denominado probabilidade de xi. Esses valores devem satisfazer as seguintes
condições:
a.
b.
A função p, definida anteriormente, é denominada função de probabilidade da variável aleatória X. A
coleção de pares (xi, p(xi)) é denominada distribuição de probabilidade.
7.3 Principais modelos discretos de probabilidade
7.3.1 Modelo uniforme discreto
Seja X uma variável aleatória cujos valores possíveis são representados por . Diz-se
que X segue o modelo uniforme discreto se atribui a mesma probabilidade a cada um desses k valores,
isto é, sua função de probabilidade é dada por:
7.3.2 Modelo de Bernoulli
Diz-se que uma variável X segue o modelo de Bernoulli se atribui 0 ou 1 à ocorrência de fracasso ou
sucesso respectivamente. Com p representando a probabilidade de sucesso, , sua função discreta
de probabilidade é dada por:
A repetição de n ensaios de Bernoulli independentes dá origem à mais importante variável aleatória
discreta, denominada modelo Binomial.
7.3.3 Modelo Binomial, X~B(n,p)
Considere a repetição de n ensaios de Bernoulli independentes e todos com a mesma probabilidade
de sucesso p. A variável que conta o número total de sucessos é denominada Binomial com parâmetros n e p
e sua função de probabilidade é dada por:
e
7.3.4 Modelo Geométrico, X~G(p)
Diz-se que uma variável aleatória X tem distribuição Geométrica de parâmetro p, se sua função de
probabilidade tem a forma:
7.3.5 Modelo de Poisson, X~P( )
Uma variável aleatória X tem distribuição de Poisson com parâmetro , se sua função de
probabilidade é dada por:
Com parâmetro λ sendo usualmente referido como a taxa de ocorrência.
Observação: O modelo de Poisson é usado com frequência em experimentos físicos e biológicos e, no caso, é
a frequência média ou esperada de ocorrências num intervalo de tempo.
Uma das aplicações interessantes e que prestam bons resultados pelo uso do modelo de Poisson é a
observação de eventos que ocorrem segundo uma taxa de frequência. Sempre que houver possibilidade de
tratar um evento que ocorre segundo um valor médio, ou valor médio esperado, então, pode-se tentar aplicar
o modelo de Poisson.
7.3.6 Exercícios 1. Determine a média aritmética e o desvio-padrão para a variável aleatória X em cada uma das distribuições
binomiais a seguir:
a.
b.
c.
d.
2. Em uma pesquisa realizada pela Society for Human Resource Management, 70% dos trabalhadores afirmam
que os empregadores têm o direito de monitorar o uso dos telefones na empresa. Suponha que seja selecionada
uma amostra aleatória de 20 trabalhadores e que lhes seja perguntado se os empregadores têm o direito de
monitorar o uso dos telefones na empresa. Qual é a probabilidade de que:
a. Cinco ou menos desses trabalhadores concordem?
b. 10 ou menos desses trabalhadores concordem?
c. 15 ou menos desses trabalhadores concordem?
d. Mais do que quatro desses trabalhadores discordem?
3. Ainda sobre o exercício 2, quando foi indagado aos mesmos trabalhadores se os empregadores teriam o direito
de monitorar o uso de telefones celulares de seus empregados, o percentual caiu para 50%. Suponha que seja
indagado aos 20 trabalhadores se os empregadores tem o direito de monitorar o uso dos telefones celulares de
seus empregados. Qual é a probabilidade de que:
a. Cinco ou menos desses trabalhadores concordem?
b. 10 ou menos desses trabalhadores concordem?
c. 15 ou menos desses trabalhadores concordem?
d. Mais do que quatro desses trabalhadores discordem?
4. Compare os resultados apresentados nos exercícios 2 e 3.
5. Suponha uma distribuição de Poisson com . Qual é a probabilidade de que:
a. ?
b. ?
c. ?
d. ?
6. O departamento de transportes dos EUA mantém estatísticas sobre reclamações relacionadas a bagagem
extraviada para cada 1000 passageiros de companhias aéreas. Em 2005, a Jet Blue teve 4.1bagagens
extraviadas para cada 1000 passageiros. Qual é a probabilidade de que, para os próximos 1000 passageiros, a
Jet Blue venha ter:
a. Nenhuma bagagem extraviada?
b. Pelo menos uma bagagem extraviada?
c. Pelo menos duas bagagens extraviadas?
d. Qual o número esperado de bagagens extraviadas?
7. O departamento de transportes dos EUA mantém estatísticas sobre reclamações relacionadas a bagagem
extraviada para cada 1000 passageiros de companhias aéreas. Em 2005, a Delta teve 7.1bagagens extraviadas
para cada 1000 passageiros. Qual é a probabilidade de que, para os próximos 1000 passageiros, a Delta venha
ter:
a. Nenhuma bagagem extraviada?
b. Pelo menos uma bagagem extraviada?
c. Pelo menos duas bagagens extraviadas?
d. Qual o número esperado de bagagens extraviadas?
8. Compare as respostas apresentadas nas questões 2 e em 3.
9. Um número de telefone com discagem gratuita está disponível das 9 horas da manhã às 9 horas da noite para
que seus clientes registrem reclamações sobre algum produto adquirido de sua empresa. O histórico indica que
uma média de 0.4 chamadas é recebida por minuto.
a. Que propriedades precisam ser verdadeiras no que concerne à situação aqui descrita para que possa
ser utilizada a distribuição de Poisson para calcular probabilidades relacionadas ao número de
chamadas telefônicas recebidas em um período de 1minuto?
b. Zero chamada telefônica será recebida?
c. Três ou mais chamadas telefônicas serão recebidas?
d. Qual é o número de máximo de chamadas telefônicas que serão recebidas, em um período de um
minuto, em relação a 99,99% do tempo?
10. Uma teoria relacionada à média industrial Dow Jones é que ela tende a crescer em anos de eleição presidencial
nos EUA. De 1964 a 2004, a média industrial Dow Jones cresceu em 9 dos 11 anos de eleições presidenciais
americanas. Considerando que esse indicador seja um evento aleatório, sem nenhum valor em termos de
previsão, você esperaria que o indicador estivesse correto em 50% do tempo. Qual é a probabilidade de a
média industrial Dow Jones crescer em 9 ou mais dos 11 anos de eleição presidencial se a verdadeira
probabilidade de crescimento da média industrial Dow Jones for de 50%?
11. Um agricultor cultiva laranjas e também produz muda para vender. Após alguns meses a muda pode ser
atacada por fungos com probabilidade 0,05 e, nesse caso, ela tem probabilidade 0,5 de ser recuperável. Admita
que o processo de recuperação seja infalível. O custo de cada muda produzida é R$1, que será acrescido de
mais R$ 0,5 se precisar ser recuperada. As irrecuperáveis são descartadas. Vendendo cada muda a R$ 3, estude
como se comporta o lucro por muda produzida.
12. Uma agência de turismo apresenta aos clientes o orçamento de uma viagem em duas partes. A primeira é o
transporte aéreo que têm três opções com preços 3; 3,5 e 4 mil reais e preferências de escolha de 0,5; 0,3 e 0,2
para as companhias TWA, TWB e TWC, respectivamente. A segunda parte do orçamento é a escolha de
estadia. Existem quatro opções de hotéis que custam 2; 2,5; 3 e 3,5 mil reais e são igualmente escolhidos pelos
clientes, independentemente da companhia aérea. Seja X a variável aleatória: orçamento da viagem. Calcule a
função de probabilidade e a função de distribuição da variável X.
13. Um equipamento consiste de duas peças A e B que têm 0,10 e 0,15 de probabilidade de serem de qualidade
inferior. Um operário escolhe ao acaso uma peça tipo A e uma do tipo B para construir o equipamento. Na
passagem pelo controle de qualidade o equipamento vai ser classificado. Será considerado como nível I se as
peças A e B forem de qualidade inferior, nível II se uma delas for de qualidade inferior e, nível III, no outro
caso. O lucro na venda é de R$ 10, R$ 20 ou R$ 30 para os níveis I, II ou III, respectivamente. Como se
comporta a variável lucro? Para dois equipamentos vendidos obtenha a função de probabilidade do lucro.
Nesse caso, qual seria a probabilidade de pelo menos R$ 30 de lucro?
14. Estatísticas de acidentes, num trecho da rodovia SP330, indicam probabilidade de 0,05 de haver um acidente
durante a madrugada (24 às 6 horas). Em ocorrendo um acidente nesse período, a chance de gerar vítimas é de
0,5. Ainda considerando o período acima, se acontece um acidente com vítima, ela será fatal com
probabilidade 0,1. O serviço de ajuda aos usuários utiliza 2 veículos na inspeção do tráfego naquela área. A
esse número, acrescentamos mais 2 se houver acidente. Se o acidente tem vítimas, acrescente aos anteriores
mais 2 veículos e finalmente, acrescente mais 1 se a vítima for fatal. Encontre a função de probabilidade da
variável aleatória número de veículos em serviço de auxílio nessa estrada durante a madrugada.
15. Um laboratório estuda a emissão de partículas de certo material radioativo. Seja N: número de partículas
emitidas em 1 minuto. O laboratório admite que N tem função de probabilidade Poisson com parâmetro 5, isto
é,
a. Calcule a probabilidade de que em um minuto não haja emissões de partículas.
b. Determine a probabilidade de que pelo menos uma partícula seja emitida em um minuto.
c. Qual a probabilidade que, em um minuto, o número de partículas emitidas esteja entre 2 e 5
(inclusive)?
16. Suponha que a probabilidade de que uma peça, produzida por determinada máquina, seja defeituosa é 0,2. Se
10 peças produzidas por essa máquina forem escolhidas ao acaso, qual é a probabilidade de que não mais de
uma defeituosa seja encontrada? Empregue a distribuição Binomial e de Poisson e compare as respostas.
17. Uma companhia de seguros descobriu que somente cerca de 0,1% da população está incluída em um tipo de
acidente cada ano. Se seus 10.000 segurados são escolhidos, ao acaso, na população, qual é a probabilidade de
que não mais do que 5 de seus clientes venham a estar incluídos em tal acidente no próximo ano?
18. Suponha que X tenha uma distribuição de Poisson. Se
, calcular:
a.
b.
c.
19. Um fabricante de filmes produz 10 rolos de um filme especialmente sensível, cada ano. Se o filme não for
vendido dentro do ano, ele deve ser refugado. A experiência passada diz que D, a (pequena) procura desse
filme, é uma variável aleatória com distribuição de Poisson, com parâmetro 8. Se um lucro de $7 for obtido,
para cada rolo vendido, enquanto um prejuízo de $3 é verificado para cada rolo refugado, calcule o lucro
esperado que o fabricante possa realizar com os 10 rolos que ele produz.
20. O retorno para os próximos doze meses de uma ação é a variável aleatória X registrada na tabela seguinte.
Qual o valor esperado e o desvio padrão?
x P(x)
10% 10%
15% 30%
20% 40%
25% 20%
21. A tabela seguinte registra o lucro líquido da empresa para o próximo ano (em milhões) e suas respectivas
probabilidades. Calcular o valor esperado e o desvio padrão.
22. O gerente do banco afirma que em média sua agência tem que administrar a devolução de oito cheques por dia
por falta de fundos. Considerando que a distribuição do número de cheques devolvidos é do tipo Poisson, qual
a probabilidade de amanhã ter que devolver:
a. Menos de oito cheques?
b. Exatamente oito cheques?
c. Oito ou mais cheques?
d. Nenhum cheque?
e. A partir de quantos cheques pode-se afirmar que a probabilidade de ocorrência dessa quantia de
devolução de cheques é “nula”?
23. Os dados históricos das vendas de um televisor importado mostram que durante o período de garantia de um
ano: 80% dos televisores não apresentaram nenhum problema, 15% requereram algum conserto e regulagem, e
os restantes 5% devem ser substituídos. O lucro nos três casos foi, respectivamente, $85, $20 e –$35
(considerando o valor da venda como sucata). Calcular o lucro esperado na venda de 100 unidades.
24. Um time paulista de futebol tem probabilidade 0,92 de vitória sempre que joga. Se o time atuar 4 vezes,
determine a probabilidade de que vença:
a. Todas as 4 partidas.
b. Exatamente 2 partidas.
c. Pelo menos uma partida.
d. No máximo 3 partidas.
e. Mais da metade das partidas.
25. Uma vacina contra a gripe é eficiente em 70% dos casos. Sorteamos, ao acaso, 20 dos pacientes vacinados e
pergunta-se a probabilidade de obter:
a. Pelo menos 18 imunizados.
b. No máximo 4 imunizados.
c. Não mais do que 3 não imunizados.
26. 25% dos universitários de São Paulo praticam esporte. Escolhendo-se, ao acaso, 15 desses estudantes
determine a probabilidade de:
a. Pelo menos 2 deles serem esportistas.
b. No mínimo 12 deles não serem esportistas.
c. Havendo mais de 5 esportistas no grupo, obtermos menos de 7 que praticam esporte.
27. As pacientes diagnosticadas com câncer de mama precocemente têm 80% de probabilidade de serem
completamente curadas. Para um grupo de 12 pacientes nessas condições, calcule a probabilidade de:
a. Oito ficarem completamente curadas.
b. Entre 3 e 5 (inclusive) não serem curadas.
c. Não mais de 2 permanecerem com a doença.
28. A resistência (em toneladas) de vigas de concreto produzidas por uma empresa comporta-se conforme a função
de probabilidade abaixo:
Admita que essas vigas sejam aprovadas para uso em construções se suportam pelo menos 3 toneladas. De um
grande lote fabricado pela empresa escolhemos 15 vigas ao acaso. Qual será a probabilidade de:
a. Todas serem aptas para construções.
b. No mínimo 13 serem aptas?
29. Em momentos de pico, a chegada de aviões a um aeroporto se dá segundo o modelo Poisson com taxa de 1 por
minuto.
a. Determine a probabilidade de 3 chegadas em um minuto qualquer do horário de pico.
b. Se o aeroporto pode atender 2 aviões por minuto, qual a probabilidade de haver aviões sem
atendimento imediato?
c. Previsões para os próximos anos indicam que o tráfego deve dobrar nesse aeroporto, enquanto que a
capacidade de atendimento poderá ser no máximo ampliada em 50%. Como ficará a probabilidade de
espera por atendimento?
30. Uma indústria de tintas recebe pedidos de seus vendedores através de fax, telefone e Internet. O número de
pedidos que chegam por qualquer meio (no horário comercial) é uma variável aleatória discreta com
distribuição Poisson com taxa de 5 pedidos por hora.
a. Calcule a probabilidade de mais de 2 pedidos por hora.
b. Em um dia de trabalho (8 horas), qual seria a probabilidade de haver 50 pedidos?
c. Não haver nenhum pedido em um dia de trabalho é um evento raro?
31. No estudo do desempenho de uma central de computação, o acesso à Unidade Central de Processamento
(CPU) é assumido ser Poisson com 4 requisições por segundo. Essas requisições podem ser de várias naturezas
tais como imprimir um arquivo, efetuar um cálculo ou enviar uma mensagem pela Internet, entre outras.
a. Escolhendo-se ao acaso um intervalo de 1 segundo, qual é a probabilidade de haver mais de 2 acessos
à CPU? E do número de acessos não ultrapassar 5?
b. Considerando agora o intervalo de 10 segundos, também escolhido ao acaso, qual é a probabilidade
de haver 50 acessos?
7.4 Variável aleatória contínua
Definição: Diz-se que X é uma variável aleatória contínua, se existir uma função f, denominada função
densidade de probabilidade (f.d.p.) de X que satisfaça as seguintes condições:
a.
b.
c. Para quaisquer valores a, b com , implica que
.
7.4.1 Função distribuição acumulada
Definição: Seja X uma variável aleatória, discreta ou contínua. Define-se a função F como a função
distribuição acumulada da variável aleatória X como:
7.5 Principais modelos contínuos de probabilidade
Nesse momento do curso de Estatística serão utilizadas algumas técnicas estatísticas para o estudo de
funções contínuas de probabilidade. Sabe-se que uma variável será conhecida por variável aleatória contínua
se existir uma função f(x), conhecida por função contínua de probabilidade ou função densidade de
probabilidade (f.d.p.) e, se, as condições a seguir são obedecidas:
a.
b.
c. Para quaisquer valores a, b com , implica que
.
Obs.: Para qualquer intervalo onde , tem-se:
7.5.1 Modelo uniforme contínuo, X~U[a,b]
Uma variável aleatória X, terá f.d.p. Uniforme Contínua, se, e somente se, f(x) assume um único
valor constante. Isto é, a variável aleatória X terá sua densidade dada por:
;
7.5.2 Modelo exponencial, X~exp( )
Uma variável aleatória X, que assume todos os valores não negativos, terá uma distribuição
exponencial com parâmetro , se sua for dada por:
Uma das aplicações mais importantes do modelo exponencial é proposta sobre os problemas de filas
de espera. Assim, pode-se aplicar esse modelo a tempo de operação de equipamentos, vida útil de
equipamentos, atendimentos em praças de pedágio, caixas eletrônicos, atendimentos de serviços públicos.
Para a distribuição exponencial tem-se que:
;
;
7.5.3 Modelo normal, X~N( )
Uma variável aleatória X segue o modelo Normal se, e somente se, existe uma função f(x) tal que sua f.d.p é:
Essa função é também conhecida como Gaussiana. E, possui três propriedades elementares:
a. A função f(x) apresenta simetria em torno de .
b. O valor máximo que a função assume ocorre quando e
.
c. Quando os valores de x tendem para o valor infinito positivo (ou negativo), a função tende
a ZERO. Isto é, .
Para efetuar o cálculo de probabilidades para uma função que segue o modelo Normal deve-se tomar
uma tabela de probabilidades conhecida como tabela da distribuição normal padrão.
Uma transformação da variável aleatória X pela variável
é utilizada nessa tabela. Daí, as
propriedades de média e variância da variável aleatória X passam a ser tratadas pelos valores da variável Z
(Normal Padrão) e são dadas por: .
Logo, todas as variáveis que seguem o modelo Normal podem ser escritas e devem ser transformadas
em uma variável Normal Padrão para facilitar o cálculo de probabilidades através da tabela já com valores de
Z dentro do intervalo [-4, 4].
Essa nova variável Z apresenta as mesmas propriedades da variável X, agora com valor de simetria
em torno de Z=0. Ou seja, 50% da distribuição são valores menores do que zero, assim como para os valores
maiores do que zero está a outra metade da distribuição.
Exemplo: A variável aleatória X tem distribuição normal com parâmetros µ=40 e σ=10. Qual a
probabilidade de um valor de X ser menor ou igual a 52,4?
[Resultado obtido da tabela da
Normal Padrão]
Observação: A tabela Normal Padrão representada pelos valores de da variável Z, apresenta para
cada valor de z, um .
Além disso,
8 Inferência estatística
Nesse momento do curso de estatística as aplicações dos conhecimentos adquiridos em temas anteriores
serão exigidas e apreciadas pelos nobres alunos. Estudaremos como se comportam as variáveis aleatórias
(discretas ou contínuas) quando expostas a ocorrência simultânea e/ou independente de outras variáveis
aleatórias, bem como, outras metodologias em que podem ser aplicados os conhecimentos adquiridos.
Além disso, é necessário entender que a maioria dos procedimentos em que se tomam as medidas e
metodologias estatísticas para explicar informações aos departamentos de qualidade das empresas, aos
órgãos de defesa do consumidor, aos sistemas de avaliação de satisfação do cliente, é determinada (em
grande parte) por variáveis que associam diferentes variáveis aleatórias independentes e dependem de
metodologias essenciais para a análise estatística, em geral, procedimentos de amostragem.
Os procedimentos de amostragem tornam-se necessários, diante da complexidade de vários sistemas
(máquinas, procedimentos, impossibilidades físicas de ambiente), da natureza dos problemas (metodologias
de produção, sistemas de leitura, medição e interpretação), dos custos envolvidos, da necessidade de
planejamento, exigência de demanda (cliente, localização, comportamento, costumes), atuação de operadores
na interpretação de resultados, compreensão de procedimentos, treinamentos adequados e regulares,
atualizações periódicas do conhecimento. Uma vantagem evidente é a de que esse procedimento pode
minimizar a necessidade de avaliar todo o espaço amostral de possibilidades de um evento qualquer.
8.1 Distribuições amostrais
Para iniciar o estudo de distribuições amostrais devemos afirmar que a média amostral de um dado
experimento será o objeto de estudo. Isso porque a maior parte dos problemas envolvidos trata da
determinação ou estimação de valores de médias (vida média de lâmpadas, expectativa de vida, médias de
atendimentos em filas, previsão de tempo de espera). Com isso, avaliar uma amostra para explicar o que
ocorre com a população ou ao menos estimar o que pode ocorrer com a referida população.
Diremos que a média amostral será composta de uma sequencia de variáveis aleatórias
independentes das quais afirmamos que:
Sejam variáveis aleatórias independentes, com médias iguais a µ e variância tais
que:
então o valor esperado de será e sua variância será dada por
. A essas
estatísticas3 acrescenta-se o desvio padrão amostral ou erro padrão de dado por
onde n é o
tamanho da amostra.
3 Estatística é uma medida numérica que descreve uma amostra. Parâmetro é uma medida numérica que descreve uma
população.
Observe que a afirmação anterior não determina a distribuição de probabilidade das variáveis e isso
permite o leitor concluir que podemos tratar diferentes eventos com a mesma ferramenta de estimação.
Observação: A forma da distribuição da variável aleatória será dita normal com média µ e
variância
se a forma da distribuição da população for conhecida e normal.
9 Teorema central do limite
Se a forma da distribuição de uma população não for normal (qualquer forma de distribuição de
probabilidade), assim que, o tamanho da amostra for suficientemente grande4, isto é, com tendência ao
infinito, então a média amostral se apresentará como uma distribuição normal com média e variância
conhecida, ou seja,
).
Observação: Há casos em que a população é muito maior que o tamanho da amostra escolhida, isto é, se
for menor do que 5% do tamanho da população teremos que inserir um fator de correção para o desvio
padrão amostral, que será:
, onde N é o tamanho da população e n é o tamanho da amostra.
Sugestão: Calcule o valor do fator de correção
para o desvio padrão amostral para valores de n= 5, 10,
20, 25, 50, 100, 150, 200, 400, 500 e N = 2.000.
9.1 Intervalo de confiança para estimar a média e o tamanho da amostra
Podemos identificar entre as técnicas estatísticas estudadas, estimativas pontuais, que definem a média e
a variância de uma população. Além disso, há a técnica de construção de um intervalo de valores em torno de
um grau de confiança γ. Contudo, há para um grau de confiança γ que:
e para , podemos encontrar um valor
tal que
Desse resultado temos
4 Para amostras com pelo menos 30 valores; se a distribuição for simétrica é suficiente se n estiver entre 15 e 25 valores.
Assim,
5
Do qual
Para uma proporção
há dois intervalos de confiança a considerar:
(otimista)
(conservador)
9.2 Testes de hipóteses
Os estudos de testes de hipóteses estão associados a critérios de aceitação ou rejeição de hipóteses iniciais.
Daí pode-se concluir que um erro será cometido quando:
i. Erro Tipo I: Rejeita-se uma hipótese inicial (Hipótese Nula – H0) quando a H0 é verdadeira.
ii. Erro Tipo II: Não se rejeita a H0 quando ela deveria ser rejeitada.
Um objetivo importante do teste de hipótese é o fato de poder estudar a probabilidade de cometer os
erros do Tipo I ou Tipo II, a esses erros associa-se:
Exemplo:
Considere que o consumo médio de gasolina em um tipo de automóvel seja de 15 km/L, segundo
informações da montadora. Uma revista especializada verificou o consumo em 25 desses veículos,
escolhidos ao acaso, e constatou consumo médio de 14,3 km/L. Assume-se também que o consumo siga o
modelo Normal com variância igual a 9 .
Para essa situação há que se dedicar sobre a verificação se os automóveis estudados possuem
consumos inferiores ao especificado pela montadora.
Logo, deseja-se verificar se a informação da montadora é verdadeira. Ou seja, se o consumo médio
dos automóveis fabricados é de 15 km/L. Para a amostra retirada pode-se afirmar que o consumo médio dos
automóveis segue o modelo Normal(μ, 9/25).
5 Intervalo de confiança para a média populacional com grau de confiança .
Além disso, deseja-se também a determinação de um valor (valor crítico), tal que, se a média do
consumo for superior a então a informação da montadora está correta, se for inferior, a informação da
montadora estará equivocada.
Logo, as hipóteses denotadas por e , hipótese nula e hipótese alternativa, respectivamente.
Então,
: O consumo médio dos automóveis é igual a 15 km/L
: O consumo médio dos automóveis é inferior a 15 km/L
Se o tratamento das hipóteses é sobre o fato da informação da montadora, pode-se dizer que o teste é
unilateral, ou seja, versus .
Nesse problema, os erros cometidos podem apresentar:
A situação ideal é tal que ambas as probabilidades anteriores são próximas de zero. Porém, sempre que
se reduz a probabilidade de ocorrência do Erro do tipo I, aumenta-se a probabilidade de ocorrência do Erro
do tipo II.
Supondo que α seja um valor conhecido logo temos:
, assim
.
Se temos, então
. Dessa forma, se ;
rejeita-se e conclui-se que a informação do fabricante é correta.
10 Referência bibliográfica
MAGALHÃES, M. N. AND LIMA, A. C. P. Noções de probabilidade e estatística. 5th. ed. [s.l: s.n.].
MEMÓRIA, J. M. P. Breve História da Estatística, 2004.