apostila cálculos de caldeiraria

5/14/2018 Apostila clculos de caldeiraria

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Indice

ConieudoAgradecimentos - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 3Introduea aos calculus ----------------------------------- 5Explica~io do metodo ------------------------------------- 8Furaedes - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 15Curva de gomos ---------------------------------------- 16Cotovelo - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 17Quadrado para redondo -----------------------------------. 18Chapen chines - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 19Rosca helicoidal - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 20Boca de lobo -----------------------------------------. 21Orificio da boca de lobo -----------------------------------. 22Unha no tubo ---------------------------------------- 23Orificio da unha no tubo ----------------------------------- 24Retangulo para redondo cl bases a 90- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 25Retangulo para redondo inclinado a 45 ---------------------------- 26Quadrado para redondo cl cantos arredondados - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 27Redueao concentrica no tubo --------------------------------- 28Boca de lobo de 45 -------------------------------------- 29Proteeao - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 30Espiral - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 31Retangulo para redondo exceatrlco ----------------------------- 32Quadrado para redondo cl 2 cantos arredondados - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 33Perna de moea ou Y ------------------------------------- 34Retangulo pi redondo inclinado a 70 cl base a 90 --------------------- 35Unha na costa da curva de 90 --------------------------------- 36Cone c/vertice inacessivel ao compasso --------------------------- 37Cupula ou meia esfera ------------------------------------ 38Tronco de cone --------------------------------------- 39Cone excentrlcoCanal helicoical --------------------------------------- 4041Tremonha de boca quadrada para retangular - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 42Tremonha de boca quadrada para retangular no eixo de 45 - - - - - - - - - - - - - - - - - 43Tremonha de boca quadrada para retangulares sendo uma inclinada - - - - - - - - - - - - - 44Transi~io de boca superior circular e base semi circular - - - - - - - - - - - - - - - - - 45Retangulo para redondo exceatrtco ----------------------------- 46Ca4adnka ---------------------------------------- ~Calca de bocas retangulares e base circular ------------------------- 48Calea de bocas paralelas e eixos excentrtcos ------------------------- 49Unha no tubo inclinada ----------------------------------- 50Coneexcentricoinclinado --------------------------------- 51Calca conica com bocas inclinadas ----------------------------- 52Calea conica com bocas inclinadas e exeentrlcas - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 53Boca de lobo excentrica no cone a 90 ---------------------------- 54Boca de lobo no cone ------------------------------------. 55Boca de lobo no cone a 42 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 56Redondo para quadrado - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - --Redondo para quadrado inclinado- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - --Redondo para quadrado excentrlco- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 59Quadrado pi redondo inclinado - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 60Unha na esfera ----------------------------------------Boca de lobo nas costas da curva -------------------------------- 62

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61Formulas geometrieas

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Cald'nazza Apostila de CaldeirariaAgradecimentos:

A minha querida esposa, Arlene:Por sua enorme paciencia para comigo,nas muitas vezes em que dediquei parte do precioso tempo neste projeto, que merecidamente pertencia a ela:

Aos meus Pais:Pelos muitos anos de dedicarao incondicional aos seus filhos; Nazare, Nardelho e a mim .Pela educarao de berea e espiritual que nos legaram.

Aos amigos e colegas de trabalho:Por apoio e sugestoes tao necessdrias.

A todos, 0meu muito obrigado!!!!NazareM,,()- Er~ da- Cru.z. Uberldndia 01 Maio de 2008

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Cald'nazza Anostila de Caldeiraria


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Cald'nazza Apostila de Caldeiraria

Introdueao aos calculos de caldeiraria

Caro aluno para entendennos 0metodo em questao, precisamos saber 0que e trigonometria.Falando de forma simples, trigonometria e a parte da matematica que estuda os triangulos e as suas medidas, baseado nasrelacoes entre seus lados e angulos.Estes no entanto podem ser melhor defmido pelo cfrculo trigonometrico; ou seja 0circulo e suas propriedades, que sao asseguintes: - 0 raio e igual a unidade.

- Os arcos sao considerados positivos quando medidos no sentido anti-horario.- Fica dividido por dois diametros perpendiculares entre si, urn horizontal A - A' e outro vertical B - B', emquatro setores iguais chamados quadrantes.

Importante:- 0 seno e positivo quando medido acima da reta A - A' (1.0 e 2. quadrantes).- 0 cosseno e positivo quando medido a direita da reta B - B' (1.0 e 4. quadrantes).- A tangente e a cotangentes sao positivas no 1.0 e no 3. quadrantes.- Como a secante e 0 inverso do co-seno (l/cos), ela tern necessariamente 0mesmo sinal do co-seno.- Como a cossecante e 0 inverso do seno (lisen), ela tern necessariamente 0mesmo sinal do seno.

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Tabela de varlaeao das funeoes de 0,30,45,60,90

Funcoes 0 30 45 60 90Seno 0.000 .500 .707 .866 1.000Co-seno 1.000 .866 .707 .500 0.000Tangente 0.000 .577 1.000 1.732 00Co-tanzente 00 1.732 1.000 .577 0.000Secante 1.00 1.154 1.414 2.000 00Co-secante 00 2.000 1.414 1.154 1.000

Varia~oes dos senos e cossenos

0 0-90 90 90-180 180 180-270 270 270-360 3600 cresce 1 decresce 0 decresce -1 cresce 01 decresce 0 decresce -1 cresce 0 cresce 1

6

crescedecrescecrescedecrescecrescedecresce

.... Graus

.... Seno

.... co-seno


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Cald'nazza Apostila de CaldeirariaRela~jjes Trigonometricasdo Tritingulo Rettingulo

Seno de urnanguloE dado pela razao entre os lados que formam 0 outro angulo agudo, dado pela ordern:s in A =c_a t e_. ._t_o_o--",P: . .__._to_.

hipotenus aCosseno de urn anguloE dado pela razao entre os lados que formam 0 proprio angulo agudo, dado pela ordem:

A cateto adjacenteco s =---,------------hipotenusaTangente de urn anguloE dado pela razao entre 0 Seno e 0 Cosseno de urn angulo, ou entre os catetos, dado pela seguinte ordern:

, s in At anA = 'cos A

ca t e toopos tocateto adj ecente

Cotangente de urn anguloE dado pela razao entre 0 Seno e 0 Cosseno de urn angulo, ou entre os catetos, dado pela seguinte ordern:

cos Aco t A =..A 'SIn ,cate to adj ocen tecateto oposto

Secante de urn anguloE dado pelo inverso do cosseno desse angulo ou entre os lados que formam 0 proprio angulo, dado na seguinte ordern:sec A _ 1, l 1 1 _ ' p _ . o_ ._ ' e_ I l_u_ , s_a_

, - co s A - cateto adjacenteCossecante de urn anguloE dado pelo inverso do seno desse angulo ou entre os lados que formam 0 outro angulo agudo, dado na seguinte ordem:

. 1cscA= _'_s in A

b ipo t enusacateto oposto

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Explica~ao do metoda

Prezado aluno, neste momento estaremos iniciando 0curso propriamente dito.Nele estaremos estudando algumas f6rmulas matematicas aplicaveis a caldeiraria. Mas nao se preocupe; pois nao se trata dealgo complicado e inatingivel, Voce precisara apenas de urn pouco de dedicacao, necessaria a qualquer programa de estudo.Voce precisara tambem de uma calculadora cientifica para inserir as f6rmulas. No mercado esta disponivel urna infmidadede modelos. Uma de custo bastante acessivel e a KENKO KK-82TL, s6 para exemplificar.Apesar de nao ser urn requisito previo para aplicacao deste curso; 0 estudo de f6rmulas trigonometricas the dara condicoesde entender 0metodo, E de estender estes passos, a outros tracados de caldeiraria que nao sejam explicados nesta apostila.Note 0exemplo:

aNeste exemplo 0 teorema nos diz que a soma dos catetos (a,b) ao quadrado, e 0mesmo 0 que a hipotenusa (c) tambem aoquadrado.Vamos substituir as letras por mimero s ,

3Veja a relaeao:52 (5 x5) = 1 2 9 . 32 = ~.

Agora este exemplo na caldeiraria:42 = 16. Portanto 9 + 16 = 25. Extraindo a raiz de 25 = S .

Vamos entende-lo em urn tracado de urn chapeu chines: Vamos supor que 0diametro deste seja 160 em.E que a sua altura seja 60 em ,Qual seria entao 0raio? Note que 0chapeu chines e igual a doisTriangulos retangulos de 80 em de base por 60 em de altura.

Pegue a sua calculadora e monte a seguinte equacao:((802 + 602)=Qual e 0 resultado? Achou 100 cm? Parabensll! Este e 0 raio.No entanto faltam alguns elementos neste tracado de caldeiraria; eles seraoanalisados no futuro.


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Uma outra peca ''tipica'' da caldeiraria, e 0 famoso quadrado para redondo. Na verdade este e 0carro chefe dos tracados esera portanto 0nosso ponto de partida.Analise 0desenho abaixodI - II] Figura 1h

L1

L2L2Para que voce desenvolva 0 quadrado para redondo, com qualquer peca de caldeiraria, e necessario que voce tenha asmedidas.No desenho acima ainda nao a temos, porem ali estao representado os lados como Ll e L2, a altura com a letra h, e por fim 0diametro com a letra d.Logicamente estas vistas estao planificadas, sendo assim nao nos da de imediato a nocao tridimensional da peca,Ja a figura 2 nos da uma "mao" neste sentido. Analise-a com atencao.

os 1

Figura 2h

A

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Cald'nazza Apostila de CaldeirariaA figura 2 nos da noyao de algo tridimensional. A reta ~ pode muito bern ser a largura. A letraha altura. E por fim a letra y aprofundidade.Nesta figura tambem ficou demonstrado que, as retas x , hey elevadas ao quadrado e igual a Al ao quadrado.Urn passo importante no estudo de calculos matematicos aplicados a caldeiraria, pois muitas serao as vezes que voceprecisara usar deste recurso para achar a verdadeira grandeza de muitas retas.A proxima figura e a prova do que acabou de ser dito. Note que ela esta em perspectiva, ou seja de urna forma que mesmo

estando em duas dimensoes, ela nos passa urna ideia mais adequada de algo em 3 D.Portanto e muito importante que voce aprenda a transportar em sua mente os desenhos planificados em desenhos emperspectiva. Melhor ainda; visualiza-las mentalmente em 3 dimensoes.

Figura 3

Alem disso; volto a dizer sobre a necessidade de voce estar familiarizado com 0teorema de Pitagoras, pois com ele pode-sedesenvolver muitas pecas em todos os setores da mecanica, no nosso caso na caldeiraria.Pode ser que precise fazer urn tracado com muitos angulos. Como proceder neste caso?Se nao conhece pelo menos urn pouco de calculos tera de riscar, riscar e riscar na chapa ou em outro lugar.Desenvolvendo na calculadora se ganha tempo e a aprovacao do chefe.Mais ainda, estara apto a ajudar outros em suas eventuais dificuldade em qualquer area em que atuar.Voltando para 0 nosso "quadrado para redondo", voce nota que ha muitas linhas no desenho e que ainda nao falamos nadasobre elas.Nas dia a dia elas nao sao meros enfeites, ou so para efeito de calculo que sao usadas.Se voce ja trabalha na area, e provavelmente sim; ja sabe que elas sao usadas na sessao de dobras, para que a peca possatomar a forma tridimensional. Ou seja ela deixa de ser urna peca planificada e passa a ser urna peca em 3 dimensoes,Assim como 0 alfaiate que transforma urn tecido em urn belo terno, 0 caldeireiro transforma urna chapa em importantespecas para a industria.Mas precisamos calcula-las, mas como?Novamente usando 0 teorema de Pitagoras,10


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Cald'nazza Apostila de CaldeirariaMas antes disso precisamos abordar urna outra questao que tern a ver com 0 seno e 0 cosseno, hi do circulo trigonometrico,lembra-se?Mais urna figura the ajudara visualizar a situacao,Cosseno1r

O . 5 r Figura 4O . 8 6 6 r

O 8 6 6 Se0110. r 1r

9 0

Esta figura demonstra a relacao entre 0 seno e 0cosseno e vice-versa.Por exemplo onde 0 seno de 30 e 0.5 0 cosseno de 30 e 0.866. E onde 0 seno de 60 e 0.866 0 cosseno de 60 e 0.5.Naturalmente ha muitas relacoes que nao iremos abordar agora, mas este exemplo the indicara a direcao, que devera sertomada para 0calculo do quadrado para redondo.Veja agora urna figura com apenas urn quadrante do tracado do quadrado para redondo. Parte dela se parece com a figuraanterior, porem agora temos tambem 0quadrante do quadrado. Ai encontramos quatro retas: A-I, A-2, A3 e A4.As letras x e y representam a metade do quadrado. Enquanto a letra r e referente ao raio.Neste caso basta calcular estas retas que as demais dos outros 3 quadrantes restantes da peca serao iguais.

xFigura 5

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Como calcular a reta A-I? Na figura 6 notara urn triangulo em azul. Este referente as retas ABI.o calculo fica da seguinte forma:V ( x 2 + (y - r)2)Como a peca e tridimensional temos de inserir nesta equacao a altura.

______f'=------------__J BA I . . 1y

Figura 6

x

Calculada a reta Al partimos para a proxima reta.Na figura 7 abaixo, ela esta representada por Ab2 tambem em azul.Para achar reta A-b a formula pode ser descrita assim: x - 0.5r que e igual a x - sen 30 x rJa reta b2 da seguinte maneira: y - 0.866r que e similar a y - cos 30 x rAinda lembrando da altura (h); que tera de ser acrescentada a formula.Que fica da seguinte forma:

Figura 7 x

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Na figura 8 a f6rmula da reta A3 a equacao se repete apenas mudando os valores dos senos e cossenos de 30 para 60.Veja a diferenca sutil mas muito importante

Figura 8

x

Por fim a reta A4:x - sen 90 x r)2 + (y- cos 90 x r)2 + b2) = A4

Figura 9

x

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Voce deve esta se perguntando; sera que esta equacao aplicada as retas A2, A3 e A4 pode ser tambem aplicada para a retaAI? Se fez esta pergunta parabens! Pois voce esta ligado na ideia de se usar apenas urna f6rmula para todas as demais.E como ponto de partida, vamos repetir a f6rmula mas agora com 0 seno em 00 e 0 cosseno tambem em 00 da seguintemaneira:

x - sen 00 x r)2+ (y - cos 00 x r)2+ b2) = AtVamos colocar valores para maior compreensao:

x

A I + - - I ~ ----------+ Y

Importante:Na ca1culadora voce montara a f6rmula para a reta AI.Depois mudara apenas os valores de seno e de cosseno,de 00 para 30 e depois para 60 e por fim 90.

At = 50 - sen 00 x 20)2+ (50 - cos 00 X 20)2+ 302) = 65.6A2 = 50 - sen 30 x 20)2+ (50 - cos 30 X 20)2+ 302) = 59.7

A3 = 50 - sen 60 x 20)2+ (50 - cos 60 X 20)2+ 302) = 59.7A3 = 50 - sen 90 x 20)2+ (50 - cos 90 X 20)2+ 302) = 65.6

Legal nao e mesmo? E tambem muito pratico pois elimina algumas etapas no processo de tracagem,Nas pr6ximas paginas, voce encontrara outros tracados e suas f6rmulas praticas que de igual modo the sera de grande ajuda.Inclusive 0 pr6prio quadrado para redondo, e os demais calculos.Portanto faca urn born proveito deste curso. E que ele the seja muito util no seu dia a dia como profissional de caldeiraria.

Sios os meus votos:14


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Cald'nazza apostila de caldeiraria

Calculo de distancias de fura~oes

sen {180 + 6} x 200Exemp-Io

Furos 6Diametro 200 0

Desenvolvimento

100

Diametro

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Cald' nazza Apostila de Caldeiraria

Curva de gomos a 90

(R + casOOO x r) x tan a(57 + c a sOOO x 25) x tan15 = 21.9 I

~------R------+~

Desenvolvimento.

ExemploR 57r 25a 15 I?

INotas:.a = 90 + 6 (sendo 6 meio gomos)

219

219

Para aehar as demais medidas muda-se de 000 para 030, 060 , 090 ate 180.

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Cotovelo (deriva~io)

y + (r + cos 000 x r) x tan (0 +2) =130+ (25 + cos 000 x 25) x tan 20 = 48,1 1

1 l 1 l i y ~Ir


Exemploa 40

a+2 20r 25y 30 t?

Desenvolvimento.

l _ . - " - - - - - - - - - - ' 1 = - - - - - - - - - . . . . ; : = r I ~ 1 : : ! : . . . . . - . . . . _ ] = - - - - - - - - - . . . . : 4 B l t . . . . . . . . . . . _ _ . I z : . . . . . . _ _ _ _ _ _ : I T r ~ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ! : i - , - - - J = _ _ _ _ _ _ _ . . . . : , J~------_______.Ix 2 nPara achar as demais medidas muda-se de 000 para 030,060 e 090 ate 180.

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Quadrado para redondo.

\ J X - sen 00 x r)2+ (y - cos 00 x r)2+ h2) =1,,"(45 - sen 00 x 15)2+ (45 - cos 00 X 15)2+ 502) = 73.6

x

Exemploh 50r 15x 45y 45z 30 !?

Reta B4

z = x - r

90* Obs: Para achar as medidas A2, A3 e A4 muda-se de 00 para 30, 60 e 90 respectivamente.

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Chapeu chines

a = 360 - 180 x r + R x 2360 - (180 x 70 + 80.6 x 2) = 47,4=702+402) = 80.61

I = sen ( 47.4 + 2) x(80.6 x 2) = 64,7 I h 40ExemRloC = sen ( 47.4 + 2) x (R x 2)

R 80.6d 140

h

r 70

rI~I

dDesenvolvimento.

C = 64,7

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Cald' nazza Apostila de Caldeiraria

Rosca helicoidal

( D - d +V (d2 x n 2 + p2) + Jl ) + e =~60 - 30 +V (302 X 3.14162 + 402) + 3.1416) + 2 = 64.61Exem~loh = ~D- d} + 2 D = 60I = : S o - 30} + 2 = 15 I d = 30

p = 40h = 15e = espessura e = 2 fl

~ I

D

Desenvolvimento34.6

64.6

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Boca de lobo de gOodediametros iguais.

h - \J(R 2 - (sen 00 x r)2) =b o - \J(202-(sen 00 x19)2) = 40 IExemplo

h 60r 19R 20 1/~I

hAtencao:Desconte uma es essura do tubo ue encaixa.

Desenvolvimento.

* Obs: Para achar as demais medidas muda-se de 00 para 30,60 e 90~

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Figura 72

Formulas geometricasD XA =area =----2

P =perimetro =2 V D' + d'

ParalelogramoA =area1 1 =a X b

AabAb a

TrapeziaA =area

A a + b2 xH

'TrapezoideA =area

(H + h) b + aH + chA =-----------2Tridngulo equilatero inscrtto

A soma dos tres ;'mgulos e igual a 1800, sendo 600 0 va-lor de cada urn:r =0,28867 x lR =0,57735 x l

= 1,73206 x Rl =3,46412 A rA = 1,299 X R2 ~ 5,1 92 x r2 = 0,4 33 x ['

Quadrado inscrito

R =0,7071 xr =0,5 x ll =1.4142 x R =2r 61


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Cubav =volume Iv =3 = X l X [l = Tv

Paralelepipedov =volumeV=axbxca v V Vb =------; c =------~' a X c a X b

----------------------------------------------------~---------------------

PrismaA =area da baseV =volumeV =A X H

AxH3

-------------------------------------------------------------------------_.

PirdtnideA =area da basev = volumeV=

Ptrtimide iruncadaA area da base maiora area da base menorV =volume

H X (A + a + -j A X a)V = --------- ~3

CunhaV =volume

V= c X H X (2a + b)662


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Cilttidro retov=volumeS superfIeie lateral do eilindroA area total do eilindroV =T X R2 X HS 2 : : r X R X HA =:: r X R X (R + H)

Cilindro obliquoV =volumeS superficie lateral do cilindroA =rea total do cilindroV= it X R2 X HS 2 : ' " 1 X R X HA =:: r X R X (R H)

Cilin.dro truneadoS =uperficie lateral do eilindroV =volumeS =:r X R X HV = T X R 2 X H

Cunha cilindricaA = area lateralV =volume

HA =(c X D b x eomprimento do area ABC) X -- __Rb

V =(0,666 X c1 b Hx area ABC) + ----_RL bNota. Usar 0sinal mais ( + ) quando a superficie da base

for maior que a metade do circulo e 0 sinal men os (-) em ca-so contr ario.

Ctlindro 6eoV =volumeV =:r X H X (R' - r 2 ) 63


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Conev =volume e G =geratrizA =area da supe rf'icie coni ca

]I X R' X HV=------ =1,0472 X R2 X H3A :-rxRxGG ~ V H' + R2

Cone truncadoA =area lateral do tronco de coneV =volume e

J[ X HG =geratriz

3V =----

a AG:- r X G X (R + r)V a2 + []2= y'~(-R---r) - 2 -+-1T'

{1 R - r

Esferav =volumeA area ou superficieA =4:-r x R2 = :- r X D2R , , 1 3V =v .~ 0,6204 X Vv4nV=----34n x R' rt X D'6

Esfera Dcav =volume4:


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Calota esfericaA =area da superficic esfer icaV = volumeA =2n X R X F =6,2832 X R X F =n X (~ + 1 " ' )

]I x F x (~+ :)/ V 4R 2 -- CC = V F x (2R - F); F =R - ----- 2

C+ 41'"R =-----SF

Zona esfericahi A= area da superficie esfericaV= volume

A= 2n xR xH]I X H x ( 3c2 3C ) += + rr6. , 4 4J~ + ( C- c2 - 4ff' r= 8f{

Cunha esfericaa =angulo cia cunhaA =area da superficie esfer icaV =volume

a

I_

A= X 4n X R2= 0,0349 X a X R2360a 4.-r X R3V= X =0,0116 X a X R"360 3

Poligonos regularesa - apotemaA area; n =nurnero de ladosa =---; ~=1800 - a3600

An

'n X I X a n X [ ;-'----r------ = X - v R2- --2 2 4=a 2 fR + 4= J ( 2 [2 (1a - =R x cos -4 2


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CircunferenciaC =desenvolvimento da circunfcrcnciaC =2n x R =6,2832 x RC = , : X D =3,1416 x D

C CR= yD=---6,2832 3,1416Comprimento de um areaa =omprimento do areaa =angulo do area

aa n . X R x --- =0,01745 x a X R180a = 57,296 x aR =_a X ( 360 )R \ 2n

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -)CirculoA =reaA = tt. X R2 =3,1416 X R2 = 0,7854 X D2R = ~ =0,564 x -vIA~~D = ~ =1 128 x -JA~ 0,7854 ,Setor circularA =rea; a =omprimento do area

aa = angulo do setor

R X a X 3,1416180

2A=0,01745 x a X R =--Ra X RA ---- =0,008727 x a X R22

(1 = 57,296 x aR2A 57,296 x aR=-- =-----a a

Segmenta circularA = area; a = eomprimento do areaa = angulo do segmentoA= (R X a) - C X (R - F)2

57,296 X a a ( 360 )- =--xR R 2naa =. X R X =0,01745 X a X R180

C =2 .j F X (2R - F).j 4R2 - CZF=R------266


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Coroa circularA =areaA = X (R2 - r 2 ) =3,1416 X (R2 - r 2 )

Setor de corea circular au trapezia circularA =areaa =ngulo do setor

a X itA =--- X (R2 - r')360

TaroA = area; V = volumeA =n2 X R X r =39,478 X R X rV =2n2 X R X r' =19,739 X R X r'

Barril.- -nld. . _ J lL

V=---V =capacidade interna

J1 X L12 X (2D' + cf) =0,262 X L X (21J' + d')

quando as curvas sao circularesV =0,21 X L X [(2D2) + (D X d) + (0,75 X cf)]

quando as curvas sao parab6licas

ElipseA = areaL =per imetroA=nxaxb

LFormula apraximada para achar a perimetro

[3(a + b) l bJ1 2 -~J quando -:- for maior do quenJ2(a2 + b2) ~ (a - b)' b

2,2 quando - for menor do que 0,375L0,375 (1


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VolumeOrigem: Wikipedia, a enciclopedia livre.

[ ! 5 = JA pedra tem volume 3.o volume de um corpo e a quantidade de espaco ocupada por esse corpo. Volume tem unidades de tamanho cubicas (por exemplo,em", m", i n " , etc.) Entao, 0 volume de uma caixa (paralepipedo retangular) de tamanho T, largura L, e altura A e:V=TxLxASua unidade no Sistema intemacional de unidades e 0metro cubico (m"). A seguinte tabela mostra a equivalencia entre volume ecapacidade.

Volume Capacidade

metro cubico quilolitro

decimetro cubico litro

centimetro cubico mililitro

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Unidade de medida

Na ciencia, unidade de medida e uma medida (ou quantidade) especifica de determinada grandeza fisica usada para servir depadrao para outras medidas.Considerando que as unidades de medida sao indispensaveis para qualquer instrumento de medicao, para a expressao de qualquermedicao efetuada e para a expressao de qualquer indicacao de grandeza e que as unidades de medida sao utilizadas na maior partedos dominios da atividade humana, e necessario assegurar a maior c1arezapossivel na sua utilizacao, Assim, se tomou necessarioregulamentar 0 seu uso. 0padrao mais utilizado e 0 Sistema Intemacional de Unidades (SI).

Medidas de COMPRIMENTO

Unidade Simbololl Equlvalenclametro (SIU) m I I = 1m

bohr 110,b I I ~ 5,29177 x 10-l! mangstrom A I I = 10-10mmicron f . L I D I I = flm= 1 O - 6munidade x x I I ~ 1,002 x 10-13m120legada pol(") I I = 2,54 x 10-2m

~ pe(') I I = 12pol = 0,3048 mjarda jd I I = 3 pes = 0,9144 mmilha mi I I = 1760 jd = 1609,344 mmilha nautica m.n. I I = 1852 m = 6076,1 pes

milha geografica m.g. I I = 1855 m = 6087,15 pesunidade UA I I = 1,49600 x 1011mastron6mica12arsec pc I I ~ 3,085 68 x 1016 mano-Iuz a.1. I I ~ 9,460 730 472 580 8 x 1015m

segyndo-Iuz s.1. I I = 2,99792458 x 108m

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Medidas de AREA

Unidade Simbololl Equlvaleneia Imetro guadrado m2 I I urn quadrado com 1metro de lado Ibarn b I I 10-28m2 I

acre acre I I aprox. 4046,856 m2 (aprox. 0,4047 ha)are a I I 100m2

hectare ha I I 104m2algueire 2aulista I I I I 2,42haalgueire goiano I I I I 4,84 haalgueire baiano I I I I 9,68 haalgueire do norte I I I I 2,72ha

Medidas de VOLUME

Unidade I I Simbololl Equlvalenela Imetro cubico m3 I I = 1m3 I

litro 1,L I I = dnr' = 10-3m3lambda A I I = fll = 10-6dnr'

barril (US) US-bl I I ~ 158,987 dnr'gallio (US) US-gal I I = 3,78541 dnr'gallio (UK) B-gal I I = 4,546 09 dm31

Medidas de TEMPO

Unidade I I Simbolo Equivalenciaseggndo I I s 1 s

u. a. de tempo u.a.t. ~ 2,41888 x 10-17 sminuto mm =60shora h = 3600 sdia d = 86400 s (convencionado)

semana h = 7 diasmes h = 30 dias (convencionado)ano a ~ 31556952 s

svedberg Sv = ~ 10-13 S

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Medidas de MASSA

Unidade I I Simbolo I I Equivaleneia Iguilograma I I kg I I = 1 kg Imassa do eletron I I m, I I - 9,10939 x 10-31kg I

dalton (massa atomica) Da, u.m.a.11 - 1,660540 x 10-27 kggamma y I I = 1 dalton

tonelada (metrica) t I I = 103kglibra (avoirdupois) lb I I = 0,453 592 37 kgonca (avoirdupois) oz I I - 28,3495 g

onca (troy) oz (troy) I I - 31,1035 ggrao gr I I = 64,798 91 mg

Medidas de FORf;A

Unidade I I Simbololl Equlvalenela Inewton I I N I I =kg.m.s' I

dina (unidade wI I dina I I = 1O-5N Iu. a. de forca I I u.a.f. I I - 8,238 73 x 1O-8NIQui1ograma-for~a I I kgf I I = 9,806 65N I

Medidas de ENERGIA

Unidade I I Simbololl Equlvalenela Ijoule I I J I I = 1N.m = 1kgf.m2.s-2

m(w I I erg I I = 10-7 Jhartee (au) I I Eh I I - 4,359 75 x 10-

18Jrydberg I I Ry I I - 2,179 87 x 10-18J

eletron-volt I I eV I I - 1,602 18 x 10-19Jcaloria termoquimicall calth I I = 4,184 Jcaloria internacionalll calrr I I =4,1868 Jcaloria a 15C I I cal-, I I - 4,1855 Jatmosfera-litro I I atm-l I I = 101,325 J

British Thermal Unit II Btu I I = 1055,06 JMedidas de POTENCIA

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Unidade I I Simbololl Equlvalenela Iwatt I I W I I 1 J -I N -I k 2 - 3 1= .S = .m.s = g.m.s .

horse I!0wer I I hp I I = 745,7 W Icavalo vaI!orll cv I I = 0,9863 hp = 735,5 W I

Medidas de PRESSAO

Unidade Simbololl EquivaleneiaI!ascal Pa I I = 1N.m-2 = 1 kgF.m-l.s-2

atmosfera atm I I = 101325 Pa = 101325 N.m-2bar bar I I = 105 Pa

torricceli Torr I I = (101325/760) Pa ~ 133,322 Palmilimetro de mercuric (convencional)11 mmHgll = 1 torr I

libra I!or I!olegada guadrada I I psi I I ~ 6,894 757 x 103 Pa Irnilimetro de agya I I mmH2011 ~ 9,859 503 Pa IMedidas de VISCOSIDADE DINAMICA

Unidade I I Simbolo I I Equivaleneiaunidade do SIU Pa.s = N.m-2.s = kg.mi.s"

I!oise P = lO-lpa.scentiI!oise cP =mPa.s

Medidas de TEMPERATURA TERMODINAMICA

Unidade I I Simbolo Equivalencia IKelvin I I K =lK Igrau Celsius I I C = T (K) - 273,151

grau Fahrenheitll of = 1,8 T (C) + 321Retirado de http://pt.wikipedia.org Categoria: Geometria

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http://pt.wikipedia.org/http://pt.wikipedia.org/


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Biografia

Pltagoras

pormenor d'A escola de Atenas de RaffaeUo Sanzio (1509).Pitagoras (do grego IIu9ayopac;) foi urn filosofo e matematico grego que nasceu em Samos pelos anos de 571 a.C. e 570 a.C. emorreu provavelmente em 497 a. C. ou 496 a.C. em Metaponto.A sua biografia esta envolta em lendas. Diz-se que 0 nome signfica altar da Pitia ou 0 que foi anunciado pela Pitia, pois sua mile aoconsultar a pitonisa soube que a crianca seria urn ser excepcional.Pitagoras foi 0 fundador de urna escola de pensamento grega chamada em sua homenagem de pitagorica.

Da vida de Pitagoras quase nada pode ser afirmado com certeza, ja que ele foi objeto de urna serie de relatos tardios e fantasiosos,como referentes a suas viagens e a seus contatos com as culturas orientais. Parece certo, contudo, que 0 Filosofo e matematico gregonasceu no ano de 571 a.C. ou 570 a.C. na cidade de Samos, fundou urna escola mistica e filosofica em Crotona (colonia grega napeninsula italica), cujos principios foram determinantes para evolucao geral da matematica e da filosofia ocidental cujo principaisenfoques eram: harmonia matematica, doutrina dos mimeros e dualismo cosmico essencial. Alias, Pitagoras foi 0 criador da palavra"filosofo".

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[ r ; 5 : JPitagoras cunhado em moedaA S pitagoricos (seguidores da escola Pitagorica) interessavam-se pelo estudo das propriedades dos mimeros - para eles 0 numero(sinonimo de harmonia) era considerado como essencia das coisas - e constituido entao da soma de pares e impares , nocces opostas(limitado e ilimitado) respectivamente mimeros pares e impares expressando as relacoes que se encontram em permanente processode mutacao, criando a teoria da harmonia das esferas (0 cosmos e regido por relacoes matematicas),A observacao dos astros sugeriu-lhes a ideia de que urna ordem domina 0 universo. Evidencia disso estariam no dia e noite, noalterar-se das estacoes e no movimento circular e perfeito das estrelas, por isso 0mundo poderia ser chamado de cosmos, termo quecontem as ideias de ordem, de correspondencia e de beleza. Nessa cosmovisao tambem conc1uiram que a terra e esferica, estrelaentre as estrelas que se movem ao redor de urn fogo central. Alguns pitagoricos chegaram ate a falar da rotacao da Terra sobre seueixo, mas a maior descoberta de Pitagoras ou de seus discipulos (ja que ha obscuridades que cerca 0 pitagorismo devido ao carateresoterico e secreto da escola) deu-se no dominio da geometria e se refere as relacces entre os lados do triangulo retangulo,Foi expulso de Crotona e passou a morar em Metaponto, onde morreu provavelmente em 497 a. C. ou 496 a.C..A escola de PibigorasSegundo 0 pitagorismo, a essencia, que e 0 principio fundamental que forma todas as coisas e 0 numero. as pitagoricos naodistinguem forma, lei, e substancia, considerando 0mimero 0 elo entre estes elementos. Para esta escola existiam quatro elementos:terra, agua, ar e fogo.Assim, Pitagoras e os pitagoricos investigaram as relacoes matematicas e descobriram varies fundamentos da fisica e da matematica,

[ ! 5 = Ja pentagrama era 0 simbolo da Escola Pitagorica,

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o simbolo utilizado pela escola era 0 pentagrama, que, como descobriu Pitagoras, possui algumas propriedades interessantes. Urnpentagrama e obtido tracando-se as diagonais de urn pentagono regular; pelas intersecoes dos segmentos desta diagonal, e obtido urnnovo pentagono regular, que e proporcional ao original exatamente pela razao aurea,Pitagoras descobriu em que proporcoes urna corda deve ser dividida para a obtencao das notas musicais d6, re, mi, etc. Descobriuainda que fracoes simples das notas, tocadas juntamente com a nota original, produzem sons agradaveis, Ja as fracoes maiscomplicadas, tocadas com a nota original, produzem sons desagradaveis.o seu nome esta ligado principalmente ao importante teorema que afirma: Em todo triangulo retangulo, a soma dos quadrados doscatetos e igual ao quadrado da hipotenusa.Alem disto, os pitag6ricos acreditavam na esfericidade da Terra e dos corpos celestes, e na rotacao da Terra, com 0 que explicavam aaltemancia de dias e noites.A escola pitag6rica era conectada com concepcoes esotericas e a moral pitag6rica enfatizava 0 conceito de harmonia, praticasasceticas e defendia a metempsicose.

Durante 0 seculo IV a.C., verificou-se, no mundo grego, urna revivescencia da vida religiosa. Segundo alguns historiadores, urn dosfactores que concorreram para esse fenomeno foi a linha politica adotada pelos tiranos: para garantir seu papel de lideres populares epara enfraquecer a antiga aristocracia, os tiranos favoreciam a expansao de cultos populares ou estrangeiros.Dentre estes cultos, urn teve enorme difusao: 0Orfismo (de Orfeu), originario da Tracia, e que era urna religiao essencialmenteesoterica. Os seguidores desta doutrina acreditavam na imortalidade da alma, ou seja, enquanto 0 corpo se degenerava, a sua almamigrava para outro corpo, por varias vezes, a fim de efetivar sua purificacao. Dioniso guiaria este cicIo de reencamacoes, podendoajudar 0 homem a libertar-se dele.Pitagoras seguia urna doutrina diferente. Teria chegado it concepcao de que todas as coisas sao mimeros e 0 processo de libertacao daalma seria resultante de urn esforco basicamente intelectual. A purificacao resultaria de urn trabalho intelectual, que descobre aestrutura numerica das coisas e torna, assim, a alma como urna unidade harmonica. Os mimeros nao seriam, neste caso, os sfmbolos,mas os valores das grandezas, ou seja, 0mundo nao seria composto dos mimeros 0, 1,2, etc., mas dos valores que eles exprimem.Assim, portanto, urna coisa manifestaria externamente a sua estrutura numerica, sendo esta coisa 0 que e por causa deste valor.Numerus perfeitosA soma dos divisores de determinado mimero com excecao dele mesmo, e 0 pr6prio mimero. Exemplos:Os divisores de 6 sao: 1,2,3 e 6. Entao, 1 + 2 + 3 = 6.Os divisores de 28 sao: 1,2,4,7,14 e 28. Entao, 1+ 2 + 4 + 7 + 14=28.Mas 0 que de fato deu fama aos pitag6ricos foi a demonstracao de urn teorema, provavelmente 0mais famoso da hist6ria daMatematica: 0Teorema de Pitagoras que diz "Nurn triangulo retangulo, 0 quadrado da hipotenusa e igual a soma dos quadrados doscatetos."

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Um problema nao solucionado na epoca de Pitagoras era determinar as relacoes entre os lados de urn triangulo retangulo. Pitagorasprovou que a soma dos quadrados dos catetos e igual ao quadrado da hipotenusa.Conta a lenda que, como prova de gratidao por ter demonstrado esse teorema, Pitagoras sacrificou 100 bois aos deuses.

o segmento de medida C foi chamado de hipotenusa e os de medida A e B foram chamados de catetos.Outros matematicos, muito antes de Pitagoras, conheciam 0 teorema mas nenhurn deles, are entao, havia conseguido demonstrar queele era valido para qualquer triangulo retangulo.Talvez nenhurna outra relacao geometrica seja tao utilizada em matematica como 0 Teorema de Pitagoras, Ao longo dos seculos,foram sendo registrados muitos problemas curiosos, cuja a resolu9ao tem como base este famoso teorema.

Fonte: wlkipedla,

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apostila cálculos de caldeiraria

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