apostila 4 mat 1 - funÇÃo modular - 8.10 e...
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APOSTILA 4 – MATEMÁTICA –1 (ÁLGEBRA) – FUNÇÃO MODULAR 37- TÓPICO 8.10 -
=8.10. FUNÇÃO MODULAR 8.10.1. FUNÇÃO DEFINIDA POR MAIS DE UMA SENTENÇA EXEMPLO 1:
EXEMPLO 2:
APOSTILA 4 – MATEMÁTICA –1 (ÁLGEBRA) – FUNÇÃO MODULAR 38- TÓPICO 8.10 -
8.10.2. MÓDULO DE UM NÚMERO REAL Dado um número real x, chama-se módulo ou valor absoluto de x, e indica-se com o número real não negativo tal que:
|x| ,
0xse,x|x|
ou
0xse,x|x|
Exemplos:
7|7|
0|0|
4|4|
Observação: |x|x 2 , assim, a informação 1)1( 2 É FALSA!
8.10.3. DEFINIÇÃO DA FUNÇÃO MODULAR Chama-se função modular a função de IR em IR dada pela lei .|x|)x(f
0xse,x
0xse,x)x(f|x|)x(f
8.10.4. GRÁFICO DA FUNÇÃO MODULAR
APOSTILA 4 – MATEMÁTICA –1 (ÁLGEBRA) – FUNÇÃO MODULAR 39- TÓPICO 8.10 -
|
8.10.5. GRÁFICOS DE FUNÇÕES EM MÓDULO Exemplo 1: 1x|)x(f
Exemplo 2: |4x|)x(f 2
APOSTILA 4 – MATEMÁTICA –1 (ÁLGEBRA) – FUNÇÃO MODULAR 40- TÓPICO 8.10 -
1
Exemplo 3: |x|)x(h
Obs.: Uma maneira prática para deslocarmos o gráfico do exemplo anterior é, na fig 1, deslocarmos o eixo
das abscissas para cima uma unidade.
Exemplo 4: 2)3x()x(f
APOSTILA 4 – MATEMÁTICA –1 (ÁLGEBRA) – FUNÇÃO MODULAR 41- TÓPICO 8.10 -
g e
Exemplo 5: |1x||1x|)x(f 1º passo: fazer ; )x(h)x(g)x(f 2º passo: analisar o comportamento algébrico de g(x) e de h(x) individualmente, ou seja:
1xse,1x
1xse,1x|1x|)x(
1xse,1x
1xse,1x|1x|)x(h
3º passo:
Assim,
1xse,x2
1x1se,2
1xse,x2
|1x||1x|)x(f
Exemplo 6: Construa o gráfico de |1x||x|2)x(f e determine suas raízes.
Analogamente ao exemplo anterior, temos:
Do gráfico vemos que há duas raízes,
A primeira é 1 ; A segunda está entre 0 e 1. De fato, se
3
1x01x3 .
APOSTILA 4 – MATEMÁTICA –1 (ÁLGEBRA) – FUNÇÃO MODULAR 42- TÓPICO 8.10 -
|
Exemplo 7: 2|3x2||)x(f
APOSTILA 4 – MATEMÁTICA –1 (ÁLGEBRA) – FUNÇÃO MODULAR 43- TÓPICO 8.10 -
EXERCÍCIOS: 1) Construir o gráfico da função 2|1x|)x(f . RESPOSTA:
2) Construir o gráfico da função | e determinar o seu domínio e conjunto imagem.
x4x|)x(f 2 RESPOSTA:
3) Construir o gráfico da função
e determinar seu domínio e conjunto imagem.
2|3x4x|)x(f 2
RESPOSTA:
4) Determine o conjunto imagem da função
definida no intervalo real |2x|)x(f ]3,1[ . RESPOSTA:
}3x1|IRy{
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8.11. EQUAÇÕES MODULARES NA VARIÁVEL x Basicamente existem quatro tipos de equações modulares:
TIPO 1: realºn)xemressão(exp
Exemplo: . 2|1x|
1x21x
ou
3x21x
2|1x|
}3;1{S
TIPO 2: )xemressãoexpoutra(k)xemressão(exp , onde k .IR
Exemplo: . |2x|2|2x|
3
2x)2x(22x
ou
6x)2x(22x
|2x|2|2x|
}3
20;6{S
TIPO 3: )xemressão(exp (outra expressão em x).
Atenção, observe que temos uma expressão em x no segundo membro da equação representando o resultado do módulo presente no primeiro membro; sabemos que o resultado de um módulo não pode ser negativo.
Assim, para este tipo de equação modular, deveremos iniciar sua resolução impondo a condição de existência do módulo em questão, vejamos o exemplo abaixo:
Exemplo: . 1x5|5x3|
Condição de existência do módulo: 5
1x01x5
Resolvendo a equação:
4
3x1x55x3
ou
2x1x55x3
1x5|5x3|
Verificando na condição de existência:
4
3S
APOSTILA 4 – MATEMÁTICA –1 (ÁLGEBRA) – FUNÇÃO MODULAR - TÓPICO 8.10 -
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TIPO 4: A equação apresenta 2x .
Exemplo: 08x2x 2
Para resolvermos este tipo de equação deveremos fazer yx .
Assim, .08y2y 2
2y
ou
4y
08y2y 2
Efetuando o retorno à variável x:
4x 2x
4x
ou
4x
IRx
Resposta: }4;4{S Nota: Existem basicamente estes quatro tipos de equações modulares, entretanto, é
necessário estar atento às diversas combinações de equações geradas a partir destes tipos.
Exemplo: Resolva, em IR, a equação . 02|1x|3|1x|2 2 Resolução:
Resposta: 3;1S
APOSTILA 4 – MATEMÁTICA –1 (ÁLGEBRA) – INEQUAÇÕES MODULARES 46- TÓPICO 8.12
8.12. INEQUAÇÕES MODULARES Sendo “EEX” uma expressão em x e “k” um número real positivo, de modo geral temos dois casos de inequações modulares:
CASO 1: kEEX CASO 2: kEEX
kEEXk
kEEX
ou
kEEX
Exemplo-1: Resolva 21x .
3x1
21x2
3,1S
Exemplo-2: Resolva 52x .
7x52x
ou
3x52x
7xou3x|IRxS
Obs.: Os casos 1 e 2 também se verificam, respectivamente, para as situações de "."e"" Exemplo 3: Resolva, em IR, a inequação 1x|1x2| .
Neste exemplo temos, no segundo membro, outra expressão em x; assim, teremos que analisar duas situações:
Como sabemos que
)II(2
1xse,1x2
)I(2
1xse,1x2
|1x2|
Em ( I ): 2
1x (a) e 1x1x2 2x (b)
Então teremos }2x|IRxS)b()a(1
Em ( II ): 2
1x (c) e 1x1x2 0x (d)
Então teremos }0x|IRxS)d()c(2
Logo, a solução da inequação dada é:
}2xou0x|IRxSS21
APOSTILA 4 – MATEMÁTICA –1 (ÁLGEBRA) – INEQUAÇÕES MODULARES - TÓPICO 8.12
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EXERCÍCIOS
1) Resolva, em IR, a inequação 31x2 . Resposta: }2xou1x|IRx{S
2) Resolva, em IR, a inequação 14x . Resposta: }5x3|IRx{S
3) Resolva a inequação 03x4x 2 , em IR. Resposta: }3xou3xou1x1|IRx{S
4)
Resolva a inequação 01x
4x
, em IR. Resposta:
}1xe4x|IRx{S
5) Determine o domínio D da função .
Resposta: }4xou1x|IRx{D 35x2
1)x(f
APOSTILA 4 – MATEMÁTICA –1 (ÁLGEBRA) – FUNÇÃO MODULAR 48
TESTES COMPLEMENTARES 1)
Resposta:A
2)
Resposta:C
3)
Resposta B
4)
Resposta A
5)
Resposta: D
APOSTILA 4 – MATEMÁTICA –1 (ÁLGEBRA) – FUNÇÃO MODULAR 49
6)
Resposta: B
7)
Resposta: B
8)
Resposta: C
9)
Resposta: C
10)
Resposta: C
11)
Resposta: B
APOSTILA 4 – MATEMÁTICA –1 (ÁLGEBRA) – FUNÇÃO MODULAR 50
12)
Resposta: A
13)
Resposta: B
14)
Resposta: A
15)
Resposta: C
16)
Resposta: A
17)
Resposta: B
APOSTILA 4 – MATEMÁTICA –1 (ÁLGEBRA) – FUNÇÃO MODULAR 51
18)
Resposta: D
19)
Resposta: E
20)
Resposta: C
APOSTILA 4 – MATEMÁTICA –1 (ÁLGEBRA) – FUNÇÃO MODULAR 52
QUESTÕES DISCURSIVAS D1)
Respostas: a)
b)
Somente para 6
7x
c)
2
7xe
4
5x
D2)
Respostas: a) -1, 0 e 1 b)
c)