apostila 1_te i
TRANSCRIPT
TEORIA DAS ESTRUTURAS IParte 1Notas de Aula CIV208
Ricardo Azoubel da Mota Silveira
Colaborao:
A ndra Regina D ias da Silva Bruno Palhares
Departamento de Engenharia Civil Escola de Minas Universidade Federal de Ouro Preto 2008
SUMRIO
1. Introduo1.1. 1.2. 1.3. 1.4. Engenharia Estrutural .................................................................................... 1 Projetos de Engenharia ................................................................................ 16 Anlise Estrutural ......................................................................................... 16 Importncia: Teoria das Estruturas ............................................................... 17
2. Fundamentos2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. 2.6. 2.7. 2.8. 2.9. 2.10. 2.11. 2.12. 2.13. Sistema de Referncia: Cartesiano .............................................................. 18 Momento de uma Fora/Regra da Mo Direita ............................................. 18 Equaes de Equilbrio ................................................................................ 19 Transmisso de Foras ................................................................................ 19 Idealizao: Modelos ................................................................................... 20 Princpio da Superposio ........................................................................... 20 Tipos de Esforos (Foras) Atuantes ........................................................... 20 Tipos de Apoio ............................ ............................................................... 21 Reaes de Apoio ........................... ........................................................... 21 Esforos (Foras) Seccionais ....................................................................... 22 Conveno Clssica de Sinais ..................................................................... 22 Classificao das Estruturas de Barras ........................................................ 23 Vigas ............................................................................................................ 24
2.13.1. Vigas Isostticas .......................................................................................... 25 2.13.2. Vigas Gerber ................................................................................................ 26
3. Sistemas Estruturais3.1. 3.2. 3.3. 3.4. 3.5. Tipos de Apoio ............................ ............................................................... 27 Vigas e Prticos (Quadros) .......................................................................... 27 Arcos ........................................................................................................... 31 Trelias ........................................................................................................ 38 Grelhas ........................................................................................................ 44
4. Prticos (Quadros) Isostticos4.1. 4.2. 4.3. 4.4. 4.5. 4.6. 4.7. 4.8. 4.9. 4.10. 4.11. 4.12. Introduo .................................................................................................... 49 Prticos Biapoiados ..................................................................................... 52 Prticos Engastados-Livres .......................................................................... 52 Prticos Triarticulados .................................................................................. 53 Prticos Biapoiados com Articulao e Tirante (Escora) .............................. 53 Prticos Compostos ..................................................................................... 54 Estabilidade ................................................................................................. 59 Grau de Indeterminao .............................................................................. 61 Barras Inclinadas ......................................................................................... 63 Prticos com Barras Curvas (Arcos) ............................................................ 68 Arcos Triarticulados ..................................................................................... 68 Prticos Espaciais ........................................................................................ 76
Referncias Bibliogrficas ................................................................................. 79
1. INTRODUO
1.1. ENGENHARIA ESTRUTURAL
Concepo Projeto Construo do sistema estrutural
INTERFACE COM DIVERSAS DISCIPLINAS
a) Exemplos de projetos que envolvem Engenharia Estrutural
Passarelas
Teoria das Estruturas I
1
INTRODUO
(Av. Nossa Senhora do Carmo, BH)
Teoria das Estruturas I
2
INTRODUO
Teoria das Estruturas I
3
INTRODUO
Termoeltricas
Termoeltrica de Cogerao Cemig V&M Tubes do Brasil
Teoria das Estruturas I
4
INTRODUO
Parque de Exposies
Teoria das Estruturas I
5
INTRODUO
Pontes
Teoria das Estruturas I
6
INTRODUO
Teoria das Estruturas I
7
INTRODUO
Galpes
Teoria das Estruturas I
8
INTRODUO
Edifcios Residenciais
Teoria das Estruturas I
9
INTRODUO
Edifcios Comerciais
Escolas
Teoria das Estruturas I
10
INTRODUO
Barragens
Estruturas Offshore
Teoria das Estruturas I
11
INTRODUO
Estruturas Offshore
Veculos
Teoria das Estruturas I
12
INTRODUO
Outros
Catedral Metropolitana - DF Oscar Niemeyer
Millenium Dome Greenwich Tensoestrutura
Teoria das Estruturas I
13
INTRODUO
Pavilho de Exposies em Leipzig
Teoria das Estruturas I
14
INTRODUO
Terminal Martimo de Ponta da Madeira CVRD
Teoria das Estruturas I
15
INTRODUO
1.2. PROJETOS DE ENGENHARIA
Concepo Em conjunto com o cliente, arquitetos, planejadores e outros.
Projeto preliminar Importante participao do engenheiro estrutural. Definio da construo propriamente dita (ao, concreto, madeira, bambu, alvenaria, tenso-estruturas, etc).
Seleo Escolha da alternativa com melhor relao custo/benefcio. Papel importante do eng. calculista.
Projeto Final Anlise estrutural precisa. Detalhamento completo com desenhos e especificaes.
Construo Fabricao e transporte quando necessrio. poca de grandes transtornos.
1.3. ANLISE ESTRUTURAL
Processo pelo qual o Engenheiro Estrutural determina a resposta da estrutura a partir de determinadas aes ou cargas.
Teoria das Estruturas I
16
INTRODUO
Mtodos de Anlise Clssicos: Surgiram da necessidade da poca, com certo avano tecnolgico (Mtodo de Cross).
Matriciais: A partir da utilizao e evoluo dos computadores. Por exemplo, Mtodo dos Elementos Finitos (MEF), Mtodo das Diferenas Finitas (MDF) e Mtodo dos Elementos de Contorno (MEC).
1.4. IMPORTNCIA: TEORIA DAS ESTRUTURAS I
Conceitos Fundamentais Sero obtidos atravs dos mtodos clssicos aplicados a problemas de pequeno porte que devero ser resolvidos manualmente.
Disciplinas Eletivas Sero apresentados os mtodos matriciais com as suas respectivas formas de programao.
Teoria das Estruturas I
17
2. FUNDAMENTOS
2.1. SISTEMA DE REFERNCIA: CARTESIANO
2.2. MOMENTO DE UMA FORA / REGRA DA MO DIREITA
Teoria das Estruturas I
18
FUNDAMENTOS 2.3. EQUAES DE EQUILBRIO
a. No plano
FF
X
=0=0
Y
M
A
=0
b. No espao
F
X
= 0,X
F
Y
= 0,
F
Z
=0
M
= 0, MY = 0, MZ = 0
2.4. TRANSMISSO DE FORAS
laje viga Estrutura coluna
Fundaes
Teoria das Estruturas I
19
FUNDAMENTOS 2.5. IDEALIZAO: MODELOS
p
p
R
Eixo geomtrico Seo Transversal
R
R Representao unifilar
R
Barra deformada
p
R Tangente ao eixo geomtrico deformado Representao adotada nesta apostila
R
2.6. PRINCPIO DA SUPERPOSIO
P F F
P
=
+
2.7. TIPOS DE ESFOROS (FORAS) ATUANTES
permanentes ativos externos reativos seccionais ou solicitantes internos acidentais estticos dinmicos
Teoria das Estruturas I
20
FUNDAMENTOS 2.8. TIPOS DE APOIO
RRepresentaes
DenominaesArticulado mvel ou apoio de rolete (no espao bidimensional) Articulado fixo (no espao bidimensional) Engaste ou fixo (no espao bidimensional) Engaste no espao tridimensional Articulado esfrico fixo
ReaesVertical
Deslocamentos LivresHorizontal e rotao
Horizontal e vertical Horizontal, vertical e momento Foras e momentos segundo trs eixos ortogonais Foras segundo trs eixos ortogonais Vertical
Rotao
Nenhum
Nenhum
Rotaes
Articulado esfrico mvel Luva ou com guia de deslizamento Patim
Horizontais e rotaes
Vertical e momento Horizontal e momento
Horizontal
Vertical
2.9. REAES DE APOIODenominaesArticulado mvel (no plano XY)
Reaes
Articulado fixo (no plano XY)
Engaste (no plano XY)
Engaste no espao tridimensional
Articulado esfrico fixo
Articulado esfrico mvel
Luva
Patim
Teoria das Estruturas I
21
FUNDAMENTOS 2.10. ESFOROS (FORAS) SECCIONAIS Esforo ou fora normal N Esforo ou fora cortante V Momento fletor M Momento de toro TSeo transversal
a) Deformaes
Esforo normal
Esforo cortante
Momento fletor
Momento de toro
2.11. CONVENO CLSSICA DE SINAIS
Esforo normal
Momento fletor
Esforo cortante
Momento de toro
Teoria das Estruturas I
22
FUNDAMENTOS 2.12. CLASSIFICAO DAS ESTRUTURAS DE BARRAS
Viga Prtico (plano e espacial) Grelha Trelia (plana e espacial) Mista com arcos, escoras, tirantes e/ou cabos
(a) Viga biapoiada
(b) Viga em balano
(c) Prtico plano
(d) Prtico espacial
(e) Grelha
(f) Trelia plana
(g) Trelia espacial
Teoria das Estruturas I
23
FUNDAMENTOS
Em arco inferior
Em arco superior (h) Mista com arcos, escoras, tirantes e/ou cabos
2.13. VIGASp
P
(a) Biapoiada P
(b) Em balano p
(c) Biengastada p P
(d) Contnua de 2 vos p P
(e) Biapoiada com 1 balano P p
(f) Contnua de 2 vos e 2 balanos p
(g) Biapoiada com 2 balanos
(h) Contnua de 3 vos
Teoria das Estruturas I
24
FUNDAMENTOS 2.13.1. VIGAS ISOSTTICAS
P
p
(a) Biapoiada
(b) Em balano
p
P
p
(c) Biapoiada com 1 balano
(d) Biapoiada com 2 balanos
a) Diagramas
DMF
DMF
DMF
Teoria das Estruturas I
25
FUNDAMENTOS 2.13.2. VIGAS GERBER
Teoria das Estruturas I
26
3. SISTEMAS ESTRUTURAIS EM BARRAS3.1. TIPOS DE APOIOS
Articulado mvel (apoio do 1o gnero)
Articulado fixo (apoio do 2o gnero)
Engaste
3.2. VIGAS E PRTICOS (QUADROS)
Teoria das Estruturas I
27
SISTEMAS ESTRUTURAIS EM BARRAS
Teoria das Estruturas I
28
SISTEMAS ESTRUTURAIS EM BARRAS
Teoria das Estruturas I
29
SISTEMAS ESTRUTURAIS EM BARRAS
Teoria das Estruturas I
30
SISTEMAS ESTRUTURAIS EM BARRAS
3.3. ARCOS
Teoria das Estruturas I
31
SISTEMAS ESTRUTURAIS EM BARRAS
Teoria das Estruturas I
32
SISTEMAS ESTRUTURAIS EM BARRAS
Teoria das Estruturas I
33
SISTEMAS ESTRUTURAIS EM BARRAS
Teoria das Estruturas I
34
SISTEMAS ESTRUTURAIS EM BARRAS
Teoria das Estruturas I
35
SISTEMAS ESTRUTURAIS EM BARRAS
Teoria das Estruturas I
36
SISTEMAS ESTRUTURAIS EM BARRAS
Teoria das Estruturas I
37
SISTEMAS ESTRUTURAIS EM BARRAS
3.4. TRELIAS
Teoria das Estruturas I
38
SISTEMAS ESTRUTURAIS EM BARRAS
Teoria das Estruturas I
39
SISTEMAS ESTRUTURAIS EM BARRAS
Teoria das Estruturas I
40
SISTEMAS ESTRUTURAIS EM BARRAS
Teoria das Estruturas I
41
SISTEMAS ESTRUTURAIS EM BARRAS
Teoria das Estruturas I
42
SISTEMAS ESTRUTURAIS EM BARRAS
Teoria das Estruturas I
43
SISTEMAS ESTRUTURAIS EM BARRAS
3.5. GRELHAS
(a) A grid derived from a three-way pattern
(b) A grid derived from a four-way pattern
(c) Removal of dotted lines gives rise to the pattern of the grid above
(d) Removal of dotted lines gives rise to the pattern of the grid above
Teoria das Estruturas I
44
SISTEMAS ESTRUTURAIS EM BARRAS
Open or grid type paving units which allows grass to grow up through the regularly spaced openings
Teoria das Estruturas I
45
SISTEMAS ESTRUTURAIS EM BARRAS
Teoria das Estruturas I
46
SISTEMAS ESTRUTURAIS EM BARRAS
Teoria das Estruturas I
47
SISTEMAS ESTRUTURAIS EM BARRAS
Teoria das Estruturas I
48
4. PRTICOS (QUADROS) ISOSTTICOS4.1. INTRODUO
a) DefinioSo estruturas reticuladas formadas por vrias barras situadas num nico plano, com carregamento atuante no mesmo plano do sistema estrutural. Observaes Os ns entre as barras so LIGAES RGIDAS ou ROTULADAS. Esforos solicitantes numa dada seo: Prticos simples ou compostos. Barras retilneas ou curvas (arcos). MOMENTO FLETOR (M), ESFORO CORTANTE (V) e ESFORO NORMAL (N).
b) Exemplos Prticos com barras retilneasP p P P
(a) Biapoiado P
(b) Triarticulado
(c) Atirantado, biapoiado e articulao interna P P P P
p
p P
(d) Em balano
(e) De mltiplos vos
(f) De mltiplis andares
Teoria das Estruturas I
49
PRTICOS (QUADROS) ISOSTTICOS
Prticos com barras curvas
p
p
(a) Biapoiado
(b) Biengastado com articulao
p
p
(c) Triarticulado
(d) Atirantado
Prticos compostos
Teoria das Estruturas I
50
PRTICOS (QUADROS) ISOSTTICOS
Prticos espaciais
c) Diagramas de esforos solicitantes
1. Momento Fletor (DMF)
Obter os momentos fletores atuantes nos ns das barras e, em seguida, lig-los por uma linha reta tracejada. A partir dessa linha reta, penduram-se os diagramas de vigas biapoiadas referentes aos carregamentos que atuam sobre cada uma das barras que constituem o quadro.
2. Esforos Cortantes (DEC) e Esforos Normais (DEN)
Obteno imediata dos diagramas a partir do conhecimento das reaes de apoio.
Teoria das Estruturas I
51
PRTICOS (QUADROS) ISOSTTICOS
4.2. PRTICOS BIAPOIADOS
Exemplo: Pede-se as reaes e os diagramas (DMF, DEC e DEN).
F
C
D
E H
G
B
A
4.3. PRTICOS ENGASTADOS-LIVRES
Exemplo: Pede-se as reaes e os diagramas (DMF, DEC e DEN).
E
D
F
B C
A
Teoria das Estruturas I
52
PRTICOS (QUADROS) ISOSTTICOS
4.4. PRTICOS TRIARTICULADOS
Exemplo: Pede-se as reaes e os diagramas (DMF, DEC e DEN).
4.5. PRTICOS BIAPOIADOS COM ARTICULAO E TIRANTE (OU ESCORA)
a) Escoras e tirantes Definio: Uma barra biapoiada sem carregamento aplicado diretamente sobre ela que funciona como uma ligao do primeiro gnero, na qual surgem apenas foras na direo do seu eixo (esforo normal). Quando a barra est COMPRIMIDA, diz-se que uma ESCORA. Quando est TRACIONADA, diz-se que um TIRANTE.
N
NTi ra nt e
ra co Es
N
N
Teoria das Estruturas I
53
PRTICOS (QUADROS) ISOSTTICOS
b) Exemplo: Pede-se as reaes e os diagramas (DMF, DEC e DEN)
E
F
C
D
A
B
4.6. PRTICOS COMPOSTOS
a) Definio: So estruturas formadas atravs de associaes de quadros simples.
Quadro Composto
Quadros Simples
Teoria das Estruturas I
54
PRTICOS (QUADROS) ISOSTTICOS
b) Soluo 1. Decompor o quadro composto original em quadros simples. 2. Verificar quais os quadros com e sem estabilidade prpria. 3. Resolver primeiro os quadros simples sem estabilidade prpria para o carregamento atuante sobre eles. 4. Resolver em seguida os quadros simples com estabilidade prpria para o carregamento atuante sobre eles, acrescidos das foras transmitidas pelas rtulas.
Exemplos:
Quadro Composto
Quadros Simples
Teoria das Estruturas I
55
PRTICOS (QUADROS) ISOSTTICOS
Quadro Composto
Quadros Simples
Quadro Composto
Quadros Simples
Teoria das Estruturas I
56
PRTICOS (QUADROS) ISOSTTICOS
Quadro Composto
Quadros Simples
Quadro Composto
Quadros Simples
Teoria das Estruturas I
57
PRTICOS (QUADROS) ISOSTTICOS
Quadro Composto
Quadros Simples
c) Exemplo: Pede-se as reaes e os diagramas (DMF, DEC e DEN).
Quadro Composto
Teoria das Estruturas I
58
PRTICOS (QUADROS) ISOSTTICOS
4.7. ESTABILIDADE
Restrio Inadequada Restrio Parcial
Restrio Inadequada
a) Conceito Bsico
Est relacionado com as restries impostas estrutura (vigas, quadros, prticos, etc), ou se a estrutura geometricamente instvel ou estvel.
Restries Parciais Restries Inadequadas
r < 3nr 3n
r = nmero de incgnitas (reaes e foras) n = nmero de partes do sistema estrutural Situaes As reaes so concorrentes (as linhas de ao das reaes se interceptam um ponto em comum) ou so paralelas.
Teoria das Estruturas I
59
PRTICOS (QUADROS) ISOSTTICOS
1. Restries Parciais: r < 3n
2. Restries Inadequadas: r 3n
Teoria das Estruturas I
60
PRTICOS (QUADROS) ISOSTTICOS
f) Aplicao Classifique cada uma das estruturas a seguir como estvel ou instvel. As
estruturas so submetidas a carregamentos externos conhecidos e que podem atuar em qualquer lugar.
(d)
(a)
(b)
(c)
(e)
4.8. GRAU DE INDETERMINAO
a) Conceito Bsico
1. Estrutura Estaticamente Determinada r = 3n
Todas as foras (reaes e esforos internos) podem ser avaliadas atravs das equaes de equilbrio da mecnica clssica.2. Estrutura Estaticamente Indeterminada r > 3n
As estruturas (vigas, quadros, prticos, etc) tm mais foras incgnitas do que equaes de equilbrio da mecnica clssica.r = nmero de incgnitas (reaes e foras) n = nmero de partes do sistema estrutural
Teoria das Estruturas I
61
PRTICOS (QUADROS) ISOSTTICOS
b) Aplicao
Classifique cada uma das vigas a seguir como estaticamente determinada ou estaticamente indeterminada. Se estaticamente indeterminada avalie o grau de indeterminao. As vigas so submetidas a carregamentos externos conhecidos e que podem atuar em qualquer lugar.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
Teoria das Estruturas I
62
PRTICOS (QUADROS) ISOSTTICOS
(j)
(k)
(l)
4.9. BARRAS INCLINADAS
a) CASO A: Fora distribuda em uma barra inclinada
cos =
x
sen =
y
Definio de p1 e p2: p1 = p x Definio de p3 e p4:
1y
e p2 = p y
1x
p3 = p1 sen + p2 cos p4 = p1 cos + p2 sen
p3 = p xp4 = px
2 y 2
+ pyx 2 y
2 x 2
+ py
x 2
y
Teoria das Estruturas I
63
PRTICOS (QUADROS) ISOSTTICOS b) CASO B: Fora distribuda transversal em uma barra inclinada
cos =
x
sen =
y
Definio de p1 e p2: p1 = p3 sen = p 3
y
e p 2 = p3 cos = p3
x
Definio de p3 e p4: p x = p1y
p x = p1y
= p3
y y
= p3
p y = p2x
p y = p2x
= p3
x x
= p3
c) Exemplo 1: Prtico plano biapoiado com uma barra inclinada.
(i) Reaes
MB = 0 RA 8 30(1,5 + 5) 20 5 2,5 = 0 R A = 55,625 kN
FY = 0 R A + RB 30 20 5 = 0 RB = 74,375 kNcos = 3 / 5 = 0,6
sen = 4 / 5 = 0,8
Teoria das Estruturas I
64
PRTICOS (QUADROS) ISOSTTICOS
(ii) Esforos solicitantes
Momento FletorDMF DMF (kNm)
Viga auxiliar DMF
Esforo Cortantes e Normais
Seo A:VA = R A cos = 55,625 0,6 = 33,375 kN
NA = R A sen = 55,625 0,8 = 44,5 kN
Seo Cd:VC' = VA 30cos = 33,375 30 0,6 = 15,375 kN
cos = 3 / 5 = 0,6 sen = 4 / 5 = 0,8
NC' = NA + 30sen = 44,5 30 0,8 = 20,5 kN
Seo Dd:VD = R A 30 = 55,625 30 = 25,625 kN
DEC (kN)
ND = 0
Seo B:VB = VD 20 5 = 25,625 100 = 74,375 kN = RBNB = 0
DEN (kN)
Teoria das Estruturas I
65
PRTICOS (QUADROS) ISOSTTICOS
d) Exemplo 2: Barra biapoiada inclinada sob fora vertical uniformemente distribuda na horizontal.
DMF
DEC
DEN
Viga auxiliar
e) Exemplo 3: Barra biapoiada inclinada sob fora horizontal uniformemente distribuda na vertical.
DMF
DEC
DEN
Teoria das Estruturas I
66
PRTICOS (QUADROS) ISOSTTICOS
f) Exemplo 4: Barra biapoiada inclinada sob fora horizontal uniformemente distribuda ao longo do comprimento da barra.
DMF
DEC
DEN
g) Exemplo 5: Barra biapoiada inclinada sob fora vertical uniformemente distribuda ao longo do comprimento da barra
DMF
DEC
DEN
Teoria das Estruturas I
67
PRTICOS (QUADROS) ISOSTTICOS
4.10. PRTICOS COM BARRAS CURVAS (ARCOS)
Exemplo: Pede-se as reaes e os diagramas de esforos (DMF, DEC e DEN).
P
s R
A
B
4.11. ARCOS TRIARTICULADOS
Teoria das Estruturas I
68
PRTICOS (QUADROS) ISOSTTICOS
a) Estudo
1. Arcos triarticulados com carregamentos atuantes em todas as direes: princpios gerais da Esttica j utilizados.
2. Arcos triarticulados com carregamentos verticais: Viga biapoiada de substituio.
b) Viga biapoiada de substituio
Notao Arco: X,Y, A, B, VA, VB, MS, NS, VS Viga: x, y, a, b, Va, Vb, Ms, Ns, Vs
Teoria das Estruturas I
69
PRTICOS (QUADROS) ISOSTTICOS
c) Equaes de equilbrio
Arco
FX = 0
' ' H'A cos HB cos = 0 H'A = HB = H'
(1) (2)
FY = 0
VA + VB Pi = 0 i
MB = 0
VA ( l1 + l2 ) Pi ( l1 + l2 xi ) = 0
Pi (l1 + l2 xi ) VA = i (l1 + l2 )Substituindo (3) em (1):
i
(3)
Pi (l1 + l2 xi ) VB = Pi VA VB = Pi i (l1 + l2 ) i i
(4)VAl1 Pi ( l1 xi ) i
MG
e
= 0 VA l1 H cos f Pi ( l1 xi ) = 0 H = ' ' i
f cos
(5)
Viga de substituio Va + Vb Pi = 0 i
Fy = 0
(6)
Mb = 0
Va ( l1 + l2 ) Pi ( l1 + l2 xi ) = 0
Pi (l1 + l2 xi ) Va = i (l1 + l2 )Substituindo (7) em (6):
i
(7)
Pi (l1 + l2 xi ) Vb = Pi Va Vb = Pi i (l1 + l2 ) i iMomento fletor no ponto g:
(8)
Mg = Va l1 Pi ( l1 xi ) i
(9)
Teoria das Estruturas I
70
PRTICOS (QUADROS) ISOSTTICOS
Comparaes: Arco x Viga de Substituio
Equaes (3) e (7): VA = Va Equaes (4) e (8): VB = Vb Equaes (5) e (9): H' =Mg f cos
(10) (11) (12)
Concluso
As reaes do arco triarticulado podem ser obtidas analisando-se apenas a viga de substituio. d) Esforos solicitantes numa seo genrica S
Arco
MS = VA x
Pi ( x xi ) H' cos yi
(13) (14) (15)
VS = VA cos
Pi cos H' cos sen + H'sen cos i
NS = VA sen +
Pi sen H' cos cos H'sen sen
Simplificando as expresses (14) e (15), tem-se:
MS = VA x
Pi ( x xi ) H' cos yi
(16) (17) (18)
VS = VA Pi cos H' sen ( ) i NS = VA Pi sen H' cos ( ) i
Teoria das Estruturas I
71
PRTICOS (QUADROS) ISOSTTICOS Anlise dos esforos VA e H:
Seo S
VA
N
N = - VA sen V = VA cos
VH H cos :Seo S
VA
H sen :Seo S
N = - H' cos cos V = - H' cos sen N
N
V
N = - H' sen sen V = H' sen cos
H' cos
V
H' sen
Viga
Ms = Va x Vs = Va i
Pi ( x xi )i
(19) (20) (21)
Pi
Ns = 0
Comparaes: Arco x Viga de Substituio
MS = Ms H'cos y VS = Vscos H' sen ( )
(22) (23) (24)
NS = Vs sen H' cos ( )
Observao: essas expresses permanecem vlidas se ocorrerem tambm cargas verticais distribudas.
Teoria das Estruturas I
72
PRTICOS (QUADROS) ISOSTTICOS
e) Linha de Presses: determinao e definio Problema: Qual a forma de um triarticulado AGB tal que, para um dado carregamento, todas as sees tenham MF nulo (MS = 0). Isto , adotando-se a notao empregada, obter a ordenada y para cada seo S tal que MS = 0. So dados l1, l2, f e .
Soluo: Na expresso (22), fazendo-se MS = 0, chega-se a:MS = Ms H' cos y = 0s
Demonstrao que VS = 0 Derivando-se (25):
dMs dy dx = Vs = ' dx H cos H' cos E levando-se em conta que:
y = Y y*
V dy = tg tg = ' s Vs = ( tg tg ) H' cos dx H cos Chega-se, aps a substiuio de (27) em (23), a:
VS = ( tg tg ) H' cos cos H' sen ( ) VS = H' sen ( ) H' sen ( ) = 0
Teoria das Estruturas I
'
y=
M cos H cos
(25)
(26)
dy dY dy * dy = = tg tg dx dx dx dx(27)
(28)
73
PRTICOS (QUADROS) ISOSTTICOS
Avaliao de NS
NS =
( Vs + H'sen ) + (H'cos )
2
2
(29)
Inclinao da tangente ao eixo do arco triarticulado na seo S (ver figura ou Eq. 27):
tg =
Vs + H' sen H'cos
(30)
Concluso: quando um arco triarticulado AGB, para um dado carregamento, est submetido apenas a esforos normais, dizemos que sua forma a da linha de presses desse carregamento.
Observaes Finais:
1. No caso da reta AB ser horizontal:H' = Mg
(31) (32) (33) (34)
f Ms y= ' H
tg tg =
Vs H'
NS = Vs2 + H'2
2. Arcos triarticulados com concavidade voltada para baixo e carregamento de cima para baixo: ESFOROS NORMAIS sempre de COMPRESSO. 3. Arcos triarticulados com concavidade voltada para cima e carregamento de cima para baixo: ESFOROS NORMAIS sempre de TRAO (caso dos CABOS).
Teoria das Estruturas I
74
PRTICOS (QUADROS) ISOSTTICOS
4. Linha de presses: forma ideal para um arco tria rticulado (forma mais econmica de trabalho estrutural). 5. Linha de presses para carregamento uniforme: PA RBOLA do 2 GRAU. 6. Construtores da antiguidade: notvel intuio es ttica (venceram grandes vos com arcos e abbadas de alvenaria de pedra). 7. Arcos triarticulados: encontrados em vrias construes. Arcos biengastados (hiperestticos): mais utilizados na prtica.
f) Aplicao
Deseja-se construir uma estrutura cujo eixo coincida com a linha de presses do carregamento indicado na figura a seguir. Pede-se: a. A linha de presses. b. Os esforos normais mximo e mnimo atuantes. c. A inclinao da tangente ao eixo da estrutura na seo de abscissa x = 2,5 m.
Teoria das Estruturas I
75
PRTICOS (QUADROS) ISOSTTICOS
SoluoViga de substituio??
Arco triarticulado
Viga de substituio
4.12. PRTICOS ESPACIAIS
a) Aplicao
Calcule as reaes e os esforos internos do prtico espacial mostrado abaixo:
Teoria das Estruturas I
76
PRTICOS (QUADROS) ISOSTTICOS Soluo 1: Reaes
Foras
Fx = 0 Fy = 0 Fz = 0
Momentos
Mx = 0 My = 0 Mz = 0
Soluo 2: Esforos Internos
Elemento 3, N 3 ao N 4
Elemento 2, N 2 ao N 3
Teoria das Estruturas I
77
PRTICOS (QUADROS) ISOSTTICOS Elemento 1, N 1 ao N 2
Teoria das Estruturas I
78
REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS
Sssekind, J.C., Curso de Anlise Estrutural, Vol. 1, 12 edio, Editora Globo, Porto Alegre, 1994. Soriano, H.L. Esttica das Estruturas, 1 Edio, Editora Cincia Moderna, 2007. Hibbeler, R.C., Structural Analysis, 7 edio, Prentice Hall, 2008. Gonalves, P.B, Conceitos Bsicos de Anlise Estrutural, Notas de aula, Departamento de Engenharia Civil, PUC-Rio, Rio de Janeiro, 2003.
Teoria das Estruturas I
79