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UNIVERSIDADE DO ALGARVE – ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA

ÁREA DEPARTAMENTAL DE ENGENHARIA CIVIL

APONTAMENTOS DE

ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA

(V. Vectores)

ÁREA DEPARTAMENTAL DE ENGENHARIA CIVIL Vectores

APONTAMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA

Índice

5. Vectores no plano e no espaço.......................................................................................... 1

5.1 Introdução ........................................................................................................................... 1

5.2 Generalidades sobre vectores.............................................................................................. 2

5.3 Norma de um vector............................................................................................................ 6

5.4 Co-senos directores de um vector ....................................................................................... 9

5.5 Produto interno.................................................................................................................. 10

5.6 Ângulo entre dois vectores ............................................................................................... 12

5.7 Projecção ortogonal .......................................................................................................... 15

5.8 Produto externo ................................................................................................................ 17

5.9 Produto misto ................................................................................................................... 27



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5. Vectores no plano e no espaço 5.1 Introdução

Muitas grandezas físicas, como velocidade, força, deslocamento e impulso, para serem completamente

identificadas, precisam, além da magnitude, da direcção e do sentido. Estas grandezas são chamadas

grandezas vectoriais ou simplesmente vectores. Geometricamente, vectores são representados por

segmentos (de recta) orientados (segmentos de rectas com um sentido de percurso) no plano ou no

espaço. A ponta da seta do segmento orientado é chamado ponto final ou extremidade e o outro é

chamado ponto inicial ou origem do segmento orientado.

Segmentos orientados com a mesma direcção, mesmo sentido e mesmo comprimento representam o

mesmo vector. A direcção, o sentido e o comprimento do vector são definidos como sendo a direcção,

o sentido e o comprimento de qualquer um dos segmentos orientados que o representam.

Este facto é análogo ao que ocorre com os números racionais e as fracções. Duas fracções representam

o mesmo número racional se o numerador e o denominador de cada uma delas estiverem na mesma

proporção. Por exemplo, as fracções 1/ 2 , 2 / 4 e 3/ 6 representam o mesmo número racional. A

definição de igualdade de vectores também é análoga à igualdade de números racionais. Dois números

racionais /a b e /c d são iguais, quando ad bc= . Dizemos que dois vectores são iguais se possuem o

mesmo comprimento, a mesma direcção e o mesmo sentido.

Como vimos, os elementos dos espaços vectoriais são designados por vectores. Em tudo o que se segue

vamos considerar o espaço vectorial real (euclidiano) com n dimensões, n� que representa o espaço de

todos os n-uplos ordenados de números reais, { }1 2( , ,..., ) : , 1,2,...,nn ix x x x i n= ∈ =� � . As definições e

os teoremas aqui apresentados poderão ser generalizados a n� , contudo os exemplos serão limitados a

2� ou 3

� , onde os vectores têm representação geométrica.

Os elementos de n� têm duas interpretações geométricas. Podem ser interpretados como pontos, neste

caso consideram-se 1,..., nx x ∈� como as coordenadas do ponto, ou podem ser interpretados como

vectores, neste caso 1,..., nx x ∈� são as componentes escalares do vector. Esta distinção é pouco

importante em termos matemáticos. Vamos representar os vectores de n� com uma seta por cima, por

exemplo, 1( ,..., )nv v v�� , os pontos por letras maiúsculas e a origem por (0,0,...,0)O = =0 .



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5.2 Generalidades sobre vectores

Vamos começar por relembrar, de uma maneira sucinta, alguns conceitos sobre vectores. Para isso,

consideremos em 2� o segmento [ ]AB , como se ilustra na figura1.

Figura1 – Representação de um segmento em 2

� O segmento [ ]AB pode ser orientado de A para B (o sentido a considerar é de A para B) ou de B para

A. Graficamente para se indicar o sentido de segmento usa-se uma seta.

Figura2 – Representação de vectores em 2

�

Definição1: A um segmento orientado [ ]AB de origem em A e extremidade em B, de que se conhece a

direcção, o sentido e o comprimento, dá-se o nome de vector. E representa-se por v AB��

� .

Obs.1: Sendo [ ]AB um segmento orientado está implícita a direcção e o sentido.



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Através da definição conclui-se que um vector v AB��

� fica de totalmente definido se conhecermos:

i) o sentido, por exemplo, de A para B;

ii) a direcção, entre A e B;

iii) o comprimento, a distância entre os pontos A e B (ou seja, o comprimento do segmento [ ]AB , isto

é, AB ) dada pela norma do vector e representada por v�

, como veremos mais adiante.

Obs.2: O vector nulo é representado por 0�

, uma vez que tem comprimento nulo. Note-se que 0�

não

tem direcção (não está associada qualquer direcção).

O vector é “livre”, no sentido que não tem posição fixa, ao contrário do ponto e do segmento orientado.

Por exemplo, o vector v AB��

� pode ser representado por um segmento orientado com origem no ponto

A. Mas, poderia ser representado por um segmento orientado cujo ponto inicial poderia estar em

qualquer outro lugar, deste que tenha a mesma orientação e comprimento.

Figura3 – Representação de vectores em 2

�

Todos os vectores da figura3 representam o mesmo vector, com excepção do vector 4v�

, que apesar de

ter a mesma direcção, tem sentido e comprimento diferentes dos demais.

Definição2: Vectores com a mesma direcção dizem-se vectores colineares.

Definição3: Vectores com a mesma direcção, o mesmo sentido e o mesmo comprimento, dizem-se

vectores equipolentes.



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Como se pretende determinar um vector pelo seu comprimento, direcção e sentido, os vectores

equipolentes são considerados iguais mesmo que estejam situados em posições diferentes. Se u�

e v�

são equipolentes então u v� �� .

Como ilustra a figura2, considerando um ponto A e um vector v

� aplicado em A (a origem). Somando a

A o vector v�

, obtém-se o ponto B, extremidade do segmento orientado [ ]AB , e escreve-se

A v B v B A+ = � = −� �. Assim, representa-se um vector pela diferença entre os pontos extremidade e

origem, ou seja, v AB B A= = −��

. Ao somarmos ao ponto A o vector v�

obtém-se, como vimos, o ponto

B, dizendo-se que se efectuo uma translação, segundo a direcção de v�

.

Damos, agora, um significado geométrico à multiplicação escalar, adição e subtracção de vectores.

Definição4: Sejam u�

e v�

vectores quaisquer de n� , a sua soma é 1 1 2 2( , ,..., )n nu v u v u v u v+ = + + +� �

.

Sejam 1 2( , )u u u=� e 1 2( , )v v v=� dois vectores de 2� . Tendo em conta a definição4, a soma destes

vectores é 1 2 1 2 1 1 2 2( , ) ( , ) ( , )w u v u u v v u v u v= + = + = + +� � �, representada geometricamente na figura4.

Figura4 – Adição de vectores em 2�

A figura ilustra que, se u

� e v�

são dois vectores quaisquer, então a sua soma é determinada da maneira

que se segue: Colocar o vector v�

de maneira a que o seu ponto inicial coincida com a extremidade de

u�

. O vector w u v= +� � � é representado pela seta que vai do ponto inicial de u

� ao ponto final de v

�.

A extremidade de w�

está localizado 1u unidades horizontais e 2u unidades verticais a partir da

extremidade de v�

. Geometricamente, a extremidade de w�

está localizada na extremidade de u�

, se u�

sofrer uma translação paralela a ele próprio de tal forma que a sua origem coincida com a extremidade

de v�

. Assim, pode interpretar-se w� como sendo a diagonal do paralelogramo com lados u

� e v�

.



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e v�

dois vectores quaisquer de n� a diferença entre u

� e v�

é ( )u v u v− = + −� � � �.

Para se interpretar geometricamente a diferença entre dois vectores, considera-se 2,u v ∈� �� . Pela

definição5, 1 2 1 2 1 1 2 2( ) ( , ) ( , ) ( , )w u v u v u u v v u v u v= − = + − = + − − = − −� � � � �, ver figura5.

Figura5 – Subtracção de vectores em 2�

Note-se que as componentes de w�

são a diferença entre as componentes de u�

e v�

. O vector w�

tem o

comprimento e a direcção de um vector que aponta a partir da extremidade de v�

para a extremidade de

u�

, como se ilustra na figura5. Por outras palavras, pode interpretar-se w�

geometricamente, pela

translação de um vector desenhado a partir da extremidade de v�

para a extremidade de u�

paralelo a si

próprio até que a sua origem esteja na origem do referencial.

A discussão apresentada em cima, pode levar-nos a pensar no vector que vai da extremidade de v�

à

extremidade de u�

, como sendo u v−� � , e não apenas uma translação paralela de u v−� � . De facto, é

conveniente e útil pensar-se em termos de translações paralelas de um dado vector, isto é, vectores que

têm a mesma direcção e comprimentos, mas com as suas origem “fora” da origem do referencial, como

representando o mesmo vector, mas desenhados em diferentes partes do espaço.

Definição6: Sejam 1( ,..., )nu u u�� um vector de n

� diferente de zero e \ {0}λ ∈� . Define-se

multiplicação escalar como sendo 1 2( , ,..., ) nnu u u uλ λ λ λ= ∈�� . Define-se 0uλ =� se 0λ � ou 0u

�� .

Também neste caso, considerando 2u ∈� � e \ {0}λ ∈� , temos 1 2 1 2( , ) ( , )u u u u uλ λ λ λ= =�

. O vector

uλ � é chamado um escalar múltiplo de u�

, tem a mesma direcção de u�

, mas | |λ vezes o seu

comprimento. Caso 0λ > os dois vectores têm o mesmo sentido, caso 0λ < os vectores têm sentidos

opostos. Vectores escalares múltiplos uns dos outros como são paralelos, forma um conjunto

linearmente dependente.



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Figura6 – Multiplicação escalar de um vector em 2

�

Caso 1λ = − , tem-se u uλ = −� �, o vector simétrico de u

�, que tem a mesma direcção e o mesmo

comprimento de u�

, mas sentido contrário.

Sejam u�

e v�

dois vectores com a mesma direcção, é sempre possível determinar um escalar λ , tal

que u vλ=� � (designada por condição de colinearidade de dois vectores). Como vimos, u

� e v�

têm a

mesma direcção; e o mesmo sentido ou sentido contrário caso o escalar seja positivo ou negativo.

Definição7: Os vectores u

� e v�

dizem-se paralelos se u vλ=� � ou v uλ=� �

para algum escalar 0λ ≠ .

Obs.3: Um vector pode ser representado em notação matricial como uma matriz linha ou coluna.

Como 2� e 3

� são espaços vectoriais, os seus elementos verificam os axiomas dos espaços vectoriais.

Por exemplo, a figura4, ilustra que w u v v u= + = +� � � � �, a soma de vectores é comutativa.

5.3 Norma de um vector O comprimento de um vector u

� é definido como sendo o comprimento de qualquer um dos segmentos

orientados que o representam, é chamado de norma de u�

e representa-se por u�

.

Definição8: Seja 1( ,..., )nu u u=� um vector de n� , define-se norma euclidiana de u

� como sendo o

escalar 2 21 ... nu u u= + +�

. Equivalentemente, u AB B A= = −��

.

Obs.4: Há uma infinidade de normas que podemos definir em n� . A norma euclidiana é motivada pela

fórmula do comprimento de um vector no plano, que se pode deduzir através do teorema de Pitágoras.



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Para noções geométricas é a mais natural, por isso, no âmbito desta disciplina, consideramos apenas a

norma euclidiana. Esta generaliza o conceito de módulo em � . Um espaço ao qual associamos uma

norma, designa-se por espaço normado.

Exemplo1: Pelo teorema de Pitágoras, verificamos que o comprimento do vector

21 2( , ) (1, 3)u u u= = − ∈�

� é 2 21 2( , ) (1, 3) 1 ( 3) 10u u u= = − = + − =�

. Este valor corresponde à

distância de (0,0)O = ao ponto (1, 3)A = − , ou ao comprimento do segmento [ ]OA , 10OA� .�

Intuitivamente, pelo que foi apresentado, definir uma norma euclidiana em n� , permite-nos sempre,

definir uma distância (o reciproco não é verdadeiro). De facto, sejam 1 1 1 1( , , )P x y z e 2 2 2 2( , , )P x y z

pontos de 3� , sabemos que a distância entre eles é 2 2 2

1 2 2 1 2 1 2 1( , ) ( ) ( ) ( )d P P x x y y z z= − + − + − . Por

outro lado, sendo 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1( , , )u P P P P x x y y z z= = − = − − −��

, pela definição de norma, vem

2 2 21 2 2 1 2 1 2 1 2 1( ) ( ) ( )PP P P x x y y z z= − = − + − + −��

, ou seja, 1 2 1 2( , )d P P P P=��

a distância entre os

pontos 1P e 2P é igual à norma do vector por eles definido, 1 2P P��

.

Como conclusão, pelo que foi apresentado, uma vez que, os elementos de 2

� e 3� , podem ser

considerados vectores ou pontos, salientam-se duas situações:

• Se considerarmos pontos, a norma 1 2 2 1( , )d P P P P= − representa a distância entre dois pontos;

• Para vectores, a norma 1 2 2 1( , )d P P P P= − corresponderá ao comprimento do vector definido por

1P e 2P , 1 2 2 1P P P P= −��

.

Por outro lado, efectuando uma translação do vector de maneira a que tenha origem na origem do

referencial, 2 1 3 3( , )v P P P d O P= − = =� (a norma de 3P representa a distância deste ponto à origem),

onde 3 2 1P P P= − , ou seja, o comprimento do vector 1 2v P P=��

é numericamente igual ao comprimento

de um vector equipolente a v�

com origem na origem do referencial.

Vamos apresentar, sem demonstração, algumas propriedades da norma euclidiana.



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Teorema1: Seja 1 2( , ,..., )nu u u u=� e 1 2( , ,..., )nv v v v=� dois vectores de n� , 0 (0,0,...,0)=�

o vector nulo

e λ ∈� (um escalar), então:

(i) 0u ≥� (mais precisamente 0u >� sse 0u ≠��

e 0u =� sse 0u =��

);

(ii) u u− =� �;

(iii) u v u v+ ≤ +� � � �, , nu v∀ ∈� �

� ;

(iv) u v u v− ≥ −� � � �, , nu v∀ ∈� �

� ;

(v) uv u v=�� , , nu v∀ ∈� �

� ;

(vi) uu

v v=��

� � , , nu v∀ ∈� �� com 0v ≠

��;

(vii) nnu u=� � nu∀ ∈� � , n∀ ∈� ;

(viii) u uλ λ=� �, nu∀ ∈� � , λ∀ ∈� .

A propriedade (iii) é conhecida como desigualdade triangular pois generaliza o resultado da geometria

euclidiana que diz que a soma dos comprimentos de dois lados de um triângulo é sempre maior ou

igual ao comprimento do outro lado. Pensando em termos de vectores de 2� , ao considerar um vector

u�

, com a sua origem na origem do referencial, e um vector v�

, com a sua origem na extremidade de u�

,

como dois lados de um triângulo, ver figura4, então o lado que sobra é dado por u v+� � , verificando-se a

desigualdade triangular. A igualdade é atingida quando u vλ=� � ou v uλ=� �

, com 0λ > .

Figura7 – Versor de um vector de 2� , vers( )v v v=� � �

Um vector com norma igual a 1 diz-se um vector unitário ( 1v v= ��

é um vector unitário).

Normalizar um vector é dividi-lo pela sua norma. Ao vector resultante dá-se o nome de versor. Seja por

exemplo, v�

, com 1v ≠� , então vers ( )v

vv

=�

�� e vers ( ) 1v =�

(claro que, se 1v =� , então ver( )v v=� �).



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Definição9: Dado um vector v�

define-se versor de v�

, como sendo o vector unitário com a mesma

direcção e sentido de v�

. Portanto, vers ( ) vers ( )v

v v vv

λ= ⇔ =�

� � �� com

1v

λ = � .

Da propriedade (viii), onde se vê que a norma da multiplicação de um escalar por u

� é o produto entre o

módulo do escalar e a norma de u�

, se 0u ��

, então 1 1

vers ( ) 1uu

u u uu u uu

= = = = =��

� � �� , e

uu

�

� tem uma distância unitária a partir da origem, o que confirma o facto do versor ter comprimento 1.

5.4 Co-senos directores de um vector A figura8 ilustra que a direcção de um vector é especificada pelo ângulo α que este faz com o eixo

das abcissas (eixo horizontal) ou pelo ângulo β que este faz com o eixo das ordenadas (eixo vertical).

Figura8 – Co-senos directores de um vector em 2�

Tendo em conta que o comprimento do vector e v�

é v�

, da figura8, vem 1cos sinvv

α β= =� e

2cos sinvv

β α= =� . Assim, apesar de nem cosα ou cos β , só por si determinarem a direcção do

vector, juntos determinam completamente essa direcção, são designados por co-senos directores de v�

.

Deste modo, a direcção do vector v�

em 2� pode ser determinada por 1 2(cos ,cos ) ,

v vu

v vα β

� �= = � ��

� �

�� .

Portanto, pelo que foi dito, as componentes do vector u

�, os cosenos directores, são os cosenos dos

ângulos entre v�

e os eixos coordenados (entre os vectores da base canónica, porquê?). No espaço

vectorial 3� , os co-senos directores do vector 1 2 3( , , )v v v v=� são os co-senos dos ângulos entre v

� e

cada um dos três vectores unitários 1 2,e e� �

e 3e�

que definem a base canónica de 3� . Assim, o co-seno do

ângulo entre o vector v�

e ie�

é cos ii i

vu

vα = =� , 1,2,3i = , e, analogamente a 2

� , a direcção de um



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vector não nulo de 3� é especificada por 31 2, ,

vv vu

v v v

� �= � ��

�� . A interpretação deste resultado tornar-se-

á mais clara quando se falar de ângulos em 2� e 3

� .

Obs.5: Repare-se que se 1

cosn

i ii

u eα=

=��

, 1u�� , e que os cosenos directores coincidem com as

componentes do versor do vector não normalizado v�

(têm a mesma direcção de v�

).

Exemplo2: O vector 1 2( , ) (1, 3)v v v= = −� de 2

� tem comprimento 10 1v = ≠� e direcção

especificada por ( )31 110 10 10

, (1, 3)u −= = −�, repare-se que ( ) ( )2 2

2 2 3 1 911 2 10 10 10

1u u u − += + = + = =�,

ou seja, u�

é um vector unitário, uma vez que o seu comprimento é igual à unidade.�

5.5 Produto interno ou escalar

Em 2� e 3

� as noções habituais de ângulo e distância podem ser apresentados à custa do chamado

produto interno. Comecemos por considerar dois vectores de 2� para deduzirmos a expressão do

produto interno, para depois a generalizarmos a n� . Suponha-se 1 2( , )u u u=� e 1 2( , )v v v=� dois vectores

de 2� , diferentes do vector nulo. Sejam α e β os ângulos entre u

� e v�

e a parte positiva do eixo

horizontal (das abcissas), respectivamente, medidos na direcção contrária à dos ponteiros do relógio

(directa). Supondo ainda que α β> , seja θ α β= − . Então, θ é o ângulo entre u�

e v�

medido na

direcção contrária à dos ponteiros do relógio, como ilustra a figura9.

Figura9 – Ângulo entre dois vectores de 2

�



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Em particular, se u�

e v�

forem vectores não nulos de um espaço bi-dimensional ou tri-dimensional, e

assumindo que esses vectores tem a mesma origem. Quando se refere ao ângulo entre u�

e v�

, queremos

dizer o ângulo θ determinado por u�

e v�

que satisfaça 0 θ π� � (o ângulo entre dois vectores é

definido como sendo o ângulo mais pequeno entre eles).

A partir da fórmula de subtracção para o co-seno vem

1 1 2 2 1 1 2 2cos cos( ) cos cos sin sin cosu v u v u v u vu v u v u v

θ α β α β α β θ += − = + ⇔ = + =� � � � � � ,

uma vez que

1cosuu

α = � , 1cosvv

β = � , 2sinuu

α = � e 2sinvv

β = � .

Analogamente, se 1 2 3( , , )u u u u=� e 1 2 3( , , )v v v v=� forem dois vectores de 3

� , diferentes do vector nulo

e se θ for o ângulo positivo mais pequeno entre u�

e v�

, então 1 1 2 2 3 3cosu v u v u v

u vθ + += � � .

Generalizando, sejam 1 2 3( , ,..., )u u u u=� e 1 2( , ,..., )nv v v v=� dois vectores de n� , diferentes do vector

nulo e se θ for o ângulo positivo mais pequeno entre u�

e v�

, então 1 1 2 2 ...cos n nu v u v u v

u vθ + + += � � .


e v�

dois vectores de um espaço vectorial E qualquer, define-se produto interno

entre estes dois vectores por | cosu v u v u v θ⋅ = =� � � � � �, onde � é o ângulo entre os vectores u

� e v�

.

Quando os vectores são dados em termos das suas componentes não conhecemos directamente o

ângulo entre eles. Por isso, precisamos de encontrar uma forma de calcular o produto interno que não

necessite do ângulo entre os vectores.

Caso u�

e v�

sejam dois vectores de n� , uma vez que, 1 1 2 2 ...

cos n nu v u v u vu v

θ + + += � � , o produto interno

entre estes vectores é 1 1 2 2cos ... n nu v u v u v u v u vθ⋅ = = + + +� � � � (porquê?).

Obs.6: Escrevendo u�

e v�

como matrizes coluna, U e V , respectivamente, vem T Tu v U V V U⋅ = =� �.

Note-se que o produto interno entre dois vectores de n� é um escalar (um número que pertence a � ) e

não um vector. Por este motivo, ao produto interno também se dá o nome de produto escalar.

Principalmente na literatura inglesa pode aparecer a designação ,u v� �

.



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No teorema seguinte apresentam-se algumas propriedades, sem demonstração, do produto interno.

Teorema2: Para quaisquer vectores u�

, v�

e w�

de n� e um escalar λ ∈� :

i) | |u v v u=� � � � (comutatividade);

ii) ( ) | ( | )u v u vλ λ=� � � �(associatividade);

iii) | ( ) | |u v w u v u w+ = +� � � � � � � (distributividade);

iv) 2| 0u u u= ≥� � �;

v) | 0u u =� � sse 0u =

��;

vi) |u v u v≤� � � � (desigualdade de Cauchy-Schwarz);

vii) 2 21 14 4|u v u v u v= + − −� � � � � �

;

Obs.7: Evite o erro seguinte: | |u v u w v w= ⇔ =� � � � � �

. O correcto é

| | | | 0 | ( ) 0 ( )u v u w u v u w u v w u v w= ⇔ − = ⇔ − = ⇔ ⊥ −� � � � � � � � � � � � � �.

Exemplo3: Para se obter um contra-exemplo, relativamente à última observação, considere-se

(1,0,0)u =� , (4,2,1)v =� e (4,1,1)w =� vectores de 3� , temos | 4 |u v u w= =� � � �

apesar de v w≠� �.�

Obs.8: Como foi referido, a norma euclidiana é a mais usada em n

� , uma das razões disso, é o facto

de estar associada a um produto interno 2|v v v= ⇔� � �|v v v=� � �

, nv∀ ∈� � , de facto,

2 2 21 2 1 2 1 2| ( , ,..., ) | ( , ,..., ) ...n n nv v v v v v v v v v v= = + + +� � 2 2 2

1 2| ... nv v v v v v⇔ = + + + =� � �.

5.3 Ângulo entre dois vectores de 2

� e 3�

A definição de produto interno permitir-nos definir ângulos entre dois vectores quaisquer não nulos.

Vamos definir o ângulo entre dois vectores de 2� e 3

� .

Tendo em conta que |

cosu vu v

θ =� �

� � , e, uma vez que, a desigualdade de Cauchy-Schwarz garante que

|1 1

u vu v

− ≤ ≤� �

� � (porquê?) para quaisquer vectores não nulos u�

e v�

de n� , ou seja, 1 cos 1θ− ≤ ≤ .

Pode então enunciar-se a seguinte definição.



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e v�

vectores não nulos de 2� ou 3

� , então o ângulo entre u�

e v�

é o número

|arccos

u vu v

θ� �

= � ��

� �

� � , 0 θ π≤ ≤ .

Exemplo4: Cálculo do ângulo entre a diagonal de um cubo e uma das suas arestas.

Resolução: Seja k o comprimento de cada aresta, vamos considerar as seguintes coordenadas,

1 ( ,0,0)v k=� , 2 (0, ,0)v k=� e 3 (0,0, )v k=� , como se ilustra na figura10.

Figura10 – Cubo com arestas de comprimento k

Uma diagonal do cubo é representada pelo vector 1 2 3( , , )u k k k v v v= = + +� � � �. O co-seno do ângulo entre

u�

e 2v�

é 2

2 2 2

22 2 2

| | 1cos

33

v u v e kv u v e k k

θ = = = =� � � �

� � � � . Assim, ( )33arccos 54,74ºθ = ≈ . �

Seja θ o ângulo entre u�

e v�

, recorde-se que 0 θ π≤ ≤ . Portanto, se u�

e v�

forem vectores, não nulos

de 2� ou 3

� , com | 0u v =� �, então pela definção11, o ângulo entre u

� e v�

é arccos(0)2πθ = = , ou seja,

os vectores são perpendiculares, também designados por ortogonais. O que motiva a seguinte definição.

Definição12: Os vectores u

� e v�

de 2� ou 3

� , dizem-se perpendiculares, u v⊥� �, sse | 0u v =� �

.

Exercício1: Mostre que 1 2 1 2| ( 3 ) | (2 3 ) 7u v e e e e= − + = −� � � � � �

.

Se dois vectores u�

e v�

forem perpendiculares (ortogonais) então qualquer escalar múltiplo de um

deles, uλ � ou vα � , é perpendicular ao outro, v�

ou u�

, respectivamente



14/31

É uma convenção conveniente na matemática não restringir esta definição de ortogonalidade a vectores

não nulos. Uma vez que, resulta da definição que 0�

é ortogonal a qualquer vector de n� , pois

0 | 0u =� �

. Para além disso, 0�

é o único vector de n� que tem esta propriedade.

Teorema3: Sejam u

� e v�

vectores não nulos de um espaço bi-dimensional ou tri-dimensional, seja θ

( 0 θ π� � ) o ângulo entre eles, então:

(i) θ é agudo ( 0 90ºθ≤ < ) sse | 0u v >� �;

(ii) θ é obtuso ( 90º 180ºθ< ≤ ) sse | 0u v <� �;

(iii) θ é recto sse ( 90ºθ = ) | 0u v =� �.

Como sabemos, dois vectores são paralelos quando um deles for um escalar múltiplo não nulo do outro.

A partir da demonstração da desigualdade de Cauchy-Schawrz, quando u� e v

� são paralelos, então

|u v u v=� � � � (porquê?). Assim, se θ for o ângulo entre u

� e v�

, |

cos 1u vu v

θ = = ±� �

� � , donde, 0θ = ou

θ π= , ou seja, u� e v�

apontam na mesma direcção ou apontam em direcções opostas (têm o mesmo

sentido ou sentidos opostos).

Exemplo5: Os vectores (1, 3)u = −� e ( 2,6)v = −�

são paralelos uma vez que 12

u v= −� � ( 1

2λ = − ). Note-

se que | 20u v = −� � e 10 40 20u v = =� �

, |u v u v= −� � � �. Resulta que o ângulo entre u

� e v�

é θ π= ,

ou seja, estes vectores têm a mesma direcção mas sentidos opostos (apontam em direcções opostas).�

Dois resultados importantes sobre triângulos em 2

� e 3� são a desigualdade triangular e o teorema de

Pitágoras, vamos ver de que maneira estão relacionados.

A desigualdade triangular foi apresentada como sendo a propriedade (iii) da norma euclidiana

(teorema1), cite-se, se u� e v�

forem vectores de n� , então u v u v+ ≤ +� � � �

. Vamos demonstrar

esta desigualdade visando a obtenção do teorema de Pitágoras. Utilizando a obs.8 vem

2 2 2( ) | ( ) | 2( | ) | 2( | )u v u v u v u u u v v v u u v v+ = + + = + + = + +� � � � � � � � � � � � � � � �

e, uma vez que, pela desigualdade de Cauchy-Schwarz, |u v u v≤� � � �

, resulta



15/31

( )22 2 22u v u u v v u v u v u v+ ≤ + + = + ⇔ + ≤ +� � � � � � � � � � � �.

Donde 2 2 2u v u v+ = +� � � �

sse | 0u v =� � (porquê?), isto é, sse u v⊥� �

. Resultando o seguinte teorema.

Teorema4 (teorema de Pitágoras): Os vectores u� e v

� de n� são ortogonais sse 2 2 2

u v u v+ = +� � � �.

Obs9.: O teorema4 generaliza o teorema de Pitágoras a n� .

Teorema5: Vectores 1 ,..., n

nv v ∈� �� não nulos e ortogonais dois a dois forma um conjunto L.I..

Definição13: Seja S um subespaço de n� . Uma base de V constituída por vectores ortogonais dois a

dois diz-se uma base ortogonal de V. Uma base ortogonal cujos vectores têm norma 1 diz-se uma base

ortonormada de V.

Uma condição necessária e suficiente para que os vectores 1 2, ,..., nv v v

� � � de n� constituam uma base

ortonormada é que

se |

se i j

i jv v

i j

1, ==

0, ≠� � ��

��

o que garante que os vectores são unitários, ortogonais dois a dois e formam um conjunto L.I..

Exemplo6:

1) A base canónica de n� é uma base ortonormada;

2) As bases {(2,0), (0,3)}e {(2,1), (3, 6)}− são bases ortogonais de 2� , mas não são ortonormadas.

5.7 Projecção ortogonal Em muitas aplicações é de interesse “decompor” um vector v

� na soma (combinação linear) de dois

termos, um paralelo e outro perpendicular a determinado vector u�

. Se v�

e u�

estiverem posicionados

de maneira a que os seus pontos iniciais coincidam num ponto P , podemos decompor o vector v�

da

seguinte maneira (ver figura11): Traçar uma perpendicular a partir da extremidade de v�

até u�

, e

construir o vector 1w�

com ponto inicial em P e extremidade na intersecção desta perpendicular com

u�

. Por outro lado, sabemos que 2 1w v w= −� � � . Como ilustra a figura11, os vectores 1w

� e 2w�

são,

paralelo e perpendicular a u�

, respectivamente, e 1 2 1 1( )w w w v w v+ = + − =� � � � � �.



16/31

Figura11 – Projecção ortogonal

O vector 1w�

é chamado a projecção ortogonal de v�

em u�

ou vector componente de v�

ao longo de u�

e

é representado por 1 projuw v= ��

. O vector 2w�

é chamado vector componente de v�

ortogonal a u�

. Como

2 1w v w= −� � �, vem 2 projuw v v= − �

� � �. O teorema6 fornece fórmulas para se calcular estas duas igualdades.

Teorema6: Se v

� e u�

são vectores de 2� ou 3

� e se 0u ≠��

, então:

i) 1 2

|proju

v uw v u

u= =�

� ��

� , vector componente de v�

ao longo de u�

;

ii) 2 2

|proju

v uw v v v u

u= − = −�

� ��

� , vector componente de v�

ortogonal a u�

.

Obs.10:

(i) A projecção ortogonal de um vector v�

sobre um vector u�

não depende da norma de u�

, ou seja, para

qualquer 0λ > , proj proju uv vλ =� ��

.

(ii) Dados três vectores u�

, v�

e w�

, tais que 0w ≠� , então proj ( ) proj projw w wu v u v+ = +� � ��

.

Exemplo7: Sejam ( 1,2,1)v = −� e (1, 1, 2)u = − −�

. Calcule a projecção ortogonal de v�

em u�

e o vector

componente de v�

ortogonal a u�

.

Resolução:

i) A projecção ortogonal de v�

em u�

é 562 2

| ( 1,2,1) | (1, 1, 2)proj (1, 1, 2) (1, 1, 2)

(1, 1, 2)u

v uv u

u

− − −= = − − = − − −− −

�

� ��

� .

ii) O vector componente de v�

ortogonal a u�

é 5 16 6proj ( 1,2,1) (1, 1, 2) ( 1,7, 4)uv v− = − + − − = − −�

� �. Claro

que, proj ( proj )u uv v v⊥ −� ��

, de facto, 1 1 16 6 6( 1,7, 4) | ( 5,5,10) (5 35 40) 0− − − = × + − = .�



17/31

Uma fórmula para o comprimento da projecção ortogonal de v�

ao longo de u�

pode ser obtido

escrevendo 1 2 2 2

| | | | | | | |proj proju u

v u v u v u v uw v u u u v

uu u u= = = = ⇔ =� �

� � � � � � � ��

�� . Considerando θ o

ângulo entre v�

e u�

, então | cosv u v u θ=� � � �, donde proj | cos |u v v θ=�

� �. A interpretação geométrica

deste resultado é ilustrada pela figura12.

Figura12 – Interpretação da projecção ortogonal

Exemplo8: Sejam (2, 1,3)v = −� e (4, 1,2)u = −�

. Encontre dois vectores 1w�

e 2w�

tais que 1 2v w w= +� � �,

1w�

é paralelo a u�

e 2w�

é perpendicular a u�

.

Resolução: Como | 15u v =� � e 2 21u =�

, vem

15 20 5 101 21 7 7 72

|proj ( )(4, 1,2) ( , , )u

v uw v u

u= = = − = −�

� ��

� e 20 5 10 6 2 112 1 7 7 7 7 7 7(2, 1,3) ( , , ) ( , , )w v w= − − − − = − −� � �

.�

5.8 Produto externo ou produto vectorial entre dois vectores de 3

� Em muitas aplicações de vectores de 3

� a problemas de engenharia, geometria e física,..., tem

interesse construir um vector que é perpendicular a dois vectores dados. Como foi visto, não existe uma

generalização para se definir o operador multiplicação de vectores em n� , onde o produto resultante

seja um vector da mesma dimensão. Vamos definir um tipo de multiplicação entre dois vectores, cujo

resultado é um vector (chamado produto externo ou vectorial), apenas com aplicação em 3� .

Dedução da expressão cartesiana do produto externo. Sejam 1 2 3( , , )u u u u=� e 1 2 3( , , )v v v v=� dois

vectores de 3� , não paralelos. Queremos encontrar um terceiro vector 1 2 3( , , )w w w w=� perpendicular a

u�

e v�

. Como estamos a supor que u�

e v�

forma um conjunto linearmente independente (porquê?), a



18/31

direcção do vector procurado é univocamente determinado por u�

e v�

. Assim, como se pretende-se que

| 0w u =� � e | 0w v =� �

, temos que resolver as equações

1 1 2 2 3 3

1 1 2 2 3 3

0

0

u w u w u w

v w v w v w

+ + = + + =�

em ordem a 1 2,w w e 3w . Como { , }u v� � é linearmente independente a matriz do sistema

1 2 3

1 2 3

u u uA

v v v�

= � ��

tem característica 2, portanto, existe um determinante principal de ordem 2 (maior determinante

diferente de zero que se pode extrair da matriz da matriz). Suponhamos que

1 22

1 2

0u u

v v∆ = ≠ ,

assim, vamos considerar como principais as incógnitas 1w e 2w e como livre a variável 3w (poderiam

ser outras). Como não há determinantes característicos e existem incógnitas não principais o sistema é

possível e indeterminado (tem mais incógnitas do que equações). Pelo que foi dito

1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3

1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3

0

0

u w u w u w u w u w u w

v w v w v w v w v w v w

+ + = + = − ⇔ + + = + = −� �

,

a matriz ampliada do sistema é [ | ]A B , onde 1 21 2 2 1

1 2

| |u u

A A u v u vv v�

= � = −� ��

e 3 3

3 3

u wB

v w

−� = � �−� �

, portanto

3 3 21 3 2 2 3 3

3 3 2

| | ( )u w u

A u v u v wv w v

−= = − +

− e 1 3 3

2 1 3 3 1 31 3 3

| | ( )u u w

A u v u v wv v w

−= = − +

−.

Vindo, pela regra de Cramer, 3 2 2 3 311

1 2 2 1

( )| || |

u v u v wAw

A u v u v− +

= =−

e 1 3 3 1 322

1 2 2 1

( )| || |

u v u v wAw

A u v u v− +

= =−

, como

3w ∈� , façamos 3 1 2 2 1| |w A u v u v= = − , resultando

3 21 3 2 2 3

3 2

u uw u v u v

v v

−= − + =

− e 1 3

2 1 3 3 11 3

u uw u v u v

v v

−= − + =

−.

O processo de obtenção das componentes do vector 2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1( , , )w u v u v u v u v u v u v= − − −�

não é

único. Define-se w�

como sendo o produto externo ou vectorial entre u�

e v�

, relembre-se que este

vector é ortogonal a u�

e v�

, por hipótese.



19/31

Definição14: Sejam 1 2 3( , , )u u u u=� e 1 2 3( , , )v v v v=� vectores de 3

� , define-se produto externo entre u�

e v�

ao vector, 2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1( , , )u v u v u v u v u v u v u v u v× = = − − −�� .

Como mnemónica para a expressão u v×� � , pode usar-se o “determinante simbólico” que passamos a

deduzir. Como sabemos, os vectores da base canónica, 1 (1,0,0)e =� , 2 (0,1,0)e =� e 3 (0,0,1)e =� são

vectores unitários (de norma igual um) e paralelos aos eixos coordenados. Todo o vector 1 2 3( , , )v v v v=�

de 3� pode ser escrito como combinação linear de 1 2,e e

� � e 3e�

, pois

1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3( ,0,0) (0, ,0) (0,0, ) (1,0,0) (0,1,0) (0,0,1)v v v v v v v v e v e v e= + + = + + = + +� � � �.

Portanto, 1 2 3 1 1 2 2 3 3( , , )v v v v v e v e v e= = + +� � � � e 1 2 3 1 1 2 2 3 3( , , )u u u u u e u e u e= = + +� � � �

, do mesmo modo

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 2 3 3 2 1 3 1 1 3 2 1 2 2 1 3( , , ) ( ) ( ) ( )u v u v u v u v u v u v u v u v u v e u v u v e u v u v e× = − − − = − + − + −� � � � �,

que é equivalente a

2 3 1 3 1 21 2 3

2 3 1 3 1 2

u u u u u uu v e e e

v v v v v v× = − +� � � � �

.

Resultado obtido como consequência da aplicação do teorema de Laplace à primeira linha do seguinte

determinante

1 2 3

1 2 3

1 2 3

e e e

u v u u u

v v v

× =

� � �

� �.

Obs.11: Não se trata de um verdadeiro determinante, já que na primeira linha temos os vectores 1e�

, 2e�

e 3e�

da base canónica de 3� e não números.

Outra maneira de determinar as componentes de u v×� � é através da matriz 1 2 3

1 2 3 (2 3)

u u uA

v v v×

� = � ��

.

• 1ª componente do produto externo é obtida do determinante que resulta de A suprimindo a 1ª coluna;

• 2ª componente obtida do determinante que resulta de A suprimindo a 2ª coluna afectado do sinal

negativo;

• 3ª componente obtida do determinante que resulta de A suprimindo a 3ª coluna.



20/31

Existe uma diferença importante entre o produto interno e o produto externo de dois vectores de 3� .

Enquanto o primeiro é um escalar, o produto externo (vectorial) é um vector. No teorema seguinte,

dão-se algumas relações importantes (sem demonstração) entre o produto interno e o produto externo.

Teorema7 (Relações envolvendo o produto interno e o externo): Sejam u

�, v�

e w�

vectores de 3� :

(i) | ( ) 0u u v× =� � �, ( u v×� � é ortogonal a u

�, u v u× ⊥� � �

).

(ii) | ( ) 0v u v× =� � �, (u v×� � é ortogonal a v

�, u v v× ⊥� � �

).

(iii) 2 2 2 2( | )u v u v u v× = −� � � � � � (identidade de Lagrange).

(iv) ( ) ( | ) ( | )u v w u w v u v w× × = −� � � � � � � � �.

(v) ( ) ( | ) ( | )u v w u w v v w u× × = −� � � � � � � � �.

Obs.12: As propriedades (i) e (ii) significam, que w u v= ×� � �

é perpendicular ao plano formado pelos

vectores envolventes u�

e v�

. Exemplo9: Calcule o produto externo entre (1, 2,3)u =� e (1, 1,1)v = −�

.

Resolução: Tendo em conta a definição de produto externo, vem

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1( , , ) (2 3,3 1, 1 2) (5,2, 3)w u v u v u v u v u v u v u v= × = − − − = + − − − = −� � �.

Note-se que, | ( ) (1,2,3) | (5, 2, 3) 5 4 9 0u u v× = − = + − =� � � e | ( ) (1, 1,1) | (5, 2, 3) 5 2 3 0v u v× = − − = − − =� � �

,

o que mostra que ( )u u v⊥ ×� � � e ( )v u v⊥ ×� � �

. É também de interesse verificar que

( 3 2,1 2,2 1) ( 5, 2,3) ( )v u u v× = − − − + = − − = − ×� � � �,

o que se verifica para todos os vectores u�

e v�

de 3� .�

Relativamente aos vectores da base canónica de 3� , a partir da definição de produto externo podemos

obter as seguintes relações:

1 2 3e e e× =� � � e 2 1 3e e e× = −� � �

; 2 3 1e e e× =� � � e 3 2 1e e e× = −� � �

; 3 1 2e e e× =� � � e 1 3 2e e e× = −� � �

,

isto é, o produto externo entre dois vectores da base canónica dá o outro vector ou o seu simétrico.

Tem-se, ainda, que 1 1 0e e× =��

, 2 2 0e e× =��

e 3 3 0e e× =��

, uma vez que os vectores são colineares entre si.

Tendo por base, os resultados do produto externo entre os vectores da base canónica, apresentam-se,

sem demonstração, algumas propriedades do produto externo.



21/31

Teorema8: Para quaisquer vectores u�

, v�

e w�

de 3� e um número real λ . Tem-se

(i) ( )u v v u× = − ×� � � � (o produto externo não é comutativo, é anti-comutativo).

(ii) ( ) ( ) ( )u v w u v u w× + = × + ×� � � � � � � e ( ) ( ) ( )u v w u w v w+ × = × + ×� � � � � � �

(o produto externo é distributivo em

relação à soma de vectores).

(iii) ( ) ( ) ( )u v u v u vλ λ λ× = × = ×� � � � � �.

(iv) 0 0 0u u× = × =� � ��

.

(v) 0u u× =��

, ou, 0u v u v v uλ λ× = ⇔ = =��

.

Obs.13: A propriedade (v) diz que dois vectores u�

e v�

de 3� são paralelos sse 0u v× =

�� .

Exemplo10: Seja (1, 2,3)u =� , (1, 1,1)v = −�

e (1,1,1)w =� , Verifique que ( ) ( ) ( )u v v w v u w× + × ≠ × +� � � � � � �.

Resolução: Tendo em conta o exemplo anterior, (5, 2, 3)u v× = −� �, uma vez que

1 2 3

1 31 1 1 2 2 ( 2,0,2)1 1 1

e e e

v w e e× = − = − + = −

� � �

� � � �,

obtemos ( ) ( ) (5, 2, 3) ( 2,0, 2) (3,2, 1)u v v w× + × = − + − = −� � � �. Por outro lado, como,

( ) (1, 1,1) (2,3,4) ( 7, 2,5)v u w× + = − × = − −� � �,

sai, ( ) ( ) ( )u v v w v u w× + × ≠ × +� � � � � � �, basta ter em conta a propriedade (ii) do produto externo. O correcto é

( ) ( ) ( ) ( ) ( )u v v w u v w v u w v× + × = × − × = − ×� � � � � � � � � � �, ou ( ) ( ) ( ) ( ) ( )u v v w v u v w v u w× + × = − × + × = × − +� � � � � � � � � � �

.�

Obs.14: Atenção que u v u w v w× = × � =� � � � � � não é verdade (exercício!).

Como o produto externo é um vector, é orientado em determinada direcção, tem um sentido, e um

comprimento. A figura13 ilustra o produto externo, u v×� � , entre dois vectores quaisquer u�

e v�

de 3� .

Figura13 – Representação geométrica do produto externo



22/31

Relativamente à direcção, vimos que u v×� � é perpendicular aos vectores u�

e v�

. Quanto ao sentido, a

partir da visualização da figura13 é possível imaginar uma regra para determinar o sentido do produto

externo, designada por regra da mão direita. O sentido de u v×� � é o do polegar quando se curva os

dedos da mão direita no sentido em que se faz rodar o 1º vector (neste caso o u�

) para coincidir como o

2º (neste caso o v�

), segundo o menor ângulo, θ , entre estes (pratique esta regra com os vectores da

base canónica).

Figura14 – Sentido do produto externo u v×� � , regra da mão direita

Quanto ao comprimento do vector produto externo, seja θ o ângulo entre u

� e v�

. Da identidade de

Lagrange resulta 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2( | ) ( cos ) (1 cos ) sin .u v u v u v u v u v u v u vθ θ θ× = − = − = − =� � � � � � � � � � � � � �

Tem-se, portanto 2 2 2 2senu v u v θ× =� � � �

,

desembaraçando de quadrados, e, tendo em conta que sin 0θ ≥ , uma vez que por definição de ângulo

entre dois vectores, 0 θ π≤ ≤ , tem-se o seguinte resultado.

Teorema9: Se θ for um ângulo entre dois vectores u

�, v�

de 3� , então senu v u v θ× =� � � �

.

Obs.15: Atenção que senu v u v θ× =� � � �

não faz sentido, uma vez que u v×� � é um vector (produto

vectorial) e senu v θ� � é um número real (escalar).

Tendo em conta o que foi dito, podemos enunciar a seguinte definição:



23/31


e v�

dois vectores de 3� . Definimos o produto externo u v×� � , como sendo o

vector com as seguintes características:

(i) Tem direcção perpendicular a u�

e v�

;

(ii) Tem o sentido dado pela regra da mão direita.

(iii) Tem comprimento senu v u v θ× =� � � �.

As três propriedades da definição15 determinam completamente o vector u v×� � . As propriedades (i) e

(ii) determinam a orientação, enquanto (iii) o comprimento. Como as propriedades de u v×� � dependem

apenas do comprimento e posição relativa de u�

e v�

e não do sistema de coordenadas utilizado, o

vector u v×� � permanecerá inalterado se introduzirmos um diferente sistema de coordenadas. Este

resultado é importante quando se trabalha com diferentes sistemas de coordenadas ao mesmo tempo.

Pelo que foi dito, dados dois vectores u

� e v�

, é sempre possível determinar a orientação de u v×� � . Para

se identificar completamente u v×� � , geometricamente, necessitamos apenas saber o seu comprimento.

Interpretação geométrica do produto externo. O teorema9 tem várias consequências interessantes.

Uma delas é a interpretação geométrica da norma de u v×� � . Se desenharmos um paralelogramo com

lados adjacentes u�

e v�

, figura15, a altura do paralelogramo é sinh v θ= � (pois sin hvθ = � ), onde θ é

o ângulo entre u�

e v�

. Repare-se que, neste caso os vectores { , }u v� �

é L.I., pois 0u v× ≠��

.

Figura 15 – A altura do paralelogramo é sinh v θ= � Deste modo, como a área de um paralelogramo é dada pelo produto entre os comprimentos da base e da

altura, é igual a sinA u v θ=�

� �, e pelo teorema9 sinu v u v Aθ = × =

�

� � � �.



24/31

Teorema10: Sejam u�

e v�

dois vectores de 3� . Então a área do paralelogramo com lados adjacentes

u�

e v�

é numericamente igual à norma de u v×� � , A u v= ×�

� �.

Figura16 – Paralelogramo de lados adjacentes u

� e v�

Corolário1 Sejam u�

e v�

dois vectores de 3� . Então a área do triângulo com lados adjacentes u

� e v�

é

numericamente igual a 12

A u v= ×�

� �.

Exemplo11: Calcule a área do paralelogramo definido pelos vectores (1,1,1)u =� , ( 1, 1,2)v = − −�

.

Resolução: Como vimos pelo teorema10 a área do paralelogramo definido por u�

e v�

é numericamente

igual ao comprimento de u v×� � .

Como (3, 3,0)u v× = −� �, a área do paralelogramo pedido é (3, 3,0) 3 2A u v= × = − =

�

� �. Repare-se

que | (1,1,1) | ( 1, 1, 2) 0u v = − − =� �, ou seja, os vectores são perpendiculares e 2sin 1πθ θ= ⇔ = . Logo,

usando a fórmula sin (1,1,1) ( 1, 1, 2) 3 6 3 2A u v u v u vθ= × = = = − − = =�

� � � � � �.

O paralelogramo definido pelos vectores (1,1,1)u =� é ( 1, 1,2)v = − −� é um rectângulo definido em 3

� .

A área do triângulo rectângulo definido pelos vectores u�

e v�

é 312 2 2A u v= × =

�

� �.�

Intuitivamente, resulta que, se | 0u v =� �, o paralelogramo definido por u

� e v�

é um rectângulo ou um

quadrado e A u v u v= × =�

� � � �, por outro lado, o triângulo definido por estes vectores é rectângulo e

1 12 2A u v u v= × =

�

� � � �.



25/31

Exemplo12: Calcule a área de um paralelogramo definido em 2� utilizando o produto externo.

Resolução: Considere-se um paralelogramo P no plano com vértices em (1,1) , (3,2) , (4,4) e (2,3) ,

representado na figura17.

Figura17 – Paralelogramo com vértices (1,1) , (3,2) , (4,4) e (2,3)

Dois lados adjacentes são dados pelos vectores, de (1,1) a (3,2) , isto é, (3,2) (1,1) (2,1)u = − =�, e de

(1,1) a (2,3) , isto é, (2,3) (1,1) (1, 2)v = − =�. Como, estamos a trabalhar com dois vectores de 2

� , e

não de 3� , não se pode calcular o seu produto externo. Consideramos os vectores (2,1,0)w =� e

(1, 2,0)r =� que representam lados adjacentes do mesmo paralelogramo estendido a 3� . Assim a área

de P é dado por (0,0, 4 1) (0,0,3) 3w r× = − = =� �.�

O exemplo12 motiva o seguinte resultado que serve como interpretação geométrica para os

determinantes 2 2× . Considere-se um paralelogramo definido em 2� pelos vectores 1 2( , )u u u=� e

1 2( , )v v v=� . Pelo teorema10 área de um paralelogramo definido em 3� é A u v= ×

�

� �. Como, estamos

a trabalhar com dois vectores de 2� , e não de 3

� , para calcular o produto externo consideramos os

vectores 1 2( , ,0)u u u=� e 1 2( , ,0)v v v=� que representam lados adjacentes do mesmo paralelogramo

estendido a 3� . O produto externo, usando determinantes, é

1 2 31 2

1 2 31 2

1 2

00

e e eu u

u v u u ev v

v v

× = =

� � �

� � �,

donde 1 2 1 23

1 2 1 2

u u u uA u v e abs

v v v v= × = =

�

� � �, uma vez que 3 1e =� .



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e v�

vectores de 2� e M a matriz ( 2 2× ) cujas colunas (ou linhas) são as

componentes de u�

e v�

. Então, a área de um paralelogramo definido em 2� é | det( ) |A M=

�.

Exemplo13: Calcule a área de um paralelogramo definido em 2� com vértices (1,1) , (3,2) , (4,4) e

(2,3) utilizando um determinante de ordem 2.

Resolução: Pelo exemplo12, dois lados adjacentes do paralelogramo são dados pelos vectores

(2,1)u =� e (1, 2)v =� (porquê?), logo a área do paralelogramo é 2 1

31 2

A = = .�

Teorema12: Se os vectores u

� e v�

de 3� formam um conjunto linearmente independente, o

determinante da matriz (3 3× ) cujas colunas (ou linhas) são u�

, v�

e u v×� � , respectivamente, é positivo.

Obs.16: Esta quantidade não é nula porque o conjunto dos vectores é linearmente independente.

Definição16: Sejam u

�, v�

e 3w ∈� � vectores L.I., representados por segmentos orientados a partir da

origem. Dizemos que estes três vectores (por esta ordem) formam um triedro directo se a rotação mais

curta do vector u�

que o leva a sobrepor-se ao vector v�

é feita, para um observador com os pés na

origem e a cabeça na extremidade de w�

no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio (ver figura18).

Figura18 – Triedro directo

Obs.17: Os vectores 1e

�, 2e�

e 3e�

da base canónica de 3� formam um triedro directo.

Teorema13: Se { , }u v

� � é um conjunto L.I., os vectores u

�, v�

e u v×� � 3∈� formam um triedro directo. Obs.18: Prova-se que, se u

� e v�

forem ortogonais com norma unitária, então u�

, v�

e u v×� � constituem

uma base ortonormada.



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5.9 Produto misto em 3�

Pode estender-se os resultados do teorema10 para se calcular o volume de um paralelepípedo em 3� .

Suponha-se u�

, v�

e w�

as arestas adjacentes do paralelepípedo P, como se ilustra na figura19. Sabemos

que o volume V de P é igual ao produto da área da base, u v×� � , pela altura correspondente de P, ou

seja, pelo comprimento da projecção de w�

em u v×� � (porque u v×� � é perpendicular a u�

e a v�

).

Figura19 – Paralelepípedo com arestas adjacentes u�

, v�

e w�

Como

proj |u v

u vw w

u v××=×

� �

� ��

� �

tem-se

| | ( )u v

V u v w w u vu v

×= × = ××

� ��

� � .

Definição17: Dados três vectores u

�, v�

e w�

de 3� , aplicados num ponto A (vértice do paralelepípedo

definido pelos três vectores), a quantidade | ( )w u v×� � � (que é um escalar) denomina-se por produto

misto de u�

, v�

e w�

(por esta ordem), e, o seu módulo é numericamente igual ao volume do

paralelepípedo definido por esses vectores.

Obs.19: Não há necessidade de parênteses na expressão | ( )w u v×� � � (escalar), pois a única forma de

entende-la é como o produto interno de w�

(vector) por u v×� � (vector); não faz sentido pensar em

produto externo de v�

(vector) por |w u� �

(escalar).



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Obs.20: Sendo, o volume do paralelepípedo com arestas u�

, v�

e w�

dado por | ( )V w u v= ×� � �, o produto

misto pode ser negativo ou positivo:

i) | ( ) 0w u v× >� � �, quando w

� faz um ângulo agudo com u v×� � .

ii) | ( ) 0w u v× <� � �, quando w

� faz um ângulo obtuso com u v×� � .

Vamos deduzir a expressão cartesiana do produto misto em 3

� (sistema ortonormado). Como sabemos

os vectores de 3� podem ser escritos como combinação linear dos vectores da base canónica, ou seja,

1 2 3 1 1 2 2 3 3( , , )u u u u u e u e u e= = + +� � � �, 1 2 3 1 1 2 2 3 3( , , )v v v v v e v e v e= = + +� � � �

e 1 2 3 1 1 2 2 3 3( , , )w w w w w e w e w e= = + +� � � �,

assim,

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 2 3 3 2 1 3 1 1 3 2 1 2 2 1 3( , , ) ( ) ( ) ( )u v u v u v u v u v u v u v u v u v e u v u v e u v u v e× = − − − = − + − + −� � � � �.

Então o produto misto pode ser escrito como

[ ]1 1 2 2 3 3 2 3 3 2 1 3 1 1 3 2 1 2 2 1 3

1 2 3

2 3 3 2 1 3 1 1 3 2 1 2 2 1 3 1 2 3

1 2 3

| ( ) ( ) | ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ,

w u v w e w e w e u v u v e u v u v e u v u v e

u u u

u v u v w u v u v w u v u v w v v v

w w w

× = + + − + − + − =

= − + − + − =

� � � � � � � � �

ou seja, 1 2 3

1 2 3

1 2 3

| ( )

u u u

w u v v v v

w w w

× =� � �.

Tendo em conta esta igualdade, podemos interpretar geometricamente um determinante de ordem 3,

como sendo numericamente igual ao volume de um paralelepípedo, determinado pelos vectores que

constituem as suas linhas.

Teorema14: Sejam u

�, v�

e w�

vectores de 3� , e A a matriz (3 3× ) cujas colunas (ou linhas) são u

�, v�

e w�

. Então, o volume do paralelepípedo determinando por u�

, v�

e w�

é igual a | det( ) |A .

Obs.21: Atendendo à definição de produto interno temos | ( ) ( ) cosw u v w u v θ× = ×� � � � � �

, onde θ é o

ângulo formado por w�

e ( )u v×� � .



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Exemplo14: Calcule o volume de um paralelepípedo cujas as arestas são definidas pelos vectores

(1, 4,1)u =� , ( 3,1,1)v = −� e (0,1,5)w =� .

Resolução: O paralelepípedo P cujas arestas são definidas pelos vectores (1, 4,1)u =� , ( 3,1,1)v = −� e

(0,1,5)w =� é apresentado na figura20. O módulo do produto misto é, numericamente igual ao volume

do paralelepípedo cujas arestas são definidas pelos vectores u�

, v�

e w�

.

Figura20 – Paralelepípedo com arestas (1, 4,1)u =� , ( 3,1,1)v = −�

e (0,1,5)w =� Como (4 1, 3 1,1 12) (3, 4,13)u v× = − − − + = −� �

, | | ( ) | | (0,1,5) | (3, 4,13) | | 0 4 65 | 61V w u v= × = − = − + =� � �, o

volume de P é 61. Ou, através do cálculo do determinante

1 3 0

4 1 1 | det( ) | 611 1 5

A V A

−� � �= � = =� ��

.�

Por outro lado, a fórmula | ( )V w u v= ×� � �

permite verificar se três vectores pertencem ao mesmo plano.

Uma vez que três vectores que não estejam no mesmo plano determinam um paralelepípedo com

volume positivo, então | ( ) 0V w u v= × =� � � se e só se u

�, v�

e w�

estiverem no mesmo plano.

Teorema15: Se os vectores 1 2 3 1 2 3( , , ), ( , , )u u u u v v v v= =� � e 1 2 3( , , )w w w w=� tiverem os mesmo pontos

iniciais, então, pertencem ao mesmo plano (são complanares, paralelos a um mesmo plano) se e só se

1 2 3

1 2 3

1 2 3

| ( ) 0

w w w

w u v u u u

v v v

× = =� � �.



30/31

Apresentamos de seguida, sem demonstração, algumas propriedades do produto misto.


, v�

e w�

vectores de 3� . Então

(i) Pela comutatividade do produto interno, tem-se | ( ) ( ) |w u v u v w× = ×� � � � � �.

(ii) o produto misto é nulo, quando um dos vectores for nulo, quando os três vectores forem

complanares, ou quando dois vectores forem colineares (paralelos).

• | ( ) 0w u v× =� � �, se 0 0 0u v w= = =

� � �� , quando um dos vectores for nulo;

• | ( ) 0w u v× =� � �, se 0u v u vλ= � × =

�� , quando dois vectores forem colineares ( u v

� �� );

• | ( ) 0w u v× =� � �, se ,u v� �

e w�

forem complanares.

(podemos dizer que | ( ) 0w u v× =� � � sse o conjunto { , , }u v w

� � � for linearmente dependente).

(iii) | ( ) 0w u v× >� � �, se, e só se, ( , , )u v w

� � � é uma base directa de 3

� , ou seja, se, e só se ,u v� �

e w�

satisfazem a regra da mão direita.

(iv) | ( ) 0w u v× <� � �, se, e só se, ( , , )u v w

� � � é uma base inversa de 3

� .

(v) O produto misto não se altera por permutação circular dos três vectores, ou seja,

( ) ( ) ( )| | |w u v u v w v w u× = × = ×� � � � � � � � � (uma vez que, os determinantes que representam estes produtos

são iguais se trocarmos duas filas).

(vi) | ( ) | ( ) | ( ) | ( )w u v w v u u w v v u w× = − × = − × = − ×� � � � � � � � � � � �, o produto misto é alternado, isto é, trocando a

posição relativa de dois vectores o produto misto muda de sinal; (o produto misto muda de sinal,

mantendo o valor absoluto, quando se trocam dois dos seus vectores).

(vii) | ( ) ( ) |w u v w u v× = ×� � � � � �, o produto misto não se altera quando se trocam entre si os sinais de

produto vectorial e de produto interno, mantendo a posição dos vectores.

(viii) | ( )w u v×� � � não se altera se a um factor se adiciona uma combinação linear dos outros dois (por

exemplo, | ( ) | ( ( ))w u v w u v u wα β× = × + +� � � � � � � �).

(ix) | ( )w u v×� � � é trilinear, isto é,

1 2 1 2 1 2| (( ) ) | ( ) | ( ) | ( ) | ( )w u u v w u v w u v w u v w u vα β α β α β+ × = × + × = × + ×� � � � � � � � � � � � � � � �,

1 2 1 2 1 2| ( ( )) | ( ) | ( ) | ( ) | ( )w u v v w u v w u v w u v w u vα β α β α β× + = × + × = × + ×� � � � � � � � � � � � � � � �

e

1 2 1 2( ) | ( ) | ( ) | ( )w w u v w u v w u vα β α β+ × = × + ×� � � � � � � � � �.



31/31

Obs.22: As propriedades (v) e (vi) acima podem ser memorizadas observando-se a figura21.

Considerando o produto misto de u�

, v�

e w�

, por esta ordem, | ( )w u v×� � �, seguindo as setas, obteremos o

sinal de +. Considerando o produto misto em sentido contrário ao das setas, obteremos o sinal de − .

Qualquer produto “num mesmo sentido” é o oposto do produto “em sentido contrário”, por exemplo,

| ( ) | ( )u v w v u w× = − ×� � � � � �.

Figura21 – Produto misto

apontamentos de Álgebra linear e geometria …w3.ualg.pt/~cfsousa/ensino/alga/5. vectores.pdf ·...

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