Technická univerzita v Liberci

Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická

Katedra matematiky a didaktiky matematiky

APOLLONIOVY ÚLOHY

Pomocný učební text

Petra Pirklová

Liberec, září 2013

2

Apolloniovy úlohy mají jméno podle řeckého geometra Apollonia z Pergy (262 – 200 př.

n. l.), který se jimi zabýval a řešil je.

Původně to byla pouze jedna úloha: sestrojit kružnici, která se dotýká tří kružnic daných.

Později byly tyto kružnice nahrazeny bodem (kružnicí o nulovém poloměru) a přímkou (kružnicí o

nekonečně velkém poloměru). Nyní Apolloniovými úlohami nazýváme úlohy sestrojit kružnici,

která se dotýká bodu, nebo kružnice, nebo přímky.

Z výše uvedeného zadání je patrné, že získáme 10 různých případů Apolloniovy úlohy

(BBB (bod-bod-bod), BBp (bod-bod-přímka), BBk (bod-bod-kružnice), Bpp, Bpk, Bkk, ppp, ppk,

pkk a kkk), přičemž obecná úloha má nejvýše 8 řešení.

My se budeme zabývat řešením Apolloniovy úlohy pouze eukleidovskými prostředky,

tedy pomocí množin bodů daných vlastností a metodou geometrických zobrazení (konkrétně

stejnolehlosti). Jsou známé také jiné metody, např. užitím kuželoseček, cyklografií, deskriptivní

geometrií, geometrií projektivní (kolineací) apod., avšak těmito metodami se zabývat nebudeme.

V následujících tabulkách jsou uvedeny všechny Apolloniovy úlohy a vzájemné polohy

jednotlivých útvarů vystupujících v těchto úlohách.

Zkratky uvedené v tabulkách: MBDV – množiny bodů dané vlastnosti, MBKK – mocnost

bodu ke kružnici, KI – kruhová inverze, STEJN – stejnolehlost. Zkratky typu např. ppT jsou

vysvětleny v kapitole Pappovy úlohy níže. Pokud je to možné, je v každé úloze vyřešen

nejobecnější případ dané Apolloniovy úlohy. V tabulce je označena tučně v počtu řešení a

tmavým pozadím.

1. Apolloniova úloha typu BBB: Sestrojte kružnici l, která prochází body A, B, C.

Vzájemná

poloha

prvků

A, B, C leží na přímce A, B, C neleží na přímce

Metoda

řešení MBDV

Počet

řešení 0 1

Jelikož jsou body A, B, C nekolineární, jedná se o

konstrukci kružnice opsané danému trojúhelníku, určeného

třemi zadanými body. K řešení použijeme metodu množin

bodů dané vlastnosti. Hledaný střed kružnice je bodem

průniku os úseček AB, BC a AC (množina středů všech kružnic,

které procházejí dvěma různými body). Každá z úseček AB,

BC, AC má právě jednu osu. Tyto osy jsou různoběžné přímky,

které se protnou právě v jednom bodě O. Úloha má právě

jedno řešení.

Úloha typu BBB

3

2. Apolloniova úloha typu BBp: Sestrojte kružnici l, která prochází body A, B a dotýká se

přímky p.

Vzájemná

poloha

prvků

{A,B} ⊂ p A ∈ p, B ∉ p

{A,B} ⊄ p

A, B v opačných

polorovinách

určených p

A, B ve stejné

polorovině

určené p

AB ∥p AB∦p

Metoda

řešení BpT MBDV

MBKK

nebo KI

Počet

řešení 0 1 0 1 2

Řešíme využitím mocnosti bodu ke kružnici. Přímka AB protne přímku p v bodě M.

Přímka p je tečnou hledané kružnice l, má s ní tedy právě jeden společný bod T. Bod T nalezneme

s využitím mocnosti bodu ke kružnici. Jelikož body A, B leží na kružnici l, platí m =|MA|⋅|MB|.

Pro dotykový bod T přímky p a kružnice l potom platí |MT|2 =|MA|⋅|MB|.

Vzdálenost MT určíme pomocí Euklidovy věty o odvěsně, tj. |MT|=|MA|⋅|MB|. Bod T

získáme jako průnik přímky p s kružnicí se středem v bodě M a poloměrem MT. Úlohu tak

převedeme na nalezení kružnice opsané trojúhelníku ABT (viz úloha BBB). Kružnice se středem v

bodě M a poloměrem MT protne přímku p ve dvou bodech. Úloha má dvě řešení.

Úloha typu BBp

3. Apolloniova úloha typu BBk: Sestrojte kružnici l, která prochází body A, B a dotýká se

kružnice k(S,r).

Vzájemná

poloha

prvků

{A,B} ⊂ k A ∈ k, B ∉ k

{A,B} ⊄ k

A leží vně, B uvnitř

kružnice

Body vně nebo uvnitř

kružnice

Metoda

řešení BkT MBKK nebo KI

Počet

řešení 0 1 0 2

4

Řešíme s využitím potenčního středu a metodou množin bodů dané vlastnosti. Hledaná

kružnice l prochází body A, B, proto její střed leží na ose o úsečky AB. Kružnice l se dotýká zadané

kružnice k v neznámém bodě T. Tečna kružnice k, která prochází bodem T, je společnou tečnou

kružnic l, k a zároveň i jejich chordálou. Zvolme kružnici l', která prochází body A, B a protíná

kružnici k ve dvou bodech, pak přímka AB je chordálou kružnice l a l'.

Najdeme-li potenční střed P kružnic l, l' a k, potom chordála kružnic l a k, která prochází

potenčním středem, je tečnou z bodu P ke kružnici k. Dotykový bod této tečny a kružnice k je

bod T. Střed hledané kružnice l patří do množiny středů všech kružnic, které se dotýkají kružnice

k v bodě T, tj. přímka ST bez bodů S, T.

Úloha typu BBk

Jestliže osa o úsečky AB neprochází středem S zadané kružnice k, jsou chordály kružnic l,

l', k navzájem různoběžné přímky, které se protínají právě v jednom bodě P. Z bodu P lze k dané

kružnici k vést právě dvě tečny, čímž získáme dva body T. Úloha má dvě řešení.

Jestliže osa o úsečky AB prochází středem S zadané kružnice k, jsou chordály kružnic l, l',

k navzájem rovnoběžné přímky, kolmé k ose o. Osa o je střednou kružnic k, l. Potenční střed P

neexistuje. Společná tečna t kružnic k, l je kolmá na střednou těchto kružnic a hledaný dotykový

bod T je průsečíkem osy o a kružnice k. Získáme tak opět dva průsečíky. Úloha má dvě řešení.

4. Apolloniova úloha typu Bpp: Sestrojte kružnici l, která prochází bodem B a dotýká se

přímek p1, p2.

Vzájemná

poloha

prvků

p1∥p2 p1∦p2

B vně pásu

p1, p2

B ∈ p1∧

B ∉ p2

B uvnitř

pásu p1, p2 B=p1∩p2 B∈p1∧ B∉p2 B∉p1∧ B∉p2

Metoda

řešení ppT MBDV ppT STEJN

Počet

řešení 0 1 2 0 1 2

5

Řešíme s využitím stejnolehlosti. Hledaná kružnice se dotýká přímek p1 a p2, proto střed

O leží na ose o úhlu určeného přímkami p1 a p2, jemuž náleží bod B.

Nyní musíme zajistit, aby kružnice splňovala i podmínku třetí – procházela bodem B.

Podle vět o stejnolehlosti dvou kružnic víme, že jsou každé dvě kružnice stejnolehlé. Speciálně v

tomto případě jsou stejnolehlé hledaná kružnice l a zvolená kružnice l', a to ve stejnolehlosti se

středem P (P ∊ p1∩p2). Bod B leží na kružnici l(O; r), a proto s ním stejnolehlý bod B' musí ležet na

kružnici l'(O'; r'). Navíc vzhledem k definici stejnolehlosti jsou vzor, obraz a střed stejnolehlosti

kolineární, a proto bod B' náleží přímce PB. Ve stejnolehlosti je každý směr samodružný, a proto

jsou přímky OB a O'B' rovnoběžné. Střed hledané kružnice O získáme jako průnik osy úhlu

určeného přímkami p1, p2 a přímky vedené bodem B rovnoběžně s přímkou O'B'. Přímka PB

protne kružnici l' ve dvou bodech B', které určují dvě stejnolehlosti. Tyto stejnolehlosti převedou

kružnici l' na dvě kružnice l. Úloha má dvě řešení.

Úloha typu Bpp

5. Apolloniova úloha typu Bpk: Sestrojte kružnici l, která prochází bodem B a dotýká se

přímky p a kružnice k(S,r).

Vzájemná

poloha

prvků

B=p∩k B∈p

∧

B∉k

B∈k

∧

B∉p

B∉p∧B∉k

p sečn

a k

p te

čna k

p nesečna k p tečna k

p sečn

a k

B u

vnitř k

B, k v o

pačn

ých

po

loro

vinách

dan

ých p

B, k ve ste

jné

po

loro

vině d

ané p

B u

vnitř k

B, k v o

pačn

ých

po

loro

vinách

dan

ých p

B, k v téže p

olo

rovin

ě,

B vn

ě k

Metoda

řešení kpT pkT KI kkT kkT KI KI

Počet

řešení 0 ∞ 2 2 0 0 4 1 1 3 2

6

6. Apolloniova úloha typu Bkk: Sestrojte kružnici l, která se dotýká kružnic k1(S1,r1),

k2(S2,r2) a prochází bodem B.

Vzájemná

poloha

prvků

k1, k2 soustředné

r1<r2

k1, k2 nesoustředné

k1 uvnitř k2,

r1<r2

k1,k2 vnitřní dotyk

B u

vnitř k

1

B vn

ě k2

B ∈

k1

B v m

ezikruží

B u

vnitř k

1

B vn

ě k2

B n

a jed

né z kru

žnic

B vn

ě k1 , u

vnitř k

2

B b

od

em d

otyku

kružn

ic

B n

a jed

né z kru

žnic

B ∉

k1 ∧

B ∉

k2

Metoda

řešení kkT

MB

DV

kkT KI kkT KI

Počet

řešení 0 0 2 4 0 0 2 4 ∞ 1 3

Vzájemná

poloha

prvků

k1, k2 vnější dotyk k1, k2 se protínají k1,k2 vně sebe B

bo

dem

do

tyku kru

žnic

B n

áleží jedn

é z kružn

ic

B vn

ě ob

ou

kružn

ic

B b

od

prů

niku

kružn

ic

B n

a jed

né z kru

žnic

B vn

ě ob

ou

kružn

ic

B u

vnitř jed

né kru

žnice

B n

a jed

né z kru

žnic

B vn

ě ob

ou

kružn

ic

Metoda

řešení kkT KI kkT KI kkT KI

Počet

řešení ∞ 1 3 0 2 2 0 2 4

7

7. Apolloniova úloha typu ppp: Sestrojte kružnici l, která se dotýká tří přímek p1, p2, p3.

Vzájemná

poloha

prvků

p1∥p2∥p3 p1, p2, p3 různoběžné p1∥p2∦p3

p1 ∩

p2 ∩

p3 =R

pro

tínají se ve třech

bo

dech

Metoda

řešení MBDV MBDV

Počet

řešení 0 0 4 2

Řešíme metodou množin bodů dané vlastnosti. Přímky p1, p2, p3 se protínají ve třech

různých bodech. Jedná se o konstrukci kružnice vepsané a kružnic připsaných trojúhelníku,

určeného třemi zadanými přímkami.

Hledané středy kružnic jsou body průniku os úhlů určených přímkami p1, p2, p3 (množina

středů všech kružnic, které se dotýkají dvou různoběžných přímek). Každé dvě různoběžky

vytínají v rovině čtyři úhly, přičemž každý z těchto úhlů má jednu osu. Osy se protnou vždy po

třech ve čtyřech bodech O. Úloha má čtyři řešení.

Úloha typu ppp

8

8. Apolloniova úloha typu ppk: Sestrojte kružnici l, která se dotýká přímek p1, p2 a

kružnice k(S,r).

Vzájemná poloha prvků Metoda

řešení

Počet

řešení

p1∥p2

k vně pásu přímek p1, p2 0

p1 nebo p2 tečnou k S vně pásu p1, p2 MBDV 1

S uvnitř pásu p1, p2 MBDV 3

jedna přímka je sečna k, nebo jsou přímky tečnami MBDV 2

přímky sečnami k MBDV 4

k uvnitř pásu p1, p2 MBDV 4

p1∦p2

p1∩k=p2∩k={} STEJN 4

p1∩k=R ppT 4

k protíná p1 STEJN 4

k se dotýká p1 a protíná p2 STEJN 6

k protíná p1, p2 STEJN 8

Řešíme s využitím stejnolehlosti. Střed hledané kružnice l leží na ose úhlu určeného

přímkami p1, p2, tj. množina středů všech kružnic, které se dotýkají dvou různoběžných přímek.

Dále víme, že kružnice k a hledaná kružnice l mají společný jeden bod dotyku T. Tento bod T je

zároveň středem stejnolehlosti kružnic l a k. K přímkám p1 a p2 existují stejnolehlé přímky p'1 a

p'2, rovnoběžné s přímkami p1, p2. Protože jsou přímky p1 a p2 tečnami kružnice l, musí být

přímky p'1 a p'2 tečnami kružnice k.

Průsečík P přímek p1, p2 a průsečík P' přímek p'1, p'2 jsou stejnolehlé v uvažované

stejnolehlosti. Z vlastností stejnolehlosti vyplývá, že body T, P, P' jsou kolineární, stejně tak i body

T, O, S musí být kolineární. Střed hledané kružnice nalezneme jako průsečík osy o s přímkou TS.

Ke kružnici k existují pro každou z přímek p1, p2 dvě rovnoběžné tečny. Tyto tečny se

protínají ve čtyřech bodech P'. Přímky PP' protnou kružnici k v osmi bodech T a každá z přímek ST

má s osou o vždy jeden společný bod. Úloha má osm řešení.

Úloha typu ppk

9

Všechna řešení nejobecnější úlohy typu ppk

9. Apolloniova úloha typu pkk: Sestrojte kružnici l, která se dotýká kružnic k1(S1,r1), k2(S2,r2)

a přímky p.

Vzájemná poloha prvků Metoda

řešení

Počet

řešení

k1, k2

soustředné

p tětivou alespoň jedné kružnice MBDV 4

p ∩ k1 = p ∩ k2 = {} 0

k1, k2

nesoustředné

p má s kružnicemi jeden společný bod ∞

p má s kružnicemi dva společné body 0

p má s kružnicemi tři společné body 0

p nemá s kružnicemi

žádný společný bod

kružnice ve stejné polorovině KI 8

kružnice v opačných polorovinách 0

10

10. Apolloniova úloha typu kkk: Sestrojte kružnici l, která se dotýká kružnic k1(S1,r1),

k2(S2,r2), k3(S3,r3).

Vzájemná poloha prvků Metoda

řešení

Počet

řešení

k1, k2, k3 soustředné, r1 < r2 < r3 0

k1, k2

soustředné,

r1 < r2

k1 ∩ k3 = k2 ∩ k3 = {} k3 neleží v mezikruží k1, k2 0

k3 leží v mezikruží k1, k2 MBDV 8

k1 ∩ k3 = R ∨ k2 ∩ k3= R MBDV 6

k3 protíná k2 MBDV 4

k3 protíná k1 i k2 MBDV 4

k1, k2, k3

nesoustředné

k1 ∩ k2 ∩ k3 = {} KI 8

k1 ∩ k2 ∩ k3 = R KI 4

k1 protíná k2 ve dvou bodech KI 4

11

PAPPOVY ÚLOHY

Pappova úloha má následující znění: "Jsou dány tři různé prvky (kružnice, přímky, body),

z nichž alespoň jeden je kruhová křivka a alespoň jeden je bod, přičemž tento bod leží na dané

kruhové křivce. Sestrojte kružnici, která se dotýká zadané kruhové křivky v daném bodě a dále se

dotýká další kruhové křivky nebo prochází dalším zadaným bodem.".

Obecná úloha se dělí na 6 podúloh. Jednoduchou konstrukcí můžeme počet variant snížit

na polovinu. Máme-li v zadání bod ležící na kružnici, sestrojíme v tomto bodě tečnu a úlohu

převedeme na hledání kružnice, která se dotýká přímky v tečném bodě.

Pro označení Pappovy úlohy se používá dolního indexu T vždy u křivky, na které bod leží.

Např. symbol BkT znamená, že je daná kružnice k a dva body, z nichž právě jeden leží na kružnici k.

1. Úloha typu BpT: Sestrojte kružnici l, která se dotýká dané přímky p v daném bodě T a

prochází dalším daným bodem B.

Řešíme metodou množin bodů dané vlastnosti. Hledaný střed O nalezneme jako průnik

dvou množin. První je množina středů všech kružnic, které procházejí body B, T, což je osa úsečky

BT (BT je tětiva hledané kružnice l). Druhá je množina středů všech kružnic, které se dotýkají

přímky p v bodě T bez bodu T. Náleží-li bod B přímce p, úloha nemá řešení. V ostatních případech

má úloha právě jedno řešení.

Úloha typu BpT

2. Úloha typu ppT: Sestrojte kružnici l, která se dotýká dvou daných přímek p, q a prochází

daným bodem T, který leží na jedné z přímek.

Při tomto zadání jsou možné různé vzájemné polohy vstupních prvků:

1. bod B leží na téže přímce jako bod T

2. přímky p, q jsou rovnoběžné

3. přímky p, q jsou různoběžné

Řešíme metodou množin bodů dané vlastnosti. Hledaný střed O nalezneme jako průnik

dvou množin. První množinou je přímka a bez bodu T, která je kolmá na přímku p a prochází

bodem T.

12

Druhá hledaná množina musí splňovat podmínku, aby střed měl stejnou vzdálenost od

obou přímek. V případě rovnoběžných přímek je takovou množinou osa pásu určeného přímkami

p, q. Jsou-li přímky p, q různoběžné jedná se o osy čtyř úhlů vymezených danými přímkami.

Náleží-li bod B téže přímce jako bod T, úloha nemá řešení. Jsou-li přímky p, q rovnoběžné

jsou přímky a a o navzájem kolmé, průsečíkem je právě jeden bod, úloha má tedy právě jedno

řešení. Jsou-li přímky p, q různoběžné přímka a protíná osy ve dvou bodech, úloha má právě dvě

řešení.

Úloha ppT, pokud jsou přímky rovnoběžné

Úloha ppT, pokud jsou přímky různoběžné

3. Úloha typu kpT: Sestrojte kružnici l, která se dotýká dané kružnice k(S,r) a dané přímky

p v daném bodě T.

Řešíme metodou geometrických zobrazení (stejnolehlosti). Střed hledané kružnice leží

na přímce a kolmé na přímku p procházející bodem T, bez bodu T (množina středů všech kružnic,

které se dotýkají přímky p v bodě T bez bodu T).

Dále víme, že kružnice k a hledaná kružnice l mají společný jeden bod dotyku R. Tento

bod R je zároveň středem stejnolehlosti kružnic l a k. Ve stejnolehlosti se středem R se zobrazí

kružnice l na kružnici k, přímka a na přímku a' a přímka p na přímku p', která má dotyk s

hledanou kružnicí. Bod T se zobrazí do bodu P.

Vycházíme z toho, že střed, vzor a obraz jsou ve stejnolehlosti kolineární, bod R tedy

nalezneme jako průsečík kružnice l a přímky TP. Průnikem přímky a a přímky SR (množiny středů

13

všech kružnic stejnolehlých ke kružnici k podle středu stejnolehlosti R) dostaneme bod S (střed

hledané kružnice).

Ke kružnici k lze vést dvě tečny, vzniknou dva body dotyku. Sestrojíme dvě přímky TP.

Každá přímka TP protne kružnici k v jednom bodě, vzniknou dva středy stejnolehlosti úloha má

dvě řešení.

Úloha typu kpT

4. Úloha typu BkT: Sestrojte kružnici l, která se dotýká dané kružnice k(S,r) v daném bodě

T a prochází dalším daným bodem B.

Řešíme metodou množin bodů dané vlastnosti. Sestrojíme tečnu kružnice k v bodě T a

úlohu převedeme na úlohu typu BpT. Hledaný střed je průsečíkem dvou přímek. Úloha má právě

jedno řešení.

Úloha typu BkT

5. Úloha typu pkT: Sestrojte kružnici l, která se dotýká dané kružnice k(S,r) v daném bodě

T a dané přímky p.

Řešíme metodou množin bodů dané vlastnosti. Sestrojíme tečnu kružnice k v bodě T a

úlohu převedeme na úlohu typu ppT.

14

Osy o1, o2 jsou dvojice navzájem kolmých přímek a t s nimi různoběžná, protne osy ve

dvou bodech (středech hledané kružnice). Úloha má dvě řešení.

Úloha typu pkT

6. Úloha typu kkT: Sestrojte kružnici l, která se dotýká dvou daných kružnic k1(S1,r1),

k2(S2,r2) a prochází bodem T, který leží na jedné z kružnic.

Řešíme metodou množin bodů dané vlastnosti. Sestrojíme tečnu kružnice k v bodě T a

úlohu převedeme na úlohu typu kpT. Ke kružnici k2 lze vést dvě tečny, vzniknou dva body dotyku,

sestrojíme dvě přímky TP, každá přímka TP protne kružnici k2 v jednom bodě, vzniknou dva

středy stejnolehlosti. Úloha má dvě řešení.

Úloha typu kkT