aplikasi sistem inferensi kabur mamdani dalam …
TRANSCRIPT
i
APLIKASI SISTEM INFERENSI KABUR MAMDANI DALAM
PENGATURAN KECERAHAN LAYAR TELPON GENGGAM
Skripsi
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat
Memperoleh Gelar Sarjana Matematika
Program Studi Matematika
Oleh:
Florens Septiane Trisnanta
NIM: 153114012
PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS SANATA DHARMA
YOGYAKARTA
2019
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ii
APPLICATION OF MAMDANI FUZZY INFERENCE SYSTEM IN
MOBILE PHONE SCREEN BRIGTHNESS SETTING
Thesis
Presented as Partipal Fulfillment of the
Requirements to Obtain the Degree of Sarjana Sains
Mathematics Study Program
Written by:
Florens Septiane Trisnanta
Student ID: 153114012
MATHEMATICS STUDY PROGRAM DEPARTMENT OF MATHEMATICS
FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY
SANATA DHARMA UNIVERSITY
YOGYAKARTA
2019
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
vi
MOTTO
“Janganlah hendaknya kamu kuatir tentang apa pun juga, tetapi nyatakanlah
dalam segala hal keinginanmu kepada Allah dalam doa dan permohonan dengan
ucapan syukur” (Filipi 4:6)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
vii
HALAMAN PERSEMBAHAN
Karya ini kupersembahkan untuk:
Tuhan Yesus Kristus, kedua orang tuaku dan keluargaku.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ix
ABSTRAK
Logika kabur pertama kali diperkenalkan oleh Prof. Lotfi A. Zadeh pada
tahun 1965. Nilai kebenaran dalam logika kabur dinyatakan dengan suatu bilangan
real dalam selang tertutup [0,1]. Sistem inferensi kabur adalah sistem komputasi
yang bekerja atas dasar penalaran kabur. Dalam tugas akhir ini digunakan salah satu
sistem inferensi, yaitu sistem inferensi Mamdani, untuk menetapkan tingkat
kecerahan layar pada telpon genggam. Faktor-faktor yang dipertimbangkan untuk
memutuskan tingkat kecerahan layar telpon genggam, yaitu kondisi cahaya ruangan
dan jarak pemakai telpon genggam. Kedua faktor tersebut yang menjadi variabel
masukan pada sistem inferensi ini.
Kata kunci: Logika kabur, sistem inferensi kabur Mamdani, tingkat kecerahan
layar telpon genggam.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
x
ABSTRACT
Fuzzy logic was first introduced by Prof. Lotfi A. Zadeh in 1965. Truth
value in fuzzy logic is expressed by a real number in the closed interval [0,1]. Fuzzy
inference system is a computation system based on fuzzy reasoning. In this final
paper one of the fuzzy inference system is used, i.e. the Mamdani inference system,
to set the brightness level of a mobile phone’s screen. The factors are considered to
decide the brightness level of a mobile phone’s screen are the conditions of room
light and the distance of mobile phone’s user. Both factors are the input variables
in this system.
Keywords: Fuzzy logic, Mamdani fuzzy inference system, brightness level of a
mobile phone’s screen
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xi
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur kepada Tuhan Yesus Kristus atas segala kasih, berkat, dan
karunia-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini dengan baik. Skripsi
ini dibuat dengan tujuan memenuhi syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains
pada Program Studi Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Sanata
Dharma.
Dalam penulisan skripsi ini, penulis menyadari bahwa penulis melibatkan
banyak pihak yang bersedia membantu dalam berbagai macam kesulitan. Penulis
juga tidak lepas dari dukungan dari banyak pihak. Oleh karena itu, pada kesempatan
ini penulis mengucapkan terima kasih kepada:
1. Prof. Dr. Frans Susilo, SJ selaku dosen pembimbing skripsi yang selalu
sabar memberikan arahan kepada penulis untuk menyelesaikan tugas akhir
ini.
2. Bapak Sudi Mungkasi, S.Si, M.Math.Sc., Ph.D., selaku Dekan Fakultas
Sains dan Teknologi dan selaku Dosen Pembimbing Akademik.
3. Bapak Hartono, S.Si., M.Sc., Ph.D., selaku Kaprodi Matematika.
4. Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc, Bapak Dr. rer. nat. Herry Pribawanto
Suryawan, S.Si., M.Si., Bapak Ricky Aditya, M.Sc, dan Ibu Maria Vianney
Any Herawati, S.Si., M.Si., selaku dosen-dosen Prodi Matematika yang
telah memberikan banyak ilmu pengetahuan kepada penulis selama proses
perkuliahan.
5. Bapak/Ibu dosen/karyawan Fakultas Sains dan Teknologi yang telah
berdinamika bersama selama penulis berkuliah.
6. Kedua orang tua, kakak, saudara dan keluarga yang telah mendoakan,
membantu dan mendukung penulis selama proses pengerjaan skripsi.
7. Sahabat Penulis yang sudah meluangkan waktunya untuk mendengarkan
keluh kesah, dan memberi dukungan serta motivasi dari awal penulisan
sampai akhir penulisan skripsi ini, yakni Marsella Novita.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xiii
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL ........................................................................................ i
HALAMAN JUDUL DALAM BAHASA INGGRIS ...................................... ii
HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING .............................................. iii
HALAMAN PENGESAHAN ........................................................................ iv
PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ........................................................... v
MOTTO..............................................................................................................vi
HALAMAN PERSEMBAHAN .................................................................... vii
LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN .............................................. viii
ABSTRAK ..................................................................................................... ix
ABSTRACT.................................................................................................... x
KATA PENGANTAR .................................................................................... xi
DAFTAR ISI................................................................................................ xiii
BAB I PENDAHULUAN ............................................................................... 1
A. Latar Belakang ....................................................................................... 1
B. Rumusan Masalah .................................................................................. 3
C. Batasan masalah ..................................................................................... 3
D. Tujuan penulisan .................................................................................... 3
E. Metode penulisan ................................................................................... 3
F. Manfaat penulisan .................................................................................. 3
G. Sistematika penulisan ............................................................................. 4
BAB II HIMPUNAN KABUR ........................................................................ 6
A. Konsep Himpunan Kabur ....................................................................... 6
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xiv
B. Fungsi Keanggotaan ............................................................................. 10
C. Operasi-Operasi pada Himpunan Kabur ............................................... 15
D. Relasi Kabur ...................................................................................... 23
BAB III LOGIKA KABUR ........................................................................... 26
A. Variabel Linguistik ............................................................................... 26
B. Pengubah Linguistik ............................................................................. 27
C. Proposisi Kabur .................................................................................... 28
D. Implikasi Kabur.................................................................................... 30
E. Penalaran Kabur ................................................................................... 32
F. Sistem Inferensi Kabur ......................................................................... 37
1. Unit Pengaburan .............................................................................. 38
2. Unit Basis Pengetahuan ................................................................... 39
3. Unit Penalaran Kabur ...................................................................... 40
4. Unit Penegasan ................................................................................ 40
BAB IV APLIKASI SISTEM INFERENSI KABUR MAMDANI ................ 43
A. Sistem Inferensi Kabur Mamdani ......................................................... 43
B. Implementasi Sistem Inferensi Kabur Mamdani Pada Pengaturan
Kecerahan Layar Telpon Genggam ...................................................... 43
1. Pembentukan Himpunan Kabur ....................................................... 43
2. Basis Kaidah.................................................................................... 47
3. Unit Pengaburan .............................................................................. 48
4. Unit Penalaran Kabur ...................................................................... 50
5. Unit Penegasan ................................................................................ 60
BAB V PENUTUP ........................................................................................ 61
A. Kesimpulan .......................................................................................... 61
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xv
B. Saran .................................................................................................... 63
DAFTAR PUSTAKA.................................................................................... 64
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
1
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Perkembangan teknologi saat ini semakin maju. Salah satunya di bidang
teknologi komunikasi, yaitu telpon genggam. Telpon genggam yang pada awalnya
merupakan barang langka dan mewah serta hanya orang dari kalangan ekonomi atas
yang memilikinya. Namun, seiring perkembangan zaman, telpon genggam menjadi
kebutuhan dan mudah dibeli. Telpon genggam saat ini sudah menjadi bagian dari
gaya hidup masyarakat modern. Hampir setiap orang memiliki telpon genggam
sebagai alat komunikasi mereka. Keberadaan telpon genggam saat ini tidak hanya
digunakan oleh orang dewasa saja, namun anak-anak pun sudah banyak yang
memiliki telpon genggam. Bahkan masyarakat sekarang tidak dapat dipisahkan
oleh telpon genggam. Telpon genggam dapat membantu seseorang melakukan
komunikasi dengan cepat. Tetapi pemakaian telpon genggam yang terlampau lama
dapat menimbulkan dampak negatif bagi kesehatan, terutama kesehatan mata.
Masalah kesehatan mata ini tidak lepas dari peran cahaya karena cahaya yang
menimpa benda tersebut akan dipantulkan ke mata untuk dapat terlihat. Aktivitas
pada saat menggunakan telpon genggam harus memperhatikan penerangan yang
cukup, sebab dalam jangka waktu lama akan berdampak pada kelelahan mata jika
tidak diimbangi dengan intensitas penerangan yang memadai. Oleh karena itu,
kecerahan pada layar telpon genggam menjadi bagian yang penting dalam
penggunaan telpon genggam. Kecerahan layar telpon genggam dapat diatur dengan
menerapkan logika kabur.
Logika kabur pertama kali diperkenalkan oleh Prof. Lotfi A. Zadeh pada tahun
1965. Nilai kebenaran dalam logika kabur dinyatakan dengan suatu bilangan real
dalam selang tertutup [0,1]. Dasar dari logika kabur adalah himpunan kabur. Pada
teori himpunan kabur, peranan derajat keanggotaan sebagai penentu keberadaan
elemen dalam suatu himpunan sangatlah penting. Salah satu aplikasi logika kabur
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
2
yang telah berkembang amat luas dewasa ini adalah dalam sistem inferensi kabur,
yaitu sistem komputasi yang bekerja atas dasar penalaran kabur, misalnya sistem
kendali otomatis, sistem klasifikasi data, sistem pakar, sistem pengenalan pola,
robotika, dan sebagainya (Susilo, 2018). Sistem inferensi kabur yang banyak
dikenal diantaranya adalah sistem inferensi kabur Mamdani, sistem inferensi kabur
Tsukamoto, dan sistem inferensi kabur Takagi-Sugeno-Kang.
Sistem inferensi kabur Mamdani atau biasa dikenal sebagai metode Min-
Max merupakan suatu metode menggunakan aturan “Jika-Maka”. Sistem inferensi
kabur Mamdani ini diperkenalkan oleh Ebrahim Mamdani pada tahun 1974. Sistem
inferensi kabur Mamdani dapat memberikan solusi yang baik untuk menentukan
tingkat kecerahan layar telpon genggam dengan kondisi tertentu. Pada tugas akhir
ini, sistem inferensi kabur Mamdani akan dipakai untuk menentukan tingkat
kecerahan pada layar telpon genggam berdasarkan terangnya ruangan dan jarak
pemakai dengan telpon genggam.
Permasalahan ini hanya terdiri dari dua masukan saja, yaitu terangnya ruangan
dan jarak pemakai dengan telpon genggam. Nilai linguistik untuk variabel
“terangnya ruangan” ada tiga macam, yaitu :
1. Terang
2. Sedang
3. Gelap
Sedangkan variabel “jarak pemakai dengan telpon genggam” mempunyai tiga nilai
linguistik, yaitu :
1. Jauh
2. Sedang
3. Dekat
Varibel keluaran, yaitu “tingkat kecerahan layar pada telpon genggam” mempunyai
tiga nilai linguistik, yaitu rendah, sedang, dan tinggi. Untuk mendapatkan keluaran
diperlukan empat tahapan:
1. Menentukan semua variabel terkait, baik variabel masukan maupun variabel
keluaran
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
3
2. Membentuk basis kaidah
3. Menarik kesimpulan
4. Mengubah kesimpulan yang masih berupa himpunan kabur menjadi suatu nilai
tegas dengan menggunakan fungsi penegasan
B. Rumusan Masalah
Masalah yang diangkat dalam skripsi ini adalah bagaimana menerapkan
sistem inferensi kabur Mamdani untuk mengatur tingkat kecerahan layar telpon
genggam dengan dua variabel masukan, yaitu terangnya ruangan dan jarak pemakai
dengan telpon genggam?
C. Batasan masalah
Dalam tugas akhir ini, penulis akan membatasi penulisan agar lebih terarah
dan tidak menyimpang dari masalah yang akan dibahas, yaitu:
1. Metode yang digunakan yaitu metode Mamdani.
2. Masukannya adalah terangnya ruangan dan jarak pemakai dengan telpon
genggam.
D. Tujuan penulisan
Tujuan penulisan tugas akhir ini adalah untuk menentukan tingkat
kecerahan layar telpon genggam dengan menggunakan sistem inferensi kabur
Mamdani.
E. Metode penulisan
Metode penulisan yang digunakan untuk menyusun tugas akhir ini adalah
studi pustaka, yaitu dengan membaca dan mempelajari jurnal-jurnal, makalah, dan
buku-buku yang berkaitan dengan sistem inferensi kabur Mamdani.
F. Manfaat penulisan
Manfaat penulisan tugas akhir ini adalah:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
4
1. Penulis dan pembaca mendapat gambaran tentang penerapan sistem inferensi
kabur Mamdani untuk mengatur tingkat kecerahan layar telpon genggam.
2. Tugas akhir ini dapat dijadikan referensi bagi peneliti lain.
G. Sistematika penulisan
Sistematika penulisan tugas akhir ini adalah sebagai berikut:
BAB I PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
B. Rumusan Masalah
C. Batasan Masalah
D. Tujuan Penulisan
E. Metode Penulisan
F. Manfaat Penulisan
G. Sistematika Penulisan
BAB II HIMPUNAN KABUR
A. Konsep Himpunan Kabur
B. Fungsi Keanggotaan
C. Operasi-operasi pada Himpunan Kabur
D. Relasi Kabur
BAB III LOGIKA KABUR
A. Variabel Linguistik
B. Pengubah Linguistik
C. Proposisi Kabur
D. Implikasi Kabur
E. Penalaran Kabur
F. Sistem Inferensi Kabur
BAB IV APLIKASI SISTEM INFERENSI KABUR MAMDANI
A. Sistem Inferensi Kabur Mamdani
B. Implementasi Sistem Inferensi Kabur Mamdani Pada Pengaturan
Kecerahan Layar Telpon Genggam
BAB V PENUTUP
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
5
A. Kesimpulan
B. Saran
DAFTAR PUSTAKA
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
6
BAB II
HIMPUNAN KABUR
A. Konsep Himpunan Kabur
Himpunan tegas adalah himpunan yang terdefinisi secara tegas, dalam arti
bahwa untuk setiap elemen dalam semestanya selalu dapat ditentukan secara tegas
apakah ia merupakan anggota himpunan itu atau tidak. Dengan kata lain, terdapat
batas tegas antara unsur-unsur yang merupakan anggota dan unsur-unsur yang
tidak merupakan anggota.
Tetapi tidak semua himpunan dapat didefiniskan secara demikian, misalnya
himpunan orang kaya, himpunan orang pandai, himpunan orang miskin, dan
sebagainya. Himpunan semacam itu disebut himpunan kabur (fuzzy set).
Zadeh mengaitkan himpunan semacam itu dengan suatu fungsi yang
menyatakan derajat kesesuaian unsur-unsur dalam semestanya dengan konsep
yang merupakan syarat keanggotaan himpunan tersebut. Fungsi itu disebut fungsi
keanggotaan dan nilai fungsi itu disebut derajat keanggotaan suatu unsur dalam
himpunan itu. Derajat keanggotaan itu dinyatakan dengan suatu bilangan real
dalam selang tertutup [0,1].
Definisi 2.1.1
Suatu himpunan kabur 𝐴 ̃ dalam semesta wacana X adalah himpunan yang
mempunyai fungsi keanggotaan yang dinyatakan dalam pemetaan 𝜇�̃� dari X ke
selang [0,1], yaitu
𝜇�̃� ∶ 𝑋 → [0,1].
Nilai fungsi 𝜇�̃�(𝑥) menyatakan derajat keanggotaan unsur 𝑥 ∈ 𝑋 dalam himpunan
kabur 𝐴 ̃. Nilai fungsi sama dengan 1 menyatakan keanggotaan penuh, sedangkan
nilai fungsi sama dengan 0 menyatakan sama sekali bukan anggota himpunan kabur
tersebut. Oleh karena itu, himpunan tegas juga dapat dipandang sebagai kejadian
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
7
khusus dari himpunan kabur, yaitu himpunan kabur yang fungsi keanggotaannya
hanya bernilai 0 atau 1 saja.
Suatu himpunan kabur 𝐴 ̃dalam semesta wacana X dapat dinyatakan sebagai
himpunan pasangan terurut
𝐴 ̃ = {(𝑥, 𝜇�̃�(𝑥))| 𝑥 ∈ 𝑋}
dimana 𝜇�̃� adalah fungsi keanggotaan dari himpunan kabur 𝐴 ̃.
Jika X kontinu maka himpunan kabur 𝐴 ̃ seringkali ditulis
𝐴 ̃ = ∫ 𝜇�̃�(𝑥)/𝑥
𝑟
𝑥∈𝑋
dimana lambang ʃ bukan lambang integral seperti yang dikenal dalam kalkulus,
tetapi melambangkan keseluruhan unsur-unsur 𝑥 ∈ 𝑋 bersama dengan derajat
keanggotaannya dalam himpunan kabur 𝐴 ̃ dan lambang / tidak melambangkan
operasi pembagian yang dikenal dalam aritmetika, tetapi melambangkan pasangan
unsur 𝑥 dan derajat keanggotaannya.
Jika X diskret maka himpunan kabur 𝐴 ̃ sering kali ditulis
𝐴 ̃ = ∑𝜇�̃�(𝑥)/𝑥
𝑥∈𝑋
dimana lambang ∑ di sini tidak melambangkan operasi jumlahan yang dikenal
dalam aritmetika, tetapi melambangkan keseluruhan unsur-unsur 𝑥 ∈ 𝑋 bersama
dengan derajat keanggotaannya dalam himpunan kabur 𝐴 ̃ dan lambang / tidak
melambangkan operasi pembagian yang dikenal dalam aritmetika, tetapi
melambangkan pasangan unsur 𝑥 dan derajat keanggotaannya.
Definisi 2.1.2
Pendukung dari suatu himpunan kabur 𝐴,̃ yang dilambangkan dengan Pend(𝐴 ̃),
adalah himpunan tegas yang memuat semua unsur dari semesta yang mempunyai
derajat keanggotaan taknol dalam 𝐴 ̃, yaitu:
𝑃𝑒𝑛𝑑(𝐴 ̃) = {𝑥 ∈ 𝑋 │ 𝜇�̃�(𝑥) > 0}.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
8
Definisi 2.1.3
Tinggi dari suatu himpunan kabur 𝐴,̃ yang dilambangkan dengan 𝑇𝑖𝑛𝑔𝑔𝑖(𝐴 ̃),
didefinisikan sebagai
𝑇𝑖𝑛𝑔𝑔𝑖 (𝐴 ̃) = sup𝑥∈𝑋
{𝜇�̃�(𝑥)}.
Himpunan kabur yang mempunyai tinggi sama dengan satu disebut himpunan
kabur normal, sedangkan himpunan kabur yang mempunyai tinggi kurang dari satu
disebut himpunan kabur subnormal.
Definisi 2.1.4
Titik silang dari suatu himpunan kabur 𝐴 ̃ adalah anggota dari semesta yang
mempunyai derajat keanggotaan sama dengan 0.5.
Definisi 2.1.5
Teras dari suatu himpunan kabur 𝐴 ̃, yang dilambangkan dengan 𝑇𝑒𝑟𝑎𝑠(𝐴 ̃),
adalah himpunan tegas yang memuat semua unsur dari semestanya yang
mempunyai derajat keanggotaan sama dengan 1, yaitu
𝑇𝑒𝑟𝑎𝑠(𝐴 ̃) = {𝑥 ∈ 𝑋 │ 𝜇�̃�(𝑥) = 1}.
Definisi 2.1.6
Pusat dari suatu himpunan kabur didefinisikan sebagai berikut: Jika nilai purata
dari semua titik dimana fungsi keanggotaan himpunan kabur itu mencapai nilai
maksimum adalah berhingga, maka pusat himpunan kabur itu adalah nilai purata
tersebut. Jika purata itu takhingga positif (negatif) , maka pusat himpunan kabur itu
adalah yang terkecil (terbesar) diantara semua titik yang mencapai nilai fungsi
keanggotaan maksimum.
Contoh 2.1.1
Dalam semesta 𝑋 = {−4,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3,4}, himpunan kabur 𝐴 ̃ dapat
dinyatakan misalnya sebagai
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
9
𝐴 ̃ = ∑ 𝜇�̃�(𝑥) 𝑥⁄
𝑥∈𝑋
= 0.3 −3⁄ + 0.5 −2⁄ + 0.8 −1⁄ + 1 0⁄ + 0.8 1⁄ + 0.5/2 + 0.3/3
Bilangan −4 dan 4 mempunyai derajat keanggotaan 0 yang biasanya tidak ditulis
dalam penyajian himpunan kabur dengan semesta diskret.
𝑃𝑒𝑛𝑑(𝐴 ̃) = {−3,−2, −1 , 0 , 1, 2, 3}.
𝑇𝑖𝑛𝑔𝑔𝑖(𝐴 ̃) = 1; himpunan kabur 𝐴 ̃ ini adalah himpunan kabur normal.
Titik silang dari himpunan kabur 𝐴 ̃ ini adalah −2 dan 2.
𝑇𝑒𝑟𝑎𝑠(𝐴 ̃) = {0}.
Definisi 2.1.7
Dua buah himpunan kabur 𝐴 ̃ dan 𝐵 ̃ dalam semesta X dikatakan sama, dinotasikan
dengan 𝐴 ̃ = 𝐵,̃ bila dan hanya bila
𝜇�̃�(𝑥) = 𝜇�̃�(𝑥), ∀ 𝑥 ∈ 𝑋.
Definisi 2.1.8
Dalam semesta X, himpunan kabur 𝐴 ̃ disebut himpunan bagian dari himpunan
kabur 𝐵 ̃, yaitu 𝐴 ̃ ⊆ 𝐵,̃ bila dan hanya bila
𝜇�̃�(𝑥) ≤ 𝜇�̃�(𝑥), ∀ 𝑥 ∈ 𝑋.
Jadi, 𝐴 ̃ = 𝐵 ̃ bila dan hanya bila 𝐴 ̃ ⊆ 𝐵 ̃ dan 𝐵 ̃ ⊆ 𝐴 ̃.
Contoh 2.1.2
Jika 𝐴 ̃ = 0.3/−3 + 0.5/−2 + 0.8/−1 + 1/0 + 0.8/1 + 0.5/2+ 0.3/3
dan 𝐵 ̃ = 0.4/−3 + 0.6/−2 + 0.9/−1 + 1/0 + 0.9/1 + 0.6/2 + 0.4/3,
maka 𝐴 ̃ ⊆ 𝐵 ̃.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
10
B. Fungsi Keanggotaan
Setiap himpunan kabur dapat dinyatakan dengan suatu fungsi keanggotaan.
Ada beberapa cara yang digunakan untuk menyatakan himpunan kabur dengan
fungsi keanggotaannya.
Untuk semesta hingga diskret biasanya dipakai cara daftar, yaitu daftar
anggota-anggota semesta bersama dengan derajat keanggotaannya. Misalnya
diberikan semesta 𝑋 = {Surya, Boby, Shintia, Bagas, Desi} yang terdiri dari
mahasiswa dengan indeks prestasi berturut-turut 3.5, 2.6, 3.8, 1.7, dan 2.9.
Himpunan kabur 𝐴 ̃ = “himpunan mahasiswa yang pandai” dapat dinyatakan
dengan cara daftar sebagai berikut:
𝐴 ̃ = 0.8/Surya + 0.6/Boby + 0.9/Shintia + 0.4/Bagas + 0.7/Desi.
Untuk semesta takhingga yang kontinu, cara yang paling sering digunakan
adalah cara analitik, yaitu mempresentasikan fungsi keanggotaan himpunan kabur
dalam bentuk suatu formula matematis yang dapat disajikan dalam bentuk grafik.
Misalnya 𝐴 ̃ adalah himpunan kabur “bilangan real yang dekat dengan 2”. Maka 𝐴 ̃
dapat disajikan dalam bentuk
𝐴 ̃ = ∫ 𝑒−(𝑥−2)2𝑥⁄
𝑟
𝑥∈𝑅
dimana 𝜇�̃�(𝑥) = 𝑒−(𝑥−2)2 adalah fungsi keanggotaan 𝐴 ̃.
Bilangan 2 mempunyai derajat keanggotaan penuh sama dengan 1, yaitu
𝜇�̃�(2) = 1, sedangkan 1 dan 3 mempunyai derajat keanggotaan 0.37, yaitu
𝜇�̃�(1) = 𝜇�̃�(3) = 0.37.
Himpunan kabur 𝐴 ̃ = "bilangan real yang dekat dengan 2" itu juga dapat
dinyatakan dengan fungsi keanggotaan sebagai berikut
𝜇�̃�(𝑥) = {𝑥 − 1 untuk 1 ≤ 𝑥 ≤ 23 − 𝑥 untuk 2 ≤ 𝑥 ≤ 30 untuk 𝑥 lainnya
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
11
dengan derajat keanggotaan 𝜇�̃�(2) = 1,
𝜇�̃�(1.5) =
𝜇�̃�(2.5) = 0.5,
𝜇�̃�(1) =
𝜇�̃�(3) = 0.
Kebanyakan himpunan kabur berada dalam semesta himpunan semua
bilangan real ℝ dengan fungsi keanggotaan yang dinyakatan dalam bentuk suatu
formula matematis. Beberapa fungsi keanggotaan himpunan kabur yang sering
digunakan adalah sebagai berikut:
1. Fungsi Keanggotaan Segitiga
Suatu fungsi keanggotaan himpunan kabur disebut fungsi keanggotaan
segitiga jika mempunyai tiga buah parameter, yaitu a, b, c ∈ ℝ dengan a < b <
c, dan dinyatakan dengan Segitiga (x; a, b, c) dengan aturan:
𝑆𝑒𝑔𝑖𝑡𝑖𝑔𝑎(𝑥; 𝑎, 𝑏, 𝑐) =
{
𝑥 − 𝑎
𝑏 − 𝑎 untuk 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏
𝑐 − 𝑥
𝑐 − 𝑏 untuk 𝑏 ≤ 𝑥 ≤ 𝑐
0 untuk 𝑥 lainnya
Fungsi keanggotaan tersebut dapat juga dinyatakan dengan formula sebagai
berikut:
𝑆𝑒𝑔𝑖𝑡𝑖𝑔𝑎 (𝑥; 𝑎, 𝑏, 𝑐) = max (min(𝑥 − 𝑎
𝑏 − 𝑎 ,𝑐 − 𝑥
𝑐 − 𝑏) , 0) .
Contoh 2.2.1
Misalkan diketahui fungsi keanggotaan Segitiga (x; 15, 25, 35), maka grafik
fungsi tersebut adalah
Gambar 2.1 Fungsi Keanggotaan Segitiga (x; 15, 25, 35)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
12
2. Fungsi Keanggotaan Trapesium
Suatu fungsi keanggotaan himpunan kabur disebut fungsi keanggotaan
trapesium jika mempunyai empat buah parameter, yaitu a, b, c, d ∈ ℝ dengan
a < b < c < d, dan dinyatakan dengan Trapesium (x; a, b, c, d) dengan aturan:
𝑇𝑟𝑎𝑝𝑒𝑠𝑖𝑢𝑚 (𝑥; 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑) =
{
𝑥 − 𝑎
𝑏 − 𝑎 untuk 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏
1 untuk 𝑏 ≤ 𝑥 ≤ 𝑐𝑑 − 𝑥
𝑑 − 𝑐 untuk 𝑐 ≤ 𝑥 ≤ 𝑑
0 untuk 𝑥 lainnya
Fungsi keanggotaan tersebut dapat juga dinyatakan dengan formula sebagai
berikut:
𝑇𝑟𝑎𝑝𝑒𝑠𝑖𝑢𝑚 (𝑥; 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑) = max (min(𝑥 − 𝑎
𝑏 − 𝑎 , 1,
𝑑 − 𝑥
𝑑 − 𝑐) , 0).
Contoh 2.2.2
Misalkan diketahui fungsi keanggotaan Trapesium (x; 40, 60, 90, 100), maka grafik
fungsi keanggotaan tersebut adalah
Gambar 2.2 Fungsi Keanggotaan Trapesium (x; 40, 60, 90, 100)
3. Fungsi Keanggotaan Gauss
Suatu fungsi keanggotaan himpunan kabur dengan dua buah parameter
𝑎, 𝑏 ∈ ℝ disebut fungsi keanggotaan Gauss, dinyatakan dengan
𝐺𝑎𝑢𝑠𝑠 (𝑥; 𝑎, 𝑏), jika memenuhi:
𝐺𝑎𝑢𝑠𝑠 (𝑥; 𝑎, 𝑏) = 𝑒−(𝑥−𝑎𝑏)2
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
13
dimana 𝑥 = 𝑎 adalah pusat dan b menentukan lebar dari grafik fungsi
keanggotaan Gauss tersebut.
Contoh 2.2.3
Misalkan diketahui fungsi keanggotaan Gauss (x; 15, 15), maka grafik fungsi
keanggotaan tersebut adalah
Gambar 2.3 Fungsi Keanggotaan Gauss (𝑥; 15, 15)
4. Fungsi Keanggotaan Cauchy
Suatu fungsi keanggotaan himpunan kabur dengan tiga buah parameter a, b,
c ∈ ℝ disebut fungsi keanggotaan Cauchy atau fungsi keanggotaan genta,
dinyatakan dengan Cauchy (x; a, b, c), jika memenuhi:
𝐶𝑎𝑢𝑐ℎ𝑦 (𝑥; 𝑎, 𝑏, 𝑐) = 1
1 + |𝑥 − 𝑐𝑎
|2𝑏
dimana x = c adalah pusat, a menentukan lebar, dan b menentukan kemiringan
(slope) di titik silang dari fungsi keanggotaan Cauchy tersebut.
Contoh 2.2.4
Misalkan diketahui fungsi keanggotaan Cauchy (x; 8, 2, 15), maka grafik fungsi
keanggotaan tersebut adalah
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
14
Gambar 2.4 Fungsi Keanggotaan Cauchy (𝑥; 8, 2, 15)
5. Fungsi Keanggotaan Sigmoid
Suatu fungsi keanggotaan himpunan kabur dengan dua buah parameter a
dan c ∈ ℝ disebut fungsi keanggotaan sigmoid, dinyatakan dengan Sigmoid
(x; a, c), jika memenuhi:
𝑆𝑖𝑔𝑚𝑜𝑖𝑑 (𝑥; 𝑎, 𝑐) =1
1 + 𝑒−𝑎(𝑥−𝑐)
dimana a menentukan kemiringan fungsi sigmoid tersebut di titik silang x = c.
Jika 𝑎 > 0 maka grafik terbuka kanan dan jika 𝑎 < 0 maka grafik terbuka kiri.
Contoh 2.2.5
Misalkan diketahui fungsi keanggotaa Sigmoid (x; 3, 6), maka grafik fungsi
keanggotaan tersebut adalah
Gambar 2.5 Fungsi Keanggoaan Sigmoid (𝑥; 3, 6) yang Terbuka Kanan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
15
Contoh 2.2.6
Misalkan diketahui fungsi keanggotaan Sigmoid (x; −3, 6), maka grafik fungsi
keanggotaan tersebut adalah
Gambar 2.6 Fungsi Keanggoaan Sigmoid (𝑥; −3, 6) yang Terbuka Kiri
C. Operasi-Operasi pada Himpunan Kabur
Sama seperti pada himpunan tegas, dalam himpunan kabur juga dapat
didefinisikan operasi uner “komplemen” dan operasi-operasi biner “gabungan” dan
“irisan”. Suatu himpunan tegas dapat dinyatakan secara lengkap dengan fungsi
karakteristiknya sehingga ketiga operasi pada himpunan tegas itu dapat
didefinisikan dengan menggunakan fungsi karakteristik itu. Ketiga operasi tersebut
adalah sebagai berikut:
1. Komplemen
Misalnya A adalah suatu himpunan tegas dalam semesta X, maka
komplemen dari A, yaitu 𝐴′, dapat didefinisikan dengan tabel nilai kebenaran
sebagai berikut:
𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝐴′
1 0
0 1
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
16
Bila 𝜒𝐴 adalah fungsi karakteristik dari himpunan A tersebut, maka definisi
komplemen itu juga dapat dinyatakan dengan menggunakan fungsi
karakteristik sebagai berikut
𝜒𝐴′(𝑥) = 1 − 𝜒𝐴(𝑥), ∀𝑥 ∈ 𝑋.
2. Gabungan
Gabungan dari himpunan-himpunan tegas A dan B dalam semesta X, yaitu
A ∪ 𝐵, dapat didefinisikan dengan menggunakan tabel kebenaran sebagai
berikut:
𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝐵 𝑥 ∈ 𝐴 ∪ 𝐵
1 1 1
1 0 1
0 1 1
0 0 0
Definisi tersebut juga dapat dinyatakan dengan menggunakan fungsi
karakteristik sebagai berikut
𝜒𝐴∪𝐵(𝑥) = max{𝜒𝐴(𝑥), 𝜒𝐵(𝑥)} , ∀𝑥 ∈ 𝑋.
3. Irisan
Irisan dari himpunan-himpunan tegas A dan B dalam semesta X, yaitu
dinotasikan A ∩ 𝐵, dapat didefinisikan dengan menggunakan tabel kebenaran
sebagai berikut:
𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝐵 𝑥 ∈ 𝐴 ∩ 𝐵
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 0
Definisi tersebut juga dapat dinyatakan dengan menggunakan fungsi
karakteristik sebagai berikut
𝜒𝐴∩𝐵(𝑥) = min{𝜒𝐴(𝑥), 𝜒𝐵(𝑥)} , ∀𝑥 ∈ 𝑋.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
17
Karena fungsi keanggotaan suatu himpunan kabur adalah perampatan dari
fungsi karakteristik himpunan tegas, maka operasi-operasi pada himpunan kabur
dapat didefinisikan sesuai dengan operasi-operasi pada himpunan tegas seperti
didefinisikan di atas.
1. Komplemen
Komplemen dari suatu himpunan kabur 𝐴 ̃ dalam semesta X adalah
himpunan kabur 𝐴′̃ dengan fungsi keanggotaan
𝜇𝐴′̃(𝑥) = 1 − 𝜇�̃�(𝑥), ∀𝑥 ∈ 𝑋.
2. Gabungan
Gabungan dua buah himpunan kabur 𝐴 ̃ dan 𝐵 ̃ dalam semesta X adalah
himpunan kabur 𝐴 ̃ ∪ 𝐵 ̃ dengan fungsi keanggotaan
𝜇�̃�∪�̃�(𝑥) = max{ 𝜇�̃�(𝑥), 𝜇�̃�(𝑥)}, ∀𝑥 ∈ 𝑋.
3. Irisan
Irisan dua buah himpunan kabur 𝐴 ̃ dan 𝐵 ̃ dalam semesta X adalah
himpunan kabur 𝐴 ̃ ∩ 𝐵 ̃ dengan fungsi keanggotaan
𝜇�̃�∩�̃�(𝑥) = min{ 𝜇�̃�(𝑥), 𝜇�̃�(𝑥)}, ∀𝑥 ∈ 𝑋.
Ketiga operasi yang didefinisikan di atas tersebut disebut operasi baku pada
himpunan kabur.
Contoh 2.3.1
Misalkan dalam semesta 𝑋 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} diketahui himpunan-
himpunan kabur
𝐴 ̃ = 0.1/1 + 0.5/2 + 0.7/3 + 0.8/4 + 0.9/5 + 0.8/6 + 0.5/7 + 0.3/8 +
0.2/9 + 0.1/10
𝐵 ̃ = 0.2/1 + 0.5/2 + 0.6/3 + 0.8/4 + 0.8/5 + 0.7/6 + 0.5/7 + 0.4/8 +
0.3/9 + 0.2/10
maka
𝐴 ̃′ = 0.9/1 + 0.5/2 + 0.3/3 + 0.2/4 + 0.1/5 + 0.2/6 + 0.5/7+
0.7/8 + 0.8/9 + 0.9/10
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
18
𝐵 ̃′ = 0.8/1 + 0.5/2 + 0.4/3 + 0.2/4 + 0.2/5 + 0.3/6 + 0.5/7+
0.6/8 + 0.7/9 + 0.8/10
𝐴 ̃ ∪ 𝐵 ̃ = 0.2/1 + 0.5/2 + 0.7/3 + 0.8/4 + 0.9/5 + 0.8/6 + 0.5/7 +
0.4/8 + 0.3/9 + 0.2/10
𝐴 ̃ ∩ 𝐵 ̃ = 0.1/1 + 0.5/2 + 0.6/3 + 0.8/4 + 0.8/5 + 0.7/6 + 0.5/7 +
0.3/8 + 0.2/9 + 0.1/10
Seperti halnya pada himpunan tegas, pada himpunan kabur juga berlaku sifat-
sifat operasi sebagai berikut:
1. (𝐴 ̃′)′ = 𝐴 ̃ (Involusi)
2. 𝐴 ̃ ∪ 𝐴 ̃ = 𝐴 ̃ dan 𝐴 ̃ ∩ 𝐴 ̃ = 𝐴 ̃ (Idempoten)
3. 𝐴 ̃ ∪ ∅ = 𝐴 ̃ dan 𝐴 ̃ ∪ 𝑋 = 𝐴 ̃ (Identitas)
4. 𝐴 ̃ ∪ 𝐵 ̃ = 𝐵 ̃ ∪ 𝐴 ̃ dan 𝐴 ̃ ∩ 𝐵 ̃ = 𝐵 ̃ ∩ 𝐴 ̃ (Komutatif)
5. 𝐴 ̃ ∪ ( 𝐵 ̃ ∪ 𝐶 ̃) = (𝐴 ̃ ∪ 𝐵 ̃) ∪ 𝐶 ̃
𝐴 ̃ ∩ ( 𝐵 ̃ ∩ 𝐶 ̃) = (𝐴 ̃ ∩ 𝐵 ̃) ∩ 𝐶 ̃ (Asosiatif)
6. 𝐴 ̃ ∪ ( 𝐵 ̃ ∩ 𝐶 ̃) = (𝐴 ̃ ∪ 𝐵 ̃) ∩ (𝐴 ̃ ∪ 𝐶 ̃)
𝐴 ̃ ∩ ( 𝐵 ̃ ∪ 𝐶 ̃) = (𝐴 ̃ ∩ 𝐵 ̃) ∪ (𝐴 ̃ ∩ 𝐶 ̃) (Distributif)
7. 𝐴 ̃ ∪ (𝐴 ̃ ∩ 𝐵 ̃) = 𝐴 ̃ dan 𝐴 ̃ ∩ (𝐴 ̃ ∪ 𝐵 ̃) = 𝐴 ̃ (Absorbsi)
8. (𝐴 ̃ ∪ 𝐵 ̃)′= 𝐴 ̃′ ∩ 𝐵 ̃′ dan (𝐴 ̃ ∩ 𝐵 ̃)
′= 𝐴 ̃′ ∪ 𝐵 ̃′ (De Morgan)
Operasi-operasi komplemen, gabungan, dan irisan yang didefinisikan di atas
disebut operasi baku untuk himpunan-himpunan kabur. Definisi tersebut dapat
dirampatkan sedemikian sehingga definisi operasi-operasi baku tersebut
merupakan kejadian khususnya. Perampatan tersebut akan didefinisikan dengan
menggunakan sifat-sifat yang harus dipenuhi, kemudian akan diperlihatkan macam-
macam operasi yang memenuhi sifat-sifat tersebut.
Definisi 2.3.1 Komplemen Kabur
Suatu pemetaan 𝑘: [0,1] → [0,1] disebut komplemen kabur jika memenuhi sifat-
sifat berikut:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
19
K1. k(0) = 1 dan k(1) = 0 (syarat batas).
K2. Jika x ≤ y, maka k(x) ≥ k(y) untuk semua 𝑥, 𝑦 ∈ [0,1] (syarat taknaik).
Contoh 2.3.2
Operasi komplemen baku, yaitu 𝑘(𝑥) = 1 − 𝑥.
Kelas Sugeno yang didefinisikan sebagai berikut:
𝑘𝜆 (𝑥) = 1 − 𝑥
1 + 𝜆𝑥
dengan prameter 𝜆 = (−1,∞). Untuk setiap nilai parameter 𝜆 diperoleh operasi
komplemen kabur. Untuk 𝜆 = 0, diperoleh operasi komplemen baku, yaitu
𝑘0(𝑥) = 1 − 𝑥, dimana x adalah derajat keanggotaan suatu elemen dalam suatu
himpunan kabur �̃� dan 𝑘0(𝑥) adalah derajat keanggotaan elemen tersebut dalam
himpunan kabur 𝐴′̃.
Contoh 2.3.3
Kelas Yager yang didefinisikan sebagai berikut:
𝑘𝑤(𝑥) = (1 − 𝑥𝑤)1/𝑤
dengan parameter 𝑤 ∈ (0,∞). Untuk setiap nilai parameter w diperoleh suatu
himpunan kabur, dan untuk w = 1, diperoleh operasi komplemen baku, yaitu
𝑘1(𝑥) = 1 − 𝑥.
Definisi 2.3.2 Gabungan Kabur: Norma-s
Suatu pemetaan 𝑠 ∶ [0,1] × [0,1] → [0,1] disebut gabungan kabur (norma-s) jika
untuk setiap 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ [0,1] memenuhi sifat-sifat berikut:
S1. 𝑠(0, 𝑥) = 𝑠 (𝑥, 0) = 𝑥 dan 𝑠(1,1) = 1 (syarat batas)
S2. 𝑠(𝑥, 𝑦) = 𝑠 (𝑦, 𝑥) (syarat komutatif)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
20
S3. Jika 𝑥 ≤ 𝑥′ dan 𝑦 ≤ 𝑦′, maka 𝑠(𝑥, 𝑦) ≤ 𝑠(𝑥′, 𝑦′) untuk semua 𝑥, 𝑦 ∈ [0,1]
(syarat takturun)
S4. 𝑠(𝑠(𝑥, 𝑦), 𝑧) = 𝑠(𝑥, 𝑠(𝑦, 𝑧)) (syarat asosiatif)
Contoh 2.3.4
Contoh-contoh norma-s adalah sebagai berikut:
a. Gabungan baku : 𝑠(𝑥, 𝑦) = max{𝑥, 𝑦}
b. Jumlah aljabar : 𝑠𝑗𝑎(𝑥, 𝑦) = 𝑥 + 𝑦 − 𝑥𝑦
c. Jumlah Eistein :
𝑠𝑗𝑒(𝑥, 𝑦) =𝑥 + 𝑦
1 + 𝑥𝑦
d. Jumlah drastis : 𝑠𝑗𝑑(𝑥, 𝑦) =
1
y
x jika 𝑦 = 0… .jika 𝑥 = 0… .jika 𝑥 lainnya
Beberapa kelas pemetaan yang merupakan norma-s (gabungan kabur), yaitu:
a. Kelas Yager
𝑠𝑤(𝑥, 𝑦) = min{1, (𝑥𝑤 + 𝑦𝑤)1/𝑤} , 𝑤 ∈ (0,∞)
b. Kelas Dubois-Prade
𝑠𝛼(𝑥, 𝑦) = 𝑥 + 𝑦 − 𝑥𝑦 − min {𝑥, 𝑦, 1 − 𝛼}
max {1 − 𝑥, 1 − 𝑦, 𝛼}, 𝛼 ∈ [0,1]
c. Kelas Dombi
𝑠𝜆(𝑥, 𝑦) = 1
1 + ((1𝑥 − 1)
−𝜆
+ (1𝑦 − 1)
−𝜆
)
−1/𝜆 , 𝜆 ∈ (0,∞)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
21
Teorema 2.3.3
Untuk setiap operasi gabungan kabur s dan setiap 𝑥, 𝑦 ∈ [0, 1] berlaku max{𝑥, 𝑦} ≤
𝑠(𝑥, 𝑦) ≤ 𝑠𝑗𝑑(𝑥, 𝑦).
Bukti:
Ambil sebarang operasi gabungan kabur s dan sebarang 𝑥, 𝑦 ∈ [0, 1].
Karena s memenuhi syarat batas dan syarat takturun dari norma-s, maka diperoleh
𝑠(𝑥, 0) = 𝑥 dan 𝑠(0, 𝑦) = 𝑦. (syarat batas)
Karena 0 ≤ 𝑥,maka 𝑠(0, 𝑦) ≤ 𝑠(𝑥, 𝑦). (syarat takturun)
Karena 0 ≤ 𝑦,maka 𝑠(𝑥, 0) ≤ 𝑠(𝑥, 𝑦). (syarat takturun)
Jadi, 𝑠(𝑥, 𝑦) ≥ 𝑠(0, 𝑦) = 𝑦, sehingga 𝑦 ≤ 𝑠(𝑥, 𝑦)
𝑠(𝑥, 𝑦) ≥ 𝑠(𝑥, 0) = 𝑥, sehinngga 𝑥 ≤ 𝑠(𝑥, 𝑦).
Maka diperoleh max{𝑥, 𝑦} ≤ 𝑠(𝑥, 𝑦).
Selanjutnya,
jika 𝑥 = 0,maka 𝑠(𝑥, 𝑦) = 𝑠(0, 𝑦) = 𝑦 = 𝑠𝑗𝑑(𝑥, 𝑦)
jika 𝑦 = 0,maka 𝑠(𝑥, 𝑦) = 𝑠(𝑥, 0) = 𝑥 = 𝑠𝑗𝑑(𝑥, 𝑦)
jika 𝑥 ≠ 0 dan 𝑦 ≠ 0,maka 𝑠(𝑥, 𝑦) ≤ 1 = 𝑠𝑗𝑑(𝑥, 𝑦)
Terbukti bahwa 𝑠(𝑥, 𝑦) ≤ 𝑠𝑗𝑑(𝑥, 𝑦).∎
Definisi 2.3.4 Irisan Kabur: (Norma-t)
Suatu pemetaan 𝑡 ∶ [0,1] × [0,1] → [0,1] disebut irisan kabur (norma-t) jika untuk
setiap 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ [0, 1] memenuhi sifat-sifat berikut:
T1. 𝑡(𝑥, 1) = 𝑡(1, 𝑥) = 𝑥 dan 𝑡(0,0) = 0 (syarat batas)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
22
T2. 𝑡(𝑥, 𝑦) = 𝑡(𝑦, 𝑥) (syarat komutatif)
T3. Jika 𝑥 ≤ 𝑥′ dan 𝑦 ≤ 𝑦′, maka 𝑡(𝑥, 𝑦) ≤ 𝑡(𝑥′, 𝑦′) untuk semua 𝑥, 𝑦 ∈ [0,1]
(syarat takturun)
T4. 𝑡(𝑡(𝑥, 𝑦), 𝑧) = 𝑡(𝑥, 𝑡(𝑦, 𝑧)) (syarat asosiatif)
Contoh 2.3.5
Contoh-contoh suatu norma-t adalah sebagai berikut:
a. Irisan baku : 𝑡(𝑥, 𝑦) = min {𝑥, 𝑦}
b. Darab aljabar : 𝑡𝑑𝑎(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦
c. Darab Eistein :
𝑡𝑑𝑒(𝑥, 𝑦) =𝑥𝑦
2 − (𝑥 + 𝑦 − 𝑥𝑦)
d. Darab drastis : 𝑡𝑑𝑑(𝑥, 𝑦) =
0
y
x
jika 𝑦 = 1… .jika 𝑥 = 1… .jika 𝑥 lainnya
Beberapa kelas pemetaan yang merupakan norma-t (irisan kabur), yaitu:
a. Kelas Yager
𝑡𝑤(𝑥, 𝑦) = 1 − min {1 − ((1 − 𝑥)𝑤 + (1 − 𝑦)𝑤)
1𝑤} , 𝑤 ∈ (0,∞)
b. Kelas Dubois-Prade
𝑡𝛼(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦
max{𝑥, 𝑦, 𝛼} , 𝛼 ∈ [0,1]
c. Kelas Dombi
𝑡𝜆(𝑥, 𝑦) = 1
1 + ((1𝑥 − 1)
𝜆
+ (1𝑦 − 1)
𝜆
)
1/𝜆 , 𝜆 ∈ (0,∞)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
23
Teorema 2.3.5
Untuk setiap operasi irisan kabur t dan setiap 𝑥, 𝑦 ∈ [0, 1] berlaku 𝑡𝑑𝑑(𝑥, 𝑦) ≤
𝑡(𝑥, 𝑦) ≤ min{𝑥, 𝑦}.
Bukti:
Ambil sebarang operasi irisan kabur t dan sebarang 𝑥, 𝑦 ∈ [0, 1].
Karena t memenuhi syarat batas dan syarat takturun dari norma-t, maka diperoleh
𝑡(𝑥, 1) = 𝑥 dan 𝑡(1, 𝑦) = 𝑦. (syarat batas)
Karena 𝑥 ≤ 1,maka 𝑡(𝑥, 𝑦) ≤ 𝑡(1, 𝑦). (syarat takturun)
Karena 𝑦 ≤ 1,maka 𝑡(𝑥, 𝑦) ≤ 𝑡(𝑥, 1). (syarat takturun)
Jadi, 𝑡(𝑥, 𝑦) ≤ 𝑡(𝑥, 1) = 𝑥, sehingga 𝑡(𝑥, 𝑦) ≤ 𝑥
𝑡(𝑥, 𝑦) ≤ 𝑡(1, 𝑦) = 𝑦, sehingga 𝑡(𝑥, 𝑦) ≤ 𝑦.
Maka diperoleh 𝑡(𝑥, 𝑦) ≤ min{𝑥, 𝑦}.
Selanjutnya,
jika 𝑥 = 1,maka 𝑡(𝑥, 𝑦) = 𝑡(1, 𝑦) = 𝑦 = 𝑡𝑑𝑑(𝑥, 𝑦)
jika 𝑦 = 1,maka 𝑡(𝑥, 𝑦) = 𝑡(𝑥, 1) = 𝑥 = 𝑡𝑑𝑑(𝑥, 𝑦)
jika 𝑥 ≠ 1 dan 𝑦 ≠ 1,maka berlaku 𝑡𝑑𝑑(𝑥, 𝑦) = 0 ≤ 𝑡(𝑥, 𝑦)
Terbukti bahwa 𝑡𝑑𝑑(𝑥, 𝑦) ≤ 𝑡(𝑥, 𝑦).∎
D. Relasi Kabur
Definisi 2.4.1
Relasi kabur 𝑅 ̃ antara elemen-elemen dalam himpunan X dengan elemen-elemen
dalam himpunan Y didefinisikan sebagai himpunan bagian kabur dari darab
Cartesisus 𝑋 × 𝑌, yaitu himpunan kabur
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
24
𝑅 ̃ = {((𝑥, 𝑦), 𝜇�̃�(𝑥, 𝑦))│(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑋 × 𝑌}.
Jika himpunan X dan Y keduanya berhingga, misalnya 𝑋 = {𝑥1, 𝑥2,⋯ , 𝑥𝑚}
dan 𝑌 = {𝑦1, 𝑦2, ⋯ , 𝑦𝑛}, maka relasi kabur 𝑅 ̃ antara elemen-elemen dalam
himpunan X dengan elemen-elemen dalam himpunan Y dapat dinyatakan dalam
bentuk suatu matriks berukuran 𝑚 × 𝑛 sebagai berikut:
𝑅 ̃ = [
𝑎11 𝑎12 ⋯ 𝑎1𝑛𝑎21⋮
𝑎22 ⋮⋯ 𝑎2𝑛
⋮𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 ⋯ 𝑎𝑚𝑛
]
dimana 𝑎𝑖𝑗 = 𝜇�̃�(𝑥𝑖, 𝑦𝑗) untuk 𝑖 = 1,2,⋯ ,𝑚 dan 𝑗 = 1,2,⋯ , 𝑛. Bila X=Y, maka
relasi kabur 𝑅 ̃ pada himpunan X itu dapat disajikan dengan suatu matriks persegi.
Contoh 2.4.1
Misalkan 𝑋 = {1, 27, 119}, 𝑌 = {10, 225, 94}, dan 𝑅 ̃ adalah relasi kabur “jauh
lebih kecil” antara elemen-elemen dalam X dengan elemen-elemen dalam Y. Maka
relasi 𝑅 ̃ tersebut dapat dinyatakan sebagai 𝑅 ̃ = 0.1/(1, 10) + 0.9/(1, 225) +
0.5/(1, 94) + 0.8/(27, 225) + 0.3/(27, 94) + 0.5/(119,225). Relasi 𝑅 ̃tersebut
dapat juga dinyatakan dalam bentuk matriks persegi sebagai berikut:
𝑅 ̃ = [0.1 0.9 0.50.0 0.8 0.30.0 0.5 0.0
]
dengan elemen baris ke-i kolom ke-j dalam matriks tersebut menyatakan derajat
keanggotaan (𝑥𝑖, 𝑦𝑗) dalam relasi 𝑅 ̃, yaitu 𝜇�̃�(𝑥𝑖, 𝑦𝑗), dimana 𝑥𝑖 ∈ 𝑋 dan 𝑦𝑗 ∈ 𝑌.
Definisi 4.2.4
Invers dari suatu relasi kabur 𝑅 ̃ pada semesta 𝑋 × 𝑌, yang dinyatakan
dengan 𝑅 ̃−1 , adalah relasi kabur pada semesta 𝑌 × 𝑋 dengan fungsi keanggotaan
𝜇�̃�−1(𝑦, 𝑥) = 𝜇�̃�(𝑥, 𝑦)
untuk setiap (𝑦, 𝑥) ∈ 𝑌 × 𝑋. Jelas bahawa (𝑅 ̃−1)−1= 𝑅 ̃ untuk setiap relasi kabur
𝑅 ̃. Matriks dari invers dari relasi kabur 𝑅 ̃, yaitu 𝑅 ̃−1 , adalah transpos dari matriks
dari relasi 𝑅 ̃.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
25
Contoh 2.4.2
Dari contoh 2.4.1 diperoleh 𝑅 ̃−1 = [0.1 0.0 0.00.9 0.8 0.50.5 0.3 0.0
].
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
26
BAB III
LOGIKA KABUR
A. Variabel Linguistik
Suatu variabel adalah suatu lambang atau kata yang menunjuk kepada
sesuatu yang tidak tertentu dalam semesta wacananya. Misalnya dalam kalimat:
“Mahasiswa itu lulus dengan pujian”, kata “mahasiswa” adalah suatu variabel
karena menunjuk kepada orang yang tidak tertentu dalam semesta wacananya yaitu
himpunan manusia. Demikian pula dalam kalimat: “y habis dibagi 3”, lambang “y"
adalah suatu variabel dengan semesta wacana himpunan bilangan-bilangan. Suatu
variabel dapat diganti oleh unsur-unsur dalam semesta wacananya, misalnya
variabel “mahasiswa” dapat diganti dengan “Budi” dan variabel “y” dapat diganti
dengan bilangan 6. Kata “Budi” dan lambang “6” menunjuk pada unsur yang
tertentu pada masing-masing semesta wacananya, dan disebut konstanta. Terdapat
dua jenis variabel, yaitu:
1. Variabel numeris, yang digunakan bila semesta wacananya adalah himpunan
bilangan-bilangan.
2. Variabel linguistik, yang digunakan bila semesta wacananya adalah himpunan
kata-kata atau istilah-istilah dari bahasa sehari-hari.
Suatu variabel linguistik adalah suatu rangkap-5 (x, T, X, G, M) dimana:
a. x adalah lambang variabelnya.
b. T adalah himpunan nilai-nilai linguistik yang dapat menggantikan x.
c. X adalah semesta wacana (numeris) dari nilai-nilai linguistik dalam T.
d. G adalah himpunan aturan-aturan sintaksis yang mengatur pembentukan
istilah-istilah anggota T.
e. M adalah himpunan aturan-aturan semantik yang mengaitkan setiap istilah T
dengan suatu himpunan kabur dalam semesta wacana X.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
27
Contoh 3.1.1
Bila variabel linguistiknya adalah “kecepatan”, maka sebagai himpunan nilai-nilai
linguistik dapat diambil himpunan istilah-istilah
𝑇 = {sangat lambat, lambat, agak lambat, cepat, agak cepat, sangat cepat},
dengan semesta numeris 𝑋 = [0, 160], himpunan aturan sintaksis 𝐺 = {𝑥│𝑥 =
aturan pembentukan kata majemuk yang mengikuti kaidah yang berlaku dalam
bahasa Indonesia}, dan himpunan aturan semantik 𝑀 = {𝜇𝑙𝑎𝑚𝑏𝑎𝑡(𝑥) =
160−𝑥
160, 𝜇𝑐𝑒𝑝𝑎𝑡(𝑥) =
𝑥
160, 𝜇𝑠𝑎𝑛𝑔𝑎𝑡𝐴(𝑥) = (𝜇�̃�(𝑥))
2 , 𝜇𝑎𝑔𝑎𝑘𝐴(𝑥) = √𝜇�̃�(𝑥)}.
B. Pengubah Linguistik
Pengubah lingusitik adalah suatu kata yang dipergunakan untuk mengubah
suatu kata/istilah menjadi suatu kata/istilah yang baru dengan makna yang baru.
Dua buah pengubah linguistik yang paling sering digunakan adalah “sangat” dan
“agak”.
Jika suatu istilah A dikaitkan dengan himpunan kabur 𝐴 ̃ dalam semesta X,
maka istilah “sangat A” dikaitkan dengan himpunan kabur konsentrasi dari
𝐴 ̃ dengan lambang Kon(�̃�) dan fungsi keanggotaan
𝜇𝐾𝑜𝑛(�̃�)(𝑥) = (𝜇�̃� (𝑥))2, ∀ 𝑥 ∈ 𝑋
sedangkan istilah “agak A” dikaitkan dengan himpunan kabur dilasi dari �̃� dengan
lambang Dil(�̃�) dan fungsi keanggotaan
𝜇𝐷𝑖𝑙(�̃�)(𝑥) = (𝜇�̃� (𝑥))1/2, ∀ 𝑥 ∈ 𝑋.
Contoh 3.2.1
Misalkan 𝑋 = {6, 7, 8, 9, 10} dan istilah “dekat dengan 10” dikaitkan dengan
himpunan kabur 𝐴 ̃ = 0.60/6 + 0.70/7 + 0.80/8 + 0.90/9 + 1.00/10. Maka
istilah
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
28
“sangat dekat dengan 10” dikaitkan dengan himpunan kabur
𝐾𝑜𝑛(�̃�) = 0.36/6 + 0.49/7 + 0.64/8+ 0.81/9+ 1.00/10
“sangat dekat sekali dengan 10” dikaitkan dengan himpunan kabur
𝐾𝑜𝑛(𝐾𝑜𝑛(�̃�)) = 0.1296/6 + 0.2401/7 + 0.4096/8 + 0.6561/9 + 1.00/10
“agak dekat dengan 10” dikaitkan dengan himpunan kabur
𝐷𝑖𝑙(�̃�) = 0.77/6 + 0.84/7 + 0.89/8 + 0.95/9 + 1.00/10
“tidak sangat dekat dengan 10” dikaitkan dengan himpunan kabur
(𝐾𝑜𝑛(�̃�))′ = 0.64/6 + 0.51/7 + 0.36/8 + 0.19/9
“dekat tetapi tidak sangat dekat dengan 10” dikaitkan dengan himpunan kabur
�̃� ∩ (𝐾𝑜𝑛(�̃�))′ = 0.60/6 + 0.51/7 + 0.36/8 + 0.19/9.
C. Proposisi Kabur
Proposisi kabur adalah kalimat yang memuat predikat kabur, yaitu predikat
yang dapat direpresentasikan dengan suatu himpunan kabur. Proposisi kabur yang
mempunyai nilai kebenaran tertentu disebut pernyataan kabur. Nilai kebenaran dari
suatu pernyataan kabur disajikan dengan suatu bilangan real dalam selang [0,1].
Nilai kebenaran itu disebut derajat kebenaran dari pernyaataan kabur itu. Bentuk
umum dari proposisi kabur adalah
𝑥 adalah 𝐴
dimana x adalah suatu variabel linguistik dan predikat A adalah suatu nilai linguistik
dari x. Bila 𝐴 ̃ adalah himpunan kabur yang dikaitkan dengan nilai linguistik A dan
𝑥0 adalah suatu elemen tertentu dalam semesta X dari himpunan kabur 𝐴 ̃, maka 𝑥0
mempunyai derajat keanggotaan 𝜇�̃�(𝑥0) dalam himpunan kabur 𝐴 ̃. Derajat
kebenaran dari pernyataan kabur
𝑥0 adalah 𝐴
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
29
didefinisikan sama dengan derajat keanggotaan 𝑥0 dalam himpunan kabur 𝐴 ̃, yaitu
𝜇�̃�(𝑥0).
Misalkan proposisi kabur “𝑥 adalah 𝐴” dilambangkan dengan 𝑝(𝑥),
pernyataan kabur “𝑥0 adalah 𝐴” dengan 𝑝(𝑥0), dan derajat keanggotaan dari 𝑝(𝑥0)
dengan 𝜏(𝑝(𝑥0)), maka
𝜏(𝑝(𝑥0)) = 𝜇�̃�(𝑥0) .
Seperti halnya dengan proposisi yang tegas, kita juga dapat membentuk
proposisi kabur majemuk dari proposisi-proposisi kabur tunggal, dengan
mengunakan operator-operator logika. Beberapa contoh proposisi kabur majemuk
misalnya:
Orang itu kaya dan rumahnya besar
Sekolah itu mahal atau kemampuan finansial orangtua siswanya rendah
Bila prestasi studi tinggi, maka peluang memperoleh beasiswa juga tinggi
Udara dingin bila dan hanya bila suhunya rendah
Secara umum terdapat empat macam proposisi kabur majemuk dengan
operator logika biner, yaitu:
Konjungsi kabur : x adalah A dan y adalah B
Disjungsi kabur : x adalah A atau y adalah B
Implikasi kabur : Bila x adalah A, maka y adalah B
Ekivalensi kabur : x adalah A bila dan hanya bila y adalah B
Variabel-variabel linguistik dalam proposisi-proposisi tunggal penyusun-
nya tidak harus sama (yaitu tidak harus dalam semesta numeris yang sama).
Misalkan x adalah variabel linguistik dengan semesta numeris X, dan A
adalah suatu predikat kabur yang dikaitkan dengan himpunan kabur 𝐴 ̃ dalam X,
maka negasi dari proposisi kabur “x adalah A” adalah proposisi kabur
x adalah tidak A
dengan predikat kabur “tidak A” yang dapat dikaitkan dengan himpunan kabur
komplemen kabur dari 𝐴 ̃, yaitu 𝐴 ̃′, dengan fungsi keanggotaan
𝜇𝐴′̃(𝑥) = 𝑘(𝜇𝐴 ̃(𝑥))
dimana k adalah suatu komplemen kabur.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
30
Jika x adalah variabel linguistik dengan semesta numeris X dan y adalah
variabel linguistik dengan semesta numeris Y , maka konjungsi kabur:
x adalah A dan y adalah B
di mana A dikaitkan dengan hipunan kabur 𝐴 ̃ dalam X, dan B dikaitkan dengan
himpunan kabur 𝐵 ̃dalam Y, dapat dipandang sebagai suatu relasi kabur ∧ dalam
𝑋 × 𝑌 dengan fungsi keanggotaan
𝜇∧(𝑥, 𝑦) = 𝑡(𝜇𝐴 ̃(𝑥), 𝜇𝐵 ̃ (𝑦))
dengan t adalah suatu norma-t, sedangkan disjungsi kabur:
x adalah A atau y adalah B
dapat dipandang sebagai suatu relasi kabur ∨ dalam 𝑋 × 𝑌 dengan fungsi
keanggotaan
𝜇∨(𝑥, 𝑦) = 𝑠(𝜇𝐴 ̃(𝑥), 𝜇𝐵 ̃ (𝑦))
dengan s adalah suatu norma-s
Proposisi kabur majemuk yang paling sering dipakai dalam aplikasi teori
kabur adalah implikasi kabur.
D. Implikasi Kabur
Bentuk umum suatu implikasi kabur adalah
Bila x adalah A, maka y adalah B
dengan A dan B adalah predikat-predikat kabur yang dikaitkan dengan himpunan-
himpunan kabur 𝐴 ̃ dan 𝐵 ̃ dalam semesta X dan Y berturut-turut. Seperti halnya
dengan konjungsi dan disjungsi kabur, implikasi kabur juga dapat dipandang
sebagai suatu relasi kabur dalam 𝑋 × 𝑌, yang dilambangkan dengan →.
Dalam logika dwinilai, telah diketahui bahwa implikasi tegas 𝑝 ⟹ 𝑞
ekivalen dengan ¬𝑝 ∨ 𝑞. Berdasarkan ekivalensi tersebut, dengan mengganti
proposisi p dan q berturut-turut dengan proposisi kabur “x adalah A” dan “y adalah
B”, implikasi kabur tersebut di atas dapat diinterpretasikan sebagai relasi kabur →
dalam 𝑋 × 𝑌 dengan fungsi keanggotaan
𝜇⟶(𝑥, 𝑦) = s (𝑘(𝜇�̃�(𝑥)), 𝜇�̃�(𝑦))
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
31
dengan s adalah suatu norma-s dan k adalah suatu komplemen kabur. Bila sebagai
norma-s dan komplemen kabur diambil operasi-operasi gabungan dan komplemen
baku, maka diperoleh
𝜇→𝑑𝑟(𝑥, 𝑦) = max(1 − 𝜇�̃�(𝑥), 𝜇�̃�(𝑦))
yang seringkali disebut implikasi Dienes-Rescher.
Karena implikasi tegas 𝑝 ⟹ 𝑞 juga ekivalen dengan (𝑝 ∧ 𝑞) ∨ ¬𝑝, maka
implikasi kabur di atas juga dapat diinterpretasikan sebagai relasi kabur → dalam
𝑋 × 𝑌 dengan fungsi keanggotaan
𝜇⟶(𝑥, 𝑦) = s (𝑡(𝜇�̃�(𝑥), 𝜇�̃�(𝑦)), 𝑘(𝜇�̃�(𝑥)))
dengan s adalah suatu norma-s, t adalah suatu norma-t, dan k adalah suatu
komplemen kabur. Bila sebagai norma-s, norma-t, dan komplemen kabur diambil
operasi-operasi gabungan, irisan, dan komplemen baku, maka diperoleh
𝜇→𝑧(𝑥, 𝑦) = max(min (𝜇�̃�(𝑥), 𝜇�̃�(𝑦)),1 − 𝜇�̃�(𝑥))
yang seringkali disebut implikasi Zadeh.
Dalam literatur masih banyak interpretasi lainnya untuk implikasi kabur.
Salah satu implikasi kabur yang paling sering digunakan dalam aplikasi sistem
kabur adalah implikasi Mamdani. Implikasi ini didasarkan pada asumsi bahwa
implikasi kabur pada dasarnya bersifat lokal, dalam arti bahwa implikasi
Jika x adalah A, maka y adalah B
hanya berbicara mengenai keadaan dimana x adalah A dan y adalah B saja, dan tidak
mengenai keadaan lainnya di luar itu. Berdasarkan asumsi tersebut, implikasi kabur
dapat dipandang sebagai suatu konjungsi kabur, sehingga diperoleh
𝜇⟶(𝑥, 𝑦) = 𝑡(𝜇�̃�(𝑥), 𝜇�̃�(𝑦))
yang disebut implikasi Mamdani. Bila sebagai norma-t diambil operasi baku “min”,
maka diperoleh
𝜇→𝑚𝑚(𝑥, 𝑦) = min (𝜇�̃�(𝑥), 𝜇�̃�(𝑦))
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
32
dan bila sebagai norma-t diambil operasi “darab aljabar”, maka diperoleh
𝜇→𝑚𝑑(𝑥, 𝑦) = 𝜇�̃�(𝑥)𝜇�̃�(𝑦).
Implikasi kabur dapat diperluas menjadi implikasi dengan bentuk umum:
Jika <𝑃𝐾1>, maka <𝑃𝐾2>
dengan 𝑃𝐾1 dan 𝑃𝐾2 berturut-turut adalah proposisi kabur dalam semesta 𝑋1 ×
𝑋2 ×⋯× 𝑋𝑛 dan 𝑌1 × 𝑌2 ×⋯× 𝑌𝑛.
Contoh 3.4.1
Misalkan diketahui semesta 𝑋 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑} dan 𝑌 = {𝑝, 𝑞, 𝑟}, dan implikasi kabur
Jika x tinggi, maka y kecil
di mana predikat “tinggi” dan “kecil” berturut-turut dikaitkan dengan himpunan
kabur 𝐴 ̃ = 0.2/𝑎 + 0.5/𝑏 + 0.7/𝑐 + 0.9/𝑑 dan 𝐵 ̃ = 0.4/𝑝 + 0.6/𝑞 + 0.8/𝑟.
Maka diperoleh
1. Implikasi Dienes-Rescher
→𝑑𝑟 = 0.8/(a, p) + 0.8/(a, q) + 0.8/(a, r) + 0.5/(b, p) + 0.6/(b, q) + 0.8/(b, r) +
0.4/(c, p) + 0.6/(c, q) + 0.8/(c, r) + 0.4/(d, p) + 0.6/(d, q) + 0.8/(d, r)
2. Implikasi Zadeh
→𝑧 = 0.8/(a, p) + 0.8/(a, q) + 0.8/(a, r) + 0.5/(b, p) + 0.5/(b, q) + 0.5/(b, r) +
0.4/(c, p) + 0.6/(c, q) + 0.7/(c, r) + 0.4/(d, p) + 0.6/(d, q) + 0.8/(d, r)
3. Implikasi Mamdani
→𝑚𝑚 = 0.2/(a, p) + 0.2/(a, q) + 0.2/(a, r) + 0.4/(b, p) + 0.5/(b, q) + 0.5/(b, r)
+ 0.4/(c, p) + 0.6/(c, q) + 0.7/(c, r) + 0.4/(d, p) + 0.6/(d, q) + 0.8/(d, r)
→𝑚𝑑 = 0.08/(a, p) + 0.12/(a, q) + 0.16/(a, r) + 0.2/(b, p) + 0.3/(b, q) +
0.4/(b, r) + 0.28/(c, p) + 0.42/(c, q) + 0.56/(c, r) + 0.36/(d, p) +
0.56/(d, q) + 0.72/(d, r).
E. Penalaran Kabur
Penalaran kabur (fuzzy reasoning), yang seringkali juga disebut penalaran
hampiran (approximate reasoning), adalah suatu cara penarikan kesimpulan
berdasarkan seperangkat implikasi kabur dan suatu fakta yang diketahui (yang
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
33
sering kali disebut premis). Penalaran (penarikan kesimpulan) dalam logika klasik
didasarkan pada tautologi-tautologi, yaitu proposisi-proposisi yang selalu benar,
tanpa tergantung pada nilai kebenaran proposisi-proposisi penyusunnya. Salah satu
aturan penalaran yang paling sering digunakan adalah modus ponens, yang
didasarkan pada tautologi:
((𝑝 ⟹ 𝑞) ∧ 𝑝) ⟹ 𝑞.
Bentuk umum penalaran modus ponens adalah sebagai berikut:
Premis 1 (Kaidah) : Bila x adalah A, maka y adalah B
Premis 2 (Fakta) : x adalah A
Kesimpulan : y adalah B
Suatu contoh penalaran modus ponens misalnya adalah sebagai berikut:
Premis 1 : Bila cuaca mendung, maka Lisa tidak menjemur pakaian
Premis 2 : Cuaca mendung
Kesimpulan : Lisa tidak menjemur pakaian
Aturan penalaran tegas ini dapat dirampatkan menjadi aturan penalaran
kabur dengan premis dan kesimpulannya adalah proposisi-proposisi kabur,
misalnya:
Premis 1 : Bila kain itu halus, maka harganya mahal.
Premis 2 : Kain itu agak halus.
Kesimpulan : Kain itu harganya agak mahal.
Penalaran tersebut dapat dirumuskan secara umum dengan skema sebagai
berikut:
Premis 1 (Kaidah) : Bila x adalah A, maka y adalah B
Premis 2 (Fakta) : x adalah 𝐴′
Kesimpulan : y adalah 𝐵′
Penalaran kabur dengan skema seperti di atas disebut modus ponens rampat
(generalized modus ponens). Untuk memperoleh kesimpulan tersebut secara sah,
digunakan suatu aturan penarikan kesimpulan yang disebut kaidah inferensi
komposisional, yang mengomposisikan relasi-relasi pada premis untuk
menghasilkan kesimpulan.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
34
Kaidah inferensi komposisional dalam modus ponens rampat diterapkan
sebagai berikut:
Premis 1 : Bila x adalah A, maka y adalah B
(yang merupakan relasi/implikasi kabur → di X ×Y)
Premis 2 : x adalah 𝐴′
(yang didapat direpresentasikan dengan himpunan kabur 𝐴′̃ dalam
X)
Kesimpulan : y adalah 𝐵′
diperoleh dengan menentukan himpunan kabur 𝐵′̃ = 𝐴′̃ ∘→ dalam
Y dengan fungsi keanggotaan 𝜇𝐵 ̃ ′(𝑦) = sup𝑥∈𝑋
𝑡(𝜇𝐴′̃(𝑥), 𝜇→(𝑥, 𝑦))
dengan t adalah suatu norma-t.
Bila 𝐴′ misalnya adalah predikat kabur “sangat A”, untuk norma-t diambil
operasi baku “min”, dan untuk implikasi kabur dipakai implikasi Mamdani →𝑚𝑑 ,
maka kesimpulan “y adalah 𝐵′” di atas diperoleh dengan menentukan himpunan
kabur 𝐵 ̃′ dengan fungsi keanggotaan
𝜇𝐵 ̃ ′(𝑦) = sup𝑥∈𝑋
min{(𝜇�̃�(𝑥))2, 𝜇�̃�(𝑥)𝜇�̃�(𝑦)}.
Bila 𝐴 ̃ dan 𝐵 ̃ adalah himpunan-himpunan tegas dan 𝐴′̃ = 𝐴 ̃, maka
𝜇𝐵 ̃ ′(𝑦) = sup𝑥∈𝑋
min{𝜇�̃�(𝑥), 𝜇�̃�(𝑥)𝜇�̃�(𝑦)}
= sup𝑥∈𝑋
𝜇�̃�(𝑥)𝜇�̃�(𝑦)
= 𝜇�̃�(𝑦)
untuk setiap 𝑦 ∈ 𝑌. Jadi, 𝐵′̃ = 𝐵 ̃, yang berarti dalam kasus ini aturan penalaran
tersebut tidak lain daripada modus ponens tegas yang sudah dikenal dalam logika
tradisional. Hal yang sama dapat diperoleh bila untuk implikasi kabur dipakai
implikasi Mamdani →𝑚𝑚 .
Bila 𝐴′ adalah predikat kabur yang dikaitkan dengan himpunan kabur 𝐴 ̃′,
untuk norma-t diambil operasi baku “min” , dan untuk implikasi kabur dipakai
implikasi Mamdani →𝑚𝑚, maka kesimpulan “y adalah 𝐵′” diatas dapat diperoleh
dengan menentukan himpunan kabur𝐵′̃ dengan fungsi keanggotaan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
35
𝜇𝐵 ̃ ′(𝑦) = sup𝑥∈𝑋
min{𝜇�̃�′(𝑥),min(𝜇�̃�(𝑥), 𝜇�̃�(𝑦))}
= sup𝑥∈𝑋
min{𝜇�̃�′(𝑥), 𝜇�̃�(𝑥), 𝜇�̃�(𝑦)}
= min {sup𝑥∈𝑋
min ( 𝜇�̃�′(𝑥), 𝜇�̃�(𝑥)), 𝜇�̃�(𝑦)}
= min{𝑤, 𝜇�̃�(𝑦)}
dengan 𝑤 = sup𝑥∈𝑋
min{𝜇�̃�′(𝑥), 𝜇�̃�(𝑥)} = sup𝑥∈𝑋
( 𝐴 ̃′ ∩ 𝐴 ̃) yang menyatakan derajat
keserasian (degree of compatibility) antara predikat 𝐴′ dengan A. Jadi untuk
memperoleh himpunan kabur 𝐵 ̃′ tersebut, pertama-tama ditentukan derajat
keserasian w, yaitu supremum dari irisan himpunan kabur 𝐴 ̃′ dan 𝐴 ̃, dan kemudian
𝐵 ̃′ diperoleh sebagai irisan w dengan himpunan kabur 𝐵 ̃.
Modus ponens rampat dapat digeneralisasikan menjadi modus ponen
rampat multikondisional, yang terdiri dari m buah premis kabur berupa kaidah,
sebuah peremis kabur berupa fakta, dan sebuah kesimpulan. Skema umumnya
adalah sebagai berikut:
Premis 1 : Bila 𝑥1 adalah 𝐴11 dan ⋯ dan 𝑥𝑛 adalah 𝐴1𝑛, maka y adalah 𝐵1
Premis 2 : Bila 𝑥1 adalah 𝐴21 dan ⋯ dan 𝑥𝑛 adalah 𝐴2𝑛, maka y adalah 𝐵2
⋮ ⋮ ⋮
Premis m : Bila 𝑥1 adalah 𝐴𝑚1 dan ⋯ dan 𝑥𝑛 adalah 𝐴𝑚𝑛, maka y adalah 𝐵𝑚
Fakta : 𝑥1 adalah 𝐴′1 dan ⋯ dan 𝑥𝑛 adalah 𝐴′𝑛
Kesimpulan : y adalah 𝐵′
dengan 𝐴𝑖𝑗 dan 𝐴′𝑗 adalah predikat kabur yang dikaitkan dengan himpunan kabur
�̃�𝑖𝑗 dan �̃�′𝑗 dalam semesta 𝑋𝑗, dan 𝐵𝑖 adalah predikat kabur yang dikaitkan dengan
himpunan kabur �̃�𝑖 dalam semesta Y (𝑖 = 1,⋯ ,𝑚; 𝑗 = 1,⋯ , 𝑛). Masing-masing
premis tersebut dapat dipandang sebagai suatu relasi kabur �̃�𝑖 (𝑖 = 1,⋯ ,𝑚) dalam
𝑋1 ×⋯×𝑋𝑛 × 𝑌 dan faktanya sebagai himpunan kabur 𝐴′̃ = �̃�′1 ×⋯× �̃�′𝑛
dalam 𝑋1 ×⋯× 𝑋𝑛. Premis-premis �̃�𝑖 tersebut biasanya diperlakukan secara
disjungtif, sehingga semua premis itu dapat digabung menjadi satu premis �̃�, yaitu
�̃� = ⋃ �̃�𝑖𝑚𝑖=1 . Maka kesimpulan “𝑦 adalah 𝐵′” dapat diperoleh dengan kaidah
inferensi komposisional untuk menentukan himpunan kabur �̃�′ = �̃�′ ∘ �̃� dalam
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
36
semesta Y dengan fungsi keanggotaan (dengan mengambil operasi baku “min”
untuk norma-t dan “max” untuk gabungan kabur)
𝜇�̃�′(𝑦) = 𝜇�̃�′∘�̃�(𝑦)
= sup(𝑥1,⋯,𝑥𝑛)∈𝑋1×⋯×𝑋𝑛
min{𝜇�̃�′(𝑥1,⋯ , 𝑥𝑛), 𝜇�̃�(𝑥1,⋯ , 𝑥𝑛 , 𝑦)}
= sup𝑥𝑗∈𝑋𝑗
min {𝜇�̃�′(𝑥1,⋯ , 𝑥𝑛), max𝑖∈{1,⋯,𝑚}
(𝜇�̃�𝑖(𝑥1,⋯ , 𝑥𝑛 , 𝑦))}
= sup𝑥𝑗∈𝑋𝑗
max𝑖∈{1,⋯,𝑚}
min{𝜇�̃�′(𝑥1,⋯ , 𝑥𝑛), 𝜇�̃�𝑖(𝑥1,⋯ , 𝑥𝑛 , 𝑦)}
= max𝑖∈{1,⋯,𝑚}
sup𝑥𝑗∈𝑋𝑗
min{𝜇�̃�′(𝑥1,⋯ , 𝑥𝑛), 𝜇�̃�𝑖(𝑥1,⋯ , 𝑥𝑛 , 𝑦)}
= max𝑖∈{1,⋯,𝑚}
{�̃�′ ∘ �̃�𝑖}
= 𝜇⋃ (�̃�′∘�̃�𝑖)𝑚𝑖=1
(𝑦)
untuk setiap 𝑦 ∈ 𝑌. Jadi �̃�′ = 𝐴′̃ ∘ ⋃ �̃�𝑖𝑚𝑖=1 = ⋃ (�̃�′ ∘ �̃�𝑖)
𝑚𝑖=1 = ⋃ 𝐵′̃𝑖
𝑚𝑖=1 , di mana
𝐵′̃𝑖 = �̃�′ ∘ �̃�𝑖.
Jika untuk implikasi kabur �̃�𝑖 tersebut diambil implikasi Mamdani →𝑚𝑚,
sehingga fungsi keanggotaannya adalah
𝜇�̃�𝑖(𝑥1,⋯ , 𝑥𝑛 , 𝑦) = min {𝜇�̃�𝑖1×⋯×�̃�𝑖𝑛(𝑥1,⋯ , 𝑥𝑛), 𝜇�̃�𝑖(𝑦)},
maka fungsi keanggotaan �̃�′ adalah
𝜇�̃�′(𝑦) = 𝜇⋃ �̃�′∘�̃�𝑖𝑚𝑖=1
(𝑦)
= max𝑖∈{1,⋯,𝑚}
sup𝑥𝑗∈𝑋𝑗
min{𝜇𝐴′1×⋯×𝐴′𝑛(𝑥1, ⋯ , 𝑥𝑛),min(𝜇𝐴𝑖1×⋯×𝐴𝑖𝑛(𝑥1, ⋯ , 𝑥𝑛), 𝜇�̃�𝑖(𝑦))}
= max𝑖∈{1,⋯,𝑚}
sup𝑥𝑗∈𝑋𝑗
min { min𝑗∈{1,⋯,𝑛}
(𝜇�̃�′𝑗(𝑥𝑗)), min𝑗∈{1,⋯,𝑛}
( 𝜇�̃�𝑖𝑗(𝑥𝑗)), 𝜇�̃�𝑖(𝑦)}
= max𝑖∈{1,⋯,𝑚}
min { min𝑗∈{1,⋯,𝑛}
sup𝑥𝑗∈𝑋𝑗
min𝑗∈{1,⋯,𝑛}
(𝜇�̃�′𝑗(𝑥𝑗), 𝜇�̃�𝑖𝑗(𝑥𝑗)), 𝜇�̃�𝑖(𝑦)}
= max𝑖∈{1,⋯,𝑚}
min{𝑤𝑖 , 𝜇�̃�𝑖(𝑦)}
dengan 𝑤𝑖 = min𝑗∈{1,⋯,𝑛}
𝑤𝑖𝑗 dan 𝑤𝑖𝑗 = sup𝑥𝑗∈𝑋𝑗
min𝑗∈{1,⋯,𝑛}
( 𝜇�̃�′𝑗(𝑥𝑗), 𝜇�̃�𝑖𝑗(𝑥𝑗)),
𝑖 = 1,⋯ ,𝑚.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
37
Nilai 𝑤𝑖𝑗 = sup𝑥𝑗∈𝑋𝑗
(�̃�′𝑗 ∩ �̃�𝑖𝑗) merupakan derajat keserasian (degree of
compatibility) antara fakta �̃�′𝑗 yang diberikan dengan anteseden �̃�𝑖𝑗 dari
premis/kaidah �̃�𝑖, sedangkan 𝑤𝑖 yang merupakan minimum dari semua
𝑤𝑖𝑗 untuk 𝑗 = 1,⋯𝑛 seringkali disebut daya sulut (firing strength) yang
menyatakan sejauh mana anteseden dari kaidah �̃�𝑖 dipenuhi oleh fakta �̃�′ yang
diberikan dan menyulut konsekuen dari kaidah tersebut. Dengan demikian
kesimpulan �̃�′ ditentukan dengan empat langkah sebagai barikut:
Langkah 1 : Tentukan derajat keserasian 𝑤𝑖𝑗 , yaitu supremum dari �̃�′𝑗 ∩ �̃�𝑖𝑗
untuk setiap 𝑖 = 1,⋯ ,𝑚 dan 𝑗 = 1,⋯ , 𝑛.
Langkah 2 : Untuk setiap i, tentukan daya sulut 𝑤𝑖 sebagai minimum dari
semua derajat keserasian 𝑤𝑖𝑗 (𝑗 = 1,⋯ , 𝑛).
Langkah 3 : Untuk setiap i, tentukan irisan 𝑤𝑖 dengan �̃�𝑖.
Langkah 4 : Gabungkanlah semua irisan tersebut untuk memperoleh �̃�′.
F. Sistem Inferensi Kabur
Salah satu aplikasi logika kabur yang telah berkembang amat luas dewasa ini
adalah sistem inferensi kabur, yaitu sistem komputasi yang bekerja atas dasar
penalaran kabur, misalnya sistem kendali otomotis, sistem klasifikasi data, sistem
pakar, sistem pengenalan pola, robotika, dan sebagainya. Sistem kendali ini
berfungsi untuk mengendalikan proses tertentu dengan mempergunakan aturan
inferensi berdasarkan logika kabur. Pada dasarnya sistem kendali semacam itu
terdiri dari empat unit, yaitu:
1. Unit pengaburan (fuzzification unit)
2. Unit penalaran logika kabur (fuzzy logic reasoning unit)
3. Unit basis pengetahuan (knowledge base unit), yang terdiri dari dua bagian:
a. Basis data (data base), yang memuat fungsi-fungsi keanggotaan dari
himpunan-himpunan kabur yang terkait dengan nilai dari variabel-variabel
linguistik yang dipakai.
b. Basis kaidah (rule base), yang memuat kaidah-kaidah berupa implikasi
kabur.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
38
4. Unit Penegasan (defuzzification unit).
Suatu sistem kendali semacam itu mula-mula mengukur nilai-nilai tegas
dari semua variabel masukan yang terkait dalam proses yang akan dikendalikan.
Nilai-nilai itu kemudian dikonversikan oleh unit pengaburan ke nilai kabur yang
sesuai. Hasil pengukuran yang telah dikaburkan itu kemudian diproses oleh unit
penalaran, yang dengan menggunakan unit basis pengetahuan, menghasilkan
himpunan (himpunan-himpunan) kabur sebagai keluarannya. Langkah terakhir
dikerjakan oleh unit penegasan, yaitu menerjemahkan himpunan (himpunan-
himpunan) kabur keluaran itu ke dalam nilai (nilai-nilai) yang tegas. Nilai tegas
inilah yang kemudian direalisasikan dalam bentuk suatu tindakan yang
dilaksanakan dalam proses pengendalian itu.
Selanjutnya akan dibahas masing-masing unit tersebut.
1. Unit Pengaburan
Langkah pertama pada sistem kendali kabur logika kabur adalah mengubah
nilai variabel masukan yang tegas (yang biasa dinyatakan dalam bilangan real)
menjadi nilai pendekatan yang kabur. Untuk itu digunakan fungsi pengaburan,
yaitu pemetaan 𝑓: ℝ → 𝐾, dengan 𝐾 dalah suatu kelas himpunan kabur dalam
semesta ℝ. Fungsi pengaburan itu biasanya ditentukan berdasarkan beberapa
kriteria:
a. Fungsi pengaburan diharapkan mengubah suatu nilai tegas, misalnya 𝑎 ∈ ℝ, ke
suatu himpunan kabur 𝐴 ̃ dengan 𝜇𝐴 ̃(𝑎) = 1 atau sekurang-kurangnya 𝑎
mempunyai derajat keanggotaan yang tinggi.
b. Bila nilai masukannya cacat karena derau, diharapkan fungsi pengaburan dapat
menekan sejauh mungkin derau itu.
c. Fungsi pengaburan diharapkan dapat membantu menyederhanakan komputasi
yang harus dilakukan oleh sistem tersebut dalam proses inferensinya.
Berikut diberikan beberapa contoh fungsi pengaburan.
a. Fungsi Pengaburan Segitiga memetakan nilai 𝑎 ∈ ℝ ke himpunan kabur 𝐴 ̃
dengan fungsi keanggotaan berbentuk segitiga samakaki, yaitu
𝜇�̃� (𝑥) = 𝑆𝑒𝑔𝑖𝑡𝑖𝑔𝑎(𝑥; 𝑎 − 𝜎, 𝑎, 𝑎 + 𝜎)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
39
dengan 𝜎 adalah suatu parameter berupa bilangan positif yang menentukan
lebarnya pendukung dari himpunan kabur tersebut.
b. Fungsi Pengaburan Gauss yang memetakan nilai 𝑎 ∈ ℝ ke himpunan kabur 𝐴 ̃
dengan fungsi keanggotaan Gauss, yaitu
𝜇�̃� (𝑥) = 𝐺𝑎𝑢𝑠𝑠(𝑥; 𝑎, 𝑏) = 𝑒−(𝑥−𝑎𝑏)2
dengan 𝑏 adalah suatu parameter berupa bilangan positif.
c. Fungsi Pengaburan Elemen Tunggal memetakan nilai tegas 𝑎 ∈ ℝ ke
himpunan kabur 𝐴 ̃dengan fungsi keanggotaan
𝜇�̃� (𝑥) = {1 jika 𝑥 = 𝑎0 jika 𝑥 ≠ 𝑎
untuk setiap 𝑥 ∈ ℝ. Jadi sebenarnya himpunan kabur 𝐴 ̃ini adalah himpunan
tegas dengan elemen tunggal, yaitu 𝐴 ̃ = {𝑎}.
2. Unit Basis Pengetahuan
Unit basis pengetahuan dari suatu sistem kendali logika kabur terdiri dari
basis data dan basis kaidah. Basis data adalah himpunan fungsi-fungsi keanggotaan
dari himpunan-himpunan kabur yang terkait dengan nilai-nilai linguistik dari
variabel-variabel yang terlibat dalam sistem itu. Sedangkan basis kaidah adalah
himpunan implikasi-implikasi kabur yang berlaku sebagai kaidah dalam sistem itu.
Bila sistem itu mempunyai m buah kaidah dengan (𝑛 + 1) variabel, maka bentuk
umum kaidah ke-𝑖 (𝑖 = 1,⋯ ,𝑚) adalah sebagai berikut:
𝐵𝑖𝑙𝑎 𝑥1 adalah 𝐴𝑖1 dan ⋯ ⋯dan 𝑥𝑛 adalah 𝐴𝑖𝑛 , maka 𝑦 adalah 𝐵𝑖
dengan 𝑥𝑗 adalah variabel linguistik dengan semesta numeris 𝑋𝑗 (𝑗 = 1,⋯ , 𝑛).
Suatu basis kaidah diharapkan memenuhi beberapa kriteria sebagai berikut:
a. Lengkap, yaitu setiap (𝑥1,⋯ , 𝑥𝑛) ∈ 𝑋1 × 𝑋2 ×⋯× 𝑋𝑛 terdapat 𝑖 ∈ {1,⋯ ,𝑚}
sedemikian sehingga 𝜇�̃�𝑖𝑗(𝑥𝑗) ≠ 0 untuk semua 𝑗 ∈ {1,⋯ , 𝑛}. Dengan
perkataan lain, untuk setiap nilai masukan terdapat sekurang-kurangnya satu
kaidah yang “tersulut”.
b. Konsisten, yaitu tidak terdapat kaidah-kaidah yang mempunyai anteseden yang
sama tetapi konsekuennya berbeda.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
40
c. Kontinu, yaitu tidak terdapat kaidah-kaidah dengan himpunan-himpunan kabur
yang terkait dalam anteseden beririsan, tetapi himpunan-himpunan kabur yang
terkait dalam konsekuennya saling asing.
3. Unit Penalaran Kabur
Masukan kabur hasil pengolahan unit pengaburan diterima oleh unit
penalaran untuk disimpulkan berdasarkan kaidah-kaidah yang tersedia dalam unit
basis pengetahuan. Penarikan kesimpulan itu dilaksanakan berdasarkan aturan
modus ponens rampat multikondisional dengan skema sebagai berikut:
Kaidah 1 : Bila 𝑥1 adalah 𝐴11 dan ⋯ dan 𝑥𝑛 adalah 𝐴1𝑛, maka y adalah 𝐵1
Kaidah 2 : Bila 𝑥1 adalah 𝐴21 dan ⋯ dan 𝑥𝑛 adalah 𝐴2𝑛, maka y adalah 𝐵2
⋮ ⋮ ⋮
Kaidah m : Bila 𝑥1 adalah 𝐴𝑚1 dan ⋯ dan 𝑥𝑛 adalah 𝐴𝑚𝑛, maka y adalah 𝐵𝑚
Fakta : 𝑥1 adalah 𝐴′1 dan ⋯ dan 𝑥𝑛 adalah 𝐴′𝑛
Kesimpulan : y adalah 𝐵′
dengan 𝐴𝑖𝑗 dan 𝐴′𝑗 adalah predikat kabur yang dikaitkan dengan himpunan kabur
�̃�𝑖𝑗 dan �̃�′𝑗 dalam semesta 𝑋𝑗 dan 𝐵𝑖 adalah predikat kabur yang dikaitkan dengan
himpunan kabur �̃�𝑖 dalam semesta 𝑌 (𝑖 = 1,⋯ ,𝑚, 𝑗 = 1,⋯ , 𝑛). Jika
fakta/masukannya dinyatakan dengan himpunan kabur 𝐴′̃ = 𝐴′̃1 ×⋯×𝐴′̃𝑛 dalam
𝑋1 ×⋯×𝑋𝑛, masing-masing kaidah dinyatakan dengan relasi kabur �̃�𝑖 (𝑖 =
1,⋯ ,𝑚) dalam 𝑋1 ×⋯× 𝑋𝑛 × 𝑌, dan �̃� = ⋃ �̃�𝑖𝑛𝑖=1 , maka kesimpulan/keluaran “y
adalah 𝐵′” dapat diperoleh dengan mempergunakan kaidah inferensi komposisional
untuk menentukan himpunan kabur 𝐵′̃ = 𝐴′̃ ∘ 𝑅 ̃ dalam Y.
4. Unit Penegasan
Kesimpulan/keluaran dari sistem kendali kabur adalah suatu himpunan
kabur. Karena sistem tersebut hanya dapat mengeksekusikan nilai yang tegas, maka
diperlukan suatu mekanisme untuk mengubah nilai kabur keluaran itu menjadi nilai
yang tegas. Itulah peranan unit penegasan yang memuat fungsi-fungsi penegasan
dalam sistem itu. Fungsi penegasan adalah suatu pemetaan 𝑡: 𝐾 → ℝ, dengan 𝐾
adalah suatu kelas himpunan-himpunan kabur, yang memetakan suatu himpunan
kabur ke suatu bilangan real yang tegas. Bilangan ini menentukan tindakan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
41
pengendalian yang harus dilakukan oleh sistem itu. Pemilihan fungsi penegasan
biasanya ditentukan oleh beberapa kriteria:
a. Masuk akal, artinya secara intuitif bilangan tegas 𝑡(�̃�) dapat diterima sebagai
bilangan yang mewakili himpunan kabur 𝐴 ̃, misalnya: 𝑡(�̃�) kurang-lebih
berada di tengah-tengah Pendukung(�̃�), atau 𝑡(�̃�) mempunyai derajat
keanggotaan yang tinggi dalam himpunan kabur 𝐴 ̃.
b. Kemudahan komputasi, yaitu diharapkan fungsi penegasan itu cukup mudah
dan sederhana dalam proses komputasinya untuk menghasilkan bilangan tegas
keluarannya.
c. Kontinyu, artinya perubahan kecil pada 𝐴 ̃ tidak akan mengakibatkan
perubahan besar pada 𝑡(�̃�).
Dalam literatur dikenal beberapa fungsi penegasan, di antaranya a-dalah:
a. Purata Maksimum (Mean of Maximum): Himpunan kabur 𝐴 ̃ dalam semesta
ℝ diubah menjadi bilangan tegas 𝑡(�̃�) yang merupakan purata dari semua nilai
yang mencapai nilai maksimum dalam 𝜇�̃�, yaitu
𝑡(�̃�) =∫ 𝑥 𝑑𝑥𝑟
𝑀
∫ 𝑑𝑥𝑟
𝑀
dengan 𝑀 = {𝑥 ∈ ℝ│𝜇�̃�(𝑥) = 𝑇𝑖𝑛𝑔𝑔𝑖(�̃�)} dan ʃ adalah notasi integral biasa
dalam kalkulus.
Apabila 𝑀 = [𝑎, 𝑏], maka
𝑡(�̃�) =∫ 𝑥 𝑑𝑥𝑏
𝑎
∫ 𝑑𝑥𝑏
𝑎
= [1
2𝑥2]
𝑎
𝑏
[𝑥]𝑎𝑏
=
12 (𝑏
2 − 𝑎2)
𝑏 − 𝑎
=
12(𝑏 + 𝑎)(𝑏 − 𝑎)
𝑏 − 𝑎
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
42
𝑡(�̃�) =𝑎 + 𝑏
2
Apabila himpunan kabur 𝐴 ̃ terdefinisi pada semesta diskret berhingga
𝑋 = {𝑥1, 𝑥2,⋯ , 𝑥𝑛}, maka bilangan tegas 𝑡(�̃�) didefinisikan sebagai rerata dari
semua nilai 𝑥𝑖 dalam himpunan tegas 𝑀 = {𝑥𝑖𝜖𝑋│𝜇�̃�(𝑥𝑖) = 𝑇𝑖𝑛𝑔𝑔𝑖(�̃�)},
yaitu
𝑡(�̃�) =∑ 𝑥𝑖𝑥𝑖∈𝑀
|𝑀|
dengan |𝑀| menyatakan banyaknya anggota dari himpunan tegas M.
b. Pusat Gravitasi (Center of Gravity): Himpunan kabur 𝐴 ̃ dalam semesta ℝ
diubah menjadi bilangan tegas 𝑡(�̃�) yang merupakan absis dari pusat gravitasi
daerah di bawah grafik fungsi keanggotaan himpunan kabur 𝐴 ̃. Jadi
𝑡(�̃�) =∫ 𝜇�̃�(𝑥)𝑥 𝑑𝑥𝑟
𝑥
∫ 𝜇�̃�(𝑥)𝑑𝑥𝑟
𝑥
.
Bila himpunan kabur 𝐴 ̃ terdefinisi pada semesta diskret berhingga
𝑋 = {𝑥1, 𝑥2,⋯ , 𝑥𝑛}, maka
𝑡(�̃�) =∑ 𝜇�̃�(𝑥𝑖)𝑛𝑖=1 𝑥𝑖∑ 𝜇�̃�(𝑥𝑖)𝑛𝑖=1
Nilai 𝑡(�̃�) ini dapat dipandang sebagai nilai harapan dari variabel x.
c. Rerata Pusat (Center Average): Jika himpunan kabur 𝐴 ̃dalam semesta ℝ
merupakan gabungan dari m buah himpunan kabur, yaitu 𝐴 ̃ = ⋃ 𝐴�̃�𝑚𝑖=1 , maka
𝐴 ̃diubah menjadi bilangan tegas 𝑡(�̃�) yang merupakan rerata terbobot dari
pusat-pusat m buah himpunan kabur tersebut, dengan tinggi masing-masing
himpunan kabur itu sebagai bobotnya. Jadi
𝑡(�̃�) =∑ 𝑏𝑖𝑥𝑖𝑚𝑖=1
∑ 𝑏𝑖𝑚𝑖=1
dengan 𝑥𝑖 adalah pusat dari himpunan kabur 𝐴�̃� dan 𝑏𝑖 = 𝑇𝑖𝑛𝑔𝑔𝑖(𝐴�̃�).
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
43
BAB IV
APLIKASI SISTEM INFERENSI KABUR MAMDANI
A. Sistem Inferensi Kabur Mamdani
Salah satu sistem inferensi kabur yang paling sering digunakan adalah
sistem inferensi kabur Mamdani. Sistem inferensi kabur Mamdani sering juga
dikenal dengan nama Metode Max-Min. Sistem inferensi kabur Mamdani pertama
kali diperkenalkan oleh Ebrahim H. Mamdani pada tahun 1974 dan merupakan
implementasi sistem kendali kabur yang pertama. Model mamdani menggunakan
operasi baku “min” untuk norma-t dan “max” untuk norma-s, serta implikasi
Mamdani →𝑚𝑚 atau →𝑚𝑑. Bentuk umum kaidah ke-i dari sistem tersebut adalah
sebagai berikut:
Bila 𝑥1adalah 𝐴𝑖1 dan ⋯ dan 𝑥𝑛 adalah 𝐴𝑖𝑛, maka y adalah 𝐵𝑖
dimana 𝑥𝑗 (j=1,2, ⋯,n) adalah variabel masukan, y adalah variabel keluaran, 𝐴𝑖𝑗
adalah predikat kabur yang direpresentasikan dengan himpunan kabur �̃�𝑖𝑗 dan 𝐵𝑖
adalah predikat kabur yang direpresentasikan dengan himpunan kabur �̃�𝑖, dengan
𝑖 = 1,2,⋯ ,𝑚 dan m adalah banyaknya kaidah dalam sistem tersebut. Keluaran
dalam sistem inferensi kabur Mamdani berupa himpunan kabur yang kemudian
diubah menjadi nilai tegas dengan suatu fungsi penegasan.
B. Implementasi Sistem Inferensi Kabur Mamdani Pada Pengaturan
Kecerahan Layar Telpon Genggam
Pada tugas akhir ini, sistem inferensi kabur Mamdani akan digunakan untuk
mengatur tingkat kecerahan layar telpon genggam. Langkah-langkah penyusunan
sistem inferensi kabur Mamdani untuk mengatur tingkat kecerahan layar telpon
genggam adalah sebagai berikut:
1. Pembentukan Himpunan Kabur
Terdapat tiga variabel kabur yang digunakan dalam sistem pengambilan
keputusan menggunakan sistem inferensi kabur dalam penulisan skripsi ini, yaitu
terangnya ruangan, jarak pemakai dengan telpon genggam, dan tingkat kecerahan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
44
layar pada telpon genggam dengan menggunakan fungsi keanggotaan segitiga.
Variabel masukan dalam sistem pengambilan keputusan ini adalah terangnya
ruangan dan jarak pemakai dengan telpon genggam, sedangkan variabel
keluarannya adalah tingkat kecerahan pada layar telpon genggam.
a. Variabel terangnya ruangan
Variabel terangnya ruangan adalah kondisi cahaya suatu ruangan pada saat
melihat layar sebuah telpon genggam. Misalkan x adalah variabel linguistik
terangnya ruangan yang mengambil nilai-nilai kabur “gelap”, “sedang”, dan
“terang” (yang secara numerik diukur dengan bilangan real dalam selang 𝑋 =
[0,100] dengan satuan lux). Nilai-nilai kabur itu misalnya dinyatakan dengan
himpunan kabur berturut-turut �̃�1, �̃�2 dan �̃�3 dengan fungsi keanggotaan sebagai
berikut:
𝜇�̃�1(𝑥) = {
40 − 𝑥
40 untuk 0 ≤ 𝑥 ≤ 40
0 untuk 𝑥 lainnya
𝜇�̃�2(𝑥) =
{
𝑥 − 20
30 untuk 20 ≤ 𝑥 ≤ 50
80 − 𝑥
30 untuk 50 ≤ 𝑥 ≤ 80
0 untuk 𝑥 lainnya
𝜇�̃�3(𝑥) = {
𝑥 − 60
40 untuk 60 ≤ 𝑥 ≤ 100
0 untuk 𝑥 lainnya
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
45
Grafik fungsi keanggotaan keempat himpunan kabur tersebut adalah sebagai
berikut:
X
Gambar 4.1 Fungsi keanggotaan terangnya ruangan
b. Variabel jarak pemakai dengan telpon genggam
Misalnya y adalah variabel linguistik jarak pemakai dengan telpon genggam
yang mengambil nilai-nilai kabur “dekat”, “sedang”, dan “jauh” (yang secara
numerik diukur dengan bilangan real dalam selang 𝑌 = [0, 50] dengan satuan
cm). Nilai-nilai kabur itu misalnya dinyatakan dengan himpunan kabur berturut-
turut �̃�1, �̃�2, dan �̃�3 dengan fungsi keanggotaan sebagai berikut:
𝜇�̃�1(𝑦) = {
20 − 𝑦
20 untuk 0 ≤ 𝑦 ≤ 20
0 untuk 𝑦 lainnya
𝜇�̃�2(𝑦) =
{
𝑦 − 5
20 untuk 5 ≤ 𝑦 ≤ 25
45 − 𝑦
20 untuk 25 ≤ 𝑦 ≤ 45
0 untuk 𝑦 lainnya
𝜇�̃�3(𝑦) = { 𝑦 − 30
20 untuk 30 ≤ 𝑦 ≤ 50
0 untuk 𝑦 lainnya
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
46
Grafik fungsi keanggotaan ketiga himpunan kabur tersebut adalah sebagai
berikut:
Y
Gambar 4.2 Fungsi keanggotaan jarak pemakai dengan telpon genggam
c. Variabel tingkat kecerahan pada layar telpon genggam
Misalnya z adalah variabel linguistik kecerahan pada layar telpon genggam
yang mengambil nilai kabur “rendah”, “sedang”, dan “tinggi” (yang secara numerik
diukur dengan bilangan real dalam selang 𝑍 = [0, 100] dengan satuan lux). Ketiga
nilai linguistik tersebut berturut-turut dinyatakan dengan himpunan kabur �̃�1, �̃�2,
dan �̃�3 dengan fungsi keanggotaan berturut-turut sebagai berikut:
𝜇�̃�1(𝑧) = {
40 − 𝑧
40 untuk 0 ≤ 𝑧 ≤ 40
0 untuk 𝑧 lainnya
𝜇�̃�2(𝑧) =
{
𝑧 − 30
20 untuk 30 ≤ 𝑧 ≤ 50
70 − 𝑧
20 untuk 50 ≤ 𝑧 ≤ 70
0 untuk 𝑧 lainnya
𝜇�̃�3(𝑧) = { 𝑧 − 60
40 untuk 60 ≤ 𝑧 ≤ 100
0 untuk 𝑧 lainnya
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
47
Grafik fungsi keanggotaan ketiga himpunan kabur tersebut adalah sebagai
berikut:
Z
Gambar 4.3 Fungi keanggotaan tingkat kecerahan layar telpon genggam
2. Basis Kaidah
Kemungkinan banyaknya kaidah dalam basis kaidah untuk menentukan
kecerahan pada layar telpon genggam ini adalah 27 kaidah, yang merupakan hasil
kombinasi 3 variabel kabur, yaitu terangnya ruangan dengan 3 nilai linguistik
kabur, jarak pemakai dengan telpon genggam dengan 3 nilai linguistik kabur, dan
tingkat kecerahan pada layar telpon genggam dengan 3 nilai linguistik kabur.
Namun basis kaidah dalam karya tulis ini hanya akan terdiri dari 9 kaidah yang
sesuai karena suatu basis kaidah harus konsisten, yaitu tidak terdapat kaidah-
kaidah yang mempunyai anteseden yang sama tetapi konsekuennya berbeda. Ke
9 kaidah kabur tersebut diperoleh dari hasil kombinasi 2 variabel masukan (yang
merupakan variabel bebas), yaitu terangnya ruangan dengan 3 nilai linguistik
kabur dan jarak pemakai dengan telpon genggam dengan 3 nilai linguistik kabur.
Ke 9 kaidah kabur tersebut adalah sebagai berikut:
[𝐾1] Jika terangnya ruangan TERANG, jarak pemakai dengan telpon genggam
JAUH, maka tingkat kecerahan pada layar telpon genggam TINGGI
[𝐾2] Jika terangnya ruangan TERANG, jarak pemakai dengan telpon genggam
SEDANG, maka tingkat kecerahan pada layar telpon genggam SEDANG
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
48
[𝐾3] Jika terangnya ruangan TERANG, jarak pemakai dengan telpon genggam
DEKAT, maka tingkat kecerahan pada layar telpon genggam SEDANG
[𝐾4] Jika terangnya ruangan SEDANG, jarak pemakai dengan telpon genggam
JAUH, maka tingkat kecerahan pada layar telpon genggam TINGGI
[𝐾5] Jika terangnya ruangan SEDANG, jarak pemakai dengan telpon genggam
SEDANG, maka tingkat kecerahan pada layar telpon genggam SEDANG
[𝐾6] Jika terangnya ruangan SEDANG, jarak pemakai dengan telpon genggam
DEKAT, maka tingkat kecerahan pada layar telpon genggam RENDAH
[𝐾7] Jika terangnya ruangan GELAP, jarak pemakai dengan telpon genggam
JAUH, maka tingkat kecerahan pada layar telpon genggam TINGGI
[𝐾8] Jika terangnya ruangan GELAP, jarak pemakai dengan telpon genggam
SEDANG, maka tingkat kecerahan pada layar telpon genggam SEDANG
[𝐾9] Jika terangnya ruangan GELAP, jarak pemakai dengan telpon genggam
DEKAT, maka tingkat kecerahan pada layar telpon genggam RENDAH
3. Unit Pengaburan
Fungsi pengaburan yang digunakan dalam implementasi sistem inferensi
kabur Mamdani pada penetapan kecerahan layar pada telpon genggam ini adalah
fungsi pengaburan segitiga.
Contoh kasusnya adalah sebagai berikut: Misalkan seseorang menggunakan telpon
genggam dengan kondisi cahaya di ruangan tersebut 85 lux dan jarak pengguna
tersebut dengan telpon genggam adalah 47 cm. Dengan menggunakan fungsi
pengaburan segitiga, masukan terangnya ruangan dan jarak pemakai tersebut
diubah ke himpunan kabur �̃�′ dan �̃�′ dengan fungsi keanggotaan sebagai berikut:
𝜇�̃�′(𝑥) = 𝑆𝑒𝑔𝑖𝑡𝑖𝑔𝑎(𝑥; 83,85,87) =
{
𝑥 − 83
2 untuk 83 ≤ 𝑥 ≤ 85
87 − 𝑥
2 untuk 85 ≤ 𝑥 ≤ 87
0 untuk 𝑥 lainnya
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
49
Gambar 4.4 𝑆𝑒𝑔𝑖𝑡𝑖𝑔𝑎(𝑥; 83,85,87)
𝜇�̃�′(𝑦) = 𝑆𝑒𝑔𝑖𝑡𝑖𝑔𝑎(𝑦; 45,47,49) =
{
𝑦 − 45
2 untuk 45 ≤ 𝑦 ≤ 47
49 − 𝑦
2 untuk 47 ≤ 𝑦 ≤ 49
0 untuk 𝑦 lainnya
Gambar 4.5 𝑆𝑒𝑔𝑖𝑡𝑖𝑔𝑎(𝑦; 45,47,49)
�̃�′
�̃�′
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
50
4. Unit Penalaran Kabur
Pada tahap penalaran kabur untuk data masukan di atas diperoleh hasil
sebagai berikut:
a. Menentukan derajat keserasian, yaitu
𝑤𝑖𝑗 = sup𝑥𝑗∈𝑋𝑗
min𝑗∈{1,2}
{𝜇�̃�𝑗′(𝑥𝑗), 𝜇�̃�𝑖𝑗(𝑥𝑗)} = sup
𝑥𝑗∈𝑋𝑗 �̃�𝑗′ ∩ �̃�𝑖𝑗
untuk 𝑖 = 1, 2,⋯ , 9 dan j = 1, 2. Diperoleh derajat keserasian 𝑤𝑖𝑗 sebagai berikut:
𝑋1 = 𝑋 = [0,100], 𝑋2 = 𝑌 = [0,50], 𝑥1 = 𝑥, 𝑥2 = 𝑦
�̃�1′ = �̃�′ , �̃�2
′ = �̃�′
�̃�11 = �̃�3, �̃�12 = �̃�3, �̃�21 = �̃�3, �̃�22 = �̃�2, �̃�31 = �̃�3, �̃�32 = �̃�1, �̃�41 = �̃�2,
�̃�42 = �̃�3, �̃�51 = �̃�2, �̃�52 = �̃�2, �̃�61 = �̃�2, �̃�62 = �̃�1, �̃�71 = �̃�1, �̃�72 = �̃�3,
�̃�81 = �̃�1, �̃�82 = �̃�2, �̃�91 = �̃�1, �̃�92 = �̃�1
𝑤11 = sup𝑥∈[0,100]
�̃�′ ∩ �̃�3
= sup𝑥∈[0,100]
min {𝜇�̃�′(𝑥), 𝜇�̃�3(𝑥)}
Akan dicari titik potong grafik 𝜇�̃�′ dan 𝜇�̃�3 (Gambar 4.6):
𝜇�̃�′(𝑥) = 𝜇�̃�3(𝑥)
𝑥 − 83
2=𝑥 − 60
40
38𝑥 = 3200
𝑥1 = 84.21
𝜇�̃�′(84.21) =84.21 − 83
2= 0.605
𝜇�̃�′(𝑥) = 𝜇�̃�3(𝑥)
87 − 𝑥
2=𝑥 − 60
40
42𝑥 = 3600
𝑥2 = 85.71
𝜇�̃�′(85.71) =87 − 85.71
2= 0.645
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
51
Gambar 4.6 Menentukan derajat keserasian 𝑤11
𝑤11 = sup𝑥∈[0,100]
min {𝜇�̃�′(𝑥), 𝜇�̃�3(𝑥)}
= sup [0, 0.645]
= 0.645
Dengan cara yang sama dengan 𝑤11 diperoleh
𝑤21 = sup𝑥∈[0,100]
�̃�′ ∩ �̃�3 = 0.645
𝑤31 = sup𝑥∈[0,100]
�̃�′ ∩ �̃�3 = 0.645
𝑤41 = sup𝑥∈[0,100]
�̃�′ ∩ �̃�2
= sup𝑥∈[0,100]
min{𝜇�̃�′(𝑥), 𝜇�̃�2(𝑥)}
= sup {0}
= 0
�̃�′
�̃�3
�̃�′ ∩ �̃�3
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
52
Gambar 4.7 Menentukan derajat keserasian 𝑤41
Dengan cara yang sama dengan 𝑤41 diperoleh
𝑤51 = sup𝑥∈[0,100]
�̃�′ ∩ �̃�2 = 0
𝑤61 = sup𝑥∈[0,100]
�̃�′ ∩ �̃�2 = 0
𝑤71 = sup𝑥∈[0,100]
�̃�′ ∩ �̃�1
= sup𝑥∈[0,100]
min {𝜇�̃�′(𝑥), 𝜇�̃�1(𝑥)}
= sup {0}
Gambar 4.8 Menentukan derajat keserasian 𝑤71
𝐴′̃ ∩ �̃�1
�̃�1 �̃�′
�̃�′ �̃�2
�̃�′ ∩ �̃�2
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
53
Dengan cara yang sama dengan 𝑤71 diperoleh
𝑤81 = sup𝑥∈[0,100]
�̃�′ ∩ �̃�1 = 0
𝑤91 = sup𝑥∈[0,100]
�̃�′ ∩ �̃�1 = 0
𝑤12 = sup𝑦∈[0,50]
�̃�′ ∩ �̃�3
= sup𝑦∈[0,50]
min{𝜇�̃�′(𝑦), 𝜇�̃�3(𝑦)}
Akan dicari titik potong grafik 𝜇�̃�′ dan 𝜇�̃�3 (Gambar 4.9):
𝜇�̃�′(𝑦) = 𝜇�̃�3(𝑦)
𝑦 − 45
2=𝑦 − 30
20
18𝑦 = 840
𝑦1 = 46.67
𝜇�̃�′(46.67) =46.67 − 45
2= 0.835
𝜇�̃�′(𝑦) = 𝜇�̃�3(𝑦)
49 − 𝑦
2=𝑦 − 30
20
22𝑦 = 1040
𝑦2 = 47.27
𝜇�̃�′(47.27) =49 − 47.27
2= 0.865
Gambar 4.9 Menentukan derajat keserasian 𝑤12
�̃�3
�̃�′
�̃�′ ∩ �̃�3
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
54
𝑤12 = sup𝑦∈[0,50]
min {𝜇�̃�′(𝑦), 𝜇�̃�3(𝑦)}
= sup [0, 0.865]
= 0.865
𝑤22 = sup𝑦∈[0,50]
�̃�′ ∩ �̃�2
= sup𝑦∈[0,50]
min{𝜇�̃�′(𝑦), 𝜇�̃�2(𝑦)}
= sup {0}
= 0
Gambar 4.10 Menentukan derajat keserasian 𝑤22
𝑤32 = sup𝑦∈[0,50]
�̃�′ ∩ �̃�1
= sup𝑦∈[0,50]
min{𝜇�̃�′(𝑦), 𝜇�̃�1(𝑦)}
= sup {0}
= 0
�̃�′ ∩ �̃�2
�̃�2
�̃�′
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
55
Gambar 4.11 Menentukan derajat keserasian 𝑤32
Dengan cara yang sama dengan 𝑤12 diperoleh
𝑤42 = sup𝑦∈[0,50]
�̃�′ ∩ �̃�3 = 0.865
Dengan cara yang sama dengan 𝑤22 diperoleh
𝑤52 = sup𝑦∈[0,50]
�̃�′ ∩ �̃�2 = 0
Dengan cara yang sama dengan 𝑤32 diperoleh
𝑤62 = sup𝑦∈[0,50]
�̃�′ ∩ �̃�1 = 0
Dengan cara yang sama dengan 𝑤12 diperoleh
𝑤72 = sup𝑦∈[0,50]
�̃�′ ∩ �̃�3 = 0.865
Dengan cara yang sama dengan 𝑤22 diperoleh
𝑤82 = sup𝑦∈[0,50]
�̃�′ ∩ �̃�2 = 0
Dengan cara yang sama dengan 𝑤32 diperoleh
𝑤92 = sup𝑦∈[0,50]
�̃�′ ∩ �̃�1 = 0
b. Menentukan daya sulut
Langkah berikutnya adalah menentukan daya sulut, yaitu:
𝑤𝑖 = min𝑤𝑖𝑗
untuk 𝑖 = 1, 2,⋯ , 9 dan 𝑗 = 1,2.
�̃�′ ∩ �̃�1
�̃�′ �̃�1
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
56
𝑤1 = min𝑗∈{1,2}
𝑤1𝑗
= min{𝑤11, 𝑤12}
= min{0.645, 0.865}
= 0.645
𝑤2 = min𝑗∈{1,2}
𝑤2𝑗
= min{𝑤21 , 𝑤22}
= min{0.645, 0}
= 0
𝑤3 = min𝑗∈{1,2}
𝑤3𝑗
= min{𝑤31 , 𝑤32}
= min{0.645,0}
= 0
𝑤4 = min𝑗∈{1,2}
𝑤4𝑗
= min{𝑤41, 𝑤42}
= min{0, 0.865}
= 0
𝑤5 = min𝑗∈{1,2}
𝑤5𝑗
= min{𝑤51 , 𝑤52}
= min{0, 0}
= 0
𝑤6 = min𝑗∈{1,2}
𝑤6𝑗
= min{𝑤61 , 𝑤62}
= min{0, 0}
= 0
𝑤7 = min𝑗∈{1,2}
𝑤7𝑗
= min{𝑤71 , 𝑤72}
= min{0, 0.865}
= 0
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
57
𝑤8 = min𝑗∈{1,2}
𝑤8𝑗
= min{𝑤81 , 𝑤82}
= min{0, 0}
= 0
𝑤9 = min𝑗∈{1,2}
𝑤9𝑗
= min{𝑤91, 𝑤92}
= min{0, 0}
= 0
c. Menentukan �̃�𝑖′
Langkah selanjutnya adalah menentukan �̃�𝑖′, yaitu irisan 𝑤𝑖 dengan �̃�𝑖,
untuk setiap 𝑖 = 1, 2,⋯ , 9.
𝜇�̃�1′(𝑧) = min𝑧∈[0,100]
{𝑤1, 𝜇�̃�3(𝑧)}
= min𝑧∈[0,100]
{0.645, 𝜇�̃�3(𝑧)}
Mencari nilai 𝑧 sedemikian sehingga 𝜇�̃�3(𝑧) = 0.645 (Gambar 4.12):
untuk 60 ≤ 𝑧 ≤ 100 :
𝑧 − 60
40= 0.645
𝑧 − 60 = 25.8
𝑧 = 85.8
sehingga diperoleh
𝜇�̃�1′(𝑧) = {
𝑧 − 60
40 untuk 60 ≤ 𝑧 ≤ 85.8
0.645 untuk 85.8 ≤ 𝑧 ≤ 100 0 untuk 𝑧 lainnya
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
58
Gambar 4.12 Menentukan �̃�1′
𝜇�̃�2′(𝑧) = min𝑧∈[0,100]
{𝑤2, 𝜇�̃�2(𝑧)}
= min𝑧∈[0,100]
{0, 𝜇�̃�2(𝑧)}
= 0
𝜇�̃�3′(𝑧) = min𝑧∈[0,100]
{𝑤3, 𝜇�̃�2(𝑧)}
= min𝑧∈[0,100]
{0, 𝜇�̃�2(𝑧)}
= 0
𝜇�̃�4′(𝑧) = min𝑧∈[0,100]
{𝑤4, 𝜇�̃�3(𝑧)}
= min𝑧∈[0,100]
{0, 𝜇�̃�3(𝑧)}
= 0
𝜇�̃�5′(𝑧) = min𝑧∈[0,100]
{𝑤5, 𝜇�̃�2(𝑧)}
= min𝑧∈[0,100]
{0, 𝜇�̃�2(𝑧)}
= 0
𝜇�̃�6′(𝑧) = min𝑧∈[0,100]
{𝑤6, 𝜇�̃�1(𝑧)}
= min𝑧∈[0,100]
{0, 𝜇�̃�1(𝑧)}
= 0
𝜇�̃�7′(𝑧) = min𝑧∈[0,100]
{𝑤7, 𝜇�̃�3(𝑧)}
�̃�3
�̃�1′
,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
59
= min𝑧∈[0,100]
{0, 𝜇�̃�3(𝑧)}
= 0
𝜇�̃�8′(𝑧) = min𝑧∈[0,100]
{𝑤8, 𝜇�̃�2(𝑧)}
= min𝑧∈[0,100]
{0, 𝜇�̃�2(𝑧)}
= 0
𝜇�̃�9′(𝑧) = min𝑧∈[0,100]
{𝑤9, 𝜇�̃�1(𝑧)}
= min𝑧∈[0,100]
{0, 𝜇�̃�1(𝑧)}
= 0
d. Menentukan kesimpulan
Pada tahap ini, semua irisan 𝑤𝑖 dengan �̃�𝑖 yang diperoleh pada
bagian c di atas digabung untuk memperoleh �̃�′, yaitu:
�̃�′ =⋃�̃�𝑖′
9
𝑖=1
dengan fungsi keanggotaan sebagai berikut:
𝜇�̃�′(𝑧) = max𝑖∈{1,2,⋯,9}
{𝜇�̃�𝑖′(𝑧)} = max{0, 𝜇�̃�1′(𝑧) }
= 𝜇�̃�1′(𝑧) = {
𝑧 − 60
40 untuk 60 ≤ 𝑧 ≤ 85.8
0.645 untuk 85.8 ≤ 𝑧 ≤ 100 0 untuk 𝑧 lainnya
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
60
Gambar 4.13 Himpunan Kabur �̃�′
Jadi, tingkat kecerahan layar telpon genggam tersebut adalah nilai kabur
yang berkaitan dengan himpunan kabur �̃�′. Karena hasilnya ini berupa nilai
kabur, maka pada langkah berikutnya himpunan kabur ini diubah menjadi
nilai tegas oleh unit penegasan.
5. Unit Penegasan
Pada langkah terakhir, unit penegasan mengubah himpunan kabur �̃�′
menjadi nilai tegas. Dengan fungsi penegasan “purata maksimum”, nilai kabur �̃�′
diubah menjadi bilangan tegas
𝑡(�̃�′) =inf𝑀 + sup𝑀
2
dimana 𝑀 = {𝑧 ∈ ℝ│𝜇�̃�′(𝑧) = 𝑇𝑖𝑛𝑔𝑔𝑖(�̃�′)}
𝑇𝑖𝑛𝑔𝑔𝑖(�̃�′) = sup𝑧∈[0,100]
{𝜇�̃�′(𝑧)} = 0.645, sehingga 𝑀 = [85.8,100].
Jadi,
𝑡(�̃�′) =85.8 + 100
2= 92.9
Sehingga tingkat kecerahan layar pada telpon genggam tersebut adalah
92.9 𝑙𝑢𝑥.
�̃�′
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
61
BAB V
PENUTUP
A. Kesimpulan
Sistem inferensi kabur adalah sistem komputasi yang bekerja atas dasar
penalaran kabur. Sistem inferensi kabur Mamdani sangat berguna dalam kehidupan
sehari-hari. Salah satunya, yaitu dalam menentukan kecerahan pada layar telpon
genggam. Pada skripsi ini, sistem inferensi kabur Mamdani diterapkan pada
penentuan kecerahan layar telpon genggam dengan menggunakan dua variabel
masukan, yaitu variabel terangnya ruangan dengan semesta 𝑋 = [0,100] dan
variabel jarak pemakai dengan telpon genggam dengan semesta 𝑌 = [0,50].
Sedangkan, variabel keluarannya adalah variabel tingkat kecerahan pada layar
telpon genggam dengan semesta 𝑍 = [0,100].
Dalam menentukan tingkat kecerahan layar telpon genggam dilakukan empat
tahap. Tahap pertama adalah menentukan semua variabel terkait, baik variabel
masukan maupun variabel keluaran . Terdapat dua variabel masukan, yaitu variabel
terangnya ruangan dan variabel jarak pemakai dengan telpon genggam. Sedangkan,
variabel keluarannya adalah tingkat kecerahan pada layar telpon genggam.
Kemudian ditentukan semesta numeris dari masing-masing variabel itu, yaitu
selang tertutup [0,100], [0,50], dan [0,100] untuk variabel terangnya ruangan,
variabel jarak pemakai dengan telpon genggam, dan variabel tingkat kecerahan
layar telpon genggam berturut-turut. Selanjutnya ditentukan nilai-nilai linguistik
untuk masing-masing variabel itu serta himpunan-himpunan kaburnya yang terkait.
Nilai-nilai linguistik untuk variabel terangnya ruangan, yaitu gelap, sedang, dan
terang. Ketiga nilai linguistik tersebut berturut-turut dinyatakan dengan himpunan
kabur �̃�1, �̃�2 dan �̃�3. Nilai-nilai linguistik untuk variabel jarak pemakai dengan
telpon genggam, yaitu dekat, sedang, dan jauh. Ketiga nilai linguistik tersebut
berturut-turut dinyatakan dengan himpunan kabur �̃�1, �̃�2, dan �̃�3. Nilai-nilai
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
62
linguistik untuk variabel tingkat kecerahan pada layar telpon genggam, yaitu
rendah, sedang, dan tinggi. Ketiga nilai linguistik tersebut berturut-turut dinyatakan
dengan himpunan kabur �̃�1, �̃�2, dan �̃�3.
Tahap kedua adalah membentuk basis kaidah, yaitu himpunan kaidah-kaidah
berupa implikasi-implikasi kabur yang menyatakan relasi antar variabel masukan
dengan variabel keluaran. Kemungkinan banyaknya kaidah dalam basis kaidah
untuk menentukan tingkat kecerahan pada layar telpon genggam ini adalah 27
kaidah, yang merupakan hasil kombinasi 3 variabel kabur, yaitu terangnya ruangan
dengan 3 nilai linguistik kabur (gelap, sedang, terang), jarak pemakai dengan telpon
genggam dengan 3 nilai linguistik kabur (dekat, sedang, jauh), dan tingkat
kecerahan pada layar telpon genggam dengan 3 nilai linguistik kabur (rendah,
sedang, tinggi). Namun dalam skripsi ini hanya akan digunakan 9 kaidah yang
sesuai. Tahap ketiga, yaitu menarik kesimpulan. Dalam menarik kesimpulan
dilakukan beberapa langkah. Langkah pertama adalah mencari derajat keserasian,
yaitu supremum dari irisan himpunan kabur pada anteseden masing-masing kaidah
dengan himpunan kabur fakta atau masukan. Selanjutnya, dicari daya sulut yang
merupakan minimum dari semua derajat keserasian. Kemudian dicari irisan
masing-masing daya sulut dengan himpunan kabur pada konsekuen masing-masing
kaidah. Dengan menggabungkan semua irisan tersebut dapat ditarik kesimpulan
mengenai tingkat kecerahan layar telpon genggam. Namun, kesimpulan tersebut
masih berupa himpunan kabur. Pada tahap keempat, dengan fungsi penegasan
purata maksimum, kesimpulan tersebut diubah ke suatu nilai tegas.
Pada contoh kasus dalam skripsi ini, seseorang menggunakan telpon genggam
dengan kondisi cahaya di ruangan tersebut 85 lux dan jarak pengguna tersebut
dengan telpon genggam adalah 47 cm. Dengan menggunakan sistem inferensi kabur
Mamdani seperti diuraikan di atas diperoleh tingkat kecerahan layar pada telpon
genggam, yaitu 92.9 lux.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
63
B. Saran
Dalam skripsi ini, penulis hanya menggunakan satu sistem inferensi kabur,
yaitu sistem inferensi kabur Mamdani. Untuk selanjutnya bisa digunakan sistem
inferensi kabur yang lain, yaitu sistem inferensi kabur Tsukamoto atau sistem
inferensi kabur Takagi-Sugeno-Kang. Selain itu, dalam tugas akhir ini hanya
dipakai dua variabel masukan, yaitu terangnya ruangan dan jarak pemakai dari
telpon genggam. Untuk selanjutnya dapat ditambahkan variabel masukan lainnya
yang berpengaruh dalam menentukan tingkat kecerahan layar pada telpon
genggam. Fungsi pengaburan yang digunakan dalam tugas akhir ini adalah fungsi
pengaburan segitiga. Untuk selanjutnya bisa digunakan fungsi pengaburan Elemen
Tunggal atau fungsi pengaburan Gauss. Fungsi penegasan yang digunakan dalam
tugas akhir ini adalah fungsi penegasan purata maksimum. Untuk selanjutnya bisa
digunakan fungsi penegasan yang lain, yaitu fungsi penegasan pusat gravitasi atau
fungsi penegasan rerata pusat.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
64
DAFTAR PUSTAKA
Andani, Sundari Retno. (2013). Fuzzy Mamdani dalam Menentukan Tingkat
Keberhasilan Dosen Mengajar. Seminar Nasional Informatika
(SEMNASIF), 1 (4): 57-65.
Azmi, Zulfian dan Ilham. (2018). Logika Fuzzy untuk Sistem Pemantau
Penggunaan Komputer bagi Kesehatan Mata. Journal of Informatiom
System, Applied, Management, Accounting and Research, 2 (2): 13-22.
Ross, T. J. (2010). Fuzzy Logic with Engineering Applications. Hoboken: John
Wiley and Sons.
Susilo, Frans. (2018). Himpunan & Logika Kabur serta Aplikasinya (Edisi 2).
Yogyakarta: Matematika.
Tantra Nirwana, Fandi. (2015). Alat Kendali Penerangan Ruangan Dengan Logika
Fuzzy Berbasis Atmega16. Yogyakarta: Universitas Negeri Yogyakarta.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI