aplikasi logika pada teori himpunan
DESCRIPTION
berisi beberapa pembuktian mengenai teori himpunan yang menggunakan logika sebagai dasar pembuktianTRANSCRIPT
3.4 APLIKASI LOGIKA PADA TEORI HIMPUNAN: BEBERAPA BUKTI
Defenisi 1:Misalkan and himpunan:a. Misalkan A & B himpunan, A
dikatakan sama dengan B (disimbolkan A=B) jika dan hanya jika pernyataan adalah benar.
b. A dikata subset dari B jika dan hanya jika pernyataan adalah benar.
Defenisi
B u
Contoh 1
Solusi : misalkan A sebarang himpunan. berdasarkan defenisi Adit : benar
Oleh karena salah untuk suatu objek , maka kondisi adalah benar untuk suatu . Terlepas dari nilai kebenaran . sehingga pernyataan benar, jadi, terbukti bahwa
Contoh 2: buktikan bahwa untuk suatu himpunan A
Solusi: misalkan sebarang himpunan BenarAdit :Benar
Solusi Oleh karena predikat memiliki bentuk dan merupakan tautoligi sehingga ] BenarTerbukti
Contoh 4 : : buktikan bahwa, untuk suatu himpunan A dan B, dan
• Membuktikan Misalkan Adit:
mAdit
Solusi : Karena s karena diketahui maka terbukti bahwa
Solusi :Karena (diket)Maka apapun nilai kebenaran dari pastilah benar untuk atau Terbukti
Contoh 7 buktikan bahwa untuk suatu himpunan , dan jika dan maka
Solusi : Diketahui : berarti B berarti Adit :
Bukti :Ambil sebarang Karena maka Karena maka Sehingga Dengan modus ponen ----------
Membuktikan kesamaan himpunan
Contoh 8Dengan teorema asumsikan “ untuk semua bilangan real dan , jika , maka atau , buktikan bahwa himpunan sama denga himpunan B .
Solusi . untuk membuktikan kita membuktikan saling inklusi; yaitu kita membuktikan dan .
Untuk membuktikan , misalkan Adit :
• kita harus membuktikan adalah bilangan Real yang memenuhi . karena maka salah satunya atau
untuk
Jadi untuk a=(5,-7) memenuhi
• kita harus membuktikan adalah bilangan real yang memenuhi
, seehingga menurut teorema diasumsikan ,salah satunya atau maka , terbukti
Sebaliknya untuk membuktikan , misalkan Adit :
Buktikan bahwa, untuk suatu himpunan A, B, dan C,
CONTOH 10
Membuktikan (i) (ii)
Bukti(i) Misalkan Adit:
Karena berarti
dengan kata lain
Sehingga
Akibatnya
Dengan demikian
Karena mengakibatkan
Sehingga terbukti bahwa
Bukti(ii) Misalkan Adit:
Karena berarti
dengan kata lain
Sehingga
Akibatnya
Dengan demikian
Karena mengakibatkan Sehingga terbukti bahwa
Buktikan bahwa, untuk suatu himpunan A,
CONTOH 11
Andaikan Adit: terjadi kontradiksi
Karena maka terdapat
Sehingga dan .
Dengan kata lain dan
Karena bentuk pernyataan merupakan suatu kontradiksi maka
berlaku juga bahwa dan merupakan suatu kontradiksi,
sehingga pengandaian salah.
Dengan demikian haruslah
INFINITE UNIONS AND INTERSECTION
Definisi 1
Koleksi dari himpunan-himpunan , memuat himpunan yang
berkorespodensi dengan setiap bilangan bulat positif (dimana
suatu semesta himpunan memuat setiap himpunan pada
koleksi) disebut family (atau koleksi) dari himpunan berindeks
dengan himpunan dari semua bilangan bulat positif. Bilangan
bulat positif digunakan untuk label himpunan pada koleksi
disebut indeks.
Contoh 1
Misalkan untuk setiap sehingga merupakan koleksi dari himpunan-himpunan singleton.
Perhatikan bahwa bilangan bulat positif dan merupakan bilangan yang berbeda, sehingga . Untuk alasan ini kita mengatakan bahwa famili dari himpunan-himpunan ini adalah saling terpisah (saling lepas).
Definisi 2
Misalkan koleksi dari himpunan-himpunan berindeks . Kita definisikan:
a. Gabungan dari koleksi , dinyatakan ( juga dinyatakan dan ) menjadi himpunan untuk suatu demikian sehingga
b. Irisan dari koleksi , dinyatakan ( juga dinyatakan dan ) menjadi himpunan untuk setiap .