aplikácie deskriptívnej geometrie 1
DESCRIPTION
Aplikácie Deskriptívnej Geometrie 1. 4. prednáška. Obsah. Prednáška Metóda zníženého pôdorysu Osvetlenie v lineárnej perspektíve do základnej a ľubovoľnej roviny Obraz guľovej plochy v lineárnej perspektíve Cvičenie Útvar vo vertikálnej rovine Gratikoláž Metóda incidenčných trojíc - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
![Page 1: Aplikácie Deskriptívnej Geometrie 1](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081501/5681331d550346895d99e588/html5/thumbnails/1.jpg)
APLIKÁCIE DESKRIPTÍVNEJ GEOMETRIE 1
4. prednáška
![Page 2: Aplikácie Deskriptívnej Geometrie 1](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081501/5681331d550346895d99e588/html5/thumbnails/2.jpg)
Obsah
Prednáška• Metóda zníženého pôdorysu• Osvetlenie v lineárnej perspektíve do základnej a ľubovoľnej
roviny• Obraz guľovej plochy v lineárnej perspektíve
Cvičenie• Útvar vo vertikálnej rovine• Gratikoláž• Metóda incidenčných trojíc
Zadanie• DÚ: metódou gratikoláže zostrojiť obraz písaného textu
(meno) (do 18.10.2011)• RYS: Viazanou perspektívou zostrojiť zväčšený obraz
víťazného oblúka (25.10.2011)
![Page 3: Aplikácie Deskriptívnej Geometrie 1](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081501/5681331d550346895d99e588/html5/thumbnails/3.jpg)
Metóda zníženého pôdorysu
Pri konštrukcii perspektívneho pôdorysu sa často stáva, že pôdorys je vtesnaný do úzkeho rovného pásu a keď chceme zobraziť aj detaily na objekte, tieto konštrukcie sú veľmi nepresné. Preto môžeme použiť konštrukciu zníženého obrazu pôdorysu. Obraz, ktorý takto dostaneme, nebude ani otočený ani sklopený a nebude to ani skutočná veľkosť zobrazovaného rovinného útvaru. Medzi takto získanými útvarmi je vzťah osovej afinity. Osou afinity je horizont h a dvojicou bodov A,A‘.
h
A
A,
1U2U
Obraz zníženého obrazu pôdorysu
,
O
![Page 4: Aplikácie Deskriptívnej Geometrie 1](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081501/5681331d550346895d99e588/html5/thumbnails/4.jpg)
1H
1IIU1
IU1 1O
h
1A
H
Z
Z
Z A
H
A
A Z
IIUIU
2h
212 zx
z
z
z
Perspektíva objektu je v MZ daná združenými priemetmi objektu, stredom premietania O(O1,O2 ) a perspektívnou priemetňou (1, n), a základnou rovinou . Pomocou zníženého pôdorysu dourčite perspektívny obraz objektu.
Metóda zníženého pôdorysu
![Page 5: Aplikácie Deskriptívnej Geometrie 1](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081501/5681331d550346895d99e588/html5/thumbnails/5.jpg)
Osvetlenie v lineárnej perspektíve
• Zostrojte rovnobežné osvetlenie útvaru do základnej roviny π a do roviny a. a =(pa, Q); Q=(Qs, Q1s), ABCD patrí π.
• LP.: h, H, Dp, smer svetla Us
![Page 6: Aplikácie Deskriptívnej Geometrie 1](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081501/5681331d550346895d99e588/html5/thumbnails/6.jpg)
Osvetlenie v lineárnej perspektíve
![Page 7: Aplikácie Deskriptívnej Geometrie 1](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081501/5681331d550346895d99e588/html5/thumbnails/7.jpg)
Vrhnutý tieň do základnej roviny: Úbežnica svetelnej roviny BF je kolmá na h. Analogicky pre CG, DI, AE. Zostrojujeme vrhnuté tiene hrán AE, BF, CG, DI do roviny p.
Osvetlenie v lineárnej perspektíve
![Page 8: Aplikácie Deskriptívnej Geometrie 1](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081501/5681331d550346895d99e588/html5/thumbnails/8.jpg)
Vrhnutý tieň F do základnej roviny je priesečník svetelného lúča UsF s vrhnutým tieňom hrany BF.
Osvetlenie v lineárnej perspektíve
![Page 9: Aplikácie Deskriptívnej Geometrie 1](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081501/5681331d550346895d99e588/html5/thumbnails/9.jpg)
Analogicky zostrojujeme tiene zvyšných bodov.
Osvetlenie v lineárnej perspektíve
![Page 10: Aplikácie Deskriptívnej Geometrie 1](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081501/5681331d550346895d99e588/html5/thumbnails/10.jpg)
Obrys tieňa.
Osvetlenie v lineárnej perspektíve
![Page 11: Aplikácie Deskriptívnej Geometrie 1](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081501/5681331d550346895d99e588/html5/thumbnails/11.jpg)
Tieň za hranolom nie je viditeľný, preto je šrafovaný prerušovanou čiarou.
Osvetlenie v lineárnej perspektíve
![Page 12: Aplikácie Deskriptívnej Geometrie 1](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081501/5681331d550346895d99e588/html5/thumbnails/12.jpg)
Tieň vrhnutý do roviny .
Osvetlenie v lineárnej perspektíve
![Page 13: Aplikácie Deskriptívnej Geometrie 1](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081501/5681331d550346895d99e588/html5/thumbnails/13.jpg)
Zostrojujeme tieň vrhnutý do roviny , danej bodom Q a pôdorysnou stopou.
Osvetlenie v lineárnej perspektíve
![Page 14: Aplikácie Deskriptívnej Geometrie 1](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081501/5681331d550346895d99e588/html5/thumbnails/14.jpg)
Najskôr zostrojíme tieň bodu Q do roviny . *Q
Osvetlenie v lineárnej perspektíve
![Page 15: Aplikácie Deskriptívnej Geometrie 1](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081501/5681331d550346895d99e588/html5/thumbnails/15.jpg)
Bodom Q vedieme ľubovoľnú priamku q v rovine .
Osvetlenie v lineárnej perspektíve
![Page 16: Aplikácie Deskriptívnej Geometrie 1](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081501/5681331d550346895d99e588/html5/thumbnails/16.jpg)
A jej vrhnutý tieň do základnej roviny.
11 *q*Q*q
Osvetlenie v lineárnej perspektíve
![Page 17: Aplikácie Deskriptívnej Geometrie 1](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081501/5681331d550346895d99e588/html5/thumbnails/17.jpg)
Hľadáme vrhnutý tieň hrany BF do roviny
*1BU*q1
Osvetlenie v lineárnej perspektíve
![Page 18: Aplikácie Deskriptívnej Geometrie 1](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081501/5681331d550346895d99e588/html5/thumbnails/18.jpg)
q*1U1;1s
Osvetlenie v lineárnej perspektíve
![Page 19: Aplikácie Deskriptívnej Geometrie 1](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081501/5681331d550346895d99e588/html5/thumbnails/19.jpg)
pBU2;2
Osvetlenie v lineárnej perspektíve
![Page 20: Aplikácie Deskriptívnej Geometrie 1](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081501/5681331d550346895d99e588/html5/thumbnails/20.jpg)
Vrhnutým tieňom hrany BF v rovine α je priamka 21.
Osvetlenie v lineárnej perspektíve
![Page 21: Aplikácie Deskriptívnej Geometrie 1](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081501/5681331d550346895d99e588/html5/thumbnails/21.jpg)
Keď máme vrhnutý tieň hrany BF, je jednoduché zostrojiť tieň bodu F.
21FU'Fs
Osvetlenie v lineárnej perspektíve
![Page 22: Aplikácie Deskriptívnej Geometrie 1](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081501/5681331d550346895d99e588/html5/thumbnails/22.jpg)
Analogicky zostrojujeme tiene ostatných bodov.
Osvetlenie v lineárnej perspektíve
![Page 23: Aplikácie Deskriptívnej Geometrie 1](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081501/5681331d550346895d99e588/html5/thumbnails/23.jpg)
Analogicky zostrojujeme tiene ostatných bodov.
Osvetlenie v lineárnej perspektíve
![Page 24: Aplikácie Deskriptívnej Geometrie 1](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081501/5681331d550346895d99e588/html5/thumbnails/24.jpg)
Obrys vrhnutého tieňa hranola do roviny .
Osvetlenie v lineárnej perspektíve
![Page 25: Aplikácie Deskriptívnej Geometrie 1](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081501/5681331d550346895d99e588/html5/thumbnails/25.jpg)
Vrhnutý tieň hranola do roviny ; s určenou viditeľnosťou.
Osvetlenie v lineárnej perspektíve
![Page 26: Aplikácie Deskriptívnej Geometrie 1](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081501/5681331d550346895d99e588/html5/thumbnails/26.jpg)
Vrhnutého tieň hranola do roviny ; s určenou viditeľnosťou.
Osvetlenie v lineárnej perspektíve
![Page 27: Aplikácie Deskriptívnej Geometrie 1](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081501/5681331d550346895d99e588/html5/thumbnails/27.jpg)
Vrhnutý tieň do roviny α a zároveň do .
Osvetlenie v lineárnej perspektíve
![Page 28: Aplikácie Deskriptívnej Geometrie 1](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081501/5681331d550346895d99e588/html5/thumbnails/28.jpg)
Guľová plocha v LP
Na úvod si najprv musíme uvedomiť čo je skutočný a čo zdanlivý obrys guľovej plochy.
Skutočný obrys guľovej plochy je prienik guľovej plochy s kužeľovou plochou, ktorá túto guľovú plochu obaľuje a vrchol má v strede premietania .
Zdanlivý obrys guľovej plochy je prienik tejto kužeľovej plochy s priemetňou. Zdanlivým obrysom guľovej plochy môže byť:
o Kružnica - o⊥o Elipsa – G⋂,Oo Parabola – G⋂={P}
o Hyperbola – G⋂={k}, k je kružnica
V perspektíve je najčastejšie obrysom guľovej plochy kružnica alebo elipsa. Iba v týchto dvoch prípadoch sa celá guľová plocha nachádza vo vnútri zornej kužeľovej plochy. Na guľovej ploche si zvolíme sústavu kružníc, ktoré sú v navzájom rovnobežných rovinách. Zdanlivý obrys guľovej plochy tvorí obálka priemetov kružníc. Ak si zvolíme kružnice v horizontálnych rovinách, kružnica, ktorá je v úrovni očí, sa zobrazí ako úsečka na horizonte.
![Page 29: Aplikácie Deskriptívnej Geometrie 1](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081501/5681331d550346895d99e588/html5/thumbnails/29.jpg)
Guľová plocha v LPZostrojte lineárnu perspektívu guľovej plochy ak je dané h, H, d/3, polomer guľovej plochy v perspektívnej priemetni a jej stred S.
D 3 h H
1t1T
S
2t
2T
A B
D C
k
G
E
F
III
Riešenie: Nech priemetňa, ktorá prechádza stredom guľovej plochy G, ju pretína v kružnici k. Lineárnu perspektívu určíme bodom H, horizontom a obrazom tretinového dištančníka. Horizontálna rovina, ktorá prechádza stredom guľovej plochy G ju pretína v kružnici, ktorej obraz vieme vpísať do štvorca ABCD. Body E,F na tejto elipse sú obrazmi tých bodov guľovej plochy G, v ktorých ju pretína priemer kolmý na priemetňu. Podľa Q–D vety sú to ohniská obrysu guľovej plochy. Ďalej guľovej ploche G opíšeme dotykovú valcovú plochu, ktorá je kolmá na priemetňu. Valcová plocha sa dotýka guľovej plochy v kružnici k. Obrysom valcovej plochy sú dotyčnice 1t,2t z hlavného bodu H ku kružnici k. Keďže kružnica k je spoločnou kružnicou valcovej aj guľovej plochy, potom dotyčnice aj s dotykovými bodmi sú dotyčnicami, aj s dotykovými bodmi, obrysu guľovej plochy G. Poznáme ohniská a dva dotykové body aj s dotyčnicami. Takto zadanú elipsu už vieme zostrojiť.
![Page 30: Aplikácie Deskriptívnej Geometrie 1](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081501/5681331d550346895d99e588/html5/thumbnails/30.jpg)
Guľová plocha v LPV perspektíve danej h,H,d zostrojte guľovú plochu G ak poznáte jej polomer a stred S.Riešenie:Uvažujme rovinu , ktorá prechádza hlavným bodom, stredom S guľovej plochy G a je kolmá na priemetňu. Je to rovina súmernosti guľovej plochy G a kužeľovej plochy s vrcholom O, ktorá sa dotýka G v hlavnej kružnici k. Rovinu sklopíme do priemetne. Ohniská E,F obrysu G sú priemety bodov guľovej plochy, v ktorých dotykové roviny sú rovnobežné s priemetňou (Q-D veta). Hlavné body A,B dostaneme ako prienik dotyčníc ku kružnici k so spojnicou SH. Sú to priesečníky, tých premietacích lúčov, ktoré sa dotýkajú guľovej plochy G a ležia v ortogonálne premietacej rovine spojnice stredu premietania so stredom guľovej plochy. Vedľajšie vrcholy elipsy už dokážeme zostrojiť.
h H
G
C
k
E
A
S
S k
FB
D
O
Stred elipsy S nie je totožný s priemetom stredu guľovej plochy Sk. Zostrojená elipsa je obrysom guľovej plochy v lineárnej perspektíve.
![Page 31: Aplikácie Deskriptívnej Geometrie 1](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081501/5681331d550346895d99e588/html5/thumbnails/31.jpg)
Útvar vo vertikálnej rovine
Zostrojte perspektívu daného okna ak je dané h, H, DP, z, ABCD je z roviny , AB patrí pôdorysnej stope roviny .
![Page 32: Aplikácie Deskriptívnej Geometrie 1](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081501/5681331d550346895d99e588/html5/thumbnails/32.jpg)
Voľba H, h, z, Dp
![Page 33: Aplikácie Deskriptívnej Geometrie 1](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081501/5681331d550346895d99e588/html5/thumbnails/33.jpg)
Zostrojíme otočený stred premietania
![Page 34: Aplikácie Deskriptívnej Geometrie 1](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081501/5681331d550346895d99e588/html5/thumbnails/34.jpg)
Zostrojujeme Oo.
oop
![Page 35: Aplikácie Deskriptívnej Geometrie 1](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081501/5681331d550346895d99e588/html5/thumbnails/35.jpg)
'ApApA;A
![Page 36: Aplikácie Deskriptívnej Geometrie 1](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081501/5681331d550346895d99e588/html5/thumbnails/36.jpg)
|AB| je dané pB'BpB;B
![Page 37: Aplikácie Deskriptívnej Geometrie 1](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081501/5681331d550346895d99e588/html5/thumbnails/37.jpg)
k, k je pre a stopou
![Page 38: Aplikácie Deskriptívnej Geometrie 1](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081501/5681331d550346895d99e588/html5/thumbnails/38.jpg)
BCAD ich obrazy sú
rovnobežné a kolmé na z.
![Page 39: Aplikácie Deskriptívnej Geometrie 1](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081501/5681331d550346895d99e588/html5/thumbnails/39.jpg)
Medzi ABCD a A’B’C’D’ je stredová kolineácia so stredom v bode Dpa a osou k.
![Page 40: Aplikácie Deskriptívnej Geometrie 1](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081501/5681331d550346895d99e588/html5/thumbnails/40.jpg)
Čiže platí: kDCk'C'D
![Page 41: Aplikácie Deskriptívnej Geometrie 1](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081501/5681331d550346895d99e588/html5/thumbnails/41.jpg)
Máme ABCD.
![Page 42: Aplikácie Deskriptívnej Geometrie 1](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081501/5681331d550346895d99e588/html5/thumbnails/42.jpg)
Hľadáme obraz oblúka DEC (kružnice). Jej obrazom je elipsa. AD a BC sú jej dotyčnice. CD je jej priemer. Stred označíme w.
![Page 43: Aplikácie Deskriptívnej Geometrie 1](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081501/5681331d550346895d99e588/html5/thumbnails/43.jpg)
Konštruujeme združený priemer elipsy k priemeru CD.
![Page 44: Aplikácie Deskriptívnej Geometrie 1](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081501/5681331d550346895d99e588/html5/thumbnails/44.jpg)
p''D'C'
I;I'I združenému priemeru
elipsy e
![Page 45: Aplikácie Deskriptívnej Geometrie 1](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081501/5681331d550346895d99e588/html5/thumbnails/45.jpg)
Druhý vrchol združeného priemeru elipsy e.
![Page 46: Aplikácie Deskriptívnej Geometrie 1](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081501/5681331d550346895d99e588/html5/thumbnails/46.jpg)
Pomocou Rytzovej konštrukcie zostrojíme osi elipsy.
![Page 47: Aplikácie Deskriptívnej Geometrie 1](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081501/5681331d550346895d99e588/html5/thumbnails/47.jpg)
Vykreslíme elipsu e.
![Page 48: Aplikácie Deskriptívnej Geometrie 1](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081501/5681331d550346895d99e588/html5/thumbnails/48.jpg)
Zvýrazníme len časť ohraničenú dotyčnicami AD, BC.
![Page 49: Aplikácie Deskriptívnej Geometrie 1](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081501/5681331d550346895d99e588/html5/thumbnails/49.jpg)
![Page 50: Aplikácie Deskriptívnej Geometrie 1](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081501/5681331d550346895d99e588/html5/thumbnails/50.jpg)
Zostrojovanie perspektívy nepravidelných útvarov
Pri zostrojovaní perspektívy nepravidelných útvarov využívame štvorcové siete (priečelnú, nepriečelnú) a dve metódy: • Gratikoláž• Metóda incidenčných trojíc
![Page 51: Aplikácie Deskriptívnej Geometrie 1](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081501/5681331d550346895d99e588/html5/thumbnails/51.jpg)
Gratikoláž
Zostrojte perspektívu daného rovinného útvaru.
Riešenie:
• Danému útvaru opíšeme štvorcovú sieť, ktorej obraz zostrojíme v lineárnej perspektíve.
• Budeme rozoznávať 4 druhy bodov:– bod A je spoločným bodom strán štvorcovej siete
– bod B je bodom horizontálnej strany štvorcovej siete
– bod C je ľubovoľný vnútorný bod siete
– bod D je bod na vertikálnej priamke siete
D
A
C
B
C,
1U H
A
B
CD
2U
(O )
k d
• LP bodu A vieme hneď zostrojiť.• Pre bod B použijeme hĺbkovú priamku.• Bod C, ak už neleží na uhlopriečke štvorca, prenesieme, rovnobežne s priemetňou, na uhlopriečku štvorca a dostaneme bod C‘. Tento bod odvodíme v perspektíve pomocou hĺbkovej priamky a pomocou uhlopriečky, na ktorej leží. Perspektívu bodu C dostaneme premietnutím perspektívy bodu C‘ a pomocou hĺbkovej priamky, ktorá bodom prechádza.
• Analogicky pre D iba s rozdielom, že bodom D už leží na hĺbkovej priamke.
![Page 52: Aplikácie Deskriptívnej Geometrie 1](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081501/5681331d550346895d99e588/html5/thumbnails/52.jpg)
Metóda incidenčných trojíc
Zostrojte perspektívu daného rovinného útvaru.Riešenie: • Perspektívu útvaru budeme zostrojovať v nepriečelnej polohe. • Útvaru opíšeme štvorec ABCD, ktorý zobrazíme v lineárnej perspektíve V perspektíve
zostrojíme aj stredy strán štvorca S,S‘. • Význačné body útvaru kolmo premietneme na dve kolmé strany štvorca, budeme ich značiť
1,2,...,n a I,II,...,m. D C
III
II
IO
,
S,
A B1 2 S 3 4
O
1U2U
zB
A
H h
C = B,
D, C
,
D = A,
k d
(O )
• Oproti strane AB zvolíme bod O a oproti BC bod , body O,O‘ ležia mimo štvorca. Význačné body zo strany AB spojíme s bodom O, a zo BC strany s bodom O‘. Dostali sme dva zväzky priamok.
• V perspektíve máme zostrojený obraz štvorca, aj so stredmi strán AB,BC. Perspektívne obrazy bodov 1,2,...,n a I,II,...,m dostaneme pomocou projektívnosti (zachováva dvojpomer) medzi radom bodov (1,2,...,n)⊼(1,2,...,n) a radom bodov (I,II,...,m)⊼(I,II,...,m). Takto dostaneme sieť priamok, ktorých priesečníky sú body nášho nepravidelného útvaru, ktorého perspektívu sme chceli zostrojiť. Priamky, ktoré pretínajú zväzky priamok Z(O),Z(O‘), pri konštrukcii na papieri nahradíme prúžkom papiera.