aplicaţii ale formulei taylorfliacob/an1/id_05-06... · 2004-11-25 · aplicaţii ale formulei...
TRANSCRIPT
Aplicaţii ale formulei Taylor
1) În cazul (i) din teorema IV.28, polinoamele Tn(n) aproximează
punctual funcţia f(x), în sensul că: pentru orice ε > 0 dat, putem în
general să determinăm un polinom Tn(x) a.î. En(x) < ε pentru toţi x din
I. În acest caz eroarea En este practic mai puţin utilă deoarece despre
En(x) nu avem mai multe informaţii decât despre Rn(x).
2) În cazurile (ii) şi (iii) din teorema IV.28 polinoamele Tn(x) dau pe
intervalul I o aproximare globală a funcţiei f(x) în sensul că: pentru
fiecare număr ε > 0 dat, se poate determina un polinom Tn(x) a.î.
En(x) < ε, ∀ x ∈ I.
3) Tipurile de aproximări ale lui f în condiţiile teoremei IV.28 vor fi mai
exact precizate în capitolul “Şiruri şi Serii de funcţii reale”.
4) Teorema IV.28 se foloseşte pentru aproximarea funcţiilor indefinit
derivabile pe un interval I ⊆ R prin şirul corespunzător de
polinoame Taylor.
Exemple:
1°. ( ) ,xf x e x R= ∈ ; ( )f C R∞∈ ; ( )( ) ,n xxf e x R= ∀ ∈ şi x N∀ ∈ ;
( )( )0 1,nf n N= ∀ ∈ . Avem:
( )2 1
1 ... ,1! 2! ! 1 !
n nx x x x xe e
n nξ
+
x R= + + + + + ∀ ∈+
şi fixat ⇒ x R∀ ∈( )
1
lim 01 !
n
n
x en
ξ+
→∞=
+ ⇒ fiecare x R∈ fixat;
lim 1 ... ,1! !
nx
n
x xe x Rn→∞
⎛ ⎞= + + + ∀ ∈⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⇒ 1 ...
1! !
nx x x
n≅ + + +e .
- În particular, pentru x = 1: 1 1lim 1 ...1! !n
en→∞
⎛ ⎞= + + +⎜ ⎟⎝ ⎠
.
267
- Pentru x ∈ [0,1], să determinăm n ∈ N a.î. prin aproximare
( )1 ...1! !
nx
nx xe
n≅ + + + = T x eroarea En(x) < 0,125 ⇒
( ) ( ) ( )1 11 ... 0,125 1 ! 81! ! 1 ! 8
nx
nx xE x e e n
n n⎛ ⎞
= − + + + < < = ⇒ + <⎜ ⎟ +⎝ ⎠e
pentru n = 3 ⇒ [ ]2 3
1 ,1! 2! 3!
x x x xe x≅ + + + ∀ ∈ 0,1 .
2°. ( ) sin ,f x x x R= ∈ ; ( )f C R∞∈ ;
( )( ) sin ,
2n
xxf x x R∈π⎛ ⎞= + ∀⎜ ⎟
⎝ ⎠x N,∀ ∈ ;
( )( )
( )0
0 ; 2sin
2 1 ; 2n
k
n knfn k
π =⎧⎪= = ⎨1− = +⎪⎩
Avem:
( ) ( ) ( ) ( )3 5 2 1 2 1
1sin ... 1 1 cos3! 5! 2 1 ! 2 1 !
n nn nx x x xx x
n nξ
− +−= − + + + − + −
− + ⇒
Pentru fiecare x R∈ fixat: ( ) ( )2 1
lim lim cos 02 1 !
n
nn n
xR xn
ξ+
→∞ →∞= =
+ ⇒
⇒ ( ) ( )3 5 2 1
1sin lim .. 13! 5! 2 1 !
nn
n
x x xx xn
−−
→∞
⎛ ⎞= − + + + −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠
, în fiecare fixat x R∈
⇒ ( ) ( )3 5 2 1
1sin .. 13! 5! 2 1 !
nnx x xx x
n
−−⎛ ⎞
≅ − + + + −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠.
- În particular: 3
sin3!xx x≅ − cu ( )
3 5
sin6 5nx xE x x x l= − + < ⋅ şi
x ∈ [0,1] cu l =1⇒ ( ) 1 15! 120nE x < = .
268
- Pentru 18
x π= radiani, obţinem:
3
3sin18 18 6 18π π π
≅ −⋅
cu eroarea
( ) ( )5
55
1 1 0, 25! 18 5 3 10nE x π⎛ ⎞< < <⎜ ⎟ ⋅⎝ ⎠
1 .
3°. ( ) ( ) ( )ln 1 , 1,f x x x I= + ∈ = − ∞ ; ( )f C I∞∈ ;
( )( ) ( ) ( )
( )
11 1 !, ,
1
nn
x n
nf x I
x
−− −= ∀ ∈
+x N ∀ ∈ 1 ! şi ( )
( ) ( ) ( )10 1 nnf n−= − ⋅ − Avem:
( ) ( ) ( )( )
2 3 11
11ln 1 ... 1 1
2 3 1 1
n nn n
nx x x xx x
n n ξ
+−
++ = − + + + − + − ⋅+ +
;
Pentru [ ]0,1x∈ , găsim : ( ) ( )( )
1
11lim lim 1 0
1 1
nn
n nn n
xR xn ξ
+
+→∞ →∞= − =
+ +⇒
( ) ( )2 3
1ln 1 lim ... 12 3
nn
n
x x xx xn
−
→∞
⎛ ⎞⇒ + = − + + + −⎜ ⎟
⎝ ⎠ şi atunci
( ) ( ) [2 3
1ln 1 ... 1 , 0,12 3
nnx x xx x x
n−⎛ ⎞
+ ≅ − + + + − ∀ ∈⎜ ⎟⎝ ⎠
] cu
( ) ( ) ( ) ( ) 11n n nE x f x T x R x
n= − = <
+.
- În particular pentru n = 9, obţinem:
( ) [ ]2 3 9 1ln 1 ... , 0,1
2 3 9 10x x xx x x+ − + − − − < ∀ ∈
- Pentru x = 1
}1 1 1 1 1879ln 2 1 ... ln 2 0,742 3 10 2520n
− + − − − < ⇒ ≅ ≅
5) Formula lui Taylor se foloseşte în calcularea unor limite, care conduc
la forme nedeterminate 00
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
.
269
Exemple:
1°. ( )
( )
3 3
3 3
3 30 0 0
3! 3!sin 1 1 1lim lim lim6 3! 6x x x
x xx x xx x x
x x
αα
→ → →
⎛ ⎞− − +⎜ ⎟ ⎛ ⎞− ⎝ ⎠= = +⎜ ⎟
⎝ ⎠=
( ) ( )( )0lim 0 0x
x→
= =α α
2°. 2 30
1 1 2lim 1 ln2x
x lx x x→
+⎡ ⎤+ − =⎢ ⎥−⎣ ⎦
12 2ln ln ln 1 ln 12 21
2
x
2x x x
xx
++ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = + − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟− ⎝ ⎠ ⎝ ⎠−=
( ) ( ) ( )2 3 5 2 3 5 3
31 22 8 24 5 2 8 24 5 12
x x x x x x x x xx x x x xα α⎡ ⎤ ⎡ ⎤
− + + − − − − + = + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
β
cu ( )0
lim 0x
xβ→
=
( ) ( )3
3 22 30 0
1 1 1 1lim 1 lim 112 12 12x x
xl x x x xx x
β β→ →
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎡ ⎤= + − + + = − − =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎝ ⎠⎣ ⎦
1x
6) Teorema IV.29. (Determinarea punctelor de extrem local)
Fie I ⊆ R interval, f : I → R o funcţie derivabilă de n (n ≥ 2) ori în
0x I∈ cu ( ) ( ) ( ) ( )10 0 0' " ... 0nf x f x f x−= = = = şi ( )
( )0
0nxf ≠ , atunci au
loc situaţiile:
(i) Dacă n este par, atunci 0x I∈ este punct de extrem local pentru
f şi anume:
1) punct de minim local când ( )( )
00n
xf >
2) punct de maxim local când ( )( )
00n
xf <
(ii) Dacă n este impar 0x I∈ nu este punct de extrem local pentru f.
270
Demonstraţie:
În ipotezele teoremei are loc formula lui Taylor cu rest
Peano:
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( )( )
( ) ( ) ( ) ( )
0 0
0
110 00
0 0
00
' ...1! 1 ! !
; lim 0 ;!
n nn n
x x
n
x x
x x x xx xf x f x f x f fn n
x xx x x x I
nα α α
−−
→
⎧ − −−= + + + +⎪
−⎪⎨⎪ −+ = = ∀ ∈⎪⎩
+
( ) ( ) ( )( )( ) ( )
0
00 !
nn
x
x xf x f x f x
nα
− ⎡ ⎤⇒ − = +⎣ ⎦ cu
( )( ) ( ) ( )
( )0 0
0
lim 0n nx xx x
f x fα→
⎡ ⎤+ = ≠⎣ ⎦ ⇒
( )0VV x⇒∃ ∈ a.î. ( )( ) ( ) ( )
( )0 0
sign sign ,n nx xf x f x V Iα⎡ ⎤− = ∀ ∈ ∩⎣ ⎦ ⇒
( ) ( ) ( )( ) ( )
0
00sign sign ;
!
nn
x
x xf x f x f x V
n
⎡ ⎤−⎡ ⎤⇒ − = ⋅ ∀ ∈⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦I∩ .
(i) Dacă n este par ( )0 0,nx x⇒ − > x V I∀ ∈ ∩ şi avem
( ) ( ) ( )( )
00sign sign nxf x f x f− =⎡ ⎤⎣ ⎦ şi rezultă cazurile 1) şi 2)
conform definiţiei punctelor de extrem local (definiţia III.9).
(ii) Dacă n este impar, ( )0nx x− are semn variabil pe V I∩ şi la fel
( ) ( )0f x f x−⎡⎣ ⎤⎦ are semn variabil pe V I∩ , deci 0x I∈ nu
este punct de extrem local (definiţia III.9).
Consecinţa IV.14.
Fie I R⊆ interval 0x I∈ punct interior şi o funcţie derivabilă
de două ori pe I cu f” continuă în
:f I R→
0x I∈ . Dacă ( )0' 0f x = şi ( )0" 0f x >
271
(respectiv ( )0"f x 0< ), atunci 0x este punct de minim local strict pentru f
(respectiv punct de maxim local strict pentru f).
Demonstraţia. Rezultă din teorema IV.29 pentru n = 2.
Observaţie. Condiţia ( )( )
00n
xf ≠ este esenţială în teorema IV.29.
7) Formula lui Taylor permite unele precizări în studiul variaţiei unei
funcţii reale de o variabilă reală.
Dacă [ ]: ,f a b R→ este funcţie de clasă [ ]( )( )2 2 ,C f C a b∈ atunci f
este convexă pe [a,b] (f este concavă pe [a,b] sau f “nu ţine apa”) sau
“f ţine apa”, adică: [ ]0, ,x x a b∀ ∈ avem:
( ) ( ) ( )( )0 0' 0f x f x f x x x≥ + − (respectiv:
( ) ( ) ( )( )0 0' 0f x f x f x x x≤ + − ), şi graficul lui f este situat deasupra
tangentei (respectiv sub tangentă) în orice punct ( )( )0 0, fx f x G∈ .
După formula Taylor cu rest Lagrange de ordin 1 (n=1), avem:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )200 0 0
' "1! 2!
f x ff x f x x x x x
ξ= + − + − cu ξ situat între şi x
0x de unde rezultă că:
I dacă pe " 0f ≥ [ ],a b atunci f este convexă şi reciproc.
II dacă " 0f ≤ pe [ ],a b atunci f este concavă şi reciproc sau f
concavă pe [ ],a b ( )f⇔ − este convexă pe [ ],a b .
8) Consecinţa IV.15
Un număr real 0x este o rădăcină multiplă de ordinul k al unui polinom
de grad , dacă şi numai dacă, ( )nP X n k≥
( ) ( ) ( ) ( )10 0 0' ... 0k
n n nP x P x P x−= = = = şi ( ) ( )0 0knP x ≠ .
272
Demonstraţie: Dacă 0x R∈ este rădăcină multiplă de ordinul k al
polinomului ( )nP X , avem:
( ) ( ) ( )0 1k
nP x x x Q x= − cu ( )1 0 0,Q x x R≠ ∈ şi prin derivare se obţin
condiţiile din enunţ.
Dacă au loc condiţiile din enunţ, după formula lui Taylor, avem:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 00 0...
! !
k mkk m
n n n
x x x xP x P x P x x x Q x
k m− −
= + + = − 0 1 cu
şi rezultă că ( )1 0 0Q x ≠ 0x este rădăcină multiplă de ordin k.
Exemple:
1°. Pentru determinarea punctelor de extrem local ale funcţiei
( ) 1sin sin 2 ,2
f x x x x= − ∈R este suficient să le determinăm pe cele
din [ ]0,2I Rπ= ⊂ , restul se obţin adaugând perioada 2π .
( ) 2' cos cos 2 0 cos 1 2cos 0f x x x x x= − = ⇔ + − = şi
[ ] 2cos 1,1 2 1 0x y y y= ∈ − ⇔ − + + = cu 1 1y = , 212
y = − ⇒ punctele
critice sunt: 1 0x = , 223
x π= , 3
43
x π= , 4 2x π= . Avem:
( ) ( ) ( )( )
4sin 2sin 2 sin 8sin 2
cos 4cos 2
f x x x f x x
f x x x
⎧ ′′ = − + = −⎪⎨
′′′ = − +⎪⎩
x
I : 1 0x = ( )' 0 0f = , ( )'' 0 0f = , ( )'" 0 3 0f = ≠ ⇒ 1 0x = nu este
punct de extrem local.
II 4 2x π= : ( )' 2 0f π = , ( )'' 2 0f π = , ( )'" 2 3 0f π = ≠ ⇒ 4 2x π= nu
este punct de extrem local.
273
III 223
x π= : 2' 0
3f π⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠
, 2 3'' 3 03 2
f π⎛ ⎞ = − <⎜ ⎟⎝ ⎠
⇒ 223
x π= este
punct de maxim local şi 23 4
f π⎛ ⎞ 3=⎜ ⎟
⎝ ⎠ este valoarea maximă a lui f.
IV 343
x π= : 4' 0
3f π⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠
, 4 3'' 2 03 2
f π⎛ ⎞ = >⎜ ⎟⎝ ⎠
⇒ 343
x π= este
punct de minim local şi 43 4
f π⎛ ⎞ 3= −⎜ ⎟
⎝ ⎠ este valoarea minimă a lui f.
Cum avem ( ) ( )0 2f f π 0= = obţinem: ( )3 1sin sin 24 2
f x x x 34
− ≤ = − ≤ ,
, adică x R∀ ∈ 223
x π= este punct de maxim absolut şi 3
43
x π= este
punct de minim absolut pentru f.
2°. ( ) 6 32 3f x x x= − + Rx, ∈ şi să se determine punctele de extrem
local. Avem: ( ) ( )5 2' 12 3 'f x x x f x 0= − ⇒ = cu 0
1 3
014
x
x
=⎧⎪⎨ =⎪⎩
puncte
staţionare (critice) ale lui f. ( ) 4" 60 6f x x x= − , ( ) 3"' 240 6f x x= − .
I ⇒ 0 0x = ( )' 0 0f = , ( )'' 0 0f = , ( )'" 0 6 0f = − ≠ (n = 3 impar) ⇒
nu este punct de extrem local. 0 0x =
II 1 3
14
x = ⇒ 3
1' 04
f ⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠
, 3 3
1 9'' 04 4
f ⎛ ⎞ = >⎜ ⎟⎝ ⎠
(n = 2 par) ⇒
1 3
14
x = este punct de minim local cu min 3
1 284
f f ⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠
3 .
3°. ( ) 22cos ,f x x x x= + ∈R şi să se determine punctele de extrem
local. Avem:
274
275
0
2
( ) 0' 2sin 2 sinf x x x x x= − + ⇔ = ⇒ = punct critic al f.
( )" 2cosf x x= − + ; ( )"' 2sinf x x= ; ( ) ( )4 2cosf x = x . Avem:
, ( )' 0 0f = ( )'' 0 0f = , ( )'" 0 0f = , ( ) ( )4 0 2 0f = > (n = 4 par) ⇒
este punct de minim local cu 0 0x = ( )min 0 2f f= = .
4°. ( ) sin ,nf x x x x= ⋅ ∈R şi n∈N şi să se determine punctele de
extrem local. Avem:
( ) ( )1 1' sin cos cos sn n n inf x nx x x x x x x n x− −= + = +
( ) ( ) ( )11 0 2
' 0 cos sin 0cos sin 0
nn x n
f x x x x n xx x n x
−− ⎧ = ≥
= ⇔ + = ⇔ ⎨+ =⎩
⇒
( )0 0
1
xxtgx nn
=⎧⎪⇒ ⎨
= − ≥⎪⎩
şi prin metoda grafică 1
2
y tgxxyn
=⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎝ ⎠
se
determină soluţiile '
"k
k
x kx k
α πα π
= +⎧⎨ = − +⎩
cu 20,1,2,...k
π α π⎧ < <⎪⎨⎪ =⎩
Punctele critice (staţionare) ale funcţiei f sunt: 0x , 'kx , "
kx .
Avem:
( ) ( ) ( ) ( )2 1" 1 cos sin cos sin cosn nf x n x x x n x x x x x n x− −= − + + − + =
( )2 2 22 cos sinnx nx x n n x x− ⎡ ⎤= + − −⎣ ⎦ şi se obţine:
I ( )( ) ( )1 2 2'
" ' cos ' 0n
kk k
x n n xf x x
n
− + += <
' 0cos ' 0
k
k
xx<⎧
⎨ <⎩ pentru că şi
punctele critice '2kx k πα π α⎛= + < <⎜
⎝ ⎠π ⎞⎟ sunt puncte de maxim local.
II ( )( ) ( )1 2 2"
" " cos "n
kk k
x n n xf x x
n
− + +=
" 0cos " 0
k
k
xx<⎧
⎨ <⎩ unde şi
pentru n par cu ( )" " 0kf x > "kx puncte de minim local, iar
pentru n impar cu ( )" " 0kf x < "kx puncte de maxim local.
III şi calculăm: 0 0x =
( )( ) ( )1 1 1
sin sin ... ! sin !sin2 2 2
n n nnx
nnf x x nC x x n x x nππ π− −⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + + + + + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠x
de unde avem: ( )( )0 0nf = , ( )
( )10 0nf − = , ..., ( )' 0 0f = şi ( )
( )10 !nf n+ = ⇒ 0x
este punct de minim local pentru n impar.
4°. O noţiune importantă în "Teoria informaţiei" este cea de cantitate
de informaţie notată prin I. Vom considera informaţia ( )I I p= unde
p este probabilitatea de producere a unui eveniment din realitatea
fizică cu ( ]0,1p∈ şi care satisface axiomele (proprietăţile de definiţie):
i1) I este o funcţie monotom descrescătoare,
i2) ( )1 0I = şi ( )0
limp
I p→
= ∞ ,
i3) ( ) ( ) ( ) ( ], , 0,1I pq I p I q p q= + ∀ ∈ .
Proprietăţile i1), i2) rezultă din faptul că informaţia I(p) este cu atât mai
bogată, mai interesantă, cu cât probabilitatea p este mai mică, adică
evenimentul care a generat acea informaţie este mai rar. Proprietatea i3)
exprimă faptul că dacă două evenimente cu probabilităţile p şi q sunt
independente, atunci informaţia cuprinsă în producerea lor simultană (a
cărei probabilitate este pq) este suma informaţiilor cuprinse în producerile
separate ale acelor evenimente.
276
Dacă presupunem că funcţia I se poate prelungi la o funcţie derivabilă
( ): 0,I R∞ → , astfel încât: (i4) ( ) ( ) , 0,I p I p pα α Rα= ∀ > ∈ , atunci în
mod necesar, avem: ( ) lnI p k p= cu k o constantă reală, 0p∀ > , de unde
rezultă: ( ) ( )1'I p Ip
= e , deci ( ) ( ) lnI p I e= p şi notăm ( ) 0k I e= < .
Definiţia naturală, dedusă din consideraţii intuitive, a fost dată de C.
Shannon, pentru cantitatea de informaţie, prin: ( ) 2logI p p= − , luând
prin convenţie 1ln 2
k = − ; unitatea de măsură este bitul (1 bit fiind prin
definiţie 12
I ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
, adică cantitatea de informaţie dintr-un eveniment cu
probabilitatea 12
).
Dacă se consideră o experienţă în care pot apărea n evenimente cu
probabilităţile 1 21
, ,..., 0 1, 1, , 1n
n i ii
p p p p i n p=
⎛ ⎞< ≤ = =⎜ ⎟⎝ ⎠
∑ , după C. Shannon,
cantitatea de informaţie sau entropia asociată este dată prin:
( ) ( ) ( )1 2 1 1 21
, ,..., ... logndef
n n ni
H p p p p I p p I p p p=
= + + = −∑ i i şi evident
( ) ( ]1,..., 0, 0,1n iH p p p≥ ∀ ∈ cu 1, 2,...,i n= .
În cazul 2n = , notând 1p p= , 2 1p p= − şi entropia va fi dată prin
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 21log 1 log 1 ln 1 ln 1
ln 2H p p p p p p p p p= − − − − = − + − −⎡ ⎤⎣ ⎦ .
277
Avem: ( ) ( )1' ln ln 1ln 2
H p p p= − − −⎡ ⎤⎣ ⎦ şi ( ) 1 1 1" 02 1
H pp p
⎛ ⎞= − + <⎜ ⎟−⎝ ⎠
,
deci valoarea maximă a lui ( )H p este atinsă pentru 12
p = , adică
1 212
p p= = . Cantitatea medie de informaţie într-o experienţă cu două
evenimente posibile este maximă atunci când evenimentele sunt egal
probabile.
Această analiză se poate extinde la cazul experienţelor din realitatea
fizică cu evenimente posibile ([42] pag. 130-131 şi pag 237-238;
[9]; [19]).
( 2n n ≥ )
5. Funcţii convexe. Aplicaţii
Studiul noţiunilor de funcţie convexă şi funcţie concavă impune
introducerea conceptului de mulţime convexă din plan.
În plan considerăm un sistem ortogonal de coordonate carteziene
xOy şi notăm ( ),P x y un punct curent.
Date ( )1 1,A x y , ( )2 2,B x y , ele determină o dreaptă din plan ( )
care conţine segmentul
d
AB . Pentru , după teorema lui Thales
avem:
P AB∀ ∈
[, 0,AP t t ]1BP
= ∀ ∈ şi în plus:
278
(d)
B’’(0,y2)
P’’(0,y)
A’’(0,y1)
P’(x,0) B’(x2,0)A’(x1,0)
P(x,y)
B(x2,y2)
A(x1,y1)
y
0
x
( ) 1 1
2 1 2 1
' ' " "IV.18' ' " "
x x y yAP A P A Pt tBP B P B P x x y y
− −= = = ⇔ = = ⇔
− −
( ) ( )( )
1 2
1 2
1IV.18
1x t x txy t y ty= − +⎧⎪⇔ ⎨ = − +⎪⎩
[ ]0,1∈t ⇔ ,
(IV.18') ( ) ( )( ) ( )1 1 2 2, 1 , ,x y t x y t x y= − + , [ ]0,1t∀ ∈ şi în concluzie: pentru
,A B∀ puncte din plan un punct P AB∈ , dacă şi numai dacă, coordonatele
sale ( ),x y verifică relaţiile (IV.18).
Definiţia IV.7.
1) Un segment din plan de capete ( )1 1,A x y , ( )2 2,B x y , notat
( ) ( )1 1 2 2, ; ,AB x y x y= ⎡⎣ ⎤⎦ este format din mulţimea punctelor ( ),P x y care
verifică relaţiile (IV.18) sau (IV.18').
2) O mulţime nevidă M din plan ( )2M R⊂ se numeşte mulţime convexă,
dacă ,A B M∀ ∈ , segmentul AB este conţinut în ( )M AB M⊂ .
279
Teorema IV.30 (teorema de caracterizare a mulţimilor
convexe)
Fie M ≠ ∅ , 2M R⊂ . Următoarele afirmaţii sunt echivalente:
(i) M mulţime convexă din plan
(ii) ,A B M∀ ∈ şi [ ]0,1t∀ ∈ , avem:
( ) ( )( ) ( )( )1 1 2 21 1 , ,t A tB M t x y t x y M− + ∈ ⇔ − + ∈
(iii) ,A B M∀ ∈ şi ,u v R∀ ∈ cu , avem: 0, 0, 1u v u v≥ ≥ + =
( ) ( )1 1 2 2, ,u x y v x y M+ ∈ .
Demonstraţia: este directă folosind definiţia şi comentariile
precedente. Fie I R⊆ un interval nedegenerat, care poate fi mărginit sau
nemărginit, închis, deschis, sau nici închis şi nici deschis şi o funcţie
. :f I R→
Definiţia IV.8
1) Funcţia f se numeşte funcţie convexă, dacă ,a b I∀ ∈ şi
[ ]0,1t∀ ∈ , avem:
(IV.191) ( ) ( ) ( ) ( )1 1f t a tb t f a tf b− + ≤ − +⎡ ⎤⎣ ⎦ .
2) Funcţia f se numeşte funcţie concavă, dacă ,a b I∀ ∈ şi
[ ]0,1t∀ ∈ , avem:
(IV.192) ( ) ( ) ( ) ( )1 1f t a tb t f a tf b− + ≥ − +⎡ ⎤⎣ ⎦
Teorema IV.31 (teorema de caracterizare pentru funcţii
convexe)
1) Funcţia este funcţie convexă, dacă şi numai dacă
şi
:f I R→
,a b I∀ ∈ ,u v∀ cu [ ], 0,1u v∈ , 1u v+ = , avem:
(IV.19’1) ( ) ( ) ( )f ua vb uf a vf b+ ≤ + 280
2) Funcţia este funcţie concavă, dacă şi numai dacă
şi
:f I R→
,a b I∀ ∈ [ ], 0,1u v∀ ∈ cu 1u v+ = , avem:
(IV.19’2) ( ) ( ) ( )f ua vb uf a vf b+ ≥ +
Demonstraţia este directă din (iii) – teoremă de caracterizare a
mulţimilor convexe din plan (teorema VI.30).
Observaţii
1. Relaţiile (IV.192) şi (IV.19’2) se obţin din (IV.191) şi (IV.19’1)
prin înmulţirea cu (-1). Dacă f este funcţie convexă, atunci (-f)
este funcţie concavă şi invers.
2. Toate proprietăţile funcţiilor concave se obţin din proprietăţile
funcţiilor convexe înlocuind f cu (-f). Vom studia numai
funcţiile convexe.
3. Relaţiile (IV.191), (IV.192), (IV.19’1), (IV.19’2) au interpretări
geometrice folosind graficul unei funcţii reale şi caracterizarea
punctelor unui segment din plan (IV.18).
] (b,0)
[ (a,0)
A
B
P
M
y
x 0 ] (b,0)
[ (a,0)
A
B
P
My
x0
281
Fie ( ) ( ) ( ){ }2,G f x y R y f x x I,= ∈ = ∈ graficul funcţiei f şi
( ), ,A B M G f∈ cu P AB∈ , date prin: ( )( ),A a f a , , ( )( ),B b f b
( )( ),M x f x şi ( ),P x y .
Din (IV.18) pentru [ ] ( )( ) ( ) (
10,1
1x t a tb
ty t f a tf
= − +⎧⎪∀ ∈ ⇒ ⎨ = − +⎪⎩ )b şi cum
, iar P AB∈ ( )M G f∈ şi au abscisele egale cu x, cu ajutorul ordonatelor
acestor puncte: y = f(x) vom caracteriza funcţiile convexe.
Teorema IV.32.
Funcţia cu graficul :f I R→ ( )G f este o funcţie convexă, dacă şi numai
dacă, ( ),A B G f∀ ∈ atunci restricţia graficului lui f la [ ],a b I⊂ se află
sub segmentul ( ) [ ]( ), ,AB f x y x a b⇔ ≤ ∀ ∈ .
Demonstraţia este evidentă prin figurarea în plan a mulţimilor AB
şi . ( )G f
Definiţia IV.9.
1°. Funcţia este strict convexă dacă :f I R→ ,a b I∀ ∈ cu
şi
a b≠
[ ]0,1t∀ ∈ , avem:
(IV.191”) ( ) ( ) ( ) ( )1 1f t a tb t f a tf b− + < − +⎡ ⎤⎣ ⎦
2°. Funcţia este strict concavă dacă :f I R→ ,a b I∀ ∈ cu
şi
a b≠
[ ]0,1t∀ ∈ , avem:
(IV.192”) ( ) ( ) ( ) ( )1 1f t a tb t f a tf b− + > − +⎡ ⎤⎣ ⎦
282
Exemple:
1°. ( )f x mx= + n cu ,m n R∈ , 0m ≠ este în acelaşi timp convexă şi
concavă:
,a b R∀ ∈ şi [ ]0,1t∀ ∈ ⇒ ( ) ( )1 1f t a tb m t a tb n− + = − + +⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ =
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1t ma n t mb n t f a tf b= − + + + = − + .
2°. ( ) 2 ,f x x x= ∈R şi ( ) ( )2 ,g x x f x x R= − = − ∈
,a b R∀ ∈ şi [ ]0,1t∀ ∈ , avem:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (2 2 21 1 1 1 )f t a tb t a tb t a tb t f a tf b− + = − + < − + = − +⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦
deoarece
( ) ( ) ( )( )2 22 21 1 1t a tb t a tb t t a b− + < − + ⇔ − − <⎡ ⎤⎣ ⎦ 0 ⇒ f este strict
convexă şi g este strict concavă.
3°. ( ) ,f x x x= ∈R este convexă, dar nu este strict convexă: ,a b R∀ ∈ şi
[ ]0,1t∀ ∈ , avem:
M(1,1)
(1,0)M0
y
x0
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1f t a tb t a t b t f a tf b− + ≤ − + = − +⎡ ⎤⎣ ⎦f x= nu este strict convexă deoarece OM
este pe graficul lui f.
283
y = x
y = x3
0 x
y
(1,0)
(0,1)
(-1,0)
A(-1,0) (0,-1)
4°. ( ) 3,f x x x R= ∈ nu este nici convexă
şi nici concavă.
Segmentul AB cu ( )1, 1A − − , nu
este în întregime situat deasupra sau
dedesubtul graficului funcţiei
(1,1B )
[ ]1,f− 1 .
Funcţia f este strict convexă pe (0, + ∞) şi
strict concavă pe (- ∞, 0).
5°. , :f R R→ ( )1; 01; 0x
f xx≥⎧
= ⎨− <⎩ nu este nici convexă şi nici concavă,
deoarece segmentul AB de capete ( )1,1A − , ( )1,1B nu este în întregime
situat deasupra sau dedesubtul graficului funcţiei [ ]1,1f− .
y = − 1
(-1,-1)A
y = 1B(1,1)
)
[
0
y
x
6°. Fie o submulţime proprie; funcţia caracteristică a lui A R⊆
( )1;
:0; \A
x AA x
x R Aϕ
∈⎧= ⎨ ∈⎩
nu este nici convexă şi nici concavă.
284
Teorema IV.33 (Teoremă de caracterizare pentru funcţii
convexe)
Fie . Funcţia f este convexă, dacă şi numai dacă, pentru orice
cu şi
:f I R→
n N∈ 2n ≥ 1 2, ,..., nx x x I∀ ∈ 0it, ∀ ≥ ( )1,...,i n= cu 1 ... 1nt t+ + = ,
avem:
(IV.20) ( )1 1
n n
i i i ii i
f t x t f x= =
⎛ ⎞ ≤⎜ ⎟⎝ ⎠∑ ∑
Demonstraţie:
Presupunem f convexă pe I şi demonstrăm valabilitatea relaţiei (IV.20)
prin inducţie după n. Pentru 2n = relaţia (IV.20) este verificată după
(IV.19’1). Presupunem că (IV.20) este adevărată pentru ( )1k − puncte cu
şi demonstrăm că are loc pentru k puncte. Avem:
unde
1 2k − ≥1
1 1
k k
i i i i k k k ki i
t x t x t x t x t x−
= =
= + = ⋅ +∑ ∑1
1
k
ii
t t−
=
= ∑ şi 1
1
ki
i
tx xt
−
=
= ∑ . Cum f este
convexă şi (IV.20) este valabilă pentru ( )1k − puncte, avem:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1
1 1
k ki
i i k k k k i k k i ii i
t1
k
i
f t x f tx t x tf x t f x t f x t f x t f xt
−
= =
⎛ ⎞ = + ≤ + ≤ + =⎜ ⎟⎝ ⎠∑ ∑
=∑
⇒ proprietatea din (IV.20) are loc pentru n N∀ ∈ cu . 2n ≥
Dacă pentru f este valabilă relaţia (IV.20), atunci f este o funcţie convexă
pe I. Pentru 2n = din (IV.20) se obţine relaţia (IV.191’) deci f este funcţie
convexă pe I
Vom stabili o legătură între clasa funcţiilor reale convexe şi
mulţimile convexe din plan.
Teorema IV.34.
1°. Funcţia este convexă, dacă şi numai dacă supragraficul său,
adică mulţimea:
:f I R→
285
(IV.211) ( ) ( ) ( ){ } ( )2 2, ; ;G f x y R y f x x I G f R+ += ∈ ≥ ∈ ⊂
este o mulţime convexă din plan.
2°. Funcţia este concavă, dacă şi numai dacă subgraficul său,
adică mulţimea:
:f I R→
(IV.212) ( ) ( ) ( ){ } ( )2 2, ; ;G f x y R y f x x I G f R− −= ∈ ≤ ∈ ⊂
este o mulţime convexă din plan.
Demonstraţie:
Vom dovedi numai echivalenţa: f convexă pe I ⇔ ( )G f+ convexă în plan,
deoarece f convexă implică ( )f− concavă.
Fie f o funcţie convexă pe I şi să arătăm că ( )G f+ este o mulţime convexă
din plan. Pentru ( ) ( ) ( )1 1 2 2, , ,x y x y G f+∀ ∈ şi [ ]0,1t∀ ∈ , notăm:
(*) ( ) ( )( ) ( )1 1 2 2, 1 , ,x y t x y t x= − + y şi cum avem ( ) (1 1 2,y f x y f x≥ ≥ )2 ,
iar ( ) 1 21 ,x t x tx x I= − + ∀ ∈ ⇒
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 21 1f x f t x tx t f x tf x= − + ≤ − +⎡ ⎤⎣ ⎦ ≤
( ) ( ) ( )1 21 ,t y ty y x y G f+≤ − + = ⇒ ∈ care este o mulţime convexă din
plan, conform teoremei de caracterizare a mulţimilor convexe (teorema
IV.31).
Presupunem ( )G f+ mulţime convexă din plan şi să dovedim că f
este convexă.
Fie şi ,a b I∈ [ ]0,1t∀ ∈ , notăm 1s t= − şi avem: ( )( ) ( ),a f a G f+∈ ,
( )( ) ( ),b f b G f+∈ şi cum ( )G f+ este mulţimea convexă ⇒
( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ), , ;s a f a t b f b sa tb sf a tf b G f++ = + + ∈ ⇒
286
( ) ( ) ( )f sa tb sf a tf b⇒ + ≤ + tocmai (IV.191') ⇒ f este funcţie convexă.
Observaţii:
1) Testarea directă a condiţiilor de caracterizare a unei funcţii convexe:
(IV.191') (din definiţie) sau (IV.191) (din teorema de caracterizare) este de
multe ori greoaie.
2) Se vor prezenta condiţii mai uşor de testat în practică, care folosesc
proprietatea de derivabilitate a unei funcţii.
3) Fie puncte distincte două câte două şi considerăm funcţia: , ,a b c I∈
(IV.22) { }
( )( ) ( ) ( )
11
: ,11
a a
f af x f x f a
r I a R rx x ax
−− → = =
−
care este panta segmentului AM cu ( )( ),A a f a şi ( )( ),M x f x .
4) Monotonia funcţiei f pe I poate fi exprimată prin condiţia ca raportul
sau ( ) 0ar x ≥ ( ) 0ar x ≤ , ,a x I∀ ∈ cu x a≠ .
5) Se va generaliza funcţia raport ( )ar x din (IV.22) considerând
cu a b , , b
, ,a b c I∈
≠ a c≠ c≠ cu care definim:
(IV.23) ( )
( )( )( )
2
2
2
111
, ,111
a f ab f bc f c
R a b ca ab bc c
=
care prin calculul determinanţilor de ordin 3:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )( )
, ,a b f c f b c b f a f b
R a b ca b c b c a
− − − − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦= ⇒− − −
287
⇒ (IV.23’) ( ) ( ) ( ), , b br c r aR a b c
c a−
=−
6) Vom caracteriza convexitatea funcţiilor reale prin raportul ( ), , ,R a b c
dat prin (IV.23’). Din definiţia determinanţilor rezultă că
raportul ( ), , ,R a b c este simetric în raport cu variabilele a, b, c.
7) Avem situaţia: a b c< < , dacă şi numai dacă, există a.î.
şi înlocuind în (IV.23’) obţinem:
(0,1t∈ )
tc( )1b t a= − +
( ) ( ) ( )( )( )
( ) ( )( )
1, ,1f c f b f a f b
R a b cc a t c a t c a
⎡ ⎤− −= + ⇒⎢ ⎥− − − −⎣ ⎦
(IV.23”) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )2
1 1, ,
1
t f a tf c f t a tcR a b c
t t c a
− + − − +⎡ ⎤⎣ ⎦=− −
Teoremă IV.35 (Teoremă de caracterizare pentru funcţii reale
convexe)
Fie interval nedegenerat. Următoarele afirmaţii sunt
echivalente:
: ,f I R I R→ ⊂
(i) f este convexă (respectiv strict convexă)
(ii) puncte distincte (respectiv ( ), , 0, , ,R a b c a b c I≥ ∀ ∈ ( ), , 0R a b c > )
(iii) ( ) ( ) , , ,b br a r c a b c I≤ ∀ ∈ cu (respectiv a b c< < ( ) (b br a r c< ) )
(iv) este monoton crescătoare br b I∀ ∈ ( este monoton strict
crescătoare).
br
Demonstraţie: ([41] pag. 227-229)
(i) ⇔ (ii) după simetria lui R, presupunând a b c< < şi echivalenţa rezultă
din (IV.23”).
(ii) ⇔ (iii) rezultă din egalitatea (IV.23’)
288
(ii) ⇔ (iv) rezultă din (IV.23’)
(iv) ⇔ (iii) este evidentă (definiţia funcţiei crescătoare)
Teorema IV.36 (Proprietăţi ale funcţiilor convexe)
Fie o funcţie convexă, atunci au loc afirmaţiile: :f I R→
I) f este funcţie derivabilă la stânga şi la dreapta în orice punct interior
. b I∈
II) f este funcţie continuă în orice punct interior b I∈ .
Demonstraţie:
I) Fie punct interior, atunci există b I∀ ∈ ,a c I∈ astfel încât ,
deci
a b c< <
[ ],a c I⊂ . După teorema precedentă restricţia funcţiei la ( )
este monoton crescătoare şi mărginită superior de
br ,a c
( )br c ; în aceste condiţii
raportul pentru ( )br x [ ],x a c∀ ∈ are limită la stânga în b, adică există:
( ) ( ) ( ) ( )lim lim 'b sx b x bx b x b
f x f br x f b R
x b→ →< <
−= =
−∈ şi f este derivabilă la stânga în
punctul . La fel se arată că există b I∈ ( )'df b R∈ şi f este derivabilă la
dreapta în punctul b I∈ .
II) Din afirmaţia I), care asigură existenţa ( )'sf b , ( )'df b , rezultă că f
este continuă la stânga şi la dreapta în b I∈ punct interior, deci f este o
funcţie continuă în b I∈ .
Observaţii:
289
1. O funcţie ,:f I R→ I R⊂
interval şi f convexă, funcţia f nu
este totdeauna continuă în
extremităţile intervalului I.
(0,1) (1,1)
0 )
(1,0)(
• •
y
x
2. Exemplu ( ) ( )1; 0, 10; 0,1x x
f xx= =⎧
= ⎨ ∈⎩
f este funcţie convexă pe [ ]0,1 şi este discontinuă în punctele şi
.
0x =
1x =
Teorema IV.37 (Teorema de caracterizare a funcţiilor convexe
cu derivata de ordin I)
Fie o funcţie derivabilă pe intervalul :f I R→ I R⊂ . Următoarele
afirmaţii sunt echivalente:
(1°). f convexă (respectiv strict convexă)
(2°). (IV.24) ( ) ( ) ( ) ( )'f a x a f a f x+ − ≤ ,a x I∀ ∈ cu x a≠
(respectiv ( ) ( ) ( ) ( )'f a x a f a f x+ − < )
(3°). Derivata este monon crescătoare (respectiv f’ este
monoton strict crescătoare).
' :f I R→
Demonstraţie:
(1°) ⇒ (2°) Presupunem f convexă şi fie ,a x I∀ ∈ cu a x≠ , de exemplu
. Considerăm a x< ,t s I∈ cu a t s x< < < şi avem:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )a a a
f t f a f s f a f x f ar t r s r x
t a s a x a− −
= ≤ = ≤ =− −
−−
a
de unde prin trecere la limită pentru , rezultă: t →
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )' 'f s f a f x f a f x f a
f a f as a x a x a− − −
≤ ≤ ⇒ ≤− − −
⇔
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )' 'x a f a f x f a f a x a f a f x⇔ − ≤ − ⇔ + − ≤
care coincide cu (IV.24) din (2°).
(2°) ⇒ (3°) Fie ,a x I∈ cu a x< şi după (2°) are loc relaţia
290
(IV.24’) ( ) ( ) ( ) ( )'f x a x f x f a+ − ≤ (în care a xx a→→
)
şi scriind relaţia de forma (IV.24) ( ) ( ) ( ) (' )f a x a f a f x+ − ≤ prin
adunarea lui (IV.24’) cu (IV.24), avem:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )' ' 0 ' '0
x a f a f x f a f xa xx a
⎧ − − ≤⎡ ⎤ ⎧ ≤⎪ ⎣ ⎦ ⇒⎨ ⎨<− >⎪ ⎩⎩
⇒ f’ este funcţie
crescătoare pe [ ],a x şi cum ,a x I∀ ∈ ⇒ f’ crescătoare pe I.
(3°) ⇒ (1°) Presupunem că f’ este monoton crescătoare pe I şi , ,a b c I∀ ∈
cu a după teorema IV.35 cazul (iii), aplicând teorema lui Lagrange,
există t cu şi există s cu b s
b c< <
a t b< < c< < astfel încât:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )' 'b b
f b f a f c f br a f t f s r c
b a c b− −
= = ≤ = =− −
şi deci:
(iii) ⇔ (i) f este funcţie convexă pe I. ( ) ( )b br a r c≤
Teorema IV.38 (Teoremă de caracterizare a funcţiilor convexe
cu derivata ordin II)
Fie o funcţie derivabilă de două ori pe I, atunci au loc
echivalenţele:
:f I R→
1. f este convexă pe I ⇔ ( )f x′′ ≥0, ∀x∈I.
2. f este strict convexă pe I ⇔ ( )f x′′ >0, ∀x∈I şi f " nu este identic nulă
pe nici un subinterval nedegenerat J ⊂ I.
Demonstraţie: 1. Pentru f derivabilă de două ori pe I, avem
( )f x′′ ≥0, ∀x∈I ⇔ f ' este monoton crescătoare pe I tocmai (3°) din
teorema precedentă şi cum (3°)⇔ (1°) ⇒ f este funcţie convexă pe I.
291
2. Presupunem f strict convexă pe I şi dovedim că ( )f x′′ >0, ∀x∈I şi f "
nu este identic nulă pe J ⊂ I. Cum f strict convexă pe I ⇔ f ' strict
crescătoare pe I ⇔ ( )f x′′ ≥0, ∀x∈I. Dacă avem ( )f t′′ ≥0, ∀t∈J cu J ⊂ I
nedegenerat, atunci ( ) ,f x ax b x= + ∀ ∈I şi nu este valabilă ipoteza f strict
convexă pe I ⇒ f " nu este identic nulă pe I.
Presupunem ( )f x′′ >0 pe I şi f" nu este identic nulă pe nici un
subinterval nedegenerat J ⊂ I. Din ( )f x′′ ≥0, ∀x∈I ⇒ f este convexă pe I
şi din teorema precedentă, avem f ' monoton crescătoare pe I. Dacă f ' nu ar
fi strict crescătoare pe I, atunci ar exista a, b ∈ I, a < b şi ( ) ( )f a f b′ ′= ⇒
f ' este funcţie constantă pe [a, b] ⇒ f " ≡ 0 pe [a, b] ceea ce contrazice
ipoteza asupra lui f ". Rezultă că f ' este strict crescătoare pe I şi deci, după
teorema precedentă f este strict convexă pe I.
Teorema IV.39. (Teorema de caracterizare geometrică a
funcţiilor convexe).
Fie f : I → R o funcţie derivabilă. Funcţia f este convexă pe I, dacă şi
numai dacă, tangenta dusă în orice punct al graficului lui f se află sub
grafic (cu excepţia punctului de tangentă).
Demonstraţie: Ipoteza f derivabilă pe I ⇒ graficul lui f are
tangentă în orice punct din I. Fie a∈I, ecuaţia tangentei la graficul lui f în
x = a este: ( ) ( ) ( )y f a x a f a′= + − şi conform punctului (2°) din teorema
de caracterizare a funcţiilor convexe cu derivată de ordin I, avem:
(IV.24.) ( ) ( ) ( ) ( ) , ,f a x a f a f x a x′ I+ − ≤ ∀ ∈ cu a ≠ x ⇒
( )tan g graficy y f≤ = x şi are loc afirmaţia din teoremă deoarece (2°)⇔(1°) f
convexă pe I.
292
Exemple: 1. ⇒ ( ) ( )2
4 12 ;,
0; 0
*RR
x xf x x x f x
x⎧ ∈
′′= ∈ ⇒ = ⎨=⎩
( )f x′′ >0, ∀x ≠0 ⇒ f strict crescătoare.
2. Fie cu 1 20, 0,..., 0nt t t> > > 1 2 ... 1nt t t+ + + = şi n ≥ 2, n∈N, iar
. Să se demonstreze relaţia: 1 20, 0,..., 0nx x x> > >
(IV.25) . ( ) ( ) ( )1 2
1 1 2 2 1 2... ... nt tn n nt x t x t x x x x+ + + ≥ ⋅ ⋅ ⋅ t
Considerăm f : (0, ∞)→ R cu ( ) lnf x = x care este funcţie
concavă, deoarece ( ) 2
1 0, 0f x xx
′′ = − < ∀ > . Folosind relaţia (IV.20) din
teorema IV.33 de caracterizare a funcţiilor convexe aplicată lui
( ) lnf x = x ⎞⎟ cu x > 0, avem: şi prin
aplicarea exponenţialei ⇒ . Dacă
( )1 1 1
ln ln ln inn n
ti i i i i
i i i
t x t x x= = =
⎛⎛ ⎞ ≥ = ⎜⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠∑ ∑ ∏
( )1 1
inn
ti i i
i i
t x x= =
≥∑ ∏ 1 21... nt t tn
= = = = din
(IV.25), avem: 1 21 2
... ...n na n
x x xgM x x x M
n+ + +
= ≥ + + + = .
3. Fie ( ) 1, Rf x x x= − ∈ şi să se arate că f este funcţie convexă iar f ° f
nu este funcţie convexă. La fel şi ( ) [ ]1 sin , 0,g x x x= − ∈ π este funcţie
convexă iar g ° g nu este funcţie convexă.
I. Pentru ∀a, b∈R şi ∀t∈[0,1], avem:
( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 | | | | 1 ( ) ( )f t a tb t a tb t a t b t f a tf b− + = − + − ≤ − + = − +⎡ ⎤⎣ ⎦ ⇒
( ) 1f x x= − este funcţie convexă pe R.
( ) ( )( ) ( ) ( )( )1 ( ) ( ) 1 | | 1 | | 1 1 | | | |t f a tf b t a t b t a t b− + = − − + − = − + 1−
293
( ) ( )( ) ( ) ( )2; 1
1 1 1 ; 1,2; 1
x xh x f f x f x x x x
x x
− ≥⎧⎪= = − = − − = − ∈⎨⎪
1−
− − ≤ −⎩
o .
Funcţia h este discontinuă în punctele x = -1 şi x =1 ⇒ h este discontinuă
pe R ⇒ h nu este convexă după condiţia II) din teorema care precizează
proprietăţi ale funcţiilor convexe.
Avem şi ( )( ) ( )( ) ( )
1; 1,0 1,
1; , 1 0,1
x
h x x
+ ∈ − ∪ ∞
′ = − ∈ −∞ − ∪
∃ ; 1; 0; 1
h
x x x
⎧⎪
⇒⎨⎪
= − = =⎩
nu are derivate laterale în
orice punct din R.
II. Pentru ( ) [ ]1 sin , 0,g x x x= − ∈ π , avem:
( ) ( ) [ ]cos , sin 0, 0,g x x g x x x g′ ′′= − = ≥ ∀ ∈ π ⇒ este funcţie convexă pe
[0, π].
( ) ( ) ( ) [ ]( ) [ ]( ) [ ]( ) [ ] [ ]2
1 sin 1 sin 1 sin
cos 1 sin cos cos cos 1 sin
sin cos 1 sin cos sin 1 sin
x g g x g x x
x x x x x
x x x x
ϕ = = − = − −
′ϕ = − − − = ⋅ −
′′ϕ = − ⋅ − + ⋅ −
o
x
şi ϕ" nu are semn constant pe [0, π]
( ) ( )0 sin1 0; 1 0; sin1 02
g g⎛ π ⎞⎛ ⎞′′ ′′ ′′ϕ = > ϕ = − < ϕ π = > ⇒ ϕ =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠o nu este
funcţie convexă pe [0, π].
4. Să se arate că: ln ln ln2
x y x yx yx y x y
+≤ +
+ + pentru ∀x, y∈(0, ∞).
Fie cu t >0 ⇒ ( ) lnf t t t=( )
( )
ln 11 0, 0
f t t
f t tt
′ = +⎧⎪ ⇒⎨
′′ = > ∀ >⎪⎩
f este funcţie convexă
şi după (IV.20), avem: 294
ln ln ln ln ln ln2 2 2 2 2 2 2
x y x y x x y y x y x yx yx y x y
+ + +≤ + ⇔ ≤ +
+ +.
5. Fe ∀x, y∈ R şi ∀n∈N*, să se arate că are loc inegalitatea:
2 2
n n nx y x y+ +⎛ ⎞ ≤⎜ ⎟⎝ ⎠
.
Fie ( ) nf t t= cu t ≥0 ⇒ ( )
( ) ( )
1
21 ;0; 1
n
n
f t nt
n n t nf t
n
−
−
′⎧ =⎪
⎧ 2− ≥⎨ ⎪′′ = ⎨⎪=⎪⎩⎩
⇒ ( ) [ )0 pentru 0,f x t′′ ≥ ∀ ∈ ∞ ⇒ f este funcţie convexă ⇒
( ) ( )2 2 2
n n nf x f y2
x y x yf++ +⎛ ⎞ ⎛ ⎞≤ ⇔ ≤⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠x y+ .
6. Fie a ≥ 0, n ≥1 şi să se arate că are loc inegalitatea: ( ) 2
01
n nk
kn a a
=
+ ≤∑ .
Fie ( ) ( ) cu şi 0, 1 ln şi Rx xf x a x a a f x a a′= ∈ > ≠ ⇒ =
( ) ( )2ln 0, Rxf x a a x f′′ = ≥ ∀ ∈ ⇒ este funcţie convexă pe R. după
proprietatea (IV.20) avem:
( )0 0
1 11 1
n n
k kf k f k
n n= =
⎛ ⎞ ≤⎜ ⎟+ +⎝ ⎠∑ ∑ cu ( ) kf k a= şi
( )
0
11 11 1 2
n
k
n n nkn n=
+=
+ +∑ 2= de unde rezultă: 2
0
11
n nk
ka a
n =
≤+ ∑ ⇔
⇔( ) 2
01
n nk
kn a a
=
+ ≤∑ .
7. Fie ( )1 2 1, ,..., 0,1 cu ...na a a a a an∈ = + + şi să se arate ca are loc
inegalitatea: 1 2
1 2
...1 1 1
n
n
aa a na a a n+ + + ≥
aa− − − −
.
295
Fie ( )1
xf xx
=−
cu x ∈ [0,1) ⇒
( )( )
( )( )
[ )
2
3
11
2 0 pe 0,11
f xx
f xx
⎧ ′ =⎪ −⎪⎨⎪ ′′ = ≥⎪ −⎩
⇒ f este
funcţie convexă.
( ) ( ) ( )1 21 2 ...... nn f a f a f aa a afn n
+ + ++ + +⎛ ⎞ ≤⎜ ⎟⎝ ⎠
după (IV.20)
Avem 1 21
1 2
1 ... şi : 1 ...1 1 1
nn
n
aa aa aa a an n n a a a
⎛ ⎞⎛ ⎞= + + − ≤ + + +⎜ ⎟⎜ ⎟ − − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠⇔
an
1nn a n⋅ ≤
−1 2
1 2
...1 1 1
n
n
aa aa a a
⎛ ⎞+ + +⎜ ⎟− − −⎝ ⎠
⇔
1 2
1 2
...1 1 1
n
n
aa anan a a a a
≤ + + +− − − −
.
8. Fie cu atunci: 1 20, 0,..., 0nx x x> > >1
1n
ii
x=
=∑
( )2
11
11 , Nppn
i pi i
nx p
x n −=
+⎛ ⎞+ ≥ ∀ ∈⎜ ⎟
⎝ ⎠∑ . Pentru Np∀ ∈ fixat considerăm
funcţia: ( ) 1 p
f t tt
⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠
cu t > 0 ⇒ ( )1
2
1 1p
f t p t tt t
−⎛ ⎞ ⎛′ = + −⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝
⎞⎟⎠
şi
( ) ( ) ( )2 1
2
1 2 11 , 0p ppf t p p t t t f t
t t t
− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞′′ ′′= − + + + ∀ > ⇒ ≥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
0
pentru ∀t >0 ⇒ f este funcţie convexă şi după (IV.20), avem:
( )1 1
1 1n n
i ii i
f x f xn n= =
⎛ ⎞ ≤ ⇔⎜ ⎟⎝ ⎠∑ ∑
1
1 1 1 1pp n
ii i
n f xn n n x=
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = ≤ +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
∑ ⇔
( )2
11
1 1p pn
ipi i
nx
n x−=
+ ⎛ ⎞≤ +⎜ ⎟
⎝ ⎠∑ .
296
9. Fie ( )1 2, ,..., 0,1nx x x ∈ cu 1
1n
ii
x=
=∑ să se arate că are loc inegalitatea:
2
1
11 1
n
i i
nx n=
≥− −∑ .
Fie ( ) (1 cu 0,11
f t tt
= ∈−
) ⇒ şi
( )( )
( )( )
( )
2
3
11
2 0, 0,11
f tt
f t tt
⎧ ′ =⎪ −⎪⎨⎪ ′′ = ≥ ∈⎪ −⎩
⇒ f este funcţie convexă şi după (IV.20), avem:
( )1 1
1 1n n
i ii i
f x f xn n= =
⎛ ⎞ ≤ ⇔⎜ ⎟⎝ ⎠∑ ∑
1
1 1 11 11
n
i in xn
=
≤ ⇔−−
∑ 2
1
11 1
n
i i
nn x=
≤− −∑ .
5. Reprezentarea grafică a funcţiilor reale de o variabilă
reală.
Fie A ⊆ R o mulţime care se reprezintă printr-o reuniune finită sau
numărabilă de intervale nedegenerate şi disjuncte două câte două, numită
mulţime standard din R şi f : A → R.
A reprezenta grafic funcţia f înseamnă a desena graficul lui f ,
adică a reprezenta mulţimea de puncte Gf = {(x, f(x))| x∈A} într-un sistem
de axe ortogonale xOy în plan. În acest scop vom pune în evidenţă puncte,
drepte şi alte elemente din plan intim legate de variaţia funcţiei f pe A.
După teorema lui Fermat, dacă f este derivabilă pe A, printre soluţiile
ecuaţiei ( ) 0,f x x′ A= ∈ se găsesc punctele de extrem local ale funcţiei f.
Dacă x0∈A este punct interior şi f derivabilă pe V = (x0- α, x0 + α)∈ V(x0)
297
cu V ⊆ A şi α > 0, α∈R, iar ( )0 0f x′ = şi f ′>0 (sau f ′<0) pe (x0- α, x0),
<0 (sau f ′ f ′> 0) pe (x0, x0 + α), atunci x0 este punct de extrem local
strict pentru f (Demonstraţia este directă din definiţia punctelor de extrem
local şi consecinţa teoremei Lagrange care indică intervalele de monotonie
pentru f). Pentru x0∈A, punct interior, cu proprietatea că f este strict
concavă (sau convexă) pe (x0- α, x0) şi f este strict convexă (sau concavă)
pe (x0, x0 + α) se numeşte punct de inflexiune pentru f. Într-o vecinătate
V⊆A suficient de mică a punctului de inflexiune x0∈A, tangenta la graficul
lui f în (x0, f (x0)) traversează o singură dată graficul lui f .
Teorema IV.40.
1] Fie A ⊆ R mulţime standard şi f: A → R o funcţie derivabilă de două
ori. Un punct x0 interior lui A este punct de inflexiune pentru f dacă există
α >0 cu (x0- α, x0 + α)⊆A a. î. f ′′>0 pe (x0 - α, x0) şi f ′′<0 pe (x0, x0+ α)
sau invers.
2] Dacă f este derivabilă de două ori pe A şi x0 punct interior lui A este
punct de inflexiune, atunci f ′′ ( x0) = 0.
Demonstraţia este directă folosind definiţiile şi caracterizările
pentru punctul de inflexiune şi convexitate, respectiv concavitate.
Din teoremă rezultă că punctele de inflexiune pentru f sunt printre soluţiile
ecuaţiei ( x) = 0, x∈A şi semnul lui f ′′ f ′′ pe o vecinătate a unui
asemenea punct precizează în ce situaţie ne aflăm.
O dreaptă (d) din plan de ecuaţie y = mx + n este asimptotă la ( ∞)
la graficul lui f dacă
±
( ) ( )lim 0x
f x mx n→±∞
− + =⎡⎣ ⎤⎦ . Asimptota este oblică
dacă m ≠ 0 şi asimptota este orizontală dacă m = 0.
298
Teorema IV.21.
Dreaptă (d) din plan de ecuaţie y = mx + n este asimptotă la (+ ∞) la
graficul funcţiei f : (a, ∞) → R, dacă şi numai dacă, ( )limx
f xm
x→+∞= şi
cu ( )limx
n f x→+∞
= −⎡ ⎤⎣ ⎦mx ,m n∈R .
Demonstraţie: Din definiţie avem:
( ) ( ) ( ) ( )lim 0 0 lim limx x
f x mx n f xx
f x mx nx x→+∞ →+∞ →+∞
− −− + = ⇔ = = −⎡ ⎤⎣ ⎦ m⇒
( )limx
f xm
x→+∞= . Avem d(yd, yf) = (mx + n) – f (x) cu d(ylim
x→+∞d, yf) = 0
⇒ ( ) ( ),d ff x mx n d y y− = − ⇒ [ n - d(ylimx→+∞
d, yf)] = n ⇒
⇒ n = ( )limx
f x mx→+∞
−⎡ ⎤⎣ ⎦ .
Fie x0∈A şi f : A – { x0} → R, eventual A interval; dreapta (d) de
ecuaţie x = x0 este asimptotă verticală la graficul lui f dacă
( )0
limx x
f x→
= ±∞ (sau ( )0
0
limx xx x
f x→<
= ±∞ sau ( )0
0
limx xx x
f x→>
= ±∞ ).
Reprezentarea grafică a funcţiei f : A → R, A ⊆ R o mulţime
standard se realizează pe baza unui algoritm care cuprinde următoarele
etape:
Etapa I. Domeniul (mulţimea) de definiţie.
1. Se precizează dacă pe A ⊆ R f este funcţie: pară, impară, periodică.
2. Se determină punctele în care graficul lui f intersectează axele de
coordonate: şi . ( )
0yy f x=⎧⎪
⎨ =⎪⎩ ( )0x
y f x=⎧⎪
⎨ =⎪⎩
3. Se precizează existenţa limitelor ( )limx
f x→−∞
şi ( )limx
f x→+∞
şi avem:
299
α) ( )limx
f x→±∞
= ±∞⇒ s-ar putea să existe asimptote oblice sau orizontale,
după cum ( )limx
f xm
x→+∞= ∈R sau m = 0 şi ( )lim
xn f x
→+∞= −mx⎡ ⎤⎣ ⎦ ∈R.
β) Dacă m∈{- ∞, + ∞} nu avem asimptote nici oblice şi nici orizontale la
graficul lui f.
γ) Dacă ( )0
limx x
f x→
= ±∞ , x0∈A, atunci dreapta x = x0 este asimptotă
verticală şi f : A – { x0}→ R.
Etapa a II-a. Intervale de monotonie şi puncte de extrem local.
1. Se calculează ( ) ,f x x A′ ∈ şi se rezolvă ecuaţia ( ) 0,f x x′ A= ∈ .
2. Semnul lui f ′ pe intervalele din A ne dă monotonia lui f pe aceste
intervale şi precizăm care din soluţiile ecuaţiei ( ) 0f x′ = sunt puncte de
extrem local ( f ′ îşi schimbă semnul pe o vecinătate a unui asemenea
punct).
Etapa a III-a. Intervale de convexitate şi concavitate.
Se calculează ( ) ,f x x A′′ ∈ .
1. Soluţiile ecuaţiei ( ) 0,f x x′′ A= ∈ sunt puncte de inflexiune dacă îşi
schimbă semnul pe o vecinătate a unui asemenea punct.
f ′′
2. Intervalele pe care f ′′ are semnul constant sunt intervalele de
convexitate pentru f ′′ > 0 şi intervalele de concavitate pentru f ′′ < 0.
Etapa a IV-a. Toate rezultatele din celelalte etape se trec în
tabelul de variaţie al funcţiei f∈ C2(A):
a) în prima rubrică orizontală se trec valorile remarcabile x∈A.
b) în a doua rubrică orizontală se precizează semnul lui f ′ pe intervale şi
x∈A cu ( ) 0f x′ = .
300
c) în a treia rubrică orizontală se trec valorile lui f în punctele remarcabile
x∈A şi săgeţile care indică f crescătoare, respectiv descrescătoare pe
intervale.
d) în a patra rubrică orizontală se precizează semnul pentru pe
intervale, x∈A cu
f ′′
( ) 0f x′′ = şi semnul care indică convexitatea lui f
respectiv concavitatea lui f pe intervale.
Etapa a V-a – se trasează graficul lui f, desenând asmptotele,
punctele remarcabile x∈A şi apoi graficul lui f ca o linie continuă dacă
f∈C2(A).
Exemple:
1) . ( ) 2arctg , Rf x x x x= − ∈
I.1. f este impară: ( ) ( ) , Rf x f x x− = − ∈ şi se poate trasa graficul numai
pe R+.
( )limx
f x→+∞
= +∞ , deci graficul lui f admite cel puţin o asimptotă:
( )lim 1x
f xm
x→+∞= = , ( )lim
xn f x
→+∞= −mx⎡ ⎤⎣ ⎦= - π ⇒ dreapta (d) y = x - π
asimptotă oblică la + ∞.
II. ( )2
2
11
xf xx−′ =+
cu ( )f x′ = 0 în x1 = 1 ( şi x2= - 1 ∈R+) şi ( )f x′ < 0,
∀x∈[0, 1], iar ( )f x′ >0, ∀x∈(1, + ∞) ⇒ f descrescătoare pe [0, 1] şi
crescătoare pe (1, + ∞).
301
III. ( )( )22
4
1
xf xx
′′ =+
cu ( )f x′′ =0 în x0= 0 şi ( )f x′′ < 0 pentru x< 0 şi
( )f x′′ > 0 pentru x>0 ⇒ x0= 0 este punct de inflexiune şi f este concavă
pe (- ∞ , 0) şi convexă pe (0, + ∞).
IV.
0x 1 + ∞f '(x)
f (x) f ''(x)
- 0 1
2π
− + ∞ (i) (M) 0 + + +
- - 0 + + +
302
2. ( ) ( )1
2*R
xf x x e
x A
⎧⎪ = +⎨⎪ ∈ =⎩
.
(1,0) (−1,0)
y = x − π
y = x + π
(0,π)
(0,−π)
(π,0) (−π,0) 0
y
x
I.1. A = R – {0}; f nu este nici pară, nici impară.
2. Graficul nu taie Oy; 0
2yx=⎧
⎨ = −⎩ intersecţia cu Ox.
3. ( ) ( ) ( )1
2lim lim lim 1
x
x x x
f x x ef x m
x x→±∞ →±∞ →±∞
+= ±∞⇒ = = = .