4 Ingeniero Industrial Ecuaciones Diferenciales y etodos Numericos

PROFESOR: Antonio Algaba Duran

ALUMNO: Juan Virosta Cruz

* 0.- INTRODUCCION 0.* I.- CALCULO VIGA EMPOTRADA Y CARGA PUNTUAL Pg 4-12 I.* II.- CALCULO VIGA EMPOTRADA-APOYADA Y CARGA UNIFORMEMENTE REPARTIDA Pg 15-21 II.EMPOTRADA15-

* III.- CAIDA LIBRE DE UNA PARTICULA A GRAN ALTURA Pg 22-30 III.22* IV.- CALCULO CENTRO DE GRAVEDAD DE UN SEMICIRCULO Pg 31-34 IV.31* V.- PROBLEMA DINAMICA. Pg 35-39 V.35* VI.- PROBLEMA CATENARIA Pg 40-46 VI. 40* VII.- MOMENTO INERCIA DE UNA ESFERA Pg 47-51 VII. 47* VIII.- RUEDA EN MOVIMIENTO Pg 52-54 VIII. 52* IX.- CANTIDAD DE MOVIMIENTO. Pg 55-58 IX.55-

En este c pendi de pr ble as, no he pretendido prof ndizar en alg n te a especifico, p esto que algunos son bastante ele entales, lo que he pretendido, mas que esto, es ver dentro de la mecanica la casi infinita, diria yo variedad de problemas que se pueden resolver con este pequeo integrador de matlab, tanta variedad como la vida misma. (Sin contar fluidos, electricidad, termodinamica, reacciones quimicas etc. etc. etc. ) Cada problema, se ha resuelto primeramente de forma clasica, o analitica, con lo que estariamos dando la solucion exacta , para despues resolverlo con el integrador ode-45. En casi todos los problemas se llega hasta la 5 o 6 cifra decimal iguales en ambos casos, o algunos incluso todas hasta la que llega la computadora, cosa que es valida, si estamos en ingenieria, ya que en esta no se pretende tanta exactitud como a la que llegamos, puesto que despues entran los redondeos, coeficientes de seguridad, topes de normativas, y demas consideraciones , que hacen que no sean necesarias milesimas o diezmilesimas de unidades para resolver nuestros problemas Tambien algunos se podian haber resuelto por otros metodos (diferencias finitas por ejemplo), pero la simplicidad y polivalencia de ode-45, lo hace tan util, que es innecesario aplicar otros metodos y dejar estos para situaciones mas complejas. Juan Virosta Cruz

En los dos casos del calculo de viga partiremos de la Ecuacion Diferencial de la Elastica. (Caso viga empotrada, articulo de www.territorioscuola.com/wikipedia)

d2y EI 2 ! M ( x) dx Ecuaci Dif r cial

Donde: M(x) = Ley de momentos flectores como funcion de xdy ! U (x) ! Angulo de la viga para cada x correspondiente dx

y(x)=Ecuacion deformacion de la viga

la Elastica

Esto lo he metido porque a primera vista se podria tener duda de lo que es el angulo de una viga. El angulo es el que forma la tangente de la curva que representa la deformacion con la horizontal.d3y ! V ( x) ! Ley de esfuerzos cortantes dx 34

y

x4

! q ( x) ! Ley de reparto de carga

No son objeto de este estudio lo pongo por culturilla

Consideramos un perfil IPN-100 cuyas caracteristicas sonI = 171 cm4 E = 2.100.000 kg/cm2Estos datos se pueden obtener de cualquier prontuario. Yo los he cogido del prontuario de ensidesa

P = 100 kg l = 300 cm.

Tomamos Momentos respecto de una seccion x cualquiera de la viga. Recordamos Momentos = Fuerza x distancia

M(x) = P(l-x) Sustituyendo en la ecuacion de la elastica:

d2y EI 2 ! M ( x) ! P (l x) dx

Integramos una vez:

Condiciones iniciales:En el empotramiento (x=0) tanto el angulo como la flecha son cero por tanto:

dy Plx ! dx EI

Px 2 C1 2 EI

Integramos una segunda vez:

dy ! y ' ( 0) ! 0 dx y ( 0) ! 0

Plx Px 3 y ( x) ! 2 EI 6 EI

2

C1 x C2

Calculamos las constantes de integracion para las condiciones iniciales dadas y nos sale: C1 = 0 y C2 = 0 Asi en x=l que sera la flecha maxima su valor exacto es:

f max

Pl 3 ! 3E

Sustituimos valores para nuestro caso y tenemos una flecha de:

f max

Pl 3 100(kg ) x3003 (cm) 3 ! ! ! 2,506265664 cm EI 3 x 2100000( kg ) x171(cm) 4 cm 2

CALCULO CON INTEGRADOR ODE 45Partimos de la ecuacion original y montamos el sistema

d 2 y P (l x ) ! 2 dx EI

y 1 = y2 y 2 = 100(300 x)2100000 *171

function z=vigaempotrada(t,y) z(1)=y(2); z(2)=100*(300-t)/(2100000*171); z=z'

function [S]=calculoviga(tini,tfin,paso) format long T=linspace(tini,tfin,paso); %option=odeset('AbsTol',1e-10,'RelTol',1e-10); Za=[0;0]; [t,y]=ode45(@vigaempotrada,T,Za); S=[t y];

[S]=calculoviga(0,300,15)

X (mts) (mts)1.0e+002 *

Flecha (mts) (mts)

Angul (radianes)0 0.00001726254412 0.00003324638126 0.00004795151143 0.00006137793463 0.00007352565086 0.00008439466012 0.00009398496241 0.00010229655772 0.00010932944606 0.00011508362744 0.00011955910184 0.00012275586926 0.00012467392972 0.00012531328321

0 0 0.21428571428571 0.00018723923511 0.42857142857143 0.00073068969801 0.64285714285714 0.00160295052500 0.85714285714286 0.00277662085242 1.07142857142857 0.00422429981660 1.28571428571429 0.00591858655385 1.50000000000000 0.00783208020050 1.71428571428571 0.00993737989288 1.92857142857143 0.01220708476731 2.14285714285714 0.01461379396012 2.35714285714286 0.01713010660763 2.57142857142857 0.01972862184616 2.78571428571429 0.02238193881204 3.000000000000 0.02506265664160

2 1.5 1

0.5 0 -0.5 -1

F le c ha-1.5 -2

Te ta-2.5 -3 0 50 100 150 200 250 300 350 400

Valor real teorico exacto en l=300 cm 2.506265664 cm cm: Valor ode-45 para l=300 cm 2.506265664160 cm odecm:A priori podemos sacar dos conclusiones inmediatas: * Que el integrador ode 45 es valido para resolver la ecuacion de la elastica de vigas * Que la flecha maxima se da en el extremo de la viga como era de esperar

A

qB l a Suponemos ahora una viga empotrada en un extremo y apoyada en el otro, con un tramo en voladizo sometida a una carga uniformemente repartida . Los datos de cargas y caracteristicas de la viga son: (Problema n 24, coleccin problemas pagina web instituto investigacion tecnologicas, iit.upcomillas.es)

iagrama de cuerpo libre ma q mb I = 171 cm4 E = 2100000 kg/cm2 q= 800 Kg/m l = 4.8 m a = 1.2 m Extremo libre Tipo de perfil = IPN-100

l RA RB

CALCULO DE REACCIONES

Sustituimos el voladizo por su efecto: mb= F x d = (q x a) (a/2) = 800*1,2*0,6 = 576 mKg

Aplicamos las ecuaciones de la estatica clasica: FV = 0 Y obtenemos RA = 2220 Kg RB = 2580 Kg ma = 2016 mKg ; M=0 ; =0 (en el empotramiento)

Hallamos la ley de momentos flectores ma q mb

RA = 2220 Kg RB = 2580 Kg ma = 2016 mKgLa ley de momentos flectores es la suma de todos los momentos a izquierda o derecha para cualquier seccion x, pero entrar demasiado en esto me parece demasiado especifico de resistencia de materiales y lo que nos ocupa es aplicacin de ode- 5. e uramente en cualquier tratado de resistencia de materiales vendra una definicion mas ele ante que esta mia.

x RA

l RB

M(x) = -2016+2220x 800x(x/2)Recordamos

d2y x E ! M ( x) ! 2016 2220 x 800 x 2 dx 2

Integramos una vez:dy dx 2220 x 2 1 2016 x 2 EI x3 400 3 C1

Volvemos a integrar: 1 x 2 2220 x 3 x4 1 33 y ( x ) 2016 400 C1 x C2 ,33 x 4 370 x 3 1008 x 2 C1 x C2 2 6 12 I I

Con las condiciones iniciales y(0) =0, y (0)=0 (en el empotramiento) tenemos C1 = 0, C2 = 0, con lo que la ecuacion de la elastica para esta viga nos queda: 1 y ( x ) ! 33,33 x 4 370 x 3 1008 x 2 I

En este caso a diferencia del anterior, la flecha maxima no estara en el extremo de la viga, sino que estara donde la tangente del angulo sea horizontal, o lo que es lo mismo donde tenga max-min la ecuacion de la elastica, por tanto, llevando a numeros lo expresado aqu con palabras:

y (x)= 133,33x3

1110x2 + 2016x = 0

x(133,33x2 1110x + 2016) = 0

x=0 x = 2,677042019 metros 0