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capítulo 3 - diversas aplicaciones de conducción de calor y teorema de duhamel

109

APLICACIONESDE LA CONDUCCIÓN

DE CALOR EN SÓLIDOS

J. P. VALCÁRCEL M.

Editorial Universidad Surcolombiana

Investigación

9 789588 896007

ISBN 958-8896-00-2

1

Universidad Surcolombiana2014

Aplicaciones de la conducciónde calor en sólidos

J. P. Valcárcel M.

APLICACIONES DE LA CONDUCCIÓNDE CALOR EN SÓLIDOS

© Universidad Surcolombiana J.P. Valcárcel M. [email protected] 2014

ISBN: 978-958-8896-00-7

Preprensa e impresión:Editorial Gente NuevaBogotá, D.C.

Impreso en Colombia / Printed in Colombia

Sobre el autor

1. Título Académico: - Doctor en Ciencias - Universidad Nacional Autónoma de México (UNAM), México D.F. - Posdoctorado: Laboratorio de Espectroscopias Fototérmicas y Sis-

temas Vivos, - Centro de Investigación y de Estudios Avanzados, Mérida (Y.), Mé-

xico.

2. Publicaciones: - Manual de Radiación Solar. Universidad de los Llanos. - Resonances and Surface Waves in Elastic Wave Scattering from Cav-

ities and Inclusions., P.P. Delsanto, D. Alemar, E. Rosario, J. Subrah-manyam, H. Nagl, H. Uberall, J. Valcárcel., Quantitative Nondestruc-tive Evaluation, Volume 3A, Plenum Press, New York and London. The Catholic University of America, USA.

- Historia de la Teoría Matemática de la Elasticidad. Universidad Sur-colombiana (USCO.)

- Flujos Subsónicos y Supersónicos. (USCO.) - Absorción y Dispersión de Ondas Ultrasónicas. (USCO.) - Enfriamiento de la Tierra. (USCO). - Heat Transport Properties Analysis in Semiconductors (GaAs, CdTe,

SeZn, SbGa), using Photothermal Spectroscopic Techniques. Revista Colombiana de Física.

- High Temperature Photoacoustic Cell., Revista Mexicana de Física. - Photoacoustic Spectroscopy of layered samples: Phase Detection

Technique, Instrumentation Science & Technology. - Aspectos Básicos en el Control de Corrosión. Libro. Editorial Uni-

versidad Surcolombiana, Neiva, A.A. - Uso de la biomasa como combustible renovable, Revista Paideia,

Universidad Surcolombiana.

Aplicaciones de la conducción de calor en sólidos

4

- Recursos Energéticos en el Departamento del Huila, Editorial Copi-Gráficas del Huila, Neiva.

- Determination of the Thermophysical Properties of Polymers (PET) using Photoacoustic Spectroscopy, Journal of Materials Science.

- Conducción de Calor en Sólidos y Fenómenos de Transporte. Libro. Editorial Surcolombiana, Neiva.

- Conducción de Calor en Sólidos. Libro. LEGIS EDITORES. - 55th Gulf and Caribbean Fisheries Institute. Quintana Roo, Mexico,

Physical Properties of the Queen Conch Strombus gigas (Mollusca Gastropoda) and its Consequences on the Shell Growth Development.

- Conducción de Calor en Sólidos y Fenómenos de Transporte. Libro. Editorial Surcolombiana, Neiva.

- Disipacióndelaenergíaenlossistemasfísicosybiológicos.Librodetexto. Editorial Surcolombiana. 2008.

- Tecnologías basadas en energía solar y otras fuentes de energías renovables-proyecto de investigación aprobado 2010.

- Uso de la espectroscopia fotoacústica para determinar transporte de calor y de gases en diversos materiales. 2010. Revista Momento.

- Relación de las investigaciones y sistematización de los procesos defotosíntesisartificial,activadosporenergíasolar.Direccióndetesis 2011

- Cavitación acústica. Revista Entornos 2012.

Cargo actual.Profesor Titular. Facultad de Educación

5

PRÓLOGO

Este libro se ha escrito con la intención de detallar el comportamiento que tiene una de las formas importantes del flujo de energía en sólidos. Mi descripción es la de procurar presentar la teoría concerniente a la conducción de calor en una forma consistente y comprender, a través de cierta manipulación matemática, los problemas más importantes que surgen en esta etapa, suministrando además una descripción del fenómeno desde el punto de vista físico. Como guía de este compendio se ha tomado la referencia H. S. CARSLAW and J. C. JAEGER., Conduction of Heat In Solids, Clarendon-Press-Oxford, 1989., que es uno de los textos más completos y avanzados en este tema, y de otras informaciones importantes citadas en la bibliografía. Se han desarrollado algunos problemas de aplicación más comunes en la conducción de calor entre dos superficies. Es bien sabido que si una de las superficies se encuentra a más alta temperatura que la otra, la cantidad de calor que fluirá hacia la más fría depende en gran parte de la sustancia que se encuentra en el espacio que separa las superficies. Este trabajo de recopilación también ilustra, brevemente, algunas de las evidencias relacionadas con el amplio campo de la radiación de ondas térmicas y su aplicación en diferentes ramas de la espectroscopia fototérmica.

Prólogo

7

CAPÍTULO 1Flujo lineal de calor: el sólido infinito y semi-infinito

Introducción 9 1.1 Conductividad 10

1.2 Flujo lineal variable con el tiempo 22

1.3 Conducción de calor en dos dimensiones 29

1.4 Temperaturasenunabarrainfinita 34

CAPÍTULO 2Ecuación lineal de flujo de calor

2.1Elsólidoinfinito:solucióndeLaplace 45

2.2 El uso de las integrales de Fourier y las transformadas de Fourier 49

2.3 Elsólidosemi-infinito.Temperaturainicialf(x). Temperaturasuperficialcero 54

2.4Sólidosemi-infinito.Temperaturainicialcero. Superficieatemperaturaf (t) 58

2.5 Sólidosemi-infinito.Latemperaturadelasuperficie es una función armónica del tiempo 62

2.6 Sólidosemi-infinito.Radiaciónsobrelasuperficie en un medio a temperatura cero. Temperatura inicial constante 69

Contenido


8

2.7 Sólidosemi-infinito.Radiaciónenlasuperficie dentro de un medio a temperatura f (t). Temperatura inicial cero 75

2.8 Sólidosemi-infinito.Elflujodecalorenx=0 es una función establecida del tiempo. Temperatura inicial cero 77

2.9 Elsólidosemi–infinitoconcalorgenerado dentro de él 82

CAPÍTULO 3Diversas aplicaciones de conducción de calor

y teorema de Duhamel

3.1 Temperaturaterrestre:oscilacionessuperficiales 87

3.2 Elgradientegeotérmicoyelflujodecalorde la Tierra 92

3.3 Teorema de Duhamel 98

Conclusión 107

9

Capítulo 1

Flujo lineal de calor:El sólido infinito y semi-infinito

CAPÍTULO 1

FLUJO LINEAL DE CALOR: EL SÓLIDO INFINITO Y SEMI-INFINITO

INTRODUCCIÓN

La ciencia de la termodinámica trata de las transiciones cuantitativas y reacomodos de energía relacionadas con el intercambio de calor entre cuerpos calientes y fríos conocidos como fuente y recibidor [1]. La permutación de energía de un sistema a otro se produce cuando están en contacto dos cuerpos a distinta temperatura, y fluye del cuerpo más caliente al más frío. Esto ocasiona un cambio en la temperatura del sistema y la energía absorbida por éste es proporcional al incremento de su temperatura. En este proceso se realiza un trabajo y observamos que calor y trabajo están unidos a través de la relación termodinámica de conservación de la energía.

La transferencia de calor en cualquier sistema puede llevarse a cabo de tres formas diferentes:

i. Conducción, en la cual el calor fluye a través del cuerpo. En los procesos de interacción de la radiación con la materia el fenómeno de transmisión de calor conocido como conducción ocupa un lugar muy importante dentro de la teoría fisicomatemática de flujo de calor.

ii. Convección, aquí el calor es transferido por el movimiento relativo de las porciones del cuerpo calentado y, en un líquido, es la relación entre la temperatura superficial y la temperatura promedio que existe dentro del líquido. Puede llevarse a cabo en forma natural o convección libre y también puede ser provocada o convección forzada. Su comportamiento es descrito por la ecuación , conocida como Ley de Enfriamiento de Newton, donde h es el coeficiente de transferencia de calor.


10

iii. Radiación, el calor es transferido directamente entre cuerpos separados. Uno de ellos emite radiación electromagnética, es decir una sustancia puede ser estimulada para emitir radiación electromagnética (emisor) y es recibida por otro cuerpo llamado absorbente. Esta conducta radiativa está determinada por la ecuación de radiación de Boltzmann:

,

Conocida como ley de la cuarta potencia. , es una constante y es la constante de emisividad que debe ser determinada experimentalmente.

En líquidos y gases la convección y la radiación son de gran importancia, pero en sólidos la radiación no es importante. En este capítulo vamos a considerar solamente conducción de calor, donde usualmente los cuerpos involucrados son sólidos, aunque en algunas circunstancias los resultados son válidos para sólidos o gases.

1.1. CONDUCTIVIDAD La Teoría Matemática de la Conducción de Calor se fundamenta en el desarrollo del experimento tradicional representado en la Fig. 1. Se tiene una lámina de algún sólido, limitada por dos planos paralelos. Los dos planos se mantienen a temperaturas diferentes, permitiendo que su diferencia de temperatura no sea alta para evitar cambios sensibles en las propiedades del sólido. Por ejemplo, la superficie derecha puede mantenerse a temperatura baja mediante la colocación de un bloque de hielo adosado a ella, y la superficie izquierda se mantiene a una temperatura fija haciendo fluir continuamente sobre ella una

capítulo 1 - flujo lineal de calor: el sólido infinito y semi-infinito

11

corriente de agua tibia. Cuando estas condiciones se han mantenido por un tiempo suficiente la temperatura de los diferentes puntos del sólido se estabiliza, de forma que todos los puntos a lo largo de las dos caras paralelas tendrán la misma temperatura.

Figura 1. Descripción del experimento para determinar la transferencia de calor por conducción.

La dirección del flujo de calor será perpendicular a las superficies y se considera un sólido homogéneo e isotrópico. A la izquierda existe la fuente de calor (o emisor), como se supuso anteriormente, y la superficie derecha es un recibidor. El flujo de calor por unidad de tiempo es proporcional al cambio de temperatura a través de la pared y al área A de la pared. Si T es la temperatura en cualquier punto de la pared y x es el grueso de la pared en dirección del flujo de calor, la cantidad de flujo de calor dQ está dada por

( ) (1)

Conocida como Ley de Fourier en una dimensión y dt es el cambio temporal. Las unidades serán Btu/hora {1Btu (British


12

Thermal Unit = 1055 joules = 252 cal =778 pie lb = 0,293 watt hora}.

El término se conoce como gradiente de temperatura y tiene signo negativo ya que la temperatura estará disminuyendo a medida que traspasa la pared, o sea < 0. Esto quiere decir que la cantidad instantánea de transferencia de calor es proporcional al área y a la diferencia de temperatura dT que provoca el paso de calor a través de la pared de espesor dx. La constante de proporcionalidad k se le conoce como conductividad térmica de la sustancia y depende del material del cual está hecha. Esta conductividad se evalúa experimentalmente y tiene una amplia gama de valores para cada metal dependiendo si es buen conductor de calor {k, grande como en un metal} o es un mal conductor de calor {k, pequeño como en el asbesto}.

La conductividad térmica es una propiedad ponderable de toda la pared, y el flujo de calor está influido por el grosor y el área de la misma. También las conductividades de los sólidos pueden aumentar o disminuir con la temperatura, y en algunos casos pueden invertir su velocidad de cambio de una disminución a un incremento.

El gradiente de temperatura puede variar, ya sea con el tiempo o con la posición de la pared. La variación como una función de x únicamente será (

). Sobre la distancia x a x +

dx, el cambio total en el gradiente de temperatura será:

( )

Entonces a x el gradiente es , y a x +dx el gradiente de temperatura es


13

De esta forma la ley general de Fourier está dada por

( )

o también

llamada ecuación de Laplace.

El operador 2 está definido por

y se denomina el operador laplaciano.

El término

se llama difusividad térmica y tiene todas las propiedades involucradas en la conducción de calor, con dimensiones de (longitud)2/ tiempo. El resultado de los experimentos sobre diferentes sólidos sugiere que, cuando se llega a la temperatura de estado estacionario, la cantidad Q de calor que fluye hacia la derecha, a través de la placa en t segundos, sobre la superficie A, es igual a

(2)


14

1.1. a. Flujo de calor a través de varias láminas de diferente k.

Figura 2. Una pared doble con conductividades k1 y k2. La Figura 2 muestra una pared formada por dos placas metálicas de diferente sección transversal y diferente k. El flujo de calor a través de la sección 1 es

(3)

y a través de la sección 2 es

(4)

TX es un valor ubicado en cualquier lugar del eje x. Cuando se llega a un estado estacionario las ecuaciones (3) y (4) han de ser iguales para cada punto entre las placas. Entonces


15

Es sencillo despejar Tx que, sustituido en (3) o en (4) resulta

y, para diversos acoplamientos en serie resulta

∑

Otro caso bastante común es el flujo en tubos cilíndricos. 1.1. b. Flujo de calor a través de la envoltura de un tubo

cilíndrico

Figura 3. Flujo radial a través de un tubo La Fig. 3 muestra un esquema de una envoltura cilíndrica que rodea un tubo de vapor. a y b son los radios interior y exterior, respectivamente. Ta y Tb son las temperaturas en las superficies interna y externa, y k es la conductividad térmica. [2]


16

El flujo de calor a través de la delgada capa dr (en rojo) de la Fig. 3 es

Separando variables

∫

Enunciado 1. [5] 1. Una lámina de un aislador térmico tiene 100 cm2 de sección transversal y 2 cm de espesor. Fig. 4. Su conductibilidad térmica es 2 X 10-4 cal/seg-cm-°C. Si la diferencia de temperaturas entre las caras opuestas es 100°C, ¿cuántas calorías pasarán a través de la lámina en un día?

Figura 4. Aislador térmico en forma laminar.


17

Solución: Podemos utilizar la ecuación

.

Entonces

Luego en un día será: Enunciado 2. [5] La conductividad térmica de todas las sustancias varía algo con la temperatura. Supongamos que la conductividad térmica de una cierta sustancia está dada por la ecuación

Donde es una constante, y T, la temperatura Celsius. a) Dedúzcase la ecuación de la corriente calorífica a través de una lámina plana de esta sustancia, de área A y espesor L, cuando las temperaturas de sus caras opuestas son T1 y T2. Solución: Utilizando la ecuación (2) observamos que una variación de temperatura implica que

Reemplazando


18

∫

{

}

En otras palabras, el flujo de calor entre estas dos superficies es proporcional a la diferencia de temperatura de las superficies cuyos resultados no deben considerarse como probatorios por estos experimentos sino que solo sugieren una tendencia. La verificación más exacta se halla en la concordancia del experimento con los cálculos obtenidos de la teoría matemática basados en la suposición de la validez de esta ley. Como toda tendencia tiene una oposición el recíproco de la conductividad térmica (1/k) es llamada su resistividad térmica. Estrictamente hablando, la conductividad k no es una constante para la misma sustancia, sino que depende de la temperatura. Sin embargo, cuando la franja de temperaturas está limitada, este cambio en k puede ignorarse, y en la teoría ordinaria matemática se asume que la conductividad no varía con la temperatura. Una aproximación más cercana al estado real puede obtenerse haciendo k una función lineal de la temperatura T, es decir,

) 1( Tkk o (5) es pequeña, y, en realidad, es negativa para la mayoría de las sustancias. De la Ec. (5), la conductividad térmica está dada por

StTT

Qdk

o )( 1

(6)


19

La ecuación del calor fue propuesta por Fourier en 1807, en su memoria, sobre la propagación del calor en cuerpos sólidos [3]. La ecuación del calor es un modelo matemático que trata de describir la evolución de la temperatura en un cuerpo sólido. Pero no hay un único modelo. Hay muchos, dependiendo de la precisión y la banda de valores en que se pretende sea válido ya que altas o bajas temperaturas cambiarán el comportamiento del material, las impurezas podrían ser importantes, y otros defectos cristalinos. El modelo propuesto por Fourier consiste básicamente de las propuestas siguientes:

a. La energía calórica necesaria para llevar un trozo de una barra, p. ej., de longitud l de temperatura cero a tem-peratura v es proporcional a vl Es decir, la densidad de energía, kve es proporcional a la temperatura, con k como una constante característica del material.

b. La energía fluye de las zonas de mayor temperatura a las de menor temperatura, o sea, la densidad de flujo de energía es

Txfdx

dTxf )( ó )(

en varias dimensiones; es una característica del material. c. La energía se conserva. Si tomamos un trozo de barra, l ,

la energía contenida en l , en el instante t2 es igual a la energía que había en el instante t1 más el “flujo de energía” que penetró en los extremos x1, x2 en el intervalo de tiempo de t1 a t2 , que es expresado por

2

1

),(,(),(,( 121

2

t

tl

dttxftxfdxtxetxe

(7)


20

Dibujando un rectángulo de dimensiones tl , se observa que la primera integral ocurre en los bordes superior e inferior, mientras que la segunda ocurre en los laterales.

Para poder compararlas, se deben describir en un dominio común que es el rectángulo. Tomando derivadas

tl tl

dxdttxfdx

ddxdttxe

dt

d),( ),(

Como esta relación se debe verificar para cualquier rectángulo, no importa cuán pequeño, sea necesariamente los integrandos deben ser iguales:

.0 fdx

de

dt

d

(8) Como

kTe y )(dx

dTxf

ambas dadas en función de T, obtenemos

2

2

dx

Td

dt

dTk

(9)

Las expresiones (7) y (8) se denominan leyes constitutivas, y establecen relaciones puntuales entre las variables de estado: e, f, T y sus derivadas, que dependen de las características del material, y de las otras eventualidades. La relación (9), es una


21

ley de conservación, y establece que ciertas cantidades como la masa, energía, etc., se conservan a través de un proceso, aunque puntualmente no sean constantes. En un gas, por ejemplo, la masa fluye de una parte a otra. Una ley de conservación postula la existencia de una variable conservada, e, y un flujo, f , que satisfacen

0 fdx

de

dt

d

o también

0 div fedt

d

Se concluye que escribir un modelo matemático consiste en elegir aquellas variables de estado que son relevantes para el fenómeno que se quiere describir, luego encontrar experimentalmente sus leyes constitutivas, y cómo se conservan. Aquí se examinarán varios problemas en los cuales las superficies isotérmicas son planos paralelos a x = 0, el flujo de calor es lineal y las líneas de flujo son paralelas al eje x. Los resultados obtenidos de esta manera también son útiles en el cálculo del flujo de calor a lo largo de varillas rectas y de sección transversal pequeña, donde no hay pérdida de calor en la superficie. Luego de obtener la solución para un sólido infinito, procedemos a examinar, los problemas de flujo lineal de calor en el sólido semi-infinito, o el sólido que está limitado por el plano x = 0 y se extiende al infinito en la dirección positiva de x. En todos los casos las propiedades térmicas se asumirán independientes de la posición y de la temperatura


22

1.2 FLUJO LINEAL VARIABLE CON EL TIEMPO Supongamos que tenemos una barra de longitud s y de sección transversal uniforme, el diámetro es muy pequeño comparado con el radio de curvatura. Asimismo suponemos que su superficie es impenetrable al calor así que no hay fuga de calor por sus lados. Se da la temperatura inicial de la barra y sus extremos se mantienen a la temperatura constante cero [4].

Figura 5. Flujo lineal de calor a lo largo de una varilla.

Si tomamos un extremo de la barra en el origen y escribimos las distancias a lo largo de la barra por x, tenemos que la variación temporal de la temperatura es

(1)

h, es una constante.

Las condiciones de frontera son

} Para todos los valores de t (2)

La condición inicial es


23

}

(3)

Para resolver la Ec. (1), se intenta una solución de la forma

(4)

Donde m es una constante y u(x) es una función que va ser determinada para x. Reemplazando ésta en (1) y dividiendo por el factor común emt, tenemos

(5)

o

(6)

haciendo

(7)

la Ec. (6) se convierte en

(8)

La solución general de la Ec. (8) es

(9) Ahora u debe cumplir las condiciones de frontera (2). La primera condición, en x = 0, da B = 0. Para que u se elimine en x = S, debemos tener

(10)


24

o

}

(11)

Para una solución no elemental. Para cada valor de r le corresponde una solución de la ecuación diferencial (6) de la forma

(12)

donde Ar es una constante arbitraria. Los posibles valores de la constante m están dados por las ecuaciones (7) y (11) y pueden escribirse como

( )

(13)

Para cada valor de r corresponde una solución de la ecuación diferencial (1) de la forma

( )

(14)

que satisface las condiciones de frontera. Sumando para todos los valores de r, construimos la solución general

∑

(

)

(15)

Para evaluar las constantes Ar, colocamos t = 0 en (15) y utilizamos las condiciones iniciales (3). Tenemos


25

∑

(16)

puede expandirse F(x) en semiperiodos de la función seno y se obtiene

∫

(17)

Por tanto la Ec. (15) con los valores de Ar da la solución al problema.

Si los extremos de la barra que se mantienen a temperatura cero son, en cambio, impenetrables al calor, entonces el enunciado del problema será

}

para todos los valores de

(18)

También

para

(19)

En este caso tenemos de la Ec. (9)

(20)

Si esta ha de eliminarse en x = 0 y en x = S, tenemos


26

(21)

nuevamente

(22)

Haciendo el mismo razonamiento, la solución general

∑ ( )

(23)

Expandimos ahora F(x) en semiperiodos de la función coseno

∫

∫

(24)

Observamos que cuando t =

∫

(25)

Como la temperatura inicial promedio de la barra. Este resultado podría haber sido inferido directamente del hecho de que el calor no escapa de la barra. 1.2. a. El caso para un sólido semi-infinito [4]. Flujo lineal en un sólido semi-infinito, la temperatura en una cara se da como una función temporal sinusoidal.


27

Supongamos lleno todo el espacio del lado positivo del plano y-z con un sólido homogéneo de difusividad h2.

Figura 6. Flujo lineal a lo largo del eje Y.

La temperatura sobre el plano y-z está dada como una función armónica sinusoidal dependiente del tiempo y mantiene los mismos valores para cualquier valor de y o z. Se necesita hallar la temperatura a través del sólido cuando se establece una condición periódica. Es claro a partir de la simetría que la temperatura T(x,t) es independiente de y o z, y las condiciones que debe satisfacer son

(1)

( ) √ (2)

donde Im significa la “parte imaginaria de”. Para resolver la Ec. (1) se asume una solución de la forma

[ ] (3) Haciendo la operación, descartando el símbolo Im y sustituyéndole en la Ec. (1) obtenemos


28

(4)

el factor común ejwt se ha cancelado. La Ec. (4) puede escribirse como

(5)

Haciendo

( ) (6)

Encontramos que la solución de (5) puede escribirse en la forma

(7) A y B son constantes arbitrarias. Ya que a2 está dada por (6), la raíz cuadrada de a2 está dada por

√ ( ) (8)

La raíz positiva de a será

√ ( ) √

(9)

Ahora, en x = la temperatura es finita, y de aquí es preciso que la constante A en (7) sea cero.

En x = 0 tenemos

(10)


29

De aquí la solución es

= ( √

( √ ))

= √

( √ )

(11)

La raíz negativa conduce a la misma solución.

Podemos ver que la temperatura disminuye en magnitud y cambia de fase a medida que avanzamos dentro del sólido. Este resultado explica porqué la variación diaria de la temperatura de la superficie de la Tierra no puede ser trazada a profundidades de 3 o 4 pies (0,9144m o 1,2192m), mientras que la variación anual no puede exceder una profundidad de 60 o 70 pies (18,288m o 21,336m). Entre más alta sea la frecuencia de la variación de la temperatura de la superficie, más rápidamente es la atenuación de la variación de amplitud.

Este fenómeno tiene una contraparte en la teoría electromagnética y es conocida en la literatura de la electricidad como (skin effect) efecto pelicular o efecto Kelvin.

1.3 CONDUCCIÓN DE CALOR EN DOS DIMENSIONES Para encontrar la solución de la ecuación de difusión en dos dimensiones, consideremos el siguiente problema. Una placa rectangular cuya superficie es impenetrable al flujo de calor tiene en t = 0 una distribución arbitraria de temperatura. Sus cuatro bordes están a temperatura cero. Se requiere determinar la temperatura posterior de la placa a medida que el tiempo pasa.


30

Figura 7. Flujo de calor en dos dimensiones.

La placa se extiende desde x = 0 hasta x = a y desde y = 0 hasta y = b. Expresando el problema matemáticamente, debemos resolver la ecuación

(

) (1)

sujeta a las condiciones de frontera:

(2)

Para cualquier tiempo t. Las condiciones iniciales son

(3)

Para resolver la ecuación (1), asumimos una solución de la forma


31

(4) es un coeficiente, F1 es una función de x solamente y F2 es una función de y solamente. Sustituyendo (4) en (1) y dividiendo por el término común , obtenemos

( ) (5) Dividiendo por h2F1F2, tenemos

(6)

que puede escribirse

(7)

Hemos logrado ahora separar las variables ya que el lado izquierdo de (7) es una función de x solamente y el lado derecho de (7) es una función solo de y, de aquí ambos miembros de (7) son iguales a una constante la cual se ha llamado k2. Si permitimos que

(8)

Entonces la Ec. (7) queda separada en dos ecuaciones

(9)

Estas ecuaciones tienen las soluciones

(10)


32

Donde las A y las B son constantes arbitrarias. Ahora, para satisfacer las condiciones de frontera (2) es obvio que no pueden estar presentes los términos de coseno así que tenemos B1 =B2 = 0. También tenemos que

(11)

de aquí

(12)

De (8) encontramos que

[( ) ( )

] (13)

Así que para cada valor de m y n encontramos una solución particular de (1), que satisface las condiciones de frontera (2) de la forma

(14)

Si sumamos sobre todos los valores posibles de m y n, se construye la solución general

∑

∑

(15)

Las cantidades Bmn son constantes arbitrarias que han de determinarse de las condiciones iniciales (3). Colocando t = 0 en (15) tenemos


33

∑

∑

(16)

Podemos expandir la función de temperatura inicial F(x, y) en series de doble seno. Para hacerlo, multiplicamos ambos lados de (16) por

r y s son enteros e integramos desde x = 0 hasta x = a y desde y = 0 hasta y = b; debido a las propiedades de ortogonalidad de los senos todos los términos en la suma se anulan excepto el término para el cual m = r y n = s y obtenemos el siguiente resultado

∫ ∫

(17)

Esto determina las constantes arbitrarias de la solución general (15). Aplicación: Enfriamiento de un ladrillo caliente

Figura 8. Flujo de calor en 3 dimensiones

El ladrillo de la Fig. 8 está orientado con respecto a un sistema de coordenadas cartesianas. Por simple generalización del análisis


34

anterior se ha demostrado que, si tenemos un paralelepípedo rectangular o ladrillo cuyos lados se mantienen a temperatura cero y cuya temperatura interna está dada arbitrariamente en t = 0 como F(x, y, z), entonces la temperatura posterior está dada por

∑

∑∑

(18)

donde

[( )

( )

( )

] (19)

y

∫

∫

∫

(20)

1.4 TEMPERATURAS EN UNA BARRA INFINITA Una ilustración del método de la solución de la ecuación de difusión mediante el uso de integrales definidas está dada siguiendo el ejemplo próximo: Dada una barra infinita de sección transversal muy pequeña aislada de forma que no hay transferencia de calor en la superficie, tomamos el eje x a lo largo de la barra. La temperatura de la barra en t = 0 está dada por una función arbitraria F(x) de x. Se requiere encontrar la temperatura subsiguiente. Considerada matemáticamente, debemos resolver la ecuación

(1)


35

Sujeta a la condición inicial

(2) Asumamos una solución de (1) de la forma

(3) Sustituyendo esta en (1) y dividiéndola por el factor común obtenemos

(4)

o

(5)

Dejando

(6)

Una solución particular de (5) puede escribirse en la forma

(7) Donde y son constantes arbitrarias. Así obtenemos de (3) la siguiente solución particular de la Ec. (1),

(8) y son constantes arbitrarias. Si multiplicamos (8) por

, obtenemos


36

(9)

esta sigue siendo una solución de (1). La integral de T2 con respecto a los parámetros y en la forma

∫ ∫

(10)

es una solución de (1).

Si colocamos t = 0 en (10), obtenemos

∫ ∫

[ ]

(11)

La Ec. (11) representa la integral de Fourier de F(x). De aquí que la solución del problema está dada formalmente por (10). Esta puede simplificarse utilizando la bien conocida integral definida

∫ √

(12)

que se encuentra en la mayoría de Tablas de Integrales [9]. Utilizando esta integral, transformamos (10) en

√

∫

(13)

37

CAPÍTULO 2

ECUACIÓN LINEAL DE FLUJO DE CALOR La ecuación de flujo lineal de calor es, como antes fue descrita:

01

2

t

T

kx

T2

(1)

De aquí, se pueden calcular directa o indirectamente los parámetros físicos más relevantes relacionados con la transmisión de calor. Estos se describen en la Tabla 1.

Tabla 1. Parámetros físicos más importantes que se consideran en

el Flujo de Calor.

K Conductividad térmica del material i (cal/cm. s °C)

Difusividad Térmica Densidad del material i (g/cm.3) C Calor específico del material i (cal/g °C) v Temperatura

h = H/K H, conductancia superficial k = K/ c , densidad; c, calor específico

2/1

2

i

i

wa

Coeficiente de difusión térmica del material i (cm.-1), donde

ii

ii

c

i

ia

1

Longitud de difusión térmica del material i (cm.)

Capítulo 2

Ecuación lineal de flujo de calor


38

ii aj )1( Longitud de difusión térmica compleja del material i (cm.)

Frecuencia de modulación de la luz incidente (rad/s)

i Coeficiente de absorción óptica del material i (cm.-1)

i Relación de calores específicos (CP/CV) Eficiencia con la cual la luz absorbida es

convertida en calor o Potencia de luz monocromática incidente

(W)

1

Longitud de absorción óptica del material (cm.)

Longitud de onda de la luz monocromática incidente (nm)

Procedemos a indicar algunas soluciones de la Ec. (1) que más adelante aparecerá en varios contextos, junto con su significado físico. . La solución fuente. Consideremos la expresión

kt

x

etu 42/1

2

(2)

derivando

y

(a)

42

1

2

1

4

14

2

5

2

4

2

32

3

44

22/1

2222

kt

x

kt

x

kt

x

kt

x

e

kt

xe

t

teek

x

tt

t

u

capítulo 2 - ecuación lineal de flujo de calor

39

(b)

42

1

4

2

4

2

4

2

4

2

4

2

4

2

52

2

4

2

3

2

344

2

32

2

4

2

342

1

2222

22

kt

x

kt

x

kt

x

kt

x

kt

x

kt

x

e

tk

xe

ktkt

eekt

x

kt

x

x

u

e

kt

xe

kt

xt

x

u

Sustituyendo (a) y (b) en la Ec. (1) y cambiando u por T se obtiene la identidad por tanto la Ec. (2) es una solución particular de la Ec. (1). La solución (2) tiene las siguientes propiedades:

1. 0 fijoun valor para ,0 cuando ,0 xtu 2. ,0 si ,0 cuando , xtu

3. 0 todopara ,) (2 2

1

tkudx

Esta solución corresponde a la liberación de la cantidad de calor

2

1

) ( 2 kc Por unidad de área sobre el plano x = 0 en el tiempo t = 0, según se muestra en la Fig. 3.

Figura 1. Flujo lineal de calor Q sobre una superficie de área A.


40

Otras soluciones de la Ec. (1) se obtienen mediante diferenciación, o en algunos casos por integración, de la Ec. (2) con respecto a x o con respecto a t. . Una posible solución de la Ec. (1) definida por

dxet kt

x

0

42

1 2

Está aplicada en la siguiente expresión:

0

)(2

0

2

1

42

1 2

1

2

2 dekdxetkt

x

kt

x

donde el término

x

dex0

22 erf

(3)

se denomina Función Error. Para encontrar el significado de la función error procedemos al cálculo de la integral

0

2

dxe ax

Que se encuentra desarrollada en [2].

adxe ax

2

1

0

2

(a)

Para obtener la ecuación (a) hay que tener presente que la integral indefinida


41

dxe ax 2

se puede calcular haciendo un cambio de variables que permitirá deducir la integral definida. La Ec. (a) se escribe igualmente como

0

2

dyeI ya

(b)

De manera que el producto de las ecuaciones (a) y (b) es

0

)(

00 0

2 2222

dxdyedyedxeI yxaayax

(c)

Pasando las variables de integración a coordenadas polares r y , tenemos

drdrdxdyryx y 222

Figura 2. Representación esquemática de las coordenas esféricas El área que se integra es el primer cuadrante de la figura, de manera que la ecuación (c) se convierte en


42

a

ea

eda

rdrerdrdeI

arar

arar

442

1

2

2

00

2

00

2

22

22

(d)

La Ec. (d) es el cuadrado de la integral definida

adxeI ax

2

12

La función error es de gran utilidad en el cálculo de flujo de calor. La Ec. (3) puede escribirse:

2

1

)(2

erf

kt

xA

(4)

A es una constante. La Ec. (4) tiene las siguientes propiedades:

erf 0 = 0, erf = 1 erf(-x) = -erf x (5) Con las siguientes notaciones:

erfc x = 1-erf c (6)

Ierfc x = i1erfc x = d

x

erfc

(7)

,....,4,3,2 ,derfci erfci 1-nn nx

(8)


43

. Soluciones de la forma

2

1

)4( kt

xft m

. Debe verificarse para que satisfaga la Ec. (1)

01

2

t

T

kx

T2

Supongamos que f (z) es una solución de la ecuación diferencial

0422

2

mfdz

dfz

dz

fd

(9)

o

x erfc donde 0222

2niyny

dx

dyx

dx

yd

n es entero. Luego

2

1

n

2

1

)(4

erfci

kt

xt

n

(10)

es una solución1 de (1) IV. Solución en exponenciales. La expresión

) exp( 2 AxtkAPT (11)

1 Ribaud, C. R. Acad.Sci.Paris, 226 (1948) 140-2, 204-6, 449-51. Nordon, ibid.

228 (1949), 167-8, enfatizan que todos los valores de las n soluciones de (9) son funciones Weber (que son las funciones de Bessel de segunda clase).


44

Es una solución de la Ec. (1), ya que haciendo la diferenciación se cumple que (11) la satisface. P y A son constantes, reales o complejas. V. La solución de estado estacionario. Para el caso en el cual T es independiente del tiempo, la solución de (1) es

BAxT (12) Donde A y B son constantes. Hemos visto entonces que las Ecs. (4), (11) y (12) son, aparte de algunas modificaciones sencillas tales como el reemplazo de x por (x+a), soluciones de la Ec. (1) de la forma

)( )( txf . VI. Solución en serie de doble potencia Se puede verificar por sustitución que cualquier término de

...,)120 18030()60 20(

)1212() 6()2(3322246

62235

5

22244

33

221

tktxktkxxaxtktxkxa

tktkxxatxkxaktxaxaaT o (13)

Donde ao, a1,… son constantes, también satisface la Ec. (1). VII. Una solución que involucra dos funciones arbitrarias del

tiempo

! 2

2

k

x ! 42

4

k

x ! 3

3

k

x ! 52

5

k

x

(14)


45

Donde y son funciones del tiempo que también satisface la Ec. (1). Los puntos sobre ellas denotan primera o segunda diferenciación con respecto a t. Tiene la propiedad que

)(y )( tx

TtT

cuando x = 0.

2.1 EL SÓLIDO INFINITO: SOLUCIÓN DE LAPLACE Se requiere encontrar la solución de la ecuación de flujo lineal de calor

01

2

t

T

kx

T2

en la región infinita - < x < con la condición inicial T = f(x), cuando t = 0

La solución usual de este problema es como sigue:

De acuerdo con la Ec. { kt

x

etu 42/1

2

}, la expresión

kt

xx

e

kt

4

)'(

2

1

2

)(2

1

es una integral particular de la Ec. (1). Como la ecuación es lineal, la suma de cualquier número particular de integrales es también una integral, y así la expresión

')'(

)(2

14

)'(

2

1

2

dxexf

kt

T kt

xx


46

satisface la ecuación, asumiendo que esta integral sea convergente. colocando

,)(2' ktxx encontramos que

dektxfT2

})(2{1

en el límite cuando t 0,

),(})(2{ xfktxf si ésta función es continua; y se asume que el valor límite de esta integral está dada por

,)(1 2

dexf

la cual es igual a f(x), cuando t = 0.

Por tanto la temperatura en el sólido infinito en el tiempo t, debido a la temperatura inicial T = f(x), está dada por

' )'()(2

14

)'( 2

dxexfkt

T kt

xx

(1)

ya que

0

,2

2cos2

2

22a

b

xa ea

bxdxe

se tiene entonces


47

kt

xxtk e

ktdxxe 4

)'(

0

2

2

)(2)'(cos

Podemos transformar la expresión para T en la siguiente

0

, )'(cos)'( '1 2

dexxxfdxT tk

(2)

forma sugerida por la integral de Fourier para f(x). Ahora, es necesario considerar las condiciones sobre f(x) bajo las cuales éstas son válidas.

Se puede demostrar que si f(x) está circunscrita e integrable en cualquier integral dada como:

´´)( dxxf

y si ésta converge, entonces T dada por (1) tiene el límite, cuando t 0.

Si f(x) es continua en x, o

)0()0(2

1 xfxf si f(x) tiene una discontinuidad

ordinaria en x. También, si f(x) es continua en un intervalo cerrado [,],

T tiende uniformemente a f(x) en este intervalo a medida que t 0.

Estos resultados son, por ejemplo, si f(x) es cualquier polinomio, o si f(x) es de tipo exponencial:

| | | |

K y c son constantes. Algunos resultados de importancia práctica de (1), son:


48

(i) Si la región –a < x < a está inicialmente a una temperatura To y la región x > a está inicialmente en cero,

xkt

xa

kt

xaTT o ,

2erf

2erf

2

1 (3)

(ii) Si la región –a < x < a está inicialmente en cero y x > a está inicialmente a To,

xkt

xa

kt

xaTT o ,

2erfc

2erfc

2

1

(4) (iii) si inicialmente la región x > a está a cero, y

a

xaTT o )(

si a >x > 0, y

a

xaTT o )(

si –a < x < 0,

x

eekt

kt

xx

kt

xaxa

kt

xaxa

a

TT

kt

x

ekt

ax

kt

axo ,

2

2erf2

2erf)(

2erf)(

2 4

222

24

)(

4

)(2

1

(5)

(iv) Si el plano x = 0 es incapaz de ser penetrado por el calor, la solución toma la forma

0 0

0

4

)(

4

)(

2

22

cos' cos)'('2

´´)(2

1

dxexxfdx

dxeexfkt

T

tk

kt

xx

kt

xx

(6)


49

(v) Los resultados correspondientes a (1) en dos y tres dimensiones son

'')','(

4

14

)'()'()'( 222

dydxeyxfkt

T kt

zzyyxx

,

(7)

''')',','(

)(8

14

)'()'()'(

2

3

222

dzdydxezyxf

kt

T kt

zzyyxx

(8)

(vi) Si el cilindro infinito IxI < a, IyI < b está inicialmente a temperatura constante To, y la región infinita por fuera de él está inicialmente en cero,

2

1

2

1

2

1

2

1

)(2

erf

)(2

erf

)(2

erf

)(2

erf4

1

kt

yb

kt

yb

kt

xa

kt

xaTT o

(9)

(vii) Si el paralelepípedo IxI < a, IyI < b, IzI < c se encuentra inicialmente a temperatura constante To, y la región infinita por fuera de él está inicialmente en cero,

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

)(2

erf

)(2

erf

)(2

erf

)(2

erf

)(2

erf

)(2

erf8

1

kt

zc

kt

zc

kt

yb

kt

yb

kt

xa

kt

xaTT o

(10)

2.2. EL USO DE LAS INTEGRALES DE FOURIER Y LAS TRANSFORMADAS DE FOURIER.

La solución de Laplace está relacionada con la integral de Fourier para f(x) y, alternativamente, la solución puede ser deducida del Teorema de la Integral de Fourier. La forma más satisfactoria de llevarla a cabo es utilizar la Transformada de Fourier. A continuación se dará un breve


50

resumen del método, y se indica cómo este conduce a la solución de Laplace. El teorema de la integral de Fourier establece que, si f(x) está definida para todo x y satisface las condiciones de Dirichlet2 en cualquier intervalo finito, y si

)( dxxf existe,3

(1)

entonces

')'(cos)'(2

1

')'(cos)'(1

)(0

dxxxxfd

dxxxxfdxf

(2)

(3) en cualquier punto de continuidad de f(x), con un resultado correspondiente, digamos,

,)0()0(2

1 xfxf

en puntos de discontinuidad ordinaria.

2 Las llamadas condiciones de Dirichlet {Peter Gustave Lejeune Dirichlet (1805-1859) fue

un gran matemático alemán} hacen claro que una función no necesita ser continua para poseer una expansión de Fourier válida. Estas son satisfechas por una función con solamente un número finito de máximos, mínimos, y discontinuidades ordinarias. Significa que una función puede consistir de un número de arcos discontinuos de diferentes curvas, cada una definiendo una ecuación diferente, y todavía ser representable por una serie de Fourier. Ver C.R. Wylie, Jr. Advanced Engineering Mathematics, (248-249) McGraw-Hill, 1960.

3 Esta condición, la cual es extremadamente restrictiva, reduce en esta forma el valor del teorema integral de Fourier para aplicaciones prácticas. Los resultados para clasificaciones más amplias de la función pueden obtenerse usando las Integrales de Fourier Generalizadas (Titchmarsh, Theory of Fourier Integrals, Oxford, 1937) o el método de Transformación de Laplace relacionado; para la mayoría de aplicaciones en conducción de calor el último método es más conveniente.


51

Como

0')'(sen)'(2

1dxxxxfde xi

(4)

Se infiere de (3) y (4) de [ ], que:

')'(2

1)( ' dxexfdexf xixi

(5)

Esta expresión se conoce usualmente como la forma compleja del teorema integral de Fourier.

Si consideramos la forma

')'(2

1)( ' dxxfeF xi

(6)

entonces

.)(2

1)(

dFexf xi

(7)

Aquí F() y f(x) son llamadas las transformadas de Fourier de cada una: si alguna es conocida, la otra se obtiene siguiendo la fórmula apropiada (6) o (7). Hay otros dos casos de aplicaciones importantes: Si f(x) es una función impar de x, (2) se reduce a

0 0

'. 'sen)'( sen2

)( dxxxfxdxf

(8)

Esto puede ponerse en una forma tal que una cualquiera de las funciones


52

0

,' 'sen)'( 2

)( dxxxfF s

o

(9)

0

sen)( 2

)(

xdFxf s

(10)

puede implicar la otra. Las funciones Fs() y f(x) son conocidas como las Transformadas Seno de Fourier una de otra. Nuevamente, si f(x) es una función par de x, (2) se reduce

a

0 0

,''cos)'( cos2

)( dxxxfxdxf

(11)

esta puede colocarse de forma que una cualquiera de las funciones

0

,' ' cos)'(2

)( dxxxfFc

o

(12)

0

cos)(2

)(

xdFxf c

(13)

puede involucrar la otra. Fc () y f(x) son las Transformadas coseno de Fourier una de otra. Ahora se indicará cómo (6) y (7) se pueden aplicar a la solución de

0 , ,1

2

tx

t

T

kx

T2

(14)

0 , ),(con txxfT (15)


53

Observamos que tkxie

2

(16)

satisface a (14) para cualquier . De esta manera asumimos una solución general de (14) y (15)

detxT tkxi )(2

1),(

2

(17)

Para t = 0 tendremos

.)(2

1)(

dexf xi

(18)

Por tanto de (6) se sigue que

'.)'(2

1)( ' dxxfe xi

(19)

Luego, utilizando este valor en (17)

'.)'(2

1

')'(2

1

')'(2

1),(

4

)'(

)'(

'

2

2

2

dxexfkt

dedxxf

dxxfedetxT

kt

xx

xxitk

xitkxi

Claramente, para hacer este análisis más riguroso se necesita mayor discusión; Titchmarsh, citado anteriormente en pie de página, analiza el problema para el caso en el cual f(x) es de tipo exponencial.


54

2.3. EL SÓLIDO SEMI-INFINITO. TEMPERATURA INICIAL F(X). TEMPERATURA SUPERFICIAL CERO.

Consideremos nuevamente el sólido limitado por el plano x = 0 y que se extiende hasta el infinito en la dirección de x positivo. Fig. 3. La temperatura inicial dada por T = f(x), y el plano x = 0 se mantiene a temperatura cero. La solución de este problema puede deducirse del calculado para un sólido infinito.

Figura 3. Un sólido de extensión infinita hacia el lado positivo de x.

Suponemos que el sólido continúa hacia el lado negativo del plano x = 0, y la temperatura inicial en –x´ (x´ >0) es –f(x´ ), la temperatura inicial en +x´ es f(x´). Con esta distribución el plano x = 0 se mantendrá en temperatura cero. Entonces

0

4

)'(

4

)'(0

4

)'(

0

')'(2

1

' )'(' )'(2

1

4

2)'(2

22

dxeexfkt

dxexfdxexfkt

T

kt

xx

kt

xx

kt

xx

kt

xx

(1)

Es claro que este valor de T satisface todas las condiciones del problema del sólido semi-infinito cuyo plano limitante se mantiene a temperatura cero.


55

La expresión (1) para la temperatura puede transformarse en

0 0

0 0

, sen' sen)'('2

)'cos()'(cos)'('1

2

2

dxexxfdx

exxxxxfdxT

tk

tk

(2)

Esta forma fue sugerida por seno integral de Fourier. El resultado puede ser obtenido usando la transformada seno de Fourier, para el sólido infinito. Cuando la temperatura inicial es una constante, T, la expresión (1) puede simplificarse sustituyendo

ktxx 2' en la primera parte, y

ktxx 2' en la segunda. Así obtenemos

. 2

2

0

2

2

22

deT

deT

Tkt

x

okt

x

kt

x

o

Así que la solución del problema del sólido semi-infinito, cuya superficie se mantiene a temperatura cero, siendo To la temperatura inicial, está dada por

.2

erf

kt

xTT o

(3)

deducida de las propiedades de la función error que satisface la ecuación diferencial y las condiciones iniciales y de frontera. Es importante anotar que en este caso de temperatura inicial constante To y temperatura cero en la superficie, el resultado (3) depende del parámetro adimensional


56

kt

x

2

(4) Esto hace posible comparar temperaturas en lugares y tiempos diferentes en sólidos de diferente difusividad. Los resultados son similares para las franjas de enfriamiento y el gradiente de temperatura en cualquier punto, que a menudo es necesario calcular. La velocidad de enfriamiento en cualquier punto es

kt

x

o ekt

xT

t

T4

3

2

2

(5)

El gradiente de temperatura en ese lugar será

kt

x

o ekt

xT

x

T4

2

2

(6)

En términos del parámetro

kt

x

2 tenemos

kt

x

T

T

o 2erf

y

(7)

kt

x

oo

ekt

x

x

T

T

x

t

T

T

t4

2

22

(8)

A continuación se muestran algunos resultados que se obtienen de la Ec. (1): (i) Si la frontera x = 0 se mantiene a la temperatura constante To y la temperatura inicial es cero,


57

kt

xT

kt

xTT oo

2erfc

2erf1

(9) Que se obtiene adicionando T = To, x > 0, t > 0, el cual es una solución de la ecuación diferencial de conducción de calor, la solución (3) para la temperatura inicial -To y temperatura cero en la superficie. El flujo de calor en la superficie es

,0 kt

kT

x

TK o

x

(10)

que tiende a infinito a medida que t 0. (ii) Si la región x > 0 está inicialmente a una temperatura

constante To y la región x < 0 está inicialmente a temperatura cero

,2

erf12

1

kt

xT - < x <

(11)

(iii) Si la región x > 0 está inicialmente a una temperatura To + kx

y el plano x = 0 está mantenido a temperatura cero, kx

kt

xTT o

2erf

(12) (iv) Si la región 0 < x < d (d, es una región positiva arbitraria) está inicialmente a temperatura constante To, y la región x > d está a cero, la superficie x = 0 siendo mantenida en cero para t > 0,

.2

erf2

erf2

erf22

1

kt

dx

kt

dx

kt

xTT o

(13)

(v) Si la región a < x < b está inicialmente a temperatura

constante To, y las regiones 0 < x < a y x > b se encuentran a cero, la superficie x = 0 sigue siendo cero para t > 0,


58

.2

erf2

erf2

erf2

erf2

1

kt

bx

kt

bx

kt

ax

kt

axTT o

Los anteriores casos muestran entonces todas las posibles regiones de distribución de temperatura desde - .

(14)

2.4 SÓLIDO SEMI-INFINITO. TEMPERATURA INICIAL CERO. SUPERFICIE A TEMPERATURA (T).

Se ha determinado que, cuando la temperatura de la superficie varía con el tiempo, la solución puede ser deducida, por el Teorema de Duhamel4, suponiendo esta temperatura constante. Ahora, en el sólido semi-infinito, donde T debe satisfacer

2

2

x

T

t

T

donde T = 0 cuando t = 0 y T = 1 en x = 0, La solución es

kt

x

kt

x

dedeT2

0

2

22

2

2

1

Por consiguiente, si

2

2

x

T

t

T

T = 0 cuando t = 0 y T = (t) en x = 0. La solución está dada por

4 El Teorema de Duhamel se relaciona en el Capítulo 3.


59

,),()( dtxFt

T

[, es cierta variación temporal]

donde

)(2

2

2

),(

tk

x

detxF

En este caso )(4

3

)(4

22

)(2)(2

2),(

tk

x

tk

x

etk

x

tk

x

tetxF

t De esta forma la solución a nuestro problema es

t tk

x

d

t

e

k

xT

0 2

3

)(4

)(

)( 2

2

Colocando

)(2 tk

x

se tiene

,4

)(2

2

k

xt

y

. 4

2 2

2

2

2

dek

xtT

kt

x

(15)

Así, nuestra solución satisface la ecuación diferencial y las condiciones iniciales y de frontera.


60

2.4.a Un ejemplo en la determinación de la conductividad térmica. En el problema matemático, donde el sólido semi-infinito está inicialmente a temperatura cero y el punto x = 0 se mantiene a la temperatura unidad, la temperatura en el tiempo t es,

,0 kt

kT

x

TK o

x

kt

xT

2erf1

Luego la temperatura observada en cualquier punto x1 en el tiempo t1, puede calcularse conociendo el valor de

kt

x

21

, que se encuentra en una Tabla de Valores de la Función Error y también hallarse el valor de k. La dificultad en utilizar este método depende de que si el punto de la barra, x = 0, es calentado, digamos por una corriente de fluido a temperatura constante, se ha demostrado experimental-mente que no es verdadero que otro punto cercano en la barra logre inmediatamente la temperatura del fluido; y por tanto el concepto matemático de las condiciones del experimento pueden aceptarse sólo como una aproximación. Se ha dicho que es probable que sea una aproximación favorable para conductores pobres, pero para buenos conductores se introducen considerables errores y se debe tener cuidado con los arreglos experimentales; por ejemplo, incrementando amplia-mente la velocidad con la cual el fluido fluye sobre la superficie del sólido. Ya se han hecho varios intentos para eliminar esta dificultad. Kirchhoff y Hansemann supusieron que la temperatura en x = 0 podría darse por


61

)( tC donde C es una constante y

)( t una función del tiempo que era intrascendente excepto para pequeños valores de t. El valor de C estaría determinado por observaciones de la temperatura cerca del extremo calentado y se supone que no sea igual a la temperatura del fluido suministrado. Una modificación de este método asume que la temperatura superficial sea como

)1( teC donde es muy grande. En otro método de tratamiento del mismo problema la temperatura de dos puntos son analizados y las condiciones en x = 0 son solamente utilizadas para una adecuada solución matemática. Muchas de las soluciones matemáticas anteriores pueden ser utilizadas como bases de los métodos experimentales para medir la difusividad térmica. Además se considera una amplia gama de análisis de distribución de temperaturas para diferentes cuerpos y diferentes condiciones de frontera, pero no serán considerados en el presente trabajo. Mencionaremos los siguientes problemas relacionados con el sólido semi-infinito y se presenta la solución fundamental de cada una de ellas: Sólido semi-infinito. La temperatura de la superficie es una

función armónica del tiempo. Sólido semi-infinito. Radiación sobre la superficie en un

medio a temperatura cero. Temperatura inicial constante. Sólido semi-infinito. Radiación sobre la superficie en un

medio a temperatura f (t). Temperatura inicial cero.


62

Sólido semi-infinito. El flujo de calor en x = 0 es una función establecida del tiempo. Temperatura inicial cero.

Sólido semi-infinito con el calor generado dentro de él.

2.5 SÓLIDO SEMI-INFINITO. LA TEMPERATURA DE LA SUPERFICIE ES UNA FUNCIÓN ARMÓNICA DEL TIEMPO.

Los problemas de conducción de calor en sólidos con temperatura superficial periódica, son de gran importancia práctica. Estos problemas surgen en varios casos:

i. En estudios sobre fluctuaciones de la temperatura de la corteza terrestre debido al calentamiento periódico por el Sol.

ii. En diversos arreglos experimentales para la determinación de la difusividad.

iii. En el cálculo de las temperaturas periódicas (y de aquí de las tensiones térmicas periódicas) en las paredes de un cilindro de vapor y de los motores de combustión interna.

iv. En la teoría de control de temperatura automática en diversos sistemas.

Si la temperatura superficial en el sólido semi-infinito x > 0 es

)cos( tAT ;

siendo , constante de fase, y si la temperatura inicial es cero, la solución es

t

x

dex

tA

T

2

2

22

4cos

2

(1)

por la conocida integral definida,


63

0

2

1

2

2

2

2

1,

2cos

4cos

22

1

2

wxwtede

xt

wx

se deduce que (1) puede ser escrita en la forma

dex

tA

xtAeTkt

x

x

2

1

2

1

)(2

0

2

2

2

1

2

1

2

4cos

2

2cos

(2) El segundo término en (2) es una perturbación transitoria causada por la iniciación de las oscilaciones de la temperatura superficial en el tiempo t = 0; esta desaparece a medida que t se va incrementando, dejando solo el primer término que representa una oscilación estacionaria con periodo –

.2

También se considera la ecuación diferencial

01

2

2

t

T

x

T

(3)

y examinamos una solución de (3) de la forma

,)( wtiueT (4) donde u es una función de x únicamente. Sustituyendo (4) en (3) se ve que u debe satisfacer la ecuación:

.2

2

uidx

ud

(5) La solución de (5) la cual es finita a medida que x es


64

.2)1(

ix

ix

AeAeu

Así que, la solución de (4) de periodo

2

es

onda de número el representa , 2

k donde

,ksin

cos

2

1

xtAeT kx

(6)

(7)

La solución con valor

)cos( tA en x = 0 es

).kcos(-k xtAeT x (8) La Ec. (8) representa la temperatura con número de onda k y longitud de onda dada por

,4

k

2 2

1

n

(9)

donde n es la frecuencia

2 . Las propiedades importantes de la temperatura periódica estacionaria son las siguientes:


65

1. La amplitud de la oscilación de la temperatura disminuye de la forma

xxx eee

2 2

1

2k

,

(10)

Por tanto, cae más rápidamente para valores grandes de . Si la temperatura superficial está dada mediante una serie de Fourier, los armónicos más altos desaparecen rápidamente a medida que se penetra en el sólido. A una distancia de una longitud de onda la amplitud es reducida por un factor de exp-2 = 0,0019, de manera que las ondas estarán fuertemente atenuadas. Esto implica que la solución para el sólido semi-infinito puede, en realidad, ser utilizada para un conductor cuyo espesor es de una o dos longitudes de onda. 2. Existe un retraso progresivo

2

1

2k

xx

(11)

en la fase de la onda de temperatura. Este retraso se incrementa con . 3. Las fluctuaciones de temperatura, es decir, los lugares de máxima y mínima temperatura, son propagados dentro del sólido con velocidad

2

1

2 .

(12) Se deduce de (10), (11) y (12) que una medición de la amplitud o fase a una profundidad x, o de la velocidad de propagación, es suficiente para determinar la difusividad .


66

El flujo de calor F en la superficie es

).4

1cos(k 2

0

tKAx

TKF

x

(13)

Así que la temperatura estacionaria en el sólido semi-infinito el cual es calentado en su cara x = 0 por un flujo periódico

)cos( tF o es

).4

1kcos(

2k xt

K

FT o

(14) Aquí, la amplitud involucra las constantes térmicas Kc (inercia térmica) y de esta forma suministra un medio para medir esta cantidad. La expresión (8) contiene las cantidades adimensionales

tx y 2

(15)

Luego, si escogemos el origen del tiempo de manera que = 0, entonces (8) será

)cos(),( ef (16)

Cuando la temperatura de la superficie es una función periódica del tiempo de periodo

2

se puede obtener la solución utilizando las series de Fourier para (t):

....) 2cos() cos()( 2211 tAtAAt o (17)


67

Con este valor de (t) obtenemos de (8)

,2

cos2

1

1

2

nxtneAAT n

n

nx

no

(18)

Con la condición, de que

kt

x

2 sea pequeño. Por ejemplo, si la temperatura superficial es

)22()12( ,)(

,...2 ,1 ,0 ,)12( 2 ,)(

rtrTt

rrtrTt

o

o

(19) , es cierto espacio temporal. De manera que

tn

n

Tt

n

o )12(sin

)12(

14)(

0

La temperatura periódica estacionaria es

.2

)12( )12(sin

)12(

14 2

1

2

)12(

0

nx

tne

n

TT

nx

n

o

(20) Para efectos de mayor comprensión, consideremos la analogía con la teoría de líneas de transmisión eléctrica. Sea una varilla de área que no tiene pérdida de calor de su superficie. (Si existe una pérdida de calor a un valor proporcional a la temperatura, la analogía es con un cable submarino roto). Entonces la temperatura T y la fracción de flujo de calor en la varilla satisfacen


68

. ,

x

TKI

x

I

t

Tc

(21) Estas son precisamente las ecuaciones que se satisfacen por el potencial V y la corriente en una línea de transmisión con resistencias en serie

K

1

y capacitancia de derivación

c por unidad de longitud, y con cero inductancias y fugacidad. La teoría del comportamiento periódico estacionario de la línea de corriente es bien conocida y podemos considerarla en forma inmediata. Esta implica que el desempeño de una red térmica compleja puede ser tratado inmediatamente por los métodos de la teoría de circuitos. En esta representación la impedancia en serie por unidad de longitud de la línea es

KZ

1

y su admitancia de derivación es

ciY

Su impedancia característica Zo está dada por

)1(k

1

)(

1

2

1

2

1

iKciK

Y

ZZ o

(22) y la constante de propagación es

)1(k2

1

iYZ (23)

y V en cualquier punto de una línea semi-infinita están dadas por

. ,

x

TKI

x

I

t

Tc

(21) Estas son precisamente las ecuaciones que se satisfacen por el potencial V y la corriente en una línea de transmisión con resistencias en serie

K

1

y capacitancia de derivación

c por unidad de longitud, y con cero inductancias y fugacidad. La teoría del comportamiento periódico estacionario de la línea de corriente es bien conocida y podemos considerarla en forma inmediata. Esta implica que el desempeño de una red térmica compleja puede ser tratado inmediatamente por los métodos de la teoría de circuitos. En esta representación la impedancia en serie por unidad de longitud de la línea es

KZ

1

y su admitancia de derivación es

ciY

Su impedancia característica Zo está dada por

)1(k

1

)(

1

2

1

2

1

iKciK

Y

ZZ o

(22) y la constante de propagación es

)1(k2

1

iYZ (23)

y V en cualquier punto de una línea semi-infinita están dadas por


69

x

o

eVZ

VI ,

(24)

Este método ha sido completamente desarrollado por Marcus5 quien utilizó los métodos desarrollados en la teoría de guías de ondas, para estudiar el efecto de la temperatura oscilatoria, por un cambio en la sección transversal de un conductor.

2.6 SÓLIDO SEMI-INFINITO. RADIACIÓN SOBRE LA SUPERFICIE EN UN MEDIO A TEMPERATURA CERO. TEMPERATURA INICIAL CONSTANTE.

Cuando la temperatura inicial es constante e igual a To , las ecuaciones para T son las siguientes:

,0 cuando

, 2

2

tTT

x

T

t

T

o

0 cuando ,0

xhT

x

T

Sea

x

T

hT

1

entonces

0 cuando 0

0 cuando ,2

2

x

tTxt

o

luego

dueT

txkt

x

uo

2

0

22),(

5 Marcus, Carneige Institute of Technology Report (1953). Teoría

electromagnética/Marcus Zahn; ISBN:970-10-0000-5


70

Se observará que, cuando x , (x ,t) tiene el límite To. Para determinar T tenemos la ecuación

),( txhhTx

T

luego

detheCeTx

hhxhx

),( ,

por tanto

detxCeT hhx

0

),( ,

habiendo hecho . x

Pero como x , (x, t) tiene el límite To, y, como T debe ser finita, se concluye que C debe ser cero. Luego la solución a nuestro problema está dada por

ddueehT

detxhTt

x

uhoh

2

000

2

2

2),( .

Entonces

deet

Tdue

T

det

Tdue

T

ddued

de

Tduee

TT

t

thxthhxo

t

x

uo

t

xh

ot

x

uo

t

x

uhot

x

uho

0

4

) 2(2

0

0

4

)(2

0

2

00

0

2

0

2

22

2

22

2

2

2

2


71

En la segunda integral se coloca 2 2 ktuthkx

Luego

duedueeT

dueT

dueeT

dueT

T

t

thx

o

uuthhxot

x

uo

t

thx

uthhxot

x

uo

2

2

0

2

0

2

2

2

0

222

222

2

2

2

2

Por lo cual

,2

erfc2

erf2

tht

xe

t

x

T

T thhx

o

(1)

Donde erf x y erfc x son, respectivamente:

2

erf1 erfc

y

erf)(erf 1, erf ,2

erf

x

0

2

2

dexx

xxdexx

La temperatura de la superficie del sólido, Ts, obtenida colocando x = 0 en (1), está dada por

theT

T th

o

s erfc 2

(2)

Para valores grandes del tiempo la Ec. (2) está dada aproximadamente por la expansión


72

....4

3

2

11

12242 thththT

T

o

s

(3) Así que, cuando el enfriamiento ha venido llevándose a cabo por un tiempo bastante largo la temperatura de la superficie puede ser tomada como

th

T o

(4) con un error menor que

2

1333 )(2 th

T o

.

Para el problema de un sólido semi-infinito, inicialmente a temperatura cero, el cual es calentado en x = 0 por radiación por un sistema a temperatura oT , la solución es

tht

xe

t

x

T

T thhx

o

2erfc

2 erfc 2

(5)

La solución (5) puede expresarse en términos de cualquiera de los 2 parámetros adimensionales donde cada selección tiene sus propias ventajas.

hxtht

x ó , ,

2

(6) Se ha mencionado que la condición de frontera para la radiación puede surgir de varias maneras, notable en casos de transferencia de calor por convección forzada o radiación, y de transferencia de calor a través de una superficie delgada. En los primeros casos los valores de h pueden obtenerse de las formulaciones que se describen a continuación y los de la temperatura en cualquier posición y tiempo en el sólido semi-infinito pueden hallarse de la (5).


73

I. Condiciones iniciales. La temperatura a través del cuerpo se supone que se da arbitrariamente en el instante en el cual tomamos como origen del tiempo la coordenada t. Si esta función arbitraria es continua, se requiere encontrar una solución del problema la cual sería que, cuando t tienda a cero, se obtenga un valor dado. En otras palabras, si la temperatura inicial es

),,( zyxfT

La solución será T

t

T 2

de manera que ),,()lim( 0 zyxfv t

en todos los puntos del sólido. II. Condiciones de superficie o de frontera.

i. Temperatura superficial prescrita. Esta temperatura puede ser constante, o una función del tiempo o de la posición, o de ambas.

ii. No hay flujo a través de la superficie, es decir, 0

n

T

en todos los puntos de la superficie.

n

representa diferenciación en la dirección de la normal que sale de la superficie. iii. Flujo determinado a través de la superficie.


74

iv. Transferencia lineal de calor en la superficie. La condición de frontera de la radiación. Si el flujo a través de la superficie es proporcional a la diferencia de temperatura entre la superficie y el medio circunscrito, de manera que este está dado por

)( mTTH (a)

Donde mT es la temperatura del medio y H es una constante, la condición de frontera es

0,)( ó ,0)(K

HhTTh

n

TTTH

n

TK mm

(b)

A medida que h 0 ésta tiende a la condición de frontera (ii), y si h ésta tiende a la condición (i). La cantidad H se denomina la Conductividad de superficie o “externa”, pero usualmente se refiere a la conductancia superficial o el coeficiente de transferencia de calor superficial. Es a menudo más sencillo especificar la resistencia térmica superficial por unidad de área,

HR

1

Si, además de esto, está indicado el flujo F dentro de la superficie, (b) se reemplaza por

0

H

FTTh

n

Tm

(c) Que es de la misma forma que (b) con mT reemplazado por mT + (F/H).


75

2.7 SÓLIDO SEMI-INFINITO. RADIACIÓN EN LA SUPERFICIE DENTRO DE UN MEDIO A TEMPERATURA F (T). TEMPERATURA INICIAL CERO.

En este problema la temperatura T debe satisfacer

,2

2

x

T

t

T

0en )(

xtfhhT

x

T 0 cuando 0 tT

Procediendo como antes

x

T

hT

1

Tendremos las siguientes ecuaciones para determinar :

0 cuando 0

0 cuando )(

,2

2

t

xtf

xt

También hemos visto que

dex

tf

kt

x

2

2

22

4

2

y

dex

tfdeh

T

kt

x

h

2

2

2

0

2

4

)(2

(1)

Veremos enseguida algunos casos especiales:


76

(i) f(t) = A, constante en 0 < t < f(t) = B, constante en t > De aquí

0 ,2

erfc2

erfc2

tkthkt

xAe

kt

xAT thhx

(2)

ttkhtk

xeAB

kthkt

xAe

tk

xAB

kt

xAT

thhx

thhx

,)()(2

erfc)(

2erfc

) (2erfc)(

2erfc

)(2

2

(3)

(ii) )sin()( ttf

udueuhu

uxhuxuuh

xteh

hT

tu

x

0

22242

2

'

22

2

))((

)sincos)(sin cos( 2

)'sin(' )'[(

(4)

donde

'

'tany

2' 1

h

El primer término de (4) es la solución periódica estacionaria y tiene las mismas propiedades que

xtAeT kx ksin

cos

.


77

2.8 SÓLIDO SEMI-INFINITO. EL FLUJO DE CALOR EN X = 0 ES UNA FUNCIÓN ESTABLECIDA DEL TIEMPO. TEMPERATURA INICIAL CERO

(i) Flujo constante, Fo por unidad de tiempo por unidad de área. El flujo

x

TKf

(1) Satisface la ecuación diferencial

0 ,0 ,2

2

tx

x

f

x

f

(2) La solución de (2) con

,0 ,0 constante, , txFf o (3) es

kt

xFf o

2erfc

(4)

por lo que,

x

o dxkt

x

K

FT

2erfc

(5)

kt

x

K

ktFo

2ierfc

2

(6)

kt

xxe

kt

K

Fkt

x

o

2erfc

2

24

2

1 2

(7)

La temperatura en x = 0 está dada por


78

2

1

2

t

K

F o

(8)

(Recordemos K es la conductividad térmica) La condición de frontera para el flujo constante es de considerable importancia práctica. Esta condición aparece cuando:

a) el calor es generado por un elemento caliente que transporta una corriente eléctrica,

b) si el calor es generado por fricción, y c) como una aproximación en las etapas tempranas del

calentamiento de un horno o una habitación. Esta tiene también importantes aplicaciones a problemas sobre difusión. El enfriamiento de la superficie de la Tierra después del ocaso en una clara noche sin brisa es una representación aproximada a una razón constante de remoción de calor por unidad de área por unidad de tiempo, así que (8) da la forma con la que la temperatura de la superficie de la Tierra decae después del ocaso. Los resultados anteriores también se aplican al caso de la región (- < x < ) con un suministro de calor 2Fo en el plano x = 0. Los resultados correspondientes para el caso en que las regiones x > 0 y x < 0 sean de diferentes materiales se darán más adelante. (ii) La región x > 0 inicialmente a temperatura cero. Flujo f(t) por unidad de tiempo por unidad de área en x = 0.

t x

detf

K

T0 2

1 4

2

1

2

12

)(

(9)

Esto sigue de la Ec. (5) y del teorema de Duhamel.


79

(iii) La región x > 0 inicialmente a temperatura cero. El calor suministrado en x = 0 a una razón constante Fo por unidad de tiempo por unidad de área para el tiempo . En el tiempo el suministro de calor cesa y el extremo x = 0 se encuentra térmicamente aislado. La temperatura en el tiempo t está dada por (6) o (7) si 0 < t < , y si t > la temperatura se da por la siguiente ecuación

2

1

2

12

1

2

1

2

12

12

1

)(2

ierfc)(

2

ierfc2

t

xt

t

xt

K

F o

(10)

Esta nos da la temperatura cuando a un elemento plano de calentamiento se le suministra calor a una razón 2Fo por unidad de tiempo por unidad de área, luego el elemento se sumerge en un medio infinito y permanece encendido durante un tiempo al cabo del cual es desconectado. (iv) La región x > 0 está inicialmente a temperatura cero. El calor es suministrado en x = 0 a una razón

2

1 ) ( tK

Con la cual el calor se mantiene para que la superficie se sostenga en la temperatura unidad, por unidad de tiempo por unidad de área para el tiempo . En el tiempo el suministro de calor se detiene y la superficie queda aislada. La temperatura en el extremo x = 0 en el tiempo t es

t

t

,t

sin2

0 ,1

2

1

1

(11)


80

Esta ecuación indica la temperatura de la superficie del sólido semi infinito para el caso en el cual el extremo x = 0 se mantiene a la temperatura unidad para el tiempo y luego es aislado. La temperatura T en x para t > puede obtenerse de (9) como la integral definida

2

)(

0

4

)1(

0 2

1

2

1

)( 4

1

2

)(

1

2

1

22

2

1

2

u

due

t

deT

t

t

uxt

x

(12)

(v) La región x > 0 se encuentra inicialmente a temperatura cero. El flujo de calor en x = 0 para t > 0 es

)sin( t .

due

u

uxu

K

xte

K

T

tu

x

0

422

2

2

2

1

2

1

2

coscossin2

24

1sin

(13)

Como antes, el primer término de (13) es la solución periódica estacionaria, y el segundo es la parte temporal. (vi) Si el flujo en x = 0 es

,)22()12(

,1

sin

,)12(2

,1

rt

rt

rt

r

(14)

La parte periódica de la temperatura en x en el tiempo t es


81

1 22

1

2

1

2

1

2

2

1

2

1

)14(

4

12sin

)2(

24

1sin

2

n

nx

x

nn

nxtne

K

xte

K

(15)

Esta es una aproximación que se aplica al efecto del calenta-miento solar sobre la superficie de la Tierra en el equinoccio {el tiempo cuando el Sol cruza el ecuador, haciendo la noche y el día de igual duración en todas las partes de la Tierra. Esto ocurre en marzo 21 (equinoccio de invierno) y en septiembre 23 (equinoccio de otoño)}; la primera línea de (14) corresponde al tiempo nocturno y la segunda a las condiciones diurnas. La extensión de esta ecuación para cualquier latitud y estación ha sido realizada por Jaeger y Johnson (GeofisPura é Appl. 24(1953)104). Asimismo, Jaeger ha discutido la situación en la cual una superficie pierde calor por radiación de cuerpo negro, como una correspondencia aproximada a la temperatura de superficie de la Luna6. (vii) La región x > 0 está inicialmente a temperatura cero.

El flujon

toF

2

1

dentro del sólido para t > 0, donde n puede ser -1, 0 ó un entero positivo.

2

1

1)1(

2

12

1

) (2

erfci )4(

12

1

t

xt

K

nF

T nn

o

(16)

6 Cualquier atmósfera primitiva que la Luna pudiera haber tenido, ha escapado de la

débil atracción gravitacional de la Luna. Esta es sólo un sexto de la de la Tierra. Debido a la falta de atmósfera, la temperatura en la superficie de la Luna varía entre +110° C y -180° C. http://www.oarval.org/section3_7sp.htm


82

Aquí

1

2

1n es la función gama7 y

Donde xx

xx

erfc erfci

1,2,..., n ,d erfci erfci

0

1-nn

La temperatura superficial es

)1(2

12

1

2

3

2

1

12

1

no

t

nK

nF

(17)

2.9 EL SÓLIDO SEMI – INFINITO CON CALOR GENERADO DENTRO DE ÉL.

Para flujo lineal de calor, la ecuación diferencial es

K

A

t

T

x

T

12

2

(1) donde A, es el grado de producción de calor por unidad de tiempo por unidad de volumen y, en general, una función de x, t y T. Se considerará el caso en el cual A es independiente de T, donde hay tres métodos disponibles para la solución de (1):

7 La función gamma (x) , es de gran importancia en análisis y en aplicaciones. Esta función se define en términos de una integral impropia, la cual no puede calcularse en términos de funciones elementales. http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-inea/EcuacionesDiferenciales/EDO-Geo/edo-cap5-geo/laplace/node10.html


83

(ii) Integración de las soluciones fuente. (iii) Método de transformación de Laplace. (iv) Reducción de (1) a una forma homogénea

mediante un cambio de variable. Los dos primeros métodos son muy poderosos: aquí vamos a mostrar brevemente el tercero y dar algunos resultados los cuales son de interés en conexión con la generación de calor radiactivo en la corteza de la Tierra. Se resalta que la producción de calor es una función lineal de la temperatura y puede ser estudiada por otros métodos. (i) La región x > 0 con temperatura inicial (a + bx). El calor es producido a una cantidad constante Ao, por unidad de tiempo por unidad de volumen para t > 0. La superficie x = 0 se mantiene a temperatura cero. Aquí tenemos que resolver

0 ,0 ,01

2

2

tx

K

A

t

T

x

T o

con

T = a + bx, cuando t = 0 y

T= 0, x = 0, t > 0. colocando

,2

2xK

AuT o

estas ecuaciones vienen a ser

0 ,0 ,01

2

2

tx

t

u

x

u

con


84

0 cuando ,2

2 txK

Abxau o

y

u = 0, x = 0, t > 0. luego

,2

erf2

4

2

12

2

bxet

K

xA

t

x

K

xA

K

tAau t

x

ooo

y que

K

xAbxe

t

K

xA

t

x

K

xA

K

tAaT ot

x

ooo

22erf

2

2

4 2

12

2

(2)

(ii) El mismo problema de (i) excepto que la cantidad de producción de calor es

xo eA

t

xte

t

xtee

K

A

t

x

K

AabxT

xt

xtx

oo

2erfc

2

1

2erfc

2

11

2erf

2

2

22

(3)

(iii) El problema de (i) excepto que el calor es producido en la capa 0 < x < l

lx

t

xabx

t

xl

t

xl

t

x

K

tAT o

0

,2

erf2

erfci22

erfci22

erfci41 222

(4)

lx

t

xabx

t

x

t

xl

t

lx

K

tAT o

,2

erf2

erfci42

erfci22

erfci2 222

(5)


85

El gradiente de temperatura en la superficie x = 0 es

kt

l

K

tA

t

ab o

2ierfc

12

(6)

Para su aplicación a la temperatura en la corteza de la Tierra, el calor es generado en una capa menor de 50km de espesor, de manera que en (5) l es pequeña comparada con t2 . Así, podemos expandir (5) en potencias de l usando el teorema de Taylor para obtener

,2

erfc22

erf2

lxt

x

K

lA

t

xabxT o

(7)

para profundidades por debajo de la capa radiactiva. Asimismo el gradiente de temperatura en la superficie está dado aproximadamente por

...

2

2

t

ll

K

A

t

ab o

(8)

(iv) La región x > 0 con temperatura inicial cero. El calor es producido a una razón constante Ao por unidad de tiempo por unidad de volumen para t > 0 en la región 0 < x < l . No hay flujo de calor en x = 0.

lxkt

xl

t

lx

K

tAT

lxkt

xl

t

xl

K

tAT

o

o

,2

erfci2

erfci2

0 ,2

erfci 22

erfci 21

22

22

(9)

(10)


86

Que es también la solución para el caso de producción de calor en una cinta de espesor 2 l en un sólido infinito. (v) La región x > 0 y temperatura superficial inicial cero. El calor es producido a una razón constante Ao por unidad de tiempo por unidad de volumen para t > 0 en la región a < x < b. El gradiente de temperatura en la superficie es

t

b

t

a

K

tA o

2ierfc

2ierfc

2 2

1

(11)

(vi) La región x > 0 con temperatura inicial cero y producción de calor a una razón de

to eA

La superficie x = 0 se mantiene en cero para t > 0.

2

1i

)(2

erfR1erf tit

xee

c

A

t

x

c

AT

xtoo

(12)

Donde R implica que se ha tomado la parte real. (vii) La región x > 0 con temperatura inicial (a + bx). La producción de calor se da a una razón de

0. para teA xo

No hay flujo de calor en x = 0. (El problema es similar al calentamiento de un cuerpo por microondas).

t

xte

K

A

t

xte

K

A

eK

A

t

xkt

K

AbbxaT

xtoxto

xoo

2erfc

22erfc

2

2ierfc

22

22

22

2 (13)

87

CAPÍTULO 3 DIVERSAS APLICACIONES DE CONDUCCIÓN DE CALOR Y TEOREMA DE DUHAMEL

3.1 TEMPERATURA TERRESTRE: OSCILACIONES SUPERFICIALES

Con el propósito de registrar el cambio permanente de la temperatura terrestre, como prevención al tema particular, las gráficas siguientes fueron tomadas de: http://www.miliarium.com/prontuario/MedioAmbiente/CambioClimatico/Temperatura.htm, donde se muestra la evolución de los valores de la temperatura media de la Tierra de hace 140 años y de hace 1000 años registrados en el hemisferio Norte. Sin embargo esto nos da clara muestra del calentamiento que se está registrando actualmente.

Capítulo 3

Diversas aplicaciones de conducciónde calor y teorema de Duhamel


88

Los resultados de numerosas investigaciones establecen que las variaciones de la temperatura superficial terrestre, desde el calor del día al frío de la noche no afecta la temperatura de la Tierra en puntos a una profundidad entre 0,9 y 1,2m. Aproximadamente, por debajo de esa profundidad (sin las variaciones propias del calor del verano o el frío del invierno) la temperatura permanece prácticamente constante y no está sujeta a alteraciones por cambios que ocurran en la superficie. En otras palabras, las ondas de calor producidas por los cambios de temperatura en la superficie se disipan antes que penetren a una profundidad no mayor de 21m. [1] [10]. Por debajo de esta profundidad la temperatura se mantiene prácticamente constante día tras día y no está sometida a alteraciones debido a los cambios en la superficie. En otras palabras, las ondas de calor como resultado de los cambios de temperatura en la superficie, se disipan antes que ellas logren penetrar una profundidad mayor de 21m, y el calor que así es transferido a la Tierra oscila en la corteza superior. En ciertas épocas del año prosigue hacia adentro, en otras este calor asciende y se radia hacia el espacio en la superficie. Las oscilaciones periódicas de temperatura cerca de la superficie han sido consideradas por Fourier y Poisson con el propósito de determinar la conductividad térmica de rocas cerca de la superficie. Tomando la superficie como el plano x = 0 con temperatura periódica

)cos(1

n

nno tnTTT

(1)

La temperatura a una profundidad x es

2k donde ),kcos(

1

nkx

nxtneTTT nn

no

(2)

La teoría muestra que cada onda parcial se propaga hacia adentro con periodo inalterado, y las amplitudes de las ondas de


89

periodos más cortos disminuyen más rápidamente que aquellas de periodo mayor de manera que la variación periódica toma una forma sencilla a medida que se desciende; la onda principal con periodo más largo persiste hacia profundidades mayores. La profundidad a la cual la amplitud de variación anual es reducida en un factor 0.1 es aproximadamente √ veces de la variación diurna, correspondiendo a la aseveración anterior de que estas variaciones son observables a profundidades ~21m. y ~1,5m., respectivamente. El trabajo clásico sobre el uso de estas observaciones es el artículo de Kelvin sobre “La reducción de las observaciones de la temperatura subterránea”. Kelvin utilizó las observaciones de Edinburgh Forbes para un periodo de 18 años [11]. Se encontró una curva de temperatura media para un año y analizada armónicamente: así que, las temperaturas T1 y T2 a profundidades x1 y x2 fueron

1 1

''''''2

'''1 )cos( ),cos(

n nnnonno tnTTTtnTTT

(4)

Comparando los coeficientes entre (2) y (4) da

nkx' '

nkx'

' ' ' ,

eTT

eTT

TTT

nn

nn

ooo

nnnn nxnx 2

1

2' '2

1

1' k ,k

Con 2

1

2k

Por tanto


90

2

1

2

1

12

'' '

12

' ''

2k

lnln

nn

xxxx

TT nnnn (5)

Y bien sea de la amplitud o de la fase de cualquier armónico se puede utilizar esta ecuación para calcular (). Kelvin encontró acuerdo entre los valores de deducidos de la amplitud y la fase del primer armónico pero halló valores menos satisfactorios con los armónicos más altos. Estos métodos dan un valor promedio para la difusividad del suelo, pero es reconocido que la conducción de calor en las tierras es un proceso muy complicado, siendo afectada por la presencia de agua. La adición de agua a suelos secos causa un gran incremento en la conductividad térmica, ya que la difusividad usualmente se incrementa de 2 a 3 veces el valor en seco con un contenido de humedad de 5 a 10 por ciento. Cuando el suelo está periódicamente calentado, habrá fluctuaciones periódicas en su contenido de humedad así como en su temperatura, y la teoría basada en el supuesto de una difusividad constante puede dar solamente resultados aproximados. La teoría propuesta arriba solamente da las fluctuaciones de temperatura a varias profundidades en términos de las presentadas en la superficie y no da valores absolutos. Para obtenerlos es necesario conocer la razón a la cual la radiación es recibida del Sol, la fracción con la que pierde la superficie de la Tierra, y la manera con la que es absorbida por la atmósfera: esto último es particularmente difícil de estimar teniendo en cuenta la parte predominante que en el proceso juega el vapor de agua. Sin embargo, para los días con cielos sin nubes, Brunt obtuvo curvas que estuvieron de acuerdo con la observación asumiendo que la Tierra pierde calor por radiación a una proporción constante tanto en el día como en la noche, y que el calor recibido del Sol está una razón proporcional al coseno de la


91

distancia cenit (máxima) del Sol. La temperatura media de la superficie, está determinada enteramente por la radiación solar y el flujo de calor desde el interior es indiferente desde este punto de vista. En conclusión, al penetrar la corteza de la Tierra se observa un cambio en la temperatura y, en general, ésta aumenta; a esa variación de la temperatura con la profundidad se le llama gradiente geotérmico, con valores entre 10oC /km y 50oC/km y en el piso oceánico se ha dado un valor de 40oC por km. Otras observaciones [2] señalan que el gradiente geotérmico en la corteza terrestre varía mucho de un lugar a otro desde 10°C/km y, en algunas zonas especialmente cerca de volcanes, hasta 200-800°C/km. Se considera que el valor del gradiente geotérmico normal es un promedio entre 25 y 35°C/km. La radiación es una forma de transporte de calor y es importante a temperaturas altas; en realidad todos los cuerpos que tienen temperatura por arriba del cero absoluto emiten radiación, pero la frecuencia de radiación emitida es proporcional a la temperatura del material: los seres humanos emitimos radiación en el infrarrojo (IR) y un trozo de hierro calentado a temperaturas muy altas empezará a emitir en el espectro visible. De esta forma observamos que el transporte de calor en el interior de la Tierra va a depender de la temperatura y de las características del material. Las manifestaciones termales superficiales (manantiales, géiseres, fumarolas, etc.,) son la prueba visual del calor encerrado en el interior de la Tierra. La corteza se comporta como un sólido y tiene temperaturas relativamente bajas. El manto se comporta como un fluido y como la convección (otra forma de transporte de calor) es mucho más eficiente en este caso, ése es el principal medio de transporte, aun cuando las temperaturas relativamente altas hacen posible que la energía también se transporte por medio de radiación.


92

El transporte de calor desde el interior hacia la superficie no es el único mecanismo de disipación de energía. La continua creación y destrucción de montañas consume 2,4x 1016 cal/año; los sismos liberan 2,4x1018cal/año; los 800 volcanes activos en la Tierra producen cerca de 1 km3 de lava por año, o sea, 1,2x 1016 cal/año y para efectos de comparación con los mecanismos de disipación de calor, la Tierra pierde 2x1020 cal por conducción de calor a través de su superficie [2].

3.2 EL GRADIENTE GEOTÉRMICO Y EL FLUJO DE CALOR DE LA TIERRA

Desde los tempranos días de la minería se sabe que la temperatura en la Tierra se incrementa con la profundidad. La distancia vertical entre dos puntos cuya temperatura difiere en 1°C (algunas veces llamada el escalón geotérmico) es del orden de los 80 pies ( 24,38m). Al parecer, en minas profundas, se tienen altas temperaturas que agregan dificultades a la minería profunda. Se han realizado muchas mediciones de temperatura en cavidades profundas, y la razón o rata de incremento de temperatura con la profundidad tiene un valor aproximado entre 10°C y 50°C por kilómetro; algunas mediciones se han realizado en el piso oceánico dando un valor de 40°C por km. Se muestra en la Figura 1 un gráfico donde se muestra la variación de la temperatura con la profundidad [6].


93

Figura 1. Variación de la Temperatura en el interior de la Tierra

(adaptado de [6]) Los valores de referencia anteriores se refieren a regiones muy distantes de alguna actividad volcánica; en regiones térmicas y cerca de volcanes activos, las temperaturas observadas son mucho más altas. Se obtiene de los cálculos siguientes, que las diferencias mencionadas arriba se deben principalmente a diferencias en la conductividad térmica de las rocas involucradas, y cuando estas son tenidas en cuenta en todos los puntos de la Tierra (incluyendo el piso oceánico) son consistentes con un flujo que varía aproximadamente entre 0.6 y 2.0 x 10-6 cal/cm.2 seg., entre regiones diferentes. El valor medio está cerca de 1.2x10-6.


94

Para determinar la forma teórica de la variación de temperatura con la profundidad, se supone que la conductividad térmica K y la producción de calor Q son funciones solamente de la profundidad x por debajo de la superficie. La ecuación de flujo estacionario es, como vimos anteriormente,

Qdx

dTK

dx

d

(1)

Si introducimos la variable

x

K

dx

0

(2)

siendo 1/K = R la resistividad térmica del sólido, la resistencia térmica total del sólido entre la superficie y la profundidad x. por (2),

dx

dTK

d

dT

(3) De manera que es una medida del flujo de calor. Usando (3) en (1) da

.2

2

QKd

Td

(4)

KddxK

dx

Qdx

dTK

dx

d

x

0

,

Procedimiento:


95

QKd

Td

QKd

dT

d

dQ

d

dT

Kd

d

2

2

, ,

(i) Caso cuando no hay generación de calor, Q = 0. Tomemos la (4)

.2

2

QKd

Td

si Q = 0,

02

2

d

Td

identificada como la Ecuación de Laplace, cuya solución general está dada por la función lineal [3]

FTT o derivando

0 ,2

2

d

TdF

d

dT

To y F son constantes que pueden ser interpretadas como la temperatura superficial y el Flujo de calor, respectivamente. Así, en ausencia de fuente de calor, el gráfico de T contra es una línea recta y, las temperaturas observadas utilizando mediciones de conductividades, permite anular muchas aparentes anomalías. El valor de To encontrado está de acuerdo con la temperatura media anual del aire, efecto que puede atribuirse a la evaporación.


96

(ii) Suministro de calor a una proporción Q por unidad de tiempo por unidad de área en el plano 1.

11

1

,)(

0 ,

QFQTT

FTT

o

o

(5)

Se deduce que un cambio súbito en la pendiente de T contra se debe a un suministro o remoción de calor a esta profundidad, por ejemplo debido a flujo de agua. (v) Suministro de calor a una cadencia constante en una

región.

Que puede surgir de 3 maneras: Transporte de calor por aguas profundas, Por radiactividad, Reacciones químicas de cuerpos cerca de la mena

(combinación natural de minerales) Como ejemplo consideremos el caso de 3 placas:

Figura 2. Disposición de tres placas unidas, de diferente conductividad

térmica. K = K1, Q = 0, en el espacio 0 < x < x1.


97

K = K2, Q = Q2, en x1 < x < x2 K = K3, Q = 0, en x > x2, donde K1, K2, K3, Q2 son constantes. Entonces

3

3

2122

2

2122

2

12

1

1

21

2

212

2

1

1

1

1

1

;)()(

2

)()(

,2

)()(

0 ,

xxK

xxxxQF

K

xxQ

K

xxF

K

FxTT

xxxK

xxQ

K

xxF

K

FxTT

xxK

FxTT

o

o

o

(6)

Aparece de (4) y (6) que la curva de T contra es cóncava hacia abajo en una región en la que se produce calor. La formulación dada por (6), ha sido usada frecuentemente para estimar las temperaturas en la corteza tomando el valor de F en la superficie y habiendo asumido distribuciones constantes de radiación. Estas consideraciones se modifican por condiciones geológicas como efectos de levantamiento y erosión, el efecto del desplazamiento de una superficie horizontal, el efecto de las variaciones en la conductividad, y el efecto de cambios en la temperatura superficial. El caso desde donde otros pueden construirse, es tomando una edad glacial de duración en la que la superficie se mantiene en cero y su temperatura anterior o posterior a este tiempo sea To. Tomando la época glacial como el tiempo t = 0, asumimos que en el tiempo t = - la temperatura fue T = To + Gx correspondiente a un gradiente geotérmico constante G. Teniendo en cuenta que si la frontera x = 0 se mantiene a temperatura constante T siendo la temperatura inicial 0

kt

xT

kt

xTT oo

2erfc

2erf1

Entonces la temperatura en un tiempo t > 0 es


98

kt

xT

tk

xTGxTT ooo

2erf

)]([2

erf2

1

(7)

3.3. TEOREMA DE DUHAMEL Este teorema de transferencia de calor, se aplica cuando las condiciones de superficie están establecidas como funciones del tiempo. No hay producción de calor y la solución puede ser deducida de condiciones superficiales constantes: Si ),,,,( tzyxFT representa la temperatura en (x, y, z) en el tiempo t, en un sólido, en que la temperatura inicial es cero y su temperatura superficial (x,y,z,), entonces la solución del problema es

dtzyxFt

Tt

),,,,(0

Cuando la temperatura superficial es cero desde t = - a t = 0, y (x,y,z,) desde t = 0 hasta t = t, podemos decir que la temperatura inicial es cero y la temperatura de la superficie es (x,y,z,), de manera que la temperatura en el tiempo t está dada por

),,,,( tzyxFT , cuando t > 0.

Por consiguiente, cuando la temperatura de la superficie es cero desde t = - hasta t = y (x, y, z,) desde t = hasta t = t, tenemos

ttzyxFT cuando ),,,,,( .

También, cuando la temperatura de superficie es cero desde t = - hasta t = + d y (x, y, z,) desde t = + d hasta t = t, tenemos


99

dtdtzyxFv cuando ),,,,,( ,

De aquí, cuando la temperatura de superficie es cero desde t =- hasta t = , (x,y,z,) desde t = hasta t =+d, y cero desde t =+d hasta t = t, tenemos

),,,,,(),,,,( dtzyxFtzyxFT

Finalmente ).( ),,,,(

tdtzyxF

tT

De esta manera, separando el intervalo t = 0 hasta t = t en dos pequeños intervalos, y luego sumando los resultados así obtenidos, encontramos la solución al problema para la temperatura de la superficie (x, y, z, t) en la forma

.),,,,(0

t

dtzyxFt

T

Ejemplo. 1. Suponga que la temperatura en el plano (x, y) está dada por . Dibuje algunas curvas isotérmicas, correspondiendo, por ejemplo, a T = 1, 2, -1, -2. Encuentre la dirección en la que la temperatura cambia más rápidamente con las distancias desde el punto (1,1), y la máxima razón de cambio. Encuentre la derivada direccional de T en (1,1) en la dirección del vector 3i-4j. El calor fluye en la dirección (perpendicular a las isotermas). Dibuje unas pocas curvas hacia donde podría fluir el calor [7] Solución. es la temperatura. Dibujaremos algunas isotermas (curvas a temperatura constante) .Fig. 3. La dirección en la que la temperatura cambia más rápidamente en el punto (x, y) está dada por el gradiente


100

El calor fluye en la dirección . Dibujamos algunas curvas hacia donde fluye el calor; estas son perpendiculares a las isotermas.

Figura 3. Curvas de distribución de calor en el plano x-y.

En el punto (1,1), ; así que la temperatura se está incrementando más rápidamente en la dirección y el calor fluye en la dirección . El valor máximo de

en (1,1) es | | . La derivada direccional de T en la dirección en (1,1) está dada por la ecuación derivada direccional:

donde y

.

entonces


101

Ejemplo. Un caso enteramente diferente de problemas que conducen a ecuaciones diferenciales parciales se encuentra en el estudio de flujo de calor en regiones conductoras [8]. Para obtener la ecuación que gobierna este fenómeno debemos hacer uso de los siguientes hechos experimentales:

a) El calor fluye en la dirección en que la temperatura disminuye.

b) La razón con la cual el calor fluye a través de un área es proporcional al área y al gradiente de temperatura normal a esa área.

c) La cantidad de calor ganada o perdida por un cuerpo cuando cambia su temperatura es proporcional a la masa del cuerpo y al cambio de temperatura.

La constante de proporcionalidad en b) se llama conductividad térmica del material, k. La constante de proporcionalidad en c) es llamada el calor específico c. Consideremos las condiciones térmicas en un elemento infinitesimal de un sólido conductor (Fig. 4)

Figura 4. Condiciones térmicas en un elemento infinitesimal de un

sólido conductor. Si el peso del material conductor por unidad de volumen es , la masa de tal elemento es


102

Entonces si u es el cambio de temperatura que ocurre en el intervalo t, la cantidad de calor almacenada en el elemento en este tiempo es, por c,

Y la relación con la que el calor está siendo almacenado es aproximadamente

El calor que produce este cambio de temperatura u viene de dos fuentes. En primer lugar, el calor puede ser generado a través del cuerpo, por medios eléctricos o químicos por ejemplo, a una razón conocida por unidad de volumen, digamos f(x, y, z, t). La razón con que es recibido el calor por el elemento desde esta fuente es entonces

En el segundo caso, el elemento puede ganar también calor en virtud del calor transferido a través de sus diversas caras. Flujo de calor a través de una pared compuesta. La Figura 5, representa una pared compuesta, formada por dos materiales de diferente espesor y de distintas conductividades térmicas.


103

Figura 5. Flujo de calor a través de dos láminas juntas de diferente

espesor El flujo de calor a través de la sección 1 es

Y a través de la sección 2

A, es el área. En estado estacionario ambas corrientes son iguales por el hecho de que han llegado ambas superficies a un equilibrio térmico, por tanto

∑


104

En particular, la relación con la que el calor fluye dentro del elemento a través de la cara anterior EFGH es, por b, aproximadamente

|

Donde, como en una figura media, utilizamos el gradiente de temperatura en el punto medio de la cara (

). El signo menos es necesario debido a que el elemento gana calor a través de la cara trasera si el gradiente normal de temperatura, es decir, la razón de cambio de la temperatura en la dirección x, es negativa. En forma similar el elemento gana calor a través de la cara frontal aproximadamente a la razón

|

La suma de estas dos expresiones es la razón neta a la cual el elemento está ganando calor debido al flujo de calor en la dirección x. De la misma manera encontramos que las razones con las que el elemento gana calor debido al flujo en la dirección z y en la dirección y, son respectivamente:

|

|


105

|

|

Ahora la razón a la cual el calor está siendo almacenado debe ser igual a la razón con la cual el calor está siendo producido más la razón con la cual el calor está fluyendo dentro del elemento de parte del resto de la región. De aquí tenemos la relación aproximada

(

{

{

)

(

{

{

)

(

{

{

)


106

Finalmente, dividiendo por y dejando que se aproximen a cero, obtenemos la ecuación de conducción de calor

El parámetro a en esta ecuación no tiene dimensiones de velocidad. En casos importantes, el calor no es generado ni se pierde en el cuerpo y estamos interesados solamente en el límite de distribución estacionaria de temperatura cuando todo cambio de temperatura con el tiempo haya cesado. Bajo estas condiciones tanto f(x,y,z,t) y son idénticamente cero, y la ecuación anterior será simplemente

Esta ecuación muy importante, que surge en muchas aplicaciones en relación con flujo de calor estacionario, es la ecuación de Laplace y es escrita en forma abreviada como

Pregunta: ¿Cuál es la forma de la ecuación de calor si la conductividad térmica k y el calor específico c varían de un punto a otro en el cuerpo? Respuesta:

( )

( )

( )

Donde c y k son funciones de x, y, y z.


107

En resumen, el proceso causante de la conducción de calor es que las moléculas con una cierta energía cinética que atraviesan un plano se mezclan con moléculas de menor energía. CONCLUSIÓN Extrema precaución ha de tenerse en cuenta para declarar que este breve estudio es el súmmum de la teoría de la conducción de calor. La base textual de es.answers.yahoo.com/ informa de “una estimación basada en la desintegración radiactiva del potasio en argón de los restos arqueológicos da la fecha de 1,4 millones de años atrás como la de posible invención del fuego por algún primitivo ejemplar de Homo erectus”. Y de aquí en adelante no se ha dejado de producir fuego para diferentes usos. Tampoco hay fecha precisa de cuándo se iniciaron los trabajos científicos sobre el tema pero mucha información coincide en gran parte sobre los trabajos de William Thompson (Lord Kelvin) que dieron rienda suelta a toda la teoría de la termodinámica en los procesos de transferencia de calor como una forma de energía y cómo con ella puede producirse trabajo. Las sofisticadas y avanzadas formas de aprovechar la combustión es parte permanente del uso de infinidad de formas para traducir calor en trabajo y viceversa, desde una pequeña fuente en el hogar hasta el funcionamiento de las poderosas naves de los viajes espaciales. El tema de transporte de calor y sus diferentes usos y aplicaciones es una cuestión que conlleva mucha investigación y alerta la prevención para su manejo sin acarrear consecuencias desastrosas para nuestro planeta Tierra.


108

9 789588 896007

ISBN 958-8896-00-2

aplicaciones de la conducciÓn de calor en sÓlidos€¦ · figura 2. una pared doble con...

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