Aplicación de un modelo estocástico

en un proceso de manufactura

Análisis de Modelos estocásticos:Generalidades

Distribuciones de Probabilidad

Al modelar un sistema se debe diferenciar entre dos tipos de datos: los primeros permanecen sin cambio a través del tiempo y se conocen como” parámetros”: los segundos presentan cambios a través del tiempo y se conocen como “variables”.

Distribuciones continuas

Este tipo de distribución se utiliza para modelar la aleatoriedad en aquellas actividades o eventos en los cuales los valores de las variables pueden estar dentro de un rango de valores de las variables pueden estar dentro de un rango de valores reales. A continuación se describen algunas de las funciones continuas mas utilizadas.

Distribución Uniforme

Distribución Exponencial

Distribución Normal

Distribuciones discretas

Este tipo de distribución sirven para modelar la aleatoriedad de una variable que solo puede tomar valores enteros. Las siguientes distribuciones son algunos de las mas utilizadas en el modelado de sistemas estocásticos.

Distribución Bernoulli

Distribución uniforme discreta

Distribución binomial

Distribución Poisson

LINEAS DE ESPERA

Una línea de espera es el efecto resultante en un sistema cuando la demanda de un servicio supera la capacidad de proporcionar dicho servicio. Este sistema está formado por un conjunto de entidades en paralelo que proporcionan un servicio a las transacciones que aleatoriamente entran al sistema. Dependiendo del sistema que se trate, las entidades pueden ser cajeras, maquinas, semáforos, grúas, etc. Mientras que las transacciones pueden ser: clientes, piezas, autos, barcos, etc.

Una línea de espera puede modelarse como un proceso estocástico en el cual la variable aleatoria se define como el número de transacciones en el sistema en un momento dado; el conjunto de valores que puede tomar dicha variable es (0, 1, 2, 3…N) y cada uno de ellos tiene la probabilidad de ocurrencia (P1, P2, P3,…, PN)

Objetivo

En las líneas de espera, existen dos costos perfectamente identificados: el costo de las transacciones, que representa la cuantificación monetaria de la pérdida de tiempo al esperar recibir un servicio o la pérdida de clientes por abandono del sistema, y el costo de proporcionar el servicio, que representa la cantidad de dinero que hay que pagar por cuestión de sueldos y salarios, energía, mantenimiento y depreciación del personal o equipo.

S.A

S: Número de entidades que proporcionan servicio.

E (t): Tiempo promedio de servicio.

Lq: Número de transacciones en espera.

Ce: Costo de servicio por entidad-tiempo.

Cq: Costo de espera por transacción-tiempo

Ct: Costo total por unidad de tiempo.

Gráficamente

Estructura

Servidores

Representan al mecanismo por el cual las transacciones reciben de una manera completa el servicio deseado. Estas entidades se encuentran dispuestas en forma paralela a la fila, de tal manera que las transacciones pueden seleccionar a cualquiera de ellas para el suministro de dicho servicio. Las dos características principales de los servidores son: la cantidad asignada por cada fila existente en el sistema y la distribución de probabilidad del tiempo de atención a las transacciones o de la velocidad de servicio; dentro de las distribuciones más comunes están la exponencial, la erlang, la hiperexponencial, la degenerada.

Transacciones potenciales

Representan el número total de clientes que podrían requerir el servicio proporcionado por el sistema y es necesario definir dos características para este conjunto de elementos: la primera tiene que ver con el tamaño del conjunto potencial de clientes, dando, en consecuencia, conjuntos limitados o finitos y en otros casos conjuntos ilimitados o infinitos. La segunda característica se refiere a la distribución de probabilidad del tiempo entre llegadas o bien a la tasa de entrada promedio.

Fila

Es el conjunto de transacciones que espera ser atendida por alguno de los servidores del sistema. Una fila tiene tres características principales, la primera se refiere a la capacidad, o sea, al número máximo de transacciones que pueden permanecer en ella en un mismo instante y de acuerdo con este número se clasifican como finitas o infinitas.

Nomenclatura

Clasificación de Kendall y Lee

En 1953 Kendall y Lee propusieron un sistema de clasificación de los sistemas de líneas de espera, ampliamente utilizado en la actualidad. Esta clasificación considera seis de las características mencionadas en la estructura de los modelos de líneas de espera, expresándolas en el formato (a/b/c) (d/e/f) donde:

Agrupación de los modelos de acuerdo con el procedimiento matemático de solución.

Ecuaciones generales

Las medidas de desempeño con que trabajan en teoría de colas son principalmente las siguientes:

Utilización del servicio

Utilización del servicio

Número promedio de clientes en el sistema

Tiempo promedio de espera en el sistema

Tiempo promedio de espera en la fila

Procesos Markovianos

El proceso estocástico utilizado en la modelación de una línea de espera tiene la propiedad markoviana, ya que la probabilidad condicional de llegar a un estado futuro depende exclusivamente del estado actual en el que se encuentre el sistema, sin importar el estado inicial de dicho sistema. Este conjunto de probabilidades condicionales se conoce como probabilidades de transición de un paso y hay que considerar que son estacionarios, o sea que no cambien con el tiempo. Estas probabilidades se expresan como pij.

Las probabilidades condicionales de la matriz deben cumplir con:

Matriz de probabilidades de un paso

MODELAMIENTO DE UN PROCESO DE MANUFACTURA

Planteamiento del problema

A la siguiente red de manufactura de tipo taller de producción intermitente entran 2 piezas/h con distribución de Poisson. Después de la primera operación, las piezas se distribuyen a las demás operaciones de acuerdo con las proporciones mostradas en el diagrama.

Si el número de operarios y la distribución de los tiempos de proceso son:

Determine:

a) El inventario promedio y la utilización de cada una de las estaciones.

b) La estación cuello de botella.

Nota: La distribución de probabilidad de las llegadas a taladrado y a escariado se conserva como poisson, aunque con media más baja en cada una ya que el flujo de 2 piezas/h se divide.

Desarrollo

Modelo de la estación fresado

Velocidad de entrada

Velocidad de atención

Diagrama

Modelo: (M/M/1):(FIFO/∞/∞)

El porcentaje de utilización

Inventario promedio en la fila

Modelo de la estación taladrado

Velocidad de entrada

Velocidad de atención

Diagrama

Modelo: (M/M/1):(FIFO/∞/∞)

El porcentaje de utilización

Inventario promedio en la fila

Modelo de la estación taladrado

Velocidad de entrada

Velocidad de atención

Diagrama

Modelo: (M/M/1):(FIFO/∞/∞)

El porcentaje de utilización

Inventario promedio en la fila

CONCLUSIÓN 

Del análisis de los modelos se puede ver que las estaciones donde se presenta cuellos de botella son: Fresado y taladrado, por lo que habría que hacer un análisis económico para ver es conveniente aumentar más operarios en estas estaciones.

Gracias