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Apêndice B Produto
Modelos Atômicos – Dos gregos aos quânticos
1. O atomismo grego 1.1 - Introdução
Ao longo da história diferentes concepções filosóficas e teorias científicas foram
desenvolvidas para poder explicar as propriedades do mundo material que nos rodeia.
De que é formado tudo o que permeia o universo? Os filósofos gregos, há mais de 2500
anos, já buscavam respostas para essa pergunta. Para isso apresentaram concepções
acerca do átomo que mudaram toda a forma de conceber a natureza.
Uma das respostas foi dada por Tales de Mileto (640 – 550 a.C). Para ele, o
elemento fundamental da matéria seria a água. Tudo na natureza, desde o fogo até os
animais, são alimentados pela água. Ele acreditava que o céu era uma esfera cheia de
água no qual flutuava a Terra.
Outra teoria, até hoje bastante famosa, proposta por Empédocles (484 – 421
a.C), foi a dos quatros elementos: ar, terra, fogo e água. Esses quatros elementos, que
Empédocles chamava de “raízes”, se combinavam para formar tudo o que existe. Os
“elementos” se agregam ou se separam para dar forma, crescimento e destruição dos
corpos presentes na Natureza. Então, para ele existia uma “força”, o amor ou o ódio,
que fazia com que os elementos se juntassem ou se separassem, porém nunca se
destruíssem. Os elementos eram imutáveis na concepção de Empédocles.
Aristóteles (384 – 322 a.C) aceitava a ideia dos quatros elementos, porém
acrescentava um quinto: o éter. Para Aristóteles o éter (do grego “céu”) era o elemento
que permeava todo o universo, ou seja, era etéreo, e do qual era formado as estrelas, o
quinto elemento da natureza. O éter era considerado leve e mais perfeito que os outros
quatro elementos.
Essa concepção para o éter foi bastante difundida no mundo ocidental e sua
existência foi exaustivamente procurada no início do século XX (MARTINS, 2001).
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1.2 - As concepções do átomo na antiguidade
O conceito de átomo surgiu aproximadamente a 450 a.C, quando o filósofo
grego Leucipo (480 - 420 a.C) afirmou que a matéria é descontínua, formada por
partículas discretas, indivisíveis e invisíveis. Demócrito (460 - 370 a.C), discípulo de
Leucipo, batizou tais partículo de átomo (do grego indivisível).
Para esses pensadores, se um determinado corpo fosse partido uma série de
vezes, obteríamos a sua menor parte, indivisível e indestrutível, que seria o átomo. A
Fig. 1 ilustra essa ideia.
Figura 1: O átomo como a menor parte da matéria.
Fonte: Disponível em: < http://www.fullquimica.com/2011/03/teoria-atomica-y-modelos-atomicos.html>
Para Leucipo e Demócrito todo o Universo era formado por átomos e espaços
vazios. Assim, os átomos poderiam se mover livremente no espaço vazio e,
eventualmente, exerceriam colisões uns com os outros, formando novas disposições de
átomos. Logo, para explicar toda a matéria do universo, consideravam a existência de
um número eterno e infinito desses átomos.
A teoria dos quatro elementos surgiu da ideia de que o universo era algo
contínuo. Porém, muitos filósofos clásicos gregos consideraram absurda a teoria
atomística. Por exemplo, Empédocles e Aristóteles sustentaram a ideia de que todos os
corpos são compostos pelos quatro “elementos”. Para eles, os corpos são formados por
“algo” necessariamente contínuo. Para Aristóteles os quatros elementos eram a
combinação de propriedades fundamentais da matéria, que eram na sua concepção a
aridez, a humidade, o calor e o frio. A Fig. 2 representa essa concepção aristotélica.
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Figura 2: As propriedades fundamentais da matéria, segundo Aristóteles
Fonte: Disponível em: http://www.fullquimica.com/2011/03/teoria-atomica-y-modelos-atomicos.html
Então, observamos na antiguidade grega um grupo de filósofos adeptos da teoria
atomística, que acreditavam que a matéria é descontínua, e outro grupo adepto da teoria
continuísta, que acreditavam que a matéria era formada por “algo” contínuo. A Fig. 3
apresenta um resumo dessa ideia.
Figura 3: Os principais representantes das teorias atomística e continuísta da antiguidade grega.
Fonte: O autor
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Tempos depois, o poeta romano Lucrécio (99 – 55 a.C) ajudou a recuperar e
perpetuar, por meio do poema De Rerum Natura, escrito por volta do ano 50 a.C, as
doutrinas do atomismo. Abaixo segue um trecho desse poema:
De Rerum Natura
“Átomo algum interrompe jamais o seu movimento no vácuo, antes se move sem cessar,
empurrando e sendo empurrado
Em várias direções, e as suas colisões provocam,
Consoante o caso, maior ou menor ressalto.
Quando combinamos da forma mais densa,
A intervalos muito próximos, com o espaço entre si
Mais obstruído pelo entrelaçado da figura,
Dão-nos a rocha, o diamante, o ferro,
Coisas dessa natureza. (Não existem muitas espécies de átomos
Que errem, pequenos e solitários, através do vácuo.)
Apesar de se encontrarem em constante movimento,
O seu todo aparenta absoluta quietude,
Salvo, aqui e ali, alguma oscilação particular.
A sua natureza está além do alcance dos nossos sentidos,
Muito, muito além. Já que não somos capazes de ver
As coisas como são na realidade, elas são obrigadas a esconder-nos os seus movimentos,
Especialmente porque, mesmo as que conseguimos ver, muitas vezes
Nos ocultam também os seus movimentos, quando à distância.
Tomemos por exemplo um rebanho a pastar
Numa encosta; sabemos que esses animais de caracóis de lã
Se movimentam para onde quer que os atraia a bela erva,
Em qualquer lugar onde esta se encontre, ainda cravejada de joias de orvalho cintilantes, e que
os cordeiros,
Já saciados, saltam e brincam, brilhando ao sol.
Tudo isto, porém, visto á distância, é apenas uma mancha azulada
Esbranquiçada, repousando numa colina verde.”
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2 – Concepções científicas sobre o átomo 2.1 - Teoria atômica de Dalton
Físico, Químico e Meteorologista inglês, John Dalton (1766 – 1844) foi um dos
primeiros cientistas modernos a defender que a matéria é composta por átomos, e sua
teoria foi fundamental para novas pesquisas sobre os elementos presentes na natureza.
Em 1803, durante uma conferência realizada na Royal Institution de Londres, para
justificar seus experimentos sobre pressão parcial de vapor de água e misturas de gases,
propôs sua teoria atômica da matéria, hoje conhecida como Teoria Atômica de Dalton,
e apresentou pela primeira vez a propriedade de peso ou massa para o átomo (algo que
Lavoisier não tinha sequer especulado).
Para explicar sua teoria, baseou-a nos seguintes postulados:
1. Todas as substâncias são formadas por átomos;
2. Os átomos de um mesmo elemento químico são iguais em todas as suas
características;
3. Os átomos dos diferentes elementos químicos são diferentes entre si;
4. As substâncias simples são formadas por átomos de um mesmo elemento
químico;
5. As substâncias compostas são formadas por átomos de dois ou mais
elementos químicos;
6. Átomos não são criados nem destruídos; são esferas rígidas indivisíveis;
7. Nas reações químicas os átomos se recombinam.
Para Dalton o átomo assemelhava-se a uma esfera maciça e homogênea, como
uma bola de bilhar. A Fig. 4 ilustra essa ideia.
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Figura 4: Modelo atômico de Dalton
Fonte: O autor
Seu modelo não se diferenciava muito daqueles propostos pelos antigos
filósofos. No entanto as ideias dos filósofos gregos não foram muito além, pois não
eram baseadas em experiências. Dalton, ao contrário, baseou-se em dados de cuidadosas
experiências, feitas por ele mesmo, ou outros renomados cientistas como Lavoisier e
Proust, para fundamentar a sua teoria.
Baseando nessa ideia, a de “esfera maciça”, para explicar como são os átomos e
as moléculas, Dalton usava símbolos arbitrários, como os mostrados na Fig. 5.
Figura 5: A forma como Dalton representava os átomos e moléculas.
Fonte: Disponível em:
<http://www.quimica.seed.pr.gov.br/modules/galeria/detalhe.php?foto=1428&evento=3>
A teoria de Dalton foi aceita até 1921, quando foi descoberta a existência de
isótopos, provando a existência de átomos de massas diferentes, formados do mesmo
elemento.
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2.2 - Falhas na teoria atômica de Dalton
Apesar da sua fundamental contribuição para o desenvolvimento da Ciência, a
Teoria de Dalton para os átomos contém alguns e importantes erros conceituais. São
eles:
1. Não é verdade que “o elemento químico é um conjunto de átomos iguais com
propriedades iguais”.
Hoje sabemos da existência de isótopos. Atualmente, “elemento químico” é um
conjunto de átomos com o mesmo número de prótons.
2. Não é exatamente verdade que “átomos de elementos químicos diferentes possuem
massas e tamanhos diferentes”.
Hoje sabemos da existência de isóbaros;
3. Não é verdade que “um elemento químico não pode ser transformado em átomos de
outro elemento químico”.
Hoje sabemos que a radioatividade pode transformar um elemento em outro.
4. Não é verdade que “o átomo é indivisível”.
Hoje sabemos que o átomo tem subdivisões.
Além disso, Dalton não aceitava a ideia de moléculas formadas por átomos
idênticos ou de um mesmo elemento. Assim, por exemplo, para ele era absurdo
moléculas como: H2, O2, N2, P4, etc.
Apesar das “falhas”, a teoria de Dalton foi a base do desenvolvimento da
química moderna. Desde que ela foi proposta, muitos progressos foram feitos, e hoje os
cientistas têm uma compreensão muito maior de como é a materia.
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2.3 – A descoberta do Elétron
A existência do elétron já havia sido prevista pelo físico irlandês, Geoge J.
Stoney (1826 - 1911), como unidade fundamental da eletricidade. Porém, foi Joseph
John Thomson (1856 – 1940) que, fazendo experiências com o tubo de raios catódicos,
determinou que esses raios são, na verdade, constituídos pelo fluxo de partículas
menores que o átomo e dotados de carga negativa, o elétron. A Thomson se atribui,
portanto, a descoberta do elétron e por esse feito foi laureado com o Prêmio Nobel, em
1906.
Os raios catódicos, formados nos tubos, muito usados em TV antigas,
descobertos por Julius Plucker (1801 - 1868) e aprimorados por Johan W. Hittorf (1824
- 1914) e Willian Crookes (1832 - 1919), tem esse nome porque se originam no eletrodo
negativo (o cátado) do tubo. Veja a Fig. 6 a seguir.
Figura 6: Tubo de raios catódicos
Fonte: Disponível em:
<http://www.omirante.pt/index.asp?idEdicao=54&id=77226&idSeccao=564&Action=noticia#.VlORWt
KrRdg>
Thomson, através do estudo cuidadoso dos raios catódicos, foi capaz de calcular
a relação entre a carga elétrica e massa de um elétron. A Fig. 7 mostra que um elétron
ao atravesar o tubo sofre a ação de campos elétricos e magnéticos.
Figura 7: Os campos presentes num tubo de raios catódicos e as forças atuantes sobre um
elétron.
Fonte: Disponível em: <http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod08/m_s02.html>
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Controlando os campos elétrico e magnético é possível obter uma igualdade
entre os módulos das forças elétricas, EF e magnéticas, MF , que atuam sobre o elétron:
ME FF (1)
BveEe (2)
Sendo, “e” o módulo da carga do elétron, “E” o módulo do campo elétrico,”v” a
velocidade do elétron, num dado instante, e “B” o módulo do campo magnético. Assim,
de acordo com a equação (2):
B
Ev (3)
A velocidade do elétron pode também ser calculada pelo trabalho da força elétrica, e de
acordo com o teorema da energia cinética. Ou seja:
2vm2
1Ve (4)
Sendo “V” o potencial elétrico que acelera o elétron. Dessa forma, substituindo a
equação (3) na (4), obtemos:
2
B
Em
2
1Ve
(5)
E a relação entre a carga e massa do elétron foi, então, calculada por Thomson:
2
2
BV2
E
m
e (6)
Cujo resultado foi:
g
C10758,1
m
e 8
Em 1909 o físico norte-americano Robert A. Millikan (1868 – 1953) realizou um
experimento com gotas de óleo e determinou a carga do elétron em 1,591 × 10–19
coulombs. Hoje, com a tecnologia mais apurada, estabelecemos que a carga do elétron
é: 1,6022 × 10–19 coulombs. Assim, com base nessa informação, é possível determinar
a massa do elétron:
kg101095,9mg
C10758,1
m
C10602,1 31819
É importante observar que a metodologia para o cálculo da razão carga massa
descrita acima é diferente da experiência real realizada por Thomson. Em seu
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experimento, ele procedia os cálculos com base no ângulo de deflexão sofrido pelo
feixe5. (SLABAUGH e PARSONS, 1982)
2.4 - Modelo atômico de Thomson
Em 1899, dois anos após a medida da razão carga massa, Thomson começou a
conceber um modelo para o átomo. Para ele, o átomo deveria ser composto por um
grande número de elétrons equilibrados por uma carga positiva igual, em módulo, à
carga do elétron, já que era conhecido que a matéria é naturalmente eletricamente
neutra. É importante observar que em 1902, Lord Kelvin (1824 - 1907) já havia
proposto que a carga positiva deveria estar distribuída uniformemente pelo volume total
do átomo.
Baseando-se na ideia da emissão de radiação pelo átomo, já conhecido na época,
Thomson concebeu seu modelo atômico, descrito num artigo de 1904, constituído de
uma esfera positivamente e homogeneamente carregada, na qual os elétrons estariam
distribuídos uniformemente em seu interior, em um número mínimo de anéis
concêntricos. A ideia desses anéis é justificar as condições de equilíbrio do átomo.
Observe que esse modelo, no qual os elétrons estão dispostos em círculos
concêntricos, nada se assemelha ao modelo do “pudim de ameixas”, tão divulgados
pelos livros didáticos, que sugerem uma distribuição aleatória dos elétrons. Veja a Fig.
8 a seguir.
5 Esse experimento, que não cabe numa aula de física do Ensino Médio, encontra-se muito bem descrita no livro Dicas de Física – Suplemento para a resolução de problemas do Lectures on Physics, de Richard Feynman (FEYNMAN, 2008).
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Figura 8: Modelo proposto por Thomson. Nesse modelo os elétrons (bolinhas pretas) estão distribuídos
em anéis concêntricos. Em determinados elementos, alguns desses elétrons podem ser encontrados no
centro do átomo. A ideia dos elétrons organizados em circulos nada se assemelha ao “pudim de ameixas”,
no qual os elétrons estão aleatoriamente distribuidos.
Fonte: Disponível em: <http://cronodon.com/Atomic/AtomTech2.html>
Para Thomson, o volume de carga positiva não poderia possuir massa. Toda a
massa do átomo deveria ser dada pela massa total de elétrons contidos no átomo, o que
foi um erro cometido por Thomson. Um átomo de hidrogênio, por exemplo, cuja massa
é cerca de 1840 vezes maior do que a do elétron, deveria conter cerca de 1840 elétrons
em seu interior. Essa hipótese, porém, será abandonada com os experimentos de
Rutherford.
Fazendo uma analogia com os experimentos de Marshall Mayer, de 1878, que
mostrava como pequenos polos magnéticos se arranjavam na presença de um campo
magnético, Thomson apresentou uma tentativa de distribuição eletrônica. Na Fig. 9
vemos uma distribuição contendo de 2 até 12 elétrons.Thomson acreditava que essa
distribuição poderia levar ao entendimento das propriedades dos elementos químicos da
Tabela Periódica, que se repetiam em intervalos regulares. (CARUSO e OGURI, 2006)
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Figura 9: Distribuição de eletrônica proposta por Thomson, contendo de 2 até 12 elétrons. Subgrupos de
apenas dois elétrons só seriam encontrados em um átomo com 2, 8 ou 9 elétrons e depois só apareceriam
quando o número de elétrons fosse 19 ou 20.
Fonte: Caruso e Oguri, 2006.
2.5 - Falhas no modelo do “pudim de passas”.
O modelo atômico proposto por Thomson previa a existência de configurações
estáveis para os elétrons. Em um átomo que esteja no seu estado de menor energia
possível, os elétrons estariam fixos em suas posições de equilíbrio. Em átomos
excitados, os elétrons vibrariam em torno de suas posições de equilíbrio, emitindo
radiação, segundo prever a teoria eletromagnética.
Então, apesar de conseguir descrever qualitativamente a emissão de radiação
eletromagnética, o modelo de Thomson não conseguia explicar quantitativamente os
espectros observados experimentalmente. Além disso, segundo a teoria eletromagnética
clássica, não pode existir qualquer configuração estável num sistema de partículas
carregadas se a única interação entre elas é de caráter eletromagnético. De qualquer
forma, o modelo de Thomson foi abandonado com os trabalhos do seu aluno,
Rutherford.
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2.6 - Descoberta do próton
Em 1886, Eugene Goldstein (1850-1930), físico alemão, em experiência com
tubos de raios catódicos, verificou uma fluorescência atrás do catodo, ao introduzir
pequenos furos no catodo, os quais chamou de “canais”. Isso seria explicado com a
existência de uma outra radiação, que se movia contra os raios catódicos, denominados
por Goldstein de raios canales.
A natureza desses raios varia de acordo com o tipo de gás residual que se
encontra no interior do tubo, ou seja, cada elemento químico gasoso origina um cátion
distinto ao se ionizar, o que resulta numa relação carga-massa diferente para cada raio.
Doze anos depois das experiências de Goldstein, outro físico alemão, Wilhelm
Wein (1864-1928), o mesmo da Lei de Wein, realizou novamente as experiências de
Goldstein usando campos magnéticos bem mais intensos, concluindo que os raios
canales eram o gás hidrogênio ionizado. Da mesma forma que Thomson, ele mediu a
razão entre a carga-massa dos íons positivos e mostrou que eles possuem carga positiva,
de módulo igual ao do elétron, e massa cerca de 1836 vezes maior. Chamou esses íons
de prótons (do grego: primeiro).
Anos depois, em 1919, Rutherford pela primeira vez conseguiu arrancar um
próton do núcleo, mediante uma transmutação nuclear, demonstrando que os prótons
são partículas constituintes de todos os elementos. Por isso, Rutherford é considerado o
descobridor do próton.
Rutherford também previu a existência do nêutron, mas este só foi descoberto
em 1932, pelo físico inglês James Chadwick (1891 - 1974). (SEGRÈ, 1987)
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3. Concepções científicas sobre o átomo II 3.1 - Introdução
Dando continuidade ao estudo das concepções científica do átomo, veremos
como dois cientistas foram capazes de apresentar modelos bastante convincentes, em se
tratando de algumas perguntas ainda não solucionadas, como as regularidades das linhas
espectrais. Porém, veremos também a fragilidade desses modelos, não conseguindo
explicar a instabilidade do átomo. São dois modelos que praticamente fecham o estudo
dos modelos clássicos, antes do advento da teoria corpuscular de Planck.
3.2 - Teoria atômica de Nagaoka
No mesmo ano em que Thomson discorria sobre a sua visão do átomo, mais
precisamente a 5 de Dezembro de 1903, Hantaro Nagaoka (1865 – 1950) apresentava
em Tóquio o seu modelo atômico, o “átomo saturniano”. Tratava-se de um modelo
concebido com o propósito de procurar explicar os espectros de linhas e de bandas (que
após os trabalhos de Balmer de 1885, eram obtidos cada vez com mais detalhes) e a
emissão radioativa de partículas por elementos pesados.
Nagaoka pensou que a estrutura de um átomo era algo como o planeta Saturno.
Em seu modelo, a massa do átomo está toda praticamente concentrada no centro e é
carregada positivamente. Um grande número de elétrons está disposto em torno dessa
partícula central, em anel e com intervalos angulares constantes. A partícula central tem
massa muito maior do que o conjunto de elétrons e exerce sobre este uma força de
atração coulombiana. A carga total da partícula central é igual a carga total dos elétrons
e, assim, o átomo é globalmente neutro. A Fig. 10 a seguir ilustra essa ideia.
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Figura 10: Modelo Saturniano de Kagaoka. Os elétrons são dispostos em um anel em torno de uma
partícula central, assemelhando-se ao anel de Saturno.
Fonte: Disponível em: <http://rle.dainf.ct.utfpr.edu.br/hipermidia/index.php/radiologia-
convencional/principios-fisicosrx/atomos-estrutura-atomica-e-modelos-atomicos>
Para explicar as linhas espectrais, Nagaoka sugeriu que os elétrons pudessem
sofrer algum tipo de oscilação, o que poderia provocar movimentos de alguns desses
elétrons, criando assim região no anel com maior densidade. Como já era conhecido que
os átomos poderiam ter mais de uma série espectral, Nagaoka sugeriu que os átomos
teriam o número de anéis igual ao número de séries.
3.3 - Falhas do modelo saturniano
O modelo saturniarno, entretanto, apresenta algumas falhas. O próprio Nagaoka
já havia verificado a fragilidade da sua teoria. Veja o que ele diz a respeito:
“A objeção a um tal sistema de elétrons é que ele acabará por atingir o
repouso em consequência da perda de energia por radiação, se essa perda
não puder ser compensada”. (FIOLHAIS e RUIVO, 1996)
Nagaoka se referia à emissão de radiação prevista pela teoria eletromagnética,
ou seja, sua teoria não garantia a estabilidade dos anéis de elétrons girando em torno do
núcleo. Este ponto fraco, que também seria encontrado no modelo de Rutherford, só
viria a ser resolvido pela Mecânica Quântica. Outro problema a ser destacado é que
Nagaoka não menciona o número de elétrons em um anel. Assim, o átomo de
hidrogênio, por exemplo, poderia conter vários elétrons em um único anel. Ao se
quebrar um desses anéis, haveria emissão de um grande número de elétrons, o que não é
verdade.
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3.4 - Teoria atômica de Rutherford
O modelo atômico de Rutherford é, sem sombra de dúvidas, o modelo mais
conhecido para o átomo. A maioria das pessoas logo imagina o modelo planetário
quando se pensa em um átomo: o núcleo no centro e os elétrons orbitando ao seu redor.
Apesar de conter algumas falhas, o modelo proposto por Rutherford atende às
necessidades da física básica como, por exemplo, os processos de eletrização, a
formação de corrente elétrica num condutor etc.
Ernest Rutherford (1871 – 1937) foi aluno de Thomson e inicialmente acreditava
no átomo como um “pudim de passas”, proposto pelo seu professor. Com a ideia de
prever a estrutura interna do átomo e provar que o modelo de seu professor estava
correto, Rutherford realizou o mais importante experimento de sua vida. O experimento
consistia, basicamente, em lançar contra uma fina folha de ouro (0,6 mm de espessura
aproximadamente) um feixe de partículas alfa (que possui uma carga positiva e uma
grande quantidade de energia), emitidas por rádio. Na Fig. 11 temos uma representação
do experimento de Rutherford.
Figura 11: Representação do experimento de Rutherford com feixe de partículas alfa
Fonte: Disponível em: <http://blogdoenem.com.br/modelos-atomicos-particulas-quimica-enem/>
Ao verificar os resultados do experimento, Rutherford observou que a grande
maioria dos raios alfa atravessava a lâmina de ouro sem sofrer nenhum desvio. Porém,
uma quantidade pequena desses raios era desviada, segundo um ângulo , tal que:
0° < ≤ 180° (EISBERG e RESNICK, 1979).
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Esse resultando foi realmente incrível! Baseando-se no átomo proposto por
Thomson, esperava-se que os raios atravessassem a folha de ouro sem sofrer grandes
desvios, uma vez que nesse modelo a espera positiva não possuía massa. Rutherford
ficou muito surpreso com resultados e chegou a afirmar que:
“Foi a coisa mais incrível que aconteceu em toda a minha vida. É quase
como se você desse um tiro de canhão em uma folha de papel e a bala
ricocheteasse.” (HALLIDAY, RESNICK e WALKER, 2012)
O fato do raio sofrer tamanha deflexão mostrou que, em vez de estar espalhada
por todo o átomo, a carga positiva está concentrada em uma região muito pequena,
chamada de núcleo, no centro do átomo. Este foi um dos mais importantes progressos
da física atômica e foi a base da física nuclear.
Além dessa conclusão, outra imediata é a ideia de que o átomo é formado por
grandes espaços vazios. Para sofrer uma deflexão de mais de 90º, raciocinou
Rutherford, a partícula teria que ser submetida a uma força considerável; essa força
poderia ser explicada se a carga positiva, em vez de se espalhar por todo o átomo,
estivesse concentrada em uma pequena região central, ou núcleo. Os elétrons, partículas
negativas e de massa desprezível, ocupam grande espaço quando giram ao redor do
núcleo. Nesse caso, a partícula poderia se aproximar muito da carga positiva sem
atravessá-la e essa aproximação resultaria em uma força considerável (HALLIDAY,
RESNICK e WALKER, 2012).
A contagem do número de partículas, que atravessavam e que ricocheteavam,
permitiu fazer uma estimativa de que o raio de um átomo de ouro (núcleo e eletrosfera)
é cerca de dez mil vezes maior que o raio do núcleo. Uma boa comparação é imaginar
um estádio de futebol: no centro, na marca onde se se coloca a bola para inicio do jogo,
temos o núcleo; as arquibancadas mais externas seriam as órbitas dos elétrons. O que há
entre a marca, no meio do campo, e as arquibancas? Apenas espaços vazios, que
permitem a maior parte dos raios passarem sem sofrer desvios. A Fig. 12 resume os
resultados do experimento de Rutherford.
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Figura 12: Resultado do experimento realizado por Rutherford. Para sofrer uma grande deflexão, a
partícula a deve passar muito perto do núcleo
Fonte: O autor
Os partidários do modelo de Thomson foram realmente surpreendidos!
Analisando o modelo de Thomson, a probabilidade de uma partícula alfa ser desviada
era tão baixa que exclui completamente a possibilidade de sua ocorrência. A Fig. 13
ilustra essa diferença entre os dois modelos.
Figura 13: O modelo de Thomson não previa as deflexões sofridas pelas partículas alfa.
Fonte: O autor
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3.5 - Falhas no modelo de Rutherford
Sabendo-se que os átomos são feitos de um núcleo positivo, o que impede os
elétrons, partículas negativamente carregadas, serem atraídos para o núcleo? Sem algo
para contrariar esta força elétrica, os elétrons seriam atraídos para o centro e o átomo
entraria em colapso. A saída encontrada por Rutherford para essa questão foi assumir
que a força de Coulomb, 2
2
r
e , faz o papel da força centrípeta, rm 2 . Rutherford
assumiu, então, o elétron girando em órbitas circulares ao redor do núcleo e, finalmente,
chegou ao seu modelo, conhecido como modelo planetário, como mostra a Fig. 14 a
seguir.
Figura 14: O modelo atômico de Rutherford, proposto em 1911. Esse modelo ficou conhecido como
modelo planetário, pois se assemelha ao sistema solar: os elétrons (planetas) orbitam em torno do núcleo
(Sol). Observação: A figura encontra-se fora de escala: se o núcleo tivesse o tamanho representado na
figura, o elétron não poderia ser desenhados nessa página, pois estaria aproximadamente a 50 m do
núcleo.
Fonte: O autor
O modelo de Rutherford explica uma série de fenômenos da Física Clássica,
porém, ele traz algumas falhas básicas. De imediato, tal modelo não foi capaz de
explicar um fenômeno confirmado pelo eletromagnetismo de Maxwell: toda carga
elétrica acelerada emite radiação. O movimento circular envolve aceleração! No caso
no modelo de Rutherford, então, o elétron deveria emitir radiação. Com isso sua energia
e, consequentemente, sua velocidade deveriam ser cada vez menores e o elétron deveria
cair no núcleo, colapsando o átomo, como mostra a Fig. 15. Por sinal, esse também foi
um erro observado no modelo de Nagaoka.
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Figura 15: Colapso do elétron previsto pelo eletromagnetismo e não contemplado pelo modelo atômico
de Rutherford
Fonte: Disponível em <http://batuta-dc.blogspot.com.br/2011/07/engenharia-microestrutura-e.html>
Como consequência imediata desse fenômeno, se o elétron descrevesse uma
trajetória elíptica, deveríamos observar o espectro emitido pelo átomo numa faixa
contínua de frequência, como ilustrado na Fig. 16.
Figura 16: De acordo com a teoria eletromagnética, o elétron, no átomo de Rutherford, perderia, por
radiação, energia e descreveria uma trajetória elipca, colapsando-se no núcleo. Como consequência o
espectro observado deveria ser contínuo.
Fonte: What is Quantum Mechanics? A Physics Adventure, p. 109 (TCL, 1996)
Porém, não há o colapso. Os experimentos mostram que cada átomo emite e
absorve radiação de frequência bem definidas. A Fig. 17, resume essa conclusão.
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Figura 17: Cada átomo emite e absorve radiação em freqências bem definidas.
Fonte: What is Quântum Mechanics, A Physics Adventure, p. 109 (TCL, 1996)
A solução para os problemas do modelo de Rutherford foi dada por Niels Bohr,
argumentando que a Física Clássica não é útil para descrever de forma consistente os
fenômenos em nível atômico. Para estudar o átomo era necessário se valer das leis de
uma nova física, desenvolvidas por Max Planck, A. Einstein, Louis de Bröglie entre
outros do time de novos físicos.
88
4. Introdução à física quântica I 4.1 - Introdução
No inicio do ano de 1900, os físicos acreditavam quase plenamente no poder da
Física Clássica para descrever a natureza, e que a maioria dos fenômenos podia ser
explicada mediante a física newtoniana, o eletromagnetismo de Maxwell e a
termodinâmica de Boltzmann. Apesar de tudo, havia alguns problemas “triviais” para
serem resolvidos. Em 27 de Abril de 1900, Lord Kelvin (1824 – 1907) falando sobre a
física no Royal Institution of Great Britain, afirmou:
“Vejo apenas duas pequenas ‘nuvens’ no sereno céu do conhecimento
físico: a experiência de Michelson-Morley, realizada em 1887, e a
discordância entre os valores medidos e os valores teóricos, previstos
pela Termodinâmica para os calores específicos em baixas
temperaturas, a catástrofe ultravioleta.” (KELVIN, 1901)
A solução dessas “duas pequenas nuvens” foi o início da Mecânica Quântica,
uma revolução da física e do modo de entender a natureza. Dentre as grandes
revoluções, Max Planck brilhantemente concluiu que a energia absorvida ou emitida por
um átomo é quantizada, e isso teve consequência imediata na forma de conceber o
átomo. Niel Bohr tomou dessa ideia para finalmente explicar a estabilidade atômica.
4.2 - Corpo negro
No início do século XX havia um problema a ser resolvido: como medir as altas
temperaturas dos fornos das siderurgias? Na fabricação do aço, por exemplo, além da
dificuldade de se aproximar dos fornos, a temperatura alcançada nestes era suficiente
para derreter um termômetro comum.
Uma solução para esse problema seria medir a temperatura através da radiação
emitida pelos fornos. Isso é possível pois a frequência de radiação emitida por um corpo
depende da sua temperatura. Por exemplo, se esquentarmos uma barra de metal, sua cor
muda, passando do vermelho para o azul, tornando esbranquiçado, à medida que sua
temperatura se eleva. Veja isso na Fig. 18 a seguir.
89
Figura 18: A cor (frequência) emitida por um corpo depende da sua temperatura. A medida que a
temperatura se eleva, a cor do corpo passa de vermelha para o azul, tornando-se esbranquiçada quando
sua temperatura é muito elevada. Esse princípio é usado, inclusive, para se medir a temperatura de uma
estrela.
Fonte: Disponível em: <http://www.westga.edu/~jhasbun/osp/black_body.jpg>
Quando se eleva a temperatura de um corpo que possui um orifício, um cadeado
por exemplo, essa é a parte que primeiro começa a brilhar. Isto é algo que foge ao senso
comum, pois no orifício do cadeado não há matéria. A explicação para esse fenômeno
foi algo que instigou bastante os cientistas no início do século XX, e é o que hoje
chamamos de radiação de corpo negro. O orifício encontra-se em equilíbrio térmico
com as paredes que o formam. Algo semelhante também é observado quando
acendemos carvão, nas brasas os orifícios aparecem mais brilhantes, Fig. 19.
Figura 19: Radiação de corpo negro. A cavidade é a parte mais brilhante.
Fonte: Disponível em: < http://brasilescola.uol.com.br/fisica/radiacao-corpo-negro.htm >
90
4.3 - Radiação térmica
Radiação ou irradiação eletromagnética é a emissão ou a transferência de energia
em forma de ondas eletromagnéticas, que se originam a nível atômico. São radiações
eletromagnéticas os raios X, raios ultravioletas, luz visível, raios infravermelhos,
microondas etc.
As radiações emitidas ou absorvidas por um corpo em função da sua temperatura
são chamadas de radiações térmicas. Todo corpo emite ou absorve radiação térmica e
essa troca de energia obedece às seguintes leis:
1. Quanto mais quente se encontra um objeto, maior é o seu brilho;
2. A medida que se esquenta um corpo, a frequência da luz emitida varia de
vermelho para branco.
4.4 - Lei de Stefan – Boltzmann
Segundo a lei de Stefan-Boltzmann, a intensidade de radiação emitida pela
superfície de um corpo, I, é diretamente proporcional à quarta potência da temperatura
absoluta do corpo radiante, T. Ou seja:
4Te
A
P
tA
EI
(7)
Sendo a constante de Stefan-Boltzmann, 5,67 ∙ 10–8 W/(m2∙K4), e a emissividade
(uma quantidade adimensional) e E a energia emitida pelo corpo (em m2), por área A
por unidade de tempo t.
A emissividade é uma propriedade inerente ao corpo que o caracteriza como
bom/mau absorvedor/emissor de radiação térmica. Um corpo que possui e = 0, não
absorve ou emite radiação, logo é um ótimo refletor (ex: espelhos); um corpo que possui
e = 1, absorve ou emite toda a radiação térmica, logo é um ótimo absorvedor/emissor de
radiação térmica, e esse corpo é chamado de corpo negro. Então, temos que um corpo
negro é absorvedor ou emissor ideal (e = 1) de radiação térmica. Podemos dizer,
portanto, que todo corpo bom absorvedor de energia térmica é também um bom emissor
de energia térmica.
Um corpo que se aproxima muito de um corpo negro é uma esfera oca, com seu
interior irregular, contendo um pequeno orifício pelo qual a energia possa entrar. Em
91
seu interior a energia iria se refletir várias vezes, sendo absorvida completamente.
Depois de certo tempo, o orifício começaria a emitir radiação cuja medida obedece a
Eq. 7.
4.5 - Lei do deslocamento de Wien
A Lei de Wien, publicada em 1893 por Wilhelm Wien (1864 – 1928) estabelece
que quanto maior for a temperatura de um corpo negro, menor é o comprimento de onda
na qual ele emite. A esse deslocamento do pico de emissão foi dado o nome de Lei do
Deslocamento de Wien. A Fig. 20 mostra esse comportamento.
Figura 20: Lei de Wien: quanto maior a temperatura de um corpo, menor é comprimento de onda na qual
ele emite. Professor: A intensidade é área sob a curva: dIáreaI
0
Fonte: Júnior et al., 2013
Wien demonstrou que o comprimento de onda máx, correspondente ao máximo
de distribuição de energia (pico da curva), multiplicada pela temperatura absoluta
obedece a seguinte equação:
bTmáx (8)
Sendo b = 2,898 × 10–3 m∙K uma constante, chamada de constante de Wien.
Isso quer dizer que podemos mensurar a temperatura de um corpo radiante com
base no comprimento de onda da onda radiante. Por exemplo, digamos que se deseja
mensurar a temperatura do Sol. Considerando que todas as estrelas se comportam como
corpos negros, basta medir o máx emitido pelo Sol que teremos uma boa estimativa para
a sua temperatura, visto que o lado direito da Eq. 8 é uma constante.
92
4.6 - Lei de Rayleigh – Jeans
Independentemente um do outro, os físicos britânicos J. W. Rayleigh (1842-
1919) e J. H. Jeans (1877-1946), concluíram que a radiação espectral de corpo negro,
I(), obedece à seguinte equação matemática:
4),T(Tkc2
I
(9)
A Eq. 9 é conhecida como Lei de Rayleigh-Jeans. Nela T é temperatura absoluta
do corpo radiante; c é a velocidade da luz no vácuo e k é a constante de Boltzmann, que
é igual a 1,38 ∙ 10–23 J/K.
Este modelo clássico da radiação de corpo negro considera os átomos das
paredes da cavidade como um conjunto de osciladores que emitem ondas
eletromagnéticas de todos os comprimentos de onda. Ao explicar, por meio da teoria
clássica, os resultados obtidos, observou-se que para comprimentos de onda elevados
havia razoável concordância com os resultados experimentais. Entretanto, para
comprimentos de onda menores, a discrepância entre a teoria e a experiência era grande.
Essa discrepância ficou conhecida como a “catástrofe do ultravioleta”, veja Fig. 21,
que marcou definitivamente o fim de explicações clássicas para a radiação.
Figura 21: Catastrofe do ultravioleta. As discrepâncias observadas pela teoria clássica e os dados
observados.
Fonte: Disponível em: <http://slideplayer.com.br/slide/359092/>
93
4.7 - Teoria quântica de Planck
Para explicar o problema da emissão de corpo negro e a catástrofe do
ultravioleta, o físico alemão Max Planck (1858 – 1947) apresentou uma das teorias mais
revolucionárias de todos os tempos. Por volta de 1900, ele apresentou uma função para
radiação que concordava por completo com os experimentos, para todos os
comprimentos de onda, realizados com os corpos negros. A função proposta por Planck
é:
1e
hc2I
kT
hc5
2
),T(
(10)
Sendo h = 6,6256 ∙ 10–34 J.s a constante hoje conhecida como constante de
Planck, uma das principais constantes da física. (DIONÍSIO, 2005)
Para Planck cada átomo que compõe as paredes da cavidade se comporta como
pequeno oscilador eletromagnético, cada um caracterizado por uma frequência própria
de oscilação. A onda eletromagnética emitida pela cavidade, portanto, tem uma
frequência igual a do oscilador atômico. E o mais importante e revolucionário: Planck
considerou que a energia radiante não é emitida (ou absorvida) de modo contínuo, mas
sim em porções descontínuas, “partículas” que transportam, cada qual, uma
quantidade de energia E bem definida. Essas “partículas” de energia foram
denominadas quantum. O quantum (plural: quanta) E de energia radiante é dado por:
)h(nE (11)
Sendo a frequência do oscilador atômico e n = 1, 2, 3... o chamado número atômico.
Por ser tão revolucionária, a teoria de quantização de Planck não foi aceita de
imediato. Porém, hoje a constante “h”, que leva seu nome, é uma das mais importantes
constantes da mecânica quântica. Sua teoria teve implicações imediatas e é considerada
um marco para a ciência.
Einstein, diante da teoria da quantização de Planck, propôs que se a radiação é
emitida e absorvida em quantum (hoje chamada de fótons, partículas de luz que
possuem massa nula e sem carga), então ela também deve se propagar como fótons (o
termo fóton foi cunhado em 1926 pelo americano G. N. Lewis (DIONÍSIO, 2005)). O
comprimento de onda () associado a cada fóton, de frequência () pode ser calculado
pela seguinte equação:
94
c (12)
sendo c a velocidade da onda eletromagnética no vácuo.
Então, substituindo (12) na (11), a energia de cada fóton será dada por:
chc
hhE
(13)
Einstein demonstrou que a energia de uma onda radiante poderia ser calculada
da seguinte forma:
cpc)cm(cmE 2 (14)
E igualando as Equações 13 e 14, concluímos que:
h
p (15)
Dessa forma, a um fóton estão associados uma quantidade de movimento (p) e
um comprimento de onda, ou seja, características de partículas e ondas. Essas teorias e
equações foram fundamentais para os trabalhos de Einstein sobre o efeito fotoelétrico e
todas as fundamentais interpretações de De Broglie e outros futuros quânticos. Pelos
seus importantes trabalhos, Planck é considerado o pai da Física Quântica.
4.8 - O átomo de Bohr
O modelo atômico de Bohr, proposto em 1913 pelo físico Niels Bohr, pode ser
considerado um aperfeiçoamento do modelo apresentado em 1911 pelo físico Ernest
Rutherford. Nesse modelo atômico, temos o núcleo positivamente carregado,
compactado e localizado no centro do átomo, enquanto que os elétrons de carga
negativa giram ao seu redor (seções 3.4 e 3.5).
Embora explicasse satisfatoriamente boa parte dos fenômenos físicos e
químicos, o átomo de Rutherford não contemplava o problema do colapso da matéria,
como já foi discutido na seção 3.4. Pelo fato dos elétrons estarem em orbitas circulares
ao redor do núcleo, esses possuíam aceleração centrípeta e, de acordo com a teoria do
eletromagnetismo, deveriam emitir radiação, perdendo energia e se colapsar no núcleo.
Bohr conseguiu dar uma resposta para esse problema utilizando-se da ideia de
Planck, segundo a qual a energia não é emitida continuamente, mas em pequenos
“pacotes", denominados quanta. De acordo com a teoria de Bohr, no átomo existem
níveis estáveis de energia, denominados de estados estacionários, nos quais os elétrons
poderiam permanecer sem emitir radiação.
95
A passagem de um nível de energia para outro nível superior seria possível
desde que o elétron absorvesse energia do meio externo, numa quantidade bem definida
para isso, como mostra a Fig. 22 (a). Quando retornasse ao nível inicial, o elétron
devolveria, na forma de radiação, exatamente a quantidade de energia antes absorvida,
Fig. 22 (b).
Figura 22: A transição de um elétron mediante absorção (a) ou emissão (b) de um fóton.
Fonte: Disponível em: <http://quimicozinhos.blogspot.com.br/>
Ciente das ideias de Planck e Einstein, que postularam que as ondas
eletromagnéticas comportavam-se como pacotes de fótons de energia ( hnE ), e
diante dos resultados dos espectros de emissão e absorção dos gases dos elementos
químicos, Bohr percebeu que as raias dos espetros dos átomos seriam formadas quando
os elétrons recebiam ou doavam energia para os fótons. Concluiu, então, que a teoria
eletromagnética clássica não deveria ser aplicada aos processos em escala atômica. Sua
saída foi postular, a partir dos resultados experimentais, que:
1. Um elétron em um átomo descreve órbita circular em torno do núcleo sob a
influência da atração coulombiana entre o elétron e o núcleo, obedecendo às leis da
mecânica clássica.
2. Apenas algumas órbitas estáveis, bem definidas, denominadas estados
estacionários, são permitidas ao elétron. As órbitas permitidas ao elétron são aquelas
em que o momento angular orbital L do elétron é um múltiplo inteiro de , onde
2
h .
Assim, sendo m a massa do elétron, v a velocidade orbital e r o raio da órbita
descrita, teremos: nvrmL
96
Com n = 1, 2, 3, 4, ...
3. Apesar de estar constantemente acelerado, um elétron que se move em uma
dessas órbitas possíveis não emite radiação eletromagnética. Portanto, sua energia total
E permanece constante se o elétron permanece num estado estacionário.
4. A passagem do elétron de um estado estacionário para outro é possível
mediante a absorção ou liberação de energia pelo átomo. Ao passar de um estado
estacionário inicial, de energia Ei, para outro, de energia Ef (com Ei > Ef), teremos:
hEE fi (16)
Analisando os postulados de Bohr, vemos que, de acordo com o primeiro
postulado, a força elétrica atrativa entre os elétrons e o núcleo faz o papel da força
centrípeta:
CPEL FF
r
vm
r
eZeK 2
2
(17)
Sendo 41
K a constante eletrostática do meio, Z o número atômico do átomo
estudado, m a massa do elétron e v a sua velocidade.
Com base no segundo postulado, nvrmL (com n = 1, 2, 3, ...). Dessa
forma, quando se estabelece uma onda estacionária sobre o perímetro da órbita circular
( r2 ), ela deve conter um número inteiro de comprimentos de onda, como ilustrado na
Fig. 23. Um número fracionário de comprimento de onda criaria um movimento dos
nodos e a onda deixaria de ser estacionária.
Figura 23: A onda estacionária deve conter um número inteiro de onda.
Fonte: Disponível em: <http://mswintools.com/>
97
Dessa forma:
nr2 (18)
com n = 1, 2, 3, ...
Este postulado deve ser entendido de acordo com a propriedade de dualidade
onda partícula de De Broglie (que será estudado futuramente). Então com base na Eq.
15, temos:
vm
hn
p
hnr2 (19)
2vm
nr2
nrvmL (20)
Isso mostra como Bohr concluiu que o momento angular deve ser quantizado.
Agora, isolando v na Eq. 20 e substituindo na Eq. 17, obtemos:
22
222
rm
nm
r
eZK
Ou seja:
meZK
nr
2
22
n
(21)
e substituindo esse resultado na Eq. 20:
nKeZ
v2
n (22)
sendo rn e vn o raio e a velocidade do elétron quando ocupa a órbita n.
Com base nesses dados é possível encontrar a energia para a enésima órbita.
Sabendo-se que a energia total de um sistema é a soma da sua energia cinética e
potencial, temos:
)potencialn)cinética(n)total(n EEE
n
2n
)total(n reZeK
2vm
E
O sinal negativo para a energia potencial indica que quando rn tente a infinito,
seu valor tende a zero.
Substituindo a equação 17 na última equação, obtemos para a energia total:
n
2
n
2
)total(n reZK
r2eZK
E
98
n
2
)total(n r2eZK
E (23)
E com base na equação 21, portanto:
2
22
2
4
)total(nn
KZ
2
meE
(24)
Note que a energia total está quantizada e que à medida que n aumenta (tende a
infinito) o seu valor tente a zero.
Com base nesses quatro postulados e em todas as consequências que eles
levaram, Bohr pôde calcular os raios das órbitas permitidas e suas respectivas energias,
bem como os comprimentos de onda associados, para o átomo de hidrogênio. No caso
Z = 1, que substituindo na equação 21, temos:
meK
nr
2
22
n
Quando n = 1, dizemos que o átomo está no seu estado fundamental. Então, para
o estado fundamental (m = 9,1 ∙ 10–31 kg; K = 9 ∙ 109 N∙m2/C2; e = 1,6 ∙ 10–19 C) temos:
53,0rB Å (25)
sendo Br o chamado raio de Bohr.
Os raios para os demais estados permitidos podem ser obtidos em função do raio
de Bohr, da seguinte forma:
meKn
meK
nr
2
22
2
22
n
B2
n rnr (26)
Sendo n = 1, 2, 3, ... os números quânticos.
Com base nesses dados e na Eq. 24, é possível calcular a energia total En do
elétron no enésimo estado estacionário:
22
222
2
22
2
4
)total(nn
mKe
2
eKZ
n
KZ
2
meE
Substituíndo o valor de Br e fazendo Z = 1, tem-se que:
2
B
2
)total(nn
1
r2
eKE
Substituindo os valores das constantes K , e e Br , obtém-se para essa
energia, expressa em elétron-volt (eV):
99
2nn
6,13E (27)
No estado fundamental, quando n = 1, E = −13,6 eV. “O que significa uma
energia negativa?”. Significa que o elétron tem menos energia quando está no átomo do
que quando está livre. Significa que está ligado. Significa que é necessário uma energia
de 13,6 eV para ionizar um átomo de hidrogênio. E = −13,6 eV é chamado de Rydberg
de energia.
Agora somos capazes de entender quanto de energia o elétron precisa receber ou
perder para “mudar” de nível. Por exemplo, no estado fundamental, sendo n = 1, E1 = –
13, 6 eV; e no estado n = 3, E2 = –1,51 eV. Então, para mudar do estado n = 1 para n =
3, o elétron deve absorver uma energia = –1,51 – (–13,6) eV = 12,09 eV. Esse e outros
exemplos estão ilustrados na Fig. 24.
Figura 24: Níveis de energia num átomo de hidrogênio
Fonte: Disponível em: <http://wdb.ugr.es/~bosca/Old_Fisica-Cuantica/?p=576>
Para cada uma das transições sofridas pelo elétron, ele absorve (se muda
de um nível menor para um nível de maior energia) ou emite (se muda de um nível
maior para um nível de menor energia) uma frequência única. Ou seja, a variação de
energia 0E , quando ocorre a emissão de fótons; e 0E , quando há a absorção
100
de fótons. Quando a energia absorvida é maior do que 13,6 eV, o elétron escapa do
átomo, ou seja, o átomo é ionizado, isso também está ilustrado na Figura 24.
A cada energia de radiação está associada uma frequência. Então, para cada
mudança de nível, o elétron deve absorver/emitir uma frequência única de radiação. Por
exemplo, no átomo ilustrativo da Fig. 25, para o elétron “mudar” do estado n = 5 para n
= 2, ele emite uma radiação de frequência da cor violeta; para “mudar” de n = 4 para n =
2, ele emite uma radiação azul e para “mudar” de n = 3 para n = 2, emite uma radiação
vermelha. Essas frequências determinarão o espectro emitido pelo átomo, e esse
espectro será único.
Figura 25: Espectro de emissão, com base nas teorias de Bohr.
Fonte: Disponível em: <http://wdb.ugr.es/~bosca/Old_Fisica-Cuantica/?p=576>
O espectro de emissão e absorção é a identidade de cada átomo, pois cada átomo
possui uma disposição única de elétrons e, portanto, cada um desses elétrons absorverá
ou emitirá radiação de uma frequência única.
Estas transições eletrônicas faz com que o átomo varie sua energia na proporção
de sua frequência, ou seja, a Eq.16 nos diz que:
h|EE|E fi
E com base na Eq. 27, tem-se que:
hn
E
n
E2f
12i
1
,
sendo eV6,13r2
eKE
B
2
1 , dado pela Eq. 27. Assim, isolando na equação anterior:
101
2i
2f
1
n
1
n
1
h
E
Usando c e substituindo E1, obtemos:
2i
2f
1
n
1
n
1
h
Ec
2i
2fB
2
n
1
n
1
chr2
eK1
(28)
E essa equação relaciona o comprimento de onda do espectro de absorção e
emissão com os níveis de energia permitidos no átomo. Com esse resultado, Bohr
consegue explicar as diversas séries espectrais do hidrogênio (ALLARD et al., 1974).
4.9 - Séries espectrais
O espectro de emissão e absorção do hidrogênio já eram conhecidos na época do
Bohr, porém não havia uma explicação razoável para esse fenômeno. Balmer (1825-
1898), no ano de 1885, encontrou uma primeira série de linhas espectrais do hidrogênio,
numa região visível do espectro eletromagnético. Outros cientistas encontraram outras
linhas espectrais em outras regiões. Lyman, por exemplo, encontrou uma série na região
do ultravioleta; Brackett e outros encontraram séries na região do infravermelho.
No entanto, foi Rydberg (1854-1919) que demonstrou, no final do século XIX,
uma relação matemática que descreve o comportamento do comprimento de onda das
diversas linhas espectrais do hidrogênio:
2i
2f
Hn
1
n
1R
1
(29)
Sendo RH ≈ 1,1 × 105 cm-1 uma constante, hoje conhecida como a constante de
Rydberg para o hidrogênio; n é um número inteiro positivo que representa cada nível.
Ao final de 1913, Bohr mostrou que o valor chr2
eK
B
2
presente na sua equação
(Eq. 28) se aproximava muito da constante de Rydberg (RH), demonstrando que sua
equação é idêntica à relação empírica de Rydberg. Com isso Bohr conseguiu dar uma
explicação para as linhas espectrais de absorção e emissão, mostrando que elas resultam
devido às mudanças de níveis dos elétrons. Quando o elétron passa de um nível para
102
outro ele absorve ou emite energia e o resultado disso é o espetro de absorção ou
emissão do átomo. Na Fig. 26 temos as séries espectrais comprovadas pela teoria de
Bohr.
Figura 26: Série espectrais comprovadas pelo modelo de Bohr.
Fonte: Disponível em: < https://www.quora.com/Why-do-diagrams-of-the-Hydrogen-spectrum-show-
the-radius-decreasing-as-we-go-outward-from-the-first-shell>
Observe na Fig. 26 que a série de Balmer corresponde a n = 2. Ou seja, Balmer
mostrou que o comprimento de onda das linhas espectrais pode ser obtido por:
2i
2Hn
1
2
1R
1
,
com n = 3, 4, 5, ...
Assim, o maior comprimento de onda emitido corresponde a ni = 3, ou seja:
36
R5
3
1
2
1R
1 H22H
máx
6563R5
36
Hmáx Å
Já o menor comprimento de onda corresponde a ni = ∞.
4
R1
2
1R
1 H22H
3646R
4
Hmin Å
103
As outras séries mostradas na Fig. 26 são obtidas da seguinte forma:
Série de Lyman:
2i
2Hn
1
1
1R
1
, com ni = 2, 3, ..., ∞.
Série de Paschen:
2i
2Hn
1
3
1R
1
, com ni = 4, 5, ..., ∞.
Série de Brackett:
2i
2Hn
1
4
1R
1
, com ni = 5, 6, ..., ∞.
Série de Pfund:
2i
2Hn
1
5
1R
1
, com ni = 6, 7, ..., ∞.
O espectro de absorção do átomo de hidrogênio corresponde apenas à série de
Lyman e as linhas são obtidas quando o elétron passa do estado fundamental para
qualquer outro estado mais excitado (GUPTA, 2010).
4.9 - Dificuldades do modelo de Bohr
O modelo de Bohr, apesar de inúmeras contribuições para a física, sendo
inclusive importante nos primeiros passos dado pela Física Quântica, falha
grosseiramente em diversos pontos. Vejamos:
1. A teoria de Bohr é aplicada a átomos que possuem apenas um elétron: H, 2He+,
3Li+2, 4Be+3 e 5Be+4. Portanto, não explica os fenômenos relacionados a átomos
polieletrônicos.
2. A teoria de Bohr não explica o efeito Zeeman, ou seja, o desdobramento das
linhas espectrais quando o átomo é submetido a um campo magnético externo.
Portanto, a teoria de Bohr não explica a existência dos subníveis de energia.
3. A teoria de Bohr contradiz o princípio da incerteza de Heisenberg, ao prever
trajetórias definidas para o elétron quando este gira ao redor do núcleo.
4.10 - Modelo atômico de Bohr-Sommerfeld.
No ano de 1896, o físico neerlandês Pieter Zeeman (1865-1943), trabalhando
com espectroscopia óptica e com intensos campos magnéticos, mostrou que as linhas
espectrais de emissão de alguns átomos se desdobravam em linhas mais finas quando
104
esses átomos eram submetidos a campos magnéticos intensos. Esse fenômeno é hoje
conhecido por efeito Zeeman (Fig. 27).
A. Sommerfeld (1868-1951) estudou esse fenômeno e concluiu, em 1915, que
no átomo de hidrogênio o elétron não está girando apenas em órbitas circulares, tal
como sustentava Bohr, mas também em trajetórias elípticas. As órbitas circulares e
elípticas estão relacionadas com subníveis, ou subcamadas de energia.
Com a mecânica quântica ficou demonstrado que as linhas espectrais,
correspondentes aos níveis energéticos, se dividem em linhas mais finas porque os
elétrons ocupam certas regiões energéticas dentro de um mesmo nível, chamadas
subníveis de energia, designadas por s, p, d e f. A Fig. 28 mostra os subníveis de
energia para n = 2 e n = 3.
Figura 27: Efeito Zeeman. As linhas epectrais correspondentes às transições de n = 2 para n = 1 e n = 3
para n = 1 desdobrando-se na presença de um campo magnético muito intenso.
Fonte: O autor
105
Figura 28: Subníveis de energia para n = 2 e n = 3 de acordo com o átomo de Bohr-Sommerfeld.
Fonte: O autor
106
5 – Introdução à física quântica II
5.1 – Dualidade onda-partícula
As radiações eletromagnéticas apresentam um comportamento dual, ou seja, em
alguns fenômenos se comportam como onda (fenômeno da difração, interferência,
dispersão etc.), em outros se comportam como partícula (efeito fotoelétrico, efeito
Compton).
Então, se uma onda se comporta como partícula, será que uma partícula (um
elétron, por exemplo) pode se comportar como onda? Essa é uma questão que se
tornou muito importante para a física, nas décadas iniciais do séc. XX.
Louis De Broglie (1892 – 1987), em 1924, estabeleceu um conceito que
transformou de vez a maneira de conceber a natureza. De Broglie demonstrou que a
propriedade dual de onda-partícula era aplicável não só às radiações eletromagnéticas
(energia), mas também às massas. A qualquer partícula de massa m do universo se
associa um comprimento de onda , e os fótons de qualquer tipo de radiação
eletromagnética (energia) são considerados partículas.
5.2 - Quantidade de movimento de um fóton
De acordo com a propriedade dual onda-partícula, se os fótons das radiações
eletromagnéticas se comportam como partículas, pode-se associar a eles uma
quantidade de movimento p. Para expressar o comprimento de onda de uma partícula
em função de sua quantidade de movimento (p = mv), De Broglie se baseou nas teorias
já confirmadas de Planck-Einstein, que dizem que a energia de um fóton é dada por:
h
chhE (30)
Da equação de Einstein para a energia, temos:
cpccmcmE 2 (31)
Logo,
cpc
h
107
h
p (32)
Sendo o comprimento de onda do fóton e h a constante de Planck.
Para De Broglie é possível associar um comprimento de onda () a toda
partícula material do universo, cuja quantidade de movimento é p, pois:
h
vmp
vm
h
(33)
Essa equação é conhecida como equação de onda de matéria de De Broglie.
Fundamental para a física, essa equação trata da propriedade dual presente na natureza,
porque relaciona a massa (m), uma propriedade de partícula, com o comprimento de
onda (), uma propriedade intrinsecamente ondulatória.
A frequência () das ondas materiais pode ser calculada mediante a equação da
teoria quântica de Planck:
hE
h
E (34)
A teoria dual mudou toda a concepção que a ciência tinha da natureza e hoje é
uma teoria comprovada por diversos experimentos. Já em 1927 a teoria de De Broglie
foi comprovada por dois físicos norte-americanos, Joseph Davisson (1881 – 1958) e
Lester Halbert Germer (1896 – 1971), que observaram a difração de elétrons (um
fenômeno essencialmente ondulatório). Em função das suas fundamentais contribuições
para a física, De Broglie obteve o prêmio Nobel em 1929.
Na Mecânica Quântica se considera a relação de De Broglie como a base para
descrever o comportamento das partículas que se movem livremente. Não é possível
tratar o mundo do muito pequeno com as mesmas leis usadas para descrever o
comportamento do mundo macroscópico. Já o mundo macroscópico pode ser entendido
com as leis estabelecidas pela mecânica quântica. Isto é, uma nova teoria deve abranger
toda a antiga teoria, a isso é chamada de princípio da correspondência. Por exemplo,
para uma bola de tênis arremessada, a mecânica quântica difere infinitesimalmente da
mecânica newtoniana, e qualquer uma das teorias poderia ser aplicada. Porém, nessa
situação a mecânica quântica se torna pouco funcional, dada a sua complexidade.
108
5.3 - Ondas de elétrons nos átomos
De Broglie estudou as condições de quantização das órbitas eletrônicas de Bohr
e concluiu que as órbitas dos elétrons nos átomos só podem ser definidas por números
inteiros, o que é uma propriedade ondulatória. Na física, os fenômenos que explicam
números inteiros são a interferência e ondas estacionárias, como as que se originam
numa corda vibrante. De Broglie, então, diante dos resultados concluiu que os elétrons
não podiam ser entendidos unicamente como partículas, mas que havia algum tipo de
propriedade ondulatória a eles relacionada.
Para entendermos o comportamento dos elétrons no átomo, pensemos numa
corda esticada entre dois extremos fixos, veja a Fig. 30. Inicialmente podemos
estabelecer na corda um comprimento de onda que tenha o dobro do comprimento da
corda, L (observe na figura que L2
). Observe que nessa primeira situação temos
um ventre (parte oscilante, representada por P) e dois nós, ou nodos (pontos fixos, A e
B) estabelecidos na corda. Se aumentarmos a frequência, podemos estabelecer uma
onda na corda de tal modo que o ponto médio, além dos extremos, também fique em
repouso (nesse caso, teremos L ). Agora são dois ventres e três nodos. Podemos
aumentar o número de nodos e, consequentemente, diminuirmos o comprimento de
onda estabelecido na corda, à medida que aumentamos a frequência de oscilação na
corda. Veja a seguir na Fig. 29 as três primeiras configurações que podemos estabelecer
numa corda oscilante. Essas configurações de vibrações são chamadas de harmônicos.
Os harmônicos são definidos pelo número de ventres: no 1º harmônico (n = 1), temos 1
ventre; no 2º harmônico (n = 2), temos 2 ventres e assim sucessivamente.
109
Figura 29: Harmônicos estabelecidos numa corda vibrante. Os harmônicos são números inteiros de
metade de comprimento de onda.
Fonte: Disponível em: < http://brasilescola.uol.com.br/fisica/a-fisica-os-intrumentos-musicais.htm>
Modificado pelo autor
Observe que o número de ondas que se estabelecem na corda é sempre um
número inteiro de metade do comprimento de onda (2
), isto é:
L2
n
ou seja:
n
L2
Pela equação fundamental da ondulatória podemos determinar que apenas
determinadas frequências são permitidas às cordas:
L2
vnf
com o número do harmônico n = 1, 2, 3, ...
110
De Broglie concluiu que o fenômeno das ondas estacionárias numa corda é
muito parecido com elétrons no átomo, que se comporta em estados que correspondem
aos níveis quânticos de energia (1, 2, 3, ...).
Vamos agora fazer uma analogia com os elétrons. Sendo fechada sua órbita,
devemos imaginar em como juntar as extremidades A e B de cada corda vibrante
representada na figura 30. Ao realizar esse procedimento veremos que, em cada caso,
sempre aparecerá um nodo adicional. Isto está ilustrado na Fig. 30.
Figura 30: Os harmônicos possíveis num átomo.
Fonte: Física – Una Visión Analítica Del Movimiento, p. 2625.
Esse nodo a mais que aparece fará com que o primeiro harmônico tenha um
comprimento de onda inteiro, e não mais meio comprimento de onda. No segundo
harmônico teremos dois comprimentos de onda, e assim sucessivamente. Qual a
consequência importante desse fenômeno? Isso significa que as órbitas permitidas para
o elétron no átomo possuem números inteiros de comprimento de onda. Sabendo que
um perímetro de círculo mede r2 , temos que o número de onda formados no átomo
deve ser tal que:
r2n (35)
De Broglie comparou essa condição com o primeiro postulado de Bohr
2
hnrvm
e encontrou o comprimento de onda do elétron:
vm
h (36)
Observe que uma órbita que contem um número fracionário para o comprimento
de onda do elétron é de fato impossível, veja a Fig.31. Isso já foi discutido na seção 4.8,
um número fracionário de comprimento de onda faria os nodos mudarem de posição a
cada volta e onda não seria mais estacionária.
111
Figura 31: É impossível se estabelecer uma órbita com um número fracionário de comprimento de onda
para o elétron.
Fonte: Disponível em:
<http://fisicaexpdemostrativos.uniandes.edu.co/ModeloAtomoBohr.html>
5.4 - Princípio da incerteza de Heisenberg
O princípio da incerteza foi proposto em 1927 pelo físico alemão Werner
Heisenberg (1901 – 1976) com o seguinte enunciado: “é impossível determinar com
exatidão o momento linear e a posição de uma partícula, que se move a uma
grande velocidade, simultaneamente”.
Para o caso de um elétron, o momento linear é determinado mediante uma
radiação eletromagnética, porém nada se pode afirmar sobre sua posição (é incerta). Por
outro lado, a posição do elétron é determinada fazendo-o interagir com um fóton. Porém
essa interação perturba de modo considerável o movimento do elétron e, logo, torna-se
incerto o seu momento linear.
Essa incerteza entre o momento linear e a posição se expressa mediante a
seguinte equação:
4
hpx (37)
Sendo x a incerteza (ou erro) na medida da posição, e p a incerteza na
medida do momento linear.
O limite fundamental da equação da incerteza implica não somente que há um
limite na precisão de uma medida, mas quanto maior a precisão na medida da posição
112
“x”, maior será a imprecisão na medida do momento “px”. Ou seja, a incerteza na
medida de uma delas define a exatidão da medida da outra.
É importante observar que o princípio da incerteza, que é uma lei natural, não
viola a lei da causalidade (causa e efeito), na qual se apoia o mundo macroscópico. E a
incerteza nas medidas de x e p não surgem das imperfeições dos instrumentos de
medidas. Elas provêm da estrutura quântica da matéria.
O princípio da incerteza mostra uma diferença importante entre a física clássica
e a física quântica. A mecânica newtoniana é determinística, enquanto que o mundo
microscópico é essencialmente não determinístico. Para medir a temperatura de um
café, por exemplo, podemos usar um termômetro. Mas, o termômetro ao ser inserido no
café, modifica a temperatura do café. É um erro pequeno que não faz tanta diferença no
mundo macroscópico, mas mesmo assim pode ser corrigido conhecendo-se as
capacidades térmicas do termômetro e do café. Para observarmos um elétron, entretanto,
devemos fazê-lo interagir com um fóton, mas quando isso acontece o fóton muda a
velocidade e a posição do elétron, tornando impossível conhecer com precisão e ao
mesmo tempo sua velocidade e posição. Albert Einstein, apesar de toda a sua
contribuição para a física quântica, não aceitava a visão probabilística dos eventos da
natureza e chegou a afirmar que “Deus não joga dados”. Algum tempo depois, Stephen
Hawking afirmou que “Deus não só joga dados, como os jogam onde não podemos vê-
los”.
113
6 – Introdução à física quântica III
6.1 - Função de onda
Uma quantidade física muito importante na Mecânica Quântica é a função de
onda denominada por “” (letra grega: psi). Quando estudamos o comportamento dual
de onda-partícula da matéria, chegamos à conclusão que a toda partícula em movimento
se associa um comprimento de onda denominada onda de matéria, ou onda de De
Broglie. Erwin Schrödinger (1887-1961), em 1926, conseguiu formular uma equação
que descreve como as ondas materiais mudam sobre a influência de forças externas.
Justamente, o comportamento destas ondas de matéria é descrito pela função de onda
“”, dada pela equação de Schrödinger. Essa equação é tão fundamental para a
mecânica quântica assim como a 2ª Lei de Newton é para a mecânica clássica6.
A função “” contém uma informação detalhada do comportamento das ondas
materiais e as características físicas do movimento no espaço-tempo de uma partícula.
Se “” descreve uma partícula, então as propriedades particulares da mesma podem ser
descritas. Por exemplo, a função de onda para uma partícula que se move ao longo do
eixo x pode ser descrita assim:
x2
senAxksenA)x( (38)
Nessa equação A é a amplitude (m), 2
k é o número de onda (m–1), é o
comprimento de onda de uma onda material (m) e x é a posição da partícula (m) num
certo instante .
6.2 - Movimento de uma partícula confinada num poço de potencial
Imagine uma partícula de massa m confinada numa caixa (poço) de paredes
rígidas de largura L, como mostra a Fig. 32. O movimento dessa partícula pode ser
descrito pela função de onda
6 Uma descrição mais formal e uma aplicação da equação de Schrödinger são encontradas no apêndice C
114
Figura 32: A figura mostra um caixa (poço de potencial), de largura L, constituídas por paredes rígidas.
A partícula de quantidade de movimento p está confinada a se mover no eixo x em sucessivas colisões
Fonte: O autor
A função de onda (x) que descreve o comportamento das ondas materiais, no
eixo x, é análoga ao caso mecânico conhecido como ondas estacionárias produzidas
por uma corda de comprimento “L”, fixas em seus extremos. Veja a Fig. 33 a seguir.
Figura 33: Ondas estacionárias em uma corda vibrante de comprimento L. O número do harmônico é n.
Fonte: http://villate.org/pt/
Na seção 6.3 discutimos a equação matemática que relaciona o comprimento da
onda ( ) com o comprimento da caixa (L):
2
nL
115
n
L2 (39)
O valor de n (1, 2, 3,...) será um número inteiro e essa grandeza é chamada de
número quântico. A partícula da Fig. 33 se move apenas no eixo x, nesse caso o
comportamento das ondas de matéria, descritas em função da onda x , ao substituir a
Eq. 39 na Eq. 38, obtém-se:
L
xnsenA)x(
(40)
A função senoidal anterior tem valor máximo “A”, quando o seno for igual a 1.
Os comprimentos de onda permitida são aquelas para as quais 2
nL .
6.3 - Quantidade de movimento de uma partícula num poço de
potencial
Já vimos que o comprimento de onda de uma partícula, confinada num poço de
potencial, é dada pela seguinte equação:
n
L2 (41)
De Broglie demonstrou que o comprimento de onda pode ser relacionado com o
momento linear, da seguinte forma:
h
pp
h
vm
h (42)
Agora, podemos substituir a Eq. 41 na Eq. 44, e o resultado será:
n
L2h
p
nL2
hp
(43)
Observe, então, que o momento linear de uma partícula pode ser escrita em
função da constante de Planck h.
116
6.4 - Energia de uma partícula num poço de potencial
Com base na Eq. 43 podemos estudar a energia de uma partícula confinada num
poço. Considerando a partícula livre, sua energia potencial será nula e, dessa forma, sua
energia total será igual a sua energia cinética (EK). Da mecânica clássica temos que:
2K vm
2
1E
Que pode ser escrita assim:
2K vmm2
1E
E sendo vmp , temos:
m2
pE
2
K (44)
Substituindo a Eq. 43 na Eq. 44, obtermos uma equação para energia em termos
dos parâmetros quânticos:
m2
nL2
h
E
2
K
22
2
K nLm8
hE
(45)
O fato de n ser um número inteiro (n = 1, 2, 3, ...) mostra que a energia da
partícula está quantizada.
6.5 - Significado Físico de ||2
2 denomina-se densidade de probabilidade e se define como a probabilidade
relativa por unidade de volume (ou comprimento) de uma partícula ser encontrada em
qualquer ponto, dado o volume (ou comprimento) em um certo instante.
Este significado foi introduzido pela primeira vez, em 1928, por Max Born. A
interpretação de estabelece uma conexão estatística entre a onda e a partícula
117
associada, indica onde é possível de se encontrar a partícula, não onde ela está. Os
“orbitais” da química são uma representação gráfica tridimensional 2 .7
Existe uma probabilidade, entre 0 e 1, de se encontrar o elétron numa
determinada região do espaço em cada instante de tempo. 0 significa que algo é
impossível, e 1 indica que algo é certo. Se, por exemplo, 0,6 for a probabilidade de se
encontrar um elétron numa certa região do espaço, isso indica uma chance de 60% de
que o elétron seja encontrado lá (em mecânica quântica expressaríamos isso por 2 =
0,6). Ou seja, a equação de Schrödinger apenas indica a probabilidade de se encontrar o
elétron num dado momento, ela não dá a certeza de que ele seja encontrado.
No caso de uma partícula em um poço de potencial, de comprimento L
(apresentado anteriormente), a função de onda que descreve o comportamento das ondas
de matéria é:
L
xnsenA)x(
e a densidade de probabilidade é:
L
xnsenA)x( 222 (46)
Essas funções são representadas em gráficos na Fig. 34. Observe que no gráfico
da função probabilidade 2)x( há um “pico” em x = L/2, indicando uma probabilidade
muito maior de se encontrar o elétron nessa região.
Figura 34: A função de onda e densidade de probabilidade. Observe que o máximo de
probabilidade é em x = L/2. A probabilidade será a área sob a curva.
Fonte: O autor
7 Na verdade é uma função complexa e para se obter ||2 a função de onda deve ser multiplicada pelo seu complexo conjugado
118
É importante observar que 2)x( é um resultado sempre positivo. Quando n =
1, a probabilidade de se encontrar a partícula será maior no centro da curva, ou seja em
2
Lx , do que nas extremidades. Nos extremos ( Lxex 0 ) é impossível encontrar
a partícula, pois substituindo esses valores na função densidade de probabilidade,
teremos 0)x(2 (HEWITT, 2002).
6.6 - Nuvens ao invés de órbitas
Com a mecânica quântica a ideia de um elétron preso a uma órbita em torno do
núcleo não faz mais sentido, pois o significado de órbita nos remete à ideia de trajetória,
que é um conceito sem sentido para o mundo microscópico. A função densidade de
probabilidade nos diz que é possível encontrarmos o elétron em uma região do espaço
ao redor do átomo, isso porque a energia do elétron depende da sua distância ao núcleo.
Dessa forma faz sentido falar numa região de probabilidade, algo que se
assemelha a uma nuvem, ao invés de uma órbita. Essa região de probabilidade é
também chamada de orbital. Na região em que a probabilidade de se encontrar o elétron
for maior, a nuvem aparecerá mais densa. Algo como a Fig. 35.
A configuração desses orbitais depende do número de elétrons que o átomo
possui. O orbital mais simples é o do átomo de hidrogênio, pois esse elemento possuiu
um único elétron que interage unicamente com o núcleo. Quando o elemento possui
mais de um elétron, os elétrons interagirão tanto com o núcleo como os outros elétrons,
e a representação dos orbitais tentem a ficar complexa. Os orbitais são designados por s,
p, d e f (ICH, 2012).
119
Figura 35: Na região onde a probabilidade de se encontrar o elétron é maior, a nuvem de
probabilidade aparecerá mais densa. Essa distribuição é esférica e é representada simplesmente
por uma esfera. Esse o orbital s.
Fonte: Disponível em: <https://pt.wikipedia.org/wiki/Orbital_at%C3%B4mico>
120
Apêndice C
A equação de Schrödinger
1 - Introdução
Em 1926, o físico alemão Erwin Schrödinger apresentou um modelo matemático
que permite descrever o comportamento das partículas do mundo subatômico. Para
descrever o comportamento das ondas de matéria e as características físicas de uma
partícula no espaço e no tempo se requer uma função de onda “”. O problema de
Schrödinger era desenvolver uma regra que permitisse encontrar a função de onda ,
para cada problema específico. Essa regra se expressa em forma de uma equação
diferencial, chamada Equação de Schrödinger.
Para partículas que se movem em uma única direção, por exemplo no eixo x do
sistema de coordenadas, a equação de Schrödinger se escreve da seguinte forma:
0EEh
m8
x xP2
2
2
2
(1)
Sendo m a massa da partícula; xPE a energia potencial em função de x e E a
Energia total quantizada da partícula. A energia total é obtida fazendo-se a soma da
energia cinética com a potencial:
PK EEE (2)
A energia cinética pode ser expressa em função da quantidade de movimento, de
acordo com a Eq. 44 do apêndice B, ou seja:
m2
pE
2
K (3)
A função )x( é uma função de onda que determina a provável posição da
partícula. É essa função que teremos que encontrar para cada problema específico, e
calcular a sua incógnita.
121
2 - Generalização da equação de Schrödinger
Para uma partícula em um sistema de coordenadas cartesianas tridimensional, a
equação de Schrödinger em geral adota a seguinte forma:
0EE
h
m8
zyx z,y,xP2
2
2
2
2
2
2
2
(4)
No caso, a energia potencial zyxPE
,,depende das três coordenadas.
3 - Equação de Schrödinger aplicada a uma partícula em um
poço de potencial
Uma partícula confinada em um poço de largura L, tal que se move livremente
em Lx ,0 , possui energia potencial nula e quantidade de movimento dada pela
seguinte equação:
k2
h2
2
hhp
(5)
2
k é o que chamamos de número de onda. Como sua energia potencial é igual a
zero, a energia total “ E ” da partícula será igual a sua energia cinética KE , dada pela
equação 44 do apêndice B. Assim, substituindo a Eq. 5 na Eq. 44 do apêndice B,
obtemos:
m8
khE
2
22
K
(6)
Para uma partícula confinada em um poço de potencial, movendo-se apenas no
eixo x, a Equação de Schrödinger é dada por
08
2
2
2
2
xPEEh
m
dx
d , pois nesse
caso xd
d
x
2
2
28. Assim:
8 Isso acontece porque a partícula está livre para se mover apenas na direção x, logo as derivadas parciais nas dimensões y e z serão nulas.
122
0Eh
m8
dx
dK2
2
2
2
(7)
Substituindo a Eq. 6 na Eq. 7, encontramos:
0m8
kh
h
m8
dx
d2
22
2
2
2
2
0kdx
d 22
2
22
2
kdx
d (8)
Como a partícula está oscilando entre 0x e Lx , a função de onda depende
apenas de “ x ”, tal que:
Se: 0)x(0x
Condições de contorno.
Se: 0)x(Lx
Analisando a Eq. 8 deduz-se que a função de onda )x( é tal que a segunda
derivada é igual à mesma função )x( multiplicada por uma constante. A função que
cumpre com essa condição é uma função do tipo:
xksenA)x( (9)
Aplicando à Eq. 9 as condições de contorno, temos que se
nLkou0Lk0LksenA)L(Lx . Isto é:
L
nk
(10)
Sendo n = 1, 2, 3, ... Assim, conclui-se que:
L
xnsenA)x(
(11)
Essa equação é a mesma equação deduzida para o estudo do movimento de uma
partícula em um poço de potencial, fazendo uma analogia com as ondas estacionárias
estabelecidas numa corda de comprimento “L” (veja apêndice B). Se substituirmos a
equação 11 nas equações 5 e 6, a quantidade de movimento e a energia cinética da
partícula em um poço de potencial resultam em:
nL2
hp
123
22
2
K nLm8
hE
,
que são exatamente as mesmas equações deduzidas por meio do cálculo clássico. Isso
quer dizer que a equação de Schrödinger trabalha perfeitamente na análise de
movimento de uma partícula num poço de potencial (GONZALES, 2013).
124
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