A P É N D I C E 1 .

SISTEMATIZACIÓN DE LOS DATOS Y PRUEBAS ESTADÍSTICAS

PARA LA SELECCIÓN DE UN MODELO EN ANÁLISIS DE

SUPERFICIES DE RESPUESTA

- 9 5 -

Este apéndice contiene lo sistematización de los datos paro que ef computador

configure por regresión múltiplefmedionte e l programa REM I) , los diferentes

modelos pedidos por e l investigador, quien hard la selección f ina l de lo ecua­

c ión que represente mejor ios resultados del experimento. Además se da una

expl icación de algunos criterios estadfsticos que se usan para seleccionar f un ­

ciones.

Uno vez realizado el anólisis gráfico pora observar e l comportamiento de i n ­

sumos variables involucrados en el proceso productivofen este traboío serfan

N y K) el investigador debe estructurar los diferentes funciones que o su ¡uicio

(lógico o pr ior i ) , el computador debe configurar. E n el coso de este manual

fueron los siguientes: (teniendo eh cuenta el comportamiento cuadrático del

K y cúbico del N ) .

Yr

Y2 =

Y3 =

Y4 =

Y5 =

Y6 =

Y7 =

Y8 =

Y 9 -

Y|0 =

Yll =

a + b|N + b2K + bsN^ + b4K2

Yi+bsNK

Y2 + b6N3

Y2 + b6K3

Yi + b5N3

Y, + bsK^

Y5 + b6K3

o + blN + b2N2 + b3N3

o + biK + b2K2

Y9 + b3K3

o + b|N + b2N2

Y | 2 = Y 6 + b7N3 -I- b^NK

-96-

El sistema que el computador e m p l e a para configurar las diferentes ecuaciones

es el modelo lineal general, que consiste en:

Y = a + bj Xj -»• bjXg + .. ,. .j, bnXn

Las variables que se incluyen en el análisis de regresión serán lineales,

las que se dividen en originales y transformadas. Dichas variables son:

No vaflable

1

2

3

4

5

6

7

8

Identificación

N N .

K /

Y

N2 ^

K 2 ,

N3

K3

NK /

variables originales

variables transformadas

El aspecto relacionado con la lógica de transformación es parte del programa

REM 1., el cual se emplea para calcular regresiones lineales y está amplia­

mente conocido y probado.

El apéndice 2 es un ejemplo de la forma como el confutador configura una

función.

SISTEMATIZACIÓN DE LOS DATOS Y PRUEBAS ESTADÍSTICAS

PARA LA SELECCIÓN DEL MODELO

Sistematización de los Datos

Las variables que aparecen en forma lineal se incluyen como tales en la

codificación; cuando estas variables esten elevadas a nna potencia se le

debe ordenar al conq>utador su transformación mediante un código especial

que tiene el programa REM 1*. Lo mismo sucede cuando es necesario encon­

trar las interacciones entre las variables, teniendo presente que el código

es diferente al mencionado anteriormente.

El código 10 se utiliza para elevar una variable a una potencia cualquiera;

y el 13 es el empleado para encontrar las interacciones lineales entre dos

variables. Para más de dos variables se le debe ordenar al computador mul­

tiplicar el primer producto (cue origina una nueva variable), por la tercera

variable incluida, luego este producto obtenido(que se transforma en una

variable) puede multiplicarse en esta forma sucesivamente, hasta la variable

n incluida en la interacción.

* Este programa fué elaborado en la oficina de Sistemas de la Sede Medellíi de la U.N, con base en la library routine No 8-06-09 del M.I.T,

-98-

El numero máximo de variables(originales más trassformadas) es de veintidós.

Forma como son suministrados los datos al programa de conqiutadores REM 1:

Para efectuar el suministro de los datos al programa REM 1 se procede de la

siguiente manera:

La hoja que se anexa "forma para codificación" está constituida por 80

columnas (80 columnas oue tiene la tarjeta IBM) y 25 líneas. Cada linea

equivale a una tarjeta. La primera tarjeta contiene la siguiente informa­

ción:

Primera y segunda columna slash 24/, en la 4a., 5a y 6a. se imprime la palabra

JOB (es la tarjeta de control o monitor); se requiere una tarjeta de estas á.

principio de cada proceso.

La segunda tarjeta conttane:

Slash, slash blanco y XEQ, blanco y el nombre del programa REM 1,

Cada signo corresponde a una columna dentro de la tarjeta (tarjeta de control

monitor que llama a ejecución el programa). Se requiere una tarjeta de estas

al principio de cada problema.

24/ Slash = /

-99-

Tercera tarjeta. (Tarjeta problema)

Columnas

1 - 2 Aparece la palabra PR (código de la tarjeta)

3 - 6 Nombre asignado al trabajo

(nombre del problema, cuatro caracteres, números, letras y/o blancos

que identifican el problema).

7 - 8 Número de variables originales o leídas. Si el número de variables

menor que 10, la columna 7 queda vacía o con cero, y d. número de

variables va en la columna 8, 25/

9 - 1 3 Tamaflo de la muestra o número de tratamientos del experimento,

14 - 15 Número de transformaciones(ajustado a la derecha)

16 - 17 Número de variables transformadas(ajustado a la derecha)

1 8 - 2 0 Número de modelos o selecciones, (Ajustado a la derecha)

Cuarta: Tarjetas de transformaciones 26/

25/ Esto se llama ajustar a la derecha

26/ En cada tarjeta solamente va una transformación ó sea que el número

de tarjetas de transformación debe ser igual al numero de variables

transformadas.

-100-

NQ.Columnas

1 - 2 Aparece la palabra TR

3 - 4 Número asignado a la variable resultante de la transformación

(ajustado a la derecha),

5 - 6 Código para indicar la transformación,

7 - 8 Número de variable a ser transformada

9 -14 Niimero de la variable operando (variable original o transformada

que va a multiplicar, dividir, sumar y restar a la variable

original ó transformada que aparece an las columnas 7 - 8 ) ,

En el caso de que la transformación sea elevar a una potencia

el último dígito debe ir en la columna 13 y en la columna 14 un

punto.

CÓDIGOS EMPLEADOS PARA LAS TRANSFORMACIONES

01 X' = V x X > O

02 X' = y x ^ •]• V x T T X > O

03 X ' = Lg lOX X > O

04 X' = e exp(X)

05 X» = a re r,en\/~X^ O ^ X < 1

06 X' = a r e sen V 'x /n-h 1 •¥ a r e senVX+1/n -t- 1

07 X' = 1/X X ^ O

•101-

03

09

10

11

12

13

14

X'

X'

x»

X'

X'

X»

X'

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=

s

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X H- C

CX

x'

Xa + Xb

Xa - Xb

Xa , Xb

Xa/Xb

X > O

X ^ 0

En este código Xa es la primera variable operando, Xb la segunda y C

es la constante.

Quinto: Tarjetas del nombre asignado a las variables incluidas

Columnas

1 - 4 Nombre de la primera variable

5 - 8 Nombre de la segunda variable

9-12 Nombre de la tercera variable

76-80 Nombre de la 20a,variable

\¡^

-10?-

Sexto: Tarjetas de Datos o tratamientos 2 7 /

Colu mnos

I - 10 Valor de la primera variable

11-20 Valor de lo segunda variable

61-70 Valor de la séptima variable

El máximo de datos por tarjeta sera de siete. Si hoy mas de siete variables

originales se continuará en una segunda tar jeta. Pora codo observación se

in ic ia uno nueva tar jeta. Los valores deben llevar punto decimal perforado.

Séptimo: Tarjetas de selección ó de funciones

(Debe haber tantos tarjetas de selección como se hoyo especificado

en los columnas 18 o 20 de lo tarjeta de problema).

2 7 / En el presente trabajo lo variable uno es nitrógeno, lo dos potasio y lo tres es la producción. Como puede observarse en la hoja de codi f icac ión, los datos fueron entrados o partir de lo tabla 3, Si se hoce entrando los datos como en la tabla 2 , ios coeficientes de lo función de producción variarán pero no lo producción estimada,

' . '>i\::;v !:;^r; XAr:nv vi

-103-

Tienen el siguiente formato:

Columnas

I - 2 SL(Código de lo tarjeta)

3 - 4 00: N o , tabla de residuales

01: Se deseo análisis pero no tabla de residuales

02; Tabla de residuales con análisis

5 - 6 Número de lo variable que se anotará como dependiente

7 - 8 Número de variables suprimidas en el modelo

9 - 1 0 Primera variable suprimida

l i-12 Begundo variable suprimida

13-14 Tercera vorioble suprimida

15-16 e tc , e tc .

Pora aclarar el suministro de los datos a l computador se incluye lo forma

de codi f icación ut i l izado en lo presente invest igación.

Pruebas estadfsticos

Análisis de Regresión:

Pora obtener el modelo de acuerdo oí análisis gráf ico, se real izo un análisis

de regresión múl t ip le, e l cual permite calcular ia producción de cafía en

función de los nutrientes variables, como sigue:

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-104-

(A-1) Y = f(N, K/P, riego, plagas y enfermedades....) + E

en la cual Y es la producción, N y K los nutrimentos variables; fósforo,

riego, plagas y enfermedades son factores que se mantienen fijos y E

representa el efecto de las variables incontrolables.

La función (A-1) se denomina Función de Production

Estas funciones de producción se representan matemáticamente de diversas

formas, las cuales permiten determinar cómo varía la variable dependiente

(rendimiento) al producirse una variación en las variables independientes.

Para el caso de fertilizantes, se determinará cómo aumenta ó disminuye

el rendimiento al aumentar ó disminuir la cantidad aplicada de fertili­

zantes.

La existencia de numerosas ecuaciones plantea el problema de tener que se­

leccionar aquella que represente mejor la relación funcional bajo determi­

nadas condiciones existentes. Esto implica que es necesario un estudio

de regresión.

En este aparte se discutirán los conceptos estadísticos empleados en la

selección del modelo.

•105-

El coeficiente de determinación:

El coeficiente de determinación (R^) es el porcentaje de la variación total

de la producción debido a la acción de los factores variables incluidos en

el modelo del proceso productivo, el resto del porcentaje se debe a varia­

bles no incluidas en el modelo(variables exógenas), falta de ajuste y error

de medida. Por lo tanto el rango de R^ varía entre cero y uno, siendo cero

cuando los factores variables no explican nada de la producción y uno cuando

la producción se debe en su totalidad a los factores variables incluidos en

el modelo.

El modelo a seleccionar será aquel que tenga un R^ más alto.

Este coeficiente explica la proporción de varianza de la regresión total

debida a los factores involucrados en la produccoón, Y se expresa como:

P WL n /\ , Z ' h : ^ XijYi 27 Y2.

(A-2) R2 = SCR = ; J=l ^ 1 = i=l ^ SCT V Y 2 ^ z: \

i=l

i = 1, 2,,.., n; j = 1,2^ , J>

en la cual I ^^i J~ \ XijYi se define como la suma de cuadrados de n.

regresión con respecto a sus medias y ¿_ . Yi2 es la suma total de cuadral os

con respecto a su media. Esta ultima, está dividida en la suma total de

cuadrados debida a la regresión más la suma de cuadrados debida al error, es

decir:

-106-

n n /s n (A-3) ¿ 7 Yi2 = ^ Z . Yi2 - ^ ei2

i=l <1>1 i=l

En la ecuación (A-3) ^ Yl' se denomina como la suma de cuadrados explical a

por la regreslójD lf 2- e . es la suma no explicada o error, Bi este último

están contenidos todos aquellos factores exógenos al modelo.

Para seleccionar una función se escogerá aquella que tenga un mayor R^ tal

como se dijo anteriormente. Sin embargo^ según algunos autores, cuando este

coeficiente es muy alto puede haber probabilidad de existir correlación entre

las variables. Este solo criterio no es suficiente para seleccionar un modelo.

Pero,

•^ ' 2 — 2 J ^ 2

i"l i=l i=l

R2 a ^ Y i 2 - ^ ei2 » 1 - ^^el^

Bl esta última fórmula se puede ver que cuando no hay error, el R2 es

igual a uno, Eh la vida real, no es posible incluir todos los factores que

influyen en la variación de la producción.

Partiendo de la fórmula (A-2)¿. J ¿ . XijYi es la sinq)lificación de la siguiente P

2_bj (n 2. XííY. -X^ii ¿^ i) 5 . ^ se define como la suma de cuadrados de r-z) - ^

regresión con respecto a sus medias. En el presente mt.'&ftjoy para el modelo

-107-

seleccionodo bj varfo de I a 5, siendo b| el coeficiente de N(-0,134 7341);

b2 el de K(0,745855); ba ei coeficiente de N2(0,0120818); b4 el coeficiente de

K^(0.0029714); bs el coeficiente de N3(0.0000355), y Xj representa los va r i a ­

bles inclufdas en ei modelo seleccionado en donde j varío de I a 5; o sea que:

XI = N ; X J = K; X3 = N 2 . X4 = K 2 ; X5 = N 3

Signif icancia de los coeficientes dentro del modelo.

Otro cr i ter io estadístico empleado en ia selección de funciones es la signif icancia

de los coeficientes.

Poro expl icar la signif icancia de los coeficientes dentro del modelo seleccionado

en este manual no se realizarán discusiones matemáticos sobre la distribución

de los parámetros (b j , donde j = 1 ,2 ,3 ,4 ,5 , ) puesto que el f in de esta exposición

es solo mostrar el carácter practico de la u t i l i zac ión de la estadístico en !a

selección de modelos de respuesta, Ei interesado podrá profundizar en las carac­

terísticas de los estimadores minimocuodróticos y además en las inferencias acerca de

los coeficientes de regresión.

Poro ver i f icar lo signif icancia de los coeficientes dentro de uno ecuación, se

realizan los siguientes hipótesis:

2,

-108-

i , b¡ : tiene una distribución normal con medio Bj y varianza f i n i t a , ^ b r

Es necesario también que la vorionzo de los errores seo lo misma, es

deci r , que exista homocedasticidad, o seo.

^i' = t / =, -A'-V

3 , Que los errores se distribuyon normalmente con media cero y varianza

constante y f i n i t a ,

O seo.

ۥ< N(0, Te')

4 , Due lo covarianza entre ios errores seo cero, tal que.

Cov( e| e-i) = O 2 8 /

2 8 / Esta relación es uno matriz de varianza que se represento como:

2 J B I 2 ^ e j e j . . . . 2 e | , e n

^6261

E(e'e) = E

J l «nei H e n 62 . ^e^nn _

o t 2

; E(e2 ) , , , , , , E ( e n ) son las varianzas de los errores, los demás elementos de lo matriz corresponden a los covarianzas de los errores, ios cuales ddsen ser cero pora que no exista auto-corre loe ion dentro del modelo.

-109-

i, i ' = 1,2,

io que impl ica que los errores son independientes. En base o los supuestos

anteriores, se puede entrar a probar los hipótesis sobre los parámetros incluidos

dentro del modelo.

Como bj se distribuye normalmente con media Bj y vorionzo0["b¡2 * , entonces:

bj - Bj se distribuye como una C A A ¿ I \ Sbj v ^ ' ^ ^

con n-p- l grados de l iber tad.

Siendo bj estimador insesgado óptimo del parámetro de lo población y Bj el

verdadero parámetro de lo población * * ,

El estadístico de lo expresión (A-4) tiene uno distribución t de student con

n -p - i grodos de libertad(P es el número de porámetros o estimar, B j , incluidos

dentro del modelo).

Véase Hoel , R,C,I954, Introducción o lo estadística matemática pp,216-17

Véase, Johnston, J , I970 , Métodos de econometría-Vicens Vives, Barcelona, pp,108-121

-lio-

Pora veri f icar las hipótesis de ios Bj se procede de ia siguiente manera:

Ho (Hipótesis nulo): Bj = Bo

Ha (Hipótesis alterno): Bj - ^ Bo

Para el coso en el que Bo = 0, se tiene que sustituir Bj = Bo = O en lo

expresión (A-4) y ver si e l valor resultante de ese estadístico cae o no dentro de uno

región de rechazo (poro Ho), Se rechazará la hipótesis nulo si:

-ti- < '•I - Ji < - t .

siendo </" ei nivel de signif icación seleccionado por el investigador.

En el caso de este estudio se tiene que

n = 24, p = 5; = 0 , 0 5 y t (0,05) |8GL = 2.10 _29/

Si t calculada ^ / t (0,05) l8 G L se rechazo Ho, es decir , ef parámetro es

diferente de cero o un nivel de signif icación del 5 por c iento, por tonto se i n ­

cluye dentro del modelo. Si t calculado •< t(0,05)l8 GL no se rechaza la

hipótesis nulo

Ixi prueba de los coeficientes de regresión correspondiente a l nitrógeno(N) no

dio signif icat iva en el modelo seleccionado en este trabajo.

2 9 / Véase e i apéndice 3 ,

Este coeficiente de regresión es parcial o seo que nos indica el cambio que

se opera en lo producción de caña de azúcar por codo cambio unitario en e l

nitrógeno, dado que los demás variables están incluidos dentro del modelo.

Sin embargo, a l estudiar la regresión simple entre el nitrógeno y el rendimiento

se observa que este factor aporta uno cantidad considerable de var iación en el

modelo(0,84786) que resulta altamente s igni f icat ivo. La contribución adicional

a la var iabi l idad debida o los demás factores resulta signif icativa como puede

verse en ei apéndice N o , 2 , e incrementa el valor del coeficiente de determina­

ción o 0 .98 . Por los razones anteriores se ha tomado e l modelo indicado como oque!

que mejor expl ica el fenómeno estudiado.

En ios hotjas de listado suministradas por e l computador aparecen fos datos de los

b j , / J o \ y ] a t calculado (véase apéndice No 2) , Por tanto, sólo será necesario

comparar como se indicó entes.

Con el valor de lo tabla t^ 3 0 / oí nivel de signif icación seleccionodo por e l

investigador. En la práctico se emplean comunmente los niveles del 5 y I

por c ien to .

3 0 / La tabla de lo distribución t aparece en el apéndice N o , 3

- 1 1 2 -

Anóiisis de Varianza

Se deseo probar lo hipótesis

Ho : Bj = O pora todo j

Ha : Bj O pora algún j .

En el siguiente cuadro aparecen lo suma de cuadrados, los grados de libertad

y los cuadrados medios asociados o lo regresióny a l residual.

Fuentes de vorioción , S C

j

I GL ICM

1-t F,calculada

I P n i ' Debida o lo regresión l 2 1 bj2 27 Xí^ j P I ^ b 2 j ^ i 2 j

, i-l i=f ' I P

-f-

Debido al error 1. n-P-1 ^ e ^ n-P-l

I n

Total ' T. Yi2 I i=l

, n - l

1 I

F calculada = C M debido o regresión C M debido al error

- 113 -

Puede demostrarse que bajo la hipótesis nulo, lo relación entre e l cuadrado

medio debido a lo regresión y el cuadrado debido oi error tiene uno distribución

F con P y n-P- l grados de l i be r tad , * por lo cuof si esta relación resulta s ign i ­

f icat iva o I compararlo con el valor de F teór i co , entonces se rechazo Ho.

Poro e l coso en estudio se observa que á valor de F resulta altamente s ign i f ica­

t ivo según lo tabla No 9 dei capítulo V .

* Véase Johnston, J , I970 , Métodos de econometria-Vicens-Vives, Barcelona pp 121-135

pp -'ií:.;."\r

A P É N D I C E 2,

CONFIGURACIGN DEL MODELO SELECCIONADO

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Parle tlel cuadro IV de "Slalistical Melhods fcjr Hescarch Workers", con la au tor iza­ción tJcl autor, n . A , Fislier, y de sus etiilOies, Oliver and noyd, Edimburgo.