“simulación numérica de materiales hiperelásticos...

MEMORIAS DEL XXV CONGRESO INTERNACIONAL ANUAL DE LA SOMIM 18 al 20 DE SEPTIEMBRE DE 2019 MAZATLÁN, SINALOA, MÉXICO

Tema A3a Mecánica Teórica: Simulación numérica

“Simulación numérica de materiales hiperelásticos isotrópicos incompresibles usando una subrutina de material definida por el usuario”

J. C. Castillo-Méndez * a, A. Ortiz-Prado a

a

Unidad de Investigación y Asistencia Técnica en Materiales, Facultad de Ingeniería, Edificio O. Universidad Nacional Autónoma de México, Av

Universidad No. 3000 Col. UNAM-CU Cd Mx, 04510 México

*contacto:[email protected]

R E S U M E N

En este trabajo se presenta el desarrollo mecánico y numérico para crear una subrutina de material definido por el usuario (UMAT) de materiales hiperelásticos isotrópicos incompresibles para la paquetería de análisis por elementos finitos ABAQUS. La formulación se realiza en el marco de la mecánica de medios continuos no lineales y se utiliza el enfoque clásico de invariantes de deformación para expresar la función de energía, se presenta de forma explícita el tensor de esfuerzos de Cauchy y el tensor tangente consistente debido a que ambos tensores se tienen que codificar dentro de la subrutina de material. El rendimiento de la subrutina creada se verificó con tres modelos recientemente reportados en la literatura y creados para el modelado de: un polímero biodegradable, el tejido cerebral y otro para el ligamento cruzado, estos modelos no se encuentran en la librería de ABAQUS por lo que es necesario crear una subrutina para implementarlos. Se realizaron simulaciones para el caso de tracción uniaxial y de cortante simple, obteniéndose a su vez las soluciones analíticas para ambos casos, se realizó una comparación de resultados numéricos con los resultados analíticos obteniéndose errores menores del 1% en todos los casos con respecto a los valores analíticos esperados y se demuestra que la subrutina material es una herramienta muy útil y versátil en la implementación numérica de materiales hiperelásticos.

Palabras Clave: Simulación numérica, Hiperelasticidad isotrópica, Elementos finitos, UMAT.

A B S T R A C T

This paper presents the mechanical and numerical development to create a user-defined material subroutine (UMAT) of incompressible isotropic hyperelastic materials for the finite element analysis software ABAQUS. The formulation is made within the framework of nonlinear continuum mechanics and a classical approach of strain invariants is used to express the strain energy function, The Cauchy stress tensor and the consistent tangent tensor are explicitly presented because both tensors have to be coded into the material subroutine. The performance of the subroutine was verified with three models recently reported in the literature and created for the modeling of: a biodegradable polymer, brain tissue and for the cruciate ligament, These models are not in the ABAQUS library so a subroutine is needed to implement them. Simulations for the uniaxial tension case and simple shear were done, and errors of less than 1% were obtained in all cases with respect to the expected analytical values, and it is demonstrated that the material subroutine is a very useful and versatile tool in the numerical implementation of hyperelastic materials. Keywords: Numerical simulation, Isotropic hyperelasticity, Finite elements, UMAT.

1. Introducción

Existen muchos materiales que pueden estar sometidos a grandes deformaciones sin presentar plasticidad, los polímeros, el caucho y los tejidos biológicos son ejemplos, un enfoque fenomenológico es comúnmente usado para describir el comportamiento mecánico de tales materiales, este enfoque aunque es muy útil resulta complejo, debido a que las deformaciones son finitas y por lo tanto es necesario utilizar una teoría de elasticidad no lineal [1]. La formulación para estos materiales se realiza a través de leyes

termo-mecánicas y la relación constitutiva se obtiene de una función escalar de energía de deformación que se define y calibra a través de estudios experimentales, este tipo de materiales son denominados hiperelásticos [2]. Dada la importancia de los materiales hiperelásticos para la industria y la investigación científica, la mayoría de paqueterías especializadas en el análisis por elementos finitos (FEA por sus siglas en inglés) disponen en sus bibliotecas de una serie de modelos estándar para modelar el comportamiento de estos materiales , tales como el neo-Hookean, Mooney-Rivlin, Ogden, Yeoh, entre otros, estos modelos han sido probados y frecuentemente utilizados en


la literatura [3], se puede encontrar una revisión más detallada de estos modelos en [4, 5]. Nuevas aplicaciones de la hiperelásticidad han mostrado que los modelos estándar son limitados en la descripción de materiales que poseen un comportamiento complejo, por ejemplo, los tejidos biológicos o los cauchos reforzados con fibras, esto ha motivado a que los investigadores estén constantemente formulando nuevos modelos constitutivos cada vez más sofisticados y que sean capaces describir de mejor manera el comportamiento de estos materiales [6]. Un problema que a menudo enfrentan estos nuevos modelos constitutivos surge con la necesidad de implementarlos en una simulación con elementos finitos, esto debido a que las paqueterías FEA generalmente no contienen en sus librerías de materiales tales modelos, para superar esta limitante estas paqueterías ponen a disposición del usuario la posibilidad de implementar subrutinas de material personalizadas, en donde se describirán las características del material. Sin embargo, el desarrollo y la codificación de tales subrutinas no son tareas triviales puesto que son necesarios, por ejemplo, experiencia en programación científica además de requerir una considerable manipulación algebraica de tensores que es susceptible a errores en la codificación, lo anterior termina convirtiéndose en una fuerte limitante en el uso de estos modelos complejos en simulaciones numéricas [7]. Debido a esto en este este trabajo se presenta el desarrollo numérico y mecánico para realizar una práctica implementación de ecuaciones constitutivas hiperelásticas isotrópicas incompresibles en una subrutina de material definida por el usuario (UMAT) para la paquetería comercial ABAQUS.

2. Metodología

2.1. Formulación mecánica

La hiperelasticidad formula la existencia de una función escalar de energía de deformación ψ por unidad de volumen no deformado, a partir de la cual y en combinación de la desigualdad de Clausius-Planck de la segunda ley de la termodinámica se puede formular una relación constitutiva para los materiales hiperelásticos [6], la ec. (1) describe tal relación

ψ2

SC

(1)

Donde S es el segundo tensor de esfuerzo de Piola-Kirchhoff, C=FTF el tensor de deformación derecho de Cauchy-Green y � = ∂�/ ∂� el tensor gradiente de deformación, para materiales hiperelásticos isotrópicos la función de energía depende únicamente de la deformación, así mismo, es necesario desacoplar esta función como la suma de las contribuciones volumétricas e isocóricas para evitar problemas numéricos con la incompresibilidad, esto se logra realizando una descomposición multiplicativa del gradiente de deformación F=J1/3I��, donde J=det(F) y �� es la parte del gradiente que conserva el volumen [8, 9], el trabajo de [10] demostró, además, que para el comportamiento

isotrópico la función de energía se puede representar en términos de los invariantes del tensor isocórico derecho de deformación � = ��, de esta forma la función de energía se expresa como:

vol iso 1 2ψ ψ ψ ψ ,J I I C (2)

Con � ̅ = tr�� y 2��̅ = �tr�� − tr�� , la respuesta tensional para la ec. (1) también estará desacoplada

vol isovol iso

ψ ψ2

S S SC C

(3)

utilizando la formulación de invariantes y siguiendo el desarrollo de [6], S se define como:

2 41 iso iso iso3 3

11 2 2

1iso iso1 2

1 2

ψ ψ ψ

32

2

ψ ψ 2

pJ J I JI I I

I II I

S C I C

C

(4)

Para encontrar el tensor de Esfuerzos en la configuración deformada (tensor de esfuerzos de Cauchy �) se aplica la operación empuje (push-forward) al tensor S, obteniendo:

2iso iso iso1

1 2 2

iso iso1 2

1 2

ψ ψ ψ2

ψ2 ψ 2

3

p IJ I I I

I IJ I I

σ I B B

I

(5)

Donde I es el tensor de identidad de segundo orden, �� =

��es el tensor de deformación izquierdo de Cauchy-Green y p la presión hidrostática. Las relaciones entre el esfuerzo y la deformación en problemas de deformaciones finitas son invariablemente no lineales, para obtener una solución se utilizan técnicas iterativa/incremental tipo Newton, para la cual se necesita linealizar la ecuación constitutiva y calcular el tensor elástico de cuarto orden [11], en la configuración no deformada este tensor se define como:

L L Lvol isovol iso2 2

S SS

C C CC C C (6)

Para calcular el tensor elástico en la configuración

deformada EC se aplica nuevamente la operación empuje al

tensor LC . Siguiendo el desarrollo de [6, 12] este tensor se

define como:

E L T T E Evol iso F F F FC C C C∶ ∶ (7)


Con:

Evol 2

pp J p

J

I IC I (8)

Eiso iso iso

1 2 2

3 3J σ I I σ σ IC P C P P∶ ∶ ∶ (9)

Donde:

Tik jl iso iso

2iso

1 1δ δ

3

4 ψ4

ψ2

J

J

I I σ FS F

B BB B

σ BB

I P I

C

(10)

El segundo y tercer término del lado derecho de la ec. (9), ya están definidos y realizando un poco de algebra para desarrollar el primer término se demuestra que:

1 1 2 2 3 3 4 4 5 β β β βP C P A A A A A∶ ∶ (11)

Donde 2 2 2

iso iso iso1 1 2

1 1 1 2 2 2 2

2 2

iso iso2

1 2 2 2

2iso iso

3 42 2 2

ψ ψ ψ ψ4 2

ψ ψ4

ψ ψ4 4

I II I I I I I I

I I I I

I I I

(12)

Y los tensores de cuarto orden son:

2

1 1 1 1

2 2 2 2

2 1 1

2 2 2 2

3 1 1

2 2 2 2

4

22 2 2

2 2 2

5

1 1 1

3 3 91 1 1

3 3 91 1 1

3 3 91

31 1

3 9

1 1

3

1

3 9

I I I

I I

I I

B B B I I B I I

B B B I B I I B B I I I

B B B I I B B I B I I I

B B B I B I

B I I B B I I I

B B B I I B B I I I

A

A

A

A

A

∶ ∶

∶ ∶

∶

∶ ∶

∶

(13)

En este texto se utiliza la siguiente notación para las componentes de los tensores de cuarto orden:

ij kl i j k l

ik jl i j k l

A B

A B

A B e e e e

A B e e e e (14)

Para conservar la convergencia cuadrática del método de Newton se agregan dos términos al tensor elástico, de esta forma se obtiene el llamado tensor tangente consistente, que en notación índice se define como:

1 Eik jl ik jl

ijkl ijklJ △

ℂ C (15)

El tensor △ℂ junto con el tensor de esfuerzos de Cauchy σ

son los que se deben de codificar en la subrutina UMAT.

2.2. Codificación

La subrutina UMAT es un código en FORTRAN, con el cual ABAQUS actualiza las componentes del tensor de esfuerzo y del tensor tangente consistente para cada punto de integración del material, posteriormente se ensamblan las matrices globales y el sistema se resuelve, se verifica la convergencia del resultado con la condición de equilibrio, de no haber convergencia se define un nuevo gradiente de deformación para el estado actual y se realiza una nueva iteración, la Fig. (1) muestra este procedimiento.

Fig. 1. Subrutina UMAT en el proceso de solución de ABAQUS

Las variables, convenciones, requerimientos y todos los demás detalles para realizar la codificación de la subrutina se encuentran en el manual de usuario de ABAQUS [13], la tabla 1 muestra el algoritmo utilizado en la codificación de la subrutina

Tabla 1. Algoritmo utilizado en subrutina.

Entradas: Gradiente de deformación �, propiedades del material. 1. Se calcula el determinante de F:

detJ F

2. Se calcula el gradiente isocórico 1/3J F F

3. Se calculan los tensores de deformación isocóricos: TC F F y TB FF

4. Se calculan los invariantes � ̅ y ��̅ 5. Se calculan las derivadas parciales del modelo

2 2 2iso iso

1 2 1 1 1 2 2 2

ψ ψ ψ ψ ψ, , , , ,

p

I I I I I I I I J

6. Se calculan las componentes del tensor de esfuerzos σ��

7. Se calculan las componentes del tensor tangente consistente

�ℂ△��

Salidas: valores actualizados del esfuerzo σ�� y del tensor material

tangente �ℂ△��


2.3. Modelos constitutivos

Para verificar el rendimiento de la subrutina, se implementaron tres modelos constitutivos reportados en la literatura [14-16], los modelos [14] y [16] fueron calibrados a partir de ensayos de tracción uniaxial, mientras que el modelo [15] fue calibrado mediante ensayos de compresión uniaxial, para mayor detalles de la experimentación se le pide al lector consultar la bibliografía correspondiente. Los modelos se muestran en la tabla (2).

Tabla 2. Modelos hiperelásticos

Da Silva, 2008 (Polímero biodegradable)

1 1 1 2 1iso exp 3 3 ln 1 ( 3)ψ I I I

1 17.999 MPa 2 0.17047 MPa 477.28

Laksari et al., 2012 (Tejido Cerebral)

1 1 2 2 3 1 2iso ( 3) ( 3) ( 3)( 3)ψ c I c I c I I

1 1.01 kPac 2 1.49 c kPa 3 0.19 c kPa

Arnoux et al., 2002 (Ligamento Cruzado)

1 2iso exp 3 32

ψ I I

0.223 kPa 7.341

Para la parte volumétrica se utiliza la siguiente función de

energía 2vol (1 2) 1ψ k J , en [17] se puede encontrar

una lista más extensa de funciones para implementar la incompresibilidad, para implementar la incompresibilidad k debe de tener un valor alto, aproximadamente 106-107 veces el valor del coeficiente de material para la parte isotrópica [11], este es el conocido enfoque de penalización, en este trabajo se utilizó el valor de k=1x108 MPa.

3. Resultados

3.1. Solución analítica

Con el fin de verificar el rendimiento de la subrutina se obtiene la solución analítica para el caso de tracción uniaxial donde la deformación se da principalmente en la dirección de tracción y la deformación en las demás direcciones se desprecia, asumiendo la incompresibilidad y que la dirección de tracción es 1x , que representa una dirección principal, entonces aplicando la teoría los esfuerzos principales y eigenvalores para los tensores y siguiendo los trabajos de [18,19] el gradiente de deformación y los tensores de deformación estarán dados por:

1

1 2

1

1 2

1

λ 0 0

0 λ 0

0 0 λ

F

2

1

1

1

1

1λ 0 0

0 λ 0

0 0 λ

B

4

2

1

2

1

1λ 0 0

0 λ 0

0 0 λ

2B (16)

Para este caso los invariantes se definen como:

2 111 1λ 2λI

1 2

2 1 12λ λI (17)

El tensor de esfuerzos de Cauchy, estará dado por:

2

1

1

1

1

4

2

1

2

1

1

2

1

22 2

11

11

1 0 0ψ ψiso iso0 1 0 2

0 0 1

1 0 0ψ ψ ψ2iso iso iso 2 0 1 0

30

λ 0 0

0 λ 0

0 0 λ

λ 0 0

2 0

0 λ 1

λ 0

0 0

p II I

I II I I

σ

(18)

Y finalmente se encuentra el valor de la componente de esfuerzo en dirección de la tracción, que está dado por la ec. (19).

2 1 21 1 1

2 1

412

1

2

11

1

ψ ψiso iso2 ( )

ψiso

1λ 2λ λ

λ

1λ 2

λ

I I

I

(19)

El rendimiento de la subrutina también es verificado para el caso de cortante simple, donde solo hay deformación distorsionante, para este caso de esfuerzos el gradiente de deformación y los tensores de deformación estarán dados por la ec. (20)

2

22 2 2

2 2

1 γ 0 1 γ γ 0

0 1 0 γ 1 0

0 0 1 0 0 1

1 γ γ γ 1 γ γ 0

γ 1 γ γ 1 γ 0

0 0 1

2

F B

B

(20)

Para este caso los invariantes se definen como:

212γ 3I I (21)

El tensor de esfuerzo de Cauchy para el caso de cortante simple es:

2

2

22 2 2

2 2

2

1

2

1

21

1

1 γ γ 0

γ 1 0

1

0 0 1

1 γ γ γ 1

1 0 0ψ ψiso iso0 1 0 2

0 0 1

ψiso

1 0 0

0γ γ

2

1

γ 1 γ γ 1 γ

ψ ψ2 iso iso 2 0

0

0

0

03

0

0 1

p II I

I

I II I

σ

(22)

Nuevamente siguiendo los trabajos de [18, 19], el valor de la componente cortante está dado por:


1

22

2

21

2γ 3 γ γ

ψ ψ1

ψiso i γso is γo2 ( ) 2I I I

(23)

Las ec. (19) y (23) servirán para comparar los resultados numéricos obtenidos por la subrutina en ABAQUS.

3.2. Solución numérica

Se crearon en ABAQUS dos modelos, uno para el caso de tracción uniaxial y otro para el caso de cortante simple, en ambos casos se utilizó como geometría un cubo con dimensiones de 1 m por lado, las condiciones de frontera de muestran en la Fig. (2).

Fig. 2. Condiciones de frontera para los casos de: a) tracción uniaxial y b)

cortante simple Fuente: modificado de [20, 21]

Los modelos en ABAQUS se muestran en las Figs. (3) – (4) en donde se presentan las condiciones de frontera implementada, así como la geometría deformada con resultados del desplazamiento aplicado, estas figuras muestran resultados de la simulación aplicada al modelo de Arnoux et al., (2002) en el cual se utilizó un desplazamiento de 0.5 m para el caso de cortante simple y 0.4 m para el caso de tracción uniaxial.

Fig. 3. Modelo en ABAQUS para el caso de cortante simple: a)

condiciones de frontera; b) desplazamientos en el cuerpo deformado

Fig. 4. Modelo en ABAQUS para el caso de tracción uniaxial: a)

condiciones de frontera; b) desplazamientos en el cuerpo deformado

Los resultados numéricos obtenidos en ABAQUS se grafican junto con los resultados analíticos de cada modelo específico y se presentan en las Fig. (5)-(7). Para el caso de tracción uniaxial se muestran resultados de esfuerzo normal (!"") vs deformación normal (#) y para el caso de cortante simple resultados de esfuerzo cortante (!"$) vs deformación angular (%).

Fig. 5. Modelo Da Silva [14], resultados analíticos vs numéricos: a)

tracción uniaxial; b) cortante simple

[M

Pa

] [M

Pa]


Fig. 6. Modelo Laksari [15], resultados analíticos vs numéricos: a)


Fig. 7. Modelo Arnoux [16], resultados analíticos vs numéricos: a)


4. Discusión y conclusiones

Las gráficas presentadas en las figs. (5–7) muestran un excelente rendimiento de la subrutina creada debido que los resultados numéricos (UMAT) son prácticamente los mismos que los resultados analíticos esperados, tanto para el caso de tracción uniaxial como para el caso de cortante simple, obteniendo en todos los casos errores menores al 1%. Para los resultados numéricos se utilizó en ABAQUS una malla de 1,331 nodos y 1,000 elementos hexaédricos híbridos C3D8H y para descartar alguna posible injerencia del mallado en los resultados se corrieron las mismas simulaciones variando el número de elementos de las mallas, desde un solo elemento hasta mallas con más de 10,000 elementos en todos los casos los resultados fueron los mismos. La subrutina UMAT es una herramienta poderosa y eficaz para implementar modelos constitutivos muy específicos a ciertos materiales complejos y que no se encuentran en la librería de la paquetería ABAQUS, en este trabajo se ha presentado el desarrollo mecánico y numérico para implementar un modelo constitutivo de un material hiperelástico isotrópico incompresible a través de una subrutina de material, se expone una detallada explicación y la derivación explícita del tensor de esfuerzos de Cauchy y del tensor tangente consistente debido a que ambos tensores se tienen que codificar, es importante aclarar que el presente desarrollo solo aborda el comportamiento elástico no lineal pero sirve como base y es posible ampliarlo a aplicaciones más complejas, como de hiperelasticidad anisótropa, viscoelasticidad o elastoplasticidad así como incluir variables de daño, crecimiento o remodelación.

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