“matematikk med ti-83” grunnkurs på af/Øk/ad- studieretning. · 2016-10-01 · skriv inn:...

Eystein RaudeTexas Instruments

01.05.98TEXAS INSTRUMENTSEystein Raude, [email protected]

“MATEMATIKK MED TI-83”

GrunnKurs på AF/ØK/AD-studieretning.

EYSTEIN RAUDEEMC/TEXAS INSTRUMENTS

1998

2

Kjære bruker av TI-83.

Matematikk er både en “vitenskap i seg selv” og et utsøkt verktøy for beskriving av“virkeligheten”. “Virkeligheten” er her ment å være den fysiske verden!

En lommeregner som TI-83 f.eks. er ett hjelpemiddel når vi anvendermatematikken som verktøy.Vi skal i “MATEMATIKK MED TI-83” se på bruken av dette hjelpemidlet.

Eksemplene i denne beskrivingen oppfyller læreplanens mål.Vi følger læreplanen punkt for punkt.


1998

3

Læreplanen.Modul 1.

Mål 10: Modellbygging og problemløsing.Elevene skal....... kunne benytte IT-hjelpemidler til å løse og besvare enkle oppgaver.

Mål 1: Praktisk regning og enkle likninger.

Elevene skal• 1a kunne regne med desimaltall, brøker, [......] og bokstavuttrykk

Lommeregneren gir svar med et stort antall desimaler. Da kan vi sette TI-83 imodusinnstillingen FLOAT:

Her kan du velge antall desimaler, f.eks. 2 og trykke ENTER.

Eksempel l: Regn ut arealet av en sirkel med radius 4.35 m med to desimaler:

Skriv inn: [2nd]π ⋅ 4.352

Brøker.TI-83 regner ikke med symboler, bare med tall, men den regner med brøk!

Eksempel 2: Regn ut 2

5

6

8

3

7+ −

Skriv inn i lommeregneren (husk at ÷ er symbolet for divisjon og brøkstrek)


1998

4

For å få svaret i brøk trykker du på MATH 1: Frac

ENTER gir svaret

Bokstavuttrykk.Du må kunne regne med bokstavuttrykk, men TI-83 kan regne ut verdier avbokstavuttrykk når du gir bokstavene forskjellige verdier.

Eksempel 3:

La oss si at du skal beregne volumet av en sylinder. Formler for overflaten og volumav ulike legemer finns i formelsamlinger. Volumet av en sylinder er V R h= ⋅ ⋅π 2 ,der R og h er hhv. radius i grunnflaten og h er høyden. Vi velger først R = 10 cm og h= 25 cm.Skriv da 10 STO→ALPHA R ENTER og 25 STO→ALPHA H ENTER


1998

5

Nå skriver du inn uttrykket for volumet [2nd]π∗ ∗R H2 og trykk ENTER:

Eksempel 4:

La oss si du vil regne ut flere verdier for volumet med ulike verdier på R og h. Dabruker vi LISTER.Vi velger f.eks. verdiene for R i LISTE 1 og korresponderende verdier på h i LISTE2. På TI-83 finner du listene ved de tilsvarende tallene; du må bare huske på å bruke[2nd]-tasten først.Skriv f.eks. {1,2,3,4,5,6}STO→[2nd]L1 ENTER og {.5,.6,.7,.8,.9.1.0}STO→L2ENTER:

Formelen for volumet blir nå

der L L1 22 ∗ har erstattet R h2 ∗ . Trykk ENTER:

Volumene ligger nå i den nye lista som du godt kan kalle nr.3, dvs. STO→L3.


1998

6

Dersom du vil slette listene, gjør du følgende: trykk [2nd]MEM 2: Delete og 4:List..

Trykk ENTER inntil listene er fjernet.

Eksempel 5:

Anta at du skal sette inn negative tall i et algebraisk uttrykk, f.eks. 2 5

3 7

2 3

5 2 3

xy x y

xy y x y

−+ −

.

Dersom du bare skal regne det ut for x = −2 og y = −1, skriver du dette direkte inn ilommeregneren. Glem ikke parentes rundt negative tall og parentes rundt teller ognevner:

Dette er en oppgave som krever trening! Men: det gjelder her som ellers: øvelse gjørmester!Legg merke til symbolet ^ som brukes når eksponenten er ulik 2!


1998

7

Du kan også bruke teknikken med å lagre verdiene for x og y. Da bruker du STO→ pålommeregneren:

Nå skriver du inn uttrykket som du skal beregne verdien av:

Deretter trykker du ENTER:

• 1e kunne bruke lommeregneren og kontrollere svarene ved overslagsregning

Med de kunnskaper, og ferdigheter på lommeregneren som du nå har, burde dettepunktet falle enkelt.

• 1h kunne løse likninger av første grad

Eksempel 6:

Løs likningen 22 3

3

19

3x

x− − = . Du kan løse den på to tilnærmet like måter vha TI-

83.a) Trykk på [2nd] CATALOG og bokstaven S


1998

8

Gå med ↓ til SOLVE(

og trykk ENTER:

Skriv inn likningen, men pass på at alle ledd står på en side:

Legg merke til hvor x befinner seg på lommeregneren, nemlig på tasten medsymbolene Χ,Τ,θ,η.Trykk nå ENTER:


1998

9

Pass på at du har skrevet hele likningen på en linje, at du passer på å skiftefortegn og skriver “ , X, X). Du må nemlig gi TI-83 beskjed om hvilken variabel denskal løse med hensynpå, og velge en vilkårlig x. (Du kunne godt ha gitt maskinen et forslag isteden fordenne x-en, f.eks. 1.)

b) Nå skal vi gå inn i MATH 0: Solver:

Trykk ENTER. Dersom det står ett eller annet der, bruk da ↑ og trykk CLEAR. Da vildu se dette vinduet:

Skriv inn likningen som forrige gang:

Trykk ENTER:

Denne verdien på x er ikke den riktige. Du trykker nå på tastene ALPHA og SOLVE(ved ENTER):


1998

10

Svaret er 1.625. Du kan få det som rasjonelt tall ved å skrive

på vanlig måte


1998

11

MÅL 2: Statistikk.

Elevene skal• 2c kunne begrepene hyppighet, variasjonsbredde, gjennomsnitt og median

Eksempel 1.

Fartsgrensen på en skolevei er 50 km/h. De som bor i området, mener at bilistenekjører for fort. For å underbygge sine krav om fartsdempere, ber de politiet foretafartskontroller.

En onsdag morgen var det 40 biler som passerte en bestemt strekning i tidsrommetkl.0815 - 0835. Her er registreringen av farten, målt i km/h:

55 71 56 46 69 75 55 56 49 7848 50 56 52 50 51 55 56 49 7354 50 50 49 56 68 63 81 65 6650 54 59 71 51 52 56 50 55 49

a) Hvor stor prosentdel av bilene kjørte for fort?

Løsning:La oss først laste alle tallene inn i LISTE 1, L1.Trykk på [2nd] { og skriv inn tallene, med “,” mellom hvert innslag. Avslutt derettermed }STO→[2nd]L1:

Trykk ENTER:


1998

12

Nå ligger L1 inne med {55 48 54 50 71........osv}.La oss sortere etter størrelse: trykk [2nd]LIST OPS 1: SortA([2nd]L1) ENTER:

Skriv [2nd]Rcl [2nd]L1:

ENTER:


1998

13

Nå har du fartene etter økende verdi. Du kan telle opp de som ikke kjørte for fort: 12.Det betyr at 28/40 eller 70% kjørte for fort.

b) Beregn gjennomsnittsfarten til bilene.Trykk på STAT CALC 1: 1-Var Stats og skriv inn [2nd]L1:

Trykk ENTER:

1-Var Stats betyr at vi beregner for en variabel, dette tilfellet farten. Vi kan nå lese at1. gjennomsnittsfarten er x km h= 57.5 / .2. antall observasjoner er 40

3. medianen er 55 km/h4. variasjonsbredden er max X - min X = 81 - 46 = 35 km/h.

• 2d kunne klassedele et statistisk materiale, beregne gjennomsnitt og tegnehistogram

Eksempel 2.

Vi fortsetter med vårt eksempel. Vi skal nå bruke statistikkprogrammet, men førstsletter vi innholdet i L1.


1998

14

Trykk på [2nd]MEM 2: Delete 4: List ENTER:

L1 slettes ved ENTER:

Trykk nå på STAT 1: Edit og ENTER:

c) Grupper fartstallene i klasser slik at klasse 1 er fra og med 46 km/h til 51 km/h,klasse 2 fra og med 51 km/h til 56 km/h osv. og lag en hyppighetstabell(frekvenstabell).

I L! skriver du da 46 ENTER, 51 ENTER, 56 ENTER, osv. og i L2 51 ENTER, 56ENTER, 61 ENTER, osv.Du kommer fra L1 til L2 ved å bruke →.

Nå lar vi TI-83 beregne klassemidtpunktene ved å skrive ( ) /L L1 2 2+ i “hodet” påL3:([2nd]L1+[2nd]L2)/2:


1998

15

Trykk ENTER og lommeregneren regner ut disse:

I L4 skriver du nå inn antall observasjoner i de forskjellige klassene:

I L5 skriver du nå L L3 4⋅ og ENTER:

Nå overtar STAT CALC 1: 1- Var Stats ENTER [2nd]L3, [2nd]L4 ENTER:

Her ser du at et klassedelt materiale gir en gjennomsnittsverdi på farten som er noeforskjellig fra det aritmetiske gjennomsnitt.


1998

16

Du kunne også ha funnet gjennomsnittet ved å summere L5 og dividere med 40:[2nd]LIST MATH 5: sum([L5])/40 ENTER:

d) Lag et histogram som viser resultatet av trafikkundersøkelsen.

Først trykker du på [2nd]STAT PLOT. Deretter på 1: Plot 1.....On og ENTER. Aktiver“On” med ENTER:

Flytt markøren med piltastene ↓ → → og aktiver symbolet forhistogram/søylediagram (TI-83 tegner kun søylediagrammer!). Flytt markøren ned tilX list: og skriv inn [2nd]L3. Flytt deretter ned til Freq: og skriv [2nd]L4. Aktiver medENTER.

Nå må du bestemme definisjonsmengde og verdimengde ved hjelp av WINDOW:

Trykk på GRAPH:


1998

17

Bruk TRACE og følg grafbildet:

Her leser du f.eks. at mellom 61 og 66 km/h var det n = 2 biler!Mål 3: Geometriske beregninger og trigonometri.

Elevene skal• 3a kunne regne ut areal og omkrets av sirkler, kvadrater, rektangler,

parallellogrammer, trapeser og trekanter

Eksempel 1.

I et trapes er arealet 84 cm2 , den ene av de parallelle sidene er 12 cm og avstandenmellom de parallelle sidene er 8.0 cm. Finn lengden av den andre parallelle siden.

Du får oppgitt at arealet av et trapes er ( )a b

h+ ⋅2

. Dette gir likningen

8412

28 0= + ⋅( ).

b .

Med dine kunnskaper vil dette se slik ut på lommeregneren:


1998

18

Her ser du TI-83 i praksis! Den andre siden er 9.0 cm.

Eksempel 2.

Kildesortering av avfall er etterhvert innført i de fleste kommuner i landet. Beholderefor innsamling av brukt glass er plassert i over 400 kommuner.

Beholderne for innsamling av glass har form som en sylinder med en halvkule oppå.Diameteren i sylinderen og halvkule er 110 cm og høyden i sylinderen er 90 cm.

a) Vis at en slik beholder har et volum på 1.2 m3 .

Volumet av beholderen har uttrykket V = 2

33 2⋅ ⋅ + ⋅ ⋅π πR R H: dette er ei halv kule

pluss en sylinder. Vi lagrer verdiene for radien og høyden i lommeregneren og lar denregne ut volumet:

Trykk ENTER:

Vi runder av til 1.2 m3 .

b) Kommunen disponerer et lite område der de ønsker å plassere slike beholdere.Området er kvadratisk med areal 4.0 m2 . Vis [ ] at det er plass til minst 2beholdere på området.Når beholderne står oppreist tar de en plass på


1998

19

Dersom de står oppreist burde det bli plass til 4 stykker.Dersom de ligger får vi:

Det arealet som beholderen opptar blir:

Det vil si at det er minst plass til

2 beholdere.


1998

20

• 3b kunne bruke formler for volum og overflate av kule,...........og pyramide.

Eksempel 3.

En sandhaug har form som en kjegle med diameter på 2.6 m og høyde på 1.8 m.a) Finn volumet av kjeglen.

Volumet er V R H= ⋅ ⋅ ⋅1

32π . Vi lagrer verdiene og får:

som er ca. 1.0 m3.

Sanden skal legges på en rett vei som er 3.0 m bred.

b) Hvor lang veistrekning kan dekkes når sandlaget skal være 2 cm tykt?Volumet av sandlaget blir V l b h= ⋅ ⋅ . Dette gir oss likningen 10 3 0 0 02. . .= ⋅ ⋅l . PåTI-83 blir dette:

som gir løsningen

Veistrekningen er ca. 17 m lang.

• 3f kunne beregne sinus, cosinus og tangens til vinkler mellom 0 90° °og .

Eksempel 4.


1998

21

Beregn sinus, cosinus og tangens til vinklene i tabellenfunksjon vinkler i grader verdier

sinus 30, 45, 60, 75 0.5, 0.707, 0.866cosinus samme vikler 0.866, 0.707, 0.5tangens samme vinkler 0.577, 1, 1.732

Du skal nå bruke tastene merket SIN, COS og TAN. Først må du forsikre deg om atlommeregneren bare bruker grader. Trykk på MODE og Degree:

Deretter skriver du SIN og lommeregneren viser sin( . Skriv inn f.eks. 30 og avsluttmed “)”.

Tilsvarende gjør du for COS og TAN.

• 3g kunne gjøre beregninger i rettvinklete trekanter ved hjelp av trigonometriskefunksjoner, [ ] og Pythagora`s setning,

• 3h kunne løse praktiske problemer ved hjelp av geometri og trigonometri.

Eksempel 5.

En telefonstolpe er sikret ved hjelp av en vaier. Høyden på stolpen er 8.0 m. Vaierengår fra toppen og festes i bakken 3.0 m fra bunnen av stolpen. Stolpen står loddrett.

Hvor stor blir vinkelen mellom vaieren og bakken?

Vinkelen mellom vaieren og bakken kaller vi α. Vi må bruke TAN her, fordi vikjenner bare katetene. Dette gir tanα = 8.0/3.0. Vi benytter deretter [2nd]TAN −1 (8.0/3.0):


1998

22

Dette ga vinkelen α = 69.4°.

b) En stolpe skal sikres på samme måte. Hvor lang må vaieren være dersom høydenpå stolpen er 10.0 m og vaieren skal danne samme vinkel med bakken?

Da vinkelen skal være den samme, må tangensverdien være den samme. Det betyr atforholdet mellom høyden og avstanden langs bakken skal være 8.0/3.0. Vi fårlikningen8 0

3 0

10 0.

.

.=x

, der x er den søkte avstanden langs bakken. TI-83 gir svaret:

som gir

I følge Pythagora`s setning blir da vaierens lengde y: y2 2 210 0 375= +. . . TI-83 girogså her svaret:

og


1998

23

Vaierens lengde må være ca.10.7 m.

Modul 2B

Mål 6: Algebra

Eleven skal

• 6b kunne regne sikkert med tall [] som inneholder brøker, parenteser, potenser ogn-te røtter.

Eksempel 1.

Regn ut 2

5

5

2

5

2

3

⋅

. På lommeregneren blir dette (husk å benytte ^ når eksponenten er

større enn to ):


1998

24

og ENTER

• 6c kjenne begrepet eksponentiell vekst og noen anvendelser i økonomi og naturfagEksempel 2.

Et bolighus i Oslo hadde en verditakst på 1,2 millioner kroner i 1988. To år seinerevar verdien 1,0 millioner kroner.a) Hva er den årlige verdinedgangen i prosent for dette bolighuset?Vi benytter uttrykket for eksponentiell vekst: A A kn= ⋅0 der A0 er startverdien og ker vekstfaktoren. n står for antall perioder. I dette tilfelle er det to perioder eller år.Vi skriver: 10 10 12 106 6 2. .⋅ = ⋅ ⋅ k . Vi skal altså løse likningen med hensyn på k. Dettebruker vi SOLVER til: MATH 0: Solver:

Vi ser at vekstfaktoren er ca. 0.913. Det betyr at den årlige verdinedgangen er 1 -0.913 = 0.087 eller 8.7%.b) Den samme verditaksten fortsatte i ytterligere to år. Hva var verditaksten i 1992?Vi kan nå skrive likningen


1998

25

og vi får ved å bruke ENTER, ALPHA SOLVE:

Verditaksten i 1992 var ca. 834000kr.

• 6d kunne løse lineære likningssystemer med to ukjente

Eksempel 3.

Løs likningssettety x

y x

= −= −

1 3

05.

Vi skal øse likningssettet på to måter.1) Ved hjelp av matriser. Trykk på MATRX:

Gå med markøren til EDIT:

Trykk ENTER:


1998

26

Nå er det slik at dersom vi skriver om likningene våre på standardform, får vi3 1

05 0

x y

x y

+ =+ =.

Da er det slik at tallene foran x og y og tallene etter likhetstegnet er elementene i en 2x 3 matrise.Det betyr at vi må skrive 2 og 3 øverst i vinduet:

Deretter skriver du 3 i første kolonne, første rad, 1 i andre kolonne, første rad og 1 itredje kolonne, første rad. Husk å trykke ENTER etter hvert innslag. Tilsvarendeskiver du inn tallene 0.5, 1 og 0 på de neste plassene:

Når vi nå skal finne svarene, trykker du først [2nd]QUIT:

Trykk MATRX og gå til MATH:


1998

27

Gå til B ref( og trykk ENTER:

Trykk på MATRX 1: [A] og skriv inn venstre parentes:

Nå kan du trykke ENTER:

Svarene er x = 0.4 og y = -0.2.

b) Vi skal løse likningssettet ved å sette de to utrykkene lik hverandre:1 3 05− = −x x. . Deretter bruker vi SOLVER. Husk å føre alt over på en side avlikhetstegnet:

Dette gir oss


1998

28

Denne verdien for x setter vi inn i et av uttrykkene. Vi velger det andre:

Da er løsningen x = 0.4 og y = -0.2. Vi kommer tilbake til den grafiske under punktet7b.

• 6f kunne løse ulikheter av første og andre grad TI-83 løser ikke oppgaver på symbolsk form, som f.eks. denne ulikheten avførste grad x x− −2 4( ) >5 2x + eller denne ulikheten av andre grad x x x2 3 3 5+ − < + . (Vi skal imidlertid løse disse grafisk når vi kommer til Mål 7: Funksjonslære)

Mål 7: Funksjonslære

Elevene skal• 7a bli vant til koordinatsystemet og kunne tegne grafer med og uten tekniske

hjelpemidler

Eksempel 1.

En funksjon g er gitt ved


1998

29

g x x x x( ) = − − +3 22 4 4 .Tegn grafen til g.

Vi går inn på Y =:

Ved Y1 skriver vi inn funksjonen:

Da det ikke er noen antydning om definisjonsmengden kan vi like godt velge ZOOM6: ZStandard:

Før markøren ned til 6 og vi får:

Trykk på TRACE for å se et koordinatpar, [x,y]:


1998

30

Tabellverdiene finner vi ved først å bruke [2nd]TBLSET og velge f.eks. at x skalstarte med x = -6 og intervallengde ∆Tbl = 1:

Vi lar TI-83 stå i uavhengig: Auto og trykket [2nd]TABLE:

Nå kan vi lese av koordinatene. Vi kan godt velge andre verdier på ∆Tbl, og vi kanbenytte Ask isteden. Da får vi dette bildet:

Dersom det er en bestemt verdi du skal regne ut, f.eks. når x = -15, da skriver vi tallet:

og trykker ENTER:


1998

31

• 7b ......, og kunne finne likningen til en rett linje når enten to punkter eller ettpunkt og stigningstallet er kjent

Vi kan skrive likningen for en rett linje i disse to tilfellene slik:

1) y yy y

x xx x− =

−−

−12 1

2 11( )

2) y a x x y= ⋅ − +( )1 1 .

Her er ( ) ( )x y og x y1 1 2 2, , de to punktene og a stigningstallet.

Eksempel 2.

Finn likningen til de rette linjene som går gjennom punktene (3,-2)og(5,2); og (-1,3)og (5,-4).Vi skal bruke Lineær regresjon, dvs. bruke et meget effektivt hjelpemiddel på TI-83.

Trykk på STAT 1: Edit og skriv inn koordinatene i liste 1 og liste 2, L1 og L2:

og

Trykk igjen på STAT, men denne gangen velger vi CALC:

Vi går ned til 4: LinReg( ax + b ). Her har vi likningen til den rette linjen.

Nå skriver vi hvilke lister vi skal bruke og at vi vil lagrer resultatet som en funksjon:L1, L2, VARS Y-VARS 1: Function 1: Y1:


1998

32

ENTER gir resultatet

Den ene likningen heter: y x= −2 8.På samme måte skriver vi for den andre linjen:

og ENTER:

Den andre linjen heter: y x= − +5

3183. .

La oss se på resultatet. Vi trykker på ZOOM 6: Zstandard:

Vi ser at aksene har fått navn. Det får vi til ved å gjøre følgende:[2nd] FORMAT og aktivere RectGC CoordOn GridOff AxesOn LabelOn ogExprOff:


1998

33

Nå skal vi finne skjæringspunktet mellom linjene ved 1) avlesning:trykk på [2nd] CALC 5: intersect

og svar på spørsmålene ved å trykke ENTER hvergang:

Skjæringspunktet er (3.1, -1.8).

2) Ved hjelp av likningsløseren SOLVER. Tast inn i rekkefølge: MATH 0: Solver ↑og etter“eqn: 0=“

Vi måtte bruke VARS Y - VARS 1: Function 1: Y1 og Y2.

Trykk ENTER:


1998

34

og ALPHA SOLVE

For å finne y - koordinaten til skjæringspunktet skriver vi [2nd] CALC 1: Value ogtrykker ENTER:

Vi skriver inn 3.1

og trykker ENTER:

• 7c kunne finne skjæringspunktene til kurver [....] gjennom grafisk framstilling

Eksempel 3.

La funksjonen f være gitt ved f x x x( ) = + +2 16 322 .

La funksjonen g være gitt ved g x x( ) = + 6a) Hva er den største definisjonsmengden g kan ha?g x x( ) .≥ ⇔ + ≥0 6 0 Da må x ≥ −6.b) Bruk lommeregneren til å finne skjæringspunktene mellom grafene til f og g.Skriv inn f og g i Y=:


1998

35

Trykk på ZOOM 6: ZStandard:

Bruk ZOOM 1: ZBox og flytt markøren til x = -6.6 omtrent og y = 2.9. TrykkENTER:

Flytt markøren først til høyre og så nedover:

Trykk ENTER:

Bruk nå enten TRACE eller [2nd]CALC 5: intersect:

Flytt markøren f.eks. til venstre for første skjæringspunkt og gjør som TI-83 sier: Firstcurve?


1998

36

Trykk ENTER. Second curve? (se at markøren flytter seg til den nedre kurven). TrykkENTER og trykk ENTER igjen på spørsmålet Guess?:

Gjør tilsvarende for det andre skjæringspunktet:

Svarene er altså: ( -4.7, 1.1) og ( -3.1, 1.7).

• 7d [ ] bruk av funksjoner i naturfag og økonomi

Eksempel 4.

For å spare elektrisitet, blir strømmen på en skole skrudd av etter skoletid.Temperaturen i bygningen kan bestemmes ved funksjonen f gitt vedf x x( ) .= ⋅ −27 0 92 5 , der f(x) er temperaturen i °C og x er antall timer strømmen har

vært skrudd av.

Strømmen blir skrudd av kl.1600

Tegn grafen til f i intervallet [ ]x ∈ 0 16, .

Skriv inn f i Y=:

Gå til WINDOW:


1998

37

For å finne de passende y-verdier kan du gjøre følgende:Ved Ymin trykker du på VARS og flytter markøren til Y - VARS:

Trykk ENTER og ENTER igjen:

Der skriver du:

og trykker ENTER:

På samme måte for Ymax:


1998

38

Trykk på ZOOM 0: ZoomFit:

Eksempel 5.

Rabattreiser med tog.Folk som reiser mye med jernbanen, kan kjøpe kundekort. Kundekortet gjelder ikkesom billett, men den som har kundekort, kan få kjøpt billetter til redusert pris.

Lise reiser ofte med toget mellom Stavanger og Kristiansand. Ordinær pris for en reiseer 275 kroner. For å få rabatt på reisen kan Lise kjøpe kundekort til 380 kroner.Kundekortet er gyldig i ett år. Med kundekort koster billetten 193 kroner.

Prisen per reise med kundekort er gitt ved funksjonen f xx

( ) = +380193.

a) Tegn grafen til f.Skriv inn f(x) i Y=:

Trykk på ZOOM 0: ZoomFit:


1998

39

b) Hva blir prisen per reise hvis Lise reiser fire ganger?Bruk [2nd]CALC 1: Value:

Skriv inn x = 4:

Prisen blir 288 kroner.Hvor mange ganger må Lise reise for at prisen skal bli mindre enn 250 kroner?Bruk TRACE og følg grafen til Y-verdien kommer under 250 kroner. Da får vi ca. 7reiser:

c) Lag to funksjoner g og h der:g(x) gir totalkostnadene for x reiser uten kundekort ogh(x) gir totalkostnadene for x reiser med kundekort.

Vi skriver inn i Y=:

Her har vi deaktivert Y1 ved å plassere markøren over “=“ og trykket ENTER. Vibruker ZOOM 0: ZoomFit:


1998

40

Ved å benytte [2nd]CALC 5: Intersect og svare på spørsmålene TI-83 stiller:

Lise må reise 5 ganger for at det skal lønne seg å kjøpe kundekortet.

• 7g bruke derivasjon til å bestemme bunnpunkter, toppunkter og tangenter tilenkle kurver

Eksempel 6.

En funksjon f er gitt ved f x x x x( ) = − − +3 22 4 4 .a) Finn, vha den deriverte f `(x), koordinatene til eventuelle topp- og bunnpunkter pågrafen til f.

Vi skriver inn f(x) i Y=:

For Y2 skal vi skrive inn den deriverte for f. Det gjør vi på følgende måte:

Flytt markøren til Y2 og bruk MATH 8: nDerive( . Trykk ENTER og deretter VARSY - VARS 1: Function 1: Y1 “ , “ “X” “, “ og avslutt med “ ) “:


1998

41

Bruk ZOOM 6: Zstandard:

Her ser vi både f og dens deriverte. Vi vet at når grafen til den deriverte passerer x -aksen ovenfra, har grafen til f et toppunkt, og når grafen til den deriverte til f passererx - aksen nedenfra, har grafen til et bunnpunkt. Vi deaktiverer Y1 først. Deretterbenytter vi [2nd]CALC2: Zero:

Vi flytter markøren og besvarer spørsmålene:

og får toppunktet:

Koordinatene til toppunktet blir ( - 2/3, f( - 2/3)) = ( - 2/3, 5.5). Her benyttet vi[2nd]CALC 1: Value:


1998

42

På tilsvarende måte for bunnpunktet:

og .

b) Finn likningen for tangenten til f i punktet på grafen der x = - 1.Vi benytter [2nd]DRAW 5: Tangent (

og ENTER:

Skriv inn - 1:

Når vi nå trykker ENTER vil tangenten og dens likning komme opp:

Likningen til tangenten er y = 3x + 8.


1998

43

c) Tangenten vil skjære grafen til f i et annet punkt. Finn koordinatene til dette andrepunktet.Vi skriver inn y = 3x + 8 i Y=:

Vi endrer på skalaene ved å gå inn i WINDOW:

GRAPH gir:

Ved å benytte [2nd]CALC 5: Intersect får vi:

og koordinatene er altså ( 4, 20).


1998

44

Modul 2A

Mål 4: Matematikk i dagliglivet

Elevene skal

• 4a kunne regne med potenser med heltallige eksponenterEksempel 1

Regn ut 2

5

5

2

5

2

3

⋅

.

Vi benytter “ ^ “ tasten på TI-83 når eksponenten er over 2 og MATH 1: Frac for å fåsvaret på brøkform:

Trykk MATH 1: Frac og ENTER:

• 4c kunne regne med rente og rentesrente

Eksempel 2


1998

45

Anne har begynt på et studium som varer i 6 år. I begynnelsen av det første året tarhun opp lån på 40 000 kroner. Rentefoten er 8.5% p.a. Hva har dette lånet vokst til iløpet av studietiden?

Vi benytter formelen A A pnn= ⋅ +0 1 100( / ) der n står for antall år og p er rentefoten.

På TI-83 vil det se slikt ut:

der 40 000 er startverdien, A0 . ENTER gir

For å slippe siffer etter desimaltegnet har vi gått via MODE FLOAT 0

• 4d kunne ......... forskjellige låne - og spareordningerEksempel 3

Hanne skal kjøpe seg et flygel. Instrumentet hun har sett seg ut koster 200 000 kroner.Hun vil låne penger til flygelet. Hun går til et par banker for å finne ut hva bankenekan tilby, for å vurdere ulike låneordninger.

Hun finner ut at rentenivået er ganske jevnt, så hun bruker 5.4% rente per år i sineberegninger.Hun regner renter etterskuddsvis. Gebyrene varierer lite, så de ser hun bort fra.

Hanne har i løpet av de siste 5 årene spart i alt 52 700 kroner. Hun kan låne fireganger oppspart kapital.


1998

46

Hanne finner ut at hun kan velge mellom serielån og annuitetslån. Ved serielån eravdragsbeløpet like stort hvert år, mens rentebeløpet blir mindre for hvert år. Vedannuitetslån er summen av renter og avdrag like stort hvert år. Avdraget er derforminst i begynnelsen, men øker etter hvert.Hanne låner 150 000 kroner med nedbetalingstid på 10 år.

a) Hvor stort vil det årlige avdraget bli ved serielån?

b) Hva må hun i alt betale det andre året om hun velger serielån?

Først lagrer vi lånesummen, “ S “, avdragene “ A “ og rentefoten “ R “ ved hjelp avSTO→ALPHA:( Husk å trykke ENTER hver gang du lagrer )

Vi vil nå sette opp en liste over de 10 årene hun skal nedbetale lånet. Da benytter vi[2nd] LIST OPS 5: seq( :

Vi skriver inn:


1998

47

Det vi nå har gjort er å fortelle TI-83 at vi skal liste opp de hele tall fra 0 til 10, X, X,fra 0 til 10, med en økning på 1 hver gang. Dette laster vi inn i [2nd]L1: ved STO→:

Trykk ENTER:

Her er tallene fra 1 til 10!

Så setter vi opp formelen for hva hun må betale det året vi ønsker:A S L A R+ − ⋅ ⋅( )1 , der “ A “ står for avdraget, “ S “ for lånesummen og “ R “ forrentefoten.Vi må først lagre startverdiene. Det gjør vi ved “ beløpet “ STO→ALPHA“bokstavsymbol”, slik:


1998

48

Nå skriver vi inn formelen i vinduet og trykker ENTER:

Når du nå bruker høyre piltast vil du se hva hun må betale hvert år.Det andre året er:

22 290 kroner.

Ved annuitetslån vil den årlige innbetaling av renter og avdrag til sammen være 19800 kroner.

c) Hvor stort blir avdraget det andre året ved annuitetslån?

Det første året blir bare avdraget 19800 150000 0 054− ⋅ =.

Det andre året blir bare avdraget19800 150000 19800 150000 0 054 0 054− − − ⋅ ⋅ =( ( . )) .


1998

49

12 330 kroner.

d) Hva ville du råde Hanne til å velge?

• 4h kunne løse andregradslikninger ...............Eksempel 4

Løs likningen 6 17 12 02x x− + = .

Vi benytter MATH 0: Solver...

Trykk ENTER:

Dersom det tilfeldigvis skulle være noe i “solveren”, gå opp med ↑ og trykk CLEAR.Vi skriver:

og trykker ENTER:


1998

50

Vi trykker nå ALPHA SOLVE:

Den ene løsningen er x = 3/2. Hva med eventuelt den andre? Vi går tilbake tillikningen i “solveren” vha ↑ :

Vi trykker ENTER og gjetter deretter en negativ løsning:

Vi bruker nå ALPHA SOLVE:

Det andre svaret var altså 4/3.


1998

51

Vi kunne også ha brukt de kjente løsningene − ± −b b ac

a

2 4

2. Vi måtte da først lagret

verdiene til koeffisientene a, b og c:

Så måtte vi skrive inn løsningene, denne gangen hver for seg:

Løsningene ble det samme: x = 3/2 eller x = 4/3.

Mål 5: Praktisk funksjonslære.

Elevene skal kjenne funksjonsbegrepet og kunne tegne og tolke grafene til enklefunksjoner.

De skal kjenne til praktisk bruk av funksjoner.

Eksempel 1

En bedrift skal produsere postkasser. Det kalkuleres med faste utgifter på 15 000kroner, og variable utgifter er 50 kroner per kasse.


1998

52

De totale kostnadene K x( ) er gitt vedK x x( ) = +50 15000 når det produseres x kasser.a) Bedriften regner med å selge kassene for 110 kroner stykke. Hva vil inntektenevære hvis de selger x kasser?Framstille inntektene og utgiftene, I x ogK x( ) ( ) , i samme koordinatsystem. La xvariere mellom 0 og 1 000.

Vi sletter først alle funksjoner i TI-83. Trykk på [2nd] MEM

Velg 2: Delete:

og 6: Y - Vars:

Med ENTER er alle funksjonsuttrykk slettet. Åpne med Y=:

og skriv inn uttrykkene for inntekter og utgifter:


1998

53

Velg WINDOW og skriv inn grensene for x. Skalaen på x-aksen har vi valgt til 1500.Når vi skal regne ut hva minste og største y - verdier blir, velger vi å gjøre følgende:

VARS Y - VARS 1: Function 1: Y1:

og og

og

Skriv deretter inn Y1(0):

og for Ymax:

Vi velger skala:


1998

54

Vi bruker nå ZOOM 0: ZoomFit:

og ENTER:

b) Bestem grafisk hvor mange postkasser som må produseres og selges for atkostnader og inntekter skal bli like store.Vi velger ZOOM 3: Zoom Out:

og flytter “krysset” i nærheten av origo:

ENTER gir oss:

Vi velger nå [2nd] CALC:


1998

55

for å finne skjæringspunktet mellom I(x) og K(x):

Vi besvarer lommeregnerens spørsmål med ENTER tre ganger og får:

Bedriften måtte altså produsere og selge 250 kasser.

c) Bestem grafisk hvilken x - verdi som gir et overskudd på 30 000 kroner.Et overskudd får vi ved å ta I(x) - K(x). Vi skriver derfor inn i Y-skriveren:VARS Y - VARS 1: Function 1: Y1 “ - “ VARS Y - VARS 1: Function 2: Y2:

og ved Y4 skriver vi 30 000:

Vi deaktiverer Y1 og Y2 ved å plassere markøren over “ = “ og trykke ENTER hvergang.

Vi bruker ZOOM 0: ZoomFit og [2nd]CALC 5: intersect og svarer på spørsmålene:


1998

56

Svaret er 750 kasser.

Eksempel 2Et gartneri blander oppmalt torv med kunstgjødsel.

Gartneriet gjør forsøk for å finne ut hvor mye kunstgjødsel de må sette til for å fåstørst mulig avling.

De varierte blandingen fra 0 til 5 kg gjødsel per kubikkmeter torv, og dyrketgrønnsaker på like store jordstykker. Tabellen nedenfor viser resultatene.

Antall kggjødsel perkubikkmete

r torv

0 1 2 3 4 5

Antall kggrønnsaker

påjordstykket

3.1 4.9 6.6 7.8 8.7 9.1

Gartneriet satte opp to forskjellige matematiske modeller f og g for å beskrive dennesammenhengen,f x x

g x x x

( ) .

( ) . .

= +

= − + +

15 3

0 2 2 372

der f(x) og g(x) er antall kg grønnsaker og x er antall kg gjødsel per kubikkmeter torv.

a) Framstille resultatene i tabellen ovenfor grafisk ved å markere av punkter i etkoordinatsystem.La 2 cm på x - aksen svare til 1 kg gjødsel per kubikkmeter torv, og la 1 cm på y -aksen svare til 1 kg grønnsaker.

Vi skal nå benytter STATistikkeditoren. Trykk på STAT og velg 1: Edit:


1998

57

Dersom editoren ikke er tom, må vi gjøre følgende tastetrykk: [2nd] MEM 4:ClrAllLists ENTER.

I L1 skriver vi inn: (husk ENTER mellom hvert innslag)

I L2 skriver vi inn:

Vi velger [2nd] STAT PLOT (ENTER) 1: Plot 1......Off (ENTER) On (ENTER) Type:velg (ENTER) Xlist: L1 (ENTER) Ylist: L2 (ENTER) Mark: velg (ENTER) ogWINDOW:


1998

58

b) Tegn grafene til f og g i samme koordinatsystemet.Vi skriver inn i “Y= “ editoren:

GRAPH gir oss:

c) Hvilken av modellene beskriver forsøket best?d) Hverken f eller g stemmer helt med resultatet av forsøket. Sammenlikne avlingene itabellen med de avlingene som f gir. Hvilken x - verdi gir størst avvik fra forsøket?

Gå inn i STAT 1: Edit igjen:


1998

59

Flytt markøren opp i “hodet” på L3 og skriv: VARS Y - VARS 1: Function 1: Y1([2nd] L1:

Trykk ENTER:

Gå til L4 og skriv inn i “hodet” på listen:

ENTER gir svaret:


1998

60

x = 5 gir størst avvik!

Kjære bruker.Kom gjerne med spørsmål og innspill!

“matematikk med ti-83” grunnkurs på af/Øk/ad- studieretning. · 2016-10-01 · skriv inn:...

Documents