Comment. Math. Helvetici 56 (1981) 6 6 - 8 2 0010-2571/81/001066-17501.50+0.20/0 �9 1981 Birkhiiuser Verlag, Basel

Anwendung einer zahlengeometrischen Methode von C.L. Siegel auf Probleme der Analysis

E. HLAWKA

Prof. Chandrasekharan zum 60. Geburtstag gewidmet

In dem bekannten Buch von Chandrasekharan "Introduction to Analytic Number Theory" (Springer Verlag 1968) wird im 9. Kapitel "Geometry of Numbers" der Fundamentalsatz von Minkowski behandelt, der folgendermaben lautet: Es sei K ein konvexer K~Srper im s-dimensionalen Raum, d.h. mit je 2 Punkten von K liegen auch alle Punkte der Verbindungsstrecke in K. Er besitze innere Punkte und weiterhin den Punkt O = ( 0 , . . . , 0) als Mittelpunkt, d.h. wenn der Punkt x in K liegt, dann liegt auch - x in K. Ist nun sein Volumen V(K)> 2 ~, dann enthiilt K einen Gitterpunkt g, d.h. einen Punkt mit ganzzahligen Koordina- ten, der aber von O verschieden ist und zwar im Inneren von K. Fiir diesen Satz sind vide Beweise gegeben worden. Chandrasekharan gibt in seinem Buch einen analytischen Beweis, der von C. L. Siegel (Acta mathematica 1935 Gesammelte Abhandlungen I, Springer Verlag 1965, S. 311) zum ersten Mal gegeben wurde. Der Beweis beruht auf einer Identit~it (Siegelsche Identit~it genannt).

Man betrachtet mit K alle Translate K + 2g, wo g alle Gitterpunkte durchliiuft. Es gilt dann

V(K)+ ~,,o ~" V ( K A K + 2g) =12s (V2(K)+ ~ [~ e "<~> dxl 2)

Dabei bedeutet (gx) das skalare Produkt von g und x, und dx das s-dimensionale Volumselement. Wenn nun K keinen Gitterpunkt g # 0 im Inneren enth~ilt, dann muB V ( K A K + 2 g ) = 0 sein, denn sonst wiirde es ein x in K geben, so dab auch x - 2g in K w~ire, daher auch g in K.

Dann folgt aber aus der identit~it, dab V(K)--2 S ist. Das ist ein Widerspruch zur Voraussetzung im Minkowskischen Satz. Die Siegelsche Beweismethode besteht darin, dab man die Funktion ~.g ~ ( x +2g), wo Xx die eharakteristische Funktion von K ist, in eine Fourierreihe entwickelt und dann die Parseval'sche Gleichung beniitzt. Diese Siegelsche Methode gestattet noch andere Anwend- ungen.

66

Anwendung einer zahlengeometrischen Methode 67

So werden wir in w der vorliegenden Arbeit eine Ungleichung yon N. Wiener, (vgl. Shapiro, Quart. J. 26, 1975) verallgemeinern (siehe Formel (3) und Formel (13)).

Im w verallgemeinern wir Untersuchungen yon A. Renyi (Acta Mat. Szeged 13, 77-92, 1949-50) und vertiefen friihere Untersuchungen des Verfassers (E. Hlawka, Math. Annalen 125 (1952) 183-207, insbesondere S. 200).

Im w bauen wir die 0ber legungen zu einem Summierungsverfahren fiir Fouriersche Reihen aus, das im eindimensionalen Spezialfall das Riemannsche Summierungsverfahren enth~ilt. Der Grundgedanke beruht auf einer Behandlung des Riemannschen Summierungsverfahrens von Schechter (Monatshefte fiir Math. 22 (1911) 224-34).

Im w leiten wir eine Ungleichung ab, die im eindimensionalen Spezialfall eine Ungleichung enth~ilt, die verallgemeinert, in der Theorie des grol3en Siebes, erh6hte Aufmerksamkeit auf sich gezogen hat.

w

Es sei K ein konvexer K6rper im R s mit dem Mittelpunkt O und Volumen V(K). Mit otK bezeichnen wir, wie iiblich, die Menge aller ax, wo x ~ K. Sein Volumen ist ot ~ V(K). Es sei E ~ der s-dimensionale Einheitswiirfel 0 --< e 1 < 1 . . . . . 0 ----- e s < 1 und G das Wiirfelgitter, d.h. die Menge aller Punkte g im R s mit ganzzahligen Koordinaten. Wir betrachten eine quadratische integrierbare Funk- tion F auf R ~, welche G als Periodengitter besitzt, d.h. es ist fiir alle x ~ R ~ und alle x ~ G

F(x + g) = F(x). (1)

Die Fourierkoeftizienten A(F, g) sind gegeben durch

A(F, g) = f F(x)e(-(xg)) dx, (2) s

wo e(a) = e z ~ ist.

SATZ 1. Sind alle Fourierkoe~zienten A (F, g) der Funktion F nicht negativ, enth~lt der Kfrper 2K keinen Gitterpunkt g ~ 0 , und betrachten wit K= U~ ( g + 2 K ) , dann ist

iF(x)12-_ v(K) iF(x)2L (3)

68 E. nLAWKA

Ist S----1 und K ein Intervall Ixl<--ct, wo a < 1 / 2 ist, dann erhalten wir eine Ungleichung von N. Wiener (vgl. Shapiro loc. cit.). Wir gehen nun zum Be'weis fiber. Wir setzen ~b(K,x) definiert durch ~(K, x ) - -~ ,XK(x+g) , dabei sei noch XK die charakteristische Funktion einer beliebigen, quadrierbaren Menge. Wir definieren

c(K, g)=A(~b, g)= ~ ~ Xx(x +g)e(-(xg}) dx. * g

Da die Mengen E S + g, wenn g alle Gitterpunkte durchltiuft, den R ~ einfach und liickenlos iiberdecken, so ist

c(K, g ) = ~ , XK(x + g)e(- (xg)) dx. (4)

Wir betrachten die Funktion ~kt (t ~ R~), definiert durch ~,(x)= ~b(x + t) fiir alle x. Es ist A(~,, g) = c(K, g)e((gt)). Nach der Parsevalschen Gleichung ist

~, ~(x)~,,(x) dx = ~, Ic(K, g)l 2 e(-(gt) l . (5) g

Wir beachten noch, dab nach (4)

c(K, 0)= Volumen yon K = V(K) ist.

Weiters betrachten wir

0(K, t) =V- - -~ . ~,(x)~,(x) dx. (I)

Es ist

V(K)p(K, t) = JE f . ~" Y,K(X + k )~,(x) dx, k

also ist

t) = JRf" Xx(X)~,(X) dx. (6) V(K)p(K,

Anwendung einer zahlengeometrischen Methode 69

Es ist stets fiir alle t

o(K, t)>O (6')

Aus (5) entnehmen wir, dab o(g + t )= o(t) fiir alle g und alle t ist. Es ist

V(K)o(K, t) = f X~c(x) ~ XK(x + k + t), (6") aR �9 k

also ist

V(K)o(K, t)= Z Ix,,(x)x,,(x + k + t),

also

V(K)o(K, t) = ~ V(K, K + k + t) k

wo V(K, K + x) das Volumen des Durchschnittes von K und der Translate K + x

ist. Es sei nun K konvex und 0 sein Mittelpunkt. Dann ist stets

o(K, t) "< ~. XzK(g + t). (7) g

Dies ist klar, wenn # = 0 ist. Nehmen wit nun an, daB p(t) > 0 ist. Dann muB es nach (6) ein 2 geben, welches in K liegt und fiir welches

q4(x) = ~ X K ( 2 + g + t ) > 0 g

ist. Dann muB es ein ~ geben, so dab

y = 2 + ~ + t ~ K

ist. Da O Mittelpunkt yon K ist, geh6rt auch - 2 zu K, und da K konvex ist, geh6rt ( Y - 2)/2 zu K, also ~ + t zu 2K. Es ist also

Y. x~,,(g + t) >- 1. g

70 E.m.AVCKA

Andererseits ist stets p--<l. Es ist niimlich stets Xr(x)-<l . Es ist aber auch ik , (x)- 1, denn w ~ e ~ , (x)> 1, dann giibe es Gitterpunkte gl, g2, wo gl ~ g2, und einen Punkt ~, sodaB ~ + g~ + t u n d ~ + g2+ t in K. Dann wiirde abet, wenn man wie vorher schlieBt, g = g x - g2 in 2K, wobei g~ 0 ist. Dies soil aber nicht sein. Es ist also

~ Xr(x)~b,(x) dx<- ~ Xr(x) dx = V(K),

also p-< 1. Damit ist (7) bewiesen. Es sei nun S e i n e integrierbare Funktion, so dab fiir alle t stets S(t)>-O ist.

Weiter seien alle ihre Fourierkoettizienten A(S, g ) - 0 . Es ist natiirlich

A(S, O) = f S(t) dt. s

Dann folgt aus (7)

p(t)S(t) <-- S(t) ~, X2K(g + t) dr, g

also

S(t)p(t) dt <- ~ S(t) ~ X2K(g + t) dt. (8) �9 I g

Nun ist nach (5)

V(K)f.~ S(t)p(t)dr= ~, [c(K, g)12fm S(t)e(-(gt)dt), g s

also

V(K) f S(t)p(t) dt = ~, [c(K, g)l 2 A(S, g). g

Es ist also

~ S(t)p(t) dt >- V(K)A(S, 0). (9) s

Anwendung einer zahlengeometrischen Methode 71

Aus (8) und (9) folgt

S(t) dt=IE S(t)~,X2r(g+t)dt>-V(K)~ S(t) dt (10) �9 n f ~ �9 g

eine auch an sich interessante Ungleichung. Nun kiSnnen wir Satz 1 in iiblicher Weise herleiten. Es sei F eine integrierbare

Funktion und

s(t) = IF(t) l ~

Ist Y~ A(F, g)e((xg)) die Fourierreihe yon F, so ist

~'. A(F, g).A(F, k)e((g - k, x)) = ~ e((Lx)) ~ A(F, g)A(F, k) g,k L g--k =L

die Fourierreihe yon S. Es ist

A(S ,L )= ~ A(F,g)A(F,k)>_O. g--k=L

Es ist insbesondere nach der Parsevalschen Gleichung

A(S, O) = ~. IA(F, g)l 2 = [ Ie(x)l 2 dr. g die

Daraus folgt (3).

w

Es sei wieder K ein konvexer KiSrper mit Mittelpunkt O, es sei aber jetzt fiir alle Gitterpunkte g# 0 stets K und K + g disjunkt. Es sei weiter eine endliche Menge B von Punkten b gegeben.

Wir bilden uns die Menge

K ( B ) = I.J ( K + b + g). (I) b

Wir verlangen, dab die konvexen Mengen K+b + g nie iibereinandergreifen sollen. Wir betrachten die Funktion o(K(B), t), wie sie in w fiir den Fall, dab die Menge B = {0} ist, definiert wurde. Es gilt nun, wenn IBI die Kardinalzahl yon

7 2 E. H L A W K A

B ist,

IBI cK(O)o(K(B), t)= ~, Ic(K, g)l 2 IS(B, g)l 2 e(-(gt)). (II) g

Dabei ist

S(B, g) = ~. e ( - (bg) ) . (1) b

Beweis. Es ist nach w

c(K(B), g) =~b JR[" Yac+b (X + g)e(--(xg)) dx = ~, e(-(bg))c(K, g). (2) b

Es ist insbesondere c(K(B), O) = IBI c(K, 0).

Aus w folgt die Behauptung

Wie machen nun die Voraussetzung, dab es nicht negative Q und 0 gibt, so dab fiir alle b aus B und alle g ~ 0.

_, OOV I IS(B, g)l 2 - t./I < I--L-_ V (III)

gilt. Dabei ist V = V(K)= c(0). Aus (II) folgt, wenn B = {0} und t = 0 ist, daB

Ic(K, 0)1-- ~. Ic(K, g)l 2, (3) g

also c(K, 0)_<1 ist. Es ist ja nach w

O)c(K, O) = f Xr(x) ~, X.r(x + g) dx = c(K, 0), (4) o(K, " g

da ja die Mengen K + g nicht iibereinandergreifen sollen (Es liegt wieder der Minkowskische Fundamentalsatz vor). Wir behaupten im folgenden

SATZ 2. Es ist ffir alle t ~ R ~

o(K(B) , t) > V ( K ) (IBI (0(1 + o)~

Anwendung einer zahlengeometrischen Methode 73

Beweis. Es ist ja nach (II)

IBI c(K, 0)o(K(B), t) = IC(K, 0)12 IBI2 + A,

WO

A = ~'. Ic(K, g)l z IS(B, g)l 2 e ( - ( g t ) ) g~O

ist. Nun ist nach Voraussetzung (III)

IS(B, g)l 2 = Q + OgR,

WO

OQV R--

1 - V

gesetzt ist. Es ist t0g[-----1. Es ist also

A = ~ Ic(K, g)l 2 (Q+OgR)e(-(gt)), gs~0

also

WO

A = Q Y'. tc(K, g)l 2 e(-(gt))+R1, g~0

R, = R ~, [c(K, g)[20ge(-(gt)) g~0

ist. Es ist nun

~, Ic(K, g)l 2 e(-(gt)l = c(K, 0)p(K, t)-cZ(K, O) g~O

wie aus (II) fiir B = {0} folgt. Weiter ist

~, Ic(K, g)12 0 g e ( - g t ) - - - ~ Ic(K, g)l 2. g~O g~0

Nun ist wieder nach (II) und (4)

~. Ic(K, g)l 2 = c(K, O)p(K, O)-c2(K, O) = c(K, 0 ) - c 2 ( K , 0). g~0

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

74 E. HLAWKA

Wit erhalten also

R, >- -R(c (K, O)p(K, O)- c2(K, 0)) (9')

und

~'. Ic(K, g)12-> c(K, O)-c2(K, O) = V - V 2. (9") g~O

Wir erhalten also aus (8), (9'), (9")

A > - - Q V 2 - R ( V - V2).

Es ist also nach (5)

Inl Vp(K(B ), t) > V 2 IBI 2 - Q V2- R V(1 - V),

und dies ergibt nach (8) gerade (IV). Es hat Satz 2 nur dann eine Bedeutung, wenn

IBIZ>_O(I +O)

ist. Ein bemerkenswerter Fall liegt vor, wenn statt (III) die folgende Voraussetz- ung gilt: Es gibt eine natiirliche Zahl d, so dab fiir alle g # 0 und b ~ B

IS(B, g)l 2 = I B I - d (V)

gilt. Es gilt dann

SATZ 3. Unter der Voraussetzung (V) ist fiir alle t ~ R s

IBI o(K(B ), t) >-- dV(K) (10)

Es gilt sogar sch~-fer

p(K(B), t) >- V ( I B [ - 1 + ~-~). (10')

Es gilt, wenn wir (5) und (6) beniitzen

A = ~, Ic(K, 0)12 (IBI-d)e(-(gO) g ~ o

= (IBI- d)(p(K(t)-Ic(K, 0)12),

Anwendung einer zahlengeometrischen Methode 7 5

also ist

A > - ( I B I - d ) I c ( K , 0)12,

also ist

[B[ Vp(K(B) , t) > - V 2 ( l B I 2 - l B l + d ) ~ V2d.

Damit ist alles bewiesen. Wie wollen nun einen Fall betrachten, wo (V) erffillt ist. Es sei C eine endliche

Obermenge yon B (ihre Elemente bezeichnen wir mi tc ) , so daB I..J z.c (g + c) eine Gruppe in bezug auf die Vektoraddition ist, also eine Obergruppe des Gitters G aller ganzzahligen Punkte von RL Es sei F* die duale Gruppe zu F, welche in G enthalten ist. Es ist F* die Menge aller Punkte 1, fiir die stets ffir alle 3' ~ F, (3, l) in Z liegt.

Es gilt dann bekanntlich fiir alle I e F*

~. e((l, c)) = 0 (11) c

Dabei erstreckt sich in (11) die Summe fiber alle c e C, also ist

~, e((l, c)) = - 1 . (12) c ~ O

Weiters ist ffir alle c q: 0

~, e((lc)) = 0 (12') I

wo sich die Summe fiber alle inkongruenten l aus G modulo F* erstreckt. Wir nennen nun B eine Differenzenbasis von C v o n d e r Ordnung d, wenn sich

jedes c ~ 0 genau d-mal in der Form b ' - b" schreiben liiBt, wo b', b" aus B sind. (Man vergleiche ffir den eindimensionalen Fall Renyi loc. cit. und fiir den allgemeinen Fall E. Hlawka loc. cit.) Wir zeigen nun

SATZ 4. Es ist B genau dann Differenzenbasis von C yon der Ordnung d, wenn (V) gilt.

Beweis. Wenn B eine Differenzenbasis von C von der Ordnung d ist, so ist

IS(B,g)I 2= ~ e ( ( g ( b ' - b " ) ) ) = l B l + D b',b'eB

76 E. HLAWr.A

WO

D = ~ e(g(b'- b")) = ~ A(c)e((gc)) b ' , b " , b ' ~ b " c ~ 0

ist. Dabei ist A(c) die Anzahl der b', b", fiir die b ' - b " = c ist. Nun soil fiir alle. c # 0 ja A(c)=d sein. Dann ist also nach (11)

O = d ~ e((g, c)) = - d .

Damit ist (V) schon bewiesen. Wir zeigen nun die Umkehrung: Es sei also fiir alle g # 0

~. A(c)e((gc))=-d. c ~ O

Sctzen wir K(c)=A(c ) -d fiir c # O und K(O)=O, so ist also

~. K(c)e((gc)) = 0 (13) c

fiir alle g # 0. Es gilt also insbesonderes (13) fiir alle inkongruenten Git terpunkte l modulo F*, ausgenommen l = 0. Es ist nun fiir ein beliebiges c' aus C

e(-(lc')) ~., K(c)e((lc)) = K(c') ICI, ! c

(IcI Kardinalzahl von C). Es ist ja nach (12')

~e((l(c-c')))=O, falls c#c'. !

Andrerseits ist

~'. e(-(lc')) ~. K(c)e((lc)) = ~'. ~, K(c)e((l(c -c'))), ! c ! c

also ist diese Summe gleich

~, K(c)+ ~, e(-(lc')) ~, K(c)(e((lc)), c 1 ~ ' 0 c

also nach (13) gleich ~_~ K(c). Es ist also

K(c') ICI = ~. K(c). c

Anwendung einer zahlengeometrischen Methode

Es sind also alle K(c) einander gleich und wir haben nach (13)

77

K(c) ~.. e ( (gc ) ) = O. c~O

Da nach (12) diese Summe gleich - 1 ist, so ist K ( c ) = 0 fiir alle c # 0 , also ist A(c) = d. Damit ist Satz 4 bewiesen.

w

Wir k6nnen die bisherigen Oberlegungen auch zu einem Summierungsver- fahren von Fourierschen Reihen periodischer Funktionen ausbauen. Wir hatten nach w 1 (6') (es ist ja c (K,0) = V(K))

V(K) o(K, t) = V2(K ) ~ , Xx(x)x~:(x + g + t) dx. (1)

Andererseits ist (c(K, 0 )= Co gesetzt)

l O ( K , t )= 1+ 1 C o C 2

Es ist

lco ~ , p(K, t) dt = 1.

Y'. Ic(K, g)l 2 e ( - (gx ) ) . (2) g~O

(3)

Weiter ist

o(K, t) = 0 (4)

fiir aUe t ~ E ' - K , wo / ( = U ( 2 K + g ) , wie in w definiert. Ist n~imlich O(t )>0, dann gibt es nach (1) ein x ~ K und einen Gitterpunkt g, so dab x + g + t ~ K. Dann ist aber - x in K, also g + t in 2K, also ist t i n / ( , was nicht sein soil (vgl. die Oberlegung in w Wir betrachten nun statt K den konvexen KSrper hK, dann ist also

o(hK, t) = 0 (4')

78 E. ~ w r ~

fiir alle t in E s - hK. Es sei nun q~ eine stetige periodische Funktion, so dab also fiir alle g stets @(x + g ) = ~(x) ist. Es besitze also �9 die Fourierreihe

A ( ~ , g)e((gt)). (5) g

Wir behaupten nun

SATZ 5. Es ist

lim ~'. Ic(hK, g)]2 A(qb, g)e((gx)) = ~(x) . (6) h --1.0 g

Beweis. Nach der Parsevalschen Gleichung ist

~'. [c(hK, g)[2 A(q~, g)e((gx)) = ~ @(x + t) o(hK, t ) g �9 co(hK) '

wo co(hK)= c(hK, 0) gesetzt ist. Es ist nach (4')

~ , ( ~ (x + t ) - dp(x))lJ(hK, t)Co~(hK) dt

gleich

I *(@(x + t ) - @(x))o(hK, t)Co~(hK) dt, (7)

wo sich die Integration in (7) iiber E s N hK = H(K) erstreckt. Nun ist nach (3)

II" I (@(x + t ) - ~(x))p(hK, t)Col(hK) dt <-sup ]q~(x + t ) - q~(x)l.

Es ist also

Wir wollen nun voraussetzen, dab die K6rper 2 K + g nicht iibereinandergreifen. Das gleiche gilt dann fiir 2hK + g, wenn h <- 1.

Anwendung cincr zahlcngcomctrischen Methode 79

Es ist also

sup [~(x + t) - ~(x)l <- ~o(q~, 2hK) t~H

wobei

o~(~, 2hK) = sup tq~(x + t) - ~(x)[ t~2hK

ist. Es ist ~o(q~, 2hK) ein MaB fiir den Fehler in diesem Summierungsverfahren. Es ist limh__,o ~o(qb, 2hK) = O.

Betrachten wir ein Beispiel: Es sei K das ParaUepiped

IL,(x)l = I b H x , + ' ' " + b l , x . l < X l

IL.(x)l = Ib,,x, + " " + k,x,I < X,, (8)

wobei die Matrix B = (bik) nicht singul~ sein soil. Es ist dann

1 izi sin 1r~X~ c(K, g)=[d(B)l ~=, yrS. "

wobei ~ die i-te Komponente zur (B-t)*g ist. Es ist also:

lim ,~ 1 lZl sin2 ~r~'Aih A(q~, g)e((gx)) = qb(x) (7") , - .o ~ - ( ~ / Y j= l

Fiir s = 1, 21 = 1, blx = 1 ist es das Riemannsche Summierungsveffahren. Man kann noch ein anderes Summierungsverfahren entwickeln. Es gilt

SATZ 5

lim ~ c(hK, g)A(~ , g)e((gx)) = ~(x). h--~O g

Wir betrachten statt p(K, t) jetzt ~(K, t), wo ~k(K, t) in w definiert ist. Es ist

1Co ~, O(K, t) at = 1, (4')

80

da ja

to(K, t) = 1 + r c(K, g) L~

C0 g Co

Es ist wieder

tO(K, t) = O,

E. HLAWKA

e(gt).

wenn t ~ E s - / ( ist, wo / ( = I Jg (K + g) ist. Wir haben wieder

c(hK, g)A(q~, g)e((gx)) = ~. ~(x + t" to(hK, t) I co(hK) dt.

Es ist wieder

~, q~(x) " to(hK, t) dt= I*~(x)to(hK, t) dt,

wo sich die Integration rechts fiber/~K =/2/(K) erstreckt. Es ist also

I f qb,,.,, to(hK, t)l (~ (x+t ) - ,~,, . . . . . I~supl4)(x+t)-~(x)l . I .IE �9 Col, n l k ) I t~FI

Wenn wir voraussetzen, dab die KiSrper K + g nicht iibereinandergreifen, so gilt auch fiir h---1, dab hK + g nicht iibereinandergreifen. Es ist also

su,~ [~(x + t) - qb(x)l --< to(~, hK).

Nehmen wir das Beispiel (8), so erhalten wir

~ r ~ sin l~hjh lim I I ~ A(~, g)e((gx))=cI)(x) h--*O

Der Fall s = 1 wurde yon Lebesgue betrachtet. Nehmen wir die Kugel K : txl<-o, so erhalten wir

L~2(I/I ~im ~ Ills/hO) A(CI),g)e((gx))=~(x).

Anwendung einer zahlengeometrischen Methode 81

w

Im Zusammenhang mit dem zweiten Summierungsveffahren in w steht die folgende Ungleichung:

Es sei wieder �9 eine periodische integrierbare Funktion mit einer Fourierentwicklung w Es sei wieder K ein konvexer K6rper mit Mittelpunkt O, so dab fiir alle g die K6rper K + g nicht iibereinandergreifen. Dann gilt

SATZ 6. Es ist stets

~" A(CI), k )A (~ , l)c(K, k - 1) -< (1 - V(K)) Y'. IA(cI), g)l 2. k, | g

Wir k6nnen (1) noch verallgemeinern: Es sei auger periodische Funktion q~l gegeben, dann gilt

A(qL k).4 (~1, l)c( K, k - / ) ~ ( 1 - V(K))4SkS,, k,I

W O

S = ~ [A(~, g)12 und S, = ~ [ A ( ~ , g)l 2 g g

ist.

Beweis. Nach der Parsevalschen Gleichung ist

noch eine

(1)

weitere

(2)

l "

J = JE~ cI)(t)~)~(t)(~b(K, t) - c(K, 0))

gleich

(3)

~ c(K, g)A(~, k)A(CI),, l )e ( ( l - k + g)t) dt. g,k,l

(4)

Nun ist

~ , e ( ( l - k + g, t)) dr=O,

also ist nach (4) und (3)

augerf~r g = k - l ,

J = ~. c(K, k - l )A ( @, k)A(q~l , / ) - sup IqJ(K, t ) - c ( K , 0)[ J1, k, | t~ES

82

w o

E . H I M ~ W K A

j ,

J1 = | I ~ ( t ) ~ , ( t ) l dt s

ist. Nun ist 0--< ~,(K, t ) - - 1, da die K + g nicht i~bereinandergreifen. Wel te r ist

SSI,

damit ist f l ies gezeigt. N e h m e n wir wieder ein Beispiel w so erha l ten wir

1 ~. A(@, k)A(@~, l) ~I sin ~r~.Xj(kj - ~.) <_[[1 .-77-=-_. |XtX~ \ a(B)

wenn die Ungle ichungen

ILt(g)l < 2X~ . . . . . IL, (g)l < 2X,

nur die triviale I_25sung g = (0 . . . . . 0) hat. Fiir s = 1, bt~ = 1, A, = 2, e rha l ten wir

A ( ~ , k)fi~(~, l) sin , r (k - l) _< (1 - 2A)4SS1, k,l , r (k - l)

Dabe i mug ;t < 1/2 sein, denn dann hat Igl<2x nur die L6sung g = O. Ein anderes Beispiel ist K:[x] < p. D a n n erhal ten wir

Y. A(r k )~ , (~ , "" L,2Or(k - t)o) t) ~(~_l)p[7~ -<(1- V(J)p~)4SS,, k,!

wo V(J) das Vo lumen der s -d imensionalen Einhei tskugel ist, und aus [gl < P folgt g = O = ( 0 . . . 0 ) .

Mathemaasches Institut, Strudlho[gasse 4, A-1090, Wien

Eingegangen den 20. August 1980.