Juno, H. A. ~ath. Annalen 161,325--326 (1965)

Anwendung einer Methode von K. Wagner bei Fiirbungsproblemen Iiir Graphen

Von

H. A. JUNO in KSln

K. WAGNER zeigte in [2], dab es zu jedem n ein (kleinstes) ~ (n) gibt, so dab sich jeder zusammenh~ngende Graph G mit einer F~rbungszahl O(G) ~ ~ (n) auf einen vollst~ndigen Graphen mit ~ Ecken (kurz S(n)) zusammenziehen l~Bt.

Mit der gleichen Methode werden wlr zeigen: (I) Zu ]edem n existiert ein (kleinstes) ~p (n), so daft ~eder Graph G mlt • (G) :>

~_ ~p(n) eine Unterteilung des S(n) als Teilgraph enthiilt. Weiter ergibt sich: (II) ~ ( n ) < v / ( n + l ) , n = l , 2 . . . . . Man k6nnte die Vermutung ~(n) -~ n ausspreehen; wegen ~p(n) ~_ ~0(n) ~ n

wftrde dies eine Verschfir~ung der Hadwiger-Vermutung ~(n)-- -n bedeuten. Ffir O (G) ~ ~o bzw. • (G) > ~o geben wir eine Versch~rfung von Satz 11 in [1 ] an (vgl. unten (III), (IV)).

Jeder Graph mit n Ecken und m Kanten (Doppelkanten seien ausge- schlossen) werde mit In, m], jede Unterteilung eines [n, m] mit U (n, m) be-

zeichnet. ])ann isl natiirlich m ~ 2 '

U[n,', (2))ein U(S(n)).,_, Durch Indukiion iiher m bei fesiem n _ 1 soll gezeigt

werden: Zu m "~ (2) existlert an (klelns*es) yJ(n, m), so daft iedes (7

O(G) ~ ~ ( , ,m)e in U(n,m)enthiilt. Dann h i mit ~ ( n ) = y(n,. ( 2 ) ) d i e Be-

hauptung (I) offenhar erfiillt. ~p(n, 0) = n ist trivial. Sei die Behauptung fftr

m < (2) b o n g o , u.d (7 bo ohig mit 0((7) 2v(- , orgogobon. ein

Sei nun e o eine Ecke einer Komponente G O von G mit O(Go) = 0((7); sei wei~er E~ die Menge der Ecken in G o, die yon e o den Abstand k haben, und Gk der yon E k in G O aufgespannte Untergraph. Fiir ein k o _~ 1 ist dann • (Gk,) ~ yJ (n, m). Deun andernfalls w~re O(Go)~ 2(~(n, m ) - 1) (vgl. [2]). Gk, enth~lt also ein ~, das ein U (n, m) ist. Jede Ecke e x in G i s t durch einen kiirzesten Weg in G Omit e o verbunden, der dann mit G nur e a gemeinsam hat. Also gibt es zu je zwei verschiedenen Ecken e 1, e~ in G einen Weg in (70, der e 1 m i t e I verbindet uad nur e 1 und e s mit O gemeinsam hat. G o enih~lt also ein U(n, m -t- 1).

Zmn Beweis der Behaupiung (II) sei (7 ein Graph mit • ((7) ---- y~ (n) - - 1, der kein U (S (n)) enth~lt. G~ entstehe aus (7 durch Hinzuffigen einer Ecke e x,

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die mit allen Eeken yon G verbunden werde. Dann is~ ~5(G1) = ~(n), und (71 en~h~lt kein U(S(n ÷ 1)). Also ist y)(n -k 1) > ~p(n).

(III) Ist qS(G) ~ ~o, so enthglt G eine abzghlbare Vereinigung dis]unkter u

n

Denn es sei bereits ein G~ ---- [9 U (S (m)) C G konstruiert. Dann ~ndert die m=l

Entfernung der endlieh vielen Ecken yon Gn samt der inzidenten Kanten in G nicht die l~£rbungszahl. Der Restgraph enth~lt nach (I) ein U(S(m + 1)),

n + l

G also ein U S(m). Daraus folgt die Behauptung. m = l

(IV) Ist ~(G) > ~o, so enthdlt G ein U(S(~o) ). Denn zun~ehst ist eine Komponente G O yon G auf S(~0) zusammenziehbar

(Satz 11 in [1]). Beim Beweis ergibt sich, da[~ die auf die einzelnen Eeken des S(~o) zusammengezogenen Teflgraphen endlichen Durehmesser haben. Dann enth~lt G abet ein U(S(I~o)), wie in einem allgemeineren Zusammenhang in einer spiiteren Note gezeigt werden soll.

Literatur

[1 ] HALTS, R. : Einige Bemerkungen fiber unendliehe Graphen. Math. Naehr. 28, 365--385 (1965).

[2] WAGNER, K. : Beweis einer Absehwachung der Hadwiger-Vermutung. Math. Ann. 153, 139--141 (1964).

(Eingeffangen am 10. Mai 1965)