Anwendung einer Landauschen Beweismethode auf den Kroneckerschen Approximationssatz.

(Auszug aus einem Briefe an Professor Landau.)

Von

Harald Bohr in Kopenhagen.

In Ihrem iiu~erst geistreichen neuen Beweis (G~ttinger Nachr. 1933) des alten Satzes yon mir, dal~ die Riemannsche Zetafunktion ~ (a ~-i t )

in der Halbebene ~ ~ 1 jeden Weft e =~ 0 annimmt, ist es Ihnen unter anderem gelungen, die Verwendung des Kroneckerschen Approx~mations- satzes zu vermeiden -- und trotzdem Funktionen yon mehreren freien Veriinderlichen heranzuziehem Beim Studium Ihres Beweises habe ich nun bemerkt, da~ eine der di~sem Beweis zugrunde liegenden Ideen nnmittelbar zu einem n e u e n B e w e i s des K r o n e c k e r s c h e n S a t z e s verwendet werden kann. Obwohl es einfachere Beweise dieses letzteren Satzes gibt, scheint der so entstehende neue Beweis, den ich in den folgenden Zeilen darsteUen werde, mir trotzdem yon einem gewissen Interesse zu sein, vor ahem, weil er die erwghnte sch6ne Beweisidee yon Ihnen besonders klar hervortreten lgBt.

Aufler ganz geliiufJgen Hilfsmitteln werden bel diesem neuen Beweis des Kroneckerschen Satzes nut die beiden folgenden Bemerkungen benutzt (die iibl~gens triviale Spezialfglle yon allgemeinen S~tzen iiber fast- periodische Funktionen sind): Falls eine Funktion ~ (t) (-- o0 ~ t ~ oo)

in eine (end]iche oder unendliche) Reihe der Form Z~,e ~ ' t mit reellen, unter einander verschiedenen ~, und konvergenter Majorantenreihe ~ 1 ~ ] entwiekelbar ist; so gilt:

1. Die Entwieklung ist eindeutig bestimmt.

2. Jeder Koeffizient ~ ist numerisch ~ Obere Grenze I ~P (t)I. - - o o < ~ < a o

Beides folgt sofort aus der, unter der gemachten Annahme der Konvergenz yon ~ l~ , ] trivialen Koeffizientendarstellungsformel

T

e , -~ l i r a , ( t ) e - i~ ' tdL T "--~ ~

- - T

Ich spreehe den Kroneekerschen Satz in der foIgenden analytischen Fassung aus:

H. Bohr, Landsusche Beweismethode auf d. Kroneckerschen Approximationssatz. 313

E s seien ~1 . . . . , 2N linear u n a b ~ e und ~1, . . . , ~N bdidoige

redle Gr6~en. Ferner seien N + 1 tmsitive Crr6~en ao, . . . , aN m/t der

S u m ~ 1 te~tgcwahlt z. B. a. --= . . . . aN = ~ �9 D a n n ist die ~ e r e

~renze des absoluten Betrages der S u m m e

] ( t ) = a o - q - a x e ~ t ( ~ t t - ~ l ) q- . . . %-aNe ~'t(~'v~-~lO ( - - e~ ~ t ~ ~ )

g l e i ~ 1.

Der Beweis ist indirek~ zu fiihren. Es sei also die Existenz einer positiven Konstanten k ~ 1 derart angenommen, da~ die Ungleichung If (t) l <_ k far alle t besteht.

Es wird nun die Funktion 1

g (t) = ~ _ ~ = 1 + / (t) + . . . + (t (t))- + . . . ( - ~ < t < ~,,)

betraehtet. Hierbei sind -- wegen der linearen Unabhiingigkeit der Zahlen 2v -- in der Polynomialentwicklung

~(n) 82 etit (/t ~,I q" �9 �9 �9 + lN ~N ) (t(t))" = 2: ~,1 . . . . . ~N t j ~ 0 , I t + . . . + l N ~ n

keine zwei Glieder zusammenzufassen; daher ist nach der obigen Be- merkung 2. jeder der Koeffizienten g(") numerisch ~ k", und es gilt also

d~ die Anzahl der Glieder (g~- n) betragt -- die Absch~tzung

v,g,., .1<=(' Somit konvergiert die unendliche Majorantenreihe

niimlich mit einer Summe ~_

,, = o (I -- k) ~'+ ~"

Foiglieh gilt far g (t) eine absolut konvergente Ent;wieklung der Form

g ( t ) = ~ gq ..... ~N e~""(qat+ "'" ~-t.v~v) 9~:o

Nun ist aber (1 - - ] ( t ) ) .g (t) = 1 (flit alle t), also N

(*) (1 - - a o - - z~, a ~ e ~ : a ~ v - ~ ) ) �9 Xgt , . . . . . z~e ~ ' i t~q~t+ .... +t~,x~v~ _~ 1,

und nach der obigen Bemerkung 1. kann daher die dutch gliedweises Ausmultiplizieren der beiden Faktoren auf der linken Seite und naeh- folgende Zusammenfassung yon Gliedern m i t demselben Exponential- faktor e ~ ' t entstehende, wiederum absolut konvergente Reihe nut aus dem

314 It, Bohr, Landausche Beweismethode auf d. Kroneckerschen Approximationssatz.

einzigen konstanten Oliede 1 bestehen, d .h . die Relation(*) gilt auch im Sinne ,,formaler" Reihenmultiplikation.

Nunmehr ersetzen wir in der Re]ation(*) iiberall die OrSBen e ~ft~'~ (~ ~ 1, . . . . N) durch freie Ver~inderliehe x~.. Hierbei geht (*) -- da das Ausreehnen der linken Seite naeh dieser Ersetzuug dem Ausrechnen vor der Ersetzung (wiederum wegen der linearen Unabh~ngigkeit der 2,.) vSllig parallel verli~uft -- in die jedenfalls ,,formal" gfiltige Reihenrelation

~N 1 (1 - a o - - ~ a ~ x ~ e - ~ = ' ~ " ) �9 ,~'g, l . . . . . ~ .~ .~1 . . . x~. -~

fiber, welche abet jedenfalls flit ]x~ I . . . . . . I xNt = 1 (wo die unendliche Reihe ]inks absolut konvergiert) als ,,reale" Funktionenrelation gfiltig ist, etwa

N

( 1 - - a o - ~ a ~ x ~ e - " ~ z l r . . . . , x : v ) = 1.

Dies letzte Resultat ist abet offenbar unsinnig, da der erste Faktor

links fiir x~ ~- e~i'P~(~ 1 . . . . , N) versehwindet. Hiermit ist der Wider- ~pruch erreicht und der Be~veis vollendet.

(Eingegangen am 16, Juli 1933.)