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SU ALCUNI NUOVI RISULTATI INERENTI I NUMERI PERFETTI ED I NUMERI QUASI-PERFETTI

Antonio Carrese

Riassunto

Risultato principale di tale lavoro sono delle dimostrazioni alternative pi semplici del risultato di Leonhard

Euler sui numeri perfetti ed altre inerenti i numeri quasi-perfetti.

Come ben conosciuto, nessuno prima di Euler immaginava che non potessero esistere dei numeri perfetti

pari con pi di 2 fattori primi. Per chi voglia approfondire, la sua dimostrazione si trova in un articolo su

internet a cui si arriva tramite il seguente link:

http://amslaurea.unibo.it/1584/1/Caterina_Cammera_tesi.pdf

Andiamo ora alla dimostrazione vera e propria

DIMOSTRAZIONE

Definizioni dei simboli usati

N = numero intero con una certa eccedenza

S = somma dei divisori di N compresi 1 e N stesso

E = eccedenza del numero N, che nel caso sia negativa potrebbe a volte convenire scrivere come -|E| ( pi

conveniente sottrarre un numero positivo che sommare un numero negativo)

P = un numero come N, per primo

Q = esponente di P

La formula che descrive un numero perfetto la seguente:

S = 2N + 0 (1)

Adesso, immaginiamo di scomporre N in questo modo:

N = N1*P^Q

dove P non divide N1

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Quindi S diventer

S = S1*(P^0 + P^1 + + P^Q)

e la (1) diventer quindi

S1*(1 + + P^Q) = 2N1*P^Q

S1*(P^(Q + 1)-1)/(P - 1) = 2N1*P^Q

S1 = 2N1 + E1

(2N1 + E1)*(P^(Q + 1) -1)/(P - 1) = 2N1*P^Q

A questo punto omettiamo altri passaggi e affermiamo che basta risolvere rispetto a E1, ottenendo

E1 = - 2N1*(P^Q - 1)/(P^(Q + 1) - 1)

Ora, se si approssima leggermente sommando 1 contemporaneamente a numeratore e a denominatore, si

ottiene

E1 (CIRCA) 2N1*(P^Q/P^(Q + 1)) = - 2N1/P

A questo punto, ipotizzando che il numero perfetto sia pari, e che il 2 sia proprio P, si ha

E1 (CIRCA) N1

E si sa che gli unici numeri che possono avere una eccedenza del genere sono i numeri primi.

Praticamente abbiamo approssimato il fattore

(P^Q 1)/(P^(Q + 1) 1) (1)

alla quantit

P^Q/P^(Q + 1) = 1/P

e poi abbiamo posto che P sia uguale a 2, quindi

1/P = = 0.5

Per il 6 P^Q = 2^1, quindi (1) vale 0.3333333, quindi stato aumentato di 0.16666666666

Per il 28 P^Q = 2^2, quindi (1) vale 0.428, quindi stato aumentato di 0.08

Per il 496 P^Q = 2^4, quindi (1) vale 0.483, quindi stato aumentato di 0.02

Per il 8128 P^Q = 2^6, quindi (1) vale 0.496, quindi stato aumentato di 0.004

Per il 33550336 P^Q = 2^12, quindi (1) vale 0.49999, quindi stato aumentato di 0.00001

Quindi lapprossimazione qui compiuta diventa irrilevante quando si comincia a parlare di numeri perfetti

grandi. interessante notare che per 8128 le prime cifre decimali di (1) sono il numero perfetto

precedente, cio 496.

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SECONDA DIMOSTRAZIONE

Prendiamo come punto di partenza lo stesso dellaltra dimostrazione, e che la formula che descrive un QP

sia

S = 2N + 1

si procede nello stesso modo come per laltra dimostrazione per quindi arrivare alla formula risolta rispetto

a E1:

E1 = - 2N1*(P^Q - 1)/(P^(Q + 1) - 1) + (P 1)/(P^(Q + 1) - 1)

Si noti che la quantit

(P 1)/(P^(Q + 1) - 1)

una quantit compresa tra 0 e 1 a prescindere da P e Q.

Adesso, se si approssima il fattore di 2N1 esattamente come stato fatto nellaltra dimostrazione, si

ottiene

E1 (CIRCA) - 2N1/P + (P 1)/(P^(Q + 1) - 1)

A questo punto, ipotizzando che il numero QP sia pari, e che il 2 sia proprio P, si ha

E1 (CIRCA) N1 + 1/(2^(Q + 1) 1)

Ora, esattamente come detto per laltra dimostrazione, gli unici numeri che possono avere una eccedenza

del genere espressa in frazioni del numero stesso sono i numeri primi. Per nel caso di un QP laltro fattore

dovrebbe essere necessariamente un quadrato, da cui una contraddizione con il 2 come fattore!

ULTERIORI OSSERVAZIONI SUI NUMERI QUASI PERFETTI

Esiste un numero, o meglio un tetto massimo, oltre il quale non ci saranno pi QP?

Adesso seguiremo una nostra linea nellesporre le cose che, secondo noi, la migliore per far

comprendere questaltra idea.

Definizioni dei simboli usati

P1 = primo numero primo in una formula in cui ne compaiono almeno 2, quindi questa volta vengono

numerati per distinguerli, ma in particolare soprattutto fattore primo pi piccolo di un numero N.

P2 = secondo numero primo e secondo fattore pi piccolo di un numero N.

dn = divisore proprio di N, dove n il generico numero associato a pedice.

dmax = divisore proprio pi alto di un numero N.

dmaxn = dove n sta per il numero dei divisori propri di N, e messo a pedice a dmax, associa dmax ad un

numero N che ha n divisori propri.

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Sia data la formula che descrive un generico QP

S = 2N + 1 (1)

Supponiamo che il numero abbia 4 divisori propri. Allora le frazioni a primo membro saranno 3

1/d2 + 1/d3 + 1/dmax = 1

Quindi noi vogliamo conoscere quale pu essere il numero pi alto che pu esserci al posto di dmax.

Abbiamo detto che i numeri pi piccoli che possono essere attribuiti a d2 e d3 sono 2 e 3. Quindi si ha

1/2 + 1/3 + 1/dmax = 1

dmax sarebbe 6.

Se ora al primo membro vi fosse una frazione in pi, il problema diventerebbe

1/2 + 1/3 + 1/x + 1/dmax = 1

Infatti i numeri pi piccoli che potrebbero essere attribuiti a d2 e d3 sarebbero di nuovo 2 e 3, e bisogna

capire cosa deve essere x per avere di nuovo dmax pi alto possibile. Allora, dmax sar il numero pi alto

possibile quando la somma delle altre frazioni far il numero pi vicino possibile a 1, poich il numeratore

di dmax fisso. Se quindi al posto di x si sostituisse il 6 di prima, si avrebbe esattamente 1. Ma inserendo

6+1, dovremmo essere riusciti ad ottenere quello che volevamo. Si avr quindi

1/2+1/3+1/7+1/42=1

dmax 42.

Nel caso di 5 frazioni

1/2+1/3+1/7+1/(42+1)+1/dmax=1

dmax 1806.

Nel caso di 6 frazioni

1/2+ 1/3 + 1/7 + 1/43 + 1/(1806+1) + 1/dmax = 1

dmax 3.263.442.

Nel caso di 7 frazioni, avremo:

+ 1/3 + 1/7 + 1/43 + 1/1807 + 1/(3263442+1) + 1/dmax = 1

dmax 10.650.056.950.806.

A questo punto mi fermo e dico che in realt questo metodo per trovare il dmax pi grande venuto fuori

da un ragionamento intuitivo, quindi bisogna ancora veramente dimostrare con il massimo del rigore che

questo il metodo giusto. Ammettendo che sia questo, c una formula approssimativa che viene fuori

guardando landamento per calcolare il dmax per un QP con n divisori propri. Se si considera come base il

dmax del caso con 7 frazioni e 8 divisori propri, che potremmo provvisoriamente rinominare dmax8, la

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formula approssimata per calcolare un qualsiasi dmax successivo, che potremmo rinominare dmaxn,

sembra essere:

dmaxn = (dmax8)^(2^(n - 8))

Lutilit di questa formula che riesce a dare almeno unidea primaria dellordine di grandezza del numero

che pu essere considerato tetto massimo. Se il numero QP avesse 7 fattori primi elevati alla 2, n sarebbe

uguale a 3^7 1, cio 2186.

ULTERIORE FORMULA PER IL PROBLEMA DEI NUMERI QUASI PERFETTI

Se N un numero QP, allora si ha

S-2N=1

sar quindi vero anche che

S-2N>0

e

S-2N

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Qualsiasi altra manipolazione significherebbe aumentare N e ridurre di parecchie volte il rapporto 2/N in

confronto a una piccola riduzione di S/N, quindi talmente che a questo punto ovvio. Sicuramente stato

fondamentale aver escluso il 2 e il 3, altrimenti forse questo stesso ragionamento non avrebbe avuto cos

tanta efficacia.

Potrebbe anche essere programmato un computer per divertirsi a vedere che il margine sempre inferiore

al richiesto mentre il computer cambia i numeri a velocit rapidissima.

Aggiungiamo infine a quanto detto che il rapporto S/N qualcosa di utilissimo perch pu essere tenuto

sotto controllo poich sempre compreso nella seguente relazione:

(1+1/(p1-1)-1/(p1^2*(p1-1)))*(1+1/(p2-1)-1/(p2^2*(p2-1)))*.. S/N