antologia ecuaciones diferenciales 2012

ECUACIONES DIFERENCIALES M.C. Alicia E. Pérez Yebra

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Objetivo Educacional

Modelar la relación existente entre una función desconocida y una variable independiente mediante una ecuación diferencial que describe algún proceso dinámico

(crecimiento, decaimiento, mezclas, geométricos, circuitos eléctricos).

Identificar los diferentes tipos de E.D. ordinarias de primer orden, sus soluciones

generales, particulares y singulares e interpretarlas, en el contexto de la situación en

estudio.

1.1 Teoría preliminar.

1.1.1 Definiciones (Ecuación diferencial, orden, grado, linealidad).

Ecuación diferencial: Se dice que una ecuación diferencial (ED) es cualquier ecuación que

contiene las derivadas o diferenciales de una o más variables dependientes con respecto a una

o más variables independientes.

Las ecuaciones diferenciales se clasifican de acuerdo con el tipo, orden y la linealidad.

Clasificación según el tipo:

Si una ecuación contiene solo derivadas ordinarias de una o más variables dependientes con

respecto a una sola variable independiente, entonces se dice que es una ecuación diferencial

ordinaria (EDO). Por ejemplo:

( )

Notación de Leibinz


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Notación prima

Notación de punto de Newton

Una ecuación que contiene las derivadas parciales de una o más variables dependientes de dos

o más variables independientes se llama ecuación diferencial parcial (EDP). Por ejemplo:

Con frecuencia las derivadas parciales se denotan mediante una notación subíndice, que indica las

variables independientes:

Clasificación según el orden:

El orden de una ecuación diferencial (EDO o EDP) representa el orden de la derivada más alta

presente en la ecuación. Por ejemplo:

(

)

Segundo orden Primer orden

Ejemplos:


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La ecuación diferencial

( ( )donde f es una función continua de valores

reales se conoce como la forma normal.

Ejemplos:

( ) ,

( , …

Clasificación según la linealidad o no linealidad:

Se dice que una ecuación diferencial es lineal si tiene la forma:

( )

( )

( )

( ) ( )

Dos propiedades características de una EDO lineal son:

1) La variable dependiente y así como todas sus derivadas y΄,y΄΄,…,y(n)

son de primer

grado, es decir, la potencia de cada uno de los términos que involucra a y es 1.

2) Cada coeficiente depende solo de la variable independiente x.

Una ecuación diferencial que no es lineal se llama no lineal.

El coeficiente depende de y

El exponente no es 1

Grado de una ecuación diferencial es la potencia a la que está elevada la derivada más alta,

siempre y cuando la ecuación diferencial está dada en forma polinomial.


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Evidencia 1

Defina el orden de la ecuación diferencial. Determine si la ecuación es lineal o no lineal.

1) ( )

2) ( )

3)

√ (

)

4) ( ) ( )

1.1.2. Soluciones de las ecuaciones diferenciales.

Solución de una ecuación diferencial es una función que no contiene derivadas y que satisface

a dicha ecuación, es decir al sustituir la función y sus derivadas en la ecuación diferencial

resulta una identidad.

Solución general de una ecuación diferencial es la función que contiene una o más constantes

arbitrarias (obtenidas de las sucesivas integraciones).

Solución particular de una ecuación diferencial es la función cuyas constantes arbitrarias

toman un valor específico.

Definición: Toda función Φ, definida sobre un intervalo I y que posea al menos n derivadas

continuas sobre I, y que al ser sustituida en una ecuación diferencial ordinaria de n-ésimo

orden reduzca la ecuación a una identidad, se dice que es una solución sobre el intervalo.

No podemos pensar en la solución de una EDO sin simultáneamente pensar en un intervalo

conocido como intervalo de definición, intervalo de existencia, intervalo de validez o dominio

de la solución y puede ser un intervalo abierto ( ), un intervalo cerrado [ ], un intervalo

infinito ( ), etc.

Ejemplo: Verificación de una solución

a) Verifique que

es una solución de la ecuación no lineal

( )


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La solución a una ecuación diferencial idéntica a cero sobre un intervalo I se dice que es una

solución trivial.

b) Verifique que es una solución de la ecuación lineal

Curva solución: La gráfica de una solución Φ de una EDO se denomina curva de solución.

Una ecuación diferencial dada tiene generalmente un número infinito de soluciones.

Ejemplo:

Para cualquier valor de c , la función

es una solución de la ecuación diferencial de

primer orden

( )

La funciones y en donde son constantes arbitrarias, son

soluciones de la ecuación diferencial

Evidencia 2

Verifique que la función dada es una solución de la ecuación diferencial dada:

1)

2)

3) ( ) √

4)

5)


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1.1.3 Problema del valor inicial (PVI).

Con frecuencia enfrentamos problemas en los que buscamos una solución ( ) de una

ecuación diferencial de modo que ( ) satisfaga condiciones adicionales establecidas, es

decir, condiciones impuestas sobre la incógnita ( ) o sobre sus derivadas.

Ejemplo 1:

Se comprueba fácilmente que representa una familia de soluciones de un parámetro

de la ecuación de primer orden, en el intervalo (-∞, ∞), si se especifica una condición

inicial

a) ( ) encontrar una solución del PVI.

b) Ahora si precisamos que una solución de la ecuación diferencial atraviese el punto

( )

x

y


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Ejemplo 2:

Representa una familia de soluciones de dos parámetros para

encuentre una solución de PVI

(

) (

)

Evidencia 3

1.

( ) Representa una familia de soluciones de un parámetro para la ED de

primer orden . Encuentre una solución de PVI de primer orden que incluya

está ecuación diferencial y la condición inicial proporcionada.

a) ( )

b) ( )

x

y


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2.

( ) Representa una familia de soluciones de un parámetro para la ED de

primer orden . Encuentre una solución de PVI de primer orden que

incluya está ecuación diferencial y la condición inicial proporcionada.

a) ( )

b) ( )

3. Representa una familia de soluciones de dos parámetros para

encuentre una solución de PVI

a) ( ) ( )

b) (

) (

)

1.1.4 Teorema de existencia y unicidad

Dentro de los límites seguros de un curso formal de ED se puede estar seguro en buena

medida de que las ED tendrán soluciones y que las soluciones de problemas iniciales serán

únicas. Sin embargo, en la vida real no es tan idílico, Por consecuencia al tratar de resolver un

problema de valores iniciales es deseable saber por adelantado si existe una solución y, cuando

es así, si la solución es única.

Teorema de existencia-unicidad

Dada la ED de primer orden ( ), si ( ) satisface las siguientes condiciones:

1) ( ) es real, finita, simple valorada y continua en todos los puntos de una región R

del plano xy (que puede contener todos los puntos)

2) ( )

es real, finita, simple valorada y continua en R

3) Entonces existe una y solo una solución ( ) en R, tal que cuando

esto es ( )


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Use el teorema de existencia-unicidad para determinar si existe una solución única para el

problema de valor inicial

( )

( )

Evidencia 4: Use el teorema de existencia-unicidad para determinar si existe una solución

única para el problema de valor inicial

( )

( )

x

y

x0,y0


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1.2 ED de variables separables y reducibles.

Se dice que una ecuación diferencial de primer orden de la forma

( ) ( )

Es separable o que tiene variables separables.

El método de separación de variables:

Un tipo especialmente simple de ecuación que ocurre a menudo en la práctica es aquella que

puede ser escrita en la forma:

( ) ( )

Donde un término involucra solo a x mientras el otro involucra solo a y. Esta ecuación puede

ser resuelta por integración. Así la solución general es

∫ ( ) ∫ ( )

Ejemplo: Encuentre la solución general de:

a)

b)

c) ( )

d) ( )

( )


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Evidencia 5: Resuelva la ecuación diferencial dada mediante separación de variables

1)

2) ; ( ) ( ) (

)

3)

4)

5)

(

)

6)

7) ( ) ( )

( ) ( )


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1.3 ED exactas y factor integrante.

Diferencial de una función de dos variables:

Si ( )es una función de dos variables con primeras derivadas parciales continuas en

una región R del plano xy, entonces su diferencial es:

En el caso especial cuando ( ) , donde c es una constante, entonces la ecuación

implica.

Definición. Una expresión diferencial ( ) ( ) es una diferncial exacta en una

región R del plano xy si esta corresponde a la diferencial de alguna función ( ) definida en

R. Una ecuación diferencial de primer orden de la forma

( ) ( )

Se dice que es una ecuación exacta si la expresión del lado izquierdo es una diferencial exacta.

Criterio para una diferencial exacta:

Sean ( ) ( ) continuas y que tienen primeras derivadas parciales continuas en una

región rectangular R definida por . Entonces una condición necesaria

para que ( ) ( ) sea una diferencia exacta es

Método de solución:

1) Determine si


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2)

( ) entonces podemos determinar f integrando ( ) respecto a x mientras

y se conserva constante: ( ) ∫ ( ) ( ) donde la función arbitraria

( ) es la “constante” de integración.

3) Ahora derivamos respecto a y y suponiendo que

( ):

∫ ( ) ( ) ( )

Se obtiene ( ) ( )

∫ ( )

4) Por último se integra respecto a y y se obtiene la solución implícita de la ecuación

( )


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1.4 ED lineales.

Se dice que una ecuación diferencial de primer orden de la forma

( )

( ) ( )

Es una ecuación lineal en la variable dependiente y.

Cuando ( ) se dice que la ecuación lineal es homogénea, de lo contrario es no homogénea.

La forma estándar de la ecuación lineal es:

( ) ( )

Para su solución se hace lo siguiente:

Convierta la ecuación lineal a la forma estándar, determine ( ) y el factor integrante

∫ ( ) .

Multiplique la ecuación en forma estándar por el factor integrante. El lado izquierdo de la

ecuación resultante es automáticamente la derivada del factor integrante y de y: escriba:

[ ∫ ( ) ] ∫ ( ) ( )

Después integre ambos lados de ésta ecuación.


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Ejemplo:

a) Resuelva

b) Resuelva ( )

( )

c) Resuelva

( )

Evidencia

Encuentre la solución general de la ecuación diferencial dada y proporcione el intervalo más largo

sobre el cual está definida la solución general.

1)

2)

3)

4)


Página 18 de 53

5)

6)

7)

( )

8) ( )

( ) ( )

9)

( ) ( )

10)

( )


Página 19 de 53

1.5 ED de Bernoulli.

1.6 Aplicaciones.


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Objetivo Educacional Aprenderá ecuaciones diferenciales de orden superior por los

diferentes métodos propuestos y los aplicará en la solución de problemas de aplicación

2.1 Teoría preliminar-

2.1.1 Definición de ED de orden n.

2.1.2 Problemas de valor inicial.

2.1.3 Teorema de existencia y unicidad de solución única.

2.1.4 EDL homogéneas.

2.1.4.1 Principio de superposición.

Sean soluciones de la ecuación diferencial homogénea de n-esimo orden en unn intervalo I, entonces la combinación lineal

( ) ( ) ( )

Donde las son constantes arbitrarias, también es una solución en el

intervalo.


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Corolario:

a) Un múltiplo constante ( ) de una solución ( )de una ecuación diferencial lineal homogénea es también una solución.

b) Una ecuación diferencial lineal homogénea tiene siempre la solución trivial

2.1.5 Dependencia e independencia lineal, wronskiano.

Se dice que un conjunto de funciones ( ) ( ) ( ) es linealmente dependiente en un

intervalo I si existen constantes no todas cero, tales que

( ) ( ) ( )

para toda x en el intervalo. Si el conjunto de funciones no es linealmente dependiente en el

intervalo, se dice que es linealmente independiente.

2.1.6 Solución general de las EDL homogéneas.

2.1.6.1 Reducción de orden de una EDL de orden dos a una de primer orden,

construcción de una segunda solución a partir de otra ya conocida.

( ) ( ) ( )

Suponga que ( ) denota una solución conocida de la ecuación diferencial lineal de

orden dos. Buscamos una segunda solución ( ) de manera que sean linealmente

independientes en algún intervalo I. Recuerde que si son linealmente independientes

entonces no es constante en I, es decir,

( ).

Metodología:

1) Considerar que ( ) , encontrar su primera y segunda derivando sustituyendo

en la ecuación diferencial original.

2) Sustituir y verificando la reducción de orden de la ecuación

diferencial de orden dos a uno.

3) Resolver la ecuación diferencial de primer orden, utilizando el factor integrante.

4) Una vez encontrada hacer el cambio de variable e integrar para obtener

( ).


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5) Hacer cambio de variable ( ) , encontrando la segunda solución buscada,

considerar que .

Ejemplo:

Dado que es una solución de la ecuación diferencial lineal de orden dos,

en el intervalo (-∞,∞) use la reducción de orden para obtener una solución

( ).

Evidencia

( ) ( ) ( ) Suponga que dividimos la ecuación entre

( ) obtenemos la ecuación en la formulación estándar:

( ) ( )

Si elegimos a partir de ( ) encontramos que una segunda

solución de la ecuación es:

( )∫ ∫ ( )

( )

2.2 Solución de EDL homogéneas de coeficientes constantes.


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2.2.1 Ecuación característica para EDL de segundo orden (raíces reales y distintas,

raíces reales e iguales, raíces complejas conjugadas).

( )

( )

( )

( )

Se considera el caso especial de una ecuación de segundo orden:

Con ecuación auxiliar:

CASO I: Raíces reales distintas

Donde entonces

CASO II: Raíces reales repetidas

Donde entonces

CASO III: Raíces conjugadas complejas

Donde y

Entonces

Ejemplos:

Evidencia


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Ecuación de Cauchy-Euler

Es de la forma

.Para encontrar su solución, usamos la siguiente

sustitución y sus derivadas:

( )

Su ecuación auxiliar es

( )

CASO I: Raíces reales distintas

Donde entonces

CASO II: Raíces reales repetidas

Donde entonces ( )

CASO III: Raíces conjugadas complejas

Donde y

Entonces y= [ ( ) ( )]


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Ejemplo:

Evidencia

Ecuaciones de orden arbitrario con coeficientes constantes.

Resolver

Resolver ( )

[ ]

Resolver ( )

[ ]

Evidencia

Resolver

Resolver (

)

Resolver ( )

( )

Resolver ( )


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Resolver ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Resolver ( ) (

) (

) (

) (

)

Resolver ( ) ( ) ( )

2.3 Solución de las EDL no homogéneas.

2.3.1 Método por coeficientes indeterminados.

( )

( )

( )

( ) ( )

Para resolver una ecuación diferencial no homogénea debemos hacer dos cosas:

1) Encontrar la ecuación complementaria

2) Encontrar cualquier solución particular de la ecuación no homogénea

La solución general en un intervalo I es

Método de coeficientes determinados:

La idea básica de éste método es una conjetura (un supuesto razonable) acerca de la forma

de , el método está limitado a:

i) Los coeficientes , son constantes

ii) ( ) es una combinación lineal de

( )


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( ) ( ) ( )

No es aplicable cuando:

( ) , ( )

, ( ) , ( )

Principio de superposición: ecuaciones homogéneas

( )

( )

( )

( ) ( )

Donde entonces

( ) ( ) ( )

Metodología:

Primer paso: Resolver la ecuación diferencial homogénea asociada.


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Segundo paso: Con la función ( ) asumir una solución particular, buscando los

coeficientes específicos para los cuales sea una solución.

Ejemplo:

Resolver

( √ )

( √ )

Resolver

Resolver

( ) ( ) ; ( )

; ( ) (

)

Evidencia

( ) ( )

Solución particular caso I:


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La forma de es una combinación lineal de todas las funciones independientes que se

generan por diferenciaciones repetidas de ( ).

Solución particular caso II:

Una función presente en una solución particular asumida también es una solución de la

ecuación diferencial homogénea asociada.

Regla de la multiplicación para el caso II: Si cualquier contiene términos que duplican

términos en , entonces dicha debe de multiplicarse por , donde n es el entero positivo

más pequeño posible que elimina tal duplicidad

( ) ( )

( )


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2.3.2 Método de variación de parámetros.

Método para resolver

( )

1) Encontrar la ecuación complementaria

2) Calculamos el wronskiano [ ( ) ( )]

|

|

3) Ponemos la ecuación en la forma estándar

( ) para determinar ( )

|

( ) |

|

( )|

4) Encontramos y mediante la integración de

y

5) Una solución particular es y la solución general es

Este método se puede generalizar para las ecuaciones lineales de n-ésimo orden escritas en

la forma estándar

( ) ( ) ( ) ( )

Evidencia


Página 32 de 53

2.4 Aplicaciones.


Página 33 de 53


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Objetivo Educacional Aprenderá las propiedades operacionales de la transformada de

Laplace y la transformada inversa de Laplace usando diferentes métodos (Fracciones

Parciales, uso de teoremas, convolución)

3.1 Teoría Preliminar.

3.1.1 Definición de la trasformada de Laplace.

La derivación y la integración son transformadas, es decir, éstas operaciones transforman

una función en otra, además, éstas transformadas tienen la propiedad de linealidad tal que la

transformada de una combinación lineal de funciones es una combinación lineal de las

transformadas. Un tipo especial de transformada integral es llamada transformada de Laplace.

Sea ( ) una función definida para , a la expresión:

{ ( )} ∫ ( )

( )

Se llama transformada de Laplace de la función ( ) , si la integral existe

(converja).Cuando la integral converge, el resultado es una función de s.

{ ( )} ( ) , { ( )} ( ) , { ( )} ( )

3.1.2 Condiciones suficientes de existencia para la trasformada de Laplace.

Las condiciones suficientes que garantizan la existencia de { ( )} son que f sea continua por

tramos en [ ) y que f sea de orden exponencial para

Se dice que una función f es de orden exponencial c si existen constantes c, M >0 y T >0 tales

que | ( )|

Determinar si ( ) es de orden exponencial c


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| |

es de orden exponencial c para c >0

x

y


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Condiciones de suficiencia para la existencia: Si ( ) es continua por tramos en el intervalo

[0, ∞) y de orden exponencial c, entonces la transformada existe para s > c

3.2 Transformada directa.

Hallar { } donde c es un número real.

Hallar { }

Hallar { }

Hallar { }

Hallar { }

Evidencia

Encontrar las transformadas de Laplace en las siguientes funciones:

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )


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( )

( )

( )

( )

( )

( )

Usar las fórmulas para encontrar la transformada de Laplace de las siguientes funciones

( )

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

(

)


Página 38 de 53

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

3.3 Transformada inversa.

Si

{ ( )} ( ) entonces:

{ ( )} ( ) se llama transformada inversa de ( )

Ejemplo: { }

{

}

Evidencia

{

}

{

}

{( )

}

{

}

{

}


Página 39 de 53

{

}

{

}

{

}

{

}

{

}

{

( )( )}

{

( )( )( )}

{

( )( )( )}

{

}

{

( )( )}

{

( )( )}

{

}


Página 40 de 53

{

}

{

( )( )}

{

}

3.4 Propiedades.

3.4.1. Transformada de Laplace de funciones definidas por tramos.

{ ( )} ( )

Evidencia

( )

( )

3.4.2. Función escalón unitario.

La función escalón unitario o función de Heaviside ( )


Página 41 de 53

0

( )

Segundo teorema de traslación

Si ( ) { ( )}

{ ( ) ( )} ( )

3.4.3. Propiedades de la trasformada de Laplace (linealidad, teoremas de traslación).

Propiedad de linealidad:

{ ( ) ( )} { ( )} { ( )} ( ) ( )

Traslación sobre el eje s (Primer teorema de traslación):

Primera propiedad de traslación: Si { ( )} ( ) → { ( )} ( )

Ejemplo: { }

{ }

( )

Aplicar el primer teorema de traslación para encontrar { }

Hallar { }

Hallar { }


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Segunda propiedad de traslación: Si { ( )} ( ) y

( )

( )

{ ( )} ( )

Ejemplo: { }

( )

( )

{ ( )}

Propiedad de cambio de escala: Si { ( )} ( ) entonces { ( )}

(

)

Ejemplo: { }

{ }

(

)


Página 43 de 53

3.4.4. Transformada de funciones multiplicadas por tn

, y divididas entre t.

Multiplicación por : Si { ( )} ( ) y

{ ( )} ( )

( )

Ejemplo: { }

{ }

(

)

( )

{ }

(

)

( )

División por t : Si { ( )} ( )

{ ( )

} ∫ ( )

( )

Ejemplo: { }

{

} ∫

(

)

3.4.5. Trasformada de derivadas (teorema).

Este método es útil para calcular las transformadas de Laplace sin integración

{ ( )} ( ) ( )

{ ( )} ( ) ( ) ( )

{ ( )} ( ) ( ) ( ) ( )

Si ( ) son continuas en [0,∞) y de orden exponencial, y si es continua por

tramos en [0,∞) entonces

{ ( )( )} ( ) ( ) ( ) ( )

( )


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Donde ( ) { ( )}

Ejemplo: { }

{ ( )} { } (

)

3.4.6. Trasformada de integrales (teorema).

Si { ( )} ( )

{ ∫ ( ) } ( )

Ejemplo: { }

{ }

{∫

}

( )

3.4.7 Teorema de la convolución.

Si ( ) ( ) son continuas por tramos en [0,∞) y de orden exponencial, entonces:

[ ] { ( )} { ( )} ( ) ( )

{ ( ) ( )}

Transformada de una integral : {∫ ( )

}

( )

∫ ( )

{ ( )

}


Página 45 de 53

3.4.8- Trasformada de Laplace de una función periódica.

Si ( ) es continua por tramos en [0,∞) y de orden exponencial, y periódica con periodo T,

entonces:

{ ( )}

∫ ( )

3.12 Función Delta Dirac.

El impulso unitario ( ) se denomina función delta de Dirac

3.4.9. Trasformada de Laplace de la función Delta Dirac.

Para { ( )}

3.14 Trasformada de Laplace de la función Delta Dirac.

Propiedad de linealidad: Si y son constantes arbitrarias y ( ) y ( ) son las

transformadas de ( ) ( ) respectivamente, entonces:

{ ( ) ( )} { ( )}

{ ( )} ( ) ( )

Ejemplo:

{

} {

} {

} {

}

Primera propiedad de traslación: Si { ( )} ( ) → { ( )} ( )

Ejemplo: {

}


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{

} {

( ) }

Segunda propiedad de traslación: Si { ( )} ( ) y

( )

{ ( )}

Ejemplo:

{

}

( )

{

}

Propiedad de cambio de escala: Si { ( )} ( ) entonces { ( )}

(

)

Ejemplo:

{

}

{

( ) }


Página 47 de 53

3.5 Solución de ecuaciones.


Página 48 de 53


Página 49 de 53

Objetivo Educacional Aprenderá a usar la transformada de Laplace como herramienta

en la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias con condiciones iniciales, así como

sistemas de ecuaciones diferenciales lineales.

4.1 Teoría preliminar. 4.1.1 Sistemas de EDL. 4.1.2 Sistemas de EDL homogéneos. 4.1.3 Solución general y solución particular de sistemas de EDL. 4.2 Métodos de solución para sistemas de EDL. 4.2.1 Método de los operadores. 4.2.2 Utilizando transformada de Laplace. 4.3 Aplicaciones.

4.1 Solución de una ecuación diferencial lineal con condiciones iniciales por medio de

la trasformada de Laplace.

Usar la transformada de Laplace para resolver el problema del valor inicial

( )

{

} { } { }

( ) ( )

( )

( )( )

{ ( )} {

} {

} {

}


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( )

Resuelva , ( ) , ( )

{ } { } { } { }

( ) ( ) ( ) [ ( ) ( )] ( )

( )

( ) [ ]

( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

{ ( )} {

} {

( ) }

{

( ) }

( )

Evidencia

Resuelva:

( )


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( )

( )

, ( ) , ( )

( )

, ( ) , ( )

( )

( )

, ( ) , ( )

, ( ) , ( )

, ( ) , ( )

√ √ , ( ) , ( )

, ( ) , ( ) , ( )

, ( ) , ( )

( )


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4.2 Solución de un sistema de ecuaciones diferenciales lineales con condiciones iniciales

por medio de la trasformada de Laplace.

Cuando las condiciones iniciales están especificadas, la transformada de Laplace se reduce de

un sistema de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes a un conjunto de

ecuaciones algebraicas simultaneas en las funciones transformadas.

Evidencia

Use la transformada de Laplace para resolver el sistema de ecuaciones diferenciales dado:

1)

( ) ( )

2)

( ) ( )

3)

( ) ( )

4)

( ) ( ) ( ) ( )

√ √

√ √


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5)

( ) ( ) ( ) ( )

4.3 Problemas de aplicación.

antologia ecuaciones diferenciales 2012

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