antología de matemáticas culinarias unidad...

Antología de Matemáticas Culinarias Unidad 1

I.C. Alejandrina Beltrán Enciso Página 1

1. Fundamentos Matemáticos Básicos

1.1 Números

Del latín numĕrus, el término número se refiere a la expresión de una cantidad con relación a su unidad.

Símbolo matemático que denota una cantidad. Se clasifican en:

Números Complejos. Se clasifican en Reales e Imaginarios. Número que tiene una parte real y una parte

imaginaria:

z = a + i b.

Números Reales. Conjunto de números que se obtiene como la unión de los conjuntos de los números

racionales y de los números irracionales: R = Q ∪ Q.

Números Imaginarios. Número que es múltiplo de la unidad imaginaria. Por ejemplo, el número 2 i es un número imaginario. La unidad imaginaria, que se denota con la literal i, es el número que tiene ´ la propiedad de que cuando se multiplica por sı mismo obtenemos −1 como resultado. Es decir, i 2 = −1. Los números complejos se llaman números imaginarios puros cuando su ´ parte real es cero. Ejemplo: √-1

Números Racionales. Es el conjunto de todos los números que se pueden expresar como el cociente de dos

números enteros, donde el denominador es distinto de cero.

p

Q = x ǀ x = __, p, q ∈ Z; q ≠ 0

q

Un número racional es cualquier elemento del conjunto de los números racionales. Todos los números

enteros y todos los números naturales también son números racionales. Por ejemplo, los números:

1/2, 3/7, − 2/5, − 18/7 son números racionales, es decir los que se pueden escribir como fracción.

Números Irracionales. Es el conjunto de todos los números que no se pueden expresar como el cociente de

dos números enteros, donde el denominador es distinto de cero.

p

Q = x ǀ x ≠__, p, q ∈ Z; q ≠ 0

q

Un número irracional es cualquier elemento del conjunto de los números racionales. Ningún número

racional es irracional y ningún número irracional es racional. Algunos números irracionales muy conocidos

son π ≈ 3.141592654 · · · y e ≈ 2.7182818 · · ·

0

COMPLEJOS

REALES

IRRACIONALES

RACIONALES

FRACCIONES

DECIMALES

COMUNES

ENTEROS

NEGATIVOS

CERO

NATURALES

PRIMOS

COMPUESTOS

IMAGINARIOS



Números Enteros. El conjunto de los números enteros se define como los números naturales, el cero, y los

naturales dotados del signo negativo:

Z = {· · ·, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, · · ·}

Un número entero es cualquiera de los elementos del conjunto de los números enteros. Todos los números

naturales son también números enteros.

ǀ ǀ ǀ NEGATIVOS CERO POSITIVOS

Números Naturales. El conjunto de los números naturales es el conjunto de números enteros positivos que

usamos para contar, NO incluye el cero:

N = {1, 2, 3, 4, 5, · · ·}

Observa que el cero no es un elemento de este conjunto. Un número natural es cualquiera de los elementos

del conjunto de los números naturales.

Números Primos. Numero natural que tiene exactamente dos divisores. Por ejemplo, el número 2 es primo,

pues sus únicos divisores son 1 y 2. El número 9 no es un número primo, pues tiene 3 divisores: 1, 3, y 9.

Los primeros 20 números primos son los siguientes:

2 3 5 7 11

13 17 19 23 29

31 37 41 43 47

53 59 61 67 71

Observa que un número impar no es necesariamente primo. Por ejemplo, el 21 no es primo, pues tiene 4

divisores (1, 3, 7, 21).

Números Compuestos. Un número natural que tiene más de dos divisores. Por ejemplo, el número 9 es

compuesto, porque sus divisores son: 1, 3, y 9.

Números Fraccionarios. Se clasifican en exactos y periódicos.

Números Exactos. Ejemplo: 4÷2 = 2

Números Periódicos. Ejemplo: 10 ÷ 3 = 3.333333

Número mixto. Número formado por una parte entera y una parte fraccionaria. Por ejemplo: 1¾.

Referencia: Diccionario Ilustrado de Conceptos Matemáticos de Efraín Soto Apolinar.



Actividad 1: Clasificación de los números.

1. Relaciona ambas columnas:

a. Imaginarios ( ) 1 ¼

b. Racionales ( ) 53, 59, 61

c. Irracionales ( ) 0.33333333

d. Enteros ( ) -1, -2, -3…

e. Fraccionarios comunes ( ) 1, 2, 3…

f. Fraccionarios decimales ( ) 0.84

g. Naturales ( ) 8/4, 4/3

h. Enteros Negativos ( ) -2, -1, 0, 1, 2, 3

i. Periódicos ( ) ∏, √2

j. Primos ( ) ½, ¾

k. Fracción Mixta ( ) 2i, √-5

2. Escribe con letras los números que conozcas.

4 1000

38 25

129 40

73 256



1.2 Símbolos de Operación

Símbolo Operación Sinónimos: Definición.

+ Suma Unir, Aumentar, Agregar,

Juntar.

En aritmética es una operación entre números que

expresa la relación entre el número de elementos de

la unión de ellos. (2.) Resultado de sumar dos

números.

- Resta

Diferencia, Resultado,

Descuento, Disminuir,

Excluir.

La diferencia entre los números a y b es el numero

b − a. En otras palabras, la diferencia de dos

números es el resultado de restarlos.

*, ( ), x, Multiplicación Suma reducida, Aumentar,

Repetir.

Operación binaria que consiste en una abreviación

de la suma repetida de un mismo número varias

veces. Por ejemplo, la multiplicación de 7 por 4 ´ se

denota por: 7 × 4 y significa sumar el numero 7

cuatro veces. ´ Cuando se trata de otros objetos

matemáticos (fracciones, convectores, ´ etc.) la

multiplicación se realiza de ´ diferente manera.

÷ División Repartir

Operación que consiste en calcular el número de

veces que una cantidad contiene (cabe en) otra. Por

ejemplo, cuando dividimos 36 entre 4, obtenemos 9.

Esto nos indica que el número 4 cabe 9 veces en el

36. No es posible dividir entre cero.

1.3 Factores

Factor. Número o expresión algebraica que se está multiplicando. Por ejemplo, en la expresión:

2 x y2

Hay tres factores: y 2, x, y 2.

Factor primo. Un numero primo p es factor primo de N, si N es divisible entre p. Por ejemplo, 5 es un

factor primo de 30, porque 30 es divisible entre 5.

Factorial. El factorial del número natural n, que se denota como: n!, se define como el producto de todos

los números naturales desde 1 hasta n:

n! = (1) (2) (3) · · ·(n)

Por ejemplo, el factorial de 4 es:

4! = (1) (2) (3) (4) = 24

Por definición, el factorial del número cero es 1: 0! = 1

Factorización. Proceso de escribir un número o una expresión algebraica en forma de producto de factores.

Por ejemplo:

x2 + 5 x + 6 = (x + 2) (x + 3)

Los casos de factorización que más frecuentemente se encuentran en el álgebra son:

✓ Diferencia de cuadrados: x2 − y

2 = (x + y) (x − y)

✓ Trinomio cuadrado perfecto: x2 + 2xy + y

2 = (x + y)

2

✓ Polinomio cubico perfecto: x3 + 3x2y + 3xy

2 + y

3 = (x + y)

3

✓ Trinomio cuadrado no perfecto: x2 + (a + b) x + ab = (x + a) (x + b)



1.4 Sumas. Ejemplo, si sumamos 8 + 3 = 11, donde sus elementos son:

Podríamos escribirlo así: Sumando 1 + Sumando 2 = Total. Sabemos que podemos comprobar la suma si al

total le restamos alguno de los sumandos.

1.5 Restas. Cuando hacemos una resta o diferencia, como por ejemplo, 8 – 3 = 5, donde sus elementos son:

Si utilizamos palabras podríamos escribirlo así: Minuendo – Sustraendo = Diferencia. Sabemos que

podemos comprobar la resta si sumamos el sustraendo más la diferencia. Luego, Minuendo = Diferencia +

Sustraendo. Esto es: 8 = 5 + 3.

1.6 Producto o Multiplicación. Si multiplicamos (3) (4) = 12, donde sus elementos son:

Si utilizamos palabras podríamos escribirlo así: Factor 1 × Factor 2 = Producto. Sabemos que podemos

comprobar la multiplicación si al producto le dividimos por alguno de los factores. Luego, Factor 1 =

Producto ÷ Factor 2. Esto es: 3 = 12 ÷ 4.

1.7 Cociente o División. Si dividimos 18 ÷ 6 = 3, donde sus elementos son:

; ; ;

3 Cociente18 Dividendo

6 18 Divisor Dividendo 3 Cociente6 Divisor

0 Residuo.

Si utilizamos palabras podríamos escribirlo así: Dividendo ÷ Divisor = Cociente. Sabemos que podemos

comprobar la división si al Cociente lo multiplicamos por el divisor.

Luego, Dividendo = Cociente × Divisor. Esto es: 18 = 3 × 6.

Actividad 2: Operaciones Aritméticas

8 Sumando 1

+3 Sumando 2

11 Suma o total

8 Minuendo

- 3 Sustraendo

5 Diferencia

3 Factor 1

× 4 Factor 2

12 Producto

32 Factor 1

× 24 Factor 2

128 Factores

64 intermedios

768 Producto



a) 9 - 7 + 5 + 2 -6 + 8 - 4 =

b) 23

+ 10÷2 + 5*3 + 4 – 5*2 - 8 + 4*22 - 16÷4 =

c) [15 - (23 - 10÷2)] * [5 + (3*2 - 4)] - 3 + (8 – 2*3) =

d) -32 + (-2)

4 – 4

3 + (-2)

4 =

e) 8 + 3*52 – 7

2 =

f) 102 + {6

3 – [4 (5-2)]

2} =

g) 23226* 3154832*

687= 534 =

h) 321÷77 842 ÷24 5894 ÷ 53

1.8 Fracciones



En las fracciones comunes (o quebrados), se le llama numerador al que se encuentra en la parte superior

de la raya y se le llama denominador al de la parte inferior de la raya. La raya que los separa indica una división

de los dos números. Su equivalente en decimal se obtiene al dividir el numerador por el denominador y se les

conoce como fracciones decimales. Su forma es:

adormindeno

numerador

b

a y equivale a dividir: a b Así:

2

1 Equivale a dividir 12, luego: 5.0

2

1

4


4

1

5


5

1

8


8

3

7


7

2

Todas las fracciones comunes que tengan la misma fracción decimal son equivalentes. Así, por ejemplo,

.etc,10

5

8

4

6

3

4

2

2

1 todas son equivalentes a 0.5.

Para encontrar dichas equivalencias bastará con multiplicar ambos elementos (numerador y denominador)

por un número entero cualquiera. En el ejemplo anterior, la fracción 2

1 la hemos multiplicado por 2, 3, 4, 5 y

podríamos continuar así sucesivamente.

Por el contrario, la fracción 10

5, si la dividimos por 5 (ambos números) su equivalente es

2

1 y de la misma

manera podríamos simplificar las otras fracciones equivalentes. Para ello bastará con dividir ambos elementos (4

2)

por 2, o (6

3) por 3, o (

8

4) por 4, etc. A este proceso se le conoce como simplificación de fracciones y se dice que es

a la mínima expresión cuando ya no puede ser reducida.

Por ejemplo, la expresión 100

75 puede ser reducida al dividir sucesivamente por 5 y luego por 5 (dos veces).

4

3

20

15

100

75

1.8.1 Suma de Fracciones



Tenemos diferentes situaciones, cuando los denominadores son iguales, cuando los denominadores son

diferentes, cuando tenemos más de dos fracciones y cuando tenemos fracciones mixtas. Veamos cada uno.

a) Igual denominador.

A + C = A + C; 1 + 3 = 1 + 3 = 4 = 2

B B B 2 2 2 2

b) Diferente denominador. Solo cuando tienes 2 fracciones puedes multiplicar ambos denominadores

para obtener un solo denominador y multiplicas de forma cruzada para obtener los numeradores. En

caso de tener más de dos fracciones puedes separar grupos de dos y hacer lo mismo con cada uno de los

resultados o resolverlo obteniendo un mínimo común múltiplo.

A + C = AD + BC; 1 + 1 = (1*4) + (1*2) = 4 + 2 = 6 = 3

B D B * D 2 4 2* 4 8 8 4

c) Mínimo Común Múltiplo. Este método es más rápido en caso de tener más de dos fracciones. Es el

número natural más pequeño que es distinto de 0 y que resulta múltiplo de cada uno de ellos. Una vez

que se obtiene el mínimo común múltiplo se divide entre el denominador y se multiplica por el

numerador de cada una de las fracciones.

1 + 3 – 5 = 4 + 18 - 15 = 7 = 0.2916

6 4 8 24 24

4, 6, 8 2 24 ÷ 6 * 1 = 4

2, 3, 4 2 24 ÷ 4 * 3 = 18

1, 3, 2 2 24 ÷ 8 * -5 = -15

3, 1 3

1 2 * 2 * 2 * 3 = 24

Nota: puede realizar la operación directamente en la calculadora para que compruebe los resultados.

d) Fracciones Mixtas. Aquí tendremos que convertir los enteros a la fracción equivalente que se le está

sumando o sustraendo. Por ejemplo, 1 entero es igual a 2/2 = 3/3 = 4/4 y así sucesivamente.

3 4 - 3 1 1 - 4 = 4 4 = 4 = 1 * 3 = 3 = 0.1071

2 + 1 6 + 1 7 4 * 7 28

3 3 3 3

1.8.2 Resta de Fracciones

Al igual que en la suma, nos encontramos con las mismas situaciones que se resuelven de la misma manera

solo que en lugar de adicionar, sustraeremos. Veamos los siguientes ejemplos.

a) Igual denominador.

A - C = A - C; 3 + 1 = 3 - 1 = 2 = 1

B B B 2 2 2 2

b) Diferente denominador. Al igual que en las sumas se resuelve de la misma manera solo cambiando el

operador de adición por el de sustracción.

A - C = AD - BC; 1 - 1 = (1*4) - (1*2) = 4 - 2 = 2 = 1

B D B * D 2 4 2* 4 8 8 4

1.8.3 Multiplicación de Fracciones



A diferencia de la adición y sustracción, aquí no importa los denominadores porque la multiplicación se

hace numerador por numerador y denominador por denominador. Por ejemplo:

A * C = A * C; 1 * 1 = 1 * 1 = 1 .

B D B * D 2 4 2 * 4 8

En caso de multiplicar una fracción común por un número entero, utilice la unidad como denominador de

dicho número entero y realice la multiplicación como en el ejemplo anterior.

N * C = N * C; 5 * 1 = 5 * 1 = 5 * 1 = 5

1 D 1 * D 4 1 4 1 * 4 4

1.8.4 División de Fracciones

En las divisiones de fracciones, tampoco son inconvenientes los denominadores, ya que se puede resolver

mediante la multiplicación de extremos con extremos y medios con medios. Por ejemplo:

A ÷ C = A * D; 1 ÷ 1 = 1 * 4 = 4 = 2

B D B * C 2 4 2 * 1 2

En caso de dividir una fracción común por un número entero, utilizamos la misma técnica que en el ejemplo

de la multiplicación, ya que todo número dividido entre la unidad da como cociente ese mismo número.

N ÷ C = N * D; 5 ÷ 1 = 5 ÷ 1 = 5 * 4 = 20 = 20

1 D 1 * C 4 1 4 1 * 1 1

Nota: En base a la información anterior, realice su formulario para la aplicación del examen.

Ambas

Fracciones

Enteros con

Fracciones

Suma

Suma

Resta

Resta

Multiplicación

Multiplicación

División

División

Fracciones Mixtas

Actividad 3: Operaciones básicas con fracciones comunes.

1. Escriba el nombre de las siguientes fracciones respetando ortografía y acentos:



a) 2

1 : ____________________

b) 3

1 : ____________________

c) 4

1 : ____________________

d) 5

1 : ____________________

e) 6

1 : ___________________

f) 7

1 : ___________________

g) 8

1 : ___________________

h) 9

1 : ___________________

i) 3

2 : ___________________

j) 5

2 : ___________________

k) 8

3 : ___________________

l) 7

4 : ___________________

2. En la siguiente figura el círculo de la izquierda lo hemos dividido de la siguiente manera: un medio, un

tercio, un cuarto y un quinto. Encierre en un círculo la respuesta correcta a cada pregunta.

A. ¿Cuál es menor, 2

1 o

4

1 del círculo?

a) 2

1 Del círculo b)

4

1 del círculo

B. ¿Cuántas veces cabe el cuarto en el medio?

a) Cuatro veces b) dos veces c) una vez

C. ¿Cuántas veces cabe el medio en el círculo?

a) Tres veces b) una vez c) dos veces

D. ¿Cuál es menor, 3

1 o

4

1 del círculo?

a) 3

1 b)

4

1 del círculo c) no se sabe

E. ¿Cuántas veces cabe 3

1 de círculo en el círculo?

a) Cuatro veces b) dos veces c) tres veces

F. ¿Cuántas veces cabe 4


a) Ocho veces b) dos veces c) cuatro veces

G. ¿Cuál es menor, 4

1 o

8

1 del círculo?

a) 4

1 b)

8

1 c) no se sabe

1 1 1 1 2 3 4 5



H. ¿Cuántas veces cabe 8


a) Una vez b) ocho veces c) dos veces

I. ¿Cuántas veces cabe 8

1 en

4

1?

a) Dos veces b) tres veces c) ocho veces

3. Escriba mayor que (>) o menor que (<) donde corresponda.

a) 2

1

3

1 b)

3

1

4

1

c) 2

1

2

2 d)

3

2

5

2

4. Recuerde que la ley de los signos se aplica únicamente en multiplicaciones y divisiones, donde signos

iguales el resultado es positivo y signos diferentes el resultado es negativo. También recordando que en el

caso de sumas y restas, cuando ambos signos son iguales representa una suma y cuando ambos son

diferentes entonces es una sustracción. En base a lo anterior, resuelva las siguientes fracciones comunes:

a. 1 * 1 + 1 =

4 5 3

b. 1 ÷ 2 - 3 =

8 3 5

c. 1 + 5 + 5 - 7 =

4 6 9 12

d. -½ * -¼ =

e. -½ ÷ ¼ =

f. -1/8 - 1/8=

g. -1/8 + 1/8=

h. 1/8 + 1/8=

i. -3/8 + 1/8=

1.9 Decimales

Las unidades decimales son fracciones decimales que tienen por numerador uno y denominador una

potencia de diez. Por ejemplo:

1 = 0.1 1 = 0.01 1 = 0.001



10 100

1000

El valor de posición son los siguientes:

Periodo de los millones Periodo de las unidades

Clase de los Millares de millones

Clase de los millones

Clase de los

Millares

Clase de las

unidades

1011

1010

109 10

8 10

7 10

6 10

5 10

4 10

3 10

2 10

1 1

C D U C D U C D U C D U

1000’’000’000,000 10’000’000,000 1’’000’000,000 100,000,000 10,000,000 1’000,000 100,00 10,000 1,000 100 10 1

Centenas de millón: 100, 000,000

Decenas de millón 10, 000,000

Unidades de millón: 1, 000,000

Centenas de millar: 100,000

Decenas de millar: 10,000

Unidades de millar: 1,000

Centenas: 100

Decenas: 10

Unidades: 1

El valor de posición en los decimales son los siguientes:

Décimos 0.1

Centésimos 0.01

Milésimos 0.001

Diezmilésimos 0.0001

Cienmilésimos 0.00001

Millonésimos 0.000001

Necesitamos saber el valor de posición para poder realizar las operaciones básicas con decimales.

Veamos los siguientes ejemplos.

a) Sumas con decimales.

7.5 +

2.2 =

9.7

Nota: en caso de que tengas un decimal y tengas que sumarle centésimos, milésimos, etc. Tienes que

completarlo con ceros. Ejemplo: 0.5 + 0.49 = 0.99

0.50 +

0.49 =

0.99

b) Restas con decimales.

9.7 -

2.2 =

7.5

Al igual que en la suma en caso de que tengas un decimal y tengas que restarle centésimos, milésimos, etc.

Tienes que completarlo con ceros. Ejemplo: 0.9 - 0.49 = 0.51



0.90 -

0.49 =

0.51

c) Multiplicación con decimales. La multiplicación con decimales es igual que la multiplicación con

enteros, puedes realizarlo de izquierda a derecha o de derecha a izquierda, al multiplicar por el

siguiente número deberás de colocar el resultado debajo del resultado del primero número pero

recorriendo un espacio hacia la izquierda o hacia la derecha según como hayas iniciado dicha

multiplicación. Por ejemplo:

Multiplicación por la izquierda Multiplicación por la derecha

0.7 *

0.8 =

056

00 .

0.56

0.7 *

0.8 =

00

056 .

00.56 = 0.56

Si observas el punto decimal se cuenta de derecha a izquierda y se cuenta según los números que

haya en cada uno de los factores. En el ejemplo anterior hay un número después del punto decimal

en el factor 0.7 y hay también un solo número después del punto decimal en el factor 0.8 por lo

tanto uno más uno son dos y se cuentan dos posiciones a partir del número 6 que es el primer

número que se encuentra a nuestra derecha.

Caso 2. En estos casos como el ejemplo anterior, no es necesario multiplicar los ceros, solo hay que

contarlos y colocarlos. Finalmente se cuenta los números que hay en cada factor después del punto

o coma decimal y se colocan contando de derecha a izquierda. Por ejemplo:

0.7 *

0.8 =

00.56 = 0.56

Caso 3. En caso de que sean múltiplos de diez, solo recorres el punto decimal según la cantidad de

ceros. Por ejemplo:

5.4 *

10 =

54.0

5.4 *

100 =

540.0

5.4 *

1000 =

5,400.0

5.4 *

0.1 =

0.54

5.4 *

0.01 =

0.054

5.4 *

0.001 =

0.0054

d) División con decimales. Puedes darse diferentes casos, un número entero entre un decimal, un

número decimal entre un entero y decimales entre decimales. En cualquier caso tienes que ver si la

cantidad del dividendo cabe en la cantidad del divisor, de lo contrario tendrías que recorrer el punto

decimal y/o completar con ceros según sea el caso. Veamos los siguientes ejemplos:

Dividendo decimal entre divisor entero. En este caso como el siete no cabe en el cinco,

arriba del cinco colocamos un cero y subimos el punto decimal en la misma dirección, así

podemos tomar el siguiente número que es el seis y hacemos como que el punto no existe y



en lugar de visualizarlo como 5.6, lo utilizaremos como cincuenta y seis entre siete que

corresponde a 8.

0. 8

5.6 ÷ 7 = 0.8; 7 5.6 7 5x6

- 5 6

0

En caso de que el divisor sea múltiplo de diez. El punto decimal se recorre hacia la

izquierda cuantos ceros tenga dicho múltiplo de diez y se completa con ceros en caso

necesario, esto ocurre si las cantidades del divisor son mayores a la unidad o se agregan ceros

a la derecha según el lugar que ocupe el uno después del punto decimal, si las cantidades del

divisor son menores a la unidad, es decir, menor a 1.

56 ÷ 10 = 5.6; 56 ÷ 100 = 0.56, 56 ÷ 1000 = 0.056

56 ÷ 0.1 = 560; 56 ÷ 0.01 = 5,600; 56 ÷ 0.001 = 56,000

En caso de tener decimales en el divisor. Tienes que recorrer el punto decimal del divisor

hacia la derecha cuantos lugares sea necesario hasta que desaparezca. En este ejemplo como

moveremos un lugar en el divisor también moveremos en el dividendo un lugar. En caso de

mover dos o más lugares en el divisor, también recorrerás los mismos lugares en el dividendo

y en caso necesario completar esos lugares con ceros.

5.5

19.8 ÷ 3.6 = 5.5; 3.6 19.8 3x6 19x8 36 198

- 180 .

180

- 180 .

0

En este caso como el treinta y seis no cabe en el dieciocho, entonces colocamos el punto

decimal después del cinco para agregarle un cero al dieciocho y así obtener un ciento ochenta

y ciento ochenta entre treinta y seis es igual a cinco. Después de colocar el punto decimal en

el cociente, si se quisiera continuar y se agotan los números en el dividendo, se pueden

agregar ceros a la derecha del divisor cuantas veces sea necesario.

Nota: la división puede continuar mientras que el residuo no llegue a cero.

9.9722

36 ÷ 3.61 = 9.972299; 3.61 36.00 3x61 3600 361 3600

- 3249.

3510

- 3249

2610

- 2527

830

- 722

1080

- 722

358

Actividad 4: Operaciones básicas con fracciones decimales.

1. Ordena de menor a mayor los siguientes números, puede agregar ceros a la izquierda para su mejor

comprensión:

0.75 0.25 0.33 0.5 0.9 0.56 0.83

R._______________________________________



2. Resuelve las siguientes operaciones, recuerde respetar la jerarquía de operaciones:

a) 0.0035 * 10 = ______

b) 0.0035 * 100 = ______

c) 0.0035 * 1000 = ______

d) 500 ÷ 10 = ______

e) 500 ÷ 100 = ______

f) 500 ÷ 1000 = ______

g) 500 ÷ 0.1 = ______

h) 500 ÷ 0.01 = ______

i) 500 ÷ 0.001 = ______

j) 0.5 + 0.25 – 0.83 = ______

k) 0.5 * 2 + 0.3 = ______

l) 3 12.6

m) 3.2 0.64

1.10 Radios

Antes de aplicar el uso del radio en el arte culinario, veamos primero las partes del círculo.

Círculo. Área que queda delimitada por una circunferencia. Es decir, la circunferencia es el perímetro del

cırculo.

Círculo



Diámetro

Podemos calcular el área del círculo usando la fórmula:

Área = ∏ r2

donde r es el radio de la circunferencia. Podemos decir que el círculo es el conjunto de puntos que están a

una menor distancia r de un punto fijo C, llamado centro. La distancia r se llama radio del círculo.

Radio Distancia del centro de una circunferencia a cualquiera de sus puntos. Diámetro. Es el segmento de

recta que tiene sus extremos sobre la circunferencia y pasa por su centro C. La longitud del diámetro de una

circunferencia es igual al doble de su radio.

Ahora veamos una aplicación de los radios en el arte culinario. Para dividir un pastel circular entre 16

invitados se corta en el centro una porción circular de 3 cm. de radio y el resto se divide en 15 porciones

iguales, que resultan del mismo tamaño que la porción central (aquí tienes un esquema del reparto del

pastel)

Si quisiéramos dividir el mismo pastel y con el mismo procedimiento entre 25 invitados, ¿cuál debería ser el

radio de la porción central? Para ello se ha de cumplir la siguiente igualdad:



Donde R es el radio del pastel grande y r es el radio de la pequeña porción circular situada en el centro.

Simplificando tenemos que:

Lo que nos indica que la porción circular interior ha de tener un radio cinco veces más pequeño que el

radio del pastel.

http://divulgamat2.ehu.es/divulgamat15/index.php?option=com_content&view=article&id=10209%3A142-dividiendo-el-pgstel&catid=35%3Ahisto-de-problemas-de-tipo-a&directory=67&showall=1

1.11 Razones y Proporciones.

Si el sueldo de un profesionista es $ 12 000.00 mensuales y el de otro es $ 4 000.00 se dice que el primer

sueldo es el triple que el segundo. Se ha comparado mentalmente, por división, el número 12 000 al

número 4 000 y se ha obtenido 12000

34000

. A este cociente indicado se le denomina “razón”. La razón de

un número a otro es la división indicada del primero entre el segundo.

La razón de a a b se escribe:



a : b, o bien a b, o bien b

a

Y a ambos números se les llama “términos de la razón”.

El valor de una razón no se altera si se multiplican sus dos términos por un mismo factor o si se dividen

entre un mismo divisor. Este principio ya lo comprobó en el tema “equivalencia de fracciones”.

Una proporción es una igualdad de dos razones. Por ejemplo:

a : b = c : d, o bien, d

c

b

a

Se lee: “a es a b como c es a d”. En la expresión, a : b = c : d, b y c se denominan “medios” mientras que

a y d se denominan “extremos” y esto se debe a su ubicación en el planteamiento.

Mediante el uso de las proporciones se pueden resolver muchos problemas de la Aritmética común

conocidos como “Regla de tres” porque de los cuatro términos siempre se conocen tres.

La proporcionalidad o Regla de Tres puede ser simple o compuesta. Es simple cuando solamente

intervienen en ella dos magnitudes y es compuesta cuando intervienen tres o más magnitudes. En este

momento solo estudiaremos la Regla de Tres simple.

Proporcionalidad simple.

La forma de identificar que una regla de tres simple es directa es muy fácil ya que solo tenemos que

observar cómo varía el resultado que se obtendrá: éste será mayor que la información proporcionada a

medida que la misma aumente y será menor en la medida en que disminuya. Por ejemplo, si 4 libros

cuestan $ 800.00, ¿cuánto costarán 15 libros? Es obvio que los 15 libros costarán más que los 4 pues el

número de libros también aumentó. Si en lugar de 15 libros preguntáramos cuánto cuestan solo 3 libros,

obviamente el costo será menor.

Proporcionalidad inversa.

Para identificar que una regla de tres simple es inversa, se observa el resultado esperado: éste será menor

que la información proporcionada a medida que la misma aumente y será mayor a medida en que

disminuya. Por ejemplo, si 4 hombres hacen una obra en 12 días, ¿en cuántos días podrían hacer la misma

obra 6 hombres? Es obvio que los 6 hombres tardarán menos tiempo en hacer la obra que solo 4 de ellos.

También se observa que si disminuimos el número de hombres éstos tardarán más tiempo en terminar dicha

obra.

Solución.

Para la solución de la regla de tres simple directa basta multiplicar los extremos e igualarlos al producto de

los medios. Esto es, si tenemos a c

b d multiplicamos en forma de cruz y nos queda ad = bc. Luego

despejamos la incógnita y obtenemos el resultado.

En el ejemplo de los libros el problema se plantea así:

x

libros15

800$

libros4 , o bien

x

800$

libros15

libros4 .

En cualquiera de los casos al multiplicar en forma de cruz queda:

4(x) = (15) (800) y al despejar, 4

)800(15x encontramos el resultado: x = $ 3 000.00

Para la solución de la regla de tres simple inversa basta multiplicar en forma horizontal, o bien invertir la

segunda razón y continuar multiplicando en forma de cruz como se hizo anteriormente.



En el ejemplo de los hombres que hacen la obra, el problema se plantea así:x

días12

breshom6

breshom4 .

Al multiplicar en forma horizontal tenemos:

4(12) = 6(x) y al despejar 6

)12(4x encontramos el resultado: x = 8 días.

Actividad 5: Proporcionalidad

1. Explique con sus propias palabras qué diferencia tiene una proporcionalidad simple directa a la inversa

_____________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________

2. Resuelva los siguientes problemas de regla de tres simple directa, escribiendo el procedimiento de cada

uno.

a) Un empleado recibe de salario $ 875.00 a la semana, ¿cuánto recibirá en 30 días?

b) Un empleado que recibe un bono por ventas, si recibió $ 1 800.00 por vender 200 piezas de un postre,

¿cuánto dinero recibirá por vender 475 piezas?

c) Si por 15 kilogramos de fríjol se pagaron $ 195.00, ¿cuánto se pagará por 100 kilogramos?

d) Si una vara de 2.15 metros de longitud da una sombra de 6.45 metros, ¿cuál será la altura de una torre

cuya sombra, a la misma hora, es de 51 metros?

e) Si por 48 Kg de carne pagó $5760 ¿Cuánto cuesta el kilogramo?

f) Si el salario mínimo fuera de $85 la jornada de 8 horas un empleado trabaja 6 horas a la semana

¿cuánto deberá de recibir, suponiendo que se le paga el día de descanso, es decir los 7 días de la

semana?

3. Resuelva los siguientes problemas de regla de tres simple inversa, escribiendo el procedimiento de cada

uno.

a) Con la cantidad de agua que vierten 3 llaves se llena una alberca en 62 horas, ¿en cuántas horas se

llenará la misma alberca si utilizamos 5 llaves y todas vierten la misma cantidad de agua?



b) 5 hombres cavaron un pozo en 12 días, ¿cuántos días se tardarán 8 hombres?

c) Si 5 albañiles construyen 70 metros cuadrados de muro en un turno de 8 horas, ¿cuánto tardarán en

hacerlo 7 albañiles?

d) Si un auto recorre 150 km en dos horas ¿a qué velocidad debe recorrer la misma distancia para tardar

1.5 horas? Recuerde que la fórmula de la velocidad es꞉ Velocidad = Distancia /Tiempo. Es decir,

V= 150 km / 2 horas = 75 km/h

Compare sus respuestas.

a) $ 3 750.00 b) $ 4 275.00 e) $120

c) $ 1 300.00 d) 17 m f) $63.75*7dáis = $4446.25

a) 37.2 horas = 37 h 12’ b) 7.5 días

c) 5.7 h = 5 h 42’ d) 100 km/h

1.12 Porcentajes

Los porcentajes son muy utilizados en situaciones de la vida cotidiana como comisiones por ventas,

descuentos por compra de artículos, márgenes de ganancia en los negocios, propinas por servicios y otras

más.

Un porcentaje es una forma de expresar un número como una fracción de 100 (por ciento que significa

“cada 100”). Se utiliza el signo de porcentaje % que es una forma estilizada de los dos ceros. Cada

porcentaje tiene una fracción y un número decimal equivalente.

Por ejemplo:

20 % = 2.05

1

100

20 , 200 % = 2

100

200 ; 0.02 % = 0002.0

5000

1

100

02.0

1.

2.



La mayoría de los problemas de porcentaje se pueden resolver con una regla de tres simple directa. Para no

trabajar doble, es importante tener claro qué es lo que se pregunta: ¿el % del descuento?, ¿el % del

impuesto?, ¿el pago con descuento? o ¿el pago normal?

Por ejemplo: Carmen compró unos zapatos con el 30 % de descuento; no tenían el precio normal marcado y

la empleada le dijo que debía pagar $ 300.00, ¿cuál era el precio normal?

Observe que no nos preguntan el valor del descuento (30%) sino el precio normal (100%). Luego, lo que

conocemos es el pago del 70% del valor de los zapatos y se pregunta cuál era el valor del 100%.

Se sugiere plantearlo de la manera siguiente:

Porcentaje Cantidad

100 x

70 300

Lo importante es colocar los datos y la pregunta correctamente y se debe encontrar la cuarta proporcional

en una igualdad de fracciones, esto es, multiplicando en forma de cruz y despejando la incógnita que puede

ser cualquier letra que la represente.

70 x 100 300 ; .100 300

x 428 5770

Luego, el costo de los zapatos que compró Carmen fue de $ 428.57.

Actividad 6: Porcentajes

1. Resuelva los problemas de las situaciones siguientes haciendo las operaciones en el espacio disponible.

a) Una tienda de departamentos estaba celebrando su aniversario ofreciendo descuentos en algunos de sus artículos.

Entre otras cosas, Cristina compró un vestido de noche con un precio sin IVA de $1,359.00 que tenía un

descuento de 30 %, ¿cuánto pagó por él? (100% - 30% = 70%)

100 % $ 1, 359

30 %

70 %

b) También compró ropa de lencería fina con un precio de $ 1 346.00 que pensó que no tenía descuento, pero al

pagar le solicitaron $ 1 144.10, ¿qué porcentaje de descuento tenían esas prendas?



100 % $ 1, 346.00

%

%

c) Finalmente compró varios artículos de papelería y electrónica que no tenían descuento por un total de $ 3279.80.

Ella necesitaba factura con el IVA (16% de impuesto al valor agregado) desglosado para deducirlo al pagar sus

impuestos, ¿cuál era el costo de los artículos sin el IVA?, y ¿cuál es el valor del IVA?

100 % $ 3, 279.80

84 %

16 %

d) Cristina se quedó pensando en la compra de su vestido y no sabía si le convenía que le aplicaran el 30 % de

descuento al precio ya con el IVA incluido (como es lo usual) o si le salía más barato si primero le hacían el

descuento sin el IVA y después a ese precio le aplicaban el IVA. ¿Qué crees que le convenga más?

SIN IVA CON IVA

100 % $1, 359 100 % $1, 359

70 % $ 951.30 16 %

IVA $951.30 - 30 %

Total $ Total $

2. Completa la tabla siguiente:

Porcentaje Fracción Decimal Porcentaje Fracción Decimal

50 %

2

1

100

50 0.5

125 %

4

1

100

1.0

0.75

2.5

Actividad 7: Actividad Integradora Unidad 1

1. En cierto menú, usted necesitará las siguientes cantidades de algunos ingredientes. Del platillo de entrada

necesitará y del postre necesitará 3 ½ de harina, ½ Kg de azúcar, 8 blanquillos, 1 barra de mantequilla (90

gramos), 5 miligramos de polvo para hornear y 5 litros de leche. Para el plato fuerte necesitará 4 ¾ de harina,

1000 miligramos de sal, 4 Kg de jitomate, 10 Kg de chile poblano, 1 Kg de huevo, 2 litros de aceite y 2 Kg de

frijoles. Para el postre usted necesitará 1¾ kg de azúcar, 250 miligramos de sal, 2 ¼ de harina, 10 miligramos

de polvo para hornear, 250 gramos de mantequilla y 4 blanquillos. Nota: 1 Kg de huevo contiene

aproximadamente 16 blanquillos.

a) Calcule la cantidad de todos los ingredientes mencionados. Puede utilizar el reverso de esta hoja.

Producto: Operaciones: Total:

Aceite

Azúcar

Chile poblano



Harina

Huevo

Frijoles

Leche

Mantequilla

Polvo para hornear

Sal

b) El costo total del menú tanto de ingredientes como del gas para elaborarlo y el combustible por conseguir

los ingredientes fue de $7750 IVA incluido y a este costo se cobró un 25% de mano de obra. ¿Cuánto se

cobró por realizar dicho menú? ¿Cuánto se pagó del IVA por los ingredientes? Del cobro realizado, le dará

usted el 10% a su ayudante ¿Cuánto le corresponde?

100 % $ 7, 750 Costo Total:

IVA 16 % 10 %

25 % Ganancia:

c) Resulta que el cliente quedó fascinado con sus guisos y le recomienda su banquete a unos de sus invitados,

dicho invitado le solicita que realice el mismo menú para 2 eventos más, uno para sus compañeros de

trabajo y otros para sus familiares ¿Qué cantidad de ingredientes tendrá que comprar nuevamente para

realizar nuevamente el menú, ya que ambos eventos se llevarán a cabo con 2 días de diferencia?

Producto: Operaciones: Total:

Aceite

Azúcar

Chile poblano

Harina

Huevo

Frijoles

Leche

Mantequilla

Polvo para hornear

Sal

Jitomate

antología de matemáticas culinarias unidad...

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