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1
Anomaly Inflowin Brane Tilings
Based onJHEP06(2006)011 (hep-th/0605097) andJHEP12(2006)041 (hep-th/0609163)
2006/12/26(Tue)@立教大学 弦理論研究会
東京大学(本郷)今村洋介
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1. Introduction
Brane tiling (Hanany et al. ,2005)は…
•N=1 quiver gauge theories をブレーンを用いて実現する方法を与える。
•D5-NS5 系の構造を表す。
•toric Calabi-Yau と密接に関係している。
N=1 SYMBrane tilings
今日の話
Toric Calabi-Yau
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3
I’d like to talk
Brane tilingsGauge theory
?Global symmetries
?’t Hooft anomalies
2. Brane tilings3. Global symmetries4. ’t Hooft anomalies5. Discussions
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2. Brane tilings
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N=1 quiver gauge theories
Quiver diagram
SU(N)
vertices = SU(N) chiral multipletsarrows = bi-fundamental chiral multiplets
SU(N)SU(N)
Quiver:*arrow case: a long narrow case for holding arrows*arrows: the arrows contained in a quiver
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Compact (T2)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
o o o o o o
o o o o o o
o o o o o o
D5-branes
NS5-branes
Brane configuration
89-rotation= R-symmetry
This configuration preserves N=1 SUSY
46 平面へ射影→(p,q) web
57 平面へ射影→brane tiling(Feng et al. hep-th/0511287)
NS5
D5
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Simplest example
(N,+1)
(N,-1)
(N,0)
Brane tiling
NS5
D5
SU(N) can live only on (N,0)
bi-fundamental chiral multiplets
This is the simplest (nontrivial) example
One SU(N) + three bi-funds. = N=4 SYM
(p,q) brane = bound state of p D5 and q NS5
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Numbers of vector and chiral multiplets
In this case, there are 3 cycles
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3. Global symmetries
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Global symmetries of N=1 quiver SQCD
Gauge inv. operators symmetries
R-symmetrysupercharges89-rotation
Mixing ambiguity
Q
Mesonic symmetriesMesonic operatorsB-field Bμ5, Bμ7Tr(XYZ) etc.
Baryonic symmetriesBaryonic operatorsdet(X) etc. Gauge fields on branes
Many faces, many U(1)s
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Charge AssignmentsAnomaly-free な flavor 対称性は次のルールで与えることができる。
( Butti & Zaffaroni )
I
ただし、次の 1-form を定義した。
μν
はサイクルごとに割り当てられる数
Mesonic sym と baryonic sym の違いは? → mesonic op との結合
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Mesonic operatorsMesonic op. ⇔ closed path ~ closed string
X
Y
Z
例えば: P = tr (XYZ) ⇔三角形
Mesonic operator の charge
Baryonic charge については常に 0
はexact
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Mesonic charges
Baryonic charges ただし、bμ は次の条件を満たす
は exact なので、次のように書ける。
ただし、 は次のように与えられる。
は面 a で 1 になる関数
これらの Saや bμ を用いると U(1) に対応したゲージ場を与えることができる。
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Sb
X
SaU(1)B gauge fields
U(1)B gauge fields in 4-dim
Gauge field on D5-brane a
the open string for X couples to
Va-Vb = (Sa-Sb)VBGauge fields on NS5-brane μ
Charges are given by
QX = Sa - Sb
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Baryonic charge について
Charge を次のように二通りに書ける。
μ
νa
b
N fund. strings
Continuous deformation
(Hanany-Witten effect)
one D-string
Baryonic operators = D-strings
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U(1)M gauge fields
Mesonic charges = winding charges of closed strings
Gauge fields = B-field
VM: U(1)M gauge field
mμ: numbers assigned to NS5-branes
μ: index for NS5-branes or cycles on T2
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R charges
R-symmetry is 89 rotation
Turning on the gauge field VR
The metric is deformed
How the coupling of VR to matters arise?
Let us consider coupling to baryonic operators.
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D5
R charges of Baryonic operatorsNS5( = VR–D1 coupling)
NS5
RR 3-form flux
NS5
Tuening on VR
potential
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Coupling with baryonic operators= coupling with D-strings
D5
D-string
NS5
R-charges ∝ angles made by NS5-branes
Note: These are not R-charges in the superconformal algebra
These are R-charges of the scalar components
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4. ’t Hooft anomalies
U(1)
≠ 0U(1)
U(1)
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Anomalies in string theory
Gauge theory Gauge symmetries Global symmetries
Gauge symmetriesIn non-compact spaces
String theory Gauge symmetriesin compact spaces
D5NS5NS5
NS5
表面項としてアノマリーが現れる = anomaly inflow
ゲージ理論の有効作用 = ブレーンの作用
ブレーンが無限に伸びていると発散
Cut-off が必要
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Ambiguity
ラグランジアンの表面項は運動方程式を変えない → どうとでも取れる?
どっちを用いるべき?
この任意性はゲージ理論のUV正則化の仕方の任意性に対応している。
ここでは ( Butti & Zaffaroni )U(1) B
3アノマリーは常に消えることが知られているので、U(1)Bを保つような正則化、ブレーン作用を用いる。
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Global symmetries and Gauge fields
Gauge field on D5-brane a
Gauge fields on NS5-brane mu
U(1)B gauge fields
NS-NS fieldU(1)M gauge fields
metric deformationU(1)R gauge field
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U(1)B
U(1)M
U(1)MU(1)BU(1)B anomaly
ゲージ理論側で次のように計算される。U(1)B
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NS5-brane 作用
次の式を代入
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U(1)Mゲージ変換する。
すると、次の表面項が現れる。
ゲージ理論側で計算した ’t Hooft アノマリーに一致する。.
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U(1)RU(1)BU(1)B anomaly
ゲージ理論側でアノマリー係数は次のように計算される。
従って、アノマリーは
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詳細は省略するが、このアノマリーは、計量の変化によるブレーンの「自己エネルギー」の変化として得られる。
Propagator を変化させる計量の変化
Self interaction
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4. Conclusions and Discussions
次の対応が明らかになった
U(1)B Gauge symmetries on branes
U(1)M B-field gauge tr.
89-rotationsU(1)R
Brane を用いて U(1)MU(1)B2 と U(1)RU(1)B
2の二つのアノマリーを再現できた
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未解決の問題
superconformal U(1)Rはどうしたら得られる?
a-maximization は brane tiling で実現できる?
他の ‘t Hooft アノマリーは?(おそらく高階微分項が必要)
特に U(1)R3は a-maximization との関連で重要
そのほかの課題
Moduli parametersSolitons and BPS operatorsBreaking conformal sym. and cascadingSUSY breakingRelation to Calabi-Yaus…