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7o

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2O A

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• ENSINO FUNDAMENTAL II •

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L I V R O D O P R O F E S S O RL I V R O D O P R O F E S S O R2010

Cadernos de apoio e aprendizagem

P R O G R A M A D E O R I E N T A Ç Õ E S C U R R I C U L A R E S

MAT7ºANO–1–PROF.indd 1MAT7ºANO–1–PROF.indd 1 9/15/10 2:53 PM9/15/10 2:53 PM

Prefeitura da Cidade de São Paulo

Prefeito Gilberto Kassab

Secretaria Municipal de Educação

SecretárioAlexandre Alves Schneider

Secretária AdjuntaCélia Regina Guidon Falótico

Diretora da Assessoria Técnica de PlanejamentoFátima Elisabete Pereira Thimoteo

Diretora de Orientação TécnicaRegina Célia Lico Suzuki

(Coordenadora Geral do Programa)

Divisão de Orientação Técnica Ensino Fundamental e MédioSuzete de Souza Borelli

(Diretora e Coordenadora do Programa DOT/EF)Cristhiane de Souza, Hugo Luiz Montenegro,

Humberto Luis de Jesus, Ione Aparecida Cardoso Oliveira, Leika Watabe, Leila de Cássia José Mendes,

Margareth Aparecida Ballesteros Buzinaro, Maria Emilia Lima, Regina Célia dos Santos Câmara, Silvia Moretti Rosa Ferrari

Divisão de Orientação Técnica Educação EspecialSilvana Lucena dos Santos Drago

Diretores Regionais de EducaçãoEliane Seraphim Abrantes, Elizabeth Oliveira Dias, Hatsue Ito,

Isaias Pereira de Souza, José Waldir Gregio, Leila Barbosa Oliva, Leila Portella Ferreira, Maria Angela Gianetti, Maria Antonieta Carneiro, Marcelo Rinaldi,

Silvana Ribeiro de Faria, Sueli Chaves Eguchi, Waldecir Navarrete Pelissoni

Equipe técnica de apoio da SME/DOTAna Lúcia Dias Baldineti Oliveira, Ana Maria Rodrigues Jordão Massa, Claudia Aparecida Fonseca Costa, Delma Aparecida da

Silva, Jarbas Mazzariello, Magda Giacchetto de Ávila, Maria Teresa Yae Kubota Ferrari, Mariana Pereira Rosa Santos,

Tania Nardi de Padua, Telma de Oliveira

Assessoria Pedagógica SME/DOTCélia Maria Carolino Pires, Maria José Nóbrega

Fundação Padre Anchieta

PresidenteJoão Sayad

Vice-PresidentesRonaldo Bianchi

Fernando Vieira de Mello

Diretoria de Educação

DiretorFernando José de Almeida

GerentesMonica Gardelli Franco

Júlio Moreno Coordenadora do projeto

Maria Helena Soares de Souza

Equipe de autoria

CoordenaçãoCélia Maria Carolino Pires

AutoresArmando Traldi Junior, Célia Maria Carolino Pires, Cíntia

Aparecida Bento dos Santos, Danielle Amaral Ambrósio, Dulce Satiko Onaga, Edda Curi, Ivan Cruz Rodrigues, Janaína Pinheiro

Vece, Jayme do Carmo Macedo Leme, Leika Watabe, Maria das Graças Bezerra Barreto, Norma Kerches de Oliveira

Rogeri, Simone Dias da Silva, Wanderli Cunha de LimaLeitura crítica

Eliane Reame, Rosa Monteiro Paulo, Walter Spinelli

Equipe Editorial

Gerência editorialCarlos Seabra

Secretaria editorialJanaína Chervezan da Costa Cardoso

Assessoria de conteúdoMárcia Regina Savioli (Língua Portuguesa)

Maria Helena Soares de Souza (Matemática)Controle de iconografi a

Elisa RojasApoio administrativo

Acrizia Araújo dos Santos, Ricardo Gomes, Walderci HipólitoEdição de texto

Helena Meidani, Maria Carolina de AraujoRevisão

Ana Luiza Saad Pereira, Marcia Menin, Maria Carolina de Araujo, Silvia Amancio de Oliveira

Direção de arteEliana Kestenbaum, Marco Irici

Arte e diagramaçãoCristiane Pino, Cristina Izuno, Henrique Ozawa, Mariana Schmidt

IlustraçõesBeto Uechi, Gil Tokio, Leandro Robles – Estúdio Pingado

Antonio RobsonFernando Makita

Bureau de editoraçãoMare Magnum Artes Gráfi cas


Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)(Bibliotecária Silvia Marques CRB 8/7377)

C122 Cadernos de apoio e aprendizagem: Matemática / Programa de

Orientações curriculares. Livro do Professor. São Paulo: Fundação Padre Anchieta, 2010.Sétimo ano, il.

(vários autores)

ISBN 978-85-8028-036-4ISBN 978-85-8028-027-2 (aluno)

1. Ensino Fundamental 2. Matemática I. Título.CDD 371.302.813

Esta obra, Cadernos de apoio e aprendizagem – Matemática e Língua Portuguesa, é uma edição que tem a Fundação Padre Anchieta como Organizadora

e foi produzida com a supervisão e orientação pedagógica da Divisão de Orientação Técnica da Secretaria Municipal de Educação de São Paulo.


Sumário

Parte I

1. Apresentação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2. Refl exão sobre problemas a enfrentar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3. Orientações metodológicas e didáticas gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11Problematização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12Uso de recursos didáticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13Contextualização histórica e cultural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

4. Orientações metodológicas e didáticas específi cas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17O trabalho com números racionais positivos e inteiros negativos . . . . . . . . . . . . . . . .17O trabalho com operações envolvendo os números inteiros

e racionais positivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18O trabalho com álgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22O trabalho com espaço e forma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24O trabalho com grandezas e medidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26O trabalho com tratamento da informação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27

5. Os Cadernos de apoio e o planejamento do professor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29Planejar é preciso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29Planejar de acordo com o tempo didático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30Planejar de acordo com a organização da sala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31Planejar de acordo com as diferentes modalidades organizativas . . . . . . . . . . . . . . .31Acompanhamento e avaliação das aprendizagens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .32Alguns procedimentos para coletar dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34

Referências bibliográfi cas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37

Parte II

Comentários e sugestões página a página

Unidade 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43Unidade 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71Unidade 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93Unidade 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127Unidade 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169Unidade 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201Unidade 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231Unidade 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261


L IVRO DO PROFESSOR MATEMÁTICA · 7O ANO 9

1. Apresentação

O Caderno de apoio e aprendizagem – Matemática, dirigido aos estudantes do 7o ano, é composto por oito Unidades, a serem desenvolvidas ao longo do ano letivo. Em cada uma delas são propostas atividades relacionadas a um grupo de expectativas de aprendizagem, retiradas das Orienta ções curriculares e proposição de expectativas de aprendizagem (da PMSP, Secretaria Municipal de Educação, 2007), articu-lando diferentes eixos de conteúdos – números, operações, espaço e forma, grandezas e medidas, tratamento da informa-ção – que orientarão o planejamento das aulas.

Buscando apoiar o trabalho do professor, este material leva em conta o fato de que sua tarefa tornou-se muito mais com-plexa do que a de simplesmente transmitir informações, pois é necessário elaborar boas situações de aprendizagem que mobilizem conhecimentos prévios de cada estudante e que lhe permitam construir novos signifi cados, novas apren-dizagens e socializá-los com os colegas e com o professor. Tal complexidade gerou a propagação de ideias simplistas que ocasionam distorções a respeito do papel do ensino.

O que se pretende não é que as atividades aqui propostas sejam “aplicadas mecanicamente”, e sim que provoquem discussões entre os professores sobre as expectativas de aprendiza gem para os alunos e as hipóteses e pressupostos considerados em cada uma delas para que sejam enriquecidas e ajustadas a cada turma.

Destaca-se a importância do uso de outros recursos disponí-veis – livros didáticos, paradidáticos, vídeos, softwares, jogos – que o professor julgue interessantes para ampliar a aprendi-zagem de seus alunos. Da mesma forma, é fundamental que a Matemática seja compreendida por eles e que não lhes traga medo ou insegurança, cabendo ao professor criar um am-biente favorável para a aprendizagem, cuidando sempre para


10 CADERNOS DE APOIO E APRENDIZAGEM · SMESP

que tenham confi ança na elaboração de estraté gias pessoais diante de situações-problema, assim como inte resse e curio-sidade por conhecer outras, aprendendo a trocar experiên cias com seus pares e a cuidar da organização na elaboração e apresentação dos trabalhos.

2. Refl exão sobre problemas a enfrentar

Para Pires e Santos (2008), ainda existem (e são fortes) alguns mitos e crenças como o de que Matemática é algo para quem tem dom, para quem é geneticamente dotado de determinadas qualidades, ou o de que é preciso ter certo capital cultural para transitar no universo matemático. Essas crenças se contrapõem às propostas que defendem que todos os alunos podem fazer Matemática em sala de aula, que são capazes de construí-la, produzi-la, engajando-se no processo de produção de seus conhe cimentos matemáticos. É frequente também a crença de que os estudantes só podem resolver problemas que conhe-cem, que já viram resolvidos e que podem tomar como modelo. Tal convicção difi culta a aceitação de que o ponto de partida da atividade matemática não deve ser uma defi nição, mas um problema. Esse, certamente, não é um exercício em que se aplica de maneira quase mecânica uma fórmula ou um processo operatório, pois só há problema, no sentido estrito do termo, se o aluno é obrigado a trabalhar o enunciado da questão que lhe é posta e a estruturar a situação que lhe é apresentada.

Segundo os mesmos autores, além desses mitos e crenças, muitas deformações na prática docente foram se consoli-dando por infl uência de visões deturpadas das próprias teorias educa cionais. Uma ideia bastante comum é a de que, em uma perspectiva construtivista, o percurso de aprendizagem deve ser ditado unicamente por interesses dos alunos, sem defi ni-ções prévias de objetivos e conteúdos. Construiu-se certa aversão ao planejamento de uma trajetória de aprendizagem a



ser realizada pelos estudantes, o que leva à improvisação e à não aprendizagem.

Pires e Santos (2008) destacam também como inadequada a noção de que contextualizar envolve apenas mostrar as aplica-ções dos conhecimentos matemáticos no cotidiano e não que os alunos possam atribuir signifi cado às ideias matemáticas em diferentes contextos; além disso, pouco se discute que há momentos de descontextualização, fundamentais para a construção de conhecimentos que poderão ser usados em no-vos contextos. Existe, ainda, certo receio no que se refere à institucionalização e sistematização dos conhecimentos; deve-se refl etir sobre o fato de que, à medida que as ideias e procedimentos matemáticos vão sendo construídos pelos alu-nos, é fundamental que o professor os ajude a organizá-los, a nomear, a defi nir, a formular e, também, a exercitar. Finalmen-te, os autores enfatizam as muitas concepções de que, em geral, o simples uso de “materiais concretos”, como jogos, softwares, entre outros, resolve, por si só, os problemas de aprendizagem dos alunos; esses recursos podem, sem dúvida, apresentar boas situações de aprendizagem, mas tudo depende de como elas são propostas e da intervenção planejada pelo professor.

Tal perspectiva traz implicações para a atuação do educador e, consequentemente, a necessidade de que ele se aproprie de conhecimentos relativos aos conteúdos matemáticos, conheci-mentos didático-pedagógicos e curriculares. Essa pretende ser uma das contribuições dos Cadernos de apoio e aprendizagem.

3. Orientações metodológicas e didáticas gerais

As atividades deste material seguem os pressupostos abaixo explicitados. São eles:

Exploração de uma diversidade de conteúdos, abordando, de maneira equilibrada e articulada, números e operações,



espaço e forma, grandezas e medidas, além do tratamento da informação, que aparece de modo transversal.

Apresentação contextualizada dos conhecimentos matemá-ticos, com base nos problemas encontrados no cotidiano do aluno, nas demais áreas de conhecimento e no interior da própria Matemática, ressaltando que as ideias matemá ticas sejam sistematizadas e generalizadas para serem transferi-das para outros contextos.

Uso de diversos recursos didáticos disponíveis – jogos, mate riais manipuláveis, vídeos, calculadoras, computado-res, jornais, revistas – deve ser amplamente explorado a serviço da aprendizagem.

A aprendizagem dos estudantes precisa ser acompanhada continuamente, sendo sempre orientada pelas expectativas de aprendizagem que se deseja construir.

São eixos metodológicos privilegiados para o ensino de Mate-mática: a resolução de problemas, as investigações, o recurso à história da Matemática e às novas tecnologias.

Problematização

A problematização deve orientar o trabalho do professor, por isso precisa estar sempre inserida no processo de aprendiza-gem dos estudantes, que serão levados a desenvolver algum tipo de estratégia para resolver as situações apresentadas. Um problema não é traduzido por um enunciado contendo uma pergunta a ser respondida de uma única maneira; é uma situação que demanda a realização de ações ou operações para obter um resultado. Desse modo, a solução não está dispo nível de início, mas será possível construí-la.

A discussão de procedimentos para a resolução de proble-mas, desde a leitura e análise cuidadosa da situação, até a elaboração de procedimentos que envolvem simulações, tentativas, hipóteses, é fundamental, especialmente quan-do os estudantes são orientados para comparar seus resul-



tados com os de colegas e para validar seus procedimentos e resultados.

O problema se caracteriza quando é necessário que o aluno inter prete o enunciado da questão proposta, estruture a situa-ção apresentada, encontre uma solução e verifi que se ela é ade-quada/correta, ou não. É preciso, portanto, que ele desenvolva habilidades que lhe permitam provar os resultados, testar seus efeitos e comparar diferentes caminhos para obter a solução. Nessa forma de trabalho, a importância da resposta correta cede lugar à importância do processo de resolução e da cons-trução de argumentos matemáticos por parte dos estudantes.

O fato de o aluno ser orientado para questionar a própria respos ta, questionar o problema, transformar um dado pro-blema em uma fonte de novos problemas, formular outros com base em determinadas informações e analisar proble-mas abertos – que admitem diferentes respostas em função de certas condi ções – evidencia uma concepção de ensino e aprendizagem não pela mera reprodução de conhecimentos, mas pela via da ação refl etida.

Com tais características, a resolução de problemas não é uma atividade para ser desenvolvida em paralelo ou como aplica ção da aprendizagem. Trata-se de uma orientação para a aprendizagem, pois proporciona o contexto em que se po-dem construir conceitos, procedimentos e argumentos que ampliem o conhecimento matemático.

Uso de recursos didáticos

Uma das propostas de maior consenso na atualidade, entre educadores, é a de que o ensino de Matemática possa aprovei-tar, ao máximo, os recursos didáticos e tecnológicos disponí-veis, para enriquecer o trabalho do professor e potencializar as aprendizagens dos estudantes.

Nos últimos anos, a utilização de múltiplos recursos vem sendo implementada pelos professores. Um exemplo é o



traba lho com a leitura de notícias de jornais e revistas e com livros paradidáticos, que proporcionam contextos sig-nifi cativos para a construção de ideias matemáticas e com-plementam o que foi produzido com o livro didático. Outro exemplo é o uso de calculadoras e computadores que, ne-cessariamente, devem estar presentes nas salas de aula das novas gerações, tanto por sua ampla utilização pela socie-dade como para melhorar a linguagem expressiva e comuni-cativa dos alunos.

É interessante destacar que as experiências escolares com o computador também têm mostrado que seu uso efetivo pode levar ao estabelecimento de uma nova relação pro-fessor-estudante, marcada por maior proximidade, interação e colaboração.

As pesquisas na internet permitem aos estudantes ter infor-mações sobre a história e sobre as personagens da Matemá-tica e revelam que foram uma criação coletiva humana. Eles aprendem que foram necessidades e preocupações de diferen-tes culturas, em diversos momentos históricos, que impulsio-naram o desenvolvimento dessa área de conhecimento.

Quanto ao uso da calculadora, constata-se que é um recurso útil para verifi cação de resultados e correção de erros, podendo ser um valioso instrumento de autoavaliação. Além disso, ela favorece a busca e a percepção de regularidades matemáticas e o desenvolvimento de estratégias de resolução de situações--problema, pois leva à descoberta de estratégias e à investi-gação de hipóteses, uma vez que os alunos ganham tempo na execução dos cálculos. No mundo atual, saber fazer cálculos com lápis e papel é uma competência de importância rela-tiva, que deve conviver com outras modalidades de cálculo, como o cálculo mental e o produzido pelas calculadoras e as estimativas.

Outros recursos utilizados em Matemática são aqueles que funcionam como ferramentas de visualização, ou seja, como



imagens que por si mesmas possibilitam a compreensão ou demonstração de uma relação, regularidade ou propriedade.

A visualização e a leitura de informações gráfi cas em Matemá-tica são aspectos importantes, pois auxiliam a compreensão de conceitos e o desenvolvimento de capacidades de expres-são gráfi cas.

Para complementar, destacamos que o material está acompa-nhado por um DVD com dois vídeos: Abaixo de zero o que há? e Movimentos e simetria.

O primeiro vídeo apresenta uma reportagem sobre o fun-cionamento de um jornal televisivo, no qual são mostradas situa ções com a utilização de números inteiros negativos. No início do vídeo, o tema é abordado fazendo referência ao uso dos elevadores em andares abaixo do térreo e, ao fi nal, é proposta para resolução uma situação que trata de operações fi nanceiras com saldos negativos.

Como o vídeo não deve ser usado apenas nesse momento, o professor pode aproveitar a curiosidade e o interesse dos alunos para ampliar e enriquecer o que foi apresentado no vídeo, além de estabelecer conexões com outras áreas de conhecimento.

O segundo vídeo, Movimentos e simetria, mostra uma ativi-dade extracurricular pouco explorada em nossas escolas: uma visita organizada por uma professora de Artes para que seus alunos conheçam um dos museus mais bonitos da cidade de São Paulo: o Museu Afro Brasil.

Durante a visita, a professora convida os alunos para obser-varem isometrias presentes nas obras de arte de infl uência africana e solicita a eles que descubram relações matemáti-cas nas formas dos objetos.

Por meio de análise e da utilização de padrões, os estudantes podem desenvolver recursos que favoreçam o estudo das ca-racterísticas e propriedades de atividades ligadas às formas e seus movimentos no plano.



Os movimentos de translação, rotação e refl exão e as pro-priedades que deles decorrem são ferramentas importantes não só na Matemática como também nas artes plásticas, na decoração e na arquitetura.

Recomenda-se projetá-lo integralmente aos alunos, na pri-meira vez, e solicitar que cada um anote a informação do vídeo que mais o surpreender e também os tipos de isometria apresentados. Após a exibição, deve-se promover a discussão do que a turma levantou.

Contextualização histórica e cultural

Ao estudar as contribuições matemáticas de algumas cul-turas antigas, o aluno compreenderá que o avanço tecno-lógico de hoje não seria possível sem a herança cultural de gerações passadas.

Embora a recomendação seja bastante óbvia, vale a pena res-saltar que, ao abordar aspectos históricos, não se tem como objetivo colocar a ênfase em fatos, datas e nomes e, muito menos, que eles sejam memorizados pelos estudantes e co-brados em avaliações. Fatos, datas e nomes aparecem nos textos para contextualizar o próprio processo de construção histórica das ideias e conceitos matemáticos.

Também os jogos que fazem parte da cultura infantil e ju-venil podem contribuir para um trabalho de formação de atitudes – enfrentar desafi os, lançar-se à busca de soluções, desenvolver a crítica, a intuição, a criação de estratégias e a possibilidade de alterá-las quando o resultado não for satis-fatório –, necessárias para a aprendizagem da Matemática. Além disso, na situação de jogo, muitas vezes, o critério de certo ou errado é decidido pelo grupo. Assim, a prática do debate possibilita o exercício da argumentação e a organi-zação do pensamento.



4. Orientações metodológicas e didáticas específi cas

O trabalho com números racionais positivos e

inteiros negativos

No 7o ano, com relação ao tema “números”, serão abordados os números inteiros e os racionais.

Nas atividades da Unidade 1 são exploradas as diferentes repre-sentações dos números racionais, como sua forma decimal e for-ma fracionária. Também são trabalhadas diferentes situa ções que envolvem números racionais, que podem se referir a vários signifi cados: relação parte-todo, quociente, razão e operador.

Quanto aos números inteiros, na Unidade 3, são explorados seus diferentes signifi cados, ressaltando que estudos sobre o uso desses números mostram que os alunos enfrentarão alguns obstáculos, como:

estabelecer signifi cados às quantidades negativas;

reconhecer a existência de números em dois sentidos a par-tir de 0, estabelecido como referência, enquanto para os naturais a sucessão ocorre em um único sentido;

reconhecer diferentes papéis para o zero (zero absoluto e zero origem).

Trabalhar com o conjunto dos números racionais como am-pliação do conjunto dos números inteiros auxiliará na exten-são das operações e suas propriedades. Assim como existem situações que não podem ser representadas por números na-turais, existem, também, aquelas que não podem ser repre-sentadas por números inteiros. Por exemplo, 1,8 ºC abaixo de zero; 5,18 m abaixo do nível do mar; débito de R$ 45,21; o quociente –5 por 6.

Os números racionais possuem uma propriedade que os nú-meros inteiros não têm: entre dois números racionais sempre



há um número racional, o que implica que entre dois números racionais há infi nitos números racionais.

No estudo do conceito de razão, os alunos devem compreen-der que, apesar da habitual distinção entre os termos fração e razão, é comum comparar razões como se fossem frações. Nesse caso, está-se trabalhando com um dos signifi cados de número racional: um índice comparativo entre duas quantida-des, ou número racional como razão.

O trabalho com operações envolvendo os números

inteiros e racionais positivos

Na Unidade 4 são apresentadas algumas estratégias para dar signifi cado aos números negativos, além de propor situa-ções que enfatizam as propriedades aritméticas desse campo numérico:

Paulo lembrou que o consumo médio diário de água por pessoa é de 100 litros. Organizou seu consumo médio semanal usando os sinais + para um consumo que excedeu 100 litros e – para o consumo que faltava para atingir 100 litros.

segunda--feira

terça--feira

quarta--feira

quinta--feira

sexta--feira sábado domingo

+ 20 – 15 + 10 – 32 + 8 + 10 + 15

a) Ao longo da semana, o consumo médio de Paulo passou dos 100 litros diários? Explique.

b) Para que seu consumo médio fosse de 100 L diários, o que ele precisaria fazer durante a semana?

Com relação às “operações”, as atividades da Unidade 1 exploram os diferentes signifi cados relativos aos campos aditivo e multiplicativo envolvendo os números naturais e racionais positivos. Na Unidade 3, as atividades estão dire-cionadas para ampliar esse campo numérico com a inclusão dos números inteiros negativos. Teorias recentes, como as do pesquisador Gérard Vergnaud, trazem resultados interessan-



tes ao revelar que a difi culdade de um problema não está di-retamente relacionada à operação requisitada para a solução. Assim, nem sempre problemas que se resolvem por adição são mais fáceis para os alunos do que outros que se resolvem por subtração, como muitas vezes se imaginava.

Esses estudos apontam para um trabalho conjunto com os problemas aditivos e subtrativos, pois eles fazem parte de um mesmo campo conceitual, e apoiam-se na ideia de que os signifi cados das operações não devem ser tratados de for-ma separada em sala de aula. O mesmo ocorre para os pro-blemas de multiplicação e divisão, que compõem o campo multi plicativo.

Campo aditivo

Problemas associados à ideia de combinar estados para ob-ter outro estado (ação de “juntar”).

Problemas associados à ideia de transformação, ou seja, alteração de um estado inicial, que pode ser positivo ou negativo.

Problemas associados à ideia de comparação.

Problemas associados à composição de transformações (po-sitivas e negativas) que levam à necessidade dos números inteiros negativos, como no exemplo:

No início de um jogo, Rafael tinha certo número de pontos. Na primeira partida, ele ganhou 15 pontos e, em seguida, per-deu 32. O que aconteceu com seus pontos após essas duas partidas?

Campo multiplicativo

Problemas associados à ideia de “multiplicação comparativa”.

Problemas associados à ideia de comparação entre razões, que, portanto, envolvem a ideia de proporcionalidade.

Problemas associados ao produto de medidas.

Problemas associados à ideia de combinatória.



A ideia de combinatória envolve apenas o campo dos nú-meros naturais. Ela está presente em situações relaciona-das com a multiplicação e com a divisão.

Esse tipo de problema pode ser resolvido pela contagem di-reta das possibilidades, usando uma tabela de dupla entra-da ou um diagrama de árvore que permita identifi car todas as possibilidades. É importante que os alunos vivenciem esse tipo de situação, antes de pretender que reconheçam a utilização de um cálculo multiplicativo.

Também são propostas algumas atividades para justifi car a multiplicação e a divisão de um número negativo por ou-tro número negativo que podem apresentar algumas difi -culdades de compreensão para alguns alunos por possuírem aspec tos de “regra imposta”.

Se for conveniente, pode-se recorrer a outras explicações, como as seguintes:

Estendendo a propriedade distributiva e lembrando que

+6 – 6 = 0

0 ∙ (–2) = 0

(+6 – 6) ∙ (–2) = 0

(+6) ∙ (–2) + (–6) ∙ (–2) = 0

–12 + (–6) ∙ (–2) = 0

Como –12 + 12 = 0, podemos concluir que (–6) ∙ (–2) = +12.

Usando o oposto

(–4) ∙ (–9) = –(+4) ∙ (–9)

(–4) ∙ (–9) = –(–36)

(–4) ∙ (–9) = +36

Um objetivo das Unidades 5 e 6 é o de consolidar alguns conhecimentos a respeito dos números inteiros e suas ope-rações e estendê-los para os números racionais positivos e negativos, como na atividade:



Também podemos representar na reta numérica os números racionais expressos na forma decimal. Por exemplo, para

localizar o número –0,3, lembramos que –0,3 = .

a) Logo, para localizar o número –0,3 na reta numérica, em quantas partes iguais você dividirá a unidade?

b) Na malha quadriculada abaixo, desenhe uma reta numérica para localizar os números –0,5; –0,3; –1; 0; 0,3; 0,5; 1 e 1,7.

Nas Unidades 5 e 6 são propostas atividades para que os alunos possam reconhecer a interdependência entre razão, proporção e proporcionalidade. De modo geral, esse é um tema em relação ao qual os alunos não costumam apresentar grandes difi culdades por estarem familiarizados com as situa-ções-problema que serão “convidados” a resolver. Em muitas delas, é comum recorrer à intuição, ao raciocínio aritmético e cálculos elementares e deixar de lado as equações. Propor situações-problema é um caminho que poderá despertar inte-resse para o estudo de proporcionalidade:

Observe as informações contidas no gráfi co:

1. O que signifi ca o número destacado 4,65?

FOLH

APR

ESS

Fonte: Folha de S.Paulo, 9 fev. 2010. Caderno Agrofolha, B8.



2. Se 4,65 kg ou 4.650 mg de café equivalem a 1.560 xícaras de 50 mL, então 9.300 mg equivalem a 3.120 xícaras do mesmo tipo? Justifi que sua resposta.

O trabalho com álgebra

As atividades propostas nas Unidades 6 e 7 possibilitam identifi car diferentes usos para as letras, em situações que envolvem generalização de propriedades de relações numé-ricas e padrões. Também permitem traduzir uma situação--problema em linguagem algébrica usando equações, for-mular problemas com base em dada equação do 1o grau e compreender o signifi cado da incógnita e da solução (raiz) de uma equação.

As atividades que incluem generalização de padrões são abertas, do tipo investigativa, e abarcam um contexto mate-mático. Esse tipo de tarefa leva os alunos a buscar estra-tégias de reso lução, sem ater-se a atividades repetitivas e ao uso mecâ nico de procedimentos algébricos. Aquelas em que os alunos exploram situações e percebem regularidades permitem-lhes formalizar algumas regras e expressar-se alge-bricamente. Desse modo, começam a abstrair e também a desenvolver capacidades relacionadas ao pensamento algé-brico. Às vezes, a formalização da escrita algébrica não é tão evidente. Eles se expressam com mais facilidade na língua natural. No entanto, é preciso levá-los a usar a linguagem algébrica para expressar a generalização de um padrão ou de uma propriedade aritmética.

Nas atividades de generalização de padrões, às vezes, pode haver mais de uma resposta, por exemplo: na Unidade 6, no caso da questão dos bombons e caramelos, os alunos podem encontrar 2n + 2 bombons ou (n + 1) ∙ 2; e no das portas podem encontrar n ∙ 4 + 1 ou 5 + (n – 1) ∙ 4.

Como foi comentado, os dois registros de representação, o da linguagem comum e o da linguagem algébrica, são de



fundamental importância na aprendizagem da álgebra. Por esse motivo, diferentes situações foram propostas aos alu-nos com obje tivo de fazerem a conversão entre essas duas representações.

Outro ponto de destaque é a introdução à resolução de equa-ções, sem o oferecimento de regras como “muda de membro, muda de sinal”, mas deixando os alunos usarem seus co-nhecimentos aritméticos dos campos aditivo e multiplica-tivo e resolverem as equações mentalmente. À medida que eles vão solucionando as equações, é possível sistematizar algumas operações simples como 2x + 3x = 5x, por exemplo. Não se espera que cheguem à equação e a solucionem. Eles podem fazer isso por “ensaio e erro”, substituindo x por diversos números diferentes até que a igualdade fi que ver-dadeira, mostrando que perceberam o signifi cado de raiz de uma equação.

Há uma proposta de resolução de problemas por meio da arit-mética e de equações algébricas. É interessante que se discu-tam, na socialização dos procedimentos, as diferentes solu-ções e haja um debate sobre as vantagens e desvantagens de cada uma, como na atividade:

Os problemas abaixo podem ser resolvidos tanto por meio de operações aritméticas como por equações. Escolha um procedimento e resolva-os. Depois, discuta sua resolução com um colega que usou o outro procedimento e copie a resolução dele na outra coluna.

Resolução algébrica Resolução aritmética

A diferença entre o quádruplo de um número e seu dobro é 56. Qual é esse número?

A soma de dois números consecutivos é 45. Quais são eles?



Na elaboração de textos de problemas, na socialização dos enunciados, é conveniente encaminhar as discussões para que os alunos percebam que uma equação soluciona uma classe de problemas. Esse fato justifi ca a importância de re-solver problemas algebricamente, mesmo que os enunciados envolvam contextos bastante diferentes. Vale a pena desta-car que, de acordo com o contexto, nem sempre a solução obtida serve como resposta ao problema.

O trabalho com espaço e forma

No tema “espaço e forma”, o estudo parte de atividades que estimulam a visualização de elementos geométricos e progri-de para que os alunos sejam capazes de descobrir proprie-dades no espaço e nas formas e as relacionem. Atividades contendo construção e representação serão exploradas por sua importância, revelada em vários estudos sobre o tema.

A Unidade 3 propõe situações que envolvem a posição ou a movimentação de pessoas ou objetos, utilizando coordena-das cartesianas e números inteiros positivos e negativos.

Quanto às fi guras tridimensionais, recomendam-se atividades que permitam quantifi car e estabelecer relações entre o nú-mero de vértices, faces e arestas de prismas e de pirâmides e estabelecer relações entre esses números e o número de lados do polígono da base dessas fi guras, além de esboçar diferen-tes planifi cações de um cubo trabalhadas em uma sequência de atividades na Unidade 3.

Com relação às fi guras planas, sugerem-se atividades que explorem a composição e a decomposição de fi guras, como ladrilhamentos e tangrans, que são desenvolvidas na Unida-de 4 e permitem aos alunos a descoberta de que toda fi gu-ra poligonal pode ser composta/decomposta por outra e em particular por triângulos.

Na Unidade 7, focaliza-se o tema das transformações geomé-tricas, como a refl exão em uma reta (simetria axial), a trans-



lação e a rotação, com a demonstração de que a fi gura trans-formada mantém as mesmas medidas de lados e de ângulos, além de outras propriedades. Essas transformações são, por isso, chamadas isometrias.

Um aspecto interessante está no fato de que, quando com-pomos duas refl exões em retas paralelas, a fi gura resultante é uma translação da primeira fi gura. Quando, porém, compo-mos duas refl exões em retas concorrentes, a fi gura resultante é uma rotação da primeira fi gura.

Para abordarmos o tema, optamos por trabalhar as transfor-mações existentes nas manifestações artísticas da cultura africana, que, assim como outras civilizações, faz uso das isometrias referenciadas anteriormente, o que mostra a afi ni-dade da Matemática com a beleza e a harmonia, característi-cas também presentes nessas manifestações artísticas:

Observe os esboços de animais que podem servir de modelo para máscaras feitos por Luana e complete-os usando refl exão em reta em cada caso.

a) Uma serpente. b) Um crocodilo.



Luana localizou outra fi gura interessante da cultura africana e quer reproduzi-la em seu caderno. Ela já iniciou o desenho, e agora precisa fazer 3 rotações de 90º. Ajude-a nessa tarefa.

Cabe destacar a importância de trabalhar com eixos de sime-tria em diferentes posições. Alguns estudos mostram que os alunos apresentam, de modo geral, mais difi culdade na cons-trução de simetrias com eixos inclinados em relação à malha quadriculada, mesmo quando a atividade é reali zada sem o uso dessa malha. Um trabalho interessante com as transfor-mações geométricas pode ser feito com o uso de softwares apropriados, em que os alunos podem fazer conje turas sobre o que acontece quando a uma fi gura é aplica da uma refl exão em reta, uma translação ou uma rotação. É importante com-plementar a atividade exibindo o vídeo Movimentos e simetria.

O trabalho com grandezas e medidas

No 7o ano, a estimativa e a medida de grandezas com o uso de unidades de medidas convencionais são bastante ex-ploradas. No estudo do volume do cubo (Unidade 8) são apresentadas situações que envolvem o empilhamento de “cubinhos” na construção de paralelepípedos retângulos. O objetivo é que os alunos possam concluir que, para obter o volume desse sólido, basta multiplicar as medidas das três arestas que se encontram em um mesmo vértice. Também



são propostas situações em que os alunos verifi cam que há medidas exatas e aproximadas e fazem estimativas.

A Unidade 8 também propõe situações envolvendo a relação entre o metro e seus submúltiplos, o litro e seus submúlti-plos, para que sejam exploradas, posteriormente, as unidades de volume e de capacidade e as relações entre o decímetro cúbico e o litro (1 dm³ corresponde a 1 litro), o metro cúbico e o litro (1 m³ corresponde a 1.000 litros), o centímetro cúbi-co e o mililitro (1 cm³ corresponde a 1 mililitro).

Há uma atividade em que o aluno completa um texto com medidas e com grandezas que sejam plausíveis.

A água doce na Terra e a importância de buscar formas de economizá-la são colocadas em debate por meio de textos, como “Água de reuso – uma solução para a sustentabilidade”. Um trabalho interessante será discutir contas de consumo de água e energia e, a partir daí, propor o debate de como enfrentar problemas e questionar propostas para este desafi o da humanidade: “A redução do consumo de água e energia”.

Na Unidade 8 há uma situação para exploração de unidades de medidas convencionais, porém não usuais em situações coti-dianas, como a milha terrestre e a milha marítima, o alqueire paulista e o alqueire mineiro, o pé, a polegada e a jarda.

O trabalho com tratamento da informação

Os conteúdos do tema “tratamento da informação” são abor-dados nas Unidades 2, 3, 5 e 8. As atividades possibilitam o desenvolvimento de formas particulares de pensamento e ra-ciocínio que permitem resolver determinadas situações-pro-blema nas quais é necessário coletar, organizar e apresentar dados, interpretar e comunicar resultados por meio da lin-guagem estatística. O estudo de gráfi cos e tabelas favorece o aperfeiçoamento de atitudes como posicionar-se criticamen-te, prever e tomar decisões perante informações veiculadas pela mídia, ou por outras fontes.



Assuntos sobre economia, política, esportes, educação, saú-de, alimentação, moradia, meteorologia, pesquisas de opi-nião, entre outros, despertam o interesse dos alunos por questões sociais. Eles também são contextos signifi cativos para a aprendizagem dos conceitos e procedimentos matemá-ticos referentes ao tratamento da informação.

O trabalho com o tratamento da informação é ampliado neste ano na abordagem das situações, nos tipos de gráfi cos e tabelas, conforme sequência da Unidade 2, e ainda com rela-ção aos campos numéricos utilizados. Sugerem-se atividades com gráfi cos envolvendo situações que usem números posi-tivos e negativos, como as de balança comercial, variações de saldos etc.

Situações com dados organizados em tabelas simples e de dupla entrada, em gráfi cos de colunas, de barras, de setores e de linhas são exploradas na Unidade 3, nas quais os alunos devem interpretar as informações e utilizá-las na resolução de uma situação-problema. Mas também se recomenda a cons-trução de tabelas simples e de dupla entrada e de gráfi cos de colunas, de barras e de linhas, para organizar dados co-letados. Por último, sugere-se a produção de textos escritos, descrevendo e interpretando dados apresentados em tabelas simples ou de dupla entrada e em gráfi cos de colunas, de barras e de linhas:

A tabela abaixo mostra o número de livros consultados numa biblioteca escolar durante uma semana. A biblioteca organiza seus livros entre literatura, ciências, fi cção, poesia e história.

segunda-feira terça-feira quarta-feira quinta-feira sexta-feira

literatura 10 15 12 20 15

ciências 12 10 15 25 17

fi cção 8 12 10 15 15

poesia 10 8 12 05 20

história 7 10 15 15 10



1. Quantos livros foram consultados na quarta-feira?

2. Quantos livros de ciências foram consultados durante a semana?

3. Em que dia da semana os livros de literatura foram mais consultados que os livros da área de ciências?

4. Foram consultados mais livros de poesia na segunda--feira ou na quinta-feira? Quantos?

5. Quantos livros de história deveriam ser consultados a mais na sexta-feira para igualar o número de consultas da quarta-feira?

6. O que signifi ca o número 25 nessa tabela?

7. Escreva um texto comparando as consultas realizadas de segunda a sexta-feira.

5. Os Cadernos de apoio e o planejamento do professor

Planejar é preciso

Uma das características dos Cadernos de apoio e aprendiza-gem é a explicitação da relação entre as diferentes atividades e as expectativas de aprendizagem que se pretende alcançar. Essa explicitação é fundamental para que o professor, saben-do aonde quer chegar, planeje o desenvolvimento de cada atividade ou sequência de atividades, buscando coerência entre o que deseja atingir e o que de fato acontece na sala de aula, introduzindo ajustes necessários.

O planejamento deve ser sempre fl exível, o que não se confun-de com improvisações ou falta de organização. É preciso levar em conta as possibilidades de aprendizagem dos estudan-tes, seus conhecimentos prévios e suas hipóteses sobre os conceitos e procedimentos estudados, bem como as estraté-gias pessoais. Apenas tendo clareza sobre as expectativas de aprendizagem o professor pode reorientar as atividades sem



perder aspectos importantes como a continuidade e o pro-gresso na construção dos conhecimentos. O planejamento faz parte de todo o desenvolvimento das atividades propostas e inclui a elaboração de outras que surgirão em decorrên-cia das necessidades específi cas de aprendizagem dos alunos e de seus interesses.

O professor pode enriquecer seu planejamento discutindo com seus pares, em um processo colaborativo de troca de saberes e de experiências.

Planejar de acordo com o tempo didático

A organização do trabalho permite usar melhor o tempo didá tico e oferecer situações signifi cativas que favoreçam a aprendizagem. Por isso, é importante ressaltar que organizar a rotina implica tomar decisões acerca do uso inteligente do tempo de aprendizagem, o que é diferente da distribui-ção simples e despretensiosa das atividades em deter minado período.

A organização do tempo é necessária para a aprendizagem não só dos alunos, mas também do professor, especialmente no que se refere à gestão de sala de aula. Essa é uma apren-dizagem constante, pois, a cada nova turma, novos desa-fi os são colocados. O que o professor aprendeu sobre gestão de sala de aula com um grupo de estudantes nem sempre é transferível para outro.

O tempo dedicado às aulas de Matemática deve ser obser-vado de forma criteriosa. A organização desse trabalho exi-ge levar em conta a natureza das atividades e pensar em tempos maiores (como aulas duplas) para ocasiões em que estão previstas sequências de atividades mais longas, por exemplo.

Outro aspecto importante é o planejamento do uso do Cader-no e de outros materiais ao longo de uma semana.



No 7o ano, é aconselhável que a rotina semanal contemple algumas situações didáticas permanentes e de sistematiza-ção, que podem ser desenvolvidas por meio das atividades sequenciais propostas no Caderno de apoio. O intuito é que o uso do material seja articulado ao planejamento e à rotina do professor.

Planejar de acordo com a organização da sala

Outro aspecto importante do planejamento do professor diz res-peito à organização da classe para o desenvolvimento de cada atividade: diversifi car agrupamentos em duplas, trios, realizar trabalhos individuais. Sabe-se da potencialidade das ativida-des em grupo pela interação que promovem entre os estudan-tes, que podem aprender uns com os outros, mas é necessário que o professor acompanhe o trabalho de cada agrupamento levando os alunos a expor suas conclusões e a tomar deci-sões e dando informações/explicações que julgar necessárias. No entanto, em alguns momentos também é importante a realização de atividades individuais para que se analise a autonomia de cada estudante, sua iniciativa para resolver problemas.

Planejar de acordo com as diferentes modalidades

organizativas

Ainda sobre o planejamento para uso do Caderno, é impor tante que o professor se organize para explorar várias modali dades organizativas. As sequências de atividades de cada Unida-de são um conjunto articulado de situações de aprendiza-gem, com objetivos e conteúdos bem defi nidos, que incluem problemas e exercícios orais e escritos, uso de jogos, de mate riais, entre outras propostas para as quais é preciso defi nir os modos de realização.

Também é fundamental planejar atividades permanentes, ou seja, aquelas que se repetem de forma sistemática. Elas



possi bilitam o contato intenso com um tipo específi co de atividade em cada ano da escolaridade e são particularmente apropriadas para comunicar certos aspectos atitudinais em relação à Matemática. As atividades permanentes são, ainda, adequadas para cumprir outro objetivo didático: o de favore-cer a aproximação dos estudantes com textos que não leriam por si mesmos ou com a resolução de problemas do dia a dia que podem ser trazidos, a princípio, pelo professor e, depois, pelos próprios alunos. As atividades de cálculo mental certa-mente podem ser incluídas nessa modalidade de organização do trabalho escolar.

Contudo, também deve ser reservado tempo para ativida-des ocasionais, que podem ser motivadas por um assunto de reper cussão na mídia que tenha interesse para os alunos cuja compreensão exija algum conteúdo matemático. Não há sen-tido em não tratar do assunto pelo fato de não ter relação com o que se está fazendo no momento, e a organização de uma situação ocasional se justifi ca.

Acompanhamento e avaliação das aprendizagens

Se já são visíveis os avanços de natureza metodológica em parte signifi cativa dos trabalhos realizados durante as aulas de Matemática, é verdade também que é preciso aprofundar as discussões e modifi car as práticas de avaliação. Ideias anti-gas predominam na avaliação em Matemática, valorizando a memorização de regras e procedimentos e deixando de lado, muitas vezes, a compreensão de conceitos, a criatividade nas soluções, as possibilidades de enfrentar situações-problema e resolvê-las.

Assim sendo, em uma proposta que contempla uma varie-dade de situações de aprendizagem – resolução de proble-mas, recur so à história da Matemática, uso de recursos tecnológicos, desenvolvimento de projetos de trabalho, estabele cimento de conexões com outras áreas de conheci-



mento –, não faz sentido manter uma concepção de avalia-ção incoerente com novos objetivos e com novas abordagens do conhe cimento matemático.

A avaliação tem a função de fornecer aos estudantes e pro-fessores informações sobre o desenvolvimento das capacida-des e competências exigidas socialmente, bem como auxiliar os professores a identifi car os objetivos atingidos, com vistas a reconhecer a capacidade matemática dos alunos, para que possam inserir-se no mercado de trabalho e participar da vida sociocultural.

Cabe também à avaliação informar como está ocorrendo a aprendizagem: os conhecimentos adquiridos, os raciocínios desenvolvidos, os hábitos e valores incorporados, o domínio de certas estratégias, para que o professor possa propor re-visões e reelaborações de conceitos e procedimentos ainda parcialmente consolidados.

Se os conteúdos estão dimensionados em conceitos, proce-dimentos e atitudes, cada uma dessas dimensões pode ser avaliada por diferentes estratégias. A avaliação de conceitos é feita por meio de atividades voltadas à compreensão de defi nições, ao reconhecimento de hierarquias, ao estabele-cimento de relações e de critérios para fazer classifi cações e também à resolução de situações de aplicação envolvendo conceitos. A avaliação de procedimentos implica reconhe-cer como eles são construídos e utilizados. A avaliação de atitudes pode ser feita pela observação do professor e pela realização de autoavaliações.

Embora a avaliação esteja intimamente relacionada aos obje-tivos visados, estes nem sempre se realizam plenamente para todos os estudantes. Por isso, critérios de avaliação devem ser elaborados com a função de indicar as expectativas de aprendizagem possíveis de serem desenvolvidas pelos estu-dantes, ao fi nal de cada ciclo.



Alguns procedimentos para coletar dados

Ao fi nal de cada Unidade, na seção “Agora, é com você”, são propostas questões para avaliar os conhecimentos matemáti-cos, considerando o conjunto das atividades desenvolvidas na Unidade. Elas são apresentadas na forma discursiva e como testes. A proposição de testes tem como objetivo principal preparar os alunos para os vários tipos de avaliações externas a que são submetidos, atualmente, nos sistemas educacionais municipais, estaduais e nacionais. Em geral, as atividades têm como parâmetros os descritores que pautam a elabora-ção de questões de avaliações institucionais como a Prova da Cidade, a Prova Brasil etc.

Sabemos que não é simples acompanhar as aprendizagens de todos os alunos de uma sala de aula, especialmente se de sejamos fazer isso de maneira sistemática. No entanto, é ne cessário fazer observações com regularidade e registrá-las, tendo como referência, por exemplo: 1) as respostas dos estudantes, quando eles manifestam de forma implícita ou explícita suas certezas, dúvidas e erros; 2) as observações das atitudes, ações e discussões efetuadas durante as tare-fas individuais, em duplas, em grupos ou com a classe toda; 3) a análise de tarefas, individuais e em grupo, feitas em classe e em casa, de provas e trabalhos extraclasse.

Esses registros devem orientar o planejamento de novas ativi-dades e também subsidiar a avaliação dos resultados de apren-dizagem por todos os envolvidos (estudantes e professor).

Uma sugestão é que, ao fi nal de cada Unidade, os alunos, individualmente, retomem os tópicos e as anotações desen-volvidos naquela Unidade. Eles podem elaborar comentários orais ou escritos e outras formas de registrar o que puderam constatar sobre o próprio processo de aprendizagem. Com relação aos registros do professor, a elaboração de fi chas de observação de desempenho em Matemática é muito impor-tante. Em seguida há sugestão de fi cha de acompanhamento.



Legenda: S = sim; P = parcialmente; N = não.

Expectativas de aprendizagem Alunos

Unidade 1 1 2 3 4 5 6 7 8...

Reconhecer números racionais positivos e negativos, representados na forma fracionária ou decimal, em contextos diversos, e explorar diferentes signifi cados.

Localizar números racionais na reta numérica.

Analisar, interpretar, formular e resolver situações-problema compreendendo diferentes signifi cados das operações dos campos aditivo e multiplicativo envolvendo números naturais, inteiros e racionais.

Realizar cálculos (mentais ou escritos, exatos ou aproximados) envolvendo operações com números inteiros por meio de estratégias variadas, com compreensão dos processos nelas envolvidos, e saber utilizar a calculadora para verifi car e controlar resultados.

Resolver situações-problema que abrangem as ideias de razão e de proporcionalidade, ampliando a noção e o uso de porcentagens.

Unidade 2 1 2 3 4 5 6 7 8...

Quantifi car e estabelecer relações entre o número de vértices, faces e arestas de prismas e pirâmides, relacionando esses números com o número de lados do polígono da base dessas fi guras.

Resolver situações-problema em que seja necessário compor ou decompor fi guras planas.

Resolver situações-problema com dados apresentados de maneira organizada por meio de tabelas simples e de dupla entrada.

Resolver situações-problema com dados apresentados de maneira organizada por meio de gráfi cos de colunas, barras, setores e linha.

Construir tabelas simples e de dupla entrada para apresentar dados coletados.

Construir gráfi cos de colunas, de barras e de linhas para apresentar dados coletados.



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1o semestre



baixo para cima (vermelha) indica a população de 10 a 14 anos: mais de 8 milhões de jovens do sexo masculino e também do sexo femi-nino, ou seja, mas de 16 milhões de pessoas pertencem a esta faixa etária. Explore outras situações.

Diga que podem saber, por exem-plo, a fonte dos dados e como se distribui a população por fai-xa etária e por sexo e comente a importância dessas informa ções para o planejamento de polí ti cas públicas.

Peça aos alunos que, em grupos, analisem a pirâmide etária do Brasil.Discuta as informações dadas no gráfi co e proponha algumas estimativas e aproximações. Por exemplo, a terceira faixa de

• M2 Reconhecer números racionais positivos e negativos representados na forma fracionária ou decimal, em contextos diversos, e explorar diferentes signifi cados.

• M3 Localizar números racionais na reta numérica.

• M4 Analisar, interpretar, formular e resolver situações-problema compreendendo diferentes signifi cados das operações dos campos aditivo e multiplicativo envolvendo números naturais, inteiros e racionais.

• M5 Realizar cálculos (mentais ou escritos, exatos ou aproximados) envolvendo operações com números inteiros por meio de estratégias variadas, com compreensão dos processos nelas envolvidos, e saber utilizar a calculadora para verifi car e controlar resultados.

• M11 Resolver situações--problema que abrangem as ideias de razão e de proporcionalidade, ampliando a noção e o uso de porcentagens.

Material necessário para o desenvolvimento da Unidade:

calculadoras

réguasResposta possível: a distribuição da população brasileira em 2005 por idade e sexo.



Você ainda pode organizar grupos para pesquisar outras informações sobre juventude em diferentes períodos e compartilhar suas des-cobertas com a classe.

Comente que os dados da tabe-la foram retirados do gráfi co da página anterior. Essa é uma ta-bela de dupla entrada. Antes da realização da atividade, explore as informações apresentadas nas linhas, nas colunas e nas inter-secções entre elas.

• Analisar, interpretar, formular e resolver situações-problema compreendendo diferentes signifi cados das operações dos campos aditivo e multiplicativo envolvendo números naturais, inteiros e racionais.

Há 400.000 homens a mais.

Há 300.000 homens a mais.

500.000

8.000.000

Há 9.400.000 a mais pessoas na faixa de 15 a 19 anos.



erros na leitura dos números, use o quadro de ordens e classes para corrigi-los. Depois, diga-lhes que analisem os arredondamentos fei-tos na tabela de Júlia e pergunte como acham que ela pensou.

Pergunte aos alunos no que pre-tendem trabalhar quando forem adultos e como pensam em se pre-parar para atingir esse objetivo.Peça a alguns que leiam em voz alta os dados da tabela. Se houver

• Realizar cálculos (mentais ou escritos, exatos ou aproximados) envolvendo operações com números inteiros por meio de estratégias variadas, com compreensão dos processos nelas envolvidos, e saber utilizar a calculadora para verifi car e controlar resultados.

4.105.000

8.027.000

25.182.000



Na atividade 2, faça um levanta-mento dos critérios usados pelos alunos para determinar renda fa-miliar per capita.Socialize-os e discuta com eles quais são mais adequados.Finalize as atividades, solicitando o registro de diferentes procedi-mentos.

Antes de começar a atividade, disponibilize calculadoras para os alunos. Depois, explique o que signifi ca renda familiar per capita e comente que essa expressão é comum em jornais e noticiários.Na atividade 1, verifi que se os alunos entendem as informações e as usam corretamente; em caso contrário, procure orientá-los.


150,00

77,25

120,00

136,75

renda familiar: 930,00 + 1.000,00 + 550,00 + 520,00 = 3.000,00número de pessoas da família: 6renda familiar per capita: 3.000,00 : 6 = 500,00



maior: família A; menor: família C; justifi cativa pessoal.

família D, R$120,00, e família B, R$ 150,00.

famílias A, E e C.

famílias A e C: R$ 1.358,40; família B: R$ 849,00;família D: R$ 1.188,60; família E: R$ 679,20.



Para saber mais sobre os pro-blemas do campo aditivo, leia o texto “O aporte da teoria dos campos conceituais” (p. 105 e 106) da publicação Orientações Curriculares – Ensino Fundamen-tal II – Matemática.

As situações-problema desta pá-gina são do campo aditivo e en-volvem a ideia de transformação.Os itens a e b envolvem trans-formação positiva e busca do estado fi nal, o item c envolve transformação negativa e a busca do estado inicial.



145

15

34



Na sistematização, associe os procedimentos de aproximação, estimativa e de cálculo exato ao sistema de numeração decimal e às propriedades da adição, sem exigência de saber os nomes delas, mas naquilo que permitem fazer.

Na atividade 1, oriente os alunos a estimar os valores de B. Se for preciso, sugira arredondamentos dos números e mostre como é pos-sível obter o valor aproximado de B no item a. Explore os diferentes modos de solução que aparecerem.Sugira aos alunos que confi ram as respostas com a calculadora.

1.768

2.275

7.246

1.450

3.006

4.362



Aproveite os procedimentos utili-zados pelos alunos para sistema-tizar as ideias, associando-os ao SND e às propriedades da multi-plicação e da divisão.

As situações-problema apresenta-das na atividade 1 são do campo multiplicativo e envolvem a ideia de proporcionalidade.Para saber mais sobre a resolução de problemas do campo multipli-cativo, leia o texto das páginas 106 a 108 da publicação Orienta-ções Curriculares – Ensino Funda-mental II – Matemática.



600

R$ 112,00

R$ 45,00

45



Observe as resoluções dos alunos, escolha algumas para socializar e proponha outras, que não tenham surgido, para ampliar o repertório de resoluções no campo multipli-cativo: tentativa, árvore de pos-sibilidades, tabela etc.

Sistematize as ideias desta e da página anterior.Sugestão: produção coletiva de um texto a partir do título “Pro-blemas resolvidos pela multipli-cação ou pela divisão”.

Os problemas desta página são do campo multiplicativo, e envol-vem a comparação (1), a combi-nação (2, 3 e 4) e a confi guração retangular (5).


164 meninas

15 maneiras

6 calças

84 pares

72 cadeiras



os alunos sobre as ideias mate-máticas (SND e propriedades da multiplicação e da divisão) que fundamentam e, consequentemen-te, auxiliam na compreensão do seu funcionamento.

Na atividade 1, sugira aos alu-nos que confi ram as respostas na calculadora, verifi que os procedi-mentos utilizados e ajude os que tiverem difi culdades. Neste caso, aproveite o momento de siste-matização para conversar com

123

570

24

29

142.506

49



procedimentos efi cientes para es-timar resultados de adições, sub-trações, multiplicações e divisões.Sugira a retomada da atividade anterior, e o texto produzido na sistematização aos alunos que ainda apresentam difi culdades.

Peça aos alunos que, na ativida-de 2, estimem os resultados. Em seguida, que efetuem os cálculos e confi rmem os resultados coma calculadora.Na sistematização, elabore jun-to com os alunos um quadro de

120

156

1.428

12

13

1.315




adição (item b). Depois da reso-lução, socialize e sistematize os procedimentos de cálculo mental, relacionando-os ao sistema de numeração decimal (valor posi-cional, decomposição, princípios aditivo e multiplicativo) e às pro-priedades citadas anteriormente.

Para efetuar os cálculos mental-mente, os alunos têm que pensar sobre a escolha adequada de par-celas para o cálculo mental e usar as propriedades das operações – como a associativa da adição (itens a e c) ou a distributiva da multiplicação em relação à

187 120

200

140

1.500

36

169

150

118

100

70 280

420

216

524.631

347.861

182.530

210.252

60

200

20.000

100.000

500.000

190.500

Resposta pessoal




Na atividade 2, discuta coleti-vamente as propriedades utiliza-das nos procedimentos de cálculo mental da adição.

Na atividade 3, verifi que se os alunos usaram as propriedades de forma adequada, ressaltando que há várias formas de aplicá-las em cálculos de expressões numéricas.

Na atividade 1, pergunte aos alunos se eles já fi zeram cálcu-los usando as propriedades, mes-mo sem saber sua denominação. Peça exemplos de situações ou forneça-os.

137

70

72

Resposta pessoal

Sim, são válidas.

Resposta pessoal

Resposta pessoal




Nas atividades 1 e 2, socialize os procedimentos utilizados e siste-matize as ideias, que devem ser registradas no caderno.Na atividade 3, ajude os alunos a perceber as relações entre os números multiplicados e a impor-tância de usá-las para facilitar os

cálculos. Discuta as explicações que surgiram e acrescente as que não aparecerem.Sistematize as ideias em torno do que ocorre com o produto de uma multiplicação quando seus fato-res são multiplicados por números naturais diferentes de zero.

Antes da resolução das ativida-des desta página, retome o que os alunos já aprenderam sobre procedimentos de cálculo da mul-tiplicação e da divisão para que possam utilizá-los.

102

Basta multiplicar 19.200 por 2, porque 16 é o dobro de 8. 38.400

76.800

153.600

Basta multiplicar 19.200 por 4, porque 32 é o mesmo que 4 x 8, ou 38.400 por 2, porque 32 é o dobro de 16.

Basta multiplicar 19.200 por 8, porque 64 é o mesmo que 8 x 8, ou 38.400 por 4, porque 64 é igual a 4 x 16, ou 76.800 por 2, porque 64 é o dobro de 32.

11.000

5480




Resposta possível: multiplicar a medida da altura por ela mesma (ou elevar a altura ao quadrado) e dividir a medida da massa por esse valor.

19,7

26,2

Na atividade 1, verifi que como os alunos interpretam a fórmula: se percebem que o cálculo do IMC envolve as operações de multipli-cação e de divisão.

Na atividade 2, observe se fa-zem os cálculos de acordo com a fórmula.Um dos objetivos dessa atividade é explorar os diferentes signifi ca-dos de um número racional, entre eles, a ideia de razão.

Após a leitura do texto, alerte os alunos sobre a dife ren ça entre as grandezas massa e peso.Antes de começar estas ativida des, converse com eles sobre a impor-tância de uma boa alimentação.



• Reconhecer números racionais positivos e negativos representados na forma fracionária ou decimal, em contextos diversos, e explorar diferentes signifi cados.

Normal

Sobrepeso

Peso normal

facilitem a sua compreensão. Por exemplo: o que signifi ca um ín-dice de massa corporal inferior a 13,9? Para saber se uma menina de 13 anos está com sobrepeso, onde devemos procurar: numa li-nha ou numa coluna? Qual é o peso normal de uma menina de 12 anos?

Na atividade 2, socialize as res-postas e use-as para esclarecer algum aluno que eventualmente ainda tenha dúvidas na interpre-tação do IMC.

Na atividade 1, auxilie os alu-nos a compreender o signifi cado das categorias: abaixo do peso, normal e sobrepeso, e dos dados da tabela. É importante que eles percebam que “abaixo do peso” e “sobrepeso” representam in-tervalos e “normal”, um índice. Faça perguntas adequadas que



Peso normal

Abaixo do peso

14,8

23,6

1,4

Inferior a 16,2 ou superior a 23,6

Treze inteiros e cinco décimos

Dezessete inteiros e oito décimos

Vinte e um inteiros e um décimo

As atividades 3, 4, 5 e 6 também devem ser resolvidas consultando a tabela. Aproveite para explorar a leitura dos números racionais en-contrados, e peça aos alunos que os escrevam por extenso na lousa. Dessa forma, você os prepara para a atividade 7.



de jovens que praticam esportes apenas uma vez por semana e o total de jovens entrevistados, através da porcentagem.Enquanto eles trabalham, observe quais são as difi culdades e registre as mais recorrentes para discus-são posterior. Depois, socialize na lousa os diversos procedimentos utilizados.

As atividades desta página podem ser resolvidas individualmente.Leia o texto com os alunos ex-plorando os usos da porcen-tagem. Discuta com a classe o signifi cado de 20%, ajudando-os a perceber que 20% representa 20 partes de 100.Mostre aos alunos como represen-tar a relação entre a quantidade


10%

55%

90%

10 milhões

Resposta pessoal



Na atividade 4, é dada a por-centagem, e os alunos devem indicá-la num gráfi co de seto-res. Ajude-os a perceber que 50% equivale à metade, 75% equivale

a e 25% equivale a , porque

isso facilitará a representação nos setores.

Oriente os alunos na divisão do círculo em 4 partes iguais.

Estas atividades podem ser resol-vidas em pequenos grupos.Antes de propor a atividade 2, verifi que se, a partir do cálculo de 10%, os alunos sabem como calcular 20%, 30% etc. Ajude-os retomando a ideia das partes do todo. Peça-lhes que completem a tabela e tire as dúvidas que surgirem.

• Resolver situações-problema que abrangem as ideias de razão e de proporcionalidade, ampliando a noção e o usode porcentagens.

10 15 50 250

15 20 200 90

60.000 adolescentes



de probabilidade e expressa como fração, como decimal e como per-centual. Forneça outros exemplos.É uma boa oportunidade de reto-mar o conceito de equivalência de frações.

Para a atividade 2, reproduza a tabela na lousa, faça a pesquisa com a classe e retome procedi-mentos de cálculo para transfor-mar a razão entre a quantidade de alunos e o total, para cada esporte.

Antes de começar as atividades, converse com os alunos sobre eventos que envolvem o acaso: sorteios, rifas, loterias etc.Espera-se que eles compreen-dam, a partir do texto, que a razão pode ser usada no cálculo


; 0,05; 5%

Depende do número de alunos da sala.

Depende da respostas da sala.

Depende da respostas da sala.




Sim, porque = = 10%

Sim, porque 15 adolescentes entre 150 preferem natação, que equivale a 1 em 10.

150

10%

16,7%

33,3%

40%

100%

, além de compreender a le-

genda. Retome a transformação de dados em porcentagens. Orien-te o registro do que foi visto para a resolução da atividade 3.

Estas atividades podem ser resol-vidas em pequenos grupos.Converse com os alunos sobre os esportes mais praticados no Brasil e pergunte quais eles praticam. Se necessário, oriente-os quanto à legenda no gráfi co de setores.Espera-se que os alunos percebam

a equivalência entre , 10% e




14,81%

Os atletas do judô

30% ou =

33,54%

Estas atividades podem ser resolvi-das em grupo e com a calculadora. Algumas perguntas podem ajudar na compreensão de qual a maior (ou menor) probabilidade de ocor-rer um evento. Por exemplo: “num sorteio entre todos os medalhis-

tas, qual das modalidades tem chance maior? E menor?”; “Com qual porcentagem é possível ex-pressar a chance?”Se os alunos tiverem difi culdade para interpretar a tabela, ajude-os a selecionar os dados pertinentes.

Antes da resolução das atividades, oriente os alunos para compreen-derem os dados com perguntas sobre as linhas, as colunas e as intersecções.



• Localizar números racionais na reta numérica.

números racionais escritos na forma fracionária com o mesmo denominador.

Chame atenção para a posi ção

ocupada por em relação a .

Faça o mesmo com a localização

de e em relação a 2.

Depois da atividade, retome os principais critérios para locali-zar racionais na reta e peça aos alunos que façam registros.

Antes de localizá-los na reta numérica, é importante que os alunos reconheçam os números racionais em suas diferentes re-presentações. Faça uma discussão retomando essas representações e comparando alguns racionais.Em seguida, retome a localiza-ção dos números naturais na reta numérica e a comparação entre




0 e 0,5 0,5 e 1 0 e 0,5

1 e 1,5 0,5 e 1 1 e 1,5

vinte e cinco milésimos

quatro inteiros e sessenta e um centésimos

três inteiros e sete milésimos

As atividades devem ser resolvi-das coletivamente e posterior-mente conferidas com a calcu-ladora.Na atividade 2, o objetivo é que os alunos possam localizar os nú-meros tomando como referência os intervalos indicados na ativi-dade 1. Eles farão comparações

entre números escritos na forma fracionária com denominadores diferentes. Retome o tema, estu-dando vários exemplos.Na atividade 3, oriente-os a bus-car outras referências. Por exem-plo, perceber que o número 0,375 está próximo de 0,4.

Na atividade 4, os alunos utiliza-rão as referências de localização da página anterior.Antes da atividade 5, explore oralmente a leitura desses núme-ros e de outros números racionais.

, ,




<

<

=

<

<

0,02 < 0,07 < 0,125 < 0,2 < 0,375 < 0,6 < 0,75 < 0,9 < 1 < 1,125 < 1,25 < 1,3

frações com denominadores iguais e o numerador 1 é menor que 2.

frações com denominadores iguais e o numerador 2 é menor que 4.

os denominadores são diferentes;

os denominadores são diferentes;

as frações são equivalentes.

No decorrer da atividade 1, veri-fi que com que critérios os alunos comparam dois números racio-nais e oriente-os para recuperar os critérios já vistos. As obser-vações feitas na página anterior podem subsidiar esta. Estratégias

de resolução possíveis: busca de frações equivalentes ou divisão do numerador pelo denominador.Na atividade 2, além de orientar os alunos na comparação e na or-denação dos números, aproveite a oportunidade para que os alunos façam a leitura em voz alta. Re-tome o que já foi aprendido.Pode acontecer de alguns alunos

organizarem os números como se fossem naturais, e afi rmarem, por exemplo, que 1,125 > 1,25 por-que possui mais algarismos. Dis-cuta esse critério com os alunos, e considere-o na sistematização das ideias.

= e = ;

valem as observações anteriores.

= ; numerador 5 é menor que 8.



Estas atividades podem ser resol-vidas em grupo.Peça aos alunos que observem a representação na malha qua-driculada para que escrevam as diferentes frações que podem aparecer na resolução e as equi-valências entre elas:

, , , ...


Não, porque não é equivalente a .

Sim, pois = 0,75 = 75%

Sim, pois = 80%

Sim, porque = = 0,80 = 80%

O pedreiro

, ou , ou 0,2, ou 20%



Não é preciso que todas as tare-fas sejam feitas no mesmo dia: organize-as como achar melhor.Socialize a resolução de todos os problemas e, enquanto os alunos trabalham sozinhos, acompanhe--os e oriente aqueles que tiverem difi culdades, anotando-as para retomá-las.

Esta seção vai aparecer no fi nal de cada Unidade, com propostas que retomam o conteúdo traba-lhado. São atividades individu-ais, e você deve analisá-las para verifi car se as expectativas de aprendizagem foram atingidas, quanto os alunos avançaram e o que precisa ser retomado, an-tes de passar para a Unidade 2.

, ou , ou 35%

ou , ou 0,666..., ou aproximadamente 66,66%

, ou 0,33..., ou aproximadamente 33,33%

6.267 13.659

8 836



R$ 23,00, porque 184 ÷ 8 = 23

>

<

>

<

0,25 0,5 0,75 0,2 0,77 0,4

40%10%20%90%75%30%25%

0,25 1,75 2,25 4,25 5,25



etc., salientando que esses ele-mentos serão trabalhados ao lon-go da Unidade.Registre estas informações para retomá-las durante a realização das atividades.

Na aula anterior ao início da Uni-dade 2, solicite aos alunos que tragam jornais e/ou revistas para analisarem alguns gráfi cos.Posteriormente, socialize o que os alunos descobriram nos gráfi cos.Veja se eles analisam título, le-genda, texto explicativo, fonte

• M15 Quantifi car e estabelecer relações entre o número de vértices, faces e arestas de prismas e pirâmides, relacionando esses números com o número de lados do polígono da base dessas fi guras.

• M17 Resolver situações--problema em que seja necessário compor ou decompor fi guras planas.

• M27 Resolver situações--problema com dados apresentados de maneira organizada por meio de tabelas simples e de dupla entrada.

• M28 Resolver situações--problema com dados apresentados de maneira organizada por meio degráfi cos de colunas, barras, setores e linha.

• M29 Construir tabelas simples e de dupla entrada para apresentar dados coletados.

• M30 Construir gráfi cosde colunas, de barras ede linhas para apresentardados coletados.


calculadora

jornais e revistas com gráfi cos de diferentes tipos

conjunto de sólidos geométricos

Resposta pessoal



• O que está representado no eixo horizontal? E no vertical?

• Qual é o esporte mais pratica-do? E menos praticado?

Oriente os alunos a encontrar os números que não estão explici-tados na tabela; por exemplo, o número de alunos que preferem futebol (150), que está exata-mente entre 140 e 160.

As questões dos itens a, b e c, exigem, além da leitura, a reali-zação de alguns cálculos.Socialize os resultados e ressalte a importância de interpretar cor-retamente as informações dadas no gráfi co.Sistematize as ideias em torno dos elementos do gráfi co: título e fonte, e a função de cada um.

Converse com os alunos sobre a importância de práticas esporti-vas para nossa saúde e pergunte que esportes eles gostam, quais realmente praticam etc.Faça perguntas para auxiliar a lei-tura e a interpretação dos dados:• Quais dados foram represen-

tados?

• Resolver situações-problema com dados apresentados de maneira organizada por meio de gráfi cos de colunas, barras, setores e linha.

• Construir gráfi cos de colunas, de barras e de linhas para apresentar dados coletados.

120

420

530

Sim; aproximadamente 21% dos alunos não praticam esporte.



Chame a atenção dos alunos para o fato de que os segmentos mais inclinados indicam deslocamen-to maior num mesmo intervalode tempo, e para o signifi cado dos pares ordenados (2,5; 200).

O objetivo destas atividades é analisar um gráfico de linhas. Nesta análise, é importante que os alunos percebam por que não foi utilizado um gráfi co de colu-nas ou de barras, devido à gran-deza distância ser contínua.


F

V

F

95

0,5



Sugestão: produção coletiva de um texto a partir da pergunta: o que mais nós aprendemos sobre gráfi cos de linha?

Antes da resolução dos itens a, b e c, retome a leitura de gráfi cos de linha e oriente os alunos na interpretação das informações. Faça perguntas sobre o desempe-nho de cada atleta; o que signifi -ca o encontro das duas linhas ou quando uma está acima da outra. Ao fi nal, organize as ideias.


Em dois instantes: aproximadamente em 34 e em 47 segundos.

De 10 a 34 segundos, e depois de 47 segundos

O atleta 1



Depois, reproduza o esquema para a construção do gráfi co na lousa e mostre aos alunos como marcar alguns pontos.Aproveite para retomar a ideia de par ordenado, e como loca-lizar pontos entre duas linhas consecutivas como, por exemplo:(14; 36,7).

Considere e analise diferentes respostas dos alunos, pois trata--se de intervalos de tempo. Sis-tematize as ideias em torno da utilização de gráfi cos de linha, e da representação de pontos entre 2 linhas consecutivas.

A resolução das atividades de ve ser antecedida de uma conversa coletiva.Comece perguntando aos alu-nos quem teve febre nos últimos tempos, se se lembram com que temperatura fi caram, se alguém já teve mais que 39 graus...


Entre 13h e 16h e entre 23h e 24h

Entre 15h e 16h

Entre 21h e 22h



Oriente-os a subdividir os in-tervalos para fazer estimativas mais precisas. Por exemplo, fazer 14.250 − 9.500 = 4.750 e depois dividir 4.750 por 4, subdividindo o intervalo em 4 partes iguais.Numa discussão com a turma, socialize as diferentes respostas e ressalte que pode haver várias

respostas corretas, dependendo da estimativa. Mostre-lhes que as respostas seriam tanto mais pre-cisas quanto mais subdivisões se fi zessem nos intervalos.Ao fi nal, sistematize procedimen-tos para determinar valores mais exatos em situações como essa.

Esta atividade pode ser discutida coletivamente.Comente com os alunos que os gráfi cos de barras são semelhan-tes aos de colunas, mas desenha-das horizontalmente. Se tiverem difi culdade para interpretar esse tipo de gráfi co, oriente-os.A atividade envolve a realização de estimativas.


Observando o gráfi co, podemos afi rmar que a empresa vendeu menos produtos no segundo ano (9.500),e mais no quinto ano (quase 19.000).



Se os alunos tiverem difi culdade para interpretar os dados nos grá-fi cos, oriente-os sobre como usar a legenda.Observe como os alunos estão fazendo as estimativas e, se ne-cessário, oriente-os.

Encerrando a atividade, socialize as respostas e ressalte que, de-pendendo da estimativa, diferen-tes respostas podem ser aceitas.Depois, organize as ideias. Suges-tão de roteiro:a) Gráfi co de colunas múltiplas;b) Função da legenda;c) Função do título;d) Função da fonte.

Converse com os alunos so-bre alguns motivos que podem levar a doenças do aparelho respiratório,como a poluição ou a nicotina (em cigarros) e outros, e lembre que uma boa alimentação e a prática de esportes podem atenuá-las ou preveni-las.


Aproximadamente 7,5%

Aproximadamente 3%

Na região sul

A taxa de mortalidade na região sudeste é menor entre 15 e 19 anos e maior entre 1 e 4 anos.



Na atividade 1, os alunos devem identifi car os elementos pedidos no enunciado e avaliá-los quanto à confi abilidade e à clareza.

Na atividade 2, os alunos podem criar vários tipos de legenda. Se você achar que é o caso, sugira, por exemplo, o uso de números, cores ou outro tipo de símbolo que permita identifi car correta-mente os dados da tabela repre-sentados no gráfi co.

Após a leitura do texto, peça aos alunos para retomarem os textos produzidos anteriormente, e, se for necessário, complementá-los.


Resposta pessoal

Título: Taxa de mortalidade decorrente de doenças do aparelho respiratório; fonte: Ministério da Saúde, 1996.

Resposta pessoal



Aproveite a atividade para conver-sar com os alunos sobre o gráfi co de setores e quando utilizá-lo.Verifi que se difi culdades de leitu-ra e interpretação de gráfi cos fo-ram superadas. Em caso contrário, auxilie quem precisar.

Os objetivos das atividades são: estabelecer vínculo entre duas representações de dados, isto é, em tabela e gráfi co, retomar os cálculos de porcentagem, e rever os elementos do gráfi co.Socialize os procedimentos de cálculo.


15 105

Resposta pessoal

6075 30 15



dadas nas linhas, nas colunas e nas intersecções entre elas. Faça perguntas dirigidas para as linhas, como “quantos meninos usam internet?” e para as co-lunas, como “quem usa mais a

internet para conversar com os amigos, os meninos ou as me-ninas?” e para as intersecções: “o que signifi ca o número 30?”Ao fi nal, organize as ideias so-bre tabela de dupla entrada, sua função e seus elementos: título e fonte.

Como se trata de uma tabela de dupla entrada, pode ser necessá-rio ajudar os alunos na interpre-tação das informações.Em tabelas desse tipo, é neces-sário observar as informações

• Resolver situações-problema com dados apresentadosde maneira organizada pormeio de tabelas simples ede dupla entrada.

15 meninos e 20 meninas

35 meninos e 30 meninas

30 meninas

Não há dados para responder a essa pergunta.



No final, pergunte aos alunos se usaram a tabela ou o gráfi co para responder aos itens b e c. Na sistematização, organize as ideias sobre procedimentos para decidir a quantidade de linhas e de colunas em função dos dados

que serão representados. Comen-te que, em geral, os gráfi cos dão uma visão geral da situação, e as tabelas, valores numéricos expli-citados e mais precisos. Inclua esta ideia na sistematização.

Pergunte aos alunos o signifi cado dos números dos eixos horizontal e vertical e leia junto com eles alguns dados do gráfi co.Aproveite e oriente-os na cons-trução da tabela:• número de linhas e de colunas• título• fonte

• Resolver situações-problema com dados apresentadosde maneira organizada pormeio de tabelas simples ede dupla entrada.

Resposta possível

909.000

Milhares de telefones instalados

ano 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005

telefones instalados (em milhares) 367 428 521 589 740 909 1.378 1.368 1.431 1.538 1.642

Sim, havia 1.538.000 telefones instalados no Brasil em 2004.



No item b, pergunte qual tipo de gráfi co pode ser utilizado: coluna, barra, setor ou linha. Espera-se que, com as atividades anterio-res, eles percebam que o de li-nhas não é adequado para esta situação.

Na atividade 1, verifi que a or-ganização da tabela, número de linhas e colunas, a partir dos dados.Se for preciso, peça para reto-marem o texto que foi escrito na atividade anterior.

• Construir tabelas simples e de dupla entrada para apresentar dados coletados.

• Construir gráfi cos de barras, colunas ou setores para apresentar dados coletados.

tipo de jogo

Resposta possível

Xbox 360 PlayStation 2

PlayStation 3 Wii PC

porcen-tagem 15% 25% 20% 10% 30%

0%

8%

15%

23%

30%

Xb

ox

360

Pla

ySta

tion

2

Pla

ySta

tion

3

Wii

PC



Pergunte por que o gráfi co tem colunas de cores diferentes e o que signifi cam os valores apre-sentados.Informe, por exemplo, que o valor 91,4 da coluna “televisão” sig-nifi ca que 91,4% dos brasileiros têm televisão em casa.

Faça uma pesquisa com os alu-nos, perguntando sobre a fre-quência de uso da internet e oriente-os a fazer gráfi cos usando essas informações. Pergunte quem sabe o que é o IBGE e explique que o PNAD é umas das pesquisas que o IBGE faz para conhecer as condições em que vivem os brasileiros.


• Construir gráfi cos de barras, colunas ou setores para apresentar dados coletados.

*1: domicílios / meio de comunicação

*2: microcomputador não ligadoà internet

*3: microcomputador ligadoà internet

telefone fi xo

4,9%

*1 *2 *3

13,7% 48,1% 59,3% 88% 91,4%porcen-ta gem

telefone celular

rádio televisão

pessoa/meio de comunicação

porcentagem

usa internet

21%

tem celular

36,7%



Pergunte aos alunos o nome de outros polígonos e seu número de lados e faça associações com o título que se dá a um time de fu-tebol que já ganhou 5 ou 6 cam-peonatos como pentacampeão ou

hexacampeão. Os polígonos têm esses mesmos prefi xos: o pentágo-no tem 5 lados, e o hexágono, 6.Após a atividade 3, retome a de-composição das superfícies poli-gonais em triângulos.

Depois de uma rápida conversa inicial sobre jogos eletrônicos, pergunte, por exemplo:• Onde está a bola do jogo?• Que fi gura representa os joga-

dores?• O que é polígono?• Cite duas características do re-

tângulo e três do quadrado.

• Resolver situações-problema em que seja necessário compor ou decompor fi guras.

O hexágono

Respostas possíveis:

2 2 3 4



métricas planas que os formam. Dê sugestões como “esta fi gura tem faces triangulares e retangulares”.Explore a possibilidade de contar vértices, faces e arestas obser-vando as planifi cações.Pergunte aos alunos como é a face oposta à base de um prisma. Fale também sobre as faces laterais.Depois, esclareça que as faces

laterais são limitadas por parale-logramos (mui tas vezes, retângu-los) e os polígonos da base e de sua face oposta são congruentes.Da mesma forma, pergunte como são as faces laterais de uma pi-râmide e sua base.Espera-se que eles con cluam que as faces laterais são sem pre tri-ângulos.

Estas atividades podem ser desen-volvidas em grupo.Comece pedindo aos alunos que observem as fi guras dos sólidos e procurem se lembrar de tudo o que sabem sobre poliedros.Pergunte-lhes se algum desses sólidos tem superfícies curvas ou se todas as faces são planas. Peça também o nome das formas geo-

• Quantifi car e estabelecer relações entre o número de vértices, faces e arestas de prismas e pirâmides, relacionando esses números com o número de lados do polígono da base dessas fi guras.

G, E, D

A, B, C, F



Para mostrar o que é uma genera-lização, faça o seguinte:• a cada número que você disser,

eles devem dizer o sucessor, ou seja, um a mais

• comece dizendo qualquer nú-mero e vá dizendo outros, até eles entenderem a brincadeira

• quando eles perceberem a re-gra, diga o número N. Espera-se que alguns digam N + 1.

Repita a brincadeira, mas, agora, eles devem dar um número com duas unidades a mais. Vá dizendo outros números aleatórios e, quan-do eles entenderem a nova regra, diga novamente o número N, para ver se eles respondem N + 2.

Estas atividades devem ser desen-volvidas em grupo.Inicialmente, peça aos alunos que observem bem a pirâmide da fi gura, localizem os vértices, as arestas e as faces e contem quantos são.Explique que, em matemática, às vezes se usam letras para indicar generalizações.


3 4

pirâmide de base

quadrada

pirâmide de base

hexagonal

5

pentágonotriângulo

6 N

4 5 6 7 N + 1

6 8 10 12 2N

4 5 6 7 N + 1

O número de faces é uma unidade maior que o número de lados do polígono da base.

O número de arestas é o dobro do número de lados do polígono da base.

A soma do número de faces e vértices é duas unidades maior que o número de arestas.



Comece pedindo o dobro e vá dizendo números; quando você disser N, espera-se que eles res-pondam 2N.Depois, peça o dobro mais um, vá dizendo números e, em algum momento, diga V, para eles res-ponderem 2V + 1.

Mude para o triplo (3N), para o número mais três (F + 3).A atividade introdutória é es-sencial para a compreensão dos itens a, b e c.

Estas atividades podem ser desen-volvidas em dupla.Faça a mesma brincadeira da ati-vidade anterior, mas difi cultando as regras pouco a pouco.


prisma de base

triangular

3 4 5 6 N

5 6 7 8 N + 2

9 12 15 18 3N

6 8 10 12 2N

prisma de base

triangular

F = N + 2

A = 3N

F + V = A – 2



de lados do polígono da base. Se a cada lado desse polígono cor-responde uma face lateral, o nú-mero de faces sempre será igual ao número de lados do polígono da base mais 1, pois temos que somar a base da pirâmide, que também é uma face.Compreendendo essa relação, se a base de uma pirâmide tem 20

lados, não precisamos ver a pi-râmide para saber quantas faces ela tem, basta pensar que são 20 faces laterais e 1 face que é a base, logo, 21 faces.Comente que esta atividade pre-tende levá-los a novas abstrações de certas propriedades dos pris-mas e pirâmides.

Estas atividades podem ser de-senvolvidas individualmente.Pergunte aos alunos se alguém já ouviu falar em abstração. Explique que a abstração nos permite che-gar a resultados sem ver o objeto: podemos só imaginá-lo ou conhe-cer relações que o compõem.Dê o exemplo da relação das faces de uma pirâmide com o número


5

7

8

15

5

10

8

10

14

24

8

16

11

12

20

30

11

20

16

18

30

48

16

32

N + 1

N + 2

2N

3N

N + 1

2N



• pensar em como resolver oproblema;

• resolver o problema;• depois de encontrar o resulta-

do, reler o problema para ver se esse resultado responde à pergunta.

Estas atividades podem ser de-senvolvidas em dupla.Explique aos alunos que não pre-cisam procurar as respostas nas páginas anteriores, mas devem, em cada problema:• ler o problema e ver se todos

os termos são bem conhecidos;


8 faces

Prisma de base pentagonal

24 arestas

Não, pois o número de vértices é sempre o dobro do número de lados do polígono da base.

5 faces

Prisma de base quadrangular

20 arestas

Não, pois o menor número de lados do polígono da base é 3, portanto, o menor número possível de vértices é 4.



de vértices do polígono de sua base; o número de vértices da pirâmide é igual ao número de vértices do polígono da base adicionado a uma unidade.

• O número de faces de um prisma é o número de lados do polígo-no da base, adicionado a duas unidades; o número de vértices

da pirâmide é igual ao número de lados do polígono da base, adicionado a uma unidade.

• O número de arestas de um prisma é o triplo do número de lados do polígono da base; o número de arestas da pirâmide é o dobro do número de lados do polígono da base.

Nas atividades desta página, é importante que os alunos per-cebam regularidades em relação aos números de vértices, faces e arestas em pirâmides e prismas, em função do polígono da base e que concluam que:• O número de vértices de um

prisma é o dobro do número


6

8

10

Multiplicando o número de lados da base por 2.

Multiplicando o número de lados da base por 3.

Adicionando 2 ao número de lados da base.


Multiplicando 2 ao número de lados da base.


12

5

6

7

8

9

12

15

18

4

5

6

7

4

5

6

7

6

8

10

12



organizações, aprofundamentos e ampliações de ideias e conceitos e que, durante o ano, sempre se devem propor novas atividades envolvendo os temas que estão sendo trabalhados nas Unidades.Estas propostas fi nais, ao lado da sua observação durante as aulas, são bons indicadores da aprendi-zagem dos alunos.

Nesta seção é possível o professor verifi car o que o aluno aprendeu e suas eventuais difi culdades. As atividades visam a essa refl exão e dão indícios sobre como avançar e se há necessidade de reorga-nizar outras propostas ou não. Mas é importante destacar que o conhecimento matemático vai se constituindo por articulações, re-



F

V

F

V



• M1 Reconhecer números inteiros positivos e negativos em contextos diversos e explorar diferentes signifi cados como aqueles em que indicam falta, diferença, orientação (origem) e deslocamento entre dois pontos.

• M14 Resolver situações--problema que abranjam a posição ou a movimentação de pessoas ou objetos utilizando coordenadas cartesianas.

• M16 Esboçar diferentes planifi cações do cubo.

• M29 Construir tabelas simples e de dupla entrada para apresentar dados coletados.

• M31 Produzir textos escritos descrevendo e interpretando dados apresentados em tabelas simples ou de dupla entrada.


calculadora

livro de geografi a

uma esfera de isopor (5 a 10 cm de diâmetro) por dupla

4 palitos por dupla

canetas coloridas

globo terrestre

dados (pelo menos umpor dupla)



de grandes empresas, comprando suas ações. Fale sobre os riscos, pois, se a empresa quebra, o só-cio perde o dinheiro aplicado, mas, se ela cresce, o valor apli-cado também aumenta.

Corrija as atividades e enfatize a importância do sinal negativo dos resultados, pois eles signifi cam falta, perda ou decréscimo, nes-sas situações.É importante ressaltar que o uso do sinal (positivo ou negativo) é estabelecido por convenção.

• Reconhecer números inteiros positivos e negativos em contextos diversos e explorar diferentes signifi cados como aqueles em que indicam falta, diferença, orientação (origem) e deslocamento entre dois pontos.

Circule pela sala orientando as duplas nas discussões e na leitura dos textos.Na atividade 2, pergunte se al-guém sabe o que é a Bolsa de Va-lores. Explique que é uma forma de as pessoas se tornarem sócias

12 ºC

– 3 ºC

16 ºC

4 ºC

– 5%

– 12%



Faça com os alunos uma lista de situações em que os números ne-gativos aparecem.

Na atividade 5, discuta com os alunos que quantidades negativas aparecem muitas vezes em situa-ções cotidianas. Explique que em matemática elas são representa-das por números negativos.

– 20 pontos

São números negativos.



zando as ideias presentes nas ati-vidades. Para isso, considere, entre outros aspectos, os erros decorren-tes da aplicação aos números ne-gativos de conceitos válidos ape-nas para os naturais.Por exemplo:• na atividade 3: responder 11 °C

(resultado de 18 – 7);• na atividade 4: responder março

(porque 1 < 5).

Discuta ainda os diferentes sig-nifi cados dos números negativos: perda de dinheiro; defl ação; tem-peraturas abaixo de zero. Enfatize que os sinais de + e – foram cria-dos por convenção.

Comece a atividade perguntando qual é o instrumento de medida de temperatura e, se esse instru mento marcasse – 5°C, como eles acham que seria o dia: quente ou frio?Ajude os alunos a compreender as informações da tabela e respon-der às questões.Depois da correção da ativida-de 5, discuta com eles organi-


Julho

Janeiro

13 ºC

25 ºC

Fevereiro



−5

5

−3

21



por números negativos• em saldos bancários: o número

negativo pode ser expresso em vermelho ou acompanhado de um (D), de “débito”.

Os problemas propostos têm como resultado um número negativo. Aproveite para retomar as diver-sas representações desse tipo de número e mencione que a mais

comum, justamente por ser válida para todo tipo de situação envol-vendo números negativos, é o sinal – antes do número. Converse tam-bém sobre os signifi cados atribuí-dos ao sinal –: indicação de uma operação (a subtração), que eles conhecem desde as séries iniciais, e, a partir deste ano, a indicação de uma quantidade negativa.

Antes da leitura do texto, per-gunte aos alunos que signifi ca-dos podemos atribuir aos números negativos.Peça mais exemplos e dê outros:• alguns freezers dão a temperatu-

ra interna em números negativos• em certos jogos de videogame:

ao cometer algum erro, os pon-tos perdidos são representados


– 30 reais

– 2



– 3 ºC

– 20 pontos

10, 0, – 10, – 20

Maria

10

– 10

0

– 20



lousa duas retas numéricas – a dos números naturais e a dos nú-meros inteiros – e pergunte quais são as semelhanças e as diferen-ças entre elas.Pergunte por que os números in-teiros são representados dessa maneira na reta numérica e tam-bém como seria a reta numérica dos números inteiros na posição

vertical e com o sentido apontado para cima.Ajude-os a perceber que a repre-sentação dos números inteiros na reta numérica não é arbitrária, mas convencionada, e considera:• a reta numérica dos números

naturais, mostrando que todos os naturais são inteiros (posi-tivos);

Antes de ler o texto, pergunte aos alunos se eles já ouviram as ex-pressões antes de Cristo e depois de Cristo e, depois da leitura, se alguém sabe de alguma coisa que tenha ocorrido antes de Cristo. Se for preciso, dê exemplos. Para as atividades, organize-os em duplas.Antes de prosseguir, desenhe na


– 360

Pitágoras Euclides Bháskara NewtonCardano

Cantor

Porque ele nasceu antes de Cristo.



Depois da correção da ativida-de 2, oriente as duplas a calcular, sem consultar a reta numérica, a “distância” entre:• dois números inteiros positivos;• dois números inteiros negati-

vos;• um número inteiro positivo e

um negativo.

Peça-lhes que deem um exemplo para cada caso.Discutas as respostas.

• a infi nidade de números intei-ros positivos e negativos e sua ordenação (aproveite e relem-bre os conceitos de sucessor e antecessor).

Registre essas ideias na lousa.

• Resolver situações-problema que abranjam a posição ou a movimentação de pessoas ou objetos utilizando coordenadas cartesianas.

1 cm

5 cm

6 cm

8 cm

5 cm

3 cm

4 cm

12 cm



nais (da extremidade superior à extremi dade inferior da esfera), dividindo o modelo em duas metades congruentes. Repita o processo dividindo-o em quatro partes congruentes e, depois, cada quarto em três partes con-gruentes. (Esse processo leva à divisão do modelo em partes que correspondem a 30º cada.)

Use o mesmo processo para traçar as linhas latitudinais.Mostre num globo terrestre o que eles estão fazendo na esfera de isopor. Verifi que a possibilidade de um trabalho multidisciplinar com o professor de geografi a sobre o planisfério.

Peça aos alunos que tragam para a aula desta atividade uma es-fera de isopor, palitos e canetas coloridas.Ajude-os a construir, em dupla, um modelo da Terra com um eixo de rotação feito com palitos nos polos Norte e Sul da esfera.Oriente-os a estabelecer os po-los e a traçar linhas longitudi-

• Resolver situações-problema que abranjam a posição ou a movimentação de pessoas ou objetos utilizando coordenadas cartesianas.



um ponto no plano (no caso, o planisfério), devemos usar um par de números numa determinada ordem (no caso, latitude e lon-gitude). Além disso, é mais uma situação envolvendo números po-sitivos e negativos.Na atividade 3, os alunos devem observar o planisfério para desco-

brir a latitude e a longitude dos locais solicitados, determinados pelos pontos. Por exemplo, na África encontra-se um ponto que está localizado na latitude 10 e na longitude 20.

Organize os alunos em duplas e informe-os que o uso de sinais (menos ou mais) para indicar as coordenadas é uma convenção. Discuta o texto com eles e aju-de-os nas localizações solicitadas nas atividades 1 e 2.A atividade 1 pretende mostrar aos alunos que, para determinar

10

20

10

– 100

– 30

– 20

25

– 45

–115

115

(– 50, – 70)



A atividade 4 é aberta, e o resul-tado depende do país escolhido pelo aluno.

• Resolver situações-problema que abranjam a posição oua movimentação de pessoasou objetos utilizando coordenadas cartesianas.

A Espanha

Resposta pessoal

Japão (40; 140) e Argentina (– 40; – 65). Pode haver pequenas variações nas coordenadas, em virtude do ponto escolhido.



Na atividade 3, escolha dois ou três quadrados desenhados pelos alunos, reproduza-os na lousa e peça aos demais que identifi quem as coordenadas dos respectivos vértices.

Finalmente, peça a todos para rever o que fi zeram e ajude os grupos que tiverem dúvidas.Ao fi nal, ressalte a semelhança de procedimentos na utilização do GPS.

Na atividade 1, peça aos alunos que identifiquem os eixos das abscissas e das ordenadas. Mostre por que o ponto A é identifi cado pelo par (2, 1) e ajude-os cha-mando a atenção para a origem do plano cartesiano (0, 0). Per-gunte se o ponto A pode ser iden-tifi cado pelo par (1, 2) e retome a ideia de par ordenado.


Resposta pessoal, depende da escolha do aluno.

2, – 2 – 1, 1– 1, – 2



cartesiano. Se for preciso, sugira a retomada da atividade anterior.Terminada a atividade 1, lance um debate sobre os diferentes signifi cados do número negativo e lembre-os dos textos e das ati-vidades anteriores.

Pergunte aos alunos onde está o desenho do esqueleto do dinos-sauro. Espera-se que eles sintam a necessidade de usar uma forma efi caz para determinar a posição de um objeto no plano, depois da apresentação do GPS e do plano




As abscissas e as ordenadas da atividade 2 não estão descritas com valores não inteiros, mas o aluno pode optar por utilizar ra-cionais não inteiros, positivos ou negativos.

estátua do faraó

morcego

cachorro

mamute

extintor de incêndio

menino de camiseta vermelha

quadro

cobra

abscissa – 3, ordenada do 2 ao 6

abscissa – 9, ordenada do 1 ao 2

abscissa 3, ordenada – 7

abscissa – 1 a – 2, ordenada do – 9

abscissa – 1, ordenada 3 ou 4

abscissa do 2 ao 4, ordenada 3

menino de camiseta verde



sentação de razões por meio de porcentagens.Na atividade 3, observe como os alunos redigem o texto. Ajude-os a superar difi culdades de escri-ta. É importante que os dados da tabela façam parte desse texto, mas que não sejam apenas trans-critos de forma desorganizada e sem sentido.

Discuta alguns textos com a tur-ma, chamando a atenção para a forma correta de expressar algo que tenha causado dúvidase/ou difi culdades. Devem constar no texto as seguintes informa-ções: 81,4% dos municípios têm biblioteca, 78,1% têm estádio e ginásio poliesportivo e 69,8% têm videolocadora.

Peça aos alunos que leiam a ati-vidade em pequenos grupos e discuta o que são equipamentos culturais. Escreva na lousa os equipamentos culturais do bairro ou município em que residem e sua importância para as pessoas da comunidade.Oriente os alunos quanto à repre-

• Produzir textos escritos descrevendo e interpretando dados apresentados em tabelas simples ou de dupla entrada.

16,3%

Orquestra

Resposta pessoal; biblioteca (81,4%); estádio e ginásio poliesportivo (78,1%); videolocadora (69,8%)



O texto deve destacar as infor-mações contidas na tabela, como as pessoas com 15 ou mais anos de idade, analfabetas e divididas por regiões e grupos de idade, e também por cor ou raça. As in-formações estão na tabela sob a forma de porcentagem.

Oriente os alunos no desenvolvi-mento desta atividade, principal-mente no que diz respeito às in-formações organizadas na tabela.Ajude-os durante a produção do texto e, no fi nal, proponha que alguns leiam o seu em voz alta.


Resposta pessoal



nia, além de fundamentais para a aprendizagem em matemática.Oriente-os quanto à leitura da ta-bela, que pode ser feita segundo as linhas, as colunas ou a inter-secção entre elas, o que depen-de dos dados que nos interessam. Por exemplo, se queremos saber o

número de livros consultados na segunda-feira, devemos adicionar os números que aparecem na se-gunda coluna; se queremos saber o número de consultas a livros de literatura durante a semana, devemos adicionar os números da segunda linha.

Organize os alunos em duplas e converse sobre a importância da leitura em nosso dia a dia, mostrando que ela deve ir além dos livros sugeridos pela escola. A leitura e a interpretação de textos são competências essen-ciais para o exercício da cidada-


64 livros

79 livros

Terça-feira

Na segunda-feira; cinco a mais



Oriente os alunos na escrita do texto da atividade 7 e explore os dados objetivos das atividades anteriores e outros que possam ser obtidos para serem destaca-dos no texto.

Na atividade 6, verifi que se os alunos identifi cam o número 25, que está no cruzamento da linha ciências com a coluna quinta-fei-ra, e signifi ca que foram retirados 25 livros de ciências nesse dia.

5 livros

O número de livros de ciências consultados na quinta-feira.

Os textos dos alunos podem apresentar comparações como:Na sexta-feira, foram consultados 5 livros de literatura a mais do que na segunda-feira. Também podem estabelecer comparações entre as modalidades.



Escolha alguns números da ta be la para ajudar os alunos na interpre-tação. Explique o que signifi cam as escritas milhões e milhares en-tre parentes e ressalte que 14,6 milhões equivalem a 14 milhões e 600 mil.Observe como os alunos leem os números da tabela e, caso seja necessário, oriente-os.

Converse com os alunos sobre a rápida evolução tecnológica e mostre que é um fenômeno relati-vamente novo. Há apenas uma dé-cada, a situação era bem diferen-te. Por exemplo, para encontrar um telefone público em alguns bairros, tínhamos que andar bas-tante. Cite as câmeras fotográfi -cas, as máquinas de escrever etc.


Em 1995, havia 14 milhões e 600 mil telefone fi xos,367 mil telefones públicos e 1 milhão e 400 mil telefones celulares.



Depois da correção individual do texto de alguns alunos, proponha que eles leiam em voz alta.O texto deve conter dados databela.

Em 2005

Resposta pessoal, contendo os dados da tabela sobre telefones fi xos e celulares de 2000 a 2005.



questões a, b, c, d e e, e peça que registrem as respostas.Peça que calculem o saldo de-vedor e discuta formas de repre-sentar essa resposta. Retome a indicação do sinal de menos para o saldo devedor.

Comente com os alunos sobre os extratos bancários, e o que consta desses extratos. Verifi que se sabem o signifi cado de cré-dito e débito e o que signifi ca, nesse contexto, a palavra “vale”. Depois, explore oralmente as

De 1/4 à 12/4

Em 10/4

– 50 ou 50 D

50 reais

Em 5/4 e 12/4

Em 3/4, 6/4, 8/4 e 10/4

Valores do saldo após as operações



Faça algumas discussões que per-mitam aos alunos responder às atividades 2, 3 e 4, como, por exemplo, entre + 15 e – 20 qual é o maior? E entre – 12 e + 3?Socialize as respostas e siste-matize as ideias de comparação entre números inteiros.

Inicie as atividades traçando uma reta numérica na lousa e utili-zando alguns exemplos de loca-lização. Quanto mais à esquerda estiver o número, menor ele será. Se preferir, resolva oralmente a atividade 1 com a turma.

>

>

<

<

<

<

O número positivo

O número zero

O maior é o que está mais próximo do zero.



que informações são comunica-das, ressaltando que os dados es-tão expressos em porcentagem, cuja soma não é 100% porque um dado não exclui o outro.Ajude os alunos a perceber quan-tas linhas e colunas serão neces-sárias para a construção da tabela e chame sua atenção para a fon-

te, que é a mesma do gráfi co, e o título, que precisa ser adaptado.Se surgirem tabelas com 4 linhas e 2 colunas e outras com 2 linhas e 4 colunas, socialize-as discutin-do que uma mesma informação pode ser apresentada de formas diferentes numa tabela.

Informe aos alunos que cada mu-nicípio tem uma política para o desenvolvimento da cultura, que depende dos costumes de cada re-gião como o folclore, a prática de esportes e a formação política etc.Ajude-os na interpretação dos dados apresentados no gráfi co de barras e peça-lhes que digam


Uma possível tabela seria: 37,4%Porcentagem

Políticas públicas

37,1% 37% 36,7%

preservar o patrimônio histórico, artístico e cultural.

tornar a cultura um dos componentes básicos para a qualidade de vida da população

garantir a sobrevivência das tradições

culturais locais

dinamizar as atividades

culturais do município



As atividades 1 e 2 podem ser resolvidas em dupla. Ajude os alu-nos a perceber quantas linhas e colunas serão necessárias para a construção da tabela e chame sua atenção para a fonte, que é a mes-ma do gráfi co, e o título, que pre-cisa ser adaptado. Da mesma forma que na atividade anterior, discuta as diferentes tabelas que surgirem.

Faça uma leitura compartilhada do texto, destacando e escrevendona lousa informações que os alu-nos considerem importantes. Diga aos alunos que os dados do texto podem ser modifi cados pela ação de cidadãos conscientes e dedi-cados à educação no país.


5,7 livros

BrasilPaíses

Excetuando os livros indicados

pela escola temos 1,3.

Caso contrário, temos 4,7 livros

Leituraper capita 2,4 livros 7 livros

Colômbia FrançaUma possível tabela seria:



tas dos alunos e, no fi m, socialize algumas. Discuta com a turma a possibilidade de usar outro tipo de tabela ou mais de uma tabela para apresentar esses dados.Enfatize a importância do título e da fonte.

Os textos devem ser alvo de aten-ção especial. Observe como os alunos usam as informações da tabela e principalmente o sentido de suas frases. Faça as interven-ções necessárias.Sistematize as ideias em torno dos elementos e quantidades de linhas e colunas de uma tabela.

Organize os alunos em duplas, leia o enunciado com eles, interprete pelo menos uma informação do gráfi co e observe como eles inter-pretam as outras. Há várias formas de organizar esses dados na tabe-la; considere as diferentes respos-


uso pessoal

A B C D/E

educação

81,36 72,50 67,57 63,31

trabalho remunerado

54,22 51,52 46,40 52,43

trabalho voluntário

48,33 34,00 26,94 16,75

6,02 3,70 3,10 1,71

Uma possível tabela seria: classe social

Resposta possível: comparar os dados das diversas possibilidades em uma determinada classe social; uso pela internet de determinada classe social.



pliar o vocabulário geométrico dos alunos.Para que eles façam a planifi ca-ção do cubo, explore a quantida-de de faces e a importância de haver, na montagem, duas faces em posições opostas para que seja possível “fechar” o cubo.

Pesquise quadros, esculturas etc. em que estejam presentes o cubo ou formas similares.Escreva na lousa as respostas apresentadas. Distribua cubos e, com os alunos, escreva caracte-rísticas desse sólido: seis faces, todas quadradas e de mesmo ta-manho etc. Aproveite para am-

• Esboçar diferentes planifi cações do cubo.

Uma possível resposta seria:

Resposta pessoal



Chame atenção para o fato de haver prismas – as fi guras A, B e D –, uma pirâmide – fi gura E – eum tronco de pirâmide – fi gura C –,todos com o mesmo número de faces, isto é, 6.

Na atividade 2, verifi que se os alunos percebem que a figura A tem 6 faces retangulares e 2 quadradas, enquanto na fi gura B todas as faces são quadradas.Todas as arestas da fi gura B têm a mesma medida, o que não ocorre na fi gura A.Essa discussão facilita a resolu-ção da atividade 3.

Comente com os alunos que exis-tem diferentes maneiras de clas-sifi car os sólidos geométricos.Na atividade 1, os poliedrosserão classifi cados pelo número de faces.

• Esboçar diferentes planifi cações do cubo.

Resposta possível: todos possuem 6 faces.

Uma possível resposta seria:

Nem todas as faces da fi gura A são quadradas.



Orientações para as atividades des-ta e das duas páginas seguintes:• peça aos alunos sugestões para

verifi car a correção das respos-tas (uma sugestão possível: reproduzir as fi guras e montar os cubos);

• no fi m de cada atividade, peça--lhes que socializem suas estra-tégias e discutam as que foram bem sucedidas e as que não;

• organize pequenos textos que sirvam para a resolução de pro-blemas parecidos.

Alguns dias antes, peça aos alu-nos que tiverem dados que os tra-gam para a escola. Organize-os em duplas e, durante a leitura, oriente-os a observar o dado e comprovar que a soma das faces opostas é sempre igual a 7. Se for preciso, explique o signifi cado da palavra oposta.



• São compostas por 6 superfícies quadradas de mesma medida.

• As 11 planifi cações possíveis.

Na atividade dessa página, per-gunte aos alunos quantas faces tem um cubo e discuta como fazer os desenhos de modo que esse molde, quando fechado, dê origem a um cubo.Organize as ideias em torno das planifi cações da superfície de um cubo:

Possibilidades de resposta:



reorganizações, aprofundamentos e ampliações de ideias e concei-tos e que, durante o ano, sempre se devem propor novas atividades envolvendo os temas que estão sendo trabalhados nas Unidades.Estas propostas fi nais, ao lado da sua observação durante as aulas, são bons indicadores da aprendi-zagem dos alunos.

Nesta seção é possível o professor verifi car o que o aluno aprendeu e suas eventuais difi culdades. As atividades visam a essa refl exão e dão indícios sobre como avançar e se há necessidade de reorga-nizar outras propostas ou não. Mas é importante destacar que o conhecimento matemático vai se constituindo por articulações,

34 mil e 900 celulares

Não, pois em 2004 havia 52 mil e 500 celulares.

1995Anos

Número de usuários (milhares)

1996 1997 1998 1999 2000 2002 2003 2004 2005 2006

1,4 2,7 4,6 7,4 15,0 23,2 28,7 34,9 45,5 52,5 58,0



(– 3, 3)

(1, 1)

(– 4, – 3)

(– 2, 3)

(4, 1)

(2, – 1)

(– 1, 1)

(– 4, – 1)

(4, – 1)

(– 4, 1)

(– 1, – 1)

(2, – 3)

(1, 3)

(– 1, – 3)

(4, – 3)



• M5 Realizar cálculos (mentais ou escritos, exatos ou aproximados) envolvendo operações com números inteiros por meio de estratégias variadas, com compreensão dos processos nelas envolvidos e saber utilizar a calculadora para verifi car e controlar resultados.

• M17 Resolver situações-problema em que seja necessário compor ou decompor fi guras planas.

• M20 Identifi car ângulo como mudança de direção e reconhecê-lo em fi guras planas, nomeando-o em função desuas medidas.

• M24 Calcular a área de superfícies delimitadas pela decomposição e/ou composição em fi guras de áreas conhecidas, ou por meio de estimativas.


calculadora

régua

transferidor

papel transparente

tesoura

MAT7ºANO–2-PROF.indd 127MAT7ºANO–2-PROF.indd 127 9/15/10 2:57 PM9/15/10 2:57 PM


Esta atividade mostrará alguns dos componentes que causam essa poluição e como os órgãos de controle de poluição analisam a qualidade do ar. Antes de propor a atividade 1, leia com os alunos a tabela expli-cando que os números da taxa de concentração referem-se à quan-tidade de microgramas de enxofre

em 1 metro cúbico de ar. Já o índice são valores de referência para comparar essa concentração com a de outros poluentes.Proponha um trabalho multidis-ciplinar com o professor de ciên-cias pedindo-lhe que fale sobre poluentes do ar como dióxido de enxofre, dióxido de nitrogênio, monóxido de carbono e ozônio.

Comece a atividade perguntando se alguém sabe o que é a polui-ção do ar. Comente que, nos dias mais poluídos, o dia fi ca escuro e as pessoas apresentam problemas respiratórios.É necessário explicar o signifi ca-do de μg, e também a unidade μg/m3.

• Realizar cálculos (mentais ou escritos, exatos ou aproximados) envolvendo operações com números inteiros por meio de estratégias variadas, com compreensão dos processos nelas envolvidos e saber utilizar a calculadora para verifi car e controlar resultados.

Inadequada

De 60 pontos

Negativa



– 60

O resultado é um número negativo, pois o índice diminuiu 60 pontos.

Qualquer valor entre 51 e 100

Qualquer valor entre 0 e 50

Por exemplo: saldo bancário, temperatura, painéis de elevadores, etc.



Frise que, independentemente do tipo de deslocamento, seu cálculo será sempre a posição fi nal menos a posição inicial.Comente que o valor numérico do resultado encontrado, sem o sinal, corresponde a “distância” entre os pontos e o sinal refere-se ao tipo de deslocamento efetuado.

Leia com os alunos o texto da atividade 1 esclarecendo as dú-vidas que venham a surgir.Na atividade 2, deixe bem claro que o deslocamento no sentido crescente dos números resulta num número positivo e o contrá-rio resulta num número negativo.


positivo 10

– 3

11

– 5

12

– 9

positivo

2 – 5

11 – 7

13 – 2

3 – 12

13 – 1

negativo

negativo

negativo



Nas atividades 4 e 5 auxilie os alunos a identifi car qual é o deslo camento, se positivo ou negativo, e de quanto é esse deslocamento. Se for necessário, sugira a retomada dos registros feitos na atividade 3.

No fi m da atividade 3, organize as observações de modo que os alunos consigam estabelecer o valor e o sinal do deslocamento entre dois inteiros positivos sem o uso da reta numérica.

Se o minuendo é maior que o subtraendo, o resultado é positivo; se é menor, o resultado é negativo.

Negativo

Negativo

– 10

– 5 °C



usar dinheiro do banco até um certo limite, mas, no fi m do mês, devem pagar juros altos pelo uso desse dinheiro.Comente sobre as vantagens e desvantagens de se ter um che-que especial.

Peça que leiam o texto e resolvam as atividades em dupla.Verifi que como registram os nú-meros, se identifi cam a operação realizada, se justifi cam a razão de obter um resultado positivo ou negativo.

O objetivo das atividades é iniciar o estudo das operações com nú-meros inteiros, no caso a adição e a subtração.Comece a atividade perguntando quem sabe o que é cheque es-pecial. Explique que os clientes que têm cheque especial podem


Porque se adicionam duas dívidas com o banco.

Uma adição

Uma subtração

Porque o valor depositado era maior que o valor devido.

– 1.300



Socialize os textos escritos na ati-vidade 4 e faça uma síntese das discussões.

O valor devido era maior que o valor depositado.

Uma subtração

Negativo, pois 784.324 é maior que 45.328.

Quando adicionamos dois números positivos, o resultado é positivo.Quando adicionamos dois números negativos, o resultado é negativo.Quando adicionamos dois números, um positivo e um negativo,o resultado pode ser positivo ou negativo.



O texto fala em “vidas que exis-tem ali”. Pergunte que vidas são essas. Comente que, além de pre-judicar a fl ora, o desmatamento afeta também a fauna, infl uen-ciando todo o ecossistema de uma região.

Na atividade 1, pergunte quem conseguiu chegar ao resultado da coluna B fazendo só cálculo mental. Aos que conseguirem, pergunte como pensaram. Conte--lhes que nos cálculos de Pedro foi usada a propriedade associa-tiva da adição.

Comece a atividade organizando os alunos em duplas e lendo o texto com eles. Depois, levante questões como: “o que é desmatamento”, “o que são madeireiras clandes-tinas”, “o que é clareira” etc.


Adicionou os números negativos e depois os positivos, e substraiu os resultados.

Signifi ca que ele extraiu 200 hectares a mais do que plantou.



No item b, verifi que se surge al-gum procedimento diferente dos dois propostos e socialize-o.

Na atividade 2, discuta os proce-dimentos de Clara e de Ana para resolverem a expressão. Chame a atenção para o fato de Clara resolvê-la sequencialmente e Anaadicionar todos os positivos e todos os negativos, para depois subtrair os resultados.

Sim. Clara adicionou e subtraiu conforme os números foram aparecendo. Ana adicionou todos os positivos, depois os negativos e subtraiu os resultados.

– 30



dos – e ao aumento da população, a água potável do planeta está escasseando rapidamente.Faça uma leitura compartilhada do texto da atividade 1 e sociali-ze os procedimentos usados pelos alunos para resolvê-la.

Na atividade 2 você pode escre-ver a expressão junto com os alu-nos e perguntar se existem pares de números que convenha operar primeiro como, por exemplo, –18 e –2 ou –43 e –7.

Comece a atividade falando sobre a necessidade de evitarmos o des-perdício de água. Explique que, devido à poluição nos rios, aos hábitos de consumo inadequados das pessoas – lavar calçadas, dei-xar a torneira aberta desnecessa-riamente e tomar banhos demora-


100 – 43 – 18 – 7 – 2 = 30

10 litros



Na atividade 3, verifi que se os alunos fazem o cálculo sequen-cialmente, ou se agrupam os po-sitivos e os negativos para depois subtrair os resultados.Se isso não ocorrer, pergunte quais são as semelhanças e as di-ferenças entre esta atividade e as atividades das páginas 100 e 101.

O consumo médio ultrapassou 16L em relação ao consumo médio diário.

Evitar o gasto de 16L de água.



Comente ainda que o uso da pro-priedade associativa facilita o cálculo mental, pois é possível associar números cuja adição é quase imediata, como na primei-ra expressão, adicionar – 60 + (– 40), cujo resultado é – 100. Depois, fazer mentalmente o cál-culo – 100 + 193 = 93.

Na atividade 2, os alunos vão re-solver as operações com lápis e pa-pel e você pode solicitar que confi -ram o resultado com a calculadora.

Comece a atividade 1 perguntan-do aos alunos se preferem cálculo mental (“de cabeça”) ou escrito.Comente que é importante co-nhecer algumas estratégias para o cálculo mental como a possibi-lidade de escolher que números adicionar ou subtrair primeiro, que também ajudam nos cálculos com papel e lápis.


93

1.427

854

80

– 70

80

– 531

– 1.503

– 374

37

– 1.400

– 300

– 100



Na atividade 3, os alunos de-vem aplicar o que aprenderam de modo a facilitar os cálculos.

– 500 – 876 – 2.937

– 57.033

– 68.870

5.505

– 13.550



Discuta a atividade 1 com os alu-nos e ajude-os a perceber o que Pedro fez.Na atividade 2, se os alunos ti-verem difi culdades para encontrar o resultado, retome a resolução de Pedro e discuta com a classe novamente.

Usou a estimativa e fez tentativas com adições para descobrir o resultado.

2.233

– 3.570

– 87.413



Diga aos alunos que, nas ativida-des 2 e 3, a calculadora é uma ferramenta de controle, que serve para verifi car a adequação da es-tratégia adotada.

Organize os alunos em duplas para que eles troquem impres-sões e refl itam sobre a estratégia do colega.


80.000 – 80.000

10.000

500

444.444

9.999

– 352.426

– 2

90.000

2.700

– 500.000

– 6

23.010

2.999



Retome as escritas numéricas da atividade 1 para que calculem os resultados e completem a tabela da atividade 2.

Escreva um texto coletivo sobre a adição de dois números positivos, dois negativos e um positivo com um negativo e o que acontece com o resultado.Feito isso, peça que completem a atividade 3.

Na atividade 1, discuta o signifi -cado de cada escrita numérica. De-pois, peça a um aluno que leia os textos. Discuta com a classe cada texto lido, associando-o a uma escrita numérica correspondente.

c

+ 47

o resultado é um número positivo.

o resultado é um número negativo.

o sinal do resultado pode ser positivo ou negativo.

+ 3– 3 – 47

b a d



A atividade 3 pode ser resolvida em duplas. Um dos alunos da du-pla elabora o texto da expressão a e o outro o da expressão b. De-pois, eles trocam os livros e cada um resolve o problema proposto pelo outro.Socialize alguns textos de proble-mas com a classe e comente as resoluções.

As atividades dessa página en-volvem adições e subtrações com números inteiros, positivos e negativos.Discuta com a classe os procedi-mentos de cada caso e socialize as resoluções.

+ 8 – 8

– 8

– 10

– 3

+ 10

+ 6

+ 9

– 20

– 6

– 4

+ 2

– 9

+ 20

+ 2

+ 2 – 2



Organize os alunos em dupla e pergunte quem sabe usar trans-feridor. Comente que existem transferidores de meia volta, com 180º, e de uma volta, com 360º.Relembre o nome dos elementos de um ângulo: lados e origem.Ajude-os no uso do transferidor para medir os ângulos B e C.

• Identifi car ângulo como mudança de direção e reconhecê-lo em fi guras planas, nomeando-o em função desuas medidas.

B = 120° e C = 20°

α = 45ºO



em especial, com polígonos, re-gulares ou não, e ainda com po-lígonos diferentes num mesmo desenho – mas que nesta ativi-dade trabalharemos com padrões de um único tipo de polígono.

Inicialmente, converse com os alunos sobre diferentes aplica-ções de ladrilhos e os diferentes materiais que são usados. Conte também que há ladrilhamentos com diversas formas e fi guras,

• Resolver situações-problema em que seja necessário compor ou decompor fi guras planas.

Os lados e os ângulos internos de cada polígono têm a mesma medida.



junções desses polígonos – eles podem medir os ângulos com um transferidor. Chame atenção para a soma dos ângulos em cada jun-ção dos polígonos, que é igual a 360 graus.

Na atividade 2, procure levar os alunos a perceber que há al-guma regularidade em relação aos ângulos dos polígonos que podem ser usados para fazer o ladrilhamento e a observar as

• Resolver situações-problema em que seja necessário compor ou decompor fi guras planas.

Triângulos, quadrados ou hexágonos

Os ângulos internos dos dois polígonos não permitem encaixes.


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