annelise yuiko idehararepositorio.unicamp.br/jspui/bitstream/reposip/264042/1/...analisa-se de forma...

UNIVERSIDADE ESTAUDAL DE CAMPINAS FACULDADE DE ENGENHARIA MECÂNICA

COMISSÃO DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MEÂNICA

ANNELISE YUIKO IDEHARA

Cálculo de Esforços Longitudinais em Virabrequins

Campinas, 2009

Annelise Yuiko Idehara


Área de concentração: Projeto Mecânico

Orientador: Auteliano Antunes dos Santos Júnior

Campinas, 2009

Dissertação apresentada ao Curso de Mestrado da Faculdade de Engenharia Mecânica da Universidade Estadual de Campinas, como requisito para a obtenção do título de Mestre em Engenharia Mecânica.

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FICHA CATALOGRÁFICA ELABORADA PELA BIBLIOTECA DA ÁREA DE ENGENHARIA E ARQUITETURA - BAE - UNICAMP

Id2c

Idehara, Annelise Yuiko Cálculo de esforços longitudinais em virabrequins / Annelise Yuiko Idehara. --Campinas, SP: [s.n.], 2010. Orientador: Auteliano Antunes dos Santos Junior. Dissertação de Mestrado - Universidade Estadual de Campinas, Faculdade de Engenharia Mecânica. 1. Automóveis - Motores - Combustão. 2. Automóveis - Dinâmica - Métodos de simulação. 3. Mancais hidrostáticos. I. Santos Junior, Auteliano Antunes dos. II. Universidade Estadual de Campinas. Faculdade de Engenharia Mecânica. III. Título.

Título em Inglês: Longitudinal loads in the crankshaft Palavras-chave em Inglês: Automobiles - Motors - Combustion, Automobiles -

Dynamics - Simulation methods, Bearings, Fluid-film Área de concentração: Mecânica dos Sólidos e Projeto Mecânico Titulação: Mestre em Engenharia Mecânica Banca examinadora: Douglas Eduardo Zampieri, Oswaldo Horikawa Data da defesa: 14/07/2010 Programa de Pós Graduação: Engenharia Mecânica

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UNIVERSIDADE ESTAUDAL DE CAMPINAS FACULDADE DE ENGENHARIA MECÂNICA

COMISSÃO DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MEÂNICA DEPARTAMENTO DE PROJETO MECÂNICO

DISSERTAÇÃO DE MESTRADO ACADÊMICO


Autor: Annelise Yuiko Idehara Orientador: Auteliano Antunes dos Santos Júnior A banca examinadora composta pelos membros abaixo aprovou esta Dissertação:

Campinas, 14 de julho de 2010.

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Agradecimentos

Presto meus agradecimentos aos engenheiros Alex de Souza Rodrigues, Robson Ferreira da Cruz,

Sergio Gradella Villalva, Pedro Henrique Ferreira, Rafael Augusto de Lima e Silva, Luis Antonio

Fonseca Galli (Thyssenkrupp Metalúrgica Campo Limpo) que contribuíram com este trabalho com

comentários e sugestões que enriqueceram bastante esta dissertação.

Gostaria também de prestar meus agradecimentos a minha família que me apoiou pela vida toda e

em especial ao meu irmão Sergio Junichi Idehara.

Aos meus amigos de graduação que dividiram muitos momentos, agradeço-os imensamente pela

amizade e pelo apoio nas dificuldades.

Por fim, agradeço meu orientador Prof. Dr. Auteliano Antunes dos Santos Júnior que sempre

incentivou meu progresso neste projeto de pesquisa.

v

Resumo Idehara, Annelise Yuiko, Cálculo de esforços longitudinais em virabrequins, Campinas, Faculdade de Engenharia Mecânica, Universidade Estadual de Campinas, 2009, Tese de Mestrado. Este trabalho tem como objetivo a análise do fenômeno de vibração na direção

longitudinal de árvore de manivelas em motores de combustão interna, o cálculo de esforços

sobre o mancal e o cálculo dos deslocamentos causados pela dinâmica do virabrequim. Essa

vibração é apontada como uma das causas de desgaste precoce dos componentes acoplados ao

virabrequim e do próprio componente. Reduzir essa vibração contribui para o aumento da vida

útil e eficiência. A formulação proposta para estudo da dinâmica da estrutura é o modelo de

múltiplos graus de liberdade com massas e inércias concentradas. Para o cálculo dos esforços de

reação dos mancais, a equação de Reynolds é resolvida por diferenças finitas. Além disso, o

programa comercial Excite (AVL) é utilizado para aferir resultados e fazer comparações. Os

resultados são apresentados para diferentes condições de operação em um virabrequim comercial.

Analisa-se de forma simples o efeito da redução de massa de 5% e de 10%. Por fim, conclui-se

que a árvore de manivelas simulada não apresenta desgaste por contato metal-metal.

Palavras chave: Vibração longitudinal em virabrequim, mancal, diferenças finitas, equação de Reynolds.

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Abstract

Idehara, Annelise Yuiko, Longitudinal Loads in the Crankshaft, Campinas, Faculdade de

Engenharia Mecânica, Universidade Estadual de Campinas, 2009, Master Degree Thesis.

This paper aims to analyze the phenomenon of vibration in the longitudinal direction of

the crankshaft in internal combustion engines, the calculation of loads on the bearing and the

calculation of displacements caused by the dynamics of the crankshaft. This vibration is

identified as a cause of premature wear of the components coupled to the crankshaft and the

component itself. Reduction in this vibration contributes to increased efficiency and life service

time. The proposed formulation to study the dynamics of the structure is the model of multiple

degrees of freedom with concentrated masses and inertias. The Reynolds equation is solved by

Finite Differences Method to calculate the supported load of the bearing. In addition, the

commercial program Excite (AVL) is used to evaluete results and make comparison. The results

are presented for different operating conditions in a commercial crankshaft. A simple analysis of

a crankshaft mass reduction of 5% and 10% is done. Finally, a conclusion that the crankshaft

does not present a metal-metal contact is done.

Keyword: Longitudinal vibration on crankshaft, bearing, Reynolds equation, Finite differences

Method.

vii

Lista de ilustrações

Figura 3- 1: Esquema do sistema Biela-Manivela empregado na criação do modelo adotado, à

esquerda ................................................................................................................................. 11

Figura 3- 2: Esquema de forças envolvendo forças de combustão, tangencial, radial e momento

de torção ................................................................................................................................ 13

Figura 3- 3: Pressão de Combustão em função do ângulo de manivela ........................................ 15

Figura 3- 4: Força Tangencial em função do ângulo de manivela ................................................ 16

Figura 3- 5: Força Radial em função do ângulo de manivela........................................................ 17

Figura 3- 6: Torque em função do ângulo de manivela................................................................. 18

Figura 3- 7: Força axial aplicada à embreagem fornecida pela empresa Sachs (modelo 1540)... 19

Figura 3- 8: Interação com embreagem ao engatar [G. Offner, M. Lechner, 2003] ..................... 20

Figura 3- 9: modelo da árvore de manivelas com múltiplos graus de liberdade ........................... 20

Figura 3- 10: Acoplamento dos graus de liberdade...................................................................... 21

Figura 3- 11 : Sistema de coordenadas ortogonais x, y, z ............................................................. 28

Figura 3- 12: Esquematização do domínio de integração............................................................. 30

Figura 3- 13: Pontos da malha sobre o mancal axial para discretização. ...................................... 31

Figura 4- 1: Árvore de manivelas forjada utilizada nas simulações............................................. 35

Figura 4- 2: Suporte do bloco do motor e mancal principal .......................................................... 36

Figura 4- 3: Distribuição de pressão e espessura de filme de óleo sobre mancal de setores de 90°

............................................................................................................................................... 39


............................................................................................................................................... 40


............................................................................................................................................... 40


............................................................................................................................................... 40

Figura 4- 7: Viscosidade Requerida em função da velocidade de rotação.................................... 41

Figura 4- 8: Pontos estudados........................................................................................................ 42

viii

Figura 4- 9: Deslocamento total causado pela vibração torcional a 1100rpm em função do ângulo

de manivela............................................................................................................................ 42

Figura 4- 10: Deslocamento axial 1100rpm em função do ângulo de manivela ........................... 43

Figura 4- 11: Força Axial sobre mancal a 1100rpm em função do ângulo de manivela a esquerda

e a resposta em freqüência a direita....................................................................................... 43

Figura 4- 12: Vibração torcional 1500rpm em função do ângulo de manivela............................. 44

Figura 4- 13: Vibração axial 1500rpm em função do ângulo de manivela ................................... 44















Figura 4- 24: Discretização do virabrequim no programa EXCITE ............................................. 51

Figura 4- 25: Conjunto árvore de manivelas-mancais-carcaça ..................................................... 51

Figura 4- 26:Força axial considerando mancal como mola e amortecedor................................... 52

Figura 4- 27: Comparação dos resultados no domínio do tempo.................................................. 53

Figura 4- 28: Comparação dos resultados no domínio da freqüência ........................................... 53

Figura 4- 29: Deslocamento axial a 2500 rpm .............................................................................. 55

Figura 4- 30: Força axial, considerando embreagem em quatro velocidades ............................... 55

Figura 4- 31: Máximo deslocamento axial .................................................................................... 56

Figura 4- 32: Máxima força axial em função da velocidade ......................................................... 57

Figura 4- 33: Comparação da força axial em árvore de manivelas com massas reduzidas........... 60

ix




x

Lista de Tabelas

Tabela 4- 1: Segmentos com massas ............................................................................................. 37

Tabela 4- 2: Rigidez axial e torcional............................................................................................ 38

Tabela 4- 3: Freqüências naturais.................................................................................................. 59

xi

Lista de Abreviaturas e Siglas

Letras Latinas

A – área da superfície [m2] Ai – coeficientes da equação de distribuição de pressões em diferenças finitas a – aceleração instantânea do pistão [m/s2] C – coeficiente de amortecimento [N.m.s/rad] d – fator de perda dp – diâmetro do pistão [m] F – carga aplicada no mancal [N] F0 – capacidade de carga do mancal para uma sapata Fir – força de inércia rotativa [N] Fia – força de inércia alternativa [N] Fr – força radial resultante [N] Fra – força radial das inércias rotativas [N] Frp – força radial dos gases [N] Ft – força tangencial resultante [N] Fta – força tangencial das inércias alternativas [N] Ftp – força tangencial dos gases [N] G – módulo de cisalhamento dinâmico [MPa] h – espessura do filme de óleo numa posição qualquer entre duas placas [µm] H – perda de potência [W] I – momento de inércia [kg.m2] i – contador na direção θ, variável discreta Ialt – momento de inércia das massas alternativas [kg.m2] j – contador na direção r, variável discreta ka – rigidez axial do virabrequim [N/m] K – fator que relaciona hp/hrs Kt – rigidez torcional [N.m/rad] L – comprimento da biela [m] Lp – largura da sapata [mm] m – número de nós da malha na direção do raio ma – massas alternativas [kg] mab – massa alternativa da biela [kg] mb – massa total da biela [kg] mrb – massa rotativa da biela [kg] Mt – momento torçor [N.m] p – pressão na iteração i-1, adimensional pm – pressão na iteração i [N/m2] r – raio da manivela ou meio curso do pistão [m] Re – raio externo da sapata do mancal [mm] Ri – raio interno da sapata do mancal [mm] ro – massa especifica do lubrificante [kg/m3] v – velocidade instantânea do pistão [m/s]

xii

x – posição instantânea do pistão [m] Z – número de sapatas

Letras Gregas

α − ângulo de inclinação da superfície superior da sapata em relação aos eixos da coordenadas cilíndricas r e θ [°]

β − ângulo da biela [°] ∆ − passo ou incremento em uma determinada direção η − viscosidade absoluta [Pa.s] θ − ângulo unitário e eixo das coordenadas cilíndricas [°] λ − fator lambda ω − velocidade angular do virabrequim [rad/s] ωn – freqüência natural do sistema

xiii

Sumário Capítulo 1: Introdução ..................................................................................................................... 1

1. 1 Objetivo ........................................................................................................................... 3 Capítulo 2: Revisão Bibliográfica ................................................................................................... 5 Capítulo 3: Modelagem Teórica .................................................................................................... 10

3. 1 Comportamento dinâmico da árvore de manivelas ............................................................ 10 3. 2 Cinemática do sistema Biela-Manivela .............................................................................. 11 3. 3 Esforços Dinâmicos............................................................................................................ 13

3. 3. 1 Forças de inércia......................................................................................................... 13 3. 3 . 2 Forças de Combustão ................................................................................................ 14 3. 3. 3 Força Tangencial ........................................................................................................ 15 3. 3. 4 Força Radial................................................................................................................ 17 3. 3. 5 Torque aplicado .......................................................................................................... 18

3. 4 Interação com a embreagem............................................................................................... 19 3. 5 Modelo Estrutural da árvore de manivelas ........................................................................ 20 3. 6 Condição de contorno......................................................................................................... 24 3. 7 Resolução do sistema de equações pelo Método de Newmark .......................................... 24 3. 8 Modos de vibração e freqüências naturais......................................................................... 26 3. 9 Interação com filme de óleo do mancal radial.................................................................... 27 3. 10 Dinâmica do fluido e distribuição de pressão em mancais axiais .................................... 29 3. 11 Diferenças Finitas para resolução da Equação de Reynolds ............................................ 30 3. 12 Força resultante no mancal ............................................................................................... 33 3. 13 Viscosidade Requerida ..................................................................................................... 33 3. 14 Rigidez do mancal hidrodinâmico................................................................................... 33 3. 15 Resumo do Capítulo ......................................................................................................... 34

Capítulo 4: Resultados................................................................................................................... 35 4. 1 Modelo Simulado ............................................................................................................... 35 4. 2 Resultados de distribuição de pressão e espessura do filme de óleo .................................. 39 4. 2 Resultados de deslocamentos e força axial......................................................................... 41 4.3 Freqüências naturais ............................................................................................................ 50 4. 4 Simulação no pacote comercial Excite (AVL) ................................................................... 50 4. 5 Interação com embreagem.................................................................................................. 54 4. 6 Discussão dos resultados ............................................................................................... 56 4.7 Redução de massa.......................................................................................................... 58

Capítulo 5: Conclusões e Trabalhos Futuros................................................................................. 63 5. 1 Sugestão de Trabalhos Futuros...................................................................................... 64

Referências Bibliográficas............................................................................................................. 66 Apendice A .................................................................................................................................... 69 Apêndice B .................................................................................................................................... 74 Apêndice C .................................................................................................................................... 83

1

Capítulo 1

Introdução

Desde sua invenção, os motores a combustão interna têm sido amplamente

utilizados em veículos devido seu relativo baixo custo de produção em massa, sua

facilidade de armazenamento e utilização do combustível. Apesar disso, os motores emitem

gases de efeito estufa, têm baixa eficiência (comparado aos motores elétricos) e produzem

ruídos, ou seja, o motor de combustão interna ainda tem muitos aspectos a serem

melhorados.

O motor é uma das partes mais importantes de veículos e é responsável por

transformar energia em forma de combustível (energia química) em movimento (energia

mecânica). É no motor onde ocorre a queima do combustível, que faz a árvore de

manivelas girar e movimentar o eixo dos veículos motorizados.

Existem diversos modelos de motores de combustão interna que variam em número

de cilindros, posição dos cilindros e há ainda os modelos sem cilindros. Pode também

variar no tipo de combustível – diesel, álcool ou gasolina. Cada modelo tem vantagens e

desvantagens e sua utilização é determinada pelos requisitos. Por exemplo, os veículos que

demandam maior potência possuem seis cilindros, enquanto os motores de quatro cilindros

são mais adequados para veículos de passeio ou de pequeno porte. Nos últimos anos, os

requisitos tem se tornado mais severos, pois o consumidor final querer um motor mais leve,

que consuma menos combustível e com potência maiores.

Para responder a essa demanda, empresas de autopeças e montadoras têm investido

nas áreas de pesquisa e desenvolvimento. A forma mais confiável de desenvolver novos

2

modelos é através dos testes em protótipos, porém essa prática é bastante cara. Por isso as

simulações computacionais são muito importantes como uma das etapas iniciais de projeto.

Com modelos computacionais, é possível reduzir ao mínimo os casos de testes em

protótipos reais, eliminando soluções que não atingem os requisitos mínimos nas

simulações virtuais.

Nas últimas décadas, muitas empresas e centros de pesquisa como a AVL, PTC

(Pro-engineer), Nastran (Nasa e MSC Software) e Ansys (Ansys) têm investido recursos e

tempo para desenvolvimento de softwares para simular o comportamento estático e

dinâmico de estruturas, reações químicas, sistemas eletrônicos e etc.

A simulação virtual nunca substitui completamente os testes em protótipos, mas

agiliza o processo inicial de desenvolvimento de novos modelos.

Para o desenvolvimento dos softwares especializados, é muito importante entender

os efeitos relevantes e as considerações que podem ser feitas na modelagem dos problemas.

Isto é, modelos são idealizações do sistema real e alguns efeitos muito pequenos podem ser

desprezados para simplificar a resolução do problema proposto. O conhecimento das causas

dos efeitos menores e sua inclusão nos softwares de simulações é um passo para melhorar a

performance dos motores de combustão interna.

Os componentes do motor devem ser robustos e resistentes para suportar os

esforços de combustão, desgaste, fadiga e altas tensões geradas. Ao mesmo tempo, os

componentes devem ser os mais leves possíveis para redução do peso do veículo. Esses

requisitos (resistência e peso) são os mais importantes para o dimensionamento e o projeto

dos componentes dos motores atualmente segundo Offner e Lechner [1].

Dessa forma, os estudos dos esforços e da dinâmica do motor devem ser bem

entendidos para o correto dimensionamento do motor. Esforços de menor intensidade que

antes eram encobertos por coeficientes de segurança conservadores, hoje são estudados

para um dimensionamento de componentes mais leves.

Os esforços axiais para motores de combustão interna na árvore de manivelas são de

intensidade muito menor que os esforços de torção ou flexão e, portanto, foram menos

estudados que esses esforços nas décadas passadas segundo Shu e Liang [2]. Entretanto,

sabe-se que o movimento longitudinal excessivo da árvore de manivelas pode provocar

ruídos, gerar um campo de tensões adicional, aumentar o desgaste dos pistões (e outros

3

componentes) ou destruí-los em casos extremos. O movimento longitudinal excessivo pode

ser causado por desbalanço, acoplamento dos outros graus de liberdade, desalinhamento, ou

instabilidade do filme de óleo segundo Shu e Liang [2].

O acoplamento torcional-axial da árvore de manivelas, a componente radial da força

de combustão e os esforços externos excitam os graus de liberdade longitudinais da árvore

de manivelas segundo Shu e Liang [2]. Estes são as causas apontadas para o fenômeno da

vibração que reduz a eficiência do motor e sua vida útil.

1. 1 Objetivo

Esta dissertação tem como objetivo a análise do fenômeno de vibração na direção

longitudinal de árvore de manivelas em motores de combustão interna, o cálculo de

esforços sobre o mancal e o cálculo dos deslocamentos causados pela dinâmica do

virabrequim.

1. 2 Descrição dos Capítulos

No capítulo 2, é apresentada a revisão bibliográfica estudada no trabalho. Os

trabalhos estudados foram desenvolvidos no Brasil ou no exterior e abrangem o tema deste

trabalho desde a década de 40 até os dias atuais. Recomenda-se a leitura de livros, como

por exemplo Martins [3], sobre motores de combustão interna para o entendimento do

funcionamento básico do motor.

No capítulo 3, são apresentados os conceitos teóricos e a descrição da metodologia

adotada para os cálculos realizados. A cinemática do sistema biela-manivela é apresentada.

Deslocamentos, velocidade e acelerações são descritos em função dos graus de liberdade.

Os esforços dinâmicos sobre a árvore de manivelas são apresentados em função da pressão

de combustão (dados empíricos fornecidos pela empresa Thyssenkrupp). A modelagem do

sistema e sua discretização são discutidas e o método de solução das equações diferenciais

é apresentado. Além disso, é apresentada a teoria de lubrificação dos mancais.

4

No capítulo 4, são apresentados resultados das simulações realizadas e discussão

dos resultados.

Finalmente, são apresentados conclusões e temas de trabalhos futuros no último

capítulo.

5

Capítulo 2

Revisão Bibliográfica

Em 1941, Poole [4] iniciou estudos de vibração longitudinal em árvore de

manivelas em motores de combustão interna, mas pouca atenção foi dada ao assunto nesse

período, pois os pesquisadores da época focaram-se nos esforços torcionais, nas forças

verticais e nas forças horizontais (esforços de flexão) em mancais radiais, que são mais

críticos do que forças na direção axial. Poole enfatizou que o movimento axial pode ser um

fator importante no desgaste de componentes ligados ao virabrequim, como as bielas e os

pistões. Seu estudo se focou no ruído produzido por motores a diesel em embarcações de

grande porte.

Em 1952, Orcvirk [5] propôs uma solução completa e detalhada para o problema

dos chamados mancais radiais curtos, que em seus estudos apresentavam uma relação de

L/D (comprimento por diâmetro) menor que ½ . Esta solução é aceita também para valores

mais elevados atualmente. Orcvirk discutiu os resultados em termos da distribuição de

pressão do filme de óleo no mancal, que é uma das causas dos esforços que atuam sobre o

virabrequim.

Nesse período, muitos estudos [6-10] foram feitos para formular os problemas

matematicamente e relacioná-los às observações experimentais. A teoria da lubrificação

hidrodinâmica amadureceu bastante e a equação de Reynolds já havia sido resolvida para

6

quase todas as configurações geométricas simples, tanto para lubrificantes líquidos, quanto

para gasosos. Um marco desta época foi a percepção de que os mancais não poderiam ser

estudados isoladamente das características dinâmicas dos rotores, surgindo um novo

enfoque além da lubrificação.

Nas últimas décadas, os estudos de mancais e eixos em rotação avançaram bastante

com o desenvolvimento dos computadores e a possibilidade de realizar simulações virtuais.

Em 1994, Ying et all e Li et all [11] contribuíram com estudo de vibração acoplada

(torsional-axial e flexial-axial) apresentando um modelo simples de rigidez, massa e

amortecimento equivalentes para as equações de movimento. Em 1995, Xue et al [12]

apresentou continuidade ao trabalho desses autores e descreveu melhor os coeficientes de

vibração acoplada que caracterizam a intensidade do acoplamento entre os graus de

liberdade citados. Eles concluíram que a análise da vibração longitudinal é significativa e

seu entendimento pode contribuir para um design mais leve do virabrequim sem reduzir seu

desempenho.

No mesmo ano, Okamura e Morita [13] pesquisaram o comportamento

tridimensional em eixos em geral. Esses autores contribuíram nessa linha de pesquisa

utilizando elementos de contorno em vez de elementos finitos. Os resultados encontrados

foram bastante próximos aos obtidos anteriormente. Os autores ainda comentaram a falta de

condicionamento das matrizes para os cálculos realizados. Estes autores trabalharam em um

modelo de múltiplos graus de liberdade.

Em 1997, Knoll, Schonen e Wilhelm [14] desenvolveram trabalhos sobre análise do

virabrequim e do bloco do motor em regime elastohidrodinâmico. Compararam com

resultados experimentais e com a solução utilizando o método da impedância (técnica de

monitoramento da integridade) e concluíram que ambos têm boa concordância com os

experimentos. Entretanto, verificaram que o tempo computacional utilizado no algoritmo

para considerar o regime elastohidrodinâmico é muito maior comparado ao método da

impedância.

Em 2000, Mourelatos [15] fez uma análise estrutural em virabrequins considerando

a rigidez do bloco e a lubrificação hidrodinamica. O autor ainda relacionou a dinâmica com

a geração de ruído e trabalhou em problemas de NVH (noise and vibration harshness). No

ano seguinte, Rozeanu e Kennedy publicaram seu trabalho sobre desgaste em mancais com

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uma abordagem experimental em locais críticos. Eles ainda relataram a influência de

lubrificantes no desgaste dos componentes diretamente acoplados ao virabrequim, como as

bielas e os mancais.

Em 2003, Offner, Priebsch e Laback [16] apresentaram solução da equação de

Reynolds para mancais curtos e longos. Eles apresentaram algoritmos utilizando a

interpolação de Fritch-Butland que se apresentaram mais eficientes e mais precisos do que

os algoritmos apresentados na década de 70 para problemas de contato com não-

linearidades. O trabalho desses autores é bastante importante na área, pois eles incluíram a

dinâmica estrutural acoplada à dinâmica do filme de óleo.

Em 2005, Bukovnik, Dorr, Caika, Bartz, Loibnegger [17] fizeram uma comparação

dos diferentes modelos (Hidrodinâmico, Elastohidrodinâmico e Termoelastohidrodinâmico)

para mancais de motores de combustão interna. Entre os modelos, os autores compararam

os resultados em termos de excentricidade, distribuição de temperatura, picos de pressão do

filme de óleo. Os autores concluíram que os modelos Elastohidrodinâmico e

Termoelastohidrodinâmico consomem muito esforço computacional e requerem muitos

dados de entrada para resolução do problema. Por isso, em algumas situações, o modelo

hidrodinâmico é suficiente para estudar a dinâmica.

Em 2006, Offner, Leibnergger, Priebsch e Mcluckie [18] apresentaram continuidade

do trabalho de 2003, desenvolvendo um trabalho de vibração na direção longitudinal

considerando esforços da embreagem, dos mancais e acelerações. Também concluíram que

as simulações utilizando a interpolação de Fritch-Butland consomem menos tempo do que

utilizando interpolação cúbica.

Priebsch e Offner [19] ainda publicam um outro trabalho sobre dinâmica de

múltiplos corpos flexíveis (lineares). Foram considerados pistões, árvore de manivelas e

bielas com interação com óleo de cada estrutura. O tempo computacional para a simulação

realizada foi bastante elevado segundo os autores. Os resultados dessas simulações foram

comparados com experimentos e os autores concluíram que a modelagem é válida.

Em 2007, Shu e Liang [2] publicaram uma forma simplificada (modelo discreto de

múltiplos graus de liberdade acoplados por força) de calcular a vibração axial de

virabrequins e a compararam com resultados experimentais. Os autores propuseram duas

formas acopladas de excitação: torcional-axial e flexural-axial. Eles realizaram testes e

8

mediram a vibração axial de árvore de manivelas e compararam resultados simulados

virtualmente com os testes. A modelagem proposta pelos autores mostrou-se eficiente do

ponto de vista computacional, pois as matrizes de massa, rigidez e amortecimento

apresentam ordem reduzida em relação ao método dos elementos finitos, que necessitaria

de uma discretização mais refinada e, portanto, um tempo computacional de simulação

muito superior.

Em 2008, Choi e Pan [20] publicam artigos sobre cálculos das tensões na região do

filete e testes de fadiga considerando anisotropia do material. Este procedimento de cálculo

foi implementado no software ABAQUS. Eles ainda propuseram como estudos posteriores

o comportamento de crescimento ou fechamento de trinca em condições carregadas e não

carregadas.

Pode-se notar que os trabalhos anteriores a 2000 são mais teóricos e de aplicação

mais abrangente, isto é, com enfoque em métodos matemáticos e modelagem. Já os

trabalhos mais recentes enfocam a aplicação. Muitos trabalhos apresentam resultados

experimentais em motores reais e realizam validações de modelos teóricos, como o trabalho

de Shu e Liang [2].

No Brasil, os motores de combustão interna são também bastante estudados.

Encontram-se na literatura muitos detalhes sobre a cinemática e a dinâmica dos principais

componentes dos motores.

Em 2005, Gerardin e Bittencourt [21] trabalham em um modelo dinâmico do

sistema pistão-biela-manivela com mancais hidrodinâmicos. Os autores apresentaram um

modelo dinâmico utilizando a formulação de Newton-Euler que permite calcular as forças

dinâmicas e folgas no mancal principal resolvendo a equação de Reynolds com o método

de Newton-Raphson. Os resultados obtidos foram comparados com um software comercial

para validar o modelo.

No mesmo ano, Mendes, Meirelles e Zampieri [22] trabalham com desenvolvimento

e validação de metodologia para análise de vibrações torcionais em motores de combustão

interna. A modelagem teórica desse trabalho engloba: cinemática do sistema biela-manivela,

forças resultantes das manivelas, influência do absorvedor na resposta do sistema, inércias

do trem de engrenagens e forças devido combustão. A equação de movimento é resolvida

com integral de convolução. Além disso, foram realizadas medições experimentais em um

9

motor da MWM Motors para comparar os resultados obtidos e para validação do método de

cálculo. O autor conclui que a árvore de manivelas simulada sofre uma deformação maior

que a limite recomendada por normas (0,25°) e o uso de amortecedor de borracha não é

recomendado.

Em 2006, Galvão e Schwarz [23] apresentaram resultados de desempenho de

mancais axiais em máquinas rotativas. Eles discutiram a distribuição de pressão e

apresentam resultados em termos capacidade de carga, viscosidade requerida, pressão

média, centro de pressão, vazão de óleo, perda de potência e torque de atrito. Por fim,

compararam resultados simulados com resultados experimentais, validando seu modelo.

No mesmo ano, Gandara [24] publicou um trabalho sobre mancais com movimento

oscilatório (oscilação pela base). O autor apresentou como resultado a espessura do filme

de óleo em função do tempo e da freqüência de oscilação, o que permite avaliar as

condições de lubrificação do sistema.

Na literatura foi possível encontrar modelos matemáticos para modelar o

mecanismo de motores de combustão interna, detalhes da cinemática e dinâmica,

modelagem de mancais hidrodinâmicos, resolução das equações diferenciais que governam

o movimento das estruturas e a distribuição de pressão dos fluidos nos mancais. Esses

trabalhos contribuíram de forma fundamental para que o objetivo de calcular os esforços

longitudinais em virabrequins fossem alcançados, explicitando como modelar o motor e

como resolver as equações envolvidas.

Este trabalho de mestrado contribui com resultados de simulações de um modelo de

virabrequim modelado pela empresa Thyssenkrupp como será apresentado no capítulo

cinco.

10

Capítulo 3

Modelagem Teórica

Neste capítulo, mostra-se a teoria envolvida no desenvolvimento deste trabalho. A

cinemática do sistema, a dedução das forças e torques aplicados, modelagem em múltiplos

graus de liberdade, o método de resolução da equação de movimento e o comportamento da

lubrificação no mancal axial são apresentados.

3. 1 Comportamento dinâmico da árvore de manivelas

O comportamento dinâmico da árvore de manivelas pode ser estudado resolvendo a equação de movimento (1) da peça.

}{}]{[}]{[}]{[ FxKxCxM =++ &&& (1)

em que, [M], [C] e [K] são as matrizes de massa, amortecimento e rigidez estrutural da

árvore de manivelas; {F} é o vetor de esforços e {x} é o vetor de deslocamento nodal dos

graus de liberdade definidos pelo problema. Neste caso, o vetor contêm os graus de

liberdade torcionais e axiais.

11

As matrizes de massa, amortecimento e rigidez são escritas conforme a

discretização da árvore de manivelas. O vetor de forças é a soma de todos os esforços que

atuam sobre o componente nos respectivos nós. Nesse vetor são considerados forças ou

torques gerados no funcionamento do motor. A solução da equação {x} corresponde ao

deslocamento dos nós.

3. 2 Cinemática do sistema Biela-Manivela

O conjunto pistão, biela e árvore de manivelas pode ser simplificado como um

modelo Biela-Manivela. A figura 3-1 ilustra o conjunto real a ser estudado e sua

simplificação no estudo da cinemática. Este modelo será utilizado no cálculo dos esforços

atuantes na árvore de manivelas.

Figura 3- 1: Esquema do sistema Biela-Manivela empregado na criação do modelo adotado, à esquerda

A posição instantânea do pistão pode ser escrita em função das dimensões da biela,

o raio de manivela da árvore e os ângulos do triangulo formado pela biela, árvore de

manivelas e direção de deslocamento do pistão. Pela regra de soma de vetores do triangulo

obtêm-se a equação (2):

)cos.cos.()( βα LrLrx +−+= (2)

12

Pela geometria, pode-se escrever a equação (3):

αβ senL

rsen = (3)

Definindo Lr /=λ , pode-se reescrever a equação (3) utilizando as relações

trigonométrica e a série de expansão de cos(β):

....16

1.

8

1.

2

11.11cos 664422222 +−−−=−=−= αλαλαλαλββ sensensensensen (4)

Substituindo as seguintes relações trigonométricas: ,2cos2

1

2

12 αα −=sen

ααα 4cos8

12cos

2

1

8

34 +−=sen e αααα 6cos32

14cos

16

32cos

32

15

16

56 −+−=sen na

equação (4), tem-se:

...6cos512

4cos64

2cos4

1cos642

++−−= αλ

αλ

αλ

β (5)

Desconsiderando os termos superiores à segunda ordem, pode-se reescrever a

equação (2) da seguinte maneira:

)2cos1.(4

)cos1.(2

αλ

α −+−= Lrx (6)

Com a posição do pistão, podemos calcular a velocidade do mesmo, derivando sua

expressão. Assim:

)6256

34

162

2.(..

53

αλ

αλ

αλ

αϖα

ϖα

αsensensensenr

d

dx

dt

d

d

dx

dt

dxv +−+==== (7)

Analogamente, pode-se calcular a aceleração:

)6cos128

94cos

42cos.(cos..

532 α

λα

λαλαϖ

αϖ

α

α+−+==== r

d

dv

dt

d

d

dv

dt

dva (8)

13

Nas equações (7) e (8) foram utilizados quatro termos da série, mas podem-se

utilizar mais ou menos termos da equação (4). A aceleração do pistão é utilizada no cálculo

dos esforços atuantes na árvore de manivelas, como será mostrado a seguir. Quatro termos

se mostraram suficientes para convergência dos resultados segundo Mendes, Zampieri e

Meirelles [22]. Mais detalhes são apresentadas nessa obra [22].

3. 3 Esforços Dinâmicos

As forças envolvidas no sistema são: a força de combustão na câmara (Fg), a força

de inércia rotativa (Fir) e a força de inércia alternativa (Fia). Essas forças podem ser

agrupadas em forças tangenciais (Ft) e radiais (Fr). A componente radial da força é a

responsável pelo torque que irá movimentar o motor e a componente radial provocará

flexão na árvore de manivelas. A figura 3-2 abaixo ilustra como as forças atuam no sistema:

Figura 3- 2: Esquema de forças envolvendo forças de combustão, tangencial, radial e momento de

torção

3. 3. 1 Forças de inércia

A força de inércia alternativa é uma força de translação e, portanto pode ser escrita

simplesmente como descrita na equação (9):

14

)6cos128

94cos

42cos.(cos...

532 α

λα

λαλαϖ +−+== rmamF iaiaia (9)

em que iam é a massa do pistão (incluindo anéis, pinos e travas).

A força de inércia rotativa pode ser obtida através da equação (10):

2.. ϖrmF rir = (10)

em que rm é a massa rotativa da biela incluindo parafusos.

3. 3 . 2 Forças de Combustão

As forças de combustão são as responsáveis pelo movimento do sistema. Fazem com

que os pistões tenham movimento de translação. Como conseqüência, a árvore de

manivelas gira e sua energia é transmitida aos eixos pelo sistema de transmissão.

A pressão gerada devido combustão é função do ângulo de manivela da árvore. A força

de combustão no pistão pode ser calculada com a equação (11) abaixo:

4

.)(

2dp

pFg

πα= (11)

em que p(α) é a pressão de combustão em função do ângulo de árvore de manivela e

dp é o diâmetro do pistão.

A figura 3-3 abaixo ilustra o gráfico de pressão de combustão na câmara de um motor

em função do ângulo da árvore de manivela para cinco velocidades de rotação diferentes

fornecida pela empresa Thyssenkrupp.

15

0 100 200 300 400 500 600 700 8000

20

40

60

80

100

120

140

160

180Pressao de Combustao

Angulo de arvore de manivela

Pre

ssao

na

cam

ara

de c

ombu

stao

[ba

r]

1100rpm

1500rpm

1900rpm2300rpm

2500rpm

Figura 3- 3: Pressão de Combustão em função do ângulo de manivela

3. 3. 3 Força Tangencial

Pela geometria do sistema Biela-Manivela, pode-se deduzir que a relação da

componente tangencial e da força de combustão é dada por:

β

βα

cos

)(.

+=

senFF gtp (12)

em que Ftp é o módulo da força tangencial devido à força de combustão.

Pode-se deduzir ainda, pela geometria do sistema, a componente tangencial devido

forças de inércia:

β

βα

cos

)(.

+=

senFF iata (13)

Pre

ssão

de

Com

bust

ão [

MP

a]

Ângulo de árvore de manivela

16

A força tangencial total é a soma vetorial das componentes devido combustão e inércia

como mostra a equação (14).

tatpt FFFrrr

+= (14)

A figura 3-4 abaixo ilustra a força tangencial em função do ângulo de árvore de

manivela utilizando as curvas de pressão apresentadas na figura 3-3 e as equações (12) a

(14), considerando diâmetro do pistão de 105 mm, raio da manivela 64,5 mm e

comprimento da biela de 207 mm, conforme o sistema árvore de manivelas, biela e pistão

apresentados na seção anterior.

0 100 200 300 400 500 600 700 800-4

-2

0

2

4

6

8x 10

4


For

ça t

ange

ncia

l [N

]

Força Tangencial

1100rpm

1500rpm

1900rpm2300rpm

2500rpm

Figura 3- 4: Força Tangencial em função do ângulo de manivela

For

ça T

ange

ncia

l [N

]

17

3. 3. 4 Força Radial A componente radial pode ser calculada pela geometria do sistema Biela-Manivela, de

forma análoga a da força tangencial:

rarpr

iara

grp

FFF

FF

FF

rrr+=

+=

+=

β

βα

β

βα

cos

)cos(.

cos

)cos(.

(15)

A figura 3-5 ilustra a força radial para cinco velocidades diferentes, considerando os

mesmos parâmetros da figura 3-4.

0 100 200 300 400 500 600 700 800-2

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18x 10

4


For

ça R

adia

l [N

]

Força Radial

1100rpm

1500rpm

1900rpm2300rpm

2500rpm

Figura 3- 5: Força Radial em função do ângulo de manivela

For

ça R

adia

l [N

]

18

3. 3. 5 Torque aplicado

O torque aplicado à árvore de manivelas pode ser calculado pela simples definição:

rFM t .rr

= (16)

em que r é o raio de manivela.

A figura 3-6 ilustra o momento (no grau de liberdade torsional) gerado pelas forças

tangenciais da figura 3-4. Assim como na figura 3-4, as funções são exibidas nas

velocidades de 1100rpm, 1500rpm, 1900rpm, 2300rpm e 2500rpm.

O torque aplicado é introduzido na equação de movimento como excitação dos

graus de liberdade torcionais.

Figura 3- 6: Torque em função do ângulo de manivela

19

3. 4 Interação com a embreagem

Além das forças desenvolvidas internamente ao motor, a árvore de manivelas sofre

interação com o sistema de embreagem. Durante a mudança de marcha, a árvore de

manivelas sofre um esforço, mas após a troca a força volta a ser nula.

A figura 3-7 ilustra a força aplicada à árvore de manivelas em função do curso de

acionamento da embreagem para um veículo de pequeno porte medida experimentalmente

pela empresa Sachs. Para veículos de grande porte a força pode ser até três vezes maior do

que a apresentada na figura 3-7. Podemos observar que o deslocamento na “ida” é diferente

da deslocamento na “volta”, a área entre a curva representa o trabalho realizado pela

embreagem.

Força axial

0

200

400

600

800

1000

1200

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Curso de acionamento [mm]

Fo

rça

[N]

Figura 3- 7: Força axial aplicada à embreagem fornecida pela empresa Sachs (modelo 1540)

O acionamento manual do pedal de embreagem depende do motorista. Dessa forma

o tempo de duração da aplicação da força axial varia conforme o acionamento. Para os

primeiros ciclos de rotação, a força axial possui um comportamento típico contínuo como é

ilustrado na figura 3-8. Ou seja, a força ilustrada na figura 3-7 pode durar por muitas

rotações dependendo da habilidade do motorista. Se considerarmos por exemplo, um

20

motorista que demora 1 segundo para mudar de marcha a uma rotação de 2500 rpm, a força

da embreagem durará 42 rotações ou 15120°.

Figura 3- 8: Interação com embreagem ao engatar [G. Offner, M. Lechner, 2003]

Após a mudança de marcha, as forças se equilibram e a resultante sobre a árvore de

manivelas volta ser nula.

3. 5 Modelo Estrutural da árvore de manivelas

A árvore de manivelas pode ser simplificada como um modelo de múltiplos graus de

liberdade. A figura 3-9 abaixo ilustra a discretização do modelo:

Figura 3- 9: modelo da árvore de manivelas com múltiplos graus de liberdade

21

O modelo é composto por n massas m concentradas [kg] e n inércias J [kgm2]. Cada

massa possui amortecimento, que inclui o amortecimento torcional dt [Nm/rad/s], o

amortecimento axial da [N/m/s], a rigidez k - que inclui a rigidez torcional kt [Nm/rad] e a

rigidez axial ka [N/m], e o amortecimento estrutural c - que inclui o amortecimento

torcional ct [Nm/rad/s] e o amortecimento axial ca [N/m/s], ligando à massa concentrada

adjacente. Este modelo combina dois graus de liberdade, torcional e axial, acoplados por

força (Chen, 1987; Xu 1985).

O amortecimento d referente a perda de energia pelo mancal pode ser calculado em

função da freqüência natural e rigidez torcional.

Segundo Shu e Liang, os esforços que causam a vibração axial são gerados devido

acoplamento torcional-axial (Pt) e flexural-axial (Pa). Isto é, a força axial é a soma de duas

componentes que podem ser escritas conforme a equação (17) para cada elemento de massa

i:

tiaii PPf += (17)

em que;

riiriiai PPP ββ −= −− 11 ; (18)

)()( 1111 iiaiiiiaiiti kkP θθγθθγ −−−= −−−+

na qual Pr é a força radial ilustrada na figura 3-5, ββββi é o coeficiente da força axial

proporcional a força radial (ilustrada na figura 3-5) e γi é o coeficiente de deslocamento

axial, que pode ser calculado teoricamente ou estimado por medidas experimentais (Song et

al. 1995).

A figura 3-10 abaixo ilustra como os esforços axiais, torcionais e radiais estão

acoplados:

Figura 3- 10: Acoplamento dos graus de liberdade

22

Para cada grau de liberdade (axial ou torcional) pode-se escrever a equação de

movimento:

iiitiiitiiitiiitiitiii

iiiaiiiaiiiaiiiaiiaiii

TkkccdJ

fxxkxxkxxcxxcxdxm

=−+−+−+−++

=−+−+−+−++

+−−+−−

+−−+−−

)()()()(

)()()()(

111111

111111

θθθθθθθθθθ &&&&&&&

&&&&&&& (19)

Para os graus de liberdade torcionais o vetor de excitação é o torque Ti, que foi

definido na seção 3.3.5. Já a força fi é definida pela equação 17 e pela interação com a

embreagem.

Considerando todas as n massas e inércias, podemos escrever o conjunto de

equações na forma matricial, conforme a equação (1). As matrizes de massa, rigidez e

amortecimento podem ser escritas da seguinte maneira:

=

n

n

i

i

m

J

m

J

m

J

M

0

0

...

0

0

...

0

0

][

1

1

23

−−

−

−−++−−

−+−

−−++−−

−+−

−−

−

=

−−−−−−

−−

−−−−−−

−−

111111

11

111111

11

222212211111

2212

111111

11

00.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

....

000....

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

00

0

][

anannanann

tntn

aiaiiaiaiaiiaiiaiaii

titititi

aaaaaaaa

tttt

aaaa

tt

kkkk

kk

kkkkkkkk

kkkk

kkkkkkkk

kkkk

kkkk

kk

K

γγ

γγγγ

γγγγ

γγ

+

+

++−

−++−

++−

−++−

−+

−+

=

−

−

−−

−−

1

1

11

11

2121

22121

111

111

0

0.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.000...

00....

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.000

00

00

00

][

anan

tnm

aiaiaiai

tititititi

aaaa

ttttt

aaa

ttt

cd

cd

ccdc

cccdc

ccdc

cccdc

ccd

ccd

C

Os vetores de deslocamento, velocidade, aceleração e força podem ser expressos

por:

[ ]

[ ][ ]Tnnii

T

nnii

T

nnii

xxxx

xxxx

xxxx

&&&&&&&&&&&&&&

&&&&&&&

θθθ

θθθ

θθθ

......

......

......

11

11

11

=

=

=

(20)

[ ]T

annaiia PTPTPTF ......11=

24

3. 6 Condição de contorno

A condição de contorno é uma restrição ao movimento que pode ser em termos de

deslocamento, velocidade ou aceleração.

Neste trabalho, os graus de liberdade torcionais não possuem nenhuma restrição de

movimento. Assim, a árvore de manivelas gira livremente com os esforços aplicados. Já

nos graus de liberdade axiais, o mancal hidrodinâmico limita o movimento do grau de

liberdade acoplado a ele.

Idealmente, o mancal pode ser modelado como uma condição de contorno de

engaste, pois o mancal deve impedir o movimento axial na árvore de manivelas.

Entretanto, na realidade, o mancal principal não é completamente rígido e apresenta

movimentos diferentes de zero. O mancal pode ser modelado mais próximo a realidade

como mola linear e amortecedor viscoso. Ou seja, o movimento é proporcional a rigidez e a

velocidade proporcional ao amortecimento.

A rigidez da mola pode ser calculada como a relação entre força aplicada e

deslocamento sofrido da árvore de manivelas. O amortecimento pode ser calculado como a

relação entre força dissipada e velocidade que a árvore de manivelas desenvolve.

3. 7 Resolução do sistema de equações pelo Método de Newmark

A partir da discretização do modelo e da descrição das forças atuantes no sistema,

pode-se escrever a equação de movimento (1). O método de Newmark é usado para

resolver equações de segunda ordem e foi utilizada para resolver o sistema de equações

diferencias desta dissertação.

Newmark é um integrador explícito, ou seja, xi+1 é calculado em função de xi e ti

(resultado no passo de tempo i). Abaixo, seguem os procedimentos do método, descritos na

forma utilizada como algoritmo.

25

Procedimento NewmarkBeta

1. Cálculo da aceleração inicial: a = M-1.P 2. Calculam-se as seguintes matrizes

auxiliares:

][12

][2

1][

][][1

][

][1

][][][2

CtMB

CMt

A

Mt

Ct

KKbar

−∆+=

+∆

=

∆+

∆+=

β

γ

β

β

γ

β

ββ

γ

3. Calculam-se os seguintes vetores:

dPbarKbardu

aBvAdPPbar

PPdP

ii

ii

1

11

1

][

].[].[−

−−

−

=

++=

−=

112

11

2

111

..2

1.

−−

−−

−∆

−

∆=

−∆+−

∆=

ii

ii

avt

dut

da

atvdut

dv

βββ

β

γ

β

γ

β

γ

4. Finalmente os deslocamentos,

velocidades e aceleração são:

daaa

dvvv

duuu

ii

ii

ii

+=

+=

+=

−

−

−

1

1

1

fim NewmarkBeta

O coeficiente β varia de 0 a 1. Tipicamente, o melhor valor de β é ¼. Esse valor

foi encontrado por testes de simulações de Gredney (1995).

Uma outra maneira de resolver o sistema de equações de movimento

numericamente é o método de Runge-Kutta. Mas para utilizar esse método é necessário que

as equações de segunda ordem sejam reescritas como equações de primeira ordem.

26

3. 8 Modos de vibração e freqüências naturais

As freqüências de vibração livre são chamadas de freqüências naturais e podem ser

calculadas pela equação de movimento com excitação nula. Considerando o sistema

massa-mola, a resposta do sistema pode ser escrita como:

tj

iiiex

ϖφ .= (21)

tj

iiiex

ϖφϖ ..2−=&& (22)

Dessa forma, para o caso de vibração livre, a equação de movimento para um

sistema massa-mola fica:

0}]).{[]([ 2 =− φϖ MK (23)

Uma solução não trivial implica em:

0])[]([ 2 =− MK ϖ (24)

que é um problema de autovalor e autovetor onde as freqüências naturais do sistema

são os autovalores e os modos de vibrar são os autovetores.

O problema de autovalor e autovetor é definido da forma:

}.{}]{[ xxA λ= (25)

e o problema é reescrito como

0}]){.[]([ =− xIA λ (26)

27

Aplicando ao problema do cálculo das freqüências naturais e modos de vibração,

podemos escrever:

}{}]{[][ 21 φϖφ =− KM (27)

3. 9 Interação com filme de óleo do mancal radial

A interação entre a árvore de manivelas e o filme de óleo é um problema de

interação fluido-estrutura. Para resolvê-lo deve-se resolver o problema do comportamento

do fluido juntamente com o problema estrutural. O problema pode ser classificado em:

• Hidrodinâmico: não há contato metal-metal. A viscosidade dinâmica é a

propriedade mais importante para descrever a dinâmica neste regime.

• Elastohidrodinâmico: geralmente possui lubrificação em toda volta do eixo.

Entretanto, há deformação elástica da superfície. A distribuição de pressão e

viscosidade devem ser consideradas para este regime.

• Misto: há interação áspera em algum ponto do eixo. Esse regime é uma

mistura do regime elastohidrodinâmico e de contorno.

• Contorno: as superfícies estão em contato normal.

O comportamento do fluido no mancal sob regime hidrodinâmico pode ser descrito

pela equação de Reynolds:

t

hhph

Rz

ph

z

∂+

∂

∂=

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂µ

θµϖ

θθ126

1 32

3

(21)

onde, µ é a viscosidade dinâmica, h (x, y) é a espessura do filme de óleo, ω é a velocidade

angular da árvore de manivelas, R é o raio do eixo, p(x, y) é a pressão em cada ponto da

superfície do mancal e e é a excentricidade no sistema de coordenadas (x, y, z), como

indicado na figura 3-11 abaixo.

28

Figura 3- 11 : Sistema de coordenadas ortogonais x, y, z

A equação de Reynolds não possui solução analítica para o problema proposto, mas

existem métodos numéricos que a resolvem de forma aproximada. Para mancais longos,

pode-se considerar que o fluxo de óleo na direção z é desprezível e então simplificar a

equação de Reynolds como ilustrada na equação 22:

θµϖ

θθ ∂

∂=

∂

∂

∂

∂ hph

R6

1 32

(22)

Neste caso, há solução analítica (Sommerfeld) [5] que é válida para mancais longos

onde l/d > 4. Porém não se usam mancais tão longos em projetos, pois qualquer

desalinhamento rompe o filme de óleo e causa o contato entre o eixo e o mancal.

Outra simplificação é considerar que o fluxo na direção circunferencial pode ser

desprezado e então a equação de Reynolds é simplificada como:

θµϖ

∂

∂=

∂

∂

∂

∂ h

z

ph

z63 (23)

Neste caso, há a solução analítica de Ocvirk [5] que é válida para mancais curtos

onde ¼ < l/d < 1. Esta faixa de comprimento corresponde à maioria dos mancais usados nos

projetos. A equação 24 abaixo, ilustra a solução nessas condições.

29

( )32

2

cos.1

..3

4. θε

θεµϖ

+

−=

senz

l

CRp

r

(24)

onde Cr é a folga radial (rcubo-reixo) e ε é a razão de excentricidade (e/Cr).

Para regime elastohidrodinâmico, há apenas soluções numéricas. Neste regime,

devemos considerar as deformações elásticas do material devido à pressão do fluido.

3. 10 Dinâmica do fluido e distribuição de pressão em mancais axiais

A equação de Reynolds engloba as seguintes hipóteses simplificadoras:

• O meio é contínuo;

• O fluido é newtoniano;

• Escoamento laminar;

• Não há deslizamento entre o fluido e a superfície de contato;

• As forças de campo e de inércia no fluido são desprezadas;

• A viscosidade do fluido é constante ao longo do filme.

• A massa específica do fluido é constante;

• A espessura do filme é muito pequena em relação às dimensões das demais

superfícies.

A equação de Reynolds na forma adimensional (25) descreve a dinâmica do fluido de

óleo no mancal e fornece a distribuição de pressão sobre as estruturas.

θπ

θθ ∂

∂

=

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂ h

L

Rr

ph

rr

prh

r

e

2

33 121

(25)

30

Para resolver a equação de Reynolds numericamente, definem-se a região e as

condições de discretização sobre a superfície axial do mancal. A figura 3-12 abaixo

esquematiza o domínio de integração e os pontos considerados:

Figura 3- 12: Esquematização do domínio de integração

3. 11 Diferenças Finitas para resolução da Equação de Reynolds O método das diferenças finitas é um método de resolução de equações diferenciais

que se baseia na aproximação de derivadas por diferenças finitas. A fórmula de

aproximação obtém-se da série de Taylor da função derivada. Pode-se utilizá-lo para

resolver a equação de Reynolds.

Inicialmente, discretiza-se a região de integração nas direções θ e r em n e m

divisões uniformes e tem-se os setores elementares. Além da malha de setores, para

calcular a distribuição de pressão, é necessária a condição de contorno que pode ser

definida como pressão nula para os pontos nodais das linhas 1 e m e das colunas 1 e n.

A figura 3-13 esquematiza pontos de discretização da malha em vermelho e os

pontos em azul são pontos auxiliares para os cálculos de pressão em cada ponto (i,j). Os

termos da equação parcial de Reynolds podem ser reescritos em termos discretos da

seguinte forma (26):

∆

−−

∆

−=

∆

∂

∂−

∂

∂

=

∂

∂

∂

∂ −

−−

+

+−

−

2

1,,32/1,2/1,2

,1,32/1,2/1,

2/1,

3

,

3

,

3

r

pphr

r

pphr

r

r

prh

r

prh

r

prh

r

jiji

jiji

jiji

jiji

jiji

ji

31

∆

−−

∆

−=

∆

∂

∂−

∂

∂

=

∂

∂

∂

∂ −

−

+

+

−+

2

,1,3,2/12

,,2/13,2/1

,

,2/1

3

,2/1

3

,,

3 111

θθθ

θ

θθ

jiji

ji

jiji

ji

ji

jiji

jiji

pph

pph

r

ph

r

ph

r

ph

r

θθ ∆

−=

∂

∂ −+ jiji

ji

hhh ,2/1,2/1

,

(26)

Figura 3- 13: Pontos da malha sobre o mancal axial para discretização.

Substituindo os termos de (26) na equação de Reynold (25), tem-se:

θπ

θπ

θθθ

θ

∆

−

∆

=

∆+

∆−

∆−

∆+

∆+

∆−

∆−

∆

−+

−

−−+

+

+

−

−−−−++

+

++

jie

ji

jie

jiji

ji

ji

ji

ji

ji

ji

ji

ji

ji

ji

j

ji

jiji

ji

jiji

ji

jiji

ji

jiji

h

L

Rr

h

L

Rrp

r

hp

r

hp

r

h

pr

hp

r

hrp

r

hrp

r

hrp

r

hr

,2/12

,,2/1

2

,,12,

3,2/1

,2,

3,2/1

,2,

3,2/1

,12,

3,2/11

1,2

32/1,2/1,

,2

32/1,2/1,

,2

32/1,2/1,

1,2

32/1,2/1,

.12.12

(27)

Os valores de h nos pontos médios auxiliares são os valores médios de h nos pontos dos

nós. E os valores de r nos pontos médios auxiliares são os valores médios de r nos pontos

dos nós. Isolando pi,j temos:

32

∆

+

+

∆

+

∆

+−

∆

+

−

∆

+

+∆

+

+

∆

+

+

+

∆

+

+

+∆

+

+

+∆

+

+

=

−+

−+

−

−

+

+

−−++

−

−−

+

++

2

,1,

2

1,,

,1,1,,2

,12

3

,1,

,12

3

1,,

2

3

1,,1

2

3

1,,1

1,2

3

1,,1

1,2

3

1,,1

,

22

.6.

2

.

2

2222

2222

θθ

θθπ

θθ

j

jiji

j

jiji

jijijiji

jji

j

jiji

ji

j

jiji

jijijjjijijj

ji

jijijj

ji

jijijj

ji

r

hh

r

hh

hhhh

L

Rrp

r

hh

pr

hh

r

hhrr

r

hhrr

pr

hhrr

pr

hhrr

p

Ou seja, pi,j pode ser escrito em função de coeficientes e pi-1,j, pi+1,j, pi,j+1, pi,j-1. Então reescrevemos:

pi,j = A1. pi,j+1+A2. pi,j-1+A3. pi-1,j+A4. pi+1,j+A5 (28)

Como há m x n pontos de pressão, temos m x n equações. No entanto, há

necessidade de se resolver m.n–[2.(m+n)-4] equações, pois no contorno a pressão é

assumida nula. Há vários métodos para resolução de sistemas e neste trabalho, empregar-

se-á o método de sobre-relaxação (Bejan, 1984) descrito no trabalho de Galvão (2006).

Esse método é iterativo e calcula-se o valor da pressão da iteração n+1 em função do valor

da pressão na iteração n. Ou seja, pode-se escrever:

( )ji,j1,ij1,-i1-ji,1ji,0)(

,)1(

, p-A5p A4.p A3.p A2.p A1. +++++= +++ λn

ji

n

ji pp (29)

onde 0λ é o parâmetro de sobre-relaxação ótimo, que pode ser calculado pela seguinte

expressão: ( )

λ

λ

λ

−−

=

2

1

0

112; onde

2

2

2

1

coscos

∆

∆+

∆

∆+

=

r

mrn

θ

πθπ

λ .

Mais detalhes do desenvolvimento matemático podem ser encontrados na obra [23].

33

3. 12 Força resultante no mancal

A força resultante que o fluido aplica sobre a estrutura pode ser calculada pela

integração da pressão, como elucida a equação (30).

∫ ∫=Re

0 0000

0

RidrdrpF

θ

θ (30)

A força resultante é a força aplicada sobre o mancal e sobre o virabrequim.

Em outros termos, a força resultante pode ser escrita como mostra a equação (31):

v

p

e Fh

LRNF ....

2

20

= η

(31)

em que Fv corresponde a ∑∑= =

∆∆m

j

n

i

jji rpr1 1

,. θ .

3. 13 Viscosidade Requerida

A viscosidade requerida do óleo lubrificante no mancal pode ser obtida a partir da

equação (32):

2

20

Re.

=

L

h

FN

F mimp

v

η (32)

3. 14 Rigidez do mancal hidrodinâmico

Pode-se determinar a rigidez do mancal principal como a relação entre força e

espessura resultante de filme de óleo.

A rigidez do mancal é um parâmetro importante para calcular os deslocamentos

axiais da árvore de manivelas, ela faz parte da equação de movimento como condição de

contorno.

34

3. 15 Resumo do Capítulo

Neste capítulo, foram descritos e explicados os métodos matemáticos, a cinemática

do sistema e a modelagem das equações diferenciais. Esses métodos foram aplicados em

um sistema biela-manivela-pistão com dimensões reais, e os resultados das simulações são

apresentados no próximo capítulo.

35

Capítulo 4

Resultados

Neste capítulo, serão apresentados os dados de entrada para o programa

computacional desenvolvido e os resultados relevantes. Além disso, resultados simulados

no pacote computacional Excite (AVL) serão apresentados e comparados com os resultados

obtidos.

4. 1 Modelo Simulado

Para as simulações realizadas, utilizou-se um modelo de um motor MWM diesel e

árvore de manivelas fornecido pela empresa Thyssenkrupp Metalúrgica Campo Limpo.

Figura 4- 1: Árvore de manivelas forjada utilizada nas simulações

36

A árvore de manivelas ilustrada na figura 4-1 é suportada pelo bloco ilustrado na

figura 4-2. O mancal principal está ilustrado na figura 4-2 também e fica situado entre o

eixo e o suporte no bloco.

Figura 4- 2: Suporte do bloco do motor e mancal principal

Para simular o comportamento dinâmico da árvore de manivelas e calcular a força

aplica ao mancal, a peça foi discretizada em nove segmentos. A tabela 4-1 ilustra as partes

com suas respectivas massas e as inércias que compõem a matriz de massa da equação de

movimento calculada no software Pro-Engineer (PTC). A tabela 4-2 mostra a rigidez

torcional e axial de cada parte da árvore de manivelas, calculadas no mesmo software.

A massa alternativa, ou seja, massa do pistão é de 2,3 kg e seu diâmetro é 105mm.

O comprimento da biela (distância entre os centros dos dois furos) é 207mm. A distancia

entre o munhão e o moente é de 64mm.

Os diâmetros interno e externo do mancal axial são respectivamente 63mm e 75mm.

O setor das ranhuras pode variar conforme o modelo do mancal. As ranhuras são zonas de

baixa pressão hidrodinâmica e ajudam a diminuir o pico de pressão, distribuindo esta de

forma mais uniforme sobre o mancal.

37

Tabela 4- 1:Segmentos com massas

Segmento Massa [kg] Inércia [kg.mm2]

3,098 3,5158×103

7,757 2,9027×104

1,066 6,6805×102

8,867 3,2483×104

1,066 6,6805×102

7,385 2,8105×104

1,066 6,6805×102

7,757 2,9027×104

3,167 1,9868×103

38

Tabela 4-2: Rigidez axial e torcional

Segmento Rigidez torcional [N/m] Rigidez Axial [Nm/rad]

1,350.106 4,762×108

1,350.106 4,762×108

1,350.106 4,762×108

1,033.106 5,515×108

1,350.106 4,762×108

1,350.106 4,762×108

1,350.106 4,762×108

1,350.106 4,762×108

39

4. 2 Resultados de distribuição de pressão e espessura do filme de óleo O mancal axial pode possuir ranhuras em sua superfície, que são locais de baixa

pressão. Com estas, a pressão é mais bem distribuída e o pico de pressão menor. As

ranhuras dividem o mancal em setores que suportam a pressão gerada pelo movimento

rotativo do eixo.

Conforme o fabricante, o setor pode variar seu ângulo. Neste trabalho, apresentar-

se-á simulações de mancais com setores de 30°, 60° e 90° com resultados em distribuição

de pressão e espessura de filme de óleo. Os resultados são em função principalmente da

geometria do mancal (ranhuras e ângulos de inclinação).

A figura 4-3 ilustra a distribuição de pressão [em Pa] e a espessura de filme de óleo

[em µm] sobre um mancal axial com setores de 90°, relação K = 0,5, ângulo de

pivotamento igual a 36,6° e raio de pivotamento 88mm. Este é um mancal convencional

para o virabrequim estudado.


As figuras 4-4, 4-5 e 4-6 ilustram casos de mancais com 75°, 60° e 45°

respectivamente com os mesmos dados de raio e ângulo de pivotamento.

40




41

Os picos de pressão para os mancais de 90°, 75°, 60° e 45° foram respectivamente:

20MPa, 35 MPa, 45 MPa e 40 MPa.

Um fator importante nos mancais é a viscosidade requerida do óleo lubrificante para

que a pressão desenvolvida seja suficiente para suportar a carga axial. A viscosidade

requerida foi calculada utilizando a equação 32 do capítulo anterior. A figura 4-7 ilustra a

viscosidade requerida teórica para as diferentes velocidades de rotação de um mancal de

setores de 90° e carga de 1000N, 1500N e 2000N.

Viscosidade Requerida

0

1

2

3

4

5

6

7

8

950 1450 1950 2450 2950

Velocidade [rpm]

Vis

cosi

dad

e [m

Pa.

s]

2000N

1500N

1000N

Figura 4- 7: Viscosidade Requerida em função da velocidade de rotação

4. 2 Resultados de deslocamentos e força axial

Para cada segmento são considerados dois graus de liberdade: axial e torsional. A

figura 4-8 ilustra abaixo as posições consideradas (munhões e moentes) no cálculo da

dinâmica do virabrequim. As cores da figura correspondem às funções apresentadas nos

gráficos de deslocamento.

42

Figura 4- 8: Pontos estudados

Aplicando o torque correspondente da curva de pressão de 1100rpm e considerando

mancal ideal (como engaste), temos os seguintes resultados de deslocamento torcional

como ilustra a figura 4-9:

0 500 1000 1500 2000 2500-2

-1

0

1

2

3

4x 10

-3 Deslocamento torcional


desl

ocam

ento

tor

cion

al[r

ad]

Figura 4- 9: Deslocamento total causado pela vibração torcional a 1100rpm em função do ângulo de

manivela

Para visualizar a vibração na árvore de manivelas, o deslocamento de corpo rígido

foi subtraído dos resultados obtidos. Pode-se observar que o primeiro grau de liberdade é

zerado na subtração, pois corresponde ao movimento de corpo rígido. O resultado de

deslocamento axial é mostrado na Figura 4-9. A figura 4-11 ilustra a força axial suportada

pelo mancal, a direita temos a força em função do ângulo de árvore de manivelas e a

esquerda temos a força em função da freqüência.

Ângulo de árvore de manivela [°]

43

0 500 1000 1500 2000 2500-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2x 10

-6 Deslocamento Axial

Angulo de arvore de manivela [°]

desl

ocam

ento

[m]

Figura 4- 10: Deslocamento axial 1100rpm em função do ângulo de manivela

0 500 1000 1500 2000 2500-300

-200

-100

0

100

200

300

400

500

600Força Axial [N]


For

ça a

xial

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

0

20

40

60

80

100

120

Am

plitu

de

Hz

Espectro da respostaEspectro da respostaEspectro da respostaEspectro da resposta

Figura 4- 11: Força Axial sobre mancal a 1100rpm em função do ângulo de manivela a esquerda e a

resposta em freqüência a direita

A seqüência de figuras apartir da 4-12 até a 4-23 ilustram os resultados de

deslocamentos e força para diferentes velocidades do eixo.

Aplicando o torque correspondente da curva de pressão de 1500rpm, temos os

seguintes resultados:


Am

plitu

de [

Forç

a N

]

Am

plitu

de [

Forç

a N

]

44

0 500 1000 1500 2000 2500-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6x 10



desl

ocam

ento

tor

cion

al[r

ad]

Figura 4- 12: Vibração torcional 1500rpm em função do ângulo de manivela

0 500 1000 1500 2000 2500-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3x 10



desl

ocam

ento

[m]

Figura 4- 13: Vibração axial 1500rpm em função do ângulo de manivela



45

0 500 1000 1500 2000 2500-500

0

500

1000Força Axial [N]


For

ça a

xial

0 100 200 300 400 500 600 7000

20

40

60

80

100

120

140

160

180

Am

plitu

de

Hz






0 500 1000 1500 2000 2500-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6x 10



desl

ocam

ento

tor

cion

al[r

ad]



For

ça [

N]

46

0 500 1000 1500 2000 2500-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3x 10



desl

ocam

ento

[m]


0 500 1000 1500 2000 2500-600

-400

-200

0

200

400

600

800



For

ça a

xial

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

0

50

100

150

200

Am

plitu

de

Hz







For

ça [

N]

47

0 500 1000 1500 2000 2500-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6x 10



desl

ocam

ento

tor

cion

al[r

ad]


0 500 1000 1500 2000 2500-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3x 10



desl

ocam

ento

[m]




48

0 500 1000 1500 2000 2500-600

-400

-200

0

200

400

600

800



For

ça a

xial

0 200 400 600 800 1000 1200

0

50

100

150

200

Am

plitu

de

Hz






0 500 1000 1500 2000 2500-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5x 10



desl

ocam

ento

tor

cion

al[r

ad]



For

ça [

N]

49

0 500 1000 1500 2000 2500-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5x 10



desl

ocam

ento

[m]


0 500 1000 1500 2000 2500-300

-200

-100

0

100

200

300

400Força Axial [N]


For

ça a

xial

0 500 1000 1500

0

50

100

150

Am

plitu

de

Hz




Com o aumento na velocidade do eixo, podemos observar suavização das curvas de

deslocamento e força. Isso ocorre pois as curvas de pressão de combustão também

apresentam um comportamento mais suave. Podemos ver também que a máxima amplitude

ocorre na mesma freqüência de excitação correspondente à velocidade de rotação do eixo.


For

ça [

N]

50

4.3 Freqüências naturais

Com as matrizes de massa, rigidez e amortecimento, podem-se calcular as freqüências naturais associadas ao sistema como foi explicado no Capítulo 3.

As freqüências naturais [Hz] em ordem crescente correspondentes ao sistema são:

4. 4 Simulação no pacote comercial Excite (AVL)

Além da simulação em Matlab, foram feitas simulações no programa computacional

EXCITE (AVL), que é um software especializado para cálculos aplicados a motores de

combustão interna. O programa possui vários módulos que calculam diferentes variáveis

de um motor. O módulo Power Unit é capaz de calcular a dinâmica estrutural dos

componentes do motor (árvore de manivelas, bielas e pistões) de forma similar à

apresentada.

Na simulação, a árvore de manivelas foi discretizada conforme mostra a figura 4-24

abaixo:

3441,63 3980,40 6210,62 7862,59 8592,70 9254,28

10096,28 27162,77 30704,54 32076,28 32727,05 60046,97 63925,20 63952,32

51

Figura 4- 24: Discretização do virabrequim no programa EXCITE

Podem-se observar os mancais nos respectivos munhões, que são modelados como

molas ou restrições. O tipo AXBE é um mancal axial e é modelado como mola e

amortecedor lineares na direção axial apenas. Já o tipo REVO é um mancal radial e é

modelado como mola e amortecedor nos graus de liberdade de translação radial, tendo

valores de rigidez e amortecimento constantes dentro da folga e valores maiores quando há

contato metal-metal.

A figura 4-25 abaixo ilustra o desenho 2D do conjunto árvore de manivelas-

mancais-carcaça.

Figura 4- 25: Conjunto árvore de manivelas-mancais-carcaça

52

O valor de coeficiente de rigidez utilizado para o mancal axial foi de 625000N/m e

o amortecimento foi de 325 N.s/m, conforme a indicação do manual de uso do AVL excite.

A figura 4-26 indica os valores de força obtidos pelo programa para diferentes velocidades.

Força Axial

-200

-150

-100

-50

0

50

100

150

200

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000

Ângulo de árvore de manivelas [°]

Fo

rça

Axi

al [N

]

1100 1500 1900 2500

Figura 4- 26:Força axial considerando mancal como mola e amortecedor

A figura 4-27 e 4-28 ilustram a comparação dos resultados encontrados entre as

simulações me ambiente Matlab e AVL em velocidade de 2500rpm, amortecedor e mola de

mesmo amortecimento e rigidez.

53

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4-300

-200

-100

0

100

200

300

400

Tempo [s]

For

ca A

xial

Matlab

Excite (AVL)

Figura 4- 27: Comparação dos resultados no domínio do tempo

0 200 400 600 800 1000 12000

5

10

15

20

25

30

35

40

45

Am

plitu

de

Hz


Matlab

Excite (AVL)

Figura 4- 28: Comparação dos resultados no domínio da freqüência

Em outras velocidades, os resultados são similares. A freqüência de excitação

principal é bastante próxima em todos os casos de velocidades. A simulação do AVL

For

ça A

xial

[N

]

For

ça A

xial

[N

]

54

resultou em uma curva em função da freqüência mais suave com dois picos bem definidos.

Já a curva obtida pela programação em Matlab apresenta picos mais distribuídos.

Provavelmente, o pacote computacional utiliza um algoritmo de suavização dos momentos

aplicados para obter resultados com picos bem definidos. Também pode-se perceber que o

pico obtido pelo software Excite ocorre pouco antes do pico calculado pelo Matlab, isso

deve ocorrer porque a matriz de rigidez encontrada pelo programa é um pouco diferente da

matriz de rigidez calculada.

Pode-se perceber que ao considerar o mancal como mola e amortecedor, a força

axial resultante é menor. Isso ocorre devido dissipação de energia e movimento do grau de

liberdade.

A modelagem de mancal como restrição de movimento igual a zero fornece

portanto a força máxima sobre o mancal. E a modelagem como mola e amortecedor

fornecem deslocamentos no grau de liberdade junto ao mancal, mas esforços menores.

4. 5 Interação com embreagem

As simulações realizadas até o momento não incluíam interação com a força

transiente desenvolvida pela embreagem. A figura 4-29 ilustra o deslocamento axial dos

nós considerando a força transiente da embreagem com mancal ideal a velocidade de

2500rpm. A figura 4-30 mostra a força axial sobre o mancal com um acoplamento de

embreagem (citado no capítulo 4) em diferentes velocidades.

55

0 500 1000 1500 2000 2500-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6x 10



desl

ocam

ento

[m]

Figura 4- 29: Deslocamento axial a 2500 rpm

0 500 1000 1500 2000 2500-300

-200

-100

0

100

200

300

400

500

600Forca Axial

Angulo da arvore de manivelas

1100rpm

1500rpm1900rpm

2500rpm

Figura 4- 30: Força axial, considerando embreagem em quatro velocidades



56

Pode-se observar que os deslocamentos na direção axial não permanecem em torno

de zero como nas simulações

4. 6 Discussão dos resultados

Foram apresentados os resultados das simulações em termos de deslocamentos,

força, distribuição de pressão e espessura de filme de óleo. Na figura 4-31 abaixo, ilustra-se

o gráfico de máximo deslocamento em todos os graus de liberdade axiais. Pode-se verificar

que entre 1700rpm e 2200rpm encontra-se o pico de vibração.

Deslocamento Máximo

00.5

11.5

22.5

33.5

44.5

5

700 1200 1700 2200 2700 3200

RPM

Des

loca

men

to M

áxim

o [m

m]

Figura 4- 31: Máximo deslocamento axial

Analogamente, a figura 4-32 ilustra a maior força axial em função da velocidade.

Pode-se verificar que quanto maiores as amplitudes de vibração, maior é a força axial sobre

o mancal axial.

57

Máxima Força Axial

0

200

400

600

800

1,000

1000 1500 2000 2500 3000 3500

Velocidade [rpm]

Fo

rça

Axi

al [N

]

Figura 4- 32: Máxima força axial em função da velocidade

Uma vantagem da resolução do sistema de equações em função do tempo é a

possibilidade de se separar o movimento de corpo rígido e deformação elástica com uma

simples subtração. Na resolução do sistema em função da freqüência, a separação do

movimento de corpo rígido e de deformações (que causam tensões efetivamente) é mais

trabalhosa como Mendes (2005) apresenta.

Conhecer as amplitudes globais de vibração torcional de duas inércias consecutivas

e a rigidez torcional entre as mesmas é possível se determinar o torque atuante nesta seção.

Essa torção é importante para o dimensionamento da árvore de manivelas e também dos

parafusos utilizados na fixação do volante, polias e etc, segundo Mendes (2005).

Com os valores de deslocamentos dos nós na direção axial é possível calcular a

deformação elástica que a peça sofre e também componentes do tensor de tensões. Para

calcular a tensão atuante, basta utilizar a equação constitutiva do material. As deformações

na direção axial poderão fornecer uma componente normal do tensor de tensões. As

deformações torcionais poderão fornecer a componente de tensão cisalhante do tensor de

tensões.

Uma vantagem da utilização da modelagem de múltiplos graus de liberdade é a

rapidez com que os cálculos podem ser realizados, pois as matrizes que compõe o sistema

são de ordem pequena (neste caso 18x18). Isso permite simulações de muitos casos em

58

tempo reduzido para verificação de tendências na dinâmica do sistema. Enquanto que o

modelo completo de elementos finitos consumiria muito tempo de simulação devido matriz

de ordem elevada (em torno de 25000 x 25000).

Segundo Mendes (2005), um critério para projeto de árvore de manivelas consiste

que o deslocamento torcional seja inferior a 0,25°. Nas simulações, o virabrequim não

apresentou deslocamento torcional superior que o recomendado pelo critério.

Verificou-se que a vibração axial é da ordem de 10-6m, portanto o modelo

apresentado não sofre grande risco de apresentar falha de quebra na biela. Segundo Fung

(1997), a vibração axial da árvore de manivela pode ser uma condição de contorno variável

no tempo para a simulação da dinâmica da biela. Em condições críticas, isto é, vibração

com amplitude na ordem de 10-4m pode acelerar a falha da biela.

As malhas geradas para cálculo de distribuição de pressão possuem 700 elementos

em todos os exemplos de simulação, e sua convergência foi verificada em cada caso. A

tolerância de convergência foi de 1Pa. Para motores adequadamente lubrificados, não se

verifica contato metal, pois a força hidrodinâmica é suficiente para suportar a força axial.

4.7 Redução de massa

A redução na massa da árvore de manivelas pode tornar os motores mais leves, mas

a massa é um parâmetro que influencia a inércia e a rigidez indiretamente. Dessa forma, a

redução de massa implica em freqüências naturais e respostas dinâmicas diferentes.

Os throws são as partes mais robustas da árvore de manivelas e concentram a maior

parte da massa da peça. Nessa seção, serão apresentadas resultados de simulações com

reduções de massa e inércia de 5% sem alteração na rigidez e redução de 10% de massa de

com redução de 5% na rigidez de cada throw. A redução de massa implica também na

redução de inércia e rigidez do sistema. Entretanto, a redução de inércia e rigidez dependem

também da geometria da peça e não são variáveis linearmente dependente da massa. A

tabela abaixo ilustra as freqüências naturais para o modelo original, com redução de 5% de

massa apenas nos throws e redução de 10% em massa com redução de 5% de rigidez.

59

Tabela 4- 3: Freqüências naturais

Freqüência natural Original

[HZ]

Freqüência natural -5% massa [HZ]

Freqüência natural -10% massa [HZ]

3441.63 3529.32 3522.64 6210.62 6370.1 6343.82 6357.18 6499.81 6471.66 8592.70 8815.06 8804.6 9254.28 9494.61 9550.5

17865.25 18088.24 17847.54 27188.88 27523.61 26622.4 30643.74 30679 30017.17 32561.70 33023.76 32437.29 42547.81 43185.24 42665.32 60046.97 60063.14 58771.59 63925.20 63943.92 62344.1 63952.32 63973 62377.25

Pela tabela, pode-se observar que a redução de massa aumenta a freqüência natural,

como esperado, pois segue a relação simples mkn /=ω . A freqüência natural é um

parâmetro importante para que se evite ressonância do sistema e grandes amplitudes de

vibração. Para evitar a ressonância, deve-se evitar que os esforços tenham a mesma

freqüência de excitação que a freqüência natural da peça. No caso, a árvore de manivelas

possui primeira freqüência natural de 3441.63Hz e sua rotação não ultrapassa 3050rpm

(50.83Hz), portanto a árvore de manivelas não sofrerá problemas de grandes amplitudes de

vibração devido à ressonância.

Além disso, podemos analisar o efeito da redução da massa sobre o cálculo de

esforços axiais. Nas figuras 4-33, 4-34, 4-35 e 4-36 ilustram-se as forças axiais para o caso

original, para o caso com redução de 5% de massa e para o caso de redução de massa de

10%, em diversas velocidades, como explicado anteriormente.

60

Força Axial a 1100rpm

-400

-200

0

200

400

600

800

0 500 1000 1500 2000 2500

Ângulo de árvore de manivelas

Fo

rça

[N]

original 5%massa 10%massa

Figura 4- 33: Comparação da força axial em árvore de manivelas com massas reduzidas


-600

-400

-200

0

200

400

600

800

1000

0 500 1000 1500 2000 2500


Fo

rça

[N]



61


-600

-400

-200

0

200

400

600

800

1000

1200

0 500 1000 1500 2000 2500


Fo

rça

[N]




-600

-400

-200

0

200

400

600

800

1000

0 500 1000 1500 2000 2500


Fo

rça

[N]



Pelas simulações realizadas, pode-se ver que a redução de massa não aumentou

proporcionalmente a redução de força. A força axial na redução (5% ou 10%) não

ultrapassou 3% da força original. Ou seja, a redução da massa não contribui para

62

diminuição significativa para a redução de força axial. Isso ocorre pois o principal fator que

contribui a intensidade da força axial é a pressão de combustão.

Entretanto, não se pode projetar a árvore de manivelas somente com essa

informação, pois o dimensionamento deve ser feito levando também em conta o tensor de

tensões. A força axial não apresenta aumento significativo com a redução de massa, mas a

redução da inércia contribui para o aumento da tensão, por isso sua redução é limitada.

63

Capítulo 5

Conclusões e Trabalhos Futuros

Esta tese é uma contribuição ao estudo de esforços em motores de combustão

interna. Foram apresentados os conceitos básicos de funcionamento de motores de

combustão interna, a modelagem teórica aplicada, resultados em termos de

deslocamentos e forças sobre mancal hidrodinâmico, análise da distribuição de pressão

sobre o mancal axial e análise da vibração longitudinal em diferentes velocidades.

A análise de vibração axial pode ser realizada com a ferramenta desenvolvida

neste trabalho para diferentes modelos de árvore de manivelas desde que a rigidez,

massa (e inércia) e amortecimento sejam calculados e colocados como entrada do

programa computacional desenvolvido. Esforços além dos citados (tangencial e radial)

podem ser considerados no vetor de força. A influência da redução de massa e rigidez

na força axial do virabrequim pode ser simulada rapidamente com o programa

computacional desenvolvido.

A resolução do sistema de equações em função do tempo pode demandar mais

tempo (dependendo da quantidade de ciclos a serem simulados) do que a resolução em

função da freqüência, mas possibilita o cálculo da deformação do virabrequim com uma

simples subtração.

Conclui-se que para a árvore de manivelas apresentada, a vibração longitudinal

não é o principal fator de desgaste dos componentes nas condições estudadas

(lubrificação hidrodinâmica completa). Além disso, não se verifica que a força axial

supera a carga do mancal axial, ou seja, existe lubrificação hidrodinâmica completa.

64

A metodologia pode ser aplicada ainda a outros tipos de rotores com manivelas

como turbinas de navios ou locomotivas onde a força axial pode ser maior.

Concluiu-se também que a árvore de manivelas apresentada está conforme

critérios de projeto que recomendam vibração torcional na ordem de até 0,25°.

Com os cálculos de deslocamento nodal desta tese, é possível calcular tensões

normal e cisalhante. Ou seja, pode-se calcular dois componentes do tensor de tensão. O

tensor de tensões trata da distribuição dos esforços no material. Ele pode ser ulitizado

de diferentes formas de cálculos de tensões equivalente como von Mises, ou critérios

como Rankine ou Tresca.

Verificou-se que a força axial sobre o mancal sofre influência direta dos valores

de mola e amortecimento do mancal. Isto é, a condição de contorno é uma variável

bastante importante para obtenção dos resultados. Entretanto, é possível considerar uma

junta de deslocamento zero, e força máxima para casos críticos em força.

Esta tese contribuiu na pesquisa de vibração axial em árvore manivelas que

recebeu pouca atenção nas últimas décadas devido sua menor intensidade e menores

conseqüências na vida útil dos componentes dos motores de combustão interna. Alguns

aspetos ainda podem ser melhor explorados como a influência da vibração axial da

árvore de manivelas na vida útil de bielas e pistões ou anéis de segmento ou vedação.

5. 1 Sugestão de Trabalhos Futuros

A continuidade e o aprimoramento do assunto desenvolvido neste trabalho

podem se dar pelo estudo do:

• Acoplamento dos graus de liberdade de flexão neste modelo

simplificado utilizando formulação de viga na árvore de manivelas,

• Estudo experimental da dinâmica da árvore de manivelas para estudar a

influência da flexão nos outros graus de liberdade e validação de um

possível modelo,

65

• Estudo experimental de mancais hidrodinâmicos em motores de

combustão interna variando fluido de lubrificação, velocidade de

rotação e outros parâmetros com a finalidade de verificar a influência da

lubrificação na dinâmica do sistema e no parâmetro de rigidez e

amortecimento do mancal na utilização do modelo simplificado de

múltiplos graus de liberdade.

66

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68

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Dissertação de Mestrado, 2005.

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Hidrodinâmicos de Sapatas Setoriais Pivotadas, Itajubá, Universidade Federal de Itajubá,

Instituto de Engenharia Mecânica, Dissertação de Mestrado, 2006.

[24] Gandara, I., Modelagem de Mancais Hidrodinâmicos com Movimento Oscilatório,

Faculdade de Engenharia Mecânica, Universidade Estadual de Campinas, Dissertação de

Mestrado, 2006.

69

Apendice A Descrição do programa computacional (escrito em ambiente Matlab) desenvolvido

para as simulações realizadas neste trabalho.

70

Limpeza das variáveis e fechamento das janelas:

clear all

close all

clc

Definição dos dados de entrada:

dt=2; %diferenca de angulo n=9; %segmentos

%Rigidez Axial

ka(1)=2.649*10^8; ka(2)=4.7619*10^8; ka(3)=4.7619*10^8; ka(4)=5.515*10^8; ka(5)=4.7619*10^8; ka(6)=4.7619*10^8; ka(7)=4.7619*10^8; ka(8)=6.510*10^9;

%Rigidez Torcional

kt(1)=1.350*10^6; kt(2)=1.350*10^6; kt(3)=1.350*10^6; kt(4)=1.033*10^6; kt(5)=1.350*10^6; kt(6)=1.350*10^6; kt(7)=1.350*10^6; kt(8)=1.033*10^6;

%entrada de força: p=load('1900rpm.dat'); %carrega dados de pressao de combustao do arquivo vel=1900; a=p(:,1); pe=p(:,2);

%entradas: diametro do pistao, raios e massas %a = angulo; p = pressao dp=0.105;r=0.0645;L=0.207;ma=1.5;

M=zeros(2*n,2*n); K=zeros(2*n,2*n); C=zeros(2*n,2*n);

%Definição das massas e inércias M(1,1)=3.5158*10^(-3); M(2,2)=3.09;

71

M(3,3)=2.902*10^(-2); M(4,4)=7.75; M(5,5)=6.6805*10^(-4); M(6,6)=1.066; M(7,7)=3.2483*10^(-2); M(8,8)=8.86; M(9,9)=6.6805*10^(-4); M(10,10)=1.066; M(11,11)=2.902*10^(-2); M(12,12)=7.3852; M(13,13)=6.6805*10^(-4); M(14,14)=1.1066; M(15,15)=2.9027*10^(-2); M(16,16)=7.75; M(17,17)=1.9868*10^(-3); M(18,18)=3.167;

Montagem das matrizes de rigidez e amortecimento

for i=3:2:2*n-2 K(i,i-2)=-kt((i-1)/2); K(i,i-1)=0; K(i,i)=kt((i-1)/2)+kt((i+1)/2); K(i,i+1)=0; K(i,i+2)=-kt((i+1)/2); K(i,i+3)=0; end

for i=4:2:2*n-2 K(i,i-3)=-gama(i/2-1)*ka(i/2-1); K(i,i-2)=-ka(i/2-1); K(i,i-1)=gama(i/2-1)*ka(i/2-1)+gama(i/2)*ka(i/2); K(i,i)=ka(i/2-1)+ka(i/2); K(i,i+1)=-gama(i/2)*ka(i/2); K(i,i+2)=-ka(i/2); end

for i=3:2:2*n-2 C(i,i-2)=-ct((i-1)/2); C(i,i-1)=0; C(i,i)=dtt((i-1)/2)+ct((i-

1)/2)+ct((i+1)/2); C(i,i+1)=0; C(i,i+2)=-ct((i+1)/2); end

for i=4:2:2*n-2 C(i,i-3)=0; C(i,i-2)=-ca(i/2-1); C(i,i-1)=0; C(i,i)=da(i/2)+ca(i/2-1)+ca(i/2); C(i,i+1)=0; End

Função de cálculo de força radial e tangencial

function [F,M,Fr]=forcasdepressao(dp,r,L,ma,a,p,vel)

omega=vel*(2*pi)/60;

Fg=p(:,1)*10^5*pi*(dp^2)/4; a=deg2rad(a); b=asin((r/L)*sin(a)); Ftp=Fg.*sin(a+b)/cos(b); lambda=r/L; Fia = ma*r*omega^2*(cos(a)+lambda*cos(2*a)-

72

(lambda^3)/4*cos(4*a)+9*(lambda^5)/128*cos(6*a)); Fta=Fia.*sin(a+b)./cos(b);

F=Ftp(:,1)+Fta(:,1); M=F*r;

Frp=Fg.*cos(a+b)./cos(b); Fra=Fia.*cos(a+b)./cos(b); Fr=Frp+Fra;

end

Função para integrar a equação de movimento

function [u,v,a,P] = NewmarkIntegrator(gamma,beta,M,K,C,P,dt,uo,vo)

N = length(K); %numero de graus de liberdade = 5 TimeSteps = length(P); %entrada Time = dt*[1:TimeSteps]; %vetor de tempo

u = zeros(N,TimeSteps); %matriz de deslocamento (linhas) por tempo

(colunas) v = zeros(N,TimeSteps); %matriz de velocidade a = zeros(N,TimeSteps); %matriz de aceleração

% Enforce initial conditions if (nargin>=8) u(1:N,1) = uo(1:N); end %se não entrar com valores

iniciais ele zera. if (nargin==9) v(1:N,1) = vo(1:N); end %

% Determine initial acceleration and various time-invariant parameters a(:,1) = inv(M) * (P(:,1) - C * v(:,1) - K * u(:,1)); %aceleração no

primeiro passo de tempo %velocidade e deslocamento são entrada Kbar = K + (gamma/(beta*dt)) * C + (1/(beta*dt^2)) * M; %matriz

auxiliar A = (1/(beta*dt)) * M + (gamma/beta) * C; %matriz auxiliar B = (1/(2*beta)) * M + dt * (gamma/(2*beta)-1) * C; %matriz

auxiliar KbarInv = inv(Kbar); %matriz auxiliar

h=waitbar(0,'I - Integration of the system.'); % Loop over load steps for i=2:TimeSteps %laço de todos os passos de tempo waitbar(i/TimeSteps,h); %mostrar uma barra de progressão (para o

matlab) cont=0;tol=2; while (tol>0.1 && cont<1000000) dP = P(:,i) - P(:,i-1); %definindo dP (vetar), em que P é a

excitação dPbar = dP + A*v(:,i-1) + B*a(:,i-1); %vetor auxiliar du = KbarInv * dPbar; %delta-u dv = (gamma/(beta*dt))*du - (gamma/beta)*v(:,i-1) + ... dt*(1-gamma/(2*beta))*a(:,i-1); %delta-v da = (1/(beta*dt^2))*du - (1/(beta*dt))*v(:,i-1) - ...

73

(1/(2*beta))*a(:,i-1); %delta-a

u(:,i) = u(:,i-1) + du; %matriz deslocamento para passo de tempo

i v(:,i) = v(:,i-1) + dv; %matriz velocidade para passo de tempo i a(:,i) = a(:,i-1) + da; %matriz de aceleração para passo de tempo

i

end end close(h)

Gráficos utilizados

TimeSteps = length(T); tempo=dt*[1:TimeSteps]; figure (1) plot(tempo,u(1,1:N),tempo,u(3,1:N),tempo,u(5,1:N),tempo,u(7,1:N),

tempo,u(9,1:N),tempo,u(11,1:N),tempo,u(13,1:N),tempo,u(15,1:N));

title('Deslocamento torcional');

xlabel('Angulo de arvore de manivela'); ylabel('deslocamento

torcional[rad]');

for i=1:length(v) forca_axial(i)=0; for j=1:length(K) forca_axial(i)=forca_axial(i)+K(4,j)*u(j,i)+C(4,j)*v(j,i); end end

figure (7) plot(tempo, forca_axial); title('Força Axial [N]');

xlabel('Angulo de arvore de manivela');ylabel('Força axial');

74

Apêndice B Dados de pressão de combustão (em bar) utilizadas no trabalho.

75

Ângulo 1100rpm 1300rpm 1500rpm 1700rpm 1900rpm 2100rpm 2300rpm 2500rpm 2650rpm 3050rpm

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504 4.73 5.41 5.63 5.63 5.63 5.86 5.86 5.63 0.95 0.73 506 4.7 5.38 5.38 5.38 5.38 5.6 5.6 5.6 0.94 0.73 508 4.67 5.12 5.34 5.34 5.34 5.56 5.56 5.34 0.94 0.72 510 4.42 5.09 5.3 5.3 5.3 5.3 5.3 5.3 0.93 0.72 512 4.39 5.05 5.05 5.05 5.05 5.27 5.27 5.27 0.92 0.71 514 4.14 4.79 5.01 5.01 5.01 5.23 5.23 5.01 0.92 0.71 516 4.11 4.54 4.98 4.98 4.98 4.98 4.98 4.98 0.91 0.7 518 4.08 4.51 4.72 4.72 4.72 4.94 4.94 4.94 0.9 0.7 520 4.05 4.47 4.47 4.47 4.47 4.9 4.9 4.68 0.9 0.69 522 3.8 4.44 4.44 4.44 4.44 4.65 4.65 4.44 0.89 0.69 524 3.57 4.2 4.4 4.4 4.4 4.4 4.4 4.4 0.88 0.68 526 3.54 4.16 4.37 4.37 4.37 4.37 4.37 4.37 0.88 0.68 528 3.3 3.93 4.13 4.13 4.13 4.33 4.33 4.33 0.87 0.67 530 3.07 3.89 4.09 4.09 4.09 4.3 4.3 4.09 0.86 0.66 532 3.05 3.86 3.86 3.86 3.86 4.06 4.06 4.06 0.85 0.66 534 2.81 3.83 3.83 3.83 3.83 4.02 4.02 3.83 0.85 0.65 536 2.79 3.59 3.79 3.79 3.79 3.79 3.79 3.79 0.84 0.65 538 2.57 3.36 3.76 3.76 3.76 3.76 3.76 3.76 0.83 0.64 540 2.54 3.33 3.52 3.52 3.52 3.72 3.72 3.72 0.82 0.64 542 2.52 3.1 3.3 3.3 3.3 3.69 3.69 3.49 0.82 0.63 544 2.11 2.88 3.26 3.26 3.26 3.45 3.45 3.26 0.81 0.62 546 2.09 2.85 3.04 3.04 3.04 3.23 3.23 3.23 0.8 0.62 548 1.88 2.63 2.83 2.83 2.83 3.2 3.2 3.01 0.79 0.61 550 1.68 2.6 2.8 2.8 2.8 2.98 2.98 2.8 0.78 0.6 552 1.66 2.39 2.58 2.58 2.58 2.77 2.77 2.77 0.78 0.6 554 1.64 2.37 2.55 2.55 2.55 2.74 2.74 2.55 0.77 0.59 556 1.44 2.34 2.34 2.34 2.34 2.52 2.52 2.52 0.76 0.59 558 1.43 1.96 2.32 2.32 2.32 2.49 2.49 2.32 0.75 0.58 560 1.24 1.94 2.29 2.29 2.29 2.29 2.29 2.29 0.74 0.57 562 1.22 1.74 1.92 1.92 1.92 2.26 2.26 2.26 0.73 0.57 564 1.09 1.55 1.9 1.9 1.9 2.24 2.24 1.9 0.72 0.56 566 1.07 1.53 1.7 1.7 1.7 1.87 1.87 1.87 0.72 0.55 568 1.06 1.51 1.51 1.51 1.51 1.85 1.85 1.68 0.71 0.54 570 1.05 1.33 1.49 1.49 1.49 1.65 1.65 1.49 0.7 0.54 572 1.03 1.31 1.47 1.47 1.47 1.47 1.47 1.47 0.69 0.53 574 1.02 1.13 1.29 1.29 1.29 1.45 1.45 1.45 0.68 0.52 576 1 1.12 1.27 1.27 1.27 1.43 1.43 1.27 0.67 0.52 578 0.99 0.99 1.1 1.1 1.1 1.26 1.26 1.26 0.66 0.51 580 0.98 0.98 1.08 1.08 1.08 1.24 1.24 1.08 0.65 0.5 582 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.7 1.7 1.7 1.02 0.79 584 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.7 1.7 1.53 1.02 0.79 586 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 588 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 590 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 592 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 594 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 596 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 598 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 600 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 602 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 604 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79

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606 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 608 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 610 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 612 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 614 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 616 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 618 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 620 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 622 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 624 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 626 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 628 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 630 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 632 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 634 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 636 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 638 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 640 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 642 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 644 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 646 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 648 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 650 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 652 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 654 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 656 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 658 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 660 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 662 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 664 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 666 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 668 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 670 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 672 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 674 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 676 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 678 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 680 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 682 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 684 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 686 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 688 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 690 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 692 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 694 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 696 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 698 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 700 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 702 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 704 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 706 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79

82

708 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 710 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 712 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 714 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 716 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 718 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 720 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79

83

Apêndice C Durante este trabalho de mestrado foram publicados dois artigos em congressos nacionais:

Longitudinal Effort in Crankshaft (Congrsso SAE – 2009-36-0155, São Paulo- S.P., Brasil)

e Longitudinal Loads in Crankshafts (IX Congresso Nacional de Engenharia Mecânica e

Industrial CONEMI - CON 03 – 006, Campo Grande - MS).

84

2009-36-0155

Longitudinal Effort In Crankshaft

Annelise Yuiko Idehara Auteliano Antunes dos Santos Junior

Universidade Estadual de Campinas – Faculdade de Engenharia Mecânica

Alex de Souza Rodrigues ThyssenKrupp Metalúrgica Campo Limpo – Development Engineering

Copyright © 2009 SAE International

ABSTRACT

In the last two decades, torsional and axial vibrations of the engine crankshaft have become more severe than before, because of the increase of the engine speed and mean effective gas pressure, and reduction of engine size. Under these new conditions, more severe forces and torques are applied to the crankshaft. That forces and torques can increase the noise radiation, wear and damage of the components connected to crankshaft. This paper presents a multi-degree-of-freedom model of crankshaft under axial and torsional excitations. The motion equation of the system is solved numerically with Newmark beta Method in Matlab environment. The interaction with axial bearing is also considered, the Reynods Equation that govern the generation of hydrodynamic pressure in axial bearing is solved with Finite Difference Method and the boundary condition of Sommerfeld (pressure equal to zero at the boundary). A simulation of 4-cylinder crankshaft is presented. Results are shown in terms of crankshaft’s displacement and pressure in axial bearing.

INTRODUCTION

The dynamic behaviour of a engine cranckshaft is an important aspect for three-dimensional vibrations of the engine. Intense axial vibration of crankshaft may lead to some problems as vibration on coupled components of the shaft, severe wear between the sidewall and piston slapping and contribution to open a crack in the crankshaft. The requirements of the mordem internal combustion engine are harsher and optimum design solutions are need. In this context, virtual simulation is a good manner to analize the vibration of engine’s components and wearing of engine.

Van Dort and Visser (1963) conducted research on axial vibration and control measures in a propeller shaft of ships to ensure the safety and comfortableness. They concluded that the varying thrusting force of the screw propeller, coupled bending-axial forces and coupled torsional-axial forces might cause the vibration.

Ying et al. (1995) studied coupled torsional-axial vibration of the engine crankshaft and Li et al. (1994) studied coupled bending-axial vibration. They concluded that both coupled

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vector of torsional-axial and bending-axial contribute to axial vibrations and the axial vibration has great influence on noise radiation.

Bukovnik, Dorr, Caika, Bartz and Loibnegger (2005) compared different models of simulation for the journal bearings used in combustion engines in non-stationary flow. They simuleted peak oil film pressure (POFP), minimum oil film thickness (MOFT) and time simulation in Hydrodynamic (HD), Elasto-hydrodynamic (EHD) and Thermo-elasto-hydrodynamic (TEHD) lubrication models. They concluded that three model has similar results, TEHD and EHD consume more time and TEHD require more data.

Galvão and Schwarz (2006) studied the axial bearing pressure of pivot Pad Journal bearings. They simulated the pressure distribution solving the Reynolds equation and compared with experiments the peak of pressure, film oil thickness.

Offner, Lechner, Mahmoud and Priebsch (2006) proposed a numerical interpolation model to solve the three dimensional dynamics of engine. They solved the motion equation to engine components and elastohydrodynamic behaviour of axial thrust bearings.

Shu, Liang and Lu (2007) published results of simulation of crankshaft in line six-cylinder diesel engine and comparison with experiments. They applied a multi-degree of freedom model and reach a feasible model and method of calculation for analysis of axial vibration.

Choi and Pan (2007) conduced simulations of the residual stresses and the bending stresses near the fillet of a crankshaft section under fillet rolling and subsequent bending fatigue tests were investigated by a two-dimensional plane strain finite element analysis.

In this paper, the torsional and axial dynamics of crankshat is simulated and the pressure distribution on axial bearing is calculeted. The equation of motion was solved with Newmark beta method and Reynolds equation was solved with difference finite method.

SIMULATION

The computational simulation is an important tool of analisys of the dynamics of any moving bodies. In this paper, a dynamic of a crankshaft (shown in figure 1) is studied.

Figure 1: Crankshaft model

MOTION EQUATION

The crankshaft was simplified as a discrete model of multi-degree-of-freedom as shown in figure 2. It is composed of n concentrated masses m (kg) with absolute damping d (composed of torsional damping dt and axial damping da), polar moment of inertias J (kg.m2) and n-1 stiffness k (torsional kt (N.m/rad) and axial Ka (N/m)) and damping c (torsional ct (N.m/rad/s) and axial ca (N/m/s)).

Figure 2: Generalised multi-mass model of crankshaft

86

For each element (of two degree of freedom – torsional and axial), an equation of motion can be written as follow in system of equation 1.

iiiai

iiaiiaiii

iiitiiiti

iitiiitiitiii

fxxc

xxcxdxm

Tkk

ccdJ

=−+

−++

=−+−

+−+−++

+

−−

+−−

+−−

)(

)(

)()(

)()(

1

11

111

111

&&

&&&&&

&&&&&&&

θθθθ

θθθθθθ

(1)

where Ti is the torque applied to crankshaft and fi is coupled axial force defined as follow in equation 2.

riirii

iiaiiiiaiii

PP

kkf

ββ

θθγθθγ

−+

−−−=

−−

−−−+

11

1111 )(.)(.

(2)

In matrix form, the system of equations can be written as follow in equation 3:

}{}]{[}]{[}]{[ FxKxCxM =++ &&&

(3) where, ][M is

n

n

i

i

m

J

m

J

m

J

0

0

...

0

0

...

0

0

1

1

,

K is

and C is

The torque Ti is calculated (equation 4) from pressure combustion and crank rod kinematics. The figure 3 illustrates the forces on the rod, crankshaft and piston.

Figure 3: forces no crank rod system

The torque T is calculated from the equations below:

rFT t=

(4)

4..

)cos(

)(sin

2dppF

FF

FFF

g

gtp

tatpt

π

β

βα

=

+=

+=rrr

87

L

r

rmF

FF

aia

iata

=

+−+=

+=

λ

αλ

αλ

αλαϖ

β

βα

)6cos128

94cos

42cos(cos.

)cos(

)sin(

532

where, p is the pressure in the combustion chamber, ma is alternative mass and dp is the piston diameter.

The figure 4 shows the pressure in the combustion chamber for five different speeds.

Figure 4: Pressure in the combustion chamber

The figure 5 shows the torque applied to the crankshaft in one troll for five different velocitie.

Figure 5: Applied Torque

Motion Equation can calculate the displacements of concentrated masses (torsional and axial) and force on the axial bearing.

AXIAL BEARING

The crankshaft is supported by the oil film between of the bearings. In the presented model, there are five bearings where one is the main bearing and support the crankshaft in longitudinal direction, the others support the crankshaft in vertical and transverse directions. The figure 6 illustrate a block of the engine.

Figure 6: block of engine

The pressure distribution can be calculated by the Reynolds equation 5.

θπ

θθ ∂

∂

=

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂ h

L

Rr

ph

rr

prh

r

e

2

33 .121

(5)

where, eR

rr 0= ,

ph

hh 0= ,

2

0

=

L

h

N

pp

p

η,

Re is external radius, L is the pad thickness, h is the oil film thickness, η is the viscosity, N is the rotation velocity and p0 is the pressure on the bearing.

88

The Reynolds equation was solved using the finite differences method and Sommerfeld boundary condition (pressure equal to zero in the boundary).

The load capacity can be calculated by the equation 6 as below:

∫ ∫=Re

0 0000

0

RidrdrpF

θ

θ

(6)

The load capacity is the maximum force that the axial bearing can support hydrodynamically. The axial force on the bearing should be smaller than the load capacity.

METHODS

Newmark Beta Method

The Newmark Beta Method was applied to solve the motion equation. The procedure is described below:

1. Calculation of initial acceleration: a = M-

1.P 2. Calculation of the auxiliary matrices

below:

][12

][2

1][

][][1

][

][1

][][][2

CtMB

CMt

A

Mt

Ct

KKbar

−∆+=

+∆

=

∆+

∆+=

β

γ

β

β

γ

β

ββ

γ

3. Calculation of the follow auxiliary vectors:

dPbarKbardu

aBvAdPPbar

PPdP

ii

ii

1

11

1

][

].[].[−

−−

−

=

++=

−=

112

11

2

111

..2

1.

−−

−−

−∆

−

∆=

−∆+−

∆=

ii

ii

avt

dut

da

atvdut

dv

βββ

β

γ

β

γ

β

γ

4. Calculation of the displacement, velocity and acceleration:

daaa

dvvv

duuu

ii

ii

ii

+=

+=

+=

−

−

−

1

1

1

Finite Differences Method

The Reynolds equation was solved with the Finite Differences Method. In this paper the explicit form was applied to solve de differential equation of fluid behavior.

The method consist in divide the domain in small cells and calculate the pressure of each cell as shown in the system of equations 7 as follow:

(7)

RESULTS

The crankshaft that is shown in figure 1 can be simplified as a discrete model of multi-degree-of freedom of masses, stiffness and damping. The stiffness can be calculated with a CAM software. The figure 7 shows a part of crankshaft with axial stiffness is around 4.76 108 N/m and torsional stiffness is around 1.35 106 N.m/rad. Each part have the stiffness calculated. Similarly, the mass is calculated using the CAD software (steel material). The damping is the proportional Rayleigh damping model that is proportional to mass and stiffness.

89

Figure 7: Part of crankshaft

The figures 8, 9 and 10 show the results of axial displacement of three different velocities of four points of crankshaft (center of each piece as shown in figure 7).

Figure 8: Axial Displacement



The rotating crankshaft supported by the oil film generates a pressure in the fluid. The table 1 shows the values of main features of the bearing.

Feature

Value

Unit

Internal Radius 63 mm

External Radius 75 mm

Sector angle 60 Degree

90

Density of lubricant 870 Kg/m3

The green line of figures 8, 9 and 10 is a straight line in zero because it’s the point The figure 11 shows the pressure distribution (in Pascal) on the axial bearing and the figure 12 shows the oil film thickness where the velocity of crankshaft rotation is 1100rpm. In this simulation, the pivot angle is 1°, the pivot radius is 20 mm and the output minimum thickness of film of oil is 0.02 mm.

Figure 11: Pressure Distribution

Figure 12: Oil Film Thickness [µm]

The figure 13 shows the pressure distribution (in Pascal) on the axial bearing and the figure 14 shows the oil film thickness where the

velocity of crankshaft rotation is 1700rpm. The pivot angle is 1°, the pivot radius is 30 mm and the output minimum thickness of film of oil is 0.03 mm.



The figure 15 shows the pressure distribution (in Pascal) on the axial bearing and the figure 16 shows the oil film thickness where the velocity of crankshaft rotation is 2100rpm. I this case, the pivot angle is 2°, the pivot radius is 60 mm and the output minimum thickness of film of oil is 0.032 mm.

91



CONCLUSION

In this paper, the axial dynamics of crankshaft was discussed; the mathematical formulation, a case studied and analyses were presented. The interaction with the axial bearing is also studied. Three results of different velocities were presented. The interaction of bearing, oil film and the crankshaft is interesting subject to study; this analysis can prevent errors of engine project and damage in other components.

ACKNOWLEDGMENTS

The authors would like to thanks ThyssenKrupp Metalúrgica Campo Limpo that fund this work.

REFERENCES

1. Van Dort, D., and Visser, N. J., “Crankshaft coupled free torsional-axial vibration of ship’s propulsion system”, I.S.P., Vol 10,p.107, 1963.

2. Ying, Q.G., Zhou, M.R., Li, B.Z., Xu, J.F., and Chen, M.X., “The coupled torsional vibrations of the morden long-stroke marine engine crankshaft”, Marine Engineering, Vol 1, p.40-47, 1995.

3. Li, B.Z., Ying, Q.G., Zhou M.R., Xu, J.F. and Chen, M.X., “The coupled torsional vibrations of the morden long-stroke marine engine crankshaft: Accident analysis of coupled vibration”, Marine Engineering, Vol 6, p37-41.

4. Bukovnik, S., Dorr, N., Caika, V., Bartz, W.J., Loibnegger, B., “Analysis of diverse simulation models for combustion engine journal bearings and the influence of oil condition”, Tribology International, Vol 39, p.820-826,2005

5. Galvão, M.M., Schwart, V.A., “Análise do Comportamento Operacional de Mancais Axiais Hidrodinâmicos de Sapatas Setoriais Pivotadas”, Máster degree thesis, Itajubá, 2006.

6. Offner,G., Lechner, M., Mahmoud, K. and Prlebsch, H.H., “Surface contact analysis in axial thrust bearings based on different numerical interpolation approaches”, Proc. IMechE, Journal of Multi-body Dynamics, Vol 221.

7. Shu, G.Q., Liang, X.Y., Lu, X.C., “Axial vibration of high-speed automotive engine crankshaft”, International Journal of Vehicle Design, Vol 45, No. 4, p. 542, 2007.

8. Choi, K.S., Pan, J., “Simulations of stress distributions in crankshaft sections under fillet rolling and bending fatigue tests”, International Jounal of Fatigue, Vol 31, p. 544-557, 2009.

92

LONGITUDINAL LOADS IN CRANKSHAFTS

Annelise Yuiko Idehara – [email protected] Auteliano Antunes dos Santos Júnior – [email protected] Universidade Estadual de Campinas – Unicamp. Faculdade de Engenharia Mecânica – FEM Rua Mendeleyev, 200, Cidade Universitária "Zeferino Vaz", Campinas, Brazil. Alex de Souza Rodrigues – [email protected] ThyssenKrupp Metalúrgica Campo Limpo Ltda Av. Alfried Krupp, 1050, Campo Limpo Paulista, Brazil

Abstract. Torsional and axial vibrations of the engine crankshaft have become more severe in the last two

decades, due to the increase of the engine speed and mean effective gas pressure, downsize of engine.

Under these new conditions, more severe forces and torques are applied to the crankshaft. That forces

and torques can increase the noise radiation, wear and damage of the components connected to

crankshaft. This paper presents a multi-degree-of-freedom model of crankshaft under axial and torsional

excitations. The motion equation of the system is solved numerically with Newmark beta Method in

Matlab environment. The interaction with axial bearing is also considered, the Reynods Equation that

govern the generation of hydrodynamic pressure in axial bearing is solved by Finite Difference Method

and the boundary condition of Sommerfeld (pressure equal to zero at the boundary). A simulation of 4-

cylinder crankshaft is presented. The results are shown in terms of crankshaft’s displacement, axial force

in main bearing and pressure distribution on axial bearing.

Key words: Crankshaft, Dynamic Behavior, axial and torsional vibration.

1. INTRODUCTION

The dynamic behavior of an engine crankshaft is an important aspect for three-dimensional vibrations of the engine. Intense axial vibration of crankshaft may lead to some problems as vibration on coupled components of the shaft, severe wear between the sidewall and piston slapping and contribution to open a crack in the crankshaft. The requirements of the modern internal combustion engine are harsher and optimum design solutions are needed. In this context, virtual simulation is a good way to analyze the vibration of engine’s components and wearing of engine.

Van Dort and Visser (1963) conducted research on axial vibration and control measures in a propeller shaft of ships to ensure the safety and comfortableness. They concluded that the varying thrusting force of the screw propeller, coupled bending-axial forces and coupled torsional-axial forces might cause the vibration.

Ying et al. (1995) studied coupled torsional-axial vibration of the engine crankshaft and Li et al. (1994) studied coupled bending-axial vibration. They concluded that both coupled vector of torsional-axial and bending-axial contribute to axial vibrations and the axial vibration has great influence on noise radiation.

Bukovnik, Dorr, Caika, Bartz and Loibnegger (2005) compared different models of simulation for the journal bearings used in combustion engines in non-stationary flow. They simulated peak oil film pressure (POFP), minimum oil film thickness (MOFT) and time simulation in Hydrodynamic (HD), Elasto-

93

hydrodynamic (EHD) and Thermo-elasto-hydrodynamic (TEHD) lubrication models. They concluded that three models have similar results, TEHD and EHD consume more time and TEHD require more data.

Galvão and Schwarz (2006) calculated the axial bearing pressure of pivot Pad Journal bearings. They simulated the pressure distribution solving the Reynolds equation and compared with experiments the peak of pressure, film oil thickness.

Offner, Lechner, Mahmoud and Priebsch (2006) proposed a numerical interpolation model to solve the three dimensional dynamics of engine. They solved the motion equation to engine components and elastohydrodynamic behavior of axial thrust bearings.

Shu, Liang and Lu (2007) published results of simulation of crankshaft in line six-cylinder diesel engine and comparison with experiments. They applied a multi-degree of freedom model and reach a feasible model and method of calculation for analysis of axial vibration.

Choi and Pan (2007) conduced simulations of the residual stresses and the bending stresses near the fillet of a crankshaft section under fillet rolling and subsequent bending fatigue tests were investigated by a two-dimensional plane strain finite element analysis.

In this paper, the torsional and axial dynamics of crankshaft is simulated and the pressure

distribution on axial bearing is calculeted. The equation of motion was solved by Newmark beta method

and Reynolds equation was solved with difference finite method.

2. MOTION EQUATION The computational simulation is an important tool in the dynamics analyses of any moving bodies. In this paper, the dynamic of a crankshaft is studied. The crankshaft was simplified as a discrete model of multi-degree-of-freedom. It is composed of n concentrated masses m (kg) with absolute damping d (composed of torsional damping dt and axial damping da), polar moment of inertias J (kg.m2) and n-1 stiffness k (torsional kt (N.m/rad) and axial Ka (N/m)) and damping c (torsional ct (N.m/rad/s) and axial ca (N/m/s)). The fig. 1 shows the crankshaft model and its simplification.

Figure 1: Crankshaft and model simplification

An equation of motion for each element of two degree of freedom (torsional and axial) can be written as follow in system of Eq. 1.

94

( ) iiiaiiiaiiiaiiaiii

iiitiiitiiitiiitiitiii

fxxkxxcxxcxdxm

TkkccdJ

=−+−+−++

=−+−+−+−++

++−−

+−−+−−

1111

111111

)()(

)()()()(

&&&&&&&

&&&&&&& θθθθθθθθθθ

(1)

Where, Ti is the torque applied to crankshaft and fi is coupled axial force defined as follow in Eq. 2.

riiriiiiaiiiiaiii PPkkf ββθθγθθγ −+−−−= −−−−−+ 111111 )(.)(.

(2)

Where, γ and β are axial displacement caused by unit crank throw twist angle and pseudo axial transform coefficient and Pr is radial force on throw.

In matrix form, the system of equations can be written as follow in Eq. 3:

}{}]{[}]{[}]{[ FxKxCxM =++ &&& (3)

where,

,

95

and

=

n

n

i

i

m

J

m

J

m

J

M

0

0

...

0

0

...

0

0

][

1

1

.

The torque Ti is calculated in Eq. 4 from crank rod kinematics. The fig. 2 illustrates the forces on the rod, crankshaft and piston.

Figure 2: Forces on crank rod system

The torque Ti is calculated from the equations below:

96

rFT t=

(4)

where, tatpt FFFrrr

+= , )cos(

)(sin

β

βα += gtp FF ,

4..

2dp

pFg π= , )cos(

)sin(

β

βα += iata FF ,

L

r=λ and

)6cos128

94cos

42cos(cos.

532 α

λα

λαλαϖ +−+= rmF aia . The variable p is the pressure in the

combustion chamber, ma is alternative mass and dp is the piston diameter. The fig. 3 shows the pressure in the combustion chamber for five different speeds.

Figure 3: Pressure in the combustion chamber

The fig. 4 shows the torque applied to one crankshaft throw for five different velocities.

97

Figure 4: Applied Torque

The crankshaft interacts also with the clutch. When the clutch disengages, it applies a force on crankshaft. The fig. 5 shows a typical force that clutch disengages exert on crankshaft.

Clutch force on Crankshaft

0

200

400

600

800

1000

1200

0 2 4 6 8 10

Travel [mm]

Fo

rce

[N

]

Figure 5: Clutch interaction

98

The motion equation can be solved by numerical methods, in this paper; the Newmark Beta method is applied to motion equation. The procedure bellow describes the method’s steps:

9. Calculation of mass, stiffness and damping matrices and excitation vector 10. Calculation of initial acceleration: a = M-1.P 11. Calculation of the auxiliary matrices below:

][12

][2

1][

][][1

][

][1

][][][2

CtMB

CMt

A

Mt

Ct

KKbar

−∆+=

+∆

=

∆+

∆+=

β

γ

β

β

γ

β

ββ

γ

12. Calculation of the follow auxiliary vectors:

dPbarKbardu

aBvAdPPbar

PPdP

ii

ii

1

11

1

][

].[].[−

−−

−

=

++=

−=

112

11

2

111

..2

1.

−−

−−

−∆

−

∆=

−∆+−

∆=

ii

ii

avt

dut

da

atvdut

dv

βββ

β

γ

β

γ

β

γ

13. Calculation of the displacement, velocity and acceleration:

daaa

dvvv

duuu

ii

ii

ii

+=

+=

+=

−

−

−

1

1

1

3. AXIAL BEARING In the presented model, there are one thrust and five radial bearings. The radial bearing supports the crankshaft in transverse and vertical direction. The thrust bearing supports the crankshaft axial direction. The fig. 6 illustrates a block of the engine and main bearing (vertical, transverse and axial support).

99

Figure 6: Engine block and thrust bearing

The pressure distribution can be calculated by the Reynolds equation 5.

θ

πθθ ∂

∂

=

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂ h

L

Rr

ph

rr

prh

r

e

2

33 .121

(5)

where, eR

rr 0= ,

ph

hh 0= ,

2

0

=

L

h

N

pp

p

η, Re is external radius, L is the pad thickness, h is the oil film

thickness, η is the viscosity, N is the rotation velocity and p0 is the pressure on the bearing.

The Reynolds equation was solved using the finite differences method and Sommerfeld boundary condition (pressure equal to zero in the boundary). The pressure zero is a reference pressure. The fig.7 shows the physical model:

100

Figure 7: Axial bearing model

4. RESULTS A simulation case of crankshaft of 4-cylinder engine was done. The fig. 8 shows the torque applied on four crank pins of crankshaft in 3050rpm velocity. Each color represents the torque on each crank pin.

0 500 1000 1500 2000 2500-1000

-500

0

500

1000

1500

crankangle [degree]

Tor

que

[N.m

]

Applied Torque

Figure 8: Applied Torque on Crankshaft

The figure 9 shows the axial displacement of each element of the crankshaft. The colors of crankshaft (in the right side) correspond to the response in the left side of the figure.

101

0 500 1000 1500 2000 2500-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5x 10

-6 Axail Displacemet in 3050rpm

Crankangle [degree]

disp

lace

men

t[m

]

Figure 9: Element response

The figure 10 shows the axial force on the axial bearing:

0 500 1000 1500 2000 2500-300

-200

-100

0

100

200

300

400Axial Force [N]

crankangle

axia

l for

ce

102

Figure 10: Axial force on bearing

The rotating crankshaft supported by the oil film generates a pressure in the fluid. The table 1 shows the values of main features of the bearing.

Table 1: Main parameters of axial bearing

Feature Value Unit

Internal Radius 63 mm

External Radius 75 mm

Sector angle 60 Degree

Density of lubricant 870 Kg/m3

The fig. 11 shows the pressure distribution (in Pascal) on the axial bearing and the figure 12 shows the oil film thickness where the velocity of crankshaft rotation is 1700rpm. The pivot angle is 1°, the pivot radius is 30 mm and the output minimum thickness of film of oil is 0.03 mm.


103


The maximum magnitude of axial displacement is shown in fig. 13 along 1100rpm and 3050 rpm. The velocity where the vibration is more significant is 1900 rpm in this case. The analyses not consider contact metal-metal between the bearing and crankshaft, in other words, hydrodynamic model was considered.

Maximum displacement

0

1

2

3

4

5

700 1200 1700 2200 2700 3200

RPM

Max

imu

m d

isp

lace

men

t [ µµ µµ

m]

Figure 13: Maximum magnitude of axial displacement

104

5. CONCLUSION In this paper, the axial dynamics of crankshaft was discussed. The mathematical formulation was presented. A case study in 3050rpm was shown; axial displacement of each element was exhibited. The interaction with the axial bearing is also studied. Results of dynamics were presented.

The results indicate that the axial force in current crankshaft model is not critical. The crankshaft downsize can be considered in the future, but the supply of oil must be appropriate to ensure hydrodynamic lubrication. The misalignment of rod and crankshaft wasn’t a critical question because the axial vibration has microns of amplitude in the case analyses.

6. REFERENCES

Van Dort, D., and Visser, N. J., “Crankshaft coupled free torsional-axial vibration of ship’s propulsion

system”, I.S.P., Vol 10,p.107, 1963.

Ying, Q.G., Zhou, M.R., Li, B.Z., Xu, J.F., and Chen, M.X., “The coupled torsional vibrations of the

morden long-stroke marine engine crankshaft”, Marine Engineering, Vol 1, p.40-47, 1995.

Li, B.Z., Ying, Q.G., Zhou M.R., Xu, J.F. and Chen, M.X., “The coupled torsional vibrations of the

morden long-stroke marine engine crankshaft: Accident analysis of coupled vibration”, Marine

Engineering, Vol 6, p37-41.

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combustion engine journal bearings and the influence of oil condition”, Tribology International, Vol

39, p.820-826,2005

Galvão, M.M., Schwart, V.A., “Análise do Comportamento Operacional de Mancais Axiais

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bearings based on different numerical interpolation approaches”, Proc. IMechE, Journal of Multi-

body Dynamics, Vol 221.

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International Journal of Vehicle Design, Vol 45, No. 4, p. 542, 2007.

Choi, K.S., Pan, J., “Simulations of stress distributions in crankshaft sections under fillet rolling and

bending fatigue tests”, International Jounal of Fatigue, Vol 31, p. 544-557, 2009.

annelise yuiko idehararepositorio.unicamp.br/jspui/bitstream/reposip/264042/1/...analisa-se de forma...

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