anÁlise de rotores flexÍveis apoiados em mancais radiais elÍpticos e cilÍndricos ... · 2019....
TRANSCRIPT
UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS
PROGRAMA DE POacuteS-GRADUACcedilAtildeO EM
ENGENHARIA MECAcircNICA
ANAacuteLISE DE ROTORES FLEXIacuteVEIS APOIADOS EM
MANCAIS RADIAIS ELIacutePTICOS E CILIacuteNDRICOS
UTILIZANDO O MEacuteTODO DE ELEMENTOS FINITOS
WEacuteDERLEY MENDES MIRANDA
Belo Horizonte 31 de agosto de 2012
ii
Weacutederley Mendes Miranda
ANAacuteLISE DE ROTORES FLEXIacuteVEIS APOIADOS EM
MANCAIS RADIAIS ELIacutePTICOS E CILIacuteNDRICOS
UTILIZANDO O MEacuteTODO DE ELEMENTOS FINITOS
Tese apresentada ao Programa de Poacutes-Graduaccedilatildeo em
Engenharia Mecacircnica da Universidade Federal de Minas
Gerais como requisito parcial agrave obtenccedilatildeo do tiacutetulo de Doutor
em Engenharia Mecacircnica
Aacuterea de concentraccedilatildeo Projeto Mecacircnico
Orientador Prof Marco Tuacutelio Correcirca de Faria Dr
Universidade Federal de Minas Gerais
Belo Horizonte
Escola de Engenharia da UFMG
2012
iii
Universidade Federal de Minas Gerais Programa de Poacutes-Graduaccedilatildeo em Engenharia Mecacircnica Av Antocircnio Carlos 6627 ndash Pampulha ndash CEP 31270-901 ndash Belo Horizonte ndash MG
Tel +55 31 34995145 - Fax +55 31 3443-3783
wwwdemecufmgbr - e-mail cpgmecdemecufmgbr
ANAacuteLISE DE ROTORES FLEXIacuteVEIS APOIADOS EM
MANCAIS RADIAIS ELIacutePTICOS E CILIacuteNDRICOS
UTILIZANDO O MEacuteTODO DE ELEMENTOS FINITOS
WEacuteDERLEY MENDES MIRANDA
Tese defendida e aprovada em 31 de agosto de 2012 pela Banca Examinadora designada pelo
Colegiado do Programa de Poacutes-Graduaccedilatildeo em Engenharia Mecacircnica da Universidade Federal de
Minas Gerais como parte dos requisitos necessaacuterios agrave obtenccedilatildeo do tiacutetulo de ―Doutor em
Engenharia Mecacircnica na aacuterea de concentraccedilatildeo de ―Projeto Mecacircnico
_________________________________________________
Prof Dr Marco Tuacutelio Correcirca de Faria ndash Universidade Federal de Minas Gerais ndash Orientador
_________________________________________________
Prof Dr Eduardo Bauzer Medeiros ndash Universidade Federal de Minas Gerais - Examinador
_________________________________________________
Prof Dr Lazaro Valentim Donadon ndash Universidade Federal de Minas Gerais - Examinador
_________________________________________________
Prof Dr Rogeacuterio Joseacute Marczak ndash Universidade Federal do Rio Grande do Sul - Examinador
_________________________________________________
Prof Dr Pedro Ameacuterico Almeida Magalhatildees Juacutenior ndash PUC Minas - Examinador
iv
AGRADECIMENTOS
Em primeiro lugar a Deus por me mostrar o caminho e me dar forccedilas durante estes anos de
muita dedicaccedilatildeo
Agrave minha famiacutelia principalmente agrave minha esposa e filhos pelo apoio compreensatildeo e paciecircncia
em todos os momentos em que natildeo pude lhes dar a devida atenccedilatildeo
Ao Prof Marco Tuacutelio Correcirca de Faria pela orientaccedilatildeo deste trabalho e tambeacutem pelas aulas de
Dinacircmica de Rotores e de Teoria da Lubrificaccedilatildeo que me fizeram despertar o interesse pela
aacuterea o que resultou neste trabalho
Agrave amiga Ana Paula Ladeira pela valiosa contribuiccedilatildeo durante a revisatildeo final deste trabalho nos
aspectos de metodologia e de normalizaccedilatildeo
Aos professores Ricardo Luiz Utsch de Freitas Pinto e Maria Luacutecia Machado Duarte pela
acolhida quando retornei agrave UFMG para fazer o doutorado
Ao Departamento de Engenharia Mecacircnica da UFMG pela estrutura fiacutesica do laboratoacuterio de
Dinacircmica de Rotores pela qualidade de ensino e pelo apoio na participaccedilatildeo de eventos
v
SUMAacuteRIO
1 INTRODUCcedilAtildeO 19
11 Escopo 21
12 Objetivos 22
121 Objetivo geral 22
122 Objetivos especiacuteficos 22
2 REVISAtildeO BIBLIOGRAacuteFICA 23
21 Modelagem de sistemas rotor-mancal 23
22 Anaacutelise da estabilidade atraveacutes de problema de autovalor 31
23 Mancais hidrodinacircmicos 33
24 Sistemas rotativos com elementos adicionais 35
25 Mancais eliacutepticos 37
3 METODOLOGIA 40
31 Modelagem do Rotor Flexiacutevel 41
32 Modelagem do Mancal Radial Eliacuteptico 44
321 Equaccedilotildees de Lubrificaccedilatildeo 47
322 Equaccedilotildees de Elementos Finitos para Mancais Eliacutepticos 50
323 Discretizaccedilatildeo do campo de pressatildeo de ordem zero 50
324 Discretizaccedilatildeo do campo de pressatildeo de primeira ordem 53
325 Determinaccedilatildeo dos Coeficientes de Forccedila dos Mancais Eliacutepticos 55
33 O Sistema Rotor-Mancal 56
34 Diagrama do Procedimento Computacional 58
4 RESULTADOS E ANAacuteLISE 61
vi
41 Exemplos de validaccedilatildeo 61
411 Rotor com disco em balanccedilo 61
412 Rotor apoiado nas extremidades com disco no centro 65
413 Rotor de uma bancada de testes 69
414 Segundo rotor de uma bancada de testes 75
42 Anaacutelise dos coeficientes de forccedila dos mancais eliacutepticos 77
421 Coeficientes de forccedila em funccedilatildeo da folga radial dos mancais eliacutepticos 78
422 Coeficientes de forccedila em funccedilatildeo da razatildeo de esbeltez dos mancais eliacutepticos 83
423 Coeficientes de forccedila em funccedilatildeo da preacute-carga dos mancais eliacutepticos 85
43 A influecircncia dos paracircmetros geomeacutetricos dos mancais eliacutepticos na resposta desbalanceada 87
431 A razatildeo de amplificaccedilatildeo da resposta desbalanceada em funccedilatildeo da preacute-carga 87
432 A resposta desbalanceada em funccedilatildeo da razatildeo de esbeltez dos mancais eliacutepticos 91
433 A resposta desbalanceada em funccedilatildeo da folga radial dos mancais eliacutepticos 96
5 CONCLUSOtildeES 100
6 REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS 103
ANEXO A - FUNDAMENTOS DA TEORIA DE VIGA 112
A1 Teoria de Viga de Euler-Bernoulli 112
A2 Teoria de Viga de Rayleigh 113
A3 Teoria de Viga de Timoshenko 113
ANEXO B ndash FUNCcedilOtildeES DE INTERPOLACcedilAtildeO 115
B1 - Funccedilotildees de Interpolaccedilatildeo para o deslocamento linear unitaacuterio no primeiro noacute 115
B2 - Funccedilotildees de Interpolaccedilatildeo para o deslocamento angular unitaacuterio no primeiro noacute 117
B3 - Funccedilotildees de Interpolaccedilatildeo para o deslocamento linear unitaacuterio no segundo noacute 118
B1 - Funccedilotildees de Interpolaccedilatildeo para o deslocamento angular unitaacuterio no segundo noacute 119
ANEXO C ndash MATRIZES DE ELEMENTOS FINITOS DO ROTOR 122
vii
C1 ndash Matriz de ineacutercia de translaccedilatildeo 122
C2 ndash Matriz de ineacutercia de rotaccedilatildeo 123
C3 ndash Matriz de efeitos giroscoacutepicos 124
C4 ndash Matriz de rigidez 125
ANEXO D ndash MEacuteTODO NUMEacuteRICO DE NEWMARK 127
viii
LISTA DE FIGURAS
Figura 31 ndash Sistema rotor-mancal 40
Figura 32 ndash Representaccedilatildeo de um elemento finito do eixo 42
Figura 33 ndash Desenho esquemaacutetico do mancal eliacuteptico e seus paracircmetros geomeacutetricos 45
Figura 34 - Desenho esquemaacutetico do perfil de um mancal radial eliacuteptico 46
Figura 35 - Distribuiccedilatildeo da pressatildeo hidrodinacircmica no mancal ciliacutendrico (LANG e
STEINHILPER 1978) 46
Figura 36 - Distribuiccedilatildeo da pressatildeo hidrodinacircmica no mancal eliacuteptico (Adaptado de
CORREIA 2007) 47
Figura 37 - Representaccedilatildeo esquemaacutetica dos noacutes no elemento finito 51
Figura 38 ndash Representaccedilatildeo dos 4 graus de liberdade 57
Figura 39 ndash Diagrama do procedimento computacional 58
Figura 41 ndash Desenho esquemaacutetico do rotor de Sinou (2005) 61
Figura 42 ndash Curvas da primeira e segunda frequecircncias naturais (FN1 FN2) versus o
nuacutemero de elementos finitos da malha para o rotor de Sinou (2005) a
10rpm 62
Figura 43 ndash Primeira velocidade criacutetica progressiva (FWD1) e regressiva (BKWD1)
versus incremento no tempo 63
Figura 44 ndash Espectro de frequecircncia obtido pelo MEF para o rotor de Sinou(2005) a
10 rpm 64
Figura 45 ndash Diagrama de Campbell para o rotor em balanccedilo analisado por
Sinou(2005) 64
Figura 46 ndash Desenho esquemaacutetico do rotor de Hong e Park(1999) 66
Figura 47 ndash Espectro de frequecircncia obtido para o rotor de Hong e Park (1999)
operando a 6000rpm 67
Figura 48 ndash Forma de onda obtida para o rotor de Hong e Park (1999) 68
Figura 49 ndash Desenho esquemaacutetico do rotor da bancada de testes 69
Figura 410 ndash Sensibilidade da malha de elementos finitos do mancal ciliacutendrico no
ix
caacutelculo dos paracircmetros de desempenho Fx e Kxy 71
Figura 411 ndash Espectro de frequecircncia experimental ndash teste de batida 72
Figura 412 ndash Espectro de frequecircncia obtido pelo MEF para rotaccedilatildeo de 750 rpm 72
Figura 413 ndash Espectro de frequecircncia obtido pelo MEF para rotaccedilatildeo de 3200 rpm 73
Figura 414 ndash Espectro de frequecircncia experimental para o rotor da bancada operando
a 8900rpm 74
Figura 415 ndash Espectro de frequecircncia obtido pelo MEF para o rotor da bancada
operando a 8900rpm 74
Figura 416 ndash Espectro de frequecircncia obtido pelo MEF para o rotor do exemplo 4
operando a 3200rpm 76
Figura 417 ndash Espectro de frequecircncia experimental para o rotor de Machado(2006) 76
Figura 418 ndash Sensibilidade da malha de elementos finitos do mancal eliacuteptico no
caacutelculo dos paracircmetros de desempenho Fx e Kxy 78
Figura 419 - Posicionamento do eixo dentro do mancal e excentricidade 79
Figura 420 ndash Excentricidade adimensional do ponto de equiliacutebrio estaacutetico dos
mancais eliacutepticos em funccedilatildeo da folga radial 79
Figura 421 ndash Coeficientes de rigidez direta adimensionais em funccedilatildeo da folga radial
dos mancais eliacutepticos 80
Figura 422 ndash Coeficientes de rigidez cruzada adimensional modificado em funccedilatildeo
da folga radial dos mancais eliacutepticos 81
Figura 423 ndash Razatildeo CxyKxx em funccedilatildeo da folga radial dos mancais eliacutepticos 82
Figura 424 ndash Amortecimento efetivo em funccedilatildeo da folga radial dos mancais
eliacutepticos 82
Figura 425 ndash Excentricidade adimensional do ponto de equiliacutebrio estaacutetico dos
mancais eliacutepticos em funccedilatildeo da razatildeo de esbeltez 83
Figura 426 ndash Variaccedilatildeo do amortecimento efetivo em funccedilatildeo da razatildeo de esbeltez
dos mancais eliacutepticos 84
Figura 427 ndash Variaccedilatildeo do amortecimento cruzado adimensional em funccedilatildeo da razatildeo
de esbeltez dos mancais eliacutepticos 84
Figura 428 ndash Excentricidade adimensional do ponto de equiliacutebrio estaacutetico dos
x
mancais eliacutepticos em funccedilatildeo da preacute-carga 85
Figura 429 ndash Variaccedilatildeo da relaccedilatildeo de ajuste entre Mp kxx e kxy em funccedilatildeo da preacute-
carga dos mancais eliacutepticos 86
Figura 430 ndash Variaccedilatildeo do amortecimento efetivo em funccedilatildeo da preacute-carga dos
mancais eliacutepticos 86
Figura 431 ndash Desenho esquemaacutetico do rotor sem disco massivo 88
Figura 432 ndash Resposta desbalanceada calculada no mancal 1 do rotor apoiado em
mancais eliacutepticos com preacute-carga 045 (MIRANDA e FARIA 2012) 89
Figura 433 ndash Resposta desbalanceada para diferentes valores de preacute-carga dos
mancais eliacutepticos (MIRANDA e FARIA 2012) 89
Figura 434 ndashRazatildeo de amplificaccedilatildeo da resposta desbalanceada na primeira
velocidade criacutetica para o rotor apoiado em mancais eliacutepticos
(MIRANDA e FARIA 2012) 90
Figura 435 ndashDesenho esquemaacutetico do rotor com disco massivo em posiccedilatildeo
assimeacutetrica 91
Figura 436 ndash Amplitude de vibraccedilatildeo na primeira VC em funccedilatildeo da razatildeo de
esbeltez dos mancais eliacutepticos 92
Figura 437 ndash Curvas de ajuste da excentricidade adimensional do ponto de
equiliacutebrio estaacutetico em funccedilatildeo da razatildeo de esbeltez dos mancais eliacutepticos 94
Figura 438 ndash Razatildeo de ajuste de LD em funccedilatildeo da excentricidade adimensional do
ponto de equiliacutebrio estaacutetico dos mancais 95
Figura 439 ndash Erros relativos da razatildeo de ajuste de LD em funccedilatildeo da excentricidade
adimensional do ponto de equiliacutebrio estaacutetico dos mancais 95
Figura 440 ndash Amplitude de vibraccedilatildeo na primeira VC em funccedilatildeo da folga radial dos
mancais 97
Figura 441 ndash Razatildeo de ajuste da folga radial em funccedilatildeo da excentricidade
adimensional do ponto de equiliacutebrio estaacutetico dos mancais 98
Figura 442 ndash Erros relativos da razatildeo de ajuste da folga radial em funccedilatildeo da
excentricidade adimensional do ponto de equiliacutebrio estaacutetico dos
mancais 98
xi
Figura A1 - Viga de Euler-Bernoulli sob carregamento distribuiacutedo (Boru 2010) 112
Figura B1 ndash Deslocamento linear unitaacuterio no primeiro noacute 116
Figura B2 ndash Deslocamento angular unitaacuterio no primeiro noacute 117
Figura B3 ndash Deslocamento linear unitaacuterio no segundo noacute 118
Figura B4 ndash Deslocamento angular unitaacuterio no segundo noacute 120
LISTA DE TABELAS
Tabela 41- Paracircmetros do rotor com disco em balanccedilo (SINOU 2005) 62
Tabela 42- Valores comparativos da primeira frequecircncia natural para o rotor de
Sinou(2005) a 10 rpm 64
Tabela 43- Comparaccedilatildeo da primeira velocidade criacutetica 65
Tabela 44- Paracircmetros do rotor de Hong e Park(1999) 66
Tabela 45- Comparaccedilatildeo da primeira frequecircncia natural progressiva e regressiva para
o rotor de Hong e Park (1999) 67
Tabela 46- Comparaccedilatildeo das Frequecircncias de Batimento para o rotor de Hong e
Park(1999) 69
Tabela 47ndash Paracircmetros do rotor da bancada de testes 70
Tabela 48ndash Resultados da anaacutelise da sensibilidade da malha dos mancais 71
Tabela 49ndash Valores comparativos de frequecircncias naturais obtidas pelo MEF e
experimentalmente pelo teste de batida (bump test) 73
Tabela 410ndash Valores comparativos de frequecircncias naturais obtidas pelo MEF e
experimentalmente para o rotor da bancada operando a 8900rpm 75
Tabela 411ndash Paracircmetros do rotor da bancada de testes ndash exemplo 2 75
Tabela 412ndash Valores comparativos das frequecircncias naturais obtidas
experimentalmente por Machado(2006) e pelo MEF 77
Tabela 413ndash Paracircmetros do mancal eliacuteptico selecionado 77
Tabela 414 Paracircmetros do sistema rotor-mancal eliacuteptico utilizado na anaacutelise 88
Tabela 415ndash Paracircmetros do rotor com mancais eliacutepticos 92
xii
SIMBOLOGIA
Siacutembolos em letras latinas
A Aacuterea da seccedilatildeo transversal do eixo [m2]
Ampl Amplitude adimensional da resposta desbalanceada
c Folga radial menor (c = eRR ) [m]
Cb Folga radial maior
XXC YYC Coeficientes de amortecimento direto [Nsm]
XXc YYc Coeficientes de amortecimento direto adimensionais
XYC YXC Coeficientes de amortecimento cruzados [Nsm]
XYc YXc Coeficientes de amortecimento cruzados adimensionais
D Diacircmetro interno do mancal [m]
d Diacircmetro externo do eixo [m]
E Moacutedulo de elasticidade [Pa]
e Excentricidade do centro do munhatildeo no mancal (distacircncia entre centros do mancal
e do munhatildeoeixo) [m]
exey Projeccedilotildees de ―e nos eixos de coordenadas cartesianas xy
00 yx ee
posiccedilatildeo de equiliacutebrio do eixo
yx ee
perturbaccedilatildeo na posiccedilatildeo de equiliacutebrio do eixo
vetores unitaacuterios nas direccedilotildees circunferencial e axial respectivamente
f efeito de cisalhamento
F Forccedila de reaccedilatildeo do mancal gerada pela accedilatildeo hidrodinacircmica do fluido
Fx e Fy Componente da forccedila de reaccedilatildeo do fluido do mancal nas direccedilotildees x e y
e
jf Vetor de fluxo
G Moacutedulo de elasticidade ao cisalhamento [Pa]
h Espessura do filme lubrificante ou filme fluido
xiii
h0 Espessura miacutenima do filme lubrificante estacionaacuterio [m] ou de ordem zero
I Momento meacutedio de ineacutercia de aacuterea da seccedilatildeo transversal
Idm Momento diametral de ineacutercia de massa por unidade de comprimento
Ip Momento polar de ineacutercia de massa por unidade de comprimento
K Fator de forma do cisalhamento transversal
Kx Ky Coeficientes de cisalhamento
XXK YYK Coeficientes de rigidez diretos [Nm]
kxx e kyy Coeficientes de rigidez diretos adimensionais
XYK YXK Coeficientes de rigidez cruzados [Nm]
kxy e kyx Coeficientes de rigidez cruzados adimensionais
Coeficiente de rigidez adimensional modificado
][ e
jiK Matriz fluiacutedica de ordem zero
L Comprimento do mancal
l Comprimento do elemento
Leixo Comprimento do eixo
md Massa desbalanceada
m Fluxo maacutessico na direccedilatildeo circunferencial
nm Fluxo maacutessico de lubrificante cruzando a fronteira do domiacutenio do elemento finito
zm Fluxo maacutessico na direccedilatildeo axial
nm Fluxo de lubrificante de primeira ordem pelo contorno
edo elemento finito n
Mp Preacute-carga (medida da ―elipsidade do mancal) Mp = (Cb ndash c) c
n
Valor normal unitaacuterio direcionado para fora do contorno e do elemento finito
OL Posiccedilatildeo do centro dos loacutebulos
O Posiccedilatildeo do centro do eixo
p Pressatildeo apresentada pelo filme lubrificante [Pa]
pa Pressatildeo ambiente [Pa]
xiv
po Pressatildeo estacionaacuteria de ordem zero [Pa]
p Campo de pressatildeo hidrodinacircmica de primeira ordem
e
op Campo de pressatildeo discreto de ordem zero no domiacutenio e de um elemento finito
px py Campo de pressatildeo hidrodinacircmica de primeira ordem
e
ip Valores de pressatildeo nodal no noacute i do elemento e [Pa]
q(xt) Carregamento distribuiacutedo [Nm]
e
jq Vetor de fluxo devido ao escoamento de fluido pelo contorno do elemento ldquoerdquo
R Raio menor do mancal [m]
Re Raio do munhatildeo ou raio do eixo [m]
RL Raio do loacutebulo do mancal [m]
U Velocidade superficial do eixo (U = ωR) [ms]
Vf Contribuiccedilatildeo da flexatildeo no deslocamento linear do centro da seccedilatildeo do elemento
ud Excentricidade da massa desbalanceada
v(xt) Deflexatildeo lateral da viga
W Carga atuante no mancal [N]
Wf Contribuiccedilatildeo da flexatildeo no deslocamento linear do centro da seccedilatildeo do elemento
xy Coordenadas cartesianas
z Coordenada axial
Siacutembolo em letras gregas
e Contorno do elemento ―e
Deformaccedilatildeo por cisalhamento
Razatildeo de excentricidade ou excentricidade adimensional ( ε = ec)
o Excentricidade adimensional no ponto de equiliacutebrio estaacutetico
ψ Coordenadas no domiacutenio do elemento
Fator de forma da seccedilatildeo transversal da viga
Viscosidade absoluta do filme lubrificante [Pas]
xv
Coeficiente de Poisson
Massa especiacutefica [kgm3]
Massa especiacutefica do filme lubrificante [kgm3]
Acircngulo da posiccedilatildeo angular do munhatildeo a partir do ponto de maior espessura dentro do
mancal [rad]
z Coordenadas circunferencial e axial respectivamente
Φ Acircngulo de posiccedilatildeo do munhatildeo dentro do mancal Φ = tan-1
( Fy Fx )
Funccedilatildeo de interpolaccedilatildeo para o meacutetodo de elementos finitos para o elemento ―e
Rotaccedilatildeo do eixo [rads]
e Domiacutenio do elemento finito ―e
Subscritos
av Meacutedio
e Relativo ao elemento ―e
0 1 Ordem zero e primeira ordem instante de tempo anterior e atual
x Coordenada cartesiana vertical
y Coordenada cartesiana horizontal
Coordenadas xy combinadas no domiacutenio do elemento finito
Coordenadas no domiacutenio do elemento finito
Sobrescritos
e Relativo ao elemento ―e
ej
xvi
LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS
MEF Meacutetodo de Elementos Finitos
FEM Finite Element Method (Meacutetodo de Elementos Finitos)
VC Velocidade Criacutetica
xvii
RESUMO
Este trabalho apresenta um procedimento computacional baseado no meacutetodo de elementos
finitos desenvolvido especialmente para predizer o comportamento dinacircmico de sistemas
rotativos apoiados em mancais hidrodinacircmicos O procedimento computacional proposto
permite simular diferentes tipos de rotores compostos por eixo flexiacutevel discos massivos e
mancais riacutegidos ou hidrodinacircmicos com perfis circulares ou eliacutepticos Satildeo usados elementos
finitos de viga baseando-se na teoria de vigas de Timoshenko no modelo do eixo o que permite
incluir os efeitos de deformaccedilatildeo por cisalhamento ineacutercia rotatoacuteria e efeito giroscoacutepico Um
procedimento baseado no meacutetodo de elementos finitos eacute aplicado para resolver a equaccedilatildeo de
Reynolds para fluidos incompressiacuteveis junto a um procedimento de perturbaccedilatildeo linear para se
calcular os coeficientes dinacircmicos de forccedila dos mancais ciliacutendricos e eliacutepticos As equaccedilotildees de
movimento para rotores desbalanceados apoiados em mancais hidrodinacircmicos satildeo integradas
usando-se o Meacutetodo de Newmark para se obter a resposta no tempo Os resultados satildeo validados
pela comparaccedilatildeo com valores experimentais coletados em uma bancada de teste e tambeacutem com
valores publicados na literatura Satildeo apresentadas algumas relaccedilotildees algeacutebricas que permitem
predizer os paracircmetros de desempenho dos mancais e a resposta desbalanceada do sistema rotor-
mancal em funccedilatildeo dos paracircmetros geomeacutetricos dos mancais tais como preacute-carga razatildeo de
esbeltez e folga radial Eacute identificada uma faixa operacional dos mancais onde estas relaccedilotildees
algeacutebricas apresentam uma boa aproximaccedilatildeo com os resultados computacionais Os resultados
deste trabalho servem de base para o projeto de maacutequinas rotativas uma vez que permitem
predizer seu comportamento dinacircmico para diversas condiccedilotildees operacionais
Palavras-chaves Mancal eliacuteptico
Rotores flexiacuteveis
Mancal radial
Lubrificaccedilatildeo hidrodinacircmica
Meacutetodo de elementos finitos
xviii
ABSTRACT
This work presents the development of a finite element procedure specially devised to predict
the dynamic response of flexible rotors running on fluid film bearings The proposed procedure
can simulate many different types of rotor-bearing systems with a flexible shaft massive disks
and rigid or fluid film circular or elliptical bearings The shaft finite element model is based on
Timoshenko Beam Theory which includes shear effects rotary inertia and gyroscopic moments
A finite element procedure for solution of the classical Reynolds equation for incompressible
fluid films in conjunction with a linearized perturbation procedure is implemented to allow the
computation of the dynamic force-coefficients of cylindrical and elliptical journal bearings The
finite element equations of motion for an unbalanced rotor supported on fluid film bearings are
integrated by using the Newmark method and the time-domain unbalance response is obtained
The results are validated by comparison with experimental data collected from a test rig as well
as from results obtained from the literature
Some algebraic expressions relating the bearing parameters and the unbalance response with the
bearing geometric parameters (preload Slendernessrsquo ratio radial clearance) are presented A
range of operating conditions is identified where these expressions are supposed to be close to
the computational results obtained by the numerical procedure The results presented in this
work are valuable for rotating machine designers since it can properly predict its dynamic
response under several operation conditions
Keywords Elliptical bearing
Journal bearing
Hydrodynamic lubrication
Finite element method
19
1 INTRODUCcedilAtildeO
O projeto e o comissionamento de maacutequinas rotativas requerem um cuidado especial para se
garantir condiccedilotildees seguras estaacuteveis e eficientes de operaccedilatildeo Diversos estudos baseados em
procedimentos experimentais analiacuteticos e computacionais satildeo utilizados com o objetivo de se
analisar vaacuterios aspectos dinacircmicos relacionados a rotores de maacutequinas de alta velocidade Esses
estudos se tornam de extrema importacircncia na anaacutelise de equipamentos como turbinas a gaacutes e a
vapor compressores ventiladores industriais bombas exaustores entre outros
Com o desenvolvimento da tecnologia na aacuterea de projetos mecacircnicos eacute notaacutevel a tendecircncia em
se projetarem maacutequinas cada vez mais leves e com maior potecircncia que normalmente estatildeo mais
sujeitas a problemas de vibraccedilatildeo e de instabilidade A influecircncia dos mancais no comportamento
dinacircmico de maacutequinas rotativas e na capacidade de atenuar vibraccedilotildees eacute estudada haacute vaacuterios anos
em diversos trabalhos da literatura especializada (GUNTER 1966 CORREIA 2007)
Os mancais hidrodinacircmicos tecircm sido amplamente aplicados em maacutequinas rotativas devido agrave sua
grande capacidade de carga habilidade de operaccedilatildeo em altas velocidades e longevidade
(HAMROCK 1994 CHILDS 1993) Este tipo de mancal tem uma capacidade de
amortecimento que natildeo existe nos mancais de rolamento o que possibilita que a maacutequina passe
por uma velocidade criacutetica com menores riscos (STERNLICHT e LEWIS 1968 VANCE
1988) O amortecimento proporcionado por mancais hidrodinacircmicos permite a atenuaccedilatildeo das
forccedilas transmitidas do sistema eixorotor aos mancais a reduccedilatildeo do niacutevel de vibraccedilatildeo o
aumento da faixa de operaccedilatildeo estaacutevel do rotor e o aumento de vida uacutetil do mancal (ENGWALL
1991)
Os mancais hidrodinacircmicos aplicados em maacutequinas rotativas industriais podem ser divididos
basicamente em dois grupos mancais de geometria fixa e mancais de geometria variaacutevel
(ALLAIRE e FLACK 1981) Os mancais de geometria fixa satildeo mais simples e possuem um
menor custo de fabricaccedilatildeo montagem e manutenccedilatildeo do que os de geometria variaacutevel
(HAMROCK 1994) Os mancais mais amplamente usados na induacutestria satildeo os de geometria fixa
com perfil ciliacutendrico apresentando baixa estabilidade mas boa capacidade de carga (CORREIA
2007) Mancais de geometria moacutevel satildeo usados quando se deseja estabilidade do equipamento
sujeito a vibraccedilotildees subsiacutencronas isto eacute abaixo da frequecircncia de rotaccedilatildeo No final da deacutecada de
20
1980 este tipo de mancal passou a ser mais amplamente usado nos projetos de turbomaacutequinas
de alta velocidade (ZEIDAN 1992) A literatura cientiacutefica apresenta diversos trabalhos sobre
mancais ciliacutendricos mas poucos sobre mancais eliacutepticos (CORREIA 2007)
As interaccedilotildees entre o eixo rotativo da turbomaacutequina com o fluido de trabalho com os mancais
com os selos com o suporte e com todos os seus elementos acoplados tais como as palhetas e
discos devem ser incluiacutedas na anaacutelise dinacircmica de rotores para se obter confiabilidade aceitaacutevel
nas prediccedilotildees de seu comportamento O estudo preliminar do comportamento de sistemas
rotativos permite determinar as suas faixas de operaccedilatildeo estaacutevel e avaliar as influecircncias que
componentes do sistema exercem sobre a resposta dinacircmica do conjunto Os mancais se tornam
componentes vitais no projeto de turbomaacutequinas pois devem gerar forccedilas de reaccedilatildeo capazes de
suportar adequadamente o eixo rotativo e propiciar meios de atenuaccedilatildeo da resposta dinacircmica do
conjunto rotativo em regimes de operaccedilatildeo extremos Esse trabalho tem como proposta principal
a anaacutelise do comportamento dinacircmico de rotores flexiacuteveis apoiados em mancais radiais
hidrodinacircmicos de geometria fixa
A modelagem do rotor que inclui o eixo rotativo com discos riacutegidos acoplados eacute efetuada
utilizando-se o meacutetodo de elementos finitos baseado na teoria de vigas de Timoshenko
(CLOUGH e PENZIEN 1975) Incluem-se no modelo do rotor os efeitos de cisalhamento os
momentos giroscoacutepicos e a ineacutercia rotatoacuteria do eixo rotativo A equaccedilatildeo claacutessica de Reynolds
(PINKUS 1987 HAMROCK 1994) e um procedimento linearizado de perturbaccedilatildeo
(LUND1987) satildeo a base da modelagem dos mancais radiais hidrodinacircmicos ciliacutendricos e natildeo
ciliacutendricos considerados na anaacutelise O meacutetodo de elementos finitos eacute entatildeo empregado para
estimar as caracteriacutesticas dinacircmicas natildeo lineares dos mancais radiais finitos incluiacutedos na anaacutelise
do sistema rotativo O modelo dos mancais admite diversas geometrias de mancais ciliacutendricos e
eliacutepticos e natildeo satildeo adotadas hipoacuteteses restritivas ao modelo dos mancais como nas teorias de
mancal longo (HAMROCK 1994) ou de mancal curto que apresentam deficiecircncias na anaacutelise
dinacircmica de sistemas rotor-mancal (KALITA e KAKOTY 2004)
O texto deste trabalho eacute dividido em cinco capiacutetulos O capiacutetulo 1 apresenta a introduccedilatildeo do
trabalho seu escopo e objetivos No capiacutetulo 2 eacute apresentada a revisatildeo bibliograacutefica Em
seguida eacute descrita a metodologia do procedimento computacional proposto no capiacutetulo 3 onde
satildeo apresentados os procedimentos adotados para se modelar o sistema rotor-mancal composto
pelo eixo flexiacutevel disco riacutegido e mancais hidrodinacircmicos No final do capiacutetulo 3 eacute apresentado
um diagrama representando as etapas do procedimento computacional proposto No capiacutetulo 4
21
satildeo apresentados os resultados obtidos atraveacutes do procedimento computacional incluindo
exemplos de validaccedilatildeo No capiacutetulo 5 satildeo apresentadas as conclusotildees do trabalho e no capiacutetulo 6
satildeo listadas as referecircncias bibliograacuteficas Satildeo incluiacutedos ainda trecircs anexos No Anexo A satildeo
apresentados os fundamentos da teoria de vigas de Euler-Bernoulli de Rayleigh e de
Timoshenko No Anexo B apresenta-se a formulaccedilatildeo das funccedilotildees de interpolaccedilatildeo No Anexo C
satildeo listadas as matrizes de elementos finitos do eixo flexiacutevel usadas no modelo implementado e
no Anexo D eacute apresentado o algoritmo do Meacutetodo Numeacuterico de Newmark
11 Escopo
Esse trabalho descreve a anaacutelise do comportamento dinacircmico de rotores flexiacuteveis suportados em
mancais radiais hidrodinacircmicos de geometria fixa utilizando-se o meacutetodo de elementos finitos
Na modelagem dos mancais radiais incluem-se mancais ciliacutendricos e natildeo ciliacutendricos de
geometria fixa As condiccedilotildees de operaccedilatildeo do sistema rotativo utilizadas nesse trabalho estatildeo
baseadas em condiccedilotildees operacionais comumente encontradas na praacutetica O eixo eacute modelado por
elementos finitos de viga baseando-se na teoria de vigas de Timoshenko que permite analisar a
resposta da vibraccedilatildeo orbital nos dois planos ortogonais de flexatildeo A formulaccedilatildeo permite incluir
os efeitos de ineacutercia rotatoacuteria efeito giroscoacutepico e deformaccedilatildeo por cisalhamento
O caacutelculo dos coeficientes dinacircmicos de forccedila dos mancais eacute feito baseando-se na equaccedilatildeo de
Reynolds e nas equaccedilotildees de lubrificaccedilatildeo de ordem zero e de primeira ordem obtidas atraveacutes da
anaacutelise de perturbaccedilatildeo (LUND1987)
A resposta desbalanceada do sistema eacute obtida por meio de procedimento de integraccedilatildeo
numeacuterica implementado sobre a sua equaccedilatildeo de equiliacutebrio dinacircmico Eacute estudada a influecircncia dos
paracircmetros construtivos de mancais eliacutepticos e ciliacutendricos nos seus coeficientes de forccedila e na
resposta desbalanceada do sistema rotor-mancal Apresenta-se uma anaacutelise criacutetica sobre a faixa
onde o modelo computacional implementado fornece resultados considerados confiaacuteveis
baseando-se nas condiccedilotildees operacionais do sistema
Embora natildeo seja objetivo deste trabalho obter valores absolutos para os coeficientes de forccedila ou
para os niacuteveis de vibraccedilatildeo na resposta desbalanceada eacute investigada a forma como estes valores
variam em funccedilatildeo das caracteriacutesticas construtivas e operacionais do sistema
22
12 Objetivos
121 Objetivo geral
Este trabalho tem como objetivo desenvolver um procedimento computacional baseado no
meacutetodo de elementos finitos (MEF) para a anaacutelise da resposta de sistemas rotativos apoiados em
mancais radiais hidrodinacircmicos de geometria fixa O eixo eacute modelado por elementos de viga
baseando-se na Teoria de Viga de Timoshenko Os mancais hidrodinacircmicos satildeo modelados
tambeacutem por elementos finitos utilizando-se o meacutetodo da perturbaccedilatildeo aplicado na equaccedilatildeo de
Reynolds
122 Objetivos especiacuteficos
i Desenvolver e implementar um procedimento computacional eficiente baseado no
MEF para representar rotores flexiacuteveis sujeitos a cargas de desbalanceamento
apoiados em suportes flexiacuteveis
ii Desenvolver e implementar um procedimento computacional eficiente baseado no
MEF para a determinaccedilatildeo dos coeficientes dinacircmicos dos mancais hidrodinacircmicos de
geometria fixa sem o uso de teorias simplificadas como os modelos de mancal curto
ou de mancal longo
iii Comparar os resultados do procedimento computacional proposto com resultados
publicados na literatura especializada e com dados experimentais coletados em uma
bancada de testes atraveacutes da anaacutelise das frequecircncias naturais
iv Analisar a influecircncia dos paracircmetros geomeacutetricos dos mancais eliacutepticos (preacute-carga
razatildeo de esbeltez folga radial) nos coeficientes de forccedila dos mancais e na resposta
desbalanceada do sistema
v Estabelece relaccedilotildees algeacutebricas entre alguns paracircmetros de desempenho dos mancais
ciliacutendricos e eliacutepticos e a resposta balanceada com os paracircmetros geomeacutetricos dos
mancais Identificar as faixas operacionais onde estas relaccedilotildees algeacutebricas satildeo vaacutelidas
23
2 REVISAtildeO BIBLIOGRAacuteFICA
As referecircncias apresentadas a seguir satildeo divididas em seccedilotildees para facilitar a exposiccedilatildeo dos
temas envolvidos no trabalho Inicialmente satildeo apresentadas as publicaccedilotildees que abordam os
procedimentos computacionais para a modelagem de sistemas rotor-mancal destacando-se o uso
do meacutetodo de elementos finitos e a evoluccedilatildeo dos modelos de elementos de vigas aplicados aos
eixos flexiacuteveis Em seguida destacam-se os trabalhos que fazem a anaacutelise da estabilidade de
sistemas rotor-mancal atraveacutes de problema de autovalor Segue-se com a citaccedilatildeo das publicaccedilotildees
que apresentam procedimentos de modelagem de mancais hidrodinacircmicos As uacuteltimas seccedilotildees
apresentam trabalhos sobre sistemas rotativos com elementos adicionais onde se destacam no
final os modelos de mancais eliacutepticos
Observa-se que a literatura apresenta diversos trabalhos dentro desta linha poreacutem muitos
aplicam o modelo de mancal curto que eacute bastante limitado principalmente para mancais
operando com grandes excentricidades A teoria de mancal curto eacute mais aplicaacutevel na prediccedilatildeo de
carga mas eacute muito limitada na determinaccedilatildeo de coeficientes de forccedila ou no estudo da
estabilidade do sistema Outros trabalhos apresentam uma abordagem detalhada do modelo dos
mancais mas ao apresentar os resultados fazem diversas simplificaccedilotildees (mancais isotroacutepicos
por exemplo) Em alguns casos a modelagem dos mancais e a aplicaccedilatildeo do procedimento
numeacuterico eacute detalhada e rigorosa poreacutem aplica-se o modelo de eixo riacutegido o que tambeacutem
representa uma limitaccedilatildeo A teoria natildeo-linear para mancais hidrodinacircmicos eacute apresentada por
diversos autores poreacutem os trabalhos possuem uma abordagem mais matemaacutetica natildeo focando
em aspectos praacuteticos de condiccedilotildees operacionais de maacutequinas rotativas
Desta forma observa-se uma lacuna na literatura onde raramente satildeo analisados sistemas rotor-
mancal hidrodinacircmico de maneira detalhada evitando-se hipoacuteteses simplificadoras tanto no
modelo dos mancais quanto no modelo do eixo flexiacutevel
21 Modelagem de sistemas rotor-mancal
A anaacutelise do comportamento dinacircmico de maacutequinas rotativas tem fomentado o desenvolvimento
de procedimentos computacionais eficientes e precisos para as etapas preliminares de projeto
24
Os modelos de maacutequinas rotativas de alta velocidade geralmente incluem rotores flexiacuteveis
apoiados em mancais hidrodinacircmicos e eacute fundamental analisar a estabilidade do sistema
(GUNTER 1970 BUSSE et al1980 VANCE 1988 KRAMER 1993 CHILDS 1993
ABDULJABBAR et al1997 HU et al 2000 GANESAN 2000 ZHAO et al2005 WENHUI
et al 2007)
Os estudos dinacircmicos baseados em modelos computacionais se tornam de extrema importacircncia
em diversas aplicaccedilotildees industriais de turbomaacutequinas como turbinas a gaacutes e a vapor
compressores ventiladores industriais bombas exaustores entre outros (STERNLICHT e
LEWIS 1968) A partir da deacutecada de 70 o meacutetodo de elementos finitos comeccedilou a ser usado
com extrema frequecircncia para o desenvolvimento de modelos de rotores flexiacuteveis e para a anaacutelise
de balanceamento estabilidade e vibraccedilatildeo torcional de maacutequinas rotativas (ZORZI e NELSON
1977 VANCE 1988 CHILDS 1993 ALMEIDA Jr e FARIA 2003 MIRANDA et al 2005)
A aplicaccedilatildeo do meacutetodo de elementos finitos na modelagem e simulaccedilatildeo de sistemas rotativos eacute
muito ampla na anaacutelise dinacircmica de rotores Os primeiros trabalhos nesta aacuterea satildeo apresentados
por Ruhl (1970) e Ruhl e Booker (1972) onde se aplica o meacutetodo de elementos finitos na
anaacutelise dinacircmica de um sistema rotativo com paracircmetros distribuiacutedos Satildeo usados elementos de
viga incluindo a ineacutercia translacional e rigidez agrave flexatildeo mas natildeo satildeo considerados os efeitos de
ineacutercia rotatoacuteria momentos giroscoacutepios deformaccedilatildeo por cisalhamento carga axial torque axial
e amortecimento interno Kirk e Gunter (1972) analisam a resposta transiente e permanente do
rotor de Jeffcott com mancais elaacutesticos montados em apoios flexiacuteveis e amortecidos ainda
desconsiderando a flexibilidade do rotor e o efeito giroscoacutepico do disco rotativo nas equaccedilotildees de
movimento Na mesma eacutepoca Thorkildsen (1972) desenvolveu um modelo mais completo onde
incluiu os efeitos de ineacutercia rotatoacuteria e momentos giroscoacutepios
Polk (1974) apresenta um estudo sobre velocidade criacutetica e velocidade limite utilizando
elemento finito de viga de Rayleigh Polk ainda apresenta neste mesmo trabalho o
desenvolvimento dos elementos finitos de viga de Timoshenko embora sem nenhum resultado
numeacuterico Diana et al(1975) apresentam seus resultados da anaacutelise de um eixo rotativo usando
o meacutetodo de elementos finitos com elementos semelhantes aos de Ruhl (1970) No mesmo ano
Dimaragonas (1975) apresenta um desenvolvimento geral de elemento de viga mas ainda
excluindo o cisalhamento e carga e torque axiais Gasch (1976) apresentou importantes
resultados em um artigo semelhante ao de Dimaragonas poreacutem incluindo o efeito de
25
excentricidade distribuiacuteda Satildeo analisados eixos rotativos de grandes turbomaacutequinas atraveacutes de
elementos finitos e introduzida a dinacircmica da fundaccedilatildeo nas equaccedilotildees de movimento usando
anaacutelise modal e teste modal
No mesmo ano Nelson e McVaugh (1976) apresentam uma formulaccedilatildeo para modelar o sistema
rotor-mancal usando paracircmetros distribuiacutedos e elementos finitos de viga de Rayleigh
semelhantes aos de Polk (1974) incluindo os efeitos de ineacutercia rotatoacuteria efeito giroscoacutepico e
cargas axiais Este trabalho eacute ampliado posteriormente em Zorzi e Nelson (1977) incluindo-se o
amortecimento viscoso interno do eixo Nelson (1980) generaliza os modelos apresentados em
1976 e 1977 usando a teoria de vigas de Timoshenko para estabelecer as funccedilotildees de forma do
eixo flexiacutevel incluindo o efeito de cisalhamento mas sem incluir o amortecimento interno Satildeo
obtidas as equaccedilotildees de elementos atraveacutes do Princiacutepio de Hamilton e das integrais que definem
as energias potencial e cineacutetica de cada elemento A energia cineacutetica leva em consideraccedilatildeo a
energia rotacional e translacional e a energia potencial considera a energia potencial elaacutestica
devida agrave flexatildeo a energia potencial do cisalhamento e a energia devida agrave carga axial Para
modelar os mancais satildeo considerados apoios isotroacutepicos sem efeito de amortecimento O autor
apresenta vaacuterios resultados que validam o meacutetodo comparando-os com outros obtidos na
literatura Eacute apresentada uma comparaccedilatildeo entre as frequecircncias naturais de uma viga estaacutetica
obtidas com elementos de viga de Euler-Bernoulli de Rayleigh e de Timoshenko
Posteriormente satildeo apresentados resultados de velocidades criacuteticas calculadas para eixos
rotativos apoiados pelas extremidades
Oumlzguumlven e Oumlzkan (1984) aplicam tambeacutem o meacutetodo de elementos finitos considerando os
efeitos da ineacutercia rotatoacuteria carga axial efeito giroscoacutepico deformaccedilotildees por cisalhamento e
amortecimento viscoso interno no mesmo modelo Vance et al(1987) apresentam comparaccedilotildees
de dados experimentais com resultados numeacutericos obtidos em uma bancada de sistema rotor-
mancal incluindo os efeitos de impedacircncia da fundaccedilatildeo no modelo usando o meacutetodo de matriz
de transferecircncia
Jei e Lee (1988) analisam o comportamento dinacircmico de rotores assimeacutetricos apoiados em
mancais hidrodinacircmicos utilizando o meacutetodo de elementos finitos O sistema rotativo eacute
composto por um eixo assimeacutetrico e discos riacutegidos e os efeitos da ineacutercia rotatoacuteria do
cisalhamento transversal dos momentos giroscoacutepicos e do amortecimento histereacutetico satildeo
incluiacutedos na modelagem do sistema As equaccedilotildees de vibraccedilatildeo lateral do conjunto rotativo satildeo
26
compactadas via teacutecnica de reduccedilatildeo modal de coordenadas Na modelagem dos mancais radiais
os autores desprezam a assimetria dos coeficientes cruzados de rigidez e de amortecimento e natildeo
descrevem claramente como foram obtidos os demais coeficientes de forccedila O problema de
autovalor do sistema giroscoacutepico amortecido eacute obtido para a determinaccedilatildeo das velocidades
criacuteticas de instabilidade do sistema rotativo As simplificaccedilotildees efetuadas pelos autores na
modelagem dos mancais afetam a determinaccedilatildeo precisa das velocidades de instabilidade do rotor
assimeacutetrico suportado em mancais hidrodinacircmicos que depende fortemente dos coeficientes
cruzados de rigidez Stephenson e Rouch (1992) aplicam o meacutetodo de elementos finitos para
analisar um sistema rotor-mancal e fundaccedilatildeo usando tambeacutem anaacutelise modal que permite
observar os efeitos dinacircmicos da estrutura da fundaccedilatildeo
Mais recentemente diversos trabalhos tecircm sido publicados aplicando-se o meacutetodo de elementos
finitos para a anaacutelise da estabilidade e da resposta no tempo de sistemas rotativos Sundararajan
(1996) investiga a resposta natildeo-linear e a estabilidade de um sistema rotor-mancal em regime
permanente sujeito a desbalanceamento Satildeo considerados rotores riacutegidos apoiados em mancais
hidrodinacircmicos planos e squeeze-film dampers (amortecedores por esmagamento de filme
fluido) Analisa-se a influecircncia dos coeficientes de forccedila cruzados e da ineacutercia do fluido na
resposta natildeo-linear e na estabilidade do sistema Na modelagem por elementos finitos satildeo
derivadas as matrizes de massa de rigidez e de amortecimento do sistema e eacute apresentado um
procedimento numeacuterico que reduz o nuacutemero de graus de liberdade do sistema O autor aplica a
teoria de bifurcaccedilatildeo de Hopf (HOLLIS e TAYLOR 1986) para calcular os regimes de
bifurcaccedilatildeo de mancais hidrodinacircmicos finitos mostrando que os mancais podem entrar em
regime de instabilidade mesmo abaixo das velocidades limites o que natildeo eacute observado nos
modelos lineares Na modelagem do squeeze film damper e do mancal plano eacute adotado o modelo
de mancal curto Posteriormente o autor propotildee uma anaacutelise de estabilidade de mancais planos
finitos usando uma formulaccedilatildeo que faz uma soma ponderada das soluccedilotildees analiacuteticas do mancal
curto e do mancal longo para se obter os coeficientes de forccedila Os resultados para mancais
planos finitos natildeo satildeo validados experimentalmente Embora comente-se sobre o caraacuteter natildeo-
linear do efeito das folgas nos mancais de rolamento este tipo de mancal natildeo eacute modelado pelo
autor O modelo do sistema rotor-mancal considera o rotor e o eixo riacutegidos e usa o modelo de
mancal curto o que torna o modelo bastante limitado
Chen e Lee (1997) aplicam o meacutetodo de elementos finitos em um problema de rotores flexiacuteveis
para obter a resposta desbalanceada no tempo e para identificar os coeficientes de forccedila de
27
mancais de rolamento Armentrout (1998) apresenta o desenvolvimento de uma anaacutelise
transiente de rotores flexiacuteveis suportados em mancais de filme fluido baseada no meacutetodo das
matrizes de transferecircncia Os efeitos de cisalhamento os momentos giroscoacutepicos e a ineacutercia
rotatoacuteria satildeo incluiacutedos na modelagem do eixo do rotor A soluccedilatildeo unidimensional aproximada da
equaccedilatildeo de Reynolds eacute a base do modelo de mancais ciliacutendricos radiais e de sapatas moacuteveis
contemplados na anaacutelise O procedimento computacional desenvolvido por Armentrout (1998)
utiliza teacutecnica de compactaccedilatildeo modal de coordenadas empregando os modos de vibraccedilatildeo natildeo
amortecidos do sistema rotor-mancal-fundaccedilatildeo As equaccedilotildees de equiliacutebrio do sistema rotativo
em coordenadas modais satildeo integradas utilizando-se um algoritmo de integraccedilatildeo impliacutecita
―preditor-corretor
Tiwari et al (2000) apresentam uma investigaccedilatildeo teoacuterico-experimental da dinacircmica natildeo-linear
de rotores riacutegidos horizontais apoiados em mancais de rolamento de esferas Um modelo
discreto de massa concentrada com dois graus de liberdade eacute empregado na representaccedilatildeo do
rotor riacutegido As natildeo linearidades da anaacutelise estatildeo associadas aos efeitos da folga radial do
mancal e do modelo de contato de Hertz para as esferas desse mancal As equaccedilotildees de equiliacutebrio
do sistema satildeo integradas utilizando-se um algoritmo impliacutecito de integraccedilatildeo A anaacutelise
experimental do trabalho consiste na determinaccedilatildeo da resposta desbalanceada e na avaliaccedilatildeo da
estabilidade dinacircmica de um rotor horizontal apoiado em mancais de rolamento anisotroacutepicos
Os autores mostram resultados teoacutericos e experimentais para as regiotildees de instabilidade do rotor
que apresentam boa concordacircncia A consideraccedilatildeo de rotor riacutegido representa uma limitaccedilatildeo do
modelo
Elmadany et al (2001) apresentam um modelo de elementos finitos para um sistema rotativo
composto por um eixo flexiacutevel um rotor riacutegido e vaacuterios mancais incluindo no modelo do rotor
os efeitos de ineacutercia rotativa momentos giroscoacutepicos amortecimento interno deformaccedilotildees por
cisalhamento e torque axial Satildeo usados elementos finitos de viga de Timoshenko para gerar as
equaccedilotildees dos elementos do eixo Os oito coeficientes de forccedila dos mancais hidrodinacircmicos satildeo
apresentados em funccedilatildeo do nuacutemero de Sommerfeld considerando mancais curtos O meacutetodo
computacional proposto permite obter importantes informaccedilotildees do comportamento dinacircmico do
sistema tais como a precessatildeo as velocidades criacuteticas as regiotildees de estabilidade e a resposta
dinacircmica desbalanceada As velocidades de instabilidades satildeo obtidas atraveacutes do problema de
autovalor Os autores apresentam diversos resultados numeacutericos comparados com outros
28
extraiacutedos da literatura Em um deles destaca-se a comparaccedilatildeo das velocidades de instabilidade
(threshold speed of instability) e os autores fazem ainda uma comparaccedilatildeo entre o modelo usando
elementos de viga de Rayleigh e de Timoshenko Conclui-se que ao se incluir o efeito de
cisalhamento na anaacutelise de vibraccedilatildeo livre os valores das velocidades de instabilidade satildeo
reduzidos
Hong et al(2001) investigam os efeitos da deformaccedilatildeo inicial de eixos na resposta dinacircmica de
sistemas rotor-mancal Analisa-se a vibraccedilatildeo siacutencrona provocada pela deformaccedilatildeo inicial e pelo
desbalanceamento sendo incluiacutedo o efeito giroscoacutepico O modelo de elementos finitos tem dois
graus de liberdade correspondentes aos deslocamentos transversais e o rotor tem trecircs discos
riacutegidos e dois mancais Satildeo simuladas algumas configuraccedilotildees de rotor incluindo mancais
hidrodinacircmicos de sapatas moacuteveis Os resultados mostram que o efeito da deformaccedilatildeo inicial
influencia fortemente a resposta siacutencrona em baixas velocidades enquanto o efeito do
desbalanceamento afeta em altas velocidades de rotaccedilatildeo Eacute observado ainda que a presenccedila de
ambos efeitos pode causar dificuldade no diagnoacutestico de vibraccedilotildees de maacutequinas rotativas Os
autores usam coeficientes de forccedila preacute-calculados por outros autores natildeo apresentando a
modelagem dos mancais Natildeo fica claro tambeacutem o tipo de elemento finito usado no modelo do
eixo
Guo e Kirk (2003) fazem um estudo dos limites de estabilidade de um sistema rotor-mancal
hidrodinacircmico baseado no modelo de Jeffcott (1919) incluindo o amortecimento externo e um
estudo para rotores verticais e horizontais Os autores destacam a forte influecircncia que o
amortecimento externo tem na anaacutelise da estabilidade do sistema rotativo Eacute proposto um
meacutetodo analiacutetico que faz vaacuterias consideraccedilotildees que simplificam as equaccedilotildees de movimento do
sistema por exemplo rotor vertical com operaccedilatildeo centrada em mancais curtos idecircnticos Eacute
mostrado que existe uma velocidade limite (threshold speed) para o rotor vertical enquanto para
o rotor horizontal haacute uma regiatildeo de operaccedilatildeo estaacutevel limitada entre duas regiotildees instaacuteveis Neste
caso do rotor horizontal eacute conduzido um procedimento numeacuterico sem as hipoacuteteses
simplificadoras usadas no modelo vertical usando anaacutelise de autovalores obtidos das equaccedilotildees
matriciais de movimento do sistema Observa-se que no rotor horizontal o efeito do
amortecimento externo aumenta a regiatildeo de operaccedilatildeo estaacutevel do sistema e para alguns valores
mais elevados de amortecimento externo eacute possiacutevel eliminar a regiatildeo de instabilidade
garantindo operaccedilatildeo estaacutevel para o sistema rotativo em toda faixa de velocidade de rotaccedilatildeo
analisada Guo e Kirk (2003) incluem ainda em seu trabalho uma anaacutelise do modelo extendido
29
do rotor de Jeffcott onde satildeo consideradas as massas dos mancais nas extremidades do rotor
Conclui-se que ao se incluiacuterem as massas dos mancais surge uma outra velocidade
limite(threshold speed) E mesmo que vaacuterias regiotildees de instabilidade possam ser reduzidas ou
eliminadas com o aumento do amortecimento externo este amortecimento tem pouco efeito nas
uacuteltimas velocidades de instabilidade (threshold speed of instability) uma vez que estas
velocidades dependem da massa do mancal Assim a melhor forma de se obter amplas faixas de
operaccedilatildeo estaacutevel eacute combinar-se os efeitos do amortecimento externo ao das massas dos mancais
obtendo-se uma combinaccedilatildeo adequada no dimensionamento do rotor de Jeffcott
Em (GUO e KIRK 2003b) a anaacutelise eacute ampliada incluindo-se o efeito da flexibilidade dos
mancais onde mostra-se como melhorar a resposta dinacircmica e a resposta desbalanceada do
sistema assim como a estabilidade e a transmissatildeo de forccedilas Novamente satildeo consideradas as
mesmas hipoacuteteses simplificadoras que restringem bastante a abrangecircncia dos resultados obtidos
Os proacuteprios autores admitem que os resultados satildeo vaacutelidos para um caso especial Nos
resultados satildeo apresentadas as regiotildees de estabilidade e a influecircncia do amortecimento e da
rigidez dos mancais na estabilidade do sistema Comenta-se ainda que os coeficientes de forccedila
de mancais hidrodinacircmicos tecircm natureza natildeo-linear e que cabe um estudo mais detalhado sobre
o efeito desta natildeo-linearidade
Balantrapu (2004) apresenta um procedimento computacional de identificaccedilatildeo de paracircmetros
para identificar os coeficientes de forccedila de mancais em um sistema rotativo com eixo flexiacutevel
atraveacutes da resposta desbalanceada medida proacuteximo aos mancais Eacute proposta tambeacutem uma
formulaccedilatildeo que permite usar o procedimento de identificaccedilatildeo a partir de mediccedilotildees feitas longe
dos mancais em especial no ponto meacutedio entre eles O eixo flexiacutevel eacute modelado por elementos
finitos incluindo-se os efeitos de ineacutercia rotatoacuteria e efeito giroscoacutepico e para os mancais satildeo
considerados coeficientes de forccedila lineares Satildeo apresentados vaacuterios exemplos incluindo
mancais hidrodinacircmicos de dois loacutebulos Observa-se que a massa desbalanceada necessaacuteria para
se fazer as mediccedilotildees do deslocamento do eixo assim como a exatidatildeo dos resultados de
mediccedilatildeo influenciam os resultados obtidos para os coeficientes de forccedila Outro fator que
influencia mais consideravelmente eacute a rigidez do eixo que tem grande influecircncia nas amplitudes
de vibraccedilatildeo medidas no sistema
Kalita e Kakoty (2004) destacam o meacutetodo de elementos finitos como o mais popular para
anaacutelise de vibraccedilatildeo de sistemas rotor-mancal Eacute estudado o comportamento dinacircmico de um
30
rotor apoiado em mancais hidrodinacircmicos onde usam-se elementos de viga de Timoshenko para
o eixo que inclui os efeitos de ineacutercia rotatoacuteria efeito giroscoacutepico amortecimento interno e
deformaccedilatildeo por cisalhamento O modelo tem 4 graus de liberdade dois deslocamentos
transversais e duas rotaccedilotildees Satildeo apresentados os diagramas de Campbell para diferentes valores
de coeficientes de forccedila dos mancais incluindo anaacutelise da influecircncia dos coeficientes de
amortecimento e de rigidez cruzada dos mancais nas velocidades de instabilidade Eacute mostrada
ainda a limitaccedilatildeo do uso da aproximaccedilatildeo de mancais curtos no caacutelculo dos coeficientes
dinacircmicos de mancais hidrodinacircmicos
Bode e Menezes (2005) apresentam uma anaacutelise dinacircmica de um sistema rotor-mancal pelo
meacutetodo de elementos finitos onde satildeo detalhadas todas etapas da modelagem do sistema O
eixo flexiacutevel eacute excitado por forccedilas de desbalanceamento e apoiado nas extremidades por mancais
hidrodinacircmicos cujas forccedilas de reaccedilatildeo satildeo produzidas pela pressatildeo dinacircmica do lubrificante Os
coeficientes de rigidez e de amortecimento dos mancais satildeo obtidos atraveacutes da soluccedilatildeo numeacuterica
da equaccedilatildeo de Reynolds Para modelar o eixo flexiacutevel eacute usada a teoria de vigas de Timoshenko
incluindo o efeito giroscoacutepico e de cisalhamento Adota-se o meacutetodo de elementos finitos com
elementos de viga com 4 graus de liberdade em cada noacute 2 deslocamentos e 2 velocidades As
equaccedilotildees de movimento satildeo obtidas pelas equaccedilotildees de Lagrange descrevendo o movimento em
dois planos A resposta no tempo eacute obtida pelo meacutetodo de Newmark (RAO 1995) integrando-se
numericamente as equaccedilotildees de movimento Os autores obtecircm uma soluccedilatildeo numeacuterica que
permite descrever as condiccedilotildees dinacircmicas de estabilidade do sistema rotor-mancal
Cheng et al (2008) investigam o comportamento dinacircmico natildeo-linear de um sistema rotor-
mancal-selo apresentando resultados em forma de trajetoacuterias mapas de Poincareacute expoentes de
Liapunov espectros de frequecircncia e diagramas de bifurcaccedilatildeo Satildeo destacadas as caracteriacutesticas
natildeo-lineares dos coeficientes de rigidez e de amortecimento de mancais hidrodinacircmicos e de
selos mecacircnicos Consideram-se mancais curtos Para o selo adota-se o modelo natildeo-linear de
Muszynska (1986) O modelo do rotor considera apenas a vibraccedilatildeo transversal desprezando a
vibraccedilatildeo torcional e o efeito giroscoacutepico sendo adotado o modelo de rotor de Jeffcott A soluccedilatildeo
numeacuterica eacute obtida atraveacutes do meacutetodo de Runge-Kutta de quarta ordem seguida de uma anaacutelise
graacutefica do comportamento natildeo-linear do sistema em funccedilatildeo da velocidade de rotaccedilatildeo da
excentricidade da folga no selo e da pressatildeo no selo Os autores enfatizam a modelagem do
selo mas simplificam muito o modelo do eixo O modelo dos mancais eacute limitado a mancais
curtos e a anaacutelise numeacuterica considera apenas um exemplo de mancal
31
Rezvani (2009) faz uma anaacutelise de um sistema rotor mancal com vaacuterios graus de liberdade e
apoios natildeo-lineares Satildeo modelados sistemas apoiados em mancais de rolamento e em suportes
amortecidos (squeeze film dampers) considerando o modelo de mancais curtos Satildeo mostrados
os efeitos do amortecimento e do efeito giroscoacutepico do sistema em sua estabilidade Elhibir
(2009) apresenta um modelo computacional de um alternador afixado em uma viga oca em
balanccedilo apoiada em uma extremidade por dois mancais de rolamento O modelo usa o meacutetodo
de elementos finitos com elementos soacutelidos tetraeacutedricos Eacute analisada a resposta desbalanceada
do sistema e obtidas as frequecircncias naturais e usada anaacutelise modal Satildeo apresentados diversos
resultados numeacutericos e imagens ilustrando as deformaccedilotildees do sistema em cada modo de
vibraccedilatildeo
Karlberg (2010) faz uma anaacutelise dinacircmica de maacutequinas rotativas apoiadas por mancais de
rolamento com folgas O trabalho se destaca pela forma detalhada como eacute analisada a influecircncia
das folgas dos mancais nos seus coeficientes de rigidez proacuteximo da posiccedilatildeo de equiliacutebrio Eacute
observado que as frequecircncias naturais reduzem significativamente com o aumento das folgas
Para o modelo do rotor eacute adotada a teoria de vigas de Bernoulli-Euler usado o modelo de
Jeffcott com disco riacutegido
22 Anaacutelise da estabilidade atraveacutes de problema de autovalor
A anaacutelise da estabilidade de sistemas rotor-mancal pode tambeacutem ser feita atraveacutes do problema
de autovalor Gupta (1974) apresenta uma anaacutelise baseada no problema de autovalores
aplicando equaccedilotildees que consideram o efeito giroscoacutepico amortecido do sistema A formulaccedilatildeo
do problema de autovalor associados a sistemas giroscoacutepicos amortecidos eacute de grande
importacircncia para a determinaccedilatildeo de velocidades criacuteticas e para a anaacutelise de sensibilidade de
paracircmetros em maacutequinas rotativas (PLAUT e HUSEYIN 1972 MEIROVITCH e
RYLAND 1979 LUND 1980 PALAZZOLO et al 1983 RAJAN et al 1986 FARIA e
BARCELLOS 1991 EHRICH 1992 LUND 1994) A equaccedilatildeo do sistema rotor-mancal
flexiacutevel com efeito giroscoacutepico amortecido eacute reescrita na forma de variaacuteveis de estado
(MEIROVITCH1974 MEIROVITCH1980 CHILDS e GRAVISS1982) para a determinaccedilatildeo
dos autovalores complexos
Rao et al (1996) analisam a estabilidade e os autovalores de sistemas rotor-mancal usando a
teacutecnica de elementos finitos e considerando coeficientes distribuiacutedos de forccedila e de
32
amortecimento nos mancais Satildeo consideradas distribuiccedilotildees uniformes e paraboacutelicas para
diferentes tipos de mancais hidrodinacircmicos Os coeficientes distribuiacutedos satildeo obtidos atraveacutes de
uma metodologia que usa o princiacutepio do trabalho virtual (CRAGGS 1993 TAYLOR e
CRAGGS 1994) mas que considera apenas uma distribuiccedilatildeo uniforme ao longo da largura e do
comprimento do mancal Esta consideraccedilatildeo eacute vaacutelida quando o mancal eacute razoavelmente longo
Poreacutem quando eacute curto eacute vaacutelido considerar a distribuiccedilatildeo paraboacutelica (RAO et al1996) Assim
o mesmo princiacutepio do trabalho virtual eacute aplicado desta vez para se obterem as matrizes de
elementos finitos dos coeficientes de forccedila com distribuiccedilatildeo paraboacutelica Estas matrizes satildeo
incluiacutedas nas matrizes do sistema rotor-mancal obtendo-se a equaccedilatildeo de movimento do sistema
em forma matricial
A modelagem do rotor eacute feita usando-se elementos de viga finitos como propostos por Nelson e
McVaugh (1976) incluindo-se o efeito giroscoacutepico e o amortecimento interno Os resultados
satildeo analisados comparando-se os autovalores e frequecircncias naturais do sistema com coeficientes
de rigidez e de amortecimento distribuiacutedos agravequeles obtidos considerando-se os coeficientes de
forccedila concentrados para mancais isotroacutepicos com razatildeo LD=05 e LD=10 Observa-se que
para mancais longos quando os coeficientes de rigidez satildeo baixos (104 a 10
7 Nm) a diferenccedila
entre os resultados para os modelos de coeficientes distribuiacutedos e concentrados eacute despreziacutevel e
entre os modelos de coeficientes distribuiacutedos uniformemente e paraboacutelico tambeacutem eacute pequena
Percebe-se um aumento nas frequecircncias naturais para o modelo de coeficientes distribuiacutedos
somente para valores mais elevados de rigidez Por fim os autores analisam a estabilidade do
sistema rotativo para diferentes tipos de mancais hidrodinacircmicos cujos coeficientes de forccedila satildeo
obtidos de Lund e Thomsen (1978) Conclui-se que as regiotildees de estabilidade mudam entre as
duas formulaccedilotildees O modelo de coeficientes distribuiacutedos fornece regiotildees de estabilidade mais
amplas quando comparado com o modelo de coeficientes concentrados Desta forma o modelo
concentrado eacute mais conservativo do ponto de vista de estabilidade e o modelo distribuiacutedo eacute
mais preciso
Santana (2009) apresenta a anaacutelise da resposta complexa de um sistema rotor-mancais-fundaccedilatildeo
onde estuda a influecircncia do grau de anisotropia dos mancais e da estrutura de suporte na resposta
do modo retroacutegrado de precessatildeo Eacute formulado tambeacutem um problema de autovalores poreacutem
associado agrave anaacutelise modal adaptada para sistemas rotativos (NORDMANN 1982) A anaacutelise dos
modos de vibraccedilatildeo associados ao eixo rotativo e aos mancais de apoio fornece importantes
dados para o desenvolvimento de meacutetodos computacionais de anaacutelise de vibraccedilatildeo teacutecnicas de
33
balanceamento e de monitoramento de maacutequinas de alta rotaccedilatildeo (BUSSE et al 1980 BOEDO e
BOOKER 1997) O mesmo problema pode ainda incluir as propriedades dissipativas do sistema
(MEIROVITCH e RYLAND 1979 PALAZZOLO et al 1983 FARIA e BARCELLOS 1991)
23 Mancais hidrodinacircmicos
A literatura apresenta diversos estudos sobre o caacutelculo dos coeficientes de forccedila nos mancais
hidrodinacircmicos Ocvirk (1952) propocircs a soluccedilatildeo da equaccedilatildeo de Reynolds para mancais curtos
desprezando o gradiente circunferencial de pressatildeo Pinkus (1987) faz uma revisatildeo histoacuterica da
teoria de lubrificaccedilatildeo hidrodinacircmica e da aplicaccedilatildeo da equaccedilatildeo de Reynolds em tribologia desde
suas origens ateacute o estado atual Lund (1978 1987) faz uma revisatildeo do conceito de coeficientes
dinacircmicos e aplica o meacutetodo de perturbaccedilatildeo infinitesimal em torno da posiccedilatildeo de equiliacutebrio
para calcular os coeficientes de rigidez e de amortecimento de mancais hidrodinacircmicos Lund
(1987) acrescenta que esta perturbaccedilatildeo em torno da posiccedilatildeo de equiliacutebrio eacute vaacutelida para ateacute 40
da folga do mancal
Childs (1993) e Vance (1988) apresentam em seus livros diferentes modelos de mancais
hidrodinacircmicos e obtecircm os valores dos seus coeficientes dinacircmicos Os coeficientes satildeo obtidos
a partir de caacutelculos em torno da posiccedilatildeo de equiliacutebrio do eixo no mancal Rajalingham e Prabhu
(1987) analisam a influecircncia da temperatura nas caracteriacutesticas fiacutesicas dos mancais
hidrodinacircmicos e concluem que a variaccedilatildeo da temperatura do oacuteleo na direccedilatildeo axial pode ser
desprezada sem afetar a precisatildeo dos resultados hidrodinacircmicos para o filme de oacuteleo
Choy et al (1991) calculam os coeficientes de rigidez natildeo-lineares dos mancais para
perturbaccedilotildees de deslocamento em vaacuterios locais em torno da posiccedilatildeo de equiliacutebrio Eles mostram
que para deslocamentos distantes da posiccedilatildeo de equiliacutebrio a natildeo-linearidade das forccedilas do filme
fluido eacute significante e pode ser modelada por coeficientes de forccedila e de amortecimento de
ordem superior Choy et al (1992) analisam o efeito natildeo-linear no comportamento dinacircmico de
mancais hidrodinacircmicos quando sujeitos a diversas condiccedilotildees operacionais tais como alta e
baixa excentricidade altas velocidades desalinhamento
Zhang e Luo (1991) utilizam teacutecnicas de ajuste de curvas usando dados experimentais da
resposta em frequecircncia para identificaccedilatildeo dos coeficientes de rigidez e amortecimento de
mancais hidrodinacircmicos Capone et al (1994) propotildeem uma soluccedilatildeo analiacutetica aproximada para
34
a distribuiccedilatildeo de pressatildeo do filme de oacuteleo em um mancal de comprimento finito Satildeo
apresentadas aproximaccedilotildees de primeira e segunda ordem com diversas relaccedilotildees de largura e
diacircmetros sendo que o modelo de segunda ordem mostra uma boa aproximaccedilatildeo em relaccedilatildeo o
modelo de mancal finito calculado numericamente
Qiu e Tieu (1996) calculam os coeficientes dinacircmicos em diferentes valores de perturbaccedilatildeo Eles
concluem que as perturbaccedilotildees nas velocidades e deslocamentos devem estar entre 5 e 4
respectivamente para se garantir uma diferenccedila de 25 entre os valores de coeficientes obtidos
pelos meacutetodos de perturbaccedilatildeo finita e infinita Furukawa et al (1996) estudam os coeficientes de
forccedila nos mancais hidrodinacircmicos e concluem que a natildeo linearidade do filme fluido produz
grandes diferenccedilas entre os valores calculados e os medidos experimentalmente em especial na
regiatildeo de alta excentricidade Chu et al (1998) analisam a natildeo-linearidade do filme fluido e
observam que os coeficientes lineares dos mancais hidrodinacircmicos modelados satildeo vaacutelidos para
perturbaccedilotildees de deslocamento da ordem de 006
Bachschmid e Vania (2002) observam vibraccedilotildees em uma frequecircncia duas vezes maior que a
rotaccedilatildeo da maacutequina na presenccedila de efeitos natildeo-lineares em mancais hidrodinacircmicos Os autores
destacam a importacircncia de se monitorar o segundo harmocircnico para se diagnosticarem falhas em
turbo-maacutequinas Sawicki e Rao (2004) analisam o caraacuteter natildeo-linear dos coeficientes de forccedila de
mancais hidrodinacircmicos para diferentes nuacutemeros de Sommerfeld (SOMMERFELD 1904) e
razotildees de esbeltez do mancal LD Satildeo apresentadas as diferentes formas de se aplicar o meacutetodo
de perturbaccedilatildeo para a obtenccedilatildeo dos coeficientes de forccedila lineares e natildeo-lineares Os autores
destacam ainda que os coeficientes de forccedila lineares apresentam precisatildeo aceitaacutevel ateacute uma
excentricidade de 04 vezes o valor da folga do mancal (LUND 1987) Hirani (2005) aplica
teacutecnicas de algoritmos geneacuteticos na modelagem de lubrificaccedilatildeo hidrodinacircmica para o projeto
otimizado de mancais
Couto (2006) faz um estudo teoacuterico-experimental que investiga o comportamento de mancais
radiais hidrodinacircmicos sujeitos a carregamentos estaacuteticos dinacircmicos e a desalinhamentos Eacute
aplicado o meacutetodo de volumes finitos para a integraccedilatildeo da equaccedilatildeo de Reynolds que governa o
problema de lubrificaccedilatildeo Faria et al (2006) apresentam um procedimento baseado no meacutetodo
de elementos finitos para a soluccedilatildeo das equaccedilotildees de lubrificaccedilatildeo em mancais radiais ciliacutendricos
hidrodinacircmicos obtidas a partir da equaccedilatildeo claacutessica de Reynolds Os resultados mostram as
limitaccedilotildees da aplicabilidade da teoria de mancais curtos especialmente quando operam com
35
grandes excentricidades Mostram-se tambeacutem os limites da aplicaccedilatildeo da teoria de mancais
longos (HAMROCK 1994) onde LD=2
Yan et al (2010) apresentam um modelo analiacutetico e um meacutetodo de caacutelculo dos coeficientes de
rigidez e de amortecimento de mancais hidrodinacircmicos de sapata moacutevel e fazem uma
comparaccedilatildeo com resultados experimentais da literatura (KOSTRZEWSKY e FLACK 1990)
Seu modelo inclui um rotor riacutegido simeacutetrico apoiado em dois mancais de sapata moacutevel idecircnticos
de cinco sapatas cada Eacute usado o meacutetodo de NewtonndashRaphson para se calcular a posiccedilatildeo de
equiliacutebrio do eixo e das paacutes Apresenta-se tambeacutem um modelo reduzido que se mostra eficiente
para o caacutelculo dos coeficientes dinacircmicos mas que natildeo apresenta bons resultados para a anaacutelise
de estabilidade e das frequecircncias naturais amortecidas Observa-se nos resultados que o
momento de ineacutercia das paacutes a velocidade e o fator de preacute-carga tecircm grande influecircncia na
estabilidade do sistema e que a faixa de operaccedilatildeo estaacutevel pode ser aumentada ao se aumentar o
fator de preacute-carga
24 Sistemas rotativos com elementos adicionais
A anaacutelise de estabilidade de sistemas mancal-rotor eacute bastante variada na literatura especializada
Eacute comum encontrar trabalhos cuja originalidade recai na inclusatildeo de alguns paracircmetros ou
elementos especiacuteficos no conjunto como mancais hiacutebridos mancais de materiais viscoelaacutesticos
acoplamentos selos mecacircnicos
Um trabalho a destacar sobre a anaacutelise de estabilidade do sistema rotor-mancal de mancais
hiacutebridos eacute o de Gomez-Mancilla et al (2005) onde eacute modelado um sistema composto por um
rotor de Jeffcott apoiado em mancais hidrodinacircmicos ciliacutendricos hiacutebridos Satildeo considerados
ambos modelos riacutegido e flexiacutevel de Jeffcott e comparados os niacuteveis de vibraccedilatildeo e a estabilidade
do sistema quando sujeito a diferentes niacuteveis de pressatildeo de alimentaccedilatildeo do lubrificante nos
mancais Os autores mostram como se pode melhorar a estabilidade do sistema com o aumento
da pressatildeo de alimentaccedilatildeo provocando uma reduccedilatildeo no acircngulo de posiccedilatildeo e um aumento da
excentricidade nos sistemas modelados que inclui mancais hidrodinacircmicos longos ciliacutendricos
Este efeito tambeacutem favorece a faixa de operaccedilatildeo estaacutevel do sistema elevando a velocidade
limite de operaccedilatildeo estaacutevel (threshold speed of instability) Os resultados obtidos mostram que o
efeito da pressatildeo de alimentaccedilatildeo nos mancais na estabilidade do sistema eacute consideraacutevel para
36
rotores riacutegidos ou com elevada rigidez Agrave medida em que a rigidez reduz natildeo se percebe muita
variaccedilatildeo na estabilidade com o aumento da pressatildeo de alimentaccedilatildeo Outro resultado importante
deste trabalho eacute que o aumento da pressatildeo de alimentaccedilatildeo do lubrificante natildeo eacute interessante
quando o sistema estaacute cruzando uma velocidade criacutetica Apenas em casos particulares eacute possiacutevel
obter alguma reduccedilatildeo na amplitude de vibraccedilatildeo e mesmo assim quando a velocidade de
operaccedilatildeo estiver fora da faixa de velocidades criacuteticas Portanto um sistema de controle ativo de
pressatildeo eacute recomendado para se obter os melhores resultados em funccedilatildeo dos paracircmetros
operacionais do sistema rotativo Comenta-se tambeacutem que outros modelos de mancais como os
eliacutepticos de muacuteltiplos loacutebulos de sapata moacutevel satildeo intrinsecamente mais estaacuteveis do que os
mancais ciliacutendricos analisados no trabalho
A anaacutelise de estabilidade do sistema com mancais de materiais viscoelaacutesticos eacute apresentada em
Espiacutendola e Floody (1999) Saldarriaga (2007) e Bavastri et al(2008) Tapia e Cavalca (2002) e
Tadeo (2003) analisam os efeitos de alguns modelos de acoplamentos flexiacuteveis e riacutegidos
inserindo-os em modelos de elementos finitos do sistema rotativos Al-Hussain (2003) analisa o
efeito do desalinhamento angular na estabilidade de dois rotores riacutegidos ligados por um
acoplamento flexiacutevel O modelo contempla ainda um disco riacutegido em cada rotor que se apoacuteia
em mancais hidrodinacircmicos O autor apresenta as regiotildees de estabilidade do sistema e sua
relaccedilatildeo com a rigidez do acoplamento e com o acircngulo de desalinhamento
Wang et al (2010) fazem uma anaacutelise de um compressor centriacutefugo de alta velocidade com
mancais hidrodinacircmicos a ar com selo mecacircnico de labirinto Eacute usado o modelo de rotor riacutegido
de Jeffcott para modelar o eixo e o disco que representam o compressor aleacutem do modelo de
Muszynska (1986) para as forccedilas do selo
Faria e Miranda (2012) apresentam um procedimento de elementos finitos aplicado na anaacutelise
dos paracircmetros de desempenho de selos a gaacutes Lavainne (2003) e Vincent (2003) fazem uma
anaacutelise determiniacutestica e probabiliacutestica da sensibilidade de desempenho de um compressor agraves
variaccedilotildees geomeacutetricas das suas paacutes Ambos apresentam os resultados em termos de alteraccedilotildees na
eficiecircncia de compressatildeo do equipamento
Lazarus et al (2010) fazem uma anaacutelise dinacircmica da vibraccedilatildeo em maacutequinas rotativas
assimeacutetricas utilizando elementos finitos tridimensionais (3D) baseando-se na teoria modal
Satildeo incluiacutedos no modelo um estator e um acoplamento permitindo uma anaacutelise detalhada da
estabilidade do sistema e sua relaccedilatildeo com os autovalores Os resultados teoacutericos satildeo comparados
37
com mediccedilotildees experimentais realizadas em uma bancada de testes com um rotor assimeacutetrico
apoiado em mancais anisotroacutepicos
25 Mancais eliacutepticos
A literatura apresenta diversos trabalhos sobre modelagem de mancais ciliacutendricos mas haacute
poucos trabalhos que investigam detalhadamente os mancais eliacutepticos (SINGH e GUPTA1982)
As primeiras publicaccedilotildees sobre mancais eliacutepticos que se destacam satildeo Pinkus (1956 1956b)
onde o autor apresenta uma anaacutelise detalhada sobre mancais eliacutepticos incluindo paracircmetros
como capacidade de carga coeficiente de atrito e vazatildeo para diferentes valores de
excentricidade fator de carga e razatildeo LD Outro trabalho importante na eacutepoca foi apresentado
por Wilcock (1961) que analisa vaacuterios tipos de mancais deslocados ortogonalmente incluindo
mancais eliacutepticos Seu trabalho eacute limitado pelo fato de natildeo terem sido considerados os
coeficientes de amortecimento
Sternlicht (1964) apresenta uma anaacutelise de regime permanente para mancais eliacutepticos usando
coeficientes de rigidez e de amortecimento de mancais eliacutepticos com fatores geomeacutetricos
variados Middleton (1973) apresenta diagramas de capacidade de carga acircngulo de atitude e
coeficientes de rigidez e de amortecimento para mancais eliacutepticos com fatores de 06 e LD=05
Singh (1978) faz uma anaacutelise estaacutetica e dinacircmica de mancais eliacutepticos com LD=1 considerando
rotores riacutegidos e flexiacuteveis Kumar et al (1980) apresentam dados detalhados para o projeto de
mancais hidrodinacircmicos eliacutepticos (dois loacutebulos) Eacute usado o meacutetodo de perturbaccedilatildeo linear para o
caacutelculo dos coeficientes do mancal aplicando-se a equaccedilatildeo de Reynolds para filme fluido com
algumas simplificaccedilotildees nas condiccedilotildees de contorno Satildeo apresentados resultados para os
coeficientes de rigidez e de amortecimento do mancal aleacutem de dados sobre paracircmetro de atrito
de aumento de temperatura e regiatildeo de equiliacutebrio
Singh e Gupta (1982) apresentam um estudo analiacutetico dos efeitos do fator de carga da razatildeo LD
e da flexibilidade do eixo nos limites de estabilidade de mancais eliacutepticos e destacam que os
mancais eliacutepticos satildeo adequados para rotores riacutegidos e moderadamente flexiacuteveis Neste trabalho
os autores aplicam a equaccedilatildeo de Reynolds a cada loacutebulo do mancal eliacuteptico e resolvem a
equaccedilatildeo separadamente por loacutebulo usando o meacutetodo de diferenccedilas finitas Os resultados satildeo
vaacutelidos para mancais alinhados onde o perfil de pressotildees eacute simeacutetrico Satildeo levados em
38
consideraccedilatildeo todos os coeficientes de forccedila dos mancais isto eacute os coeficientes de rigidez e de
amortecimento incluindo os coeficientes cruzados
Zhang et al (1999) analisam os efeitos da natildeo-linearidade das forccedilas do filme fluido na resposta
desbalanceada de um rotor de Jeffcott apoiado em mancais eliacutepticos Eacute destacado o caraacuteter natildeo-
linear das forccedilas do filme fluido Os autores comparam os resultados da resposta desbalanceada
gerada pela teoria linear e natildeo-linear para avaliar a aplicabilidade da teoria linear Observa-se a
grande influecircncia do desbalanceamento nos resultados comparados mostrando a importacircncia de
se considerar as natildeo-linearidades quando o desbalanceamento do sistema eacute elevado
Nas uacuteltimas deacutecadas tem-se publicado pouco sobre mancais eliacutepticos e os trabalhos recentes que
merecem destaque satildeo comentados a seguir
Shen et al(2006) apresentam um modelo raacutepido e preciso que calcula as forccedilas de um mancal
hidrodinacircmico usando o meacutetodo variacional O modelo analisa o comportamento dinacircmico natildeo-
linear de um rotor riacutegido apoiado em mancais eliacutepticos considerando tanto o rotor balanceado
como o natildeo-balanceado Os autores fazem uma revisatildeo histoacuterica dos trabalhos que investigam
este caraacuteter aperioacutedico e caoacutetico da vibraccedilatildeo em sistemas dinacircmicos de alta rotaccedilatildeo onde se
comenta ainda que os coeficientes dinacircmicos lineares trazem informaccedilotildees de estabilidade
vaacutelidas apenas para rotores balanceados Satildeo destacados os meacutetodos numeacutericos de elementos
finitos e de diferenccedilas finitas como os mais precisos mas ao mesmo tempo os que mais exigem
recursos computacionais e tempo de processamento Desta forma os autores propotildeem um novo
modelo numeacuterico para calcular as forccedilas do filme fluido para investigar a dinacircmica natildeo-linear
de um sistema rotor-mancal O mancal modelado eacute formado por dois loacutebulos de 150deg cada e
considera-se apenas o movimento radial do rotor O novo modelo proposto baseia-se na teoria
variacional (ROHDE e MALLISTER 1975) gerando um problema de minimizaccedilatildeo de energia
o que reduz o problema bidimensional para unidimensional reduzindo consideravelmente o
custo computacional Como as forccedilas do filme fluido satildeo calculadas para cada loacutebulo o meacutetodo
proposto eacute eficiente tanto para mancais ciliacutendricos quanto para mancais de vaacuterios loacutebulos
incluindo os mancais eliacutepticos O meacutetodo eacute vaacutelido natildeo apenas para mancais curtos e longos mas
tambeacutem para mancais finitos Satildeo apresentados resultados numeacutericos e graacuteficos que mostram
oacuterbitas ciclos limites diagramas de bifurcaccedilatildeo (HOLLIS e TAYLOR 1986) e mapas de
Poincareacute
39
Yan-Jun et al(2006) analisam o comportamento dinacircmico natildeo-linear de um rotor apoiado em
mancais hidrodinacircmicos finitos incluindo mancais eliacutepticos Para o caacutelculo dos coeficientes de
forccedila dos mancais usa-se o meacutetodo de elementos finitos com uma abordagem variacional que
permite reduzir o custo computacional e melhorar a exatidatildeo numeacuterica do meacutetodo segundo os
autores Satildeo considerados os efeitos natildeo-lineares das forccedilas produzidas pelo filme fluido e sua
influecircncia na natildeo-linearidade do movimento do sistema Aplica-se o meacutetodo de prediccedilatildeo e
correccedilatildeo juntamente com o meacutetodo de Newton-Raphson para se calcular a posiccedilatildeo de equiliacutebrio
e as velocidades criacuteticas A limitaccedilatildeo do modelo estaacute na consideraccedilatildeo de eixo riacutegido e sua
modelagem natildeo eacute detalhada pelos autores
Correia (2007) apresenta uma anaacutelise de desempenho de mancais hidrodinacircmicos eliacutepticos
usando o meacutetodo de elementos finitos Satildeo obtidos os coeficientes de rigidez e de
amortecimento para diversas condiccedilotildees de trabalho aleacutem de obter curvas de caracteriacutesticas de
desempenho estaacutetico e dinacircmico tais como capacidade de carga e coeficientes dinacircmicos de
forccedila em funccedilatildeo de paracircmetros operacionais e do nuacutemero de Sommerfeld O autor destaca que
para um nuacutemero de Sommerfeld alto os mancais ciliacutendricos satildeo inadequados
Raghunandana (2007) propotildee um meacutetodo inverso para se calcular os coeficientes de forccedila e de
amortecimento de mancais eliacutepticos a partir de um banco de dados gerado para uma certa razatildeo
de excentricidade e eacute feito um ajuste de curva para gerar uma funccedilatildeo contiacutenua destes dados Eacute
apresentada a equaccedilatildeo de Reynolds modificada (DIEN e ELROD 1983) que considera a
variaccedilatildeo da viscosidade do fluido em funccedilatildeo da pressatildeo isto eacute fluido natildeo-newtoniano A
equaccedilatildeo eacute adimensionalizada e resolvida numericamente usando o meacutetodo de diferenccedilas finitas
considerando o regime permanente e condiccedilotildees de contorno simplificadoras
40
3 METODOLOGIA
Nesse capiacutetulo eacute apresentada a metodologia adotada na implementaccedilatildeo do procedimento
computacional que permite obter os resultados do comportamento dinacircmico de sistemas rotor-
mancal hidrodinacircmico Inicialmente apresenta-se a formulaccedilatildeo por elementos finitos do eixo
rotativo utilizando-se a teoria de vigas de Timoshenko Em seguida eacute apresentada a descriccedilatildeo
do problema de mancal hidrodinacircmico radial eliacuteptico e as equaccedilotildees de lubrificaccedilatildeo da Teoria da
Lubrificaccedilatildeo que permitem obter a formulaccedilatildeo por elementos finitos dos coeficientes de forccedila
destes mancais Posteriormente eacute descrito o procedimento para se modelar o sistema rotor-
mancal hidrodinacircmico por elementos finitos obtendo-se a equaccedilatildeo do movimento Apresenta-se
o meacutetodo numeacuterico de integraccedilatildeo no tempo adotado para se obter a soluccedilatildeo numeacuterica da
equaccedilatildeo do movimento do sistema Finalmente eacute apresentado um diagrama descrevendo as
principais etapas do procedimento computacional completo
O modelo do sistema rotor-mancal eacute ilustrado esquematicamente na Figura 31 onde observa-se
um eixo circular flexiacutevel apoiado nas extremidades e com um disco massivo acoplado Os
apoios satildeo representados pelos coeficientes de rigidez K e de amortecimento C dos mancais
Figura 31 ndash Sistema rotor-mancal
Os modelos adotados para o rotor flexiacutevel e para os mancais hidrodinacircmicos ciliacutendricos e
41
eliacutepticos satildeo baseados em teorias que apresentam algumas hipoacuteteses simplificadoras Estas
hipoacuteteses satildeo listadas a seguir
i) Modelo do Eixo flexiacutevel
natildeo inclui efeitos de torccedilatildeo ou de amortecimento interno
considera o eixo homogecircneo isotroacutepico e inicialmente alinhado
carregamento transversal sem carga axial
desconsiderado o movimento axial das seccedilotildees transversais
ii) Modelo do disco massivo
considera o disco riacutegido e homogecircneo
a linha de centro do disco coincide com a linha de centro do eixo (condiccedilatildeo inicial)
iii) Modelo dos mancais hidrodinacircmicos
considera mancais de geometria fixa com perfil ciliacutendrico ou eliacuteptico
a linha de centro coincide com a linha de centro do eixo (condiccedilatildeo inicial)
Filme fluido
- escoamento em regime laminar bidimensional nas direccedilotildees axial e circunferencial
- fluido newtoniano isoteacutermico isoviscoso incompressiacutevel
- desconsiderada a ineacutercia do fluido
iv) Modelo do sistema rotor-mancal
Desconsiderados os efeitos de vibraccedilatildeo provocados por desalinhamento de montagem
folgas roccedilamento rompimento do filme fluido cavitaccedilatildeo
31 Modelagem do Rotor Flexiacutevel
O modelo do rotor flexiacutevel implementado neste trabalho adota o meacutetodo de elementos finitos
(MEF) atraveacutes de elementos de eixo (NELSON 1980) de Timoshenko Nelson (1980) utiliza a
teoria de vigas de Timoshenko para obter as equaccedilotildees de equiliacutebrio para um eixo circular
flexiacutevel suportado em apoios elaacutesticos considerando o efeito do cisalhamento momento
giroscoacutepico e ineacutercia rotatoacuteria Os detalhes sobre a teoria de vigas de Euler-Bernoulli Rayleigh
e Timoshenko satildeo apresentados no Anexo A O desenvolvimento da formulaccedilatildeo atraveacutes de
42
elementos finitos eacute apresentado a seguir e as matrizes de elementos finitos obtidas por esta
formulaccedilatildeo satildeo listadas no Anexo C Considere um elemento finito de comprimento l com oito
graus de liberdade (Figura 32)
Figura 32 ndash Representaccedilatildeo de um elemento finito do eixo
A variaacutevel q representa o vetor deslocamento generalizado onde q1 e q2 representam o
movimento de translaccedilatildeo de um noacute do elemento finito nas direccedilotildees dos eixos de coordenadas
retangulares enquanto q3 e q4 representam as rotaccedilotildees em torno dos eixos de coordenadas As
demais componentes satildeo anaacutelogas representando os mesmos movimentos para o noacute oposto
Para representar a translaccedilatildeo e a rotaccedilatildeo de uma seccedilatildeo qualquer do elemento definem-se (VW)
como o deslocamento linear do centro da seccedilatildeo do elemento onde satildeo incluiacutedas as contribuiccedilotildees
da flexatildeo (Vf Wf) e do cisalhamento (VcWc) Aplicam-se funccedilotildees de interpolaccedilatildeo claacutessicas para
vigas de Timoshenko na flexatildeo (ANEXO B)
onde
43
e as funccedilotildees de interpolaccedilatildeo i=1234 representam os modos de deslocamentos sendo
que cada funccedilatildeo estaacute associada ao deslocamento unitaacuterio de uma das coordenadas com todas as
demais coordenadas com deslocamento restringido a zero [D] e [E] representam as matrizes das
funccedilotildees de interpolaccedilatildeo de deslocamentos lineares e de deslocamentos angulares
respectivamente Para se considerar os efeitos de cisalhamento transversal considera-se o eixo
com seccedilatildeo transversal circular e o fator de forma do cisalhamento transversal meacutedio pode ser
determinado pela expressatildeo (COUPER 1966)
onde eacute o coeficiente de Poisson
Aplicando-se o Princiacutepio de Hamilton obteacutem-se as equaccedilotildees do movimento de um elemento
finito do eixo Fazendo-se a primeira variaccedilatildeo funcional
onde T V e representam respectivamente a energia cineacutetica a energia potencial elaacutestica e o
trabalho das forccedilas externas obeacutem-se a relaccedilatildeo
A energia cineacutetica do elemento considera as parcelas de translaccedilatildeo e de rotaccedilatildeo do movimento
onde l eacute o comprimento do elemento M representa a massa por unidade de comprimento Idm eacute o
momento diametral meacutedio de ineacutercia de massa por unidade de comprimento Ip eacute o momento
polar de ineacutercia por unidade de comprimento eacute a velocidade de rotaccedilatildeo do rotor
A energia de deformaccedilatildeo elaacutestica devido agrave flexatildeo e ao cisalhamento eacute descrita como
44
onde Vf e Wf satildeo as contribuiccedilotildees da flexatildeo no deslocamento linear do centro da seccedilatildeo
transversal do elemento Vc e Wc satildeo as contribuiccedilotildees do cisalhamento neste deslocamento Kx
e Ky satildeo os coeficientes de cisalhamento E e G satildeo os moacutedulos de elasticidade longitudinal e
transversal Iy e Iz satildeo os momentos de ineacutercia de aacuterea A eacute a aacuterea da seccedilatildeo transversal O sinal
de apoacutestrofo indica diferenciaccedilatildeo em relaccedilatildeo agrave posiccedilatildeo
As equaccedilotildees do movimento satildeo obtidas pelo Princiacutepio de Hamilton atraveacutes da relaccedilatildeo
onde
eacute o trabalho virtual das forccedilas externas e Fe eacute o vetor forccedila generalizada
Substituindo-se as funccedilotildees de interpolaccedilatildeo (ANEXO B) nas expressotildees da energia de
deformaccedilatildeo elaacutestica e de energia cineacutetica do elemento leva agraves matrizes de elementos finitos
(ANEXO C) Uma vez obtidas as matrizes do sistema a equaccedilatildeo do movimento obtida pela
aplicaccedilatildeo do Princiacutepio de Hamilton teraacute a forma
onde [Me] [N
e] [G
e] satildeo as matrizes locais da ineacutercia de translaccedilatildeo rotaccedilatildeo e de efeito
giroscoacutepico respectivamente Para o modelo do rotor flexiacutevel composto pelo eixo flexiacutevel e o
disco massivo riacutegido (Figura 31) basta usar as propriedades geomeacutetricas do disco nas matrizes
de ineacutercia [Me] e [N
e] e de efeito giroscoacutepico [G
e] no elemento correspondente agrave posiccedilatildeo do
disco no rotor
32 Modelagem do Mancal Radial Eliacuteptico
A Figura 33 apresenta de maneira esquemaacutetica um mancal hidrodinacircmico eliacuteptico e seus
paracircmetros geomeacutetricos
45
Figura 33 ndash Desenho esquemaacutetico do mancal eliacuteptico e seus paracircmetros geomeacutetricos
O munhatildeo eacute a parte rotativa do mancal normalmente corresponde ao proacuteprio eixo no trecho
apoiado no mancal O tamanho do mancal eacute definido pelo comprimento L e pelo diacircmetro D O
centro do munhatildeo estaacute na interseccedilatildeo das linhas traccedilo-ponto e o centro do mancal estaacute na
interseccedilatildeo das linhas pontilhadas A excentricidade do mancal eacute definida como a distacircncia entre
o centro do mancal e o centro do munhatildeo representada por e A folga radial do mancal definida
como a diferenccedila entre o raio do mancal e o raio do munhatildeo eacute representada por c (Figura 34) A
razatildeo de excentricidade eacute o adimensional definido como podendo variar de zero a um
O acircngulo de posiccedilatildeo do mancal pode ser calculado pela expressatildeo onde
Fy e Fx satildeo respectivamente as componentes vertical e horizontal da forccedila de reaccedilatildeo F do
mancal gerada pela accedilatildeo hidrodinacircmica do filme fluido O mancal radial de perfil eliacuteptico ou
―mancal eliacuteptico possui um perfil formado por dois arcos de circunferecircncia chamados de
loacutebulos que natildeo satildeo concecircntricos (Figura 34) Nesta figura o centro geomeacutetrico dos loacutebulos
(ponto OL) estaacute posicionado sobre o centro geomeacutetrico do eixo (ponto O) o que a difere
basicamente da Figura 33 onde o centro do eixo estaacute deslocado como ocorre quando o eixo
estaacute girando e se desloca para uma posiccedilatildeo de equiliacutebrio R representa o raio menor do mancal
Re representa o raio do munhatildeo ou raio do eixo RL representa o raio do loacutebulo do mancal ou
sejao raio de cada loacutebulo que compotildee o mancal eliacuteptico
A preacute-carga (Mp) do mancal eliacuteptico indica o grau de ―elipsidade do mancal e eacute dada pela
46
expressatildeo Mp=(Cb ndash c)c O caso particular onde Mp=0 representa o mancal ciliacutendrico
Figura 34 - Desenho esquemaacutetico do perfil de um mancal radial eliacuteptico
A Figura 35 mostra o campo de pressatildeo no mancal hidrodinacircmico ciliacutendrico girando no sentido
anti-horaacuterio Percebe-se que as maiores pressotildees satildeo formadas na regiatildeo inferior ligeiramente
deslocadas para a direita para sustentar a carga do eixo representada por W A distacircncia miacutenima
entre o eixo e o mancal eacute representada por ho
Figura 35 - Distribuiccedilatildeo da pressatildeo hidrodinacircmica no mancal ciliacutendrico (LANG e STEINHILPER 1978)
47
Na Figura 36 eacute representado o mesmo campo de pressatildeo poreacutem para o mancal de perfil
eliacuteptico Observa-se que haacute a formaccedilatildeo do campo de pressatildeo tambeacutem na metade superior do
mancal que embora tenha um valor relativamente pequeno se comparado com o campo gerado
na parte inferior ajuda no equiliacutebrio hidrodinacircmico (CORREIA 2007) A accedilatildeo dos dois campos
de pressatildeo dos mancais eliacutepticos aumenta a rigidez melhora o amortecimento e reduz o
aquecimento do lubrificante de maneira mais eficiente do que nos mancais ciliacutendricos
(SEHGAL 2010)
Figura 36 - Distribuiccedilatildeo da pressatildeo hidrodinacircmica no mancal eliacuteptico (Adaptado de CORREIA 2007)
321 Equaccedilotildees de Lubrificaccedilatildeo
A equaccedilatildeo claacutessica de Reynolds que descreve o escoamento de um filme fluido incompressiacutevel
isoteacutermico e isoviscoso pode ser escrita no sistema de coordenadas ciliacutendricas da seguinte forma
(HAMROCK 1994)
t
hh
R
U
z
ph
z
ph
R
LLLL )()(
2
1
12
sup3
12
sup3
sup2
1 (31)
onde
48
R = raio do eixo
p = pressatildeo hidrodinacircmica
= massa especiacutefica do lubrificante
h = espessura do filme fluido
= viscosidade absoluta do lubrificante
U = velocidade superficial do eixo (U = ωR)
O domiacutenio do escoamento do filme fluido eacute descrito por 0 le θ le 2π e -L2 le z le L2 A
distribuiccedilatildeo de pressatildeo hidrodinacircmica eacute perioacutedica ao longo da direccedilatildeo circunferencial p(θ z t)=
p(θ + 2π z t) As laterais do mancal estatildeo agrave pressatildeo atmosfeacuterica pa p(θ L2 t)=p(θ -L2t)= pa
A condiccedilatildeo de Meio Sommerfeld eacute utilizada no caacutelculo do campo de pressatildeo do mancal
ciliacutendrico (HAMROCK 1994) onde usa-se somente do intervalo de 0 le θ le π concentrando-se
a anaacutelise da pressatildeo na regiatildeo convergente ou seja natildeo considerando a aacuterea de cavitaccedilatildeo (ou
pressatildeo negativa) No mancal eliacuteptico eacute desconsiderada apenas a regiatildeo de cavitaccedilatildeo
A expressatildeo que representa a espessura do filme fluido ―h eacute dada pela equaccedilatildeo (32) onde c
representa a folga radial ex e ey representam as excentricidades do mancal e Mp a preacute-carga
senMpcsentetech yx )()()cos()( (32)
Para o caacutelculo dos coeficientes dinacircmicos de forccedila do mancal satildeo utilizadas as equaccedilotildees de
lubrificaccedilatildeo de ordem zero e de primeira ordem obtidas atraveacutes da anaacutelise de perturbaccedilatildeo do
sistema (LUND1987) A posiccedilatildeo de equiliacutebrio do eixo (00
yx ee ) eacute perturbada por movimentos
de pequena amplitude ( yx ee ) com uma frequecircncia de excitaccedilatildeo w (FARIA et al 2006)
Desta forma a espessura do filme eacute dada por
titi
yyxx ehehehehehh 00 )( = x y (33)
onde
0h = espessura do filme estacionaacuterio ou de ordem zero
49
xh = cos( )
yh = sen ( )
= x y
i = 1
Pequenas variaccedilotildees na espessura do filme causam alteraccedilotildees no campo de pressatildeo
hidrodinacircmica Este campo perturbado de pressatildeo hidrodinacircmica pode ser representado pela
equaccedilatildeo (34) se considerarmos uma anaacutelise linear de perturbaccedilatildeo
ti
o
ti
YYXXo epepe)pepe()t(p)t(p (34)
onde
0p = pressatildeo estacionaacuteria campo de pressatildeo de ordem zero
Xp e Yp = campo de pressatildeo de primeira ordem
Substituindo as equaccedilotildees (33) e (34) na equaccedilatildeo (31) obtecircm-se as equaccedilotildees de lubrificaccedilatildeo de
ordem zero e de primeira ordem conforme representado pelas equaccedilotildees (35) e (36)
respectivamente
)(
2
1
1212sup2
1 00
3
00
3
0 h
R
U
z
ph
z
ph
R
LLL (35)
hih
R
U
z
ph
z
phh
z
phphh
RL
LLLLL )(
2
1
1212
3
1212
3
sup2
13
00
2
0
3
00
2
0
(36)
A equaccedilatildeo (35) eacute a equaccedilatildeo claacutessica de Reynolds para regime estacionaacuterio Esta equaccedilatildeo
permite a determinaccedilatildeo do campo de pressatildeo hidrodinacircmica bidimensional no interior dos
mancais radiais lubrificados a oacuteleo Natildeo existe soluccedilatildeo analiacutetica em forma fechada para a grande
maioria dos mancais radiais de uso industrial Os coeficientes dinacircmicos dos mancais satildeo
50
obtidos atraveacutes da soluccedilatildeo das equaccedilotildees de lubrificaccedilatildeo de ordem zero e de primeira ordem via
procedimento de elementos finitos
322 Equaccedilotildees de Elementos Finitos para Mancais Eliacutepticos
As equaccedilotildees de lubrificaccedilatildeo de ordem zero e de primeira ordem podem ser escritas na forma de
balanccedilo de massa utilizando-se o conceito de fluxo maacutessico Dessa forma a equaccedilatildeo (35) pode
ser reescrita na seguinte forma
(37)
sendo que 00
3
0
212
1hR
ph
Rm L
L representa o fluxo maacutessico na direccedilatildeo circunferencial
e z
phm L
z0
3
0
12 o fluxo maacutessico na direccedilatildeo axial
A equaccedilatildeo (36) pode da mesma forma ser reescrita na forma de balanccedilo de fluxo na seguinte
maneira
himz
mR
m Lz111
1
(38)
sendo que os fluxos maacutessicos mostrados na equaccedilatildeo (38) podem ser expressos na seguinte
forma
hRph
R
phh
Rm L
LL
212
1
12
313
00
2
01 (39)
z
ph
z
phhm LL
z
1212
3 3
00
2
01
(310)
323 Discretizaccedilatildeo do campo de pressatildeo de ordem zero
Elementos isoparameacutetricos planos de quatro noacutes satildeo utilizados na discretizaccedilatildeo do domiacutenio do
filme fluido Funccedilotildees de interpolaccedilatildeo bilineares e
j j=1234 satildeo empregadas na descriccedilatildeo do
01
mm
zm
Rz
51
campo de pressatildeo hidrodinacircmica de ordem zero no domiacutenio e de um elemento finito A
Figura 37 ilustra de maneira esquemaacutetica os quatro noacutes no elemento finito usados na
discretizaccedilatildeo do domiacutenio do filme fluido onde a coordenada y representa a direccedilatildeo axial do
mancal e a coordenada indica a direccedilatildeo circunferencial
Figura 37 - Representaccedilatildeo esquemaacutetica dos noacutes no elemento finito
Os campos discretos de pressatildeo de ordem zero e de primeira ordem no domiacutenio e de um
elemento finito satildeo escritos na seguinte forma
e
i
e
i
e pp 00 i=1234 (311)
e
i
e
i
e pp i=1234 (σ = xy) (312)
Sobre um elemento finito do domiacutenio e o meacutetodo de Galerkin eacute utilizado para a obtenccedilatildeo da
equaccedilatildeo do campo de pressatildeo de ordem zero A equaccedilatildeo (37) eacute preacute-multiplicada pelas funccedilotildees
de interpolaccedilatildeo e
j e o produto eacute integrado sobre o domiacutenio e
e ee
ee
j
ee
j
ee
j dmdnmdm 0
(313)
onde n
representa o valor normal unitaacuterio direcionado para o lado de fora do contorno e do
52
elemento finito Pode-se escrever que
eR
ez
e
j
z
e
je
j
1 (314)
zz ememm
(315)
A segunda integral do lado direito da equaccedilatildeo (313) pode ser expandida na seguinte forma
ee
e
e
e
je
i
e
e
je
i
e
je
i
e
e
j
z
e
j
z
e
i
e
ie
i
e
i
dhpdzzR
h
deR
ez
epz
he
z
Rp
h
R
002
3
0
0
3
00
3
0
2
1
12
1
1212
1
(316)
Entatildeo a equaccedilatildeo (313) pode ser reescrita na forma a seguir
e ee
e
n
e
j
e
e
je
i
e
e
je
i
e
je
i dmdhpdzzR
h
2
1
12002
3
0 (317)
onde nm representa o fluxo de lubrificante cruzando a fronteira do elemento finito e
A equaccedilatildeo (317) pode ser representada por um sistema de equaccedilotildees algeacutebricas que representa a
forma estacionaacuteria da equaccedilatildeo de Reynolds para um elemento finito e
na seguinte forma
e
j
e
j
e
i
e
ji qfPK 0 (318)
onde a matriz fluiacutedica e
jiK pode ser obtida por meio de procedimento de integraccedilatildeo baseado no
meacutetodo da quadratura de Gauss (BATHE 1982) utilizando-se quatro pontos de integraccedilatildeo Essa
matriz eacute dada pela seguinte expressatildeo
53
e
e
je
i
e
je
ie
ji dzzR
hK
e sup2
1
12
3
0
O vetor de fluxo no domiacutenio de um elemento finito eacute determinado por
e
e
e
je
j dhf 02
O balanccedilo de fluxo atraveacutes do contorno do domiacutenio eacute dado por
e
e
n
e
j
e
j dmq
O contorno de um elemento finito qualquer eacute representado por e
e o fluxo de lubrificante de
ordem zero atraveacutes dessa fronteira por nm
324 Discretizaccedilatildeo do campo de pressatildeo de primeira ordem
O meacutetodo de Galerkin eacute empregado novamente para a obtenccedilatildeo da equaccedilatildeo de elementos finitos
para determinaccedilatildeo do campo de pressatildeo perturbada de primeira ordem A equaccedilatildeo (38) eacute preacute-
multiplicada pelas funccedilotildees de interpolaccedilatildeo e o produto eacute integrado sobre o domiacutenio e do
elemento finito produzindo a seguinte equaccedilatildeo integral
e e ee
ee
j
ee
j
ej
e
ee
j dhidmdnmdm
111 (319)
O segundo termo do lado direito da equaccedilatildeo (319) pode ser reescrito na forma seguinte
e
e e
e
e
je
i
e
je
i
e
jo
ejz
e
jee
j
dR
hRP
R
hp
R
hh
dz
mR
mdm
2sup2
1
12sup2
1
12
3
1
3
0
2
0
111
54
e
ee
i
e
je
i
e
jdP
zz
h
zz
phh
1212
3 3
00
2
0 (320)
A equaccedilatildeo (320) pode entatildeo ser reescrita na forma de um sistema de equaccedilotildees algeacutebricas na
seguinte maneira
ee
j
e
j
e
j
e
j
en
e
j
e
i
e
e
je
i
e
je
i
dhihzz
pp
R
hh
dmPdzzR
h
e
ee
2sup2
1
12
3
sup2
1
12
00
2
0
1
3
0
(321)
Para facilitar a representaccedilatildeo da equaccedilatildeo algeacutebrica (321) pode-se reescrevecirc-la na forma
matricial como segue
e
j
e
j
e
i
e
ji fqpK yx (322)
A matriz fluiacutedica de primeira ordem o balanccedilo do fluxo atraveacutes do contorno e o vetor de fluxo
no domiacutenio satildeo determinados respectivamente por
e
e
je
i
e
j
e
je
ji dzzR
hK
e sup2
1
12
3
0 (3221)
e
en
e
j
e
j dmq (3222)
e
ee
j
e
j
e
j
e
je
j dhihzz
pp
R
hhf
2sup2
1
12
3 00
2
0 (3223)
O fluxo de lubrificante de primeira ordem atraveacutes do contorno e de um elemento finito eacute
representado por nm
O sistema de equaccedilotildees algeacutebricas complexas dado pelas equaccedilotildees (322) permite determinar o
55
campo complexo de pressatildeo hidrodinacircmica de primeira ordem Os coeficientes do vetor
carregamento de primeira ordem e
jf dependem do campo de pressatildeo de ordem zero Por
conseguinte primeiro resolve-se o sistema de equaccedilotildees de ordem zero apresentada na equaccedilatildeo
(318) para a determinaccedilatildeo do campo de pressatildeo estacionaacuteria 0p Entatildeo determina-se o campo
de pressatildeo perturbada por meio do sistema de equaccedilotildees dado pelas equaccedilotildees (322)
As caracteriacutesticas estaacuteticas de desempenho de mancais tais como capacidade de carga torque de
atrito e vazatildeo de oacuteleo satildeo determinadas a partir da equaccedilatildeo de lubrificaccedilatildeo de ordem zero Jaacute as
caracteriacutesticas dinacircmicas de desempenho tais como os coeficientes de rigidez e de
amortecimento satildeo estimadas a partir da soluccedilatildeo da equaccedilatildeo de lubrificaccedilatildeo de primeira ordem
As equaccedilotildees de elementos finitos satildeo superpostas para todo o domiacutenio do filme fluido Ω
325 Determinaccedilatildeo dos Coeficientes de Forccedila dos Mancais Eliacutepticos
A soluccedilatildeo do sistema de equaccedilotildees algeacutebricas lineares eacute obtida por meio de um procedimento
baseado no meacutetodo da decomposiccedilatildeo LU (CHAPRA e CANALE 2002) Um programa
computacional foi desenvolvido especialmente para determinar a soluccedilatildeo das equaccedilotildees de ordem
zero e de primeira ordem utilizando o meacutetodo de elementos finitos (FARIA et al 2006) As
forccedilas de reaccedilatildeo do filme lubrificante podem entatildeo ser estimadas a partir da seguinte expressatildeo
na qual pa representa a pressatildeo atmosfeacuterica
L
aoodzdRh)pp(F
0
2
0
= XY (323)
A determinaccedilatildeo do campo perturbado ou de primeira ordem de pressatildeo
hidrodinacircmica para o mancal eacute realizada por meio do sistema de equaccedilotildees complexas de
primeira ordem obtido pela superposiccedilatildeo para todo o domiacutenio do fluido das equaccedilotildees dadas
pelas equaccedilotildees (322) A integraccedilatildeo do campo de pressatildeo de primeira ordem sobre o domiacutenio do
filme fluido leva agrave estimativa das impedacircncias complexas YXoZ Os coeficientes
linearizados de rigidez YXK e de amortecimento YXC associados agrave accedilatildeo
hidrodinacircmica do filme fluido podem ser calculados na seguinte forma
56
L
dzdRhpCiKZ0
2
0
YX (324)
ou
dzdRhphp
hphp
CC
CCi
KK
KK L
YYYX
XYXX
YYYX
XYXX
YYYX
XYXX
0
2
0
(325)
Estes coeficientes de forccedila [ K ] e [C ] correspondem agrave resistecircncia que o mancal oferece ao
deslocamento e agrave velocidade respectivamente Eles seratildeo sobrepostos agraves matrizes de elementos
finitos do eixo nas linhas e colunas correspondentes aos dois primeiros graus de liberdade que
satildeo translacionais
33 O Sistema Rotor-Mancal
O sistema rotor-mancal eacute composto por um eixo flexiacutevel um disco massivo e mancais Neste
trabalho o sistema foi modelado atraveacutes do meacutetodo de elementos finitos (MEF) como descrito a
seguir aplicando modelos distintos para o eixo flexiacutevel e para os mancais O disco massivo eacute
considerado riacutegido e portanto inserido no modelo do eixo simplesmente atraveacutes de suas
propriedades fiacutesicas (massa efeito giroscoacutepico e ineacutercia rotatoacuteria)
Para a modelagem do deslocamento lateral dos eixos flexiacuteveis satildeo utilizados elementos de eixo
com dois noacutes e com oito graus de liberdade A influecircncia dos mancais nos coeficientes de
rigidez e amortecimento do rotor tambeacutem eacute considerada na modelagem A equaccedilatildeo global do
movimento para o sistema rotor-mancal eacute descrita como
(326)
onde [M] representa a matriz global de ineacutercia translacional [N] eacute a matriz global de ineacutercia
rotatoacuteria [K] a matriz de rigidez do eixo e [C] a matriz generalizada de amortecimento que eacute
expressa como [G]]C[]C[ 1 onde [G] eacute a matriz de efeito giroscoacutepico do eixo Estas
matrizes satildeo apresentadas detalhadamente no Anexo C A matriz [C1] eacute a matriz global com os
coeficientes de amortecimento dos mancais lanccedilados nos devidos noacutes onde os mancais estatildeo
57
posicionados De maneira anaacuteloga os coeficientes de rigidez dos mancais satildeo somados agrave matriz
[K] e a massa desbalanceada eacute somada na matriz [M] Os vetores de aceleraccedilatildeo velocidade e
deslocamento satildeo dados respectivamente por UUU e Ω eacute a velocidade de rotaccedilatildeo do
eixo (rads)
Cada noacute possui 4 graus de liberdade onde o deslocamento do i-eacutesimo elemento eacute
representado pelo vetor Ui composto pelas seguintes componentes
i
i
i
i
i
x
y
U onde
xeixo do tornoem rotaccedilatildeo
y eixo do tornoem rotaccedilatildeo
verticaltodeslocamen
horizontal todeslocamen
i
i
i
i
x
y
A Figura 38 apresenta simbolicamente estes 4 graus de liberdade atraveacutes dos movimentos de
translaccedilatildeo (deslocamento) e de rotaccedilatildeo nos eixos xy
Figura 38 ndash Representaccedilatildeo dos 4 graus de liberdade
A excitaccedilatildeo devida agrave massa desbalanceada do rotor eacute representada pelo vetor R na Eq (326)
Um disco rotativo riacutegido desbalanceado eacute montado em uma posiccedilatildeo axial preacute-determinada do
eixo permitindo a aplicaccedilatildeo de carga Um fasor rotatoacuterio com amplitude de F0 = mdud Ωsup2
representa a carga da massa desbalanceada onde md eacute a massa desbalanceada (kg) e ud eacute a
excentricidade da massa desbalanceada (m)
As seccedilotildees a seguir apresentam as formulaccedilotildees que permitem obter as matrizes da equaccedilatildeo
(326) que posteriormente seraacute integrada numericamente pelo meacutetodo de Newmark (BATHE
1982)
58
34 Diagrama do Procedimento Computacional
O procedimento computacional proposto neste trabalho foi desenvolvido em ambiente Matlabreg
produzido pela The MathWorkscopy e suas principais etapas satildeo apresentadas na Figura 39
Figura 39 ndash Diagrama do procedimento computacional
Na etapa 1 satildeo registrados os paracircmetros fiacutesicos e geomeacutetricos do sistema aleacutem dos paracircmetros
dos meacutetodos numeacutericos (nuacutemero de noacutes da malha tempo de integraccedilatildeo incremento no tempo
rotaccedilatildeo etc)
Na etapa 2 satildeo calculadas as matrizes de elementos finitos do eixo usando-se os dados
4) Montagem das matrizes de
elementos finitos
dos mancais
3) Caacutelculo dos coeficientes de forccedila
dos mancais pelo MEF
2) Caacutelculo das
matrizes de
elementos
finitos do rotor
5) Superposiccedilatildeo das matrizes de elementos finitos
7) Integraccedilatildeo numeacuterica da equaccedilatildeo do movimento
6) Equaccedilatildeo do movimento
1) Entrada de Dados
9) Saiacuteda de resultados
8) Seleccedilatildeo dos dados de saiacuteda
59
registrados na etapa 1 atraveacutes das equaccedilotildees descritas no Anexo C Como o disco massivo eacute
considerado riacutegido e portanto soacute possui os elementos das matrizes de massa de ineacutercia e de
momento giroscoacutepico estas matrizes satildeo calculadas separadamente e sobrepostas com as do
eixo nos pontos onde o disco massivo estaacute posicionado O meacutetodo permite que o disco esteja
posicionado em qualquer noacute da malha do eixo
Na etapa 3 satildeo calculados os coeficientes de forccedila dos mancais baseando-se na sua posiccedilatildeo de
equiliacutebrio estaacutetico Esta posiccedilatildeo eacute encontrada pelo MEF implementado que calcula a forccedila
resultante da accedilatildeo hidrodinacircmica do filme-fluido para que ela seja igual agrave carga estaacutetica que o
rotor aplica em cada mancal Uma vez encontrado o ponto de equiliacutebrio estaacutetico satildeo calculados
os coeficientes de rigidez e de amortecimento dos mancais conforme Eq(325) Cabe ressaltar
que o caacutelculo destes coeficientes natildeo usa as teorias simplistas de mancais curtos ou longos e
nem faz simplificaccedilotildees quanto aos coeficientes cruzados
Na etapa 4 os resultados encontrados na etapa 3 satildeo registrados nas matrizes de elementos
finitos dos mancais que satildeo as matrizes de rigidez e de amortecimento
Em seguida na etapa 5 eacute feita a superposiccedilatildeo das matrizes de elementos finitos do rotor e dos
mancais com os resultados obtidos nas etapas 2 3 e 4 O meacutetodo permite que os mancais
estejam posicionados em qualquer noacute da malha do eixo Esta superposiccedilatildeo eacute feita apenas com as
linhas e colunas correspondentes aos deslocamentos translacionais ou seja natildeo satildeo
considerados efeitos de rigidez ou de amortecimento rotacionais no modelo dos mancais
hidrodinacircmicos
Uma vez montadas as matrizes segue-se para as etapas 6 e 7 onde a equaccedilatildeo do movimento eacute
estabelecida em formato matricial conforme Eq(326) e integrada numericamente pelo Meacutetodo
de Newmark descrito no Anexo D
Na etapa 8 satildeo registrados os dados que seratildeo usados para a anaacutelise do sistema Na verdade esta
etapa estaacute inserida no algoritmo de Newmark dentro das iteraccedilotildees no tempo para que sejam
registrados os dados de interesse a cada iteraccedilatildeo no tempo Os dados normalmente selecionados
satildeo extraiacutedos do vetor U (Eq326) que registra todos os deslocamentos laterais e rotaccedilotildees
dos pontos da malha do eixo ao longo do tempo
Finalmente na etapa 9 satildeo geradas as saiacutedas de resultados Dependendo do tipo de anaacutelise
desejada esta saiacuteda pode passar por outro caacutelculo numeacuterico como eacute feito no caso da geraccedilatildeo do
espectro de frequecircncia onde eacute usado o FFT (Fast Fourier Transform) Os resultados numeacutericos
60
satildeo exibidos na forma de arquivo de dados e tambeacutem na forma graacutefica atraveacutes de espectros de
frequecircncia formas de onda curvas de deflexatildeo curva de resposta desbalanceada ou atraveacutes de
uma animaccedilatildeo tridimensional exibindo a deflexatildeo do rotor ao longo do tempo
Cabe ressaltar que para o caacutelculo da resposta desbalanceada eacute necessaacuterio fazer a integraccedilatildeo no
tempo para vaacuterias rotaccedilotildees do eixo Assim para cada rotaccedilatildeo eacute registrada a maacutexima amplitude
de vibraccedilatildeo do eixo em um determinado ponto Normalmente eacute escolhido o elemento onde estaacute
um dos mancais para este ponto Em seguida eacute gerado o graacutefico da resposta desbalanceada que
permite identificar em qual rotaccedilatildeo o sistema apresentou a maacutexima amplitude quando excitado
pela forccedila de desbalanceamento Este eacute o conceito de velocidade criacutetica (VC)
61
4 RESULTADOS E ANAacuteLISE
Os resultados do procedimento computacional proposto satildeo validados com resultados
apresentados na literatura especializada e com dados experimentais Satildeo apresentados
inicialmente alguns exemplos de validaccedilatildeo seguindo-se para a anaacutelise dos coeficientes de forccedila
dos mancais eliacutepticos e da resposta desbalanceada do sistema rotor-mancal
41 Exemplos de validaccedilatildeo
A validaccedilatildeo do procedimento computacional eacute realizada atraveacutes de alguns exemplos
selecionados na literatura especializada apresentando modelos de rotores flexiacuteveis apoiados em
diferentes tipos de mancais Eacute incluiacuteda uma comparaccedilatildeo dos resultados numeacutericos com
resultados experimentais coletados em uma bancada de testes horizontal composta por um rotor
flexiacutevel apoiado em mancais hidrodinacircmicos
411 Rotor com disco em balanccedilo
Um exemplo de rotor flexiacutevel (SINOU 2005) eacute escolhido para validar os resultados do
procedimento computacional O rotor eacute composto por um eixo flexiacutevel dois mancais e um disco
massivo em balanccedilo (Figura 41)
Figura 41 ndash Desenho esquemaacutetico do rotor de Sinou (2005)
62
Tabela 41- Paracircmetros do rotor com disco em balanccedilo (SINOU 2005)
Eixo
Comprimento
Diacircmetro
Moacutedulo de Young
Massa especiacutefica
170m
40mm
200 GNm2
8000 kgm3
Disco
Massa
Diacircmetro
Espessura
20 kg
400 mm
20 mm
Mancais
Rigidez Translacional
Rigidez Rotacional
Amortecimento
Kxx = 378 MNm
Kxy = 0 MNm
Kyx = 0 MNm
Kyy = 378 MNm
Kff= 80x104
Nmrad
KQQ = 80x104
Nmrad
Cxx = 0 Nsm
Cxy = 0 Nsm
Cyx = 0 Nsm
Cyy = 0 Nsm
Satildeo calculadas a primeira frequecircncia natural (FN1) e a segunda frequecircncia natural (FN2) para o
rotor de Sinou (2005) aplicando-se o procedimento computacional proposto para se avaliar a
influecircncia do tamanho da malha de elementos finitos no caacutelculo destas frequecircncias naturais Os
valores obtidos para FN1 e FN2 com diferentes malhas satildeo mostrados na Figura 42
Figura 42 ndash Curvas da primeira e segunda frequecircncias naturais (FN1 FN2) versus o nuacutemero de
elementos finitos da malha para o rotor de Sinou (2005) a 10rpm
Constata-se que a variaccedilatildeo dos valores de FN1 e de FN2 fica abaixo de 2 para uma malha de
80 elementos Assim adota-se uma malha de 80 elementos finitos para este exemplo
63
A integraccedilatildeo das equaccedilotildees do movimento eacute feita pelo meacutetodo de Newmark (ANEXO D) Nesta
implementaccedilatildeo satildeo adotados os paracircmetros que garantem a convergecircncia do meacutetodo conforme
descrito no Anexo D Poreacutem eacute importante considerar que agrave medida que se reduz o incremento
no tempo usado na integraccedilatildeo numeacuterica mais exatos satildeo os resultados por se tornarem mais
convergentes Assim apresenta-se na Figura 43 a anaacutelise desta convergecircncia em funccedilatildeo do
incremento no tempo A curva contiacutenua representa a primeira velocidade criacutetica progressiva
(FWD1) e a curva tracejada representa a primeira velocidade criacutetica regressiva (BKWD1)
Observa-se que as velocidades criacuteticas convergem suficientemente para um incremento no
tempo de aproximadamente 50x10-4
s onde a variaccedilatildeo relativa eacute menor que 1 Este valor eacute
adotado nos demais resultados calculados para este exemplo
Figura 43 ndash Primeira velocidade criacutetica progressiva (FWD1)
e regressiva (BKWD1) versus incremento no tempo
A Figura 44 apresenta o espectro de frequecircncia obtido pelo MEF com o rotor a 10 rpm Na
Tabela 42 satildeo comparados os valores da primeira e segunda frequecircncias naturais (FN1 e FN2)
calculadas por Sinou (2005) com os valores obtidos pelo MEF aqui proposto e observa-se que
o desvio maacuteximo eacute menor que 3 Os valores apresentados por Sinou(2005) foram obtidos
usando uma malha de 184 elementos de viga de Timoshenko
64
Figura 44 ndash Espectro de frequecircncia obtido pelo MEF para o rotor de Sinou(2005) a 10 rpm
Tabela 42- Valores comparativos da primeira frequecircncia natural para o rotor de Sinou(2005) a 10 rpm
Sinou(2005) MEF Erro
relativo ()
FN 1 2430 rpm 2495 rpm 27
FN 2 3840 rpm 3780 rpm -16
As frequecircncias naturais do rotor em balanccedilo satildeo calculadas pelo MEF proposto tambeacutem para
outros valores de rotaccedilatildeo Na Figura 45 eacute ilustrado o diagrama de Campbell obtido pelo MEF e
comparado com os valores apresentados por Sinou (2005)
Figura 45 ndash Diagrama de Campbell para o rotor em balanccedilo analisado por Sinou(2005)
65
O efeito giroscoacutepico faz com que fiquem niacutetidas as frequecircncias de precessatildeo regressiva
(backward) e progressiva (forward) Estas frequecircncias satildeo representadas na Figura 45 seguidas
das siglas ―BKWD e ―FWD respectivamente A linha cheia e a traccedilo-ponto representam os
resultados obtidos pelo MEF proposto neste trabalho enquanto os pontos identificados por
marcadores satildeo os resultados apresentados por Sinou(2005) A linha tracejada representa as
frequecircncias siacutencronas (syncr) que permitem identificar as velocidades criacuteticas na sua interseccedilatildeo
com as curvas das frequecircncias naturais As duas primeiras velocidades criacuteticas foram obtidas
atraveacutes do graacutefico e comparadas na Tabela 43 com aquelas calculadas por Sinou(2005)
Observa-se um erro relativo menor que 5 nesta comparaccedilatildeo feita para fins de validaccedilatildeo
Tabela 43- Comparaccedilatildeo da primeira velocidade criacutetica
Sinou(2005) MEF Erro
relativo()
BKWD 2225 rpm 2210 rpm -1
FWD 2580 rpm 2680 rpm 4
As diferenccedilas entre os resultados do MEF proposto para os resultados numeacutericos de Sinou se
devem principalmente ao nuacutemero de elementos finitos usados O modelo de Sinou usa 184
elementos enquanto neste trabalho foram adotados 80 elementos Outros erros relativos podem
ter sido causados por pequenas diferenccedilas geomeacutetricas entre os dois modelos em funccedilatildeo de
alguma informaccedilatildeo que natildeo tenha sido detalhada no trabalho de Sinou
Cabe ressaltar que este exemplo de validaccedilatildeo se aplica ao MEF do rotor e ao procedimento de
superposiccedilatildeo dos coeficientes de forccedila dos mancais Poreacutem o modelo de Sinou usa apenas dois
coeficientes de forccedila nos apoios (rigidez agrave rotaccedilatildeo) e natildeo considera mancais hidrodinacircmicos
Para a validaccedilatildeo dos modelos de mancais seratildeo apresentados outros exemplos
412 Rotor apoiado nas extremidades com disco no centro
Um segundo exemplo de validaccedilatildeo eacute selecionado atraveacutes do modelo de rotor (HONG e PARK
1999) composto por um eixo com dois diacircmetros diferentes como mostrado na Figura 46 Na
primeira metade o eixo tem 25cm de diacircmetro e na outra metade tem 40cm de diacircmetro
66
Figura 46 ndash Desenho esquemaacutetico do rotor de Hong e Park(1999)
O eixo eacute apoiado pelas extremidades por mancais idecircnticos e no centro do eixo haacute um disco
massivo Os paracircmetros do modelo satildeo apresentados na Tabela 44
Tabela 44- Paracircmetros do rotor de Hong e Park(1999)
Eixo
Comprimento
Diacircmetro (trecho 1)
Diacircmetro (trecho 2)
Moacutedulo de Young
Massa especiacutefica
120m
25cm
40cm
200 GNm2
8000 kgm3
Disco
Massa
Momento polar de ineacutercia
Momento diametral de ineacutercia
20 kg
0163 kgm2
0085 kgm2
Mancais
Rigidez
Amortecimento
Kxx = 20 MNm
Kxy = -15 MNm
Kyx = -15 MNm
Kyy = 25 MNm
Cxx = 60 Nsm
Cxy = 0 Nsm
Cyx = 0 Nsm
Cyy = 70 Nsm
Eacute feita uma comparaccedilatildeo entre as frequecircncias naturais e tambeacutem apresentada uma anaacutelise da
forma de onda obtida pela integraccedilatildeo numeacuterica que permite observar o fenocircmeno de batimento
Satildeo apresentados os conceitos baacutesicos do fenocircmeno e feita a comparaccedilatildeo entre as frequecircncias
naturais obtidas atraveacutes do espectro de frequecircncia e a frequecircncia de batimento observada na
forma de onda
Inicialmente satildeo validadas as frequecircncias naturais atraveacutes da observaccedilatildeo dos picos no espectro
como pode ser visto na Figura 47 Satildeo destacados os dois picos (808 rpm 848 rpm) relativos agrave
primeira frequecircncia natural regressiva (backward) e progressiva (forward) respectivamente
com o rotor operando a 6000rpm
67
Figura 47 ndash Espectro de frequecircncia obtido para o rotor de Hong e Park (1999) operando a 6000rpm
Os resultados numeacutericos obtidos pelo MEF satildeo comparados com os da literatura (HONG e
PARK 1999) na Tabela 45 onde pode-se observar um erro relativo maacuteximo de 2
Tabela 45- Comparaccedilatildeo da primeira frequecircncia natural progressiva e regressiva para
o rotor de Hong e Park (1999)
Hong e Park
(1999)
MEF Erro
relativo ()
Backward (regressiva) 804 rpm 808 rpm 05
Forward (progressiva) 865 rpm 848 rpm -20
Em seguida eacute feita a anaacutelise da forma de onda obtida apoacutes a integraccedilatildeo no tempo da equaccedilatildeo do
movimento pelo Meacutetodo de Newmark Observa-se pela forma de onda (Figura 48) que existe
um padratildeo de flutuaccedilatildeo do sinal destacado pela linha tracejada e pelo sombreamento Este
padratildeo de flutuaccedilatildeo eacute semelhante ao fenocircmeno de batimento da teoria de interferecircncia de ondas
que ocorre quando haacute duas frequecircncias de vibraccedilatildeo proacuteximas O fenocircmeno natildeo foi investigado
profundamente neste trabalho mas eacute destacado como um exemplo de validaccedilatildeo onde foi
possiacutevel encontrar frequecircncias naturais bem proacuteximas agraves apresentadas na literatura (HONG e
68
PARK 1999) e ainda estabelecer uma relaccedilatildeo entre o padratildeo de flutuaccedilatildeo da forma de onda
com as frequecircncias registradas no espectro
Figura 48 ndash Forma de onda obtida para o rotor de Hong e Park (1999)
Uma vez identificado um ciclo completo do padratildeo de flutuaccedilatildeo destacado na Figura 48 pela
linha tracejada eacute possiacutevel obter os instantes de tempo inicial e final deste ciclo 275s e 570s
respectivamente Este intervalo corresponde a um periacuteodo de 295s que equivale a uma
frequecircncia de 0339Hz = 203rpm
Este padratildeo de flutuaccedilatildeo pode ser explicado pelo fenocircmeno de batimento que estabelece que
quando duas ondas com frequecircncias muito proacuteximas (w1 w2) interferem uma na outra
flutuaccedilotildees de batimento satildeo percebidas na forma de onda e a frequecircncia de batimento (wb) eacute
dada por
Observando-se novamente o espectro de frequecircncia na Figura 47 pode-se calcular a frequecircncia
de batimento (wb) esperada para este sistema atraveacutes das frequecircncia natural regressiva
(backward) e progressiva (forward)
69
Portanto confirma-se que o padratildeo de flutuaccedilatildeo observado na forma de onda pode ser associado
ao fenocircmeno de batimento causado pelas duas frequecircncias naturais proacuteximas identificadas no
espectro Estes dois resultados satildeo apresentados na Tabela 46
Tabela 46- Comparaccedilatildeo das Frequecircncias de Batimento para o rotor de Hong e Park(1999)
Frequecircncia obtida
pela forma de onda
Frequecircncia obtida
pelo espectro
203 rpm 200 rpm
Este fenocircmeno de batimento eacute tambeacutem observado quando o rotor opera em uma rotaccedilatildeo proacutexima
de uma frequecircncia natural De maneira semelhante se for observado o padratildeo de flutuaccedilatildeo na
forma de onda que varia com a rotaccedilatildeo do rotor eacute possiacutevel inferir que o rotor estaacute se
aproximando ou se afastando de uma frequecircncia natural O fenocircmeno de batimento no sistema
rotor-mancal merece uma investigaccedilatildeo mais profunda que natildeo estaacute no escopo do presente
trabalho
413 Rotor de uma bancada de testes
Um terceiro exemplo de validaccedilatildeo consiste na comparaccedilatildeo das frequecircncias naturais estimadas
pelo MEF com os valores experimentais coletados em uma bancada de testes montada no Grupo
de Dinacircmica de Rotores da UFMG cujos dados podem ser encontrados em Machado (2006) e
Miranda et al (2005) O rotor eacute composto por um eixo ciliacutendrico horizontal apoiado em mancais
hidrodinacircmicos e com um disco ciliacutendrico desbalanceado montado no eixo como ilustrado
esquematicamente na Figura 49 com medidas em miliacutemetros
Figura 49 ndash Desenho esquemaacutetico do rotor da bancada de testes
O disco possui furos rosqueados ao longo de sua periferia que permitem incluir pequenas massas
70
que provocam o desbalanceamento no sistema O rotor eacute acionado por um sistema de polias e
correia e um motor eleacutetrico controlado por um inversor de frequecircncia A Tabela 47 apresenta os
paracircmetros do rotor da bancada de testes
Tabela 47ndash Paracircmetros do rotor da bancada de testes
Paracircmetro Descriccedilatildeo Valor Unidade
Leixo comprimento do eixo 030 m
D diacircmetro do eixo 0015 m
L comprimento dos mancais 0012 m
c folga do mancal 345 x 10-6
m viscosidade do lubrificante 25 x 10
-3 Pamiddots
massa especiacutefica do lubrificante 892 kgmsup3
E moacutedulo de elasticidade do eixo 200 x 109 Pa
coeficiente de Poisson do eixo 03 -
massa especiacutefica do eixo 7870 kgmsup3
Esta anaacutelise tem como objetivo validar os modelos de elementos finitos propostos para o eixo
flexiacutevel e para os mancais hidrodinacircmicos atraveacutes de resultados experimentais A anaacutelise da
convergecircncia da malha de elementos finitos para o modelo do eixo eacute realizada de maneira
semelhante agrave apresentada na Figura 42 obtendo-se tambeacutem um nuacutemero de 80 elementos para
este exemplo
Um procedimento de anaacutelise de sensibilidade de malha eacute tambeacutem utilizado para avaliar a
dependecircncia dos paracircmetros de desempenho do mancal em funccedilatildeo do tamanho da malha Neste
procedimento a razatildeo entre o nuacutemero de elementos finitos nas direccedilotildees circunferencial e axial eacute
mantida constante Esta razatildeo depende da razatildeo de esbeltez do mancal (LD) e deve ser mantida
para se garantir a variaccedilatildeo uniforme do tamanho da malha Assim para uma razatildeo LD de 08
como no exemplo analisado a relaccedilatildeo entre o nuacutemero de noacutes circunferenciais e o nuacutemero de noacutes
axiais deve ser 480 Estabelecidos estes paracircmetros satildeo gerados os coeficientes de forccedila
para a rotaccedilatildeo de 3200rpm no ponto de equiliacutebrio estaacutetico do mancal usando-se inicialmente
uma malha bem refinada (1660 elementos) conforme mostrado na uacuteltima linha da Tabela 48
Satildeo entatildeo reduzidos os nuacutemeros de elementos da malha e registrados os erros relativos obtidos
na forccedila de reaccedilatildeo do mancal (Fx) e no coeficiente de rigidez cruzada (Kxy) Para fins de
comparaccedilatildeo os erros relativos satildeo calculados em moacutedulo conforme mostrado na Figura 410
71
Tabela 48ndash Resultados da anaacutelise da sensibilidade da malha dos mancais
Noacutes circunferenciais
Noacutes axiais Elementos
Kxy
(MNm) Fx (N)
Desvio
Kxy Desvio
Fx
20 5 76 3926 5752 48 475
36 9 280 4122 6039 06 058
44 11 430 4146 6074 03 030
52 13 612 4158 6092 02 020
60 15 826 4166 6104 01 011
68 17 1072 4171 6111 01 008
76 19 1350 4174 6116 01 007
84 21 1660 4177 6120
Figura 410 ndash Sensibilidade da malha de elementos finitos do mancal ciliacutendrico no caacutelculo dos
paracircmetros de desempenho Fx e Kxy
Pela anaacutelise de sensibilidade realizada neste terceiro exemplo constata-se que 280 elementos
finitos na malha do filme fluido satildeo suficientes para a obtenccedilatildeo de resultados confiaacuteveis com
menos de 1 de erro relativo conforme Tabela 48
Uma vez definidas as malhas de elementos finitos satildeo realizadas as simulaccedilotildees e a integraccedilatildeo
numeacuterica no tempo Com os resultados da integraccedilatildeo satildeo gerados os espectros de frequecircncia
numeacutericos Os espectros de frequecircncia experimentais satildeo obtidos em diferentes velocidades de
rotaccedilatildeo do eixo atraveacutes de testes de batida (bump test) Satildeo afixados acelerocircmetros no topo dos
mancais e gerados os espectros de frequecircncia Na Figura 411 observa-se o espectro de
72
frequecircncia gerado a partir do teste de batida coletado no mancal 1 A amplitude indicada
representa o valor RMS da aceleraccedilatildeo Observam-se dois picos em frequecircncias de
aproximadamente 83 Hz (4980 rpm) e 110 Hz (6600 rpm) que correspondem agraves frequecircncias
naturais do sistema
Figura 411 ndash Espectro de frequecircncia experimental ndash teste de batida
Para se obter estas frequecircncias naturais pelo meacutetodo de elementos finitos proposto satildeo
realizadas duas simulaccedilotildees Uma com o rotor operando a 750rpm (Figura 412) e outra a
3200rpm (Figura 413)
Figura 412 ndash Espectro de frequecircncia obtido pelo MEF para rotaccedilatildeo de 750 rpm
Observa-se na Figura 412 o pico de 750rpm relativo agrave excitaccedilatildeo harmocircnica da massa
desbalanceada e um pico a aproximadamente 4950 rpm (825 Hz) que corresponde agravequele
73
identificado no espectro obtido experimentalmente no teste de batida
Na Figura 413 eacute niacutetido o pico a 6650rpm (111Hz) tambeacutem presente no espectro do resultado
experimental O pico de 3200 da Figura 413 eacute da excitaccedilatildeo harmocircnica
Figura 413 ndash Espectro de frequecircncia obtido pelo MEF para rotaccedilatildeo de 3200 rpm
A Tabela 49 apresenta a comparaccedilatildeo entre estes valores onde observa-se um erro relativo de
aproximadamente 1 dos dados numeacutericos em relaccedilatildeo aos dados experimentais
Tabela 49ndash Valores comparativos de frequecircncias naturais obtidas pelo MEF e experimentalmente
pelo teste de batida (bump test)
Experimental MEF Erro relativo
4980 rpm 4950 rpm -1
6600 rpm 6650rpm 08
Esta faixa de erro estaacute abaixo da resoluccedilatildeo dos graacuteficos e existem outros erros associados aos
dados apresentados devido agraves incertezas geomeacutetricas do rotor da bancada de testes
Uma segunda mediccedilatildeo experimental eacute realizada para este mesmo sistema fixando-se a rotaccedilatildeo
do eixo em 8900rpm Os resultados experimentais e numeacutericos da vibraccedilatildeo do mancal 2 satildeo
processados e gerados os espectros de frequecircncia a seguir A Figura 414 apresenta o espectro de
frequecircncia experimental para rotaccedilatildeo de 8900 rpm onde satildeo destacadas algumas frequecircncias
naturais excitadas a esta rotaccedilatildeo
74
Figura 414 ndash Espectro de frequecircncia experimental para o rotor da bancada operando a 8900rpm
A Figura 415 apresenta o espectro de frequecircncia numeacuterico para rotaccedilatildeo de 8900 rpm onde satildeo
destacados alguns dos picos que correspondem agraves mesmas frequecircncias naturais observadas no
resultado experimental A amplitude exibida no graacutefico estaacute na forma adimensional que eacute a
razatildeo entre a amplitude de deslocamento dividida pela folga do mancal
Figura 415 ndash Espectro de frequecircncia obtido pelo MEF para o rotor da bancada operando a 8900rpm
A comparaccedilatildeo entre estas frequecircncias eacute apresentada na Tabela 410 onde se observa um erro
relativo de menos de 3 para as prediccedilotildees das frequecircncias naturais em relaccedilatildeo aos valores
75
experimentais Nem todas as frequecircncias apresentadas no espectro experimental satildeo observadas
no resultado numeacuterico em funccedilatildeo do modelo computacional natildeo considerar alguns efeitos tais
como desalinhamento incertezas geomeacutetricas dos mancais ruiacutedos provenientes do motor
eleacutetrico e outros O pico de 17800rpm da Figura 414 por exemplo representa o segundo
harmocircnico da frequecircncia de rotaccedilatildeo do rotor que corresponde ao sinal de desalinhamento
paralelo (BERRY 1994)
Tabela 410ndash Valores comparativos de frequecircncias naturais obtidas pelo MEF e experimentalmente
para o rotor da bancada operando a 8900rpm
Experimental MEF Erro relativo
8890 rpm 8850 rpm -05
26800 rpm 26200 rpm -22
45600 rpm 44400 rpm -26
414 Segundo rotor de uma bancada de testes
Um quarto exemplo de validaccedilatildeo eacute selecionado (MACHADO 2006) para avaliar o
procedimento computacional implementado neste trabalho O rotor eacute semelhante ao anterior
ilustrado na Figura 49 poreacutem os mancais satildeo diferentes Satildeo mancais hidrodinacircmicos
ciliacutendricos cujas caracteriacutesticas satildeo apresentadas na Tabela 411
Tabela 411ndash Paracircmetros do rotor da bancada de testes ndash exemplo 2
Paracircmetro Descriccedilatildeo Valor Unidade
Leixo comprimento do eixo 030 m
D diacircmetro do eixo 0015 m
L comprimento dos mancais 0012 m
d diacircmetro do mancal 0015 m
c folga do mancal 24 x 10-6
m viscosidade do lubrificante 25 x 10
-3 Pamiddots
massa especiacutefica do lubrificante 892 kgmsup3
E moacutedulo de elasticidade do eixo 200 x 109 Pa
coeficiente de Poisson do eixo 03 -
massa especiacutefica do eixo 7870 kgmsup3
No espectro de frequecircncia computacional apresentado na Figura 416 satildeo destacadas as
frequecircncias naturais excitadas quando o rotor opera a 3200rpm
76
Figura 416 ndash Espectro de frequecircncia obtido pelo MEF para o rotor do exemplo 4 operando a 3200rpm
Estas frequecircncias satildeo comparadas com os valores obtidos experimentalmente para o rotor
descrito por Machado (2006) exibidas na Figura 417
Figura 417 ndash Espectro de frequecircncia experimental para o rotor de Machado(2006)
A comparaccedilatildeo das frequecircncias naturais dos resultados numeacutericos e experimentais eacute apresentada
na Tabela 412 onde observa-se que os resultados numeacutericos desviam menos de 2 dos
experimentais A uacutenica exceccedilatildeo eacute a frequecircncia de 9480 rpm do espectro experimental cujo erro
77
relativo foi de 37 no resultado numeacuterico Esta frequecircncia eacute de aproximadamente trecircs vezes a
frequecircncia de rotaccedilatildeo do eixo (3200rpm) o que significa um sinal de desalinhamento do rotor
conforme previsto na literatura (BERRY 1994)
Tabela 412ndash Valores comparativos das frequecircncias naturais obtidas
experimentalmente por Machado(2006) e pelo MEF
Experimental (rpm)
MEF (rpm)
erro relativo
3240 3194 -14
6360 6376 03
9480 9834 37
12960 12789 -13
18960 19190 12
25560 25591 01
28440 28823 13
32280 31992 -09
34800 35220 12
38520 38395 -03
41760 41615 -03
44100 44790 16
42 Anaacutelise dos coeficientes de forccedila dos mancais eliacutepticos
A anaacutelise dos coeficientes de forccedila eacute realizada aplicando-se o MEF a um exemplo de mancal
eliacuteptico extraiacutedo de Correia(2007) com o objetivo de identificar uma relaccedilatildeo entre os
coeficientes de forccedila e os paracircmetros construtivos do mancal folga radial (c) razatildeo de esbeltez
(LD) e preacute-carga (Mp) Este resultado permite observar se a relaccedilatildeo identificada se manteacutem
para diversas condiccedilotildees operacionais Os paracircmetros do mancal eliacuteptico selecionado satildeo
apresentados na Tabela 413
Tabela 413ndash Paracircmetros do mancal eliacuteptico selecionado
Paracircmetro Descriccedilatildeo Valor Unidade
L comprimento do mancal 0075 m
D diacircmetro do mancal 010 m
c1 folga do mancal (variaacutevel) viscosidade do lubrificante 84 x 10
-3 Pamiddots
massa especiacutefica do lubrificante 892 kgmsup3
rotaccedilatildeo 8800 rpm
Mp preacute-carga 045
W carga estaacutetica 1000 N
Para a anaacutelise de sensibilidade de malha do mancal selecionado adota-se uma folga radial de
75 m conforme Correia(2007) Esta anaacutelise permite avaliar a dependecircncia dos paracircmetros de
78
desempenho do mancal em funccedilatildeo do tamanho da malha A razatildeo entre o nuacutemero de elementos
finitos nas direccedilotildees circunferencial e axial eacute mantida constante dada pela relaccedilatildeo 4 Satildeo
apresentados na Figura 418 os desvios da forccedila de reaccedilatildeo do mancal (Fx) e do coeficiente de
rigidez cruzada (Kxy) obtidos para diferentes nuacutemeros de elementos da malha Para fins de
comparaccedilatildeo os desvios satildeo calculados em moacutedulo Pela anaacutelise de sensibilidade realizada
constata-se que aproximadamente 200 elementos finitos na malha do filme fluido satildeo suficientes
para a obtenccedilatildeo de resultados confiaacuteveis com menos de 1 de erro relativo
Figura 418 ndash Sensibilidade da malha de elementos finitos do mancal eliacuteptico no caacutelculo dos
paracircmetros de desempenho Fx e Kxy
421 Coeficientes de forccedila em funccedilatildeo da folga radial dos mancais eliacutepticos
Satildeo analisados nesta seccedilatildeo os resultados obtidos pelo MEF para o caacutelculo dos coeficientes de
rigidez direta adimensionais kxx e kyy dos mancais eliacutepticos para diferentes valores de folga
radial A adimensionalizaccedilatildeo dos coeficientes de rigidez direta eacute realizada pela relaccedilatildeo
(CORREIA2007)
kxx = c Kxx W
onde Kxx eacute o coeficiente de rigidez direta dimensional c eacute a folga radial do mancal e W eacute a
carga estaacutetica no mancal Para kyy a adimensionalizaccedilatildeo eacute anaacuteloga
Quando o mancal hidrodinacircmico opera ocorre um deslocamento da linha de centro do munhatildeo
79
(eixo do rotor) em relaccedilatildeo agrave linha de centro do mancal como ilustrado na Figura 419Figura 33
Este deslocamento eacute definido como a excentricidade e e o acircngulo eacute definido como acircngulo de
posiccedilatildeo A excentricidade adimensional eacute definida pela expressatildeo onde c eacute a folga
radial maacutexima do mancal Para cada condiccedilatildeo operacional o munhatildeo tende a se deslocar ateacute um
ponto de equiliacutebrio onde as forccedilas da accedilatildeo hidrodinacircmica do filme fluido entre em equiliacutebrio
com as forccedilas atuantes do rotor sobre o mancal Este ponto eacute definido como o ponto de
equiliacutebrio estaacutetico o
Figura 419 - Posicionamento do eixo dentro do mancal e excentricidade
O ponto de equiliacutebrio estaacutetico ( o) eacute influenciado por vaacuterios paracircmetros do mancal em especial
pela folga radial do mancal Para os mancais eliacutepticos analisados observa-se uma variaccedilatildeo de o
em funccedilatildeo da folga radial conforme mostrado na Figura 420
Figura 420 ndash Excentricidade adimensional do ponto de equiliacutebrio estaacutetico dos mancais
eliacutepticos em funccedilatildeo da folga radial
80
A Figura 421 apresenta os valores do coeficiente de rigidez direta adimensional dos mancais
eliacutepticos em funccedilatildeo da folga radial Eacute observado que estes coeficientes apresentam uma
variaccedilatildeo muito pequena para valores de o entre zero e 03 Estes valores correspondem a folgas
radiais entre zero a 150 m respectivamente Para destacar esta faixa eacute apresentada na Figura
421 uma linha pontilhada vertical onde se observa que os valores calculados para os
coeficientes kxx e kyy variam menos de 1 e fora desta faixa os coeficientes variam
consideravelmente Satildeo exibidas no graacutefico duas linhas tracejadas horizontais como referecircncia
para facilitar a observaccedilatildeo do alinhamento dos pontos
Figura 421 ndash Coeficientes de rigidez direta adimensionais em funccedilatildeo da folga radial dos mancais eliacutepticos
A adimensionalizaccedilatildeo do coeficiente de rigidez cruzada Kxy eacute realizada de maneira semelhante agrave
dos coeficientes de rigidez direta (CORREIA 2007) Poreacutem observa-se que os coeficientes kxy e
a folga radial tecircm uma relaccedilatildeo de proporcionalidade inversa para uma certa faixa operacional
descrita a seguir Desta forma o produto entre eles deve ser constante nesta faixa Sugere-se
assim um novo adimensional o ―coeficiente de rigidez cruzada adimensional modificado
definido por
onde Kxy eacute o coeficiente de rigidez cruzada dimensional c eacute a folga radial do mancal W eacute a
carga estaacutetica no mancal eacute a excentricidade adimensional no ponto de equiliacutebrio estaacutetico kxy
eacute o coeficiente de rigidez cruzada adimensional
81
A Figura 422 apresenta os resultados obtidos pelo MEF para o caacutelculo do coeficiente de rigidez
cruzada adimensional modificado dos mancais eliacutepticos para diferentes valores de folga
radial
Figura 422 ndash Coeficientes de rigidez cruzada adimensional modificado em funccedilatildeo da folga
radial dos mancais eliacutepticos
Observa-se que para a faixa onde os valores do coeficiente de rigidez cruzada
adimensional modificado satildeo aproximadamente constantes Apenas o uacuteltimo valor desta faixa
apresenta um desvio de 5 em relaccedilatildeo aos demais que variam menos de 1 Esta anaacutelise vale
de maneira anaacuteloga para ambos coeficientes de rigidez cruzada pois Kyx = -Kxy
Para os resultados computacionais dos coeficientes de amortecimento observa-se um padratildeo
semelhante ao identificado para os coeficientes de rigidez quando uma vez que nesta
faixa o coeficiente de amortecimento direto Cxx eacute proporcional ao coeficiente de rigidez cruzada
Kxy e o coeficiente de amortecimento cruzado Cxy eacute proporcional ao coeficiente de rigidez
direta Kxx Para investigar a faixa onde esta proporcionalidade eacute mantida eacute apresentado na
Figura 423 a razatildeo em funccedilatildeo da folga radial do mancal eliacuteptico Observa-se que para
a razatildeo eacute aproximadamente constante variando menos de 1 Este resultado
eacute ilustrado na Figura 423 sendo tambeacutem vaacutelido para a razatildeo
82
Figura 423 ndash Razatildeo CxyKxx em funccedilatildeo da folga radial dos mancais eliacutepticos
O amortecimento efetivo do mancal eacute um paracircmetro importante na anaacutelise da estabilidade
(VANCE 1988) definido pela expressatildeo 2ωCxxKxy onde Cxx eacute o coeficiente de amortecimento
direto (ou Cyy) e Kxy eacute o coeficiente de rigidez cruzada (ou -Kyx) Assim para concluir a anaacutelise
dos coeficientes de amortecimento em funccedilatildeo da folga radial eacute escolhido o amortecimento
efetivo como paracircmetro de desempenho Satildeo apresentados na Figura 424 os resultados do
amortecimento efetivo em funccedilatildeo da folga radial dos mancais eliacutepticos Novamente eacute observado
que para e0lt03 o amortecimento efetivo varia pouco menos de 1
Figura 424 ndash Amortecimento efetivo em funccedilatildeo da folga radial dos mancais eliacutepticos
83
Pode-se observar que os diversos paracircmetros analisados relacionados aos coeficientes de forccedila
dos mancais eliacutepticos variam pouco na faixa onde e este padratildeo natildeo eacute observado fora
desta faixa
422 Coeficientes de forccedila em funccedilatildeo da razatildeo de esbeltez dos mancais eliacutepticos
A razatildeo de esbeltez (LD) eacute um paracircmetro importante no projeto dos mancais hidrodinacircmicos
influenciando de maneira natildeo-linear nos seus coeficientes de forccedila (SAWICKI e RAO 2004)
No procedimento computacional proposto observa-se um padratildeo comum para alguns
paracircmetros de desempenho dos mancais eliacutepticos em funccedilatildeo da razatildeo de esbeltez
Eacute apresentada na Figura 425 a curva que relaciona a excentricidade adimensional do ponto de
equiliacutebrio estaacutetico ( ) com a razatildeo de esbeltez (LD) para os mancais analisados Observa-se um
valor de para LD = 045 que eacute uma razatildeo de esbeltez muito baixa conforme
observado nas aplicaccedilotildees industriais
Figura 425 ndash Excentricidade adimensional do ponto de equiliacutebrio estaacutetico dos mancais eliacutepticos em
funccedilatildeo da razatildeo de esbeltez
Na anaacutelise dos coeficientes de forccedila dos mancais em funccedilatildeo de LD identifica-se um padratildeo
comum para o amortecimento efetivo ( ) como ilustrado na Figura 426 Observa-se
que na faixa onde o amortecimento efetivo eacute aproximadamente constante variando no
maacuteximo 3
84
Figura 426 ndash Variaccedilatildeo do amortecimento efetivo em funccedilatildeo da razatildeo de esbeltez dos mancais eliacutepticos
Os resultados obtidos pelo MEF para o coeficiente de amortecimento cruzado adimensional (cxy)
mostram que existe uma relaccedilatildeo linear entre cxy e LD na faixa onde conforme
ilustrado na Figura 427 A linha tracejada indica o ajuste linear feito com os pontos desta faixa
no qual obteacutem-se um coeficiente de determinaccedilatildeo (R2) maior que 099 Embora os pontos na
faixa oposta (LD lt 045 e ) estejam tambeacutem aproximadamente alinhados natildeo foi
observado outro padratildeo comum nesta faixa
Figura 427 ndash Variaccedilatildeo do amortecimento cruzado adimensional em funccedilatildeo da razatildeo de esbeltez dos
mancais eliacutepticos
85
Os coeficientes de forccedila apresentados nesta seccedilatildeo obtidos pelo MEF implementado para os
mancais eliacutepticos apresentam uma clara relaccedilatildeo algeacutebrica com a razatildeo de esbeltez que se
manteacutem na faixa onde
423 Coeficientes de forccedila em funccedilatildeo da preacute-carga dos mancais eliacutepticos
Outro paracircmetro importante no projeto dos mancais hidrodinacircmicos eacute a preacute-carga (Mp) No
procedimento computacional proposto observa-se um padratildeo comum para alguns paracircmetros de
desempenho de mancais eliacutepticos em funccedilatildeo da preacute-carga
A Figura 428 apresenta a excentricidade adimensional do ponto de equiliacutebrio estaacutetico dos
mancais analisados para diferentes valores de preacute-carga (Mp) Observa-se um valor de
para Mp = 04
Figura 428 ndash Excentricidade adimensional do ponto de equiliacutebrio estaacutetico dos mancais eliacutepticos em
funccedilatildeo da preacute-carga
Na anaacutelise dos coeficientes de rigidez direta dos mancais para diferentes valores de Mp
observa-se uma relaccedilatildeo de proporcionalidade entre Mp e (kyy)23
e entre Mp e (kxx)12
como
ilustrado na Figura 429 Na faixa onde que corresponde a Mp lt 04 estas relaccedilotildees
algeacutebricas variam pouco Observa-se que nesta faixa a relaccedilatildeo de proporcionalidade entre Mp e
(kyy)23
varia no maacuteximo 4 e entre Mp e (kxx)12
varia no maacuteximo 7 Fora desta faixa as
variaccedilotildees satildeo maiores que 20
86
Figura 429 ndash Variaccedilatildeo da relaccedilatildeo de ajuste entre Mp kxx e kxy em funccedilatildeo da preacute-carga dos mancais eliacutepticos
Observa-se tambeacutem uma relaccedilatildeo linear entre o amortecimento efetivo ( ) e a preacute-
carga para valores de A Figura 436 apresenta estes resultados onde a linha tracejada
corresponde ao ajuste linear feito na faixa onde obtendo-se um coeficiente de
determinaccedilatildeo (R2) maior que 0999
Figura 430 ndash Variaccedilatildeo do amortecimento efetivo em funccedilatildeo da preacute-carga dos mancais eliacutepticos
Estes resultados obtidos pelo MEF implementado para os mancais eliacutepticos mostram que os
coeficientes de forccedila apresentam uma clara relaccedilatildeo algeacutebrica com a preacute-carga quando a
excentricidade adimensional ponto de equiliacutebrio estaacutetico eacute menor que 03
87
43 A influecircncia dos paracircmetros geomeacutetricos dos mancais eliacutepticos na resposta
desbalanceada
A resposta desbalanceada do sistema rotor-mancal eacute um importante paracircmetro operacional que
auxilia no projeto de maacutequinas rotativas pois informa o niacutevel de vibraccedilatildeo do sistema ao se
atravessar as velocidades criacuteticas Desta forma eacute fundamental uma anaacutelise da influecircncia dos
paracircmetros geomeacutetricos dos mancais eliacutepticos na resposta desbalanceada do sistema De fato
muitas turbomaacutequinas operam acima da primeira velocidade criacutetica e por isto os mancais devem
ser projetados para absorver as altas vibraccedilotildees provocadas pelo sistema quando ele passa pela
velocidade criacutetica
O procedimento computacional proposto neste trabalho permite predizer como os paracircmetros
geomeacutetricos dos mancais eliacutepticos influenciam a resposta desbalanceada Esta anaacutelise eacute realizada
atraveacutes dos resultados obtidos da integraccedilatildeo no tempo das equaccedilotildees do movimento
Satildeo selecionados a seguir alguns paracircmetros geomeacutetricos importantes no projeto de mancais
eliacutepticos e analisada a resposta desbalanceada do sistema rotor-mancal em funccedilatildeo destes
paracircmetros Inicialmente faz-se uma anaacutelise da influecircncia da preacute-carga dos mancais eliacutepticos na
razatildeo de amplificaccedilatildeo da resposta desbalanceada Em seguida eacute analisada a resposta
desbalanceada em funccedilatildeo da razatildeo de esbeltez dos mancais eliacutepticos e finalmente eacute analisada a
influecircncia da folga radial dos mancais eliacutepticos na resposta desbalanceada
431 A razatildeo de amplificaccedilatildeo da resposta desbalanceada em funccedilatildeo da preacute-carga
A resposta desbalanceada de rotores analisada para diferentes mancais eacute normalmente usada
como um paracircmetro de eficiecircncia dos mancais nas velocidades criacuteticas (FLACK e ROOKE
1980) Ela eacute a medida da amplitude de vibraccedilatildeo do sistema quando excitado pela forccedila de
desbalanceamento A reposta desbalanceada eacute analisada para o sistema apoiado em mancais
eliacutepticos sob diferentes valores de preacute-carga baseados em um exemplo de mancal eliacuteptico
apresentado em Machado(2006) A amplitude de vibraccedilatildeo eacute calculada atraveacutes do raio meacutedio das
oacuterbitas obtidas pelo procedimento numeacuterico Os paracircmetros do sistema satildeo apresentados na
Tabela 414 O rotor simulado natildeo possui discos massivos e estaacute apoiado em mancais
hidrodinacircmicos eliacutepticos como ilustrado na Figura 431
88
Figura 431 ndash Desenho esquemaacutetico do rotor sem disco massivo
Tabela 414 Paracircmetros do sistema rotor-mancal eliacuteptico utilizado na anaacutelise
d (diacircmetro do eixo) = 0015 m μ (viscosidade do lubrificante) = 27 x 10-3
Pas
L (comprimento do mancal) = 0012 m ρL (massa especiacutefica do lubrificante)= 915 kgmsup3
D (diacircmetro do mancal) = 0015 m ρ (massa especiacutefica do eixo) = 7850 kgmsup3
c1 (folga do mancal 1) = 24 μm c2 (folga do mancal 2) = 24 μm
Leixo (comprimento do eixo) = 0900m mu (massa desbalanceada) = 00035 kg
Ω (rotaccedilatildeo do rotor) = 2000 a 10000 rpm ud (excentricidade da massa desbalanceada) = 0035 m
E (Moacutedulo de Young do eixo) = 205x109 Pa Mp (preacute-carga dos mancais)=045
W (carga estaacutetica por mancal) = 612N
Para este exemplo eacute adotada uma malha de 80 elementos para o eixo e de 351 elementos para o
filme fluido composta por 40 noacutes circunferenciais e 10 noacutes axiais A excentricidade
adimensional do ponto de equiliacutebrio estaacutetico calculado eacute com um acircngulo de posiccedilatildeo
proacuteximo de zero Este ponto de equiliacutebrio eacute calculado de modo a garantir que a forccedila
hidrodinacircmica do filme fluido seja agrave carga estaacutetica W que eacute obtida dividindo-se o peso do eixo
pelo nuacutemero de mancais
A resposta desbalanceada (Figura 432) eacute calculada no mancal 1 considerando mancais eliacutepticos
com preacute-carga Mp=045 A amplitude adimensional eacute calculada dividindo-se a amplitude de
vibraccedilatildeo do eixo pela folga do mancal Os dois picos destacados na Figura 432 representam a
primeira e segunda velocidades criacuteticas do rotor
89
Figura 432 ndash Resposta desbalanceada calculada no mancal 1 do rotor apoiado em mancais eliacutepticos
com preacute-carga 045 (MIRANDA e FARIA 2012)
Uma vez identificadas as velocidades criacuteticas do rotor estuda-se a influecircncia da preacute-carga dos
mancais eliacutepticos na resposta desbalanceada com o rotor operando em torno da sua primeira
velocidade criacutetica A resposta desbalanceada para o sistema apoiado em mancais hidrodinacircmicos
eliacutepticos com diferentes valores de preacute-carga (Mp) eacute exibida na Figura 433 A curva superior
corresponde Mp=075 a curva intermediaacuteria corresponde a Mp=045 e a curva inferior
corresponde a Mp=045
Figura 433 ndash Resposta desbalanceada para diferentes valores de preacute-carga dos mancais eliacutepticos
(MIRANDA e FARIA 2012)
90
Os valores das amplitudes adimensionais satildeo calculadas na extremidade esquerda do eixo onde
ele estaacute apoiado no mancal 1 Observa-se que a amplitude na primeira velocidade criacutetica eacute mais
elevada para valores maiores de preacute-carga Poreacutem aleacutem de analisar a amplitude da vibraccedilatildeo eacute
importante tambeacutem investigar a razatildeo de amplificaccedilatildeo desta vibraccedilatildeo
A razatildeo de amplificaccedilatildeo da resposta desbalanceada na velocidade criacutetica eacute um paracircmetro
importante na anaacutelise da estabilidade do sistema rotor-mancal (ZEIDAN e PAQUETTE 1994)
Neste exemplo numeacuterico ela eacute calculada atraveacutes da relaccedilatildeo entre a resposta desbalanceada na
primeira velocidade criacutetica e na rotaccedilatildeo de 2000rpm A rotaccedilatildeo de 2000rpm eacute escolhida como
referecircncia pelo fato de representar uma rotaccedilatildeo onde a amplitude de vibraccedilatildeo apresenta pouca
influecircncia da velocidade criacutetica A razatildeo de amplificaccedilatildeo permite inferir sobre a capacidade do
mancal eliacuteptico atenuar a resposta desbalanceada do rotor ao passar pela velocidade criacutetica o
que eacute uma caracteriacutestica importante dos mancais hidrodinacircmicos (STERNLICHT e LEWIS
1968 VANCE 1988 CORREIA 2007) A Figura 434 apresenta os valores da razatildeo de
amplificaccedilatildeo para o exemplo estudado com diferentes valores de preacute-carga nos mancais A preacute-
carga zero representa o caso particular de mancal ciliacutendrico
Figura 434 ndashRazatildeo de amplificaccedilatildeo da resposta desbalanceada na primeira velocidade criacutetica para o
rotor apoiado em mancais eliacutepticos (MIRANDA e FARIA 2012)
Observa-se uma menor razatildeo de amplificaccedilatildeo (maior atenuaccedilatildeo) da resposta desbalanceada na
primeira velocidade criacutetica para uma preacute-carga de 045 A literatura teacutecnica apresenta uma
recomendaccedilatildeo de aplicaccedilatildeo de mancais eliacutepticos com preacute-carga de aproximadamente 05 por
apresentar melhor estabilidade (PINKUS 1956 ALLAIRE e FLACK 1981) Portanto para o
91
exemplo de rotor analisado este resultado mostra uma concordacircncia entre os valores obtidos
pelo MEF para a razatildeo de amplificaccedilatildeo e a recomendaccedilatildeo da literatura no que diz respeito agrave
estabilidade de mancais eliacutepticos
432 A resposta desbalanceada em funccedilatildeo da razatildeo de esbeltez dos mancais eliacutepticos
A resposta desbalanceada do sistema rotor-mancal eacute analisada para o rotor da Figura 435
composto por um eixo flexiacutevel apoiado nas extremidades por mancais hidrodinacircmicos eliacutepticos
e com um disco massivo acoplado em uma posiccedilatildeo assimeacutetrica Esta posiccedilatildeo assimeacutetrica eacute
escolhida para se evitar soluccedilotildees particulares restritas a rotores com simetria axial Os
paracircmetros do rotor satildeo apresentados na Tabela 415 onde os paracircmetros baacutesicos dos mancais
eliacutepticos satildeo idecircnticos aos apresentados por Correia(2006)
Figura 435 ndashDesenho esquemaacutetico do rotor com disco massivo em posiccedilatildeo assimeacutetrica
A resposta desbalanceada eacute calculada atraveacutes da amplitude adimensional de vibraccedilatildeo do rotor
operando na primeira velocidade criacutetica (VC) apoiado mancais eliacutepticos com diferentes razotildees
de esbeltez (LD) A amplitude adimensional eacute obtida dividindo-se a amplitude de vibraccedilatildeo pela
folga do mancal
92
Tabela 415ndash Paracircmetros do rotor com mancais eliacutepticos
Paracircmetro Descriccedilatildeo Valor Unidade
leixo comprimento do eixo (vatildeo) 090 m
d diacircmetro do eixo 0015 m
L comprimento do mancal (variaacutevel) m
D diacircmetro do mancal 010 m
c1 folga do mancal 75 x 10-6
m viscosidade do lubrificante 84 x 10
-3 Pamiddots
massa especiacutefica do lubrificante 892 kgmsup3
E moacutedulo de elasticidade do eixo 205 x 109 Pa
coeficiente de Poisson do eixo 03 -
massa especiacutefica do eixo 7850 kgmsup3
W
w
carga estaacutetica em cada mancal
rotaccedilatildeo
100
2000
N
rpm
Para este exemplo eacute adotada uma malha de 80 elementos para o eixo e de 210 a 2100 elementos
para o filme fluido dependendo da razatildeo de esbeltez LD de modo a garantir menos de 1 de
erro relativo Os pontos de equiliacutebrio estaacuteticos satildeo mostrados na Figura 437
A integraccedilatildeo numeacuterica das equaccedilotildees de movimento permitem obter as amplitudes de vibraccedilatildeo
do rotor na primeira velocidade criacutetica (VC) Satildeo apresentadas na Figura 436 em escala log-log
a amplitude adimensional da resposta desbalanceada calculada no mancal 1 para o rotor
operando na primeira VC em funccedilatildeo da razatildeo de esbeltez (LD) dos mancais Satildeo considerados
trecircs tipos de mancais eliacutepticos com valores de preacute-carga Mp=0 Mp=045 Mp=090
Figura 436 ndash Amplitude de vibraccedilatildeo na primeira VC
em funccedilatildeo da razatildeo de esbeltez dos mancais eliacutepticos
93
Na Figura 436 observa-se que os pontos se mantecircm alinhados e proacuteximos das curvas de ajuste
para os valores de LD maiores que 04 que foi destacado no eixo horizontal Como a escala eacute
logariacutetmica em ambos eixos isto natildeo indica uma linearidade mas alguma relaccedilatildeo de potecircncia
entre a amplitude na VC e a razatildeo de esbeltez dos mancais A linha traccedilo-ponto apresentada no
graacutefico representa o ajuste feito para os valores obtidos com Mp=090 e a linha tracejada
representa o ajuste feito para os valores obtidos com Mp=0 O ajuste de curvas mostra que haacute
uma relaccedilatildeo cuacutebica inversa entre a amplitude da resposta desbalanceada (Ampl) e a razatildeo de
esbeltez (LD) do mancal com um coeficiente de determinaccedilatildeo R2 maior que 0999 Desta
forma eacute possiacutevel predizer o valor da amplitude calculada dentro desta faixa pela expressatildeo
onde a constante a depende da preacute-carga (Mp) do mancal eliacuteptico
Observa-se ainda pela Figura 436 que os pontos satildeo bem alinhados para as curvas de ajuste
obtidas para valores de LDgt04 E esta faixa de valores de razatildeo de esbeltez corresponde agrave
faixa onde a excentricidade adimensional no ponto de equiliacutebrio estaacutetico eacute menor que 035
Este valor eacute proacuteximo ao obtido nas anaacutelises apresentadas nas subseccedilotildees anteriores onde se
observa uma relaccedilatildeo algeacutebrica repetitiva para os paracircmetros de desempenho dos mancais na
faixa
O resultado apresentado na Figura 436 mostra tambeacutem que o procedimento baseado no MEF
pode ser usado na prediccedilatildeo da influecircncia da razatildeo de esbeltez dos mancais eliacutepticos na resposta
desbalanceada do sistema rotor-mancal o que eacute importante na anaacutelise de alteraccedilotildees de projetos
de maacutequinas rotativas
Outro resultado importante eacute destacado a seguir Constata-se que a excentricidade adimensional
do ponto de equiliacutebrio estaacutetico apresenta uma relaccedilatildeo cuacutebica inversa com o valor de LD Esta
relaccedilatildeo proveacutem dos ajustes de curva apresentados na Figura 437 onde pode-se observar os
valores calculados para em funccedilatildeo de LD A linha fina horizontal equivale a
94
Figura 437 ndash Curvas de ajuste da excentricidade adimensional do ponto de equiliacutebrio estaacutetico em
funccedilatildeo da razatildeo de esbeltez dos mancais eliacutepticos
Eacute observado que os pontos do graacutefico seguem alinhados com as curvas de ajuste para valores de
para o mancal ciliacutendrico (Mp=0) e vatildeo se afastando deste alinhamento para valores
maiores de Para os mancais eliacutepticos o valor os pontos seguem alinhados com a curva de
ajuste para valores de um pouco maiores Como o graacutefico estaacute em escala log-log o fato das
curvas de ajuste serem retas natildeo significa uma relaccedilatildeo de linearidade De fato a relaccedilatildeo entre
e LD identificada para este exemplo eacute
onde a eacute uma constante de proporcionalidade que varia com a preacute-carga Esta relaccedilatildeo eacute vaacutelida
para os trecircs valores de preacute-carga considerados neste exemplo Tendo em vista esta relaccedilatildeo
define-se como ―razatildeo de ajuste o valor para se examinar em qual faixa de
excentricidade esta razatildeo eacute mantida aproximadamente constante A Figura 438 ilustra como a
razatildeo de ajuste varia em funccedilatildeo de Satildeo incluiacutedas linhas tracejadas para auxiliar na
observaccedilatildeo do alinhamento dos pontos Eacute possiacutevel perceber que a razatildeo de ajuste eacute
aproximadamente constante ateacute um certo valor de que varia com a preacute-carga Mp
95
Figura 438 ndash Razatildeo de ajuste de LD em funccedilatildeo da excentricidade adimensional do ponto de
equiliacutebrio estaacutetico dos mancais
Para melhor identificar um valor limite de ( ) satildeo apresentados na Figura 442 os valores dos
erros relativos da razatildeo de ajuste em funccedilatildeo da excentricidade adimensional do ponto de
equiliacutebrio estaacutetico Estes erros indicam o quanto os pontos da Figura 438 estatildeo distantes das
retas de referecircncia ou seja o quanto cada valor estaacute distante do ajuste de curva calculado
Figura 439 ndash Erros relativos da razatildeo de ajuste de LD em funccedilatildeo da excentricidade adimensional do
ponto de equiliacutebrio estaacutetico dos mancais
96
Percebe-se que os mancais eliacutepticos analisados (Mp=090 e Mp=045) desviam menos do ajuste
de curva do que o mancal ciliacutendrico (Mp=0) Pelas curvas da Figura 439 observa-se que os
mancais eliacutepticos analisados quando possuem um valor apresentam um desvio
pequeno em relaccedilatildeo agrave curva de ajuste proacuteximo de 5 Esta faixa de equivale agrave faixa
identificada nos demais resultados apresentados neste trabalho onde satildeo observadas relaccedilotildees
algeacutebricas que se manteacutem com aproximadamente 5 de precisatildeo Este desvio pode estar
relacionado com alguma perturbaccedilatildeo numeacuterica do procedimento computacional implementado
que leva a resultados menos confiaacuteveis para valores elevados de excentricidade principalmente
quando
433 A resposta desbalanceada em funccedilatildeo da folga radial dos mancais eliacutepticos
A resposta desbalanceada do sistema rotor-mancal eacute analisada nesta seccedilatildeo em funccedilatildeo da folga
radial nos mancais A folga tem uma forte influecircncia nos coeficientes de forccedila dos mancais
hidrodinacircmicos o que provoca uma variaccedilatildeo nos niacuteveis de vibraccedilatildeo do sistema principalmente
nas velocidades criacuteticas Os paracircmetros do sistema analisado satildeo apresentados na Tabela 415
exceto o comprimento dos mancais que foi fixado em 75mm e a folga passou a ser variaacutevel O
rotor ilustrado esquematicamente na Figura 435
Satildeo considerados trecircs tipos de mancais eliacutepticos com preacute-cargas (Mp) de 0 045 e 090 As
amplitudes de vibraccedilatildeo satildeo calculadas no Mancal 1 para o rotor operando na primeira
velocidade criacutetica As amplitudes satildeo apresentadas de maneira adimensional na Figura 440 em
escala logariacutetmica onde a linha traccedilo-ponto apresentada no graacutefico representa o ajuste feito para
os valores obtidos com Mp=090 e a linha tracejada representa o ajuste para os valores obtidos
com Mp=0 Natildeo eacute apresentada a linha do ajuste para MP=045 por motivos esteacuteticos Para os
trecircs valores de Mp eacute identificada uma relaccedilatildeo quadraacutetica entre a amplitude adimensional da
resposta desbalanceada e a folga radial dos mancais
97
Figura 440 ndash Amplitude de vibraccedilatildeo na primeira VC
em funccedilatildeo da folga radial dos mancais
Eacute observado na Figura 440 que os pontos se manteacutem alinhados e proacuteximos das curvas de
ajuste para os valores de folga de ateacute aproximadamente 150 m Como a escala eacute logariacutetmica em
ambos eixos isto natildeo indica uma linearidade mas sim a relaccedilatildeo quadraacutetica identificada pelo
ajuste de curva
Na anaacutelise da excentricidade em funccedilatildeo da folga radial c eacute tambeacutem identificada uma relaccedilatildeo
quadraacutetica dada pela expressatildeo onde a eacute uma constante de proporcionalidade que
varia com a preacute-carga Mp Tendo em vista esta relaccedilatildeo define-se uma nova ―razatildeo de ajuste
pela expressatildeo para se analisar em qual faixa de excentricidade esta razatildeo eacute mantida
aproximadamente constante A Figura 441 apresenta os valores obtidos para a razatildeo de ajuste
em funccedilatildeo de Satildeo incluiacutedas linhas tracejadas para auxiliar na observaccedilatildeo do alinhamento
dos pontos Eacute possiacutevel perceber que a razatildeo de ajuste eacute aproximadamente constante ateacute um certo
valor de que varia com a preacute-carga Mp
98
Figura 441 ndash Razatildeo de ajuste da folga radial em funccedilatildeo da excentricidade adimensional do ponto de
equiliacutebrio estaacutetico dos mancais
Para melhor identificar um valor limite de satildeo apresentados na Figura 442 os valores dos
erros relativos da razatildeo de ajuste em funccedilatildeo de Estes erros indicam o quanto os pontos da
Figura 441 estatildeo distantes das retas de referecircncia ou seja o quanto cada valor estaacute distante do
ajuste de curva calculado
Figura 442 ndash Erros relativos da razatildeo de ajuste da folga radial em funccedilatildeo da excentricidade
adimensional do ponto de equiliacutebrio estaacutetico dos mancais
99
Eacute observado novamente que os mancais eliacutepticos analisados (Mp=090 e Mp=045) desviam
menos do ajuste de curva do que o mancal ciliacutendrico (Mp=0) e que para uma excentricidade
adimensional os mancais eliacutepticos apresentam um desvio pequeno em relaccedilatildeo agrave curva
de ajuste proacuteximo de 5 Este resultado eacute muito parecido com aquele identificado na seccedilatildeo
anterior onde eacute analisada a resposta desbalanceada em funccedilatildeo da razatildeo de esbeltez LD dos
mancais
A literatura teacutecnica afirma que sob determinadas condiccedilotildees operacionais os mancais eliacutepticos
apresentam uma faixa de operaccedilatildeo mais ampla do que os mancais ciliacutendricos (CORREIA 2007)
Desta forma pode-se estabelecer uma relaccedilatildeo entre os resultados obtidos pelo MEF
implementado e esta afirmaccedilatildeo da literatura se for considerado que o desvio em relaccedilatildeo agrave curva
de ajuste estaacute relacionado com algum tipo de limitaccedilatildeo operacional
100
5 CONCLUSOtildeES
O procedimento computacional aqui desenvolvido baseado no MEF permite predizer o
comportamento dinacircmico de diferentes tipos de rotores compostos por eixo flexiacutevel discos
massivos e mancais hidrodinacircmicos de perfil ciliacutendrico ou eliacuteptico Os resultados produzidos
permitem validar o modelo pela comparaccedilatildeo com valores experimentais coletados em uma
bancada de teste e tambeacutem com valores publicados na literatura
O presente trabalho apresenta uma importante contribuiccedilatildeo na anaacutelise de sistemas rotor-mancal
pelo fato de investigar o sistema rotativo de maneira ampla tanto para o eixo flexiacutevel quanto
para os mancais Satildeo considerados no modelo do eixo flexiacutevel os efeitos de deformaccedilatildeo por
cisalhamento ineacutercia rotatoacuteria e efeito giroscoacutepico e para o modelo dos mancais
hidrodinacircmicos ciliacutendricos e eliacutepticos satildeo considerados todos os coeficientes de forccedila
independentes sem o uso de teorias simplificadas como os modelos de mancal curto ou de
mancal longo
Este procedimento computacional eacute muito uacutetil natildeo apenas para se determinar a resposta
desbalanceada de rotores como tambeacutem para se avaliar a viabilidade de alteraccedilotildees de projeto
capazes de melhorar o comportamento dinacircmico de maacutequinas rotativas
Os coeficientes de forccedila dos mancais hidrodinacircmicos desempenham um importante papel no
projeto de maacutequinas rotativas na previsatildeo de sua capacidade de suportar vibraccedilotildees e de operar
em condiccedilotildees estaacuteveis Os resultados apresentados neste trabalho mostram claramente a
influecircncia dos paracircmetros geomeacutetricos dos mancais hidrodinacircmicos de geometria fixa
ciliacutendricos e eliacutepticos nos seus coeficientes de forccedila e na resposta desbalanceada do sistema
rotativo
Os resultados numeacutericos obtidos pelo MEF aqui desenvolvido apresentam um erro relativo de
aproximadamente 4 para as frequecircncias naturais em relaccedilatildeo aos resultados experimentais e da
literatura
A anaacutelise da influecircncia da folga radial dos mancais eliacutepticos nos coeficientes de forccedila mostra
que os coeficientes de rigidez direta adimensionais variam pouco dentro da faixa operacional
onde a excentricidade adimensional do ponto de equiliacutebrio estaacutetico (e0) eacute menor que 03 Acima
deste valor os coeficientes de rigidez direta adimensionais diminuem consideravelmente
101
Observa-se ainda que o coeficiente de rigidez cruzado adimensional (kxy) eacute inversamente
proporcional ao e0 o que permite introduzir um novo adimensional o ―coeficiente de rigidez
cruzada adimensional modificado definido por xy=e0kxy Este coeficiente tambeacutem apresenta
valores aproximadamente constantes quando se varia a folga do mancal eliacuteptico dentro da faixa
onde e0lt03 Tambeacutem satildeo observados valores aproximadamente constantes para a razatildeo CxyKxx
e para o amortecimento efetivo ( ) quando se varia a folga mantendo-se e0lt03
A anaacutelise da influecircncia da razatildeo de esbeltez (LD) dos mancais eliacutepticos nos coeficientes de
forccedila permite observar que o amortecimento efetivo ( ) e o coeficiente de
amortecimento cruzado adimensional (cxy) dos mancais eliacutepticos seguem um padratildeo comum
quando e0lt03 Para o amortecimento efetivo os valores satildeo aproximadamente constantes
enquanto para cxy observa-se uma relaccedilatildeo linear entre cxy e e0 nesta faixa
Na anaacutelise da influecircncia da preacute-carga (Mp) dos mancais eliacutepticos nos coeficientes de forccedila
observa-se uma proporcionalidade entre Mp e (kyy)23
e entre Mp e (kxx)12
na faixa onde
Eacute identificado tambeacutem que o amortecimento efetivo ( ) varia linearmente com Mp
nesta faixa
Eacute mostrado atraveacutes de um exemplo de rotor flexiacutevel apoiado em mancais eliacutepticos que a razatildeo
de amplificaccedilatildeo da resposta desbalanceada atinge um miacutenimo para um exemplo de mancal com
Mp=045 A literatura teacutecnica apresenta uma recomendaccedilatildeo de aplicaccedilatildeo de mancais eliacutepticos
com preacute-carga de aproximadamente 05 por apresentar melhor estabilidade (PINKUS 1956
ALLAIRE e FLACK 1981) Portanto para o exemplo de rotor analisado este resultado mostra
uma concordacircncia entre os valores obtidos pelo MEF para a razatildeo de amplificaccedilatildeo e a
recomendaccedilatildeo da literatura no que diz respeito agrave estabilidade de mancais eliacutepticos
A anaacutelise da resposta desbalanceada permite observar que a amplitude de vibraccedilatildeo na primeira
velocidade criacutetica eacute proporcional a (LD)-3
e tambeacutem proporcional ao quadrado da folga radial
(c2) na faixa onde Esta proporcionalidade eacute mantida em uma faixa operacional mais
ampla para os mancais eliacutepticos do que para os mancais ciliacutendricos analisados
Este resultado de aproximadamente 03 encontra respaldo na literatura teacutecnica que afirma que o
procedimento linearizado de perturbaccedilatildeo em torno da posiccedilatildeo de equiliacutebrio eacute vaacutelido para ateacute
102
40 da folga do mancal (LUND1987) Esta observaccedilatildeo eacute tambeacutem destacada no trabalho de
Sawicki e Rao (2004) Aleacutem disso Furukawa et al (1996) observam que a natildeo linearidade do
filme fluido produz grandes diferenccedilas entre os valores calculados e os medidos
experimentalmente em especial na regiatildeo de alta excentricidade
Desta forma sugere-se para trabalhos futuros a investigaccedilotildees mais aprofundadas sobre os
efeitos dinacircmicos que ocorrem quando o ponto de equiliacutebrio estaacutetico ultrapassa o limite de 40
da folga do mancal O meacutetodo aqui implementado adota um procedimento de perturbaccedilatildeo linear
em torno da posiccedilatildeo de equiliacutebrio obtendo equaccedilotildees de lubrificaccedilatildeo de ordem zero e de primeira
ordem baseadas na equaccedilatildeo de Reynolds Sugere-se ainda a implementaccedilatildeo de um modelo que
considere termos de ordem superior na obtenccedilatildeo das equaccedilotildees de lubrificaccedilatildeo ou que adote
algum outro modelo natildeo-linear
Sugere-se ainda aplicar a metodologia deste trabalho em outros procedimentos computacionais
para observar faixas onde os resultados possam apresentar padrotildees repetitivos Sugere-se
investigar a existecircncia de relaccedilotildees algeacutebricas entre os paracircmetros do sistema e os resultados e
que possam se manter vaacutelidas dentro de uma faixa de valores
Outras abordagens que podem ampliar os resultados do presente trabalho incluem a anaacutelise de
mancais hidrodinacircmicos de geometria variaacutevel com fluidos natildeo-newtonianos e a anaacutelise de
efeitos teacutermicos nos paracircmetros de desempenho destes mancais
Os resultados deste trabalho fornecem subsiacutedio agrave aacuterea de projeto de maacutequinas rotativas uma vez
que o procedimento computacional desenvolvido permite predizer seu comportamento dinacircmico
para diversas condiccedilotildees operacionais
103
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56 (2010) 291-299
105 SHEN G Xiao Z Zhang W Zheng T 2006 Nonlinear Behavior Analysis of a
Rotor Supported on Fluid-Film Bearings Journal of Vibration and Acoustics
110
February 2006 Vol128 35-40
106 SINOU J J VILLA C Thouverez F 2005 Experimental and Numerical
Investigations of a Flexible Rotor on Flexible Bearing Supports International
Journal of Rotating Machinery vol3 179ndash189
107 SINGH A 1978 Stability of Finite Two Lobe Journal Bearings for Rigid and
Flexible Rotors PhD Thesis University of Allahabad 1978
108 SINGH A GUPTA BK 1982 Stability Limits of Elliptical Journal Bearings
Supporting Flexible Rotors Wear Volume 77 Issue 2 1 April 1982 Pages
159-170
109 SOMMERFELD A1904 Zur Hydrodynamischen Theorie der
Schmiermittelreibung Zs Math And Phys Vol 50 No1 1904 pp97-155
110 STEPHENSON RW ROUCH KE 1992 Generating Matrices of the Foundation
Structure of a Rotor System From Test Data Journal of Sound and Vibration
Vol 154 pp467-484
111 STERNLICHT B 1964 Mechanical Design and System Handbook HA Rothbart
(ed) 1964 ndash Chap 12
112 STERNLICHT B LEWIS P 1968 Vibration Problems With High-Speed
Turbomachinery ASME Journal of Engineering for Industry pp174-186
113 SUNDARARAJAN P 1996 Response and Stability of Nonlinear Rotor Bearing
Systems PhD Dissertation Texas AampM University Texas USA
114 TADEO A T2003 Modelagem dos Acoplamentos Mecacircnicos nos Sistemas
Horizontais Rotor-Acoplamento-Mancal Universidade Estadual de Campinas
Fevereiro de 2003 250p Tese (Doutorado)
115 TAPIA T A CAVALCA K L 2002 Modeling Effect of Flexible and Rigid
Couplings in Mechanical Systems 6th IFToMM - Conference on Rotor
Dynamics Sidney Australia 2002 pp 1-9
116 TAYLOR A G CRAGGS A 1994 A Finite Element Model for a Flexible Non-
Symmetric Rotor on Distributed Bearing a Stability Study Journal of Sound
and Vibration 173 l-22
117 THORKILDSEN T 1972 Solution of a Distributed Mass and Unbalanced Rotor
System Usimg a Consistent Mass Matrix Approach MSE Engineering Report
Arizona State University June 1972
118 TIWARI M GUPTA K PRAKASH O 2000 Dynamic Response of an
Unbalanced Rotor Supported on Ball Bearings Journal of Sound and Vibration
(2000) 238(5) 757-779
119 TRAILL-NASH R W COLLAR A R 1953 The Effects of Shear Flexibility and
Rotatory Inertia on the Bending Vibrations of Beams Quarterly Journal of
Mechanics and Applied Mathematics 6 186-222 March 1953
120 TIMOSHENKO 1918 Vibration Problems in Engineering Dvan Nostrand Co New
York
121 VANCE JM 1988 Rotordynamics of Turbomachinery McGraw-Hill New York
111
USA 370p
122 VANCE JM MURPHY BT TRIPP HA 1987 Critical speeds of
turbomachinery computer predictions vs experimental measurements ndash Part II
effect of tilt-pad Bearing and foundation dynamics ASME Journal of Vibration
Acoustics Stress Reliabaility in Design Vol 109 pp8-14
123 VINCENT Antoine 2003 Impact of Geometric Variability on Compressor
Repeating-Stage Performance Thesis (SM)--Massachusetts Institute of
Technology USA
124 WANG Y Wang X 2010 Nonlinear Vibration Analysis for a Jeffcott Rotor with
Seal and Air-Film Bearing Excitations Mathematical Problems in Engineering
Volume 2010 Article ID 657361 14 pages
125 WENHUI X YOUGANG T YUSHU C2007 Analysis of motion stability of
the flexible rotor-bearing system with two unbalanced disks Journal of Sound
and Vibration In Press
126 WILCOCK D F 1961 Orthogonally Displaced Bearings ndash I ASLE Transactions
4 (1961) 117-123
127 YAN-Jun LU Lie YU LIU Heng ZHANG Yong-fang 2006 Complex Nonlinear
Behaviors of a Rotor Dynamical System with non-analytical Journal Bearing
Supports Journal of Shanghai University (English Edition) 10(3) p247 ndash 255
128 YAN Z WANG L QIAO G ZHENG T 2010 An Analytical Model for
Complete Dynamical Coefficients of a Tilting-Pad Journal Bearing Tribology
International 43 (2010) p7ndash15
129 ZEIDAN F Y 1992 Developments in Fluid Film Bearing Technology
Turbomachinery International SeptemberOctober p1-8
130 ZEIDAN FY PAQUETTE DJ 1994 Application of High Speed and High
Performance Fluid Film Bearings in Rotating Machinery Proceedings of the
23rd Turbomachinery Symposium p209 233
131 ZHANG L LUO J 1991 Updating of Selected Structural Parameters Based on
Localization of Modelling Error Journal of Nanjing Aeronautical Institute v8
n1 pp 51-60
132 ZHANG Zhi-ming ZHU Li-jin YU Jun 1999 Effect of Film Force Nonlinearity on
Unbalance Response of a Jeffcot Rotor-Journal Bearing System Journal of
Shanghai University Vol 3 No 3 Sep 1999 Shanghai China
133 ZHAO S XU H MENG G ZHU J 2005 Stability and response analysis of
symmetrical single-disk flexible rotor-bearing system Tribology International
Volume 38 Issue 8 August 2005 Pages 749-756
134 ZORZI ES e NELSON HD 1977 Finite Element Simulation of Rotor-Bearing
Systems With Internal Damping ASME Journal of Engineering for Power pp
71-76
112
ANEXO A - Fundamentos da Teoria de Viga
Neste Anexo satildeo apresentadas de maneira breve as expressotildees das teorias de viga de Euler-
Bernoulli de Rayleigh e de Timoshenko A Teoria de Viga de Timoshenko eacute a forma mais
completa representando a vibraccedilatildeo lateral de vigas a partir da qual podem-se derivar as outras
duas teorias como casos particulares desta (BORU 2010)
A1 Teoria de Viga de Euler-Bernoulli
A Teoria de Viga de Euler-Bernoulli foi formulada no seacuteculo XVIII e o detalhamento de sua
derivaccedilatildeo eacute apresentado em Clough e Penzien (1975) e em Meirovitch (1967)
Considere a viga ilustrada na Fig A1 sob a accedilatildeo de uma carga distribuiacuteda variaacutevel q(xt) e uma
deflexatildeo lateral v(xt) na direccedilatildeo y As propriedades da viga satildeo sua rigidez agrave flexatildeo EI(x) e a
massa especiacutefica A(x)
Figura A1 - Viga de Euler-Bernoulli sob carregamento distribuiacutedo (Boru 2010)
113
A2 Teoria de Viga de Rayleigh
A Teoria de Viga de Rayleigh considera a ineacutercia rotacional da viga aleacutem da ineacutercia
translacional Assim para um modelo dinacircmico de uma viga em rotaccedilatildeo as frequecircncias naturais
seratildeo mais bem representadas
A equaccedilatildeo da Teoria de Viga de Rayleigh eacute definida por
Se for considerado o caso da viga com seccedilatildeo transversal uniforme ao longo de x a equaccedilatildeo
(A3) eacute simplificada para a forma
A Teoria de Viga de Rayleigh eacute uma extensatildeo da teoria de Euller-Bernoulli o que pode ser
observado comparando-se os trecircs primeiros termos da equaccedilatildeo (A4) com a equaccedilatildeo (A2) O
termo adicional da equaccedilatildeo (A4) eacute relativo agrave ineacutercia rotatoacuteria
A3 Teoria de Viga de Timoshenko
A inclusatildeo da ineacutercia rotatoacuteria nos modelos dinacircmicos foi considerada insuficiente para se
melhorar os resultados do caacutelculo da frequecircncia natural de vigas (BORU 2010) Assim foi
proposto incluir o efeito de deformaccedilatildeo por cisalhamento o que aumenta a flexibilidade do
elemento de viga Este modelo levou agrave Teoria de Viga de Timoshenko Assim as frequecircncias
naturais reduziram o suficiente para se aproximar daquelas obtidas experimentalmente
(TRAILL-NASH e COLLAR 1953)
A Teoria de Viga de Timoshenko considera que a deformaccedilatildeo por cisalhamento em uma seccedilatildeo
transversal eacute diretamente proporcional agrave forccedila de cisalhamento para materiais isotroacutepicos com
propriedades lineares atraveacutes da expressatildeo
(A5)
(A3)
(A4)
114
A constante depende da forma da seccedilatildeo transversal da viga podendo assumir valores como
1113 para seccedilotildees circulares e 56 para seccedilotildees retangulares O termo representa a aacuterea
efetiva de cisalhamento da seccedilatildeo transversal
Considerando a seccedilatildeo transversal da viga uniforme a expressatildeo da Teoria de Viga de
Timoshenko eacute dada por
Pode-se observar que as duas teorias de viga anteriormente apresentadas satildeo casos particulares
da teoria de viga de Timoshenko Se a viga natildeo sofrer deformaccedilatildeo por cisalhamento o que
implica em considerar que sua resistecircncia ao cisalhamento eacute muito grande basta fazer e
os dois uacuteltimos termos seratildeo nulos levando agrave teoria de vigas de Rayleigh
Deformaccedilatildeo por cisalhamento e
ineacutercia rotatoacuteria combinados
Teoria de Euler-Bernoulli
Teoria de Rayleigh
Deformaccedilatildeo por cisalhamento
115
ANEXO B ndash Funccedilotildees de Interpolaccedilatildeo
As funccedilotildees de interpolaccedilatildeo para o problema de flexatildeo satildeo obtidas do problema estaacutetico da viga
considerando os efeitos de flexatildeo e cisalhamento simultaneamente (FARIA 1990) Estas
funccedilotildees satildeo descritas a seguir
Denota-se por a variaacutevel adimensionals que descreve a posiccedilatildeo de uma seccedilatildeo transversal
qualquer do elemento em relaccedilatildeo agrave sua extremidade inicial Sendo a variaacutevel que define cada
seccedilatildeo do elemento de rotor a partir do noacute inicial e l o comprimento do elemento a variaacutevel
adimensional eacute dada por
Para as funccedilotildees de interpolaccedilatildeo de flexatildeo no plano de deflexatildeo satildeo considerados os efeitos de
cisalhamento transversal fx e fy distintos
onde A eacute a aacuterea da seccedilatildeo transversal G eacute o modulo de elasticidade ao cisalhamento l eacute o
comprimento do elemento E eacute o moacutedulo de elasticidade I eacute o momento de ineacutercia e K eacute o fator
de forma do cisalhamento transversal Para a seccedilatildeo transversal circular (COUPER 1966)
onde eacute o coeficiente de Poisson
B1 - Funccedilotildees de Interpolaccedilatildeo para o deslocamento linear unitaacuterio no primeiro noacute
As funccedilotildees de interpolaccedilatildeo satildeo obtidas como descrito a seguir (FARIA 1990)
116
Figura B1 ndash Deslocamento linear unitaacuterio no primeiro noacute
As equaccedilotildees diferenciais para o deslocamento linear unitaacuterio no primeiro noacute (Fig B1) satildeo
escritas na seguinte forma
(B1)
(B2)
onde Vf e Vc satildeo as contribuiccedilotildees de flexatildeo e de cisalhamento respectivamente e V=Vf+Vc A
soluccedilatildeo das equaccedilotildees eacute escrita como
onde C1 e C2 satildeo constantes de integraccedilatildeo As condiccedilotildees de contorno do problema satildeo
Em s = = 0 e
Em s = l
Obteacutem-se assim a expressatildeo
que derivada em relaccedilatildeo agrave posiccedilatildeo leva a
117
B2 - Funccedilotildees de Interpolaccedilatildeo para o deslocamento angular unitaacuterio no primeiro noacute
As funccedilotildees de interpolaccedilatildeo satildeo obtidas como descrito a seguir Considere as condiccedilotildees
de contorno
Em s = 0 V=0 e Vrsquo=Vf
Em s = l V=0 e Vrsquo=Vc
Figura B2 ndash Deslocamento angular unitaacuterio no primeiro noacute
Considerando-se as equaccedilotildees (B1) e (B2) e as condiccedilotildees de contorno obteacutem-se
e a equaccedilatildeo da linha elaacutestica eacute escrita como
Entatildeo
118
e para se obter basta derivar a equaccedilatildeo elaacutestica
Mas como a rotaccedilatildeo em s = 0 possui o seguinte valor
deve-se adicionar a deformaccedilatildeo
em EIyVrsquo para se obter a rotaccedilatildeo das seccedilotildees Obteacutem-se entatildeo
B3 - Funccedilotildees de Interpolaccedilatildeo para o deslocamento linear unitaacuterio no segundo noacute
As funccedilotildees de interpolaccedilatildeo satildeo obtidas como descrito a seguir
Figura B3 ndash Deslocamento linear unitaacuterio no segundo noacute
As equaccedilotildees diferenciais para o deslocamento linear unitaacuterio no segundo noacute (Fig B3) satildeo
escritas na seguinte forma
119
(B3)
(B4)
A soluccedilatildeo geral das equaccedilotildees eacute escrita como
As condiccedilotildees de contorno satildeo dadas por
Em s = 0
Em s = l
Obteacutem-se assim a equaccedilatildeo elaacutestica
e a expressatildeo de
que derivada em relaccedilatildeo agrave posiccedilatildeo leva a
B1 - Funccedilotildees de Interpolaccedilatildeo para o deslocamento angular unitaacuterio no segundo noacute
As funccedilotildees de interpolaccedilatildeo satildeo obtidas como descrito a seguir
Obteacutem-se as equaccedilotildees diferenciais atraveacutes da Figura B4
(B5)
(B6)
120
Figura B4 ndash Deslocamento angular unitaacuterio no segundo noacute
A soluccedilatildeo geral das equaccedilotildees (B5) e (B6) eacute escrita como
As condiccedilotildees de contorno satildeo dadas por
Em s = 0 e
Em s = l e
Obteacutem-se assim a equaccedilatildeo elaacutestica
e a expressatildeo de
Para se obter deriva-se a equaccedilatildeo elaacutestica em relaccedilatildeo agrave posiccedilatildeo
Mas como a rotaccedilatildeo em s = 0 possui o valor
deve-se adicionar a deformaccedilatildeo
121
em EIyVrsquo para se obter a rotaccedilatildeo das seccedilotildees Obteacutem-se entatildeo
122
ANEXO C ndash Matrizes de Elementos Finitos do Rotor
Satildeo apresentadas a seguir as matrizes do elemento finito de rotor para elementos de eixo
baseados na teoria de viga de Timoshenko (NELSON 1980 FARIA 1990) Considera-se o eixo
simeacutetrico ( Ix=Iy=I ) o efeito de cisalhamento isotroacutepico ( fx=fy=f ) e as seguintes constantes
I = momento meacutedio de ineacutercia de aacuterea da seccedilatildeo transversal
Idm= momento diametral de ineacutercia de massa por unidade de comprimento
Ip = momento polar de ineacutercia de massa por unidade de comprimento
f = efeito de cisalhamento
l = comprimento do elemento
E = moacutedulo de elasticidade
= massa especiacutefica
A = aacuterea da seccedilatildeo transversal
coordenadas generalizadas no sistema rotativo
coordenadas generalizadas no sistema inercial
C1 ndash Matriz de ineacutercia de translaccedilatildeo
A matriz Me representativa da ineacutercia de translaccedilatildeo do elemento finito do rotor eacute obtida pela
integraccedilatildeo da expressatildeo da energia cineacutetica TM do elemento finito do rotor dada por
Usando as funccedilotildees de interpolaccedilatildeo na expressatildeo da energia cineacutetica obteacutem-se a matriz TM que
satisfaz agrave expressatildeo
A matriz Me eacute simeacutetrica e descrita como
123
[Me] =
onde
C2 ndash Matriz de ineacutercia de rotaccedilatildeo
A matriz de ineacutercia de rotaccedilatildeo do elemento finito do rotor eacute obtida pela substituiccedilatildeo das funccedilotildees
de interpolaccedilatildeo na expressatildeo da energia cineacutetica TN do elemento finito dada por
Usando as funccedilotildees de interpolaccedilatildeo na expressatildeo da energia cineacutetica obteacutem-se a matriz Ne
124
representativa da ineacutercia de rotaccedilatildeo do elemento que satisfaz agrave expressatildeo
A matriz Ne eacute simeacutetrica e descrita como
[Ne] =
onde
C3 ndash Matriz de efeitos giroscoacutepicos
A matriz Ge representativa dos efeitos giroscoacutepicos do elemento finito do rotor eacute obtida pela
relaccedilatildeo
onde a matriz [He] eacute obtida pela integraccedilatildeo da expressatildeo da energia cineacutetica TG do elemento
finito do rotor dada por
onde eacute a rotaccedilatildeo do rotor IP eacute o momento polar de ineacutercia da seccedilatildeo satildeo os vetores
125
rotaccedilatildeo da seccedilatildeo em torno dos eixos x e y Aplicando as funccedilotildees de interpolaccedilatildeo na expressatildeo
da energia cineacutetica obteacutem-se a matriz [He] que satisfaz agrave expressatildeo
A matriz eacute anti-simeacutetrica e descrita como
[Ge] =
onde
C4 ndash Matriz de rigidez
A matriz de rigidez do elemento finito do rotor Ke eacute obtida integrando-se a energia potencial
elaacutestica V ao longo do comprimento do elemento usando as funccedilotildees de interpolaccedilatildeo Obteacutem-se
a matriz Ke que satisfaz agrave expressatildeo
126
A matriz Ke eacute simeacutetrica e descrita como
[Ke] =
127
ANEXO D ndash Meacutetodo Numeacuterico de Newmark
Neste Anexo apresenta-se inicialmente o algoritmo de meacutetodo de Newmark usado para a
integraccedilatildeo numeacuterica no tempo da equaccedilatildeo do movimento Eq(1) conforme Bathe (1982)
Posteriormente satildeo mostrados os criteacuterios adotados no presente trabalho para garantir a
convergecircncia do meacutetodo sem um elevado custo computacional
A) Valores iniciais
Passo 1 Valores iniciais para os vetores deslocamento velocidade e aceleraccedilatildeo U0
U
0 U
0
Passo 2 Defina um intervalo de tempo Δt e os paracircmetros α e δ tais que
δ ge 050 α ge 025(05 + δ)sup2
Passo 3 Calcule as constantes
20
1a
t
t1a
t
1a 2
12
1a 3
1a 4
22
ta 5 )1(ta 6 ta7
Passo 4 Crie a matriz de rigidez efetiva KK=K + a0M + a1C
B) Para cada iteraccedilatildeo no tempo Δt
Passo 1 Calcule a carga efetiva RR no instante t + Δt
t+ΔtRR =
t+ΔtR + M(a0
tU + a2
t U
+ a3 t U
) + C(a1 tU + a4
t U
+ a5 t U
)
Passo 2 Resolva a equaccedilatildeo abaixo para obter o vetor deslocamento U em t + Δt
KK
t+Δt U = t+Δt
RR
Passo 3 Calcule os vetores velocidade e aceleraccedilatildeo em t + Δt
t+Δt U = a0 (
t+Δt U - tU)- a2 t U - a3
t U
t+Δt U =
t U + a6
t U
+ a7 t+Δt U
128
Para se garantir a convergecircncia do meacutetodo foram adotados os paracircmetros 41α e δ=12 que
satildeo os paracircmetros de integraccedilatildeo que possibilitam estabilidade incondicional para o procedimento
de integraccedilatildeo de Newmark (BATHE 1982) Eacute importante fazer uma boa escolha do incremento
de tempo t adequado para assegurar a estabilidade do meacutetodo de integraccedilatildeo no tempo O
valor do incremento de tempo t deve ser menor do que o valor criacutetico crt dado pela
equaccedilatildeo D1 (BATHE 1982)
n
crt (D1)
sendo τn o menor periacuteodo natural do sistema Se o incremento de tempo eacute maior que o valor
criacutetico o meacutetodo de Newmark apresentaraacute problemas de convergecircncia (ALMEIDA JUacuteNIOR e
FARIA 2003) No presente trabalho a escolha do incremento de tempo t foi feita baseando-
se no fato de que a forccedila de desbalanceamento eacute aplicada a cada intervalo t Portanto se este
intervalo for muito grande a forccedila poderia deixar de ser aplicada durante cada ciclo do eixo Eacute
importante garantir que esta forccedila seja aplicada simetricamente durante cada ciclo ou seja que
para cada valor de rotaccedilatildeo ω (rads) a forccedila de desbalanceamento seja aplicada simetricamente
em todas as direccedilotildees Para que isto fosse possiacutevel foi adotada a seguinte expressatildeo para o
caacutelculo do incremento de tempo t
ω12
2t (D2)
Com o incremento da equaccedilatildeo (D2) garante-se que ocorram pelo menos 12 iteraccedilotildees a
cada ciclo do eixo ou seja uma a cada 30ordm o que garante a simetria da forccedila de
desbalanceamento Este criteacuterio garante tambeacutem que t lt crt Posteriormente foi feito o
estudo da convergecircncia dos resultados em funccedilatildeo do intervalo t para se otimizar o custo
computacional do meacutetodo implementado
ii
Weacutederley Mendes Miranda
ANAacuteLISE DE ROTORES FLEXIacuteVEIS APOIADOS EM
MANCAIS RADIAIS ELIacutePTICOS E CILIacuteNDRICOS
UTILIZANDO O MEacuteTODO DE ELEMENTOS FINITOS
Tese apresentada ao Programa de Poacutes-Graduaccedilatildeo em
Engenharia Mecacircnica da Universidade Federal de Minas
Gerais como requisito parcial agrave obtenccedilatildeo do tiacutetulo de Doutor
em Engenharia Mecacircnica
Aacuterea de concentraccedilatildeo Projeto Mecacircnico
Orientador Prof Marco Tuacutelio Correcirca de Faria Dr
Universidade Federal de Minas Gerais
Belo Horizonte
Escola de Engenharia da UFMG
2012
iii
Universidade Federal de Minas Gerais Programa de Poacutes-Graduaccedilatildeo em Engenharia Mecacircnica Av Antocircnio Carlos 6627 ndash Pampulha ndash CEP 31270-901 ndash Belo Horizonte ndash MG
Tel +55 31 34995145 - Fax +55 31 3443-3783
wwwdemecufmgbr - e-mail cpgmecdemecufmgbr
ANAacuteLISE DE ROTORES FLEXIacuteVEIS APOIADOS EM
MANCAIS RADIAIS ELIacutePTICOS E CILIacuteNDRICOS
UTILIZANDO O MEacuteTODO DE ELEMENTOS FINITOS
WEacuteDERLEY MENDES MIRANDA
Tese defendida e aprovada em 31 de agosto de 2012 pela Banca Examinadora designada pelo
Colegiado do Programa de Poacutes-Graduaccedilatildeo em Engenharia Mecacircnica da Universidade Federal de
Minas Gerais como parte dos requisitos necessaacuterios agrave obtenccedilatildeo do tiacutetulo de ―Doutor em
Engenharia Mecacircnica na aacuterea de concentraccedilatildeo de ―Projeto Mecacircnico
_________________________________________________
Prof Dr Marco Tuacutelio Correcirca de Faria ndash Universidade Federal de Minas Gerais ndash Orientador
_________________________________________________
Prof Dr Eduardo Bauzer Medeiros ndash Universidade Federal de Minas Gerais - Examinador
_________________________________________________
Prof Dr Lazaro Valentim Donadon ndash Universidade Federal de Minas Gerais - Examinador
_________________________________________________
Prof Dr Rogeacuterio Joseacute Marczak ndash Universidade Federal do Rio Grande do Sul - Examinador
_________________________________________________
Prof Dr Pedro Ameacuterico Almeida Magalhatildees Juacutenior ndash PUC Minas - Examinador
iv
AGRADECIMENTOS
Em primeiro lugar a Deus por me mostrar o caminho e me dar forccedilas durante estes anos de
muita dedicaccedilatildeo
Agrave minha famiacutelia principalmente agrave minha esposa e filhos pelo apoio compreensatildeo e paciecircncia
em todos os momentos em que natildeo pude lhes dar a devida atenccedilatildeo
Ao Prof Marco Tuacutelio Correcirca de Faria pela orientaccedilatildeo deste trabalho e tambeacutem pelas aulas de
Dinacircmica de Rotores e de Teoria da Lubrificaccedilatildeo que me fizeram despertar o interesse pela
aacuterea o que resultou neste trabalho
Agrave amiga Ana Paula Ladeira pela valiosa contribuiccedilatildeo durante a revisatildeo final deste trabalho nos
aspectos de metodologia e de normalizaccedilatildeo
Aos professores Ricardo Luiz Utsch de Freitas Pinto e Maria Luacutecia Machado Duarte pela
acolhida quando retornei agrave UFMG para fazer o doutorado
Ao Departamento de Engenharia Mecacircnica da UFMG pela estrutura fiacutesica do laboratoacuterio de
Dinacircmica de Rotores pela qualidade de ensino e pelo apoio na participaccedilatildeo de eventos
v
SUMAacuteRIO
1 INTRODUCcedilAtildeO 19
11 Escopo 21
12 Objetivos 22
121 Objetivo geral 22
122 Objetivos especiacuteficos 22
2 REVISAtildeO BIBLIOGRAacuteFICA 23
21 Modelagem de sistemas rotor-mancal 23
22 Anaacutelise da estabilidade atraveacutes de problema de autovalor 31
23 Mancais hidrodinacircmicos 33
24 Sistemas rotativos com elementos adicionais 35
25 Mancais eliacutepticos 37
3 METODOLOGIA 40
31 Modelagem do Rotor Flexiacutevel 41
32 Modelagem do Mancal Radial Eliacuteptico 44
321 Equaccedilotildees de Lubrificaccedilatildeo 47
322 Equaccedilotildees de Elementos Finitos para Mancais Eliacutepticos 50
323 Discretizaccedilatildeo do campo de pressatildeo de ordem zero 50
324 Discretizaccedilatildeo do campo de pressatildeo de primeira ordem 53
325 Determinaccedilatildeo dos Coeficientes de Forccedila dos Mancais Eliacutepticos 55
33 O Sistema Rotor-Mancal 56
34 Diagrama do Procedimento Computacional 58
4 RESULTADOS E ANAacuteLISE 61
vi
41 Exemplos de validaccedilatildeo 61
411 Rotor com disco em balanccedilo 61
412 Rotor apoiado nas extremidades com disco no centro 65
413 Rotor de uma bancada de testes 69
414 Segundo rotor de uma bancada de testes 75
42 Anaacutelise dos coeficientes de forccedila dos mancais eliacutepticos 77
421 Coeficientes de forccedila em funccedilatildeo da folga radial dos mancais eliacutepticos 78
422 Coeficientes de forccedila em funccedilatildeo da razatildeo de esbeltez dos mancais eliacutepticos 83
423 Coeficientes de forccedila em funccedilatildeo da preacute-carga dos mancais eliacutepticos 85
43 A influecircncia dos paracircmetros geomeacutetricos dos mancais eliacutepticos na resposta desbalanceada 87
431 A razatildeo de amplificaccedilatildeo da resposta desbalanceada em funccedilatildeo da preacute-carga 87
432 A resposta desbalanceada em funccedilatildeo da razatildeo de esbeltez dos mancais eliacutepticos 91
433 A resposta desbalanceada em funccedilatildeo da folga radial dos mancais eliacutepticos 96
5 CONCLUSOtildeES 100
6 REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS 103
ANEXO A - FUNDAMENTOS DA TEORIA DE VIGA 112
A1 Teoria de Viga de Euler-Bernoulli 112
A2 Teoria de Viga de Rayleigh 113
A3 Teoria de Viga de Timoshenko 113
ANEXO B ndash FUNCcedilOtildeES DE INTERPOLACcedilAtildeO 115
B1 - Funccedilotildees de Interpolaccedilatildeo para o deslocamento linear unitaacuterio no primeiro noacute 115
B2 - Funccedilotildees de Interpolaccedilatildeo para o deslocamento angular unitaacuterio no primeiro noacute 117
B3 - Funccedilotildees de Interpolaccedilatildeo para o deslocamento linear unitaacuterio no segundo noacute 118
B1 - Funccedilotildees de Interpolaccedilatildeo para o deslocamento angular unitaacuterio no segundo noacute 119
ANEXO C ndash MATRIZES DE ELEMENTOS FINITOS DO ROTOR 122
vii
C1 ndash Matriz de ineacutercia de translaccedilatildeo 122
C2 ndash Matriz de ineacutercia de rotaccedilatildeo 123
C3 ndash Matriz de efeitos giroscoacutepicos 124
C4 ndash Matriz de rigidez 125
ANEXO D ndash MEacuteTODO NUMEacuteRICO DE NEWMARK 127
viii
LISTA DE FIGURAS
Figura 31 ndash Sistema rotor-mancal 40
Figura 32 ndash Representaccedilatildeo de um elemento finito do eixo 42
Figura 33 ndash Desenho esquemaacutetico do mancal eliacuteptico e seus paracircmetros geomeacutetricos 45
Figura 34 - Desenho esquemaacutetico do perfil de um mancal radial eliacuteptico 46
Figura 35 - Distribuiccedilatildeo da pressatildeo hidrodinacircmica no mancal ciliacutendrico (LANG e
STEINHILPER 1978) 46
Figura 36 - Distribuiccedilatildeo da pressatildeo hidrodinacircmica no mancal eliacuteptico (Adaptado de
CORREIA 2007) 47
Figura 37 - Representaccedilatildeo esquemaacutetica dos noacutes no elemento finito 51
Figura 38 ndash Representaccedilatildeo dos 4 graus de liberdade 57
Figura 39 ndash Diagrama do procedimento computacional 58
Figura 41 ndash Desenho esquemaacutetico do rotor de Sinou (2005) 61
Figura 42 ndash Curvas da primeira e segunda frequecircncias naturais (FN1 FN2) versus o
nuacutemero de elementos finitos da malha para o rotor de Sinou (2005) a
10rpm 62
Figura 43 ndash Primeira velocidade criacutetica progressiva (FWD1) e regressiva (BKWD1)
versus incremento no tempo 63
Figura 44 ndash Espectro de frequecircncia obtido pelo MEF para o rotor de Sinou(2005) a
10 rpm 64
Figura 45 ndash Diagrama de Campbell para o rotor em balanccedilo analisado por
Sinou(2005) 64
Figura 46 ndash Desenho esquemaacutetico do rotor de Hong e Park(1999) 66
Figura 47 ndash Espectro de frequecircncia obtido para o rotor de Hong e Park (1999)
operando a 6000rpm 67
Figura 48 ndash Forma de onda obtida para o rotor de Hong e Park (1999) 68
Figura 49 ndash Desenho esquemaacutetico do rotor da bancada de testes 69
Figura 410 ndash Sensibilidade da malha de elementos finitos do mancal ciliacutendrico no
ix
caacutelculo dos paracircmetros de desempenho Fx e Kxy 71
Figura 411 ndash Espectro de frequecircncia experimental ndash teste de batida 72
Figura 412 ndash Espectro de frequecircncia obtido pelo MEF para rotaccedilatildeo de 750 rpm 72
Figura 413 ndash Espectro de frequecircncia obtido pelo MEF para rotaccedilatildeo de 3200 rpm 73
Figura 414 ndash Espectro de frequecircncia experimental para o rotor da bancada operando
a 8900rpm 74
Figura 415 ndash Espectro de frequecircncia obtido pelo MEF para o rotor da bancada
operando a 8900rpm 74
Figura 416 ndash Espectro de frequecircncia obtido pelo MEF para o rotor do exemplo 4
operando a 3200rpm 76
Figura 417 ndash Espectro de frequecircncia experimental para o rotor de Machado(2006) 76
Figura 418 ndash Sensibilidade da malha de elementos finitos do mancal eliacuteptico no
caacutelculo dos paracircmetros de desempenho Fx e Kxy 78
Figura 419 - Posicionamento do eixo dentro do mancal e excentricidade 79
Figura 420 ndash Excentricidade adimensional do ponto de equiliacutebrio estaacutetico dos
mancais eliacutepticos em funccedilatildeo da folga radial 79
Figura 421 ndash Coeficientes de rigidez direta adimensionais em funccedilatildeo da folga radial
dos mancais eliacutepticos 80
Figura 422 ndash Coeficientes de rigidez cruzada adimensional modificado em funccedilatildeo
da folga radial dos mancais eliacutepticos 81
Figura 423 ndash Razatildeo CxyKxx em funccedilatildeo da folga radial dos mancais eliacutepticos 82
Figura 424 ndash Amortecimento efetivo em funccedilatildeo da folga radial dos mancais
eliacutepticos 82
Figura 425 ndash Excentricidade adimensional do ponto de equiliacutebrio estaacutetico dos
mancais eliacutepticos em funccedilatildeo da razatildeo de esbeltez 83
Figura 426 ndash Variaccedilatildeo do amortecimento efetivo em funccedilatildeo da razatildeo de esbeltez
dos mancais eliacutepticos 84
Figura 427 ndash Variaccedilatildeo do amortecimento cruzado adimensional em funccedilatildeo da razatildeo
de esbeltez dos mancais eliacutepticos 84
Figura 428 ndash Excentricidade adimensional do ponto de equiliacutebrio estaacutetico dos
x
mancais eliacutepticos em funccedilatildeo da preacute-carga 85
Figura 429 ndash Variaccedilatildeo da relaccedilatildeo de ajuste entre Mp kxx e kxy em funccedilatildeo da preacute-
carga dos mancais eliacutepticos 86
Figura 430 ndash Variaccedilatildeo do amortecimento efetivo em funccedilatildeo da preacute-carga dos
mancais eliacutepticos 86
Figura 431 ndash Desenho esquemaacutetico do rotor sem disco massivo 88
Figura 432 ndash Resposta desbalanceada calculada no mancal 1 do rotor apoiado em
mancais eliacutepticos com preacute-carga 045 (MIRANDA e FARIA 2012) 89
Figura 433 ndash Resposta desbalanceada para diferentes valores de preacute-carga dos
mancais eliacutepticos (MIRANDA e FARIA 2012) 89
Figura 434 ndashRazatildeo de amplificaccedilatildeo da resposta desbalanceada na primeira
velocidade criacutetica para o rotor apoiado em mancais eliacutepticos
(MIRANDA e FARIA 2012) 90
Figura 435 ndashDesenho esquemaacutetico do rotor com disco massivo em posiccedilatildeo
assimeacutetrica 91
Figura 436 ndash Amplitude de vibraccedilatildeo na primeira VC em funccedilatildeo da razatildeo de
esbeltez dos mancais eliacutepticos 92
Figura 437 ndash Curvas de ajuste da excentricidade adimensional do ponto de
equiliacutebrio estaacutetico em funccedilatildeo da razatildeo de esbeltez dos mancais eliacutepticos 94
Figura 438 ndash Razatildeo de ajuste de LD em funccedilatildeo da excentricidade adimensional do
ponto de equiliacutebrio estaacutetico dos mancais 95
Figura 439 ndash Erros relativos da razatildeo de ajuste de LD em funccedilatildeo da excentricidade
adimensional do ponto de equiliacutebrio estaacutetico dos mancais 95
Figura 440 ndash Amplitude de vibraccedilatildeo na primeira VC em funccedilatildeo da folga radial dos
mancais 97
Figura 441 ndash Razatildeo de ajuste da folga radial em funccedilatildeo da excentricidade
adimensional do ponto de equiliacutebrio estaacutetico dos mancais 98
Figura 442 ndash Erros relativos da razatildeo de ajuste da folga radial em funccedilatildeo da
excentricidade adimensional do ponto de equiliacutebrio estaacutetico dos
mancais 98
xi
Figura A1 - Viga de Euler-Bernoulli sob carregamento distribuiacutedo (Boru 2010) 112
Figura B1 ndash Deslocamento linear unitaacuterio no primeiro noacute 116
Figura B2 ndash Deslocamento angular unitaacuterio no primeiro noacute 117
Figura B3 ndash Deslocamento linear unitaacuterio no segundo noacute 118
Figura B4 ndash Deslocamento angular unitaacuterio no segundo noacute 120
LISTA DE TABELAS
Tabela 41- Paracircmetros do rotor com disco em balanccedilo (SINOU 2005) 62
Tabela 42- Valores comparativos da primeira frequecircncia natural para o rotor de
Sinou(2005) a 10 rpm 64
Tabela 43- Comparaccedilatildeo da primeira velocidade criacutetica 65
Tabela 44- Paracircmetros do rotor de Hong e Park(1999) 66
Tabela 45- Comparaccedilatildeo da primeira frequecircncia natural progressiva e regressiva para
o rotor de Hong e Park (1999) 67
Tabela 46- Comparaccedilatildeo das Frequecircncias de Batimento para o rotor de Hong e
Park(1999) 69
Tabela 47ndash Paracircmetros do rotor da bancada de testes 70
Tabela 48ndash Resultados da anaacutelise da sensibilidade da malha dos mancais 71
Tabela 49ndash Valores comparativos de frequecircncias naturais obtidas pelo MEF e
experimentalmente pelo teste de batida (bump test) 73
Tabela 410ndash Valores comparativos de frequecircncias naturais obtidas pelo MEF e
experimentalmente para o rotor da bancada operando a 8900rpm 75
Tabela 411ndash Paracircmetros do rotor da bancada de testes ndash exemplo 2 75
Tabela 412ndash Valores comparativos das frequecircncias naturais obtidas
experimentalmente por Machado(2006) e pelo MEF 77
Tabela 413ndash Paracircmetros do mancal eliacuteptico selecionado 77
Tabela 414 Paracircmetros do sistema rotor-mancal eliacuteptico utilizado na anaacutelise 88
Tabela 415ndash Paracircmetros do rotor com mancais eliacutepticos 92
xii
SIMBOLOGIA
Siacutembolos em letras latinas
A Aacuterea da seccedilatildeo transversal do eixo [m2]
Ampl Amplitude adimensional da resposta desbalanceada
c Folga radial menor (c = eRR ) [m]
Cb Folga radial maior
XXC YYC Coeficientes de amortecimento direto [Nsm]
XXc YYc Coeficientes de amortecimento direto adimensionais
XYC YXC Coeficientes de amortecimento cruzados [Nsm]
XYc YXc Coeficientes de amortecimento cruzados adimensionais
D Diacircmetro interno do mancal [m]
d Diacircmetro externo do eixo [m]
E Moacutedulo de elasticidade [Pa]
e Excentricidade do centro do munhatildeo no mancal (distacircncia entre centros do mancal
e do munhatildeoeixo) [m]
exey Projeccedilotildees de ―e nos eixos de coordenadas cartesianas xy
00 yx ee
posiccedilatildeo de equiliacutebrio do eixo
yx ee
perturbaccedilatildeo na posiccedilatildeo de equiliacutebrio do eixo
vetores unitaacuterios nas direccedilotildees circunferencial e axial respectivamente
f efeito de cisalhamento
F Forccedila de reaccedilatildeo do mancal gerada pela accedilatildeo hidrodinacircmica do fluido
Fx e Fy Componente da forccedila de reaccedilatildeo do fluido do mancal nas direccedilotildees x e y
e
jf Vetor de fluxo
G Moacutedulo de elasticidade ao cisalhamento [Pa]
h Espessura do filme lubrificante ou filme fluido
xiii
h0 Espessura miacutenima do filme lubrificante estacionaacuterio [m] ou de ordem zero
I Momento meacutedio de ineacutercia de aacuterea da seccedilatildeo transversal
Idm Momento diametral de ineacutercia de massa por unidade de comprimento
Ip Momento polar de ineacutercia de massa por unidade de comprimento
K Fator de forma do cisalhamento transversal
Kx Ky Coeficientes de cisalhamento
XXK YYK Coeficientes de rigidez diretos [Nm]
kxx e kyy Coeficientes de rigidez diretos adimensionais
XYK YXK Coeficientes de rigidez cruzados [Nm]
kxy e kyx Coeficientes de rigidez cruzados adimensionais
Coeficiente de rigidez adimensional modificado
][ e
jiK Matriz fluiacutedica de ordem zero
L Comprimento do mancal
l Comprimento do elemento
Leixo Comprimento do eixo
md Massa desbalanceada
m Fluxo maacutessico na direccedilatildeo circunferencial
nm Fluxo maacutessico de lubrificante cruzando a fronteira do domiacutenio do elemento finito
zm Fluxo maacutessico na direccedilatildeo axial
nm Fluxo de lubrificante de primeira ordem pelo contorno
edo elemento finito n
Mp Preacute-carga (medida da ―elipsidade do mancal) Mp = (Cb ndash c) c
n
Valor normal unitaacuterio direcionado para fora do contorno e do elemento finito
OL Posiccedilatildeo do centro dos loacutebulos
O Posiccedilatildeo do centro do eixo
p Pressatildeo apresentada pelo filme lubrificante [Pa]
pa Pressatildeo ambiente [Pa]
xiv
po Pressatildeo estacionaacuteria de ordem zero [Pa]
p Campo de pressatildeo hidrodinacircmica de primeira ordem
e
op Campo de pressatildeo discreto de ordem zero no domiacutenio e de um elemento finito
px py Campo de pressatildeo hidrodinacircmica de primeira ordem
e
ip Valores de pressatildeo nodal no noacute i do elemento e [Pa]
q(xt) Carregamento distribuiacutedo [Nm]
e
jq Vetor de fluxo devido ao escoamento de fluido pelo contorno do elemento ldquoerdquo
R Raio menor do mancal [m]
Re Raio do munhatildeo ou raio do eixo [m]
RL Raio do loacutebulo do mancal [m]
U Velocidade superficial do eixo (U = ωR) [ms]
Vf Contribuiccedilatildeo da flexatildeo no deslocamento linear do centro da seccedilatildeo do elemento
ud Excentricidade da massa desbalanceada
v(xt) Deflexatildeo lateral da viga
W Carga atuante no mancal [N]
Wf Contribuiccedilatildeo da flexatildeo no deslocamento linear do centro da seccedilatildeo do elemento
xy Coordenadas cartesianas
z Coordenada axial
Siacutembolo em letras gregas
e Contorno do elemento ―e
Deformaccedilatildeo por cisalhamento
Razatildeo de excentricidade ou excentricidade adimensional ( ε = ec)
o Excentricidade adimensional no ponto de equiliacutebrio estaacutetico
ψ Coordenadas no domiacutenio do elemento
Fator de forma da seccedilatildeo transversal da viga
Viscosidade absoluta do filme lubrificante [Pas]
xv
Coeficiente de Poisson
Massa especiacutefica [kgm3]
Massa especiacutefica do filme lubrificante [kgm3]
Acircngulo da posiccedilatildeo angular do munhatildeo a partir do ponto de maior espessura dentro do
mancal [rad]
z Coordenadas circunferencial e axial respectivamente
Φ Acircngulo de posiccedilatildeo do munhatildeo dentro do mancal Φ = tan-1
( Fy Fx )
Funccedilatildeo de interpolaccedilatildeo para o meacutetodo de elementos finitos para o elemento ―e
Rotaccedilatildeo do eixo [rads]
e Domiacutenio do elemento finito ―e
Subscritos
av Meacutedio
e Relativo ao elemento ―e
0 1 Ordem zero e primeira ordem instante de tempo anterior e atual
x Coordenada cartesiana vertical
y Coordenada cartesiana horizontal
Coordenadas xy combinadas no domiacutenio do elemento finito
Coordenadas no domiacutenio do elemento finito
Sobrescritos
e Relativo ao elemento ―e
ej
xvi
LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS
MEF Meacutetodo de Elementos Finitos
FEM Finite Element Method (Meacutetodo de Elementos Finitos)
VC Velocidade Criacutetica
xvii
RESUMO
Este trabalho apresenta um procedimento computacional baseado no meacutetodo de elementos
finitos desenvolvido especialmente para predizer o comportamento dinacircmico de sistemas
rotativos apoiados em mancais hidrodinacircmicos O procedimento computacional proposto
permite simular diferentes tipos de rotores compostos por eixo flexiacutevel discos massivos e
mancais riacutegidos ou hidrodinacircmicos com perfis circulares ou eliacutepticos Satildeo usados elementos
finitos de viga baseando-se na teoria de vigas de Timoshenko no modelo do eixo o que permite
incluir os efeitos de deformaccedilatildeo por cisalhamento ineacutercia rotatoacuteria e efeito giroscoacutepico Um
procedimento baseado no meacutetodo de elementos finitos eacute aplicado para resolver a equaccedilatildeo de
Reynolds para fluidos incompressiacuteveis junto a um procedimento de perturbaccedilatildeo linear para se
calcular os coeficientes dinacircmicos de forccedila dos mancais ciliacutendricos e eliacutepticos As equaccedilotildees de
movimento para rotores desbalanceados apoiados em mancais hidrodinacircmicos satildeo integradas
usando-se o Meacutetodo de Newmark para se obter a resposta no tempo Os resultados satildeo validados
pela comparaccedilatildeo com valores experimentais coletados em uma bancada de teste e tambeacutem com
valores publicados na literatura Satildeo apresentadas algumas relaccedilotildees algeacutebricas que permitem
predizer os paracircmetros de desempenho dos mancais e a resposta desbalanceada do sistema rotor-
mancal em funccedilatildeo dos paracircmetros geomeacutetricos dos mancais tais como preacute-carga razatildeo de
esbeltez e folga radial Eacute identificada uma faixa operacional dos mancais onde estas relaccedilotildees
algeacutebricas apresentam uma boa aproximaccedilatildeo com os resultados computacionais Os resultados
deste trabalho servem de base para o projeto de maacutequinas rotativas uma vez que permitem
predizer seu comportamento dinacircmico para diversas condiccedilotildees operacionais
Palavras-chaves Mancal eliacuteptico
Rotores flexiacuteveis
Mancal radial
Lubrificaccedilatildeo hidrodinacircmica
Meacutetodo de elementos finitos
xviii
ABSTRACT
This work presents the development of a finite element procedure specially devised to predict
the dynamic response of flexible rotors running on fluid film bearings The proposed procedure
can simulate many different types of rotor-bearing systems with a flexible shaft massive disks
and rigid or fluid film circular or elliptical bearings The shaft finite element model is based on
Timoshenko Beam Theory which includes shear effects rotary inertia and gyroscopic moments
A finite element procedure for solution of the classical Reynolds equation for incompressible
fluid films in conjunction with a linearized perturbation procedure is implemented to allow the
computation of the dynamic force-coefficients of cylindrical and elliptical journal bearings The
finite element equations of motion for an unbalanced rotor supported on fluid film bearings are
integrated by using the Newmark method and the time-domain unbalance response is obtained
The results are validated by comparison with experimental data collected from a test rig as well
as from results obtained from the literature
Some algebraic expressions relating the bearing parameters and the unbalance response with the
bearing geometric parameters (preload Slendernessrsquo ratio radial clearance) are presented A
range of operating conditions is identified where these expressions are supposed to be close to
the computational results obtained by the numerical procedure The results presented in this
work are valuable for rotating machine designers since it can properly predict its dynamic
response under several operation conditions
Keywords Elliptical bearing
Journal bearing
Hydrodynamic lubrication
Finite element method
19
1 INTRODUCcedilAtildeO
O projeto e o comissionamento de maacutequinas rotativas requerem um cuidado especial para se
garantir condiccedilotildees seguras estaacuteveis e eficientes de operaccedilatildeo Diversos estudos baseados em
procedimentos experimentais analiacuteticos e computacionais satildeo utilizados com o objetivo de se
analisar vaacuterios aspectos dinacircmicos relacionados a rotores de maacutequinas de alta velocidade Esses
estudos se tornam de extrema importacircncia na anaacutelise de equipamentos como turbinas a gaacutes e a
vapor compressores ventiladores industriais bombas exaustores entre outros
Com o desenvolvimento da tecnologia na aacuterea de projetos mecacircnicos eacute notaacutevel a tendecircncia em
se projetarem maacutequinas cada vez mais leves e com maior potecircncia que normalmente estatildeo mais
sujeitas a problemas de vibraccedilatildeo e de instabilidade A influecircncia dos mancais no comportamento
dinacircmico de maacutequinas rotativas e na capacidade de atenuar vibraccedilotildees eacute estudada haacute vaacuterios anos
em diversos trabalhos da literatura especializada (GUNTER 1966 CORREIA 2007)
Os mancais hidrodinacircmicos tecircm sido amplamente aplicados em maacutequinas rotativas devido agrave sua
grande capacidade de carga habilidade de operaccedilatildeo em altas velocidades e longevidade
(HAMROCK 1994 CHILDS 1993) Este tipo de mancal tem uma capacidade de
amortecimento que natildeo existe nos mancais de rolamento o que possibilita que a maacutequina passe
por uma velocidade criacutetica com menores riscos (STERNLICHT e LEWIS 1968 VANCE
1988) O amortecimento proporcionado por mancais hidrodinacircmicos permite a atenuaccedilatildeo das
forccedilas transmitidas do sistema eixorotor aos mancais a reduccedilatildeo do niacutevel de vibraccedilatildeo o
aumento da faixa de operaccedilatildeo estaacutevel do rotor e o aumento de vida uacutetil do mancal (ENGWALL
1991)
Os mancais hidrodinacircmicos aplicados em maacutequinas rotativas industriais podem ser divididos
basicamente em dois grupos mancais de geometria fixa e mancais de geometria variaacutevel
(ALLAIRE e FLACK 1981) Os mancais de geometria fixa satildeo mais simples e possuem um
menor custo de fabricaccedilatildeo montagem e manutenccedilatildeo do que os de geometria variaacutevel
(HAMROCK 1994) Os mancais mais amplamente usados na induacutestria satildeo os de geometria fixa
com perfil ciliacutendrico apresentando baixa estabilidade mas boa capacidade de carga (CORREIA
2007) Mancais de geometria moacutevel satildeo usados quando se deseja estabilidade do equipamento
sujeito a vibraccedilotildees subsiacutencronas isto eacute abaixo da frequecircncia de rotaccedilatildeo No final da deacutecada de
20
1980 este tipo de mancal passou a ser mais amplamente usado nos projetos de turbomaacutequinas
de alta velocidade (ZEIDAN 1992) A literatura cientiacutefica apresenta diversos trabalhos sobre
mancais ciliacutendricos mas poucos sobre mancais eliacutepticos (CORREIA 2007)
As interaccedilotildees entre o eixo rotativo da turbomaacutequina com o fluido de trabalho com os mancais
com os selos com o suporte e com todos os seus elementos acoplados tais como as palhetas e
discos devem ser incluiacutedas na anaacutelise dinacircmica de rotores para se obter confiabilidade aceitaacutevel
nas prediccedilotildees de seu comportamento O estudo preliminar do comportamento de sistemas
rotativos permite determinar as suas faixas de operaccedilatildeo estaacutevel e avaliar as influecircncias que
componentes do sistema exercem sobre a resposta dinacircmica do conjunto Os mancais se tornam
componentes vitais no projeto de turbomaacutequinas pois devem gerar forccedilas de reaccedilatildeo capazes de
suportar adequadamente o eixo rotativo e propiciar meios de atenuaccedilatildeo da resposta dinacircmica do
conjunto rotativo em regimes de operaccedilatildeo extremos Esse trabalho tem como proposta principal
a anaacutelise do comportamento dinacircmico de rotores flexiacuteveis apoiados em mancais radiais
hidrodinacircmicos de geometria fixa
A modelagem do rotor que inclui o eixo rotativo com discos riacutegidos acoplados eacute efetuada
utilizando-se o meacutetodo de elementos finitos baseado na teoria de vigas de Timoshenko
(CLOUGH e PENZIEN 1975) Incluem-se no modelo do rotor os efeitos de cisalhamento os
momentos giroscoacutepicos e a ineacutercia rotatoacuteria do eixo rotativo A equaccedilatildeo claacutessica de Reynolds
(PINKUS 1987 HAMROCK 1994) e um procedimento linearizado de perturbaccedilatildeo
(LUND1987) satildeo a base da modelagem dos mancais radiais hidrodinacircmicos ciliacutendricos e natildeo
ciliacutendricos considerados na anaacutelise O meacutetodo de elementos finitos eacute entatildeo empregado para
estimar as caracteriacutesticas dinacircmicas natildeo lineares dos mancais radiais finitos incluiacutedos na anaacutelise
do sistema rotativo O modelo dos mancais admite diversas geometrias de mancais ciliacutendricos e
eliacutepticos e natildeo satildeo adotadas hipoacuteteses restritivas ao modelo dos mancais como nas teorias de
mancal longo (HAMROCK 1994) ou de mancal curto que apresentam deficiecircncias na anaacutelise
dinacircmica de sistemas rotor-mancal (KALITA e KAKOTY 2004)
O texto deste trabalho eacute dividido em cinco capiacutetulos O capiacutetulo 1 apresenta a introduccedilatildeo do
trabalho seu escopo e objetivos No capiacutetulo 2 eacute apresentada a revisatildeo bibliograacutefica Em
seguida eacute descrita a metodologia do procedimento computacional proposto no capiacutetulo 3 onde
satildeo apresentados os procedimentos adotados para se modelar o sistema rotor-mancal composto
pelo eixo flexiacutevel disco riacutegido e mancais hidrodinacircmicos No final do capiacutetulo 3 eacute apresentado
um diagrama representando as etapas do procedimento computacional proposto No capiacutetulo 4
21
satildeo apresentados os resultados obtidos atraveacutes do procedimento computacional incluindo
exemplos de validaccedilatildeo No capiacutetulo 5 satildeo apresentadas as conclusotildees do trabalho e no capiacutetulo 6
satildeo listadas as referecircncias bibliograacuteficas Satildeo incluiacutedos ainda trecircs anexos No Anexo A satildeo
apresentados os fundamentos da teoria de vigas de Euler-Bernoulli de Rayleigh e de
Timoshenko No Anexo B apresenta-se a formulaccedilatildeo das funccedilotildees de interpolaccedilatildeo No Anexo C
satildeo listadas as matrizes de elementos finitos do eixo flexiacutevel usadas no modelo implementado e
no Anexo D eacute apresentado o algoritmo do Meacutetodo Numeacuterico de Newmark
11 Escopo
Esse trabalho descreve a anaacutelise do comportamento dinacircmico de rotores flexiacuteveis suportados em
mancais radiais hidrodinacircmicos de geometria fixa utilizando-se o meacutetodo de elementos finitos
Na modelagem dos mancais radiais incluem-se mancais ciliacutendricos e natildeo ciliacutendricos de
geometria fixa As condiccedilotildees de operaccedilatildeo do sistema rotativo utilizadas nesse trabalho estatildeo
baseadas em condiccedilotildees operacionais comumente encontradas na praacutetica O eixo eacute modelado por
elementos finitos de viga baseando-se na teoria de vigas de Timoshenko que permite analisar a
resposta da vibraccedilatildeo orbital nos dois planos ortogonais de flexatildeo A formulaccedilatildeo permite incluir
os efeitos de ineacutercia rotatoacuteria efeito giroscoacutepico e deformaccedilatildeo por cisalhamento
O caacutelculo dos coeficientes dinacircmicos de forccedila dos mancais eacute feito baseando-se na equaccedilatildeo de
Reynolds e nas equaccedilotildees de lubrificaccedilatildeo de ordem zero e de primeira ordem obtidas atraveacutes da
anaacutelise de perturbaccedilatildeo (LUND1987)
A resposta desbalanceada do sistema eacute obtida por meio de procedimento de integraccedilatildeo
numeacuterica implementado sobre a sua equaccedilatildeo de equiliacutebrio dinacircmico Eacute estudada a influecircncia dos
paracircmetros construtivos de mancais eliacutepticos e ciliacutendricos nos seus coeficientes de forccedila e na
resposta desbalanceada do sistema rotor-mancal Apresenta-se uma anaacutelise criacutetica sobre a faixa
onde o modelo computacional implementado fornece resultados considerados confiaacuteveis
baseando-se nas condiccedilotildees operacionais do sistema
Embora natildeo seja objetivo deste trabalho obter valores absolutos para os coeficientes de forccedila ou
para os niacuteveis de vibraccedilatildeo na resposta desbalanceada eacute investigada a forma como estes valores
variam em funccedilatildeo das caracteriacutesticas construtivas e operacionais do sistema
22
12 Objetivos
121 Objetivo geral
Este trabalho tem como objetivo desenvolver um procedimento computacional baseado no
meacutetodo de elementos finitos (MEF) para a anaacutelise da resposta de sistemas rotativos apoiados em
mancais radiais hidrodinacircmicos de geometria fixa O eixo eacute modelado por elementos de viga
baseando-se na Teoria de Viga de Timoshenko Os mancais hidrodinacircmicos satildeo modelados
tambeacutem por elementos finitos utilizando-se o meacutetodo da perturbaccedilatildeo aplicado na equaccedilatildeo de
Reynolds
122 Objetivos especiacuteficos
i Desenvolver e implementar um procedimento computacional eficiente baseado no
MEF para representar rotores flexiacuteveis sujeitos a cargas de desbalanceamento
apoiados em suportes flexiacuteveis
ii Desenvolver e implementar um procedimento computacional eficiente baseado no
MEF para a determinaccedilatildeo dos coeficientes dinacircmicos dos mancais hidrodinacircmicos de
geometria fixa sem o uso de teorias simplificadas como os modelos de mancal curto
ou de mancal longo
iii Comparar os resultados do procedimento computacional proposto com resultados
publicados na literatura especializada e com dados experimentais coletados em uma
bancada de testes atraveacutes da anaacutelise das frequecircncias naturais
iv Analisar a influecircncia dos paracircmetros geomeacutetricos dos mancais eliacutepticos (preacute-carga
razatildeo de esbeltez folga radial) nos coeficientes de forccedila dos mancais e na resposta
desbalanceada do sistema
v Estabelece relaccedilotildees algeacutebricas entre alguns paracircmetros de desempenho dos mancais
ciliacutendricos e eliacutepticos e a resposta balanceada com os paracircmetros geomeacutetricos dos
mancais Identificar as faixas operacionais onde estas relaccedilotildees algeacutebricas satildeo vaacutelidas
23
2 REVISAtildeO BIBLIOGRAacuteFICA
As referecircncias apresentadas a seguir satildeo divididas em seccedilotildees para facilitar a exposiccedilatildeo dos
temas envolvidos no trabalho Inicialmente satildeo apresentadas as publicaccedilotildees que abordam os
procedimentos computacionais para a modelagem de sistemas rotor-mancal destacando-se o uso
do meacutetodo de elementos finitos e a evoluccedilatildeo dos modelos de elementos de vigas aplicados aos
eixos flexiacuteveis Em seguida destacam-se os trabalhos que fazem a anaacutelise da estabilidade de
sistemas rotor-mancal atraveacutes de problema de autovalor Segue-se com a citaccedilatildeo das publicaccedilotildees
que apresentam procedimentos de modelagem de mancais hidrodinacircmicos As uacuteltimas seccedilotildees
apresentam trabalhos sobre sistemas rotativos com elementos adicionais onde se destacam no
final os modelos de mancais eliacutepticos
Observa-se que a literatura apresenta diversos trabalhos dentro desta linha poreacutem muitos
aplicam o modelo de mancal curto que eacute bastante limitado principalmente para mancais
operando com grandes excentricidades A teoria de mancal curto eacute mais aplicaacutevel na prediccedilatildeo de
carga mas eacute muito limitada na determinaccedilatildeo de coeficientes de forccedila ou no estudo da
estabilidade do sistema Outros trabalhos apresentam uma abordagem detalhada do modelo dos
mancais mas ao apresentar os resultados fazem diversas simplificaccedilotildees (mancais isotroacutepicos
por exemplo) Em alguns casos a modelagem dos mancais e a aplicaccedilatildeo do procedimento
numeacuterico eacute detalhada e rigorosa poreacutem aplica-se o modelo de eixo riacutegido o que tambeacutem
representa uma limitaccedilatildeo A teoria natildeo-linear para mancais hidrodinacircmicos eacute apresentada por
diversos autores poreacutem os trabalhos possuem uma abordagem mais matemaacutetica natildeo focando
em aspectos praacuteticos de condiccedilotildees operacionais de maacutequinas rotativas
Desta forma observa-se uma lacuna na literatura onde raramente satildeo analisados sistemas rotor-
mancal hidrodinacircmico de maneira detalhada evitando-se hipoacuteteses simplificadoras tanto no
modelo dos mancais quanto no modelo do eixo flexiacutevel
21 Modelagem de sistemas rotor-mancal
A anaacutelise do comportamento dinacircmico de maacutequinas rotativas tem fomentado o desenvolvimento
de procedimentos computacionais eficientes e precisos para as etapas preliminares de projeto
24
Os modelos de maacutequinas rotativas de alta velocidade geralmente incluem rotores flexiacuteveis
apoiados em mancais hidrodinacircmicos e eacute fundamental analisar a estabilidade do sistema
(GUNTER 1970 BUSSE et al1980 VANCE 1988 KRAMER 1993 CHILDS 1993
ABDULJABBAR et al1997 HU et al 2000 GANESAN 2000 ZHAO et al2005 WENHUI
et al 2007)
Os estudos dinacircmicos baseados em modelos computacionais se tornam de extrema importacircncia
em diversas aplicaccedilotildees industriais de turbomaacutequinas como turbinas a gaacutes e a vapor
compressores ventiladores industriais bombas exaustores entre outros (STERNLICHT e
LEWIS 1968) A partir da deacutecada de 70 o meacutetodo de elementos finitos comeccedilou a ser usado
com extrema frequecircncia para o desenvolvimento de modelos de rotores flexiacuteveis e para a anaacutelise
de balanceamento estabilidade e vibraccedilatildeo torcional de maacutequinas rotativas (ZORZI e NELSON
1977 VANCE 1988 CHILDS 1993 ALMEIDA Jr e FARIA 2003 MIRANDA et al 2005)
A aplicaccedilatildeo do meacutetodo de elementos finitos na modelagem e simulaccedilatildeo de sistemas rotativos eacute
muito ampla na anaacutelise dinacircmica de rotores Os primeiros trabalhos nesta aacuterea satildeo apresentados
por Ruhl (1970) e Ruhl e Booker (1972) onde se aplica o meacutetodo de elementos finitos na
anaacutelise dinacircmica de um sistema rotativo com paracircmetros distribuiacutedos Satildeo usados elementos de
viga incluindo a ineacutercia translacional e rigidez agrave flexatildeo mas natildeo satildeo considerados os efeitos de
ineacutercia rotatoacuteria momentos giroscoacutepios deformaccedilatildeo por cisalhamento carga axial torque axial
e amortecimento interno Kirk e Gunter (1972) analisam a resposta transiente e permanente do
rotor de Jeffcott com mancais elaacutesticos montados em apoios flexiacuteveis e amortecidos ainda
desconsiderando a flexibilidade do rotor e o efeito giroscoacutepico do disco rotativo nas equaccedilotildees de
movimento Na mesma eacutepoca Thorkildsen (1972) desenvolveu um modelo mais completo onde
incluiu os efeitos de ineacutercia rotatoacuteria e momentos giroscoacutepios
Polk (1974) apresenta um estudo sobre velocidade criacutetica e velocidade limite utilizando
elemento finito de viga de Rayleigh Polk ainda apresenta neste mesmo trabalho o
desenvolvimento dos elementos finitos de viga de Timoshenko embora sem nenhum resultado
numeacuterico Diana et al(1975) apresentam seus resultados da anaacutelise de um eixo rotativo usando
o meacutetodo de elementos finitos com elementos semelhantes aos de Ruhl (1970) No mesmo ano
Dimaragonas (1975) apresenta um desenvolvimento geral de elemento de viga mas ainda
excluindo o cisalhamento e carga e torque axiais Gasch (1976) apresentou importantes
resultados em um artigo semelhante ao de Dimaragonas poreacutem incluindo o efeito de
25
excentricidade distribuiacuteda Satildeo analisados eixos rotativos de grandes turbomaacutequinas atraveacutes de
elementos finitos e introduzida a dinacircmica da fundaccedilatildeo nas equaccedilotildees de movimento usando
anaacutelise modal e teste modal
No mesmo ano Nelson e McVaugh (1976) apresentam uma formulaccedilatildeo para modelar o sistema
rotor-mancal usando paracircmetros distribuiacutedos e elementos finitos de viga de Rayleigh
semelhantes aos de Polk (1974) incluindo os efeitos de ineacutercia rotatoacuteria efeito giroscoacutepico e
cargas axiais Este trabalho eacute ampliado posteriormente em Zorzi e Nelson (1977) incluindo-se o
amortecimento viscoso interno do eixo Nelson (1980) generaliza os modelos apresentados em
1976 e 1977 usando a teoria de vigas de Timoshenko para estabelecer as funccedilotildees de forma do
eixo flexiacutevel incluindo o efeito de cisalhamento mas sem incluir o amortecimento interno Satildeo
obtidas as equaccedilotildees de elementos atraveacutes do Princiacutepio de Hamilton e das integrais que definem
as energias potencial e cineacutetica de cada elemento A energia cineacutetica leva em consideraccedilatildeo a
energia rotacional e translacional e a energia potencial considera a energia potencial elaacutestica
devida agrave flexatildeo a energia potencial do cisalhamento e a energia devida agrave carga axial Para
modelar os mancais satildeo considerados apoios isotroacutepicos sem efeito de amortecimento O autor
apresenta vaacuterios resultados que validam o meacutetodo comparando-os com outros obtidos na
literatura Eacute apresentada uma comparaccedilatildeo entre as frequecircncias naturais de uma viga estaacutetica
obtidas com elementos de viga de Euler-Bernoulli de Rayleigh e de Timoshenko
Posteriormente satildeo apresentados resultados de velocidades criacuteticas calculadas para eixos
rotativos apoiados pelas extremidades
Oumlzguumlven e Oumlzkan (1984) aplicam tambeacutem o meacutetodo de elementos finitos considerando os
efeitos da ineacutercia rotatoacuteria carga axial efeito giroscoacutepico deformaccedilotildees por cisalhamento e
amortecimento viscoso interno no mesmo modelo Vance et al(1987) apresentam comparaccedilotildees
de dados experimentais com resultados numeacutericos obtidos em uma bancada de sistema rotor-
mancal incluindo os efeitos de impedacircncia da fundaccedilatildeo no modelo usando o meacutetodo de matriz
de transferecircncia
Jei e Lee (1988) analisam o comportamento dinacircmico de rotores assimeacutetricos apoiados em
mancais hidrodinacircmicos utilizando o meacutetodo de elementos finitos O sistema rotativo eacute
composto por um eixo assimeacutetrico e discos riacutegidos e os efeitos da ineacutercia rotatoacuteria do
cisalhamento transversal dos momentos giroscoacutepicos e do amortecimento histereacutetico satildeo
incluiacutedos na modelagem do sistema As equaccedilotildees de vibraccedilatildeo lateral do conjunto rotativo satildeo
26
compactadas via teacutecnica de reduccedilatildeo modal de coordenadas Na modelagem dos mancais radiais
os autores desprezam a assimetria dos coeficientes cruzados de rigidez e de amortecimento e natildeo
descrevem claramente como foram obtidos os demais coeficientes de forccedila O problema de
autovalor do sistema giroscoacutepico amortecido eacute obtido para a determinaccedilatildeo das velocidades
criacuteticas de instabilidade do sistema rotativo As simplificaccedilotildees efetuadas pelos autores na
modelagem dos mancais afetam a determinaccedilatildeo precisa das velocidades de instabilidade do rotor
assimeacutetrico suportado em mancais hidrodinacircmicos que depende fortemente dos coeficientes
cruzados de rigidez Stephenson e Rouch (1992) aplicam o meacutetodo de elementos finitos para
analisar um sistema rotor-mancal e fundaccedilatildeo usando tambeacutem anaacutelise modal que permite
observar os efeitos dinacircmicos da estrutura da fundaccedilatildeo
Mais recentemente diversos trabalhos tecircm sido publicados aplicando-se o meacutetodo de elementos
finitos para a anaacutelise da estabilidade e da resposta no tempo de sistemas rotativos Sundararajan
(1996) investiga a resposta natildeo-linear e a estabilidade de um sistema rotor-mancal em regime
permanente sujeito a desbalanceamento Satildeo considerados rotores riacutegidos apoiados em mancais
hidrodinacircmicos planos e squeeze-film dampers (amortecedores por esmagamento de filme
fluido) Analisa-se a influecircncia dos coeficientes de forccedila cruzados e da ineacutercia do fluido na
resposta natildeo-linear e na estabilidade do sistema Na modelagem por elementos finitos satildeo
derivadas as matrizes de massa de rigidez e de amortecimento do sistema e eacute apresentado um
procedimento numeacuterico que reduz o nuacutemero de graus de liberdade do sistema O autor aplica a
teoria de bifurcaccedilatildeo de Hopf (HOLLIS e TAYLOR 1986) para calcular os regimes de
bifurcaccedilatildeo de mancais hidrodinacircmicos finitos mostrando que os mancais podem entrar em
regime de instabilidade mesmo abaixo das velocidades limites o que natildeo eacute observado nos
modelos lineares Na modelagem do squeeze film damper e do mancal plano eacute adotado o modelo
de mancal curto Posteriormente o autor propotildee uma anaacutelise de estabilidade de mancais planos
finitos usando uma formulaccedilatildeo que faz uma soma ponderada das soluccedilotildees analiacuteticas do mancal
curto e do mancal longo para se obter os coeficientes de forccedila Os resultados para mancais
planos finitos natildeo satildeo validados experimentalmente Embora comente-se sobre o caraacuteter natildeo-
linear do efeito das folgas nos mancais de rolamento este tipo de mancal natildeo eacute modelado pelo
autor O modelo do sistema rotor-mancal considera o rotor e o eixo riacutegidos e usa o modelo de
mancal curto o que torna o modelo bastante limitado
Chen e Lee (1997) aplicam o meacutetodo de elementos finitos em um problema de rotores flexiacuteveis
para obter a resposta desbalanceada no tempo e para identificar os coeficientes de forccedila de
27
mancais de rolamento Armentrout (1998) apresenta o desenvolvimento de uma anaacutelise
transiente de rotores flexiacuteveis suportados em mancais de filme fluido baseada no meacutetodo das
matrizes de transferecircncia Os efeitos de cisalhamento os momentos giroscoacutepicos e a ineacutercia
rotatoacuteria satildeo incluiacutedos na modelagem do eixo do rotor A soluccedilatildeo unidimensional aproximada da
equaccedilatildeo de Reynolds eacute a base do modelo de mancais ciliacutendricos radiais e de sapatas moacuteveis
contemplados na anaacutelise O procedimento computacional desenvolvido por Armentrout (1998)
utiliza teacutecnica de compactaccedilatildeo modal de coordenadas empregando os modos de vibraccedilatildeo natildeo
amortecidos do sistema rotor-mancal-fundaccedilatildeo As equaccedilotildees de equiliacutebrio do sistema rotativo
em coordenadas modais satildeo integradas utilizando-se um algoritmo de integraccedilatildeo impliacutecita
―preditor-corretor
Tiwari et al (2000) apresentam uma investigaccedilatildeo teoacuterico-experimental da dinacircmica natildeo-linear
de rotores riacutegidos horizontais apoiados em mancais de rolamento de esferas Um modelo
discreto de massa concentrada com dois graus de liberdade eacute empregado na representaccedilatildeo do
rotor riacutegido As natildeo linearidades da anaacutelise estatildeo associadas aos efeitos da folga radial do
mancal e do modelo de contato de Hertz para as esferas desse mancal As equaccedilotildees de equiliacutebrio
do sistema satildeo integradas utilizando-se um algoritmo impliacutecito de integraccedilatildeo A anaacutelise
experimental do trabalho consiste na determinaccedilatildeo da resposta desbalanceada e na avaliaccedilatildeo da
estabilidade dinacircmica de um rotor horizontal apoiado em mancais de rolamento anisotroacutepicos
Os autores mostram resultados teoacutericos e experimentais para as regiotildees de instabilidade do rotor
que apresentam boa concordacircncia A consideraccedilatildeo de rotor riacutegido representa uma limitaccedilatildeo do
modelo
Elmadany et al (2001) apresentam um modelo de elementos finitos para um sistema rotativo
composto por um eixo flexiacutevel um rotor riacutegido e vaacuterios mancais incluindo no modelo do rotor
os efeitos de ineacutercia rotativa momentos giroscoacutepicos amortecimento interno deformaccedilotildees por
cisalhamento e torque axial Satildeo usados elementos finitos de viga de Timoshenko para gerar as
equaccedilotildees dos elementos do eixo Os oito coeficientes de forccedila dos mancais hidrodinacircmicos satildeo
apresentados em funccedilatildeo do nuacutemero de Sommerfeld considerando mancais curtos O meacutetodo
computacional proposto permite obter importantes informaccedilotildees do comportamento dinacircmico do
sistema tais como a precessatildeo as velocidades criacuteticas as regiotildees de estabilidade e a resposta
dinacircmica desbalanceada As velocidades de instabilidades satildeo obtidas atraveacutes do problema de
autovalor Os autores apresentam diversos resultados numeacutericos comparados com outros
28
extraiacutedos da literatura Em um deles destaca-se a comparaccedilatildeo das velocidades de instabilidade
(threshold speed of instability) e os autores fazem ainda uma comparaccedilatildeo entre o modelo usando
elementos de viga de Rayleigh e de Timoshenko Conclui-se que ao se incluir o efeito de
cisalhamento na anaacutelise de vibraccedilatildeo livre os valores das velocidades de instabilidade satildeo
reduzidos
Hong et al(2001) investigam os efeitos da deformaccedilatildeo inicial de eixos na resposta dinacircmica de
sistemas rotor-mancal Analisa-se a vibraccedilatildeo siacutencrona provocada pela deformaccedilatildeo inicial e pelo
desbalanceamento sendo incluiacutedo o efeito giroscoacutepico O modelo de elementos finitos tem dois
graus de liberdade correspondentes aos deslocamentos transversais e o rotor tem trecircs discos
riacutegidos e dois mancais Satildeo simuladas algumas configuraccedilotildees de rotor incluindo mancais
hidrodinacircmicos de sapatas moacuteveis Os resultados mostram que o efeito da deformaccedilatildeo inicial
influencia fortemente a resposta siacutencrona em baixas velocidades enquanto o efeito do
desbalanceamento afeta em altas velocidades de rotaccedilatildeo Eacute observado ainda que a presenccedila de
ambos efeitos pode causar dificuldade no diagnoacutestico de vibraccedilotildees de maacutequinas rotativas Os
autores usam coeficientes de forccedila preacute-calculados por outros autores natildeo apresentando a
modelagem dos mancais Natildeo fica claro tambeacutem o tipo de elemento finito usado no modelo do
eixo
Guo e Kirk (2003) fazem um estudo dos limites de estabilidade de um sistema rotor-mancal
hidrodinacircmico baseado no modelo de Jeffcott (1919) incluindo o amortecimento externo e um
estudo para rotores verticais e horizontais Os autores destacam a forte influecircncia que o
amortecimento externo tem na anaacutelise da estabilidade do sistema rotativo Eacute proposto um
meacutetodo analiacutetico que faz vaacuterias consideraccedilotildees que simplificam as equaccedilotildees de movimento do
sistema por exemplo rotor vertical com operaccedilatildeo centrada em mancais curtos idecircnticos Eacute
mostrado que existe uma velocidade limite (threshold speed) para o rotor vertical enquanto para
o rotor horizontal haacute uma regiatildeo de operaccedilatildeo estaacutevel limitada entre duas regiotildees instaacuteveis Neste
caso do rotor horizontal eacute conduzido um procedimento numeacuterico sem as hipoacuteteses
simplificadoras usadas no modelo vertical usando anaacutelise de autovalores obtidos das equaccedilotildees
matriciais de movimento do sistema Observa-se que no rotor horizontal o efeito do
amortecimento externo aumenta a regiatildeo de operaccedilatildeo estaacutevel do sistema e para alguns valores
mais elevados de amortecimento externo eacute possiacutevel eliminar a regiatildeo de instabilidade
garantindo operaccedilatildeo estaacutevel para o sistema rotativo em toda faixa de velocidade de rotaccedilatildeo
analisada Guo e Kirk (2003) incluem ainda em seu trabalho uma anaacutelise do modelo extendido
29
do rotor de Jeffcott onde satildeo consideradas as massas dos mancais nas extremidades do rotor
Conclui-se que ao se incluiacuterem as massas dos mancais surge uma outra velocidade
limite(threshold speed) E mesmo que vaacuterias regiotildees de instabilidade possam ser reduzidas ou
eliminadas com o aumento do amortecimento externo este amortecimento tem pouco efeito nas
uacuteltimas velocidades de instabilidade (threshold speed of instability) uma vez que estas
velocidades dependem da massa do mancal Assim a melhor forma de se obter amplas faixas de
operaccedilatildeo estaacutevel eacute combinar-se os efeitos do amortecimento externo ao das massas dos mancais
obtendo-se uma combinaccedilatildeo adequada no dimensionamento do rotor de Jeffcott
Em (GUO e KIRK 2003b) a anaacutelise eacute ampliada incluindo-se o efeito da flexibilidade dos
mancais onde mostra-se como melhorar a resposta dinacircmica e a resposta desbalanceada do
sistema assim como a estabilidade e a transmissatildeo de forccedilas Novamente satildeo consideradas as
mesmas hipoacuteteses simplificadoras que restringem bastante a abrangecircncia dos resultados obtidos
Os proacuteprios autores admitem que os resultados satildeo vaacutelidos para um caso especial Nos
resultados satildeo apresentadas as regiotildees de estabilidade e a influecircncia do amortecimento e da
rigidez dos mancais na estabilidade do sistema Comenta-se ainda que os coeficientes de forccedila
de mancais hidrodinacircmicos tecircm natureza natildeo-linear e que cabe um estudo mais detalhado sobre
o efeito desta natildeo-linearidade
Balantrapu (2004) apresenta um procedimento computacional de identificaccedilatildeo de paracircmetros
para identificar os coeficientes de forccedila de mancais em um sistema rotativo com eixo flexiacutevel
atraveacutes da resposta desbalanceada medida proacuteximo aos mancais Eacute proposta tambeacutem uma
formulaccedilatildeo que permite usar o procedimento de identificaccedilatildeo a partir de mediccedilotildees feitas longe
dos mancais em especial no ponto meacutedio entre eles O eixo flexiacutevel eacute modelado por elementos
finitos incluindo-se os efeitos de ineacutercia rotatoacuteria e efeito giroscoacutepico e para os mancais satildeo
considerados coeficientes de forccedila lineares Satildeo apresentados vaacuterios exemplos incluindo
mancais hidrodinacircmicos de dois loacutebulos Observa-se que a massa desbalanceada necessaacuteria para
se fazer as mediccedilotildees do deslocamento do eixo assim como a exatidatildeo dos resultados de
mediccedilatildeo influenciam os resultados obtidos para os coeficientes de forccedila Outro fator que
influencia mais consideravelmente eacute a rigidez do eixo que tem grande influecircncia nas amplitudes
de vibraccedilatildeo medidas no sistema
Kalita e Kakoty (2004) destacam o meacutetodo de elementos finitos como o mais popular para
anaacutelise de vibraccedilatildeo de sistemas rotor-mancal Eacute estudado o comportamento dinacircmico de um
30
rotor apoiado em mancais hidrodinacircmicos onde usam-se elementos de viga de Timoshenko para
o eixo que inclui os efeitos de ineacutercia rotatoacuteria efeito giroscoacutepico amortecimento interno e
deformaccedilatildeo por cisalhamento O modelo tem 4 graus de liberdade dois deslocamentos
transversais e duas rotaccedilotildees Satildeo apresentados os diagramas de Campbell para diferentes valores
de coeficientes de forccedila dos mancais incluindo anaacutelise da influecircncia dos coeficientes de
amortecimento e de rigidez cruzada dos mancais nas velocidades de instabilidade Eacute mostrada
ainda a limitaccedilatildeo do uso da aproximaccedilatildeo de mancais curtos no caacutelculo dos coeficientes
dinacircmicos de mancais hidrodinacircmicos
Bode e Menezes (2005) apresentam uma anaacutelise dinacircmica de um sistema rotor-mancal pelo
meacutetodo de elementos finitos onde satildeo detalhadas todas etapas da modelagem do sistema O
eixo flexiacutevel eacute excitado por forccedilas de desbalanceamento e apoiado nas extremidades por mancais
hidrodinacircmicos cujas forccedilas de reaccedilatildeo satildeo produzidas pela pressatildeo dinacircmica do lubrificante Os
coeficientes de rigidez e de amortecimento dos mancais satildeo obtidos atraveacutes da soluccedilatildeo numeacuterica
da equaccedilatildeo de Reynolds Para modelar o eixo flexiacutevel eacute usada a teoria de vigas de Timoshenko
incluindo o efeito giroscoacutepico e de cisalhamento Adota-se o meacutetodo de elementos finitos com
elementos de viga com 4 graus de liberdade em cada noacute 2 deslocamentos e 2 velocidades As
equaccedilotildees de movimento satildeo obtidas pelas equaccedilotildees de Lagrange descrevendo o movimento em
dois planos A resposta no tempo eacute obtida pelo meacutetodo de Newmark (RAO 1995) integrando-se
numericamente as equaccedilotildees de movimento Os autores obtecircm uma soluccedilatildeo numeacuterica que
permite descrever as condiccedilotildees dinacircmicas de estabilidade do sistema rotor-mancal
Cheng et al (2008) investigam o comportamento dinacircmico natildeo-linear de um sistema rotor-
mancal-selo apresentando resultados em forma de trajetoacuterias mapas de Poincareacute expoentes de
Liapunov espectros de frequecircncia e diagramas de bifurcaccedilatildeo Satildeo destacadas as caracteriacutesticas
natildeo-lineares dos coeficientes de rigidez e de amortecimento de mancais hidrodinacircmicos e de
selos mecacircnicos Consideram-se mancais curtos Para o selo adota-se o modelo natildeo-linear de
Muszynska (1986) O modelo do rotor considera apenas a vibraccedilatildeo transversal desprezando a
vibraccedilatildeo torcional e o efeito giroscoacutepico sendo adotado o modelo de rotor de Jeffcott A soluccedilatildeo
numeacuterica eacute obtida atraveacutes do meacutetodo de Runge-Kutta de quarta ordem seguida de uma anaacutelise
graacutefica do comportamento natildeo-linear do sistema em funccedilatildeo da velocidade de rotaccedilatildeo da
excentricidade da folga no selo e da pressatildeo no selo Os autores enfatizam a modelagem do
selo mas simplificam muito o modelo do eixo O modelo dos mancais eacute limitado a mancais
curtos e a anaacutelise numeacuterica considera apenas um exemplo de mancal
31
Rezvani (2009) faz uma anaacutelise de um sistema rotor mancal com vaacuterios graus de liberdade e
apoios natildeo-lineares Satildeo modelados sistemas apoiados em mancais de rolamento e em suportes
amortecidos (squeeze film dampers) considerando o modelo de mancais curtos Satildeo mostrados
os efeitos do amortecimento e do efeito giroscoacutepico do sistema em sua estabilidade Elhibir
(2009) apresenta um modelo computacional de um alternador afixado em uma viga oca em
balanccedilo apoiada em uma extremidade por dois mancais de rolamento O modelo usa o meacutetodo
de elementos finitos com elementos soacutelidos tetraeacutedricos Eacute analisada a resposta desbalanceada
do sistema e obtidas as frequecircncias naturais e usada anaacutelise modal Satildeo apresentados diversos
resultados numeacutericos e imagens ilustrando as deformaccedilotildees do sistema em cada modo de
vibraccedilatildeo
Karlberg (2010) faz uma anaacutelise dinacircmica de maacutequinas rotativas apoiadas por mancais de
rolamento com folgas O trabalho se destaca pela forma detalhada como eacute analisada a influecircncia
das folgas dos mancais nos seus coeficientes de rigidez proacuteximo da posiccedilatildeo de equiliacutebrio Eacute
observado que as frequecircncias naturais reduzem significativamente com o aumento das folgas
Para o modelo do rotor eacute adotada a teoria de vigas de Bernoulli-Euler usado o modelo de
Jeffcott com disco riacutegido
22 Anaacutelise da estabilidade atraveacutes de problema de autovalor
A anaacutelise da estabilidade de sistemas rotor-mancal pode tambeacutem ser feita atraveacutes do problema
de autovalor Gupta (1974) apresenta uma anaacutelise baseada no problema de autovalores
aplicando equaccedilotildees que consideram o efeito giroscoacutepico amortecido do sistema A formulaccedilatildeo
do problema de autovalor associados a sistemas giroscoacutepicos amortecidos eacute de grande
importacircncia para a determinaccedilatildeo de velocidades criacuteticas e para a anaacutelise de sensibilidade de
paracircmetros em maacutequinas rotativas (PLAUT e HUSEYIN 1972 MEIROVITCH e
RYLAND 1979 LUND 1980 PALAZZOLO et al 1983 RAJAN et al 1986 FARIA e
BARCELLOS 1991 EHRICH 1992 LUND 1994) A equaccedilatildeo do sistema rotor-mancal
flexiacutevel com efeito giroscoacutepico amortecido eacute reescrita na forma de variaacuteveis de estado
(MEIROVITCH1974 MEIROVITCH1980 CHILDS e GRAVISS1982) para a determinaccedilatildeo
dos autovalores complexos
Rao et al (1996) analisam a estabilidade e os autovalores de sistemas rotor-mancal usando a
teacutecnica de elementos finitos e considerando coeficientes distribuiacutedos de forccedila e de
32
amortecimento nos mancais Satildeo consideradas distribuiccedilotildees uniformes e paraboacutelicas para
diferentes tipos de mancais hidrodinacircmicos Os coeficientes distribuiacutedos satildeo obtidos atraveacutes de
uma metodologia que usa o princiacutepio do trabalho virtual (CRAGGS 1993 TAYLOR e
CRAGGS 1994) mas que considera apenas uma distribuiccedilatildeo uniforme ao longo da largura e do
comprimento do mancal Esta consideraccedilatildeo eacute vaacutelida quando o mancal eacute razoavelmente longo
Poreacutem quando eacute curto eacute vaacutelido considerar a distribuiccedilatildeo paraboacutelica (RAO et al1996) Assim
o mesmo princiacutepio do trabalho virtual eacute aplicado desta vez para se obterem as matrizes de
elementos finitos dos coeficientes de forccedila com distribuiccedilatildeo paraboacutelica Estas matrizes satildeo
incluiacutedas nas matrizes do sistema rotor-mancal obtendo-se a equaccedilatildeo de movimento do sistema
em forma matricial
A modelagem do rotor eacute feita usando-se elementos de viga finitos como propostos por Nelson e
McVaugh (1976) incluindo-se o efeito giroscoacutepico e o amortecimento interno Os resultados
satildeo analisados comparando-se os autovalores e frequecircncias naturais do sistema com coeficientes
de rigidez e de amortecimento distribuiacutedos agravequeles obtidos considerando-se os coeficientes de
forccedila concentrados para mancais isotroacutepicos com razatildeo LD=05 e LD=10 Observa-se que
para mancais longos quando os coeficientes de rigidez satildeo baixos (104 a 10
7 Nm) a diferenccedila
entre os resultados para os modelos de coeficientes distribuiacutedos e concentrados eacute despreziacutevel e
entre os modelos de coeficientes distribuiacutedos uniformemente e paraboacutelico tambeacutem eacute pequena
Percebe-se um aumento nas frequecircncias naturais para o modelo de coeficientes distribuiacutedos
somente para valores mais elevados de rigidez Por fim os autores analisam a estabilidade do
sistema rotativo para diferentes tipos de mancais hidrodinacircmicos cujos coeficientes de forccedila satildeo
obtidos de Lund e Thomsen (1978) Conclui-se que as regiotildees de estabilidade mudam entre as
duas formulaccedilotildees O modelo de coeficientes distribuiacutedos fornece regiotildees de estabilidade mais
amplas quando comparado com o modelo de coeficientes concentrados Desta forma o modelo
concentrado eacute mais conservativo do ponto de vista de estabilidade e o modelo distribuiacutedo eacute
mais preciso
Santana (2009) apresenta a anaacutelise da resposta complexa de um sistema rotor-mancais-fundaccedilatildeo
onde estuda a influecircncia do grau de anisotropia dos mancais e da estrutura de suporte na resposta
do modo retroacutegrado de precessatildeo Eacute formulado tambeacutem um problema de autovalores poreacutem
associado agrave anaacutelise modal adaptada para sistemas rotativos (NORDMANN 1982) A anaacutelise dos
modos de vibraccedilatildeo associados ao eixo rotativo e aos mancais de apoio fornece importantes
dados para o desenvolvimento de meacutetodos computacionais de anaacutelise de vibraccedilatildeo teacutecnicas de
33
balanceamento e de monitoramento de maacutequinas de alta rotaccedilatildeo (BUSSE et al 1980 BOEDO e
BOOKER 1997) O mesmo problema pode ainda incluir as propriedades dissipativas do sistema
(MEIROVITCH e RYLAND 1979 PALAZZOLO et al 1983 FARIA e BARCELLOS 1991)
23 Mancais hidrodinacircmicos
A literatura apresenta diversos estudos sobre o caacutelculo dos coeficientes de forccedila nos mancais
hidrodinacircmicos Ocvirk (1952) propocircs a soluccedilatildeo da equaccedilatildeo de Reynolds para mancais curtos
desprezando o gradiente circunferencial de pressatildeo Pinkus (1987) faz uma revisatildeo histoacuterica da
teoria de lubrificaccedilatildeo hidrodinacircmica e da aplicaccedilatildeo da equaccedilatildeo de Reynolds em tribologia desde
suas origens ateacute o estado atual Lund (1978 1987) faz uma revisatildeo do conceito de coeficientes
dinacircmicos e aplica o meacutetodo de perturbaccedilatildeo infinitesimal em torno da posiccedilatildeo de equiliacutebrio
para calcular os coeficientes de rigidez e de amortecimento de mancais hidrodinacircmicos Lund
(1987) acrescenta que esta perturbaccedilatildeo em torno da posiccedilatildeo de equiliacutebrio eacute vaacutelida para ateacute 40
da folga do mancal
Childs (1993) e Vance (1988) apresentam em seus livros diferentes modelos de mancais
hidrodinacircmicos e obtecircm os valores dos seus coeficientes dinacircmicos Os coeficientes satildeo obtidos
a partir de caacutelculos em torno da posiccedilatildeo de equiliacutebrio do eixo no mancal Rajalingham e Prabhu
(1987) analisam a influecircncia da temperatura nas caracteriacutesticas fiacutesicas dos mancais
hidrodinacircmicos e concluem que a variaccedilatildeo da temperatura do oacuteleo na direccedilatildeo axial pode ser
desprezada sem afetar a precisatildeo dos resultados hidrodinacircmicos para o filme de oacuteleo
Choy et al (1991) calculam os coeficientes de rigidez natildeo-lineares dos mancais para
perturbaccedilotildees de deslocamento em vaacuterios locais em torno da posiccedilatildeo de equiliacutebrio Eles mostram
que para deslocamentos distantes da posiccedilatildeo de equiliacutebrio a natildeo-linearidade das forccedilas do filme
fluido eacute significante e pode ser modelada por coeficientes de forccedila e de amortecimento de
ordem superior Choy et al (1992) analisam o efeito natildeo-linear no comportamento dinacircmico de
mancais hidrodinacircmicos quando sujeitos a diversas condiccedilotildees operacionais tais como alta e
baixa excentricidade altas velocidades desalinhamento
Zhang e Luo (1991) utilizam teacutecnicas de ajuste de curvas usando dados experimentais da
resposta em frequecircncia para identificaccedilatildeo dos coeficientes de rigidez e amortecimento de
mancais hidrodinacircmicos Capone et al (1994) propotildeem uma soluccedilatildeo analiacutetica aproximada para
34
a distribuiccedilatildeo de pressatildeo do filme de oacuteleo em um mancal de comprimento finito Satildeo
apresentadas aproximaccedilotildees de primeira e segunda ordem com diversas relaccedilotildees de largura e
diacircmetros sendo que o modelo de segunda ordem mostra uma boa aproximaccedilatildeo em relaccedilatildeo o
modelo de mancal finito calculado numericamente
Qiu e Tieu (1996) calculam os coeficientes dinacircmicos em diferentes valores de perturbaccedilatildeo Eles
concluem que as perturbaccedilotildees nas velocidades e deslocamentos devem estar entre 5 e 4
respectivamente para se garantir uma diferenccedila de 25 entre os valores de coeficientes obtidos
pelos meacutetodos de perturbaccedilatildeo finita e infinita Furukawa et al (1996) estudam os coeficientes de
forccedila nos mancais hidrodinacircmicos e concluem que a natildeo linearidade do filme fluido produz
grandes diferenccedilas entre os valores calculados e os medidos experimentalmente em especial na
regiatildeo de alta excentricidade Chu et al (1998) analisam a natildeo-linearidade do filme fluido e
observam que os coeficientes lineares dos mancais hidrodinacircmicos modelados satildeo vaacutelidos para
perturbaccedilotildees de deslocamento da ordem de 006
Bachschmid e Vania (2002) observam vibraccedilotildees em uma frequecircncia duas vezes maior que a
rotaccedilatildeo da maacutequina na presenccedila de efeitos natildeo-lineares em mancais hidrodinacircmicos Os autores
destacam a importacircncia de se monitorar o segundo harmocircnico para se diagnosticarem falhas em
turbo-maacutequinas Sawicki e Rao (2004) analisam o caraacuteter natildeo-linear dos coeficientes de forccedila de
mancais hidrodinacircmicos para diferentes nuacutemeros de Sommerfeld (SOMMERFELD 1904) e
razotildees de esbeltez do mancal LD Satildeo apresentadas as diferentes formas de se aplicar o meacutetodo
de perturbaccedilatildeo para a obtenccedilatildeo dos coeficientes de forccedila lineares e natildeo-lineares Os autores
destacam ainda que os coeficientes de forccedila lineares apresentam precisatildeo aceitaacutevel ateacute uma
excentricidade de 04 vezes o valor da folga do mancal (LUND 1987) Hirani (2005) aplica
teacutecnicas de algoritmos geneacuteticos na modelagem de lubrificaccedilatildeo hidrodinacircmica para o projeto
otimizado de mancais
Couto (2006) faz um estudo teoacuterico-experimental que investiga o comportamento de mancais
radiais hidrodinacircmicos sujeitos a carregamentos estaacuteticos dinacircmicos e a desalinhamentos Eacute
aplicado o meacutetodo de volumes finitos para a integraccedilatildeo da equaccedilatildeo de Reynolds que governa o
problema de lubrificaccedilatildeo Faria et al (2006) apresentam um procedimento baseado no meacutetodo
de elementos finitos para a soluccedilatildeo das equaccedilotildees de lubrificaccedilatildeo em mancais radiais ciliacutendricos
hidrodinacircmicos obtidas a partir da equaccedilatildeo claacutessica de Reynolds Os resultados mostram as
limitaccedilotildees da aplicabilidade da teoria de mancais curtos especialmente quando operam com
35
grandes excentricidades Mostram-se tambeacutem os limites da aplicaccedilatildeo da teoria de mancais
longos (HAMROCK 1994) onde LD=2
Yan et al (2010) apresentam um modelo analiacutetico e um meacutetodo de caacutelculo dos coeficientes de
rigidez e de amortecimento de mancais hidrodinacircmicos de sapata moacutevel e fazem uma
comparaccedilatildeo com resultados experimentais da literatura (KOSTRZEWSKY e FLACK 1990)
Seu modelo inclui um rotor riacutegido simeacutetrico apoiado em dois mancais de sapata moacutevel idecircnticos
de cinco sapatas cada Eacute usado o meacutetodo de NewtonndashRaphson para se calcular a posiccedilatildeo de
equiliacutebrio do eixo e das paacutes Apresenta-se tambeacutem um modelo reduzido que se mostra eficiente
para o caacutelculo dos coeficientes dinacircmicos mas que natildeo apresenta bons resultados para a anaacutelise
de estabilidade e das frequecircncias naturais amortecidas Observa-se nos resultados que o
momento de ineacutercia das paacutes a velocidade e o fator de preacute-carga tecircm grande influecircncia na
estabilidade do sistema e que a faixa de operaccedilatildeo estaacutevel pode ser aumentada ao se aumentar o
fator de preacute-carga
24 Sistemas rotativos com elementos adicionais
A anaacutelise de estabilidade de sistemas mancal-rotor eacute bastante variada na literatura especializada
Eacute comum encontrar trabalhos cuja originalidade recai na inclusatildeo de alguns paracircmetros ou
elementos especiacuteficos no conjunto como mancais hiacutebridos mancais de materiais viscoelaacutesticos
acoplamentos selos mecacircnicos
Um trabalho a destacar sobre a anaacutelise de estabilidade do sistema rotor-mancal de mancais
hiacutebridos eacute o de Gomez-Mancilla et al (2005) onde eacute modelado um sistema composto por um
rotor de Jeffcott apoiado em mancais hidrodinacircmicos ciliacutendricos hiacutebridos Satildeo considerados
ambos modelos riacutegido e flexiacutevel de Jeffcott e comparados os niacuteveis de vibraccedilatildeo e a estabilidade
do sistema quando sujeito a diferentes niacuteveis de pressatildeo de alimentaccedilatildeo do lubrificante nos
mancais Os autores mostram como se pode melhorar a estabilidade do sistema com o aumento
da pressatildeo de alimentaccedilatildeo provocando uma reduccedilatildeo no acircngulo de posiccedilatildeo e um aumento da
excentricidade nos sistemas modelados que inclui mancais hidrodinacircmicos longos ciliacutendricos
Este efeito tambeacutem favorece a faixa de operaccedilatildeo estaacutevel do sistema elevando a velocidade
limite de operaccedilatildeo estaacutevel (threshold speed of instability) Os resultados obtidos mostram que o
efeito da pressatildeo de alimentaccedilatildeo nos mancais na estabilidade do sistema eacute consideraacutevel para
36
rotores riacutegidos ou com elevada rigidez Agrave medida em que a rigidez reduz natildeo se percebe muita
variaccedilatildeo na estabilidade com o aumento da pressatildeo de alimentaccedilatildeo Outro resultado importante
deste trabalho eacute que o aumento da pressatildeo de alimentaccedilatildeo do lubrificante natildeo eacute interessante
quando o sistema estaacute cruzando uma velocidade criacutetica Apenas em casos particulares eacute possiacutevel
obter alguma reduccedilatildeo na amplitude de vibraccedilatildeo e mesmo assim quando a velocidade de
operaccedilatildeo estiver fora da faixa de velocidades criacuteticas Portanto um sistema de controle ativo de
pressatildeo eacute recomendado para se obter os melhores resultados em funccedilatildeo dos paracircmetros
operacionais do sistema rotativo Comenta-se tambeacutem que outros modelos de mancais como os
eliacutepticos de muacuteltiplos loacutebulos de sapata moacutevel satildeo intrinsecamente mais estaacuteveis do que os
mancais ciliacutendricos analisados no trabalho
A anaacutelise de estabilidade do sistema com mancais de materiais viscoelaacutesticos eacute apresentada em
Espiacutendola e Floody (1999) Saldarriaga (2007) e Bavastri et al(2008) Tapia e Cavalca (2002) e
Tadeo (2003) analisam os efeitos de alguns modelos de acoplamentos flexiacuteveis e riacutegidos
inserindo-os em modelos de elementos finitos do sistema rotativos Al-Hussain (2003) analisa o
efeito do desalinhamento angular na estabilidade de dois rotores riacutegidos ligados por um
acoplamento flexiacutevel O modelo contempla ainda um disco riacutegido em cada rotor que se apoacuteia
em mancais hidrodinacircmicos O autor apresenta as regiotildees de estabilidade do sistema e sua
relaccedilatildeo com a rigidez do acoplamento e com o acircngulo de desalinhamento
Wang et al (2010) fazem uma anaacutelise de um compressor centriacutefugo de alta velocidade com
mancais hidrodinacircmicos a ar com selo mecacircnico de labirinto Eacute usado o modelo de rotor riacutegido
de Jeffcott para modelar o eixo e o disco que representam o compressor aleacutem do modelo de
Muszynska (1986) para as forccedilas do selo
Faria e Miranda (2012) apresentam um procedimento de elementos finitos aplicado na anaacutelise
dos paracircmetros de desempenho de selos a gaacutes Lavainne (2003) e Vincent (2003) fazem uma
anaacutelise determiniacutestica e probabiliacutestica da sensibilidade de desempenho de um compressor agraves
variaccedilotildees geomeacutetricas das suas paacutes Ambos apresentam os resultados em termos de alteraccedilotildees na
eficiecircncia de compressatildeo do equipamento
Lazarus et al (2010) fazem uma anaacutelise dinacircmica da vibraccedilatildeo em maacutequinas rotativas
assimeacutetricas utilizando elementos finitos tridimensionais (3D) baseando-se na teoria modal
Satildeo incluiacutedos no modelo um estator e um acoplamento permitindo uma anaacutelise detalhada da
estabilidade do sistema e sua relaccedilatildeo com os autovalores Os resultados teoacutericos satildeo comparados
37
com mediccedilotildees experimentais realizadas em uma bancada de testes com um rotor assimeacutetrico
apoiado em mancais anisotroacutepicos
25 Mancais eliacutepticos
A literatura apresenta diversos trabalhos sobre modelagem de mancais ciliacutendricos mas haacute
poucos trabalhos que investigam detalhadamente os mancais eliacutepticos (SINGH e GUPTA1982)
As primeiras publicaccedilotildees sobre mancais eliacutepticos que se destacam satildeo Pinkus (1956 1956b)
onde o autor apresenta uma anaacutelise detalhada sobre mancais eliacutepticos incluindo paracircmetros
como capacidade de carga coeficiente de atrito e vazatildeo para diferentes valores de
excentricidade fator de carga e razatildeo LD Outro trabalho importante na eacutepoca foi apresentado
por Wilcock (1961) que analisa vaacuterios tipos de mancais deslocados ortogonalmente incluindo
mancais eliacutepticos Seu trabalho eacute limitado pelo fato de natildeo terem sido considerados os
coeficientes de amortecimento
Sternlicht (1964) apresenta uma anaacutelise de regime permanente para mancais eliacutepticos usando
coeficientes de rigidez e de amortecimento de mancais eliacutepticos com fatores geomeacutetricos
variados Middleton (1973) apresenta diagramas de capacidade de carga acircngulo de atitude e
coeficientes de rigidez e de amortecimento para mancais eliacutepticos com fatores de 06 e LD=05
Singh (1978) faz uma anaacutelise estaacutetica e dinacircmica de mancais eliacutepticos com LD=1 considerando
rotores riacutegidos e flexiacuteveis Kumar et al (1980) apresentam dados detalhados para o projeto de
mancais hidrodinacircmicos eliacutepticos (dois loacutebulos) Eacute usado o meacutetodo de perturbaccedilatildeo linear para o
caacutelculo dos coeficientes do mancal aplicando-se a equaccedilatildeo de Reynolds para filme fluido com
algumas simplificaccedilotildees nas condiccedilotildees de contorno Satildeo apresentados resultados para os
coeficientes de rigidez e de amortecimento do mancal aleacutem de dados sobre paracircmetro de atrito
de aumento de temperatura e regiatildeo de equiliacutebrio
Singh e Gupta (1982) apresentam um estudo analiacutetico dos efeitos do fator de carga da razatildeo LD
e da flexibilidade do eixo nos limites de estabilidade de mancais eliacutepticos e destacam que os
mancais eliacutepticos satildeo adequados para rotores riacutegidos e moderadamente flexiacuteveis Neste trabalho
os autores aplicam a equaccedilatildeo de Reynolds a cada loacutebulo do mancal eliacuteptico e resolvem a
equaccedilatildeo separadamente por loacutebulo usando o meacutetodo de diferenccedilas finitas Os resultados satildeo
vaacutelidos para mancais alinhados onde o perfil de pressotildees eacute simeacutetrico Satildeo levados em
38
consideraccedilatildeo todos os coeficientes de forccedila dos mancais isto eacute os coeficientes de rigidez e de
amortecimento incluindo os coeficientes cruzados
Zhang et al (1999) analisam os efeitos da natildeo-linearidade das forccedilas do filme fluido na resposta
desbalanceada de um rotor de Jeffcott apoiado em mancais eliacutepticos Eacute destacado o caraacuteter natildeo-
linear das forccedilas do filme fluido Os autores comparam os resultados da resposta desbalanceada
gerada pela teoria linear e natildeo-linear para avaliar a aplicabilidade da teoria linear Observa-se a
grande influecircncia do desbalanceamento nos resultados comparados mostrando a importacircncia de
se considerar as natildeo-linearidades quando o desbalanceamento do sistema eacute elevado
Nas uacuteltimas deacutecadas tem-se publicado pouco sobre mancais eliacutepticos e os trabalhos recentes que
merecem destaque satildeo comentados a seguir
Shen et al(2006) apresentam um modelo raacutepido e preciso que calcula as forccedilas de um mancal
hidrodinacircmico usando o meacutetodo variacional O modelo analisa o comportamento dinacircmico natildeo-
linear de um rotor riacutegido apoiado em mancais eliacutepticos considerando tanto o rotor balanceado
como o natildeo-balanceado Os autores fazem uma revisatildeo histoacuterica dos trabalhos que investigam
este caraacuteter aperioacutedico e caoacutetico da vibraccedilatildeo em sistemas dinacircmicos de alta rotaccedilatildeo onde se
comenta ainda que os coeficientes dinacircmicos lineares trazem informaccedilotildees de estabilidade
vaacutelidas apenas para rotores balanceados Satildeo destacados os meacutetodos numeacutericos de elementos
finitos e de diferenccedilas finitas como os mais precisos mas ao mesmo tempo os que mais exigem
recursos computacionais e tempo de processamento Desta forma os autores propotildeem um novo
modelo numeacuterico para calcular as forccedilas do filme fluido para investigar a dinacircmica natildeo-linear
de um sistema rotor-mancal O mancal modelado eacute formado por dois loacutebulos de 150deg cada e
considera-se apenas o movimento radial do rotor O novo modelo proposto baseia-se na teoria
variacional (ROHDE e MALLISTER 1975) gerando um problema de minimizaccedilatildeo de energia
o que reduz o problema bidimensional para unidimensional reduzindo consideravelmente o
custo computacional Como as forccedilas do filme fluido satildeo calculadas para cada loacutebulo o meacutetodo
proposto eacute eficiente tanto para mancais ciliacutendricos quanto para mancais de vaacuterios loacutebulos
incluindo os mancais eliacutepticos O meacutetodo eacute vaacutelido natildeo apenas para mancais curtos e longos mas
tambeacutem para mancais finitos Satildeo apresentados resultados numeacutericos e graacuteficos que mostram
oacuterbitas ciclos limites diagramas de bifurcaccedilatildeo (HOLLIS e TAYLOR 1986) e mapas de
Poincareacute
39
Yan-Jun et al(2006) analisam o comportamento dinacircmico natildeo-linear de um rotor apoiado em
mancais hidrodinacircmicos finitos incluindo mancais eliacutepticos Para o caacutelculo dos coeficientes de
forccedila dos mancais usa-se o meacutetodo de elementos finitos com uma abordagem variacional que
permite reduzir o custo computacional e melhorar a exatidatildeo numeacuterica do meacutetodo segundo os
autores Satildeo considerados os efeitos natildeo-lineares das forccedilas produzidas pelo filme fluido e sua
influecircncia na natildeo-linearidade do movimento do sistema Aplica-se o meacutetodo de prediccedilatildeo e
correccedilatildeo juntamente com o meacutetodo de Newton-Raphson para se calcular a posiccedilatildeo de equiliacutebrio
e as velocidades criacuteticas A limitaccedilatildeo do modelo estaacute na consideraccedilatildeo de eixo riacutegido e sua
modelagem natildeo eacute detalhada pelos autores
Correia (2007) apresenta uma anaacutelise de desempenho de mancais hidrodinacircmicos eliacutepticos
usando o meacutetodo de elementos finitos Satildeo obtidos os coeficientes de rigidez e de
amortecimento para diversas condiccedilotildees de trabalho aleacutem de obter curvas de caracteriacutesticas de
desempenho estaacutetico e dinacircmico tais como capacidade de carga e coeficientes dinacircmicos de
forccedila em funccedilatildeo de paracircmetros operacionais e do nuacutemero de Sommerfeld O autor destaca que
para um nuacutemero de Sommerfeld alto os mancais ciliacutendricos satildeo inadequados
Raghunandana (2007) propotildee um meacutetodo inverso para se calcular os coeficientes de forccedila e de
amortecimento de mancais eliacutepticos a partir de um banco de dados gerado para uma certa razatildeo
de excentricidade e eacute feito um ajuste de curva para gerar uma funccedilatildeo contiacutenua destes dados Eacute
apresentada a equaccedilatildeo de Reynolds modificada (DIEN e ELROD 1983) que considera a
variaccedilatildeo da viscosidade do fluido em funccedilatildeo da pressatildeo isto eacute fluido natildeo-newtoniano A
equaccedilatildeo eacute adimensionalizada e resolvida numericamente usando o meacutetodo de diferenccedilas finitas
considerando o regime permanente e condiccedilotildees de contorno simplificadoras
40
3 METODOLOGIA
Nesse capiacutetulo eacute apresentada a metodologia adotada na implementaccedilatildeo do procedimento
computacional que permite obter os resultados do comportamento dinacircmico de sistemas rotor-
mancal hidrodinacircmico Inicialmente apresenta-se a formulaccedilatildeo por elementos finitos do eixo
rotativo utilizando-se a teoria de vigas de Timoshenko Em seguida eacute apresentada a descriccedilatildeo
do problema de mancal hidrodinacircmico radial eliacuteptico e as equaccedilotildees de lubrificaccedilatildeo da Teoria da
Lubrificaccedilatildeo que permitem obter a formulaccedilatildeo por elementos finitos dos coeficientes de forccedila
destes mancais Posteriormente eacute descrito o procedimento para se modelar o sistema rotor-
mancal hidrodinacircmico por elementos finitos obtendo-se a equaccedilatildeo do movimento Apresenta-se
o meacutetodo numeacuterico de integraccedilatildeo no tempo adotado para se obter a soluccedilatildeo numeacuterica da
equaccedilatildeo do movimento do sistema Finalmente eacute apresentado um diagrama descrevendo as
principais etapas do procedimento computacional completo
O modelo do sistema rotor-mancal eacute ilustrado esquematicamente na Figura 31 onde observa-se
um eixo circular flexiacutevel apoiado nas extremidades e com um disco massivo acoplado Os
apoios satildeo representados pelos coeficientes de rigidez K e de amortecimento C dos mancais
Figura 31 ndash Sistema rotor-mancal
Os modelos adotados para o rotor flexiacutevel e para os mancais hidrodinacircmicos ciliacutendricos e
41
eliacutepticos satildeo baseados em teorias que apresentam algumas hipoacuteteses simplificadoras Estas
hipoacuteteses satildeo listadas a seguir
i) Modelo do Eixo flexiacutevel
natildeo inclui efeitos de torccedilatildeo ou de amortecimento interno
considera o eixo homogecircneo isotroacutepico e inicialmente alinhado
carregamento transversal sem carga axial
desconsiderado o movimento axial das seccedilotildees transversais
ii) Modelo do disco massivo
considera o disco riacutegido e homogecircneo
a linha de centro do disco coincide com a linha de centro do eixo (condiccedilatildeo inicial)
iii) Modelo dos mancais hidrodinacircmicos
considera mancais de geometria fixa com perfil ciliacutendrico ou eliacuteptico
a linha de centro coincide com a linha de centro do eixo (condiccedilatildeo inicial)
Filme fluido
- escoamento em regime laminar bidimensional nas direccedilotildees axial e circunferencial
- fluido newtoniano isoteacutermico isoviscoso incompressiacutevel
- desconsiderada a ineacutercia do fluido
iv) Modelo do sistema rotor-mancal
Desconsiderados os efeitos de vibraccedilatildeo provocados por desalinhamento de montagem
folgas roccedilamento rompimento do filme fluido cavitaccedilatildeo
31 Modelagem do Rotor Flexiacutevel
O modelo do rotor flexiacutevel implementado neste trabalho adota o meacutetodo de elementos finitos
(MEF) atraveacutes de elementos de eixo (NELSON 1980) de Timoshenko Nelson (1980) utiliza a
teoria de vigas de Timoshenko para obter as equaccedilotildees de equiliacutebrio para um eixo circular
flexiacutevel suportado em apoios elaacutesticos considerando o efeito do cisalhamento momento
giroscoacutepico e ineacutercia rotatoacuteria Os detalhes sobre a teoria de vigas de Euler-Bernoulli Rayleigh
e Timoshenko satildeo apresentados no Anexo A O desenvolvimento da formulaccedilatildeo atraveacutes de
42
elementos finitos eacute apresentado a seguir e as matrizes de elementos finitos obtidas por esta
formulaccedilatildeo satildeo listadas no Anexo C Considere um elemento finito de comprimento l com oito
graus de liberdade (Figura 32)
Figura 32 ndash Representaccedilatildeo de um elemento finito do eixo
A variaacutevel q representa o vetor deslocamento generalizado onde q1 e q2 representam o
movimento de translaccedilatildeo de um noacute do elemento finito nas direccedilotildees dos eixos de coordenadas
retangulares enquanto q3 e q4 representam as rotaccedilotildees em torno dos eixos de coordenadas As
demais componentes satildeo anaacutelogas representando os mesmos movimentos para o noacute oposto
Para representar a translaccedilatildeo e a rotaccedilatildeo de uma seccedilatildeo qualquer do elemento definem-se (VW)
como o deslocamento linear do centro da seccedilatildeo do elemento onde satildeo incluiacutedas as contribuiccedilotildees
da flexatildeo (Vf Wf) e do cisalhamento (VcWc) Aplicam-se funccedilotildees de interpolaccedilatildeo claacutessicas para
vigas de Timoshenko na flexatildeo (ANEXO B)
onde
43
e as funccedilotildees de interpolaccedilatildeo i=1234 representam os modos de deslocamentos sendo
que cada funccedilatildeo estaacute associada ao deslocamento unitaacuterio de uma das coordenadas com todas as
demais coordenadas com deslocamento restringido a zero [D] e [E] representam as matrizes das
funccedilotildees de interpolaccedilatildeo de deslocamentos lineares e de deslocamentos angulares
respectivamente Para se considerar os efeitos de cisalhamento transversal considera-se o eixo
com seccedilatildeo transversal circular e o fator de forma do cisalhamento transversal meacutedio pode ser
determinado pela expressatildeo (COUPER 1966)
onde eacute o coeficiente de Poisson
Aplicando-se o Princiacutepio de Hamilton obteacutem-se as equaccedilotildees do movimento de um elemento
finito do eixo Fazendo-se a primeira variaccedilatildeo funcional
onde T V e representam respectivamente a energia cineacutetica a energia potencial elaacutestica e o
trabalho das forccedilas externas obeacutem-se a relaccedilatildeo
A energia cineacutetica do elemento considera as parcelas de translaccedilatildeo e de rotaccedilatildeo do movimento
onde l eacute o comprimento do elemento M representa a massa por unidade de comprimento Idm eacute o
momento diametral meacutedio de ineacutercia de massa por unidade de comprimento Ip eacute o momento
polar de ineacutercia por unidade de comprimento eacute a velocidade de rotaccedilatildeo do rotor
A energia de deformaccedilatildeo elaacutestica devido agrave flexatildeo e ao cisalhamento eacute descrita como
44
onde Vf e Wf satildeo as contribuiccedilotildees da flexatildeo no deslocamento linear do centro da seccedilatildeo
transversal do elemento Vc e Wc satildeo as contribuiccedilotildees do cisalhamento neste deslocamento Kx
e Ky satildeo os coeficientes de cisalhamento E e G satildeo os moacutedulos de elasticidade longitudinal e
transversal Iy e Iz satildeo os momentos de ineacutercia de aacuterea A eacute a aacuterea da seccedilatildeo transversal O sinal
de apoacutestrofo indica diferenciaccedilatildeo em relaccedilatildeo agrave posiccedilatildeo
As equaccedilotildees do movimento satildeo obtidas pelo Princiacutepio de Hamilton atraveacutes da relaccedilatildeo
onde
eacute o trabalho virtual das forccedilas externas e Fe eacute o vetor forccedila generalizada
Substituindo-se as funccedilotildees de interpolaccedilatildeo (ANEXO B) nas expressotildees da energia de
deformaccedilatildeo elaacutestica e de energia cineacutetica do elemento leva agraves matrizes de elementos finitos
(ANEXO C) Uma vez obtidas as matrizes do sistema a equaccedilatildeo do movimento obtida pela
aplicaccedilatildeo do Princiacutepio de Hamilton teraacute a forma
onde [Me] [N
e] [G
e] satildeo as matrizes locais da ineacutercia de translaccedilatildeo rotaccedilatildeo e de efeito
giroscoacutepico respectivamente Para o modelo do rotor flexiacutevel composto pelo eixo flexiacutevel e o
disco massivo riacutegido (Figura 31) basta usar as propriedades geomeacutetricas do disco nas matrizes
de ineacutercia [Me] e [N
e] e de efeito giroscoacutepico [G
e] no elemento correspondente agrave posiccedilatildeo do
disco no rotor
32 Modelagem do Mancal Radial Eliacuteptico
A Figura 33 apresenta de maneira esquemaacutetica um mancal hidrodinacircmico eliacuteptico e seus
paracircmetros geomeacutetricos
45
Figura 33 ndash Desenho esquemaacutetico do mancal eliacuteptico e seus paracircmetros geomeacutetricos
O munhatildeo eacute a parte rotativa do mancal normalmente corresponde ao proacuteprio eixo no trecho
apoiado no mancal O tamanho do mancal eacute definido pelo comprimento L e pelo diacircmetro D O
centro do munhatildeo estaacute na interseccedilatildeo das linhas traccedilo-ponto e o centro do mancal estaacute na
interseccedilatildeo das linhas pontilhadas A excentricidade do mancal eacute definida como a distacircncia entre
o centro do mancal e o centro do munhatildeo representada por e A folga radial do mancal definida
como a diferenccedila entre o raio do mancal e o raio do munhatildeo eacute representada por c (Figura 34) A
razatildeo de excentricidade eacute o adimensional definido como podendo variar de zero a um
O acircngulo de posiccedilatildeo do mancal pode ser calculado pela expressatildeo onde
Fy e Fx satildeo respectivamente as componentes vertical e horizontal da forccedila de reaccedilatildeo F do
mancal gerada pela accedilatildeo hidrodinacircmica do filme fluido O mancal radial de perfil eliacuteptico ou
―mancal eliacuteptico possui um perfil formado por dois arcos de circunferecircncia chamados de
loacutebulos que natildeo satildeo concecircntricos (Figura 34) Nesta figura o centro geomeacutetrico dos loacutebulos
(ponto OL) estaacute posicionado sobre o centro geomeacutetrico do eixo (ponto O) o que a difere
basicamente da Figura 33 onde o centro do eixo estaacute deslocado como ocorre quando o eixo
estaacute girando e se desloca para uma posiccedilatildeo de equiliacutebrio R representa o raio menor do mancal
Re representa o raio do munhatildeo ou raio do eixo RL representa o raio do loacutebulo do mancal ou
sejao raio de cada loacutebulo que compotildee o mancal eliacuteptico
A preacute-carga (Mp) do mancal eliacuteptico indica o grau de ―elipsidade do mancal e eacute dada pela
46
expressatildeo Mp=(Cb ndash c)c O caso particular onde Mp=0 representa o mancal ciliacutendrico
Figura 34 - Desenho esquemaacutetico do perfil de um mancal radial eliacuteptico
A Figura 35 mostra o campo de pressatildeo no mancal hidrodinacircmico ciliacutendrico girando no sentido
anti-horaacuterio Percebe-se que as maiores pressotildees satildeo formadas na regiatildeo inferior ligeiramente
deslocadas para a direita para sustentar a carga do eixo representada por W A distacircncia miacutenima
entre o eixo e o mancal eacute representada por ho
Figura 35 - Distribuiccedilatildeo da pressatildeo hidrodinacircmica no mancal ciliacutendrico (LANG e STEINHILPER 1978)
47
Na Figura 36 eacute representado o mesmo campo de pressatildeo poreacutem para o mancal de perfil
eliacuteptico Observa-se que haacute a formaccedilatildeo do campo de pressatildeo tambeacutem na metade superior do
mancal que embora tenha um valor relativamente pequeno se comparado com o campo gerado
na parte inferior ajuda no equiliacutebrio hidrodinacircmico (CORREIA 2007) A accedilatildeo dos dois campos
de pressatildeo dos mancais eliacutepticos aumenta a rigidez melhora o amortecimento e reduz o
aquecimento do lubrificante de maneira mais eficiente do que nos mancais ciliacutendricos
(SEHGAL 2010)
Figura 36 - Distribuiccedilatildeo da pressatildeo hidrodinacircmica no mancal eliacuteptico (Adaptado de CORREIA 2007)
321 Equaccedilotildees de Lubrificaccedilatildeo
A equaccedilatildeo claacutessica de Reynolds que descreve o escoamento de um filme fluido incompressiacutevel
isoteacutermico e isoviscoso pode ser escrita no sistema de coordenadas ciliacutendricas da seguinte forma
(HAMROCK 1994)
t
hh
R
U
z
ph
z
ph
R
LLLL )()(
2
1
12
sup3
12
sup3
sup2
1 (31)
onde
48
R = raio do eixo
p = pressatildeo hidrodinacircmica
= massa especiacutefica do lubrificante
h = espessura do filme fluido
= viscosidade absoluta do lubrificante
U = velocidade superficial do eixo (U = ωR)
O domiacutenio do escoamento do filme fluido eacute descrito por 0 le θ le 2π e -L2 le z le L2 A
distribuiccedilatildeo de pressatildeo hidrodinacircmica eacute perioacutedica ao longo da direccedilatildeo circunferencial p(θ z t)=
p(θ + 2π z t) As laterais do mancal estatildeo agrave pressatildeo atmosfeacuterica pa p(θ L2 t)=p(θ -L2t)= pa
A condiccedilatildeo de Meio Sommerfeld eacute utilizada no caacutelculo do campo de pressatildeo do mancal
ciliacutendrico (HAMROCK 1994) onde usa-se somente do intervalo de 0 le θ le π concentrando-se
a anaacutelise da pressatildeo na regiatildeo convergente ou seja natildeo considerando a aacuterea de cavitaccedilatildeo (ou
pressatildeo negativa) No mancal eliacuteptico eacute desconsiderada apenas a regiatildeo de cavitaccedilatildeo
A expressatildeo que representa a espessura do filme fluido ―h eacute dada pela equaccedilatildeo (32) onde c
representa a folga radial ex e ey representam as excentricidades do mancal e Mp a preacute-carga
senMpcsentetech yx )()()cos()( (32)
Para o caacutelculo dos coeficientes dinacircmicos de forccedila do mancal satildeo utilizadas as equaccedilotildees de
lubrificaccedilatildeo de ordem zero e de primeira ordem obtidas atraveacutes da anaacutelise de perturbaccedilatildeo do
sistema (LUND1987) A posiccedilatildeo de equiliacutebrio do eixo (00
yx ee ) eacute perturbada por movimentos
de pequena amplitude ( yx ee ) com uma frequecircncia de excitaccedilatildeo w (FARIA et al 2006)
Desta forma a espessura do filme eacute dada por
titi
yyxx ehehehehehh 00 )( = x y (33)
onde
0h = espessura do filme estacionaacuterio ou de ordem zero
49
xh = cos( )
yh = sen ( )
= x y
i = 1
Pequenas variaccedilotildees na espessura do filme causam alteraccedilotildees no campo de pressatildeo
hidrodinacircmica Este campo perturbado de pressatildeo hidrodinacircmica pode ser representado pela
equaccedilatildeo (34) se considerarmos uma anaacutelise linear de perturbaccedilatildeo
ti
o
ti
YYXXo epepe)pepe()t(p)t(p (34)
onde
0p = pressatildeo estacionaacuteria campo de pressatildeo de ordem zero
Xp e Yp = campo de pressatildeo de primeira ordem
Substituindo as equaccedilotildees (33) e (34) na equaccedilatildeo (31) obtecircm-se as equaccedilotildees de lubrificaccedilatildeo de
ordem zero e de primeira ordem conforme representado pelas equaccedilotildees (35) e (36)
respectivamente
)(
2
1
1212sup2
1 00
3
00
3
0 h
R
U
z
ph
z
ph
R
LLL (35)
hih
R
U
z
ph
z
phh
z
phphh
RL
LLLLL )(
2
1
1212
3
1212
3
sup2
13
00
2
0
3
00
2
0
(36)
A equaccedilatildeo (35) eacute a equaccedilatildeo claacutessica de Reynolds para regime estacionaacuterio Esta equaccedilatildeo
permite a determinaccedilatildeo do campo de pressatildeo hidrodinacircmica bidimensional no interior dos
mancais radiais lubrificados a oacuteleo Natildeo existe soluccedilatildeo analiacutetica em forma fechada para a grande
maioria dos mancais radiais de uso industrial Os coeficientes dinacircmicos dos mancais satildeo
50
obtidos atraveacutes da soluccedilatildeo das equaccedilotildees de lubrificaccedilatildeo de ordem zero e de primeira ordem via
procedimento de elementos finitos
322 Equaccedilotildees de Elementos Finitos para Mancais Eliacutepticos
As equaccedilotildees de lubrificaccedilatildeo de ordem zero e de primeira ordem podem ser escritas na forma de
balanccedilo de massa utilizando-se o conceito de fluxo maacutessico Dessa forma a equaccedilatildeo (35) pode
ser reescrita na seguinte forma
(37)
sendo que 00
3
0
212
1hR
ph
Rm L
L representa o fluxo maacutessico na direccedilatildeo circunferencial
e z
phm L
z0
3
0
12 o fluxo maacutessico na direccedilatildeo axial
A equaccedilatildeo (36) pode da mesma forma ser reescrita na forma de balanccedilo de fluxo na seguinte
maneira
himz
mR
m Lz111
1
(38)
sendo que os fluxos maacutessicos mostrados na equaccedilatildeo (38) podem ser expressos na seguinte
forma
hRph
R
phh
Rm L
LL
212
1
12
313
00
2
01 (39)
z
ph
z
phhm LL
z
1212
3 3
00
2
01
(310)
323 Discretizaccedilatildeo do campo de pressatildeo de ordem zero
Elementos isoparameacutetricos planos de quatro noacutes satildeo utilizados na discretizaccedilatildeo do domiacutenio do
filme fluido Funccedilotildees de interpolaccedilatildeo bilineares e
j j=1234 satildeo empregadas na descriccedilatildeo do
01
mm
zm
Rz
51
campo de pressatildeo hidrodinacircmica de ordem zero no domiacutenio e de um elemento finito A
Figura 37 ilustra de maneira esquemaacutetica os quatro noacutes no elemento finito usados na
discretizaccedilatildeo do domiacutenio do filme fluido onde a coordenada y representa a direccedilatildeo axial do
mancal e a coordenada indica a direccedilatildeo circunferencial
Figura 37 - Representaccedilatildeo esquemaacutetica dos noacutes no elemento finito
Os campos discretos de pressatildeo de ordem zero e de primeira ordem no domiacutenio e de um
elemento finito satildeo escritos na seguinte forma
e
i
e
i
e pp 00 i=1234 (311)
e
i
e
i
e pp i=1234 (σ = xy) (312)
Sobre um elemento finito do domiacutenio e o meacutetodo de Galerkin eacute utilizado para a obtenccedilatildeo da
equaccedilatildeo do campo de pressatildeo de ordem zero A equaccedilatildeo (37) eacute preacute-multiplicada pelas funccedilotildees
de interpolaccedilatildeo e
j e o produto eacute integrado sobre o domiacutenio e
e ee
ee
j
ee
j
ee
j dmdnmdm 0
(313)
onde n
representa o valor normal unitaacuterio direcionado para o lado de fora do contorno e do
52
elemento finito Pode-se escrever que
eR
ez
e
j
z
e
je
j
1 (314)
zz ememm
(315)
A segunda integral do lado direito da equaccedilatildeo (313) pode ser expandida na seguinte forma
ee
e
e
e
je
i
e
e
je
i
e
je
i
e
e
j
z
e
j
z
e
i
e
ie
i
e
i
dhpdzzR
h
deR
ez
epz
he
z
Rp
h
R
002
3
0
0
3
00
3
0
2
1
12
1
1212
1
(316)
Entatildeo a equaccedilatildeo (313) pode ser reescrita na forma a seguir
e ee
e
n
e
j
e
e
je
i
e
e
je
i
e
je
i dmdhpdzzR
h
2
1
12002
3
0 (317)
onde nm representa o fluxo de lubrificante cruzando a fronteira do elemento finito e
A equaccedilatildeo (317) pode ser representada por um sistema de equaccedilotildees algeacutebricas que representa a
forma estacionaacuteria da equaccedilatildeo de Reynolds para um elemento finito e
na seguinte forma
e
j
e
j
e
i
e
ji qfPK 0 (318)
onde a matriz fluiacutedica e
jiK pode ser obtida por meio de procedimento de integraccedilatildeo baseado no
meacutetodo da quadratura de Gauss (BATHE 1982) utilizando-se quatro pontos de integraccedilatildeo Essa
matriz eacute dada pela seguinte expressatildeo
53
e
e
je
i
e
je
ie
ji dzzR
hK
e sup2
1
12
3
0
O vetor de fluxo no domiacutenio de um elemento finito eacute determinado por
e
e
e
je
j dhf 02
O balanccedilo de fluxo atraveacutes do contorno do domiacutenio eacute dado por
e
e
n
e
j
e
j dmq
O contorno de um elemento finito qualquer eacute representado por e
e o fluxo de lubrificante de
ordem zero atraveacutes dessa fronteira por nm
324 Discretizaccedilatildeo do campo de pressatildeo de primeira ordem
O meacutetodo de Galerkin eacute empregado novamente para a obtenccedilatildeo da equaccedilatildeo de elementos finitos
para determinaccedilatildeo do campo de pressatildeo perturbada de primeira ordem A equaccedilatildeo (38) eacute preacute-
multiplicada pelas funccedilotildees de interpolaccedilatildeo e o produto eacute integrado sobre o domiacutenio e do
elemento finito produzindo a seguinte equaccedilatildeo integral
e e ee
ee
j
ee
j
ej
e
ee
j dhidmdnmdm
111 (319)
O segundo termo do lado direito da equaccedilatildeo (319) pode ser reescrito na forma seguinte
e
e e
e
e
je
i
e
je
i
e
jo
ejz
e
jee
j
dR
hRP
R
hp
R
hh
dz
mR
mdm
2sup2
1
12sup2
1
12
3
1
3
0
2
0
111
54
e
ee
i
e
je
i
e
jdP
zz
h
zz
phh
1212
3 3
00
2
0 (320)
A equaccedilatildeo (320) pode entatildeo ser reescrita na forma de um sistema de equaccedilotildees algeacutebricas na
seguinte maneira
ee
j
e
j
e
j
e
j
en
e
j
e
i
e
e
je
i
e
je
i
dhihzz
pp
R
hh
dmPdzzR
h
e
ee
2sup2
1
12
3
sup2
1
12
00
2
0
1
3
0
(321)
Para facilitar a representaccedilatildeo da equaccedilatildeo algeacutebrica (321) pode-se reescrevecirc-la na forma
matricial como segue
e
j
e
j
e
i
e
ji fqpK yx (322)
A matriz fluiacutedica de primeira ordem o balanccedilo do fluxo atraveacutes do contorno e o vetor de fluxo
no domiacutenio satildeo determinados respectivamente por
e
e
je
i
e
j
e
je
ji dzzR
hK
e sup2
1
12
3
0 (3221)
e
en
e
j
e
j dmq (3222)
e
ee
j
e
j
e
j
e
je
j dhihzz
pp
R
hhf
2sup2
1
12
3 00
2
0 (3223)
O fluxo de lubrificante de primeira ordem atraveacutes do contorno e de um elemento finito eacute
representado por nm
O sistema de equaccedilotildees algeacutebricas complexas dado pelas equaccedilotildees (322) permite determinar o
55
campo complexo de pressatildeo hidrodinacircmica de primeira ordem Os coeficientes do vetor
carregamento de primeira ordem e
jf dependem do campo de pressatildeo de ordem zero Por
conseguinte primeiro resolve-se o sistema de equaccedilotildees de ordem zero apresentada na equaccedilatildeo
(318) para a determinaccedilatildeo do campo de pressatildeo estacionaacuteria 0p Entatildeo determina-se o campo
de pressatildeo perturbada por meio do sistema de equaccedilotildees dado pelas equaccedilotildees (322)
As caracteriacutesticas estaacuteticas de desempenho de mancais tais como capacidade de carga torque de
atrito e vazatildeo de oacuteleo satildeo determinadas a partir da equaccedilatildeo de lubrificaccedilatildeo de ordem zero Jaacute as
caracteriacutesticas dinacircmicas de desempenho tais como os coeficientes de rigidez e de
amortecimento satildeo estimadas a partir da soluccedilatildeo da equaccedilatildeo de lubrificaccedilatildeo de primeira ordem
As equaccedilotildees de elementos finitos satildeo superpostas para todo o domiacutenio do filme fluido Ω
325 Determinaccedilatildeo dos Coeficientes de Forccedila dos Mancais Eliacutepticos
A soluccedilatildeo do sistema de equaccedilotildees algeacutebricas lineares eacute obtida por meio de um procedimento
baseado no meacutetodo da decomposiccedilatildeo LU (CHAPRA e CANALE 2002) Um programa
computacional foi desenvolvido especialmente para determinar a soluccedilatildeo das equaccedilotildees de ordem
zero e de primeira ordem utilizando o meacutetodo de elementos finitos (FARIA et al 2006) As
forccedilas de reaccedilatildeo do filme lubrificante podem entatildeo ser estimadas a partir da seguinte expressatildeo
na qual pa representa a pressatildeo atmosfeacuterica
L
aoodzdRh)pp(F
0
2
0
= XY (323)
A determinaccedilatildeo do campo perturbado ou de primeira ordem de pressatildeo
hidrodinacircmica para o mancal eacute realizada por meio do sistema de equaccedilotildees complexas de
primeira ordem obtido pela superposiccedilatildeo para todo o domiacutenio do fluido das equaccedilotildees dadas
pelas equaccedilotildees (322) A integraccedilatildeo do campo de pressatildeo de primeira ordem sobre o domiacutenio do
filme fluido leva agrave estimativa das impedacircncias complexas YXoZ Os coeficientes
linearizados de rigidez YXK e de amortecimento YXC associados agrave accedilatildeo
hidrodinacircmica do filme fluido podem ser calculados na seguinte forma
56
L
dzdRhpCiKZ0
2
0
YX (324)
ou
dzdRhphp
hphp
CC
CCi
KK
KK L
YYYX
XYXX
YYYX
XYXX
YYYX
XYXX
0
2
0
(325)
Estes coeficientes de forccedila [ K ] e [C ] correspondem agrave resistecircncia que o mancal oferece ao
deslocamento e agrave velocidade respectivamente Eles seratildeo sobrepostos agraves matrizes de elementos
finitos do eixo nas linhas e colunas correspondentes aos dois primeiros graus de liberdade que
satildeo translacionais
33 O Sistema Rotor-Mancal
O sistema rotor-mancal eacute composto por um eixo flexiacutevel um disco massivo e mancais Neste
trabalho o sistema foi modelado atraveacutes do meacutetodo de elementos finitos (MEF) como descrito a
seguir aplicando modelos distintos para o eixo flexiacutevel e para os mancais O disco massivo eacute
considerado riacutegido e portanto inserido no modelo do eixo simplesmente atraveacutes de suas
propriedades fiacutesicas (massa efeito giroscoacutepico e ineacutercia rotatoacuteria)
Para a modelagem do deslocamento lateral dos eixos flexiacuteveis satildeo utilizados elementos de eixo
com dois noacutes e com oito graus de liberdade A influecircncia dos mancais nos coeficientes de
rigidez e amortecimento do rotor tambeacutem eacute considerada na modelagem A equaccedilatildeo global do
movimento para o sistema rotor-mancal eacute descrita como
(326)
onde [M] representa a matriz global de ineacutercia translacional [N] eacute a matriz global de ineacutercia
rotatoacuteria [K] a matriz de rigidez do eixo e [C] a matriz generalizada de amortecimento que eacute
expressa como [G]]C[]C[ 1 onde [G] eacute a matriz de efeito giroscoacutepico do eixo Estas
matrizes satildeo apresentadas detalhadamente no Anexo C A matriz [C1] eacute a matriz global com os
coeficientes de amortecimento dos mancais lanccedilados nos devidos noacutes onde os mancais estatildeo
57
posicionados De maneira anaacuteloga os coeficientes de rigidez dos mancais satildeo somados agrave matriz
[K] e a massa desbalanceada eacute somada na matriz [M] Os vetores de aceleraccedilatildeo velocidade e
deslocamento satildeo dados respectivamente por UUU e Ω eacute a velocidade de rotaccedilatildeo do
eixo (rads)
Cada noacute possui 4 graus de liberdade onde o deslocamento do i-eacutesimo elemento eacute
representado pelo vetor Ui composto pelas seguintes componentes
i
i
i
i
i
x
y
U onde
xeixo do tornoem rotaccedilatildeo
y eixo do tornoem rotaccedilatildeo
verticaltodeslocamen
horizontal todeslocamen
i
i
i
i
x
y
A Figura 38 apresenta simbolicamente estes 4 graus de liberdade atraveacutes dos movimentos de
translaccedilatildeo (deslocamento) e de rotaccedilatildeo nos eixos xy
Figura 38 ndash Representaccedilatildeo dos 4 graus de liberdade
A excitaccedilatildeo devida agrave massa desbalanceada do rotor eacute representada pelo vetor R na Eq (326)
Um disco rotativo riacutegido desbalanceado eacute montado em uma posiccedilatildeo axial preacute-determinada do
eixo permitindo a aplicaccedilatildeo de carga Um fasor rotatoacuterio com amplitude de F0 = mdud Ωsup2
representa a carga da massa desbalanceada onde md eacute a massa desbalanceada (kg) e ud eacute a
excentricidade da massa desbalanceada (m)
As seccedilotildees a seguir apresentam as formulaccedilotildees que permitem obter as matrizes da equaccedilatildeo
(326) que posteriormente seraacute integrada numericamente pelo meacutetodo de Newmark (BATHE
1982)
58
34 Diagrama do Procedimento Computacional
O procedimento computacional proposto neste trabalho foi desenvolvido em ambiente Matlabreg
produzido pela The MathWorkscopy e suas principais etapas satildeo apresentadas na Figura 39
Figura 39 ndash Diagrama do procedimento computacional
Na etapa 1 satildeo registrados os paracircmetros fiacutesicos e geomeacutetricos do sistema aleacutem dos paracircmetros
dos meacutetodos numeacutericos (nuacutemero de noacutes da malha tempo de integraccedilatildeo incremento no tempo
rotaccedilatildeo etc)
Na etapa 2 satildeo calculadas as matrizes de elementos finitos do eixo usando-se os dados
4) Montagem das matrizes de
elementos finitos
dos mancais
3) Caacutelculo dos coeficientes de forccedila
dos mancais pelo MEF
2) Caacutelculo das
matrizes de
elementos
finitos do rotor
5) Superposiccedilatildeo das matrizes de elementos finitos
7) Integraccedilatildeo numeacuterica da equaccedilatildeo do movimento
6) Equaccedilatildeo do movimento
1) Entrada de Dados
9) Saiacuteda de resultados
8) Seleccedilatildeo dos dados de saiacuteda
59
registrados na etapa 1 atraveacutes das equaccedilotildees descritas no Anexo C Como o disco massivo eacute
considerado riacutegido e portanto soacute possui os elementos das matrizes de massa de ineacutercia e de
momento giroscoacutepico estas matrizes satildeo calculadas separadamente e sobrepostas com as do
eixo nos pontos onde o disco massivo estaacute posicionado O meacutetodo permite que o disco esteja
posicionado em qualquer noacute da malha do eixo
Na etapa 3 satildeo calculados os coeficientes de forccedila dos mancais baseando-se na sua posiccedilatildeo de
equiliacutebrio estaacutetico Esta posiccedilatildeo eacute encontrada pelo MEF implementado que calcula a forccedila
resultante da accedilatildeo hidrodinacircmica do filme-fluido para que ela seja igual agrave carga estaacutetica que o
rotor aplica em cada mancal Uma vez encontrado o ponto de equiliacutebrio estaacutetico satildeo calculados
os coeficientes de rigidez e de amortecimento dos mancais conforme Eq(325) Cabe ressaltar
que o caacutelculo destes coeficientes natildeo usa as teorias simplistas de mancais curtos ou longos e
nem faz simplificaccedilotildees quanto aos coeficientes cruzados
Na etapa 4 os resultados encontrados na etapa 3 satildeo registrados nas matrizes de elementos
finitos dos mancais que satildeo as matrizes de rigidez e de amortecimento
Em seguida na etapa 5 eacute feita a superposiccedilatildeo das matrizes de elementos finitos do rotor e dos
mancais com os resultados obtidos nas etapas 2 3 e 4 O meacutetodo permite que os mancais
estejam posicionados em qualquer noacute da malha do eixo Esta superposiccedilatildeo eacute feita apenas com as
linhas e colunas correspondentes aos deslocamentos translacionais ou seja natildeo satildeo
considerados efeitos de rigidez ou de amortecimento rotacionais no modelo dos mancais
hidrodinacircmicos
Uma vez montadas as matrizes segue-se para as etapas 6 e 7 onde a equaccedilatildeo do movimento eacute
estabelecida em formato matricial conforme Eq(326) e integrada numericamente pelo Meacutetodo
de Newmark descrito no Anexo D
Na etapa 8 satildeo registrados os dados que seratildeo usados para a anaacutelise do sistema Na verdade esta
etapa estaacute inserida no algoritmo de Newmark dentro das iteraccedilotildees no tempo para que sejam
registrados os dados de interesse a cada iteraccedilatildeo no tempo Os dados normalmente selecionados
satildeo extraiacutedos do vetor U (Eq326) que registra todos os deslocamentos laterais e rotaccedilotildees
dos pontos da malha do eixo ao longo do tempo
Finalmente na etapa 9 satildeo geradas as saiacutedas de resultados Dependendo do tipo de anaacutelise
desejada esta saiacuteda pode passar por outro caacutelculo numeacuterico como eacute feito no caso da geraccedilatildeo do
espectro de frequecircncia onde eacute usado o FFT (Fast Fourier Transform) Os resultados numeacutericos
60
satildeo exibidos na forma de arquivo de dados e tambeacutem na forma graacutefica atraveacutes de espectros de
frequecircncia formas de onda curvas de deflexatildeo curva de resposta desbalanceada ou atraveacutes de
uma animaccedilatildeo tridimensional exibindo a deflexatildeo do rotor ao longo do tempo
Cabe ressaltar que para o caacutelculo da resposta desbalanceada eacute necessaacuterio fazer a integraccedilatildeo no
tempo para vaacuterias rotaccedilotildees do eixo Assim para cada rotaccedilatildeo eacute registrada a maacutexima amplitude
de vibraccedilatildeo do eixo em um determinado ponto Normalmente eacute escolhido o elemento onde estaacute
um dos mancais para este ponto Em seguida eacute gerado o graacutefico da resposta desbalanceada que
permite identificar em qual rotaccedilatildeo o sistema apresentou a maacutexima amplitude quando excitado
pela forccedila de desbalanceamento Este eacute o conceito de velocidade criacutetica (VC)
61
4 RESULTADOS E ANAacuteLISE
Os resultados do procedimento computacional proposto satildeo validados com resultados
apresentados na literatura especializada e com dados experimentais Satildeo apresentados
inicialmente alguns exemplos de validaccedilatildeo seguindo-se para a anaacutelise dos coeficientes de forccedila
dos mancais eliacutepticos e da resposta desbalanceada do sistema rotor-mancal
41 Exemplos de validaccedilatildeo
A validaccedilatildeo do procedimento computacional eacute realizada atraveacutes de alguns exemplos
selecionados na literatura especializada apresentando modelos de rotores flexiacuteveis apoiados em
diferentes tipos de mancais Eacute incluiacuteda uma comparaccedilatildeo dos resultados numeacutericos com
resultados experimentais coletados em uma bancada de testes horizontal composta por um rotor
flexiacutevel apoiado em mancais hidrodinacircmicos
411 Rotor com disco em balanccedilo
Um exemplo de rotor flexiacutevel (SINOU 2005) eacute escolhido para validar os resultados do
procedimento computacional O rotor eacute composto por um eixo flexiacutevel dois mancais e um disco
massivo em balanccedilo (Figura 41)
Figura 41 ndash Desenho esquemaacutetico do rotor de Sinou (2005)
62
Tabela 41- Paracircmetros do rotor com disco em balanccedilo (SINOU 2005)
Eixo
Comprimento
Diacircmetro
Moacutedulo de Young
Massa especiacutefica
170m
40mm
200 GNm2
8000 kgm3
Disco
Massa
Diacircmetro
Espessura
20 kg
400 mm
20 mm
Mancais
Rigidez Translacional
Rigidez Rotacional
Amortecimento
Kxx = 378 MNm
Kxy = 0 MNm
Kyx = 0 MNm
Kyy = 378 MNm
Kff= 80x104
Nmrad
KQQ = 80x104
Nmrad
Cxx = 0 Nsm
Cxy = 0 Nsm
Cyx = 0 Nsm
Cyy = 0 Nsm
Satildeo calculadas a primeira frequecircncia natural (FN1) e a segunda frequecircncia natural (FN2) para o
rotor de Sinou (2005) aplicando-se o procedimento computacional proposto para se avaliar a
influecircncia do tamanho da malha de elementos finitos no caacutelculo destas frequecircncias naturais Os
valores obtidos para FN1 e FN2 com diferentes malhas satildeo mostrados na Figura 42
Figura 42 ndash Curvas da primeira e segunda frequecircncias naturais (FN1 FN2) versus o nuacutemero de
elementos finitos da malha para o rotor de Sinou (2005) a 10rpm
Constata-se que a variaccedilatildeo dos valores de FN1 e de FN2 fica abaixo de 2 para uma malha de
80 elementos Assim adota-se uma malha de 80 elementos finitos para este exemplo
63
A integraccedilatildeo das equaccedilotildees do movimento eacute feita pelo meacutetodo de Newmark (ANEXO D) Nesta
implementaccedilatildeo satildeo adotados os paracircmetros que garantem a convergecircncia do meacutetodo conforme
descrito no Anexo D Poreacutem eacute importante considerar que agrave medida que se reduz o incremento
no tempo usado na integraccedilatildeo numeacuterica mais exatos satildeo os resultados por se tornarem mais
convergentes Assim apresenta-se na Figura 43 a anaacutelise desta convergecircncia em funccedilatildeo do
incremento no tempo A curva contiacutenua representa a primeira velocidade criacutetica progressiva
(FWD1) e a curva tracejada representa a primeira velocidade criacutetica regressiva (BKWD1)
Observa-se que as velocidades criacuteticas convergem suficientemente para um incremento no
tempo de aproximadamente 50x10-4
s onde a variaccedilatildeo relativa eacute menor que 1 Este valor eacute
adotado nos demais resultados calculados para este exemplo
Figura 43 ndash Primeira velocidade criacutetica progressiva (FWD1)
e regressiva (BKWD1) versus incremento no tempo
A Figura 44 apresenta o espectro de frequecircncia obtido pelo MEF com o rotor a 10 rpm Na
Tabela 42 satildeo comparados os valores da primeira e segunda frequecircncias naturais (FN1 e FN2)
calculadas por Sinou (2005) com os valores obtidos pelo MEF aqui proposto e observa-se que
o desvio maacuteximo eacute menor que 3 Os valores apresentados por Sinou(2005) foram obtidos
usando uma malha de 184 elementos de viga de Timoshenko
64
Figura 44 ndash Espectro de frequecircncia obtido pelo MEF para o rotor de Sinou(2005) a 10 rpm
Tabela 42- Valores comparativos da primeira frequecircncia natural para o rotor de Sinou(2005) a 10 rpm
Sinou(2005) MEF Erro
relativo ()
FN 1 2430 rpm 2495 rpm 27
FN 2 3840 rpm 3780 rpm -16
As frequecircncias naturais do rotor em balanccedilo satildeo calculadas pelo MEF proposto tambeacutem para
outros valores de rotaccedilatildeo Na Figura 45 eacute ilustrado o diagrama de Campbell obtido pelo MEF e
comparado com os valores apresentados por Sinou (2005)
Figura 45 ndash Diagrama de Campbell para o rotor em balanccedilo analisado por Sinou(2005)
65
O efeito giroscoacutepico faz com que fiquem niacutetidas as frequecircncias de precessatildeo regressiva
(backward) e progressiva (forward) Estas frequecircncias satildeo representadas na Figura 45 seguidas
das siglas ―BKWD e ―FWD respectivamente A linha cheia e a traccedilo-ponto representam os
resultados obtidos pelo MEF proposto neste trabalho enquanto os pontos identificados por
marcadores satildeo os resultados apresentados por Sinou(2005) A linha tracejada representa as
frequecircncias siacutencronas (syncr) que permitem identificar as velocidades criacuteticas na sua interseccedilatildeo
com as curvas das frequecircncias naturais As duas primeiras velocidades criacuteticas foram obtidas
atraveacutes do graacutefico e comparadas na Tabela 43 com aquelas calculadas por Sinou(2005)
Observa-se um erro relativo menor que 5 nesta comparaccedilatildeo feita para fins de validaccedilatildeo
Tabela 43- Comparaccedilatildeo da primeira velocidade criacutetica
Sinou(2005) MEF Erro
relativo()
BKWD 2225 rpm 2210 rpm -1
FWD 2580 rpm 2680 rpm 4
As diferenccedilas entre os resultados do MEF proposto para os resultados numeacutericos de Sinou se
devem principalmente ao nuacutemero de elementos finitos usados O modelo de Sinou usa 184
elementos enquanto neste trabalho foram adotados 80 elementos Outros erros relativos podem
ter sido causados por pequenas diferenccedilas geomeacutetricas entre os dois modelos em funccedilatildeo de
alguma informaccedilatildeo que natildeo tenha sido detalhada no trabalho de Sinou
Cabe ressaltar que este exemplo de validaccedilatildeo se aplica ao MEF do rotor e ao procedimento de
superposiccedilatildeo dos coeficientes de forccedila dos mancais Poreacutem o modelo de Sinou usa apenas dois
coeficientes de forccedila nos apoios (rigidez agrave rotaccedilatildeo) e natildeo considera mancais hidrodinacircmicos
Para a validaccedilatildeo dos modelos de mancais seratildeo apresentados outros exemplos
412 Rotor apoiado nas extremidades com disco no centro
Um segundo exemplo de validaccedilatildeo eacute selecionado atraveacutes do modelo de rotor (HONG e PARK
1999) composto por um eixo com dois diacircmetros diferentes como mostrado na Figura 46 Na
primeira metade o eixo tem 25cm de diacircmetro e na outra metade tem 40cm de diacircmetro
66
Figura 46 ndash Desenho esquemaacutetico do rotor de Hong e Park(1999)
O eixo eacute apoiado pelas extremidades por mancais idecircnticos e no centro do eixo haacute um disco
massivo Os paracircmetros do modelo satildeo apresentados na Tabela 44
Tabela 44- Paracircmetros do rotor de Hong e Park(1999)
Eixo
Comprimento
Diacircmetro (trecho 1)
Diacircmetro (trecho 2)
Moacutedulo de Young
Massa especiacutefica
120m
25cm
40cm
200 GNm2
8000 kgm3
Disco
Massa
Momento polar de ineacutercia
Momento diametral de ineacutercia
20 kg
0163 kgm2
0085 kgm2
Mancais
Rigidez
Amortecimento
Kxx = 20 MNm
Kxy = -15 MNm
Kyx = -15 MNm
Kyy = 25 MNm
Cxx = 60 Nsm
Cxy = 0 Nsm
Cyx = 0 Nsm
Cyy = 70 Nsm
Eacute feita uma comparaccedilatildeo entre as frequecircncias naturais e tambeacutem apresentada uma anaacutelise da
forma de onda obtida pela integraccedilatildeo numeacuterica que permite observar o fenocircmeno de batimento
Satildeo apresentados os conceitos baacutesicos do fenocircmeno e feita a comparaccedilatildeo entre as frequecircncias
naturais obtidas atraveacutes do espectro de frequecircncia e a frequecircncia de batimento observada na
forma de onda
Inicialmente satildeo validadas as frequecircncias naturais atraveacutes da observaccedilatildeo dos picos no espectro
como pode ser visto na Figura 47 Satildeo destacados os dois picos (808 rpm 848 rpm) relativos agrave
primeira frequecircncia natural regressiva (backward) e progressiva (forward) respectivamente
com o rotor operando a 6000rpm
67
Figura 47 ndash Espectro de frequecircncia obtido para o rotor de Hong e Park (1999) operando a 6000rpm
Os resultados numeacutericos obtidos pelo MEF satildeo comparados com os da literatura (HONG e
PARK 1999) na Tabela 45 onde pode-se observar um erro relativo maacuteximo de 2
Tabela 45- Comparaccedilatildeo da primeira frequecircncia natural progressiva e regressiva para
o rotor de Hong e Park (1999)
Hong e Park
(1999)
MEF Erro
relativo ()
Backward (regressiva) 804 rpm 808 rpm 05
Forward (progressiva) 865 rpm 848 rpm -20
Em seguida eacute feita a anaacutelise da forma de onda obtida apoacutes a integraccedilatildeo no tempo da equaccedilatildeo do
movimento pelo Meacutetodo de Newmark Observa-se pela forma de onda (Figura 48) que existe
um padratildeo de flutuaccedilatildeo do sinal destacado pela linha tracejada e pelo sombreamento Este
padratildeo de flutuaccedilatildeo eacute semelhante ao fenocircmeno de batimento da teoria de interferecircncia de ondas
que ocorre quando haacute duas frequecircncias de vibraccedilatildeo proacuteximas O fenocircmeno natildeo foi investigado
profundamente neste trabalho mas eacute destacado como um exemplo de validaccedilatildeo onde foi
possiacutevel encontrar frequecircncias naturais bem proacuteximas agraves apresentadas na literatura (HONG e
68
PARK 1999) e ainda estabelecer uma relaccedilatildeo entre o padratildeo de flutuaccedilatildeo da forma de onda
com as frequecircncias registradas no espectro
Figura 48 ndash Forma de onda obtida para o rotor de Hong e Park (1999)
Uma vez identificado um ciclo completo do padratildeo de flutuaccedilatildeo destacado na Figura 48 pela
linha tracejada eacute possiacutevel obter os instantes de tempo inicial e final deste ciclo 275s e 570s
respectivamente Este intervalo corresponde a um periacuteodo de 295s que equivale a uma
frequecircncia de 0339Hz = 203rpm
Este padratildeo de flutuaccedilatildeo pode ser explicado pelo fenocircmeno de batimento que estabelece que
quando duas ondas com frequecircncias muito proacuteximas (w1 w2) interferem uma na outra
flutuaccedilotildees de batimento satildeo percebidas na forma de onda e a frequecircncia de batimento (wb) eacute
dada por
Observando-se novamente o espectro de frequecircncia na Figura 47 pode-se calcular a frequecircncia
de batimento (wb) esperada para este sistema atraveacutes das frequecircncia natural regressiva
(backward) e progressiva (forward)
69
Portanto confirma-se que o padratildeo de flutuaccedilatildeo observado na forma de onda pode ser associado
ao fenocircmeno de batimento causado pelas duas frequecircncias naturais proacuteximas identificadas no
espectro Estes dois resultados satildeo apresentados na Tabela 46
Tabela 46- Comparaccedilatildeo das Frequecircncias de Batimento para o rotor de Hong e Park(1999)
Frequecircncia obtida
pela forma de onda
Frequecircncia obtida
pelo espectro
203 rpm 200 rpm
Este fenocircmeno de batimento eacute tambeacutem observado quando o rotor opera em uma rotaccedilatildeo proacutexima
de uma frequecircncia natural De maneira semelhante se for observado o padratildeo de flutuaccedilatildeo na
forma de onda que varia com a rotaccedilatildeo do rotor eacute possiacutevel inferir que o rotor estaacute se
aproximando ou se afastando de uma frequecircncia natural O fenocircmeno de batimento no sistema
rotor-mancal merece uma investigaccedilatildeo mais profunda que natildeo estaacute no escopo do presente
trabalho
413 Rotor de uma bancada de testes
Um terceiro exemplo de validaccedilatildeo consiste na comparaccedilatildeo das frequecircncias naturais estimadas
pelo MEF com os valores experimentais coletados em uma bancada de testes montada no Grupo
de Dinacircmica de Rotores da UFMG cujos dados podem ser encontrados em Machado (2006) e
Miranda et al (2005) O rotor eacute composto por um eixo ciliacutendrico horizontal apoiado em mancais
hidrodinacircmicos e com um disco ciliacutendrico desbalanceado montado no eixo como ilustrado
esquematicamente na Figura 49 com medidas em miliacutemetros
Figura 49 ndash Desenho esquemaacutetico do rotor da bancada de testes
O disco possui furos rosqueados ao longo de sua periferia que permitem incluir pequenas massas
70
que provocam o desbalanceamento no sistema O rotor eacute acionado por um sistema de polias e
correia e um motor eleacutetrico controlado por um inversor de frequecircncia A Tabela 47 apresenta os
paracircmetros do rotor da bancada de testes
Tabela 47ndash Paracircmetros do rotor da bancada de testes
Paracircmetro Descriccedilatildeo Valor Unidade
Leixo comprimento do eixo 030 m
D diacircmetro do eixo 0015 m
L comprimento dos mancais 0012 m
c folga do mancal 345 x 10-6
m viscosidade do lubrificante 25 x 10
-3 Pamiddots
massa especiacutefica do lubrificante 892 kgmsup3
E moacutedulo de elasticidade do eixo 200 x 109 Pa
coeficiente de Poisson do eixo 03 -
massa especiacutefica do eixo 7870 kgmsup3
Esta anaacutelise tem como objetivo validar os modelos de elementos finitos propostos para o eixo
flexiacutevel e para os mancais hidrodinacircmicos atraveacutes de resultados experimentais A anaacutelise da
convergecircncia da malha de elementos finitos para o modelo do eixo eacute realizada de maneira
semelhante agrave apresentada na Figura 42 obtendo-se tambeacutem um nuacutemero de 80 elementos para
este exemplo
Um procedimento de anaacutelise de sensibilidade de malha eacute tambeacutem utilizado para avaliar a
dependecircncia dos paracircmetros de desempenho do mancal em funccedilatildeo do tamanho da malha Neste
procedimento a razatildeo entre o nuacutemero de elementos finitos nas direccedilotildees circunferencial e axial eacute
mantida constante Esta razatildeo depende da razatildeo de esbeltez do mancal (LD) e deve ser mantida
para se garantir a variaccedilatildeo uniforme do tamanho da malha Assim para uma razatildeo LD de 08
como no exemplo analisado a relaccedilatildeo entre o nuacutemero de noacutes circunferenciais e o nuacutemero de noacutes
axiais deve ser 480 Estabelecidos estes paracircmetros satildeo gerados os coeficientes de forccedila
para a rotaccedilatildeo de 3200rpm no ponto de equiliacutebrio estaacutetico do mancal usando-se inicialmente
uma malha bem refinada (1660 elementos) conforme mostrado na uacuteltima linha da Tabela 48
Satildeo entatildeo reduzidos os nuacutemeros de elementos da malha e registrados os erros relativos obtidos
na forccedila de reaccedilatildeo do mancal (Fx) e no coeficiente de rigidez cruzada (Kxy) Para fins de
comparaccedilatildeo os erros relativos satildeo calculados em moacutedulo conforme mostrado na Figura 410
71
Tabela 48ndash Resultados da anaacutelise da sensibilidade da malha dos mancais
Noacutes circunferenciais
Noacutes axiais Elementos
Kxy
(MNm) Fx (N)
Desvio
Kxy Desvio
Fx
20 5 76 3926 5752 48 475
36 9 280 4122 6039 06 058
44 11 430 4146 6074 03 030
52 13 612 4158 6092 02 020
60 15 826 4166 6104 01 011
68 17 1072 4171 6111 01 008
76 19 1350 4174 6116 01 007
84 21 1660 4177 6120
Figura 410 ndash Sensibilidade da malha de elementos finitos do mancal ciliacutendrico no caacutelculo dos
paracircmetros de desempenho Fx e Kxy
Pela anaacutelise de sensibilidade realizada neste terceiro exemplo constata-se que 280 elementos
finitos na malha do filme fluido satildeo suficientes para a obtenccedilatildeo de resultados confiaacuteveis com
menos de 1 de erro relativo conforme Tabela 48
Uma vez definidas as malhas de elementos finitos satildeo realizadas as simulaccedilotildees e a integraccedilatildeo
numeacuterica no tempo Com os resultados da integraccedilatildeo satildeo gerados os espectros de frequecircncia
numeacutericos Os espectros de frequecircncia experimentais satildeo obtidos em diferentes velocidades de
rotaccedilatildeo do eixo atraveacutes de testes de batida (bump test) Satildeo afixados acelerocircmetros no topo dos
mancais e gerados os espectros de frequecircncia Na Figura 411 observa-se o espectro de
72
frequecircncia gerado a partir do teste de batida coletado no mancal 1 A amplitude indicada
representa o valor RMS da aceleraccedilatildeo Observam-se dois picos em frequecircncias de
aproximadamente 83 Hz (4980 rpm) e 110 Hz (6600 rpm) que correspondem agraves frequecircncias
naturais do sistema
Figura 411 ndash Espectro de frequecircncia experimental ndash teste de batida
Para se obter estas frequecircncias naturais pelo meacutetodo de elementos finitos proposto satildeo
realizadas duas simulaccedilotildees Uma com o rotor operando a 750rpm (Figura 412) e outra a
3200rpm (Figura 413)
Figura 412 ndash Espectro de frequecircncia obtido pelo MEF para rotaccedilatildeo de 750 rpm
Observa-se na Figura 412 o pico de 750rpm relativo agrave excitaccedilatildeo harmocircnica da massa
desbalanceada e um pico a aproximadamente 4950 rpm (825 Hz) que corresponde agravequele
73
identificado no espectro obtido experimentalmente no teste de batida
Na Figura 413 eacute niacutetido o pico a 6650rpm (111Hz) tambeacutem presente no espectro do resultado
experimental O pico de 3200 da Figura 413 eacute da excitaccedilatildeo harmocircnica
Figura 413 ndash Espectro de frequecircncia obtido pelo MEF para rotaccedilatildeo de 3200 rpm
A Tabela 49 apresenta a comparaccedilatildeo entre estes valores onde observa-se um erro relativo de
aproximadamente 1 dos dados numeacutericos em relaccedilatildeo aos dados experimentais
Tabela 49ndash Valores comparativos de frequecircncias naturais obtidas pelo MEF e experimentalmente
pelo teste de batida (bump test)
Experimental MEF Erro relativo
4980 rpm 4950 rpm -1
6600 rpm 6650rpm 08
Esta faixa de erro estaacute abaixo da resoluccedilatildeo dos graacuteficos e existem outros erros associados aos
dados apresentados devido agraves incertezas geomeacutetricas do rotor da bancada de testes
Uma segunda mediccedilatildeo experimental eacute realizada para este mesmo sistema fixando-se a rotaccedilatildeo
do eixo em 8900rpm Os resultados experimentais e numeacutericos da vibraccedilatildeo do mancal 2 satildeo
processados e gerados os espectros de frequecircncia a seguir A Figura 414 apresenta o espectro de
frequecircncia experimental para rotaccedilatildeo de 8900 rpm onde satildeo destacadas algumas frequecircncias
naturais excitadas a esta rotaccedilatildeo
74
Figura 414 ndash Espectro de frequecircncia experimental para o rotor da bancada operando a 8900rpm
A Figura 415 apresenta o espectro de frequecircncia numeacuterico para rotaccedilatildeo de 8900 rpm onde satildeo
destacados alguns dos picos que correspondem agraves mesmas frequecircncias naturais observadas no
resultado experimental A amplitude exibida no graacutefico estaacute na forma adimensional que eacute a
razatildeo entre a amplitude de deslocamento dividida pela folga do mancal
Figura 415 ndash Espectro de frequecircncia obtido pelo MEF para o rotor da bancada operando a 8900rpm
A comparaccedilatildeo entre estas frequecircncias eacute apresentada na Tabela 410 onde se observa um erro
relativo de menos de 3 para as prediccedilotildees das frequecircncias naturais em relaccedilatildeo aos valores
75
experimentais Nem todas as frequecircncias apresentadas no espectro experimental satildeo observadas
no resultado numeacuterico em funccedilatildeo do modelo computacional natildeo considerar alguns efeitos tais
como desalinhamento incertezas geomeacutetricas dos mancais ruiacutedos provenientes do motor
eleacutetrico e outros O pico de 17800rpm da Figura 414 por exemplo representa o segundo
harmocircnico da frequecircncia de rotaccedilatildeo do rotor que corresponde ao sinal de desalinhamento
paralelo (BERRY 1994)
Tabela 410ndash Valores comparativos de frequecircncias naturais obtidas pelo MEF e experimentalmente
para o rotor da bancada operando a 8900rpm
Experimental MEF Erro relativo
8890 rpm 8850 rpm -05
26800 rpm 26200 rpm -22
45600 rpm 44400 rpm -26
414 Segundo rotor de uma bancada de testes
Um quarto exemplo de validaccedilatildeo eacute selecionado (MACHADO 2006) para avaliar o
procedimento computacional implementado neste trabalho O rotor eacute semelhante ao anterior
ilustrado na Figura 49 poreacutem os mancais satildeo diferentes Satildeo mancais hidrodinacircmicos
ciliacutendricos cujas caracteriacutesticas satildeo apresentadas na Tabela 411
Tabela 411ndash Paracircmetros do rotor da bancada de testes ndash exemplo 2
Paracircmetro Descriccedilatildeo Valor Unidade
Leixo comprimento do eixo 030 m
D diacircmetro do eixo 0015 m
L comprimento dos mancais 0012 m
d diacircmetro do mancal 0015 m
c folga do mancal 24 x 10-6
m viscosidade do lubrificante 25 x 10
-3 Pamiddots
massa especiacutefica do lubrificante 892 kgmsup3
E moacutedulo de elasticidade do eixo 200 x 109 Pa
coeficiente de Poisson do eixo 03 -
massa especiacutefica do eixo 7870 kgmsup3
No espectro de frequecircncia computacional apresentado na Figura 416 satildeo destacadas as
frequecircncias naturais excitadas quando o rotor opera a 3200rpm
76
Figura 416 ndash Espectro de frequecircncia obtido pelo MEF para o rotor do exemplo 4 operando a 3200rpm
Estas frequecircncias satildeo comparadas com os valores obtidos experimentalmente para o rotor
descrito por Machado (2006) exibidas na Figura 417
Figura 417 ndash Espectro de frequecircncia experimental para o rotor de Machado(2006)
A comparaccedilatildeo das frequecircncias naturais dos resultados numeacutericos e experimentais eacute apresentada
na Tabela 412 onde observa-se que os resultados numeacutericos desviam menos de 2 dos
experimentais A uacutenica exceccedilatildeo eacute a frequecircncia de 9480 rpm do espectro experimental cujo erro
77
relativo foi de 37 no resultado numeacuterico Esta frequecircncia eacute de aproximadamente trecircs vezes a
frequecircncia de rotaccedilatildeo do eixo (3200rpm) o que significa um sinal de desalinhamento do rotor
conforme previsto na literatura (BERRY 1994)
Tabela 412ndash Valores comparativos das frequecircncias naturais obtidas
experimentalmente por Machado(2006) e pelo MEF
Experimental (rpm)
MEF (rpm)
erro relativo
3240 3194 -14
6360 6376 03
9480 9834 37
12960 12789 -13
18960 19190 12
25560 25591 01
28440 28823 13
32280 31992 -09
34800 35220 12
38520 38395 -03
41760 41615 -03
44100 44790 16
42 Anaacutelise dos coeficientes de forccedila dos mancais eliacutepticos
A anaacutelise dos coeficientes de forccedila eacute realizada aplicando-se o MEF a um exemplo de mancal
eliacuteptico extraiacutedo de Correia(2007) com o objetivo de identificar uma relaccedilatildeo entre os
coeficientes de forccedila e os paracircmetros construtivos do mancal folga radial (c) razatildeo de esbeltez
(LD) e preacute-carga (Mp) Este resultado permite observar se a relaccedilatildeo identificada se manteacutem
para diversas condiccedilotildees operacionais Os paracircmetros do mancal eliacuteptico selecionado satildeo
apresentados na Tabela 413
Tabela 413ndash Paracircmetros do mancal eliacuteptico selecionado
Paracircmetro Descriccedilatildeo Valor Unidade
L comprimento do mancal 0075 m
D diacircmetro do mancal 010 m
c1 folga do mancal (variaacutevel) viscosidade do lubrificante 84 x 10
-3 Pamiddots
massa especiacutefica do lubrificante 892 kgmsup3
rotaccedilatildeo 8800 rpm
Mp preacute-carga 045
W carga estaacutetica 1000 N
Para a anaacutelise de sensibilidade de malha do mancal selecionado adota-se uma folga radial de
75 m conforme Correia(2007) Esta anaacutelise permite avaliar a dependecircncia dos paracircmetros de
78
desempenho do mancal em funccedilatildeo do tamanho da malha A razatildeo entre o nuacutemero de elementos
finitos nas direccedilotildees circunferencial e axial eacute mantida constante dada pela relaccedilatildeo 4 Satildeo
apresentados na Figura 418 os desvios da forccedila de reaccedilatildeo do mancal (Fx) e do coeficiente de
rigidez cruzada (Kxy) obtidos para diferentes nuacutemeros de elementos da malha Para fins de
comparaccedilatildeo os desvios satildeo calculados em moacutedulo Pela anaacutelise de sensibilidade realizada
constata-se que aproximadamente 200 elementos finitos na malha do filme fluido satildeo suficientes
para a obtenccedilatildeo de resultados confiaacuteveis com menos de 1 de erro relativo
Figura 418 ndash Sensibilidade da malha de elementos finitos do mancal eliacuteptico no caacutelculo dos
paracircmetros de desempenho Fx e Kxy
421 Coeficientes de forccedila em funccedilatildeo da folga radial dos mancais eliacutepticos
Satildeo analisados nesta seccedilatildeo os resultados obtidos pelo MEF para o caacutelculo dos coeficientes de
rigidez direta adimensionais kxx e kyy dos mancais eliacutepticos para diferentes valores de folga
radial A adimensionalizaccedilatildeo dos coeficientes de rigidez direta eacute realizada pela relaccedilatildeo
(CORREIA2007)
kxx = c Kxx W
onde Kxx eacute o coeficiente de rigidez direta dimensional c eacute a folga radial do mancal e W eacute a
carga estaacutetica no mancal Para kyy a adimensionalizaccedilatildeo eacute anaacuteloga
Quando o mancal hidrodinacircmico opera ocorre um deslocamento da linha de centro do munhatildeo
79
(eixo do rotor) em relaccedilatildeo agrave linha de centro do mancal como ilustrado na Figura 419Figura 33
Este deslocamento eacute definido como a excentricidade e e o acircngulo eacute definido como acircngulo de
posiccedilatildeo A excentricidade adimensional eacute definida pela expressatildeo onde c eacute a folga
radial maacutexima do mancal Para cada condiccedilatildeo operacional o munhatildeo tende a se deslocar ateacute um
ponto de equiliacutebrio onde as forccedilas da accedilatildeo hidrodinacircmica do filme fluido entre em equiliacutebrio
com as forccedilas atuantes do rotor sobre o mancal Este ponto eacute definido como o ponto de
equiliacutebrio estaacutetico o
Figura 419 - Posicionamento do eixo dentro do mancal e excentricidade
O ponto de equiliacutebrio estaacutetico ( o) eacute influenciado por vaacuterios paracircmetros do mancal em especial
pela folga radial do mancal Para os mancais eliacutepticos analisados observa-se uma variaccedilatildeo de o
em funccedilatildeo da folga radial conforme mostrado na Figura 420
Figura 420 ndash Excentricidade adimensional do ponto de equiliacutebrio estaacutetico dos mancais
eliacutepticos em funccedilatildeo da folga radial
80
A Figura 421 apresenta os valores do coeficiente de rigidez direta adimensional dos mancais
eliacutepticos em funccedilatildeo da folga radial Eacute observado que estes coeficientes apresentam uma
variaccedilatildeo muito pequena para valores de o entre zero e 03 Estes valores correspondem a folgas
radiais entre zero a 150 m respectivamente Para destacar esta faixa eacute apresentada na Figura
421 uma linha pontilhada vertical onde se observa que os valores calculados para os
coeficientes kxx e kyy variam menos de 1 e fora desta faixa os coeficientes variam
consideravelmente Satildeo exibidas no graacutefico duas linhas tracejadas horizontais como referecircncia
para facilitar a observaccedilatildeo do alinhamento dos pontos
Figura 421 ndash Coeficientes de rigidez direta adimensionais em funccedilatildeo da folga radial dos mancais eliacutepticos
A adimensionalizaccedilatildeo do coeficiente de rigidez cruzada Kxy eacute realizada de maneira semelhante agrave
dos coeficientes de rigidez direta (CORREIA 2007) Poreacutem observa-se que os coeficientes kxy e
a folga radial tecircm uma relaccedilatildeo de proporcionalidade inversa para uma certa faixa operacional
descrita a seguir Desta forma o produto entre eles deve ser constante nesta faixa Sugere-se
assim um novo adimensional o ―coeficiente de rigidez cruzada adimensional modificado
definido por
onde Kxy eacute o coeficiente de rigidez cruzada dimensional c eacute a folga radial do mancal W eacute a
carga estaacutetica no mancal eacute a excentricidade adimensional no ponto de equiliacutebrio estaacutetico kxy
eacute o coeficiente de rigidez cruzada adimensional
81
A Figura 422 apresenta os resultados obtidos pelo MEF para o caacutelculo do coeficiente de rigidez
cruzada adimensional modificado dos mancais eliacutepticos para diferentes valores de folga
radial
Figura 422 ndash Coeficientes de rigidez cruzada adimensional modificado em funccedilatildeo da folga
radial dos mancais eliacutepticos
Observa-se que para a faixa onde os valores do coeficiente de rigidez cruzada
adimensional modificado satildeo aproximadamente constantes Apenas o uacuteltimo valor desta faixa
apresenta um desvio de 5 em relaccedilatildeo aos demais que variam menos de 1 Esta anaacutelise vale
de maneira anaacuteloga para ambos coeficientes de rigidez cruzada pois Kyx = -Kxy
Para os resultados computacionais dos coeficientes de amortecimento observa-se um padratildeo
semelhante ao identificado para os coeficientes de rigidez quando uma vez que nesta
faixa o coeficiente de amortecimento direto Cxx eacute proporcional ao coeficiente de rigidez cruzada
Kxy e o coeficiente de amortecimento cruzado Cxy eacute proporcional ao coeficiente de rigidez
direta Kxx Para investigar a faixa onde esta proporcionalidade eacute mantida eacute apresentado na
Figura 423 a razatildeo em funccedilatildeo da folga radial do mancal eliacuteptico Observa-se que para
a razatildeo eacute aproximadamente constante variando menos de 1 Este resultado
eacute ilustrado na Figura 423 sendo tambeacutem vaacutelido para a razatildeo
82
Figura 423 ndash Razatildeo CxyKxx em funccedilatildeo da folga radial dos mancais eliacutepticos
O amortecimento efetivo do mancal eacute um paracircmetro importante na anaacutelise da estabilidade
(VANCE 1988) definido pela expressatildeo 2ωCxxKxy onde Cxx eacute o coeficiente de amortecimento
direto (ou Cyy) e Kxy eacute o coeficiente de rigidez cruzada (ou -Kyx) Assim para concluir a anaacutelise
dos coeficientes de amortecimento em funccedilatildeo da folga radial eacute escolhido o amortecimento
efetivo como paracircmetro de desempenho Satildeo apresentados na Figura 424 os resultados do
amortecimento efetivo em funccedilatildeo da folga radial dos mancais eliacutepticos Novamente eacute observado
que para e0lt03 o amortecimento efetivo varia pouco menos de 1
Figura 424 ndash Amortecimento efetivo em funccedilatildeo da folga radial dos mancais eliacutepticos
83
Pode-se observar que os diversos paracircmetros analisados relacionados aos coeficientes de forccedila
dos mancais eliacutepticos variam pouco na faixa onde e este padratildeo natildeo eacute observado fora
desta faixa
422 Coeficientes de forccedila em funccedilatildeo da razatildeo de esbeltez dos mancais eliacutepticos
A razatildeo de esbeltez (LD) eacute um paracircmetro importante no projeto dos mancais hidrodinacircmicos
influenciando de maneira natildeo-linear nos seus coeficientes de forccedila (SAWICKI e RAO 2004)
No procedimento computacional proposto observa-se um padratildeo comum para alguns
paracircmetros de desempenho dos mancais eliacutepticos em funccedilatildeo da razatildeo de esbeltez
Eacute apresentada na Figura 425 a curva que relaciona a excentricidade adimensional do ponto de
equiliacutebrio estaacutetico ( ) com a razatildeo de esbeltez (LD) para os mancais analisados Observa-se um
valor de para LD = 045 que eacute uma razatildeo de esbeltez muito baixa conforme
observado nas aplicaccedilotildees industriais
Figura 425 ndash Excentricidade adimensional do ponto de equiliacutebrio estaacutetico dos mancais eliacutepticos em
funccedilatildeo da razatildeo de esbeltez
Na anaacutelise dos coeficientes de forccedila dos mancais em funccedilatildeo de LD identifica-se um padratildeo
comum para o amortecimento efetivo ( ) como ilustrado na Figura 426 Observa-se
que na faixa onde o amortecimento efetivo eacute aproximadamente constante variando no
maacuteximo 3
84
Figura 426 ndash Variaccedilatildeo do amortecimento efetivo em funccedilatildeo da razatildeo de esbeltez dos mancais eliacutepticos
Os resultados obtidos pelo MEF para o coeficiente de amortecimento cruzado adimensional (cxy)
mostram que existe uma relaccedilatildeo linear entre cxy e LD na faixa onde conforme
ilustrado na Figura 427 A linha tracejada indica o ajuste linear feito com os pontos desta faixa
no qual obteacutem-se um coeficiente de determinaccedilatildeo (R2) maior que 099 Embora os pontos na
faixa oposta (LD lt 045 e ) estejam tambeacutem aproximadamente alinhados natildeo foi
observado outro padratildeo comum nesta faixa
Figura 427 ndash Variaccedilatildeo do amortecimento cruzado adimensional em funccedilatildeo da razatildeo de esbeltez dos
mancais eliacutepticos
85
Os coeficientes de forccedila apresentados nesta seccedilatildeo obtidos pelo MEF implementado para os
mancais eliacutepticos apresentam uma clara relaccedilatildeo algeacutebrica com a razatildeo de esbeltez que se
manteacutem na faixa onde
423 Coeficientes de forccedila em funccedilatildeo da preacute-carga dos mancais eliacutepticos
Outro paracircmetro importante no projeto dos mancais hidrodinacircmicos eacute a preacute-carga (Mp) No
procedimento computacional proposto observa-se um padratildeo comum para alguns paracircmetros de
desempenho de mancais eliacutepticos em funccedilatildeo da preacute-carga
A Figura 428 apresenta a excentricidade adimensional do ponto de equiliacutebrio estaacutetico dos
mancais analisados para diferentes valores de preacute-carga (Mp) Observa-se um valor de
para Mp = 04
Figura 428 ndash Excentricidade adimensional do ponto de equiliacutebrio estaacutetico dos mancais eliacutepticos em
funccedilatildeo da preacute-carga
Na anaacutelise dos coeficientes de rigidez direta dos mancais para diferentes valores de Mp
observa-se uma relaccedilatildeo de proporcionalidade entre Mp e (kyy)23
e entre Mp e (kxx)12
como
ilustrado na Figura 429 Na faixa onde que corresponde a Mp lt 04 estas relaccedilotildees
algeacutebricas variam pouco Observa-se que nesta faixa a relaccedilatildeo de proporcionalidade entre Mp e
(kyy)23
varia no maacuteximo 4 e entre Mp e (kxx)12
varia no maacuteximo 7 Fora desta faixa as
variaccedilotildees satildeo maiores que 20
86
Figura 429 ndash Variaccedilatildeo da relaccedilatildeo de ajuste entre Mp kxx e kxy em funccedilatildeo da preacute-carga dos mancais eliacutepticos
Observa-se tambeacutem uma relaccedilatildeo linear entre o amortecimento efetivo ( ) e a preacute-
carga para valores de A Figura 436 apresenta estes resultados onde a linha tracejada
corresponde ao ajuste linear feito na faixa onde obtendo-se um coeficiente de
determinaccedilatildeo (R2) maior que 0999
Figura 430 ndash Variaccedilatildeo do amortecimento efetivo em funccedilatildeo da preacute-carga dos mancais eliacutepticos
Estes resultados obtidos pelo MEF implementado para os mancais eliacutepticos mostram que os
coeficientes de forccedila apresentam uma clara relaccedilatildeo algeacutebrica com a preacute-carga quando a
excentricidade adimensional ponto de equiliacutebrio estaacutetico eacute menor que 03
87
43 A influecircncia dos paracircmetros geomeacutetricos dos mancais eliacutepticos na resposta
desbalanceada
A resposta desbalanceada do sistema rotor-mancal eacute um importante paracircmetro operacional que
auxilia no projeto de maacutequinas rotativas pois informa o niacutevel de vibraccedilatildeo do sistema ao se
atravessar as velocidades criacuteticas Desta forma eacute fundamental uma anaacutelise da influecircncia dos
paracircmetros geomeacutetricos dos mancais eliacutepticos na resposta desbalanceada do sistema De fato
muitas turbomaacutequinas operam acima da primeira velocidade criacutetica e por isto os mancais devem
ser projetados para absorver as altas vibraccedilotildees provocadas pelo sistema quando ele passa pela
velocidade criacutetica
O procedimento computacional proposto neste trabalho permite predizer como os paracircmetros
geomeacutetricos dos mancais eliacutepticos influenciam a resposta desbalanceada Esta anaacutelise eacute realizada
atraveacutes dos resultados obtidos da integraccedilatildeo no tempo das equaccedilotildees do movimento
Satildeo selecionados a seguir alguns paracircmetros geomeacutetricos importantes no projeto de mancais
eliacutepticos e analisada a resposta desbalanceada do sistema rotor-mancal em funccedilatildeo destes
paracircmetros Inicialmente faz-se uma anaacutelise da influecircncia da preacute-carga dos mancais eliacutepticos na
razatildeo de amplificaccedilatildeo da resposta desbalanceada Em seguida eacute analisada a resposta
desbalanceada em funccedilatildeo da razatildeo de esbeltez dos mancais eliacutepticos e finalmente eacute analisada a
influecircncia da folga radial dos mancais eliacutepticos na resposta desbalanceada
431 A razatildeo de amplificaccedilatildeo da resposta desbalanceada em funccedilatildeo da preacute-carga
A resposta desbalanceada de rotores analisada para diferentes mancais eacute normalmente usada
como um paracircmetro de eficiecircncia dos mancais nas velocidades criacuteticas (FLACK e ROOKE
1980) Ela eacute a medida da amplitude de vibraccedilatildeo do sistema quando excitado pela forccedila de
desbalanceamento A reposta desbalanceada eacute analisada para o sistema apoiado em mancais
eliacutepticos sob diferentes valores de preacute-carga baseados em um exemplo de mancal eliacuteptico
apresentado em Machado(2006) A amplitude de vibraccedilatildeo eacute calculada atraveacutes do raio meacutedio das
oacuterbitas obtidas pelo procedimento numeacuterico Os paracircmetros do sistema satildeo apresentados na
Tabela 414 O rotor simulado natildeo possui discos massivos e estaacute apoiado em mancais
hidrodinacircmicos eliacutepticos como ilustrado na Figura 431
88
Figura 431 ndash Desenho esquemaacutetico do rotor sem disco massivo
Tabela 414 Paracircmetros do sistema rotor-mancal eliacuteptico utilizado na anaacutelise
d (diacircmetro do eixo) = 0015 m μ (viscosidade do lubrificante) = 27 x 10-3
Pas
L (comprimento do mancal) = 0012 m ρL (massa especiacutefica do lubrificante)= 915 kgmsup3
D (diacircmetro do mancal) = 0015 m ρ (massa especiacutefica do eixo) = 7850 kgmsup3
c1 (folga do mancal 1) = 24 μm c2 (folga do mancal 2) = 24 μm
Leixo (comprimento do eixo) = 0900m mu (massa desbalanceada) = 00035 kg
Ω (rotaccedilatildeo do rotor) = 2000 a 10000 rpm ud (excentricidade da massa desbalanceada) = 0035 m
E (Moacutedulo de Young do eixo) = 205x109 Pa Mp (preacute-carga dos mancais)=045
W (carga estaacutetica por mancal) = 612N
Para este exemplo eacute adotada uma malha de 80 elementos para o eixo e de 351 elementos para o
filme fluido composta por 40 noacutes circunferenciais e 10 noacutes axiais A excentricidade
adimensional do ponto de equiliacutebrio estaacutetico calculado eacute com um acircngulo de posiccedilatildeo
proacuteximo de zero Este ponto de equiliacutebrio eacute calculado de modo a garantir que a forccedila
hidrodinacircmica do filme fluido seja agrave carga estaacutetica W que eacute obtida dividindo-se o peso do eixo
pelo nuacutemero de mancais
A resposta desbalanceada (Figura 432) eacute calculada no mancal 1 considerando mancais eliacutepticos
com preacute-carga Mp=045 A amplitude adimensional eacute calculada dividindo-se a amplitude de
vibraccedilatildeo do eixo pela folga do mancal Os dois picos destacados na Figura 432 representam a
primeira e segunda velocidades criacuteticas do rotor
89
Figura 432 ndash Resposta desbalanceada calculada no mancal 1 do rotor apoiado em mancais eliacutepticos
com preacute-carga 045 (MIRANDA e FARIA 2012)
Uma vez identificadas as velocidades criacuteticas do rotor estuda-se a influecircncia da preacute-carga dos
mancais eliacutepticos na resposta desbalanceada com o rotor operando em torno da sua primeira
velocidade criacutetica A resposta desbalanceada para o sistema apoiado em mancais hidrodinacircmicos
eliacutepticos com diferentes valores de preacute-carga (Mp) eacute exibida na Figura 433 A curva superior
corresponde Mp=075 a curva intermediaacuteria corresponde a Mp=045 e a curva inferior
corresponde a Mp=045
Figura 433 ndash Resposta desbalanceada para diferentes valores de preacute-carga dos mancais eliacutepticos
(MIRANDA e FARIA 2012)
90
Os valores das amplitudes adimensionais satildeo calculadas na extremidade esquerda do eixo onde
ele estaacute apoiado no mancal 1 Observa-se que a amplitude na primeira velocidade criacutetica eacute mais
elevada para valores maiores de preacute-carga Poreacutem aleacutem de analisar a amplitude da vibraccedilatildeo eacute
importante tambeacutem investigar a razatildeo de amplificaccedilatildeo desta vibraccedilatildeo
A razatildeo de amplificaccedilatildeo da resposta desbalanceada na velocidade criacutetica eacute um paracircmetro
importante na anaacutelise da estabilidade do sistema rotor-mancal (ZEIDAN e PAQUETTE 1994)
Neste exemplo numeacuterico ela eacute calculada atraveacutes da relaccedilatildeo entre a resposta desbalanceada na
primeira velocidade criacutetica e na rotaccedilatildeo de 2000rpm A rotaccedilatildeo de 2000rpm eacute escolhida como
referecircncia pelo fato de representar uma rotaccedilatildeo onde a amplitude de vibraccedilatildeo apresenta pouca
influecircncia da velocidade criacutetica A razatildeo de amplificaccedilatildeo permite inferir sobre a capacidade do
mancal eliacuteptico atenuar a resposta desbalanceada do rotor ao passar pela velocidade criacutetica o
que eacute uma caracteriacutestica importante dos mancais hidrodinacircmicos (STERNLICHT e LEWIS
1968 VANCE 1988 CORREIA 2007) A Figura 434 apresenta os valores da razatildeo de
amplificaccedilatildeo para o exemplo estudado com diferentes valores de preacute-carga nos mancais A preacute-
carga zero representa o caso particular de mancal ciliacutendrico
Figura 434 ndashRazatildeo de amplificaccedilatildeo da resposta desbalanceada na primeira velocidade criacutetica para o
rotor apoiado em mancais eliacutepticos (MIRANDA e FARIA 2012)
Observa-se uma menor razatildeo de amplificaccedilatildeo (maior atenuaccedilatildeo) da resposta desbalanceada na
primeira velocidade criacutetica para uma preacute-carga de 045 A literatura teacutecnica apresenta uma
recomendaccedilatildeo de aplicaccedilatildeo de mancais eliacutepticos com preacute-carga de aproximadamente 05 por
apresentar melhor estabilidade (PINKUS 1956 ALLAIRE e FLACK 1981) Portanto para o
91
exemplo de rotor analisado este resultado mostra uma concordacircncia entre os valores obtidos
pelo MEF para a razatildeo de amplificaccedilatildeo e a recomendaccedilatildeo da literatura no que diz respeito agrave
estabilidade de mancais eliacutepticos
432 A resposta desbalanceada em funccedilatildeo da razatildeo de esbeltez dos mancais eliacutepticos
A resposta desbalanceada do sistema rotor-mancal eacute analisada para o rotor da Figura 435
composto por um eixo flexiacutevel apoiado nas extremidades por mancais hidrodinacircmicos eliacutepticos
e com um disco massivo acoplado em uma posiccedilatildeo assimeacutetrica Esta posiccedilatildeo assimeacutetrica eacute
escolhida para se evitar soluccedilotildees particulares restritas a rotores com simetria axial Os
paracircmetros do rotor satildeo apresentados na Tabela 415 onde os paracircmetros baacutesicos dos mancais
eliacutepticos satildeo idecircnticos aos apresentados por Correia(2006)
Figura 435 ndashDesenho esquemaacutetico do rotor com disco massivo em posiccedilatildeo assimeacutetrica
A resposta desbalanceada eacute calculada atraveacutes da amplitude adimensional de vibraccedilatildeo do rotor
operando na primeira velocidade criacutetica (VC) apoiado mancais eliacutepticos com diferentes razotildees
de esbeltez (LD) A amplitude adimensional eacute obtida dividindo-se a amplitude de vibraccedilatildeo pela
folga do mancal
92
Tabela 415ndash Paracircmetros do rotor com mancais eliacutepticos
Paracircmetro Descriccedilatildeo Valor Unidade
leixo comprimento do eixo (vatildeo) 090 m
d diacircmetro do eixo 0015 m
L comprimento do mancal (variaacutevel) m
D diacircmetro do mancal 010 m
c1 folga do mancal 75 x 10-6
m viscosidade do lubrificante 84 x 10
-3 Pamiddots
massa especiacutefica do lubrificante 892 kgmsup3
E moacutedulo de elasticidade do eixo 205 x 109 Pa
coeficiente de Poisson do eixo 03 -
massa especiacutefica do eixo 7850 kgmsup3
W
w
carga estaacutetica em cada mancal
rotaccedilatildeo
100
2000
N
rpm
Para este exemplo eacute adotada uma malha de 80 elementos para o eixo e de 210 a 2100 elementos
para o filme fluido dependendo da razatildeo de esbeltez LD de modo a garantir menos de 1 de
erro relativo Os pontos de equiliacutebrio estaacuteticos satildeo mostrados na Figura 437
A integraccedilatildeo numeacuterica das equaccedilotildees de movimento permitem obter as amplitudes de vibraccedilatildeo
do rotor na primeira velocidade criacutetica (VC) Satildeo apresentadas na Figura 436 em escala log-log
a amplitude adimensional da resposta desbalanceada calculada no mancal 1 para o rotor
operando na primeira VC em funccedilatildeo da razatildeo de esbeltez (LD) dos mancais Satildeo considerados
trecircs tipos de mancais eliacutepticos com valores de preacute-carga Mp=0 Mp=045 Mp=090
Figura 436 ndash Amplitude de vibraccedilatildeo na primeira VC
em funccedilatildeo da razatildeo de esbeltez dos mancais eliacutepticos
93
Na Figura 436 observa-se que os pontos se mantecircm alinhados e proacuteximos das curvas de ajuste
para os valores de LD maiores que 04 que foi destacado no eixo horizontal Como a escala eacute
logariacutetmica em ambos eixos isto natildeo indica uma linearidade mas alguma relaccedilatildeo de potecircncia
entre a amplitude na VC e a razatildeo de esbeltez dos mancais A linha traccedilo-ponto apresentada no
graacutefico representa o ajuste feito para os valores obtidos com Mp=090 e a linha tracejada
representa o ajuste feito para os valores obtidos com Mp=0 O ajuste de curvas mostra que haacute
uma relaccedilatildeo cuacutebica inversa entre a amplitude da resposta desbalanceada (Ampl) e a razatildeo de
esbeltez (LD) do mancal com um coeficiente de determinaccedilatildeo R2 maior que 0999 Desta
forma eacute possiacutevel predizer o valor da amplitude calculada dentro desta faixa pela expressatildeo
onde a constante a depende da preacute-carga (Mp) do mancal eliacuteptico
Observa-se ainda pela Figura 436 que os pontos satildeo bem alinhados para as curvas de ajuste
obtidas para valores de LDgt04 E esta faixa de valores de razatildeo de esbeltez corresponde agrave
faixa onde a excentricidade adimensional no ponto de equiliacutebrio estaacutetico eacute menor que 035
Este valor eacute proacuteximo ao obtido nas anaacutelises apresentadas nas subseccedilotildees anteriores onde se
observa uma relaccedilatildeo algeacutebrica repetitiva para os paracircmetros de desempenho dos mancais na
faixa
O resultado apresentado na Figura 436 mostra tambeacutem que o procedimento baseado no MEF
pode ser usado na prediccedilatildeo da influecircncia da razatildeo de esbeltez dos mancais eliacutepticos na resposta
desbalanceada do sistema rotor-mancal o que eacute importante na anaacutelise de alteraccedilotildees de projetos
de maacutequinas rotativas
Outro resultado importante eacute destacado a seguir Constata-se que a excentricidade adimensional
do ponto de equiliacutebrio estaacutetico apresenta uma relaccedilatildeo cuacutebica inversa com o valor de LD Esta
relaccedilatildeo proveacutem dos ajustes de curva apresentados na Figura 437 onde pode-se observar os
valores calculados para em funccedilatildeo de LD A linha fina horizontal equivale a
94
Figura 437 ndash Curvas de ajuste da excentricidade adimensional do ponto de equiliacutebrio estaacutetico em
funccedilatildeo da razatildeo de esbeltez dos mancais eliacutepticos
Eacute observado que os pontos do graacutefico seguem alinhados com as curvas de ajuste para valores de
para o mancal ciliacutendrico (Mp=0) e vatildeo se afastando deste alinhamento para valores
maiores de Para os mancais eliacutepticos o valor os pontos seguem alinhados com a curva de
ajuste para valores de um pouco maiores Como o graacutefico estaacute em escala log-log o fato das
curvas de ajuste serem retas natildeo significa uma relaccedilatildeo de linearidade De fato a relaccedilatildeo entre
e LD identificada para este exemplo eacute
onde a eacute uma constante de proporcionalidade que varia com a preacute-carga Esta relaccedilatildeo eacute vaacutelida
para os trecircs valores de preacute-carga considerados neste exemplo Tendo em vista esta relaccedilatildeo
define-se como ―razatildeo de ajuste o valor para se examinar em qual faixa de
excentricidade esta razatildeo eacute mantida aproximadamente constante A Figura 438 ilustra como a
razatildeo de ajuste varia em funccedilatildeo de Satildeo incluiacutedas linhas tracejadas para auxiliar na
observaccedilatildeo do alinhamento dos pontos Eacute possiacutevel perceber que a razatildeo de ajuste eacute
aproximadamente constante ateacute um certo valor de que varia com a preacute-carga Mp
95
Figura 438 ndash Razatildeo de ajuste de LD em funccedilatildeo da excentricidade adimensional do ponto de
equiliacutebrio estaacutetico dos mancais
Para melhor identificar um valor limite de ( ) satildeo apresentados na Figura 442 os valores dos
erros relativos da razatildeo de ajuste em funccedilatildeo da excentricidade adimensional do ponto de
equiliacutebrio estaacutetico Estes erros indicam o quanto os pontos da Figura 438 estatildeo distantes das
retas de referecircncia ou seja o quanto cada valor estaacute distante do ajuste de curva calculado
Figura 439 ndash Erros relativos da razatildeo de ajuste de LD em funccedilatildeo da excentricidade adimensional do
ponto de equiliacutebrio estaacutetico dos mancais
96
Percebe-se que os mancais eliacutepticos analisados (Mp=090 e Mp=045) desviam menos do ajuste
de curva do que o mancal ciliacutendrico (Mp=0) Pelas curvas da Figura 439 observa-se que os
mancais eliacutepticos analisados quando possuem um valor apresentam um desvio
pequeno em relaccedilatildeo agrave curva de ajuste proacuteximo de 5 Esta faixa de equivale agrave faixa
identificada nos demais resultados apresentados neste trabalho onde satildeo observadas relaccedilotildees
algeacutebricas que se manteacutem com aproximadamente 5 de precisatildeo Este desvio pode estar
relacionado com alguma perturbaccedilatildeo numeacuterica do procedimento computacional implementado
que leva a resultados menos confiaacuteveis para valores elevados de excentricidade principalmente
quando
433 A resposta desbalanceada em funccedilatildeo da folga radial dos mancais eliacutepticos
A resposta desbalanceada do sistema rotor-mancal eacute analisada nesta seccedilatildeo em funccedilatildeo da folga
radial nos mancais A folga tem uma forte influecircncia nos coeficientes de forccedila dos mancais
hidrodinacircmicos o que provoca uma variaccedilatildeo nos niacuteveis de vibraccedilatildeo do sistema principalmente
nas velocidades criacuteticas Os paracircmetros do sistema analisado satildeo apresentados na Tabela 415
exceto o comprimento dos mancais que foi fixado em 75mm e a folga passou a ser variaacutevel O
rotor ilustrado esquematicamente na Figura 435
Satildeo considerados trecircs tipos de mancais eliacutepticos com preacute-cargas (Mp) de 0 045 e 090 As
amplitudes de vibraccedilatildeo satildeo calculadas no Mancal 1 para o rotor operando na primeira
velocidade criacutetica As amplitudes satildeo apresentadas de maneira adimensional na Figura 440 em
escala logariacutetmica onde a linha traccedilo-ponto apresentada no graacutefico representa o ajuste feito para
os valores obtidos com Mp=090 e a linha tracejada representa o ajuste para os valores obtidos
com Mp=0 Natildeo eacute apresentada a linha do ajuste para MP=045 por motivos esteacuteticos Para os
trecircs valores de Mp eacute identificada uma relaccedilatildeo quadraacutetica entre a amplitude adimensional da
resposta desbalanceada e a folga radial dos mancais
97
Figura 440 ndash Amplitude de vibraccedilatildeo na primeira VC
em funccedilatildeo da folga radial dos mancais
Eacute observado na Figura 440 que os pontos se manteacutem alinhados e proacuteximos das curvas de
ajuste para os valores de folga de ateacute aproximadamente 150 m Como a escala eacute logariacutetmica em
ambos eixos isto natildeo indica uma linearidade mas sim a relaccedilatildeo quadraacutetica identificada pelo
ajuste de curva
Na anaacutelise da excentricidade em funccedilatildeo da folga radial c eacute tambeacutem identificada uma relaccedilatildeo
quadraacutetica dada pela expressatildeo onde a eacute uma constante de proporcionalidade que
varia com a preacute-carga Mp Tendo em vista esta relaccedilatildeo define-se uma nova ―razatildeo de ajuste
pela expressatildeo para se analisar em qual faixa de excentricidade esta razatildeo eacute mantida
aproximadamente constante A Figura 441 apresenta os valores obtidos para a razatildeo de ajuste
em funccedilatildeo de Satildeo incluiacutedas linhas tracejadas para auxiliar na observaccedilatildeo do alinhamento
dos pontos Eacute possiacutevel perceber que a razatildeo de ajuste eacute aproximadamente constante ateacute um certo
valor de que varia com a preacute-carga Mp
98
Figura 441 ndash Razatildeo de ajuste da folga radial em funccedilatildeo da excentricidade adimensional do ponto de
equiliacutebrio estaacutetico dos mancais
Para melhor identificar um valor limite de satildeo apresentados na Figura 442 os valores dos
erros relativos da razatildeo de ajuste em funccedilatildeo de Estes erros indicam o quanto os pontos da
Figura 441 estatildeo distantes das retas de referecircncia ou seja o quanto cada valor estaacute distante do
ajuste de curva calculado
Figura 442 ndash Erros relativos da razatildeo de ajuste da folga radial em funccedilatildeo da excentricidade
adimensional do ponto de equiliacutebrio estaacutetico dos mancais
99
Eacute observado novamente que os mancais eliacutepticos analisados (Mp=090 e Mp=045) desviam
menos do ajuste de curva do que o mancal ciliacutendrico (Mp=0) e que para uma excentricidade
adimensional os mancais eliacutepticos apresentam um desvio pequeno em relaccedilatildeo agrave curva
de ajuste proacuteximo de 5 Este resultado eacute muito parecido com aquele identificado na seccedilatildeo
anterior onde eacute analisada a resposta desbalanceada em funccedilatildeo da razatildeo de esbeltez LD dos
mancais
A literatura teacutecnica afirma que sob determinadas condiccedilotildees operacionais os mancais eliacutepticos
apresentam uma faixa de operaccedilatildeo mais ampla do que os mancais ciliacutendricos (CORREIA 2007)
Desta forma pode-se estabelecer uma relaccedilatildeo entre os resultados obtidos pelo MEF
implementado e esta afirmaccedilatildeo da literatura se for considerado que o desvio em relaccedilatildeo agrave curva
de ajuste estaacute relacionado com algum tipo de limitaccedilatildeo operacional
100
5 CONCLUSOtildeES
O procedimento computacional aqui desenvolvido baseado no MEF permite predizer o
comportamento dinacircmico de diferentes tipos de rotores compostos por eixo flexiacutevel discos
massivos e mancais hidrodinacircmicos de perfil ciliacutendrico ou eliacuteptico Os resultados produzidos
permitem validar o modelo pela comparaccedilatildeo com valores experimentais coletados em uma
bancada de teste e tambeacutem com valores publicados na literatura
O presente trabalho apresenta uma importante contribuiccedilatildeo na anaacutelise de sistemas rotor-mancal
pelo fato de investigar o sistema rotativo de maneira ampla tanto para o eixo flexiacutevel quanto
para os mancais Satildeo considerados no modelo do eixo flexiacutevel os efeitos de deformaccedilatildeo por
cisalhamento ineacutercia rotatoacuteria e efeito giroscoacutepico e para o modelo dos mancais
hidrodinacircmicos ciliacutendricos e eliacutepticos satildeo considerados todos os coeficientes de forccedila
independentes sem o uso de teorias simplificadas como os modelos de mancal curto ou de
mancal longo
Este procedimento computacional eacute muito uacutetil natildeo apenas para se determinar a resposta
desbalanceada de rotores como tambeacutem para se avaliar a viabilidade de alteraccedilotildees de projeto
capazes de melhorar o comportamento dinacircmico de maacutequinas rotativas
Os coeficientes de forccedila dos mancais hidrodinacircmicos desempenham um importante papel no
projeto de maacutequinas rotativas na previsatildeo de sua capacidade de suportar vibraccedilotildees e de operar
em condiccedilotildees estaacuteveis Os resultados apresentados neste trabalho mostram claramente a
influecircncia dos paracircmetros geomeacutetricos dos mancais hidrodinacircmicos de geometria fixa
ciliacutendricos e eliacutepticos nos seus coeficientes de forccedila e na resposta desbalanceada do sistema
rotativo
Os resultados numeacutericos obtidos pelo MEF aqui desenvolvido apresentam um erro relativo de
aproximadamente 4 para as frequecircncias naturais em relaccedilatildeo aos resultados experimentais e da
literatura
A anaacutelise da influecircncia da folga radial dos mancais eliacutepticos nos coeficientes de forccedila mostra
que os coeficientes de rigidez direta adimensionais variam pouco dentro da faixa operacional
onde a excentricidade adimensional do ponto de equiliacutebrio estaacutetico (e0) eacute menor que 03 Acima
deste valor os coeficientes de rigidez direta adimensionais diminuem consideravelmente
101
Observa-se ainda que o coeficiente de rigidez cruzado adimensional (kxy) eacute inversamente
proporcional ao e0 o que permite introduzir um novo adimensional o ―coeficiente de rigidez
cruzada adimensional modificado definido por xy=e0kxy Este coeficiente tambeacutem apresenta
valores aproximadamente constantes quando se varia a folga do mancal eliacuteptico dentro da faixa
onde e0lt03 Tambeacutem satildeo observados valores aproximadamente constantes para a razatildeo CxyKxx
e para o amortecimento efetivo ( ) quando se varia a folga mantendo-se e0lt03
A anaacutelise da influecircncia da razatildeo de esbeltez (LD) dos mancais eliacutepticos nos coeficientes de
forccedila permite observar que o amortecimento efetivo ( ) e o coeficiente de
amortecimento cruzado adimensional (cxy) dos mancais eliacutepticos seguem um padratildeo comum
quando e0lt03 Para o amortecimento efetivo os valores satildeo aproximadamente constantes
enquanto para cxy observa-se uma relaccedilatildeo linear entre cxy e e0 nesta faixa
Na anaacutelise da influecircncia da preacute-carga (Mp) dos mancais eliacutepticos nos coeficientes de forccedila
observa-se uma proporcionalidade entre Mp e (kyy)23
e entre Mp e (kxx)12
na faixa onde
Eacute identificado tambeacutem que o amortecimento efetivo ( ) varia linearmente com Mp
nesta faixa
Eacute mostrado atraveacutes de um exemplo de rotor flexiacutevel apoiado em mancais eliacutepticos que a razatildeo
de amplificaccedilatildeo da resposta desbalanceada atinge um miacutenimo para um exemplo de mancal com
Mp=045 A literatura teacutecnica apresenta uma recomendaccedilatildeo de aplicaccedilatildeo de mancais eliacutepticos
com preacute-carga de aproximadamente 05 por apresentar melhor estabilidade (PINKUS 1956
ALLAIRE e FLACK 1981) Portanto para o exemplo de rotor analisado este resultado mostra
uma concordacircncia entre os valores obtidos pelo MEF para a razatildeo de amplificaccedilatildeo e a
recomendaccedilatildeo da literatura no que diz respeito agrave estabilidade de mancais eliacutepticos
A anaacutelise da resposta desbalanceada permite observar que a amplitude de vibraccedilatildeo na primeira
velocidade criacutetica eacute proporcional a (LD)-3
e tambeacutem proporcional ao quadrado da folga radial
(c2) na faixa onde Esta proporcionalidade eacute mantida em uma faixa operacional mais
ampla para os mancais eliacutepticos do que para os mancais ciliacutendricos analisados
Este resultado de aproximadamente 03 encontra respaldo na literatura teacutecnica que afirma que o
procedimento linearizado de perturbaccedilatildeo em torno da posiccedilatildeo de equiliacutebrio eacute vaacutelido para ateacute
102
40 da folga do mancal (LUND1987) Esta observaccedilatildeo eacute tambeacutem destacada no trabalho de
Sawicki e Rao (2004) Aleacutem disso Furukawa et al (1996) observam que a natildeo linearidade do
filme fluido produz grandes diferenccedilas entre os valores calculados e os medidos
experimentalmente em especial na regiatildeo de alta excentricidade
Desta forma sugere-se para trabalhos futuros a investigaccedilotildees mais aprofundadas sobre os
efeitos dinacircmicos que ocorrem quando o ponto de equiliacutebrio estaacutetico ultrapassa o limite de 40
da folga do mancal O meacutetodo aqui implementado adota um procedimento de perturbaccedilatildeo linear
em torno da posiccedilatildeo de equiliacutebrio obtendo equaccedilotildees de lubrificaccedilatildeo de ordem zero e de primeira
ordem baseadas na equaccedilatildeo de Reynolds Sugere-se ainda a implementaccedilatildeo de um modelo que
considere termos de ordem superior na obtenccedilatildeo das equaccedilotildees de lubrificaccedilatildeo ou que adote
algum outro modelo natildeo-linear
Sugere-se ainda aplicar a metodologia deste trabalho em outros procedimentos computacionais
para observar faixas onde os resultados possam apresentar padrotildees repetitivos Sugere-se
investigar a existecircncia de relaccedilotildees algeacutebricas entre os paracircmetros do sistema e os resultados e
que possam se manter vaacutelidas dentro de uma faixa de valores
Outras abordagens que podem ampliar os resultados do presente trabalho incluem a anaacutelise de
mancais hidrodinacircmicos de geometria variaacutevel com fluidos natildeo-newtonianos e a anaacutelise de
efeitos teacutermicos nos paracircmetros de desempenho destes mancais
Os resultados deste trabalho fornecem subsiacutedio agrave aacuterea de projeto de maacutequinas rotativas uma vez
que o procedimento computacional desenvolvido permite predizer seu comportamento dinacircmico
para diversas condiccedilotildees operacionais
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112
ANEXO A - Fundamentos da Teoria de Viga
Neste Anexo satildeo apresentadas de maneira breve as expressotildees das teorias de viga de Euler-
Bernoulli de Rayleigh e de Timoshenko A Teoria de Viga de Timoshenko eacute a forma mais
completa representando a vibraccedilatildeo lateral de vigas a partir da qual podem-se derivar as outras
duas teorias como casos particulares desta (BORU 2010)
A1 Teoria de Viga de Euler-Bernoulli
A Teoria de Viga de Euler-Bernoulli foi formulada no seacuteculo XVIII e o detalhamento de sua
derivaccedilatildeo eacute apresentado em Clough e Penzien (1975) e em Meirovitch (1967)
Considere a viga ilustrada na Fig A1 sob a accedilatildeo de uma carga distribuiacuteda variaacutevel q(xt) e uma
deflexatildeo lateral v(xt) na direccedilatildeo y As propriedades da viga satildeo sua rigidez agrave flexatildeo EI(x) e a
massa especiacutefica A(x)
Figura A1 - Viga de Euler-Bernoulli sob carregamento distribuiacutedo (Boru 2010)
113
A2 Teoria de Viga de Rayleigh
A Teoria de Viga de Rayleigh considera a ineacutercia rotacional da viga aleacutem da ineacutercia
translacional Assim para um modelo dinacircmico de uma viga em rotaccedilatildeo as frequecircncias naturais
seratildeo mais bem representadas
A equaccedilatildeo da Teoria de Viga de Rayleigh eacute definida por
Se for considerado o caso da viga com seccedilatildeo transversal uniforme ao longo de x a equaccedilatildeo
(A3) eacute simplificada para a forma
A Teoria de Viga de Rayleigh eacute uma extensatildeo da teoria de Euller-Bernoulli o que pode ser
observado comparando-se os trecircs primeiros termos da equaccedilatildeo (A4) com a equaccedilatildeo (A2) O
termo adicional da equaccedilatildeo (A4) eacute relativo agrave ineacutercia rotatoacuteria
A3 Teoria de Viga de Timoshenko
A inclusatildeo da ineacutercia rotatoacuteria nos modelos dinacircmicos foi considerada insuficiente para se
melhorar os resultados do caacutelculo da frequecircncia natural de vigas (BORU 2010) Assim foi
proposto incluir o efeito de deformaccedilatildeo por cisalhamento o que aumenta a flexibilidade do
elemento de viga Este modelo levou agrave Teoria de Viga de Timoshenko Assim as frequecircncias
naturais reduziram o suficiente para se aproximar daquelas obtidas experimentalmente
(TRAILL-NASH e COLLAR 1953)
A Teoria de Viga de Timoshenko considera que a deformaccedilatildeo por cisalhamento em uma seccedilatildeo
transversal eacute diretamente proporcional agrave forccedila de cisalhamento para materiais isotroacutepicos com
propriedades lineares atraveacutes da expressatildeo
(A5)
(A3)
(A4)
114
A constante depende da forma da seccedilatildeo transversal da viga podendo assumir valores como
1113 para seccedilotildees circulares e 56 para seccedilotildees retangulares O termo representa a aacuterea
efetiva de cisalhamento da seccedilatildeo transversal
Considerando a seccedilatildeo transversal da viga uniforme a expressatildeo da Teoria de Viga de
Timoshenko eacute dada por
Pode-se observar que as duas teorias de viga anteriormente apresentadas satildeo casos particulares
da teoria de viga de Timoshenko Se a viga natildeo sofrer deformaccedilatildeo por cisalhamento o que
implica em considerar que sua resistecircncia ao cisalhamento eacute muito grande basta fazer e
os dois uacuteltimos termos seratildeo nulos levando agrave teoria de vigas de Rayleigh
Deformaccedilatildeo por cisalhamento e
ineacutercia rotatoacuteria combinados
Teoria de Euler-Bernoulli
Teoria de Rayleigh
Deformaccedilatildeo por cisalhamento
115
ANEXO B ndash Funccedilotildees de Interpolaccedilatildeo
As funccedilotildees de interpolaccedilatildeo para o problema de flexatildeo satildeo obtidas do problema estaacutetico da viga
considerando os efeitos de flexatildeo e cisalhamento simultaneamente (FARIA 1990) Estas
funccedilotildees satildeo descritas a seguir
Denota-se por a variaacutevel adimensionals que descreve a posiccedilatildeo de uma seccedilatildeo transversal
qualquer do elemento em relaccedilatildeo agrave sua extremidade inicial Sendo a variaacutevel que define cada
seccedilatildeo do elemento de rotor a partir do noacute inicial e l o comprimento do elemento a variaacutevel
adimensional eacute dada por
Para as funccedilotildees de interpolaccedilatildeo de flexatildeo no plano de deflexatildeo satildeo considerados os efeitos de
cisalhamento transversal fx e fy distintos
onde A eacute a aacuterea da seccedilatildeo transversal G eacute o modulo de elasticidade ao cisalhamento l eacute o
comprimento do elemento E eacute o moacutedulo de elasticidade I eacute o momento de ineacutercia e K eacute o fator
de forma do cisalhamento transversal Para a seccedilatildeo transversal circular (COUPER 1966)
onde eacute o coeficiente de Poisson
B1 - Funccedilotildees de Interpolaccedilatildeo para o deslocamento linear unitaacuterio no primeiro noacute
As funccedilotildees de interpolaccedilatildeo satildeo obtidas como descrito a seguir (FARIA 1990)
116
Figura B1 ndash Deslocamento linear unitaacuterio no primeiro noacute
As equaccedilotildees diferenciais para o deslocamento linear unitaacuterio no primeiro noacute (Fig B1) satildeo
escritas na seguinte forma
(B1)
(B2)
onde Vf e Vc satildeo as contribuiccedilotildees de flexatildeo e de cisalhamento respectivamente e V=Vf+Vc A
soluccedilatildeo das equaccedilotildees eacute escrita como
onde C1 e C2 satildeo constantes de integraccedilatildeo As condiccedilotildees de contorno do problema satildeo
Em s = = 0 e
Em s = l
Obteacutem-se assim a expressatildeo
que derivada em relaccedilatildeo agrave posiccedilatildeo leva a
117
B2 - Funccedilotildees de Interpolaccedilatildeo para o deslocamento angular unitaacuterio no primeiro noacute
As funccedilotildees de interpolaccedilatildeo satildeo obtidas como descrito a seguir Considere as condiccedilotildees
de contorno
Em s = 0 V=0 e Vrsquo=Vf
Em s = l V=0 e Vrsquo=Vc
Figura B2 ndash Deslocamento angular unitaacuterio no primeiro noacute
Considerando-se as equaccedilotildees (B1) e (B2) e as condiccedilotildees de contorno obteacutem-se
e a equaccedilatildeo da linha elaacutestica eacute escrita como
Entatildeo
118
e para se obter basta derivar a equaccedilatildeo elaacutestica
Mas como a rotaccedilatildeo em s = 0 possui o seguinte valor
deve-se adicionar a deformaccedilatildeo
em EIyVrsquo para se obter a rotaccedilatildeo das seccedilotildees Obteacutem-se entatildeo
B3 - Funccedilotildees de Interpolaccedilatildeo para o deslocamento linear unitaacuterio no segundo noacute
As funccedilotildees de interpolaccedilatildeo satildeo obtidas como descrito a seguir
Figura B3 ndash Deslocamento linear unitaacuterio no segundo noacute
As equaccedilotildees diferenciais para o deslocamento linear unitaacuterio no segundo noacute (Fig B3) satildeo
escritas na seguinte forma
119
(B3)
(B4)
A soluccedilatildeo geral das equaccedilotildees eacute escrita como
As condiccedilotildees de contorno satildeo dadas por
Em s = 0
Em s = l
Obteacutem-se assim a equaccedilatildeo elaacutestica
e a expressatildeo de
que derivada em relaccedilatildeo agrave posiccedilatildeo leva a
B1 - Funccedilotildees de Interpolaccedilatildeo para o deslocamento angular unitaacuterio no segundo noacute
As funccedilotildees de interpolaccedilatildeo satildeo obtidas como descrito a seguir
Obteacutem-se as equaccedilotildees diferenciais atraveacutes da Figura B4
(B5)
(B6)
120
Figura B4 ndash Deslocamento angular unitaacuterio no segundo noacute
A soluccedilatildeo geral das equaccedilotildees (B5) e (B6) eacute escrita como
As condiccedilotildees de contorno satildeo dadas por
Em s = 0 e
Em s = l e
Obteacutem-se assim a equaccedilatildeo elaacutestica
e a expressatildeo de
Para se obter deriva-se a equaccedilatildeo elaacutestica em relaccedilatildeo agrave posiccedilatildeo
Mas como a rotaccedilatildeo em s = 0 possui o valor
deve-se adicionar a deformaccedilatildeo
121
em EIyVrsquo para se obter a rotaccedilatildeo das seccedilotildees Obteacutem-se entatildeo
122
ANEXO C ndash Matrizes de Elementos Finitos do Rotor
Satildeo apresentadas a seguir as matrizes do elemento finito de rotor para elementos de eixo
baseados na teoria de viga de Timoshenko (NELSON 1980 FARIA 1990) Considera-se o eixo
simeacutetrico ( Ix=Iy=I ) o efeito de cisalhamento isotroacutepico ( fx=fy=f ) e as seguintes constantes
I = momento meacutedio de ineacutercia de aacuterea da seccedilatildeo transversal
Idm= momento diametral de ineacutercia de massa por unidade de comprimento
Ip = momento polar de ineacutercia de massa por unidade de comprimento
f = efeito de cisalhamento
l = comprimento do elemento
E = moacutedulo de elasticidade
= massa especiacutefica
A = aacuterea da seccedilatildeo transversal
coordenadas generalizadas no sistema rotativo
coordenadas generalizadas no sistema inercial
C1 ndash Matriz de ineacutercia de translaccedilatildeo
A matriz Me representativa da ineacutercia de translaccedilatildeo do elemento finito do rotor eacute obtida pela
integraccedilatildeo da expressatildeo da energia cineacutetica TM do elemento finito do rotor dada por
Usando as funccedilotildees de interpolaccedilatildeo na expressatildeo da energia cineacutetica obteacutem-se a matriz TM que
satisfaz agrave expressatildeo
A matriz Me eacute simeacutetrica e descrita como
123
[Me] =
onde
C2 ndash Matriz de ineacutercia de rotaccedilatildeo
A matriz de ineacutercia de rotaccedilatildeo do elemento finito do rotor eacute obtida pela substituiccedilatildeo das funccedilotildees
de interpolaccedilatildeo na expressatildeo da energia cineacutetica TN do elemento finito dada por
Usando as funccedilotildees de interpolaccedilatildeo na expressatildeo da energia cineacutetica obteacutem-se a matriz Ne
124
representativa da ineacutercia de rotaccedilatildeo do elemento que satisfaz agrave expressatildeo
A matriz Ne eacute simeacutetrica e descrita como
[Ne] =
onde
C3 ndash Matriz de efeitos giroscoacutepicos
A matriz Ge representativa dos efeitos giroscoacutepicos do elemento finito do rotor eacute obtida pela
relaccedilatildeo
onde a matriz [He] eacute obtida pela integraccedilatildeo da expressatildeo da energia cineacutetica TG do elemento
finito do rotor dada por
onde eacute a rotaccedilatildeo do rotor IP eacute o momento polar de ineacutercia da seccedilatildeo satildeo os vetores
125
rotaccedilatildeo da seccedilatildeo em torno dos eixos x e y Aplicando as funccedilotildees de interpolaccedilatildeo na expressatildeo
da energia cineacutetica obteacutem-se a matriz [He] que satisfaz agrave expressatildeo
A matriz eacute anti-simeacutetrica e descrita como
[Ge] =
onde
C4 ndash Matriz de rigidez
A matriz de rigidez do elemento finito do rotor Ke eacute obtida integrando-se a energia potencial
elaacutestica V ao longo do comprimento do elemento usando as funccedilotildees de interpolaccedilatildeo Obteacutem-se
a matriz Ke que satisfaz agrave expressatildeo
126
A matriz Ke eacute simeacutetrica e descrita como
[Ke] =
127
ANEXO D ndash Meacutetodo Numeacuterico de Newmark
Neste Anexo apresenta-se inicialmente o algoritmo de meacutetodo de Newmark usado para a
integraccedilatildeo numeacuterica no tempo da equaccedilatildeo do movimento Eq(1) conforme Bathe (1982)
Posteriormente satildeo mostrados os criteacuterios adotados no presente trabalho para garantir a
convergecircncia do meacutetodo sem um elevado custo computacional
A) Valores iniciais
Passo 1 Valores iniciais para os vetores deslocamento velocidade e aceleraccedilatildeo U0
U
0 U
0
Passo 2 Defina um intervalo de tempo Δt e os paracircmetros α e δ tais que
δ ge 050 α ge 025(05 + δ)sup2
Passo 3 Calcule as constantes
20
1a
t
t1a
t
1a 2
12
1a 3
1a 4
22
ta 5 )1(ta 6 ta7
Passo 4 Crie a matriz de rigidez efetiva KK=K + a0M + a1C
B) Para cada iteraccedilatildeo no tempo Δt
Passo 1 Calcule a carga efetiva RR no instante t + Δt
t+ΔtRR =
t+ΔtR + M(a0
tU + a2
t U
+ a3 t U
) + C(a1 tU + a4
t U
+ a5 t U
)
Passo 2 Resolva a equaccedilatildeo abaixo para obter o vetor deslocamento U em t + Δt
KK
t+Δt U = t+Δt
RR
Passo 3 Calcule os vetores velocidade e aceleraccedilatildeo em t + Δt
t+Δt U = a0 (
t+Δt U - tU)- a2 t U - a3
t U
t+Δt U =
t U + a6
t U
+ a7 t+Δt U
128
Para se garantir a convergecircncia do meacutetodo foram adotados os paracircmetros 41α e δ=12 que
satildeo os paracircmetros de integraccedilatildeo que possibilitam estabilidade incondicional para o procedimento
de integraccedilatildeo de Newmark (BATHE 1982) Eacute importante fazer uma boa escolha do incremento
de tempo t adequado para assegurar a estabilidade do meacutetodo de integraccedilatildeo no tempo O
valor do incremento de tempo t deve ser menor do que o valor criacutetico crt dado pela
equaccedilatildeo D1 (BATHE 1982)
n
crt (D1)
sendo τn o menor periacuteodo natural do sistema Se o incremento de tempo eacute maior que o valor
criacutetico o meacutetodo de Newmark apresentaraacute problemas de convergecircncia (ALMEIDA JUacuteNIOR e
FARIA 2003) No presente trabalho a escolha do incremento de tempo t foi feita baseando-
se no fato de que a forccedila de desbalanceamento eacute aplicada a cada intervalo t Portanto se este
intervalo for muito grande a forccedila poderia deixar de ser aplicada durante cada ciclo do eixo Eacute
importante garantir que esta forccedila seja aplicada simetricamente durante cada ciclo ou seja que
para cada valor de rotaccedilatildeo ω (rads) a forccedila de desbalanceamento seja aplicada simetricamente
em todas as direccedilotildees Para que isto fosse possiacutevel foi adotada a seguinte expressatildeo para o
caacutelculo do incremento de tempo t
ω12
2t (D2)
Com o incremento da equaccedilatildeo (D2) garante-se que ocorram pelo menos 12 iteraccedilotildees a
cada ciclo do eixo ou seja uma a cada 30ordm o que garante a simetria da forccedila de
desbalanceamento Este criteacuterio garante tambeacutem que t lt crt Posteriormente foi feito o
estudo da convergecircncia dos resultados em funccedilatildeo do intervalo t para se otimizar o custo
computacional do meacutetodo implementado
iii
Universidade Federal de Minas Gerais Programa de Poacutes-Graduaccedilatildeo em Engenharia Mecacircnica Av Antocircnio Carlos 6627 ndash Pampulha ndash CEP 31270-901 ndash Belo Horizonte ndash MG
Tel +55 31 34995145 - Fax +55 31 3443-3783
wwwdemecufmgbr - e-mail cpgmecdemecufmgbr
ANAacuteLISE DE ROTORES FLEXIacuteVEIS APOIADOS EM
MANCAIS RADIAIS ELIacutePTICOS E CILIacuteNDRICOS
UTILIZANDO O MEacuteTODO DE ELEMENTOS FINITOS
WEacuteDERLEY MENDES MIRANDA
Tese defendida e aprovada em 31 de agosto de 2012 pela Banca Examinadora designada pelo
Colegiado do Programa de Poacutes-Graduaccedilatildeo em Engenharia Mecacircnica da Universidade Federal de
Minas Gerais como parte dos requisitos necessaacuterios agrave obtenccedilatildeo do tiacutetulo de ―Doutor em
Engenharia Mecacircnica na aacuterea de concentraccedilatildeo de ―Projeto Mecacircnico
_________________________________________________
Prof Dr Marco Tuacutelio Correcirca de Faria ndash Universidade Federal de Minas Gerais ndash Orientador
_________________________________________________
Prof Dr Eduardo Bauzer Medeiros ndash Universidade Federal de Minas Gerais - Examinador
_________________________________________________
Prof Dr Lazaro Valentim Donadon ndash Universidade Federal de Minas Gerais - Examinador
_________________________________________________
Prof Dr Rogeacuterio Joseacute Marczak ndash Universidade Federal do Rio Grande do Sul - Examinador
_________________________________________________
Prof Dr Pedro Ameacuterico Almeida Magalhatildees Juacutenior ndash PUC Minas - Examinador
iv
AGRADECIMENTOS
Em primeiro lugar a Deus por me mostrar o caminho e me dar forccedilas durante estes anos de
muita dedicaccedilatildeo
Agrave minha famiacutelia principalmente agrave minha esposa e filhos pelo apoio compreensatildeo e paciecircncia
em todos os momentos em que natildeo pude lhes dar a devida atenccedilatildeo
Ao Prof Marco Tuacutelio Correcirca de Faria pela orientaccedilatildeo deste trabalho e tambeacutem pelas aulas de
Dinacircmica de Rotores e de Teoria da Lubrificaccedilatildeo que me fizeram despertar o interesse pela
aacuterea o que resultou neste trabalho
Agrave amiga Ana Paula Ladeira pela valiosa contribuiccedilatildeo durante a revisatildeo final deste trabalho nos
aspectos de metodologia e de normalizaccedilatildeo
Aos professores Ricardo Luiz Utsch de Freitas Pinto e Maria Luacutecia Machado Duarte pela
acolhida quando retornei agrave UFMG para fazer o doutorado
Ao Departamento de Engenharia Mecacircnica da UFMG pela estrutura fiacutesica do laboratoacuterio de
Dinacircmica de Rotores pela qualidade de ensino e pelo apoio na participaccedilatildeo de eventos
v
SUMAacuteRIO
1 INTRODUCcedilAtildeO 19
11 Escopo 21
12 Objetivos 22
121 Objetivo geral 22
122 Objetivos especiacuteficos 22
2 REVISAtildeO BIBLIOGRAacuteFICA 23
21 Modelagem de sistemas rotor-mancal 23
22 Anaacutelise da estabilidade atraveacutes de problema de autovalor 31
23 Mancais hidrodinacircmicos 33
24 Sistemas rotativos com elementos adicionais 35
25 Mancais eliacutepticos 37
3 METODOLOGIA 40
31 Modelagem do Rotor Flexiacutevel 41
32 Modelagem do Mancal Radial Eliacuteptico 44
321 Equaccedilotildees de Lubrificaccedilatildeo 47
322 Equaccedilotildees de Elementos Finitos para Mancais Eliacutepticos 50
323 Discretizaccedilatildeo do campo de pressatildeo de ordem zero 50
324 Discretizaccedilatildeo do campo de pressatildeo de primeira ordem 53
325 Determinaccedilatildeo dos Coeficientes de Forccedila dos Mancais Eliacutepticos 55
33 O Sistema Rotor-Mancal 56
34 Diagrama do Procedimento Computacional 58
4 RESULTADOS E ANAacuteLISE 61
vi
41 Exemplos de validaccedilatildeo 61
411 Rotor com disco em balanccedilo 61
412 Rotor apoiado nas extremidades com disco no centro 65
413 Rotor de uma bancada de testes 69
414 Segundo rotor de uma bancada de testes 75
42 Anaacutelise dos coeficientes de forccedila dos mancais eliacutepticos 77
421 Coeficientes de forccedila em funccedilatildeo da folga radial dos mancais eliacutepticos 78
422 Coeficientes de forccedila em funccedilatildeo da razatildeo de esbeltez dos mancais eliacutepticos 83
423 Coeficientes de forccedila em funccedilatildeo da preacute-carga dos mancais eliacutepticos 85
43 A influecircncia dos paracircmetros geomeacutetricos dos mancais eliacutepticos na resposta desbalanceada 87
431 A razatildeo de amplificaccedilatildeo da resposta desbalanceada em funccedilatildeo da preacute-carga 87
432 A resposta desbalanceada em funccedilatildeo da razatildeo de esbeltez dos mancais eliacutepticos 91
433 A resposta desbalanceada em funccedilatildeo da folga radial dos mancais eliacutepticos 96
5 CONCLUSOtildeES 100
6 REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS 103
ANEXO A - FUNDAMENTOS DA TEORIA DE VIGA 112
A1 Teoria de Viga de Euler-Bernoulli 112
A2 Teoria de Viga de Rayleigh 113
A3 Teoria de Viga de Timoshenko 113
ANEXO B ndash FUNCcedilOtildeES DE INTERPOLACcedilAtildeO 115
B1 - Funccedilotildees de Interpolaccedilatildeo para o deslocamento linear unitaacuterio no primeiro noacute 115
B2 - Funccedilotildees de Interpolaccedilatildeo para o deslocamento angular unitaacuterio no primeiro noacute 117
B3 - Funccedilotildees de Interpolaccedilatildeo para o deslocamento linear unitaacuterio no segundo noacute 118
B1 - Funccedilotildees de Interpolaccedilatildeo para o deslocamento angular unitaacuterio no segundo noacute 119
ANEXO C ndash MATRIZES DE ELEMENTOS FINITOS DO ROTOR 122
vii
C1 ndash Matriz de ineacutercia de translaccedilatildeo 122
C2 ndash Matriz de ineacutercia de rotaccedilatildeo 123
C3 ndash Matriz de efeitos giroscoacutepicos 124
C4 ndash Matriz de rigidez 125
ANEXO D ndash MEacuteTODO NUMEacuteRICO DE NEWMARK 127
viii
LISTA DE FIGURAS
Figura 31 ndash Sistema rotor-mancal 40
Figura 32 ndash Representaccedilatildeo de um elemento finito do eixo 42
Figura 33 ndash Desenho esquemaacutetico do mancal eliacuteptico e seus paracircmetros geomeacutetricos 45
Figura 34 - Desenho esquemaacutetico do perfil de um mancal radial eliacuteptico 46
Figura 35 - Distribuiccedilatildeo da pressatildeo hidrodinacircmica no mancal ciliacutendrico (LANG e
STEINHILPER 1978) 46
Figura 36 - Distribuiccedilatildeo da pressatildeo hidrodinacircmica no mancal eliacuteptico (Adaptado de
CORREIA 2007) 47
Figura 37 - Representaccedilatildeo esquemaacutetica dos noacutes no elemento finito 51
Figura 38 ndash Representaccedilatildeo dos 4 graus de liberdade 57
Figura 39 ndash Diagrama do procedimento computacional 58
Figura 41 ndash Desenho esquemaacutetico do rotor de Sinou (2005) 61
Figura 42 ndash Curvas da primeira e segunda frequecircncias naturais (FN1 FN2) versus o
nuacutemero de elementos finitos da malha para o rotor de Sinou (2005) a
10rpm 62
Figura 43 ndash Primeira velocidade criacutetica progressiva (FWD1) e regressiva (BKWD1)
versus incremento no tempo 63
Figura 44 ndash Espectro de frequecircncia obtido pelo MEF para o rotor de Sinou(2005) a
10 rpm 64
Figura 45 ndash Diagrama de Campbell para o rotor em balanccedilo analisado por
Sinou(2005) 64
Figura 46 ndash Desenho esquemaacutetico do rotor de Hong e Park(1999) 66
Figura 47 ndash Espectro de frequecircncia obtido para o rotor de Hong e Park (1999)
operando a 6000rpm 67
Figura 48 ndash Forma de onda obtida para o rotor de Hong e Park (1999) 68
Figura 49 ndash Desenho esquemaacutetico do rotor da bancada de testes 69
Figura 410 ndash Sensibilidade da malha de elementos finitos do mancal ciliacutendrico no
ix
caacutelculo dos paracircmetros de desempenho Fx e Kxy 71
Figura 411 ndash Espectro de frequecircncia experimental ndash teste de batida 72
Figura 412 ndash Espectro de frequecircncia obtido pelo MEF para rotaccedilatildeo de 750 rpm 72
Figura 413 ndash Espectro de frequecircncia obtido pelo MEF para rotaccedilatildeo de 3200 rpm 73
Figura 414 ndash Espectro de frequecircncia experimental para o rotor da bancada operando
a 8900rpm 74
Figura 415 ndash Espectro de frequecircncia obtido pelo MEF para o rotor da bancada
operando a 8900rpm 74
Figura 416 ndash Espectro de frequecircncia obtido pelo MEF para o rotor do exemplo 4
operando a 3200rpm 76
Figura 417 ndash Espectro de frequecircncia experimental para o rotor de Machado(2006) 76
Figura 418 ndash Sensibilidade da malha de elementos finitos do mancal eliacuteptico no
caacutelculo dos paracircmetros de desempenho Fx e Kxy 78
Figura 419 - Posicionamento do eixo dentro do mancal e excentricidade 79
Figura 420 ndash Excentricidade adimensional do ponto de equiliacutebrio estaacutetico dos
mancais eliacutepticos em funccedilatildeo da folga radial 79
Figura 421 ndash Coeficientes de rigidez direta adimensionais em funccedilatildeo da folga radial
dos mancais eliacutepticos 80
Figura 422 ndash Coeficientes de rigidez cruzada adimensional modificado em funccedilatildeo
da folga radial dos mancais eliacutepticos 81
Figura 423 ndash Razatildeo CxyKxx em funccedilatildeo da folga radial dos mancais eliacutepticos 82
Figura 424 ndash Amortecimento efetivo em funccedilatildeo da folga radial dos mancais
eliacutepticos 82
Figura 425 ndash Excentricidade adimensional do ponto de equiliacutebrio estaacutetico dos
mancais eliacutepticos em funccedilatildeo da razatildeo de esbeltez 83
Figura 426 ndash Variaccedilatildeo do amortecimento efetivo em funccedilatildeo da razatildeo de esbeltez
dos mancais eliacutepticos 84
Figura 427 ndash Variaccedilatildeo do amortecimento cruzado adimensional em funccedilatildeo da razatildeo
de esbeltez dos mancais eliacutepticos 84
Figura 428 ndash Excentricidade adimensional do ponto de equiliacutebrio estaacutetico dos
x
mancais eliacutepticos em funccedilatildeo da preacute-carga 85
Figura 429 ndash Variaccedilatildeo da relaccedilatildeo de ajuste entre Mp kxx e kxy em funccedilatildeo da preacute-
carga dos mancais eliacutepticos 86
Figura 430 ndash Variaccedilatildeo do amortecimento efetivo em funccedilatildeo da preacute-carga dos
mancais eliacutepticos 86
Figura 431 ndash Desenho esquemaacutetico do rotor sem disco massivo 88
Figura 432 ndash Resposta desbalanceada calculada no mancal 1 do rotor apoiado em
mancais eliacutepticos com preacute-carga 045 (MIRANDA e FARIA 2012) 89
Figura 433 ndash Resposta desbalanceada para diferentes valores de preacute-carga dos
mancais eliacutepticos (MIRANDA e FARIA 2012) 89
Figura 434 ndashRazatildeo de amplificaccedilatildeo da resposta desbalanceada na primeira
velocidade criacutetica para o rotor apoiado em mancais eliacutepticos
(MIRANDA e FARIA 2012) 90
Figura 435 ndashDesenho esquemaacutetico do rotor com disco massivo em posiccedilatildeo
assimeacutetrica 91
Figura 436 ndash Amplitude de vibraccedilatildeo na primeira VC em funccedilatildeo da razatildeo de
esbeltez dos mancais eliacutepticos 92
Figura 437 ndash Curvas de ajuste da excentricidade adimensional do ponto de
equiliacutebrio estaacutetico em funccedilatildeo da razatildeo de esbeltez dos mancais eliacutepticos 94
Figura 438 ndash Razatildeo de ajuste de LD em funccedilatildeo da excentricidade adimensional do
ponto de equiliacutebrio estaacutetico dos mancais 95
Figura 439 ndash Erros relativos da razatildeo de ajuste de LD em funccedilatildeo da excentricidade
adimensional do ponto de equiliacutebrio estaacutetico dos mancais 95
Figura 440 ndash Amplitude de vibraccedilatildeo na primeira VC em funccedilatildeo da folga radial dos
mancais 97
Figura 441 ndash Razatildeo de ajuste da folga radial em funccedilatildeo da excentricidade
adimensional do ponto de equiliacutebrio estaacutetico dos mancais 98
Figura 442 ndash Erros relativos da razatildeo de ajuste da folga radial em funccedilatildeo da
excentricidade adimensional do ponto de equiliacutebrio estaacutetico dos
mancais 98
xi
Figura A1 - Viga de Euler-Bernoulli sob carregamento distribuiacutedo (Boru 2010) 112
Figura B1 ndash Deslocamento linear unitaacuterio no primeiro noacute 116
Figura B2 ndash Deslocamento angular unitaacuterio no primeiro noacute 117
Figura B3 ndash Deslocamento linear unitaacuterio no segundo noacute 118
Figura B4 ndash Deslocamento angular unitaacuterio no segundo noacute 120
LISTA DE TABELAS
Tabela 41- Paracircmetros do rotor com disco em balanccedilo (SINOU 2005) 62
Tabela 42- Valores comparativos da primeira frequecircncia natural para o rotor de
Sinou(2005) a 10 rpm 64
Tabela 43- Comparaccedilatildeo da primeira velocidade criacutetica 65
Tabela 44- Paracircmetros do rotor de Hong e Park(1999) 66
Tabela 45- Comparaccedilatildeo da primeira frequecircncia natural progressiva e regressiva para
o rotor de Hong e Park (1999) 67
Tabela 46- Comparaccedilatildeo das Frequecircncias de Batimento para o rotor de Hong e
Park(1999) 69
Tabela 47ndash Paracircmetros do rotor da bancada de testes 70
Tabela 48ndash Resultados da anaacutelise da sensibilidade da malha dos mancais 71
Tabela 49ndash Valores comparativos de frequecircncias naturais obtidas pelo MEF e
experimentalmente pelo teste de batida (bump test) 73
Tabela 410ndash Valores comparativos de frequecircncias naturais obtidas pelo MEF e
experimentalmente para o rotor da bancada operando a 8900rpm 75
Tabela 411ndash Paracircmetros do rotor da bancada de testes ndash exemplo 2 75
Tabela 412ndash Valores comparativos das frequecircncias naturais obtidas
experimentalmente por Machado(2006) e pelo MEF 77
Tabela 413ndash Paracircmetros do mancal eliacuteptico selecionado 77
Tabela 414 Paracircmetros do sistema rotor-mancal eliacuteptico utilizado na anaacutelise 88
Tabela 415ndash Paracircmetros do rotor com mancais eliacutepticos 92
xii
SIMBOLOGIA
Siacutembolos em letras latinas
A Aacuterea da seccedilatildeo transversal do eixo [m2]
Ampl Amplitude adimensional da resposta desbalanceada
c Folga radial menor (c = eRR ) [m]
Cb Folga radial maior
XXC YYC Coeficientes de amortecimento direto [Nsm]
XXc YYc Coeficientes de amortecimento direto adimensionais
XYC YXC Coeficientes de amortecimento cruzados [Nsm]
XYc YXc Coeficientes de amortecimento cruzados adimensionais
D Diacircmetro interno do mancal [m]
d Diacircmetro externo do eixo [m]
E Moacutedulo de elasticidade [Pa]
e Excentricidade do centro do munhatildeo no mancal (distacircncia entre centros do mancal
e do munhatildeoeixo) [m]
exey Projeccedilotildees de ―e nos eixos de coordenadas cartesianas xy
00 yx ee
posiccedilatildeo de equiliacutebrio do eixo
yx ee
perturbaccedilatildeo na posiccedilatildeo de equiliacutebrio do eixo
vetores unitaacuterios nas direccedilotildees circunferencial e axial respectivamente
f efeito de cisalhamento
F Forccedila de reaccedilatildeo do mancal gerada pela accedilatildeo hidrodinacircmica do fluido
Fx e Fy Componente da forccedila de reaccedilatildeo do fluido do mancal nas direccedilotildees x e y
e
jf Vetor de fluxo
G Moacutedulo de elasticidade ao cisalhamento [Pa]
h Espessura do filme lubrificante ou filme fluido
xiii
h0 Espessura miacutenima do filme lubrificante estacionaacuterio [m] ou de ordem zero
I Momento meacutedio de ineacutercia de aacuterea da seccedilatildeo transversal
Idm Momento diametral de ineacutercia de massa por unidade de comprimento
Ip Momento polar de ineacutercia de massa por unidade de comprimento
K Fator de forma do cisalhamento transversal
Kx Ky Coeficientes de cisalhamento
XXK YYK Coeficientes de rigidez diretos [Nm]
kxx e kyy Coeficientes de rigidez diretos adimensionais
XYK YXK Coeficientes de rigidez cruzados [Nm]
kxy e kyx Coeficientes de rigidez cruzados adimensionais
Coeficiente de rigidez adimensional modificado
][ e
jiK Matriz fluiacutedica de ordem zero
L Comprimento do mancal
l Comprimento do elemento
Leixo Comprimento do eixo
md Massa desbalanceada
m Fluxo maacutessico na direccedilatildeo circunferencial
nm Fluxo maacutessico de lubrificante cruzando a fronteira do domiacutenio do elemento finito
zm Fluxo maacutessico na direccedilatildeo axial
nm Fluxo de lubrificante de primeira ordem pelo contorno
edo elemento finito n
Mp Preacute-carga (medida da ―elipsidade do mancal) Mp = (Cb ndash c) c
n
Valor normal unitaacuterio direcionado para fora do contorno e do elemento finito
OL Posiccedilatildeo do centro dos loacutebulos
O Posiccedilatildeo do centro do eixo
p Pressatildeo apresentada pelo filme lubrificante [Pa]
pa Pressatildeo ambiente [Pa]
xiv
po Pressatildeo estacionaacuteria de ordem zero [Pa]
p Campo de pressatildeo hidrodinacircmica de primeira ordem
e
op Campo de pressatildeo discreto de ordem zero no domiacutenio e de um elemento finito
px py Campo de pressatildeo hidrodinacircmica de primeira ordem
e
ip Valores de pressatildeo nodal no noacute i do elemento e [Pa]
q(xt) Carregamento distribuiacutedo [Nm]
e
jq Vetor de fluxo devido ao escoamento de fluido pelo contorno do elemento ldquoerdquo
R Raio menor do mancal [m]
Re Raio do munhatildeo ou raio do eixo [m]
RL Raio do loacutebulo do mancal [m]
U Velocidade superficial do eixo (U = ωR) [ms]
Vf Contribuiccedilatildeo da flexatildeo no deslocamento linear do centro da seccedilatildeo do elemento
ud Excentricidade da massa desbalanceada
v(xt) Deflexatildeo lateral da viga
W Carga atuante no mancal [N]
Wf Contribuiccedilatildeo da flexatildeo no deslocamento linear do centro da seccedilatildeo do elemento
xy Coordenadas cartesianas
z Coordenada axial
Siacutembolo em letras gregas
e Contorno do elemento ―e
Deformaccedilatildeo por cisalhamento
Razatildeo de excentricidade ou excentricidade adimensional ( ε = ec)
o Excentricidade adimensional no ponto de equiliacutebrio estaacutetico
ψ Coordenadas no domiacutenio do elemento
Fator de forma da seccedilatildeo transversal da viga
Viscosidade absoluta do filme lubrificante [Pas]
xv
Coeficiente de Poisson
Massa especiacutefica [kgm3]
Massa especiacutefica do filme lubrificante [kgm3]
Acircngulo da posiccedilatildeo angular do munhatildeo a partir do ponto de maior espessura dentro do
mancal [rad]
z Coordenadas circunferencial e axial respectivamente
Φ Acircngulo de posiccedilatildeo do munhatildeo dentro do mancal Φ = tan-1
( Fy Fx )
Funccedilatildeo de interpolaccedilatildeo para o meacutetodo de elementos finitos para o elemento ―e
Rotaccedilatildeo do eixo [rads]
e Domiacutenio do elemento finito ―e
Subscritos
av Meacutedio
e Relativo ao elemento ―e
0 1 Ordem zero e primeira ordem instante de tempo anterior e atual
x Coordenada cartesiana vertical
y Coordenada cartesiana horizontal
Coordenadas xy combinadas no domiacutenio do elemento finito
Coordenadas no domiacutenio do elemento finito
Sobrescritos
e Relativo ao elemento ―e
ej
xvi
LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS
MEF Meacutetodo de Elementos Finitos
FEM Finite Element Method (Meacutetodo de Elementos Finitos)
VC Velocidade Criacutetica
xvii
RESUMO
Este trabalho apresenta um procedimento computacional baseado no meacutetodo de elementos
finitos desenvolvido especialmente para predizer o comportamento dinacircmico de sistemas
rotativos apoiados em mancais hidrodinacircmicos O procedimento computacional proposto
permite simular diferentes tipos de rotores compostos por eixo flexiacutevel discos massivos e
mancais riacutegidos ou hidrodinacircmicos com perfis circulares ou eliacutepticos Satildeo usados elementos
finitos de viga baseando-se na teoria de vigas de Timoshenko no modelo do eixo o que permite
incluir os efeitos de deformaccedilatildeo por cisalhamento ineacutercia rotatoacuteria e efeito giroscoacutepico Um
procedimento baseado no meacutetodo de elementos finitos eacute aplicado para resolver a equaccedilatildeo de
Reynolds para fluidos incompressiacuteveis junto a um procedimento de perturbaccedilatildeo linear para se
calcular os coeficientes dinacircmicos de forccedila dos mancais ciliacutendricos e eliacutepticos As equaccedilotildees de
movimento para rotores desbalanceados apoiados em mancais hidrodinacircmicos satildeo integradas
usando-se o Meacutetodo de Newmark para se obter a resposta no tempo Os resultados satildeo validados
pela comparaccedilatildeo com valores experimentais coletados em uma bancada de teste e tambeacutem com
valores publicados na literatura Satildeo apresentadas algumas relaccedilotildees algeacutebricas que permitem
predizer os paracircmetros de desempenho dos mancais e a resposta desbalanceada do sistema rotor-
mancal em funccedilatildeo dos paracircmetros geomeacutetricos dos mancais tais como preacute-carga razatildeo de
esbeltez e folga radial Eacute identificada uma faixa operacional dos mancais onde estas relaccedilotildees
algeacutebricas apresentam uma boa aproximaccedilatildeo com os resultados computacionais Os resultados
deste trabalho servem de base para o projeto de maacutequinas rotativas uma vez que permitem
predizer seu comportamento dinacircmico para diversas condiccedilotildees operacionais
Palavras-chaves Mancal eliacuteptico
Rotores flexiacuteveis
Mancal radial
Lubrificaccedilatildeo hidrodinacircmica
Meacutetodo de elementos finitos
xviii
ABSTRACT
This work presents the development of a finite element procedure specially devised to predict
the dynamic response of flexible rotors running on fluid film bearings The proposed procedure
can simulate many different types of rotor-bearing systems with a flexible shaft massive disks
and rigid or fluid film circular or elliptical bearings The shaft finite element model is based on
Timoshenko Beam Theory which includes shear effects rotary inertia and gyroscopic moments
A finite element procedure for solution of the classical Reynolds equation for incompressible
fluid films in conjunction with a linearized perturbation procedure is implemented to allow the
computation of the dynamic force-coefficients of cylindrical and elliptical journal bearings The
finite element equations of motion for an unbalanced rotor supported on fluid film bearings are
integrated by using the Newmark method and the time-domain unbalance response is obtained
The results are validated by comparison with experimental data collected from a test rig as well
as from results obtained from the literature
Some algebraic expressions relating the bearing parameters and the unbalance response with the
bearing geometric parameters (preload Slendernessrsquo ratio radial clearance) are presented A
range of operating conditions is identified where these expressions are supposed to be close to
the computational results obtained by the numerical procedure The results presented in this
work are valuable for rotating machine designers since it can properly predict its dynamic
response under several operation conditions
Keywords Elliptical bearing
Journal bearing
Hydrodynamic lubrication
Finite element method
19
1 INTRODUCcedilAtildeO
O projeto e o comissionamento de maacutequinas rotativas requerem um cuidado especial para se
garantir condiccedilotildees seguras estaacuteveis e eficientes de operaccedilatildeo Diversos estudos baseados em
procedimentos experimentais analiacuteticos e computacionais satildeo utilizados com o objetivo de se
analisar vaacuterios aspectos dinacircmicos relacionados a rotores de maacutequinas de alta velocidade Esses
estudos se tornam de extrema importacircncia na anaacutelise de equipamentos como turbinas a gaacutes e a
vapor compressores ventiladores industriais bombas exaustores entre outros
Com o desenvolvimento da tecnologia na aacuterea de projetos mecacircnicos eacute notaacutevel a tendecircncia em
se projetarem maacutequinas cada vez mais leves e com maior potecircncia que normalmente estatildeo mais
sujeitas a problemas de vibraccedilatildeo e de instabilidade A influecircncia dos mancais no comportamento
dinacircmico de maacutequinas rotativas e na capacidade de atenuar vibraccedilotildees eacute estudada haacute vaacuterios anos
em diversos trabalhos da literatura especializada (GUNTER 1966 CORREIA 2007)
Os mancais hidrodinacircmicos tecircm sido amplamente aplicados em maacutequinas rotativas devido agrave sua
grande capacidade de carga habilidade de operaccedilatildeo em altas velocidades e longevidade
(HAMROCK 1994 CHILDS 1993) Este tipo de mancal tem uma capacidade de
amortecimento que natildeo existe nos mancais de rolamento o que possibilita que a maacutequina passe
por uma velocidade criacutetica com menores riscos (STERNLICHT e LEWIS 1968 VANCE
1988) O amortecimento proporcionado por mancais hidrodinacircmicos permite a atenuaccedilatildeo das
forccedilas transmitidas do sistema eixorotor aos mancais a reduccedilatildeo do niacutevel de vibraccedilatildeo o
aumento da faixa de operaccedilatildeo estaacutevel do rotor e o aumento de vida uacutetil do mancal (ENGWALL
1991)
Os mancais hidrodinacircmicos aplicados em maacutequinas rotativas industriais podem ser divididos
basicamente em dois grupos mancais de geometria fixa e mancais de geometria variaacutevel
(ALLAIRE e FLACK 1981) Os mancais de geometria fixa satildeo mais simples e possuem um
menor custo de fabricaccedilatildeo montagem e manutenccedilatildeo do que os de geometria variaacutevel
(HAMROCK 1994) Os mancais mais amplamente usados na induacutestria satildeo os de geometria fixa
com perfil ciliacutendrico apresentando baixa estabilidade mas boa capacidade de carga (CORREIA
2007) Mancais de geometria moacutevel satildeo usados quando se deseja estabilidade do equipamento
sujeito a vibraccedilotildees subsiacutencronas isto eacute abaixo da frequecircncia de rotaccedilatildeo No final da deacutecada de
20
1980 este tipo de mancal passou a ser mais amplamente usado nos projetos de turbomaacutequinas
de alta velocidade (ZEIDAN 1992) A literatura cientiacutefica apresenta diversos trabalhos sobre
mancais ciliacutendricos mas poucos sobre mancais eliacutepticos (CORREIA 2007)
As interaccedilotildees entre o eixo rotativo da turbomaacutequina com o fluido de trabalho com os mancais
com os selos com o suporte e com todos os seus elementos acoplados tais como as palhetas e
discos devem ser incluiacutedas na anaacutelise dinacircmica de rotores para se obter confiabilidade aceitaacutevel
nas prediccedilotildees de seu comportamento O estudo preliminar do comportamento de sistemas
rotativos permite determinar as suas faixas de operaccedilatildeo estaacutevel e avaliar as influecircncias que
componentes do sistema exercem sobre a resposta dinacircmica do conjunto Os mancais se tornam
componentes vitais no projeto de turbomaacutequinas pois devem gerar forccedilas de reaccedilatildeo capazes de
suportar adequadamente o eixo rotativo e propiciar meios de atenuaccedilatildeo da resposta dinacircmica do
conjunto rotativo em regimes de operaccedilatildeo extremos Esse trabalho tem como proposta principal
a anaacutelise do comportamento dinacircmico de rotores flexiacuteveis apoiados em mancais radiais
hidrodinacircmicos de geometria fixa
A modelagem do rotor que inclui o eixo rotativo com discos riacutegidos acoplados eacute efetuada
utilizando-se o meacutetodo de elementos finitos baseado na teoria de vigas de Timoshenko
(CLOUGH e PENZIEN 1975) Incluem-se no modelo do rotor os efeitos de cisalhamento os
momentos giroscoacutepicos e a ineacutercia rotatoacuteria do eixo rotativo A equaccedilatildeo claacutessica de Reynolds
(PINKUS 1987 HAMROCK 1994) e um procedimento linearizado de perturbaccedilatildeo
(LUND1987) satildeo a base da modelagem dos mancais radiais hidrodinacircmicos ciliacutendricos e natildeo
ciliacutendricos considerados na anaacutelise O meacutetodo de elementos finitos eacute entatildeo empregado para
estimar as caracteriacutesticas dinacircmicas natildeo lineares dos mancais radiais finitos incluiacutedos na anaacutelise
do sistema rotativo O modelo dos mancais admite diversas geometrias de mancais ciliacutendricos e
eliacutepticos e natildeo satildeo adotadas hipoacuteteses restritivas ao modelo dos mancais como nas teorias de
mancal longo (HAMROCK 1994) ou de mancal curto que apresentam deficiecircncias na anaacutelise
dinacircmica de sistemas rotor-mancal (KALITA e KAKOTY 2004)
O texto deste trabalho eacute dividido em cinco capiacutetulos O capiacutetulo 1 apresenta a introduccedilatildeo do
trabalho seu escopo e objetivos No capiacutetulo 2 eacute apresentada a revisatildeo bibliograacutefica Em
seguida eacute descrita a metodologia do procedimento computacional proposto no capiacutetulo 3 onde
satildeo apresentados os procedimentos adotados para se modelar o sistema rotor-mancal composto
pelo eixo flexiacutevel disco riacutegido e mancais hidrodinacircmicos No final do capiacutetulo 3 eacute apresentado
um diagrama representando as etapas do procedimento computacional proposto No capiacutetulo 4
21
satildeo apresentados os resultados obtidos atraveacutes do procedimento computacional incluindo
exemplos de validaccedilatildeo No capiacutetulo 5 satildeo apresentadas as conclusotildees do trabalho e no capiacutetulo 6
satildeo listadas as referecircncias bibliograacuteficas Satildeo incluiacutedos ainda trecircs anexos No Anexo A satildeo
apresentados os fundamentos da teoria de vigas de Euler-Bernoulli de Rayleigh e de
Timoshenko No Anexo B apresenta-se a formulaccedilatildeo das funccedilotildees de interpolaccedilatildeo No Anexo C
satildeo listadas as matrizes de elementos finitos do eixo flexiacutevel usadas no modelo implementado e
no Anexo D eacute apresentado o algoritmo do Meacutetodo Numeacuterico de Newmark
11 Escopo
Esse trabalho descreve a anaacutelise do comportamento dinacircmico de rotores flexiacuteveis suportados em
mancais radiais hidrodinacircmicos de geometria fixa utilizando-se o meacutetodo de elementos finitos
Na modelagem dos mancais radiais incluem-se mancais ciliacutendricos e natildeo ciliacutendricos de
geometria fixa As condiccedilotildees de operaccedilatildeo do sistema rotativo utilizadas nesse trabalho estatildeo
baseadas em condiccedilotildees operacionais comumente encontradas na praacutetica O eixo eacute modelado por
elementos finitos de viga baseando-se na teoria de vigas de Timoshenko que permite analisar a
resposta da vibraccedilatildeo orbital nos dois planos ortogonais de flexatildeo A formulaccedilatildeo permite incluir
os efeitos de ineacutercia rotatoacuteria efeito giroscoacutepico e deformaccedilatildeo por cisalhamento
O caacutelculo dos coeficientes dinacircmicos de forccedila dos mancais eacute feito baseando-se na equaccedilatildeo de
Reynolds e nas equaccedilotildees de lubrificaccedilatildeo de ordem zero e de primeira ordem obtidas atraveacutes da
anaacutelise de perturbaccedilatildeo (LUND1987)
A resposta desbalanceada do sistema eacute obtida por meio de procedimento de integraccedilatildeo
numeacuterica implementado sobre a sua equaccedilatildeo de equiliacutebrio dinacircmico Eacute estudada a influecircncia dos
paracircmetros construtivos de mancais eliacutepticos e ciliacutendricos nos seus coeficientes de forccedila e na
resposta desbalanceada do sistema rotor-mancal Apresenta-se uma anaacutelise criacutetica sobre a faixa
onde o modelo computacional implementado fornece resultados considerados confiaacuteveis
baseando-se nas condiccedilotildees operacionais do sistema
Embora natildeo seja objetivo deste trabalho obter valores absolutos para os coeficientes de forccedila ou
para os niacuteveis de vibraccedilatildeo na resposta desbalanceada eacute investigada a forma como estes valores
variam em funccedilatildeo das caracteriacutesticas construtivas e operacionais do sistema
22
12 Objetivos
121 Objetivo geral
Este trabalho tem como objetivo desenvolver um procedimento computacional baseado no
meacutetodo de elementos finitos (MEF) para a anaacutelise da resposta de sistemas rotativos apoiados em
mancais radiais hidrodinacircmicos de geometria fixa O eixo eacute modelado por elementos de viga
baseando-se na Teoria de Viga de Timoshenko Os mancais hidrodinacircmicos satildeo modelados
tambeacutem por elementos finitos utilizando-se o meacutetodo da perturbaccedilatildeo aplicado na equaccedilatildeo de
Reynolds
122 Objetivos especiacuteficos
i Desenvolver e implementar um procedimento computacional eficiente baseado no
MEF para representar rotores flexiacuteveis sujeitos a cargas de desbalanceamento
apoiados em suportes flexiacuteveis
ii Desenvolver e implementar um procedimento computacional eficiente baseado no
MEF para a determinaccedilatildeo dos coeficientes dinacircmicos dos mancais hidrodinacircmicos de
geometria fixa sem o uso de teorias simplificadas como os modelos de mancal curto
ou de mancal longo
iii Comparar os resultados do procedimento computacional proposto com resultados
publicados na literatura especializada e com dados experimentais coletados em uma
bancada de testes atraveacutes da anaacutelise das frequecircncias naturais
iv Analisar a influecircncia dos paracircmetros geomeacutetricos dos mancais eliacutepticos (preacute-carga
razatildeo de esbeltez folga radial) nos coeficientes de forccedila dos mancais e na resposta
desbalanceada do sistema
v Estabelece relaccedilotildees algeacutebricas entre alguns paracircmetros de desempenho dos mancais
ciliacutendricos e eliacutepticos e a resposta balanceada com os paracircmetros geomeacutetricos dos
mancais Identificar as faixas operacionais onde estas relaccedilotildees algeacutebricas satildeo vaacutelidas
23
2 REVISAtildeO BIBLIOGRAacuteFICA
As referecircncias apresentadas a seguir satildeo divididas em seccedilotildees para facilitar a exposiccedilatildeo dos
temas envolvidos no trabalho Inicialmente satildeo apresentadas as publicaccedilotildees que abordam os
procedimentos computacionais para a modelagem de sistemas rotor-mancal destacando-se o uso
do meacutetodo de elementos finitos e a evoluccedilatildeo dos modelos de elementos de vigas aplicados aos
eixos flexiacuteveis Em seguida destacam-se os trabalhos que fazem a anaacutelise da estabilidade de
sistemas rotor-mancal atraveacutes de problema de autovalor Segue-se com a citaccedilatildeo das publicaccedilotildees
que apresentam procedimentos de modelagem de mancais hidrodinacircmicos As uacuteltimas seccedilotildees
apresentam trabalhos sobre sistemas rotativos com elementos adicionais onde se destacam no
final os modelos de mancais eliacutepticos
Observa-se que a literatura apresenta diversos trabalhos dentro desta linha poreacutem muitos
aplicam o modelo de mancal curto que eacute bastante limitado principalmente para mancais
operando com grandes excentricidades A teoria de mancal curto eacute mais aplicaacutevel na prediccedilatildeo de
carga mas eacute muito limitada na determinaccedilatildeo de coeficientes de forccedila ou no estudo da
estabilidade do sistema Outros trabalhos apresentam uma abordagem detalhada do modelo dos
mancais mas ao apresentar os resultados fazem diversas simplificaccedilotildees (mancais isotroacutepicos
por exemplo) Em alguns casos a modelagem dos mancais e a aplicaccedilatildeo do procedimento
numeacuterico eacute detalhada e rigorosa poreacutem aplica-se o modelo de eixo riacutegido o que tambeacutem
representa uma limitaccedilatildeo A teoria natildeo-linear para mancais hidrodinacircmicos eacute apresentada por
diversos autores poreacutem os trabalhos possuem uma abordagem mais matemaacutetica natildeo focando
em aspectos praacuteticos de condiccedilotildees operacionais de maacutequinas rotativas
Desta forma observa-se uma lacuna na literatura onde raramente satildeo analisados sistemas rotor-
mancal hidrodinacircmico de maneira detalhada evitando-se hipoacuteteses simplificadoras tanto no
modelo dos mancais quanto no modelo do eixo flexiacutevel
21 Modelagem de sistemas rotor-mancal
A anaacutelise do comportamento dinacircmico de maacutequinas rotativas tem fomentado o desenvolvimento
de procedimentos computacionais eficientes e precisos para as etapas preliminares de projeto
24
Os modelos de maacutequinas rotativas de alta velocidade geralmente incluem rotores flexiacuteveis
apoiados em mancais hidrodinacircmicos e eacute fundamental analisar a estabilidade do sistema
(GUNTER 1970 BUSSE et al1980 VANCE 1988 KRAMER 1993 CHILDS 1993
ABDULJABBAR et al1997 HU et al 2000 GANESAN 2000 ZHAO et al2005 WENHUI
et al 2007)
Os estudos dinacircmicos baseados em modelos computacionais se tornam de extrema importacircncia
em diversas aplicaccedilotildees industriais de turbomaacutequinas como turbinas a gaacutes e a vapor
compressores ventiladores industriais bombas exaustores entre outros (STERNLICHT e
LEWIS 1968) A partir da deacutecada de 70 o meacutetodo de elementos finitos comeccedilou a ser usado
com extrema frequecircncia para o desenvolvimento de modelos de rotores flexiacuteveis e para a anaacutelise
de balanceamento estabilidade e vibraccedilatildeo torcional de maacutequinas rotativas (ZORZI e NELSON
1977 VANCE 1988 CHILDS 1993 ALMEIDA Jr e FARIA 2003 MIRANDA et al 2005)
A aplicaccedilatildeo do meacutetodo de elementos finitos na modelagem e simulaccedilatildeo de sistemas rotativos eacute
muito ampla na anaacutelise dinacircmica de rotores Os primeiros trabalhos nesta aacuterea satildeo apresentados
por Ruhl (1970) e Ruhl e Booker (1972) onde se aplica o meacutetodo de elementos finitos na
anaacutelise dinacircmica de um sistema rotativo com paracircmetros distribuiacutedos Satildeo usados elementos de
viga incluindo a ineacutercia translacional e rigidez agrave flexatildeo mas natildeo satildeo considerados os efeitos de
ineacutercia rotatoacuteria momentos giroscoacutepios deformaccedilatildeo por cisalhamento carga axial torque axial
e amortecimento interno Kirk e Gunter (1972) analisam a resposta transiente e permanente do
rotor de Jeffcott com mancais elaacutesticos montados em apoios flexiacuteveis e amortecidos ainda
desconsiderando a flexibilidade do rotor e o efeito giroscoacutepico do disco rotativo nas equaccedilotildees de
movimento Na mesma eacutepoca Thorkildsen (1972) desenvolveu um modelo mais completo onde
incluiu os efeitos de ineacutercia rotatoacuteria e momentos giroscoacutepios
Polk (1974) apresenta um estudo sobre velocidade criacutetica e velocidade limite utilizando
elemento finito de viga de Rayleigh Polk ainda apresenta neste mesmo trabalho o
desenvolvimento dos elementos finitos de viga de Timoshenko embora sem nenhum resultado
numeacuterico Diana et al(1975) apresentam seus resultados da anaacutelise de um eixo rotativo usando
o meacutetodo de elementos finitos com elementos semelhantes aos de Ruhl (1970) No mesmo ano
Dimaragonas (1975) apresenta um desenvolvimento geral de elemento de viga mas ainda
excluindo o cisalhamento e carga e torque axiais Gasch (1976) apresentou importantes
resultados em um artigo semelhante ao de Dimaragonas poreacutem incluindo o efeito de
25
excentricidade distribuiacuteda Satildeo analisados eixos rotativos de grandes turbomaacutequinas atraveacutes de
elementos finitos e introduzida a dinacircmica da fundaccedilatildeo nas equaccedilotildees de movimento usando
anaacutelise modal e teste modal
No mesmo ano Nelson e McVaugh (1976) apresentam uma formulaccedilatildeo para modelar o sistema
rotor-mancal usando paracircmetros distribuiacutedos e elementos finitos de viga de Rayleigh
semelhantes aos de Polk (1974) incluindo os efeitos de ineacutercia rotatoacuteria efeito giroscoacutepico e
cargas axiais Este trabalho eacute ampliado posteriormente em Zorzi e Nelson (1977) incluindo-se o
amortecimento viscoso interno do eixo Nelson (1980) generaliza os modelos apresentados em
1976 e 1977 usando a teoria de vigas de Timoshenko para estabelecer as funccedilotildees de forma do
eixo flexiacutevel incluindo o efeito de cisalhamento mas sem incluir o amortecimento interno Satildeo
obtidas as equaccedilotildees de elementos atraveacutes do Princiacutepio de Hamilton e das integrais que definem
as energias potencial e cineacutetica de cada elemento A energia cineacutetica leva em consideraccedilatildeo a
energia rotacional e translacional e a energia potencial considera a energia potencial elaacutestica
devida agrave flexatildeo a energia potencial do cisalhamento e a energia devida agrave carga axial Para
modelar os mancais satildeo considerados apoios isotroacutepicos sem efeito de amortecimento O autor
apresenta vaacuterios resultados que validam o meacutetodo comparando-os com outros obtidos na
literatura Eacute apresentada uma comparaccedilatildeo entre as frequecircncias naturais de uma viga estaacutetica
obtidas com elementos de viga de Euler-Bernoulli de Rayleigh e de Timoshenko
Posteriormente satildeo apresentados resultados de velocidades criacuteticas calculadas para eixos
rotativos apoiados pelas extremidades
Oumlzguumlven e Oumlzkan (1984) aplicam tambeacutem o meacutetodo de elementos finitos considerando os
efeitos da ineacutercia rotatoacuteria carga axial efeito giroscoacutepico deformaccedilotildees por cisalhamento e
amortecimento viscoso interno no mesmo modelo Vance et al(1987) apresentam comparaccedilotildees
de dados experimentais com resultados numeacutericos obtidos em uma bancada de sistema rotor-
mancal incluindo os efeitos de impedacircncia da fundaccedilatildeo no modelo usando o meacutetodo de matriz
de transferecircncia
Jei e Lee (1988) analisam o comportamento dinacircmico de rotores assimeacutetricos apoiados em
mancais hidrodinacircmicos utilizando o meacutetodo de elementos finitos O sistema rotativo eacute
composto por um eixo assimeacutetrico e discos riacutegidos e os efeitos da ineacutercia rotatoacuteria do
cisalhamento transversal dos momentos giroscoacutepicos e do amortecimento histereacutetico satildeo
incluiacutedos na modelagem do sistema As equaccedilotildees de vibraccedilatildeo lateral do conjunto rotativo satildeo
26
compactadas via teacutecnica de reduccedilatildeo modal de coordenadas Na modelagem dos mancais radiais
os autores desprezam a assimetria dos coeficientes cruzados de rigidez e de amortecimento e natildeo
descrevem claramente como foram obtidos os demais coeficientes de forccedila O problema de
autovalor do sistema giroscoacutepico amortecido eacute obtido para a determinaccedilatildeo das velocidades
criacuteticas de instabilidade do sistema rotativo As simplificaccedilotildees efetuadas pelos autores na
modelagem dos mancais afetam a determinaccedilatildeo precisa das velocidades de instabilidade do rotor
assimeacutetrico suportado em mancais hidrodinacircmicos que depende fortemente dos coeficientes
cruzados de rigidez Stephenson e Rouch (1992) aplicam o meacutetodo de elementos finitos para
analisar um sistema rotor-mancal e fundaccedilatildeo usando tambeacutem anaacutelise modal que permite
observar os efeitos dinacircmicos da estrutura da fundaccedilatildeo
Mais recentemente diversos trabalhos tecircm sido publicados aplicando-se o meacutetodo de elementos
finitos para a anaacutelise da estabilidade e da resposta no tempo de sistemas rotativos Sundararajan
(1996) investiga a resposta natildeo-linear e a estabilidade de um sistema rotor-mancal em regime
permanente sujeito a desbalanceamento Satildeo considerados rotores riacutegidos apoiados em mancais
hidrodinacircmicos planos e squeeze-film dampers (amortecedores por esmagamento de filme
fluido) Analisa-se a influecircncia dos coeficientes de forccedila cruzados e da ineacutercia do fluido na
resposta natildeo-linear e na estabilidade do sistema Na modelagem por elementos finitos satildeo
derivadas as matrizes de massa de rigidez e de amortecimento do sistema e eacute apresentado um
procedimento numeacuterico que reduz o nuacutemero de graus de liberdade do sistema O autor aplica a
teoria de bifurcaccedilatildeo de Hopf (HOLLIS e TAYLOR 1986) para calcular os regimes de
bifurcaccedilatildeo de mancais hidrodinacircmicos finitos mostrando que os mancais podem entrar em
regime de instabilidade mesmo abaixo das velocidades limites o que natildeo eacute observado nos
modelos lineares Na modelagem do squeeze film damper e do mancal plano eacute adotado o modelo
de mancal curto Posteriormente o autor propotildee uma anaacutelise de estabilidade de mancais planos
finitos usando uma formulaccedilatildeo que faz uma soma ponderada das soluccedilotildees analiacuteticas do mancal
curto e do mancal longo para se obter os coeficientes de forccedila Os resultados para mancais
planos finitos natildeo satildeo validados experimentalmente Embora comente-se sobre o caraacuteter natildeo-
linear do efeito das folgas nos mancais de rolamento este tipo de mancal natildeo eacute modelado pelo
autor O modelo do sistema rotor-mancal considera o rotor e o eixo riacutegidos e usa o modelo de
mancal curto o que torna o modelo bastante limitado
Chen e Lee (1997) aplicam o meacutetodo de elementos finitos em um problema de rotores flexiacuteveis
para obter a resposta desbalanceada no tempo e para identificar os coeficientes de forccedila de
27
mancais de rolamento Armentrout (1998) apresenta o desenvolvimento de uma anaacutelise
transiente de rotores flexiacuteveis suportados em mancais de filme fluido baseada no meacutetodo das
matrizes de transferecircncia Os efeitos de cisalhamento os momentos giroscoacutepicos e a ineacutercia
rotatoacuteria satildeo incluiacutedos na modelagem do eixo do rotor A soluccedilatildeo unidimensional aproximada da
equaccedilatildeo de Reynolds eacute a base do modelo de mancais ciliacutendricos radiais e de sapatas moacuteveis
contemplados na anaacutelise O procedimento computacional desenvolvido por Armentrout (1998)
utiliza teacutecnica de compactaccedilatildeo modal de coordenadas empregando os modos de vibraccedilatildeo natildeo
amortecidos do sistema rotor-mancal-fundaccedilatildeo As equaccedilotildees de equiliacutebrio do sistema rotativo
em coordenadas modais satildeo integradas utilizando-se um algoritmo de integraccedilatildeo impliacutecita
―preditor-corretor
Tiwari et al (2000) apresentam uma investigaccedilatildeo teoacuterico-experimental da dinacircmica natildeo-linear
de rotores riacutegidos horizontais apoiados em mancais de rolamento de esferas Um modelo
discreto de massa concentrada com dois graus de liberdade eacute empregado na representaccedilatildeo do
rotor riacutegido As natildeo linearidades da anaacutelise estatildeo associadas aos efeitos da folga radial do
mancal e do modelo de contato de Hertz para as esferas desse mancal As equaccedilotildees de equiliacutebrio
do sistema satildeo integradas utilizando-se um algoritmo impliacutecito de integraccedilatildeo A anaacutelise
experimental do trabalho consiste na determinaccedilatildeo da resposta desbalanceada e na avaliaccedilatildeo da
estabilidade dinacircmica de um rotor horizontal apoiado em mancais de rolamento anisotroacutepicos
Os autores mostram resultados teoacutericos e experimentais para as regiotildees de instabilidade do rotor
que apresentam boa concordacircncia A consideraccedilatildeo de rotor riacutegido representa uma limitaccedilatildeo do
modelo
Elmadany et al (2001) apresentam um modelo de elementos finitos para um sistema rotativo
composto por um eixo flexiacutevel um rotor riacutegido e vaacuterios mancais incluindo no modelo do rotor
os efeitos de ineacutercia rotativa momentos giroscoacutepicos amortecimento interno deformaccedilotildees por
cisalhamento e torque axial Satildeo usados elementos finitos de viga de Timoshenko para gerar as
equaccedilotildees dos elementos do eixo Os oito coeficientes de forccedila dos mancais hidrodinacircmicos satildeo
apresentados em funccedilatildeo do nuacutemero de Sommerfeld considerando mancais curtos O meacutetodo
computacional proposto permite obter importantes informaccedilotildees do comportamento dinacircmico do
sistema tais como a precessatildeo as velocidades criacuteticas as regiotildees de estabilidade e a resposta
dinacircmica desbalanceada As velocidades de instabilidades satildeo obtidas atraveacutes do problema de
autovalor Os autores apresentam diversos resultados numeacutericos comparados com outros
28
extraiacutedos da literatura Em um deles destaca-se a comparaccedilatildeo das velocidades de instabilidade
(threshold speed of instability) e os autores fazem ainda uma comparaccedilatildeo entre o modelo usando
elementos de viga de Rayleigh e de Timoshenko Conclui-se que ao se incluir o efeito de
cisalhamento na anaacutelise de vibraccedilatildeo livre os valores das velocidades de instabilidade satildeo
reduzidos
Hong et al(2001) investigam os efeitos da deformaccedilatildeo inicial de eixos na resposta dinacircmica de
sistemas rotor-mancal Analisa-se a vibraccedilatildeo siacutencrona provocada pela deformaccedilatildeo inicial e pelo
desbalanceamento sendo incluiacutedo o efeito giroscoacutepico O modelo de elementos finitos tem dois
graus de liberdade correspondentes aos deslocamentos transversais e o rotor tem trecircs discos
riacutegidos e dois mancais Satildeo simuladas algumas configuraccedilotildees de rotor incluindo mancais
hidrodinacircmicos de sapatas moacuteveis Os resultados mostram que o efeito da deformaccedilatildeo inicial
influencia fortemente a resposta siacutencrona em baixas velocidades enquanto o efeito do
desbalanceamento afeta em altas velocidades de rotaccedilatildeo Eacute observado ainda que a presenccedila de
ambos efeitos pode causar dificuldade no diagnoacutestico de vibraccedilotildees de maacutequinas rotativas Os
autores usam coeficientes de forccedila preacute-calculados por outros autores natildeo apresentando a
modelagem dos mancais Natildeo fica claro tambeacutem o tipo de elemento finito usado no modelo do
eixo
Guo e Kirk (2003) fazem um estudo dos limites de estabilidade de um sistema rotor-mancal
hidrodinacircmico baseado no modelo de Jeffcott (1919) incluindo o amortecimento externo e um
estudo para rotores verticais e horizontais Os autores destacam a forte influecircncia que o
amortecimento externo tem na anaacutelise da estabilidade do sistema rotativo Eacute proposto um
meacutetodo analiacutetico que faz vaacuterias consideraccedilotildees que simplificam as equaccedilotildees de movimento do
sistema por exemplo rotor vertical com operaccedilatildeo centrada em mancais curtos idecircnticos Eacute
mostrado que existe uma velocidade limite (threshold speed) para o rotor vertical enquanto para
o rotor horizontal haacute uma regiatildeo de operaccedilatildeo estaacutevel limitada entre duas regiotildees instaacuteveis Neste
caso do rotor horizontal eacute conduzido um procedimento numeacuterico sem as hipoacuteteses
simplificadoras usadas no modelo vertical usando anaacutelise de autovalores obtidos das equaccedilotildees
matriciais de movimento do sistema Observa-se que no rotor horizontal o efeito do
amortecimento externo aumenta a regiatildeo de operaccedilatildeo estaacutevel do sistema e para alguns valores
mais elevados de amortecimento externo eacute possiacutevel eliminar a regiatildeo de instabilidade
garantindo operaccedilatildeo estaacutevel para o sistema rotativo em toda faixa de velocidade de rotaccedilatildeo
analisada Guo e Kirk (2003) incluem ainda em seu trabalho uma anaacutelise do modelo extendido
29
do rotor de Jeffcott onde satildeo consideradas as massas dos mancais nas extremidades do rotor
Conclui-se que ao se incluiacuterem as massas dos mancais surge uma outra velocidade
limite(threshold speed) E mesmo que vaacuterias regiotildees de instabilidade possam ser reduzidas ou
eliminadas com o aumento do amortecimento externo este amortecimento tem pouco efeito nas
uacuteltimas velocidades de instabilidade (threshold speed of instability) uma vez que estas
velocidades dependem da massa do mancal Assim a melhor forma de se obter amplas faixas de
operaccedilatildeo estaacutevel eacute combinar-se os efeitos do amortecimento externo ao das massas dos mancais
obtendo-se uma combinaccedilatildeo adequada no dimensionamento do rotor de Jeffcott
Em (GUO e KIRK 2003b) a anaacutelise eacute ampliada incluindo-se o efeito da flexibilidade dos
mancais onde mostra-se como melhorar a resposta dinacircmica e a resposta desbalanceada do
sistema assim como a estabilidade e a transmissatildeo de forccedilas Novamente satildeo consideradas as
mesmas hipoacuteteses simplificadoras que restringem bastante a abrangecircncia dos resultados obtidos
Os proacuteprios autores admitem que os resultados satildeo vaacutelidos para um caso especial Nos
resultados satildeo apresentadas as regiotildees de estabilidade e a influecircncia do amortecimento e da
rigidez dos mancais na estabilidade do sistema Comenta-se ainda que os coeficientes de forccedila
de mancais hidrodinacircmicos tecircm natureza natildeo-linear e que cabe um estudo mais detalhado sobre
o efeito desta natildeo-linearidade
Balantrapu (2004) apresenta um procedimento computacional de identificaccedilatildeo de paracircmetros
para identificar os coeficientes de forccedila de mancais em um sistema rotativo com eixo flexiacutevel
atraveacutes da resposta desbalanceada medida proacuteximo aos mancais Eacute proposta tambeacutem uma
formulaccedilatildeo que permite usar o procedimento de identificaccedilatildeo a partir de mediccedilotildees feitas longe
dos mancais em especial no ponto meacutedio entre eles O eixo flexiacutevel eacute modelado por elementos
finitos incluindo-se os efeitos de ineacutercia rotatoacuteria e efeito giroscoacutepico e para os mancais satildeo
considerados coeficientes de forccedila lineares Satildeo apresentados vaacuterios exemplos incluindo
mancais hidrodinacircmicos de dois loacutebulos Observa-se que a massa desbalanceada necessaacuteria para
se fazer as mediccedilotildees do deslocamento do eixo assim como a exatidatildeo dos resultados de
mediccedilatildeo influenciam os resultados obtidos para os coeficientes de forccedila Outro fator que
influencia mais consideravelmente eacute a rigidez do eixo que tem grande influecircncia nas amplitudes
de vibraccedilatildeo medidas no sistema
Kalita e Kakoty (2004) destacam o meacutetodo de elementos finitos como o mais popular para
anaacutelise de vibraccedilatildeo de sistemas rotor-mancal Eacute estudado o comportamento dinacircmico de um
30
rotor apoiado em mancais hidrodinacircmicos onde usam-se elementos de viga de Timoshenko para
o eixo que inclui os efeitos de ineacutercia rotatoacuteria efeito giroscoacutepico amortecimento interno e
deformaccedilatildeo por cisalhamento O modelo tem 4 graus de liberdade dois deslocamentos
transversais e duas rotaccedilotildees Satildeo apresentados os diagramas de Campbell para diferentes valores
de coeficientes de forccedila dos mancais incluindo anaacutelise da influecircncia dos coeficientes de
amortecimento e de rigidez cruzada dos mancais nas velocidades de instabilidade Eacute mostrada
ainda a limitaccedilatildeo do uso da aproximaccedilatildeo de mancais curtos no caacutelculo dos coeficientes
dinacircmicos de mancais hidrodinacircmicos
Bode e Menezes (2005) apresentam uma anaacutelise dinacircmica de um sistema rotor-mancal pelo
meacutetodo de elementos finitos onde satildeo detalhadas todas etapas da modelagem do sistema O
eixo flexiacutevel eacute excitado por forccedilas de desbalanceamento e apoiado nas extremidades por mancais
hidrodinacircmicos cujas forccedilas de reaccedilatildeo satildeo produzidas pela pressatildeo dinacircmica do lubrificante Os
coeficientes de rigidez e de amortecimento dos mancais satildeo obtidos atraveacutes da soluccedilatildeo numeacuterica
da equaccedilatildeo de Reynolds Para modelar o eixo flexiacutevel eacute usada a teoria de vigas de Timoshenko
incluindo o efeito giroscoacutepico e de cisalhamento Adota-se o meacutetodo de elementos finitos com
elementos de viga com 4 graus de liberdade em cada noacute 2 deslocamentos e 2 velocidades As
equaccedilotildees de movimento satildeo obtidas pelas equaccedilotildees de Lagrange descrevendo o movimento em
dois planos A resposta no tempo eacute obtida pelo meacutetodo de Newmark (RAO 1995) integrando-se
numericamente as equaccedilotildees de movimento Os autores obtecircm uma soluccedilatildeo numeacuterica que
permite descrever as condiccedilotildees dinacircmicas de estabilidade do sistema rotor-mancal
Cheng et al (2008) investigam o comportamento dinacircmico natildeo-linear de um sistema rotor-
mancal-selo apresentando resultados em forma de trajetoacuterias mapas de Poincareacute expoentes de
Liapunov espectros de frequecircncia e diagramas de bifurcaccedilatildeo Satildeo destacadas as caracteriacutesticas
natildeo-lineares dos coeficientes de rigidez e de amortecimento de mancais hidrodinacircmicos e de
selos mecacircnicos Consideram-se mancais curtos Para o selo adota-se o modelo natildeo-linear de
Muszynska (1986) O modelo do rotor considera apenas a vibraccedilatildeo transversal desprezando a
vibraccedilatildeo torcional e o efeito giroscoacutepico sendo adotado o modelo de rotor de Jeffcott A soluccedilatildeo
numeacuterica eacute obtida atraveacutes do meacutetodo de Runge-Kutta de quarta ordem seguida de uma anaacutelise
graacutefica do comportamento natildeo-linear do sistema em funccedilatildeo da velocidade de rotaccedilatildeo da
excentricidade da folga no selo e da pressatildeo no selo Os autores enfatizam a modelagem do
selo mas simplificam muito o modelo do eixo O modelo dos mancais eacute limitado a mancais
curtos e a anaacutelise numeacuterica considera apenas um exemplo de mancal
31
Rezvani (2009) faz uma anaacutelise de um sistema rotor mancal com vaacuterios graus de liberdade e
apoios natildeo-lineares Satildeo modelados sistemas apoiados em mancais de rolamento e em suportes
amortecidos (squeeze film dampers) considerando o modelo de mancais curtos Satildeo mostrados
os efeitos do amortecimento e do efeito giroscoacutepico do sistema em sua estabilidade Elhibir
(2009) apresenta um modelo computacional de um alternador afixado em uma viga oca em
balanccedilo apoiada em uma extremidade por dois mancais de rolamento O modelo usa o meacutetodo
de elementos finitos com elementos soacutelidos tetraeacutedricos Eacute analisada a resposta desbalanceada
do sistema e obtidas as frequecircncias naturais e usada anaacutelise modal Satildeo apresentados diversos
resultados numeacutericos e imagens ilustrando as deformaccedilotildees do sistema em cada modo de
vibraccedilatildeo
Karlberg (2010) faz uma anaacutelise dinacircmica de maacutequinas rotativas apoiadas por mancais de
rolamento com folgas O trabalho se destaca pela forma detalhada como eacute analisada a influecircncia
das folgas dos mancais nos seus coeficientes de rigidez proacuteximo da posiccedilatildeo de equiliacutebrio Eacute
observado que as frequecircncias naturais reduzem significativamente com o aumento das folgas
Para o modelo do rotor eacute adotada a teoria de vigas de Bernoulli-Euler usado o modelo de
Jeffcott com disco riacutegido
22 Anaacutelise da estabilidade atraveacutes de problema de autovalor
A anaacutelise da estabilidade de sistemas rotor-mancal pode tambeacutem ser feita atraveacutes do problema
de autovalor Gupta (1974) apresenta uma anaacutelise baseada no problema de autovalores
aplicando equaccedilotildees que consideram o efeito giroscoacutepico amortecido do sistema A formulaccedilatildeo
do problema de autovalor associados a sistemas giroscoacutepicos amortecidos eacute de grande
importacircncia para a determinaccedilatildeo de velocidades criacuteticas e para a anaacutelise de sensibilidade de
paracircmetros em maacutequinas rotativas (PLAUT e HUSEYIN 1972 MEIROVITCH e
RYLAND 1979 LUND 1980 PALAZZOLO et al 1983 RAJAN et al 1986 FARIA e
BARCELLOS 1991 EHRICH 1992 LUND 1994) A equaccedilatildeo do sistema rotor-mancal
flexiacutevel com efeito giroscoacutepico amortecido eacute reescrita na forma de variaacuteveis de estado
(MEIROVITCH1974 MEIROVITCH1980 CHILDS e GRAVISS1982) para a determinaccedilatildeo
dos autovalores complexos
Rao et al (1996) analisam a estabilidade e os autovalores de sistemas rotor-mancal usando a
teacutecnica de elementos finitos e considerando coeficientes distribuiacutedos de forccedila e de
32
amortecimento nos mancais Satildeo consideradas distribuiccedilotildees uniformes e paraboacutelicas para
diferentes tipos de mancais hidrodinacircmicos Os coeficientes distribuiacutedos satildeo obtidos atraveacutes de
uma metodologia que usa o princiacutepio do trabalho virtual (CRAGGS 1993 TAYLOR e
CRAGGS 1994) mas que considera apenas uma distribuiccedilatildeo uniforme ao longo da largura e do
comprimento do mancal Esta consideraccedilatildeo eacute vaacutelida quando o mancal eacute razoavelmente longo
Poreacutem quando eacute curto eacute vaacutelido considerar a distribuiccedilatildeo paraboacutelica (RAO et al1996) Assim
o mesmo princiacutepio do trabalho virtual eacute aplicado desta vez para se obterem as matrizes de
elementos finitos dos coeficientes de forccedila com distribuiccedilatildeo paraboacutelica Estas matrizes satildeo
incluiacutedas nas matrizes do sistema rotor-mancal obtendo-se a equaccedilatildeo de movimento do sistema
em forma matricial
A modelagem do rotor eacute feita usando-se elementos de viga finitos como propostos por Nelson e
McVaugh (1976) incluindo-se o efeito giroscoacutepico e o amortecimento interno Os resultados
satildeo analisados comparando-se os autovalores e frequecircncias naturais do sistema com coeficientes
de rigidez e de amortecimento distribuiacutedos agravequeles obtidos considerando-se os coeficientes de
forccedila concentrados para mancais isotroacutepicos com razatildeo LD=05 e LD=10 Observa-se que
para mancais longos quando os coeficientes de rigidez satildeo baixos (104 a 10
7 Nm) a diferenccedila
entre os resultados para os modelos de coeficientes distribuiacutedos e concentrados eacute despreziacutevel e
entre os modelos de coeficientes distribuiacutedos uniformemente e paraboacutelico tambeacutem eacute pequena
Percebe-se um aumento nas frequecircncias naturais para o modelo de coeficientes distribuiacutedos
somente para valores mais elevados de rigidez Por fim os autores analisam a estabilidade do
sistema rotativo para diferentes tipos de mancais hidrodinacircmicos cujos coeficientes de forccedila satildeo
obtidos de Lund e Thomsen (1978) Conclui-se que as regiotildees de estabilidade mudam entre as
duas formulaccedilotildees O modelo de coeficientes distribuiacutedos fornece regiotildees de estabilidade mais
amplas quando comparado com o modelo de coeficientes concentrados Desta forma o modelo
concentrado eacute mais conservativo do ponto de vista de estabilidade e o modelo distribuiacutedo eacute
mais preciso
Santana (2009) apresenta a anaacutelise da resposta complexa de um sistema rotor-mancais-fundaccedilatildeo
onde estuda a influecircncia do grau de anisotropia dos mancais e da estrutura de suporte na resposta
do modo retroacutegrado de precessatildeo Eacute formulado tambeacutem um problema de autovalores poreacutem
associado agrave anaacutelise modal adaptada para sistemas rotativos (NORDMANN 1982) A anaacutelise dos
modos de vibraccedilatildeo associados ao eixo rotativo e aos mancais de apoio fornece importantes
dados para o desenvolvimento de meacutetodos computacionais de anaacutelise de vibraccedilatildeo teacutecnicas de
33
balanceamento e de monitoramento de maacutequinas de alta rotaccedilatildeo (BUSSE et al 1980 BOEDO e
BOOKER 1997) O mesmo problema pode ainda incluir as propriedades dissipativas do sistema
(MEIROVITCH e RYLAND 1979 PALAZZOLO et al 1983 FARIA e BARCELLOS 1991)
23 Mancais hidrodinacircmicos
A literatura apresenta diversos estudos sobre o caacutelculo dos coeficientes de forccedila nos mancais
hidrodinacircmicos Ocvirk (1952) propocircs a soluccedilatildeo da equaccedilatildeo de Reynolds para mancais curtos
desprezando o gradiente circunferencial de pressatildeo Pinkus (1987) faz uma revisatildeo histoacuterica da
teoria de lubrificaccedilatildeo hidrodinacircmica e da aplicaccedilatildeo da equaccedilatildeo de Reynolds em tribologia desde
suas origens ateacute o estado atual Lund (1978 1987) faz uma revisatildeo do conceito de coeficientes
dinacircmicos e aplica o meacutetodo de perturbaccedilatildeo infinitesimal em torno da posiccedilatildeo de equiliacutebrio
para calcular os coeficientes de rigidez e de amortecimento de mancais hidrodinacircmicos Lund
(1987) acrescenta que esta perturbaccedilatildeo em torno da posiccedilatildeo de equiliacutebrio eacute vaacutelida para ateacute 40
da folga do mancal
Childs (1993) e Vance (1988) apresentam em seus livros diferentes modelos de mancais
hidrodinacircmicos e obtecircm os valores dos seus coeficientes dinacircmicos Os coeficientes satildeo obtidos
a partir de caacutelculos em torno da posiccedilatildeo de equiliacutebrio do eixo no mancal Rajalingham e Prabhu
(1987) analisam a influecircncia da temperatura nas caracteriacutesticas fiacutesicas dos mancais
hidrodinacircmicos e concluem que a variaccedilatildeo da temperatura do oacuteleo na direccedilatildeo axial pode ser
desprezada sem afetar a precisatildeo dos resultados hidrodinacircmicos para o filme de oacuteleo
Choy et al (1991) calculam os coeficientes de rigidez natildeo-lineares dos mancais para
perturbaccedilotildees de deslocamento em vaacuterios locais em torno da posiccedilatildeo de equiliacutebrio Eles mostram
que para deslocamentos distantes da posiccedilatildeo de equiliacutebrio a natildeo-linearidade das forccedilas do filme
fluido eacute significante e pode ser modelada por coeficientes de forccedila e de amortecimento de
ordem superior Choy et al (1992) analisam o efeito natildeo-linear no comportamento dinacircmico de
mancais hidrodinacircmicos quando sujeitos a diversas condiccedilotildees operacionais tais como alta e
baixa excentricidade altas velocidades desalinhamento
Zhang e Luo (1991) utilizam teacutecnicas de ajuste de curvas usando dados experimentais da
resposta em frequecircncia para identificaccedilatildeo dos coeficientes de rigidez e amortecimento de
mancais hidrodinacircmicos Capone et al (1994) propotildeem uma soluccedilatildeo analiacutetica aproximada para
34
a distribuiccedilatildeo de pressatildeo do filme de oacuteleo em um mancal de comprimento finito Satildeo
apresentadas aproximaccedilotildees de primeira e segunda ordem com diversas relaccedilotildees de largura e
diacircmetros sendo que o modelo de segunda ordem mostra uma boa aproximaccedilatildeo em relaccedilatildeo o
modelo de mancal finito calculado numericamente
Qiu e Tieu (1996) calculam os coeficientes dinacircmicos em diferentes valores de perturbaccedilatildeo Eles
concluem que as perturbaccedilotildees nas velocidades e deslocamentos devem estar entre 5 e 4
respectivamente para se garantir uma diferenccedila de 25 entre os valores de coeficientes obtidos
pelos meacutetodos de perturbaccedilatildeo finita e infinita Furukawa et al (1996) estudam os coeficientes de
forccedila nos mancais hidrodinacircmicos e concluem que a natildeo linearidade do filme fluido produz
grandes diferenccedilas entre os valores calculados e os medidos experimentalmente em especial na
regiatildeo de alta excentricidade Chu et al (1998) analisam a natildeo-linearidade do filme fluido e
observam que os coeficientes lineares dos mancais hidrodinacircmicos modelados satildeo vaacutelidos para
perturbaccedilotildees de deslocamento da ordem de 006
Bachschmid e Vania (2002) observam vibraccedilotildees em uma frequecircncia duas vezes maior que a
rotaccedilatildeo da maacutequina na presenccedila de efeitos natildeo-lineares em mancais hidrodinacircmicos Os autores
destacam a importacircncia de se monitorar o segundo harmocircnico para se diagnosticarem falhas em
turbo-maacutequinas Sawicki e Rao (2004) analisam o caraacuteter natildeo-linear dos coeficientes de forccedila de
mancais hidrodinacircmicos para diferentes nuacutemeros de Sommerfeld (SOMMERFELD 1904) e
razotildees de esbeltez do mancal LD Satildeo apresentadas as diferentes formas de se aplicar o meacutetodo
de perturbaccedilatildeo para a obtenccedilatildeo dos coeficientes de forccedila lineares e natildeo-lineares Os autores
destacam ainda que os coeficientes de forccedila lineares apresentam precisatildeo aceitaacutevel ateacute uma
excentricidade de 04 vezes o valor da folga do mancal (LUND 1987) Hirani (2005) aplica
teacutecnicas de algoritmos geneacuteticos na modelagem de lubrificaccedilatildeo hidrodinacircmica para o projeto
otimizado de mancais
Couto (2006) faz um estudo teoacuterico-experimental que investiga o comportamento de mancais
radiais hidrodinacircmicos sujeitos a carregamentos estaacuteticos dinacircmicos e a desalinhamentos Eacute
aplicado o meacutetodo de volumes finitos para a integraccedilatildeo da equaccedilatildeo de Reynolds que governa o
problema de lubrificaccedilatildeo Faria et al (2006) apresentam um procedimento baseado no meacutetodo
de elementos finitos para a soluccedilatildeo das equaccedilotildees de lubrificaccedilatildeo em mancais radiais ciliacutendricos
hidrodinacircmicos obtidas a partir da equaccedilatildeo claacutessica de Reynolds Os resultados mostram as
limitaccedilotildees da aplicabilidade da teoria de mancais curtos especialmente quando operam com
35
grandes excentricidades Mostram-se tambeacutem os limites da aplicaccedilatildeo da teoria de mancais
longos (HAMROCK 1994) onde LD=2
Yan et al (2010) apresentam um modelo analiacutetico e um meacutetodo de caacutelculo dos coeficientes de
rigidez e de amortecimento de mancais hidrodinacircmicos de sapata moacutevel e fazem uma
comparaccedilatildeo com resultados experimentais da literatura (KOSTRZEWSKY e FLACK 1990)
Seu modelo inclui um rotor riacutegido simeacutetrico apoiado em dois mancais de sapata moacutevel idecircnticos
de cinco sapatas cada Eacute usado o meacutetodo de NewtonndashRaphson para se calcular a posiccedilatildeo de
equiliacutebrio do eixo e das paacutes Apresenta-se tambeacutem um modelo reduzido que se mostra eficiente
para o caacutelculo dos coeficientes dinacircmicos mas que natildeo apresenta bons resultados para a anaacutelise
de estabilidade e das frequecircncias naturais amortecidas Observa-se nos resultados que o
momento de ineacutercia das paacutes a velocidade e o fator de preacute-carga tecircm grande influecircncia na
estabilidade do sistema e que a faixa de operaccedilatildeo estaacutevel pode ser aumentada ao se aumentar o
fator de preacute-carga
24 Sistemas rotativos com elementos adicionais
A anaacutelise de estabilidade de sistemas mancal-rotor eacute bastante variada na literatura especializada
Eacute comum encontrar trabalhos cuja originalidade recai na inclusatildeo de alguns paracircmetros ou
elementos especiacuteficos no conjunto como mancais hiacutebridos mancais de materiais viscoelaacutesticos
acoplamentos selos mecacircnicos
Um trabalho a destacar sobre a anaacutelise de estabilidade do sistema rotor-mancal de mancais
hiacutebridos eacute o de Gomez-Mancilla et al (2005) onde eacute modelado um sistema composto por um
rotor de Jeffcott apoiado em mancais hidrodinacircmicos ciliacutendricos hiacutebridos Satildeo considerados
ambos modelos riacutegido e flexiacutevel de Jeffcott e comparados os niacuteveis de vibraccedilatildeo e a estabilidade
do sistema quando sujeito a diferentes niacuteveis de pressatildeo de alimentaccedilatildeo do lubrificante nos
mancais Os autores mostram como se pode melhorar a estabilidade do sistema com o aumento
da pressatildeo de alimentaccedilatildeo provocando uma reduccedilatildeo no acircngulo de posiccedilatildeo e um aumento da
excentricidade nos sistemas modelados que inclui mancais hidrodinacircmicos longos ciliacutendricos
Este efeito tambeacutem favorece a faixa de operaccedilatildeo estaacutevel do sistema elevando a velocidade
limite de operaccedilatildeo estaacutevel (threshold speed of instability) Os resultados obtidos mostram que o
efeito da pressatildeo de alimentaccedilatildeo nos mancais na estabilidade do sistema eacute consideraacutevel para
36
rotores riacutegidos ou com elevada rigidez Agrave medida em que a rigidez reduz natildeo se percebe muita
variaccedilatildeo na estabilidade com o aumento da pressatildeo de alimentaccedilatildeo Outro resultado importante
deste trabalho eacute que o aumento da pressatildeo de alimentaccedilatildeo do lubrificante natildeo eacute interessante
quando o sistema estaacute cruzando uma velocidade criacutetica Apenas em casos particulares eacute possiacutevel
obter alguma reduccedilatildeo na amplitude de vibraccedilatildeo e mesmo assim quando a velocidade de
operaccedilatildeo estiver fora da faixa de velocidades criacuteticas Portanto um sistema de controle ativo de
pressatildeo eacute recomendado para se obter os melhores resultados em funccedilatildeo dos paracircmetros
operacionais do sistema rotativo Comenta-se tambeacutem que outros modelos de mancais como os
eliacutepticos de muacuteltiplos loacutebulos de sapata moacutevel satildeo intrinsecamente mais estaacuteveis do que os
mancais ciliacutendricos analisados no trabalho
A anaacutelise de estabilidade do sistema com mancais de materiais viscoelaacutesticos eacute apresentada em
Espiacutendola e Floody (1999) Saldarriaga (2007) e Bavastri et al(2008) Tapia e Cavalca (2002) e
Tadeo (2003) analisam os efeitos de alguns modelos de acoplamentos flexiacuteveis e riacutegidos
inserindo-os em modelos de elementos finitos do sistema rotativos Al-Hussain (2003) analisa o
efeito do desalinhamento angular na estabilidade de dois rotores riacutegidos ligados por um
acoplamento flexiacutevel O modelo contempla ainda um disco riacutegido em cada rotor que se apoacuteia
em mancais hidrodinacircmicos O autor apresenta as regiotildees de estabilidade do sistema e sua
relaccedilatildeo com a rigidez do acoplamento e com o acircngulo de desalinhamento
Wang et al (2010) fazem uma anaacutelise de um compressor centriacutefugo de alta velocidade com
mancais hidrodinacircmicos a ar com selo mecacircnico de labirinto Eacute usado o modelo de rotor riacutegido
de Jeffcott para modelar o eixo e o disco que representam o compressor aleacutem do modelo de
Muszynska (1986) para as forccedilas do selo
Faria e Miranda (2012) apresentam um procedimento de elementos finitos aplicado na anaacutelise
dos paracircmetros de desempenho de selos a gaacutes Lavainne (2003) e Vincent (2003) fazem uma
anaacutelise determiniacutestica e probabiliacutestica da sensibilidade de desempenho de um compressor agraves
variaccedilotildees geomeacutetricas das suas paacutes Ambos apresentam os resultados em termos de alteraccedilotildees na
eficiecircncia de compressatildeo do equipamento
Lazarus et al (2010) fazem uma anaacutelise dinacircmica da vibraccedilatildeo em maacutequinas rotativas
assimeacutetricas utilizando elementos finitos tridimensionais (3D) baseando-se na teoria modal
Satildeo incluiacutedos no modelo um estator e um acoplamento permitindo uma anaacutelise detalhada da
estabilidade do sistema e sua relaccedilatildeo com os autovalores Os resultados teoacutericos satildeo comparados
37
com mediccedilotildees experimentais realizadas em uma bancada de testes com um rotor assimeacutetrico
apoiado em mancais anisotroacutepicos
25 Mancais eliacutepticos
A literatura apresenta diversos trabalhos sobre modelagem de mancais ciliacutendricos mas haacute
poucos trabalhos que investigam detalhadamente os mancais eliacutepticos (SINGH e GUPTA1982)
As primeiras publicaccedilotildees sobre mancais eliacutepticos que se destacam satildeo Pinkus (1956 1956b)
onde o autor apresenta uma anaacutelise detalhada sobre mancais eliacutepticos incluindo paracircmetros
como capacidade de carga coeficiente de atrito e vazatildeo para diferentes valores de
excentricidade fator de carga e razatildeo LD Outro trabalho importante na eacutepoca foi apresentado
por Wilcock (1961) que analisa vaacuterios tipos de mancais deslocados ortogonalmente incluindo
mancais eliacutepticos Seu trabalho eacute limitado pelo fato de natildeo terem sido considerados os
coeficientes de amortecimento
Sternlicht (1964) apresenta uma anaacutelise de regime permanente para mancais eliacutepticos usando
coeficientes de rigidez e de amortecimento de mancais eliacutepticos com fatores geomeacutetricos
variados Middleton (1973) apresenta diagramas de capacidade de carga acircngulo de atitude e
coeficientes de rigidez e de amortecimento para mancais eliacutepticos com fatores de 06 e LD=05
Singh (1978) faz uma anaacutelise estaacutetica e dinacircmica de mancais eliacutepticos com LD=1 considerando
rotores riacutegidos e flexiacuteveis Kumar et al (1980) apresentam dados detalhados para o projeto de
mancais hidrodinacircmicos eliacutepticos (dois loacutebulos) Eacute usado o meacutetodo de perturbaccedilatildeo linear para o
caacutelculo dos coeficientes do mancal aplicando-se a equaccedilatildeo de Reynolds para filme fluido com
algumas simplificaccedilotildees nas condiccedilotildees de contorno Satildeo apresentados resultados para os
coeficientes de rigidez e de amortecimento do mancal aleacutem de dados sobre paracircmetro de atrito
de aumento de temperatura e regiatildeo de equiliacutebrio
Singh e Gupta (1982) apresentam um estudo analiacutetico dos efeitos do fator de carga da razatildeo LD
e da flexibilidade do eixo nos limites de estabilidade de mancais eliacutepticos e destacam que os
mancais eliacutepticos satildeo adequados para rotores riacutegidos e moderadamente flexiacuteveis Neste trabalho
os autores aplicam a equaccedilatildeo de Reynolds a cada loacutebulo do mancal eliacuteptico e resolvem a
equaccedilatildeo separadamente por loacutebulo usando o meacutetodo de diferenccedilas finitas Os resultados satildeo
vaacutelidos para mancais alinhados onde o perfil de pressotildees eacute simeacutetrico Satildeo levados em
38
consideraccedilatildeo todos os coeficientes de forccedila dos mancais isto eacute os coeficientes de rigidez e de
amortecimento incluindo os coeficientes cruzados
Zhang et al (1999) analisam os efeitos da natildeo-linearidade das forccedilas do filme fluido na resposta
desbalanceada de um rotor de Jeffcott apoiado em mancais eliacutepticos Eacute destacado o caraacuteter natildeo-
linear das forccedilas do filme fluido Os autores comparam os resultados da resposta desbalanceada
gerada pela teoria linear e natildeo-linear para avaliar a aplicabilidade da teoria linear Observa-se a
grande influecircncia do desbalanceamento nos resultados comparados mostrando a importacircncia de
se considerar as natildeo-linearidades quando o desbalanceamento do sistema eacute elevado
Nas uacuteltimas deacutecadas tem-se publicado pouco sobre mancais eliacutepticos e os trabalhos recentes que
merecem destaque satildeo comentados a seguir
Shen et al(2006) apresentam um modelo raacutepido e preciso que calcula as forccedilas de um mancal
hidrodinacircmico usando o meacutetodo variacional O modelo analisa o comportamento dinacircmico natildeo-
linear de um rotor riacutegido apoiado em mancais eliacutepticos considerando tanto o rotor balanceado
como o natildeo-balanceado Os autores fazem uma revisatildeo histoacuterica dos trabalhos que investigam
este caraacuteter aperioacutedico e caoacutetico da vibraccedilatildeo em sistemas dinacircmicos de alta rotaccedilatildeo onde se
comenta ainda que os coeficientes dinacircmicos lineares trazem informaccedilotildees de estabilidade
vaacutelidas apenas para rotores balanceados Satildeo destacados os meacutetodos numeacutericos de elementos
finitos e de diferenccedilas finitas como os mais precisos mas ao mesmo tempo os que mais exigem
recursos computacionais e tempo de processamento Desta forma os autores propotildeem um novo
modelo numeacuterico para calcular as forccedilas do filme fluido para investigar a dinacircmica natildeo-linear
de um sistema rotor-mancal O mancal modelado eacute formado por dois loacutebulos de 150deg cada e
considera-se apenas o movimento radial do rotor O novo modelo proposto baseia-se na teoria
variacional (ROHDE e MALLISTER 1975) gerando um problema de minimizaccedilatildeo de energia
o que reduz o problema bidimensional para unidimensional reduzindo consideravelmente o
custo computacional Como as forccedilas do filme fluido satildeo calculadas para cada loacutebulo o meacutetodo
proposto eacute eficiente tanto para mancais ciliacutendricos quanto para mancais de vaacuterios loacutebulos
incluindo os mancais eliacutepticos O meacutetodo eacute vaacutelido natildeo apenas para mancais curtos e longos mas
tambeacutem para mancais finitos Satildeo apresentados resultados numeacutericos e graacuteficos que mostram
oacuterbitas ciclos limites diagramas de bifurcaccedilatildeo (HOLLIS e TAYLOR 1986) e mapas de
Poincareacute
39
Yan-Jun et al(2006) analisam o comportamento dinacircmico natildeo-linear de um rotor apoiado em
mancais hidrodinacircmicos finitos incluindo mancais eliacutepticos Para o caacutelculo dos coeficientes de
forccedila dos mancais usa-se o meacutetodo de elementos finitos com uma abordagem variacional que
permite reduzir o custo computacional e melhorar a exatidatildeo numeacuterica do meacutetodo segundo os
autores Satildeo considerados os efeitos natildeo-lineares das forccedilas produzidas pelo filme fluido e sua
influecircncia na natildeo-linearidade do movimento do sistema Aplica-se o meacutetodo de prediccedilatildeo e
correccedilatildeo juntamente com o meacutetodo de Newton-Raphson para se calcular a posiccedilatildeo de equiliacutebrio
e as velocidades criacuteticas A limitaccedilatildeo do modelo estaacute na consideraccedilatildeo de eixo riacutegido e sua
modelagem natildeo eacute detalhada pelos autores
Correia (2007) apresenta uma anaacutelise de desempenho de mancais hidrodinacircmicos eliacutepticos
usando o meacutetodo de elementos finitos Satildeo obtidos os coeficientes de rigidez e de
amortecimento para diversas condiccedilotildees de trabalho aleacutem de obter curvas de caracteriacutesticas de
desempenho estaacutetico e dinacircmico tais como capacidade de carga e coeficientes dinacircmicos de
forccedila em funccedilatildeo de paracircmetros operacionais e do nuacutemero de Sommerfeld O autor destaca que
para um nuacutemero de Sommerfeld alto os mancais ciliacutendricos satildeo inadequados
Raghunandana (2007) propotildee um meacutetodo inverso para se calcular os coeficientes de forccedila e de
amortecimento de mancais eliacutepticos a partir de um banco de dados gerado para uma certa razatildeo
de excentricidade e eacute feito um ajuste de curva para gerar uma funccedilatildeo contiacutenua destes dados Eacute
apresentada a equaccedilatildeo de Reynolds modificada (DIEN e ELROD 1983) que considera a
variaccedilatildeo da viscosidade do fluido em funccedilatildeo da pressatildeo isto eacute fluido natildeo-newtoniano A
equaccedilatildeo eacute adimensionalizada e resolvida numericamente usando o meacutetodo de diferenccedilas finitas
considerando o regime permanente e condiccedilotildees de contorno simplificadoras
40
3 METODOLOGIA
Nesse capiacutetulo eacute apresentada a metodologia adotada na implementaccedilatildeo do procedimento
computacional que permite obter os resultados do comportamento dinacircmico de sistemas rotor-
mancal hidrodinacircmico Inicialmente apresenta-se a formulaccedilatildeo por elementos finitos do eixo
rotativo utilizando-se a teoria de vigas de Timoshenko Em seguida eacute apresentada a descriccedilatildeo
do problema de mancal hidrodinacircmico radial eliacuteptico e as equaccedilotildees de lubrificaccedilatildeo da Teoria da
Lubrificaccedilatildeo que permitem obter a formulaccedilatildeo por elementos finitos dos coeficientes de forccedila
destes mancais Posteriormente eacute descrito o procedimento para se modelar o sistema rotor-
mancal hidrodinacircmico por elementos finitos obtendo-se a equaccedilatildeo do movimento Apresenta-se
o meacutetodo numeacuterico de integraccedilatildeo no tempo adotado para se obter a soluccedilatildeo numeacuterica da
equaccedilatildeo do movimento do sistema Finalmente eacute apresentado um diagrama descrevendo as
principais etapas do procedimento computacional completo
O modelo do sistema rotor-mancal eacute ilustrado esquematicamente na Figura 31 onde observa-se
um eixo circular flexiacutevel apoiado nas extremidades e com um disco massivo acoplado Os
apoios satildeo representados pelos coeficientes de rigidez K e de amortecimento C dos mancais
Figura 31 ndash Sistema rotor-mancal
Os modelos adotados para o rotor flexiacutevel e para os mancais hidrodinacircmicos ciliacutendricos e
41
eliacutepticos satildeo baseados em teorias que apresentam algumas hipoacuteteses simplificadoras Estas
hipoacuteteses satildeo listadas a seguir
i) Modelo do Eixo flexiacutevel
natildeo inclui efeitos de torccedilatildeo ou de amortecimento interno
considera o eixo homogecircneo isotroacutepico e inicialmente alinhado
carregamento transversal sem carga axial
desconsiderado o movimento axial das seccedilotildees transversais
ii) Modelo do disco massivo
considera o disco riacutegido e homogecircneo
a linha de centro do disco coincide com a linha de centro do eixo (condiccedilatildeo inicial)
iii) Modelo dos mancais hidrodinacircmicos
considera mancais de geometria fixa com perfil ciliacutendrico ou eliacuteptico
a linha de centro coincide com a linha de centro do eixo (condiccedilatildeo inicial)
Filme fluido
- escoamento em regime laminar bidimensional nas direccedilotildees axial e circunferencial
- fluido newtoniano isoteacutermico isoviscoso incompressiacutevel
- desconsiderada a ineacutercia do fluido
iv) Modelo do sistema rotor-mancal
Desconsiderados os efeitos de vibraccedilatildeo provocados por desalinhamento de montagem
folgas roccedilamento rompimento do filme fluido cavitaccedilatildeo
31 Modelagem do Rotor Flexiacutevel
O modelo do rotor flexiacutevel implementado neste trabalho adota o meacutetodo de elementos finitos
(MEF) atraveacutes de elementos de eixo (NELSON 1980) de Timoshenko Nelson (1980) utiliza a
teoria de vigas de Timoshenko para obter as equaccedilotildees de equiliacutebrio para um eixo circular
flexiacutevel suportado em apoios elaacutesticos considerando o efeito do cisalhamento momento
giroscoacutepico e ineacutercia rotatoacuteria Os detalhes sobre a teoria de vigas de Euler-Bernoulli Rayleigh
e Timoshenko satildeo apresentados no Anexo A O desenvolvimento da formulaccedilatildeo atraveacutes de
42
elementos finitos eacute apresentado a seguir e as matrizes de elementos finitos obtidas por esta
formulaccedilatildeo satildeo listadas no Anexo C Considere um elemento finito de comprimento l com oito
graus de liberdade (Figura 32)
Figura 32 ndash Representaccedilatildeo de um elemento finito do eixo
A variaacutevel q representa o vetor deslocamento generalizado onde q1 e q2 representam o
movimento de translaccedilatildeo de um noacute do elemento finito nas direccedilotildees dos eixos de coordenadas
retangulares enquanto q3 e q4 representam as rotaccedilotildees em torno dos eixos de coordenadas As
demais componentes satildeo anaacutelogas representando os mesmos movimentos para o noacute oposto
Para representar a translaccedilatildeo e a rotaccedilatildeo de uma seccedilatildeo qualquer do elemento definem-se (VW)
como o deslocamento linear do centro da seccedilatildeo do elemento onde satildeo incluiacutedas as contribuiccedilotildees
da flexatildeo (Vf Wf) e do cisalhamento (VcWc) Aplicam-se funccedilotildees de interpolaccedilatildeo claacutessicas para
vigas de Timoshenko na flexatildeo (ANEXO B)
onde
43
e as funccedilotildees de interpolaccedilatildeo i=1234 representam os modos de deslocamentos sendo
que cada funccedilatildeo estaacute associada ao deslocamento unitaacuterio de uma das coordenadas com todas as
demais coordenadas com deslocamento restringido a zero [D] e [E] representam as matrizes das
funccedilotildees de interpolaccedilatildeo de deslocamentos lineares e de deslocamentos angulares
respectivamente Para se considerar os efeitos de cisalhamento transversal considera-se o eixo
com seccedilatildeo transversal circular e o fator de forma do cisalhamento transversal meacutedio pode ser
determinado pela expressatildeo (COUPER 1966)
onde eacute o coeficiente de Poisson
Aplicando-se o Princiacutepio de Hamilton obteacutem-se as equaccedilotildees do movimento de um elemento
finito do eixo Fazendo-se a primeira variaccedilatildeo funcional
onde T V e representam respectivamente a energia cineacutetica a energia potencial elaacutestica e o
trabalho das forccedilas externas obeacutem-se a relaccedilatildeo
A energia cineacutetica do elemento considera as parcelas de translaccedilatildeo e de rotaccedilatildeo do movimento
onde l eacute o comprimento do elemento M representa a massa por unidade de comprimento Idm eacute o
momento diametral meacutedio de ineacutercia de massa por unidade de comprimento Ip eacute o momento
polar de ineacutercia por unidade de comprimento eacute a velocidade de rotaccedilatildeo do rotor
A energia de deformaccedilatildeo elaacutestica devido agrave flexatildeo e ao cisalhamento eacute descrita como
44
onde Vf e Wf satildeo as contribuiccedilotildees da flexatildeo no deslocamento linear do centro da seccedilatildeo
transversal do elemento Vc e Wc satildeo as contribuiccedilotildees do cisalhamento neste deslocamento Kx
e Ky satildeo os coeficientes de cisalhamento E e G satildeo os moacutedulos de elasticidade longitudinal e
transversal Iy e Iz satildeo os momentos de ineacutercia de aacuterea A eacute a aacuterea da seccedilatildeo transversal O sinal
de apoacutestrofo indica diferenciaccedilatildeo em relaccedilatildeo agrave posiccedilatildeo
As equaccedilotildees do movimento satildeo obtidas pelo Princiacutepio de Hamilton atraveacutes da relaccedilatildeo
onde
eacute o trabalho virtual das forccedilas externas e Fe eacute o vetor forccedila generalizada
Substituindo-se as funccedilotildees de interpolaccedilatildeo (ANEXO B) nas expressotildees da energia de
deformaccedilatildeo elaacutestica e de energia cineacutetica do elemento leva agraves matrizes de elementos finitos
(ANEXO C) Uma vez obtidas as matrizes do sistema a equaccedilatildeo do movimento obtida pela
aplicaccedilatildeo do Princiacutepio de Hamilton teraacute a forma
onde [Me] [N
e] [G
e] satildeo as matrizes locais da ineacutercia de translaccedilatildeo rotaccedilatildeo e de efeito
giroscoacutepico respectivamente Para o modelo do rotor flexiacutevel composto pelo eixo flexiacutevel e o
disco massivo riacutegido (Figura 31) basta usar as propriedades geomeacutetricas do disco nas matrizes
de ineacutercia [Me] e [N
e] e de efeito giroscoacutepico [G
e] no elemento correspondente agrave posiccedilatildeo do
disco no rotor
32 Modelagem do Mancal Radial Eliacuteptico
A Figura 33 apresenta de maneira esquemaacutetica um mancal hidrodinacircmico eliacuteptico e seus
paracircmetros geomeacutetricos
45
Figura 33 ndash Desenho esquemaacutetico do mancal eliacuteptico e seus paracircmetros geomeacutetricos
O munhatildeo eacute a parte rotativa do mancal normalmente corresponde ao proacuteprio eixo no trecho
apoiado no mancal O tamanho do mancal eacute definido pelo comprimento L e pelo diacircmetro D O
centro do munhatildeo estaacute na interseccedilatildeo das linhas traccedilo-ponto e o centro do mancal estaacute na
interseccedilatildeo das linhas pontilhadas A excentricidade do mancal eacute definida como a distacircncia entre
o centro do mancal e o centro do munhatildeo representada por e A folga radial do mancal definida
como a diferenccedila entre o raio do mancal e o raio do munhatildeo eacute representada por c (Figura 34) A
razatildeo de excentricidade eacute o adimensional definido como podendo variar de zero a um
O acircngulo de posiccedilatildeo do mancal pode ser calculado pela expressatildeo onde
Fy e Fx satildeo respectivamente as componentes vertical e horizontal da forccedila de reaccedilatildeo F do
mancal gerada pela accedilatildeo hidrodinacircmica do filme fluido O mancal radial de perfil eliacuteptico ou
―mancal eliacuteptico possui um perfil formado por dois arcos de circunferecircncia chamados de
loacutebulos que natildeo satildeo concecircntricos (Figura 34) Nesta figura o centro geomeacutetrico dos loacutebulos
(ponto OL) estaacute posicionado sobre o centro geomeacutetrico do eixo (ponto O) o que a difere
basicamente da Figura 33 onde o centro do eixo estaacute deslocado como ocorre quando o eixo
estaacute girando e se desloca para uma posiccedilatildeo de equiliacutebrio R representa o raio menor do mancal
Re representa o raio do munhatildeo ou raio do eixo RL representa o raio do loacutebulo do mancal ou
sejao raio de cada loacutebulo que compotildee o mancal eliacuteptico
A preacute-carga (Mp) do mancal eliacuteptico indica o grau de ―elipsidade do mancal e eacute dada pela
46
expressatildeo Mp=(Cb ndash c)c O caso particular onde Mp=0 representa o mancal ciliacutendrico
Figura 34 - Desenho esquemaacutetico do perfil de um mancal radial eliacuteptico
A Figura 35 mostra o campo de pressatildeo no mancal hidrodinacircmico ciliacutendrico girando no sentido
anti-horaacuterio Percebe-se que as maiores pressotildees satildeo formadas na regiatildeo inferior ligeiramente
deslocadas para a direita para sustentar a carga do eixo representada por W A distacircncia miacutenima
entre o eixo e o mancal eacute representada por ho
Figura 35 - Distribuiccedilatildeo da pressatildeo hidrodinacircmica no mancal ciliacutendrico (LANG e STEINHILPER 1978)
47
Na Figura 36 eacute representado o mesmo campo de pressatildeo poreacutem para o mancal de perfil
eliacuteptico Observa-se que haacute a formaccedilatildeo do campo de pressatildeo tambeacutem na metade superior do
mancal que embora tenha um valor relativamente pequeno se comparado com o campo gerado
na parte inferior ajuda no equiliacutebrio hidrodinacircmico (CORREIA 2007) A accedilatildeo dos dois campos
de pressatildeo dos mancais eliacutepticos aumenta a rigidez melhora o amortecimento e reduz o
aquecimento do lubrificante de maneira mais eficiente do que nos mancais ciliacutendricos
(SEHGAL 2010)
Figura 36 - Distribuiccedilatildeo da pressatildeo hidrodinacircmica no mancal eliacuteptico (Adaptado de CORREIA 2007)
321 Equaccedilotildees de Lubrificaccedilatildeo
A equaccedilatildeo claacutessica de Reynolds que descreve o escoamento de um filme fluido incompressiacutevel
isoteacutermico e isoviscoso pode ser escrita no sistema de coordenadas ciliacutendricas da seguinte forma
(HAMROCK 1994)
t
hh
R
U
z
ph
z
ph
R
LLLL )()(
2
1
12
sup3
12
sup3
sup2
1 (31)
onde
48
R = raio do eixo
p = pressatildeo hidrodinacircmica
= massa especiacutefica do lubrificante
h = espessura do filme fluido
= viscosidade absoluta do lubrificante
U = velocidade superficial do eixo (U = ωR)
O domiacutenio do escoamento do filme fluido eacute descrito por 0 le θ le 2π e -L2 le z le L2 A
distribuiccedilatildeo de pressatildeo hidrodinacircmica eacute perioacutedica ao longo da direccedilatildeo circunferencial p(θ z t)=
p(θ + 2π z t) As laterais do mancal estatildeo agrave pressatildeo atmosfeacuterica pa p(θ L2 t)=p(θ -L2t)= pa
A condiccedilatildeo de Meio Sommerfeld eacute utilizada no caacutelculo do campo de pressatildeo do mancal
ciliacutendrico (HAMROCK 1994) onde usa-se somente do intervalo de 0 le θ le π concentrando-se
a anaacutelise da pressatildeo na regiatildeo convergente ou seja natildeo considerando a aacuterea de cavitaccedilatildeo (ou
pressatildeo negativa) No mancal eliacuteptico eacute desconsiderada apenas a regiatildeo de cavitaccedilatildeo
A expressatildeo que representa a espessura do filme fluido ―h eacute dada pela equaccedilatildeo (32) onde c
representa a folga radial ex e ey representam as excentricidades do mancal e Mp a preacute-carga
senMpcsentetech yx )()()cos()( (32)
Para o caacutelculo dos coeficientes dinacircmicos de forccedila do mancal satildeo utilizadas as equaccedilotildees de
lubrificaccedilatildeo de ordem zero e de primeira ordem obtidas atraveacutes da anaacutelise de perturbaccedilatildeo do
sistema (LUND1987) A posiccedilatildeo de equiliacutebrio do eixo (00
yx ee ) eacute perturbada por movimentos
de pequena amplitude ( yx ee ) com uma frequecircncia de excitaccedilatildeo w (FARIA et al 2006)
Desta forma a espessura do filme eacute dada por
titi
yyxx ehehehehehh 00 )( = x y (33)
onde
0h = espessura do filme estacionaacuterio ou de ordem zero
49
xh = cos( )
yh = sen ( )
= x y
i = 1
Pequenas variaccedilotildees na espessura do filme causam alteraccedilotildees no campo de pressatildeo
hidrodinacircmica Este campo perturbado de pressatildeo hidrodinacircmica pode ser representado pela
equaccedilatildeo (34) se considerarmos uma anaacutelise linear de perturbaccedilatildeo
ti
o
ti
YYXXo epepe)pepe()t(p)t(p (34)
onde
0p = pressatildeo estacionaacuteria campo de pressatildeo de ordem zero
Xp e Yp = campo de pressatildeo de primeira ordem
Substituindo as equaccedilotildees (33) e (34) na equaccedilatildeo (31) obtecircm-se as equaccedilotildees de lubrificaccedilatildeo de
ordem zero e de primeira ordem conforme representado pelas equaccedilotildees (35) e (36)
respectivamente
)(
2
1
1212sup2
1 00
3
00
3
0 h
R
U
z
ph
z
ph
R
LLL (35)
hih
R
U
z
ph
z
phh
z
phphh
RL
LLLLL )(
2
1
1212
3
1212
3
sup2
13
00
2
0
3
00
2
0
(36)
A equaccedilatildeo (35) eacute a equaccedilatildeo claacutessica de Reynolds para regime estacionaacuterio Esta equaccedilatildeo
permite a determinaccedilatildeo do campo de pressatildeo hidrodinacircmica bidimensional no interior dos
mancais radiais lubrificados a oacuteleo Natildeo existe soluccedilatildeo analiacutetica em forma fechada para a grande
maioria dos mancais radiais de uso industrial Os coeficientes dinacircmicos dos mancais satildeo
50
obtidos atraveacutes da soluccedilatildeo das equaccedilotildees de lubrificaccedilatildeo de ordem zero e de primeira ordem via
procedimento de elementos finitos
322 Equaccedilotildees de Elementos Finitos para Mancais Eliacutepticos
As equaccedilotildees de lubrificaccedilatildeo de ordem zero e de primeira ordem podem ser escritas na forma de
balanccedilo de massa utilizando-se o conceito de fluxo maacutessico Dessa forma a equaccedilatildeo (35) pode
ser reescrita na seguinte forma
(37)
sendo que 00
3
0
212
1hR
ph
Rm L
L representa o fluxo maacutessico na direccedilatildeo circunferencial
e z
phm L
z0
3
0
12 o fluxo maacutessico na direccedilatildeo axial
A equaccedilatildeo (36) pode da mesma forma ser reescrita na forma de balanccedilo de fluxo na seguinte
maneira
himz
mR
m Lz111
1
(38)
sendo que os fluxos maacutessicos mostrados na equaccedilatildeo (38) podem ser expressos na seguinte
forma
hRph
R
phh
Rm L
LL
212
1
12
313
00
2
01 (39)
z
ph
z
phhm LL
z
1212
3 3
00
2
01
(310)
323 Discretizaccedilatildeo do campo de pressatildeo de ordem zero
Elementos isoparameacutetricos planos de quatro noacutes satildeo utilizados na discretizaccedilatildeo do domiacutenio do
filme fluido Funccedilotildees de interpolaccedilatildeo bilineares e
j j=1234 satildeo empregadas na descriccedilatildeo do
01
mm
zm
Rz
51
campo de pressatildeo hidrodinacircmica de ordem zero no domiacutenio e de um elemento finito A
Figura 37 ilustra de maneira esquemaacutetica os quatro noacutes no elemento finito usados na
discretizaccedilatildeo do domiacutenio do filme fluido onde a coordenada y representa a direccedilatildeo axial do
mancal e a coordenada indica a direccedilatildeo circunferencial
Figura 37 - Representaccedilatildeo esquemaacutetica dos noacutes no elemento finito
Os campos discretos de pressatildeo de ordem zero e de primeira ordem no domiacutenio e de um
elemento finito satildeo escritos na seguinte forma
e
i
e
i
e pp 00 i=1234 (311)
e
i
e
i
e pp i=1234 (σ = xy) (312)
Sobre um elemento finito do domiacutenio e o meacutetodo de Galerkin eacute utilizado para a obtenccedilatildeo da
equaccedilatildeo do campo de pressatildeo de ordem zero A equaccedilatildeo (37) eacute preacute-multiplicada pelas funccedilotildees
de interpolaccedilatildeo e
j e o produto eacute integrado sobre o domiacutenio e
e ee
ee
j
ee
j
ee
j dmdnmdm 0
(313)
onde n
representa o valor normal unitaacuterio direcionado para o lado de fora do contorno e do
52
elemento finito Pode-se escrever que
eR
ez
e
j
z
e
je
j
1 (314)
zz ememm
(315)
A segunda integral do lado direito da equaccedilatildeo (313) pode ser expandida na seguinte forma
ee
e
e
e
je
i
e
e
je
i
e
je
i
e
e
j
z
e
j
z
e
i
e
ie
i
e
i
dhpdzzR
h
deR
ez
epz
he
z
Rp
h
R
002
3
0
0
3
00
3
0
2
1
12
1
1212
1
(316)
Entatildeo a equaccedilatildeo (313) pode ser reescrita na forma a seguir
e ee
e
n
e
j
e
e
je
i
e
e
je
i
e
je
i dmdhpdzzR
h
2
1
12002
3
0 (317)
onde nm representa o fluxo de lubrificante cruzando a fronteira do elemento finito e
A equaccedilatildeo (317) pode ser representada por um sistema de equaccedilotildees algeacutebricas que representa a
forma estacionaacuteria da equaccedilatildeo de Reynolds para um elemento finito e
na seguinte forma
e
j
e
j
e
i
e
ji qfPK 0 (318)
onde a matriz fluiacutedica e
jiK pode ser obtida por meio de procedimento de integraccedilatildeo baseado no
meacutetodo da quadratura de Gauss (BATHE 1982) utilizando-se quatro pontos de integraccedilatildeo Essa
matriz eacute dada pela seguinte expressatildeo
53
e
e
je
i
e
je
ie
ji dzzR
hK
e sup2
1
12
3
0
O vetor de fluxo no domiacutenio de um elemento finito eacute determinado por
e
e
e
je
j dhf 02
O balanccedilo de fluxo atraveacutes do contorno do domiacutenio eacute dado por
e
e
n
e
j
e
j dmq
O contorno de um elemento finito qualquer eacute representado por e
e o fluxo de lubrificante de
ordem zero atraveacutes dessa fronteira por nm
324 Discretizaccedilatildeo do campo de pressatildeo de primeira ordem
O meacutetodo de Galerkin eacute empregado novamente para a obtenccedilatildeo da equaccedilatildeo de elementos finitos
para determinaccedilatildeo do campo de pressatildeo perturbada de primeira ordem A equaccedilatildeo (38) eacute preacute-
multiplicada pelas funccedilotildees de interpolaccedilatildeo e o produto eacute integrado sobre o domiacutenio e do
elemento finito produzindo a seguinte equaccedilatildeo integral
e e ee
ee
j
ee
j
ej
e
ee
j dhidmdnmdm
111 (319)
O segundo termo do lado direito da equaccedilatildeo (319) pode ser reescrito na forma seguinte
e
e e
e
e
je
i
e
je
i
e
jo
ejz
e
jee
j
dR
hRP
R
hp
R
hh
dz
mR
mdm
2sup2
1
12sup2
1
12
3
1
3
0
2
0
111
54
e
ee
i
e
je
i
e
jdP
zz
h
zz
phh
1212
3 3
00
2
0 (320)
A equaccedilatildeo (320) pode entatildeo ser reescrita na forma de um sistema de equaccedilotildees algeacutebricas na
seguinte maneira
ee
j
e
j
e
j
e
j
en
e
j
e
i
e
e
je
i
e
je
i
dhihzz
pp
R
hh
dmPdzzR
h
e
ee
2sup2
1
12
3
sup2
1
12
00
2
0
1
3
0
(321)
Para facilitar a representaccedilatildeo da equaccedilatildeo algeacutebrica (321) pode-se reescrevecirc-la na forma
matricial como segue
e
j
e
j
e
i
e
ji fqpK yx (322)
A matriz fluiacutedica de primeira ordem o balanccedilo do fluxo atraveacutes do contorno e o vetor de fluxo
no domiacutenio satildeo determinados respectivamente por
e
e
je
i
e
j
e
je
ji dzzR
hK
e sup2
1
12
3
0 (3221)
e
en
e
j
e
j dmq (3222)
e
ee
j
e
j
e
j
e
je
j dhihzz
pp
R
hhf
2sup2
1
12
3 00
2
0 (3223)
O fluxo de lubrificante de primeira ordem atraveacutes do contorno e de um elemento finito eacute
representado por nm
O sistema de equaccedilotildees algeacutebricas complexas dado pelas equaccedilotildees (322) permite determinar o
55
campo complexo de pressatildeo hidrodinacircmica de primeira ordem Os coeficientes do vetor
carregamento de primeira ordem e
jf dependem do campo de pressatildeo de ordem zero Por
conseguinte primeiro resolve-se o sistema de equaccedilotildees de ordem zero apresentada na equaccedilatildeo
(318) para a determinaccedilatildeo do campo de pressatildeo estacionaacuteria 0p Entatildeo determina-se o campo
de pressatildeo perturbada por meio do sistema de equaccedilotildees dado pelas equaccedilotildees (322)
As caracteriacutesticas estaacuteticas de desempenho de mancais tais como capacidade de carga torque de
atrito e vazatildeo de oacuteleo satildeo determinadas a partir da equaccedilatildeo de lubrificaccedilatildeo de ordem zero Jaacute as
caracteriacutesticas dinacircmicas de desempenho tais como os coeficientes de rigidez e de
amortecimento satildeo estimadas a partir da soluccedilatildeo da equaccedilatildeo de lubrificaccedilatildeo de primeira ordem
As equaccedilotildees de elementos finitos satildeo superpostas para todo o domiacutenio do filme fluido Ω
325 Determinaccedilatildeo dos Coeficientes de Forccedila dos Mancais Eliacutepticos
A soluccedilatildeo do sistema de equaccedilotildees algeacutebricas lineares eacute obtida por meio de um procedimento
baseado no meacutetodo da decomposiccedilatildeo LU (CHAPRA e CANALE 2002) Um programa
computacional foi desenvolvido especialmente para determinar a soluccedilatildeo das equaccedilotildees de ordem
zero e de primeira ordem utilizando o meacutetodo de elementos finitos (FARIA et al 2006) As
forccedilas de reaccedilatildeo do filme lubrificante podem entatildeo ser estimadas a partir da seguinte expressatildeo
na qual pa representa a pressatildeo atmosfeacuterica
L
aoodzdRh)pp(F
0
2
0
= XY (323)
A determinaccedilatildeo do campo perturbado ou de primeira ordem de pressatildeo
hidrodinacircmica para o mancal eacute realizada por meio do sistema de equaccedilotildees complexas de
primeira ordem obtido pela superposiccedilatildeo para todo o domiacutenio do fluido das equaccedilotildees dadas
pelas equaccedilotildees (322) A integraccedilatildeo do campo de pressatildeo de primeira ordem sobre o domiacutenio do
filme fluido leva agrave estimativa das impedacircncias complexas YXoZ Os coeficientes
linearizados de rigidez YXK e de amortecimento YXC associados agrave accedilatildeo
hidrodinacircmica do filme fluido podem ser calculados na seguinte forma
56
L
dzdRhpCiKZ0
2
0
YX (324)
ou
dzdRhphp
hphp
CC
CCi
KK
KK L
YYYX
XYXX
YYYX
XYXX
YYYX
XYXX
0
2
0
(325)
Estes coeficientes de forccedila [ K ] e [C ] correspondem agrave resistecircncia que o mancal oferece ao
deslocamento e agrave velocidade respectivamente Eles seratildeo sobrepostos agraves matrizes de elementos
finitos do eixo nas linhas e colunas correspondentes aos dois primeiros graus de liberdade que
satildeo translacionais
33 O Sistema Rotor-Mancal
O sistema rotor-mancal eacute composto por um eixo flexiacutevel um disco massivo e mancais Neste
trabalho o sistema foi modelado atraveacutes do meacutetodo de elementos finitos (MEF) como descrito a
seguir aplicando modelos distintos para o eixo flexiacutevel e para os mancais O disco massivo eacute
considerado riacutegido e portanto inserido no modelo do eixo simplesmente atraveacutes de suas
propriedades fiacutesicas (massa efeito giroscoacutepico e ineacutercia rotatoacuteria)
Para a modelagem do deslocamento lateral dos eixos flexiacuteveis satildeo utilizados elementos de eixo
com dois noacutes e com oito graus de liberdade A influecircncia dos mancais nos coeficientes de
rigidez e amortecimento do rotor tambeacutem eacute considerada na modelagem A equaccedilatildeo global do
movimento para o sistema rotor-mancal eacute descrita como
(326)
onde [M] representa a matriz global de ineacutercia translacional [N] eacute a matriz global de ineacutercia
rotatoacuteria [K] a matriz de rigidez do eixo e [C] a matriz generalizada de amortecimento que eacute
expressa como [G]]C[]C[ 1 onde [G] eacute a matriz de efeito giroscoacutepico do eixo Estas
matrizes satildeo apresentadas detalhadamente no Anexo C A matriz [C1] eacute a matriz global com os
coeficientes de amortecimento dos mancais lanccedilados nos devidos noacutes onde os mancais estatildeo
57
posicionados De maneira anaacuteloga os coeficientes de rigidez dos mancais satildeo somados agrave matriz
[K] e a massa desbalanceada eacute somada na matriz [M] Os vetores de aceleraccedilatildeo velocidade e
deslocamento satildeo dados respectivamente por UUU e Ω eacute a velocidade de rotaccedilatildeo do
eixo (rads)
Cada noacute possui 4 graus de liberdade onde o deslocamento do i-eacutesimo elemento eacute
representado pelo vetor Ui composto pelas seguintes componentes
i
i
i
i
i
x
y
U onde
xeixo do tornoem rotaccedilatildeo
y eixo do tornoem rotaccedilatildeo
verticaltodeslocamen
horizontal todeslocamen
i
i
i
i
x
y
A Figura 38 apresenta simbolicamente estes 4 graus de liberdade atraveacutes dos movimentos de
translaccedilatildeo (deslocamento) e de rotaccedilatildeo nos eixos xy
Figura 38 ndash Representaccedilatildeo dos 4 graus de liberdade
A excitaccedilatildeo devida agrave massa desbalanceada do rotor eacute representada pelo vetor R na Eq (326)
Um disco rotativo riacutegido desbalanceado eacute montado em uma posiccedilatildeo axial preacute-determinada do
eixo permitindo a aplicaccedilatildeo de carga Um fasor rotatoacuterio com amplitude de F0 = mdud Ωsup2
representa a carga da massa desbalanceada onde md eacute a massa desbalanceada (kg) e ud eacute a
excentricidade da massa desbalanceada (m)
As seccedilotildees a seguir apresentam as formulaccedilotildees que permitem obter as matrizes da equaccedilatildeo
(326) que posteriormente seraacute integrada numericamente pelo meacutetodo de Newmark (BATHE
1982)
58
34 Diagrama do Procedimento Computacional
O procedimento computacional proposto neste trabalho foi desenvolvido em ambiente Matlabreg
produzido pela The MathWorkscopy e suas principais etapas satildeo apresentadas na Figura 39
Figura 39 ndash Diagrama do procedimento computacional
Na etapa 1 satildeo registrados os paracircmetros fiacutesicos e geomeacutetricos do sistema aleacutem dos paracircmetros
dos meacutetodos numeacutericos (nuacutemero de noacutes da malha tempo de integraccedilatildeo incremento no tempo
rotaccedilatildeo etc)
Na etapa 2 satildeo calculadas as matrizes de elementos finitos do eixo usando-se os dados
4) Montagem das matrizes de
elementos finitos
dos mancais
3) Caacutelculo dos coeficientes de forccedila
dos mancais pelo MEF
2) Caacutelculo das
matrizes de
elementos
finitos do rotor
5) Superposiccedilatildeo das matrizes de elementos finitos
7) Integraccedilatildeo numeacuterica da equaccedilatildeo do movimento
6) Equaccedilatildeo do movimento
1) Entrada de Dados
9) Saiacuteda de resultados
8) Seleccedilatildeo dos dados de saiacuteda
59
registrados na etapa 1 atraveacutes das equaccedilotildees descritas no Anexo C Como o disco massivo eacute
considerado riacutegido e portanto soacute possui os elementos das matrizes de massa de ineacutercia e de
momento giroscoacutepico estas matrizes satildeo calculadas separadamente e sobrepostas com as do
eixo nos pontos onde o disco massivo estaacute posicionado O meacutetodo permite que o disco esteja
posicionado em qualquer noacute da malha do eixo
Na etapa 3 satildeo calculados os coeficientes de forccedila dos mancais baseando-se na sua posiccedilatildeo de
equiliacutebrio estaacutetico Esta posiccedilatildeo eacute encontrada pelo MEF implementado que calcula a forccedila
resultante da accedilatildeo hidrodinacircmica do filme-fluido para que ela seja igual agrave carga estaacutetica que o
rotor aplica em cada mancal Uma vez encontrado o ponto de equiliacutebrio estaacutetico satildeo calculados
os coeficientes de rigidez e de amortecimento dos mancais conforme Eq(325) Cabe ressaltar
que o caacutelculo destes coeficientes natildeo usa as teorias simplistas de mancais curtos ou longos e
nem faz simplificaccedilotildees quanto aos coeficientes cruzados
Na etapa 4 os resultados encontrados na etapa 3 satildeo registrados nas matrizes de elementos
finitos dos mancais que satildeo as matrizes de rigidez e de amortecimento
Em seguida na etapa 5 eacute feita a superposiccedilatildeo das matrizes de elementos finitos do rotor e dos
mancais com os resultados obtidos nas etapas 2 3 e 4 O meacutetodo permite que os mancais
estejam posicionados em qualquer noacute da malha do eixo Esta superposiccedilatildeo eacute feita apenas com as
linhas e colunas correspondentes aos deslocamentos translacionais ou seja natildeo satildeo
considerados efeitos de rigidez ou de amortecimento rotacionais no modelo dos mancais
hidrodinacircmicos
Uma vez montadas as matrizes segue-se para as etapas 6 e 7 onde a equaccedilatildeo do movimento eacute
estabelecida em formato matricial conforme Eq(326) e integrada numericamente pelo Meacutetodo
de Newmark descrito no Anexo D
Na etapa 8 satildeo registrados os dados que seratildeo usados para a anaacutelise do sistema Na verdade esta
etapa estaacute inserida no algoritmo de Newmark dentro das iteraccedilotildees no tempo para que sejam
registrados os dados de interesse a cada iteraccedilatildeo no tempo Os dados normalmente selecionados
satildeo extraiacutedos do vetor U (Eq326) que registra todos os deslocamentos laterais e rotaccedilotildees
dos pontos da malha do eixo ao longo do tempo
Finalmente na etapa 9 satildeo geradas as saiacutedas de resultados Dependendo do tipo de anaacutelise
desejada esta saiacuteda pode passar por outro caacutelculo numeacuterico como eacute feito no caso da geraccedilatildeo do
espectro de frequecircncia onde eacute usado o FFT (Fast Fourier Transform) Os resultados numeacutericos
60
satildeo exibidos na forma de arquivo de dados e tambeacutem na forma graacutefica atraveacutes de espectros de
frequecircncia formas de onda curvas de deflexatildeo curva de resposta desbalanceada ou atraveacutes de
uma animaccedilatildeo tridimensional exibindo a deflexatildeo do rotor ao longo do tempo
Cabe ressaltar que para o caacutelculo da resposta desbalanceada eacute necessaacuterio fazer a integraccedilatildeo no
tempo para vaacuterias rotaccedilotildees do eixo Assim para cada rotaccedilatildeo eacute registrada a maacutexima amplitude
de vibraccedilatildeo do eixo em um determinado ponto Normalmente eacute escolhido o elemento onde estaacute
um dos mancais para este ponto Em seguida eacute gerado o graacutefico da resposta desbalanceada que
permite identificar em qual rotaccedilatildeo o sistema apresentou a maacutexima amplitude quando excitado
pela forccedila de desbalanceamento Este eacute o conceito de velocidade criacutetica (VC)
61
4 RESULTADOS E ANAacuteLISE
Os resultados do procedimento computacional proposto satildeo validados com resultados
apresentados na literatura especializada e com dados experimentais Satildeo apresentados
inicialmente alguns exemplos de validaccedilatildeo seguindo-se para a anaacutelise dos coeficientes de forccedila
dos mancais eliacutepticos e da resposta desbalanceada do sistema rotor-mancal
41 Exemplos de validaccedilatildeo
A validaccedilatildeo do procedimento computacional eacute realizada atraveacutes de alguns exemplos
selecionados na literatura especializada apresentando modelos de rotores flexiacuteveis apoiados em
diferentes tipos de mancais Eacute incluiacuteda uma comparaccedilatildeo dos resultados numeacutericos com
resultados experimentais coletados em uma bancada de testes horizontal composta por um rotor
flexiacutevel apoiado em mancais hidrodinacircmicos
411 Rotor com disco em balanccedilo
Um exemplo de rotor flexiacutevel (SINOU 2005) eacute escolhido para validar os resultados do
procedimento computacional O rotor eacute composto por um eixo flexiacutevel dois mancais e um disco
massivo em balanccedilo (Figura 41)
Figura 41 ndash Desenho esquemaacutetico do rotor de Sinou (2005)
62
Tabela 41- Paracircmetros do rotor com disco em balanccedilo (SINOU 2005)
Eixo
Comprimento
Diacircmetro
Moacutedulo de Young
Massa especiacutefica
170m
40mm
200 GNm2
8000 kgm3
Disco
Massa
Diacircmetro
Espessura
20 kg
400 mm
20 mm
Mancais
Rigidez Translacional
Rigidez Rotacional
Amortecimento
Kxx = 378 MNm
Kxy = 0 MNm
Kyx = 0 MNm
Kyy = 378 MNm
Kff= 80x104
Nmrad
KQQ = 80x104
Nmrad
Cxx = 0 Nsm
Cxy = 0 Nsm
Cyx = 0 Nsm
Cyy = 0 Nsm
Satildeo calculadas a primeira frequecircncia natural (FN1) e a segunda frequecircncia natural (FN2) para o
rotor de Sinou (2005) aplicando-se o procedimento computacional proposto para se avaliar a
influecircncia do tamanho da malha de elementos finitos no caacutelculo destas frequecircncias naturais Os
valores obtidos para FN1 e FN2 com diferentes malhas satildeo mostrados na Figura 42
Figura 42 ndash Curvas da primeira e segunda frequecircncias naturais (FN1 FN2) versus o nuacutemero de
elementos finitos da malha para o rotor de Sinou (2005) a 10rpm
Constata-se que a variaccedilatildeo dos valores de FN1 e de FN2 fica abaixo de 2 para uma malha de
80 elementos Assim adota-se uma malha de 80 elementos finitos para este exemplo
63
A integraccedilatildeo das equaccedilotildees do movimento eacute feita pelo meacutetodo de Newmark (ANEXO D) Nesta
implementaccedilatildeo satildeo adotados os paracircmetros que garantem a convergecircncia do meacutetodo conforme
descrito no Anexo D Poreacutem eacute importante considerar que agrave medida que se reduz o incremento
no tempo usado na integraccedilatildeo numeacuterica mais exatos satildeo os resultados por se tornarem mais
convergentes Assim apresenta-se na Figura 43 a anaacutelise desta convergecircncia em funccedilatildeo do
incremento no tempo A curva contiacutenua representa a primeira velocidade criacutetica progressiva
(FWD1) e a curva tracejada representa a primeira velocidade criacutetica regressiva (BKWD1)
Observa-se que as velocidades criacuteticas convergem suficientemente para um incremento no
tempo de aproximadamente 50x10-4
s onde a variaccedilatildeo relativa eacute menor que 1 Este valor eacute
adotado nos demais resultados calculados para este exemplo
Figura 43 ndash Primeira velocidade criacutetica progressiva (FWD1)
e regressiva (BKWD1) versus incremento no tempo
A Figura 44 apresenta o espectro de frequecircncia obtido pelo MEF com o rotor a 10 rpm Na
Tabela 42 satildeo comparados os valores da primeira e segunda frequecircncias naturais (FN1 e FN2)
calculadas por Sinou (2005) com os valores obtidos pelo MEF aqui proposto e observa-se que
o desvio maacuteximo eacute menor que 3 Os valores apresentados por Sinou(2005) foram obtidos
usando uma malha de 184 elementos de viga de Timoshenko
64
Figura 44 ndash Espectro de frequecircncia obtido pelo MEF para o rotor de Sinou(2005) a 10 rpm
Tabela 42- Valores comparativos da primeira frequecircncia natural para o rotor de Sinou(2005) a 10 rpm
Sinou(2005) MEF Erro
relativo ()
FN 1 2430 rpm 2495 rpm 27
FN 2 3840 rpm 3780 rpm -16
As frequecircncias naturais do rotor em balanccedilo satildeo calculadas pelo MEF proposto tambeacutem para
outros valores de rotaccedilatildeo Na Figura 45 eacute ilustrado o diagrama de Campbell obtido pelo MEF e
comparado com os valores apresentados por Sinou (2005)
Figura 45 ndash Diagrama de Campbell para o rotor em balanccedilo analisado por Sinou(2005)
65
O efeito giroscoacutepico faz com que fiquem niacutetidas as frequecircncias de precessatildeo regressiva
(backward) e progressiva (forward) Estas frequecircncias satildeo representadas na Figura 45 seguidas
das siglas ―BKWD e ―FWD respectivamente A linha cheia e a traccedilo-ponto representam os
resultados obtidos pelo MEF proposto neste trabalho enquanto os pontos identificados por
marcadores satildeo os resultados apresentados por Sinou(2005) A linha tracejada representa as
frequecircncias siacutencronas (syncr) que permitem identificar as velocidades criacuteticas na sua interseccedilatildeo
com as curvas das frequecircncias naturais As duas primeiras velocidades criacuteticas foram obtidas
atraveacutes do graacutefico e comparadas na Tabela 43 com aquelas calculadas por Sinou(2005)
Observa-se um erro relativo menor que 5 nesta comparaccedilatildeo feita para fins de validaccedilatildeo
Tabela 43- Comparaccedilatildeo da primeira velocidade criacutetica
Sinou(2005) MEF Erro
relativo()
BKWD 2225 rpm 2210 rpm -1
FWD 2580 rpm 2680 rpm 4
As diferenccedilas entre os resultados do MEF proposto para os resultados numeacutericos de Sinou se
devem principalmente ao nuacutemero de elementos finitos usados O modelo de Sinou usa 184
elementos enquanto neste trabalho foram adotados 80 elementos Outros erros relativos podem
ter sido causados por pequenas diferenccedilas geomeacutetricas entre os dois modelos em funccedilatildeo de
alguma informaccedilatildeo que natildeo tenha sido detalhada no trabalho de Sinou
Cabe ressaltar que este exemplo de validaccedilatildeo se aplica ao MEF do rotor e ao procedimento de
superposiccedilatildeo dos coeficientes de forccedila dos mancais Poreacutem o modelo de Sinou usa apenas dois
coeficientes de forccedila nos apoios (rigidez agrave rotaccedilatildeo) e natildeo considera mancais hidrodinacircmicos
Para a validaccedilatildeo dos modelos de mancais seratildeo apresentados outros exemplos
412 Rotor apoiado nas extremidades com disco no centro
Um segundo exemplo de validaccedilatildeo eacute selecionado atraveacutes do modelo de rotor (HONG e PARK
1999) composto por um eixo com dois diacircmetros diferentes como mostrado na Figura 46 Na
primeira metade o eixo tem 25cm de diacircmetro e na outra metade tem 40cm de diacircmetro
66
Figura 46 ndash Desenho esquemaacutetico do rotor de Hong e Park(1999)
O eixo eacute apoiado pelas extremidades por mancais idecircnticos e no centro do eixo haacute um disco
massivo Os paracircmetros do modelo satildeo apresentados na Tabela 44
Tabela 44- Paracircmetros do rotor de Hong e Park(1999)
Eixo
Comprimento
Diacircmetro (trecho 1)
Diacircmetro (trecho 2)
Moacutedulo de Young
Massa especiacutefica
120m
25cm
40cm
200 GNm2
8000 kgm3
Disco
Massa
Momento polar de ineacutercia
Momento diametral de ineacutercia
20 kg
0163 kgm2
0085 kgm2
Mancais
Rigidez
Amortecimento
Kxx = 20 MNm
Kxy = -15 MNm
Kyx = -15 MNm
Kyy = 25 MNm
Cxx = 60 Nsm
Cxy = 0 Nsm
Cyx = 0 Nsm
Cyy = 70 Nsm
Eacute feita uma comparaccedilatildeo entre as frequecircncias naturais e tambeacutem apresentada uma anaacutelise da
forma de onda obtida pela integraccedilatildeo numeacuterica que permite observar o fenocircmeno de batimento
Satildeo apresentados os conceitos baacutesicos do fenocircmeno e feita a comparaccedilatildeo entre as frequecircncias
naturais obtidas atraveacutes do espectro de frequecircncia e a frequecircncia de batimento observada na
forma de onda
Inicialmente satildeo validadas as frequecircncias naturais atraveacutes da observaccedilatildeo dos picos no espectro
como pode ser visto na Figura 47 Satildeo destacados os dois picos (808 rpm 848 rpm) relativos agrave
primeira frequecircncia natural regressiva (backward) e progressiva (forward) respectivamente
com o rotor operando a 6000rpm
67
Figura 47 ndash Espectro de frequecircncia obtido para o rotor de Hong e Park (1999) operando a 6000rpm
Os resultados numeacutericos obtidos pelo MEF satildeo comparados com os da literatura (HONG e
PARK 1999) na Tabela 45 onde pode-se observar um erro relativo maacuteximo de 2
Tabela 45- Comparaccedilatildeo da primeira frequecircncia natural progressiva e regressiva para
o rotor de Hong e Park (1999)
Hong e Park
(1999)
MEF Erro
relativo ()
Backward (regressiva) 804 rpm 808 rpm 05
Forward (progressiva) 865 rpm 848 rpm -20
Em seguida eacute feita a anaacutelise da forma de onda obtida apoacutes a integraccedilatildeo no tempo da equaccedilatildeo do
movimento pelo Meacutetodo de Newmark Observa-se pela forma de onda (Figura 48) que existe
um padratildeo de flutuaccedilatildeo do sinal destacado pela linha tracejada e pelo sombreamento Este
padratildeo de flutuaccedilatildeo eacute semelhante ao fenocircmeno de batimento da teoria de interferecircncia de ondas
que ocorre quando haacute duas frequecircncias de vibraccedilatildeo proacuteximas O fenocircmeno natildeo foi investigado
profundamente neste trabalho mas eacute destacado como um exemplo de validaccedilatildeo onde foi
possiacutevel encontrar frequecircncias naturais bem proacuteximas agraves apresentadas na literatura (HONG e
68
PARK 1999) e ainda estabelecer uma relaccedilatildeo entre o padratildeo de flutuaccedilatildeo da forma de onda
com as frequecircncias registradas no espectro
Figura 48 ndash Forma de onda obtida para o rotor de Hong e Park (1999)
Uma vez identificado um ciclo completo do padratildeo de flutuaccedilatildeo destacado na Figura 48 pela
linha tracejada eacute possiacutevel obter os instantes de tempo inicial e final deste ciclo 275s e 570s
respectivamente Este intervalo corresponde a um periacuteodo de 295s que equivale a uma
frequecircncia de 0339Hz = 203rpm
Este padratildeo de flutuaccedilatildeo pode ser explicado pelo fenocircmeno de batimento que estabelece que
quando duas ondas com frequecircncias muito proacuteximas (w1 w2) interferem uma na outra
flutuaccedilotildees de batimento satildeo percebidas na forma de onda e a frequecircncia de batimento (wb) eacute
dada por
Observando-se novamente o espectro de frequecircncia na Figura 47 pode-se calcular a frequecircncia
de batimento (wb) esperada para este sistema atraveacutes das frequecircncia natural regressiva
(backward) e progressiva (forward)
69
Portanto confirma-se que o padratildeo de flutuaccedilatildeo observado na forma de onda pode ser associado
ao fenocircmeno de batimento causado pelas duas frequecircncias naturais proacuteximas identificadas no
espectro Estes dois resultados satildeo apresentados na Tabela 46
Tabela 46- Comparaccedilatildeo das Frequecircncias de Batimento para o rotor de Hong e Park(1999)
Frequecircncia obtida
pela forma de onda
Frequecircncia obtida
pelo espectro
203 rpm 200 rpm
Este fenocircmeno de batimento eacute tambeacutem observado quando o rotor opera em uma rotaccedilatildeo proacutexima
de uma frequecircncia natural De maneira semelhante se for observado o padratildeo de flutuaccedilatildeo na
forma de onda que varia com a rotaccedilatildeo do rotor eacute possiacutevel inferir que o rotor estaacute se
aproximando ou se afastando de uma frequecircncia natural O fenocircmeno de batimento no sistema
rotor-mancal merece uma investigaccedilatildeo mais profunda que natildeo estaacute no escopo do presente
trabalho
413 Rotor de uma bancada de testes
Um terceiro exemplo de validaccedilatildeo consiste na comparaccedilatildeo das frequecircncias naturais estimadas
pelo MEF com os valores experimentais coletados em uma bancada de testes montada no Grupo
de Dinacircmica de Rotores da UFMG cujos dados podem ser encontrados em Machado (2006) e
Miranda et al (2005) O rotor eacute composto por um eixo ciliacutendrico horizontal apoiado em mancais
hidrodinacircmicos e com um disco ciliacutendrico desbalanceado montado no eixo como ilustrado
esquematicamente na Figura 49 com medidas em miliacutemetros
Figura 49 ndash Desenho esquemaacutetico do rotor da bancada de testes
O disco possui furos rosqueados ao longo de sua periferia que permitem incluir pequenas massas
70
que provocam o desbalanceamento no sistema O rotor eacute acionado por um sistema de polias e
correia e um motor eleacutetrico controlado por um inversor de frequecircncia A Tabela 47 apresenta os
paracircmetros do rotor da bancada de testes
Tabela 47ndash Paracircmetros do rotor da bancada de testes
Paracircmetro Descriccedilatildeo Valor Unidade
Leixo comprimento do eixo 030 m
D diacircmetro do eixo 0015 m
L comprimento dos mancais 0012 m
c folga do mancal 345 x 10-6
m viscosidade do lubrificante 25 x 10
-3 Pamiddots
massa especiacutefica do lubrificante 892 kgmsup3
E moacutedulo de elasticidade do eixo 200 x 109 Pa
coeficiente de Poisson do eixo 03 -
massa especiacutefica do eixo 7870 kgmsup3
Esta anaacutelise tem como objetivo validar os modelos de elementos finitos propostos para o eixo
flexiacutevel e para os mancais hidrodinacircmicos atraveacutes de resultados experimentais A anaacutelise da
convergecircncia da malha de elementos finitos para o modelo do eixo eacute realizada de maneira
semelhante agrave apresentada na Figura 42 obtendo-se tambeacutem um nuacutemero de 80 elementos para
este exemplo
Um procedimento de anaacutelise de sensibilidade de malha eacute tambeacutem utilizado para avaliar a
dependecircncia dos paracircmetros de desempenho do mancal em funccedilatildeo do tamanho da malha Neste
procedimento a razatildeo entre o nuacutemero de elementos finitos nas direccedilotildees circunferencial e axial eacute
mantida constante Esta razatildeo depende da razatildeo de esbeltez do mancal (LD) e deve ser mantida
para se garantir a variaccedilatildeo uniforme do tamanho da malha Assim para uma razatildeo LD de 08
como no exemplo analisado a relaccedilatildeo entre o nuacutemero de noacutes circunferenciais e o nuacutemero de noacutes
axiais deve ser 480 Estabelecidos estes paracircmetros satildeo gerados os coeficientes de forccedila
para a rotaccedilatildeo de 3200rpm no ponto de equiliacutebrio estaacutetico do mancal usando-se inicialmente
uma malha bem refinada (1660 elementos) conforme mostrado na uacuteltima linha da Tabela 48
Satildeo entatildeo reduzidos os nuacutemeros de elementos da malha e registrados os erros relativos obtidos
na forccedila de reaccedilatildeo do mancal (Fx) e no coeficiente de rigidez cruzada (Kxy) Para fins de
comparaccedilatildeo os erros relativos satildeo calculados em moacutedulo conforme mostrado na Figura 410
71
Tabela 48ndash Resultados da anaacutelise da sensibilidade da malha dos mancais
Noacutes circunferenciais
Noacutes axiais Elementos
Kxy
(MNm) Fx (N)
Desvio
Kxy Desvio
Fx
20 5 76 3926 5752 48 475
36 9 280 4122 6039 06 058
44 11 430 4146 6074 03 030
52 13 612 4158 6092 02 020
60 15 826 4166 6104 01 011
68 17 1072 4171 6111 01 008
76 19 1350 4174 6116 01 007
84 21 1660 4177 6120
Figura 410 ndash Sensibilidade da malha de elementos finitos do mancal ciliacutendrico no caacutelculo dos
paracircmetros de desempenho Fx e Kxy
Pela anaacutelise de sensibilidade realizada neste terceiro exemplo constata-se que 280 elementos
finitos na malha do filme fluido satildeo suficientes para a obtenccedilatildeo de resultados confiaacuteveis com
menos de 1 de erro relativo conforme Tabela 48
Uma vez definidas as malhas de elementos finitos satildeo realizadas as simulaccedilotildees e a integraccedilatildeo
numeacuterica no tempo Com os resultados da integraccedilatildeo satildeo gerados os espectros de frequecircncia
numeacutericos Os espectros de frequecircncia experimentais satildeo obtidos em diferentes velocidades de
rotaccedilatildeo do eixo atraveacutes de testes de batida (bump test) Satildeo afixados acelerocircmetros no topo dos
mancais e gerados os espectros de frequecircncia Na Figura 411 observa-se o espectro de
72
frequecircncia gerado a partir do teste de batida coletado no mancal 1 A amplitude indicada
representa o valor RMS da aceleraccedilatildeo Observam-se dois picos em frequecircncias de
aproximadamente 83 Hz (4980 rpm) e 110 Hz (6600 rpm) que correspondem agraves frequecircncias
naturais do sistema
Figura 411 ndash Espectro de frequecircncia experimental ndash teste de batida
Para se obter estas frequecircncias naturais pelo meacutetodo de elementos finitos proposto satildeo
realizadas duas simulaccedilotildees Uma com o rotor operando a 750rpm (Figura 412) e outra a
3200rpm (Figura 413)
Figura 412 ndash Espectro de frequecircncia obtido pelo MEF para rotaccedilatildeo de 750 rpm
Observa-se na Figura 412 o pico de 750rpm relativo agrave excitaccedilatildeo harmocircnica da massa
desbalanceada e um pico a aproximadamente 4950 rpm (825 Hz) que corresponde agravequele
73
identificado no espectro obtido experimentalmente no teste de batida
Na Figura 413 eacute niacutetido o pico a 6650rpm (111Hz) tambeacutem presente no espectro do resultado
experimental O pico de 3200 da Figura 413 eacute da excitaccedilatildeo harmocircnica
Figura 413 ndash Espectro de frequecircncia obtido pelo MEF para rotaccedilatildeo de 3200 rpm
A Tabela 49 apresenta a comparaccedilatildeo entre estes valores onde observa-se um erro relativo de
aproximadamente 1 dos dados numeacutericos em relaccedilatildeo aos dados experimentais
Tabela 49ndash Valores comparativos de frequecircncias naturais obtidas pelo MEF e experimentalmente
pelo teste de batida (bump test)
Experimental MEF Erro relativo
4980 rpm 4950 rpm -1
6600 rpm 6650rpm 08
Esta faixa de erro estaacute abaixo da resoluccedilatildeo dos graacuteficos e existem outros erros associados aos
dados apresentados devido agraves incertezas geomeacutetricas do rotor da bancada de testes
Uma segunda mediccedilatildeo experimental eacute realizada para este mesmo sistema fixando-se a rotaccedilatildeo
do eixo em 8900rpm Os resultados experimentais e numeacutericos da vibraccedilatildeo do mancal 2 satildeo
processados e gerados os espectros de frequecircncia a seguir A Figura 414 apresenta o espectro de
frequecircncia experimental para rotaccedilatildeo de 8900 rpm onde satildeo destacadas algumas frequecircncias
naturais excitadas a esta rotaccedilatildeo
74
Figura 414 ndash Espectro de frequecircncia experimental para o rotor da bancada operando a 8900rpm
A Figura 415 apresenta o espectro de frequecircncia numeacuterico para rotaccedilatildeo de 8900 rpm onde satildeo
destacados alguns dos picos que correspondem agraves mesmas frequecircncias naturais observadas no
resultado experimental A amplitude exibida no graacutefico estaacute na forma adimensional que eacute a
razatildeo entre a amplitude de deslocamento dividida pela folga do mancal
Figura 415 ndash Espectro de frequecircncia obtido pelo MEF para o rotor da bancada operando a 8900rpm
A comparaccedilatildeo entre estas frequecircncias eacute apresentada na Tabela 410 onde se observa um erro
relativo de menos de 3 para as prediccedilotildees das frequecircncias naturais em relaccedilatildeo aos valores
75
experimentais Nem todas as frequecircncias apresentadas no espectro experimental satildeo observadas
no resultado numeacuterico em funccedilatildeo do modelo computacional natildeo considerar alguns efeitos tais
como desalinhamento incertezas geomeacutetricas dos mancais ruiacutedos provenientes do motor
eleacutetrico e outros O pico de 17800rpm da Figura 414 por exemplo representa o segundo
harmocircnico da frequecircncia de rotaccedilatildeo do rotor que corresponde ao sinal de desalinhamento
paralelo (BERRY 1994)
Tabela 410ndash Valores comparativos de frequecircncias naturais obtidas pelo MEF e experimentalmente
para o rotor da bancada operando a 8900rpm
Experimental MEF Erro relativo
8890 rpm 8850 rpm -05
26800 rpm 26200 rpm -22
45600 rpm 44400 rpm -26
414 Segundo rotor de uma bancada de testes
Um quarto exemplo de validaccedilatildeo eacute selecionado (MACHADO 2006) para avaliar o
procedimento computacional implementado neste trabalho O rotor eacute semelhante ao anterior
ilustrado na Figura 49 poreacutem os mancais satildeo diferentes Satildeo mancais hidrodinacircmicos
ciliacutendricos cujas caracteriacutesticas satildeo apresentadas na Tabela 411
Tabela 411ndash Paracircmetros do rotor da bancada de testes ndash exemplo 2
Paracircmetro Descriccedilatildeo Valor Unidade
Leixo comprimento do eixo 030 m
D diacircmetro do eixo 0015 m
L comprimento dos mancais 0012 m
d diacircmetro do mancal 0015 m
c folga do mancal 24 x 10-6
m viscosidade do lubrificante 25 x 10
-3 Pamiddots
massa especiacutefica do lubrificante 892 kgmsup3
E moacutedulo de elasticidade do eixo 200 x 109 Pa
coeficiente de Poisson do eixo 03 -
massa especiacutefica do eixo 7870 kgmsup3
No espectro de frequecircncia computacional apresentado na Figura 416 satildeo destacadas as
frequecircncias naturais excitadas quando o rotor opera a 3200rpm
76
Figura 416 ndash Espectro de frequecircncia obtido pelo MEF para o rotor do exemplo 4 operando a 3200rpm
Estas frequecircncias satildeo comparadas com os valores obtidos experimentalmente para o rotor
descrito por Machado (2006) exibidas na Figura 417
Figura 417 ndash Espectro de frequecircncia experimental para o rotor de Machado(2006)
A comparaccedilatildeo das frequecircncias naturais dos resultados numeacutericos e experimentais eacute apresentada
na Tabela 412 onde observa-se que os resultados numeacutericos desviam menos de 2 dos
experimentais A uacutenica exceccedilatildeo eacute a frequecircncia de 9480 rpm do espectro experimental cujo erro
77
relativo foi de 37 no resultado numeacuterico Esta frequecircncia eacute de aproximadamente trecircs vezes a
frequecircncia de rotaccedilatildeo do eixo (3200rpm) o que significa um sinal de desalinhamento do rotor
conforme previsto na literatura (BERRY 1994)
Tabela 412ndash Valores comparativos das frequecircncias naturais obtidas
experimentalmente por Machado(2006) e pelo MEF
Experimental (rpm)
MEF (rpm)
erro relativo
3240 3194 -14
6360 6376 03
9480 9834 37
12960 12789 -13
18960 19190 12
25560 25591 01
28440 28823 13
32280 31992 -09
34800 35220 12
38520 38395 -03
41760 41615 -03
44100 44790 16
42 Anaacutelise dos coeficientes de forccedila dos mancais eliacutepticos
A anaacutelise dos coeficientes de forccedila eacute realizada aplicando-se o MEF a um exemplo de mancal
eliacuteptico extraiacutedo de Correia(2007) com o objetivo de identificar uma relaccedilatildeo entre os
coeficientes de forccedila e os paracircmetros construtivos do mancal folga radial (c) razatildeo de esbeltez
(LD) e preacute-carga (Mp) Este resultado permite observar se a relaccedilatildeo identificada se manteacutem
para diversas condiccedilotildees operacionais Os paracircmetros do mancal eliacuteptico selecionado satildeo
apresentados na Tabela 413
Tabela 413ndash Paracircmetros do mancal eliacuteptico selecionado
Paracircmetro Descriccedilatildeo Valor Unidade
L comprimento do mancal 0075 m
D diacircmetro do mancal 010 m
c1 folga do mancal (variaacutevel) viscosidade do lubrificante 84 x 10
-3 Pamiddots
massa especiacutefica do lubrificante 892 kgmsup3
rotaccedilatildeo 8800 rpm
Mp preacute-carga 045
W carga estaacutetica 1000 N
Para a anaacutelise de sensibilidade de malha do mancal selecionado adota-se uma folga radial de
75 m conforme Correia(2007) Esta anaacutelise permite avaliar a dependecircncia dos paracircmetros de
78
desempenho do mancal em funccedilatildeo do tamanho da malha A razatildeo entre o nuacutemero de elementos
finitos nas direccedilotildees circunferencial e axial eacute mantida constante dada pela relaccedilatildeo 4 Satildeo
apresentados na Figura 418 os desvios da forccedila de reaccedilatildeo do mancal (Fx) e do coeficiente de
rigidez cruzada (Kxy) obtidos para diferentes nuacutemeros de elementos da malha Para fins de
comparaccedilatildeo os desvios satildeo calculados em moacutedulo Pela anaacutelise de sensibilidade realizada
constata-se que aproximadamente 200 elementos finitos na malha do filme fluido satildeo suficientes
para a obtenccedilatildeo de resultados confiaacuteveis com menos de 1 de erro relativo
Figura 418 ndash Sensibilidade da malha de elementos finitos do mancal eliacuteptico no caacutelculo dos
paracircmetros de desempenho Fx e Kxy
421 Coeficientes de forccedila em funccedilatildeo da folga radial dos mancais eliacutepticos
Satildeo analisados nesta seccedilatildeo os resultados obtidos pelo MEF para o caacutelculo dos coeficientes de
rigidez direta adimensionais kxx e kyy dos mancais eliacutepticos para diferentes valores de folga
radial A adimensionalizaccedilatildeo dos coeficientes de rigidez direta eacute realizada pela relaccedilatildeo
(CORREIA2007)
kxx = c Kxx W
onde Kxx eacute o coeficiente de rigidez direta dimensional c eacute a folga radial do mancal e W eacute a
carga estaacutetica no mancal Para kyy a adimensionalizaccedilatildeo eacute anaacuteloga
Quando o mancal hidrodinacircmico opera ocorre um deslocamento da linha de centro do munhatildeo
79
(eixo do rotor) em relaccedilatildeo agrave linha de centro do mancal como ilustrado na Figura 419Figura 33
Este deslocamento eacute definido como a excentricidade e e o acircngulo eacute definido como acircngulo de
posiccedilatildeo A excentricidade adimensional eacute definida pela expressatildeo onde c eacute a folga
radial maacutexima do mancal Para cada condiccedilatildeo operacional o munhatildeo tende a se deslocar ateacute um
ponto de equiliacutebrio onde as forccedilas da accedilatildeo hidrodinacircmica do filme fluido entre em equiliacutebrio
com as forccedilas atuantes do rotor sobre o mancal Este ponto eacute definido como o ponto de
equiliacutebrio estaacutetico o
Figura 419 - Posicionamento do eixo dentro do mancal e excentricidade
O ponto de equiliacutebrio estaacutetico ( o) eacute influenciado por vaacuterios paracircmetros do mancal em especial
pela folga radial do mancal Para os mancais eliacutepticos analisados observa-se uma variaccedilatildeo de o
em funccedilatildeo da folga radial conforme mostrado na Figura 420
Figura 420 ndash Excentricidade adimensional do ponto de equiliacutebrio estaacutetico dos mancais
eliacutepticos em funccedilatildeo da folga radial
80
A Figura 421 apresenta os valores do coeficiente de rigidez direta adimensional dos mancais
eliacutepticos em funccedilatildeo da folga radial Eacute observado que estes coeficientes apresentam uma
variaccedilatildeo muito pequena para valores de o entre zero e 03 Estes valores correspondem a folgas
radiais entre zero a 150 m respectivamente Para destacar esta faixa eacute apresentada na Figura
421 uma linha pontilhada vertical onde se observa que os valores calculados para os
coeficientes kxx e kyy variam menos de 1 e fora desta faixa os coeficientes variam
consideravelmente Satildeo exibidas no graacutefico duas linhas tracejadas horizontais como referecircncia
para facilitar a observaccedilatildeo do alinhamento dos pontos
Figura 421 ndash Coeficientes de rigidez direta adimensionais em funccedilatildeo da folga radial dos mancais eliacutepticos
A adimensionalizaccedilatildeo do coeficiente de rigidez cruzada Kxy eacute realizada de maneira semelhante agrave
dos coeficientes de rigidez direta (CORREIA 2007) Poreacutem observa-se que os coeficientes kxy e
a folga radial tecircm uma relaccedilatildeo de proporcionalidade inversa para uma certa faixa operacional
descrita a seguir Desta forma o produto entre eles deve ser constante nesta faixa Sugere-se
assim um novo adimensional o ―coeficiente de rigidez cruzada adimensional modificado
definido por
onde Kxy eacute o coeficiente de rigidez cruzada dimensional c eacute a folga radial do mancal W eacute a
carga estaacutetica no mancal eacute a excentricidade adimensional no ponto de equiliacutebrio estaacutetico kxy
eacute o coeficiente de rigidez cruzada adimensional
81
A Figura 422 apresenta os resultados obtidos pelo MEF para o caacutelculo do coeficiente de rigidez
cruzada adimensional modificado dos mancais eliacutepticos para diferentes valores de folga
radial
Figura 422 ndash Coeficientes de rigidez cruzada adimensional modificado em funccedilatildeo da folga
radial dos mancais eliacutepticos
Observa-se que para a faixa onde os valores do coeficiente de rigidez cruzada
adimensional modificado satildeo aproximadamente constantes Apenas o uacuteltimo valor desta faixa
apresenta um desvio de 5 em relaccedilatildeo aos demais que variam menos de 1 Esta anaacutelise vale
de maneira anaacuteloga para ambos coeficientes de rigidez cruzada pois Kyx = -Kxy
Para os resultados computacionais dos coeficientes de amortecimento observa-se um padratildeo
semelhante ao identificado para os coeficientes de rigidez quando uma vez que nesta
faixa o coeficiente de amortecimento direto Cxx eacute proporcional ao coeficiente de rigidez cruzada
Kxy e o coeficiente de amortecimento cruzado Cxy eacute proporcional ao coeficiente de rigidez
direta Kxx Para investigar a faixa onde esta proporcionalidade eacute mantida eacute apresentado na
Figura 423 a razatildeo em funccedilatildeo da folga radial do mancal eliacuteptico Observa-se que para
a razatildeo eacute aproximadamente constante variando menos de 1 Este resultado
eacute ilustrado na Figura 423 sendo tambeacutem vaacutelido para a razatildeo
82
Figura 423 ndash Razatildeo CxyKxx em funccedilatildeo da folga radial dos mancais eliacutepticos
O amortecimento efetivo do mancal eacute um paracircmetro importante na anaacutelise da estabilidade
(VANCE 1988) definido pela expressatildeo 2ωCxxKxy onde Cxx eacute o coeficiente de amortecimento
direto (ou Cyy) e Kxy eacute o coeficiente de rigidez cruzada (ou -Kyx) Assim para concluir a anaacutelise
dos coeficientes de amortecimento em funccedilatildeo da folga radial eacute escolhido o amortecimento
efetivo como paracircmetro de desempenho Satildeo apresentados na Figura 424 os resultados do
amortecimento efetivo em funccedilatildeo da folga radial dos mancais eliacutepticos Novamente eacute observado
que para e0lt03 o amortecimento efetivo varia pouco menos de 1
Figura 424 ndash Amortecimento efetivo em funccedilatildeo da folga radial dos mancais eliacutepticos
83
Pode-se observar que os diversos paracircmetros analisados relacionados aos coeficientes de forccedila
dos mancais eliacutepticos variam pouco na faixa onde e este padratildeo natildeo eacute observado fora
desta faixa
422 Coeficientes de forccedila em funccedilatildeo da razatildeo de esbeltez dos mancais eliacutepticos
A razatildeo de esbeltez (LD) eacute um paracircmetro importante no projeto dos mancais hidrodinacircmicos
influenciando de maneira natildeo-linear nos seus coeficientes de forccedila (SAWICKI e RAO 2004)
No procedimento computacional proposto observa-se um padratildeo comum para alguns
paracircmetros de desempenho dos mancais eliacutepticos em funccedilatildeo da razatildeo de esbeltez
Eacute apresentada na Figura 425 a curva que relaciona a excentricidade adimensional do ponto de
equiliacutebrio estaacutetico ( ) com a razatildeo de esbeltez (LD) para os mancais analisados Observa-se um
valor de para LD = 045 que eacute uma razatildeo de esbeltez muito baixa conforme
observado nas aplicaccedilotildees industriais
Figura 425 ndash Excentricidade adimensional do ponto de equiliacutebrio estaacutetico dos mancais eliacutepticos em
funccedilatildeo da razatildeo de esbeltez
Na anaacutelise dos coeficientes de forccedila dos mancais em funccedilatildeo de LD identifica-se um padratildeo
comum para o amortecimento efetivo ( ) como ilustrado na Figura 426 Observa-se
que na faixa onde o amortecimento efetivo eacute aproximadamente constante variando no
maacuteximo 3
84
Figura 426 ndash Variaccedilatildeo do amortecimento efetivo em funccedilatildeo da razatildeo de esbeltez dos mancais eliacutepticos
Os resultados obtidos pelo MEF para o coeficiente de amortecimento cruzado adimensional (cxy)
mostram que existe uma relaccedilatildeo linear entre cxy e LD na faixa onde conforme
ilustrado na Figura 427 A linha tracejada indica o ajuste linear feito com os pontos desta faixa
no qual obteacutem-se um coeficiente de determinaccedilatildeo (R2) maior que 099 Embora os pontos na
faixa oposta (LD lt 045 e ) estejam tambeacutem aproximadamente alinhados natildeo foi
observado outro padratildeo comum nesta faixa
Figura 427 ndash Variaccedilatildeo do amortecimento cruzado adimensional em funccedilatildeo da razatildeo de esbeltez dos
mancais eliacutepticos
85
Os coeficientes de forccedila apresentados nesta seccedilatildeo obtidos pelo MEF implementado para os
mancais eliacutepticos apresentam uma clara relaccedilatildeo algeacutebrica com a razatildeo de esbeltez que se
manteacutem na faixa onde
423 Coeficientes de forccedila em funccedilatildeo da preacute-carga dos mancais eliacutepticos
Outro paracircmetro importante no projeto dos mancais hidrodinacircmicos eacute a preacute-carga (Mp) No
procedimento computacional proposto observa-se um padratildeo comum para alguns paracircmetros de
desempenho de mancais eliacutepticos em funccedilatildeo da preacute-carga
A Figura 428 apresenta a excentricidade adimensional do ponto de equiliacutebrio estaacutetico dos
mancais analisados para diferentes valores de preacute-carga (Mp) Observa-se um valor de
para Mp = 04
Figura 428 ndash Excentricidade adimensional do ponto de equiliacutebrio estaacutetico dos mancais eliacutepticos em
funccedilatildeo da preacute-carga
Na anaacutelise dos coeficientes de rigidez direta dos mancais para diferentes valores de Mp
observa-se uma relaccedilatildeo de proporcionalidade entre Mp e (kyy)23
e entre Mp e (kxx)12
como
ilustrado na Figura 429 Na faixa onde que corresponde a Mp lt 04 estas relaccedilotildees
algeacutebricas variam pouco Observa-se que nesta faixa a relaccedilatildeo de proporcionalidade entre Mp e
(kyy)23
varia no maacuteximo 4 e entre Mp e (kxx)12
varia no maacuteximo 7 Fora desta faixa as
variaccedilotildees satildeo maiores que 20
86
Figura 429 ndash Variaccedilatildeo da relaccedilatildeo de ajuste entre Mp kxx e kxy em funccedilatildeo da preacute-carga dos mancais eliacutepticos
Observa-se tambeacutem uma relaccedilatildeo linear entre o amortecimento efetivo ( ) e a preacute-
carga para valores de A Figura 436 apresenta estes resultados onde a linha tracejada
corresponde ao ajuste linear feito na faixa onde obtendo-se um coeficiente de
determinaccedilatildeo (R2) maior que 0999
Figura 430 ndash Variaccedilatildeo do amortecimento efetivo em funccedilatildeo da preacute-carga dos mancais eliacutepticos
Estes resultados obtidos pelo MEF implementado para os mancais eliacutepticos mostram que os
coeficientes de forccedila apresentam uma clara relaccedilatildeo algeacutebrica com a preacute-carga quando a
excentricidade adimensional ponto de equiliacutebrio estaacutetico eacute menor que 03
87
43 A influecircncia dos paracircmetros geomeacutetricos dos mancais eliacutepticos na resposta
desbalanceada
A resposta desbalanceada do sistema rotor-mancal eacute um importante paracircmetro operacional que
auxilia no projeto de maacutequinas rotativas pois informa o niacutevel de vibraccedilatildeo do sistema ao se
atravessar as velocidades criacuteticas Desta forma eacute fundamental uma anaacutelise da influecircncia dos
paracircmetros geomeacutetricos dos mancais eliacutepticos na resposta desbalanceada do sistema De fato
muitas turbomaacutequinas operam acima da primeira velocidade criacutetica e por isto os mancais devem
ser projetados para absorver as altas vibraccedilotildees provocadas pelo sistema quando ele passa pela
velocidade criacutetica
O procedimento computacional proposto neste trabalho permite predizer como os paracircmetros
geomeacutetricos dos mancais eliacutepticos influenciam a resposta desbalanceada Esta anaacutelise eacute realizada
atraveacutes dos resultados obtidos da integraccedilatildeo no tempo das equaccedilotildees do movimento
Satildeo selecionados a seguir alguns paracircmetros geomeacutetricos importantes no projeto de mancais
eliacutepticos e analisada a resposta desbalanceada do sistema rotor-mancal em funccedilatildeo destes
paracircmetros Inicialmente faz-se uma anaacutelise da influecircncia da preacute-carga dos mancais eliacutepticos na
razatildeo de amplificaccedilatildeo da resposta desbalanceada Em seguida eacute analisada a resposta
desbalanceada em funccedilatildeo da razatildeo de esbeltez dos mancais eliacutepticos e finalmente eacute analisada a
influecircncia da folga radial dos mancais eliacutepticos na resposta desbalanceada
431 A razatildeo de amplificaccedilatildeo da resposta desbalanceada em funccedilatildeo da preacute-carga
A resposta desbalanceada de rotores analisada para diferentes mancais eacute normalmente usada
como um paracircmetro de eficiecircncia dos mancais nas velocidades criacuteticas (FLACK e ROOKE
1980) Ela eacute a medida da amplitude de vibraccedilatildeo do sistema quando excitado pela forccedila de
desbalanceamento A reposta desbalanceada eacute analisada para o sistema apoiado em mancais
eliacutepticos sob diferentes valores de preacute-carga baseados em um exemplo de mancal eliacuteptico
apresentado em Machado(2006) A amplitude de vibraccedilatildeo eacute calculada atraveacutes do raio meacutedio das
oacuterbitas obtidas pelo procedimento numeacuterico Os paracircmetros do sistema satildeo apresentados na
Tabela 414 O rotor simulado natildeo possui discos massivos e estaacute apoiado em mancais
hidrodinacircmicos eliacutepticos como ilustrado na Figura 431
88
Figura 431 ndash Desenho esquemaacutetico do rotor sem disco massivo
Tabela 414 Paracircmetros do sistema rotor-mancal eliacuteptico utilizado na anaacutelise
d (diacircmetro do eixo) = 0015 m μ (viscosidade do lubrificante) = 27 x 10-3
Pas
L (comprimento do mancal) = 0012 m ρL (massa especiacutefica do lubrificante)= 915 kgmsup3
D (diacircmetro do mancal) = 0015 m ρ (massa especiacutefica do eixo) = 7850 kgmsup3
c1 (folga do mancal 1) = 24 μm c2 (folga do mancal 2) = 24 μm
Leixo (comprimento do eixo) = 0900m mu (massa desbalanceada) = 00035 kg
Ω (rotaccedilatildeo do rotor) = 2000 a 10000 rpm ud (excentricidade da massa desbalanceada) = 0035 m
E (Moacutedulo de Young do eixo) = 205x109 Pa Mp (preacute-carga dos mancais)=045
W (carga estaacutetica por mancal) = 612N
Para este exemplo eacute adotada uma malha de 80 elementos para o eixo e de 351 elementos para o
filme fluido composta por 40 noacutes circunferenciais e 10 noacutes axiais A excentricidade
adimensional do ponto de equiliacutebrio estaacutetico calculado eacute com um acircngulo de posiccedilatildeo
proacuteximo de zero Este ponto de equiliacutebrio eacute calculado de modo a garantir que a forccedila
hidrodinacircmica do filme fluido seja agrave carga estaacutetica W que eacute obtida dividindo-se o peso do eixo
pelo nuacutemero de mancais
A resposta desbalanceada (Figura 432) eacute calculada no mancal 1 considerando mancais eliacutepticos
com preacute-carga Mp=045 A amplitude adimensional eacute calculada dividindo-se a amplitude de
vibraccedilatildeo do eixo pela folga do mancal Os dois picos destacados na Figura 432 representam a
primeira e segunda velocidades criacuteticas do rotor
89
Figura 432 ndash Resposta desbalanceada calculada no mancal 1 do rotor apoiado em mancais eliacutepticos
com preacute-carga 045 (MIRANDA e FARIA 2012)
Uma vez identificadas as velocidades criacuteticas do rotor estuda-se a influecircncia da preacute-carga dos
mancais eliacutepticos na resposta desbalanceada com o rotor operando em torno da sua primeira
velocidade criacutetica A resposta desbalanceada para o sistema apoiado em mancais hidrodinacircmicos
eliacutepticos com diferentes valores de preacute-carga (Mp) eacute exibida na Figura 433 A curva superior
corresponde Mp=075 a curva intermediaacuteria corresponde a Mp=045 e a curva inferior
corresponde a Mp=045
Figura 433 ndash Resposta desbalanceada para diferentes valores de preacute-carga dos mancais eliacutepticos
(MIRANDA e FARIA 2012)
90
Os valores das amplitudes adimensionais satildeo calculadas na extremidade esquerda do eixo onde
ele estaacute apoiado no mancal 1 Observa-se que a amplitude na primeira velocidade criacutetica eacute mais
elevada para valores maiores de preacute-carga Poreacutem aleacutem de analisar a amplitude da vibraccedilatildeo eacute
importante tambeacutem investigar a razatildeo de amplificaccedilatildeo desta vibraccedilatildeo
A razatildeo de amplificaccedilatildeo da resposta desbalanceada na velocidade criacutetica eacute um paracircmetro
importante na anaacutelise da estabilidade do sistema rotor-mancal (ZEIDAN e PAQUETTE 1994)
Neste exemplo numeacuterico ela eacute calculada atraveacutes da relaccedilatildeo entre a resposta desbalanceada na
primeira velocidade criacutetica e na rotaccedilatildeo de 2000rpm A rotaccedilatildeo de 2000rpm eacute escolhida como
referecircncia pelo fato de representar uma rotaccedilatildeo onde a amplitude de vibraccedilatildeo apresenta pouca
influecircncia da velocidade criacutetica A razatildeo de amplificaccedilatildeo permite inferir sobre a capacidade do
mancal eliacuteptico atenuar a resposta desbalanceada do rotor ao passar pela velocidade criacutetica o
que eacute uma caracteriacutestica importante dos mancais hidrodinacircmicos (STERNLICHT e LEWIS
1968 VANCE 1988 CORREIA 2007) A Figura 434 apresenta os valores da razatildeo de
amplificaccedilatildeo para o exemplo estudado com diferentes valores de preacute-carga nos mancais A preacute-
carga zero representa o caso particular de mancal ciliacutendrico
Figura 434 ndashRazatildeo de amplificaccedilatildeo da resposta desbalanceada na primeira velocidade criacutetica para o
rotor apoiado em mancais eliacutepticos (MIRANDA e FARIA 2012)
Observa-se uma menor razatildeo de amplificaccedilatildeo (maior atenuaccedilatildeo) da resposta desbalanceada na
primeira velocidade criacutetica para uma preacute-carga de 045 A literatura teacutecnica apresenta uma
recomendaccedilatildeo de aplicaccedilatildeo de mancais eliacutepticos com preacute-carga de aproximadamente 05 por
apresentar melhor estabilidade (PINKUS 1956 ALLAIRE e FLACK 1981) Portanto para o
91
exemplo de rotor analisado este resultado mostra uma concordacircncia entre os valores obtidos
pelo MEF para a razatildeo de amplificaccedilatildeo e a recomendaccedilatildeo da literatura no que diz respeito agrave
estabilidade de mancais eliacutepticos
432 A resposta desbalanceada em funccedilatildeo da razatildeo de esbeltez dos mancais eliacutepticos
A resposta desbalanceada do sistema rotor-mancal eacute analisada para o rotor da Figura 435
composto por um eixo flexiacutevel apoiado nas extremidades por mancais hidrodinacircmicos eliacutepticos
e com um disco massivo acoplado em uma posiccedilatildeo assimeacutetrica Esta posiccedilatildeo assimeacutetrica eacute
escolhida para se evitar soluccedilotildees particulares restritas a rotores com simetria axial Os
paracircmetros do rotor satildeo apresentados na Tabela 415 onde os paracircmetros baacutesicos dos mancais
eliacutepticos satildeo idecircnticos aos apresentados por Correia(2006)
Figura 435 ndashDesenho esquemaacutetico do rotor com disco massivo em posiccedilatildeo assimeacutetrica
A resposta desbalanceada eacute calculada atraveacutes da amplitude adimensional de vibraccedilatildeo do rotor
operando na primeira velocidade criacutetica (VC) apoiado mancais eliacutepticos com diferentes razotildees
de esbeltez (LD) A amplitude adimensional eacute obtida dividindo-se a amplitude de vibraccedilatildeo pela
folga do mancal
92
Tabela 415ndash Paracircmetros do rotor com mancais eliacutepticos
Paracircmetro Descriccedilatildeo Valor Unidade
leixo comprimento do eixo (vatildeo) 090 m
d diacircmetro do eixo 0015 m
L comprimento do mancal (variaacutevel) m
D diacircmetro do mancal 010 m
c1 folga do mancal 75 x 10-6
m viscosidade do lubrificante 84 x 10
-3 Pamiddots
massa especiacutefica do lubrificante 892 kgmsup3
E moacutedulo de elasticidade do eixo 205 x 109 Pa
coeficiente de Poisson do eixo 03 -
massa especiacutefica do eixo 7850 kgmsup3
W
w
carga estaacutetica em cada mancal
rotaccedilatildeo
100
2000
N
rpm
Para este exemplo eacute adotada uma malha de 80 elementos para o eixo e de 210 a 2100 elementos
para o filme fluido dependendo da razatildeo de esbeltez LD de modo a garantir menos de 1 de
erro relativo Os pontos de equiliacutebrio estaacuteticos satildeo mostrados na Figura 437
A integraccedilatildeo numeacuterica das equaccedilotildees de movimento permitem obter as amplitudes de vibraccedilatildeo
do rotor na primeira velocidade criacutetica (VC) Satildeo apresentadas na Figura 436 em escala log-log
a amplitude adimensional da resposta desbalanceada calculada no mancal 1 para o rotor
operando na primeira VC em funccedilatildeo da razatildeo de esbeltez (LD) dos mancais Satildeo considerados
trecircs tipos de mancais eliacutepticos com valores de preacute-carga Mp=0 Mp=045 Mp=090
Figura 436 ndash Amplitude de vibraccedilatildeo na primeira VC
em funccedilatildeo da razatildeo de esbeltez dos mancais eliacutepticos
93
Na Figura 436 observa-se que os pontos se mantecircm alinhados e proacuteximos das curvas de ajuste
para os valores de LD maiores que 04 que foi destacado no eixo horizontal Como a escala eacute
logariacutetmica em ambos eixos isto natildeo indica uma linearidade mas alguma relaccedilatildeo de potecircncia
entre a amplitude na VC e a razatildeo de esbeltez dos mancais A linha traccedilo-ponto apresentada no
graacutefico representa o ajuste feito para os valores obtidos com Mp=090 e a linha tracejada
representa o ajuste feito para os valores obtidos com Mp=0 O ajuste de curvas mostra que haacute
uma relaccedilatildeo cuacutebica inversa entre a amplitude da resposta desbalanceada (Ampl) e a razatildeo de
esbeltez (LD) do mancal com um coeficiente de determinaccedilatildeo R2 maior que 0999 Desta
forma eacute possiacutevel predizer o valor da amplitude calculada dentro desta faixa pela expressatildeo
onde a constante a depende da preacute-carga (Mp) do mancal eliacuteptico
Observa-se ainda pela Figura 436 que os pontos satildeo bem alinhados para as curvas de ajuste
obtidas para valores de LDgt04 E esta faixa de valores de razatildeo de esbeltez corresponde agrave
faixa onde a excentricidade adimensional no ponto de equiliacutebrio estaacutetico eacute menor que 035
Este valor eacute proacuteximo ao obtido nas anaacutelises apresentadas nas subseccedilotildees anteriores onde se
observa uma relaccedilatildeo algeacutebrica repetitiva para os paracircmetros de desempenho dos mancais na
faixa
O resultado apresentado na Figura 436 mostra tambeacutem que o procedimento baseado no MEF
pode ser usado na prediccedilatildeo da influecircncia da razatildeo de esbeltez dos mancais eliacutepticos na resposta
desbalanceada do sistema rotor-mancal o que eacute importante na anaacutelise de alteraccedilotildees de projetos
de maacutequinas rotativas
Outro resultado importante eacute destacado a seguir Constata-se que a excentricidade adimensional
do ponto de equiliacutebrio estaacutetico apresenta uma relaccedilatildeo cuacutebica inversa com o valor de LD Esta
relaccedilatildeo proveacutem dos ajustes de curva apresentados na Figura 437 onde pode-se observar os
valores calculados para em funccedilatildeo de LD A linha fina horizontal equivale a
94
Figura 437 ndash Curvas de ajuste da excentricidade adimensional do ponto de equiliacutebrio estaacutetico em
funccedilatildeo da razatildeo de esbeltez dos mancais eliacutepticos
Eacute observado que os pontos do graacutefico seguem alinhados com as curvas de ajuste para valores de
para o mancal ciliacutendrico (Mp=0) e vatildeo se afastando deste alinhamento para valores
maiores de Para os mancais eliacutepticos o valor os pontos seguem alinhados com a curva de
ajuste para valores de um pouco maiores Como o graacutefico estaacute em escala log-log o fato das
curvas de ajuste serem retas natildeo significa uma relaccedilatildeo de linearidade De fato a relaccedilatildeo entre
e LD identificada para este exemplo eacute
onde a eacute uma constante de proporcionalidade que varia com a preacute-carga Esta relaccedilatildeo eacute vaacutelida
para os trecircs valores de preacute-carga considerados neste exemplo Tendo em vista esta relaccedilatildeo
define-se como ―razatildeo de ajuste o valor para se examinar em qual faixa de
excentricidade esta razatildeo eacute mantida aproximadamente constante A Figura 438 ilustra como a
razatildeo de ajuste varia em funccedilatildeo de Satildeo incluiacutedas linhas tracejadas para auxiliar na
observaccedilatildeo do alinhamento dos pontos Eacute possiacutevel perceber que a razatildeo de ajuste eacute
aproximadamente constante ateacute um certo valor de que varia com a preacute-carga Mp
95
Figura 438 ndash Razatildeo de ajuste de LD em funccedilatildeo da excentricidade adimensional do ponto de
equiliacutebrio estaacutetico dos mancais
Para melhor identificar um valor limite de ( ) satildeo apresentados na Figura 442 os valores dos
erros relativos da razatildeo de ajuste em funccedilatildeo da excentricidade adimensional do ponto de
equiliacutebrio estaacutetico Estes erros indicam o quanto os pontos da Figura 438 estatildeo distantes das
retas de referecircncia ou seja o quanto cada valor estaacute distante do ajuste de curva calculado
Figura 439 ndash Erros relativos da razatildeo de ajuste de LD em funccedilatildeo da excentricidade adimensional do
ponto de equiliacutebrio estaacutetico dos mancais
96
Percebe-se que os mancais eliacutepticos analisados (Mp=090 e Mp=045) desviam menos do ajuste
de curva do que o mancal ciliacutendrico (Mp=0) Pelas curvas da Figura 439 observa-se que os
mancais eliacutepticos analisados quando possuem um valor apresentam um desvio
pequeno em relaccedilatildeo agrave curva de ajuste proacuteximo de 5 Esta faixa de equivale agrave faixa
identificada nos demais resultados apresentados neste trabalho onde satildeo observadas relaccedilotildees
algeacutebricas que se manteacutem com aproximadamente 5 de precisatildeo Este desvio pode estar
relacionado com alguma perturbaccedilatildeo numeacuterica do procedimento computacional implementado
que leva a resultados menos confiaacuteveis para valores elevados de excentricidade principalmente
quando
433 A resposta desbalanceada em funccedilatildeo da folga radial dos mancais eliacutepticos
A resposta desbalanceada do sistema rotor-mancal eacute analisada nesta seccedilatildeo em funccedilatildeo da folga
radial nos mancais A folga tem uma forte influecircncia nos coeficientes de forccedila dos mancais
hidrodinacircmicos o que provoca uma variaccedilatildeo nos niacuteveis de vibraccedilatildeo do sistema principalmente
nas velocidades criacuteticas Os paracircmetros do sistema analisado satildeo apresentados na Tabela 415
exceto o comprimento dos mancais que foi fixado em 75mm e a folga passou a ser variaacutevel O
rotor ilustrado esquematicamente na Figura 435
Satildeo considerados trecircs tipos de mancais eliacutepticos com preacute-cargas (Mp) de 0 045 e 090 As
amplitudes de vibraccedilatildeo satildeo calculadas no Mancal 1 para o rotor operando na primeira
velocidade criacutetica As amplitudes satildeo apresentadas de maneira adimensional na Figura 440 em
escala logariacutetmica onde a linha traccedilo-ponto apresentada no graacutefico representa o ajuste feito para
os valores obtidos com Mp=090 e a linha tracejada representa o ajuste para os valores obtidos
com Mp=0 Natildeo eacute apresentada a linha do ajuste para MP=045 por motivos esteacuteticos Para os
trecircs valores de Mp eacute identificada uma relaccedilatildeo quadraacutetica entre a amplitude adimensional da
resposta desbalanceada e a folga radial dos mancais
97
Figura 440 ndash Amplitude de vibraccedilatildeo na primeira VC
em funccedilatildeo da folga radial dos mancais
Eacute observado na Figura 440 que os pontos se manteacutem alinhados e proacuteximos das curvas de
ajuste para os valores de folga de ateacute aproximadamente 150 m Como a escala eacute logariacutetmica em
ambos eixos isto natildeo indica uma linearidade mas sim a relaccedilatildeo quadraacutetica identificada pelo
ajuste de curva
Na anaacutelise da excentricidade em funccedilatildeo da folga radial c eacute tambeacutem identificada uma relaccedilatildeo
quadraacutetica dada pela expressatildeo onde a eacute uma constante de proporcionalidade que
varia com a preacute-carga Mp Tendo em vista esta relaccedilatildeo define-se uma nova ―razatildeo de ajuste
pela expressatildeo para se analisar em qual faixa de excentricidade esta razatildeo eacute mantida
aproximadamente constante A Figura 441 apresenta os valores obtidos para a razatildeo de ajuste
em funccedilatildeo de Satildeo incluiacutedas linhas tracejadas para auxiliar na observaccedilatildeo do alinhamento
dos pontos Eacute possiacutevel perceber que a razatildeo de ajuste eacute aproximadamente constante ateacute um certo
valor de que varia com a preacute-carga Mp
98
Figura 441 ndash Razatildeo de ajuste da folga radial em funccedilatildeo da excentricidade adimensional do ponto de
equiliacutebrio estaacutetico dos mancais
Para melhor identificar um valor limite de satildeo apresentados na Figura 442 os valores dos
erros relativos da razatildeo de ajuste em funccedilatildeo de Estes erros indicam o quanto os pontos da
Figura 441 estatildeo distantes das retas de referecircncia ou seja o quanto cada valor estaacute distante do
ajuste de curva calculado
Figura 442 ndash Erros relativos da razatildeo de ajuste da folga radial em funccedilatildeo da excentricidade
adimensional do ponto de equiliacutebrio estaacutetico dos mancais
99
Eacute observado novamente que os mancais eliacutepticos analisados (Mp=090 e Mp=045) desviam
menos do ajuste de curva do que o mancal ciliacutendrico (Mp=0) e que para uma excentricidade
adimensional os mancais eliacutepticos apresentam um desvio pequeno em relaccedilatildeo agrave curva
de ajuste proacuteximo de 5 Este resultado eacute muito parecido com aquele identificado na seccedilatildeo
anterior onde eacute analisada a resposta desbalanceada em funccedilatildeo da razatildeo de esbeltez LD dos
mancais
A literatura teacutecnica afirma que sob determinadas condiccedilotildees operacionais os mancais eliacutepticos
apresentam uma faixa de operaccedilatildeo mais ampla do que os mancais ciliacutendricos (CORREIA 2007)
Desta forma pode-se estabelecer uma relaccedilatildeo entre os resultados obtidos pelo MEF
implementado e esta afirmaccedilatildeo da literatura se for considerado que o desvio em relaccedilatildeo agrave curva
de ajuste estaacute relacionado com algum tipo de limitaccedilatildeo operacional
100
5 CONCLUSOtildeES
O procedimento computacional aqui desenvolvido baseado no MEF permite predizer o
comportamento dinacircmico de diferentes tipos de rotores compostos por eixo flexiacutevel discos
massivos e mancais hidrodinacircmicos de perfil ciliacutendrico ou eliacuteptico Os resultados produzidos
permitem validar o modelo pela comparaccedilatildeo com valores experimentais coletados em uma
bancada de teste e tambeacutem com valores publicados na literatura
O presente trabalho apresenta uma importante contribuiccedilatildeo na anaacutelise de sistemas rotor-mancal
pelo fato de investigar o sistema rotativo de maneira ampla tanto para o eixo flexiacutevel quanto
para os mancais Satildeo considerados no modelo do eixo flexiacutevel os efeitos de deformaccedilatildeo por
cisalhamento ineacutercia rotatoacuteria e efeito giroscoacutepico e para o modelo dos mancais
hidrodinacircmicos ciliacutendricos e eliacutepticos satildeo considerados todos os coeficientes de forccedila
independentes sem o uso de teorias simplificadas como os modelos de mancal curto ou de
mancal longo
Este procedimento computacional eacute muito uacutetil natildeo apenas para se determinar a resposta
desbalanceada de rotores como tambeacutem para se avaliar a viabilidade de alteraccedilotildees de projeto
capazes de melhorar o comportamento dinacircmico de maacutequinas rotativas
Os coeficientes de forccedila dos mancais hidrodinacircmicos desempenham um importante papel no
projeto de maacutequinas rotativas na previsatildeo de sua capacidade de suportar vibraccedilotildees e de operar
em condiccedilotildees estaacuteveis Os resultados apresentados neste trabalho mostram claramente a
influecircncia dos paracircmetros geomeacutetricos dos mancais hidrodinacircmicos de geometria fixa
ciliacutendricos e eliacutepticos nos seus coeficientes de forccedila e na resposta desbalanceada do sistema
rotativo
Os resultados numeacutericos obtidos pelo MEF aqui desenvolvido apresentam um erro relativo de
aproximadamente 4 para as frequecircncias naturais em relaccedilatildeo aos resultados experimentais e da
literatura
A anaacutelise da influecircncia da folga radial dos mancais eliacutepticos nos coeficientes de forccedila mostra
que os coeficientes de rigidez direta adimensionais variam pouco dentro da faixa operacional
onde a excentricidade adimensional do ponto de equiliacutebrio estaacutetico (e0) eacute menor que 03 Acima
deste valor os coeficientes de rigidez direta adimensionais diminuem consideravelmente
101
Observa-se ainda que o coeficiente de rigidez cruzado adimensional (kxy) eacute inversamente
proporcional ao e0 o que permite introduzir um novo adimensional o ―coeficiente de rigidez
cruzada adimensional modificado definido por xy=e0kxy Este coeficiente tambeacutem apresenta
valores aproximadamente constantes quando se varia a folga do mancal eliacuteptico dentro da faixa
onde e0lt03 Tambeacutem satildeo observados valores aproximadamente constantes para a razatildeo CxyKxx
e para o amortecimento efetivo ( ) quando se varia a folga mantendo-se e0lt03
A anaacutelise da influecircncia da razatildeo de esbeltez (LD) dos mancais eliacutepticos nos coeficientes de
forccedila permite observar que o amortecimento efetivo ( ) e o coeficiente de
amortecimento cruzado adimensional (cxy) dos mancais eliacutepticos seguem um padratildeo comum
quando e0lt03 Para o amortecimento efetivo os valores satildeo aproximadamente constantes
enquanto para cxy observa-se uma relaccedilatildeo linear entre cxy e e0 nesta faixa
Na anaacutelise da influecircncia da preacute-carga (Mp) dos mancais eliacutepticos nos coeficientes de forccedila
observa-se uma proporcionalidade entre Mp e (kyy)23
e entre Mp e (kxx)12
na faixa onde
Eacute identificado tambeacutem que o amortecimento efetivo ( ) varia linearmente com Mp
nesta faixa
Eacute mostrado atraveacutes de um exemplo de rotor flexiacutevel apoiado em mancais eliacutepticos que a razatildeo
de amplificaccedilatildeo da resposta desbalanceada atinge um miacutenimo para um exemplo de mancal com
Mp=045 A literatura teacutecnica apresenta uma recomendaccedilatildeo de aplicaccedilatildeo de mancais eliacutepticos
com preacute-carga de aproximadamente 05 por apresentar melhor estabilidade (PINKUS 1956
ALLAIRE e FLACK 1981) Portanto para o exemplo de rotor analisado este resultado mostra
uma concordacircncia entre os valores obtidos pelo MEF para a razatildeo de amplificaccedilatildeo e a
recomendaccedilatildeo da literatura no que diz respeito agrave estabilidade de mancais eliacutepticos
A anaacutelise da resposta desbalanceada permite observar que a amplitude de vibraccedilatildeo na primeira
velocidade criacutetica eacute proporcional a (LD)-3
e tambeacutem proporcional ao quadrado da folga radial
(c2) na faixa onde Esta proporcionalidade eacute mantida em uma faixa operacional mais
ampla para os mancais eliacutepticos do que para os mancais ciliacutendricos analisados
Este resultado de aproximadamente 03 encontra respaldo na literatura teacutecnica que afirma que o
procedimento linearizado de perturbaccedilatildeo em torno da posiccedilatildeo de equiliacutebrio eacute vaacutelido para ateacute
102
40 da folga do mancal (LUND1987) Esta observaccedilatildeo eacute tambeacutem destacada no trabalho de
Sawicki e Rao (2004) Aleacutem disso Furukawa et al (1996) observam que a natildeo linearidade do
filme fluido produz grandes diferenccedilas entre os valores calculados e os medidos
experimentalmente em especial na regiatildeo de alta excentricidade
Desta forma sugere-se para trabalhos futuros a investigaccedilotildees mais aprofundadas sobre os
efeitos dinacircmicos que ocorrem quando o ponto de equiliacutebrio estaacutetico ultrapassa o limite de 40
da folga do mancal O meacutetodo aqui implementado adota um procedimento de perturbaccedilatildeo linear
em torno da posiccedilatildeo de equiliacutebrio obtendo equaccedilotildees de lubrificaccedilatildeo de ordem zero e de primeira
ordem baseadas na equaccedilatildeo de Reynolds Sugere-se ainda a implementaccedilatildeo de um modelo que
considere termos de ordem superior na obtenccedilatildeo das equaccedilotildees de lubrificaccedilatildeo ou que adote
algum outro modelo natildeo-linear
Sugere-se ainda aplicar a metodologia deste trabalho em outros procedimentos computacionais
para observar faixas onde os resultados possam apresentar padrotildees repetitivos Sugere-se
investigar a existecircncia de relaccedilotildees algeacutebricas entre os paracircmetros do sistema e os resultados e
que possam se manter vaacutelidas dentro de uma faixa de valores
Outras abordagens que podem ampliar os resultados do presente trabalho incluem a anaacutelise de
mancais hidrodinacircmicos de geometria variaacutevel com fluidos natildeo-newtonianos e a anaacutelise de
efeitos teacutermicos nos paracircmetros de desempenho destes mancais
Os resultados deste trabalho fornecem subsiacutedio agrave aacuterea de projeto de maacutequinas rotativas uma vez
que o procedimento computacional desenvolvido permite predizer seu comportamento dinacircmico
para diversas condiccedilotildees operacionais
103
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112
ANEXO A - Fundamentos da Teoria de Viga
Neste Anexo satildeo apresentadas de maneira breve as expressotildees das teorias de viga de Euler-
Bernoulli de Rayleigh e de Timoshenko A Teoria de Viga de Timoshenko eacute a forma mais
completa representando a vibraccedilatildeo lateral de vigas a partir da qual podem-se derivar as outras
duas teorias como casos particulares desta (BORU 2010)
A1 Teoria de Viga de Euler-Bernoulli
A Teoria de Viga de Euler-Bernoulli foi formulada no seacuteculo XVIII e o detalhamento de sua
derivaccedilatildeo eacute apresentado em Clough e Penzien (1975) e em Meirovitch (1967)
Considere a viga ilustrada na Fig A1 sob a accedilatildeo de uma carga distribuiacuteda variaacutevel q(xt) e uma
deflexatildeo lateral v(xt) na direccedilatildeo y As propriedades da viga satildeo sua rigidez agrave flexatildeo EI(x) e a
massa especiacutefica A(x)
Figura A1 - Viga de Euler-Bernoulli sob carregamento distribuiacutedo (Boru 2010)
113
A2 Teoria de Viga de Rayleigh
A Teoria de Viga de Rayleigh considera a ineacutercia rotacional da viga aleacutem da ineacutercia
translacional Assim para um modelo dinacircmico de uma viga em rotaccedilatildeo as frequecircncias naturais
seratildeo mais bem representadas
A equaccedilatildeo da Teoria de Viga de Rayleigh eacute definida por
Se for considerado o caso da viga com seccedilatildeo transversal uniforme ao longo de x a equaccedilatildeo
(A3) eacute simplificada para a forma
A Teoria de Viga de Rayleigh eacute uma extensatildeo da teoria de Euller-Bernoulli o que pode ser
observado comparando-se os trecircs primeiros termos da equaccedilatildeo (A4) com a equaccedilatildeo (A2) O
termo adicional da equaccedilatildeo (A4) eacute relativo agrave ineacutercia rotatoacuteria
A3 Teoria de Viga de Timoshenko
A inclusatildeo da ineacutercia rotatoacuteria nos modelos dinacircmicos foi considerada insuficiente para se
melhorar os resultados do caacutelculo da frequecircncia natural de vigas (BORU 2010) Assim foi
proposto incluir o efeito de deformaccedilatildeo por cisalhamento o que aumenta a flexibilidade do
elemento de viga Este modelo levou agrave Teoria de Viga de Timoshenko Assim as frequecircncias
naturais reduziram o suficiente para se aproximar daquelas obtidas experimentalmente
(TRAILL-NASH e COLLAR 1953)
A Teoria de Viga de Timoshenko considera que a deformaccedilatildeo por cisalhamento em uma seccedilatildeo
transversal eacute diretamente proporcional agrave forccedila de cisalhamento para materiais isotroacutepicos com
propriedades lineares atraveacutes da expressatildeo
(A5)
(A3)
(A4)
114
A constante depende da forma da seccedilatildeo transversal da viga podendo assumir valores como
1113 para seccedilotildees circulares e 56 para seccedilotildees retangulares O termo representa a aacuterea
efetiva de cisalhamento da seccedilatildeo transversal
Considerando a seccedilatildeo transversal da viga uniforme a expressatildeo da Teoria de Viga de
Timoshenko eacute dada por
Pode-se observar que as duas teorias de viga anteriormente apresentadas satildeo casos particulares
da teoria de viga de Timoshenko Se a viga natildeo sofrer deformaccedilatildeo por cisalhamento o que
implica em considerar que sua resistecircncia ao cisalhamento eacute muito grande basta fazer e
os dois uacuteltimos termos seratildeo nulos levando agrave teoria de vigas de Rayleigh
Deformaccedilatildeo por cisalhamento e
ineacutercia rotatoacuteria combinados
Teoria de Euler-Bernoulli
Teoria de Rayleigh
Deformaccedilatildeo por cisalhamento
115
ANEXO B ndash Funccedilotildees de Interpolaccedilatildeo
As funccedilotildees de interpolaccedilatildeo para o problema de flexatildeo satildeo obtidas do problema estaacutetico da viga
considerando os efeitos de flexatildeo e cisalhamento simultaneamente (FARIA 1990) Estas
funccedilotildees satildeo descritas a seguir
Denota-se por a variaacutevel adimensionals que descreve a posiccedilatildeo de uma seccedilatildeo transversal
qualquer do elemento em relaccedilatildeo agrave sua extremidade inicial Sendo a variaacutevel que define cada
seccedilatildeo do elemento de rotor a partir do noacute inicial e l o comprimento do elemento a variaacutevel
adimensional eacute dada por
Para as funccedilotildees de interpolaccedilatildeo de flexatildeo no plano de deflexatildeo satildeo considerados os efeitos de
cisalhamento transversal fx e fy distintos
onde A eacute a aacuterea da seccedilatildeo transversal G eacute o modulo de elasticidade ao cisalhamento l eacute o
comprimento do elemento E eacute o moacutedulo de elasticidade I eacute o momento de ineacutercia e K eacute o fator
de forma do cisalhamento transversal Para a seccedilatildeo transversal circular (COUPER 1966)
onde eacute o coeficiente de Poisson
B1 - Funccedilotildees de Interpolaccedilatildeo para o deslocamento linear unitaacuterio no primeiro noacute
As funccedilotildees de interpolaccedilatildeo satildeo obtidas como descrito a seguir (FARIA 1990)
116
Figura B1 ndash Deslocamento linear unitaacuterio no primeiro noacute
As equaccedilotildees diferenciais para o deslocamento linear unitaacuterio no primeiro noacute (Fig B1) satildeo
escritas na seguinte forma
(B1)
(B2)
onde Vf e Vc satildeo as contribuiccedilotildees de flexatildeo e de cisalhamento respectivamente e V=Vf+Vc A
soluccedilatildeo das equaccedilotildees eacute escrita como
onde C1 e C2 satildeo constantes de integraccedilatildeo As condiccedilotildees de contorno do problema satildeo
Em s = = 0 e
Em s = l
Obteacutem-se assim a expressatildeo
que derivada em relaccedilatildeo agrave posiccedilatildeo leva a
117
B2 - Funccedilotildees de Interpolaccedilatildeo para o deslocamento angular unitaacuterio no primeiro noacute
As funccedilotildees de interpolaccedilatildeo satildeo obtidas como descrito a seguir Considere as condiccedilotildees
de contorno
Em s = 0 V=0 e Vrsquo=Vf
Em s = l V=0 e Vrsquo=Vc
Figura B2 ndash Deslocamento angular unitaacuterio no primeiro noacute
Considerando-se as equaccedilotildees (B1) e (B2) e as condiccedilotildees de contorno obteacutem-se
e a equaccedilatildeo da linha elaacutestica eacute escrita como
Entatildeo
118
e para se obter basta derivar a equaccedilatildeo elaacutestica
Mas como a rotaccedilatildeo em s = 0 possui o seguinte valor
deve-se adicionar a deformaccedilatildeo
em EIyVrsquo para se obter a rotaccedilatildeo das seccedilotildees Obteacutem-se entatildeo
B3 - Funccedilotildees de Interpolaccedilatildeo para o deslocamento linear unitaacuterio no segundo noacute
As funccedilotildees de interpolaccedilatildeo satildeo obtidas como descrito a seguir
Figura B3 ndash Deslocamento linear unitaacuterio no segundo noacute
As equaccedilotildees diferenciais para o deslocamento linear unitaacuterio no segundo noacute (Fig B3) satildeo
escritas na seguinte forma
119
(B3)
(B4)
A soluccedilatildeo geral das equaccedilotildees eacute escrita como
As condiccedilotildees de contorno satildeo dadas por
Em s = 0
Em s = l
Obteacutem-se assim a equaccedilatildeo elaacutestica
e a expressatildeo de
que derivada em relaccedilatildeo agrave posiccedilatildeo leva a
B1 - Funccedilotildees de Interpolaccedilatildeo para o deslocamento angular unitaacuterio no segundo noacute
As funccedilotildees de interpolaccedilatildeo satildeo obtidas como descrito a seguir
Obteacutem-se as equaccedilotildees diferenciais atraveacutes da Figura B4
(B5)
(B6)
120
Figura B4 ndash Deslocamento angular unitaacuterio no segundo noacute
A soluccedilatildeo geral das equaccedilotildees (B5) e (B6) eacute escrita como
As condiccedilotildees de contorno satildeo dadas por
Em s = 0 e
Em s = l e
Obteacutem-se assim a equaccedilatildeo elaacutestica
e a expressatildeo de
Para se obter deriva-se a equaccedilatildeo elaacutestica em relaccedilatildeo agrave posiccedilatildeo
Mas como a rotaccedilatildeo em s = 0 possui o valor
deve-se adicionar a deformaccedilatildeo
121
em EIyVrsquo para se obter a rotaccedilatildeo das seccedilotildees Obteacutem-se entatildeo
122
ANEXO C ndash Matrizes de Elementos Finitos do Rotor
Satildeo apresentadas a seguir as matrizes do elemento finito de rotor para elementos de eixo
baseados na teoria de viga de Timoshenko (NELSON 1980 FARIA 1990) Considera-se o eixo
simeacutetrico ( Ix=Iy=I ) o efeito de cisalhamento isotroacutepico ( fx=fy=f ) e as seguintes constantes
I = momento meacutedio de ineacutercia de aacuterea da seccedilatildeo transversal
Idm= momento diametral de ineacutercia de massa por unidade de comprimento
Ip = momento polar de ineacutercia de massa por unidade de comprimento
f = efeito de cisalhamento
l = comprimento do elemento
E = moacutedulo de elasticidade
= massa especiacutefica
A = aacuterea da seccedilatildeo transversal
coordenadas generalizadas no sistema rotativo
coordenadas generalizadas no sistema inercial
C1 ndash Matriz de ineacutercia de translaccedilatildeo
A matriz Me representativa da ineacutercia de translaccedilatildeo do elemento finito do rotor eacute obtida pela
integraccedilatildeo da expressatildeo da energia cineacutetica TM do elemento finito do rotor dada por
Usando as funccedilotildees de interpolaccedilatildeo na expressatildeo da energia cineacutetica obteacutem-se a matriz TM que
satisfaz agrave expressatildeo
A matriz Me eacute simeacutetrica e descrita como
123
[Me] =
onde
C2 ndash Matriz de ineacutercia de rotaccedilatildeo
A matriz de ineacutercia de rotaccedilatildeo do elemento finito do rotor eacute obtida pela substituiccedilatildeo das funccedilotildees
de interpolaccedilatildeo na expressatildeo da energia cineacutetica TN do elemento finito dada por
Usando as funccedilotildees de interpolaccedilatildeo na expressatildeo da energia cineacutetica obteacutem-se a matriz Ne
124
representativa da ineacutercia de rotaccedilatildeo do elemento que satisfaz agrave expressatildeo
A matriz Ne eacute simeacutetrica e descrita como
[Ne] =
onde
C3 ndash Matriz de efeitos giroscoacutepicos
A matriz Ge representativa dos efeitos giroscoacutepicos do elemento finito do rotor eacute obtida pela
relaccedilatildeo
onde a matriz [He] eacute obtida pela integraccedilatildeo da expressatildeo da energia cineacutetica TG do elemento
finito do rotor dada por
onde eacute a rotaccedilatildeo do rotor IP eacute o momento polar de ineacutercia da seccedilatildeo satildeo os vetores
125
rotaccedilatildeo da seccedilatildeo em torno dos eixos x e y Aplicando as funccedilotildees de interpolaccedilatildeo na expressatildeo
da energia cineacutetica obteacutem-se a matriz [He] que satisfaz agrave expressatildeo
A matriz eacute anti-simeacutetrica e descrita como
[Ge] =
onde
C4 ndash Matriz de rigidez
A matriz de rigidez do elemento finito do rotor Ke eacute obtida integrando-se a energia potencial
elaacutestica V ao longo do comprimento do elemento usando as funccedilotildees de interpolaccedilatildeo Obteacutem-se
a matriz Ke que satisfaz agrave expressatildeo
126
A matriz Ke eacute simeacutetrica e descrita como
[Ke] =
127
ANEXO D ndash Meacutetodo Numeacuterico de Newmark
Neste Anexo apresenta-se inicialmente o algoritmo de meacutetodo de Newmark usado para a
integraccedilatildeo numeacuterica no tempo da equaccedilatildeo do movimento Eq(1) conforme Bathe (1982)
Posteriormente satildeo mostrados os criteacuterios adotados no presente trabalho para garantir a
convergecircncia do meacutetodo sem um elevado custo computacional
A) Valores iniciais
Passo 1 Valores iniciais para os vetores deslocamento velocidade e aceleraccedilatildeo U0
U
0 U
0
Passo 2 Defina um intervalo de tempo Δt e os paracircmetros α e δ tais que
δ ge 050 α ge 025(05 + δ)sup2
Passo 3 Calcule as constantes
20
1a
t
t1a
t
1a 2
12
1a 3
1a 4
22
ta 5 )1(ta 6 ta7
Passo 4 Crie a matriz de rigidez efetiva KK=K + a0M + a1C
B) Para cada iteraccedilatildeo no tempo Δt
Passo 1 Calcule a carga efetiva RR no instante t + Δt
t+ΔtRR =
t+ΔtR + M(a0
tU + a2
t U
+ a3 t U
) + C(a1 tU + a4
t U
+ a5 t U
)
Passo 2 Resolva a equaccedilatildeo abaixo para obter o vetor deslocamento U em t + Δt
KK
t+Δt U = t+Δt
RR
Passo 3 Calcule os vetores velocidade e aceleraccedilatildeo em t + Δt
t+Δt U = a0 (
t+Δt U - tU)- a2 t U - a3
t U
t+Δt U =
t U + a6
t U
+ a7 t+Δt U
128
Para se garantir a convergecircncia do meacutetodo foram adotados os paracircmetros 41α e δ=12 que
satildeo os paracircmetros de integraccedilatildeo que possibilitam estabilidade incondicional para o procedimento
de integraccedilatildeo de Newmark (BATHE 1982) Eacute importante fazer uma boa escolha do incremento
de tempo t adequado para assegurar a estabilidade do meacutetodo de integraccedilatildeo no tempo O
valor do incremento de tempo t deve ser menor do que o valor criacutetico crt dado pela
equaccedilatildeo D1 (BATHE 1982)
n
crt (D1)
sendo τn o menor periacuteodo natural do sistema Se o incremento de tempo eacute maior que o valor
criacutetico o meacutetodo de Newmark apresentaraacute problemas de convergecircncia (ALMEIDA JUacuteNIOR e
FARIA 2003) No presente trabalho a escolha do incremento de tempo t foi feita baseando-
se no fato de que a forccedila de desbalanceamento eacute aplicada a cada intervalo t Portanto se este
intervalo for muito grande a forccedila poderia deixar de ser aplicada durante cada ciclo do eixo Eacute
importante garantir que esta forccedila seja aplicada simetricamente durante cada ciclo ou seja que
para cada valor de rotaccedilatildeo ω (rads) a forccedila de desbalanceamento seja aplicada simetricamente
em todas as direccedilotildees Para que isto fosse possiacutevel foi adotada a seguinte expressatildeo para o
caacutelculo do incremento de tempo t
ω12
2t (D2)
Com o incremento da equaccedilatildeo (D2) garante-se que ocorram pelo menos 12 iteraccedilotildees a
cada ciclo do eixo ou seja uma a cada 30ordm o que garante a simetria da forccedila de
desbalanceamento Este criteacuterio garante tambeacutem que t lt crt Posteriormente foi feito o
estudo da convergecircncia dos resultados em funccedilatildeo do intervalo t para se otimizar o custo
computacional do meacutetodo implementado
iv
AGRADECIMENTOS
Em primeiro lugar a Deus por me mostrar o caminho e me dar forccedilas durante estes anos de
muita dedicaccedilatildeo
Agrave minha famiacutelia principalmente agrave minha esposa e filhos pelo apoio compreensatildeo e paciecircncia
em todos os momentos em que natildeo pude lhes dar a devida atenccedilatildeo
Ao Prof Marco Tuacutelio Correcirca de Faria pela orientaccedilatildeo deste trabalho e tambeacutem pelas aulas de
Dinacircmica de Rotores e de Teoria da Lubrificaccedilatildeo que me fizeram despertar o interesse pela
aacuterea o que resultou neste trabalho
Agrave amiga Ana Paula Ladeira pela valiosa contribuiccedilatildeo durante a revisatildeo final deste trabalho nos
aspectos de metodologia e de normalizaccedilatildeo
Aos professores Ricardo Luiz Utsch de Freitas Pinto e Maria Luacutecia Machado Duarte pela
acolhida quando retornei agrave UFMG para fazer o doutorado
Ao Departamento de Engenharia Mecacircnica da UFMG pela estrutura fiacutesica do laboratoacuterio de
Dinacircmica de Rotores pela qualidade de ensino e pelo apoio na participaccedilatildeo de eventos
v
SUMAacuteRIO
1 INTRODUCcedilAtildeO 19
11 Escopo 21
12 Objetivos 22
121 Objetivo geral 22
122 Objetivos especiacuteficos 22
2 REVISAtildeO BIBLIOGRAacuteFICA 23
21 Modelagem de sistemas rotor-mancal 23
22 Anaacutelise da estabilidade atraveacutes de problema de autovalor 31
23 Mancais hidrodinacircmicos 33
24 Sistemas rotativos com elementos adicionais 35
25 Mancais eliacutepticos 37
3 METODOLOGIA 40
31 Modelagem do Rotor Flexiacutevel 41
32 Modelagem do Mancal Radial Eliacuteptico 44
321 Equaccedilotildees de Lubrificaccedilatildeo 47
322 Equaccedilotildees de Elementos Finitos para Mancais Eliacutepticos 50
323 Discretizaccedilatildeo do campo de pressatildeo de ordem zero 50
324 Discretizaccedilatildeo do campo de pressatildeo de primeira ordem 53
325 Determinaccedilatildeo dos Coeficientes de Forccedila dos Mancais Eliacutepticos 55
33 O Sistema Rotor-Mancal 56
34 Diagrama do Procedimento Computacional 58
4 RESULTADOS E ANAacuteLISE 61
vi
41 Exemplos de validaccedilatildeo 61
411 Rotor com disco em balanccedilo 61
412 Rotor apoiado nas extremidades com disco no centro 65
413 Rotor de uma bancada de testes 69
414 Segundo rotor de uma bancada de testes 75
42 Anaacutelise dos coeficientes de forccedila dos mancais eliacutepticos 77
421 Coeficientes de forccedila em funccedilatildeo da folga radial dos mancais eliacutepticos 78
422 Coeficientes de forccedila em funccedilatildeo da razatildeo de esbeltez dos mancais eliacutepticos 83
423 Coeficientes de forccedila em funccedilatildeo da preacute-carga dos mancais eliacutepticos 85
43 A influecircncia dos paracircmetros geomeacutetricos dos mancais eliacutepticos na resposta desbalanceada 87
431 A razatildeo de amplificaccedilatildeo da resposta desbalanceada em funccedilatildeo da preacute-carga 87
432 A resposta desbalanceada em funccedilatildeo da razatildeo de esbeltez dos mancais eliacutepticos 91
433 A resposta desbalanceada em funccedilatildeo da folga radial dos mancais eliacutepticos 96
5 CONCLUSOtildeES 100
6 REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS 103
ANEXO A - FUNDAMENTOS DA TEORIA DE VIGA 112
A1 Teoria de Viga de Euler-Bernoulli 112
A2 Teoria de Viga de Rayleigh 113
A3 Teoria de Viga de Timoshenko 113
ANEXO B ndash FUNCcedilOtildeES DE INTERPOLACcedilAtildeO 115
B1 - Funccedilotildees de Interpolaccedilatildeo para o deslocamento linear unitaacuterio no primeiro noacute 115
B2 - Funccedilotildees de Interpolaccedilatildeo para o deslocamento angular unitaacuterio no primeiro noacute 117
B3 - Funccedilotildees de Interpolaccedilatildeo para o deslocamento linear unitaacuterio no segundo noacute 118
B1 - Funccedilotildees de Interpolaccedilatildeo para o deslocamento angular unitaacuterio no segundo noacute 119
ANEXO C ndash MATRIZES DE ELEMENTOS FINITOS DO ROTOR 122
vii
C1 ndash Matriz de ineacutercia de translaccedilatildeo 122
C2 ndash Matriz de ineacutercia de rotaccedilatildeo 123
C3 ndash Matriz de efeitos giroscoacutepicos 124
C4 ndash Matriz de rigidez 125
ANEXO D ndash MEacuteTODO NUMEacuteRICO DE NEWMARK 127
viii
LISTA DE FIGURAS
Figura 31 ndash Sistema rotor-mancal 40
Figura 32 ndash Representaccedilatildeo de um elemento finito do eixo 42
Figura 33 ndash Desenho esquemaacutetico do mancal eliacuteptico e seus paracircmetros geomeacutetricos 45
Figura 34 - Desenho esquemaacutetico do perfil de um mancal radial eliacuteptico 46
Figura 35 - Distribuiccedilatildeo da pressatildeo hidrodinacircmica no mancal ciliacutendrico (LANG e
STEINHILPER 1978) 46
Figura 36 - Distribuiccedilatildeo da pressatildeo hidrodinacircmica no mancal eliacuteptico (Adaptado de
CORREIA 2007) 47
Figura 37 - Representaccedilatildeo esquemaacutetica dos noacutes no elemento finito 51
Figura 38 ndash Representaccedilatildeo dos 4 graus de liberdade 57
Figura 39 ndash Diagrama do procedimento computacional 58
Figura 41 ndash Desenho esquemaacutetico do rotor de Sinou (2005) 61
Figura 42 ndash Curvas da primeira e segunda frequecircncias naturais (FN1 FN2) versus o
nuacutemero de elementos finitos da malha para o rotor de Sinou (2005) a
10rpm 62
Figura 43 ndash Primeira velocidade criacutetica progressiva (FWD1) e regressiva (BKWD1)
versus incremento no tempo 63
Figura 44 ndash Espectro de frequecircncia obtido pelo MEF para o rotor de Sinou(2005) a
10 rpm 64
Figura 45 ndash Diagrama de Campbell para o rotor em balanccedilo analisado por
Sinou(2005) 64
Figura 46 ndash Desenho esquemaacutetico do rotor de Hong e Park(1999) 66
Figura 47 ndash Espectro de frequecircncia obtido para o rotor de Hong e Park (1999)
operando a 6000rpm 67
Figura 48 ndash Forma de onda obtida para o rotor de Hong e Park (1999) 68
Figura 49 ndash Desenho esquemaacutetico do rotor da bancada de testes 69
Figura 410 ndash Sensibilidade da malha de elementos finitos do mancal ciliacutendrico no
ix
caacutelculo dos paracircmetros de desempenho Fx e Kxy 71
Figura 411 ndash Espectro de frequecircncia experimental ndash teste de batida 72
Figura 412 ndash Espectro de frequecircncia obtido pelo MEF para rotaccedilatildeo de 750 rpm 72
Figura 413 ndash Espectro de frequecircncia obtido pelo MEF para rotaccedilatildeo de 3200 rpm 73
Figura 414 ndash Espectro de frequecircncia experimental para o rotor da bancada operando
a 8900rpm 74
Figura 415 ndash Espectro de frequecircncia obtido pelo MEF para o rotor da bancada
operando a 8900rpm 74
Figura 416 ndash Espectro de frequecircncia obtido pelo MEF para o rotor do exemplo 4
operando a 3200rpm 76
Figura 417 ndash Espectro de frequecircncia experimental para o rotor de Machado(2006) 76
Figura 418 ndash Sensibilidade da malha de elementos finitos do mancal eliacuteptico no
caacutelculo dos paracircmetros de desempenho Fx e Kxy 78
Figura 419 - Posicionamento do eixo dentro do mancal e excentricidade 79
Figura 420 ndash Excentricidade adimensional do ponto de equiliacutebrio estaacutetico dos
mancais eliacutepticos em funccedilatildeo da folga radial 79
Figura 421 ndash Coeficientes de rigidez direta adimensionais em funccedilatildeo da folga radial
dos mancais eliacutepticos 80
Figura 422 ndash Coeficientes de rigidez cruzada adimensional modificado em funccedilatildeo
da folga radial dos mancais eliacutepticos 81
Figura 423 ndash Razatildeo CxyKxx em funccedilatildeo da folga radial dos mancais eliacutepticos 82
Figura 424 ndash Amortecimento efetivo em funccedilatildeo da folga radial dos mancais
eliacutepticos 82
Figura 425 ndash Excentricidade adimensional do ponto de equiliacutebrio estaacutetico dos
mancais eliacutepticos em funccedilatildeo da razatildeo de esbeltez 83
Figura 426 ndash Variaccedilatildeo do amortecimento efetivo em funccedilatildeo da razatildeo de esbeltez
dos mancais eliacutepticos 84
Figura 427 ndash Variaccedilatildeo do amortecimento cruzado adimensional em funccedilatildeo da razatildeo
de esbeltez dos mancais eliacutepticos 84
Figura 428 ndash Excentricidade adimensional do ponto de equiliacutebrio estaacutetico dos
x
mancais eliacutepticos em funccedilatildeo da preacute-carga 85
Figura 429 ndash Variaccedilatildeo da relaccedilatildeo de ajuste entre Mp kxx e kxy em funccedilatildeo da preacute-
carga dos mancais eliacutepticos 86
Figura 430 ndash Variaccedilatildeo do amortecimento efetivo em funccedilatildeo da preacute-carga dos
mancais eliacutepticos 86
Figura 431 ndash Desenho esquemaacutetico do rotor sem disco massivo 88
Figura 432 ndash Resposta desbalanceada calculada no mancal 1 do rotor apoiado em
mancais eliacutepticos com preacute-carga 045 (MIRANDA e FARIA 2012) 89
Figura 433 ndash Resposta desbalanceada para diferentes valores de preacute-carga dos
mancais eliacutepticos (MIRANDA e FARIA 2012) 89
Figura 434 ndashRazatildeo de amplificaccedilatildeo da resposta desbalanceada na primeira
velocidade criacutetica para o rotor apoiado em mancais eliacutepticos
(MIRANDA e FARIA 2012) 90
Figura 435 ndashDesenho esquemaacutetico do rotor com disco massivo em posiccedilatildeo
assimeacutetrica 91
Figura 436 ndash Amplitude de vibraccedilatildeo na primeira VC em funccedilatildeo da razatildeo de
esbeltez dos mancais eliacutepticos 92
Figura 437 ndash Curvas de ajuste da excentricidade adimensional do ponto de
equiliacutebrio estaacutetico em funccedilatildeo da razatildeo de esbeltez dos mancais eliacutepticos 94
Figura 438 ndash Razatildeo de ajuste de LD em funccedilatildeo da excentricidade adimensional do
ponto de equiliacutebrio estaacutetico dos mancais 95
Figura 439 ndash Erros relativos da razatildeo de ajuste de LD em funccedilatildeo da excentricidade
adimensional do ponto de equiliacutebrio estaacutetico dos mancais 95
Figura 440 ndash Amplitude de vibraccedilatildeo na primeira VC em funccedilatildeo da folga radial dos
mancais 97
Figura 441 ndash Razatildeo de ajuste da folga radial em funccedilatildeo da excentricidade
adimensional do ponto de equiliacutebrio estaacutetico dos mancais 98
Figura 442 ndash Erros relativos da razatildeo de ajuste da folga radial em funccedilatildeo da
excentricidade adimensional do ponto de equiliacutebrio estaacutetico dos
mancais 98
xi
Figura A1 - Viga de Euler-Bernoulli sob carregamento distribuiacutedo (Boru 2010) 112
Figura B1 ndash Deslocamento linear unitaacuterio no primeiro noacute 116
Figura B2 ndash Deslocamento angular unitaacuterio no primeiro noacute 117
Figura B3 ndash Deslocamento linear unitaacuterio no segundo noacute 118
Figura B4 ndash Deslocamento angular unitaacuterio no segundo noacute 120
LISTA DE TABELAS
Tabela 41- Paracircmetros do rotor com disco em balanccedilo (SINOU 2005) 62
Tabela 42- Valores comparativos da primeira frequecircncia natural para o rotor de
Sinou(2005) a 10 rpm 64
Tabela 43- Comparaccedilatildeo da primeira velocidade criacutetica 65
Tabela 44- Paracircmetros do rotor de Hong e Park(1999) 66
Tabela 45- Comparaccedilatildeo da primeira frequecircncia natural progressiva e regressiva para
o rotor de Hong e Park (1999) 67
Tabela 46- Comparaccedilatildeo das Frequecircncias de Batimento para o rotor de Hong e
Park(1999) 69
Tabela 47ndash Paracircmetros do rotor da bancada de testes 70
Tabela 48ndash Resultados da anaacutelise da sensibilidade da malha dos mancais 71
Tabela 49ndash Valores comparativos de frequecircncias naturais obtidas pelo MEF e
experimentalmente pelo teste de batida (bump test) 73
Tabela 410ndash Valores comparativos de frequecircncias naturais obtidas pelo MEF e
experimentalmente para o rotor da bancada operando a 8900rpm 75
Tabela 411ndash Paracircmetros do rotor da bancada de testes ndash exemplo 2 75
Tabela 412ndash Valores comparativos das frequecircncias naturais obtidas
experimentalmente por Machado(2006) e pelo MEF 77
Tabela 413ndash Paracircmetros do mancal eliacuteptico selecionado 77
Tabela 414 Paracircmetros do sistema rotor-mancal eliacuteptico utilizado na anaacutelise 88
Tabela 415ndash Paracircmetros do rotor com mancais eliacutepticos 92
xii
SIMBOLOGIA
Siacutembolos em letras latinas
A Aacuterea da seccedilatildeo transversal do eixo [m2]
Ampl Amplitude adimensional da resposta desbalanceada
c Folga radial menor (c = eRR ) [m]
Cb Folga radial maior
XXC YYC Coeficientes de amortecimento direto [Nsm]
XXc YYc Coeficientes de amortecimento direto adimensionais
XYC YXC Coeficientes de amortecimento cruzados [Nsm]
XYc YXc Coeficientes de amortecimento cruzados adimensionais
D Diacircmetro interno do mancal [m]
d Diacircmetro externo do eixo [m]
E Moacutedulo de elasticidade [Pa]
e Excentricidade do centro do munhatildeo no mancal (distacircncia entre centros do mancal
e do munhatildeoeixo) [m]
exey Projeccedilotildees de ―e nos eixos de coordenadas cartesianas xy
00 yx ee
posiccedilatildeo de equiliacutebrio do eixo
yx ee
perturbaccedilatildeo na posiccedilatildeo de equiliacutebrio do eixo
vetores unitaacuterios nas direccedilotildees circunferencial e axial respectivamente
f efeito de cisalhamento
F Forccedila de reaccedilatildeo do mancal gerada pela accedilatildeo hidrodinacircmica do fluido
Fx e Fy Componente da forccedila de reaccedilatildeo do fluido do mancal nas direccedilotildees x e y
e
jf Vetor de fluxo
G Moacutedulo de elasticidade ao cisalhamento [Pa]
h Espessura do filme lubrificante ou filme fluido
xiii
h0 Espessura miacutenima do filme lubrificante estacionaacuterio [m] ou de ordem zero
I Momento meacutedio de ineacutercia de aacuterea da seccedilatildeo transversal
Idm Momento diametral de ineacutercia de massa por unidade de comprimento
Ip Momento polar de ineacutercia de massa por unidade de comprimento
K Fator de forma do cisalhamento transversal
Kx Ky Coeficientes de cisalhamento
XXK YYK Coeficientes de rigidez diretos [Nm]
kxx e kyy Coeficientes de rigidez diretos adimensionais
XYK YXK Coeficientes de rigidez cruzados [Nm]
kxy e kyx Coeficientes de rigidez cruzados adimensionais
Coeficiente de rigidez adimensional modificado
][ e
jiK Matriz fluiacutedica de ordem zero
L Comprimento do mancal
l Comprimento do elemento
Leixo Comprimento do eixo
md Massa desbalanceada
m Fluxo maacutessico na direccedilatildeo circunferencial
nm Fluxo maacutessico de lubrificante cruzando a fronteira do domiacutenio do elemento finito
zm Fluxo maacutessico na direccedilatildeo axial
nm Fluxo de lubrificante de primeira ordem pelo contorno
edo elemento finito n
Mp Preacute-carga (medida da ―elipsidade do mancal) Mp = (Cb ndash c) c
n
Valor normal unitaacuterio direcionado para fora do contorno e do elemento finito
OL Posiccedilatildeo do centro dos loacutebulos
O Posiccedilatildeo do centro do eixo
p Pressatildeo apresentada pelo filme lubrificante [Pa]
pa Pressatildeo ambiente [Pa]
xiv
po Pressatildeo estacionaacuteria de ordem zero [Pa]
p Campo de pressatildeo hidrodinacircmica de primeira ordem
e
op Campo de pressatildeo discreto de ordem zero no domiacutenio e de um elemento finito
px py Campo de pressatildeo hidrodinacircmica de primeira ordem
e
ip Valores de pressatildeo nodal no noacute i do elemento e [Pa]
q(xt) Carregamento distribuiacutedo [Nm]
e
jq Vetor de fluxo devido ao escoamento de fluido pelo contorno do elemento ldquoerdquo
R Raio menor do mancal [m]
Re Raio do munhatildeo ou raio do eixo [m]
RL Raio do loacutebulo do mancal [m]
U Velocidade superficial do eixo (U = ωR) [ms]
Vf Contribuiccedilatildeo da flexatildeo no deslocamento linear do centro da seccedilatildeo do elemento
ud Excentricidade da massa desbalanceada
v(xt) Deflexatildeo lateral da viga
W Carga atuante no mancal [N]
Wf Contribuiccedilatildeo da flexatildeo no deslocamento linear do centro da seccedilatildeo do elemento
xy Coordenadas cartesianas
z Coordenada axial
Siacutembolo em letras gregas
e Contorno do elemento ―e
Deformaccedilatildeo por cisalhamento
Razatildeo de excentricidade ou excentricidade adimensional ( ε = ec)
o Excentricidade adimensional no ponto de equiliacutebrio estaacutetico
ψ Coordenadas no domiacutenio do elemento
Fator de forma da seccedilatildeo transversal da viga
Viscosidade absoluta do filme lubrificante [Pas]
xv
Coeficiente de Poisson
Massa especiacutefica [kgm3]
Massa especiacutefica do filme lubrificante [kgm3]
Acircngulo da posiccedilatildeo angular do munhatildeo a partir do ponto de maior espessura dentro do
mancal [rad]
z Coordenadas circunferencial e axial respectivamente
Φ Acircngulo de posiccedilatildeo do munhatildeo dentro do mancal Φ = tan-1
( Fy Fx )
Funccedilatildeo de interpolaccedilatildeo para o meacutetodo de elementos finitos para o elemento ―e
Rotaccedilatildeo do eixo [rads]
e Domiacutenio do elemento finito ―e
Subscritos
av Meacutedio
e Relativo ao elemento ―e
0 1 Ordem zero e primeira ordem instante de tempo anterior e atual
x Coordenada cartesiana vertical
y Coordenada cartesiana horizontal
Coordenadas xy combinadas no domiacutenio do elemento finito
Coordenadas no domiacutenio do elemento finito
Sobrescritos
e Relativo ao elemento ―e
ej
xvi
LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS
MEF Meacutetodo de Elementos Finitos
FEM Finite Element Method (Meacutetodo de Elementos Finitos)
VC Velocidade Criacutetica
xvii
RESUMO
Este trabalho apresenta um procedimento computacional baseado no meacutetodo de elementos
finitos desenvolvido especialmente para predizer o comportamento dinacircmico de sistemas
rotativos apoiados em mancais hidrodinacircmicos O procedimento computacional proposto
permite simular diferentes tipos de rotores compostos por eixo flexiacutevel discos massivos e
mancais riacutegidos ou hidrodinacircmicos com perfis circulares ou eliacutepticos Satildeo usados elementos
finitos de viga baseando-se na teoria de vigas de Timoshenko no modelo do eixo o que permite
incluir os efeitos de deformaccedilatildeo por cisalhamento ineacutercia rotatoacuteria e efeito giroscoacutepico Um
procedimento baseado no meacutetodo de elementos finitos eacute aplicado para resolver a equaccedilatildeo de
Reynolds para fluidos incompressiacuteveis junto a um procedimento de perturbaccedilatildeo linear para se
calcular os coeficientes dinacircmicos de forccedila dos mancais ciliacutendricos e eliacutepticos As equaccedilotildees de
movimento para rotores desbalanceados apoiados em mancais hidrodinacircmicos satildeo integradas
usando-se o Meacutetodo de Newmark para se obter a resposta no tempo Os resultados satildeo validados
pela comparaccedilatildeo com valores experimentais coletados em uma bancada de teste e tambeacutem com
valores publicados na literatura Satildeo apresentadas algumas relaccedilotildees algeacutebricas que permitem
predizer os paracircmetros de desempenho dos mancais e a resposta desbalanceada do sistema rotor-
mancal em funccedilatildeo dos paracircmetros geomeacutetricos dos mancais tais como preacute-carga razatildeo de
esbeltez e folga radial Eacute identificada uma faixa operacional dos mancais onde estas relaccedilotildees
algeacutebricas apresentam uma boa aproximaccedilatildeo com os resultados computacionais Os resultados
deste trabalho servem de base para o projeto de maacutequinas rotativas uma vez que permitem
predizer seu comportamento dinacircmico para diversas condiccedilotildees operacionais
Palavras-chaves Mancal eliacuteptico
Rotores flexiacuteveis
Mancal radial
Lubrificaccedilatildeo hidrodinacircmica
Meacutetodo de elementos finitos
xviii
ABSTRACT
This work presents the development of a finite element procedure specially devised to predict
the dynamic response of flexible rotors running on fluid film bearings The proposed procedure
can simulate many different types of rotor-bearing systems with a flexible shaft massive disks
and rigid or fluid film circular or elliptical bearings The shaft finite element model is based on
Timoshenko Beam Theory which includes shear effects rotary inertia and gyroscopic moments
A finite element procedure for solution of the classical Reynolds equation for incompressible
fluid films in conjunction with a linearized perturbation procedure is implemented to allow the
computation of the dynamic force-coefficients of cylindrical and elliptical journal bearings The
finite element equations of motion for an unbalanced rotor supported on fluid film bearings are
integrated by using the Newmark method and the time-domain unbalance response is obtained
The results are validated by comparison with experimental data collected from a test rig as well
as from results obtained from the literature
Some algebraic expressions relating the bearing parameters and the unbalance response with the
bearing geometric parameters (preload Slendernessrsquo ratio radial clearance) are presented A
range of operating conditions is identified where these expressions are supposed to be close to
the computational results obtained by the numerical procedure The results presented in this
work are valuable for rotating machine designers since it can properly predict its dynamic
response under several operation conditions
Keywords Elliptical bearing
Journal bearing
Hydrodynamic lubrication
Finite element method
19
1 INTRODUCcedilAtildeO
O projeto e o comissionamento de maacutequinas rotativas requerem um cuidado especial para se
garantir condiccedilotildees seguras estaacuteveis e eficientes de operaccedilatildeo Diversos estudos baseados em
procedimentos experimentais analiacuteticos e computacionais satildeo utilizados com o objetivo de se
analisar vaacuterios aspectos dinacircmicos relacionados a rotores de maacutequinas de alta velocidade Esses
estudos se tornam de extrema importacircncia na anaacutelise de equipamentos como turbinas a gaacutes e a
vapor compressores ventiladores industriais bombas exaustores entre outros
Com o desenvolvimento da tecnologia na aacuterea de projetos mecacircnicos eacute notaacutevel a tendecircncia em
se projetarem maacutequinas cada vez mais leves e com maior potecircncia que normalmente estatildeo mais
sujeitas a problemas de vibraccedilatildeo e de instabilidade A influecircncia dos mancais no comportamento
dinacircmico de maacutequinas rotativas e na capacidade de atenuar vibraccedilotildees eacute estudada haacute vaacuterios anos
em diversos trabalhos da literatura especializada (GUNTER 1966 CORREIA 2007)
Os mancais hidrodinacircmicos tecircm sido amplamente aplicados em maacutequinas rotativas devido agrave sua
grande capacidade de carga habilidade de operaccedilatildeo em altas velocidades e longevidade
(HAMROCK 1994 CHILDS 1993) Este tipo de mancal tem uma capacidade de
amortecimento que natildeo existe nos mancais de rolamento o que possibilita que a maacutequina passe
por uma velocidade criacutetica com menores riscos (STERNLICHT e LEWIS 1968 VANCE
1988) O amortecimento proporcionado por mancais hidrodinacircmicos permite a atenuaccedilatildeo das
forccedilas transmitidas do sistema eixorotor aos mancais a reduccedilatildeo do niacutevel de vibraccedilatildeo o
aumento da faixa de operaccedilatildeo estaacutevel do rotor e o aumento de vida uacutetil do mancal (ENGWALL
1991)
Os mancais hidrodinacircmicos aplicados em maacutequinas rotativas industriais podem ser divididos
basicamente em dois grupos mancais de geometria fixa e mancais de geometria variaacutevel
(ALLAIRE e FLACK 1981) Os mancais de geometria fixa satildeo mais simples e possuem um
menor custo de fabricaccedilatildeo montagem e manutenccedilatildeo do que os de geometria variaacutevel
(HAMROCK 1994) Os mancais mais amplamente usados na induacutestria satildeo os de geometria fixa
com perfil ciliacutendrico apresentando baixa estabilidade mas boa capacidade de carga (CORREIA
2007) Mancais de geometria moacutevel satildeo usados quando se deseja estabilidade do equipamento
sujeito a vibraccedilotildees subsiacutencronas isto eacute abaixo da frequecircncia de rotaccedilatildeo No final da deacutecada de
20
1980 este tipo de mancal passou a ser mais amplamente usado nos projetos de turbomaacutequinas
de alta velocidade (ZEIDAN 1992) A literatura cientiacutefica apresenta diversos trabalhos sobre
mancais ciliacutendricos mas poucos sobre mancais eliacutepticos (CORREIA 2007)
As interaccedilotildees entre o eixo rotativo da turbomaacutequina com o fluido de trabalho com os mancais
com os selos com o suporte e com todos os seus elementos acoplados tais como as palhetas e
discos devem ser incluiacutedas na anaacutelise dinacircmica de rotores para se obter confiabilidade aceitaacutevel
nas prediccedilotildees de seu comportamento O estudo preliminar do comportamento de sistemas
rotativos permite determinar as suas faixas de operaccedilatildeo estaacutevel e avaliar as influecircncias que
componentes do sistema exercem sobre a resposta dinacircmica do conjunto Os mancais se tornam
componentes vitais no projeto de turbomaacutequinas pois devem gerar forccedilas de reaccedilatildeo capazes de
suportar adequadamente o eixo rotativo e propiciar meios de atenuaccedilatildeo da resposta dinacircmica do
conjunto rotativo em regimes de operaccedilatildeo extremos Esse trabalho tem como proposta principal
a anaacutelise do comportamento dinacircmico de rotores flexiacuteveis apoiados em mancais radiais
hidrodinacircmicos de geometria fixa
A modelagem do rotor que inclui o eixo rotativo com discos riacutegidos acoplados eacute efetuada
utilizando-se o meacutetodo de elementos finitos baseado na teoria de vigas de Timoshenko
(CLOUGH e PENZIEN 1975) Incluem-se no modelo do rotor os efeitos de cisalhamento os
momentos giroscoacutepicos e a ineacutercia rotatoacuteria do eixo rotativo A equaccedilatildeo claacutessica de Reynolds
(PINKUS 1987 HAMROCK 1994) e um procedimento linearizado de perturbaccedilatildeo
(LUND1987) satildeo a base da modelagem dos mancais radiais hidrodinacircmicos ciliacutendricos e natildeo
ciliacutendricos considerados na anaacutelise O meacutetodo de elementos finitos eacute entatildeo empregado para
estimar as caracteriacutesticas dinacircmicas natildeo lineares dos mancais radiais finitos incluiacutedos na anaacutelise
do sistema rotativo O modelo dos mancais admite diversas geometrias de mancais ciliacutendricos e
eliacutepticos e natildeo satildeo adotadas hipoacuteteses restritivas ao modelo dos mancais como nas teorias de
mancal longo (HAMROCK 1994) ou de mancal curto que apresentam deficiecircncias na anaacutelise
dinacircmica de sistemas rotor-mancal (KALITA e KAKOTY 2004)
O texto deste trabalho eacute dividido em cinco capiacutetulos O capiacutetulo 1 apresenta a introduccedilatildeo do
trabalho seu escopo e objetivos No capiacutetulo 2 eacute apresentada a revisatildeo bibliograacutefica Em
seguida eacute descrita a metodologia do procedimento computacional proposto no capiacutetulo 3 onde
satildeo apresentados os procedimentos adotados para se modelar o sistema rotor-mancal composto
pelo eixo flexiacutevel disco riacutegido e mancais hidrodinacircmicos No final do capiacutetulo 3 eacute apresentado
um diagrama representando as etapas do procedimento computacional proposto No capiacutetulo 4
21
satildeo apresentados os resultados obtidos atraveacutes do procedimento computacional incluindo
exemplos de validaccedilatildeo No capiacutetulo 5 satildeo apresentadas as conclusotildees do trabalho e no capiacutetulo 6
satildeo listadas as referecircncias bibliograacuteficas Satildeo incluiacutedos ainda trecircs anexos No Anexo A satildeo
apresentados os fundamentos da teoria de vigas de Euler-Bernoulli de Rayleigh e de
Timoshenko No Anexo B apresenta-se a formulaccedilatildeo das funccedilotildees de interpolaccedilatildeo No Anexo C
satildeo listadas as matrizes de elementos finitos do eixo flexiacutevel usadas no modelo implementado e
no Anexo D eacute apresentado o algoritmo do Meacutetodo Numeacuterico de Newmark
11 Escopo
Esse trabalho descreve a anaacutelise do comportamento dinacircmico de rotores flexiacuteveis suportados em
mancais radiais hidrodinacircmicos de geometria fixa utilizando-se o meacutetodo de elementos finitos
Na modelagem dos mancais radiais incluem-se mancais ciliacutendricos e natildeo ciliacutendricos de
geometria fixa As condiccedilotildees de operaccedilatildeo do sistema rotativo utilizadas nesse trabalho estatildeo
baseadas em condiccedilotildees operacionais comumente encontradas na praacutetica O eixo eacute modelado por
elementos finitos de viga baseando-se na teoria de vigas de Timoshenko que permite analisar a
resposta da vibraccedilatildeo orbital nos dois planos ortogonais de flexatildeo A formulaccedilatildeo permite incluir
os efeitos de ineacutercia rotatoacuteria efeito giroscoacutepico e deformaccedilatildeo por cisalhamento
O caacutelculo dos coeficientes dinacircmicos de forccedila dos mancais eacute feito baseando-se na equaccedilatildeo de
Reynolds e nas equaccedilotildees de lubrificaccedilatildeo de ordem zero e de primeira ordem obtidas atraveacutes da
anaacutelise de perturbaccedilatildeo (LUND1987)
A resposta desbalanceada do sistema eacute obtida por meio de procedimento de integraccedilatildeo
numeacuterica implementado sobre a sua equaccedilatildeo de equiliacutebrio dinacircmico Eacute estudada a influecircncia dos
paracircmetros construtivos de mancais eliacutepticos e ciliacutendricos nos seus coeficientes de forccedila e na
resposta desbalanceada do sistema rotor-mancal Apresenta-se uma anaacutelise criacutetica sobre a faixa
onde o modelo computacional implementado fornece resultados considerados confiaacuteveis
baseando-se nas condiccedilotildees operacionais do sistema
Embora natildeo seja objetivo deste trabalho obter valores absolutos para os coeficientes de forccedila ou
para os niacuteveis de vibraccedilatildeo na resposta desbalanceada eacute investigada a forma como estes valores
variam em funccedilatildeo das caracteriacutesticas construtivas e operacionais do sistema
22
12 Objetivos
121 Objetivo geral
Este trabalho tem como objetivo desenvolver um procedimento computacional baseado no
meacutetodo de elementos finitos (MEF) para a anaacutelise da resposta de sistemas rotativos apoiados em
mancais radiais hidrodinacircmicos de geometria fixa O eixo eacute modelado por elementos de viga
baseando-se na Teoria de Viga de Timoshenko Os mancais hidrodinacircmicos satildeo modelados
tambeacutem por elementos finitos utilizando-se o meacutetodo da perturbaccedilatildeo aplicado na equaccedilatildeo de
Reynolds
122 Objetivos especiacuteficos
i Desenvolver e implementar um procedimento computacional eficiente baseado no
MEF para representar rotores flexiacuteveis sujeitos a cargas de desbalanceamento
apoiados em suportes flexiacuteveis
ii Desenvolver e implementar um procedimento computacional eficiente baseado no
MEF para a determinaccedilatildeo dos coeficientes dinacircmicos dos mancais hidrodinacircmicos de
geometria fixa sem o uso de teorias simplificadas como os modelos de mancal curto
ou de mancal longo
iii Comparar os resultados do procedimento computacional proposto com resultados
publicados na literatura especializada e com dados experimentais coletados em uma
bancada de testes atraveacutes da anaacutelise das frequecircncias naturais
iv Analisar a influecircncia dos paracircmetros geomeacutetricos dos mancais eliacutepticos (preacute-carga
razatildeo de esbeltez folga radial) nos coeficientes de forccedila dos mancais e na resposta
desbalanceada do sistema
v Estabelece relaccedilotildees algeacutebricas entre alguns paracircmetros de desempenho dos mancais
ciliacutendricos e eliacutepticos e a resposta balanceada com os paracircmetros geomeacutetricos dos
mancais Identificar as faixas operacionais onde estas relaccedilotildees algeacutebricas satildeo vaacutelidas
23
2 REVISAtildeO BIBLIOGRAacuteFICA
As referecircncias apresentadas a seguir satildeo divididas em seccedilotildees para facilitar a exposiccedilatildeo dos
temas envolvidos no trabalho Inicialmente satildeo apresentadas as publicaccedilotildees que abordam os
procedimentos computacionais para a modelagem de sistemas rotor-mancal destacando-se o uso
do meacutetodo de elementos finitos e a evoluccedilatildeo dos modelos de elementos de vigas aplicados aos
eixos flexiacuteveis Em seguida destacam-se os trabalhos que fazem a anaacutelise da estabilidade de
sistemas rotor-mancal atraveacutes de problema de autovalor Segue-se com a citaccedilatildeo das publicaccedilotildees
que apresentam procedimentos de modelagem de mancais hidrodinacircmicos As uacuteltimas seccedilotildees
apresentam trabalhos sobre sistemas rotativos com elementos adicionais onde se destacam no
final os modelos de mancais eliacutepticos
Observa-se que a literatura apresenta diversos trabalhos dentro desta linha poreacutem muitos
aplicam o modelo de mancal curto que eacute bastante limitado principalmente para mancais
operando com grandes excentricidades A teoria de mancal curto eacute mais aplicaacutevel na prediccedilatildeo de
carga mas eacute muito limitada na determinaccedilatildeo de coeficientes de forccedila ou no estudo da
estabilidade do sistema Outros trabalhos apresentam uma abordagem detalhada do modelo dos
mancais mas ao apresentar os resultados fazem diversas simplificaccedilotildees (mancais isotroacutepicos
por exemplo) Em alguns casos a modelagem dos mancais e a aplicaccedilatildeo do procedimento
numeacuterico eacute detalhada e rigorosa poreacutem aplica-se o modelo de eixo riacutegido o que tambeacutem
representa uma limitaccedilatildeo A teoria natildeo-linear para mancais hidrodinacircmicos eacute apresentada por
diversos autores poreacutem os trabalhos possuem uma abordagem mais matemaacutetica natildeo focando
em aspectos praacuteticos de condiccedilotildees operacionais de maacutequinas rotativas
Desta forma observa-se uma lacuna na literatura onde raramente satildeo analisados sistemas rotor-
mancal hidrodinacircmico de maneira detalhada evitando-se hipoacuteteses simplificadoras tanto no
modelo dos mancais quanto no modelo do eixo flexiacutevel
21 Modelagem de sistemas rotor-mancal
A anaacutelise do comportamento dinacircmico de maacutequinas rotativas tem fomentado o desenvolvimento
de procedimentos computacionais eficientes e precisos para as etapas preliminares de projeto
24
Os modelos de maacutequinas rotativas de alta velocidade geralmente incluem rotores flexiacuteveis
apoiados em mancais hidrodinacircmicos e eacute fundamental analisar a estabilidade do sistema
(GUNTER 1970 BUSSE et al1980 VANCE 1988 KRAMER 1993 CHILDS 1993
ABDULJABBAR et al1997 HU et al 2000 GANESAN 2000 ZHAO et al2005 WENHUI
et al 2007)
Os estudos dinacircmicos baseados em modelos computacionais se tornam de extrema importacircncia
em diversas aplicaccedilotildees industriais de turbomaacutequinas como turbinas a gaacutes e a vapor
compressores ventiladores industriais bombas exaustores entre outros (STERNLICHT e
LEWIS 1968) A partir da deacutecada de 70 o meacutetodo de elementos finitos comeccedilou a ser usado
com extrema frequecircncia para o desenvolvimento de modelos de rotores flexiacuteveis e para a anaacutelise
de balanceamento estabilidade e vibraccedilatildeo torcional de maacutequinas rotativas (ZORZI e NELSON
1977 VANCE 1988 CHILDS 1993 ALMEIDA Jr e FARIA 2003 MIRANDA et al 2005)
A aplicaccedilatildeo do meacutetodo de elementos finitos na modelagem e simulaccedilatildeo de sistemas rotativos eacute
muito ampla na anaacutelise dinacircmica de rotores Os primeiros trabalhos nesta aacuterea satildeo apresentados
por Ruhl (1970) e Ruhl e Booker (1972) onde se aplica o meacutetodo de elementos finitos na
anaacutelise dinacircmica de um sistema rotativo com paracircmetros distribuiacutedos Satildeo usados elementos de
viga incluindo a ineacutercia translacional e rigidez agrave flexatildeo mas natildeo satildeo considerados os efeitos de
ineacutercia rotatoacuteria momentos giroscoacutepios deformaccedilatildeo por cisalhamento carga axial torque axial
e amortecimento interno Kirk e Gunter (1972) analisam a resposta transiente e permanente do
rotor de Jeffcott com mancais elaacutesticos montados em apoios flexiacuteveis e amortecidos ainda
desconsiderando a flexibilidade do rotor e o efeito giroscoacutepico do disco rotativo nas equaccedilotildees de
movimento Na mesma eacutepoca Thorkildsen (1972) desenvolveu um modelo mais completo onde
incluiu os efeitos de ineacutercia rotatoacuteria e momentos giroscoacutepios
Polk (1974) apresenta um estudo sobre velocidade criacutetica e velocidade limite utilizando
elemento finito de viga de Rayleigh Polk ainda apresenta neste mesmo trabalho o
desenvolvimento dos elementos finitos de viga de Timoshenko embora sem nenhum resultado
numeacuterico Diana et al(1975) apresentam seus resultados da anaacutelise de um eixo rotativo usando
o meacutetodo de elementos finitos com elementos semelhantes aos de Ruhl (1970) No mesmo ano
Dimaragonas (1975) apresenta um desenvolvimento geral de elemento de viga mas ainda
excluindo o cisalhamento e carga e torque axiais Gasch (1976) apresentou importantes
resultados em um artigo semelhante ao de Dimaragonas poreacutem incluindo o efeito de
25
excentricidade distribuiacuteda Satildeo analisados eixos rotativos de grandes turbomaacutequinas atraveacutes de
elementos finitos e introduzida a dinacircmica da fundaccedilatildeo nas equaccedilotildees de movimento usando
anaacutelise modal e teste modal
No mesmo ano Nelson e McVaugh (1976) apresentam uma formulaccedilatildeo para modelar o sistema
rotor-mancal usando paracircmetros distribuiacutedos e elementos finitos de viga de Rayleigh
semelhantes aos de Polk (1974) incluindo os efeitos de ineacutercia rotatoacuteria efeito giroscoacutepico e
cargas axiais Este trabalho eacute ampliado posteriormente em Zorzi e Nelson (1977) incluindo-se o
amortecimento viscoso interno do eixo Nelson (1980) generaliza os modelos apresentados em
1976 e 1977 usando a teoria de vigas de Timoshenko para estabelecer as funccedilotildees de forma do
eixo flexiacutevel incluindo o efeito de cisalhamento mas sem incluir o amortecimento interno Satildeo
obtidas as equaccedilotildees de elementos atraveacutes do Princiacutepio de Hamilton e das integrais que definem
as energias potencial e cineacutetica de cada elemento A energia cineacutetica leva em consideraccedilatildeo a
energia rotacional e translacional e a energia potencial considera a energia potencial elaacutestica
devida agrave flexatildeo a energia potencial do cisalhamento e a energia devida agrave carga axial Para
modelar os mancais satildeo considerados apoios isotroacutepicos sem efeito de amortecimento O autor
apresenta vaacuterios resultados que validam o meacutetodo comparando-os com outros obtidos na
literatura Eacute apresentada uma comparaccedilatildeo entre as frequecircncias naturais de uma viga estaacutetica
obtidas com elementos de viga de Euler-Bernoulli de Rayleigh e de Timoshenko
Posteriormente satildeo apresentados resultados de velocidades criacuteticas calculadas para eixos
rotativos apoiados pelas extremidades
Oumlzguumlven e Oumlzkan (1984) aplicam tambeacutem o meacutetodo de elementos finitos considerando os
efeitos da ineacutercia rotatoacuteria carga axial efeito giroscoacutepico deformaccedilotildees por cisalhamento e
amortecimento viscoso interno no mesmo modelo Vance et al(1987) apresentam comparaccedilotildees
de dados experimentais com resultados numeacutericos obtidos em uma bancada de sistema rotor-
mancal incluindo os efeitos de impedacircncia da fundaccedilatildeo no modelo usando o meacutetodo de matriz
de transferecircncia
Jei e Lee (1988) analisam o comportamento dinacircmico de rotores assimeacutetricos apoiados em
mancais hidrodinacircmicos utilizando o meacutetodo de elementos finitos O sistema rotativo eacute
composto por um eixo assimeacutetrico e discos riacutegidos e os efeitos da ineacutercia rotatoacuteria do
cisalhamento transversal dos momentos giroscoacutepicos e do amortecimento histereacutetico satildeo
incluiacutedos na modelagem do sistema As equaccedilotildees de vibraccedilatildeo lateral do conjunto rotativo satildeo
26
compactadas via teacutecnica de reduccedilatildeo modal de coordenadas Na modelagem dos mancais radiais
os autores desprezam a assimetria dos coeficientes cruzados de rigidez e de amortecimento e natildeo
descrevem claramente como foram obtidos os demais coeficientes de forccedila O problema de
autovalor do sistema giroscoacutepico amortecido eacute obtido para a determinaccedilatildeo das velocidades
criacuteticas de instabilidade do sistema rotativo As simplificaccedilotildees efetuadas pelos autores na
modelagem dos mancais afetam a determinaccedilatildeo precisa das velocidades de instabilidade do rotor
assimeacutetrico suportado em mancais hidrodinacircmicos que depende fortemente dos coeficientes
cruzados de rigidez Stephenson e Rouch (1992) aplicam o meacutetodo de elementos finitos para
analisar um sistema rotor-mancal e fundaccedilatildeo usando tambeacutem anaacutelise modal que permite
observar os efeitos dinacircmicos da estrutura da fundaccedilatildeo
Mais recentemente diversos trabalhos tecircm sido publicados aplicando-se o meacutetodo de elementos
finitos para a anaacutelise da estabilidade e da resposta no tempo de sistemas rotativos Sundararajan
(1996) investiga a resposta natildeo-linear e a estabilidade de um sistema rotor-mancal em regime
permanente sujeito a desbalanceamento Satildeo considerados rotores riacutegidos apoiados em mancais
hidrodinacircmicos planos e squeeze-film dampers (amortecedores por esmagamento de filme
fluido) Analisa-se a influecircncia dos coeficientes de forccedila cruzados e da ineacutercia do fluido na
resposta natildeo-linear e na estabilidade do sistema Na modelagem por elementos finitos satildeo
derivadas as matrizes de massa de rigidez e de amortecimento do sistema e eacute apresentado um
procedimento numeacuterico que reduz o nuacutemero de graus de liberdade do sistema O autor aplica a
teoria de bifurcaccedilatildeo de Hopf (HOLLIS e TAYLOR 1986) para calcular os regimes de
bifurcaccedilatildeo de mancais hidrodinacircmicos finitos mostrando que os mancais podem entrar em
regime de instabilidade mesmo abaixo das velocidades limites o que natildeo eacute observado nos
modelos lineares Na modelagem do squeeze film damper e do mancal plano eacute adotado o modelo
de mancal curto Posteriormente o autor propotildee uma anaacutelise de estabilidade de mancais planos
finitos usando uma formulaccedilatildeo que faz uma soma ponderada das soluccedilotildees analiacuteticas do mancal
curto e do mancal longo para se obter os coeficientes de forccedila Os resultados para mancais
planos finitos natildeo satildeo validados experimentalmente Embora comente-se sobre o caraacuteter natildeo-
linear do efeito das folgas nos mancais de rolamento este tipo de mancal natildeo eacute modelado pelo
autor O modelo do sistema rotor-mancal considera o rotor e o eixo riacutegidos e usa o modelo de
mancal curto o que torna o modelo bastante limitado
Chen e Lee (1997) aplicam o meacutetodo de elementos finitos em um problema de rotores flexiacuteveis
para obter a resposta desbalanceada no tempo e para identificar os coeficientes de forccedila de
27
mancais de rolamento Armentrout (1998) apresenta o desenvolvimento de uma anaacutelise
transiente de rotores flexiacuteveis suportados em mancais de filme fluido baseada no meacutetodo das
matrizes de transferecircncia Os efeitos de cisalhamento os momentos giroscoacutepicos e a ineacutercia
rotatoacuteria satildeo incluiacutedos na modelagem do eixo do rotor A soluccedilatildeo unidimensional aproximada da
equaccedilatildeo de Reynolds eacute a base do modelo de mancais ciliacutendricos radiais e de sapatas moacuteveis
contemplados na anaacutelise O procedimento computacional desenvolvido por Armentrout (1998)
utiliza teacutecnica de compactaccedilatildeo modal de coordenadas empregando os modos de vibraccedilatildeo natildeo
amortecidos do sistema rotor-mancal-fundaccedilatildeo As equaccedilotildees de equiliacutebrio do sistema rotativo
em coordenadas modais satildeo integradas utilizando-se um algoritmo de integraccedilatildeo impliacutecita
―preditor-corretor
Tiwari et al (2000) apresentam uma investigaccedilatildeo teoacuterico-experimental da dinacircmica natildeo-linear
de rotores riacutegidos horizontais apoiados em mancais de rolamento de esferas Um modelo
discreto de massa concentrada com dois graus de liberdade eacute empregado na representaccedilatildeo do
rotor riacutegido As natildeo linearidades da anaacutelise estatildeo associadas aos efeitos da folga radial do
mancal e do modelo de contato de Hertz para as esferas desse mancal As equaccedilotildees de equiliacutebrio
do sistema satildeo integradas utilizando-se um algoritmo impliacutecito de integraccedilatildeo A anaacutelise
experimental do trabalho consiste na determinaccedilatildeo da resposta desbalanceada e na avaliaccedilatildeo da
estabilidade dinacircmica de um rotor horizontal apoiado em mancais de rolamento anisotroacutepicos
Os autores mostram resultados teoacutericos e experimentais para as regiotildees de instabilidade do rotor
que apresentam boa concordacircncia A consideraccedilatildeo de rotor riacutegido representa uma limitaccedilatildeo do
modelo
Elmadany et al (2001) apresentam um modelo de elementos finitos para um sistema rotativo
composto por um eixo flexiacutevel um rotor riacutegido e vaacuterios mancais incluindo no modelo do rotor
os efeitos de ineacutercia rotativa momentos giroscoacutepicos amortecimento interno deformaccedilotildees por
cisalhamento e torque axial Satildeo usados elementos finitos de viga de Timoshenko para gerar as
equaccedilotildees dos elementos do eixo Os oito coeficientes de forccedila dos mancais hidrodinacircmicos satildeo
apresentados em funccedilatildeo do nuacutemero de Sommerfeld considerando mancais curtos O meacutetodo
computacional proposto permite obter importantes informaccedilotildees do comportamento dinacircmico do
sistema tais como a precessatildeo as velocidades criacuteticas as regiotildees de estabilidade e a resposta
dinacircmica desbalanceada As velocidades de instabilidades satildeo obtidas atraveacutes do problema de
autovalor Os autores apresentam diversos resultados numeacutericos comparados com outros
28
extraiacutedos da literatura Em um deles destaca-se a comparaccedilatildeo das velocidades de instabilidade
(threshold speed of instability) e os autores fazem ainda uma comparaccedilatildeo entre o modelo usando
elementos de viga de Rayleigh e de Timoshenko Conclui-se que ao se incluir o efeito de
cisalhamento na anaacutelise de vibraccedilatildeo livre os valores das velocidades de instabilidade satildeo
reduzidos
Hong et al(2001) investigam os efeitos da deformaccedilatildeo inicial de eixos na resposta dinacircmica de
sistemas rotor-mancal Analisa-se a vibraccedilatildeo siacutencrona provocada pela deformaccedilatildeo inicial e pelo
desbalanceamento sendo incluiacutedo o efeito giroscoacutepico O modelo de elementos finitos tem dois
graus de liberdade correspondentes aos deslocamentos transversais e o rotor tem trecircs discos
riacutegidos e dois mancais Satildeo simuladas algumas configuraccedilotildees de rotor incluindo mancais
hidrodinacircmicos de sapatas moacuteveis Os resultados mostram que o efeito da deformaccedilatildeo inicial
influencia fortemente a resposta siacutencrona em baixas velocidades enquanto o efeito do
desbalanceamento afeta em altas velocidades de rotaccedilatildeo Eacute observado ainda que a presenccedila de
ambos efeitos pode causar dificuldade no diagnoacutestico de vibraccedilotildees de maacutequinas rotativas Os
autores usam coeficientes de forccedila preacute-calculados por outros autores natildeo apresentando a
modelagem dos mancais Natildeo fica claro tambeacutem o tipo de elemento finito usado no modelo do
eixo
Guo e Kirk (2003) fazem um estudo dos limites de estabilidade de um sistema rotor-mancal
hidrodinacircmico baseado no modelo de Jeffcott (1919) incluindo o amortecimento externo e um
estudo para rotores verticais e horizontais Os autores destacam a forte influecircncia que o
amortecimento externo tem na anaacutelise da estabilidade do sistema rotativo Eacute proposto um
meacutetodo analiacutetico que faz vaacuterias consideraccedilotildees que simplificam as equaccedilotildees de movimento do
sistema por exemplo rotor vertical com operaccedilatildeo centrada em mancais curtos idecircnticos Eacute
mostrado que existe uma velocidade limite (threshold speed) para o rotor vertical enquanto para
o rotor horizontal haacute uma regiatildeo de operaccedilatildeo estaacutevel limitada entre duas regiotildees instaacuteveis Neste
caso do rotor horizontal eacute conduzido um procedimento numeacuterico sem as hipoacuteteses
simplificadoras usadas no modelo vertical usando anaacutelise de autovalores obtidos das equaccedilotildees
matriciais de movimento do sistema Observa-se que no rotor horizontal o efeito do
amortecimento externo aumenta a regiatildeo de operaccedilatildeo estaacutevel do sistema e para alguns valores
mais elevados de amortecimento externo eacute possiacutevel eliminar a regiatildeo de instabilidade
garantindo operaccedilatildeo estaacutevel para o sistema rotativo em toda faixa de velocidade de rotaccedilatildeo
analisada Guo e Kirk (2003) incluem ainda em seu trabalho uma anaacutelise do modelo extendido
29
do rotor de Jeffcott onde satildeo consideradas as massas dos mancais nas extremidades do rotor
Conclui-se que ao se incluiacuterem as massas dos mancais surge uma outra velocidade
limite(threshold speed) E mesmo que vaacuterias regiotildees de instabilidade possam ser reduzidas ou
eliminadas com o aumento do amortecimento externo este amortecimento tem pouco efeito nas
uacuteltimas velocidades de instabilidade (threshold speed of instability) uma vez que estas
velocidades dependem da massa do mancal Assim a melhor forma de se obter amplas faixas de
operaccedilatildeo estaacutevel eacute combinar-se os efeitos do amortecimento externo ao das massas dos mancais
obtendo-se uma combinaccedilatildeo adequada no dimensionamento do rotor de Jeffcott
Em (GUO e KIRK 2003b) a anaacutelise eacute ampliada incluindo-se o efeito da flexibilidade dos
mancais onde mostra-se como melhorar a resposta dinacircmica e a resposta desbalanceada do
sistema assim como a estabilidade e a transmissatildeo de forccedilas Novamente satildeo consideradas as
mesmas hipoacuteteses simplificadoras que restringem bastante a abrangecircncia dos resultados obtidos
Os proacuteprios autores admitem que os resultados satildeo vaacutelidos para um caso especial Nos
resultados satildeo apresentadas as regiotildees de estabilidade e a influecircncia do amortecimento e da
rigidez dos mancais na estabilidade do sistema Comenta-se ainda que os coeficientes de forccedila
de mancais hidrodinacircmicos tecircm natureza natildeo-linear e que cabe um estudo mais detalhado sobre
o efeito desta natildeo-linearidade
Balantrapu (2004) apresenta um procedimento computacional de identificaccedilatildeo de paracircmetros
para identificar os coeficientes de forccedila de mancais em um sistema rotativo com eixo flexiacutevel
atraveacutes da resposta desbalanceada medida proacuteximo aos mancais Eacute proposta tambeacutem uma
formulaccedilatildeo que permite usar o procedimento de identificaccedilatildeo a partir de mediccedilotildees feitas longe
dos mancais em especial no ponto meacutedio entre eles O eixo flexiacutevel eacute modelado por elementos
finitos incluindo-se os efeitos de ineacutercia rotatoacuteria e efeito giroscoacutepico e para os mancais satildeo
considerados coeficientes de forccedila lineares Satildeo apresentados vaacuterios exemplos incluindo
mancais hidrodinacircmicos de dois loacutebulos Observa-se que a massa desbalanceada necessaacuteria para
se fazer as mediccedilotildees do deslocamento do eixo assim como a exatidatildeo dos resultados de
mediccedilatildeo influenciam os resultados obtidos para os coeficientes de forccedila Outro fator que
influencia mais consideravelmente eacute a rigidez do eixo que tem grande influecircncia nas amplitudes
de vibraccedilatildeo medidas no sistema
Kalita e Kakoty (2004) destacam o meacutetodo de elementos finitos como o mais popular para
anaacutelise de vibraccedilatildeo de sistemas rotor-mancal Eacute estudado o comportamento dinacircmico de um
30
rotor apoiado em mancais hidrodinacircmicos onde usam-se elementos de viga de Timoshenko para
o eixo que inclui os efeitos de ineacutercia rotatoacuteria efeito giroscoacutepico amortecimento interno e
deformaccedilatildeo por cisalhamento O modelo tem 4 graus de liberdade dois deslocamentos
transversais e duas rotaccedilotildees Satildeo apresentados os diagramas de Campbell para diferentes valores
de coeficientes de forccedila dos mancais incluindo anaacutelise da influecircncia dos coeficientes de
amortecimento e de rigidez cruzada dos mancais nas velocidades de instabilidade Eacute mostrada
ainda a limitaccedilatildeo do uso da aproximaccedilatildeo de mancais curtos no caacutelculo dos coeficientes
dinacircmicos de mancais hidrodinacircmicos
Bode e Menezes (2005) apresentam uma anaacutelise dinacircmica de um sistema rotor-mancal pelo
meacutetodo de elementos finitos onde satildeo detalhadas todas etapas da modelagem do sistema O
eixo flexiacutevel eacute excitado por forccedilas de desbalanceamento e apoiado nas extremidades por mancais
hidrodinacircmicos cujas forccedilas de reaccedilatildeo satildeo produzidas pela pressatildeo dinacircmica do lubrificante Os
coeficientes de rigidez e de amortecimento dos mancais satildeo obtidos atraveacutes da soluccedilatildeo numeacuterica
da equaccedilatildeo de Reynolds Para modelar o eixo flexiacutevel eacute usada a teoria de vigas de Timoshenko
incluindo o efeito giroscoacutepico e de cisalhamento Adota-se o meacutetodo de elementos finitos com
elementos de viga com 4 graus de liberdade em cada noacute 2 deslocamentos e 2 velocidades As
equaccedilotildees de movimento satildeo obtidas pelas equaccedilotildees de Lagrange descrevendo o movimento em
dois planos A resposta no tempo eacute obtida pelo meacutetodo de Newmark (RAO 1995) integrando-se
numericamente as equaccedilotildees de movimento Os autores obtecircm uma soluccedilatildeo numeacuterica que
permite descrever as condiccedilotildees dinacircmicas de estabilidade do sistema rotor-mancal
Cheng et al (2008) investigam o comportamento dinacircmico natildeo-linear de um sistema rotor-
mancal-selo apresentando resultados em forma de trajetoacuterias mapas de Poincareacute expoentes de
Liapunov espectros de frequecircncia e diagramas de bifurcaccedilatildeo Satildeo destacadas as caracteriacutesticas
natildeo-lineares dos coeficientes de rigidez e de amortecimento de mancais hidrodinacircmicos e de
selos mecacircnicos Consideram-se mancais curtos Para o selo adota-se o modelo natildeo-linear de
Muszynska (1986) O modelo do rotor considera apenas a vibraccedilatildeo transversal desprezando a
vibraccedilatildeo torcional e o efeito giroscoacutepico sendo adotado o modelo de rotor de Jeffcott A soluccedilatildeo
numeacuterica eacute obtida atraveacutes do meacutetodo de Runge-Kutta de quarta ordem seguida de uma anaacutelise
graacutefica do comportamento natildeo-linear do sistema em funccedilatildeo da velocidade de rotaccedilatildeo da
excentricidade da folga no selo e da pressatildeo no selo Os autores enfatizam a modelagem do
selo mas simplificam muito o modelo do eixo O modelo dos mancais eacute limitado a mancais
curtos e a anaacutelise numeacuterica considera apenas um exemplo de mancal
31
Rezvani (2009) faz uma anaacutelise de um sistema rotor mancal com vaacuterios graus de liberdade e
apoios natildeo-lineares Satildeo modelados sistemas apoiados em mancais de rolamento e em suportes
amortecidos (squeeze film dampers) considerando o modelo de mancais curtos Satildeo mostrados
os efeitos do amortecimento e do efeito giroscoacutepico do sistema em sua estabilidade Elhibir
(2009) apresenta um modelo computacional de um alternador afixado em uma viga oca em
balanccedilo apoiada em uma extremidade por dois mancais de rolamento O modelo usa o meacutetodo
de elementos finitos com elementos soacutelidos tetraeacutedricos Eacute analisada a resposta desbalanceada
do sistema e obtidas as frequecircncias naturais e usada anaacutelise modal Satildeo apresentados diversos
resultados numeacutericos e imagens ilustrando as deformaccedilotildees do sistema em cada modo de
vibraccedilatildeo
Karlberg (2010) faz uma anaacutelise dinacircmica de maacutequinas rotativas apoiadas por mancais de
rolamento com folgas O trabalho se destaca pela forma detalhada como eacute analisada a influecircncia
das folgas dos mancais nos seus coeficientes de rigidez proacuteximo da posiccedilatildeo de equiliacutebrio Eacute
observado que as frequecircncias naturais reduzem significativamente com o aumento das folgas
Para o modelo do rotor eacute adotada a teoria de vigas de Bernoulli-Euler usado o modelo de
Jeffcott com disco riacutegido
22 Anaacutelise da estabilidade atraveacutes de problema de autovalor
A anaacutelise da estabilidade de sistemas rotor-mancal pode tambeacutem ser feita atraveacutes do problema
de autovalor Gupta (1974) apresenta uma anaacutelise baseada no problema de autovalores
aplicando equaccedilotildees que consideram o efeito giroscoacutepico amortecido do sistema A formulaccedilatildeo
do problema de autovalor associados a sistemas giroscoacutepicos amortecidos eacute de grande
importacircncia para a determinaccedilatildeo de velocidades criacuteticas e para a anaacutelise de sensibilidade de
paracircmetros em maacutequinas rotativas (PLAUT e HUSEYIN 1972 MEIROVITCH e
RYLAND 1979 LUND 1980 PALAZZOLO et al 1983 RAJAN et al 1986 FARIA e
BARCELLOS 1991 EHRICH 1992 LUND 1994) A equaccedilatildeo do sistema rotor-mancal
flexiacutevel com efeito giroscoacutepico amortecido eacute reescrita na forma de variaacuteveis de estado
(MEIROVITCH1974 MEIROVITCH1980 CHILDS e GRAVISS1982) para a determinaccedilatildeo
dos autovalores complexos
Rao et al (1996) analisam a estabilidade e os autovalores de sistemas rotor-mancal usando a
teacutecnica de elementos finitos e considerando coeficientes distribuiacutedos de forccedila e de
32
amortecimento nos mancais Satildeo consideradas distribuiccedilotildees uniformes e paraboacutelicas para
diferentes tipos de mancais hidrodinacircmicos Os coeficientes distribuiacutedos satildeo obtidos atraveacutes de
uma metodologia que usa o princiacutepio do trabalho virtual (CRAGGS 1993 TAYLOR e
CRAGGS 1994) mas que considera apenas uma distribuiccedilatildeo uniforme ao longo da largura e do
comprimento do mancal Esta consideraccedilatildeo eacute vaacutelida quando o mancal eacute razoavelmente longo
Poreacutem quando eacute curto eacute vaacutelido considerar a distribuiccedilatildeo paraboacutelica (RAO et al1996) Assim
o mesmo princiacutepio do trabalho virtual eacute aplicado desta vez para se obterem as matrizes de
elementos finitos dos coeficientes de forccedila com distribuiccedilatildeo paraboacutelica Estas matrizes satildeo
incluiacutedas nas matrizes do sistema rotor-mancal obtendo-se a equaccedilatildeo de movimento do sistema
em forma matricial
A modelagem do rotor eacute feita usando-se elementos de viga finitos como propostos por Nelson e
McVaugh (1976) incluindo-se o efeito giroscoacutepico e o amortecimento interno Os resultados
satildeo analisados comparando-se os autovalores e frequecircncias naturais do sistema com coeficientes
de rigidez e de amortecimento distribuiacutedos agravequeles obtidos considerando-se os coeficientes de
forccedila concentrados para mancais isotroacutepicos com razatildeo LD=05 e LD=10 Observa-se que
para mancais longos quando os coeficientes de rigidez satildeo baixos (104 a 10
7 Nm) a diferenccedila
entre os resultados para os modelos de coeficientes distribuiacutedos e concentrados eacute despreziacutevel e
entre os modelos de coeficientes distribuiacutedos uniformemente e paraboacutelico tambeacutem eacute pequena
Percebe-se um aumento nas frequecircncias naturais para o modelo de coeficientes distribuiacutedos
somente para valores mais elevados de rigidez Por fim os autores analisam a estabilidade do
sistema rotativo para diferentes tipos de mancais hidrodinacircmicos cujos coeficientes de forccedila satildeo
obtidos de Lund e Thomsen (1978) Conclui-se que as regiotildees de estabilidade mudam entre as
duas formulaccedilotildees O modelo de coeficientes distribuiacutedos fornece regiotildees de estabilidade mais
amplas quando comparado com o modelo de coeficientes concentrados Desta forma o modelo
concentrado eacute mais conservativo do ponto de vista de estabilidade e o modelo distribuiacutedo eacute
mais preciso
Santana (2009) apresenta a anaacutelise da resposta complexa de um sistema rotor-mancais-fundaccedilatildeo
onde estuda a influecircncia do grau de anisotropia dos mancais e da estrutura de suporte na resposta
do modo retroacutegrado de precessatildeo Eacute formulado tambeacutem um problema de autovalores poreacutem
associado agrave anaacutelise modal adaptada para sistemas rotativos (NORDMANN 1982) A anaacutelise dos
modos de vibraccedilatildeo associados ao eixo rotativo e aos mancais de apoio fornece importantes
dados para o desenvolvimento de meacutetodos computacionais de anaacutelise de vibraccedilatildeo teacutecnicas de
33
balanceamento e de monitoramento de maacutequinas de alta rotaccedilatildeo (BUSSE et al 1980 BOEDO e
BOOKER 1997) O mesmo problema pode ainda incluir as propriedades dissipativas do sistema
(MEIROVITCH e RYLAND 1979 PALAZZOLO et al 1983 FARIA e BARCELLOS 1991)
23 Mancais hidrodinacircmicos
A literatura apresenta diversos estudos sobre o caacutelculo dos coeficientes de forccedila nos mancais
hidrodinacircmicos Ocvirk (1952) propocircs a soluccedilatildeo da equaccedilatildeo de Reynolds para mancais curtos
desprezando o gradiente circunferencial de pressatildeo Pinkus (1987) faz uma revisatildeo histoacuterica da
teoria de lubrificaccedilatildeo hidrodinacircmica e da aplicaccedilatildeo da equaccedilatildeo de Reynolds em tribologia desde
suas origens ateacute o estado atual Lund (1978 1987) faz uma revisatildeo do conceito de coeficientes
dinacircmicos e aplica o meacutetodo de perturbaccedilatildeo infinitesimal em torno da posiccedilatildeo de equiliacutebrio
para calcular os coeficientes de rigidez e de amortecimento de mancais hidrodinacircmicos Lund
(1987) acrescenta que esta perturbaccedilatildeo em torno da posiccedilatildeo de equiliacutebrio eacute vaacutelida para ateacute 40
da folga do mancal
Childs (1993) e Vance (1988) apresentam em seus livros diferentes modelos de mancais
hidrodinacircmicos e obtecircm os valores dos seus coeficientes dinacircmicos Os coeficientes satildeo obtidos
a partir de caacutelculos em torno da posiccedilatildeo de equiliacutebrio do eixo no mancal Rajalingham e Prabhu
(1987) analisam a influecircncia da temperatura nas caracteriacutesticas fiacutesicas dos mancais
hidrodinacircmicos e concluem que a variaccedilatildeo da temperatura do oacuteleo na direccedilatildeo axial pode ser
desprezada sem afetar a precisatildeo dos resultados hidrodinacircmicos para o filme de oacuteleo
Choy et al (1991) calculam os coeficientes de rigidez natildeo-lineares dos mancais para
perturbaccedilotildees de deslocamento em vaacuterios locais em torno da posiccedilatildeo de equiliacutebrio Eles mostram
que para deslocamentos distantes da posiccedilatildeo de equiliacutebrio a natildeo-linearidade das forccedilas do filme
fluido eacute significante e pode ser modelada por coeficientes de forccedila e de amortecimento de
ordem superior Choy et al (1992) analisam o efeito natildeo-linear no comportamento dinacircmico de
mancais hidrodinacircmicos quando sujeitos a diversas condiccedilotildees operacionais tais como alta e
baixa excentricidade altas velocidades desalinhamento
Zhang e Luo (1991) utilizam teacutecnicas de ajuste de curvas usando dados experimentais da
resposta em frequecircncia para identificaccedilatildeo dos coeficientes de rigidez e amortecimento de
mancais hidrodinacircmicos Capone et al (1994) propotildeem uma soluccedilatildeo analiacutetica aproximada para
34
a distribuiccedilatildeo de pressatildeo do filme de oacuteleo em um mancal de comprimento finito Satildeo
apresentadas aproximaccedilotildees de primeira e segunda ordem com diversas relaccedilotildees de largura e
diacircmetros sendo que o modelo de segunda ordem mostra uma boa aproximaccedilatildeo em relaccedilatildeo o
modelo de mancal finito calculado numericamente
Qiu e Tieu (1996) calculam os coeficientes dinacircmicos em diferentes valores de perturbaccedilatildeo Eles
concluem que as perturbaccedilotildees nas velocidades e deslocamentos devem estar entre 5 e 4
respectivamente para se garantir uma diferenccedila de 25 entre os valores de coeficientes obtidos
pelos meacutetodos de perturbaccedilatildeo finita e infinita Furukawa et al (1996) estudam os coeficientes de
forccedila nos mancais hidrodinacircmicos e concluem que a natildeo linearidade do filme fluido produz
grandes diferenccedilas entre os valores calculados e os medidos experimentalmente em especial na
regiatildeo de alta excentricidade Chu et al (1998) analisam a natildeo-linearidade do filme fluido e
observam que os coeficientes lineares dos mancais hidrodinacircmicos modelados satildeo vaacutelidos para
perturbaccedilotildees de deslocamento da ordem de 006
Bachschmid e Vania (2002) observam vibraccedilotildees em uma frequecircncia duas vezes maior que a
rotaccedilatildeo da maacutequina na presenccedila de efeitos natildeo-lineares em mancais hidrodinacircmicos Os autores
destacam a importacircncia de se monitorar o segundo harmocircnico para se diagnosticarem falhas em
turbo-maacutequinas Sawicki e Rao (2004) analisam o caraacuteter natildeo-linear dos coeficientes de forccedila de
mancais hidrodinacircmicos para diferentes nuacutemeros de Sommerfeld (SOMMERFELD 1904) e
razotildees de esbeltez do mancal LD Satildeo apresentadas as diferentes formas de se aplicar o meacutetodo
de perturbaccedilatildeo para a obtenccedilatildeo dos coeficientes de forccedila lineares e natildeo-lineares Os autores
destacam ainda que os coeficientes de forccedila lineares apresentam precisatildeo aceitaacutevel ateacute uma
excentricidade de 04 vezes o valor da folga do mancal (LUND 1987) Hirani (2005) aplica
teacutecnicas de algoritmos geneacuteticos na modelagem de lubrificaccedilatildeo hidrodinacircmica para o projeto
otimizado de mancais
Couto (2006) faz um estudo teoacuterico-experimental que investiga o comportamento de mancais
radiais hidrodinacircmicos sujeitos a carregamentos estaacuteticos dinacircmicos e a desalinhamentos Eacute
aplicado o meacutetodo de volumes finitos para a integraccedilatildeo da equaccedilatildeo de Reynolds que governa o
problema de lubrificaccedilatildeo Faria et al (2006) apresentam um procedimento baseado no meacutetodo
de elementos finitos para a soluccedilatildeo das equaccedilotildees de lubrificaccedilatildeo em mancais radiais ciliacutendricos
hidrodinacircmicos obtidas a partir da equaccedilatildeo claacutessica de Reynolds Os resultados mostram as
limitaccedilotildees da aplicabilidade da teoria de mancais curtos especialmente quando operam com
35
grandes excentricidades Mostram-se tambeacutem os limites da aplicaccedilatildeo da teoria de mancais
longos (HAMROCK 1994) onde LD=2
Yan et al (2010) apresentam um modelo analiacutetico e um meacutetodo de caacutelculo dos coeficientes de
rigidez e de amortecimento de mancais hidrodinacircmicos de sapata moacutevel e fazem uma
comparaccedilatildeo com resultados experimentais da literatura (KOSTRZEWSKY e FLACK 1990)
Seu modelo inclui um rotor riacutegido simeacutetrico apoiado em dois mancais de sapata moacutevel idecircnticos
de cinco sapatas cada Eacute usado o meacutetodo de NewtonndashRaphson para se calcular a posiccedilatildeo de
equiliacutebrio do eixo e das paacutes Apresenta-se tambeacutem um modelo reduzido que se mostra eficiente
para o caacutelculo dos coeficientes dinacircmicos mas que natildeo apresenta bons resultados para a anaacutelise
de estabilidade e das frequecircncias naturais amortecidas Observa-se nos resultados que o
momento de ineacutercia das paacutes a velocidade e o fator de preacute-carga tecircm grande influecircncia na
estabilidade do sistema e que a faixa de operaccedilatildeo estaacutevel pode ser aumentada ao se aumentar o
fator de preacute-carga
24 Sistemas rotativos com elementos adicionais
A anaacutelise de estabilidade de sistemas mancal-rotor eacute bastante variada na literatura especializada
Eacute comum encontrar trabalhos cuja originalidade recai na inclusatildeo de alguns paracircmetros ou
elementos especiacuteficos no conjunto como mancais hiacutebridos mancais de materiais viscoelaacutesticos
acoplamentos selos mecacircnicos
Um trabalho a destacar sobre a anaacutelise de estabilidade do sistema rotor-mancal de mancais
hiacutebridos eacute o de Gomez-Mancilla et al (2005) onde eacute modelado um sistema composto por um
rotor de Jeffcott apoiado em mancais hidrodinacircmicos ciliacutendricos hiacutebridos Satildeo considerados
ambos modelos riacutegido e flexiacutevel de Jeffcott e comparados os niacuteveis de vibraccedilatildeo e a estabilidade
do sistema quando sujeito a diferentes niacuteveis de pressatildeo de alimentaccedilatildeo do lubrificante nos
mancais Os autores mostram como se pode melhorar a estabilidade do sistema com o aumento
da pressatildeo de alimentaccedilatildeo provocando uma reduccedilatildeo no acircngulo de posiccedilatildeo e um aumento da
excentricidade nos sistemas modelados que inclui mancais hidrodinacircmicos longos ciliacutendricos
Este efeito tambeacutem favorece a faixa de operaccedilatildeo estaacutevel do sistema elevando a velocidade
limite de operaccedilatildeo estaacutevel (threshold speed of instability) Os resultados obtidos mostram que o
efeito da pressatildeo de alimentaccedilatildeo nos mancais na estabilidade do sistema eacute consideraacutevel para
36
rotores riacutegidos ou com elevada rigidez Agrave medida em que a rigidez reduz natildeo se percebe muita
variaccedilatildeo na estabilidade com o aumento da pressatildeo de alimentaccedilatildeo Outro resultado importante
deste trabalho eacute que o aumento da pressatildeo de alimentaccedilatildeo do lubrificante natildeo eacute interessante
quando o sistema estaacute cruzando uma velocidade criacutetica Apenas em casos particulares eacute possiacutevel
obter alguma reduccedilatildeo na amplitude de vibraccedilatildeo e mesmo assim quando a velocidade de
operaccedilatildeo estiver fora da faixa de velocidades criacuteticas Portanto um sistema de controle ativo de
pressatildeo eacute recomendado para se obter os melhores resultados em funccedilatildeo dos paracircmetros
operacionais do sistema rotativo Comenta-se tambeacutem que outros modelos de mancais como os
eliacutepticos de muacuteltiplos loacutebulos de sapata moacutevel satildeo intrinsecamente mais estaacuteveis do que os
mancais ciliacutendricos analisados no trabalho
A anaacutelise de estabilidade do sistema com mancais de materiais viscoelaacutesticos eacute apresentada em
Espiacutendola e Floody (1999) Saldarriaga (2007) e Bavastri et al(2008) Tapia e Cavalca (2002) e
Tadeo (2003) analisam os efeitos de alguns modelos de acoplamentos flexiacuteveis e riacutegidos
inserindo-os em modelos de elementos finitos do sistema rotativos Al-Hussain (2003) analisa o
efeito do desalinhamento angular na estabilidade de dois rotores riacutegidos ligados por um
acoplamento flexiacutevel O modelo contempla ainda um disco riacutegido em cada rotor que se apoacuteia
em mancais hidrodinacircmicos O autor apresenta as regiotildees de estabilidade do sistema e sua
relaccedilatildeo com a rigidez do acoplamento e com o acircngulo de desalinhamento
Wang et al (2010) fazem uma anaacutelise de um compressor centriacutefugo de alta velocidade com
mancais hidrodinacircmicos a ar com selo mecacircnico de labirinto Eacute usado o modelo de rotor riacutegido
de Jeffcott para modelar o eixo e o disco que representam o compressor aleacutem do modelo de
Muszynska (1986) para as forccedilas do selo
Faria e Miranda (2012) apresentam um procedimento de elementos finitos aplicado na anaacutelise
dos paracircmetros de desempenho de selos a gaacutes Lavainne (2003) e Vincent (2003) fazem uma
anaacutelise determiniacutestica e probabiliacutestica da sensibilidade de desempenho de um compressor agraves
variaccedilotildees geomeacutetricas das suas paacutes Ambos apresentam os resultados em termos de alteraccedilotildees na
eficiecircncia de compressatildeo do equipamento
Lazarus et al (2010) fazem uma anaacutelise dinacircmica da vibraccedilatildeo em maacutequinas rotativas
assimeacutetricas utilizando elementos finitos tridimensionais (3D) baseando-se na teoria modal
Satildeo incluiacutedos no modelo um estator e um acoplamento permitindo uma anaacutelise detalhada da
estabilidade do sistema e sua relaccedilatildeo com os autovalores Os resultados teoacutericos satildeo comparados
37
com mediccedilotildees experimentais realizadas em uma bancada de testes com um rotor assimeacutetrico
apoiado em mancais anisotroacutepicos
25 Mancais eliacutepticos
A literatura apresenta diversos trabalhos sobre modelagem de mancais ciliacutendricos mas haacute
poucos trabalhos que investigam detalhadamente os mancais eliacutepticos (SINGH e GUPTA1982)
As primeiras publicaccedilotildees sobre mancais eliacutepticos que se destacam satildeo Pinkus (1956 1956b)
onde o autor apresenta uma anaacutelise detalhada sobre mancais eliacutepticos incluindo paracircmetros
como capacidade de carga coeficiente de atrito e vazatildeo para diferentes valores de
excentricidade fator de carga e razatildeo LD Outro trabalho importante na eacutepoca foi apresentado
por Wilcock (1961) que analisa vaacuterios tipos de mancais deslocados ortogonalmente incluindo
mancais eliacutepticos Seu trabalho eacute limitado pelo fato de natildeo terem sido considerados os
coeficientes de amortecimento
Sternlicht (1964) apresenta uma anaacutelise de regime permanente para mancais eliacutepticos usando
coeficientes de rigidez e de amortecimento de mancais eliacutepticos com fatores geomeacutetricos
variados Middleton (1973) apresenta diagramas de capacidade de carga acircngulo de atitude e
coeficientes de rigidez e de amortecimento para mancais eliacutepticos com fatores de 06 e LD=05
Singh (1978) faz uma anaacutelise estaacutetica e dinacircmica de mancais eliacutepticos com LD=1 considerando
rotores riacutegidos e flexiacuteveis Kumar et al (1980) apresentam dados detalhados para o projeto de
mancais hidrodinacircmicos eliacutepticos (dois loacutebulos) Eacute usado o meacutetodo de perturbaccedilatildeo linear para o
caacutelculo dos coeficientes do mancal aplicando-se a equaccedilatildeo de Reynolds para filme fluido com
algumas simplificaccedilotildees nas condiccedilotildees de contorno Satildeo apresentados resultados para os
coeficientes de rigidez e de amortecimento do mancal aleacutem de dados sobre paracircmetro de atrito
de aumento de temperatura e regiatildeo de equiliacutebrio
Singh e Gupta (1982) apresentam um estudo analiacutetico dos efeitos do fator de carga da razatildeo LD
e da flexibilidade do eixo nos limites de estabilidade de mancais eliacutepticos e destacam que os
mancais eliacutepticos satildeo adequados para rotores riacutegidos e moderadamente flexiacuteveis Neste trabalho
os autores aplicam a equaccedilatildeo de Reynolds a cada loacutebulo do mancal eliacuteptico e resolvem a
equaccedilatildeo separadamente por loacutebulo usando o meacutetodo de diferenccedilas finitas Os resultados satildeo
vaacutelidos para mancais alinhados onde o perfil de pressotildees eacute simeacutetrico Satildeo levados em
38
consideraccedilatildeo todos os coeficientes de forccedila dos mancais isto eacute os coeficientes de rigidez e de
amortecimento incluindo os coeficientes cruzados
Zhang et al (1999) analisam os efeitos da natildeo-linearidade das forccedilas do filme fluido na resposta
desbalanceada de um rotor de Jeffcott apoiado em mancais eliacutepticos Eacute destacado o caraacuteter natildeo-
linear das forccedilas do filme fluido Os autores comparam os resultados da resposta desbalanceada
gerada pela teoria linear e natildeo-linear para avaliar a aplicabilidade da teoria linear Observa-se a
grande influecircncia do desbalanceamento nos resultados comparados mostrando a importacircncia de
se considerar as natildeo-linearidades quando o desbalanceamento do sistema eacute elevado
Nas uacuteltimas deacutecadas tem-se publicado pouco sobre mancais eliacutepticos e os trabalhos recentes que
merecem destaque satildeo comentados a seguir
Shen et al(2006) apresentam um modelo raacutepido e preciso que calcula as forccedilas de um mancal
hidrodinacircmico usando o meacutetodo variacional O modelo analisa o comportamento dinacircmico natildeo-
linear de um rotor riacutegido apoiado em mancais eliacutepticos considerando tanto o rotor balanceado
como o natildeo-balanceado Os autores fazem uma revisatildeo histoacuterica dos trabalhos que investigam
este caraacuteter aperioacutedico e caoacutetico da vibraccedilatildeo em sistemas dinacircmicos de alta rotaccedilatildeo onde se
comenta ainda que os coeficientes dinacircmicos lineares trazem informaccedilotildees de estabilidade
vaacutelidas apenas para rotores balanceados Satildeo destacados os meacutetodos numeacutericos de elementos
finitos e de diferenccedilas finitas como os mais precisos mas ao mesmo tempo os que mais exigem
recursos computacionais e tempo de processamento Desta forma os autores propotildeem um novo
modelo numeacuterico para calcular as forccedilas do filme fluido para investigar a dinacircmica natildeo-linear
de um sistema rotor-mancal O mancal modelado eacute formado por dois loacutebulos de 150deg cada e
considera-se apenas o movimento radial do rotor O novo modelo proposto baseia-se na teoria
variacional (ROHDE e MALLISTER 1975) gerando um problema de minimizaccedilatildeo de energia
o que reduz o problema bidimensional para unidimensional reduzindo consideravelmente o
custo computacional Como as forccedilas do filme fluido satildeo calculadas para cada loacutebulo o meacutetodo
proposto eacute eficiente tanto para mancais ciliacutendricos quanto para mancais de vaacuterios loacutebulos
incluindo os mancais eliacutepticos O meacutetodo eacute vaacutelido natildeo apenas para mancais curtos e longos mas
tambeacutem para mancais finitos Satildeo apresentados resultados numeacutericos e graacuteficos que mostram
oacuterbitas ciclos limites diagramas de bifurcaccedilatildeo (HOLLIS e TAYLOR 1986) e mapas de
Poincareacute
39
Yan-Jun et al(2006) analisam o comportamento dinacircmico natildeo-linear de um rotor apoiado em
mancais hidrodinacircmicos finitos incluindo mancais eliacutepticos Para o caacutelculo dos coeficientes de
forccedila dos mancais usa-se o meacutetodo de elementos finitos com uma abordagem variacional que
permite reduzir o custo computacional e melhorar a exatidatildeo numeacuterica do meacutetodo segundo os
autores Satildeo considerados os efeitos natildeo-lineares das forccedilas produzidas pelo filme fluido e sua
influecircncia na natildeo-linearidade do movimento do sistema Aplica-se o meacutetodo de prediccedilatildeo e
correccedilatildeo juntamente com o meacutetodo de Newton-Raphson para se calcular a posiccedilatildeo de equiliacutebrio
e as velocidades criacuteticas A limitaccedilatildeo do modelo estaacute na consideraccedilatildeo de eixo riacutegido e sua
modelagem natildeo eacute detalhada pelos autores
Correia (2007) apresenta uma anaacutelise de desempenho de mancais hidrodinacircmicos eliacutepticos
usando o meacutetodo de elementos finitos Satildeo obtidos os coeficientes de rigidez e de
amortecimento para diversas condiccedilotildees de trabalho aleacutem de obter curvas de caracteriacutesticas de
desempenho estaacutetico e dinacircmico tais como capacidade de carga e coeficientes dinacircmicos de
forccedila em funccedilatildeo de paracircmetros operacionais e do nuacutemero de Sommerfeld O autor destaca que
para um nuacutemero de Sommerfeld alto os mancais ciliacutendricos satildeo inadequados
Raghunandana (2007) propotildee um meacutetodo inverso para se calcular os coeficientes de forccedila e de
amortecimento de mancais eliacutepticos a partir de um banco de dados gerado para uma certa razatildeo
de excentricidade e eacute feito um ajuste de curva para gerar uma funccedilatildeo contiacutenua destes dados Eacute
apresentada a equaccedilatildeo de Reynolds modificada (DIEN e ELROD 1983) que considera a
variaccedilatildeo da viscosidade do fluido em funccedilatildeo da pressatildeo isto eacute fluido natildeo-newtoniano A
equaccedilatildeo eacute adimensionalizada e resolvida numericamente usando o meacutetodo de diferenccedilas finitas
considerando o regime permanente e condiccedilotildees de contorno simplificadoras
40
3 METODOLOGIA
Nesse capiacutetulo eacute apresentada a metodologia adotada na implementaccedilatildeo do procedimento
computacional que permite obter os resultados do comportamento dinacircmico de sistemas rotor-
mancal hidrodinacircmico Inicialmente apresenta-se a formulaccedilatildeo por elementos finitos do eixo
rotativo utilizando-se a teoria de vigas de Timoshenko Em seguida eacute apresentada a descriccedilatildeo
do problema de mancal hidrodinacircmico radial eliacuteptico e as equaccedilotildees de lubrificaccedilatildeo da Teoria da
Lubrificaccedilatildeo que permitem obter a formulaccedilatildeo por elementos finitos dos coeficientes de forccedila
destes mancais Posteriormente eacute descrito o procedimento para se modelar o sistema rotor-
mancal hidrodinacircmico por elementos finitos obtendo-se a equaccedilatildeo do movimento Apresenta-se
o meacutetodo numeacuterico de integraccedilatildeo no tempo adotado para se obter a soluccedilatildeo numeacuterica da
equaccedilatildeo do movimento do sistema Finalmente eacute apresentado um diagrama descrevendo as
principais etapas do procedimento computacional completo
O modelo do sistema rotor-mancal eacute ilustrado esquematicamente na Figura 31 onde observa-se
um eixo circular flexiacutevel apoiado nas extremidades e com um disco massivo acoplado Os
apoios satildeo representados pelos coeficientes de rigidez K e de amortecimento C dos mancais
Figura 31 ndash Sistema rotor-mancal
Os modelos adotados para o rotor flexiacutevel e para os mancais hidrodinacircmicos ciliacutendricos e
41
eliacutepticos satildeo baseados em teorias que apresentam algumas hipoacuteteses simplificadoras Estas
hipoacuteteses satildeo listadas a seguir
i) Modelo do Eixo flexiacutevel
natildeo inclui efeitos de torccedilatildeo ou de amortecimento interno
considera o eixo homogecircneo isotroacutepico e inicialmente alinhado
carregamento transversal sem carga axial
desconsiderado o movimento axial das seccedilotildees transversais
ii) Modelo do disco massivo
considera o disco riacutegido e homogecircneo
a linha de centro do disco coincide com a linha de centro do eixo (condiccedilatildeo inicial)
iii) Modelo dos mancais hidrodinacircmicos
considera mancais de geometria fixa com perfil ciliacutendrico ou eliacuteptico
a linha de centro coincide com a linha de centro do eixo (condiccedilatildeo inicial)
Filme fluido
- escoamento em regime laminar bidimensional nas direccedilotildees axial e circunferencial
- fluido newtoniano isoteacutermico isoviscoso incompressiacutevel
- desconsiderada a ineacutercia do fluido
iv) Modelo do sistema rotor-mancal
Desconsiderados os efeitos de vibraccedilatildeo provocados por desalinhamento de montagem
folgas roccedilamento rompimento do filme fluido cavitaccedilatildeo
31 Modelagem do Rotor Flexiacutevel
O modelo do rotor flexiacutevel implementado neste trabalho adota o meacutetodo de elementos finitos
(MEF) atraveacutes de elementos de eixo (NELSON 1980) de Timoshenko Nelson (1980) utiliza a
teoria de vigas de Timoshenko para obter as equaccedilotildees de equiliacutebrio para um eixo circular
flexiacutevel suportado em apoios elaacutesticos considerando o efeito do cisalhamento momento
giroscoacutepico e ineacutercia rotatoacuteria Os detalhes sobre a teoria de vigas de Euler-Bernoulli Rayleigh
e Timoshenko satildeo apresentados no Anexo A O desenvolvimento da formulaccedilatildeo atraveacutes de
42
elementos finitos eacute apresentado a seguir e as matrizes de elementos finitos obtidas por esta
formulaccedilatildeo satildeo listadas no Anexo C Considere um elemento finito de comprimento l com oito
graus de liberdade (Figura 32)
Figura 32 ndash Representaccedilatildeo de um elemento finito do eixo
A variaacutevel q representa o vetor deslocamento generalizado onde q1 e q2 representam o
movimento de translaccedilatildeo de um noacute do elemento finito nas direccedilotildees dos eixos de coordenadas
retangulares enquanto q3 e q4 representam as rotaccedilotildees em torno dos eixos de coordenadas As
demais componentes satildeo anaacutelogas representando os mesmos movimentos para o noacute oposto
Para representar a translaccedilatildeo e a rotaccedilatildeo de uma seccedilatildeo qualquer do elemento definem-se (VW)
como o deslocamento linear do centro da seccedilatildeo do elemento onde satildeo incluiacutedas as contribuiccedilotildees
da flexatildeo (Vf Wf) e do cisalhamento (VcWc) Aplicam-se funccedilotildees de interpolaccedilatildeo claacutessicas para
vigas de Timoshenko na flexatildeo (ANEXO B)
onde
43
e as funccedilotildees de interpolaccedilatildeo i=1234 representam os modos de deslocamentos sendo
que cada funccedilatildeo estaacute associada ao deslocamento unitaacuterio de uma das coordenadas com todas as
demais coordenadas com deslocamento restringido a zero [D] e [E] representam as matrizes das
funccedilotildees de interpolaccedilatildeo de deslocamentos lineares e de deslocamentos angulares
respectivamente Para se considerar os efeitos de cisalhamento transversal considera-se o eixo
com seccedilatildeo transversal circular e o fator de forma do cisalhamento transversal meacutedio pode ser
determinado pela expressatildeo (COUPER 1966)
onde eacute o coeficiente de Poisson
Aplicando-se o Princiacutepio de Hamilton obteacutem-se as equaccedilotildees do movimento de um elemento
finito do eixo Fazendo-se a primeira variaccedilatildeo funcional
onde T V e representam respectivamente a energia cineacutetica a energia potencial elaacutestica e o
trabalho das forccedilas externas obeacutem-se a relaccedilatildeo
A energia cineacutetica do elemento considera as parcelas de translaccedilatildeo e de rotaccedilatildeo do movimento
onde l eacute o comprimento do elemento M representa a massa por unidade de comprimento Idm eacute o
momento diametral meacutedio de ineacutercia de massa por unidade de comprimento Ip eacute o momento
polar de ineacutercia por unidade de comprimento eacute a velocidade de rotaccedilatildeo do rotor
A energia de deformaccedilatildeo elaacutestica devido agrave flexatildeo e ao cisalhamento eacute descrita como
44
onde Vf e Wf satildeo as contribuiccedilotildees da flexatildeo no deslocamento linear do centro da seccedilatildeo
transversal do elemento Vc e Wc satildeo as contribuiccedilotildees do cisalhamento neste deslocamento Kx
e Ky satildeo os coeficientes de cisalhamento E e G satildeo os moacutedulos de elasticidade longitudinal e
transversal Iy e Iz satildeo os momentos de ineacutercia de aacuterea A eacute a aacuterea da seccedilatildeo transversal O sinal
de apoacutestrofo indica diferenciaccedilatildeo em relaccedilatildeo agrave posiccedilatildeo
As equaccedilotildees do movimento satildeo obtidas pelo Princiacutepio de Hamilton atraveacutes da relaccedilatildeo
onde
eacute o trabalho virtual das forccedilas externas e Fe eacute o vetor forccedila generalizada
Substituindo-se as funccedilotildees de interpolaccedilatildeo (ANEXO B) nas expressotildees da energia de
deformaccedilatildeo elaacutestica e de energia cineacutetica do elemento leva agraves matrizes de elementos finitos
(ANEXO C) Uma vez obtidas as matrizes do sistema a equaccedilatildeo do movimento obtida pela
aplicaccedilatildeo do Princiacutepio de Hamilton teraacute a forma
onde [Me] [N
e] [G
e] satildeo as matrizes locais da ineacutercia de translaccedilatildeo rotaccedilatildeo e de efeito
giroscoacutepico respectivamente Para o modelo do rotor flexiacutevel composto pelo eixo flexiacutevel e o
disco massivo riacutegido (Figura 31) basta usar as propriedades geomeacutetricas do disco nas matrizes
de ineacutercia [Me] e [N
e] e de efeito giroscoacutepico [G
e] no elemento correspondente agrave posiccedilatildeo do
disco no rotor
32 Modelagem do Mancal Radial Eliacuteptico
A Figura 33 apresenta de maneira esquemaacutetica um mancal hidrodinacircmico eliacuteptico e seus
paracircmetros geomeacutetricos
45
Figura 33 ndash Desenho esquemaacutetico do mancal eliacuteptico e seus paracircmetros geomeacutetricos
O munhatildeo eacute a parte rotativa do mancal normalmente corresponde ao proacuteprio eixo no trecho
apoiado no mancal O tamanho do mancal eacute definido pelo comprimento L e pelo diacircmetro D O
centro do munhatildeo estaacute na interseccedilatildeo das linhas traccedilo-ponto e o centro do mancal estaacute na
interseccedilatildeo das linhas pontilhadas A excentricidade do mancal eacute definida como a distacircncia entre
o centro do mancal e o centro do munhatildeo representada por e A folga radial do mancal definida
como a diferenccedila entre o raio do mancal e o raio do munhatildeo eacute representada por c (Figura 34) A
razatildeo de excentricidade eacute o adimensional definido como podendo variar de zero a um
O acircngulo de posiccedilatildeo do mancal pode ser calculado pela expressatildeo onde
Fy e Fx satildeo respectivamente as componentes vertical e horizontal da forccedila de reaccedilatildeo F do
mancal gerada pela accedilatildeo hidrodinacircmica do filme fluido O mancal radial de perfil eliacuteptico ou
―mancal eliacuteptico possui um perfil formado por dois arcos de circunferecircncia chamados de
loacutebulos que natildeo satildeo concecircntricos (Figura 34) Nesta figura o centro geomeacutetrico dos loacutebulos
(ponto OL) estaacute posicionado sobre o centro geomeacutetrico do eixo (ponto O) o que a difere
basicamente da Figura 33 onde o centro do eixo estaacute deslocado como ocorre quando o eixo
estaacute girando e se desloca para uma posiccedilatildeo de equiliacutebrio R representa o raio menor do mancal
Re representa o raio do munhatildeo ou raio do eixo RL representa o raio do loacutebulo do mancal ou
sejao raio de cada loacutebulo que compotildee o mancal eliacuteptico
A preacute-carga (Mp) do mancal eliacuteptico indica o grau de ―elipsidade do mancal e eacute dada pela
46
expressatildeo Mp=(Cb ndash c)c O caso particular onde Mp=0 representa o mancal ciliacutendrico
Figura 34 - Desenho esquemaacutetico do perfil de um mancal radial eliacuteptico
A Figura 35 mostra o campo de pressatildeo no mancal hidrodinacircmico ciliacutendrico girando no sentido
anti-horaacuterio Percebe-se que as maiores pressotildees satildeo formadas na regiatildeo inferior ligeiramente
deslocadas para a direita para sustentar a carga do eixo representada por W A distacircncia miacutenima
entre o eixo e o mancal eacute representada por ho
Figura 35 - Distribuiccedilatildeo da pressatildeo hidrodinacircmica no mancal ciliacutendrico (LANG e STEINHILPER 1978)
47
Na Figura 36 eacute representado o mesmo campo de pressatildeo poreacutem para o mancal de perfil
eliacuteptico Observa-se que haacute a formaccedilatildeo do campo de pressatildeo tambeacutem na metade superior do
mancal que embora tenha um valor relativamente pequeno se comparado com o campo gerado
na parte inferior ajuda no equiliacutebrio hidrodinacircmico (CORREIA 2007) A accedilatildeo dos dois campos
de pressatildeo dos mancais eliacutepticos aumenta a rigidez melhora o amortecimento e reduz o
aquecimento do lubrificante de maneira mais eficiente do que nos mancais ciliacutendricos
(SEHGAL 2010)
Figura 36 - Distribuiccedilatildeo da pressatildeo hidrodinacircmica no mancal eliacuteptico (Adaptado de CORREIA 2007)
321 Equaccedilotildees de Lubrificaccedilatildeo
A equaccedilatildeo claacutessica de Reynolds que descreve o escoamento de um filme fluido incompressiacutevel
isoteacutermico e isoviscoso pode ser escrita no sistema de coordenadas ciliacutendricas da seguinte forma
(HAMROCK 1994)
t
hh
R
U
z
ph
z
ph
R
LLLL )()(
2
1
12
sup3
12
sup3
sup2
1 (31)
onde
48
R = raio do eixo
p = pressatildeo hidrodinacircmica
= massa especiacutefica do lubrificante
h = espessura do filme fluido
= viscosidade absoluta do lubrificante
U = velocidade superficial do eixo (U = ωR)
O domiacutenio do escoamento do filme fluido eacute descrito por 0 le θ le 2π e -L2 le z le L2 A
distribuiccedilatildeo de pressatildeo hidrodinacircmica eacute perioacutedica ao longo da direccedilatildeo circunferencial p(θ z t)=
p(θ + 2π z t) As laterais do mancal estatildeo agrave pressatildeo atmosfeacuterica pa p(θ L2 t)=p(θ -L2t)= pa
A condiccedilatildeo de Meio Sommerfeld eacute utilizada no caacutelculo do campo de pressatildeo do mancal
ciliacutendrico (HAMROCK 1994) onde usa-se somente do intervalo de 0 le θ le π concentrando-se
a anaacutelise da pressatildeo na regiatildeo convergente ou seja natildeo considerando a aacuterea de cavitaccedilatildeo (ou
pressatildeo negativa) No mancal eliacuteptico eacute desconsiderada apenas a regiatildeo de cavitaccedilatildeo
A expressatildeo que representa a espessura do filme fluido ―h eacute dada pela equaccedilatildeo (32) onde c
representa a folga radial ex e ey representam as excentricidades do mancal e Mp a preacute-carga
senMpcsentetech yx )()()cos()( (32)
Para o caacutelculo dos coeficientes dinacircmicos de forccedila do mancal satildeo utilizadas as equaccedilotildees de
lubrificaccedilatildeo de ordem zero e de primeira ordem obtidas atraveacutes da anaacutelise de perturbaccedilatildeo do
sistema (LUND1987) A posiccedilatildeo de equiliacutebrio do eixo (00
yx ee ) eacute perturbada por movimentos
de pequena amplitude ( yx ee ) com uma frequecircncia de excitaccedilatildeo w (FARIA et al 2006)
Desta forma a espessura do filme eacute dada por
titi
yyxx ehehehehehh 00 )( = x y (33)
onde
0h = espessura do filme estacionaacuterio ou de ordem zero
49
xh = cos( )
yh = sen ( )
= x y
i = 1
Pequenas variaccedilotildees na espessura do filme causam alteraccedilotildees no campo de pressatildeo
hidrodinacircmica Este campo perturbado de pressatildeo hidrodinacircmica pode ser representado pela
equaccedilatildeo (34) se considerarmos uma anaacutelise linear de perturbaccedilatildeo
ti
o
ti
YYXXo epepe)pepe()t(p)t(p (34)
onde
0p = pressatildeo estacionaacuteria campo de pressatildeo de ordem zero
Xp e Yp = campo de pressatildeo de primeira ordem
Substituindo as equaccedilotildees (33) e (34) na equaccedilatildeo (31) obtecircm-se as equaccedilotildees de lubrificaccedilatildeo de
ordem zero e de primeira ordem conforme representado pelas equaccedilotildees (35) e (36)
respectivamente
)(
2
1
1212sup2
1 00
3
00
3
0 h
R
U
z
ph
z
ph
R
LLL (35)
hih
R
U
z
ph
z
phh
z
phphh
RL
LLLLL )(
2
1
1212
3
1212
3
sup2
13
00
2
0
3
00
2
0
(36)
A equaccedilatildeo (35) eacute a equaccedilatildeo claacutessica de Reynolds para regime estacionaacuterio Esta equaccedilatildeo
permite a determinaccedilatildeo do campo de pressatildeo hidrodinacircmica bidimensional no interior dos
mancais radiais lubrificados a oacuteleo Natildeo existe soluccedilatildeo analiacutetica em forma fechada para a grande
maioria dos mancais radiais de uso industrial Os coeficientes dinacircmicos dos mancais satildeo
50
obtidos atraveacutes da soluccedilatildeo das equaccedilotildees de lubrificaccedilatildeo de ordem zero e de primeira ordem via
procedimento de elementos finitos
322 Equaccedilotildees de Elementos Finitos para Mancais Eliacutepticos
As equaccedilotildees de lubrificaccedilatildeo de ordem zero e de primeira ordem podem ser escritas na forma de
balanccedilo de massa utilizando-se o conceito de fluxo maacutessico Dessa forma a equaccedilatildeo (35) pode
ser reescrita na seguinte forma
(37)
sendo que 00
3
0
212
1hR
ph
Rm L
L representa o fluxo maacutessico na direccedilatildeo circunferencial
e z
phm L
z0
3
0
12 o fluxo maacutessico na direccedilatildeo axial
A equaccedilatildeo (36) pode da mesma forma ser reescrita na forma de balanccedilo de fluxo na seguinte
maneira
himz
mR
m Lz111
1
(38)
sendo que os fluxos maacutessicos mostrados na equaccedilatildeo (38) podem ser expressos na seguinte
forma
hRph
R
phh
Rm L
LL
212
1
12
313
00
2
01 (39)
z
ph
z
phhm LL
z
1212
3 3
00
2
01
(310)
323 Discretizaccedilatildeo do campo de pressatildeo de ordem zero
Elementos isoparameacutetricos planos de quatro noacutes satildeo utilizados na discretizaccedilatildeo do domiacutenio do
filme fluido Funccedilotildees de interpolaccedilatildeo bilineares e
j j=1234 satildeo empregadas na descriccedilatildeo do
01
mm
zm
Rz
51
campo de pressatildeo hidrodinacircmica de ordem zero no domiacutenio e de um elemento finito A
Figura 37 ilustra de maneira esquemaacutetica os quatro noacutes no elemento finito usados na
discretizaccedilatildeo do domiacutenio do filme fluido onde a coordenada y representa a direccedilatildeo axial do
mancal e a coordenada indica a direccedilatildeo circunferencial
Figura 37 - Representaccedilatildeo esquemaacutetica dos noacutes no elemento finito
Os campos discretos de pressatildeo de ordem zero e de primeira ordem no domiacutenio e de um
elemento finito satildeo escritos na seguinte forma
e
i
e
i
e pp 00 i=1234 (311)
e
i
e
i
e pp i=1234 (σ = xy) (312)
Sobre um elemento finito do domiacutenio e o meacutetodo de Galerkin eacute utilizado para a obtenccedilatildeo da
equaccedilatildeo do campo de pressatildeo de ordem zero A equaccedilatildeo (37) eacute preacute-multiplicada pelas funccedilotildees
de interpolaccedilatildeo e
j e o produto eacute integrado sobre o domiacutenio e
e ee
ee
j
ee
j
ee
j dmdnmdm 0
(313)
onde n
representa o valor normal unitaacuterio direcionado para o lado de fora do contorno e do
52
elemento finito Pode-se escrever que
eR
ez
e
j
z
e
je
j
1 (314)
zz ememm
(315)
A segunda integral do lado direito da equaccedilatildeo (313) pode ser expandida na seguinte forma
ee
e
e
e
je
i
e
e
je
i
e
je
i
e
e
j
z
e
j
z
e
i
e
ie
i
e
i
dhpdzzR
h
deR
ez
epz
he
z
Rp
h
R
002
3
0
0
3
00
3
0
2
1
12
1
1212
1
(316)
Entatildeo a equaccedilatildeo (313) pode ser reescrita na forma a seguir
e ee
e
n
e
j
e
e
je
i
e
e
je
i
e
je
i dmdhpdzzR
h
2
1
12002
3
0 (317)
onde nm representa o fluxo de lubrificante cruzando a fronteira do elemento finito e
A equaccedilatildeo (317) pode ser representada por um sistema de equaccedilotildees algeacutebricas que representa a
forma estacionaacuteria da equaccedilatildeo de Reynolds para um elemento finito e
na seguinte forma
e
j
e
j
e
i
e
ji qfPK 0 (318)
onde a matriz fluiacutedica e
jiK pode ser obtida por meio de procedimento de integraccedilatildeo baseado no
meacutetodo da quadratura de Gauss (BATHE 1982) utilizando-se quatro pontos de integraccedilatildeo Essa
matriz eacute dada pela seguinte expressatildeo
53
e
e
je
i
e
je
ie
ji dzzR
hK
e sup2
1
12
3
0
O vetor de fluxo no domiacutenio de um elemento finito eacute determinado por
e
e
e
je
j dhf 02
O balanccedilo de fluxo atraveacutes do contorno do domiacutenio eacute dado por
e
e
n
e
j
e
j dmq
O contorno de um elemento finito qualquer eacute representado por e
e o fluxo de lubrificante de
ordem zero atraveacutes dessa fronteira por nm
324 Discretizaccedilatildeo do campo de pressatildeo de primeira ordem
O meacutetodo de Galerkin eacute empregado novamente para a obtenccedilatildeo da equaccedilatildeo de elementos finitos
para determinaccedilatildeo do campo de pressatildeo perturbada de primeira ordem A equaccedilatildeo (38) eacute preacute-
multiplicada pelas funccedilotildees de interpolaccedilatildeo e o produto eacute integrado sobre o domiacutenio e do
elemento finito produzindo a seguinte equaccedilatildeo integral
e e ee
ee
j
ee
j
ej
e
ee
j dhidmdnmdm
111 (319)
O segundo termo do lado direito da equaccedilatildeo (319) pode ser reescrito na forma seguinte
e
e e
e
e
je
i
e
je
i
e
jo
ejz
e
jee
j
dR
hRP
R
hp
R
hh
dz
mR
mdm
2sup2
1
12sup2
1
12
3
1
3
0
2
0
111
54
e
ee
i
e
je
i
e
jdP
zz
h
zz
phh
1212
3 3
00
2
0 (320)
A equaccedilatildeo (320) pode entatildeo ser reescrita na forma de um sistema de equaccedilotildees algeacutebricas na
seguinte maneira
ee
j
e
j
e
j
e
j
en
e
j
e
i
e
e
je
i
e
je
i
dhihzz
pp
R
hh
dmPdzzR
h
e
ee
2sup2
1
12
3
sup2
1
12
00
2
0
1
3
0
(321)
Para facilitar a representaccedilatildeo da equaccedilatildeo algeacutebrica (321) pode-se reescrevecirc-la na forma
matricial como segue
e
j
e
j
e
i
e
ji fqpK yx (322)
A matriz fluiacutedica de primeira ordem o balanccedilo do fluxo atraveacutes do contorno e o vetor de fluxo
no domiacutenio satildeo determinados respectivamente por
e
e
je
i
e
j
e
je
ji dzzR
hK
e sup2
1
12
3
0 (3221)
e
en
e
j
e
j dmq (3222)
e
ee
j
e
j
e
j
e
je
j dhihzz
pp
R
hhf
2sup2
1
12
3 00
2
0 (3223)
O fluxo de lubrificante de primeira ordem atraveacutes do contorno e de um elemento finito eacute
representado por nm
O sistema de equaccedilotildees algeacutebricas complexas dado pelas equaccedilotildees (322) permite determinar o
55
campo complexo de pressatildeo hidrodinacircmica de primeira ordem Os coeficientes do vetor
carregamento de primeira ordem e
jf dependem do campo de pressatildeo de ordem zero Por
conseguinte primeiro resolve-se o sistema de equaccedilotildees de ordem zero apresentada na equaccedilatildeo
(318) para a determinaccedilatildeo do campo de pressatildeo estacionaacuteria 0p Entatildeo determina-se o campo
de pressatildeo perturbada por meio do sistema de equaccedilotildees dado pelas equaccedilotildees (322)
As caracteriacutesticas estaacuteticas de desempenho de mancais tais como capacidade de carga torque de
atrito e vazatildeo de oacuteleo satildeo determinadas a partir da equaccedilatildeo de lubrificaccedilatildeo de ordem zero Jaacute as
caracteriacutesticas dinacircmicas de desempenho tais como os coeficientes de rigidez e de
amortecimento satildeo estimadas a partir da soluccedilatildeo da equaccedilatildeo de lubrificaccedilatildeo de primeira ordem
As equaccedilotildees de elementos finitos satildeo superpostas para todo o domiacutenio do filme fluido Ω
325 Determinaccedilatildeo dos Coeficientes de Forccedila dos Mancais Eliacutepticos
A soluccedilatildeo do sistema de equaccedilotildees algeacutebricas lineares eacute obtida por meio de um procedimento
baseado no meacutetodo da decomposiccedilatildeo LU (CHAPRA e CANALE 2002) Um programa
computacional foi desenvolvido especialmente para determinar a soluccedilatildeo das equaccedilotildees de ordem
zero e de primeira ordem utilizando o meacutetodo de elementos finitos (FARIA et al 2006) As
forccedilas de reaccedilatildeo do filme lubrificante podem entatildeo ser estimadas a partir da seguinte expressatildeo
na qual pa representa a pressatildeo atmosfeacuterica
L
aoodzdRh)pp(F
0
2
0
= XY (323)
A determinaccedilatildeo do campo perturbado ou de primeira ordem de pressatildeo
hidrodinacircmica para o mancal eacute realizada por meio do sistema de equaccedilotildees complexas de
primeira ordem obtido pela superposiccedilatildeo para todo o domiacutenio do fluido das equaccedilotildees dadas
pelas equaccedilotildees (322) A integraccedilatildeo do campo de pressatildeo de primeira ordem sobre o domiacutenio do
filme fluido leva agrave estimativa das impedacircncias complexas YXoZ Os coeficientes
linearizados de rigidez YXK e de amortecimento YXC associados agrave accedilatildeo
hidrodinacircmica do filme fluido podem ser calculados na seguinte forma
56
L
dzdRhpCiKZ0
2
0
YX (324)
ou
dzdRhphp
hphp
CC
CCi
KK
KK L
YYYX
XYXX
YYYX
XYXX
YYYX
XYXX
0
2
0
(325)
Estes coeficientes de forccedila [ K ] e [C ] correspondem agrave resistecircncia que o mancal oferece ao
deslocamento e agrave velocidade respectivamente Eles seratildeo sobrepostos agraves matrizes de elementos
finitos do eixo nas linhas e colunas correspondentes aos dois primeiros graus de liberdade que
satildeo translacionais
33 O Sistema Rotor-Mancal
O sistema rotor-mancal eacute composto por um eixo flexiacutevel um disco massivo e mancais Neste
trabalho o sistema foi modelado atraveacutes do meacutetodo de elementos finitos (MEF) como descrito a
seguir aplicando modelos distintos para o eixo flexiacutevel e para os mancais O disco massivo eacute
considerado riacutegido e portanto inserido no modelo do eixo simplesmente atraveacutes de suas
propriedades fiacutesicas (massa efeito giroscoacutepico e ineacutercia rotatoacuteria)
Para a modelagem do deslocamento lateral dos eixos flexiacuteveis satildeo utilizados elementos de eixo
com dois noacutes e com oito graus de liberdade A influecircncia dos mancais nos coeficientes de
rigidez e amortecimento do rotor tambeacutem eacute considerada na modelagem A equaccedilatildeo global do
movimento para o sistema rotor-mancal eacute descrita como
(326)
onde [M] representa a matriz global de ineacutercia translacional [N] eacute a matriz global de ineacutercia
rotatoacuteria [K] a matriz de rigidez do eixo e [C] a matriz generalizada de amortecimento que eacute
expressa como [G]]C[]C[ 1 onde [G] eacute a matriz de efeito giroscoacutepico do eixo Estas
matrizes satildeo apresentadas detalhadamente no Anexo C A matriz [C1] eacute a matriz global com os
coeficientes de amortecimento dos mancais lanccedilados nos devidos noacutes onde os mancais estatildeo
57
posicionados De maneira anaacuteloga os coeficientes de rigidez dos mancais satildeo somados agrave matriz
[K] e a massa desbalanceada eacute somada na matriz [M] Os vetores de aceleraccedilatildeo velocidade e
deslocamento satildeo dados respectivamente por UUU e Ω eacute a velocidade de rotaccedilatildeo do
eixo (rads)
Cada noacute possui 4 graus de liberdade onde o deslocamento do i-eacutesimo elemento eacute
representado pelo vetor Ui composto pelas seguintes componentes
i
i
i
i
i
x
y
U onde
xeixo do tornoem rotaccedilatildeo
y eixo do tornoem rotaccedilatildeo
verticaltodeslocamen
horizontal todeslocamen
i
i
i
i
x
y
A Figura 38 apresenta simbolicamente estes 4 graus de liberdade atraveacutes dos movimentos de
translaccedilatildeo (deslocamento) e de rotaccedilatildeo nos eixos xy
Figura 38 ndash Representaccedilatildeo dos 4 graus de liberdade
A excitaccedilatildeo devida agrave massa desbalanceada do rotor eacute representada pelo vetor R na Eq (326)
Um disco rotativo riacutegido desbalanceado eacute montado em uma posiccedilatildeo axial preacute-determinada do
eixo permitindo a aplicaccedilatildeo de carga Um fasor rotatoacuterio com amplitude de F0 = mdud Ωsup2
representa a carga da massa desbalanceada onde md eacute a massa desbalanceada (kg) e ud eacute a
excentricidade da massa desbalanceada (m)
As seccedilotildees a seguir apresentam as formulaccedilotildees que permitem obter as matrizes da equaccedilatildeo
(326) que posteriormente seraacute integrada numericamente pelo meacutetodo de Newmark (BATHE
1982)
58
34 Diagrama do Procedimento Computacional
O procedimento computacional proposto neste trabalho foi desenvolvido em ambiente Matlabreg
produzido pela The MathWorkscopy e suas principais etapas satildeo apresentadas na Figura 39
Figura 39 ndash Diagrama do procedimento computacional
Na etapa 1 satildeo registrados os paracircmetros fiacutesicos e geomeacutetricos do sistema aleacutem dos paracircmetros
dos meacutetodos numeacutericos (nuacutemero de noacutes da malha tempo de integraccedilatildeo incremento no tempo
rotaccedilatildeo etc)
Na etapa 2 satildeo calculadas as matrizes de elementos finitos do eixo usando-se os dados
4) Montagem das matrizes de
elementos finitos
dos mancais
3) Caacutelculo dos coeficientes de forccedila
dos mancais pelo MEF
2) Caacutelculo das
matrizes de
elementos
finitos do rotor
5) Superposiccedilatildeo das matrizes de elementos finitos
7) Integraccedilatildeo numeacuterica da equaccedilatildeo do movimento
6) Equaccedilatildeo do movimento
1) Entrada de Dados
9) Saiacuteda de resultados
8) Seleccedilatildeo dos dados de saiacuteda
59
registrados na etapa 1 atraveacutes das equaccedilotildees descritas no Anexo C Como o disco massivo eacute
considerado riacutegido e portanto soacute possui os elementos das matrizes de massa de ineacutercia e de
momento giroscoacutepico estas matrizes satildeo calculadas separadamente e sobrepostas com as do
eixo nos pontos onde o disco massivo estaacute posicionado O meacutetodo permite que o disco esteja
posicionado em qualquer noacute da malha do eixo
Na etapa 3 satildeo calculados os coeficientes de forccedila dos mancais baseando-se na sua posiccedilatildeo de
equiliacutebrio estaacutetico Esta posiccedilatildeo eacute encontrada pelo MEF implementado que calcula a forccedila
resultante da accedilatildeo hidrodinacircmica do filme-fluido para que ela seja igual agrave carga estaacutetica que o
rotor aplica em cada mancal Uma vez encontrado o ponto de equiliacutebrio estaacutetico satildeo calculados
os coeficientes de rigidez e de amortecimento dos mancais conforme Eq(325) Cabe ressaltar
que o caacutelculo destes coeficientes natildeo usa as teorias simplistas de mancais curtos ou longos e
nem faz simplificaccedilotildees quanto aos coeficientes cruzados
Na etapa 4 os resultados encontrados na etapa 3 satildeo registrados nas matrizes de elementos
finitos dos mancais que satildeo as matrizes de rigidez e de amortecimento
Em seguida na etapa 5 eacute feita a superposiccedilatildeo das matrizes de elementos finitos do rotor e dos
mancais com os resultados obtidos nas etapas 2 3 e 4 O meacutetodo permite que os mancais
estejam posicionados em qualquer noacute da malha do eixo Esta superposiccedilatildeo eacute feita apenas com as
linhas e colunas correspondentes aos deslocamentos translacionais ou seja natildeo satildeo
considerados efeitos de rigidez ou de amortecimento rotacionais no modelo dos mancais
hidrodinacircmicos
Uma vez montadas as matrizes segue-se para as etapas 6 e 7 onde a equaccedilatildeo do movimento eacute
estabelecida em formato matricial conforme Eq(326) e integrada numericamente pelo Meacutetodo
de Newmark descrito no Anexo D
Na etapa 8 satildeo registrados os dados que seratildeo usados para a anaacutelise do sistema Na verdade esta
etapa estaacute inserida no algoritmo de Newmark dentro das iteraccedilotildees no tempo para que sejam
registrados os dados de interesse a cada iteraccedilatildeo no tempo Os dados normalmente selecionados
satildeo extraiacutedos do vetor U (Eq326) que registra todos os deslocamentos laterais e rotaccedilotildees
dos pontos da malha do eixo ao longo do tempo
Finalmente na etapa 9 satildeo geradas as saiacutedas de resultados Dependendo do tipo de anaacutelise
desejada esta saiacuteda pode passar por outro caacutelculo numeacuterico como eacute feito no caso da geraccedilatildeo do
espectro de frequecircncia onde eacute usado o FFT (Fast Fourier Transform) Os resultados numeacutericos
60
satildeo exibidos na forma de arquivo de dados e tambeacutem na forma graacutefica atraveacutes de espectros de
frequecircncia formas de onda curvas de deflexatildeo curva de resposta desbalanceada ou atraveacutes de
uma animaccedilatildeo tridimensional exibindo a deflexatildeo do rotor ao longo do tempo
Cabe ressaltar que para o caacutelculo da resposta desbalanceada eacute necessaacuterio fazer a integraccedilatildeo no
tempo para vaacuterias rotaccedilotildees do eixo Assim para cada rotaccedilatildeo eacute registrada a maacutexima amplitude
de vibraccedilatildeo do eixo em um determinado ponto Normalmente eacute escolhido o elemento onde estaacute
um dos mancais para este ponto Em seguida eacute gerado o graacutefico da resposta desbalanceada que
permite identificar em qual rotaccedilatildeo o sistema apresentou a maacutexima amplitude quando excitado
pela forccedila de desbalanceamento Este eacute o conceito de velocidade criacutetica (VC)
61
4 RESULTADOS E ANAacuteLISE
Os resultados do procedimento computacional proposto satildeo validados com resultados
apresentados na literatura especializada e com dados experimentais Satildeo apresentados
inicialmente alguns exemplos de validaccedilatildeo seguindo-se para a anaacutelise dos coeficientes de forccedila
dos mancais eliacutepticos e da resposta desbalanceada do sistema rotor-mancal
41 Exemplos de validaccedilatildeo
A validaccedilatildeo do procedimento computacional eacute realizada atraveacutes de alguns exemplos
selecionados na literatura especializada apresentando modelos de rotores flexiacuteveis apoiados em
diferentes tipos de mancais Eacute incluiacuteda uma comparaccedilatildeo dos resultados numeacutericos com
resultados experimentais coletados em uma bancada de testes horizontal composta por um rotor
flexiacutevel apoiado em mancais hidrodinacircmicos
411 Rotor com disco em balanccedilo
Um exemplo de rotor flexiacutevel (SINOU 2005) eacute escolhido para validar os resultados do
procedimento computacional O rotor eacute composto por um eixo flexiacutevel dois mancais e um disco
massivo em balanccedilo (Figura 41)
Figura 41 ndash Desenho esquemaacutetico do rotor de Sinou (2005)
62
Tabela 41- Paracircmetros do rotor com disco em balanccedilo (SINOU 2005)
Eixo
Comprimento
Diacircmetro
Moacutedulo de Young
Massa especiacutefica
170m
40mm
200 GNm2
8000 kgm3
Disco
Massa
Diacircmetro
Espessura
20 kg
400 mm
20 mm
Mancais
Rigidez Translacional
Rigidez Rotacional
Amortecimento
Kxx = 378 MNm
Kxy = 0 MNm
Kyx = 0 MNm
Kyy = 378 MNm
Kff= 80x104
Nmrad
KQQ = 80x104
Nmrad
Cxx = 0 Nsm
Cxy = 0 Nsm
Cyx = 0 Nsm
Cyy = 0 Nsm
Satildeo calculadas a primeira frequecircncia natural (FN1) e a segunda frequecircncia natural (FN2) para o
rotor de Sinou (2005) aplicando-se o procedimento computacional proposto para se avaliar a
influecircncia do tamanho da malha de elementos finitos no caacutelculo destas frequecircncias naturais Os
valores obtidos para FN1 e FN2 com diferentes malhas satildeo mostrados na Figura 42
Figura 42 ndash Curvas da primeira e segunda frequecircncias naturais (FN1 FN2) versus o nuacutemero de
elementos finitos da malha para o rotor de Sinou (2005) a 10rpm
Constata-se que a variaccedilatildeo dos valores de FN1 e de FN2 fica abaixo de 2 para uma malha de
80 elementos Assim adota-se uma malha de 80 elementos finitos para este exemplo
63
A integraccedilatildeo das equaccedilotildees do movimento eacute feita pelo meacutetodo de Newmark (ANEXO D) Nesta
implementaccedilatildeo satildeo adotados os paracircmetros que garantem a convergecircncia do meacutetodo conforme
descrito no Anexo D Poreacutem eacute importante considerar que agrave medida que se reduz o incremento
no tempo usado na integraccedilatildeo numeacuterica mais exatos satildeo os resultados por se tornarem mais
convergentes Assim apresenta-se na Figura 43 a anaacutelise desta convergecircncia em funccedilatildeo do
incremento no tempo A curva contiacutenua representa a primeira velocidade criacutetica progressiva
(FWD1) e a curva tracejada representa a primeira velocidade criacutetica regressiva (BKWD1)
Observa-se que as velocidades criacuteticas convergem suficientemente para um incremento no
tempo de aproximadamente 50x10-4
s onde a variaccedilatildeo relativa eacute menor que 1 Este valor eacute
adotado nos demais resultados calculados para este exemplo
Figura 43 ndash Primeira velocidade criacutetica progressiva (FWD1)
e regressiva (BKWD1) versus incremento no tempo
A Figura 44 apresenta o espectro de frequecircncia obtido pelo MEF com o rotor a 10 rpm Na
Tabela 42 satildeo comparados os valores da primeira e segunda frequecircncias naturais (FN1 e FN2)
calculadas por Sinou (2005) com os valores obtidos pelo MEF aqui proposto e observa-se que
o desvio maacuteximo eacute menor que 3 Os valores apresentados por Sinou(2005) foram obtidos
usando uma malha de 184 elementos de viga de Timoshenko
64
Figura 44 ndash Espectro de frequecircncia obtido pelo MEF para o rotor de Sinou(2005) a 10 rpm
Tabela 42- Valores comparativos da primeira frequecircncia natural para o rotor de Sinou(2005) a 10 rpm
Sinou(2005) MEF Erro
relativo ()
FN 1 2430 rpm 2495 rpm 27
FN 2 3840 rpm 3780 rpm -16
As frequecircncias naturais do rotor em balanccedilo satildeo calculadas pelo MEF proposto tambeacutem para
outros valores de rotaccedilatildeo Na Figura 45 eacute ilustrado o diagrama de Campbell obtido pelo MEF e
comparado com os valores apresentados por Sinou (2005)
Figura 45 ndash Diagrama de Campbell para o rotor em balanccedilo analisado por Sinou(2005)
65
O efeito giroscoacutepico faz com que fiquem niacutetidas as frequecircncias de precessatildeo regressiva
(backward) e progressiva (forward) Estas frequecircncias satildeo representadas na Figura 45 seguidas
das siglas ―BKWD e ―FWD respectivamente A linha cheia e a traccedilo-ponto representam os
resultados obtidos pelo MEF proposto neste trabalho enquanto os pontos identificados por
marcadores satildeo os resultados apresentados por Sinou(2005) A linha tracejada representa as
frequecircncias siacutencronas (syncr) que permitem identificar as velocidades criacuteticas na sua interseccedilatildeo
com as curvas das frequecircncias naturais As duas primeiras velocidades criacuteticas foram obtidas
atraveacutes do graacutefico e comparadas na Tabela 43 com aquelas calculadas por Sinou(2005)
Observa-se um erro relativo menor que 5 nesta comparaccedilatildeo feita para fins de validaccedilatildeo
Tabela 43- Comparaccedilatildeo da primeira velocidade criacutetica
Sinou(2005) MEF Erro
relativo()
BKWD 2225 rpm 2210 rpm -1
FWD 2580 rpm 2680 rpm 4
As diferenccedilas entre os resultados do MEF proposto para os resultados numeacutericos de Sinou se
devem principalmente ao nuacutemero de elementos finitos usados O modelo de Sinou usa 184
elementos enquanto neste trabalho foram adotados 80 elementos Outros erros relativos podem
ter sido causados por pequenas diferenccedilas geomeacutetricas entre os dois modelos em funccedilatildeo de
alguma informaccedilatildeo que natildeo tenha sido detalhada no trabalho de Sinou
Cabe ressaltar que este exemplo de validaccedilatildeo se aplica ao MEF do rotor e ao procedimento de
superposiccedilatildeo dos coeficientes de forccedila dos mancais Poreacutem o modelo de Sinou usa apenas dois
coeficientes de forccedila nos apoios (rigidez agrave rotaccedilatildeo) e natildeo considera mancais hidrodinacircmicos
Para a validaccedilatildeo dos modelos de mancais seratildeo apresentados outros exemplos
412 Rotor apoiado nas extremidades com disco no centro
Um segundo exemplo de validaccedilatildeo eacute selecionado atraveacutes do modelo de rotor (HONG e PARK
1999) composto por um eixo com dois diacircmetros diferentes como mostrado na Figura 46 Na
primeira metade o eixo tem 25cm de diacircmetro e na outra metade tem 40cm de diacircmetro
66
Figura 46 ndash Desenho esquemaacutetico do rotor de Hong e Park(1999)
O eixo eacute apoiado pelas extremidades por mancais idecircnticos e no centro do eixo haacute um disco
massivo Os paracircmetros do modelo satildeo apresentados na Tabela 44
Tabela 44- Paracircmetros do rotor de Hong e Park(1999)
Eixo
Comprimento
Diacircmetro (trecho 1)
Diacircmetro (trecho 2)
Moacutedulo de Young
Massa especiacutefica
120m
25cm
40cm
200 GNm2
8000 kgm3
Disco
Massa
Momento polar de ineacutercia
Momento diametral de ineacutercia
20 kg
0163 kgm2
0085 kgm2
Mancais
Rigidez
Amortecimento
Kxx = 20 MNm
Kxy = -15 MNm
Kyx = -15 MNm
Kyy = 25 MNm
Cxx = 60 Nsm
Cxy = 0 Nsm
Cyx = 0 Nsm
Cyy = 70 Nsm
Eacute feita uma comparaccedilatildeo entre as frequecircncias naturais e tambeacutem apresentada uma anaacutelise da
forma de onda obtida pela integraccedilatildeo numeacuterica que permite observar o fenocircmeno de batimento
Satildeo apresentados os conceitos baacutesicos do fenocircmeno e feita a comparaccedilatildeo entre as frequecircncias
naturais obtidas atraveacutes do espectro de frequecircncia e a frequecircncia de batimento observada na
forma de onda
Inicialmente satildeo validadas as frequecircncias naturais atraveacutes da observaccedilatildeo dos picos no espectro
como pode ser visto na Figura 47 Satildeo destacados os dois picos (808 rpm 848 rpm) relativos agrave
primeira frequecircncia natural regressiva (backward) e progressiva (forward) respectivamente
com o rotor operando a 6000rpm
67
Figura 47 ndash Espectro de frequecircncia obtido para o rotor de Hong e Park (1999) operando a 6000rpm
Os resultados numeacutericos obtidos pelo MEF satildeo comparados com os da literatura (HONG e
PARK 1999) na Tabela 45 onde pode-se observar um erro relativo maacuteximo de 2
Tabela 45- Comparaccedilatildeo da primeira frequecircncia natural progressiva e regressiva para
o rotor de Hong e Park (1999)
Hong e Park
(1999)
MEF Erro
relativo ()
Backward (regressiva) 804 rpm 808 rpm 05
Forward (progressiva) 865 rpm 848 rpm -20
Em seguida eacute feita a anaacutelise da forma de onda obtida apoacutes a integraccedilatildeo no tempo da equaccedilatildeo do
movimento pelo Meacutetodo de Newmark Observa-se pela forma de onda (Figura 48) que existe
um padratildeo de flutuaccedilatildeo do sinal destacado pela linha tracejada e pelo sombreamento Este
padratildeo de flutuaccedilatildeo eacute semelhante ao fenocircmeno de batimento da teoria de interferecircncia de ondas
que ocorre quando haacute duas frequecircncias de vibraccedilatildeo proacuteximas O fenocircmeno natildeo foi investigado
profundamente neste trabalho mas eacute destacado como um exemplo de validaccedilatildeo onde foi
possiacutevel encontrar frequecircncias naturais bem proacuteximas agraves apresentadas na literatura (HONG e
68
PARK 1999) e ainda estabelecer uma relaccedilatildeo entre o padratildeo de flutuaccedilatildeo da forma de onda
com as frequecircncias registradas no espectro
Figura 48 ndash Forma de onda obtida para o rotor de Hong e Park (1999)
Uma vez identificado um ciclo completo do padratildeo de flutuaccedilatildeo destacado na Figura 48 pela
linha tracejada eacute possiacutevel obter os instantes de tempo inicial e final deste ciclo 275s e 570s
respectivamente Este intervalo corresponde a um periacuteodo de 295s que equivale a uma
frequecircncia de 0339Hz = 203rpm
Este padratildeo de flutuaccedilatildeo pode ser explicado pelo fenocircmeno de batimento que estabelece que
quando duas ondas com frequecircncias muito proacuteximas (w1 w2) interferem uma na outra
flutuaccedilotildees de batimento satildeo percebidas na forma de onda e a frequecircncia de batimento (wb) eacute
dada por
Observando-se novamente o espectro de frequecircncia na Figura 47 pode-se calcular a frequecircncia
de batimento (wb) esperada para este sistema atraveacutes das frequecircncia natural regressiva
(backward) e progressiva (forward)
69
Portanto confirma-se que o padratildeo de flutuaccedilatildeo observado na forma de onda pode ser associado
ao fenocircmeno de batimento causado pelas duas frequecircncias naturais proacuteximas identificadas no
espectro Estes dois resultados satildeo apresentados na Tabela 46
Tabela 46- Comparaccedilatildeo das Frequecircncias de Batimento para o rotor de Hong e Park(1999)
Frequecircncia obtida
pela forma de onda
Frequecircncia obtida
pelo espectro
203 rpm 200 rpm
Este fenocircmeno de batimento eacute tambeacutem observado quando o rotor opera em uma rotaccedilatildeo proacutexima
de uma frequecircncia natural De maneira semelhante se for observado o padratildeo de flutuaccedilatildeo na
forma de onda que varia com a rotaccedilatildeo do rotor eacute possiacutevel inferir que o rotor estaacute se
aproximando ou se afastando de uma frequecircncia natural O fenocircmeno de batimento no sistema
rotor-mancal merece uma investigaccedilatildeo mais profunda que natildeo estaacute no escopo do presente
trabalho
413 Rotor de uma bancada de testes
Um terceiro exemplo de validaccedilatildeo consiste na comparaccedilatildeo das frequecircncias naturais estimadas
pelo MEF com os valores experimentais coletados em uma bancada de testes montada no Grupo
de Dinacircmica de Rotores da UFMG cujos dados podem ser encontrados em Machado (2006) e
Miranda et al (2005) O rotor eacute composto por um eixo ciliacutendrico horizontal apoiado em mancais
hidrodinacircmicos e com um disco ciliacutendrico desbalanceado montado no eixo como ilustrado
esquematicamente na Figura 49 com medidas em miliacutemetros
Figura 49 ndash Desenho esquemaacutetico do rotor da bancada de testes
O disco possui furos rosqueados ao longo de sua periferia que permitem incluir pequenas massas
70
que provocam o desbalanceamento no sistema O rotor eacute acionado por um sistema de polias e
correia e um motor eleacutetrico controlado por um inversor de frequecircncia A Tabela 47 apresenta os
paracircmetros do rotor da bancada de testes
Tabela 47ndash Paracircmetros do rotor da bancada de testes
Paracircmetro Descriccedilatildeo Valor Unidade
Leixo comprimento do eixo 030 m
D diacircmetro do eixo 0015 m
L comprimento dos mancais 0012 m
c folga do mancal 345 x 10-6
m viscosidade do lubrificante 25 x 10
-3 Pamiddots
massa especiacutefica do lubrificante 892 kgmsup3
E moacutedulo de elasticidade do eixo 200 x 109 Pa
coeficiente de Poisson do eixo 03 -
massa especiacutefica do eixo 7870 kgmsup3
Esta anaacutelise tem como objetivo validar os modelos de elementos finitos propostos para o eixo
flexiacutevel e para os mancais hidrodinacircmicos atraveacutes de resultados experimentais A anaacutelise da
convergecircncia da malha de elementos finitos para o modelo do eixo eacute realizada de maneira
semelhante agrave apresentada na Figura 42 obtendo-se tambeacutem um nuacutemero de 80 elementos para
este exemplo
Um procedimento de anaacutelise de sensibilidade de malha eacute tambeacutem utilizado para avaliar a
dependecircncia dos paracircmetros de desempenho do mancal em funccedilatildeo do tamanho da malha Neste
procedimento a razatildeo entre o nuacutemero de elementos finitos nas direccedilotildees circunferencial e axial eacute
mantida constante Esta razatildeo depende da razatildeo de esbeltez do mancal (LD) e deve ser mantida
para se garantir a variaccedilatildeo uniforme do tamanho da malha Assim para uma razatildeo LD de 08
como no exemplo analisado a relaccedilatildeo entre o nuacutemero de noacutes circunferenciais e o nuacutemero de noacutes
axiais deve ser 480 Estabelecidos estes paracircmetros satildeo gerados os coeficientes de forccedila
para a rotaccedilatildeo de 3200rpm no ponto de equiliacutebrio estaacutetico do mancal usando-se inicialmente
uma malha bem refinada (1660 elementos) conforme mostrado na uacuteltima linha da Tabela 48
Satildeo entatildeo reduzidos os nuacutemeros de elementos da malha e registrados os erros relativos obtidos
na forccedila de reaccedilatildeo do mancal (Fx) e no coeficiente de rigidez cruzada (Kxy) Para fins de
comparaccedilatildeo os erros relativos satildeo calculados em moacutedulo conforme mostrado na Figura 410
71
Tabela 48ndash Resultados da anaacutelise da sensibilidade da malha dos mancais
Noacutes circunferenciais
Noacutes axiais Elementos
Kxy
(MNm) Fx (N)
Desvio
Kxy Desvio
Fx
20 5 76 3926 5752 48 475
36 9 280 4122 6039 06 058
44 11 430 4146 6074 03 030
52 13 612 4158 6092 02 020
60 15 826 4166 6104 01 011
68 17 1072 4171 6111 01 008
76 19 1350 4174 6116 01 007
84 21 1660 4177 6120
Figura 410 ndash Sensibilidade da malha de elementos finitos do mancal ciliacutendrico no caacutelculo dos
paracircmetros de desempenho Fx e Kxy
Pela anaacutelise de sensibilidade realizada neste terceiro exemplo constata-se que 280 elementos
finitos na malha do filme fluido satildeo suficientes para a obtenccedilatildeo de resultados confiaacuteveis com
menos de 1 de erro relativo conforme Tabela 48
Uma vez definidas as malhas de elementos finitos satildeo realizadas as simulaccedilotildees e a integraccedilatildeo
numeacuterica no tempo Com os resultados da integraccedilatildeo satildeo gerados os espectros de frequecircncia
numeacutericos Os espectros de frequecircncia experimentais satildeo obtidos em diferentes velocidades de
rotaccedilatildeo do eixo atraveacutes de testes de batida (bump test) Satildeo afixados acelerocircmetros no topo dos
mancais e gerados os espectros de frequecircncia Na Figura 411 observa-se o espectro de
72
frequecircncia gerado a partir do teste de batida coletado no mancal 1 A amplitude indicada
representa o valor RMS da aceleraccedilatildeo Observam-se dois picos em frequecircncias de
aproximadamente 83 Hz (4980 rpm) e 110 Hz (6600 rpm) que correspondem agraves frequecircncias
naturais do sistema
Figura 411 ndash Espectro de frequecircncia experimental ndash teste de batida
Para se obter estas frequecircncias naturais pelo meacutetodo de elementos finitos proposto satildeo
realizadas duas simulaccedilotildees Uma com o rotor operando a 750rpm (Figura 412) e outra a
3200rpm (Figura 413)
Figura 412 ndash Espectro de frequecircncia obtido pelo MEF para rotaccedilatildeo de 750 rpm
Observa-se na Figura 412 o pico de 750rpm relativo agrave excitaccedilatildeo harmocircnica da massa
desbalanceada e um pico a aproximadamente 4950 rpm (825 Hz) que corresponde agravequele
73
identificado no espectro obtido experimentalmente no teste de batida
Na Figura 413 eacute niacutetido o pico a 6650rpm (111Hz) tambeacutem presente no espectro do resultado
experimental O pico de 3200 da Figura 413 eacute da excitaccedilatildeo harmocircnica
Figura 413 ndash Espectro de frequecircncia obtido pelo MEF para rotaccedilatildeo de 3200 rpm
A Tabela 49 apresenta a comparaccedilatildeo entre estes valores onde observa-se um erro relativo de
aproximadamente 1 dos dados numeacutericos em relaccedilatildeo aos dados experimentais
Tabela 49ndash Valores comparativos de frequecircncias naturais obtidas pelo MEF e experimentalmente
pelo teste de batida (bump test)
Experimental MEF Erro relativo
4980 rpm 4950 rpm -1
6600 rpm 6650rpm 08
Esta faixa de erro estaacute abaixo da resoluccedilatildeo dos graacuteficos e existem outros erros associados aos
dados apresentados devido agraves incertezas geomeacutetricas do rotor da bancada de testes
Uma segunda mediccedilatildeo experimental eacute realizada para este mesmo sistema fixando-se a rotaccedilatildeo
do eixo em 8900rpm Os resultados experimentais e numeacutericos da vibraccedilatildeo do mancal 2 satildeo
processados e gerados os espectros de frequecircncia a seguir A Figura 414 apresenta o espectro de
frequecircncia experimental para rotaccedilatildeo de 8900 rpm onde satildeo destacadas algumas frequecircncias
naturais excitadas a esta rotaccedilatildeo
74
Figura 414 ndash Espectro de frequecircncia experimental para o rotor da bancada operando a 8900rpm
A Figura 415 apresenta o espectro de frequecircncia numeacuterico para rotaccedilatildeo de 8900 rpm onde satildeo
destacados alguns dos picos que correspondem agraves mesmas frequecircncias naturais observadas no
resultado experimental A amplitude exibida no graacutefico estaacute na forma adimensional que eacute a
razatildeo entre a amplitude de deslocamento dividida pela folga do mancal
Figura 415 ndash Espectro de frequecircncia obtido pelo MEF para o rotor da bancada operando a 8900rpm
A comparaccedilatildeo entre estas frequecircncias eacute apresentada na Tabela 410 onde se observa um erro
relativo de menos de 3 para as prediccedilotildees das frequecircncias naturais em relaccedilatildeo aos valores
75
experimentais Nem todas as frequecircncias apresentadas no espectro experimental satildeo observadas
no resultado numeacuterico em funccedilatildeo do modelo computacional natildeo considerar alguns efeitos tais
como desalinhamento incertezas geomeacutetricas dos mancais ruiacutedos provenientes do motor
eleacutetrico e outros O pico de 17800rpm da Figura 414 por exemplo representa o segundo
harmocircnico da frequecircncia de rotaccedilatildeo do rotor que corresponde ao sinal de desalinhamento
paralelo (BERRY 1994)
Tabela 410ndash Valores comparativos de frequecircncias naturais obtidas pelo MEF e experimentalmente
para o rotor da bancada operando a 8900rpm
Experimental MEF Erro relativo
8890 rpm 8850 rpm -05
26800 rpm 26200 rpm -22
45600 rpm 44400 rpm -26
414 Segundo rotor de uma bancada de testes
Um quarto exemplo de validaccedilatildeo eacute selecionado (MACHADO 2006) para avaliar o
procedimento computacional implementado neste trabalho O rotor eacute semelhante ao anterior
ilustrado na Figura 49 poreacutem os mancais satildeo diferentes Satildeo mancais hidrodinacircmicos
ciliacutendricos cujas caracteriacutesticas satildeo apresentadas na Tabela 411
Tabela 411ndash Paracircmetros do rotor da bancada de testes ndash exemplo 2
Paracircmetro Descriccedilatildeo Valor Unidade
Leixo comprimento do eixo 030 m
D diacircmetro do eixo 0015 m
L comprimento dos mancais 0012 m
d diacircmetro do mancal 0015 m
c folga do mancal 24 x 10-6
m viscosidade do lubrificante 25 x 10
-3 Pamiddots
massa especiacutefica do lubrificante 892 kgmsup3
E moacutedulo de elasticidade do eixo 200 x 109 Pa
coeficiente de Poisson do eixo 03 -
massa especiacutefica do eixo 7870 kgmsup3
No espectro de frequecircncia computacional apresentado na Figura 416 satildeo destacadas as
frequecircncias naturais excitadas quando o rotor opera a 3200rpm
76
Figura 416 ndash Espectro de frequecircncia obtido pelo MEF para o rotor do exemplo 4 operando a 3200rpm
Estas frequecircncias satildeo comparadas com os valores obtidos experimentalmente para o rotor
descrito por Machado (2006) exibidas na Figura 417
Figura 417 ndash Espectro de frequecircncia experimental para o rotor de Machado(2006)
A comparaccedilatildeo das frequecircncias naturais dos resultados numeacutericos e experimentais eacute apresentada
na Tabela 412 onde observa-se que os resultados numeacutericos desviam menos de 2 dos
experimentais A uacutenica exceccedilatildeo eacute a frequecircncia de 9480 rpm do espectro experimental cujo erro
77
relativo foi de 37 no resultado numeacuterico Esta frequecircncia eacute de aproximadamente trecircs vezes a
frequecircncia de rotaccedilatildeo do eixo (3200rpm) o que significa um sinal de desalinhamento do rotor
conforme previsto na literatura (BERRY 1994)
Tabela 412ndash Valores comparativos das frequecircncias naturais obtidas
experimentalmente por Machado(2006) e pelo MEF
Experimental (rpm)
MEF (rpm)
erro relativo
3240 3194 -14
6360 6376 03
9480 9834 37
12960 12789 -13
18960 19190 12
25560 25591 01
28440 28823 13
32280 31992 -09
34800 35220 12
38520 38395 -03
41760 41615 -03
44100 44790 16
42 Anaacutelise dos coeficientes de forccedila dos mancais eliacutepticos
A anaacutelise dos coeficientes de forccedila eacute realizada aplicando-se o MEF a um exemplo de mancal
eliacuteptico extraiacutedo de Correia(2007) com o objetivo de identificar uma relaccedilatildeo entre os
coeficientes de forccedila e os paracircmetros construtivos do mancal folga radial (c) razatildeo de esbeltez
(LD) e preacute-carga (Mp) Este resultado permite observar se a relaccedilatildeo identificada se manteacutem
para diversas condiccedilotildees operacionais Os paracircmetros do mancal eliacuteptico selecionado satildeo
apresentados na Tabela 413
Tabela 413ndash Paracircmetros do mancal eliacuteptico selecionado
Paracircmetro Descriccedilatildeo Valor Unidade
L comprimento do mancal 0075 m
D diacircmetro do mancal 010 m
c1 folga do mancal (variaacutevel) viscosidade do lubrificante 84 x 10
-3 Pamiddots
massa especiacutefica do lubrificante 892 kgmsup3
rotaccedilatildeo 8800 rpm
Mp preacute-carga 045
W carga estaacutetica 1000 N
Para a anaacutelise de sensibilidade de malha do mancal selecionado adota-se uma folga radial de
75 m conforme Correia(2007) Esta anaacutelise permite avaliar a dependecircncia dos paracircmetros de
78
desempenho do mancal em funccedilatildeo do tamanho da malha A razatildeo entre o nuacutemero de elementos
finitos nas direccedilotildees circunferencial e axial eacute mantida constante dada pela relaccedilatildeo 4 Satildeo
apresentados na Figura 418 os desvios da forccedila de reaccedilatildeo do mancal (Fx) e do coeficiente de
rigidez cruzada (Kxy) obtidos para diferentes nuacutemeros de elementos da malha Para fins de
comparaccedilatildeo os desvios satildeo calculados em moacutedulo Pela anaacutelise de sensibilidade realizada
constata-se que aproximadamente 200 elementos finitos na malha do filme fluido satildeo suficientes
para a obtenccedilatildeo de resultados confiaacuteveis com menos de 1 de erro relativo
Figura 418 ndash Sensibilidade da malha de elementos finitos do mancal eliacuteptico no caacutelculo dos
paracircmetros de desempenho Fx e Kxy
421 Coeficientes de forccedila em funccedilatildeo da folga radial dos mancais eliacutepticos
Satildeo analisados nesta seccedilatildeo os resultados obtidos pelo MEF para o caacutelculo dos coeficientes de
rigidez direta adimensionais kxx e kyy dos mancais eliacutepticos para diferentes valores de folga
radial A adimensionalizaccedilatildeo dos coeficientes de rigidez direta eacute realizada pela relaccedilatildeo
(CORREIA2007)
kxx = c Kxx W
onde Kxx eacute o coeficiente de rigidez direta dimensional c eacute a folga radial do mancal e W eacute a
carga estaacutetica no mancal Para kyy a adimensionalizaccedilatildeo eacute anaacuteloga
Quando o mancal hidrodinacircmico opera ocorre um deslocamento da linha de centro do munhatildeo
79
(eixo do rotor) em relaccedilatildeo agrave linha de centro do mancal como ilustrado na Figura 419Figura 33
Este deslocamento eacute definido como a excentricidade e e o acircngulo eacute definido como acircngulo de
posiccedilatildeo A excentricidade adimensional eacute definida pela expressatildeo onde c eacute a folga
radial maacutexima do mancal Para cada condiccedilatildeo operacional o munhatildeo tende a se deslocar ateacute um
ponto de equiliacutebrio onde as forccedilas da accedilatildeo hidrodinacircmica do filme fluido entre em equiliacutebrio
com as forccedilas atuantes do rotor sobre o mancal Este ponto eacute definido como o ponto de
equiliacutebrio estaacutetico o
Figura 419 - Posicionamento do eixo dentro do mancal e excentricidade
O ponto de equiliacutebrio estaacutetico ( o) eacute influenciado por vaacuterios paracircmetros do mancal em especial
pela folga radial do mancal Para os mancais eliacutepticos analisados observa-se uma variaccedilatildeo de o
em funccedilatildeo da folga radial conforme mostrado na Figura 420
Figura 420 ndash Excentricidade adimensional do ponto de equiliacutebrio estaacutetico dos mancais
eliacutepticos em funccedilatildeo da folga radial
80
A Figura 421 apresenta os valores do coeficiente de rigidez direta adimensional dos mancais
eliacutepticos em funccedilatildeo da folga radial Eacute observado que estes coeficientes apresentam uma
variaccedilatildeo muito pequena para valores de o entre zero e 03 Estes valores correspondem a folgas
radiais entre zero a 150 m respectivamente Para destacar esta faixa eacute apresentada na Figura
421 uma linha pontilhada vertical onde se observa que os valores calculados para os
coeficientes kxx e kyy variam menos de 1 e fora desta faixa os coeficientes variam
consideravelmente Satildeo exibidas no graacutefico duas linhas tracejadas horizontais como referecircncia
para facilitar a observaccedilatildeo do alinhamento dos pontos
Figura 421 ndash Coeficientes de rigidez direta adimensionais em funccedilatildeo da folga radial dos mancais eliacutepticos
A adimensionalizaccedilatildeo do coeficiente de rigidez cruzada Kxy eacute realizada de maneira semelhante agrave
dos coeficientes de rigidez direta (CORREIA 2007) Poreacutem observa-se que os coeficientes kxy e
a folga radial tecircm uma relaccedilatildeo de proporcionalidade inversa para uma certa faixa operacional
descrita a seguir Desta forma o produto entre eles deve ser constante nesta faixa Sugere-se
assim um novo adimensional o ―coeficiente de rigidez cruzada adimensional modificado
definido por
onde Kxy eacute o coeficiente de rigidez cruzada dimensional c eacute a folga radial do mancal W eacute a
carga estaacutetica no mancal eacute a excentricidade adimensional no ponto de equiliacutebrio estaacutetico kxy
eacute o coeficiente de rigidez cruzada adimensional
81
A Figura 422 apresenta os resultados obtidos pelo MEF para o caacutelculo do coeficiente de rigidez
cruzada adimensional modificado dos mancais eliacutepticos para diferentes valores de folga
radial
Figura 422 ndash Coeficientes de rigidez cruzada adimensional modificado em funccedilatildeo da folga
radial dos mancais eliacutepticos
Observa-se que para a faixa onde os valores do coeficiente de rigidez cruzada
adimensional modificado satildeo aproximadamente constantes Apenas o uacuteltimo valor desta faixa
apresenta um desvio de 5 em relaccedilatildeo aos demais que variam menos de 1 Esta anaacutelise vale
de maneira anaacuteloga para ambos coeficientes de rigidez cruzada pois Kyx = -Kxy
Para os resultados computacionais dos coeficientes de amortecimento observa-se um padratildeo
semelhante ao identificado para os coeficientes de rigidez quando uma vez que nesta
faixa o coeficiente de amortecimento direto Cxx eacute proporcional ao coeficiente de rigidez cruzada
Kxy e o coeficiente de amortecimento cruzado Cxy eacute proporcional ao coeficiente de rigidez
direta Kxx Para investigar a faixa onde esta proporcionalidade eacute mantida eacute apresentado na
Figura 423 a razatildeo em funccedilatildeo da folga radial do mancal eliacuteptico Observa-se que para
a razatildeo eacute aproximadamente constante variando menos de 1 Este resultado
eacute ilustrado na Figura 423 sendo tambeacutem vaacutelido para a razatildeo
82
Figura 423 ndash Razatildeo CxyKxx em funccedilatildeo da folga radial dos mancais eliacutepticos
O amortecimento efetivo do mancal eacute um paracircmetro importante na anaacutelise da estabilidade
(VANCE 1988) definido pela expressatildeo 2ωCxxKxy onde Cxx eacute o coeficiente de amortecimento
direto (ou Cyy) e Kxy eacute o coeficiente de rigidez cruzada (ou -Kyx) Assim para concluir a anaacutelise
dos coeficientes de amortecimento em funccedilatildeo da folga radial eacute escolhido o amortecimento
efetivo como paracircmetro de desempenho Satildeo apresentados na Figura 424 os resultados do
amortecimento efetivo em funccedilatildeo da folga radial dos mancais eliacutepticos Novamente eacute observado
que para e0lt03 o amortecimento efetivo varia pouco menos de 1
Figura 424 ndash Amortecimento efetivo em funccedilatildeo da folga radial dos mancais eliacutepticos
83
Pode-se observar que os diversos paracircmetros analisados relacionados aos coeficientes de forccedila
dos mancais eliacutepticos variam pouco na faixa onde e este padratildeo natildeo eacute observado fora
desta faixa
422 Coeficientes de forccedila em funccedilatildeo da razatildeo de esbeltez dos mancais eliacutepticos
A razatildeo de esbeltez (LD) eacute um paracircmetro importante no projeto dos mancais hidrodinacircmicos
influenciando de maneira natildeo-linear nos seus coeficientes de forccedila (SAWICKI e RAO 2004)
No procedimento computacional proposto observa-se um padratildeo comum para alguns
paracircmetros de desempenho dos mancais eliacutepticos em funccedilatildeo da razatildeo de esbeltez
Eacute apresentada na Figura 425 a curva que relaciona a excentricidade adimensional do ponto de
equiliacutebrio estaacutetico ( ) com a razatildeo de esbeltez (LD) para os mancais analisados Observa-se um
valor de para LD = 045 que eacute uma razatildeo de esbeltez muito baixa conforme
observado nas aplicaccedilotildees industriais
Figura 425 ndash Excentricidade adimensional do ponto de equiliacutebrio estaacutetico dos mancais eliacutepticos em
funccedilatildeo da razatildeo de esbeltez
Na anaacutelise dos coeficientes de forccedila dos mancais em funccedilatildeo de LD identifica-se um padratildeo
comum para o amortecimento efetivo ( ) como ilustrado na Figura 426 Observa-se
que na faixa onde o amortecimento efetivo eacute aproximadamente constante variando no
maacuteximo 3
84
Figura 426 ndash Variaccedilatildeo do amortecimento efetivo em funccedilatildeo da razatildeo de esbeltez dos mancais eliacutepticos
Os resultados obtidos pelo MEF para o coeficiente de amortecimento cruzado adimensional (cxy)
mostram que existe uma relaccedilatildeo linear entre cxy e LD na faixa onde conforme
ilustrado na Figura 427 A linha tracejada indica o ajuste linear feito com os pontos desta faixa
no qual obteacutem-se um coeficiente de determinaccedilatildeo (R2) maior que 099 Embora os pontos na
faixa oposta (LD lt 045 e ) estejam tambeacutem aproximadamente alinhados natildeo foi
observado outro padratildeo comum nesta faixa
Figura 427 ndash Variaccedilatildeo do amortecimento cruzado adimensional em funccedilatildeo da razatildeo de esbeltez dos
mancais eliacutepticos
85
Os coeficientes de forccedila apresentados nesta seccedilatildeo obtidos pelo MEF implementado para os
mancais eliacutepticos apresentam uma clara relaccedilatildeo algeacutebrica com a razatildeo de esbeltez que se
manteacutem na faixa onde
423 Coeficientes de forccedila em funccedilatildeo da preacute-carga dos mancais eliacutepticos
Outro paracircmetro importante no projeto dos mancais hidrodinacircmicos eacute a preacute-carga (Mp) No
procedimento computacional proposto observa-se um padratildeo comum para alguns paracircmetros de
desempenho de mancais eliacutepticos em funccedilatildeo da preacute-carga
A Figura 428 apresenta a excentricidade adimensional do ponto de equiliacutebrio estaacutetico dos
mancais analisados para diferentes valores de preacute-carga (Mp) Observa-se um valor de
para Mp = 04
Figura 428 ndash Excentricidade adimensional do ponto de equiliacutebrio estaacutetico dos mancais eliacutepticos em
funccedilatildeo da preacute-carga
Na anaacutelise dos coeficientes de rigidez direta dos mancais para diferentes valores de Mp
observa-se uma relaccedilatildeo de proporcionalidade entre Mp e (kyy)23
e entre Mp e (kxx)12
como
ilustrado na Figura 429 Na faixa onde que corresponde a Mp lt 04 estas relaccedilotildees
algeacutebricas variam pouco Observa-se que nesta faixa a relaccedilatildeo de proporcionalidade entre Mp e
(kyy)23
varia no maacuteximo 4 e entre Mp e (kxx)12
varia no maacuteximo 7 Fora desta faixa as
variaccedilotildees satildeo maiores que 20
86
Figura 429 ndash Variaccedilatildeo da relaccedilatildeo de ajuste entre Mp kxx e kxy em funccedilatildeo da preacute-carga dos mancais eliacutepticos
Observa-se tambeacutem uma relaccedilatildeo linear entre o amortecimento efetivo ( ) e a preacute-
carga para valores de A Figura 436 apresenta estes resultados onde a linha tracejada
corresponde ao ajuste linear feito na faixa onde obtendo-se um coeficiente de
determinaccedilatildeo (R2) maior que 0999
Figura 430 ndash Variaccedilatildeo do amortecimento efetivo em funccedilatildeo da preacute-carga dos mancais eliacutepticos
Estes resultados obtidos pelo MEF implementado para os mancais eliacutepticos mostram que os
coeficientes de forccedila apresentam uma clara relaccedilatildeo algeacutebrica com a preacute-carga quando a
excentricidade adimensional ponto de equiliacutebrio estaacutetico eacute menor que 03
87
43 A influecircncia dos paracircmetros geomeacutetricos dos mancais eliacutepticos na resposta
desbalanceada
A resposta desbalanceada do sistema rotor-mancal eacute um importante paracircmetro operacional que
auxilia no projeto de maacutequinas rotativas pois informa o niacutevel de vibraccedilatildeo do sistema ao se
atravessar as velocidades criacuteticas Desta forma eacute fundamental uma anaacutelise da influecircncia dos
paracircmetros geomeacutetricos dos mancais eliacutepticos na resposta desbalanceada do sistema De fato
muitas turbomaacutequinas operam acima da primeira velocidade criacutetica e por isto os mancais devem
ser projetados para absorver as altas vibraccedilotildees provocadas pelo sistema quando ele passa pela
velocidade criacutetica
O procedimento computacional proposto neste trabalho permite predizer como os paracircmetros
geomeacutetricos dos mancais eliacutepticos influenciam a resposta desbalanceada Esta anaacutelise eacute realizada
atraveacutes dos resultados obtidos da integraccedilatildeo no tempo das equaccedilotildees do movimento
Satildeo selecionados a seguir alguns paracircmetros geomeacutetricos importantes no projeto de mancais
eliacutepticos e analisada a resposta desbalanceada do sistema rotor-mancal em funccedilatildeo destes
paracircmetros Inicialmente faz-se uma anaacutelise da influecircncia da preacute-carga dos mancais eliacutepticos na
razatildeo de amplificaccedilatildeo da resposta desbalanceada Em seguida eacute analisada a resposta
desbalanceada em funccedilatildeo da razatildeo de esbeltez dos mancais eliacutepticos e finalmente eacute analisada a
influecircncia da folga radial dos mancais eliacutepticos na resposta desbalanceada
431 A razatildeo de amplificaccedilatildeo da resposta desbalanceada em funccedilatildeo da preacute-carga
A resposta desbalanceada de rotores analisada para diferentes mancais eacute normalmente usada
como um paracircmetro de eficiecircncia dos mancais nas velocidades criacuteticas (FLACK e ROOKE
1980) Ela eacute a medida da amplitude de vibraccedilatildeo do sistema quando excitado pela forccedila de
desbalanceamento A reposta desbalanceada eacute analisada para o sistema apoiado em mancais
eliacutepticos sob diferentes valores de preacute-carga baseados em um exemplo de mancal eliacuteptico
apresentado em Machado(2006) A amplitude de vibraccedilatildeo eacute calculada atraveacutes do raio meacutedio das
oacuterbitas obtidas pelo procedimento numeacuterico Os paracircmetros do sistema satildeo apresentados na
Tabela 414 O rotor simulado natildeo possui discos massivos e estaacute apoiado em mancais
hidrodinacircmicos eliacutepticos como ilustrado na Figura 431
88
Figura 431 ndash Desenho esquemaacutetico do rotor sem disco massivo
Tabela 414 Paracircmetros do sistema rotor-mancal eliacuteptico utilizado na anaacutelise
d (diacircmetro do eixo) = 0015 m μ (viscosidade do lubrificante) = 27 x 10-3
Pas
L (comprimento do mancal) = 0012 m ρL (massa especiacutefica do lubrificante)= 915 kgmsup3
D (diacircmetro do mancal) = 0015 m ρ (massa especiacutefica do eixo) = 7850 kgmsup3
c1 (folga do mancal 1) = 24 μm c2 (folga do mancal 2) = 24 μm
Leixo (comprimento do eixo) = 0900m mu (massa desbalanceada) = 00035 kg
Ω (rotaccedilatildeo do rotor) = 2000 a 10000 rpm ud (excentricidade da massa desbalanceada) = 0035 m
E (Moacutedulo de Young do eixo) = 205x109 Pa Mp (preacute-carga dos mancais)=045
W (carga estaacutetica por mancal) = 612N
Para este exemplo eacute adotada uma malha de 80 elementos para o eixo e de 351 elementos para o
filme fluido composta por 40 noacutes circunferenciais e 10 noacutes axiais A excentricidade
adimensional do ponto de equiliacutebrio estaacutetico calculado eacute com um acircngulo de posiccedilatildeo
proacuteximo de zero Este ponto de equiliacutebrio eacute calculado de modo a garantir que a forccedila
hidrodinacircmica do filme fluido seja agrave carga estaacutetica W que eacute obtida dividindo-se o peso do eixo
pelo nuacutemero de mancais
A resposta desbalanceada (Figura 432) eacute calculada no mancal 1 considerando mancais eliacutepticos
com preacute-carga Mp=045 A amplitude adimensional eacute calculada dividindo-se a amplitude de
vibraccedilatildeo do eixo pela folga do mancal Os dois picos destacados na Figura 432 representam a
primeira e segunda velocidades criacuteticas do rotor
89
Figura 432 ndash Resposta desbalanceada calculada no mancal 1 do rotor apoiado em mancais eliacutepticos
com preacute-carga 045 (MIRANDA e FARIA 2012)
Uma vez identificadas as velocidades criacuteticas do rotor estuda-se a influecircncia da preacute-carga dos
mancais eliacutepticos na resposta desbalanceada com o rotor operando em torno da sua primeira
velocidade criacutetica A resposta desbalanceada para o sistema apoiado em mancais hidrodinacircmicos
eliacutepticos com diferentes valores de preacute-carga (Mp) eacute exibida na Figura 433 A curva superior
corresponde Mp=075 a curva intermediaacuteria corresponde a Mp=045 e a curva inferior
corresponde a Mp=045
Figura 433 ndash Resposta desbalanceada para diferentes valores de preacute-carga dos mancais eliacutepticos
(MIRANDA e FARIA 2012)
90
Os valores das amplitudes adimensionais satildeo calculadas na extremidade esquerda do eixo onde
ele estaacute apoiado no mancal 1 Observa-se que a amplitude na primeira velocidade criacutetica eacute mais
elevada para valores maiores de preacute-carga Poreacutem aleacutem de analisar a amplitude da vibraccedilatildeo eacute
importante tambeacutem investigar a razatildeo de amplificaccedilatildeo desta vibraccedilatildeo
A razatildeo de amplificaccedilatildeo da resposta desbalanceada na velocidade criacutetica eacute um paracircmetro
importante na anaacutelise da estabilidade do sistema rotor-mancal (ZEIDAN e PAQUETTE 1994)
Neste exemplo numeacuterico ela eacute calculada atraveacutes da relaccedilatildeo entre a resposta desbalanceada na
primeira velocidade criacutetica e na rotaccedilatildeo de 2000rpm A rotaccedilatildeo de 2000rpm eacute escolhida como
referecircncia pelo fato de representar uma rotaccedilatildeo onde a amplitude de vibraccedilatildeo apresenta pouca
influecircncia da velocidade criacutetica A razatildeo de amplificaccedilatildeo permite inferir sobre a capacidade do
mancal eliacuteptico atenuar a resposta desbalanceada do rotor ao passar pela velocidade criacutetica o
que eacute uma caracteriacutestica importante dos mancais hidrodinacircmicos (STERNLICHT e LEWIS
1968 VANCE 1988 CORREIA 2007) A Figura 434 apresenta os valores da razatildeo de
amplificaccedilatildeo para o exemplo estudado com diferentes valores de preacute-carga nos mancais A preacute-
carga zero representa o caso particular de mancal ciliacutendrico
Figura 434 ndashRazatildeo de amplificaccedilatildeo da resposta desbalanceada na primeira velocidade criacutetica para o
rotor apoiado em mancais eliacutepticos (MIRANDA e FARIA 2012)
Observa-se uma menor razatildeo de amplificaccedilatildeo (maior atenuaccedilatildeo) da resposta desbalanceada na
primeira velocidade criacutetica para uma preacute-carga de 045 A literatura teacutecnica apresenta uma
recomendaccedilatildeo de aplicaccedilatildeo de mancais eliacutepticos com preacute-carga de aproximadamente 05 por
apresentar melhor estabilidade (PINKUS 1956 ALLAIRE e FLACK 1981) Portanto para o
91
exemplo de rotor analisado este resultado mostra uma concordacircncia entre os valores obtidos
pelo MEF para a razatildeo de amplificaccedilatildeo e a recomendaccedilatildeo da literatura no que diz respeito agrave
estabilidade de mancais eliacutepticos
432 A resposta desbalanceada em funccedilatildeo da razatildeo de esbeltez dos mancais eliacutepticos
A resposta desbalanceada do sistema rotor-mancal eacute analisada para o rotor da Figura 435
composto por um eixo flexiacutevel apoiado nas extremidades por mancais hidrodinacircmicos eliacutepticos
e com um disco massivo acoplado em uma posiccedilatildeo assimeacutetrica Esta posiccedilatildeo assimeacutetrica eacute
escolhida para se evitar soluccedilotildees particulares restritas a rotores com simetria axial Os
paracircmetros do rotor satildeo apresentados na Tabela 415 onde os paracircmetros baacutesicos dos mancais
eliacutepticos satildeo idecircnticos aos apresentados por Correia(2006)
Figura 435 ndashDesenho esquemaacutetico do rotor com disco massivo em posiccedilatildeo assimeacutetrica
A resposta desbalanceada eacute calculada atraveacutes da amplitude adimensional de vibraccedilatildeo do rotor
operando na primeira velocidade criacutetica (VC) apoiado mancais eliacutepticos com diferentes razotildees
de esbeltez (LD) A amplitude adimensional eacute obtida dividindo-se a amplitude de vibraccedilatildeo pela
folga do mancal
92
Tabela 415ndash Paracircmetros do rotor com mancais eliacutepticos
Paracircmetro Descriccedilatildeo Valor Unidade
leixo comprimento do eixo (vatildeo) 090 m
d diacircmetro do eixo 0015 m
L comprimento do mancal (variaacutevel) m
D diacircmetro do mancal 010 m
c1 folga do mancal 75 x 10-6
m viscosidade do lubrificante 84 x 10
-3 Pamiddots
massa especiacutefica do lubrificante 892 kgmsup3
E moacutedulo de elasticidade do eixo 205 x 109 Pa
coeficiente de Poisson do eixo 03 -
massa especiacutefica do eixo 7850 kgmsup3
W
w
carga estaacutetica em cada mancal
rotaccedilatildeo
100
2000
N
rpm
Para este exemplo eacute adotada uma malha de 80 elementos para o eixo e de 210 a 2100 elementos
para o filme fluido dependendo da razatildeo de esbeltez LD de modo a garantir menos de 1 de
erro relativo Os pontos de equiliacutebrio estaacuteticos satildeo mostrados na Figura 437
A integraccedilatildeo numeacuterica das equaccedilotildees de movimento permitem obter as amplitudes de vibraccedilatildeo
do rotor na primeira velocidade criacutetica (VC) Satildeo apresentadas na Figura 436 em escala log-log
a amplitude adimensional da resposta desbalanceada calculada no mancal 1 para o rotor
operando na primeira VC em funccedilatildeo da razatildeo de esbeltez (LD) dos mancais Satildeo considerados
trecircs tipos de mancais eliacutepticos com valores de preacute-carga Mp=0 Mp=045 Mp=090
Figura 436 ndash Amplitude de vibraccedilatildeo na primeira VC
em funccedilatildeo da razatildeo de esbeltez dos mancais eliacutepticos
93
Na Figura 436 observa-se que os pontos se mantecircm alinhados e proacuteximos das curvas de ajuste
para os valores de LD maiores que 04 que foi destacado no eixo horizontal Como a escala eacute
logariacutetmica em ambos eixos isto natildeo indica uma linearidade mas alguma relaccedilatildeo de potecircncia
entre a amplitude na VC e a razatildeo de esbeltez dos mancais A linha traccedilo-ponto apresentada no
graacutefico representa o ajuste feito para os valores obtidos com Mp=090 e a linha tracejada
representa o ajuste feito para os valores obtidos com Mp=0 O ajuste de curvas mostra que haacute
uma relaccedilatildeo cuacutebica inversa entre a amplitude da resposta desbalanceada (Ampl) e a razatildeo de
esbeltez (LD) do mancal com um coeficiente de determinaccedilatildeo R2 maior que 0999 Desta
forma eacute possiacutevel predizer o valor da amplitude calculada dentro desta faixa pela expressatildeo
onde a constante a depende da preacute-carga (Mp) do mancal eliacuteptico
Observa-se ainda pela Figura 436 que os pontos satildeo bem alinhados para as curvas de ajuste
obtidas para valores de LDgt04 E esta faixa de valores de razatildeo de esbeltez corresponde agrave
faixa onde a excentricidade adimensional no ponto de equiliacutebrio estaacutetico eacute menor que 035
Este valor eacute proacuteximo ao obtido nas anaacutelises apresentadas nas subseccedilotildees anteriores onde se
observa uma relaccedilatildeo algeacutebrica repetitiva para os paracircmetros de desempenho dos mancais na
faixa
O resultado apresentado na Figura 436 mostra tambeacutem que o procedimento baseado no MEF
pode ser usado na prediccedilatildeo da influecircncia da razatildeo de esbeltez dos mancais eliacutepticos na resposta
desbalanceada do sistema rotor-mancal o que eacute importante na anaacutelise de alteraccedilotildees de projetos
de maacutequinas rotativas
Outro resultado importante eacute destacado a seguir Constata-se que a excentricidade adimensional
do ponto de equiliacutebrio estaacutetico apresenta uma relaccedilatildeo cuacutebica inversa com o valor de LD Esta
relaccedilatildeo proveacutem dos ajustes de curva apresentados na Figura 437 onde pode-se observar os
valores calculados para em funccedilatildeo de LD A linha fina horizontal equivale a
94
Figura 437 ndash Curvas de ajuste da excentricidade adimensional do ponto de equiliacutebrio estaacutetico em
funccedilatildeo da razatildeo de esbeltez dos mancais eliacutepticos
Eacute observado que os pontos do graacutefico seguem alinhados com as curvas de ajuste para valores de
para o mancal ciliacutendrico (Mp=0) e vatildeo se afastando deste alinhamento para valores
maiores de Para os mancais eliacutepticos o valor os pontos seguem alinhados com a curva de
ajuste para valores de um pouco maiores Como o graacutefico estaacute em escala log-log o fato das
curvas de ajuste serem retas natildeo significa uma relaccedilatildeo de linearidade De fato a relaccedilatildeo entre
e LD identificada para este exemplo eacute
onde a eacute uma constante de proporcionalidade que varia com a preacute-carga Esta relaccedilatildeo eacute vaacutelida
para os trecircs valores de preacute-carga considerados neste exemplo Tendo em vista esta relaccedilatildeo
define-se como ―razatildeo de ajuste o valor para se examinar em qual faixa de
excentricidade esta razatildeo eacute mantida aproximadamente constante A Figura 438 ilustra como a
razatildeo de ajuste varia em funccedilatildeo de Satildeo incluiacutedas linhas tracejadas para auxiliar na
observaccedilatildeo do alinhamento dos pontos Eacute possiacutevel perceber que a razatildeo de ajuste eacute
aproximadamente constante ateacute um certo valor de que varia com a preacute-carga Mp
95
Figura 438 ndash Razatildeo de ajuste de LD em funccedilatildeo da excentricidade adimensional do ponto de
equiliacutebrio estaacutetico dos mancais
Para melhor identificar um valor limite de ( ) satildeo apresentados na Figura 442 os valores dos
erros relativos da razatildeo de ajuste em funccedilatildeo da excentricidade adimensional do ponto de
equiliacutebrio estaacutetico Estes erros indicam o quanto os pontos da Figura 438 estatildeo distantes das
retas de referecircncia ou seja o quanto cada valor estaacute distante do ajuste de curva calculado
Figura 439 ndash Erros relativos da razatildeo de ajuste de LD em funccedilatildeo da excentricidade adimensional do
ponto de equiliacutebrio estaacutetico dos mancais
96
Percebe-se que os mancais eliacutepticos analisados (Mp=090 e Mp=045) desviam menos do ajuste
de curva do que o mancal ciliacutendrico (Mp=0) Pelas curvas da Figura 439 observa-se que os
mancais eliacutepticos analisados quando possuem um valor apresentam um desvio
pequeno em relaccedilatildeo agrave curva de ajuste proacuteximo de 5 Esta faixa de equivale agrave faixa
identificada nos demais resultados apresentados neste trabalho onde satildeo observadas relaccedilotildees
algeacutebricas que se manteacutem com aproximadamente 5 de precisatildeo Este desvio pode estar
relacionado com alguma perturbaccedilatildeo numeacuterica do procedimento computacional implementado
que leva a resultados menos confiaacuteveis para valores elevados de excentricidade principalmente
quando
433 A resposta desbalanceada em funccedilatildeo da folga radial dos mancais eliacutepticos
A resposta desbalanceada do sistema rotor-mancal eacute analisada nesta seccedilatildeo em funccedilatildeo da folga
radial nos mancais A folga tem uma forte influecircncia nos coeficientes de forccedila dos mancais
hidrodinacircmicos o que provoca uma variaccedilatildeo nos niacuteveis de vibraccedilatildeo do sistema principalmente
nas velocidades criacuteticas Os paracircmetros do sistema analisado satildeo apresentados na Tabela 415
exceto o comprimento dos mancais que foi fixado em 75mm e a folga passou a ser variaacutevel O
rotor ilustrado esquematicamente na Figura 435
Satildeo considerados trecircs tipos de mancais eliacutepticos com preacute-cargas (Mp) de 0 045 e 090 As
amplitudes de vibraccedilatildeo satildeo calculadas no Mancal 1 para o rotor operando na primeira
velocidade criacutetica As amplitudes satildeo apresentadas de maneira adimensional na Figura 440 em
escala logariacutetmica onde a linha traccedilo-ponto apresentada no graacutefico representa o ajuste feito para
os valores obtidos com Mp=090 e a linha tracejada representa o ajuste para os valores obtidos
com Mp=0 Natildeo eacute apresentada a linha do ajuste para MP=045 por motivos esteacuteticos Para os
trecircs valores de Mp eacute identificada uma relaccedilatildeo quadraacutetica entre a amplitude adimensional da
resposta desbalanceada e a folga radial dos mancais
97
Figura 440 ndash Amplitude de vibraccedilatildeo na primeira VC
em funccedilatildeo da folga radial dos mancais
Eacute observado na Figura 440 que os pontos se manteacutem alinhados e proacuteximos das curvas de
ajuste para os valores de folga de ateacute aproximadamente 150 m Como a escala eacute logariacutetmica em
ambos eixos isto natildeo indica uma linearidade mas sim a relaccedilatildeo quadraacutetica identificada pelo
ajuste de curva
Na anaacutelise da excentricidade em funccedilatildeo da folga radial c eacute tambeacutem identificada uma relaccedilatildeo
quadraacutetica dada pela expressatildeo onde a eacute uma constante de proporcionalidade que
varia com a preacute-carga Mp Tendo em vista esta relaccedilatildeo define-se uma nova ―razatildeo de ajuste
pela expressatildeo para se analisar em qual faixa de excentricidade esta razatildeo eacute mantida
aproximadamente constante A Figura 441 apresenta os valores obtidos para a razatildeo de ajuste
em funccedilatildeo de Satildeo incluiacutedas linhas tracejadas para auxiliar na observaccedilatildeo do alinhamento
dos pontos Eacute possiacutevel perceber que a razatildeo de ajuste eacute aproximadamente constante ateacute um certo
valor de que varia com a preacute-carga Mp
98
Figura 441 ndash Razatildeo de ajuste da folga radial em funccedilatildeo da excentricidade adimensional do ponto de
equiliacutebrio estaacutetico dos mancais
Para melhor identificar um valor limite de satildeo apresentados na Figura 442 os valores dos
erros relativos da razatildeo de ajuste em funccedilatildeo de Estes erros indicam o quanto os pontos da
Figura 441 estatildeo distantes das retas de referecircncia ou seja o quanto cada valor estaacute distante do
ajuste de curva calculado
Figura 442 ndash Erros relativos da razatildeo de ajuste da folga radial em funccedilatildeo da excentricidade
adimensional do ponto de equiliacutebrio estaacutetico dos mancais
99
Eacute observado novamente que os mancais eliacutepticos analisados (Mp=090 e Mp=045) desviam
menos do ajuste de curva do que o mancal ciliacutendrico (Mp=0) e que para uma excentricidade
adimensional os mancais eliacutepticos apresentam um desvio pequeno em relaccedilatildeo agrave curva
de ajuste proacuteximo de 5 Este resultado eacute muito parecido com aquele identificado na seccedilatildeo
anterior onde eacute analisada a resposta desbalanceada em funccedilatildeo da razatildeo de esbeltez LD dos
mancais
A literatura teacutecnica afirma que sob determinadas condiccedilotildees operacionais os mancais eliacutepticos
apresentam uma faixa de operaccedilatildeo mais ampla do que os mancais ciliacutendricos (CORREIA 2007)
Desta forma pode-se estabelecer uma relaccedilatildeo entre os resultados obtidos pelo MEF
implementado e esta afirmaccedilatildeo da literatura se for considerado que o desvio em relaccedilatildeo agrave curva
de ajuste estaacute relacionado com algum tipo de limitaccedilatildeo operacional
100
5 CONCLUSOtildeES
O procedimento computacional aqui desenvolvido baseado no MEF permite predizer o
comportamento dinacircmico de diferentes tipos de rotores compostos por eixo flexiacutevel discos
massivos e mancais hidrodinacircmicos de perfil ciliacutendrico ou eliacuteptico Os resultados produzidos
permitem validar o modelo pela comparaccedilatildeo com valores experimentais coletados em uma
bancada de teste e tambeacutem com valores publicados na literatura
O presente trabalho apresenta uma importante contribuiccedilatildeo na anaacutelise de sistemas rotor-mancal
pelo fato de investigar o sistema rotativo de maneira ampla tanto para o eixo flexiacutevel quanto
para os mancais Satildeo considerados no modelo do eixo flexiacutevel os efeitos de deformaccedilatildeo por
cisalhamento ineacutercia rotatoacuteria e efeito giroscoacutepico e para o modelo dos mancais
hidrodinacircmicos ciliacutendricos e eliacutepticos satildeo considerados todos os coeficientes de forccedila
independentes sem o uso de teorias simplificadas como os modelos de mancal curto ou de
mancal longo
Este procedimento computacional eacute muito uacutetil natildeo apenas para se determinar a resposta
desbalanceada de rotores como tambeacutem para se avaliar a viabilidade de alteraccedilotildees de projeto
capazes de melhorar o comportamento dinacircmico de maacutequinas rotativas
Os coeficientes de forccedila dos mancais hidrodinacircmicos desempenham um importante papel no
projeto de maacutequinas rotativas na previsatildeo de sua capacidade de suportar vibraccedilotildees e de operar
em condiccedilotildees estaacuteveis Os resultados apresentados neste trabalho mostram claramente a
influecircncia dos paracircmetros geomeacutetricos dos mancais hidrodinacircmicos de geometria fixa
ciliacutendricos e eliacutepticos nos seus coeficientes de forccedila e na resposta desbalanceada do sistema
rotativo
Os resultados numeacutericos obtidos pelo MEF aqui desenvolvido apresentam um erro relativo de
aproximadamente 4 para as frequecircncias naturais em relaccedilatildeo aos resultados experimentais e da
literatura
A anaacutelise da influecircncia da folga radial dos mancais eliacutepticos nos coeficientes de forccedila mostra
que os coeficientes de rigidez direta adimensionais variam pouco dentro da faixa operacional
onde a excentricidade adimensional do ponto de equiliacutebrio estaacutetico (e0) eacute menor que 03 Acima
deste valor os coeficientes de rigidez direta adimensionais diminuem consideravelmente
101
Observa-se ainda que o coeficiente de rigidez cruzado adimensional (kxy) eacute inversamente
proporcional ao e0 o que permite introduzir um novo adimensional o ―coeficiente de rigidez
cruzada adimensional modificado definido por xy=e0kxy Este coeficiente tambeacutem apresenta
valores aproximadamente constantes quando se varia a folga do mancal eliacuteptico dentro da faixa
onde e0lt03 Tambeacutem satildeo observados valores aproximadamente constantes para a razatildeo CxyKxx
e para o amortecimento efetivo ( ) quando se varia a folga mantendo-se e0lt03
A anaacutelise da influecircncia da razatildeo de esbeltez (LD) dos mancais eliacutepticos nos coeficientes de
forccedila permite observar que o amortecimento efetivo ( ) e o coeficiente de
amortecimento cruzado adimensional (cxy) dos mancais eliacutepticos seguem um padratildeo comum
quando e0lt03 Para o amortecimento efetivo os valores satildeo aproximadamente constantes
enquanto para cxy observa-se uma relaccedilatildeo linear entre cxy e e0 nesta faixa
Na anaacutelise da influecircncia da preacute-carga (Mp) dos mancais eliacutepticos nos coeficientes de forccedila
observa-se uma proporcionalidade entre Mp e (kyy)23
e entre Mp e (kxx)12
na faixa onde
Eacute identificado tambeacutem que o amortecimento efetivo ( ) varia linearmente com Mp
nesta faixa
Eacute mostrado atraveacutes de um exemplo de rotor flexiacutevel apoiado em mancais eliacutepticos que a razatildeo
de amplificaccedilatildeo da resposta desbalanceada atinge um miacutenimo para um exemplo de mancal com
Mp=045 A literatura teacutecnica apresenta uma recomendaccedilatildeo de aplicaccedilatildeo de mancais eliacutepticos
com preacute-carga de aproximadamente 05 por apresentar melhor estabilidade (PINKUS 1956
ALLAIRE e FLACK 1981) Portanto para o exemplo de rotor analisado este resultado mostra
uma concordacircncia entre os valores obtidos pelo MEF para a razatildeo de amplificaccedilatildeo e a
recomendaccedilatildeo da literatura no que diz respeito agrave estabilidade de mancais eliacutepticos
A anaacutelise da resposta desbalanceada permite observar que a amplitude de vibraccedilatildeo na primeira
velocidade criacutetica eacute proporcional a (LD)-3
e tambeacutem proporcional ao quadrado da folga radial
(c2) na faixa onde Esta proporcionalidade eacute mantida em uma faixa operacional mais
ampla para os mancais eliacutepticos do que para os mancais ciliacutendricos analisados
Este resultado de aproximadamente 03 encontra respaldo na literatura teacutecnica que afirma que o
procedimento linearizado de perturbaccedilatildeo em torno da posiccedilatildeo de equiliacutebrio eacute vaacutelido para ateacute
102
40 da folga do mancal (LUND1987) Esta observaccedilatildeo eacute tambeacutem destacada no trabalho de
Sawicki e Rao (2004) Aleacutem disso Furukawa et al (1996) observam que a natildeo linearidade do
filme fluido produz grandes diferenccedilas entre os valores calculados e os medidos
experimentalmente em especial na regiatildeo de alta excentricidade
Desta forma sugere-se para trabalhos futuros a investigaccedilotildees mais aprofundadas sobre os
efeitos dinacircmicos que ocorrem quando o ponto de equiliacutebrio estaacutetico ultrapassa o limite de 40
da folga do mancal O meacutetodo aqui implementado adota um procedimento de perturbaccedilatildeo linear
em torno da posiccedilatildeo de equiliacutebrio obtendo equaccedilotildees de lubrificaccedilatildeo de ordem zero e de primeira
ordem baseadas na equaccedilatildeo de Reynolds Sugere-se ainda a implementaccedilatildeo de um modelo que
considere termos de ordem superior na obtenccedilatildeo das equaccedilotildees de lubrificaccedilatildeo ou que adote
algum outro modelo natildeo-linear
Sugere-se ainda aplicar a metodologia deste trabalho em outros procedimentos computacionais
para observar faixas onde os resultados possam apresentar padrotildees repetitivos Sugere-se
investigar a existecircncia de relaccedilotildees algeacutebricas entre os paracircmetros do sistema e os resultados e
que possam se manter vaacutelidas dentro de uma faixa de valores
Outras abordagens que podem ampliar os resultados do presente trabalho incluem a anaacutelise de
mancais hidrodinacircmicos de geometria variaacutevel com fluidos natildeo-newtonianos e a anaacutelise de
efeitos teacutermicos nos paracircmetros de desempenho destes mancais
Os resultados deste trabalho fornecem subsiacutedio agrave aacuterea de projeto de maacutequinas rotativas uma vez
que o procedimento computacional desenvolvido permite predizer seu comportamento dinacircmico
para diversas condiccedilotildees operacionais
103
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112
ANEXO A - Fundamentos da Teoria de Viga
Neste Anexo satildeo apresentadas de maneira breve as expressotildees das teorias de viga de Euler-
Bernoulli de Rayleigh e de Timoshenko A Teoria de Viga de Timoshenko eacute a forma mais
completa representando a vibraccedilatildeo lateral de vigas a partir da qual podem-se derivar as outras
duas teorias como casos particulares desta (BORU 2010)
A1 Teoria de Viga de Euler-Bernoulli
A Teoria de Viga de Euler-Bernoulli foi formulada no seacuteculo XVIII e o detalhamento de sua
derivaccedilatildeo eacute apresentado em Clough e Penzien (1975) e em Meirovitch (1967)
Considere a viga ilustrada na Fig A1 sob a accedilatildeo de uma carga distribuiacuteda variaacutevel q(xt) e uma
deflexatildeo lateral v(xt) na direccedilatildeo y As propriedades da viga satildeo sua rigidez agrave flexatildeo EI(x) e a
massa especiacutefica A(x)
Figura A1 - Viga de Euler-Bernoulli sob carregamento distribuiacutedo (Boru 2010)
113
A2 Teoria de Viga de Rayleigh
A Teoria de Viga de Rayleigh considera a ineacutercia rotacional da viga aleacutem da ineacutercia
translacional Assim para um modelo dinacircmico de uma viga em rotaccedilatildeo as frequecircncias naturais
seratildeo mais bem representadas
A equaccedilatildeo da Teoria de Viga de Rayleigh eacute definida por
Se for considerado o caso da viga com seccedilatildeo transversal uniforme ao longo de x a equaccedilatildeo
(A3) eacute simplificada para a forma
A Teoria de Viga de Rayleigh eacute uma extensatildeo da teoria de Euller-Bernoulli o que pode ser
observado comparando-se os trecircs primeiros termos da equaccedilatildeo (A4) com a equaccedilatildeo (A2) O
termo adicional da equaccedilatildeo (A4) eacute relativo agrave ineacutercia rotatoacuteria
A3 Teoria de Viga de Timoshenko
A inclusatildeo da ineacutercia rotatoacuteria nos modelos dinacircmicos foi considerada insuficiente para se
melhorar os resultados do caacutelculo da frequecircncia natural de vigas (BORU 2010) Assim foi
proposto incluir o efeito de deformaccedilatildeo por cisalhamento o que aumenta a flexibilidade do
elemento de viga Este modelo levou agrave Teoria de Viga de Timoshenko Assim as frequecircncias
naturais reduziram o suficiente para se aproximar daquelas obtidas experimentalmente
(TRAILL-NASH e COLLAR 1953)
A Teoria de Viga de Timoshenko considera que a deformaccedilatildeo por cisalhamento em uma seccedilatildeo
transversal eacute diretamente proporcional agrave forccedila de cisalhamento para materiais isotroacutepicos com
propriedades lineares atraveacutes da expressatildeo
(A5)
(A3)
(A4)
114
A constante depende da forma da seccedilatildeo transversal da viga podendo assumir valores como
1113 para seccedilotildees circulares e 56 para seccedilotildees retangulares O termo representa a aacuterea
efetiva de cisalhamento da seccedilatildeo transversal
Considerando a seccedilatildeo transversal da viga uniforme a expressatildeo da Teoria de Viga de
Timoshenko eacute dada por
Pode-se observar que as duas teorias de viga anteriormente apresentadas satildeo casos particulares
da teoria de viga de Timoshenko Se a viga natildeo sofrer deformaccedilatildeo por cisalhamento o que
implica em considerar que sua resistecircncia ao cisalhamento eacute muito grande basta fazer e
os dois uacuteltimos termos seratildeo nulos levando agrave teoria de vigas de Rayleigh
Deformaccedilatildeo por cisalhamento e
ineacutercia rotatoacuteria combinados
Teoria de Euler-Bernoulli
Teoria de Rayleigh
Deformaccedilatildeo por cisalhamento
115
ANEXO B ndash Funccedilotildees de Interpolaccedilatildeo
As funccedilotildees de interpolaccedilatildeo para o problema de flexatildeo satildeo obtidas do problema estaacutetico da viga
considerando os efeitos de flexatildeo e cisalhamento simultaneamente (FARIA 1990) Estas
funccedilotildees satildeo descritas a seguir
Denota-se por a variaacutevel adimensionals que descreve a posiccedilatildeo de uma seccedilatildeo transversal
qualquer do elemento em relaccedilatildeo agrave sua extremidade inicial Sendo a variaacutevel que define cada
seccedilatildeo do elemento de rotor a partir do noacute inicial e l o comprimento do elemento a variaacutevel
adimensional eacute dada por
Para as funccedilotildees de interpolaccedilatildeo de flexatildeo no plano de deflexatildeo satildeo considerados os efeitos de
cisalhamento transversal fx e fy distintos
onde A eacute a aacuterea da seccedilatildeo transversal G eacute o modulo de elasticidade ao cisalhamento l eacute o
comprimento do elemento E eacute o moacutedulo de elasticidade I eacute o momento de ineacutercia e K eacute o fator
de forma do cisalhamento transversal Para a seccedilatildeo transversal circular (COUPER 1966)
onde eacute o coeficiente de Poisson
B1 - Funccedilotildees de Interpolaccedilatildeo para o deslocamento linear unitaacuterio no primeiro noacute
As funccedilotildees de interpolaccedilatildeo satildeo obtidas como descrito a seguir (FARIA 1990)
116
Figura B1 ndash Deslocamento linear unitaacuterio no primeiro noacute
As equaccedilotildees diferenciais para o deslocamento linear unitaacuterio no primeiro noacute (Fig B1) satildeo
escritas na seguinte forma
(B1)
(B2)
onde Vf e Vc satildeo as contribuiccedilotildees de flexatildeo e de cisalhamento respectivamente e V=Vf+Vc A
soluccedilatildeo das equaccedilotildees eacute escrita como
onde C1 e C2 satildeo constantes de integraccedilatildeo As condiccedilotildees de contorno do problema satildeo
Em s = = 0 e
Em s = l
Obteacutem-se assim a expressatildeo
que derivada em relaccedilatildeo agrave posiccedilatildeo leva a
117
B2 - Funccedilotildees de Interpolaccedilatildeo para o deslocamento angular unitaacuterio no primeiro noacute
As funccedilotildees de interpolaccedilatildeo satildeo obtidas como descrito a seguir Considere as condiccedilotildees
de contorno
Em s = 0 V=0 e Vrsquo=Vf
Em s = l V=0 e Vrsquo=Vc
Figura B2 ndash Deslocamento angular unitaacuterio no primeiro noacute
Considerando-se as equaccedilotildees (B1) e (B2) e as condiccedilotildees de contorno obteacutem-se
e a equaccedilatildeo da linha elaacutestica eacute escrita como
Entatildeo
118
e para se obter basta derivar a equaccedilatildeo elaacutestica
Mas como a rotaccedilatildeo em s = 0 possui o seguinte valor
deve-se adicionar a deformaccedilatildeo
em EIyVrsquo para se obter a rotaccedilatildeo das seccedilotildees Obteacutem-se entatildeo
B3 - Funccedilotildees de Interpolaccedilatildeo para o deslocamento linear unitaacuterio no segundo noacute
As funccedilotildees de interpolaccedilatildeo satildeo obtidas como descrito a seguir
Figura B3 ndash Deslocamento linear unitaacuterio no segundo noacute
As equaccedilotildees diferenciais para o deslocamento linear unitaacuterio no segundo noacute (Fig B3) satildeo
escritas na seguinte forma
119
(B3)
(B4)
A soluccedilatildeo geral das equaccedilotildees eacute escrita como
As condiccedilotildees de contorno satildeo dadas por
Em s = 0
Em s = l
Obteacutem-se assim a equaccedilatildeo elaacutestica
e a expressatildeo de
que derivada em relaccedilatildeo agrave posiccedilatildeo leva a
B1 - Funccedilotildees de Interpolaccedilatildeo para o deslocamento angular unitaacuterio no segundo noacute
As funccedilotildees de interpolaccedilatildeo satildeo obtidas como descrito a seguir
Obteacutem-se as equaccedilotildees diferenciais atraveacutes da Figura B4
(B5)
(B6)
120
Figura B4 ndash Deslocamento angular unitaacuterio no segundo noacute
A soluccedilatildeo geral das equaccedilotildees (B5) e (B6) eacute escrita como
As condiccedilotildees de contorno satildeo dadas por
Em s = 0 e
Em s = l e
Obteacutem-se assim a equaccedilatildeo elaacutestica
e a expressatildeo de
Para se obter deriva-se a equaccedilatildeo elaacutestica em relaccedilatildeo agrave posiccedilatildeo
Mas como a rotaccedilatildeo em s = 0 possui o valor
deve-se adicionar a deformaccedilatildeo
121
em EIyVrsquo para se obter a rotaccedilatildeo das seccedilotildees Obteacutem-se entatildeo
122
ANEXO C ndash Matrizes de Elementos Finitos do Rotor
Satildeo apresentadas a seguir as matrizes do elemento finito de rotor para elementos de eixo
baseados na teoria de viga de Timoshenko (NELSON 1980 FARIA 1990) Considera-se o eixo
simeacutetrico ( Ix=Iy=I ) o efeito de cisalhamento isotroacutepico ( fx=fy=f ) e as seguintes constantes
I = momento meacutedio de ineacutercia de aacuterea da seccedilatildeo transversal
Idm= momento diametral de ineacutercia de massa por unidade de comprimento
Ip = momento polar de ineacutercia de massa por unidade de comprimento
f = efeito de cisalhamento
l = comprimento do elemento
E = moacutedulo de elasticidade
= massa especiacutefica
A = aacuterea da seccedilatildeo transversal
coordenadas generalizadas no sistema rotativo
coordenadas generalizadas no sistema inercial
C1 ndash Matriz de ineacutercia de translaccedilatildeo
A matriz Me representativa da ineacutercia de translaccedilatildeo do elemento finito do rotor eacute obtida pela
integraccedilatildeo da expressatildeo da energia cineacutetica TM do elemento finito do rotor dada por
Usando as funccedilotildees de interpolaccedilatildeo na expressatildeo da energia cineacutetica obteacutem-se a matriz TM que
satisfaz agrave expressatildeo
A matriz Me eacute simeacutetrica e descrita como
123
[Me] =
onde
C2 ndash Matriz de ineacutercia de rotaccedilatildeo
A matriz de ineacutercia de rotaccedilatildeo do elemento finito do rotor eacute obtida pela substituiccedilatildeo das funccedilotildees
de interpolaccedilatildeo na expressatildeo da energia cineacutetica TN do elemento finito dada por
Usando as funccedilotildees de interpolaccedilatildeo na expressatildeo da energia cineacutetica obteacutem-se a matriz Ne
124
representativa da ineacutercia de rotaccedilatildeo do elemento que satisfaz agrave expressatildeo
A matriz Ne eacute simeacutetrica e descrita como
[Ne] =
onde
C3 ndash Matriz de efeitos giroscoacutepicos
A matriz Ge representativa dos efeitos giroscoacutepicos do elemento finito do rotor eacute obtida pela
relaccedilatildeo
onde a matriz [He] eacute obtida pela integraccedilatildeo da expressatildeo da energia cineacutetica TG do elemento
finito do rotor dada por
onde eacute a rotaccedilatildeo do rotor IP eacute o momento polar de ineacutercia da seccedilatildeo satildeo os vetores
125
rotaccedilatildeo da seccedilatildeo em torno dos eixos x e y Aplicando as funccedilotildees de interpolaccedilatildeo na expressatildeo
da energia cineacutetica obteacutem-se a matriz [He] que satisfaz agrave expressatildeo
A matriz eacute anti-simeacutetrica e descrita como
[Ge] =
onde
C4 ndash Matriz de rigidez
A matriz de rigidez do elemento finito do rotor Ke eacute obtida integrando-se a energia potencial
elaacutestica V ao longo do comprimento do elemento usando as funccedilotildees de interpolaccedilatildeo Obteacutem-se
a matriz Ke que satisfaz agrave expressatildeo
126
A matriz Ke eacute simeacutetrica e descrita como
[Ke] =
127
ANEXO D ndash Meacutetodo Numeacuterico de Newmark
Neste Anexo apresenta-se inicialmente o algoritmo de meacutetodo de Newmark usado para a
integraccedilatildeo numeacuterica no tempo da equaccedilatildeo do movimento Eq(1) conforme Bathe (1982)
Posteriormente satildeo mostrados os criteacuterios adotados no presente trabalho para garantir a
convergecircncia do meacutetodo sem um elevado custo computacional
A) Valores iniciais
Passo 1 Valores iniciais para os vetores deslocamento velocidade e aceleraccedilatildeo U0
U
0 U
0
Passo 2 Defina um intervalo de tempo Δt e os paracircmetros α e δ tais que
δ ge 050 α ge 025(05 + δ)sup2
Passo 3 Calcule as constantes
20
1a
t
t1a
t
1a 2
12
1a 3
1a 4
22
ta 5 )1(ta 6 ta7
Passo 4 Crie a matriz de rigidez efetiva KK=K + a0M + a1C
B) Para cada iteraccedilatildeo no tempo Δt
Passo 1 Calcule a carga efetiva RR no instante t + Δt
t+ΔtRR =
t+ΔtR + M(a0
tU + a2
t U
+ a3 t U
) + C(a1 tU + a4
t U
+ a5 t U
)
Passo 2 Resolva a equaccedilatildeo abaixo para obter o vetor deslocamento U em t + Δt
KK
t+Δt U = t+Δt
RR
Passo 3 Calcule os vetores velocidade e aceleraccedilatildeo em t + Δt
t+Δt U = a0 (
t+Δt U - tU)- a2 t U - a3
t U
t+Δt U =
t U + a6
t U
+ a7 t+Δt U
128
Para se garantir a convergecircncia do meacutetodo foram adotados os paracircmetros 41α e δ=12 que
satildeo os paracircmetros de integraccedilatildeo que possibilitam estabilidade incondicional para o procedimento
de integraccedilatildeo de Newmark (BATHE 1982) Eacute importante fazer uma boa escolha do incremento
de tempo t adequado para assegurar a estabilidade do meacutetodo de integraccedilatildeo no tempo O
valor do incremento de tempo t deve ser menor do que o valor criacutetico crt dado pela
equaccedilatildeo D1 (BATHE 1982)
n
crt (D1)
sendo τn o menor periacuteodo natural do sistema Se o incremento de tempo eacute maior que o valor
criacutetico o meacutetodo de Newmark apresentaraacute problemas de convergecircncia (ALMEIDA JUacuteNIOR e
FARIA 2003) No presente trabalho a escolha do incremento de tempo t foi feita baseando-
se no fato de que a forccedila de desbalanceamento eacute aplicada a cada intervalo t Portanto se este
intervalo for muito grande a forccedila poderia deixar de ser aplicada durante cada ciclo do eixo Eacute
importante garantir que esta forccedila seja aplicada simetricamente durante cada ciclo ou seja que
para cada valor de rotaccedilatildeo ω (rads) a forccedila de desbalanceamento seja aplicada simetricamente
em todas as direccedilotildees Para que isto fosse possiacutevel foi adotada a seguinte expressatildeo para o
caacutelculo do incremento de tempo t
ω12
2t (D2)
Com o incremento da equaccedilatildeo (D2) garante-se que ocorram pelo menos 12 iteraccedilotildees a
cada ciclo do eixo ou seja uma a cada 30ordm o que garante a simetria da forccedila de
desbalanceamento Este criteacuterio garante tambeacutem que t lt crt Posteriormente foi feito o
estudo da convergecircncia dos resultados em funccedilatildeo do intervalo t para se otimizar o custo
computacional do meacutetodo implementado
v
SUMAacuteRIO
1 INTRODUCcedilAtildeO 19
11 Escopo 21
12 Objetivos 22
121 Objetivo geral 22
122 Objetivos especiacuteficos 22
2 REVISAtildeO BIBLIOGRAacuteFICA 23
21 Modelagem de sistemas rotor-mancal 23
22 Anaacutelise da estabilidade atraveacutes de problema de autovalor 31
23 Mancais hidrodinacircmicos 33
24 Sistemas rotativos com elementos adicionais 35
25 Mancais eliacutepticos 37
3 METODOLOGIA 40
31 Modelagem do Rotor Flexiacutevel 41
32 Modelagem do Mancal Radial Eliacuteptico 44
321 Equaccedilotildees de Lubrificaccedilatildeo 47
322 Equaccedilotildees de Elementos Finitos para Mancais Eliacutepticos 50
323 Discretizaccedilatildeo do campo de pressatildeo de ordem zero 50
324 Discretizaccedilatildeo do campo de pressatildeo de primeira ordem 53
325 Determinaccedilatildeo dos Coeficientes de Forccedila dos Mancais Eliacutepticos 55
33 O Sistema Rotor-Mancal 56
34 Diagrama do Procedimento Computacional 58
4 RESULTADOS E ANAacuteLISE 61
vi
41 Exemplos de validaccedilatildeo 61
411 Rotor com disco em balanccedilo 61
412 Rotor apoiado nas extremidades com disco no centro 65
413 Rotor de uma bancada de testes 69
414 Segundo rotor de uma bancada de testes 75
42 Anaacutelise dos coeficientes de forccedila dos mancais eliacutepticos 77
421 Coeficientes de forccedila em funccedilatildeo da folga radial dos mancais eliacutepticos 78
422 Coeficientes de forccedila em funccedilatildeo da razatildeo de esbeltez dos mancais eliacutepticos 83
423 Coeficientes de forccedila em funccedilatildeo da preacute-carga dos mancais eliacutepticos 85
43 A influecircncia dos paracircmetros geomeacutetricos dos mancais eliacutepticos na resposta desbalanceada 87
431 A razatildeo de amplificaccedilatildeo da resposta desbalanceada em funccedilatildeo da preacute-carga 87
432 A resposta desbalanceada em funccedilatildeo da razatildeo de esbeltez dos mancais eliacutepticos 91
433 A resposta desbalanceada em funccedilatildeo da folga radial dos mancais eliacutepticos 96
5 CONCLUSOtildeES 100
6 REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS 103
ANEXO A - FUNDAMENTOS DA TEORIA DE VIGA 112
A1 Teoria de Viga de Euler-Bernoulli 112
A2 Teoria de Viga de Rayleigh 113
A3 Teoria de Viga de Timoshenko 113
ANEXO B ndash FUNCcedilOtildeES DE INTERPOLACcedilAtildeO 115
B1 - Funccedilotildees de Interpolaccedilatildeo para o deslocamento linear unitaacuterio no primeiro noacute 115
B2 - Funccedilotildees de Interpolaccedilatildeo para o deslocamento angular unitaacuterio no primeiro noacute 117
B3 - Funccedilotildees de Interpolaccedilatildeo para o deslocamento linear unitaacuterio no segundo noacute 118
B1 - Funccedilotildees de Interpolaccedilatildeo para o deslocamento angular unitaacuterio no segundo noacute 119
ANEXO C ndash MATRIZES DE ELEMENTOS FINITOS DO ROTOR 122
vii
C1 ndash Matriz de ineacutercia de translaccedilatildeo 122
C2 ndash Matriz de ineacutercia de rotaccedilatildeo 123
C3 ndash Matriz de efeitos giroscoacutepicos 124
C4 ndash Matriz de rigidez 125
ANEXO D ndash MEacuteTODO NUMEacuteRICO DE NEWMARK 127
viii
LISTA DE FIGURAS
Figura 31 ndash Sistema rotor-mancal 40
Figura 32 ndash Representaccedilatildeo de um elemento finito do eixo 42
Figura 33 ndash Desenho esquemaacutetico do mancal eliacuteptico e seus paracircmetros geomeacutetricos 45
Figura 34 - Desenho esquemaacutetico do perfil de um mancal radial eliacuteptico 46
Figura 35 - Distribuiccedilatildeo da pressatildeo hidrodinacircmica no mancal ciliacutendrico (LANG e
STEINHILPER 1978) 46
Figura 36 - Distribuiccedilatildeo da pressatildeo hidrodinacircmica no mancal eliacuteptico (Adaptado de
CORREIA 2007) 47
Figura 37 - Representaccedilatildeo esquemaacutetica dos noacutes no elemento finito 51
Figura 38 ndash Representaccedilatildeo dos 4 graus de liberdade 57
Figura 39 ndash Diagrama do procedimento computacional 58
Figura 41 ndash Desenho esquemaacutetico do rotor de Sinou (2005) 61
Figura 42 ndash Curvas da primeira e segunda frequecircncias naturais (FN1 FN2) versus o
nuacutemero de elementos finitos da malha para o rotor de Sinou (2005) a
10rpm 62
Figura 43 ndash Primeira velocidade criacutetica progressiva (FWD1) e regressiva (BKWD1)
versus incremento no tempo 63
Figura 44 ndash Espectro de frequecircncia obtido pelo MEF para o rotor de Sinou(2005) a
10 rpm 64
Figura 45 ndash Diagrama de Campbell para o rotor em balanccedilo analisado por
Sinou(2005) 64
Figura 46 ndash Desenho esquemaacutetico do rotor de Hong e Park(1999) 66
Figura 47 ndash Espectro de frequecircncia obtido para o rotor de Hong e Park (1999)
operando a 6000rpm 67
Figura 48 ndash Forma de onda obtida para o rotor de Hong e Park (1999) 68
Figura 49 ndash Desenho esquemaacutetico do rotor da bancada de testes 69
Figura 410 ndash Sensibilidade da malha de elementos finitos do mancal ciliacutendrico no
ix
caacutelculo dos paracircmetros de desempenho Fx e Kxy 71
Figura 411 ndash Espectro de frequecircncia experimental ndash teste de batida 72
Figura 412 ndash Espectro de frequecircncia obtido pelo MEF para rotaccedilatildeo de 750 rpm 72
Figura 413 ndash Espectro de frequecircncia obtido pelo MEF para rotaccedilatildeo de 3200 rpm 73
Figura 414 ndash Espectro de frequecircncia experimental para o rotor da bancada operando
a 8900rpm 74
Figura 415 ndash Espectro de frequecircncia obtido pelo MEF para o rotor da bancada
operando a 8900rpm 74
Figura 416 ndash Espectro de frequecircncia obtido pelo MEF para o rotor do exemplo 4
operando a 3200rpm 76
Figura 417 ndash Espectro de frequecircncia experimental para o rotor de Machado(2006) 76
Figura 418 ndash Sensibilidade da malha de elementos finitos do mancal eliacuteptico no
caacutelculo dos paracircmetros de desempenho Fx e Kxy 78
Figura 419 - Posicionamento do eixo dentro do mancal e excentricidade 79
Figura 420 ndash Excentricidade adimensional do ponto de equiliacutebrio estaacutetico dos
mancais eliacutepticos em funccedilatildeo da folga radial 79
Figura 421 ndash Coeficientes de rigidez direta adimensionais em funccedilatildeo da folga radial
dos mancais eliacutepticos 80
Figura 422 ndash Coeficientes de rigidez cruzada adimensional modificado em funccedilatildeo
da folga radial dos mancais eliacutepticos 81
Figura 423 ndash Razatildeo CxyKxx em funccedilatildeo da folga radial dos mancais eliacutepticos 82
Figura 424 ndash Amortecimento efetivo em funccedilatildeo da folga radial dos mancais
eliacutepticos 82
Figura 425 ndash Excentricidade adimensional do ponto de equiliacutebrio estaacutetico dos
mancais eliacutepticos em funccedilatildeo da razatildeo de esbeltez 83
Figura 426 ndash Variaccedilatildeo do amortecimento efetivo em funccedilatildeo da razatildeo de esbeltez
dos mancais eliacutepticos 84
Figura 427 ndash Variaccedilatildeo do amortecimento cruzado adimensional em funccedilatildeo da razatildeo
de esbeltez dos mancais eliacutepticos 84
Figura 428 ndash Excentricidade adimensional do ponto de equiliacutebrio estaacutetico dos
x
mancais eliacutepticos em funccedilatildeo da preacute-carga 85
Figura 429 ndash Variaccedilatildeo da relaccedilatildeo de ajuste entre Mp kxx e kxy em funccedilatildeo da preacute-
carga dos mancais eliacutepticos 86
Figura 430 ndash Variaccedilatildeo do amortecimento efetivo em funccedilatildeo da preacute-carga dos
mancais eliacutepticos 86
Figura 431 ndash Desenho esquemaacutetico do rotor sem disco massivo 88
Figura 432 ndash Resposta desbalanceada calculada no mancal 1 do rotor apoiado em
mancais eliacutepticos com preacute-carga 045 (MIRANDA e FARIA 2012) 89
Figura 433 ndash Resposta desbalanceada para diferentes valores de preacute-carga dos
mancais eliacutepticos (MIRANDA e FARIA 2012) 89
Figura 434 ndashRazatildeo de amplificaccedilatildeo da resposta desbalanceada na primeira
velocidade criacutetica para o rotor apoiado em mancais eliacutepticos
(MIRANDA e FARIA 2012) 90
Figura 435 ndashDesenho esquemaacutetico do rotor com disco massivo em posiccedilatildeo
assimeacutetrica 91
Figura 436 ndash Amplitude de vibraccedilatildeo na primeira VC em funccedilatildeo da razatildeo de
esbeltez dos mancais eliacutepticos 92
Figura 437 ndash Curvas de ajuste da excentricidade adimensional do ponto de
equiliacutebrio estaacutetico em funccedilatildeo da razatildeo de esbeltez dos mancais eliacutepticos 94
Figura 438 ndash Razatildeo de ajuste de LD em funccedilatildeo da excentricidade adimensional do
ponto de equiliacutebrio estaacutetico dos mancais 95
Figura 439 ndash Erros relativos da razatildeo de ajuste de LD em funccedilatildeo da excentricidade
adimensional do ponto de equiliacutebrio estaacutetico dos mancais 95
Figura 440 ndash Amplitude de vibraccedilatildeo na primeira VC em funccedilatildeo da folga radial dos
mancais 97
Figura 441 ndash Razatildeo de ajuste da folga radial em funccedilatildeo da excentricidade
adimensional do ponto de equiliacutebrio estaacutetico dos mancais 98
Figura 442 ndash Erros relativos da razatildeo de ajuste da folga radial em funccedilatildeo da
excentricidade adimensional do ponto de equiliacutebrio estaacutetico dos
mancais 98
xi
Figura A1 - Viga de Euler-Bernoulli sob carregamento distribuiacutedo (Boru 2010) 112
Figura B1 ndash Deslocamento linear unitaacuterio no primeiro noacute 116
Figura B2 ndash Deslocamento angular unitaacuterio no primeiro noacute 117
Figura B3 ndash Deslocamento linear unitaacuterio no segundo noacute 118
Figura B4 ndash Deslocamento angular unitaacuterio no segundo noacute 120
LISTA DE TABELAS
Tabela 41- Paracircmetros do rotor com disco em balanccedilo (SINOU 2005) 62
Tabela 42- Valores comparativos da primeira frequecircncia natural para o rotor de
Sinou(2005) a 10 rpm 64
Tabela 43- Comparaccedilatildeo da primeira velocidade criacutetica 65
Tabela 44- Paracircmetros do rotor de Hong e Park(1999) 66
Tabela 45- Comparaccedilatildeo da primeira frequecircncia natural progressiva e regressiva para
o rotor de Hong e Park (1999) 67
Tabela 46- Comparaccedilatildeo das Frequecircncias de Batimento para o rotor de Hong e
Park(1999) 69
Tabela 47ndash Paracircmetros do rotor da bancada de testes 70
Tabela 48ndash Resultados da anaacutelise da sensibilidade da malha dos mancais 71
Tabela 49ndash Valores comparativos de frequecircncias naturais obtidas pelo MEF e
experimentalmente pelo teste de batida (bump test) 73
Tabela 410ndash Valores comparativos de frequecircncias naturais obtidas pelo MEF e
experimentalmente para o rotor da bancada operando a 8900rpm 75
Tabela 411ndash Paracircmetros do rotor da bancada de testes ndash exemplo 2 75
Tabela 412ndash Valores comparativos das frequecircncias naturais obtidas
experimentalmente por Machado(2006) e pelo MEF 77
Tabela 413ndash Paracircmetros do mancal eliacuteptico selecionado 77
Tabela 414 Paracircmetros do sistema rotor-mancal eliacuteptico utilizado na anaacutelise 88
Tabela 415ndash Paracircmetros do rotor com mancais eliacutepticos 92
xii
SIMBOLOGIA
Siacutembolos em letras latinas
A Aacuterea da seccedilatildeo transversal do eixo [m2]
Ampl Amplitude adimensional da resposta desbalanceada
c Folga radial menor (c = eRR ) [m]
Cb Folga radial maior
XXC YYC Coeficientes de amortecimento direto [Nsm]
XXc YYc Coeficientes de amortecimento direto adimensionais
XYC YXC Coeficientes de amortecimento cruzados [Nsm]
XYc YXc Coeficientes de amortecimento cruzados adimensionais
D Diacircmetro interno do mancal [m]
d Diacircmetro externo do eixo [m]
E Moacutedulo de elasticidade [Pa]
e Excentricidade do centro do munhatildeo no mancal (distacircncia entre centros do mancal
e do munhatildeoeixo) [m]
exey Projeccedilotildees de ―e nos eixos de coordenadas cartesianas xy
00 yx ee
posiccedilatildeo de equiliacutebrio do eixo
yx ee
perturbaccedilatildeo na posiccedilatildeo de equiliacutebrio do eixo
vetores unitaacuterios nas direccedilotildees circunferencial e axial respectivamente
f efeito de cisalhamento
F Forccedila de reaccedilatildeo do mancal gerada pela accedilatildeo hidrodinacircmica do fluido
Fx e Fy Componente da forccedila de reaccedilatildeo do fluido do mancal nas direccedilotildees x e y
e
jf Vetor de fluxo
G Moacutedulo de elasticidade ao cisalhamento [Pa]
h Espessura do filme lubrificante ou filme fluido
xiii
h0 Espessura miacutenima do filme lubrificante estacionaacuterio [m] ou de ordem zero
I Momento meacutedio de ineacutercia de aacuterea da seccedilatildeo transversal
Idm Momento diametral de ineacutercia de massa por unidade de comprimento
Ip Momento polar de ineacutercia de massa por unidade de comprimento
K Fator de forma do cisalhamento transversal
Kx Ky Coeficientes de cisalhamento
XXK YYK Coeficientes de rigidez diretos [Nm]
kxx e kyy Coeficientes de rigidez diretos adimensionais
XYK YXK Coeficientes de rigidez cruzados [Nm]
kxy e kyx Coeficientes de rigidez cruzados adimensionais
Coeficiente de rigidez adimensional modificado
][ e
jiK Matriz fluiacutedica de ordem zero
L Comprimento do mancal
l Comprimento do elemento
Leixo Comprimento do eixo
md Massa desbalanceada
m Fluxo maacutessico na direccedilatildeo circunferencial
nm Fluxo maacutessico de lubrificante cruzando a fronteira do domiacutenio do elemento finito
zm Fluxo maacutessico na direccedilatildeo axial
nm Fluxo de lubrificante de primeira ordem pelo contorno
edo elemento finito n
Mp Preacute-carga (medida da ―elipsidade do mancal) Mp = (Cb ndash c) c
n
Valor normal unitaacuterio direcionado para fora do contorno e do elemento finito
OL Posiccedilatildeo do centro dos loacutebulos
O Posiccedilatildeo do centro do eixo
p Pressatildeo apresentada pelo filme lubrificante [Pa]
pa Pressatildeo ambiente [Pa]
xiv
po Pressatildeo estacionaacuteria de ordem zero [Pa]
p Campo de pressatildeo hidrodinacircmica de primeira ordem
e
op Campo de pressatildeo discreto de ordem zero no domiacutenio e de um elemento finito
px py Campo de pressatildeo hidrodinacircmica de primeira ordem
e
ip Valores de pressatildeo nodal no noacute i do elemento e [Pa]
q(xt) Carregamento distribuiacutedo [Nm]
e
jq Vetor de fluxo devido ao escoamento de fluido pelo contorno do elemento ldquoerdquo
R Raio menor do mancal [m]
Re Raio do munhatildeo ou raio do eixo [m]
RL Raio do loacutebulo do mancal [m]
U Velocidade superficial do eixo (U = ωR) [ms]
Vf Contribuiccedilatildeo da flexatildeo no deslocamento linear do centro da seccedilatildeo do elemento
ud Excentricidade da massa desbalanceada
v(xt) Deflexatildeo lateral da viga
W Carga atuante no mancal [N]
Wf Contribuiccedilatildeo da flexatildeo no deslocamento linear do centro da seccedilatildeo do elemento
xy Coordenadas cartesianas
z Coordenada axial
Siacutembolo em letras gregas
e Contorno do elemento ―e
Deformaccedilatildeo por cisalhamento
Razatildeo de excentricidade ou excentricidade adimensional ( ε = ec)
o Excentricidade adimensional no ponto de equiliacutebrio estaacutetico
ψ Coordenadas no domiacutenio do elemento
Fator de forma da seccedilatildeo transversal da viga
Viscosidade absoluta do filme lubrificante [Pas]
xv
Coeficiente de Poisson
Massa especiacutefica [kgm3]
Massa especiacutefica do filme lubrificante [kgm3]
Acircngulo da posiccedilatildeo angular do munhatildeo a partir do ponto de maior espessura dentro do
mancal [rad]
z Coordenadas circunferencial e axial respectivamente
Φ Acircngulo de posiccedilatildeo do munhatildeo dentro do mancal Φ = tan-1
( Fy Fx )
Funccedilatildeo de interpolaccedilatildeo para o meacutetodo de elementos finitos para o elemento ―e
Rotaccedilatildeo do eixo [rads]
e Domiacutenio do elemento finito ―e
Subscritos
av Meacutedio
e Relativo ao elemento ―e
0 1 Ordem zero e primeira ordem instante de tempo anterior e atual
x Coordenada cartesiana vertical
y Coordenada cartesiana horizontal
Coordenadas xy combinadas no domiacutenio do elemento finito
Coordenadas no domiacutenio do elemento finito
Sobrescritos
e Relativo ao elemento ―e
ej
xvi
LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS
MEF Meacutetodo de Elementos Finitos
FEM Finite Element Method (Meacutetodo de Elementos Finitos)
VC Velocidade Criacutetica
xvii
RESUMO
Este trabalho apresenta um procedimento computacional baseado no meacutetodo de elementos
finitos desenvolvido especialmente para predizer o comportamento dinacircmico de sistemas
rotativos apoiados em mancais hidrodinacircmicos O procedimento computacional proposto
permite simular diferentes tipos de rotores compostos por eixo flexiacutevel discos massivos e
mancais riacutegidos ou hidrodinacircmicos com perfis circulares ou eliacutepticos Satildeo usados elementos
finitos de viga baseando-se na teoria de vigas de Timoshenko no modelo do eixo o que permite
incluir os efeitos de deformaccedilatildeo por cisalhamento ineacutercia rotatoacuteria e efeito giroscoacutepico Um
procedimento baseado no meacutetodo de elementos finitos eacute aplicado para resolver a equaccedilatildeo de
Reynolds para fluidos incompressiacuteveis junto a um procedimento de perturbaccedilatildeo linear para se
calcular os coeficientes dinacircmicos de forccedila dos mancais ciliacutendricos e eliacutepticos As equaccedilotildees de
movimento para rotores desbalanceados apoiados em mancais hidrodinacircmicos satildeo integradas
usando-se o Meacutetodo de Newmark para se obter a resposta no tempo Os resultados satildeo validados
pela comparaccedilatildeo com valores experimentais coletados em uma bancada de teste e tambeacutem com
valores publicados na literatura Satildeo apresentadas algumas relaccedilotildees algeacutebricas que permitem
predizer os paracircmetros de desempenho dos mancais e a resposta desbalanceada do sistema rotor-
mancal em funccedilatildeo dos paracircmetros geomeacutetricos dos mancais tais como preacute-carga razatildeo de
esbeltez e folga radial Eacute identificada uma faixa operacional dos mancais onde estas relaccedilotildees
algeacutebricas apresentam uma boa aproximaccedilatildeo com os resultados computacionais Os resultados
deste trabalho servem de base para o projeto de maacutequinas rotativas uma vez que permitem
predizer seu comportamento dinacircmico para diversas condiccedilotildees operacionais
Palavras-chaves Mancal eliacuteptico
Rotores flexiacuteveis
Mancal radial
Lubrificaccedilatildeo hidrodinacircmica
Meacutetodo de elementos finitos
xviii
ABSTRACT
This work presents the development of a finite element procedure specially devised to predict
the dynamic response of flexible rotors running on fluid film bearings The proposed procedure
can simulate many different types of rotor-bearing systems with a flexible shaft massive disks
and rigid or fluid film circular or elliptical bearings The shaft finite element model is based on
Timoshenko Beam Theory which includes shear effects rotary inertia and gyroscopic moments
A finite element procedure for solution of the classical Reynolds equation for incompressible
fluid films in conjunction with a linearized perturbation procedure is implemented to allow the
computation of the dynamic force-coefficients of cylindrical and elliptical journal bearings The
finite element equations of motion for an unbalanced rotor supported on fluid film bearings are
integrated by using the Newmark method and the time-domain unbalance response is obtained
The results are validated by comparison with experimental data collected from a test rig as well
as from results obtained from the literature
Some algebraic expressions relating the bearing parameters and the unbalance response with the
bearing geometric parameters (preload Slendernessrsquo ratio radial clearance) are presented A
range of operating conditions is identified where these expressions are supposed to be close to
the computational results obtained by the numerical procedure The results presented in this
work are valuable for rotating machine designers since it can properly predict its dynamic
response under several operation conditions
Keywords Elliptical bearing
Journal bearing
Hydrodynamic lubrication
Finite element method
19
1 INTRODUCcedilAtildeO
O projeto e o comissionamento de maacutequinas rotativas requerem um cuidado especial para se
garantir condiccedilotildees seguras estaacuteveis e eficientes de operaccedilatildeo Diversos estudos baseados em
procedimentos experimentais analiacuteticos e computacionais satildeo utilizados com o objetivo de se
analisar vaacuterios aspectos dinacircmicos relacionados a rotores de maacutequinas de alta velocidade Esses
estudos se tornam de extrema importacircncia na anaacutelise de equipamentos como turbinas a gaacutes e a
vapor compressores ventiladores industriais bombas exaustores entre outros
Com o desenvolvimento da tecnologia na aacuterea de projetos mecacircnicos eacute notaacutevel a tendecircncia em
se projetarem maacutequinas cada vez mais leves e com maior potecircncia que normalmente estatildeo mais
sujeitas a problemas de vibraccedilatildeo e de instabilidade A influecircncia dos mancais no comportamento
dinacircmico de maacutequinas rotativas e na capacidade de atenuar vibraccedilotildees eacute estudada haacute vaacuterios anos
em diversos trabalhos da literatura especializada (GUNTER 1966 CORREIA 2007)
Os mancais hidrodinacircmicos tecircm sido amplamente aplicados em maacutequinas rotativas devido agrave sua
grande capacidade de carga habilidade de operaccedilatildeo em altas velocidades e longevidade
(HAMROCK 1994 CHILDS 1993) Este tipo de mancal tem uma capacidade de
amortecimento que natildeo existe nos mancais de rolamento o que possibilita que a maacutequina passe
por uma velocidade criacutetica com menores riscos (STERNLICHT e LEWIS 1968 VANCE
1988) O amortecimento proporcionado por mancais hidrodinacircmicos permite a atenuaccedilatildeo das
forccedilas transmitidas do sistema eixorotor aos mancais a reduccedilatildeo do niacutevel de vibraccedilatildeo o
aumento da faixa de operaccedilatildeo estaacutevel do rotor e o aumento de vida uacutetil do mancal (ENGWALL
1991)
Os mancais hidrodinacircmicos aplicados em maacutequinas rotativas industriais podem ser divididos
basicamente em dois grupos mancais de geometria fixa e mancais de geometria variaacutevel
(ALLAIRE e FLACK 1981) Os mancais de geometria fixa satildeo mais simples e possuem um
menor custo de fabricaccedilatildeo montagem e manutenccedilatildeo do que os de geometria variaacutevel
(HAMROCK 1994) Os mancais mais amplamente usados na induacutestria satildeo os de geometria fixa
com perfil ciliacutendrico apresentando baixa estabilidade mas boa capacidade de carga (CORREIA
2007) Mancais de geometria moacutevel satildeo usados quando se deseja estabilidade do equipamento
sujeito a vibraccedilotildees subsiacutencronas isto eacute abaixo da frequecircncia de rotaccedilatildeo No final da deacutecada de
20
1980 este tipo de mancal passou a ser mais amplamente usado nos projetos de turbomaacutequinas
de alta velocidade (ZEIDAN 1992) A literatura cientiacutefica apresenta diversos trabalhos sobre
mancais ciliacutendricos mas poucos sobre mancais eliacutepticos (CORREIA 2007)
As interaccedilotildees entre o eixo rotativo da turbomaacutequina com o fluido de trabalho com os mancais
com os selos com o suporte e com todos os seus elementos acoplados tais como as palhetas e
discos devem ser incluiacutedas na anaacutelise dinacircmica de rotores para se obter confiabilidade aceitaacutevel
nas prediccedilotildees de seu comportamento O estudo preliminar do comportamento de sistemas
rotativos permite determinar as suas faixas de operaccedilatildeo estaacutevel e avaliar as influecircncias que
componentes do sistema exercem sobre a resposta dinacircmica do conjunto Os mancais se tornam
componentes vitais no projeto de turbomaacutequinas pois devem gerar forccedilas de reaccedilatildeo capazes de
suportar adequadamente o eixo rotativo e propiciar meios de atenuaccedilatildeo da resposta dinacircmica do
conjunto rotativo em regimes de operaccedilatildeo extremos Esse trabalho tem como proposta principal
a anaacutelise do comportamento dinacircmico de rotores flexiacuteveis apoiados em mancais radiais
hidrodinacircmicos de geometria fixa
A modelagem do rotor que inclui o eixo rotativo com discos riacutegidos acoplados eacute efetuada
utilizando-se o meacutetodo de elementos finitos baseado na teoria de vigas de Timoshenko
(CLOUGH e PENZIEN 1975) Incluem-se no modelo do rotor os efeitos de cisalhamento os
momentos giroscoacutepicos e a ineacutercia rotatoacuteria do eixo rotativo A equaccedilatildeo claacutessica de Reynolds
(PINKUS 1987 HAMROCK 1994) e um procedimento linearizado de perturbaccedilatildeo
(LUND1987) satildeo a base da modelagem dos mancais radiais hidrodinacircmicos ciliacutendricos e natildeo
ciliacutendricos considerados na anaacutelise O meacutetodo de elementos finitos eacute entatildeo empregado para
estimar as caracteriacutesticas dinacircmicas natildeo lineares dos mancais radiais finitos incluiacutedos na anaacutelise
do sistema rotativo O modelo dos mancais admite diversas geometrias de mancais ciliacutendricos e
eliacutepticos e natildeo satildeo adotadas hipoacuteteses restritivas ao modelo dos mancais como nas teorias de
mancal longo (HAMROCK 1994) ou de mancal curto que apresentam deficiecircncias na anaacutelise
dinacircmica de sistemas rotor-mancal (KALITA e KAKOTY 2004)
O texto deste trabalho eacute dividido em cinco capiacutetulos O capiacutetulo 1 apresenta a introduccedilatildeo do
trabalho seu escopo e objetivos No capiacutetulo 2 eacute apresentada a revisatildeo bibliograacutefica Em
seguida eacute descrita a metodologia do procedimento computacional proposto no capiacutetulo 3 onde
satildeo apresentados os procedimentos adotados para se modelar o sistema rotor-mancal composto
pelo eixo flexiacutevel disco riacutegido e mancais hidrodinacircmicos No final do capiacutetulo 3 eacute apresentado
um diagrama representando as etapas do procedimento computacional proposto No capiacutetulo 4
21
satildeo apresentados os resultados obtidos atraveacutes do procedimento computacional incluindo
exemplos de validaccedilatildeo No capiacutetulo 5 satildeo apresentadas as conclusotildees do trabalho e no capiacutetulo 6
satildeo listadas as referecircncias bibliograacuteficas Satildeo incluiacutedos ainda trecircs anexos No Anexo A satildeo
apresentados os fundamentos da teoria de vigas de Euler-Bernoulli de Rayleigh e de
Timoshenko No Anexo B apresenta-se a formulaccedilatildeo das funccedilotildees de interpolaccedilatildeo No Anexo C
satildeo listadas as matrizes de elementos finitos do eixo flexiacutevel usadas no modelo implementado e
no Anexo D eacute apresentado o algoritmo do Meacutetodo Numeacuterico de Newmark
11 Escopo
Esse trabalho descreve a anaacutelise do comportamento dinacircmico de rotores flexiacuteveis suportados em
mancais radiais hidrodinacircmicos de geometria fixa utilizando-se o meacutetodo de elementos finitos
Na modelagem dos mancais radiais incluem-se mancais ciliacutendricos e natildeo ciliacutendricos de
geometria fixa As condiccedilotildees de operaccedilatildeo do sistema rotativo utilizadas nesse trabalho estatildeo
baseadas em condiccedilotildees operacionais comumente encontradas na praacutetica O eixo eacute modelado por
elementos finitos de viga baseando-se na teoria de vigas de Timoshenko que permite analisar a
resposta da vibraccedilatildeo orbital nos dois planos ortogonais de flexatildeo A formulaccedilatildeo permite incluir
os efeitos de ineacutercia rotatoacuteria efeito giroscoacutepico e deformaccedilatildeo por cisalhamento
O caacutelculo dos coeficientes dinacircmicos de forccedila dos mancais eacute feito baseando-se na equaccedilatildeo de
Reynolds e nas equaccedilotildees de lubrificaccedilatildeo de ordem zero e de primeira ordem obtidas atraveacutes da
anaacutelise de perturbaccedilatildeo (LUND1987)
A resposta desbalanceada do sistema eacute obtida por meio de procedimento de integraccedilatildeo
numeacuterica implementado sobre a sua equaccedilatildeo de equiliacutebrio dinacircmico Eacute estudada a influecircncia dos
paracircmetros construtivos de mancais eliacutepticos e ciliacutendricos nos seus coeficientes de forccedila e na
resposta desbalanceada do sistema rotor-mancal Apresenta-se uma anaacutelise criacutetica sobre a faixa
onde o modelo computacional implementado fornece resultados considerados confiaacuteveis
baseando-se nas condiccedilotildees operacionais do sistema
Embora natildeo seja objetivo deste trabalho obter valores absolutos para os coeficientes de forccedila ou
para os niacuteveis de vibraccedilatildeo na resposta desbalanceada eacute investigada a forma como estes valores
variam em funccedilatildeo das caracteriacutesticas construtivas e operacionais do sistema
22
12 Objetivos
121 Objetivo geral
Este trabalho tem como objetivo desenvolver um procedimento computacional baseado no
meacutetodo de elementos finitos (MEF) para a anaacutelise da resposta de sistemas rotativos apoiados em
mancais radiais hidrodinacircmicos de geometria fixa O eixo eacute modelado por elementos de viga
baseando-se na Teoria de Viga de Timoshenko Os mancais hidrodinacircmicos satildeo modelados
tambeacutem por elementos finitos utilizando-se o meacutetodo da perturbaccedilatildeo aplicado na equaccedilatildeo de
Reynolds
122 Objetivos especiacuteficos
i Desenvolver e implementar um procedimento computacional eficiente baseado no
MEF para representar rotores flexiacuteveis sujeitos a cargas de desbalanceamento
apoiados em suportes flexiacuteveis
ii Desenvolver e implementar um procedimento computacional eficiente baseado no
MEF para a determinaccedilatildeo dos coeficientes dinacircmicos dos mancais hidrodinacircmicos de
geometria fixa sem o uso de teorias simplificadas como os modelos de mancal curto
ou de mancal longo
iii Comparar os resultados do procedimento computacional proposto com resultados
publicados na literatura especializada e com dados experimentais coletados em uma
bancada de testes atraveacutes da anaacutelise das frequecircncias naturais
iv Analisar a influecircncia dos paracircmetros geomeacutetricos dos mancais eliacutepticos (preacute-carga
razatildeo de esbeltez folga radial) nos coeficientes de forccedila dos mancais e na resposta
desbalanceada do sistema
v Estabelece relaccedilotildees algeacutebricas entre alguns paracircmetros de desempenho dos mancais
ciliacutendricos e eliacutepticos e a resposta balanceada com os paracircmetros geomeacutetricos dos
mancais Identificar as faixas operacionais onde estas relaccedilotildees algeacutebricas satildeo vaacutelidas
23
2 REVISAtildeO BIBLIOGRAacuteFICA
As referecircncias apresentadas a seguir satildeo divididas em seccedilotildees para facilitar a exposiccedilatildeo dos
temas envolvidos no trabalho Inicialmente satildeo apresentadas as publicaccedilotildees que abordam os
procedimentos computacionais para a modelagem de sistemas rotor-mancal destacando-se o uso
do meacutetodo de elementos finitos e a evoluccedilatildeo dos modelos de elementos de vigas aplicados aos
eixos flexiacuteveis Em seguida destacam-se os trabalhos que fazem a anaacutelise da estabilidade de
sistemas rotor-mancal atraveacutes de problema de autovalor Segue-se com a citaccedilatildeo das publicaccedilotildees
que apresentam procedimentos de modelagem de mancais hidrodinacircmicos As uacuteltimas seccedilotildees
apresentam trabalhos sobre sistemas rotativos com elementos adicionais onde se destacam no
final os modelos de mancais eliacutepticos
Observa-se que a literatura apresenta diversos trabalhos dentro desta linha poreacutem muitos
aplicam o modelo de mancal curto que eacute bastante limitado principalmente para mancais
operando com grandes excentricidades A teoria de mancal curto eacute mais aplicaacutevel na prediccedilatildeo de
carga mas eacute muito limitada na determinaccedilatildeo de coeficientes de forccedila ou no estudo da
estabilidade do sistema Outros trabalhos apresentam uma abordagem detalhada do modelo dos
mancais mas ao apresentar os resultados fazem diversas simplificaccedilotildees (mancais isotroacutepicos
por exemplo) Em alguns casos a modelagem dos mancais e a aplicaccedilatildeo do procedimento
numeacuterico eacute detalhada e rigorosa poreacutem aplica-se o modelo de eixo riacutegido o que tambeacutem
representa uma limitaccedilatildeo A teoria natildeo-linear para mancais hidrodinacircmicos eacute apresentada por
diversos autores poreacutem os trabalhos possuem uma abordagem mais matemaacutetica natildeo focando
em aspectos praacuteticos de condiccedilotildees operacionais de maacutequinas rotativas
Desta forma observa-se uma lacuna na literatura onde raramente satildeo analisados sistemas rotor-
mancal hidrodinacircmico de maneira detalhada evitando-se hipoacuteteses simplificadoras tanto no
modelo dos mancais quanto no modelo do eixo flexiacutevel
21 Modelagem de sistemas rotor-mancal
A anaacutelise do comportamento dinacircmico de maacutequinas rotativas tem fomentado o desenvolvimento
de procedimentos computacionais eficientes e precisos para as etapas preliminares de projeto
24
Os modelos de maacutequinas rotativas de alta velocidade geralmente incluem rotores flexiacuteveis
apoiados em mancais hidrodinacircmicos e eacute fundamental analisar a estabilidade do sistema
(GUNTER 1970 BUSSE et al1980 VANCE 1988 KRAMER 1993 CHILDS 1993
ABDULJABBAR et al1997 HU et al 2000 GANESAN 2000 ZHAO et al2005 WENHUI
et al 2007)
Os estudos dinacircmicos baseados em modelos computacionais se tornam de extrema importacircncia
em diversas aplicaccedilotildees industriais de turbomaacutequinas como turbinas a gaacutes e a vapor
compressores ventiladores industriais bombas exaustores entre outros (STERNLICHT e
LEWIS 1968) A partir da deacutecada de 70 o meacutetodo de elementos finitos comeccedilou a ser usado
com extrema frequecircncia para o desenvolvimento de modelos de rotores flexiacuteveis e para a anaacutelise
de balanceamento estabilidade e vibraccedilatildeo torcional de maacutequinas rotativas (ZORZI e NELSON
1977 VANCE 1988 CHILDS 1993 ALMEIDA Jr e FARIA 2003 MIRANDA et al 2005)
A aplicaccedilatildeo do meacutetodo de elementos finitos na modelagem e simulaccedilatildeo de sistemas rotativos eacute
muito ampla na anaacutelise dinacircmica de rotores Os primeiros trabalhos nesta aacuterea satildeo apresentados
por Ruhl (1970) e Ruhl e Booker (1972) onde se aplica o meacutetodo de elementos finitos na
anaacutelise dinacircmica de um sistema rotativo com paracircmetros distribuiacutedos Satildeo usados elementos de
viga incluindo a ineacutercia translacional e rigidez agrave flexatildeo mas natildeo satildeo considerados os efeitos de
ineacutercia rotatoacuteria momentos giroscoacutepios deformaccedilatildeo por cisalhamento carga axial torque axial
e amortecimento interno Kirk e Gunter (1972) analisam a resposta transiente e permanente do
rotor de Jeffcott com mancais elaacutesticos montados em apoios flexiacuteveis e amortecidos ainda
desconsiderando a flexibilidade do rotor e o efeito giroscoacutepico do disco rotativo nas equaccedilotildees de
movimento Na mesma eacutepoca Thorkildsen (1972) desenvolveu um modelo mais completo onde
incluiu os efeitos de ineacutercia rotatoacuteria e momentos giroscoacutepios
Polk (1974) apresenta um estudo sobre velocidade criacutetica e velocidade limite utilizando
elemento finito de viga de Rayleigh Polk ainda apresenta neste mesmo trabalho o
desenvolvimento dos elementos finitos de viga de Timoshenko embora sem nenhum resultado
numeacuterico Diana et al(1975) apresentam seus resultados da anaacutelise de um eixo rotativo usando
o meacutetodo de elementos finitos com elementos semelhantes aos de Ruhl (1970) No mesmo ano
Dimaragonas (1975) apresenta um desenvolvimento geral de elemento de viga mas ainda
excluindo o cisalhamento e carga e torque axiais Gasch (1976) apresentou importantes
resultados em um artigo semelhante ao de Dimaragonas poreacutem incluindo o efeito de
25
excentricidade distribuiacuteda Satildeo analisados eixos rotativos de grandes turbomaacutequinas atraveacutes de
elementos finitos e introduzida a dinacircmica da fundaccedilatildeo nas equaccedilotildees de movimento usando
anaacutelise modal e teste modal
No mesmo ano Nelson e McVaugh (1976) apresentam uma formulaccedilatildeo para modelar o sistema
rotor-mancal usando paracircmetros distribuiacutedos e elementos finitos de viga de Rayleigh
semelhantes aos de Polk (1974) incluindo os efeitos de ineacutercia rotatoacuteria efeito giroscoacutepico e
cargas axiais Este trabalho eacute ampliado posteriormente em Zorzi e Nelson (1977) incluindo-se o
amortecimento viscoso interno do eixo Nelson (1980) generaliza os modelos apresentados em
1976 e 1977 usando a teoria de vigas de Timoshenko para estabelecer as funccedilotildees de forma do
eixo flexiacutevel incluindo o efeito de cisalhamento mas sem incluir o amortecimento interno Satildeo
obtidas as equaccedilotildees de elementos atraveacutes do Princiacutepio de Hamilton e das integrais que definem
as energias potencial e cineacutetica de cada elemento A energia cineacutetica leva em consideraccedilatildeo a
energia rotacional e translacional e a energia potencial considera a energia potencial elaacutestica
devida agrave flexatildeo a energia potencial do cisalhamento e a energia devida agrave carga axial Para
modelar os mancais satildeo considerados apoios isotroacutepicos sem efeito de amortecimento O autor
apresenta vaacuterios resultados que validam o meacutetodo comparando-os com outros obtidos na
literatura Eacute apresentada uma comparaccedilatildeo entre as frequecircncias naturais de uma viga estaacutetica
obtidas com elementos de viga de Euler-Bernoulli de Rayleigh e de Timoshenko
Posteriormente satildeo apresentados resultados de velocidades criacuteticas calculadas para eixos
rotativos apoiados pelas extremidades
Oumlzguumlven e Oumlzkan (1984) aplicam tambeacutem o meacutetodo de elementos finitos considerando os
efeitos da ineacutercia rotatoacuteria carga axial efeito giroscoacutepico deformaccedilotildees por cisalhamento e
amortecimento viscoso interno no mesmo modelo Vance et al(1987) apresentam comparaccedilotildees
de dados experimentais com resultados numeacutericos obtidos em uma bancada de sistema rotor-
mancal incluindo os efeitos de impedacircncia da fundaccedilatildeo no modelo usando o meacutetodo de matriz
de transferecircncia
Jei e Lee (1988) analisam o comportamento dinacircmico de rotores assimeacutetricos apoiados em
mancais hidrodinacircmicos utilizando o meacutetodo de elementos finitos O sistema rotativo eacute
composto por um eixo assimeacutetrico e discos riacutegidos e os efeitos da ineacutercia rotatoacuteria do
cisalhamento transversal dos momentos giroscoacutepicos e do amortecimento histereacutetico satildeo
incluiacutedos na modelagem do sistema As equaccedilotildees de vibraccedilatildeo lateral do conjunto rotativo satildeo
26
compactadas via teacutecnica de reduccedilatildeo modal de coordenadas Na modelagem dos mancais radiais
os autores desprezam a assimetria dos coeficientes cruzados de rigidez e de amortecimento e natildeo
descrevem claramente como foram obtidos os demais coeficientes de forccedila O problema de
autovalor do sistema giroscoacutepico amortecido eacute obtido para a determinaccedilatildeo das velocidades
criacuteticas de instabilidade do sistema rotativo As simplificaccedilotildees efetuadas pelos autores na
modelagem dos mancais afetam a determinaccedilatildeo precisa das velocidades de instabilidade do rotor
assimeacutetrico suportado em mancais hidrodinacircmicos que depende fortemente dos coeficientes
cruzados de rigidez Stephenson e Rouch (1992) aplicam o meacutetodo de elementos finitos para
analisar um sistema rotor-mancal e fundaccedilatildeo usando tambeacutem anaacutelise modal que permite
observar os efeitos dinacircmicos da estrutura da fundaccedilatildeo
Mais recentemente diversos trabalhos tecircm sido publicados aplicando-se o meacutetodo de elementos
finitos para a anaacutelise da estabilidade e da resposta no tempo de sistemas rotativos Sundararajan
(1996) investiga a resposta natildeo-linear e a estabilidade de um sistema rotor-mancal em regime
permanente sujeito a desbalanceamento Satildeo considerados rotores riacutegidos apoiados em mancais
hidrodinacircmicos planos e squeeze-film dampers (amortecedores por esmagamento de filme
fluido) Analisa-se a influecircncia dos coeficientes de forccedila cruzados e da ineacutercia do fluido na
resposta natildeo-linear e na estabilidade do sistema Na modelagem por elementos finitos satildeo
derivadas as matrizes de massa de rigidez e de amortecimento do sistema e eacute apresentado um
procedimento numeacuterico que reduz o nuacutemero de graus de liberdade do sistema O autor aplica a
teoria de bifurcaccedilatildeo de Hopf (HOLLIS e TAYLOR 1986) para calcular os regimes de
bifurcaccedilatildeo de mancais hidrodinacircmicos finitos mostrando que os mancais podem entrar em
regime de instabilidade mesmo abaixo das velocidades limites o que natildeo eacute observado nos
modelos lineares Na modelagem do squeeze film damper e do mancal plano eacute adotado o modelo
de mancal curto Posteriormente o autor propotildee uma anaacutelise de estabilidade de mancais planos
finitos usando uma formulaccedilatildeo que faz uma soma ponderada das soluccedilotildees analiacuteticas do mancal
curto e do mancal longo para se obter os coeficientes de forccedila Os resultados para mancais
planos finitos natildeo satildeo validados experimentalmente Embora comente-se sobre o caraacuteter natildeo-
linear do efeito das folgas nos mancais de rolamento este tipo de mancal natildeo eacute modelado pelo
autor O modelo do sistema rotor-mancal considera o rotor e o eixo riacutegidos e usa o modelo de
mancal curto o que torna o modelo bastante limitado
Chen e Lee (1997) aplicam o meacutetodo de elementos finitos em um problema de rotores flexiacuteveis
para obter a resposta desbalanceada no tempo e para identificar os coeficientes de forccedila de
27
mancais de rolamento Armentrout (1998) apresenta o desenvolvimento de uma anaacutelise
transiente de rotores flexiacuteveis suportados em mancais de filme fluido baseada no meacutetodo das
matrizes de transferecircncia Os efeitos de cisalhamento os momentos giroscoacutepicos e a ineacutercia
rotatoacuteria satildeo incluiacutedos na modelagem do eixo do rotor A soluccedilatildeo unidimensional aproximada da
equaccedilatildeo de Reynolds eacute a base do modelo de mancais ciliacutendricos radiais e de sapatas moacuteveis
contemplados na anaacutelise O procedimento computacional desenvolvido por Armentrout (1998)
utiliza teacutecnica de compactaccedilatildeo modal de coordenadas empregando os modos de vibraccedilatildeo natildeo
amortecidos do sistema rotor-mancal-fundaccedilatildeo As equaccedilotildees de equiliacutebrio do sistema rotativo
em coordenadas modais satildeo integradas utilizando-se um algoritmo de integraccedilatildeo impliacutecita
―preditor-corretor
Tiwari et al (2000) apresentam uma investigaccedilatildeo teoacuterico-experimental da dinacircmica natildeo-linear
de rotores riacutegidos horizontais apoiados em mancais de rolamento de esferas Um modelo
discreto de massa concentrada com dois graus de liberdade eacute empregado na representaccedilatildeo do
rotor riacutegido As natildeo linearidades da anaacutelise estatildeo associadas aos efeitos da folga radial do
mancal e do modelo de contato de Hertz para as esferas desse mancal As equaccedilotildees de equiliacutebrio
do sistema satildeo integradas utilizando-se um algoritmo impliacutecito de integraccedilatildeo A anaacutelise
experimental do trabalho consiste na determinaccedilatildeo da resposta desbalanceada e na avaliaccedilatildeo da
estabilidade dinacircmica de um rotor horizontal apoiado em mancais de rolamento anisotroacutepicos
Os autores mostram resultados teoacutericos e experimentais para as regiotildees de instabilidade do rotor
que apresentam boa concordacircncia A consideraccedilatildeo de rotor riacutegido representa uma limitaccedilatildeo do
modelo
Elmadany et al (2001) apresentam um modelo de elementos finitos para um sistema rotativo
composto por um eixo flexiacutevel um rotor riacutegido e vaacuterios mancais incluindo no modelo do rotor
os efeitos de ineacutercia rotativa momentos giroscoacutepicos amortecimento interno deformaccedilotildees por
cisalhamento e torque axial Satildeo usados elementos finitos de viga de Timoshenko para gerar as
equaccedilotildees dos elementos do eixo Os oito coeficientes de forccedila dos mancais hidrodinacircmicos satildeo
apresentados em funccedilatildeo do nuacutemero de Sommerfeld considerando mancais curtos O meacutetodo
computacional proposto permite obter importantes informaccedilotildees do comportamento dinacircmico do
sistema tais como a precessatildeo as velocidades criacuteticas as regiotildees de estabilidade e a resposta
dinacircmica desbalanceada As velocidades de instabilidades satildeo obtidas atraveacutes do problema de
autovalor Os autores apresentam diversos resultados numeacutericos comparados com outros
28
extraiacutedos da literatura Em um deles destaca-se a comparaccedilatildeo das velocidades de instabilidade
(threshold speed of instability) e os autores fazem ainda uma comparaccedilatildeo entre o modelo usando
elementos de viga de Rayleigh e de Timoshenko Conclui-se que ao se incluir o efeito de
cisalhamento na anaacutelise de vibraccedilatildeo livre os valores das velocidades de instabilidade satildeo
reduzidos
Hong et al(2001) investigam os efeitos da deformaccedilatildeo inicial de eixos na resposta dinacircmica de
sistemas rotor-mancal Analisa-se a vibraccedilatildeo siacutencrona provocada pela deformaccedilatildeo inicial e pelo
desbalanceamento sendo incluiacutedo o efeito giroscoacutepico O modelo de elementos finitos tem dois
graus de liberdade correspondentes aos deslocamentos transversais e o rotor tem trecircs discos
riacutegidos e dois mancais Satildeo simuladas algumas configuraccedilotildees de rotor incluindo mancais
hidrodinacircmicos de sapatas moacuteveis Os resultados mostram que o efeito da deformaccedilatildeo inicial
influencia fortemente a resposta siacutencrona em baixas velocidades enquanto o efeito do
desbalanceamento afeta em altas velocidades de rotaccedilatildeo Eacute observado ainda que a presenccedila de
ambos efeitos pode causar dificuldade no diagnoacutestico de vibraccedilotildees de maacutequinas rotativas Os
autores usam coeficientes de forccedila preacute-calculados por outros autores natildeo apresentando a
modelagem dos mancais Natildeo fica claro tambeacutem o tipo de elemento finito usado no modelo do
eixo
Guo e Kirk (2003) fazem um estudo dos limites de estabilidade de um sistema rotor-mancal
hidrodinacircmico baseado no modelo de Jeffcott (1919) incluindo o amortecimento externo e um
estudo para rotores verticais e horizontais Os autores destacam a forte influecircncia que o
amortecimento externo tem na anaacutelise da estabilidade do sistema rotativo Eacute proposto um
meacutetodo analiacutetico que faz vaacuterias consideraccedilotildees que simplificam as equaccedilotildees de movimento do
sistema por exemplo rotor vertical com operaccedilatildeo centrada em mancais curtos idecircnticos Eacute
mostrado que existe uma velocidade limite (threshold speed) para o rotor vertical enquanto para
o rotor horizontal haacute uma regiatildeo de operaccedilatildeo estaacutevel limitada entre duas regiotildees instaacuteveis Neste
caso do rotor horizontal eacute conduzido um procedimento numeacuterico sem as hipoacuteteses
simplificadoras usadas no modelo vertical usando anaacutelise de autovalores obtidos das equaccedilotildees
matriciais de movimento do sistema Observa-se que no rotor horizontal o efeito do
amortecimento externo aumenta a regiatildeo de operaccedilatildeo estaacutevel do sistema e para alguns valores
mais elevados de amortecimento externo eacute possiacutevel eliminar a regiatildeo de instabilidade
garantindo operaccedilatildeo estaacutevel para o sistema rotativo em toda faixa de velocidade de rotaccedilatildeo
analisada Guo e Kirk (2003) incluem ainda em seu trabalho uma anaacutelise do modelo extendido
29
do rotor de Jeffcott onde satildeo consideradas as massas dos mancais nas extremidades do rotor
Conclui-se que ao se incluiacuterem as massas dos mancais surge uma outra velocidade
limite(threshold speed) E mesmo que vaacuterias regiotildees de instabilidade possam ser reduzidas ou
eliminadas com o aumento do amortecimento externo este amortecimento tem pouco efeito nas
uacuteltimas velocidades de instabilidade (threshold speed of instability) uma vez que estas
velocidades dependem da massa do mancal Assim a melhor forma de se obter amplas faixas de
operaccedilatildeo estaacutevel eacute combinar-se os efeitos do amortecimento externo ao das massas dos mancais
obtendo-se uma combinaccedilatildeo adequada no dimensionamento do rotor de Jeffcott
Em (GUO e KIRK 2003b) a anaacutelise eacute ampliada incluindo-se o efeito da flexibilidade dos
mancais onde mostra-se como melhorar a resposta dinacircmica e a resposta desbalanceada do
sistema assim como a estabilidade e a transmissatildeo de forccedilas Novamente satildeo consideradas as
mesmas hipoacuteteses simplificadoras que restringem bastante a abrangecircncia dos resultados obtidos
Os proacuteprios autores admitem que os resultados satildeo vaacutelidos para um caso especial Nos
resultados satildeo apresentadas as regiotildees de estabilidade e a influecircncia do amortecimento e da
rigidez dos mancais na estabilidade do sistema Comenta-se ainda que os coeficientes de forccedila
de mancais hidrodinacircmicos tecircm natureza natildeo-linear e que cabe um estudo mais detalhado sobre
o efeito desta natildeo-linearidade
Balantrapu (2004) apresenta um procedimento computacional de identificaccedilatildeo de paracircmetros
para identificar os coeficientes de forccedila de mancais em um sistema rotativo com eixo flexiacutevel
atraveacutes da resposta desbalanceada medida proacuteximo aos mancais Eacute proposta tambeacutem uma
formulaccedilatildeo que permite usar o procedimento de identificaccedilatildeo a partir de mediccedilotildees feitas longe
dos mancais em especial no ponto meacutedio entre eles O eixo flexiacutevel eacute modelado por elementos
finitos incluindo-se os efeitos de ineacutercia rotatoacuteria e efeito giroscoacutepico e para os mancais satildeo
considerados coeficientes de forccedila lineares Satildeo apresentados vaacuterios exemplos incluindo
mancais hidrodinacircmicos de dois loacutebulos Observa-se que a massa desbalanceada necessaacuteria para
se fazer as mediccedilotildees do deslocamento do eixo assim como a exatidatildeo dos resultados de
mediccedilatildeo influenciam os resultados obtidos para os coeficientes de forccedila Outro fator que
influencia mais consideravelmente eacute a rigidez do eixo que tem grande influecircncia nas amplitudes
de vibraccedilatildeo medidas no sistema
Kalita e Kakoty (2004) destacam o meacutetodo de elementos finitos como o mais popular para
anaacutelise de vibraccedilatildeo de sistemas rotor-mancal Eacute estudado o comportamento dinacircmico de um
30
rotor apoiado em mancais hidrodinacircmicos onde usam-se elementos de viga de Timoshenko para
o eixo que inclui os efeitos de ineacutercia rotatoacuteria efeito giroscoacutepico amortecimento interno e
deformaccedilatildeo por cisalhamento O modelo tem 4 graus de liberdade dois deslocamentos
transversais e duas rotaccedilotildees Satildeo apresentados os diagramas de Campbell para diferentes valores
de coeficientes de forccedila dos mancais incluindo anaacutelise da influecircncia dos coeficientes de
amortecimento e de rigidez cruzada dos mancais nas velocidades de instabilidade Eacute mostrada
ainda a limitaccedilatildeo do uso da aproximaccedilatildeo de mancais curtos no caacutelculo dos coeficientes
dinacircmicos de mancais hidrodinacircmicos
Bode e Menezes (2005) apresentam uma anaacutelise dinacircmica de um sistema rotor-mancal pelo
meacutetodo de elementos finitos onde satildeo detalhadas todas etapas da modelagem do sistema O
eixo flexiacutevel eacute excitado por forccedilas de desbalanceamento e apoiado nas extremidades por mancais
hidrodinacircmicos cujas forccedilas de reaccedilatildeo satildeo produzidas pela pressatildeo dinacircmica do lubrificante Os
coeficientes de rigidez e de amortecimento dos mancais satildeo obtidos atraveacutes da soluccedilatildeo numeacuterica
da equaccedilatildeo de Reynolds Para modelar o eixo flexiacutevel eacute usada a teoria de vigas de Timoshenko
incluindo o efeito giroscoacutepico e de cisalhamento Adota-se o meacutetodo de elementos finitos com
elementos de viga com 4 graus de liberdade em cada noacute 2 deslocamentos e 2 velocidades As
equaccedilotildees de movimento satildeo obtidas pelas equaccedilotildees de Lagrange descrevendo o movimento em
dois planos A resposta no tempo eacute obtida pelo meacutetodo de Newmark (RAO 1995) integrando-se
numericamente as equaccedilotildees de movimento Os autores obtecircm uma soluccedilatildeo numeacuterica que
permite descrever as condiccedilotildees dinacircmicas de estabilidade do sistema rotor-mancal
Cheng et al (2008) investigam o comportamento dinacircmico natildeo-linear de um sistema rotor-
mancal-selo apresentando resultados em forma de trajetoacuterias mapas de Poincareacute expoentes de
Liapunov espectros de frequecircncia e diagramas de bifurcaccedilatildeo Satildeo destacadas as caracteriacutesticas
natildeo-lineares dos coeficientes de rigidez e de amortecimento de mancais hidrodinacircmicos e de
selos mecacircnicos Consideram-se mancais curtos Para o selo adota-se o modelo natildeo-linear de
Muszynska (1986) O modelo do rotor considera apenas a vibraccedilatildeo transversal desprezando a
vibraccedilatildeo torcional e o efeito giroscoacutepico sendo adotado o modelo de rotor de Jeffcott A soluccedilatildeo
numeacuterica eacute obtida atraveacutes do meacutetodo de Runge-Kutta de quarta ordem seguida de uma anaacutelise
graacutefica do comportamento natildeo-linear do sistema em funccedilatildeo da velocidade de rotaccedilatildeo da
excentricidade da folga no selo e da pressatildeo no selo Os autores enfatizam a modelagem do
selo mas simplificam muito o modelo do eixo O modelo dos mancais eacute limitado a mancais
curtos e a anaacutelise numeacuterica considera apenas um exemplo de mancal
31
Rezvani (2009) faz uma anaacutelise de um sistema rotor mancal com vaacuterios graus de liberdade e
apoios natildeo-lineares Satildeo modelados sistemas apoiados em mancais de rolamento e em suportes
amortecidos (squeeze film dampers) considerando o modelo de mancais curtos Satildeo mostrados
os efeitos do amortecimento e do efeito giroscoacutepico do sistema em sua estabilidade Elhibir
(2009) apresenta um modelo computacional de um alternador afixado em uma viga oca em
balanccedilo apoiada em uma extremidade por dois mancais de rolamento O modelo usa o meacutetodo
de elementos finitos com elementos soacutelidos tetraeacutedricos Eacute analisada a resposta desbalanceada
do sistema e obtidas as frequecircncias naturais e usada anaacutelise modal Satildeo apresentados diversos
resultados numeacutericos e imagens ilustrando as deformaccedilotildees do sistema em cada modo de
vibraccedilatildeo
Karlberg (2010) faz uma anaacutelise dinacircmica de maacutequinas rotativas apoiadas por mancais de
rolamento com folgas O trabalho se destaca pela forma detalhada como eacute analisada a influecircncia
das folgas dos mancais nos seus coeficientes de rigidez proacuteximo da posiccedilatildeo de equiliacutebrio Eacute
observado que as frequecircncias naturais reduzem significativamente com o aumento das folgas
Para o modelo do rotor eacute adotada a teoria de vigas de Bernoulli-Euler usado o modelo de
Jeffcott com disco riacutegido
22 Anaacutelise da estabilidade atraveacutes de problema de autovalor
A anaacutelise da estabilidade de sistemas rotor-mancal pode tambeacutem ser feita atraveacutes do problema
de autovalor Gupta (1974) apresenta uma anaacutelise baseada no problema de autovalores
aplicando equaccedilotildees que consideram o efeito giroscoacutepico amortecido do sistema A formulaccedilatildeo
do problema de autovalor associados a sistemas giroscoacutepicos amortecidos eacute de grande
importacircncia para a determinaccedilatildeo de velocidades criacuteticas e para a anaacutelise de sensibilidade de
paracircmetros em maacutequinas rotativas (PLAUT e HUSEYIN 1972 MEIROVITCH e
RYLAND 1979 LUND 1980 PALAZZOLO et al 1983 RAJAN et al 1986 FARIA e
BARCELLOS 1991 EHRICH 1992 LUND 1994) A equaccedilatildeo do sistema rotor-mancal
flexiacutevel com efeito giroscoacutepico amortecido eacute reescrita na forma de variaacuteveis de estado
(MEIROVITCH1974 MEIROVITCH1980 CHILDS e GRAVISS1982) para a determinaccedilatildeo
dos autovalores complexos
Rao et al (1996) analisam a estabilidade e os autovalores de sistemas rotor-mancal usando a
teacutecnica de elementos finitos e considerando coeficientes distribuiacutedos de forccedila e de
32
amortecimento nos mancais Satildeo consideradas distribuiccedilotildees uniformes e paraboacutelicas para
diferentes tipos de mancais hidrodinacircmicos Os coeficientes distribuiacutedos satildeo obtidos atraveacutes de
uma metodologia que usa o princiacutepio do trabalho virtual (CRAGGS 1993 TAYLOR e
CRAGGS 1994) mas que considera apenas uma distribuiccedilatildeo uniforme ao longo da largura e do
comprimento do mancal Esta consideraccedilatildeo eacute vaacutelida quando o mancal eacute razoavelmente longo
Poreacutem quando eacute curto eacute vaacutelido considerar a distribuiccedilatildeo paraboacutelica (RAO et al1996) Assim
o mesmo princiacutepio do trabalho virtual eacute aplicado desta vez para se obterem as matrizes de
elementos finitos dos coeficientes de forccedila com distribuiccedilatildeo paraboacutelica Estas matrizes satildeo
incluiacutedas nas matrizes do sistema rotor-mancal obtendo-se a equaccedilatildeo de movimento do sistema
em forma matricial
A modelagem do rotor eacute feita usando-se elementos de viga finitos como propostos por Nelson e
McVaugh (1976) incluindo-se o efeito giroscoacutepico e o amortecimento interno Os resultados
satildeo analisados comparando-se os autovalores e frequecircncias naturais do sistema com coeficientes
de rigidez e de amortecimento distribuiacutedos agravequeles obtidos considerando-se os coeficientes de
forccedila concentrados para mancais isotroacutepicos com razatildeo LD=05 e LD=10 Observa-se que
para mancais longos quando os coeficientes de rigidez satildeo baixos (104 a 10
7 Nm) a diferenccedila
entre os resultados para os modelos de coeficientes distribuiacutedos e concentrados eacute despreziacutevel e
entre os modelos de coeficientes distribuiacutedos uniformemente e paraboacutelico tambeacutem eacute pequena
Percebe-se um aumento nas frequecircncias naturais para o modelo de coeficientes distribuiacutedos
somente para valores mais elevados de rigidez Por fim os autores analisam a estabilidade do
sistema rotativo para diferentes tipos de mancais hidrodinacircmicos cujos coeficientes de forccedila satildeo
obtidos de Lund e Thomsen (1978) Conclui-se que as regiotildees de estabilidade mudam entre as
duas formulaccedilotildees O modelo de coeficientes distribuiacutedos fornece regiotildees de estabilidade mais
amplas quando comparado com o modelo de coeficientes concentrados Desta forma o modelo
concentrado eacute mais conservativo do ponto de vista de estabilidade e o modelo distribuiacutedo eacute
mais preciso
Santana (2009) apresenta a anaacutelise da resposta complexa de um sistema rotor-mancais-fundaccedilatildeo
onde estuda a influecircncia do grau de anisotropia dos mancais e da estrutura de suporte na resposta
do modo retroacutegrado de precessatildeo Eacute formulado tambeacutem um problema de autovalores poreacutem
associado agrave anaacutelise modal adaptada para sistemas rotativos (NORDMANN 1982) A anaacutelise dos
modos de vibraccedilatildeo associados ao eixo rotativo e aos mancais de apoio fornece importantes
dados para o desenvolvimento de meacutetodos computacionais de anaacutelise de vibraccedilatildeo teacutecnicas de
33
balanceamento e de monitoramento de maacutequinas de alta rotaccedilatildeo (BUSSE et al 1980 BOEDO e
BOOKER 1997) O mesmo problema pode ainda incluir as propriedades dissipativas do sistema
(MEIROVITCH e RYLAND 1979 PALAZZOLO et al 1983 FARIA e BARCELLOS 1991)
23 Mancais hidrodinacircmicos
A literatura apresenta diversos estudos sobre o caacutelculo dos coeficientes de forccedila nos mancais
hidrodinacircmicos Ocvirk (1952) propocircs a soluccedilatildeo da equaccedilatildeo de Reynolds para mancais curtos
desprezando o gradiente circunferencial de pressatildeo Pinkus (1987) faz uma revisatildeo histoacuterica da
teoria de lubrificaccedilatildeo hidrodinacircmica e da aplicaccedilatildeo da equaccedilatildeo de Reynolds em tribologia desde
suas origens ateacute o estado atual Lund (1978 1987) faz uma revisatildeo do conceito de coeficientes
dinacircmicos e aplica o meacutetodo de perturbaccedilatildeo infinitesimal em torno da posiccedilatildeo de equiliacutebrio
para calcular os coeficientes de rigidez e de amortecimento de mancais hidrodinacircmicos Lund
(1987) acrescenta que esta perturbaccedilatildeo em torno da posiccedilatildeo de equiliacutebrio eacute vaacutelida para ateacute 40
da folga do mancal
Childs (1993) e Vance (1988) apresentam em seus livros diferentes modelos de mancais
hidrodinacircmicos e obtecircm os valores dos seus coeficientes dinacircmicos Os coeficientes satildeo obtidos
a partir de caacutelculos em torno da posiccedilatildeo de equiliacutebrio do eixo no mancal Rajalingham e Prabhu
(1987) analisam a influecircncia da temperatura nas caracteriacutesticas fiacutesicas dos mancais
hidrodinacircmicos e concluem que a variaccedilatildeo da temperatura do oacuteleo na direccedilatildeo axial pode ser
desprezada sem afetar a precisatildeo dos resultados hidrodinacircmicos para o filme de oacuteleo
Choy et al (1991) calculam os coeficientes de rigidez natildeo-lineares dos mancais para
perturbaccedilotildees de deslocamento em vaacuterios locais em torno da posiccedilatildeo de equiliacutebrio Eles mostram
que para deslocamentos distantes da posiccedilatildeo de equiliacutebrio a natildeo-linearidade das forccedilas do filme
fluido eacute significante e pode ser modelada por coeficientes de forccedila e de amortecimento de
ordem superior Choy et al (1992) analisam o efeito natildeo-linear no comportamento dinacircmico de
mancais hidrodinacircmicos quando sujeitos a diversas condiccedilotildees operacionais tais como alta e
baixa excentricidade altas velocidades desalinhamento
Zhang e Luo (1991) utilizam teacutecnicas de ajuste de curvas usando dados experimentais da
resposta em frequecircncia para identificaccedilatildeo dos coeficientes de rigidez e amortecimento de
mancais hidrodinacircmicos Capone et al (1994) propotildeem uma soluccedilatildeo analiacutetica aproximada para
34
a distribuiccedilatildeo de pressatildeo do filme de oacuteleo em um mancal de comprimento finito Satildeo
apresentadas aproximaccedilotildees de primeira e segunda ordem com diversas relaccedilotildees de largura e
diacircmetros sendo que o modelo de segunda ordem mostra uma boa aproximaccedilatildeo em relaccedilatildeo o
modelo de mancal finito calculado numericamente
Qiu e Tieu (1996) calculam os coeficientes dinacircmicos em diferentes valores de perturbaccedilatildeo Eles
concluem que as perturbaccedilotildees nas velocidades e deslocamentos devem estar entre 5 e 4
respectivamente para se garantir uma diferenccedila de 25 entre os valores de coeficientes obtidos
pelos meacutetodos de perturbaccedilatildeo finita e infinita Furukawa et al (1996) estudam os coeficientes de
forccedila nos mancais hidrodinacircmicos e concluem que a natildeo linearidade do filme fluido produz
grandes diferenccedilas entre os valores calculados e os medidos experimentalmente em especial na
regiatildeo de alta excentricidade Chu et al (1998) analisam a natildeo-linearidade do filme fluido e
observam que os coeficientes lineares dos mancais hidrodinacircmicos modelados satildeo vaacutelidos para
perturbaccedilotildees de deslocamento da ordem de 006
Bachschmid e Vania (2002) observam vibraccedilotildees em uma frequecircncia duas vezes maior que a
rotaccedilatildeo da maacutequina na presenccedila de efeitos natildeo-lineares em mancais hidrodinacircmicos Os autores
destacam a importacircncia de se monitorar o segundo harmocircnico para se diagnosticarem falhas em
turbo-maacutequinas Sawicki e Rao (2004) analisam o caraacuteter natildeo-linear dos coeficientes de forccedila de
mancais hidrodinacircmicos para diferentes nuacutemeros de Sommerfeld (SOMMERFELD 1904) e
razotildees de esbeltez do mancal LD Satildeo apresentadas as diferentes formas de se aplicar o meacutetodo
de perturbaccedilatildeo para a obtenccedilatildeo dos coeficientes de forccedila lineares e natildeo-lineares Os autores
destacam ainda que os coeficientes de forccedila lineares apresentam precisatildeo aceitaacutevel ateacute uma
excentricidade de 04 vezes o valor da folga do mancal (LUND 1987) Hirani (2005) aplica
teacutecnicas de algoritmos geneacuteticos na modelagem de lubrificaccedilatildeo hidrodinacircmica para o projeto
otimizado de mancais
Couto (2006) faz um estudo teoacuterico-experimental que investiga o comportamento de mancais
radiais hidrodinacircmicos sujeitos a carregamentos estaacuteticos dinacircmicos e a desalinhamentos Eacute
aplicado o meacutetodo de volumes finitos para a integraccedilatildeo da equaccedilatildeo de Reynolds que governa o
problema de lubrificaccedilatildeo Faria et al (2006) apresentam um procedimento baseado no meacutetodo
de elementos finitos para a soluccedilatildeo das equaccedilotildees de lubrificaccedilatildeo em mancais radiais ciliacutendricos
hidrodinacircmicos obtidas a partir da equaccedilatildeo claacutessica de Reynolds Os resultados mostram as
limitaccedilotildees da aplicabilidade da teoria de mancais curtos especialmente quando operam com
35
grandes excentricidades Mostram-se tambeacutem os limites da aplicaccedilatildeo da teoria de mancais
longos (HAMROCK 1994) onde LD=2
Yan et al (2010) apresentam um modelo analiacutetico e um meacutetodo de caacutelculo dos coeficientes de
rigidez e de amortecimento de mancais hidrodinacircmicos de sapata moacutevel e fazem uma
comparaccedilatildeo com resultados experimentais da literatura (KOSTRZEWSKY e FLACK 1990)
Seu modelo inclui um rotor riacutegido simeacutetrico apoiado em dois mancais de sapata moacutevel idecircnticos
de cinco sapatas cada Eacute usado o meacutetodo de NewtonndashRaphson para se calcular a posiccedilatildeo de
equiliacutebrio do eixo e das paacutes Apresenta-se tambeacutem um modelo reduzido que se mostra eficiente
para o caacutelculo dos coeficientes dinacircmicos mas que natildeo apresenta bons resultados para a anaacutelise
de estabilidade e das frequecircncias naturais amortecidas Observa-se nos resultados que o
momento de ineacutercia das paacutes a velocidade e o fator de preacute-carga tecircm grande influecircncia na
estabilidade do sistema e que a faixa de operaccedilatildeo estaacutevel pode ser aumentada ao se aumentar o
fator de preacute-carga
24 Sistemas rotativos com elementos adicionais
A anaacutelise de estabilidade de sistemas mancal-rotor eacute bastante variada na literatura especializada
Eacute comum encontrar trabalhos cuja originalidade recai na inclusatildeo de alguns paracircmetros ou
elementos especiacuteficos no conjunto como mancais hiacutebridos mancais de materiais viscoelaacutesticos
acoplamentos selos mecacircnicos
Um trabalho a destacar sobre a anaacutelise de estabilidade do sistema rotor-mancal de mancais
hiacutebridos eacute o de Gomez-Mancilla et al (2005) onde eacute modelado um sistema composto por um
rotor de Jeffcott apoiado em mancais hidrodinacircmicos ciliacutendricos hiacutebridos Satildeo considerados
ambos modelos riacutegido e flexiacutevel de Jeffcott e comparados os niacuteveis de vibraccedilatildeo e a estabilidade
do sistema quando sujeito a diferentes niacuteveis de pressatildeo de alimentaccedilatildeo do lubrificante nos
mancais Os autores mostram como se pode melhorar a estabilidade do sistema com o aumento
da pressatildeo de alimentaccedilatildeo provocando uma reduccedilatildeo no acircngulo de posiccedilatildeo e um aumento da
excentricidade nos sistemas modelados que inclui mancais hidrodinacircmicos longos ciliacutendricos
Este efeito tambeacutem favorece a faixa de operaccedilatildeo estaacutevel do sistema elevando a velocidade
limite de operaccedilatildeo estaacutevel (threshold speed of instability) Os resultados obtidos mostram que o
efeito da pressatildeo de alimentaccedilatildeo nos mancais na estabilidade do sistema eacute consideraacutevel para
36
rotores riacutegidos ou com elevada rigidez Agrave medida em que a rigidez reduz natildeo se percebe muita
variaccedilatildeo na estabilidade com o aumento da pressatildeo de alimentaccedilatildeo Outro resultado importante
deste trabalho eacute que o aumento da pressatildeo de alimentaccedilatildeo do lubrificante natildeo eacute interessante
quando o sistema estaacute cruzando uma velocidade criacutetica Apenas em casos particulares eacute possiacutevel
obter alguma reduccedilatildeo na amplitude de vibraccedilatildeo e mesmo assim quando a velocidade de
operaccedilatildeo estiver fora da faixa de velocidades criacuteticas Portanto um sistema de controle ativo de
pressatildeo eacute recomendado para se obter os melhores resultados em funccedilatildeo dos paracircmetros
operacionais do sistema rotativo Comenta-se tambeacutem que outros modelos de mancais como os
eliacutepticos de muacuteltiplos loacutebulos de sapata moacutevel satildeo intrinsecamente mais estaacuteveis do que os
mancais ciliacutendricos analisados no trabalho
A anaacutelise de estabilidade do sistema com mancais de materiais viscoelaacutesticos eacute apresentada em
Espiacutendola e Floody (1999) Saldarriaga (2007) e Bavastri et al(2008) Tapia e Cavalca (2002) e
Tadeo (2003) analisam os efeitos de alguns modelos de acoplamentos flexiacuteveis e riacutegidos
inserindo-os em modelos de elementos finitos do sistema rotativos Al-Hussain (2003) analisa o
efeito do desalinhamento angular na estabilidade de dois rotores riacutegidos ligados por um
acoplamento flexiacutevel O modelo contempla ainda um disco riacutegido em cada rotor que se apoacuteia
em mancais hidrodinacircmicos O autor apresenta as regiotildees de estabilidade do sistema e sua
relaccedilatildeo com a rigidez do acoplamento e com o acircngulo de desalinhamento
Wang et al (2010) fazem uma anaacutelise de um compressor centriacutefugo de alta velocidade com
mancais hidrodinacircmicos a ar com selo mecacircnico de labirinto Eacute usado o modelo de rotor riacutegido
de Jeffcott para modelar o eixo e o disco que representam o compressor aleacutem do modelo de
Muszynska (1986) para as forccedilas do selo
Faria e Miranda (2012) apresentam um procedimento de elementos finitos aplicado na anaacutelise
dos paracircmetros de desempenho de selos a gaacutes Lavainne (2003) e Vincent (2003) fazem uma
anaacutelise determiniacutestica e probabiliacutestica da sensibilidade de desempenho de um compressor agraves
variaccedilotildees geomeacutetricas das suas paacutes Ambos apresentam os resultados em termos de alteraccedilotildees na
eficiecircncia de compressatildeo do equipamento
Lazarus et al (2010) fazem uma anaacutelise dinacircmica da vibraccedilatildeo em maacutequinas rotativas
assimeacutetricas utilizando elementos finitos tridimensionais (3D) baseando-se na teoria modal
Satildeo incluiacutedos no modelo um estator e um acoplamento permitindo uma anaacutelise detalhada da
estabilidade do sistema e sua relaccedilatildeo com os autovalores Os resultados teoacutericos satildeo comparados
37
com mediccedilotildees experimentais realizadas em uma bancada de testes com um rotor assimeacutetrico
apoiado em mancais anisotroacutepicos
25 Mancais eliacutepticos
A literatura apresenta diversos trabalhos sobre modelagem de mancais ciliacutendricos mas haacute
poucos trabalhos que investigam detalhadamente os mancais eliacutepticos (SINGH e GUPTA1982)
As primeiras publicaccedilotildees sobre mancais eliacutepticos que se destacam satildeo Pinkus (1956 1956b)
onde o autor apresenta uma anaacutelise detalhada sobre mancais eliacutepticos incluindo paracircmetros
como capacidade de carga coeficiente de atrito e vazatildeo para diferentes valores de
excentricidade fator de carga e razatildeo LD Outro trabalho importante na eacutepoca foi apresentado
por Wilcock (1961) que analisa vaacuterios tipos de mancais deslocados ortogonalmente incluindo
mancais eliacutepticos Seu trabalho eacute limitado pelo fato de natildeo terem sido considerados os
coeficientes de amortecimento
Sternlicht (1964) apresenta uma anaacutelise de regime permanente para mancais eliacutepticos usando
coeficientes de rigidez e de amortecimento de mancais eliacutepticos com fatores geomeacutetricos
variados Middleton (1973) apresenta diagramas de capacidade de carga acircngulo de atitude e
coeficientes de rigidez e de amortecimento para mancais eliacutepticos com fatores de 06 e LD=05
Singh (1978) faz uma anaacutelise estaacutetica e dinacircmica de mancais eliacutepticos com LD=1 considerando
rotores riacutegidos e flexiacuteveis Kumar et al (1980) apresentam dados detalhados para o projeto de
mancais hidrodinacircmicos eliacutepticos (dois loacutebulos) Eacute usado o meacutetodo de perturbaccedilatildeo linear para o
caacutelculo dos coeficientes do mancal aplicando-se a equaccedilatildeo de Reynolds para filme fluido com
algumas simplificaccedilotildees nas condiccedilotildees de contorno Satildeo apresentados resultados para os
coeficientes de rigidez e de amortecimento do mancal aleacutem de dados sobre paracircmetro de atrito
de aumento de temperatura e regiatildeo de equiliacutebrio
Singh e Gupta (1982) apresentam um estudo analiacutetico dos efeitos do fator de carga da razatildeo LD
e da flexibilidade do eixo nos limites de estabilidade de mancais eliacutepticos e destacam que os
mancais eliacutepticos satildeo adequados para rotores riacutegidos e moderadamente flexiacuteveis Neste trabalho
os autores aplicam a equaccedilatildeo de Reynolds a cada loacutebulo do mancal eliacuteptico e resolvem a
equaccedilatildeo separadamente por loacutebulo usando o meacutetodo de diferenccedilas finitas Os resultados satildeo
vaacutelidos para mancais alinhados onde o perfil de pressotildees eacute simeacutetrico Satildeo levados em
38
consideraccedilatildeo todos os coeficientes de forccedila dos mancais isto eacute os coeficientes de rigidez e de
amortecimento incluindo os coeficientes cruzados
Zhang et al (1999) analisam os efeitos da natildeo-linearidade das forccedilas do filme fluido na resposta
desbalanceada de um rotor de Jeffcott apoiado em mancais eliacutepticos Eacute destacado o caraacuteter natildeo-
linear das forccedilas do filme fluido Os autores comparam os resultados da resposta desbalanceada
gerada pela teoria linear e natildeo-linear para avaliar a aplicabilidade da teoria linear Observa-se a
grande influecircncia do desbalanceamento nos resultados comparados mostrando a importacircncia de
se considerar as natildeo-linearidades quando o desbalanceamento do sistema eacute elevado
Nas uacuteltimas deacutecadas tem-se publicado pouco sobre mancais eliacutepticos e os trabalhos recentes que
merecem destaque satildeo comentados a seguir
Shen et al(2006) apresentam um modelo raacutepido e preciso que calcula as forccedilas de um mancal
hidrodinacircmico usando o meacutetodo variacional O modelo analisa o comportamento dinacircmico natildeo-
linear de um rotor riacutegido apoiado em mancais eliacutepticos considerando tanto o rotor balanceado
como o natildeo-balanceado Os autores fazem uma revisatildeo histoacuterica dos trabalhos que investigam
este caraacuteter aperioacutedico e caoacutetico da vibraccedilatildeo em sistemas dinacircmicos de alta rotaccedilatildeo onde se
comenta ainda que os coeficientes dinacircmicos lineares trazem informaccedilotildees de estabilidade
vaacutelidas apenas para rotores balanceados Satildeo destacados os meacutetodos numeacutericos de elementos
finitos e de diferenccedilas finitas como os mais precisos mas ao mesmo tempo os que mais exigem
recursos computacionais e tempo de processamento Desta forma os autores propotildeem um novo
modelo numeacuterico para calcular as forccedilas do filme fluido para investigar a dinacircmica natildeo-linear
de um sistema rotor-mancal O mancal modelado eacute formado por dois loacutebulos de 150deg cada e
considera-se apenas o movimento radial do rotor O novo modelo proposto baseia-se na teoria
variacional (ROHDE e MALLISTER 1975) gerando um problema de minimizaccedilatildeo de energia
o que reduz o problema bidimensional para unidimensional reduzindo consideravelmente o
custo computacional Como as forccedilas do filme fluido satildeo calculadas para cada loacutebulo o meacutetodo
proposto eacute eficiente tanto para mancais ciliacutendricos quanto para mancais de vaacuterios loacutebulos
incluindo os mancais eliacutepticos O meacutetodo eacute vaacutelido natildeo apenas para mancais curtos e longos mas
tambeacutem para mancais finitos Satildeo apresentados resultados numeacutericos e graacuteficos que mostram
oacuterbitas ciclos limites diagramas de bifurcaccedilatildeo (HOLLIS e TAYLOR 1986) e mapas de
Poincareacute
39
Yan-Jun et al(2006) analisam o comportamento dinacircmico natildeo-linear de um rotor apoiado em
mancais hidrodinacircmicos finitos incluindo mancais eliacutepticos Para o caacutelculo dos coeficientes de
forccedila dos mancais usa-se o meacutetodo de elementos finitos com uma abordagem variacional que
permite reduzir o custo computacional e melhorar a exatidatildeo numeacuterica do meacutetodo segundo os
autores Satildeo considerados os efeitos natildeo-lineares das forccedilas produzidas pelo filme fluido e sua
influecircncia na natildeo-linearidade do movimento do sistema Aplica-se o meacutetodo de prediccedilatildeo e
correccedilatildeo juntamente com o meacutetodo de Newton-Raphson para se calcular a posiccedilatildeo de equiliacutebrio
e as velocidades criacuteticas A limitaccedilatildeo do modelo estaacute na consideraccedilatildeo de eixo riacutegido e sua
modelagem natildeo eacute detalhada pelos autores
Correia (2007) apresenta uma anaacutelise de desempenho de mancais hidrodinacircmicos eliacutepticos
usando o meacutetodo de elementos finitos Satildeo obtidos os coeficientes de rigidez e de
amortecimento para diversas condiccedilotildees de trabalho aleacutem de obter curvas de caracteriacutesticas de
desempenho estaacutetico e dinacircmico tais como capacidade de carga e coeficientes dinacircmicos de
forccedila em funccedilatildeo de paracircmetros operacionais e do nuacutemero de Sommerfeld O autor destaca que
para um nuacutemero de Sommerfeld alto os mancais ciliacutendricos satildeo inadequados
Raghunandana (2007) propotildee um meacutetodo inverso para se calcular os coeficientes de forccedila e de
amortecimento de mancais eliacutepticos a partir de um banco de dados gerado para uma certa razatildeo
de excentricidade e eacute feito um ajuste de curva para gerar uma funccedilatildeo contiacutenua destes dados Eacute
apresentada a equaccedilatildeo de Reynolds modificada (DIEN e ELROD 1983) que considera a
variaccedilatildeo da viscosidade do fluido em funccedilatildeo da pressatildeo isto eacute fluido natildeo-newtoniano A
equaccedilatildeo eacute adimensionalizada e resolvida numericamente usando o meacutetodo de diferenccedilas finitas
considerando o regime permanente e condiccedilotildees de contorno simplificadoras
40
3 METODOLOGIA
Nesse capiacutetulo eacute apresentada a metodologia adotada na implementaccedilatildeo do procedimento
computacional que permite obter os resultados do comportamento dinacircmico de sistemas rotor-
mancal hidrodinacircmico Inicialmente apresenta-se a formulaccedilatildeo por elementos finitos do eixo
rotativo utilizando-se a teoria de vigas de Timoshenko Em seguida eacute apresentada a descriccedilatildeo
do problema de mancal hidrodinacircmico radial eliacuteptico e as equaccedilotildees de lubrificaccedilatildeo da Teoria da
Lubrificaccedilatildeo que permitem obter a formulaccedilatildeo por elementos finitos dos coeficientes de forccedila
destes mancais Posteriormente eacute descrito o procedimento para se modelar o sistema rotor-
mancal hidrodinacircmico por elementos finitos obtendo-se a equaccedilatildeo do movimento Apresenta-se
o meacutetodo numeacuterico de integraccedilatildeo no tempo adotado para se obter a soluccedilatildeo numeacuterica da
equaccedilatildeo do movimento do sistema Finalmente eacute apresentado um diagrama descrevendo as
principais etapas do procedimento computacional completo
O modelo do sistema rotor-mancal eacute ilustrado esquematicamente na Figura 31 onde observa-se
um eixo circular flexiacutevel apoiado nas extremidades e com um disco massivo acoplado Os
apoios satildeo representados pelos coeficientes de rigidez K e de amortecimento C dos mancais
Figura 31 ndash Sistema rotor-mancal
Os modelos adotados para o rotor flexiacutevel e para os mancais hidrodinacircmicos ciliacutendricos e
41
eliacutepticos satildeo baseados em teorias que apresentam algumas hipoacuteteses simplificadoras Estas
hipoacuteteses satildeo listadas a seguir
i) Modelo do Eixo flexiacutevel
natildeo inclui efeitos de torccedilatildeo ou de amortecimento interno
considera o eixo homogecircneo isotroacutepico e inicialmente alinhado
carregamento transversal sem carga axial
desconsiderado o movimento axial das seccedilotildees transversais
ii) Modelo do disco massivo
considera o disco riacutegido e homogecircneo
a linha de centro do disco coincide com a linha de centro do eixo (condiccedilatildeo inicial)
iii) Modelo dos mancais hidrodinacircmicos
considera mancais de geometria fixa com perfil ciliacutendrico ou eliacuteptico
a linha de centro coincide com a linha de centro do eixo (condiccedilatildeo inicial)
Filme fluido
- escoamento em regime laminar bidimensional nas direccedilotildees axial e circunferencial
- fluido newtoniano isoteacutermico isoviscoso incompressiacutevel
- desconsiderada a ineacutercia do fluido
iv) Modelo do sistema rotor-mancal
Desconsiderados os efeitos de vibraccedilatildeo provocados por desalinhamento de montagem
folgas roccedilamento rompimento do filme fluido cavitaccedilatildeo
31 Modelagem do Rotor Flexiacutevel
O modelo do rotor flexiacutevel implementado neste trabalho adota o meacutetodo de elementos finitos
(MEF) atraveacutes de elementos de eixo (NELSON 1980) de Timoshenko Nelson (1980) utiliza a
teoria de vigas de Timoshenko para obter as equaccedilotildees de equiliacutebrio para um eixo circular
flexiacutevel suportado em apoios elaacutesticos considerando o efeito do cisalhamento momento
giroscoacutepico e ineacutercia rotatoacuteria Os detalhes sobre a teoria de vigas de Euler-Bernoulli Rayleigh
e Timoshenko satildeo apresentados no Anexo A O desenvolvimento da formulaccedilatildeo atraveacutes de
42
elementos finitos eacute apresentado a seguir e as matrizes de elementos finitos obtidas por esta
formulaccedilatildeo satildeo listadas no Anexo C Considere um elemento finito de comprimento l com oito
graus de liberdade (Figura 32)
Figura 32 ndash Representaccedilatildeo de um elemento finito do eixo
A variaacutevel q representa o vetor deslocamento generalizado onde q1 e q2 representam o
movimento de translaccedilatildeo de um noacute do elemento finito nas direccedilotildees dos eixos de coordenadas
retangulares enquanto q3 e q4 representam as rotaccedilotildees em torno dos eixos de coordenadas As
demais componentes satildeo anaacutelogas representando os mesmos movimentos para o noacute oposto
Para representar a translaccedilatildeo e a rotaccedilatildeo de uma seccedilatildeo qualquer do elemento definem-se (VW)
como o deslocamento linear do centro da seccedilatildeo do elemento onde satildeo incluiacutedas as contribuiccedilotildees
da flexatildeo (Vf Wf) e do cisalhamento (VcWc) Aplicam-se funccedilotildees de interpolaccedilatildeo claacutessicas para
vigas de Timoshenko na flexatildeo (ANEXO B)
onde
43
e as funccedilotildees de interpolaccedilatildeo i=1234 representam os modos de deslocamentos sendo
que cada funccedilatildeo estaacute associada ao deslocamento unitaacuterio de uma das coordenadas com todas as
demais coordenadas com deslocamento restringido a zero [D] e [E] representam as matrizes das
funccedilotildees de interpolaccedilatildeo de deslocamentos lineares e de deslocamentos angulares
respectivamente Para se considerar os efeitos de cisalhamento transversal considera-se o eixo
com seccedilatildeo transversal circular e o fator de forma do cisalhamento transversal meacutedio pode ser
determinado pela expressatildeo (COUPER 1966)
onde eacute o coeficiente de Poisson
Aplicando-se o Princiacutepio de Hamilton obteacutem-se as equaccedilotildees do movimento de um elemento
finito do eixo Fazendo-se a primeira variaccedilatildeo funcional
onde T V e representam respectivamente a energia cineacutetica a energia potencial elaacutestica e o
trabalho das forccedilas externas obeacutem-se a relaccedilatildeo
A energia cineacutetica do elemento considera as parcelas de translaccedilatildeo e de rotaccedilatildeo do movimento
onde l eacute o comprimento do elemento M representa a massa por unidade de comprimento Idm eacute o
momento diametral meacutedio de ineacutercia de massa por unidade de comprimento Ip eacute o momento
polar de ineacutercia por unidade de comprimento eacute a velocidade de rotaccedilatildeo do rotor
A energia de deformaccedilatildeo elaacutestica devido agrave flexatildeo e ao cisalhamento eacute descrita como
44
onde Vf e Wf satildeo as contribuiccedilotildees da flexatildeo no deslocamento linear do centro da seccedilatildeo
transversal do elemento Vc e Wc satildeo as contribuiccedilotildees do cisalhamento neste deslocamento Kx
e Ky satildeo os coeficientes de cisalhamento E e G satildeo os moacutedulos de elasticidade longitudinal e
transversal Iy e Iz satildeo os momentos de ineacutercia de aacuterea A eacute a aacuterea da seccedilatildeo transversal O sinal
de apoacutestrofo indica diferenciaccedilatildeo em relaccedilatildeo agrave posiccedilatildeo
As equaccedilotildees do movimento satildeo obtidas pelo Princiacutepio de Hamilton atraveacutes da relaccedilatildeo
onde
eacute o trabalho virtual das forccedilas externas e Fe eacute o vetor forccedila generalizada
Substituindo-se as funccedilotildees de interpolaccedilatildeo (ANEXO B) nas expressotildees da energia de
deformaccedilatildeo elaacutestica e de energia cineacutetica do elemento leva agraves matrizes de elementos finitos
(ANEXO C) Uma vez obtidas as matrizes do sistema a equaccedilatildeo do movimento obtida pela
aplicaccedilatildeo do Princiacutepio de Hamilton teraacute a forma
onde [Me] [N
e] [G
e] satildeo as matrizes locais da ineacutercia de translaccedilatildeo rotaccedilatildeo e de efeito
giroscoacutepico respectivamente Para o modelo do rotor flexiacutevel composto pelo eixo flexiacutevel e o
disco massivo riacutegido (Figura 31) basta usar as propriedades geomeacutetricas do disco nas matrizes
de ineacutercia [Me] e [N
e] e de efeito giroscoacutepico [G
e] no elemento correspondente agrave posiccedilatildeo do
disco no rotor
32 Modelagem do Mancal Radial Eliacuteptico
A Figura 33 apresenta de maneira esquemaacutetica um mancal hidrodinacircmico eliacuteptico e seus
paracircmetros geomeacutetricos
45
Figura 33 ndash Desenho esquemaacutetico do mancal eliacuteptico e seus paracircmetros geomeacutetricos
O munhatildeo eacute a parte rotativa do mancal normalmente corresponde ao proacuteprio eixo no trecho
apoiado no mancal O tamanho do mancal eacute definido pelo comprimento L e pelo diacircmetro D O
centro do munhatildeo estaacute na interseccedilatildeo das linhas traccedilo-ponto e o centro do mancal estaacute na
interseccedilatildeo das linhas pontilhadas A excentricidade do mancal eacute definida como a distacircncia entre
o centro do mancal e o centro do munhatildeo representada por e A folga radial do mancal definida
como a diferenccedila entre o raio do mancal e o raio do munhatildeo eacute representada por c (Figura 34) A
razatildeo de excentricidade eacute o adimensional definido como podendo variar de zero a um
O acircngulo de posiccedilatildeo do mancal pode ser calculado pela expressatildeo onde
Fy e Fx satildeo respectivamente as componentes vertical e horizontal da forccedila de reaccedilatildeo F do
mancal gerada pela accedilatildeo hidrodinacircmica do filme fluido O mancal radial de perfil eliacuteptico ou
―mancal eliacuteptico possui um perfil formado por dois arcos de circunferecircncia chamados de
loacutebulos que natildeo satildeo concecircntricos (Figura 34) Nesta figura o centro geomeacutetrico dos loacutebulos
(ponto OL) estaacute posicionado sobre o centro geomeacutetrico do eixo (ponto O) o que a difere
basicamente da Figura 33 onde o centro do eixo estaacute deslocado como ocorre quando o eixo
estaacute girando e se desloca para uma posiccedilatildeo de equiliacutebrio R representa o raio menor do mancal
Re representa o raio do munhatildeo ou raio do eixo RL representa o raio do loacutebulo do mancal ou
sejao raio de cada loacutebulo que compotildee o mancal eliacuteptico
A preacute-carga (Mp) do mancal eliacuteptico indica o grau de ―elipsidade do mancal e eacute dada pela
46
expressatildeo Mp=(Cb ndash c)c O caso particular onde Mp=0 representa o mancal ciliacutendrico
Figura 34 - Desenho esquemaacutetico do perfil de um mancal radial eliacuteptico
A Figura 35 mostra o campo de pressatildeo no mancal hidrodinacircmico ciliacutendrico girando no sentido
anti-horaacuterio Percebe-se que as maiores pressotildees satildeo formadas na regiatildeo inferior ligeiramente
deslocadas para a direita para sustentar a carga do eixo representada por W A distacircncia miacutenima
entre o eixo e o mancal eacute representada por ho
Figura 35 - Distribuiccedilatildeo da pressatildeo hidrodinacircmica no mancal ciliacutendrico (LANG e STEINHILPER 1978)
47
Na Figura 36 eacute representado o mesmo campo de pressatildeo poreacutem para o mancal de perfil
eliacuteptico Observa-se que haacute a formaccedilatildeo do campo de pressatildeo tambeacutem na metade superior do
mancal que embora tenha um valor relativamente pequeno se comparado com o campo gerado
na parte inferior ajuda no equiliacutebrio hidrodinacircmico (CORREIA 2007) A accedilatildeo dos dois campos
de pressatildeo dos mancais eliacutepticos aumenta a rigidez melhora o amortecimento e reduz o
aquecimento do lubrificante de maneira mais eficiente do que nos mancais ciliacutendricos
(SEHGAL 2010)
Figura 36 - Distribuiccedilatildeo da pressatildeo hidrodinacircmica no mancal eliacuteptico (Adaptado de CORREIA 2007)
321 Equaccedilotildees de Lubrificaccedilatildeo
A equaccedilatildeo claacutessica de Reynolds que descreve o escoamento de um filme fluido incompressiacutevel
isoteacutermico e isoviscoso pode ser escrita no sistema de coordenadas ciliacutendricas da seguinte forma
(HAMROCK 1994)
t
hh
R
U
z
ph
z
ph
R
LLLL )()(
2
1
12
sup3
12
sup3
sup2
1 (31)
onde
48
R = raio do eixo
p = pressatildeo hidrodinacircmica
= massa especiacutefica do lubrificante
h = espessura do filme fluido
= viscosidade absoluta do lubrificante
U = velocidade superficial do eixo (U = ωR)
O domiacutenio do escoamento do filme fluido eacute descrito por 0 le θ le 2π e -L2 le z le L2 A
distribuiccedilatildeo de pressatildeo hidrodinacircmica eacute perioacutedica ao longo da direccedilatildeo circunferencial p(θ z t)=
p(θ + 2π z t) As laterais do mancal estatildeo agrave pressatildeo atmosfeacuterica pa p(θ L2 t)=p(θ -L2t)= pa
A condiccedilatildeo de Meio Sommerfeld eacute utilizada no caacutelculo do campo de pressatildeo do mancal
ciliacutendrico (HAMROCK 1994) onde usa-se somente do intervalo de 0 le θ le π concentrando-se
a anaacutelise da pressatildeo na regiatildeo convergente ou seja natildeo considerando a aacuterea de cavitaccedilatildeo (ou
pressatildeo negativa) No mancal eliacuteptico eacute desconsiderada apenas a regiatildeo de cavitaccedilatildeo
A expressatildeo que representa a espessura do filme fluido ―h eacute dada pela equaccedilatildeo (32) onde c
representa a folga radial ex e ey representam as excentricidades do mancal e Mp a preacute-carga
senMpcsentetech yx )()()cos()( (32)
Para o caacutelculo dos coeficientes dinacircmicos de forccedila do mancal satildeo utilizadas as equaccedilotildees de
lubrificaccedilatildeo de ordem zero e de primeira ordem obtidas atraveacutes da anaacutelise de perturbaccedilatildeo do
sistema (LUND1987) A posiccedilatildeo de equiliacutebrio do eixo (00
yx ee ) eacute perturbada por movimentos
de pequena amplitude ( yx ee ) com uma frequecircncia de excitaccedilatildeo w (FARIA et al 2006)
Desta forma a espessura do filme eacute dada por
titi
yyxx ehehehehehh 00 )( = x y (33)
onde
0h = espessura do filme estacionaacuterio ou de ordem zero
49
xh = cos( )
yh = sen ( )
= x y
i = 1
Pequenas variaccedilotildees na espessura do filme causam alteraccedilotildees no campo de pressatildeo
hidrodinacircmica Este campo perturbado de pressatildeo hidrodinacircmica pode ser representado pela
equaccedilatildeo (34) se considerarmos uma anaacutelise linear de perturbaccedilatildeo
ti
o
ti
YYXXo epepe)pepe()t(p)t(p (34)
onde
0p = pressatildeo estacionaacuteria campo de pressatildeo de ordem zero
Xp e Yp = campo de pressatildeo de primeira ordem
Substituindo as equaccedilotildees (33) e (34) na equaccedilatildeo (31) obtecircm-se as equaccedilotildees de lubrificaccedilatildeo de
ordem zero e de primeira ordem conforme representado pelas equaccedilotildees (35) e (36)
respectivamente
)(
2
1
1212sup2
1 00
3
00
3
0 h
R
U
z
ph
z
ph
R
LLL (35)
hih
R
U
z
ph
z
phh
z
phphh
RL
LLLLL )(
2
1
1212
3
1212
3
sup2
13
00
2
0
3
00
2
0
(36)
A equaccedilatildeo (35) eacute a equaccedilatildeo claacutessica de Reynolds para regime estacionaacuterio Esta equaccedilatildeo
permite a determinaccedilatildeo do campo de pressatildeo hidrodinacircmica bidimensional no interior dos
mancais radiais lubrificados a oacuteleo Natildeo existe soluccedilatildeo analiacutetica em forma fechada para a grande
maioria dos mancais radiais de uso industrial Os coeficientes dinacircmicos dos mancais satildeo
50
obtidos atraveacutes da soluccedilatildeo das equaccedilotildees de lubrificaccedilatildeo de ordem zero e de primeira ordem via
procedimento de elementos finitos
322 Equaccedilotildees de Elementos Finitos para Mancais Eliacutepticos
As equaccedilotildees de lubrificaccedilatildeo de ordem zero e de primeira ordem podem ser escritas na forma de
balanccedilo de massa utilizando-se o conceito de fluxo maacutessico Dessa forma a equaccedilatildeo (35) pode
ser reescrita na seguinte forma
(37)
sendo que 00
3
0
212
1hR
ph
Rm L
L representa o fluxo maacutessico na direccedilatildeo circunferencial
e z
phm L
z0
3
0
12 o fluxo maacutessico na direccedilatildeo axial
A equaccedilatildeo (36) pode da mesma forma ser reescrita na forma de balanccedilo de fluxo na seguinte
maneira
himz
mR
m Lz111
1
(38)
sendo que os fluxos maacutessicos mostrados na equaccedilatildeo (38) podem ser expressos na seguinte
forma
hRph
R
phh
Rm L
LL
212
1
12
313
00
2
01 (39)
z
ph
z
phhm LL
z
1212
3 3
00
2
01
(310)
323 Discretizaccedilatildeo do campo de pressatildeo de ordem zero
Elementos isoparameacutetricos planos de quatro noacutes satildeo utilizados na discretizaccedilatildeo do domiacutenio do
filme fluido Funccedilotildees de interpolaccedilatildeo bilineares e
j j=1234 satildeo empregadas na descriccedilatildeo do
01
mm
zm
Rz
51
campo de pressatildeo hidrodinacircmica de ordem zero no domiacutenio e de um elemento finito A
Figura 37 ilustra de maneira esquemaacutetica os quatro noacutes no elemento finito usados na
discretizaccedilatildeo do domiacutenio do filme fluido onde a coordenada y representa a direccedilatildeo axial do
mancal e a coordenada indica a direccedilatildeo circunferencial
Figura 37 - Representaccedilatildeo esquemaacutetica dos noacutes no elemento finito
Os campos discretos de pressatildeo de ordem zero e de primeira ordem no domiacutenio e de um
elemento finito satildeo escritos na seguinte forma
e
i
e
i
e pp 00 i=1234 (311)
e
i
e
i
e pp i=1234 (σ = xy) (312)
Sobre um elemento finito do domiacutenio e o meacutetodo de Galerkin eacute utilizado para a obtenccedilatildeo da
equaccedilatildeo do campo de pressatildeo de ordem zero A equaccedilatildeo (37) eacute preacute-multiplicada pelas funccedilotildees
de interpolaccedilatildeo e
j e o produto eacute integrado sobre o domiacutenio e
e ee
ee
j
ee
j
ee
j dmdnmdm 0
(313)
onde n
representa o valor normal unitaacuterio direcionado para o lado de fora do contorno e do
52
elemento finito Pode-se escrever que
eR
ez
e
j
z
e
je
j
1 (314)
zz ememm
(315)
A segunda integral do lado direito da equaccedilatildeo (313) pode ser expandida na seguinte forma
ee
e
e
e
je
i
e
e
je
i
e
je
i
e
e
j
z
e
j
z
e
i
e
ie
i
e
i
dhpdzzR
h
deR
ez
epz
he
z
Rp
h
R
002
3
0
0
3
00
3
0
2
1
12
1
1212
1
(316)
Entatildeo a equaccedilatildeo (313) pode ser reescrita na forma a seguir
e ee
e
n
e
j
e
e
je
i
e
e
je
i
e
je
i dmdhpdzzR
h
2
1
12002
3
0 (317)
onde nm representa o fluxo de lubrificante cruzando a fronteira do elemento finito e
A equaccedilatildeo (317) pode ser representada por um sistema de equaccedilotildees algeacutebricas que representa a
forma estacionaacuteria da equaccedilatildeo de Reynolds para um elemento finito e
na seguinte forma
e
j
e
j
e
i
e
ji qfPK 0 (318)
onde a matriz fluiacutedica e
jiK pode ser obtida por meio de procedimento de integraccedilatildeo baseado no
meacutetodo da quadratura de Gauss (BATHE 1982) utilizando-se quatro pontos de integraccedilatildeo Essa
matriz eacute dada pela seguinte expressatildeo
53
e
e
je
i
e
je
ie
ji dzzR
hK
e sup2
1
12
3
0
O vetor de fluxo no domiacutenio de um elemento finito eacute determinado por
e
e
e
je
j dhf 02
O balanccedilo de fluxo atraveacutes do contorno do domiacutenio eacute dado por
e
e
n
e
j
e
j dmq
O contorno de um elemento finito qualquer eacute representado por e
e o fluxo de lubrificante de
ordem zero atraveacutes dessa fronteira por nm
324 Discretizaccedilatildeo do campo de pressatildeo de primeira ordem
O meacutetodo de Galerkin eacute empregado novamente para a obtenccedilatildeo da equaccedilatildeo de elementos finitos
para determinaccedilatildeo do campo de pressatildeo perturbada de primeira ordem A equaccedilatildeo (38) eacute preacute-
multiplicada pelas funccedilotildees de interpolaccedilatildeo e o produto eacute integrado sobre o domiacutenio e do
elemento finito produzindo a seguinte equaccedilatildeo integral
e e ee
ee
j
ee
j
ej
e
ee
j dhidmdnmdm
111 (319)
O segundo termo do lado direito da equaccedilatildeo (319) pode ser reescrito na forma seguinte
e
e e
e
e
je
i
e
je
i
e
jo
ejz
e
jee
j
dR
hRP
R
hp
R
hh
dz
mR
mdm
2sup2
1
12sup2
1
12
3
1
3
0
2
0
111
54
e
ee
i
e
je
i
e
jdP
zz
h
zz
phh
1212
3 3
00
2
0 (320)
A equaccedilatildeo (320) pode entatildeo ser reescrita na forma de um sistema de equaccedilotildees algeacutebricas na
seguinte maneira
ee
j
e
j
e
j
e
j
en
e
j
e
i
e
e
je
i
e
je
i
dhihzz
pp
R
hh
dmPdzzR
h
e
ee
2sup2
1
12
3
sup2
1
12
00
2
0
1
3
0
(321)
Para facilitar a representaccedilatildeo da equaccedilatildeo algeacutebrica (321) pode-se reescrevecirc-la na forma
matricial como segue
e
j
e
j
e
i
e
ji fqpK yx (322)
A matriz fluiacutedica de primeira ordem o balanccedilo do fluxo atraveacutes do contorno e o vetor de fluxo
no domiacutenio satildeo determinados respectivamente por
e
e
je
i
e
j
e
je
ji dzzR
hK
e sup2
1
12
3
0 (3221)
e
en
e
j
e
j dmq (3222)
e
ee
j
e
j
e
j
e
je
j dhihzz
pp
R
hhf
2sup2
1
12
3 00
2
0 (3223)
O fluxo de lubrificante de primeira ordem atraveacutes do contorno e de um elemento finito eacute
representado por nm
O sistema de equaccedilotildees algeacutebricas complexas dado pelas equaccedilotildees (322) permite determinar o
55
campo complexo de pressatildeo hidrodinacircmica de primeira ordem Os coeficientes do vetor
carregamento de primeira ordem e
jf dependem do campo de pressatildeo de ordem zero Por
conseguinte primeiro resolve-se o sistema de equaccedilotildees de ordem zero apresentada na equaccedilatildeo
(318) para a determinaccedilatildeo do campo de pressatildeo estacionaacuteria 0p Entatildeo determina-se o campo
de pressatildeo perturbada por meio do sistema de equaccedilotildees dado pelas equaccedilotildees (322)
As caracteriacutesticas estaacuteticas de desempenho de mancais tais como capacidade de carga torque de
atrito e vazatildeo de oacuteleo satildeo determinadas a partir da equaccedilatildeo de lubrificaccedilatildeo de ordem zero Jaacute as
caracteriacutesticas dinacircmicas de desempenho tais como os coeficientes de rigidez e de
amortecimento satildeo estimadas a partir da soluccedilatildeo da equaccedilatildeo de lubrificaccedilatildeo de primeira ordem
As equaccedilotildees de elementos finitos satildeo superpostas para todo o domiacutenio do filme fluido Ω
325 Determinaccedilatildeo dos Coeficientes de Forccedila dos Mancais Eliacutepticos
A soluccedilatildeo do sistema de equaccedilotildees algeacutebricas lineares eacute obtida por meio de um procedimento
baseado no meacutetodo da decomposiccedilatildeo LU (CHAPRA e CANALE 2002) Um programa
computacional foi desenvolvido especialmente para determinar a soluccedilatildeo das equaccedilotildees de ordem
zero e de primeira ordem utilizando o meacutetodo de elementos finitos (FARIA et al 2006) As
forccedilas de reaccedilatildeo do filme lubrificante podem entatildeo ser estimadas a partir da seguinte expressatildeo
na qual pa representa a pressatildeo atmosfeacuterica
L
aoodzdRh)pp(F
0
2
0
= XY (323)
A determinaccedilatildeo do campo perturbado ou de primeira ordem de pressatildeo
hidrodinacircmica para o mancal eacute realizada por meio do sistema de equaccedilotildees complexas de
primeira ordem obtido pela superposiccedilatildeo para todo o domiacutenio do fluido das equaccedilotildees dadas
pelas equaccedilotildees (322) A integraccedilatildeo do campo de pressatildeo de primeira ordem sobre o domiacutenio do
filme fluido leva agrave estimativa das impedacircncias complexas YXoZ Os coeficientes
linearizados de rigidez YXK e de amortecimento YXC associados agrave accedilatildeo
hidrodinacircmica do filme fluido podem ser calculados na seguinte forma
56
L
dzdRhpCiKZ0
2
0
YX (324)
ou
dzdRhphp
hphp
CC
CCi
KK
KK L
YYYX
XYXX
YYYX
XYXX
YYYX
XYXX
0
2
0
(325)
Estes coeficientes de forccedila [ K ] e [C ] correspondem agrave resistecircncia que o mancal oferece ao
deslocamento e agrave velocidade respectivamente Eles seratildeo sobrepostos agraves matrizes de elementos
finitos do eixo nas linhas e colunas correspondentes aos dois primeiros graus de liberdade que
satildeo translacionais
33 O Sistema Rotor-Mancal
O sistema rotor-mancal eacute composto por um eixo flexiacutevel um disco massivo e mancais Neste
trabalho o sistema foi modelado atraveacutes do meacutetodo de elementos finitos (MEF) como descrito a
seguir aplicando modelos distintos para o eixo flexiacutevel e para os mancais O disco massivo eacute
considerado riacutegido e portanto inserido no modelo do eixo simplesmente atraveacutes de suas
propriedades fiacutesicas (massa efeito giroscoacutepico e ineacutercia rotatoacuteria)
Para a modelagem do deslocamento lateral dos eixos flexiacuteveis satildeo utilizados elementos de eixo
com dois noacutes e com oito graus de liberdade A influecircncia dos mancais nos coeficientes de
rigidez e amortecimento do rotor tambeacutem eacute considerada na modelagem A equaccedilatildeo global do
movimento para o sistema rotor-mancal eacute descrita como
(326)
onde [M] representa a matriz global de ineacutercia translacional [N] eacute a matriz global de ineacutercia
rotatoacuteria [K] a matriz de rigidez do eixo e [C] a matriz generalizada de amortecimento que eacute
expressa como [G]]C[]C[ 1 onde [G] eacute a matriz de efeito giroscoacutepico do eixo Estas
matrizes satildeo apresentadas detalhadamente no Anexo C A matriz [C1] eacute a matriz global com os
coeficientes de amortecimento dos mancais lanccedilados nos devidos noacutes onde os mancais estatildeo
57
posicionados De maneira anaacuteloga os coeficientes de rigidez dos mancais satildeo somados agrave matriz
[K] e a massa desbalanceada eacute somada na matriz [M] Os vetores de aceleraccedilatildeo velocidade e
deslocamento satildeo dados respectivamente por UUU e Ω eacute a velocidade de rotaccedilatildeo do
eixo (rads)
Cada noacute possui 4 graus de liberdade onde o deslocamento do i-eacutesimo elemento eacute
representado pelo vetor Ui composto pelas seguintes componentes
i
i
i
i
i
x
y
U onde
xeixo do tornoem rotaccedilatildeo
y eixo do tornoem rotaccedilatildeo
verticaltodeslocamen
horizontal todeslocamen
i
i
i
i
x
y
A Figura 38 apresenta simbolicamente estes 4 graus de liberdade atraveacutes dos movimentos de
translaccedilatildeo (deslocamento) e de rotaccedilatildeo nos eixos xy
Figura 38 ndash Representaccedilatildeo dos 4 graus de liberdade
A excitaccedilatildeo devida agrave massa desbalanceada do rotor eacute representada pelo vetor R na Eq (326)
Um disco rotativo riacutegido desbalanceado eacute montado em uma posiccedilatildeo axial preacute-determinada do
eixo permitindo a aplicaccedilatildeo de carga Um fasor rotatoacuterio com amplitude de F0 = mdud Ωsup2
representa a carga da massa desbalanceada onde md eacute a massa desbalanceada (kg) e ud eacute a
excentricidade da massa desbalanceada (m)
As seccedilotildees a seguir apresentam as formulaccedilotildees que permitem obter as matrizes da equaccedilatildeo
(326) que posteriormente seraacute integrada numericamente pelo meacutetodo de Newmark (BATHE
1982)
58
34 Diagrama do Procedimento Computacional
O procedimento computacional proposto neste trabalho foi desenvolvido em ambiente Matlabreg
produzido pela The MathWorkscopy e suas principais etapas satildeo apresentadas na Figura 39
Figura 39 ndash Diagrama do procedimento computacional
Na etapa 1 satildeo registrados os paracircmetros fiacutesicos e geomeacutetricos do sistema aleacutem dos paracircmetros
dos meacutetodos numeacutericos (nuacutemero de noacutes da malha tempo de integraccedilatildeo incremento no tempo
rotaccedilatildeo etc)
Na etapa 2 satildeo calculadas as matrizes de elementos finitos do eixo usando-se os dados
4) Montagem das matrizes de
elementos finitos
dos mancais
3) Caacutelculo dos coeficientes de forccedila
dos mancais pelo MEF
2) Caacutelculo das
matrizes de
elementos
finitos do rotor
5) Superposiccedilatildeo das matrizes de elementos finitos
7) Integraccedilatildeo numeacuterica da equaccedilatildeo do movimento
6) Equaccedilatildeo do movimento
1) Entrada de Dados
9) Saiacuteda de resultados
8) Seleccedilatildeo dos dados de saiacuteda
59
registrados na etapa 1 atraveacutes das equaccedilotildees descritas no Anexo C Como o disco massivo eacute
considerado riacutegido e portanto soacute possui os elementos das matrizes de massa de ineacutercia e de
momento giroscoacutepico estas matrizes satildeo calculadas separadamente e sobrepostas com as do
eixo nos pontos onde o disco massivo estaacute posicionado O meacutetodo permite que o disco esteja
posicionado em qualquer noacute da malha do eixo
Na etapa 3 satildeo calculados os coeficientes de forccedila dos mancais baseando-se na sua posiccedilatildeo de
equiliacutebrio estaacutetico Esta posiccedilatildeo eacute encontrada pelo MEF implementado que calcula a forccedila
resultante da accedilatildeo hidrodinacircmica do filme-fluido para que ela seja igual agrave carga estaacutetica que o
rotor aplica em cada mancal Uma vez encontrado o ponto de equiliacutebrio estaacutetico satildeo calculados
os coeficientes de rigidez e de amortecimento dos mancais conforme Eq(325) Cabe ressaltar
que o caacutelculo destes coeficientes natildeo usa as teorias simplistas de mancais curtos ou longos e
nem faz simplificaccedilotildees quanto aos coeficientes cruzados
Na etapa 4 os resultados encontrados na etapa 3 satildeo registrados nas matrizes de elementos
finitos dos mancais que satildeo as matrizes de rigidez e de amortecimento
Em seguida na etapa 5 eacute feita a superposiccedilatildeo das matrizes de elementos finitos do rotor e dos
mancais com os resultados obtidos nas etapas 2 3 e 4 O meacutetodo permite que os mancais
estejam posicionados em qualquer noacute da malha do eixo Esta superposiccedilatildeo eacute feita apenas com as
linhas e colunas correspondentes aos deslocamentos translacionais ou seja natildeo satildeo
considerados efeitos de rigidez ou de amortecimento rotacionais no modelo dos mancais
hidrodinacircmicos
Uma vez montadas as matrizes segue-se para as etapas 6 e 7 onde a equaccedilatildeo do movimento eacute
estabelecida em formato matricial conforme Eq(326) e integrada numericamente pelo Meacutetodo
de Newmark descrito no Anexo D
Na etapa 8 satildeo registrados os dados que seratildeo usados para a anaacutelise do sistema Na verdade esta
etapa estaacute inserida no algoritmo de Newmark dentro das iteraccedilotildees no tempo para que sejam
registrados os dados de interesse a cada iteraccedilatildeo no tempo Os dados normalmente selecionados
satildeo extraiacutedos do vetor U (Eq326) que registra todos os deslocamentos laterais e rotaccedilotildees
dos pontos da malha do eixo ao longo do tempo
Finalmente na etapa 9 satildeo geradas as saiacutedas de resultados Dependendo do tipo de anaacutelise
desejada esta saiacuteda pode passar por outro caacutelculo numeacuterico como eacute feito no caso da geraccedilatildeo do
espectro de frequecircncia onde eacute usado o FFT (Fast Fourier Transform) Os resultados numeacutericos
60
satildeo exibidos na forma de arquivo de dados e tambeacutem na forma graacutefica atraveacutes de espectros de
frequecircncia formas de onda curvas de deflexatildeo curva de resposta desbalanceada ou atraveacutes de
uma animaccedilatildeo tridimensional exibindo a deflexatildeo do rotor ao longo do tempo
Cabe ressaltar que para o caacutelculo da resposta desbalanceada eacute necessaacuterio fazer a integraccedilatildeo no
tempo para vaacuterias rotaccedilotildees do eixo Assim para cada rotaccedilatildeo eacute registrada a maacutexima amplitude
de vibraccedilatildeo do eixo em um determinado ponto Normalmente eacute escolhido o elemento onde estaacute
um dos mancais para este ponto Em seguida eacute gerado o graacutefico da resposta desbalanceada que
permite identificar em qual rotaccedilatildeo o sistema apresentou a maacutexima amplitude quando excitado
pela forccedila de desbalanceamento Este eacute o conceito de velocidade criacutetica (VC)
61
4 RESULTADOS E ANAacuteLISE
Os resultados do procedimento computacional proposto satildeo validados com resultados
apresentados na literatura especializada e com dados experimentais Satildeo apresentados
inicialmente alguns exemplos de validaccedilatildeo seguindo-se para a anaacutelise dos coeficientes de forccedila
dos mancais eliacutepticos e da resposta desbalanceada do sistema rotor-mancal
41 Exemplos de validaccedilatildeo
A validaccedilatildeo do procedimento computacional eacute realizada atraveacutes de alguns exemplos
selecionados na literatura especializada apresentando modelos de rotores flexiacuteveis apoiados em
diferentes tipos de mancais Eacute incluiacuteda uma comparaccedilatildeo dos resultados numeacutericos com
resultados experimentais coletados em uma bancada de testes horizontal composta por um rotor
flexiacutevel apoiado em mancais hidrodinacircmicos
411 Rotor com disco em balanccedilo
Um exemplo de rotor flexiacutevel (SINOU 2005) eacute escolhido para validar os resultados do
procedimento computacional O rotor eacute composto por um eixo flexiacutevel dois mancais e um disco
massivo em balanccedilo (Figura 41)
Figura 41 ndash Desenho esquemaacutetico do rotor de Sinou (2005)
62
Tabela 41- Paracircmetros do rotor com disco em balanccedilo (SINOU 2005)
Eixo
Comprimento
Diacircmetro
Moacutedulo de Young
Massa especiacutefica
170m
40mm
200 GNm2
8000 kgm3
Disco
Massa
Diacircmetro
Espessura
20 kg
400 mm
20 mm
Mancais
Rigidez Translacional
Rigidez Rotacional
Amortecimento
Kxx = 378 MNm
Kxy = 0 MNm
Kyx = 0 MNm
Kyy = 378 MNm
Kff= 80x104
Nmrad
KQQ = 80x104
Nmrad
Cxx = 0 Nsm
Cxy = 0 Nsm
Cyx = 0 Nsm
Cyy = 0 Nsm
Satildeo calculadas a primeira frequecircncia natural (FN1) e a segunda frequecircncia natural (FN2) para o
rotor de Sinou (2005) aplicando-se o procedimento computacional proposto para se avaliar a
influecircncia do tamanho da malha de elementos finitos no caacutelculo destas frequecircncias naturais Os
valores obtidos para FN1 e FN2 com diferentes malhas satildeo mostrados na Figura 42
Figura 42 ndash Curvas da primeira e segunda frequecircncias naturais (FN1 FN2) versus o nuacutemero de
elementos finitos da malha para o rotor de Sinou (2005) a 10rpm
Constata-se que a variaccedilatildeo dos valores de FN1 e de FN2 fica abaixo de 2 para uma malha de
80 elementos Assim adota-se uma malha de 80 elementos finitos para este exemplo
63
A integraccedilatildeo das equaccedilotildees do movimento eacute feita pelo meacutetodo de Newmark (ANEXO D) Nesta
implementaccedilatildeo satildeo adotados os paracircmetros que garantem a convergecircncia do meacutetodo conforme
descrito no Anexo D Poreacutem eacute importante considerar que agrave medida que se reduz o incremento
no tempo usado na integraccedilatildeo numeacuterica mais exatos satildeo os resultados por se tornarem mais
convergentes Assim apresenta-se na Figura 43 a anaacutelise desta convergecircncia em funccedilatildeo do
incremento no tempo A curva contiacutenua representa a primeira velocidade criacutetica progressiva
(FWD1) e a curva tracejada representa a primeira velocidade criacutetica regressiva (BKWD1)
Observa-se que as velocidades criacuteticas convergem suficientemente para um incremento no
tempo de aproximadamente 50x10-4
s onde a variaccedilatildeo relativa eacute menor que 1 Este valor eacute
adotado nos demais resultados calculados para este exemplo
Figura 43 ndash Primeira velocidade criacutetica progressiva (FWD1)
e regressiva (BKWD1) versus incremento no tempo
A Figura 44 apresenta o espectro de frequecircncia obtido pelo MEF com o rotor a 10 rpm Na
Tabela 42 satildeo comparados os valores da primeira e segunda frequecircncias naturais (FN1 e FN2)
calculadas por Sinou (2005) com os valores obtidos pelo MEF aqui proposto e observa-se que
o desvio maacuteximo eacute menor que 3 Os valores apresentados por Sinou(2005) foram obtidos
usando uma malha de 184 elementos de viga de Timoshenko
64
Figura 44 ndash Espectro de frequecircncia obtido pelo MEF para o rotor de Sinou(2005) a 10 rpm
Tabela 42- Valores comparativos da primeira frequecircncia natural para o rotor de Sinou(2005) a 10 rpm
Sinou(2005) MEF Erro
relativo ()
FN 1 2430 rpm 2495 rpm 27
FN 2 3840 rpm 3780 rpm -16
As frequecircncias naturais do rotor em balanccedilo satildeo calculadas pelo MEF proposto tambeacutem para
outros valores de rotaccedilatildeo Na Figura 45 eacute ilustrado o diagrama de Campbell obtido pelo MEF e
comparado com os valores apresentados por Sinou (2005)
Figura 45 ndash Diagrama de Campbell para o rotor em balanccedilo analisado por Sinou(2005)
65
O efeito giroscoacutepico faz com que fiquem niacutetidas as frequecircncias de precessatildeo regressiva
(backward) e progressiva (forward) Estas frequecircncias satildeo representadas na Figura 45 seguidas
das siglas ―BKWD e ―FWD respectivamente A linha cheia e a traccedilo-ponto representam os
resultados obtidos pelo MEF proposto neste trabalho enquanto os pontos identificados por
marcadores satildeo os resultados apresentados por Sinou(2005) A linha tracejada representa as
frequecircncias siacutencronas (syncr) que permitem identificar as velocidades criacuteticas na sua interseccedilatildeo
com as curvas das frequecircncias naturais As duas primeiras velocidades criacuteticas foram obtidas
atraveacutes do graacutefico e comparadas na Tabela 43 com aquelas calculadas por Sinou(2005)
Observa-se um erro relativo menor que 5 nesta comparaccedilatildeo feita para fins de validaccedilatildeo
Tabela 43- Comparaccedilatildeo da primeira velocidade criacutetica
Sinou(2005) MEF Erro
relativo()
BKWD 2225 rpm 2210 rpm -1
FWD 2580 rpm 2680 rpm 4
As diferenccedilas entre os resultados do MEF proposto para os resultados numeacutericos de Sinou se
devem principalmente ao nuacutemero de elementos finitos usados O modelo de Sinou usa 184
elementos enquanto neste trabalho foram adotados 80 elementos Outros erros relativos podem
ter sido causados por pequenas diferenccedilas geomeacutetricas entre os dois modelos em funccedilatildeo de
alguma informaccedilatildeo que natildeo tenha sido detalhada no trabalho de Sinou
Cabe ressaltar que este exemplo de validaccedilatildeo se aplica ao MEF do rotor e ao procedimento de
superposiccedilatildeo dos coeficientes de forccedila dos mancais Poreacutem o modelo de Sinou usa apenas dois
coeficientes de forccedila nos apoios (rigidez agrave rotaccedilatildeo) e natildeo considera mancais hidrodinacircmicos
Para a validaccedilatildeo dos modelos de mancais seratildeo apresentados outros exemplos
412 Rotor apoiado nas extremidades com disco no centro
Um segundo exemplo de validaccedilatildeo eacute selecionado atraveacutes do modelo de rotor (HONG e PARK
1999) composto por um eixo com dois diacircmetros diferentes como mostrado na Figura 46 Na
primeira metade o eixo tem 25cm de diacircmetro e na outra metade tem 40cm de diacircmetro
66
Figura 46 ndash Desenho esquemaacutetico do rotor de Hong e Park(1999)
O eixo eacute apoiado pelas extremidades por mancais idecircnticos e no centro do eixo haacute um disco
massivo Os paracircmetros do modelo satildeo apresentados na Tabela 44
Tabela 44- Paracircmetros do rotor de Hong e Park(1999)
Eixo
Comprimento
Diacircmetro (trecho 1)
Diacircmetro (trecho 2)
Moacutedulo de Young
Massa especiacutefica
120m
25cm
40cm
200 GNm2
8000 kgm3
Disco
Massa
Momento polar de ineacutercia
Momento diametral de ineacutercia
20 kg
0163 kgm2
0085 kgm2
Mancais
Rigidez
Amortecimento
Kxx = 20 MNm
Kxy = -15 MNm
Kyx = -15 MNm
Kyy = 25 MNm
Cxx = 60 Nsm
Cxy = 0 Nsm
Cyx = 0 Nsm
Cyy = 70 Nsm
Eacute feita uma comparaccedilatildeo entre as frequecircncias naturais e tambeacutem apresentada uma anaacutelise da
forma de onda obtida pela integraccedilatildeo numeacuterica que permite observar o fenocircmeno de batimento
Satildeo apresentados os conceitos baacutesicos do fenocircmeno e feita a comparaccedilatildeo entre as frequecircncias
naturais obtidas atraveacutes do espectro de frequecircncia e a frequecircncia de batimento observada na
forma de onda
Inicialmente satildeo validadas as frequecircncias naturais atraveacutes da observaccedilatildeo dos picos no espectro
como pode ser visto na Figura 47 Satildeo destacados os dois picos (808 rpm 848 rpm) relativos agrave
primeira frequecircncia natural regressiva (backward) e progressiva (forward) respectivamente
com o rotor operando a 6000rpm
67
Figura 47 ndash Espectro de frequecircncia obtido para o rotor de Hong e Park (1999) operando a 6000rpm
Os resultados numeacutericos obtidos pelo MEF satildeo comparados com os da literatura (HONG e
PARK 1999) na Tabela 45 onde pode-se observar um erro relativo maacuteximo de 2
Tabela 45- Comparaccedilatildeo da primeira frequecircncia natural progressiva e regressiva para
o rotor de Hong e Park (1999)
Hong e Park
(1999)
MEF Erro
relativo ()
Backward (regressiva) 804 rpm 808 rpm 05
Forward (progressiva) 865 rpm 848 rpm -20
Em seguida eacute feita a anaacutelise da forma de onda obtida apoacutes a integraccedilatildeo no tempo da equaccedilatildeo do
movimento pelo Meacutetodo de Newmark Observa-se pela forma de onda (Figura 48) que existe
um padratildeo de flutuaccedilatildeo do sinal destacado pela linha tracejada e pelo sombreamento Este
padratildeo de flutuaccedilatildeo eacute semelhante ao fenocircmeno de batimento da teoria de interferecircncia de ondas
que ocorre quando haacute duas frequecircncias de vibraccedilatildeo proacuteximas O fenocircmeno natildeo foi investigado
profundamente neste trabalho mas eacute destacado como um exemplo de validaccedilatildeo onde foi
possiacutevel encontrar frequecircncias naturais bem proacuteximas agraves apresentadas na literatura (HONG e
68
PARK 1999) e ainda estabelecer uma relaccedilatildeo entre o padratildeo de flutuaccedilatildeo da forma de onda
com as frequecircncias registradas no espectro
Figura 48 ndash Forma de onda obtida para o rotor de Hong e Park (1999)
Uma vez identificado um ciclo completo do padratildeo de flutuaccedilatildeo destacado na Figura 48 pela
linha tracejada eacute possiacutevel obter os instantes de tempo inicial e final deste ciclo 275s e 570s
respectivamente Este intervalo corresponde a um periacuteodo de 295s que equivale a uma
frequecircncia de 0339Hz = 203rpm
Este padratildeo de flutuaccedilatildeo pode ser explicado pelo fenocircmeno de batimento que estabelece que
quando duas ondas com frequecircncias muito proacuteximas (w1 w2) interferem uma na outra
flutuaccedilotildees de batimento satildeo percebidas na forma de onda e a frequecircncia de batimento (wb) eacute
dada por
Observando-se novamente o espectro de frequecircncia na Figura 47 pode-se calcular a frequecircncia
de batimento (wb) esperada para este sistema atraveacutes das frequecircncia natural regressiva
(backward) e progressiva (forward)
69
Portanto confirma-se que o padratildeo de flutuaccedilatildeo observado na forma de onda pode ser associado
ao fenocircmeno de batimento causado pelas duas frequecircncias naturais proacuteximas identificadas no
espectro Estes dois resultados satildeo apresentados na Tabela 46
Tabela 46- Comparaccedilatildeo das Frequecircncias de Batimento para o rotor de Hong e Park(1999)
Frequecircncia obtida
pela forma de onda
Frequecircncia obtida
pelo espectro
203 rpm 200 rpm
Este fenocircmeno de batimento eacute tambeacutem observado quando o rotor opera em uma rotaccedilatildeo proacutexima
de uma frequecircncia natural De maneira semelhante se for observado o padratildeo de flutuaccedilatildeo na
forma de onda que varia com a rotaccedilatildeo do rotor eacute possiacutevel inferir que o rotor estaacute se
aproximando ou se afastando de uma frequecircncia natural O fenocircmeno de batimento no sistema
rotor-mancal merece uma investigaccedilatildeo mais profunda que natildeo estaacute no escopo do presente
trabalho
413 Rotor de uma bancada de testes
Um terceiro exemplo de validaccedilatildeo consiste na comparaccedilatildeo das frequecircncias naturais estimadas
pelo MEF com os valores experimentais coletados em uma bancada de testes montada no Grupo
de Dinacircmica de Rotores da UFMG cujos dados podem ser encontrados em Machado (2006) e
Miranda et al (2005) O rotor eacute composto por um eixo ciliacutendrico horizontal apoiado em mancais
hidrodinacircmicos e com um disco ciliacutendrico desbalanceado montado no eixo como ilustrado
esquematicamente na Figura 49 com medidas em miliacutemetros
Figura 49 ndash Desenho esquemaacutetico do rotor da bancada de testes
O disco possui furos rosqueados ao longo de sua periferia que permitem incluir pequenas massas
70
que provocam o desbalanceamento no sistema O rotor eacute acionado por um sistema de polias e
correia e um motor eleacutetrico controlado por um inversor de frequecircncia A Tabela 47 apresenta os
paracircmetros do rotor da bancada de testes
Tabela 47ndash Paracircmetros do rotor da bancada de testes
Paracircmetro Descriccedilatildeo Valor Unidade
Leixo comprimento do eixo 030 m
D diacircmetro do eixo 0015 m
L comprimento dos mancais 0012 m
c folga do mancal 345 x 10-6
m viscosidade do lubrificante 25 x 10
-3 Pamiddots
massa especiacutefica do lubrificante 892 kgmsup3
E moacutedulo de elasticidade do eixo 200 x 109 Pa
coeficiente de Poisson do eixo 03 -
massa especiacutefica do eixo 7870 kgmsup3
Esta anaacutelise tem como objetivo validar os modelos de elementos finitos propostos para o eixo
flexiacutevel e para os mancais hidrodinacircmicos atraveacutes de resultados experimentais A anaacutelise da
convergecircncia da malha de elementos finitos para o modelo do eixo eacute realizada de maneira
semelhante agrave apresentada na Figura 42 obtendo-se tambeacutem um nuacutemero de 80 elementos para
este exemplo
Um procedimento de anaacutelise de sensibilidade de malha eacute tambeacutem utilizado para avaliar a
dependecircncia dos paracircmetros de desempenho do mancal em funccedilatildeo do tamanho da malha Neste
procedimento a razatildeo entre o nuacutemero de elementos finitos nas direccedilotildees circunferencial e axial eacute
mantida constante Esta razatildeo depende da razatildeo de esbeltez do mancal (LD) e deve ser mantida
para se garantir a variaccedilatildeo uniforme do tamanho da malha Assim para uma razatildeo LD de 08
como no exemplo analisado a relaccedilatildeo entre o nuacutemero de noacutes circunferenciais e o nuacutemero de noacutes
axiais deve ser 480 Estabelecidos estes paracircmetros satildeo gerados os coeficientes de forccedila
para a rotaccedilatildeo de 3200rpm no ponto de equiliacutebrio estaacutetico do mancal usando-se inicialmente
uma malha bem refinada (1660 elementos) conforme mostrado na uacuteltima linha da Tabela 48
Satildeo entatildeo reduzidos os nuacutemeros de elementos da malha e registrados os erros relativos obtidos
na forccedila de reaccedilatildeo do mancal (Fx) e no coeficiente de rigidez cruzada (Kxy) Para fins de
comparaccedilatildeo os erros relativos satildeo calculados em moacutedulo conforme mostrado na Figura 410
71
Tabela 48ndash Resultados da anaacutelise da sensibilidade da malha dos mancais
Noacutes circunferenciais
Noacutes axiais Elementos
Kxy
(MNm) Fx (N)
Desvio
Kxy Desvio
Fx
20 5 76 3926 5752 48 475
36 9 280 4122 6039 06 058
44 11 430 4146 6074 03 030
52 13 612 4158 6092 02 020
60 15 826 4166 6104 01 011
68 17 1072 4171 6111 01 008
76 19 1350 4174 6116 01 007
84 21 1660 4177 6120
Figura 410 ndash Sensibilidade da malha de elementos finitos do mancal ciliacutendrico no caacutelculo dos
paracircmetros de desempenho Fx e Kxy
Pela anaacutelise de sensibilidade realizada neste terceiro exemplo constata-se que 280 elementos
finitos na malha do filme fluido satildeo suficientes para a obtenccedilatildeo de resultados confiaacuteveis com
menos de 1 de erro relativo conforme Tabela 48
Uma vez definidas as malhas de elementos finitos satildeo realizadas as simulaccedilotildees e a integraccedilatildeo
numeacuterica no tempo Com os resultados da integraccedilatildeo satildeo gerados os espectros de frequecircncia
numeacutericos Os espectros de frequecircncia experimentais satildeo obtidos em diferentes velocidades de
rotaccedilatildeo do eixo atraveacutes de testes de batida (bump test) Satildeo afixados acelerocircmetros no topo dos
mancais e gerados os espectros de frequecircncia Na Figura 411 observa-se o espectro de
72
frequecircncia gerado a partir do teste de batida coletado no mancal 1 A amplitude indicada
representa o valor RMS da aceleraccedilatildeo Observam-se dois picos em frequecircncias de
aproximadamente 83 Hz (4980 rpm) e 110 Hz (6600 rpm) que correspondem agraves frequecircncias
naturais do sistema
Figura 411 ndash Espectro de frequecircncia experimental ndash teste de batida
Para se obter estas frequecircncias naturais pelo meacutetodo de elementos finitos proposto satildeo
realizadas duas simulaccedilotildees Uma com o rotor operando a 750rpm (Figura 412) e outra a
3200rpm (Figura 413)
Figura 412 ndash Espectro de frequecircncia obtido pelo MEF para rotaccedilatildeo de 750 rpm
Observa-se na Figura 412 o pico de 750rpm relativo agrave excitaccedilatildeo harmocircnica da massa
desbalanceada e um pico a aproximadamente 4950 rpm (825 Hz) que corresponde agravequele
73
identificado no espectro obtido experimentalmente no teste de batida
Na Figura 413 eacute niacutetido o pico a 6650rpm (111Hz) tambeacutem presente no espectro do resultado
experimental O pico de 3200 da Figura 413 eacute da excitaccedilatildeo harmocircnica
Figura 413 ndash Espectro de frequecircncia obtido pelo MEF para rotaccedilatildeo de 3200 rpm
A Tabela 49 apresenta a comparaccedilatildeo entre estes valores onde observa-se um erro relativo de
aproximadamente 1 dos dados numeacutericos em relaccedilatildeo aos dados experimentais
Tabela 49ndash Valores comparativos de frequecircncias naturais obtidas pelo MEF e experimentalmente
pelo teste de batida (bump test)
Experimental MEF Erro relativo
4980 rpm 4950 rpm -1
6600 rpm 6650rpm 08
Esta faixa de erro estaacute abaixo da resoluccedilatildeo dos graacuteficos e existem outros erros associados aos
dados apresentados devido agraves incertezas geomeacutetricas do rotor da bancada de testes
Uma segunda mediccedilatildeo experimental eacute realizada para este mesmo sistema fixando-se a rotaccedilatildeo
do eixo em 8900rpm Os resultados experimentais e numeacutericos da vibraccedilatildeo do mancal 2 satildeo
processados e gerados os espectros de frequecircncia a seguir A Figura 414 apresenta o espectro de
frequecircncia experimental para rotaccedilatildeo de 8900 rpm onde satildeo destacadas algumas frequecircncias
naturais excitadas a esta rotaccedilatildeo
74
Figura 414 ndash Espectro de frequecircncia experimental para o rotor da bancada operando a 8900rpm
A Figura 415 apresenta o espectro de frequecircncia numeacuterico para rotaccedilatildeo de 8900 rpm onde satildeo
destacados alguns dos picos que correspondem agraves mesmas frequecircncias naturais observadas no
resultado experimental A amplitude exibida no graacutefico estaacute na forma adimensional que eacute a
razatildeo entre a amplitude de deslocamento dividida pela folga do mancal
Figura 415 ndash Espectro de frequecircncia obtido pelo MEF para o rotor da bancada operando a 8900rpm
A comparaccedilatildeo entre estas frequecircncias eacute apresentada na Tabela 410 onde se observa um erro
relativo de menos de 3 para as prediccedilotildees das frequecircncias naturais em relaccedilatildeo aos valores
75
experimentais Nem todas as frequecircncias apresentadas no espectro experimental satildeo observadas
no resultado numeacuterico em funccedilatildeo do modelo computacional natildeo considerar alguns efeitos tais
como desalinhamento incertezas geomeacutetricas dos mancais ruiacutedos provenientes do motor
eleacutetrico e outros O pico de 17800rpm da Figura 414 por exemplo representa o segundo
harmocircnico da frequecircncia de rotaccedilatildeo do rotor que corresponde ao sinal de desalinhamento
paralelo (BERRY 1994)
Tabela 410ndash Valores comparativos de frequecircncias naturais obtidas pelo MEF e experimentalmente
para o rotor da bancada operando a 8900rpm
Experimental MEF Erro relativo
8890 rpm 8850 rpm -05
26800 rpm 26200 rpm -22
45600 rpm 44400 rpm -26
414 Segundo rotor de uma bancada de testes
Um quarto exemplo de validaccedilatildeo eacute selecionado (MACHADO 2006) para avaliar o
procedimento computacional implementado neste trabalho O rotor eacute semelhante ao anterior
ilustrado na Figura 49 poreacutem os mancais satildeo diferentes Satildeo mancais hidrodinacircmicos
ciliacutendricos cujas caracteriacutesticas satildeo apresentadas na Tabela 411
Tabela 411ndash Paracircmetros do rotor da bancada de testes ndash exemplo 2
Paracircmetro Descriccedilatildeo Valor Unidade
Leixo comprimento do eixo 030 m
D diacircmetro do eixo 0015 m
L comprimento dos mancais 0012 m
d diacircmetro do mancal 0015 m
c folga do mancal 24 x 10-6
m viscosidade do lubrificante 25 x 10
-3 Pamiddots
massa especiacutefica do lubrificante 892 kgmsup3
E moacutedulo de elasticidade do eixo 200 x 109 Pa
coeficiente de Poisson do eixo 03 -
massa especiacutefica do eixo 7870 kgmsup3
No espectro de frequecircncia computacional apresentado na Figura 416 satildeo destacadas as
frequecircncias naturais excitadas quando o rotor opera a 3200rpm
76
Figura 416 ndash Espectro de frequecircncia obtido pelo MEF para o rotor do exemplo 4 operando a 3200rpm
Estas frequecircncias satildeo comparadas com os valores obtidos experimentalmente para o rotor
descrito por Machado (2006) exibidas na Figura 417
Figura 417 ndash Espectro de frequecircncia experimental para o rotor de Machado(2006)
A comparaccedilatildeo das frequecircncias naturais dos resultados numeacutericos e experimentais eacute apresentada
na Tabela 412 onde observa-se que os resultados numeacutericos desviam menos de 2 dos
experimentais A uacutenica exceccedilatildeo eacute a frequecircncia de 9480 rpm do espectro experimental cujo erro
77
relativo foi de 37 no resultado numeacuterico Esta frequecircncia eacute de aproximadamente trecircs vezes a
frequecircncia de rotaccedilatildeo do eixo (3200rpm) o que significa um sinal de desalinhamento do rotor
conforme previsto na literatura (BERRY 1994)
Tabela 412ndash Valores comparativos das frequecircncias naturais obtidas
experimentalmente por Machado(2006) e pelo MEF
Experimental (rpm)
MEF (rpm)
erro relativo
3240 3194 -14
6360 6376 03
9480 9834 37
12960 12789 -13
18960 19190 12
25560 25591 01
28440 28823 13
32280 31992 -09
34800 35220 12
38520 38395 -03
41760 41615 -03
44100 44790 16
42 Anaacutelise dos coeficientes de forccedila dos mancais eliacutepticos
A anaacutelise dos coeficientes de forccedila eacute realizada aplicando-se o MEF a um exemplo de mancal
eliacuteptico extraiacutedo de Correia(2007) com o objetivo de identificar uma relaccedilatildeo entre os
coeficientes de forccedila e os paracircmetros construtivos do mancal folga radial (c) razatildeo de esbeltez
(LD) e preacute-carga (Mp) Este resultado permite observar se a relaccedilatildeo identificada se manteacutem
para diversas condiccedilotildees operacionais Os paracircmetros do mancal eliacuteptico selecionado satildeo
apresentados na Tabela 413
Tabela 413ndash Paracircmetros do mancal eliacuteptico selecionado
Paracircmetro Descriccedilatildeo Valor Unidade
L comprimento do mancal 0075 m
D diacircmetro do mancal 010 m
c1 folga do mancal (variaacutevel) viscosidade do lubrificante 84 x 10
-3 Pamiddots
massa especiacutefica do lubrificante 892 kgmsup3
rotaccedilatildeo 8800 rpm
Mp preacute-carga 045
W carga estaacutetica 1000 N
Para a anaacutelise de sensibilidade de malha do mancal selecionado adota-se uma folga radial de
75 m conforme Correia(2007) Esta anaacutelise permite avaliar a dependecircncia dos paracircmetros de
78
desempenho do mancal em funccedilatildeo do tamanho da malha A razatildeo entre o nuacutemero de elementos
finitos nas direccedilotildees circunferencial e axial eacute mantida constante dada pela relaccedilatildeo 4 Satildeo
apresentados na Figura 418 os desvios da forccedila de reaccedilatildeo do mancal (Fx) e do coeficiente de
rigidez cruzada (Kxy) obtidos para diferentes nuacutemeros de elementos da malha Para fins de
comparaccedilatildeo os desvios satildeo calculados em moacutedulo Pela anaacutelise de sensibilidade realizada
constata-se que aproximadamente 200 elementos finitos na malha do filme fluido satildeo suficientes
para a obtenccedilatildeo de resultados confiaacuteveis com menos de 1 de erro relativo
Figura 418 ndash Sensibilidade da malha de elementos finitos do mancal eliacuteptico no caacutelculo dos
paracircmetros de desempenho Fx e Kxy
421 Coeficientes de forccedila em funccedilatildeo da folga radial dos mancais eliacutepticos
Satildeo analisados nesta seccedilatildeo os resultados obtidos pelo MEF para o caacutelculo dos coeficientes de
rigidez direta adimensionais kxx e kyy dos mancais eliacutepticos para diferentes valores de folga
radial A adimensionalizaccedilatildeo dos coeficientes de rigidez direta eacute realizada pela relaccedilatildeo
(CORREIA2007)
kxx = c Kxx W
onde Kxx eacute o coeficiente de rigidez direta dimensional c eacute a folga radial do mancal e W eacute a
carga estaacutetica no mancal Para kyy a adimensionalizaccedilatildeo eacute anaacuteloga
Quando o mancal hidrodinacircmico opera ocorre um deslocamento da linha de centro do munhatildeo
79
(eixo do rotor) em relaccedilatildeo agrave linha de centro do mancal como ilustrado na Figura 419Figura 33
Este deslocamento eacute definido como a excentricidade e e o acircngulo eacute definido como acircngulo de
posiccedilatildeo A excentricidade adimensional eacute definida pela expressatildeo onde c eacute a folga
radial maacutexima do mancal Para cada condiccedilatildeo operacional o munhatildeo tende a se deslocar ateacute um
ponto de equiliacutebrio onde as forccedilas da accedilatildeo hidrodinacircmica do filme fluido entre em equiliacutebrio
com as forccedilas atuantes do rotor sobre o mancal Este ponto eacute definido como o ponto de
equiliacutebrio estaacutetico o
Figura 419 - Posicionamento do eixo dentro do mancal e excentricidade
O ponto de equiliacutebrio estaacutetico ( o) eacute influenciado por vaacuterios paracircmetros do mancal em especial
pela folga radial do mancal Para os mancais eliacutepticos analisados observa-se uma variaccedilatildeo de o
em funccedilatildeo da folga radial conforme mostrado na Figura 420
Figura 420 ndash Excentricidade adimensional do ponto de equiliacutebrio estaacutetico dos mancais
eliacutepticos em funccedilatildeo da folga radial
80
A Figura 421 apresenta os valores do coeficiente de rigidez direta adimensional dos mancais
eliacutepticos em funccedilatildeo da folga radial Eacute observado que estes coeficientes apresentam uma
variaccedilatildeo muito pequena para valores de o entre zero e 03 Estes valores correspondem a folgas
radiais entre zero a 150 m respectivamente Para destacar esta faixa eacute apresentada na Figura
421 uma linha pontilhada vertical onde se observa que os valores calculados para os
coeficientes kxx e kyy variam menos de 1 e fora desta faixa os coeficientes variam
consideravelmente Satildeo exibidas no graacutefico duas linhas tracejadas horizontais como referecircncia
para facilitar a observaccedilatildeo do alinhamento dos pontos
Figura 421 ndash Coeficientes de rigidez direta adimensionais em funccedilatildeo da folga radial dos mancais eliacutepticos
A adimensionalizaccedilatildeo do coeficiente de rigidez cruzada Kxy eacute realizada de maneira semelhante agrave
dos coeficientes de rigidez direta (CORREIA 2007) Poreacutem observa-se que os coeficientes kxy e
a folga radial tecircm uma relaccedilatildeo de proporcionalidade inversa para uma certa faixa operacional
descrita a seguir Desta forma o produto entre eles deve ser constante nesta faixa Sugere-se
assim um novo adimensional o ―coeficiente de rigidez cruzada adimensional modificado
definido por
onde Kxy eacute o coeficiente de rigidez cruzada dimensional c eacute a folga radial do mancal W eacute a
carga estaacutetica no mancal eacute a excentricidade adimensional no ponto de equiliacutebrio estaacutetico kxy
eacute o coeficiente de rigidez cruzada adimensional
81
A Figura 422 apresenta os resultados obtidos pelo MEF para o caacutelculo do coeficiente de rigidez
cruzada adimensional modificado dos mancais eliacutepticos para diferentes valores de folga
radial
Figura 422 ndash Coeficientes de rigidez cruzada adimensional modificado em funccedilatildeo da folga
radial dos mancais eliacutepticos
Observa-se que para a faixa onde os valores do coeficiente de rigidez cruzada
adimensional modificado satildeo aproximadamente constantes Apenas o uacuteltimo valor desta faixa
apresenta um desvio de 5 em relaccedilatildeo aos demais que variam menos de 1 Esta anaacutelise vale
de maneira anaacuteloga para ambos coeficientes de rigidez cruzada pois Kyx = -Kxy
Para os resultados computacionais dos coeficientes de amortecimento observa-se um padratildeo
semelhante ao identificado para os coeficientes de rigidez quando uma vez que nesta
faixa o coeficiente de amortecimento direto Cxx eacute proporcional ao coeficiente de rigidez cruzada
Kxy e o coeficiente de amortecimento cruzado Cxy eacute proporcional ao coeficiente de rigidez
direta Kxx Para investigar a faixa onde esta proporcionalidade eacute mantida eacute apresentado na
Figura 423 a razatildeo em funccedilatildeo da folga radial do mancal eliacuteptico Observa-se que para
a razatildeo eacute aproximadamente constante variando menos de 1 Este resultado
eacute ilustrado na Figura 423 sendo tambeacutem vaacutelido para a razatildeo
82
Figura 423 ndash Razatildeo CxyKxx em funccedilatildeo da folga radial dos mancais eliacutepticos
O amortecimento efetivo do mancal eacute um paracircmetro importante na anaacutelise da estabilidade
(VANCE 1988) definido pela expressatildeo 2ωCxxKxy onde Cxx eacute o coeficiente de amortecimento
direto (ou Cyy) e Kxy eacute o coeficiente de rigidez cruzada (ou -Kyx) Assim para concluir a anaacutelise
dos coeficientes de amortecimento em funccedilatildeo da folga radial eacute escolhido o amortecimento
efetivo como paracircmetro de desempenho Satildeo apresentados na Figura 424 os resultados do
amortecimento efetivo em funccedilatildeo da folga radial dos mancais eliacutepticos Novamente eacute observado
que para e0lt03 o amortecimento efetivo varia pouco menos de 1
Figura 424 ndash Amortecimento efetivo em funccedilatildeo da folga radial dos mancais eliacutepticos
83
Pode-se observar que os diversos paracircmetros analisados relacionados aos coeficientes de forccedila
dos mancais eliacutepticos variam pouco na faixa onde e este padratildeo natildeo eacute observado fora
desta faixa
422 Coeficientes de forccedila em funccedilatildeo da razatildeo de esbeltez dos mancais eliacutepticos
A razatildeo de esbeltez (LD) eacute um paracircmetro importante no projeto dos mancais hidrodinacircmicos
influenciando de maneira natildeo-linear nos seus coeficientes de forccedila (SAWICKI e RAO 2004)
No procedimento computacional proposto observa-se um padratildeo comum para alguns
paracircmetros de desempenho dos mancais eliacutepticos em funccedilatildeo da razatildeo de esbeltez
Eacute apresentada na Figura 425 a curva que relaciona a excentricidade adimensional do ponto de
equiliacutebrio estaacutetico ( ) com a razatildeo de esbeltez (LD) para os mancais analisados Observa-se um
valor de para LD = 045 que eacute uma razatildeo de esbeltez muito baixa conforme
observado nas aplicaccedilotildees industriais
Figura 425 ndash Excentricidade adimensional do ponto de equiliacutebrio estaacutetico dos mancais eliacutepticos em
funccedilatildeo da razatildeo de esbeltez
Na anaacutelise dos coeficientes de forccedila dos mancais em funccedilatildeo de LD identifica-se um padratildeo
comum para o amortecimento efetivo ( ) como ilustrado na Figura 426 Observa-se
que na faixa onde o amortecimento efetivo eacute aproximadamente constante variando no
maacuteximo 3
84
Figura 426 ndash Variaccedilatildeo do amortecimento efetivo em funccedilatildeo da razatildeo de esbeltez dos mancais eliacutepticos
Os resultados obtidos pelo MEF para o coeficiente de amortecimento cruzado adimensional (cxy)
mostram que existe uma relaccedilatildeo linear entre cxy e LD na faixa onde conforme
ilustrado na Figura 427 A linha tracejada indica o ajuste linear feito com os pontos desta faixa
no qual obteacutem-se um coeficiente de determinaccedilatildeo (R2) maior que 099 Embora os pontos na
faixa oposta (LD lt 045 e ) estejam tambeacutem aproximadamente alinhados natildeo foi
observado outro padratildeo comum nesta faixa
Figura 427 ndash Variaccedilatildeo do amortecimento cruzado adimensional em funccedilatildeo da razatildeo de esbeltez dos
mancais eliacutepticos
85
Os coeficientes de forccedila apresentados nesta seccedilatildeo obtidos pelo MEF implementado para os
mancais eliacutepticos apresentam uma clara relaccedilatildeo algeacutebrica com a razatildeo de esbeltez que se
manteacutem na faixa onde
423 Coeficientes de forccedila em funccedilatildeo da preacute-carga dos mancais eliacutepticos
Outro paracircmetro importante no projeto dos mancais hidrodinacircmicos eacute a preacute-carga (Mp) No
procedimento computacional proposto observa-se um padratildeo comum para alguns paracircmetros de
desempenho de mancais eliacutepticos em funccedilatildeo da preacute-carga
A Figura 428 apresenta a excentricidade adimensional do ponto de equiliacutebrio estaacutetico dos
mancais analisados para diferentes valores de preacute-carga (Mp) Observa-se um valor de
para Mp = 04
Figura 428 ndash Excentricidade adimensional do ponto de equiliacutebrio estaacutetico dos mancais eliacutepticos em
funccedilatildeo da preacute-carga
Na anaacutelise dos coeficientes de rigidez direta dos mancais para diferentes valores de Mp
observa-se uma relaccedilatildeo de proporcionalidade entre Mp e (kyy)23
e entre Mp e (kxx)12
como
ilustrado na Figura 429 Na faixa onde que corresponde a Mp lt 04 estas relaccedilotildees
algeacutebricas variam pouco Observa-se que nesta faixa a relaccedilatildeo de proporcionalidade entre Mp e
(kyy)23
varia no maacuteximo 4 e entre Mp e (kxx)12
varia no maacuteximo 7 Fora desta faixa as
variaccedilotildees satildeo maiores que 20
86
Figura 429 ndash Variaccedilatildeo da relaccedilatildeo de ajuste entre Mp kxx e kxy em funccedilatildeo da preacute-carga dos mancais eliacutepticos
Observa-se tambeacutem uma relaccedilatildeo linear entre o amortecimento efetivo ( ) e a preacute-
carga para valores de A Figura 436 apresenta estes resultados onde a linha tracejada
corresponde ao ajuste linear feito na faixa onde obtendo-se um coeficiente de
determinaccedilatildeo (R2) maior que 0999
Figura 430 ndash Variaccedilatildeo do amortecimento efetivo em funccedilatildeo da preacute-carga dos mancais eliacutepticos
Estes resultados obtidos pelo MEF implementado para os mancais eliacutepticos mostram que os
coeficientes de forccedila apresentam uma clara relaccedilatildeo algeacutebrica com a preacute-carga quando a
excentricidade adimensional ponto de equiliacutebrio estaacutetico eacute menor que 03
87
43 A influecircncia dos paracircmetros geomeacutetricos dos mancais eliacutepticos na resposta
desbalanceada
A resposta desbalanceada do sistema rotor-mancal eacute um importante paracircmetro operacional que
auxilia no projeto de maacutequinas rotativas pois informa o niacutevel de vibraccedilatildeo do sistema ao se
atravessar as velocidades criacuteticas Desta forma eacute fundamental uma anaacutelise da influecircncia dos
paracircmetros geomeacutetricos dos mancais eliacutepticos na resposta desbalanceada do sistema De fato
muitas turbomaacutequinas operam acima da primeira velocidade criacutetica e por isto os mancais devem
ser projetados para absorver as altas vibraccedilotildees provocadas pelo sistema quando ele passa pela
velocidade criacutetica
O procedimento computacional proposto neste trabalho permite predizer como os paracircmetros
geomeacutetricos dos mancais eliacutepticos influenciam a resposta desbalanceada Esta anaacutelise eacute realizada
atraveacutes dos resultados obtidos da integraccedilatildeo no tempo das equaccedilotildees do movimento
Satildeo selecionados a seguir alguns paracircmetros geomeacutetricos importantes no projeto de mancais
eliacutepticos e analisada a resposta desbalanceada do sistema rotor-mancal em funccedilatildeo destes
paracircmetros Inicialmente faz-se uma anaacutelise da influecircncia da preacute-carga dos mancais eliacutepticos na
razatildeo de amplificaccedilatildeo da resposta desbalanceada Em seguida eacute analisada a resposta
desbalanceada em funccedilatildeo da razatildeo de esbeltez dos mancais eliacutepticos e finalmente eacute analisada a
influecircncia da folga radial dos mancais eliacutepticos na resposta desbalanceada
431 A razatildeo de amplificaccedilatildeo da resposta desbalanceada em funccedilatildeo da preacute-carga
A resposta desbalanceada de rotores analisada para diferentes mancais eacute normalmente usada
como um paracircmetro de eficiecircncia dos mancais nas velocidades criacuteticas (FLACK e ROOKE
1980) Ela eacute a medida da amplitude de vibraccedilatildeo do sistema quando excitado pela forccedila de
desbalanceamento A reposta desbalanceada eacute analisada para o sistema apoiado em mancais
eliacutepticos sob diferentes valores de preacute-carga baseados em um exemplo de mancal eliacuteptico
apresentado em Machado(2006) A amplitude de vibraccedilatildeo eacute calculada atraveacutes do raio meacutedio das
oacuterbitas obtidas pelo procedimento numeacuterico Os paracircmetros do sistema satildeo apresentados na
Tabela 414 O rotor simulado natildeo possui discos massivos e estaacute apoiado em mancais
hidrodinacircmicos eliacutepticos como ilustrado na Figura 431
88
Figura 431 ndash Desenho esquemaacutetico do rotor sem disco massivo
Tabela 414 Paracircmetros do sistema rotor-mancal eliacuteptico utilizado na anaacutelise
d (diacircmetro do eixo) = 0015 m μ (viscosidade do lubrificante) = 27 x 10-3
Pas
L (comprimento do mancal) = 0012 m ρL (massa especiacutefica do lubrificante)= 915 kgmsup3
D (diacircmetro do mancal) = 0015 m ρ (massa especiacutefica do eixo) = 7850 kgmsup3
c1 (folga do mancal 1) = 24 μm c2 (folga do mancal 2) = 24 μm
Leixo (comprimento do eixo) = 0900m mu (massa desbalanceada) = 00035 kg
Ω (rotaccedilatildeo do rotor) = 2000 a 10000 rpm ud (excentricidade da massa desbalanceada) = 0035 m
E (Moacutedulo de Young do eixo) = 205x109 Pa Mp (preacute-carga dos mancais)=045
W (carga estaacutetica por mancal) = 612N
Para este exemplo eacute adotada uma malha de 80 elementos para o eixo e de 351 elementos para o
filme fluido composta por 40 noacutes circunferenciais e 10 noacutes axiais A excentricidade
adimensional do ponto de equiliacutebrio estaacutetico calculado eacute com um acircngulo de posiccedilatildeo
proacuteximo de zero Este ponto de equiliacutebrio eacute calculado de modo a garantir que a forccedila
hidrodinacircmica do filme fluido seja agrave carga estaacutetica W que eacute obtida dividindo-se o peso do eixo
pelo nuacutemero de mancais
A resposta desbalanceada (Figura 432) eacute calculada no mancal 1 considerando mancais eliacutepticos
com preacute-carga Mp=045 A amplitude adimensional eacute calculada dividindo-se a amplitude de
vibraccedilatildeo do eixo pela folga do mancal Os dois picos destacados na Figura 432 representam a
primeira e segunda velocidades criacuteticas do rotor
89
Figura 432 ndash Resposta desbalanceada calculada no mancal 1 do rotor apoiado em mancais eliacutepticos
com preacute-carga 045 (MIRANDA e FARIA 2012)
Uma vez identificadas as velocidades criacuteticas do rotor estuda-se a influecircncia da preacute-carga dos
mancais eliacutepticos na resposta desbalanceada com o rotor operando em torno da sua primeira
velocidade criacutetica A resposta desbalanceada para o sistema apoiado em mancais hidrodinacircmicos
eliacutepticos com diferentes valores de preacute-carga (Mp) eacute exibida na Figura 433 A curva superior
corresponde Mp=075 a curva intermediaacuteria corresponde a Mp=045 e a curva inferior
corresponde a Mp=045
Figura 433 ndash Resposta desbalanceada para diferentes valores de preacute-carga dos mancais eliacutepticos
(MIRANDA e FARIA 2012)
90
Os valores das amplitudes adimensionais satildeo calculadas na extremidade esquerda do eixo onde
ele estaacute apoiado no mancal 1 Observa-se que a amplitude na primeira velocidade criacutetica eacute mais
elevada para valores maiores de preacute-carga Poreacutem aleacutem de analisar a amplitude da vibraccedilatildeo eacute
importante tambeacutem investigar a razatildeo de amplificaccedilatildeo desta vibraccedilatildeo
A razatildeo de amplificaccedilatildeo da resposta desbalanceada na velocidade criacutetica eacute um paracircmetro
importante na anaacutelise da estabilidade do sistema rotor-mancal (ZEIDAN e PAQUETTE 1994)
Neste exemplo numeacuterico ela eacute calculada atraveacutes da relaccedilatildeo entre a resposta desbalanceada na
primeira velocidade criacutetica e na rotaccedilatildeo de 2000rpm A rotaccedilatildeo de 2000rpm eacute escolhida como
referecircncia pelo fato de representar uma rotaccedilatildeo onde a amplitude de vibraccedilatildeo apresenta pouca
influecircncia da velocidade criacutetica A razatildeo de amplificaccedilatildeo permite inferir sobre a capacidade do
mancal eliacuteptico atenuar a resposta desbalanceada do rotor ao passar pela velocidade criacutetica o
que eacute uma caracteriacutestica importante dos mancais hidrodinacircmicos (STERNLICHT e LEWIS
1968 VANCE 1988 CORREIA 2007) A Figura 434 apresenta os valores da razatildeo de
amplificaccedilatildeo para o exemplo estudado com diferentes valores de preacute-carga nos mancais A preacute-
carga zero representa o caso particular de mancal ciliacutendrico
Figura 434 ndashRazatildeo de amplificaccedilatildeo da resposta desbalanceada na primeira velocidade criacutetica para o
rotor apoiado em mancais eliacutepticos (MIRANDA e FARIA 2012)
Observa-se uma menor razatildeo de amplificaccedilatildeo (maior atenuaccedilatildeo) da resposta desbalanceada na
primeira velocidade criacutetica para uma preacute-carga de 045 A literatura teacutecnica apresenta uma
recomendaccedilatildeo de aplicaccedilatildeo de mancais eliacutepticos com preacute-carga de aproximadamente 05 por
apresentar melhor estabilidade (PINKUS 1956 ALLAIRE e FLACK 1981) Portanto para o
91
exemplo de rotor analisado este resultado mostra uma concordacircncia entre os valores obtidos
pelo MEF para a razatildeo de amplificaccedilatildeo e a recomendaccedilatildeo da literatura no que diz respeito agrave
estabilidade de mancais eliacutepticos
432 A resposta desbalanceada em funccedilatildeo da razatildeo de esbeltez dos mancais eliacutepticos
A resposta desbalanceada do sistema rotor-mancal eacute analisada para o rotor da Figura 435
composto por um eixo flexiacutevel apoiado nas extremidades por mancais hidrodinacircmicos eliacutepticos
e com um disco massivo acoplado em uma posiccedilatildeo assimeacutetrica Esta posiccedilatildeo assimeacutetrica eacute
escolhida para se evitar soluccedilotildees particulares restritas a rotores com simetria axial Os
paracircmetros do rotor satildeo apresentados na Tabela 415 onde os paracircmetros baacutesicos dos mancais
eliacutepticos satildeo idecircnticos aos apresentados por Correia(2006)
Figura 435 ndashDesenho esquemaacutetico do rotor com disco massivo em posiccedilatildeo assimeacutetrica
A resposta desbalanceada eacute calculada atraveacutes da amplitude adimensional de vibraccedilatildeo do rotor
operando na primeira velocidade criacutetica (VC) apoiado mancais eliacutepticos com diferentes razotildees
de esbeltez (LD) A amplitude adimensional eacute obtida dividindo-se a amplitude de vibraccedilatildeo pela
folga do mancal
92
Tabela 415ndash Paracircmetros do rotor com mancais eliacutepticos
Paracircmetro Descriccedilatildeo Valor Unidade
leixo comprimento do eixo (vatildeo) 090 m
d diacircmetro do eixo 0015 m
L comprimento do mancal (variaacutevel) m
D diacircmetro do mancal 010 m
c1 folga do mancal 75 x 10-6
m viscosidade do lubrificante 84 x 10
-3 Pamiddots
massa especiacutefica do lubrificante 892 kgmsup3
E moacutedulo de elasticidade do eixo 205 x 109 Pa
coeficiente de Poisson do eixo 03 -
massa especiacutefica do eixo 7850 kgmsup3
W
w
carga estaacutetica em cada mancal
rotaccedilatildeo
100
2000
N
rpm
Para este exemplo eacute adotada uma malha de 80 elementos para o eixo e de 210 a 2100 elementos
para o filme fluido dependendo da razatildeo de esbeltez LD de modo a garantir menos de 1 de
erro relativo Os pontos de equiliacutebrio estaacuteticos satildeo mostrados na Figura 437
A integraccedilatildeo numeacuterica das equaccedilotildees de movimento permitem obter as amplitudes de vibraccedilatildeo
do rotor na primeira velocidade criacutetica (VC) Satildeo apresentadas na Figura 436 em escala log-log
a amplitude adimensional da resposta desbalanceada calculada no mancal 1 para o rotor
operando na primeira VC em funccedilatildeo da razatildeo de esbeltez (LD) dos mancais Satildeo considerados
trecircs tipos de mancais eliacutepticos com valores de preacute-carga Mp=0 Mp=045 Mp=090
Figura 436 ndash Amplitude de vibraccedilatildeo na primeira VC
em funccedilatildeo da razatildeo de esbeltez dos mancais eliacutepticos
93
Na Figura 436 observa-se que os pontos se mantecircm alinhados e proacuteximos das curvas de ajuste
para os valores de LD maiores que 04 que foi destacado no eixo horizontal Como a escala eacute
logariacutetmica em ambos eixos isto natildeo indica uma linearidade mas alguma relaccedilatildeo de potecircncia
entre a amplitude na VC e a razatildeo de esbeltez dos mancais A linha traccedilo-ponto apresentada no
graacutefico representa o ajuste feito para os valores obtidos com Mp=090 e a linha tracejada
representa o ajuste feito para os valores obtidos com Mp=0 O ajuste de curvas mostra que haacute
uma relaccedilatildeo cuacutebica inversa entre a amplitude da resposta desbalanceada (Ampl) e a razatildeo de
esbeltez (LD) do mancal com um coeficiente de determinaccedilatildeo R2 maior que 0999 Desta
forma eacute possiacutevel predizer o valor da amplitude calculada dentro desta faixa pela expressatildeo
onde a constante a depende da preacute-carga (Mp) do mancal eliacuteptico
Observa-se ainda pela Figura 436 que os pontos satildeo bem alinhados para as curvas de ajuste
obtidas para valores de LDgt04 E esta faixa de valores de razatildeo de esbeltez corresponde agrave
faixa onde a excentricidade adimensional no ponto de equiliacutebrio estaacutetico eacute menor que 035
Este valor eacute proacuteximo ao obtido nas anaacutelises apresentadas nas subseccedilotildees anteriores onde se
observa uma relaccedilatildeo algeacutebrica repetitiva para os paracircmetros de desempenho dos mancais na
faixa
O resultado apresentado na Figura 436 mostra tambeacutem que o procedimento baseado no MEF
pode ser usado na prediccedilatildeo da influecircncia da razatildeo de esbeltez dos mancais eliacutepticos na resposta
desbalanceada do sistema rotor-mancal o que eacute importante na anaacutelise de alteraccedilotildees de projetos
de maacutequinas rotativas
Outro resultado importante eacute destacado a seguir Constata-se que a excentricidade adimensional
do ponto de equiliacutebrio estaacutetico apresenta uma relaccedilatildeo cuacutebica inversa com o valor de LD Esta
relaccedilatildeo proveacutem dos ajustes de curva apresentados na Figura 437 onde pode-se observar os
valores calculados para em funccedilatildeo de LD A linha fina horizontal equivale a
94
Figura 437 ndash Curvas de ajuste da excentricidade adimensional do ponto de equiliacutebrio estaacutetico em
funccedilatildeo da razatildeo de esbeltez dos mancais eliacutepticos
Eacute observado que os pontos do graacutefico seguem alinhados com as curvas de ajuste para valores de
para o mancal ciliacutendrico (Mp=0) e vatildeo se afastando deste alinhamento para valores
maiores de Para os mancais eliacutepticos o valor os pontos seguem alinhados com a curva de
ajuste para valores de um pouco maiores Como o graacutefico estaacute em escala log-log o fato das
curvas de ajuste serem retas natildeo significa uma relaccedilatildeo de linearidade De fato a relaccedilatildeo entre
e LD identificada para este exemplo eacute
onde a eacute uma constante de proporcionalidade que varia com a preacute-carga Esta relaccedilatildeo eacute vaacutelida
para os trecircs valores de preacute-carga considerados neste exemplo Tendo em vista esta relaccedilatildeo
define-se como ―razatildeo de ajuste o valor para se examinar em qual faixa de
excentricidade esta razatildeo eacute mantida aproximadamente constante A Figura 438 ilustra como a
razatildeo de ajuste varia em funccedilatildeo de Satildeo incluiacutedas linhas tracejadas para auxiliar na
observaccedilatildeo do alinhamento dos pontos Eacute possiacutevel perceber que a razatildeo de ajuste eacute
aproximadamente constante ateacute um certo valor de que varia com a preacute-carga Mp
95
Figura 438 ndash Razatildeo de ajuste de LD em funccedilatildeo da excentricidade adimensional do ponto de
equiliacutebrio estaacutetico dos mancais
Para melhor identificar um valor limite de ( ) satildeo apresentados na Figura 442 os valores dos
erros relativos da razatildeo de ajuste em funccedilatildeo da excentricidade adimensional do ponto de
equiliacutebrio estaacutetico Estes erros indicam o quanto os pontos da Figura 438 estatildeo distantes das
retas de referecircncia ou seja o quanto cada valor estaacute distante do ajuste de curva calculado
Figura 439 ndash Erros relativos da razatildeo de ajuste de LD em funccedilatildeo da excentricidade adimensional do
ponto de equiliacutebrio estaacutetico dos mancais
96
Percebe-se que os mancais eliacutepticos analisados (Mp=090 e Mp=045) desviam menos do ajuste
de curva do que o mancal ciliacutendrico (Mp=0) Pelas curvas da Figura 439 observa-se que os
mancais eliacutepticos analisados quando possuem um valor apresentam um desvio
pequeno em relaccedilatildeo agrave curva de ajuste proacuteximo de 5 Esta faixa de equivale agrave faixa
identificada nos demais resultados apresentados neste trabalho onde satildeo observadas relaccedilotildees
algeacutebricas que se manteacutem com aproximadamente 5 de precisatildeo Este desvio pode estar
relacionado com alguma perturbaccedilatildeo numeacuterica do procedimento computacional implementado
que leva a resultados menos confiaacuteveis para valores elevados de excentricidade principalmente
quando
433 A resposta desbalanceada em funccedilatildeo da folga radial dos mancais eliacutepticos
A resposta desbalanceada do sistema rotor-mancal eacute analisada nesta seccedilatildeo em funccedilatildeo da folga
radial nos mancais A folga tem uma forte influecircncia nos coeficientes de forccedila dos mancais
hidrodinacircmicos o que provoca uma variaccedilatildeo nos niacuteveis de vibraccedilatildeo do sistema principalmente
nas velocidades criacuteticas Os paracircmetros do sistema analisado satildeo apresentados na Tabela 415
exceto o comprimento dos mancais que foi fixado em 75mm e a folga passou a ser variaacutevel O
rotor ilustrado esquematicamente na Figura 435
Satildeo considerados trecircs tipos de mancais eliacutepticos com preacute-cargas (Mp) de 0 045 e 090 As
amplitudes de vibraccedilatildeo satildeo calculadas no Mancal 1 para o rotor operando na primeira
velocidade criacutetica As amplitudes satildeo apresentadas de maneira adimensional na Figura 440 em
escala logariacutetmica onde a linha traccedilo-ponto apresentada no graacutefico representa o ajuste feito para
os valores obtidos com Mp=090 e a linha tracejada representa o ajuste para os valores obtidos
com Mp=0 Natildeo eacute apresentada a linha do ajuste para MP=045 por motivos esteacuteticos Para os
trecircs valores de Mp eacute identificada uma relaccedilatildeo quadraacutetica entre a amplitude adimensional da
resposta desbalanceada e a folga radial dos mancais
97
Figura 440 ndash Amplitude de vibraccedilatildeo na primeira VC
em funccedilatildeo da folga radial dos mancais
Eacute observado na Figura 440 que os pontos se manteacutem alinhados e proacuteximos das curvas de
ajuste para os valores de folga de ateacute aproximadamente 150 m Como a escala eacute logariacutetmica em
ambos eixos isto natildeo indica uma linearidade mas sim a relaccedilatildeo quadraacutetica identificada pelo
ajuste de curva
Na anaacutelise da excentricidade em funccedilatildeo da folga radial c eacute tambeacutem identificada uma relaccedilatildeo
quadraacutetica dada pela expressatildeo onde a eacute uma constante de proporcionalidade que
varia com a preacute-carga Mp Tendo em vista esta relaccedilatildeo define-se uma nova ―razatildeo de ajuste
pela expressatildeo para se analisar em qual faixa de excentricidade esta razatildeo eacute mantida
aproximadamente constante A Figura 441 apresenta os valores obtidos para a razatildeo de ajuste
em funccedilatildeo de Satildeo incluiacutedas linhas tracejadas para auxiliar na observaccedilatildeo do alinhamento
dos pontos Eacute possiacutevel perceber que a razatildeo de ajuste eacute aproximadamente constante ateacute um certo
valor de que varia com a preacute-carga Mp
98
Figura 441 ndash Razatildeo de ajuste da folga radial em funccedilatildeo da excentricidade adimensional do ponto de
equiliacutebrio estaacutetico dos mancais
Para melhor identificar um valor limite de satildeo apresentados na Figura 442 os valores dos
erros relativos da razatildeo de ajuste em funccedilatildeo de Estes erros indicam o quanto os pontos da
Figura 441 estatildeo distantes das retas de referecircncia ou seja o quanto cada valor estaacute distante do
ajuste de curva calculado
Figura 442 ndash Erros relativos da razatildeo de ajuste da folga radial em funccedilatildeo da excentricidade
adimensional do ponto de equiliacutebrio estaacutetico dos mancais
99
Eacute observado novamente que os mancais eliacutepticos analisados (Mp=090 e Mp=045) desviam
menos do ajuste de curva do que o mancal ciliacutendrico (Mp=0) e que para uma excentricidade
adimensional os mancais eliacutepticos apresentam um desvio pequeno em relaccedilatildeo agrave curva
de ajuste proacuteximo de 5 Este resultado eacute muito parecido com aquele identificado na seccedilatildeo
anterior onde eacute analisada a resposta desbalanceada em funccedilatildeo da razatildeo de esbeltez LD dos
mancais
A literatura teacutecnica afirma que sob determinadas condiccedilotildees operacionais os mancais eliacutepticos
apresentam uma faixa de operaccedilatildeo mais ampla do que os mancais ciliacutendricos (CORREIA 2007)
Desta forma pode-se estabelecer uma relaccedilatildeo entre os resultados obtidos pelo MEF
implementado e esta afirmaccedilatildeo da literatura se for considerado que o desvio em relaccedilatildeo agrave curva
de ajuste estaacute relacionado com algum tipo de limitaccedilatildeo operacional
100
5 CONCLUSOtildeES
O procedimento computacional aqui desenvolvido baseado no MEF permite predizer o
comportamento dinacircmico de diferentes tipos de rotores compostos por eixo flexiacutevel discos
massivos e mancais hidrodinacircmicos de perfil ciliacutendrico ou eliacuteptico Os resultados produzidos
permitem validar o modelo pela comparaccedilatildeo com valores experimentais coletados em uma
bancada de teste e tambeacutem com valores publicados na literatura
O presente trabalho apresenta uma importante contribuiccedilatildeo na anaacutelise de sistemas rotor-mancal
pelo fato de investigar o sistema rotativo de maneira ampla tanto para o eixo flexiacutevel quanto
para os mancais Satildeo considerados no modelo do eixo flexiacutevel os efeitos de deformaccedilatildeo por
cisalhamento ineacutercia rotatoacuteria e efeito giroscoacutepico e para o modelo dos mancais
hidrodinacircmicos ciliacutendricos e eliacutepticos satildeo considerados todos os coeficientes de forccedila
independentes sem o uso de teorias simplificadas como os modelos de mancal curto ou de
mancal longo
Este procedimento computacional eacute muito uacutetil natildeo apenas para se determinar a resposta
desbalanceada de rotores como tambeacutem para se avaliar a viabilidade de alteraccedilotildees de projeto
capazes de melhorar o comportamento dinacircmico de maacutequinas rotativas
Os coeficientes de forccedila dos mancais hidrodinacircmicos desempenham um importante papel no
projeto de maacutequinas rotativas na previsatildeo de sua capacidade de suportar vibraccedilotildees e de operar
em condiccedilotildees estaacuteveis Os resultados apresentados neste trabalho mostram claramente a
influecircncia dos paracircmetros geomeacutetricos dos mancais hidrodinacircmicos de geometria fixa
ciliacutendricos e eliacutepticos nos seus coeficientes de forccedila e na resposta desbalanceada do sistema
rotativo
Os resultados numeacutericos obtidos pelo MEF aqui desenvolvido apresentam um erro relativo de
aproximadamente 4 para as frequecircncias naturais em relaccedilatildeo aos resultados experimentais e da
literatura
A anaacutelise da influecircncia da folga radial dos mancais eliacutepticos nos coeficientes de forccedila mostra
que os coeficientes de rigidez direta adimensionais variam pouco dentro da faixa operacional
onde a excentricidade adimensional do ponto de equiliacutebrio estaacutetico (e0) eacute menor que 03 Acima
deste valor os coeficientes de rigidez direta adimensionais diminuem consideravelmente
101
Observa-se ainda que o coeficiente de rigidez cruzado adimensional (kxy) eacute inversamente
proporcional ao e0 o que permite introduzir um novo adimensional o ―coeficiente de rigidez
cruzada adimensional modificado definido por xy=e0kxy Este coeficiente tambeacutem apresenta
valores aproximadamente constantes quando se varia a folga do mancal eliacuteptico dentro da faixa
onde e0lt03 Tambeacutem satildeo observados valores aproximadamente constantes para a razatildeo CxyKxx
e para o amortecimento efetivo ( ) quando se varia a folga mantendo-se e0lt03
A anaacutelise da influecircncia da razatildeo de esbeltez (LD) dos mancais eliacutepticos nos coeficientes de
forccedila permite observar que o amortecimento efetivo ( ) e o coeficiente de
amortecimento cruzado adimensional (cxy) dos mancais eliacutepticos seguem um padratildeo comum
quando e0lt03 Para o amortecimento efetivo os valores satildeo aproximadamente constantes
enquanto para cxy observa-se uma relaccedilatildeo linear entre cxy e e0 nesta faixa
Na anaacutelise da influecircncia da preacute-carga (Mp) dos mancais eliacutepticos nos coeficientes de forccedila
observa-se uma proporcionalidade entre Mp e (kyy)23
e entre Mp e (kxx)12
na faixa onde
Eacute identificado tambeacutem que o amortecimento efetivo ( ) varia linearmente com Mp
nesta faixa
Eacute mostrado atraveacutes de um exemplo de rotor flexiacutevel apoiado em mancais eliacutepticos que a razatildeo
de amplificaccedilatildeo da resposta desbalanceada atinge um miacutenimo para um exemplo de mancal com
Mp=045 A literatura teacutecnica apresenta uma recomendaccedilatildeo de aplicaccedilatildeo de mancais eliacutepticos
com preacute-carga de aproximadamente 05 por apresentar melhor estabilidade (PINKUS 1956
ALLAIRE e FLACK 1981) Portanto para o exemplo de rotor analisado este resultado mostra
uma concordacircncia entre os valores obtidos pelo MEF para a razatildeo de amplificaccedilatildeo e a
recomendaccedilatildeo da literatura no que diz respeito agrave estabilidade de mancais eliacutepticos
A anaacutelise da resposta desbalanceada permite observar que a amplitude de vibraccedilatildeo na primeira
velocidade criacutetica eacute proporcional a (LD)-3
e tambeacutem proporcional ao quadrado da folga radial
(c2) na faixa onde Esta proporcionalidade eacute mantida em uma faixa operacional mais
ampla para os mancais eliacutepticos do que para os mancais ciliacutendricos analisados
Este resultado de aproximadamente 03 encontra respaldo na literatura teacutecnica que afirma que o
procedimento linearizado de perturbaccedilatildeo em torno da posiccedilatildeo de equiliacutebrio eacute vaacutelido para ateacute
102
40 da folga do mancal (LUND1987) Esta observaccedilatildeo eacute tambeacutem destacada no trabalho de
Sawicki e Rao (2004) Aleacutem disso Furukawa et al (1996) observam que a natildeo linearidade do
filme fluido produz grandes diferenccedilas entre os valores calculados e os medidos
experimentalmente em especial na regiatildeo de alta excentricidade
Desta forma sugere-se para trabalhos futuros a investigaccedilotildees mais aprofundadas sobre os
efeitos dinacircmicos que ocorrem quando o ponto de equiliacutebrio estaacutetico ultrapassa o limite de 40
da folga do mancal O meacutetodo aqui implementado adota um procedimento de perturbaccedilatildeo linear
em torno da posiccedilatildeo de equiliacutebrio obtendo equaccedilotildees de lubrificaccedilatildeo de ordem zero e de primeira
ordem baseadas na equaccedilatildeo de Reynolds Sugere-se ainda a implementaccedilatildeo de um modelo que
considere termos de ordem superior na obtenccedilatildeo das equaccedilotildees de lubrificaccedilatildeo ou que adote
algum outro modelo natildeo-linear
Sugere-se ainda aplicar a metodologia deste trabalho em outros procedimentos computacionais
para observar faixas onde os resultados possam apresentar padrotildees repetitivos Sugere-se
investigar a existecircncia de relaccedilotildees algeacutebricas entre os paracircmetros do sistema e os resultados e
que possam se manter vaacutelidas dentro de uma faixa de valores
Outras abordagens que podem ampliar os resultados do presente trabalho incluem a anaacutelise de
mancais hidrodinacircmicos de geometria variaacutevel com fluidos natildeo-newtonianos e a anaacutelise de
efeitos teacutermicos nos paracircmetros de desempenho destes mancais
Os resultados deste trabalho fornecem subsiacutedio agrave aacuterea de projeto de maacutequinas rotativas uma vez
que o procedimento computacional desenvolvido permite predizer seu comportamento dinacircmico
para diversas condiccedilotildees operacionais
103
6 REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS
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134 ZORZI ES e NELSON HD 1977 Finite Element Simulation of Rotor-Bearing
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71-76
112
ANEXO A - Fundamentos da Teoria de Viga
Neste Anexo satildeo apresentadas de maneira breve as expressotildees das teorias de viga de Euler-
Bernoulli de Rayleigh e de Timoshenko A Teoria de Viga de Timoshenko eacute a forma mais
completa representando a vibraccedilatildeo lateral de vigas a partir da qual podem-se derivar as outras
duas teorias como casos particulares desta (BORU 2010)
A1 Teoria de Viga de Euler-Bernoulli
A Teoria de Viga de Euler-Bernoulli foi formulada no seacuteculo XVIII e o detalhamento de sua
derivaccedilatildeo eacute apresentado em Clough e Penzien (1975) e em Meirovitch (1967)
Considere a viga ilustrada na Fig A1 sob a accedilatildeo de uma carga distribuiacuteda variaacutevel q(xt) e uma
deflexatildeo lateral v(xt) na direccedilatildeo y As propriedades da viga satildeo sua rigidez agrave flexatildeo EI(x) e a
massa especiacutefica A(x)
Figura A1 - Viga de Euler-Bernoulli sob carregamento distribuiacutedo (Boru 2010)
113
A2 Teoria de Viga de Rayleigh
A Teoria de Viga de Rayleigh considera a ineacutercia rotacional da viga aleacutem da ineacutercia
translacional Assim para um modelo dinacircmico de uma viga em rotaccedilatildeo as frequecircncias naturais
seratildeo mais bem representadas
A equaccedilatildeo da Teoria de Viga de Rayleigh eacute definida por
Se for considerado o caso da viga com seccedilatildeo transversal uniforme ao longo de x a equaccedilatildeo
(A3) eacute simplificada para a forma
A Teoria de Viga de Rayleigh eacute uma extensatildeo da teoria de Euller-Bernoulli o que pode ser
observado comparando-se os trecircs primeiros termos da equaccedilatildeo (A4) com a equaccedilatildeo (A2) O
termo adicional da equaccedilatildeo (A4) eacute relativo agrave ineacutercia rotatoacuteria
A3 Teoria de Viga de Timoshenko
A inclusatildeo da ineacutercia rotatoacuteria nos modelos dinacircmicos foi considerada insuficiente para se
melhorar os resultados do caacutelculo da frequecircncia natural de vigas (BORU 2010) Assim foi
proposto incluir o efeito de deformaccedilatildeo por cisalhamento o que aumenta a flexibilidade do
elemento de viga Este modelo levou agrave Teoria de Viga de Timoshenko Assim as frequecircncias
naturais reduziram o suficiente para se aproximar daquelas obtidas experimentalmente
(TRAILL-NASH e COLLAR 1953)
A Teoria de Viga de Timoshenko considera que a deformaccedilatildeo por cisalhamento em uma seccedilatildeo
transversal eacute diretamente proporcional agrave forccedila de cisalhamento para materiais isotroacutepicos com
propriedades lineares atraveacutes da expressatildeo
(A5)
(A3)
(A4)
114
A constante depende da forma da seccedilatildeo transversal da viga podendo assumir valores como
1113 para seccedilotildees circulares e 56 para seccedilotildees retangulares O termo representa a aacuterea
efetiva de cisalhamento da seccedilatildeo transversal
Considerando a seccedilatildeo transversal da viga uniforme a expressatildeo da Teoria de Viga de
Timoshenko eacute dada por
Pode-se observar que as duas teorias de viga anteriormente apresentadas satildeo casos particulares
da teoria de viga de Timoshenko Se a viga natildeo sofrer deformaccedilatildeo por cisalhamento o que
implica em considerar que sua resistecircncia ao cisalhamento eacute muito grande basta fazer e
os dois uacuteltimos termos seratildeo nulos levando agrave teoria de vigas de Rayleigh
Deformaccedilatildeo por cisalhamento e
ineacutercia rotatoacuteria combinados
Teoria de Euler-Bernoulli
Teoria de Rayleigh
Deformaccedilatildeo por cisalhamento
115
ANEXO B ndash Funccedilotildees de Interpolaccedilatildeo
As funccedilotildees de interpolaccedilatildeo para o problema de flexatildeo satildeo obtidas do problema estaacutetico da viga
considerando os efeitos de flexatildeo e cisalhamento simultaneamente (FARIA 1990) Estas
funccedilotildees satildeo descritas a seguir
Denota-se por a variaacutevel adimensionals que descreve a posiccedilatildeo de uma seccedilatildeo transversal
qualquer do elemento em relaccedilatildeo agrave sua extremidade inicial Sendo a variaacutevel que define cada
seccedilatildeo do elemento de rotor a partir do noacute inicial e l o comprimento do elemento a variaacutevel
adimensional eacute dada por
Para as funccedilotildees de interpolaccedilatildeo de flexatildeo no plano de deflexatildeo satildeo considerados os efeitos de
cisalhamento transversal fx e fy distintos
onde A eacute a aacuterea da seccedilatildeo transversal G eacute o modulo de elasticidade ao cisalhamento l eacute o
comprimento do elemento E eacute o moacutedulo de elasticidade I eacute o momento de ineacutercia e K eacute o fator
de forma do cisalhamento transversal Para a seccedilatildeo transversal circular (COUPER 1966)
onde eacute o coeficiente de Poisson
B1 - Funccedilotildees de Interpolaccedilatildeo para o deslocamento linear unitaacuterio no primeiro noacute
As funccedilotildees de interpolaccedilatildeo satildeo obtidas como descrito a seguir (FARIA 1990)
116
Figura B1 ndash Deslocamento linear unitaacuterio no primeiro noacute
As equaccedilotildees diferenciais para o deslocamento linear unitaacuterio no primeiro noacute (Fig B1) satildeo
escritas na seguinte forma
(B1)
(B2)
onde Vf e Vc satildeo as contribuiccedilotildees de flexatildeo e de cisalhamento respectivamente e V=Vf+Vc A
soluccedilatildeo das equaccedilotildees eacute escrita como
onde C1 e C2 satildeo constantes de integraccedilatildeo As condiccedilotildees de contorno do problema satildeo
Em s = = 0 e
Em s = l
Obteacutem-se assim a expressatildeo
que derivada em relaccedilatildeo agrave posiccedilatildeo leva a
117
B2 - Funccedilotildees de Interpolaccedilatildeo para o deslocamento angular unitaacuterio no primeiro noacute
As funccedilotildees de interpolaccedilatildeo satildeo obtidas como descrito a seguir Considere as condiccedilotildees
de contorno
Em s = 0 V=0 e Vrsquo=Vf
Em s = l V=0 e Vrsquo=Vc
Figura B2 ndash Deslocamento angular unitaacuterio no primeiro noacute
Considerando-se as equaccedilotildees (B1) e (B2) e as condiccedilotildees de contorno obteacutem-se
e a equaccedilatildeo da linha elaacutestica eacute escrita como
Entatildeo
118
e para se obter basta derivar a equaccedilatildeo elaacutestica
Mas como a rotaccedilatildeo em s = 0 possui o seguinte valor
deve-se adicionar a deformaccedilatildeo
em EIyVrsquo para se obter a rotaccedilatildeo das seccedilotildees Obteacutem-se entatildeo
B3 - Funccedilotildees de Interpolaccedilatildeo para o deslocamento linear unitaacuterio no segundo noacute
As funccedilotildees de interpolaccedilatildeo satildeo obtidas como descrito a seguir
Figura B3 ndash Deslocamento linear unitaacuterio no segundo noacute
As equaccedilotildees diferenciais para o deslocamento linear unitaacuterio no segundo noacute (Fig B3) satildeo
escritas na seguinte forma
119
(B3)
(B4)
A soluccedilatildeo geral das equaccedilotildees eacute escrita como
As condiccedilotildees de contorno satildeo dadas por
Em s = 0
Em s = l
Obteacutem-se assim a equaccedilatildeo elaacutestica
e a expressatildeo de
que derivada em relaccedilatildeo agrave posiccedilatildeo leva a
B1 - Funccedilotildees de Interpolaccedilatildeo para o deslocamento angular unitaacuterio no segundo noacute
As funccedilotildees de interpolaccedilatildeo satildeo obtidas como descrito a seguir
Obteacutem-se as equaccedilotildees diferenciais atraveacutes da Figura B4
(B5)
(B6)
120
Figura B4 ndash Deslocamento angular unitaacuterio no segundo noacute
A soluccedilatildeo geral das equaccedilotildees (B5) e (B6) eacute escrita como
As condiccedilotildees de contorno satildeo dadas por
Em s = 0 e
Em s = l e
Obteacutem-se assim a equaccedilatildeo elaacutestica
e a expressatildeo de
Para se obter deriva-se a equaccedilatildeo elaacutestica em relaccedilatildeo agrave posiccedilatildeo
Mas como a rotaccedilatildeo em s = 0 possui o valor
deve-se adicionar a deformaccedilatildeo
121
em EIyVrsquo para se obter a rotaccedilatildeo das seccedilotildees Obteacutem-se entatildeo
122
ANEXO C ndash Matrizes de Elementos Finitos do Rotor
Satildeo apresentadas a seguir as matrizes do elemento finito de rotor para elementos de eixo
baseados na teoria de viga de Timoshenko (NELSON 1980 FARIA 1990) Considera-se o eixo
simeacutetrico ( Ix=Iy=I ) o efeito de cisalhamento isotroacutepico ( fx=fy=f ) e as seguintes constantes
I = momento meacutedio de ineacutercia de aacuterea da seccedilatildeo transversal
Idm= momento diametral de ineacutercia de massa por unidade de comprimento
Ip = momento polar de ineacutercia de massa por unidade de comprimento
f = efeito de cisalhamento
l = comprimento do elemento
E = moacutedulo de elasticidade
= massa especiacutefica
A = aacuterea da seccedilatildeo transversal
coordenadas generalizadas no sistema rotativo
coordenadas generalizadas no sistema inercial
C1 ndash Matriz de ineacutercia de translaccedilatildeo
A matriz Me representativa da ineacutercia de translaccedilatildeo do elemento finito do rotor eacute obtida pela
integraccedilatildeo da expressatildeo da energia cineacutetica TM do elemento finito do rotor dada por
Usando as funccedilotildees de interpolaccedilatildeo na expressatildeo da energia cineacutetica obteacutem-se a matriz TM que
satisfaz agrave expressatildeo
A matriz Me eacute simeacutetrica e descrita como
123
[Me] =
onde
C2 ndash Matriz de ineacutercia de rotaccedilatildeo
A matriz de ineacutercia de rotaccedilatildeo do elemento finito do rotor eacute obtida pela substituiccedilatildeo das funccedilotildees
de interpolaccedilatildeo na expressatildeo da energia cineacutetica TN do elemento finito dada por
Usando as funccedilotildees de interpolaccedilatildeo na expressatildeo da energia cineacutetica obteacutem-se a matriz Ne
124
representativa da ineacutercia de rotaccedilatildeo do elemento que satisfaz agrave expressatildeo
A matriz Ne eacute simeacutetrica e descrita como
[Ne] =
onde
C3 ndash Matriz de efeitos giroscoacutepicos
A matriz Ge representativa dos efeitos giroscoacutepicos do elemento finito do rotor eacute obtida pela
relaccedilatildeo
onde a matriz [He] eacute obtida pela integraccedilatildeo da expressatildeo da energia cineacutetica TG do elemento
finito do rotor dada por
onde eacute a rotaccedilatildeo do rotor IP eacute o momento polar de ineacutercia da seccedilatildeo satildeo os vetores
125
rotaccedilatildeo da seccedilatildeo em torno dos eixos x e y Aplicando as funccedilotildees de interpolaccedilatildeo na expressatildeo
da energia cineacutetica obteacutem-se a matriz [He] que satisfaz agrave expressatildeo
A matriz eacute anti-simeacutetrica e descrita como
[Ge] =
onde
C4 ndash Matriz de rigidez
A matriz de rigidez do elemento finito do rotor Ke eacute obtida integrando-se a energia potencial
elaacutestica V ao longo do comprimento do elemento usando as funccedilotildees de interpolaccedilatildeo Obteacutem-se
a matriz Ke que satisfaz agrave expressatildeo
126
A matriz Ke eacute simeacutetrica e descrita como
[Ke] =
127
ANEXO D ndash Meacutetodo Numeacuterico de Newmark
Neste Anexo apresenta-se inicialmente o algoritmo de meacutetodo de Newmark usado para a
integraccedilatildeo numeacuterica no tempo da equaccedilatildeo do movimento Eq(1) conforme Bathe (1982)
Posteriormente satildeo mostrados os criteacuterios adotados no presente trabalho para garantir a
convergecircncia do meacutetodo sem um elevado custo computacional
A) Valores iniciais
Passo 1 Valores iniciais para os vetores deslocamento velocidade e aceleraccedilatildeo U0
U
0 U
0
Passo 2 Defina um intervalo de tempo Δt e os paracircmetros α e δ tais que
δ ge 050 α ge 025(05 + δ)sup2
Passo 3 Calcule as constantes
20
1a
t
t1a
t
1a 2
12
1a 3
1a 4
22
ta 5 )1(ta 6 ta7
Passo 4 Crie a matriz de rigidez efetiva KK=K + a0M + a1C
B) Para cada iteraccedilatildeo no tempo Δt
Passo 1 Calcule a carga efetiva RR no instante t + Δt
t+ΔtRR =
t+ΔtR + M(a0
tU + a2
t U
+ a3 t U
) + C(a1 tU + a4
t U
+ a5 t U
)
Passo 2 Resolva a equaccedilatildeo abaixo para obter o vetor deslocamento U em t + Δt
KK
t+Δt U = t+Δt
RR
Passo 3 Calcule os vetores velocidade e aceleraccedilatildeo em t + Δt
t+Δt U = a0 (
t+Δt U - tU)- a2 t U - a3
t U
t+Δt U =
t U + a6
t U
+ a7 t+Δt U
128
Para se garantir a convergecircncia do meacutetodo foram adotados os paracircmetros 41α e δ=12 que
satildeo os paracircmetros de integraccedilatildeo que possibilitam estabilidade incondicional para o procedimento
de integraccedilatildeo de Newmark (BATHE 1982) Eacute importante fazer uma boa escolha do incremento
de tempo t adequado para assegurar a estabilidade do meacutetodo de integraccedilatildeo no tempo O
valor do incremento de tempo t deve ser menor do que o valor criacutetico crt dado pela
equaccedilatildeo D1 (BATHE 1982)
n
crt (D1)
sendo τn o menor periacuteodo natural do sistema Se o incremento de tempo eacute maior que o valor
criacutetico o meacutetodo de Newmark apresentaraacute problemas de convergecircncia (ALMEIDA JUacuteNIOR e
FARIA 2003) No presente trabalho a escolha do incremento de tempo t foi feita baseando-
se no fato de que a forccedila de desbalanceamento eacute aplicada a cada intervalo t Portanto se este
intervalo for muito grande a forccedila poderia deixar de ser aplicada durante cada ciclo do eixo Eacute
importante garantir que esta forccedila seja aplicada simetricamente durante cada ciclo ou seja que
para cada valor de rotaccedilatildeo ω (rads) a forccedila de desbalanceamento seja aplicada simetricamente
em todas as direccedilotildees Para que isto fosse possiacutevel foi adotada a seguinte expressatildeo para o
caacutelculo do incremento de tempo t
ω12
2t (D2)
Com o incremento da equaccedilatildeo (D2) garante-se que ocorram pelo menos 12 iteraccedilotildees a
cada ciclo do eixo ou seja uma a cada 30ordm o que garante a simetria da forccedila de
desbalanceamento Este criteacuterio garante tambeacutem que t lt crt Posteriormente foi feito o
estudo da convergecircncia dos resultados em funccedilatildeo do intervalo t para se otimizar o custo
computacional do meacutetodo implementado
vi
41 Exemplos de validaccedilatildeo 61
411 Rotor com disco em balanccedilo 61
412 Rotor apoiado nas extremidades com disco no centro 65
413 Rotor de uma bancada de testes 69
414 Segundo rotor de uma bancada de testes 75
42 Anaacutelise dos coeficientes de forccedila dos mancais eliacutepticos 77
421 Coeficientes de forccedila em funccedilatildeo da folga radial dos mancais eliacutepticos 78
422 Coeficientes de forccedila em funccedilatildeo da razatildeo de esbeltez dos mancais eliacutepticos 83
423 Coeficientes de forccedila em funccedilatildeo da preacute-carga dos mancais eliacutepticos 85
43 A influecircncia dos paracircmetros geomeacutetricos dos mancais eliacutepticos na resposta desbalanceada 87
431 A razatildeo de amplificaccedilatildeo da resposta desbalanceada em funccedilatildeo da preacute-carga 87
432 A resposta desbalanceada em funccedilatildeo da razatildeo de esbeltez dos mancais eliacutepticos 91
433 A resposta desbalanceada em funccedilatildeo da folga radial dos mancais eliacutepticos 96
5 CONCLUSOtildeES 100
6 REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS 103
ANEXO A - FUNDAMENTOS DA TEORIA DE VIGA 112
A1 Teoria de Viga de Euler-Bernoulli 112
A2 Teoria de Viga de Rayleigh 113
A3 Teoria de Viga de Timoshenko 113
ANEXO B ndash FUNCcedilOtildeES DE INTERPOLACcedilAtildeO 115
B1 - Funccedilotildees de Interpolaccedilatildeo para o deslocamento linear unitaacuterio no primeiro noacute 115
B2 - Funccedilotildees de Interpolaccedilatildeo para o deslocamento angular unitaacuterio no primeiro noacute 117
B3 - Funccedilotildees de Interpolaccedilatildeo para o deslocamento linear unitaacuterio no segundo noacute 118
B1 - Funccedilotildees de Interpolaccedilatildeo para o deslocamento angular unitaacuterio no segundo noacute 119
ANEXO C ndash MATRIZES DE ELEMENTOS FINITOS DO ROTOR 122
vii
C1 ndash Matriz de ineacutercia de translaccedilatildeo 122
C2 ndash Matriz de ineacutercia de rotaccedilatildeo 123
C3 ndash Matriz de efeitos giroscoacutepicos 124
C4 ndash Matriz de rigidez 125
ANEXO D ndash MEacuteTODO NUMEacuteRICO DE NEWMARK 127
viii
LISTA DE FIGURAS
Figura 31 ndash Sistema rotor-mancal 40
Figura 32 ndash Representaccedilatildeo de um elemento finito do eixo 42
Figura 33 ndash Desenho esquemaacutetico do mancal eliacuteptico e seus paracircmetros geomeacutetricos 45
Figura 34 - Desenho esquemaacutetico do perfil de um mancal radial eliacuteptico 46
Figura 35 - Distribuiccedilatildeo da pressatildeo hidrodinacircmica no mancal ciliacutendrico (LANG e
STEINHILPER 1978) 46
Figura 36 - Distribuiccedilatildeo da pressatildeo hidrodinacircmica no mancal eliacuteptico (Adaptado de
CORREIA 2007) 47
Figura 37 - Representaccedilatildeo esquemaacutetica dos noacutes no elemento finito 51
Figura 38 ndash Representaccedilatildeo dos 4 graus de liberdade 57
Figura 39 ndash Diagrama do procedimento computacional 58
Figura 41 ndash Desenho esquemaacutetico do rotor de Sinou (2005) 61
Figura 42 ndash Curvas da primeira e segunda frequecircncias naturais (FN1 FN2) versus o
nuacutemero de elementos finitos da malha para o rotor de Sinou (2005) a
10rpm 62
Figura 43 ndash Primeira velocidade criacutetica progressiva (FWD1) e regressiva (BKWD1)
versus incremento no tempo 63
Figura 44 ndash Espectro de frequecircncia obtido pelo MEF para o rotor de Sinou(2005) a
10 rpm 64
Figura 45 ndash Diagrama de Campbell para o rotor em balanccedilo analisado por
Sinou(2005) 64
Figura 46 ndash Desenho esquemaacutetico do rotor de Hong e Park(1999) 66
Figura 47 ndash Espectro de frequecircncia obtido para o rotor de Hong e Park (1999)
operando a 6000rpm 67
Figura 48 ndash Forma de onda obtida para o rotor de Hong e Park (1999) 68
Figura 49 ndash Desenho esquemaacutetico do rotor da bancada de testes 69
Figura 410 ndash Sensibilidade da malha de elementos finitos do mancal ciliacutendrico no
ix
caacutelculo dos paracircmetros de desempenho Fx e Kxy 71
Figura 411 ndash Espectro de frequecircncia experimental ndash teste de batida 72
Figura 412 ndash Espectro de frequecircncia obtido pelo MEF para rotaccedilatildeo de 750 rpm 72
Figura 413 ndash Espectro de frequecircncia obtido pelo MEF para rotaccedilatildeo de 3200 rpm 73
Figura 414 ndash Espectro de frequecircncia experimental para o rotor da bancada operando
a 8900rpm 74
Figura 415 ndash Espectro de frequecircncia obtido pelo MEF para o rotor da bancada
operando a 8900rpm 74
Figura 416 ndash Espectro de frequecircncia obtido pelo MEF para o rotor do exemplo 4
operando a 3200rpm 76
Figura 417 ndash Espectro de frequecircncia experimental para o rotor de Machado(2006) 76
Figura 418 ndash Sensibilidade da malha de elementos finitos do mancal eliacuteptico no
caacutelculo dos paracircmetros de desempenho Fx e Kxy 78
Figura 419 - Posicionamento do eixo dentro do mancal e excentricidade 79
Figura 420 ndash Excentricidade adimensional do ponto de equiliacutebrio estaacutetico dos
mancais eliacutepticos em funccedilatildeo da folga radial 79
Figura 421 ndash Coeficientes de rigidez direta adimensionais em funccedilatildeo da folga radial
dos mancais eliacutepticos 80
Figura 422 ndash Coeficientes de rigidez cruzada adimensional modificado em funccedilatildeo
da folga radial dos mancais eliacutepticos 81
Figura 423 ndash Razatildeo CxyKxx em funccedilatildeo da folga radial dos mancais eliacutepticos 82
Figura 424 ndash Amortecimento efetivo em funccedilatildeo da folga radial dos mancais
eliacutepticos 82
Figura 425 ndash Excentricidade adimensional do ponto de equiliacutebrio estaacutetico dos
mancais eliacutepticos em funccedilatildeo da razatildeo de esbeltez 83
Figura 426 ndash Variaccedilatildeo do amortecimento efetivo em funccedilatildeo da razatildeo de esbeltez
dos mancais eliacutepticos 84
Figura 427 ndash Variaccedilatildeo do amortecimento cruzado adimensional em funccedilatildeo da razatildeo
de esbeltez dos mancais eliacutepticos 84
Figura 428 ndash Excentricidade adimensional do ponto de equiliacutebrio estaacutetico dos
x
mancais eliacutepticos em funccedilatildeo da preacute-carga 85
Figura 429 ndash Variaccedilatildeo da relaccedilatildeo de ajuste entre Mp kxx e kxy em funccedilatildeo da preacute-
carga dos mancais eliacutepticos 86
Figura 430 ndash Variaccedilatildeo do amortecimento efetivo em funccedilatildeo da preacute-carga dos
mancais eliacutepticos 86
Figura 431 ndash Desenho esquemaacutetico do rotor sem disco massivo 88
Figura 432 ndash Resposta desbalanceada calculada no mancal 1 do rotor apoiado em
mancais eliacutepticos com preacute-carga 045 (MIRANDA e FARIA 2012) 89
Figura 433 ndash Resposta desbalanceada para diferentes valores de preacute-carga dos
mancais eliacutepticos (MIRANDA e FARIA 2012) 89
Figura 434 ndashRazatildeo de amplificaccedilatildeo da resposta desbalanceada na primeira
velocidade criacutetica para o rotor apoiado em mancais eliacutepticos
(MIRANDA e FARIA 2012) 90
Figura 435 ndashDesenho esquemaacutetico do rotor com disco massivo em posiccedilatildeo
assimeacutetrica 91
Figura 436 ndash Amplitude de vibraccedilatildeo na primeira VC em funccedilatildeo da razatildeo de
esbeltez dos mancais eliacutepticos 92
Figura 437 ndash Curvas de ajuste da excentricidade adimensional do ponto de
equiliacutebrio estaacutetico em funccedilatildeo da razatildeo de esbeltez dos mancais eliacutepticos 94
Figura 438 ndash Razatildeo de ajuste de LD em funccedilatildeo da excentricidade adimensional do
ponto de equiliacutebrio estaacutetico dos mancais 95
Figura 439 ndash Erros relativos da razatildeo de ajuste de LD em funccedilatildeo da excentricidade
adimensional do ponto de equiliacutebrio estaacutetico dos mancais 95
Figura 440 ndash Amplitude de vibraccedilatildeo na primeira VC em funccedilatildeo da folga radial dos
mancais 97
Figura 441 ndash Razatildeo de ajuste da folga radial em funccedilatildeo da excentricidade
adimensional do ponto de equiliacutebrio estaacutetico dos mancais 98
Figura 442 ndash Erros relativos da razatildeo de ajuste da folga radial em funccedilatildeo da
excentricidade adimensional do ponto de equiliacutebrio estaacutetico dos
mancais 98
xi
Figura A1 - Viga de Euler-Bernoulli sob carregamento distribuiacutedo (Boru 2010) 112
Figura B1 ndash Deslocamento linear unitaacuterio no primeiro noacute 116
Figura B2 ndash Deslocamento angular unitaacuterio no primeiro noacute 117
Figura B3 ndash Deslocamento linear unitaacuterio no segundo noacute 118
Figura B4 ndash Deslocamento angular unitaacuterio no segundo noacute 120
LISTA DE TABELAS
Tabela 41- Paracircmetros do rotor com disco em balanccedilo (SINOU 2005) 62
Tabela 42- Valores comparativos da primeira frequecircncia natural para o rotor de
Sinou(2005) a 10 rpm 64
Tabela 43- Comparaccedilatildeo da primeira velocidade criacutetica 65
Tabela 44- Paracircmetros do rotor de Hong e Park(1999) 66
Tabela 45- Comparaccedilatildeo da primeira frequecircncia natural progressiva e regressiva para
o rotor de Hong e Park (1999) 67
Tabela 46- Comparaccedilatildeo das Frequecircncias de Batimento para o rotor de Hong e
Park(1999) 69
Tabela 47ndash Paracircmetros do rotor da bancada de testes 70
Tabela 48ndash Resultados da anaacutelise da sensibilidade da malha dos mancais 71
Tabela 49ndash Valores comparativos de frequecircncias naturais obtidas pelo MEF e
experimentalmente pelo teste de batida (bump test) 73
Tabela 410ndash Valores comparativos de frequecircncias naturais obtidas pelo MEF e
experimentalmente para o rotor da bancada operando a 8900rpm 75
Tabela 411ndash Paracircmetros do rotor da bancada de testes ndash exemplo 2 75
Tabela 412ndash Valores comparativos das frequecircncias naturais obtidas
experimentalmente por Machado(2006) e pelo MEF 77
Tabela 413ndash Paracircmetros do mancal eliacuteptico selecionado 77
Tabela 414 Paracircmetros do sistema rotor-mancal eliacuteptico utilizado na anaacutelise 88
Tabela 415ndash Paracircmetros do rotor com mancais eliacutepticos 92
xii
SIMBOLOGIA
Siacutembolos em letras latinas
A Aacuterea da seccedilatildeo transversal do eixo [m2]
Ampl Amplitude adimensional da resposta desbalanceada
c Folga radial menor (c = eRR ) [m]
Cb Folga radial maior
XXC YYC Coeficientes de amortecimento direto [Nsm]
XXc YYc Coeficientes de amortecimento direto adimensionais
XYC YXC Coeficientes de amortecimento cruzados [Nsm]
XYc YXc Coeficientes de amortecimento cruzados adimensionais
D Diacircmetro interno do mancal [m]
d Diacircmetro externo do eixo [m]
E Moacutedulo de elasticidade [Pa]
e Excentricidade do centro do munhatildeo no mancal (distacircncia entre centros do mancal
e do munhatildeoeixo) [m]
exey Projeccedilotildees de ―e nos eixos de coordenadas cartesianas xy
00 yx ee
posiccedilatildeo de equiliacutebrio do eixo
yx ee
perturbaccedilatildeo na posiccedilatildeo de equiliacutebrio do eixo
vetores unitaacuterios nas direccedilotildees circunferencial e axial respectivamente
f efeito de cisalhamento
F Forccedila de reaccedilatildeo do mancal gerada pela accedilatildeo hidrodinacircmica do fluido
Fx e Fy Componente da forccedila de reaccedilatildeo do fluido do mancal nas direccedilotildees x e y
e
jf Vetor de fluxo
G Moacutedulo de elasticidade ao cisalhamento [Pa]
h Espessura do filme lubrificante ou filme fluido
xiii
h0 Espessura miacutenima do filme lubrificante estacionaacuterio [m] ou de ordem zero
I Momento meacutedio de ineacutercia de aacuterea da seccedilatildeo transversal
Idm Momento diametral de ineacutercia de massa por unidade de comprimento
Ip Momento polar de ineacutercia de massa por unidade de comprimento
K Fator de forma do cisalhamento transversal
Kx Ky Coeficientes de cisalhamento
XXK YYK Coeficientes de rigidez diretos [Nm]
kxx e kyy Coeficientes de rigidez diretos adimensionais
XYK YXK Coeficientes de rigidez cruzados [Nm]
kxy e kyx Coeficientes de rigidez cruzados adimensionais
Coeficiente de rigidez adimensional modificado
][ e
jiK Matriz fluiacutedica de ordem zero
L Comprimento do mancal
l Comprimento do elemento
Leixo Comprimento do eixo
md Massa desbalanceada
m Fluxo maacutessico na direccedilatildeo circunferencial
nm Fluxo maacutessico de lubrificante cruzando a fronteira do domiacutenio do elemento finito
zm Fluxo maacutessico na direccedilatildeo axial
nm Fluxo de lubrificante de primeira ordem pelo contorno
edo elemento finito n
Mp Preacute-carga (medida da ―elipsidade do mancal) Mp = (Cb ndash c) c
n
Valor normal unitaacuterio direcionado para fora do contorno e do elemento finito
OL Posiccedilatildeo do centro dos loacutebulos
O Posiccedilatildeo do centro do eixo
p Pressatildeo apresentada pelo filme lubrificante [Pa]
pa Pressatildeo ambiente [Pa]
xiv
po Pressatildeo estacionaacuteria de ordem zero [Pa]
p Campo de pressatildeo hidrodinacircmica de primeira ordem
e
op Campo de pressatildeo discreto de ordem zero no domiacutenio e de um elemento finito
px py Campo de pressatildeo hidrodinacircmica de primeira ordem
e
ip Valores de pressatildeo nodal no noacute i do elemento e [Pa]
q(xt) Carregamento distribuiacutedo [Nm]
e
jq Vetor de fluxo devido ao escoamento de fluido pelo contorno do elemento ldquoerdquo
R Raio menor do mancal [m]
Re Raio do munhatildeo ou raio do eixo [m]
RL Raio do loacutebulo do mancal [m]
U Velocidade superficial do eixo (U = ωR) [ms]
Vf Contribuiccedilatildeo da flexatildeo no deslocamento linear do centro da seccedilatildeo do elemento
ud Excentricidade da massa desbalanceada
v(xt) Deflexatildeo lateral da viga
W Carga atuante no mancal [N]
Wf Contribuiccedilatildeo da flexatildeo no deslocamento linear do centro da seccedilatildeo do elemento
xy Coordenadas cartesianas
z Coordenada axial
Siacutembolo em letras gregas
e Contorno do elemento ―e
Deformaccedilatildeo por cisalhamento
Razatildeo de excentricidade ou excentricidade adimensional ( ε = ec)
o Excentricidade adimensional no ponto de equiliacutebrio estaacutetico
ψ Coordenadas no domiacutenio do elemento
Fator de forma da seccedilatildeo transversal da viga
Viscosidade absoluta do filme lubrificante [Pas]
xv
Coeficiente de Poisson
Massa especiacutefica [kgm3]
Massa especiacutefica do filme lubrificante [kgm3]
Acircngulo da posiccedilatildeo angular do munhatildeo a partir do ponto de maior espessura dentro do
mancal [rad]
z Coordenadas circunferencial e axial respectivamente
Φ Acircngulo de posiccedilatildeo do munhatildeo dentro do mancal Φ = tan-1
( Fy Fx )
Funccedilatildeo de interpolaccedilatildeo para o meacutetodo de elementos finitos para o elemento ―e
Rotaccedilatildeo do eixo [rads]
e Domiacutenio do elemento finito ―e
Subscritos
av Meacutedio
e Relativo ao elemento ―e
0 1 Ordem zero e primeira ordem instante de tempo anterior e atual
x Coordenada cartesiana vertical
y Coordenada cartesiana horizontal
Coordenadas xy combinadas no domiacutenio do elemento finito
Coordenadas no domiacutenio do elemento finito
Sobrescritos
e Relativo ao elemento ―e
ej
xvi
LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS
MEF Meacutetodo de Elementos Finitos
FEM Finite Element Method (Meacutetodo de Elementos Finitos)
VC Velocidade Criacutetica
xvii
RESUMO
Este trabalho apresenta um procedimento computacional baseado no meacutetodo de elementos
finitos desenvolvido especialmente para predizer o comportamento dinacircmico de sistemas
rotativos apoiados em mancais hidrodinacircmicos O procedimento computacional proposto
permite simular diferentes tipos de rotores compostos por eixo flexiacutevel discos massivos e
mancais riacutegidos ou hidrodinacircmicos com perfis circulares ou eliacutepticos Satildeo usados elementos
finitos de viga baseando-se na teoria de vigas de Timoshenko no modelo do eixo o que permite
incluir os efeitos de deformaccedilatildeo por cisalhamento ineacutercia rotatoacuteria e efeito giroscoacutepico Um
procedimento baseado no meacutetodo de elementos finitos eacute aplicado para resolver a equaccedilatildeo de
Reynolds para fluidos incompressiacuteveis junto a um procedimento de perturbaccedilatildeo linear para se
calcular os coeficientes dinacircmicos de forccedila dos mancais ciliacutendricos e eliacutepticos As equaccedilotildees de
movimento para rotores desbalanceados apoiados em mancais hidrodinacircmicos satildeo integradas
usando-se o Meacutetodo de Newmark para se obter a resposta no tempo Os resultados satildeo validados
pela comparaccedilatildeo com valores experimentais coletados em uma bancada de teste e tambeacutem com
valores publicados na literatura Satildeo apresentadas algumas relaccedilotildees algeacutebricas que permitem
predizer os paracircmetros de desempenho dos mancais e a resposta desbalanceada do sistema rotor-
mancal em funccedilatildeo dos paracircmetros geomeacutetricos dos mancais tais como preacute-carga razatildeo de
esbeltez e folga radial Eacute identificada uma faixa operacional dos mancais onde estas relaccedilotildees
algeacutebricas apresentam uma boa aproximaccedilatildeo com os resultados computacionais Os resultados
deste trabalho servem de base para o projeto de maacutequinas rotativas uma vez que permitem
predizer seu comportamento dinacircmico para diversas condiccedilotildees operacionais
Palavras-chaves Mancal eliacuteptico
Rotores flexiacuteveis
Mancal radial
Lubrificaccedilatildeo hidrodinacircmica
Meacutetodo de elementos finitos
xviii
ABSTRACT
This work presents the development of a finite element procedure specially devised to predict
the dynamic response of flexible rotors running on fluid film bearings The proposed procedure
can simulate many different types of rotor-bearing systems with a flexible shaft massive disks
and rigid or fluid film circular or elliptical bearings The shaft finite element model is based on
Timoshenko Beam Theory which includes shear effects rotary inertia and gyroscopic moments
A finite element procedure for solution of the classical Reynolds equation for incompressible
fluid films in conjunction with a linearized perturbation procedure is implemented to allow the
computation of the dynamic force-coefficients of cylindrical and elliptical journal bearings The
finite element equations of motion for an unbalanced rotor supported on fluid film bearings are
integrated by using the Newmark method and the time-domain unbalance response is obtained
The results are validated by comparison with experimental data collected from a test rig as well
as from results obtained from the literature
Some algebraic expressions relating the bearing parameters and the unbalance response with the
bearing geometric parameters (preload Slendernessrsquo ratio radial clearance) are presented A
range of operating conditions is identified where these expressions are supposed to be close to
the computational results obtained by the numerical procedure The results presented in this
work are valuable for rotating machine designers since it can properly predict its dynamic
response under several operation conditions
Keywords Elliptical bearing
Journal bearing
Hydrodynamic lubrication
Finite element method
19
1 INTRODUCcedilAtildeO
O projeto e o comissionamento de maacutequinas rotativas requerem um cuidado especial para se
garantir condiccedilotildees seguras estaacuteveis e eficientes de operaccedilatildeo Diversos estudos baseados em
procedimentos experimentais analiacuteticos e computacionais satildeo utilizados com o objetivo de se
analisar vaacuterios aspectos dinacircmicos relacionados a rotores de maacutequinas de alta velocidade Esses
estudos se tornam de extrema importacircncia na anaacutelise de equipamentos como turbinas a gaacutes e a
vapor compressores ventiladores industriais bombas exaustores entre outros
Com o desenvolvimento da tecnologia na aacuterea de projetos mecacircnicos eacute notaacutevel a tendecircncia em
se projetarem maacutequinas cada vez mais leves e com maior potecircncia que normalmente estatildeo mais
sujeitas a problemas de vibraccedilatildeo e de instabilidade A influecircncia dos mancais no comportamento
dinacircmico de maacutequinas rotativas e na capacidade de atenuar vibraccedilotildees eacute estudada haacute vaacuterios anos
em diversos trabalhos da literatura especializada (GUNTER 1966 CORREIA 2007)
Os mancais hidrodinacircmicos tecircm sido amplamente aplicados em maacutequinas rotativas devido agrave sua
grande capacidade de carga habilidade de operaccedilatildeo em altas velocidades e longevidade
(HAMROCK 1994 CHILDS 1993) Este tipo de mancal tem uma capacidade de
amortecimento que natildeo existe nos mancais de rolamento o que possibilita que a maacutequina passe
por uma velocidade criacutetica com menores riscos (STERNLICHT e LEWIS 1968 VANCE
1988) O amortecimento proporcionado por mancais hidrodinacircmicos permite a atenuaccedilatildeo das
forccedilas transmitidas do sistema eixorotor aos mancais a reduccedilatildeo do niacutevel de vibraccedilatildeo o
aumento da faixa de operaccedilatildeo estaacutevel do rotor e o aumento de vida uacutetil do mancal (ENGWALL
1991)
Os mancais hidrodinacircmicos aplicados em maacutequinas rotativas industriais podem ser divididos
basicamente em dois grupos mancais de geometria fixa e mancais de geometria variaacutevel
(ALLAIRE e FLACK 1981) Os mancais de geometria fixa satildeo mais simples e possuem um
menor custo de fabricaccedilatildeo montagem e manutenccedilatildeo do que os de geometria variaacutevel
(HAMROCK 1994) Os mancais mais amplamente usados na induacutestria satildeo os de geometria fixa
com perfil ciliacutendrico apresentando baixa estabilidade mas boa capacidade de carga (CORREIA
2007) Mancais de geometria moacutevel satildeo usados quando se deseja estabilidade do equipamento
sujeito a vibraccedilotildees subsiacutencronas isto eacute abaixo da frequecircncia de rotaccedilatildeo No final da deacutecada de
20
1980 este tipo de mancal passou a ser mais amplamente usado nos projetos de turbomaacutequinas
de alta velocidade (ZEIDAN 1992) A literatura cientiacutefica apresenta diversos trabalhos sobre
mancais ciliacutendricos mas poucos sobre mancais eliacutepticos (CORREIA 2007)
As interaccedilotildees entre o eixo rotativo da turbomaacutequina com o fluido de trabalho com os mancais
com os selos com o suporte e com todos os seus elementos acoplados tais como as palhetas e
discos devem ser incluiacutedas na anaacutelise dinacircmica de rotores para se obter confiabilidade aceitaacutevel
nas prediccedilotildees de seu comportamento O estudo preliminar do comportamento de sistemas
rotativos permite determinar as suas faixas de operaccedilatildeo estaacutevel e avaliar as influecircncias que
componentes do sistema exercem sobre a resposta dinacircmica do conjunto Os mancais se tornam
componentes vitais no projeto de turbomaacutequinas pois devem gerar forccedilas de reaccedilatildeo capazes de
suportar adequadamente o eixo rotativo e propiciar meios de atenuaccedilatildeo da resposta dinacircmica do
conjunto rotativo em regimes de operaccedilatildeo extremos Esse trabalho tem como proposta principal
a anaacutelise do comportamento dinacircmico de rotores flexiacuteveis apoiados em mancais radiais
hidrodinacircmicos de geometria fixa
A modelagem do rotor que inclui o eixo rotativo com discos riacutegidos acoplados eacute efetuada
utilizando-se o meacutetodo de elementos finitos baseado na teoria de vigas de Timoshenko
(CLOUGH e PENZIEN 1975) Incluem-se no modelo do rotor os efeitos de cisalhamento os
momentos giroscoacutepicos e a ineacutercia rotatoacuteria do eixo rotativo A equaccedilatildeo claacutessica de Reynolds
(PINKUS 1987 HAMROCK 1994) e um procedimento linearizado de perturbaccedilatildeo
(LUND1987) satildeo a base da modelagem dos mancais radiais hidrodinacircmicos ciliacutendricos e natildeo
ciliacutendricos considerados na anaacutelise O meacutetodo de elementos finitos eacute entatildeo empregado para
estimar as caracteriacutesticas dinacircmicas natildeo lineares dos mancais radiais finitos incluiacutedos na anaacutelise
do sistema rotativo O modelo dos mancais admite diversas geometrias de mancais ciliacutendricos e
eliacutepticos e natildeo satildeo adotadas hipoacuteteses restritivas ao modelo dos mancais como nas teorias de
mancal longo (HAMROCK 1994) ou de mancal curto que apresentam deficiecircncias na anaacutelise
dinacircmica de sistemas rotor-mancal (KALITA e KAKOTY 2004)
O texto deste trabalho eacute dividido em cinco capiacutetulos O capiacutetulo 1 apresenta a introduccedilatildeo do
trabalho seu escopo e objetivos No capiacutetulo 2 eacute apresentada a revisatildeo bibliograacutefica Em
seguida eacute descrita a metodologia do procedimento computacional proposto no capiacutetulo 3 onde
satildeo apresentados os procedimentos adotados para se modelar o sistema rotor-mancal composto
pelo eixo flexiacutevel disco riacutegido e mancais hidrodinacircmicos No final do capiacutetulo 3 eacute apresentado
um diagrama representando as etapas do procedimento computacional proposto No capiacutetulo 4
21
satildeo apresentados os resultados obtidos atraveacutes do procedimento computacional incluindo
exemplos de validaccedilatildeo No capiacutetulo 5 satildeo apresentadas as conclusotildees do trabalho e no capiacutetulo 6
satildeo listadas as referecircncias bibliograacuteficas Satildeo incluiacutedos ainda trecircs anexos No Anexo A satildeo
apresentados os fundamentos da teoria de vigas de Euler-Bernoulli de Rayleigh e de
Timoshenko No Anexo B apresenta-se a formulaccedilatildeo das funccedilotildees de interpolaccedilatildeo No Anexo C
satildeo listadas as matrizes de elementos finitos do eixo flexiacutevel usadas no modelo implementado e
no Anexo D eacute apresentado o algoritmo do Meacutetodo Numeacuterico de Newmark
11 Escopo
Esse trabalho descreve a anaacutelise do comportamento dinacircmico de rotores flexiacuteveis suportados em
mancais radiais hidrodinacircmicos de geometria fixa utilizando-se o meacutetodo de elementos finitos
Na modelagem dos mancais radiais incluem-se mancais ciliacutendricos e natildeo ciliacutendricos de
geometria fixa As condiccedilotildees de operaccedilatildeo do sistema rotativo utilizadas nesse trabalho estatildeo
baseadas em condiccedilotildees operacionais comumente encontradas na praacutetica O eixo eacute modelado por
elementos finitos de viga baseando-se na teoria de vigas de Timoshenko que permite analisar a
resposta da vibraccedilatildeo orbital nos dois planos ortogonais de flexatildeo A formulaccedilatildeo permite incluir
os efeitos de ineacutercia rotatoacuteria efeito giroscoacutepico e deformaccedilatildeo por cisalhamento
O caacutelculo dos coeficientes dinacircmicos de forccedila dos mancais eacute feito baseando-se na equaccedilatildeo de
Reynolds e nas equaccedilotildees de lubrificaccedilatildeo de ordem zero e de primeira ordem obtidas atraveacutes da
anaacutelise de perturbaccedilatildeo (LUND1987)
A resposta desbalanceada do sistema eacute obtida por meio de procedimento de integraccedilatildeo
numeacuterica implementado sobre a sua equaccedilatildeo de equiliacutebrio dinacircmico Eacute estudada a influecircncia dos
paracircmetros construtivos de mancais eliacutepticos e ciliacutendricos nos seus coeficientes de forccedila e na
resposta desbalanceada do sistema rotor-mancal Apresenta-se uma anaacutelise criacutetica sobre a faixa
onde o modelo computacional implementado fornece resultados considerados confiaacuteveis
baseando-se nas condiccedilotildees operacionais do sistema
Embora natildeo seja objetivo deste trabalho obter valores absolutos para os coeficientes de forccedila ou
para os niacuteveis de vibraccedilatildeo na resposta desbalanceada eacute investigada a forma como estes valores
variam em funccedilatildeo das caracteriacutesticas construtivas e operacionais do sistema
22
12 Objetivos
121 Objetivo geral
Este trabalho tem como objetivo desenvolver um procedimento computacional baseado no
meacutetodo de elementos finitos (MEF) para a anaacutelise da resposta de sistemas rotativos apoiados em
mancais radiais hidrodinacircmicos de geometria fixa O eixo eacute modelado por elementos de viga
baseando-se na Teoria de Viga de Timoshenko Os mancais hidrodinacircmicos satildeo modelados
tambeacutem por elementos finitos utilizando-se o meacutetodo da perturbaccedilatildeo aplicado na equaccedilatildeo de
Reynolds
122 Objetivos especiacuteficos
i Desenvolver e implementar um procedimento computacional eficiente baseado no
MEF para representar rotores flexiacuteveis sujeitos a cargas de desbalanceamento
apoiados em suportes flexiacuteveis
ii Desenvolver e implementar um procedimento computacional eficiente baseado no
MEF para a determinaccedilatildeo dos coeficientes dinacircmicos dos mancais hidrodinacircmicos de
geometria fixa sem o uso de teorias simplificadas como os modelos de mancal curto
ou de mancal longo
iii Comparar os resultados do procedimento computacional proposto com resultados
publicados na literatura especializada e com dados experimentais coletados em uma
bancada de testes atraveacutes da anaacutelise das frequecircncias naturais
iv Analisar a influecircncia dos paracircmetros geomeacutetricos dos mancais eliacutepticos (preacute-carga
razatildeo de esbeltez folga radial) nos coeficientes de forccedila dos mancais e na resposta
desbalanceada do sistema
v Estabelece relaccedilotildees algeacutebricas entre alguns paracircmetros de desempenho dos mancais
ciliacutendricos e eliacutepticos e a resposta balanceada com os paracircmetros geomeacutetricos dos
mancais Identificar as faixas operacionais onde estas relaccedilotildees algeacutebricas satildeo vaacutelidas
23
2 REVISAtildeO BIBLIOGRAacuteFICA
As referecircncias apresentadas a seguir satildeo divididas em seccedilotildees para facilitar a exposiccedilatildeo dos
temas envolvidos no trabalho Inicialmente satildeo apresentadas as publicaccedilotildees que abordam os
procedimentos computacionais para a modelagem de sistemas rotor-mancal destacando-se o uso
do meacutetodo de elementos finitos e a evoluccedilatildeo dos modelos de elementos de vigas aplicados aos
eixos flexiacuteveis Em seguida destacam-se os trabalhos que fazem a anaacutelise da estabilidade de
sistemas rotor-mancal atraveacutes de problema de autovalor Segue-se com a citaccedilatildeo das publicaccedilotildees
que apresentam procedimentos de modelagem de mancais hidrodinacircmicos As uacuteltimas seccedilotildees
apresentam trabalhos sobre sistemas rotativos com elementos adicionais onde se destacam no
final os modelos de mancais eliacutepticos
Observa-se que a literatura apresenta diversos trabalhos dentro desta linha poreacutem muitos
aplicam o modelo de mancal curto que eacute bastante limitado principalmente para mancais
operando com grandes excentricidades A teoria de mancal curto eacute mais aplicaacutevel na prediccedilatildeo de
carga mas eacute muito limitada na determinaccedilatildeo de coeficientes de forccedila ou no estudo da
estabilidade do sistema Outros trabalhos apresentam uma abordagem detalhada do modelo dos
mancais mas ao apresentar os resultados fazem diversas simplificaccedilotildees (mancais isotroacutepicos
por exemplo) Em alguns casos a modelagem dos mancais e a aplicaccedilatildeo do procedimento
numeacuterico eacute detalhada e rigorosa poreacutem aplica-se o modelo de eixo riacutegido o que tambeacutem
representa uma limitaccedilatildeo A teoria natildeo-linear para mancais hidrodinacircmicos eacute apresentada por
diversos autores poreacutem os trabalhos possuem uma abordagem mais matemaacutetica natildeo focando
em aspectos praacuteticos de condiccedilotildees operacionais de maacutequinas rotativas
Desta forma observa-se uma lacuna na literatura onde raramente satildeo analisados sistemas rotor-
mancal hidrodinacircmico de maneira detalhada evitando-se hipoacuteteses simplificadoras tanto no
modelo dos mancais quanto no modelo do eixo flexiacutevel
21 Modelagem de sistemas rotor-mancal
A anaacutelise do comportamento dinacircmico de maacutequinas rotativas tem fomentado o desenvolvimento
de procedimentos computacionais eficientes e precisos para as etapas preliminares de projeto
24
Os modelos de maacutequinas rotativas de alta velocidade geralmente incluem rotores flexiacuteveis
apoiados em mancais hidrodinacircmicos e eacute fundamental analisar a estabilidade do sistema
(GUNTER 1970 BUSSE et al1980 VANCE 1988 KRAMER 1993 CHILDS 1993
ABDULJABBAR et al1997 HU et al 2000 GANESAN 2000 ZHAO et al2005 WENHUI
et al 2007)
Os estudos dinacircmicos baseados em modelos computacionais se tornam de extrema importacircncia
em diversas aplicaccedilotildees industriais de turbomaacutequinas como turbinas a gaacutes e a vapor
compressores ventiladores industriais bombas exaustores entre outros (STERNLICHT e
LEWIS 1968) A partir da deacutecada de 70 o meacutetodo de elementos finitos comeccedilou a ser usado
com extrema frequecircncia para o desenvolvimento de modelos de rotores flexiacuteveis e para a anaacutelise
de balanceamento estabilidade e vibraccedilatildeo torcional de maacutequinas rotativas (ZORZI e NELSON
1977 VANCE 1988 CHILDS 1993 ALMEIDA Jr e FARIA 2003 MIRANDA et al 2005)
A aplicaccedilatildeo do meacutetodo de elementos finitos na modelagem e simulaccedilatildeo de sistemas rotativos eacute
muito ampla na anaacutelise dinacircmica de rotores Os primeiros trabalhos nesta aacuterea satildeo apresentados
por Ruhl (1970) e Ruhl e Booker (1972) onde se aplica o meacutetodo de elementos finitos na
anaacutelise dinacircmica de um sistema rotativo com paracircmetros distribuiacutedos Satildeo usados elementos de
viga incluindo a ineacutercia translacional e rigidez agrave flexatildeo mas natildeo satildeo considerados os efeitos de
ineacutercia rotatoacuteria momentos giroscoacutepios deformaccedilatildeo por cisalhamento carga axial torque axial
e amortecimento interno Kirk e Gunter (1972) analisam a resposta transiente e permanente do
rotor de Jeffcott com mancais elaacutesticos montados em apoios flexiacuteveis e amortecidos ainda
desconsiderando a flexibilidade do rotor e o efeito giroscoacutepico do disco rotativo nas equaccedilotildees de
movimento Na mesma eacutepoca Thorkildsen (1972) desenvolveu um modelo mais completo onde
incluiu os efeitos de ineacutercia rotatoacuteria e momentos giroscoacutepios
Polk (1974) apresenta um estudo sobre velocidade criacutetica e velocidade limite utilizando
elemento finito de viga de Rayleigh Polk ainda apresenta neste mesmo trabalho o
desenvolvimento dos elementos finitos de viga de Timoshenko embora sem nenhum resultado
numeacuterico Diana et al(1975) apresentam seus resultados da anaacutelise de um eixo rotativo usando
o meacutetodo de elementos finitos com elementos semelhantes aos de Ruhl (1970) No mesmo ano
Dimaragonas (1975) apresenta um desenvolvimento geral de elemento de viga mas ainda
excluindo o cisalhamento e carga e torque axiais Gasch (1976) apresentou importantes
resultados em um artigo semelhante ao de Dimaragonas poreacutem incluindo o efeito de
25
excentricidade distribuiacuteda Satildeo analisados eixos rotativos de grandes turbomaacutequinas atraveacutes de
elementos finitos e introduzida a dinacircmica da fundaccedilatildeo nas equaccedilotildees de movimento usando
anaacutelise modal e teste modal
No mesmo ano Nelson e McVaugh (1976) apresentam uma formulaccedilatildeo para modelar o sistema
rotor-mancal usando paracircmetros distribuiacutedos e elementos finitos de viga de Rayleigh
semelhantes aos de Polk (1974) incluindo os efeitos de ineacutercia rotatoacuteria efeito giroscoacutepico e
cargas axiais Este trabalho eacute ampliado posteriormente em Zorzi e Nelson (1977) incluindo-se o
amortecimento viscoso interno do eixo Nelson (1980) generaliza os modelos apresentados em
1976 e 1977 usando a teoria de vigas de Timoshenko para estabelecer as funccedilotildees de forma do
eixo flexiacutevel incluindo o efeito de cisalhamento mas sem incluir o amortecimento interno Satildeo
obtidas as equaccedilotildees de elementos atraveacutes do Princiacutepio de Hamilton e das integrais que definem
as energias potencial e cineacutetica de cada elemento A energia cineacutetica leva em consideraccedilatildeo a
energia rotacional e translacional e a energia potencial considera a energia potencial elaacutestica
devida agrave flexatildeo a energia potencial do cisalhamento e a energia devida agrave carga axial Para
modelar os mancais satildeo considerados apoios isotroacutepicos sem efeito de amortecimento O autor
apresenta vaacuterios resultados que validam o meacutetodo comparando-os com outros obtidos na
literatura Eacute apresentada uma comparaccedilatildeo entre as frequecircncias naturais de uma viga estaacutetica
obtidas com elementos de viga de Euler-Bernoulli de Rayleigh e de Timoshenko
Posteriormente satildeo apresentados resultados de velocidades criacuteticas calculadas para eixos
rotativos apoiados pelas extremidades
Oumlzguumlven e Oumlzkan (1984) aplicam tambeacutem o meacutetodo de elementos finitos considerando os
efeitos da ineacutercia rotatoacuteria carga axial efeito giroscoacutepico deformaccedilotildees por cisalhamento e
amortecimento viscoso interno no mesmo modelo Vance et al(1987) apresentam comparaccedilotildees
de dados experimentais com resultados numeacutericos obtidos em uma bancada de sistema rotor-
mancal incluindo os efeitos de impedacircncia da fundaccedilatildeo no modelo usando o meacutetodo de matriz
de transferecircncia
Jei e Lee (1988) analisam o comportamento dinacircmico de rotores assimeacutetricos apoiados em
mancais hidrodinacircmicos utilizando o meacutetodo de elementos finitos O sistema rotativo eacute
composto por um eixo assimeacutetrico e discos riacutegidos e os efeitos da ineacutercia rotatoacuteria do
cisalhamento transversal dos momentos giroscoacutepicos e do amortecimento histereacutetico satildeo
incluiacutedos na modelagem do sistema As equaccedilotildees de vibraccedilatildeo lateral do conjunto rotativo satildeo
26
compactadas via teacutecnica de reduccedilatildeo modal de coordenadas Na modelagem dos mancais radiais
os autores desprezam a assimetria dos coeficientes cruzados de rigidez e de amortecimento e natildeo
descrevem claramente como foram obtidos os demais coeficientes de forccedila O problema de
autovalor do sistema giroscoacutepico amortecido eacute obtido para a determinaccedilatildeo das velocidades
criacuteticas de instabilidade do sistema rotativo As simplificaccedilotildees efetuadas pelos autores na
modelagem dos mancais afetam a determinaccedilatildeo precisa das velocidades de instabilidade do rotor
assimeacutetrico suportado em mancais hidrodinacircmicos que depende fortemente dos coeficientes
cruzados de rigidez Stephenson e Rouch (1992) aplicam o meacutetodo de elementos finitos para
analisar um sistema rotor-mancal e fundaccedilatildeo usando tambeacutem anaacutelise modal que permite
observar os efeitos dinacircmicos da estrutura da fundaccedilatildeo
Mais recentemente diversos trabalhos tecircm sido publicados aplicando-se o meacutetodo de elementos
finitos para a anaacutelise da estabilidade e da resposta no tempo de sistemas rotativos Sundararajan
(1996) investiga a resposta natildeo-linear e a estabilidade de um sistema rotor-mancal em regime
permanente sujeito a desbalanceamento Satildeo considerados rotores riacutegidos apoiados em mancais
hidrodinacircmicos planos e squeeze-film dampers (amortecedores por esmagamento de filme
fluido) Analisa-se a influecircncia dos coeficientes de forccedila cruzados e da ineacutercia do fluido na
resposta natildeo-linear e na estabilidade do sistema Na modelagem por elementos finitos satildeo
derivadas as matrizes de massa de rigidez e de amortecimento do sistema e eacute apresentado um
procedimento numeacuterico que reduz o nuacutemero de graus de liberdade do sistema O autor aplica a
teoria de bifurcaccedilatildeo de Hopf (HOLLIS e TAYLOR 1986) para calcular os regimes de
bifurcaccedilatildeo de mancais hidrodinacircmicos finitos mostrando que os mancais podem entrar em
regime de instabilidade mesmo abaixo das velocidades limites o que natildeo eacute observado nos
modelos lineares Na modelagem do squeeze film damper e do mancal plano eacute adotado o modelo
de mancal curto Posteriormente o autor propotildee uma anaacutelise de estabilidade de mancais planos
finitos usando uma formulaccedilatildeo que faz uma soma ponderada das soluccedilotildees analiacuteticas do mancal
curto e do mancal longo para se obter os coeficientes de forccedila Os resultados para mancais
planos finitos natildeo satildeo validados experimentalmente Embora comente-se sobre o caraacuteter natildeo-
linear do efeito das folgas nos mancais de rolamento este tipo de mancal natildeo eacute modelado pelo
autor O modelo do sistema rotor-mancal considera o rotor e o eixo riacutegidos e usa o modelo de
mancal curto o que torna o modelo bastante limitado
Chen e Lee (1997) aplicam o meacutetodo de elementos finitos em um problema de rotores flexiacuteveis
para obter a resposta desbalanceada no tempo e para identificar os coeficientes de forccedila de
27
mancais de rolamento Armentrout (1998) apresenta o desenvolvimento de uma anaacutelise
transiente de rotores flexiacuteveis suportados em mancais de filme fluido baseada no meacutetodo das
matrizes de transferecircncia Os efeitos de cisalhamento os momentos giroscoacutepicos e a ineacutercia
rotatoacuteria satildeo incluiacutedos na modelagem do eixo do rotor A soluccedilatildeo unidimensional aproximada da
equaccedilatildeo de Reynolds eacute a base do modelo de mancais ciliacutendricos radiais e de sapatas moacuteveis
contemplados na anaacutelise O procedimento computacional desenvolvido por Armentrout (1998)
utiliza teacutecnica de compactaccedilatildeo modal de coordenadas empregando os modos de vibraccedilatildeo natildeo
amortecidos do sistema rotor-mancal-fundaccedilatildeo As equaccedilotildees de equiliacutebrio do sistema rotativo
em coordenadas modais satildeo integradas utilizando-se um algoritmo de integraccedilatildeo impliacutecita
―preditor-corretor
Tiwari et al (2000) apresentam uma investigaccedilatildeo teoacuterico-experimental da dinacircmica natildeo-linear
de rotores riacutegidos horizontais apoiados em mancais de rolamento de esferas Um modelo
discreto de massa concentrada com dois graus de liberdade eacute empregado na representaccedilatildeo do
rotor riacutegido As natildeo linearidades da anaacutelise estatildeo associadas aos efeitos da folga radial do
mancal e do modelo de contato de Hertz para as esferas desse mancal As equaccedilotildees de equiliacutebrio
do sistema satildeo integradas utilizando-se um algoritmo impliacutecito de integraccedilatildeo A anaacutelise
experimental do trabalho consiste na determinaccedilatildeo da resposta desbalanceada e na avaliaccedilatildeo da
estabilidade dinacircmica de um rotor horizontal apoiado em mancais de rolamento anisotroacutepicos
Os autores mostram resultados teoacutericos e experimentais para as regiotildees de instabilidade do rotor
que apresentam boa concordacircncia A consideraccedilatildeo de rotor riacutegido representa uma limitaccedilatildeo do
modelo
Elmadany et al (2001) apresentam um modelo de elementos finitos para um sistema rotativo
composto por um eixo flexiacutevel um rotor riacutegido e vaacuterios mancais incluindo no modelo do rotor
os efeitos de ineacutercia rotativa momentos giroscoacutepicos amortecimento interno deformaccedilotildees por
cisalhamento e torque axial Satildeo usados elementos finitos de viga de Timoshenko para gerar as
equaccedilotildees dos elementos do eixo Os oito coeficientes de forccedila dos mancais hidrodinacircmicos satildeo
apresentados em funccedilatildeo do nuacutemero de Sommerfeld considerando mancais curtos O meacutetodo
computacional proposto permite obter importantes informaccedilotildees do comportamento dinacircmico do
sistema tais como a precessatildeo as velocidades criacuteticas as regiotildees de estabilidade e a resposta
dinacircmica desbalanceada As velocidades de instabilidades satildeo obtidas atraveacutes do problema de
autovalor Os autores apresentam diversos resultados numeacutericos comparados com outros
28
extraiacutedos da literatura Em um deles destaca-se a comparaccedilatildeo das velocidades de instabilidade
(threshold speed of instability) e os autores fazem ainda uma comparaccedilatildeo entre o modelo usando
elementos de viga de Rayleigh e de Timoshenko Conclui-se que ao se incluir o efeito de
cisalhamento na anaacutelise de vibraccedilatildeo livre os valores das velocidades de instabilidade satildeo
reduzidos
Hong et al(2001) investigam os efeitos da deformaccedilatildeo inicial de eixos na resposta dinacircmica de
sistemas rotor-mancal Analisa-se a vibraccedilatildeo siacutencrona provocada pela deformaccedilatildeo inicial e pelo
desbalanceamento sendo incluiacutedo o efeito giroscoacutepico O modelo de elementos finitos tem dois
graus de liberdade correspondentes aos deslocamentos transversais e o rotor tem trecircs discos
riacutegidos e dois mancais Satildeo simuladas algumas configuraccedilotildees de rotor incluindo mancais
hidrodinacircmicos de sapatas moacuteveis Os resultados mostram que o efeito da deformaccedilatildeo inicial
influencia fortemente a resposta siacutencrona em baixas velocidades enquanto o efeito do
desbalanceamento afeta em altas velocidades de rotaccedilatildeo Eacute observado ainda que a presenccedila de
ambos efeitos pode causar dificuldade no diagnoacutestico de vibraccedilotildees de maacutequinas rotativas Os
autores usam coeficientes de forccedila preacute-calculados por outros autores natildeo apresentando a
modelagem dos mancais Natildeo fica claro tambeacutem o tipo de elemento finito usado no modelo do
eixo
Guo e Kirk (2003) fazem um estudo dos limites de estabilidade de um sistema rotor-mancal
hidrodinacircmico baseado no modelo de Jeffcott (1919) incluindo o amortecimento externo e um
estudo para rotores verticais e horizontais Os autores destacam a forte influecircncia que o
amortecimento externo tem na anaacutelise da estabilidade do sistema rotativo Eacute proposto um
meacutetodo analiacutetico que faz vaacuterias consideraccedilotildees que simplificam as equaccedilotildees de movimento do
sistema por exemplo rotor vertical com operaccedilatildeo centrada em mancais curtos idecircnticos Eacute
mostrado que existe uma velocidade limite (threshold speed) para o rotor vertical enquanto para
o rotor horizontal haacute uma regiatildeo de operaccedilatildeo estaacutevel limitada entre duas regiotildees instaacuteveis Neste
caso do rotor horizontal eacute conduzido um procedimento numeacuterico sem as hipoacuteteses
simplificadoras usadas no modelo vertical usando anaacutelise de autovalores obtidos das equaccedilotildees
matriciais de movimento do sistema Observa-se que no rotor horizontal o efeito do
amortecimento externo aumenta a regiatildeo de operaccedilatildeo estaacutevel do sistema e para alguns valores
mais elevados de amortecimento externo eacute possiacutevel eliminar a regiatildeo de instabilidade
garantindo operaccedilatildeo estaacutevel para o sistema rotativo em toda faixa de velocidade de rotaccedilatildeo
analisada Guo e Kirk (2003) incluem ainda em seu trabalho uma anaacutelise do modelo extendido
29
do rotor de Jeffcott onde satildeo consideradas as massas dos mancais nas extremidades do rotor
Conclui-se que ao se incluiacuterem as massas dos mancais surge uma outra velocidade
limite(threshold speed) E mesmo que vaacuterias regiotildees de instabilidade possam ser reduzidas ou
eliminadas com o aumento do amortecimento externo este amortecimento tem pouco efeito nas
uacuteltimas velocidades de instabilidade (threshold speed of instability) uma vez que estas
velocidades dependem da massa do mancal Assim a melhor forma de se obter amplas faixas de
operaccedilatildeo estaacutevel eacute combinar-se os efeitos do amortecimento externo ao das massas dos mancais
obtendo-se uma combinaccedilatildeo adequada no dimensionamento do rotor de Jeffcott
Em (GUO e KIRK 2003b) a anaacutelise eacute ampliada incluindo-se o efeito da flexibilidade dos
mancais onde mostra-se como melhorar a resposta dinacircmica e a resposta desbalanceada do
sistema assim como a estabilidade e a transmissatildeo de forccedilas Novamente satildeo consideradas as
mesmas hipoacuteteses simplificadoras que restringem bastante a abrangecircncia dos resultados obtidos
Os proacuteprios autores admitem que os resultados satildeo vaacutelidos para um caso especial Nos
resultados satildeo apresentadas as regiotildees de estabilidade e a influecircncia do amortecimento e da
rigidez dos mancais na estabilidade do sistema Comenta-se ainda que os coeficientes de forccedila
de mancais hidrodinacircmicos tecircm natureza natildeo-linear e que cabe um estudo mais detalhado sobre
o efeito desta natildeo-linearidade
Balantrapu (2004) apresenta um procedimento computacional de identificaccedilatildeo de paracircmetros
para identificar os coeficientes de forccedila de mancais em um sistema rotativo com eixo flexiacutevel
atraveacutes da resposta desbalanceada medida proacuteximo aos mancais Eacute proposta tambeacutem uma
formulaccedilatildeo que permite usar o procedimento de identificaccedilatildeo a partir de mediccedilotildees feitas longe
dos mancais em especial no ponto meacutedio entre eles O eixo flexiacutevel eacute modelado por elementos
finitos incluindo-se os efeitos de ineacutercia rotatoacuteria e efeito giroscoacutepico e para os mancais satildeo
considerados coeficientes de forccedila lineares Satildeo apresentados vaacuterios exemplos incluindo
mancais hidrodinacircmicos de dois loacutebulos Observa-se que a massa desbalanceada necessaacuteria para
se fazer as mediccedilotildees do deslocamento do eixo assim como a exatidatildeo dos resultados de
mediccedilatildeo influenciam os resultados obtidos para os coeficientes de forccedila Outro fator que
influencia mais consideravelmente eacute a rigidez do eixo que tem grande influecircncia nas amplitudes
de vibraccedilatildeo medidas no sistema
Kalita e Kakoty (2004) destacam o meacutetodo de elementos finitos como o mais popular para
anaacutelise de vibraccedilatildeo de sistemas rotor-mancal Eacute estudado o comportamento dinacircmico de um
30
rotor apoiado em mancais hidrodinacircmicos onde usam-se elementos de viga de Timoshenko para
o eixo que inclui os efeitos de ineacutercia rotatoacuteria efeito giroscoacutepico amortecimento interno e
deformaccedilatildeo por cisalhamento O modelo tem 4 graus de liberdade dois deslocamentos
transversais e duas rotaccedilotildees Satildeo apresentados os diagramas de Campbell para diferentes valores
de coeficientes de forccedila dos mancais incluindo anaacutelise da influecircncia dos coeficientes de
amortecimento e de rigidez cruzada dos mancais nas velocidades de instabilidade Eacute mostrada
ainda a limitaccedilatildeo do uso da aproximaccedilatildeo de mancais curtos no caacutelculo dos coeficientes
dinacircmicos de mancais hidrodinacircmicos
Bode e Menezes (2005) apresentam uma anaacutelise dinacircmica de um sistema rotor-mancal pelo
meacutetodo de elementos finitos onde satildeo detalhadas todas etapas da modelagem do sistema O
eixo flexiacutevel eacute excitado por forccedilas de desbalanceamento e apoiado nas extremidades por mancais
hidrodinacircmicos cujas forccedilas de reaccedilatildeo satildeo produzidas pela pressatildeo dinacircmica do lubrificante Os
coeficientes de rigidez e de amortecimento dos mancais satildeo obtidos atraveacutes da soluccedilatildeo numeacuterica
da equaccedilatildeo de Reynolds Para modelar o eixo flexiacutevel eacute usada a teoria de vigas de Timoshenko
incluindo o efeito giroscoacutepico e de cisalhamento Adota-se o meacutetodo de elementos finitos com
elementos de viga com 4 graus de liberdade em cada noacute 2 deslocamentos e 2 velocidades As
equaccedilotildees de movimento satildeo obtidas pelas equaccedilotildees de Lagrange descrevendo o movimento em
dois planos A resposta no tempo eacute obtida pelo meacutetodo de Newmark (RAO 1995) integrando-se
numericamente as equaccedilotildees de movimento Os autores obtecircm uma soluccedilatildeo numeacuterica que
permite descrever as condiccedilotildees dinacircmicas de estabilidade do sistema rotor-mancal
Cheng et al (2008) investigam o comportamento dinacircmico natildeo-linear de um sistema rotor-
mancal-selo apresentando resultados em forma de trajetoacuterias mapas de Poincareacute expoentes de
Liapunov espectros de frequecircncia e diagramas de bifurcaccedilatildeo Satildeo destacadas as caracteriacutesticas
natildeo-lineares dos coeficientes de rigidez e de amortecimento de mancais hidrodinacircmicos e de
selos mecacircnicos Consideram-se mancais curtos Para o selo adota-se o modelo natildeo-linear de
Muszynska (1986) O modelo do rotor considera apenas a vibraccedilatildeo transversal desprezando a
vibraccedilatildeo torcional e o efeito giroscoacutepico sendo adotado o modelo de rotor de Jeffcott A soluccedilatildeo
numeacuterica eacute obtida atraveacutes do meacutetodo de Runge-Kutta de quarta ordem seguida de uma anaacutelise
graacutefica do comportamento natildeo-linear do sistema em funccedilatildeo da velocidade de rotaccedilatildeo da
excentricidade da folga no selo e da pressatildeo no selo Os autores enfatizam a modelagem do
selo mas simplificam muito o modelo do eixo O modelo dos mancais eacute limitado a mancais
curtos e a anaacutelise numeacuterica considera apenas um exemplo de mancal
31
Rezvani (2009) faz uma anaacutelise de um sistema rotor mancal com vaacuterios graus de liberdade e
apoios natildeo-lineares Satildeo modelados sistemas apoiados em mancais de rolamento e em suportes
amortecidos (squeeze film dampers) considerando o modelo de mancais curtos Satildeo mostrados
os efeitos do amortecimento e do efeito giroscoacutepico do sistema em sua estabilidade Elhibir
(2009) apresenta um modelo computacional de um alternador afixado em uma viga oca em
balanccedilo apoiada em uma extremidade por dois mancais de rolamento O modelo usa o meacutetodo
de elementos finitos com elementos soacutelidos tetraeacutedricos Eacute analisada a resposta desbalanceada
do sistema e obtidas as frequecircncias naturais e usada anaacutelise modal Satildeo apresentados diversos
resultados numeacutericos e imagens ilustrando as deformaccedilotildees do sistema em cada modo de
vibraccedilatildeo
Karlberg (2010) faz uma anaacutelise dinacircmica de maacutequinas rotativas apoiadas por mancais de
rolamento com folgas O trabalho se destaca pela forma detalhada como eacute analisada a influecircncia
das folgas dos mancais nos seus coeficientes de rigidez proacuteximo da posiccedilatildeo de equiliacutebrio Eacute
observado que as frequecircncias naturais reduzem significativamente com o aumento das folgas
Para o modelo do rotor eacute adotada a teoria de vigas de Bernoulli-Euler usado o modelo de
Jeffcott com disco riacutegido
22 Anaacutelise da estabilidade atraveacutes de problema de autovalor
A anaacutelise da estabilidade de sistemas rotor-mancal pode tambeacutem ser feita atraveacutes do problema
de autovalor Gupta (1974) apresenta uma anaacutelise baseada no problema de autovalores
aplicando equaccedilotildees que consideram o efeito giroscoacutepico amortecido do sistema A formulaccedilatildeo
do problema de autovalor associados a sistemas giroscoacutepicos amortecidos eacute de grande
importacircncia para a determinaccedilatildeo de velocidades criacuteticas e para a anaacutelise de sensibilidade de
paracircmetros em maacutequinas rotativas (PLAUT e HUSEYIN 1972 MEIROVITCH e
RYLAND 1979 LUND 1980 PALAZZOLO et al 1983 RAJAN et al 1986 FARIA e
BARCELLOS 1991 EHRICH 1992 LUND 1994) A equaccedilatildeo do sistema rotor-mancal
flexiacutevel com efeito giroscoacutepico amortecido eacute reescrita na forma de variaacuteveis de estado
(MEIROVITCH1974 MEIROVITCH1980 CHILDS e GRAVISS1982) para a determinaccedilatildeo
dos autovalores complexos
Rao et al (1996) analisam a estabilidade e os autovalores de sistemas rotor-mancal usando a
teacutecnica de elementos finitos e considerando coeficientes distribuiacutedos de forccedila e de
32
amortecimento nos mancais Satildeo consideradas distribuiccedilotildees uniformes e paraboacutelicas para
diferentes tipos de mancais hidrodinacircmicos Os coeficientes distribuiacutedos satildeo obtidos atraveacutes de
uma metodologia que usa o princiacutepio do trabalho virtual (CRAGGS 1993 TAYLOR e
CRAGGS 1994) mas que considera apenas uma distribuiccedilatildeo uniforme ao longo da largura e do
comprimento do mancal Esta consideraccedilatildeo eacute vaacutelida quando o mancal eacute razoavelmente longo
Poreacutem quando eacute curto eacute vaacutelido considerar a distribuiccedilatildeo paraboacutelica (RAO et al1996) Assim
o mesmo princiacutepio do trabalho virtual eacute aplicado desta vez para se obterem as matrizes de
elementos finitos dos coeficientes de forccedila com distribuiccedilatildeo paraboacutelica Estas matrizes satildeo
incluiacutedas nas matrizes do sistema rotor-mancal obtendo-se a equaccedilatildeo de movimento do sistema
em forma matricial
A modelagem do rotor eacute feita usando-se elementos de viga finitos como propostos por Nelson e
McVaugh (1976) incluindo-se o efeito giroscoacutepico e o amortecimento interno Os resultados
satildeo analisados comparando-se os autovalores e frequecircncias naturais do sistema com coeficientes
de rigidez e de amortecimento distribuiacutedos agravequeles obtidos considerando-se os coeficientes de
forccedila concentrados para mancais isotroacutepicos com razatildeo LD=05 e LD=10 Observa-se que
para mancais longos quando os coeficientes de rigidez satildeo baixos (104 a 10
7 Nm) a diferenccedila
entre os resultados para os modelos de coeficientes distribuiacutedos e concentrados eacute despreziacutevel e
entre os modelos de coeficientes distribuiacutedos uniformemente e paraboacutelico tambeacutem eacute pequena
Percebe-se um aumento nas frequecircncias naturais para o modelo de coeficientes distribuiacutedos
somente para valores mais elevados de rigidez Por fim os autores analisam a estabilidade do
sistema rotativo para diferentes tipos de mancais hidrodinacircmicos cujos coeficientes de forccedila satildeo
obtidos de Lund e Thomsen (1978) Conclui-se que as regiotildees de estabilidade mudam entre as
duas formulaccedilotildees O modelo de coeficientes distribuiacutedos fornece regiotildees de estabilidade mais
amplas quando comparado com o modelo de coeficientes concentrados Desta forma o modelo
concentrado eacute mais conservativo do ponto de vista de estabilidade e o modelo distribuiacutedo eacute
mais preciso
Santana (2009) apresenta a anaacutelise da resposta complexa de um sistema rotor-mancais-fundaccedilatildeo
onde estuda a influecircncia do grau de anisotropia dos mancais e da estrutura de suporte na resposta
do modo retroacutegrado de precessatildeo Eacute formulado tambeacutem um problema de autovalores poreacutem
associado agrave anaacutelise modal adaptada para sistemas rotativos (NORDMANN 1982) A anaacutelise dos
modos de vibraccedilatildeo associados ao eixo rotativo e aos mancais de apoio fornece importantes
dados para o desenvolvimento de meacutetodos computacionais de anaacutelise de vibraccedilatildeo teacutecnicas de
33
balanceamento e de monitoramento de maacutequinas de alta rotaccedilatildeo (BUSSE et al 1980 BOEDO e
BOOKER 1997) O mesmo problema pode ainda incluir as propriedades dissipativas do sistema
(MEIROVITCH e RYLAND 1979 PALAZZOLO et al 1983 FARIA e BARCELLOS 1991)
23 Mancais hidrodinacircmicos
A literatura apresenta diversos estudos sobre o caacutelculo dos coeficientes de forccedila nos mancais
hidrodinacircmicos Ocvirk (1952) propocircs a soluccedilatildeo da equaccedilatildeo de Reynolds para mancais curtos
desprezando o gradiente circunferencial de pressatildeo Pinkus (1987) faz uma revisatildeo histoacuterica da
teoria de lubrificaccedilatildeo hidrodinacircmica e da aplicaccedilatildeo da equaccedilatildeo de Reynolds em tribologia desde
suas origens ateacute o estado atual Lund (1978 1987) faz uma revisatildeo do conceito de coeficientes
dinacircmicos e aplica o meacutetodo de perturbaccedilatildeo infinitesimal em torno da posiccedilatildeo de equiliacutebrio
para calcular os coeficientes de rigidez e de amortecimento de mancais hidrodinacircmicos Lund
(1987) acrescenta que esta perturbaccedilatildeo em torno da posiccedilatildeo de equiliacutebrio eacute vaacutelida para ateacute 40
da folga do mancal
Childs (1993) e Vance (1988) apresentam em seus livros diferentes modelos de mancais
hidrodinacircmicos e obtecircm os valores dos seus coeficientes dinacircmicos Os coeficientes satildeo obtidos
a partir de caacutelculos em torno da posiccedilatildeo de equiliacutebrio do eixo no mancal Rajalingham e Prabhu
(1987) analisam a influecircncia da temperatura nas caracteriacutesticas fiacutesicas dos mancais
hidrodinacircmicos e concluem que a variaccedilatildeo da temperatura do oacuteleo na direccedilatildeo axial pode ser
desprezada sem afetar a precisatildeo dos resultados hidrodinacircmicos para o filme de oacuteleo
Choy et al (1991) calculam os coeficientes de rigidez natildeo-lineares dos mancais para
perturbaccedilotildees de deslocamento em vaacuterios locais em torno da posiccedilatildeo de equiliacutebrio Eles mostram
que para deslocamentos distantes da posiccedilatildeo de equiliacutebrio a natildeo-linearidade das forccedilas do filme
fluido eacute significante e pode ser modelada por coeficientes de forccedila e de amortecimento de
ordem superior Choy et al (1992) analisam o efeito natildeo-linear no comportamento dinacircmico de
mancais hidrodinacircmicos quando sujeitos a diversas condiccedilotildees operacionais tais como alta e
baixa excentricidade altas velocidades desalinhamento
Zhang e Luo (1991) utilizam teacutecnicas de ajuste de curvas usando dados experimentais da
resposta em frequecircncia para identificaccedilatildeo dos coeficientes de rigidez e amortecimento de
mancais hidrodinacircmicos Capone et al (1994) propotildeem uma soluccedilatildeo analiacutetica aproximada para
34
a distribuiccedilatildeo de pressatildeo do filme de oacuteleo em um mancal de comprimento finito Satildeo
apresentadas aproximaccedilotildees de primeira e segunda ordem com diversas relaccedilotildees de largura e
diacircmetros sendo que o modelo de segunda ordem mostra uma boa aproximaccedilatildeo em relaccedilatildeo o
modelo de mancal finito calculado numericamente
Qiu e Tieu (1996) calculam os coeficientes dinacircmicos em diferentes valores de perturbaccedilatildeo Eles
concluem que as perturbaccedilotildees nas velocidades e deslocamentos devem estar entre 5 e 4
respectivamente para se garantir uma diferenccedila de 25 entre os valores de coeficientes obtidos
pelos meacutetodos de perturbaccedilatildeo finita e infinita Furukawa et al (1996) estudam os coeficientes de
forccedila nos mancais hidrodinacircmicos e concluem que a natildeo linearidade do filme fluido produz
grandes diferenccedilas entre os valores calculados e os medidos experimentalmente em especial na
regiatildeo de alta excentricidade Chu et al (1998) analisam a natildeo-linearidade do filme fluido e
observam que os coeficientes lineares dos mancais hidrodinacircmicos modelados satildeo vaacutelidos para
perturbaccedilotildees de deslocamento da ordem de 006
Bachschmid e Vania (2002) observam vibraccedilotildees em uma frequecircncia duas vezes maior que a
rotaccedilatildeo da maacutequina na presenccedila de efeitos natildeo-lineares em mancais hidrodinacircmicos Os autores
destacam a importacircncia de se monitorar o segundo harmocircnico para se diagnosticarem falhas em
turbo-maacutequinas Sawicki e Rao (2004) analisam o caraacuteter natildeo-linear dos coeficientes de forccedila de
mancais hidrodinacircmicos para diferentes nuacutemeros de Sommerfeld (SOMMERFELD 1904) e
razotildees de esbeltez do mancal LD Satildeo apresentadas as diferentes formas de se aplicar o meacutetodo
de perturbaccedilatildeo para a obtenccedilatildeo dos coeficientes de forccedila lineares e natildeo-lineares Os autores
destacam ainda que os coeficientes de forccedila lineares apresentam precisatildeo aceitaacutevel ateacute uma
excentricidade de 04 vezes o valor da folga do mancal (LUND 1987) Hirani (2005) aplica
teacutecnicas de algoritmos geneacuteticos na modelagem de lubrificaccedilatildeo hidrodinacircmica para o projeto
otimizado de mancais
Couto (2006) faz um estudo teoacuterico-experimental que investiga o comportamento de mancais
radiais hidrodinacircmicos sujeitos a carregamentos estaacuteticos dinacircmicos e a desalinhamentos Eacute
aplicado o meacutetodo de volumes finitos para a integraccedilatildeo da equaccedilatildeo de Reynolds que governa o
problema de lubrificaccedilatildeo Faria et al (2006) apresentam um procedimento baseado no meacutetodo
de elementos finitos para a soluccedilatildeo das equaccedilotildees de lubrificaccedilatildeo em mancais radiais ciliacutendricos
hidrodinacircmicos obtidas a partir da equaccedilatildeo claacutessica de Reynolds Os resultados mostram as
limitaccedilotildees da aplicabilidade da teoria de mancais curtos especialmente quando operam com
35
grandes excentricidades Mostram-se tambeacutem os limites da aplicaccedilatildeo da teoria de mancais
longos (HAMROCK 1994) onde LD=2
Yan et al (2010) apresentam um modelo analiacutetico e um meacutetodo de caacutelculo dos coeficientes de
rigidez e de amortecimento de mancais hidrodinacircmicos de sapata moacutevel e fazem uma
comparaccedilatildeo com resultados experimentais da literatura (KOSTRZEWSKY e FLACK 1990)
Seu modelo inclui um rotor riacutegido simeacutetrico apoiado em dois mancais de sapata moacutevel idecircnticos
de cinco sapatas cada Eacute usado o meacutetodo de NewtonndashRaphson para se calcular a posiccedilatildeo de
equiliacutebrio do eixo e das paacutes Apresenta-se tambeacutem um modelo reduzido que se mostra eficiente
para o caacutelculo dos coeficientes dinacircmicos mas que natildeo apresenta bons resultados para a anaacutelise
de estabilidade e das frequecircncias naturais amortecidas Observa-se nos resultados que o
momento de ineacutercia das paacutes a velocidade e o fator de preacute-carga tecircm grande influecircncia na
estabilidade do sistema e que a faixa de operaccedilatildeo estaacutevel pode ser aumentada ao se aumentar o
fator de preacute-carga
24 Sistemas rotativos com elementos adicionais
A anaacutelise de estabilidade de sistemas mancal-rotor eacute bastante variada na literatura especializada
Eacute comum encontrar trabalhos cuja originalidade recai na inclusatildeo de alguns paracircmetros ou
elementos especiacuteficos no conjunto como mancais hiacutebridos mancais de materiais viscoelaacutesticos
acoplamentos selos mecacircnicos
Um trabalho a destacar sobre a anaacutelise de estabilidade do sistema rotor-mancal de mancais
hiacutebridos eacute o de Gomez-Mancilla et al (2005) onde eacute modelado um sistema composto por um
rotor de Jeffcott apoiado em mancais hidrodinacircmicos ciliacutendricos hiacutebridos Satildeo considerados
ambos modelos riacutegido e flexiacutevel de Jeffcott e comparados os niacuteveis de vibraccedilatildeo e a estabilidade
do sistema quando sujeito a diferentes niacuteveis de pressatildeo de alimentaccedilatildeo do lubrificante nos
mancais Os autores mostram como se pode melhorar a estabilidade do sistema com o aumento
da pressatildeo de alimentaccedilatildeo provocando uma reduccedilatildeo no acircngulo de posiccedilatildeo e um aumento da
excentricidade nos sistemas modelados que inclui mancais hidrodinacircmicos longos ciliacutendricos
Este efeito tambeacutem favorece a faixa de operaccedilatildeo estaacutevel do sistema elevando a velocidade
limite de operaccedilatildeo estaacutevel (threshold speed of instability) Os resultados obtidos mostram que o
efeito da pressatildeo de alimentaccedilatildeo nos mancais na estabilidade do sistema eacute consideraacutevel para
36
rotores riacutegidos ou com elevada rigidez Agrave medida em que a rigidez reduz natildeo se percebe muita
variaccedilatildeo na estabilidade com o aumento da pressatildeo de alimentaccedilatildeo Outro resultado importante
deste trabalho eacute que o aumento da pressatildeo de alimentaccedilatildeo do lubrificante natildeo eacute interessante
quando o sistema estaacute cruzando uma velocidade criacutetica Apenas em casos particulares eacute possiacutevel
obter alguma reduccedilatildeo na amplitude de vibraccedilatildeo e mesmo assim quando a velocidade de
operaccedilatildeo estiver fora da faixa de velocidades criacuteticas Portanto um sistema de controle ativo de
pressatildeo eacute recomendado para se obter os melhores resultados em funccedilatildeo dos paracircmetros
operacionais do sistema rotativo Comenta-se tambeacutem que outros modelos de mancais como os
eliacutepticos de muacuteltiplos loacutebulos de sapata moacutevel satildeo intrinsecamente mais estaacuteveis do que os
mancais ciliacutendricos analisados no trabalho
A anaacutelise de estabilidade do sistema com mancais de materiais viscoelaacutesticos eacute apresentada em
Espiacutendola e Floody (1999) Saldarriaga (2007) e Bavastri et al(2008) Tapia e Cavalca (2002) e
Tadeo (2003) analisam os efeitos de alguns modelos de acoplamentos flexiacuteveis e riacutegidos
inserindo-os em modelos de elementos finitos do sistema rotativos Al-Hussain (2003) analisa o
efeito do desalinhamento angular na estabilidade de dois rotores riacutegidos ligados por um
acoplamento flexiacutevel O modelo contempla ainda um disco riacutegido em cada rotor que se apoacuteia
em mancais hidrodinacircmicos O autor apresenta as regiotildees de estabilidade do sistema e sua
relaccedilatildeo com a rigidez do acoplamento e com o acircngulo de desalinhamento
Wang et al (2010) fazem uma anaacutelise de um compressor centriacutefugo de alta velocidade com
mancais hidrodinacircmicos a ar com selo mecacircnico de labirinto Eacute usado o modelo de rotor riacutegido
de Jeffcott para modelar o eixo e o disco que representam o compressor aleacutem do modelo de
Muszynska (1986) para as forccedilas do selo
Faria e Miranda (2012) apresentam um procedimento de elementos finitos aplicado na anaacutelise
dos paracircmetros de desempenho de selos a gaacutes Lavainne (2003) e Vincent (2003) fazem uma
anaacutelise determiniacutestica e probabiliacutestica da sensibilidade de desempenho de um compressor agraves
variaccedilotildees geomeacutetricas das suas paacutes Ambos apresentam os resultados em termos de alteraccedilotildees na
eficiecircncia de compressatildeo do equipamento
Lazarus et al (2010) fazem uma anaacutelise dinacircmica da vibraccedilatildeo em maacutequinas rotativas
assimeacutetricas utilizando elementos finitos tridimensionais (3D) baseando-se na teoria modal
Satildeo incluiacutedos no modelo um estator e um acoplamento permitindo uma anaacutelise detalhada da
estabilidade do sistema e sua relaccedilatildeo com os autovalores Os resultados teoacutericos satildeo comparados
37
com mediccedilotildees experimentais realizadas em uma bancada de testes com um rotor assimeacutetrico
apoiado em mancais anisotroacutepicos
25 Mancais eliacutepticos
A literatura apresenta diversos trabalhos sobre modelagem de mancais ciliacutendricos mas haacute
poucos trabalhos que investigam detalhadamente os mancais eliacutepticos (SINGH e GUPTA1982)
As primeiras publicaccedilotildees sobre mancais eliacutepticos que se destacam satildeo Pinkus (1956 1956b)
onde o autor apresenta uma anaacutelise detalhada sobre mancais eliacutepticos incluindo paracircmetros
como capacidade de carga coeficiente de atrito e vazatildeo para diferentes valores de
excentricidade fator de carga e razatildeo LD Outro trabalho importante na eacutepoca foi apresentado
por Wilcock (1961) que analisa vaacuterios tipos de mancais deslocados ortogonalmente incluindo
mancais eliacutepticos Seu trabalho eacute limitado pelo fato de natildeo terem sido considerados os
coeficientes de amortecimento
Sternlicht (1964) apresenta uma anaacutelise de regime permanente para mancais eliacutepticos usando
coeficientes de rigidez e de amortecimento de mancais eliacutepticos com fatores geomeacutetricos
variados Middleton (1973) apresenta diagramas de capacidade de carga acircngulo de atitude e
coeficientes de rigidez e de amortecimento para mancais eliacutepticos com fatores de 06 e LD=05
Singh (1978) faz uma anaacutelise estaacutetica e dinacircmica de mancais eliacutepticos com LD=1 considerando
rotores riacutegidos e flexiacuteveis Kumar et al (1980) apresentam dados detalhados para o projeto de
mancais hidrodinacircmicos eliacutepticos (dois loacutebulos) Eacute usado o meacutetodo de perturbaccedilatildeo linear para o
caacutelculo dos coeficientes do mancal aplicando-se a equaccedilatildeo de Reynolds para filme fluido com
algumas simplificaccedilotildees nas condiccedilotildees de contorno Satildeo apresentados resultados para os
coeficientes de rigidez e de amortecimento do mancal aleacutem de dados sobre paracircmetro de atrito
de aumento de temperatura e regiatildeo de equiliacutebrio
Singh e Gupta (1982) apresentam um estudo analiacutetico dos efeitos do fator de carga da razatildeo LD
e da flexibilidade do eixo nos limites de estabilidade de mancais eliacutepticos e destacam que os
mancais eliacutepticos satildeo adequados para rotores riacutegidos e moderadamente flexiacuteveis Neste trabalho
os autores aplicam a equaccedilatildeo de Reynolds a cada loacutebulo do mancal eliacuteptico e resolvem a
equaccedilatildeo separadamente por loacutebulo usando o meacutetodo de diferenccedilas finitas Os resultados satildeo
vaacutelidos para mancais alinhados onde o perfil de pressotildees eacute simeacutetrico Satildeo levados em
38
consideraccedilatildeo todos os coeficientes de forccedila dos mancais isto eacute os coeficientes de rigidez e de
amortecimento incluindo os coeficientes cruzados
Zhang et al (1999) analisam os efeitos da natildeo-linearidade das forccedilas do filme fluido na resposta
desbalanceada de um rotor de Jeffcott apoiado em mancais eliacutepticos Eacute destacado o caraacuteter natildeo-
linear das forccedilas do filme fluido Os autores comparam os resultados da resposta desbalanceada
gerada pela teoria linear e natildeo-linear para avaliar a aplicabilidade da teoria linear Observa-se a
grande influecircncia do desbalanceamento nos resultados comparados mostrando a importacircncia de
se considerar as natildeo-linearidades quando o desbalanceamento do sistema eacute elevado
Nas uacuteltimas deacutecadas tem-se publicado pouco sobre mancais eliacutepticos e os trabalhos recentes que
merecem destaque satildeo comentados a seguir
Shen et al(2006) apresentam um modelo raacutepido e preciso que calcula as forccedilas de um mancal
hidrodinacircmico usando o meacutetodo variacional O modelo analisa o comportamento dinacircmico natildeo-
linear de um rotor riacutegido apoiado em mancais eliacutepticos considerando tanto o rotor balanceado
como o natildeo-balanceado Os autores fazem uma revisatildeo histoacuterica dos trabalhos que investigam
este caraacuteter aperioacutedico e caoacutetico da vibraccedilatildeo em sistemas dinacircmicos de alta rotaccedilatildeo onde se
comenta ainda que os coeficientes dinacircmicos lineares trazem informaccedilotildees de estabilidade
vaacutelidas apenas para rotores balanceados Satildeo destacados os meacutetodos numeacutericos de elementos
finitos e de diferenccedilas finitas como os mais precisos mas ao mesmo tempo os que mais exigem
recursos computacionais e tempo de processamento Desta forma os autores propotildeem um novo
modelo numeacuterico para calcular as forccedilas do filme fluido para investigar a dinacircmica natildeo-linear
de um sistema rotor-mancal O mancal modelado eacute formado por dois loacutebulos de 150deg cada e
considera-se apenas o movimento radial do rotor O novo modelo proposto baseia-se na teoria
variacional (ROHDE e MALLISTER 1975) gerando um problema de minimizaccedilatildeo de energia
o que reduz o problema bidimensional para unidimensional reduzindo consideravelmente o
custo computacional Como as forccedilas do filme fluido satildeo calculadas para cada loacutebulo o meacutetodo
proposto eacute eficiente tanto para mancais ciliacutendricos quanto para mancais de vaacuterios loacutebulos
incluindo os mancais eliacutepticos O meacutetodo eacute vaacutelido natildeo apenas para mancais curtos e longos mas
tambeacutem para mancais finitos Satildeo apresentados resultados numeacutericos e graacuteficos que mostram
oacuterbitas ciclos limites diagramas de bifurcaccedilatildeo (HOLLIS e TAYLOR 1986) e mapas de
Poincareacute
39
Yan-Jun et al(2006) analisam o comportamento dinacircmico natildeo-linear de um rotor apoiado em
mancais hidrodinacircmicos finitos incluindo mancais eliacutepticos Para o caacutelculo dos coeficientes de
forccedila dos mancais usa-se o meacutetodo de elementos finitos com uma abordagem variacional que
permite reduzir o custo computacional e melhorar a exatidatildeo numeacuterica do meacutetodo segundo os
autores Satildeo considerados os efeitos natildeo-lineares das forccedilas produzidas pelo filme fluido e sua
influecircncia na natildeo-linearidade do movimento do sistema Aplica-se o meacutetodo de prediccedilatildeo e
correccedilatildeo juntamente com o meacutetodo de Newton-Raphson para se calcular a posiccedilatildeo de equiliacutebrio
e as velocidades criacuteticas A limitaccedilatildeo do modelo estaacute na consideraccedilatildeo de eixo riacutegido e sua
modelagem natildeo eacute detalhada pelos autores
Correia (2007) apresenta uma anaacutelise de desempenho de mancais hidrodinacircmicos eliacutepticos
usando o meacutetodo de elementos finitos Satildeo obtidos os coeficientes de rigidez e de
amortecimento para diversas condiccedilotildees de trabalho aleacutem de obter curvas de caracteriacutesticas de
desempenho estaacutetico e dinacircmico tais como capacidade de carga e coeficientes dinacircmicos de
forccedila em funccedilatildeo de paracircmetros operacionais e do nuacutemero de Sommerfeld O autor destaca que
para um nuacutemero de Sommerfeld alto os mancais ciliacutendricos satildeo inadequados
Raghunandana (2007) propotildee um meacutetodo inverso para se calcular os coeficientes de forccedila e de
amortecimento de mancais eliacutepticos a partir de um banco de dados gerado para uma certa razatildeo
de excentricidade e eacute feito um ajuste de curva para gerar uma funccedilatildeo contiacutenua destes dados Eacute
apresentada a equaccedilatildeo de Reynolds modificada (DIEN e ELROD 1983) que considera a
variaccedilatildeo da viscosidade do fluido em funccedilatildeo da pressatildeo isto eacute fluido natildeo-newtoniano A
equaccedilatildeo eacute adimensionalizada e resolvida numericamente usando o meacutetodo de diferenccedilas finitas
considerando o regime permanente e condiccedilotildees de contorno simplificadoras
40
3 METODOLOGIA
Nesse capiacutetulo eacute apresentada a metodologia adotada na implementaccedilatildeo do procedimento
computacional que permite obter os resultados do comportamento dinacircmico de sistemas rotor-
mancal hidrodinacircmico Inicialmente apresenta-se a formulaccedilatildeo por elementos finitos do eixo
rotativo utilizando-se a teoria de vigas de Timoshenko Em seguida eacute apresentada a descriccedilatildeo
do problema de mancal hidrodinacircmico radial eliacuteptico e as equaccedilotildees de lubrificaccedilatildeo da Teoria da
Lubrificaccedilatildeo que permitem obter a formulaccedilatildeo por elementos finitos dos coeficientes de forccedila
destes mancais Posteriormente eacute descrito o procedimento para se modelar o sistema rotor-
mancal hidrodinacircmico por elementos finitos obtendo-se a equaccedilatildeo do movimento Apresenta-se
o meacutetodo numeacuterico de integraccedilatildeo no tempo adotado para se obter a soluccedilatildeo numeacuterica da
equaccedilatildeo do movimento do sistema Finalmente eacute apresentado um diagrama descrevendo as
principais etapas do procedimento computacional completo
O modelo do sistema rotor-mancal eacute ilustrado esquematicamente na Figura 31 onde observa-se
um eixo circular flexiacutevel apoiado nas extremidades e com um disco massivo acoplado Os
apoios satildeo representados pelos coeficientes de rigidez K e de amortecimento C dos mancais
Figura 31 ndash Sistema rotor-mancal
Os modelos adotados para o rotor flexiacutevel e para os mancais hidrodinacircmicos ciliacutendricos e
41
eliacutepticos satildeo baseados em teorias que apresentam algumas hipoacuteteses simplificadoras Estas
hipoacuteteses satildeo listadas a seguir
i) Modelo do Eixo flexiacutevel
natildeo inclui efeitos de torccedilatildeo ou de amortecimento interno
considera o eixo homogecircneo isotroacutepico e inicialmente alinhado
carregamento transversal sem carga axial
desconsiderado o movimento axial das seccedilotildees transversais
ii) Modelo do disco massivo
considera o disco riacutegido e homogecircneo
a linha de centro do disco coincide com a linha de centro do eixo (condiccedilatildeo inicial)
iii) Modelo dos mancais hidrodinacircmicos
considera mancais de geometria fixa com perfil ciliacutendrico ou eliacuteptico
a linha de centro coincide com a linha de centro do eixo (condiccedilatildeo inicial)
Filme fluido
- escoamento em regime laminar bidimensional nas direccedilotildees axial e circunferencial
- fluido newtoniano isoteacutermico isoviscoso incompressiacutevel
- desconsiderada a ineacutercia do fluido
iv) Modelo do sistema rotor-mancal
Desconsiderados os efeitos de vibraccedilatildeo provocados por desalinhamento de montagem
folgas roccedilamento rompimento do filme fluido cavitaccedilatildeo
31 Modelagem do Rotor Flexiacutevel
O modelo do rotor flexiacutevel implementado neste trabalho adota o meacutetodo de elementos finitos
(MEF) atraveacutes de elementos de eixo (NELSON 1980) de Timoshenko Nelson (1980) utiliza a
teoria de vigas de Timoshenko para obter as equaccedilotildees de equiliacutebrio para um eixo circular
flexiacutevel suportado em apoios elaacutesticos considerando o efeito do cisalhamento momento
giroscoacutepico e ineacutercia rotatoacuteria Os detalhes sobre a teoria de vigas de Euler-Bernoulli Rayleigh
e Timoshenko satildeo apresentados no Anexo A O desenvolvimento da formulaccedilatildeo atraveacutes de
42
elementos finitos eacute apresentado a seguir e as matrizes de elementos finitos obtidas por esta
formulaccedilatildeo satildeo listadas no Anexo C Considere um elemento finito de comprimento l com oito
graus de liberdade (Figura 32)
Figura 32 ndash Representaccedilatildeo de um elemento finito do eixo
A variaacutevel q representa o vetor deslocamento generalizado onde q1 e q2 representam o
movimento de translaccedilatildeo de um noacute do elemento finito nas direccedilotildees dos eixos de coordenadas
retangulares enquanto q3 e q4 representam as rotaccedilotildees em torno dos eixos de coordenadas As
demais componentes satildeo anaacutelogas representando os mesmos movimentos para o noacute oposto
Para representar a translaccedilatildeo e a rotaccedilatildeo de uma seccedilatildeo qualquer do elemento definem-se (VW)
como o deslocamento linear do centro da seccedilatildeo do elemento onde satildeo incluiacutedas as contribuiccedilotildees
da flexatildeo (Vf Wf) e do cisalhamento (VcWc) Aplicam-se funccedilotildees de interpolaccedilatildeo claacutessicas para
vigas de Timoshenko na flexatildeo (ANEXO B)
onde
43
e as funccedilotildees de interpolaccedilatildeo i=1234 representam os modos de deslocamentos sendo
que cada funccedilatildeo estaacute associada ao deslocamento unitaacuterio de uma das coordenadas com todas as
demais coordenadas com deslocamento restringido a zero [D] e [E] representam as matrizes das
funccedilotildees de interpolaccedilatildeo de deslocamentos lineares e de deslocamentos angulares
respectivamente Para se considerar os efeitos de cisalhamento transversal considera-se o eixo
com seccedilatildeo transversal circular e o fator de forma do cisalhamento transversal meacutedio pode ser
determinado pela expressatildeo (COUPER 1966)
onde eacute o coeficiente de Poisson
Aplicando-se o Princiacutepio de Hamilton obteacutem-se as equaccedilotildees do movimento de um elemento
finito do eixo Fazendo-se a primeira variaccedilatildeo funcional
onde T V e representam respectivamente a energia cineacutetica a energia potencial elaacutestica e o
trabalho das forccedilas externas obeacutem-se a relaccedilatildeo
A energia cineacutetica do elemento considera as parcelas de translaccedilatildeo e de rotaccedilatildeo do movimento
onde l eacute o comprimento do elemento M representa a massa por unidade de comprimento Idm eacute o
momento diametral meacutedio de ineacutercia de massa por unidade de comprimento Ip eacute o momento
polar de ineacutercia por unidade de comprimento eacute a velocidade de rotaccedilatildeo do rotor
A energia de deformaccedilatildeo elaacutestica devido agrave flexatildeo e ao cisalhamento eacute descrita como
44
onde Vf e Wf satildeo as contribuiccedilotildees da flexatildeo no deslocamento linear do centro da seccedilatildeo
transversal do elemento Vc e Wc satildeo as contribuiccedilotildees do cisalhamento neste deslocamento Kx
e Ky satildeo os coeficientes de cisalhamento E e G satildeo os moacutedulos de elasticidade longitudinal e
transversal Iy e Iz satildeo os momentos de ineacutercia de aacuterea A eacute a aacuterea da seccedilatildeo transversal O sinal
de apoacutestrofo indica diferenciaccedilatildeo em relaccedilatildeo agrave posiccedilatildeo
As equaccedilotildees do movimento satildeo obtidas pelo Princiacutepio de Hamilton atraveacutes da relaccedilatildeo
onde
eacute o trabalho virtual das forccedilas externas e Fe eacute o vetor forccedila generalizada
Substituindo-se as funccedilotildees de interpolaccedilatildeo (ANEXO B) nas expressotildees da energia de
deformaccedilatildeo elaacutestica e de energia cineacutetica do elemento leva agraves matrizes de elementos finitos
(ANEXO C) Uma vez obtidas as matrizes do sistema a equaccedilatildeo do movimento obtida pela
aplicaccedilatildeo do Princiacutepio de Hamilton teraacute a forma
onde [Me] [N
e] [G
e] satildeo as matrizes locais da ineacutercia de translaccedilatildeo rotaccedilatildeo e de efeito
giroscoacutepico respectivamente Para o modelo do rotor flexiacutevel composto pelo eixo flexiacutevel e o
disco massivo riacutegido (Figura 31) basta usar as propriedades geomeacutetricas do disco nas matrizes
de ineacutercia [Me] e [N
e] e de efeito giroscoacutepico [G
e] no elemento correspondente agrave posiccedilatildeo do
disco no rotor
32 Modelagem do Mancal Radial Eliacuteptico
A Figura 33 apresenta de maneira esquemaacutetica um mancal hidrodinacircmico eliacuteptico e seus
paracircmetros geomeacutetricos
45
Figura 33 ndash Desenho esquemaacutetico do mancal eliacuteptico e seus paracircmetros geomeacutetricos
O munhatildeo eacute a parte rotativa do mancal normalmente corresponde ao proacuteprio eixo no trecho
apoiado no mancal O tamanho do mancal eacute definido pelo comprimento L e pelo diacircmetro D O
centro do munhatildeo estaacute na interseccedilatildeo das linhas traccedilo-ponto e o centro do mancal estaacute na
interseccedilatildeo das linhas pontilhadas A excentricidade do mancal eacute definida como a distacircncia entre
o centro do mancal e o centro do munhatildeo representada por e A folga radial do mancal definida
como a diferenccedila entre o raio do mancal e o raio do munhatildeo eacute representada por c (Figura 34) A
razatildeo de excentricidade eacute o adimensional definido como podendo variar de zero a um
O acircngulo de posiccedilatildeo do mancal pode ser calculado pela expressatildeo onde
Fy e Fx satildeo respectivamente as componentes vertical e horizontal da forccedila de reaccedilatildeo F do
mancal gerada pela accedilatildeo hidrodinacircmica do filme fluido O mancal radial de perfil eliacuteptico ou
―mancal eliacuteptico possui um perfil formado por dois arcos de circunferecircncia chamados de
loacutebulos que natildeo satildeo concecircntricos (Figura 34) Nesta figura o centro geomeacutetrico dos loacutebulos
(ponto OL) estaacute posicionado sobre o centro geomeacutetrico do eixo (ponto O) o que a difere
basicamente da Figura 33 onde o centro do eixo estaacute deslocado como ocorre quando o eixo
estaacute girando e se desloca para uma posiccedilatildeo de equiliacutebrio R representa o raio menor do mancal
Re representa o raio do munhatildeo ou raio do eixo RL representa o raio do loacutebulo do mancal ou
sejao raio de cada loacutebulo que compotildee o mancal eliacuteptico
A preacute-carga (Mp) do mancal eliacuteptico indica o grau de ―elipsidade do mancal e eacute dada pela
46
expressatildeo Mp=(Cb ndash c)c O caso particular onde Mp=0 representa o mancal ciliacutendrico
Figura 34 - Desenho esquemaacutetico do perfil de um mancal radial eliacuteptico
A Figura 35 mostra o campo de pressatildeo no mancal hidrodinacircmico ciliacutendrico girando no sentido
anti-horaacuterio Percebe-se que as maiores pressotildees satildeo formadas na regiatildeo inferior ligeiramente
deslocadas para a direita para sustentar a carga do eixo representada por W A distacircncia miacutenima
entre o eixo e o mancal eacute representada por ho
Figura 35 - Distribuiccedilatildeo da pressatildeo hidrodinacircmica no mancal ciliacutendrico (LANG e STEINHILPER 1978)
47
Na Figura 36 eacute representado o mesmo campo de pressatildeo poreacutem para o mancal de perfil
eliacuteptico Observa-se que haacute a formaccedilatildeo do campo de pressatildeo tambeacutem na metade superior do
mancal que embora tenha um valor relativamente pequeno se comparado com o campo gerado
na parte inferior ajuda no equiliacutebrio hidrodinacircmico (CORREIA 2007) A accedilatildeo dos dois campos
de pressatildeo dos mancais eliacutepticos aumenta a rigidez melhora o amortecimento e reduz o
aquecimento do lubrificante de maneira mais eficiente do que nos mancais ciliacutendricos
(SEHGAL 2010)
Figura 36 - Distribuiccedilatildeo da pressatildeo hidrodinacircmica no mancal eliacuteptico (Adaptado de CORREIA 2007)
321 Equaccedilotildees de Lubrificaccedilatildeo
A equaccedilatildeo claacutessica de Reynolds que descreve o escoamento de um filme fluido incompressiacutevel
isoteacutermico e isoviscoso pode ser escrita no sistema de coordenadas ciliacutendricas da seguinte forma
(HAMROCK 1994)
t
hh
R
U
z
ph
z
ph
R
LLLL )()(
2
1
12
sup3
12
sup3
sup2
1 (31)
onde
48
R = raio do eixo
p = pressatildeo hidrodinacircmica
= massa especiacutefica do lubrificante
h = espessura do filme fluido
= viscosidade absoluta do lubrificante
U = velocidade superficial do eixo (U = ωR)
O domiacutenio do escoamento do filme fluido eacute descrito por 0 le θ le 2π e -L2 le z le L2 A
distribuiccedilatildeo de pressatildeo hidrodinacircmica eacute perioacutedica ao longo da direccedilatildeo circunferencial p(θ z t)=
p(θ + 2π z t) As laterais do mancal estatildeo agrave pressatildeo atmosfeacuterica pa p(θ L2 t)=p(θ -L2t)= pa
A condiccedilatildeo de Meio Sommerfeld eacute utilizada no caacutelculo do campo de pressatildeo do mancal
ciliacutendrico (HAMROCK 1994) onde usa-se somente do intervalo de 0 le θ le π concentrando-se
a anaacutelise da pressatildeo na regiatildeo convergente ou seja natildeo considerando a aacuterea de cavitaccedilatildeo (ou
pressatildeo negativa) No mancal eliacuteptico eacute desconsiderada apenas a regiatildeo de cavitaccedilatildeo
A expressatildeo que representa a espessura do filme fluido ―h eacute dada pela equaccedilatildeo (32) onde c
representa a folga radial ex e ey representam as excentricidades do mancal e Mp a preacute-carga
senMpcsentetech yx )()()cos()( (32)
Para o caacutelculo dos coeficientes dinacircmicos de forccedila do mancal satildeo utilizadas as equaccedilotildees de
lubrificaccedilatildeo de ordem zero e de primeira ordem obtidas atraveacutes da anaacutelise de perturbaccedilatildeo do
sistema (LUND1987) A posiccedilatildeo de equiliacutebrio do eixo (00
yx ee ) eacute perturbada por movimentos
de pequena amplitude ( yx ee ) com uma frequecircncia de excitaccedilatildeo w (FARIA et al 2006)
Desta forma a espessura do filme eacute dada por
titi
yyxx ehehehehehh 00 )( = x y (33)
onde
0h = espessura do filme estacionaacuterio ou de ordem zero
49
xh = cos( )
yh = sen ( )
= x y
i = 1
Pequenas variaccedilotildees na espessura do filme causam alteraccedilotildees no campo de pressatildeo
hidrodinacircmica Este campo perturbado de pressatildeo hidrodinacircmica pode ser representado pela
equaccedilatildeo (34) se considerarmos uma anaacutelise linear de perturbaccedilatildeo
ti
o
ti
YYXXo epepe)pepe()t(p)t(p (34)
onde
0p = pressatildeo estacionaacuteria campo de pressatildeo de ordem zero
Xp e Yp = campo de pressatildeo de primeira ordem
Substituindo as equaccedilotildees (33) e (34) na equaccedilatildeo (31) obtecircm-se as equaccedilotildees de lubrificaccedilatildeo de
ordem zero e de primeira ordem conforme representado pelas equaccedilotildees (35) e (36)
respectivamente
)(
2
1
1212sup2
1 00
3
00
3
0 h
R
U
z
ph
z
ph
R
LLL (35)
hih
R
U
z
ph
z
phh
z
phphh
RL
LLLLL )(
2
1
1212
3
1212
3
sup2
13
00
2
0
3
00
2
0
(36)
A equaccedilatildeo (35) eacute a equaccedilatildeo claacutessica de Reynolds para regime estacionaacuterio Esta equaccedilatildeo
permite a determinaccedilatildeo do campo de pressatildeo hidrodinacircmica bidimensional no interior dos
mancais radiais lubrificados a oacuteleo Natildeo existe soluccedilatildeo analiacutetica em forma fechada para a grande
maioria dos mancais radiais de uso industrial Os coeficientes dinacircmicos dos mancais satildeo
50
obtidos atraveacutes da soluccedilatildeo das equaccedilotildees de lubrificaccedilatildeo de ordem zero e de primeira ordem via
procedimento de elementos finitos
322 Equaccedilotildees de Elementos Finitos para Mancais Eliacutepticos
As equaccedilotildees de lubrificaccedilatildeo de ordem zero e de primeira ordem podem ser escritas na forma de
balanccedilo de massa utilizando-se o conceito de fluxo maacutessico Dessa forma a equaccedilatildeo (35) pode
ser reescrita na seguinte forma
(37)
sendo que 00
3
0
212
1hR
ph
Rm L
L representa o fluxo maacutessico na direccedilatildeo circunferencial
e z
phm L
z0
3
0
12 o fluxo maacutessico na direccedilatildeo axial
A equaccedilatildeo (36) pode da mesma forma ser reescrita na forma de balanccedilo de fluxo na seguinte
maneira
himz
mR
m Lz111
1
(38)
sendo que os fluxos maacutessicos mostrados na equaccedilatildeo (38) podem ser expressos na seguinte
forma
hRph
R
phh
Rm L
LL
212
1
12
313
00
2
01 (39)
z
ph
z
phhm LL
z
1212
3 3
00
2
01
(310)
323 Discretizaccedilatildeo do campo de pressatildeo de ordem zero
Elementos isoparameacutetricos planos de quatro noacutes satildeo utilizados na discretizaccedilatildeo do domiacutenio do
filme fluido Funccedilotildees de interpolaccedilatildeo bilineares e
j j=1234 satildeo empregadas na descriccedilatildeo do
01
mm
zm
Rz
51
campo de pressatildeo hidrodinacircmica de ordem zero no domiacutenio e de um elemento finito A
Figura 37 ilustra de maneira esquemaacutetica os quatro noacutes no elemento finito usados na
discretizaccedilatildeo do domiacutenio do filme fluido onde a coordenada y representa a direccedilatildeo axial do
mancal e a coordenada indica a direccedilatildeo circunferencial
Figura 37 - Representaccedilatildeo esquemaacutetica dos noacutes no elemento finito
Os campos discretos de pressatildeo de ordem zero e de primeira ordem no domiacutenio e de um
elemento finito satildeo escritos na seguinte forma
e
i
e
i
e pp 00 i=1234 (311)
e
i
e
i
e pp i=1234 (σ = xy) (312)
Sobre um elemento finito do domiacutenio e o meacutetodo de Galerkin eacute utilizado para a obtenccedilatildeo da
equaccedilatildeo do campo de pressatildeo de ordem zero A equaccedilatildeo (37) eacute preacute-multiplicada pelas funccedilotildees
de interpolaccedilatildeo e
j e o produto eacute integrado sobre o domiacutenio e
e ee
ee
j
ee
j
ee
j dmdnmdm 0
(313)
onde n
representa o valor normal unitaacuterio direcionado para o lado de fora do contorno e do
52
elemento finito Pode-se escrever que
eR
ez
e
j
z
e
je
j
1 (314)
zz ememm
(315)
A segunda integral do lado direito da equaccedilatildeo (313) pode ser expandida na seguinte forma
ee
e
e
e
je
i
e
e
je
i
e
je
i
e
e
j
z
e
j
z
e
i
e
ie
i
e
i
dhpdzzR
h
deR
ez
epz
he
z
Rp
h
R
002
3
0
0
3
00
3
0
2
1
12
1
1212
1
(316)
Entatildeo a equaccedilatildeo (313) pode ser reescrita na forma a seguir
e ee
e
n
e
j
e
e
je
i
e
e
je
i
e
je
i dmdhpdzzR
h
2
1
12002
3
0 (317)
onde nm representa o fluxo de lubrificante cruzando a fronteira do elemento finito e
A equaccedilatildeo (317) pode ser representada por um sistema de equaccedilotildees algeacutebricas que representa a
forma estacionaacuteria da equaccedilatildeo de Reynolds para um elemento finito e
na seguinte forma
e
j
e
j
e
i
e
ji qfPK 0 (318)
onde a matriz fluiacutedica e
jiK pode ser obtida por meio de procedimento de integraccedilatildeo baseado no
meacutetodo da quadratura de Gauss (BATHE 1982) utilizando-se quatro pontos de integraccedilatildeo Essa
matriz eacute dada pela seguinte expressatildeo
53
e
e
je
i
e
je
ie
ji dzzR
hK
e sup2
1
12
3
0
O vetor de fluxo no domiacutenio de um elemento finito eacute determinado por
e
e
e
je
j dhf 02
O balanccedilo de fluxo atraveacutes do contorno do domiacutenio eacute dado por
e
e
n
e
j
e
j dmq
O contorno de um elemento finito qualquer eacute representado por e
e o fluxo de lubrificante de
ordem zero atraveacutes dessa fronteira por nm
324 Discretizaccedilatildeo do campo de pressatildeo de primeira ordem
O meacutetodo de Galerkin eacute empregado novamente para a obtenccedilatildeo da equaccedilatildeo de elementos finitos
para determinaccedilatildeo do campo de pressatildeo perturbada de primeira ordem A equaccedilatildeo (38) eacute preacute-
multiplicada pelas funccedilotildees de interpolaccedilatildeo e o produto eacute integrado sobre o domiacutenio e do
elemento finito produzindo a seguinte equaccedilatildeo integral
e e ee
ee
j
ee
j
ej
e
ee
j dhidmdnmdm
111 (319)
O segundo termo do lado direito da equaccedilatildeo (319) pode ser reescrito na forma seguinte
e
e e
e
e
je
i
e
je
i
e
jo
ejz
e
jee
j
dR
hRP
R
hp
R
hh
dz
mR
mdm
2sup2
1
12sup2
1
12
3
1
3
0
2
0
111
54
e
ee
i
e
je
i
e
jdP
zz
h
zz
phh
1212
3 3
00
2
0 (320)
A equaccedilatildeo (320) pode entatildeo ser reescrita na forma de um sistema de equaccedilotildees algeacutebricas na
seguinte maneira
ee
j
e
j
e
j
e
j
en
e
j
e
i
e
e
je
i
e
je
i
dhihzz
pp
R
hh
dmPdzzR
h
e
ee
2sup2
1
12
3
sup2
1
12
00
2
0
1
3
0
(321)
Para facilitar a representaccedilatildeo da equaccedilatildeo algeacutebrica (321) pode-se reescrevecirc-la na forma
matricial como segue
e
j
e
j
e
i
e
ji fqpK yx (322)
A matriz fluiacutedica de primeira ordem o balanccedilo do fluxo atraveacutes do contorno e o vetor de fluxo
no domiacutenio satildeo determinados respectivamente por
e
e
je
i
e
j
e
je
ji dzzR
hK
e sup2
1
12
3
0 (3221)
e
en
e
j
e
j dmq (3222)
e
ee
j
e
j
e
j
e
je
j dhihzz
pp
R
hhf
2sup2
1
12
3 00
2
0 (3223)
O fluxo de lubrificante de primeira ordem atraveacutes do contorno e de um elemento finito eacute
representado por nm
O sistema de equaccedilotildees algeacutebricas complexas dado pelas equaccedilotildees (322) permite determinar o
55
campo complexo de pressatildeo hidrodinacircmica de primeira ordem Os coeficientes do vetor
carregamento de primeira ordem e
jf dependem do campo de pressatildeo de ordem zero Por
conseguinte primeiro resolve-se o sistema de equaccedilotildees de ordem zero apresentada na equaccedilatildeo
(318) para a determinaccedilatildeo do campo de pressatildeo estacionaacuteria 0p Entatildeo determina-se o campo
de pressatildeo perturbada por meio do sistema de equaccedilotildees dado pelas equaccedilotildees (322)
As caracteriacutesticas estaacuteticas de desempenho de mancais tais como capacidade de carga torque de
atrito e vazatildeo de oacuteleo satildeo determinadas a partir da equaccedilatildeo de lubrificaccedilatildeo de ordem zero Jaacute as
caracteriacutesticas dinacircmicas de desempenho tais como os coeficientes de rigidez e de
amortecimento satildeo estimadas a partir da soluccedilatildeo da equaccedilatildeo de lubrificaccedilatildeo de primeira ordem
As equaccedilotildees de elementos finitos satildeo superpostas para todo o domiacutenio do filme fluido Ω
325 Determinaccedilatildeo dos Coeficientes de Forccedila dos Mancais Eliacutepticos
A soluccedilatildeo do sistema de equaccedilotildees algeacutebricas lineares eacute obtida por meio de um procedimento
baseado no meacutetodo da decomposiccedilatildeo LU (CHAPRA e CANALE 2002) Um programa
computacional foi desenvolvido especialmente para determinar a soluccedilatildeo das equaccedilotildees de ordem
zero e de primeira ordem utilizando o meacutetodo de elementos finitos (FARIA et al 2006) As
forccedilas de reaccedilatildeo do filme lubrificante podem entatildeo ser estimadas a partir da seguinte expressatildeo
na qual pa representa a pressatildeo atmosfeacuterica
L
aoodzdRh)pp(F
0
2
0
= XY (323)
A determinaccedilatildeo do campo perturbado ou de primeira ordem de pressatildeo
hidrodinacircmica para o mancal eacute realizada por meio do sistema de equaccedilotildees complexas de
primeira ordem obtido pela superposiccedilatildeo para todo o domiacutenio do fluido das equaccedilotildees dadas
pelas equaccedilotildees (322) A integraccedilatildeo do campo de pressatildeo de primeira ordem sobre o domiacutenio do
filme fluido leva agrave estimativa das impedacircncias complexas YXoZ Os coeficientes
linearizados de rigidez YXK e de amortecimento YXC associados agrave accedilatildeo
hidrodinacircmica do filme fluido podem ser calculados na seguinte forma
56
L
dzdRhpCiKZ0
2
0
YX (324)
ou
dzdRhphp
hphp
CC
CCi
KK
KK L
YYYX
XYXX
YYYX
XYXX
YYYX
XYXX
0
2
0
(325)
Estes coeficientes de forccedila [ K ] e [C ] correspondem agrave resistecircncia que o mancal oferece ao
deslocamento e agrave velocidade respectivamente Eles seratildeo sobrepostos agraves matrizes de elementos
finitos do eixo nas linhas e colunas correspondentes aos dois primeiros graus de liberdade que
satildeo translacionais
33 O Sistema Rotor-Mancal
O sistema rotor-mancal eacute composto por um eixo flexiacutevel um disco massivo e mancais Neste
trabalho o sistema foi modelado atraveacutes do meacutetodo de elementos finitos (MEF) como descrito a
seguir aplicando modelos distintos para o eixo flexiacutevel e para os mancais O disco massivo eacute
considerado riacutegido e portanto inserido no modelo do eixo simplesmente atraveacutes de suas
propriedades fiacutesicas (massa efeito giroscoacutepico e ineacutercia rotatoacuteria)
Para a modelagem do deslocamento lateral dos eixos flexiacuteveis satildeo utilizados elementos de eixo
com dois noacutes e com oito graus de liberdade A influecircncia dos mancais nos coeficientes de
rigidez e amortecimento do rotor tambeacutem eacute considerada na modelagem A equaccedilatildeo global do
movimento para o sistema rotor-mancal eacute descrita como
(326)
onde [M] representa a matriz global de ineacutercia translacional [N] eacute a matriz global de ineacutercia
rotatoacuteria [K] a matriz de rigidez do eixo e [C] a matriz generalizada de amortecimento que eacute
expressa como [G]]C[]C[ 1 onde [G] eacute a matriz de efeito giroscoacutepico do eixo Estas
matrizes satildeo apresentadas detalhadamente no Anexo C A matriz [C1] eacute a matriz global com os
coeficientes de amortecimento dos mancais lanccedilados nos devidos noacutes onde os mancais estatildeo
57
posicionados De maneira anaacuteloga os coeficientes de rigidez dos mancais satildeo somados agrave matriz
[K] e a massa desbalanceada eacute somada na matriz [M] Os vetores de aceleraccedilatildeo velocidade e
deslocamento satildeo dados respectivamente por UUU e Ω eacute a velocidade de rotaccedilatildeo do
eixo (rads)
Cada noacute possui 4 graus de liberdade onde o deslocamento do i-eacutesimo elemento eacute
representado pelo vetor Ui composto pelas seguintes componentes
i
i
i
i
i
x
y
U onde
xeixo do tornoem rotaccedilatildeo
y eixo do tornoem rotaccedilatildeo
verticaltodeslocamen
horizontal todeslocamen
i
i
i
i
x
y
A Figura 38 apresenta simbolicamente estes 4 graus de liberdade atraveacutes dos movimentos de
translaccedilatildeo (deslocamento) e de rotaccedilatildeo nos eixos xy
Figura 38 ndash Representaccedilatildeo dos 4 graus de liberdade
A excitaccedilatildeo devida agrave massa desbalanceada do rotor eacute representada pelo vetor R na Eq (326)
Um disco rotativo riacutegido desbalanceado eacute montado em uma posiccedilatildeo axial preacute-determinada do
eixo permitindo a aplicaccedilatildeo de carga Um fasor rotatoacuterio com amplitude de F0 = mdud Ωsup2
representa a carga da massa desbalanceada onde md eacute a massa desbalanceada (kg) e ud eacute a
excentricidade da massa desbalanceada (m)
As seccedilotildees a seguir apresentam as formulaccedilotildees que permitem obter as matrizes da equaccedilatildeo
(326) que posteriormente seraacute integrada numericamente pelo meacutetodo de Newmark (BATHE
1982)
58
34 Diagrama do Procedimento Computacional
O procedimento computacional proposto neste trabalho foi desenvolvido em ambiente Matlabreg
produzido pela The MathWorkscopy e suas principais etapas satildeo apresentadas na Figura 39
Figura 39 ndash Diagrama do procedimento computacional
Na etapa 1 satildeo registrados os paracircmetros fiacutesicos e geomeacutetricos do sistema aleacutem dos paracircmetros
dos meacutetodos numeacutericos (nuacutemero de noacutes da malha tempo de integraccedilatildeo incremento no tempo
rotaccedilatildeo etc)
Na etapa 2 satildeo calculadas as matrizes de elementos finitos do eixo usando-se os dados
4) Montagem das matrizes de
elementos finitos
dos mancais
3) Caacutelculo dos coeficientes de forccedila
dos mancais pelo MEF
2) Caacutelculo das
matrizes de
elementos
finitos do rotor
5) Superposiccedilatildeo das matrizes de elementos finitos
7) Integraccedilatildeo numeacuterica da equaccedilatildeo do movimento
6) Equaccedilatildeo do movimento
1) Entrada de Dados
9) Saiacuteda de resultados
8) Seleccedilatildeo dos dados de saiacuteda
59
registrados na etapa 1 atraveacutes das equaccedilotildees descritas no Anexo C Como o disco massivo eacute
considerado riacutegido e portanto soacute possui os elementos das matrizes de massa de ineacutercia e de
momento giroscoacutepico estas matrizes satildeo calculadas separadamente e sobrepostas com as do
eixo nos pontos onde o disco massivo estaacute posicionado O meacutetodo permite que o disco esteja
posicionado em qualquer noacute da malha do eixo
Na etapa 3 satildeo calculados os coeficientes de forccedila dos mancais baseando-se na sua posiccedilatildeo de
equiliacutebrio estaacutetico Esta posiccedilatildeo eacute encontrada pelo MEF implementado que calcula a forccedila
resultante da accedilatildeo hidrodinacircmica do filme-fluido para que ela seja igual agrave carga estaacutetica que o
rotor aplica em cada mancal Uma vez encontrado o ponto de equiliacutebrio estaacutetico satildeo calculados
os coeficientes de rigidez e de amortecimento dos mancais conforme Eq(325) Cabe ressaltar
que o caacutelculo destes coeficientes natildeo usa as teorias simplistas de mancais curtos ou longos e
nem faz simplificaccedilotildees quanto aos coeficientes cruzados
Na etapa 4 os resultados encontrados na etapa 3 satildeo registrados nas matrizes de elementos
finitos dos mancais que satildeo as matrizes de rigidez e de amortecimento
Em seguida na etapa 5 eacute feita a superposiccedilatildeo das matrizes de elementos finitos do rotor e dos
mancais com os resultados obtidos nas etapas 2 3 e 4 O meacutetodo permite que os mancais
estejam posicionados em qualquer noacute da malha do eixo Esta superposiccedilatildeo eacute feita apenas com as
linhas e colunas correspondentes aos deslocamentos translacionais ou seja natildeo satildeo
considerados efeitos de rigidez ou de amortecimento rotacionais no modelo dos mancais
hidrodinacircmicos
Uma vez montadas as matrizes segue-se para as etapas 6 e 7 onde a equaccedilatildeo do movimento eacute
estabelecida em formato matricial conforme Eq(326) e integrada numericamente pelo Meacutetodo
de Newmark descrito no Anexo D
Na etapa 8 satildeo registrados os dados que seratildeo usados para a anaacutelise do sistema Na verdade esta
etapa estaacute inserida no algoritmo de Newmark dentro das iteraccedilotildees no tempo para que sejam
registrados os dados de interesse a cada iteraccedilatildeo no tempo Os dados normalmente selecionados
satildeo extraiacutedos do vetor U (Eq326) que registra todos os deslocamentos laterais e rotaccedilotildees
dos pontos da malha do eixo ao longo do tempo
Finalmente na etapa 9 satildeo geradas as saiacutedas de resultados Dependendo do tipo de anaacutelise
desejada esta saiacuteda pode passar por outro caacutelculo numeacuterico como eacute feito no caso da geraccedilatildeo do
espectro de frequecircncia onde eacute usado o FFT (Fast Fourier Transform) Os resultados numeacutericos
60
satildeo exibidos na forma de arquivo de dados e tambeacutem na forma graacutefica atraveacutes de espectros de
frequecircncia formas de onda curvas de deflexatildeo curva de resposta desbalanceada ou atraveacutes de
uma animaccedilatildeo tridimensional exibindo a deflexatildeo do rotor ao longo do tempo
Cabe ressaltar que para o caacutelculo da resposta desbalanceada eacute necessaacuterio fazer a integraccedilatildeo no
tempo para vaacuterias rotaccedilotildees do eixo Assim para cada rotaccedilatildeo eacute registrada a maacutexima amplitude
de vibraccedilatildeo do eixo em um determinado ponto Normalmente eacute escolhido o elemento onde estaacute
um dos mancais para este ponto Em seguida eacute gerado o graacutefico da resposta desbalanceada que
permite identificar em qual rotaccedilatildeo o sistema apresentou a maacutexima amplitude quando excitado
pela forccedila de desbalanceamento Este eacute o conceito de velocidade criacutetica (VC)
61
4 RESULTADOS E ANAacuteLISE
Os resultados do procedimento computacional proposto satildeo validados com resultados
apresentados na literatura especializada e com dados experimentais Satildeo apresentados
inicialmente alguns exemplos de validaccedilatildeo seguindo-se para a anaacutelise dos coeficientes de forccedila
dos mancais eliacutepticos e da resposta desbalanceada do sistema rotor-mancal
41 Exemplos de validaccedilatildeo
A validaccedilatildeo do procedimento computacional eacute realizada atraveacutes de alguns exemplos
selecionados na literatura especializada apresentando modelos de rotores flexiacuteveis apoiados em
diferentes tipos de mancais Eacute incluiacuteda uma comparaccedilatildeo dos resultados numeacutericos com
resultados experimentais coletados em uma bancada de testes horizontal composta por um rotor
flexiacutevel apoiado em mancais hidrodinacircmicos
411 Rotor com disco em balanccedilo
Um exemplo de rotor flexiacutevel (SINOU 2005) eacute escolhido para validar os resultados do
procedimento computacional O rotor eacute composto por um eixo flexiacutevel dois mancais e um disco
massivo em balanccedilo (Figura 41)
Figura 41 ndash Desenho esquemaacutetico do rotor de Sinou (2005)
62
Tabela 41- Paracircmetros do rotor com disco em balanccedilo (SINOU 2005)
Eixo
Comprimento
Diacircmetro
Moacutedulo de Young
Massa especiacutefica
170m
40mm
200 GNm2
8000 kgm3
Disco
Massa
Diacircmetro
Espessura
20 kg
400 mm
20 mm
Mancais
Rigidez Translacional
Rigidez Rotacional
Amortecimento
Kxx = 378 MNm
Kxy = 0 MNm
Kyx = 0 MNm
Kyy = 378 MNm
Kff= 80x104
Nmrad
KQQ = 80x104
Nmrad
Cxx = 0 Nsm
Cxy = 0 Nsm
Cyx = 0 Nsm
Cyy = 0 Nsm
Satildeo calculadas a primeira frequecircncia natural (FN1) e a segunda frequecircncia natural (FN2) para o
rotor de Sinou (2005) aplicando-se o procedimento computacional proposto para se avaliar a
influecircncia do tamanho da malha de elementos finitos no caacutelculo destas frequecircncias naturais Os
valores obtidos para FN1 e FN2 com diferentes malhas satildeo mostrados na Figura 42
Figura 42 ndash Curvas da primeira e segunda frequecircncias naturais (FN1 FN2) versus o nuacutemero de
elementos finitos da malha para o rotor de Sinou (2005) a 10rpm
Constata-se que a variaccedilatildeo dos valores de FN1 e de FN2 fica abaixo de 2 para uma malha de
80 elementos Assim adota-se uma malha de 80 elementos finitos para este exemplo
63
A integraccedilatildeo das equaccedilotildees do movimento eacute feita pelo meacutetodo de Newmark (ANEXO D) Nesta
implementaccedilatildeo satildeo adotados os paracircmetros que garantem a convergecircncia do meacutetodo conforme
descrito no Anexo D Poreacutem eacute importante considerar que agrave medida que se reduz o incremento
no tempo usado na integraccedilatildeo numeacuterica mais exatos satildeo os resultados por se tornarem mais
convergentes Assim apresenta-se na Figura 43 a anaacutelise desta convergecircncia em funccedilatildeo do
incremento no tempo A curva contiacutenua representa a primeira velocidade criacutetica progressiva
(FWD1) e a curva tracejada representa a primeira velocidade criacutetica regressiva (BKWD1)
Observa-se que as velocidades criacuteticas convergem suficientemente para um incremento no
tempo de aproximadamente 50x10-4
s onde a variaccedilatildeo relativa eacute menor que 1 Este valor eacute
adotado nos demais resultados calculados para este exemplo
Figura 43 ndash Primeira velocidade criacutetica progressiva (FWD1)
e regressiva (BKWD1) versus incremento no tempo
A Figura 44 apresenta o espectro de frequecircncia obtido pelo MEF com o rotor a 10 rpm Na
Tabela 42 satildeo comparados os valores da primeira e segunda frequecircncias naturais (FN1 e FN2)
calculadas por Sinou (2005) com os valores obtidos pelo MEF aqui proposto e observa-se que
o desvio maacuteximo eacute menor que 3 Os valores apresentados por Sinou(2005) foram obtidos
usando uma malha de 184 elementos de viga de Timoshenko
64
Figura 44 ndash Espectro de frequecircncia obtido pelo MEF para o rotor de Sinou(2005) a 10 rpm
Tabela 42- Valores comparativos da primeira frequecircncia natural para o rotor de Sinou(2005) a 10 rpm
Sinou(2005) MEF Erro
relativo ()
FN 1 2430 rpm 2495 rpm 27
FN 2 3840 rpm 3780 rpm -16
As frequecircncias naturais do rotor em balanccedilo satildeo calculadas pelo MEF proposto tambeacutem para
outros valores de rotaccedilatildeo Na Figura 45 eacute ilustrado o diagrama de Campbell obtido pelo MEF e
comparado com os valores apresentados por Sinou (2005)
Figura 45 ndash Diagrama de Campbell para o rotor em balanccedilo analisado por Sinou(2005)
65
O efeito giroscoacutepico faz com que fiquem niacutetidas as frequecircncias de precessatildeo regressiva
(backward) e progressiva (forward) Estas frequecircncias satildeo representadas na Figura 45 seguidas
das siglas ―BKWD e ―FWD respectivamente A linha cheia e a traccedilo-ponto representam os
resultados obtidos pelo MEF proposto neste trabalho enquanto os pontos identificados por
marcadores satildeo os resultados apresentados por Sinou(2005) A linha tracejada representa as
frequecircncias siacutencronas (syncr) que permitem identificar as velocidades criacuteticas na sua interseccedilatildeo
com as curvas das frequecircncias naturais As duas primeiras velocidades criacuteticas foram obtidas
atraveacutes do graacutefico e comparadas na Tabela 43 com aquelas calculadas por Sinou(2005)
Observa-se um erro relativo menor que 5 nesta comparaccedilatildeo feita para fins de validaccedilatildeo
Tabela 43- Comparaccedilatildeo da primeira velocidade criacutetica
Sinou(2005) MEF Erro
relativo()
BKWD 2225 rpm 2210 rpm -1
FWD 2580 rpm 2680 rpm 4
As diferenccedilas entre os resultados do MEF proposto para os resultados numeacutericos de Sinou se
devem principalmente ao nuacutemero de elementos finitos usados O modelo de Sinou usa 184
elementos enquanto neste trabalho foram adotados 80 elementos Outros erros relativos podem
ter sido causados por pequenas diferenccedilas geomeacutetricas entre os dois modelos em funccedilatildeo de
alguma informaccedilatildeo que natildeo tenha sido detalhada no trabalho de Sinou
Cabe ressaltar que este exemplo de validaccedilatildeo se aplica ao MEF do rotor e ao procedimento de
superposiccedilatildeo dos coeficientes de forccedila dos mancais Poreacutem o modelo de Sinou usa apenas dois
coeficientes de forccedila nos apoios (rigidez agrave rotaccedilatildeo) e natildeo considera mancais hidrodinacircmicos
Para a validaccedilatildeo dos modelos de mancais seratildeo apresentados outros exemplos
412 Rotor apoiado nas extremidades com disco no centro
Um segundo exemplo de validaccedilatildeo eacute selecionado atraveacutes do modelo de rotor (HONG e PARK
1999) composto por um eixo com dois diacircmetros diferentes como mostrado na Figura 46 Na
primeira metade o eixo tem 25cm de diacircmetro e na outra metade tem 40cm de diacircmetro
66
Figura 46 ndash Desenho esquemaacutetico do rotor de Hong e Park(1999)
O eixo eacute apoiado pelas extremidades por mancais idecircnticos e no centro do eixo haacute um disco
massivo Os paracircmetros do modelo satildeo apresentados na Tabela 44
Tabela 44- Paracircmetros do rotor de Hong e Park(1999)
Eixo
Comprimento
Diacircmetro (trecho 1)
Diacircmetro (trecho 2)
Moacutedulo de Young
Massa especiacutefica
120m
25cm
40cm
200 GNm2
8000 kgm3
Disco
Massa
Momento polar de ineacutercia
Momento diametral de ineacutercia
20 kg
0163 kgm2
0085 kgm2
Mancais
Rigidez
Amortecimento
Kxx = 20 MNm
Kxy = -15 MNm
Kyx = -15 MNm
Kyy = 25 MNm
Cxx = 60 Nsm
Cxy = 0 Nsm
Cyx = 0 Nsm
Cyy = 70 Nsm
Eacute feita uma comparaccedilatildeo entre as frequecircncias naturais e tambeacutem apresentada uma anaacutelise da
forma de onda obtida pela integraccedilatildeo numeacuterica que permite observar o fenocircmeno de batimento
Satildeo apresentados os conceitos baacutesicos do fenocircmeno e feita a comparaccedilatildeo entre as frequecircncias
naturais obtidas atraveacutes do espectro de frequecircncia e a frequecircncia de batimento observada na
forma de onda
Inicialmente satildeo validadas as frequecircncias naturais atraveacutes da observaccedilatildeo dos picos no espectro
como pode ser visto na Figura 47 Satildeo destacados os dois picos (808 rpm 848 rpm) relativos agrave
primeira frequecircncia natural regressiva (backward) e progressiva (forward) respectivamente
com o rotor operando a 6000rpm
67
Figura 47 ndash Espectro de frequecircncia obtido para o rotor de Hong e Park (1999) operando a 6000rpm
Os resultados numeacutericos obtidos pelo MEF satildeo comparados com os da literatura (HONG e
PARK 1999) na Tabela 45 onde pode-se observar um erro relativo maacuteximo de 2
Tabela 45- Comparaccedilatildeo da primeira frequecircncia natural progressiva e regressiva para
o rotor de Hong e Park (1999)
Hong e Park
(1999)
MEF Erro
relativo ()
Backward (regressiva) 804 rpm 808 rpm 05
Forward (progressiva) 865 rpm 848 rpm -20
Em seguida eacute feita a anaacutelise da forma de onda obtida apoacutes a integraccedilatildeo no tempo da equaccedilatildeo do
movimento pelo Meacutetodo de Newmark Observa-se pela forma de onda (Figura 48) que existe
um padratildeo de flutuaccedilatildeo do sinal destacado pela linha tracejada e pelo sombreamento Este
padratildeo de flutuaccedilatildeo eacute semelhante ao fenocircmeno de batimento da teoria de interferecircncia de ondas
que ocorre quando haacute duas frequecircncias de vibraccedilatildeo proacuteximas O fenocircmeno natildeo foi investigado
profundamente neste trabalho mas eacute destacado como um exemplo de validaccedilatildeo onde foi
possiacutevel encontrar frequecircncias naturais bem proacuteximas agraves apresentadas na literatura (HONG e
68
PARK 1999) e ainda estabelecer uma relaccedilatildeo entre o padratildeo de flutuaccedilatildeo da forma de onda
com as frequecircncias registradas no espectro
Figura 48 ndash Forma de onda obtida para o rotor de Hong e Park (1999)
Uma vez identificado um ciclo completo do padratildeo de flutuaccedilatildeo destacado na Figura 48 pela
linha tracejada eacute possiacutevel obter os instantes de tempo inicial e final deste ciclo 275s e 570s
respectivamente Este intervalo corresponde a um periacuteodo de 295s que equivale a uma
frequecircncia de 0339Hz = 203rpm
Este padratildeo de flutuaccedilatildeo pode ser explicado pelo fenocircmeno de batimento que estabelece que
quando duas ondas com frequecircncias muito proacuteximas (w1 w2) interferem uma na outra
flutuaccedilotildees de batimento satildeo percebidas na forma de onda e a frequecircncia de batimento (wb) eacute
dada por
Observando-se novamente o espectro de frequecircncia na Figura 47 pode-se calcular a frequecircncia
de batimento (wb) esperada para este sistema atraveacutes das frequecircncia natural regressiva
(backward) e progressiva (forward)
69
Portanto confirma-se que o padratildeo de flutuaccedilatildeo observado na forma de onda pode ser associado
ao fenocircmeno de batimento causado pelas duas frequecircncias naturais proacuteximas identificadas no
espectro Estes dois resultados satildeo apresentados na Tabela 46
Tabela 46- Comparaccedilatildeo das Frequecircncias de Batimento para o rotor de Hong e Park(1999)
Frequecircncia obtida
pela forma de onda
Frequecircncia obtida
pelo espectro
203 rpm 200 rpm
Este fenocircmeno de batimento eacute tambeacutem observado quando o rotor opera em uma rotaccedilatildeo proacutexima
de uma frequecircncia natural De maneira semelhante se for observado o padratildeo de flutuaccedilatildeo na
forma de onda que varia com a rotaccedilatildeo do rotor eacute possiacutevel inferir que o rotor estaacute se
aproximando ou se afastando de uma frequecircncia natural O fenocircmeno de batimento no sistema
rotor-mancal merece uma investigaccedilatildeo mais profunda que natildeo estaacute no escopo do presente
trabalho
413 Rotor de uma bancada de testes
Um terceiro exemplo de validaccedilatildeo consiste na comparaccedilatildeo das frequecircncias naturais estimadas
pelo MEF com os valores experimentais coletados em uma bancada de testes montada no Grupo
de Dinacircmica de Rotores da UFMG cujos dados podem ser encontrados em Machado (2006) e
Miranda et al (2005) O rotor eacute composto por um eixo ciliacutendrico horizontal apoiado em mancais
hidrodinacircmicos e com um disco ciliacutendrico desbalanceado montado no eixo como ilustrado
esquematicamente na Figura 49 com medidas em miliacutemetros
Figura 49 ndash Desenho esquemaacutetico do rotor da bancada de testes
O disco possui furos rosqueados ao longo de sua periferia que permitem incluir pequenas massas
70
que provocam o desbalanceamento no sistema O rotor eacute acionado por um sistema de polias e
correia e um motor eleacutetrico controlado por um inversor de frequecircncia A Tabela 47 apresenta os
paracircmetros do rotor da bancada de testes
Tabela 47ndash Paracircmetros do rotor da bancada de testes
Paracircmetro Descriccedilatildeo Valor Unidade
Leixo comprimento do eixo 030 m
D diacircmetro do eixo 0015 m
L comprimento dos mancais 0012 m
c folga do mancal 345 x 10-6
m viscosidade do lubrificante 25 x 10
-3 Pamiddots
massa especiacutefica do lubrificante 892 kgmsup3
E moacutedulo de elasticidade do eixo 200 x 109 Pa
coeficiente de Poisson do eixo 03 -
massa especiacutefica do eixo 7870 kgmsup3
Esta anaacutelise tem como objetivo validar os modelos de elementos finitos propostos para o eixo
flexiacutevel e para os mancais hidrodinacircmicos atraveacutes de resultados experimentais A anaacutelise da
convergecircncia da malha de elementos finitos para o modelo do eixo eacute realizada de maneira
semelhante agrave apresentada na Figura 42 obtendo-se tambeacutem um nuacutemero de 80 elementos para
este exemplo
Um procedimento de anaacutelise de sensibilidade de malha eacute tambeacutem utilizado para avaliar a
dependecircncia dos paracircmetros de desempenho do mancal em funccedilatildeo do tamanho da malha Neste
procedimento a razatildeo entre o nuacutemero de elementos finitos nas direccedilotildees circunferencial e axial eacute
mantida constante Esta razatildeo depende da razatildeo de esbeltez do mancal (LD) e deve ser mantida
para se garantir a variaccedilatildeo uniforme do tamanho da malha Assim para uma razatildeo LD de 08
como no exemplo analisado a relaccedilatildeo entre o nuacutemero de noacutes circunferenciais e o nuacutemero de noacutes
axiais deve ser 480 Estabelecidos estes paracircmetros satildeo gerados os coeficientes de forccedila
para a rotaccedilatildeo de 3200rpm no ponto de equiliacutebrio estaacutetico do mancal usando-se inicialmente
uma malha bem refinada (1660 elementos) conforme mostrado na uacuteltima linha da Tabela 48
Satildeo entatildeo reduzidos os nuacutemeros de elementos da malha e registrados os erros relativos obtidos
na forccedila de reaccedilatildeo do mancal (Fx) e no coeficiente de rigidez cruzada (Kxy) Para fins de
comparaccedilatildeo os erros relativos satildeo calculados em moacutedulo conforme mostrado na Figura 410
71
Tabela 48ndash Resultados da anaacutelise da sensibilidade da malha dos mancais
Noacutes circunferenciais
Noacutes axiais Elementos
Kxy
(MNm) Fx (N)
Desvio
Kxy Desvio
Fx
20 5 76 3926 5752 48 475
36 9 280 4122 6039 06 058
44 11 430 4146 6074 03 030
52 13 612 4158 6092 02 020
60 15 826 4166 6104 01 011
68 17 1072 4171 6111 01 008
76 19 1350 4174 6116 01 007
84 21 1660 4177 6120
Figura 410 ndash Sensibilidade da malha de elementos finitos do mancal ciliacutendrico no caacutelculo dos
paracircmetros de desempenho Fx e Kxy
Pela anaacutelise de sensibilidade realizada neste terceiro exemplo constata-se que 280 elementos
finitos na malha do filme fluido satildeo suficientes para a obtenccedilatildeo de resultados confiaacuteveis com
menos de 1 de erro relativo conforme Tabela 48
Uma vez definidas as malhas de elementos finitos satildeo realizadas as simulaccedilotildees e a integraccedilatildeo
numeacuterica no tempo Com os resultados da integraccedilatildeo satildeo gerados os espectros de frequecircncia
numeacutericos Os espectros de frequecircncia experimentais satildeo obtidos em diferentes velocidades de
rotaccedilatildeo do eixo atraveacutes de testes de batida (bump test) Satildeo afixados acelerocircmetros no topo dos
mancais e gerados os espectros de frequecircncia Na Figura 411 observa-se o espectro de
72
frequecircncia gerado a partir do teste de batida coletado no mancal 1 A amplitude indicada
representa o valor RMS da aceleraccedilatildeo Observam-se dois picos em frequecircncias de
aproximadamente 83 Hz (4980 rpm) e 110 Hz (6600 rpm) que correspondem agraves frequecircncias
naturais do sistema
Figura 411 ndash Espectro de frequecircncia experimental ndash teste de batida
Para se obter estas frequecircncias naturais pelo meacutetodo de elementos finitos proposto satildeo
realizadas duas simulaccedilotildees Uma com o rotor operando a 750rpm (Figura 412) e outra a
3200rpm (Figura 413)
Figura 412 ndash Espectro de frequecircncia obtido pelo MEF para rotaccedilatildeo de 750 rpm
Observa-se na Figura 412 o pico de 750rpm relativo agrave excitaccedilatildeo harmocircnica da massa
desbalanceada e um pico a aproximadamente 4950 rpm (825 Hz) que corresponde agravequele
73
identificado no espectro obtido experimentalmente no teste de batida
Na Figura 413 eacute niacutetido o pico a 6650rpm (111Hz) tambeacutem presente no espectro do resultado
experimental O pico de 3200 da Figura 413 eacute da excitaccedilatildeo harmocircnica
Figura 413 ndash Espectro de frequecircncia obtido pelo MEF para rotaccedilatildeo de 3200 rpm
A Tabela 49 apresenta a comparaccedilatildeo entre estes valores onde observa-se um erro relativo de
aproximadamente 1 dos dados numeacutericos em relaccedilatildeo aos dados experimentais
Tabela 49ndash Valores comparativos de frequecircncias naturais obtidas pelo MEF e experimentalmente
pelo teste de batida (bump test)
Experimental MEF Erro relativo
4980 rpm 4950 rpm -1
6600 rpm 6650rpm 08
Esta faixa de erro estaacute abaixo da resoluccedilatildeo dos graacuteficos e existem outros erros associados aos
dados apresentados devido agraves incertezas geomeacutetricas do rotor da bancada de testes
Uma segunda mediccedilatildeo experimental eacute realizada para este mesmo sistema fixando-se a rotaccedilatildeo
do eixo em 8900rpm Os resultados experimentais e numeacutericos da vibraccedilatildeo do mancal 2 satildeo
processados e gerados os espectros de frequecircncia a seguir A Figura 414 apresenta o espectro de
frequecircncia experimental para rotaccedilatildeo de 8900 rpm onde satildeo destacadas algumas frequecircncias
naturais excitadas a esta rotaccedilatildeo
74
Figura 414 ndash Espectro de frequecircncia experimental para o rotor da bancada operando a 8900rpm
A Figura 415 apresenta o espectro de frequecircncia numeacuterico para rotaccedilatildeo de 8900 rpm onde satildeo
destacados alguns dos picos que correspondem agraves mesmas frequecircncias naturais observadas no
resultado experimental A amplitude exibida no graacutefico estaacute na forma adimensional que eacute a
razatildeo entre a amplitude de deslocamento dividida pela folga do mancal
Figura 415 ndash Espectro de frequecircncia obtido pelo MEF para o rotor da bancada operando a 8900rpm
A comparaccedilatildeo entre estas frequecircncias eacute apresentada na Tabela 410 onde se observa um erro
relativo de menos de 3 para as prediccedilotildees das frequecircncias naturais em relaccedilatildeo aos valores
75
experimentais Nem todas as frequecircncias apresentadas no espectro experimental satildeo observadas
no resultado numeacuterico em funccedilatildeo do modelo computacional natildeo considerar alguns efeitos tais
como desalinhamento incertezas geomeacutetricas dos mancais ruiacutedos provenientes do motor
eleacutetrico e outros O pico de 17800rpm da Figura 414 por exemplo representa o segundo
harmocircnico da frequecircncia de rotaccedilatildeo do rotor que corresponde ao sinal de desalinhamento
paralelo (BERRY 1994)
Tabela 410ndash Valores comparativos de frequecircncias naturais obtidas pelo MEF e experimentalmente
para o rotor da bancada operando a 8900rpm
Experimental MEF Erro relativo
8890 rpm 8850 rpm -05
26800 rpm 26200 rpm -22
45600 rpm 44400 rpm -26
414 Segundo rotor de uma bancada de testes
Um quarto exemplo de validaccedilatildeo eacute selecionado (MACHADO 2006) para avaliar o
procedimento computacional implementado neste trabalho O rotor eacute semelhante ao anterior
ilustrado na Figura 49 poreacutem os mancais satildeo diferentes Satildeo mancais hidrodinacircmicos
ciliacutendricos cujas caracteriacutesticas satildeo apresentadas na Tabela 411
Tabela 411ndash Paracircmetros do rotor da bancada de testes ndash exemplo 2
Paracircmetro Descriccedilatildeo Valor Unidade
Leixo comprimento do eixo 030 m
D diacircmetro do eixo 0015 m
L comprimento dos mancais 0012 m
d diacircmetro do mancal 0015 m
c folga do mancal 24 x 10-6
m viscosidade do lubrificante 25 x 10
-3 Pamiddots
massa especiacutefica do lubrificante 892 kgmsup3
E moacutedulo de elasticidade do eixo 200 x 109 Pa
coeficiente de Poisson do eixo 03 -
massa especiacutefica do eixo 7870 kgmsup3
No espectro de frequecircncia computacional apresentado na Figura 416 satildeo destacadas as
frequecircncias naturais excitadas quando o rotor opera a 3200rpm
76
Figura 416 ndash Espectro de frequecircncia obtido pelo MEF para o rotor do exemplo 4 operando a 3200rpm
Estas frequecircncias satildeo comparadas com os valores obtidos experimentalmente para o rotor
descrito por Machado (2006) exibidas na Figura 417
Figura 417 ndash Espectro de frequecircncia experimental para o rotor de Machado(2006)
A comparaccedilatildeo das frequecircncias naturais dos resultados numeacutericos e experimentais eacute apresentada
na Tabela 412 onde observa-se que os resultados numeacutericos desviam menos de 2 dos
experimentais A uacutenica exceccedilatildeo eacute a frequecircncia de 9480 rpm do espectro experimental cujo erro
77
relativo foi de 37 no resultado numeacuterico Esta frequecircncia eacute de aproximadamente trecircs vezes a
frequecircncia de rotaccedilatildeo do eixo (3200rpm) o que significa um sinal de desalinhamento do rotor
conforme previsto na literatura (BERRY 1994)
Tabela 412ndash Valores comparativos das frequecircncias naturais obtidas
experimentalmente por Machado(2006) e pelo MEF
Experimental (rpm)
MEF (rpm)
erro relativo
3240 3194 -14
6360 6376 03
9480 9834 37
12960 12789 -13
18960 19190 12
25560 25591 01
28440 28823 13
32280 31992 -09
34800 35220 12
38520 38395 -03
41760 41615 -03
44100 44790 16
42 Anaacutelise dos coeficientes de forccedila dos mancais eliacutepticos
A anaacutelise dos coeficientes de forccedila eacute realizada aplicando-se o MEF a um exemplo de mancal
eliacuteptico extraiacutedo de Correia(2007) com o objetivo de identificar uma relaccedilatildeo entre os
coeficientes de forccedila e os paracircmetros construtivos do mancal folga radial (c) razatildeo de esbeltez
(LD) e preacute-carga (Mp) Este resultado permite observar se a relaccedilatildeo identificada se manteacutem
para diversas condiccedilotildees operacionais Os paracircmetros do mancal eliacuteptico selecionado satildeo
apresentados na Tabela 413
Tabela 413ndash Paracircmetros do mancal eliacuteptico selecionado
Paracircmetro Descriccedilatildeo Valor Unidade
L comprimento do mancal 0075 m
D diacircmetro do mancal 010 m
c1 folga do mancal (variaacutevel) viscosidade do lubrificante 84 x 10
-3 Pamiddots
massa especiacutefica do lubrificante 892 kgmsup3
rotaccedilatildeo 8800 rpm
Mp preacute-carga 045
W carga estaacutetica 1000 N
Para a anaacutelise de sensibilidade de malha do mancal selecionado adota-se uma folga radial de
75 m conforme Correia(2007) Esta anaacutelise permite avaliar a dependecircncia dos paracircmetros de
78
desempenho do mancal em funccedilatildeo do tamanho da malha A razatildeo entre o nuacutemero de elementos
finitos nas direccedilotildees circunferencial e axial eacute mantida constante dada pela relaccedilatildeo 4 Satildeo
apresentados na Figura 418 os desvios da forccedila de reaccedilatildeo do mancal (Fx) e do coeficiente de
rigidez cruzada (Kxy) obtidos para diferentes nuacutemeros de elementos da malha Para fins de
comparaccedilatildeo os desvios satildeo calculados em moacutedulo Pela anaacutelise de sensibilidade realizada
constata-se que aproximadamente 200 elementos finitos na malha do filme fluido satildeo suficientes
para a obtenccedilatildeo de resultados confiaacuteveis com menos de 1 de erro relativo
Figura 418 ndash Sensibilidade da malha de elementos finitos do mancal eliacuteptico no caacutelculo dos
paracircmetros de desempenho Fx e Kxy
421 Coeficientes de forccedila em funccedilatildeo da folga radial dos mancais eliacutepticos
Satildeo analisados nesta seccedilatildeo os resultados obtidos pelo MEF para o caacutelculo dos coeficientes de
rigidez direta adimensionais kxx e kyy dos mancais eliacutepticos para diferentes valores de folga
radial A adimensionalizaccedilatildeo dos coeficientes de rigidez direta eacute realizada pela relaccedilatildeo
(CORREIA2007)
kxx = c Kxx W
onde Kxx eacute o coeficiente de rigidez direta dimensional c eacute a folga radial do mancal e W eacute a
carga estaacutetica no mancal Para kyy a adimensionalizaccedilatildeo eacute anaacuteloga
Quando o mancal hidrodinacircmico opera ocorre um deslocamento da linha de centro do munhatildeo
79
(eixo do rotor) em relaccedilatildeo agrave linha de centro do mancal como ilustrado na Figura 419Figura 33
Este deslocamento eacute definido como a excentricidade e e o acircngulo eacute definido como acircngulo de
posiccedilatildeo A excentricidade adimensional eacute definida pela expressatildeo onde c eacute a folga
radial maacutexima do mancal Para cada condiccedilatildeo operacional o munhatildeo tende a se deslocar ateacute um
ponto de equiliacutebrio onde as forccedilas da accedilatildeo hidrodinacircmica do filme fluido entre em equiliacutebrio
com as forccedilas atuantes do rotor sobre o mancal Este ponto eacute definido como o ponto de
equiliacutebrio estaacutetico o
Figura 419 - Posicionamento do eixo dentro do mancal e excentricidade
O ponto de equiliacutebrio estaacutetico ( o) eacute influenciado por vaacuterios paracircmetros do mancal em especial
pela folga radial do mancal Para os mancais eliacutepticos analisados observa-se uma variaccedilatildeo de o
em funccedilatildeo da folga radial conforme mostrado na Figura 420
Figura 420 ndash Excentricidade adimensional do ponto de equiliacutebrio estaacutetico dos mancais
eliacutepticos em funccedilatildeo da folga radial
80
A Figura 421 apresenta os valores do coeficiente de rigidez direta adimensional dos mancais
eliacutepticos em funccedilatildeo da folga radial Eacute observado que estes coeficientes apresentam uma
variaccedilatildeo muito pequena para valores de o entre zero e 03 Estes valores correspondem a folgas
radiais entre zero a 150 m respectivamente Para destacar esta faixa eacute apresentada na Figura
421 uma linha pontilhada vertical onde se observa que os valores calculados para os
coeficientes kxx e kyy variam menos de 1 e fora desta faixa os coeficientes variam
consideravelmente Satildeo exibidas no graacutefico duas linhas tracejadas horizontais como referecircncia
para facilitar a observaccedilatildeo do alinhamento dos pontos
Figura 421 ndash Coeficientes de rigidez direta adimensionais em funccedilatildeo da folga radial dos mancais eliacutepticos
A adimensionalizaccedilatildeo do coeficiente de rigidez cruzada Kxy eacute realizada de maneira semelhante agrave
dos coeficientes de rigidez direta (CORREIA 2007) Poreacutem observa-se que os coeficientes kxy e
a folga radial tecircm uma relaccedilatildeo de proporcionalidade inversa para uma certa faixa operacional
descrita a seguir Desta forma o produto entre eles deve ser constante nesta faixa Sugere-se
assim um novo adimensional o ―coeficiente de rigidez cruzada adimensional modificado
definido por
onde Kxy eacute o coeficiente de rigidez cruzada dimensional c eacute a folga radial do mancal W eacute a
carga estaacutetica no mancal eacute a excentricidade adimensional no ponto de equiliacutebrio estaacutetico kxy
eacute o coeficiente de rigidez cruzada adimensional
81
A Figura 422 apresenta os resultados obtidos pelo MEF para o caacutelculo do coeficiente de rigidez
cruzada adimensional modificado dos mancais eliacutepticos para diferentes valores de folga
radial
Figura 422 ndash Coeficientes de rigidez cruzada adimensional modificado em funccedilatildeo da folga
radial dos mancais eliacutepticos
Observa-se que para a faixa onde os valores do coeficiente de rigidez cruzada
adimensional modificado satildeo aproximadamente constantes Apenas o uacuteltimo valor desta faixa
apresenta um desvio de 5 em relaccedilatildeo aos demais que variam menos de 1 Esta anaacutelise vale
de maneira anaacuteloga para ambos coeficientes de rigidez cruzada pois Kyx = -Kxy
Para os resultados computacionais dos coeficientes de amortecimento observa-se um padratildeo
semelhante ao identificado para os coeficientes de rigidez quando uma vez que nesta
faixa o coeficiente de amortecimento direto Cxx eacute proporcional ao coeficiente de rigidez cruzada
Kxy e o coeficiente de amortecimento cruzado Cxy eacute proporcional ao coeficiente de rigidez
direta Kxx Para investigar a faixa onde esta proporcionalidade eacute mantida eacute apresentado na
Figura 423 a razatildeo em funccedilatildeo da folga radial do mancal eliacuteptico Observa-se que para
a razatildeo eacute aproximadamente constante variando menos de 1 Este resultado
eacute ilustrado na Figura 423 sendo tambeacutem vaacutelido para a razatildeo
82
Figura 423 ndash Razatildeo CxyKxx em funccedilatildeo da folga radial dos mancais eliacutepticos
O amortecimento efetivo do mancal eacute um paracircmetro importante na anaacutelise da estabilidade
(VANCE 1988) definido pela expressatildeo 2ωCxxKxy onde Cxx eacute o coeficiente de amortecimento
direto (ou Cyy) e Kxy eacute o coeficiente de rigidez cruzada (ou -Kyx) Assim para concluir a anaacutelise
dos coeficientes de amortecimento em funccedilatildeo da folga radial eacute escolhido o amortecimento
efetivo como paracircmetro de desempenho Satildeo apresentados na Figura 424 os resultados do
amortecimento efetivo em funccedilatildeo da folga radial dos mancais eliacutepticos Novamente eacute observado
que para e0lt03 o amortecimento efetivo varia pouco menos de 1
Figura 424 ndash Amortecimento efetivo em funccedilatildeo da folga radial dos mancais eliacutepticos
83
Pode-se observar que os diversos paracircmetros analisados relacionados aos coeficientes de forccedila
dos mancais eliacutepticos variam pouco na faixa onde e este padratildeo natildeo eacute observado fora
desta faixa
422 Coeficientes de forccedila em funccedilatildeo da razatildeo de esbeltez dos mancais eliacutepticos
A razatildeo de esbeltez (LD) eacute um paracircmetro importante no projeto dos mancais hidrodinacircmicos
influenciando de maneira natildeo-linear nos seus coeficientes de forccedila (SAWICKI e RAO 2004)
No procedimento computacional proposto observa-se um padratildeo comum para alguns
paracircmetros de desempenho dos mancais eliacutepticos em funccedilatildeo da razatildeo de esbeltez
Eacute apresentada na Figura 425 a curva que relaciona a excentricidade adimensional do ponto de
equiliacutebrio estaacutetico ( ) com a razatildeo de esbeltez (LD) para os mancais analisados Observa-se um
valor de para LD = 045 que eacute uma razatildeo de esbeltez muito baixa conforme
observado nas aplicaccedilotildees industriais
Figura 425 ndash Excentricidade adimensional do ponto de equiliacutebrio estaacutetico dos mancais eliacutepticos em
funccedilatildeo da razatildeo de esbeltez
Na anaacutelise dos coeficientes de forccedila dos mancais em funccedilatildeo de LD identifica-se um padratildeo
comum para o amortecimento efetivo ( ) como ilustrado na Figura 426 Observa-se
que na faixa onde o amortecimento efetivo eacute aproximadamente constante variando no
maacuteximo 3
84
Figura 426 ndash Variaccedilatildeo do amortecimento efetivo em funccedilatildeo da razatildeo de esbeltez dos mancais eliacutepticos
Os resultados obtidos pelo MEF para o coeficiente de amortecimento cruzado adimensional (cxy)
mostram que existe uma relaccedilatildeo linear entre cxy e LD na faixa onde conforme
ilustrado na Figura 427 A linha tracejada indica o ajuste linear feito com os pontos desta faixa
no qual obteacutem-se um coeficiente de determinaccedilatildeo (R2) maior que 099 Embora os pontos na
faixa oposta (LD lt 045 e ) estejam tambeacutem aproximadamente alinhados natildeo foi
observado outro padratildeo comum nesta faixa
Figura 427 ndash Variaccedilatildeo do amortecimento cruzado adimensional em funccedilatildeo da razatildeo de esbeltez dos
mancais eliacutepticos
85
Os coeficientes de forccedila apresentados nesta seccedilatildeo obtidos pelo MEF implementado para os
mancais eliacutepticos apresentam uma clara relaccedilatildeo algeacutebrica com a razatildeo de esbeltez que se
manteacutem na faixa onde
423 Coeficientes de forccedila em funccedilatildeo da preacute-carga dos mancais eliacutepticos
Outro paracircmetro importante no projeto dos mancais hidrodinacircmicos eacute a preacute-carga (Mp) No
procedimento computacional proposto observa-se um padratildeo comum para alguns paracircmetros de
desempenho de mancais eliacutepticos em funccedilatildeo da preacute-carga
A Figura 428 apresenta a excentricidade adimensional do ponto de equiliacutebrio estaacutetico dos
mancais analisados para diferentes valores de preacute-carga (Mp) Observa-se um valor de
para Mp = 04
Figura 428 ndash Excentricidade adimensional do ponto de equiliacutebrio estaacutetico dos mancais eliacutepticos em
funccedilatildeo da preacute-carga
Na anaacutelise dos coeficientes de rigidez direta dos mancais para diferentes valores de Mp
observa-se uma relaccedilatildeo de proporcionalidade entre Mp e (kyy)23
e entre Mp e (kxx)12
como
ilustrado na Figura 429 Na faixa onde que corresponde a Mp lt 04 estas relaccedilotildees
algeacutebricas variam pouco Observa-se que nesta faixa a relaccedilatildeo de proporcionalidade entre Mp e
(kyy)23
varia no maacuteximo 4 e entre Mp e (kxx)12
varia no maacuteximo 7 Fora desta faixa as
variaccedilotildees satildeo maiores que 20
86
Figura 429 ndash Variaccedilatildeo da relaccedilatildeo de ajuste entre Mp kxx e kxy em funccedilatildeo da preacute-carga dos mancais eliacutepticos
Observa-se tambeacutem uma relaccedilatildeo linear entre o amortecimento efetivo ( ) e a preacute-
carga para valores de A Figura 436 apresenta estes resultados onde a linha tracejada
corresponde ao ajuste linear feito na faixa onde obtendo-se um coeficiente de
determinaccedilatildeo (R2) maior que 0999
Figura 430 ndash Variaccedilatildeo do amortecimento efetivo em funccedilatildeo da preacute-carga dos mancais eliacutepticos
Estes resultados obtidos pelo MEF implementado para os mancais eliacutepticos mostram que os
coeficientes de forccedila apresentam uma clara relaccedilatildeo algeacutebrica com a preacute-carga quando a
excentricidade adimensional ponto de equiliacutebrio estaacutetico eacute menor que 03
87
43 A influecircncia dos paracircmetros geomeacutetricos dos mancais eliacutepticos na resposta
desbalanceada
A resposta desbalanceada do sistema rotor-mancal eacute um importante paracircmetro operacional que
auxilia no projeto de maacutequinas rotativas pois informa o niacutevel de vibraccedilatildeo do sistema ao se
atravessar as velocidades criacuteticas Desta forma eacute fundamental uma anaacutelise da influecircncia dos
paracircmetros geomeacutetricos dos mancais eliacutepticos na resposta desbalanceada do sistema De fato
muitas turbomaacutequinas operam acima da primeira velocidade criacutetica e por isto os mancais devem
ser projetados para absorver as altas vibraccedilotildees provocadas pelo sistema quando ele passa pela
velocidade criacutetica
O procedimento computacional proposto neste trabalho permite predizer como os paracircmetros
geomeacutetricos dos mancais eliacutepticos influenciam a resposta desbalanceada Esta anaacutelise eacute realizada
atraveacutes dos resultados obtidos da integraccedilatildeo no tempo das equaccedilotildees do movimento
Satildeo selecionados a seguir alguns paracircmetros geomeacutetricos importantes no projeto de mancais
eliacutepticos e analisada a resposta desbalanceada do sistema rotor-mancal em funccedilatildeo destes
paracircmetros Inicialmente faz-se uma anaacutelise da influecircncia da preacute-carga dos mancais eliacutepticos na
razatildeo de amplificaccedilatildeo da resposta desbalanceada Em seguida eacute analisada a resposta
desbalanceada em funccedilatildeo da razatildeo de esbeltez dos mancais eliacutepticos e finalmente eacute analisada a
influecircncia da folga radial dos mancais eliacutepticos na resposta desbalanceada
431 A razatildeo de amplificaccedilatildeo da resposta desbalanceada em funccedilatildeo da preacute-carga
A resposta desbalanceada de rotores analisada para diferentes mancais eacute normalmente usada
como um paracircmetro de eficiecircncia dos mancais nas velocidades criacuteticas (FLACK e ROOKE
1980) Ela eacute a medida da amplitude de vibraccedilatildeo do sistema quando excitado pela forccedila de
desbalanceamento A reposta desbalanceada eacute analisada para o sistema apoiado em mancais
eliacutepticos sob diferentes valores de preacute-carga baseados em um exemplo de mancal eliacuteptico
apresentado em Machado(2006) A amplitude de vibraccedilatildeo eacute calculada atraveacutes do raio meacutedio das
oacuterbitas obtidas pelo procedimento numeacuterico Os paracircmetros do sistema satildeo apresentados na
Tabela 414 O rotor simulado natildeo possui discos massivos e estaacute apoiado em mancais
hidrodinacircmicos eliacutepticos como ilustrado na Figura 431
88
Figura 431 ndash Desenho esquemaacutetico do rotor sem disco massivo
Tabela 414 Paracircmetros do sistema rotor-mancal eliacuteptico utilizado na anaacutelise
d (diacircmetro do eixo) = 0015 m μ (viscosidade do lubrificante) = 27 x 10-3
Pas
L (comprimento do mancal) = 0012 m ρL (massa especiacutefica do lubrificante)= 915 kgmsup3
D (diacircmetro do mancal) = 0015 m ρ (massa especiacutefica do eixo) = 7850 kgmsup3
c1 (folga do mancal 1) = 24 μm c2 (folga do mancal 2) = 24 μm
Leixo (comprimento do eixo) = 0900m mu (massa desbalanceada) = 00035 kg
Ω (rotaccedilatildeo do rotor) = 2000 a 10000 rpm ud (excentricidade da massa desbalanceada) = 0035 m
E (Moacutedulo de Young do eixo) = 205x109 Pa Mp (preacute-carga dos mancais)=045
W (carga estaacutetica por mancal) = 612N
Para este exemplo eacute adotada uma malha de 80 elementos para o eixo e de 351 elementos para o
filme fluido composta por 40 noacutes circunferenciais e 10 noacutes axiais A excentricidade
adimensional do ponto de equiliacutebrio estaacutetico calculado eacute com um acircngulo de posiccedilatildeo
proacuteximo de zero Este ponto de equiliacutebrio eacute calculado de modo a garantir que a forccedila
hidrodinacircmica do filme fluido seja agrave carga estaacutetica W que eacute obtida dividindo-se o peso do eixo
pelo nuacutemero de mancais
A resposta desbalanceada (Figura 432) eacute calculada no mancal 1 considerando mancais eliacutepticos
com preacute-carga Mp=045 A amplitude adimensional eacute calculada dividindo-se a amplitude de
vibraccedilatildeo do eixo pela folga do mancal Os dois picos destacados na Figura 432 representam a
primeira e segunda velocidades criacuteticas do rotor
89
Figura 432 ndash Resposta desbalanceada calculada no mancal 1 do rotor apoiado em mancais eliacutepticos
com preacute-carga 045 (MIRANDA e FARIA 2012)
Uma vez identificadas as velocidades criacuteticas do rotor estuda-se a influecircncia da preacute-carga dos
mancais eliacutepticos na resposta desbalanceada com o rotor operando em torno da sua primeira
velocidade criacutetica A resposta desbalanceada para o sistema apoiado em mancais hidrodinacircmicos
eliacutepticos com diferentes valores de preacute-carga (Mp) eacute exibida na Figura 433 A curva superior
corresponde Mp=075 a curva intermediaacuteria corresponde a Mp=045 e a curva inferior
corresponde a Mp=045
Figura 433 ndash Resposta desbalanceada para diferentes valores de preacute-carga dos mancais eliacutepticos
(MIRANDA e FARIA 2012)
90
Os valores das amplitudes adimensionais satildeo calculadas na extremidade esquerda do eixo onde
ele estaacute apoiado no mancal 1 Observa-se que a amplitude na primeira velocidade criacutetica eacute mais
elevada para valores maiores de preacute-carga Poreacutem aleacutem de analisar a amplitude da vibraccedilatildeo eacute
importante tambeacutem investigar a razatildeo de amplificaccedilatildeo desta vibraccedilatildeo
A razatildeo de amplificaccedilatildeo da resposta desbalanceada na velocidade criacutetica eacute um paracircmetro
importante na anaacutelise da estabilidade do sistema rotor-mancal (ZEIDAN e PAQUETTE 1994)
Neste exemplo numeacuterico ela eacute calculada atraveacutes da relaccedilatildeo entre a resposta desbalanceada na
primeira velocidade criacutetica e na rotaccedilatildeo de 2000rpm A rotaccedilatildeo de 2000rpm eacute escolhida como
referecircncia pelo fato de representar uma rotaccedilatildeo onde a amplitude de vibraccedilatildeo apresenta pouca
influecircncia da velocidade criacutetica A razatildeo de amplificaccedilatildeo permite inferir sobre a capacidade do
mancal eliacuteptico atenuar a resposta desbalanceada do rotor ao passar pela velocidade criacutetica o
que eacute uma caracteriacutestica importante dos mancais hidrodinacircmicos (STERNLICHT e LEWIS
1968 VANCE 1988 CORREIA 2007) A Figura 434 apresenta os valores da razatildeo de
amplificaccedilatildeo para o exemplo estudado com diferentes valores de preacute-carga nos mancais A preacute-
carga zero representa o caso particular de mancal ciliacutendrico
Figura 434 ndashRazatildeo de amplificaccedilatildeo da resposta desbalanceada na primeira velocidade criacutetica para o
rotor apoiado em mancais eliacutepticos (MIRANDA e FARIA 2012)
Observa-se uma menor razatildeo de amplificaccedilatildeo (maior atenuaccedilatildeo) da resposta desbalanceada na
primeira velocidade criacutetica para uma preacute-carga de 045 A literatura teacutecnica apresenta uma
recomendaccedilatildeo de aplicaccedilatildeo de mancais eliacutepticos com preacute-carga de aproximadamente 05 por
apresentar melhor estabilidade (PINKUS 1956 ALLAIRE e FLACK 1981) Portanto para o
91
exemplo de rotor analisado este resultado mostra uma concordacircncia entre os valores obtidos
pelo MEF para a razatildeo de amplificaccedilatildeo e a recomendaccedilatildeo da literatura no que diz respeito agrave
estabilidade de mancais eliacutepticos
432 A resposta desbalanceada em funccedilatildeo da razatildeo de esbeltez dos mancais eliacutepticos
A resposta desbalanceada do sistema rotor-mancal eacute analisada para o rotor da Figura 435
composto por um eixo flexiacutevel apoiado nas extremidades por mancais hidrodinacircmicos eliacutepticos
e com um disco massivo acoplado em uma posiccedilatildeo assimeacutetrica Esta posiccedilatildeo assimeacutetrica eacute
escolhida para se evitar soluccedilotildees particulares restritas a rotores com simetria axial Os
paracircmetros do rotor satildeo apresentados na Tabela 415 onde os paracircmetros baacutesicos dos mancais
eliacutepticos satildeo idecircnticos aos apresentados por Correia(2006)
Figura 435 ndashDesenho esquemaacutetico do rotor com disco massivo em posiccedilatildeo assimeacutetrica
A resposta desbalanceada eacute calculada atraveacutes da amplitude adimensional de vibraccedilatildeo do rotor
operando na primeira velocidade criacutetica (VC) apoiado mancais eliacutepticos com diferentes razotildees
de esbeltez (LD) A amplitude adimensional eacute obtida dividindo-se a amplitude de vibraccedilatildeo pela
folga do mancal
92
Tabela 415ndash Paracircmetros do rotor com mancais eliacutepticos
Paracircmetro Descriccedilatildeo Valor Unidade
leixo comprimento do eixo (vatildeo) 090 m
d diacircmetro do eixo 0015 m
L comprimento do mancal (variaacutevel) m
D diacircmetro do mancal 010 m
c1 folga do mancal 75 x 10-6
m viscosidade do lubrificante 84 x 10
-3 Pamiddots
massa especiacutefica do lubrificante 892 kgmsup3
E moacutedulo de elasticidade do eixo 205 x 109 Pa
coeficiente de Poisson do eixo 03 -
massa especiacutefica do eixo 7850 kgmsup3
W
w
carga estaacutetica em cada mancal
rotaccedilatildeo
100
2000
N
rpm
Para este exemplo eacute adotada uma malha de 80 elementos para o eixo e de 210 a 2100 elementos
para o filme fluido dependendo da razatildeo de esbeltez LD de modo a garantir menos de 1 de
erro relativo Os pontos de equiliacutebrio estaacuteticos satildeo mostrados na Figura 437
A integraccedilatildeo numeacuterica das equaccedilotildees de movimento permitem obter as amplitudes de vibraccedilatildeo
do rotor na primeira velocidade criacutetica (VC) Satildeo apresentadas na Figura 436 em escala log-log
a amplitude adimensional da resposta desbalanceada calculada no mancal 1 para o rotor
operando na primeira VC em funccedilatildeo da razatildeo de esbeltez (LD) dos mancais Satildeo considerados
trecircs tipos de mancais eliacutepticos com valores de preacute-carga Mp=0 Mp=045 Mp=090
Figura 436 ndash Amplitude de vibraccedilatildeo na primeira VC
em funccedilatildeo da razatildeo de esbeltez dos mancais eliacutepticos
93
Na Figura 436 observa-se que os pontos se mantecircm alinhados e proacuteximos das curvas de ajuste
para os valores de LD maiores que 04 que foi destacado no eixo horizontal Como a escala eacute
logariacutetmica em ambos eixos isto natildeo indica uma linearidade mas alguma relaccedilatildeo de potecircncia
entre a amplitude na VC e a razatildeo de esbeltez dos mancais A linha traccedilo-ponto apresentada no
graacutefico representa o ajuste feito para os valores obtidos com Mp=090 e a linha tracejada
representa o ajuste feito para os valores obtidos com Mp=0 O ajuste de curvas mostra que haacute
uma relaccedilatildeo cuacutebica inversa entre a amplitude da resposta desbalanceada (Ampl) e a razatildeo de
esbeltez (LD) do mancal com um coeficiente de determinaccedilatildeo R2 maior que 0999 Desta
forma eacute possiacutevel predizer o valor da amplitude calculada dentro desta faixa pela expressatildeo
onde a constante a depende da preacute-carga (Mp) do mancal eliacuteptico
Observa-se ainda pela Figura 436 que os pontos satildeo bem alinhados para as curvas de ajuste
obtidas para valores de LDgt04 E esta faixa de valores de razatildeo de esbeltez corresponde agrave
faixa onde a excentricidade adimensional no ponto de equiliacutebrio estaacutetico eacute menor que 035
Este valor eacute proacuteximo ao obtido nas anaacutelises apresentadas nas subseccedilotildees anteriores onde se
observa uma relaccedilatildeo algeacutebrica repetitiva para os paracircmetros de desempenho dos mancais na
faixa
O resultado apresentado na Figura 436 mostra tambeacutem que o procedimento baseado no MEF
pode ser usado na prediccedilatildeo da influecircncia da razatildeo de esbeltez dos mancais eliacutepticos na resposta
desbalanceada do sistema rotor-mancal o que eacute importante na anaacutelise de alteraccedilotildees de projetos
de maacutequinas rotativas
Outro resultado importante eacute destacado a seguir Constata-se que a excentricidade adimensional
do ponto de equiliacutebrio estaacutetico apresenta uma relaccedilatildeo cuacutebica inversa com o valor de LD Esta
relaccedilatildeo proveacutem dos ajustes de curva apresentados na Figura 437 onde pode-se observar os
valores calculados para em funccedilatildeo de LD A linha fina horizontal equivale a
94
Figura 437 ndash Curvas de ajuste da excentricidade adimensional do ponto de equiliacutebrio estaacutetico em
funccedilatildeo da razatildeo de esbeltez dos mancais eliacutepticos
Eacute observado que os pontos do graacutefico seguem alinhados com as curvas de ajuste para valores de
para o mancal ciliacutendrico (Mp=0) e vatildeo se afastando deste alinhamento para valores
maiores de Para os mancais eliacutepticos o valor os pontos seguem alinhados com a curva de
ajuste para valores de um pouco maiores Como o graacutefico estaacute em escala log-log o fato das
curvas de ajuste serem retas natildeo significa uma relaccedilatildeo de linearidade De fato a relaccedilatildeo entre
e LD identificada para este exemplo eacute
onde a eacute uma constante de proporcionalidade que varia com a preacute-carga Esta relaccedilatildeo eacute vaacutelida
para os trecircs valores de preacute-carga considerados neste exemplo Tendo em vista esta relaccedilatildeo
define-se como ―razatildeo de ajuste o valor para se examinar em qual faixa de
excentricidade esta razatildeo eacute mantida aproximadamente constante A Figura 438 ilustra como a
razatildeo de ajuste varia em funccedilatildeo de Satildeo incluiacutedas linhas tracejadas para auxiliar na
observaccedilatildeo do alinhamento dos pontos Eacute possiacutevel perceber que a razatildeo de ajuste eacute
aproximadamente constante ateacute um certo valor de que varia com a preacute-carga Mp
95
Figura 438 ndash Razatildeo de ajuste de LD em funccedilatildeo da excentricidade adimensional do ponto de
equiliacutebrio estaacutetico dos mancais
Para melhor identificar um valor limite de ( ) satildeo apresentados na Figura 442 os valores dos
erros relativos da razatildeo de ajuste em funccedilatildeo da excentricidade adimensional do ponto de
equiliacutebrio estaacutetico Estes erros indicam o quanto os pontos da Figura 438 estatildeo distantes das
retas de referecircncia ou seja o quanto cada valor estaacute distante do ajuste de curva calculado
Figura 439 ndash Erros relativos da razatildeo de ajuste de LD em funccedilatildeo da excentricidade adimensional do
ponto de equiliacutebrio estaacutetico dos mancais
96
Percebe-se que os mancais eliacutepticos analisados (Mp=090 e Mp=045) desviam menos do ajuste
de curva do que o mancal ciliacutendrico (Mp=0) Pelas curvas da Figura 439 observa-se que os
mancais eliacutepticos analisados quando possuem um valor apresentam um desvio
pequeno em relaccedilatildeo agrave curva de ajuste proacuteximo de 5 Esta faixa de equivale agrave faixa
identificada nos demais resultados apresentados neste trabalho onde satildeo observadas relaccedilotildees
algeacutebricas que se manteacutem com aproximadamente 5 de precisatildeo Este desvio pode estar
relacionado com alguma perturbaccedilatildeo numeacuterica do procedimento computacional implementado
que leva a resultados menos confiaacuteveis para valores elevados de excentricidade principalmente
quando
433 A resposta desbalanceada em funccedilatildeo da folga radial dos mancais eliacutepticos
A resposta desbalanceada do sistema rotor-mancal eacute analisada nesta seccedilatildeo em funccedilatildeo da folga
radial nos mancais A folga tem uma forte influecircncia nos coeficientes de forccedila dos mancais
hidrodinacircmicos o que provoca uma variaccedilatildeo nos niacuteveis de vibraccedilatildeo do sistema principalmente
nas velocidades criacuteticas Os paracircmetros do sistema analisado satildeo apresentados na Tabela 415
exceto o comprimento dos mancais que foi fixado em 75mm e a folga passou a ser variaacutevel O
rotor ilustrado esquematicamente na Figura 435
Satildeo considerados trecircs tipos de mancais eliacutepticos com preacute-cargas (Mp) de 0 045 e 090 As
amplitudes de vibraccedilatildeo satildeo calculadas no Mancal 1 para o rotor operando na primeira
velocidade criacutetica As amplitudes satildeo apresentadas de maneira adimensional na Figura 440 em
escala logariacutetmica onde a linha traccedilo-ponto apresentada no graacutefico representa o ajuste feito para
os valores obtidos com Mp=090 e a linha tracejada representa o ajuste para os valores obtidos
com Mp=0 Natildeo eacute apresentada a linha do ajuste para MP=045 por motivos esteacuteticos Para os
trecircs valores de Mp eacute identificada uma relaccedilatildeo quadraacutetica entre a amplitude adimensional da
resposta desbalanceada e a folga radial dos mancais
97
Figura 440 ndash Amplitude de vibraccedilatildeo na primeira VC
em funccedilatildeo da folga radial dos mancais
Eacute observado na Figura 440 que os pontos se manteacutem alinhados e proacuteximos das curvas de
ajuste para os valores de folga de ateacute aproximadamente 150 m Como a escala eacute logariacutetmica em
ambos eixos isto natildeo indica uma linearidade mas sim a relaccedilatildeo quadraacutetica identificada pelo
ajuste de curva
Na anaacutelise da excentricidade em funccedilatildeo da folga radial c eacute tambeacutem identificada uma relaccedilatildeo
quadraacutetica dada pela expressatildeo onde a eacute uma constante de proporcionalidade que
varia com a preacute-carga Mp Tendo em vista esta relaccedilatildeo define-se uma nova ―razatildeo de ajuste
pela expressatildeo para se analisar em qual faixa de excentricidade esta razatildeo eacute mantida
aproximadamente constante A Figura 441 apresenta os valores obtidos para a razatildeo de ajuste
em funccedilatildeo de Satildeo incluiacutedas linhas tracejadas para auxiliar na observaccedilatildeo do alinhamento
dos pontos Eacute possiacutevel perceber que a razatildeo de ajuste eacute aproximadamente constante ateacute um certo
valor de que varia com a preacute-carga Mp
98
Figura 441 ndash Razatildeo de ajuste da folga radial em funccedilatildeo da excentricidade adimensional do ponto de
equiliacutebrio estaacutetico dos mancais
Para melhor identificar um valor limite de satildeo apresentados na Figura 442 os valores dos
erros relativos da razatildeo de ajuste em funccedilatildeo de Estes erros indicam o quanto os pontos da
Figura 441 estatildeo distantes das retas de referecircncia ou seja o quanto cada valor estaacute distante do
ajuste de curva calculado
Figura 442 ndash Erros relativos da razatildeo de ajuste da folga radial em funccedilatildeo da excentricidade
adimensional do ponto de equiliacutebrio estaacutetico dos mancais
99
Eacute observado novamente que os mancais eliacutepticos analisados (Mp=090 e Mp=045) desviam
menos do ajuste de curva do que o mancal ciliacutendrico (Mp=0) e que para uma excentricidade
adimensional os mancais eliacutepticos apresentam um desvio pequeno em relaccedilatildeo agrave curva
de ajuste proacuteximo de 5 Este resultado eacute muito parecido com aquele identificado na seccedilatildeo
anterior onde eacute analisada a resposta desbalanceada em funccedilatildeo da razatildeo de esbeltez LD dos
mancais
A literatura teacutecnica afirma que sob determinadas condiccedilotildees operacionais os mancais eliacutepticos
apresentam uma faixa de operaccedilatildeo mais ampla do que os mancais ciliacutendricos (CORREIA 2007)
Desta forma pode-se estabelecer uma relaccedilatildeo entre os resultados obtidos pelo MEF
implementado e esta afirmaccedilatildeo da literatura se for considerado que o desvio em relaccedilatildeo agrave curva
de ajuste estaacute relacionado com algum tipo de limitaccedilatildeo operacional
100
5 CONCLUSOtildeES
O procedimento computacional aqui desenvolvido baseado no MEF permite predizer o
comportamento dinacircmico de diferentes tipos de rotores compostos por eixo flexiacutevel discos
massivos e mancais hidrodinacircmicos de perfil ciliacutendrico ou eliacuteptico Os resultados produzidos
permitem validar o modelo pela comparaccedilatildeo com valores experimentais coletados em uma
bancada de teste e tambeacutem com valores publicados na literatura
O presente trabalho apresenta uma importante contribuiccedilatildeo na anaacutelise de sistemas rotor-mancal
pelo fato de investigar o sistema rotativo de maneira ampla tanto para o eixo flexiacutevel quanto
para os mancais Satildeo considerados no modelo do eixo flexiacutevel os efeitos de deformaccedilatildeo por
cisalhamento ineacutercia rotatoacuteria e efeito giroscoacutepico e para o modelo dos mancais
hidrodinacircmicos ciliacutendricos e eliacutepticos satildeo considerados todos os coeficientes de forccedila
independentes sem o uso de teorias simplificadas como os modelos de mancal curto ou de
mancal longo
Este procedimento computacional eacute muito uacutetil natildeo apenas para se determinar a resposta
desbalanceada de rotores como tambeacutem para se avaliar a viabilidade de alteraccedilotildees de projeto
capazes de melhorar o comportamento dinacircmico de maacutequinas rotativas
Os coeficientes de forccedila dos mancais hidrodinacircmicos desempenham um importante papel no
projeto de maacutequinas rotativas na previsatildeo de sua capacidade de suportar vibraccedilotildees e de operar
em condiccedilotildees estaacuteveis Os resultados apresentados neste trabalho mostram claramente a
influecircncia dos paracircmetros geomeacutetricos dos mancais hidrodinacircmicos de geometria fixa
ciliacutendricos e eliacutepticos nos seus coeficientes de forccedila e na resposta desbalanceada do sistema
rotativo
Os resultados numeacutericos obtidos pelo MEF aqui desenvolvido apresentam um erro relativo de
aproximadamente 4 para as frequecircncias naturais em relaccedilatildeo aos resultados experimentais e da
literatura
A anaacutelise da influecircncia da folga radial dos mancais eliacutepticos nos coeficientes de forccedila mostra
que os coeficientes de rigidez direta adimensionais variam pouco dentro da faixa operacional
onde a excentricidade adimensional do ponto de equiliacutebrio estaacutetico (e0) eacute menor que 03 Acima
deste valor os coeficientes de rigidez direta adimensionais diminuem consideravelmente
101
Observa-se ainda que o coeficiente de rigidez cruzado adimensional (kxy) eacute inversamente
proporcional ao e0 o que permite introduzir um novo adimensional o ―coeficiente de rigidez
cruzada adimensional modificado definido por xy=e0kxy Este coeficiente tambeacutem apresenta
valores aproximadamente constantes quando se varia a folga do mancal eliacuteptico dentro da faixa
onde e0lt03 Tambeacutem satildeo observados valores aproximadamente constantes para a razatildeo CxyKxx
e para o amortecimento efetivo ( ) quando se varia a folga mantendo-se e0lt03
A anaacutelise da influecircncia da razatildeo de esbeltez (LD) dos mancais eliacutepticos nos coeficientes de
forccedila permite observar que o amortecimento efetivo ( ) e o coeficiente de
amortecimento cruzado adimensional (cxy) dos mancais eliacutepticos seguem um padratildeo comum
quando e0lt03 Para o amortecimento efetivo os valores satildeo aproximadamente constantes
enquanto para cxy observa-se uma relaccedilatildeo linear entre cxy e e0 nesta faixa
Na anaacutelise da influecircncia da preacute-carga (Mp) dos mancais eliacutepticos nos coeficientes de forccedila
observa-se uma proporcionalidade entre Mp e (kyy)23
e entre Mp e (kxx)12
na faixa onde
Eacute identificado tambeacutem que o amortecimento efetivo ( ) varia linearmente com Mp
nesta faixa
Eacute mostrado atraveacutes de um exemplo de rotor flexiacutevel apoiado em mancais eliacutepticos que a razatildeo
de amplificaccedilatildeo da resposta desbalanceada atinge um miacutenimo para um exemplo de mancal com
Mp=045 A literatura teacutecnica apresenta uma recomendaccedilatildeo de aplicaccedilatildeo de mancais eliacutepticos
com preacute-carga de aproximadamente 05 por apresentar melhor estabilidade (PINKUS 1956
ALLAIRE e FLACK 1981) Portanto para o exemplo de rotor analisado este resultado mostra
uma concordacircncia entre os valores obtidos pelo MEF para a razatildeo de amplificaccedilatildeo e a
recomendaccedilatildeo da literatura no que diz respeito agrave estabilidade de mancais eliacutepticos
A anaacutelise da resposta desbalanceada permite observar que a amplitude de vibraccedilatildeo na primeira
velocidade criacutetica eacute proporcional a (LD)-3
e tambeacutem proporcional ao quadrado da folga radial
(c2) na faixa onde Esta proporcionalidade eacute mantida em uma faixa operacional mais
ampla para os mancais eliacutepticos do que para os mancais ciliacutendricos analisados
Este resultado de aproximadamente 03 encontra respaldo na literatura teacutecnica que afirma que o
procedimento linearizado de perturbaccedilatildeo em torno da posiccedilatildeo de equiliacutebrio eacute vaacutelido para ateacute
102
40 da folga do mancal (LUND1987) Esta observaccedilatildeo eacute tambeacutem destacada no trabalho de
Sawicki e Rao (2004) Aleacutem disso Furukawa et al (1996) observam que a natildeo linearidade do
filme fluido produz grandes diferenccedilas entre os valores calculados e os medidos
experimentalmente em especial na regiatildeo de alta excentricidade
Desta forma sugere-se para trabalhos futuros a investigaccedilotildees mais aprofundadas sobre os
efeitos dinacircmicos que ocorrem quando o ponto de equiliacutebrio estaacutetico ultrapassa o limite de 40
da folga do mancal O meacutetodo aqui implementado adota um procedimento de perturbaccedilatildeo linear
em torno da posiccedilatildeo de equiliacutebrio obtendo equaccedilotildees de lubrificaccedilatildeo de ordem zero e de primeira
ordem baseadas na equaccedilatildeo de Reynolds Sugere-se ainda a implementaccedilatildeo de um modelo que
considere termos de ordem superior na obtenccedilatildeo das equaccedilotildees de lubrificaccedilatildeo ou que adote
algum outro modelo natildeo-linear
Sugere-se ainda aplicar a metodologia deste trabalho em outros procedimentos computacionais
para observar faixas onde os resultados possam apresentar padrotildees repetitivos Sugere-se
investigar a existecircncia de relaccedilotildees algeacutebricas entre os paracircmetros do sistema e os resultados e
que possam se manter vaacutelidas dentro de uma faixa de valores
Outras abordagens que podem ampliar os resultados do presente trabalho incluem a anaacutelise de
mancais hidrodinacircmicos de geometria variaacutevel com fluidos natildeo-newtonianos e a anaacutelise de
efeitos teacutermicos nos paracircmetros de desempenho destes mancais
Os resultados deste trabalho fornecem subsiacutedio agrave aacuterea de projeto de maacutequinas rotativas uma vez
que o procedimento computacional desenvolvido permite predizer seu comportamento dinacircmico
para diversas condiccedilotildees operacionais
103
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112
ANEXO A - Fundamentos da Teoria de Viga
Neste Anexo satildeo apresentadas de maneira breve as expressotildees das teorias de viga de Euler-
Bernoulli de Rayleigh e de Timoshenko A Teoria de Viga de Timoshenko eacute a forma mais
completa representando a vibraccedilatildeo lateral de vigas a partir da qual podem-se derivar as outras
duas teorias como casos particulares desta (BORU 2010)
A1 Teoria de Viga de Euler-Bernoulli
A Teoria de Viga de Euler-Bernoulli foi formulada no seacuteculo XVIII e o detalhamento de sua
derivaccedilatildeo eacute apresentado em Clough e Penzien (1975) e em Meirovitch (1967)
Considere a viga ilustrada na Fig A1 sob a accedilatildeo de uma carga distribuiacuteda variaacutevel q(xt) e uma
deflexatildeo lateral v(xt) na direccedilatildeo y As propriedades da viga satildeo sua rigidez agrave flexatildeo EI(x) e a
massa especiacutefica A(x)
Figura A1 - Viga de Euler-Bernoulli sob carregamento distribuiacutedo (Boru 2010)
113
A2 Teoria de Viga de Rayleigh
A Teoria de Viga de Rayleigh considera a ineacutercia rotacional da viga aleacutem da ineacutercia
translacional Assim para um modelo dinacircmico de uma viga em rotaccedilatildeo as frequecircncias naturais
seratildeo mais bem representadas
A equaccedilatildeo da Teoria de Viga de Rayleigh eacute definida por
Se for considerado o caso da viga com seccedilatildeo transversal uniforme ao longo de x a equaccedilatildeo
(A3) eacute simplificada para a forma
A Teoria de Viga de Rayleigh eacute uma extensatildeo da teoria de Euller-Bernoulli o que pode ser
observado comparando-se os trecircs primeiros termos da equaccedilatildeo (A4) com a equaccedilatildeo (A2) O
termo adicional da equaccedilatildeo (A4) eacute relativo agrave ineacutercia rotatoacuteria
A3 Teoria de Viga de Timoshenko
A inclusatildeo da ineacutercia rotatoacuteria nos modelos dinacircmicos foi considerada insuficiente para se
melhorar os resultados do caacutelculo da frequecircncia natural de vigas (BORU 2010) Assim foi
proposto incluir o efeito de deformaccedilatildeo por cisalhamento o que aumenta a flexibilidade do
elemento de viga Este modelo levou agrave Teoria de Viga de Timoshenko Assim as frequecircncias
naturais reduziram o suficiente para se aproximar daquelas obtidas experimentalmente
(TRAILL-NASH e COLLAR 1953)
A Teoria de Viga de Timoshenko considera que a deformaccedilatildeo por cisalhamento em uma seccedilatildeo
transversal eacute diretamente proporcional agrave forccedila de cisalhamento para materiais isotroacutepicos com
propriedades lineares atraveacutes da expressatildeo
(A5)
(A3)
(A4)
114
A constante depende da forma da seccedilatildeo transversal da viga podendo assumir valores como
1113 para seccedilotildees circulares e 56 para seccedilotildees retangulares O termo representa a aacuterea
efetiva de cisalhamento da seccedilatildeo transversal
Considerando a seccedilatildeo transversal da viga uniforme a expressatildeo da Teoria de Viga de
Timoshenko eacute dada por
Pode-se observar que as duas teorias de viga anteriormente apresentadas satildeo casos particulares
da teoria de viga de Timoshenko Se a viga natildeo sofrer deformaccedilatildeo por cisalhamento o que
implica em considerar que sua resistecircncia ao cisalhamento eacute muito grande basta fazer e
os dois uacuteltimos termos seratildeo nulos levando agrave teoria de vigas de Rayleigh
Deformaccedilatildeo por cisalhamento e
ineacutercia rotatoacuteria combinados
Teoria de Euler-Bernoulli
Teoria de Rayleigh
Deformaccedilatildeo por cisalhamento
115
ANEXO B ndash Funccedilotildees de Interpolaccedilatildeo
As funccedilotildees de interpolaccedilatildeo para o problema de flexatildeo satildeo obtidas do problema estaacutetico da viga
considerando os efeitos de flexatildeo e cisalhamento simultaneamente (FARIA 1990) Estas
funccedilotildees satildeo descritas a seguir
Denota-se por a variaacutevel adimensionals que descreve a posiccedilatildeo de uma seccedilatildeo transversal
qualquer do elemento em relaccedilatildeo agrave sua extremidade inicial Sendo a variaacutevel que define cada
seccedilatildeo do elemento de rotor a partir do noacute inicial e l o comprimento do elemento a variaacutevel
adimensional eacute dada por
Para as funccedilotildees de interpolaccedilatildeo de flexatildeo no plano de deflexatildeo satildeo considerados os efeitos de
cisalhamento transversal fx e fy distintos
onde A eacute a aacuterea da seccedilatildeo transversal G eacute o modulo de elasticidade ao cisalhamento l eacute o
comprimento do elemento E eacute o moacutedulo de elasticidade I eacute o momento de ineacutercia e K eacute o fator
de forma do cisalhamento transversal Para a seccedilatildeo transversal circular (COUPER 1966)
onde eacute o coeficiente de Poisson
B1 - Funccedilotildees de Interpolaccedilatildeo para o deslocamento linear unitaacuterio no primeiro noacute
As funccedilotildees de interpolaccedilatildeo satildeo obtidas como descrito a seguir (FARIA 1990)
116
Figura B1 ndash Deslocamento linear unitaacuterio no primeiro noacute
As equaccedilotildees diferenciais para o deslocamento linear unitaacuterio no primeiro noacute (Fig B1) satildeo
escritas na seguinte forma
(B1)
(B2)
onde Vf e Vc satildeo as contribuiccedilotildees de flexatildeo e de cisalhamento respectivamente e V=Vf+Vc A
soluccedilatildeo das equaccedilotildees eacute escrita como
onde C1 e C2 satildeo constantes de integraccedilatildeo As condiccedilotildees de contorno do problema satildeo
Em s = = 0 e
Em s = l
Obteacutem-se assim a expressatildeo
que derivada em relaccedilatildeo agrave posiccedilatildeo leva a
117
B2 - Funccedilotildees de Interpolaccedilatildeo para o deslocamento angular unitaacuterio no primeiro noacute
As funccedilotildees de interpolaccedilatildeo satildeo obtidas como descrito a seguir Considere as condiccedilotildees
de contorno
Em s = 0 V=0 e Vrsquo=Vf
Em s = l V=0 e Vrsquo=Vc
Figura B2 ndash Deslocamento angular unitaacuterio no primeiro noacute
Considerando-se as equaccedilotildees (B1) e (B2) e as condiccedilotildees de contorno obteacutem-se
e a equaccedilatildeo da linha elaacutestica eacute escrita como
Entatildeo
118
e para se obter basta derivar a equaccedilatildeo elaacutestica
Mas como a rotaccedilatildeo em s = 0 possui o seguinte valor
deve-se adicionar a deformaccedilatildeo
em EIyVrsquo para se obter a rotaccedilatildeo das seccedilotildees Obteacutem-se entatildeo
B3 - Funccedilotildees de Interpolaccedilatildeo para o deslocamento linear unitaacuterio no segundo noacute
As funccedilotildees de interpolaccedilatildeo satildeo obtidas como descrito a seguir
Figura B3 ndash Deslocamento linear unitaacuterio no segundo noacute
As equaccedilotildees diferenciais para o deslocamento linear unitaacuterio no segundo noacute (Fig B3) satildeo
escritas na seguinte forma
119
(B3)
(B4)
A soluccedilatildeo geral das equaccedilotildees eacute escrita como
As condiccedilotildees de contorno satildeo dadas por
Em s = 0
Em s = l
Obteacutem-se assim a equaccedilatildeo elaacutestica
e a expressatildeo de
que derivada em relaccedilatildeo agrave posiccedilatildeo leva a
B1 - Funccedilotildees de Interpolaccedilatildeo para o deslocamento angular unitaacuterio no segundo noacute
As funccedilotildees de interpolaccedilatildeo satildeo obtidas como descrito a seguir
Obteacutem-se as equaccedilotildees diferenciais atraveacutes da Figura B4
(B5)
(B6)
120
Figura B4 ndash Deslocamento angular unitaacuterio no segundo noacute
A soluccedilatildeo geral das equaccedilotildees (B5) e (B6) eacute escrita como
As condiccedilotildees de contorno satildeo dadas por
Em s = 0 e
Em s = l e
Obteacutem-se assim a equaccedilatildeo elaacutestica
e a expressatildeo de
Para se obter deriva-se a equaccedilatildeo elaacutestica em relaccedilatildeo agrave posiccedilatildeo
Mas como a rotaccedilatildeo em s = 0 possui o valor
deve-se adicionar a deformaccedilatildeo
121
em EIyVrsquo para se obter a rotaccedilatildeo das seccedilotildees Obteacutem-se entatildeo
122
ANEXO C ndash Matrizes de Elementos Finitos do Rotor
Satildeo apresentadas a seguir as matrizes do elemento finito de rotor para elementos de eixo
baseados na teoria de viga de Timoshenko (NELSON 1980 FARIA 1990) Considera-se o eixo
simeacutetrico ( Ix=Iy=I ) o efeito de cisalhamento isotroacutepico ( fx=fy=f ) e as seguintes constantes
I = momento meacutedio de ineacutercia de aacuterea da seccedilatildeo transversal
Idm= momento diametral de ineacutercia de massa por unidade de comprimento
Ip = momento polar de ineacutercia de massa por unidade de comprimento
f = efeito de cisalhamento
l = comprimento do elemento
E = moacutedulo de elasticidade
= massa especiacutefica
A = aacuterea da seccedilatildeo transversal
coordenadas generalizadas no sistema rotativo
coordenadas generalizadas no sistema inercial
C1 ndash Matriz de ineacutercia de translaccedilatildeo
A matriz Me representativa da ineacutercia de translaccedilatildeo do elemento finito do rotor eacute obtida pela
integraccedilatildeo da expressatildeo da energia cineacutetica TM do elemento finito do rotor dada por
Usando as funccedilotildees de interpolaccedilatildeo na expressatildeo da energia cineacutetica obteacutem-se a matriz TM que
satisfaz agrave expressatildeo
A matriz Me eacute simeacutetrica e descrita como
123
[Me] =
onde
C2 ndash Matriz de ineacutercia de rotaccedilatildeo
A matriz de ineacutercia de rotaccedilatildeo do elemento finito do rotor eacute obtida pela substituiccedilatildeo das funccedilotildees
de interpolaccedilatildeo na expressatildeo da energia cineacutetica TN do elemento finito dada por
Usando as funccedilotildees de interpolaccedilatildeo na expressatildeo da energia cineacutetica obteacutem-se a matriz Ne
124
representativa da ineacutercia de rotaccedilatildeo do elemento que satisfaz agrave expressatildeo
A matriz Ne eacute simeacutetrica e descrita como
[Ne] =
onde
C3 ndash Matriz de efeitos giroscoacutepicos
A matriz Ge representativa dos efeitos giroscoacutepicos do elemento finito do rotor eacute obtida pela
relaccedilatildeo
onde a matriz [He] eacute obtida pela integraccedilatildeo da expressatildeo da energia cineacutetica TG do elemento
finito do rotor dada por
onde eacute a rotaccedilatildeo do rotor IP eacute o momento polar de ineacutercia da seccedilatildeo satildeo os vetores
125
rotaccedilatildeo da seccedilatildeo em torno dos eixos x e y Aplicando as funccedilotildees de interpolaccedilatildeo na expressatildeo
da energia cineacutetica obteacutem-se a matriz [He] que satisfaz agrave expressatildeo
A matriz eacute anti-simeacutetrica e descrita como
[Ge] =
onde
C4 ndash Matriz de rigidez
A matriz de rigidez do elemento finito do rotor Ke eacute obtida integrando-se a energia potencial
elaacutestica V ao longo do comprimento do elemento usando as funccedilotildees de interpolaccedilatildeo Obteacutem-se
a matriz Ke que satisfaz agrave expressatildeo
126
A matriz Ke eacute simeacutetrica e descrita como
[Ke] =
127
ANEXO D ndash Meacutetodo Numeacuterico de Newmark
Neste Anexo apresenta-se inicialmente o algoritmo de meacutetodo de Newmark usado para a
integraccedilatildeo numeacuterica no tempo da equaccedilatildeo do movimento Eq(1) conforme Bathe (1982)
Posteriormente satildeo mostrados os criteacuterios adotados no presente trabalho para garantir a
convergecircncia do meacutetodo sem um elevado custo computacional
A) Valores iniciais
Passo 1 Valores iniciais para os vetores deslocamento velocidade e aceleraccedilatildeo U0
U
0 U
0
Passo 2 Defina um intervalo de tempo Δt e os paracircmetros α e δ tais que
δ ge 050 α ge 025(05 + δ)sup2
Passo 3 Calcule as constantes
20
1a
t
t1a
t
1a 2
12
1a 3
1a 4
22
ta 5 )1(ta 6 ta7
Passo 4 Crie a matriz de rigidez efetiva KK=K + a0M + a1C
B) Para cada iteraccedilatildeo no tempo Δt
Passo 1 Calcule a carga efetiva RR no instante t + Δt
t+ΔtRR =
t+ΔtR + M(a0
tU + a2
t U
+ a3 t U
) + C(a1 tU + a4
t U
+ a5 t U
)
Passo 2 Resolva a equaccedilatildeo abaixo para obter o vetor deslocamento U em t + Δt
KK
t+Δt U = t+Δt
RR
Passo 3 Calcule os vetores velocidade e aceleraccedilatildeo em t + Δt
t+Δt U = a0 (
t+Δt U - tU)- a2 t U - a3
t U
t+Δt U =
t U + a6
t U
+ a7 t+Δt U
128
Para se garantir a convergecircncia do meacutetodo foram adotados os paracircmetros 41α e δ=12 que
satildeo os paracircmetros de integraccedilatildeo que possibilitam estabilidade incondicional para o procedimento
de integraccedilatildeo de Newmark (BATHE 1982) Eacute importante fazer uma boa escolha do incremento
de tempo t adequado para assegurar a estabilidade do meacutetodo de integraccedilatildeo no tempo O
valor do incremento de tempo t deve ser menor do que o valor criacutetico crt dado pela
equaccedilatildeo D1 (BATHE 1982)
n
crt (D1)
sendo τn o menor periacuteodo natural do sistema Se o incremento de tempo eacute maior que o valor
criacutetico o meacutetodo de Newmark apresentaraacute problemas de convergecircncia (ALMEIDA JUacuteNIOR e
FARIA 2003) No presente trabalho a escolha do incremento de tempo t foi feita baseando-
se no fato de que a forccedila de desbalanceamento eacute aplicada a cada intervalo t Portanto se este
intervalo for muito grande a forccedila poderia deixar de ser aplicada durante cada ciclo do eixo Eacute
importante garantir que esta forccedila seja aplicada simetricamente durante cada ciclo ou seja que
para cada valor de rotaccedilatildeo ω (rads) a forccedila de desbalanceamento seja aplicada simetricamente
em todas as direccedilotildees Para que isto fosse possiacutevel foi adotada a seguinte expressatildeo para o
caacutelculo do incremento de tempo t
ω12
2t (D2)
Com o incremento da equaccedilatildeo (D2) garante-se que ocorram pelo menos 12 iteraccedilotildees a
cada ciclo do eixo ou seja uma a cada 30ordm o que garante a simetria da forccedila de
desbalanceamento Este criteacuterio garante tambeacutem que t lt crt Posteriormente foi feito o
estudo da convergecircncia dos resultados em funccedilatildeo do intervalo t para se otimizar o custo
computacional do meacutetodo implementado
vii
C1 ndash Matriz de ineacutercia de translaccedilatildeo 122
C2 ndash Matriz de ineacutercia de rotaccedilatildeo 123
C3 ndash Matriz de efeitos giroscoacutepicos 124
C4 ndash Matriz de rigidez 125
ANEXO D ndash MEacuteTODO NUMEacuteRICO DE NEWMARK 127
viii
LISTA DE FIGURAS
Figura 31 ndash Sistema rotor-mancal 40
Figura 32 ndash Representaccedilatildeo de um elemento finito do eixo 42
Figura 33 ndash Desenho esquemaacutetico do mancal eliacuteptico e seus paracircmetros geomeacutetricos 45
Figura 34 - Desenho esquemaacutetico do perfil de um mancal radial eliacuteptico 46
Figura 35 - Distribuiccedilatildeo da pressatildeo hidrodinacircmica no mancal ciliacutendrico (LANG e
STEINHILPER 1978) 46
Figura 36 - Distribuiccedilatildeo da pressatildeo hidrodinacircmica no mancal eliacuteptico (Adaptado de
CORREIA 2007) 47
Figura 37 - Representaccedilatildeo esquemaacutetica dos noacutes no elemento finito 51
Figura 38 ndash Representaccedilatildeo dos 4 graus de liberdade 57
Figura 39 ndash Diagrama do procedimento computacional 58
Figura 41 ndash Desenho esquemaacutetico do rotor de Sinou (2005) 61
Figura 42 ndash Curvas da primeira e segunda frequecircncias naturais (FN1 FN2) versus o
nuacutemero de elementos finitos da malha para o rotor de Sinou (2005) a
10rpm 62
Figura 43 ndash Primeira velocidade criacutetica progressiva (FWD1) e regressiva (BKWD1)
versus incremento no tempo 63
Figura 44 ndash Espectro de frequecircncia obtido pelo MEF para o rotor de Sinou(2005) a
10 rpm 64
Figura 45 ndash Diagrama de Campbell para o rotor em balanccedilo analisado por
Sinou(2005) 64
Figura 46 ndash Desenho esquemaacutetico do rotor de Hong e Park(1999) 66
Figura 47 ndash Espectro de frequecircncia obtido para o rotor de Hong e Park (1999)
operando a 6000rpm 67
Figura 48 ndash Forma de onda obtida para o rotor de Hong e Park (1999) 68
Figura 49 ndash Desenho esquemaacutetico do rotor da bancada de testes 69
Figura 410 ndash Sensibilidade da malha de elementos finitos do mancal ciliacutendrico no
ix
caacutelculo dos paracircmetros de desempenho Fx e Kxy 71
Figura 411 ndash Espectro de frequecircncia experimental ndash teste de batida 72
Figura 412 ndash Espectro de frequecircncia obtido pelo MEF para rotaccedilatildeo de 750 rpm 72
Figura 413 ndash Espectro de frequecircncia obtido pelo MEF para rotaccedilatildeo de 3200 rpm 73
Figura 414 ndash Espectro de frequecircncia experimental para o rotor da bancada operando
a 8900rpm 74
Figura 415 ndash Espectro de frequecircncia obtido pelo MEF para o rotor da bancada
operando a 8900rpm 74
Figura 416 ndash Espectro de frequecircncia obtido pelo MEF para o rotor do exemplo 4
operando a 3200rpm 76
Figura 417 ndash Espectro de frequecircncia experimental para o rotor de Machado(2006) 76
Figura 418 ndash Sensibilidade da malha de elementos finitos do mancal eliacuteptico no
caacutelculo dos paracircmetros de desempenho Fx e Kxy 78
Figura 419 - Posicionamento do eixo dentro do mancal e excentricidade 79
Figura 420 ndash Excentricidade adimensional do ponto de equiliacutebrio estaacutetico dos
mancais eliacutepticos em funccedilatildeo da folga radial 79
Figura 421 ndash Coeficientes de rigidez direta adimensionais em funccedilatildeo da folga radial
dos mancais eliacutepticos 80
Figura 422 ndash Coeficientes de rigidez cruzada adimensional modificado em funccedilatildeo
da folga radial dos mancais eliacutepticos 81
Figura 423 ndash Razatildeo CxyKxx em funccedilatildeo da folga radial dos mancais eliacutepticos 82
Figura 424 ndash Amortecimento efetivo em funccedilatildeo da folga radial dos mancais
eliacutepticos 82
Figura 425 ndash Excentricidade adimensional do ponto de equiliacutebrio estaacutetico dos
mancais eliacutepticos em funccedilatildeo da razatildeo de esbeltez 83
Figura 426 ndash Variaccedilatildeo do amortecimento efetivo em funccedilatildeo da razatildeo de esbeltez
dos mancais eliacutepticos 84
Figura 427 ndash Variaccedilatildeo do amortecimento cruzado adimensional em funccedilatildeo da razatildeo
de esbeltez dos mancais eliacutepticos 84
Figura 428 ndash Excentricidade adimensional do ponto de equiliacutebrio estaacutetico dos
x
mancais eliacutepticos em funccedilatildeo da preacute-carga 85
Figura 429 ndash Variaccedilatildeo da relaccedilatildeo de ajuste entre Mp kxx e kxy em funccedilatildeo da preacute-
carga dos mancais eliacutepticos 86
Figura 430 ndash Variaccedilatildeo do amortecimento efetivo em funccedilatildeo da preacute-carga dos
mancais eliacutepticos 86
Figura 431 ndash Desenho esquemaacutetico do rotor sem disco massivo 88
Figura 432 ndash Resposta desbalanceada calculada no mancal 1 do rotor apoiado em
mancais eliacutepticos com preacute-carga 045 (MIRANDA e FARIA 2012) 89
Figura 433 ndash Resposta desbalanceada para diferentes valores de preacute-carga dos
mancais eliacutepticos (MIRANDA e FARIA 2012) 89
Figura 434 ndashRazatildeo de amplificaccedilatildeo da resposta desbalanceada na primeira
velocidade criacutetica para o rotor apoiado em mancais eliacutepticos
(MIRANDA e FARIA 2012) 90
Figura 435 ndashDesenho esquemaacutetico do rotor com disco massivo em posiccedilatildeo
assimeacutetrica 91
Figura 436 ndash Amplitude de vibraccedilatildeo na primeira VC em funccedilatildeo da razatildeo de
esbeltez dos mancais eliacutepticos 92
Figura 437 ndash Curvas de ajuste da excentricidade adimensional do ponto de
equiliacutebrio estaacutetico em funccedilatildeo da razatildeo de esbeltez dos mancais eliacutepticos 94
Figura 438 ndash Razatildeo de ajuste de LD em funccedilatildeo da excentricidade adimensional do
ponto de equiliacutebrio estaacutetico dos mancais 95
Figura 439 ndash Erros relativos da razatildeo de ajuste de LD em funccedilatildeo da excentricidade
adimensional do ponto de equiliacutebrio estaacutetico dos mancais 95
Figura 440 ndash Amplitude de vibraccedilatildeo na primeira VC em funccedilatildeo da folga radial dos
mancais 97
Figura 441 ndash Razatildeo de ajuste da folga radial em funccedilatildeo da excentricidade
adimensional do ponto de equiliacutebrio estaacutetico dos mancais 98
Figura 442 ndash Erros relativos da razatildeo de ajuste da folga radial em funccedilatildeo da
excentricidade adimensional do ponto de equiliacutebrio estaacutetico dos
mancais 98
xi
Figura A1 - Viga de Euler-Bernoulli sob carregamento distribuiacutedo (Boru 2010) 112
Figura B1 ndash Deslocamento linear unitaacuterio no primeiro noacute 116
Figura B2 ndash Deslocamento angular unitaacuterio no primeiro noacute 117
Figura B3 ndash Deslocamento linear unitaacuterio no segundo noacute 118
Figura B4 ndash Deslocamento angular unitaacuterio no segundo noacute 120
LISTA DE TABELAS
Tabela 41- Paracircmetros do rotor com disco em balanccedilo (SINOU 2005) 62
Tabela 42- Valores comparativos da primeira frequecircncia natural para o rotor de
Sinou(2005) a 10 rpm 64
Tabela 43- Comparaccedilatildeo da primeira velocidade criacutetica 65
Tabela 44- Paracircmetros do rotor de Hong e Park(1999) 66
Tabela 45- Comparaccedilatildeo da primeira frequecircncia natural progressiva e regressiva para
o rotor de Hong e Park (1999) 67
Tabela 46- Comparaccedilatildeo das Frequecircncias de Batimento para o rotor de Hong e
Park(1999) 69
Tabela 47ndash Paracircmetros do rotor da bancada de testes 70
Tabela 48ndash Resultados da anaacutelise da sensibilidade da malha dos mancais 71
Tabela 49ndash Valores comparativos de frequecircncias naturais obtidas pelo MEF e
experimentalmente pelo teste de batida (bump test) 73
Tabela 410ndash Valores comparativos de frequecircncias naturais obtidas pelo MEF e
experimentalmente para o rotor da bancada operando a 8900rpm 75
Tabela 411ndash Paracircmetros do rotor da bancada de testes ndash exemplo 2 75
Tabela 412ndash Valores comparativos das frequecircncias naturais obtidas
experimentalmente por Machado(2006) e pelo MEF 77
Tabela 413ndash Paracircmetros do mancal eliacuteptico selecionado 77
Tabela 414 Paracircmetros do sistema rotor-mancal eliacuteptico utilizado na anaacutelise 88
Tabela 415ndash Paracircmetros do rotor com mancais eliacutepticos 92
xii
SIMBOLOGIA
Siacutembolos em letras latinas
A Aacuterea da seccedilatildeo transversal do eixo [m2]
Ampl Amplitude adimensional da resposta desbalanceada
c Folga radial menor (c = eRR ) [m]
Cb Folga radial maior
XXC YYC Coeficientes de amortecimento direto [Nsm]
XXc YYc Coeficientes de amortecimento direto adimensionais
XYC YXC Coeficientes de amortecimento cruzados [Nsm]
XYc YXc Coeficientes de amortecimento cruzados adimensionais
D Diacircmetro interno do mancal [m]
d Diacircmetro externo do eixo [m]
E Moacutedulo de elasticidade [Pa]
e Excentricidade do centro do munhatildeo no mancal (distacircncia entre centros do mancal
e do munhatildeoeixo) [m]
exey Projeccedilotildees de ―e nos eixos de coordenadas cartesianas xy
00 yx ee
posiccedilatildeo de equiliacutebrio do eixo
yx ee
perturbaccedilatildeo na posiccedilatildeo de equiliacutebrio do eixo
vetores unitaacuterios nas direccedilotildees circunferencial e axial respectivamente
f efeito de cisalhamento
F Forccedila de reaccedilatildeo do mancal gerada pela accedilatildeo hidrodinacircmica do fluido
Fx e Fy Componente da forccedila de reaccedilatildeo do fluido do mancal nas direccedilotildees x e y
e
jf Vetor de fluxo
G Moacutedulo de elasticidade ao cisalhamento [Pa]
h Espessura do filme lubrificante ou filme fluido
xiii
h0 Espessura miacutenima do filme lubrificante estacionaacuterio [m] ou de ordem zero
I Momento meacutedio de ineacutercia de aacuterea da seccedilatildeo transversal
Idm Momento diametral de ineacutercia de massa por unidade de comprimento
Ip Momento polar de ineacutercia de massa por unidade de comprimento
K Fator de forma do cisalhamento transversal
Kx Ky Coeficientes de cisalhamento
XXK YYK Coeficientes de rigidez diretos [Nm]
kxx e kyy Coeficientes de rigidez diretos adimensionais
XYK YXK Coeficientes de rigidez cruzados [Nm]
kxy e kyx Coeficientes de rigidez cruzados adimensionais
Coeficiente de rigidez adimensional modificado
][ e
jiK Matriz fluiacutedica de ordem zero
L Comprimento do mancal
l Comprimento do elemento
Leixo Comprimento do eixo
md Massa desbalanceada
m Fluxo maacutessico na direccedilatildeo circunferencial
nm Fluxo maacutessico de lubrificante cruzando a fronteira do domiacutenio do elemento finito
zm Fluxo maacutessico na direccedilatildeo axial
nm Fluxo de lubrificante de primeira ordem pelo contorno
edo elemento finito n
Mp Preacute-carga (medida da ―elipsidade do mancal) Mp = (Cb ndash c) c
n
Valor normal unitaacuterio direcionado para fora do contorno e do elemento finito
OL Posiccedilatildeo do centro dos loacutebulos
O Posiccedilatildeo do centro do eixo
p Pressatildeo apresentada pelo filme lubrificante [Pa]
pa Pressatildeo ambiente [Pa]
xiv
po Pressatildeo estacionaacuteria de ordem zero [Pa]
p Campo de pressatildeo hidrodinacircmica de primeira ordem
e
op Campo de pressatildeo discreto de ordem zero no domiacutenio e de um elemento finito
px py Campo de pressatildeo hidrodinacircmica de primeira ordem
e
ip Valores de pressatildeo nodal no noacute i do elemento e [Pa]
q(xt) Carregamento distribuiacutedo [Nm]
e
jq Vetor de fluxo devido ao escoamento de fluido pelo contorno do elemento ldquoerdquo
R Raio menor do mancal [m]
Re Raio do munhatildeo ou raio do eixo [m]
RL Raio do loacutebulo do mancal [m]
U Velocidade superficial do eixo (U = ωR) [ms]
Vf Contribuiccedilatildeo da flexatildeo no deslocamento linear do centro da seccedilatildeo do elemento
ud Excentricidade da massa desbalanceada
v(xt) Deflexatildeo lateral da viga
W Carga atuante no mancal [N]
Wf Contribuiccedilatildeo da flexatildeo no deslocamento linear do centro da seccedilatildeo do elemento
xy Coordenadas cartesianas
z Coordenada axial
Siacutembolo em letras gregas
e Contorno do elemento ―e
Deformaccedilatildeo por cisalhamento
Razatildeo de excentricidade ou excentricidade adimensional ( ε = ec)
o Excentricidade adimensional no ponto de equiliacutebrio estaacutetico
ψ Coordenadas no domiacutenio do elemento
Fator de forma da seccedilatildeo transversal da viga
Viscosidade absoluta do filme lubrificante [Pas]
xv
Coeficiente de Poisson
Massa especiacutefica [kgm3]
Massa especiacutefica do filme lubrificante [kgm3]
Acircngulo da posiccedilatildeo angular do munhatildeo a partir do ponto de maior espessura dentro do
mancal [rad]
z Coordenadas circunferencial e axial respectivamente
Φ Acircngulo de posiccedilatildeo do munhatildeo dentro do mancal Φ = tan-1
( Fy Fx )
Funccedilatildeo de interpolaccedilatildeo para o meacutetodo de elementos finitos para o elemento ―e
Rotaccedilatildeo do eixo [rads]
e Domiacutenio do elemento finito ―e
Subscritos
av Meacutedio
e Relativo ao elemento ―e
0 1 Ordem zero e primeira ordem instante de tempo anterior e atual
x Coordenada cartesiana vertical
y Coordenada cartesiana horizontal
Coordenadas xy combinadas no domiacutenio do elemento finito
Coordenadas no domiacutenio do elemento finito
Sobrescritos
e Relativo ao elemento ―e
ej
xvi
LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS
MEF Meacutetodo de Elementos Finitos
FEM Finite Element Method (Meacutetodo de Elementos Finitos)
VC Velocidade Criacutetica
xvii
RESUMO
Este trabalho apresenta um procedimento computacional baseado no meacutetodo de elementos
finitos desenvolvido especialmente para predizer o comportamento dinacircmico de sistemas
rotativos apoiados em mancais hidrodinacircmicos O procedimento computacional proposto
permite simular diferentes tipos de rotores compostos por eixo flexiacutevel discos massivos e
mancais riacutegidos ou hidrodinacircmicos com perfis circulares ou eliacutepticos Satildeo usados elementos
finitos de viga baseando-se na teoria de vigas de Timoshenko no modelo do eixo o que permite
incluir os efeitos de deformaccedilatildeo por cisalhamento ineacutercia rotatoacuteria e efeito giroscoacutepico Um
procedimento baseado no meacutetodo de elementos finitos eacute aplicado para resolver a equaccedilatildeo de
Reynolds para fluidos incompressiacuteveis junto a um procedimento de perturbaccedilatildeo linear para se
calcular os coeficientes dinacircmicos de forccedila dos mancais ciliacutendricos e eliacutepticos As equaccedilotildees de
movimento para rotores desbalanceados apoiados em mancais hidrodinacircmicos satildeo integradas
usando-se o Meacutetodo de Newmark para se obter a resposta no tempo Os resultados satildeo validados
pela comparaccedilatildeo com valores experimentais coletados em uma bancada de teste e tambeacutem com
valores publicados na literatura Satildeo apresentadas algumas relaccedilotildees algeacutebricas que permitem
predizer os paracircmetros de desempenho dos mancais e a resposta desbalanceada do sistema rotor-
mancal em funccedilatildeo dos paracircmetros geomeacutetricos dos mancais tais como preacute-carga razatildeo de
esbeltez e folga radial Eacute identificada uma faixa operacional dos mancais onde estas relaccedilotildees
algeacutebricas apresentam uma boa aproximaccedilatildeo com os resultados computacionais Os resultados
deste trabalho servem de base para o projeto de maacutequinas rotativas uma vez que permitem
predizer seu comportamento dinacircmico para diversas condiccedilotildees operacionais
Palavras-chaves Mancal eliacuteptico
Rotores flexiacuteveis
Mancal radial
Lubrificaccedilatildeo hidrodinacircmica
Meacutetodo de elementos finitos
xviii
ABSTRACT
This work presents the development of a finite element procedure specially devised to predict
the dynamic response of flexible rotors running on fluid film bearings The proposed procedure
can simulate many different types of rotor-bearing systems with a flexible shaft massive disks
and rigid or fluid film circular or elliptical bearings The shaft finite element model is based on
Timoshenko Beam Theory which includes shear effects rotary inertia and gyroscopic moments
A finite element procedure for solution of the classical Reynolds equation for incompressible
fluid films in conjunction with a linearized perturbation procedure is implemented to allow the
computation of the dynamic force-coefficients of cylindrical and elliptical journal bearings The
finite element equations of motion for an unbalanced rotor supported on fluid film bearings are
integrated by using the Newmark method and the time-domain unbalance response is obtained
The results are validated by comparison with experimental data collected from a test rig as well
as from results obtained from the literature
Some algebraic expressions relating the bearing parameters and the unbalance response with the
bearing geometric parameters (preload Slendernessrsquo ratio radial clearance) are presented A
range of operating conditions is identified where these expressions are supposed to be close to
the computational results obtained by the numerical procedure The results presented in this
work are valuable for rotating machine designers since it can properly predict its dynamic
response under several operation conditions
Keywords Elliptical bearing
Journal bearing
Hydrodynamic lubrication
Finite element method
19
1 INTRODUCcedilAtildeO
O projeto e o comissionamento de maacutequinas rotativas requerem um cuidado especial para se
garantir condiccedilotildees seguras estaacuteveis e eficientes de operaccedilatildeo Diversos estudos baseados em
procedimentos experimentais analiacuteticos e computacionais satildeo utilizados com o objetivo de se
analisar vaacuterios aspectos dinacircmicos relacionados a rotores de maacutequinas de alta velocidade Esses
estudos se tornam de extrema importacircncia na anaacutelise de equipamentos como turbinas a gaacutes e a
vapor compressores ventiladores industriais bombas exaustores entre outros
Com o desenvolvimento da tecnologia na aacuterea de projetos mecacircnicos eacute notaacutevel a tendecircncia em
se projetarem maacutequinas cada vez mais leves e com maior potecircncia que normalmente estatildeo mais
sujeitas a problemas de vibraccedilatildeo e de instabilidade A influecircncia dos mancais no comportamento
dinacircmico de maacutequinas rotativas e na capacidade de atenuar vibraccedilotildees eacute estudada haacute vaacuterios anos
em diversos trabalhos da literatura especializada (GUNTER 1966 CORREIA 2007)
Os mancais hidrodinacircmicos tecircm sido amplamente aplicados em maacutequinas rotativas devido agrave sua
grande capacidade de carga habilidade de operaccedilatildeo em altas velocidades e longevidade
(HAMROCK 1994 CHILDS 1993) Este tipo de mancal tem uma capacidade de
amortecimento que natildeo existe nos mancais de rolamento o que possibilita que a maacutequina passe
por uma velocidade criacutetica com menores riscos (STERNLICHT e LEWIS 1968 VANCE
1988) O amortecimento proporcionado por mancais hidrodinacircmicos permite a atenuaccedilatildeo das
forccedilas transmitidas do sistema eixorotor aos mancais a reduccedilatildeo do niacutevel de vibraccedilatildeo o
aumento da faixa de operaccedilatildeo estaacutevel do rotor e o aumento de vida uacutetil do mancal (ENGWALL
1991)
Os mancais hidrodinacircmicos aplicados em maacutequinas rotativas industriais podem ser divididos
basicamente em dois grupos mancais de geometria fixa e mancais de geometria variaacutevel
(ALLAIRE e FLACK 1981) Os mancais de geometria fixa satildeo mais simples e possuem um
menor custo de fabricaccedilatildeo montagem e manutenccedilatildeo do que os de geometria variaacutevel
(HAMROCK 1994) Os mancais mais amplamente usados na induacutestria satildeo os de geometria fixa
com perfil ciliacutendrico apresentando baixa estabilidade mas boa capacidade de carga (CORREIA
2007) Mancais de geometria moacutevel satildeo usados quando se deseja estabilidade do equipamento
sujeito a vibraccedilotildees subsiacutencronas isto eacute abaixo da frequecircncia de rotaccedilatildeo No final da deacutecada de
20
1980 este tipo de mancal passou a ser mais amplamente usado nos projetos de turbomaacutequinas
de alta velocidade (ZEIDAN 1992) A literatura cientiacutefica apresenta diversos trabalhos sobre
mancais ciliacutendricos mas poucos sobre mancais eliacutepticos (CORREIA 2007)
As interaccedilotildees entre o eixo rotativo da turbomaacutequina com o fluido de trabalho com os mancais
com os selos com o suporte e com todos os seus elementos acoplados tais como as palhetas e
discos devem ser incluiacutedas na anaacutelise dinacircmica de rotores para se obter confiabilidade aceitaacutevel
nas prediccedilotildees de seu comportamento O estudo preliminar do comportamento de sistemas
rotativos permite determinar as suas faixas de operaccedilatildeo estaacutevel e avaliar as influecircncias que
componentes do sistema exercem sobre a resposta dinacircmica do conjunto Os mancais se tornam
componentes vitais no projeto de turbomaacutequinas pois devem gerar forccedilas de reaccedilatildeo capazes de
suportar adequadamente o eixo rotativo e propiciar meios de atenuaccedilatildeo da resposta dinacircmica do
conjunto rotativo em regimes de operaccedilatildeo extremos Esse trabalho tem como proposta principal
a anaacutelise do comportamento dinacircmico de rotores flexiacuteveis apoiados em mancais radiais
hidrodinacircmicos de geometria fixa
A modelagem do rotor que inclui o eixo rotativo com discos riacutegidos acoplados eacute efetuada
utilizando-se o meacutetodo de elementos finitos baseado na teoria de vigas de Timoshenko
(CLOUGH e PENZIEN 1975) Incluem-se no modelo do rotor os efeitos de cisalhamento os
momentos giroscoacutepicos e a ineacutercia rotatoacuteria do eixo rotativo A equaccedilatildeo claacutessica de Reynolds
(PINKUS 1987 HAMROCK 1994) e um procedimento linearizado de perturbaccedilatildeo
(LUND1987) satildeo a base da modelagem dos mancais radiais hidrodinacircmicos ciliacutendricos e natildeo
ciliacutendricos considerados na anaacutelise O meacutetodo de elementos finitos eacute entatildeo empregado para
estimar as caracteriacutesticas dinacircmicas natildeo lineares dos mancais radiais finitos incluiacutedos na anaacutelise
do sistema rotativo O modelo dos mancais admite diversas geometrias de mancais ciliacutendricos e
eliacutepticos e natildeo satildeo adotadas hipoacuteteses restritivas ao modelo dos mancais como nas teorias de
mancal longo (HAMROCK 1994) ou de mancal curto que apresentam deficiecircncias na anaacutelise
dinacircmica de sistemas rotor-mancal (KALITA e KAKOTY 2004)
O texto deste trabalho eacute dividido em cinco capiacutetulos O capiacutetulo 1 apresenta a introduccedilatildeo do
trabalho seu escopo e objetivos No capiacutetulo 2 eacute apresentada a revisatildeo bibliograacutefica Em
seguida eacute descrita a metodologia do procedimento computacional proposto no capiacutetulo 3 onde
satildeo apresentados os procedimentos adotados para se modelar o sistema rotor-mancal composto
pelo eixo flexiacutevel disco riacutegido e mancais hidrodinacircmicos No final do capiacutetulo 3 eacute apresentado
um diagrama representando as etapas do procedimento computacional proposto No capiacutetulo 4
21
satildeo apresentados os resultados obtidos atraveacutes do procedimento computacional incluindo
exemplos de validaccedilatildeo No capiacutetulo 5 satildeo apresentadas as conclusotildees do trabalho e no capiacutetulo 6
satildeo listadas as referecircncias bibliograacuteficas Satildeo incluiacutedos ainda trecircs anexos No Anexo A satildeo
apresentados os fundamentos da teoria de vigas de Euler-Bernoulli de Rayleigh e de
Timoshenko No Anexo B apresenta-se a formulaccedilatildeo das funccedilotildees de interpolaccedilatildeo No Anexo C
satildeo listadas as matrizes de elementos finitos do eixo flexiacutevel usadas no modelo implementado e
no Anexo D eacute apresentado o algoritmo do Meacutetodo Numeacuterico de Newmark
11 Escopo
Esse trabalho descreve a anaacutelise do comportamento dinacircmico de rotores flexiacuteveis suportados em
mancais radiais hidrodinacircmicos de geometria fixa utilizando-se o meacutetodo de elementos finitos
Na modelagem dos mancais radiais incluem-se mancais ciliacutendricos e natildeo ciliacutendricos de
geometria fixa As condiccedilotildees de operaccedilatildeo do sistema rotativo utilizadas nesse trabalho estatildeo
baseadas em condiccedilotildees operacionais comumente encontradas na praacutetica O eixo eacute modelado por
elementos finitos de viga baseando-se na teoria de vigas de Timoshenko que permite analisar a
resposta da vibraccedilatildeo orbital nos dois planos ortogonais de flexatildeo A formulaccedilatildeo permite incluir
os efeitos de ineacutercia rotatoacuteria efeito giroscoacutepico e deformaccedilatildeo por cisalhamento
O caacutelculo dos coeficientes dinacircmicos de forccedila dos mancais eacute feito baseando-se na equaccedilatildeo de
Reynolds e nas equaccedilotildees de lubrificaccedilatildeo de ordem zero e de primeira ordem obtidas atraveacutes da
anaacutelise de perturbaccedilatildeo (LUND1987)
A resposta desbalanceada do sistema eacute obtida por meio de procedimento de integraccedilatildeo
numeacuterica implementado sobre a sua equaccedilatildeo de equiliacutebrio dinacircmico Eacute estudada a influecircncia dos
paracircmetros construtivos de mancais eliacutepticos e ciliacutendricos nos seus coeficientes de forccedila e na
resposta desbalanceada do sistema rotor-mancal Apresenta-se uma anaacutelise criacutetica sobre a faixa
onde o modelo computacional implementado fornece resultados considerados confiaacuteveis
baseando-se nas condiccedilotildees operacionais do sistema
Embora natildeo seja objetivo deste trabalho obter valores absolutos para os coeficientes de forccedila ou
para os niacuteveis de vibraccedilatildeo na resposta desbalanceada eacute investigada a forma como estes valores
variam em funccedilatildeo das caracteriacutesticas construtivas e operacionais do sistema
22
12 Objetivos
121 Objetivo geral
Este trabalho tem como objetivo desenvolver um procedimento computacional baseado no
meacutetodo de elementos finitos (MEF) para a anaacutelise da resposta de sistemas rotativos apoiados em
mancais radiais hidrodinacircmicos de geometria fixa O eixo eacute modelado por elementos de viga
baseando-se na Teoria de Viga de Timoshenko Os mancais hidrodinacircmicos satildeo modelados
tambeacutem por elementos finitos utilizando-se o meacutetodo da perturbaccedilatildeo aplicado na equaccedilatildeo de
Reynolds
122 Objetivos especiacuteficos
i Desenvolver e implementar um procedimento computacional eficiente baseado no
MEF para representar rotores flexiacuteveis sujeitos a cargas de desbalanceamento
apoiados em suportes flexiacuteveis
ii Desenvolver e implementar um procedimento computacional eficiente baseado no
MEF para a determinaccedilatildeo dos coeficientes dinacircmicos dos mancais hidrodinacircmicos de
geometria fixa sem o uso de teorias simplificadas como os modelos de mancal curto
ou de mancal longo
iii Comparar os resultados do procedimento computacional proposto com resultados
publicados na literatura especializada e com dados experimentais coletados em uma
bancada de testes atraveacutes da anaacutelise das frequecircncias naturais
iv Analisar a influecircncia dos paracircmetros geomeacutetricos dos mancais eliacutepticos (preacute-carga
razatildeo de esbeltez folga radial) nos coeficientes de forccedila dos mancais e na resposta
desbalanceada do sistema
v Estabelece relaccedilotildees algeacutebricas entre alguns paracircmetros de desempenho dos mancais
ciliacutendricos e eliacutepticos e a resposta balanceada com os paracircmetros geomeacutetricos dos
mancais Identificar as faixas operacionais onde estas relaccedilotildees algeacutebricas satildeo vaacutelidas
23
2 REVISAtildeO BIBLIOGRAacuteFICA
As referecircncias apresentadas a seguir satildeo divididas em seccedilotildees para facilitar a exposiccedilatildeo dos
temas envolvidos no trabalho Inicialmente satildeo apresentadas as publicaccedilotildees que abordam os
procedimentos computacionais para a modelagem de sistemas rotor-mancal destacando-se o uso
do meacutetodo de elementos finitos e a evoluccedilatildeo dos modelos de elementos de vigas aplicados aos
eixos flexiacuteveis Em seguida destacam-se os trabalhos que fazem a anaacutelise da estabilidade de
sistemas rotor-mancal atraveacutes de problema de autovalor Segue-se com a citaccedilatildeo das publicaccedilotildees
que apresentam procedimentos de modelagem de mancais hidrodinacircmicos As uacuteltimas seccedilotildees
apresentam trabalhos sobre sistemas rotativos com elementos adicionais onde se destacam no
final os modelos de mancais eliacutepticos
Observa-se que a literatura apresenta diversos trabalhos dentro desta linha poreacutem muitos
aplicam o modelo de mancal curto que eacute bastante limitado principalmente para mancais
operando com grandes excentricidades A teoria de mancal curto eacute mais aplicaacutevel na prediccedilatildeo de
carga mas eacute muito limitada na determinaccedilatildeo de coeficientes de forccedila ou no estudo da
estabilidade do sistema Outros trabalhos apresentam uma abordagem detalhada do modelo dos
mancais mas ao apresentar os resultados fazem diversas simplificaccedilotildees (mancais isotroacutepicos
por exemplo) Em alguns casos a modelagem dos mancais e a aplicaccedilatildeo do procedimento
numeacuterico eacute detalhada e rigorosa poreacutem aplica-se o modelo de eixo riacutegido o que tambeacutem
representa uma limitaccedilatildeo A teoria natildeo-linear para mancais hidrodinacircmicos eacute apresentada por
diversos autores poreacutem os trabalhos possuem uma abordagem mais matemaacutetica natildeo focando
em aspectos praacuteticos de condiccedilotildees operacionais de maacutequinas rotativas
Desta forma observa-se uma lacuna na literatura onde raramente satildeo analisados sistemas rotor-
mancal hidrodinacircmico de maneira detalhada evitando-se hipoacuteteses simplificadoras tanto no
modelo dos mancais quanto no modelo do eixo flexiacutevel
21 Modelagem de sistemas rotor-mancal
A anaacutelise do comportamento dinacircmico de maacutequinas rotativas tem fomentado o desenvolvimento
de procedimentos computacionais eficientes e precisos para as etapas preliminares de projeto
24
Os modelos de maacutequinas rotativas de alta velocidade geralmente incluem rotores flexiacuteveis
apoiados em mancais hidrodinacircmicos e eacute fundamental analisar a estabilidade do sistema
(GUNTER 1970 BUSSE et al1980 VANCE 1988 KRAMER 1993 CHILDS 1993
ABDULJABBAR et al1997 HU et al 2000 GANESAN 2000 ZHAO et al2005 WENHUI
et al 2007)
Os estudos dinacircmicos baseados em modelos computacionais se tornam de extrema importacircncia
em diversas aplicaccedilotildees industriais de turbomaacutequinas como turbinas a gaacutes e a vapor
compressores ventiladores industriais bombas exaustores entre outros (STERNLICHT e
LEWIS 1968) A partir da deacutecada de 70 o meacutetodo de elementos finitos comeccedilou a ser usado
com extrema frequecircncia para o desenvolvimento de modelos de rotores flexiacuteveis e para a anaacutelise
de balanceamento estabilidade e vibraccedilatildeo torcional de maacutequinas rotativas (ZORZI e NELSON
1977 VANCE 1988 CHILDS 1993 ALMEIDA Jr e FARIA 2003 MIRANDA et al 2005)
A aplicaccedilatildeo do meacutetodo de elementos finitos na modelagem e simulaccedilatildeo de sistemas rotativos eacute
muito ampla na anaacutelise dinacircmica de rotores Os primeiros trabalhos nesta aacuterea satildeo apresentados
por Ruhl (1970) e Ruhl e Booker (1972) onde se aplica o meacutetodo de elementos finitos na
anaacutelise dinacircmica de um sistema rotativo com paracircmetros distribuiacutedos Satildeo usados elementos de
viga incluindo a ineacutercia translacional e rigidez agrave flexatildeo mas natildeo satildeo considerados os efeitos de
ineacutercia rotatoacuteria momentos giroscoacutepios deformaccedilatildeo por cisalhamento carga axial torque axial
e amortecimento interno Kirk e Gunter (1972) analisam a resposta transiente e permanente do
rotor de Jeffcott com mancais elaacutesticos montados em apoios flexiacuteveis e amortecidos ainda
desconsiderando a flexibilidade do rotor e o efeito giroscoacutepico do disco rotativo nas equaccedilotildees de
movimento Na mesma eacutepoca Thorkildsen (1972) desenvolveu um modelo mais completo onde
incluiu os efeitos de ineacutercia rotatoacuteria e momentos giroscoacutepios
Polk (1974) apresenta um estudo sobre velocidade criacutetica e velocidade limite utilizando
elemento finito de viga de Rayleigh Polk ainda apresenta neste mesmo trabalho o
desenvolvimento dos elementos finitos de viga de Timoshenko embora sem nenhum resultado
numeacuterico Diana et al(1975) apresentam seus resultados da anaacutelise de um eixo rotativo usando
o meacutetodo de elementos finitos com elementos semelhantes aos de Ruhl (1970) No mesmo ano
Dimaragonas (1975) apresenta um desenvolvimento geral de elemento de viga mas ainda
excluindo o cisalhamento e carga e torque axiais Gasch (1976) apresentou importantes
resultados em um artigo semelhante ao de Dimaragonas poreacutem incluindo o efeito de
25
excentricidade distribuiacuteda Satildeo analisados eixos rotativos de grandes turbomaacutequinas atraveacutes de
elementos finitos e introduzida a dinacircmica da fundaccedilatildeo nas equaccedilotildees de movimento usando
anaacutelise modal e teste modal
No mesmo ano Nelson e McVaugh (1976) apresentam uma formulaccedilatildeo para modelar o sistema
rotor-mancal usando paracircmetros distribuiacutedos e elementos finitos de viga de Rayleigh
semelhantes aos de Polk (1974) incluindo os efeitos de ineacutercia rotatoacuteria efeito giroscoacutepico e
cargas axiais Este trabalho eacute ampliado posteriormente em Zorzi e Nelson (1977) incluindo-se o
amortecimento viscoso interno do eixo Nelson (1980) generaliza os modelos apresentados em
1976 e 1977 usando a teoria de vigas de Timoshenko para estabelecer as funccedilotildees de forma do
eixo flexiacutevel incluindo o efeito de cisalhamento mas sem incluir o amortecimento interno Satildeo
obtidas as equaccedilotildees de elementos atraveacutes do Princiacutepio de Hamilton e das integrais que definem
as energias potencial e cineacutetica de cada elemento A energia cineacutetica leva em consideraccedilatildeo a
energia rotacional e translacional e a energia potencial considera a energia potencial elaacutestica
devida agrave flexatildeo a energia potencial do cisalhamento e a energia devida agrave carga axial Para
modelar os mancais satildeo considerados apoios isotroacutepicos sem efeito de amortecimento O autor
apresenta vaacuterios resultados que validam o meacutetodo comparando-os com outros obtidos na
literatura Eacute apresentada uma comparaccedilatildeo entre as frequecircncias naturais de uma viga estaacutetica
obtidas com elementos de viga de Euler-Bernoulli de Rayleigh e de Timoshenko
Posteriormente satildeo apresentados resultados de velocidades criacuteticas calculadas para eixos
rotativos apoiados pelas extremidades
Oumlzguumlven e Oumlzkan (1984) aplicam tambeacutem o meacutetodo de elementos finitos considerando os
efeitos da ineacutercia rotatoacuteria carga axial efeito giroscoacutepico deformaccedilotildees por cisalhamento e
amortecimento viscoso interno no mesmo modelo Vance et al(1987) apresentam comparaccedilotildees
de dados experimentais com resultados numeacutericos obtidos em uma bancada de sistema rotor-
mancal incluindo os efeitos de impedacircncia da fundaccedilatildeo no modelo usando o meacutetodo de matriz
de transferecircncia
Jei e Lee (1988) analisam o comportamento dinacircmico de rotores assimeacutetricos apoiados em
mancais hidrodinacircmicos utilizando o meacutetodo de elementos finitos O sistema rotativo eacute
composto por um eixo assimeacutetrico e discos riacutegidos e os efeitos da ineacutercia rotatoacuteria do
cisalhamento transversal dos momentos giroscoacutepicos e do amortecimento histereacutetico satildeo
incluiacutedos na modelagem do sistema As equaccedilotildees de vibraccedilatildeo lateral do conjunto rotativo satildeo
26
compactadas via teacutecnica de reduccedilatildeo modal de coordenadas Na modelagem dos mancais radiais
os autores desprezam a assimetria dos coeficientes cruzados de rigidez e de amortecimento e natildeo
descrevem claramente como foram obtidos os demais coeficientes de forccedila O problema de
autovalor do sistema giroscoacutepico amortecido eacute obtido para a determinaccedilatildeo das velocidades
criacuteticas de instabilidade do sistema rotativo As simplificaccedilotildees efetuadas pelos autores na
modelagem dos mancais afetam a determinaccedilatildeo precisa das velocidades de instabilidade do rotor
assimeacutetrico suportado em mancais hidrodinacircmicos que depende fortemente dos coeficientes
cruzados de rigidez Stephenson e Rouch (1992) aplicam o meacutetodo de elementos finitos para
analisar um sistema rotor-mancal e fundaccedilatildeo usando tambeacutem anaacutelise modal que permite
observar os efeitos dinacircmicos da estrutura da fundaccedilatildeo
Mais recentemente diversos trabalhos tecircm sido publicados aplicando-se o meacutetodo de elementos
finitos para a anaacutelise da estabilidade e da resposta no tempo de sistemas rotativos Sundararajan
(1996) investiga a resposta natildeo-linear e a estabilidade de um sistema rotor-mancal em regime
permanente sujeito a desbalanceamento Satildeo considerados rotores riacutegidos apoiados em mancais
hidrodinacircmicos planos e squeeze-film dampers (amortecedores por esmagamento de filme
fluido) Analisa-se a influecircncia dos coeficientes de forccedila cruzados e da ineacutercia do fluido na
resposta natildeo-linear e na estabilidade do sistema Na modelagem por elementos finitos satildeo
derivadas as matrizes de massa de rigidez e de amortecimento do sistema e eacute apresentado um
procedimento numeacuterico que reduz o nuacutemero de graus de liberdade do sistema O autor aplica a
teoria de bifurcaccedilatildeo de Hopf (HOLLIS e TAYLOR 1986) para calcular os regimes de
bifurcaccedilatildeo de mancais hidrodinacircmicos finitos mostrando que os mancais podem entrar em
regime de instabilidade mesmo abaixo das velocidades limites o que natildeo eacute observado nos
modelos lineares Na modelagem do squeeze film damper e do mancal plano eacute adotado o modelo
de mancal curto Posteriormente o autor propotildee uma anaacutelise de estabilidade de mancais planos
finitos usando uma formulaccedilatildeo que faz uma soma ponderada das soluccedilotildees analiacuteticas do mancal
curto e do mancal longo para se obter os coeficientes de forccedila Os resultados para mancais
planos finitos natildeo satildeo validados experimentalmente Embora comente-se sobre o caraacuteter natildeo-
linear do efeito das folgas nos mancais de rolamento este tipo de mancal natildeo eacute modelado pelo
autor O modelo do sistema rotor-mancal considera o rotor e o eixo riacutegidos e usa o modelo de
mancal curto o que torna o modelo bastante limitado
Chen e Lee (1997) aplicam o meacutetodo de elementos finitos em um problema de rotores flexiacuteveis
para obter a resposta desbalanceada no tempo e para identificar os coeficientes de forccedila de
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mancais de rolamento Armentrout (1998) apresenta o desenvolvimento de uma anaacutelise
transiente de rotores flexiacuteveis suportados em mancais de filme fluido baseada no meacutetodo das
matrizes de transferecircncia Os efeitos de cisalhamento os momentos giroscoacutepicos e a ineacutercia
rotatoacuteria satildeo incluiacutedos na modelagem do eixo do rotor A soluccedilatildeo unidimensional aproximada da
equaccedilatildeo de Reynolds eacute a base do modelo de mancais ciliacutendricos radiais e de sapatas moacuteveis
contemplados na anaacutelise O procedimento computacional desenvolvido por Armentrout (1998)
utiliza teacutecnica de compactaccedilatildeo modal de coordenadas empregando os modos de vibraccedilatildeo natildeo
amortecidos do sistema rotor-mancal-fundaccedilatildeo As equaccedilotildees de equiliacutebrio do sistema rotativo
em coordenadas modais satildeo integradas utilizando-se um algoritmo de integraccedilatildeo impliacutecita
―preditor-corretor
Tiwari et al (2000) apresentam uma investigaccedilatildeo teoacuterico-experimental da dinacircmica natildeo-linear
de rotores riacutegidos horizontais apoiados em mancais de rolamento de esferas Um modelo
discreto de massa concentrada com dois graus de liberdade eacute empregado na representaccedilatildeo do
rotor riacutegido As natildeo linearidades da anaacutelise estatildeo associadas aos efeitos da folga radial do
mancal e do modelo de contato de Hertz para as esferas desse mancal As equaccedilotildees de equiliacutebrio
do sistema satildeo integradas utilizando-se um algoritmo impliacutecito de integraccedilatildeo A anaacutelise
experimental do trabalho consiste na determinaccedilatildeo da resposta desbalanceada e na avaliaccedilatildeo da
estabilidade dinacircmica de um rotor horizontal apoiado em mancais de rolamento anisotroacutepicos
Os autores mostram resultados teoacutericos e experimentais para as regiotildees de instabilidade do rotor
que apresentam boa concordacircncia A consideraccedilatildeo de rotor riacutegido representa uma limitaccedilatildeo do
modelo
Elmadany et al (2001) apresentam um modelo de elementos finitos para um sistema rotativo
composto por um eixo flexiacutevel um rotor riacutegido e vaacuterios mancais incluindo no modelo do rotor
os efeitos de ineacutercia rotativa momentos giroscoacutepicos amortecimento interno deformaccedilotildees por
cisalhamento e torque axial Satildeo usados elementos finitos de viga de Timoshenko para gerar as
equaccedilotildees dos elementos do eixo Os oito coeficientes de forccedila dos mancais hidrodinacircmicos satildeo
apresentados em funccedilatildeo do nuacutemero de Sommerfeld considerando mancais curtos O meacutetodo
computacional proposto permite obter importantes informaccedilotildees do comportamento dinacircmico do
sistema tais como a precessatildeo as velocidades criacuteticas as regiotildees de estabilidade e a resposta
dinacircmica desbalanceada As velocidades de instabilidades satildeo obtidas atraveacutes do problema de
autovalor Os autores apresentam diversos resultados numeacutericos comparados com outros
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extraiacutedos da literatura Em um deles destaca-se a comparaccedilatildeo das velocidades de instabilidade
(threshold speed of instability) e os autores fazem ainda uma comparaccedilatildeo entre o modelo usando
elementos de viga de Rayleigh e de Timoshenko Conclui-se que ao se incluir o efeito de
cisalhamento na anaacutelise de vibraccedilatildeo livre os valores das velocidades de instabilidade satildeo
reduzidos
Hong et al(2001) investigam os efeitos da deformaccedilatildeo inicial de eixos na resposta dinacircmica de
sistemas rotor-mancal Analisa-se a vibraccedilatildeo siacutencrona provocada pela deformaccedilatildeo inicial e pelo
desbalanceamento sendo incluiacutedo o efeito giroscoacutepico O modelo de elementos finitos tem dois
graus de liberdade correspondentes aos deslocamentos transversais e o rotor tem trecircs discos
riacutegidos e dois mancais Satildeo simuladas algumas configuraccedilotildees de rotor incluindo mancais
hidrodinacircmicos de sapatas moacuteveis Os resultados mostram que o efeito da deformaccedilatildeo inicial
influencia fortemente a resposta siacutencrona em baixas velocidades enquanto o efeito do
desbalanceamento afeta em altas velocidades de rotaccedilatildeo Eacute observado ainda que a presenccedila de
ambos efeitos pode causar dificuldade no diagnoacutestico de vibraccedilotildees de maacutequinas rotativas Os
autores usam coeficientes de forccedila preacute-calculados por outros autores natildeo apresentando a
modelagem dos mancais Natildeo fica claro tambeacutem o tipo de elemento finito usado no modelo do
eixo
Guo e Kirk (2003) fazem um estudo dos limites de estabilidade de um sistema rotor-mancal
hidrodinacircmico baseado no modelo de Jeffcott (1919) incluindo o amortecimento externo e um
estudo para rotores verticais e horizontais Os autores destacam a forte influecircncia que o
amortecimento externo tem na anaacutelise da estabilidade do sistema rotativo Eacute proposto um
meacutetodo analiacutetico que faz vaacuterias consideraccedilotildees que simplificam as equaccedilotildees de movimento do
sistema por exemplo rotor vertical com operaccedilatildeo centrada em mancais curtos idecircnticos Eacute
mostrado que existe uma velocidade limite (threshold speed) para o rotor vertical enquanto para
o rotor horizontal haacute uma regiatildeo de operaccedilatildeo estaacutevel limitada entre duas regiotildees instaacuteveis Neste
caso do rotor horizontal eacute conduzido um procedimento numeacuterico sem as hipoacuteteses
simplificadoras usadas no modelo vertical usando anaacutelise de autovalores obtidos das equaccedilotildees
matriciais de movimento do sistema Observa-se que no rotor horizontal o efeito do
amortecimento externo aumenta a regiatildeo de operaccedilatildeo estaacutevel do sistema e para alguns valores
mais elevados de amortecimento externo eacute possiacutevel eliminar a regiatildeo de instabilidade
garantindo operaccedilatildeo estaacutevel para o sistema rotativo em toda faixa de velocidade de rotaccedilatildeo
analisada Guo e Kirk (2003) incluem ainda em seu trabalho uma anaacutelise do modelo extendido
29
do rotor de Jeffcott onde satildeo consideradas as massas dos mancais nas extremidades do rotor
Conclui-se que ao se incluiacuterem as massas dos mancais surge uma outra velocidade
limite(threshold speed) E mesmo que vaacuterias regiotildees de instabilidade possam ser reduzidas ou
eliminadas com o aumento do amortecimento externo este amortecimento tem pouco efeito nas
uacuteltimas velocidades de instabilidade (threshold speed of instability) uma vez que estas
velocidades dependem da massa do mancal Assim a melhor forma de se obter amplas faixas de
operaccedilatildeo estaacutevel eacute combinar-se os efeitos do amortecimento externo ao das massas dos mancais
obtendo-se uma combinaccedilatildeo adequada no dimensionamento do rotor de Jeffcott
Em (GUO e KIRK 2003b) a anaacutelise eacute ampliada incluindo-se o efeito da flexibilidade dos
mancais onde mostra-se como melhorar a resposta dinacircmica e a resposta desbalanceada do
sistema assim como a estabilidade e a transmissatildeo de forccedilas Novamente satildeo consideradas as
mesmas hipoacuteteses simplificadoras que restringem bastante a abrangecircncia dos resultados obtidos
Os proacuteprios autores admitem que os resultados satildeo vaacutelidos para um caso especial Nos
resultados satildeo apresentadas as regiotildees de estabilidade e a influecircncia do amortecimento e da
rigidez dos mancais na estabilidade do sistema Comenta-se ainda que os coeficientes de forccedila
de mancais hidrodinacircmicos tecircm natureza natildeo-linear e que cabe um estudo mais detalhado sobre
o efeito desta natildeo-linearidade
Balantrapu (2004) apresenta um procedimento computacional de identificaccedilatildeo de paracircmetros
para identificar os coeficientes de forccedila de mancais em um sistema rotativo com eixo flexiacutevel
atraveacutes da resposta desbalanceada medida proacuteximo aos mancais Eacute proposta tambeacutem uma
formulaccedilatildeo que permite usar o procedimento de identificaccedilatildeo a partir de mediccedilotildees feitas longe
dos mancais em especial no ponto meacutedio entre eles O eixo flexiacutevel eacute modelado por elementos
finitos incluindo-se os efeitos de ineacutercia rotatoacuteria e efeito giroscoacutepico e para os mancais satildeo
considerados coeficientes de forccedila lineares Satildeo apresentados vaacuterios exemplos incluindo
mancais hidrodinacircmicos de dois loacutebulos Observa-se que a massa desbalanceada necessaacuteria para
se fazer as mediccedilotildees do deslocamento do eixo assim como a exatidatildeo dos resultados de
mediccedilatildeo influenciam os resultados obtidos para os coeficientes de forccedila Outro fator que
influencia mais consideravelmente eacute a rigidez do eixo que tem grande influecircncia nas amplitudes
de vibraccedilatildeo medidas no sistema
Kalita e Kakoty (2004) destacam o meacutetodo de elementos finitos como o mais popular para
anaacutelise de vibraccedilatildeo de sistemas rotor-mancal Eacute estudado o comportamento dinacircmico de um
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rotor apoiado em mancais hidrodinacircmicos onde usam-se elementos de viga de Timoshenko para
o eixo que inclui os efeitos de ineacutercia rotatoacuteria efeito giroscoacutepico amortecimento interno e
deformaccedilatildeo por cisalhamento O modelo tem 4 graus de liberdade dois deslocamentos
transversais e duas rotaccedilotildees Satildeo apresentados os diagramas de Campbell para diferentes valores
de coeficientes de forccedila dos mancais incluindo anaacutelise da influecircncia dos coeficientes de
amortecimento e de rigidez cruzada dos mancais nas velocidades de instabilidade Eacute mostrada
ainda a limitaccedilatildeo do uso da aproximaccedilatildeo de mancais curtos no caacutelculo dos coeficientes
dinacircmicos de mancais hidrodinacircmicos
Bode e Menezes (2005) apresentam uma anaacutelise dinacircmica de um sistema rotor-mancal pelo
meacutetodo de elementos finitos onde satildeo detalhadas todas etapas da modelagem do sistema O
eixo flexiacutevel eacute excitado por forccedilas de desbalanceamento e apoiado nas extremidades por mancais
hidrodinacircmicos cujas forccedilas de reaccedilatildeo satildeo produzidas pela pressatildeo dinacircmica do lubrificante Os
coeficientes de rigidez e de amortecimento dos mancais satildeo obtidos atraveacutes da soluccedilatildeo numeacuterica
da equaccedilatildeo de Reynolds Para modelar o eixo flexiacutevel eacute usada a teoria de vigas de Timoshenko
incluindo o efeito giroscoacutepico e de cisalhamento Adota-se o meacutetodo de elementos finitos com
elementos de viga com 4 graus de liberdade em cada noacute 2 deslocamentos e 2 velocidades As
equaccedilotildees de movimento satildeo obtidas pelas equaccedilotildees de Lagrange descrevendo o movimento em
dois planos A resposta no tempo eacute obtida pelo meacutetodo de Newmark (RAO 1995) integrando-se
numericamente as equaccedilotildees de movimento Os autores obtecircm uma soluccedilatildeo numeacuterica que
permite descrever as condiccedilotildees dinacircmicas de estabilidade do sistema rotor-mancal
Cheng et al (2008) investigam o comportamento dinacircmico natildeo-linear de um sistema rotor-
mancal-selo apresentando resultados em forma de trajetoacuterias mapas de Poincareacute expoentes de
Liapunov espectros de frequecircncia e diagramas de bifurcaccedilatildeo Satildeo destacadas as caracteriacutesticas
natildeo-lineares dos coeficientes de rigidez e de amortecimento de mancais hidrodinacircmicos e de
selos mecacircnicos Consideram-se mancais curtos Para o selo adota-se o modelo natildeo-linear de
Muszynska (1986) O modelo do rotor considera apenas a vibraccedilatildeo transversal desprezando a
vibraccedilatildeo torcional e o efeito giroscoacutepico sendo adotado o modelo de rotor de Jeffcott A soluccedilatildeo
numeacuterica eacute obtida atraveacutes do meacutetodo de Runge-Kutta de quarta ordem seguida de uma anaacutelise
graacutefica do comportamento natildeo-linear do sistema em funccedilatildeo da velocidade de rotaccedilatildeo da
excentricidade da folga no selo e da pressatildeo no selo Os autores enfatizam a modelagem do
selo mas simplificam muito o modelo do eixo O modelo dos mancais eacute limitado a mancais
curtos e a anaacutelise numeacuterica considera apenas um exemplo de mancal
31
Rezvani (2009) faz uma anaacutelise de um sistema rotor mancal com vaacuterios graus de liberdade e
apoios natildeo-lineares Satildeo modelados sistemas apoiados em mancais de rolamento e em suportes
amortecidos (squeeze film dampers) considerando o modelo de mancais curtos Satildeo mostrados
os efeitos do amortecimento e do efeito giroscoacutepico do sistema em sua estabilidade Elhibir
(2009) apresenta um modelo computacional de um alternador afixado em uma viga oca em
balanccedilo apoiada em uma extremidade por dois mancais de rolamento O modelo usa o meacutetodo
de elementos finitos com elementos soacutelidos tetraeacutedricos Eacute analisada a resposta desbalanceada
do sistema e obtidas as frequecircncias naturais e usada anaacutelise modal Satildeo apresentados diversos
resultados numeacutericos e imagens ilustrando as deformaccedilotildees do sistema em cada modo de
vibraccedilatildeo
Karlberg (2010) faz uma anaacutelise dinacircmica de maacutequinas rotativas apoiadas por mancais de
rolamento com folgas O trabalho se destaca pela forma detalhada como eacute analisada a influecircncia
das folgas dos mancais nos seus coeficientes de rigidez proacuteximo da posiccedilatildeo de equiliacutebrio Eacute
observado que as frequecircncias naturais reduzem significativamente com o aumento das folgas
Para o modelo do rotor eacute adotada a teoria de vigas de Bernoulli-Euler usado o modelo de
Jeffcott com disco riacutegido
22 Anaacutelise da estabilidade atraveacutes de problema de autovalor
A anaacutelise da estabilidade de sistemas rotor-mancal pode tambeacutem ser feita atraveacutes do problema
de autovalor Gupta (1974) apresenta uma anaacutelise baseada no problema de autovalores
aplicando equaccedilotildees que consideram o efeito giroscoacutepico amortecido do sistema A formulaccedilatildeo
do problema de autovalor associados a sistemas giroscoacutepicos amortecidos eacute de grande
importacircncia para a determinaccedilatildeo de velocidades criacuteticas e para a anaacutelise de sensibilidade de
paracircmetros em maacutequinas rotativas (PLAUT e HUSEYIN 1972 MEIROVITCH e
RYLAND 1979 LUND 1980 PALAZZOLO et al 1983 RAJAN et al 1986 FARIA e
BARCELLOS 1991 EHRICH 1992 LUND 1994) A equaccedilatildeo do sistema rotor-mancal
flexiacutevel com efeito giroscoacutepico amortecido eacute reescrita na forma de variaacuteveis de estado
(MEIROVITCH1974 MEIROVITCH1980 CHILDS e GRAVISS1982) para a determinaccedilatildeo
dos autovalores complexos
Rao et al (1996) analisam a estabilidade e os autovalores de sistemas rotor-mancal usando a
teacutecnica de elementos finitos e considerando coeficientes distribuiacutedos de forccedila e de
32
amortecimento nos mancais Satildeo consideradas distribuiccedilotildees uniformes e paraboacutelicas para
diferentes tipos de mancais hidrodinacircmicos Os coeficientes distribuiacutedos satildeo obtidos atraveacutes de
uma metodologia que usa o princiacutepio do trabalho virtual (CRAGGS 1993 TAYLOR e
CRAGGS 1994) mas que considera apenas uma distribuiccedilatildeo uniforme ao longo da largura e do
comprimento do mancal Esta consideraccedilatildeo eacute vaacutelida quando o mancal eacute razoavelmente longo
Poreacutem quando eacute curto eacute vaacutelido considerar a distribuiccedilatildeo paraboacutelica (RAO et al1996) Assim
o mesmo princiacutepio do trabalho virtual eacute aplicado desta vez para se obterem as matrizes de
elementos finitos dos coeficientes de forccedila com distribuiccedilatildeo paraboacutelica Estas matrizes satildeo
incluiacutedas nas matrizes do sistema rotor-mancal obtendo-se a equaccedilatildeo de movimento do sistema
em forma matricial
A modelagem do rotor eacute feita usando-se elementos de viga finitos como propostos por Nelson e
McVaugh (1976) incluindo-se o efeito giroscoacutepico e o amortecimento interno Os resultados
satildeo analisados comparando-se os autovalores e frequecircncias naturais do sistema com coeficientes
de rigidez e de amortecimento distribuiacutedos agravequeles obtidos considerando-se os coeficientes de
forccedila concentrados para mancais isotroacutepicos com razatildeo LD=05 e LD=10 Observa-se que
para mancais longos quando os coeficientes de rigidez satildeo baixos (104 a 10
7 Nm) a diferenccedila
entre os resultados para os modelos de coeficientes distribuiacutedos e concentrados eacute despreziacutevel e
entre os modelos de coeficientes distribuiacutedos uniformemente e paraboacutelico tambeacutem eacute pequena
Percebe-se um aumento nas frequecircncias naturais para o modelo de coeficientes distribuiacutedos
somente para valores mais elevados de rigidez Por fim os autores analisam a estabilidade do
sistema rotativo para diferentes tipos de mancais hidrodinacircmicos cujos coeficientes de forccedila satildeo
obtidos de Lund e Thomsen (1978) Conclui-se que as regiotildees de estabilidade mudam entre as
duas formulaccedilotildees O modelo de coeficientes distribuiacutedos fornece regiotildees de estabilidade mais
amplas quando comparado com o modelo de coeficientes concentrados Desta forma o modelo
concentrado eacute mais conservativo do ponto de vista de estabilidade e o modelo distribuiacutedo eacute
mais preciso
Santana (2009) apresenta a anaacutelise da resposta complexa de um sistema rotor-mancais-fundaccedilatildeo
onde estuda a influecircncia do grau de anisotropia dos mancais e da estrutura de suporte na resposta
do modo retroacutegrado de precessatildeo Eacute formulado tambeacutem um problema de autovalores poreacutem
associado agrave anaacutelise modal adaptada para sistemas rotativos (NORDMANN 1982) A anaacutelise dos
modos de vibraccedilatildeo associados ao eixo rotativo e aos mancais de apoio fornece importantes
dados para o desenvolvimento de meacutetodos computacionais de anaacutelise de vibraccedilatildeo teacutecnicas de
33
balanceamento e de monitoramento de maacutequinas de alta rotaccedilatildeo (BUSSE et al 1980 BOEDO e
BOOKER 1997) O mesmo problema pode ainda incluir as propriedades dissipativas do sistema
(MEIROVITCH e RYLAND 1979 PALAZZOLO et al 1983 FARIA e BARCELLOS 1991)
23 Mancais hidrodinacircmicos
A literatura apresenta diversos estudos sobre o caacutelculo dos coeficientes de forccedila nos mancais
hidrodinacircmicos Ocvirk (1952) propocircs a soluccedilatildeo da equaccedilatildeo de Reynolds para mancais curtos
desprezando o gradiente circunferencial de pressatildeo Pinkus (1987) faz uma revisatildeo histoacuterica da
teoria de lubrificaccedilatildeo hidrodinacircmica e da aplicaccedilatildeo da equaccedilatildeo de Reynolds em tribologia desde
suas origens ateacute o estado atual Lund (1978 1987) faz uma revisatildeo do conceito de coeficientes
dinacircmicos e aplica o meacutetodo de perturbaccedilatildeo infinitesimal em torno da posiccedilatildeo de equiliacutebrio
para calcular os coeficientes de rigidez e de amortecimento de mancais hidrodinacircmicos Lund
(1987) acrescenta que esta perturbaccedilatildeo em torno da posiccedilatildeo de equiliacutebrio eacute vaacutelida para ateacute 40
da folga do mancal
Childs (1993) e Vance (1988) apresentam em seus livros diferentes modelos de mancais
hidrodinacircmicos e obtecircm os valores dos seus coeficientes dinacircmicos Os coeficientes satildeo obtidos
a partir de caacutelculos em torno da posiccedilatildeo de equiliacutebrio do eixo no mancal Rajalingham e Prabhu
(1987) analisam a influecircncia da temperatura nas caracteriacutesticas fiacutesicas dos mancais
hidrodinacircmicos e concluem que a variaccedilatildeo da temperatura do oacuteleo na direccedilatildeo axial pode ser
desprezada sem afetar a precisatildeo dos resultados hidrodinacircmicos para o filme de oacuteleo
Choy et al (1991) calculam os coeficientes de rigidez natildeo-lineares dos mancais para
perturbaccedilotildees de deslocamento em vaacuterios locais em torno da posiccedilatildeo de equiliacutebrio Eles mostram
que para deslocamentos distantes da posiccedilatildeo de equiliacutebrio a natildeo-linearidade das forccedilas do filme
fluido eacute significante e pode ser modelada por coeficientes de forccedila e de amortecimento de
ordem superior Choy et al (1992) analisam o efeito natildeo-linear no comportamento dinacircmico de
mancais hidrodinacircmicos quando sujeitos a diversas condiccedilotildees operacionais tais como alta e
baixa excentricidade altas velocidades desalinhamento
Zhang e Luo (1991) utilizam teacutecnicas de ajuste de curvas usando dados experimentais da
resposta em frequecircncia para identificaccedilatildeo dos coeficientes de rigidez e amortecimento de
mancais hidrodinacircmicos Capone et al (1994) propotildeem uma soluccedilatildeo analiacutetica aproximada para
34
a distribuiccedilatildeo de pressatildeo do filme de oacuteleo em um mancal de comprimento finito Satildeo
apresentadas aproximaccedilotildees de primeira e segunda ordem com diversas relaccedilotildees de largura e
diacircmetros sendo que o modelo de segunda ordem mostra uma boa aproximaccedilatildeo em relaccedilatildeo o
modelo de mancal finito calculado numericamente
Qiu e Tieu (1996) calculam os coeficientes dinacircmicos em diferentes valores de perturbaccedilatildeo Eles
concluem que as perturbaccedilotildees nas velocidades e deslocamentos devem estar entre 5 e 4
respectivamente para se garantir uma diferenccedila de 25 entre os valores de coeficientes obtidos
pelos meacutetodos de perturbaccedilatildeo finita e infinita Furukawa et al (1996) estudam os coeficientes de
forccedila nos mancais hidrodinacircmicos e concluem que a natildeo linearidade do filme fluido produz
grandes diferenccedilas entre os valores calculados e os medidos experimentalmente em especial na
regiatildeo de alta excentricidade Chu et al (1998) analisam a natildeo-linearidade do filme fluido e
observam que os coeficientes lineares dos mancais hidrodinacircmicos modelados satildeo vaacutelidos para
perturbaccedilotildees de deslocamento da ordem de 006
Bachschmid e Vania (2002) observam vibraccedilotildees em uma frequecircncia duas vezes maior que a
rotaccedilatildeo da maacutequina na presenccedila de efeitos natildeo-lineares em mancais hidrodinacircmicos Os autores
destacam a importacircncia de se monitorar o segundo harmocircnico para se diagnosticarem falhas em
turbo-maacutequinas Sawicki e Rao (2004) analisam o caraacuteter natildeo-linear dos coeficientes de forccedila de
mancais hidrodinacircmicos para diferentes nuacutemeros de Sommerfeld (SOMMERFELD 1904) e
razotildees de esbeltez do mancal LD Satildeo apresentadas as diferentes formas de se aplicar o meacutetodo
de perturbaccedilatildeo para a obtenccedilatildeo dos coeficientes de forccedila lineares e natildeo-lineares Os autores
destacam ainda que os coeficientes de forccedila lineares apresentam precisatildeo aceitaacutevel ateacute uma
excentricidade de 04 vezes o valor da folga do mancal (LUND 1987) Hirani (2005) aplica
teacutecnicas de algoritmos geneacuteticos na modelagem de lubrificaccedilatildeo hidrodinacircmica para o projeto
otimizado de mancais
Couto (2006) faz um estudo teoacuterico-experimental que investiga o comportamento de mancais
radiais hidrodinacircmicos sujeitos a carregamentos estaacuteticos dinacircmicos e a desalinhamentos Eacute
aplicado o meacutetodo de volumes finitos para a integraccedilatildeo da equaccedilatildeo de Reynolds que governa o
problema de lubrificaccedilatildeo Faria et al (2006) apresentam um procedimento baseado no meacutetodo
de elementos finitos para a soluccedilatildeo das equaccedilotildees de lubrificaccedilatildeo em mancais radiais ciliacutendricos
hidrodinacircmicos obtidas a partir da equaccedilatildeo claacutessica de Reynolds Os resultados mostram as
limitaccedilotildees da aplicabilidade da teoria de mancais curtos especialmente quando operam com
35
grandes excentricidades Mostram-se tambeacutem os limites da aplicaccedilatildeo da teoria de mancais
longos (HAMROCK 1994) onde LD=2
Yan et al (2010) apresentam um modelo analiacutetico e um meacutetodo de caacutelculo dos coeficientes de
rigidez e de amortecimento de mancais hidrodinacircmicos de sapata moacutevel e fazem uma
comparaccedilatildeo com resultados experimentais da literatura (KOSTRZEWSKY e FLACK 1990)
Seu modelo inclui um rotor riacutegido simeacutetrico apoiado em dois mancais de sapata moacutevel idecircnticos
de cinco sapatas cada Eacute usado o meacutetodo de NewtonndashRaphson para se calcular a posiccedilatildeo de
equiliacutebrio do eixo e das paacutes Apresenta-se tambeacutem um modelo reduzido que se mostra eficiente
para o caacutelculo dos coeficientes dinacircmicos mas que natildeo apresenta bons resultados para a anaacutelise
de estabilidade e das frequecircncias naturais amortecidas Observa-se nos resultados que o
momento de ineacutercia das paacutes a velocidade e o fator de preacute-carga tecircm grande influecircncia na
estabilidade do sistema e que a faixa de operaccedilatildeo estaacutevel pode ser aumentada ao se aumentar o
fator de preacute-carga
24 Sistemas rotativos com elementos adicionais
A anaacutelise de estabilidade de sistemas mancal-rotor eacute bastante variada na literatura especializada
Eacute comum encontrar trabalhos cuja originalidade recai na inclusatildeo de alguns paracircmetros ou
elementos especiacuteficos no conjunto como mancais hiacutebridos mancais de materiais viscoelaacutesticos
acoplamentos selos mecacircnicos
Um trabalho a destacar sobre a anaacutelise de estabilidade do sistema rotor-mancal de mancais
hiacutebridos eacute o de Gomez-Mancilla et al (2005) onde eacute modelado um sistema composto por um
rotor de Jeffcott apoiado em mancais hidrodinacircmicos ciliacutendricos hiacutebridos Satildeo considerados
ambos modelos riacutegido e flexiacutevel de Jeffcott e comparados os niacuteveis de vibraccedilatildeo e a estabilidade
do sistema quando sujeito a diferentes niacuteveis de pressatildeo de alimentaccedilatildeo do lubrificante nos
mancais Os autores mostram como se pode melhorar a estabilidade do sistema com o aumento
da pressatildeo de alimentaccedilatildeo provocando uma reduccedilatildeo no acircngulo de posiccedilatildeo e um aumento da
excentricidade nos sistemas modelados que inclui mancais hidrodinacircmicos longos ciliacutendricos
Este efeito tambeacutem favorece a faixa de operaccedilatildeo estaacutevel do sistema elevando a velocidade
limite de operaccedilatildeo estaacutevel (threshold speed of instability) Os resultados obtidos mostram que o
efeito da pressatildeo de alimentaccedilatildeo nos mancais na estabilidade do sistema eacute consideraacutevel para
36
rotores riacutegidos ou com elevada rigidez Agrave medida em que a rigidez reduz natildeo se percebe muita
variaccedilatildeo na estabilidade com o aumento da pressatildeo de alimentaccedilatildeo Outro resultado importante
deste trabalho eacute que o aumento da pressatildeo de alimentaccedilatildeo do lubrificante natildeo eacute interessante
quando o sistema estaacute cruzando uma velocidade criacutetica Apenas em casos particulares eacute possiacutevel
obter alguma reduccedilatildeo na amplitude de vibraccedilatildeo e mesmo assim quando a velocidade de
operaccedilatildeo estiver fora da faixa de velocidades criacuteticas Portanto um sistema de controle ativo de
pressatildeo eacute recomendado para se obter os melhores resultados em funccedilatildeo dos paracircmetros
operacionais do sistema rotativo Comenta-se tambeacutem que outros modelos de mancais como os
eliacutepticos de muacuteltiplos loacutebulos de sapata moacutevel satildeo intrinsecamente mais estaacuteveis do que os
mancais ciliacutendricos analisados no trabalho
A anaacutelise de estabilidade do sistema com mancais de materiais viscoelaacutesticos eacute apresentada em
Espiacutendola e Floody (1999) Saldarriaga (2007) e Bavastri et al(2008) Tapia e Cavalca (2002) e
Tadeo (2003) analisam os efeitos de alguns modelos de acoplamentos flexiacuteveis e riacutegidos
inserindo-os em modelos de elementos finitos do sistema rotativos Al-Hussain (2003) analisa o
efeito do desalinhamento angular na estabilidade de dois rotores riacutegidos ligados por um
acoplamento flexiacutevel O modelo contempla ainda um disco riacutegido em cada rotor que se apoacuteia
em mancais hidrodinacircmicos O autor apresenta as regiotildees de estabilidade do sistema e sua
relaccedilatildeo com a rigidez do acoplamento e com o acircngulo de desalinhamento
Wang et al (2010) fazem uma anaacutelise de um compressor centriacutefugo de alta velocidade com
mancais hidrodinacircmicos a ar com selo mecacircnico de labirinto Eacute usado o modelo de rotor riacutegido
de Jeffcott para modelar o eixo e o disco que representam o compressor aleacutem do modelo de
Muszynska (1986) para as forccedilas do selo
Faria e Miranda (2012) apresentam um procedimento de elementos finitos aplicado na anaacutelise
dos paracircmetros de desempenho de selos a gaacutes Lavainne (2003) e Vincent (2003) fazem uma
anaacutelise determiniacutestica e probabiliacutestica da sensibilidade de desempenho de um compressor agraves
variaccedilotildees geomeacutetricas das suas paacutes Ambos apresentam os resultados em termos de alteraccedilotildees na
eficiecircncia de compressatildeo do equipamento
Lazarus et al (2010) fazem uma anaacutelise dinacircmica da vibraccedilatildeo em maacutequinas rotativas
assimeacutetricas utilizando elementos finitos tridimensionais (3D) baseando-se na teoria modal
Satildeo incluiacutedos no modelo um estator e um acoplamento permitindo uma anaacutelise detalhada da
estabilidade do sistema e sua relaccedilatildeo com os autovalores Os resultados teoacutericos satildeo comparados
37
com mediccedilotildees experimentais realizadas em uma bancada de testes com um rotor assimeacutetrico
apoiado em mancais anisotroacutepicos
25 Mancais eliacutepticos
A literatura apresenta diversos trabalhos sobre modelagem de mancais ciliacutendricos mas haacute
poucos trabalhos que investigam detalhadamente os mancais eliacutepticos (SINGH e GUPTA1982)
As primeiras publicaccedilotildees sobre mancais eliacutepticos que se destacam satildeo Pinkus (1956 1956b)
onde o autor apresenta uma anaacutelise detalhada sobre mancais eliacutepticos incluindo paracircmetros
como capacidade de carga coeficiente de atrito e vazatildeo para diferentes valores de
excentricidade fator de carga e razatildeo LD Outro trabalho importante na eacutepoca foi apresentado
por Wilcock (1961) que analisa vaacuterios tipos de mancais deslocados ortogonalmente incluindo
mancais eliacutepticos Seu trabalho eacute limitado pelo fato de natildeo terem sido considerados os
coeficientes de amortecimento
Sternlicht (1964) apresenta uma anaacutelise de regime permanente para mancais eliacutepticos usando
coeficientes de rigidez e de amortecimento de mancais eliacutepticos com fatores geomeacutetricos
variados Middleton (1973) apresenta diagramas de capacidade de carga acircngulo de atitude e
coeficientes de rigidez e de amortecimento para mancais eliacutepticos com fatores de 06 e LD=05
Singh (1978) faz uma anaacutelise estaacutetica e dinacircmica de mancais eliacutepticos com LD=1 considerando
rotores riacutegidos e flexiacuteveis Kumar et al (1980) apresentam dados detalhados para o projeto de
mancais hidrodinacircmicos eliacutepticos (dois loacutebulos) Eacute usado o meacutetodo de perturbaccedilatildeo linear para o
caacutelculo dos coeficientes do mancal aplicando-se a equaccedilatildeo de Reynolds para filme fluido com
algumas simplificaccedilotildees nas condiccedilotildees de contorno Satildeo apresentados resultados para os
coeficientes de rigidez e de amortecimento do mancal aleacutem de dados sobre paracircmetro de atrito
de aumento de temperatura e regiatildeo de equiliacutebrio
Singh e Gupta (1982) apresentam um estudo analiacutetico dos efeitos do fator de carga da razatildeo LD
e da flexibilidade do eixo nos limites de estabilidade de mancais eliacutepticos e destacam que os
mancais eliacutepticos satildeo adequados para rotores riacutegidos e moderadamente flexiacuteveis Neste trabalho
os autores aplicam a equaccedilatildeo de Reynolds a cada loacutebulo do mancal eliacuteptico e resolvem a
equaccedilatildeo separadamente por loacutebulo usando o meacutetodo de diferenccedilas finitas Os resultados satildeo
vaacutelidos para mancais alinhados onde o perfil de pressotildees eacute simeacutetrico Satildeo levados em
38
consideraccedilatildeo todos os coeficientes de forccedila dos mancais isto eacute os coeficientes de rigidez e de
amortecimento incluindo os coeficientes cruzados
Zhang et al (1999) analisam os efeitos da natildeo-linearidade das forccedilas do filme fluido na resposta
desbalanceada de um rotor de Jeffcott apoiado em mancais eliacutepticos Eacute destacado o caraacuteter natildeo-
linear das forccedilas do filme fluido Os autores comparam os resultados da resposta desbalanceada
gerada pela teoria linear e natildeo-linear para avaliar a aplicabilidade da teoria linear Observa-se a
grande influecircncia do desbalanceamento nos resultados comparados mostrando a importacircncia de
se considerar as natildeo-linearidades quando o desbalanceamento do sistema eacute elevado
Nas uacuteltimas deacutecadas tem-se publicado pouco sobre mancais eliacutepticos e os trabalhos recentes que
merecem destaque satildeo comentados a seguir
Shen et al(2006) apresentam um modelo raacutepido e preciso que calcula as forccedilas de um mancal
hidrodinacircmico usando o meacutetodo variacional O modelo analisa o comportamento dinacircmico natildeo-
linear de um rotor riacutegido apoiado em mancais eliacutepticos considerando tanto o rotor balanceado
como o natildeo-balanceado Os autores fazem uma revisatildeo histoacuterica dos trabalhos que investigam
este caraacuteter aperioacutedico e caoacutetico da vibraccedilatildeo em sistemas dinacircmicos de alta rotaccedilatildeo onde se
comenta ainda que os coeficientes dinacircmicos lineares trazem informaccedilotildees de estabilidade
vaacutelidas apenas para rotores balanceados Satildeo destacados os meacutetodos numeacutericos de elementos
finitos e de diferenccedilas finitas como os mais precisos mas ao mesmo tempo os que mais exigem
recursos computacionais e tempo de processamento Desta forma os autores propotildeem um novo
modelo numeacuterico para calcular as forccedilas do filme fluido para investigar a dinacircmica natildeo-linear
de um sistema rotor-mancal O mancal modelado eacute formado por dois loacutebulos de 150deg cada e
considera-se apenas o movimento radial do rotor O novo modelo proposto baseia-se na teoria
variacional (ROHDE e MALLISTER 1975) gerando um problema de minimizaccedilatildeo de energia
o que reduz o problema bidimensional para unidimensional reduzindo consideravelmente o
custo computacional Como as forccedilas do filme fluido satildeo calculadas para cada loacutebulo o meacutetodo
proposto eacute eficiente tanto para mancais ciliacutendricos quanto para mancais de vaacuterios loacutebulos
incluindo os mancais eliacutepticos O meacutetodo eacute vaacutelido natildeo apenas para mancais curtos e longos mas
tambeacutem para mancais finitos Satildeo apresentados resultados numeacutericos e graacuteficos que mostram
oacuterbitas ciclos limites diagramas de bifurcaccedilatildeo (HOLLIS e TAYLOR 1986) e mapas de
Poincareacute
39
Yan-Jun et al(2006) analisam o comportamento dinacircmico natildeo-linear de um rotor apoiado em
mancais hidrodinacircmicos finitos incluindo mancais eliacutepticos Para o caacutelculo dos coeficientes de
forccedila dos mancais usa-se o meacutetodo de elementos finitos com uma abordagem variacional que
permite reduzir o custo computacional e melhorar a exatidatildeo numeacuterica do meacutetodo segundo os
autores Satildeo considerados os efeitos natildeo-lineares das forccedilas produzidas pelo filme fluido e sua
influecircncia na natildeo-linearidade do movimento do sistema Aplica-se o meacutetodo de prediccedilatildeo e
correccedilatildeo juntamente com o meacutetodo de Newton-Raphson para se calcular a posiccedilatildeo de equiliacutebrio
e as velocidades criacuteticas A limitaccedilatildeo do modelo estaacute na consideraccedilatildeo de eixo riacutegido e sua
modelagem natildeo eacute detalhada pelos autores
Correia (2007) apresenta uma anaacutelise de desempenho de mancais hidrodinacircmicos eliacutepticos
usando o meacutetodo de elementos finitos Satildeo obtidos os coeficientes de rigidez e de
amortecimento para diversas condiccedilotildees de trabalho aleacutem de obter curvas de caracteriacutesticas de
desempenho estaacutetico e dinacircmico tais como capacidade de carga e coeficientes dinacircmicos de
forccedila em funccedilatildeo de paracircmetros operacionais e do nuacutemero de Sommerfeld O autor destaca que
para um nuacutemero de Sommerfeld alto os mancais ciliacutendricos satildeo inadequados
Raghunandana (2007) propotildee um meacutetodo inverso para se calcular os coeficientes de forccedila e de
amortecimento de mancais eliacutepticos a partir de um banco de dados gerado para uma certa razatildeo
de excentricidade e eacute feito um ajuste de curva para gerar uma funccedilatildeo contiacutenua destes dados Eacute
apresentada a equaccedilatildeo de Reynolds modificada (DIEN e ELROD 1983) que considera a
variaccedilatildeo da viscosidade do fluido em funccedilatildeo da pressatildeo isto eacute fluido natildeo-newtoniano A
equaccedilatildeo eacute adimensionalizada e resolvida numericamente usando o meacutetodo de diferenccedilas finitas
considerando o regime permanente e condiccedilotildees de contorno simplificadoras
40
3 METODOLOGIA
Nesse capiacutetulo eacute apresentada a metodologia adotada na implementaccedilatildeo do procedimento
computacional que permite obter os resultados do comportamento dinacircmico de sistemas rotor-
mancal hidrodinacircmico Inicialmente apresenta-se a formulaccedilatildeo por elementos finitos do eixo
rotativo utilizando-se a teoria de vigas de Timoshenko Em seguida eacute apresentada a descriccedilatildeo
do problema de mancal hidrodinacircmico radial eliacuteptico e as equaccedilotildees de lubrificaccedilatildeo da Teoria da
Lubrificaccedilatildeo que permitem obter a formulaccedilatildeo por elementos finitos dos coeficientes de forccedila
destes mancais Posteriormente eacute descrito o procedimento para se modelar o sistema rotor-
mancal hidrodinacircmico por elementos finitos obtendo-se a equaccedilatildeo do movimento Apresenta-se
o meacutetodo numeacuterico de integraccedilatildeo no tempo adotado para se obter a soluccedilatildeo numeacuterica da
equaccedilatildeo do movimento do sistema Finalmente eacute apresentado um diagrama descrevendo as
principais etapas do procedimento computacional completo
O modelo do sistema rotor-mancal eacute ilustrado esquematicamente na Figura 31 onde observa-se
um eixo circular flexiacutevel apoiado nas extremidades e com um disco massivo acoplado Os
apoios satildeo representados pelos coeficientes de rigidez K e de amortecimento C dos mancais
Figura 31 ndash Sistema rotor-mancal
Os modelos adotados para o rotor flexiacutevel e para os mancais hidrodinacircmicos ciliacutendricos e
41
eliacutepticos satildeo baseados em teorias que apresentam algumas hipoacuteteses simplificadoras Estas
hipoacuteteses satildeo listadas a seguir
i) Modelo do Eixo flexiacutevel
natildeo inclui efeitos de torccedilatildeo ou de amortecimento interno
considera o eixo homogecircneo isotroacutepico e inicialmente alinhado
carregamento transversal sem carga axial
desconsiderado o movimento axial das seccedilotildees transversais
ii) Modelo do disco massivo
considera o disco riacutegido e homogecircneo
a linha de centro do disco coincide com a linha de centro do eixo (condiccedilatildeo inicial)
iii) Modelo dos mancais hidrodinacircmicos
considera mancais de geometria fixa com perfil ciliacutendrico ou eliacuteptico
a linha de centro coincide com a linha de centro do eixo (condiccedilatildeo inicial)
Filme fluido
- escoamento em regime laminar bidimensional nas direccedilotildees axial e circunferencial
- fluido newtoniano isoteacutermico isoviscoso incompressiacutevel
- desconsiderada a ineacutercia do fluido
iv) Modelo do sistema rotor-mancal
Desconsiderados os efeitos de vibraccedilatildeo provocados por desalinhamento de montagem
folgas roccedilamento rompimento do filme fluido cavitaccedilatildeo
31 Modelagem do Rotor Flexiacutevel
O modelo do rotor flexiacutevel implementado neste trabalho adota o meacutetodo de elementos finitos
(MEF) atraveacutes de elementos de eixo (NELSON 1980) de Timoshenko Nelson (1980) utiliza a
teoria de vigas de Timoshenko para obter as equaccedilotildees de equiliacutebrio para um eixo circular
flexiacutevel suportado em apoios elaacutesticos considerando o efeito do cisalhamento momento
giroscoacutepico e ineacutercia rotatoacuteria Os detalhes sobre a teoria de vigas de Euler-Bernoulli Rayleigh
e Timoshenko satildeo apresentados no Anexo A O desenvolvimento da formulaccedilatildeo atraveacutes de
42
elementos finitos eacute apresentado a seguir e as matrizes de elementos finitos obtidas por esta
formulaccedilatildeo satildeo listadas no Anexo C Considere um elemento finito de comprimento l com oito
graus de liberdade (Figura 32)
Figura 32 ndash Representaccedilatildeo de um elemento finito do eixo
A variaacutevel q representa o vetor deslocamento generalizado onde q1 e q2 representam o
movimento de translaccedilatildeo de um noacute do elemento finito nas direccedilotildees dos eixos de coordenadas
retangulares enquanto q3 e q4 representam as rotaccedilotildees em torno dos eixos de coordenadas As
demais componentes satildeo anaacutelogas representando os mesmos movimentos para o noacute oposto
Para representar a translaccedilatildeo e a rotaccedilatildeo de uma seccedilatildeo qualquer do elemento definem-se (VW)
como o deslocamento linear do centro da seccedilatildeo do elemento onde satildeo incluiacutedas as contribuiccedilotildees
da flexatildeo (Vf Wf) e do cisalhamento (VcWc) Aplicam-se funccedilotildees de interpolaccedilatildeo claacutessicas para
vigas de Timoshenko na flexatildeo (ANEXO B)
onde
43
e as funccedilotildees de interpolaccedilatildeo i=1234 representam os modos de deslocamentos sendo
que cada funccedilatildeo estaacute associada ao deslocamento unitaacuterio de uma das coordenadas com todas as
demais coordenadas com deslocamento restringido a zero [D] e [E] representam as matrizes das
funccedilotildees de interpolaccedilatildeo de deslocamentos lineares e de deslocamentos angulares
respectivamente Para se considerar os efeitos de cisalhamento transversal considera-se o eixo
com seccedilatildeo transversal circular e o fator de forma do cisalhamento transversal meacutedio pode ser
determinado pela expressatildeo (COUPER 1966)
onde eacute o coeficiente de Poisson
Aplicando-se o Princiacutepio de Hamilton obteacutem-se as equaccedilotildees do movimento de um elemento
finito do eixo Fazendo-se a primeira variaccedilatildeo funcional
onde T V e representam respectivamente a energia cineacutetica a energia potencial elaacutestica e o
trabalho das forccedilas externas obeacutem-se a relaccedilatildeo
A energia cineacutetica do elemento considera as parcelas de translaccedilatildeo e de rotaccedilatildeo do movimento
onde l eacute o comprimento do elemento M representa a massa por unidade de comprimento Idm eacute o
momento diametral meacutedio de ineacutercia de massa por unidade de comprimento Ip eacute o momento
polar de ineacutercia por unidade de comprimento eacute a velocidade de rotaccedilatildeo do rotor
A energia de deformaccedilatildeo elaacutestica devido agrave flexatildeo e ao cisalhamento eacute descrita como
44
onde Vf e Wf satildeo as contribuiccedilotildees da flexatildeo no deslocamento linear do centro da seccedilatildeo
transversal do elemento Vc e Wc satildeo as contribuiccedilotildees do cisalhamento neste deslocamento Kx
e Ky satildeo os coeficientes de cisalhamento E e G satildeo os moacutedulos de elasticidade longitudinal e
transversal Iy e Iz satildeo os momentos de ineacutercia de aacuterea A eacute a aacuterea da seccedilatildeo transversal O sinal
de apoacutestrofo indica diferenciaccedilatildeo em relaccedilatildeo agrave posiccedilatildeo
As equaccedilotildees do movimento satildeo obtidas pelo Princiacutepio de Hamilton atraveacutes da relaccedilatildeo
onde
eacute o trabalho virtual das forccedilas externas e Fe eacute o vetor forccedila generalizada
Substituindo-se as funccedilotildees de interpolaccedilatildeo (ANEXO B) nas expressotildees da energia de
deformaccedilatildeo elaacutestica e de energia cineacutetica do elemento leva agraves matrizes de elementos finitos
(ANEXO C) Uma vez obtidas as matrizes do sistema a equaccedilatildeo do movimento obtida pela
aplicaccedilatildeo do Princiacutepio de Hamilton teraacute a forma
onde [Me] [N
e] [G
e] satildeo as matrizes locais da ineacutercia de translaccedilatildeo rotaccedilatildeo e de efeito
giroscoacutepico respectivamente Para o modelo do rotor flexiacutevel composto pelo eixo flexiacutevel e o
disco massivo riacutegido (Figura 31) basta usar as propriedades geomeacutetricas do disco nas matrizes
de ineacutercia [Me] e [N
e] e de efeito giroscoacutepico [G
e] no elemento correspondente agrave posiccedilatildeo do
disco no rotor
32 Modelagem do Mancal Radial Eliacuteptico
A Figura 33 apresenta de maneira esquemaacutetica um mancal hidrodinacircmico eliacuteptico e seus
paracircmetros geomeacutetricos
45
Figura 33 ndash Desenho esquemaacutetico do mancal eliacuteptico e seus paracircmetros geomeacutetricos
O munhatildeo eacute a parte rotativa do mancal normalmente corresponde ao proacuteprio eixo no trecho
apoiado no mancal O tamanho do mancal eacute definido pelo comprimento L e pelo diacircmetro D O
centro do munhatildeo estaacute na interseccedilatildeo das linhas traccedilo-ponto e o centro do mancal estaacute na
interseccedilatildeo das linhas pontilhadas A excentricidade do mancal eacute definida como a distacircncia entre
o centro do mancal e o centro do munhatildeo representada por e A folga radial do mancal definida
como a diferenccedila entre o raio do mancal e o raio do munhatildeo eacute representada por c (Figura 34) A
razatildeo de excentricidade eacute o adimensional definido como podendo variar de zero a um
O acircngulo de posiccedilatildeo do mancal pode ser calculado pela expressatildeo onde
Fy e Fx satildeo respectivamente as componentes vertical e horizontal da forccedila de reaccedilatildeo F do
mancal gerada pela accedilatildeo hidrodinacircmica do filme fluido O mancal radial de perfil eliacuteptico ou
―mancal eliacuteptico possui um perfil formado por dois arcos de circunferecircncia chamados de
loacutebulos que natildeo satildeo concecircntricos (Figura 34) Nesta figura o centro geomeacutetrico dos loacutebulos
(ponto OL) estaacute posicionado sobre o centro geomeacutetrico do eixo (ponto O) o que a difere
basicamente da Figura 33 onde o centro do eixo estaacute deslocado como ocorre quando o eixo
estaacute girando e se desloca para uma posiccedilatildeo de equiliacutebrio R representa o raio menor do mancal
Re representa o raio do munhatildeo ou raio do eixo RL representa o raio do loacutebulo do mancal ou
sejao raio de cada loacutebulo que compotildee o mancal eliacuteptico
A preacute-carga (Mp) do mancal eliacuteptico indica o grau de ―elipsidade do mancal e eacute dada pela
46
expressatildeo Mp=(Cb ndash c)c O caso particular onde Mp=0 representa o mancal ciliacutendrico
Figura 34 - Desenho esquemaacutetico do perfil de um mancal radial eliacuteptico
A Figura 35 mostra o campo de pressatildeo no mancal hidrodinacircmico ciliacutendrico girando no sentido
anti-horaacuterio Percebe-se que as maiores pressotildees satildeo formadas na regiatildeo inferior ligeiramente
deslocadas para a direita para sustentar a carga do eixo representada por W A distacircncia miacutenima
entre o eixo e o mancal eacute representada por ho
Figura 35 - Distribuiccedilatildeo da pressatildeo hidrodinacircmica no mancal ciliacutendrico (LANG e STEINHILPER 1978)
47
Na Figura 36 eacute representado o mesmo campo de pressatildeo poreacutem para o mancal de perfil
eliacuteptico Observa-se que haacute a formaccedilatildeo do campo de pressatildeo tambeacutem na metade superior do
mancal que embora tenha um valor relativamente pequeno se comparado com o campo gerado
na parte inferior ajuda no equiliacutebrio hidrodinacircmico (CORREIA 2007) A accedilatildeo dos dois campos
de pressatildeo dos mancais eliacutepticos aumenta a rigidez melhora o amortecimento e reduz o
aquecimento do lubrificante de maneira mais eficiente do que nos mancais ciliacutendricos
(SEHGAL 2010)
Figura 36 - Distribuiccedilatildeo da pressatildeo hidrodinacircmica no mancal eliacuteptico (Adaptado de CORREIA 2007)
321 Equaccedilotildees de Lubrificaccedilatildeo
A equaccedilatildeo claacutessica de Reynolds que descreve o escoamento de um filme fluido incompressiacutevel
isoteacutermico e isoviscoso pode ser escrita no sistema de coordenadas ciliacutendricas da seguinte forma
(HAMROCK 1994)
t
hh
R
U
z
ph
z
ph
R
LLLL )()(
2
1
12
sup3
12
sup3
sup2
1 (31)
onde
48
R = raio do eixo
p = pressatildeo hidrodinacircmica
= massa especiacutefica do lubrificante
h = espessura do filme fluido
= viscosidade absoluta do lubrificante
U = velocidade superficial do eixo (U = ωR)
O domiacutenio do escoamento do filme fluido eacute descrito por 0 le θ le 2π e -L2 le z le L2 A
distribuiccedilatildeo de pressatildeo hidrodinacircmica eacute perioacutedica ao longo da direccedilatildeo circunferencial p(θ z t)=
p(θ + 2π z t) As laterais do mancal estatildeo agrave pressatildeo atmosfeacuterica pa p(θ L2 t)=p(θ -L2t)= pa
A condiccedilatildeo de Meio Sommerfeld eacute utilizada no caacutelculo do campo de pressatildeo do mancal
ciliacutendrico (HAMROCK 1994) onde usa-se somente do intervalo de 0 le θ le π concentrando-se
a anaacutelise da pressatildeo na regiatildeo convergente ou seja natildeo considerando a aacuterea de cavitaccedilatildeo (ou
pressatildeo negativa) No mancal eliacuteptico eacute desconsiderada apenas a regiatildeo de cavitaccedilatildeo
A expressatildeo que representa a espessura do filme fluido ―h eacute dada pela equaccedilatildeo (32) onde c
representa a folga radial ex e ey representam as excentricidades do mancal e Mp a preacute-carga
senMpcsentetech yx )()()cos()( (32)
Para o caacutelculo dos coeficientes dinacircmicos de forccedila do mancal satildeo utilizadas as equaccedilotildees de
lubrificaccedilatildeo de ordem zero e de primeira ordem obtidas atraveacutes da anaacutelise de perturbaccedilatildeo do
sistema (LUND1987) A posiccedilatildeo de equiliacutebrio do eixo (00
yx ee ) eacute perturbada por movimentos
de pequena amplitude ( yx ee ) com uma frequecircncia de excitaccedilatildeo w (FARIA et al 2006)
Desta forma a espessura do filme eacute dada por
titi
yyxx ehehehehehh 00 )( = x y (33)
onde
0h = espessura do filme estacionaacuterio ou de ordem zero
49
xh = cos( )
yh = sen ( )
= x y
i = 1
Pequenas variaccedilotildees na espessura do filme causam alteraccedilotildees no campo de pressatildeo
hidrodinacircmica Este campo perturbado de pressatildeo hidrodinacircmica pode ser representado pela
equaccedilatildeo (34) se considerarmos uma anaacutelise linear de perturbaccedilatildeo
ti
o
ti
YYXXo epepe)pepe()t(p)t(p (34)
onde
0p = pressatildeo estacionaacuteria campo de pressatildeo de ordem zero
Xp e Yp = campo de pressatildeo de primeira ordem
Substituindo as equaccedilotildees (33) e (34) na equaccedilatildeo (31) obtecircm-se as equaccedilotildees de lubrificaccedilatildeo de
ordem zero e de primeira ordem conforme representado pelas equaccedilotildees (35) e (36)
respectivamente
)(
2
1
1212sup2
1 00
3
00
3
0 h
R
U
z
ph
z
ph
R
LLL (35)
hih
R
U
z
ph
z
phh
z
phphh
RL
LLLLL )(
2
1
1212
3
1212
3
sup2
13
00
2
0
3
00
2
0
(36)
A equaccedilatildeo (35) eacute a equaccedilatildeo claacutessica de Reynolds para regime estacionaacuterio Esta equaccedilatildeo
permite a determinaccedilatildeo do campo de pressatildeo hidrodinacircmica bidimensional no interior dos
mancais radiais lubrificados a oacuteleo Natildeo existe soluccedilatildeo analiacutetica em forma fechada para a grande
maioria dos mancais radiais de uso industrial Os coeficientes dinacircmicos dos mancais satildeo
50
obtidos atraveacutes da soluccedilatildeo das equaccedilotildees de lubrificaccedilatildeo de ordem zero e de primeira ordem via
procedimento de elementos finitos
322 Equaccedilotildees de Elementos Finitos para Mancais Eliacutepticos
As equaccedilotildees de lubrificaccedilatildeo de ordem zero e de primeira ordem podem ser escritas na forma de
balanccedilo de massa utilizando-se o conceito de fluxo maacutessico Dessa forma a equaccedilatildeo (35) pode
ser reescrita na seguinte forma
(37)
sendo que 00
3
0
212
1hR
ph
Rm L
L representa o fluxo maacutessico na direccedilatildeo circunferencial
e z
phm L
z0
3
0
12 o fluxo maacutessico na direccedilatildeo axial
A equaccedilatildeo (36) pode da mesma forma ser reescrita na forma de balanccedilo de fluxo na seguinte
maneira
himz
mR
m Lz111
1
(38)
sendo que os fluxos maacutessicos mostrados na equaccedilatildeo (38) podem ser expressos na seguinte
forma
hRph
R
phh
Rm L
LL
212
1
12
313
00
2
01 (39)
z
ph
z
phhm LL
z
1212
3 3
00
2
01
(310)
323 Discretizaccedilatildeo do campo de pressatildeo de ordem zero
Elementos isoparameacutetricos planos de quatro noacutes satildeo utilizados na discretizaccedilatildeo do domiacutenio do
filme fluido Funccedilotildees de interpolaccedilatildeo bilineares e
j j=1234 satildeo empregadas na descriccedilatildeo do
01
mm
zm
Rz
51
campo de pressatildeo hidrodinacircmica de ordem zero no domiacutenio e de um elemento finito A
Figura 37 ilustra de maneira esquemaacutetica os quatro noacutes no elemento finito usados na
discretizaccedilatildeo do domiacutenio do filme fluido onde a coordenada y representa a direccedilatildeo axial do
mancal e a coordenada indica a direccedilatildeo circunferencial
Figura 37 - Representaccedilatildeo esquemaacutetica dos noacutes no elemento finito
Os campos discretos de pressatildeo de ordem zero e de primeira ordem no domiacutenio e de um
elemento finito satildeo escritos na seguinte forma
e
i
e
i
e pp 00 i=1234 (311)
e
i
e
i
e pp i=1234 (σ = xy) (312)
Sobre um elemento finito do domiacutenio e o meacutetodo de Galerkin eacute utilizado para a obtenccedilatildeo da
equaccedilatildeo do campo de pressatildeo de ordem zero A equaccedilatildeo (37) eacute preacute-multiplicada pelas funccedilotildees
de interpolaccedilatildeo e
j e o produto eacute integrado sobre o domiacutenio e
e ee
ee
j
ee
j
ee
j dmdnmdm 0
(313)
onde n
representa o valor normal unitaacuterio direcionado para o lado de fora do contorno e do
52
elemento finito Pode-se escrever que
eR
ez
e
j
z
e
je
j
1 (314)
zz ememm
(315)
A segunda integral do lado direito da equaccedilatildeo (313) pode ser expandida na seguinte forma
ee
e
e
e
je
i
e
e
je
i
e
je
i
e
e
j
z
e
j
z
e
i
e
ie
i
e
i
dhpdzzR
h
deR
ez
epz
he
z
Rp
h
R
002
3
0
0
3
00
3
0
2
1
12
1
1212
1
(316)
Entatildeo a equaccedilatildeo (313) pode ser reescrita na forma a seguir
e ee
e
n
e
j
e
e
je
i
e
e
je
i
e
je
i dmdhpdzzR
h
2
1
12002
3
0 (317)
onde nm representa o fluxo de lubrificante cruzando a fronteira do elemento finito e
A equaccedilatildeo (317) pode ser representada por um sistema de equaccedilotildees algeacutebricas que representa a
forma estacionaacuteria da equaccedilatildeo de Reynolds para um elemento finito e
na seguinte forma
e
j
e
j
e
i
e
ji qfPK 0 (318)
onde a matriz fluiacutedica e
jiK pode ser obtida por meio de procedimento de integraccedilatildeo baseado no
meacutetodo da quadratura de Gauss (BATHE 1982) utilizando-se quatro pontos de integraccedilatildeo Essa
matriz eacute dada pela seguinte expressatildeo
53
e
e
je
i
e
je
ie
ji dzzR
hK
e sup2
1
12
3
0
O vetor de fluxo no domiacutenio de um elemento finito eacute determinado por
e
e
e
je
j dhf 02
O balanccedilo de fluxo atraveacutes do contorno do domiacutenio eacute dado por
e
e
n
e
j
e
j dmq
O contorno de um elemento finito qualquer eacute representado por e
e o fluxo de lubrificante de
ordem zero atraveacutes dessa fronteira por nm
324 Discretizaccedilatildeo do campo de pressatildeo de primeira ordem
O meacutetodo de Galerkin eacute empregado novamente para a obtenccedilatildeo da equaccedilatildeo de elementos finitos
para determinaccedilatildeo do campo de pressatildeo perturbada de primeira ordem A equaccedilatildeo (38) eacute preacute-
multiplicada pelas funccedilotildees de interpolaccedilatildeo e o produto eacute integrado sobre o domiacutenio e do
elemento finito produzindo a seguinte equaccedilatildeo integral
e e ee
ee
j
ee
j
ej
e
ee
j dhidmdnmdm
111 (319)
O segundo termo do lado direito da equaccedilatildeo (319) pode ser reescrito na forma seguinte
e
e e
e
e
je
i
e
je
i
e
jo
ejz
e
jee
j
dR
hRP
R
hp
R
hh
dz
mR
mdm
2sup2
1
12sup2
1
12
3
1
3
0
2
0
111
54
e
ee
i
e
je
i
e
jdP
zz
h
zz
phh
1212
3 3
00
2
0 (320)
A equaccedilatildeo (320) pode entatildeo ser reescrita na forma de um sistema de equaccedilotildees algeacutebricas na
seguinte maneira
ee
j
e
j
e
j
e
j
en
e
j
e
i
e
e
je
i
e
je
i
dhihzz
pp
R
hh
dmPdzzR
h
e
ee
2sup2
1
12
3
sup2
1
12
00
2
0
1
3
0
(321)
Para facilitar a representaccedilatildeo da equaccedilatildeo algeacutebrica (321) pode-se reescrevecirc-la na forma
matricial como segue
e
j
e
j
e
i
e
ji fqpK yx (322)
A matriz fluiacutedica de primeira ordem o balanccedilo do fluxo atraveacutes do contorno e o vetor de fluxo
no domiacutenio satildeo determinados respectivamente por
e
e
je
i
e
j
e
je
ji dzzR
hK
e sup2
1
12
3
0 (3221)
e
en
e
j
e
j dmq (3222)
e
ee
j
e
j
e
j
e
je
j dhihzz
pp
R
hhf
2sup2
1
12
3 00
2
0 (3223)
O fluxo de lubrificante de primeira ordem atraveacutes do contorno e de um elemento finito eacute
representado por nm
O sistema de equaccedilotildees algeacutebricas complexas dado pelas equaccedilotildees (322) permite determinar o
55
campo complexo de pressatildeo hidrodinacircmica de primeira ordem Os coeficientes do vetor
carregamento de primeira ordem e
jf dependem do campo de pressatildeo de ordem zero Por
conseguinte primeiro resolve-se o sistema de equaccedilotildees de ordem zero apresentada na equaccedilatildeo
(318) para a determinaccedilatildeo do campo de pressatildeo estacionaacuteria 0p Entatildeo determina-se o campo
de pressatildeo perturbada por meio do sistema de equaccedilotildees dado pelas equaccedilotildees (322)
As caracteriacutesticas estaacuteticas de desempenho de mancais tais como capacidade de carga torque de
atrito e vazatildeo de oacuteleo satildeo determinadas a partir da equaccedilatildeo de lubrificaccedilatildeo de ordem zero Jaacute as
caracteriacutesticas dinacircmicas de desempenho tais como os coeficientes de rigidez e de
amortecimento satildeo estimadas a partir da soluccedilatildeo da equaccedilatildeo de lubrificaccedilatildeo de primeira ordem
As equaccedilotildees de elementos finitos satildeo superpostas para todo o domiacutenio do filme fluido Ω
325 Determinaccedilatildeo dos Coeficientes de Forccedila dos Mancais Eliacutepticos
A soluccedilatildeo do sistema de equaccedilotildees algeacutebricas lineares eacute obtida por meio de um procedimento
baseado no meacutetodo da decomposiccedilatildeo LU (CHAPRA e CANALE 2002) Um programa
computacional foi desenvolvido especialmente para determinar a soluccedilatildeo das equaccedilotildees de ordem
zero e de primeira ordem utilizando o meacutetodo de elementos finitos (FARIA et al 2006) As
forccedilas de reaccedilatildeo do filme lubrificante podem entatildeo ser estimadas a partir da seguinte expressatildeo
na qual pa representa a pressatildeo atmosfeacuterica
L
aoodzdRh)pp(F
0
2
0
= XY (323)
A determinaccedilatildeo do campo perturbado ou de primeira ordem de pressatildeo
hidrodinacircmica para o mancal eacute realizada por meio do sistema de equaccedilotildees complexas de
primeira ordem obtido pela superposiccedilatildeo para todo o domiacutenio do fluido das equaccedilotildees dadas
pelas equaccedilotildees (322) A integraccedilatildeo do campo de pressatildeo de primeira ordem sobre o domiacutenio do
filme fluido leva agrave estimativa das impedacircncias complexas YXoZ Os coeficientes
linearizados de rigidez YXK e de amortecimento YXC associados agrave accedilatildeo
hidrodinacircmica do filme fluido podem ser calculados na seguinte forma
56
L
dzdRhpCiKZ0
2
0
YX (324)
ou
dzdRhphp
hphp
CC
CCi
KK
KK L
YYYX
XYXX
YYYX
XYXX
YYYX
XYXX
0
2
0
(325)
Estes coeficientes de forccedila [ K ] e [C ] correspondem agrave resistecircncia que o mancal oferece ao
deslocamento e agrave velocidade respectivamente Eles seratildeo sobrepostos agraves matrizes de elementos
finitos do eixo nas linhas e colunas correspondentes aos dois primeiros graus de liberdade que
satildeo translacionais
33 O Sistema Rotor-Mancal
O sistema rotor-mancal eacute composto por um eixo flexiacutevel um disco massivo e mancais Neste
trabalho o sistema foi modelado atraveacutes do meacutetodo de elementos finitos (MEF) como descrito a
seguir aplicando modelos distintos para o eixo flexiacutevel e para os mancais O disco massivo eacute
considerado riacutegido e portanto inserido no modelo do eixo simplesmente atraveacutes de suas
propriedades fiacutesicas (massa efeito giroscoacutepico e ineacutercia rotatoacuteria)
Para a modelagem do deslocamento lateral dos eixos flexiacuteveis satildeo utilizados elementos de eixo
com dois noacutes e com oito graus de liberdade A influecircncia dos mancais nos coeficientes de
rigidez e amortecimento do rotor tambeacutem eacute considerada na modelagem A equaccedilatildeo global do
movimento para o sistema rotor-mancal eacute descrita como
(326)
onde [M] representa a matriz global de ineacutercia translacional [N] eacute a matriz global de ineacutercia
rotatoacuteria [K] a matriz de rigidez do eixo e [C] a matriz generalizada de amortecimento que eacute
expressa como [G]]C[]C[ 1 onde [G] eacute a matriz de efeito giroscoacutepico do eixo Estas
matrizes satildeo apresentadas detalhadamente no Anexo C A matriz [C1] eacute a matriz global com os
coeficientes de amortecimento dos mancais lanccedilados nos devidos noacutes onde os mancais estatildeo
57
posicionados De maneira anaacuteloga os coeficientes de rigidez dos mancais satildeo somados agrave matriz
[K] e a massa desbalanceada eacute somada na matriz [M] Os vetores de aceleraccedilatildeo velocidade e
deslocamento satildeo dados respectivamente por UUU e Ω eacute a velocidade de rotaccedilatildeo do
eixo (rads)
Cada noacute possui 4 graus de liberdade onde o deslocamento do i-eacutesimo elemento eacute
representado pelo vetor Ui composto pelas seguintes componentes
i
i
i
i
i
x
y
U onde
xeixo do tornoem rotaccedilatildeo
y eixo do tornoem rotaccedilatildeo
verticaltodeslocamen
horizontal todeslocamen
i
i
i
i
x
y
A Figura 38 apresenta simbolicamente estes 4 graus de liberdade atraveacutes dos movimentos de
translaccedilatildeo (deslocamento) e de rotaccedilatildeo nos eixos xy
Figura 38 ndash Representaccedilatildeo dos 4 graus de liberdade
A excitaccedilatildeo devida agrave massa desbalanceada do rotor eacute representada pelo vetor R na Eq (326)
Um disco rotativo riacutegido desbalanceado eacute montado em uma posiccedilatildeo axial preacute-determinada do
eixo permitindo a aplicaccedilatildeo de carga Um fasor rotatoacuterio com amplitude de F0 = mdud Ωsup2
representa a carga da massa desbalanceada onde md eacute a massa desbalanceada (kg) e ud eacute a
excentricidade da massa desbalanceada (m)
As seccedilotildees a seguir apresentam as formulaccedilotildees que permitem obter as matrizes da equaccedilatildeo
(326) que posteriormente seraacute integrada numericamente pelo meacutetodo de Newmark (BATHE
1982)
58
34 Diagrama do Procedimento Computacional
O procedimento computacional proposto neste trabalho foi desenvolvido em ambiente Matlabreg
produzido pela The MathWorkscopy e suas principais etapas satildeo apresentadas na Figura 39
Figura 39 ndash Diagrama do procedimento computacional
Na etapa 1 satildeo registrados os paracircmetros fiacutesicos e geomeacutetricos do sistema aleacutem dos paracircmetros
dos meacutetodos numeacutericos (nuacutemero de noacutes da malha tempo de integraccedilatildeo incremento no tempo
rotaccedilatildeo etc)
Na etapa 2 satildeo calculadas as matrizes de elementos finitos do eixo usando-se os dados
4) Montagem das matrizes de
elementos finitos
dos mancais
3) Caacutelculo dos coeficientes de forccedila
dos mancais pelo MEF
2) Caacutelculo das
matrizes de
elementos
finitos do rotor
5) Superposiccedilatildeo das matrizes de elementos finitos
7) Integraccedilatildeo numeacuterica da equaccedilatildeo do movimento
6) Equaccedilatildeo do movimento
1) Entrada de Dados
9) Saiacuteda de resultados
8) Seleccedilatildeo dos dados de saiacuteda
59
registrados na etapa 1 atraveacutes das equaccedilotildees descritas no Anexo C Como o disco massivo eacute
considerado riacutegido e portanto soacute possui os elementos das matrizes de massa de ineacutercia e de
momento giroscoacutepico estas matrizes satildeo calculadas separadamente e sobrepostas com as do
eixo nos pontos onde o disco massivo estaacute posicionado O meacutetodo permite que o disco esteja
posicionado em qualquer noacute da malha do eixo
Na etapa 3 satildeo calculados os coeficientes de forccedila dos mancais baseando-se na sua posiccedilatildeo de
equiliacutebrio estaacutetico Esta posiccedilatildeo eacute encontrada pelo MEF implementado que calcula a forccedila
resultante da accedilatildeo hidrodinacircmica do filme-fluido para que ela seja igual agrave carga estaacutetica que o
rotor aplica em cada mancal Uma vez encontrado o ponto de equiliacutebrio estaacutetico satildeo calculados
os coeficientes de rigidez e de amortecimento dos mancais conforme Eq(325) Cabe ressaltar
que o caacutelculo destes coeficientes natildeo usa as teorias simplistas de mancais curtos ou longos e
nem faz simplificaccedilotildees quanto aos coeficientes cruzados
Na etapa 4 os resultados encontrados na etapa 3 satildeo registrados nas matrizes de elementos
finitos dos mancais que satildeo as matrizes de rigidez e de amortecimento
Em seguida na etapa 5 eacute feita a superposiccedilatildeo das matrizes de elementos finitos do rotor e dos
mancais com os resultados obtidos nas etapas 2 3 e 4 O meacutetodo permite que os mancais
estejam posicionados em qualquer noacute da malha do eixo Esta superposiccedilatildeo eacute feita apenas com as
linhas e colunas correspondentes aos deslocamentos translacionais ou seja natildeo satildeo
considerados efeitos de rigidez ou de amortecimento rotacionais no modelo dos mancais
hidrodinacircmicos
Uma vez montadas as matrizes segue-se para as etapas 6 e 7 onde a equaccedilatildeo do movimento eacute
estabelecida em formato matricial conforme Eq(326) e integrada numericamente pelo Meacutetodo
de Newmark descrito no Anexo D
Na etapa 8 satildeo registrados os dados que seratildeo usados para a anaacutelise do sistema Na verdade esta
etapa estaacute inserida no algoritmo de Newmark dentro das iteraccedilotildees no tempo para que sejam
registrados os dados de interesse a cada iteraccedilatildeo no tempo Os dados normalmente selecionados
satildeo extraiacutedos do vetor U (Eq326) que registra todos os deslocamentos laterais e rotaccedilotildees
dos pontos da malha do eixo ao longo do tempo
Finalmente na etapa 9 satildeo geradas as saiacutedas de resultados Dependendo do tipo de anaacutelise
desejada esta saiacuteda pode passar por outro caacutelculo numeacuterico como eacute feito no caso da geraccedilatildeo do
espectro de frequecircncia onde eacute usado o FFT (Fast Fourier Transform) Os resultados numeacutericos
60
satildeo exibidos na forma de arquivo de dados e tambeacutem na forma graacutefica atraveacutes de espectros de
frequecircncia formas de onda curvas de deflexatildeo curva de resposta desbalanceada ou atraveacutes de
uma animaccedilatildeo tridimensional exibindo a deflexatildeo do rotor ao longo do tempo
Cabe ressaltar que para o caacutelculo da resposta desbalanceada eacute necessaacuterio fazer a integraccedilatildeo no
tempo para vaacuterias rotaccedilotildees do eixo Assim para cada rotaccedilatildeo eacute registrada a maacutexima amplitude
de vibraccedilatildeo do eixo em um determinado ponto Normalmente eacute escolhido o elemento onde estaacute
um dos mancais para este ponto Em seguida eacute gerado o graacutefico da resposta desbalanceada que
permite identificar em qual rotaccedilatildeo o sistema apresentou a maacutexima amplitude quando excitado
pela forccedila de desbalanceamento Este eacute o conceito de velocidade criacutetica (VC)
61
4 RESULTADOS E ANAacuteLISE
Os resultados do procedimento computacional proposto satildeo validados com resultados
apresentados na literatura especializada e com dados experimentais Satildeo apresentados
inicialmente alguns exemplos de validaccedilatildeo seguindo-se para a anaacutelise dos coeficientes de forccedila
dos mancais eliacutepticos e da resposta desbalanceada do sistema rotor-mancal
41 Exemplos de validaccedilatildeo
A validaccedilatildeo do procedimento computacional eacute realizada atraveacutes de alguns exemplos
selecionados na literatura especializada apresentando modelos de rotores flexiacuteveis apoiados em
diferentes tipos de mancais Eacute incluiacuteda uma comparaccedilatildeo dos resultados numeacutericos com
resultados experimentais coletados em uma bancada de testes horizontal composta por um rotor
flexiacutevel apoiado em mancais hidrodinacircmicos
411 Rotor com disco em balanccedilo
Um exemplo de rotor flexiacutevel (SINOU 2005) eacute escolhido para validar os resultados do
procedimento computacional O rotor eacute composto por um eixo flexiacutevel dois mancais e um disco
massivo em balanccedilo (Figura 41)
Figura 41 ndash Desenho esquemaacutetico do rotor de Sinou (2005)
62
Tabela 41- Paracircmetros do rotor com disco em balanccedilo (SINOU 2005)
Eixo
Comprimento
Diacircmetro
Moacutedulo de Young
Massa especiacutefica
170m
40mm
200 GNm2
8000 kgm3
Disco
Massa
Diacircmetro
Espessura
20 kg
400 mm
20 mm
Mancais
Rigidez Translacional
Rigidez Rotacional
Amortecimento
Kxx = 378 MNm
Kxy = 0 MNm
Kyx = 0 MNm
Kyy = 378 MNm
Kff= 80x104
Nmrad
KQQ = 80x104
Nmrad
Cxx = 0 Nsm
Cxy = 0 Nsm
Cyx = 0 Nsm
Cyy = 0 Nsm
Satildeo calculadas a primeira frequecircncia natural (FN1) e a segunda frequecircncia natural (FN2) para o
rotor de Sinou (2005) aplicando-se o procedimento computacional proposto para se avaliar a
influecircncia do tamanho da malha de elementos finitos no caacutelculo destas frequecircncias naturais Os
valores obtidos para FN1 e FN2 com diferentes malhas satildeo mostrados na Figura 42
Figura 42 ndash Curvas da primeira e segunda frequecircncias naturais (FN1 FN2) versus o nuacutemero de
elementos finitos da malha para o rotor de Sinou (2005) a 10rpm
Constata-se que a variaccedilatildeo dos valores de FN1 e de FN2 fica abaixo de 2 para uma malha de
80 elementos Assim adota-se uma malha de 80 elementos finitos para este exemplo
63
A integraccedilatildeo das equaccedilotildees do movimento eacute feita pelo meacutetodo de Newmark (ANEXO D) Nesta
implementaccedilatildeo satildeo adotados os paracircmetros que garantem a convergecircncia do meacutetodo conforme
descrito no Anexo D Poreacutem eacute importante considerar que agrave medida que se reduz o incremento
no tempo usado na integraccedilatildeo numeacuterica mais exatos satildeo os resultados por se tornarem mais
convergentes Assim apresenta-se na Figura 43 a anaacutelise desta convergecircncia em funccedilatildeo do
incremento no tempo A curva contiacutenua representa a primeira velocidade criacutetica progressiva
(FWD1) e a curva tracejada representa a primeira velocidade criacutetica regressiva (BKWD1)
Observa-se que as velocidades criacuteticas convergem suficientemente para um incremento no
tempo de aproximadamente 50x10-4
s onde a variaccedilatildeo relativa eacute menor que 1 Este valor eacute
adotado nos demais resultados calculados para este exemplo
Figura 43 ndash Primeira velocidade criacutetica progressiva (FWD1)
e regressiva (BKWD1) versus incremento no tempo
A Figura 44 apresenta o espectro de frequecircncia obtido pelo MEF com o rotor a 10 rpm Na
Tabela 42 satildeo comparados os valores da primeira e segunda frequecircncias naturais (FN1 e FN2)
calculadas por Sinou (2005) com os valores obtidos pelo MEF aqui proposto e observa-se que
o desvio maacuteximo eacute menor que 3 Os valores apresentados por Sinou(2005) foram obtidos
usando uma malha de 184 elementos de viga de Timoshenko
64
Figura 44 ndash Espectro de frequecircncia obtido pelo MEF para o rotor de Sinou(2005) a 10 rpm
Tabela 42- Valores comparativos da primeira frequecircncia natural para o rotor de Sinou(2005) a 10 rpm
Sinou(2005) MEF Erro
relativo ()
FN 1 2430 rpm 2495 rpm 27
FN 2 3840 rpm 3780 rpm -16
As frequecircncias naturais do rotor em balanccedilo satildeo calculadas pelo MEF proposto tambeacutem para
outros valores de rotaccedilatildeo Na Figura 45 eacute ilustrado o diagrama de Campbell obtido pelo MEF e
comparado com os valores apresentados por Sinou (2005)
Figura 45 ndash Diagrama de Campbell para o rotor em balanccedilo analisado por Sinou(2005)
65
O efeito giroscoacutepico faz com que fiquem niacutetidas as frequecircncias de precessatildeo regressiva
(backward) e progressiva (forward) Estas frequecircncias satildeo representadas na Figura 45 seguidas
das siglas ―BKWD e ―FWD respectivamente A linha cheia e a traccedilo-ponto representam os
resultados obtidos pelo MEF proposto neste trabalho enquanto os pontos identificados por
marcadores satildeo os resultados apresentados por Sinou(2005) A linha tracejada representa as
frequecircncias siacutencronas (syncr) que permitem identificar as velocidades criacuteticas na sua interseccedilatildeo
com as curvas das frequecircncias naturais As duas primeiras velocidades criacuteticas foram obtidas
atraveacutes do graacutefico e comparadas na Tabela 43 com aquelas calculadas por Sinou(2005)
Observa-se um erro relativo menor que 5 nesta comparaccedilatildeo feita para fins de validaccedilatildeo
Tabela 43- Comparaccedilatildeo da primeira velocidade criacutetica
Sinou(2005) MEF Erro
relativo()
BKWD 2225 rpm 2210 rpm -1
FWD 2580 rpm 2680 rpm 4
As diferenccedilas entre os resultados do MEF proposto para os resultados numeacutericos de Sinou se
devem principalmente ao nuacutemero de elementos finitos usados O modelo de Sinou usa 184
elementos enquanto neste trabalho foram adotados 80 elementos Outros erros relativos podem
ter sido causados por pequenas diferenccedilas geomeacutetricas entre os dois modelos em funccedilatildeo de
alguma informaccedilatildeo que natildeo tenha sido detalhada no trabalho de Sinou
Cabe ressaltar que este exemplo de validaccedilatildeo se aplica ao MEF do rotor e ao procedimento de
superposiccedilatildeo dos coeficientes de forccedila dos mancais Poreacutem o modelo de Sinou usa apenas dois
coeficientes de forccedila nos apoios (rigidez agrave rotaccedilatildeo) e natildeo considera mancais hidrodinacircmicos
Para a validaccedilatildeo dos modelos de mancais seratildeo apresentados outros exemplos
412 Rotor apoiado nas extremidades com disco no centro
Um segundo exemplo de validaccedilatildeo eacute selecionado atraveacutes do modelo de rotor (HONG e PARK
1999) composto por um eixo com dois diacircmetros diferentes como mostrado na Figura 46 Na
primeira metade o eixo tem 25cm de diacircmetro e na outra metade tem 40cm de diacircmetro
66
Figura 46 ndash Desenho esquemaacutetico do rotor de Hong e Park(1999)
O eixo eacute apoiado pelas extremidades por mancais idecircnticos e no centro do eixo haacute um disco
massivo Os paracircmetros do modelo satildeo apresentados na Tabela 44
Tabela 44- Paracircmetros do rotor de Hong e Park(1999)
Eixo
Comprimento
Diacircmetro (trecho 1)
Diacircmetro (trecho 2)
Moacutedulo de Young
Massa especiacutefica
120m
25cm
40cm
200 GNm2
8000 kgm3
Disco
Massa
Momento polar de ineacutercia
Momento diametral de ineacutercia
20 kg
0163 kgm2
0085 kgm2
Mancais
Rigidez
Amortecimento
Kxx = 20 MNm
Kxy = -15 MNm
Kyx = -15 MNm
Kyy = 25 MNm
Cxx = 60 Nsm
Cxy = 0 Nsm
Cyx = 0 Nsm
Cyy = 70 Nsm
Eacute feita uma comparaccedilatildeo entre as frequecircncias naturais e tambeacutem apresentada uma anaacutelise da
forma de onda obtida pela integraccedilatildeo numeacuterica que permite observar o fenocircmeno de batimento
Satildeo apresentados os conceitos baacutesicos do fenocircmeno e feita a comparaccedilatildeo entre as frequecircncias
naturais obtidas atraveacutes do espectro de frequecircncia e a frequecircncia de batimento observada na
forma de onda
Inicialmente satildeo validadas as frequecircncias naturais atraveacutes da observaccedilatildeo dos picos no espectro
como pode ser visto na Figura 47 Satildeo destacados os dois picos (808 rpm 848 rpm) relativos agrave
primeira frequecircncia natural regressiva (backward) e progressiva (forward) respectivamente
com o rotor operando a 6000rpm
67
Figura 47 ndash Espectro de frequecircncia obtido para o rotor de Hong e Park (1999) operando a 6000rpm
Os resultados numeacutericos obtidos pelo MEF satildeo comparados com os da literatura (HONG e
PARK 1999) na Tabela 45 onde pode-se observar um erro relativo maacuteximo de 2
Tabela 45- Comparaccedilatildeo da primeira frequecircncia natural progressiva e regressiva para
o rotor de Hong e Park (1999)
Hong e Park
(1999)
MEF Erro
relativo ()
Backward (regressiva) 804 rpm 808 rpm 05
Forward (progressiva) 865 rpm 848 rpm -20
Em seguida eacute feita a anaacutelise da forma de onda obtida apoacutes a integraccedilatildeo no tempo da equaccedilatildeo do
movimento pelo Meacutetodo de Newmark Observa-se pela forma de onda (Figura 48) que existe
um padratildeo de flutuaccedilatildeo do sinal destacado pela linha tracejada e pelo sombreamento Este
padratildeo de flutuaccedilatildeo eacute semelhante ao fenocircmeno de batimento da teoria de interferecircncia de ondas
que ocorre quando haacute duas frequecircncias de vibraccedilatildeo proacuteximas O fenocircmeno natildeo foi investigado
profundamente neste trabalho mas eacute destacado como um exemplo de validaccedilatildeo onde foi
possiacutevel encontrar frequecircncias naturais bem proacuteximas agraves apresentadas na literatura (HONG e
68
PARK 1999) e ainda estabelecer uma relaccedilatildeo entre o padratildeo de flutuaccedilatildeo da forma de onda
com as frequecircncias registradas no espectro
Figura 48 ndash Forma de onda obtida para o rotor de Hong e Park (1999)
Uma vez identificado um ciclo completo do padratildeo de flutuaccedilatildeo destacado na Figura 48 pela
linha tracejada eacute possiacutevel obter os instantes de tempo inicial e final deste ciclo 275s e 570s
respectivamente Este intervalo corresponde a um periacuteodo de 295s que equivale a uma
frequecircncia de 0339Hz = 203rpm
Este padratildeo de flutuaccedilatildeo pode ser explicado pelo fenocircmeno de batimento que estabelece que
quando duas ondas com frequecircncias muito proacuteximas (w1 w2) interferem uma na outra
flutuaccedilotildees de batimento satildeo percebidas na forma de onda e a frequecircncia de batimento (wb) eacute
dada por
Observando-se novamente o espectro de frequecircncia na Figura 47 pode-se calcular a frequecircncia
de batimento (wb) esperada para este sistema atraveacutes das frequecircncia natural regressiva
(backward) e progressiva (forward)
69
Portanto confirma-se que o padratildeo de flutuaccedilatildeo observado na forma de onda pode ser associado
ao fenocircmeno de batimento causado pelas duas frequecircncias naturais proacuteximas identificadas no
espectro Estes dois resultados satildeo apresentados na Tabela 46
Tabela 46- Comparaccedilatildeo das Frequecircncias de Batimento para o rotor de Hong e Park(1999)
Frequecircncia obtida
pela forma de onda
Frequecircncia obtida
pelo espectro
203 rpm 200 rpm
Este fenocircmeno de batimento eacute tambeacutem observado quando o rotor opera em uma rotaccedilatildeo proacutexima
de uma frequecircncia natural De maneira semelhante se for observado o padratildeo de flutuaccedilatildeo na
forma de onda que varia com a rotaccedilatildeo do rotor eacute possiacutevel inferir que o rotor estaacute se
aproximando ou se afastando de uma frequecircncia natural O fenocircmeno de batimento no sistema
rotor-mancal merece uma investigaccedilatildeo mais profunda que natildeo estaacute no escopo do presente
trabalho
413 Rotor de uma bancada de testes
Um terceiro exemplo de validaccedilatildeo consiste na comparaccedilatildeo das frequecircncias naturais estimadas
pelo MEF com os valores experimentais coletados em uma bancada de testes montada no Grupo
de Dinacircmica de Rotores da UFMG cujos dados podem ser encontrados em Machado (2006) e
Miranda et al (2005) O rotor eacute composto por um eixo ciliacutendrico horizontal apoiado em mancais
hidrodinacircmicos e com um disco ciliacutendrico desbalanceado montado no eixo como ilustrado
esquematicamente na Figura 49 com medidas em miliacutemetros
Figura 49 ndash Desenho esquemaacutetico do rotor da bancada de testes
O disco possui furos rosqueados ao longo de sua periferia que permitem incluir pequenas massas
70
que provocam o desbalanceamento no sistema O rotor eacute acionado por um sistema de polias e
correia e um motor eleacutetrico controlado por um inversor de frequecircncia A Tabela 47 apresenta os
paracircmetros do rotor da bancada de testes
Tabela 47ndash Paracircmetros do rotor da bancada de testes
Paracircmetro Descriccedilatildeo Valor Unidade
Leixo comprimento do eixo 030 m
D diacircmetro do eixo 0015 m
L comprimento dos mancais 0012 m
c folga do mancal 345 x 10-6
m viscosidade do lubrificante 25 x 10
-3 Pamiddots
massa especiacutefica do lubrificante 892 kgmsup3
E moacutedulo de elasticidade do eixo 200 x 109 Pa
coeficiente de Poisson do eixo 03 -
massa especiacutefica do eixo 7870 kgmsup3
Esta anaacutelise tem como objetivo validar os modelos de elementos finitos propostos para o eixo
flexiacutevel e para os mancais hidrodinacircmicos atraveacutes de resultados experimentais A anaacutelise da
convergecircncia da malha de elementos finitos para o modelo do eixo eacute realizada de maneira
semelhante agrave apresentada na Figura 42 obtendo-se tambeacutem um nuacutemero de 80 elementos para
este exemplo
Um procedimento de anaacutelise de sensibilidade de malha eacute tambeacutem utilizado para avaliar a
dependecircncia dos paracircmetros de desempenho do mancal em funccedilatildeo do tamanho da malha Neste
procedimento a razatildeo entre o nuacutemero de elementos finitos nas direccedilotildees circunferencial e axial eacute
mantida constante Esta razatildeo depende da razatildeo de esbeltez do mancal (LD) e deve ser mantida
para se garantir a variaccedilatildeo uniforme do tamanho da malha Assim para uma razatildeo LD de 08
como no exemplo analisado a relaccedilatildeo entre o nuacutemero de noacutes circunferenciais e o nuacutemero de noacutes
axiais deve ser 480 Estabelecidos estes paracircmetros satildeo gerados os coeficientes de forccedila
para a rotaccedilatildeo de 3200rpm no ponto de equiliacutebrio estaacutetico do mancal usando-se inicialmente
uma malha bem refinada (1660 elementos) conforme mostrado na uacuteltima linha da Tabela 48
Satildeo entatildeo reduzidos os nuacutemeros de elementos da malha e registrados os erros relativos obtidos
na forccedila de reaccedilatildeo do mancal (Fx) e no coeficiente de rigidez cruzada (Kxy) Para fins de
comparaccedilatildeo os erros relativos satildeo calculados em moacutedulo conforme mostrado na Figura 410
71
Tabela 48ndash Resultados da anaacutelise da sensibilidade da malha dos mancais
Noacutes circunferenciais
Noacutes axiais Elementos
Kxy
(MNm) Fx (N)
Desvio
Kxy Desvio
Fx
20 5 76 3926 5752 48 475
36 9 280 4122 6039 06 058
44 11 430 4146 6074 03 030
52 13 612 4158 6092 02 020
60 15 826 4166 6104 01 011
68 17 1072 4171 6111 01 008
76 19 1350 4174 6116 01 007
84 21 1660 4177 6120
Figura 410 ndash Sensibilidade da malha de elementos finitos do mancal ciliacutendrico no caacutelculo dos
paracircmetros de desempenho Fx e Kxy
Pela anaacutelise de sensibilidade realizada neste terceiro exemplo constata-se que 280 elementos
finitos na malha do filme fluido satildeo suficientes para a obtenccedilatildeo de resultados confiaacuteveis com
menos de 1 de erro relativo conforme Tabela 48
Uma vez definidas as malhas de elementos finitos satildeo realizadas as simulaccedilotildees e a integraccedilatildeo
numeacuterica no tempo Com os resultados da integraccedilatildeo satildeo gerados os espectros de frequecircncia
numeacutericos Os espectros de frequecircncia experimentais satildeo obtidos em diferentes velocidades de
rotaccedilatildeo do eixo atraveacutes de testes de batida (bump test) Satildeo afixados acelerocircmetros no topo dos
mancais e gerados os espectros de frequecircncia Na Figura 411 observa-se o espectro de
72
frequecircncia gerado a partir do teste de batida coletado no mancal 1 A amplitude indicada
representa o valor RMS da aceleraccedilatildeo Observam-se dois picos em frequecircncias de
aproximadamente 83 Hz (4980 rpm) e 110 Hz (6600 rpm) que correspondem agraves frequecircncias
naturais do sistema
Figura 411 ndash Espectro de frequecircncia experimental ndash teste de batida
Para se obter estas frequecircncias naturais pelo meacutetodo de elementos finitos proposto satildeo
realizadas duas simulaccedilotildees Uma com o rotor operando a 750rpm (Figura 412) e outra a
3200rpm (Figura 413)
Figura 412 ndash Espectro de frequecircncia obtido pelo MEF para rotaccedilatildeo de 750 rpm
Observa-se na Figura 412 o pico de 750rpm relativo agrave excitaccedilatildeo harmocircnica da massa
desbalanceada e um pico a aproximadamente 4950 rpm (825 Hz) que corresponde agravequele
73
identificado no espectro obtido experimentalmente no teste de batida
Na Figura 413 eacute niacutetido o pico a 6650rpm (111Hz) tambeacutem presente no espectro do resultado
experimental O pico de 3200 da Figura 413 eacute da excitaccedilatildeo harmocircnica
Figura 413 ndash Espectro de frequecircncia obtido pelo MEF para rotaccedilatildeo de 3200 rpm
A Tabela 49 apresenta a comparaccedilatildeo entre estes valores onde observa-se um erro relativo de
aproximadamente 1 dos dados numeacutericos em relaccedilatildeo aos dados experimentais
Tabela 49ndash Valores comparativos de frequecircncias naturais obtidas pelo MEF e experimentalmente
pelo teste de batida (bump test)
Experimental MEF Erro relativo
4980 rpm 4950 rpm -1
6600 rpm 6650rpm 08
Esta faixa de erro estaacute abaixo da resoluccedilatildeo dos graacuteficos e existem outros erros associados aos
dados apresentados devido agraves incertezas geomeacutetricas do rotor da bancada de testes
Uma segunda mediccedilatildeo experimental eacute realizada para este mesmo sistema fixando-se a rotaccedilatildeo
do eixo em 8900rpm Os resultados experimentais e numeacutericos da vibraccedilatildeo do mancal 2 satildeo
processados e gerados os espectros de frequecircncia a seguir A Figura 414 apresenta o espectro de
frequecircncia experimental para rotaccedilatildeo de 8900 rpm onde satildeo destacadas algumas frequecircncias
naturais excitadas a esta rotaccedilatildeo
74
Figura 414 ndash Espectro de frequecircncia experimental para o rotor da bancada operando a 8900rpm
A Figura 415 apresenta o espectro de frequecircncia numeacuterico para rotaccedilatildeo de 8900 rpm onde satildeo
destacados alguns dos picos que correspondem agraves mesmas frequecircncias naturais observadas no
resultado experimental A amplitude exibida no graacutefico estaacute na forma adimensional que eacute a
razatildeo entre a amplitude de deslocamento dividida pela folga do mancal
Figura 415 ndash Espectro de frequecircncia obtido pelo MEF para o rotor da bancada operando a 8900rpm
A comparaccedilatildeo entre estas frequecircncias eacute apresentada na Tabela 410 onde se observa um erro
relativo de menos de 3 para as prediccedilotildees das frequecircncias naturais em relaccedilatildeo aos valores
75
experimentais Nem todas as frequecircncias apresentadas no espectro experimental satildeo observadas
no resultado numeacuterico em funccedilatildeo do modelo computacional natildeo considerar alguns efeitos tais
como desalinhamento incertezas geomeacutetricas dos mancais ruiacutedos provenientes do motor
eleacutetrico e outros O pico de 17800rpm da Figura 414 por exemplo representa o segundo
harmocircnico da frequecircncia de rotaccedilatildeo do rotor que corresponde ao sinal de desalinhamento
paralelo (BERRY 1994)
Tabela 410ndash Valores comparativos de frequecircncias naturais obtidas pelo MEF e experimentalmente
para o rotor da bancada operando a 8900rpm
Experimental MEF Erro relativo
8890 rpm 8850 rpm -05
26800 rpm 26200 rpm -22
45600 rpm 44400 rpm -26
414 Segundo rotor de uma bancada de testes
Um quarto exemplo de validaccedilatildeo eacute selecionado (MACHADO 2006) para avaliar o
procedimento computacional implementado neste trabalho O rotor eacute semelhante ao anterior
ilustrado na Figura 49 poreacutem os mancais satildeo diferentes Satildeo mancais hidrodinacircmicos
ciliacutendricos cujas caracteriacutesticas satildeo apresentadas na Tabela 411
Tabela 411ndash Paracircmetros do rotor da bancada de testes ndash exemplo 2
Paracircmetro Descriccedilatildeo Valor Unidade
Leixo comprimento do eixo 030 m
D diacircmetro do eixo 0015 m
L comprimento dos mancais 0012 m
d diacircmetro do mancal 0015 m
c folga do mancal 24 x 10-6
m viscosidade do lubrificante 25 x 10
-3 Pamiddots
massa especiacutefica do lubrificante 892 kgmsup3
E moacutedulo de elasticidade do eixo 200 x 109 Pa
coeficiente de Poisson do eixo 03 -
massa especiacutefica do eixo 7870 kgmsup3
No espectro de frequecircncia computacional apresentado na Figura 416 satildeo destacadas as
frequecircncias naturais excitadas quando o rotor opera a 3200rpm
76
Figura 416 ndash Espectro de frequecircncia obtido pelo MEF para o rotor do exemplo 4 operando a 3200rpm
Estas frequecircncias satildeo comparadas com os valores obtidos experimentalmente para o rotor
descrito por Machado (2006) exibidas na Figura 417
Figura 417 ndash Espectro de frequecircncia experimental para o rotor de Machado(2006)
A comparaccedilatildeo das frequecircncias naturais dos resultados numeacutericos e experimentais eacute apresentada
na Tabela 412 onde observa-se que os resultados numeacutericos desviam menos de 2 dos
experimentais A uacutenica exceccedilatildeo eacute a frequecircncia de 9480 rpm do espectro experimental cujo erro
77
relativo foi de 37 no resultado numeacuterico Esta frequecircncia eacute de aproximadamente trecircs vezes a
frequecircncia de rotaccedilatildeo do eixo (3200rpm) o que significa um sinal de desalinhamento do rotor
conforme previsto na literatura (BERRY 1994)
Tabela 412ndash Valores comparativos das frequecircncias naturais obtidas
experimentalmente por Machado(2006) e pelo MEF
Experimental (rpm)
MEF (rpm)
erro relativo
3240 3194 -14
6360 6376 03
9480 9834 37
12960 12789 -13
18960 19190 12
25560 25591 01
28440 28823 13
32280 31992 -09
34800 35220 12
38520 38395 -03
41760 41615 -03
44100 44790 16
42 Anaacutelise dos coeficientes de forccedila dos mancais eliacutepticos
A anaacutelise dos coeficientes de forccedila eacute realizada aplicando-se o MEF a um exemplo de mancal
eliacuteptico extraiacutedo de Correia(2007) com o objetivo de identificar uma relaccedilatildeo entre os
coeficientes de forccedila e os paracircmetros construtivos do mancal folga radial (c) razatildeo de esbeltez
(LD) e preacute-carga (Mp) Este resultado permite observar se a relaccedilatildeo identificada se manteacutem
para diversas condiccedilotildees operacionais Os paracircmetros do mancal eliacuteptico selecionado satildeo
apresentados na Tabela 413
Tabela 413ndash Paracircmetros do mancal eliacuteptico selecionado
Paracircmetro Descriccedilatildeo Valor Unidade
L comprimento do mancal 0075 m
D diacircmetro do mancal 010 m
c1 folga do mancal (variaacutevel) viscosidade do lubrificante 84 x 10
-3 Pamiddots
massa especiacutefica do lubrificante 892 kgmsup3
rotaccedilatildeo 8800 rpm
Mp preacute-carga 045
W carga estaacutetica 1000 N
Para a anaacutelise de sensibilidade de malha do mancal selecionado adota-se uma folga radial de
75 m conforme Correia(2007) Esta anaacutelise permite avaliar a dependecircncia dos paracircmetros de
78
desempenho do mancal em funccedilatildeo do tamanho da malha A razatildeo entre o nuacutemero de elementos
finitos nas direccedilotildees circunferencial e axial eacute mantida constante dada pela relaccedilatildeo 4 Satildeo
apresentados na Figura 418 os desvios da forccedila de reaccedilatildeo do mancal (Fx) e do coeficiente de
rigidez cruzada (Kxy) obtidos para diferentes nuacutemeros de elementos da malha Para fins de
comparaccedilatildeo os desvios satildeo calculados em moacutedulo Pela anaacutelise de sensibilidade realizada
constata-se que aproximadamente 200 elementos finitos na malha do filme fluido satildeo suficientes
para a obtenccedilatildeo de resultados confiaacuteveis com menos de 1 de erro relativo
Figura 418 ndash Sensibilidade da malha de elementos finitos do mancal eliacuteptico no caacutelculo dos
paracircmetros de desempenho Fx e Kxy
421 Coeficientes de forccedila em funccedilatildeo da folga radial dos mancais eliacutepticos
Satildeo analisados nesta seccedilatildeo os resultados obtidos pelo MEF para o caacutelculo dos coeficientes de
rigidez direta adimensionais kxx e kyy dos mancais eliacutepticos para diferentes valores de folga
radial A adimensionalizaccedilatildeo dos coeficientes de rigidez direta eacute realizada pela relaccedilatildeo
(CORREIA2007)
kxx = c Kxx W
onde Kxx eacute o coeficiente de rigidez direta dimensional c eacute a folga radial do mancal e W eacute a
carga estaacutetica no mancal Para kyy a adimensionalizaccedilatildeo eacute anaacuteloga
Quando o mancal hidrodinacircmico opera ocorre um deslocamento da linha de centro do munhatildeo
79
(eixo do rotor) em relaccedilatildeo agrave linha de centro do mancal como ilustrado na Figura 419Figura 33
Este deslocamento eacute definido como a excentricidade e e o acircngulo eacute definido como acircngulo de
posiccedilatildeo A excentricidade adimensional eacute definida pela expressatildeo onde c eacute a folga
radial maacutexima do mancal Para cada condiccedilatildeo operacional o munhatildeo tende a se deslocar ateacute um
ponto de equiliacutebrio onde as forccedilas da accedilatildeo hidrodinacircmica do filme fluido entre em equiliacutebrio
com as forccedilas atuantes do rotor sobre o mancal Este ponto eacute definido como o ponto de
equiliacutebrio estaacutetico o
Figura 419 - Posicionamento do eixo dentro do mancal e excentricidade
O ponto de equiliacutebrio estaacutetico ( o) eacute influenciado por vaacuterios paracircmetros do mancal em especial
pela folga radial do mancal Para os mancais eliacutepticos analisados observa-se uma variaccedilatildeo de o
em funccedilatildeo da folga radial conforme mostrado na Figura 420
Figura 420 ndash Excentricidade adimensional do ponto de equiliacutebrio estaacutetico dos mancais
eliacutepticos em funccedilatildeo da folga radial
80
A Figura 421 apresenta os valores do coeficiente de rigidez direta adimensional dos mancais
eliacutepticos em funccedilatildeo da folga radial Eacute observado que estes coeficientes apresentam uma
variaccedilatildeo muito pequena para valores de o entre zero e 03 Estes valores correspondem a folgas
radiais entre zero a 150 m respectivamente Para destacar esta faixa eacute apresentada na Figura
421 uma linha pontilhada vertical onde se observa que os valores calculados para os
coeficientes kxx e kyy variam menos de 1 e fora desta faixa os coeficientes variam
consideravelmente Satildeo exibidas no graacutefico duas linhas tracejadas horizontais como referecircncia
para facilitar a observaccedilatildeo do alinhamento dos pontos
Figura 421 ndash Coeficientes de rigidez direta adimensionais em funccedilatildeo da folga radial dos mancais eliacutepticos
A adimensionalizaccedilatildeo do coeficiente de rigidez cruzada Kxy eacute realizada de maneira semelhante agrave
dos coeficientes de rigidez direta (CORREIA 2007) Poreacutem observa-se que os coeficientes kxy e
a folga radial tecircm uma relaccedilatildeo de proporcionalidade inversa para uma certa faixa operacional
descrita a seguir Desta forma o produto entre eles deve ser constante nesta faixa Sugere-se
assim um novo adimensional o ―coeficiente de rigidez cruzada adimensional modificado
definido por
onde Kxy eacute o coeficiente de rigidez cruzada dimensional c eacute a folga radial do mancal W eacute a
carga estaacutetica no mancal eacute a excentricidade adimensional no ponto de equiliacutebrio estaacutetico kxy
eacute o coeficiente de rigidez cruzada adimensional
81
A Figura 422 apresenta os resultados obtidos pelo MEF para o caacutelculo do coeficiente de rigidez
cruzada adimensional modificado dos mancais eliacutepticos para diferentes valores de folga
radial
Figura 422 ndash Coeficientes de rigidez cruzada adimensional modificado em funccedilatildeo da folga
radial dos mancais eliacutepticos
Observa-se que para a faixa onde os valores do coeficiente de rigidez cruzada
adimensional modificado satildeo aproximadamente constantes Apenas o uacuteltimo valor desta faixa
apresenta um desvio de 5 em relaccedilatildeo aos demais que variam menos de 1 Esta anaacutelise vale
de maneira anaacuteloga para ambos coeficientes de rigidez cruzada pois Kyx = -Kxy
Para os resultados computacionais dos coeficientes de amortecimento observa-se um padratildeo
semelhante ao identificado para os coeficientes de rigidez quando uma vez que nesta
faixa o coeficiente de amortecimento direto Cxx eacute proporcional ao coeficiente de rigidez cruzada
Kxy e o coeficiente de amortecimento cruzado Cxy eacute proporcional ao coeficiente de rigidez
direta Kxx Para investigar a faixa onde esta proporcionalidade eacute mantida eacute apresentado na
Figura 423 a razatildeo em funccedilatildeo da folga radial do mancal eliacuteptico Observa-se que para
a razatildeo eacute aproximadamente constante variando menos de 1 Este resultado
eacute ilustrado na Figura 423 sendo tambeacutem vaacutelido para a razatildeo
82
Figura 423 ndash Razatildeo CxyKxx em funccedilatildeo da folga radial dos mancais eliacutepticos
O amortecimento efetivo do mancal eacute um paracircmetro importante na anaacutelise da estabilidade
(VANCE 1988) definido pela expressatildeo 2ωCxxKxy onde Cxx eacute o coeficiente de amortecimento
direto (ou Cyy) e Kxy eacute o coeficiente de rigidez cruzada (ou -Kyx) Assim para concluir a anaacutelise
dos coeficientes de amortecimento em funccedilatildeo da folga radial eacute escolhido o amortecimento
efetivo como paracircmetro de desempenho Satildeo apresentados na Figura 424 os resultados do
amortecimento efetivo em funccedilatildeo da folga radial dos mancais eliacutepticos Novamente eacute observado
que para e0lt03 o amortecimento efetivo varia pouco menos de 1
Figura 424 ndash Amortecimento efetivo em funccedilatildeo da folga radial dos mancais eliacutepticos
83
Pode-se observar que os diversos paracircmetros analisados relacionados aos coeficientes de forccedila
dos mancais eliacutepticos variam pouco na faixa onde e este padratildeo natildeo eacute observado fora
desta faixa
422 Coeficientes de forccedila em funccedilatildeo da razatildeo de esbeltez dos mancais eliacutepticos
A razatildeo de esbeltez (LD) eacute um paracircmetro importante no projeto dos mancais hidrodinacircmicos
influenciando de maneira natildeo-linear nos seus coeficientes de forccedila (SAWICKI e RAO 2004)
No procedimento computacional proposto observa-se um padratildeo comum para alguns
paracircmetros de desempenho dos mancais eliacutepticos em funccedilatildeo da razatildeo de esbeltez
Eacute apresentada na Figura 425 a curva que relaciona a excentricidade adimensional do ponto de
equiliacutebrio estaacutetico ( ) com a razatildeo de esbeltez (LD) para os mancais analisados Observa-se um
valor de para LD = 045 que eacute uma razatildeo de esbeltez muito baixa conforme
observado nas aplicaccedilotildees industriais
Figura 425 ndash Excentricidade adimensional do ponto de equiliacutebrio estaacutetico dos mancais eliacutepticos em
funccedilatildeo da razatildeo de esbeltez
Na anaacutelise dos coeficientes de forccedila dos mancais em funccedilatildeo de LD identifica-se um padratildeo
comum para o amortecimento efetivo ( ) como ilustrado na Figura 426 Observa-se
que na faixa onde o amortecimento efetivo eacute aproximadamente constante variando no
maacuteximo 3
84
Figura 426 ndash Variaccedilatildeo do amortecimento efetivo em funccedilatildeo da razatildeo de esbeltez dos mancais eliacutepticos
Os resultados obtidos pelo MEF para o coeficiente de amortecimento cruzado adimensional (cxy)
mostram que existe uma relaccedilatildeo linear entre cxy e LD na faixa onde conforme
ilustrado na Figura 427 A linha tracejada indica o ajuste linear feito com os pontos desta faixa
no qual obteacutem-se um coeficiente de determinaccedilatildeo (R2) maior que 099 Embora os pontos na
faixa oposta (LD lt 045 e ) estejam tambeacutem aproximadamente alinhados natildeo foi
observado outro padratildeo comum nesta faixa
Figura 427 ndash Variaccedilatildeo do amortecimento cruzado adimensional em funccedilatildeo da razatildeo de esbeltez dos
mancais eliacutepticos
85
Os coeficientes de forccedila apresentados nesta seccedilatildeo obtidos pelo MEF implementado para os
mancais eliacutepticos apresentam uma clara relaccedilatildeo algeacutebrica com a razatildeo de esbeltez que se
manteacutem na faixa onde
423 Coeficientes de forccedila em funccedilatildeo da preacute-carga dos mancais eliacutepticos
Outro paracircmetro importante no projeto dos mancais hidrodinacircmicos eacute a preacute-carga (Mp) No
procedimento computacional proposto observa-se um padratildeo comum para alguns paracircmetros de
desempenho de mancais eliacutepticos em funccedilatildeo da preacute-carga
A Figura 428 apresenta a excentricidade adimensional do ponto de equiliacutebrio estaacutetico dos
mancais analisados para diferentes valores de preacute-carga (Mp) Observa-se um valor de
para Mp = 04
Figura 428 ndash Excentricidade adimensional do ponto de equiliacutebrio estaacutetico dos mancais eliacutepticos em
funccedilatildeo da preacute-carga
Na anaacutelise dos coeficientes de rigidez direta dos mancais para diferentes valores de Mp
observa-se uma relaccedilatildeo de proporcionalidade entre Mp e (kyy)23
e entre Mp e (kxx)12
como
ilustrado na Figura 429 Na faixa onde que corresponde a Mp lt 04 estas relaccedilotildees
algeacutebricas variam pouco Observa-se que nesta faixa a relaccedilatildeo de proporcionalidade entre Mp e
(kyy)23
varia no maacuteximo 4 e entre Mp e (kxx)12
varia no maacuteximo 7 Fora desta faixa as
variaccedilotildees satildeo maiores que 20
86
Figura 429 ndash Variaccedilatildeo da relaccedilatildeo de ajuste entre Mp kxx e kxy em funccedilatildeo da preacute-carga dos mancais eliacutepticos
Observa-se tambeacutem uma relaccedilatildeo linear entre o amortecimento efetivo ( ) e a preacute-
carga para valores de A Figura 436 apresenta estes resultados onde a linha tracejada
corresponde ao ajuste linear feito na faixa onde obtendo-se um coeficiente de
determinaccedilatildeo (R2) maior que 0999
Figura 430 ndash Variaccedilatildeo do amortecimento efetivo em funccedilatildeo da preacute-carga dos mancais eliacutepticos
Estes resultados obtidos pelo MEF implementado para os mancais eliacutepticos mostram que os
coeficientes de forccedila apresentam uma clara relaccedilatildeo algeacutebrica com a preacute-carga quando a
excentricidade adimensional ponto de equiliacutebrio estaacutetico eacute menor que 03
87
43 A influecircncia dos paracircmetros geomeacutetricos dos mancais eliacutepticos na resposta
desbalanceada
A resposta desbalanceada do sistema rotor-mancal eacute um importante paracircmetro operacional que
auxilia no projeto de maacutequinas rotativas pois informa o niacutevel de vibraccedilatildeo do sistema ao se
atravessar as velocidades criacuteticas Desta forma eacute fundamental uma anaacutelise da influecircncia dos
paracircmetros geomeacutetricos dos mancais eliacutepticos na resposta desbalanceada do sistema De fato
muitas turbomaacutequinas operam acima da primeira velocidade criacutetica e por isto os mancais devem
ser projetados para absorver as altas vibraccedilotildees provocadas pelo sistema quando ele passa pela
velocidade criacutetica
O procedimento computacional proposto neste trabalho permite predizer como os paracircmetros
geomeacutetricos dos mancais eliacutepticos influenciam a resposta desbalanceada Esta anaacutelise eacute realizada
atraveacutes dos resultados obtidos da integraccedilatildeo no tempo das equaccedilotildees do movimento
Satildeo selecionados a seguir alguns paracircmetros geomeacutetricos importantes no projeto de mancais
eliacutepticos e analisada a resposta desbalanceada do sistema rotor-mancal em funccedilatildeo destes
paracircmetros Inicialmente faz-se uma anaacutelise da influecircncia da preacute-carga dos mancais eliacutepticos na
razatildeo de amplificaccedilatildeo da resposta desbalanceada Em seguida eacute analisada a resposta
desbalanceada em funccedilatildeo da razatildeo de esbeltez dos mancais eliacutepticos e finalmente eacute analisada a
influecircncia da folga radial dos mancais eliacutepticos na resposta desbalanceada
431 A razatildeo de amplificaccedilatildeo da resposta desbalanceada em funccedilatildeo da preacute-carga
A resposta desbalanceada de rotores analisada para diferentes mancais eacute normalmente usada
como um paracircmetro de eficiecircncia dos mancais nas velocidades criacuteticas (FLACK e ROOKE
1980) Ela eacute a medida da amplitude de vibraccedilatildeo do sistema quando excitado pela forccedila de
desbalanceamento A reposta desbalanceada eacute analisada para o sistema apoiado em mancais
eliacutepticos sob diferentes valores de preacute-carga baseados em um exemplo de mancal eliacuteptico
apresentado em Machado(2006) A amplitude de vibraccedilatildeo eacute calculada atraveacutes do raio meacutedio das
oacuterbitas obtidas pelo procedimento numeacuterico Os paracircmetros do sistema satildeo apresentados na
Tabela 414 O rotor simulado natildeo possui discos massivos e estaacute apoiado em mancais
hidrodinacircmicos eliacutepticos como ilustrado na Figura 431
88
Figura 431 ndash Desenho esquemaacutetico do rotor sem disco massivo
Tabela 414 Paracircmetros do sistema rotor-mancal eliacuteptico utilizado na anaacutelise
d (diacircmetro do eixo) = 0015 m μ (viscosidade do lubrificante) = 27 x 10-3
Pas
L (comprimento do mancal) = 0012 m ρL (massa especiacutefica do lubrificante)= 915 kgmsup3
D (diacircmetro do mancal) = 0015 m ρ (massa especiacutefica do eixo) = 7850 kgmsup3
c1 (folga do mancal 1) = 24 μm c2 (folga do mancal 2) = 24 μm
Leixo (comprimento do eixo) = 0900m mu (massa desbalanceada) = 00035 kg
Ω (rotaccedilatildeo do rotor) = 2000 a 10000 rpm ud (excentricidade da massa desbalanceada) = 0035 m
E (Moacutedulo de Young do eixo) = 205x109 Pa Mp (preacute-carga dos mancais)=045
W (carga estaacutetica por mancal) = 612N
Para este exemplo eacute adotada uma malha de 80 elementos para o eixo e de 351 elementos para o
filme fluido composta por 40 noacutes circunferenciais e 10 noacutes axiais A excentricidade
adimensional do ponto de equiliacutebrio estaacutetico calculado eacute com um acircngulo de posiccedilatildeo
proacuteximo de zero Este ponto de equiliacutebrio eacute calculado de modo a garantir que a forccedila
hidrodinacircmica do filme fluido seja agrave carga estaacutetica W que eacute obtida dividindo-se o peso do eixo
pelo nuacutemero de mancais
A resposta desbalanceada (Figura 432) eacute calculada no mancal 1 considerando mancais eliacutepticos
com preacute-carga Mp=045 A amplitude adimensional eacute calculada dividindo-se a amplitude de
vibraccedilatildeo do eixo pela folga do mancal Os dois picos destacados na Figura 432 representam a
primeira e segunda velocidades criacuteticas do rotor
89
Figura 432 ndash Resposta desbalanceada calculada no mancal 1 do rotor apoiado em mancais eliacutepticos
com preacute-carga 045 (MIRANDA e FARIA 2012)
Uma vez identificadas as velocidades criacuteticas do rotor estuda-se a influecircncia da preacute-carga dos
mancais eliacutepticos na resposta desbalanceada com o rotor operando em torno da sua primeira
velocidade criacutetica A resposta desbalanceada para o sistema apoiado em mancais hidrodinacircmicos
eliacutepticos com diferentes valores de preacute-carga (Mp) eacute exibida na Figura 433 A curva superior
corresponde Mp=075 a curva intermediaacuteria corresponde a Mp=045 e a curva inferior
corresponde a Mp=045
Figura 433 ndash Resposta desbalanceada para diferentes valores de preacute-carga dos mancais eliacutepticos
(MIRANDA e FARIA 2012)
90
Os valores das amplitudes adimensionais satildeo calculadas na extremidade esquerda do eixo onde
ele estaacute apoiado no mancal 1 Observa-se que a amplitude na primeira velocidade criacutetica eacute mais
elevada para valores maiores de preacute-carga Poreacutem aleacutem de analisar a amplitude da vibraccedilatildeo eacute
importante tambeacutem investigar a razatildeo de amplificaccedilatildeo desta vibraccedilatildeo
A razatildeo de amplificaccedilatildeo da resposta desbalanceada na velocidade criacutetica eacute um paracircmetro
importante na anaacutelise da estabilidade do sistema rotor-mancal (ZEIDAN e PAQUETTE 1994)
Neste exemplo numeacuterico ela eacute calculada atraveacutes da relaccedilatildeo entre a resposta desbalanceada na
primeira velocidade criacutetica e na rotaccedilatildeo de 2000rpm A rotaccedilatildeo de 2000rpm eacute escolhida como
referecircncia pelo fato de representar uma rotaccedilatildeo onde a amplitude de vibraccedilatildeo apresenta pouca
influecircncia da velocidade criacutetica A razatildeo de amplificaccedilatildeo permite inferir sobre a capacidade do
mancal eliacuteptico atenuar a resposta desbalanceada do rotor ao passar pela velocidade criacutetica o
que eacute uma caracteriacutestica importante dos mancais hidrodinacircmicos (STERNLICHT e LEWIS
1968 VANCE 1988 CORREIA 2007) A Figura 434 apresenta os valores da razatildeo de
amplificaccedilatildeo para o exemplo estudado com diferentes valores de preacute-carga nos mancais A preacute-
carga zero representa o caso particular de mancal ciliacutendrico
Figura 434 ndashRazatildeo de amplificaccedilatildeo da resposta desbalanceada na primeira velocidade criacutetica para o
rotor apoiado em mancais eliacutepticos (MIRANDA e FARIA 2012)
Observa-se uma menor razatildeo de amplificaccedilatildeo (maior atenuaccedilatildeo) da resposta desbalanceada na
primeira velocidade criacutetica para uma preacute-carga de 045 A literatura teacutecnica apresenta uma
recomendaccedilatildeo de aplicaccedilatildeo de mancais eliacutepticos com preacute-carga de aproximadamente 05 por
apresentar melhor estabilidade (PINKUS 1956 ALLAIRE e FLACK 1981) Portanto para o
91
exemplo de rotor analisado este resultado mostra uma concordacircncia entre os valores obtidos
pelo MEF para a razatildeo de amplificaccedilatildeo e a recomendaccedilatildeo da literatura no que diz respeito agrave
estabilidade de mancais eliacutepticos
432 A resposta desbalanceada em funccedilatildeo da razatildeo de esbeltez dos mancais eliacutepticos
A resposta desbalanceada do sistema rotor-mancal eacute analisada para o rotor da Figura 435
composto por um eixo flexiacutevel apoiado nas extremidades por mancais hidrodinacircmicos eliacutepticos
e com um disco massivo acoplado em uma posiccedilatildeo assimeacutetrica Esta posiccedilatildeo assimeacutetrica eacute
escolhida para se evitar soluccedilotildees particulares restritas a rotores com simetria axial Os
paracircmetros do rotor satildeo apresentados na Tabela 415 onde os paracircmetros baacutesicos dos mancais
eliacutepticos satildeo idecircnticos aos apresentados por Correia(2006)
Figura 435 ndashDesenho esquemaacutetico do rotor com disco massivo em posiccedilatildeo assimeacutetrica
A resposta desbalanceada eacute calculada atraveacutes da amplitude adimensional de vibraccedilatildeo do rotor
operando na primeira velocidade criacutetica (VC) apoiado mancais eliacutepticos com diferentes razotildees
de esbeltez (LD) A amplitude adimensional eacute obtida dividindo-se a amplitude de vibraccedilatildeo pela
folga do mancal
92
Tabela 415ndash Paracircmetros do rotor com mancais eliacutepticos
Paracircmetro Descriccedilatildeo Valor Unidade
leixo comprimento do eixo (vatildeo) 090 m
d diacircmetro do eixo 0015 m
L comprimento do mancal (variaacutevel) m
D diacircmetro do mancal 010 m
c1 folga do mancal 75 x 10-6
m viscosidade do lubrificante 84 x 10
-3 Pamiddots
massa especiacutefica do lubrificante 892 kgmsup3
E moacutedulo de elasticidade do eixo 205 x 109 Pa
coeficiente de Poisson do eixo 03 -
massa especiacutefica do eixo 7850 kgmsup3
W
w
carga estaacutetica em cada mancal
rotaccedilatildeo
100
2000
N
rpm
Para este exemplo eacute adotada uma malha de 80 elementos para o eixo e de 210 a 2100 elementos
para o filme fluido dependendo da razatildeo de esbeltez LD de modo a garantir menos de 1 de
erro relativo Os pontos de equiliacutebrio estaacuteticos satildeo mostrados na Figura 437
A integraccedilatildeo numeacuterica das equaccedilotildees de movimento permitem obter as amplitudes de vibraccedilatildeo
do rotor na primeira velocidade criacutetica (VC) Satildeo apresentadas na Figura 436 em escala log-log
a amplitude adimensional da resposta desbalanceada calculada no mancal 1 para o rotor
operando na primeira VC em funccedilatildeo da razatildeo de esbeltez (LD) dos mancais Satildeo considerados
trecircs tipos de mancais eliacutepticos com valores de preacute-carga Mp=0 Mp=045 Mp=090
Figura 436 ndash Amplitude de vibraccedilatildeo na primeira VC
em funccedilatildeo da razatildeo de esbeltez dos mancais eliacutepticos
93
Na Figura 436 observa-se que os pontos se mantecircm alinhados e proacuteximos das curvas de ajuste
para os valores de LD maiores que 04 que foi destacado no eixo horizontal Como a escala eacute
logariacutetmica em ambos eixos isto natildeo indica uma linearidade mas alguma relaccedilatildeo de potecircncia
entre a amplitude na VC e a razatildeo de esbeltez dos mancais A linha traccedilo-ponto apresentada no
graacutefico representa o ajuste feito para os valores obtidos com Mp=090 e a linha tracejada
representa o ajuste feito para os valores obtidos com Mp=0 O ajuste de curvas mostra que haacute
uma relaccedilatildeo cuacutebica inversa entre a amplitude da resposta desbalanceada (Ampl) e a razatildeo de
esbeltez (LD) do mancal com um coeficiente de determinaccedilatildeo R2 maior que 0999 Desta
forma eacute possiacutevel predizer o valor da amplitude calculada dentro desta faixa pela expressatildeo
onde a constante a depende da preacute-carga (Mp) do mancal eliacuteptico
Observa-se ainda pela Figura 436 que os pontos satildeo bem alinhados para as curvas de ajuste
obtidas para valores de LDgt04 E esta faixa de valores de razatildeo de esbeltez corresponde agrave
faixa onde a excentricidade adimensional no ponto de equiliacutebrio estaacutetico eacute menor que 035
Este valor eacute proacuteximo ao obtido nas anaacutelises apresentadas nas subseccedilotildees anteriores onde se
observa uma relaccedilatildeo algeacutebrica repetitiva para os paracircmetros de desempenho dos mancais na
faixa
O resultado apresentado na Figura 436 mostra tambeacutem que o procedimento baseado no MEF
pode ser usado na prediccedilatildeo da influecircncia da razatildeo de esbeltez dos mancais eliacutepticos na resposta
desbalanceada do sistema rotor-mancal o que eacute importante na anaacutelise de alteraccedilotildees de projetos
de maacutequinas rotativas
Outro resultado importante eacute destacado a seguir Constata-se que a excentricidade adimensional
do ponto de equiliacutebrio estaacutetico apresenta uma relaccedilatildeo cuacutebica inversa com o valor de LD Esta
relaccedilatildeo proveacutem dos ajustes de curva apresentados na Figura 437 onde pode-se observar os
valores calculados para em funccedilatildeo de LD A linha fina horizontal equivale a
94
Figura 437 ndash Curvas de ajuste da excentricidade adimensional do ponto de equiliacutebrio estaacutetico em
funccedilatildeo da razatildeo de esbeltez dos mancais eliacutepticos
Eacute observado que os pontos do graacutefico seguem alinhados com as curvas de ajuste para valores de
para o mancal ciliacutendrico (Mp=0) e vatildeo se afastando deste alinhamento para valores
maiores de Para os mancais eliacutepticos o valor os pontos seguem alinhados com a curva de
ajuste para valores de um pouco maiores Como o graacutefico estaacute em escala log-log o fato das
curvas de ajuste serem retas natildeo significa uma relaccedilatildeo de linearidade De fato a relaccedilatildeo entre
e LD identificada para este exemplo eacute
onde a eacute uma constante de proporcionalidade que varia com a preacute-carga Esta relaccedilatildeo eacute vaacutelida
para os trecircs valores de preacute-carga considerados neste exemplo Tendo em vista esta relaccedilatildeo
define-se como ―razatildeo de ajuste o valor para se examinar em qual faixa de
excentricidade esta razatildeo eacute mantida aproximadamente constante A Figura 438 ilustra como a
razatildeo de ajuste varia em funccedilatildeo de Satildeo incluiacutedas linhas tracejadas para auxiliar na
observaccedilatildeo do alinhamento dos pontos Eacute possiacutevel perceber que a razatildeo de ajuste eacute
aproximadamente constante ateacute um certo valor de que varia com a preacute-carga Mp
95
Figura 438 ndash Razatildeo de ajuste de LD em funccedilatildeo da excentricidade adimensional do ponto de
equiliacutebrio estaacutetico dos mancais
Para melhor identificar um valor limite de ( ) satildeo apresentados na Figura 442 os valores dos
erros relativos da razatildeo de ajuste em funccedilatildeo da excentricidade adimensional do ponto de
equiliacutebrio estaacutetico Estes erros indicam o quanto os pontos da Figura 438 estatildeo distantes das
retas de referecircncia ou seja o quanto cada valor estaacute distante do ajuste de curva calculado
Figura 439 ndash Erros relativos da razatildeo de ajuste de LD em funccedilatildeo da excentricidade adimensional do
ponto de equiliacutebrio estaacutetico dos mancais
96
Percebe-se que os mancais eliacutepticos analisados (Mp=090 e Mp=045) desviam menos do ajuste
de curva do que o mancal ciliacutendrico (Mp=0) Pelas curvas da Figura 439 observa-se que os
mancais eliacutepticos analisados quando possuem um valor apresentam um desvio
pequeno em relaccedilatildeo agrave curva de ajuste proacuteximo de 5 Esta faixa de equivale agrave faixa
identificada nos demais resultados apresentados neste trabalho onde satildeo observadas relaccedilotildees
algeacutebricas que se manteacutem com aproximadamente 5 de precisatildeo Este desvio pode estar
relacionado com alguma perturbaccedilatildeo numeacuterica do procedimento computacional implementado
que leva a resultados menos confiaacuteveis para valores elevados de excentricidade principalmente
quando
433 A resposta desbalanceada em funccedilatildeo da folga radial dos mancais eliacutepticos
A resposta desbalanceada do sistema rotor-mancal eacute analisada nesta seccedilatildeo em funccedilatildeo da folga
radial nos mancais A folga tem uma forte influecircncia nos coeficientes de forccedila dos mancais
hidrodinacircmicos o que provoca uma variaccedilatildeo nos niacuteveis de vibraccedilatildeo do sistema principalmente
nas velocidades criacuteticas Os paracircmetros do sistema analisado satildeo apresentados na Tabela 415
exceto o comprimento dos mancais que foi fixado em 75mm e a folga passou a ser variaacutevel O
rotor ilustrado esquematicamente na Figura 435
Satildeo considerados trecircs tipos de mancais eliacutepticos com preacute-cargas (Mp) de 0 045 e 090 As
amplitudes de vibraccedilatildeo satildeo calculadas no Mancal 1 para o rotor operando na primeira
velocidade criacutetica As amplitudes satildeo apresentadas de maneira adimensional na Figura 440 em
escala logariacutetmica onde a linha traccedilo-ponto apresentada no graacutefico representa o ajuste feito para
os valores obtidos com Mp=090 e a linha tracejada representa o ajuste para os valores obtidos
com Mp=0 Natildeo eacute apresentada a linha do ajuste para MP=045 por motivos esteacuteticos Para os
trecircs valores de Mp eacute identificada uma relaccedilatildeo quadraacutetica entre a amplitude adimensional da
resposta desbalanceada e a folga radial dos mancais
97
Figura 440 ndash Amplitude de vibraccedilatildeo na primeira VC
em funccedilatildeo da folga radial dos mancais
Eacute observado na Figura 440 que os pontos se manteacutem alinhados e proacuteximos das curvas de
ajuste para os valores de folga de ateacute aproximadamente 150 m Como a escala eacute logariacutetmica em
ambos eixos isto natildeo indica uma linearidade mas sim a relaccedilatildeo quadraacutetica identificada pelo
ajuste de curva
Na anaacutelise da excentricidade em funccedilatildeo da folga radial c eacute tambeacutem identificada uma relaccedilatildeo
quadraacutetica dada pela expressatildeo onde a eacute uma constante de proporcionalidade que
varia com a preacute-carga Mp Tendo em vista esta relaccedilatildeo define-se uma nova ―razatildeo de ajuste
pela expressatildeo para se analisar em qual faixa de excentricidade esta razatildeo eacute mantida
aproximadamente constante A Figura 441 apresenta os valores obtidos para a razatildeo de ajuste
em funccedilatildeo de Satildeo incluiacutedas linhas tracejadas para auxiliar na observaccedilatildeo do alinhamento
dos pontos Eacute possiacutevel perceber que a razatildeo de ajuste eacute aproximadamente constante ateacute um certo
valor de que varia com a preacute-carga Mp
98
Figura 441 ndash Razatildeo de ajuste da folga radial em funccedilatildeo da excentricidade adimensional do ponto de
equiliacutebrio estaacutetico dos mancais
Para melhor identificar um valor limite de satildeo apresentados na Figura 442 os valores dos
erros relativos da razatildeo de ajuste em funccedilatildeo de Estes erros indicam o quanto os pontos da
Figura 441 estatildeo distantes das retas de referecircncia ou seja o quanto cada valor estaacute distante do
ajuste de curva calculado
Figura 442 ndash Erros relativos da razatildeo de ajuste da folga radial em funccedilatildeo da excentricidade
adimensional do ponto de equiliacutebrio estaacutetico dos mancais
99
Eacute observado novamente que os mancais eliacutepticos analisados (Mp=090 e Mp=045) desviam
menos do ajuste de curva do que o mancal ciliacutendrico (Mp=0) e que para uma excentricidade
adimensional os mancais eliacutepticos apresentam um desvio pequeno em relaccedilatildeo agrave curva
de ajuste proacuteximo de 5 Este resultado eacute muito parecido com aquele identificado na seccedilatildeo
anterior onde eacute analisada a resposta desbalanceada em funccedilatildeo da razatildeo de esbeltez LD dos
mancais
A literatura teacutecnica afirma que sob determinadas condiccedilotildees operacionais os mancais eliacutepticos
apresentam uma faixa de operaccedilatildeo mais ampla do que os mancais ciliacutendricos (CORREIA 2007)
Desta forma pode-se estabelecer uma relaccedilatildeo entre os resultados obtidos pelo MEF
implementado e esta afirmaccedilatildeo da literatura se for considerado que o desvio em relaccedilatildeo agrave curva
de ajuste estaacute relacionado com algum tipo de limitaccedilatildeo operacional
100
5 CONCLUSOtildeES
O procedimento computacional aqui desenvolvido baseado no MEF permite predizer o
comportamento dinacircmico de diferentes tipos de rotores compostos por eixo flexiacutevel discos
massivos e mancais hidrodinacircmicos de perfil ciliacutendrico ou eliacuteptico Os resultados produzidos
permitem validar o modelo pela comparaccedilatildeo com valores experimentais coletados em uma
bancada de teste e tambeacutem com valores publicados na literatura
O presente trabalho apresenta uma importante contribuiccedilatildeo na anaacutelise de sistemas rotor-mancal
pelo fato de investigar o sistema rotativo de maneira ampla tanto para o eixo flexiacutevel quanto
para os mancais Satildeo considerados no modelo do eixo flexiacutevel os efeitos de deformaccedilatildeo por
cisalhamento ineacutercia rotatoacuteria e efeito giroscoacutepico e para o modelo dos mancais
hidrodinacircmicos ciliacutendricos e eliacutepticos satildeo considerados todos os coeficientes de forccedila
independentes sem o uso de teorias simplificadas como os modelos de mancal curto ou de
mancal longo
Este procedimento computacional eacute muito uacutetil natildeo apenas para se determinar a resposta
desbalanceada de rotores como tambeacutem para se avaliar a viabilidade de alteraccedilotildees de projeto
capazes de melhorar o comportamento dinacircmico de maacutequinas rotativas
Os coeficientes de forccedila dos mancais hidrodinacircmicos desempenham um importante papel no
projeto de maacutequinas rotativas na previsatildeo de sua capacidade de suportar vibraccedilotildees e de operar
em condiccedilotildees estaacuteveis Os resultados apresentados neste trabalho mostram claramente a
influecircncia dos paracircmetros geomeacutetricos dos mancais hidrodinacircmicos de geometria fixa
ciliacutendricos e eliacutepticos nos seus coeficientes de forccedila e na resposta desbalanceada do sistema
rotativo
Os resultados numeacutericos obtidos pelo MEF aqui desenvolvido apresentam um erro relativo de
aproximadamente 4 para as frequecircncias naturais em relaccedilatildeo aos resultados experimentais e da
literatura
A anaacutelise da influecircncia da folga radial dos mancais eliacutepticos nos coeficientes de forccedila mostra
que os coeficientes de rigidez direta adimensionais variam pouco dentro da faixa operacional
onde a excentricidade adimensional do ponto de equiliacutebrio estaacutetico (e0) eacute menor que 03 Acima
deste valor os coeficientes de rigidez direta adimensionais diminuem consideravelmente
101
Observa-se ainda que o coeficiente de rigidez cruzado adimensional (kxy) eacute inversamente
proporcional ao e0 o que permite introduzir um novo adimensional o ―coeficiente de rigidez
cruzada adimensional modificado definido por xy=e0kxy Este coeficiente tambeacutem apresenta
valores aproximadamente constantes quando se varia a folga do mancal eliacuteptico dentro da faixa
onde e0lt03 Tambeacutem satildeo observados valores aproximadamente constantes para a razatildeo CxyKxx
e para o amortecimento efetivo ( ) quando se varia a folga mantendo-se e0lt03
A anaacutelise da influecircncia da razatildeo de esbeltez (LD) dos mancais eliacutepticos nos coeficientes de
forccedila permite observar que o amortecimento efetivo ( ) e o coeficiente de
amortecimento cruzado adimensional (cxy) dos mancais eliacutepticos seguem um padratildeo comum
quando e0lt03 Para o amortecimento efetivo os valores satildeo aproximadamente constantes
enquanto para cxy observa-se uma relaccedilatildeo linear entre cxy e e0 nesta faixa
Na anaacutelise da influecircncia da preacute-carga (Mp) dos mancais eliacutepticos nos coeficientes de forccedila
observa-se uma proporcionalidade entre Mp e (kyy)23
e entre Mp e (kxx)12
na faixa onde
Eacute identificado tambeacutem que o amortecimento efetivo ( ) varia linearmente com Mp
nesta faixa
Eacute mostrado atraveacutes de um exemplo de rotor flexiacutevel apoiado em mancais eliacutepticos que a razatildeo
de amplificaccedilatildeo da resposta desbalanceada atinge um miacutenimo para um exemplo de mancal com
Mp=045 A literatura teacutecnica apresenta uma recomendaccedilatildeo de aplicaccedilatildeo de mancais eliacutepticos
com preacute-carga de aproximadamente 05 por apresentar melhor estabilidade (PINKUS 1956
ALLAIRE e FLACK 1981) Portanto para o exemplo de rotor analisado este resultado mostra
uma concordacircncia entre os valores obtidos pelo MEF para a razatildeo de amplificaccedilatildeo e a
recomendaccedilatildeo da literatura no que diz respeito agrave estabilidade de mancais eliacutepticos
A anaacutelise da resposta desbalanceada permite observar que a amplitude de vibraccedilatildeo na primeira
velocidade criacutetica eacute proporcional a (LD)-3
e tambeacutem proporcional ao quadrado da folga radial
(c2) na faixa onde Esta proporcionalidade eacute mantida em uma faixa operacional mais
ampla para os mancais eliacutepticos do que para os mancais ciliacutendricos analisados
Este resultado de aproximadamente 03 encontra respaldo na literatura teacutecnica que afirma que o
procedimento linearizado de perturbaccedilatildeo em torno da posiccedilatildeo de equiliacutebrio eacute vaacutelido para ateacute
102
40 da folga do mancal (LUND1987) Esta observaccedilatildeo eacute tambeacutem destacada no trabalho de
Sawicki e Rao (2004) Aleacutem disso Furukawa et al (1996) observam que a natildeo linearidade do
filme fluido produz grandes diferenccedilas entre os valores calculados e os medidos
experimentalmente em especial na regiatildeo de alta excentricidade
Desta forma sugere-se para trabalhos futuros a investigaccedilotildees mais aprofundadas sobre os
efeitos dinacircmicos que ocorrem quando o ponto de equiliacutebrio estaacutetico ultrapassa o limite de 40
da folga do mancal O meacutetodo aqui implementado adota um procedimento de perturbaccedilatildeo linear
em torno da posiccedilatildeo de equiliacutebrio obtendo equaccedilotildees de lubrificaccedilatildeo de ordem zero e de primeira
ordem baseadas na equaccedilatildeo de Reynolds Sugere-se ainda a implementaccedilatildeo de um modelo que
considere termos de ordem superior na obtenccedilatildeo das equaccedilotildees de lubrificaccedilatildeo ou que adote
algum outro modelo natildeo-linear
Sugere-se ainda aplicar a metodologia deste trabalho em outros procedimentos computacionais
para observar faixas onde os resultados possam apresentar padrotildees repetitivos Sugere-se
investigar a existecircncia de relaccedilotildees algeacutebricas entre os paracircmetros do sistema e os resultados e
que possam se manter vaacutelidas dentro de uma faixa de valores
Outras abordagens que podem ampliar os resultados do presente trabalho incluem a anaacutelise de
mancais hidrodinacircmicos de geometria variaacutevel com fluidos natildeo-newtonianos e a anaacutelise de
efeitos teacutermicos nos paracircmetros de desempenho destes mancais
Os resultados deste trabalho fornecem subsiacutedio agrave aacuterea de projeto de maacutequinas rotativas uma vez
que o procedimento computacional desenvolvido permite predizer seu comportamento dinacircmico
para diversas condiccedilotildees operacionais
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112
ANEXO A - Fundamentos da Teoria de Viga
Neste Anexo satildeo apresentadas de maneira breve as expressotildees das teorias de viga de Euler-
Bernoulli de Rayleigh e de Timoshenko A Teoria de Viga de Timoshenko eacute a forma mais
completa representando a vibraccedilatildeo lateral de vigas a partir da qual podem-se derivar as outras
duas teorias como casos particulares desta (BORU 2010)
A1 Teoria de Viga de Euler-Bernoulli
A Teoria de Viga de Euler-Bernoulli foi formulada no seacuteculo XVIII e o detalhamento de sua
derivaccedilatildeo eacute apresentado em Clough e Penzien (1975) e em Meirovitch (1967)
Considere a viga ilustrada na Fig A1 sob a accedilatildeo de uma carga distribuiacuteda variaacutevel q(xt) e uma
deflexatildeo lateral v(xt) na direccedilatildeo y As propriedades da viga satildeo sua rigidez agrave flexatildeo EI(x) e a
massa especiacutefica A(x)
Figura A1 - Viga de Euler-Bernoulli sob carregamento distribuiacutedo (Boru 2010)
113
A2 Teoria de Viga de Rayleigh
A Teoria de Viga de Rayleigh considera a ineacutercia rotacional da viga aleacutem da ineacutercia
translacional Assim para um modelo dinacircmico de uma viga em rotaccedilatildeo as frequecircncias naturais
seratildeo mais bem representadas
A equaccedilatildeo da Teoria de Viga de Rayleigh eacute definida por
Se for considerado o caso da viga com seccedilatildeo transversal uniforme ao longo de x a equaccedilatildeo
(A3) eacute simplificada para a forma
A Teoria de Viga de Rayleigh eacute uma extensatildeo da teoria de Euller-Bernoulli o que pode ser
observado comparando-se os trecircs primeiros termos da equaccedilatildeo (A4) com a equaccedilatildeo (A2) O
termo adicional da equaccedilatildeo (A4) eacute relativo agrave ineacutercia rotatoacuteria
A3 Teoria de Viga de Timoshenko
A inclusatildeo da ineacutercia rotatoacuteria nos modelos dinacircmicos foi considerada insuficiente para se
melhorar os resultados do caacutelculo da frequecircncia natural de vigas (BORU 2010) Assim foi
proposto incluir o efeito de deformaccedilatildeo por cisalhamento o que aumenta a flexibilidade do
elemento de viga Este modelo levou agrave Teoria de Viga de Timoshenko Assim as frequecircncias
naturais reduziram o suficiente para se aproximar daquelas obtidas experimentalmente
(TRAILL-NASH e COLLAR 1953)
A Teoria de Viga de Timoshenko considera que a deformaccedilatildeo por cisalhamento em uma seccedilatildeo
transversal eacute diretamente proporcional agrave forccedila de cisalhamento para materiais isotroacutepicos com
propriedades lineares atraveacutes da expressatildeo
(A5)
(A3)
(A4)
114
A constante depende da forma da seccedilatildeo transversal da viga podendo assumir valores como
1113 para seccedilotildees circulares e 56 para seccedilotildees retangulares O termo representa a aacuterea
efetiva de cisalhamento da seccedilatildeo transversal
Considerando a seccedilatildeo transversal da viga uniforme a expressatildeo da Teoria de Viga de
Timoshenko eacute dada por
Pode-se observar que as duas teorias de viga anteriormente apresentadas satildeo casos particulares
da teoria de viga de Timoshenko Se a viga natildeo sofrer deformaccedilatildeo por cisalhamento o que
implica em considerar que sua resistecircncia ao cisalhamento eacute muito grande basta fazer e
os dois uacuteltimos termos seratildeo nulos levando agrave teoria de vigas de Rayleigh
Deformaccedilatildeo por cisalhamento e
ineacutercia rotatoacuteria combinados
Teoria de Euler-Bernoulli
Teoria de Rayleigh
Deformaccedilatildeo por cisalhamento
115
ANEXO B ndash Funccedilotildees de Interpolaccedilatildeo
As funccedilotildees de interpolaccedilatildeo para o problema de flexatildeo satildeo obtidas do problema estaacutetico da viga
considerando os efeitos de flexatildeo e cisalhamento simultaneamente (FARIA 1990) Estas
funccedilotildees satildeo descritas a seguir
Denota-se por a variaacutevel adimensionals que descreve a posiccedilatildeo de uma seccedilatildeo transversal
qualquer do elemento em relaccedilatildeo agrave sua extremidade inicial Sendo a variaacutevel que define cada
seccedilatildeo do elemento de rotor a partir do noacute inicial e l o comprimento do elemento a variaacutevel
adimensional eacute dada por
Para as funccedilotildees de interpolaccedilatildeo de flexatildeo no plano de deflexatildeo satildeo considerados os efeitos de
cisalhamento transversal fx e fy distintos
onde A eacute a aacuterea da seccedilatildeo transversal G eacute o modulo de elasticidade ao cisalhamento l eacute o
comprimento do elemento E eacute o moacutedulo de elasticidade I eacute o momento de ineacutercia e K eacute o fator
de forma do cisalhamento transversal Para a seccedilatildeo transversal circular (COUPER 1966)
onde eacute o coeficiente de Poisson
B1 - Funccedilotildees de Interpolaccedilatildeo para o deslocamento linear unitaacuterio no primeiro noacute
As funccedilotildees de interpolaccedilatildeo satildeo obtidas como descrito a seguir (FARIA 1990)
116
Figura B1 ndash Deslocamento linear unitaacuterio no primeiro noacute
As equaccedilotildees diferenciais para o deslocamento linear unitaacuterio no primeiro noacute (Fig B1) satildeo
escritas na seguinte forma
(B1)
(B2)
onde Vf e Vc satildeo as contribuiccedilotildees de flexatildeo e de cisalhamento respectivamente e V=Vf+Vc A
soluccedilatildeo das equaccedilotildees eacute escrita como
onde C1 e C2 satildeo constantes de integraccedilatildeo As condiccedilotildees de contorno do problema satildeo
Em s = = 0 e
Em s = l
Obteacutem-se assim a expressatildeo
que derivada em relaccedilatildeo agrave posiccedilatildeo leva a
117
B2 - Funccedilotildees de Interpolaccedilatildeo para o deslocamento angular unitaacuterio no primeiro noacute
As funccedilotildees de interpolaccedilatildeo satildeo obtidas como descrito a seguir Considere as condiccedilotildees
de contorno
Em s = 0 V=0 e Vrsquo=Vf
Em s = l V=0 e Vrsquo=Vc
Figura B2 ndash Deslocamento angular unitaacuterio no primeiro noacute
Considerando-se as equaccedilotildees (B1) e (B2) e as condiccedilotildees de contorno obteacutem-se
e a equaccedilatildeo da linha elaacutestica eacute escrita como
Entatildeo
118
e para se obter basta derivar a equaccedilatildeo elaacutestica
Mas como a rotaccedilatildeo em s = 0 possui o seguinte valor
deve-se adicionar a deformaccedilatildeo
em EIyVrsquo para se obter a rotaccedilatildeo das seccedilotildees Obteacutem-se entatildeo
B3 - Funccedilotildees de Interpolaccedilatildeo para o deslocamento linear unitaacuterio no segundo noacute
As funccedilotildees de interpolaccedilatildeo satildeo obtidas como descrito a seguir
Figura B3 ndash Deslocamento linear unitaacuterio no segundo noacute
As equaccedilotildees diferenciais para o deslocamento linear unitaacuterio no segundo noacute (Fig B3) satildeo
escritas na seguinte forma
119
(B3)
(B4)
A soluccedilatildeo geral das equaccedilotildees eacute escrita como
As condiccedilotildees de contorno satildeo dadas por
Em s = 0
Em s = l
Obteacutem-se assim a equaccedilatildeo elaacutestica
e a expressatildeo de
que derivada em relaccedilatildeo agrave posiccedilatildeo leva a
B1 - Funccedilotildees de Interpolaccedilatildeo para o deslocamento angular unitaacuterio no segundo noacute
As funccedilotildees de interpolaccedilatildeo satildeo obtidas como descrito a seguir
Obteacutem-se as equaccedilotildees diferenciais atraveacutes da Figura B4
(B5)
(B6)
120
Figura B4 ndash Deslocamento angular unitaacuterio no segundo noacute
A soluccedilatildeo geral das equaccedilotildees (B5) e (B6) eacute escrita como
As condiccedilotildees de contorno satildeo dadas por
Em s = 0 e
Em s = l e
Obteacutem-se assim a equaccedilatildeo elaacutestica
e a expressatildeo de
Para se obter deriva-se a equaccedilatildeo elaacutestica em relaccedilatildeo agrave posiccedilatildeo
Mas como a rotaccedilatildeo em s = 0 possui o valor
deve-se adicionar a deformaccedilatildeo
121
em EIyVrsquo para se obter a rotaccedilatildeo das seccedilotildees Obteacutem-se entatildeo
122
ANEXO C ndash Matrizes de Elementos Finitos do Rotor
Satildeo apresentadas a seguir as matrizes do elemento finito de rotor para elementos de eixo
baseados na teoria de viga de Timoshenko (NELSON 1980 FARIA 1990) Considera-se o eixo
simeacutetrico ( Ix=Iy=I ) o efeito de cisalhamento isotroacutepico ( fx=fy=f ) e as seguintes constantes
I = momento meacutedio de ineacutercia de aacuterea da seccedilatildeo transversal
Idm= momento diametral de ineacutercia de massa por unidade de comprimento
Ip = momento polar de ineacutercia de massa por unidade de comprimento
f = efeito de cisalhamento
l = comprimento do elemento
E = moacutedulo de elasticidade
= massa especiacutefica
A = aacuterea da seccedilatildeo transversal
coordenadas generalizadas no sistema rotativo
coordenadas generalizadas no sistema inercial
C1 ndash Matriz de ineacutercia de translaccedilatildeo
A matriz Me representativa da ineacutercia de translaccedilatildeo do elemento finito do rotor eacute obtida pela
integraccedilatildeo da expressatildeo da energia cineacutetica TM do elemento finito do rotor dada por
Usando as funccedilotildees de interpolaccedilatildeo na expressatildeo da energia cineacutetica obteacutem-se a matriz TM que
satisfaz agrave expressatildeo
A matriz Me eacute simeacutetrica e descrita como
123
[Me] =
onde
C2 ndash Matriz de ineacutercia de rotaccedilatildeo
A matriz de ineacutercia de rotaccedilatildeo do elemento finito do rotor eacute obtida pela substituiccedilatildeo das funccedilotildees
de interpolaccedilatildeo na expressatildeo da energia cineacutetica TN do elemento finito dada por
Usando as funccedilotildees de interpolaccedilatildeo na expressatildeo da energia cineacutetica obteacutem-se a matriz Ne
124
representativa da ineacutercia de rotaccedilatildeo do elemento que satisfaz agrave expressatildeo
A matriz Ne eacute simeacutetrica e descrita como
[Ne] =
onde
C3 ndash Matriz de efeitos giroscoacutepicos
A matriz Ge representativa dos efeitos giroscoacutepicos do elemento finito do rotor eacute obtida pela
relaccedilatildeo
onde a matriz [He] eacute obtida pela integraccedilatildeo da expressatildeo da energia cineacutetica TG do elemento
finito do rotor dada por
onde eacute a rotaccedilatildeo do rotor IP eacute o momento polar de ineacutercia da seccedilatildeo satildeo os vetores
125
rotaccedilatildeo da seccedilatildeo em torno dos eixos x e y Aplicando as funccedilotildees de interpolaccedilatildeo na expressatildeo
da energia cineacutetica obteacutem-se a matriz [He] que satisfaz agrave expressatildeo
A matriz eacute anti-simeacutetrica e descrita como
[Ge] =
onde
C4 ndash Matriz de rigidez
A matriz de rigidez do elemento finito do rotor Ke eacute obtida integrando-se a energia potencial
elaacutestica V ao longo do comprimento do elemento usando as funccedilotildees de interpolaccedilatildeo Obteacutem-se
a matriz Ke que satisfaz agrave expressatildeo
126
A matriz Ke eacute simeacutetrica e descrita como
[Ke] =
127
ANEXO D ndash Meacutetodo Numeacuterico de Newmark
Neste Anexo apresenta-se inicialmente o algoritmo de meacutetodo de Newmark usado para a
integraccedilatildeo numeacuterica no tempo da equaccedilatildeo do movimento Eq(1) conforme Bathe (1982)
Posteriormente satildeo mostrados os criteacuterios adotados no presente trabalho para garantir a
convergecircncia do meacutetodo sem um elevado custo computacional
A) Valores iniciais
Passo 1 Valores iniciais para os vetores deslocamento velocidade e aceleraccedilatildeo U0
U
0 U
0
Passo 2 Defina um intervalo de tempo Δt e os paracircmetros α e δ tais que
δ ge 050 α ge 025(05 + δ)sup2
Passo 3 Calcule as constantes
20
1a
t
t1a
t
1a 2
12
1a 3
1a 4
22
ta 5 )1(ta 6 ta7
Passo 4 Crie a matriz de rigidez efetiva KK=K + a0M + a1C
B) Para cada iteraccedilatildeo no tempo Δt
Passo 1 Calcule a carga efetiva RR no instante t + Δt
t+ΔtRR =
t+ΔtR + M(a0
tU + a2
t U
+ a3 t U
) + C(a1 tU + a4
t U
+ a5 t U
)
Passo 2 Resolva a equaccedilatildeo abaixo para obter o vetor deslocamento U em t + Δt
KK
t+Δt U = t+Δt
RR
Passo 3 Calcule os vetores velocidade e aceleraccedilatildeo em t + Δt
t+Δt U = a0 (
t+Δt U - tU)- a2 t U - a3
t U
t+Δt U =
t U + a6
t U
+ a7 t+Δt U
128
Para se garantir a convergecircncia do meacutetodo foram adotados os paracircmetros 41α e δ=12 que
satildeo os paracircmetros de integraccedilatildeo que possibilitam estabilidade incondicional para o procedimento
de integraccedilatildeo de Newmark (BATHE 1982) Eacute importante fazer uma boa escolha do incremento
de tempo t adequado para assegurar a estabilidade do meacutetodo de integraccedilatildeo no tempo O
valor do incremento de tempo t deve ser menor do que o valor criacutetico crt dado pela
equaccedilatildeo D1 (BATHE 1982)
n
crt (D1)
sendo τn o menor periacuteodo natural do sistema Se o incremento de tempo eacute maior que o valor
criacutetico o meacutetodo de Newmark apresentaraacute problemas de convergecircncia (ALMEIDA JUacuteNIOR e
FARIA 2003) No presente trabalho a escolha do incremento de tempo t foi feita baseando-
se no fato de que a forccedila de desbalanceamento eacute aplicada a cada intervalo t Portanto se este
intervalo for muito grande a forccedila poderia deixar de ser aplicada durante cada ciclo do eixo Eacute
importante garantir que esta forccedila seja aplicada simetricamente durante cada ciclo ou seja que
para cada valor de rotaccedilatildeo ω (rads) a forccedila de desbalanceamento seja aplicada simetricamente
em todas as direccedilotildees Para que isto fosse possiacutevel foi adotada a seguinte expressatildeo para o
caacutelculo do incremento de tempo t
ω12
2t (D2)
Com o incremento da equaccedilatildeo (D2) garante-se que ocorram pelo menos 12 iteraccedilotildees a
cada ciclo do eixo ou seja uma a cada 30ordm o que garante a simetria da forccedila de
desbalanceamento Este criteacuterio garante tambeacutem que t lt crt Posteriormente foi feito o
estudo da convergecircncia dos resultados em funccedilatildeo do intervalo t para se otimizar o custo
computacional do meacutetodo implementado
viii
LISTA DE FIGURAS
Figura 31 ndash Sistema rotor-mancal 40
Figura 32 ndash Representaccedilatildeo de um elemento finito do eixo 42
Figura 33 ndash Desenho esquemaacutetico do mancal eliacuteptico e seus paracircmetros geomeacutetricos 45
Figura 34 - Desenho esquemaacutetico do perfil de um mancal radial eliacuteptico 46
Figura 35 - Distribuiccedilatildeo da pressatildeo hidrodinacircmica no mancal ciliacutendrico (LANG e
STEINHILPER 1978) 46
Figura 36 - Distribuiccedilatildeo da pressatildeo hidrodinacircmica no mancal eliacuteptico (Adaptado de
CORREIA 2007) 47
Figura 37 - Representaccedilatildeo esquemaacutetica dos noacutes no elemento finito 51
Figura 38 ndash Representaccedilatildeo dos 4 graus de liberdade 57
Figura 39 ndash Diagrama do procedimento computacional 58
Figura 41 ndash Desenho esquemaacutetico do rotor de Sinou (2005) 61
Figura 42 ndash Curvas da primeira e segunda frequecircncias naturais (FN1 FN2) versus o
nuacutemero de elementos finitos da malha para o rotor de Sinou (2005) a
10rpm 62
Figura 43 ndash Primeira velocidade criacutetica progressiva (FWD1) e regressiva (BKWD1)
versus incremento no tempo 63
Figura 44 ndash Espectro de frequecircncia obtido pelo MEF para o rotor de Sinou(2005) a
10 rpm 64
Figura 45 ndash Diagrama de Campbell para o rotor em balanccedilo analisado por
Sinou(2005) 64
Figura 46 ndash Desenho esquemaacutetico do rotor de Hong e Park(1999) 66
Figura 47 ndash Espectro de frequecircncia obtido para o rotor de Hong e Park (1999)
operando a 6000rpm 67
Figura 48 ndash Forma de onda obtida para o rotor de Hong e Park (1999) 68
Figura 49 ndash Desenho esquemaacutetico do rotor da bancada de testes 69
Figura 410 ndash Sensibilidade da malha de elementos finitos do mancal ciliacutendrico no
ix
caacutelculo dos paracircmetros de desempenho Fx e Kxy 71
Figura 411 ndash Espectro de frequecircncia experimental ndash teste de batida 72
Figura 412 ndash Espectro de frequecircncia obtido pelo MEF para rotaccedilatildeo de 750 rpm 72
Figura 413 ndash Espectro de frequecircncia obtido pelo MEF para rotaccedilatildeo de 3200 rpm 73
Figura 414 ndash Espectro de frequecircncia experimental para o rotor da bancada operando
a 8900rpm 74
Figura 415 ndash Espectro de frequecircncia obtido pelo MEF para o rotor da bancada
operando a 8900rpm 74
Figura 416 ndash Espectro de frequecircncia obtido pelo MEF para o rotor do exemplo 4
operando a 3200rpm 76
Figura 417 ndash Espectro de frequecircncia experimental para o rotor de Machado(2006) 76
Figura 418 ndash Sensibilidade da malha de elementos finitos do mancal eliacuteptico no
caacutelculo dos paracircmetros de desempenho Fx e Kxy 78
Figura 419 - Posicionamento do eixo dentro do mancal e excentricidade 79
Figura 420 ndash Excentricidade adimensional do ponto de equiliacutebrio estaacutetico dos
mancais eliacutepticos em funccedilatildeo da folga radial 79
Figura 421 ndash Coeficientes de rigidez direta adimensionais em funccedilatildeo da folga radial
dos mancais eliacutepticos 80
Figura 422 ndash Coeficientes de rigidez cruzada adimensional modificado em funccedilatildeo
da folga radial dos mancais eliacutepticos 81
Figura 423 ndash Razatildeo CxyKxx em funccedilatildeo da folga radial dos mancais eliacutepticos 82
Figura 424 ndash Amortecimento efetivo em funccedilatildeo da folga radial dos mancais
eliacutepticos 82
Figura 425 ndash Excentricidade adimensional do ponto de equiliacutebrio estaacutetico dos
mancais eliacutepticos em funccedilatildeo da razatildeo de esbeltez 83
Figura 426 ndash Variaccedilatildeo do amortecimento efetivo em funccedilatildeo da razatildeo de esbeltez
dos mancais eliacutepticos 84
Figura 427 ndash Variaccedilatildeo do amortecimento cruzado adimensional em funccedilatildeo da razatildeo
de esbeltez dos mancais eliacutepticos 84
Figura 428 ndash Excentricidade adimensional do ponto de equiliacutebrio estaacutetico dos
x
mancais eliacutepticos em funccedilatildeo da preacute-carga 85
Figura 429 ndash Variaccedilatildeo da relaccedilatildeo de ajuste entre Mp kxx e kxy em funccedilatildeo da preacute-
carga dos mancais eliacutepticos 86
Figura 430 ndash Variaccedilatildeo do amortecimento efetivo em funccedilatildeo da preacute-carga dos
mancais eliacutepticos 86
Figura 431 ndash Desenho esquemaacutetico do rotor sem disco massivo 88
Figura 432 ndash Resposta desbalanceada calculada no mancal 1 do rotor apoiado em
mancais eliacutepticos com preacute-carga 045 (MIRANDA e FARIA 2012) 89
Figura 433 ndash Resposta desbalanceada para diferentes valores de preacute-carga dos
mancais eliacutepticos (MIRANDA e FARIA 2012) 89
Figura 434 ndashRazatildeo de amplificaccedilatildeo da resposta desbalanceada na primeira
velocidade criacutetica para o rotor apoiado em mancais eliacutepticos
(MIRANDA e FARIA 2012) 90
Figura 435 ndashDesenho esquemaacutetico do rotor com disco massivo em posiccedilatildeo
assimeacutetrica 91
Figura 436 ndash Amplitude de vibraccedilatildeo na primeira VC em funccedilatildeo da razatildeo de
esbeltez dos mancais eliacutepticos 92
Figura 437 ndash Curvas de ajuste da excentricidade adimensional do ponto de
equiliacutebrio estaacutetico em funccedilatildeo da razatildeo de esbeltez dos mancais eliacutepticos 94
Figura 438 ndash Razatildeo de ajuste de LD em funccedilatildeo da excentricidade adimensional do
ponto de equiliacutebrio estaacutetico dos mancais 95
Figura 439 ndash Erros relativos da razatildeo de ajuste de LD em funccedilatildeo da excentricidade
adimensional do ponto de equiliacutebrio estaacutetico dos mancais 95
Figura 440 ndash Amplitude de vibraccedilatildeo na primeira VC em funccedilatildeo da folga radial dos
mancais 97
Figura 441 ndash Razatildeo de ajuste da folga radial em funccedilatildeo da excentricidade
adimensional do ponto de equiliacutebrio estaacutetico dos mancais 98
Figura 442 ndash Erros relativos da razatildeo de ajuste da folga radial em funccedilatildeo da
excentricidade adimensional do ponto de equiliacutebrio estaacutetico dos
mancais 98
xi
Figura A1 - Viga de Euler-Bernoulli sob carregamento distribuiacutedo (Boru 2010) 112
Figura B1 ndash Deslocamento linear unitaacuterio no primeiro noacute 116
Figura B2 ndash Deslocamento angular unitaacuterio no primeiro noacute 117
Figura B3 ndash Deslocamento linear unitaacuterio no segundo noacute 118
Figura B4 ndash Deslocamento angular unitaacuterio no segundo noacute 120
LISTA DE TABELAS
Tabela 41- Paracircmetros do rotor com disco em balanccedilo (SINOU 2005) 62
Tabela 42- Valores comparativos da primeira frequecircncia natural para o rotor de
Sinou(2005) a 10 rpm 64
Tabela 43- Comparaccedilatildeo da primeira velocidade criacutetica 65
Tabela 44- Paracircmetros do rotor de Hong e Park(1999) 66
Tabela 45- Comparaccedilatildeo da primeira frequecircncia natural progressiva e regressiva para
o rotor de Hong e Park (1999) 67
Tabela 46- Comparaccedilatildeo das Frequecircncias de Batimento para o rotor de Hong e
Park(1999) 69
Tabela 47ndash Paracircmetros do rotor da bancada de testes 70
Tabela 48ndash Resultados da anaacutelise da sensibilidade da malha dos mancais 71
Tabela 49ndash Valores comparativos de frequecircncias naturais obtidas pelo MEF e
experimentalmente pelo teste de batida (bump test) 73
Tabela 410ndash Valores comparativos de frequecircncias naturais obtidas pelo MEF e
experimentalmente para o rotor da bancada operando a 8900rpm 75
Tabela 411ndash Paracircmetros do rotor da bancada de testes ndash exemplo 2 75
Tabela 412ndash Valores comparativos das frequecircncias naturais obtidas
experimentalmente por Machado(2006) e pelo MEF 77
Tabela 413ndash Paracircmetros do mancal eliacuteptico selecionado 77
Tabela 414 Paracircmetros do sistema rotor-mancal eliacuteptico utilizado na anaacutelise 88
Tabela 415ndash Paracircmetros do rotor com mancais eliacutepticos 92
xii
SIMBOLOGIA
Siacutembolos em letras latinas
A Aacuterea da seccedilatildeo transversal do eixo [m2]
Ampl Amplitude adimensional da resposta desbalanceada
c Folga radial menor (c = eRR ) [m]
Cb Folga radial maior
XXC YYC Coeficientes de amortecimento direto [Nsm]
XXc YYc Coeficientes de amortecimento direto adimensionais
XYC YXC Coeficientes de amortecimento cruzados [Nsm]
XYc YXc Coeficientes de amortecimento cruzados adimensionais
D Diacircmetro interno do mancal [m]
d Diacircmetro externo do eixo [m]
E Moacutedulo de elasticidade [Pa]
e Excentricidade do centro do munhatildeo no mancal (distacircncia entre centros do mancal
e do munhatildeoeixo) [m]
exey Projeccedilotildees de ―e nos eixos de coordenadas cartesianas xy
00 yx ee
posiccedilatildeo de equiliacutebrio do eixo
yx ee
perturbaccedilatildeo na posiccedilatildeo de equiliacutebrio do eixo
vetores unitaacuterios nas direccedilotildees circunferencial e axial respectivamente
f efeito de cisalhamento
F Forccedila de reaccedilatildeo do mancal gerada pela accedilatildeo hidrodinacircmica do fluido
Fx e Fy Componente da forccedila de reaccedilatildeo do fluido do mancal nas direccedilotildees x e y
e
jf Vetor de fluxo
G Moacutedulo de elasticidade ao cisalhamento [Pa]
h Espessura do filme lubrificante ou filme fluido
xiii
h0 Espessura miacutenima do filme lubrificante estacionaacuterio [m] ou de ordem zero
I Momento meacutedio de ineacutercia de aacuterea da seccedilatildeo transversal
Idm Momento diametral de ineacutercia de massa por unidade de comprimento
Ip Momento polar de ineacutercia de massa por unidade de comprimento
K Fator de forma do cisalhamento transversal
Kx Ky Coeficientes de cisalhamento
XXK YYK Coeficientes de rigidez diretos [Nm]
kxx e kyy Coeficientes de rigidez diretos adimensionais
XYK YXK Coeficientes de rigidez cruzados [Nm]
kxy e kyx Coeficientes de rigidez cruzados adimensionais
Coeficiente de rigidez adimensional modificado
][ e
jiK Matriz fluiacutedica de ordem zero
L Comprimento do mancal
l Comprimento do elemento
Leixo Comprimento do eixo
md Massa desbalanceada
m Fluxo maacutessico na direccedilatildeo circunferencial
nm Fluxo maacutessico de lubrificante cruzando a fronteira do domiacutenio do elemento finito
zm Fluxo maacutessico na direccedilatildeo axial
nm Fluxo de lubrificante de primeira ordem pelo contorno
edo elemento finito n
Mp Preacute-carga (medida da ―elipsidade do mancal) Mp = (Cb ndash c) c
n
Valor normal unitaacuterio direcionado para fora do contorno e do elemento finito
OL Posiccedilatildeo do centro dos loacutebulos
O Posiccedilatildeo do centro do eixo
p Pressatildeo apresentada pelo filme lubrificante [Pa]
pa Pressatildeo ambiente [Pa]
xiv
po Pressatildeo estacionaacuteria de ordem zero [Pa]
p Campo de pressatildeo hidrodinacircmica de primeira ordem
e
op Campo de pressatildeo discreto de ordem zero no domiacutenio e de um elemento finito
px py Campo de pressatildeo hidrodinacircmica de primeira ordem
e
ip Valores de pressatildeo nodal no noacute i do elemento e [Pa]
q(xt) Carregamento distribuiacutedo [Nm]
e
jq Vetor de fluxo devido ao escoamento de fluido pelo contorno do elemento ldquoerdquo
R Raio menor do mancal [m]
Re Raio do munhatildeo ou raio do eixo [m]
RL Raio do loacutebulo do mancal [m]
U Velocidade superficial do eixo (U = ωR) [ms]
Vf Contribuiccedilatildeo da flexatildeo no deslocamento linear do centro da seccedilatildeo do elemento
ud Excentricidade da massa desbalanceada
v(xt) Deflexatildeo lateral da viga
W Carga atuante no mancal [N]
Wf Contribuiccedilatildeo da flexatildeo no deslocamento linear do centro da seccedilatildeo do elemento
xy Coordenadas cartesianas
z Coordenada axial
Siacutembolo em letras gregas
e Contorno do elemento ―e
Deformaccedilatildeo por cisalhamento
Razatildeo de excentricidade ou excentricidade adimensional ( ε = ec)
o Excentricidade adimensional no ponto de equiliacutebrio estaacutetico
ψ Coordenadas no domiacutenio do elemento
Fator de forma da seccedilatildeo transversal da viga
Viscosidade absoluta do filme lubrificante [Pas]
xv
Coeficiente de Poisson
Massa especiacutefica [kgm3]
Massa especiacutefica do filme lubrificante [kgm3]
Acircngulo da posiccedilatildeo angular do munhatildeo a partir do ponto de maior espessura dentro do
mancal [rad]
z Coordenadas circunferencial e axial respectivamente
Φ Acircngulo de posiccedilatildeo do munhatildeo dentro do mancal Φ = tan-1
( Fy Fx )
Funccedilatildeo de interpolaccedilatildeo para o meacutetodo de elementos finitos para o elemento ―e
Rotaccedilatildeo do eixo [rads]
e Domiacutenio do elemento finito ―e
Subscritos
av Meacutedio
e Relativo ao elemento ―e
0 1 Ordem zero e primeira ordem instante de tempo anterior e atual
x Coordenada cartesiana vertical
y Coordenada cartesiana horizontal
Coordenadas xy combinadas no domiacutenio do elemento finito
Coordenadas no domiacutenio do elemento finito
Sobrescritos
e Relativo ao elemento ―e
ej
xvi
LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS
MEF Meacutetodo de Elementos Finitos
FEM Finite Element Method (Meacutetodo de Elementos Finitos)
VC Velocidade Criacutetica
xvii
RESUMO
Este trabalho apresenta um procedimento computacional baseado no meacutetodo de elementos
finitos desenvolvido especialmente para predizer o comportamento dinacircmico de sistemas
rotativos apoiados em mancais hidrodinacircmicos O procedimento computacional proposto
permite simular diferentes tipos de rotores compostos por eixo flexiacutevel discos massivos e
mancais riacutegidos ou hidrodinacircmicos com perfis circulares ou eliacutepticos Satildeo usados elementos
finitos de viga baseando-se na teoria de vigas de Timoshenko no modelo do eixo o que permite
incluir os efeitos de deformaccedilatildeo por cisalhamento ineacutercia rotatoacuteria e efeito giroscoacutepico Um
procedimento baseado no meacutetodo de elementos finitos eacute aplicado para resolver a equaccedilatildeo de
Reynolds para fluidos incompressiacuteveis junto a um procedimento de perturbaccedilatildeo linear para se
calcular os coeficientes dinacircmicos de forccedila dos mancais ciliacutendricos e eliacutepticos As equaccedilotildees de
movimento para rotores desbalanceados apoiados em mancais hidrodinacircmicos satildeo integradas
usando-se o Meacutetodo de Newmark para se obter a resposta no tempo Os resultados satildeo validados
pela comparaccedilatildeo com valores experimentais coletados em uma bancada de teste e tambeacutem com
valores publicados na literatura Satildeo apresentadas algumas relaccedilotildees algeacutebricas que permitem
predizer os paracircmetros de desempenho dos mancais e a resposta desbalanceada do sistema rotor-
mancal em funccedilatildeo dos paracircmetros geomeacutetricos dos mancais tais como preacute-carga razatildeo de
esbeltez e folga radial Eacute identificada uma faixa operacional dos mancais onde estas relaccedilotildees
algeacutebricas apresentam uma boa aproximaccedilatildeo com os resultados computacionais Os resultados
deste trabalho servem de base para o projeto de maacutequinas rotativas uma vez que permitem
predizer seu comportamento dinacircmico para diversas condiccedilotildees operacionais
Palavras-chaves Mancal eliacuteptico
Rotores flexiacuteveis
Mancal radial
Lubrificaccedilatildeo hidrodinacircmica
Meacutetodo de elementos finitos
xviii
ABSTRACT
This work presents the development of a finite element procedure specially devised to predict
the dynamic response of flexible rotors running on fluid film bearings The proposed procedure
can simulate many different types of rotor-bearing systems with a flexible shaft massive disks
and rigid or fluid film circular or elliptical bearings The shaft finite element model is based on
Timoshenko Beam Theory which includes shear effects rotary inertia and gyroscopic moments
A finite element procedure for solution of the classical Reynolds equation for incompressible
fluid films in conjunction with a linearized perturbation procedure is implemented to allow the
computation of the dynamic force-coefficients of cylindrical and elliptical journal bearings The
finite element equations of motion for an unbalanced rotor supported on fluid film bearings are
integrated by using the Newmark method and the time-domain unbalance response is obtained
The results are validated by comparison with experimental data collected from a test rig as well
as from results obtained from the literature
Some algebraic expressions relating the bearing parameters and the unbalance response with the
bearing geometric parameters (preload Slendernessrsquo ratio radial clearance) are presented A
range of operating conditions is identified where these expressions are supposed to be close to
the computational results obtained by the numerical procedure The results presented in this
work are valuable for rotating machine designers since it can properly predict its dynamic
response under several operation conditions
Keywords Elliptical bearing
Journal bearing
Hydrodynamic lubrication
Finite element method
19
1 INTRODUCcedilAtildeO
O projeto e o comissionamento de maacutequinas rotativas requerem um cuidado especial para se
garantir condiccedilotildees seguras estaacuteveis e eficientes de operaccedilatildeo Diversos estudos baseados em
procedimentos experimentais analiacuteticos e computacionais satildeo utilizados com o objetivo de se
analisar vaacuterios aspectos dinacircmicos relacionados a rotores de maacutequinas de alta velocidade Esses
estudos se tornam de extrema importacircncia na anaacutelise de equipamentos como turbinas a gaacutes e a
vapor compressores ventiladores industriais bombas exaustores entre outros
Com o desenvolvimento da tecnologia na aacuterea de projetos mecacircnicos eacute notaacutevel a tendecircncia em
se projetarem maacutequinas cada vez mais leves e com maior potecircncia que normalmente estatildeo mais
sujeitas a problemas de vibraccedilatildeo e de instabilidade A influecircncia dos mancais no comportamento
dinacircmico de maacutequinas rotativas e na capacidade de atenuar vibraccedilotildees eacute estudada haacute vaacuterios anos
em diversos trabalhos da literatura especializada (GUNTER 1966 CORREIA 2007)
Os mancais hidrodinacircmicos tecircm sido amplamente aplicados em maacutequinas rotativas devido agrave sua
grande capacidade de carga habilidade de operaccedilatildeo em altas velocidades e longevidade
(HAMROCK 1994 CHILDS 1993) Este tipo de mancal tem uma capacidade de
amortecimento que natildeo existe nos mancais de rolamento o que possibilita que a maacutequina passe
por uma velocidade criacutetica com menores riscos (STERNLICHT e LEWIS 1968 VANCE
1988) O amortecimento proporcionado por mancais hidrodinacircmicos permite a atenuaccedilatildeo das
forccedilas transmitidas do sistema eixorotor aos mancais a reduccedilatildeo do niacutevel de vibraccedilatildeo o
aumento da faixa de operaccedilatildeo estaacutevel do rotor e o aumento de vida uacutetil do mancal (ENGWALL
1991)
Os mancais hidrodinacircmicos aplicados em maacutequinas rotativas industriais podem ser divididos
basicamente em dois grupos mancais de geometria fixa e mancais de geometria variaacutevel
(ALLAIRE e FLACK 1981) Os mancais de geometria fixa satildeo mais simples e possuem um
menor custo de fabricaccedilatildeo montagem e manutenccedilatildeo do que os de geometria variaacutevel
(HAMROCK 1994) Os mancais mais amplamente usados na induacutestria satildeo os de geometria fixa
com perfil ciliacutendrico apresentando baixa estabilidade mas boa capacidade de carga (CORREIA
2007) Mancais de geometria moacutevel satildeo usados quando se deseja estabilidade do equipamento
sujeito a vibraccedilotildees subsiacutencronas isto eacute abaixo da frequecircncia de rotaccedilatildeo No final da deacutecada de
20
1980 este tipo de mancal passou a ser mais amplamente usado nos projetos de turbomaacutequinas
de alta velocidade (ZEIDAN 1992) A literatura cientiacutefica apresenta diversos trabalhos sobre
mancais ciliacutendricos mas poucos sobre mancais eliacutepticos (CORREIA 2007)
As interaccedilotildees entre o eixo rotativo da turbomaacutequina com o fluido de trabalho com os mancais
com os selos com o suporte e com todos os seus elementos acoplados tais como as palhetas e
discos devem ser incluiacutedas na anaacutelise dinacircmica de rotores para se obter confiabilidade aceitaacutevel
nas prediccedilotildees de seu comportamento O estudo preliminar do comportamento de sistemas
rotativos permite determinar as suas faixas de operaccedilatildeo estaacutevel e avaliar as influecircncias que
componentes do sistema exercem sobre a resposta dinacircmica do conjunto Os mancais se tornam
componentes vitais no projeto de turbomaacutequinas pois devem gerar forccedilas de reaccedilatildeo capazes de
suportar adequadamente o eixo rotativo e propiciar meios de atenuaccedilatildeo da resposta dinacircmica do
conjunto rotativo em regimes de operaccedilatildeo extremos Esse trabalho tem como proposta principal
a anaacutelise do comportamento dinacircmico de rotores flexiacuteveis apoiados em mancais radiais
hidrodinacircmicos de geometria fixa
A modelagem do rotor que inclui o eixo rotativo com discos riacutegidos acoplados eacute efetuada
utilizando-se o meacutetodo de elementos finitos baseado na teoria de vigas de Timoshenko
(CLOUGH e PENZIEN 1975) Incluem-se no modelo do rotor os efeitos de cisalhamento os
momentos giroscoacutepicos e a ineacutercia rotatoacuteria do eixo rotativo A equaccedilatildeo claacutessica de Reynolds
(PINKUS 1987 HAMROCK 1994) e um procedimento linearizado de perturbaccedilatildeo
(LUND1987) satildeo a base da modelagem dos mancais radiais hidrodinacircmicos ciliacutendricos e natildeo
ciliacutendricos considerados na anaacutelise O meacutetodo de elementos finitos eacute entatildeo empregado para
estimar as caracteriacutesticas dinacircmicas natildeo lineares dos mancais radiais finitos incluiacutedos na anaacutelise
do sistema rotativo O modelo dos mancais admite diversas geometrias de mancais ciliacutendricos e
eliacutepticos e natildeo satildeo adotadas hipoacuteteses restritivas ao modelo dos mancais como nas teorias de
mancal longo (HAMROCK 1994) ou de mancal curto que apresentam deficiecircncias na anaacutelise
dinacircmica de sistemas rotor-mancal (KALITA e KAKOTY 2004)
O texto deste trabalho eacute dividido em cinco capiacutetulos O capiacutetulo 1 apresenta a introduccedilatildeo do
trabalho seu escopo e objetivos No capiacutetulo 2 eacute apresentada a revisatildeo bibliograacutefica Em
seguida eacute descrita a metodologia do procedimento computacional proposto no capiacutetulo 3 onde
satildeo apresentados os procedimentos adotados para se modelar o sistema rotor-mancal composto
pelo eixo flexiacutevel disco riacutegido e mancais hidrodinacircmicos No final do capiacutetulo 3 eacute apresentado
um diagrama representando as etapas do procedimento computacional proposto No capiacutetulo 4
21
satildeo apresentados os resultados obtidos atraveacutes do procedimento computacional incluindo
exemplos de validaccedilatildeo No capiacutetulo 5 satildeo apresentadas as conclusotildees do trabalho e no capiacutetulo 6
satildeo listadas as referecircncias bibliograacuteficas Satildeo incluiacutedos ainda trecircs anexos No Anexo A satildeo
apresentados os fundamentos da teoria de vigas de Euler-Bernoulli de Rayleigh e de
Timoshenko No Anexo B apresenta-se a formulaccedilatildeo das funccedilotildees de interpolaccedilatildeo No Anexo C
satildeo listadas as matrizes de elementos finitos do eixo flexiacutevel usadas no modelo implementado e
no Anexo D eacute apresentado o algoritmo do Meacutetodo Numeacuterico de Newmark
11 Escopo
Esse trabalho descreve a anaacutelise do comportamento dinacircmico de rotores flexiacuteveis suportados em
mancais radiais hidrodinacircmicos de geometria fixa utilizando-se o meacutetodo de elementos finitos
Na modelagem dos mancais radiais incluem-se mancais ciliacutendricos e natildeo ciliacutendricos de
geometria fixa As condiccedilotildees de operaccedilatildeo do sistema rotativo utilizadas nesse trabalho estatildeo
baseadas em condiccedilotildees operacionais comumente encontradas na praacutetica O eixo eacute modelado por
elementos finitos de viga baseando-se na teoria de vigas de Timoshenko que permite analisar a
resposta da vibraccedilatildeo orbital nos dois planos ortogonais de flexatildeo A formulaccedilatildeo permite incluir
os efeitos de ineacutercia rotatoacuteria efeito giroscoacutepico e deformaccedilatildeo por cisalhamento
O caacutelculo dos coeficientes dinacircmicos de forccedila dos mancais eacute feito baseando-se na equaccedilatildeo de
Reynolds e nas equaccedilotildees de lubrificaccedilatildeo de ordem zero e de primeira ordem obtidas atraveacutes da
anaacutelise de perturbaccedilatildeo (LUND1987)
A resposta desbalanceada do sistema eacute obtida por meio de procedimento de integraccedilatildeo
numeacuterica implementado sobre a sua equaccedilatildeo de equiliacutebrio dinacircmico Eacute estudada a influecircncia dos
paracircmetros construtivos de mancais eliacutepticos e ciliacutendricos nos seus coeficientes de forccedila e na
resposta desbalanceada do sistema rotor-mancal Apresenta-se uma anaacutelise criacutetica sobre a faixa
onde o modelo computacional implementado fornece resultados considerados confiaacuteveis
baseando-se nas condiccedilotildees operacionais do sistema
Embora natildeo seja objetivo deste trabalho obter valores absolutos para os coeficientes de forccedila ou
para os niacuteveis de vibraccedilatildeo na resposta desbalanceada eacute investigada a forma como estes valores
variam em funccedilatildeo das caracteriacutesticas construtivas e operacionais do sistema
22
12 Objetivos
121 Objetivo geral
Este trabalho tem como objetivo desenvolver um procedimento computacional baseado no
meacutetodo de elementos finitos (MEF) para a anaacutelise da resposta de sistemas rotativos apoiados em
mancais radiais hidrodinacircmicos de geometria fixa O eixo eacute modelado por elementos de viga
baseando-se na Teoria de Viga de Timoshenko Os mancais hidrodinacircmicos satildeo modelados
tambeacutem por elementos finitos utilizando-se o meacutetodo da perturbaccedilatildeo aplicado na equaccedilatildeo de
Reynolds
122 Objetivos especiacuteficos
i Desenvolver e implementar um procedimento computacional eficiente baseado no
MEF para representar rotores flexiacuteveis sujeitos a cargas de desbalanceamento
apoiados em suportes flexiacuteveis
ii Desenvolver e implementar um procedimento computacional eficiente baseado no
MEF para a determinaccedilatildeo dos coeficientes dinacircmicos dos mancais hidrodinacircmicos de
geometria fixa sem o uso de teorias simplificadas como os modelos de mancal curto
ou de mancal longo
iii Comparar os resultados do procedimento computacional proposto com resultados
publicados na literatura especializada e com dados experimentais coletados em uma
bancada de testes atraveacutes da anaacutelise das frequecircncias naturais
iv Analisar a influecircncia dos paracircmetros geomeacutetricos dos mancais eliacutepticos (preacute-carga
razatildeo de esbeltez folga radial) nos coeficientes de forccedila dos mancais e na resposta
desbalanceada do sistema
v Estabelece relaccedilotildees algeacutebricas entre alguns paracircmetros de desempenho dos mancais
ciliacutendricos e eliacutepticos e a resposta balanceada com os paracircmetros geomeacutetricos dos
mancais Identificar as faixas operacionais onde estas relaccedilotildees algeacutebricas satildeo vaacutelidas
23
2 REVISAtildeO BIBLIOGRAacuteFICA
As referecircncias apresentadas a seguir satildeo divididas em seccedilotildees para facilitar a exposiccedilatildeo dos
temas envolvidos no trabalho Inicialmente satildeo apresentadas as publicaccedilotildees que abordam os
procedimentos computacionais para a modelagem de sistemas rotor-mancal destacando-se o uso
do meacutetodo de elementos finitos e a evoluccedilatildeo dos modelos de elementos de vigas aplicados aos
eixos flexiacuteveis Em seguida destacam-se os trabalhos que fazem a anaacutelise da estabilidade de
sistemas rotor-mancal atraveacutes de problema de autovalor Segue-se com a citaccedilatildeo das publicaccedilotildees
que apresentam procedimentos de modelagem de mancais hidrodinacircmicos As uacuteltimas seccedilotildees
apresentam trabalhos sobre sistemas rotativos com elementos adicionais onde se destacam no
final os modelos de mancais eliacutepticos
Observa-se que a literatura apresenta diversos trabalhos dentro desta linha poreacutem muitos
aplicam o modelo de mancal curto que eacute bastante limitado principalmente para mancais
operando com grandes excentricidades A teoria de mancal curto eacute mais aplicaacutevel na prediccedilatildeo de
carga mas eacute muito limitada na determinaccedilatildeo de coeficientes de forccedila ou no estudo da
estabilidade do sistema Outros trabalhos apresentam uma abordagem detalhada do modelo dos
mancais mas ao apresentar os resultados fazem diversas simplificaccedilotildees (mancais isotroacutepicos
por exemplo) Em alguns casos a modelagem dos mancais e a aplicaccedilatildeo do procedimento
numeacuterico eacute detalhada e rigorosa poreacutem aplica-se o modelo de eixo riacutegido o que tambeacutem
representa uma limitaccedilatildeo A teoria natildeo-linear para mancais hidrodinacircmicos eacute apresentada por
diversos autores poreacutem os trabalhos possuem uma abordagem mais matemaacutetica natildeo focando
em aspectos praacuteticos de condiccedilotildees operacionais de maacutequinas rotativas
Desta forma observa-se uma lacuna na literatura onde raramente satildeo analisados sistemas rotor-
mancal hidrodinacircmico de maneira detalhada evitando-se hipoacuteteses simplificadoras tanto no
modelo dos mancais quanto no modelo do eixo flexiacutevel
21 Modelagem de sistemas rotor-mancal
A anaacutelise do comportamento dinacircmico de maacutequinas rotativas tem fomentado o desenvolvimento
de procedimentos computacionais eficientes e precisos para as etapas preliminares de projeto
24
Os modelos de maacutequinas rotativas de alta velocidade geralmente incluem rotores flexiacuteveis
apoiados em mancais hidrodinacircmicos e eacute fundamental analisar a estabilidade do sistema
(GUNTER 1970 BUSSE et al1980 VANCE 1988 KRAMER 1993 CHILDS 1993
ABDULJABBAR et al1997 HU et al 2000 GANESAN 2000 ZHAO et al2005 WENHUI
et al 2007)
Os estudos dinacircmicos baseados em modelos computacionais se tornam de extrema importacircncia
em diversas aplicaccedilotildees industriais de turbomaacutequinas como turbinas a gaacutes e a vapor
compressores ventiladores industriais bombas exaustores entre outros (STERNLICHT e
LEWIS 1968) A partir da deacutecada de 70 o meacutetodo de elementos finitos comeccedilou a ser usado
com extrema frequecircncia para o desenvolvimento de modelos de rotores flexiacuteveis e para a anaacutelise
de balanceamento estabilidade e vibraccedilatildeo torcional de maacutequinas rotativas (ZORZI e NELSON
1977 VANCE 1988 CHILDS 1993 ALMEIDA Jr e FARIA 2003 MIRANDA et al 2005)
A aplicaccedilatildeo do meacutetodo de elementos finitos na modelagem e simulaccedilatildeo de sistemas rotativos eacute
muito ampla na anaacutelise dinacircmica de rotores Os primeiros trabalhos nesta aacuterea satildeo apresentados
por Ruhl (1970) e Ruhl e Booker (1972) onde se aplica o meacutetodo de elementos finitos na
anaacutelise dinacircmica de um sistema rotativo com paracircmetros distribuiacutedos Satildeo usados elementos de
viga incluindo a ineacutercia translacional e rigidez agrave flexatildeo mas natildeo satildeo considerados os efeitos de
ineacutercia rotatoacuteria momentos giroscoacutepios deformaccedilatildeo por cisalhamento carga axial torque axial
e amortecimento interno Kirk e Gunter (1972) analisam a resposta transiente e permanente do
rotor de Jeffcott com mancais elaacutesticos montados em apoios flexiacuteveis e amortecidos ainda
desconsiderando a flexibilidade do rotor e o efeito giroscoacutepico do disco rotativo nas equaccedilotildees de
movimento Na mesma eacutepoca Thorkildsen (1972) desenvolveu um modelo mais completo onde
incluiu os efeitos de ineacutercia rotatoacuteria e momentos giroscoacutepios
Polk (1974) apresenta um estudo sobre velocidade criacutetica e velocidade limite utilizando
elemento finito de viga de Rayleigh Polk ainda apresenta neste mesmo trabalho o
desenvolvimento dos elementos finitos de viga de Timoshenko embora sem nenhum resultado
numeacuterico Diana et al(1975) apresentam seus resultados da anaacutelise de um eixo rotativo usando
o meacutetodo de elementos finitos com elementos semelhantes aos de Ruhl (1970) No mesmo ano
Dimaragonas (1975) apresenta um desenvolvimento geral de elemento de viga mas ainda
excluindo o cisalhamento e carga e torque axiais Gasch (1976) apresentou importantes
resultados em um artigo semelhante ao de Dimaragonas poreacutem incluindo o efeito de
25
excentricidade distribuiacuteda Satildeo analisados eixos rotativos de grandes turbomaacutequinas atraveacutes de
elementos finitos e introduzida a dinacircmica da fundaccedilatildeo nas equaccedilotildees de movimento usando
anaacutelise modal e teste modal
No mesmo ano Nelson e McVaugh (1976) apresentam uma formulaccedilatildeo para modelar o sistema
rotor-mancal usando paracircmetros distribuiacutedos e elementos finitos de viga de Rayleigh
semelhantes aos de Polk (1974) incluindo os efeitos de ineacutercia rotatoacuteria efeito giroscoacutepico e
cargas axiais Este trabalho eacute ampliado posteriormente em Zorzi e Nelson (1977) incluindo-se o
amortecimento viscoso interno do eixo Nelson (1980) generaliza os modelos apresentados em
1976 e 1977 usando a teoria de vigas de Timoshenko para estabelecer as funccedilotildees de forma do
eixo flexiacutevel incluindo o efeito de cisalhamento mas sem incluir o amortecimento interno Satildeo
obtidas as equaccedilotildees de elementos atraveacutes do Princiacutepio de Hamilton e das integrais que definem
as energias potencial e cineacutetica de cada elemento A energia cineacutetica leva em consideraccedilatildeo a
energia rotacional e translacional e a energia potencial considera a energia potencial elaacutestica
devida agrave flexatildeo a energia potencial do cisalhamento e a energia devida agrave carga axial Para
modelar os mancais satildeo considerados apoios isotroacutepicos sem efeito de amortecimento O autor
apresenta vaacuterios resultados que validam o meacutetodo comparando-os com outros obtidos na
literatura Eacute apresentada uma comparaccedilatildeo entre as frequecircncias naturais de uma viga estaacutetica
obtidas com elementos de viga de Euler-Bernoulli de Rayleigh e de Timoshenko
Posteriormente satildeo apresentados resultados de velocidades criacuteticas calculadas para eixos
rotativos apoiados pelas extremidades
Oumlzguumlven e Oumlzkan (1984) aplicam tambeacutem o meacutetodo de elementos finitos considerando os
efeitos da ineacutercia rotatoacuteria carga axial efeito giroscoacutepico deformaccedilotildees por cisalhamento e
amortecimento viscoso interno no mesmo modelo Vance et al(1987) apresentam comparaccedilotildees
de dados experimentais com resultados numeacutericos obtidos em uma bancada de sistema rotor-
mancal incluindo os efeitos de impedacircncia da fundaccedilatildeo no modelo usando o meacutetodo de matriz
de transferecircncia
Jei e Lee (1988) analisam o comportamento dinacircmico de rotores assimeacutetricos apoiados em
mancais hidrodinacircmicos utilizando o meacutetodo de elementos finitos O sistema rotativo eacute
composto por um eixo assimeacutetrico e discos riacutegidos e os efeitos da ineacutercia rotatoacuteria do
cisalhamento transversal dos momentos giroscoacutepicos e do amortecimento histereacutetico satildeo
incluiacutedos na modelagem do sistema As equaccedilotildees de vibraccedilatildeo lateral do conjunto rotativo satildeo
26
compactadas via teacutecnica de reduccedilatildeo modal de coordenadas Na modelagem dos mancais radiais
os autores desprezam a assimetria dos coeficientes cruzados de rigidez e de amortecimento e natildeo
descrevem claramente como foram obtidos os demais coeficientes de forccedila O problema de
autovalor do sistema giroscoacutepico amortecido eacute obtido para a determinaccedilatildeo das velocidades
criacuteticas de instabilidade do sistema rotativo As simplificaccedilotildees efetuadas pelos autores na
modelagem dos mancais afetam a determinaccedilatildeo precisa das velocidades de instabilidade do rotor
assimeacutetrico suportado em mancais hidrodinacircmicos que depende fortemente dos coeficientes
cruzados de rigidez Stephenson e Rouch (1992) aplicam o meacutetodo de elementos finitos para
analisar um sistema rotor-mancal e fundaccedilatildeo usando tambeacutem anaacutelise modal que permite
observar os efeitos dinacircmicos da estrutura da fundaccedilatildeo
Mais recentemente diversos trabalhos tecircm sido publicados aplicando-se o meacutetodo de elementos
finitos para a anaacutelise da estabilidade e da resposta no tempo de sistemas rotativos Sundararajan
(1996) investiga a resposta natildeo-linear e a estabilidade de um sistema rotor-mancal em regime
permanente sujeito a desbalanceamento Satildeo considerados rotores riacutegidos apoiados em mancais
hidrodinacircmicos planos e squeeze-film dampers (amortecedores por esmagamento de filme
fluido) Analisa-se a influecircncia dos coeficientes de forccedila cruzados e da ineacutercia do fluido na
resposta natildeo-linear e na estabilidade do sistema Na modelagem por elementos finitos satildeo
derivadas as matrizes de massa de rigidez e de amortecimento do sistema e eacute apresentado um
procedimento numeacuterico que reduz o nuacutemero de graus de liberdade do sistema O autor aplica a
teoria de bifurcaccedilatildeo de Hopf (HOLLIS e TAYLOR 1986) para calcular os regimes de
bifurcaccedilatildeo de mancais hidrodinacircmicos finitos mostrando que os mancais podem entrar em
regime de instabilidade mesmo abaixo das velocidades limites o que natildeo eacute observado nos
modelos lineares Na modelagem do squeeze film damper e do mancal plano eacute adotado o modelo
de mancal curto Posteriormente o autor propotildee uma anaacutelise de estabilidade de mancais planos
finitos usando uma formulaccedilatildeo que faz uma soma ponderada das soluccedilotildees analiacuteticas do mancal
curto e do mancal longo para se obter os coeficientes de forccedila Os resultados para mancais
planos finitos natildeo satildeo validados experimentalmente Embora comente-se sobre o caraacuteter natildeo-
linear do efeito das folgas nos mancais de rolamento este tipo de mancal natildeo eacute modelado pelo
autor O modelo do sistema rotor-mancal considera o rotor e o eixo riacutegidos e usa o modelo de
mancal curto o que torna o modelo bastante limitado
Chen e Lee (1997) aplicam o meacutetodo de elementos finitos em um problema de rotores flexiacuteveis
para obter a resposta desbalanceada no tempo e para identificar os coeficientes de forccedila de
27
mancais de rolamento Armentrout (1998) apresenta o desenvolvimento de uma anaacutelise
transiente de rotores flexiacuteveis suportados em mancais de filme fluido baseada no meacutetodo das
matrizes de transferecircncia Os efeitos de cisalhamento os momentos giroscoacutepicos e a ineacutercia
rotatoacuteria satildeo incluiacutedos na modelagem do eixo do rotor A soluccedilatildeo unidimensional aproximada da
equaccedilatildeo de Reynolds eacute a base do modelo de mancais ciliacutendricos radiais e de sapatas moacuteveis
contemplados na anaacutelise O procedimento computacional desenvolvido por Armentrout (1998)
utiliza teacutecnica de compactaccedilatildeo modal de coordenadas empregando os modos de vibraccedilatildeo natildeo
amortecidos do sistema rotor-mancal-fundaccedilatildeo As equaccedilotildees de equiliacutebrio do sistema rotativo
em coordenadas modais satildeo integradas utilizando-se um algoritmo de integraccedilatildeo impliacutecita
―preditor-corretor
Tiwari et al (2000) apresentam uma investigaccedilatildeo teoacuterico-experimental da dinacircmica natildeo-linear
de rotores riacutegidos horizontais apoiados em mancais de rolamento de esferas Um modelo
discreto de massa concentrada com dois graus de liberdade eacute empregado na representaccedilatildeo do
rotor riacutegido As natildeo linearidades da anaacutelise estatildeo associadas aos efeitos da folga radial do
mancal e do modelo de contato de Hertz para as esferas desse mancal As equaccedilotildees de equiliacutebrio
do sistema satildeo integradas utilizando-se um algoritmo impliacutecito de integraccedilatildeo A anaacutelise
experimental do trabalho consiste na determinaccedilatildeo da resposta desbalanceada e na avaliaccedilatildeo da
estabilidade dinacircmica de um rotor horizontal apoiado em mancais de rolamento anisotroacutepicos
Os autores mostram resultados teoacutericos e experimentais para as regiotildees de instabilidade do rotor
que apresentam boa concordacircncia A consideraccedilatildeo de rotor riacutegido representa uma limitaccedilatildeo do
modelo
Elmadany et al (2001) apresentam um modelo de elementos finitos para um sistema rotativo
composto por um eixo flexiacutevel um rotor riacutegido e vaacuterios mancais incluindo no modelo do rotor
os efeitos de ineacutercia rotativa momentos giroscoacutepicos amortecimento interno deformaccedilotildees por
cisalhamento e torque axial Satildeo usados elementos finitos de viga de Timoshenko para gerar as
equaccedilotildees dos elementos do eixo Os oito coeficientes de forccedila dos mancais hidrodinacircmicos satildeo
apresentados em funccedilatildeo do nuacutemero de Sommerfeld considerando mancais curtos O meacutetodo
computacional proposto permite obter importantes informaccedilotildees do comportamento dinacircmico do
sistema tais como a precessatildeo as velocidades criacuteticas as regiotildees de estabilidade e a resposta
dinacircmica desbalanceada As velocidades de instabilidades satildeo obtidas atraveacutes do problema de
autovalor Os autores apresentam diversos resultados numeacutericos comparados com outros
28
extraiacutedos da literatura Em um deles destaca-se a comparaccedilatildeo das velocidades de instabilidade
(threshold speed of instability) e os autores fazem ainda uma comparaccedilatildeo entre o modelo usando
elementos de viga de Rayleigh e de Timoshenko Conclui-se que ao se incluir o efeito de
cisalhamento na anaacutelise de vibraccedilatildeo livre os valores das velocidades de instabilidade satildeo
reduzidos
Hong et al(2001) investigam os efeitos da deformaccedilatildeo inicial de eixos na resposta dinacircmica de
sistemas rotor-mancal Analisa-se a vibraccedilatildeo siacutencrona provocada pela deformaccedilatildeo inicial e pelo
desbalanceamento sendo incluiacutedo o efeito giroscoacutepico O modelo de elementos finitos tem dois
graus de liberdade correspondentes aos deslocamentos transversais e o rotor tem trecircs discos
riacutegidos e dois mancais Satildeo simuladas algumas configuraccedilotildees de rotor incluindo mancais
hidrodinacircmicos de sapatas moacuteveis Os resultados mostram que o efeito da deformaccedilatildeo inicial
influencia fortemente a resposta siacutencrona em baixas velocidades enquanto o efeito do
desbalanceamento afeta em altas velocidades de rotaccedilatildeo Eacute observado ainda que a presenccedila de
ambos efeitos pode causar dificuldade no diagnoacutestico de vibraccedilotildees de maacutequinas rotativas Os
autores usam coeficientes de forccedila preacute-calculados por outros autores natildeo apresentando a
modelagem dos mancais Natildeo fica claro tambeacutem o tipo de elemento finito usado no modelo do
eixo
Guo e Kirk (2003) fazem um estudo dos limites de estabilidade de um sistema rotor-mancal
hidrodinacircmico baseado no modelo de Jeffcott (1919) incluindo o amortecimento externo e um
estudo para rotores verticais e horizontais Os autores destacam a forte influecircncia que o
amortecimento externo tem na anaacutelise da estabilidade do sistema rotativo Eacute proposto um
meacutetodo analiacutetico que faz vaacuterias consideraccedilotildees que simplificam as equaccedilotildees de movimento do
sistema por exemplo rotor vertical com operaccedilatildeo centrada em mancais curtos idecircnticos Eacute
mostrado que existe uma velocidade limite (threshold speed) para o rotor vertical enquanto para
o rotor horizontal haacute uma regiatildeo de operaccedilatildeo estaacutevel limitada entre duas regiotildees instaacuteveis Neste
caso do rotor horizontal eacute conduzido um procedimento numeacuterico sem as hipoacuteteses
simplificadoras usadas no modelo vertical usando anaacutelise de autovalores obtidos das equaccedilotildees
matriciais de movimento do sistema Observa-se que no rotor horizontal o efeito do
amortecimento externo aumenta a regiatildeo de operaccedilatildeo estaacutevel do sistema e para alguns valores
mais elevados de amortecimento externo eacute possiacutevel eliminar a regiatildeo de instabilidade
garantindo operaccedilatildeo estaacutevel para o sistema rotativo em toda faixa de velocidade de rotaccedilatildeo
analisada Guo e Kirk (2003) incluem ainda em seu trabalho uma anaacutelise do modelo extendido
29
do rotor de Jeffcott onde satildeo consideradas as massas dos mancais nas extremidades do rotor
Conclui-se que ao se incluiacuterem as massas dos mancais surge uma outra velocidade
limite(threshold speed) E mesmo que vaacuterias regiotildees de instabilidade possam ser reduzidas ou
eliminadas com o aumento do amortecimento externo este amortecimento tem pouco efeito nas
uacuteltimas velocidades de instabilidade (threshold speed of instability) uma vez que estas
velocidades dependem da massa do mancal Assim a melhor forma de se obter amplas faixas de
operaccedilatildeo estaacutevel eacute combinar-se os efeitos do amortecimento externo ao das massas dos mancais
obtendo-se uma combinaccedilatildeo adequada no dimensionamento do rotor de Jeffcott
Em (GUO e KIRK 2003b) a anaacutelise eacute ampliada incluindo-se o efeito da flexibilidade dos
mancais onde mostra-se como melhorar a resposta dinacircmica e a resposta desbalanceada do
sistema assim como a estabilidade e a transmissatildeo de forccedilas Novamente satildeo consideradas as
mesmas hipoacuteteses simplificadoras que restringem bastante a abrangecircncia dos resultados obtidos
Os proacuteprios autores admitem que os resultados satildeo vaacutelidos para um caso especial Nos
resultados satildeo apresentadas as regiotildees de estabilidade e a influecircncia do amortecimento e da
rigidez dos mancais na estabilidade do sistema Comenta-se ainda que os coeficientes de forccedila
de mancais hidrodinacircmicos tecircm natureza natildeo-linear e que cabe um estudo mais detalhado sobre
o efeito desta natildeo-linearidade
Balantrapu (2004) apresenta um procedimento computacional de identificaccedilatildeo de paracircmetros
para identificar os coeficientes de forccedila de mancais em um sistema rotativo com eixo flexiacutevel
atraveacutes da resposta desbalanceada medida proacuteximo aos mancais Eacute proposta tambeacutem uma
formulaccedilatildeo que permite usar o procedimento de identificaccedilatildeo a partir de mediccedilotildees feitas longe
dos mancais em especial no ponto meacutedio entre eles O eixo flexiacutevel eacute modelado por elementos
finitos incluindo-se os efeitos de ineacutercia rotatoacuteria e efeito giroscoacutepico e para os mancais satildeo
considerados coeficientes de forccedila lineares Satildeo apresentados vaacuterios exemplos incluindo
mancais hidrodinacircmicos de dois loacutebulos Observa-se que a massa desbalanceada necessaacuteria para
se fazer as mediccedilotildees do deslocamento do eixo assim como a exatidatildeo dos resultados de
mediccedilatildeo influenciam os resultados obtidos para os coeficientes de forccedila Outro fator que
influencia mais consideravelmente eacute a rigidez do eixo que tem grande influecircncia nas amplitudes
de vibraccedilatildeo medidas no sistema
Kalita e Kakoty (2004) destacam o meacutetodo de elementos finitos como o mais popular para
anaacutelise de vibraccedilatildeo de sistemas rotor-mancal Eacute estudado o comportamento dinacircmico de um
30
rotor apoiado em mancais hidrodinacircmicos onde usam-se elementos de viga de Timoshenko para
o eixo que inclui os efeitos de ineacutercia rotatoacuteria efeito giroscoacutepico amortecimento interno e
deformaccedilatildeo por cisalhamento O modelo tem 4 graus de liberdade dois deslocamentos
transversais e duas rotaccedilotildees Satildeo apresentados os diagramas de Campbell para diferentes valores
de coeficientes de forccedila dos mancais incluindo anaacutelise da influecircncia dos coeficientes de
amortecimento e de rigidez cruzada dos mancais nas velocidades de instabilidade Eacute mostrada
ainda a limitaccedilatildeo do uso da aproximaccedilatildeo de mancais curtos no caacutelculo dos coeficientes
dinacircmicos de mancais hidrodinacircmicos
Bode e Menezes (2005) apresentam uma anaacutelise dinacircmica de um sistema rotor-mancal pelo
meacutetodo de elementos finitos onde satildeo detalhadas todas etapas da modelagem do sistema O
eixo flexiacutevel eacute excitado por forccedilas de desbalanceamento e apoiado nas extremidades por mancais
hidrodinacircmicos cujas forccedilas de reaccedilatildeo satildeo produzidas pela pressatildeo dinacircmica do lubrificante Os
coeficientes de rigidez e de amortecimento dos mancais satildeo obtidos atraveacutes da soluccedilatildeo numeacuterica
da equaccedilatildeo de Reynolds Para modelar o eixo flexiacutevel eacute usada a teoria de vigas de Timoshenko
incluindo o efeito giroscoacutepico e de cisalhamento Adota-se o meacutetodo de elementos finitos com
elementos de viga com 4 graus de liberdade em cada noacute 2 deslocamentos e 2 velocidades As
equaccedilotildees de movimento satildeo obtidas pelas equaccedilotildees de Lagrange descrevendo o movimento em
dois planos A resposta no tempo eacute obtida pelo meacutetodo de Newmark (RAO 1995) integrando-se
numericamente as equaccedilotildees de movimento Os autores obtecircm uma soluccedilatildeo numeacuterica que
permite descrever as condiccedilotildees dinacircmicas de estabilidade do sistema rotor-mancal
Cheng et al (2008) investigam o comportamento dinacircmico natildeo-linear de um sistema rotor-
mancal-selo apresentando resultados em forma de trajetoacuterias mapas de Poincareacute expoentes de
Liapunov espectros de frequecircncia e diagramas de bifurcaccedilatildeo Satildeo destacadas as caracteriacutesticas
natildeo-lineares dos coeficientes de rigidez e de amortecimento de mancais hidrodinacircmicos e de
selos mecacircnicos Consideram-se mancais curtos Para o selo adota-se o modelo natildeo-linear de
Muszynska (1986) O modelo do rotor considera apenas a vibraccedilatildeo transversal desprezando a
vibraccedilatildeo torcional e o efeito giroscoacutepico sendo adotado o modelo de rotor de Jeffcott A soluccedilatildeo
numeacuterica eacute obtida atraveacutes do meacutetodo de Runge-Kutta de quarta ordem seguida de uma anaacutelise
graacutefica do comportamento natildeo-linear do sistema em funccedilatildeo da velocidade de rotaccedilatildeo da
excentricidade da folga no selo e da pressatildeo no selo Os autores enfatizam a modelagem do
selo mas simplificam muito o modelo do eixo O modelo dos mancais eacute limitado a mancais
curtos e a anaacutelise numeacuterica considera apenas um exemplo de mancal
31
Rezvani (2009) faz uma anaacutelise de um sistema rotor mancal com vaacuterios graus de liberdade e
apoios natildeo-lineares Satildeo modelados sistemas apoiados em mancais de rolamento e em suportes
amortecidos (squeeze film dampers) considerando o modelo de mancais curtos Satildeo mostrados
os efeitos do amortecimento e do efeito giroscoacutepico do sistema em sua estabilidade Elhibir
(2009) apresenta um modelo computacional de um alternador afixado em uma viga oca em
balanccedilo apoiada em uma extremidade por dois mancais de rolamento O modelo usa o meacutetodo
de elementos finitos com elementos soacutelidos tetraeacutedricos Eacute analisada a resposta desbalanceada
do sistema e obtidas as frequecircncias naturais e usada anaacutelise modal Satildeo apresentados diversos
resultados numeacutericos e imagens ilustrando as deformaccedilotildees do sistema em cada modo de
vibraccedilatildeo
Karlberg (2010) faz uma anaacutelise dinacircmica de maacutequinas rotativas apoiadas por mancais de
rolamento com folgas O trabalho se destaca pela forma detalhada como eacute analisada a influecircncia
das folgas dos mancais nos seus coeficientes de rigidez proacuteximo da posiccedilatildeo de equiliacutebrio Eacute
observado que as frequecircncias naturais reduzem significativamente com o aumento das folgas
Para o modelo do rotor eacute adotada a teoria de vigas de Bernoulli-Euler usado o modelo de
Jeffcott com disco riacutegido
22 Anaacutelise da estabilidade atraveacutes de problema de autovalor
A anaacutelise da estabilidade de sistemas rotor-mancal pode tambeacutem ser feita atraveacutes do problema
de autovalor Gupta (1974) apresenta uma anaacutelise baseada no problema de autovalores
aplicando equaccedilotildees que consideram o efeito giroscoacutepico amortecido do sistema A formulaccedilatildeo
do problema de autovalor associados a sistemas giroscoacutepicos amortecidos eacute de grande
importacircncia para a determinaccedilatildeo de velocidades criacuteticas e para a anaacutelise de sensibilidade de
paracircmetros em maacutequinas rotativas (PLAUT e HUSEYIN 1972 MEIROVITCH e
RYLAND 1979 LUND 1980 PALAZZOLO et al 1983 RAJAN et al 1986 FARIA e
BARCELLOS 1991 EHRICH 1992 LUND 1994) A equaccedilatildeo do sistema rotor-mancal
flexiacutevel com efeito giroscoacutepico amortecido eacute reescrita na forma de variaacuteveis de estado
(MEIROVITCH1974 MEIROVITCH1980 CHILDS e GRAVISS1982) para a determinaccedilatildeo
dos autovalores complexos
Rao et al (1996) analisam a estabilidade e os autovalores de sistemas rotor-mancal usando a
teacutecnica de elementos finitos e considerando coeficientes distribuiacutedos de forccedila e de
32
amortecimento nos mancais Satildeo consideradas distribuiccedilotildees uniformes e paraboacutelicas para
diferentes tipos de mancais hidrodinacircmicos Os coeficientes distribuiacutedos satildeo obtidos atraveacutes de
uma metodologia que usa o princiacutepio do trabalho virtual (CRAGGS 1993 TAYLOR e
CRAGGS 1994) mas que considera apenas uma distribuiccedilatildeo uniforme ao longo da largura e do
comprimento do mancal Esta consideraccedilatildeo eacute vaacutelida quando o mancal eacute razoavelmente longo
Poreacutem quando eacute curto eacute vaacutelido considerar a distribuiccedilatildeo paraboacutelica (RAO et al1996) Assim
o mesmo princiacutepio do trabalho virtual eacute aplicado desta vez para se obterem as matrizes de
elementos finitos dos coeficientes de forccedila com distribuiccedilatildeo paraboacutelica Estas matrizes satildeo
incluiacutedas nas matrizes do sistema rotor-mancal obtendo-se a equaccedilatildeo de movimento do sistema
em forma matricial
A modelagem do rotor eacute feita usando-se elementos de viga finitos como propostos por Nelson e
McVaugh (1976) incluindo-se o efeito giroscoacutepico e o amortecimento interno Os resultados
satildeo analisados comparando-se os autovalores e frequecircncias naturais do sistema com coeficientes
de rigidez e de amortecimento distribuiacutedos agravequeles obtidos considerando-se os coeficientes de
forccedila concentrados para mancais isotroacutepicos com razatildeo LD=05 e LD=10 Observa-se que
para mancais longos quando os coeficientes de rigidez satildeo baixos (104 a 10
7 Nm) a diferenccedila
entre os resultados para os modelos de coeficientes distribuiacutedos e concentrados eacute despreziacutevel e
entre os modelos de coeficientes distribuiacutedos uniformemente e paraboacutelico tambeacutem eacute pequena
Percebe-se um aumento nas frequecircncias naturais para o modelo de coeficientes distribuiacutedos
somente para valores mais elevados de rigidez Por fim os autores analisam a estabilidade do
sistema rotativo para diferentes tipos de mancais hidrodinacircmicos cujos coeficientes de forccedila satildeo
obtidos de Lund e Thomsen (1978) Conclui-se que as regiotildees de estabilidade mudam entre as
duas formulaccedilotildees O modelo de coeficientes distribuiacutedos fornece regiotildees de estabilidade mais
amplas quando comparado com o modelo de coeficientes concentrados Desta forma o modelo
concentrado eacute mais conservativo do ponto de vista de estabilidade e o modelo distribuiacutedo eacute
mais preciso
Santana (2009) apresenta a anaacutelise da resposta complexa de um sistema rotor-mancais-fundaccedilatildeo
onde estuda a influecircncia do grau de anisotropia dos mancais e da estrutura de suporte na resposta
do modo retroacutegrado de precessatildeo Eacute formulado tambeacutem um problema de autovalores poreacutem
associado agrave anaacutelise modal adaptada para sistemas rotativos (NORDMANN 1982) A anaacutelise dos
modos de vibraccedilatildeo associados ao eixo rotativo e aos mancais de apoio fornece importantes
dados para o desenvolvimento de meacutetodos computacionais de anaacutelise de vibraccedilatildeo teacutecnicas de
33
balanceamento e de monitoramento de maacutequinas de alta rotaccedilatildeo (BUSSE et al 1980 BOEDO e
BOOKER 1997) O mesmo problema pode ainda incluir as propriedades dissipativas do sistema
(MEIROVITCH e RYLAND 1979 PALAZZOLO et al 1983 FARIA e BARCELLOS 1991)
23 Mancais hidrodinacircmicos
A literatura apresenta diversos estudos sobre o caacutelculo dos coeficientes de forccedila nos mancais
hidrodinacircmicos Ocvirk (1952) propocircs a soluccedilatildeo da equaccedilatildeo de Reynolds para mancais curtos
desprezando o gradiente circunferencial de pressatildeo Pinkus (1987) faz uma revisatildeo histoacuterica da
teoria de lubrificaccedilatildeo hidrodinacircmica e da aplicaccedilatildeo da equaccedilatildeo de Reynolds em tribologia desde
suas origens ateacute o estado atual Lund (1978 1987) faz uma revisatildeo do conceito de coeficientes
dinacircmicos e aplica o meacutetodo de perturbaccedilatildeo infinitesimal em torno da posiccedilatildeo de equiliacutebrio
para calcular os coeficientes de rigidez e de amortecimento de mancais hidrodinacircmicos Lund
(1987) acrescenta que esta perturbaccedilatildeo em torno da posiccedilatildeo de equiliacutebrio eacute vaacutelida para ateacute 40
da folga do mancal
Childs (1993) e Vance (1988) apresentam em seus livros diferentes modelos de mancais
hidrodinacircmicos e obtecircm os valores dos seus coeficientes dinacircmicos Os coeficientes satildeo obtidos
a partir de caacutelculos em torno da posiccedilatildeo de equiliacutebrio do eixo no mancal Rajalingham e Prabhu
(1987) analisam a influecircncia da temperatura nas caracteriacutesticas fiacutesicas dos mancais
hidrodinacircmicos e concluem que a variaccedilatildeo da temperatura do oacuteleo na direccedilatildeo axial pode ser
desprezada sem afetar a precisatildeo dos resultados hidrodinacircmicos para o filme de oacuteleo
Choy et al (1991) calculam os coeficientes de rigidez natildeo-lineares dos mancais para
perturbaccedilotildees de deslocamento em vaacuterios locais em torno da posiccedilatildeo de equiliacutebrio Eles mostram
que para deslocamentos distantes da posiccedilatildeo de equiliacutebrio a natildeo-linearidade das forccedilas do filme
fluido eacute significante e pode ser modelada por coeficientes de forccedila e de amortecimento de
ordem superior Choy et al (1992) analisam o efeito natildeo-linear no comportamento dinacircmico de
mancais hidrodinacircmicos quando sujeitos a diversas condiccedilotildees operacionais tais como alta e
baixa excentricidade altas velocidades desalinhamento
Zhang e Luo (1991) utilizam teacutecnicas de ajuste de curvas usando dados experimentais da
resposta em frequecircncia para identificaccedilatildeo dos coeficientes de rigidez e amortecimento de
mancais hidrodinacircmicos Capone et al (1994) propotildeem uma soluccedilatildeo analiacutetica aproximada para
34
a distribuiccedilatildeo de pressatildeo do filme de oacuteleo em um mancal de comprimento finito Satildeo
apresentadas aproximaccedilotildees de primeira e segunda ordem com diversas relaccedilotildees de largura e
diacircmetros sendo que o modelo de segunda ordem mostra uma boa aproximaccedilatildeo em relaccedilatildeo o
modelo de mancal finito calculado numericamente
Qiu e Tieu (1996) calculam os coeficientes dinacircmicos em diferentes valores de perturbaccedilatildeo Eles
concluem que as perturbaccedilotildees nas velocidades e deslocamentos devem estar entre 5 e 4
respectivamente para se garantir uma diferenccedila de 25 entre os valores de coeficientes obtidos
pelos meacutetodos de perturbaccedilatildeo finita e infinita Furukawa et al (1996) estudam os coeficientes de
forccedila nos mancais hidrodinacircmicos e concluem que a natildeo linearidade do filme fluido produz
grandes diferenccedilas entre os valores calculados e os medidos experimentalmente em especial na
regiatildeo de alta excentricidade Chu et al (1998) analisam a natildeo-linearidade do filme fluido e
observam que os coeficientes lineares dos mancais hidrodinacircmicos modelados satildeo vaacutelidos para
perturbaccedilotildees de deslocamento da ordem de 006
Bachschmid e Vania (2002) observam vibraccedilotildees em uma frequecircncia duas vezes maior que a
rotaccedilatildeo da maacutequina na presenccedila de efeitos natildeo-lineares em mancais hidrodinacircmicos Os autores
destacam a importacircncia de se monitorar o segundo harmocircnico para se diagnosticarem falhas em
turbo-maacutequinas Sawicki e Rao (2004) analisam o caraacuteter natildeo-linear dos coeficientes de forccedila de
mancais hidrodinacircmicos para diferentes nuacutemeros de Sommerfeld (SOMMERFELD 1904) e
razotildees de esbeltez do mancal LD Satildeo apresentadas as diferentes formas de se aplicar o meacutetodo
de perturbaccedilatildeo para a obtenccedilatildeo dos coeficientes de forccedila lineares e natildeo-lineares Os autores
destacam ainda que os coeficientes de forccedila lineares apresentam precisatildeo aceitaacutevel ateacute uma
excentricidade de 04 vezes o valor da folga do mancal (LUND 1987) Hirani (2005) aplica
teacutecnicas de algoritmos geneacuteticos na modelagem de lubrificaccedilatildeo hidrodinacircmica para o projeto
otimizado de mancais
Couto (2006) faz um estudo teoacuterico-experimental que investiga o comportamento de mancais
radiais hidrodinacircmicos sujeitos a carregamentos estaacuteticos dinacircmicos e a desalinhamentos Eacute
aplicado o meacutetodo de volumes finitos para a integraccedilatildeo da equaccedilatildeo de Reynolds que governa o
problema de lubrificaccedilatildeo Faria et al (2006) apresentam um procedimento baseado no meacutetodo
de elementos finitos para a soluccedilatildeo das equaccedilotildees de lubrificaccedilatildeo em mancais radiais ciliacutendricos
hidrodinacircmicos obtidas a partir da equaccedilatildeo claacutessica de Reynolds Os resultados mostram as
limitaccedilotildees da aplicabilidade da teoria de mancais curtos especialmente quando operam com
35
grandes excentricidades Mostram-se tambeacutem os limites da aplicaccedilatildeo da teoria de mancais
longos (HAMROCK 1994) onde LD=2
Yan et al (2010) apresentam um modelo analiacutetico e um meacutetodo de caacutelculo dos coeficientes de
rigidez e de amortecimento de mancais hidrodinacircmicos de sapata moacutevel e fazem uma
comparaccedilatildeo com resultados experimentais da literatura (KOSTRZEWSKY e FLACK 1990)
Seu modelo inclui um rotor riacutegido simeacutetrico apoiado em dois mancais de sapata moacutevel idecircnticos
de cinco sapatas cada Eacute usado o meacutetodo de NewtonndashRaphson para se calcular a posiccedilatildeo de
equiliacutebrio do eixo e das paacutes Apresenta-se tambeacutem um modelo reduzido que se mostra eficiente
para o caacutelculo dos coeficientes dinacircmicos mas que natildeo apresenta bons resultados para a anaacutelise
de estabilidade e das frequecircncias naturais amortecidas Observa-se nos resultados que o
momento de ineacutercia das paacutes a velocidade e o fator de preacute-carga tecircm grande influecircncia na
estabilidade do sistema e que a faixa de operaccedilatildeo estaacutevel pode ser aumentada ao se aumentar o
fator de preacute-carga
24 Sistemas rotativos com elementos adicionais
A anaacutelise de estabilidade de sistemas mancal-rotor eacute bastante variada na literatura especializada
Eacute comum encontrar trabalhos cuja originalidade recai na inclusatildeo de alguns paracircmetros ou
elementos especiacuteficos no conjunto como mancais hiacutebridos mancais de materiais viscoelaacutesticos
acoplamentos selos mecacircnicos
Um trabalho a destacar sobre a anaacutelise de estabilidade do sistema rotor-mancal de mancais
hiacutebridos eacute o de Gomez-Mancilla et al (2005) onde eacute modelado um sistema composto por um
rotor de Jeffcott apoiado em mancais hidrodinacircmicos ciliacutendricos hiacutebridos Satildeo considerados
ambos modelos riacutegido e flexiacutevel de Jeffcott e comparados os niacuteveis de vibraccedilatildeo e a estabilidade
do sistema quando sujeito a diferentes niacuteveis de pressatildeo de alimentaccedilatildeo do lubrificante nos
mancais Os autores mostram como se pode melhorar a estabilidade do sistema com o aumento
da pressatildeo de alimentaccedilatildeo provocando uma reduccedilatildeo no acircngulo de posiccedilatildeo e um aumento da
excentricidade nos sistemas modelados que inclui mancais hidrodinacircmicos longos ciliacutendricos
Este efeito tambeacutem favorece a faixa de operaccedilatildeo estaacutevel do sistema elevando a velocidade
limite de operaccedilatildeo estaacutevel (threshold speed of instability) Os resultados obtidos mostram que o
efeito da pressatildeo de alimentaccedilatildeo nos mancais na estabilidade do sistema eacute consideraacutevel para
36
rotores riacutegidos ou com elevada rigidez Agrave medida em que a rigidez reduz natildeo se percebe muita
variaccedilatildeo na estabilidade com o aumento da pressatildeo de alimentaccedilatildeo Outro resultado importante
deste trabalho eacute que o aumento da pressatildeo de alimentaccedilatildeo do lubrificante natildeo eacute interessante
quando o sistema estaacute cruzando uma velocidade criacutetica Apenas em casos particulares eacute possiacutevel
obter alguma reduccedilatildeo na amplitude de vibraccedilatildeo e mesmo assim quando a velocidade de
operaccedilatildeo estiver fora da faixa de velocidades criacuteticas Portanto um sistema de controle ativo de
pressatildeo eacute recomendado para se obter os melhores resultados em funccedilatildeo dos paracircmetros
operacionais do sistema rotativo Comenta-se tambeacutem que outros modelos de mancais como os
eliacutepticos de muacuteltiplos loacutebulos de sapata moacutevel satildeo intrinsecamente mais estaacuteveis do que os
mancais ciliacutendricos analisados no trabalho
A anaacutelise de estabilidade do sistema com mancais de materiais viscoelaacutesticos eacute apresentada em
Espiacutendola e Floody (1999) Saldarriaga (2007) e Bavastri et al(2008) Tapia e Cavalca (2002) e
Tadeo (2003) analisam os efeitos de alguns modelos de acoplamentos flexiacuteveis e riacutegidos
inserindo-os em modelos de elementos finitos do sistema rotativos Al-Hussain (2003) analisa o
efeito do desalinhamento angular na estabilidade de dois rotores riacutegidos ligados por um
acoplamento flexiacutevel O modelo contempla ainda um disco riacutegido em cada rotor que se apoacuteia
em mancais hidrodinacircmicos O autor apresenta as regiotildees de estabilidade do sistema e sua
relaccedilatildeo com a rigidez do acoplamento e com o acircngulo de desalinhamento
Wang et al (2010) fazem uma anaacutelise de um compressor centriacutefugo de alta velocidade com
mancais hidrodinacircmicos a ar com selo mecacircnico de labirinto Eacute usado o modelo de rotor riacutegido
de Jeffcott para modelar o eixo e o disco que representam o compressor aleacutem do modelo de
Muszynska (1986) para as forccedilas do selo
Faria e Miranda (2012) apresentam um procedimento de elementos finitos aplicado na anaacutelise
dos paracircmetros de desempenho de selos a gaacutes Lavainne (2003) e Vincent (2003) fazem uma
anaacutelise determiniacutestica e probabiliacutestica da sensibilidade de desempenho de um compressor agraves
variaccedilotildees geomeacutetricas das suas paacutes Ambos apresentam os resultados em termos de alteraccedilotildees na
eficiecircncia de compressatildeo do equipamento
Lazarus et al (2010) fazem uma anaacutelise dinacircmica da vibraccedilatildeo em maacutequinas rotativas
assimeacutetricas utilizando elementos finitos tridimensionais (3D) baseando-se na teoria modal
Satildeo incluiacutedos no modelo um estator e um acoplamento permitindo uma anaacutelise detalhada da
estabilidade do sistema e sua relaccedilatildeo com os autovalores Os resultados teoacutericos satildeo comparados
37
com mediccedilotildees experimentais realizadas em uma bancada de testes com um rotor assimeacutetrico
apoiado em mancais anisotroacutepicos
25 Mancais eliacutepticos
A literatura apresenta diversos trabalhos sobre modelagem de mancais ciliacutendricos mas haacute
poucos trabalhos que investigam detalhadamente os mancais eliacutepticos (SINGH e GUPTA1982)
As primeiras publicaccedilotildees sobre mancais eliacutepticos que se destacam satildeo Pinkus (1956 1956b)
onde o autor apresenta uma anaacutelise detalhada sobre mancais eliacutepticos incluindo paracircmetros
como capacidade de carga coeficiente de atrito e vazatildeo para diferentes valores de
excentricidade fator de carga e razatildeo LD Outro trabalho importante na eacutepoca foi apresentado
por Wilcock (1961) que analisa vaacuterios tipos de mancais deslocados ortogonalmente incluindo
mancais eliacutepticos Seu trabalho eacute limitado pelo fato de natildeo terem sido considerados os
coeficientes de amortecimento
Sternlicht (1964) apresenta uma anaacutelise de regime permanente para mancais eliacutepticos usando
coeficientes de rigidez e de amortecimento de mancais eliacutepticos com fatores geomeacutetricos
variados Middleton (1973) apresenta diagramas de capacidade de carga acircngulo de atitude e
coeficientes de rigidez e de amortecimento para mancais eliacutepticos com fatores de 06 e LD=05
Singh (1978) faz uma anaacutelise estaacutetica e dinacircmica de mancais eliacutepticos com LD=1 considerando
rotores riacutegidos e flexiacuteveis Kumar et al (1980) apresentam dados detalhados para o projeto de
mancais hidrodinacircmicos eliacutepticos (dois loacutebulos) Eacute usado o meacutetodo de perturbaccedilatildeo linear para o
caacutelculo dos coeficientes do mancal aplicando-se a equaccedilatildeo de Reynolds para filme fluido com
algumas simplificaccedilotildees nas condiccedilotildees de contorno Satildeo apresentados resultados para os
coeficientes de rigidez e de amortecimento do mancal aleacutem de dados sobre paracircmetro de atrito
de aumento de temperatura e regiatildeo de equiliacutebrio
Singh e Gupta (1982) apresentam um estudo analiacutetico dos efeitos do fator de carga da razatildeo LD
e da flexibilidade do eixo nos limites de estabilidade de mancais eliacutepticos e destacam que os
mancais eliacutepticos satildeo adequados para rotores riacutegidos e moderadamente flexiacuteveis Neste trabalho
os autores aplicam a equaccedilatildeo de Reynolds a cada loacutebulo do mancal eliacuteptico e resolvem a
equaccedilatildeo separadamente por loacutebulo usando o meacutetodo de diferenccedilas finitas Os resultados satildeo
vaacutelidos para mancais alinhados onde o perfil de pressotildees eacute simeacutetrico Satildeo levados em
38
consideraccedilatildeo todos os coeficientes de forccedila dos mancais isto eacute os coeficientes de rigidez e de
amortecimento incluindo os coeficientes cruzados
Zhang et al (1999) analisam os efeitos da natildeo-linearidade das forccedilas do filme fluido na resposta
desbalanceada de um rotor de Jeffcott apoiado em mancais eliacutepticos Eacute destacado o caraacuteter natildeo-
linear das forccedilas do filme fluido Os autores comparam os resultados da resposta desbalanceada
gerada pela teoria linear e natildeo-linear para avaliar a aplicabilidade da teoria linear Observa-se a
grande influecircncia do desbalanceamento nos resultados comparados mostrando a importacircncia de
se considerar as natildeo-linearidades quando o desbalanceamento do sistema eacute elevado
Nas uacuteltimas deacutecadas tem-se publicado pouco sobre mancais eliacutepticos e os trabalhos recentes que
merecem destaque satildeo comentados a seguir
Shen et al(2006) apresentam um modelo raacutepido e preciso que calcula as forccedilas de um mancal
hidrodinacircmico usando o meacutetodo variacional O modelo analisa o comportamento dinacircmico natildeo-
linear de um rotor riacutegido apoiado em mancais eliacutepticos considerando tanto o rotor balanceado
como o natildeo-balanceado Os autores fazem uma revisatildeo histoacuterica dos trabalhos que investigam
este caraacuteter aperioacutedico e caoacutetico da vibraccedilatildeo em sistemas dinacircmicos de alta rotaccedilatildeo onde se
comenta ainda que os coeficientes dinacircmicos lineares trazem informaccedilotildees de estabilidade
vaacutelidas apenas para rotores balanceados Satildeo destacados os meacutetodos numeacutericos de elementos
finitos e de diferenccedilas finitas como os mais precisos mas ao mesmo tempo os que mais exigem
recursos computacionais e tempo de processamento Desta forma os autores propotildeem um novo
modelo numeacuterico para calcular as forccedilas do filme fluido para investigar a dinacircmica natildeo-linear
de um sistema rotor-mancal O mancal modelado eacute formado por dois loacutebulos de 150deg cada e
considera-se apenas o movimento radial do rotor O novo modelo proposto baseia-se na teoria
variacional (ROHDE e MALLISTER 1975) gerando um problema de minimizaccedilatildeo de energia
o que reduz o problema bidimensional para unidimensional reduzindo consideravelmente o
custo computacional Como as forccedilas do filme fluido satildeo calculadas para cada loacutebulo o meacutetodo
proposto eacute eficiente tanto para mancais ciliacutendricos quanto para mancais de vaacuterios loacutebulos
incluindo os mancais eliacutepticos O meacutetodo eacute vaacutelido natildeo apenas para mancais curtos e longos mas
tambeacutem para mancais finitos Satildeo apresentados resultados numeacutericos e graacuteficos que mostram
oacuterbitas ciclos limites diagramas de bifurcaccedilatildeo (HOLLIS e TAYLOR 1986) e mapas de
Poincareacute
39
Yan-Jun et al(2006) analisam o comportamento dinacircmico natildeo-linear de um rotor apoiado em
mancais hidrodinacircmicos finitos incluindo mancais eliacutepticos Para o caacutelculo dos coeficientes de
forccedila dos mancais usa-se o meacutetodo de elementos finitos com uma abordagem variacional que
permite reduzir o custo computacional e melhorar a exatidatildeo numeacuterica do meacutetodo segundo os
autores Satildeo considerados os efeitos natildeo-lineares das forccedilas produzidas pelo filme fluido e sua
influecircncia na natildeo-linearidade do movimento do sistema Aplica-se o meacutetodo de prediccedilatildeo e
correccedilatildeo juntamente com o meacutetodo de Newton-Raphson para se calcular a posiccedilatildeo de equiliacutebrio
e as velocidades criacuteticas A limitaccedilatildeo do modelo estaacute na consideraccedilatildeo de eixo riacutegido e sua
modelagem natildeo eacute detalhada pelos autores
Correia (2007) apresenta uma anaacutelise de desempenho de mancais hidrodinacircmicos eliacutepticos
usando o meacutetodo de elementos finitos Satildeo obtidos os coeficientes de rigidez e de
amortecimento para diversas condiccedilotildees de trabalho aleacutem de obter curvas de caracteriacutesticas de
desempenho estaacutetico e dinacircmico tais como capacidade de carga e coeficientes dinacircmicos de
forccedila em funccedilatildeo de paracircmetros operacionais e do nuacutemero de Sommerfeld O autor destaca que
para um nuacutemero de Sommerfeld alto os mancais ciliacutendricos satildeo inadequados
Raghunandana (2007) propotildee um meacutetodo inverso para se calcular os coeficientes de forccedila e de
amortecimento de mancais eliacutepticos a partir de um banco de dados gerado para uma certa razatildeo
de excentricidade e eacute feito um ajuste de curva para gerar uma funccedilatildeo contiacutenua destes dados Eacute
apresentada a equaccedilatildeo de Reynolds modificada (DIEN e ELROD 1983) que considera a
variaccedilatildeo da viscosidade do fluido em funccedilatildeo da pressatildeo isto eacute fluido natildeo-newtoniano A
equaccedilatildeo eacute adimensionalizada e resolvida numericamente usando o meacutetodo de diferenccedilas finitas
considerando o regime permanente e condiccedilotildees de contorno simplificadoras
40
3 METODOLOGIA
Nesse capiacutetulo eacute apresentada a metodologia adotada na implementaccedilatildeo do procedimento
computacional que permite obter os resultados do comportamento dinacircmico de sistemas rotor-
mancal hidrodinacircmico Inicialmente apresenta-se a formulaccedilatildeo por elementos finitos do eixo
rotativo utilizando-se a teoria de vigas de Timoshenko Em seguida eacute apresentada a descriccedilatildeo
do problema de mancal hidrodinacircmico radial eliacuteptico e as equaccedilotildees de lubrificaccedilatildeo da Teoria da
Lubrificaccedilatildeo que permitem obter a formulaccedilatildeo por elementos finitos dos coeficientes de forccedila
destes mancais Posteriormente eacute descrito o procedimento para se modelar o sistema rotor-
mancal hidrodinacircmico por elementos finitos obtendo-se a equaccedilatildeo do movimento Apresenta-se
o meacutetodo numeacuterico de integraccedilatildeo no tempo adotado para se obter a soluccedilatildeo numeacuterica da
equaccedilatildeo do movimento do sistema Finalmente eacute apresentado um diagrama descrevendo as
principais etapas do procedimento computacional completo
O modelo do sistema rotor-mancal eacute ilustrado esquematicamente na Figura 31 onde observa-se
um eixo circular flexiacutevel apoiado nas extremidades e com um disco massivo acoplado Os
apoios satildeo representados pelos coeficientes de rigidez K e de amortecimento C dos mancais
Figura 31 ndash Sistema rotor-mancal
Os modelos adotados para o rotor flexiacutevel e para os mancais hidrodinacircmicos ciliacutendricos e
41
eliacutepticos satildeo baseados em teorias que apresentam algumas hipoacuteteses simplificadoras Estas
hipoacuteteses satildeo listadas a seguir
i) Modelo do Eixo flexiacutevel
natildeo inclui efeitos de torccedilatildeo ou de amortecimento interno
considera o eixo homogecircneo isotroacutepico e inicialmente alinhado
carregamento transversal sem carga axial
desconsiderado o movimento axial das seccedilotildees transversais
ii) Modelo do disco massivo
considera o disco riacutegido e homogecircneo
a linha de centro do disco coincide com a linha de centro do eixo (condiccedilatildeo inicial)
iii) Modelo dos mancais hidrodinacircmicos
considera mancais de geometria fixa com perfil ciliacutendrico ou eliacuteptico
a linha de centro coincide com a linha de centro do eixo (condiccedilatildeo inicial)
Filme fluido
- escoamento em regime laminar bidimensional nas direccedilotildees axial e circunferencial
- fluido newtoniano isoteacutermico isoviscoso incompressiacutevel
- desconsiderada a ineacutercia do fluido
iv) Modelo do sistema rotor-mancal
Desconsiderados os efeitos de vibraccedilatildeo provocados por desalinhamento de montagem
folgas roccedilamento rompimento do filme fluido cavitaccedilatildeo
31 Modelagem do Rotor Flexiacutevel
O modelo do rotor flexiacutevel implementado neste trabalho adota o meacutetodo de elementos finitos
(MEF) atraveacutes de elementos de eixo (NELSON 1980) de Timoshenko Nelson (1980) utiliza a
teoria de vigas de Timoshenko para obter as equaccedilotildees de equiliacutebrio para um eixo circular
flexiacutevel suportado em apoios elaacutesticos considerando o efeito do cisalhamento momento
giroscoacutepico e ineacutercia rotatoacuteria Os detalhes sobre a teoria de vigas de Euler-Bernoulli Rayleigh
e Timoshenko satildeo apresentados no Anexo A O desenvolvimento da formulaccedilatildeo atraveacutes de
42
elementos finitos eacute apresentado a seguir e as matrizes de elementos finitos obtidas por esta
formulaccedilatildeo satildeo listadas no Anexo C Considere um elemento finito de comprimento l com oito
graus de liberdade (Figura 32)
Figura 32 ndash Representaccedilatildeo de um elemento finito do eixo
A variaacutevel q representa o vetor deslocamento generalizado onde q1 e q2 representam o
movimento de translaccedilatildeo de um noacute do elemento finito nas direccedilotildees dos eixos de coordenadas
retangulares enquanto q3 e q4 representam as rotaccedilotildees em torno dos eixos de coordenadas As
demais componentes satildeo anaacutelogas representando os mesmos movimentos para o noacute oposto
Para representar a translaccedilatildeo e a rotaccedilatildeo de uma seccedilatildeo qualquer do elemento definem-se (VW)
como o deslocamento linear do centro da seccedilatildeo do elemento onde satildeo incluiacutedas as contribuiccedilotildees
da flexatildeo (Vf Wf) e do cisalhamento (VcWc) Aplicam-se funccedilotildees de interpolaccedilatildeo claacutessicas para
vigas de Timoshenko na flexatildeo (ANEXO B)
onde
43
e as funccedilotildees de interpolaccedilatildeo i=1234 representam os modos de deslocamentos sendo
que cada funccedilatildeo estaacute associada ao deslocamento unitaacuterio de uma das coordenadas com todas as
demais coordenadas com deslocamento restringido a zero [D] e [E] representam as matrizes das
funccedilotildees de interpolaccedilatildeo de deslocamentos lineares e de deslocamentos angulares
respectivamente Para se considerar os efeitos de cisalhamento transversal considera-se o eixo
com seccedilatildeo transversal circular e o fator de forma do cisalhamento transversal meacutedio pode ser
determinado pela expressatildeo (COUPER 1966)
onde eacute o coeficiente de Poisson
Aplicando-se o Princiacutepio de Hamilton obteacutem-se as equaccedilotildees do movimento de um elemento
finito do eixo Fazendo-se a primeira variaccedilatildeo funcional
onde T V e representam respectivamente a energia cineacutetica a energia potencial elaacutestica e o
trabalho das forccedilas externas obeacutem-se a relaccedilatildeo
A energia cineacutetica do elemento considera as parcelas de translaccedilatildeo e de rotaccedilatildeo do movimento
onde l eacute o comprimento do elemento M representa a massa por unidade de comprimento Idm eacute o
momento diametral meacutedio de ineacutercia de massa por unidade de comprimento Ip eacute o momento
polar de ineacutercia por unidade de comprimento eacute a velocidade de rotaccedilatildeo do rotor
A energia de deformaccedilatildeo elaacutestica devido agrave flexatildeo e ao cisalhamento eacute descrita como
44
onde Vf e Wf satildeo as contribuiccedilotildees da flexatildeo no deslocamento linear do centro da seccedilatildeo
transversal do elemento Vc e Wc satildeo as contribuiccedilotildees do cisalhamento neste deslocamento Kx
e Ky satildeo os coeficientes de cisalhamento E e G satildeo os moacutedulos de elasticidade longitudinal e
transversal Iy e Iz satildeo os momentos de ineacutercia de aacuterea A eacute a aacuterea da seccedilatildeo transversal O sinal
de apoacutestrofo indica diferenciaccedilatildeo em relaccedilatildeo agrave posiccedilatildeo
As equaccedilotildees do movimento satildeo obtidas pelo Princiacutepio de Hamilton atraveacutes da relaccedilatildeo
onde
eacute o trabalho virtual das forccedilas externas e Fe eacute o vetor forccedila generalizada
Substituindo-se as funccedilotildees de interpolaccedilatildeo (ANEXO B) nas expressotildees da energia de
deformaccedilatildeo elaacutestica e de energia cineacutetica do elemento leva agraves matrizes de elementos finitos
(ANEXO C) Uma vez obtidas as matrizes do sistema a equaccedilatildeo do movimento obtida pela
aplicaccedilatildeo do Princiacutepio de Hamilton teraacute a forma
onde [Me] [N
e] [G
e] satildeo as matrizes locais da ineacutercia de translaccedilatildeo rotaccedilatildeo e de efeito
giroscoacutepico respectivamente Para o modelo do rotor flexiacutevel composto pelo eixo flexiacutevel e o
disco massivo riacutegido (Figura 31) basta usar as propriedades geomeacutetricas do disco nas matrizes
de ineacutercia [Me] e [N
e] e de efeito giroscoacutepico [G
e] no elemento correspondente agrave posiccedilatildeo do
disco no rotor
32 Modelagem do Mancal Radial Eliacuteptico
A Figura 33 apresenta de maneira esquemaacutetica um mancal hidrodinacircmico eliacuteptico e seus
paracircmetros geomeacutetricos
45
Figura 33 ndash Desenho esquemaacutetico do mancal eliacuteptico e seus paracircmetros geomeacutetricos
O munhatildeo eacute a parte rotativa do mancal normalmente corresponde ao proacuteprio eixo no trecho
apoiado no mancal O tamanho do mancal eacute definido pelo comprimento L e pelo diacircmetro D O
centro do munhatildeo estaacute na interseccedilatildeo das linhas traccedilo-ponto e o centro do mancal estaacute na
interseccedilatildeo das linhas pontilhadas A excentricidade do mancal eacute definida como a distacircncia entre
o centro do mancal e o centro do munhatildeo representada por e A folga radial do mancal definida
como a diferenccedila entre o raio do mancal e o raio do munhatildeo eacute representada por c (Figura 34) A
razatildeo de excentricidade eacute o adimensional definido como podendo variar de zero a um
O acircngulo de posiccedilatildeo do mancal pode ser calculado pela expressatildeo onde
Fy e Fx satildeo respectivamente as componentes vertical e horizontal da forccedila de reaccedilatildeo F do
mancal gerada pela accedilatildeo hidrodinacircmica do filme fluido O mancal radial de perfil eliacuteptico ou
―mancal eliacuteptico possui um perfil formado por dois arcos de circunferecircncia chamados de
loacutebulos que natildeo satildeo concecircntricos (Figura 34) Nesta figura o centro geomeacutetrico dos loacutebulos
(ponto OL) estaacute posicionado sobre o centro geomeacutetrico do eixo (ponto O) o que a difere
basicamente da Figura 33 onde o centro do eixo estaacute deslocado como ocorre quando o eixo
estaacute girando e se desloca para uma posiccedilatildeo de equiliacutebrio R representa o raio menor do mancal
Re representa o raio do munhatildeo ou raio do eixo RL representa o raio do loacutebulo do mancal ou
sejao raio de cada loacutebulo que compotildee o mancal eliacuteptico
A preacute-carga (Mp) do mancal eliacuteptico indica o grau de ―elipsidade do mancal e eacute dada pela
46
expressatildeo Mp=(Cb ndash c)c O caso particular onde Mp=0 representa o mancal ciliacutendrico
Figura 34 - Desenho esquemaacutetico do perfil de um mancal radial eliacuteptico
A Figura 35 mostra o campo de pressatildeo no mancal hidrodinacircmico ciliacutendrico girando no sentido
anti-horaacuterio Percebe-se que as maiores pressotildees satildeo formadas na regiatildeo inferior ligeiramente
deslocadas para a direita para sustentar a carga do eixo representada por W A distacircncia miacutenima
entre o eixo e o mancal eacute representada por ho
Figura 35 - Distribuiccedilatildeo da pressatildeo hidrodinacircmica no mancal ciliacutendrico (LANG e STEINHILPER 1978)
47
Na Figura 36 eacute representado o mesmo campo de pressatildeo poreacutem para o mancal de perfil
eliacuteptico Observa-se que haacute a formaccedilatildeo do campo de pressatildeo tambeacutem na metade superior do
mancal que embora tenha um valor relativamente pequeno se comparado com o campo gerado
na parte inferior ajuda no equiliacutebrio hidrodinacircmico (CORREIA 2007) A accedilatildeo dos dois campos
de pressatildeo dos mancais eliacutepticos aumenta a rigidez melhora o amortecimento e reduz o
aquecimento do lubrificante de maneira mais eficiente do que nos mancais ciliacutendricos
(SEHGAL 2010)
Figura 36 - Distribuiccedilatildeo da pressatildeo hidrodinacircmica no mancal eliacuteptico (Adaptado de CORREIA 2007)
321 Equaccedilotildees de Lubrificaccedilatildeo
A equaccedilatildeo claacutessica de Reynolds que descreve o escoamento de um filme fluido incompressiacutevel
isoteacutermico e isoviscoso pode ser escrita no sistema de coordenadas ciliacutendricas da seguinte forma
(HAMROCK 1994)
t
hh
R
U
z
ph
z
ph
R
LLLL )()(
2
1
12
sup3
12
sup3
sup2
1 (31)
onde
48
R = raio do eixo
p = pressatildeo hidrodinacircmica
= massa especiacutefica do lubrificante
h = espessura do filme fluido
= viscosidade absoluta do lubrificante
U = velocidade superficial do eixo (U = ωR)
O domiacutenio do escoamento do filme fluido eacute descrito por 0 le θ le 2π e -L2 le z le L2 A
distribuiccedilatildeo de pressatildeo hidrodinacircmica eacute perioacutedica ao longo da direccedilatildeo circunferencial p(θ z t)=
p(θ + 2π z t) As laterais do mancal estatildeo agrave pressatildeo atmosfeacuterica pa p(θ L2 t)=p(θ -L2t)= pa
A condiccedilatildeo de Meio Sommerfeld eacute utilizada no caacutelculo do campo de pressatildeo do mancal
ciliacutendrico (HAMROCK 1994) onde usa-se somente do intervalo de 0 le θ le π concentrando-se
a anaacutelise da pressatildeo na regiatildeo convergente ou seja natildeo considerando a aacuterea de cavitaccedilatildeo (ou
pressatildeo negativa) No mancal eliacuteptico eacute desconsiderada apenas a regiatildeo de cavitaccedilatildeo
A expressatildeo que representa a espessura do filme fluido ―h eacute dada pela equaccedilatildeo (32) onde c
representa a folga radial ex e ey representam as excentricidades do mancal e Mp a preacute-carga
senMpcsentetech yx )()()cos()( (32)
Para o caacutelculo dos coeficientes dinacircmicos de forccedila do mancal satildeo utilizadas as equaccedilotildees de
lubrificaccedilatildeo de ordem zero e de primeira ordem obtidas atraveacutes da anaacutelise de perturbaccedilatildeo do
sistema (LUND1987) A posiccedilatildeo de equiliacutebrio do eixo (00
yx ee ) eacute perturbada por movimentos
de pequena amplitude ( yx ee ) com uma frequecircncia de excitaccedilatildeo w (FARIA et al 2006)
Desta forma a espessura do filme eacute dada por
titi
yyxx ehehehehehh 00 )( = x y (33)
onde
0h = espessura do filme estacionaacuterio ou de ordem zero
49
xh = cos( )
yh = sen ( )
= x y
i = 1
Pequenas variaccedilotildees na espessura do filme causam alteraccedilotildees no campo de pressatildeo
hidrodinacircmica Este campo perturbado de pressatildeo hidrodinacircmica pode ser representado pela
equaccedilatildeo (34) se considerarmos uma anaacutelise linear de perturbaccedilatildeo
ti
o
ti
YYXXo epepe)pepe()t(p)t(p (34)
onde
0p = pressatildeo estacionaacuteria campo de pressatildeo de ordem zero
Xp e Yp = campo de pressatildeo de primeira ordem
Substituindo as equaccedilotildees (33) e (34) na equaccedilatildeo (31) obtecircm-se as equaccedilotildees de lubrificaccedilatildeo de
ordem zero e de primeira ordem conforme representado pelas equaccedilotildees (35) e (36)
respectivamente
)(
2
1
1212sup2
1 00
3
00
3
0 h
R
U
z
ph
z
ph
R
LLL (35)
hih
R
U
z
ph
z
phh
z
phphh
RL
LLLLL )(
2
1
1212
3
1212
3
sup2
13
00
2
0
3
00
2
0
(36)
A equaccedilatildeo (35) eacute a equaccedilatildeo claacutessica de Reynolds para regime estacionaacuterio Esta equaccedilatildeo
permite a determinaccedilatildeo do campo de pressatildeo hidrodinacircmica bidimensional no interior dos
mancais radiais lubrificados a oacuteleo Natildeo existe soluccedilatildeo analiacutetica em forma fechada para a grande
maioria dos mancais radiais de uso industrial Os coeficientes dinacircmicos dos mancais satildeo
50
obtidos atraveacutes da soluccedilatildeo das equaccedilotildees de lubrificaccedilatildeo de ordem zero e de primeira ordem via
procedimento de elementos finitos
322 Equaccedilotildees de Elementos Finitos para Mancais Eliacutepticos
As equaccedilotildees de lubrificaccedilatildeo de ordem zero e de primeira ordem podem ser escritas na forma de
balanccedilo de massa utilizando-se o conceito de fluxo maacutessico Dessa forma a equaccedilatildeo (35) pode
ser reescrita na seguinte forma
(37)
sendo que 00
3
0
212
1hR
ph
Rm L
L representa o fluxo maacutessico na direccedilatildeo circunferencial
e z
phm L
z0
3
0
12 o fluxo maacutessico na direccedilatildeo axial
A equaccedilatildeo (36) pode da mesma forma ser reescrita na forma de balanccedilo de fluxo na seguinte
maneira
himz
mR
m Lz111
1
(38)
sendo que os fluxos maacutessicos mostrados na equaccedilatildeo (38) podem ser expressos na seguinte
forma
hRph
R
phh
Rm L
LL
212
1
12
313
00
2
01 (39)
z
ph
z
phhm LL
z
1212
3 3
00
2
01
(310)
323 Discretizaccedilatildeo do campo de pressatildeo de ordem zero
Elementos isoparameacutetricos planos de quatro noacutes satildeo utilizados na discretizaccedilatildeo do domiacutenio do
filme fluido Funccedilotildees de interpolaccedilatildeo bilineares e
j j=1234 satildeo empregadas na descriccedilatildeo do
01
mm
zm
Rz
51
campo de pressatildeo hidrodinacircmica de ordem zero no domiacutenio e de um elemento finito A
Figura 37 ilustra de maneira esquemaacutetica os quatro noacutes no elemento finito usados na
discretizaccedilatildeo do domiacutenio do filme fluido onde a coordenada y representa a direccedilatildeo axial do
mancal e a coordenada indica a direccedilatildeo circunferencial
Figura 37 - Representaccedilatildeo esquemaacutetica dos noacutes no elemento finito
Os campos discretos de pressatildeo de ordem zero e de primeira ordem no domiacutenio e de um
elemento finito satildeo escritos na seguinte forma
e
i
e
i
e pp 00 i=1234 (311)
e
i
e
i
e pp i=1234 (σ = xy) (312)
Sobre um elemento finito do domiacutenio e o meacutetodo de Galerkin eacute utilizado para a obtenccedilatildeo da
equaccedilatildeo do campo de pressatildeo de ordem zero A equaccedilatildeo (37) eacute preacute-multiplicada pelas funccedilotildees
de interpolaccedilatildeo e
j e o produto eacute integrado sobre o domiacutenio e
e ee
ee
j
ee
j
ee
j dmdnmdm 0
(313)
onde n
representa o valor normal unitaacuterio direcionado para o lado de fora do contorno e do
52
elemento finito Pode-se escrever que
eR
ez
e
j
z
e
je
j
1 (314)
zz ememm
(315)
A segunda integral do lado direito da equaccedilatildeo (313) pode ser expandida na seguinte forma
ee
e
e
e
je
i
e
e
je
i
e
je
i
e
e
j
z
e
j
z
e
i
e
ie
i
e
i
dhpdzzR
h
deR
ez
epz
he
z
Rp
h
R
002
3
0
0
3
00
3
0
2
1
12
1
1212
1
(316)
Entatildeo a equaccedilatildeo (313) pode ser reescrita na forma a seguir
e ee
e
n
e
j
e
e
je
i
e
e
je
i
e
je
i dmdhpdzzR
h
2
1
12002
3
0 (317)
onde nm representa o fluxo de lubrificante cruzando a fronteira do elemento finito e
A equaccedilatildeo (317) pode ser representada por um sistema de equaccedilotildees algeacutebricas que representa a
forma estacionaacuteria da equaccedilatildeo de Reynolds para um elemento finito e
na seguinte forma
e
j
e
j
e
i
e
ji qfPK 0 (318)
onde a matriz fluiacutedica e
jiK pode ser obtida por meio de procedimento de integraccedilatildeo baseado no
meacutetodo da quadratura de Gauss (BATHE 1982) utilizando-se quatro pontos de integraccedilatildeo Essa
matriz eacute dada pela seguinte expressatildeo
53
e
e
je
i
e
je
ie
ji dzzR
hK
e sup2
1
12
3
0
O vetor de fluxo no domiacutenio de um elemento finito eacute determinado por
e
e
e
je
j dhf 02
O balanccedilo de fluxo atraveacutes do contorno do domiacutenio eacute dado por
e
e
n
e
j
e
j dmq
O contorno de um elemento finito qualquer eacute representado por e
e o fluxo de lubrificante de
ordem zero atraveacutes dessa fronteira por nm
324 Discretizaccedilatildeo do campo de pressatildeo de primeira ordem
O meacutetodo de Galerkin eacute empregado novamente para a obtenccedilatildeo da equaccedilatildeo de elementos finitos
para determinaccedilatildeo do campo de pressatildeo perturbada de primeira ordem A equaccedilatildeo (38) eacute preacute-
multiplicada pelas funccedilotildees de interpolaccedilatildeo e o produto eacute integrado sobre o domiacutenio e do
elemento finito produzindo a seguinte equaccedilatildeo integral
e e ee
ee
j
ee
j
ej
e
ee
j dhidmdnmdm
111 (319)
O segundo termo do lado direito da equaccedilatildeo (319) pode ser reescrito na forma seguinte
e
e e
e
e
je
i
e
je
i
e
jo
ejz
e
jee
j
dR
hRP
R
hp
R
hh
dz
mR
mdm
2sup2
1
12sup2
1
12
3
1
3
0
2
0
111
54
e
ee
i
e
je
i
e
jdP
zz
h
zz
phh
1212
3 3
00
2
0 (320)
A equaccedilatildeo (320) pode entatildeo ser reescrita na forma de um sistema de equaccedilotildees algeacutebricas na
seguinte maneira
ee
j
e
j
e
j
e
j
en
e
j
e
i
e
e
je
i
e
je
i
dhihzz
pp
R
hh
dmPdzzR
h
e
ee
2sup2
1
12
3
sup2
1
12
00
2
0
1
3
0
(321)
Para facilitar a representaccedilatildeo da equaccedilatildeo algeacutebrica (321) pode-se reescrevecirc-la na forma
matricial como segue
e
j
e
j
e
i
e
ji fqpK yx (322)
A matriz fluiacutedica de primeira ordem o balanccedilo do fluxo atraveacutes do contorno e o vetor de fluxo
no domiacutenio satildeo determinados respectivamente por
e
e
je
i
e
j
e
je
ji dzzR
hK
e sup2
1
12
3
0 (3221)
e
en
e
j
e
j dmq (3222)
e
ee
j
e
j
e
j
e
je
j dhihzz
pp
R
hhf
2sup2
1
12
3 00
2
0 (3223)
O fluxo de lubrificante de primeira ordem atraveacutes do contorno e de um elemento finito eacute
representado por nm
O sistema de equaccedilotildees algeacutebricas complexas dado pelas equaccedilotildees (322) permite determinar o
55
campo complexo de pressatildeo hidrodinacircmica de primeira ordem Os coeficientes do vetor
carregamento de primeira ordem e
jf dependem do campo de pressatildeo de ordem zero Por
conseguinte primeiro resolve-se o sistema de equaccedilotildees de ordem zero apresentada na equaccedilatildeo
(318) para a determinaccedilatildeo do campo de pressatildeo estacionaacuteria 0p Entatildeo determina-se o campo
de pressatildeo perturbada por meio do sistema de equaccedilotildees dado pelas equaccedilotildees (322)
As caracteriacutesticas estaacuteticas de desempenho de mancais tais como capacidade de carga torque de
atrito e vazatildeo de oacuteleo satildeo determinadas a partir da equaccedilatildeo de lubrificaccedilatildeo de ordem zero Jaacute as
caracteriacutesticas dinacircmicas de desempenho tais como os coeficientes de rigidez e de
amortecimento satildeo estimadas a partir da soluccedilatildeo da equaccedilatildeo de lubrificaccedilatildeo de primeira ordem
As equaccedilotildees de elementos finitos satildeo superpostas para todo o domiacutenio do filme fluido Ω
325 Determinaccedilatildeo dos Coeficientes de Forccedila dos Mancais Eliacutepticos
A soluccedilatildeo do sistema de equaccedilotildees algeacutebricas lineares eacute obtida por meio de um procedimento
baseado no meacutetodo da decomposiccedilatildeo LU (CHAPRA e CANALE 2002) Um programa
computacional foi desenvolvido especialmente para determinar a soluccedilatildeo das equaccedilotildees de ordem
zero e de primeira ordem utilizando o meacutetodo de elementos finitos (FARIA et al 2006) As
forccedilas de reaccedilatildeo do filme lubrificante podem entatildeo ser estimadas a partir da seguinte expressatildeo
na qual pa representa a pressatildeo atmosfeacuterica
L
aoodzdRh)pp(F
0
2
0
= XY (323)
A determinaccedilatildeo do campo perturbado ou de primeira ordem de pressatildeo
hidrodinacircmica para o mancal eacute realizada por meio do sistema de equaccedilotildees complexas de
primeira ordem obtido pela superposiccedilatildeo para todo o domiacutenio do fluido das equaccedilotildees dadas
pelas equaccedilotildees (322) A integraccedilatildeo do campo de pressatildeo de primeira ordem sobre o domiacutenio do
filme fluido leva agrave estimativa das impedacircncias complexas YXoZ Os coeficientes
linearizados de rigidez YXK e de amortecimento YXC associados agrave accedilatildeo
hidrodinacircmica do filme fluido podem ser calculados na seguinte forma
56
L
dzdRhpCiKZ0
2
0
YX (324)
ou
dzdRhphp
hphp
CC
CCi
KK
KK L
YYYX
XYXX
YYYX
XYXX
YYYX
XYXX
0
2
0
(325)
Estes coeficientes de forccedila [ K ] e [C ] correspondem agrave resistecircncia que o mancal oferece ao
deslocamento e agrave velocidade respectivamente Eles seratildeo sobrepostos agraves matrizes de elementos
finitos do eixo nas linhas e colunas correspondentes aos dois primeiros graus de liberdade que
satildeo translacionais
33 O Sistema Rotor-Mancal
O sistema rotor-mancal eacute composto por um eixo flexiacutevel um disco massivo e mancais Neste
trabalho o sistema foi modelado atraveacutes do meacutetodo de elementos finitos (MEF) como descrito a
seguir aplicando modelos distintos para o eixo flexiacutevel e para os mancais O disco massivo eacute
considerado riacutegido e portanto inserido no modelo do eixo simplesmente atraveacutes de suas
propriedades fiacutesicas (massa efeito giroscoacutepico e ineacutercia rotatoacuteria)
Para a modelagem do deslocamento lateral dos eixos flexiacuteveis satildeo utilizados elementos de eixo
com dois noacutes e com oito graus de liberdade A influecircncia dos mancais nos coeficientes de
rigidez e amortecimento do rotor tambeacutem eacute considerada na modelagem A equaccedilatildeo global do
movimento para o sistema rotor-mancal eacute descrita como
(326)
onde [M] representa a matriz global de ineacutercia translacional [N] eacute a matriz global de ineacutercia
rotatoacuteria [K] a matriz de rigidez do eixo e [C] a matriz generalizada de amortecimento que eacute
expressa como [G]]C[]C[ 1 onde [G] eacute a matriz de efeito giroscoacutepico do eixo Estas
matrizes satildeo apresentadas detalhadamente no Anexo C A matriz [C1] eacute a matriz global com os
coeficientes de amortecimento dos mancais lanccedilados nos devidos noacutes onde os mancais estatildeo
57
posicionados De maneira anaacuteloga os coeficientes de rigidez dos mancais satildeo somados agrave matriz
[K] e a massa desbalanceada eacute somada na matriz [M] Os vetores de aceleraccedilatildeo velocidade e
deslocamento satildeo dados respectivamente por UUU e Ω eacute a velocidade de rotaccedilatildeo do
eixo (rads)
Cada noacute possui 4 graus de liberdade onde o deslocamento do i-eacutesimo elemento eacute
representado pelo vetor Ui composto pelas seguintes componentes
i
i
i
i
i
x
y
U onde
xeixo do tornoem rotaccedilatildeo
y eixo do tornoem rotaccedilatildeo
verticaltodeslocamen
horizontal todeslocamen
i
i
i
i
x
y
A Figura 38 apresenta simbolicamente estes 4 graus de liberdade atraveacutes dos movimentos de
translaccedilatildeo (deslocamento) e de rotaccedilatildeo nos eixos xy
Figura 38 ndash Representaccedilatildeo dos 4 graus de liberdade
A excitaccedilatildeo devida agrave massa desbalanceada do rotor eacute representada pelo vetor R na Eq (326)
Um disco rotativo riacutegido desbalanceado eacute montado em uma posiccedilatildeo axial preacute-determinada do
eixo permitindo a aplicaccedilatildeo de carga Um fasor rotatoacuterio com amplitude de F0 = mdud Ωsup2
representa a carga da massa desbalanceada onde md eacute a massa desbalanceada (kg) e ud eacute a
excentricidade da massa desbalanceada (m)
As seccedilotildees a seguir apresentam as formulaccedilotildees que permitem obter as matrizes da equaccedilatildeo
(326) que posteriormente seraacute integrada numericamente pelo meacutetodo de Newmark (BATHE
1982)
58
34 Diagrama do Procedimento Computacional
O procedimento computacional proposto neste trabalho foi desenvolvido em ambiente Matlabreg
produzido pela The MathWorkscopy e suas principais etapas satildeo apresentadas na Figura 39
Figura 39 ndash Diagrama do procedimento computacional
Na etapa 1 satildeo registrados os paracircmetros fiacutesicos e geomeacutetricos do sistema aleacutem dos paracircmetros
dos meacutetodos numeacutericos (nuacutemero de noacutes da malha tempo de integraccedilatildeo incremento no tempo
rotaccedilatildeo etc)
Na etapa 2 satildeo calculadas as matrizes de elementos finitos do eixo usando-se os dados
4) Montagem das matrizes de
elementos finitos
dos mancais
3) Caacutelculo dos coeficientes de forccedila
dos mancais pelo MEF
2) Caacutelculo das
matrizes de
elementos
finitos do rotor
5) Superposiccedilatildeo das matrizes de elementos finitos
7) Integraccedilatildeo numeacuterica da equaccedilatildeo do movimento
6) Equaccedilatildeo do movimento
1) Entrada de Dados
9) Saiacuteda de resultados
8) Seleccedilatildeo dos dados de saiacuteda
59
registrados na etapa 1 atraveacutes das equaccedilotildees descritas no Anexo C Como o disco massivo eacute
considerado riacutegido e portanto soacute possui os elementos das matrizes de massa de ineacutercia e de
momento giroscoacutepico estas matrizes satildeo calculadas separadamente e sobrepostas com as do
eixo nos pontos onde o disco massivo estaacute posicionado O meacutetodo permite que o disco esteja
posicionado em qualquer noacute da malha do eixo
Na etapa 3 satildeo calculados os coeficientes de forccedila dos mancais baseando-se na sua posiccedilatildeo de
equiliacutebrio estaacutetico Esta posiccedilatildeo eacute encontrada pelo MEF implementado que calcula a forccedila
resultante da accedilatildeo hidrodinacircmica do filme-fluido para que ela seja igual agrave carga estaacutetica que o
rotor aplica em cada mancal Uma vez encontrado o ponto de equiliacutebrio estaacutetico satildeo calculados
os coeficientes de rigidez e de amortecimento dos mancais conforme Eq(325) Cabe ressaltar
que o caacutelculo destes coeficientes natildeo usa as teorias simplistas de mancais curtos ou longos e
nem faz simplificaccedilotildees quanto aos coeficientes cruzados
Na etapa 4 os resultados encontrados na etapa 3 satildeo registrados nas matrizes de elementos
finitos dos mancais que satildeo as matrizes de rigidez e de amortecimento
Em seguida na etapa 5 eacute feita a superposiccedilatildeo das matrizes de elementos finitos do rotor e dos
mancais com os resultados obtidos nas etapas 2 3 e 4 O meacutetodo permite que os mancais
estejam posicionados em qualquer noacute da malha do eixo Esta superposiccedilatildeo eacute feita apenas com as
linhas e colunas correspondentes aos deslocamentos translacionais ou seja natildeo satildeo
considerados efeitos de rigidez ou de amortecimento rotacionais no modelo dos mancais
hidrodinacircmicos
Uma vez montadas as matrizes segue-se para as etapas 6 e 7 onde a equaccedilatildeo do movimento eacute
estabelecida em formato matricial conforme Eq(326) e integrada numericamente pelo Meacutetodo
de Newmark descrito no Anexo D
Na etapa 8 satildeo registrados os dados que seratildeo usados para a anaacutelise do sistema Na verdade esta
etapa estaacute inserida no algoritmo de Newmark dentro das iteraccedilotildees no tempo para que sejam
registrados os dados de interesse a cada iteraccedilatildeo no tempo Os dados normalmente selecionados
satildeo extraiacutedos do vetor U (Eq326) que registra todos os deslocamentos laterais e rotaccedilotildees
dos pontos da malha do eixo ao longo do tempo
Finalmente na etapa 9 satildeo geradas as saiacutedas de resultados Dependendo do tipo de anaacutelise
desejada esta saiacuteda pode passar por outro caacutelculo numeacuterico como eacute feito no caso da geraccedilatildeo do
espectro de frequecircncia onde eacute usado o FFT (Fast Fourier Transform) Os resultados numeacutericos
60
satildeo exibidos na forma de arquivo de dados e tambeacutem na forma graacutefica atraveacutes de espectros de
frequecircncia formas de onda curvas de deflexatildeo curva de resposta desbalanceada ou atraveacutes de
uma animaccedilatildeo tridimensional exibindo a deflexatildeo do rotor ao longo do tempo
Cabe ressaltar que para o caacutelculo da resposta desbalanceada eacute necessaacuterio fazer a integraccedilatildeo no
tempo para vaacuterias rotaccedilotildees do eixo Assim para cada rotaccedilatildeo eacute registrada a maacutexima amplitude
de vibraccedilatildeo do eixo em um determinado ponto Normalmente eacute escolhido o elemento onde estaacute
um dos mancais para este ponto Em seguida eacute gerado o graacutefico da resposta desbalanceada que
permite identificar em qual rotaccedilatildeo o sistema apresentou a maacutexima amplitude quando excitado
pela forccedila de desbalanceamento Este eacute o conceito de velocidade criacutetica (VC)
61
4 RESULTADOS E ANAacuteLISE
Os resultados do procedimento computacional proposto satildeo validados com resultados
apresentados na literatura especializada e com dados experimentais Satildeo apresentados
inicialmente alguns exemplos de validaccedilatildeo seguindo-se para a anaacutelise dos coeficientes de forccedila
dos mancais eliacutepticos e da resposta desbalanceada do sistema rotor-mancal
41 Exemplos de validaccedilatildeo
A validaccedilatildeo do procedimento computacional eacute realizada atraveacutes de alguns exemplos
selecionados na literatura especializada apresentando modelos de rotores flexiacuteveis apoiados em
diferentes tipos de mancais Eacute incluiacuteda uma comparaccedilatildeo dos resultados numeacutericos com
resultados experimentais coletados em uma bancada de testes horizontal composta por um rotor
flexiacutevel apoiado em mancais hidrodinacircmicos
411 Rotor com disco em balanccedilo
Um exemplo de rotor flexiacutevel (SINOU 2005) eacute escolhido para validar os resultados do
procedimento computacional O rotor eacute composto por um eixo flexiacutevel dois mancais e um disco
massivo em balanccedilo (Figura 41)
Figura 41 ndash Desenho esquemaacutetico do rotor de Sinou (2005)
62
Tabela 41- Paracircmetros do rotor com disco em balanccedilo (SINOU 2005)
Eixo
Comprimento
Diacircmetro
Moacutedulo de Young
Massa especiacutefica
170m
40mm
200 GNm2
8000 kgm3
Disco
Massa
Diacircmetro
Espessura
20 kg
400 mm
20 mm
Mancais
Rigidez Translacional
Rigidez Rotacional
Amortecimento
Kxx = 378 MNm
Kxy = 0 MNm
Kyx = 0 MNm
Kyy = 378 MNm
Kff= 80x104
Nmrad
KQQ = 80x104
Nmrad
Cxx = 0 Nsm
Cxy = 0 Nsm
Cyx = 0 Nsm
Cyy = 0 Nsm
Satildeo calculadas a primeira frequecircncia natural (FN1) e a segunda frequecircncia natural (FN2) para o
rotor de Sinou (2005) aplicando-se o procedimento computacional proposto para se avaliar a
influecircncia do tamanho da malha de elementos finitos no caacutelculo destas frequecircncias naturais Os
valores obtidos para FN1 e FN2 com diferentes malhas satildeo mostrados na Figura 42
Figura 42 ndash Curvas da primeira e segunda frequecircncias naturais (FN1 FN2) versus o nuacutemero de
elementos finitos da malha para o rotor de Sinou (2005) a 10rpm
Constata-se que a variaccedilatildeo dos valores de FN1 e de FN2 fica abaixo de 2 para uma malha de
80 elementos Assim adota-se uma malha de 80 elementos finitos para este exemplo
63
A integraccedilatildeo das equaccedilotildees do movimento eacute feita pelo meacutetodo de Newmark (ANEXO D) Nesta
implementaccedilatildeo satildeo adotados os paracircmetros que garantem a convergecircncia do meacutetodo conforme
descrito no Anexo D Poreacutem eacute importante considerar que agrave medida que se reduz o incremento
no tempo usado na integraccedilatildeo numeacuterica mais exatos satildeo os resultados por se tornarem mais
convergentes Assim apresenta-se na Figura 43 a anaacutelise desta convergecircncia em funccedilatildeo do
incremento no tempo A curva contiacutenua representa a primeira velocidade criacutetica progressiva
(FWD1) e a curva tracejada representa a primeira velocidade criacutetica regressiva (BKWD1)
Observa-se que as velocidades criacuteticas convergem suficientemente para um incremento no
tempo de aproximadamente 50x10-4
s onde a variaccedilatildeo relativa eacute menor que 1 Este valor eacute
adotado nos demais resultados calculados para este exemplo
Figura 43 ndash Primeira velocidade criacutetica progressiva (FWD1)
e regressiva (BKWD1) versus incremento no tempo
A Figura 44 apresenta o espectro de frequecircncia obtido pelo MEF com o rotor a 10 rpm Na
Tabela 42 satildeo comparados os valores da primeira e segunda frequecircncias naturais (FN1 e FN2)
calculadas por Sinou (2005) com os valores obtidos pelo MEF aqui proposto e observa-se que
o desvio maacuteximo eacute menor que 3 Os valores apresentados por Sinou(2005) foram obtidos
usando uma malha de 184 elementos de viga de Timoshenko
64
Figura 44 ndash Espectro de frequecircncia obtido pelo MEF para o rotor de Sinou(2005) a 10 rpm
Tabela 42- Valores comparativos da primeira frequecircncia natural para o rotor de Sinou(2005) a 10 rpm
Sinou(2005) MEF Erro
relativo ()
FN 1 2430 rpm 2495 rpm 27
FN 2 3840 rpm 3780 rpm -16
As frequecircncias naturais do rotor em balanccedilo satildeo calculadas pelo MEF proposto tambeacutem para
outros valores de rotaccedilatildeo Na Figura 45 eacute ilustrado o diagrama de Campbell obtido pelo MEF e
comparado com os valores apresentados por Sinou (2005)
Figura 45 ndash Diagrama de Campbell para o rotor em balanccedilo analisado por Sinou(2005)
65
O efeito giroscoacutepico faz com que fiquem niacutetidas as frequecircncias de precessatildeo regressiva
(backward) e progressiva (forward) Estas frequecircncias satildeo representadas na Figura 45 seguidas
das siglas ―BKWD e ―FWD respectivamente A linha cheia e a traccedilo-ponto representam os
resultados obtidos pelo MEF proposto neste trabalho enquanto os pontos identificados por
marcadores satildeo os resultados apresentados por Sinou(2005) A linha tracejada representa as
frequecircncias siacutencronas (syncr) que permitem identificar as velocidades criacuteticas na sua interseccedilatildeo
com as curvas das frequecircncias naturais As duas primeiras velocidades criacuteticas foram obtidas
atraveacutes do graacutefico e comparadas na Tabela 43 com aquelas calculadas por Sinou(2005)
Observa-se um erro relativo menor que 5 nesta comparaccedilatildeo feita para fins de validaccedilatildeo
Tabela 43- Comparaccedilatildeo da primeira velocidade criacutetica
Sinou(2005) MEF Erro
relativo()
BKWD 2225 rpm 2210 rpm -1
FWD 2580 rpm 2680 rpm 4
As diferenccedilas entre os resultados do MEF proposto para os resultados numeacutericos de Sinou se
devem principalmente ao nuacutemero de elementos finitos usados O modelo de Sinou usa 184
elementos enquanto neste trabalho foram adotados 80 elementos Outros erros relativos podem
ter sido causados por pequenas diferenccedilas geomeacutetricas entre os dois modelos em funccedilatildeo de
alguma informaccedilatildeo que natildeo tenha sido detalhada no trabalho de Sinou
Cabe ressaltar que este exemplo de validaccedilatildeo se aplica ao MEF do rotor e ao procedimento de
superposiccedilatildeo dos coeficientes de forccedila dos mancais Poreacutem o modelo de Sinou usa apenas dois
coeficientes de forccedila nos apoios (rigidez agrave rotaccedilatildeo) e natildeo considera mancais hidrodinacircmicos
Para a validaccedilatildeo dos modelos de mancais seratildeo apresentados outros exemplos
412 Rotor apoiado nas extremidades com disco no centro
Um segundo exemplo de validaccedilatildeo eacute selecionado atraveacutes do modelo de rotor (HONG e PARK
1999) composto por um eixo com dois diacircmetros diferentes como mostrado na Figura 46 Na
primeira metade o eixo tem 25cm de diacircmetro e na outra metade tem 40cm de diacircmetro
66
Figura 46 ndash Desenho esquemaacutetico do rotor de Hong e Park(1999)
O eixo eacute apoiado pelas extremidades por mancais idecircnticos e no centro do eixo haacute um disco
massivo Os paracircmetros do modelo satildeo apresentados na Tabela 44
Tabela 44- Paracircmetros do rotor de Hong e Park(1999)
Eixo
Comprimento
Diacircmetro (trecho 1)
Diacircmetro (trecho 2)
Moacutedulo de Young
Massa especiacutefica
120m
25cm
40cm
200 GNm2
8000 kgm3
Disco
Massa
Momento polar de ineacutercia
Momento diametral de ineacutercia
20 kg
0163 kgm2
0085 kgm2
Mancais
Rigidez
Amortecimento
Kxx = 20 MNm
Kxy = -15 MNm
Kyx = -15 MNm
Kyy = 25 MNm
Cxx = 60 Nsm
Cxy = 0 Nsm
Cyx = 0 Nsm
Cyy = 70 Nsm
Eacute feita uma comparaccedilatildeo entre as frequecircncias naturais e tambeacutem apresentada uma anaacutelise da
forma de onda obtida pela integraccedilatildeo numeacuterica que permite observar o fenocircmeno de batimento
Satildeo apresentados os conceitos baacutesicos do fenocircmeno e feita a comparaccedilatildeo entre as frequecircncias
naturais obtidas atraveacutes do espectro de frequecircncia e a frequecircncia de batimento observada na
forma de onda
Inicialmente satildeo validadas as frequecircncias naturais atraveacutes da observaccedilatildeo dos picos no espectro
como pode ser visto na Figura 47 Satildeo destacados os dois picos (808 rpm 848 rpm) relativos agrave
primeira frequecircncia natural regressiva (backward) e progressiva (forward) respectivamente
com o rotor operando a 6000rpm
67
Figura 47 ndash Espectro de frequecircncia obtido para o rotor de Hong e Park (1999) operando a 6000rpm
Os resultados numeacutericos obtidos pelo MEF satildeo comparados com os da literatura (HONG e
PARK 1999) na Tabela 45 onde pode-se observar um erro relativo maacuteximo de 2
Tabela 45- Comparaccedilatildeo da primeira frequecircncia natural progressiva e regressiva para
o rotor de Hong e Park (1999)
Hong e Park
(1999)
MEF Erro
relativo ()
Backward (regressiva) 804 rpm 808 rpm 05
Forward (progressiva) 865 rpm 848 rpm -20
Em seguida eacute feita a anaacutelise da forma de onda obtida apoacutes a integraccedilatildeo no tempo da equaccedilatildeo do
movimento pelo Meacutetodo de Newmark Observa-se pela forma de onda (Figura 48) que existe
um padratildeo de flutuaccedilatildeo do sinal destacado pela linha tracejada e pelo sombreamento Este
padratildeo de flutuaccedilatildeo eacute semelhante ao fenocircmeno de batimento da teoria de interferecircncia de ondas
que ocorre quando haacute duas frequecircncias de vibraccedilatildeo proacuteximas O fenocircmeno natildeo foi investigado
profundamente neste trabalho mas eacute destacado como um exemplo de validaccedilatildeo onde foi
possiacutevel encontrar frequecircncias naturais bem proacuteximas agraves apresentadas na literatura (HONG e
68
PARK 1999) e ainda estabelecer uma relaccedilatildeo entre o padratildeo de flutuaccedilatildeo da forma de onda
com as frequecircncias registradas no espectro
Figura 48 ndash Forma de onda obtida para o rotor de Hong e Park (1999)
Uma vez identificado um ciclo completo do padratildeo de flutuaccedilatildeo destacado na Figura 48 pela
linha tracejada eacute possiacutevel obter os instantes de tempo inicial e final deste ciclo 275s e 570s
respectivamente Este intervalo corresponde a um periacuteodo de 295s que equivale a uma
frequecircncia de 0339Hz = 203rpm
Este padratildeo de flutuaccedilatildeo pode ser explicado pelo fenocircmeno de batimento que estabelece que
quando duas ondas com frequecircncias muito proacuteximas (w1 w2) interferem uma na outra
flutuaccedilotildees de batimento satildeo percebidas na forma de onda e a frequecircncia de batimento (wb) eacute
dada por
Observando-se novamente o espectro de frequecircncia na Figura 47 pode-se calcular a frequecircncia
de batimento (wb) esperada para este sistema atraveacutes das frequecircncia natural regressiva
(backward) e progressiva (forward)
69
Portanto confirma-se que o padratildeo de flutuaccedilatildeo observado na forma de onda pode ser associado
ao fenocircmeno de batimento causado pelas duas frequecircncias naturais proacuteximas identificadas no
espectro Estes dois resultados satildeo apresentados na Tabela 46
Tabela 46- Comparaccedilatildeo das Frequecircncias de Batimento para o rotor de Hong e Park(1999)
Frequecircncia obtida
pela forma de onda
Frequecircncia obtida
pelo espectro
203 rpm 200 rpm
Este fenocircmeno de batimento eacute tambeacutem observado quando o rotor opera em uma rotaccedilatildeo proacutexima
de uma frequecircncia natural De maneira semelhante se for observado o padratildeo de flutuaccedilatildeo na
forma de onda que varia com a rotaccedilatildeo do rotor eacute possiacutevel inferir que o rotor estaacute se
aproximando ou se afastando de uma frequecircncia natural O fenocircmeno de batimento no sistema
rotor-mancal merece uma investigaccedilatildeo mais profunda que natildeo estaacute no escopo do presente
trabalho
413 Rotor de uma bancada de testes
Um terceiro exemplo de validaccedilatildeo consiste na comparaccedilatildeo das frequecircncias naturais estimadas
pelo MEF com os valores experimentais coletados em uma bancada de testes montada no Grupo
de Dinacircmica de Rotores da UFMG cujos dados podem ser encontrados em Machado (2006) e
Miranda et al (2005) O rotor eacute composto por um eixo ciliacutendrico horizontal apoiado em mancais
hidrodinacircmicos e com um disco ciliacutendrico desbalanceado montado no eixo como ilustrado
esquematicamente na Figura 49 com medidas em miliacutemetros
Figura 49 ndash Desenho esquemaacutetico do rotor da bancada de testes
O disco possui furos rosqueados ao longo de sua periferia que permitem incluir pequenas massas
70
que provocam o desbalanceamento no sistema O rotor eacute acionado por um sistema de polias e
correia e um motor eleacutetrico controlado por um inversor de frequecircncia A Tabela 47 apresenta os
paracircmetros do rotor da bancada de testes
Tabela 47ndash Paracircmetros do rotor da bancada de testes
Paracircmetro Descriccedilatildeo Valor Unidade
Leixo comprimento do eixo 030 m
D diacircmetro do eixo 0015 m
L comprimento dos mancais 0012 m
c folga do mancal 345 x 10-6
m viscosidade do lubrificante 25 x 10
-3 Pamiddots
massa especiacutefica do lubrificante 892 kgmsup3
E moacutedulo de elasticidade do eixo 200 x 109 Pa
coeficiente de Poisson do eixo 03 -
massa especiacutefica do eixo 7870 kgmsup3
Esta anaacutelise tem como objetivo validar os modelos de elementos finitos propostos para o eixo
flexiacutevel e para os mancais hidrodinacircmicos atraveacutes de resultados experimentais A anaacutelise da
convergecircncia da malha de elementos finitos para o modelo do eixo eacute realizada de maneira
semelhante agrave apresentada na Figura 42 obtendo-se tambeacutem um nuacutemero de 80 elementos para
este exemplo
Um procedimento de anaacutelise de sensibilidade de malha eacute tambeacutem utilizado para avaliar a
dependecircncia dos paracircmetros de desempenho do mancal em funccedilatildeo do tamanho da malha Neste
procedimento a razatildeo entre o nuacutemero de elementos finitos nas direccedilotildees circunferencial e axial eacute
mantida constante Esta razatildeo depende da razatildeo de esbeltez do mancal (LD) e deve ser mantida
para se garantir a variaccedilatildeo uniforme do tamanho da malha Assim para uma razatildeo LD de 08
como no exemplo analisado a relaccedilatildeo entre o nuacutemero de noacutes circunferenciais e o nuacutemero de noacutes
axiais deve ser 480 Estabelecidos estes paracircmetros satildeo gerados os coeficientes de forccedila
para a rotaccedilatildeo de 3200rpm no ponto de equiliacutebrio estaacutetico do mancal usando-se inicialmente
uma malha bem refinada (1660 elementos) conforme mostrado na uacuteltima linha da Tabela 48
Satildeo entatildeo reduzidos os nuacutemeros de elementos da malha e registrados os erros relativos obtidos
na forccedila de reaccedilatildeo do mancal (Fx) e no coeficiente de rigidez cruzada (Kxy) Para fins de
comparaccedilatildeo os erros relativos satildeo calculados em moacutedulo conforme mostrado na Figura 410
71
Tabela 48ndash Resultados da anaacutelise da sensibilidade da malha dos mancais
Noacutes circunferenciais
Noacutes axiais Elementos
Kxy
(MNm) Fx (N)
Desvio
Kxy Desvio
Fx
20 5 76 3926 5752 48 475
36 9 280 4122 6039 06 058
44 11 430 4146 6074 03 030
52 13 612 4158 6092 02 020
60 15 826 4166 6104 01 011
68 17 1072 4171 6111 01 008
76 19 1350 4174 6116 01 007
84 21 1660 4177 6120
Figura 410 ndash Sensibilidade da malha de elementos finitos do mancal ciliacutendrico no caacutelculo dos
paracircmetros de desempenho Fx e Kxy
Pela anaacutelise de sensibilidade realizada neste terceiro exemplo constata-se que 280 elementos
finitos na malha do filme fluido satildeo suficientes para a obtenccedilatildeo de resultados confiaacuteveis com
menos de 1 de erro relativo conforme Tabela 48
Uma vez definidas as malhas de elementos finitos satildeo realizadas as simulaccedilotildees e a integraccedilatildeo
numeacuterica no tempo Com os resultados da integraccedilatildeo satildeo gerados os espectros de frequecircncia
numeacutericos Os espectros de frequecircncia experimentais satildeo obtidos em diferentes velocidades de
rotaccedilatildeo do eixo atraveacutes de testes de batida (bump test) Satildeo afixados acelerocircmetros no topo dos
mancais e gerados os espectros de frequecircncia Na Figura 411 observa-se o espectro de
72
frequecircncia gerado a partir do teste de batida coletado no mancal 1 A amplitude indicada
representa o valor RMS da aceleraccedilatildeo Observam-se dois picos em frequecircncias de
aproximadamente 83 Hz (4980 rpm) e 110 Hz (6600 rpm) que correspondem agraves frequecircncias
naturais do sistema
Figura 411 ndash Espectro de frequecircncia experimental ndash teste de batida
Para se obter estas frequecircncias naturais pelo meacutetodo de elementos finitos proposto satildeo
realizadas duas simulaccedilotildees Uma com o rotor operando a 750rpm (Figura 412) e outra a
3200rpm (Figura 413)
Figura 412 ndash Espectro de frequecircncia obtido pelo MEF para rotaccedilatildeo de 750 rpm
Observa-se na Figura 412 o pico de 750rpm relativo agrave excitaccedilatildeo harmocircnica da massa
desbalanceada e um pico a aproximadamente 4950 rpm (825 Hz) que corresponde agravequele
73
identificado no espectro obtido experimentalmente no teste de batida
Na Figura 413 eacute niacutetido o pico a 6650rpm (111Hz) tambeacutem presente no espectro do resultado
experimental O pico de 3200 da Figura 413 eacute da excitaccedilatildeo harmocircnica
Figura 413 ndash Espectro de frequecircncia obtido pelo MEF para rotaccedilatildeo de 3200 rpm
A Tabela 49 apresenta a comparaccedilatildeo entre estes valores onde observa-se um erro relativo de
aproximadamente 1 dos dados numeacutericos em relaccedilatildeo aos dados experimentais
Tabela 49ndash Valores comparativos de frequecircncias naturais obtidas pelo MEF e experimentalmente
pelo teste de batida (bump test)
Experimental MEF Erro relativo
4980 rpm 4950 rpm -1
6600 rpm 6650rpm 08
Esta faixa de erro estaacute abaixo da resoluccedilatildeo dos graacuteficos e existem outros erros associados aos
dados apresentados devido agraves incertezas geomeacutetricas do rotor da bancada de testes
Uma segunda mediccedilatildeo experimental eacute realizada para este mesmo sistema fixando-se a rotaccedilatildeo
do eixo em 8900rpm Os resultados experimentais e numeacutericos da vibraccedilatildeo do mancal 2 satildeo
processados e gerados os espectros de frequecircncia a seguir A Figura 414 apresenta o espectro de
frequecircncia experimental para rotaccedilatildeo de 8900 rpm onde satildeo destacadas algumas frequecircncias
naturais excitadas a esta rotaccedilatildeo
74
Figura 414 ndash Espectro de frequecircncia experimental para o rotor da bancada operando a 8900rpm
A Figura 415 apresenta o espectro de frequecircncia numeacuterico para rotaccedilatildeo de 8900 rpm onde satildeo
destacados alguns dos picos que correspondem agraves mesmas frequecircncias naturais observadas no
resultado experimental A amplitude exibida no graacutefico estaacute na forma adimensional que eacute a
razatildeo entre a amplitude de deslocamento dividida pela folga do mancal
Figura 415 ndash Espectro de frequecircncia obtido pelo MEF para o rotor da bancada operando a 8900rpm
A comparaccedilatildeo entre estas frequecircncias eacute apresentada na Tabela 410 onde se observa um erro
relativo de menos de 3 para as prediccedilotildees das frequecircncias naturais em relaccedilatildeo aos valores
75
experimentais Nem todas as frequecircncias apresentadas no espectro experimental satildeo observadas
no resultado numeacuterico em funccedilatildeo do modelo computacional natildeo considerar alguns efeitos tais
como desalinhamento incertezas geomeacutetricas dos mancais ruiacutedos provenientes do motor
eleacutetrico e outros O pico de 17800rpm da Figura 414 por exemplo representa o segundo
harmocircnico da frequecircncia de rotaccedilatildeo do rotor que corresponde ao sinal de desalinhamento
paralelo (BERRY 1994)
Tabela 410ndash Valores comparativos de frequecircncias naturais obtidas pelo MEF e experimentalmente
para o rotor da bancada operando a 8900rpm
Experimental MEF Erro relativo
8890 rpm 8850 rpm -05
26800 rpm 26200 rpm -22
45600 rpm 44400 rpm -26
414 Segundo rotor de uma bancada de testes
Um quarto exemplo de validaccedilatildeo eacute selecionado (MACHADO 2006) para avaliar o
procedimento computacional implementado neste trabalho O rotor eacute semelhante ao anterior
ilustrado na Figura 49 poreacutem os mancais satildeo diferentes Satildeo mancais hidrodinacircmicos
ciliacutendricos cujas caracteriacutesticas satildeo apresentadas na Tabela 411
Tabela 411ndash Paracircmetros do rotor da bancada de testes ndash exemplo 2
Paracircmetro Descriccedilatildeo Valor Unidade
Leixo comprimento do eixo 030 m
D diacircmetro do eixo 0015 m
L comprimento dos mancais 0012 m
d diacircmetro do mancal 0015 m
c folga do mancal 24 x 10-6
m viscosidade do lubrificante 25 x 10
-3 Pamiddots
massa especiacutefica do lubrificante 892 kgmsup3
E moacutedulo de elasticidade do eixo 200 x 109 Pa
coeficiente de Poisson do eixo 03 -
massa especiacutefica do eixo 7870 kgmsup3
No espectro de frequecircncia computacional apresentado na Figura 416 satildeo destacadas as
frequecircncias naturais excitadas quando o rotor opera a 3200rpm
76
Figura 416 ndash Espectro de frequecircncia obtido pelo MEF para o rotor do exemplo 4 operando a 3200rpm
Estas frequecircncias satildeo comparadas com os valores obtidos experimentalmente para o rotor
descrito por Machado (2006) exibidas na Figura 417
Figura 417 ndash Espectro de frequecircncia experimental para o rotor de Machado(2006)
A comparaccedilatildeo das frequecircncias naturais dos resultados numeacutericos e experimentais eacute apresentada
na Tabela 412 onde observa-se que os resultados numeacutericos desviam menos de 2 dos
experimentais A uacutenica exceccedilatildeo eacute a frequecircncia de 9480 rpm do espectro experimental cujo erro
77
relativo foi de 37 no resultado numeacuterico Esta frequecircncia eacute de aproximadamente trecircs vezes a
frequecircncia de rotaccedilatildeo do eixo (3200rpm) o que significa um sinal de desalinhamento do rotor
conforme previsto na literatura (BERRY 1994)
Tabela 412ndash Valores comparativos das frequecircncias naturais obtidas
experimentalmente por Machado(2006) e pelo MEF
Experimental (rpm)
MEF (rpm)
erro relativo
3240 3194 -14
6360 6376 03
9480 9834 37
12960 12789 -13
18960 19190 12
25560 25591 01
28440 28823 13
32280 31992 -09
34800 35220 12
38520 38395 -03
41760 41615 -03
44100 44790 16
42 Anaacutelise dos coeficientes de forccedila dos mancais eliacutepticos
A anaacutelise dos coeficientes de forccedila eacute realizada aplicando-se o MEF a um exemplo de mancal
eliacuteptico extraiacutedo de Correia(2007) com o objetivo de identificar uma relaccedilatildeo entre os
coeficientes de forccedila e os paracircmetros construtivos do mancal folga radial (c) razatildeo de esbeltez
(LD) e preacute-carga (Mp) Este resultado permite observar se a relaccedilatildeo identificada se manteacutem
para diversas condiccedilotildees operacionais Os paracircmetros do mancal eliacuteptico selecionado satildeo
apresentados na Tabela 413
Tabela 413ndash Paracircmetros do mancal eliacuteptico selecionado
Paracircmetro Descriccedilatildeo Valor Unidade
L comprimento do mancal 0075 m
D diacircmetro do mancal 010 m
c1 folga do mancal (variaacutevel) viscosidade do lubrificante 84 x 10
-3 Pamiddots
massa especiacutefica do lubrificante 892 kgmsup3
rotaccedilatildeo 8800 rpm
Mp preacute-carga 045
W carga estaacutetica 1000 N
Para a anaacutelise de sensibilidade de malha do mancal selecionado adota-se uma folga radial de
75 m conforme Correia(2007) Esta anaacutelise permite avaliar a dependecircncia dos paracircmetros de
78
desempenho do mancal em funccedilatildeo do tamanho da malha A razatildeo entre o nuacutemero de elementos
finitos nas direccedilotildees circunferencial e axial eacute mantida constante dada pela relaccedilatildeo 4 Satildeo
apresentados na Figura 418 os desvios da forccedila de reaccedilatildeo do mancal (Fx) e do coeficiente de
rigidez cruzada (Kxy) obtidos para diferentes nuacutemeros de elementos da malha Para fins de
comparaccedilatildeo os desvios satildeo calculados em moacutedulo Pela anaacutelise de sensibilidade realizada
constata-se que aproximadamente 200 elementos finitos na malha do filme fluido satildeo suficientes
para a obtenccedilatildeo de resultados confiaacuteveis com menos de 1 de erro relativo
Figura 418 ndash Sensibilidade da malha de elementos finitos do mancal eliacuteptico no caacutelculo dos
paracircmetros de desempenho Fx e Kxy
421 Coeficientes de forccedila em funccedilatildeo da folga radial dos mancais eliacutepticos
Satildeo analisados nesta seccedilatildeo os resultados obtidos pelo MEF para o caacutelculo dos coeficientes de
rigidez direta adimensionais kxx e kyy dos mancais eliacutepticos para diferentes valores de folga
radial A adimensionalizaccedilatildeo dos coeficientes de rigidez direta eacute realizada pela relaccedilatildeo
(CORREIA2007)
kxx = c Kxx W
onde Kxx eacute o coeficiente de rigidez direta dimensional c eacute a folga radial do mancal e W eacute a
carga estaacutetica no mancal Para kyy a adimensionalizaccedilatildeo eacute anaacuteloga
Quando o mancal hidrodinacircmico opera ocorre um deslocamento da linha de centro do munhatildeo
79
(eixo do rotor) em relaccedilatildeo agrave linha de centro do mancal como ilustrado na Figura 419Figura 33
Este deslocamento eacute definido como a excentricidade e e o acircngulo eacute definido como acircngulo de
posiccedilatildeo A excentricidade adimensional eacute definida pela expressatildeo onde c eacute a folga
radial maacutexima do mancal Para cada condiccedilatildeo operacional o munhatildeo tende a se deslocar ateacute um
ponto de equiliacutebrio onde as forccedilas da accedilatildeo hidrodinacircmica do filme fluido entre em equiliacutebrio
com as forccedilas atuantes do rotor sobre o mancal Este ponto eacute definido como o ponto de
equiliacutebrio estaacutetico o
Figura 419 - Posicionamento do eixo dentro do mancal e excentricidade
O ponto de equiliacutebrio estaacutetico ( o) eacute influenciado por vaacuterios paracircmetros do mancal em especial
pela folga radial do mancal Para os mancais eliacutepticos analisados observa-se uma variaccedilatildeo de o
em funccedilatildeo da folga radial conforme mostrado na Figura 420
Figura 420 ndash Excentricidade adimensional do ponto de equiliacutebrio estaacutetico dos mancais
eliacutepticos em funccedilatildeo da folga radial
80
A Figura 421 apresenta os valores do coeficiente de rigidez direta adimensional dos mancais
eliacutepticos em funccedilatildeo da folga radial Eacute observado que estes coeficientes apresentam uma
variaccedilatildeo muito pequena para valores de o entre zero e 03 Estes valores correspondem a folgas
radiais entre zero a 150 m respectivamente Para destacar esta faixa eacute apresentada na Figura
421 uma linha pontilhada vertical onde se observa que os valores calculados para os
coeficientes kxx e kyy variam menos de 1 e fora desta faixa os coeficientes variam
consideravelmente Satildeo exibidas no graacutefico duas linhas tracejadas horizontais como referecircncia
para facilitar a observaccedilatildeo do alinhamento dos pontos
Figura 421 ndash Coeficientes de rigidez direta adimensionais em funccedilatildeo da folga radial dos mancais eliacutepticos
A adimensionalizaccedilatildeo do coeficiente de rigidez cruzada Kxy eacute realizada de maneira semelhante agrave
dos coeficientes de rigidez direta (CORREIA 2007) Poreacutem observa-se que os coeficientes kxy e
a folga radial tecircm uma relaccedilatildeo de proporcionalidade inversa para uma certa faixa operacional
descrita a seguir Desta forma o produto entre eles deve ser constante nesta faixa Sugere-se
assim um novo adimensional o ―coeficiente de rigidez cruzada adimensional modificado
definido por
onde Kxy eacute o coeficiente de rigidez cruzada dimensional c eacute a folga radial do mancal W eacute a
carga estaacutetica no mancal eacute a excentricidade adimensional no ponto de equiliacutebrio estaacutetico kxy
eacute o coeficiente de rigidez cruzada adimensional
81
A Figura 422 apresenta os resultados obtidos pelo MEF para o caacutelculo do coeficiente de rigidez
cruzada adimensional modificado dos mancais eliacutepticos para diferentes valores de folga
radial
Figura 422 ndash Coeficientes de rigidez cruzada adimensional modificado em funccedilatildeo da folga
radial dos mancais eliacutepticos
Observa-se que para a faixa onde os valores do coeficiente de rigidez cruzada
adimensional modificado satildeo aproximadamente constantes Apenas o uacuteltimo valor desta faixa
apresenta um desvio de 5 em relaccedilatildeo aos demais que variam menos de 1 Esta anaacutelise vale
de maneira anaacuteloga para ambos coeficientes de rigidez cruzada pois Kyx = -Kxy
Para os resultados computacionais dos coeficientes de amortecimento observa-se um padratildeo
semelhante ao identificado para os coeficientes de rigidez quando uma vez que nesta
faixa o coeficiente de amortecimento direto Cxx eacute proporcional ao coeficiente de rigidez cruzada
Kxy e o coeficiente de amortecimento cruzado Cxy eacute proporcional ao coeficiente de rigidez
direta Kxx Para investigar a faixa onde esta proporcionalidade eacute mantida eacute apresentado na
Figura 423 a razatildeo em funccedilatildeo da folga radial do mancal eliacuteptico Observa-se que para
a razatildeo eacute aproximadamente constante variando menos de 1 Este resultado
eacute ilustrado na Figura 423 sendo tambeacutem vaacutelido para a razatildeo
82
Figura 423 ndash Razatildeo CxyKxx em funccedilatildeo da folga radial dos mancais eliacutepticos
O amortecimento efetivo do mancal eacute um paracircmetro importante na anaacutelise da estabilidade
(VANCE 1988) definido pela expressatildeo 2ωCxxKxy onde Cxx eacute o coeficiente de amortecimento
direto (ou Cyy) e Kxy eacute o coeficiente de rigidez cruzada (ou -Kyx) Assim para concluir a anaacutelise
dos coeficientes de amortecimento em funccedilatildeo da folga radial eacute escolhido o amortecimento
efetivo como paracircmetro de desempenho Satildeo apresentados na Figura 424 os resultados do
amortecimento efetivo em funccedilatildeo da folga radial dos mancais eliacutepticos Novamente eacute observado
que para e0lt03 o amortecimento efetivo varia pouco menos de 1
Figura 424 ndash Amortecimento efetivo em funccedilatildeo da folga radial dos mancais eliacutepticos
83
Pode-se observar que os diversos paracircmetros analisados relacionados aos coeficientes de forccedila
dos mancais eliacutepticos variam pouco na faixa onde e este padratildeo natildeo eacute observado fora
desta faixa
422 Coeficientes de forccedila em funccedilatildeo da razatildeo de esbeltez dos mancais eliacutepticos
A razatildeo de esbeltez (LD) eacute um paracircmetro importante no projeto dos mancais hidrodinacircmicos
influenciando de maneira natildeo-linear nos seus coeficientes de forccedila (SAWICKI e RAO 2004)
No procedimento computacional proposto observa-se um padratildeo comum para alguns
paracircmetros de desempenho dos mancais eliacutepticos em funccedilatildeo da razatildeo de esbeltez
Eacute apresentada na Figura 425 a curva que relaciona a excentricidade adimensional do ponto de
equiliacutebrio estaacutetico ( ) com a razatildeo de esbeltez (LD) para os mancais analisados Observa-se um
valor de para LD = 045 que eacute uma razatildeo de esbeltez muito baixa conforme
observado nas aplicaccedilotildees industriais
Figura 425 ndash Excentricidade adimensional do ponto de equiliacutebrio estaacutetico dos mancais eliacutepticos em
funccedilatildeo da razatildeo de esbeltez
Na anaacutelise dos coeficientes de forccedila dos mancais em funccedilatildeo de LD identifica-se um padratildeo
comum para o amortecimento efetivo ( ) como ilustrado na Figura 426 Observa-se
que na faixa onde o amortecimento efetivo eacute aproximadamente constante variando no
maacuteximo 3
84
Figura 426 ndash Variaccedilatildeo do amortecimento efetivo em funccedilatildeo da razatildeo de esbeltez dos mancais eliacutepticos
Os resultados obtidos pelo MEF para o coeficiente de amortecimento cruzado adimensional (cxy)
mostram que existe uma relaccedilatildeo linear entre cxy e LD na faixa onde conforme
ilustrado na Figura 427 A linha tracejada indica o ajuste linear feito com os pontos desta faixa
no qual obteacutem-se um coeficiente de determinaccedilatildeo (R2) maior que 099 Embora os pontos na
faixa oposta (LD lt 045 e ) estejam tambeacutem aproximadamente alinhados natildeo foi
observado outro padratildeo comum nesta faixa
Figura 427 ndash Variaccedilatildeo do amortecimento cruzado adimensional em funccedilatildeo da razatildeo de esbeltez dos
mancais eliacutepticos
85
Os coeficientes de forccedila apresentados nesta seccedilatildeo obtidos pelo MEF implementado para os
mancais eliacutepticos apresentam uma clara relaccedilatildeo algeacutebrica com a razatildeo de esbeltez que se
manteacutem na faixa onde
423 Coeficientes de forccedila em funccedilatildeo da preacute-carga dos mancais eliacutepticos
Outro paracircmetro importante no projeto dos mancais hidrodinacircmicos eacute a preacute-carga (Mp) No
procedimento computacional proposto observa-se um padratildeo comum para alguns paracircmetros de
desempenho de mancais eliacutepticos em funccedilatildeo da preacute-carga
A Figura 428 apresenta a excentricidade adimensional do ponto de equiliacutebrio estaacutetico dos
mancais analisados para diferentes valores de preacute-carga (Mp) Observa-se um valor de
para Mp = 04
Figura 428 ndash Excentricidade adimensional do ponto de equiliacutebrio estaacutetico dos mancais eliacutepticos em
funccedilatildeo da preacute-carga
Na anaacutelise dos coeficientes de rigidez direta dos mancais para diferentes valores de Mp
observa-se uma relaccedilatildeo de proporcionalidade entre Mp e (kyy)23
e entre Mp e (kxx)12
como
ilustrado na Figura 429 Na faixa onde que corresponde a Mp lt 04 estas relaccedilotildees
algeacutebricas variam pouco Observa-se que nesta faixa a relaccedilatildeo de proporcionalidade entre Mp e
(kyy)23
varia no maacuteximo 4 e entre Mp e (kxx)12
varia no maacuteximo 7 Fora desta faixa as
variaccedilotildees satildeo maiores que 20
86
Figura 429 ndash Variaccedilatildeo da relaccedilatildeo de ajuste entre Mp kxx e kxy em funccedilatildeo da preacute-carga dos mancais eliacutepticos
Observa-se tambeacutem uma relaccedilatildeo linear entre o amortecimento efetivo ( ) e a preacute-
carga para valores de A Figura 436 apresenta estes resultados onde a linha tracejada
corresponde ao ajuste linear feito na faixa onde obtendo-se um coeficiente de
determinaccedilatildeo (R2) maior que 0999
Figura 430 ndash Variaccedilatildeo do amortecimento efetivo em funccedilatildeo da preacute-carga dos mancais eliacutepticos
Estes resultados obtidos pelo MEF implementado para os mancais eliacutepticos mostram que os
coeficientes de forccedila apresentam uma clara relaccedilatildeo algeacutebrica com a preacute-carga quando a
excentricidade adimensional ponto de equiliacutebrio estaacutetico eacute menor que 03
87
43 A influecircncia dos paracircmetros geomeacutetricos dos mancais eliacutepticos na resposta
desbalanceada
A resposta desbalanceada do sistema rotor-mancal eacute um importante paracircmetro operacional que
auxilia no projeto de maacutequinas rotativas pois informa o niacutevel de vibraccedilatildeo do sistema ao se
atravessar as velocidades criacuteticas Desta forma eacute fundamental uma anaacutelise da influecircncia dos
paracircmetros geomeacutetricos dos mancais eliacutepticos na resposta desbalanceada do sistema De fato
muitas turbomaacutequinas operam acima da primeira velocidade criacutetica e por isto os mancais devem
ser projetados para absorver as altas vibraccedilotildees provocadas pelo sistema quando ele passa pela
velocidade criacutetica
O procedimento computacional proposto neste trabalho permite predizer como os paracircmetros
geomeacutetricos dos mancais eliacutepticos influenciam a resposta desbalanceada Esta anaacutelise eacute realizada
atraveacutes dos resultados obtidos da integraccedilatildeo no tempo das equaccedilotildees do movimento
Satildeo selecionados a seguir alguns paracircmetros geomeacutetricos importantes no projeto de mancais
eliacutepticos e analisada a resposta desbalanceada do sistema rotor-mancal em funccedilatildeo destes
paracircmetros Inicialmente faz-se uma anaacutelise da influecircncia da preacute-carga dos mancais eliacutepticos na
razatildeo de amplificaccedilatildeo da resposta desbalanceada Em seguida eacute analisada a resposta
desbalanceada em funccedilatildeo da razatildeo de esbeltez dos mancais eliacutepticos e finalmente eacute analisada a
influecircncia da folga radial dos mancais eliacutepticos na resposta desbalanceada
431 A razatildeo de amplificaccedilatildeo da resposta desbalanceada em funccedilatildeo da preacute-carga
A resposta desbalanceada de rotores analisada para diferentes mancais eacute normalmente usada
como um paracircmetro de eficiecircncia dos mancais nas velocidades criacuteticas (FLACK e ROOKE
1980) Ela eacute a medida da amplitude de vibraccedilatildeo do sistema quando excitado pela forccedila de
desbalanceamento A reposta desbalanceada eacute analisada para o sistema apoiado em mancais
eliacutepticos sob diferentes valores de preacute-carga baseados em um exemplo de mancal eliacuteptico
apresentado em Machado(2006) A amplitude de vibraccedilatildeo eacute calculada atraveacutes do raio meacutedio das
oacuterbitas obtidas pelo procedimento numeacuterico Os paracircmetros do sistema satildeo apresentados na
Tabela 414 O rotor simulado natildeo possui discos massivos e estaacute apoiado em mancais
hidrodinacircmicos eliacutepticos como ilustrado na Figura 431
88
Figura 431 ndash Desenho esquemaacutetico do rotor sem disco massivo
Tabela 414 Paracircmetros do sistema rotor-mancal eliacuteptico utilizado na anaacutelise
d (diacircmetro do eixo) = 0015 m μ (viscosidade do lubrificante) = 27 x 10-3
Pas
L (comprimento do mancal) = 0012 m ρL (massa especiacutefica do lubrificante)= 915 kgmsup3
D (diacircmetro do mancal) = 0015 m ρ (massa especiacutefica do eixo) = 7850 kgmsup3
c1 (folga do mancal 1) = 24 μm c2 (folga do mancal 2) = 24 μm
Leixo (comprimento do eixo) = 0900m mu (massa desbalanceada) = 00035 kg
Ω (rotaccedilatildeo do rotor) = 2000 a 10000 rpm ud (excentricidade da massa desbalanceada) = 0035 m
E (Moacutedulo de Young do eixo) = 205x109 Pa Mp (preacute-carga dos mancais)=045
W (carga estaacutetica por mancal) = 612N
Para este exemplo eacute adotada uma malha de 80 elementos para o eixo e de 351 elementos para o
filme fluido composta por 40 noacutes circunferenciais e 10 noacutes axiais A excentricidade
adimensional do ponto de equiliacutebrio estaacutetico calculado eacute com um acircngulo de posiccedilatildeo
proacuteximo de zero Este ponto de equiliacutebrio eacute calculado de modo a garantir que a forccedila
hidrodinacircmica do filme fluido seja agrave carga estaacutetica W que eacute obtida dividindo-se o peso do eixo
pelo nuacutemero de mancais
A resposta desbalanceada (Figura 432) eacute calculada no mancal 1 considerando mancais eliacutepticos
com preacute-carga Mp=045 A amplitude adimensional eacute calculada dividindo-se a amplitude de
vibraccedilatildeo do eixo pela folga do mancal Os dois picos destacados na Figura 432 representam a
primeira e segunda velocidades criacuteticas do rotor
89
Figura 432 ndash Resposta desbalanceada calculada no mancal 1 do rotor apoiado em mancais eliacutepticos
com preacute-carga 045 (MIRANDA e FARIA 2012)
Uma vez identificadas as velocidades criacuteticas do rotor estuda-se a influecircncia da preacute-carga dos
mancais eliacutepticos na resposta desbalanceada com o rotor operando em torno da sua primeira
velocidade criacutetica A resposta desbalanceada para o sistema apoiado em mancais hidrodinacircmicos
eliacutepticos com diferentes valores de preacute-carga (Mp) eacute exibida na Figura 433 A curva superior
corresponde Mp=075 a curva intermediaacuteria corresponde a Mp=045 e a curva inferior
corresponde a Mp=045
Figura 433 ndash Resposta desbalanceada para diferentes valores de preacute-carga dos mancais eliacutepticos
(MIRANDA e FARIA 2012)
90
Os valores das amplitudes adimensionais satildeo calculadas na extremidade esquerda do eixo onde
ele estaacute apoiado no mancal 1 Observa-se que a amplitude na primeira velocidade criacutetica eacute mais
elevada para valores maiores de preacute-carga Poreacutem aleacutem de analisar a amplitude da vibraccedilatildeo eacute
importante tambeacutem investigar a razatildeo de amplificaccedilatildeo desta vibraccedilatildeo
A razatildeo de amplificaccedilatildeo da resposta desbalanceada na velocidade criacutetica eacute um paracircmetro
importante na anaacutelise da estabilidade do sistema rotor-mancal (ZEIDAN e PAQUETTE 1994)
Neste exemplo numeacuterico ela eacute calculada atraveacutes da relaccedilatildeo entre a resposta desbalanceada na
primeira velocidade criacutetica e na rotaccedilatildeo de 2000rpm A rotaccedilatildeo de 2000rpm eacute escolhida como
referecircncia pelo fato de representar uma rotaccedilatildeo onde a amplitude de vibraccedilatildeo apresenta pouca
influecircncia da velocidade criacutetica A razatildeo de amplificaccedilatildeo permite inferir sobre a capacidade do
mancal eliacuteptico atenuar a resposta desbalanceada do rotor ao passar pela velocidade criacutetica o
que eacute uma caracteriacutestica importante dos mancais hidrodinacircmicos (STERNLICHT e LEWIS
1968 VANCE 1988 CORREIA 2007) A Figura 434 apresenta os valores da razatildeo de
amplificaccedilatildeo para o exemplo estudado com diferentes valores de preacute-carga nos mancais A preacute-
carga zero representa o caso particular de mancal ciliacutendrico
Figura 434 ndashRazatildeo de amplificaccedilatildeo da resposta desbalanceada na primeira velocidade criacutetica para o
rotor apoiado em mancais eliacutepticos (MIRANDA e FARIA 2012)
Observa-se uma menor razatildeo de amplificaccedilatildeo (maior atenuaccedilatildeo) da resposta desbalanceada na
primeira velocidade criacutetica para uma preacute-carga de 045 A literatura teacutecnica apresenta uma
recomendaccedilatildeo de aplicaccedilatildeo de mancais eliacutepticos com preacute-carga de aproximadamente 05 por
apresentar melhor estabilidade (PINKUS 1956 ALLAIRE e FLACK 1981) Portanto para o
91
exemplo de rotor analisado este resultado mostra uma concordacircncia entre os valores obtidos
pelo MEF para a razatildeo de amplificaccedilatildeo e a recomendaccedilatildeo da literatura no que diz respeito agrave
estabilidade de mancais eliacutepticos
432 A resposta desbalanceada em funccedilatildeo da razatildeo de esbeltez dos mancais eliacutepticos
A resposta desbalanceada do sistema rotor-mancal eacute analisada para o rotor da Figura 435
composto por um eixo flexiacutevel apoiado nas extremidades por mancais hidrodinacircmicos eliacutepticos
e com um disco massivo acoplado em uma posiccedilatildeo assimeacutetrica Esta posiccedilatildeo assimeacutetrica eacute
escolhida para se evitar soluccedilotildees particulares restritas a rotores com simetria axial Os
paracircmetros do rotor satildeo apresentados na Tabela 415 onde os paracircmetros baacutesicos dos mancais
eliacutepticos satildeo idecircnticos aos apresentados por Correia(2006)
Figura 435 ndashDesenho esquemaacutetico do rotor com disco massivo em posiccedilatildeo assimeacutetrica
A resposta desbalanceada eacute calculada atraveacutes da amplitude adimensional de vibraccedilatildeo do rotor
operando na primeira velocidade criacutetica (VC) apoiado mancais eliacutepticos com diferentes razotildees
de esbeltez (LD) A amplitude adimensional eacute obtida dividindo-se a amplitude de vibraccedilatildeo pela
folga do mancal
92
Tabela 415ndash Paracircmetros do rotor com mancais eliacutepticos
Paracircmetro Descriccedilatildeo Valor Unidade
leixo comprimento do eixo (vatildeo) 090 m
d diacircmetro do eixo 0015 m
L comprimento do mancal (variaacutevel) m
D diacircmetro do mancal 010 m
c1 folga do mancal 75 x 10-6
m viscosidade do lubrificante 84 x 10
-3 Pamiddots
massa especiacutefica do lubrificante 892 kgmsup3
E moacutedulo de elasticidade do eixo 205 x 109 Pa
coeficiente de Poisson do eixo 03 -
massa especiacutefica do eixo 7850 kgmsup3
W
w
carga estaacutetica em cada mancal
rotaccedilatildeo
100
2000
N
rpm
Para este exemplo eacute adotada uma malha de 80 elementos para o eixo e de 210 a 2100 elementos
para o filme fluido dependendo da razatildeo de esbeltez LD de modo a garantir menos de 1 de
erro relativo Os pontos de equiliacutebrio estaacuteticos satildeo mostrados na Figura 437
A integraccedilatildeo numeacuterica das equaccedilotildees de movimento permitem obter as amplitudes de vibraccedilatildeo
do rotor na primeira velocidade criacutetica (VC) Satildeo apresentadas na Figura 436 em escala log-log
a amplitude adimensional da resposta desbalanceada calculada no mancal 1 para o rotor
operando na primeira VC em funccedilatildeo da razatildeo de esbeltez (LD) dos mancais Satildeo considerados
trecircs tipos de mancais eliacutepticos com valores de preacute-carga Mp=0 Mp=045 Mp=090
Figura 436 ndash Amplitude de vibraccedilatildeo na primeira VC
em funccedilatildeo da razatildeo de esbeltez dos mancais eliacutepticos
93
Na Figura 436 observa-se que os pontos se mantecircm alinhados e proacuteximos das curvas de ajuste
para os valores de LD maiores que 04 que foi destacado no eixo horizontal Como a escala eacute
logariacutetmica em ambos eixos isto natildeo indica uma linearidade mas alguma relaccedilatildeo de potecircncia
entre a amplitude na VC e a razatildeo de esbeltez dos mancais A linha traccedilo-ponto apresentada no
graacutefico representa o ajuste feito para os valores obtidos com Mp=090 e a linha tracejada
representa o ajuste feito para os valores obtidos com Mp=0 O ajuste de curvas mostra que haacute
uma relaccedilatildeo cuacutebica inversa entre a amplitude da resposta desbalanceada (Ampl) e a razatildeo de
esbeltez (LD) do mancal com um coeficiente de determinaccedilatildeo R2 maior que 0999 Desta
forma eacute possiacutevel predizer o valor da amplitude calculada dentro desta faixa pela expressatildeo
onde a constante a depende da preacute-carga (Mp) do mancal eliacuteptico
Observa-se ainda pela Figura 436 que os pontos satildeo bem alinhados para as curvas de ajuste
obtidas para valores de LDgt04 E esta faixa de valores de razatildeo de esbeltez corresponde agrave
faixa onde a excentricidade adimensional no ponto de equiliacutebrio estaacutetico eacute menor que 035
Este valor eacute proacuteximo ao obtido nas anaacutelises apresentadas nas subseccedilotildees anteriores onde se
observa uma relaccedilatildeo algeacutebrica repetitiva para os paracircmetros de desempenho dos mancais na
faixa
O resultado apresentado na Figura 436 mostra tambeacutem que o procedimento baseado no MEF
pode ser usado na prediccedilatildeo da influecircncia da razatildeo de esbeltez dos mancais eliacutepticos na resposta
desbalanceada do sistema rotor-mancal o que eacute importante na anaacutelise de alteraccedilotildees de projetos
de maacutequinas rotativas
Outro resultado importante eacute destacado a seguir Constata-se que a excentricidade adimensional
do ponto de equiliacutebrio estaacutetico apresenta uma relaccedilatildeo cuacutebica inversa com o valor de LD Esta
relaccedilatildeo proveacutem dos ajustes de curva apresentados na Figura 437 onde pode-se observar os
valores calculados para em funccedilatildeo de LD A linha fina horizontal equivale a
94
Figura 437 ndash Curvas de ajuste da excentricidade adimensional do ponto de equiliacutebrio estaacutetico em
funccedilatildeo da razatildeo de esbeltez dos mancais eliacutepticos
Eacute observado que os pontos do graacutefico seguem alinhados com as curvas de ajuste para valores de
para o mancal ciliacutendrico (Mp=0) e vatildeo se afastando deste alinhamento para valores
maiores de Para os mancais eliacutepticos o valor os pontos seguem alinhados com a curva de
ajuste para valores de um pouco maiores Como o graacutefico estaacute em escala log-log o fato das
curvas de ajuste serem retas natildeo significa uma relaccedilatildeo de linearidade De fato a relaccedilatildeo entre
e LD identificada para este exemplo eacute
onde a eacute uma constante de proporcionalidade que varia com a preacute-carga Esta relaccedilatildeo eacute vaacutelida
para os trecircs valores de preacute-carga considerados neste exemplo Tendo em vista esta relaccedilatildeo
define-se como ―razatildeo de ajuste o valor para se examinar em qual faixa de
excentricidade esta razatildeo eacute mantida aproximadamente constante A Figura 438 ilustra como a
razatildeo de ajuste varia em funccedilatildeo de Satildeo incluiacutedas linhas tracejadas para auxiliar na
observaccedilatildeo do alinhamento dos pontos Eacute possiacutevel perceber que a razatildeo de ajuste eacute
aproximadamente constante ateacute um certo valor de que varia com a preacute-carga Mp
95
Figura 438 ndash Razatildeo de ajuste de LD em funccedilatildeo da excentricidade adimensional do ponto de
equiliacutebrio estaacutetico dos mancais
Para melhor identificar um valor limite de ( ) satildeo apresentados na Figura 442 os valores dos
erros relativos da razatildeo de ajuste em funccedilatildeo da excentricidade adimensional do ponto de
equiliacutebrio estaacutetico Estes erros indicam o quanto os pontos da Figura 438 estatildeo distantes das
retas de referecircncia ou seja o quanto cada valor estaacute distante do ajuste de curva calculado
Figura 439 ndash Erros relativos da razatildeo de ajuste de LD em funccedilatildeo da excentricidade adimensional do
ponto de equiliacutebrio estaacutetico dos mancais
96
Percebe-se que os mancais eliacutepticos analisados (Mp=090 e Mp=045) desviam menos do ajuste
de curva do que o mancal ciliacutendrico (Mp=0) Pelas curvas da Figura 439 observa-se que os
mancais eliacutepticos analisados quando possuem um valor apresentam um desvio
pequeno em relaccedilatildeo agrave curva de ajuste proacuteximo de 5 Esta faixa de equivale agrave faixa
identificada nos demais resultados apresentados neste trabalho onde satildeo observadas relaccedilotildees
algeacutebricas que se manteacutem com aproximadamente 5 de precisatildeo Este desvio pode estar
relacionado com alguma perturbaccedilatildeo numeacuterica do procedimento computacional implementado
que leva a resultados menos confiaacuteveis para valores elevados de excentricidade principalmente
quando
433 A resposta desbalanceada em funccedilatildeo da folga radial dos mancais eliacutepticos
A resposta desbalanceada do sistema rotor-mancal eacute analisada nesta seccedilatildeo em funccedilatildeo da folga
radial nos mancais A folga tem uma forte influecircncia nos coeficientes de forccedila dos mancais
hidrodinacircmicos o que provoca uma variaccedilatildeo nos niacuteveis de vibraccedilatildeo do sistema principalmente
nas velocidades criacuteticas Os paracircmetros do sistema analisado satildeo apresentados na Tabela 415
exceto o comprimento dos mancais que foi fixado em 75mm e a folga passou a ser variaacutevel O
rotor ilustrado esquematicamente na Figura 435
Satildeo considerados trecircs tipos de mancais eliacutepticos com preacute-cargas (Mp) de 0 045 e 090 As
amplitudes de vibraccedilatildeo satildeo calculadas no Mancal 1 para o rotor operando na primeira
velocidade criacutetica As amplitudes satildeo apresentadas de maneira adimensional na Figura 440 em
escala logariacutetmica onde a linha traccedilo-ponto apresentada no graacutefico representa o ajuste feito para
os valores obtidos com Mp=090 e a linha tracejada representa o ajuste para os valores obtidos
com Mp=0 Natildeo eacute apresentada a linha do ajuste para MP=045 por motivos esteacuteticos Para os
trecircs valores de Mp eacute identificada uma relaccedilatildeo quadraacutetica entre a amplitude adimensional da
resposta desbalanceada e a folga radial dos mancais
97
Figura 440 ndash Amplitude de vibraccedilatildeo na primeira VC
em funccedilatildeo da folga radial dos mancais
Eacute observado na Figura 440 que os pontos se manteacutem alinhados e proacuteximos das curvas de
ajuste para os valores de folga de ateacute aproximadamente 150 m Como a escala eacute logariacutetmica em
ambos eixos isto natildeo indica uma linearidade mas sim a relaccedilatildeo quadraacutetica identificada pelo
ajuste de curva
Na anaacutelise da excentricidade em funccedilatildeo da folga radial c eacute tambeacutem identificada uma relaccedilatildeo
quadraacutetica dada pela expressatildeo onde a eacute uma constante de proporcionalidade que
varia com a preacute-carga Mp Tendo em vista esta relaccedilatildeo define-se uma nova ―razatildeo de ajuste
pela expressatildeo para se analisar em qual faixa de excentricidade esta razatildeo eacute mantida
aproximadamente constante A Figura 441 apresenta os valores obtidos para a razatildeo de ajuste
em funccedilatildeo de Satildeo incluiacutedas linhas tracejadas para auxiliar na observaccedilatildeo do alinhamento
dos pontos Eacute possiacutevel perceber que a razatildeo de ajuste eacute aproximadamente constante ateacute um certo
valor de que varia com a preacute-carga Mp
98
Figura 441 ndash Razatildeo de ajuste da folga radial em funccedilatildeo da excentricidade adimensional do ponto de
equiliacutebrio estaacutetico dos mancais
Para melhor identificar um valor limite de satildeo apresentados na Figura 442 os valores dos
erros relativos da razatildeo de ajuste em funccedilatildeo de Estes erros indicam o quanto os pontos da
Figura 441 estatildeo distantes das retas de referecircncia ou seja o quanto cada valor estaacute distante do
ajuste de curva calculado
Figura 442 ndash Erros relativos da razatildeo de ajuste da folga radial em funccedilatildeo da excentricidade
adimensional do ponto de equiliacutebrio estaacutetico dos mancais
99
Eacute observado novamente que os mancais eliacutepticos analisados (Mp=090 e Mp=045) desviam
menos do ajuste de curva do que o mancal ciliacutendrico (Mp=0) e que para uma excentricidade
adimensional os mancais eliacutepticos apresentam um desvio pequeno em relaccedilatildeo agrave curva
de ajuste proacuteximo de 5 Este resultado eacute muito parecido com aquele identificado na seccedilatildeo
anterior onde eacute analisada a resposta desbalanceada em funccedilatildeo da razatildeo de esbeltez LD dos
mancais
A literatura teacutecnica afirma que sob determinadas condiccedilotildees operacionais os mancais eliacutepticos
apresentam uma faixa de operaccedilatildeo mais ampla do que os mancais ciliacutendricos (CORREIA 2007)
Desta forma pode-se estabelecer uma relaccedilatildeo entre os resultados obtidos pelo MEF
implementado e esta afirmaccedilatildeo da literatura se for considerado que o desvio em relaccedilatildeo agrave curva
de ajuste estaacute relacionado com algum tipo de limitaccedilatildeo operacional
100
5 CONCLUSOtildeES
O procedimento computacional aqui desenvolvido baseado no MEF permite predizer o
comportamento dinacircmico de diferentes tipos de rotores compostos por eixo flexiacutevel discos
massivos e mancais hidrodinacircmicos de perfil ciliacutendrico ou eliacuteptico Os resultados produzidos
permitem validar o modelo pela comparaccedilatildeo com valores experimentais coletados em uma
bancada de teste e tambeacutem com valores publicados na literatura
O presente trabalho apresenta uma importante contribuiccedilatildeo na anaacutelise de sistemas rotor-mancal
pelo fato de investigar o sistema rotativo de maneira ampla tanto para o eixo flexiacutevel quanto
para os mancais Satildeo considerados no modelo do eixo flexiacutevel os efeitos de deformaccedilatildeo por
cisalhamento ineacutercia rotatoacuteria e efeito giroscoacutepico e para o modelo dos mancais
hidrodinacircmicos ciliacutendricos e eliacutepticos satildeo considerados todos os coeficientes de forccedila
independentes sem o uso de teorias simplificadas como os modelos de mancal curto ou de
mancal longo
Este procedimento computacional eacute muito uacutetil natildeo apenas para se determinar a resposta
desbalanceada de rotores como tambeacutem para se avaliar a viabilidade de alteraccedilotildees de projeto
capazes de melhorar o comportamento dinacircmico de maacutequinas rotativas
Os coeficientes de forccedila dos mancais hidrodinacircmicos desempenham um importante papel no
projeto de maacutequinas rotativas na previsatildeo de sua capacidade de suportar vibraccedilotildees e de operar
em condiccedilotildees estaacuteveis Os resultados apresentados neste trabalho mostram claramente a
influecircncia dos paracircmetros geomeacutetricos dos mancais hidrodinacircmicos de geometria fixa
ciliacutendricos e eliacutepticos nos seus coeficientes de forccedila e na resposta desbalanceada do sistema
rotativo
Os resultados numeacutericos obtidos pelo MEF aqui desenvolvido apresentam um erro relativo de
aproximadamente 4 para as frequecircncias naturais em relaccedilatildeo aos resultados experimentais e da
literatura
A anaacutelise da influecircncia da folga radial dos mancais eliacutepticos nos coeficientes de forccedila mostra
que os coeficientes de rigidez direta adimensionais variam pouco dentro da faixa operacional
onde a excentricidade adimensional do ponto de equiliacutebrio estaacutetico (e0) eacute menor que 03 Acima
deste valor os coeficientes de rigidez direta adimensionais diminuem consideravelmente
101
Observa-se ainda que o coeficiente de rigidez cruzado adimensional (kxy) eacute inversamente
proporcional ao e0 o que permite introduzir um novo adimensional o ―coeficiente de rigidez
cruzada adimensional modificado definido por xy=e0kxy Este coeficiente tambeacutem apresenta
valores aproximadamente constantes quando se varia a folga do mancal eliacuteptico dentro da faixa
onde e0lt03 Tambeacutem satildeo observados valores aproximadamente constantes para a razatildeo CxyKxx
e para o amortecimento efetivo ( ) quando se varia a folga mantendo-se e0lt03
A anaacutelise da influecircncia da razatildeo de esbeltez (LD) dos mancais eliacutepticos nos coeficientes de
forccedila permite observar que o amortecimento efetivo ( ) e o coeficiente de
amortecimento cruzado adimensional (cxy) dos mancais eliacutepticos seguem um padratildeo comum
quando e0lt03 Para o amortecimento efetivo os valores satildeo aproximadamente constantes
enquanto para cxy observa-se uma relaccedilatildeo linear entre cxy e e0 nesta faixa
Na anaacutelise da influecircncia da preacute-carga (Mp) dos mancais eliacutepticos nos coeficientes de forccedila
observa-se uma proporcionalidade entre Mp e (kyy)23
e entre Mp e (kxx)12
na faixa onde
Eacute identificado tambeacutem que o amortecimento efetivo ( ) varia linearmente com Mp
nesta faixa
Eacute mostrado atraveacutes de um exemplo de rotor flexiacutevel apoiado em mancais eliacutepticos que a razatildeo
de amplificaccedilatildeo da resposta desbalanceada atinge um miacutenimo para um exemplo de mancal com
Mp=045 A literatura teacutecnica apresenta uma recomendaccedilatildeo de aplicaccedilatildeo de mancais eliacutepticos
com preacute-carga de aproximadamente 05 por apresentar melhor estabilidade (PINKUS 1956
ALLAIRE e FLACK 1981) Portanto para o exemplo de rotor analisado este resultado mostra
uma concordacircncia entre os valores obtidos pelo MEF para a razatildeo de amplificaccedilatildeo e a
recomendaccedilatildeo da literatura no que diz respeito agrave estabilidade de mancais eliacutepticos
A anaacutelise da resposta desbalanceada permite observar que a amplitude de vibraccedilatildeo na primeira
velocidade criacutetica eacute proporcional a (LD)-3
e tambeacutem proporcional ao quadrado da folga radial
(c2) na faixa onde Esta proporcionalidade eacute mantida em uma faixa operacional mais
ampla para os mancais eliacutepticos do que para os mancais ciliacutendricos analisados
Este resultado de aproximadamente 03 encontra respaldo na literatura teacutecnica que afirma que o
procedimento linearizado de perturbaccedilatildeo em torno da posiccedilatildeo de equiliacutebrio eacute vaacutelido para ateacute
102
40 da folga do mancal (LUND1987) Esta observaccedilatildeo eacute tambeacutem destacada no trabalho de
Sawicki e Rao (2004) Aleacutem disso Furukawa et al (1996) observam que a natildeo linearidade do
filme fluido produz grandes diferenccedilas entre os valores calculados e os medidos
experimentalmente em especial na regiatildeo de alta excentricidade
Desta forma sugere-se para trabalhos futuros a investigaccedilotildees mais aprofundadas sobre os
efeitos dinacircmicos que ocorrem quando o ponto de equiliacutebrio estaacutetico ultrapassa o limite de 40
da folga do mancal O meacutetodo aqui implementado adota um procedimento de perturbaccedilatildeo linear
em torno da posiccedilatildeo de equiliacutebrio obtendo equaccedilotildees de lubrificaccedilatildeo de ordem zero e de primeira
ordem baseadas na equaccedilatildeo de Reynolds Sugere-se ainda a implementaccedilatildeo de um modelo que
considere termos de ordem superior na obtenccedilatildeo das equaccedilotildees de lubrificaccedilatildeo ou que adote
algum outro modelo natildeo-linear
Sugere-se ainda aplicar a metodologia deste trabalho em outros procedimentos computacionais
para observar faixas onde os resultados possam apresentar padrotildees repetitivos Sugere-se
investigar a existecircncia de relaccedilotildees algeacutebricas entre os paracircmetros do sistema e os resultados e
que possam se manter vaacutelidas dentro de uma faixa de valores
Outras abordagens que podem ampliar os resultados do presente trabalho incluem a anaacutelise de
mancais hidrodinacircmicos de geometria variaacutevel com fluidos natildeo-newtonianos e a anaacutelise de
efeitos teacutermicos nos paracircmetros de desempenho destes mancais
Os resultados deste trabalho fornecem subsiacutedio agrave aacuterea de projeto de maacutequinas rotativas uma vez
que o procedimento computacional desenvolvido permite predizer seu comportamento dinacircmico
para diversas condiccedilotildees operacionais
103
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112
ANEXO A - Fundamentos da Teoria de Viga
Neste Anexo satildeo apresentadas de maneira breve as expressotildees das teorias de viga de Euler-
Bernoulli de Rayleigh e de Timoshenko A Teoria de Viga de Timoshenko eacute a forma mais
completa representando a vibraccedilatildeo lateral de vigas a partir da qual podem-se derivar as outras
duas teorias como casos particulares desta (BORU 2010)
A1 Teoria de Viga de Euler-Bernoulli
A Teoria de Viga de Euler-Bernoulli foi formulada no seacuteculo XVIII e o detalhamento de sua
derivaccedilatildeo eacute apresentado em Clough e Penzien (1975) e em Meirovitch (1967)
Considere a viga ilustrada na Fig A1 sob a accedilatildeo de uma carga distribuiacuteda variaacutevel q(xt) e uma
deflexatildeo lateral v(xt) na direccedilatildeo y As propriedades da viga satildeo sua rigidez agrave flexatildeo EI(x) e a
massa especiacutefica A(x)
Figura A1 - Viga de Euler-Bernoulli sob carregamento distribuiacutedo (Boru 2010)
113
A2 Teoria de Viga de Rayleigh
A Teoria de Viga de Rayleigh considera a ineacutercia rotacional da viga aleacutem da ineacutercia
translacional Assim para um modelo dinacircmico de uma viga em rotaccedilatildeo as frequecircncias naturais
seratildeo mais bem representadas
A equaccedilatildeo da Teoria de Viga de Rayleigh eacute definida por
Se for considerado o caso da viga com seccedilatildeo transversal uniforme ao longo de x a equaccedilatildeo
(A3) eacute simplificada para a forma
A Teoria de Viga de Rayleigh eacute uma extensatildeo da teoria de Euller-Bernoulli o que pode ser
observado comparando-se os trecircs primeiros termos da equaccedilatildeo (A4) com a equaccedilatildeo (A2) O
termo adicional da equaccedilatildeo (A4) eacute relativo agrave ineacutercia rotatoacuteria
A3 Teoria de Viga de Timoshenko
A inclusatildeo da ineacutercia rotatoacuteria nos modelos dinacircmicos foi considerada insuficiente para se
melhorar os resultados do caacutelculo da frequecircncia natural de vigas (BORU 2010) Assim foi
proposto incluir o efeito de deformaccedilatildeo por cisalhamento o que aumenta a flexibilidade do
elemento de viga Este modelo levou agrave Teoria de Viga de Timoshenko Assim as frequecircncias
naturais reduziram o suficiente para se aproximar daquelas obtidas experimentalmente
(TRAILL-NASH e COLLAR 1953)
A Teoria de Viga de Timoshenko considera que a deformaccedilatildeo por cisalhamento em uma seccedilatildeo
transversal eacute diretamente proporcional agrave forccedila de cisalhamento para materiais isotroacutepicos com
propriedades lineares atraveacutes da expressatildeo
(A5)
(A3)
(A4)
114
A constante depende da forma da seccedilatildeo transversal da viga podendo assumir valores como
1113 para seccedilotildees circulares e 56 para seccedilotildees retangulares O termo representa a aacuterea
efetiva de cisalhamento da seccedilatildeo transversal
Considerando a seccedilatildeo transversal da viga uniforme a expressatildeo da Teoria de Viga de
Timoshenko eacute dada por
Pode-se observar que as duas teorias de viga anteriormente apresentadas satildeo casos particulares
da teoria de viga de Timoshenko Se a viga natildeo sofrer deformaccedilatildeo por cisalhamento o que
implica em considerar que sua resistecircncia ao cisalhamento eacute muito grande basta fazer e
os dois uacuteltimos termos seratildeo nulos levando agrave teoria de vigas de Rayleigh
Deformaccedilatildeo por cisalhamento e
ineacutercia rotatoacuteria combinados
Teoria de Euler-Bernoulli
Teoria de Rayleigh
Deformaccedilatildeo por cisalhamento
115
ANEXO B ndash Funccedilotildees de Interpolaccedilatildeo
As funccedilotildees de interpolaccedilatildeo para o problema de flexatildeo satildeo obtidas do problema estaacutetico da viga
considerando os efeitos de flexatildeo e cisalhamento simultaneamente (FARIA 1990) Estas
funccedilotildees satildeo descritas a seguir
Denota-se por a variaacutevel adimensionals que descreve a posiccedilatildeo de uma seccedilatildeo transversal
qualquer do elemento em relaccedilatildeo agrave sua extremidade inicial Sendo a variaacutevel que define cada
seccedilatildeo do elemento de rotor a partir do noacute inicial e l o comprimento do elemento a variaacutevel
adimensional eacute dada por
Para as funccedilotildees de interpolaccedilatildeo de flexatildeo no plano de deflexatildeo satildeo considerados os efeitos de
cisalhamento transversal fx e fy distintos
onde A eacute a aacuterea da seccedilatildeo transversal G eacute o modulo de elasticidade ao cisalhamento l eacute o
comprimento do elemento E eacute o moacutedulo de elasticidade I eacute o momento de ineacutercia e K eacute o fator
de forma do cisalhamento transversal Para a seccedilatildeo transversal circular (COUPER 1966)
onde eacute o coeficiente de Poisson
B1 - Funccedilotildees de Interpolaccedilatildeo para o deslocamento linear unitaacuterio no primeiro noacute
As funccedilotildees de interpolaccedilatildeo satildeo obtidas como descrito a seguir (FARIA 1990)
116
Figura B1 ndash Deslocamento linear unitaacuterio no primeiro noacute
As equaccedilotildees diferenciais para o deslocamento linear unitaacuterio no primeiro noacute (Fig B1) satildeo
escritas na seguinte forma
(B1)
(B2)
onde Vf e Vc satildeo as contribuiccedilotildees de flexatildeo e de cisalhamento respectivamente e V=Vf+Vc A
soluccedilatildeo das equaccedilotildees eacute escrita como
onde C1 e C2 satildeo constantes de integraccedilatildeo As condiccedilotildees de contorno do problema satildeo
Em s = = 0 e
Em s = l
Obteacutem-se assim a expressatildeo
que derivada em relaccedilatildeo agrave posiccedilatildeo leva a
117
B2 - Funccedilotildees de Interpolaccedilatildeo para o deslocamento angular unitaacuterio no primeiro noacute
As funccedilotildees de interpolaccedilatildeo satildeo obtidas como descrito a seguir Considere as condiccedilotildees
de contorno
Em s = 0 V=0 e Vrsquo=Vf
Em s = l V=0 e Vrsquo=Vc
Figura B2 ndash Deslocamento angular unitaacuterio no primeiro noacute
Considerando-se as equaccedilotildees (B1) e (B2) e as condiccedilotildees de contorno obteacutem-se
e a equaccedilatildeo da linha elaacutestica eacute escrita como
Entatildeo
118
e para se obter basta derivar a equaccedilatildeo elaacutestica
Mas como a rotaccedilatildeo em s = 0 possui o seguinte valor
deve-se adicionar a deformaccedilatildeo
em EIyVrsquo para se obter a rotaccedilatildeo das seccedilotildees Obteacutem-se entatildeo
B3 - Funccedilotildees de Interpolaccedilatildeo para o deslocamento linear unitaacuterio no segundo noacute
As funccedilotildees de interpolaccedilatildeo satildeo obtidas como descrito a seguir
Figura B3 ndash Deslocamento linear unitaacuterio no segundo noacute
As equaccedilotildees diferenciais para o deslocamento linear unitaacuterio no segundo noacute (Fig B3) satildeo
escritas na seguinte forma
119
(B3)
(B4)
A soluccedilatildeo geral das equaccedilotildees eacute escrita como
As condiccedilotildees de contorno satildeo dadas por
Em s = 0
Em s = l
Obteacutem-se assim a equaccedilatildeo elaacutestica
e a expressatildeo de
que derivada em relaccedilatildeo agrave posiccedilatildeo leva a
B1 - Funccedilotildees de Interpolaccedilatildeo para o deslocamento angular unitaacuterio no segundo noacute
As funccedilotildees de interpolaccedilatildeo satildeo obtidas como descrito a seguir
Obteacutem-se as equaccedilotildees diferenciais atraveacutes da Figura B4
(B5)
(B6)
120
Figura B4 ndash Deslocamento angular unitaacuterio no segundo noacute
A soluccedilatildeo geral das equaccedilotildees (B5) e (B6) eacute escrita como
As condiccedilotildees de contorno satildeo dadas por
Em s = 0 e
Em s = l e
Obteacutem-se assim a equaccedilatildeo elaacutestica
e a expressatildeo de
Para se obter deriva-se a equaccedilatildeo elaacutestica em relaccedilatildeo agrave posiccedilatildeo
Mas como a rotaccedilatildeo em s = 0 possui o valor
deve-se adicionar a deformaccedilatildeo
121
em EIyVrsquo para se obter a rotaccedilatildeo das seccedilotildees Obteacutem-se entatildeo
122
ANEXO C ndash Matrizes de Elementos Finitos do Rotor
Satildeo apresentadas a seguir as matrizes do elemento finito de rotor para elementos de eixo
baseados na teoria de viga de Timoshenko (NELSON 1980 FARIA 1990) Considera-se o eixo
simeacutetrico ( Ix=Iy=I ) o efeito de cisalhamento isotroacutepico ( fx=fy=f ) e as seguintes constantes
I = momento meacutedio de ineacutercia de aacuterea da seccedilatildeo transversal
Idm= momento diametral de ineacutercia de massa por unidade de comprimento
Ip = momento polar de ineacutercia de massa por unidade de comprimento
f = efeito de cisalhamento
l = comprimento do elemento
E = moacutedulo de elasticidade
= massa especiacutefica
A = aacuterea da seccedilatildeo transversal
coordenadas generalizadas no sistema rotativo
coordenadas generalizadas no sistema inercial
C1 ndash Matriz de ineacutercia de translaccedilatildeo
A matriz Me representativa da ineacutercia de translaccedilatildeo do elemento finito do rotor eacute obtida pela
integraccedilatildeo da expressatildeo da energia cineacutetica TM do elemento finito do rotor dada por
Usando as funccedilotildees de interpolaccedilatildeo na expressatildeo da energia cineacutetica obteacutem-se a matriz TM que
satisfaz agrave expressatildeo
A matriz Me eacute simeacutetrica e descrita como
123
[Me] =
onde
C2 ndash Matriz de ineacutercia de rotaccedilatildeo
A matriz de ineacutercia de rotaccedilatildeo do elemento finito do rotor eacute obtida pela substituiccedilatildeo das funccedilotildees
de interpolaccedilatildeo na expressatildeo da energia cineacutetica TN do elemento finito dada por
Usando as funccedilotildees de interpolaccedilatildeo na expressatildeo da energia cineacutetica obteacutem-se a matriz Ne
124
representativa da ineacutercia de rotaccedilatildeo do elemento que satisfaz agrave expressatildeo
A matriz Ne eacute simeacutetrica e descrita como
[Ne] =
onde
C3 ndash Matriz de efeitos giroscoacutepicos
A matriz Ge representativa dos efeitos giroscoacutepicos do elemento finito do rotor eacute obtida pela
relaccedilatildeo
onde a matriz [He] eacute obtida pela integraccedilatildeo da expressatildeo da energia cineacutetica TG do elemento
finito do rotor dada por
onde eacute a rotaccedilatildeo do rotor IP eacute o momento polar de ineacutercia da seccedilatildeo satildeo os vetores
125
rotaccedilatildeo da seccedilatildeo em torno dos eixos x e y Aplicando as funccedilotildees de interpolaccedilatildeo na expressatildeo
da energia cineacutetica obteacutem-se a matriz [He] que satisfaz agrave expressatildeo
A matriz eacute anti-simeacutetrica e descrita como
[Ge] =
onde
C4 ndash Matriz de rigidez
A matriz de rigidez do elemento finito do rotor Ke eacute obtida integrando-se a energia potencial
elaacutestica V ao longo do comprimento do elemento usando as funccedilotildees de interpolaccedilatildeo Obteacutem-se
a matriz Ke que satisfaz agrave expressatildeo
126
A matriz Ke eacute simeacutetrica e descrita como
[Ke] =
127
ANEXO D ndash Meacutetodo Numeacuterico de Newmark
Neste Anexo apresenta-se inicialmente o algoritmo de meacutetodo de Newmark usado para a
integraccedilatildeo numeacuterica no tempo da equaccedilatildeo do movimento Eq(1) conforme Bathe (1982)
Posteriormente satildeo mostrados os criteacuterios adotados no presente trabalho para garantir a
convergecircncia do meacutetodo sem um elevado custo computacional
A) Valores iniciais
Passo 1 Valores iniciais para os vetores deslocamento velocidade e aceleraccedilatildeo U0
U
0 U
0
Passo 2 Defina um intervalo de tempo Δt e os paracircmetros α e δ tais que
δ ge 050 α ge 025(05 + δ)sup2
Passo 3 Calcule as constantes
20
1a
t
t1a
t
1a 2
12
1a 3
1a 4
22
ta 5 )1(ta 6 ta7
Passo 4 Crie a matriz de rigidez efetiva KK=K + a0M + a1C
B) Para cada iteraccedilatildeo no tempo Δt
Passo 1 Calcule a carga efetiva RR no instante t + Δt
t+ΔtRR =
t+ΔtR + M(a0
tU + a2
t U
+ a3 t U
) + C(a1 tU + a4
t U
+ a5 t U
)
Passo 2 Resolva a equaccedilatildeo abaixo para obter o vetor deslocamento U em t + Δt
KK
t+Δt U = t+Δt
RR
Passo 3 Calcule os vetores velocidade e aceleraccedilatildeo em t + Δt
t+Δt U = a0 (
t+Δt U - tU)- a2 t U - a3
t U
t+Δt U =
t U + a6
t U
+ a7 t+Δt U
128
Para se garantir a convergecircncia do meacutetodo foram adotados os paracircmetros 41α e δ=12 que
satildeo os paracircmetros de integraccedilatildeo que possibilitam estabilidade incondicional para o procedimento
de integraccedilatildeo de Newmark (BATHE 1982) Eacute importante fazer uma boa escolha do incremento
de tempo t adequado para assegurar a estabilidade do meacutetodo de integraccedilatildeo no tempo O
valor do incremento de tempo t deve ser menor do que o valor criacutetico crt dado pela
equaccedilatildeo D1 (BATHE 1982)
n
crt (D1)
sendo τn o menor periacuteodo natural do sistema Se o incremento de tempo eacute maior que o valor
criacutetico o meacutetodo de Newmark apresentaraacute problemas de convergecircncia (ALMEIDA JUacuteNIOR e
FARIA 2003) No presente trabalho a escolha do incremento de tempo t foi feita baseando-
se no fato de que a forccedila de desbalanceamento eacute aplicada a cada intervalo t Portanto se este
intervalo for muito grande a forccedila poderia deixar de ser aplicada durante cada ciclo do eixo Eacute
importante garantir que esta forccedila seja aplicada simetricamente durante cada ciclo ou seja que
para cada valor de rotaccedilatildeo ω (rads) a forccedila de desbalanceamento seja aplicada simetricamente
em todas as direccedilotildees Para que isto fosse possiacutevel foi adotada a seguinte expressatildeo para o
caacutelculo do incremento de tempo t
ω12
2t (D2)
Com o incremento da equaccedilatildeo (D2) garante-se que ocorram pelo menos 12 iteraccedilotildees a
cada ciclo do eixo ou seja uma a cada 30ordm o que garante a simetria da forccedila de
desbalanceamento Este criteacuterio garante tambeacutem que t lt crt Posteriormente foi feito o
estudo da convergecircncia dos resultados em funccedilatildeo do intervalo t para se otimizar o custo
computacional do meacutetodo implementado
ix
caacutelculo dos paracircmetros de desempenho Fx e Kxy 71
Figura 411 ndash Espectro de frequecircncia experimental ndash teste de batida 72
Figura 412 ndash Espectro de frequecircncia obtido pelo MEF para rotaccedilatildeo de 750 rpm 72
Figura 413 ndash Espectro de frequecircncia obtido pelo MEF para rotaccedilatildeo de 3200 rpm 73
Figura 414 ndash Espectro de frequecircncia experimental para o rotor da bancada operando
a 8900rpm 74
Figura 415 ndash Espectro de frequecircncia obtido pelo MEF para o rotor da bancada
operando a 8900rpm 74
Figura 416 ndash Espectro de frequecircncia obtido pelo MEF para o rotor do exemplo 4
operando a 3200rpm 76
Figura 417 ndash Espectro de frequecircncia experimental para o rotor de Machado(2006) 76
Figura 418 ndash Sensibilidade da malha de elementos finitos do mancal eliacuteptico no
caacutelculo dos paracircmetros de desempenho Fx e Kxy 78
Figura 419 - Posicionamento do eixo dentro do mancal e excentricidade 79
Figura 420 ndash Excentricidade adimensional do ponto de equiliacutebrio estaacutetico dos
mancais eliacutepticos em funccedilatildeo da folga radial 79
Figura 421 ndash Coeficientes de rigidez direta adimensionais em funccedilatildeo da folga radial
dos mancais eliacutepticos 80
Figura 422 ndash Coeficientes de rigidez cruzada adimensional modificado em funccedilatildeo
da folga radial dos mancais eliacutepticos 81
Figura 423 ndash Razatildeo CxyKxx em funccedilatildeo da folga radial dos mancais eliacutepticos 82
Figura 424 ndash Amortecimento efetivo em funccedilatildeo da folga radial dos mancais
eliacutepticos 82
Figura 425 ndash Excentricidade adimensional do ponto de equiliacutebrio estaacutetico dos
mancais eliacutepticos em funccedilatildeo da razatildeo de esbeltez 83
Figura 426 ndash Variaccedilatildeo do amortecimento efetivo em funccedilatildeo da razatildeo de esbeltez
dos mancais eliacutepticos 84
Figura 427 ndash Variaccedilatildeo do amortecimento cruzado adimensional em funccedilatildeo da razatildeo
de esbeltez dos mancais eliacutepticos 84
Figura 428 ndash Excentricidade adimensional do ponto de equiliacutebrio estaacutetico dos
x
mancais eliacutepticos em funccedilatildeo da preacute-carga 85
Figura 429 ndash Variaccedilatildeo da relaccedilatildeo de ajuste entre Mp kxx e kxy em funccedilatildeo da preacute-
carga dos mancais eliacutepticos 86
Figura 430 ndash Variaccedilatildeo do amortecimento efetivo em funccedilatildeo da preacute-carga dos
mancais eliacutepticos 86
Figura 431 ndash Desenho esquemaacutetico do rotor sem disco massivo 88
Figura 432 ndash Resposta desbalanceada calculada no mancal 1 do rotor apoiado em
mancais eliacutepticos com preacute-carga 045 (MIRANDA e FARIA 2012) 89
Figura 433 ndash Resposta desbalanceada para diferentes valores de preacute-carga dos
mancais eliacutepticos (MIRANDA e FARIA 2012) 89
Figura 434 ndashRazatildeo de amplificaccedilatildeo da resposta desbalanceada na primeira
velocidade criacutetica para o rotor apoiado em mancais eliacutepticos
(MIRANDA e FARIA 2012) 90
Figura 435 ndashDesenho esquemaacutetico do rotor com disco massivo em posiccedilatildeo
assimeacutetrica 91
Figura 436 ndash Amplitude de vibraccedilatildeo na primeira VC em funccedilatildeo da razatildeo de
esbeltez dos mancais eliacutepticos 92
Figura 437 ndash Curvas de ajuste da excentricidade adimensional do ponto de
equiliacutebrio estaacutetico em funccedilatildeo da razatildeo de esbeltez dos mancais eliacutepticos 94
Figura 438 ndash Razatildeo de ajuste de LD em funccedilatildeo da excentricidade adimensional do
ponto de equiliacutebrio estaacutetico dos mancais 95
Figura 439 ndash Erros relativos da razatildeo de ajuste de LD em funccedilatildeo da excentricidade
adimensional do ponto de equiliacutebrio estaacutetico dos mancais 95
Figura 440 ndash Amplitude de vibraccedilatildeo na primeira VC em funccedilatildeo da folga radial dos
mancais 97
Figura 441 ndash Razatildeo de ajuste da folga radial em funccedilatildeo da excentricidade
adimensional do ponto de equiliacutebrio estaacutetico dos mancais 98
Figura 442 ndash Erros relativos da razatildeo de ajuste da folga radial em funccedilatildeo da
excentricidade adimensional do ponto de equiliacutebrio estaacutetico dos
mancais 98
xi
Figura A1 - Viga de Euler-Bernoulli sob carregamento distribuiacutedo (Boru 2010) 112
Figura B1 ndash Deslocamento linear unitaacuterio no primeiro noacute 116
Figura B2 ndash Deslocamento angular unitaacuterio no primeiro noacute 117
Figura B3 ndash Deslocamento linear unitaacuterio no segundo noacute 118
Figura B4 ndash Deslocamento angular unitaacuterio no segundo noacute 120
LISTA DE TABELAS
Tabela 41- Paracircmetros do rotor com disco em balanccedilo (SINOU 2005) 62
Tabela 42- Valores comparativos da primeira frequecircncia natural para o rotor de
Sinou(2005) a 10 rpm 64
Tabela 43- Comparaccedilatildeo da primeira velocidade criacutetica 65
Tabela 44- Paracircmetros do rotor de Hong e Park(1999) 66
Tabela 45- Comparaccedilatildeo da primeira frequecircncia natural progressiva e regressiva para
o rotor de Hong e Park (1999) 67
Tabela 46- Comparaccedilatildeo das Frequecircncias de Batimento para o rotor de Hong e
Park(1999) 69
Tabela 47ndash Paracircmetros do rotor da bancada de testes 70
Tabela 48ndash Resultados da anaacutelise da sensibilidade da malha dos mancais 71
Tabela 49ndash Valores comparativos de frequecircncias naturais obtidas pelo MEF e
experimentalmente pelo teste de batida (bump test) 73
Tabela 410ndash Valores comparativos de frequecircncias naturais obtidas pelo MEF e
experimentalmente para o rotor da bancada operando a 8900rpm 75
Tabela 411ndash Paracircmetros do rotor da bancada de testes ndash exemplo 2 75
Tabela 412ndash Valores comparativos das frequecircncias naturais obtidas
experimentalmente por Machado(2006) e pelo MEF 77
Tabela 413ndash Paracircmetros do mancal eliacuteptico selecionado 77
Tabela 414 Paracircmetros do sistema rotor-mancal eliacuteptico utilizado na anaacutelise 88
Tabela 415ndash Paracircmetros do rotor com mancais eliacutepticos 92
xii
SIMBOLOGIA
Siacutembolos em letras latinas
A Aacuterea da seccedilatildeo transversal do eixo [m2]
Ampl Amplitude adimensional da resposta desbalanceada
c Folga radial menor (c = eRR ) [m]
Cb Folga radial maior
XXC YYC Coeficientes de amortecimento direto [Nsm]
XXc YYc Coeficientes de amortecimento direto adimensionais
XYC YXC Coeficientes de amortecimento cruzados [Nsm]
XYc YXc Coeficientes de amortecimento cruzados adimensionais
D Diacircmetro interno do mancal [m]
d Diacircmetro externo do eixo [m]
E Moacutedulo de elasticidade [Pa]
e Excentricidade do centro do munhatildeo no mancal (distacircncia entre centros do mancal
e do munhatildeoeixo) [m]
exey Projeccedilotildees de ―e nos eixos de coordenadas cartesianas xy
00 yx ee
posiccedilatildeo de equiliacutebrio do eixo
yx ee
perturbaccedilatildeo na posiccedilatildeo de equiliacutebrio do eixo
vetores unitaacuterios nas direccedilotildees circunferencial e axial respectivamente
f efeito de cisalhamento
F Forccedila de reaccedilatildeo do mancal gerada pela accedilatildeo hidrodinacircmica do fluido
Fx e Fy Componente da forccedila de reaccedilatildeo do fluido do mancal nas direccedilotildees x e y
e
jf Vetor de fluxo
G Moacutedulo de elasticidade ao cisalhamento [Pa]
h Espessura do filme lubrificante ou filme fluido
xiii
h0 Espessura miacutenima do filme lubrificante estacionaacuterio [m] ou de ordem zero
I Momento meacutedio de ineacutercia de aacuterea da seccedilatildeo transversal
Idm Momento diametral de ineacutercia de massa por unidade de comprimento
Ip Momento polar de ineacutercia de massa por unidade de comprimento
K Fator de forma do cisalhamento transversal
Kx Ky Coeficientes de cisalhamento
XXK YYK Coeficientes de rigidez diretos [Nm]
kxx e kyy Coeficientes de rigidez diretos adimensionais
XYK YXK Coeficientes de rigidez cruzados [Nm]
kxy e kyx Coeficientes de rigidez cruzados adimensionais
Coeficiente de rigidez adimensional modificado
][ e
jiK Matriz fluiacutedica de ordem zero
L Comprimento do mancal
l Comprimento do elemento
Leixo Comprimento do eixo
md Massa desbalanceada
m Fluxo maacutessico na direccedilatildeo circunferencial
nm Fluxo maacutessico de lubrificante cruzando a fronteira do domiacutenio do elemento finito
zm Fluxo maacutessico na direccedilatildeo axial
nm Fluxo de lubrificante de primeira ordem pelo contorno
edo elemento finito n
Mp Preacute-carga (medida da ―elipsidade do mancal) Mp = (Cb ndash c) c
n
Valor normal unitaacuterio direcionado para fora do contorno e do elemento finito
OL Posiccedilatildeo do centro dos loacutebulos
O Posiccedilatildeo do centro do eixo
p Pressatildeo apresentada pelo filme lubrificante [Pa]
pa Pressatildeo ambiente [Pa]
xiv
po Pressatildeo estacionaacuteria de ordem zero [Pa]
p Campo de pressatildeo hidrodinacircmica de primeira ordem
e
op Campo de pressatildeo discreto de ordem zero no domiacutenio e de um elemento finito
px py Campo de pressatildeo hidrodinacircmica de primeira ordem
e
ip Valores de pressatildeo nodal no noacute i do elemento e [Pa]
q(xt) Carregamento distribuiacutedo [Nm]
e
jq Vetor de fluxo devido ao escoamento de fluido pelo contorno do elemento ldquoerdquo
R Raio menor do mancal [m]
Re Raio do munhatildeo ou raio do eixo [m]
RL Raio do loacutebulo do mancal [m]
U Velocidade superficial do eixo (U = ωR) [ms]
Vf Contribuiccedilatildeo da flexatildeo no deslocamento linear do centro da seccedilatildeo do elemento
ud Excentricidade da massa desbalanceada
v(xt) Deflexatildeo lateral da viga
W Carga atuante no mancal [N]
Wf Contribuiccedilatildeo da flexatildeo no deslocamento linear do centro da seccedilatildeo do elemento
xy Coordenadas cartesianas
z Coordenada axial
Siacutembolo em letras gregas
e Contorno do elemento ―e
Deformaccedilatildeo por cisalhamento
Razatildeo de excentricidade ou excentricidade adimensional ( ε = ec)
o Excentricidade adimensional no ponto de equiliacutebrio estaacutetico
ψ Coordenadas no domiacutenio do elemento
Fator de forma da seccedilatildeo transversal da viga
Viscosidade absoluta do filme lubrificante [Pas]
xv
Coeficiente de Poisson
Massa especiacutefica [kgm3]
Massa especiacutefica do filme lubrificante [kgm3]
Acircngulo da posiccedilatildeo angular do munhatildeo a partir do ponto de maior espessura dentro do
mancal [rad]
z Coordenadas circunferencial e axial respectivamente
Φ Acircngulo de posiccedilatildeo do munhatildeo dentro do mancal Φ = tan-1
( Fy Fx )
Funccedilatildeo de interpolaccedilatildeo para o meacutetodo de elementos finitos para o elemento ―e
Rotaccedilatildeo do eixo [rads]
e Domiacutenio do elemento finito ―e
Subscritos
av Meacutedio
e Relativo ao elemento ―e
0 1 Ordem zero e primeira ordem instante de tempo anterior e atual
x Coordenada cartesiana vertical
y Coordenada cartesiana horizontal
Coordenadas xy combinadas no domiacutenio do elemento finito
Coordenadas no domiacutenio do elemento finito
Sobrescritos
e Relativo ao elemento ―e
ej
xvi
LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS
MEF Meacutetodo de Elementos Finitos
FEM Finite Element Method (Meacutetodo de Elementos Finitos)
VC Velocidade Criacutetica
xvii
RESUMO
Este trabalho apresenta um procedimento computacional baseado no meacutetodo de elementos
finitos desenvolvido especialmente para predizer o comportamento dinacircmico de sistemas
rotativos apoiados em mancais hidrodinacircmicos O procedimento computacional proposto
permite simular diferentes tipos de rotores compostos por eixo flexiacutevel discos massivos e
mancais riacutegidos ou hidrodinacircmicos com perfis circulares ou eliacutepticos Satildeo usados elementos
finitos de viga baseando-se na teoria de vigas de Timoshenko no modelo do eixo o que permite
incluir os efeitos de deformaccedilatildeo por cisalhamento ineacutercia rotatoacuteria e efeito giroscoacutepico Um
procedimento baseado no meacutetodo de elementos finitos eacute aplicado para resolver a equaccedilatildeo de
Reynolds para fluidos incompressiacuteveis junto a um procedimento de perturbaccedilatildeo linear para se
calcular os coeficientes dinacircmicos de forccedila dos mancais ciliacutendricos e eliacutepticos As equaccedilotildees de
movimento para rotores desbalanceados apoiados em mancais hidrodinacircmicos satildeo integradas
usando-se o Meacutetodo de Newmark para se obter a resposta no tempo Os resultados satildeo validados
pela comparaccedilatildeo com valores experimentais coletados em uma bancada de teste e tambeacutem com
valores publicados na literatura Satildeo apresentadas algumas relaccedilotildees algeacutebricas que permitem
predizer os paracircmetros de desempenho dos mancais e a resposta desbalanceada do sistema rotor-
mancal em funccedilatildeo dos paracircmetros geomeacutetricos dos mancais tais como preacute-carga razatildeo de
esbeltez e folga radial Eacute identificada uma faixa operacional dos mancais onde estas relaccedilotildees
algeacutebricas apresentam uma boa aproximaccedilatildeo com os resultados computacionais Os resultados
deste trabalho servem de base para o projeto de maacutequinas rotativas uma vez que permitem
predizer seu comportamento dinacircmico para diversas condiccedilotildees operacionais
Palavras-chaves Mancal eliacuteptico
Rotores flexiacuteveis
Mancal radial
Lubrificaccedilatildeo hidrodinacircmica
Meacutetodo de elementos finitos
xviii
ABSTRACT
This work presents the development of a finite element procedure specially devised to predict
the dynamic response of flexible rotors running on fluid film bearings The proposed procedure
can simulate many different types of rotor-bearing systems with a flexible shaft massive disks
and rigid or fluid film circular or elliptical bearings The shaft finite element model is based on
Timoshenko Beam Theory which includes shear effects rotary inertia and gyroscopic moments
A finite element procedure for solution of the classical Reynolds equation for incompressible
fluid films in conjunction with a linearized perturbation procedure is implemented to allow the
computation of the dynamic force-coefficients of cylindrical and elliptical journal bearings The
finite element equations of motion for an unbalanced rotor supported on fluid film bearings are
integrated by using the Newmark method and the time-domain unbalance response is obtained
The results are validated by comparison with experimental data collected from a test rig as well
as from results obtained from the literature
Some algebraic expressions relating the bearing parameters and the unbalance response with the
bearing geometric parameters (preload Slendernessrsquo ratio radial clearance) are presented A
range of operating conditions is identified where these expressions are supposed to be close to
the computational results obtained by the numerical procedure The results presented in this
work are valuable for rotating machine designers since it can properly predict its dynamic
response under several operation conditions
Keywords Elliptical bearing
Journal bearing
Hydrodynamic lubrication
Finite element method
19
1 INTRODUCcedilAtildeO
O projeto e o comissionamento de maacutequinas rotativas requerem um cuidado especial para se
garantir condiccedilotildees seguras estaacuteveis e eficientes de operaccedilatildeo Diversos estudos baseados em
procedimentos experimentais analiacuteticos e computacionais satildeo utilizados com o objetivo de se
analisar vaacuterios aspectos dinacircmicos relacionados a rotores de maacutequinas de alta velocidade Esses
estudos se tornam de extrema importacircncia na anaacutelise de equipamentos como turbinas a gaacutes e a
vapor compressores ventiladores industriais bombas exaustores entre outros
Com o desenvolvimento da tecnologia na aacuterea de projetos mecacircnicos eacute notaacutevel a tendecircncia em
se projetarem maacutequinas cada vez mais leves e com maior potecircncia que normalmente estatildeo mais
sujeitas a problemas de vibraccedilatildeo e de instabilidade A influecircncia dos mancais no comportamento
dinacircmico de maacutequinas rotativas e na capacidade de atenuar vibraccedilotildees eacute estudada haacute vaacuterios anos
em diversos trabalhos da literatura especializada (GUNTER 1966 CORREIA 2007)
Os mancais hidrodinacircmicos tecircm sido amplamente aplicados em maacutequinas rotativas devido agrave sua
grande capacidade de carga habilidade de operaccedilatildeo em altas velocidades e longevidade
(HAMROCK 1994 CHILDS 1993) Este tipo de mancal tem uma capacidade de
amortecimento que natildeo existe nos mancais de rolamento o que possibilita que a maacutequina passe
por uma velocidade criacutetica com menores riscos (STERNLICHT e LEWIS 1968 VANCE
1988) O amortecimento proporcionado por mancais hidrodinacircmicos permite a atenuaccedilatildeo das
forccedilas transmitidas do sistema eixorotor aos mancais a reduccedilatildeo do niacutevel de vibraccedilatildeo o
aumento da faixa de operaccedilatildeo estaacutevel do rotor e o aumento de vida uacutetil do mancal (ENGWALL
1991)
Os mancais hidrodinacircmicos aplicados em maacutequinas rotativas industriais podem ser divididos
basicamente em dois grupos mancais de geometria fixa e mancais de geometria variaacutevel
(ALLAIRE e FLACK 1981) Os mancais de geometria fixa satildeo mais simples e possuem um
menor custo de fabricaccedilatildeo montagem e manutenccedilatildeo do que os de geometria variaacutevel
(HAMROCK 1994) Os mancais mais amplamente usados na induacutestria satildeo os de geometria fixa
com perfil ciliacutendrico apresentando baixa estabilidade mas boa capacidade de carga (CORREIA
2007) Mancais de geometria moacutevel satildeo usados quando se deseja estabilidade do equipamento
sujeito a vibraccedilotildees subsiacutencronas isto eacute abaixo da frequecircncia de rotaccedilatildeo No final da deacutecada de
20
1980 este tipo de mancal passou a ser mais amplamente usado nos projetos de turbomaacutequinas
de alta velocidade (ZEIDAN 1992) A literatura cientiacutefica apresenta diversos trabalhos sobre
mancais ciliacutendricos mas poucos sobre mancais eliacutepticos (CORREIA 2007)
As interaccedilotildees entre o eixo rotativo da turbomaacutequina com o fluido de trabalho com os mancais
com os selos com o suporte e com todos os seus elementos acoplados tais como as palhetas e
discos devem ser incluiacutedas na anaacutelise dinacircmica de rotores para se obter confiabilidade aceitaacutevel
nas prediccedilotildees de seu comportamento O estudo preliminar do comportamento de sistemas
rotativos permite determinar as suas faixas de operaccedilatildeo estaacutevel e avaliar as influecircncias que
componentes do sistema exercem sobre a resposta dinacircmica do conjunto Os mancais se tornam
componentes vitais no projeto de turbomaacutequinas pois devem gerar forccedilas de reaccedilatildeo capazes de
suportar adequadamente o eixo rotativo e propiciar meios de atenuaccedilatildeo da resposta dinacircmica do
conjunto rotativo em regimes de operaccedilatildeo extremos Esse trabalho tem como proposta principal
a anaacutelise do comportamento dinacircmico de rotores flexiacuteveis apoiados em mancais radiais
hidrodinacircmicos de geometria fixa
A modelagem do rotor que inclui o eixo rotativo com discos riacutegidos acoplados eacute efetuada
utilizando-se o meacutetodo de elementos finitos baseado na teoria de vigas de Timoshenko
(CLOUGH e PENZIEN 1975) Incluem-se no modelo do rotor os efeitos de cisalhamento os
momentos giroscoacutepicos e a ineacutercia rotatoacuteria do eixo rotativo A equaccedilatildeo claacutessica de Reynolds
(PINKUS 1987 HAMROCK 1994) e um procedimento linearizado de perturbaccedilatildeo
(LUND1987) satildeo a base da modelagem dos mancais radiais hidrodinacircmicos ciliacutendricos e natildeo
ciliacutendricos considerados na anaacutelise O meacutetodo de elementos finitos eacute entatildeo empregado para
estimar as caracteriacutesticas dinacircmicas natildeo lineares dos mancais radiais finitos incluiacutedos na anaacutelise
do sistema rotativo O modelo dos mancais admite diversas geometrias de mancais ciliacutendricos e
eliacutepticos e natildeo satildeo adotadas hipoacuteteses restritivas ao modelo dos mancais como nas teorias de
mancal longo (HAMROCK 1994) ou de mancal curto que apresentam deficiecircncias na anaacutelise
dinacircmica de sistemas rotor-mancal (KALITA e KAKOTY 2004)
O texto deste trabalho eacute dividido em cinco capiacutetulos O capiacutetulo 1 apresenta a introduccedilatildeo do
trabalho seu escopo e objetivos No capiacutetulo 2 eacute apresentada a revisatildeo bibliograacutefica Em
seguida eacute descrita a metodologia do procedimento computacional proposto no capiacutetulo 3 onde
satildeo apresentados os procedimentos adotados para se modelar o sistema rotor-mancal composto
pelo eixo flexiacutevel disco riacutegido e mancais hidrodinacircmicos No final do capiacutetulo 3 eacute apresentado
um diagrama representando as etapas do procedimento computacional proposto No capiacutetulo 4
21
satildeo apresentados os resultados obtidos atraveacutes do procedimento computacional incluindo
exemplos de validaccedilatildeo No capiacutetulo 5 satildeo apresentadas as conclusotildees do trabalho e no capiacutetulo 6
satildeo listadas as referecircncias bibliograacuteficas Satildeo incluiacutedos ainda trecircs anexos No Anexo A satildeo
apresentados os fundamentos da teoria de vigas de Euler-Bernoulli de Rayleigh e de
Timoshenko No Anexo B apresenta-se a formulaccedilatildeo das funccedilotildees de interpolaccedilatildeo No Anexo C
satildeo listadas as matrizes de elementos finitos do eixo flexiacutevel usadas no modelo implementado e
no Anexo D eacute apresentado o algoritmo do Meacutetodo Numeacuterico de Newmark
11 Escopo
Esse trabalho descreve a anaacutelise do comportamento dinacircmico de rotores flexiacuteveis suportados em
mancais radiais hidrodinacircmicos de geometria fixa utilizando-se o meacutetodo de elementos finitos
Na modelagem dos mancais radiais incluem-se mancais ciliacutendricos e natildeo ciliacutendricos de
geometria fixa As condiccedilotildees de operaccedilatildeo do sistema rotativo utilizadas nesse trabalho estatildeo
baseadas em condiccedilotildees operacionais comumente encontradas na praacutetica O eixo eacute modelado por
elementos finitos de viga baseando-se na teoria de vigas de Timoshenko que permite analisar a
resposta da vibraccedilatildeo orbital nos dois planos ortogonais de flexatildeo A formulaccedilatildeo permite incluir
os efeitos de ineacutercia rotatoacuteria efeito giroscoacutepico e deformaccedilatildeo por cisalhamento
O caacutelculo dos coeficientes dinacircmicos de forccedila dos mancais eacute feito baseando-se na equaccedilatildeo de
Reynolds e nas equaccedilotildees de lubrificaccedilatildeo de ordem zero e de primeira ordem obtidas atraveacutes da
anaacutelise de perturbaccedilatildeo (LUND1987)
A resposta desbalanceada do sistema eacute obtida por meio de procedimento de integraccedilatildeo
numeacuterica implementado sobre a sua equaccedilatildeo de equiliacutebrio dinacircmico Eacute estudada a influecircncia dos
paracircmetros construtivos de mancais eliacutepticos e ciliacutendricos nos seus coeficientes de forccedila e na
resposta desbalanceada do sistema rotor-mancal Apresenta-se uma anaacutelise criacutetica sobre a faixa
onde o modelo computacional implementado fornece resultados considerados confiaacuteveis
baseando-se nas condiccedilotildees operacionais do sistema
Embora natildeo seja objetivo deste trabalho obter valores absolutos para os coeficientes de forccedila ou
para os niacuteveis de vibraccedilatildeo na resposta desbalanceada eacute investigada a forma como estes valores
variam em funccedilatildeo das caracteriacutesticas construtivas e operacionais do sistema
22
12 Objetivos
121 Objetivo geral
Este trabalho tem como objetivo desenvolver um procedimento computacional baseado no
meacutetodo de elementos finitos (MEF) para a anaacutelise da resposta de sistemas rotativos apoiados em
mancais radiais hidrodinacircmicos de geometria fixa O eixo eacute modelado por elementos de viga
baseando-se na Teoria de Viga de Timoshenko Os mancais hidrodinacircmicos satildeo modelados
tambeacutem por elementos finitos utilizando-se o meacutetodo da perturbaccedilatildeo aplicado na equaccedilatildeo de
Reynolds
122 Objetivos especiacuteficos
i Desenvolver e implementar um procedimento computacional eficiente baseado no
MEF para representar rotores flexiacuteveis sujeitos a cargas de desbalanceamento
apoiados em suportes flexiacuteveis
ii Desenvolver e implementar um procedimento computacional eficiente baseado no
MEF para a determinaccedilatildeo dos coeficientes dinacircmicos dos mancais hidrodinacircmicos de
geometria fixa sem o uso de teorias simplificadas como os modelos de mancal curto
ou de mancal longo
iii Comparar os resultados do procedimento computacional proposto com resultados
publicados na literatura especializada e com dados experimentais coletados em uma
bancada de testes atraveacutes da anaacutelise das frequecircncias naturais
iv Analisar a influecircncia dos paracircmetros geomeacutetricos dos mancais eliacutepticos (preacute-carga
razatildeo de esbeltez folga radial) nos coeficientes de forccedila dos mancais e na resposta
desbalanceada do sistema
v Estabelece relaccedilotildees algeacutebricas entre alguns paracircmetros de desempenho dos mancais
ciliacutendricos e eliacutepticos e a resposta balanceada com os paracircmetros geomeacutetricos dos
mancais Identificar as faixas operacionais onde estas relaccedilotildees algeacutebricas satildeo vaacutelidas
23
2 REVISAtildeO BIBLIOGRAacuteFICA
As referecircncias apresentadas a seguir satildeo divididas em seccedilotildees para facilitar a exposiccedilatildeo dos
temas envolvidos no trabalho Inicialmente satildeo apresentadas as publicaccedilotildees que abordam os
procedimentos computacionais para a modelagem de sistemas rotor-mancal destacando-se o uso
do meacutetodo de elementos finitos e a evoluccedilatildeo dos modelos de elementos de vigas aplicados aos
eixos flexiacuteveis Em seguida destacam-se os trabalhos que fazem a anaacutelise da estabilidade de
sistemas rotor-mancal atraveacutes de problema de autovalor Segue-se com a citaccedilatildeo das publicaccedilotildees
que apresentam procedimentos de modelagem de mancais hidrodinacircmicos As uacuteltimas seccedilotildees
apresentam trabalhos sobre sistemas rotativos com elementos adicionais onde se destacam no
final os modelos de mancais eliacutepticos
Observa-se que a literatura apresenta diversos trabalhos dentro desta linha poreacutem muitos
aplicam o modelo de mancal curto que eacute bastante limitado principalmente para mancais
operando com grandes excentricidades A teoria de mancal curto eacute mais aplicaacutevel na prediccedilatildeo de
carga mas eacute muito limitada na determinaccedilatildeo de coeficientes de forccedila ou no estudo da
estabilidade do sistema Outros trabalhos apresentam uma abordagem detalhada do modelo dos
mancais mas ao apresentar os resultados fazem diversas simplificaccedilotildees (mancais isotroacutepicos
por exemplo) Em alguns casos a modelagem dos mancais e a aplicaccedilatildeo do procedimento
numeacuterico eacute detalhada e rigorosa poreacutem aplica-se o modelo de eixo riacutegido o que tambeacutem
representa uma limitaccedilatildeo A teoria natildeo-linear para mancais hidrodinacircmicos eacute apresentada por
diversos autores poreacutem os trabalhos possuem uma abordagem mais matemaacutetica natildeo focando
em aspectos praacuteticos de condiccedilotildees operacionais de maacutequinas rotativas
Desta forma observa-se uma lacuna na literatura onde raramente satildeo analisados sistemas rotor-
mancal hidrodinacircmico de maneira detalhada evitando-se hipoacuteteses simplificadoras tanto no
modelo dos mancais quanto no modelo do eixo flexiacutevel
21 Modelagem de sistemas rotor-mancal
A anaacutelise do comportamento dinacircmico de maacutequinas rotativas tem fomentado o desenvolvimento
de procedimentos computacionais eficientes e precisos para as etapas preliminares de projeto
24
Os modelos de maacutequinas rotativas de alta velocidade geralmente incluem rotores flexiacuteveis
apoiados em mancais hidrodinacircmicos e eacute fundamental analisar a estabilidade do sistema
(GUNTER 1970 BUSSE et al1980 VANCE 1988 KRAMER 1993 CHILDS 1993
ABDULJABBAR et al1997 HU et al 2000 GANESAN 2000 ZHAO et al2005 WENHUI
et al 2007)
Os estudos dinacircmicos baseados em modelos computacionais se tornam de extrema importacircncia
em diversas aplicaccedilotildees industriais de turbomaacutequinas como turbinas a gaacutes e a vapor
compressores ventiladores industriais bombas exaustores entre outros (STERNLICHT e
LEWIS 1968) A partir da deacutecada de 70 o meacutetodo de elementos finitos comeccedilou a ser usado
com extrema frequecircncia para o desenvolvimento de modelos de rotores flexiacuteveis e para a anaacutelise
de balanceamento estabilidade e vibraccedilatildeo torcional de maacutequinas rotativas (ZORZI e NELSON
1977 VANCE 1988 CHILDS 1993 ALMEIDA Jr e FARIA 2003 MIRANDA et al 2005)
A aplicaccedilatildeo do meacutetodo de elementos finitos na modelagem e simulaccedilatildeo de sistemas rotativos eacute
muito ampla na anaacutelise dinacircmica de rotores Os primeiros trabalhos nesta aacuterea satildeo apresentados
por Ruhl (1970) e Ruhl e Booker (1972) onde se aplica o meacutetodo de elementos finitos na
anaacutelise dinacircmica de um sistema rotativo com paracircmetros distribuiacutedos Satildeo usados elementos de
viga incluindo a ineacutercia translacional e rigidez agrave flexatildeo mas natildeo satildeo considerados os efeitos de
ineacutercia rotatoacuteria momentos giroscoacutepios deformaccedilatildeo por cisalhamento carga axial torque axial
e amortecimento interno Kirk e Gunter (1972) analisam a resposta transiente e permanente do
rotor de Jeffcott com mancais elaacutesticos montados em apoios flexiacuteveis e amortecidos ainda
desconsiderando a flexibilidade do rotor e o efeito giroscoacutepico do disco rotativo nas equaccedilotildees de
movimento Na mesma eacutepoca Thorkildsen (1972) desenvolveu um modelo mais completo onde
incluiu os efeitos de ineacutercia rotatoacuteria e momentos giroscoacutepios
Polk (1974) apresenta um estudo sobre velocidade criacutetica e velocidade limite utilizando
elemento finito de viga de Rayleigh Polk ainda apresenta neste mesmo trabalho o
desenvolvimento dos elementos finitos de viga de Timoshenko embora sem nenhum resultado
numeacuterico Diana et al(1975) apresentam seus resultados da anaacutelise de um eixo rotativo usando
o meacutetodo de elementos finitos com elementos semelhantes aos de Ruhl (1970) No mesmo ano
Dimaragonas (1975) apresenta um desenvolvimento geral de elemento de viga mas ainda
excluindo o cisalhamento e carga e torque axiais Gasch (1976) apresentou importantes
resultados em um artigo semelhante ao de Dimaragonas poreacutem incluindo o efeito de
25
excentricidade distribuiacuteda Satildeo analisados eixos rotativos de grandes turbomaacutequinas atraveacutes de
elementos finitos e introduzida a dinacircmica da fundaccedilatildeo nas equaccedilotildees de movimento usando
anaacutelise modal e teste modal
No mesmo ano Nelson e McVaugh (1976) apresentam uma formulaccedilatildeo para modelar o sistema
rotor-mancal usando paracircmetros distribuiacutedos e elementos finitos de viga de Rayleigh
semelhantes aos de Polk (1974) incluindo os efeitos de ineacutercia rotatoacuteria efeito giroscoacutepico e
cargas axiais Este trabalho eacute ampliado posteriormente em Zorzi e Nelson (1977) incluindo-se o
amortecimento viscoso interno do eixo Nelson (1980) generaliza os modelos apresentados em
1976 e 1977 usando a teoria de vigas de Timoshenko para estabelecer as funccedilotildees de forma do
eixo flexiacutevel incluindo o efeito de cisalhamento mas sem incluir o amortecimento interno Satildeo
obtidas as equaccedilotildees de elementos atraveacutes do Princiacutepio de Hamilton e das integrais que definem
as energias potencial e cineacutetica de cada elemento A energia cineacutetica leva em consideraccedilatildeo a
energia rotacional e translacional e a energia potencial considera a energia potencial elaacutestica
devida agrave flexatildeo a energia potencial do cisalhamento e a energia devida agrave carga axial Para
modelar os mancais satildeo considerados apoios isotroacutepicos sem efeito de amortecimento O autor
apresenta vaacuterios resultados que validam o meacutetodo comparando-os com outros obtidos na
literatura Eacute apresentada uma comparaccedilatildeo entre as frequecircncias naturais de uma viga estaacutetica
obtidas com elementos de viga de Euler-Bernoulli de Rayleigh e de Timoshenko
Posteriormente satildeo apresentados resultados de velocidades criacuteticas calculadas para eixos
rotativos apoiados pelas extremidades
Oumlzguumlven e Oumlzkan (1984) aplicam tambeacutem o meacutetodo de elementos finitos considerando os
efeitos da ineacutercia rotatoacuteria carga axial efeito giroscoacutepico deformaccedilotildees por cisalhamento e
amortecimento viscoso interno no mesmo modelo Vance et al(1987) apresentam comparaccedilotildees
de dados experimentais com resultados numeacutericos obtidos em uma bancada de sistema rotor-
mancal incluindo os efeitos de impedacircncia da fundaccedilatildeo no modelo usando o meacutetodo de matriz
de transferecircncia
Jei e Lee (1988) analisam o comportamento dinacircmico de rotores assimeacutetricos apoiados em
mancais hidrodinacircmicos utilizando o meacutetodo de elementos finitos O sistema rotativo eacute
composto por um eixo assimeacutetrico e discos riacutegidos e os efeitos da ineacutercia rotatoacuteria do
cisalhamento transversal dos momentos giroscoacutepicos e do amortecimento histereacutetico satildeo
incluiacutedos na modelagem do sistema As equaccedilotildees de vibraccedilatildeo lateral do conjunto rotativo satildeo
26
compactadas via teacutecnica de reduccedilatildeo modal de coordenadas Na modelagem dos mancais radiais
os autores desprezam a assimetria dos coeficientes cruzados de rigidez e de amortecimento e natildeo
descrevem claramente como foram obtidos os demais coeficientes de forccedila O problema de
autovalor do sistema giroscoacutepico amortecido eacute obtido para a determinaccedilatildeo das velocidades
criacuteticas de instabilidade do sistema rotativo As simplificaccedilotildees efetuadas pelos autores na
modelagem dos mancais afetam a determinaccedilatildeo precisa das velocidades de instabilidade do rotor
assimeacutetrico suportado em mancais hidrodinacircmicos que depende fortemente dos coeficientes
cruzados de rigidez Stephenson e Rouch (1992) aplicam o meacutetodo de elementos finitos para
analisar um sistema rotor-mancal e fundaccedilatildeo usando tambeacutem anaacutelise modal que permite
observar os efeitos dinacircmicos da estrutura da fundaccedilatildeo
Mais recentemente diversos trabalhos tecircm sido publicados aplicando-se o meacutetodo de elementos
finitos para a anaacutelise da estabilidade e da resposta no tempo de sistemas rotativos Sundararajan
(1996) investiga a resposta natildeo-linear e a estabilidade de um sistema rotor-mancal em regime
permanente sujeito a desbalanceamento Satildeo considerados rotores riacutegidos apoiados em mancais
hidrodinacircmicos planos e squeeze-film dampers (amortecedores por esmagamento de filme
fluido) Analisa-se a influecircncia dos coeficientes de forccedila cruzados e da ineacutercia do fluido na
resposta natildeo-linear e na estabilidade do sistema Na modelagem por elementos finitos satildeo
derivadas as matrizes de massa de rigidez e de amortecimento do sistema e eacute apresentado um
procedimento numeacuterico que reduz o nuacutemero de graus de liberdade do sistema O autor aplica a
teoria de bifurcaccedilatildeo de Hopf (HOLLIS e TAYLOR 1986) para calcular os regimes de
bifurcaccedilatildeo de mancais hidrodinacircmicos finitos mostrando que os mancais podem entrar em
regime de instabilidade mesmo abaixo das velocidades limites o que natildeo eacute observado nos
modelos lineares Na modelagem do squeeze film damper e do mancal plano eacute adotado o modelo
de mancal curto Posteriormente o autor propotildee uma anaacutelise de estabilidade de mancais planos
finitos usando uma formulaccedilatildeo que faz uma soma ponderada das soluccedilotildees analiacuteticas do mancal
curto e do mancal longo para se obter os coeficientes de forccedila Os resultados para mancais
planos finitos natildeo satildeo validados experimentalmente Embora comente-se sobre o caraacuteter natildeo-
linear do efeito das folgas nos mancais de rolamento este tipo de mancal natildeo eacute modelado pelo
autor O modelo do sistema rotor-mancal considera o rotor e o eixo riacutegidos e usa o modelo de
mancal curto o que torna o modelo bastante limitado
Chen e Lee (1997) aplicam o meacutetodo de elementos finitos em um problema de rotores flexiacuteveis
para obter a resposta desbalanceada no tempo e para identificar os coeficientes de forccedila de
27
mancais de rolamento Armentrout (1998) apresenta o desenvolvimento de uma anaacutelise
transiente de rotores flexiacuteveis suportados em mancais de filme fluido baseada no meacutetodo das
matrizes de transferecircncia Os efeitos de cisalhamento os momentos giroscoacutepicos e a ineacutercia
rotatoacuteria satildeo incluiacutedos na modelagem do eixo do rotor A soluccedilatildeo unidimensional aproximada da
equaccedilatildeo de Reynolds eacute a base do modelo de mancais ciliacutendricos radiais e de sapatas moacuteveis
contemplados na anaacutelise O procedimento computacional desenvolvido por Armentrout (1998)
utiliza teacutecnica de compactaccedilatildeo modal de coordenadas empregando os modos de vibraccedilatildeo natildeo
amortecidos do sistema rotor-mancal-fundaccedilatildeo As equaccedilotildees de equiliacutebrio do sistema rotativo
em coordenadas modais satildeo integradas utilizando-se um algoritmo de integraccedilatildeo impliacutecita
―preditor-corretor
Tiwari et al (2000) apresentam uma investigaccedilatildeo teoacuterico-experimental da dinacircmica natildeo-linear
de rotores riacutegidos horizontais apoiados em mancais de rolamento de esferas Um modelo
discreto de massa concentrada com dois graus de liberdade eacute empregado na representaccedilatildeo do
rotor riacutegido As natildeo linearidades da anaacutelise estatildeo associadas aos efeitos da folga radial do
mancal e do modelo de contato de Hertz para as esferas desse mancal As equaccedilotildees de equiliacutebrio
do sistema satildeo integradas utilizando-se um algoritmo impliacutecito de integraccedilatildeo A anaacutelise
experimental do trabalho consiste na determinaccedilatildeo da resposta desbalanceada e na avaliaccedilatildeo da
estabilidade dinacircmica de um rotor horizontal apoiado em mancais de rolamento anisotroacutepicos
Os autores mostram resultados teoacutericos e experimentais para as regiotildees de instabilidade do rotor
que apresentam boa concordacircncia A consideraccedilatildeo de rotor riacutegido representa uma limitaccedilatildeo do
modelo
Elmadany et al (2001) apresentam um modelo de elementos finitos para um sistema rotativo
composto por um eixo flexiacutevel um rotor riacutegido e vaacuterios mancais incluindo no modelo do rotor
os efeitos de ineacutercia rotativa momentos giroscoacutepicos amortecimento interno deformaccedilotildees por
cisalhamento e torque axial Satildeo usados elementos finitos de viga de Timoshenko para gerar as
equaccedilotildees dos elementos do eixo Os oito coeficientes de forccedila dos mancais hidrodinacircmicos satildeo
apresentados em funccedilatildeo do nuacutemero de Sommerfeld considerando mancais curtos O meacutetodo
computacional proposto permite obter importantes informaccedilotildees do comportamento dinacircmico do
sistema tais como a precessatildeo as velocidades criacuteticas as regiotildees de estabilidade e a resposta
dinacircmica desbalanceada As velocidades de instabilidades satildeo obtidas atraveacutes do problema de
autovalor Os autores apresentam diversos resultados numeacutericos comparados com outros
28
extraiacutedos da literatura Em um deles destaca-se a comparaccedilatildeo das velocidades de instabilidade
(threshold speed of instability) e os autores fazem ainda uma comparaccedilatildeo entre o modelo usando
elementos de viga de Rayleigh e de Timoshenko Conclui-se que ao se incluir o efeito de
cisalhamento na anaacutelise de vibraccedilatildeo livre os valores das velocidades de instabilidade satildeo
reduzidos
Hong et al(2001) investigam os efeitos da deformaccedilatildeo inicial de eixos na resposta dinacircmica de
sistemas rotor-mancal Analisa-se a vibraccedilatildeo siacutencrona provocada pela deformaccedilatildeo inicial e pelo
desbalanceamento sendo incluiacutedo o efeito giroscoacutepico O modelo de elementos finitos tem dois
graus de liberdade correspondentes aos deslocamentos transversais e o rotor tem trecircs discos
riacutegidos e dois mancais Satildeo simuladas algumas configuraccedilotildees de rotor incluindo mancais
hidrodinacircmicos de sapatas moacuteveis Os resultados mostram que o efeito da deformaccedilatildeo inicial
influencia fortemente a resposta siacutencrona em baixas velocidades enquanto o efeito do
desbalanceamento afeta em altas velocidades de rotaccedilatildeo Eacute observado ainda que a presenccedila de
ambos efeitos pode causar dificuldade no diagnoacutestico de vibraccedilotildees de maacutequinas rotativas Os
autores usam coeficientes de forccedila preacute-calculados por outros autores natildeo apresentando a
modelagem dos mancais Natildeo fica claro tambeacutem o tipo de elemento finito usado no modelo do
eixo
Guo e Kirk (2003) fazem um estudo dos limites de estabilidade de um sistema rotor-mancal
hidrodinacircmico baseado no modelo de Jeffcott (1919) incluindo o amortecimento externo e um
estudo para rotores verticais e horizontais Os autores destacam a forte influecircncia que o
amortecimento externo tem na anaacutelise da estabilidade do sistema rotativo Eacute proposto um
meacutetodo analiacutetico que faz vaacuterias consideraccedilotildees que simplificam as equaccedilotildees de movimento do
sistema por exemplo rotor vertical com operaccedilatildeo centrada em mancais curtos idecircnticos Eacute
mostrado que existe uma velocidade limite (threshold speed) para o rotor vertical enquanto para
o rotor horizontal haacute uma regiatildeo de operaccedilatildeo estaacutevel limitada entre duas regiotildees instaacuteveis Neste
caso do rotor horizontal eacute conduzido um procedimento numeacuterico sem as hipoacuteteses
simplificadoras usadas no modelo vertical usando anaacutelise de autovalores obtidos das equaccedilotildees
matriciais de movimento do sistema Observa-se que no rotor horizontal o efeito do
amortecimento externo aumenta a regiatildeo de operaccedilatildeo estaacutevel do sistema e para alguns valores
mais elevados de amortecimento externo eacute possiacutevel eliminar a regiatildeo de instabilidade
garantindo operaccedilatildeo estaacutevel para o sistema rotativo em toda faixa de velocidade de rotaccedilatildeo
analisada Guo e Kirk (2003) incluem ainda em seu trabalho uma anaacutelise do modelo extendido
29
do rotor de Jeffcott onde satildeo consideradas as massas dos mancais nas extremidades do rotor
Conclui-se que ao se incluiacuterem as massas dos mancais surge uma outra velocidade
limite(threshold speed) E mesmo que vaacuterias regiotildees de instabilidade possam ser reduzidas ou
eliminadas com o aumento do amortecimento externo este amortecimento tem pouco efeito nas
uacuteltimas velocidades de instabilidade (threshold speed of instability) uma vez que estas
velocidades dependem da massa do mancal Assim a melhor forma de se obter amplas faixas de
operaccedilatildeo estaacutevel eacute combinar-se os efeitos do amortecimento externo ao das massas dos mancais
obtendo-se uma combinaccedilatildeo adequada no dimensionamento do rotor de Jeffcott
Em (GUO e KIRK 2003b) a anaacutelise eacute ampliada incluindo-se o efeito da flexibilidade dos
mancais onde mostra-se como melhorar a resposta dinacircmica e a resposta desbalanceada do
sistema assim como a estabilidade e a transmissatildeo de forccedilas Novamente satildeo consideradas as
mesmas hipoacuteteses simplificadoras que restringem bastante a abrangecircncia dos resultados obtidos
Os proacuteprios autores admitem que os resultados satildeo vaacutelidos para um caso especial Nos
resultados satildeo apresentadas as regiotildees de estabilidade e a influecircncia do amortecimento e da
rigidez dos mancais na estabilidade do sistema Comenta-se ainda que os coeficientes de forccedila
de mancais hidrodinacircmicos tecircm natureza natildeo-linear e que cabe um estudo mais detalhado sobre
o efeito desta natildeo-linearidade
Balantrapu (2004) apresenta um procedimento computacional de identificaccedilatildeo de paracircmetros
para identificar os coeficientes de forccedila de mancais em um sistema rotativo com eixo flexiacutevel
atraveacutes da resposta desbalanceada medida proacuteximo aos mancais Eacute proposta tambeacutem uma
formulaccedilatildeo que permite usar o procedimento de identificaccedilatildeo a partir de mediccedilotildees feitas longe
dos mancais em especial no ponto meacutedio entre eles O eixo flexiacutevel eacute modelado por elementos
finitos incluindo-se os efeitos de ineacutercia rotatoacuteria e efeito giroscoacutepico e para os mancais satildeo
considerados coeficientes de forccedila lineares Satildeo apresentados vaacuterios exemplos incluindo
mancais hidrodinacircmicos de dois loacutebulos Observa-se que a massa desbalanceada necessaacuteria para
se fazer as mediccedilotildees do deslocamento do eixo assim como a exatidatildeo dos resultados de
mediccedilatildeo influenciam os resultados obtidos para os coeficientes de forccedila Outro fator que
influencia mais consideravelmente eacute a rigidez do eixo que tem grande influecircncia nas amplitudes
de vibraccedilatildeo medidas no sistema
Kalita e Kakoty (2004) destacam o meacutetodo de elementos finitos como o mais popular para
anaacutelise de vibraccedilatildeo de sistemas rotor-mancal Eacute estudado o comportamento dinacircmico de um
30
rotor apoiado em mancais hidrodinacircmicos onde usam-se elementos de viga de Timoshenko para
o eixo que inclui os efeitos de ineacutercia rotatoacuteria efeito giroscoacutepico amortecimento interno e
deformaccedilatildeo por cisalhamento O modelo tem 4 graus de liberdade dois deslocamentos
transversais e duas rotaccedilotildees Satildeo apresentados os diagramas de Campbell para diferentes valores
de coeficientes de forccedila dos mancais incluindo anaacutelise da influecircncia dos coeficientes de
amortecimento e de rigidez cruzada dos mancais nas velocidades de instabilidade Eacute mostrada
ainda a limitaccedilatildeo do uso da aproximaccedilatildeo de mancais curtos no caacutelculo dos coeficientes
dinacircmicos de mancais hidrodinacircmicos
Bode e Menezes (2005) apresentam uma anaacutelise dinacircmica de um sistema rotor-mancal pelo
meacutetodo de elementos finitos onde satildeo detalhadas todas etapas da modelagem do sistema O
eixo flexiacutevel eacute excitado por forccedilas de desbalanceamento e apoiado nas extremidades por mancais
hidrodinacircmicos cujas forccedilas de reaccedilatildeo satildeo produzidas pela pressatildeo dinacircmica do lubrificante Os
coeficientes de rigidez e de amortecimento dos mancais satildeo obtidos atraveacutes da soluccedilatildeo numeacuterica
da equaccedilatildeo de Reynolds Para modelar o eixo flexiacutevel eacute usada a teoria de vigas de Timoshenko
incluindo o efeito giroscoacutepico e de cisalhamento Adota-se o meacutetodo de elementos finitos com
elementos de viga com 4 graus de liberdade em cada noacute 2 deslocamentos e 2 velocidades As
equaccedilotildees de movimento satildeo obtidas pelas equaccedilotildees de Lagrange descrevendo o movimento em
dois planos A resposta no tempo eacute obtida pelo meacutetodo de Newmark (RAO 1995) integrando-se
numericamente as equaccedilotildees de movimento Os autores obtecircm uma soluccedilatildeo numeacuterica que
permite descrever as condiccedilotildees dinacircmicas de estabilidade do sistema rotor-mancal
Cheng et al (2008) investigam o comportamento dinacircmico natildeo-linear de um sistema rotor-
mancal-selo apresentando resultados em forma de trajetoacuterias mapas de Poincareacute expoentes de
Liapunov espectros de frequecircncia e diagramas de bifurcaccedilatildeo Satildeo destacadas as caracteriacutesticas
natildeo-lineares dos coeficientes de rigidez e de amortecimento de mancais hidrodinacircmicos e de
selos mecacircnicos Consideram-se mancais curtos Para o selo adota-se o modelo natildeo-linear de
Muszynska (1986) O modelo do rotor considera apenas a vibraccedilatildeo transversal desprezando a
vibraccedilatildeo torcional e o efeito giroscoacutepico sendo adotado o modelo de rotor de Jeffcott A soluccedilatildeo
numeacuterica eacute obtida atraveacutes do meacutetodo de Runge-Kutta de quarta ordem seguida de uma anaacutelise
graacutefica do comportamento natildeo-linear do sistema em funccedilatildeo da velocidade de rotaccedilatildeo da
excentricidade da folga no selo e da pressatildeo no selo Os autores enfatizam a modelagem do
selo mas simplificam muito o modelo do eixo O modelo dos mancais eacute limitado a mancais
curtos e a anaacutelise numeacuterica considera apenas um exemplo de mancal
31
Rezvani (2009) faz uma anaacutelise de um sistema rotor mancal com vaacuterios graus de liberdade e
apoios natildeo-lineares Satildeo modelados sistemas apoiados em mancais de rolamento e em suportes
amortecidos (squeeze film dampers) considerando o modelo de mancais curtos Satildeo mostrados
os efeitos do amortecimento e do efeito giroscoacutepico do sistema em sua estabilidade Elhibir
(2009) apresenta um modelo computacional de um alternador afixado em uma viga oca em
balanccedilo apoiada em uma extremidade por dois mancais de rolamento O modelo usa o meacutetodo
de elementos finitos com elementos soacutelidos tetraeacutedricos Eacute analisada a resposta desbalanceada
do sistema e obtidas as frequecircncias naturais e usada anaacutelise modal Satildeo apresentados diversos
resultados numeacutericos e imagens ilustrando as deformaccedilotildees do sistema em cada modo de
vibraccedilatildeo
Karlberg (2010) faz uma anaacutelise dinacircmica de maacutequinas rotativas apoiadas por mancais de
rolamento com folgas O trabalho se destaca pela forma detalhada como eacute analisada a influecircncia
das folgas dos mancais nos seus coeficientes de rigidez proacuteximo da posiccedilatildeo de equiliacutebrio Eacute
observado que as frequecircncias naturais reduzem significativamente com o aumento das folgas
Para o modelo do rotor eacute adotada a teoria de vigas de Bernoulli-Euler usado o modelo de
Jeffcott com disco riacutegido
22 Anaacutelise da estabilidade atraveacutes de problema de autovalor
A anaacutelise da estabilidade de sistemas rotor-mancal pode tambeacutem ser feita atraveacutes do problema
de autovalor Gupta (1974) apresenta uma anaacutelise baseada no problema de autovalores
aplicando equaccedilotildees que consideram o efeito giroscoacutepico amortecido do sistema A formulaccedilatildeo
do problema de autovalor associados a sistemas giroscoacutepicos amortecidos eacute de grande
importacircncia para a determinaccedilatildeo de velocidades criacuteticas e para a anaacutelise de sensibilidade de
paracircmetros em maacutequinas rotativas (PLAUT e HUSEYIN 1972 MEIROVITCH e
RYLAND 1979 LUND 1980 PALAZZOLO et al 1983 RAJAN et al 1986 FARIA e
BARCELLOS 1991 EHRICH 1992 LUND 1994) A equaccedilatildeo do sistema rotor-mancal
flexiacutevel com efeito giroscoacutepico amortecido eacute reescrita na forma de variaacuteveis de estado
(MEIROVITCH1974 MEIROVITCH1980 CHILDS e GRAVISS1982) para a determinaccedilatildeo
dos autovalores complexos
Rao et al (1996) analisam a estabilidade e os autovalores de sistemas rotor-mancal usando a
teacutecnica de elementos finitos e considerando coeficientes distribuiacutedos de forccedila e de
32
amortecimento nos mancais Satildeo consideradas distribuiccedilotildees uniformes e paraboacutelicas para
diferentes tipos de mancais hidrodinacircmicos Os coeficientes distribuiacutedos satildeo obtidos atraveacutes de
uma metodologia que usa o princiacutepio do trabalho virtual (CRAGGS 1993 TAYLOR e
CRAGGS 1994) mas que considera apenas uma distribuiccedilatildeo uniforme ao longo da largura e do
comprimento do mancal Esta consideraccedilatildeo eacute vaacutelida quando o mancal eacute razoavelmente longo
Poreacutem quando eacute curto eacute vaacutelido considerar a distribuiccedilatildeo paraboacutelica (RAO et al1996) Assim
o mesmo princiacutepio do trabalho virtual eacute aplicado desta vez para se obterem as matrizes de
elementos finitos dos coeficientes de forccedila com distribuiccedilatildeo paraboacutelica Estas matrizes satildeo
incluiacutedas nas matrizes do sistema rotor-mancal obtendo-se a equaccedilatildeo de movimento do sistema
em forma matricial
A modelagem do rotor eacute feita usando-se elementos de viga finitos como propostos por Nelson e
McVaugh (1976) incluindo-se o efeito giroscoacutepico e o amortecimento interno Os resultados
satildeo analisados comparando-se os autovalores e frequecircncias naturais do sistema com coeficientes
de rigidez e de amortecimento distribuiacutedos agravequeles obtidos considerando-se os coeficientes de
forccedila concentrados para mancais isotroacutepicos com razatildeo LD=05 e LD=10 Observa-se que
para mancais longos quando os coeficientes de rigidez satildeo baixos (104 a 10
7 Nm) a diferenccedila
entre os resultados para os modelos de coeficientes distribuiacutedos e concentrados eacute despreziacutevel e
entre os modelos de coeficientes distribuiacutedos uniformemente e paraboacutelico tambeacutem eacute pequena
Percebe-se um aumento nas frequecircncias naturais para o modelo de coeficientes distribuiacutedos
somente para valores mais elevados de rigidez Por fim os autores analisam a estabilidade do
sistema rotativo para diferentes tipos de mancais hidrodinacircmicos cujos coeficientes de forccedila satildeo
obtidos de Lund e Thomsen (1978) Conclui-se que as regiotildees de estabilidade mudam entre as
duas formulaccedilotildees O modelo de coeficientes distribuiacutedos fornece regiotildees de estabilidade mais
amplas quando comparado com o modelo de coeficientes concentrados Desta forma o modelo
concentrado eacute mais conservativo do ponto de vista de estabilidade e o modelo distribuiacutedo eacute
mais preciso
Santana (2009) apresenta a anaacutelise da resposta complexa de um sistema rotor-mancais-fundaccedilatildeo
onde estuda a influecircncia do grau de anisotropia dos mancais e da estrutura de suporte na resposta
do modo retroacutegrado de precessatildeo Eacute formulado tambeacutem um problema de autovalores poreacutem
associado agrave anaacutelise modal adaptada para sistemas rotativos (NORDMANN 1982) A anaacutelise dos
modos de vibraccedilatildeo associados ao eixo rotativo e aos mancais de apoio fornece importantes
dados para o desenvolvimento de meacutetodos computacionais de anaacutelise de vibraccedilatildeo teacutecnicas de
33
balanceamento e de monitoramento de maacutequinas de alta rotaccedilatildeo (BUSSE et al 1980 BOEDO e
BOOKER 1997) O mesmo problema pode ainda incluir as propriedades dissipativas do sistema
(MEIROVITCH e RYLAND 1979 PALAZZOLO et al 1983 FARIA e BARCELLOS 1991)
23 Mancais hidrodinacircmicos
A literatura apresenta diversos estudos sobre o caacutelculo dos coeficientes de forccedila nos mancais
hidrodinacircmicos Ocvirk (1952) propocircs a soluccedilatildeo da equaccedilatildeo de Reynolds para mancais curtos
desprezando o gradiente circunferencial de pressatildeo Pinkus (1987) faz uma revisatildeo histoacuterica da
teoria de lubrificaccedilatildeo hidrodinacircmica e da aplicaccedilatildeo da equaccedilatildeo de Reynolds em tribologia desde
suas origens ateacute o estado atual Lund (1978 1987) faz uma revisatildeo do conceito de coeficientes
dinacircmicos e aplica o meacutetodo de perturbaccedilatildeo infinitesimal em torno da posiccedilatildeo de equiliacutebrio
para calcular os coeficientes de rigidez e de amortecimento de mancais hidrodinacircmicos Lund
(1987) acrescenta que esta perturbaccedilatildeo em torno da posiccedilatildeo de equiliacutebrio eacute vaacutelida para ateacute 40
da folga do mancal
Childs (1993) e Vance (1988) apresentam em seus livros diferentes modelos de mancais
hidrodinacircmicos e obtecircm os valores dos seus coeficientes dinacircmicos Os coeficientes satildeo obtidos
a partir de caacutelculos em torno da posiccedilatildeo de equiliacutebrio do eixo no mancal Rajalingham e Prabhu
(1987) analisam a influecircncia da temperatura nas caracteriacutesticas fiacutesicas dos mancais
hidrodinacircmicos e concluem que a variaccedilatildeo da temperatura do oacuteleo na direccedilatildeo axial pode ser
desprezada sem afetar a precisatildeo dos resultados hidrodinacircmicos para o filme de oacuteleo
Choy et al (1991) calculam os coeficientes de rigidez natildeo-lineares dos mancais para
perturbaccedilotildees de deslocamento em vaacuterios locais em torno da posiccedilatildeo de equiliacutebrio Eles mostram
que para deslocamentos distantes da posiccedilatildeo de equiliacutebrio a natildeo-linearidade das forccedilas do filme
fluido eacute significante e pode ser modelada por coeficientes de forccedila e de amortecimento de
ordem superior Choy et al (1992) analisam o efeito natildeo-linear no comportamento dinacircmico de
mancais hidrodinacircmicos quando sujeitos a diversas condiccedilotildees operacionais tais como alta e
baixa excentricidade altas velocidades desalinhamento
Zhang e Luo (1991) utilizam teacutecnicas de ajuste de curvas usando dados experimentais da
resposta em frequecircncia para identificaccedilatildeo dos coeficientes de rigidez e amortecimento de
mancais hidrodinacircmicos Capone et al (1994) propotildeem uma soluccedilatildeo analiacutetica aproximada para
34
a distribuiccedilatildeo de pressatildeo do filme de oacuteleo em um mancal de comprimento finito Satildeo
apresentadas aproximaccedilotildees de primeira e segunda ordem com diversas relaccedilotildees de largura e
diacircmetros sendo que o modelo de segunda ordem mostra uma boa aproximaccedilatildeo em relaccedilatildeo o
modelo de mancal finito calculado numericamente
Qiu e Tieu (1996) calculam os coeficientes dinacircmicos em diferentes valores de perturbaccedilatildeo Eles
concluem que as perturbaccedilotildees nas velocidades e deslocamentos devem estar entre 5 e 4
respectivamente para se garantir uma diferenccedila de 25 entre os valores de coeficientes obtidos
pelos meacutetodos de perturbaccedilatildeo finita e infinita Furukawa et al (1996) estudam os coeficientes de
forccedila nos mancais hidrodinacircmicos e concluem que a natildeo linearidade do filme fluido produz
grandes diferenccedilas entre os valores calculados e os medidos experimentalmente em especial na
regiatildeo de alta excentricidade Chu et al (1998) analisam a natildeo-linearidade do filme fluido e
observam que os coeficientes lineares dos mancais hidrodinacircmicos modelados satildeo vaacutelidos para
perturbaccedilotildees de deslocamento da ordem de 006
Bachschmid e Vania (2002) observam vibraccedilotildees em uma frequecircncia duas vezes maior que a
rotaccedilatildeo da maacutequina na presenccedila de efeitos natildeo-lineares em mancais hidrodinacircmicos Os autores
destacam a importacircncia de se monitorar o segundo harmocircnico para se diagnosticarem falhas em
turbo-maacutequinas Sawicki e Rao (2004) analisam o caraacuteter natildeo-linear dos coeficientes de forccedila de
mancais hidrodinacircmicos para diferentes nuacutemeros de Sommerfeld (SOMMERFELD 1904) e
razotildees de esbeltez do mancal LD Satildeo apresentadas as diferentes formas de se aplicar o meacutetodo
de perturbaccedilatildeo para a obtenccedilatildeo dos coeficientes de forccedila lineares e natildeo-lineares Os autores
destacam ainda que os coeficientes de forccedila lineares apresentam precisatildeo aceitaacutevel ateacute uma
excentricidade de 04 vezes o valor da folga do mancal (LUND 1987) Hirani (2005) aplica
teacutecnicas de algoritmos geneacuteticos na modelagem de lubrificaccedilatildeo hidrodinacircmica para o projeto
otimizado de mancais
Couto (2006) faz um estudo teoacuterico-experimental que investiga o comportamento de mancais
radiais hidrodinacircmicos sujeitos a carregamentos estaacuteticos dinacircmicos e a desalinhamentos Eacute
aplicado o meacutetodo de volumes finitos para a integraccedilatildeo da equaccedilatildeo de Reynolds que governa o
problema de lubrificaccedilatildeo Faria et al (2006) apresentam um procedimento baseado no meacutetodo
de elementos finitos para a soluccedilatildeo das equaccedilotildees de lubrificaccedilatildeo em mancais radiais ciliacutendricos
hidrodinacircmicos obtidas a partir da equaccedilatildeo claacutessica de Reynolds Os resultados mostram as
limitaccedilotildees da aplicabilidade da teoria de mancais curtos especialmente quando operam com
35
grandes excentricidades Mostram-se tambeacutem os limites da aplicaccedilatildeo da teoria de mancais
longos (HAMROCK 1994) onde LD=2
Yan et al (2010) apresentam um modelo analiacutetico e um meacutetodo de caacutelculo dos coeficientes de
rigidez e de amortecimento de mancais hidrodinacircmicos de sapata moacutevel e fazem uma
comparaccedilatildeo com resultados experimentais da literatura (KOSTRZEWSKY e FLACK 1990)
Seu modelo inclui um rotor riacutegido simeacutetrico apoiado em dois mancais de sapata moacutevel idecircnticos
de cinco sapatas cada Eacute usado o meacutetodo de NewtonndashRaphson para se calcular a posiccedilatildeo de
equiliacutebrio do eixo e das paacutes Apresenta-se tambeacutem um modelo reduzido que se mostra eficiente
para o caacutelculo dos coeficientes dinacircmicos mas que natildeo apresenta bons resultados para a anaacutelise
de estabilidade e das frequecircncias naturais amortecidas Observa-se nos resultados que o
momento de ineacutercia das paacutes a velocidade e o fator de preacute-carga tecircm grande influecircncia na
estabilidade do sistema e que a faixa de operaccedilatildeo estaacutevel pode ser aumentada ao se aumentar o
fator de preacute-carga
24 Sistemas rotativos com elementos adicionais
A anaacutelise de estabilidade de sistemas mancal-rotor eacute bastante variada na literatura especializada
Eacute comum encontrar trabalhos cuja originalidade recai na inclusatildeo de alguns paracircmetros ou
elementos especiacuteficos no conjunto como mancais hiacutebridos mancais de materiais viscoelaacutesticos
acoplamentos selos mecacircnicos
Um trabalho a destacar sobre a anaacutelise de estabilidade do sistema rotor-mancal de mancais
hiacutebridos eacute o de Gomez-Mancilla et al (2005) onde eacute modelado um sistema composto por um
rotor de Jeffcott apoiado em mancais hidrodinacircmicos ciliacutendricos hiacutebridos Satildeo considerados
ambos modelos riacutegido e flexiacutevel de Jeffcott e comparados os niacuteveis de vibraccedilatildeo e a estabilidade
do sistema quando sujeito a diferentes niacuteveis de pressatildeo de alimentaccedilatildeo do lubrificante nos
mancais Os autores mostram como se pode melhorar a estabilidade do sistema com o aumento
da pressatildeo de alimentaccedilatildeo provocando uma reduccedilatildeo no acircngulo de posiccedilatildeo e um aumento da
excentricidade nos sistemas modelados que inclui mancais hidrodinacircmicos longos ciliacutendricos
Este efeito tambeacutem favorece a faixa de operaccedilatildeo estaacutevel do sistema elevando a velocidade
limite de operaccedilatildeo estaacutevel (threshold speed of instability) Os resultados obtidos mostram que o
efeito da pressatildeo de alimentaccedilatildeo nos mancais na estabilidade do sistema eacute consideraacutevel para
36
rotores riacutegidos ou com elevada rigidez Agrave medida em que a rigidez reduz natildeo se percebe muita
variaccedilatildeo na estabilidade com o aumento da pressatildeo de alimentaccedilatildeo Outro resultado importante
deste trabalho eacute que o aumento da pressatildeo de alimentaccedilatildeo do lubrificante natildeo eacute interessante
quando o sistema estaacute cruzando uma velocidade criacutetica Apenas em casos particulares eacute possiacutevel
obter alguma reduccedilatildeo na amplitude de vibraccedilatildeo e mesmo assim quando a velocidade de
operaccedilatildeo estiver fora da faixa de velocidades criacuteticas Portanto um sistema de controle ativo de
pressatildeo eacute recomendado para se obter os melhores resultados em funccedilatildeo dos paracircmetros
operacionais do sistema rotativo Comenta-se tambeacutem que outros modelos de mancais como os
eliacutepticos de muacuteltiplos loacutebulos de sapata moacutevel satildeo intrinsecamente mais estaacuteveis do que os
mancais ciliacutendricos analisados no trabalho
A anaacutelise de estabilidade do sistema com mancais de materiais viscoelaacutesticos eacute apresentada em
Espiacutendola e Floody (1999) Saldarriaga (2007) e Bavastri et al(2008) Tapia e Cavalca (2002) e
Tadeo (2003) analisam os efeitos de alguns modelos de acoplamentos flexiacuteveis e riacutegidos
inserindo-os em modelos de elementos finitos do sistema rotativos Al-Hussain (2003) analisa o
efeito do desalinhamento angular na estabilidade de dois rotores riacutegidos ligados por um
acoplamento flexiacutevel O modelo contempla ainda um disco riacutegido em cada rotor que se apoacuteia
em mancais hidrodinacircmicos O autor apresenta as regiotildees de estabilidade do sistema e sua
relaccedilatildeo com a rigidez do acoplamento e com o acircngulo de desalinhamento
Wang et al (2010) fazem uma anaacutelise de um compressor centriacutefugo de alta velocidade com
mancais hidrodinacircmicos a ar com selo mecacircnico de labirinto Eacute usado o modelo de rotor riacutegido
de Jeffcott para modelar o eixo e o disco que representam o compressor aleacutem do modelo de
Muszynska (1986) para as forccedilas do selo
Faria e Miranda (2012) apresentam um procedimento de elementos finitos aplicado na anaacutelise
dos paracircmetros de desempenho de selos a gaacutes Lavainne (2003) e Vincent (2003) fazem uma
anaacutelise determiniacutestica e probabiliacutestica da sensibilidade de desempenho de um compressor agraves
variaccedilotildees geomeacutetricas das suas paacutes Ambos apresentam os resultados em termos de alteraccedilotildees na
eficiecircncia de compressatildeo do equipamento
Lazarus et al (2010) fazem uma anaacutelise dinacircmica da vibraccedilatildeo em maacutequinas rotativas
assimeacutetricas utilizando elementos finitos tridimensionais (3D) baseando-se na teoria modal
Satildeo incluiacutedos no modelo um estator e um acoplamento permitindo uma anaacutelise detalhada da
estabilidade do sistema e sua relaccedilatildeo com os autovalores Os resultados teoacutericos satildeo comparados
37
com mediccedilotildees experimentais realizadas em uma bancada de testes com um rotor assimeacutetrico
apoiado em mancais anisotroacutepicos
25 Mancais eliacutepticos
A literatura apresenta diversos trabalhos sobre modelagem de mancais ciliacutendricos mas haacute
poucos trabalhos que investigam detalhadamente os mancais eliacutepticos (SINGH e GUPTA1982)
As primeiras publicaccedilotildees sobre mancais eliacutepticos que se destacam satildeo Pinkus (1956 1956b)
onde o autor apresenta uma anaacutelise detalhada sobre mancais eliacutepticos incluindo paracircmetros
como capacidade de carga coeficiente de atrito e vazatildeo para diferentes valores de
excentricidade fator de carga e razatildeo LD Outro trabalho importante na eacutepoca foi apresentado
por Wilcock (1961) que analisa vaacuterios tipos de mancais deslocados ortogonalmente incluindo
mancais eliacutepticos Seu trabalho eacute limitado pelo fato de natildeo terem sido considerados os
coeficientes de amortecimento
Sternlicht (1964) apresenta uma anaacutelise de regime permanente para mancais eliacutepticos usando
coeficientes de rigidez e de amortecimento de mancais eliacutepticos com fatores geomeacutetricos
variados Middleton (1973) apresenta diagramas de capacidade de carga acircngulo de atitude e
coeficientes de rigidez e de amortecimento para mancais eliacutepticos com fatores de 06 e LD=05
Singh (1978) faz uma anaacutelise estaacutetica e dinacircmica de mancais eliacutepticos com LD=1 considerando
rotores riacutegidos e flexiacuteveis Kumar et al (1980) apresentam dados detalhados para o projeto de
mancais hidrodinacircmicos eliacutepticos (dois loacutebulos) Eacute usado o meacutetodo de perturbaccedilatildeo linear para o
caacutelculo dos coeficientes do mancal aplicando-se a equaccedilatildeo de Reynolds para filme fluido com
algumas simplificaccedilotildees nas condiccedilotildees de contorno Satildeo apresentados resultados para os
coeficientes de rigidez e de amortecimento do mancal aleacutem de dados sobre paracircmetro de atrito
de aumento de temperatura e regiatildeo de equiliacutebrio
Singh e Gupta (1982) apresentam um estudo analiacutetico dos efeitos do fator de carga da razatildeo LD
e da flexibilidade do eixo nos limites de estabilidade de mancais eliacutepticos e destacam que os
mancais eliacutepticos satildeo adequados para rotores riacutegidos e moderadamente flexiacuteveis Neste trabalho
os autores aplicam a equaccedilatildeo de Reynolds a cada loacutebulo do mancal eliacuteptico e resolvem a
equaccedilatildeo separadamente por loacutebulo usando o meacutetodo de diferenccedilas finitas Os resultados satildeo
vaacutelidos para mancais alinhados onde o perfil de pressotildees eacute simeacutetrico Satildeo levados em
38
consideraccedilatildeo todos os coeficientes de forccedila dos mancais isto eacute os coeficientes de rigidez e de
amortecimento incluindo os coeficientes cruzados
Zhang et al (1999) analisam os efeitos da natildeo-linearidade das forccedilas do filme fluido na resposta
desbalanceada de um rotor de Jeffcott apoiado em mancais eliacutepticos Eacute destacado o caraacuteter natildeo-
linear das forccedilas do filme fluido Os autores comparam os resultados da resposta desbalanceada
gerada pela teoria linear e natildeo-linear para avaliar a aplicabilidade da teoria linear Observa-se a
grande influecircncia do desbalanceamento nos resultados comparados mostrando a importacircncia de
se considerar as natildeo-linearidades quando o desbalanceamento do sistema eacute elevado
Nas uacuteltimas deacutecadas tem-se publicado pouco sobre mancais eliacutepticos e os trabalhos recentes que
merecem destaque satildeo comentados a seguir
Shen et al(2006) apresentam um modelo raacutepido e preciso que calcula as forccedilas de um mancal
hidrodinacircmico usando o meacutetodo variacional O modelo analisa o comportamento dinacircmico natildeo-
linear de um rotor riacutegido apoiado em mancais eliacutepticos considerando tanto o rotor balanceado
como o natildeo-balanceado Os autores fazem uma revisatildeo histoacuterica dos trabalhos que investigam
este caraacuteter aperioacutedico e caoacutetico da vibraccedilatildeo em sistemas dinacircmicos de alta rotaccedilatildeo onde se
comenta ainda que os coeficientes dinacircmicos lineares trazem informaccedilotildees de estabilidade
vaacutelidas apenas para rotores balanceados Satildeo destacados os meacutetodos numeacutericos de elementos
finitos e de diferenccedilas finitas como os mais precisos mas ao mesmo tempo os que mais exigem
recursos computacionais e tempo de processamento Desta forma os autores propotildeem um novo
modelo numeacuterico para calcular as forccedilas do filme fluido para investigar a dinacircmica natildeo-linear
de um sistema rotor-mancal O mancal modelado eacute formado por dois loacutebulos de 150deg cada e
considera-se apenas o movimento radial do rotor O novo modelo proposto baseia-se na teoria
variacional (ROHDE e MALLISTER 1975) gerando um problema de minimizaccedilatildeo de energia
o que reduz o problema bidimensional para unidimensional reduzindo consideravelmente o
custo computacional Como as forccedilas do filme fluido satildeo calculadas para cada loacutebulo o meacutetodo
proposto eacute eficiente tanto para mancais ciliacutendricos quanto para mancais de vaacuterios loacutebulos
incluindo os mancais eliacutepticos O meacutetodo eacute vaacutelido natildeo apenas para mancais curtos e longos mas
tambeacutem para mancais finitos Satildeo apresentados resultados numeacutericos e graacuteficos que mostram
oacuterbitas ciclos limites diagramas de bifurcaccedilatildeo (HOLLIS e TAYLOR 1986) e mapas de
Poincareacute
39
Yan-Jun et al(2006) analisam o comportamento dinacircmico natildeo-linear de um rotor apoiado em
mancais hidrodinacircmicos finitos incluindo mancais eliacutepticos Para o caacutelculo dos coeficientes de
forccedila dos mancais usa-se o meacutetodo de elementos finitos com uma abordagem variacional que
permite reduzir o custo computacional e melhorar a exatidatildeo numeacuterica do meacutetodo segundo os
autores Satildeo considerados os efeitos natildeo-lineares das forccedilas produzidas pelo filme fluido e sua
influecircncia na natildeo-linearidade do movimento do sistema Aplica-se o meacutetodo de prediccedilatildeo e
correccedilatildeo juntamente com o meacutetodo de Newton-Raphson para se calcular a posiccedilatildeo de equiliacutebrio
e as velocidades criacuteticas A limitaccedilatildeo do modelo estaacute na consideraccedilatildeo de eixo riacutegido e sua
modelagem natildeo eacute detalhada pelos autores
Correia (2007) apresenta uma anaacutelise de desempenho de mancais hidrodinacircmicos eliacutepticos
usando o meacutetodo de elementos finitos Satildeo obtidos os coeficientes de rigidez e de
amortecimento para diversas condiccedilotildees de trabalho aleacutem de obter curvas de caracteriacutesticas de
desempenho estaacutetico e dinacircmico tais como capacidade de carga e coeficientes dinacircmicos de
forccedila em funccedilatildeo de paracircmetros operacionais e do nuacutemero de Sommerfeld O autor destaca que
para um nuacutemero de Sommerfeld alto os mancais ciliacutendricos satildeo inadequados
Raghunandana (2007) propotildee um meacutetodo inverso para se calcular os coeficientes de forccedila e de
amortecimento de mancais eliacutepticos a partir de um banco de dados gerado para uma certa razatildeo
de excentricidade e eacute feito um ajuste de curva para gerar uma funccedilatildeo contiacutenua destes dados Eacute
apresentada a equaccedilatildeo de Reynolds modificada (DIEN e ELROD 1983) que considera a
variaccedilatildeo da viscosidade do fluido em funccedilatildeo da pressatildeo isto eacute fluido natildeo-newtoniano A
equaccedilatildeo eacute adimensionalizada e resolvida numericamente usando o meacutetodo de diferenccedilas finitas
considerando o regime permanente e condiccedilotildees de contorno simplificadoras
40
3 METODOLOGIA
Nesse capiacutetulo eacute apresentada a metodologia adotada na implementaccedilatildeo do procedimento
computacional que permite obter os resultados do comportamento dinacircmico de sistemas rotor-
mancal hidrodinacircmico Inicialmente apresenta-se a formulaccedilatildeo por elementos finitos do eixo
rotativo utilizando-se a teoria de vigas de Timoshenko Em seguida eacute apresentada a descriccedilatildeo
do problema de mancal hidrodinacircmico radial eliacuteptico e as equaccedilotildees de lubrificaccedilatildeo da Teoria da
Lubrificaccedilatildeo que permitem obter a formulaccedilatildeo por elementos finitos dos coeficientes de forccedila
destes mancais Posteriormente eacute descrito o procedimento para se modelar o sistema rotor-
mancal hidrodinacircmico por elementos finitos obtendo-se a equaccedilatildeo do movimento Apresenta-se
o meacutetodo numeacuterico de integraccedilatildeo no tempo adotado para se obter a soluccedilatildeo numeacuterica da
equaccedilatildeo do movimento do sistema Finalmente eacute apresentado um diagrama descrevendo as
principais etapas do procedimento computacional completo
O modelo do sistema rotor-mancal eacute ilustrado esquematicamente na Figura 31 onde observa-se
um eixo circular flexiacutevel apoiado nas extremidades e com um disco massivo acoplado Os
apoios satildeo representados pelos coeficientes de rigidez K e de amortecimento C dos mancais
Figura 31 ndash Sistema rotor-mancal
Os modelos adotados para o rotor flexiacutevel e para os mancais hidrodinacircmicos ciliacutendricos e
41
eliacutepticos satildeo baseados em teorias que apresentam algumas hipoacuteteses simplificadoras Estas
hipoacuteteses satildeo listadas a seguir
i) Modelo do Eixo flexiacutevel
natildeo inclui efeitos de torccedilatildeo ou de amortecimento interno
considera o eixo homogecircneo isotroacutepico e inicialmente alinhado
carregamento transversal sem carga axial
desconsiderado o movimento axial das seccedilotildees transversais
ii) Modelo do disco massivo
considera o disco riacutegido e homogecircneo
a linha de centro do disco coincide com a linha de centro do eixo (condiccedilatildeo inicial)
iii) Modelo dos mancais hidrodinacircmicos
considera mancais de geometria fixa com perfil ciliacutendrico ou eliacuteptico
a linha de centro coincide com a linha de centro do eixo (condiccedilatildeo inicial)
Filme fluido
- escoamento em regime laminar bidimensional nas direccedilotildees axial e circunferencial
- fluido newtoniano isoteacutermico isoviscoso incompressiacutevel
- desconsiderada a ineacutercia do fluido
iv) Modelo do sistema rotor-mancal
Desconsiderados os efeitos de vibraccedilatildeo provocados por desalinhamento de montagem
folgas roccedilamento rompimento do filme fluido cavitaccedilatildeo
31 Modelagem do Rotor Flexiacutevel
O modelo do rotor flexiacutevel implementado neste trabalho adota o meacutetodo de elementos finitos
(MEF) atraveacutes de elementos de eixo (NELSON 1980) de Timoshenko Nelson (1980) utiliza a
teoria de vigas de Timoshenko para obter as equaccedilotildees de equiliacutebrio para um eixo circular
flexiacutevel suportado em apoios elaacutesticos considerando o efeito do cisalhamento momento
giroscoacutepico e ineacutercia rotatoacuteria Os detalhes sobre a teoria de vigas de Euler-Bernoulli Rayleigh
e Timoshenko satildeo apresentados no Anexo A O desenvolvimento da formulaccedilatildeo atraveacutes de
42
elementos finitos eacute apresentado a seguir e as matrizes de elementos finitos obtidas por esta
formulaccedilatildeo satildeo listadas no Anexo C Considere um elemento finito de comprimento l com oito
graus de liberdade (Figura 32)
Figura 32 ndash Representaccedilatildeo de um elemento finito do eixo
A variaacutevel q representa o vetor deslocamento generalizado onde q1 e q2 representam o
movimento de translaccedilatildeo de um noacute do elemento finito nas direccedilotildees dos eixos de coordenadas
retangulares enquanto q3 e q4 representam as rotaccedilotildees em torno dos eixos de coordenadas As
demais componentes satildeo anaacutelogas representando os mesmos movimentos para o noacute oposto
Para representar a translaccedilatildeo e a rotaccedilatildeo de uma seccedilatildeo qualquer do elemento definem-se (VW)
como o deslocamento linear do centro da seccedilatildeo do elemento onde satildeo incluiacutedas as contribuiccedilotildees
da flexatildeo (Vf Wf) e do cisalhamento (VcWc) Aplicam-se funccedilotildees de interpolaccedilatildeo claacutessicas para
vigas de Timoshenko na flexatildeo (ANEXO B)
onde
43
e as funccedilotildees de interpolaccedilatildeo i=1234 representam os modos de deslocamentos sendo
que cada funccedilatildeo estaacute associada ao deslocamento unitaacuterio de uma das coordenadas com todas as
demais coordenadas com deslocamento restringido a zero [D] e [E] representam as matrizes das
funccedilotildees de interpolaccedilatildeo de deslocamentos lineares e de deslocamentos angulares
respectivamente Para se considerar os efeitos de cisalhamento transversal considera-se o eixo
com seccedilatildeo transversal circular e o fator de forma do cisalhamento transversal meacutedio pode ser
determinado pela expressatildeo (COUPER 1966)
onde eacute o coeficiente de Poisson
Aplicando-se o Princiacutepio de Hamilton obteacutem-se as equaccedilotildees do movimento de um elemento
finito do eixo Fazendo-se a primeira variaccedilatildeo funcional
onde T V e representam respectivamente a energia cineacutetica a energia potencial elaacutestica e o
trabalho das forccedilas externas obeacutem-se a relaccedilatildeo
A energia cineacutetica do elemento considera as parcelas de translaccedilatildeo e de rotaccedilatildeo do movimento
onde l eacute o comprimento do elemento M representa a massa por unidade de comprimento Idm eacute o
momento diametral meacutedio de ineacutercia de massa por unidade de comprimento Ip eacute o momento
polar de ineacutercia por unidade de comprimento eacute a velocidade de rotaccedilatildeo do rotor
A energia de deformaccedilatildeo elaacutestica devido agrave flexatildeo e ao cisalhamento eacute descrita como
44
onde Vf e Wf satildeo as contribuiccedilotildees da flexatildeo no deslocamento linear do centro da seccedilatildeo
transversal do elemento Vc e Wc satildeo as contribuiccedilotildees do cisalhamento neste deslocamento Kx
e Ky satildeo os coeficientes de cisalhamento E e G satildeo os moacutedulos de elasticidade longitudinal e
transversal Iy e Iz satildeo os momentos de ineacutercia de aacuterea A eacute a aacuterea da seccedilatildeo transversal O sinal
de apoacutestrofo indica diferenciaccedilatildeo em relaccedilatildeo agrave posiccedilatildeo
As equaccedilotildees do movimento satildeo obtidas pelo Princiacutepio de Hamilton atraveacutes da relaccedilatildeo
onde
eacute o trabalho virtual das forccedilas externas e Fe eacute o vetor forccedila generalizada
Substituindo-se as funccedilotildees de interpolaccedilatildeo (ANEXO B) nas expressotildees da energia de
deformaccedilatildeo elaacutestica e de energia cineacutetica do elemento leva agraves matrizes de elementos finitos
(ANEXO C) Uma vez obtidas as matrizes do sistema a equaccedilatildeo do movimento obtida pela
aplicaccedilatildeo do Princiacutepio de Hamilton teraacute a forma
onde [Me] [N
e] [G
e] satildeo as matrizes locais da ineacutercia de translaccedilatildeo rotaccedilatildeo e de efeito
giroscoacutepico respectivamente Para o modelo do rotor flexiacutevel composto pelo eixo flexiacutevel e o
disco massivo riacutegido (Figura 31) basta usar as propriedades geomeacutetricas do disco nas matrizes
de ineacutercia [Me] e [N
e] e de efeito giroscoacutepico [G
e] no elemento correspondente agrave posiccedilatildeo do
disco no rotor
32 Modelagem do Mancal Radial Eliacuteptico
A Figura 33 apresenta de maneira esquemaacutetica um mancal hidrodinacircmico eliacuteptico e seus
paracircmetros geomeacutetricos
45
Figura 33 ndash Desenho esquemaacutetico do mancal eliacuteptico e seus paracircmetros geomeacutetricos
O munhatildeo eacute a parte rotativa do mancal normalmente corresponde ao proacuteprio eixo no trecho
apoiado no mancal O tamanho do mancal eacute definido pelo comprimento L e pelo diacircmetro D O
centro do munhatildeo estaacute na interseccedilatildeo das linhas traccedilo-ponto e o centro do mancal estaacute na
interseccedilatildeo das linhas pontilhadas A excentricidade do mancal eacute definida como a distacircncia entre
o centro do mancal e o centro do munhatildeo representada por e A folga radial do mancal definida
como a diferenccedila entre o raio do mancal e o raio do munhatildeo eacute representada por c (Figura 34) A
razatildeo de excentricidade eacute o adimensional definido como podendo variar de zero a um
O acircngulo de posiccedilatildeo do mancal pode ser calculado pela expressatildeo onde
Fy e Fx satildeo respectivamente as componentes vertical e horizontal da forccedila de reaccedilatildeo F do
mancal gerada pela accedilatildeo hidrodinacircmica do filme fluido O mancal radial de perfil eliacuteptico ou
―mancal eliacuteptico possui um perfil formado por dois arcos de circunferecircncia chamados de
loacutebulos que natildeo satildeo concecircntricos (Figura 34) Nesta figura o centro geomeacutetrico dos loacutebulos
(ponto OL) estaacute posicionado sobre o centro geomeacutetrico do eixo (ponto O) o que a difere
basicamente da Figura 33 onde o centro do eixo estaacute deslocado como ocorre quando o eixo
estaacute girando e se desloca para uma posiccedilatildeo de equiliacutebrio R representa o raio menor do mancal
Re representa o raio do munhatildeo ou raio do eixo RL representa o raio do loacutebulo do mancal ou
sejao raio de cada loacutebulo que compotildee o mancal eliacuteptico
A preacute-carga (Mp) do mancal eliacuteptico indica o grau de ―elipsidade do mancal e eacute dada pela
46
expressatildeo Mp=(Cb ndash c)c O caso particular onde Mp=0 representa o mancal ciliacutendrico
Figura 34 - Desenho esquemaacutetico do perfil de um mancal radial eliacuteptico
A Figura 35 mostra o campo de pressatildeo no mancal hidrodinacircmico ciliacutendrico girando no sentido
anti-horaacuterio Percebe-se que as maiores pressotildees satildeo formadas na regiatildeo inferior ligeiramente
deslocadas para a direita para sustentar a carga do eixo representada por W A distacircncia miacutenima
entre o eixo e o mancal eacute representada por ho
Figura 35 - Distribuiccedilatildeo da pressatildeo hidrodinacircmica no mancal ciliacutendrico (LANG e STEINHILPER 1978)
47
Na Figura 36 eacute representado o mesmo campo de pressatildeo poreacutem para o mancal de perfil
eliacuteptico Observa-se que haacute a formaccedilatildeo do campo de pressatildeo tambeacutem na metade superior do
mancal que embora tenha um valor relativamente pequeno se comparado com o campo gerado
na parte inferior ajuda no equiliacutebrio hidrodinacircmico (CORREIA 2007) A accedilatildeo dos dois campos
de pressatildeo dos mancais eliacutepticos aumenta a rigidez melhora o amortecimento e reduz o
aquecimento do lubrificante de maneira mais eficiente do que nos mancais ciliacutendricos
(SEHGAL 2010)
Figura 36 - Distribuiccedilatildeo da pressatildeo hidrodinacircmica no mancal eliacuteptico (Adaptado de CORREIA 2007)
321 Equaccedilotildees de Lubrificaccedilatildeo
A equaccedilatildeo claacutessica de Reynolds que descreve o escoamento de um filme fluido incompressiacutevel
isoteacutermico e isoviscoso pode ser escrita no sistema de coordenadas ciliacutendricas da seguinte forma
(HAMROCK 1994)
t
hh
R
U
z
ph
z
ph
R
LLLL )()(
2
1
12
sup3
12
sup3
sup2
1 (31)
onde
48
R = raio do eixo
p = pressatildeo hidrodinacircmica
= massa especiacutefica do lubrificante
h = espessura do filme fluido
= viscosidade absoluta do lubrificante
U = velocidade superficial do eixo (U = ωR)
O domiacutenio do escoamento do filme fluido eacute descrito por 0 le θ le 2π e -L2 le z le L2 A
distribuiccedilatildeo de pressatildeo hidrodinacircmica eacute perioacutedica ao longo da direccedilatildeo circunferencial p(θ z t)=
p(θ + 2π z t) As laterais do mancal estatildeo agrave pressatildeo atmosfeacuterica pa p(θ L2 t)=p(θ -L2t)= pa
A condiccedilatildeo de Meio Sommerfeld eacute utilizada no caacutelculo do campo de pressatildeo do mancal
ciliacutendrico (HAMROCK 1994) onde usa-se somente do intervalo de 0 le θ le π concentrando-se
a anaacutelise da pressatildeo na regiatildeo convergente ou seja natildeo considerando a aacuterea de cavitaccedilatildeo (ou
pressatildeo negativa) No mancal eliacuteptico eacute desconsiderada apenas a regiatildeo de cavitaccedilatildeo
A expressatildeo que representa a espessura do filme fluido ―h eacute dada pela equaccedilatildeo (32) onde c
representa a folga radial ex e ey representam as excentricidades do mancal e Mp a preacute-carga
senMpcsentetech yx )()()cos()( (32)
Para o caacutelculo dos coeficientes dinacircmicos de forccedila do mancal satildeo utilizadas as equaccedilotildees de
lubrificaccedilatildeo de ordem zero e de primeira ordem obtidas atraveacutes da anaacutelise de perturbaccedilatildeo do
sistema (LUND1987) A posiccedilatildeo de equiliacutebrio do eixo (00
yx ee ) eacute perturbada por movimentos
de pequena amplitude ( yx ee ) com uma frequecircncia de excitaccedilatildeo w (FARIA et al 2006)
Desta forma a espessura do filme eacute dada por
titi
yyxx ehehehehehh 00 )( = x y (33)
onde
0h = espessura do filme estacionaacuterio ou de ordem zero
49
xh = cos( )
yh = sen ( )
= x y
i = 1
Pequenas variaccedilotildees na espessura do filme causam alteraccedilotildees no campo de pressatildeo
hidrodinacircmica Este campo perturbado de pressatildeo hidrodinacircmica pode ser representado pela
equaccedilatildeo (34) se considerarmos uma anaacutelise linear de perturbaccedilatildeo
ti
o
ti
YYXXo epepe)pepe()t(p)t(p (34)
onde
0p = pressatildeo estacionaacuteria campo de pressatildeo de ordem zero
Xp e Yp = campo de pressatildeo de primeira ordem
Substituindo as equaccedilotildees (33) e (34) na equaccedilatildeo (31) obtecircm-se as equaccedilotildees de lubrificaccedilatildeo de
ordem zero e de primeira ordem conforme representado pelas equaccedilotildees (35) e (36)
respectivamente
)(
2
1
1212sup2
1 00
3
00
3
0 h
R
U
z
ph
z
ph
R
LLL (35)
hih
R
U
z
ph
z
phh
z
phphh
RL
LLLLL )(
2
1
1212
3
1212
3
sup2
13
00
2
0
3
00
2
0
(36)
A equaccedilatildeo (35) eacute a equaccedilatildeo claacutessica de Reynolds para regime estacionaacuterio Esta equaccedilatildeo
permite a determinaccedilatildeo do campo de pressatildeo hidrodinacircmica bidimensional no interior dos
mancais radiais lubrificados a oacuteleo Natildeo existe soluccedilatildeo analiacutetica em forma fechada para a grande
maioria dos mancais radiais de uso industrial Os coeficientes dinacircmicos dos mancais satildeo
50
obtidos atraveacutes da soluccedilatildeo das equaccedilotildees de lubrificaccedilatildeo de ordem zero e de primeira ordem via
procedimento de elementos finitos
322 Equaccedilotildees de Elementos Finitos para Mancais Eliacutepticos
As equaccedilotildees de lubrificaccedilatildeo de ordem zero e de primeira ordem podem ser escritas na forma de
balanccedilo de massa utilizando-se o conceito de fluxo maacutessico Dessa forma a equaccedilatildeo (35) pode
ser reescrita na seguinte forma
(37)
sendo que 00
3
0
212
1hR
ph
Rm L
L representa o fluxo maacutessico na direccedilatildeo circunferencial
e z
phm L
z0
3
0
12 o fluxo maacutessico na direccedilatildeo axial
A equaccedilatildeo (36) pode da mesma forma ser reescrita na forma de balanccedilo de fluxo na seguinte
maneira
himz
mR
m Lz111
1
(38)
sendo que os fluxos maacutessicos mostrados na equaccedilatildeo (38) podem ser expressos na seguinte
forma
hRph
R
phh
Rm L
LL
212
1
12
313
00
2
01 (39)
z
ph
z
phhm LL
z
1212
3 3
00
2
01
(310)
323 Discretizaccedilatildeo do campo de pressatildeo de ordem zero
Elementos isoparameacutetricos planos de quatro noacutes satildeo utilizados na discretizaccedilatildeo do domiacutenio do
filme fluido Funccedilotildees de interpolaccedilatildeo bilineares e
j j=1234 satildeo empregadas na descriccedilatildeo do
01
mm
zm
Rz
51
campo de pressatildeo hidrodinacircmica de ordem zero no domiacutenio e de um elemento finito A
Figura 37 ilustra de maneira esquemaacutetica os quatro noacutes no elemento finito usados na
discretizaccedilatildeo do domiacutenio do filme fluido onde a coordenada y representa a direccedilatildeo axial do
mancal e a coordenada indica a direccedilatildeo circunferencial
Figura 37 - Representaccedilatildeo esquemaacutetica dos noacutes no elemento finito
Os campos discretos de pressatildeo de ordem zero e de primeira ordem no domiacutenio e de um
elemento finito satildeo escritos na seguinte forma
e
i
e
i
e pp 00 i=1234 (311)
e
i
e
i
e pp i=1234 (σ = xy) (312)
Sobre um elemento finito do domiacutenio e o meacutetodo de Galerkin eacute utilizado para a obtenccedilatildeo da
equaccedilatildeo do campo de pressatildeo de ordem zero A equaccedilatildeo (37) eacute preacute-multiplicada pelas funccedilotildees
de interpolaccedilatildeo e
j e o produto eacute integrado sobre o domiacutenio e
e ee
ee
j
ee
j
ee
j dmdnmdm 0
(313)
onde n
representa o valor normal unitaacuterio direcionado para o lado de fora do contorno e do
52
elemento finito Pode-se escrever que
eR
ez
e
j
z
e
je
j
1 (314)
zz ememm
(315)
A segunda integral do lado direito da equaccedilatildeo (313) pode ser expandida na seguinte forma
ee
e
e
e
je
i
e
e
je
i
e
je
i
e
e
j
z
e
j
z
e
i
e
ie
i
e
i
dhpdzzR
h
deR
ez
epz
he
z
Rp
h
R
002
3
0
0
3
00
3
0
2
1
12
1
1212
1
(316)
Entatildeo a equaccedilatildeo (313) pode ser reescrita na forma a seguir
e ee
e
n
e
j
e
e
je
i
e
e
je
i
e
je
i dmdhpdzzR
h
2
1
12002
3
0 (317)
onde nm representa o fluxo de lubrificante cruzando a fronteira do elemento finito e
A equaccedilatildeo (317) pode ser representada por um sistema de equaccedilotildees algeacutebricas que representa a
forma estacionaacuteria da equaccedilatildeo de Reynolds para um elemento finito e
na seguinte forma
e
j
e
j
e
i
e
ji qfPK 0 (318)
onde a matriz fluiacutedica e
jiK pode ser obtida por meio de procedimento de integraccedilatildeo baseado no
meacutetodo da quadratura de Gauss (BATHE 1982) utilizando-se quatro pontos de integraccedilatildeo Essa
matriz eacute dada pela seguinte expressatildeo
53
e
e
je
i
e
je
ie
ji dzzR
hK
e sup2
1
12
3
0
O vetor de fluxo no domiacutenio de um elemento finito eacute determinado por
e
e
e
je
j dhf 02
O balanccedilo de fluxo atraveacutes do contorno do domiacutenio eacute dado por
e
e
n
e
j
e
j dmq
O contorno de um elemento finito qualquer eacute representado por e
e o fluxo de lubrificante de
ordem zero atraveacutes dessa fronteira por nm
324 Discretizaccedilatildeo do campo de pressatildeo de primeira ordem
O meacutetodo de Galerkin eacute empregado novamente para a obtenccedilatildeo da equaccedilatildeo de elementos finitos
para determinaccedilatildeo do campo de pressatildeo perturbada de primeira ordem A equaccedilatildeo (38) eacute preacute-
multiplicada pelas funccedilotildees de interpolaccedilatildeo e o produto eacute integrado sobre o domiacutenio e do
elemento finito produzindo a seguinte equaccedilatildeo integral
e e ee
ee
j
ee
j
ej
e
ee
j dhidmdnmdm
111 (319)
O segundo termo do lado direito da equaccedilatildeo (319) pode ser reescrito na forma seguinte
e
e e
e
e
je
i
e
je
i
e
jo
ejz
e
jee
j
dR
hRP
R
hp
R
hh
dz
mR
mdm
2sup2
1
12sup2
1
12
3
1
3
0
2
0
111
54
e
ee
i
e
je
i
e
jdP
zz
h
zz
phh
1212
3 3
00
2
0 (320)
A equaccedilatildeo (320) pode entatildeo ser reescrita na forma de um sistema de equaccedilotildees algeacutebricas na
seguinte maneira
ee
j
e
j
e
j
e
j
en
e
j
e
i
e
e
je
i
e
je
i
dhihzz
pp
R
hh
dmPdzzR
h
e
ee
2sup2
1
12
3
sup2
1
12
00
2
0
1
3
0
(321)
Para facilitar a representaccedilatildeo da equaccedilatildeo algeacutebrica (321) pode-se reescrevecirc-la na forma
matricial como segue
e
j
e
j
e
i
e
ji fqpK yx (322)
A matriz fluiacutedica de primeira ordem o balanccedilo do fluxo atraveacutes do contorno e o vetor de fluxo
no domiacutenio satildeo determinados respectivamente por
e
e
je
i
e
j
e
je
ji dzzR
hK
e sup2
1
12
3
0 (3221)
e
en
e
j
e
j dmq (3222)
e
ee
j
e
j
e
j
e
je
j dhihzz
pp
R
hhf
2sup2
1
12
3 00
2
0 (3223)
O fluxo de lubrificante de primeira ordem atraveacutes do contorno e de um elemento finito eacute
representado por nm
O sistema de equaccedilotildees algeacutebricas complexas dado pelas equaccedilotildees (322) permite determinar o
55
campo complexo de pressatildeo hidrodinacircmica de primeira ordem Os coeficientes do vetor
carregamento de primeira ordem e
jf dependem do campo de pressatildeo de ordem zero Por
conseguinte primeiro resolve-se o sistema de equaccedilotildees de ordem zero apresentada na equaccedilatildeo
(318) para a determinaccedilatildeo do campo de pressatildeo estacionaacuteria 0p Entatildeo determina-se o campo
de pressatildeo perturbada por meio do sistema de equaccedilotildees dado pelas equaccedilotildees (322)
As caracteriacutesticas estaacuteticas de desempenho de mancais tais como capacidade de carga torque de
atrito e vazatildeo de oacuteleo satildeo determinadas a partir da equaccedilatildeo de lubrificaccedilatildeo de ordem zero Jaacute as
caracteriacutesticas dinacircmicas de desempenho tais como os coeficientes de rigidez e de
amortecimento satildeo estimadas a partir da soluccedilatildeo da equaccedilatildeo de lubrificaccedilatildeo de primeira ordem
As equaccedilotildees de elementos finitos satildeo superpostas para todo o domiacutenio do filme fluido Ω
325 Determinaccedilatildeo dos Coeficientes de Forccedila dos Mancais Eliacutepticos
A soluccedilatildeo do sistema de equaccedilotildees algeacutebricas lineares eacute obtida por meio de um procedimento
baseado no meacutetodo da decomposiccedilatildeo LU (CHAPRA e CANALE 2002) Um programa
computacional foi desenvolvido especialmente para determinar a soluccedilatildeo das equaccedilotildees de ordem
zero e de primeira ordem utilizando o meacutetodo de elementos finitos (FARIA et al 2006) As
forccedilas de reaccedilatildeo do filme lubrificante podem entatildeo ser estimadas a partir da seguinte expressatildeo
na qual pa representa a pressatildeo atmosfeacuterica
L
aoodzdRh)pp(F
0
2
0
= XY (323)
A determinaccedilatildeo do campo perturbado ou de primeira ordem de pressatildeo
hidrodinacircmica para o mancal eacute realizada por meio do sistema de equaccedilotildees complexas de
primeira ordem obtido pela superposiccedilatildeo para todo o domiacutenio do fluido das equaccedilotildees dadas
pelas equaccedilotildees (322) A integraccedilatildeo do campo de pressatildeo de primeira ordem sobre o domiacutenio do
filme fluido leva agrave estimativa das impedacircncias complexas YXoZ Os coeficientes
linearizados de rigidez YXK e de amortecimento YXC associados agrave accedilatildeo
hidrodinacircmica do filme fluido podem ser calculados na seguinte forma
56
L
dzdRhpCiKZ0
2
0
YX (324)
ou
dzdRhphp
hphp
CC
CCi
KK
KK L
YYYX
XYXX
YYYX
XYXX
YYYX
XYXX
0
2
0
(325)
Estes coeficientes de forccedila [ K ] e [C ] correspondem agrave resistecircncia que o mancal oferece ao
deslocamento e agrave velocidade respectivamente Eles seratildeo sobrepostos agraves matrizes de elementos
finitos do eixo nas linhas e colunas correspondentes aos dois primeiros graus de liberdade que
satildeo translacionais
33 O Sistema Rotor-Mancal
O sistema rotor-mancal eacute composto por um eixo flexiacutevel um disco massivo e mancais Neste
trabalho o sistema foi modelado atraveacutes do meacutetodo de elementos finitos (MEF) como descrito a
seguir aplicando modelos distintos para o eixo flexiacutevel e para os mancais O disco massivo eacute
considerado riacutegido e portanto inserido no modelo do eixo simplesmente atraveacutes de suas
propriedades fiacutesicas (massa efeito giroscoacutepico e ineacutercia rotatoacuteria)
Para a modelagem do deslocamento lateral dos eixos flexiacuteveis satildeo utilizados elementos de eixo
com dois noacutes e com oito graus de liberdade A influecircncia dos mancais nos coeficientes de
rigidez e amortecimento do rotor tambeacutem eacute considerada na modelagem A equaccedilatildeo global do
movimento para o sistema rotor-mancal eacute descrita como
(326)
onde [M] representa a matriz global de ineacutercia translacional [N] eacute a matriz global de ineacutercia
rotatoacuteria [K] a matriz de rigidez do eixo e [C] a matriz generalizada de amortecimento que eacute
expressa como [G]]C[]C[ 1 onde [G] eacute a matriz de efeito giroscoacutepico do eixo Estas
matrizes satildeo apresentadas detalhadamente no Anexo C A matriz [C1] eacute a matriz global com os
coeficientes de amortecimento dos mancais lanccedilados nos devidos noacutes onde os mancais estatildeo
57
posicionados De maneira anaacuteloga os coeficientes de rigidez dos mancais satildeo somados agrave matriz
[K] e a massa desbalanceada eacute somada na matriz [M] Os vetores de aceleraccedilatildeo velocidade e
deslocamento satildeo dados respectivamente por UUU e Ω eacute a velocidade de rotaccedilatildeo do
eixo (rads)
Cada noacute possui 4 graus de liberdade onde o deslocamento do i-eacutesimo elemento eacute
representado pelo vetor Ui composto pelas seguintes componentes
i
i
i
i
i
x
y
U onde
xeixo do tornoem rotaccedilatildeo
y eixo do tornoem rotaccedilatildeo
verticaltodeslocamen
horizontal todeslocamen
i
i
i
i
x
y
A Figura 38 apresenta simbolicamente estes 4 graus de liberdade atraveacutes dos movimentos de
translaccedilatildeo (deslocamento) e de rotaccedilatildeo nos eixos xy
Figura 38 ndash Representaccedilatildeo dos 4 graus de liberdade
A excitaccedilatildeo devida agrave massa desbalanceada do rotor eacute representada pelo vetor R na Eq (326)
Um disco rotativo riacutegido desbalanceado eacute montado em uma posiccedilatildeo axial preacute-determinada do
eixo permitindo a aplicaccedilatildeo de carga Um fasor rotatoacuterio com amplitude de F0 = mdud Ωsup2
representa a carga da massa desbalanceada onde md eacute a massa desbalanceada (kg) e ud eacute a
excentricidade da massa desbalanceada (m)
As seccedilotildees a seguir apresentam as formulaccedilotildees que permitem obter as matrizes da equaccedilatildeo
(326) que posteriormente seraacute integrada numericamente pelo meacutetodo de Newmark (BATHE
1982)
58
34 Diagrama do Procedimento Computacional
O procedimento computacional proposto neste trabalho foi desenvolvido em ambiente Matlabreg
produzido pela The MathWorkscopy e suas principais etapas satildeo apresentadas na Figura 39
Figura 39 ndash Diagrama do procedimento computacional
Na etapa 1 satildeo registrados os paracircmetros fiacutesicos e geomeacutetricos do sistema aleacutem dos paracircmetros
dos meacutetodos numeacutericos (nuacutemero de noacutes da malha tempo de integraccedilatildeo incremento no tempo
rotaccedilatildeo etc)
Na etapa 2 satildeo calculadas as matrizes de elementos finitos do eixo usando-se os dados
4) Montagem das matrizes de
elementos finitos
dos mancais
3) Caacutelculo dos coeficientes de forccedila
dos mancais pelo MEF
2) Caacutelculo das
matrizes de
elementos
finitos do rotor
5) Superposiccedilatildeo das matrizes de elementos finitos
7) Integraccedilatildeo numeacuterica da equaccedilatildeo do movimento
6) Equaccedilatildeo do movimento
1) Entrada de Dados
9) Saiacuteda de resultados
8) Seleccedilatildeo dos dados de saiacuteda
59
registrados na etapa 1 atraveacutes das equaccedilotildees descritas no Anexo C Como o disco massivo eacute
considerado riacutegido e portanto soacute possui os elementos das matrizes de massa de ineacutercia e de
momento giroscoacutepico estas matrizes satildeo calculadas separadamente e sobrepostas com as do
eixo nos pontos onde o disco massivo estaacute posicionado O meacutetodo permite que o disco esteja
posicionado em qualquer noacute da malha do eixo
Na etapa 3 satildeo calculados os coeficientes de forccedila dos mancais baseando-se na sua posiccedilatildeo de
equiliacutebrio estaacutetico Esta posiccedilatildeo eacute encontrada pelo MEF implementado que calcula a forccedila
resultante da accedilatildeo hidrodinacircmica do filme-fluido para que ela seja igual agrave carga estaacutetica que o
rotor aplica em cada mancal Uma vez encontrado o ponto de equiliacutebrio estaacutetico satildeo calculados
os coeficientes de rigidez e de amortecimento dos mancais conforme Eq(325) Cabe ressaltar
que o caacutelculo destes coeficientes natildeo usa as teorias simplistas de mancais curtos ou longos e
nem faz simplificaccedilotildees quanto aos coeficientes cruzados
Na etapa 4 os resultados encontrados na etapa 3 satildeo registrados nas matrizes de elementos
finitos dos mancais que satildeo as matrizes de rigidez e de amortecimento
Em seguida na etapa 5 eacute feita a superposiccedilatildeo das matrizes de elementos finitos do rotor e dos
mancais com os resultados obtidos nas etapas 2 3 e 4 O meacutetodo permite que os mancais
estejam posicionados em qualquer noacute da malha do eixo Esta superposiccedilatildeo eacute feita apenas com as
linhas e colunas correspondentes aos deslocamentos translacionais ou seja natildeo satildeo
considerados efeitos de rigidez ou de amortecimento rotacionais no modelo dos mancais
hidrodinacircmicos
Uma vez montadas as matrizes segue-se para as etapas 6 e 7 onde a equaccedilatildeo do movimento eacute
estabelecida em formato matricial conforme Eq(326) e integrada numericamente pelo Meacutetodo
de Newmark descrito no Anexo D
Na etapa 8 satildeo registrados os dados que seratildeo usados para a anaacutelise do sistema Na verdade esta
etapa estaacute inserida no algoritmo de Newmark dentro das iteraccedilotildees no tempo para que sejam
registrados os dados de interesse a cada iteraccedilatildeo no tempo Os dados normalmente selecionados
satildeo extraiacutedos do vetor U (Eq326) que registra todos os deslocamentos laterais e rotaccedilotildees
dos pontos da malha do eixo ao longo do tempo
Finalmente na etapa 9 satildeo geradas as saiacutedas de resultados Dependendo do tipo de anaacutelise
desejada esta saiacuteda pode passar por outro caacutelculo numeacuterico como eacute feito no caso da geraccedilatildeo do
espectro de frequecircncia onde eacute usado o FFT (Fast Fourier Transform) Os resultados numeacutericos
60
satildeo exibidos na forma de arquivo de dados e tambeacutem na forma graacutefica atraveacutes de espectros de
frequecircncia formas de onda curvas de deflexatildeo curva de resposta desbalanceada ou atraveacutes de
uma animaccedilatildeo tridimensional exibindo a deflexatildeo do rotor ao longo do tempo
Cabe ressaltar que para o caacutelculo da resposta desbalanceada eacute necessaacuterio fazer a integraccedilatildeo no
tempo para vaacuterias rotaccedilotildees do eixo Assim para cada rotaccedilatildeo eacute registrada a maacutexima amplitude
de vibraccedilatildeo do eixo em um determinado ponto Normalmente eacute escolhido o elemento onde estaacute
um dos mancais para este ponto Em seguida eacute gerado o graacutefico da resposta desbalanceada que
permite identificar em qual rotaccedilatildeo o sistema apresentou a maacutexima amplitude quando excitado
pela forccedila de desbalanceamento Este eacute o conceito de velocidade criacutetica (VC)
61
4 RESULTADOS E ANAacuteLISE
Os resultados do procedimento computacional proposto satildeo validados com resultados
apresentados na literatura especializada e com dados experimentais Satildeo apresentados
inicialmente alguns exemplos de validaccedilatildeo seguindo-se para a anaacutelise dos coeficientes de forccedila
dos mancais eliacutepticos e da resposta desbalanceada do sistema rotor-mancal
41 Exemplos de validaccedilatildeo
A validaccedilatildeo do procedimento computacional eacute realizada atraveacutes de alguns exemplos
selecionados na literatura especializada apresentando modelos de rotores flexiacuteveis apoiados em
diferentes tipos de mancais Eacute incluiacuteda uma comparaccedilatildeo dos resultados numeacutericos com
resultados experimentais coletados em uma bancada de testes horizontal composta por um rotor
flexiacutevel apoiado em mancais hidrodinacircmicos
411 Rotor com disco em balanccedilo
Um exemplo de rotor flexiacutevel (SINOU 2005) eacute escolhido para validar os resultados do
procedimento computacional O rotor eacute composto por um eixo flexiacutevel dois mancais e um disco
massivo em balanccedilo (Figura 41)
Figura 41 ndash Desenho esquemaacutetico do rotor de Sinou (2005)
62
Tabela 41- Paracircmetros do rotor com disco em balanccedilo (SINOU 2005)
Eixo
Comprimento
Diacircmetro
Moacutedulo de Young
Massa especiacutefica
170m
40mm
200 GNm2
8000 kgm3
Disco
Massa
Diacircmetro
Espessura
20 kg
400 mm
20 mm
Mancais
Rigidez Translacional
Rigidez Rotacional
Amortecimento
Kxx = 378 MNm
Kxy = 0 MNm
Kyx = 0 MNm
Kyy = 378 MNm
Kff= 80x104
Nmrad
KQQ = 80x104
Nmrad
Cxx = 0 Nsm
Cxy = 0 Nsm
Cyx = 0 Nsm
Cyy = 0 Nsm
Satildeo calculadas a primeira frequecircncia natural (FN1) e a segunda frequecircncia natural (FN2) para o
rotor de Sinou (2005) aplicando-se o procedimento computacional proposto para se avaliar a
influecircncia do tamanho da malha de elementos finitos no caacutelculo destas frequecircncias naturais Os
valores obtidos para FN1 e FN2 com diferentes malhas satildeo mostrados na Figura 42
Figura 42 ndash Curvas da primeira e segunda frequecircncias naturais (FN1 FN2) versus o nuacutemero de
elementos finitos da malha para o rotor de Sinou (2005) a 10rpm
Constata-se que a variaccedilatildeo dos valores de FN1 e de FN2 fica abaixo de 2 para uma malha de
80 elementos Assim adota-se uma malha de 80 elementos finitos para este exemplo
63
A integraccedilatildeo das equaccedilotildees do movimento eacute feita pelo meacutetodo de Newmark (ANEXO D) Nesta
implementaccedilatildeo satildeo adotados os paracircmetros que garantem a convergecircncia do meacutetodo conforme
descrito no Anexo D Poreacutem eacute importante considerar que agrave medida que se reduz o incremento
no tempo usado na integraccedilatildeo numeacuterica mais exatos satildeo os resultados por se tornarem mais
convergentes Assim apresenta-se na Figura 43 a anaacutelise desta convergecircncia em funccedilatildeo do
incremento no tempo A curva contiacutenua representa a primeira velocidade criacutetica progressiva
(FWD1) e a curva tracejada representa a primeira velocidade criacutetica regressiva (BKWD1)
Observa-se que as velocidades criacuteticas convergem suficientemente para um incremento no
tempo de aproximadamente 50x10-4
s onde a variaccedilatildeo relativa eacute menor que 1 Este valor eacute
adotado nos demais resultados calculados para este exemplo
Figura 43 ndash Primeira velocidade criacutetica progressiva (FWD1)
e regressiva (BKWD1) versus incremento no tempo
A Figura 44 apresenta o espectro de frequecircncia obtido pelo MEF com o rotor a 10 rpm Na
Tabela 42 satildeo comparados os valores da primeira e segunda frequecircncias naturais (FN1 e FN2)
calculadas por Sinou (2005) com os valores obtidos pelo MEF aqui proposto e observa-se que
o desvio maacuteximo eacute menor que 3 Os valores apresentados por Sinou(2005) foram obtidos
usando uma malha de 184 elementos de viga de Timoshenko
64
Figura 44 ndash Espectro de frequecircncia obtido pelo MEF para o rotor de Sinou(2005) a 10 rpm
Tabela 42- Valores comparativos da primeira frequecircncia natural para o rotor de Sinou(2005) a 10 rpm
Sinou(2005) MEF Erro
relativo ()
FN 1 2430 rpm 2495 rpm 27
FN 2 3840 rpm 3780 rpm -16
As frequecircncias naturais do rotor em balanccedilo satildeo calculadas pelo MEF proposto tambeacutem para
outros valores de rotaccedilatildeo Na Figura 45 eacute ilustrado o diagrama de Campbell obtido pelo MEF e
comparado com os valores apresentados por Sinou (2005)
Figura 45 ndash Diagrama de Campbell para o rotor em balanccedilo analisado por Sinou(2005)
65
O efeito giroscoacutepico faz com que fiquem niacutetidas as frequecircncias de precessatildeo regressiva
(backward) e progressiva (forward) Estas frequecircncias satildeo representadas na Figura 45 seguidas
das siglas ―BKWD e ―FWD respectivamente A linha cheia e a traccedilo-ponto representam os
resultados obtidos pelo MEF proposto neste trabalho enquanto os pontos identificados por
marcadores satildeo os resultados apresentados por Sinou(2005) A linha tracejada representa as
frequecircncias siacutencronas (syncr) que permitem identificar as velocidades criacuteticas na sua interseccedilatildeo
com as curvas das frequecircncias naturais As duas primeiras velocidades criacuteticas foram obtidas
atraveacutes do graacutefico e comparadas na Tabela 43 com aquelas calculadas por Sinou(2005)
Observa-se um erro relativo menor que 5 nesta comparaccedilatildeo feita para fins de validaccedilatildeo
Tabela 43- Comparaccedilatildeo da primeira velocidade criacutetica
Sinou(2005) MEF Erro
relativo()
BKWD 2225 rpm 2210 rpm -1
FWD 2580 rpm 2680 rpm 4
As diferenccedilas entre os resultados do MEF proposto para os resultados numeacutericos de Sinou se
devem principalmente ao nuacutemero de elementos finitos usados O modelo de Sinou usa 184
elementos enquanto neste trabalho foram adotados 80 elementos Outros erros relativos podem
ter sido causados por pequenas diferenccedilas geomeacutetricas entre os dois modelos em funccedilatildeo de
alguma informaccedilatildeo que natildeo tenha sido detalhada no trabalho de Sinou
Cabe ressaltar que este exemplo de validaccedilatildeo se aplica ao MEF do rotor e ao procedimento de
superposiccedilatildeo dos coeficientes de forccedila dos mancais Poreacutem o modelo de Sinou usa apenas dois
coeficientes de forccedila nos apoios (rigidez agrave rotaccedilatildeo) e natildeo considera mancais hidrodinacircmicos
Para a validaccedilatildeo dos modelos de mancais seratildeo apresentados outros exemplos
412 Rotor apoiado nas extremidades com disco no centro
Um segundo exemplo de validaccedilatildeo eacute selecionado atraveacutes do modelo de rotor (HONG e PARK
1999) composto por um eixo com dois diacircmetros diferentes como mostrado na Figura 46 Na
primeira metade o eixo tem 25cm de diacircmetro e na outra metade tem 40cm de diacircmetro
66
Figura 46 ndash Desenho esquemaacutetico do rotor de Hong e Park(1999)
O eixo eacute apoiado pelas extremidades por mancais idecircnticos e no centro do eixo haacute um disco
massivo Os paracircmetros do modelo satildeo apresentados na Tabela 44
Tabela 44- Paracircmetros do rotor de Hong e Park(1999)
Eixo
Comprimento
Diacircmetro (trecho 1)
Diacircmetro (trecho 2)
Moacutedulo de Young
Massa especiacutefica
120m
25cm
40cm
200 GNm2
8000 kgm3
Disco
Massa
Momento polar de ineacutercia
Momento diametral de ineacutercia
20 kg
0163 kgm2
0085 kgm2
Mancais
Rigidez
Amortecimento
Kxx = 20 MNm
Kxy = -15 MNm
Kyx = -15 MNm
Kyy = 25 MNm
Cxx = 60 Nsm
Cxy = 0 Nsm
Cyx = 0 Nsm
Cyy = 70 Nsm
Eacute feita uma comparaccedilatildeo entre as frequecircncias naturais e tambeacutem apresentada uma anaacutelise da
forma de onda obtida pela integraccedilatildeo numeacuterica que permite observar o fenocircmeno de batimento
Satildeo apresentados os conceitos baacutesicos do fenocircmeno e feita a comparaccedilatildeo entre as frequecircncias
naturais obtidas atraveacutes do espectro de frequecircncia e a frequecircncia de batimento observada na
forma de onda
Inicialmente satildeo validadas as frequecircncias naturais atraveacutes da observaccedilatildeo dos picos no espectro
como pode ser visto na Figura 47 Satildeo destacados os dois picos (808 rpm 848 rpm) relativos agrave
primeira frequecircncia natural regressiva (backward) e progressiva (forward) respectivamente
com o rotor operando a 6000rpm
67
Figura 47 ndash Espectro de frequecircncia obtido para o rotor de Hong e Park (1999) operando a 6000rpm
Os resultados numeacutericos obtidos pelo MEF satildeo comparados com os da literatura (HONG e
PARK 1999) na Tabela 45 onde pode-se observar um erro relativo maacuteximo de 2
Tabela 45- Comparaccedilatildeo da primeira frequecircncia natural progressiva e regressiva para
o rotor de Hong e Park (1999)
Hong e Park
(1999)
MEF Erro
relativo ()
Backward (regressiva) 804 rpm 808 rpm 05
Forward (progressiva) 865 rpm 848 rpm -20
Em seguida eacute feita a anaacutelise da forma de onda obtida apoacutes a integraccedilatildeo no tempo da equaccedilatildeo do
movimento pelo Meacutetodo de Newmark Observa-se pela forma de onda (Figura 48) que existe
um padratildeo de flutuaccedilatildeo do sinal destacado pela linha tracejada e pelo sombreamento Este
padratildeo de flutuaccedilatildeo eacute semelhante ao fenocircmeno de batimento da teoria de interferecircncia de ondas
que ocorre quando haacute duas frequecircncias de vibraccedilatildeo proacuteximas O fenocircmeno natildeo foi investigado
profundamente neste trabalho mas eacute destacado como um exemplo de validaccedilatildeo onde foi
possiacutevel encontrar frequecircncias naturais bem proacuteximas agraves apresentadas na literatura (HONG e
68
PARK 1999) e ainda estabelecer uma relaccedilatildeo entre o padratildeo de flutuaccedilatildeo da forma de onda
com as frequecircncias registradas no espectro
Figura 48 ndash Forma de onda obtida para o rotor de Hong e Park (1999)
Uma vez identificado um ciclo completo do padratildeo de flutuaccedilatildeo destacado na Figura 48 pela
linha tracejada eacute possiacutevel obter os instantes de tempo inicial e final deste ciclo 275s e 570s
respectivamente Este intervalo corresponde a um periacuteodo de 295s que equivale a uma
frequecircncia de 0339Hz = 203rpm
Este padratildeo de flutuaccedilatildeo pode ser explicado pelo fenocircmeno de batimento que estabelece que
quando duas ondas com frequecircncias muito proacuteximas (w1 w2) interferem uma na outra
flutuaccedilotildees de batimento satildeo percebidas na forma de onda e a frequecircncia de batimento (wb) eacute
dada por
Observando-se novamente o espectro de frequecircncia na Figura 47 pode-se calcular a frequecircncia
de batimento (wb) esperada para este sistema atraveacutes das frequecircncia natural regressiva
(backward) e progressiva (forward)
69
Portanto confirma-se que o padratildeo de flutuaccedilatildeo observado na forma de onda pode ser associado
ao fenocircmeno de batimento causado pelas duas frequecircncias naturais proacuteximas identificadas no
espectro Estes dois resultados satildeo apresentados na Tabela 46
Tabela 46- Comparaccedilatildeo das Frequecircncias de Batimento para o rotor de Hong e Park(1999)
Frequecircncia obtida
pela forma de onda
Frequecircncia obtida
pelo espectro
203 rpm 200 rpm
Este fenocircmeno de batimento eacute tambeacutem observado quando o rotor opera em uma rotaccedilatildeo proacutexima
de uma frequecircncia natural De maneira semelhante se for observado o padratildeo de flutuaccedilatildeo na
forma de onda que varia com a rotaccedilatildeo do rotor eacute possiacutevel inferir que o rotor estaacute se
aproximando ou se afastando de uma frequecircncia natural O fenocircmeno de batimento no sistema
rotor-mancal merece uma investigaccedilatildeo mais profunda que natildeo estaacute no escopo do presente
trabalho
413 Rotor de uma bancada de testes
Um terceiro exemplo de validaccedilatildeo consiste na comparaccedilatildeo das frequecircncias naturais estimadas
pelo MEF com os valores experimentais coletados em uma bancada de testes montada no Grupo
de Dinacircmica de Rotores da UFMG cujos dados podem ser encontrados em Machado (2006) e
Miranda et al (2005) O rotor eacute composto por um eixo ciliacutendrico horizontal apoiado em mancais
hidrodinacircmicos e com um disco ciliacutendrico desbalanceado montado no eixo como ilustrado
esquematicamente na Figura 49 com medidas em miliacutemetros
Figura 49 ndash Desenho esquemaacutetico do rotor da bancada de testes
O disco possui furos rosqueados ao longo de sua periferia que permitem incluir pequenas massas
70
que provocam o desbalanceamento no sistema O rotor eacute acionado por um sistema de polias e
correia e um motor eleacutetrico controlado por um inversor de frequecircncia A Tabela 47 apresenta os
paracircmetros do rotor da bancada de testes
Tabela 47ndash Paracircmetros do rotor da bancada de testes
Paracircmetro Descriccedilatildeo Valor Unidade
Leixo comprimento do eixo 030 m
D diacircmetro do eixo 0015 m
L comprimento dos mancais 0012 m
c folga do mancal 345 x 10-6
m viscosidade do lubrificante 25 x 10
-3 Pamiddots
massa especiacutefica do lubrificante 892 kgmsup3
E moacutedulo de elasticidade do eixo 200 x 109 Pa
coeficiente de Poisson do eixo 03 -
massa especiacutefica do eixo 7870 kgmsup3
Esta anaacutelise tem como objetivo validar os modelos de elementos finitos propostos para o eixo
flexiacutevel e para os mancais hidrodinacircmicos atraveacutes de resultados experimentais A anaacutelise da
convergecircncia da malha de elementos finitos para o modelo do eixo eacute realizada de maneira
semelhante agrave apresentada na Figura 42 obtendo-se tambeacutem um nuacutemero de 80 elementos para
este exemplo
Um procedimento de anaacutelise de sensibilidade de malha eacute tambeacutem utilizado para avaliar a
dependecircncia dos paracircmetros de desempenho do mancal em funccedilatildeo do tamanho da malha Neste
procedimento a razatildeo entre o nuacutemero de elementos finitos nas direccedilotildees circunferencial e axial eacute
mantida constante Esta razatildeo depende da razatildeo de esbeltez do mancal (LD) e deve ser mantida
para se garantir a variaccedilatildeo uniforme do tamanho da malha Assim para uma razatildeo LD de 08
como no exemplo analisado a relaccedilatildeo entre o nuacutemero de noacutes circunferenciais e o nuacutemero de noacutes
axiais deve ser 480 Estabelecidos estes paracircmetros satildeo gerados os coeficientes de forccedila
para a rotaccedilatildeo de 3200rpm no ponto de equiliacutebrio estaacutetico do mancal usando-se inicialmente
uma malha bem refinada (1660 elementos) conforme mostrado na uacuteltima linha da Tabela 48
Satildeo entatildeo reduzidos os nuacutemeros de elementos da malha e registrados os erros relativos obtidos
na forccedila de reaccedilatildeo do mancal (Fx) e no coeficiente de rigidez cruzada (Kxy) Para fins de
comparaccedilatildeo os erros relativos satildeo calculados em moacutedulo conforme mostrado na Figura 410
71
Tabela 48ndash Resultados da anaacutelise da sensibilidade da malha dos mancais
Noacutes circunferenciais
Noacutes axiais Elementos
Kxy
(MNm) Fx (N)
Desvio
Kxy Desvio
Fx
20 5 76 3926 5752 48 475
36 9 280 4122 6039 06 058
44 11 430 4146 6074 03 030
52 13 612 4158 6092 02 020
60 15 826 4166 6104 01 011
68 17 1072 4171 6111 01 008
76 19 1350 4174 6116 01 007
84 21 1660 4177 6120
Figura 410 ndash Sensibilidade da malha de elementos finitos do mancal ciliacutendrico no caacutelculo dos
paracircmetros de desempenho Fx e Kxy
Pela anaacutelise de sensibilidade realizada neste terceiro exemplo constata-se que 280 elementos
finitos na malha do filme fluido satildeo suficientes para a obtenccedilatildeo de resultados confiaacuteveis com
menos de 1 de erro relativo conforme Tabela 48
Uma vez definidas as malhas de elementos finitos satildeo realizadas as simulaccedilotildees e a integraccedilatildeo
numeacuterica no tempo Com os resultados da integraccedilatildeo satildeo gerados os espectros de frequecircncia
numeacutericos Os espectros de frequecircncia experimentais satildeo obtidos em diferentes velocidades de
rotaccedilatildeo do eixo atraveacutes de testes de batida (bump test) Satildeo afixados acelerocircmetros no topo dos
mancais e gerados os espectros de frequecircncia Na Figura 411 observa-se o espectro de
72
frequecircncia gerado a partir do teste de batida coletado no mancal 1 A amplitude indicada
representa o valor RMS da aceleraccedilatildeo Observam-se dois picos em frequecircncias de
aproximadamente 83 Hz (4980 rpm) e 110 Hz (6600 rpm) que correspondem agraves frequecircncias
naturais do sistema
Figura 411 ndash Espectro de frequecircncia experimental ndash teste de batida
Para se obter estas frequecircncias naturais pelo meacutetodo de elementos finitos proposto satildeo
realizadas duas simulaccedilotildees Uma com o rotor operando a 750rpm (Figura 412) e outra a
3200rpm (Figura 413)
Figura 412 ndash Espectro de frequecircncia obtido pelo MEF para rotaccedilatildeo de 750 rpm
Observa-se na Figura 412 o pico de 750rpm relativo agrave excitaccedilatildeo harmocircnica da massa
desbalanceada e um pico a aproximadamente 4950 rpm (825 Hz) que corresponde agravequele
73
identificado no espectro obtido experimentalmente no teste de batida
Na Figura 413 eacute niacutetido o pico a 6650rpm (111Hz) tambeacutem presente no espectro do resultado
experimental O pico de 3200 da Figura 413 eacute da excitaccedilatildeo harmocircnica
Figura 413 ndash Espectro de frequecircncia obtido pelo MEF para rotaccedilatildeo de 3200 rpm
A Tabela 49 apresenta a comparaccedilatildeo entre estes valores onde observa-se um erro relativo de
aproximadamente 1 dos dados numeacutericos em relaccedilatildeo aos dados experimentais
Tabela 49ndash Valores comparativos de frequecircncias naturais obtidas pelo MEF e experimentalmente
pelo teste de batida (bump test)
Experimental MEF Erro relativo
4980 rpm 4950 rpm -1
6600 rpm 6650rpm 08
Esta faixa de erro estaacute abaixo da resoluccedilatildeo dos graacuteficos e existem outros erros associados aos
dados apresentados devido agraves incertezas geomeacutetricas do rotor da bancada de testes
Uma segunda mediccedilatildeo experimental eacute realizada para este mesmo sistema fixando-se a rotaccedilatildeo
do eixo em 8900rpm Os resultados experimentais e numeacutericos da vibraccedilatildeo do mancal 2 satildeo
processados e gerados os espectros de frequecircncia a seguir A Figura 414 apresenta o espectro de
frequecircncia experimental para rotaccedilatildeo de 8900 rpm onde satildeo destacadas algumas frequecircncias
naturais excitadas a esta rotaccedilatildeo
74
Figura 414 ndash Espectro de frequecircncia experimental para o rotor da bancada operando a 8900rpm
A Figura 415 apresenta o espectro de frequecircncia numeacuterico para rotaccedilatildeo de 8900 rpm onde satildeo
destacados alguns dos picos que correspondem agraves mesmas frequecircncias naturais observadas no
resultado experimental A amplitude exibida no graacutefico estaacute na forma adimensional que eacute a
razatildeo entre a amplitude de deslocamento dividida pela folga do mancal
Figura 415 ndash Espectro de frequecircncia obtido pelo MEF para o rotor da bancada operando a 8900rpm
A comparaccedilatildeo entre estas frequecircncias eacute apresentada na Tabela 410 onde se observa um erro
relativo de menos de 3 para as prediccedilotildees das frequecircncias naturais em relaccedilatildeo aos valores
75
experimentais Nem todas as frequecircncias apresentadas no espectro experimental satildeo observadas
no resultado numeacuterico em funccedilatildeo do modelo computacional natildeo considerar alguns efeitos tais
como desalinhamento incertezas geomeacutetricas dos mancais ruiacutedos provenientes do motor
eleacutetrico e outros O pico de 17800rpm da Figura 414 por exemplo representa o segundo
harmocircnico da frequecircncia de rotaccedilatildeo do rotor que corresponde ao sinal de desalinhamento
paralelo (BERRY 1994)
Tabela 410ndash Valores comparativos de frequecircncias naturais obtidas pelo MEF e experimentalmente
para o rotor da bancada operando a 8900rpm
Experimental MEF Erro relativo
8890 rpm 8850 rpm -05
26800 rpm 26200 rpm -22
45600 rpm 44400 rpm -26
414 Segundo rotor de uma bancada de testes
Um quarto exemplo de validaccedilatildeo eacute selecionado (MACHADO 2006) para avaliar o
procedimento computacional implementado neste trabalho O rotor eacute semelhante ao anterior
ilustrado na Figura 49 poreacutem os mancais satildeo diferentes Satildeo mancais hidrodinacircmicos
ciliacutendricos cujas caracteriacutesticas satildeo apresentadas na Tabela 411
Tabela 411ndash Paracircmetros do rotor da bancada de testes ndash exemplo 2
Paracircmetro Descriccedilatildeo Valor Unidade
Leixo comprimento do eixo 030 m
D diacircmetro do eixo 0015 m
L comprimento dos mancais 0012 m
d diacircmetro do mancal 0015 m
c folga do mancal 24 x 10-6
m viscosidade do lubrificante 25 x 10
-3 Pamiddots
massa especiacutefica do lubrificante 892 kgmsup3
E moacutedulo de elasticidade do eixo 200 x 109 Pa
coeficiente de Poisson do eixo 03 -
massa especiacutefica do eixo 7870 kgmsup3
No espectro de frequecircncia computacional apresentado na Figura 416 satildeo destacadas as
frequecircncias naturais excitadas quando o rotor opera a 3200rpm
76
Figura 416 ndash Espectro de frequecircncia obtido pelo MEF para o rotor do exemplo 4 operando a 3200rpm
Estas frequecircncias satildeo comparadas com os valores obtidos experimentalmente para o rotor
descrito por Machado (2006) exibidas na Figura 417
Figura 417 ndash Espectro de frequecircncia experimental para o rotor de Machado(2006)
A comparaccedilatildeo das frequecircncias naturais dos resultados numeacutericos e experimentais eacute apresentada
na Tabela 412 onde observa-se que os resultados numeacutericos desviam menos de 2 dos
experimentais A uacutenica exceccedilatildeo eacute a frequecircncia de 9480 rpm do espectro experimental cujo erro
77
relativo foi de 37 no resultado numeacuterico Esta frequecircncia eacute de aproximadamente trecircs vezes a
frequecircncia de rotaccedilatildeo do eixo (3200rpm) o que significa um sinal de desalinhamento do rotor
conforme previsto na literatura (BERRY 1994)
Tabela 412ndash Valores comparativos das frequecircncias naturais obtidas
experimentalmente por Machado(2006) e pelo MEF
Experimental (rpm)
MEF (rpm)
erro relativo
3240 3194 -14
6360 6376 03
9480 9834 37
12960 12789 -13
18960 19190 12
25560 25591 01
28440 28823 13
32280 31992 -09
34800 35220 12
38520 38395 -03
41760 41615 -03
44100 44790 16
42 Anaacutelise dos coeficientes de forccedila dos mancais eliacutepticos
A anaacutelise dos coeficientes de forccedila eacute realizada aplicando-se o MEF a um exemplo de mancal
eliacuteptico extraiacutedo de Correia(2007) com o objetivo de identificar uma relaccedilatildeo entre os
coeficientes de forccedila e os paracircmetros construtivos do mancal folga radial (c) razatildeo de esbeltez
(LD) e preacute-carga (Mp) Este resultado permite observar se a relaccedilatildeo identificada se manteacutem
para diversas condiccedilotildees operacionais Os paracircmetros do mancal eliacuteptico selecionado satildeo
apresentados na Tabela 413
Tabela 413ndash Paracircmetros do mancal eliacuteptico selecionado
Paracircmetro Descriccedilatildeo Valor Unidade
L comprimento do mancal 0075 m
D diacircmetro do mancal 010 m
c1 folga do mancal (variaacutevel) viscosidade do lubrificante 84 x 10
-3 Pamiddots
massa especiacutefica do lubrificante 892 kgmsup3
rotaccedilatildeo 8800 rpm
Mp preacute-carga 045
W carga estaacutetica 1000 N
Para a anaacutelise de sensibilidade de malha do mancal selecionado adota-se uma folga radial de
75 m conforme Correia(2007) Esta anaacutelise permite avaliar a dependecircncia dos paracircmetros de
78
desempenho do mancal em funccedilatildeo do tamanho da malha A razatildeo entre o nuacutemero de elementos
finitos nas direccedilotildees circunferencial e axial eacute mantida constante dada pela relaccedilatildeo 4 Satildeo
apresentados na Figura 418 os desvios da forccedila de reaccedilatildeo do mancal (Fx) e do coeficiente de
rigidez cruzada (Kxy) obtidos para diferentes nuacutemeros de elementos da malha Para fins de
comparaccedilatildeo os desvios satildeo calculados em moacutedulo Pela anaacutelise de sensibilidade realizada
constata-se que aproximadamente 200 elementos finitos na malha do filme fluido satildeo suficientes
para a obtenccedilatildeo de resultados confiaacuteveis com menos de 1 de erro relativo
Figura 418 ndash Sensibilidade da malha de elementos finitos do mancal eliacuteptico no caacutelculo dos
paracircmetros de desempenho Fx e Kxy
421 Coeficientes de forccedila em funccedilatildeo da folga radial dos mancais eliacutepticos
Satildeo analisados nesta seccedilatildeo os resultados obtidos pelo MEF para o caacutelculo dos coeficientes de
rigidez direta adimensionais kxx e kyy dos mancais eliacutepticos para diferentes valores de folga
radial A adimensionalizaccedilatildeo dos coeficientes de rigidez direta eacute realizada pela relaccedilatildeo
(CORREIA2007)
kxx = c Kxx W
onde Kxx eacute o coeficiente de rigidez direta dimensional c eacute a folga radial do mancal e W eacute a
carga estaacutetica no mancal Para kyy a adimensionalizaccedilatildeo eacute anaacuteloga
Quando o mancal hidrodinacircmico opera ocorre um deslocamento da linha de centro do munhatildeo
79
(eixo do rotor) em relaccedilatildeo agrave linha de centro do mancal como ilustrado na Figura 419Figura 33
Este deslocamento eacute definido como a excentricidade e e o acircngulo eacute definido como acircngulo de
posiccedilatildeo A excentricidade adimensional eacute definida pela expressatildeo onde c eacute a folga
radial maacutexima do mancal Para cada condiccedilatildeo operacional o munhatildeo tende a se deslocar ateacute um
ponto de equiliacutebrio onde as forccedilas da accedilatildeo hidrodinacircmica do filme fluido entre em equiliacutebrio
com as forccedilas atuantes do rotor sobre o mancal Este ponto eacute definido como o ponto de
equiliacutebrio estaacutetico o
Figura 419 - Posicionamento do eixo dentro do mancal e excentricidade
O ponto de equiliacutebrio estaacutetico ( o) eacute influenciado por vaacuterios paracircmetros do mancal em especial
pela folga radial do mancal Para os mancais eliacutepticos analisados observa-se uma variaccedilatildeo de o
em funccedilatildeo da folga radial conforme mostrado na Figura 420
Figura 420 ndash Excentricidade adimensional do ponto de equiliacutebrio estaacutetico dos mancais
eliacutepticos em funccedilatildeo da folga radial
80
A Figura 421 apresenta os valores do coeficiente de rigidez direta adimensional dos mancais
eliacutepticos em funccedilatildeo da folga radial Eacute observado que estes coeficientes apresentam uma
variaccedilatildeo muito pequena para valores de o entre zero e 03 Estes valores correspondem a folgas
radiais entre zero a 150 m respectivamente Para destacar esta faixa eacute apresentada na Figura
421 uma linha pontilhada vertical onde se observa que os valores calculados para os
coeficientes kxx e kyy variam menos de 1 e fora desta faixa os coeficientes variam
consideravelmente Satildeo exibidas no graacutefico duas linhas tracejadas horizontais como referecircncia
para facilitar a observaccedilatildeo do alinhamento dos pontos
Figura 421 ndash Coeficientes de rigidez direta adimensionais em funccedilatildeo da folga radial dos mancais eliacutepticos
A adimensionalizaccedilatildeo do coeficiente de rigidez cruzada Kxy eacute realizada de maneira semelhante agrave
dos coeficientes de rigidez direta (CORREIA 2007) Poreacutem observa-se que os coeficientes kxy e
a folga radial tecircm uma relaccedilatildeo de proporcionalidade inversa para uma certa faixa operacional
descrita a seguir Desta forma o produto entre eles deve ser constante nesta faixa Sugere-se
assim um novo adimensional o ―coeficiente de rigidez cruzada adimensional modificado
definido por
onde Kxy eacute o coeficiente de rigidez cruzada dimensional c eacute a folga radial do mancal W eacute a
carga estaacutetica no mancal eacute a excentricidade adimensional no ponto de equiliacutebrio estaacutetico kxy
eacute o coeficiente de rigidez cruzada adimensional
81
A Figura 422 apresenta os resultados obtidos pelo MEF para o caacutelculo do coeficiente de rigidez
cruzada adimensional modificado dos mancais eliacutepticos para diferentes valores de folga
radial
Figura 422 ndash Coeficientes de rigidez cruzada adimensional modificado em funccedilatildeo da folga
radial dos mancais eliacutepticos
Observa-se que para a faixa onde os valores do coeficiente de rigidez cruzada
adimensional modificado satildeo aproximadamente constantes Apenas o uacuteltimo valor desta faixa
apresenta um desvio de 5 em relaccedilatildeo aos demais que variam menos de 1 Esta anaacutelise vale
de maneira anaacuteloga para ambos coeficientes de rigidez cruzada pois Kyx = -Kxy
Para os resultados computacionais dos coeficientes de amortecimento observa-se um padratildeo
semelhante ao identificado para os coeficientes de rigidez quando uma vez que nesta
faixa o coeficiente de amortecimento direto Cxx eacute proporcional ao coeficiente de rigidez cruzada
Kxy e o coeficiente de amortecimento cruzado Cxy eacute proporcional ao coeficiente de rigidez
direta Kxx Para investigar a faixa onde esta proporcionalidade eacute mantida eacute apresentado na
Figura 423 a razatildeo em funccedilatildeo da folga radial do mancal eliacuteptico Observa-se que para
a razatildeo eacute aproximadamente constante variando menos de 1 Este resultado
eacute ilustrado na Figura 423 sendo tambeacutem vaacutelido para a razatildeo
82
Figura 423 ndash Razatildeo CxyKxx em funccedilatildeo da folga radial dos mancais eliacutepticos
O amortecimento efetivo do mancal eacute um paracircmetro importante na anaacutelise da estabilidade
(VANCE 1988) definido pela expressatildeo 2ωCxxKxy onde Cxx eacute o coeficiente de amortecimento
direto (ou Cyy) e Kxy eacute o coeficiente de rigidez cruzada (ou -Kyx) Assim para concluir a anaacutelise
dos coeficientes de amortecimento em funccedilatildeo da folga radial eacute escolhido o amortecimento
efetivo como paracircmetro de desempenho Satildeo apresentados na Figura 424 os resultados do
amortecimento efetivo em funccedilatildeo da folga radial dos mancais eliacutepticos Novamente eacute observado
que para e0lt03 o amortecimento efetivo varia pouco menos de 1
Figura 424 ndash Amortecimento efetivo em funccedilatildeo da folga radial dos mancais eliacutepticos
83
Pode-se observar que os diversos paracircmetros analisados relacionados aos coeficientes de forccedila
dos mancais eliacutepticos variam pouco na faixa onde e este padratildeo natildeo eacute observado fora
desta faixa
422 Coeficientes de forccedila em funccedilatildeo da razatildeo de esbeltez dos mancais eliacutepticos
A razatildeo de esbeltez (LD) eacute um paracircmetro importante no projeto dos mancais hidrodinacircmicos
influenciando de maneira natildeo-linear nos seus coeficientes de forccedila (SAWICKI e RAO 2004)
No procedimento computacional proposto observa-se um padratildeo comum para alguns
paracircmetros de desempenho dos mancais eliacutepticos em funccedilatildeo da razatildeo de esbeltez
Eacute apresentada na Figura 425 a curva que relaciona a excentricidade adimensional do ponto de
equiliacutebrio estaacutetico ( ) com a razatildeo de esbeltez (LD) para os mancais analisados Observa-se um
valor de para LD = 045 que eacute uma razatildeo de esbeltez muito baixa conforme
observado nas aplicaccedilotildees industriais
Figura 425 ndash Excentricidade adimensional do ponto de equiliacutebrio estaacutetico dos mancais eliacutepticos em
funccedilatildeo da razatildeo de esbeltez
Na anaacutelise dos coeficientes de forccedila dos mancais em funccedilatildeo de LD identifica-se um padratildeo
comum para o amortecimento efetivo ( ) como ilustrado na Figura 426 Observa-se
que na faixa onde o amortecimento efetivo eacute aproximadamente constante variando no
maacuteximo 3
84
Figura 426 ndash Variaccedilatildeo do amortecimento efetivo em funccedilatildeo da razatildeo de esbeltez dos mancais eliacutepticos
Os resultados obtidos pelo MEF para o coeficiente de amortecimento cruzado adimensional (cxy)
mostram que existe uma relaccedilatildeo linear entre cxy e LD na faixa onde conforme
ilustrado na Figura 427 A linha tracejada indica o ajuste linear feito com os pontos desta faixa
no qual obteacutem-se um coeficiente de determinaccedilatildeo (R2) maior que 099 Embora os pontos na
faixa oposta (LD lt 045 e ) estejam tambeacutem aproximadamente alinhados natildeo foi
observado outro padratildeo comum nesta faixa
Figura 427 ndash Variaccedilatildeo do amortecimento cruzado adimensional em funccedilatildeo da razatildeo de esbeltez dos
mancais eliacutepticos
85
Os coeficientes de forccedila apresentados nesta seccedilatildeo obtidos pelo MEF implementado para os
mancais eliacutepticos apresentam uma clara relaccedilatildeo algeacutebrica com a razatildeo de esbeltez que se
manteacutem na faixa onde
423 Coeficientes de forccedila em funccedilatildeo da preacute-carga dos mancais eliacutepticos
Outro paracircmetro importante no projeto dos mancais hidrodinacircmicos eacute a preacute-carga (Mp) No
procedimento computacional proposto observa-se um padratildeo comum para alguns paracircmetros de
desempenho de mancais eliacutepticos em funccedilatildeo da preacute-carga
A Figura 428 apresenta a excentricidade adimensional do ponto de equiliacutebrio estaacutetico dos
mancais analisados para diferentes valores de preacute-carga (Mp) Observa-se um valor de
para Mp = 04
Figura 428 ndash Excentricidade adimensional do ponto de equiliacutebrio estaacutetico dos mancais eliacutepticos em
funccedilatildeo da preacute-carga
Na anaacutelise dos coeficientes de rigidez direta dos mancais para diferentes valores de Mp
observa-se uma relaccedilatildeo de proporcionalidade entre Mp e (kyy)23
e entre Mp e (kxx)12
como
ilustrado na Figura 429 Na faixa onde que corresponde a Mp lt 04 estas relaccedilotildees
algeacutebricas variam pouco Observa-se que nesta faixa a relaccedilatildeo de proporcionalidade entre Mp e
(kyy)23
varia no maacuteximo 4 e entre Mp e (kxx)12
varia no maacuteximo 7 Fora desta faixa as
variaccedilotildees satildeo maiores que 20
86
Figura 429 ndash Variaccedilatildeo da relaccedilatildeo de ajuste entre Mp kxx e kxy em funccedilatildeo da preacute-carga dos mancais eliacutepticos
Observa-se tambeacutem uma relaccedilatildeo linear entre o amortecimento efetivo ( ) e a preacute-
carga para valores de A Figura 436 apresenta estes resultados onde a linha tracejada
corresponde ao ajuste linear feito na faixa onde obtendo-se um coeficiente de
determinaccedilatildeo (R2) maior que 0999
Figura 430 ndash Variaccedilatildeo do amortecimento efetivo em funccedilatildeo da preacute-carga dos mancais eliacutepticos
Estes resultados obtidos pelo MEF implementado para os mancais eliacutepticos mostram que os
coeficientes de forccedila apresentam uma clara relaccedilatildeo algeacutebrica com a preacute-carga quando a
excentricidade adimensional ponto de equiliacutebrio estaacutetico eacute menor que 03
87
43 A influecircncia dos paracircmetros geomeacutetricos dos mancais eliacutepticos na resposta
desbalanceada
A resposta desbalanceada do sistema rotor-mancal eacute um importante paracircmetro operacional que
auxilia no projeto de maacutequinas rotativas pois informa o niacutevel de vibraccedilatildeo do sistema ao se
atravessar as velocidades criacuteticas Desta forma eacute fundamental uma anaacutelise da influecircncia dos
paracircmetros geomeacutetricos dos mancais eliacutepticos na resposta desbalanceada do sistema De fato
muitas turbomaacutequinas operam acima da primeira velocidade criacutetica e por isto os mancais devem
ser projetados para absorver as altas vibraccedilotildees provocadas pelo sistema quando ele passa pela
velocidade criacutetica
O procedimento computacional proposto neste trabalho permite predizer como os paracircmetros
geomeacutetricos dos mancais eliacutepticos influenciam a resposta desbalanceada Esta anaacutelise eacute realizada
atraveacutes dos resultados obtidos da integraccedilatildeo no tempo das equaccedilotildees do movimento
Satildeo selecionados a seguir alguns paracircmetros geomeacutetricos importantes no projeto de mancais
eliacutepticos e analisada a resposta desbalanceada do sistema rotor-mancal em funccedilatildeo destes
paracircmetros Inicialmente faz-se uma anaacutelise da influecircncia da preacute-carga dos mancais eliacutepticos na
razatildeo de amplificaccedilatildeo da resposta desbalanceada Em seguida eacute analisada a resposta
desbalanceada em funccedilatildeo da razatildeo de esbeltez dos mancais eliacutepticos e finalmente eacute analisada a
influecircncia da folga radial dos mancais eliacutepticos na resposta desbalanceada
431 A razatildeo de amplificaccedilatildeo da resposta desbalanceada em funccedilatildeo da preacute-carga
A resposta desbalanceada de rotores analisada para diferentes mancais eacute normalmente usada
como um paracircmetro de eficiecircncia dos mancais nas velocidades criacuteticas (FLACK e ROOKE
1980) Ela eacute a medida da amplitude de vibraccedilatildeo do sistema quando excitado pela forccedila de
desbalanceamento A reposta desbalanceada eacute analisada para o sistema apoiado em mancais
eliacutepticos sob diferentes valores de preacute-carga baseados em um exemplo de mancal eliacuteptico
apresentado em Machado(2006) A amplitude de vibraccedilatildeo eacute calculada atraveacutes do raio meacutedio das
oacuterbitas obtidas pelo procedimento numeacuterico Os paracircmetros do sistema satildeo apresentados na
Tabela 414 O rotor simulado natildeo possui discos massivos e estaacute apoiado em mancais
hidrodinacircmicos eliacutepticos como ilustrado na Figura 431
88
Figura 431 ndash Desenho esquemaacutetico do rotor sem disco massivo
Tabela 414 Paracircmetros do sistema rotor-mancal eliacuteptico utilizado na anaacutelise
d (diacircmetro do eixo) = 0015 m μ (viscosidade do lubrificante) = 27 x 10-3
Pas
L (comprimento do mancal) = 0012 m ρL (massa especiacutefica do lubrificante)= 915 kgmsup3
D (diacircmetro do mancal) = 0015 m ρ (massa especiacutefica do eixo) = 7850 kgmsup3
c1 (folga do mancal 1) = 24 μm c2 (folga do mancal 2) = 24 μm
Leixo (comprimento do eixo) = 0900m mu (massa desbalanceada) = 00035 kg
Ω (rotaccedilatildeo do rotor) = 2000 a 10000 rpm ud (excentricidade da massa desbalanceada) = 0035 m
E (Moacutedulo de Young do eixo) = 205x109 Pa Mp (preacute-carga dos mancais)=045
W (carga estaacutetica por mancal) = 612N
Para este exemplo eacute adotada uma malha de 80 elementos para o eixo e de 351 elementos para o
filme fluido composta por 40 noacutes circunferenciais e 10 noacutes axiais A excentricidade
adimensional do ponto de equiliacutebrio estaacutetico calculado eacute com um acircngulo de posiccedilatildeo
proacuteximo de zero Este ponto de equiliacutebrio eacute calculado de modo a garantir que a forccedila
hidrodinacircmica do filme fluido seja agrave carga estaacutetica W que eacute obtida dividindo-se o peso do eixo
pelo nuacutemero de mancais
A resposta desbalanceada (Figura 432) eacute calculada no mancal 1 considerando mancais eliacutepticos
com preacute-carga Mp=045 A amplitude adimensional eacute calculada dividindo-se a amplitude de
vibraccedilatildeo do eixo pela folga do mancal Os dois picos destacados na Figura 432 representam a
primeira e segunda velocidades criacuteticas do rotor
89
Figura 432 ndash Resposta desbalanceada calculada no mancal 1 do rotor apoiado em mancais eliacutepticos
com preacute-carga 045 (MIRANDA e FARIA 2012)
Uma vez identificadas as velocidades criacuteticas do rotor estuda-se a influecircncia da preacute-carga dos
mancais eliacutepticos na resposta desbalanceada com o rotor operando em torno da sua primeira
velocidade criacutetica A resposta desbalanceada para o sistema apoiado em mancais hidrodinacircmicos
eliacutepticos com diferentes valores de preacute-carga (Mp) eacute exibida na Figura 433 A curva superior
corresponde Mp=075 a curva intermediaacuteria corresponde a Mp=045 e a curva inferior
corresponde a Mp=045
Figura 433 ndash Resposta desbalanceada para diferentes valores de preacute-carga dos mancais eliacutepticos
(MIRANDA e FARIA 2012)
90
Os valores das amplitudes adimensionais satildeo calculadas na extremidade esquerda do eixo onde
ele estaacute apoiado no mancal 1 Observa-se que a amplitude na primeira velocidade criacutetica eacute mais
elevada para valores maiores de preacute-carga Poreacutem aleacutem de analisar a amplitude da vibraccedilatildeo eacute
importante tambeacutem investigar a razatildeo de amplificaccedilatildeo desta vibraccedilatildeo
A razatildeo de amplificaccedilatildeo da resposta desbalanceada na velocidade criacutetica eacute um paracircmetro
importante na anaacutelise da estabilidade do sistema rotor-mancal (ZEIDAN e PAQUETTE 1994)
Neste exemplo numeacuterico ela eacute calculada atraveacutes da relaccedilatildeo entre a resposta desbalanceada na
primeira velocidade criacutetica e na rotaccedilatildeo de 2000rpm A rotaccedilatildeo de 2000rpm eacute escolhida como
referecircncia pelo fato de representar uma rotaccedilatildeo onde a amplitude de vibraccedilatildeo apresenta pouca
influecircncia da velocidade criacutetica A razatildeo de amplificaccedilatildeo permite inferir sobre a capacidade do
mancal eliacuteptico atenuar a resposta desbalanceada do rotor ao passar pela velocidade criacutetica o
que eacute uma caracteriacutestica importante dos mancais hidrodinacircmicos (STERNLICHT e LEWIS
1968 VANCE 1988 CORREIA 2007) A Figura 434 apresenta os valores da razatildeo de
amplificaccedilatildeo para o exemplo estudado com diferentes valores de preacute-carga nos mancais A preacute-
carga zero representa o caso particular de mancal ciliacutendrico
Figura 434 ndashRazatildeo de amplificaccedilatildeo da resposta desbalanceada na primeira velocidade criacutetica para o
rotor apoiado em mancais eliacutepticos (MIRANDA e FARIA 2012)
Observa-se uma menor razatildeo de amplificaccedilatildeo (maior atenuaccedilatildeo) da resposta desbalanceada na
primeira velocidade criacutetica para uma preacute-carga de 045 A literatura teacutecnica apresenta uma
recomendaccedilatildeo de aplicaccedilatildeo de mancais eliacutepticos com preacute-carga de aproximadamente 05 por
apresentar melhor estabilidade (PINKUS 1956 ALLAIRE e FLACK 1981) Portanto para o
91
exemplo de rotor analisado este resultado mostra uma concordacircncia entre os valores obtidos
pelo MEF para a razatildeo de amplificaccedilatildeo e a recomendaccedilatildeo da literatura no que diz respeito agrave
estabilidade de mancais eliacutepticos
432 A resposta desbalanceada em funccedilatildeo da razatildeo de esbeltez dos mancais eliacutepticos
A resposta desbalanceada do sistema rotor-mancal eacute analisada para o rotor da Figura 435
composto por um eixo flexiacutevel apoiado nas extremidades por mancais hidrodinacircmicos eliacutepticos
e com um disco massivo acoplado em uma posiccedilatildeo assimeacutetrica Esta posiccedilatildeo assimeacutetrica eacute
escolhida para se evitar soluccedilotildees particulares restritas a rotores com simetria axial Os
paracircmetros do rotor satildeo apresentados na Tabela 415 onde os paracircmetros baacutesicos dos mancais
eliacutepticos satildeo idecircnticos aos apresentados por Correia(2006)
Figura 435 ndashDesenho esquemaacutetico do rotor com disco massivo em posiccedilatildeo assimeacutetrica
A resposta desbalanceada eacute calculada atraveacutes da amplitude adimensional de vibraccedilatildeo do rotor
operando na primeira velocidade criacutetica (VC) apoiado mancais eliacutepticos com diferentes razotildees
de esbeltez (LD) A amplitude adimensional eacute obtida dividindo-se a amplitude de vibraccedilatildeo pela
folga do mancal
92
Tabela 415ndash Paracircmetros do rotor com mancais eliacutepticos
Paracircmetro Descriccedilatildeo Valor Unidade
leixo comprimento do eixo (vatildeo) 090 m
d diacircmetro do eixo 0015 m
L comprimento do mancal (variaacutevel) m
D diacircmetro do mancal 010 m
c1 folga do mancal 75 x 10-6
m viscosidade do lubrificante 84 x 10
-3 Pamiddots
massa especiacutefica do lubrificante 892 kgmsup3
E moacutedulo de elasticidade do eixo 205 x 109 Pa
coeficiente de Poisson do eixo 03 -
massa especiacutefica do eixo 7850 kgmsup3
W
w
carga estaacutetica em cada mancal
rotaccedilatildeo
100
2000
N
rpm
Para este exemplo eacute adotada uma malha de 80 elementos para o eixo e de 210 a 2100 elementos
para o filme fluido dependendo da razatildeo de esbeltez LD de modo a garantir menos de 1 de
erro relativo Os pontos de equiliacutebrio estaacuteticos satildeo mostrados na Figura 437
A integraccedilatildeo numeacuterica das equaccedilotildees de movimento permitem obter as amplitudes de vibraccedilatildeo
do rotor na primeira velocidade criacutetica (VC) Satildeo apresentadas na Figura 436 em escala log-log
a amplitude adimensional da resposta desbalanceada calculada no mancal 1 para o rotor
operando na primeira VC em funccedilatildeo da razatildeo de esbeltez (LD) dos mancais Satildeo considerados
trecircs tipos de mancais eliacutepticos com valores de preacute-carga Mp=0 Mp=045 Mp=090
Figura 436 ndash Amplitude de vibraccedilatildeo na primeira VC
em funccedilatildeo da razatildeo de esbeltez dos mancais eliacutepticos
93
Na Figura 436 observa-se que os pontos se mantecircm alinhados e proacuteximos das curvas de ajuste
para os valores de LD maiores que 04 que foi destacado no eixo horizontal Como a escala eacute
logariacutetmica em ambos eixos isto natildeo indica uma linearidade mas alguma relaccedilatildeo de potecircncia
entre a amplitude na VC e a razatildeo de esbeltez dos mancais A linha traccedilo-ponto apresentada no
graacutefico representa o ajuste feito para os valores obtidos com Mp=090 e a linha tracejada
representa o ajuste feito para os valores obtidos com Mp=0 O ajuste de curvas mostra que haacute
uma relaccedilatildeo cuacutebica inversa entre a amplitude da resposta desbalanceada (Ampl) e a razatildeo de
esbeltez (LD) do mancal com um coeficiente de determinaccedilatildeo R2 maior que 0999 Desta
forma eacute possiacutevel predizer o valor da amplitude calculada dentro desta faixa pela expressatildeo
onde a constante a depende da preacute-carga (Mp) do mancal eliacuteptico
Observa-se ainda pela Figura 436 que os pontos satildeo bem alinhados para as curvas de ajuste
obtidas para valores de LDgt04 E esta faixa de valores de razatildeo de esbeltez corresponde agrave
faixa onde a excentricidade adimensional no ponto de equiliacutebrio estaacutetico eacute menor que 035
Este valor eacute proacuteximo ao obtido nas anaacutelises apresentadas nas subseccedilotildees anteriores onde se
observa uma relaccedilatildeo algeacutebrica repetitiva para os paracircmetros de desempenho dos mancais na
faixa
O resultado apresentado na Figura 436 mostra tambeacutem que o procedimento baseado no MEF
pode ser usado na prediccedilatildeo da influecircncia da razatildeo de esbeltez dos mancais eliacutepticos na resposta
desbalanceada do sistema rotor-mancal o que eacute importante na anaacutelise de alteraccedilotildees de projetos
de maacutequinas rotativas
Outro resultado importante eacute destacado a seguir Constata-se que a excentricidade adimensional
do ponto de equiliacutebrio estaacutetico apresenta uma relaccedilatildeo cuacutebica inversa com o valor de LD Esta
relaccedilatildeo proveacutem dos ajustes de curva apresentados na Figura 437 onde pode-se observar os
valores calculados para em funccedilatildeo de LD A linha fina horizontal equivale a
94
Figura 437 ndash Curvas de ajuste da excentricidade adimensional do ponto de equiliacutebrio estaacutetico em
funccedilatildeo da razatildeo de esbeltez dos mancais eliacutepticos
Eacute observado que os pontos do graacutefico seguem alinhados com as curvas de ajuste para valores de
para o mancal ciliacutendrico (Mp=0) e vatildeo se afastando deste alinhamento para valores
maiores de Para os mancais eliacutepticos o valor os pontos seguem alinhados com a curva de
ajuste para valores de um pouco maiores Como o graacutefico estaacute em escala log-log o fato das
curvas de ajuste serem retas natildeo significa uma relaccedilatildeo de linearidade De fato a relaccedilatildeo entre
e LD identificada para este exemplo eacute
onde a eacute uma constante de proporcionalidade que varia com a preacute-carga Esta relaccedilatildeo eacute vaacutelida
para os trecircs valores de preacute-carga considerados neste exemplo Tendo em vista esta relaccedilatildeo
define-se como ―razatildeo de ajuste o valor para se examinar em qual faixa de
excentricidade esta razatildeo eacute mantida aproximadamente constante A Figura 438 ilustra como a
razatildeo de ajuste varia em funccedilatildeo de Satildeo incluiacutedas linhas tracejadas para auxiliar na
observaccedilatildeo do alinhamento dos pontos Eacute possiacutevel perceber que a razatildeo de ajuste eacute
aproximadamente constante ateacute um certo valor de que varia com a preacute-carga Mp
95
Figura 438 ndash Razatildeo de ajuste de LD em funccedilatildeo da excentricidade adimensional do ponto de
equiliacutebrio estaacutetico dos mancais
Para melhor identificar um valor limite de ( ) satildeo apresentados na Figura 442 os valores dos
erros relativos da razatildeo de ajuste em funccedilatildeo da excentricidade adimensional do ponto de
equiliacutebrio estaacutetico Estes erros indicam o quanto os pontos da Figura 438 estatildeo distantes das
retas de referecircncia ou seja o quanto cada valor estaacute distante do ajuste de curva calculado
Figura 439 ndash Erros relativos da razatildeo de ajuste de LD em funccedilatildeo da excentricidade adimensional do
ponto de equiliacutebrio estaacutetico dos mancais
96
Percebe-se que os mancais eliacutepticos analisados (Mp=090 e Mp=045) desviam menos do ajuste
de curva do que o mancal ciliacutendrico (Mp=0) Pelas curvas da Figura 439 observa-se que os
mancais eliacutepticos analisados quando possuem um valor apresentam um desvio
pequeno em relaccedilatildeo agrave curva de ajuste proacuteximo de 5 Esta faixa de equivale agrave faixa
identificada nos demais resultados apresentados neste trabalho onde satildeo observadas relaccedilotildees
algeacutebricas que se manteacutem com aproximadamente 5 de precisatildeo Este desvio pode estar
relacionado com alguma perturbaccedilatildeo numeacuterica do procedimento computacional implementado
que leva a resultados menos confiaacuteveis para valores elevados de excentricidade principalmente
quando
433 A resposta desbalanceada em funccedilatildeo da folga radial dos mancais eliacutepticos
A resposta desbalanceada do sistema rotor-mancal eacute analisada nesta seccedilatildeo em funccedilatildeo da folga
radial nos mancais A folga tem uma forte influecircncia nos coeficientes de forccedila dos mancais
hidrodinacircmicos o que provoca uma variaccedilatildeo nos niacuteveis de vibraccedilatildeo do sistema principalmente
nas velocidades criacuteticas Os paracircmetros do sistema analisado satildeo apresentados na Tabela 415
exceto o comprimento dos mancais que foi fixado em 75mm e a folga passou a ser variaacutevel O
rotor ilustrado esquematicamente na Figura 435
Satildeo considerados trecircs tipos de mancais eliacutepticos com preacute-cargas (Mp) de 0 045 e 090 As
amplitudes de vibraccedilatildeo satildeo calculadas no Mancal 1 para o rotor operando na primeira
velocidade criacutetica As amplitudes satildeo apresentadas de maneira adimensional na Figura 440 em
escala logariacutetmica onde a linha traccedilo-ponto apresentada no graacutefico representa o ajuste feito para
os valores obtidos com Mp=090 e a linha tracejada representa o ajuste para os valores obtidos
com Mp=0 Natildeo eacute apresentada a linha do ajuste para MP=045 por motivos esteacuteticos Para os
trecircs valores de Mp eacute identificada uma relaccedilatildeo quadraacutetica entre a amplitude adimensional da
resposta desbalanceada e a folga radial dos mancais
97
Figura 440 ndash Amplitude de vibraccedilatildeo na primeira VC
em funccedilatildeo da folga radial dos mancais
Eacute observado na Figura 440 que os pontos se manteacutem alinhados e proacuteximos das curvas de
ajuste para os valores de folga de ateacute aproximadamente 150 m Como a escala eacute logariacutetmica em
ambos eixos isto natildeo indica uma linearidade mas sim a relaccedilatildeo quadraacutetica identificada pelo
ajuste de curva
Na anaacutelise da excentricidade em funccedilatildeo da folga radial c eacute tambeacutem identificada uma relaccedilatildeo
quadraacutetica dada pela expressatildeo onde a eacute uma constante de proporcionalidade que
varia com a preacute-carga Mp Tendo em vista esta relaccedilatildeo define-se uma nova ―razatildeo de ajuste
pela expressatildeo para se analisar em qual faixa de excentricidade esta razatildeo eacute mantida
aproximadamente constante A Figura 441 apresenta os valores obtidos para a razatildeo de ajuste
em funccedilatildeo de Satildeo incluiacutedas linhas tracejadas para auxiliar na observaccedilatildeo do alinhamento
dos pontos Eacute possiacutevel perceber que a razatildeo de ajuste eacute aproximadamente constante ateacute um certo
valor de que varia com a preacute-carga Mp
98
Figura 441 ndash Razatildeo de ajuste da folga radial em funccedilatildeo da excentricidade adimensional do ponto de
equiliacutebrio estaacutetico dos mancais
Para melhor identificar um valor limite de satildeo apresentados na Figura 442 os valores dos
erros relativos da razatildeo de ajuste em funccedilatildeo de Estes erros indicam o quanto os pontos da
Figura 441 estatildeo distantes das retas de referecircncia ou seja o quanto cada valor estaacute distante do
ajuste de curva calculado
Figura 442 ndash Erros relativos da razatildeo de ajuste da folga radial em funccedilatildeo da excentricidade
adimensional do ponto de equiliacutebrio estaacutetico dos mancais
99
Eacute observado novamente que os mancais eliacutepticos analisados (Mp=090 e Mp=045) desviam
menos do ajuste de curva do que o mancal ciliacutendrico (Mp=0) e que para uma excentricidade
adimensional os mancais eliacutepticos apresentam um desvio pequeno em relaccedilatildeo agrave curva
de ajuste proacuteximo de 5 Este resultado eacute muito parecido com aquele identificado na seccedilatildeo
anterior onde eacute analisada a resposta desbalanceada em funccedilatildeo da razatildeo de esbeltez LD dos
mancais
A literatura teacutecnica afirma que sob determinadas condiccedilotildees operacionais os mancais eliacutepticos
apresentam uma faixa de operaccedilatildeo mais ampla do que os mancais ciliacutendricos (CORREIA 2007)
Desta forma pode-se estabelecer uma relaccedilatildeo entre os resultados obtidos pelo MEF
implementado e esta afirmaccedilatildeo da literatura se for considerado que o desvio em relaccedilatildeo agrave curva
de ajuste estaacute relacionado com algum tipo de limitaccedilatildeo operacional
100
5 CONCLUSOtildeES
O procedimento computacional aqui desenvolvido baseado no MEF permite predizer o
comportamento dinacircmico de diferentes tipos de rotores compostos por eixo flexiacutevel discos
massivos e mancais hidrodinacircmicos de perfil ciliacutendrico ou eliacuteptico Os resultados produzidos
permitem validar o modelo pela comparaccedilatildeo com valores experimentais coletados em uma
bancada de teste e tambeacutem com valores publicados na literatura
O presente trabalho apresenta uma importante contribuiccedilatildeo na anaacutelise de sistemas rotor-mancal
pelo fato de investigar o sistema rotativo de maneira ampla tanto para o eixo flexiacutevel quanto
para os mancais Satildeo considerados no modelo do eixo flexiacutevel os efeitos de deformaccedilatildeo por
cisalhamento ineacutercia rotatoacuteria e efeito giroscoacutepico e para o modelo dos mancais
hidrodinacircmicos ciliacutendricos e eliacutepticos satildeo considerados todos os coeficientes de forccedila
independentes sem o uso de teorias simplificadas como os modelos de mancal curto ou de
mancal longo
Este procedimento computacional eacute muito uacutetil natildeo apenas para se determinar a resposta
desbalanceada de rotores como tambeacutem para se avaliar a viabilidade de alteraccedilotildees de projeto
capazes de melhorar o comportamento dinacircmico de maacutequinas rotativas
Os coeficientes de forccedila dos mancais hidrodinacircmicos desempenham um importante papel no
projeto de maacutequinas rotativas na previsatildeo de sua capacidade de suportar vibraccedilotildees e de operar
em condiccedilotildees estaacuteveis Os resultados apresentados neste trabalho mostram claramente a
influecircncia dos paracircmetros geomeacutetricos dos mancais hidrodinacircmicos de geometria fixa
ciliacutendricos e eliacutepticos nos seus coeficientes de forccedila e na resposta desbalanceada do sistema
rotativo
Os resultados numeacutericos obtidos pelo MEF aqui desenvolvido apresentam um erro relativo de
aproximadamente 4 para as frequecircncias naturais em relaccedilatildeo aos resultados experimentais e da
literatura
A anaacutelise da influecircncia da folga radial dos mancais eliacutepticos nos coeficientes de forccedila mostra
que os coeficientes de rigidez direta adimensionais variam pouco dentro da faixa operacional
onde a excentricidade adimensional do ponto de equiliacutebrio estaacutetico (e0) eacute menor que 03 Acima
deste valor os coeficientes de rigidez direta adimensionais diminuem consideravelmente
101
Observa-se ainda que o coeficiente de rigidez cruzado adimensional (kxy) eacute inversamente
proporcional ao e0 o que permite introduzir um novo adimensional o ―coeficiente de rigidez
cruzada adimensional modificado definido por xy=e0kxy Este coeficiente tambeacutem apresenta
valores aproximadamente constantes quando se varia a folga do mancal eliacuteptico dentro da faixa
onde e0lt03 Tambeacutem satildeo observados valores aproximadamente constantes para a razatildeo CxyKxx
e para o amortecimento efetivo ( ) quando se varia a folga mantendo-se e0lt03
A anaacutelise da influecircncia da razatildeo de esbeltez (LD) dos mancais eliacutepticos nos coeficientes de
forccedila permite observar que o amortecimento efetivo ( ) e o coeficiente de
amortecimento cruzado adimensional (cxy) dos mancais eliacutepticos seguem um padratildeo comum
quando e0lt03 Para o amortecimento efetivo os valores satildeo aproximadamente constantes
enquanto para cxy observa-se uma relaccedilatildeo linear entre cxy e e0 nesta faixa
Na anaacutelise da influecircncia da preacute-carga (Mp) dos mancais eliacutepticos nos coeficientes de forccedila
observa-se uma proporcionalidade entre Mp e (kyy)23
e entre Mp e (kxx)12
na faixa onde
Eacute identificado tambeacutem que o amortecimento efetivo ( ) varia linearmente com Mp
nesta faixa
Eacute mostrado atraveacutes de um exemplo de rotor flexiacutevel apoiado em mancais eliacutepticos que a razatildeo
de amplificaccedilatildeo da resposta desbalanceada atinge um miacutenimo para um exemplo de mancal com
Mp=045 A literatura teacutecnica apresenta uma recomendaccedilatildeo de aplicaccedilatildeo de mancais eliacutepticos
com preacute-carga de aproximadamente 05 por apresentar melhor estabilidade (PINKUS 1956
ALLAIRE e FLACK 1981) Portanto para o exemplo de rotor analisado este resultado mostra
uma concordacircncia entre os valores obtidos pelo MEF para a razatildeo de amplificaccedilatildeo e a
recomendaccedilatildeo da literatura no que diz respeito agrave estabilidade de mancais eliacutepticos
A anaacutelise da resposta desbalanceada permite observar que a amplitude de vibraccedilatildeo na primeira
velocidade criacutetica eacute proporcional a (LD)-3
e tambeacutem proporcional ao quadrado da folga radial
(c2) na faixa onde Esta proporcionalidade eacute mantida em uma faixa operacional mais
ampla para os mancais eliacutepticos do que para os mancais ciliacutendricos analisados
Este resultado de aproximadamente 03 encontra respaldo na literatura teacutecnica que afirma que o
procedimento linearizado de perturbaccedilatildeo em torno da posiccedilatildeo de equiliacutebrio eacute vaacutelido para ateacute
102
40 da folga do mancal (LUND1987) Esta observaccedilatildeo eacute tambeacutem destacada no trabalho de
Sawicki e Rao (2004) Aleacutem disso Furukawa et al (1996) observam que a natildeo linearidade do
filme fluido produz grandes diferenccedilas entre os valores calculados e os medidos
experimentalmente em especial na regiatildeo de alta excentricidade
Desta forma sugere-se para trabalhos futuros a investigaccedilotildees mais aprofundadas sobre os
efeitos dinacircmicos que ocorrem quando o ponto de equiliacutebrio estaacutetico ultrapassa o limite de 40
da folga do mancal O meacutetodo aqui implementado adota um procedimento de perturbaccedilatildeo linear
em torno da posiccedilatildeo de equiliacutebrio obtendo equaccedilotildees de lubrificaccedilatildeo de ordem zero e de primeira
ordem baseadas na equaccedilatildeo de Reynolds Sugere-se ainda a implementaccedilatildeo de um modelo que
considere termos de ordem superior na obtenccedilatildeo das equaccedilotildees de lubrificaccedilatildeo ou que adote
algum outro modelo natildeo-linear
Sugere-se ainda aplicar a metodologia deste trabalho em outros procedimentos computacionais
para observar faixas onde os resultados possam apresentar padrotildees repetitivos Sugere-se
investigar a existecircncia de relaccedilotildees algeacutebricas entre os paracircmetros do sistema e os resultados e
que possam se manter vaacutelidas dentro de uma faixa de valores
Outras abordagens que podem ampliar os resultados do presente trabalho incluem a anaacutelise de
mancais hidrodinacircmicos de geometria variaacutevel com fluidos natildeo-newtonianos e a anaacutelise de
efeitos teacutermicos nos paracircmetros de desempenho destes mancais
Os resultados deste trabalho fornecem subsiacutedio agrave aacuterea de projeto de maacutequinas rotativas uma vez
que o procedimento computacional desenvolvido permite predizer seu comportamento dinacircmico
para diversas condiccedilotildees operacionais
103
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112
ANEXO A - Fundamentos da Teoria de Viga
Neste Anexo satildeo apresentadas de maneira breve as expressotildees das teorias de viga de Euler-
Bernoulli de Rayleigh e de Timoshenko A Teoria de Viga de Timoshenko eacute a forma mais
completa representando a vibraccedilatildeo lateral de vigas a partir da qual podem-se derivar as outras
duas teorias como casos particulares desta (BORU 2010)
A1 Teoria de Viga de Euler-Bernoulli
A Teoria de Viga de Euler-Bernoulli foi formulada no seacuteculo XVIII e o detalhamento de sua
derivaccedilatildeo eacute apresentado em Clough e Penzien (1975) e em Meirovitch (1967)
Considere a viga ilustrada na Fig A1 sob a accedilatildeo de uma carga distribuiacuteda variaacutevel q(xt) e uma
deflexatildeo lateral v(xt) na direccedilatildeo y As propriedades da viga satildeo sua rigidez agrave flexatildeo EI(x) e a
massa especiacutefica A(x)
Figura A1 - Viga de Euler-Bernoulli sob carregamento distribuiacutedo (Boru 2010)
113
A2 Teoria de Viga de Rayleigh
A Teoria de Viga de Rayleigh considera a ineacutercia rotacional da viga aleacutem da ineacutercia
translacional Assim para um modelo dinacircmico de uma viga em rotaccedilatildeo as frequecircncias naturais
seratildeo mais bem representadas
A equaccedilatildeo da Teoria de Viga de Rayleigh eacute definida por
Se for considerado o caso da viga com seccedilatildeo transversal uniforme ao longo de x a equaccedilatildeo
(A3) eacute simplificada para a forma
A Teoria de Viga de Rayleigh eacute uma extensatildeo da teoria de Euller-Bernoulli o que pode ser
observado comparando-se os trecircs primeiros termos da equaccedilatildeo (A4) com a equaccedilatildeo (A2) O
termo adicional da equaccedilatildeo (A4) eacute relativo agrave ineacutercia rotatoacuteria
A3 Teoria de Viga de Timoshenko
A inclusatildeo da ineacutercia rotatoacuteria nos modelos dinacircmicos foi considerada insuficiente para se
melhorar os resultados do caacutelculo da frequecircncia natural de vigas (BORU 2010) Assim foi
proposto incluir o efeito de deformaccedilatildeo por cisalhamento o que aumenta a flexibilidade do
elemento de viga Este modelo levou agrave Teoria de Viga de Timoshenko Assim as frequecircncias
naturais reduziram o suficiente para se aproximar daquelas obtidas experimentalmente
(TRAILL-NASH e COLLAR 1953)
A Teoria de Viga de Timoshenko considera que a deformaccedilatildeo por cisalhamento em uma seccedilatildeo
transversal eacute diretamente proporcional agrave forccedila de cisalhamento para materiais isotroacutepicos com
propriedades lineares atraveacutes da expressatildeo
(A5)
(A3)
(A4)
114
A constante depende da forma da seccedilatildeo transversal da viga podendo assumir valores como
1113 para seccedilotildees circulares e 56 para seccedilotildees retangulares O termo representa a aacuterea
efetiva de cisalhamento da seccedilatildeo transversal
Considerando a seccedilatildeo transversal da viga uniforme a expressatildeo da Teoria de Viga de
Timoshenko eacute dada por
Pode-se observar que as duas teorias de viga anteriormente apresentadas satildeo casos particulares
da teoria de viga de Timoshenko Se a viga natildeo sofrer deformaccedilatildeo por cisalhamento o que
implica em considerar que sua resistecircncia ao cisalhamento eacute muito grande basta fazer e
os dois uacuteltimos termos seratildeo nulos levando agrave teoria de vigas de Rayleigh
Deformaccedilatildeo por cisalhamento e
ineacutercia rotatoacuteria combinados
Teoria de Euler-Bernoulli
Teoria de Rayleigh
Deformaccedilatildeo por cisalhamento
115
ANEXO B ndash Funccedilotildees de Interpolaccedilatildeo
As funccedilotildees de interpolaccedilatildeo para o problema de flexatildeo satildeo obtidas do problema estaacutetico da viga
considerando os efeitos de flexatildeo e cisalhamento simultaneamente (FARIA 1990) Estas
funccedilotildees satildeo descritas a seguir
Denota-se por a variaacutevel adimensionals que descreve a posiccedilatildeo de uma seccedilatildeo transversal
qualquer do elemento em relaccedilatildeo agrave sua extremidade inicial Sendo a variaacutevel que define cada
seccedilatildeo do elemento de rotor a partir do noacute inicial e l o comprimento do elemento a variaacutevel
adimensional eacute dada por
Para as funccedilotildees de interpolaccedilatildeo de flexatildeo no plano de deflexatildeo satildeo considerados os efeitos de
cisalhamento transversal fx e fy distintos
onde A eacute a aacuterea da seccedilatildeo transversal G eacute o modulo de elasticidade ao cisalhamento l eacute o
comprimento do elemento E eacute o moacutedulo de elasticidade I eacute o momento de ineacutercia e K eacute o fator
de forma do cisalhamento transversal Para a seccedilatildeo transversal circular (COUPER 1966)
onde eacute o coeficiente de Poisson
B1 - Funccedilotildees de Interpolaccedilatildeo para o deslocamento linear unitaacuterio no primeiro noacute
As funccedilotildees de interpolaccedilatildeo satildeo obtidas como descrito a seguir (FARIA 1990)
116
Figura B1 ndash Deslocamento linear unitaacuterio no primeiro noacute
As equaccedilotildees diferenciais para o deslocamento linear unitaacuterio no primeiro noacute (Fig B1) satildeo
escritas na seguinte forma
(B1)
(B2)
onde Vf e Vc satildeo as contribuiccedilotildees de flexatildeo e de cisalhamento respectivamente e V=Vf+Vc A
soluccedilatildeo das equaccedilotildees eacute escrita como
onde C1 e C2 satildeo constantes de integraccedilatildeo As condiccedilotildees de contorno do problema satildeo
Em s = = 0 e
Em s = l
Obteacutem-se assim a expressatildeo
que derivada em relaccedilatildeo agrave posiccedilatildeo leva a
117
B2 - Funccedilotildees de Interpolaccedilatildeo para o deslocamento angular unitaacuterio no primeiro noacute
As funccedilotildees de interpolaccedilatildeo satildeo obtidas como descrito a seguir Considere as condiccedilotildees
de contorno
Em s = 0 V=0 e Vrsquo=Vf
Em s = l V=0 e Vrsquo=Vc
Figura B2 ndash Deslocamento angular unitaacuterio no primeiro noacute
Considerando-se as equaccedilotildees (B1) e (B2) e as condiccedilotildees de contorno obteacutem-se
e a equaccedilatildeo da linha elaacutestica eacute escrita como
Entatildeo
118
e para se obter basta derivar a equaccedilatildeo elaacutestica
Mas como a rotaccedilatildeo em s = 0 possui o seguinte valor
deve-se adicionar a deformaccedilatildeo
em EIyVrsquo para se obter a rotaccedilatildeo das seccedilotildees Obteacutem-se entatildeo
B3 - Funccedilotildees de Interpolaccedilatildeo para o deslocamento linear unitaacuterio no segundo noacute
As funccedilotildees de interpolaccedilatildeo satildeo obtidas como descrito a seguir
Figura B3 ndash Deslocamento linear unitaacuterio no segundo noacute
As equaccedilotildees diferenciais para o deslocamento linear unitaacuterio no segundo noacute (Fig B3) satildeo
escritas na seguinte forma
119
(B3)
(B4)
A soluccedilatildeo geral das equaccedilotildees eacute escrita como
As condiccedilotildees de contorno satildeo dadas por
Em s = 0
Em s = l
Obteacutem-se assim a equaccedilatildeo elaacutestica
e a expressatildeo de
que derivada em relaccedilatildeo agrave posiccedilatildeo leva a
B1 - Funccedilotildees de Interpolaccedilatildeo para o deslocamento angular unitaacuterio no segundo noacute
As funccedilotildees de interpolaccedilatildeo satildeo obtidas como descrito a seguir
Obteacutem-se as equaccedilotildees diferenciais atraveacutes da Figura B4
(B5)
(B6)
120
Figura B4 ndash Deslocamento angular unitaacuterio no segundo noacute
A soluccedilatildeo geral das equaccedilotildees (B5) e (B6) eacute escrita como
As condiccedilotildees de contorno satildeo dadas por
Em s = 0 e
Em s = l e
Obteacutem-se assim a equaccedilatildeo elaacutestica
e a expressatildeo de
Para se obter deriva-se a equaccedilatildeo elaacutestica em relaccedilatildeo agrave posiccedilatildeo
Mas como a rotaccedilatildeo em s = 0 possui o valor
deve-se adicionar a deformaccedilatildeo
121
em EIyVrsquo para se obter a rotaccedilatildeo das seccedilotildees Obteacutem-se entatildeo
122
ANEXO C ndash Matrizes de Elementos Finitos do Rotor
Satildeo apresentadas a seguir as matrizes do elemento finito de rotor para elementos de eixo
baseados na teoria de viga de Timoshenko (NELSON 1980 FARIA 1990) Considera-se o eixo
simeacutetrico ( Ix=Iy=I ) o efeito de cisalhamento isotroacutepico ( fx=fy=f ) e as seguintes constantes
I = momento meacutedio de ineacutercia de aacuterea da seccedilatildeo transversal
Idm= momento diametral de ineacutercia de massa por unidade de comprimento
Ip = momento polar de ineacutercia de massa por unidade de comprimento
f = efeito de cisalhamento
l = comprimento do elemento
E = moacutedulo de elasticidade
= massa especiacutefica
A = aacuterea da seccedilatildeo transversal
coordenadas generalizadas no sistema rotativo
coordenadas generalizadas no sistema inercial
C1 ndash Matriz de ineacutercia de translaccedilatildeo
A matriz Me representativa da ineacutercia de translaccedilatildeo do elemento finito do rotor eacute obtida pela
integraccedilatildeo da expressatildeo da energia cineacutetica TM do elemento finito do rotor dada por
Usando as funccedilotildees de interpolaccedilatildeo na expressatildeo da energia cineacutetica obteacutem-se a matriz TM que
satisfaz agrave expressatildeo
A matriz Me eacute simeacutetrica e descrita como
123
[Me] =
onde
C2 ndash Matriz de ineacutercia de rotaccedilatildeo
A matriz de ineacutercia de rotaccedilatildeo do elemento finito do rotor eacute obtida pela substituiccedilatildeo das funccedilotildees
de interpolaccedilatildeo na expressatildeo da energia cineacutetica TN do elemento finito dada por
Usando as funccedilotildees de interpolaccedilatildeo na expressatildeo da energia cineacutetica obteacutem-se a matriz Ne
124
representativa da ineacutercia de rotaccedilatildeo do elemento que satisfaz agrave expressatildeo
A matriz Ne eacute simeacutetrica e descrita como
[Ne] =
onde
C3 ndash Matriz de efeitos giroscoacutepicos
A matriz Ge representativa dos efeitos giroscoacutepicos do elemento finito do rotor eacute obtida pela
relaccedilatildeo
onde a matriz [He] eacute obtida pela integraccedilatildeo da expressatildeo da energia cineacutetica TG do elemento
finito do rotor dada por
onde eacute a rotaccedilatildeo do rotor IP eacute o momento polar de ineacutercia da seccedilatildeo satildeo os vetores
125
rotaccedilatildeo da seccedilatildeo em torno dos eixos x e y Aplicando as funccedilotildees de interpolaccedilatildeo na expressatildeo
da energia cineacutetica obteacutem-se a matriz [He] que satisfaz agrave expressatildeo
A matriz eacute anti-simeacutetrica e descrita como
[Ge] =
onde
C4 ndash Matriz de rigidez
A matriz de rigidez do elemento finito do rotor Ke eacute obtida integrando-se a energia potencial
elaacutestica V ao longo do comprimento do elemento usando as funccedilotildees de interpolaccedilatildeo Obteacutem-se
a matriz Ke que satisfaz agrave expressatildeo
126
A matriz Ke eacute simeacutetrica e descrita como
[Ke] =
127
ANEXO D ndash Meacutetodo Numeacuterico de Newmark
Neste Anexo apresenta-se inicialmente o algoritmo de meacutetodo de Newmark usado para a
integraccedilatildeo numeacuterica no tempo da equaccedilatildeo do movimento Eq(1) conforme Bathe (1982)
Posteriormente satildeo mostrados os criteacuterios adotados no presente trabalho para garantir a
convergecircncia do meacutetodo sem um elevado custo computacional
A) Valores iniciais
Passo 1 Valores iniciais para os vetores deslocamento velocidade e aceleraccedilatildeo U0
U
0 U
0
Passo 2 Defina um intervalo de tempo Δt e os paracircmetros α e δ tais que
δ ge 050 α ge 025(05 + δ)sup2
Passo 3 Calcule as constantes
20
1a
t
t1a
t
1a 2
12
1a 3
1a 4
22
ta 5 )1(ta 6 ta7
Passo 4 Crie a matriz de rigidez efetiva KK=K + a0M + a1C
B) Para cada iteraccedilatildeo no tempo Δt
Passo 1 Calcule a carga efetiva RR no instante t + Δt
t+ΔtRR =
t+ΔtR + M(a0
tU + a2
t U
+ a3 t U
) + C(a1 tU + a4
t U
+ a5 t U
)
Passo 2 Resolva a equaccedilatildeo abaixo para obter o vetor deslocamento U em t + Δt
KK
t+Δt U = t+Δt
RR
Passo 3 Calcule os vetores velocidade e aceleraccedilatildeo em t + Δt
t+Δt U = a0 (
t+Δt U - tU)- a2 t U - a3
t U
t+Δt U =
t U + a6
t U
+ a7 t+Δt U
128
Para se garantir a convergecircncia do meacutetodo foram adotados os paracircmetros 41α e δ=12 que
satildeo os paracircmetros de integraccedilatildeo que possibilitam estabilidade incondicional para o procedimento
de integraccedilatildeo de Newmark (BATHE 1982) Eacute importante fazer uma boa escolha do incremento
de tempo t adequado para assegurar a estabilidade do meacutetodo de integraccedilatildeo no tempo O
valor do incremento de tempo t deve ser menor do que o valor criacutetico crt dado pela
equaccedilatildeo D1 (BATHE 1982)
n
crt (D1)
sendo τn o menor periacuteodo natural do sistema Se o incremento de tempo eacute maior que o valor
criacutetico o meacutetodo de Newmark apresentaraacute problemas de convergecircncia (ALMEIDA JUacuteNIOR e
FARIA 2003) No presente trabalho a escolha do incremento de tempo t foi feita baseando-
se no fato de que a forccedila de desbalanceamento eacute aplicada a cada intervalo t Portanto se este
intervalo for muito grande a forccedila poderia deixar de ser aplicada durante cada ciclo do eixo Eacute
importante garantir que esta forccedila seja aplicada simetricamente durante cada ciclo ou seja que
para cada valor de rotaccedilatildeo ω (rads) a forccedila de desbalanceamento seja aplicada simetricamente
em todas as direccedilotildees Para que isto fosse possiacutevel foi adotada a seguinte expressatildeo para o
caacutelculo do incremento de tempo t
ω12
2t (D2)
Com o incremento da equaccedilatildeo (D2) garante-se que ocorram pelo menos 12 iteraccedilotildees a
cada ciclo do eixo ou seja uma a cada 30ordm o que garante a simetria da forccedila de
desbalanceamento Este criteacuterio garante tambeacutem que t lt crt Posteriormente foi feito o
estudo da convergecircncia dos resultados em funccedilatildeo do intervalo t para se otimizar o custo
computacional do meacutetodo implementado