anÁlise de rating de risco de crÉdito...
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FACULDADE DE ECONOMIA E FINANÇAS PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO E PESQUISA EM
ADMINISTRAÇÃO E ECONOMIA
DDIISSSSEERRTTAAÇÇÃÃOO DDEE MMEESSTTRRAADDOO PPRROOFFIISSSSIIOONNAALLIIZZAANNTTEE EEMM EECCOONNOOMMIIAA
ANÁLISE DE RATING DE RISCO DE CRÉDITO USANDO OPÇÕES
MMAAOOMMÉÉ GGRREEGGÓÓRRIIOO DDAA SSIILLVVAA
OORRIIEENNTTAADDOORR:: PPRROOFF.. DDRR.. CCLLAAUUDDIIOO BBAARRBBEEDDOO
Rio de Janeiro, 23 de setembro de 2010.
“ANÁLISE DE RATING DE RISCO DE CRÉDITO USANDO OPÇÕES”
MAOME GREGORIO DA SILVA
Dissertação apresentada ao curso de Mestrado Profissionalizante em Economia como requisito parcial para obtenção do Grau de Mestre em Economia. Área de Concentração: Finanças
ORIENTADOR: DR.CLAUDIO BARBEDO
Rio de Janeiro, 23 de setembro de 2010.
“ANÁLISE DE RATING DE RISCO DE CRÉDITO USANDO OPÇÕES”
MAOME GREGORIO DA SILVA
Dissertação apresentada ao curso de Mestrado Profissionalizante em Economia como requisito parcial para obtenção do Grau de Mestre em Economia. Área de Concentração: Finanças
Aprovada em 23 de setembro de 2010
BANCA EXAMINADORA:
_____________________________________________________
Professor DR.CLAUDIO BARBEDO (Orientador) Instituição: IBMEC _____________________________________________________
Professor DR.JOSÉ VALENTIM (Co-orientador) Instituição: IBMEC _____________________________________________________
Professor DR. ALDO FERREIRA DA SILVA Instituição: BACEN
Rio de Janeiro, 23 de setembro de 2010.
332.7 S586
Silva, Maomé Gregório da. Análise de rating de risco de crédito usando opções / Maomé Gregório da Silva - Rio de Janeiro: Faculdades Ibmec, 2010. Dissertação de Mestrado Profissionalizante apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Economia das Faculdades Ibmec, como requisito parcial necessário para a obtenção do título de Mestre em Economia. Área de concentração: Finanças e controladoria. 1. Risco de crédito. 2. Derivativos financeiros. 3. Risco – Economia - Avaliação.
V
DEDICATÓRIA
Aos meus pais que muito se empenharam para que eu tivesse uma educação de boa qualidade.
VI
AGRADECIMENTOS
Ao professor e orientador Claudio Barbedo pela paciência, pelo estímulo e dedicação, por
indicar com muita clareza o caminho a ser seguido e por estar sempre prontamente disponível
para ajudar e para ensinar.
Ao professor José Valentim, por transmitir uma visão abrangente da economia e da
engenharia financeira.
Ao professor Alexandre Cunha, pelo incentivo.
A todos os Professores do IBMEC por contribuírem para a qualidade da Instituição.
Ao meu ex-gerente Andre Luna pelo apoio.
Ao colega Marco Antonio pelas muitas trocas de idéias.
Ao colega João Alberto Calvano, por me incentivar a estudar economia.
Ao meu irmão pelo incentivo e pelos conselhos.
VII
RESUMO
Esse trabalho estima probabilidades de inadimplência implícita nos preços de ações de
empresas brasileiras que tem ratings da Moody's, usando opções com barreiras para analisar
rating de crédito, a partir de dados publicamentes disponiveis. O objetivo é comparar a
classificação com a probabilidade de default estimada.
Palavras chave: Risco de crédito, rating de crédito, default, derivativos, opções.
VIII
ABSTRACT
This paper estimates default probabilities implicit in the prices of stock market of Brazilian
companies that have ratings from Moody's, using options with barriers to analyze credit
rating, from public data available. The objective is to compare the classification with the
estimated probability of default.
Keywords: Credit risk, credit rating, default, derivatives, options.
IX
LISTA DE TABELAS
Tabela 1 – Taxa de inadimplência histórica acumulada dado o rating da Moodys, por ano
após emissão,ao longo de 10 anos. .............................................................................................6
Tabela 2 –Taxa de inadimplência histórica acumulada dado o rating da Moodys, por ano após
emissão,ao longo de 5 anos, com 3 gradações de rating. ...........................................................7
Tabela 3 –Dados contábeis e de mercado usados no calculo da probabilidade de default para o
ano de 2009...............................................................................................................................36
Tabela 4 – Dados contábeis e de mercado usados no calculo da probabilidade de default para
o ano de 2008............................................................................................................................37
Tabela 5 – Probabilidade de default estimada por opções européias e por opções com barreira,
ano de 2009...............................................................................................................................38
Tabela 6 – Probabilidade de default estimada por opções européias e por opções com barreira,
ano de 2008...............................................................................................................................38
Tabela 7 – Probabilidade de default estimada por opções européias, por opções com barreira,
taxa de inadimplência histórica acumulada 1 ano após emissão dado o rating da Moodys,
rating da Moodys, ano de 2009. ...............................................................................................40
Tabela 8 – Probabilidade de default estimada por opções européias, por opções com barreira,
taxa de inadimplência histórica acumulada 1 ano após emissão dado o rating da Moodys,
rating da Moodys, ano de 2008. ...............................................................................................40
Tabela 9 – Taxa de inadimplência histórica acumulada dado o rating da Moodys, 1 ano após
emissão. ....................................................................................................................................41
Tabela 10 – Medidas de Correlação e Dispersão entre as Probabilidades de Default Estimadas
por Modelos de Opções e de Opções com Barreiras e as Probabilidades de Default do Rating
da Moodys. ...............................................................................................................................42
X
SUMÁRIO
1. INTRODUÇÃO ................................................................................................................. 1
1.1. OBJETIVOS..................................................................................................................................................2
1.2. HISTÓRICO..................................................................................................................................................2
1.3. CONCEITOS......................................................................................................................... 4
2.ANALISE TEÓRICA......................................................................................................... 8
2.1.MODELO DE BLACK, SCHOLES E MERTON (BSM) .............................................................................8
2.1.1.Premissas básicas ................................................................................................................................8
2.1.2.Lema de Ito .........................................................................................................................................9
2.1.3.Derivação da equação de Black, Scholes e Merton.............................................................................10
2.2.MODELO DE MERTON...............................................................................................................................12
2.2.1.Um modelo estrutural de risco de inadimplência ................................................................................12
2.2.2.Premissas do modelo...........................................................................................................................16
2.2.3.Probabilidade de default......................................................................................................................17
2.2.4.O spread de crédito .............................................................................................................................19
2.2.5.Exemplo de aplicação .........................................................................................................................21
2.3.MODELO CREDIT MONITOR DA KMV...................................................................................................24
2.4.MODELO DE MERTON COM ARVORES BINOMIAIS ...........................................................................25
2.5.MODELO DE MERTON COM OPÇÕES COM BARREIRA .....................................................................26
2.6.METODOLOGIA.................................................................................................................... 32
3.ANALISE EMPÍRICA....................................................................................................... 34
3.1.SELEÇÃO DA AMOSTRA...........................................................................................................................34
3.2.MODELO DE PESQUISA.............................................................................................................................34
3.3.DESCRIÇÃO DAS VARIÁVEIS UTILIZADAS .........................................................................................34
3.4.COLETA DE DADOS ...................................................................................................................................35
3.5.PROCESSAMENTO DOS DADOS ..............................................................................................................35
3.6.RESULTADOS ENCONTRADOS ...............................................................................................................35
3.7.ANALISE DOS RESULTADOS ENCONTRADOS ...................................................................... 39
4 CONCLUSÕES................................................................................................................... 43
5 REFERÊNCIAS ................................................................................................................. 44
1
1 INTRODUÇÃO
Um modelo de risco de crédito muito usado atualmente é o modelo de Merton.O modelo de
Merton (1974), ao supor que a dívida da empresa está concentrada em uma única data e
empregar modelagem com opções européias, apresenta a deficiência de não ser capaz de
captar a probabilidade de inadimplência da empresa para todos os períodos assumidos para
data considera da data de vencimento da dívida.
O modelo de Merton fornece como resposta a probabilidade de default1 na data de
vencimento assumindo como zero a probabilidade da empresa inadimplir antes do vencimento
da dívida.
Se antes do vencimento o valor da empresa se tornar abaixo do valor devido, a modelagem de
Merton não será capaz de detectar essa probabilidade.
Black e Cox (1976), a fim de captar a probabilidade de default antes do vencimento da dívida,
assumiram que o evento de default será disparado na primeira vez em que o valor de mercado
dos ativos se tornar menor que um determinado valor limite.
Uma alternativa para resolver esse problema é encarar o valor do patrimônio liquido2 da
empresa como o preço de uma opção de compra com barreira do tipo down and out que é um
tipo de opção exótica no qual a opção passa a ter valor igual a zero assim que o preço do ativo
1Default: Atraso ou não pagamento de título ou cupom na data de vencimento. 2 O patrimônio líquido representa os valores que os sócios ou acionistas têm na empresa em um determinado momento. No balanço patrimonial, a diferença entre o valor dos ativos e dos passivos e resultado de exercícios futuros representa o PL (Patrimônio Líquido), que é o valor contábil devido pela pessoa jurídica aos sócios ou acionistas, baseado no Princípio da Entidade.
2
objeto fica abaixo patamar chamado de barreira. A barreira é justamente o valor a ser pago da
dívida.
Esse trabalho se propõe a analisar empiricamente um modelo de risco de crédito com opções
com barreiras no mercado brasileiro.
1.1 OBJETIVOS
Analisar empiricamente um modelo de risco de crédito com opções com barreiras no
mercado brasileiro. Comparar empiricamente o modelo analisado com classificações de
agencias de riscos. Comparar empiricamente o modelo analisado com o modelo de Merton.
1.2 HISTÓRICO
Merton (1974) criou a Teoria da Firma, em que o valor de mercado do patrimônio líquido é
visto como opção de compra nos ativos da empresa, mediante a liquidação da dívida com os
credores. Desse modo é possível estimar a probabilidade de inadimplência implícita no preço
das ações através do modelo de Black e Scholes (1973).
A KMV, uma empresa que atua no mercado de ferramentas para analise de risco de crédito,
que foi comprada pela Moody’s, tem um serviço chamado de “Credit Monitor”, que divulga
probabilidades de inadimplência com base na Teoria de Opções desde 1993. Os modelos do
tipo Merton ou modelos tipo Black& Scholes – Merton são conhecidos também como
modelos estruturais.
3
A grande vantagem desses modelos é que eles tendem a transmitir informações que
antecedem os eventos de crédito, ao mesmo tempo em que refletem a idéia de marcação a
mercado na avaliação de risco de crédito de obrigações.
Os modelos estruturais possuem grande capacidade de previsão e antecedem os eventos de
crédito, entretanto, conforme apontado por Servigny e Renault (2004), podem refletir reações
em excesso do mercado em relação a informações. As agências de rating3, segundo Servigny
e Renault (2004), preocupam-se em divulgar opiniões de longo prazo. Por isso, só alteram o
rating quando consideram que a mudança da condição do emissor ou da emissão não é um
evento temporário ou cíclico, enquanto as probabilidades de inadimplência estimadas pela
Teoria de Opções se alteram com a mudança dos preços das ações, que podem refletir reação
em excesso a notícias.
O risco de crédito, apurado em modelos estruturais, antecipa eventos de crédito, mas tem o
custo de refletir excesso de otimismo ou pessimismo de analistas de mercado.
Os ratings de crédito das agências priorizam uma visão de longo prazo, mas incorrem no
custo, algumas vezes, de reagir a eventos de crédito, ao invés de antecipar-se a eles.
McQuown (1993) após analisar mais de 2.000 empresas americanas que ficaram
inadimplentes ou faliram, nos últimos 20 anos, concluiu que existe um grande e repentino
aumento da probabilidade de inadimplência apurada pelo modelo de Teoria de Opções
utilizado pela KMV entre um e dois anos antes da inadimplência, e que a alteração destas
probabilidades também antecipa em pelo menos um ano os rebaixamentos de ratings da
Moody's e Standard& Poor's.
3 Rating é uma opinião sobre a capacidade de um país ou uma empresa saldar seus compromissos financeiros.
4
Conforme citado por Marmery (2006), a Moody’s reconhece o potencial e limitações das
duas abordagens; por isso desenvolveu medidas indicadoras de rating a partir de sinais de
mercado, que são utilizadas como informações complementares aos ratings tradicionais.
Pesquisas na Moody’s mostram que as taxas de inadimplência são significativamente maiores
para emissores cujas informações dos títulos negociados indicam ratings mais baixos do que
os tradicionais. A discrepância entre os ratings das duas abordagens podem prever alterações
de ratings tradicionais e até mesmo má precificação de títulos de dívida.
1.3 CONCEITOS
Segundo Minard (2008), um rating de crédito não é recomendação de investimento em
determinado emissor ou determinada emissão. A Standard & Poor’s (2003) define o rating de
crédito de uma emissão como opinião corrente da qualidade de crédito de um determinado
obrigacionista, a respeito de uma obrigação financeira específica, ou de uma classe de
obrigações específicas ou de um programa financeiro específico. Leva em conta a qualidade
de crédito da entidade que dá garantia seguradoras e outras formas de assegurar o crédito da
obrigação. Leva em conta também a moeda em que a emissão é denominada.
A definição de ratings de crédito de emissores é opinião corrente sobre a capacidade geral
financeira do obrigacionista para pagar as obrigações financeiras. A opinião foca a
capacidade e disposição de um emissor cumprir suas obrigações financeiras, à medida que
elas vençam. Não é referente a nenhuma obrigação financeira específica, pois não considera a
natureza e provisões específicas de nenhuma obrigação, nem a qualidade de crédito dos
garantidores, seguradores ou outras formas de garantia de crédito da obrigação específica. Os
5
ratings de crédito de emissores podem tanto ser corporativos, no caso de empresas emissoras,
como soberanos, no caso de países.
Para conceder um rating de crédito, as agências baseiam-se em informações correntes
quantitativas e qualitativas disponibilizadas pelos obrigacionistas ou obtidas por outras fontes
consideradas confiáveis. Os ratings de crédito podem ser alterados, suspensos ou retirados
como resultados de mudanças ou falta de disponibilidade de tais informações.
Considerações sobre o risco país fazem parte da análise de risco de crédito tanto de emissões
como de emissores. A moeda dos pagamentos é fator chave nesta análise. A capacidade de
um obrigacionista de pagar uma obrigação em moeda estrangeira pode ser menor do que sua
capacidade de pagar obrigações em sua moeda local, devido à capacidade do governo
soberano ter menor capacidade de pagar dívidas externas do que dívidas internas. As
considerações sobre risco soberano4 são incorporadas nos ratings atribuídos a emissões
específicas. Os ratings de crédito de emissores em moeda estrangeira também são distintos
dos ratings de crédito em moeda local, para identificar situações em que o risco soberano os
torna diferente para o mesmo obrigacionista.
A Tabela 1 contém a taxa acumulada média de inadimplência de ratings de crédito divulgada
na Moody’s (2004) no nível da letra (Aaa, Aa, A, Baa, Ba, B, Caa) de emissores ao longo de
10 anos.
4Risco soberano é o risco com transações com títulos publicos de um País, quando relacionado a transações internacionais, denomina-se risco País.
6
A Tabela 2 divulga essa taxa ao longo de 5 anos, detalhando o rating no nível da letra com as
três gradações (Aa1, Aa2, Aa3; A1, A2 e A3; etc.) e foi obtida através da matriz de migração
de Moody’s (2004).
As duas tabelas foram construídas por análise de mortalidade e migração de emissões. Para
isso acompanham-se safras de emissões e quantas emissões destas safras ficaram
inadimplentes até o primeiro ano, até o segundo ano (inadimplências do segundo ano,
somadas às do primeiro ano) e assim por diante. Os dados correspondem à média das safras
dos anos observados, ou seja, de 1970 a 2004 na Tabela 1 e de 1970 a 2003 na Tabela 2.
Nota-se que a taxa de inadimplência é inversamente proporcional à qualidade de rating, e
cresce significativamente para os ratings especulativos.
Moody's Anos após a emissão
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Aaa 0 0 0 0,04 0,12 0,21 0,3 0,41 0,52 0,63
Aa 0 0 0,03 0,12 0,2 0,29 0,37 0,47 0,54 0,61
A 0,02 0,08 0,22 0,36 0,5 0,67 0,85 1,04 1,25 1,48
Baa 0,19 0,54 0,98 1,55 2,08 2,59 3,12 3,65 4,25 4,89
Ba 1,22 3,34 5,79 8,27 10,72 13 14,81 16,64 18,4 20,1
B 5,81 12,9 19,51 25,33 10,72 35,1 39,45 42,89 45,89 48,6
Caa-C 22,43 36 46,71 54,19 59,72 64,5 68,06 71,91 74,53 76,8
Tabela 1 - Taxa de inadimplência histórica acumulada dado o rating da Moodys, por ano após emissão, ao longo de 10 anos.
Moody's Anos após a emissão
1 2 3 4 5
Aaa 0,00% 0,00% 0,00% 0,07% 0,20%
7
Aa1 0,00% 0,00% 0,00% 0,25% 0,27%
Aa2 0,00% 0,00% 0,05% 0,15% 0,33%
Aa3 0,07% 0,10% 0,19% 0,29% 0,42%
A1 0,00% 0,03% 0,32% 0,52% 0,68%
A2 0,02% 0,06% 0,21% 0,43% 0,59%
A3 0,02% 0,21% 0,34% 0,41% 0,49%
Baa1 0,12% 0,42% 0,71% 0,97% 1,19%
Baa2 0,10% 0,34% 0,56% 1,07% 1,53%
Baa3 0,46% 1,09% 1,61% 2,38% 3,00%
Ba1 0,69% 2,00% 3,23% 4,65% 5,84%
Ba2 0,67% 2,35% 4,45% 6,36% 7,85%
Ba3 2,19% 5,49% 9,13% 12,47% 15,38%
B1 3,46% 8,93% 13,90% 17,65% 20,67%
B2 7,65% 14,29% 20,35% 23,61% 25,91%
B3 11,86% 20,17% 26,13% 29,66% 32,19%
Caa-C 26,05% 33,72% 37,98% 41,09% 42,48%
Tabela 2 - Taxa de inadimplência histórica acumulada dado o rating da Moodys, por ano após emissão,ao longo de 5 anos, com 3 gradações de rating.
8
2 ANALISE TEÓRICA
2.1 MODELO DE BLACK, SCHOLES E MERTON (BSM)
2.1.1 Premissas básicas
De acordo com Hull (2002), o modelo BSM tem as seguintes premissas básicas:
É um modelo de tempo contínuo
O preço do ativo objeto S segue um movimento browniano geométrico.
O movimento browniano geométrico (MBG) é um processo estocástico (Wt) tal que:
Inicia-se em zero.
Apresenta incrementos estacionários e independentes.
Para quaisquer t, tt o incremento tt WWt apresenta distribuição normal
com média 0 e variância tt .
Condicionado a informação disponível em t, Wt+dt – Wt é normal com média 0 e variância dt.
No modelo BSM, assumiremos que o preço do ativo objeto segue um MBG. Isso
significa que o preço do ativo obedece a seguinte equação diferencial estocástica:
tttt dWSdtSdS (2.1.1)
Esta indica como o preço da ação S evolui ao longo do tempo: ele depende de uma
componente determinística que gera um rendimento contínuo à taxa , e mais um
termo estocástico que depende do movimento browniano, e devido à volatilidade
constante, apresenta distribuição normal.
9
O preço da ação segue um movimento browniano geométrico.
Vendas a descoberto são permitidas.
Não há custos de transações ou taxas.
Não há pagamentos de dividendos durante a existência do derivativo.
Transações podem ser realizadas continuamente.
A taxa de juros básica é constante e a mesma para todos os prazos de maturação.
Assumindo-se ausência de arbitragens obtemos o preço justo dos derivativos.
2.1.2 Lema de ITO
Segundo Hull (2002), através deste lema somos capazes de identificar qual a sensibilidade do
preço de um derivativo com relação ao seu ativo subjacente.
Esta ferramenta é útil para nos informar quanto varia uma função de uma variável aleatória X,
quando esta variável aleatória sofre uma pequena variação em seu valor. Isto irá nos ajudar
diretamente a montar carteiras que replicam o ativo livre de risco, e que, portanto devem
render à taxa livre de risco r.
Então notamos que aproximações para variações nos valores de uma função nos ajudam a
manter-nos informados sobre os valores da função ao longo do tempo. O lema de Ito nos dá
estas variações quando as variáveis são estocásticas, isto é, não determinísticas.
Seja X um processo estocástico descrito pela seguinte equação dinâmica:
(2.1.2)
tttt dWXtdtXtdX ),(),(
22:: RRf
10
Seja uma função contínua e diferenciável. Então vale que:
(2.1.3)
Note que o fato de X ser estocástico e em particular dependente de um movimento browniano
nos dá um termo extra no que seria a fórmula de Taylor usual para aproximação da variação
de uma função.
2.1.3 Derivação da equação de Black, Scholes e Merton5 Somente assumimos que o preço de uma opção, em um dado instante de tempo t, será uma
função do preço da ação (neste instante) e do próprio instante de tempo t: c(t,St)
Chamando o preço da opção de compra de c, o preço de exercício da opção de compra de K, o
preço do ativo objeto de S, a volatividade dos ativos objetos de , a taxa livre de risco de r, o
tempo de t, e então, aplicando-se o lema de Ito obtemos:
Então, observando que toda a incerteza no preço da opção e no preço da ação está
representada pelo termo que contém o movimento browniano, podemos montar uma carteira
5 Esta equação foi publicada, primeiramente, por Fischer Black e Myron Scholes em 1973. Robert Merton publicou um artigo no mesmo ano que estendendo a equação em várias direções e fazendo uma análise mais rigorosa.
tt
tt
t dXX
fdtXt
X
f
t
fXtdf
),(2
1),( 2
2
2
ttt
tt
t
tt
t
tt
tttt
tt
t
tt
tt
tt
t
ttt
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cdtrS
S
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S
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t
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dWSdtSS
cdtS
S
c
t
c
dSS
cdtS
S
c
t
cdc
222
2
222
2
222
2
2
1
2
1
2
1
11
que anule tal efeito, por exemplo, comprando-se ct/St unidades da ação e vendendo-se uma
unidade da opção:
(2.1.4) Como esta carteira não apresenta incerteza, ela deve render o mesmo que um ativo livre de
risco.
(2.1.5) Mas ao mesmo tempo a variação da carteira é dada por:
(2.1.6) Substituindo:
Combinando-se as equações anteriores obtemos a seguinte equação diferencial parcial
(equação do calor):
(2.1.7)
tt
ttt S
S
cc
rdtd tt
tt
ttt dS
S
cdcd
ttt
tt
t
t
ttt
tt
t
tt
t
ttt
dWSS
cdtS
S
c
dWSS
cdtS
S
cS
S
c
t
cd
222
2
2
1
ttt
tt
t
tt rcSS
crS
S
c
t
c
22
2
2
2
1
12
Para uma opção de compra que não paga dividendos a solução é dada pela fórmula BSM.
tTdd
tT
tTrK
S
d
dNKedNSc
t
tTrtt
12
2
1
2)(
1
2
1ln
)()(
2.2 MODELO DE MERTON
2.2.1 Um modelo estrutural de risco de inadimplência
De acordo com Bonfim (2004), os modelos estruturais de crédito concentram-se na análise da
estrutura de capital de empresa individuais com o objetivo de apreçar seus instrumentos de
dívida.
Segundo Brealey & Myers, (2005), qualquer conjunto de pagamentos contingentes, isto é,
pagamentos que dependem do valor de algum outro ativo, pode ser avaliado como uma
mistura de opções simples sobre aquele ativo.
Segundo Saunders(2002), a idéia de aplicar a teoria de precificação de opções à valoração de
empréstimos e bonds de alto risco tem constado na literatura pelo menos desde Merton
(1974).
Suponha que um banco conceda um empréstimo zero cupom hipotecário com valor de face D,
com taxa de juros r, a ser totalmente pago no prazo T, a uma empresa de capital aberto, cuja
única garantia seja os ativos da empresa.
13
Os donos da empresa (acionistas) têm a opção (opção real) de pagar o empréstimo ou ter a
hipoteca executada, o que significa entregar os ativos da empresa para o banco. Logicamente
os acionistas somente irão exercer essa opção se o valor dos ativos da empresa for menor que
o valor da dívida.
Podemos dizer então que quando um banco quando concede um empréstimo similar está
vendendo uma opção de venda que permitirá ao comprador da opção (o tomador do
empréstimo) ter a opção de vender os ativos da empresa pelo valor da dívida. O banco vende
a opção de venda cujo preço da opção de venda é o premio de risco de crédito, s, que está
embutida na taxa de juros do empréstimo, a ser recebido quando e se o tomador de
empréstimo quitar a dívida ou quando as garantias forem executadas e cujo preço de exercício
é o valor da dívida, D.
O tomador do empréstimo por outro lado compra uma opção de venda cujo custo é o valor do
premio de risco de crédito embutido na taxa de juros, s, e cujo preço de exercício é o valor da
dívida, que lhe dá a opção de vender os ativos da empresa pelo preço da dívida para o banco,
D. A mesma analise é possível utilizando uma opção de compra.
Suponha que um banco conceda um empréstimo zero cupom hipotecário com valor de face D,
com taxa de juros r, a ser totalmente pago no prazo T, a uma empresa de capital aberto, cuja
única garantia seja os ativos da empresa.
Os donos da empresa (acionistas) têm a opção (opção real) de pagar o empréstimo, o que
significa comprar os ativos da empresa (e acabar com a hipoteca) ou ter a hipoteca executada.
Logicamente os acionistas somente irão exercer essa opção se o valor dos ativos da empresa
for maior que o valor da dívida.
14
Podemos dizer então que quando um banco quando concede um empréstimo similar está
vendendo uma opção de compra que permitirá ao comprador da opção (o tomador do
empréstimo) ter a opção de comprar os ativos da empresa pelo valor da dívida. O banco vende
a opção de compra cujo preço da opção de compra é o premio de risco de crédito, s, que está
embutida na taxa de juros do empréstimo, a ser recebido quando e se o tomador de
empréstimo quitar a dívida ou quando as garantias forem executadas e cujo preço de exercício
é o valor da dívida, D.
O tomador do empréstimo (acionista) por outro lado compra uma opção de compra cujo custo
é o valor do premio de risco de crédito embutido na taxa de juros, s, e cujo preço de exercício
é o valor da dívida, que lhe dá a opção de comprar os ativos da empresa pelo preço da dívida
para o banco, D.
Supomos uma empresa com uma estrutura de capital simples com somente um tipo de dívida
(de cupom zero). Entretanto podemos estender o modelo para o caso em que a empresa tenha
emitido dívida preferencial e não preferencial.
Supondo que os mercados estão livres de atrito, sem impostos, e não houver custos de
falência, então o valor dos ativos da empresa é a soma do capital e dívida, ou seja:
ttt DEV (2.2.1)
Caso o tomador do empréstimo (acionista) decida exercer a opção de compra sobre os ativos
da empresa, ele irá pagar o preço de exercício D, para comprar ativos no valor de V, ou seja
ele está comprando o patrimônio liquido da empresa pelo preço de exercício D (preço da
dívida).
15
Desse modo, o valor do patrimônio liquido da empresa é dado pelo preço de uma opção de
compra, com as seguintes características:
Ativo objeto: Ativos da empresa
Objeto: Preços dos ativos da empresa
Preço de exercício: Valor de face da dívida tD .
Uma vez que se trata de uma opção de compra sobre o valor da empresa, o preço dessa opção
é o valor do patrimônio liquido da empresa. Por conseguinte, o valor dessa opção de compra
dependerá do valor da empresa Vt, da volatilidade do valor da empresa, e de outras variáveis.
Seja Et o valor do patrimônio liquido da empresa, empregando a forma fechada do modelo de
opções de Black e Scholes, tem-se que:
)()( TdNDeVdNE rTtt
Onde Et é o valor atual do patrimônio liquido, N(.) é a distribuição normal padrão e
T
TrDVd
t
)21()/ln( 2
e é o desvio padrão da taxa de retorno dos ativos da
empresa e r é a taxa de juros livre de risco.
2.2.2 Premissas do modelo
Segundo Hull (2002), para que o modelo de Black e Scholes possa ser empregado, algumas
premissas devem ser respeitadas:
16
- O preço do ativo possui distribuição log normal
- Não existem custos operacionais, nem impostos e os ativos são perfeitamente divisíveis.
- O ativo não pagará dividendos durante a vida da opção.
- Não há oportunidade de arbritagem.
- A negociação com os ativos é continua.
- Os investidores podem captar a taxa livre de risco.
- A taxa livre de risco de curto prazo é constante.
Segundo Paschoarelli (2007), da observação do modelo de Black e Scholes adaptados para
uma dívida de uma empresa temos que:
- O valor de tE , que corresponde ao preço da opção de compra, é obtido pelo preço de
mercado das ações da empresa.
- Não é difícil supor que a taxa de juros livre de risco r mantenha-se constante até o
vencimento da opção.
- Supõe-se que o valor de face dos ativos da dívida Dt seja conhecido.
- Supõe-se conhecida a data de vencimento da dívida.
2.2.3 Probabilidade de default
Dessa forma temos duas variáveis a serem determinadas: Valor da empresa Vt (Valor dos
ativos da empresa no instante t0 ) e sua volatilidade (volatilidade das taxas de retornos dos
ativos da empresa)
17
Logo, se há duas variáveis e uma equação, torna-se necessário encontrar uma segunda
equação para que se possa determinar os valores de Vt e .
Segundo Paschoarelli (2007), o valor do Patrimônio Líquido, no instante t=0, é:
)()( TdNDeVdNE rT
tt (2.2.4)
Derivando a relação anterior em relação ao valor dos ativos, temos que:
)(dNV
E
t
t
(2.2.5)
Segundo Paschoarelli (2007), pode-se reescrever a relação anterior na forma discreta da
seguinte maneira:
)(* dNVE tt (2.2.6)
Mas sabemos que *tt VV e *tt EE , assim temos que:
dNVE tEt ***
Assim:
dNV
E
t
Et
*
* (2.2.7)
Já vimos que o valor dos ativos da empresa Vt e o desvio padrão dos ativos da empresa
podem ser obtidos por intermédio das seguintes relações:
)()( TdNDeVdNE rTtt (2.2.2)
T
TrDVd
t
)21()/ln( 2
(2.2.3)
18
dNV
E
t
Et
*
* (2.2.7)
As relações acima podem ser simplificadas com uma medida de alavancagem L.
trT
t VeDL / (2.2.8)
Substituindo temos:
)()( TdLVVdNE ttt
Colocando V em evidencia temos:
)()(* TdLdNVE tt
Substituindo novamente temos:
TdLNdN
dNE
*
TdN é a probalidade da opção de compra não dar exercício.
Assim concluímos que a probabilidade da empresa entrar em default, no instante T, é a
probabilidade dos acionistas não exercerem a opção de compra sobre os ativos da empresa
com preço de exercício Dt e vencimento T.
19
Portanto temos que a probabilidade de default é dada por:
TdNPD 1 (2.2.9)
Lembramos também do teorema fundamental das finanças: Não existe arbitragem se, e
somente se, existe um vetor preço de estados (isto é, se existem probabilidades neutras ao
risco). O que nos diz algo sobre a existência de uma solução para o problema.
Resumidamente o procedimento para calcular da probabilidade de default que consiste em
conjecturar valores para a volatilidade do ativo e para o valor do ativo da empresa, calcular o
valor da volatilidade do patrimônio liquido e o valor do patrimônio liquido usando 2.2.2 e
2.2.7 e verificar se os valores calculados são iguais aos valores observados no mercado, caso
não seja conjecturar outros valores, caso seja calcular a probabilidade de default usando 2.2.9.
Esse foi o procedimento usado na parte empírica neste trabalho.
2.2.4 O spread de crédito
Segundo Paschoarelli (2007), o modelo de Merton pode ser empregado para determinar o
spread de crédito. Seja tD o valor presente da dívida da empresa, tV o valor atual dos ativos
da empresa e tE o valor atual de mercado do patrimônio liquido.
Logo, temos que ttt EVD
Sabendo que )()( TdLVVdNE ttt chegamos a
))()((* TdLdNVD ttt
20
Sabemos que o valor presente do titulo com risco e valor de face Dt é dado por
yTTt eDD , sendo y a taxa de rendimento do titulo com risco.
Por outro lado o valor presente do titulo de valor de face Dt, considerando-o sem risco, é dado
por rTT eDD *
Então:
rT
yT
t e
eDD
**
Sendo s = y-r o spread de crédito dado por
T
D
D
rys
t
*
ln
Lembrando que trT
t VeDL / e reagrupando temos que
T
VL
TdNLdNVt
rys
*
**ln
Assim:
T
VL
TdNLVdNV
rys
*
***ln
E finalmente:
21
T
TdNL
dN
rys
ln (2.2.10)
É interessante observar como o spread de crédito depende da alavancagem L, da volatilidade
dos ativos e do prazo de pagamento da dívida.
2.2.5 Exemplo de aplicação
De maneira a exemplificar o calculo de Vt e a partir de Et e E empregando o modelo de
Merton, essa metodologia será empregada para obter as estimativas de Vt e da empresa
Natura em 30/09/2005.
Eis as premissas usadas:
o Será considerado o vencimento em 252 dias úteis
o Em 30/09/2005 o numero de ações ordinárias é de 85.438.611
o Em 30/09/2005 os valores de passivo circulante e exigível a longo prazo são de R$
334.659.000 e R$ 235.970.000, respectivamente.
o Usando retornos históricos da empresa obtemos volatilidade diária de 2,441%, o que da
uma volatilidade anual de 38,75%
o O preço da ação em 30/09/2005 foi de R$ 89,00. Logo o valor de mercado do patrimônio
liquido, nessa data é de R$ 7.604.036.379,00.
o A taxa livre de risco discreta para 252 dias úteis é de 18% ao ano, que em taxa continua
dá 16,55%.
22
o Vimos que o modelo de Merton supõe que o passivo da empresa seja composto por um
único titulo zero cupom com valor de face dado por Dt. Obviamente esse não é o caso da
natura.
o Para contornar esse problema, será empregada uma aproximação feita por diversos
autores, que recomendam que o valor de Dt seja a totalidade dos passivos de curto prazo
acrescido de 50 % dos passivos de longo prazo. Esse procedimento é usado no modelo da
KMV, que foi comprada pela Moodys. Caso a estrutura da dívida da empresa seja conhecida,
podemos sintetizar um titulo que tenha a mesma duration que a dívida e que represente toda a
dívida da empresa.
o Para se ter uma margem de segurança melhor alguns autores recomendam que Dt seja a
totalidade dos passivos de curto e longo prazo.
Desse modo o valor de Dt é de R$ 334.659.000 + 0,5* R$ 235.970.000 = 452.644.000
O próximo passo é descobrir o valor dos ativos da empresa Vt por intermédio da seguinte
relação:
)()( TdNDeVdNE rTtt
T
TrDVd
t
)21()/ln( 2
dNV
E
t
Et
*
*
Substituindo os valores já conhecidos, tem-se que:
e
-dN*0452.644.00- N(d)V 3797.604.036.
0,1655t
23
3797.604.036.
*N(d)*V 0,3875 t
252
)211655,0()000.644.452/ln( 2
TVd
t
Resolvendo numericamente temos que
= 36,89%
Vt = 7.987.638.527,76
d = 8,41
A probabilidade de default é de TdN ou seja 4,4*10e-16
trT
t VeDL / = 0,048024475
E o spread de crédito é de
T
TdNL
dN
rys
ln
s = 0
Como para essa empresa o valor da dívida em relação ao valor da empresa é muito baixo o
spread se aproxima de zero.
24
2.3 MODELO CREDIT MONITOR DA KMV
O modelo KMV emprega o modelo de Merton para calculo da probabilidade de default da
empresa em determinado instante de tempo. O modelo de Merton calcula a probabilidade de
default da empresa no vencimento da dívida, o KMV estuda, para cada período de tempo, a
probabilidade de default da empresa.
O Modelo de previsão de default KMV produz como resultado uma probabilidade de default
para cada empresa para determinado horizonte de tempo. De modo a se obter a probabilidade,
o modelo subtrai o valor de face da dívida de uma estimativa do valor dos ativos da empresa.
Esse resultado é, então, dividido por uma estimativa da volatilidade dos ativos da empresa
obtendo um escore z.
Segundo Paschoarelli (2007), a probabilidade de default é dada por um escore z obtido na
função de distribuição acumulada.
O escore z é definido como:
t
tt
V
DVz
*
(2.3.1)
z é a distancia até o default, em desvio padrão do valor dos ativos da empresa.
O KMV sugere que se pesquise em um banco de dados da KMV de todas as empresas que
tinham uma distancia z do default, qual é a proporção que efetivamente entrou em default
dentro de um ano.
25
Segundo Saunders (2002), para que uma empresa entre na área de inadimplência o valor dos
ativos deveria sofrer uma queda de z desvios-padrão, ao longo do ano seguinte. Se os valores
dos ativos forem normalmente distribuídos, saberemos que há uma probabilidade de x por
cento de que os valores dos ativos variem entre mais ou menos zσ de seu valor médio. Assim,
há uma probabilidade de x por cento de que o valor dos ativos aumente em mais de zσ. Em
outras palavras, há uma freqüência esperada de inadimplência ou EDF de x por cento.
Em vez de produzir EDFs teóricos, a abordagem da KMV gera um EDF empírico. Segundo
Saunders, o EDF empiricamente embasado pode diferir muito significativamente do EDF
teórico. A vantagem da KMV advém da compilação de uma grande base de dados mundial de
empresas (e de inadimplências de empresas) que pode produzir tais pontuações de EDF
empiricamente embasadas.
2.4 MODELO DE MERTON COM ARVORES BINOMIAIS
Conforme Paschoarelli (2007), o modelo de Merton (1974) juntamente com o modelo de
apreçamento de opções usando arvores binomais de Cox, Ross e Rubinstein de 1979
apresenta uma série de vantagens sobre o modelo de Merton (1974) juntamente com o modelo
Black e Scholes (1973), a saber:
o É bem mais parcimonioso.
o É mais flexível.
o Permite a possibilidade de apreçamento de opções americanas com dividendos, importante
nesse caso porque empréstimos de risco contem embutidas opções que mais se assemelham as
26
opções americanas que podem ser exercidas em qualquer data e não se parecem com opções
européias que somente podem ser exercidas apenas em uma data.
o Permite a possibilidade de apreçamento de opções exóticas, muito importante nesse caso
porque empréstimos de risco contem embutidas opções que mais se assemelham as opções
exóticas com barreiras que são exercidas automaticamente e não se parecem com opções
européias que somente podem ser exercidas apenas em uma data.
o Permite a uma modelagem mais fiel da realidade, pois no modelo de Black e Scholes a
dívida da empresa deve ser única, ter uma só data de vencimento e o modelo de arvore
permite apresentar a dívida como ela de fato é.
2.5 MODELO DE MERTON COM OPÇÕES COM BARREIRA
O modelo de Merton (1974), ao supor que a dívida da empresa está concentrada em uma
única data e empregar modelagem com opções européias, apresenta a deficiência de não ser
capaz de captar a probabilidade de inadimplência da empresa para todos os períodos
assumidos para data considera da data de vencimento da dívida. O modelo de Merton fornece
como resposta a probabilidade de default na data de vencimento assumindo como zero a
probabilidade da empresa inadimplir antes do vencimento da dívida.
Se antes do vencimento T, o valor da empresa se tornar abaixo do valor devido, a modelagem
de Merton não será capaz de detectar essa probabilidade.
Black e Cox (1976), a fim de captar a probabilidade de default antes do vencimento da dívida,
assumiram que o evento de default será disparado na primeira vez em que o valor de mercado
dos ativos se tornar menor que um determinado valor limite.
27
Uma alternativa para resolver esse problema é encarar o valor do patrimônio liquido da
empresa como o preço de uma opção de compra com barreira do tipo down and out.
Uma opção com barreira do tipo down and out é um tipo de opção exótica no qual a opção
deixa de ter valor assim que o preço do ativo objeto fica abaixo patamar chamado de barreira.
Uma opção com barreira do tipo down and in é um tipo de opção exótica no qual a opção
começa a ter valor assim que o preço do ativo objeto fica abaixo patamar chamado de
barreira.
A barreira é justamente o valor a ser pago da dívida. A modelagem deve permitir que sejam
adotadas diversas barreiras representando os diferentes compromissos de pagamento ao longo
do tempo.
Seja q a taxa de rendimento do ativo objeto, H a barreira,X o preço de exercício de uma opção
de compra down and in. Se H for menor ou igual ao preço de exercício K, o valor da opção de
compra down and in, no instante zero será:
(2.5.1)
(2.5.2)
(2.5.3)
T
TSXHy
qr
TyNSHKeyNSHSec TrTqdit
)/(ln
2/
)()/()()/(
2
2
2
22)(2)(
28
O valor de uma opção de compra comum é igual ao valor de uma opção de compra down and
in mais o valor de uma opção de compra down and out, assim o valor de uma opção de
compra down and out é dado por cdo = c - cdi.
Segundo Tudela (2003), a probabilidade de uma empresa ter default até o tempo T
considera que ocorre de insolvência na primeira vez que os ativos estão abaixo do valor de
resgate da dívida, valor da barreira. Em outras palavras a insolvência ocorre na primeira vez
que o valor da empresa se torna negativo.
O modelo de Merton com opções com barreira usado nesse texto assume uma estrutura de
capital simples para uma empresa, dívida mais patrimônio liquido. O valor nocional da dívida
denotamos por B, de T - t o tempo para o vencimento das dívidas, At é o valor dos ativos da
empresa no tempo t, F(A,T,t) é o valor da dívida no tempo t, f(A,t) é o valor do patrimônio
liquido em t. Assim temos que:
),(),,( tAftTAFAt (2.5.4)
Para derivar a probabilidade de default usando opções com barreira nos supomos que o valor
o ativo segue o seguinte processo estocástico:
AdzAdtdA AA (2.5.5)
onde dtdz
e supomos um processo determinístico para o passivo:
29
LdtdL L (2.5.6)
Nós denotamos a relação ativo passivo por k:
LAk / (2.5.7)
Diferenciando 2.5.7 e usando 2.5.5 e 2.5.6 temos:
kdzkdtldk AA )( (2.5.8)
Definimos )( lAk e ka
Dada a equação (2.5.8) nós podemos derivar a equação diferencial parcial para
ln(kT/kt), e resolvendo essa equação diferencial parcial temos a chamada função densidade,
que é dada por: (2.5.9)
tT
tTk
k
k
k
k
k
tT
tTk
k
kt
T
k
kk
tt
T
k
kk
t
T
k
kkt
T
eetTk
kh
2
22
22
22
2
2ln2ln
2ln2
2
ln
22
1ln
Integrando a equação 2.5.9 temos que a probabilidade de uma empresa ter default até o tempo
T,consideram um modelo de opção com barreira down-and-out é dado por:
30
2
_
1 111 uNwuNPD (2.5.10)
tT
tTrK
uk
kk
2
1
2
(2.5.11)
tT
tTrK
uk
kk
2
2
2
(2.5.12)
2
22_
k
KKrK
ew
(2.5.13)
KX
S
t
ln (2.5.14)
Onde:
S é o ativo total,
X é a dívida,
K é a barreira,
T é o tempo até o vencimento da dívida,
r é a taxa de juros livre de risco,
o é a volatilidade do ativo.
31
Na equação 2.5.10 vemos que a probabilidade de default depende das estimativas de máxima
verossimilhança rk e ok, do ponto de default k, que nesse trabalho definimos para ser igual a
um (1), e da relação ativo passivo via N(u1) e N(u2)
O termo N(u1) na equação 2.5.1 é equivalente a probabilidade de default obtida usando uma
opção de compra européia que vence justamente no tempo T. No caso da opção com barreira
nos temos que a correta probabilidade do default ocorrer é probabilidade de que na primeira
vez em que o valor dos ativos da empresa sejam menor que o valor dos passivos da empresa,
que não é necessariamente no tempo T. O termo 2
_
1 uNw corrige a probabilidade de default
derivada usando uma opção européia (caminho independente da trajetória Ativo/Passivo) para
trazer para a o calculo o fato de que a relação ativo passivo pode atingir a barreira antes de T,
o prazo para vencimento das dívidas. (caminho dependente da trajetória Ativo/Passivo).
O procedimento para calcular da probabilidade de default consiste em conjecturar valores
para a volatilidade do ativo e para o valor do ativo da empresa, calcular o valor da volatilidade
do patrimônio liquido e o valor do patrimônio liquido usando 2.5.1 e 2.2.7 e verificar se os
valores calculados são iguais aos valores observados no mercado, caso não seja conjecturar
outros valores, caso seja calcular a probabilidade de default usando 2.5.10.
2.6 METODOLOGIA
A metodologia empregada nesse trabalho é uma variação da metodologia proposta por
Merton (1974), sendo que usaremos opções com barreiras e não opções européias para
explicar a classificação de risco das empresas brasileiras de capital aberto que tem rating de
crédito atribuídos pela Standard&Poor’s e Moody’s.
32
Iremos estimar probabilidades de inadimplência por Teoria de Opções com barreiras para
todos os emissores brasileiros listados que possuidores de ratings de crédito da Moody’s e ou
S&P e que possuam as informações necessárias para o modelo.
Inicialmente, estimaremos os valores do ativo por ação e volatilidade do ativo para cada uma
das empresas. O valor de mercado do Patrimônio Líquido (E) será estimado como sendo o
preço da ação de maior volume da empresa em dezembro de 2009. Adotaremos que a empresa
fica inadimplente quando o valor de seus ativos cai abaixo do ponto de inadimplência da
dívida, (barreira sem margem de segurança). O ponto de inadimplência será estimado como
sendo a dívida de curto prazo por ação em dezembro de 2009, acrescida de metade da dívida
de longo prazo por ação em dezembro de 2009.
Os dados de dívida de curto prazo e dívida de longo prazo dos balanços consolidados das
empresas da amostra. Para estimar as volatilidades mensais anualizadas das ações serão
usados dados de preço de fechamento mensais das ações de maior volume de negociação de
cada empresa da amostra no período de dezembro de 1999 a dezembro de 2009. As séries de
preços serão transformadas em séries de retornos através do logaritmo dos preços
subseqüentes.
A volatilidade da ação será estimada por EWMA (exponentially weighted moving average)
Médias Móveis Exponencialmente Ponderadas anualizado da série de retornos diárias,
usando-se um lambda de 0,985. Os valores do ativo por ação e da volatilidade do ativo serão
estimados por um processo iterativo, conforme equações 2.2.2, 2.2.3 e 2.2.4 e conforme
explicado na seção 2.2.5.
33
A taxa instantânea de retorno do ativo, ou seja, o retorno exigido pelo investidor, será a média
ponderada da taxa esperada que o valor da ação se valorizará em 1 ano e da taxa esperada de
valorização da dívida, sendo o peso de cada parcela o percentual que representa do ativo.
O custo de capital será obtido a partir do CAPM e do modelo de Gordon, sendo que o beta de
cada ação será obtido do economática. A probabilidade de default será estimada a partir da
equação (2.5.10)
34
3 ANALISE EMPÍRICA
3.1 SELEÇÃO DA AMOSTRA
A amostra será formada pelas empresas brasileiras de capital aberto que tem rating de crédito
atribuídos pela Standard&Poor’s e Moody’s, com dados desde meados de 1994 até 2010.
3.2 MODELO DE PESQUISA
Os modelos analisados empiricamente nesse trabalho são os modelos de Merton com opções
européias a titulo de comparação, e o modelo de Merton com opções com barreiras.
3.3 DESCRIÇÃO DAS VARIÁVEIS UTILIZADAS
Valor de mercado do patrimônio liquido - é a quantidade de ações emitidas vezes valor de
mercado das ações.
Dívida - é a soma do ativo circulante mais o exigível a longo prazo.
Volatilidade do patrimônio liquido é a volatilidade histórica (desvio padrão) das ações de
maior volume de negócios da empresa.
Custo de capital da empresa - (Ibovespa - selic)*beta + selic
35
Taxa livre de risco é a taxa selic anualizada.
Taxa de retorno do mercado é o Ibovespa.
O beta é o beta do Economática para 60 meses.
A correlação entre o patrimônio liquido e a taxa de juros foi obtida calculando a correlação
entre o log das diferenças do CDI e o valor de mercado do patrimônio liquido.
3.4 COLETA DE DADOS
Os dados foram obtidos do Economática, da Bovespa e do sistema de séries do Banco Central.
3.5 PROCESSAMENTO DOS DADOS
Os foram processados através de planilhas do sistema Excel e as equações foram resolvidas
utilizando-se os recursos atingir meta e solver.
3.6 RESULTADOS ENCONTRADOS
As Tabelas 3 e 4 contêm dados contábeis e de mercado usados no calculo da probabilidade de
default, anos 2009 e 2008, respectivamente.
Empresa Ativo Valor de mercado Passivo circulante Exigivel a LP Volatilidade
Braskem 21.551.933.000,00 21.551.933.000,00 6.775.011.000,00 10.022.974.000,00 50,45%
36
CSN 32.454.410.000,00 41.904.938.200,00 5.108.658.000,00 21.781.119.000,00 58,34%
Embratel 9.959.047.000,00 14.175.116.362,64 3.649.510.000,00 1.420.075.000,00 60,91%
Net 8.333.791.000,00 7.538.011.760,00 1.111.941.000,00 3.714.335.000,00 49,41%
Petrobras 324.496.847.000,00 185.684.500.200,00 98.095.498.000,00 66.791.271.000,00 41,51%
Usiminas 24.857.346.000,00 24.910.274.041,84 2.754.078.000,00 6.843.193.000,00 53,52%
Vale 159.757.929.000,00 161.761.530.750,00 16.492.369.000,00 47.528.586.000,00 52,47%
Br.
Telecom 20.985.549.000,00 12.309.323.840,00 4.213.385.000,00 5.721.398.000,00 45,84%
Gerdau 19.581.864.000,00 38.130.166.859,13 650.081.000,00 2.328.797.000,00 56,94%
Lupatech 1.211.889.000,00 1.295.779.320,00 1.295.779.320,00 953.728.000,00 34,93%
Cemig 11.863.049.000,00 15.002.850.690,58 1.082.009.000,00 505.535.000,00 27,95%
Cesp 16.315.138.000,00 7.263.636.565,8 1.610.404.000,00 6.182.108.000,00 31,45%
Ambev 34.080.592.000,00 137.014.065.161,15 8.221.257.000,00 6.713.070.000,00 32,97%
Embraer 13.894.372.000,00 6.956.472.659,55 3.873.586.000,00 4.951.604.000,00 60,91%
Gafisa 5.675.441.000,00 2.307.828.569,35 1.219.619.000,00 2.130.188.000,00 53,16%
Tabela 3 - Dados contábeis e de mercado usados no calculo da probabilidade de default para o ano de 2009.
Empresa Ativo Valor de mercado Passivo circulante Exigivel a LP Volatilidade
Braskem 22.711.352.000,00 4.027.647.650,00 7.489.102.000,00 11.530.369.000,00 48,20%
CSN 38.019.968.000,00 12.556.988.454,75 7.433.379.000,00 23.838.127.000,00 58,23%
Embratel 8.667.232.000,00 7.711.604.900,57 318.103.000,00 1.420.075.000,00 36,53%
Net 4.530.732.000,00 5.143.812.655,84 236.625.000,00 1.650.710.000,00 58,74%
Petrobras 311.010.867.000,00 243.964.377.646,65 111.698.595.000,00 55.261.133.000,00 51,65%
Usiminas 22.952.953.000,00 14.549.973.482,86 2.205.640.000,00 5.636.605.000,00 56,28%
Vale 172.238.376.000,00 164.200.670.225,60 18.980.242.000,00 56.983.494.000,00 51,91%
Br.
Telecom 16.272.391.000,00 17.391.229.240,00 4.547.468.000,00 5.483.971.000,00 56,93%
37
Gerdau 24.317.921.000,00 20.904.572.393,72 496.519.000,00 5.861.796.000,00 53,27%
Lupatech 1.342.354.000,00 1.238.533.430,00 1.238.533.430,00 978.017.000,00 61,39%
Cemig 10.894.484.000,00 8.922.438.631,33 1.061.145.000,00 481.705.000,00 41,77%
Cesp 16.315.138.000,00 7.263.636.565,85 1.610.404.000,00 6.182.108.000,00 40,31%
Ambev 32.784.076.000,00 75.095.159.470,26 8.890.575.000,00 6.615.363.000,00 41,08%
Embraer 18.643.798.000,00 7.448.905.696,72 6.980.268.000,00 5.620.286.000,00 43,48%
Gafisa 4.319.275.000,00 827.115.956,04 1.224.403.000,00 2.130.188.000,00 67,80%
Tabela 4 - Dados contábeis e de mercado usados no calculo da probabilidade de default para o ano de 2008.
A Tabela 5 contém probabilidade de default estimada por opções européias e por opções com
barreira, ano de 2009, para cada empresa da amostra, com vista de horizonte de um ano.
Empresa
Probabilidade com opções
européias
Probabilidade com opções
com barreiras
Braskem 1,20% 2,94%
CSN 1,40% 2,27%
Embratel 0,64% 1,04%
Net 0,33% 0,47%
Petrobras 0,08% 0,11%
Usiminas 0,37% 0,68%
Vale do Rio Doce 0,25% 0,53%
Brasil Telecom 0,30% 0,94%
Gerdau 0,003% 0,01%
Lupatech 0,47% 1,10%
Cemig 0,000002% 0,000005%
Cesp 0,27% 0,70%
38
Ambev 0,01% 0,02%
Embraer 3,34% 8,18%
Gafisa 1,06% 3,14%
Tabela 5 - Probabilidade de default estimada por opções européias e por opções com barreira, ano de 2009.
A Tabela 6 contém probabilidade de default estimada por opções européias e por opções com
barreira, ano de 2008, para cada empresa da amostra, com vista de horizonte de um ano.
Empresa
Probabilidade com opções
européias
Probabilidade com opções
com barreiras
Braskem 2,53% 11,09%
CSN 5,44% 17,02%
Embratel 0,00002% 0,00005%
Net 0,54% 1,08%
Petrobras 0,60% 1,37%
Usiminas 0,86% 1,94%
Vale do Rio Doce 0,31% 0,67%
Brasil Telecom 0,84% 1,51%
Gerdau 0,21% 0,45%
Lupatech 2,93% 6,70%
Cemig 0,0004% 0,0008%
Cesp 0,16% 0,41%
Ambev 0,0006% 0,001%
Embraer 0,10% 0,23%
Gafisa 14,50% 49,25%
Tabela 6 - Probabilidade de default estimada por opções européias e por opções com barreira, ano de 2009.
39
Cabe aqui uma observação, enquanto que no modelo com opções européias o modelo
convergiu, para opções com barreira o modelo não convergiu sendo que os resultados
apresentados são resultados aproximados, são os melhores resultados obtidos após um total de
100 iterações, observamos que de modo geral o erro não foi maior que 10% entre os
resultados calculados e observados no mercado para o valor de patrimônio liquido e
volatilidade do patrimônio liquido.
3.7 ANÁLISE DOS RESULTADOS ENCONTRADOS
As Tabelas 7 e 8 contém a probabilidade de default estimada por opções européias, por
opções com barreira, taxa de inadimplência histórica acumulada 1 ano após emissão dado o
rating da Moodys, rating da Moodys, ano de 2009 e 2008 respectivamente.
Empresa Opções européias
Opções com
barreiras Moodys Moodys
Braskem 1,20% 2,94% 0,69% Ba1
CSN 1,40% 2,27% 0,69% Ba1
Embratel 0,64% 1,04% 0,46% Baa3
Net 0,33% 0,47% 0,69% Ba1
Petrobras 0,08% 0,11% 0,02% A3
Usiminas 0,37% 0,68% 0,46% Baa3
Vale do Rio Doce 0,25% 0,53% 0,10% Baa2
Brasil Telecom 0,30% 0,94% 0,10% Baa2
Gerdau 0,003% 0,01% 0,69% Ba1
Lupatech 0,47% 1,10% 7,65% B2
Cemig 0,000002% 0,000005% 0,46% Baa3
40
Cesp 0,27% 0,70% 0,67% Ba2
Ambev 0,01% 0,02% 0,12% Baa1
Embraer 3,34% 8,18% 0,46% Baa3
Gafisa 1,06% 3,14% 0,67% Ba2
Tabela 7 - Probabilidade de default estimada por opções européias, por opções com barreira, taxa de inadimplência histórica acumulada 1 ano após emissão dado o rating da Moodys, rating da Moodys, ano de 2009.
Empresa Opções européias
Opções com
barreiras Moodys Moodys
Braskem 2,53% 11,09% 0,69% Ba1
CSN 5,44% 17,02% 0,69% Ba1
Embratel 0,00002% 0,00005% 0,46% Baa3
Net 0,54% 1,08% 0,67% Ba2
Petrobras 0,60% 1,37% 0,02% A2
Usiminas 0,86% 1,94% 0,46% Baa3
Vale do Rio Doce 0,31% 0,67% 0,10% Baa2
Brasil Telecom 0,84% 1,51% 0,46% Baa3
Gerdau 0,21% 0,45% 0,69% Ba1
Lupatech 2,93% 6,70% 2,19% Ba3
Cemig 0,0004% 0,0008% 0,46% Baa3
Cesp 0,16% 0,41% 0,67% Ba2
Ambev 0,0006% 0,001% 0,12% Baa1
Embraer 0,10% 0,23% 0,46% Baa3
Gafisa 14,50% 49,25% 0,67% Ba2
Tabela 8 - Probabilidade de default estimada por opções européias, por opções com barreira, taxa de inadimplência histórica acumulada 1 ano após emissão dado o rating da Moodys, rating da Moodys, ano de 2008.
41
Repetimos aqui parte da Tabela 2 - Taxa de inadimplência histórica acumulada dado o rating
da Moodys, para facilitar nossa analise.
Rating
Probabilidade de default 1 ano
após emissão
Aaa 0,00%
Aa1 0,00%
Aa2 0,00%
Aa3 0,07%
A1 0,00%
A2 0,02%
A3 0,02%
Baa1 0,12%
Baa2 0,10%
Baa3 0,46%
Ba1 0,69%
Ba2 0,67%
Ba3 2,19%
B1 3,46%
B2 7,65%
B3 11,86%
Caa-C 26,05%
Tabela 9 - Taxa de inadimplência histórica acumulada dado o rating da Moodys, 1 ano após emissão.
Para facilitar a comparação entre as probabilidades de default estimadas e o rating da Moodys
incluímos aqui a Tabela 10 - Medidas de Correlação e Dispersão. A dispersão foi calculada
42
como sendo a raiz da soma dos quadrados dos erros, os erros foram calculados subtraindo-se a
probabilidade estimada do rating.
Os resultados da Tabela 10 indicam que as correlações entre as probabilidades de default
estimadas pelo modelo de opções européias e pelo rating da Moodys, bem como as medidas
de dispersão destas opções em relação ao rating da Moodys apresentam os menores valores.
Ano 2008 2009
Correlação Moodys x Europeias 0,229596 -0,02025
Correlação Moodys x Barreiras 0,180851 -0,01679
Correlação Europeias x Barreiras 0,99574 0,984428
Dispersão Moodys x Europeias 14,82% 7,86%
Dispersão Moodys x Barreiras 52,55% 10,87%
Tabela 10 - Medidas de Correlação e Dispersão entre as Probabilidades de Default Estimadas por Modelos de Opções e de Opções com Barreiras e as Probabilidades de Default do Rating da Moodys.
43
4 CONCLUSÕES
O presente trabalho mostra que a correlação entre a probabilidade de default prevista pelo
rating da Moodys e a probalidade de default calculada pelas opções europeias é maior do que
a correlação entre a probabilidade de default prevista pelo rating da Moodys e a probalidade
de default calculada pelas opções com barreira.
Vemos também que a dispersão entre a probabilidade de default previsto pelo rating da
Moodys e a probalidade de default calculada pelas opções europeias é menor do que a
dispersão entre a probabilidade de default prevista pelo rating da Moodys e a probalidade de
default calculada pelas opções com barreira.
Concluímos que quando a aplicação exigir um certo conservadorismo é interessante utilizar o
método de opções com barreira, pois teremos desse modo a probabilidade de default a
qualquer momento até o horizonte analisado, embora o método com opções européias
apresente um resultado mais próximo do rating da Moody's (a Moody's usa um modelo
parecido com o modelo de opções européias).
Outros modelos interessantes, como por exemplo com opções de troca, poderiam servir como
tema para pesquisa futura.
44
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