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Á.^- ^JUN`CA PA.KA AbIPL1ACl.(^)N DI: 1:5"I'ODL09 J?, INVIGti'17.GACIONliS C1IiN'L'ÍL+ICAS
An^les: Tomo X1^lI jJlemori^z 6.°^
CONTRIBUCIÓN AL ESTUDIO DE LAS
REDES DE HOMOGRAFÍA.S QUF.
CONTYENEN LA IDENTIDAD EN I;n.
GENERALIZACIÓN DE UN TEOREMA
DE WEIERSTRASS
P(^4t
OLEGARIO FERNÁNDEZ BAÑOS
Nil1DKID
^^rs
Establecíiriiento ei^^uç;rfificu de Fortnnr^t, I,il,crYad, a^,--"Celbl'on^, ^^t.
./YlemoFia yrre p^esenla a la Junta para ampliación ^le
estiudios e investiigaciones científicas D. G/^,qrrF^i^^ I^^^f°-
rr^^érraez ^^lios, pens^nnredo pof^ la mi^s°^rra p^z^^z cslrrrJirrr^
^eoitief,^i<3 a•a^^c^ioE• en e^iri^,^ e /lr/^^^.
T. T^,I prescntc esiudio sobrc las rcdes cle homografías ^e-
nerales del tipo [[, 1Trz, IIG^ en^ cl espacio F,,, dcl cfuc hicimcs
mencitn a] t^rminar otro, titulaclo «ContribuciGn al estuclio de
los sistemas lineal^s cle hom^^graftas en 1?„», pu^cle consiclerarse
como una cc^ntinuaciCin dcl mismo, si bicn con un punCo <lc vista
divcrso, por tratarsc rle llegar a resulta<]os dc otro orrlcn de ideas
en el caso concreto en <luc sc^ trate <le una red clc homografías
[[, /Irz., TlG^. Como nucstro fin hrincil^al es la generalizacicín del
Ilamaclo tens'ertaa rle IT^eicystrass sobrc las homo^rafías en T%„,
creemos necesarío inclicar rápiclamente alf;unos conceptos sobre
el particular.
w`e;erstrass estn^lic^ I^i ^,:onclici^in nec^saria y suficicnte para
quc dos [i^rmas l^^ilinc^silcs hucrlrm transform^.trse entre sí. 1^,ste
teorema de car^ctc^r ;tnalítico, en el que, como cs sahirlo (*), se
consicleran los clivisc^res clementalc, clc VVcierstrass, lia siclo es-
turliaclo p^c ^e^re, clue lc ha. clarlo una traduccicín geomC•trica,
puesto que <^l par cle formas hilineales no es otra cosa quc un
par cle homografías.
T?stc geC>rnetra, pucs, ha dcmostraclo qur. una homografía ge-
neral viene perfecl^c y unívocamente deterrninacla por sus esj^a-
cios fitndczr^aentale.c y sus i^avczl^irz^ates ^zl^so/za^o.r, y, por tanlo,
que <cla concliciln necesaria y suficienCe para cluc clos hc^rnogra-
fías í,fenerales sean proyectivamente ic_Ic^nticas es quc tengan la
misma caraclerística y los mismos invariantcs absolutos». Conti-
nuací(m cle tal estuclio es la clasificaci(n cle las hornoyrafías clac.la
por <licho geGmetra, que consiclera coml^letantente el caso en
(*) I3ertini: ^iztroci^t;^ioste alla ,qcoiiieti'ia proiellivcz degli ipe^-.r^asi, aipí-
tuln q.° Pi^n.
-;^ OLRr:ANif) (:ERNÁNDE7. DA^O5
que existan puntos o espacios ^núlti^iles en ]os espacios funda-
mentalr•s.
Preclella, particndo dcl teorema enunciado, llega a la demos-
traciún del tcorema de V^ eierstrass, y estudia el caso de puntos
dobles infinitamente prbximos.
Como nosotros súlc> trataremos del caso general en <lue la ca-
racterística de la homografía sea cero, o sea, del caso en que los
puntos dol>les sean los vértices dc la pirámide fundamental del
sistema, el tcorema de Segre, ala condición necesaria y sufciente
de transformabilidad de dos homografías de T„ es que sus espa-
cios dobles tengan cl mismo número de climensiones y que po-
sean los mismos invariantes ahsolutos», se sicnplifica grandemen-
te, puesto que nos basta, para la iztentidailliroyectiva de las homo-
grafías, que tengan los mismos puntos clobles con los mismos in-
variantes absolutos, y para la transformahilidad, que tengan los
mismos invariantes absolutos y que sc hagan corresp^nder bi-
unívocamente los puntos dobles de amhas homografías.
Esto supur_sto, consideremos un haz de homogratías ^I, Ha)
que contenga ]a identidad. Comó ya sabemos (*) que el proble-
ma de hallar las homografías degeneradas de dicho haz equivale
al de averiguar los puntos dobles, ya de una de sus homograffas
distinta de la iclfntica, ya del haz en cuestiún, resulta que cn el
haz ^ I, Ila I existen n-{- I puntos dobles para toclas sus homo-
gralías, los cuales pueden considerarse, para mayor sencillez,
como vc^rtices cle la pirámide fundamental de relerencia. la cla-
ro, pues, que a un punto P de En corresponde en el haz ^I, Ila]
una recta ^i que pasa por P, y, por tanto, fijada esta recta, queda
determinado el haz ^ I, Ha]; mas como las rectas que pasan por
P y estan en E„ som m^-', resulta que, dados lcs n-^ I puntos
dobles, nos hastan z2 - I parfimeCros arbitrarios para definir el
haz [I, I/a^; y, por tanto, el número de invariantes ahsolutos del
haz ^ I, /Ia] cle homografías es n- I (uno menos que cuando se
trata de una de sus homografías cliversa de la i ĉíc:ntica).
(*) ContrzGncrrín ad eslz^ríio de dos sislema.r dineales rte drnnaograf'ías en E,,.
(7) coN^riin;uc+Gx n+- Lsn^nir^ ne r.ns euu^?s ms uomoc^:n+^íns ^35
2. l^xpuestas estas brcves nociones, que utilizaren^os m is
adclante, recordemos que el ]u;^ar de los puntos dobles de un
haz [Ila, IIG] +le homografías generales en cl espacio T's es una
etibica de g^ínero uno, C3 (cGbica general), y la e^luivalencia de
esCa cuesti%in con la de las homografí,^s degcneradas ^lc la red
[I, IIa, Llb^ (*). I)aclo un par cle val<^res arhitrario a^ Y I^ (^ Y(-^son los par i+Yictros dcl hai), queda clefini^la una homo^rafía cuyos
puntos dobles son los ví'rtices dc un tri^íngulo, y, por consi-
guicnte, sobre <licha cCibica exisCe una s+^ric siml^lcmcntc infinita
de ternas de puntos, las cuales constituyen una involución de
primera especic g;. rln^logamenl<^, sol^re la cQbica cle las homo-
grafías cle^enera^las dc la red [^, lla, Ilb] resulla la misn^a in-
voluciGn g;, y, por tanto, tenemos el ente ^ C' '^.i^fa•
An<ilogamente, considerando la cuestión en el espacio I+3, a
la red [I, 1Ia, 1Ib] corresponcle una s(^xtica C; cle ^^nero 3, y
^sobre ella una involuciGn d^, cuyos grupos cle cuatro puntos co-
rresponden a los puntos dobles ^le cacla horo+^grafía, detinicla por
un sistema cle valores +le ^, 1^,, o de ca<la haz +^lcl tiho [1, 1lne].
l^n general, <lacla la rr^d de homo ĥ rafías [I, Ila, llb] en cl espa-
cio E,^, existc, y quccla dcfinida en el mismc+, una curva de or-
n(n ^ ^- 1) n(^z - I)dcn y^Gnero -- , y s+^l,^rc csta cur^^a una
^ 2
involuci+ín ,;^^;,+„ o sca, la, reC1 [1, 1[a, 1 f h] ^l^^rtc• raiz c°ttte
,, ^,,,- , ^ 1^, ^ r i^ ^ ,, , ^^„ ^
utilizanclo para mayor hrevcdad cste siml>olism+^.
U^n resultado análogo se obticne consi^lcrando la cucsti6n
para los sistcmas linealcs r^ ^` (Ir> 2) dc honio^rafíns quc con-
tengan la i^lentidad, problema mucho mis coml>licacl^^ ^lue el
(*) Conaiiler.+r lus puntos clobles de le rc^l ^ i, 11¢, l/G] cn Is^ n^^ tie•ne
seuliclu, p^^ryuc a uu puntr^ cu^ilquicrn corres^>nn^lc loilu cl E>Inno,
23f) 011?(:ARIO FERNÁNDE'7, ilAÑ05
quc nos pro^>onen^os res^^lver, v. l;r.: c] complejo ^T, lla, IIL, I/c^;
pero limitándonos por cl molnento al caso en que el lu^;ar <le^
punt^^s dol>les cs una curva, sc presentia el problema inverso:
1)acto en 1^.,, el enle L_: ^ ^^ ^ ^_, g,`, +^ , ^re.rzcltr^ definicta r.i7aa y,rólo^
^sna recl (t, IIa, 1 lh^^ rde honao„rrafías^ ^Ttiiste ii^a Taaíy^^ero f^aito o^
in/irzito de ^liclans reclc.r,' (*)
3. Presentado así cl pro}^lrma, veamos cGmo lo resuelve R^-
nol^> ('^*) para los cspacios L%, y T3, dando un^t I>ucna prucba de
ingenio cn el scgundo caso, dcl quc indicaremos las líncas ^ene-
rales solam^rnic, r>or razbn rlc Iarcvcdad. L11 ahlicar cl roismo
proceclimi^•nto a/^:1 se observa inmclliatamente la gran clificul-
la^l inherente al rn^^lu^lo, y, j^or consi^^^icnte, seguiremos otra
vía in^licacla por rl f^^eundo prineihio de la conservaciGn clel nCi-
mcro, como hcrnos hec}^o en el prohlema ^le hallar _el lugar dc
los puntos cloblr^s de ln r^d de homografías [i, Ila, !/b]^.
h.s daro qu^: lds llomo^raftas inversas en Lz de: la rec!
^ l, Ilcz, IIG] constituycn otra red, que <lcsignaremos [[, LIa, lIG ^^ ^',
de horno^raFías entre planos constituíllos por r^^ctas, es clecir,
^juc cn una homografía, v. ^r.: 1/^ ', a una rccta corresponde
otra rccta. /\1>lícando a esta nueva re^l las a^nsidrraciones corre-
(*) Olis^^rvcse qnc lrl ^^,^+„ cuyu ostudir, general pnerlc versc en^
Enriyucn, '!'eov'ía ^eon^., vl^l. I, p^íq. 16^, I'urm^icta plir Iris grii^>us llc
n--^-- I^lunton clol^l^•s ^Ic 1,is hum^^(;rlifías tle^l haz ^ Ilca, //G^ n<Ic Ia red^
^ 1, l7ca, /IG^, no cs ,geiterrcC, sino es^ecial, p^,rquc est,í cr>nienilla ^•n nn;a^e (,e - i )
^„i_,. Ln cfcctu; ri los ^rupos de n-{- I punir^s situllcl^is sllbrc C y^ ^ ^
c^irrr,vpr,ndcn en su curva (dc huml,^;r,iHris ^Ic^;enr^r^^la5) transfnrmri<In bi-
rracion^llmente, Irls ^;rup^iv Ile ^z -^- I puntns en qne LI encucntrlln las rectas
de un har; y c^stns gru^^os definen sobre esta enrva pl,roa un,l g,^_^ ^, c^rote-
nilla en lx g,^^., l^uc ^sr,bre ella misroa detenninuu las oo ^° rectns cle su
^illino. S^Ibrc lu cúl^ical Ct nu cxistc:n ^; ^^e5^>l^cialcti, puestu que cs dc ^ú-
ncrr/ 1.
(*k) Jre^erl. lii.rl. l,unaliardo. Milano, 1908. Ser. n, vul. xt,I, p^íg. 560.
^c^) cox^ca^nuciótv nc ssruoro^na i.ns izanus i^r*. ^u>mu^^;^<nríns z37
lativas <Ic los yy 2 y ^i (*) s^ o(^ticnen inmcdiatamcnL<^ ot^-os tan-
tos rraultados cf^rrel.ativos, y en particulae el siguiente
"I'^>.^>r.i^;mn. TZ la^,,ar íie las Yectas dobles cl^ a^rra^ reil rle hon^o-
grafí^z.r [.[, 1 I a, l.( b] "' o u'e uno cuczlluierr^ cie s^ti.r Iiaccs [( I a, 1 I 1,^^ '
es uTa hnz gc^er^zl r,te tercera ^raase 1";.
.^ un j^unto I' de l^^i cGbica C; (^ 6), correspon^le en ]a red
[ i., IIa, IIG^ una recl:a 1i chte lo conticne, y e^,^ Jas li^^rr^^^grafías
l^^z, 17b los T^anLoS Pa, P^ siCnados sohrr^ 1^. /^ ]a red:a^ c^^rres-
pundc^n ^n ]ris hoi^^o^rafías TIa `, ]ZG^^' ^los recta5 ^a, ^i^, c^uc
^asan Por P, y c^n la honiografía id(ntica se corres^oncle cunsi^ro
n^iisnla; ^^or consi^uicnLe, a la recta 1i corrca^^r^n^le en la recl
![:^ , Ila, Ilb]^^^^' un haz de rectas quc pasan por 1'; mas comi^ las
rcctas cuyas ^^i•respondicntes cn la rc^l ^1, IIa, IIb] ' pasan
^por un puntc^, s^^rá dobles cn dicha rad, o sea, son rectas del
h^zz l' ^, resulta que las re.ctas ^l^ C:3 f,e7•tc^necrn ^z 1";, y recz^YOCarnenle.
`Cenem^^s, p^ics, q^.ie por un punto cn<il^^uicra P^1e C.^{ j>asan
tres rectas de I':;: una es la recta ^lue Je a^rrespon^le cn la red
;[1, 11a, L!6], y las otras ^Ibs son las c^uc lo nnen con ]^^;s ^^tros
clos Punt^^s I', y P^ <lohlca en cl haz clcl ti^^o [[, If^ri] ^^uc tic^nc
P ct^mo dc^hl^^; o aca, <lacla l^ inv^^^luci^ín ^,^^^ sobre la curva C,3, s<:.
obticne J^^, considr_r:^xn^^o ca^la tcrna clc puntos I', /'„ l'„ dc
dicha involucifin ^,', unienclo estos ptintos entre sí, y trazanclo
j^or ca^la uno de ellos la recta que le correspon^le ci7 la red
^^, rra, rri^^.
Tr^.r^iii^.mn nr 13oNUr,n. .Si existe unrz r^ed ^^r, llsa, 1 fb^ ca'^ l^ortto-
^^^r^fías eorres(^o7adie^alcs al erate [L^, g';], die^Iz^a ^^E^cl es^ía^zic^a.
/S , ^lE^s ru ^^os dc laSean, en f°fecto, fl„ fl^, 11s Y>>_, ^^--, 3 ^! 5^;^1'„ .f'„ clos punt<^s pertenecientes a un Lercer grupo, y I', la tcr-
cera intersecci^n de_ ]a a-ecta ^= Y, L'^ con la ctibica <letcr-
a7ainacla pecf^^ctnmente ^^oc dichos nucve puutos. Una red r^ue.
cc^rresponda al ente [C^, ^.;] ciebe coritr.ner el haz [z, I!^] de
^homografías, para ^l cual los punLos 11„ íl„ A,; son cl^^bles, y al
puñto P cocresp^mden Ic^s <le la recta j^; y<lcbe contener tam-
(*) Co^aC,^'zGitcid^t .td es^liirlin rle los sl.elei^aar lineczCn„c de /ir»no,ç^rrtfía^.c en b^„
23ó C^T.73(',AItfO PF.RNÁNDF.'L llAÑ^^S
bic^n e1 haz ^ r, I/I^^, en el cual son dobles I;,, I;.z, I>,, Y al puri-
to 1' cc^rres^^on^'lc la recta ji. i+,sto5 ^los haces dcter^^inan, ^^ues*
la finica r•e^l ^ I, /Ic^, IIG^ ^lue corres^^ondF, poc consi^uiente, al
entc [C.^, ^,^•
ll uaa ent,e [C^ ^, ^ z^ f^^^^^-znrz'n jiar- una ea^bicrz lilcrnrz arbitrarr.'a
^^; y un^a invnlucióri ^; {, ta7rabién ^crbilraria sobre dicha cu,YVa, co-
rrr s^or^^lc^ .ciernlirc ze n^z rcrz' c1e ho^reagrrr, fías ^^ree contiene la ideraiídcr^l.
Ii.n efecto; la varie^Ja^l de las redes del tipo [^, ^Ia, IIG ^ es cA" (''^);
las cGl^ic,.is planas son ^r° y sohre cacl^x nna d^^ ellas existen cn3^<<g^; ^por tantr^, la varicrla^l ^lc entcs ^G^,,^^^j^ es c^ .
1'or c^tra partc, a ca^^la una de las ^" redes corresJ>on^le un
^C., b:^ y uno so1o, mícntrae a dos redes diversas corresponder^
dos [C`^, ,ç ^] ^iist:inlos. T^,sto prueb<i que existe una corres^onclen-
cia hiunfvoca entre los elementos de estas cios v^i-ieda^les, por lo
cual, a un [C^, ^^^^] a^cresJ^onder'i siempre una red y sfilo una.3 31[cmos clicho qire s^brc una cúbica plana gen^^ral existcn cn^^
,involuci^ncs 1; ;, ]as cualcs, como ya sabemo5, no son cspecialcs,
puc5lo clnc s^^l^re 1^^ cCibica plana <lc ^Cnero 1 no existen talcs
involucioncs. 'f'al afirmaciGil se justí('ica recorc[ando e[ si^r^iícnte
teorF^ma gcneral:
Z,os ^ rer,^ins• ^^ ^nei•^zles de ^i ^izc^^aLos s•obye unrz cuzw^z j^l^zii^z d^ ^éne-
ro t snh m°°- ^, es cleciz^, fornza72 un sistemca lineal cotz i^ - I paycz-
^netrns iyt^le^ie^erfia^ttes. ]?n nucstirr^ caso, los ^rup^^s de tres pur^-
^ns sol>r^^ la cGbica ei1 cucStiGn son m'". "l.'or tantr^, cumo la ; ^,^ s
vicnc ^leterrninada por dos Lernas distintas, resulLan seis cons-rtantes; pero como (as tcrnas son arbítirarils dentro de la ;^ , te-i
nemns dos ct^nstantes menos; y, por CilNrno, en virtucr <Jel teorc-
ma in^licado ili5minuyc cn una unidad cl ntímero ^J^r ]as constan-
ties arl^itrarias, y qncclan Lres correspondicntes a las m{ involu-
cioncs ^^, como hal^íamos afirmado.
Oe lo ^licho se infiere tambiCn ^ue, cladn arbiLrariamente el
ente [C ŝ , t^ ^,^, parri construir la r^^d ( I, IIa, IIG^ quc le corres-
(^) Pncts cl nixmcru ^Ic ^^lttnos dc Is^ ^uc pason pur un punto snn
v(H-a) (^-^^) :- m^ . R^rtini: np. <°it., ^^ri^..3 r.
^l I^ CUN1'lU1tlJClÚN AL 1^STUD[O DL LAS 2GU13S UI^ IIOM^1f;KALÍAB
ponde basL.^i tornar clos ternas ^1r, 11^, A3 Y I;^, /^L, !^^ ^lc la g^, y
una recta ^ qu^ una ^los puntos Y„ P, de otra terna, y fij;Ir
las homogral^ias I^cz, IIG^qne ten^an corn^^ dol>les ^1„ ll„ lli y
B„ J>'z, .Z>'.{, respectiva^nr.nte, y hagan corresponder aI punto /'
(ulterior intc:rse^ccí6rl de P^I'r con Ia cúbica) los puntos Y, y /'r,
tespectivam^nte.
1'ucde aña^Jirse ^Iue el teorema in^licado es to^lavía much<^
m^s bener=zl, y para recorclarlo bien y aplic,irlo con acierlo, con-
si^lfrese en primcr tércnin^^ u^^a curva pl^rna dc g<ncro nulo, o sea
racinnc^l; es claro que rn virtud de 1^^ racionalidad, los gru^os
generales de n pulxtos sobre dicha curva son los Itlismos ^Iuc: so-
bre Ia recCa, o Sca, son coiTipleta^Iiente ari^^itrarios los puntos <le
un grupo ecluiv^ilente cualc^uiera, y por tanto son c^". 5i l^^ c«rva
es de gCnero C, tenemos la suma de las n intcgrales abclianas, ^le
c^ue 17al^laremos m.'ls a<lelanLe, las cuales por ser dc suma cero,
determinan una constante, y, por tanto, quedan cr^"^'; o sca, to-
mando un grul^w general ec{uivalente, ^^crlenece a una invulu-
cxGn,^^^ ', 5i cl gea^lo es 2, la sunla de las integrafes abelía^Ias
se toma clos veces, ^^uc<[an así 4eterali^iadas dos constantcs,
y Ilos resuita el sistertla li^^e^.^1 de cr^"-`, con tal que cl grupo sea
siempre general. L;I raciocii^io se continúa hasta el I;Cnero ^i,
no sien<io^i I^^ayor clue n.
^ ¢. ^ Procedien<lo an,ilo^amentc ul cl cspacio L^ resulta el
tc,c^reina correlativo del enunciado en el ^ 7^lc nuestro citaclo
estu^lio. ^
"I^^^^r.Gvm^n. L'l lu^^^ar^ de Zaslilanos dofilcs de una 7^cc^ dc ^ioino-
gr^zfirzs ^i, 1[a, 1IbJ-` o de u^ia cztialjuiir^ r^e srtis h^zca^s de^
ti^o ^I^Ia, lll^J ^` es un lza,^ t^^^^reracial ge^aeral cíP 6.° clrzse y^,é-
nero 3, K ^ .
Los ^^lanus corr^•spondientcs a los puntos clc una rccta r,
en la rccl [I, llr^, IIG^, pertc^ccen a una desarrollablc c6óica,
^3, la ci.^al se descoiYipbn^^ solamente en cl caso en que r en-
cuentra ^ la sf.xtica C6. I^,n particular, sí ^^ es trisccante de C^, la
^.^3 se reduce a P.res haccs de planos de aristas cnplanarias, y el
plano 7c cie ^stas tres aristas correspondc ^^ todos los puntos dc la
2r}O OIJ!t:AIt1U PLItNÁND157 15ANOS
recta r. Resulta, pucs, ^^ue ^c a^^crtcnrcc al haz Kf y yue Y cs la
recta corresporidícnte <x ^; y c^iie to<lo pl^u^o de K^^` conLiene una
trisccantc dc C^^', o st^^x, l^s rcctcrs cnrresfion^icrates cx Zos filnnos
dc I<f^ sori las t^-zsecantes de C^',, y^aor las• recGrzs corre,r^orzcfierates
a losJiu^atos de C^3 ^iasc^^z tres planos r.le I^^. L1s trisecantes de C3
forn^an una saperficie reglada IZ^,, y las recta5 por las cuales
pasan tres plan^s de k'^ forn^an otra R^z (*): ambas 5on de
or^^l^°n 8, y y,or cada J^unto clc C,,^' pas^an tres recl<'is dc 12^ y una
rle h'^; en cada plano de K^^ cxisten tres rectas de 1^'^ y una
^de ]i^`. 7^xiste, pues, una correspon^lencia hiunívoca y perspec-
tiva cntrc li^ y('^; entrc; 11'^ Y la desat^rollahlc IC^.
Sean r„ vy, r^ las trisecantes de C^ c^ae Parten de un punto,!^P< <le ella; ^, la recta de Ie^ coi•resj>ondienle a/',; 1'1, /'a, I'a^
^I^s ^^untos yne a^n P, son cl^^^hles c;n u,^ haz dc honio^ralí..is de]
tip^> ^r, _I.Izn ^ ^ertenéciente a la re^l [ 1, Ila, Ilb]. Ue los scis pla-
nos de K^ <lue pas<^n p<,r T„ tres son ]os quc pr^ycctan desdc
I', las rectas 1'sY3, 1',/',^, /'^!',: los otros tres pasan, res^^ecti-
vamente, por r„ r.^ y y3. Com^, por oCra r^nrte, deber^ p<asar ^or ^
tres r>lanos de K^, tendremos que ]os ^^lanos q^.ie pasan por r„
^rz, y rj, respecLivamcnt^, scr^in los planos ^a',,, fi^'y, ^r3. I'or tanto:
I,c^ recta p corres^olarlíente czl ^ii<ito 1.', ete C^ es cornúr^ a los
tres /^lc^nos de K^`, a los c^^ales rorre.r(^orzilei^ lr^.c trisecanCes ^te C^`
que/srrs^n ^or P,. Corrcl^ztivarnente; l^c recta J^ c^rresf^olydrente a un
^ilay^o ^ cte ]C.^ ^iasrz linv lo.r tres ^unios cáe C^^, a Zos cztiales co^^res-
ponr^eyt las tres Yectas de l^ ".ritunrGzs cra ^, lo cual nos da cl pro-
ce^limir^nh r>ara construir l^i recta ^i c^rrespoti^liente a.ui^ punto
P, de C; en la rr^d ^t, IIa, 111^J.
]?sto supuestio, se cleinuestra iniue^liatamenic otro an5logo
teorc^ma de I^on^^la:
l1 t^oclo erite ^(: ^,^^ ^ corl^r.r^o^a<le srena^re zana red c^e larirrr,o^ra-
fías [^, /La, IIG^;,v es^ta recl es ií^zica.
I^ernc^steemus priinero la sc^un^l^i parte, o sea, due st e^zs^te una
(^`) I3un^^lti: l^^c. cit., 5^3•
^13^ Cr)N'I'ItI130c1(Ĵ N AL ESTUU[U UR LAa ItCSDISS Ul; IIUNCOr11tAN Ĵ AS 2hl
tal rcd es ú^aica. l^n efccto; sean A„ Az, l1,, .9, Y Z>„ hr, /.'^, I>q,
^los gruPos de la ^,o^, 1' un punto cle C^^ y p la recta (íinica)
de ^^k que pasa por 1'. ( :or1 csto querlan pcrl^ctamenLc dclermi-
narlos dos haces [i, lIa], [1, IIG^ ^lue ticnen como dobles
11^, /L ,113, ^,r y b'„ 1^^, 1^^, G,^, respectivamente, y que hacen co-
rresponcler al ^unto P la recta ^i. Por tanto, si cxistc una red
corresi^ondicnte al ente [C;;, g^], contendr^í los haces [i, //a] y
(I, I/b^, Y, por consiguir;nte, scr;í í^nica, Ix>r^luc dichus haccs sfilo
de:fincn una. ^
Por otra parte, las rcdcs [[, /la, IIG{ son ^`b, como los planos
de T,^ quc pasan por un punto. Las C^` son ^`'', y sobre cada
una cxistcn m'^^á ( porquc cstas g^^ son raspecialcs): luc^u la
varicdad de las recles [ I, //a, lll^ ^ y la varieclad ^le los cntes
[C-^, ^^^ ^ ticnen el mismo nírmero de climensioncs. ^I'cro como a4
toda rcrl [[, Ha, ^1G{ correshoncfe wl srrlr^ ^ C^, ,^^^ ^^ ^ y a dos rerles
divcrsas correspondcn dos (C.'^;, ,r; ^{ ciisCintos, clucrl^r dcmustraclo
el tcorcma.
5. I,o dicho patentiza la no hequcria rlificultarl rlc extcnder
al espacio 1:,, el razonamienlo rle I3onola. Sigamos, pues, otro
procedimiento. Considercmos, para Cijar idcas, un esp.rcio Iŝ,^, y
en Cl una rcd de homograf-fas [I, IIa, I!G] cluc contcnga cl /;,
del infinito como clol^lc. ^u cxpresiGn analítica scra:
^^, _= i^a„ ^ ^ I^G^, - p)-u, ^ l^b,z ^a ^-1^b=a^.i -^ ^^./^,n z,i ^ I^G,,xs ^^,
Y^. =,^eG^1_i-, -^- (Áa22 -{- ^z/^,.,, -p)zr -^- l^b^.;a,-^-lub,,.,x,^-^- ^^G^s i' ^
y,, _^^G3,x, -j- 1zG,_,x_-{ ^(^aas-I- 1^G.;s- P).z;^ ^^ lz,bs^-t., ^^ l^b,,,^ç [^ ^
Ya^ _ ^ub^,ar, ^^^ ^ubi^^^^ ^ I^linsx3 -^- (^rt,w^ ^ I^G^i^i p)x,i I I^lJ.isxs ^
J'; _-- (^a5, -[- IaGS, - p)x,
cuya linea dc homol;rafías degenerarlas es
J^a„ -[ 1^^^^ P l.^GLZ lab^.s µ^^.,.lr,b11 ........................
^^1^„ ........................
I^L,,, ?^rz,^i ^ 1.^/>,,.i _ . p
(^a„ ^- ^^1^^,- P)=^ L'I
242 OLEGAR70 I?L+RNÁNDL+7. AAÑOS ^^4)
Supongamos, por otra parte, que en el E3 doble, a]a red,
^ I, ^IIa, 1/b]s suba•dinada sohre C1, lc correspon^le una ^<.'^, g^4] (*),
y recfprocamente, clue a]a [C.'E, gq] en euestibn lc corresponde
la recl [t, /!a, IIb]y Y ella sola.
l^sto suPuesto, otra red [I, 1IA, 1/„] eualcluicra cluc eontenga
la misma [<.'^,^, ,{^^ ^ descompuesta en la forma tlicha, conteniendo
el mismo L3 doble, ten ĉlr<'^ la expresiFn analítica siguicnte:
y^ _ (^i1„ {- µ^„ - P)x, ^ ^- (^/1^^ ^< ^i- . . . . . ^ µ1^,, cK ^
vz = ...........................................y, - ............................................ f3].v,== ............................................^(**>.v5 = (^^lI55 -^- ^AI^55 - P) ^S
clonde las homografías IIa y!IG de coeficientr..s a y G cle la red
[I, Ila, 11b] tienen los mismos elcmentos dohles que las ll,^ y Fla
cle coeficientes /1 y R en ]a re<i [I, II,^, II"].
l,a línr^a de las homo^rafías ^legenecad,^AS cle ^I, IIA, llyt] repre-
sentada por la ecuacitn
^A„ ^ µIi„ - P I^,Ii,^ 1A13,s Icr^a
^a. />'^^ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
µ1'.i^l^, B^ , ^114A -[ h,b'„ - P
(^/];5 ^-^^/^'ss-P)= o ^4]
será la misma que la J2].
Las ecuaciones [ t] y j 3] serin tales que, prescindiendo de los
tCrminos en clue entra ,x5, tenclrán los mismos coeficientes; es
decir, que los cocficientes A y li son los mismos que los a y 6,
resPectivamente (donde no entra el subindice 5).
(*) )_a cu^^l scrá, p^^r consiguicnte, siibr^rdin^^da cle la ^C^' g^^ cr^rres-^ ^,+pondiente a[i, /!a, J76^ en Ts^; es ^Iecir, yuc la C; forma prirtc dc la C,o
y la gn nc^s da cusitn^ Piintos dc ca^lai gru^?u Qc los clr, ^ ^,
(^*) Esta expresiún es dc la misma furmri quc la [r^.
^^S Ĵ CONTRITiI1C1l)N AI, I*STUDib DF r.AS fLiL])R.5 nr^ IIOMO(12AE^1A5 2.13
Los segunclos factores rle las [2] y[^], igual^ulr)s a cero, clan
ccuacir^ncs e<luivalcntcs, y, por tanto, ^" =/^^" -[.rrss ^ss
Por último, por tencr cl mismo grupo ^lc ^untos dahles la llb
y la //^^, en las cuales son resPectivamentc iguales los corficir^n-
tes b y />' en que no entra el subínrlice 5, se verificarGr
, fi^- ),,; i^t.í _ I>^; - I)Sí - ^_ I.
1^,;_ ^^L,
__ l^.,s /'ns Gís - p
(,>ue^la, pues, demostrada la identidarl de las rcdes ^[, fla, /lG^
y[T, l1,^, II^i] en el caso Particular en clnr. tienen un mismo /ŝ ;
doble.
l^^lican^lo r,l razonamient^) expuesto al es^acio T',^, previa la
demostracicín hara el I;,,_„ resulla que en el caso Parlicular clc
una red [t, lla, 1/G^ en T'„ cnn un F.,,_, unidc, se verifica que:
1)ar/a e^n e! esj^acio 1:,, urza r•ed dr, hnrzungra/•ías ^ ^, 1[r^, I lhJ con
^^ ĉ ^^-^^ -un l^,,, _, iloble, le corre.rliorcde un entc C ^` ^, g ^ierfecta-
mesate delc^r^zzzreado; y recí^yocaynente, si ^los ^•e^1es ^ i, I L^, I I I,j,
1 f^, 1[„J corre.rjin7^dezi a ai^a tal er^tc ^C ^-^ ^, g^ ^, í/rclias' = ,r^
redes rl,e Irornn,^•rafia.r son ^irovectivamerate idr^aztrcar.
1^hora i^ien; en virturl rlcl princihio rle Ia cr)nscrvación ^lel
níimero, la correslion<Icncia l>iunfvoca entrc las varieclades dc
homr^grafías [[ Ita Ilhf y los cntcs I ( ` ^r` I, en el caso^ ' vi(u+il+•^rz^ri
rarticular consic.lera^lo, en el caal el csp.rcio /:;, contiene un E„_,
dohle, se cxtenderrí al caso en due ]a rerl ^ ^, /la, /IG^ sca gene-
ral. Para juslificar esta extcnsión es preciso rlcmoslrar cn primer
,i^,:-^)
término qae, dado cl enCc ^.^ '^ ^, g^ + le corresponde un
nGmero Gnito de redes [I, Ila, /Ib] de homn^ratías. l^?sto sr^
prucba fácilmente me^liante el siguientc cómhuto cle cc^nstantc^s.
244 OLN,GAI<IO I^I,ItNANUG^7. B^iN05 ^IÓĴ
Las reclos de taomografías ^^, LIa, /IG( ^eneralcs en el espa-
ciu Iŝ,^ sc.^n las mismas quc^ 1os ^>lanos que pasan por un punto
e•n e^l cspacio de (n -^-^ I)^ -- z climerlsiones (eoi^^c^ inclica la re-
^,resentacibn de St^:(.ano ^*eneralizada), o sea,
^ ^(^^ ^ ^^'-^-^^ ^,,-cr^'xl(^R ^^ ^)`-al ,
92 ^tt ^ I )T as curvas plan,IS dc orclen va ^^- 1 y g^^ncro son
z(> -r >:) t>z ^r ; i
rA ^" ^, de las cuales cs ^>rccís^^ ^iisminuir el núrneru
tlc las hom^,grafias planas (pr^rque Lransformarl el plano cn
sí mismo y una ^le estas curvas en otira), que son c^ ^, con lo
^YZ^ ^ ^)(^^ I 3)cual qucdan ---- - g constantcs arhitrarias. T,a,{^;,*„,
^^or fjar ^in punto en cl plana^ dicho (o sea en el ^le las homo^rra-^s(n-i)
fias dcgeneradas), ec^^uivale a otras dos constantes (*). La,{^ ,^^„`^ ,,
^lcfinida sobr-e la línc;a ^lr, las homo^rafías clcgcncradas, la cual co-,^r^,-^^
rrespondc a las secciones I^iipcrPlanas clc la C^^ y^ ^^ en el esps:I-
s2(ar -i)cio 1;,^, nos ^la otras -^^^ constantcs.
['or Gltiitio, las homogral^fls dcl cspacio E,^ son c^ ^'^^^
suminístrrin oCr^iS ^^^a ^- i ^'" - I constsantcs. En total,
' yi^c
(^i ^ 'l^(^^ I 3) -- ^ -^ - 2 -^_ re(^e^. i^1 _^_ (^z -^- r):' -- t =_
= 2 ^n` -{- 2 n -^ ^.^ = 2 ^(^2 ^- I )" - 3 ^,
i^ue c^s prerisaincnte eJ »biY^cro de los par'imrtiros arl,itr..Irios de
las rc<lta ^ 1, ITa, /1 b].
(*^ Hŝt^^ ci^uivale u clecir qne ]ti G1^^ ^_^ cs e5pecinl, o se^i, cuotenicla en
uusi (is _i ,, y^^u^, por taoto, fij^^ un ^7untr, ^la] ^>Ianri.
CON'PKIP,TJCIfJN Af, ni'f4llfU DE f.AS ItLfDTSS D(C kfOMO^RAFPA5 245
Resta todavia la dr7rla ^lr^ si la cor^,^s^»ndencia biunívcca en-
trc las rec^les y los entes ^,^ ^ ^^^' ^, cn el caso j>arCicttlar^ni<ín i_,^ i ^ ^c r^
cjue cxistia nn /;,,_, do!>Ic, scr i rlebi^la .r la l;^rdida rle soloc:ir^-
nes en el haso a travLs clc la continuidad, <lcl ĉaso gcneral de
una red [Í, llcz, IIb^ al caso particular ^licho, pues entonees,
dado un cntc C ^,,;r` ^^, le correspondcría un nGrnero fini-,< ^ ^^ ^ ^ ^< <
to de recles ^-eneralr^s ( r, 11a, II b ^ <le homo^ra fías. "(^al clu^la des-
aparece ^bscrvan^lo el paso clicho en Pl plano, y en el es^^acio,
riondc n^ ha r^sultaclo tal excc^ci^in, a<le más dc <<ne, i^<^r otra
^arte, el mismo hrocedimíent<, +^(e d^,^^^rae^'^cáón o descoyrr^osícirísa
r.mplca^in inclica que no se Picrr3c^rn soliiciones. Yor t5ltimo, I^^s
tF•rniinr>s niismos en rlue sc plantra el r>mhlenaa, que nos hemos
prohuesto, en el caso general en ciur. las homr>^rafías sean sim-
plcrnentr, <lcg^^ncradas cxclttye la ^lucla dc la posihili<la<l -Ir las
soluciones i7rGilti^lc5.
Tenernos, ^urs, clue la correspondcncia hinnívoca entre las
redcs generales ^.I, llrz, /IG^ y los entes ^^^ ^^' ,,; '^clichos,,^ F ^
n^^s con<lucc a saber un modo dc de^Yerminar unívocamcnte una
red dc lir>mograffas <<ue contenga la identírlacl, y, por tantr^, a
enunciar el siguiente
'fr;r,ur^:^u^n. L^r corediciótr. raeces^zrir^ y sza/icicrats^ ^arn 2u^^ ílos
re^tes ^lc la^nao^^ra^éns ,;^er^eyales cwa 1?,,, que cosateyz^, aae la irie^^ctirlcccl,
se^z^z j^roynctiv^naente ic%eticas, es que te^t^^a<z Ia <vei.rrjarz lír^ca cle
elcrnrrzto^ ^íoGles, y la naisrria involrsczón ;;, ^, r,^s j^ei i^r! sobre ^l/a, o
_„n^-^> -
SEC7., L'^ 71215?i1.0 EYlt2 ^^. , r`o(u^+i) ^n i-i
F. Como estc teoren^a no vicnc enuncía<lo clc mo^lo yue se
pon^a en evi^lencia la eondiciGn necesaria y suC^cir^nte de trans-
ti^rmabilidad de dos redes Qc homo^rafías rluc contengan la íclen-
tidad, veamos cbmo I^ruede dársclc fc,rma en cierto modo an.ílo^a
24f^ OLIiGAR1U b'61tNÁNDE'L HAÑO.i ^IR)
a la traducciGn geom^irica dada por 5e^re para el caso dc dus
homograCías.
L1 cste fin, consi^](rese en primcr tĉ rmino <^uc el cnic
ro(u-i)
^,' ^ /, ,ra(r£^I-^) f ,SO<+i
equival^. al cnCe constitufdo: r.°, por la curva C C^lana ge-r^ r 5^neral, llama^Ia de laa i^omograCías rle^^,^nr^radns, ^{ue cs la Lrans( ŭ r-
oz(u-i)
mada birracíonalmr_ntc de la C.',^^,:°^_^) ; 2.", pui ia ^r' es^ecial<> ,, ,-.^
>r(n-i;0subre esta curva plana, y 3. , p^>r la ,,^ rr^ ^^^ ) Ya inrlica^la anterior-
mente.
I,a transformación proycctiv^t ^le una curva ^^ilansi ^;^^ncr2il L;,+„
(correspon^lienic a una re^l ^leteri7iinarla, v. ^;r.: [ r, /l^, llG^),
en c>tra curva (';,.^„ t^^^mbi<n plana ^,cneral (c^ue se consi<lerc
como correspon^lienLr a c^tra rcd [1, .II,^, /h;]}, iin^^^lica un cierto
númcro de invaríantes deterininados. ^I^eni,<,n<l^^ en c^i^^nt^i el nCi-
mero de ^>arsímeCr^s esenciales de una cuy7^a. ^ilor^^ ,a,^crzer^al de
orden ra ^- z, e] nG^nero clc las hon^o^;raCías ^^lanas y cl de laq
homo^*ra{'ías clcl esr^acio Iŝ,,, sin nec<^^si^lad cle rcpetir ^^l c5lculo
de constanCr^s hech^^ al final del J^,'u•rafo antic•rior, resi^lta que
para ]a transf^^rmaci6n Proycctiva el núrncro de inv^Ariantes dc^^
Ia curva plana g^nerul C,,,r, es el nGmero
{fa 2 ^ ^72 - ^ - .7 ^ ^7Z - ^ ) tC^_^t 4^) H.z z
1'ur otra r>arte, ]a involirci^ín rs^^ocial ^r^^,^,r a^^orl^ otros aos inva-
riantes, l^orque fija un j>unto del plani> ^lc dicha ctirva (v^^rtice
del haz ^le rectr^s cjué lu corta en la invc^luciCn ^;,^ ,), el eual ^lr.be
tetansl^^nn,zi;^e en eL p^anto q^^e repre5ei^ta el inisrno r>aj)el res-
pecto a la curva ^Iĉ ]as homografías de^enera<las de la segun^la re^l
[I, IIA, Iht^^, en la ^juc: clehe trai)sforrnarse la [T, Ila, /Ib^ ^lad^^.
--^--
^19^ CON'CHII^UCIÚN AL ESTUDIfI U^ LAS L<BI)ES DES II(^fi10l;ItN^ÍAS 2e47
Consideremos, finalmente, las involuciones ^,^,,y^^ ^^ sobre di-z
chas curvas de las homo^rafias dcgcneraclas. Yara cst^^ recuí,r^lesc
de la tcor(a ^*encral cle las invnl^icirmes sohre Ids curvas Planas,
que si se tiene una,^^^f, cualquiera sobre una curva Plana cle z^<-
nero I, clicha ^rt^ (^tue no e5 mas clue un cierto sislr.ma fineal
dc grupos de k puntos sr>bre una curva ^l^acla, v. ^r.: f-= o),
puecle considerarse cc^mo obteni^la medi^inte la int.crtiecc.i^in de
la ctirva f^ o con un sistema de curvas, té^clas ^le^ uii cirrtc^
grado. l^ esCos grupos de I>untc^s ( ĉjue sc llanaan ,^^rae^ios cte
.'quivalenci^z ^le la ó^,) se rcfierr cl teorcn^a <lc /^beL «/,a su^^t^
de lccs mn inte^rales al^eliasaas cáe /^rir^aera especie del sistesna de
liatinfos de zntersección rle acn^r r.uYVrz F- o con l^zs ^z'e un xiaz
^^ -^- )^^^ :^- o cle curv^s de nrdcn m, es ,rie^ya^^^e razal^z^ (^^).
Se^Gn este im^^octante teorema, cuyo inverso <lemostrG faco-
bi ('^`^), una ^r^;, s^^bre una curva al^;(.I^rica t;r_neral plana vicne
unívocan^entc determinada por 1a suma de n integr•ales slbclianas
de pa-imcra espccic, ^i Ios grupos de n punC<^a son cr`, ^> sca,
si se trata ^le una „t„ basta consídcrar dos vcccs la suma de cli-
chas n intebrales, camhisinclo los límites <le la intr^^raciGn cada
vez t^ne se con5i<lera ]a suma tle las az integralca, ^^or^{uc ya no
se 1r<ita de uno s^>lo, sino cle dos parfimctros para asignar 1<^s
Ifmites de la intcgraciún. Si^^iicndo este razonamienlo resulCa
que, cuando la iuvoluci^in sca, v. gr,: <le'especie n-- k, la ope-
raciCin dt^ sumar las integrales se harh yt - 1 veccs, cambian-
clo otiras tsntas los lirnites <le la intc^,^racitn, ^^ucst^^ <<ue los pa-
ráiY^etros so q ahora ^z - I, ya <^ue en tal caso <>I sistciziri <lc lí-
neas c{ue <la los gri^j^os ^le^ intersr,cción con la f= o es ^lc lra
forma ^p« -i- ^^, cp^ _{^ ^, cp_ -f- ..... -J- ^,^-i^ ^^,^_k - : o.
(^^) VC.+Se C;lel^isch-T,inclcmnnn: f^in^les^rt^z,;e^u iiGer' Grrn^^eeG^^ie, <,aG^i. xvi.
Leiplig, ^8q6. Sr ^up^rnc en cl t^r^remr^ quc <rn r.l sislcma de j>untns
dichos no existen puntus dubles, y quc Ins 1í^^litcs cle lr^ inLegrriciGn
son desd^ el ç;riyx^ cut-r<^^^>é>ndicnlc ^i a^_= o hsist^i cl ^;rupo que^ resulta
cuaudr^ ñ =.= v^ .
(^*) I:n la ubr^ai citada [^uedr verse la bibliugr,afi^i corresp^^n^lient^.
2.^h O(.fLGARiO I*L+ItNÁNDE`/. 1SAÑOS
h,slo su^uesto, clecir que ^los curvas ^lanas generales dc orden,,.^„-^^ n ( n --- ^ )
rx -}- 1 ticncn la mism.^(,^ ,^^,y`^- ^^ , ec^uivalca decir c^ue las
n (rasumas ^le las
2^-^- intiegrales ahelianas de primcra especie
son las mismas; y por c^nsiguiente, se ve claro que el pro-
blerna de ^lar una expresi(^n geom^^trica a nucstro teorema
dcl final clcl pirrafo anterior, para enunciarlo rn form^( an^-
l^^^a a l^( hecho por 5egre con el teorem^^ de Weierstrass, tiene
una solucifin e^le^ante cmplean^lo el teorema cítado cle I^hcl. Po-
demos, pucs, er(unciar cl teorema relativ^ a la conrlici^ín. nr,cc^sa-
ria y saficir.ntc= ^a(-a q^(e ^los redes cíe 1(^mogcafías general^s que
contengan la i^lcntida^l sc^an entre sí Pr-^y^ctivament^^^ idr^nticas,
o sca, trai^sl<armal^les proycctivamente. Obsísrvcse quc lsi í^rase
qu^r ten^^^zn los zraisyr^os zrzva^^iavaGrs, 1^^cmo5 visLo c^ue no signifi-
ca oYru cosa que tener la iYaisma cuwa cle puntos dohirs con la
n^isrna involuci(n es ^ecial ^r^ sr^l^r^^- ella ^^ h ,< ^^- ^ (' ).
"I'i^:^^i^i^;m^n. ^ T,^ coyr.diczór7 necesrzria y sia/iciezltc ^iarn qace dos
reiles {re^a€^r^rr.les ^^t'e horrto^rrzfías en F,,,, ^ue c^^nten{^nn lcr ideaatidarl,
seaza ^^^royectiv^rsz^e^2te irle`rzticres, es que ten{^an ^os mzsn2os zn2^rz-
n(n - I) n(n -^- i)ríanles y jue las sumczs de las z i^^te^;r^zles
ccheli^c^iaas corr^es/^o^adieEZtes serrn lms m^.rsnas.
Yara clue cste nuestro tPOrema a^lquieri la ^,reneraliclad c^^ie
Se^re y L're^clella han clado al teorerna analítico de ín<l^le ail;Uog^t
(en las hr^n^^o^rraffas del csp^cio 11„), es preciso estudiar los dis-
tintos caso5 particulares a quc Pucda clar lu^rar la p^u-LicularizaciGn
de la línea dr. Ic^s elementos dobl^s, enanclo las humo^,rr^((i<(s eean
no las ^enerales por nosoLros contii^leraclas, sino cualesc^uíera.
"I^arr^l^i^n puc^le continuarsr_ nucstm es^udio cn e1 scnticlo de
(^') Nn es nc'^cesario inrlicru• c^ue la il-sisc le^tcr la uei.vn^ cr<r^^a de ^untns
rln/Ies nr^ quícre dc-cir S^lenti^luil r^bjetiv,i <I^ la^ cw-vns (c^n tsil c^isu ten-
clríriinns la i^lenLi^la^i ^le I^^s rcdes), sinr( c^uc dstas son ^Ic 1a misma n^itu-
rril+,[a.
^2 I^ CONTRIBUCION AL E5TiJD[O DL LAS ItL+D7iS OS kIOMOpRAFPAS 2QC)
considerar los sistemas ]ineales dcl tipo [t, /^a, Hh, //cf, pro•
Ulema c^ue, como ya dijimos, es de Inucha cuayor dificultad.
Yor el momento darnos fin a nt.testr^i labur, espcrando que los
procedimientos que hemos emplcado adc^uieran a1gGn clesarrollo
en nucstra patria, a fin de aportar a1gGn pr^^;reso a la geome-
tria alg<brica moderna.
Bolonia, ^5 diciembre, i9^7.
