ankara Ünİversİtesİ fen bİlİmlerİ enstİtÜsÜ...

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

DOKTORA TEZİ

ZEMİNLERDE SİSMİK DALGA SÖNÜMÜNÜN

KESİRSEL TÜREV YAKLAŞIMI İLE MODELLENMESİ

Ünal DİKMEN

JEOFİZİK MÜHENDİSLİĞİ ANABİLİM DALI

ANKARA 2004

Her hakkı saklıdır.

Prof. Dr. Ahmet T. BAŞOKUR danışmanlığında Ünal DİKMEN tarafından hazırlanan bu çalışma 18/05/2004 tarihinde aşağıdaki jüri tarafından Jeofizik Mühendisliği Anabilim Dalı’ nda Doktora tezi olarak kabul edilmiştir.

Başkan : Prof. Dr. Günay ÇİFCİ Üye : Prof. Dr. Ahmet T. AŞOKUR Üye : Prof. Dr. Fatma ERDOĞAN Üye : Prof. Dr. Berkan ECEVİTOĞLU Üye : Doç. Dr. Altan NECİOĞLU

Yukarıdaki sonucu onaylarım Prof. Dr. Metin OLGUN Enstitü Müdürü

ÖZET

Doktora Tezi

ZEMİNLERDE SİSMİK DALGA SÖNÜMÜNÜN KESİRSEL TÜREV YAKLAŞIMI İLE MODELLENMESİ

Ünal DİKMEN

Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü

Jeofizik Mühendisliği Anabilim Dalı

Danışman: Prof. Dr. Ahmet T. BAŞOKUR

Yer dinamik davranışın belirlenmesi karmaşık bir problemdir. Bu işlem matematiksel olarak, sürekli bir ortamda sismik dalganın yayılmasının hesaplanmasıdır. Zemin dinamik yanıtın belirlenmesindeki temel problemlerin başında, sismik dalga enerjisinin soğurulma mekanizmasındaki belirsizlik gelir. Bu işlem “sönüm” olarak isimlendirilir. Genel olarak, zaman ortamında çözümleme yapan programlar, sönüm işlemi için deneysel sonuçları veya frekansa bağlı sönüm ifadelerini (Rayleigh 1945, Idriss vd 1973, Hudson vd 1994) kullanır. Frekansa bağlı sönüm, özellikle büyük zaman aralığı gerektiren işlemlerde yetersiz kalır. Ayrıca sönüm işlemi zemin yapılarında frekansa bağlı değildir (Hudson vd 1994, Chorpa 1995). Hardin vd (1972) frekansın sönüm üzerindeki etkisini farklı zemin örnekleri üzerinde laboratuar deneyleriyle göstermiştir. Bununla birlikte, sönüm üzerinde deformasyon geçmişinin etkin rol oynadığını belirtmiştir. Bu tez çalışmasında sismik dalganın zeminlerdeki sönümlenmesini hesaplayabilmek için, zeminde oluşan deformasyonun geçmişine bağlı yeni bir sönüm yaklaşımı önerilmiştir. Bu sönüm yaklaşımına “gerçel mertebe türev” yaklaşımı denir. Hareket denkleminin iki boyutta modellenmesinde, sönüm için gerçel mertebe türev yaklaşımını kullanan bir bilgisayar programı (DYN2D) MATLAB programlama dili kullanılarak yazılmıştır. Farklı fiziksel ve geometrik özelliklerdeki zemin türleri iki boyutta modellenmiş ve elde edilen sonuçlar, Rayleigh sönüm yaklaşımını kullanan Quad4m (Hudson vd 1994) programı sonuçları ile karşılaştırılmıştır. Sönüm işleminde gerçel mertebe türev yaklaşımı, klasik sönüm yaklaşımlarına oranla üstünlük sağlamaktadır. Klasik sönüm yaklaşımlarında sabit bir sönüm oranı (Schnabel vd 1972) kullanılmakta veya sönüm bir frekans yada belirli frekans aralığı ile ilişkilendirilmektedir (Idriss vd 1973, Hudson vd 1994, Bardet vd 2000). Buna karşın gerçel mertebe türev yaklaşımı, frekanstan bağımsız ve sismik enerjinin sönümlenmesinde en önemli etken olan deformasyonun geçmişine bağlıdır. Geliştirilen bilgisayar programı (DYN2D) ile model başlangıç parametre grubu, laboratuar deneylerine gerek duyulmadan, jeofizik çalışmalardan elde edilecek bilgilerle sağlanabilmektedir. Bu durum, hem ekonomikdir, hemde zaman açısından üstünlük sağlamaktadır. 2004, 158 sayfa ANAHTAR KELİMELER: Sismik yanıt, Sönüm, Gerçel mertebe türev, Modelleme, Sonlu elemanlar yöntemi

i

ABSTRACT

Ph.D. Thesis

MODELING OF SEISMIC WAVE ATTENUATION IN SOILS BY USING FRACTIONAL DERIVATIVE APPROACH

Ünal DİKMEN

Ankara University Graduate School of Natural and Applied Sciences

Department of Geophysical Engineering

Supervisor: Prof. Dr. Ahmet T. BAŞOKUR

The site response determination is a complex problem. Mathematically, it corresponds to solve the wave propagation in the subsurface. The major difficulty in site response analysis of a soil structure is the uncertainty in seismic energy dissipation (attenuation) mechanism named as “damping”. Computer programs that perform operations in time domain use experimental results or frequency dependent relations (Rayleigh 1945, Idriss et al. 1973, Hudson et al. 1994) for damping. The frequency dependent relations are insufficient especially for the problems requiring large time duration. Moreover, the soil damping is not frequency dependent (Hudson et al. 1994, Chopra 1995). Hardin et al. (1972) pointed out the effect of frequency on damping using different type of soil specimen’s by laboratory experiments. They also showed that the strain history plays active role on damping. In this thesis, a new approach that performs seismic energy dissipation depending upon strain history in a soil deposit is proposed for damping process. This new damping approach is called as “fractional damping”. In order to implement two-dimensional modeling of equation of motion, a computer program (DYN2D) that uses fractional damping approach is written by using MATLAB programming language. Two dimensional soil models which have different type of physical and geometrical properties are modeled by using fractional damping scheme and results are compared with Quad4m (Hudson et al. 1994) software which uses Rayleigh damping (Rayleigh 1945) procedure. Fractional damping approach has fundamental superiority than classical damping schemes. Classical damping schemes use a constant damping ratio (Schnabel et al. 1972) or relate damping with frequency or certain frequency interval (Idriss et al. 1973, Hudson et al. 1994, Bardet et al. 2000). In spite of classical damping schemes, fractional damping approach is not frequency depended and use deformation history, which plays the most important role in seismic attenuation. With the developed program (DYN2D), initial parameter groups for a given model are only provided by geophysical data without laboratory experiments. This condition has economical and time saving advantages. 2004, 158 pages Key Words: Seismic response, Damping, Fractional derivative, Modeling, Finite element method

ii

ÖNSÖZ VE TEŞEKKÜR

Zemin dinamik parametrelerinin belirlenmesinde karşılaşılan sorunların başında, zemin

birimlerdeki sismik enerjinin soğurulma mekanizmasındaki belirsizlik gelmektedir. Bu

tez çalışması ile sismik enerjinin zeminlerdeki soğurulma (sönüm) mekanizmasına

gerek matematiksel gerekse fiziksel açıdan anlamlı bir yöntem geliştirilerek,

günümüzde kullanılan yaklaşımların dışında farklı bir bakış açısı getirilmiştir.

Öncelikle, beni bu konuda çalışmaya yönlendiren, üniversite eğitimi boyunca bilimsel

araştırma ve bilim adamı olma konusunda yol gösteren, aynı zamanda yaşam felsefemin

değişmesinde de etkili olan, değerli hocam, danışmanım Prof. Dr. Ahmet T. Başokur’ a

sonsuz teşekkürlerimi sunarım. Bir insanın ne kadar mütevazi kişiliğe sahip

olabileceğini gösteren ve engin bilgisi ile örnek aldığım değerli hocam Prof. Dr. Turan

Kayıran’ a verdiği desteklerinden ötürü teşekkür ederim. Tez savunma komitemde

bulunan hocam Prof. Dr. Fatma Erdoğan’ a, Prof. Dr. Günay Çifci’ ye, Prof. Dr. Berkan

Ecevitoğlu’ na ve Doç. Dr. Altan Necioğlu’ na değerli katkılarından dolayı teşekkür

ederim. Tez süresince desteklerini esirgemeyen Yrd. Doç. Dr. E. Ugur Ulugergerli’ ye

ve Yrd. Doç. Dr. M. Emin Candansayar’ a teşekkür ederim. Desteklerinden dolayı başta

Afet işleri Genel Müdürü Mustafa Taymaz olmak üzere Genel Müdür Yardımcısı

Atamer Seymen’ e, Deprem Araştırma Dairesi Başkanı Bekir Tüzel’ e Laboratuar. Şb.

Müdürü Dr. Murat Nurlu’ ya, Sismoloji Şb. Müdürü Dr. Ramazan Demirtaş’a, kaynak

sağlama konusunda yardımlarını esirgemeyen Deprem Araştırma Dairesi Kütüphane

sorumlusu Ercüment Şatana’ ya ve mesai arkadaşlarıma teşekkür ederim.

Bu günlere gelmemde en büyük pay sahibi olan anneme, kardeşlerime ve rahmetle

andığım babam’ a sonsuz sevgi ve saygılarımı sunarım. Son olarak zor günlerimde

yanımda olan sevgili nişanlım Nurhan’ a teşekkür ederim.

Ünal DİKMEN

Ankara , Mayıs 2004

iii

İÇİNDEKİLER

ÖZET........................................................................................................................... i

ABSTRACT................................................................................................................ ii

ÖNSÖZ ve TEŞEKKÜR............................................................................................. iii

SİMGELER DİZİNİ.................................................................................................... vi

ŞEKİLLER DİZİNİ..................................................................................................... vii

ÇİZELGELER DİZİNİ................................................................................................ x

1. GİRİŞ.......................................................................................................... 1

1.1. Çalışmanın Kapsamı................................................................................. 1

2. KURAMSAL TEMELLER...................................................................... 5

2.1. Temel Zemin Mekaniği............................................................................ 5

2.1.1. Gerilme.................................................................................................. 6

2.1.2. Deformasyon......................................................................................... 9

2.1.3. Elastisite................................................................................................ 13

2.1.4. Denge denklemleri................................................................................ 19

2.1.5. Sanal yerdeğiştirmeler ilkesi................................................................ 21

2.2. Fiziksel Problem ve Matematiksel Model................................................ 25

2.3. Hareket Denklemi ve Çözüm Yöntemleri................................................ 27

2.3.1. Kuramsal çözüm.................................................................................... 27

2.3.2. Evrişim (Duhamel integral) çözümü..................................................... 45

2.3.3. Laplace ve Fourier dönüşümü çözüm yöntemi..................................... 49

2.3.4. Kip (mode) çözüm yöntemi.................................................................. 51

3. MATERYAL ve YÖNTEM..................................................................... 55

3.1. Sönüm İşlemi ve Yaklaşımları............................................... ................. 55

3.1.1. Deneysel yaklaşımlar............................................................................ 56

3.1.2. Mekanik model ve kompleks modül..................................................... 60

3.1.3. Rayleigh ve Coughy sönüm yaklaşımları............................................. 74

3.1.4. Kesirsel mertebe türev yaklaşımı.......................................................... 77

3.2. Sonlu Elemanlar Yöntemi ile Modelleme İşlemi..................................... 84

3.2.1. Çözüm bölgesinin sonlu elemanlara ayrılması..................................... 86

iv

3.2.2. Yaklaşım (yerdeğiştirme) fonksiyonları................................................ 88

3.2.3. Şekil fonksiyonları............................................... ................................. 90

3.2.4. Koordinat dönüşümleri.......................................................................... 94

3.2.5. Hareket denkleminin sonlu eleman yapısı............................................. 95

3.2.6. Genel dizey denkleminin elde edilmesi................................................. 97

3.2.7. Sınır koşullarının uygulanması.............................................................. 100

3.2.8. Newmark yaklaşımı............................................................................... 101

3.2.9. Doğrusal denklem sisteminin çözülmesi............................................... 104

4. ARAŞTIRMA BULGULARI................................................................... 108

4.1. Uygulamalar............................................................................................. 108

4.1.1. Model 1.................................................................................................. 110

4.1.2. Model 2.................................................................................................. 117

4.1.3. Model 3.................................................................................................. 122

4.1.4. Model 4................................................................................................. 128

4.1.5. Model 5................................................................................................. 133

5. TARTIŞMA ve SONUÇLAR................................................................... 139

KAYNAKLAR........................................................................................................... 142

EKLER........................................................................................................................ 149

EK 1................................................................................................................ 150

EK 2................................................................................................................ 152

EK 3................................................................................................................ 155

EK 4................................................................................................................ 157

ÖZGEÇMİŞ................................................................................................................ 158

v

SİMGELER DİZİNİ

F Kuvvet σ Gerilme A, H Genlik n Normal vektörü e Baz vektörü τ Makaslama gerilmesi ε Normal deformasyon γ Makaslama deformasyonu u,v Yer değiştirme υ Poisson oranı E Elastisite modülü G Makaslama modülü B Büyütme katsayısı, Kinematik (yer değiştirme-deformasyon) dizeyiφ, ϕ Faz ü İvme u& Hız m Kütle ağırlığı M Global kütle dizeyi k Eleman sıkılık (stiffness) dizeyi K Global sıkılık dizeyi c Sönüm katsayısı C Global sönüm dizeyi g Yerçekimi ivmesi

cc Kritik sönüm katsayısı wn Etkin (hakim, temel) frekans wd Sönümlü titreşim frekansı T Periyot Td Sönümlü titreşim periyodu ζ Sönüm oranı t Zaman değişkeni δ Logaritmik azalım h(t) Birim tepki fonksiyonu ∆t Zaman ortamı örnekleme aralığı ∆x Uzay ortamı örnekleme aralığı L Laplace dönüşüm operatörü Ω Spektral dizey µ Viskozite sabiti x,y Kartezyen koordinat değişkenleri N Şekil fonksiyonu J Jacobian dizeyi ρ Birim hacim ağırlığı (yoğunluk) nf Model serbestlik derecesi N Veri örnek sayısı

vi

ŞEKİLLER DİZİNİ

Şekil 2.1. Dış kuvvet etkisiyle elemanda oluşan eksensel gerilme.................... 6

Şekil 2.2. Deforme olabilen bir elemanda a) dış kuvvetler, b) içsel gerilmeler.. 7

Şekil 2.3. Elemanda pozitif ve negatif yüzeyler………………………………. 8

Şekil 2.4. Eleman üzerinde gerilme bileşenleri……………………………….. 9

Şekil 2.5. Eksensel deformasyon. (a) çekme (b) sıkıştırma ………………….. 10

Şekil 2.6. Makaslama deformasyonu………………………………................. 11

Şekil 2.7. Yer değiştirme ve türevlerine bağlı düzlem deformasyonu………... 12

Şekil 2.8. Doğrusal elastik deformasyon…………………………………….... 15

Şekil 2.9. Doğrusal olmayan gerilme-deformasyon davranışı……………....... 16

Şekil 2.10. İki boyutta makaslama deformasyonu…………………………....... 17

Şekil 2.11. İki boyutta düzlem gerilme…………………………….................... 20

Şekil 2.12. Cisim içerisindeki bir P noktasında sanal yerdeğiştirme…………... 22

Şekil 2.13. Mekanik yay-kütle ve viskoz sönümlendiriciden oluşan titreşim

sistemi, Sistem üzerinde etkin kuvvetler............................................ 29

Şekil 2.14. Sönümsüz serbest titreşim davranışı …............................………….. 30

Şekil 2.15. Sönümlü serbest titreşim davranışı........................…......................... 34

Şekil 2.16. Kritik sönümlü davranış…………………………………………….. 36

Şekil 2.17. Aşırı sönümlü davranış……………………………………………... 37

Şekil 2.18. Dış kuvvet altında sönümsüz serbest titreşim……………………..... 39

Şekil 2.19. Rezonans davranışı………………………………………………..... 40

Şekil 2.20. Ritim davranışı…………………………………………………….... 41

Şekil 2.21. Büyütme katsayısı ve sistem tepkisi………………………………... 42

Şekil 2.22. Fazın frekans ile değişimi…………………………………………... 44

Şekil 2.23. Dış kuvvetin birim tepki fonksiyonlar ile gösterimi........................... 46

Şekil 3.1. Kumda γ’ a bağlı G/Gmax ve D/Dmax değişimi..................................... 57

Şekil 3.2. Farklı zemin birimleri için deformasyona bağlı makaslama modül

oranının değişimi................................................................................. 58

Şekil 3.3. Referans deformasyonu....................................................................... 59

Şekil 3.4. Referans deformasyona bağlı modül oranının (G/Gmax) ve sönüm

vii

oranının (D/Dmax) değişimi.................................................................. 60

Şekil 3.5. Mekanik sistemde kütleyi denge konumuna getiren yay kuvveti....... 61

Şekil 3.6. Yapısal elemanın mekanik elemanlar ile benzeşimi........................... 62

Şekil 3.7. Mekanik yay elemanları:paralel bağlı yay sistemi,eşdeğer yay.......... 63

Şekil 3.8. Mekanik yay elemanları, (a) seri bağlama, (b) eşdeğer yay……….... 64

Şekil.3.9. Maxwell modeli……………………………………………………... 68

Şekil 3.10. Maxwell modeli için a) sünme, b) gerilme-gevşeme davranışı……... 69

Şekil.3.11 Kelvin-Voigh Modeli……………………………………………….. 70

Şekil 3.12. Kelvin-Voigt modeli için a) sünme, b) gerilme-gevşeme davranışı.... 70

Şekil 3.13. Harmonik dış kuvvet altında elastik malzeme ve viskoelastik yanıt... 71

Şekil 3.14. Eliptik gerilme-deformasyon eğrisi (histerisis eğrisi) ........................ 71

Şekil 3.15. Kütle ve sıkılık dizeylerinin frekansa bağlı değişimi ......................... 75

Şekil 3.16. Sönüm oranının doğal titreşim frekansı ile değişimi........................... 75

Şekil 3.17. Grünwald katsayılarının değişimi ………………………………….. 81

Şekil 3.18. Spring-pot sönüm elemanı………………………………………….. 82

Şekil 3.19. Spring-pot sönüm elemanı kullanan Kelvin-Voigt modeli…………. 83

Şekil 3.20. Yer modeli ve iki boyutlu sonlu eleman ağı....................................... 87

Şekil 3.21. Dörtgen eleman ve düğüm noktalarındaki yer değiştirme bileşenleri. 87

Şekil 3.22. Elemanın global ve yerel düğüm numaraları...................................... 87

Şekil 3.23. Koordinat sistemleri ........................................................................... 91

Şekil 3.24. Dörtgen elemanda şekil fonksiyonların eleman üzerideki değişimi... 93

Şekil 3.25. Üç elemandan oluşan sonlu eleman ağı.............................................. 98

Şekil 3.26. Ortalama ivme yaklaşımı.................................................................... 102

Şekil 3.27. Dinamik problemin SEY ile çözümünde işlem adımları.................... 105

Şekil 3.28. Quad4m programı işlem akış şeması ................................................. 106

Şekil 3.29. Dyn2d programı işlem akış şeması..................................................... 107

Şekil 4.1. 17 Ekim 1989 Loma Prieta depremi sonucu oluşan hasar.................. 112

Şekil 4.2. Model 1 sonlu eleman ağı................................................................... 112

Şekil 4.3. Model 1 için hesaplanan ivme zaman geçmişi................................... 114

Şekil 4.4. Model 1 ivme zaman geçmişlerine ait spektrum yanıtı...................... 115

Şekil 4.5. Model 1 için hesaplanan gerilme zaman geçmişi............................... 115

Şekil 4.6. Model 1 Makaslama modülü ve sönüm oranı değişimi...................... 116

viii

Şekil 4.7. Model 1 gerilme-derinlik değişimi..................................................... 116

Şekil 4.8. Model 2 sonlu eleman ağı.................................................................. 118

Şekil 4.9. Model 2 için hesaplanmış ivme zaman geçmişi................................ 120

Şekil 4.10. Model 2 ivme zaman geçmişlerine ait spektrum yanıtı..................... 120

Şekil 4.11. Model 2 için hesaplanan gerilme zaman geçmişi.............................. 121

Şekil 4.12. Model 2 makaslama modülü ve sönüm oranı değişimi..................... 121

Şekil 4.13. Model 2 gerilme-derinlik değişimi ................................................... 122

Şekil 4.14. 12 Kasım 1999 Düzce depremi sonucu oluşan hasar......................... 123

Şekil 4.15. Model 3 sonlu eleman ağı................................................................. 123

Şekil 4.16. Model 3 için hesaplanan ivme zaman geçmişi.................................. 125


Şekil 4.18 Model 3 için hesaplanan gerilme zaman geçmişi.............................. 126

Şekil 4.19. Model 3 için makaslama modül ve sönüm oranı değişimi................ 127

Şekil 4.20. Model 3 gerilme-derinlik değişimi.................................................... 127

Şekil 4.21 27 Haziran 1998 Adana-Ceyhan depremi sonucu oluşan hasar........ 128


Şekil 4.23. Model 4 için hesaplanan ivme zaman geçmişi.................................. 131



Şekil 4.26. Model 4 makaslama modül ve sönüm oranı değişimi....................... 132


Şekil 4.28. 1 Mayıs 2003 Bingöl depremi sonucu oluşan hasar.......................... 134


Şekil 4.30. Model 5 için hesaplanan ivme zaman geçmişi................................. 136



Şekil 4.33. Model 5 makaslama modül ve sönüm oranı değişimi....................... 138


Şekil E1. S yüzeyindeki integral alan sınırları……………………………….. 150

ix

ÇİZELGELER DİZİNİ

Çizelge 3.1. Kumlu zeminlerde makaslama deformasyonuna bağlı

makaslama modülü oranı ve sönüm değişimi.............................. 57

Çizelge 3.2. Farklı zemin parametrelerin makaslama modülü ve sönüm

üzerindeki etkileri......................................................................... 58

Çizelge 4.1. Model 1 için Quad4m programı giriş verisi................................. 112

Çizelge 4.2. Model 1 için Dyn2d programı giriş verisi.................................... 113









x

1. GİRİŞ

1.1. Çalışmanın Kapsamı

Deprem riski taşıyan ülkelerde zemin dinamik davranışı üzerine yapılan çalışmalar,

deprem sonrası küçük alanlarda oluşan hasar dağılımlarının farklılık gösterdiğini ortaya

koymuştur. Bu farklılığın oluşmasında ana etken, zeminde yayılan deprem dalgalarının

genliğindeki anormal büyümedir. Zeminlerde büyütme olarak tanımlanan parametre,

temel kayada düşünülecek bir sinüsoidal hareketin yer yüzeyine ulaştığındaki genlik

değişimidir (Campillo vd 1990, Kramer 1996, Bruno vd 1999). Yumuşak zemin

tabakalarının kendisine gelen deprem dalgasını önemli ölçüde büyüttüğü ve

yeryüzeyinde oluşan hasarda önemli rol oynadığı bilinmektedir (Gutenberg vd 1956,

Polyakov 1985, Niazi vd 1992). Bu durum özellikle, 1985 Michoacan-Meksika, 1989

Loma Prieta, 1994 Northridge ve 1995 Kobe depremlerinde elde edilen verilerin

değerlendirilmesiyle görülmüştür (Platkers vd 1989). Dalga genliğindeki büyümenin

temel nedeni, zemin tabakaları ile altta yer alan ana kaya arasındaki empedans farkıdır

(Kramer 1996). Empedans, jeolojik ortamdaki tanecik hareketine karşı ortamın

gösterdiği direncin bir ölçüsüdür (Aki vd 1980). İki farklı jeolojik birim arasında

bulunan empedans farkı yanında, zemin geometrik şeklinin ve ortama ait fiziksel

özelliklerinin yanal yöndeki değişimi, dalga genliğinin büyümesinde önemli rol

oynamaktadır. (Newmark vd 1965, Kudo vd 1970, Kramer 1996, Campillo vd 1990,

Rassem vd 1997, Bruno vd 1999). Zemin tabakalarının yanal yöndeki uzanımı tabaka

kenarı sınırında yüzey dalgalarının oluşmasına, yanal yönde rezonans etkisi yaratmaya

ve yer hareketi genliğinin artmasına neden olur (Aki vd 1980). Bu nedenle yerel zemin

koşulları deprem anında büyük genlikli yer değiştirmelere ve deformasyonlara neden

olabilmektedir. Bu etkilerin belirlenmesi özellikle sismik risk, mikro bölgelendirme,

yeni yerleşime açılacak alanların planlamasında ve sismik tasarım (seismic design)

çalışmalarında önemli rol oynar.

1

Günümüzde yer tepkisinin (site response) belirlenmesi amacıyla çeşitli ölçü alım

teknikleri ve çözümleme yöntemleri geliştirilmiştir (Hardin vd 1972a, Hardin vd 1972b,

Hatherly 1986). Bu yöntemlere, kuvvetli yer hareketi kayıtları, mikrotremor ölçümleri

ve sismik kırılma (seismic refraction) yöntemleri verilebilir (Mooney 1974, Jongmans

vd 1993, Jongmans vd 1996). Bu ölçüm yöntemlerine “yerinde ölçüm yöntemleri (in-

situ)” denir (Prokash vd 1981). Dinamik yer yanıtının belirlenmesinde, mikrotremor ve

sismik kırılma yöntemleri zayıf titreşimler için yararlı bilgiler sağlarken, bir deprem

anında olabilecek büyük deformasyon değerleri ve zemin koşullarının yaratacağı etkiler

hakkında yetersiz kalır. Yer dinamik davranışının belirlenmesi karmaşık bir problemdir.

Bu işlem matematiksel olarak, sürekli ortamda sismik dalga yayılımının

hesaplanmasıdır. Gerçekte doğrusal bir yapıda olmayan zemin davranışının üç boyutlu

modellenmesi son derece zordur. Bununla birlikte düşey doğrultuda yayılan bir

makaslama dalgası için zemin birimlerinin dinamik davranışı bir veya iki boyutlu

modelleme işlemi ile yeterli yaklaşım sağlanabilmektedir. Bunun yanında yerküre

içerisinde yayılan deprem dalgalarının bir doğrultudaki değişimi ele alındığında

problem büyük oranda basitleştirilmiş olur.

Yeraltı ortamını ve bu ortamın dinamik kuvvetler altında davranışını belirlemek

amacıyla çeşitli çözüm yöntemleri geliştirilmiştir. Bu yöntemler, uyguladığı yaklaşıma

göre “deterministik” ve “stokastik” yaklaşımlar olarak iki kısma ayrılır. Deterministik

yaklaşımda zemin davranışı analitik denklemlere bağlı olarak çözülür ve deprem kaydı

(hız, ivme veya yerdeğiştirme) temel girdi verisidir. Stokastik yaklaşımda ise deprem

kayıtları yerine güç spektrumlarından hareketle zemin davranışını yansıtan “zemin

transfer fonksiyonu” kestirilmeye çalışılır (Papoulis 1984). Kullanılan bu yöntemler

çözümleme işlemini zaman ve frekans ortamında gerçekleştirmesine göre de kendi

içerisinde ikiye ayrılır. Doğrusal olmayan zemin yanıtı, yinelemeli (iterative)

yöntemlerden yararlanılarak elde edilir. Frekans ortamı çözümü üreten Shake (Schnabel

vd 1972), Eera (Bardet vd 2000) bilgisayar programları jeoteknik problemlere çözüm

getirmede yaygın olarak kullanılmaktadır. Bu programlar Shake, yatay tabakalı ve bir

boyutlu viskoelastik ortamda dalga yayınımını frekans ortamında inceler. Eera ise

kompleks modül (complex response method) işlemini kullanır. Bu yöntemin yer

2

ivmesinin 0.3 g’ den küçük olduğu durumlarda geçerli olduğu bilinmektedir (Pestana

2000). Yer ivmesinin 0.3 g’ den büyük olduğu durumlarda frekans ortamı çözümü

yerine zaman ortamı çözüm yöntemlerinin uygulanması tercih edilir (Pestana 2000).

Zaman ortamı çözüm yöntemlerinde yer yanıtı, doğrudan veya dolaylı integral

hesaplama yöntemleriyle elde edilir. Zeminde gerilme-deformasyon davranışını

gösteren yapısal denklemler çözümleme öncesi tanımlanır. Quad4 (Idriss vd 1973) ve

geliştirilmiş sürümü olan Quad4m (Hudson vd 1994) dolaylı integral hesaplama

yöntemi (implicit integration procedure) kullanarak zaman ortamı çözümü sağlar. Bu

programlarda hareket denklemi her bir zaman adımı için hesaplanır. Çözüm işlemi

belirli sayıda yineleme veya modelde yer değiştirmenin belirlenen bir değeri aşmasıyla

son bulur (Hudson vd 1994). Zemin dinamik yanıtının belirlenmesindeki temel

problemlerin başında, zeminde dalga enerjisinin soğurulmasındaki (damping,

attenuation) belirsizlik gelir. Gerek frekans ortamı gerekse zaman ortamı yaklaşımlarını

uygulayan programlar, zemin birimlerin sönüm özelliği için klasik yaklaşımlar kullanır.

Bu yaklaşımlarda sönüm, sabit bir değer (Schnabel vd 1972) veya frekansın fonksiyonu

(Idriss vd 1973, Hudson vd 1994, Bardet vd 2000) olarak ele alınır. Frekans ortamı

çözümleme işleminin özellikle büyük zaman aralığı gerektiren problemlerde yetersiz

kaldığı bilinmektedir (Hughes 1987, Zienkiewicz 1983, Owen 1980, Bathe vd 1973,

Chopra 1995). Hardin vd (1972a, 1972b) çok sayıda zemin örnekleri üzerinde yaptıkları

laboratuar deneyleri ile frekansın zemin dinamik davranışı üzerinde etkin bir rol

oynamadığını, bununla birlikte özellikle deformasyon geçmişinin önemli olduğunu

göstermiştir.

Bu tez çalışmasının temel amacı, hareket denkleminde yer alan sönüm terimi için klasik

yaklaşımlar yerine, deprem anında zeminde gelişen deformasyonun geçmişine bağlı

yeni bir yaklaşım getirmektir. Önerilen sönüm yaklaşımı kullanılarak, farklı

özelliklerdeki zemin birimlerinin dinamik yer tepkisinin, sonlu elemanlar yöntemi

(finite element method) yardımıyla modellenmesine çalışılmıştır. Elde edilen sonuçlar

Hudson vd (1994) tarafından önerilen Quad4m programı sonuçları ile karşılaştırılmıştır.

İkinci bölümde verilen kuramsal temeller içerisinde, zemin mekaniğinin temel

konularını içeren gerilme, deformasyon, elastisite ilkeleri, denge denklemleri ve sanal

3

yer değiştirmeler ilkesi ve hareket denkleminin çözüm yöntemleri açıklanmıştır. Üçüncü

bölümde, tez çalışmasının esasını oluşturan zemin birimlerinde sönüm işlemi ve

kullanılan yaklaşımlar ayrıntılı verilerek önerilen yeni sönüm yaklaşımı “gerçel mertebe

türev (fractional derivative)” ve bu yaklaşımı kullanarak hareket denkleminin verilen

yer tepkisinin belirlenmesi için sonlu elemanlar yöntemi yardımı ile modellenmesi

açıklanmıştır. Bölüm sonunda hareket denkleminin sonlu elemanlar yöntemiyle

modellenmesinde temel işlem adımları açıklanmıştır. Dördüncü bölümde, farklı fiziksel

ve geometrik özelliklerdeki zemin modellerine ait sonuçlar Quad4m (Hudson vd 1994)

programı sonuçları ile karşılaştırılmış ve önerilen sönüm yaklaşımının üstün ve zayıf

yönleri ortaya konulmuştur. Beşinci bölümde, önerilen yeni sönüm yaklaşımının eksik

ve üstün yönleri tartışılarak yer tepkisinin belirlenmesinde kullanılabilirliği irdelenmiştir.

4

2. KURAMSAL TEMELLER

2.1. Temel Zemin Mekaniği

Zemin mekaniği, mekanik ve hidrostatik yasalarının mühendislik problemlerine

uygulanmasıdır (Massarsch vd 1976, Ammon 2001). Jeolojik kayaçlar içerisinde

sedimanter (tortul) birimler diğer bir ifadeyle, pekişmemiş (konsolide olmamış) çakıl,

kum, silt ve kil gibi jeolojik birimler, zemin mekaniği içerisinde ele alınır. Dış kuvvetler

altında pekişmemiş bu zemin birimlerinin gösterdiği davranışların incelenmesi,

kuramsal ilkelerin ve deneysel yaklaşımların uygulanmasını gerektirir (Love 1944,

Terzaghi 1962). Zemin mekaniği problemleri iki ana gruba ayrılır; birincisi duraylılık

(stability) problemleridir. Bu tür problemlerde, yapı veya jeolojik birim üzerindeki

denge koşulları incelenir. İkinci tür problem, elastisite problemleridir. Elastisite

problemlerinde etkin dış kuvvetler altındaki zemin üzerinde oluşan gerilme-

deformasyon ilişkisi incelenir. Deforme olabilen ve denge durumunu koruyan bir yapı

elemanı üzerinde etkin iki tür kuvvet vardır. Bunlar, hacimsel ve yüzeysel kuvvetlerdir

(Terzaghi 1962, Bullen 1965). Bu iki tür kuvvet, dış kuvvetleri oluşturur. Örneğin

yerçekimi kuvveti ve eleman üzerindeki etkin merkezkaç kuvveti hacimsel kuvvettir.

Hacimsel kuvvetler, birim hacim üzerinde etkin olan kuvvet olarak tanımlanır. Yüzeysel

kuvvetler, yapı yüzeyi üzerindeki etkin kuvvetlerdir. Bu tür kuvvetler, birim yüzeye

karşılık gelen kuvvetlerden oluşur. Yapı üzerindeki etkin dış kuvvetler yapıda

deformasyon meydana getirir. Gelişen deformasyona bağlı olarak yapı içerisinde

gerilmeler oluşur. Oluşan bu içsel gerilmeler kimi zaman iç kuvvetler olarak da

isimlendirilir. Yapının denge konumunu koruyabilmesi için iç ve dış gerilmelerin

birbirini dengelemesi gerekir. Bu bölüm, gerilme, deformasyon ve temel elastisite

konuları, denge denklemleri ve sanal yerdeğiştirmeler ilkesi ile Hareket denklemi ve

çözüm yöntemleri konularından oluşmaktadır. Burada verilen “deformasyon” terimi ile

yapı elemanında oluşan hacimsel ve şekilsel bozulmayı, ayrıca “eleman” terimiyle

jeolojik birimin sonsuz küçük bir hacmini içeren parçası tanımlanmıştır.

5

2.1.1. Gerilme

Gerilme, birim alana düşen kuvvet yoğunluğunun ölçüsüdür. Gerilme analizinde amaç,

verilen kuvvet ve koşullar altında elemanda oluşan yerdeğiştirmelerin veya

deformasyonların belirlenmesidir. Şekil 2.1’ de bir F dış kuvveti altında elemandaki

eksensel gerilme gösterilmiştir. Eksensel gerilme,

AF

=σ (2.1)

ile verilir. Gerilmeyi tanımlayabilmek için Şekil 2.2’ de dış kuvvetlerin etkisinde bir

eleman ve üzerindeki herhangi bir P noktasından geçen düzlem parçası göz önüne alınır.

Şekil 2.1. Dış kuvvet etkisiyle elemanda oluşan eksensel gerilme.

Şekil 2.2b’ de gösterilen n, A kesit düzleminin normal vektörüdür. A kesit alanı üzerinde herhangi bir nt

v gerilme vektörü,

AFt

An ∆∆

=→∆ 0

limv

(2.2)

ile tanımlanır. Burada ∆F kuvveti, ∆A alanı üzerindeki etkin kuvveti gösterir. Bu

nedenle ntv

vektörüne ‘kuvvet yoğunluğu’ veya ‘gerilme’ denir. ntv

gerilme vektörü,

normali n olan A kesit alanı üzerinde bulunur. Dik koordinat sisteminde zyx eee vvv ve,

birim (baz) vektörleri olarak ele alınırsa, ntv

gerilme vektörü,

znzynyxnxn etetett vvvv

++= (2.3)

FA F

6

ile verilir (Terzaghi 1962). n normal vektörü, koordinat eksenleri yönünde seçilirse, ntv

gerilme vektör bileşenleri,

zxzyxyxxxex eeet ττσ ++= vv (2.4a)

zyzyyyxyxey eeet vvvv

τστ ++= (2.4b)

zzzyzyxzxez eeet vvvv

σττ ++= (2.4c)

şeklinde tanımlanır. extv

vektörüne ait gerilme bileşenleri Şekil 2.2b’ de gösterilmiştir.

z

Şekil 2.2. Deforme olabilen bir elemanda a) dış kuvvetler, b) içsel gerilmeler.

Benzer şekilde diğer ezey tt

vvve bileşenleri de gösterilebilir. Bu şekilde cisim üzerinde

herhangi bir P noktasındaki gerilme değeri dizey yapısında,

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

στττστττσ

σ (2.5)

ile verilir. Bu bağıntı ile verilen dizeye “gerilme tensörü” denir (Terzaghi 1962). (2.5)

F

F

F F F

F

F

F τxzF

F P.

A

y

x

n

σx

τxy

(b) (a)

7

tensör ifadesinde σ normal ve τ makaslama gerilmelerini göstermektedir. Şekil 2.2b’

de P noktasını saran sonsuz küçük bir küp elemanı Şekil 2.3’ de gösterilmiştir. Bu

durumda x, y ve z koordinat eksenleri küpün yüzeylerine normal olur. +x , +y ve +z

yönlerinde yer alan yüzeyler küpün pozitif yüzeyleridir. extv

gerilme vektörü yz

düzlemine normal doğrultuda uygulanmış olur. extv

gerilme vektörünün σxx bileşeni +x

doğrultusunda, τxy bileşeni y doğrultusunda ve τxz bileşen de z doğrultusunda uygulanır.

Benzer durum yetv ve ezt

v gerilme vektörleri içinde yazılabilir. x doğrultunda yer alan σxx

gerilme bileşenine “normal gerilme”, τxy ve τxz bileşenlerine ise “makaslama gerilmesi”

veya “kayma gerilmesi” bileşenleri denir. Düzlem gerilme durumunda, yapının z

doğrultusunda sonsuz uzunlukta olduğu kabul edilir. Bu nedenle z doğrultusundaki

gerilmenin sıfırdan farklı fakat deformasyonun oluşmadığı kabul edilir. (2.5) ile verilen

gerilme dizeyi düzlem gerilme durumunda,

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

xy

yy

xx

τσσ

σ (2.6)

gerilme bileşeniyle belirlenir (Oden vd 1981).

+y

-z

-x +x

+z

-y

Şekil 2.3. Elemanda pozitif ve negatif yüzeyler.

8

Şekil 2.3’ de gösterilen küp elemanı üzerinde (2.5) ile verilen gerilme bileşenlerinin

etkili olduğu varsayılırsa, küp elemanı,

Şekil 2.4. Eleman yüzeyindeki gerilme bileşenleri.

0∑ =× Aσ (2.7)

denge koşulunu sağlanmalıdır. (2.7) denge koşulunun uygulanmasıyla,

xzzxzyyzyxxy ττττττ === ve, makaslama gerilmelerinin birbirine eşit olduğu

görülür. Şekil 2.4’ de sonsuz küçük küp elemanı üzerinde etkin olan gerilme bileşenleri

gösterilmiştir. Buna göre, homojen ve izotrop bir eleman üzerinde herhangi bir

noktadaki gerilme değerini tanımlayabilmek için toplam altı gerilme bileşenin (σx, σy,

σz ,τxy, τyz, τzx) bilinmesi gerekir.

2.1.2. Deformasyon

Eleman üzerindeki deformasyon, yerdeğiştirme vektörünün u(x,y,z) gradyentine bağlı

olarak tanımlanır. Şekil 2.5’ deki gibi l0 uzunluğundaki bir eleman üzerinde eksensel

dxxxx

xx ∂

∂+

σσ

dxxxz

xz ∂

∂+

ττ

dxxxy

xy ∂

∂+

ττ

dyyyy

yy ∂

∂+

σσ

dyyyx

yx ∂

∂+

ττ

dyyyz

yz ∂

∂+

ττ

dzzzyτ

τ zy ∂

∂+

dzzzx

zx ∂

∂+

ττ

dzzzz

zz ∂

∂+

σσ

9

gerilme uygulanırsa, eleman boyundaki değişim, 0lll −=∆ dır. Elemanda oluşan

eksensel deformasyon, ε

σ

(a) (b)

Şekil 2.5. Eksensel deformasyon. (a) çekme (b) sıkıştırma.

0ll∆

=ε (2.8)

ile verilir (Terzaghi 1962). Bu şekilde verilen eksensel deformasyona “normal

deformasyon” denir. Makaslama deformasyonu, γ Şekil 2.6’ da gösterildiği gibi

uygulanan gerilmeler altında elemanın kenar açılarındaki değişim olarak tanımlanır.

Küçük açılar için makaslama deformasyonu, γ

ba

=≈γθ )tan( (2.9)

dır. Gerek normal deformasyon gerekse makaslama deformasyonu için verilen bu

ifadeler küçük deformasyon durumunda geçerlidir. Eleman üzerinde oluşan gerçek

deformasyonu tanımlayabilmek için Şekil 2.5’ de gösterilen elemanda oluşan ∆l=l-l0

boy değişiminin belirli sayıda adımda oluştuğu kabul edilir. Deformasyondaki artım

miktarı, ldld /=ε ile verilir. Buradaki dl eleman boy uzunluğundaki artım miktarını, l

deformasyon öncesindeki uzunluğu gösterir. Toplam deformasyon, eleman boyunun l0’

dan l uzunluğuna ulaşıncaya kadar oluşan deformasyon miktarlarının toplamı:

L0 lo

σ

L0l

σ σ

10

Şekil 2.6. Makaslama deformasyonu.

∫∫ ===L

L

L

L ll

ldld

00

)ln(0

εε (2.10)

ile verilir. (2.10) ifadesi gerçek deformasyonu tanımlar. Küçük deformasyonlar için

(2.10) ifadesi,

00

)1ln(l

ll

l ∆≈

∆+ (2.11)

şeklinde verilebilir. Düzlem deformasyon durumunda, oluşan deformasyonun sadece xy

düzlemi üzerinde olduğu kabul edilirse, Şekil 2.7’ de elemandaki yerdeğiştirmelere

bağlı olarak oluşan deformasyon gösterilmiştir. Eksensel doğrultularda gelişen

deformasyonlar için,

xu

x

xxxux

OCOCCO

xxxx ∂∂

=∆

∆−∆∂∂

+∆=

−=

→∆→∆

)(lim)''(lim

00ε (2.12a)

yv

y

yyyvy

OEOEEO

yyyy ∂∂

=∆

∆−∆∂∂

+∆=

−=

→∆→∆

)(lim)''(lim

00ε (2.12b)

θ

b

a σ

σ σ

σ

11

yu

xv

y

yyu

x

xxv

EOCyxyxxy ∂

∂+

∂∂

=∆

∆∂∂

−∆

∆∂∂

−−=−=→∆∆→∆∆

))2

(2

(lim)'''2

(lim0,0,

πππγ (2.12c)

yazılabilir. Bu sonuçlar üç boyutlu durum için yazılırsa, sırasıyla x, y ve z

eksenlerindeki yerdeğiştirmeler, u(x,y,z), v(x,y,z) ve w(x,y,z) olmak üzere,

xu

xx ∂∂

=ε , yu

xv

xy ∂∂

+∂∂

=γ , zu

xw

xz ∂∂

+∂∂

=γ

xv

yu

yx ∂∂

+∂∂

=γ , yv

yy ∂∂

=ε , zv

yw

yz ∂∂

+∂∂

=γ (2.13)

xw

zu

zx ∂∂

+∂∂

=γ , yw

zv

zy ∂∂

+∂∂

=γ , zw

zz ∂∂

=ε

Şekil 2.7. Yerdeğiştirme ve türevlerine bağlı düzlem deformasyon.

deformasyon ifadeleri elde edilir (Terzaghi 1962, Oden vd 1981). Düzlem deformasyon

durumunda Şekil 2.7’de elemanın z yönündeki boyutu sonsuz kabul edilmiştir. Bu

durumda eleman üzerinde etkin olan tüm dış kuvvetler x ve y değişkenlerinin bir

fonksiyonu olur. Elemanda gelişen deformasyon sadece xy düzleminde oluşur. z

doğrultusundaki tüm yerdeğiştirme ve deformasyonlar w, εzz, γxz ve γyz sıfırdır. Üç

boyutta deformasyon dizeyi,

y

x

∆x

∆y

O C

D E

O’ C’

D’E’

uo

ue

uc

ud

(a) (b)

CO

Ou ’

C’ E

E’

D

D’

vu+(du/dx)∆x

v+(dv/dx)∆x

π/2-γxy

u+(du/dy)∆yy v+(dv/dy)∆y

x

12

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

zzzyzz

yzyyyx

xzxyxx

εγγγεγγγε

ε (2.14)

ile verilir. Homojen ve izotrop bir ortamda deformasyon dizeyi bakışımlılık (simetri)

özelliğine sahiptir (Love 1944). Bu nedenle, bir eleman üzerinde herhangi bir P

noktasındaki deformasyon durumunu tanımlayabilmek için altı adet deformasyon

bileşeninin (εx, εy, εz, γxy, γyz, γxz) bilinmesi gerekir. Elemanda asal (normal) gerilme

doğrultuları ile asal deformasyon doğrultuları aynıdır. Düzlem deformasyon durumunda,

(2.14) ile verilen deformasyon dizeyi zyzxyzxzxx γγγγε ve,,, deformasyon

bileşenlerinin ihmal edilmesiyle,

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

xy

yy

xx

γεε

ε (2.15)

üç adet deformasyon bileşeniyle belirlenebilir.

2.1.3. Elastisite Bir elemanda gerilmenin belirlenebilmesi, gerilme ve deformasyon bileşenleri

arasındaki ilişkinin bilinmesini gerektirir. Ele alınan elemanın elastik deformasyon

sınırları içerisinde kaldığı düşünülürse, elemanda gelişen gerilme-deformasyon

ilişkisinin Hook kanunu olarak adlandırılan koşula uyduğu gözlenir. Hook kanunu,

gerilmeyi deformasyonun doğrusal bir fonksiyonu olarak gösterilmesini sağlar (Love

1944, Terzaghi 1962). Elastik, anizotrop ve homojen olmayan bir yapı için gerilme-

deformasyon ilişkisi,

13

[ ] T

zx

yz

xy

zz

yy

xx

zx

yz

xy

zz

yy

xx

C

cccccccccccccccccccccccccccccccccccc

ε

γγγεεε

τττσσσ

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

666564636261

565554535251

464544434241

363534333231

262524232221

161514131211

(2.16)

dizeyi ile verilir. Burada C dizeyine “yapısal (constitutive) dizey” denir (Love 1944).

Homojen bir yapı için C dizeyi bakışımlıdır. Bu nedenle, anizotrop ve homojen bir

yapıda gerilme-deformasyon ilişkisi 21 elastik sabit ile tanımlanabilir. Eğer yapının

birbirine dik üç simetri düzlemi var ise, (2.16)’ da verilen yapısal dizeyi, C

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

66

55

44

33

2322

131211

0

0

cc

ccccccc

C (2.17)

şeklinde dokuz elastik sabit ile tanımlanır (Love 1944, Terzaghi 1962). Simetri

düzlemleri ise xy, yz ve zx düzlemleridir. Bununla birlikte elastik, homojen ve izotrop

bir yapıda elastik davranışı gösteren her bir düzlem bir simetri düzlemi olarak ele

alınabilir. Bu durumda, iki elastik sabit; Elastisite modülü (E) ve Poisson oranı (υ)

gerilme-deformasyon ilişkisini tanımlamak için yeterlidir. Bu durumda, gerilme-

deformasyon dizeyi,

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

−

−

−

−

−+=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

zx

yz

xy

zz

yy

xx

zx

yz

xy

zz

yy

xx

γγγεεε

υ

υ

υ

υ

υυ

υυυ

υ)υ)((E

τττσσσ

221

2210

221

1

01

1

211

(2.18)

14

ile verilir. Genel mekanik problemleri, üç boyutlu bir yapıda tanımlanırken bu tip

problemler bilgisayarda işlem zamanı ve hesaplamalardaki zorluklar nedeniyle iki veya

bir boyutlu duruma indirgenir. Düzlem deformasyon durumunda (2.17) ile verilen

yapısal dizeyi,

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−

−+=

22100

0101

)21)(1( υυυ

υυ

υυEC (2.19)

ve gerilme-deformasyon ilişkisi,

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

xy

yy

xx

xy

yy

xx

Cγεε

τσσ

(2.20)

şeklindedir. Deformasyon derecesinin elastik sınırlar içerisinde kalması halinde

elastisite kuralları geçerlidir. Elastik deformasyonun özelliği, eleman üzerinde etkin

olan kuvvetler kaldırıldığında cismin ilk (kuvvet uygulanmadan önceki) halini almasıdır.

Bu durumda gerilme-deformasyon arasında doğrusal bir ilişki mevcuttur. Şekil 2.8’ de l

uzunluğundaki eleman üzerinde gerilme uygulandığında oluşan küçük deformasyonlar,

uygulanan gerilme ile doğru orantılıdır. Deformasyonun büyük değerlerde olması

halinde gerilme-deformasyon ilişkisi doğrusal olmayan bir davranış gösterir. Cisim

üzerinde dış kuvvet kaldırıldıktan sonra cisimde bir miktar kalıcı deformasyon oluşur.

Bu durum için tipik bir gerilme-deformasyon eğrisi Şekil 2.9’ da gösterilmiştir.

σ

ε

Şekil 2.8. Doğrusal elastik deformasyon.

15

Gerilme-deformasyon arası doğrusal ilişki yalnızca küçük deformasyonlar için

, oluşan normal

geçerlidir. Uygulamalarda zemin yapılarının mühendislik özelliklerini belirtmek için

çeşitli tanımlar kullanılır. Bu tanımlar cisimlerin deforme olabilme, hacimsel

sıkışabilme gibi özelliklerini tanımlar ve birbiriyle ilişkilidir. Bunlar:

Elastisite modülü (Young modülü): Elemandaki normal gerilmenin

deformasyona oranıdır ve

εσ

=E (2.21)

e verilir. Elastisite modülü, elemanın birim deformasyona karşı dayanımın bir

oisson oranı: Elemanda gelişen enine deformasyonun, boyuna deformasyona oranıyla

s

il

ölçüsüdür. Elemanda oluşan normal deformasyon, gerilme doğrultularındaki

deformasyonlardır. (2.21) ile verilen bir boyutlu ifadeye “Hook kanunu” denir. Hook

kanunu gerilme-deformasyon arası ilişkisinin doğrusal olduğu bölgede geçerlidir

(Terzaghi 1962).

P

tanımlanır. Poisson oranı, ν 0-0.5 aralığında değer alır. Zemin birimlerinde Poisson

oranı yaklaşık 0.25-0.47 ara ında değerler alır (Timoshenko 1951).

xx

yy

εε

υ = . (2.22)

akaslama (kayma) modülü: Şekil 2.10’ de gösterildiği gibi makaslama modülü, G

olma an gerilme-deform syon davranışı.

M

makaslama gerilmesi, τ’ un makaslama deformasyonu, γ’ ye oranıdır ve

ε0ε

σ

Şekil 2.9. Doğrusal ay

16

γτ

=G (2.23)

e verilir. Elastisite modülünde olduğu gibi makaslama modülü de elemanın birim il

kayma gerilmesine karşı dayanımının bir ölçüsüdür. G makaslama modülü bağımsız bir

parametre olmayıp, elastisite modülü ve Poisson oranı ile ilişkilidir. Bu ilişki:

)1(2 υ+=

EG (2.24)

e verilir. (2.5) ile verilen gerilme dizeyinde dokuz gerilme bileşeninin eleman üzerinde

2.10. İki boyutta makaslama deformasyonu.

da deformasyon bileşenleri için,

il

aynı anda etkin olduğu varsayılırsa, oluşan deformasyon, her bir gerilme bileşeninin

elemanda oluşturduğu deformasyonun toplanmasıyla elde edilir.

Şekil

Üç boyutlu durum

[ ]GE

xyxyzzyyxxxx

τγσσυσε =+−= ,)(1 (2.25a)

[ ]GE

yzyzzzxxyyyy

τγσσυσε =+−= ,)(1 (2.25b)

[ ]GE

xzxzyyxxzzzz

τγσσυσ =+−= ,)(1 (2.25c)

dx

dz

dy

x

y

ε

17

ile verilen ifadeler taraf tarafa toplanırsa,

)()21(zzyyxxzzyyxx σσσ

Eυεεε ++

−=++ (2.26)

elde edilir. Bu ifade (2.21) ile verilen Hoo

e toplam deformasyon arası ilişkiyi tanımlar.

n gerilmeler, elemanda oluşturduğu

eformasyona göre iki ayrı gruba ayrılır. Bunlar asal ve makaslama gerilmeleridir. Asal

k kanunun genel ifadesidir ve toplam gerilme

il

Bulk modülü (sıkışmazlık modülü): Etki

d

gerilmeler etkin olduğu eleman üzerinde yalnızca hacimsel değişim meydana getirirken,

makaslama gerilmeleri elemanda şekilsel bozulma oluştururlar. Bu nedenle, asal

gerilme bileşenlerine “hidrostatik gerilme bileşenleri” ve makaslama gerilme

bileşenlerine “deviatorik gerilme bileşenleri” denir (Timoshenko 1951). Normal

gerilmeler cinsinden hidrostatik gerilme:

3)( zzyyxx

H

σσσσ = (2.27)

ile verilir. Deviatorik gerilme, eleman üzerinde (2.5) ile verilen gerilmenin hidrostatik

erilmeden farkıdır:

−−=

Hzzzyzx

yzHyyyx

xzxyHxx

D

σστττσστττ

σ . (2.28)

(2.28) ile verilen deviatorik gerilme dizeyindeki asal gerilme bileşenlerine “asal

eviatorik gerilme bileşenleri” denir. Hidrostatik gerilmelerin neden olduğu hacimsel

++

g

⎡ −σσ

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

d

değişim,

Hzzyyxxzzyyxx EEVV συσσσυεεε )21(3)(21)( −

=++−

=++ (2.29)

=∆

=∆

18

E)21(3 υ− ifadesinin tersi olan, ile verilir. Burada verilen

)21(3 υ−=

EB (2.30)

adesine “bulk modülü” denir. Bulk modülü, cismin hidrostatik gerilmeler altında

.1.4. Denge denklemleri

enge denklemleri, dış kuvvetler ve bunlara bağlı olarak oluşan içsel gerilmeler altında

if

sıkışabilirliğinin ölçüsüdür. Tanımlanan zemin modülleri, zeminlerin mühendislik

açısından temel özelliklerini yansıtır.

2 D

elemanın denge durumunu gösteren diferansiyel yapıdaki denklemlerdir. Şekil 2.12’ de

iki boyutta dx ve dy kenar uzunluğundaki bir eleman ele alındığında, normal

gerilmelerin elemanın P merkez noktasına uygulandığı varsayılır. Gerilmelerin her

noktada sürekli olduğu kabul edilir. Eleman kenarlarındaki gerilme değerleri Taylor

açılımı kullanılarak elde edilir. P noktasındaki σxx normal gerilme vektörünün +x kenarı

üzerindeki değeri için Taylor serisine açılır:

...)2

(!2

1)2

()2

( 22

2

+∂∂

+∂∂

+=+dx

xdx

xdxx xxxx

xσσ

σσ (2.31)

e yüksek mertebeli terimler ihmal edilirse, v

22

dxxxx

xdxx ∂∂

+=+

σσσ (2.32)

lde edilir. –x doğrultusundaki kenar üzerinde gerilme değeri benzer şekilde, e

22

dxx

xxxdxx ∂

∂−=

−

σσσ (2.33)

19

olarak bulunabilir. +y

benzer şekilde elde edilebilir. Makaslama gerilmeleri içinde benzer bağıntılar yazılabilir.

ve –y eksenleri üzerinde yer alan kenarlardaki gerilme değerleri

Şekil 2.11’ de verilen P noktasındaki Fx ve Fy kuvvetleri hacimsel kuvvetlerdir.

Hacimsel kuvvetler birim hacim üzerinde etkin kuvvetler iken, iki boyutlu durumda

(kalınlık bir birim kabul edilirse) birim alan üzerinde etkin olan kuvvet olarak

tanımlanır. Şekil 2.11’ de verilen elemanın x yönünde denge şartı için (2.7) ile verilen

denge bağıntısı kullanılırsa,

0=+∂

+∂ yxxx F

∂∂ xyxτσ

(2.34)

denge denklemi elde edilir. Benzer şekilde y doğrultusu için,

0=+∂

+∂ yyxy F

∂∂ yyxστ

(2.35)

elde edilir. İki boyuttaki durum

in,

için elde edilen denge denklemleri, üç boyutlu durum

iç

Şekil 2.11. İki boyutta düzlem gerilme.

P

dx

dy

Fy

Fxσxx

σxx

σyy

σyy

20

0=+∂∂

+∂

∂+

∂∂

xxzxyxx Fzyxττσ

(2.36)

0=+∂

∂+

∂

∂+

∂

∂y

yzyyyx Fzyxτστ

(2.36b)

0=+∂∂

+∂

∂+

∂∂

zzzzyzx F

zyxσττ

(2.36c)

kolaylıkla yazılabilir (Oden vd 1981). (2.36) ile statik durum için verilen denge

enklemleri dinamik durum için yazılmak istenirse, Newton’un ikinci hareket d

kanunundan yararlanabilir. Üç boyutlu durumda dinamik denge denklemleri,

2

2umFxzxyxx ∂=+

∂+

∂+

∂ τtzyx x ∂∂∂∂

τσ (2.37a)

2

2

tvmF

zyx yyzyyyx

∂∂

=+∂

∂+

∂

∂+

∂

∂ τστ (2.37b)

2

2

twmF

zyx zzzzyzx

∂∂

=+∂∂

+∂

∂+

∂∂ σττ

(2.37c)

şeklinde verilir. Burada u, v ve w sırasıyla x, y ve z doğrultularındaki yer-

eğiştirmelerdir.

eğiştirmeler ilkesi

ir dış kuvvet, eleman üzerinde yerdeğiştirme oluşturduğunda, eleman üzerinde bir iş

apılmış olur. Eğer uygulanan kuvvet ile yer değiştirme neden-sonuç (cause-effect)

d

2.1.5. Sanal yerd B

y

ilişkisi ile birbirine bağlı değilse eleman üzerinde yapılan işe “sanal iş (virtual work)”

denir. Sanal iş, gerçek kuvvetlerin hayali yerdeğiştirmeler boyunca yaptığı iş olarak

tanımlanır. Sanal iş ilkesi, enerji yöntemleri içerisinde yer alır. Sanal iş ilkesi iki

21

yaklaşımla uygulanır; birincisi sanal yerdeğiştirmeler ilkesi, ikincisi ise sanal kuvvetler

ilkesidir. Sanal yerdeğiştirmeler ilkesinde, gerçek kuvvetlerin sanal yerdeğiştirmeler

boyunca yaptığı iş göz önüne alınır. Sanal kuvvetler ilkesinde ise sanal kuvvetlerin

gerçek yerdeğiştirmeler boyunca yaptığı iş ele alınır. Her iki ilkenin uygulanmasında

eleman üzerindeki denge ve uyumluluk (compatibility) koşulları elde edilmeye çalışılır.

Bu çalışmada, hareket denkleminin elde edilmesinde sanal yerdeğiştirmeler ilkesi

kullanılmıştır.

Eleman içerisinde herhangi bir noktadaki yerdeğiştirme, koordinat eksenlerine paralel u,

ve w yerdeğiştirmelerine bağlı olarak verilir. Eleman üzerinde varsayılan herhangi bir

Şekil 2.12. Cisim ğiştirme.

leman yüzeyindeki denge koşulları,

v

sanal yerdeğiştirme x, y ve z koordinat eksenlerinin sürekli fonksiyonu olduğu ve

kinematik sınır koşullarını sağladığı varsayılır. Şekil 2.12’ de verilen bir cisim

içerisindeki herhangi bir P(x,y,z) noktasında oluşan yerdeğiştirmeler sırasıyla u, v, w ve

bu cisme ilişkin denge denklemleri statik durum için (2.36) ve dinamik durum için (2.37)

denklemleriyle verilmiştir. Eleman üzerinde tanımlanan sanal yerdeğiştirmeler aynı

zamanda sınır koşullarına da uygun olmalıdır.

içerisinde bulunan bir P noktasındaki sanal yerde

E

xxzxyxx fnml =++ ττσ

n

P(x,y,z)z , δw

x , δu

y , δv

22

yyzyyyx fnml =++ τστ (2.38)

zzzzyzx fnml =++ σττ

e verilir. Burada yer alan fx, fy ve fz kuvvetleri yüzey kuvvetleridir. Hacim içerisindeki il

denge koşulu olarak verilen (2.36) denklemleri sırasıyla δu, δv ve δw sanal yer-

değiştirmeleri ile çarpılır ve taraf tarafa toplanırsa,

0=

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

∂∂

+∂

∂+

∂∂

+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

∂∂

+∂

∂+

∂∂

∫v

zzzzyzx

yyzyyyx

xxzxyxx

wFzyx

vFzyx

uFzyx

δσττ

δτστ

δττσ

(2.39)

lde edilir. φ(x,y,z) ve ϕ(x,y,z) skaler fonksiyonlarının, (2.38) ile verilen koşulları e

sağladığı kabul edilirse,

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

==

=⎪⎩

⎪⎨

⎧

===

=∂∂

3,2,1,

ve,,,

iii

ziwyivxiu

izz

yy

xx

i

σ

σσ

φδδδ

ϕ (2.40)

azılabilir. Green teoreminden (EK 1) yararlanılarak (2.39) ifadesi için

(2.41)

lde edilir. (2.41) ifadesi,

=+++++v

T

vyzyzxzxzxyxyzzzzyyyyxxxx dv σεγτγτγτεσεσεσ

(2.42a)

y

∫ ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ∂+++∫ ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ ∂++=

∫⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ +++++

11

sdswzfvyfuxf

vdvwzFvyFuxF

dvv

yzyzxzxzxyxyzzzzyyyyxxxx

δδδδ

γτγτγτεσεσεσ

e

∫∫

( ) dvuFdvwFvFuFv

TB

vzyx ∫∫ =∂++ δδ

23

( ) ∫∫ =∂++11

11s

Ts

szyx dsuFdswfvfuf δδ (2.42b)

dizey yapısında verilebilir. Burada s1, eleman sınırındaki yerdeğiştirmelerin ön-tanımlı

lduğu kısımları gösterir. FB, FS ve uT kuvvet ve yerdeğiştirmeleri,

(2.43a)

o

kFjFiFFvvv

++= zyxB

kfjfifF zyxS

vvv++= (2.43b)

kwjviuu Tvvv

δδδ ++=

dizeysel yapıda veril

in,

(2.44)

yazılabilir. (2.44) ile verilen ifadenin ilk terimi deformasyon enerjisini gösterir. İkinci

e üçüncü integral terimi sırasıyla elemandaki hacimsel ve yüzeysel kuvvetlerce

V

(2.45)

şeklinde verilebilir (Padovan 1987). Burada

(2.43c)

ir. (2.42) ifadesinden yararlanılarak sanal yerdeğiştirmeler ilkesi

iç

Tσε 01

1

=++ ∫∫∫ dsuFdvuFdvS

TS

v

TB

v

v

yapılan işi gösterir. Titreşimlerin söz konusu olduğu problemlerde, hacimsel kuvvetleri

başlıca sönüm kuvveti ve eylemsizlik kuvveti oluşturur (Bathe 1996). Geri kalan dış

kuvvetler, f olarak gösterilirse (2.44) ifadesi,

TTT ufdvuudv &&ρσε ∫ ∫ =+

V

ρ yapısal elemanın birim hacim ağırlığını ve

yerdeğiştirmenin zamana göre ikinci türevini gösterir. Sanal yerdeğiştirmeler ilkesi,

g

u&&

diferansiyel denklem şeklinde verilen ifadelerin sonlu eleman yapısında

österilebilmesini sağlayan temel ilkeler arasında yer alır. Üçüncü bölümde hareket

denkleminin sonlu elemanlar yöntemiyle modellenmesi verilmiştir. Hareket

denkleminin sonlu eleman yapısının elde edilmesinde (2.45) ifadesinden yararlanılmıştır.

24

2.2. Fiziksel Problem ve Matematiksel Model Mühendislik problemlerinin çözümü, çoğu zaman fiziksel sistemin bir matematiksel

odel ile betimlenmesini gerektirir. Modelleme işlemi, farklı mühendislik problemleri

iziksel problemlerin yalınlaştırılması amacıyla matematiksel modelin oluşturulmasında

elirli varsayımlar yapılır. Bu varsayımlar genel olarak aşağıdaki gibidir:

yonları olarak

ele alınır. Bu varsayım “süreklilik varsayımı” dır. Bu şekilde sistem parçalı-

b)

d) ak görülür.

r doğrusal, elastik, tekdüze ve yön

m

için ayrıntıda farklı olsa da genel işlem basamakları aynıdır. Modelleme işleminde

öncelikle fiziksel problemin çözüm alanı tanımlanır. Çözümde elde edilecek bilgiler

(bilinmeyenler) belirlenir ve bilinen değişkenler modelde belirtilir. Fiziksel

problemlerin sayısal olarak çözümlenebilmesi ve matematiksel yöntemlerin

uygulanabilmesi için problem üzerinde yalınlaştırma işlemi yapılır. Fiziksel sistemin

modellenmesinde, bütün etkiler ele alınırsa, sonuçta elde edilecek matematiksel ifadeler

oldukça karmaşık hale gelir ve matematiksel çözüm mümkün olmaz. Ancak varsayımlar

kullanıldığında fiziksel problem matematiksel olarak yaklaşık modellenebilir. Fakat

yapılacak varsayımlar sadece problemin çözümünü kolaylaştırdığı durumlarda yapılır.

Matematiksel problemin çözümü, fiziksel problemin özelliklerini ve davranışını temsil

etmelidir. Problem üzerinde gereğinden fazla yalınlaştırma gerçek fiziksel davranışı

yansıtmayabilir. Bu nedenle model üzerinde yapılacak yaklaşım ve varsayımların

doğruluğuda denetlenmelidir (Kelly 1993, Hamming 1962, Pipes vd 1970).

F

b

a) Yapıdaki fiziksel özellikler bağımsız değişkenlerin sürekli fonksi

sürekli olarak göz önüne alınabilir.

Yeryüzeyi eylemsizlik için referans noktası seçilir. Bu şekilde, Newton kanunu

gibi fiziksel kanunlar uygulanabilir.

c) Bağıl olarak küçük etkiler ihmal edilebilir.

Yerçekimi ivmesi, bir dış kuvvet olar

e) Fiziksel sistemi oluşturan bütün bileşenle

bağımsızdır.

25

Bu

karşılaş ğu doğrusal olmayan bir yapıdadır. Fiziksel problemin

arklı tipteki problemler, farklı matematiksel yöntemlerin kullanılmasını gerektirir.

inamik, statik ve mekanik problemlerin modellenmesi çoğu zaman cebirsel

tür varsayımlar ile fiziksel sistem belirli derecede yalınlaştırılmış olur. Gerçekte

ılan problemlerin bir ço

gerçeğe yakın bir şekilde modellenebilmesi, doğrusal olmayan diferansiyel

denklemlerle elde edilir. Bu diferansiyel denklemlerin analitik çözümü çoğu zaman

mümkün olmaz. Bu nedenle, fiziksel problem üzerinde yapılan varsayımlarla gerçekte,

doğrusal yapıda olmayan problem doğrusal bir yapıya dönüştürülmüş olur.

Matematiksel model, fiziksel probleme bir yaklaşımdır. Doğrusal olmayan sistemleri

doğrusal yapıya dönüştürürken dikkat edilmelidir. Çünkü, nitel olarak doğrusal olmayan

sistem davranışı doğrusal sistem davranışından farklıdır. Örneğin titreşim sistemlerinde

olduğu gibi fiziksel problemi temsil eden matematiksel modeldeki küçük geometrik

farklılıklar veya modelde doğrusal olmayan davranış özellikleri beklenmeyen titreşim

kiplerine götürür. Bu nedenle, fiziksel bir sistemin modellenmesinde yapılan

varsayımların geçerliliği denetlenmelidir (Pipes vd 1970). Matematiksel modelin

oluşturulmasında kullanılan ve ikinci bölümde anlatılmış olan yapıcı denklemler,

sistemdeki malzemelerin fiziksel özellikleri hakkında bilgi verir. Malzemeler farklı

koşullar altında farklı davranışlar gösterir. Fiziksel bir sistemin matematiksel

modellenmesiyle, matematiksel bir problem elde edilir. Matematiksel çözüm,

matematiksel modellemenin son aşamasıdır. Modelleme işlemi, problem üzerinde

uygun matematik yöntemleri kullanılarak sonuçların elde edilmesiyle tamamlanmış olur.

F

D

denklemlerle yapılır. Mekanik problemler içerisinde yer alan titreşim problemlerinin

matematiksel modellenmesi diferansiyel denklemlerle yapılır. Tek serbestlik dereceli

ayrık (decoupled)) sistemlerin titreşimi, sabit katsayılı doğrusal diferansiyel

denklemlerle, çok serbestlik dereceli sistemlerin titreşimi, sabit katsayılı doğrusal

diferansiyel denklem sistemleriyle gösterilir. Sürekli sistemlerin titreşimleri ise kısmi

diferansiyel denklem sistemleriyle tanımlanır (Kelly 1993).

26

2.3. Hareket Denklemi ve Çözüm Yöntemleri

onuçların mühendislik problemlerine

ygulanması açısından oldukça önemlidir. Çoğu zaman titreşim ile salınım aynı

üm

eşim davranışı, ikinci mertebeden sabit katsayılı, homojen diferansiyel

ile verilir. Yerdeğiştirme zamanın bir fonksiyonudur. Titreşim sisteminde

ug yerdeğiştirmesine göre mekanik sistemdeki f(t) dış kuvveti,

itreşim problemleri, deneysel ve kuramsal sT

u

anlamda kullanılır. Fakat bu iki terim arasında anlam farkı vardır. Titreşim, bir dış

kuvvet veya kuvvetler altında cismin hareketini ifade eder. Bu durumda dış kuvvet

zaman içerisinde yön ve büyüklük bakımından değişken olabilir. Salınım, cismin denge

konumu etrafında ileri-geri hareketini yansıtır. Bu açıdan her titreşim hareketi bir

salınım hareketi olmayabilir. Bu alt bölümde yer alan ilk dört çözüm yöntemi daha çok

basit titreşim problemlerine uygulanmaktadır. Büyük serbestlik dereceli ve karmaşık

geometrili titreşim problemlerinin çözümü, üçüncü bölümde anlatılmış olan, sonlu

eleman yöntemi gibi yaklaşık çözüm yöntemleri kullanılarak gerçekleştirilir. Bu nedenle

ilk dört çözüm yöntemi, hareket denkleminin temel özellikleri ve denklemde yer alan

katsayıların titreşim davranışı üzerindeki etkilerinin anlaşılması amacıyla verilmiştir.

2.3.1. Kuramsal çöz

Serbest titr

denklem

viskoz sönüm dışında korunumlu olmayan kuvvetlerin bulunmadığı durumda,

diferansiyel denklem homojen bir yapıya sahiptir. Titreşim sistemlerinde yer-

değiştirmeye “genel koordinat” adı verilir. Titreşim sistemine ait diferansiyel denklem,

Newton’ un ikinci hareket kanunu veya enerji yöntemleri olmak üzere birden fazla

yöntemden yararlanılarak elde edilebilir. Burada, viskoz sönümlü bir titreşim sistemine

ait diferansiyel denklemi Newton’ un ikinci hareket kanunundan yararlanılarak

yazılmıştır. Şekil 2.13a’ da verilen kütle-yay ve viskoz sönümlendiriciden oluşan bir

mekanik sistem gösterilmiştir. Sistem üzerinde etkin olan dış kuvvetin deprem

nedeniyle oluşan yer hareketinden kaynaklandığı varsayılırsa, ug yerin yer-

değiştirmesini ve u, m kütlesinin denge konumundan itibaren yerdeğiştirmesini gösterir.

27

2

2

)(t

umtf g

∂

∂= (2.46)

ile verilir (Hasselman vd 1972, Kelly 1993). Kütle denge konumundan itibaren

yerdeğiştirdiğinde, kütle üzerinde oluşan kuvvet bileşenleri Şekil 2.13b’ de

österilmiştir. Bu tür bir titreşim sisteminde kütlenin eylemsizlik kuvveti titreşim

u kadar

g

üzerinde etkin rol oynar. Göreceli yerdeğiştirmeye bağlı olarak eylemsizlik kuvveti, fe(t)

Newton’ un ikinci hareket kanuna göre,

2

2

)(tumtfe ∂

∂= (2.47)

ile verilir. Titreşim sisteminde viskoz sönüm hız ile doğru orantılı bir sönüm kuvveti

oluşturur. Bu sönüm kuvveti, dış kuvvet ile ters doğrultudadır (Şekil 2.13b). Viskoz

önüm kuvveti,

s

tucf d ∂∂

= (2.48)

ile verilir (Chopra 1995). Newton’ un ikinci hareket kanunundan yararlanarak, titreşim

sisteminin t anındaki denge koşulu, Şekil 2.13b yardımıyla,

)(2

2

tfkutuc

tum =+

∂∂

+∂∂ (2.49)

diferansiyel denklemiyle verilir. Bu diferansiyel denkleme “hareket denklemi” denir.

(2.49) ile verilen diferansiyel denklem, tek serbestlik dereceli bir titreşim sisteminin

areketini gösterir (Jacobsen vd 1958, Johnson vd 1972, Newmark vd 1971). Bu tür bir h

diferansiyel denklemin genel çözümü, homojen ve özel çözümün toplanmasıyla elde

edilir. Çözümde bulunan iki keyfi sabit, integral sabitleridir. İntegral sabitleri, titreşim

sisteminin başlangıç zamanına ( 0=t ) karşılık gelen durumunu gösterir ve başlangıç

koşulları yardımıyla belirlenir. Başlangıç koşulları, başlangıç zamanı yerdeğiştirmesi ve

hız değerleridir. (2.49) bağıntısı ile verilen hareket denkleminin incelenmesi, denklemde

28

yer alan sönüm katsayısının (c urumuna bağlı olarak yapılır. Serbest titreşim

durumunda, sistemin diferansiyel denklemi, (2.49) ile verilen hareket denkleminde

sönüm katsayısı, c ve dış kuvvet f(t)’ in sıfır kabul edilmesiyle,

) d

02

2

=+∂∂ ku

tum (2.50)

yazılır. (2.50) ifadesi sönümsüz serbest titreşim denklemidir. Burada m ve k sırasıyla

titreşim sisteminin özellikle

erilen diferansiyel denklemin,

rine bağlı, kütle ve sıkılık (stiffness) değerleridir. (2.50) ile

v

0)0( uu = (2.51)

0)0( u

tu

&=∂

∂ (2.52)

Ş i,

(b) Sistem

ekil 2.13. (a) Mekanik yay-kütle ve viskoz sönümlendiriciden oluşan titreşim sistem

üzerinde etkin kuvvetler.

başlangıç koşullarına bağlı çözümü,

)sin(1)cos()( 2

2

0 twtn

uw

twut nn

n ∂∂

+= (2.53)

ır. Burada wn değeri radyan/sn cinsinden,

u

d

gu

m

k

c

u

(a)

mg

f(t)kum

(b)

uc &

29

mkwn =

sönümsüz serbest titreşimin doğal açısal frekansını gösterir. (2.53) ile verilen çözümün

genel şekl

(2.54)

i,

)sin()( φ+= twAtu n (2.55)

dir. (2.55) çözümü trigonometrik özelliklerden yararlanarak,

nnu )cos()sin()sin()cos()( twAtwAt φφ += (2.56)

eklinde yazılabilir. (2.53) ve (2.56) çözümleri karşılaştırıldığında, salınımın genlik ve

faz değerlerinin sırasıyla,

ş

2

020 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

nwu

uA&

(2.57)

)u

uw(φ n

0

0arctan&

= (2.58)

olduğu görülür. (2.50) ifadesiyle verilen sönümsüz serbest titreşim davranışı Şekil 2.14.’

de farklı frekans değe ri için göster iştir.rle ilm

Şekil 2.14. Sönümsüz serbest titreşim davranışı.

30

(2.51) ve (2.52) ifadeleri ile verilen başlangıç koşulları, sistemin başlangıç anındaki

enerjisini gösterir. Sistemde kuvvetlerin tümü korunumlu olduğunda, kinetik ve

potansiyel enerji dönüşümü sürekli olur. Sistem denge konumuna ulaştığında

başlangıçta var olan enerjisindedir. Titreşim sistemi bir periyotluk salınım hareketini eş

zamanda tamamlar. Bu tür titreşim hareketine “peryodik hareket” denir. Titreşim

periyodu, T

nwT π2= (2.59)

ile bir tam devirlik hareketini tamamlayabilmesi için gereken zamanı gösterir. Titreşim

sistemin frekansı,

π21 nwT

f == (2.60)

birim zamandaki tekrarlanma sayısıdır. (2.57) ile verilen genlik ifadesi, m kütlesinin

enge konumundan olan en büyük yer değiştirmesini gösterir. Serbest titreşimin genliği,

sistemin titreşim frekansına ve başla gıç ko rına bağlıd lü s

viskoz sönümlü bir titreşim sistemi için (2.49) ile verilen hareket denkleminde,

d

n şulla ır. Sönüm erbest titreşim,

0)( =tf

durumuna karşılık gelir. Dış kuvvetin sıfır olduğu durumda (2.49) ifadesinin

karakteristik denklemi,

02 =++mk

mc αα (2.61)

ve kökleri,

mk

mc

mc

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛±−=

2

2,1 2α (2.62)

ile verilir. 0)( =tf durumu için (2.49) denkleminin matematiksel çözümü ve titreşim

31

sisteminin davranışı, (2.61) ile verilen karakteristik denkleminin diskriminantının

durumuna bağlıdır. Diskrim ant d ğeri pozitif olursa, karakteristik

gerçel kökü, negatif olursa iki karmaşık kökü ve sıfıra eşit olursa, iki eşit kökü (katlı

öklere) vardır. Diskriminant değerinin sıfır olması durumunda, titreşim sistemi kritik

r davranış gösterir. Sabit bir kütle, m ve sıkılık, k değeri için (2.61)

arakteristik denklem ifadesinden kritik sönüm,

in e denklemin iki

k

sönümlü bi

k

kmcc 2= (2.63)

elde edilir. Boyutsuz bir değer olan sönüm oranı, gerçek sönüm katsayısı c’ in kritik

sönüm değeri cc’ ye oranıdır:

kmc

cc

c 2==ζ (2.64)

Sönüm oranı ζ , titreşim sistemine ait özelliklerin bir fonksiyonudur. (2.62) kök ifadesi,

önüm oranıs ,ζ ve sönümsüz serbest titreşimin açısal frekansına (wn) bağlı olarak,

122,1 nn

−±−= ζζ ww (2.65)

erilir.

α

v 1≠ζ ve için (2.49) ile verilen hareket denklemin çözümü,

0)( =tf

))12(

2)12(

1()(tnw

ebtnw

ebtnw

etu−

+−−

=ζζζ

(2.66)

1 üzere

şim sistemin davranışı

dır. Burada b ve b2 keyfi katsayılardır. (2.66) çözüm ifadesinden görüleceği

titre , ζ sönüm oranına bağlıdır. ζ ve wn değerlerini kullanılarak

(2.49) hareket denklemi,

02 22 ∂∂ tt

2

=+∂

+ uwuwunnζ (2.67) ∂

32

şeklinde yazılabilir. Bu ifade, viskoz sönümlü serbest titreşim sistemin ayrık (decoupled)

yapıdaki diferansiyel denklemidir. Viskoz sönümlü sistemin incelenmesi, ζ sönüm

oranının temel üç durumuna bağlıdır (Kelly 1993).

Durum-1: 1<ζ (zayıf sönüm): Bu durumda (2.61) ile verilen karakteristik denkleminin

iki karmaşık eşlenik kökü vardır. Bu kökler,

)21(2,1 ζζα −±−= iwn (2.68)

ile verilir. (2.66) çözümüne, (2.68) kökleri ve (2.51)-(2.52) ile verilen başlangıç

koşullarının uygulanmasıyla,

⎥⎥

⎢⎢

⎣

−−

+−= )1sin(21

)1cos()( tnw

nwtnwouetu ζ

ζζ (2.69) ⎥

⎦

⎤⎢⎡ +− 22 ounwoutnw ζζ &

yazılabilir. (2.69) çözüm ifadesinde genlik ve faz değerleri,

22

⎟⎟

⎠⎜⎜

⎝+=

dwounwou

ouA&

(2.70) ⎞⎛ +ζ

)arctan(ounwou

dwoud ζ

φ+

=&

(2.71)

dır. (2.69) çözümünde,

21 ζ−= nwdw (2.72)

ifadesi, viskoz sönümlü sistemin titreşim frekansıdır. (2.70)-(2.71) ifadeleri kullanılarak

(2.69) çözümü için,

33

)dd t φ+ (2.73) sin()( d wtwAetu ζ−=

ılabilir. (2.73) ile verilen çözümün farklı sönüm değerleri için davranışı Şekil 2.15’

yaz

de gösterilmiştir.

Şekil 2.15. Sönümlü serbest titreşim davranışı.

Şekil 2.15’den görülebileceği gibi, korunumlu olmayan viskoz sönüm kuvveti,

sisteminin enerjisini yok etmeye çalışır. Sistem üzerinde dış kuvvetler tarafından

herhangi bir iş yapılmadığından sistemde var olan enerji zamanla azalır. Bu nedenle,

zayıf sönümlü titreşimler salınımlı olmakla birlikte periyodik özellikte değildir. Fakat

her bir sönümlü titreşim için geçen zaman aynıdır. Zayıf sönümlü titreşimin periyodu,

dwdT π2= (2.74)

e verilir. Bir periyotluk sürede kaybedilen enerji miktarı sönüm oranına bağlıdır.

üyük sönüm oranlı titreşim sisteminde her bir periyotluk sürede kaybedilen enerji

il

B

miktarı da büyük olmaktadır. Sönüm oranın bir ( 1=ζ ) olması halinde titreşim

sisteminin başlangıç anındaki enerji, bir periyotluk sürede yok edilir. Bu nedenle kritik

34

sönüm oranlı titreşim sistemleri titreşim hareketi yapamaz. Zayıf sönümlü sistemlerde,

birbirini takip eden iki genlik değerinin logaritmik oranına, “logaritmik azalım” denir:

21)( ζ−⎠+ dTt2)(ln πζζδ ==⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛= ddTw

utu . (2.75)

önüm oranının küçük değerleri için, logaritmik azalım yaklaşık S

πζδ 2= (2.76)

olarak verilir. Logaritmik azalımın, sönüm oranı ile ilişkisi,

δζ224 δπ +

= (2.77)

ve (2.73) çözüm ifadesinden hareketle,

δnetu=

)( dnTt + )(

(2.78)

garitmik azalım değerinin hız ve ivme ile ilişkisi,

u

lo

⎟⎟

⎠)

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+=

()(lndTtu

tu&

&δ (2.79)

⎟⎠

⎜⎝ +

=)(

lndTtu&&

δ ⎟⎞

⎜⎛ )(tu&& (2.80)

ile verilir (Kel

logaritmik azalım, birbirini takip eden salınım periyotları kullanılmadan, hız veya ivme

eğerleri kullanılarak da elde edilebilir.

ly 1993, Chopra 1995). (2.79)-(2.80) ifadelerinden görülebileceği gibi

d

35

Durum-2: 1=ζ (kritik sönüm): Bu durumda (2.61) ile verilen karakteristik denklemin

katlı iki kökü var

n +−= (2.81)

ile verilir. (2.81) çözümüne (2.51)-(2.52) ile verilen başlangıç koşulları uygulanırsa,

lde edilir. Kritik sönümlü titreşim sistemin davranışı Şekil 2.16’ da gösterilmiştir.

dır. Kritik sönüm için (2.49) hareket denkleminin çözümü,

)()( 21 tbbtwetu

[ ]tuwuutwetu nn )()( 000 ++−= & (2.82)

e

Şekil 2.16. Kritik sönümlü davranış.

Şekil 2.16’ dan görüldüğü gibi kritik sönümlü titreşim sisteminde, sistemin tüm enerjisi

bir periyotluk zamanda tüketilmektedir. Bu tür bir titreşim sistemi, denge konumundan

bir kez geçer ve sistemin enerjisi üstel olarak azalır.

Durum-3:

1>ζ (aşırı sönüm): Bu durumda (2.61) ile verilen karakteristik denklemin

birbirinden farklı iki gerçel kökü vardır. Bu kökler,

36

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−±−= 12

2,1 ζζα nw (2.83)

ile verilir. (2.49) hareket denkleminin genel çözümü, (2.51)-(2.52) ile verilen başlangıç

koşullarının uygulanmasıyla,

⎪⎭

⎬⎥⎦

− e)1 ⎪⎫

−−⎥⎤

⎢⎢⎣

⎡+−+−+

⎪⎩

⎪⎨

⎧−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−++

−

−=

tnwu

nw

u

tnweu

nw

utnwetu

122(0

0

12)12(0

0

122)(

ζζζ

ζζζ

ζ

ζ

&

&

(2.84)

larak elde edilir. Aşırı sönümlü titreşim sistemin davranışı Şekil 2.17’ de gösterilmiştir.

jili her iki sistemdeki enerji kaybı,

o

Şekil 2.17’ den görülebileceği üzere, sistemin davranışı periyodik değildir. Sistemin

enerjisi hızlı bir şekilde sönümlenmektedir. Şekil 2.16’ de gösterilen kritik sönüm

davranışı ile karşılaştırıldığında başlangıçta eşit ener

kritik sönümlü sistemde, aşırı sönümlü sisteme göre daha büyük olmaktadır.

Şekil 2.17. Aşırı sönümlü davranışı.

Bir dış kuvvet tarafından sisteme enerji aktarıldığında, sistem sönüm özelliğine bağlı

37

olarak titreşim hareketi yapabilir. Serbest titreşimler, enerji kaynağının ortamdan

kalkmasıyla oluşur. Zorla titreşimler ise titreşim halindeki sisteme bir dış enerji kaynağı

tarafından enerji aktarılmasıyla oluşur. Titreşim sistemlerinde enerji kaynağı farklı

ekillerde olabilir. Deprem esnasında oluşan yer hareketi bir enerji kaynağı olarak

örülür. Sistemlerin zorla titreşimlerinin incelenmesinde enerji kaynağının çeşitli

durumları göz önünde bulundurularak yapılır. Genel olarak sistem davranışı, enerji

kaynağının iki farklı durumu için incelenir. Bunlar, kaynağın periyodik yapıda veya

rasgele olmasıdır. Periyodik özellik gösteren kaynakların göz önüne alındığı durumlarda,

sistem davranışının incelenmesi uzun zaman aralığını gerektirir. Rasgele davranış

özelliğindeki dış kaynakların varlığında ise kısa zaman aralığında incelenir.

Sönümlü titreşim sisteminin (2.49) ile verilen diferansiyel denkleminin genel çözümü,

homojen ve özel çözümün toplanmasından oluşur. Homojen kısmının çözümü uh,

ş

g

⎥⎤−+− )21sin(2)21( tct ζζ⎦⎢⎣

⎡−= cos1)( c

tnwethu

ζ (2.85)

ile verilir. Homojen kısmının çözümü f(t) dış kuvvetinden bağımsızdır. Özel çözüm

kısmı ise dış kuvvete bağlıdır. Bu tür titreşim sisteminde t zamanı arttıkça homojen

kısmının çözümü etkisiz, özel çözüm kısmı ise etkin hale gelir. Bu duruma “kararlı

durum (steady-state)” denir. Periyodik bir f(t) dış kuvveti,

)sin()( 0 ϕ+= wtFtf (2.86)

şeklinde verilir. Burada F0, dış kuvvetin genliğini, w titreşim frekansını ve ϕ faz açısını

gösterir. Bu tür bir dış kuvvetin sönümsüz titreşim sistemine etkimesi halinde hareket

denklemi,

)sin(2 ϕ+=+∂

wtm

uw22 f∂tu

eklindedir. Eğer ise, özel çözüm (up) için bilinmeyen katsayılar yöntemi

n (2.87)

nww ≠ş

38

kullanılarak,

)sin()(

)( 220 ϕ+−

= wtwwm

Ftpu (2.88)

n

yazılabilir (Kelly 1993). (2.85) ile verilen homojen ve (2.88) ile verilen özel çözümlere

(2.51)-(2.52) başlangıç koşullarının uygulanmasıyla genel çözüm,

)sin()(

)sin()() 2202⎦⎣ −⎦ wwmw n

nnn

(2.89)

cos1)cos((

sin)(

220

02

00

ϕ

ϕϕ

+−

+

⎥⎤

⎢⎡

−+⎥⎤

⎢⎣

⎡−

−=

wtwwm

F

twwF

utwwwm

Fut

nt &

iştir.

u

n

olarak elde edilebilir (Kisslinger 1967). (2.89) ile verilen çözüm davranışı Şekil 2.18’

de gösterilm

Şekil 2.18. Dış kuvvet etkisinde sönümsüz serbest titreşim

davranışı.

olması durumunda (2.89) ile verilen genel çözümde, homojen çözüm ile özel

çözüm birbirine bağlıdır. Bu durumda özel çözüm,

nww =

)cos(2mw n

np

)( 0 ϕ+−= twtF

t (2.90) u

39

dir. (2.51)-(2.52) başlangıç koşullarının, (2.85) homojen ve (2.88) özel çözümlerin

toplamına uygulanmasıyla genel çözüm,

)cos(2

)sin(2

)cos()(1)cos()( 200

00 ϕ

ϕ+−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

∂∂

+= twtmwF

twmw

Fttu

wtwutu n

n

nn

nn (2.91)

ile verilir. Dış F(t) kuvvetin salınım frekansı titreşim sisteminin salınım frekansına eşit

olduğunda, titreşimin genliği sürekli artar. Bu duruma “rezonans” denir (Kisslinger

1967, Hasselman 1972). Rezonans durumu Şekil 2.19’ da gösterilmiştir. Dış kuvvetin

frekansı, titreşim sisteminin doğal frekansına yakın bir değer aldığında sistem “ritim”

adı verilen davranış gösterir (Kelly 1993). Bu durum, (2.91) çözüm ifadesinde nww ≈

alınarak,

tww

tww

wwF nn

n

o )2

cos()2

sin()(

222m

tu )(+−

− (2.92)

=

eklinde elde edilir. Şekil 2.20’ de ritim davranışı gösterilmiştir. Titreşim sistemin

viskoz sönümlü olması durum

ş

unda (2.49) ile verilen hareket denklemin özel çözümü,

[ ] ⎥⎤

⎢⎣

⎡

+−++−=

(

)cos(2)2()(

)( 2222220

ϕζ w

wtwwwwwm

Ftu n

nnp (2.93)

⎦

+−

)sin()

ϕζ

wtwn

Şekil 2.19. Rezonans davranışı.

40

dır. Trigonometrik özelliklerden yararlanılarak, (2.93) çözümü,

)sin()( φϕ −+= wtHtu (2.9p 4)

şeklinde yazılabilir. Burada titreşimin genliği H ve faz açısı φ:

[ ] 2/12220

)2()( nn wwwwm

FH

ζ+−= (2.95)

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

= 22

2arctanwwww

n

nζφ (2.96)

dır. Titreşim sisteminin uzun süreli davranışı dikkate alındığında, (2.85) ile verilen

homojen çözüm sıfır olur.

Şekil 2.20. Ritim davranışı.

Titreşimde dış kuvvetin etkisi hakim duruma gelir. Dış kuvvetin hakim olduğu durumda

erbest titreşim ihmal edilebilir. (2.95) ve (2.96) ile verilen genlik ve faz ifadeleri s

titreşim sistemine ait önemli bilgiler sağlar. (2.95) ile verilen genlik ifadesinin her iki

41

tarafı, 0

2mwn terimi ile çarpF

ılırsa,

2/1

22

20

2

)2()(1

1

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=

nn

n

ww

ww

HF

mw

ζ

(2.97)

elde edilir. HF

mwM n

0

2

=

katsayısı titreş

boyutsuz terimine “büyütme katsayısı” denir (Chopra 1995).

Büyütme im sistemin frekans yanıtını gösterir. Farklı nw

w değerleri için

büyütme katsayısı ve sistem yanıtı Şekil 2.21’ de gösterilmiştir.

Şekil 2.21. Büyütme katsayısı ve sistem tepkisi.

Şekil 2.21’ den ve (2.97) ifadesinden sırasıyla aşağıdaki özellikler verilebilir:

a) 0=nw

iken büyütme katsayısı, M = 1 değerini alır. Bu duruw mda titreşim sisteminde

elişen en büyük kuvvet sabit dış kuvvete eşittir. g

42

b) ∞→nw

w iken büyütme katsayısı dır. Bu durumda yüksek frekanslarda sistem

genliği küçüktür.

c) Sönüm oran

, 0→M

ıζ arttıkça, büyütme katsayısı, M azalmaktadır.

d) 0=ζ için büyütme katsayısı, M sınırsız büyümektedir. Büyütme katsayısı, M

210 ≤< ζ aralığında ζ sönüm oranının belirli bir değerinde en büyük değerini alır. Bu

durum rezonansa karşılık gelmektedir.

e) 2

10 ≤< ζ aralığı /wn’nin, nda büyütme katsayısı M’ nin en büyük değeri, w

221 ζ−=nw

w (2.98)

noktasında ,

( ) 5.02max12

1ζζ −

=M (2.99)

elde edilmesinde (2.97) ifadesinin değerindedir. (2.98) ve (2.99) ifadelerinin

0= durumu göz önüne al)/(∂

∂

nwwM ınır.

f) 2

1=ζ ve 0=

nww değerinde 0

)/(=

∂∂

nwwM dır.

21

>ζ için nw

w

r. (2.96) ile verilen faz ifadesi,

oranı arttıkça

büyütme katsayısı, M monotonik olarak azalmaktadınw

k,

w

bağlı olara

⎟⎠

)(nw

⎟⎟

⎜⎜⎜

⎝−

= −

2

1

1tan n

ww

(2.100)

dir. Sönüm o

⎟⎞

⎜⎛ 2 wζ

φ

ranı ζ ’ in farklı değerleri için, fazın frekans ile değişimi Şekil 2.22’ de

gösterilmiştir.

43

Şekil 2.22. Fazın frekans ile değişimi.

Şekil 2.22’ den sırasıyla aşağıdaki özellikler

verilebilir:

a)

(2.100) ile verilen faz ifadesinden ve

0=ζ veya 0=nw

w durumunda titreşim sistemi ile dış kuvvet aynı fazdadır.

b) 0>ζ ve 10 <<n

için faz ww

20 πφ << aralığındadır. Bu durumda, titreşim

sisteminin fazı dış kuvvetin gerisinde bulunur.

c) 0>ζ ve 1=nw

w için 2πφ = dır. (2.86) ile verilen dış kuvvet ifadesinde 0=ϕ olursa,

dış kuvvet bir sinüs dalgası ve titreşim sisteminin etkin davranışı bir kosinüs dalgasıdır.

Bu durumda dış kuvvet, titreşim sistemin hızı ile aynı fazdadır. Dış kuvvetin yönü

hareketin yönü ile aynı olur.

d) 0>ζ ve 1>nw

w olduğunda φ fazı πφπ<<

2 aralığındadır. Titreşim sistemin fazı dış

kuvvetin fazından önded

)

ir.

0>ζ ve 1>>nw

w durumunda πφ ≈ dır. Titreşim sistemin fazı dış kuvvetin fazı ile e

ters işarettedir.

44

Yukarıda elde edilen sonuçlardan, bir dış kuvvet altındaki titreşim durumunda, sisteme

kuvv eti

üzerinde önemli rol oynadığı görülmektedir.

Titreşim sistemine ait (2.49) ile verilen hareket denkleminin matematiksel çözümü için

inde homojen çözüm kısmı ve başlangıç koşulları genel

özüm üzerinde etkin rol oynar. Bu tip problemlerde genel çözüm ile birlikte başlangıç

ullar v eçici oldu

en büyük yanıt, dış kuvvetin yok olduğu andan itibaren oluşabilmektedir (Chopra 1995).

an tüm zaman için uygulanacak çözüm yönteminin geçerli

ası kir. Bu

integral” yöntemidir. Evrişim çözümü, birim tepki-moment ilkesinin uygulanmasına

lüsyon çözümünde, Şekil 2.13’deki gibi bir titreşim sistemi denge

uygulanan dış etin ve titreşen sistemin sönüm özelliğinin, titreşim harek

2.3.2. Evrişim (Duhamel integral) çözümü

(2.51) ve (2.52) ile verilen başlangıç koşulları bilinmelidir. (2.49) hareket denklemi,

ikinci mertebeden doğrusal, homojen olmayan bir diferansiyel denklemdir. Dış kuvvetin

geçici (transient) olması hal

ç

koş ı da ele alınır. Dış kuv etin g ğu titreşim problemlerinde, kimi zaman

Bu nedenle, göz önüne alın

olm gere tür yöntemlerden birisi, “evrişim (convolution)” veya “Duhamel

dayanır. Konvo

konumundaki m kütlesine I büyüklüğünde bir tepki uygulandığında, zayıf sönüm

durumunda sistem titreşim yapar. Sistemin başlangıç hızını belirlemek için birim tepki-

moment ilkesi uygulanırsa,

m0I

= (2.101)

azılabilir. Bu tür titreşim hareketi, (2.49) ile verilen hareket denklemi,

v

0)( =tFy ve

vuu == 00 ,0 & başlangıç durumu ile verilir. Zayıf sönüm durumunda ( 1<ζ ) çözüm,

viskoz sönümlü serbest titreşim çözümü olan (2.73) ifadesi,

)sin()( tdwtnw

emw

Itud

ζ−= (2.102)

45

veya kısaca

)()( thItu = (2.103)

ile verilir. Burada h(t) birim tepki fonksiyonuna karşılık titreşim sistemin verdiği yanıt:

)sin(1)( twemw

th dtw

d

nζ−= (2.104)

şeklindedir (Jacobsen vd 1958, Chopra 1995). Titreşim sistemine etkiyen dış kuvvet 0-t

zaman aralığında Şekil 2.23’ deki gibi verildi inde, t zam ı birb

ekil 2.23. Dış kuvvetin birim tepki fonksiyonlar ile gösterim

ğ 0- an aral ğı irine eşit,

…………..

F(t)

∆t 2∆t 3∆t (n-1)∆tt

n∆t

Ş i.

ntt =∆ (2.105)

adet alt aralığa bölünerek, her bir zaman aralığındaki dış kuvvet, n ttF k ∆)(

büyüklüğündeki birim tepki fonksiyonları olarak ele alınır. Toplam dış kuvvet 0-t

zaman aralığında bulunan tepki fonksiyonlarının toplamı şeklinde elde edilir. Herhangi

ir t anında sistemin yanıtı, diferansiyel denklemin kk tt −=ξb anı için,

46

02 22

2

=+∂∂

+∂∂

knk

knwζ

k

k uwuuξξ

(2.106)

ve başlangıç koşullarının,

0)0( ==kku ξ (2.107)

mttFu

kk

k ==∂∂ (

)0(ξξ

(2.108)

ygulanmasıyla elde edilir. (2.106) diferansiyel denkleminin (2.107) ve (2.108)

başlangıç koşullarına göre çözümü,

k ∆)

u

u )()()( kkkk httF ξξ ∆= (2.109)

ξ (2.110)

plamıyla elde edilir. Toplam t zamanı n eşit zaman aralığına bölündüğünden (2.110)

Bu nedenle gerçek çözüm, (2.110) çözümünün limit

urumunun alınmasıyla,

0)()()( ττ (2.111)

larak elde edilir. (2.111) ifadesi bir “konvolüsyon integrali” dir (Chopra 1995). (2.111)

ve aşırı sönümlü olması durumunda sırasıyla,

yaklaşımı ile elde edilir. (2.49) hareket denklemi doğrusal yapıda olduğundan üst üste

toplama ilkesi uygulanarak, titreşim sisteminin t anındaki yanıtı,

∑−

=

=1

0)()(

n

ikk

n utu

to

çözümü bir yaklaşımdır.

d

∫ −=t

dthtFtu

o

integrali tüm doğrusal titreşim sistemleri için uygulanabilir. Titreşim sisteminin birim

tepki fonksiyonu, h(t) sistemin kritik

47

1;)( =

−

= ζm

tnwetth (2.112)

1;)12sinh(2

)( >−−

−= ζζ

ζ 1

ζtnw

tnweth

nmw (2.113)

ile verilir (Chopr 19 5). Ba langıçta sıfırdan farklı hızı olan bi titreş

pkisi, birim tepkiye bağlı olarak (2.111) çözümüne eklenmesiyle elde edilir. Başlangıç

(2.114)

değişken dönüşümüyle (2.106) diferansiyel denklemi,

a 9 ş r im sisteminin

te

anında denge konumunda bulunmayan bir sistem için,

)0(uuy −=

mFu

mkynwynwy +−=++ )0(22 &&& ζ (2.115)

()()0()( ττ

şeklinde verilir. Zayıf sönümlü bir titreşim sistemi iç gene çözüm

ve (2.111) konvolüsyon integrali,

[ ]∫ −+−=t

dthtFkuty0

) (2.116)

in l ,

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

⎣∫ −

−+

−= tdtwnw

eFmw

twetu

dd

dn

0)(sin)(1

)(ττ

τζτ

ζ (2.117) ⎥

⎦

⎤⎢⎡ +

+ tdww

uwutwu d

d )sin()0()0(

)cos(0ζ&

dır. (2.117) ifadesi, zayıf sönüm durumu için v rilen .69) adesin

iş halini göstermektedir.

e (2 if e dış kuvvet

etkisinin eklenm

48

2.3.3. Laplace ve Fourier dönüşüm yöntemleri ile çözüm

Titreşim sisteminin yanıtının elde edilmesinde Laplace ve Fourier dönüşüm yöntemleri,

areket denkleminin çözümü için yararlanılan başlıca yöntemler arasında yer alır.

emlerinde (2.49) ile verilen hareket denklemi (2.51)-

.52) ile verilen başlangıç koşulları ve dönüşüm yöntemi özelliklerinin uygulanmasıyla

cebirsel bir yapıya dönüştürülür. Laplace dönüşüm yöntem de, u( yer d

Laplace dönüşümü,

h

Laplace ve Fourier dönüşüm yönt

(2

in t) eğiştirmesinin

∫∞

=0

)()( dtetus (2.118)

integrali ile verilir (Jacobsen vd 1958, Spiegel 1965, Hu

s değişkeni karmaşık düzlem değişkenidir. F(t) dış kuvvetinin Laplace dönüşümü F(s)

ile gösterilirse, (2.49) hareket denkleminin Laplace dönüşümü,

−stu

nt 1979, Balmes 2003). Burada

msFsuwuLwuL nn)()()(2)( 2 =++ &&& ζ (2.119)

olarak verilebilir. Burada L, Laplace dönüşüm operatörüdür. Laplace dönüşümünün

rev özelliği tü

)0()()( FsfsttFL −=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∂∂ (2.120)

kullanılarak, (2.119) ifadesi cebirsel yapıda:

22 2

)0()0()2()( ssF++

)(nn

n

wsws

uuwms

++

+=

ζ

ζ & (2.121)

elde edilir. u(t) yerdeğiştirmeyi zaman ortamında elde etmek için ters Laplace

önüşümü:

u

d

49

∫∞

e Laplace dönüşümünün özelliklerinin kullanılması ile

=0

)(2

1)( dsesuj

tu st

π (2.122)

v

⎟⎠

⎜⎝ ++

+⎟⎠

⎜⎝ ++

= 2222 22)(

nnnn wswsL

wswsL

mt

ζζ (2.123)

⎟⎞

⎜⎛ ++⎟

⎞⎜⎛ −− 11 )0()0()2()(1 n uuwssF ζ &

lde edilir (Spiegel 1965). (2.123) ile verilen çözüm, her bir teriminin paydasında yer

alan ikinci dereceden de l in köklerine ve sönüm oranı

u

e

nk em , ζ ’ye bağ

birlikte (2.123) çözümünün hesaplanabilmesi için F(t) dış kuvvetinin tanımlı ve Laplace

r.

Doğrusal diferansiyel denklemlerin çözümünde kullanılan diğer bir yöntem

dönüşüm yöntemidir. u(t) gibi bir fonksiyonun Fourier dönüşümü U(w),

lıdır. Bununla

dönüşümünün alınabilmesini gerektirmektedi

, Fourier

∫∞−

∞

dönüşüm integrali ile verilir (Balmes 2003). (2.49) ile verilen hareket denklemine

ourier dönüşümü ve dönüşüm özellikleri uygulanırsa,

−= dtetuwU iwt)(21)(π

(2.124)

F

kicwmwwUwFwH ++−== 2

)()()( (2.125)

lde edilir (Balmes 2003). Burada H(w), sistemin frekans yanıtını gösterir. Zaman e

ortamındaki u(t) yerdeğiştirmesini elde etmek için ters Fourier dönüşümü,

∫∞

∞−

= dwewUtu iwt)(21)(π

(2.126)

50

kullanılarak elde edilir. Fourier dönüşüm yöntemi uygulanırken, F(t) dış kuvvetinin

aman ortamında tanımlı ve periyodik bir yapıda olması gerekir. Fourier dönüşüm

2.3.4. Kip (mode) çözüm yöntemi

lduğu ve uzun zaman aralığında

celenmesi gereken problemlerde yararlanılan bir yöntemdir (Johnson vd 1972, Chopra

1995, Balmes 2003). Hareket denkleminin zaman ortamı çözümünde, sönüm dizeyi

ihmal edilirse, her bir ∆t zaman adımı için gerekli olan işlem sayısı yaklaşık 2nm’ dir.

urada n, çok serbestlik dereceli titreşim sisteminin serbestlik derecesini (toplam

etirilmesinde

erekli işlemlerde hesaba katıldığında toplam işlem sayısı artmaktadır. Bu nedenle (2.49)

denkleminin zaman ortamı sayısal çözümünde uzun zaman aralığı

için kip çözüm yöntemi ılır. Kip çözümleme yönte i bir özdeğer problem

.49) hareket denkleminde sönüm terimi ihmal edildiğinde, sönümsüz serbest salınım,

=)( (2.127)

kip şeklini (mode shape) gösteren vektördür. w her

ir kipin açısal frekansıdır. Her bir wi frekans değeri için (2.127) ifadesi (2.50)

enkleminin çözümü olur ve titreşimin bir kipini gösterir. (2.50) ile verilen sönümsüz

z

yöntemi, titreşim sistemlerine ilişkin spektral özelliklerin belirlenmesi ve sayısal

işlemlerin kolay yapılmasından dolayı tercih edilen bir yöntemdir.

Kip çözüm yöntemi, özellikle yüksek kiplerin önemsiz o

in

B

bilinmeyen sayısını) ve m (2.49) denkleminde yer alan sıkılık dizeyinin bant genişliğidir.

Başlangıç durumu hesaplamaları ve dizeylerin üst üçgen dizey haline g

g

gerektiren durumlar

kullan m idir.

(2

(2.50) denklemi ile verilmektedir. (2.50) ifadesi, n serbestlik derecesindeki bir titreşim

sistemi için n adet doğrusal ve homojen diferansiyel denklem sistemini gösterir. (2.51)-

(2.52) başlangıç koşullarını sağlayan u(t) yerdeğiştirme çözümü,

twiAetu

ile verilir. Burada A, (1,n) boyutlu

b

d

serbest titreşim denklemi doğrusal ve homojen yapıda olduğundan genel çözüm, her bir

kip çözümün üst üste toplanmasıyla elde edilir. (2.127) ifadesi (2.50) denkleminde

yerine yazılırsa,

51

0)( 21 =−− AIwKM (2.128)

elde edilir. Burada, -1 bir dizeyin tersini gösterir ve I (n,n) boyutlu birim dizeydir.

(2.128) ifadesinde A≠0 kabul edilirse, n adet doğrusal denklem sisteminin dizey yapısı,

KM

w

ww

w

nn

1

2

233

222

211

0

0−=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

(2.129)

şeklindedir. (2.128) denklemi ı,

ri (özdeğerleri) titreşim sistemin açısal frekanslarını temsil eder. Her

bir wi açısal frekansına karşılı bir Ai treşim ipi (ö ektörü) karşı k gel

enklemini sağlar. Titreşim sisteminde yer alan kipler,

, i≠j (2.132)

i≠j (2.133)

iklik (ortogonallik) özelliğini sağlar (Jacobsen vd 1958, Kelly 1993, Chopra 1995).

n determinant

0)21(det =−− IwKM (2.130)

n. dereceden bir polinomdur. (2.130) determinant ifadesine titreşim sisteminin

“karekteristik denklemi” denir. Kütle dizeyi, M ve sıkılık dizeyi, K gerçel ve pozitif

tanımlı olduğundan karakteristik dizeyin tüm katsayıları da gerçeldir. Karakteristik

denklemin kökle

k ti k zv lı ir ve

iii AwKAM 21 =− (2.131)

d

0=iTj MAA

0=iTj KAA ,

d

52

Uygulamalarda Ai kipleri için normalleştirme işlemi yapılır. Normalleştirme işlemi için,

..2=Φ

2.135) özelliklerini sağlar:

⎤

⎢⎢⎢

⎢⎢⎢

Ω=ΦΦ

22

...

..

..

.00...0

w

K

1=iTi MAA (2.134)

ve

2ii

Ti wKAA = (2.135)

özellikleri kullanılır. Kip şekillerini içeren,

[ ]ni AAA . (2.136)

dizeye “kip dizeyi (modal matrix)” denir ve (2.134) ile (

⎡ 21w

⎥⎦⎢⎣2....0 nw

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎢=..

(2.137)

IM =ΦΦ (2.138)

urada, dizeyine “spektral dizey” denir (Kelly 1993). Yerdeğiştirme, u kip dizeyi ve

koordinatlara (principle coordinates) bağlı olarak,

i,

B Ω

asal

zu Φ= (2.139)

şeklinde verilir. Burada asal koordinat yöney

53

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢ )(2 tz

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

)(..

)(1

tz

tz

n

(2.140)

dir. (2.140) ile verilen asal koordinatlara bağlı yerdeğiştirmeler (2.49) hareket

denkleminde yerine yazılırsa,

=

z

M )(tpzzCz Ω++Φ &&& φ (2.141)

ilir. Burada, sönüm dizeyi ve dir. (2.141) ile verilen

ir (Bathe vd 1972). Titreşim

istemlerinde her bir titreşimin kipine ait özellikleri göstermesinden dolayı ayrık

yapıdad ğ ğ ştirm

ğıntısı kullanılır.

elde ed φ

denkleme “kip denklemleri (modal equations)” den

C )()( tftp TΦ=

s

ır. (2.141) ile asal koordinatlara ba lı olarak verilen yerde i eyi elde etmek

için tekrar (2.139) ba

54

3. MATERYAL ve YÖNTEM

3.1. Sönüm İşlemi ve Yaklaşımları

Mühendislik problemlerinde ortam tamamen elastik davranış gösterdiğinde sönüm

ihmal edilebilecek mertebededir. Ancak, jeolojik yapıların büyük gerilmeler altında

dinamik özelliklerinin incelenmesinde, sönüm göz ardı edilemeyecek düzeydedir. Bu

nedenle ideal elastik durum için verilen ve gerilme-deformasyon ilişkisini tanımlayan

Hook kanunu yerine farklı yapısal denklemler (constitutive equations) kullanılır (Lazan

1968, Aki vd 1980). Elastisite kuramına göre, yeterince küçük deformasyon durumunda

elastik katı üzerindeki gerilme oluşan deformasyonla, viskoz bir sıvıda ise hidrodinamik

ilkelerine göre deformasyondaki değişim ile orantılıdır. Viskoelastik malzemeler elastik

ve viskoz davranış özelliklerini birlikte gösterir. Viskoelastik bir malzeme iki temel

özelliği ile tanımlanır. Bunlar: sabit gerilme altında sünme (creep) ve sabit deformasyon

altında gevşeme (relaxation) davranışlarıdır (Lazan 1968). Bu tür malzemelerde

deformasyon durumu anlık değerine olduğu kadar geçmiş gerilme durumuna da bağlıdır.

Bu özelliğe “bellek (memory)” adı verilir (Oldham vd 1974, Koeller 1984, Blank 1996,

Diethelm 1997, Novozhilov 1997, Lui vd 1998, Ruge vd 1999, Diethelm vd 2000, Ford

vd 2001). Sönüm davranışının matematiksel modellenmesi de bu özelliğe dayanır.

(2.49) ifadesiyle verilen hareket denklemindeki terimi, titreşimde sönüm terimini

gösterir. Titreşim sistemlerinde sönüm, sistemin enerjisini yitirmesine ve titreşim

genliğinin zaman içerisinde azalmasına neden olur. Sönüm katsayısının (c) birimi

kuvvet× zaman/uzunluk dır. Tamamen elastik davranış gösteren ortamda sönüm işlemi

matematiksel olarak tanımlanabilirken, pekişmemiş zemin birimlerinde sönüm

mekanizmasını matematiksel olarak tanımlayabilmek oldukça zordur (Bagley vd 1983a,

Bagley vd 1983b). Bunun nedenleri arasında sönüm mekanizmasına katkıda bulunan

çok sayıda etkenin bulunması, alüvyal birimlerin dalga yayınımı üzerinde farklı etkiler

göstermesi verilebilir. (2.49) ile verilen hareket denkleminde sönüm terimi hız ile doğru

uc &

55

orantılı olarak verilmiştir. Bu tür bir sönüm mekanizmasına “viskoz sönüm” denir. Tüm

sönüm mekanizmalarını içerisine alan ve titreşim sisteminde sönümü temsil eden terime

“eşdeğer sönüm (equivalent damping)” olarak adlandırılır (Idriss vd 1992). Genel olarak

uygulamalarda viskoz sönüm tercih edilir. Bunun başlıca nedeni, bu tür bir sönümün

yapısal denklemlere doğrusal bir terim olarak girmesi ve matematiksel olarak kolay

hesaplanabilmesinden kaynaklanır (Lazan 1968) . Gerçekte zemin birimlerinde sönüm

işlemi tümüyle viskoz yada tümüyle elastik davranış göstermez (Lazan 1968, Mavko

1979, Jones 2001). Kjartansson (1979) ve O’ Connel vd (1978) zemin birimlerinde

sönüm mekanizması üzerinde çalışmalarını Q kalite faktörüne bağlı olarak

incelemişlerdir.

Bu tezin temel amacı, titreşim sistemini temsil eden ve (2.49) hareket denkleminde yer

alan sönüm terimi (c) için kullanılan klasik yaklaşımlar yerine, gerilme altında bulunan

titreşim sisteminde zaman içerisinde gelişen deformasyona ve deformasyon geçmişine

bağlı bir sönüm yaklaşımı getirmektir. Bu kısımda, ilk olarak uygulanan klasik sönüm

yaklaşımları ve sonra yeni sönüm yaklaşımı olarak ifade ettiğim “kesirsel mertebeli

türev yaklaşımı” anlatılmıştır.

3.1.1. Deneysel yaklaşımlar

Zemin birimlerindeki sönüm üzerine bazı deneysel çalışmalar, Hall vd (1963), Idriss vd

(1968), Seed vd (1969, 1987), Hardin vd (1972a), Sherif vd (1976), Mavko vd (1979),

Morato (1980) ve Menke vd (1985) tarafından gerçekleştirilmiştir. Bu çalışmalar

içerisinde Hall vd (1963) titreşim genliğinin sönüm üzerindeki etkisini, elastik dalga

enerjisinin daneli zemin birimlerinde (kumlarda) sönümü ve daneli zeminlerde dalga

yayılımını incelemiştir. Idriss vd (1968) deprem anında zemin davranışını ve zemin

özelliklerinin etkisini incelemiştir. Farklı bölgelere ait kumlu zemin birimleri üzerinde

yaptıkları deneysel çalışmalar sonucunda, makaslama deformasyonuna bağlı olarak

56

makaslama gerilmesi ve sönüm ilişkisini araştırmıştır. Çizelge 3.1 ve Şekil 3.1’ de Seed

vd (1969) tarafından elde edilen sonuçlar gösterilmiştir.

Çizelge 3.1. Kumda γ’ a bağlı G/Gmax ve D/Dmax değişimi (Seed vd 1969)

γ(%) G/Gmax(%) D/Dmax(%)

0.0001 100 0.24

0.0003 100 0.42

0.001 99 0.8

0.003 96 1.4

0.01 85 2.8

0.03 64 5.1

0.1 37 9.8

0.3 18 15.5

1 8 21

Hardin vd (1972a), zeminlerde makaslama modülü (G/Gmax) ile sönüm ilişkisini ayrıntılı

incelemiştir. Hardin vd (1972a) özellikle farklı zemin numuneleri üzerinde laboratuar

deneyleriyle zemin parametrelerinin makaslama modülü ve sönüm üzerindeki etkilerini

incelemiştir. Hardin vd (1972a)’ ın elde ettikleri sonuçlar Çizelge 3.2’ de gösterilmiştir.

0.01 0.1 10

20

40

60

80

100

0.01 0.1 1

0

5

10

15

20

25

G

/Gm

ax (%

)

Deformasyon (%)

D/D

max

(%)

Şekil 3.1. Kumda γ’ a bağlı G/Gmax ve D/Dmax değişimi (Seed vd 1969).

57

Çizelge 3.2. Farklı zemin parametrelerin makaslama modülü ve sönüm üzerindeki

etkileri (Hardin vd 1972)

Makaslama Modülü Sönüm

Değişken Kumlu

zemin

Killi

zemin

Kumlu

zemin

Killi

zemi

n

Deformasyon genliği V V V V Efektif normal gerilme V V V V Boşluk oranı V V V V Yükleme süresi R R V V Doygunluk(saturasyon) derecesi R V L U Aşırı konsolidasyon oranı R L R L Efektif Gerilme zarfı L L L L Makaslama gerilmesi L L L L Yükleme frekansı(0.1 Hz ve üzeri) R R R L Zaman etkisi R L R L Zemin dane büyüklüğü, boyutu, şekli, derecelenme oranı ve mineralojisi

R

R

R

R

Dane geometrik yapısı R R R R Makaslama deformasyonuna bağlı hacim değişimi (deformasyon < 0.5%)

U

R

U

R

V: Çok önemli, L: Az önemli, R: Göreceli olarak önemsiz, U: Önemi tam olarak bilinmiyor.

Hardin vd (1972a) farklı zemin örnekleri üzerinde yaptıkları deney sonuçlarına

dayanarak, zeminlerde deformasyona bağlı makaslama modül oranı (G/Gmax)

değişiminin geniş bir aralık gösterdiğini belirtmiştir. Bu sonuç Şekil 3.2’ de

gösterilmiştir.

0.2

0.6

G/G

max

0.4

0.8

1.0

0 5 10γ(%)

15

Şekil 3.2. Farklı zemin birimleri için makaslama modül oranı değişimi.

58

Hardin vd (1972b), elde ettikleri deneysel sonuçlardan hareketle, referans deformasyon

kavramı kullanarak makaslama modülü ve sönüm ilişkisini deneysel (ampirik) olarak

vermiştir. Hardin vd (1972b) referans deformasyonu için,

max

max

Grτ

γ = (3.1)

bağıntısını tanımlamıştır. Burada maxτ , ve maxG rγ Şekil 3.3’ de gösterilmiştir.

r

Gγτ

θ maxmax)tan( ==

τmax

γr

θ γ

Şekil 3.3. Referans deformasyonu.

Referans deformasyon ifadesinden hareketle, hiperbolik deformasyon:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+=

− )(1 r

b

rh ae γ

γ

γγγ (3.2)

bağıntısı ile verilmiştir. Burada, a ve b zemin sabitleridir. Hiperbolik deformasyona

bağlı olarak makaslama modül oranı, G/Gmax

hGG

γ+=

11

max

(3.3)

ve sönüm oranı, D/Dmax

59

h

h

DD

γγ+

=1max

(3.4)

bağıntıları ile verilmiştir. Referans deformasyonuna bağlı olarak modül ve sönüm oranı

değişimi Şekil 3.4.’ de gösterilmiştir. Hardin vd (1972a, 1972b) çalışmalarına benzer

olarak Sherif vd (1976), kuru kum örnekleri üzerinde yaptığı makaslama deneylerine

dayanarak makaslama modülü ve sönüm oranı üzerine benzer ilişkiler geliştirmiştir.

Thomson vd (1974) deneysel sonuçlardan yararlanarak sönüm üzerine deneysel ifadeler

elde etmiştir.

h

h

h GG

DD

γγ

γ +=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

1

max

max

γh(%) 5 7 3 1 0.0 1.0

0.8

0.0

0.2

0.4

0.6

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

G/G

max

D/D

max

Şekil 3.4. Referans deformasyona bağlı modül oranı (G/Gmax) ve sönüm oranı (D/Dmax)

değişimi.

3.1.2. Mekanik model ve kompleks modül

Bir titreşim hareketinin oluşması için, mekanik sistemde bir düzenleyici (sistemi denge

konumuna getirmeye çalışan) kuvvetin veya momentin bulunması gerekir. Sistemin

titreşimi, bir enerjinin dış kaynaktan sisteme verilmesiyle başlar. Şekil 3.5’ de verilen

yay, mekanik sistemin bir elastik elemanıdır ve titreşim sisteminin düzenleyici

kuvvetini temsil eder.

60

Denge konumu

Şekil 3.5. Mekanik sistemde, kütleyi denge konumuna getiren yay kuvveti.

Şekil 3.5’ de gösterilen m kütlesinin denge konumundan itibaren yerdeğiştirmesi için bir

iş yapıldığında yay gerilir ve gerilen yayda potansiyel veya deformasyon enerjisi oluşur.

Yayda oluşan kuvvet, geri çağırma kuvvetidir. Dış kuvvet kaldırıldığında, yay kuvveti

m kütlesini denge konumuna geri çeker. Bu esnada yaydaki potansiyel enerjinin kinetik

enerjiye dönüşümü olur. Sistemde korunumlu olmayan kuvvetler bulunmadığında bu

enerji dönüşümü sürekli olur. Kütle, denge konumu etrafında sürekli salınım yapar.

Sistemdeki düzenleyici kuvvete örnek olarak yerçekimi kuvveti verilebilir. Titreşim

problemlerinin anlaşılması, matematik ve mühendislik bilimlerinin bir arada

kullanılmasını gerektirir. Titreşim sistemlerinin oluşturulmasında temel fizik ilkeleri ve

yapısal denklemlerin dinamik sistemlere uygulanması yer alır. Bu uygulama, dinamik

ve katı mekanik ilkelerinin kullanılmasıdır. Mekanik bir sistemde Hook tipi yay elemanı,

iki parçacık arası elastik bağlantıyı sağlar. Yay elemanının her iki tarafındaki gerilme

kuvvetinin eşit olduğu varsayılır. İkinci bölümde verilen gerilme-deformasyon ilkesine

göre, elastik sınırlar içerisinde kuvvet ile yer değiştirme arasında doğrusal ilişki vardır.

Bu ilişki,

)(xfF = (3.5)

fonksiyoneli şeklindedir. Burada verilen f(x) fonksiyonu, mekanik sistemin özelliklerine

bağlı yapısal denklemlerle tanımlanır. x uzunluğundaki yay elemanının denge

konumundan itibaren kadar yerdeğiştirmesi ile oluşan yay kuvvetini bulmak için

noktasında Taylor açılımının uygulanması ile

x∆

0=∆x

f=k∆x m

∆x

61

nn xkxkxkxkkF )(...)()( 3

32

210 ∆++∆+∆+∆+= (3.6)

elde edilir. 0=∆x iken 0=F olduğundan (3.6) ifadesinde dır. pozitif bir

değer aldığında (X+∆x>0) yay gerilmiş olur.

00 =k x∆

x∆ negatif olması halinde (X>X+∆x) yay

sıkışmış olur. Bu nedenle, elastik bir yayda ∆x kadar sıkıştırma veya uzama meydana

getirmek için eşdeğer kuvvet gereklidir. Bu sonuç (3.6) ile verilen ifadenin tek dereceli

terimlerden oluştuğunu gösterir.

,...2,1,)(...)( 1212

331 =∆++∆+∆= −

− nxkxkxkF nn (3.7)

(3.7) ile verilen ifade, benzer özelliklerdeki yay elemanlarının doğrusal olmayan

kuvvet-gerilme kuralına uyduğunu gösterir. Fakat uygulamada yüksek dereceli terimler

küçük olduğundan ihmal edilir ve yayda oluşan elastik kuvvet, F

kxF = (3.8)

ile verilir. (3.8) denklemine uyan yay elemanlarına “doğrusal yay elemanı“ denir.

Mekanik yay elemanı ile yapısal eleman arasındaki ilişkiyi göstermek için Şekil 3.6’ da

L uzunluğundaki bir yapısal eleman M kütlesine bağlanmıştır. Yapısal elemanın

elastisite modülü, E ve kesit alanı, A dır. M kütlesi denge konumundan ∆x kadar yer-

değiştirdiğinde, yapısal elemanda oluşan normal deformasyon:

A E

Lm

Şekil 3.6. Yapısal elemanın mekanik elemanlar ile benzeşimi.

Lx

AEF ∆

==ε (3.9)

62

dir. Bir F kuvveti tarafından yapısal eleman üzerinde yapılan iş,

2

21 εEALW = (3.10)

dır. Dış kuvvet ani olarak kaldırıldığında, m kütlesi denge konumu etrafında salınım

yapar. Yapısal elemanda oluşan deformasyon enerjisi, kinetik enerjiye dönüşür. m

kütlesine göre yapısal elemanın kütlesi küçük olduğundan ihmal edilebilir. Böylece m

kütlesinin denge konumundan itibaren ∆x kadar yerdeğiştirmesi için gerekli F kuvveti:

xL

AEF ∆= (3.11)

dır. Bu nedenle yapısal elemanın sıkılık değeri:

LAEk = (3.12)

olan bir mekanik yay elemanının M kütlesine uyguladığı kuvvete eşittir. Şekil 3.6’ da

verilen yapısal eleman-kütle Şekil 3.7b’ de verilen mekanik yay-kütle sistemine karşılık

gelir. Uygulamada mekanik sistemdeki yay, birden fazla yay elemanından oluşur. Bu

durumda sistemin sıkılık değeri, her bir yayın sıkılık değerinin yay dizilimine uygun

şekilde toplanmasıyla elde edilen, eşdeğer sıkılık değerine eşit olur.

Şekil 3.7. Mekanik yay elemanları, (a) paralel bağlı yay sistemi, (b) eşdeğer yay.

k1 ∆x

k2

. k3 m

∆x keş. m. kn

(a) (b)

63

Şekil 3.7a’ da birbirlerine paralel bağlı yay-kütle sistemi verilmiştir. Paralel bağlı

yaylarda her bir yayın yer değiştirmesi aynıdır. Fakat her bir yayda oluşan kuvvet farklı

olup, ki yay sabitine bağlıdır. Bu tür bir sistemin eşdeğer yay sabiti Şekil 3.7b’ de

gösterilmiştir. Şekil 3.7a’ da kütleye etkiyen kuvvet, her bir yaydaki kuvvetlerin

toplamına eşittir:

.1

....21 ∑=

∆=∆++∆+∆=n

ixikxnkxkxkF (3.13)

Şekil 3.7b’de ise kütleye etkiyen kuvvet:

xkF eş∆= (3.14)

dir. (3.13) ve (3.14) ifadeleri eşitlenirse, mekanik sistemin eşdeğer sertliği, keş

∑=

=n

i ikeşk1

(3.15)

dir. Şekil 3.8’de n adet yay seri bağlanmıştır. Bu durumda her bir yayda oluşan kuvvet

eşit, fakat yerdeğiştirme farklı ve ki yay sabitine bağlıdır. Kütlenin denge konumundan

itibaren ∆x kadar yerdeğiştirmesi, her bir yaydaki

F

Şekil 3.8. Mekanik yay elemanları, (a) seri bağlama, (b) eşdeğer yay.

yerdeğiştirmelerin toplamına eşit ve

knk3kk keşm.......... m

(b) (a)

64

∑=

∆=∆n

i ixx1

(3.16)

dir. Her bir yaydaki kuvvet eşit olduğundan,

ikF

ix =∆ (3.17)

dir. Toplam yer değiştirme ise,

∑=

=∆n

i ikFx

1 (3.18)

dir. Seri bağlı yaylar için eşdeğer sıkılık değeri, keş (3.18) ifadesinin (3.14)’de

yazılmasıyla,

∑=

=n

i ikeşk1

1/1 (3.19)

elde edilir (Lazan 1968). Mekanik sistemlerde yer alan yay elemanları ile elektrik devre

elemanları arasında benzer ilişkiler bulunur. Elektrik devre elemanlarından

kapasitörlerin seri bağlanmasında eşdeğer kapasitör, seri bağlı yay elemanlarının

eşdeğer sıkılık değerinin elde edilmesi şeklinde ve paralel bağlı kapasitörlerin eşdeğer

sıkılık değeri ise paralel bağlı yay elemanlarının eşdeğer sıkılık değerinin elde edilmesi

şeklindedir. Mekanik sistemin bir diğer elemanı olan sönüm elemanı, viskoz sönüm

davranışını gösterir. Katı bir cisim sıvı ile temas halinde olduğunda viskoz sönüm

oluşur (Terzaghi 1962, Timoshenko 1951, Love 1944). Katı cismin hızı ile orantılı olan

sönüm kuvveti:

cvF = (3.20)

65

dir. Burada c, sönüm katsayısıdır. Viskoz sönüm çoğu zaman mekanik sistemlerde

istenen bir elemandır. Çünkü titreşim genliğinin zamanla azalmasını sağlar. Viskoz

sönüm elemanlarının eklenmesi, titreşim sistemini temsil eden diferansiyel denkleme

doğrusal terimlerin eklenmesidir. Mekanik sistemlerde “dashpot” adı verilen Newton

tipi sönüm elemanı viskoz sönümü temsil eder. Viskoz sönümlendirici daima uygulanan

dış kuvvete ters yönde olduğundan korunumsuz bir kuvvettir. Diğer bir ifadeyle

sistemde negatif iş yapar. Başlangıç kinetik veya potansiyel enerjili bir titreşim sistemi,

dış kuvvetin bulunmadığı durumda serbest titreşim yapar. Serbest titreşim hareketi bir

salınım hareketidir. Şekil 3.5’ de m kütlesi, sıkılık değeri k olan bir yayla bağlanmıştır.

Kütle, denge konumundan itibaren ∆x kadar yerdeğiştirdiğinde, yayda oluşan potansiyel

enerji (deformasyon enerjisi):

2)(21 xkE p ∆= (3.21)

ile verilir. Yay, m kütlesine (3.8) büyüklüğünde bir kuvvet uygular. Denge konumundan

∆x kadar yerdeğiştiren m kütlesi serbest bırakıldığında, yay kuvveti m kütlesini denge

konumuna getirmeye çalışır. Bu durumda yaydaki potansiyel enerji, kinetik enerjiye

dönüşür. Kütle denge konumuna geldiğinde kinetik enerji en büyük değerine ulaşır.

Kütle, hareketini yayda ∆x kadar bir sıkıştırma oluşturana kadar devam ettirir. Yay, ∆x

kadar sıkıştığında m kütlesinin hızı sıfır olur. Fakat yayın sıkışması esnasında yayda

tekrar potansiyel (deformasyon) enerji oluşur. Sistemde korunumlu olmayan kuvvetlerin

bulunmadığı durumda bu enerji dönüşümü sürekli olur. Gerçek fiziksel titreşim

sistemlerinde ise çeşitli sönüm etkilerinden dolayı, sürekli titreşim mümkün olmaz. Seri

veya paralel bağlı yaylar ve sönümü temsil eden elemanla (dashpot) birleştirilerek

titreşim sistemleri modellenmeye çalışılır. Bu şekilde kullanılan mekanik modellerin

başında Maxwell ve Kelvin-Voigt tipi modeller gelmektedir. Bu modellerin bir arada

kullanılmaları ile daha karmaşık mekanik modeller oluşturulabilmektedir. Fakat

mekanik modeldeki eleman sayısı arttıkça modeli temsil eden denklemler de karmaşık

hale gelmektedir. Burada mekanik modellerden Maxwell ve Kelvin-Voigt modelleri

anlatılmıştır. Lineer viskoelastik malzemelerin genel gerilme-deformasyon bağıntısı,

66

εσ )...()...( 2

2

2102

2

210 m

m

mn

n

n dtdb

dtdb

dtdbb

dtda

dtda

dtdaa ++++=++++ (3.22)

diferansiyel denklemi ile tanımlanır (Dillard 1999). Burada ai ve bi katsayıları pozitiftir

ve malzemenin fiziksel özelliklerini gösteren sabitlerdir. Genel olarak, gerilme-

deformasyon davranışının doğrusal olmadığı durumlarda, (3.22) ifadesinin tüm

türevlerinin alınmasını gerektirir. Fakat uygulamada belirli sayıda terimin türevi

alınarak (örneğin ilk iki terim) yeterli yaklaşım sağlanabilmektedir. Malzeme

özelliklerinin belirlenmesinde doğrusal diferansiyel denklemlere eşdeğer mekanik

modeller tasarlanır. Doğrusal diferansiyel denklemlerde yer alan her bir katsayı model

tasarımında bir fiziksel değişkene karşılık gelir. Basit mekanik modeller malzemelerin

özellikleri hakkında genel bir fikir verebilmektedir. Bu tür model iki adet bileşenden

oluşur. Bunlar sırasıyla,

a) Yay elemanı:

xFk = (3.23)

ile verilir. Burada, F yaya uygulanan kuvvet, x yerdeğiştirme ve k yay sabitidir.

b) Viskosite katsayısı bulunduran bir sönüm elemanı:

dtdxF /=µ (3.24)

ile verilir. Burada, F sönüm elemanına etkiyen dış kuvvet, x sönüm elemanındaki yer-

değiştirme ve µ viskosite sabitidir. İki bileşenli sönüm modelleri, gerçek

malzemelerdeki sönüm davranışlarını tam anlamıyla olmasa da yaklaşık olarak

gösterebilmektedir. İki bileşenli modellerden birincisi, Maxwell modelidir. Maxwell

modelinde yay ve sönüm elemanı seri bağlanır (Şekil 3.9). Her iki elemanda oluşan

gerilmeler eşit,

67

dy σσσ == (3.25)

ve deformasyonlar farklıdır. Toplam deformasyon her iki elemanda oluşan

deformasyonun toplamına eşittir:

.dy εεε += (3.26)

Maxwell modelinde gerilme-deformasyon ilişkisi (3.25) ve (3.26) ifadelerinden

hareketle,

εησησ && =+E

(3.27)

ile verilir. (3.27) diferansiyel denklemi ile (3.22) genel ifadesi karşılaştırıldığında,

εσ )()( 1010 dtdbb

dtdaa +=+

yapısında olduğu görülür. Burada ao =1, a1 =η/E (gevşeme zamanı, relaxation time),

bo=0 ve b1=η dir. Maxwell modele ait denklem, viskoelastik bir malzemede gerilme-

gevşeme (stress-relaxation) durumunu gösterebilirken sünme durumunu temsil

edememektedir (Lazan 1968). Bu nedenle bu modele "etkisiz (dead) davranış” modeli

denir (Bagley vd 1986). Maxwell modeline ait sünme ve gerilme-gevşeme davranışları

Şekil 3.10’ da gösterilmiştir.

µ1

k1

Şekil.3.9. Maxwell modeli.

68

γ τ

t t

γ τ

t t

(a) (b)

Şekil 3.10. Maxwell modeli için a) sünme ve b) gerilme-gevşeme davranışı.

Maxwell modelindeki eksikliğin üstesinden Kelvin-Voigt modeli ile gelinmiştir.

Kelvin-Voigt modeli Şekil 3.11’de gösterilmiştir. Kelvin-Voigt modelinde yay ve

sönüm elemanı birbirine paralel bağlıdır. Her iki elemanda oluşan deformasyon

dy εεε == (3.28)

eşit, ancak gerilmeler farklıdır ve her iki elemandaki gerilmenin toplamına eşittir:

.dy σσσ += (3.29)

Kelvin-Voigh modelinde gerilme-deformasyon ilişkisi (3.28) ve (3.29) ifadelerinden

hareketle,

εηεσ &+= E (3.30)

ile verilir. (3.30) diferansiyel denklemi, (3.22) genel denklemiyle karşılaştırıldığında ao

=1, a1 =0, bo= E ve b1=η olduğu görülür.

69

Şekil.3.11. Kelvin-Voigt Modeli.

Kelvin-Voigt modeliyle değişken sünme durumu sağlanabilmektedir. Bu modelde

karşılaşılan zorluklar ise kuvvet kaldırıldıktan sonra elastik davranışta gözlenen

durumun olmaması ve sünme oranının belirli bir zaman sonra sıfıra yaklaşmasıdır.

Kelvin-Voigt tipi modele "basit karmaşık notasyonlu model" denir (Lazan 1968).

Kelvin-Voigt modeline ait sünme ve gerilme-gevşeme davranışı Şekil 3.12’ de

gösterilmiştir.

µ

τ

k

γ

t t

t

τ

γ

t (a) (b)

Şekil 3.12. Kelvin-Voigt modeli için a) sünme ve b) gerilme-gevşeme davranışı.

Malzeme üzerine belirli frekansta harmonik bir gerilme uygulandığında malzemede

oluşan deformasyonda aynı frekanslı harmonik bir davranış göstermektedir. Fakat

uygulanan gerilme ile deformasyon arasında bir zaman gecikmesi veya faz farkı

70

oluşmaktadır. Bu tür bir durum Şekil 3.13’ de gösterilmiştir. Elastik ve viskoelastik

sınırlar içerisinde uygulanan gerilme ile oluşan deformasyon grafiği çizilirse eliptik bir

şekil elde edilir. Tipik bir gerilme deformasyon eğrisi Şekil 3.14’ de gösterilmiştir.

Eliptik şeklin ana ekseninin eğimi, malzemenin sıkılık derecesinin bir ölçüsü, ana eksen

(major axis) ile kısa eksen (minor axis) oranı ise malzemedeki sönümün bir ölçüsü

olarak değerlendirilir. Eliptik şekilli gerilme deformasyon eğrisine “histerisis eğrisi”

denir. Histerisis eğrisi malzemelerin sönüm özelliklerinin incelenmesi ve analitik olarak

modellenebilmesine temel oluşturur. Uygulanan gerilme ve oluşan deformasyon

harmonik bir yapıda olduğundan, sönüm özelliklerinin incelenmesi ve modellenmesi

çoğu zaman frekans ortamında gerçekleştirilir.

Şekil 3.13. Harmonik dış kuvvet altında a) elastik davranış, b) viskoelastik davranış.

ε(t)σ(t)

t

(a) (b)

t

ε(t)

φ

σ(t)

τ

γ

Şekil 3.14. Eliptik gerilme-deformasyon eğrisi (histerisis eğrisi).

71

Gerilme ile deformasyon arasındaki faz gecikmesi, gerilme-deformasyon ilişkisinin

hareket hızına bağlı olduğunu gösterir. Her iki davranış harmonik yapıda olduğundan

makaslama gerilmesi ve makaslama deformasyonu:

)sin()( 0 wtt ττ = (3.31)

ve

)sin()( 0 φγγ −= wtt (3.32)

şeklinde verilebilir. (3.31) ile verilen gerilme ifadesi için,

[ ]

dttd

wt

wtwtwtwtt

)(sin)(cos

sin)cos(cos)sin()(sin

)sin()(

0

0

0

0

00

0

0

γφγτ

γφγτ

φφτφφτφφτ

ττ

+=

−+−=+−=

=

yazılabilir (Lazan 1968). Makaslama modülü:

)cos(0

0 φγτ

=G (3.33)

ve sönüm katsayısı (loss factor):

φη tan= (3.34)

ile tanımlanırsa, makaslama gerilmesi için,

dttd

wGGt )()( γηγτ += (3.35)

72

ifadesi elde edilir. (3.35) ifadesine benzer bir ifade normal gerilme ve normal

deformasyon arasında da yazılabilir. (3.35) ifadesinde zamanla deformasyondaki

değişim oranını gösteren ikinci terim malzemedeki sönüm veya enerji kaybını temsil

eder. Viskoelastik davranış gösteren bir malzeme için (3.35) ifadesi, gerilme

deformasyon ilişkisini gösterir. Dış kuvvetin harmonik olmadığı daha karmaşık

durumlarda bu ifade yetersiz kalır (Jones 2001). Bu nedenle (3.35) ifadesi kompleks

sayılar (complex numbers) kullanılarak daha genel bir yapıda verilir. Bu durumda

makaslama deformasyonu üstel fonksiyona bağlı olarak,

twiet 0)( γγ = (3.36)

şeklinde yazılabilir. Zamana bağlı deformasyon oranı ise

iwtdt

td=

)(γ (3.37)

olarak bulunabilir. (3.36) ve (3.37) ifadeleri, (3.35) bağıntısında kullanılırsa makaslama

gerilmesi ve makaslama deformasyonu arasında,

γηγηγτ )1(wwiGiw

wGG +=+= (3.38)

ilişkisi yazılabilir. (3.38) ifadesinde, w frekansının tüm t zamanında pozitif değerleri

alınırsa,

γητ )1( iG += (3.39)

elde edilir. (3.39) ile verilen ifadeye “kompleks modül” adı verilir. Bu ifadede

makaslama modülü G (benzer şekilde elastisite modülü, E) ve sönüm katsayısı, η

büyüklükleri frekansın fonksiyonudur. G ve η büyüklüklerinin frekans ile değişimi

mekanik modeller yardımıyla matematiksel olarak modellenebilir olmasına karşın, elde

edilen ifadeler son derece karmaşık bir yapıdadır.

73

3.1.3. Rayleigh ve Coughey sönüm yaklaşımları

Viskoz sönümün uygulanmasında kullanılan bir diğer yaklaşım, Rayleigh ve Coughey

sönüm yaklaşımlarıdır. Coughey sönüm yaklaşımı Rayleigh yaklaşımın genel halidir.

Uygulamada sıkça kullanılan Rayleigh sönüm yaklaşımı, gerçekte fiziksel anlamı

olmayan bir yaklaşımdır (Cook 1995). Fakat özellikle titreşim sistemlerini ifade eden

doğrusal diferansiyel denklemlere yine doğrusal bir terim olarak katılmasından ve

sayısal olarak kolay hesaplanmasından dolayı tercih edilmektedir. Bu yaklaşımda

sönüm:

kmC βα += (3.40)

şeklinde verilmektedir. Burada m, Şekil 3.5’ de gösterilen mekanik titreşim sistemi için

kütle, k sıkılık değerleridir. Çok serbestlik dereceli titreşim sistemleri için bunlar birer

dizey yapısındadır. (3.40) bağıntısında verilen α ve β katsayıları titreşim sisteminde

ilgilenilen frekans aralığı ve sönüm oranına bağlı olarak belirlenen sabitlerdir. Sönüm

oranı, ζn ve frekans değeri, wi

22n

nn

ww

βαζ += (3.41)

ifadesinden elde edilir. Frekans ve sönüm oranı kullanıcı tarafından belirlenir. (3.41)

bağıntısı ile verilen sönüm ifadesinin ilk terimi, titreşim sisteminin kütlesi ile doğru

orantılı sönüm uygular. Bu terim titreşim sisteminin düşük frekanslı kiplerini hızlı bir

şekilde sönümlendirir. Benzer şekilde ikinci terim, sistemin sıkılık değeri ile orantılı

sönüm uygular. Bu terim ise titreşim sisteminin yüksek frekanslı kiplerini hızlı bir

şekilde sönümlendirir. Bu durumların frekansa bağlı değişimleri Şekil 3.15a ve Şekil

3.15b’ de gösterilmiştir. Titreşim sisteminin sıkılık değeri ile orantılı sönüm olan c2

ifadesinin fiziksel anlamı, yapıdaki deformasyona bağlı olarak enerjideki kaybın

modellenmesidir. Bununla birlikte, sistemin kütle dizeyi ile orantılı sönüm olan c1

74

ifadesine bir fiziksel anlam verilememektedir. Bu sönüm terimlerinin her ikisi de

deneysel veriler ile uyumlu değildir (Chopra 1995).

(b)

2

2

nn

wkc

βζ

β

=

=

ζ ζ

nn w

mc

2

1

αζ

α

=

=

w w (a)

Şekil-3.15. a) kütle ve b) sıkılık dizeylerinin frekansa bağlı değişimi.

Homojen elastik bir yapının bir çok salınım kipi birbirine yakın sönüm oranları verir.

Homojen olmayan yapıların farklı sönüm değerleri bulunmaktadır. Uygulamada

yapının sönümü, kütle ve sıkılık dizeylerinin doğrusal bileşiminden oluşturulur. Bu

yaklaşım ilk defa Wilson (1968) tarafından kullanılmıştır. (3.40) ile verilen C sönüm

dizeyinin doğal frekanslara bağlı değişimi Şekil 3.16’ da gösterilmiştir.

nζ

w1 w2

ζ

221 n

n

on

wawa

+=ζ

w

Şekil 3.16. Sönüm oranının (ζ) doğal titreşim frekansı ile değişimi.

75

(3.41) ifadesinde verilen α ve β katsayılarının hesaplanması için uygulanılan yol,

başlangıç anında titreşimin istenilen frekans aralığında (w1 ve w2) kalmasını sağlayacak

şekilde, diğer bir ifadeyle, sabitlerin ilgilenilen frekans aralığında en küçük sönüm

değerlerini verecek şekilde seçilmesidir. Bu işlem, başlangıç anında titreşim hareketinin

temel frekans değerinin kullanılması şeklindedir (Idriss vd 1973, Idriss vd 1992). Bazı

çalışmalarda ise temel frekans yanında ikinci bir frekans değeri kullanılmaktadır

(Hudson vd 1994). α ve β katsayıları frekansın bir fonksiyonu olarak ele alınmaktadır.

Bununla birlikte araştırmalar, zeminlerde sönümün frekansa bağlı olmadığını

göstermektedir (Idriss vd 1972, Chopra 1995, Bathe 1996, Hudson vd 1994). Ayrıca,

(3.41) bağıntısı ile verilen sönüm ifadesinde m kütle dizeyinin frekansa bağlı bir sönüm

yapmadığı ve fiziksel bir anlamının olmadığı, k sıkılık dizeyinin ise titreşim üzerinde

hızlı bir sönüm uyguladığı görülür (Chopra 1995). Ele alınan yapı birbirinden farklı

sönüm özelliklerindeki birimlerden oluştuğunda (örneğin, kaya-zemin gibi birbirinden

çok farklı iki sönüm özelliğindeki ortam) Rayleigh sönüm ifadesi uygun bir sönüm

davranışı göstermez. Rayleigh sönüm ifadesi homojen ve yapı elemanlarına ait fiziksel

özelliklerin birbirine yakın olduğu durumlar için daha uygundur (Chopra 1995). Ayrıca,

Rayleigh yaklaşımının da sıfır frekansında sonsuz sönümlü olması fiziksel olarak doğru

değildir. Rayleigh sönüm yaklaşımı çok serbestlik dereceli titreşim sistemlerine

uygulandığı gibi (3.49) bağıntısı ile verilen hareket denkleminin çözümünde de

kullanılır.

Bir diğer sönüm yaklaşımı Caughey sönüm yaklaşımıdır. Gerçekte Rayleigh sönüm

yaklaşımı Caughey yaklaşımının özel halidir. Caughey sönüm yaklaşımında sönüm

ifadesi:

[ ]iN

ii kMaMC ∑

−

=

−=1

0

1 (3.42)

ile verilir. Burada N, sistemin serbestlik derecesi ve ai sabit katsayıdır. (3.42) ifadesi bir

seridir. Bu serinin ilk iki terimi (3.41) ile verilen Rayleigh sönüm ifadesine eşittir.

Rayleigh sönüm yaklaşımında olduğu gibi sönüm oranı (ζ),

76

∑−

=

−=1

0

12

21 N

i

inin waζ (3.43)

ile verilir. Caughey sönüm yaklaşımının uygulanması Rayleigh sönüm yaklaşımına

benzer şekildedir. Bu yöntemin dezavantajlarından birincisi, (3.43) ifadesinde yer alan

ai katsayıların elde edilmesinde cebirsel denklemlerin kötü-durumlu (ill-conditioned)

olmasıdır. (3.43) ifadesinde ikiden fazla terim sönüme katıldığında, C sönüm dizeyi

tam-tanımlı dizeye (full-matrix) dönüşür. Bununla birlikte, çok serbestlik dereceli

titreşim sistemlerinde k sıkılık dizeyi band yapısında ve m kütle dizeyi yığın kütle

(lumped-mass) yaklaşımı kullanıldığında köşegen (diyagonal) dizey yapısındadır.

3.1.4. Kesirsel mertebe türev yaklaşımı

Viskoelastik davranış gösteren malzemelerde sönüm mekanizmasının, klasik modeller

ile tanımlanmasıyla elde edilen sönüm değerlerinin, laboratuar deneylerinde

ölçülenlerden büyük olduğu görülmüştür (Koeller 1984, Agrawal 1998, Gaul 1999,

Schmidt vd 2001, Trinks vd 2002). Uzun zaman veya frekans aralığı gerektiren

durumlarda, klasik modeller viskoelastik davranışı tam temsil edememektedir (Padovan

1987, Schmidt vd 2001). Mekanik modellerde yer alan eleman sayısı attıkça sönüm

ifadeleri çok sayıda değişkenin giriş parametresi olarak verilmesini gerektirir (Lazan

1968, Jones 2001). Bu kısıtlamaların üstesinden gelmek ve malzemelerdeki viskoelastik

davranışın daha iyi modellenebilmesi amacıyla (3.22) ile verilen genel türev operatörü

(tamsayı mertebeli türev) yerine, Rose (1975), gerçel mertebeli türev operatörünün

üstünlüğünü göstermiştir. Gerçel mertebeli türev operatörlerine “integrodiferansiyel

operatör” denir (Caputo 1976, Bagley vd 1983a, 1986). Gerçel mertebeli türev

operatörünün üstünlüklerine rağmen, sayısal çözümlemelerde kullanılması, karmaşık

işlemlerin yapılmasını gerektirmektedir (Schmidt vd 2001, Padovan 1987).

77

Deprem kuvveti gibi dinamik bir dış kuvvet karşısında zemin davranışının

incelenmesinde sönüm mekanizması klasik mekanik modeller yerine gerçel mertebeli

türev (fractional derivative) operatörü kullanılarak viskoelastik davranış daha iyi

gösterilebilir. Bir fonksiyonun tamsayı mertebeli türev operatörü, fonksiyonun yerel

davranışına bağlı iken gerçel mertebeli türev operatörü fonksiyonun geçmiş değerlerine

de bağlıdır. Fonksiyonun geçmiş değerleri fonksiyonun davranışına ağırlık katsayıları

olarak girer. Ağırlık katsayılarının her birine “bellek etkisi (memory effect)” denir

(Koeller 1984, Padovan 1987). Gerçel mertebeli türev işleminde türev operatörü,

fonksiyon geçmiş değerlerini içermesinden dolayı global operatör özelliği gösterir.

Çözümsel fonksiyonların gerçel mertebeli türevlerinin hesaplanmasında birbirleriyle

ilişkili üç farklı yaklaşım kullanılır. Bu yaklaşımlardan ilki, Grünwald-Letnikov

yaklaşımıdır. Bu yaklaşım geri-farklar yöntemi kullanılarak tamsayı mertebeli türev

işleminin genelleştirilmiş halidir (Oldham vd 1974, Padovan 1987, Pondlubny 1999,

Schmidt vd 2001). Grünwald-Letnikov tanımına göre, zamana bağlı bir f(t)

fonksiyonunun birinci mertebe türevi, geri-farklar yaklaşımı kullanılarak,

[ ]ttftftdt

tfdt

∆−−∆

=→∆

()()(

1lim)(01

1

(3.44)

şeklinde verilebilir. İkinci mertebe türevi için

[ )2()(2)()(

1lim)(202

2

ttfttftftdt

tfdt

∆−+∆−−∆

=→∆

] (3.45)

ve benzer şekilde üçüncü mertebe türevi için

[ ])3()2(3)(3)()(

1lim)(303

3

ttfttfttftftdt

tfdt

∆−−∆−+∆−−∆

=→∆

(3.46)

yazılabilir. Bir f(t) fonksiyonunun n. mertebe türevi için genel ifade:

78

∑=

→∆∆−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

∆=

n

i

intn

n

titfin

tdttfd

00)()1(

)(1lim)( (3.47)

şeklinde verilir (Padovan 1987, Schmidt vd 2001). (3.47) ifadesinde yer alan

binom katsayıları,

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

ini)1(

⎪⎩

⎪⎨

⎧

>≤≤

≤≤−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

niin

niini

n

in

ve0;0

0;)!(!

! (3.48)

dir. ∆t örnekleme aralığı yerine Ntt =∆ yazılırsa, (3.47) ifadesi için

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= ∑

−

=

−

∞→

1

0)()1(lim)( N

i

in

Nn

n

Ntitf

in

Nt

dttfd (3.49)

yazılabilir. Burada, t toplam zamanı ve N örnek sayısını gösterir. (3.49) ifadesinde

toplam ifadesinin alt ve üst sınırlarına “terminal” denir (Padovan 1987, Ortiqueira 2000,

Schmidt vd 2001). Üst sınır (N) keyfi seçilirken, alt sınır türev işlemi için sıfıra eşittir.

(3.49) denklemi tamsayı mertebeli türevler için tanımlanmıştır. Türev mertebesini

gerçel sayılara genişletmek için (3.48) ile verilen binom açılımı:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

>−−−−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

0;1

0;)1)....(2)(1(

j

jj

jaaaa

ja

(3.50)

şeklinde gerçel sayılar için genelleştirilir (Padovan 1987, Schmidt vd 2001). Burada, a

reel ve j tamsayıdır. (3.47) ifadesinde yer alan terimi için (3.50) ifadesi

kullanılırsa,

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

ini)1(

79

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−=

+−+−−−−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

iai

iiaiaaaa

ia ii

1

!)1)(2)....(2)(1()1()1(

(3.51)

elde edilir. Gamma fonksiyonu özelliği:

)!1()1()1()( −=−Γ−=Γ nnnn (3.52)

kullanılarak, (3.51) ifadesi Gamma fonksiyonuna bağlı olarak,

)1()()(1

)1(+Γ−Γ

−Γ=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

iaai

iai

iai (3.53)

verilir. (3.53) ifadesine “Grünwald katsayıları” denir. Grünwald katsayıları:

ii Ai

aiiaai

iai

iaaiA −−

=Γ−Γ−−Γ−−

=+Γ−Γ

−Γ=+

1)()()1(1

)1()()(

1 (3.54)

yineleme (recurrence) bağıntısıyla hesaplanır. (3.54) sonucu (3.49) denkleminde

yazılırsa gerçel mertebeli türev için Grünwald-Letnikov (1867) tanımı:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−

+Γ−Γ−Γ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛== ∑

−

=

−

∞→

1

0)(

)1()()(lim)( N

i

a

Na

aa

Ntitf

iaai

Nt

dttfdfD (3.55)

şeklinde verilir. (3.55) ifadesi, tamsayı ve gerçel mertebe türev veya integraller için

geçerli olur (Padovan 1987, Schmidt vd 2001). Bu ifadede, integralin Riemann tanımına

göre alt sınırı sıfır kabul edilir. Bu durumda türev mertebesi (-1,-∞) aralığında değişir.

Türev mertebesi gerçel olduğunda (3.54) ile verilen Grünwald katsayıları sıfırdan farklı

değer alır (Schmidt vd 2001). Türev mertebesinin (a) tamsayı olması halinde sadece

(a+1) sayıda katsayı sıfırdan farklı olur ve yerel operatör özelliği gösterir. Hem gerçel

mertebeli türev hem de a (a: gerçel sayı) katlı integral ifadesi için genel bir Grünwald-

Letnikov tanımı:

80

∑ ∫=

+−−

−+−Γ

++−Γ

−=

m

k

t

a

mmkk

ta dftkk

ataftfD0

1 )()()1(

1)1(

)()()( ττταα

αα

α

şeklinde verilir (Pondlubny 1999). Burada, fk (t), (k=1,2,…,m+1) türevleri [a,t] kapalı

aralığında sürekli olmalıdır ve m tamsayısı m>α-1 eşitsizliğini sağlamalıdır. Bu

eşitsizliği sağlayacak en küçük m değeri, m< α<m+1 eşitsizliğinden belirlenir

(Pondlubny 1999). (3.54) ifadesiyle verilen Grünwald katsayılarının türev mertebesine

bağlı değişimi Çizelge 3.3 ve Şekil 3.17’ de gösterilmiştir. İkinci yaklaşım, Riemann-

Liouville tanımıdır. Bu yaklaşımda Cauchy integral ifadesi:

[ ]∫ ∫∫∫ −−−

−

−−

==−

−t

a

t

a

nt

a

t

ann

n

dftn

dttfdtatd

tfd n

τττ )()!1(

1)(...)(

)( 1001

11

başlangıç noktası olarak kullanılır (Oldham vd 1974, Ford vd 2001, Blank 1996,

Diethelm 1997, Diethelm vd 2000, Ruge vd 1999).

Şekil 3.17. Grünwald katsayılarının değişimi.

Riemann-Liouville yaklaşımına göre gerçel mertebe türev ifadesi, Gamma fonksiyonu

ve özellikleri kullanılarak:

81

)1(,)()()(1

∫ +≤≤−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= −

+ t

a

mm

ta mmdftdtdtfD ατττ αα

ile verilir. Genel Grünwald-Letnikov tanımı, Riemann-Liouville tanımının özel bir

halidir (Pondlubny 1999). Grünwald-Letnikov tanımına kısmi integrasyon uygulanması

ve türevlerinin alınmasıyla elde edilebilir.

Gerçel mertebeli türev ve integrallerin hesaplanmasında kullanılan üçüncü yaklaşım

Caputo ifadesidir (Caputo 1967). Caputo (1967) Riemann tanımının başlangıç ve sınır

koşulları üzerindeki kısıtlamaları gidermek için gerçel mertebe türev ve integrali:

∫ <<−−−Γ

= −−

t

an

n

ta nndt

fn

tfD )1(,)(

)()(

1)( 1 ατττ

α αα

ile tanımlamıştır. Caputo tanımı, verilen diğer iki tanıma karşın daha genel bir ifade

sunmakta ve ele alınan fonksiyon üzerindeki kısıtlamaları kaldırmaktadır (Pondlubny

1999). Gerçel mertebe türev ve integrallerin hesaplanması için verilen üç yaklaşımda

farklı tanımlarda olmasına karşın benzer sonuçlar vermektedir (Oldham vd 1974,

Pondlubny 1999, Schmidt vd 2001).

Bu çalışmada, sönüm mekanizmasının gerçel mertebeli türev operatörü kullanılarak

modellenmesi işleminde hesaplamalardaki kolaylığından dolayı (3.55) bağıntısı ile

verilen Grünwald-Letnikov yaklaşımı kullanılmıştır. Klasik mekanik modellerde sönüm

elemanı (dashpot) yerine “spring-pot” adı verilen elemanlar kullanılarak gerçel

mertebeli modeller elde edilir (Koeller 1984). Spring-pot elemanı Şekil 3.18’ de

gösterilmiştir.

η, v

Şekil 3.18. Spring-pot sönüm elemanı.

82

Spring-pot elemanı klasik mekanik modellerde sönüm elemanı yerine kullanarak yeni

mekanik modeller elde edilebilir. Bu çalışmada, Spring-pot elemanı Kelvin-Voigt tipi

modelde kullanılarak gerçel mertebeli Kelvin-Voigt modeli elde edilmiştir. Spring-pot

elemanı kullanan Kelvin-Voigt modeli Şekil 3.19’ da gösterilmiştir.

η,vE

Şekil 3.19. Spring-pot sönüm elemanı kullanan Kelvin-Voigt modeli.

(3.30) ile verilen Kelvin-Voigt modeline ait gerilme-deformasyon ifadesine benzer

şekilde Spring-pot kullanan Kelvin-Voigt modelinde, gerilme-deformasyon ifadesi elde

edilir:

.εηεσ vDE += (3.57)

Gerçel mertebeli türev kullanan Kelvin-Voigt modelinde oluşan gerilme,

deformasyonun geçmişine bağlı olması nedeni ile klasik mekanik modellere göre

malzemede viskoelastik davranışı betimleyen sünme ve gevşeme davranışlarını daha iyi

gösterebilmektedir. İkinci bölümde, sanal yerdeğiştirmeler ilkesine göre (2.45) ile

verilen dinamik denge denkleminde gerilme değişkeni için (3.57) ile verilen gerilme-

deformasyon bağıntısı kullanılmıştır. Bir alt bölümde anlatılan hareket denklemin sonlu

eleman yöntemiyle çözümünde (2.45) ve (3.57) ifadeleri kullanılarak, hareket

denkleminin sonlu eleman yapısı elde edilmiştir.

83

3.2. Sonlu Eleman Yöntemi (Sey) ile Modelleme İşlemi

Mekanik problemlerinin bir çoğu sınır-değer (boundary value) problemleridir. Bu tür

problemlerin çözülebilmesi için çözüm fonksiyonlarının temel iki koşulu sağlaması

gerekir. Bu koşullar; alan koşulu (field condition) ve matematiksel model koşuludur.

Alan değişkeni, örneğin yerdeğiştirme, deformasyon, gerilme veya bu değişkenlerden

türeyen büyüklükler matematiksel olarak ifade edilebilmelidir. Fiziksel problemlerin

matematiksel modellenmesinde genellikle mekanik kuralların vektörel olarak ele

alınmasıyla diferansiyel denklemler elde edilir. Elde edilen diferansiyel denklemler bu

açıdan modelin denge ve uyumluluk koşullarını da sağlamalıdır. Bu tür problemlerin

sonlu eleman yöntemi ile çözümünde ilk adım, fiziksel sistemi mümkün olduğu kadar

tanımlayabilecek bir matematiksel modelin geliştirilmesiyle başlar. Matematiksel

modelin geliştirilmesinde karmaşık problemlerin çözülebilmesi için belirli varsayımlar

yapılır. Geliştirilen matematiksel ifade fiziksel sistemin davranışını temsil eder.

Genellikle matematiksel ifade bir diferansiyel denklem ve sınır koşullarından oluşur.

Çoğu zaman verilen diferansiyel denklemin analitik çözümü elde edilemez. Bu

diferansiyel denklemlerin çözümü için bir çok sayısal çözüm yöntemi geliştirilmiştir.

Yaklaşık çözüm yöntemlerinden biri olan sonlu eleman yöntemi (finite element method),

diğer çözüm yöntemleri içerisinde bilgisayarda kolay programlanabilmesi ve karmaşık

problemlere kolaylıkla uyarlanabilmesi yönünden günümüzde tercih edilen bir

yöntemdir.

Sonlu eleman yöntemiyle problem çözümü temel altı işlem adımından oluşur. Bu

adımlar sırasıyla aşağıdaki gibidir:

1- Problemi tanımlayan diferansiyel denklem integral yapısında gösterilir. Bu

dönüşüm ile problemin sınır ve başlangıç koşulları açık olarak belirlenmiş olur.

Dönüştürme işlemi ile elde edilen integral yapısındaki gösterimlere zayıf

formülasyon (weak formulation) denir. Bu dönüşüm işlemi için ağırlıklı rezidüel

yöntem, varyasyon yöntemi veya enerji yöntemlerinden yararlanılır. Bu

84

çalışmada, (3.49) ile verilen hareket denklemin integral yapısı, ikinci bölümde

enerji yöntemleri içerisinde yer alan ve sanal yerdeğiştirmeler ilkesinde verilen

(2.45) denklemi kullanılmıştır.

2- Problemin tanım alanı (çözüm bölgesi) sonlu sayıda “eleman” adı verilen küçük

geometrik parçalara ayrılır. Çözüm bölgesinin sonlu elemanlara ayrılması,

sonsuz serbestlik derecesindeki çözüm bölgesinin belirli (sonlu) sayıda

serbestlik derecesindeki bir bölge ile yerdeğiştirmesi işlemidir. Seçilecek eleman

problemin fiziksel özelliğine ve davranışına uygun olmalıdır. Ortamın geometrik

şekli ve bağımsız koordinat sayısı eleman seçiminde etkili olur. Ortam

geometrisi, malzeme özellikleri ve diğer değişkenler (yerdeğiştirme, gerilme ve

deformasyon gibi) iki doğrultuda değişim gösterdiğinden, bu çalışmada doğrusal

dörtgen (quadrilateral) geometrik elemanı kullanılmıştır. Tanım alanında bu

elemanlar birbirine düğüm noktaları (nodes) ile bağlıdır. Sonlu eleman ağında

yer alan düğüm noktaları ve elemanlar ayrı ayrı numaralandırılır. Her bir eleman

tek tek ele alındığında, eleman numaralarına “yerel numaralar”, çözüm bölgesi

ele alındığında düğüm numaralarına “global numaralar” denir.

3- Bilinmeyen alan değeri (x ve y doğrultusundaki yerdeğiştirme) her eleman

üzerinde tanımlanan bir yaklaşım fonksiyonu (genel olarak polinom ve nadiren

trigonometrik fonksiyonlar) ile temsil edilir. Bu çalışmada eleman içerisindeki

yerdeğiştirmeleri tanımlamak için ikinci mertebeden polinom kullanılmıştır.

Alan değişkeninin eleman içerisindeki değeri, tanımlanan yaklaşım fonksiyonu

kullanılarak elemanın düğüm noktalarındaki değerlerine bağlı olarak tanımlanır.

4- Düğüm noktalarına bağlı olarak tanımlanan alan değişkeni birinci adımda

tanımlanan integral ifadesinde kullanılarak her bir elemana ait doğrusal denklem

takımları elde edilir. Doğrusal denklem takımları birleştirilerek eleman dizey

denklemleri elde edilir.

5- Dördüncü adımda oluşturulan eleman dizey denklemleri uygun bir yöntem ile

birleştirilerek sonlu eleman ağı için genel dizey denklemleri elde edilir. Genel

dizey denklemlerine ön-tanımlı sınır koşulları uygulanır.

85

6- Son adımda, problemin statik veya dinamik olmasına göre çözüm farklılık

gösterir. Statik bir problem için doğrusal bir denklem sisteminin uygun bir

yöntem ile çözülmesiyle son bulur. Dinamik bir problem için zaman bağımsız

değişken olduğundan statik durumdaki çözüm işlemi her bir , zaman artımı

için yinelenir. Her bir yineleme işleminde model dizeyleri güncellenir.

t∆

3.2.1. Çözüm bölgesinin sonlu elemanlara ayrılması

Çözüm bölgesinin sonlu elemanlara ayrılması, sonlu elemanlar yönteminin ilk adımını

oluşturur. Sürekli ve sonsuz serbestlik derecesindeki ortam, belirli sayıda ve birbirlerine

düğüm noktalarıyla bağlanmış, sonlu sayıda serbestlik dereceli ayrık ortama bölünür.

Çözüm bölgesinin sonlu elemanlara ayrıklaştırılmasında kullanılan geometrik

elemanların şekli, boyutu ve sayısı önemlidir. Eleman boyunun gereğinden büyük

seçilmesi duyarlılığı azaltır, küçük seçilmesi ise işlem sayısının artmasına neden olur.

Bu çalışmada çözüm bölgesi iki boyutta incelenmiştir. İncelemeye konu olan türde yer

modeli Şekil 3.20a ve iki boyutlu sonlu eleman ağı Şekil 3.20b’ de gösterilmiştir.

Çözüm bölgesinin ayrıklaştırılmasında kullanılan geometrik dörtgen eleman Şekil 3.21’

de gösterilmiştir. Dörtgen eleman her düğüm noktasında iki serbestlik derecesindedir.

Bunlar, elemanda oluşan yatay ve düşey yerdeğiştirmeleridir. Dörtgen elemanın toplam

serbestlik derecesi sekizdir (u1, v1,..., u4, v4). Eleman seçiminde dikkat edilmesi gereken

bir diğer nokta, elemanın düğüm sayısı ve alan değişkeni için tanımlanan yaklaşım

fonksiyonunun katsayı adedinin birbirine eşit olmalarıdır. Sonlu eleman yönteminde

eleman sıkılık dizeyi simetrik ve band yapısındadır. Dizeyin band genişliği düğüm

numaralarının sıralanışına göre değişir. En küçük band genişliğinin seçilmesi, yapının

uzunluğunun en kısa olan yönde numaralandırılmayla elde edilir. Eleman dizeylerinin

hesaplanmasında değerlerin negatif olmasını önlemek amacıyla her bir elemana ait yerel

düğümler saat yelkovanın tersi yönünde numaralandırılmasıyla sağlanır.

86

(a) (b)

x

z

y

Şekil 3.20. a) Yer modeli, b) İki boyutta sonlu eleman ağı.

v2

u3

v3

v4

u4

v1

u1

u2

Şekil 3.21. Dörtgen elemanın düğüm noktalarındaki yerdeğiştirme bileşenleri.

Bu durum Şekil 3.22’ de gösterilmiştir. Şekil 3.22’ de daire içerisinde verilen rakamlar

elemanın global düğüm numaralarını, dörtgen içerisinde verilen rakamlar ise elemanın

yerel numaralarını göstermektedir.

Şekil 3.22. Elemanın global ve yerel düğüm numaraları.

2

3

6

45

11

2

87

Band yapısında elde edilen sıkılık dizeyinin band uzunluğu,

)1( += hnfB (3.58)

ifadesiyle verilir. Burada, nf elemanın düğüm serbestlik derecesini, h ağ üzerinde yer

alan herhangi bir elemanda en büyük ve en küçük global düğüm numaraları farkının en

büyüğüdür.

3.2.2. Yaklaşım (yerdeğiştirme) fonksiyonları

Sonlu eleman yönteminin temel amacı, karmaşık yapıdaki problemleri basit sonlu

elemanlara ayırmak ve genel çözüme bu sonlu elemanlardan hareketle ulaşmaktır. Bu

nedenle eleman üzerinde alan değişimini temsil edebilecek bir yaklaşım fonksiyonu

tanımlanır. Seçilen fonksiyon eleman üzerinde alan değişkeninin (yerdeğiştirme)

davranışını temsil edebilmelidir. Sonlu eleman yönteminde tanımlanacak yaklaşım

fonksiyonu temel iki koşulu sağlamalıdır. Birincisi “yakınsama koşulu” dur.

Yakınsama koşuluna göre,

a) Eleman üzerinde yerdeğiştirme fonksiyonu sürekli olmalıdır. Aynı zamanda yer-

değiştirme fonksiyonu, elemanın katı hareketini de temsil edebilmelidir. Bu

durum şu şekilde açıklanabilir: Eleman düğümleri aynı oranda hareket ettirildiği

zaman elemanda deformasyon meydana getirmemelidir. Bu katı hareket yer-

değiştirme fonksiyonunda sabit terimin bulundurulmasıyla sağlanır.

İkinci koşula ise “uyumluluk koşulu” denir. Bu koşula göre:

b) Eleman üzerinde yerdeğiştirme fonksiyonu sabit deformasyonu temsil

edebilmelidir. Bunun için yerdeğiştirme fonksiyonu doğrusal terimlerden

oluşmalıdır.

88

Uyumluluk koşulunda, yerdeğiştirmeler bitişik eleman düğümlerinde birbirine uyumlu

olmalıdır. Elemanda deformasyon meydana geldiğinde bitişik düğümlerdeki elemanlar

arasında süreksizlikler bulunmamalıdır. Yani elemanlar arasında üst üste binme

(overlapping) veya ayrılma (separating) olmamalıdır. Yakınsama ve uyumluluk

koşullarını sağlayan elemanlara “uyumlu eleman (compatible element)” denir.

Yakınsama, uyumluluk ve süreklilik koşullarını sağlamaları, türev ve integral

işlemlerinin kolay hesaplanabilmelerindan dolayı, yaklaşım fonksiyonları için genelde

polinomlar seçilir. Bu çalışmada dörtgen eleman içerisinde yerdeğiştirmeyi tanımlamak

üzere yaklaşım fonksiyonu:

[ ] [ ]Txyyx

xyyxU

α

αααα

13210

=

+++= (3.59)

çokgeni ile tanımlanmıştır. Titreşim modeli iki boyutta incelendiğinden, U=(u, v) ile

elemanın herhangi bir düğüm noktasındaki yatay (u) ve düşey (v) yerdeğiştirmelerini

gösterir. Seçilen dörtgen elemanın dört düğüm noktası olduğundan tanımlanan yaklaşım

fonksiyonu da eşit sayıda α katsayısı içerir. (3.59) ile verilen yaklaşım fonksiyonundaki

α katsayılarına “genel koordinatlar” denir. Yaklaşım fonksiyonunda yer alan α genel

koordinatları, elemanın düğüm noktalarındaki değerlerine bağlı tanımlanır. Bunun için

Şekil 3.21’ de verilen dörtgen eleman göz önüne alınarak, düğüm noktalarındaki yer-

değiştirme değerleri dizey yapısında:

TA

yxyxyxyxyxyxyxyx

vu

vu

U α

αααα

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

4

3

2

1

4444

3333

2222

1111

4

4

1

1

1111

.

.

. (3.60)

89

ile verilir. Burada, xi ve yi değerleri eleman düğüm noktalarının global koordinat

değerleridir. (3.60) ifadesinin her iki tarafı A-1 ile çarpılır ve αT vektörü için (3.59)

ifadesinde yerine yazılırsa, eleman üzerindeki yerdeğiştirmenin yatay bileşeni için,

UNUaAU == −1 (3.61)

ve benzer şekilde düşey bileşen için,

VNVaAv == −1 (3.62)

yazılarak, yerdeğiştirme bileşenleri, düğüm noktalarındaki değerlerine bağlı olarak elde

edilir.

3.2.3. Şekil fonksiyonları

(3.61) ve (3.62) bağıntılarında yer alan,

[ ]43211 NNNNAaN −= (3.63)

ifadesindeki fonksiyonlarına “şekil fonksiyonu” veya “interpolasyon fonksiyonu”

denir. Şekil fonksiyonları global koordinat sistemlerine bağlı olarak verildiğinde,

karmaşık geometrili problemlerde hesaplama işlemleri zorlaşır. Bu nedenle, global

koordinatlar yerine eleman üzerinde yerel koordinat sistemi tanımlanmıştır. Şekil

fonksiyonlarının yerel koordinat sistemlerine bağlı ifadeleri daha kısa ve hesaplamalar

daha kolaydır. Şekil 3.23a’ da verilen global koordinat sistemi ve bu elemana karşı

gelen yerel koordinat sistemi Şekil 3.23b’ de gösterilmiştir. Burada, (r,s) koordinat

değişkenleri (-1,1) aralığında değişir. (3.63) ifadesiyle verilen şekil fonksiyonlarının

lokal koordinatlara bağlı olarak elde edilmesinde Lagrange veya Hermitiyen

interpolasyon polinomlarından yararlanılır. Düğüm noktalarında alan değişkeni

değerinin yeterli olduğu şekil fonksiyonlarına “Lagrange türü fonksiyon” denir. Düğüm

iN

90

noktalarında hem alan değişken değerine hem de birinci türevine gerek duyulan şekil

fonksiyonlarına ise “Hermitiyen tipi fonksiyon” denir (Rao 1989).

(b) 3(1,-1)

2(-1,-1)

3

2

1

4 (0,0) 4(1,1)

1(-1,1) s

(4x4,y4)

(3x3,y3)

1(x1,y1)

4

3

2 2(x2,y2)

1

r

(a)

Şekil 3.23. Koordinat sistemleri, a) global, b) yerel.

Şekil fonksiyonlarının Lagrange polinomları yardımıyla elde edilmesinde varsayılan

fonksiyonun eleman üzerindeki her bir düğüm noktasında yerdeğiştirme ile aynı değeri

alacak yapıda seçilir. Hermitiyen türü yaklaşımda ise fonksiyonların eğimlerinin eleman

düğüm noktalarında yerdeğiştirme ile aynı değeri alacak yapıda seçilir. Bu çalışmada

şekil fonksiyonları Lagrange interpolasyon polinomları kullanılarak elde edilmiştir.

Lagrange interpolasyon polinomları kullanılarak yerel koordinatlara (r,s) bağlı şekil

fonksiyonları:

⎩⎨⎧

≠=

=∑−

−=

jiji

j jrirjrr

riN;0;1

)(

)()( (3.64)

bağıntısından elde edilir (Zienkiewicz vd 1983, Hughes 1987, Rao 1989, Cook 1995,

Owen vd 1980, Krishnomoorthy 1996, Bathe 1996, Liu 1998). Bir boyutlu durum için

verilen (3.64) ifadesi iki boyutta,

)()(),( siNriNsriN = (3.65)

91

şeklinde elde edilir. Dört düğüm noktalı dörtgen eleman için şekil fonksiyonları, (3.64)

ve (3.65) bağıntıları kullanılarak:

)1()1(41

1 srN +−= (3.66a)

)1()1(41

2 srN −−= (3.66b)

)1()1(41

3 srN −+= (3.66c)

)1()1(41

4 srN ++= (3.66d)

elde edilir (Kwon vd 1997, Liu 1998). Burada , i. düğüme ait şekil fonksiyonudur.

Herhangi bir düğüm üzerinde, ilgili düğüm ile ilişkili şekil fonksiyonu birim değerdedir.

Diğer düğümlerde ise sıfır değerini alır. Bir eleman üzerinde şekil fonksiyonlarının

toplamı birim değere eşittir. Bu özellik (3.66) ile verilen ifadelerinin eleman düğüm

noktaları için yazılıp toplanmasıyla sağlanabilir. Eleman üzerinde herhangi bir noktanın

global koordinat değerleri şekil fonksiyonlarından yararlanarak:

iN

∑=

=n

iii xNx

1

(3.67)

∑=

=n

iii yNy

1

(3.68)

bağıntıları ile verilir. Burada n, elemandaki toplam düğüm sayısını gösterir. Dörtgen

elemanda şekil fonksiyonlarının eleman üzerideki değişimi, ilk iki düğüm için Şekil

3.24’ de gösterilmiştir.

92

2

1

3

4

2

1 4

3

(b) (a)

Şekil 3.24. Dörtgen elemanda şekil fonksiyonlarının eleman üzerideki değişimi a)

birinci düğüm, b) ikinci düğüm.

(3.67) ve (3.68) bağıntılarına benzer şekilde, eleman üzerindeki yatay ve düşey yer-

değiştirmeler şekil fonksiyonlarına bağlı olarak,

∑=

=n

i iUiNU1

(3.69)

∑=

=n

i iViNV1

(3.70)

ile verilir. Dörtgen bir eleman için yerdeğiştirmeler dizey yapısında:

TvuvuvuvuNNNN

NNNNvu

U 443322111111

1111

00000000⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡= (3.71)

verilir. Aynı şekil fonksiyonlarının hem koordinat dönüşümlerinde hem de yer

değiştirmelerde kullanıldığı elemanlara “isoparametrik elemanlar” denir.

93

3.2.4. Koordinat dönüşümleri

Sonlu eleman ağ düzenlenmesinde genel olarak, eleman düğüm koordinatları global

(kartezyen) koordinatlara bağlı olarak verilir. (3.71) ile verilen şekil fonksiyonları yerel

koordinat sistemine (r,s) bağlı olarak tanımlanmıştır. Bu nedenle global koordinatlarda

verilmiş düğüm koordinat değerlerinin yerel koordinatlara dönüştürülmesi gerekir.

Koordinat dönüşümünün elde edilmesinde (3.67) ve (3.68) ifadelerinde (r,s) yerel

koordinat değişkenlerine göre her iki tarafın türevi alınarak elde edilir.

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂∂∂

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∑= ∂

∂∑= ∂

∂

∑= ∂

∂∑= ∂

∂

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂∂∂

y

xn

i iysiNn

i ixsiN

n

i iyriNn

i ixriN

s

r

11

11 (3.72)

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∑= ∂

∂∑= ∂

∂

∑= ∂

∂∑= ∂

∂

= n

i iysiNn

i ixsiN

n

i iyriNn

i ixriN

J

11

11 (3.73)

Burada, dizeyine “Jacobian” dizeyi denir. (3.72) ifadesinin her iki tarafı ile

çarpılırsa global-yerel koordinat dönüşümü için

1−J

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂∂∂

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂∂∂

−

s

rJ

y

x 1 (3.74)

bağıntısı elde edilir.

94

3.2.5. Hareket denkleminin sonlu eleman yapısı

Düzlem deformasyon durumunda sonlu elemanda gelişen deformasyon, ikinci bölümde

verilen (2.15), gerilme (2.6) ve gerilme-deformasyon ilişkisi (2.20) bağıntısıyla

tanımlanmıştır. (2.15) ile verilen deformasyon bileşenleri eleman yerdeğiştirmelerine

bağlı olarak,

DUvu

xy

y

x

xy

y

x

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

0

0

γεε

(3.75)

yazılarak ve U yer değiştirmesi için (3.71) ifadesi yazılırsa,

UBUDN

xy

y

x

==⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

γεε

(3.76)

elde edilir. (3.76) ifadesinde yer alan,

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

xN

xN

xN

xN

xN

xN

xN

yN

yN

yN

yN

yN

xN

xN

xN

xN

B

44332211

4321

4321

0000

0000

(3.77)

dizeyine “deformasyon-yerdeğiştirme” veya “kinematik dizey” denir (Zienkiewicz vd

1991). (3.76) ifadesiyle elemanda gelişen deformasyon, elemanın düğümlerindeki yer

değiştirme değerlerine bağlı olarak verilir.

95

Gerçel mertebeli türev yaklaşımı kullanılarak elde edilen Kelvin-Voigt türü modelde,

gerilme deformasyon ilişkisi (3.57) denklemiyle verilmiştir. Kelvin-Voigt türü modelde

gerilmenin elde edilmesi için (3.76) deformasyon bağıntısı (3.57) denkleminde yazılırsa,

UBDUEB αησ += (3.78)

elde edilir. Burada, D türev operatörünü, α türev mertebesini ve E düzlem deformasyon

için (2.19) ile verilen yapısal dizeyi gösterir. Sanal yerdeğiştirmeler ilkesine göre (2.45)

ile verilen denge denkleminde (3.61) ile verilen yerdeğiştirme fonksiyonu, (3.76) ile

verilen deformasyon bağıntısı ve (3.78) ile verilen gerilme denklemi yazılarak

düzenlenirse,

fUMUCDUK =++ α&& (3.79)

hareket denklemi elde edilir. Burada f dış kuvvetleri gösterir. (3.79) ile verilen hareket

denklemindeki katsayılar çok serbestlik dereceli bir titreşim sistemi için dizey

yapısındadır. Global ve yerel koordinatlara bağlı olarak sıkılık dizeyi:

∫∫∫ ==S

T

rS

T dsdrJEBBEBdsBK (3.80)

sönüm katsayı dizeyi:

∫∫∫ ==S

T

rS

T dsdrJBBBdsBC ηη (3.81)

ve kütle dizeyi:

∫∫∫ ==S

T

rS

T dsdrJNNdsNNM ρρ (3.82)

96

dir. (3.79) hareket denkleminin viskoz sönüm durumu göz önüne alınarak elde edilen

(3.49) sonucundan farkı, elemanda gelişen yerdeğiştirmelerin geçmiş değerlerine bağlı

olmasıdır. (3.80) ve (3.81) ile verilen eleman sıkılık dizeyi ve sönüm katsayı dizeyi

simetrik ve band yapısında dizeylerdir. Bu dizeylerin her birine “eleman karakteristik

dizeyi” denir. Eleman sıkılık ve karakteristik dizeylerinin yerel koordinatlara bağlı

olarak hesaplanmasında alan hesaplama işlemi “Gauss alan hesaplama yöntemi” (Gauss

quadrature) kullanılmıştır. Bu yönteme ilişkin ayrıntı Zienkiewicz vd (1983) ve Bathe’

de (1996) bulunabilir.

3.2.6. Genel dizey denkleminin elde edilmesi

Eleman dizeylerinin hesaplanmasından sonra modele ait genel dizeyler, eleman

dizeylerinin birleştirilmesiyle oluşturulur. Eleman dizeylerinin birleştirilmesi işlemi,

probleme ve kullanılan eleman türüne bakılmaksızın aynı şekilde yapılır. Eleman

dizeylerinin birleştirilmesi, eleman düğüm noktalarındaki uyumluluk koşuluna bağlı

olarak gerçekleştirilir. Bunun anlamı, herhangi bir global düğüm noktasını kullanan

elemanların bu düğüm noktasındaki yerdeğiştirme değerlerinin aynı olmasıdır. Bu

nedenle ortak düğümü kullanan elemanların bu düğüme ait sıkılık değerleri toplanarak

ortak düğüme ait global sıkılık değeri elde edilir. Benzer işlem modele ait sönüm

katsayı dizeyinin hesaplanması için de geçerlidir. Eleman dizeylerinin simetriklik

özellikleri kullanılmadığında dizey birleştirme işlemi,

∑=

=E

e

eKK1

(3.83)

ve

∑=

=E

e

eCC1

(3.84)

97

şeklinde cebirsel ifadelerle elde edilir. Karakteristik dizeylerin fiziksel anlamları

birbirine benzerdir. Eleman sıkılık dizeyinin j. kolonu, elemanın j. serbestlik

derecesinde birim yerdeğiştirme oluşturmak için elemanın diğer düğüm noktalarına

uygulanması gereken kuvvetleri gösterir. Benzer şekilde kütle dizeyinin j. kolonu,

elemanın j. serbestlik derecesinde birim atalet kuvveti oluşturmak için diğer düğüm

noktalarında oluşturulması gereken eylemsizlik kuvvetlerini gösterir.

Bu çalışmada model dizeylerin hesaplanmasında eleman dizeylerinin simetri özelliği

kullanılarak modele ait dizey hacimlerinin en küçük yapılmasına çalışılmıştır. (3.82) ile

verilen eleman kütle dizeyinin birleştirilerek, model kütle dizeyinin elde edilmesinde

birbirinden farklı iki yaklaşım kullanılır (Rao 1989). Bunlar, “sürekli kütle (consistent

mass)” ve “yığın kütle (lumped mass)” yaklaşımlarıdır. Sürekli kütle yaklaşımı

kullanıldığında model kütle dizeyi, model sıkılık dizeyinde olduğu gibi simetrik yapıda

elde edilir. Bu işlem (3.82) integral ifadesinin sayısal hesaplanmasıyla yapılır. Yığın

kütle yaklaşımı kullanıldığında ise köşegen (diagonal) dizey yapısında elde edilir. Bu

yaklaşımda her bir eleman kütlesi, elemanın düğümleri tarafından paylaştırılır.

Bu çalışmada, yığın kütle yaklaşımı kullanılmıştır. Eleman sıkılık ve kütle dizeylerinin

birleştirilmesinde simetri ve band özelliklerinin gösterilmesi amacıyla üç elemandan

oluşan bir sonlu eleman ağı Şekil 3.25’ de gösterilmiştir. Şekildeki sonlu eleman ağı

üzerinde kalın rakamlarla verilen numaralar global düğüm numaralarını, italik olarak

belirtilen rakamlar her bir elemana ait yerel düğüm numaralarını ve alt çizgi ile verilen

rakamlar eleman numaralarını göstermektedir.

m3=ρ3A3m2=ρ2A2m1=ρ1A1

3 2 1

3

4 1

3 2

1

8

7

6 2

5 4

4 3

3 4

2 2

1 1

Şekil 3.25. Üç elemandan oluşan sonlu eleman ağı.

98

Zemin birimlerinin dış kuvvetler (deprem kuvveti gibi) altında dinamik davranışının

belirlenmesinde alan değişkeni, bağıl yerdeğiştirmelerdir. Sınır koşulları olarak modele

ait sınır düğümlerinde (Şekil 3.25 için: 1, 2, 4, 6, 7 ve 8 numaralı düğümler) dış

kuvvetin uygulandığı varsayılır. Modelde gerilme ve deformasyonların oluşabilmesi

için modele ait bir sınır sabit tutulur. Burada 3 numaralı elemana ait 7. ve 8. numaralı

düğümler sabit tutulmuştur. Birinci elemana ait sıkılık ve kütle dizeyleri, anlatılan

yöntemden hareketle,

Global düğüm

numarası

,

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

188

187

186

185

184

183

182

181

178

177

176

175

174

173

172

171

168

167

166

165

164

163

162

161

158

157

156

155

154

153

152

151

148

147

146

145

144

143

142

141

138

137

136

135

134

133

132

131

128

127

126

125

124

123

122

121

118

117

116

115

114

113

112

111

1

65874321

kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk

K

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

11111111

411 m

M

ikinci eleman için,

,

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

288

287

286

285

284

283

282

281

278

277

276

275

274

273

272

271

268

267

266

265

264

263

262

261

258

257

256

255

254

253

252

251

248

247

246

245

244

243

242

241

238

237

236

235

234

233

232

231

228

227

226

225

224

223

222

221

218

217

216

215

214

213

212

211

2

109

12118765


K

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

11111111

422 m

M

ve üçüncü eleman için,

1 2 3 4 7 8 5 6 Global düğüm numarası 1

2 3 4 7 8 5 6

Global düğüm numarası

5 6 7 8 11 12 9 10


5 6 7 8 11 12 9 10

99

Global düğüm

numarası

,

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

388

387

386

385

384

383

382

381

378

377

376

375

374

373

372

371

368

367

366

365

364

363

362

361

358

357

356

355

354

353

352

351

348

347

346

345

344

343

342

341

338

337

336

335

334

333

332

331

328

327

326

325

324

323

322

321

318

317

316

315

314

313

312

311

3

141316151211109


K

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

11111111

433 m

M

9 10 11 12 15 16 13 14


9 10 11 12 15 16 13 14

elde edilir. Şekil 3.25’ de verilen sonlu eleman ağı için (3.58) ifadesinde h=(4-1)=3,

nf=2, band genişliği, b=8’ ve model serbestlik derecesi nf=10 dur. Şekil 3.25’ de verilen

model ağına ait global dizeyin hesaplanmasında band genişliği dikkate alınmaz ise,

model sıkılık dizeyi (10×10) boyutunda, band genişliği kullanılırsa dizey boyutu

(10×8)’ e indirgenmiş olur. 32 bitlik bir işletim sistemi göz önüne alındığında band

özelliğinin kullanılmaması halinde, sıkılık dizeyi için bellekte 800 Byte yer ayrılması

gerekirken band özelliği kullanıldığında 640 Byte’lık bir alanın ayrılması yeterli

olacaktır. Az sayıda elemandan oluşan bir model için band genişliğinin kullanılması

fazla yarar sağlamaz. Ancak model ağın büyük sayıda eleman içerdiği durumda dizey

boyutlarında büyük oranda azalma söz konusu olur. Model sıkılık dizeyinin elde

edilmesinde, her bir elemana ait sıkılık dizeyi ve global düğüm numaraları göz önüne

alınarak birleştirilir. Sonlu eleman yönteminde, eleman dizeylerinin birleştirilmesiyle

modele ait global dizeyler elde edilmiş olur. Bu aşamadan sonra global dizeyler

üzerinde sınır koşullarının uygulanması gelir.

3.2.7. Sınır koşullarının uygulanması

Sınır-değer problemleri, matematiksel model, başlangıç ve sınır koşullarından oluşur.

Başlangıç koşullarını t=0 anı için yerdeğiştirme ve hız değerleri oluşturur. Sınır

koşulları için iki tür sınır koşulu uygulanır. Bunlar Dirichlet ve Neumann sınır

100

koşullarıdır. Dirichlet sınır koşulunda sonlu eleman ağı sınırlarında belirli noktalarda

yerdeğiştirmeler ön-tanımlıdır. Neumann sınır koşulunda ise eleman sınırlarında yer

değiştirmelerin normal türevleri ön-tanımlıdır. Hareket denkleminin sonlu eleman

yöntemi ile modellenmesinde, ağ sınırlarında dış kuvvetin uygulandığı düğümlerde yer-

değiştirmeler ön-tanımlıdır (genel olarak sıfırdır). Bu şekilde tanımlanan her iki sınır

koşuluda uygulanmış olur. Sınır koşullarının sayısal olarak uygulanmasında j. serbestlik

derecesine karşı gelen düğüm için verilen sınır koşulu, global sıkılık ve sönüm katsayı

dizeylerinde ilgili düğüme karşı gelen satır ve sütün elemanlarının birim değere, aynı

satır ve sütünün diğer elemanlarının sıfıra eşitlenmesiyle, kütle dizeyinde ise j.

serbestlik derecesine karşı gelen dizey eleman değerinin sıfır yapılmasıyla sağlanır.

Sınır koşullarının uygulanması ile genel dizeylerdeki tekil değer sorunu da giderilmiş

olur.

3.2.8. Newmark yaklaşımı

(3.79) ile verilen hareket denkleminin sayısal çözülebilmesi için denklemde yer alan

ivme, U&& değerinin bilinmesi gerekir. Hareket denkleminin doğrudan integral

yöntemleriyle çözümü zaman değişkenine bağlı olarak adım adım birleştirme işlemiyle

yapılır. Doğrudan terimi, bilinmeyenin bir önceki değeriyle ilişkili olması ve denklemin

başka bir yapıya dönüştürülmediğini ifade eder. Doğrudan integral işlemi, iki temel

fikre dayanır: Birincisi, (3.79) denkleminin herhangi bir t zamanı için sağlamak yerine,

ayrık ∆t zaman aralıklarında sağlanmasına çalışılmasıdır. Bu durum, çözüm aralığı

içinde ayrık noktalarda atalet ve sönüm etkileri eklenmiş dengenin aranmasıdır. Bu

nedenle statik çözümleme işlemi için kullanılan tüm yöntemler doğrudan integral

yöntemleri içinde kullanılabilir. İkincisi, yerdeğiştirme, hız ve ivmenin ∆t zaman

aralığındaki değişimidir. Yerdeğiştirme, hız ve ivmenin değişimi yöntemin doğruluğunu

(accuracy), duraylılığını (stability) ve çözüm gücünü (efficiency) gösterir.

Doğrudan integral yöntemleri ile hareket denkleminin çözümünde yerdeğiştirme, hız ve

ivme vektörlerinin, t=0 anında bilindiği varsayılır ve (3.79) denkleminin 0-t zaman

101

aralığında çözümü bulunmaya çalışılır. t zamanı n adet alt zaman aralığına bölünür,

∆t=t/n ve doğrudan integral yaklaşımı ∆t, 2∆t, 3∆t, ..., t zamanları için ayrı ayrı

uygulanır. Yöntem ti+∆t zamanındaki çözüm için 0, ∆t, 2∆t,..., ti zaman değerlerinin

bilinmesini gerektirir. Doğrudan integral yöntemlerinde genel olarak sabit bir ∆t zaman

aralığı kullanılsa da, kolaylıkla değişken zaman aralığı kullanılabilir. Uygulamalarda

sıkça kullanılan yöntemlerin başında koşulsuz durağan çözüm veren Newmark (1959)

yaklaşımı verilebilir. Bu çalışmada hareket denkleminin doğrusal bir denklem takımına

dönüştürülmesi için Newmark (1959) Beta yaklaşımı kullanılmıştır. Newmark beta

yaklaşımı, ortalama ivme yaklaşımının genelleştirilmiş halidir. yerdeğiştirme

ve hız değerleri t+∆t zamanı için Taylor serisine açılırsa:

∆tt.

∆tt U,U ++

∆tt

..

t

..

t

.

t∆tt Uα∆tUα)(∆tU∆tUU ++ +−++=2

12

22

(3.85)

∆tt

..

t

..

t

.

∆tt

.U∆tβUβ)∆t(UU ++ +−+= 1 (3.86)

elde edilir. Burada verilen son terimler seri açılımda kalan terimler için bir yaklaşımdır

(Chopra 1995, West vd 1999, Zienkiewicz 1977). Bu ifadelerdeki α ve β değerleri

integral işleminin doğruluğunu ve durağanlılığını gösteren katsayılardır. α=0.5 ve

β=0.25 değerleri için (3.85) ve (3.86) bağıntıları ortalama ivme yaklaşımını gösterir. Bu

yaklaşım aynı zamanda “yamuk kuralı” denir. Ortalama ivme yaklaşımı Şekil 3.26’ da

gösterilmiştir.

ttU ∆+&&

tU&&

ti+1ti τ

U&&

)(5.0)( 1 ii uuu &&&&& +×= +τ

t

Şekil 3.26. Ortalama ivme yaklaşımı (Newmark 1959).

102

(3.85) ve (3.86) ifadeleriyle birlikte (3.79) hareket denklemi, t+∆t zamanındaki yer-

değiştirme, hız ve ivme değerlerini çözmek için kullanılır. Bunun için (3.85)

bağıntısında için, ∆tt

..U +

[ ] ttttttt UUt

UUt

U &&&&& −∆

−−∆

= ∆+∆+44

2 (3.87)

elde edilir. (3.87) ifadesi (3.79) hareket denkleminde yazılır ve (3.55) ifadesiyle verilen

Grünwald tanımı kullanılırsa,

∑−

=+

∆+∆+

−

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

∆+

∆+=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+

∆

1

11

212

))1((

444

N

jj

ttttttt

Nj

tUANtC

UUt

Ut

MfUKCANtM

tα

α&&&

(3.88)

elde edilir. Burada etkin (effective) sıkılık dizeyi, : modK

CANtM

tKK 12mod

4 α−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

∆+= (3.89)

ve etkin kuvvet vektörü : modF

∑−

=+

−

∆+ −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

∆+

∆+=

1

11

...

2mod ))1((44 N

jjttttt N

jtUANtCUU

tU

tMfF

α

(3.90)

yazılırsa ttU ∆+ yer değiştirmeleri için doğrusal denklem yapısı,

modmod FUK tt =∆+ (3.91)

elde edilir. (3.91) ifadesiyle (3.79) hareket denklemi doğrusal denklem takımının

çözümüne indirgenmiş olur.

103

3.2.9. Doğrusal denklem takımının çözülmesi

(3.91) denklem sisteminin ∆ttU + yerdeğiştirmeleri için çözülebilmesi, etkin sıkılık

dizeyinin tersinin alınmasını gerektirir. Bu çalışmada, Gauss yok etme (Gauss

elemination) yönteminde işlemlerin dizey yapısında yürütüldüğü LDLT ayrışım

(decomposition) yöntemi sıkılık dizeyinin tersinin alınmasında kullanılmıştır. Bu

yöntemde dizeyi, şeklinde üç dizeyin çarpımına indirgenir. modK TLDLK =mod L

dizeyi alt üçgen ve D dizeyi köşegen bir dizeydir.Yönteme ilişkin ayrıntılı bilgi Bathe

(1996), Hughes (1987) ve Krishnomoorthy’ de (1996) bulunabilir. t+∆t zamanı için

ttU ∆+ yerdeğiştirmesinin çözülmesi ile (3.85) ve (3.86) bağıntıları kullanılarak, t+∆t

zamanındaki hız, ∆tt

.

U + ve ivme, ∆tt

..

U + değerleri elde edilir. Bu aşamadan sonra

istenilen diğer büyüklükler; örneğin eleman içerisinde her bir t zamanlarındaki gerilme

ve deformasyon değerleri sırasıyla (3.76) ve (3.78) denklemleri kullanılarak hesaplanır.

Dinamik bir problemin sonlu eleman yöntemiyle çözülmesinde yürütülen işlem adımları

Şekil 3.27’ de gösterilmiştir. Şekil 3.28 ve Şekil 3.29’ da sırasıyla Quad4m programı

(Hudson vd 1994) ve Dyn2d programında yürütülen genel işlem adımları gösterilmiştir.

104

FİZİKSEL PROBLEM

MATEMATİKSEL MODEL VE VARSAYIMLAR

a) Geometrik varsayımlar b) Kinematik varsayımlar c) Model üzerindeki varsayımlar

SONLU ELEMAN ÇÖZÜMÜ a) Eleman seçimi b) Model ağ tasarımı (geometrik şekil seçimi, eleman

sayısı vb. gibi) c) Çözüm parametrelerin seçimi d) Model üzerinde kuvvetlerin seçimi e) Sınır koşullarının gösterimi

vb. gibi

Çözünürlük hassasiyet derecesi

SONUÇLARIN YORUMLANMASI

MODELİN GELİŞTİRİLMESİ VEYA

YAPISAL DURUMUN ORTAYA KONULMASI

Çözümün yinelenmesi

Fiziksel modelin yinelenmesi

Model veya Ç

özüm

Parametrelerin

değiştirilmesi

Matem

atiksel m

odelin yinelenmesi

Şekil 3.27 Dinamik bir problemin sonlu eleman yöntemi ile çözümünde temel işlem

adımları.

105

BAŞLA

Sonlu eleman ağına ait bilgilerin girilmesi ve dizey

boyutlarını belirle

Eleman kütle, sıkılık ve sönüm dizeylerini hesapla

ktime =

BİTİR

Eleman dizeylerini birleştirerek global dizeyleri oluştur

Di

Har

Her bi

ktime+1

Baş

Şe

Yineleme işlemine başla (iter = 1 )

H E

H E

Sınır koşullarını uygula

namik çözüm işlemine başla (ktime = 1)

eket denklemini yer değiştirmeler için çöz.

r düğümdeki ivme ve hız değerlerini hesapla

Her bir elemandaki gerilmeleri hesapla

ktime > NModül (G/Gmax) ve sönüm (ζ) oranlarını güncelle

iter = iter + 1

iter >Liter

E

Etkin kuvvet vektörünü hesapla

langıç ivme, hız ve yer değiştirmelerini ata

Sonuçları Yaz

Durdurma ölçütünü sağlıyor

mu ?

H

kil 3.28. Quad4m programı işlem akış şeması.

106

BAŞLA

ktime =ktime+

BİT

Sonlu eleman ağına ait giriş bilgilerini oku, dizeyboyutlarını,ve zemin dinamik modülleri hesapla

a

Başlangıç ivme, hız ve yerdeğiştirmeleri ata

G

E

He

1

İR

Ş

Kesirsel türev mertebesini ata (α = 0.5 )

Eleman sıkılık ve kütle dizeylerini hesapl

rünwald katsayılarını ve eleman sönüm dizeyini hespla

leman dizeylerini birleştirerek Global dizeyleri oluştur.

Sınır koşullarını uygula

Dinamik çözüme başla (ktime = 1 )

r bir düğüm noktası için sönüm değerini hesapla

ktime > N

Son

H

Etkin kuvvet vektörünü hesapla

Hareket denklemini yer değiştirmeler için çöz

Düğüm ivme, hız değerlerini ve elemanlardaki gerilmeleri hesapla

Durdurma ölçütünü sağlıyor

mu ?

ekil 3.29. Dyn2d

E

uçları Yaz

programı işlem akış şeması.

107

E

H

4. ARAŞTIRMA BULGULARI

4.1. Uygulamalar

Zeminlerde sönümün veya sismik dalga enerji kaybının modellenmesi, temel kayadan

zemine gelen deprem dalgalarının yeryüzüne ulaşıncaya değin geçen süreçte,

enerjisindeki kaybın belirlenmesidir. Bu tez çalışmasında sabit bir değer veya frekansa

bağlı sönüm yerine yapısal elemanda gelişen deformasyonu göz önüne alan, kesirsel

türev yaklaşımını kullanmak amacıyla Dyn2d adı verilen bir bilgisayar programı

MATLAB programlama dili kullanılarak yazılmıştır. Farklı fiziksel ve geometrik

özelliklerdeki beş farklı model üzerinde, her iki sönüm yaklaşımı kullanılarak aynı

eleman ve düğüm noktalarında hesaplanan ivme ve gerilme zaman geçmişleri

karşılaştırılmıştır. Quad4m programına karşılık Dyn2d programı, gerilme değerlerinin

hesaplandığı elemanlarda makaslama modül değişimine karşılık, sönüm oranı veya

enerji kaybı oranını kümülatif deformasyona bağlı olarak verir. Sönümün

hesaplanmasında kullanılan kesirsel türev mertebesi, zeminin fiziksel özelliklerine bağlı

olarak 0~2.5 aralığında değişim göstermesine karşılık, burada verilen uygulamalarda

0.5 değeriyle sabit tutulmuştur. Quad4m programına göre hareket denkleminin zaman

ortamı sayısal çözümünde, her bir yineleme işleminde makaslama modül oranı ve

sönüm oranı değerleri sabit bırakılır ve yineleme sonunda her iki modül oranı

güncellenerek bir sonraki yineleme işlemine geçilir. Bu güncelleştirme işlemi, farklı

zemin türlerine ait laboratuar deney sonuçlarına dayanarak yapılır. Frekans ortamında

sönüm işlemi modellenirken sönüm oranı ve makaslama modül oranı için kompleks

simgeleme kullanılır ve sayısal hesaplamalar frekansın bağımlı değişkeni olarak

yürütülür. Kesirsel türev yaklaşımında ise sönümün hesaplanması her bir zaman

adımında yeniden hesaplanırken her bir yineleme işlemi sonunda kesirsel türev

mertebesi değiştirilir. Kesirsel türev mertebesi yapılan uygulamalar sonucunda, modelin

fiziksel özelliklerine göre 0~2.5 aralığında değer aldığı görülmüştür. Bu bölümde ele

alınan modellere ait Quad4m sonuçları üç yineleme ile elde edilmiştir.

108

Temel kayadan yer yüzeyine ulaşan dalgaların sönümlenmesinde rol oynayan temel

etkenler Hardin vd (1972a) tarafından ayrıntılı olarak verilmiştir. Elde edilen sonuçlara

göre; sönüm üzerinde etkin olan en önemli etkenlerin başında yapısal elemanda gelişen

deformasyon gelmektedir. Ayrıca, gerek iri daneli (kohezyonsuz) gerekse ince daneli

(kohezyonlu) zemin türlerinde frekansın sönüm üzerinde belirgin bir etkisinin

olmadığını göstermişlerdir. Hardin vd’ nin (1972) elde etmiş olduğu sonuçlar Çizelge

3.2’ de ayrıntılı olarak verilmiştir. Quad4m (Hudson vd 1994) programı belirtildiği gibi

sönüm işlemi için frekansa bağlı yaklaşım kullanır. Sönüm için her iki programın

kullandığı yaklaşımlar dışında genel işlem adımları benzerdir. Her iki programda

çözümlemeler zaman ortamında gerçekleştirilir. Quad4m programı sönüm için (3.40)

denklemini kullanır. Bu denklemde yer alan iki frekans değerinden birincisi; ele alınan

modelin doğal titreşim frekansıdır. İkinci frekans değeri ise; temel kayaya ulaşan

deprem dalgasının hakim titreşim frekansıdır. Quad4m programı hesaplanan bu iki

frekans aralığında minimum sönüm ve bu frekans aralığı dışında maksimum sönüm

uygulanacak şekilde yaklaşım sağlar. Quad4m programı başlangıçta Dyn2d programına

göre oldukça fazla sayıda parametre grubunu giriş verisi olarak alır. Yoğunluk,

başlangıç sönüm oranı ve başlangıç makaslama modül oranı değerleri laboratuar

deneyleriyle elde edilir. Buna karşın Dyn2d programı daha esnek bir giriş veri

yapısındadır. Dyn2d programı ele alınan modele ait sismik hızları (Vp, Vs), yoğunluk

değerini (isteğe bağlı olarak program tarafından hesaplanabildiği gibi giriş dosyasından

da okutulabilir), sonlu eleman ağına ait eleman ve düğüm noktaları bilgilerini giriş

verisi olarak alır. Bu açıdan Dyn2d programı laboratuar verisine gerek duymadan

yalnızca jeofizik veriye dayanarak hesaplama işlemi yapabilmektedir. Dyn2d

programında sismik dalga hızlarını kullanarak maksimum makaslama modülü:

2

max VsG ×= ρ (Pa) (4.1)

yoğunluk:

28.031.0 Vp×=ρ (g/cm3) (4.2)

ve Poisson oranı:

109

2

2

)/(1

)/(221

sp

sp

VV

VV

−

−×=υ (4.3)

bağıntıları kullanılmıştır (Ammon 2001). Her iki program gerek İngiliz birim sistemini

gerekse uluslararası (SI) birim sistemini kullanabilmektedir. Modellere ait sonlu eleman

ağında belirtilen içi dolu elemanlar, gerilmelerin hesaplandığı elemanları gösterir. İvme

değerleri ise gerilme değerlerinin hesaplandığı elemanların birinci düğüm noktalarına

aittir. Hesaplanmış ivme zaman geçmişlerinin Fourier dönüşümleri alınmış ve her bir

modelin spektral tepkisine 10 Hz kesme frekansında alçak geçişli Butterworth süzgeç

işlemi uygulanarak gösterilmiştir. Verilen uygulamalarda modellere ait sismik hız (Vp,

Vs) ve yoğunluk değerleri ilk model için Idris vd’ den (1973), ikinci model değerleri

Hudson vd’ den (1994) alınmıştır. Son üç modelde, zemin birimlerinin yaklaşık sismik

hız ve yoğunluk değerleri kullanılmıştır. Quad4m ve Dyn2d programları için kullanılan

giriş verisinin dosya içerikleri sırasıyla EK 2 ve EK 3’ de verilmiştir.

4.1.1. Model 1

Zemin dinamik davranışının belirlenmesi ve kesirsel türev yaklaşımı ile sönüm

hesaplanmasının kullanımını göstermek amacıyla, temel kaya üzerinde yer alan 1500 ft

genişliğinde ve 100 ft kalınlığında kumlu bir zemin ele alınmıştır. Model, Idris vd’ den

(1973) alınmıştır. Modele ait sonlu eleman ağı Şekil 4.2’ de gösterilmiştir. Quad4m ve

Dyn2d programları için modele ait özellikler sırasıyla Çizelge 4.1 ve Çizelge 4.2’ de

gösterilmiştir. 17 Ekim 1989 Loma Prieta depremi (M= 6.9) temel kaya giriş ivme verisi

olarak kullanılmıştır. Loma Prieta depremi, San Andreas fayı üzerinde Santa Cruz

dağlarında meydana gelmiştir. Depremin ana şok süresi 15 s’ dir. Deprem özellikle San

Francisco ve çevresinde etkili olmuştur. Deprem merkez üssü 37.04° K enlemi ve

121.88° B boylamıdır. Loma Prieta zirvesi adı verilen Santa Cruz’ un yaklaşık 14 km

kuzey doğusu ve San Francisco’ nun yaklaşık 96 km güney doğusundadır. Depremin

odak derinliği 18 km, yüzey kırık uzunluğu 35 km ve yatay atım miktarı 2 m olarak

ölçülmüştür (Platkers vd 1989). Loma Prieta depremi sonucu 1500 ev ve işyeri

110

tamamen yıkılmış, yaklaşık 27,000 ev ve işyeri hasar görmüştür. Ölü sayısı 62 yaralı

sayısı ise yaklaşık 14,000 olarak belirlenmiştir. Depremin Amerikan ekonomisine etkisi

yaklaşık 6 milyar dolar olmuştur. Bölgede çeşitli kurum ve kuruluşlarca ölçülen ivme

değerleri, yerçekimi ivme değerinin %47 ile %55 arasındadır. Şekil 4.1’ de depremin

oluşturduğu hasar gösterilmiştir. Loma Prieta depremi, hasarın zemin tabakalarının

kendisine gelen deprem dalgalarını önemli ölçüde büyütmesi nedeni ile oluşturduğunu

gösterebildiğinden, tarihteki önemli depremler arasında yer almaktadır.

Şekil 4.2’ de gösterilen modele ait sonlu eleman ağında, içi dolu elemanlar gerilme ve

ivme zaman geçmişlerinin hesaplandığı elemanları gösterir. İvme zaman geçmişleri

ilgili elemanların birinci düğüm noktalarında hesaplanmıştır. Model-1’ de ivmeler 3, 57

ve 111 numaralı düğüm noktalarında, gerilmeler ise 3, 48 ve 93 numaralı elemanlarda

hesaplanmıştır. Modelde İngiliz birim sistemi kullanılmıştır. Model alt sınırına ait

düğüm noktaları sabit tutularak, modelin yalnızca yatay doğrultuda hareketine izin

verilmiştir. Her iki program tarafından aynı düğüm noktalarında hesaplanan ivme

zaman geçmişleri Şekil 4.3’ de gösterilmiştir. Her iki program sonucu elde edilen ivme

zaman geçmişlerine ait hesaplanmış dalga şekilleri benzerlik göstermektedir.

Hesaplanan ivme zaman geçmişleri arasındaki farklılıklar uygulanan farklı sönüm

yaklaşımlarından ileri gelmektedir. Şekil 4.3’ de gösterilen hesaplanmış ivmelere ait

model spektrum yanıtı Şekil 4.4’ de gösterilmiştir. Şekil 4.4’ den görüleceği üzere

hesaplanan hakim periyotlar her iki program için benzerlik gösterirken, genlik

değerlerinde farklılıklar görülmektedir. Şekil 4.2’ de içi dolu olarak gösterilen

elemanlara ait gerilme zaman geçmişleri Şekil 4.5’ de gösterilmiştir. Her iki program

tarafından hesaplanan gerilme değerleri yaklaşık benzerdir. Şekil 4.6’ da Model 1’ e ait

makaslama modül oranı (G/Gmax) ve sönüm oranı (D/Dmax) kümülatif deformasyona

bağlı olarak gösterilmiştir. Şekil 4.7’ de gerilme zaman geçmişlerinin hesaplandığı

düğümlerdeki gerilme değerlerinin derinlikle değişimi gösterilmiştir. Model 1 için

Dyn2d programında kullanılan sismik hızlar ve yoğunluk değerleri aynı model için

verilen Quad4m verisinden yararlanarak hesaplanmıştır.

111

Şekil 4.1. 17 Ekim 1989 (M= 6.9) Loma Prieta depremi sonucu oluşan hasar.

Şekil 4.2. Model 1 sonlu eleman ağı.

Çizelge 4.1. Model 1 için Quad4m programı giriş verisi UNITS (E for English, S for SI):

E

DRF PRM ROCKVP ROCKVS ROCKRHO

1 0.65 0 0 0

NELM NDPT NSLP

100 126 0

KGMAX KGEQ N1EQ N2EQ N3EQ NUMB KV KSAV

2000 2000 1 1 2000 3 2 0

DTEQ EQMUL1 EQMUL2 UGMAX1 UGMAX2 HDRX HDRY NPLX NPLY

PRINPUT

112

Çizelge 4.1. devamı 0.02 1 1 0 0 3 3 8 8 0.153

EARTHQUAKE INPUT FILE NAME(S) & FORMAT(S)

SC_0.ACC

*

SC_V.ACC

*

SOUT AOUT KOUT

1 1 0

STRESS OUTPUT FORMAT (M or C), FILE PREFIX, AND SUFFIX:

COMBINED

STRES

DAT

ACCELERATION OUTPUT FORMAT (M or C), FILE PREFIX, AND SUFFIX:

COMBINED

ACCEL

DAT

-----------------------------------------------------------------------------

N NP1 NP2 NP3 NP4 TYPE DENS PO GMX G XL LSTR

1 1 7 8 2 2 131 0.43 302 181. .10000

……………………………………………….

100 119 125 126 120 2 131 0.43 302 181. .10000

N XORD YORD BC OUT X2IH X1IH XIH X2IV X1IV XIV

1 -900 100 3

…………………………

126 600 0 3

Çizelge 4.2. Model 1 için Dyn2d programı giriş verisi 1 2 1

100 126

2000 1 2000 2

0.02 1 1 0 0 3 3 8 8

SC0.dat

SCV.dat

m1e.txt

113

Çizelge 4.2. devamı m1n.txt

--------------------------------------------------------------

no nd1 nd2 nd3 nd4 rho vp vs str

1 1 7 8 2 4.06 770 270 0

………………………………..................................

100 119 125 126 120 4.06 770 270 0

n x y bc x2 x1 x y2 y1 y acc

1 -900 100 3 0 0 0 0 0 0 0

………………………………….................

126 600 0 3 0 0 0 0 0 0 0

Şekil 4.3. Model 1 için hesaplanan ivme zaman geçmişi.

114

Şekil 4.4. Verilen ivme zaman geçmişlerinin Fourier spektrumları.

Şekil 4.5. Model 1 için hesaplanan gerilme zaman geçmişi.

115

Şekil 4.6. Model 1 makaslama modül oranı (G/Gmax) ve sönüm oranı (D/Dmax)’ ın

makaslama deformasyonu ile değişimi.

Şekil 4.7. Model 1 için makaslama gerilmenin derinlikle değişimi.

116

4.1.2. Model 2

İkinci model, 6000 ft genişliğinde ve 100 ft kalınlığında bir kil birimidir. Model Hudson

vd’ den (1994) alınmıştır. Modele ait sonlu eleman ağı Şekil 4.8’ de gösterilmiştir. Her

iki program tarafından modele ait hesaplanan ivme zaman geçmişleri 164, 167 ve 170

numaralı düğümler ve gerilme zaman geçmişleri 139, 142 ve 145 numaralı elemanlara

aittir. Dyn2d programı için model giriş verisi Çizelge 4.3’ de ve Quad4m programı için

giriş verisi Çizelge 4.4’ de verilmiştir. Modelde İngiliz birim sistemi kullanılmıştır.

Modele ait ivme zaman geçmiş değerleri Şekil 4.9’ da gösterilmiştir. Şekil 4.10’ da

hesaplanan ivme zaman geçmişlerine ait spektrum yanıtı gösterilmiştir. Her iki program

tarafından hesaplanan ivme zaman geçmiş değerleri ve hakim doruk periyotları yaklaşık

benzerdir. Model 1’ de olduğu gibi her iki program tarafından hesaplanan ivme ve

spektrum yanıtları arasındaki fark kullanılan sönüm yaklaşımlarından

kaynaklanmaktadır. Gerilme zaman geçmişleri Şekil 4.11’ de gösterilmiştir. Hesaplanan

gerilme değerlerinin birbirine yakın olduğu görülmektedir. Hesaplanan makaslama

modül oranı (G/Gmax) ve sönüm oranı (D/Dmax) değişimi Şekil 4.12’ de gösterilmiştir.

Şekil 4.13’ de her iki program tarafından hesaplanan gerilmelerin derinlikle değişimi

gösterilmiştir. Model 1 için kullanılan 17 Ekim 1989 Loma Prieta depremi (M=6.9)

ivme kaydı Model 2 içinde temel kaya giriş ivme verisi olarak kullanılmıştır. Quad4m

programı için başlangıç sönüm oranı %10 ve başlangıç makaslama modülü ise

maksimum makaslama modülü değerinin %60 alınmıştır.

117



330 388

2000 1 2000 2

0.02 1 1 0 0 3 3 8 8

SC0.dat

SCV.dat

m2e.txt

m2n.txt

............................................................................................................

n nd1 nd2 nd3 nd4 rho vp vs str

1 1 2 7 6 3.72 1000.00 300.00 0

…………………………………………............................................

330 378 379 388 387 3.72 1000.00 300.00 0

n x y bc h2 h1 h v2 v1 v acc

1 -2100 50 3 0 0 0 0 0 0 0

………………………………………………..........................

388 4250 0 3 0 0 0 0 0 0 0

118

Çizelge 4.4. Model 2 için Quad4m programı giriş verisi UNITS (E for English, S for SI)

E


1 0.65

NELM NDPT NSLP

330 388


2000 2000 1 1 2000 3 2

DTEQ EQMUL1 EQMUL2 UGMAX1 UGMAX2 HDRX HDRY NPLX NPLY PRINPUT

0.02 1 1 3 3 8 8 0.153

EARTHQUAKE INPUT FILE NAME(S) & FORMAT(S)

SC_0.ACC

*

SC_V.ACC

*

SOUT AOUT KOUT

1 1


COMBINED

STRES

DAT

ACCELERATION OUTPUT FORMAT (M or C), FILE PREFIX, AND SUFFIX

COMBINED

ACCEL

DAT

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------


1 1 2 7 6 1 120 0.45 345 249. .08198

…………………………………………….............................................................

330 378 379 388 387 1 120 0.45 345 210. .11063


1 -2100 50 3

…………………………........

388 4250 0 3

119

Şekil 4.9. Model 2 için hesaplanmış ivme zaman geçmişi.


120

Şekil 4.11. Model 2 için hesaplanan gerilme zaman geçmişleri.

Şekil 4.12. Model 2 için makaslama modül (G/Gmax) ve sönüm oranının (D/Dmax)

makaslama deformasyonu ile değişimi

121

Şekil 4.13. Model 2 için makaslama gerilmenin derinlik ile değişimi.

4.1.3. Model 3

Model 3, 1150 m genişliğinde ve 170 m kalınlığında bir yelpaze yapısıdır. Her iki

program için kullanılan model giriş verisi Çizelge 4.5 ve Çizelge 4.6’ da verilmiştir. Ele

alınan modelin oldukça gevşek bir zemin olduğunu göstermek amacıyla Dyn2d

programı için verilen sismik hızlar oldukça düşük seçilmiştir. Quad4m için verilen giriş

değerleri sismik hız ve yoğunluk değerlerinden hesaplanmıştır. Quad4m programı için

başlangıç sönüm oranı %10 ve başlangıç makaslama modül oranı değeri için,

hesaplanan maksimum makaslama modül oranının %60 kullanılmıştır. Model 3 için

uluslararası birim sistemi kullanılmıştır. Modele ait sonlu eleman ağı Şekil 4.15’ de

gösterilmiştir. Her iki program için hesaplanan ivme zaman geçmişleri 4, 43, 160 ve

163.numaralı düğüm noktalarında, gerilme zaman geçmişleri ise 4, 41, 147, 151 ve 154

numaralı elemanlara aittir. Her iki program için hesaplanan ivme zaman geçmişleri

Şekil 4.16’ da ve ivme zaman geçmişlerine ait model spektrum yanıtları Şekil 4.17’ de

gösterilmiştir. Her iki program tarafından hesaplanan doruk periyotları farklıdır.

Hesaplanan gerilme zaman geçmişleri Şekil 4.18’ de gösterilmiştir. Dyn2d programı

122

tarafından hesaplanan makaslama modül oranı (G/Gmax) ve sönüm oranın (D/Dmax)

kümülatif deformasyona bağlı değişimi Şekil 4.19’ da gösterilmiştir. Şekil 4.20’ de her

iki program tarafından hesaplanan ve Şekil 4.18’ de gösterilen gerilme zaman

geçmişlerine ait doruk değerleri derinliğe bağlı olarak gösterilmiştir. Model 3’ de temel

kaya giriş ivme verisi olarak 12 Kasım 1999 Düzce depremi (M=7.2)’ in Bolu ili ivme

kaydı kullanılmıştır. Afet işleri Genel Müdürlüğü Deprem Araştırma Dairesi tarafından

depremde ölçülen maksimum ivme doruk değeri yerçekimi ivmesinin yaklaşık %80’ i

olarak elde edilmiştir.

Şekil 4.14. 12 Kasım 1999 Düzce depremi (M=7.2) oluşan hasar.

TEMEL KAYA


123

Çizelge 4.5. Model 3 Dyn2d programı giriş verisi 2 2 1

179 203

3000 1 3000 2

0.01 1 1 0 0 1 1 1 1

bolue.txt

boluv.txt

m3e.txt

m3n.txt

-----------------------------------------------------------------------------

n n1 n2 n3 n4 rho vp vs str

1 1 3 2 2 2.2 310 125 0

...............................................…………………………………….

179 190 191 203 202 2.2 310 125 0


1 -1000 170 3 0 0 0 0 0 0 0

…………………………………………

203 150 0 3 0 0 0 0 0 0 0

Çizelge 4.6. Model 3 Quad4m programı giriş verisi UNITS (E for English, S for SI):

S


1 .65

NELM NDPT NSLP

179 203


3000 3000 1 1 3000 3 2


0.01 1 1 1 1 1 1

0.765

EARTHQUAKE INPUT FILE NAME(S) & FORMAT(S) (* for FREE FORMAT)

bolue.txt

*

boluv.txt

*

124

Çizelge 4.6. devamı SOUT AOUT KOUT

1 1


COMBINED

STRES

DAT


COMBINED

ACCEL

DAT

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


1 1 3 2 2 2 22 0.4 35 21 0.1

..……………………………………….......................................................................................

179 190 191 203 202 2 22 0.4 35 21 0.1


1 -1000 170 3

…………………………

203 150 0 3


125



126

Şekil 4.19. Model 3 için makaslama modül oranı (G/Gmax) ve sönüm oranı (D/Dmax)’

in makaslama deformasyonu ile değişimi.

Şekil 4.20. Model 3 için makaslama gerilmesinin derinlik ile değişimi.

127

4.1.4. Model 4

Model 4’ de düzgün temel topografyasına sahip olmayan bir zemin türünün davranışı

incelenmiştir. Modele ait sonlu eleman ağı Şekil 4.22’ de gösterilmiştir. Modelde

uluslararası birim sistemi kullanılmıştır. Model 5000 m genişlikte ve 80 m kalınlıktadır.

Modele ilişkin ivme zaman geçmişleri 51, 117, 182, 195 ve 302 numaralı düğümler ve

gerilme zaman geçmiş değerleri 176, 178, 180, 182 ve 184 numaralı elemanlara aittir.

Her iki program için gerekli giriş verisi Çizelge 4.7 ve Çizelge 4.8’ de verilmiştir.

Hesaplanan ivme zaman geçmişleri Şekil 4.23’ de gösterilmiştir. Modelde belirtilen

düğüm noktalarına ait hesaplanan ivme zaman geçmişi spektrum yanıtı Şekil 4.24’ de

gösterilmiştir. Her iki program tarafından hesaplanan spektrum yanıtı, yaklaşık aynı

periyotlarda doruk değerleri vermiştir. Modelde belirtilen elemanlara ait hesaplanan

gerilme zaman geçmişleri Şekil 4.25’ de gösterilmiştir. Dyn2d programı tarafından

hesaplanan makaslama modül oranı (G/Gmax) ve sönüm oranı (D/Dmax) değerlerinin

kümülatif deformasyona bağlı olarak değişimi Şekil 4.26’ da gösterilmiştir. Şekil 4.27’

de gerilme zaman geçmişlerinin hesaplandığı elemanlardaki maksimum gerilme

değerlerinin derinlikle değişimi gösterilmiştir. Model 4 için temel kaya giriş ivme verisi

için 27 Haziran 1998 Adana-Ceyhan depreminin (M= 5.9) Ceyhan kaydı kullanılmıştır.

Şekil 4.21. 27 Haziran 1998 Adana-Ceyhan depremi (M= 5.9) sonucu oluşan hasar.

128

TEMEL KAYA



304 329

5843 1 5843 2

0.005 1 1 0 0 1 1 1 1

ceyhanl.txt

ceyhanv.txt

m4e.txt

m4n.txt

----------------------------------------------------------


1 1 3 2 2 2.30 1200 450 0

……………………………………………..

304 327 328 329 329 2.30 1200 450 0


1 -3600 78 3 0 0 0 0 0 0 0

………………………………….

329 2400 78 3 0 0 0 0 0 0 0

129

Çizelge 4.8.Model 4 için Quad4m programı giriş verisi UNITS (E for English, S for SI):

S


1 0.65

NELM NDPT NSLP

304 329


5843 5843 1 1 5843 3 2


0.005 1 1 1 1 1 1 0.676


ceyhanl.txt

*

ceyhanv.txt

*

SOUT AOUT KOUT

1 1


COMBINED

STRES

DAT


COMBINED

ACCEL

DAT


1 1 3 2 2 2 22.56 0.42 465 279. .10000

………………………………………...........................................................

304 327 328 329 329 2 22.56 0.42 465 279. .10000


1 -3600 78 3

………….....................

329 2400 78 3

130



131




132


4.1.5. Model 5

Beşinci model olarak, yaklaşık 25 km genişliğinde ve 140 m kalınlığında bir basen

modeli ele alınmıştır. Model sonlu eleman ağı Şekil 4.29’ da gösterilmiştir. Modele

ilişkin ivme zaman geçmiş değerleri 19, 48, 157 ve 292 numaralı düğümlere ve gerilme

zaman geçmişleri 143, 146 ve 149 numaralı elemanlara aittir. Her iki program için giriş

verisi Çizelge 4.9 ve Çizelge 4.10’ da gösterilmiştir. Modelde uluslararası birim sistemi

kullanılmıştır. Hesaplanan ivme zaman geçmişleri Şekil 4.30’ da gösterilmiştir. Şekil

4.31’ de hesaplanan ivme zaman geçmişlerine ait spektrum yanıtı gösterilmiştir. Her iki

program tarafından hesaplanan spektrum yanıtı farklı periyotlarda doruk ivme değerleri

vermiştir. Hesaplanan gerilme zaman geçmişleri Şekil 4.32’ de gösterilmiştir.

Hesaplanan gerilme değerleri arasında belirgin farklar elde edilmiştir. Dyn2d programı

tarafından hesaplanan makaslama modül oranı (G/Gmax) ve sönüm oranının (D/Dmax)

kümülatif deformasyona bağlı değişimi Şekil 4.33’ de gösterilmiştir. Şekil 4.34’ de

belirtilen elemanlarda hesaplanan gerilme pik değerlerinin derinlikle değişimi

gösterilmiştir. 1 Mayıs 2003 Bingöl depremi (M=6.1) Model 5 için temel kaya giriş

ivme verisi olarak kullanılmıştır. Afet İşleri Genel Müdürlüğü Deprem Araştırma

133

Dairesi tarafından ölçülen maksimum deprem ivme doruk değeri yaklaşık 0.55 g olarak

elde edilmiştir. Şekil 4.28’ de depremin neden olduğu hasar gösterilmiştir.

Şekil 4.28. 1 Mayıs 2003 Bingöl depremi (M= 6.1) sonucu oluşan hasar.



290 327

6000 1 6000 2

0.0078125 1 1 0 0 1 1 1 1

bingolh.dat

bingolv.dat

134

Çizelge 4.9. devamı m5e.txt

m5n.txt


1 1 2 5 4 1.92 490 280 0

……………………………………….

290 325 326 327 327 1.92 490 280 0


1 -12600.0 137.5 3 0 0 0 0 0 0 0

…………………………………………..

327 12600.0 100.0 3 0 0 0 0 0 0 0

Çizelge 4.10. Model 5 için Quad4m programı giriş verisi UNITS (E for English, S for SI):

S


1 0.65

NELM NDPT NSLP

290 327


6000 6000 1 1 6000 3 2


0.00781250 1 1 1 1 1 1 1.122


bingolh.dat

*

bingolv.dat

*

SOUT AOUT KOUT

1 1


COMBINED

STRES

DAT


COMBINED

ACCEL

135

Çizelge 4.10. devamı DAT


1 1 2 5 4 2 18.8 0.26 150. 100. .10000

…………………………………………………..

290 325 326 327 327 2 18.8 0.26 150. 100. .10000


1 -12600 137.5 3

…………………..........

327 12600 100 3


136



137




138

5. TARTIŞMA ve SONUÇLAR

Deprem anında zemin dinamik davranışın belirlenmesinde uygulanan yöntemlerden

birisi, (3.49) ile verilen hareket denkleminin göz önüne alınan bir jeolojik model için

sayısal çözülmesidir. (3.49) hareket denkleminin sayısal çözümünde başlıca sorun;

hareket denklemindeki kullanılan sönüm yaklaşımıdır. Literatürde, zemin türü

malzemelerdeki sönüm üzerine yapılan çalışmaların son derece az olduğu görülmektedir.

Kullanılan sönüm yaklaşımları üzerinde ise bir fikir birliği sağlanamamıştır.

Günümüzde sönüm hesaplamalarına yönelik yapılan uygulamalarda sabit sönüm değeri

(Schnabel vd 1972), frekansa bağlı sönüm yaklaşımı (Idriss vd 1973, Hudson vd 1994,

Bardet vd 2000) kullanılmakta veya (3.49) hareket denklemi frekans ortamında

çözülerek işlemler frekansın fonksiyonu olarak hesaplanmaktadır. Pekişmemiş zemin

birimlerinde dalga enerjisinin soğurulmasında frekansın etkin bir rol oynamadığı Idris

vd (1973), Hudson vd (1994), Hardin vd (1972a, 1972b) ve Chopra (1995) tarafından

belirtilmiştir.

Bu tez çalışmasında, (3.49) hareket denkleminde yer alan sönüm teriminin sayısal

hesaplanmasında zemin biriminde oluşan deformasyona bağlı yeni bir sönüm yaklaşımı

getirilmiştir. Grünwald yaklaşımı ile verilen (3.55) kesirsel türev ifadesinde, türev

mertebesi mükemmel elastik malzemeler için 0 değerine ve viskoelastik malzemeler

için 1 değerine eşit olur. Farklı fiziksel ve geometrik özelliklerdeki zemin

malzemelerinde, türev mertebesinin daha geniş bir aralıkta değişim gösterdiği

görülmüştür. Genel olmamakla birlikte sınırlı sayıda model sonuçlarına dayanarak

zeminin söz konusu olduğu durumda elastik ve viskoelastik malzemelerde türev

mertebesinin (0-2.5) aralığında değişim gösterdiği söylenebilir. Bununla birlikte, bu tez

çalışmasında hesaplama zamanın azaltılması ve bilgisayar belleğinin optimum

kullanılması amacıyla türev mertebesi 0.5 değeriyle sabit tutulmuştur. Koşulsuz durağan

bir çözüm vermesi nedeniyle (3.49) hareket denkleminde (t+∆t) zamanı yer değiştirme,

hız ve ivme değerlerinin hesaplanmasında Newmark (1965) yöntemi kullanılmıştır.

139

Zemin türü malzemeler için Newmark yaklaşımında yer alan katsayılardaki küçük

değişimlerin hesaplanan ivme değerlerinde büyük değişimler yarattığı görülmüştür.

Ek 2’ de Quad4m programı ve Ek 3’ de Dyn2d programı için gerekli başlangıç bilgileri

verilmiştir. Quad4m programı Dyn2d programına göre fazla sayıda giriş bilgisine gerek

duyar. Ayrıca, zemin türüne ait bilgilerden sönüm oranı ve makaslama modül

değerlerinin yapılacak laboratuar deneyleriyle elde edilmesi istenir. Dyn2d programı ise

daha az sayıda parametre ile çözüm yapabilmektedir. Dyn2d programı yalnızca sismik

hızlara (Vp, Vs) ve sonlu eleman ağı bilgisine gerek duyar. Bu açıdan Dyn2d programı

ile çözüm işlemi daha kolaydır. Quad4m programı giriş dosya içeriği oldukça karmaşık

bir yapıdadır. Zemin dinamik davranışının bu program ile belirlenmesi halinde, model

giriş dosyasının hazırlanması kullanıcı için uzun zaman gerektirmektedir. Dyn2d

programı ise bu açıdan oldukça esnek bir yapıdadır. Dyn2d programı sismik hızları

kullanarak zemin dinamik modüllerini hesaplar. Sismik dalga hızları ile zemin dinamik

modülleri arası ilişki için kabul görmüş ampirik ifadeler kullanılmıştır. Üçüncü bölümde

verilen Kelvin-Voigh modeli sönüm yaklaşımları için kullanılan mekanik modeller

içerisinde en basit karmaşık modeldir. Bu tip bir modelde sonlu elemanda oluşan

deformasyon sönümün hesaplanması için yeterlidir. Kelvin-Voigh tipi modelde

kullanılan eleman sayısının (elastik yay ve spring-pot) artırılması halinde (3.55) ile

verilen kesirsel sönüm ifadesindeki terim sayısının artmasına ve daha karmaşık hale

gelmesine neden olmaktadır. Mekanik modelde eleman sayısının artması durumunda

sönüm hesaplamalarında, elemanda oluşan deformasyon geçmişi yanında gerilme

geçmişlerine de gerek duyulur. Bu durum ise bilgisayarın hesaplama zamanını ve bellek

ihtiyacını arttırmaktadır. (3.49) ile verilen hareket denkleminin çözümünde, makaslama

dalga hızı (Vs) ve kesirsel türev mertebesi, sonlu eleman modeli için hesaplanan ivme

değeri genliklerini etkileyen en önemli iki parametredir. Her iki programdan elde edilen

sonuçların adil şekilde karşılaştırılmasını sağlamak amacıyla Quad4m programında tüm

modeller için çözüm 3 yineleme ile sınırlı tutulmuştur. Yineleme sayısının keyfi

seçilmesine karşılık programın çözüm güçünü göstermesi açısından yeterli olduğu

düşünülmüştür. Ele alınan modellerin basit geometrili olması durumunda her iki

programdan elde edilen sonuçlar arasında belirgin fark görülmemesine karşılık, model

140

geometrisinin karmaşık olması durumunda sonuçlar arasında farklılıkların arttığı

görülmüştür.

Bu tez çalışmasında zeminlerde sismik dalga enerjisindeki soğurulma veya sönüm için

kullanılan klasik yaklaşımlar yerine, doğrudan zeminde oluşan deformasyona bağlı

sönüm yaklaşımı getirilmiştir. Bununla birlikte, sönüm hesaplamaları için geliştirilen

kesirsel türev yaklaşımında özellikle kesirsel türev mertebesinin ele alınan zemin

özelliklerine bağlı olarak değişken yapılması ve Newmark yönteminde kullanılan

yaklaşım ileride ele alınacak olan iki önemli noktadır.

141

KAYNAKLAR

Agrawal, O. P. 2001. A New Lagrangian And A New Lagrange Equation Of Motion

For Fractionally Damped Systems, Journal Of Applied Mechanics, 339-340

Aki, K. and Richards, P. G. 1980. Quantitative Seismology Theory and Methods, V.1,

Freemand Corp.

Aki, K. and Richards, P. G. 1980. Quantitative Seismology Theory and Methods, V 2,

Freemand Corp.

Aki, K.1988. Local site effects on strong ground motion, Proceedings, Earthquake

Engineering and Soil Dynamics II- Recent Advances in Ground motion

evaluation, ASCE, Geotechnical Special Publication 20, 103-155

Ammon, C. 2001. Soil Mechanics, Lecture Notes, Department Of Geosciences Penn

State University.

Bagley, R.L. and Torvik, P. J. 1983a. A Theoretical Basis For The Application Of

Fractional Calculus To Viscoelasticity, J. Rheology 27, 201-210

Bagley, R.L. and Torvik, P. J. 1983b. Fractural Calculus –A Different Approach To The

Analysis of Viscoelasticity Damped Structures, AIAAJ. 21, 741-748

Bagley, R. L. and Torvik, P. J. 1986. On the factional calculus model of viscoelastic

behavior, J. Rheology 30, 1, 133-155

Balmes, E. 2003. Damping and Complex modes, SD Tools manual, Vibration software

and Consulting Corp., Paris

Bardet, J. P., Ichii K., Lin C.H. 2000. Eera: A computer program for equivalent linear

earth site response analysis of layered deposits, Thechnical report, Department

of Civil Engineering, University of Southern California

Bathe, K. J. 1996. Finite element procedures in engineering analysis, New Jersey

Prentice Hall

Bathe, K. J, Wilson, E. L. 1973. Stability and accuracy analysis of direct integration

methods, Earthquake Engineering and Structural dynamics, v 1, 283-291

Bathe, K. J.,Wilson, E.L. 1972. Large eigenvalue problems in dynamic analysis, Journal

of Engineering Mechanics division, EM 6, 1471-1485

142

Blank, L. 1996. Numerical treatment of differential equations of fractional order,

Numerical Analysis Report 378, The University of Manchester, England

Bruno, P. P. G., Fiore V., Rapolla A., Roberti N. 1999. Influence of geometrical and

Geophysical parameters on the seismic site amplification factor, European

Journal of Environmental and Engineering geophysics, 4,51-70

Bullen, K.E. 1965. An introduction to the theory of seismology, Cambridge Press

Campillo, M., Sesma, F.J.S. 1990. Influence of small lateral variations of a soft surficial

layer on seismic ground motion, Soil dynamics and earthquake engineering v 9,

n 1, 284-288

Caputo,M. 1967. Linear models of dissipation whose Q is almost frequency independent,

Geophys. Journal of Royal Astronomy. Society. 13,529-539

Chopra, A. 1995. Dynamics of structures: Theory and Applications to earthquake

engineering Prentice-Hall Inc.

Cook, R. D. 1995. Finite element modeling for stress analysis, John Wiley and Sons Inc.

Diethelm, K. 1997. An algorithm for the numerical solution of differential equation of

fractural order, Electronic transactions on numerical analysis 5,1-6

Diethelm, K., Ford N. J. 2000. Fractural differantial equations involving derivatives of

several orders and their numerical solutions, Thechnical report, Instutite für

Angemandte Matematik, Technische Universitat Braunschweig, Germany

Dillard, D. A. 1999. Phenomenological Viscoelasticity of Polymers, Viginia Tech,

Ford, N.J., Simpson, A.C. 2001. Numerical and Analytical treatment of differential

equations of fractional order, Numerical Analysis Report 378, The University of

Manchester

Gaul, L. 1999. The Influence of damping on waves and vibrations, Mechanical systems

and signal processing 13, 1-30

Gutenberg,B.,Richter,C.F. 1956, Earthquake magnitude: intensity, energy and

acceleration, Bullettin of the Seismological Society of America, 46, 104-145

Grünwald, A.K. 1867. Zeitschrift für Mathematik und Physik, 12, 441-480, Über

begrenzte Derivationen und deren Anwendungen

Hall, J.R., Richart, F.E. 1963. Dissipation of elastic wave energy in granular soils,

Journal of the soil and Foundations division, ASCE, 89, SM6, 27-56

Hamming, R.W. 1962. Numerical methods for scientists and engineers, McGraw-Hill

143

Hardin, O.B., Drnevich, V.P. 1972a. Shear modulus and damping in soils: measurement

and parameter effects, ASCE, SM6, 603-624

Hardin, O.B., Drnevich V. P. 1972b. Shear modulus and damping in soils: design

equations and curves, Journal of Soil mechanics and foundation division,

SM7, 667-692

Hasselman, T.K., Hart G.C. 1972. Modal analysis of random structural systems,

Journal of the engineering mechanics division, EM3, 561-579

Hatherly, P.J. 1986. Attenuation measurements on shallow seismic refraction data,

Geophysics 51, 2, 250-254

Hudson, M., Idriss I. M., Beikae M. 1994. User manual for Quad4m: A computer

program to evaluate the seismic response of soil structures using Finite element

procedures and incorporating a compliant base, University of California,

Hughes, T. J. R. 1987. Linear static and dynamic finite element analysis, Prentice-Hall

Hunt, J. B. 1979. Dynamic vibration absorbers, Mechanical engineering Publications Lt.

Idriss, I.M., Sun J.I. 1992. A computer program for conducting equivalent linear

seismic response analysis of horizontally layered soil deposits, Technical report,

Department of Civil and Environmental Engineering, University of California,

Idriss, I.M., Lysmer J., Hwang R., Seed B. H. 1973. Quad4 A computer program for

evaluating the seismic response of soil structures by variable damping Finite

element procedures, Open report, University of California, Berkeley

Idriss, I.M., Seed H.B. 1968. Seismic response of horizontally soil layers, Journal of the

soil mechanics and foundations division, ASCE, 94, SM4, 1003-1031

Jacobsen, L.S., Ayre, R. S. 1958. Engineering vibrations with applications to structures

and machinery, McGraw-Hill book Corp.

Johnson, S.E., Hurty, W.C. 1972. Convergence in model synthesis, Journal of

Engineering Mechanics division, EM 5, 1105-1114

Jones, D.I.G. 2001. Handbook of viscoelastic vibrations damping, John Wiley and Sons

Jongmans, D., Campillo M. 1993. The determination of soil attenuation by geophysical

prospecting and the validity of measured Q values for numerical simulations,

Soil dynamics and earthquake engineering 12,149-157

Jongmans, D., Demanet, D., Harrent, C., Campillo, M., Sesma, F. J. S. 1996. Dynamic

144

soil material determination by geophysical prospecting in Mexico City,

Implementation for site effect modeling, Soil dynamics and earthquake

Engineering 15, 269-278

Kelly, S. G. 1993. Fundamentals of mechanical vibrations, International edition,

McGraw-Hill Corp.

Kisslinger, C. 1967. Seismological Instrumentation, seismological Course 1966/67,

International Institute of Seismology and earthquake Engineering, Tokyo

Kjartansson, E. 1979. Constant Q-Wave propagation and Attenuation. Geophysical

Research, 84, n.B9, 4737-4748

Koeller, R.C. 1984. Application of fractional calculus to the theory of viscoelasticity,

Journal of Applied mechanics 51, 299-307

Kramer, S. 1996. Geotechnical Earthquake Engineering, Simon and Schuster Press.

Krishnamoorthy, C.S. 1996. Finite element analysis theory and programming, second

edition, Tata McGraw-Hill Publishing Comp., New Delhi

Kudo, K., Shima, E. 1970. Attenuation of shear waves in soil, Bulletin of Earthquake

Research Institute, v 48,145-158

Kwon, Y.W., Bang, H. 1997. The finite element method using Matlab, CRC Press Inc.

Lazan, B.J. 1968. Damping of materials and members in structural mechanics,

Pergamon Press

Huang, T.H., You, J.C. 1996. The effect of frequency on damping properties of sand,

soil dynamics and earthquake engineering 15, 269-278

Liu, V. 1998. Introduction to Finite element method, University of Cincinnati

Love, A.E.H. 1944. A treatise on the mathematical theory of elasticity, 4th edition,

Dover, Pub., Lui, Y., Agrawal, O.P. 1998. A numerical scheme for dynamic system

containing fractural derivatives, ASME design engineering technical

Conference, Atlanta, Georgia

Massarsch, R., Broms, B. B. 1976. Lateral earth pressure at rest in soft Clay, Journal of

Geotechnical Engineering Division GT10, 1041-1047

Mavko, G.M., Nur, A. 1979. Wave attenuation in partially saturated rocks, Geophysics

v 44, n.2, 161-179

Mavko, G.M. 1979. Frictional attenuation: An inherent amplitude dependence, J.

Geophysical research v.84, n.B9, 4769-4775

145

Menke, W., Witte, D., Chen, R. 1985. Laboratory test of apparent attenuation formulas,

Bulletin of Seismological society of America

Mooney, H.M. 1974. Seismic shear waves in engineering, Journal of Geotechnical

Engineering Division GT8, 905-923

Morato, N. 1980. Shearing deformation of granular materials, Soil and Foundations, v.

20, n. 2, 113-118

Newmark, N. M., Rosenblueth, E. 1971. Fundamentals of Earthquake Engineering,

Prentice Hall

Newmark, N.M. 1965. Effects of earthquake on dams and Embankments,

Geotechnique,15, 139-160

Niazi, M., Mortgat, C. P. 1992. Attenuation of peak ground acceleration in central

California from observations of the 17 October, 1989 Loma Prieta earthquake,

Earthquake Engineering and Structural Dynamics v.21, 493-507

Novozhilov, I.V. 1997. Factional analysis, method of Motion decomposition, Birdhouse

O’ Connell, R.J., Budiansky B. 1978. Measures of dissipation in viscoelastic media,

Geophysical research letters, v.5 n.1, 5-8

Oden, J.T., Ripperger, E. A. 1981. Mechanics of Elastic Structures, 2nd edition, McGraw

Hill Corp.

Oldham, K.B., Spanier, J. 1974. The fractional calculus: Theory and Applications of

differentiation and integration to arbitrary order, Academic Press.

Ortiqueira, M.D. 2000. Fractional Linear system: Continuous time case, Image and

Signal Processing, 147, 1-11

Owen, D.R.J., Hinton, E. 1980. Finite element in plasticity, Theory and practice,

Pineridge Press

Padovan, J. 1987. Computational algorithms for FE formulations involving fractional

operators, Computational Mechanics 2, 271-287

Papoulis, A. 1984. Probability, random variables and Stochastic Processes, 2. edition,

McGraw Hill Corp.

Pestana, J., Nadim, F. 2000. Nonlinear site response analysis of submerged slopes,

Geotechnical Engineering Report num. UCB/GT/2000, Department of Civil

and Environmental Engineering. University of California, Berkeley

146

Pipes, L. Harvill, L. R. 1970. Applied mathematics for engineers and physicists,3rd ed.,

McGraw Hill Inc.

Platkers, G., Galloway, P. J. 1989. Lessons learned from the Loma Prieta, California

Earthquake of October 1989, USGS Open report,

Podlubny, I. 1999. Fractional Differential Equations: An introduction to fractional

derivatives, fractional differential equations, to method of their solution and

some of their applications, Academic Press.

Polyakov, S.V. 1985. Design of earthquake resistant structures, basic theory of seismic

stability, Mir publisher

Prokash, S., Puri, V. K. 1981. Dynamic properties of soils from in-situ tests, Journal of

Geotechnical engineering division, GT7, 743-756

Rao, S.S. 1989. The finite element method in engineering, second 2. edition, Pergamon

Press

Rassem, M., Ghobarrah, A., Heidebrecht, A.C. 1997. Engineering perspective for the

seismic site response of alluvial valleys, Earthquake engineering and structural

Dynamics,26,477-493

Rayleigh, L. 1945. Theory of sound, v.1, Dover Publication.

Ruge, P. and Wagner, N. 1999. Time-domain solutions for vibration systems with

fading Memory, European Conference on Computational mechanics, München.

Rose, B. 1975. A brief history and exposition of the fundamental theory of fractional

calculus, Lecture notes in mathematics, 457,1-36

Schmidt, A. and Gaul, L. 2001. FE Implementation of Viscoelastic Constitutive Stress-

Strain Relations Involving Factional Time derivatives, Constitutive models for

rubbers II.A. A. Balkema Publishers, Tokyo

Schnabel, P.B., Lysmer, J., Seed, H.B. 1972. “SHAKE: A computer program for

Eathquake Response Analysis of Horizontally layered sites “, report no. EERC

72-12, Earthquake Engineering Research Center, University of California

Seed, H.B., Idriss, I.M. 1969. Influence of soil conditions on ground motion during

Earthquakes, Journal of the soil mechanics and Foundations division, ASCE, 95,

SM1, 99-137

147

Seed, H.B., Wong, R.T., Idriss, I.M., Tokimatsu, K. 1987. Moduli and Damping Factors

for Dynamic Analysis of Cohesionless Soils, Journal of Geotechnical

Engineering division 112,1,1016-1032

Sherif, M. A., Ishibashi, I. 1976. Dynamic shear moduli for dry sands, Journal of

Geotechnical Engineering Division, GT11, 1171-1184

Spiegel, M. R. 1965. Theory and problems of Laplace transforms, McGraw-Hill Book

Co. Terzaghi, K.1962. Theoretical soil mechanics, John Wiley and sons Inc.

Timeshenko, S. P. 1951. Theory of Elasticity, McGraw Hill, New York

Thomson, W.T., Calkins, T., Caravani, P. 1974. A numerical study of damping,

Earthquake Engineering and Structural dynamics, v 3, 97-103

Trinks, C. Ruge, P. 2002. Treatment of dynamic systems with fractional derivatives

without evaluating memory-integrals, Computational mechanics 29, 471-476

West, M., Kane, C., Marsden, J.E., Ortiz, M., 1999. Variational integrators, the

Newmark Scheme and dissipative systems, Int. Conference on Differential

equations, Berlin, Germany

Wilson, E.L. 1968. A computer program for the dynamic stress analysis of underground

structures, Structural Engineering Laboratory Report 68-1, University of

California, Berkeley

Zienkiewicz, O.C. 1977. A new look at the Newmark, Houbolt and other time stepping

formulas. A weighted residual approach, Earthquake Engineering and Structural

Dynamics, 5, 413-418

Zienkiewicz, O.C., Morgan, K. 1983. Finite element and approximation, John Wiley

and Sons Corp

Zienkiewicz, O.C., Taylor, R.L. 1991. Finite element method, Solid and fluid mechanics

dynamics and Non-Linearity, v 2, McGraw-Hill Book Co..

148

EKLER

EK1. Düzlemde Green Teoremi.............................................................................. 150

EK2. Quad4m Programı Giriş Dosyası İçeriği........................................................ 152

EK3. Dyn2d Programı Giriş Dosyası İçeriği........................................................... 155

EK4. Birimler Çizelgesi........................................................................................... 157

149

EK 1. Düzlemde Green Teoremi

Sonlu eleman denklemlerinin elde edilmesinde iki boyutlu durum için,

∫∫ ∂∂

S

dydxxφϕ (E1)

türünde integralin hesaplanması gerekir. (E1) integralinde ilk olarak x değişkenine göre

kısmi integrasyon uygulanırsa,

∫∫ ∫∫∫ +∂∂

−=∂∂

S

y

y

X

XS

dydydxx

dydxx

r

l

2

1

φϕφϕφϕ (E2)

Burada (xl, xr) ve (y1,y2) integral sınırının x ve y eksenlerine ait alt ve üst sınırlardır

(Şekil E1).

y2C n

dcdy

S

y1

xl xr

Şekil E1. S yüzeyinde integral alan sınırları.

y yönünde dy diferansiyel artımı için,

150

EK 1 (devam)

Xldcdy m= (E3)

yazılabilir. Burada dc, S yüzeyini çevreleyen C eğrisinin diferansiyel elemanı ve lx, dc

elemanı ile x ekseni arasında kalan açıdır. ± işareti C eğrisinin sağında ve solunda

hesaplama işlemi içindir. (E3) ifadesi (E2) integral ifadesinin son teriminde yerine

yazılırsa,

∫ ∫=2

1

y

y Cx

X

Xldcdyr

lφϕφϕ (E4)

elde edilir. Bu durumda (E1) integral ifadesi,

∫∫ ∫∫ ∫+∂∂

−=∂∂

S S Cx dcldydx

xdydx

xφϕφϕφϕ (E5)

olur. (E1) integral ifadesinde x∂

∂φ yerine y∂

∂φ terimi içermesi durumunda,

∫∫ ∫∫ ∫+∂∂

−=∂∂

S S Cy dcldydx

ydydx

yφϕφϕφϕ (E6)

elde edilir. Burada ly, lx’ e benzer şekilde dc eleman normali ile y ekseni arasındaki

açıdır. (E5) ve (E6) integral denklemleri üç boyutlu durum için genelleştirilirse,

∫∫∫ ∫∫∫∫∫ +∂∂

−=∂∂

V Sx

V

dSldzdydxx

dzdydxx

φϕφϕφϕ (E7)

eşitliği ile verilir.

151

EK 2. Quad4m Programı Giriş Dosyası İçeriği

satır-1 Modele ilişkin tanımlayıcı isim

satır-2 Açıklayıcı bilgi

satır-3 Modelde kullanılan ölçü birimini (S=Metrik veya E=İngiliz birim sistemi)


satır-5

Sönüm azatlım katsayısı (DRF), Maksimum deformasyon ile eşdeğer

deformasyon arası dönüşüm katsayısı (PRM), Temel kaya sismik boyuna dalga

(P) hızı (ROCKVP), Temel kaya makaslama dalga (S) hızı (ROCKVS),Temel

kaya birim hacim ağırlığı (ROCKRHO)


satır-7 Modelde kullanılan toplam eleman sayısı (NELM), Toplam düğüm sayısı

(NDPT), Sismik katsayıların hesaplanacağı yüzey sayısı(NSLP)


satır-9

Deprem ivme kaydı veri sayısı (KGMAX), İşlemde kullanılacak ivme veri sayısı

(KGEQ), Dinamik hesaplama işleminde başlangıç veri numarası (N1EQ),

Dinamik hesaplama işleminde bitiş veri numarası (N2EQ), Hesaplamada

kullanılacak toplam veri sayısı (N3EQ), Toplam yineleme sayısı (NUMB),

Düşey ivme kaydının kullanımını gösteren değer (KV), Sonuç çıktıların kayıt

edilmesini gösteren değer (KSAV).


satır-11

Deprem ivme kaydı örnekleme aralığı (DTEQ), Deprem yatay ivme kaydı için

çarpan (EQMUL1), Deprem düşey ivme kaydı için çarpan (EQMUL2), Deprem

yatay ivme kaydı için ölçeklendirme değeri (UGMAX1), Deprem düşey ivme

kaydı için ölçeklendirme değeri (UGMAX2), Deprem yatay ivme kaydı dosyası

bilgi satır sayısı (HDRX), Deprem düşey ivme kaydı dosyası bilgi satır sayısı

(HDRY), Deprem yatay ivme kaydı dosyası bilgi sütun sayısı (NPLX), Deprem

düşey ivme kaydı dosyası bilgi sütun sayısı (NPLY), Deprem yatay ivme

kaydının etkin periyodu (PRINPUT).


satır-13 Deprem yatay ivme kaydı dosya ismi

satır-14 Deprem yatay ivme kaydı dosya formatı (* = serbest format)

Satır-15 Deprem düşey ivme kaydı dosya ismi

152

EK 2. (devam)

Satır-16 Deprem düşey ivme kaydı dosya formatı (* = serbest format)


satır-18

Gerilme zaman geçmişlerinin dış ortama aktarılmasını belirten değer (SOUT),

İvme zaman geçmişlerinin dış ortama aktarılmasını belirten değer (AOUT),

Sismik katsayıların dış ortama aktarılmasını belirten değer (KOUT)


satır-20 Hesaplanan gerilme değerlerine ait çıkış formatı (COMBINED = tek bir dosya

halinde, MULTIBLE= ayrı dosyalar halinde

satır-21 Hesaplanan gerilme değerlerinin yazılacağı dosya ismi

satır-22 Hesaplanan gerilme değerlerinin yazılacağı dosya ismi uzantısı


satır-24 Hesaplanan ivme değerlerine ait çıkış formatı (COMBINED = tek bir dosya

halinde, MULTIBLE= ayrı dosyalar halinde

satır-25 Hesaplanan gerilme değerlerinin yazılacağı dosya ismi

satır-26 Hesaplanan gerilme değerlerinin yazılacağı dosya ismi uzantısı


satır-28 Hesaplanan sismik kaysayı değerlerine ait çıkış formatı (COMBINED = tek bir

dosya halinde, MULTIBLE= ayrı dosyalar halinde

satır-29 Hesaplanan sismik kaysayı değerlerinin yazılacağı dosya ismi

satır-30 Hesaplanan sismik kaysayı değerlerinin yazılacağı dosya uzantısı


satır-32 Sonuçların yazılacağı dosya ismi (uzantısı ile birlikte)

Quad4m programında 33. satırdan sonra yer alan satırlar sırasıyla sismik katsayıların

hesaplanacağı yüzeylere ait düğüm ve eleman numara bilgilerini, Model eleman

bilgilerini ve son olarak düğüm bilgilerini içerir. Sismik katsayıların hesaplandığı

yüzeyler; yüzeyin içerisine düşey düğüm numaraları ve eleman numaraları verilerek

belirtilir. Eleman bilgileri aşağıda verilen sırada belirtilir:

153

EK 2. (devam)

sütün-1 eleman numarası

sütun-2 Elemana ait birinci düğüm numarası

sütun-3 Elemana ait ikinci düğüm numarası

sütun-4 Elemana ait üçüncü düğüm numarası

sütun-5 Elemana ait dördüncü düğüm numarası

sütun-6 Zemin türü (1=kil, 2:kum, 6: sabit özelliklere sabit zemin birimi

sütun-7 Eleman birim hacim ağırlığı

sütün-8 Eleman Poisson oranı

sütun-9 Eleman Maksimum makaslama modül değeri (Metrik sistemde kPa, İngiliz birim

sisteminde KSF)

sütun-10 Eleman için başlangıç makaslama modül değeri (Metrik sistemde kPa, İngiliz

birim sisteminde KSF)

sütun-11 Eleman için başlangıç sönüm oranı (yüzde)

sütun-12 Elemanda gerilme zaman geçmiş değerlerinin saklanacağını gösteren değer (1=

σx, 2= σy, 4= σxy, 5=(σx, σy), 7=(σx x, σy, σxy)

Düğüm bilgileri aşağıda verilen sırada belirtilir:

sütun-1 Düğüm numarası

sütun-2 Düğüm noktasının X koordinatı

sütun-3 Düğüm noktasının Y koordinatı

sütun-4

Düğüm sınır koşulu (0= serbest düğüm, 1= yatay doğrultuda deprem kuvveti

uygulanır, düşey yönde düğüm serbest, 2= düşey doğrultuda deprem kuvveti

uygulanır, yatay yönde düğüm serbest, 3=hem yatay hemde düşey yönde deprem

kuvveti uygulanır.4=geçirgen düğüm noktası)

sütun-5 Düğüm ivme zaman geçmişinin saklanacağını gösterir değer.(1= yatay bileşen,

2=düşey bileşen, 3=yatay ve düşey bileşen)

sütun-6 Düğüm noktasının başlangıç yatay ivme değeri

sütun-7 Düğüm noktasının başlangıç yatay hız değeri

sütun-8 Düğüm noktasının başlangıç yatay yer değiştirme değeri

sütun-9 Düğüm noktasının başlangıç düşey ivme değeri

sütun-10 Düğüm noktasının başlangıç düşey hız değeri

sütun-11 Düğüm noktasının başlangıç düşey yer değiştirme değeri

154

EK 3. Dyn2d Programı Giriş Dosyası İçeriği

Dyn2d programı üç adet dosya kullanır. Bu dosyalardan ilki bilgi dosyasıdır ve modele

ilişkin genel tanımlamaları içerir. İkinci dosya model eleman bilgilerinin tutulduğu

dosyadır. Üçüncü dosya ise model düğüm bilgilerinin tutulduğu dosyadır. Bilgi dosyası

içeriği aşağıdaki verilen yapıdadır.

satır-1 Model tanımlayıcı isim

satır-2

Kullanılan birim sistemi (1:İngiliz, 2:Metrik), Deprem İvme kaydı için kullanılan

birim (1=mg, 2=g, 3=mGal, 4=Gal), Eleman yoğunluk değerinin dahili

hesaplanmasını gösteren değer (1= yoğunluk değerlerini dosyadan okur, 2=

yoğunluk değerlerini dahili hesaplar.

satır-3 Modelde kullanılan toplam eleman sayısı, Modelde kullanılan toplam düğüm

sayısı

satır-4

Deprem ivme veri sayısı, Dinamik hesaplama işlemi başlangıç veri numarası,

Dinamik hesaplama işlemi bitiş veri numarası, Deprem düşey ivme kaydının

kullanılmasını gösteren değer (1= kullanılmaz, 2= kullanılır)

satır-5

Deprem ivme kaydı örnekleme aralığı, Deprem yatay ivme kaydı için çarpan,

Deprem düşey ivme kaydı için çarpan, Deprem yatay ivme kaydı için

ölçeklendirme değeri, Deprem düşey ivme kaydı için ölçeklendirme değeri,

Deprem yatay ivme kaydı dosyası bilgi satır sayısı, Deprem düşey ivme kaydı

dosyası bilgi satır sayısı, Deprem yatay ivme kaydı dosyası bilgi sütun sayısı,

Deprem düşey ivme kaydı dosyası bilgi sütun sayısı

satır-6 Deprem yatay ivme kaydı dosya ismi (dosya uzantısı ile birlikte)

satır-7 Deprem düşey ivme kaydı dosya ismi (dosya uzantısı ile birlikte)

satır-8 Eleman bilgilerini içeren dosya ismi (dosya uzantısı ile birlikte)

satır-9 Düğüm bilgilerini içeren dosya ismi (dosya uzantısı ile birlikte)

Eleman bilgi dosyası içeriği:


satır-2’ den başlayarak,

sütun-1 Eleman numarası

155

EK 3 (devam)

sütun-2 Eleman birinci düğüm numarası

sütun-3 Eleman ikinci düğüm numarası

sütun-4 Eleman üçüncü düğüm numarası

sütun-5 Eleman dördüncü düğüm numarası

sütun-6 Eleman yoğunluk değeri (Metrik sistem için gr/cm^3,

İngiliz birim sistemi için pcf)

sütun-7 Eleman sismik boyuna dalga (P) hızı (Vp) (Metrik sistem için m/s, İngiliz birim

sistemi için ft/s)

sütun-8 Eleman sismik makaslama dalga (S) hızı (Vs) (Metrik sistem için m/s, İngiliz

birim sistemi için ft/s)

sütun-9 Eleman gerilme geçmişinin saklanacağını gösterir değer (1= σx, 2= σy, 4= σxy,

5=(σx, σy), 7=(σx x, σy, σxy)

Düğüm bilgi dosyası içeriği:


satır-2’ den başlayarak,

sütun-1 Düğüm numarası

sütun-2 Düğüm X koordinatı

sütun-3 Düğüm Y koordinatı

sütun-4

Düğüm noktasına ait sınır koşulu (0= serbest düğüm, 1= yatay doğrultuda

deprem kuvveti uygulanır, düşey yönde düğüm serbest, 2= düşey doğrultuda

deprem kuvveti uygulanır, yatay yönde düğüm serbest, 3= yatay ve düşey

yönde deprem kuvveti uygulanır.4= geçirgen düğüm noktası)

sütun-5 Düğüm noktasının başlangıç yatay ivme değeri

sütun-6 Düğüm noktasının başlangıç yatay hız değeri

sütun-7 Düğüm noktasının başlangıç yatay yer değiştirme değeri

sütun-8 Düğüm noktasının başlangıç düşey ivme değeri

sütun-9 Düğüm noktasının başlangıç düşey hız değeri

sütun-10 Düğüm noktasının başlangıç düşey yer değiştirme değeri

156

EK 4. Birimler Çizelgesi

Uluslararası Birim Sistemi (SI)

İngiliz Birim Sistemi (UK)

Dönüşüm

Birim

Birim Sembol Birim Sembol

Uzunluk metre m feet ft 1 ft= 0.3048 m

Alan metre-kare m2 square-feet ft2 1 ft2= 0.09290304 m2

Hacim metre- küp m3 cubic-feet ft3 1 ft3= 0.0283 m3

Zaman saniye s second s

Hız metre/saniye m/s feet/second ft/s 1 ft/s =0.3048 m/s

İvme metre/(saniye-kare) m/s2 feet/(square-

second) ft/s2 1 ft/s2 =0.3048 m/s2

Frekans Hertz Hz Hertz Hz

Yoğunluk kilogram/ (metre-küp) kg/m3 pound/

(cubic-feet) p/ft3 1 p/ft3 =16.018463 kg/m3

Kütle kilogram kg pound p 1 p =0.45359237 kg

Kuvvet Newton N pound-force=libre lb 1 lb =4.448222 N

Basınç, Gerilme Pascal Pa

pound-force/ (square-feet)= lb/(square-feet)

pf/ft2

lb/ft2 1 lb/ft2 =47.880 P

İş –Enerji Joule J Feet-pound-force= feet-libre ft-lb 1 ft-lb =1.355818 J

Güç Watt W ft-pound-force/s= ft-libre/s

ft-lb/s 1 ft-lb/s = 1.355818 W

Moment Newton-metre N-m Pound-force feet= lb-feet lb-ft 1 lb-ft =1.355815 N-m

157

ÖZGEÇMİŞ

1970 Çorum doğumlu. İlk, orta ve lise eğitimini Çorum’ da tamamladı. 1991 yılında

Hacettepe Üniversitesi Ankara Meslek Yüksek Okulu Turizm ve Otel İşletmeciliği

Bölümünden mezun oldu. 1992 yılında başladığı Ankara Üniversitesi Mühendislik

Fakültesi Jeofizik Mühendisliği Bölümünden 1996’ da mezun oldu. Aynı bölümde 1998

yılında “Gravite ve Manyetik Verilerin Talwani Modelleme Yöntemiyle İki Boyutlu

(2B) Ters Çözümü” isimli tezi ile yüksek lisansını tamamladı.

1997 yılından bu yana, Bayındırlık ve İskan Bakanlığı Afet İşleri Genel Müdürlüğü

Deprem Araştırma Dairesinde Jeofizik mühendisi olarak çalışmaktadır.

158

ankara Ünİversİtesİ fen bİlİmlerİ enstİtÜsÜ...

Documents