animate matemática 6
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Orientaciones didácticas para el uso del libroTRANSCRIPT
Matemática 6. Recursos para el docente –Serie Animate–
es una obra colectiva, creada, diseñada y realizada en el Departamento Editorial de Ediciones Santillana bajo la dirección de Herminia Mérega
por el siguiente equipo: Viviana R. Chiesa • Claudia A. David • Carolina Giacumbo Adriana A. Santos • Gisela B. Serrano • Silvia S. Tabasco Matemática x deporte: Pablo J. Kaczor • Manuel J. Lois
Edición: Ana Verónica Veltri • Raquel S. KalizskyJefa de edición: María Laura Latorre
Gerencia de gestión editorial: Mónica Pavicich
ÍndiceRecursos para la planificación, pág. 2
Soluciones de todas las actividades del libro, pág. 6Matemática x deporte, pág. 17
6 Matemática
AniMAte
Recursos para el docente
Jefa de arte: Claudia Fano.
Diagramación: Alejandro Pescatore.
Corrección: Juan Sosa.Este libro no puede ser reproducido total ni parcialmente en ninguna forma, ni por ningún medio o procedimiento, sea reprográfico, fotocopia, microfilmación, mimeógrafo o cualquier otro sistema mecánico, fotoquímico, elec-trónico, informático, magnético, electroóptico, etcétera. Cualquier reproducción sin permiso de la editorial viola derechos reservados, es ilegal y constituye un delito.
© 2008, EDICIONES SANTILLANA S.A.Av. L. N. Alem 720 (C1001AAP), Ciudad Autónoma de Buenos Aires, Argentina.
ISBN Libro del alumno: 978-950-46-2080-8 ISBN Recursos para el docente: 978-950-46-2081-5 Queda hecho el depósito que dispone la Ley 11.723.Impreso en Argentina. Printed in Argentina.Primera edición: enero de 2009.Este libro se terminó de imprimir en el mes de enero de 2009, en Grafisur S. H., Cortejarena 2943, Buenos Aires, República Argentina.
Matemática 6 : recursos para el docente / Viviana R. Chiesa ... [et.al.]. - a ed. - Buenos Aires : Santillana, 2008. 48 p. ; 28x22 cm.
ISBN 978-950-46-2081-5
1. Formación Docente. I. Chiesa, Viviana R. CDD 371.1
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3
Las respuestas de la actividad de apertura de cada módulo figuran en la sección Paro y reviso que se encuentra grisada.
Módulo 1
Repasoa) • Menor: 12 345 789 • Mayor: 98 754 321b) • 1 214 • 100 000
1 a) Porque X solo puede aparecer hasta 3 veces. b) Signi� ca que a 100 se le restan 10.c) 203 = CCIII 324 = CCCXXIV 1 009 = MIX CMLXII = 962 DCXLIX = 649 MMDXC = 2 590
2 • I se puede restar solo de V y de X. Ejemplos: CIX = 109; LIV = 54; etc.; • X se puede restar solo de L y de C. Ejem-plos: XC = 90; XLV = 45; etc.; • C se puede restar solo de D y de M. Ejemplos: CDV = 405; CML = 950; etc. Las restan-tes columnas se completan con más ejemplos (a cargo del alumno).
3 a) • 19 999 = XIX CMXCIX• 548 712 = DXLVIIIDCCXII
b) En general es más fácil usar el sistema decimal.
4 a) Se descompuso el 2 746 897 y está en los carteles amarillo, verde y rosa.
b) • 2 746 897: dos millones setecientos cuarenta y seis mil ochocientos noventa y siete.
• 2 754 970: dos millones setecientos cincuenta y cua-tro mil novecientos setenta.
• 27 046 897: veintisiete millones cuarenta y seis mil ochocientos noventa y siete.
5 a) Más público: Los Simpsons; menos público: Ratatouille.b) • El Hombre Araña 3: 4 100 000;
• Shrek Tercero: 5 200 000; • Los Simpsons: 6 900 000.
c) Por lo menos 1 100 001 espectadores más.
6 Tendrían que haber ingresado 20 000 turistas.
7 Se puede hacer, por ejemplo, restando sucesivamente: 87 000 000; 645 000; 300 y 12.
8 a) Se pasa del A al B dividiendo por 100, y del A al C multi-plicando por 100.
b) En A: 80 000 u; en B: 800 u; en C: 8 000 000 u.
9 En general, es más rápido armar el número con la descom-posición de Lucía, que se hizo respetando el valor posicional de cada cifra.
10 • Por ejemplo, MC = 1 100; DI = 501, y CC = 200. • No es cierto, por ejemplo, CM y M. • En general es más fácil trabajar con el sistema decimal.
11 Lo correcto es: 945 = CMXLV y 99 = XCIX.
12 a) 1 012 000 b) 260 c) 7 540 000 000
Soluciones13 En el cartel azul y en el verde.
14 Hay varias formas de descomponer un número; una podría ser como suma del producto de cada dígito por una potencia de diez. La otra podría ser, en cada caso:a) 47 × 1 000 000 + 538 × 1 000 + 98 x 10 + 7b) 129 × 1 000 000 + 357 000 + 168
15 Podría ser: 3 315 631 + 1 110 011.
16 Por ejemplo, restar 821 639 y al resultado, que es 45 000 000, dividirlo por 10 000.
17 a) 9 324 718 437 186 b) 7 324 718 439 186c) Le falta 675 281 562 814.
18 En orden decreciente: 6 990 000 000 000; 6 909 000 000 000; seis billones novecientos mil millones; 6 × 1 000 000 000 001.
19 a) Treinta y cinco billones trescientos cincuenta y tres mil treinta y tres millones doscientos treinta y un mil trescien-tos tres.
b) De derecha a izquierda, representan: 3 u; 300 u; 30 000 u; 3 000 000 u; 30 000 000 u; 3 000 000 000 u; 300 000 000 000 u y 30 000 000 000 000 u.
20 • 38 → 7 símbolos • 1 257 → 7 símbolos• 932 → 7 símbolos • 805 → 5 símbolos
21 Tienen el mismo resultado el segundo, el cuarto y el quinto cálculos.
Módulo 2
Repasoa) 725 x 84 = 60 900 y 1 279 : 35 = 36, resto 19.b) En el lugar de las unidades se pone un cero o una rayita
porque se está multiplicando por la cifra de las decenas. En el ejemplo, el 2 representa 20 unidades.
1 La tabla se completa con: 300; 450; 600; 750 y 1 200, en la primera fila; 125; 375; 500; 625 y 1 000, en la segunda; 1; 2; 4; 5 y 8, en la tercera, y 2; 4; 6; 8 y 10 en la última.
2 Correctas: 24 × 2 × 4; 24 × 8; 8 × 24 y 24 × 4 + 24 × 4.
3 Se pueden armar 3 × 2 × 3 = 18 postres diferentes.
4 Sí; aplica la propiedad conmutativa y hace 25 × 18.
5 a) Sí. b) En 9 × 9 aparece el 81 y en 2 × 2, el 4.
6 • 24 × 30 = 24 × 15 × 2 = 720 • 30 × 48 = 2 × 15 × 24 × 2 = 1 440 • 15 × 25 = 15 × 24 + 15 = 375
7 a) Flor: 850 × 25 – 850 Matías: 2 × 850 × 4 × 3b) Los dos son correctos. Flor hizo: 850 × (25 – 1) = 850 × 24;
y Mati: 850 × 2 × 4 × 3 = 850 × 24.
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8 Son 48 masitas. Puede armar rectángulos de: 1 × 48; 2 × 24; 3 × 16; 4 × 12 y 6 × 8 (o al revés).
9 Le alcanza para 31 días y sobran 2 tazas.
10 a) 15 fuentes. b) 10 medialunas.
11 Cocinó 412 alfajores.
12 a) Mati obtuvo el mayor tiempo y Sole, el menor.b) Siguen: Ale, Vale y Mati.
13 a) Trabaja 7 horas y media.b) 45 horas semanales. Representan 1 día y 21 horas.
14 La segunda está mal resuelta porque el resto no puede ser mayor que el divisor. • 425 : 28 = 15; resto 5 • 219 : 15 = 14; resto 9• El resto puede ser cualquier número natural menor que 12,
por ejemplo, 1. En ese caso sería 97 : 12 = 8; resto 1.• El cociente puede ser cualquier número natural, por ejemplo,
3. En ese caso sería 61 : 18 = 3; resto 7.
15 a) dividendo = divisor × cociente + resto. Para encontrar las otras partes se puede usar la misma relación, conside-rando que el resto debe ser menor que el divisor. También se puede hallar el divisor, si se divide el dividendo por el cociente.
b) En la celeste y en la verde.
16 Las que lo resolvieron bien son Daniela y Fernanda.
17 Fabiana pensó el 1 600.
18 • 25 × 34 = 850 • 850 : 34 = 25• 1 700 : 25 = 68 (1 700 es el doble de 850).
19 a) El último número es el 3 y se nombran 8.b) 59 : 7 → el cociente indica cuántos números se nombran
y el resto, cuál es el último número.
20 • No; podría darle 3 más a cada uno.• Elaboró 33 bombas.• Necesita 50 cajas; a una le faltan 10 galletitas.• No, porque podrían ser 33, 36 o 39 bombas.• Sí, porque al hacer 890 : 18 el cociente indica cuántas ca-
jas se llenan y como el resto no es 0 sino 8, se necesita una caja más para esas 8 galletitas.
21 Pueden duplicar las filas y la cantidad de sillas por fila al mismo tiempo; cuadruplicar solo las filas; o cuadruplicar solo la cantidad de sillas por fila.
22 a) $ 914b) Faltan vender 50 rifas.
23 Se ocupan 9 filas: 8 están llenas y para completar la última faltan 8 figuritas más.
24 De 2 × 3 × 4 = 24 formas diferentes.
25 Es correcto: 42 × 30 – 42 × 2 = 42 × (30 – 2).
26 Son 255 minutos, que equivalen a 15 300 segundos.
27 No podrían ser 3 chicos porque podría haber agarrado una más cada uno; sí podrían ser 7.
28 • 105 : 3 = 35 porque 35 × 3 = 105.• 35 × 4 = 35 × 3 + 35 = 140• 210 : 35 = 6 porque 105 : 35 = 3 y 210 = 2 × 105.
Módulo 3
A cargo del alumno: 5 a) y 13 .
1 a) Jazmín gastó $ 412 y Mariela, $ 328.b) El primero es el de Mariela y el otro, de Jazmín.
2 a) Cada cuota es de $ 17. b) (4 × 6 + 10) : 2
3 a) • 5 × (3 – 1) + 2 = 12• 9 – 6 : (2 × 3) = 8• 3 × (7 – 2 × 2) = 9
b) • 16 • 0 • 17
4 4 × 2 × 3 × 2 = 48 combos diferentes.
5 b) Se pueden formar 8 números. c) 2 × 2 × 2
6 Se necesitan 3 × 3 × 3 = 33 = 27 cubos pequeños.
7 a) 25 = 32 herramientas. b) 27 = 128 herramientas.
8 1.er globo: 25 = 32 y 26 = 64; 2.º globo: 53 = 125 y 54 = 625.
9 • 5 × 4 = 20 barriletes distintos.• Ganaron “Los aéreos” con 660 puntos, contra 285 de
“Los voladores”.• A cargo del alumno.• 52 = 25 barriletes distintos.• Los voladores: 3 × 15 + 2 × 30 + 3 × 60 Los aéreos: 8 × 15 + 9 × 60
10 Usando la potencia sería 23 = 8.
11 a) El error es hacer 5 – 4. El cálculo azul da 32.b) El error es sumar 12 y 18. El cálculo azul da 18.c) El error es sumar 2 y 57. El cálculo azul da 307.
12 a) 2 × 38 + 43 – 5 × 19 = 24 b) 8 × 6 × 12 = 576
14 Se pueden formar 32 = 9 números.
15 6 × 6 × 6 = 63 = 216 limones.
16 Llevan 3 × 3 × 3 × 3 = 34 = 81 paquetes de chicles.
17 a) Falso; 23 = 2 × 2 × 2 = 8. b) Verdadero.c) Falso; 65 = 6 × 6 × 6 × 6 × 6.
18 • 2 × 75 – 15 : 3 = 145 • 2 × (75 – 15) : 3 = 40• (2 × 75 – 15) : 3 = 45
19 Se pintan del mismo color: • 23 y 2 × 2 × 2; • 3 × 2; 2 + 2 + 2 y 3 + 3; • 32 y 3 × 3.
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Módulo 4
Repasoa) Primeros múltiplos de: • 8: 0; 8; 16; 24 y 32. • 12: 0; 12; 24; 36 y 48.
• 30: 0; 30; 60; 90 y 120.b) Divisores de: • 24: 1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24. • 36: 1; 2; 3; 4; 6; 9; 12; 18; 36. • 5: 1; 5.
1 a) A cargo del alumno.b) Verde y rojo coinciden en los múltiplos de 6; azul y ana-
ranjado coinciden en los múltiplos de 12.c) Sí; todos los múltiplos de 4 son múltiplos de 2.
2 Divisible por… • 2: si termina en número par: 16; 18; 20; 30; 100; 108. • 3: si la suma de sus cifras es múltiplo de 3: 15; 18; 21; 30; 57; 81; 108. • 4: si las dos últimas cifras son múltiplos de 4: 16; 20; 100; 108. • 5: si termina en 0 o 5: 15; 20; 30; 35; 100. • 6: si es divisible por 2 y por 3: 18; 30; 108. • 10: si termina en 0: 20; 30; 100.
3 a) 60 × 1; 30 × 2; 20 × 3; 15 × 4; 12 × 5; 10 × 6.b) 17 × 1: solo hay una posibilidad porque 17 es primo.
4 a) Hay muchas formas de hacerlo, como: 4 × 4 × 3; 6 × 8; 2 × 3 × 8; 2 × 2 × 2 × 2 × 3, entre
otras.b) Los factores de cada descomposición son divisores de
48 y también el producto de dos o más factores de cada descomposición.
c) Puede descomponerse de varias formas: 2 × 18; 4 × 9; 2 × 2 × 3 × 3; etc. Los divisores de 36 son: 1; 2; 3; 4; 6; 9; 12; 18 y 36.
5 El 11 y el 23 no se pueden descomponer a partir de multipli-caciones sin usar el 1 porque son primos.
6 a) • 8 × 18 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 • 9 × 12 = 3 × 3 × 2 × 2 × 3 • 48 × 54 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 2 × 3 × 3 × 3b) • 15 × 8 → 5 (3 × 5 = 15)
• 6 × 21 → 7 (3 × 7 = 21)
7 Pasarán 24 horas porque 24 es el primer múltiplo que tie-nen en común 6 y 8 (después de 0).
8 Cada 30 hojas (porque 30 es el m.c.m. entre 6 y 10).
9 a) La pueden recibir 1, 2, 3, 6, 9 o 18 escuelas.b) 18 escuelas; cada una recibiría 10 libros y 9 cuadernos.
10 Tiene 8 sobrinos; cada uno recibe 5 alfajores, 4 chocolata-das y 7 caramelos.
11 • Hay 72 fantasmas.• Cada grupo tiene 6 integrantes. En total hay 14 grupos: 5
de nenas y 9 de nenes.• Tiene que buscar el m.c.d. entre 30 y 54.
12 Entre el 41 y el 79 hay 19 múltiplos de 2; 13 múltiplos de 3 y 6 múltiplos de 7.
13 El primero, porque a 4 × 93 (que es múltiplo de 4) se le suman 4, mientras que en el segundo se le suman 3.
14 El número pensado es 23.
15 1 501; 1 516; 1 531 y 1 546 (se buscan los múltiplos comunes a 3 y 5, y se les suma 1).
16 No, por ejemplo, 6 es múltiplo de 3 y 20 es múltiplo de 5, pero 6 + 20 = 26 no es múltiplo de 8.
17 a) 11 casillas (más la salida).b) Sí, porque 99 es múltiplo de 3 y de 9.
18 12 premios con 5 lapiceras y 3 CD cada uno.
19 a) No; el m.c.d. entre 30 y 75 es 15.b) El m.c.m. entre 30 y 75 es 150.
20 2; 8; 9; 12; 15; 36 y 45 son divisores de 360; 2 es uno de los factores de la descomposición y los restantes pueden obtenerse multiplicando dos o más factores.
21 Los múltiplos de 6 son: 438 y 1 800.
22 Cada 12 días.
Módulo 5
A cargo del alumno: 2 a), 6 , 8 a), 9 a), 10 , 11 , 12 , 14 , 20, 21 , 23 y 25.
1 Tiene que trazar una circunferencia de 3 cm de radio con el compás.
2 b) Hay que marcar los dos puntos que tienen en común las dos circunferencias.
3 Paso 2.° Uno cada extremo del lado distinto con alguno de los puntos por los que pasan las dos circunferencias, porque cada uno de ellos está a 2 cm de distancia de cada extremo.
4 Sí. Se mide uno de los lados con el compás y sin cambiar su apertura se pincha con el compás uno de los extremos de otro de los lados y se ve si es más corto o más largo. Así, se van comparando los tres lados.
5 Tienen que dibujar un triángulo escaleno obtusángulo y otro isósceles rectángulo.
7 Trapezoides: común y romboide. Trapecios: común, rectángu-lo e isósceles. Paralelogramos: cómun, rombo, rectángulo y cuadrado.
8 b) Isósceles rectángulo.
9 b) Sí.
13 a) Dos catetos coinciden con dos alturas. b) Sí.
15 La altura divide a la base en dos segmentos iguales.
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16 Tienen una altura de la misma medida.
17 a) 27 mm. b) Se puede trazar más de uno.
18 • Sí.• Es un rombo. Porque tiene cuatro lados iguales.• Dos vértices del rombo coinciden con los centros de los
círculos y los otros dos están en los bordes del círculo. Como los lados del rombo miden 15 mm, entonces los radios de los dos círculos tienen esa medida.
19 Sí, porque esa altura está dentro del triángulo y es perpendi-cular a la base.
22 Isósceles. Sí, los puntos a, b y c podrían ser tres vértices de un rombo, porque los segmentos ab y bc son iguales.
24 Uno de los catetos del triángulo rectángulo debe medir 3 cm y el otro debe tener una medida distinta.
26 No pueden ser tres vértices de un rombo, pero sí podrían ser los de un romboide.
27 Es el violeta, porque es perpendicular al lado rojo o base del triángulo isósceles y lo divide en dos partes iguales.
Módulo 6
Nota: las fracciones aparecen escritas en un solo renglón, pero es importante que a los alumnos se las presentemos en la forma habitual.
Repaso1/4; 3/8 y 5/8, respectivamente.
1 El triángulo se divide en 4 sectores iguales y se rayan 3. Los restantes, a cargo del alumno.
2 El rectángulo se divide en 7 partes iguales y la unidad se construye con 4 de esas partes; el triángulo se divide en 2 partes iguales (por ejemplo, trazando una altura) y se cons-truye la unidad con 3 partes como esas.
3 Había 36 caramelos.
4 9/4 L, o sea, 2 1/4 L.
5 Las intrusas son: 27/64; 2/3 y 9/12.
6 Sí, está bien.
7 Compró 30 facturas, es decir 5/2 de docenas.
8 a) Entre 0 y 1: 3/7; 13/17 y 271/402; iguales a 1: 9/9 y 231/231; mayores que 1: 8/5; 73/28 y 902/308.
b) En a/b con a y b números naturales y b ≠ 0: si a < b, a/b está entre 0 y 1; si a = b, es igual a 1; y si a > b, es mayor que 1.
9 a) Entre 1 y 2; entre 0 y 1; entre 4 y 5.b) Sí, porque de lo contrario no serían consecutivos.
10 a) 5/4 porque 5/4 > 1 y 7/9 < 1.b) 24/5 porque 4 = 20/5.c) 2/5 pues los “quintos” son mayores que los “séptimos”
y de los dos tomamos 2.
11 a) Hay varias opciones, por ejemplo: 1/2 < 1 < 3/2; 20/3 < 7 < 22/3 y 1/2 < 11/4 < 50/9.
b) No, por ejemplo, 1/4 < 1 < 25/7; 1/3 < 7 < 70/4 y 11/5 < 11/4 < 11/2.
12 15/5 = 3; para representar 3/4 se divide cada unidad en 4 partes iguales y se cuentan 3 a partir de 0; para 11/3, se divide cada unidad en 3 y se cuentan 11.
13 a) Gana Valen (en el 7.º paso Guille anota 1/128).b) Sí, por ejemplo, 1/128; 1/65; 1/100; 2/251; 7/705…
14 El 0 se ubica a la izquierda de 1/4 y a la misma distancia de él que 1/2; después se ubica el 1 a la derecha de 1/2 y a la misma distancia de él que 0.
15 a) Todas dan 1.b) Hay distintas opciones, por ejemplo: 1/3 + 2/3.
16 a) Hay distintas opciones, por ejemplo: 3/2 = 1 + 1/2; 2/3 = 1 – 1/3 y 7/4 = 1 + 3/4.
b) No, 3/2 = 2 – 1/2; 2/3 = 2 – 4/3 y 7/4 = 2 – 1/4.c) 3/2 = 1 1/2 y 7/4 = 1 3/4 ; 2/3 no se puede.
17 • Arrojó primero la piedra verde.• No es cierto porque 3/2 es mayor que 1, y por lo tanto,
supera la longitud del camino.• Hay más de una opción, por ejemplo, 4/5.
18 Hay distintas opciones, por ejemplo:8/12 > 1/3 3/12 < 1/3 4/12 = 1/3.
19 a) Dividir el rectángulo en 3 partes iguales y construir la unidad con 4 de esas partes.
b) Dividir el rectángulo en 6 partes iguales y construir la unidad con 5 de esas partes.
20 Por ejemplo: 1 1/4 kg de pan = 5/4 kg de pan; 2 1/2 m de soga = 5/2 m de soga; 2 1/4 L de agua = 9/4 L de agua.
21 a) 1/2 = 50/100; 3/4 = …/15 no se puede; 3 = 45/15; 12/15 = 4/5.
b) No se puede porque 15 no es múltiplo de 4.
22 a) Sí, en ambos casos.b) Hay distintas opciones, por ejemplo: 1/6 < 1/5 < 1/2 y
3/10 < 8/7 < 5/3.
23 15/7 está entre 2 y 3; 125/11 está entre 11 y 12.
24 Hay varias formas de hacerlo, por ejemplo:a) 4 + 1/2 b) 1 – 9/10 c) 1 + 1/4
25 1/6 < 1/2 < 2/3 < 5/3 < 7/4.
26 Por ejemplo: 1/2; 8/15; 17/30.
27 Hay que rodear: 3 + 2/5; 17/5; 3 2/5 y 34/10.
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Módulo 8
Repaso
a) 0,50 pesos; 50 centavos y 0,5 pesos.b) 1 centavo es la centésima parte del peso (1/100) y 10
centavos, la décima parte (1/10).
1 a) $ 12,75 y $ 23,60 b) $ 36,35
2 70 centavos y 40 centavos. En total, $ 1,10.
3 a) Sí porque 1,52 + 0,52 + 0,52 = 2,56, que es menor que 2,65.
b) 2,40 m
4 a) 0,011 b) 0,111
5 a) Expresa los 9 décimos como 8 décimos más 10 centési-mos.
b) Sumó los 10 centésimos a los 5 centésimos; ahora tiene 15 centésimos.
c) Sí.
6 Está bien la de Paula, porque restar 3,15 es lo mismo que restar 3 y después restar 0,15 (y no sumarlos).
7 Por ejemplo:
0,4 0,9 0,2
0,3 0,5 0,7
0,8 0,1 0,6
8 a) 1,2; 0,08; 4,186 b) 4/10; 192/100; 804/1 000c) 3,5 = 3 + 5/10 0,67 = 6/10 + 7/100 0,218 = 2/10 + 1/100 + 8/1 000
9 a) Pizza: 50; milanesa: 25; hamburguesa: 25.b) Azul: 3/4; naranja: 1/4.
10 a) 82 chicos.b) Un tercio es 41, entonces dos tercios es 2 × 41.
11 Voleibol: 15 Handball: 21 Fútbol: 24
12 3/4 → 75% 1/4 → 25% 3/2 → 150%7/10 → 70% 2/5 → 40% 1/2 → 50%
13 a) $ 150 – $ 45 = $ 105 $ 90 – $ 27 = $ 63 $ 120 – $ 36 = $ 84b) Le descontaron $ 80, o sea, el 40% de 200.
14 a) 1/2 hora = 30 minutos; 1/4 hora = 15 minutos.b) 2 horas y cuarto o sea, 135 minutos.
15 Harina: 1 ¼ tazas; azúcar: 1/4 taza; manteca: 75 g.
16 a) En 1/2 hora, 1/4 de la taza, y en 1 hora, 1/2.b) Tardará 2 h en llenar 1 taza y 4 h en llenar 2.
17 En la 1.a fila: 1/4 y 2; en la 2.a fila: $ 1,50 y $ 2,25.
Módulo 7
A cargo del alumno: 3 b) y 5 a).
Repasoa) No, porque las cortan en 8 porciones iguales.b) 15/9
1 a) 3/2 b) 5/3 c) 1/4 d) 1/6
2 Quedaron 3/2 L, o sea, 1 1/2 L.
3 a) 7/2 = 3 + 1/2 9/4 = 2 + 1/4 28/8 = 3 + 1/2
4 Lado: 3 1/3 cm; Perímetro: 40 cm.
5 b) A = 1/4; C = 1/8; D = 1/8; E = 1/16.c) 3/8 de rojo y 3/16 de verde.d) Por ejemplo, A y E. Se obtienen 5/16.e) 7/8 se puede obtener, por ejemplo, sacándole al cuadra-
do la pieza B.
6 Se representa 1/2 en la recta numérica y se divide cada unidad en 8 partes iguales. A partir de 1/2 se retrocede tres octavos y se llega a 1/8.
7 a) Iguales, ya que 38/24 = 19/12.b) 11/10 29/20 11/18
8 a) 15/24 + 8/24 = 23/24b) Sí, porque 15/24 es equivalente a 5/8 y 8/24, a 1/3.
9 • 1/2 + 1/15 = 17/30 • 4/28 = 1/7• 3/4 = 1/2 + 1/4 y 7/8 = 1/4 + 1/8.• No, porque 45 no es múltiplo de 2.• 2/3 = 4/6 = 1/2 + 1/6• 3/5 = 6/10 = 1/2 + 1/10
10 Cuatro formas: 1 + 13/4; 2 + 9/4; 3 + 5/4; 4 + 1/4.
11 Da un número natural solo el a), que da 2.
12 Hay muchas formas de obtenerlas, por ejemplo, para 7/16 se pueden juntar las piezas F, D y E: 7/16 = 1/4 + 1/8 + 1/16; para 3/4, todas excepto la A (1/4).
13 a) Se representa 2/5 en la recta numérica y se divide cada unidad en 10 partes iguales. A partir de 2/5 se avanza tres décimos y se llega a 7/10.
b) Se representa 9/4 en la recta numérica; luego solo se considera cada unidad dividida en dos partes iguales y a partir de 9/4 se retrocede tres medios; se llega a 3/4.
14 a) 47/20 b) 1/30
15 a) 25/28 b) 4/3 c) 37/15 d) 7/12
16 Hay que sumarle 169/72.
17 Hay que intercambiar el 3 y el 5.
18 Quedaron 1 y 1/4 kg de pan.
19 No está bien la a) (no se pueden sumar los numeradores por un lado y los denominadores por otro).
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11 Un cuadrilátero no puede tener sus 4 ángulos interiores agudos, porque la suma de las medidas de esos ángulos es menor que 360°.Un triángulo no puede tener dos ángulos rectos, porque los tres ángulos interiores deben sumar 180°.
12 • Es el cartelito con estas medidas: 62°, 40° y 78°. • Los tres ángulos del triángulo quedan en forma consecuti-
va y puede verse que forman un llano. Además, se puede ver que el paralelogramo está formado por dos triángulos, por lo tanto, sus ángulos interiores suman 2 veces 180°.
• Sí, está bien.• Hay que marcar uno de los ángulos llanos formado por los
ángulos consecutivos: azul, verde y rojo.
13 1 260°
14 Tiene 12 lados. Porque 1 800 : 180 es igual a 10, que es la cantidad de triángulos que se forman al trazar todas las diagonales desde un vértice, por lo tanto, el polígono tiene (10 + 2) lados.
15 127° 30’
16 b) 124° 30’. Se obtiene con esta cuenta: 180° - 55° 30’.
17 a) 69°
18 No puede tener dos ángulos interiores obtusos, porque la suma de sus amplitudes superan los 180°.
19 Cada uno de los ángulos agudos mide 39° 45’.
20 Por ejemplo, 99° y 100° 15’.
21 a) 144° 30’b) Pueden obtener un paralelogramo común, un rombo o un
trapecio isósceles.
22 No, porque la suma de sus amplitudes supera los 360°.
23 Es un octógono; la suma es 1 080° (6 × 180°).
24 Tiene razón Julieta, porque 180 no entra un número entero de veces en 560.
25 Sí, es cierto, porque si uno es recto, los otros dos deben sumar 90°, por lo tanto, son agudos.
26 97° 10’
27 No, porque la suma de los ángulos interiores de un heptá-gono es 900° y al sumar las amplitudes de los cartelitos se obtiene 914°.
Módulo 10
Repasoa) 1,2 12 120 b) 5,14 0,514 0,0514
1 a) 10 cuestan $ 0,70 y 100, $ 7.b) 10 000 caramelos.c) Si se multiplica por 10, 100, 1 000, … las unidades se
transforman en decenas, centenas, unidades de mil, … (equivale a correr la coma 1, 2, 3, … lugares a la dere-
18 • Le alcanza a los dos porque Diego gastó $ 4,55 y Mirta, $ 6,80.• Diego: $ 5,45; Mirta: $ 3,20.• Mirta: $ 3,15; Diego: $ 1,05.
19 3,8 + 0,4 = 3 + 8/10 + 4/10 = 3 + 12/10 = 3 + 10/10 + 2/10 = 3 + 1 + 2/10 = 4 + 2/10 = 4,2
20 No hay diferencia (15 centavos = 150 milésimos).
21 a) 5,64 b) 2,05
22 a) 0,999 b) 0,545
23 No; el 40% de 15 es 6 y el 50% de 12 también es 6.
24 a) Le faltan $ 23,40. b) Le faltan $ 7,80.
25 Es lo mismo porque 1/5 representa el 20%.
26 6 horas y cuarto, o sea, 375 minutos.
27 2,65 – 1,67 = 0,98
28 96 personas, o sea, el 80%.
29 Se puede hacer 1 + 1 + 1 + 1 y a eso restarle lo que le falta a cada número para llegar a 1, o sea, 0,01; 0,02; 0,03 y 0,04, respectivamente; en total hay que restar 0,10. Enton-ces es 4 – 0,10 = 3,9.
Módulo 9
A cargo del alumno: 1 a), 16 a) y 17 b).
Repaso
En el transportador de la izquierda, el lado del ángulo no está alineado con la rayita del 0, y en el otro, el vértice no coincide con el centro del transportador.
1 b) 83°
2 El verde mide lo mismo que el azul, porque es su opuesto por el vértice. El anaranjado y el fucsia miden 52° 15’ (180° – 127° 45’) porque son adyacentes al azul.
3 El adyacente: 101° 33’ 45’’. Y el complementario: 11° 33’ 45’’.
4 a) 95° 24’ b) 19° 56’ 30’’
5 75° 44’
6 Las medidas a rodear son: 90°, 38° 27’ y 51° 33’.
7 Sí. Los tres ángulos suman 180°, entonces, si uno es recto, los otros dos suman 90°.
8 90° y 44° 21’.
9 a) Al trazar una diagonal cada cuadrilátero queda dividido en dos triángulos. Como la suma de los ángulos interiores de cada triángulo es 180°, la del cuadrilátero es el doble, o sea, 360°.
b) Pentágono: 540°. Heptágono: 900°.
10 1 620°
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Módulo 11
Repasoa) 10 soldaditos. b) 110 bidones.
1 1 125 chicos.
2 a) y b) A cargo del alumno.c) 1/10, que es lo que quedó pintado dos veces.
3 1/10 = 1/5 × 1/2
4 a) 1/4 b) 1/16 c) 1/16 = 1/4 × 1/4
5 a) 7/8 del sachet.b) 7/2 representa 3 tazas y media, y 1/4, la capacidad de la
taza en litros.
6 a) 1 1/8 L b) 1/8 de la torta.
7 • 1/8 de página. Costaría $ 750.• Sí, porque 1/2 × 1/3 = 1/6 y 1/6 de $ 6 000 es $ 1 000.• $ 500. Hay varias opciones: 1/3 × 1/4; 1/2 × 1/6; 1 × 1/12;
1/9 × 3/4; 2/3 × 1/8; 1/10 × 5/6; 1/7 × 7/12; …
8 2/3 × 2/5; 1/3 × 4/5.
9 a) 18 3/4 b) 4 7/8 L
10 a) 7 1/8 hb) Sirve; 9/4 es lo que dura la película y 7/2, las veces que
la vio.
11 a) Comió 52 7/8 g.b) 35 1/4 × 5 1/2 = 141/4 × 11/2 = 1 551/8 = 193 7/8
12 200 × 11/5 = 440
13 Sí, porque si reparte 2 budines en tres partes iguales tiene 2/3 para cada día y todavía le sobra medio budín.
14 1/2 × 3/5 y 3/5 : 2.
15 a) 1 1/6 b) 7/8
Módulo 12
A cargo del alumno: 5 b), 10 a), 14 b) y 28.
Repaso
540°, 720° y 900°.
1 Sí, porque con un pliegue se puede modificar el cuadrado de manera que la nueva figura conserve un par de lados parale-los y dos ángulos rectos.
2 Un trapecio isósceles. Tiene un par de lados paralelos. Los lados no parelelos son iguales. Tiene dos pares de ángulos iguales.
3 a) 180° b) 50° y 130°. c) iguales/180°.
4 Sí. Porque pueden diferir en las amplitudes de sus ángulos interiores.
cha); si se divide por 10, 100, 1 000, … las unidades pasan a ser décimos, centésimos, milésimos, … (y la coma se corre hacia la izquierda).
2 a) $ 16,80 b) $ 168 c) $ 1,68d) Se completa con: 16,80; 168; 1,68; 8,40 y 4,20.
3 951 × 0,21 = 199,50 y 951 + 199,50 = 1 149,50.
4 a) 4 2 1 b) 7,1276 3,92 102,9
5 En total pagó $ 11,65.
6 Hay varios, por ejemplo, para el 1.er globo, 2,5 × 2,4 = 6, y para el 2.º, 2,6 × 0,5 = 1,3.
7 $ 3,75
8 a) 2,6 6,5 4,333… 3,25 2,1666…b) Hay que rodear con rojo la 1.a, la 2.a y la 4.a.c) No, porque los restos empiezan a repetirse.
9 Lengua: 7,66… → 8; Matemática: 5,66… → 6; Cs. Sociales: 7,33… → 7; Cs. Naturales: 8,66… → 9.
10 1,45 kg
11 0,145 L de agua y 21,4 g de tierra.
12 4,2 cm
13 a) $ 6,25 b) 2,5 1,2 7,2
14 $ 5,20
15 12,5 L
16 a) En centésimos porque se trabaja con números naturales más chicos.
b) En milésimos porque si se expresaran en centésimos seguiría quedando un número con coma.
c) 4,03 0,03
17 • Sí, el precio es $ 4 259,20. • $ 193,60 • 16 cuotas.
18 Sí, porque dividir por 2 es lo mismo que considerar la mitad y 0,5 = 1/2.
19 a) 27 minutos. b) $ 6,21
20 Pudo haber sido 2,1 porque entre 2,1 y 3,4 hay dos decima-les y no se anulan al multiplicarlos.
21 22 : 9 = 2,4!. Aprox. 2,44 17 : 5 = 3,4
64 : 3 = 21,3!
. Aprox. 21,33 81 : 15 = 5,482 : 6 = 13,6
!. Aprox. 13,67 76 : 11 = 6,90! . Aprox. 6,91
22 $ 2,45
23 a) $ 15,45 b) 5
24 750 g = 0,75 kg, entonces hace 2,60 × 0,75.
25 134,1 g
26 6,5 km
27 Todas menos la segunda.
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5 a) Los ángulos opuestos del paralelogramo deben ser igua-les. Los ángulos agudos del trapecio isósceles deben ser iguales.
6 Figura de la izquierda: 115° y 65°. Figura de la derecha: 30° y 150°.
7 No, porque el rombo es un paralelogramo y sus ángulos opuestos son iguales. No, porque en un paralelogramo los ángulos opuestos son iguales y los 4 suman 360°, por lo tanto, si dos fueran rectos, los otros dos también serían rectos.
8
Sí Sí Sí Sí
No Sí No Sí
No No Sí Sí
9 Siempre se cortan en el punto medio.
10 b) Sí, será idéntica a la de Pedro.
11 Diagonales perpendiculares para las dos figuras; en el rombo que se corten en el punto medio de ambas y para el romboide que solo una corte a la otra en el punto medio.
12 La suma es 720°, se divide por 6 y se obtiene la amplitud de cada ángulo: 120°. Pueden ir trazando un segmento de 2 cm y un ángulo de 120°, y volver a hacerlo hasta que queden marcados los 6 vértices.
13 a) Es el hexágono. Al dividir 360° por 6 se obtiene 60°.b) 72° y 36°.
14 a) 45°
15 Se hace 360: 36 y se obtiene 10; por lo tanto, el polígono tiene 10 ángulos centrales, o sea, 10 lados.
16 360°
17 Con el pentágono regular no se puede cubrir la superficie, porque su ángulo interior es de 108° y 108 no entra un número entero de veces en 360. Sí, se puede cubrir la su-perficie con las restantes figuras.
18 • A Poli le sirven los mosaicos con forma de triángulo equi-látero o con forma de paralelogramo. El explorador pudo haber usado los que tienen forma de pentágono.
• Los ángulos interiores de cada figura.• Usó triángulos equiláteros.
19 El eneágono. Como 9 ángulos de 40° suman 360°, el polígo-no regular tiene 9 lados.
20 Que tenga ángulos rectos o que tenga las dos diagonales iguales.
21 39°, 141° y 141°.
22 63°, 117° y 117°.
23 a) Azul: trapecio isósceles. Blanco: rombo.b) En el azul: 65°, 115° y 115°. En el blanco: 115°, 65°,
115° y 65°.
24 No. Porque los segmentos no se cortan en su punto medio.
25 Porque una de ellas tiene que cortar a la otra en el punto medio.
26 140°
27 5 lados.
29 a) 8 triángulos. 10 lados. b) 144° c) 36°
30 12 lados.
Módulo 13
A cargo del alumno: 1 c) y 2 c).
Repaso• 80 cuadras en 2 horas, 20 en ½ h y 60 en 1½ h.• 30 cuadras.
1 a) 20 kg → $ 160; 2½ kg → $ 20; 10 kg → $ 80.b) 4 kg cuestan $ 32.
2 a) 3 kg → $ 21; 1½ kg → $ 10,50; 7½ kg → $ 52,50.b) 4½ kg cuestan $ 31,50.
3 a) En “El gran mandarín”.b) Sí, por ejemplo, 4 kg cuestan $ 32 en 1 , y 4½ kg cues-
tan $ 31,50 en 2 (más cantidad a menos precio).
4 En la verdulería “Pérez Gil”.
5 a) Para la primera tabla: 1/2 kg → 2 pizzas; 4 kg → 16; 1/4 kg → 1. Para la segunda tabla: 1/4 L → 1/2 kg; 4 L → 8 kg; 3/8 L → 3/4 kg.b) 4 en la primera y 2 en la segunda.
6 a) $ 4,50 b) 7 viajes; sobran $ 0,70.c) Para 22 viajes.
7 La tabla b) porque el precio es directamente proporcional a la cantidad de caramelos.
8 a) $ 24 b) $ 48c) Consumo: 400 kwh → $ 16. Total $ 37,75.
9 El perímetro es proporcional a la longitud de los lados, pero el área no (si se duplica la longitud de cada lado se necesi-tan el cuádruplo de los cuadraditos para cubrirlo).
10 a) 500 novelas. b) 74 500 kBc) 72,75 MB. Sí le alcanza.
11 a) El tren de Tyncho es más veloz porque recorre más distan-cia en igual tiempo.
b) Sí, porque recorre en el mismo tiempo la mitad de distan-cia que el de Tyncho.
12 A 45 km/h tardaría 24 minutos y a 135 km/h, 8 minutos.
13 a) Se completa con 4; 12; 24 y 16 (en ese orden).b) Hay 240 alfajores. Se calcula multiplicando los valores de
una columna, por ejemplo, 30 × 8.
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car cada número por 0,625. También podría emplearse la constante entre el porcentaje y el número, que es 1,6; en ese caso el porcentaje se obtiene dividiendo cada número por 1,6.De cualquier manera se obtiene que 20 es el 12,5% de 160.
8 A favor: 39; en contra: 21; no votaron: 12; ausentes: 3.
9 La tabla se completa en la primera fila con 40%, y en la segunda, con 90º, 72º, 54º y 144º, en ese orden.
10 a) 3 600 habitantes.b) El 22,22% son niños, el 27,78% son adolescentes, el
40% son adultos y el 10% restante, adultos mayores.
11 • Gastó $ 127,50 en comida para gatos, $ 172,50 en herramientas y $ 190 en camisones. Total: $ 490.
• Sí, porque al aplicar 2 veces el descuento del 50% se obtiene el valor de un camisón.
12 Total encuestados: 1 300 adolescentes. Bailar: 45% → 162º. Cine: 20% → 72º. Recitales: 35% → 126º.
13 a)
Tiempo (h) 2 4 6 8Alfajores
envasados300 600 900 1 200
b) 5 horas. c) Sí.
14 a) 57,6 b) 62,37 c) 150,42 d) 546,24
15 La columna de descuentos se completa con 16,80; 216 y 96; la del precio “ahora”, con 123,20; 1 584 y 704.
16 a) Documentales: 75 chicos; ficción: 200.b) Los de entretenimiento, porque a los dibujos animados
solo los pre� ere el 20%.c) Ficción: 144º; entretenimiento: 90º; documentales: 54º;
dibujos animados: 72º.
17 El gráfico 1 porque la unión de los puntos determina una semirrecta con origen en 0.
18 a) 100% ⎯→ 360º b) 75% ⎯→ 270º c) 12,5% ⎯→ 45º
Módulo 15
Repaso• A cargo del alumno.• Para ponernos de acuerdo y tener todos la misma medida.
1 Sacapuntas → largo: 3 cm; ancho: 20 mm; alto: 10 mm. Bicicleta → 70 cm y 1,5 m.
2 a) La segunda fila se completa con 25; 100; 250 y 1 000 (en m); la tercera, con: 0,025; 0,1; 0,25 y 1 (en km).
b) Hay que multiplicar los metros por 0,001.c) 120 largos.
3 a) Para expresar 3 cm en m se divide por 100, y 7,5 mm en m, se divide por 1 000.
b) 1 dam = 100 dm.
14 a) Se completa con 90; 30; 15 y 9 (en ese orden).b) 900 ml es la cantidad de perfume a envasar.
15 • Tardará menos porque el nuevo auto recorre más distan-cia que el viejo en el mismo tiempo.
• Tardará 4 minutos y medio.• Corre a 288 metros por minuto.• No, porque el auto de Brasita puede recorrer una distan-
cia menor en el mismo tiempo.
16 La primera es de proporcionalidad inversa, la segunda no es de proporcionalidad y la tercera es de proporcionalidad directa.
17 El más económico es “El ternero alegre”.
18 El dulce de membrillo es más calórico porque 150 g tienen 450 calorías.
19 2 máquinas tardarán 45 minutos y 5 máquinas, 18 minutos.
20 Necesita 8 porta-CD de 105, 6 porta-CD de 140 y 5 porta-CD de 168.
21 a) La primera tabla se completa con 4 horas y con 40 km/h. Para la segunda tabla, 8 horas y 75 km.
b) La primera tabla es de proporcionalidad inversa, porque al aumentar la velocidad se tarda menos, proporcionalmente.
22 En la primera tabla la constante representa el precio de 1 kg de manzanas y se completa con 15; 9; 45 y 3, en ese orden.En la segunda tabla la constante representa la cantidad total de alumnos y se completa con 6; 10; 2 y 30, en ese orden.
Módulo 14
A cargo del alumno: 3 c) y gráficos de 12 y 16 c).
1 a) En 1 minuto hace 20 copias. b) 5 minutos.c) El punto une 4 minutos con 80 copias.
2 a) La tabla se completa con 120; 180; 240; 360 y 540, en ese orden.b) Porque, por ejemplo, al duplicar los litros de nafta, se
duplica la cantidad de kilómetros que pueden recorrerse.c) El punto une 25 litros con 300 km.d) El punto une 40 litros con 480 km.
3 a) La tabla se completa con 1¼; 1½ y 2, en ese orden.b) Hay que marcar los puntos (2; ½), (5; 1¼), (6; 1½)
y (8; 2).
4 a) Se completa con: 5; 2,5 y 20, en ese orden.b) Sí, porque si un artículo cuesta, por ejemplo, la mitad que
otro, el descuento también será de la mitad.
5 a) 96 b) 57,6 c) 4,8 d) 480
6 Se completa con 50; 25; 5 y 20, en ese orden.
7 La constante entre el número y el porcentaje es 0,625; para obtener el porcentaje y completar la tabla hay que multipli-
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4 El único que no entra es el lápiz.
5 78 445 km
6 a) 45 L b) 1 hl = 100 L = 10 dal
c) 1 kl = 1 000 L = 100 dal = 10 hl
7 Morena, porque 0,3 L = 30 cl.
8 Tabla: 4 dl en L → 4 : 10 → 4 dl = 0,4 L. 4 dl en hl → 4 : 1 000 → 4 dl = 0,004 hl. 15 kl en L → 15 × 1 000 → 15 kl = 15 000 L. 15 kl en cl → 15 × 100 000 → 15 kl = 1 500 000 cl. Machete: …multiplicar o dividir por 10, 100, 1 000, etcétera.
9 a) 1 ½ L b) Con 12 vasos.
10 50 000 mg; 4 000 g; 45 hg; 48 000 dg; 4,999 kg.
11 a) 1 000 kg; 845 kg; 100 kg. b) 3 055 kg
12 1.er globo: No; pesan lo mismo; 2.º globo: Sí; 95 L × 2 = 190 L = 19 000 cl; 3.er globo: Sí; 0,045 hl = 4,5 L y con eso recorre 75 km = 75 000 m.
13 • Uno mide 11 100 m y el otro, 1 999,9 m (casi 2 000 m).• Menor (1 dam = 10 m).• Caperucita recorrió 1 999,9 m, es decir, casi 2 000 m, y
dio unos 4 000 pasos.• Está muy cerca, a solo 1 m.
14 a) 99,5 dag; 2 367,9 dg; 7,5 hg.b) 99,52 dag se aproxima a 1 kg; 2 367,87 dg a 1/4 kg y
7,467 hg a 3/4 kg.
15 5 metros.
16 Miraflores, Aromos, Naranjos y Lilas.
17 2 400 dg; 20 000 cg; 2,00006 hg y 0,104 dag.
18 2 hl cuestan $ 400, 5 dl cuestan $ 1 y 600 cl, $ 12.
19 2,8 L
20 3 latas.
21 9 latas de 0,005 hl, o 5 latas de 10 dl (y le sobra media), o 1 lata de 5 L (y le sobra medio litro).
22 408 minutos (6 horas con 48 minutos).
23 73 000 m
Módulo 16
A cargo del alumno: 5 b), 6 primer inciso (correspondien-te al “Animate a explorar” de pág. 109) y construcciones de 4 a), 10 y 14 .
1 Mide 1,20 cm.
2 a) 9 m de largo × 6 m de ancho.b) 3,60 m de largo × 3 m de ancho, cada dormitorio.
3 a) Escala 1 : 1 500. b) Ancho: 4 cm.
4 a) Los otros lados medirán: 6 cm y 3 cm. b) No cambia la amplitud de los ángulos.
5 a) Dormitorio: 3,9 m × 3,6 m. Living-comedor: 6,9 m × 2,1 m.
6 • Recorrerá 350 km.• La escala del mapa es 1 : 12 500 000; si el tamaño fuera
de la mitad, la escala sería 1 : 25 000 000, y si fuera el doble de tamaño, 1 : 6 250 000.
7 Distancia real: 705 km. Escala 1 : 15 000 000.
8 El árbol mide 7 m.
9 a) 0,82 km b) Menos de 1 km. c) A 1 cm.
11 La altura real es de 300 m.
12 El plano tendrá 1,4 cm de largo × 0,75 cm de ancho.
13 La medida es de 34,5 cm.
Módulo 17
Repasoa) 64 cmb) Un ejemplo posible es alinear todos los cuadrados y
formar un rectángulo cuyo perímetro es 48 cm.
1 Cuadrado: 8 cm; triángulo: 7,5 cm; paralelogramo: 14 cm y rectángulo: 15 cm.
2 Cuadrado: 2 cm × 4; triángulo equilátero: 2,5 cm × 3; paralelogramo: (4 cm + 3 cm) × 2.
3 a) A cargo del alumno.b) Sí, cercano a 3. La longitud de la circunferencia es igual
a π × diámetro, o también a 2 × π × radio.
4 a) 31,4 m b) 34,54 m
5 a) 5 cm b) 25 cm2
6 Efectivamente, L2 = 25 cm2.
7 a) 15 veces, o sea, 15 cm2.b) Con la multiplicación de 3 cm × 5 cm.c) L1 × L2, o bien, base × altura.
8 a) 10 ha b) 2 000 000 m2
c) 420 000 000 m2 = 420 ha
9 a) Sí.b) Porque puede transformarlo en un rectángulo de igual
base e igual altura que el paralelogramo original.
10 32 cm2
11 Los catetos de cada triángulo rectángulo miden la mitad de una diagonal. Por lo tanto, el área del rombo será cuatro veces la de cada triángulo; simplificando, el área es la mitad del producto de las diagonales.
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Módulo 18
A cargo del alumno: 1 a), 3 a), 6 a) y c), 8 c).
Repaso
1. Cono. 2. Cubo. 3. Poliedro. 4. Pirámide. 5. Prisma. 6. Redondos. 7. Esfera.
1 b) Preguntas: ¿Tiene un vértice? ¿Tiene una sola base? Respuestas: No/Sí.
2 No es verdad, un prisma puede tener bases triangulares. No es verdad, la base de una pirámide pueden tener la forma de cualquier polígono.
3 b) El cuerpo puede tener bases de 3 cm de arista y aristas laterales de 6 cm o viceversa.
4 Hay que rodear el II y el III.
5 Pirámide de base triangular.
6 b) Los segmentos son paralelos y de la misma longitud.
7 • Para armar el bonete pudo haber recortado un triángulo. • La longitud del borde del círculo debe coincidir con la longi-
tud de uno de los lados del rectángulo que se enrolló para armar la cara curva del cilindro.
• Unos 12 cm.• Altura: 20 cm. Longitud del borde: 42 cm.
8 a) Es un prisma con 6 caras, 8 vértices y 12 aristas. b) No.
9 a) Pirámide. b) Pirámide. c) Prisma.
10 No pudo armar una pirámide, porque tiene caras laterales triangulares. Los ocho rectángulos sí pueden ser las caras laterales de un prisma.
11 Triangulares. Tres caras laterales.
12 a) 12 vértices. b) 10 vértices. c) Lo multiplico por 2.
13 a) La cantidad de caras es igual al número de lados de la base más 1.
b) La cantidad de caras es igual al número de lados de la base más 2.
14 Sí, es cierto. Habría que unir dos caras cuadradas.
15 Triángulos. Cualquier polígono.
16 Hay que marcar el borde de cada círculo y los lados de ma-yor longitud del rectángulo.
12 a) El dibujo muestra que el área del rectángulo de lados iguales a las diagonales mayor y menor, es el doble del área del rombo.
b) 16 cm2
13 a) Se forma un paralelogramo, habría que conocer un lado del triángulo y su altura correspondiente.
b) Sí.
14 Área de cada triángulo: 30 cm2.Área del pentágono = 5 × Área del triángulo.
15 Base × 5 por perímetro del pentágono y altura del triángulo por apotema del polígono.
16 Al trazar las diagonales del cuadrado de lado L queda dividi-do en 4 triángulos iguales. El área de cada uno es (L × L/2)/2; el área total es cuatro veces la fórmula ante-rior; la altura del triángulo es la apotema del cuadrado: 4 × (L × L/2)/2 = (4 × L × apotema)/2 = (perímetro × apotema)/2.
17 Es importante que los alumnos se den cuenta de que cual-quiera sea la figura que armen, si siempre usan todas las piezas, el área será la misma, pero no así el perímetro.
18 a) El rectángulo, porque la otra figura se obtiene de borrarle partes de su superficie.
b) La � gura de la derecha, que reemplazó cada lado menor del rectángulo por otros dos lados iguales.
19 • Hay figuras de distinta forma que tienen igual perímetro; el cuadrado mediría 6,5 fósforos de lado.
• Sí, basta con tomar un cuadrado de 6 fósforos de lado.
20 4,7 cm
21 Rectángulo y cuadrado: 8 cm; paralelogramo, rombo y pentá-gono: 12 cm; hexágono regular: 15 cm; triángulos: rectángu-lo 12 cm; isósceles 5 cm y equilátero 6 cm.
22 a) 80 cm b) 400 cm2
23 3,9 m
24 560 m
25 a) El rectángulo tiene mayor área que la figura formada por él menos una parte de él.
b) Ambas � guras tienen igual perímetro.
26 a) 11,3 cm b) 8,5 cm c) 6,8 cm
27 a) 95,4 cm2 b) La mitad; 47,7 cm2.
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Pa ra uti li zar un ca je ro au to má ti co hay que co lo car una tar je ta y ti piar una cla ve de 4 dí gitos. Eso da 10 × 10 × 10 × 10 = 10 000 po sibles cla ves pa ra esa tar je ta, y así es ex tre ma damen te di fí cil que al guien “acier te” la cla ve en los tres in ten tos que per mi te el ca je ro.
Pa ra ac ce der a In ter net la can ti dad de claves es ma yor, por que tam bién se pue den usar le tras. Mu chas en ti da des exi gen a los usua rios una cla ve al fa nu mé ri ca, o sea con le tras y nú me ros. Exis te así la po si bi li dad de ar mar más de 1 200 000 cla ves con so lo cua tro ca rac te res.
No te olvides la clave…
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¡Un número muuuuuuuuuuuy grande!
Las pá gi nas web que ve mos en In ter net es tán re ple tas de co lo res. Ca da uno de ellos se iden ti fi ca con un nú me ro he xa de ci mal, o sea un nú me ro es cri to en ba se 16.
En esa ba se los dí gi tos son 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E y F.
Tra du ci do a nú me ro de ci mal, al co lor ro jo le co rres ponde:
FF0000 = F × 165 + F × 164 = 15 × 165 + 15 × 164 = 16 711 680
Color Hexadecimal Nombre
FFFFFF blanco
000000 negro
0000FF azul
008000 verde
808080 gris
FF0000 rojo
FFFF00 amarillo
Los colores en Internet
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Alrededor del año 1940 dos matemáticos presentaron un número enorme:10 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000
000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000Por ser un 1 seguido de cien ceros, podemos escribirlo así: 10100.En español podría leerse diez mil decisextillones, pero el hijo más pequeño de uno de los
matemáticos lo llamó googol y así se lo conoce.
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...el sis te ma de nu me ra ción más uti li za do es el de ci mal? Qui zá se de ba a que des de la An ti güe dad se usa ron los diez
de dos de las ma nos pa ra con tar y ope rar con nú me ros. ...en al gu nas cul tu ras el nú me ro 5 se sim bo li za con una
ma no? Eso lle vó a su ge rir que la re pre sen ta ción del 5 en nú me ros ro ma
nos se de be a la V que pue de for mar se en tre el pul gar y el res to de los de dos.
...al gu nas tri bus cuen tan usan do di fe ren tes par tes del cuer po? En ge ne ral usan los de dos de las ma nos y de los pies, pe ro otras van des
de el de do me ñi que de una ma no has ta el me ñi que de la otra, pa san do por las mu ñe cas, los co dos, los hom bros y el pe cho.
En es pa ñol nom bra mos las de ce nas co mo si fue ran pro duc tos de 10:
80 = 8 × 10 90 = 9 × 10
En fran cés, los nom bres de al gu nos nú me ros pro vie nen de un an ti guo sis te ma vi ge si mal (ba se 20):
80 = 4 × 20 90 = 4 × 20 + 10
¿Sabías que...
El idioma de los números
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La pa la bra ochen ta vie ne del la tín oc to gin ta, que
sig ni fi ca ocho ve ces diez.
Y noventa (del latín nonaginta)
significa nueve veces diez.
Y 90 se dice quatre–vingt–dix, es decir, cuatro veces veinte más diez.
En francés, 80 se dice
quatre–vingts, quesignifica cuatro veces veinte.
BookGuiaDoc.A6M.indb 19 1/7/09 4:24:28 PM
Acertijo
familiar¿Quién es la nieta de tu bisabuela que no es tu tía?
Do mi nó po ten cia do Juego para dos• Se usan las 21 fi chas del jue go del do mi nó que no con tie nen ca si llas en blan co. Ca da fi cha re pre sen ta una po ten cia; por ejem plo,
pue de re pre sen tar 25 o 52.
• Se po nen las fi chas bo ca aba jo y se las mez cla. Sin mi rar las, se apar ta una (es ta no jue ga) y se re par ten las de más. Ca da ju ga dor mi ra las fi chas que re ci bió.
• Se sor tea quién co mien za. Ese ju ga dor da vuel ta una de sus fi chas y di ce qué nú me ro ha ce de ba se y cuál de ex po nen te. El otro ju ga dor ha ce lo pro pio, tra tan do de lo grar un re sul ta do ma yor. Por ejemplo, 33 le ga na a 52, pe ro pier de fren te a 25.
• El ju ga dor que ga na ob tie ne 2 pun tos y el de re cho a co men zar la ma no si guien te. Si hay em pa te (por ejem plo: 26 con 43) le co rres pon de 1 pun to a ca da uno y re co mien za el mis mo ju ga dor.
• Ga na el que ha ya acu mu la do más pun tos cuan do no ha ya más fi chas por ju gar.
• Pue den ayu dar se con una cal cu la do ra.
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O Tengo que elegir una clave de 4 dígitos. Si uso mi fecha de cumpleaños, que se escribe con cuatro dígitos distintos..., pero cambio de lugar el día con el mes..., queda un número formado por 4 dígitos consecutivos, ordenados de menor a mayor.
Clave de cumpleaños
¿Cuándo cumple años esa persona?
BookGuiaDoc.A6M.indb 20 1/7/09 4:24:29 PM
¡Ayudame a descifrar cuántos son!
Tres por todos lados
Entrenamientoolímpico
¿Cómo es la séptima bandera que continúa la secuencia?
Pen sé dos nú me ros na tu ra les dis tin tos de un so lo dí gi to. Si pon go uno co mo ba se y el otro co mo ex po nen te, ob ten go el mis mo re sul ta do que si los in tercam bio. ¿Qué nú me ros pen sé?
¿Cuál sigue?
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Capicúa potencialA treinta millones
trescientos tres mil treinta sumale tres millones treinta mil
trescientos tres. ¿Qué te da?
Dolor de cabeza...
Somos marcianos. Tenemos 6 dedos en
cada mano.
¿Cómo hacen para contar?
Nuestro sistema de numeración es de base 12.
Usamos los dígitos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A y B.
¿Cuántos vinieron en la nave? ¡BABA!
¿De dónde son?
BookGuiaDoc.A6M.indb 21 1/7/09 4:24:31 PM
Por que la pa la bra “pri mo” tam bién sig ni fica “pri me ro”. Y en ese sen ti do de ci mos “nú me ros pri mos”, pa ra re mar car que son los nú me ros pri me ros o prin ci pa les a par tir de los cua les ob te ne mos los de más. Te né presen te que, sal vo el 0 y el 1, cual quier nú mero na tu ral es pri mo o es un pro duc to de nú me ros pri mos.
¿Por qué decimos “número primo”? ¿Por qué no “número tío”?
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El truco del cumpleaños
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De ci le a una per so na que vas a adi vi nar su fe cha de cum plea ños.
• Pe di le que pien se en su fe cha de cum plea ños, que mul ti pli que el día por 13 y que le su me el mes. Por ejem plo, si cum ple el 18 de ma yo (18/5) tie ne que ha cer: 13 × 18 + 5• Que te di ga el re sul ta do (en es te ca so, 239).• Aho ra to má una cal cu la do ra que ope re con frac cio nes y es cri bí el re sul ta do que te di jo co mo nu me ra dor y 13 co mo de no mi na dor: 239 13. Des pués, pul sá la te cla . Va a apa re cer un nú me ro mix to.• Los dos pri me ros va lo res del nú me ro mix to te dan la fe cha de su cum plea ños:
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La gen te su pers ti cio sa le te me a va rias co sas: pa sar por de ba jo de una es ca le ra, vol car la sal, un ga to ne gro que se cru za. Y, en tren de co sas in só li tas, le te me al nú me ro 13.
Aun que pa rez ca men ti ra, hay edi fi cios don de no exis te el de par ta men to o la ofi ci na 13 (aun que sí la 12 o la 14) e in clu so se lle gó al ex tre mo de que no exis ta el pi so 13.
Al pa re cer ese re cha zo se re mon ta a la tra di ción bí bli ca de la Úl ti ma Ce na, en la que el co men sal nú me ro 13 fue Ju das.
El ¿temible? número 13
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No, no se tra ta de los pa rien tes de ese se ñor… Ma rin Mer sen ne (15881648) fue un mon je fran cés que es tu
dió una fór mu la ca paz de ge ne rar nú me ros pri mos: se tra ta de ele var el 2 a un nú me ro pri mo y al re sul ta do res tar le 1.
Por ejem plo, 23 – 1 = 7 es pri mo. Por pro ve nir de esa fór mula, se di ce que es un pri mo de Mer sen ne.
Pe ro no siem pre fun cio na; por ejem plo, 211 – 1 = 2 047 no es pri mo por que 2 047 = 23 × 89.
En el pre sen te es tá en mar cha un pro yec to, que en la za por In ter net mi les de com pu ta do ras en to do el mun do, pa ra se guir des cu brien do pri mos de Mer sen ne. En ma yo de 2004 se des cubrió el que ocu pa el lu gar 41 de esa lis ta: es el nú me ro 224 036 583 – 1, que tie ne más de 7 200 000 dí gi tos. ¡Ha rían falta unos 18 li bros de unas 200 páginas pa ra po der es cri bir lo!
Sop hie Ger main fue una gran ma te má ti ca fran ce sa que vi vió a prin ci pios del siglo xix, cuan do no es ta ba bien vis to que una mu jer se de di ca ra a al go que no fue se el ho gar. Eso la obli gó a ha cer se pa sar por hom bre cuan do se car tea ba con otros gran des ma te má ti cos de la épo ca (fir ma ba sus car tas con el seu dó ni mo de An toi ne Le Blanc).
Así co mo Mer sen ne es tu dió una fór mu la que po dría ge ne rar nú me ros pri mos, Sop hie des cu brió otra que siem pre crea nú me ros com pues tos: a cual quier nú me ro na tu ral ma yor que 1 lo ele vás a la cuar ta y al re sul ta do le su más 4.
Ya sa be mos que to dos los nú me ros pa res ma yo res que 2 son com pues tos, pe ro la fór mu la de Sop hie tam bién mues tra im pa res que lo son. Por ejem plo, 34 + 4 = 85 es un nú me ro im par com pues to.
Los primos de Mersenne
Los compuestos de Sophie
Calculadoras que no calculan
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Para escribir un trillón en una calculadora podés pensar que es 1 × 1018. A esta forma de escribirlo se la llama notación científica, y es útil, entre otras cosas, para ingresar en la calculadora números que no entran en la pantalla.
Para eso tenés que teclear , y te lo va a mostrar así: .Si le sumás 1 000 000, ya sabés que el resultado es 1 000 000 000 001 000 000, pero
como no entra en la pantalla, la calculadora redondea el resultado y vuelve a mostrarte . O sea, ¡lo que estás viendo tiene un error de un millón de unidades!
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Es ta ima gen pue de ser solo un mo sai co, pe ro tam bién pue de re pre sen tar otras co sas: un pa trón geo mé tri co, un men sa je en cla ve, una di vi sión...Pa ra Lu cas re pre sen ta una di vi sión. Él aso ció los 4 nú me ros de una
di vi sión en te ra (D, d, c y r) al cua dra do gran de y a los cua dradi tos que lo com po nen. Des cu brí cuá les son esos nú me ros.
D d
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Cuando hay reparto quedo al final.
Hasta mi nombre dice que sobro.
Pero en cuestiones de divisores,
contesto rápido y no te cobro.
Pensamiento lateral
El misterioso caso de las cerezas asesinas El inspector Alex está investigando una misteriosa muerte ocurrida en una fiesta.El forense, Dr. José Rucho, atribuyó el deceso a la ingestión de unas cerezas que causaron una inesperada alergia mortal.—Por el tipo de alergia, tiene que haber comido media docena de cerezas, como mínimo —afirmó el forense.El inspector interroga al mayordomo:—¿Quién repartió las cerezas en la fiesta?—Yo mismo —dice el mayordomo—, repartí seis docenas de cerezas, en forma pareja, y sobraron dos.—¿A cuántos invitados les repartió las cerezas?—Hmm... no recuerdo bien... en ese momento serían entre doce y quince...—¿Está seguro de que no eran menos... digamos, diez u once?—Absolutamente. Había doce invitados o más.—¡Sargento, arreste a este hombre por falso testimonio!
¿Cómo supo el inspector Alex que el mayordomo mentía?
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X L O T E M I F Z J K Z S Z
U C L L V A N V H V P N E X
B T D I E C I S I E T E R T
F N Q R U G F I P R V P T L
N A I E N X N C K E S Y I V
O N X Z I H G H U F N V T Y
K X E P T O S N H O C L N Q
Y Y A Y N C I O A U M U I Z
P H U W I C I S D S S E E I
E C N O E D L N E G T W V J
P S C I V G O R C E G O Y L
U M D O O S T X I O W E R Y
I I T I L E W S K F H L Z W
P G V T R E C E W B N F I C
Un antiguo acertijo¿Cómo se pueden ubicar 24 chicos en 6 filas, de manera que haya 5 chicos en cada fila?Pista: un chico puede formar parte de más de una fila.
EntrenamientoolímpicoUn beduino que tiene menos de un centenar de camellos decide repartirlos entre sus cinco hijos. Si los distribuye en partes iguales, le sobran tres camellos; pero no le sobra ninguno si a cada hijo le da el doble de lo que le dio al anterior.
¿Cuántos camellos tiene el beduino?
En es ta so pa de le tras es tán ocul tos los nom bres de to dos los nú me ros pri mos me no res que 30.
Pue den es tar es cri tos en for ma ho rizon tal, ver ti cal o en dia go nal, del de recho o del re vés. ¡A ver si los en con trás!
Sopa de primos
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Ar mar tu pro pio tan gram es muy fá cil. Po dés ha cer lo so bre una car tu li na de co lor o, me jor aún, so bre un car tón grue so, pa ra que las pie zas ten gan un po co de es pe sor y no se su per pon gan.
Se guí los pa sos que se in di can:
Di bu já un cua dra do de 8 cm
de la do. Usá una re gla pa ra
mar car en ca da la do los pun tos
co rres pon dien tes a 2, 4 y 6 cm.
Con los pun tos que mar cas te,
tra zá las lí neas de guía que se
in di can en la fi gu ra.
Aho ra tra zá las lí neas que es tán
en co lor ro jo. Cor tá el cua dra
do por esas lí neas y ¡lis to!
Un em pe ra dor de la Chi na
en car gó una fi na pie za de azu le jo
de for ma cua dra da a un ar te sa no
lla ma do Tang. Cuan do se la fue a
en tre gar, se le ca yó al sue lo y se
rom pió en sie te pe da zos. Al tra tar
de ar mar nue va men te el azu le jo,
vio que con sus tro zos se po dían
ar mar fi gu ras de ob je tos, de ani
ma les y de per so nas. Así se di ce
que na ció el tan gram.
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Construí tu propio tangram
El tan gram es un rom pe ca be zas de siete pie zas de ori gen chi no. Se des co no ce quién lo creó, aun que hay va rias le yendas, co mo la del azu le jo ro to en sie te par tes. Aun que se gún otras le yen das tie ne más de 2 000 años, pro ba ble men te ten ga so lo 200 o 300 años de an ti güe dad.
Con el tan gram se pue den ha cer mi les de fi gu ras. Se gún los chi nos, la for ma co rrec ta de cons truir las con sis te en usar las sie te pie zas sin su per po ner las.
Es tas son al gu nas:
BookGuiaDoc.A6M.indb 26 1/7/09 4:24:47 PM
El Sol es tá a unos 150 000 000 km de no so tros. Si se pu diera ir en au to, di ga mos a unos 150 km/h (bien rá pi do pa ra un au to), se tar da ría más de un si glo en lle gar.
Pe ro la luz via ja mu chí si mo más rá pi do: a 1 080 000 000 km/h. Así y to do, el Sol es tá tan le jos que su luz de mo ra unos 8 mi nu tos en lle gar a no so tros. Así que cuando mi rás el Sol no ves có mo es en ese mo men to, si no có mo era 8 mi nu tos an tes.
Espejito, espejito, ¿dónde está la vela?
Tan presente y tan lejano
Cuan do me di mos en ho ras, mi nu tos y se gun dos agru pa mos de a 60 uni da des, pe ro… ¿por qué 60?
He re da mos esa cos tum bre de un an ti quí si mo pue blo –los su merios– que vi vie ron en la mis ma épo ca que los an ti guos egip cios. Los su me rios agru pa ban de a 10 uni da des (co mo no so tros), pe ro tam bién de a 60, y por eso te nían un sím bo lo pa ra re pre sen tar ca da uno de los si guien tes nú me ros:
¿Por qué 60?
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Observatorio.
A sim ple vis ta, ¿se rías ca paz de ver la lla ma de una ve la que es tuvie ra a una dis tan cia de 3 cua dras (300 m)?
En 1976, en la re gión del Cáu ca so, se pu so en fun cio na mien to un te les co pio que cuen ta con un es pe jo prin ci pal de 6 m de diá me tro, el más gran de del mun do. Ima gi na te que el diá me tro de ese es pe jo es tan gran de co mo el de una ca le si ta…
Con ese te les co pio po drías ver la lla ma de una ve la ubi ca da a 24 000 km, es de cir, a... ¡240 000 cua dras!
BookGuiaDoc.A6M.indb 27 1/7/09 4:24:50 PM
La pieza perdida
¿Ya ar mas te tu tan gram con las ins truc cio nes de la pá gi na 26? Si aún no lo hi cis te, és te es un buen mo men to, por que vas a usar lo co mo un verda de ro ar tis ta.Re cor dá que, se gún los chi nos, la for ma co rrec ta de cons truir fi gu ras con el tan gram es usan do to das las pie zas sin su per po ner las. To das es tas fi gu ras es tán he chas de ese mo do. ¿Po drás ha cer las con tu jue go, sin mi rar las so lu cio nes?
Es tas dos fi gu ras pa re cen igua les, pe ro una tie ne pies y la otra no. Sin em bar go, ca da una de ellas se for mó con las sie te pie zas del tan gram. ¿Có mo se hi cie ron las dos fi gu ras?
Con siete piezas, ni una más ni una menos
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En un mer ca do per saEl as tu to Boab dil fue al mer ca do a
com prar me dia bo te lla de acei te.
El mer ca der le ofre ció una bo te
lla irre gu lar y le ase gu ró que el
acei te que con te nía ocu pa ba
la mi tad de la ca pa ci dad del
en va se. ¿Có mo hi zo Boab
dil pa ra com pro bar lo sin
des ta par la bo te lla?
EntrenamientoolímpicoObservá la secuencia y deducí cuántos vasos vacíos pesa la jarra vacía.
En el párrafo siguiente se esconde una oración que indica la equivalencia entre dos unidades de capacidad. Ya te marcamos cómo comienza; no le prestes atención a la acentuación ni a la separación en sílabas y descubrí cómo sigue.
Un acertijo viejo viejo...¿Qué pesa más:
un kilo de plomo
o un kilo de plumas?
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La oración escondida
UN SEÑOR VIENE DESDE CALI TROTANDO POR LA RUTA. ES UN DEPORTISTA Y LE DECIMOS PALABRAS ALENTADORAS. DE NOMBRE HÉCTOR, LO LLAMAMOS "LA LIEBRE TROTAMUNDOS".
BookGuiaDoc.A6M.indb 29 1/7/09 4:24:52 PM
En Gran Bre ta ña la uni dad mo ne ta ria es la li bra es ter li na, pe ro has ta el año 1971 tam
bién se usa ban los che li nes y los pe ni ques. El che lín va lía 120
de li bra es ter li na y el pe ni que
va lía 112
de che lín, o sea que un pe ni que equi va lía a 1240
de li bra. Y pa ra com pli car más las
co sas, ha bía otras mo ne das co mo la gui nea, la co ro
na o la me dia co ro na. La gui nea va lía 21 che li nes o 2021
li bras es ter li nas; la co ro na va lía 5 che li nes o 14
de li bra es ter li na, y la me dia co ro na, equi va lía a 2
che li nes y 6 pe ni ques, o sea 18
de li bra es ter li na.
¡Qué com pli ca do! ¿no? Aho ra usan un sis te ma más
sen ci llo, la li bra es ter li na di vi di da en 100 pe ni ques,
igual que nues tros pe sos y cen ta vos.
Libras, chelines, peniques... ¡qué lío!
¿De dón de pro vie ne la pa la bra “frac ción”? Del la tín frac tio, que a su vez de ri va de fran ge re que sig ni fi ca rom per, par tir, que brar. Hay mu chas pa la bras que tienen el mis mo ori gen.
Al vi no se lo frac cio na pa ra ven der lo en da ma juanas o bo te llas de dis tin ta ca pa ci dad; si nos cae mos y nos rom pe mos un hue so, en ton ces su fri mos una fractu ra; una in frac ción sig ni fi ca que brar al gu na ley o dispo si ción; en Cien cias Na tu ra les se es tu dia la re frac ción de la luz blan ca cuan do atra vie sa un pris ma, o sea, có mo se for ma el ar co iris.
Y en Ma te má ti ca exis ten fi gu ras geo mé tri cas lla ma das frac ta les; en ellas, cual quier parte es una co pia, en es ca la más pe que ña, de to da la fi gu ra. Es tas for mas geo mé tri cas se en cuen tran en las ho jas de los ár bo les, las ca pa ra zo nes de al gu nos ani ma les, en las ro cas y los cris ta les, en la nie ve y en mu chos otros ele men tos de la na tu ra le za.
Así se construye el fractal “Copo de nieve”
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Consultando el diccionario
1er. paso 2do. paso 3er. paso
BookGuiaDoc.A6M.indb 30 1/7/09 4:24:54 PM
Ho rus, uno de los dio ses del an ti guo Egipto, qui so ven gar el ase si na to de su pa dre en un com ba te fe roz con su tío Seth. En la pe lea, es te le arran có un ojo, lo cor tó en seis par tes y lo es par ció por Egip to.
La asam blea de los dio ses se apia dó de Ho rus y le en car gó a Toth, gran maes tro de los es cri bas, que le re cons tru ye ra un ojo sa no y com ple to. Por eso, el ojo de Ho rus sig ni fi ca ba la in te gri dad fí si ca, el co no ci mien to, la vi sión y la fer ti li dad. Se han en con tra do jo yas y ador nos con esa fi gu ra, los que se con si de ra ban amu le tos má gi cos. Además, los es cri bas uti li za ban las dis tin tas par tes pa ra re pre sen tar las fraccio nes del hé qat, uni dad de ca pa ci dad equi va len te a unos 5 li tros.
El Ojo de Horus
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... del to tal del agua de nues tro pla ne ta no son ap tos pa ra el con su mo hu ma no por que es tán cons ti tui dos por agua sa la da?
...de los que que dan, tam po co se pue den uti li zar por que es tán en for ma de hie lo, en los gla cia res y en los cas que tes po la res?
Por lo tan to, el agua dis po ni ble ap ta pa ra con su mo hu ma no es so lo del to tal del agua de nues tro pla ne ta.
¿Sabías que...97100
3100
910
31 000
BookGuiaDoc.A6M.indb 31 1/7/09 4:24:56 PM
Es ta es una va rian te más en tre te ni da del ta te tí tra di cio nal. Se jue ga so bre una ho ja de pa pel cua dri cu la do y se pue de usar to da la ho ja.Un ju ga dor di bu ja cru ces y otro, cír cu los, uno por vez, den tro de cualquier cua dra di to de la ho ja, tra tan do de co lo car cua tro en lí nea ho ri zontal, ver ti cal o dia go nal.Ca da vez que com ple ta una lí nea de cua tro, la ta cha y se ano ta un pun to. Ga na el que lle ga pri me ro a cin co pun tos.Las cru ces o los cír cu los que per te ne cen a una lí nea ya ta cha da no se pue den con tar pa ra for mar otra lí nea.
Pa ra evi tar dis cu sio nes: es con venien te, an tes de em pe zar la par ti da, po ner se de acuer do en los lí mi tes de la ho ja y has ta qué cua dra di tos del bor de se pue den usar.
En es ta su ma de frac cio nes se bo rra ron al gu nos nú me ros. Las dos pis tas que si guen pa re cen po cas, sin em bar go, son su fi cien tes pa ra com ple tar las ci fras que fal tan.•Lafraccióndedenominador12nose
pue de sim pli fi car.•Lafraccióndelmedioesigualaltriple
de la de de no mi na dor 12.
Números borradosSM
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Tatetí de cuatro
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BookGuiaDoc.A6M.indb 32 1/7/09 4:24:57 PM
El fabricantE dE pEsasA un fabricante de pesas para balanzas le encargaron un
juego de pesas con el que se pudieran pesar cantidades
de 14 kg; 12 kg; 34 kg y 1 kg. La solución más fácil es
hacer cuatro pesas, pero el fabricante resolvió el pedido
haciendo solamente dos pesas. ¿Cómo hizo?
EntrenamientoolímpicoDe todas las fracciones mayores que
13 y menores que 1
2 , encontrá la que
tiene menor denominador.
Cor tar un que so en ocho par tes igua les con cua tro cor tes rec tos es muy fá cil, pe ro tam bién se pue de ha cer con so la men te tres cor tes rec tos. ¿Có mo?
El queso cortado
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BookGuiaDoc.A6M.indb 33 1/7/09 4:24:59 PM
Ob ser vá es te di bu jo del ar tis ta ho lan dés M. C. Es cher. En él se ven unas la gar ti jas que sa len de la ho ja, ca mi nan so bre los ob je tos que hay so bre la me sa y des pués vuel ven a en trar en la ho ja, por el la do opues to.
En la par te am plia da se ve có mo pue den ob te ner se es tas imá ge nes: se di vi de la ho ja en he xá go nos re gu la res igua les y se los trans for ma en la gar ti jas agre gán do les pa tas, ca be zas y co las, de mo do que cu bran to da la ho ja sin de jar es pa cios va cíos.
¿Que rés ha cer di bu jos con la misma téc ni ca? ¡Se guí es te mé to do y los ob ten drás! Te con vie ne tra ba jar so bre pa pel cua dri cu la do, pa ra usar lo co mo guía, y di bu jar con lá piz pa ra po der bo rrar las lí neas so bran tes.
Di bu já un cua dra do en
una ho ja de pa pel cua dri
cu la do.
Ha cé un di bu jo cual quie ra
so bre un la do y co pia lo en
el la do opues to.
Aho ra ha cé lo mis mo
so bre el otro par de la dos.
Bo rrá los tra zos so bran tes,
re sal tá los del bor de y ¡lis
to! Pa re ce un pá ja ro ¿no?
Si ahora copiás varias veces el dibujo y lo
coloreás, podés usarlo como guarda o
motivo decorativo.
Hexágonos y lagartijas
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BookGuiaDoc.A6M.indb 34 1/7/09 4:25:01 PM
¡Ca si se gu ro los co no cés! A lo me jor los vis te en las ven ta nas de una igle sia. Se fa bri can con pe que ños tro zos de vi drio de dis tin tos co lo res su je tos por va ri llas de plo mo sol da das. Así se for man di bu jos que de jan pa sar la luz a tra vés de ellos.
La téc ni ca del vi tral es co no ci da des de la Edad Me dia. Los her mo sos vi tra les de la ca te dral de Nˆ̂o tre Da me de Pa ris, lla mados ro se to nes por su for ma cir cu lar, fue ron ter mi na dos en el si glo xiii. Al gu nos de ellos tie nen más de 10 me tros de diá me tro (¡co mo un edi fi cio de tres pi sos!) y su cons truc ción de man dó unos 10 años.
Se pue den ha cer di bu jos geo mé tri cos muy lin dos, del mismo ti po que los de los vi tra les, usan do dis tin tos po lí go nos, re gu la res o no. El de la ilus tra ción es tá he cho con pen tá gonos re gu la res, de cá go nos re gu la res, trián gu los isós ce les y rom boi des.
Vitrales...
Des de muy an ti guo se sa bía que la lon gi tud de una cir cun fe ren cia, cualquie ra que fue ra su ta ma ño, era un po co más que el tri ple de su diá me tro. A ese nú me ro al go ma yor que 3 se lo lla mó pi, la le tra ini cial en grie go de pe ri fe ria, nom bre que da ban los grie gos a la cir cun fe ren cia.
Mu chos ma te má ti cos de la An ti güe dad cal cu la ron va lo res apro xima dos de pi, pe ro el pri me ro que “atra pó” el va lor de pi en tre dos nú me ros fue Ar quí me des, en el si glo iii a.C., quien enun ció que
era “me nor que 227 y ma yor que 223
71”.
π = 3,141592... ¿Por qué se llama pi?
...y más vitrales
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BookGuiaDoc.A6M.indb 35 1/7/09 4:25:04 PM
Se jue ga con dos da dos y dos fi chas o bo to nes so bre la pis ta di bu ja da. Ca da ju ga dor a su tur no ti ra los dos da dos, di vi de por 10 los pun tos que sa có en ca da da do, mul ti pli ca los dos re sul ta dos y avan za ca si llas de acuerdo con es te pro duc to.Por ejem plo, si sa le un 3 y un 2, obtienen 0,3 y 0,2; se mul ti pli can y da 0,06; por lo tanto, se avanza hasta una casilla cuyo número es 6 centésimos mayor.Co mo es una com pe ten cia de len ti tud, el pri me ro en lle gar a la me ta ¡pier de!
La lenta carrera de caracolesSM
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BookGuiaDoc.A6M.indb 36 1/7/09 4:25:10 PM
¿Faltan 10 centavos o no?La ma má de Abel, Blas y Carla te nía que dar les $ 10,00 a los tres pa ra com prar úti les pa ra la es cue la. Co mo era muy pro li ja, ano tó cuán to le dio a ca da uno y cuán to le que dó.Cuan do su mó lo que les ha bía da do y lo que le ha bía que da do ca da vez, pen só que ha bía al gún error en las cuen tas, por que le fal ta ban $ 0,10; sin em bar go, las cuen tas es tán bien.¿Po dés ex pli car qué es lo que pa só con los diez cen ta vos que fal tan?
EntrenamientoolímpicoA un trián gu lo equi lá te ro de 7,5 cm de pe rí me tro se le cor ta ron los 3 trian gu li tos, tam bién equi lá te ros pe ro de 1,5 cm de pe rí me tro. En el di bu jo se ve la fi gu ra ver de que que dó. ¿Cuál es su pe rí me tro?
Su po né que te nés que cu brir una su per fi cie con bal do sas igua les sin que que den es pa cios en tre ellas y to das son po lí go nos re gu la res. En ese ca so, so lo po drías usar tres cla ses de baldo sas: las que tie nen for ma de trián gu lo equilá te ro, de cua dra do o de he xá go no re gu lar.¿Y si pu die ras usar dos ti pos dis tin tos de po lígo nos re gu la res igua les pa ra em bal do sar? Tratá de des cu brir por lo me nos dos for mas. Hay una muy fá cil y otra no tan to.
Colocando baldosas
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BookGuiaDoc.A6M.indb 37 1/7/09 4:25:11 PM
En 1881 se es ta ble ció la uni dad mo ne ta ria de nues tro país: el pe so mo ne da na cio nal (m$n).
En 1970, co mo el pe so ha bía per di do va lor, se lo reem pla zó por una nue va uni dad...
...en 1983 su ce dió lo mis mo.
...otra vez en 1985.
...y nue va men te en 1992.
Nuestro peso y su historia
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Esto quiere decir que......un peso moneda nacional era igual a 0,01 pesos Ley 18.188, aunque después......un peso Ley 18.188 era igual a 0,0001 pesos argentinos y, unos años más tarde, ......un peso argentino era igual a 0,001 austral; por último, ......un peso actual es igual a 0,0001 australes.Por lo tanto, un peso de los que usamos ahora equivale a diez billones de pesos moneda nacional ($ 1 = m$n 10 000 000 000 000). Podés hacer las cuentas para comprobarlo ¡y no te equivoques al contar los ceros!
BookGuiaDoc.A6M.indb 38 1/7/09 4:25:13 PM
Las ilus tra cio nes del Sol y los pla ne tas del sis te ma so lar, que vis te mu chas ve ces en los li bros, ca si nun ca es tán he chas a es ca la.
Pa ra que ten gas una idea de sus ta ma ños y dis tan cias rea les, te pre sen ta mos una ilus tra ción a es ca la: si en ese mo de lo el Sol fue ra del ta maño de una na ran ja, Jú pi ter, el pla ne ta más grande, ten dría el ta ma ño de un gar ban zo y la Tierra, el de la ca be za de un al fi ler.
En ese mis mo mo de lo, la ca be za de al fi ler que re pre sen ta la Tie rra es ta ría a más de 10 me tros de dis tan cia del Sol, mien tras que Plutón, el pla ne ta más le ja no, es ta ría a más de 400 me tros del Sol. ¡Más de cua tro cua dras!
Según datos del INDEC de 2001, de un total de 34 262 000 habitantes de nuestro país que tienen 3 años de edad o más, 11 171 000 asisten a algún establecimiento educacional (desde niños de preescolar hasta adultos que asisten a la universidad). ¿Son muchos o son pocos? ¿Cómo están distribuidos? Los siguientes gráficos te permiten verlo claramente.
Fuente: INDEC Censo Nacional de Población, Hogares y Viviendas 2001
El sistema solar
¿Somos muy estudiosos?
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Región Millones de habitantes Estudian No estudian Total del país
Metropolitana 3,425
7,484
Pampeana 3,820
8,197
Cuyo 0,782
1,637
Noreste 1,100
2,028
Noroeste 1,455
2,697
Patagónica 0,589
1,048
Datos:Diámetro en miles de kmTierra: 12,8 Sol: 1 400 Júpiter: 144Distancia al Sol en millones de kmTierra: 150 Plutón: 5 850
BookGuiaDoc.A6M.indb 39 1/7/09 4:25:15 PM
El juego de y moscaslas arañas lasSM
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1) Este es un juego para dos jugadores, uno “mueve” las arañas y el otro, las moscas.
2) Las dos arañas tienen que atrapar las dos moscas y solo se pueden mover por los
hilos de la telaraña, desde un punto a otro contiguo.
3) En la posición inicial de la ilustración, comienza el jugador de las arañas movi
endo las dos, un paso cada una, en cualquier dirección.
4) Luego el otro jugador mueve las dos moscas, también un paso cada una en cual
quier dirección.
5) Una araña atrapa una mosca cuando se mueve al punto que ocupa esta última.
Algunos jugadores dicen que en este juego las arañas nunca pueden atrapar las
moscas, pero otros afirman que siempre terminan por atraparlas. ¿Quiénes tienen
razón? Averigualo jugando con tus compañeros.
BookGuiaDoc.A6M.indb 40 1/7/09 4:25:16 PM
Adivinanza con trampitaIgnacio estuvo jugando con sus cubos numerados y los dejó como se ve en la ilustración. Parecen desordenados, sin embargo, están ordenados de un modo muy conocido. ¿De cuál?
To dos de be ría mos co no cer los bi lle tes y las mo ne das de cur so le gal. Ten dría que ser muy fá cil re co no cer el re ver so de los bi lle tes. A es tos se les qui tó el co lor y la de no mi nación, pe ro es muy fá cil re co no cer los… ¿o muy di fí cil? In ten tá co lo car el va lor co rrec to de ca da bi lle te en el re cua dro.
¿Cuál es cuál?
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EntrenamientoolímpicoDi cen que en tiem po de los pi ra tas, allá por 1585, los par ches pa ra ojos va lían 3 mo ne das de pla ta y las pa tas de pa lo, 12. Que en 1586, el pre cio de los par ches pa ra ojos fue el 400% del pre cio del año an te rior y en 1587 ocu rrió lo mis mo: fue el 400% del pre cio de 1586.El pre cio de las pa tas de pa lo tam bién au men tó un mis mo por cen ta je ca da año y en 1587, estas y los par ches va lían igual.¿Qué por cen ta je au men tó ca da año el pre cio de las pa tas de pa lo?
BookGuiaDoc.A6M.indb 41 1/7/09 4:25:19 PM
El hún ga ro Er no Ru bik siem pre usó mo de los –de pa pel, car tón, ma de ra– pa ra en se ñar a sus alum nos de la Aca de mia de Ar tes Plás ti cas.
Así, ex pe ri men tan do y ju gan do, lo gró in ven tar uno de los rom pe ca be zas más fa mo sos de to dos los tiem pos: el cu bo má gi co.
Su di se ño es de lo más in ge nio so: tres ejes per pen di cu lares en tre sí con tie nen los cua dra di tos que ocu pan el cen tro de ca da ca ra. Al re de dor de ca da pie za cen tral se in ser tan las res tan tes de esa ca ra. To do en cas tra per fec ta men te, lo que per mi te que ca da ca ra gi re al re de dor de su cen tro y que las pie zas pe ri fé ri cas pue dan pa sar de una ca ra a otra.
¿Sa bías?… La can ti dad de com bi na cio nes po si bles en un cu bo má gi co es de ¡va rios tri llo nes!
Fe liz men te, hay li bros y pá gi nas en In ter net que ex pli can los mo vi mien tos pa ra re sol ver el rom pe ca be zas: lo grar que el cu bo ten ga ca da ca ra de un so lo co lor.
Un cubo realmente mágico
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En blanco y negro
Las hojas que utilizamos en una impresora tienen tamaños bien determinados (carta, A4, etc.), pero si observás el paquete con atención, vas a ver que aparece una indicación como 75 g/m2. ¿Sabés qué significa? Son los gramos que pesa una hoja de 1 m2 de ese mismo papel. Cuanto mayor es ese valor, más grueso es el papel (es menos “transparente”).
El gramaje del papel
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Las imá ge nes de co lo res cla ros im pre sio nan nues tros ojos de ma ne ra dis tin ta que las de co lo res os cu ros. Por ejem plo, ca da pun to de co lor ne gro se ve co mo tal en nues tra re ti na, pe ro ca da pun to blan co se ve co mo un pe que ño cir cu li to. Eso ha ce que el co lor blan co dé la im pre sión de ex pan dir se; por eso el cua dra do blan co de la fi gu ra se ve más gran de que el ne gro, a pe sar de que son igua les. Si ale jás la ima gen, vas a ver có mo la ilu sión óp ti ca se re fuer za.
Fuen te: Pe rel mán, Yá kov, Pro ble mas y ex pe ri men tos re crea ti vos,
Edi to rial Mir, Mos cú, 1975.
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Se gún el cen so de 2001, la po bla ción de la pro vin cia de Bue nos Ai res es unas 10 ve ces la de Tu cu mán. Sin em bar go, Tu cu mán –una de las pro vin cias de me nor su per fi cie– tie ne ma yor den si dad de po bla ción, o sea, más ha bi tan tes por km2.
La Ciu dad Au tó no ma de Bue nos Ai res es la zo na más po bla da, con unos 13 700 ha bi tan tes por km2, o sea unas 137 per so nas por manza na.
La pro vin cia más des ha bi ta da es San ta Cruz, con 0,8 hab/km2. Po dría mos in ter pre tar lo co mo que hay 8 ha bi tan tes ca da 1 000 manza nas.
Des de la An ti güe dad los ar tis tas y los ar qui tec tos bus ca ron las for mas más ar mó ni cas pa ra sus obras. Así se lle gó al con cep to del rec tán gu lo áu reo, no por que fue ra de oro si no por que sus di men sio nes le dan un as pec to su ma men te ar mó ni co.
Los rec tán gu los di bu ja dos aba jo se van apro xi man do al rec tán gu lo áu reo. Fi ja te có mo se van ar man do: a par tir del rec tán gu lo de 1 × 1, la ba se de ca da uno pa sa a ser la al tu ra del si guien te y la nue va ba se es la su ma de la al tu ra y la ba se del an te rior.
1 + 1 = 2 1 + 2 = 3 2 + 3 = 5 3 + 5 = 8 5 + 8 = 13 8 + 13 = 21
El rec tán gu lo áu reo es tá pre sen te en la na tu ra le za. Si me tié se mos los rec tán gu los an te rio res uno den tro de otro (co mo si fue sen ca jas) po dría mos di bu jar una es pi ral. El ca pa ra zón del ca ra col Nau ti lus tiene la for ma de esa es pi ral.
Amontonados o desparramados
Un rectángulo que vale oro
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Provincia de Santa Cruz.Calle Florida, en el microcentro de la Ciudad Autónoma de Buenos Aires.
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¿Cómo se pueden encastrar todas estas piezas para que formen un cuadrado?
¿Cuá les son las di men sio nes del úni co cua dra do cu yo pe rí me tro en cen tí me tros tie ne la mis ma me di da que su área en cm2?
¡Ay, qué mareo!¿Cuál de los cuatro desarrollos corresponde al cubo
mágico que se ve en el centro?
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Cuadrado económico
Rompecabezas cuadrado
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EntrenamientoolímpicoEs te ta ble ro de aje drez tie ne una ex tra ña par ti cu la ri dad: la úl ti ma ca si lla de aba jo a la de re cha, que de bía ser de co lor cla ro, fue reem pla za da por la ima gen de un ta ble ro normal en mi nia tu ra.¿Cuál es el área que ocu pa la par te os cu ra en to do el ta ble ro?
Participan dos jugadores. Hace falta un dado, dos lapiceras de distinto color y una cuadrícula de 10 por 10, donde ya hay marcados un cuadradito de cada color, como se ve en la ilustración. Gana el jugador que cubre la mayor su per fi cie.• Porturnocadajugadorarrojaeldadoydibujaenlacuadrículaunafigura
que ten ga tan tos cua dra di tos co mo el nú me ro que sa lió, pe ro con dos condi cio nes:
I) Los cuadraditos de la figura deben compartir un lado, no solo el vértice. Por ejemplo, para 4 cuadraditos:
esta figura, sí → esta figura, no → II) La figura a dibujar debe tocar otra ya dibujada de igual color, con la que
compartirá por lo menos un lado de un cuadradito. Ejemplos: así, sí → así, no → • Eljuegofinalizacuandounjugadordebe“pasar”suturnodosvecessegui
das o cuando es obvio que uno de los jugadores no podrá superar la superficie cubierta por el otro (en el ejemplo, la superficie total que podrá cubrir el rojo es mayor que la del azul).
El juego del embaldosado
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Partamos desde la base¿Qué cuadrado tendrá mayor perímetro: el que tenga por base el segmento azul de la izquierda o el de la derecha?
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Sección I
ACER TI JO FA MI LIARTu ma má.
CLA VE DE CUM PLEA ÑOSEl 23 de ene ro.
¿CUÁL SI GUE?
Se pue de pen sar que la lí nea que di vi de ca da bande ra en dos par tes va gi ran do al re de dor del cen tro; la fi gu ra del cen tro si gue la se cuen cia trián gu lo, círcu lo, rom bo, …, y sus co lo res si guen la se cuen cia: azul, ver de, ro jo, ama ri llo, …
TRES POR TO DAS PAR TESTrein ta y tres mi llo nes tres cien tos trein ta y tres mil tres cien tos trein ta y tres (33 333 333).
CA PI CÚA PO TEN CIAL2 y 4.
EN TRE NA MIEN TO OLÍM PI COSon B × 123 + A × 122 + B × 12 + A == 11 × 123 + 10 × 122 + 11 × 12 + 10 == 20 590 mar cia nos.
Sección II
EL MIS TE RIO SO CA SO DE LAS CE RE ZAS ASE SI NASSi al re par tir 72 ce re zas so bra ron 2, una po si bi li dad es que hu bie ra 14 in vi ta dos y otra es que so lo fue ran 10:72 = 14 × 5 + 2 72 = 10 × 7 + 2Co mo el fo ren se ase gu ró que el oc ci so co mió 6 ce rezas o más, no es po si ble que hu bie ra 14 in vi ta dos.
ADI VI NAN ZA MA TE MÁ TI CAEs el res to de la di vi sión.
PEN SA MIEN TO LA TE RALD = 25, d = 7, c = 3, r = 4, ya que 25 = 7 × 3 + 4.Se pue de pen sar que los 25 cua dra di tos se di vi dieron en 3 gru pos de 7 y so bran 4.
SO PA DE PRI MOS
Los nú me ros son es tos diez: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 y 29.
UN AN TI GUO ACER TI JOUna ma ne ra es for man do un he xá go no.
EN TRE NA MIEN TO OLÍM PI CO93 ca me llos.Pue den pen sar que la can ti dad de be ser múl ti plo de 31 (por que si al pri me ro le dio una can ti dad n, al se gun do le dio 2 × n, al ter ce ro, 4 × n, al cuar to, 8 × n y al quinto, 16 × n; o sea que re par tió 31 × n ca mellos) y ade más, co mo al di vi dir el to tal por 5 el res to es 3, se sa be que el nú me ro ter mi na en 3 o en 8.
Sección III
CON SIE TE PIE ZAS, NI UNA MÁS NI UNA ME NOS
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B T D I E C I S I E T E R T
F N Q R U G F I P R V P T L
N A I E N X N C K E S Y I V
O N X Z I H G H U F N V T Y
K X E P T O S N H O C L N Q
Y Y A Y N C I O A U M U I Z
P H U W I C I S D S S E E I
E C N O E D L N E G T W V J
P S C I V G O R C E G O Y L
U M D O O S T X I O W E R Y
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LA PIE ZA PER DI DA
LA ORA CIÓN ES CON DI DA
UN SE ÑOR VIE NE DES DE CA LI TRO TAN DO POR
LA RU TA. ES UN DE POR TIS TA Y LE DE CI MOS
PA LA BRAS ALEN TA DO RAS. DE NOM BRE HÉC TOR,
LO LLA MA MOS “LA LIE BRE TRO TA MUN DOS”.
La ora ción es: Un de ca li tro es un dé ci mo de hec to li tro.
EN UN MER CA DO PER SAMar có con la uña el ni vel de acei te en la bo te lla y lue go la pu so ca be za aba jo. Co mo al gi rar la el aceite vol vió a que dar al mis mo ni vel, com pro bó que la bo te lla es ta ba lle na has ta la mi tad.
UN ACER TI JO VIE JO VIE JO...Pe san lo mis mo: un ki lo.
EN TRE NA MIEN TO OLÍM PI COLa ja rra va cía pe sa 4 va sos va cíos.
Sección IV
NÚ ME ROS BO RRA DOS
23 +
14
+ 112
= 1
EL QUE SO COR TA DO
EL FA BRI CAN TE DE PE SAS
So lo ne ce si ta una pe sa de 14 kg y otra de 3
4 kg, ya
que pa ra pe sar 12 kg se pue de po ner la pe sa de
34 kg en un pla ti llo y la de 1
4 kg en el otro.
EN TRE NA MIEN TO OLÍM PI CO
13 < 2
5 < 12
Sección V
CO LO CAN DO BAL DO SAS1) Con trián gu los y he xá go nos re gu la res.
2) Con oc tó go nos re gu la res y cua dra dos.
¿FAL TAN 10 CEN TA VOS O NO?No fal tan 10 cen ta vos. La su ma de lo que fue quedan do ca da vez no tie ne re la ción con la su ma de lo que se le dio a ca da uno; la can ti dad de di ne ro puede ser igual, ma yor o me nor, es ca sual que en es te ca so sea ca si igual. Ob ser vá es tos tres ca sos.
Di Me que dan Di Me que dan Di Me que dan a Abel 3,50 6,50 0,10 9,90 9,80 0,20 a Blas 3,00 3,50 0,10 9,80 0,20 0,10 a Ca rla 3,50 0,00 9,80 0,00 0,10 0,00
To tal 10,00 10,00 10,00 19,70 10,00 0,30
EN TRE NA MIEN TO OLÍM PI CO El pe rí me tro de la fi gu ra ver de es 6 cm. Se pue de pensar de va rias ma ne ras; una de ellas es res tar le 3 cm (seis la dos de 0,5 cm) al pe rí me tro del trián gu lo y su mar le 1,5 cm (tres la dos de 0,5 cm).
Sección VI
ARA ÑAS Y MOS CASNinguna de las dos arañas pue de cap tu rar la mos ca que tiene más cerca. En cam bio, si cada ara ña per sigue la mos ca que tiene más lejos, en po cos mo vimien tos se atra pan am bas.
BI LLE TES Y MO NE DAS
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ADI VI NAN ZA CON TRAM PI TAEs tán or de na dos en or den al fa bé ti co: ce ro, cin co, cua tro, dos, nue ve, ocho, seis, sie te, tres, uno.
EN TRE NA MIEN TO OLÍM PI COUna de pi ra tas El pre cio de las pa tas de pa lo fue ca da año el 200% del pre cio del año an te rior.3 mo ne das × 400% × 400% = 48 mo ne das12 mo ne das × 200% × 200% = 48 mo ne das
Sección VII
ROM PE CA BE ZAS CUA DRA DOUna so lu ción po si ble es:
CUA DRA DO ECO NÓ MI COUn cua dra do de 4 cm de la do.
¡AY, QUÉ MA REO!El de sa rro llo de arri ba a la de re cha.
PAR TA MOS DES DE LA BA SEAm bos cua dra dos ten drán igual pe rí me tro, por que los seg men tos azu les son igua les. La apa ren te di feren cia en tre am bos es una ilu sión óp ti ca.
EN TRE NA MIEN TO OLÍM PI COEs la mi tad del ta ble ro gran de más la mi tad del ta ble ri to, o sea,
12 × 32 cm × 32 cm + 1
2 × 164 × 32 cm × 32 cm = 520 cm2
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