Anhang

Losungen der mit * versehenen Ubungsaufgaben

) I 7 . 1. a --+-I

5 5 b) 0,181534- 0,085073 i c) 12,756981 + 0,121194 i

2. a) ~(cos: +isin ;) b) cosn2rt +isinn2rt c) cos~ +isin~

d) cos; + i sin; e) (a 2 + b2) (cosO+ i sinO)

7. a)±~(! +i) b) ±JT(cos ~ +isin ;)

c) ) 2-(I+ ~)i,- ~-(!- ~)i. I ;-

8. a) 1, 2 (-1 ±y3i) c) ± I ± i.

10. Kein x fiir b2 - 4ac < 0. Sonst aile x mit 21a (- b- J b2 - 4ac) :::;;

, I :::;; x :::;; ~a (- b + Jl? - 4 a c).

14. Die Polynomdivision liefert:

x 2 +I 2 x 2 I 2 a) --=x+ I+-- b)---= 1--·-x - I x - I x 2 + I x 2 + I x 3 - x 2 - x I

c) (x- V ---x+! x+!

15. x 3 =x- 2A+(4A2 -B)x+2AB r+2Ax+B x 2 +2Ax+B

16. ax2 +bx+c =a+ (b-2aA)~ +c-aB-A(b-2aA) mit~=x+A. x 2 +2Ax+B e+B-A 2 e+B-A 2

23. o,i3 ... =~ f wo-k=~ ._1_=~ 100 k~o 100 I __ I_ 99

100

27. Die Folgen a), c), d), 0, g) konvergieren gegen 1, V2f3, 0, 1, 0. Die Folgen b) und e) divergieren gegen + XJ.

30 L I . . M. • 2 1st eme aJorante.

(k- 1) 31. Von einer Stelle an ist I ak I > I.

356 An hang

a 32. a) 3 b) 2 c) - oo d) 1 e) cos 1

33. a) -2 b) - c) - d) 1 1

e)-2

f) 1.

37. a) 1 - 2x2

~ d)-1-

cos2 x e) n cosx · (sinx)"- 1 f) n sin~x ( "-)"-1 ----COSy X

2JX g) 2x cos(x2) esiri(x') h) 2 i) lnx ') cosx

T=XT J sinx

2

38. Die maximale Hohe 19a62 +hem wird nach 9; 1 s erreicht.

39. p(t) = 2370 e0 •2290 '. Die Werte l<f; 105 ; 106 werden in den Zeitpunkten t = 6,2868; 16,3416;·26,3964 erreicht. p(30) = 2,2824 · 106 •

43. ~ fi 44. nab

45. a) __!_ b) rt c) 0 d) 1 e) 1 f) _!_In 3. 3 2

46. a) 2x sinx + (2- x 2) cosx

c) - + (2 + sin2 x) cosx

b) (x 3 - 6x) sinx + (3x2 - 6) cosx

x2 d) 4 (2lnx-1)

1 e) 2 (1nx)2 f) x(inx)2 - 2x inx + 2x

g) _ cos(a- b)x _ cos(a + b)x (a2 =f= b2) 2(a-b) 2(a+b)

h)

i)

sin(a- b)x 2(a- b)

sin(a + b)x 2(a +b)

sin(a-b)x + sin(a+b)x (a2=f=b2) j) 23 x-JX(inx- 32) 2(a-b) 2(a+b)

c) In (1 + sin x)

48. a) 2/f+Y- 2ln(l + JT+Y) b)- y- 4J)I- 4ln(l- jY)

I 49. a) ~

....; I +x4

I 50. c1 = I, c2 = 2e

b) _I_

JX d) e-x2 <J e-'2 dt)- 1

0

Liisungen 357

51. ;(y) = ~erf(Y- m)o Fiir m = 0, a= I ist F(I) = 0,8556; F(2) = I,I963; 2 fia

F(4) = I,2532; F(0,6744) = ;;

52. Substitution u = - x - t

X I 4 3 I 2 I I 53· a) 5 In 1 - x - x + I - x + T (I - xf + 3 (I - 4 + 4 (I - 4

b) (~ + 2_) .J x2 - x + I 3 + ___!_ ~(~- _1__) .J x 2 - x + I + 4 24 I6 ~ 2 4

+ ~ In (X -+ + .j x 2 - x + i)) c) _I__ 0 sinx + _1__ In 1 + sinx d) ~ e) n! f) ~ +

2 cos2 x 2 cosx 16 n5

( 1)"+ I +- 5 ((nn)4 -I2(nn)2 +24)o

n

54. a) 5,I6625 b) 5,1975 55. 3,0836

tiL (x-Tf 57. a) I- 2 ! + 4 !

b) (x- I) _l_(x- I) 2 + _!_!_(x- I)3 - 25 (x- 1)4

2 6 12

1 n 2 17 c)-L (k+ I)(k+2)X' d) I +x2 +-x4 +-x6

2 k~O 3 45 n k

e) L (I - (- l)k) ~ f) 2- x + x2 - x 3

k~l k

g) - I + 3I (x - 2) + 56 (x - 2)2 + 36 (x - 2)3

h) e (I - 2 x + 3 x 2 - 1 ~ x 3)

i) e (- I + 2 (x + I) - ~ (x + I )2 + ~ (x + I )3) 0 I 2 I 4 J) I- -X ---X

3 45

358 Anhang

58. - " - - 1 (x + 2)k fiir I x + 21 < 1 1 00 ( 1 ) 2 6 3k+l 00

L x 2 k fiir lxl < 1 k=O

__!___ ~ (-1- __ I_) (- l)k(x- W fiir lx- 31< 2 2 6 4k+l 2k+l

60. fhat Pole in x = ± i 1 1 c) 1 -~ d) 1 + ~ e) 0 61. a) Je (2 - x) b)-z(l+x)

2

f) X g) X 1

h) In (2 + )3) + .j3 (x - 2) .

62. a) 3 b) CX) c) 0 d) fi. 1 1 c) 0 63. a) 3 b)--

2

65. q>(h) =a+ L - 1 mit a:= ! (jT+h- 1). q>(h) ~ ; 2 h2 fiir kleines h.

67. Tk = 1 ; Beriihrungspunkt ( V, P) = ( 1, 1) .

68. Fur 2 p2 < Q2 tritt ein Maximum an der Stelle w = ..) Q2 - 2 p2 auf. S 0 0 1 em Wert 1st . 2p.Jnz- pz

69. GroBte Reaktionsgeschwindigkeit im Zeitpunkt t = __ I_· In k2

k2- kl kl

70. 1,16556

71. a) (x-1-ij2)(x-1 +i.J2) b) (x-l)(x+ ~ -~i)(x+ ~ +~i)

c) (x+ l)(x-iy'Z)(x+ifi)

d) (x - a - i a) (x - a + i a) (x + a - i a) (x + a+ i a) mit a=~

e) (x-l)(x+ l)(x--i-4i) (x-; +4i) (x+; -4i)·

( 1 .j3 ·) · x+-z+-2-I

73.a)lund2 b)-lund-2 c)-lund-2 d)2und3.

74. Einzige reelle Wurzel: x = - 0,6369. Fur alle Wurzeln x E C gilt I xI ~ 3.

75. 2- _!l!__x + 237 x 2 - ±!_ x 3

60 60 30

Losungen 359

77. Fiir die Einwohnerzahl zur Zeit 1950 + x lautet das lnterpolationspolynom: 827000- 4633,3x + 3670x2 - 194,667 x 3 + 2,8x4 . Stiirkstes Wachstum im Jahr I959. Im Jahr I96I wurde die Millionengrenze iiberschritten.

78. a) ~_I_+ - 8 + 7 fi i . I _ 8 + 7 fi i I _ II X - 3 88 X + J2 i 88 X - J2 i

b) I 2 +_I_ (x+I)3 (x+I)2 x+I

II IIi I i c)---+-------+----=-

2 x + i 2 x-i 4 (x + i) 2 4 (x - i)2

2 I 79. R(x) = I - ---2 + --

(x-I) x + 2

80. a) x 2 - x + I b) 3 c) x + I d) 0

81. I9,8130; 2,665I; 584,0578; 0,6235; 47I4,8545; 34,I932. I06.

83 ) I I 2 II 4 . a +-x --x 4 96

b) 2 2 I 4 I- -x +-x

5 75

) X 3 2 I3 3 I3I 4 c I--+-x --x +-x

2 8 I6 I28

) I 2 I 4 e I--x +--x I2 I440

d) 2 + In2 · x4

84. a) I~a ·(x-I) b) I+xina c) bc(I+~cx) I

d) I+ 2 (a-b)x e) I+(b-a)x

86. x(t) = 1000 eo.o261' 87. y = 5,36x-o,73 88. y(t) = 0,0350 I+ 0,13 t

90. a) r=Acp b) r=e<112 AJ9' c) r = I A I · _!cos 2 cp

95. a) x arcsin x + .J1=XI I b) x arctanx- 2 1n (x2 + I)

c) xarcoshx-~ I

d) x arcoth.x + 2 In (x2 - I)

96. a) x+ I ,/x2 + 2x- _larcosh (x +I) 2 2

b) 12 2 I . 2x +I -y -x-x - 2 arcsm--3-

c) - _!__x2 + _!__x- 2In(I- x- 2x2)-~In~ (-I< x < _!_). 4 4 16 48 I - 2x' 2

360 Anhang

d) 2sinx sinx + COSX- 1

99. a) cos a cos x - sin a sin x 1 cos2 sin 2 . b)-+ --cos2x- --sm2x 2 2 2

) 3 . 1 . 3 c 4 smx- 4 sm x 1 1 d) 8 - 8 cos4x

101. a) _1_ _ 2 f sin2nkx 2 k=l k

b 2 4 ~ (- 1)kcos2kx ) -;---;- 6 (2k- 1) (2k+ 1)

c) -81 + f ( ---fT (1- cos kn) cos kx + - 1- (1- _1_ sin kn) sinkx)

k=t 1t k 2 nk nk 2

102. 12 ( . sin2x + sin3x sin4x + .. ·) smx--- ----- -23 33 43

103. ( 1 1 00 2 ) A · - + -sin B t + L 2 cos 2 k B t 7t 2 k= 1 7t (1 - 4k )

104. ~ -(~- 2)sinx

105. a) Konvergenz in x = n, Divergenz in x = 0

b) K . 7t D. . 7t onvergenz m x = 4 , tvergenz m x = 2 .

106. a) Periode 1t b) Periode 1t c) nicht periodisch

d) Periode 2 e) Periode 237t f) nicht periodisch

g) nicht periodisch h) Peri ode 2 7t, g = groBter gemeinsamer Tei1er von m g

undn.

lll.a)j2T b) V2-.J3=0,5176 c)..j14f+16t+10,k1einsterAbstand:

~ =2,3299.

112. a) (-1,1, ~)=(fcosc:p,! sinc:p,++ f): e:t.o, 3 ;t) b) (- _1_ 2. l.2.)· (l-cos m _1_ sin m 2. + j]_) · (2 t + 1 - _!_ 2 + _!_)

3 ' 3 ' 3 ' 6 ""' 6 ""' 3 6 ' 3 ' 3 ' 3

113. a), b), d). 114. Nein.

115. Kreiskege1, dessen Achse durch Ogeht und die Richtung von a hat.

Losungen 361

119. lkl =m/6 gem s- 2 , fvl =ficm s- 1

ax ( ax ) 121. x = QZa + x- Qla

122. [-I 0 3] a) I - I 0

0 I 0 b) [~ :]

I -I rO - I I]

c) I 0 - I d) [::]

124. a) 180°-Drehung urn die x 1-Achse. b) 120°-Drehung urn die durch (0,0,0) und (1, I, I) gehende Achse. c) 30°-Drehung urn die x3-Achse. d) Projek-

tion •of die'= Vekto' m .onkrecht< Ebm dmch 0.

126' [ :~ :~ ~~1 128. c) a=c=O d) A =,[b -a ac~~]

a3 b3 c3 0 0 I

131. A3 = A4 = · · · = Nullmatrix.

( 17 3) 132. a) 22' 22 b) (0,0) c) nichtlosbar d) (t,;-! t),tER.

134. a) 6 b) 0 c) abc d) 0 e) - 36

135. a) und b): a11 a22 a33 ... ann 136. det B = c" det A

138. a) (178,232, -40) b)(- 5;:, ~:. ~~· ~~)

139. a) (0,0,0) b) (o, ~ t,t); tER c) (3s- 2 t, s, t); s, tE R.

140. [" ' 0 0 ~ }'ll'"hcd I 0 [00 0 11 0 b- 1 0 b)

0 0 I 0 .. a) 0 0 c-1 0 a_ 1 0 0 fur a+ 0

0 0 0 d-1 a- 1 0 0 0

c) [~ -a

ahl [01 0] I -b d) 0 0 I 0 I I 0 0

142. Ja. Drehungen von 0°, 120°,240° umdiedurch (O,O,O)und(l, I, I) gehendeAchse.

143. ___!_ + i J 3 und ___!_- i .J3 2 2 2 2

144. ac + 0. Eine endliche Gruppe erzeugtjede der Matrizen

[ - I 01 [I h ] [- I b] 0 - I , 0 - I ' 0 I mit bE R

362 Anhang

145. a) und c) sind orthogonale Matrizen

147 L .. r·· ) [I 2 3 4] [I 2 3 4] [I 2 3 4] [1 2 3 4] · osung ur c : 2 3 4 I ' 4 I 2 3 ' 3 4 2 I ' 4 3 I 2 '

[ I 2 3 41 [I 2 3 4] . . 3 1 4 2 , 2 4 1 3 . Antwort auf d1e letzte Frage: Nem~

148. d, db mit 0::;; i::;; 4

150. a) Die Gruppe enthlilt die Einheit e, zwei Spiegelungen a, b und eine 180c-Dre­hungab.

b) Die Gruppe wird von allen Drehungen urn die Molekiilachse A, einer 180c­Drehung urn eine zu A senkrechte Achse und einer Spiegelung an einer zu A senkrechten Ebene erzeugt.

c) Die Gruppe wird von allen Drehungen urn die Molekiilachse A und einer Spie­gelung an einer A enthaltenden Ebene erzeugt.

d) Die Gruppe enthiilt 6 Elemente. Sie ist zyklisch und wird von einer Dreh­spiegelung erzeugt.

e) Die Gruppe enthiilt 6 Elemente. Sie wird erzeugt von einer 120c -Drehung a und einer Spiegelung ban einer die Drehachse enthaltenden Ebene. ba = a2 b.

f) Die Gruppe enthiilt 12 Elemente a; lJ c\ 0::;; i::;; 2, 0 ::;;j::;; I, 0::;; k::;; I. a ist eine 120c -Drehung, b eine Spiegelung an einer zur Molekiilebene senkrechten Ebene, c die Spiegelung an der Molekiilebene. ba = a2 b, ca = ac, cb =be.

I X I 153. a)-,-- b)--, -2Y)n2 c) yexy>, 2xy~Y' y y2 2JX

d) a , b e) y , x cos2 (ax +by) cos2 (ax+ by) (I + x 2)312 J1+X2

f) - 2 y 2 x - 4 x3 - 6 y 5 g) h) yxy-t, xYJnx

(x-y?' (x-y)z (I +x4+y6)2' (I +x4+y6)2

i) sinxcosx·(l +sin2 x-cosyf 11~ ~ siny(l +sin2 x-cosyf 112

J.) 0 _Y_ , I+ yz

k) 2 -1/, -x 2 J -3(2 -x' - xy e , - Ty e

155. a) Fx = f', FY = g'_, Fxx = f", Fxy = Fyx = 0, FYY = g"

b) Fx = f'g, FY = fg', Fxx = J"g, Fxy = Fyx = f'g', FYY = fg"

156. Kombination b) - d): F' (t) = - 5 t sin(t5), F" (t) = - 20 t3 sin(t5) -

- 25 t8 cos (t5 ).

157. Ergebnis fiir die Kombination c)-d): Fx = 2(2x + y) (1 + x 2 + xy), Fy = 2x(I + x 2 + xy), Fxx = 4(1 + x 2 + xy) + 2(2x + y)2, Fxy = Fyx =

= 2(1 + x 2 + xy) + 2x(2x + y), FYY = 2x2.

Losungen 363

160. a) x- y + z =I b) z = y c) z =ax+ by d) 4x- 2y + z + 3 = 0

16l.a)2x+y b)x+y+z-2 c)x d)O

164. 6% 165. 0,35%

166. a) Globales Maximum in (0,0) b) kein Extremwert

c) globales Minimum in (0,0) d) kein Extremwert e) kein Extremwert

f) globales Minimum in allen Punkten der Geraden y = x

g) lokales Minimum in (1, -I) h) lokales Maximum in (0,0)

i) globales Minimum in (1, - I) und (- I, 1).

167. Der Punkt ( ~, ~, ~ J2) 169. y = - 0,34420 x + 2,45783; Korrelationskoeffizient r = - 0,998.

171. a) j 5 b) - 12 c) 0

c) xy d)~ e) -y

d) ~ sin I + e- I.

172. a) In 2, In 2 3 1t

b) 2 (I - In 2), 2 - 2 + In 2

173. a) 0 b) 0 c) 0 d) - 1t.

174. Q = (1;- T1)Rin Vz 175. F(T, v) = Tvx-l vl

f) -

177. a) - x- y- z (Ebenen) b) T(x2 + y 2 + z2) (Kugelfliichen)

c) x 2 + y 2 (Kreiszylinder) d) z- x 2 (parabolische Zylinder).

178. b) ist ein Gradientenfeld mit der Stammfunktion x y z - y 2 z.

179. Arbeit = cQ .JXi +X~+ X~

180. FurstiirksteZunahme:a)[_~) b)[_~] c) [-n d)[~) e)(~] 181. a) 74,50c b) 36,34° c) 48,19°.

182. a) (-1,- I, I) b) (0,3z2 - 2xz,y2 ) c) (0,0,0)

184. a) 170 b) 1~(36.J"6-9J3-3!) c) 13,2078

d) 15- 4y'f5 + ln(4 + .JTI) = 1,5715

364 Anhang

I 185. a) -­

I2 5

b) 2In2--4

186. a) y = !!_x b) y = f!.!!_ c) y = ± _./:?- a2 + lJ2 fiir b ~ 0. a x

d) y = ± Ja"+~bi - x 2 fiir b ~ 0.

189. a) y = cearctanx b) y = -In (e-c- ! x4 )

c) x =_!_-_!__./I- 4F(y) mit F(y) :=_!_(6y + sin2y- 6c- sin2c) 2 2 4

190. a)y=cxex-! b)y=x2 -2x+2+(c-I)e1-x

c) y=~+_!_(_!_-x)+~Inx d)y=ex'(Je-''dt+ce- 1 ) X 4 X 2 1

192. Die Funktion y f->JYist in y = 0 nicht differenzierbar.

193 ) 2 I ' b) 2 2 I I I 4 . a y- nx=c,x=ey-c x y-xy =c,y=-zx± 2xvx -4cx

2 ,/ c -ylny c) x y + lny = c, x = ± y

194. a) -.x- 2 und y-413 I I

b) 7 und (I + y)2 195. Integrierender FaktorvRICv=v~-l

dy y _K_ _! K 196. y'=dt=K7 ,y(t)=oe2'' e-2,' ,y(t)-4oe12 fiirt--->oo.

197. a) y= -sinx+Ax+B b) y=xlnx-x+Ax+B

c) y =A erf(x) + B (vgl. (273))

98I 198. x(t) = x0 + v0 t- - 2-r. Erreichte Hohe: 2I88,7cm.

200. a) y=_l_ex+t _ _l_e-x-! b) y= I +(I +x)e1 -x 2 2

) 3 2 1 ·2 I d) 2 .x2 c y= - 2 cos x- 2 sm x+-z y= e-xsm2 - .

201. Allgemeine Losung: y = _!_e3 x +(A cosx + B sinx)e-x I7

202. Gesuchte Losung: y = _i_ cos 2x- 2_sin2x + _2_e3 x 13 13 13

203. Losungen sind y = x 2 und y = x-113 Gesuchte Losung: y = _!_ x 2 + ~ x-1 13

7 7

204. Q = {(i,j); 1 ::;; i ::;; 6, 1 ::;; j ::;; 6}

a) ll b) 25 c) l d) l_ 36 36 6 18

4 e)-9

Liisungen 365

206. Es ist die Binomialverteilung mit n = 10 und p = 0,7 heranzuziehen. a) 0,103 b) O,Q28 c) 0,047 d) 0,700

207. a) e- 1 ~ 0,368 b) 0,184 c) 0,019 d) 96.

208. ;, = -In 11~0 ~ 1,772,

a) 0,471 b) 0,158 c) 0,034

209. T = ~~-2 ~ 0,6931/lc

212 a) b = 0,674a, 1,960a und 2,576a.

b) 0,6827, 0,9545, 0,9973

215. n = 5: 1,15 4,35 11,07

n = 10: 3,94 9,34 18,31

n=l5: 7,26 14,34 25,00

219. a) Q= {T,MT,MMT,MMMT, ... }

b) P(X = k) = p(l- p)k- 1, kEN; E(X) = !; V(X) = I-/. p p

220. a) Q = {A,ZA,ZZA, ... }. b) P(X = k) = 2-\ kEN, E(X) = 2.

"' c) Y = 2x- I d) I (2k - 1)rk konvergiert nicht. k~1

e) G = 1 folgt aus c).

221. f(x) = 2; fiir xE(O,a) und f(x) = 0 flir x¢(0,a). a

2

F(x)= \ flir xE(O,a), F(x)=O ftir x:s;O und a

2 a2 F(x) = 1 flir x :2: a. E(X) = 3a; V(X) = 18'

223. c = 6. P(X::;; x) = x2 (3- 2x) ftir xE(O, 1).

E(X) = ~· V(X) = ~O.

x-a . a+b I 2 224. P(X::;; x) = b _a fur xE(a,b); E(X) = - 2-, V(X) = U(b- a) .

366 Anhang

226. g(x) = 2x ftir 0 ~ x ~ 1 und = 0 sonst.

231. a) Pll = 0,6 p12 = 0,4 p21 = 0,7 p22 = 0,3.

b) Es miil3te gelten: P(X1 = i, X 2 = j) = PliP2 j, i,j = 1, 2.

2 7 3 7 232 P(B1IA1) = 3 =F 10 = P(B1), P(B1IA2) = 4 =F 10 = P(B1),

1 3 1 3 P(B2IA1) = 3 =F 10 = P(B2), P(B2IA2) = 4 =F 10 = P(B2).

236. a) 0,0752 b) 0,0109 c) 0,0011

237. G =Menge aller reifen Maiskolben auf dem Feld, M = Gewicht, Q =Menge aller moglichen Gewichte; X ordnet jedem Gewicht seine Mal3zahl, z.B. m Gramm,zu.

238. Nur b) und d) ergeben eine unabhiingige Zufallsstichprobe.

239. Nein.

240. Wei! nicht jeder Haushalt ein Telefon hat.

n n

242 E(Y) = n- 1 I E((Xk- J1)2) = n- 1 I V(Xk) = V(X). k~l k~J

243. a) u = 22,39; w = 24,02 b) u = 20,76; w = 25,64

c) u = 22,62; w = 23,78 d) u = 21,47; w = 24,93.

244. a) n=16 b) n=62.

245. a) u = 0,134; w = 0,179 b) u = 0,174; w = 0,224

c) u = 0,278; w = 0,335 d) u = 0,503; w = 0,565.

246. u =- 1,234; w =- 1,161.

247. u = -0,095; w = 0,835.

248. a) r 1 JTO(x- 25) = 1,581 < c = 1,645. Keine Bestiitigung der Firmenangabe.

b) w = 0,32.

249. z =- 2,16 < - c =- 2,14, also Entscheidung ftir H1 : E(X) =F 27. Die Angabe tiber O" kann nicht angezweifelt werden, denn Realisierung von T = 17,98 < c = 23,68.

250. c = - I ,645 bzw. - 2,326. Wegen z = - 2,45 < c ist die Behauptung des Her­stellers in heiden Fallen zuriickzuweisen.

251. w = I - <P ( c ~ b} (a) w = 0,11 (b) w = 0,26.

252 Da z = 1,459 < c = 1,645, kann H 0 nicht abgelehnt werden.

Losungen 367

253. w = <1>(0,163) = 0,56.

254. z = 1,800, c = 1,960. Wegen - c ::5; z ::5; c ist die Unechtheit nicht gesichert.

255. Ja.

256. (a) c = 1,35 (b) c = 1,77 (c) c = 2,65. t = 1,55. (a): A besser als B. (b) und (c): Kein Unterschied zwischen A und B.

257. t = 0,131/0,045 = 2,91. (a) c = 2,80, Antwort: ja. (b) c = 4,39, Antwort: nein.

258. x6 = 13,25. (a) c = 11,07; der Wi.irfel ist nicht echt. (b) c = 15,09; die Echtheit kann nicht angezweifelt werden.

259. x6 = 10,41. (a) c = 9,24, also H 0 ablehnen. (b) c = 11,07, also keine Ablehnung von H 0 •

260. x6 = 3,89 (nach (1195)). (a) c = 3,84, also besteht eine Abhiingigkeit. (b) c = 6,64, also keine Abhangigkeit.

Symbolverzeichnis

c N Q

R z R" Q"

argz detA DGI(n) em g

e

Menge der komplexen Zahlen Menge der natiirlichen Zahlen Menge der rationalen Zahlen Menge der reellen Zahlen Menge der ganzen Zahlen Menge der reellen n-tupel kartesisches Produkt (1076) Argument von z, S. 16 Determinante von A, S. 203 Dilferentialgleichung( en) Zentimeter Gramm Sekunde = 2,71828 ... oder: Einheit einer Gruppe, S. 216

TC = 3,14159 ... exp Exponentialfunktion, S. 48 lg Zehnerlogarithmus, S. 136 In natiirlicher Logarithm us. S. 63 { x; ... ) Menge der x mit der Eigenschaft .. . {x,y,z, ... ) Menge mit den Elementen x,y,z, .. . {a.) Zahlenfolge, S. 37 x E A x ist Element der Menge A x $ A x liegt nicht in A A ~ B A ist Teilmenge von B AcB A ist echte Teilmenge von B A\B Menge der Elemente von A,

die nicht in B liegen a : = b a wird durch b definiert;

a ist eine Bezeichnung fiir b a = : b b wird durch a definiert;

a5,b a>h azb

b ist eine Bezeichnung fiir a a ist annlihernd gleich b a und b sind verschieden a ist kleiner als b a ist kleiner als b oder gleich b a ist gri:il3er als b a ist gri:il3er als b oder gleich b

(a)

(a, b) (a, b)

x ~->J(x)

an~ a X-+CIJ

lim a. n-->oc

lxl lxl IAI PQ au

uv uxv n!

"

von a erzeugte zyklische Gruppe, S.220 abgeschlossenes Intervall, S. 19 olfenes lntervall, S. 19 oder: Zahlenpaar Zuordnung bei Funktionen oder Abbildungen, S. 25 umkehrbar eindeutige Zuordnung liquivalent a. konvergiert gegen a, S. 38 x strebt nach unendlich, S. 50 Grenzwert von a. fiir n->CIJ, S. 38

Betrag von xER oder xEC, S. 19 Lange des Vektors x, S. 175 Anzahl der Elemente von A

gerichtete Strecke, Vektor, S. 171 Produkt der Zahl a mit dem Vektor u Skalarprodukt, S. 177 Vektorprodukt, S. 179 I· 2 · 3 · · · · · n (lies: n Fakultlit) a(a-l)···(a-n.,-1)

n!

L a. a1 + a2 + a3 + · · ·-'- a. k=l

a11 ,a11 , ... Doppelindizes (lies: a eins eins, a eins zwei, ... )

fog Verkettung vonfund g, S. 28

y' =_ell' Ableitung der Funktion x ,.... y(x) dx

p•> k-te Ableitung von/

~r fx, - TY, partielle Ableitung vonfnach x,, S. 233

G(x)l: G(b)- G(a)

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Sachverzeichnis

Abbildung 187 -, identische 192 -, lineare 189 -, lineare homogene 190 -, orthogonale 223, 229 abelsch 216 Abkiihlung eines heiBen Korpers 285 Ableitung 53 - der Umkehrfunktion 60 - einer Potenzreihe I 0 I - - verketteten Funktion 58 - eines Produkts 56 - - Quotienten 56 Ableitungsregeln 56 Abspaltung eines Linearfaktors 122 Abstand zweier Punkte 183 Abweichungsquadrate, Summe der 112, 248 Additionstheoreme fiir sin und cos 35, 66 - fiir tan und cot 143 Adiabate 282 Anfangslbedingung 275, 278, 289 - geschwindigkeit 289 -!age 289 Anordnung 14 aperiodischer Grenzfall 293 Approximation 98, 239 Aquipotentialfliiche 264 Arbeit 176, 263 Arcusfunktionen 144 Areafunktionen 149 Argument einer.komplexen Zahl 16 assoziatives Gesetz 174, 180, 216 Asymptote 127 asymptotisch gleich 130 Ausdehnungsarbeit 78, 260 Ausgleichen von MeBfehlern 112, 247

Bereichsintegral 265 Bernoullische Ungleichung 22 Beschleunigung 53 Betafunktion 307, 309 Bewegung 222 Beweis, indirekter 15 Binomiallkoeffizient 49 - reihe 134 - verteilung 298

binomische Forme! 49 binomischer Lehrsatz 134 BogenmaB 16 Bolzano und WeierstraB, Satz von 41 Boyle-Mariottesches Gesetz 78 Brechungsgesetz 246

Cauchysches Produkt 46 Chi-Quadrat-ITest 352 - Verieilung 305, 352, 353 Corioliskraft 180 cosinus 33, 65 - hyperbolicus 146 Cosinussatz 178 cotangens 142 - hyperbolicus 146 Cramersche Regel 203, 211

Dampfdruckkurve 279 Diimpfung 293 Definitionsbereich 25 Determinante 200, 203, 206 Dezimalbruch, abbrechender 13 -, nichtabbrechender 13 -, periodischer 13 Dezimalzahl 13 Dichte(funktion) 303, 312, 326 Differential 259 -form 255 - -, exakte 255 Ditferentialgleichung 68, 252, 271 -,allgemeine Losung 291 -, gewohnliche 271 - I. Ordnung, exakte 280 - -, lineare 277 - -, - homogene 277 - -,mit getrennten Variablen 273 - 2. Ordnung, lineare 288 - -,mit konstanten Koeffizienten 290 Ditferenzenquotient 53 ditferenzierbar 53 Distributivgesetz 17, 177, 179 divergent 39 Division mit Rest 127 - von Polynomen 123 Drehlimpuls 180

-moment 178 - spiegelung 187, 189, 223 -zahl 172 Drehung 191, 223 Dreiecksungleichung 20, 178

Ebenengleichung 177, 184 Einheit einer Gruppe 216 Einheitslmatrix 192 -vektor 181, 185 EinschlieBungssatz 122 Einschwingungsvorgang 294 Elementarereignis 297 Elimination 212 Ellipse 91, 155 Entropie 261 Ereignis 297 Ergebnisraum 296 Erwartungswert 314, 327 erzeugendes Element 220 Eulersche Forme! 65, 146 Existenzsatz 273 Exponentialansatz 290 Exponentialfunktion 48, 61 -, allgemeine 136 -, Basiszahl der 43 - verteilung 303 Extremum 244 Extremwert Ill

Fehler, absoluter 241 F ehlerll. Art 343

2.Art 343 -, relativer 243 - abschiitzung 242 - funktion 91, 103 - quadrate, Methode der kleinsten 247 - rechnung 241 Fixpunkt 190 Fliicheninhalt 68, 73 - eines Dreiecks 184, 186 Fourierlkoeffizient 160 - reihe 160 Frequenz 36, 157 Fundamentalsatz der Algebra 20 Funktion 22, 25 -, beschriinkte 31 -, ganzrationale 29 -, gerade 34 -, konstante 28

Sachverzeichnis 371

-, lineare 28, 189 -, quadratische 29 -,rationale 29, 126, 231 -,ungerade 32,34 - von mehreren V eriinderlichen 230 F-Test 351 F-Verteilung 307, 351

Gammafunktion 305, 308 GauBsche Elimination 212 - Zahlenebene 15, 170 geometrische Reihe 44 - Summenformel 42, 49 Geradengleichung 176 Gleichung, Losungsformel fiir quadratische

15 Gleichung n-ten Grades 21 Gleichungssystem, Iineares 199, 202, 210 - - homogenes 211 gliedweise ausmultiplizieren 46 - Differentiation 65, 101, 162 - Integration 10 I, 162 Gradient 255, 264 Grenzschicht 140 Grenzwert einer Funktion 50 - - komplexen Zahlenfolge 65 - - reellen Zahlenfolge 38 -, einseitiger 51, 55 - bestimmung 108 Grenzwertsatz, zentraler 341 Grundgesamtheit 296, 331 Grundintegrale 150 Gruppe 215 -, abelsche ( = kommutative) 216 - der Bewegungen 222 -, Einheit einer 216 -, orthogonale 223 -, zyklische, endliche 220 -,- unendliche 220

Hagen-Poiseuillesches Gesetz 25, 285 Halbwertszeit 140 harmonische Analyse 167 - Reihe 45 - Schwingungen 293 - Wellen 36 harmonischer Analysator 168 Hauptkriterium fiir monotone Folgen 41 Hauptsatz der Differential- und Integral-

rechnung 76

372 Sachverzeichnis

Hohenlformel, barometrische 139, 284 - linie 232, 264 Hornerschema 123 -, fortgesetztes 124 Hyperbel 30, 155 - funktionen 146 Hypothese 342

Imaginiirteil 15 Integral, bestimmtes 70, 71 -, unbestimmtes 75 -, uneigentliches 79 - kurve 273 integrierender Faktor 282 Interpolation 125 -, lineare 35, 126 -, quadratische 126 Interpolationslformel von Lagrange 125 - polynom 125 Interval!, abgeschlossenes 19 -, offenes 19 inverses Element 216 Irrtumswahrscheinlichkeit 344 Isokline 287

kalorisch ideate Gase 262 kartesisches Koordinatensystem 181 - Produkt 323 Keplersche FaBregel 89 Ketten llinie !55 - regel 58, 236 Koeffizientenlmatrix 201 - vergleich 108 kommutatives Gesetz 174, 177, 216 kommutierter Sinusstrom 165 komplexe Zahl, Betrag einer 16 Konfidenzjintervall 336 - niveau 336 Konvergenz 38 -, absolute 46 -interval! 104 - kriterien 41, 45 -radius 104 Koordinatentransformation 237 Korrelationskoeffizient 250 Kraftfeld 262 KreisprozeB 269 Kurve 235 Kurvenintegral 256

Liingenmessung 12 Langevinsche Funktion 149 Laplace-Vertei1ung 298 Linearisierung 119 Linienintegral 255 Logarithmentafel 137 logarithmische Skala 138 logarithmisches Papier 139 Logarithmus, allgemeiner 136 -, natiirlicher 63

Majorante 47 mathematisches Pendel 241 Matrix 192 -,inverse 199, 208 -, orthogonale 223 -, symmetrische 192 -, transponierte 206 Matrizen 192 - produkt 194 Maximum, globales ( = absolutes) 110, 244 -, lokales 110, 244 Maxwellsche Relationen 253 Maxwellsches Verteilungsgesetz 319 MeBfehler 112, 247 Michaeliskonstante 276 Minimum, globales ( = absolutes) 110, 244 -, lokales 110, 244 Mittellpunkt einer Strecke 176 -wert 74 - - satz der Differentialrechnung 96,239 - - - der Integralrechnung 74 Molekiil 224 monoton fallend 26, 40, 109 - wachsend 26, 40, 109

n-dimensional 231 Newtonsches Abkiihlungsgesetz 285 - Grundgesetz der Mechanik 288 Newton-Verfahren 115 Normalverteilung 304 n-tupel 231 Nulllfolge 40 -matrix 192 - stelle 115 - vektor 175

Obersumme 70, 71, 266 Orthogonalitiitsrelationen 159

Parabel 29, 155 Paraboloid 240 Parallelflach 214 Parallelogrammkonstruktion 17, 174 partielle Ableitung 232, 234 - Differentialgleichung 252, 271 - Integration 82 periodische Funktion !56 Permutation 217 Phasengeschwindigkeit 36, !57 Plancksches Strahlungsgesetz 112 Poisson-Verteilung 299, 300 Pol 30, 126 Polarkoordinaten 16, 237 Polynom 21, 29, 121, 231 - gleichung 21, 121 Potential 263 Potenz 131 - funktion, allgemeine 132 - gesetze 132 - reihe 100 Produkt, iiuBeres 178 -, inneres 176 Projektion 177, 191 PriifgroBe 343 Punktladung, Feld einer 263

Quader 230, 255 quadratische Gleichung 14, 15 Quanti! 337, 339 Quotientenkriterium 47

radioakti ver Zerfall 284 Randverteilung 324 Rauminhalt 266 Reaktion erster Ordnung 275 - zweiter Ordnung 275 Reaktionsl geschwindigkeit 53 - gleichung von Michaelis und Men ten

276 Realisierung eines Zufallsvektors 332 Realteil 15 Rechenschieber 137 Rechtssystem 179 reelle Zahl, Betrag einer 19 Regressionsgerade 249 Reibung 292 Reihe, unendliche 44 Resonanzkurve 120 Restglied 95, 118

Reynoldszahl 140 Richtungsfeld 273 Rohrstromung 140 Rotation 265

Satellit 23 Sattelpunkt 251 Schiitzfunktion 334

Sachverzeichnis 373

-, erwartungstreue 334 -, konsistente 335 Schallgeschwindigkeit 22 Schaubild 23 Schiebung 28, 172 Schwerefeld 262 Schwingungen 292 -, erzwungene 293 -, freie 292 Schwingungs Jdauer 241 - knoten 37 - kreis 292 Sehnentrapezregel 89 Simpsonregel 90 sinus 33, 65 - hyperbolicus 146 Sinussatz 187 Skalarprodukt 176, 182 Spaltenmatrix 196 Spatprodukt 181, 214 Spiegelung 190, 223 Sprunglfunktion 163 - stelle 55, 161 Stammfunktion 75, 254, 280 Standardlabweichung 316 - -Normalverteilung 303 Steigungswinkel 270 stetig 54, 231 Stichprobe 331 -, Mittelwert einer 334 - mit Zuriicklegen 332 Stichprobenraum 332 Strecke, gerichtete 171 streng monoton 26 Stromungsgeschwindigkeit von Blut 140 stiickweise glatt 161 Substitutionsregel 82 Symmetrie 224 - gruppe 217,224

tangens 142 - hyperbolicus 146

374 Sachverzeichnis

Tangentensteigung 53 Tangentialebene 240 Taylorientwicklung 95 -forme! 95, 239 - polynom 95 - reihe 100 Teillbruchzerlegung 127 - folge 39 - summen 44 Test 343 - groBe 343 - niveau 344 - schiirfe 344 -, einseitiger 345 -, zweiseitiger 347 Thermodynamik 259 thermodynamische Relationen 253 Translation 28, 172, 187, 189 Trefferwahrscheinlichkeit 300, 339 Trennung der Veriinderlichen 275 Treppenfunktion 311 trigonometrische Funktionen 142 trigonometrisches Polynom !58 triviale Losung 211 t-Test 347 t-Verteilung 306, 338, 347, 351

Umkehrlabbildung 217,224 - funktion 24, 26 umkehrbar 26 Umlaufzeit 23 Umrechnungsformel zwischen lg und In 137 Unabhiingigkeit 301, 324, 330 Unabhiingigkeitstest 353 Ungleichung 18 unstetig 55 Unterlgruppe 219 - summe 70, 71, 266

van der Waalssche Zustandsgleichung 36 Variable, abhiingige 23 -, unabhiingige 23 Varianz 316 -, empirische 334 Variation der Konstanten 278 Vektor 171 -, inverser 175 -addition 173, 182 -feld 262 -, Koordinatendarstellung 182

-, Lange eines 183 - produkt 178, 182 Vektoren, Subtraktion von 174, 182 Veranderliche, abhangige 23 Veranderliche, unabhiingige 23 Vergleichskriterium 47 V erketten 27 Verkniipfung 215 Verteilungsldichte 303 - funktion 310 - -, gemeinsame 324 Vierfeldertafel 354 vollstandige Induktion 20 vollstandiges Differential 255 Volumen 266

Wachstum einer Population 271, 277 Wachstumsgeschwindigkeit 53, 63 Wahrscheinlichkeit 295, 296 -, bedingte 330 WahrscheinlichkeitslmaB 297, 303 - raum 297 - verteilung, diskrete 297 - -, stetige 303 Wegunabhiingigkeit 256 Wellenliinge 37, 157 Wellen, stehende 37 Wendepunkt 112 Wertebereich 25 Wiensches Verschiebungsgesetz 113 Winkel zwischen Vektoren 183 - geschwindigkeit 172, 180 wirbelfrei 265 Wurzellfunktion 131 - kriterium 47

Zahlen, ganze II -, imaginare 15 -, irrationale 13 -, komplexe 14 -, natiirliche II -, rationale II -, reelle II, 13 - folge 37 - -, beschrankte 40 - -, divergente 39 - -, konvergente 38 - -, monotone 40 - gerade 12, 170 - paar 170,230

- tripe! 170, 230 Zehnerlogarithmus 136 Zeilenmatrix 196 Zentrifugalkraft 180 Zufallsgrol3e, diskrete 309 -, stetige 312 Zufallslstichprobe 332

Sachverzeichnis 375

- vektor, diskreter 326 - -, stetiger 326 Zustandsjgleichung 36, 260 - grol3e 261 Zweistichprobenproblem 350 Zwischenwertsatz 56

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Stiefel/Fassler: Gruppentheoretische Methoden und ihre Anwendung Eine Einfuhrung mit typischen Beispielen aus Natur- und lngenieurwissenschaften 256 Seiten. DM 26,80 (LAMM)

Stummel/Hainer: Praktische Mathematik 299 Seiten. DM 28,80

Topsoe: informationstheorie Eine Einfuhrung. 88 Seiten. DM 14,80

Velte: Direkte Methoden der Variationsrechnung Eine Einfuhrung unter Berucksichtigung von Randwertaufgaben bei partiellen Differentialgleichungen. 198 Seiten. DM 26,80 (LAMM)

Walter: Biomathematik fiir Mediziner 2. Aufl. 206 Seiten. DM 19,80

Witting: Mathematlsche Statistik Eine Einfuhrung in Theorie und Methoden. 3. Aufl. 223 Seiten. DM 26,80 (LAMM)

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