anh xa

Bài 1: TẬPHỢP & ÁNH XẠ

TS Trương Bá Hà

16-Oct-071 TS Trương Bá Hà – Tập hợp & ánh xạ

Nội dung bài giảng1. Định nghĩa tập hợp2. Các phép toán trên tập hợp3. Định nghĩa ánh xạ4. Đơn ánh, toàn ánh và song ánh

16-Oct-072 TS Trương Bá Hà – Tập hợp và ánh xạ

Định nghĩa tập hợp

Định nghĩa

Tập hợp là một khái niệm nguyên thủy của toán học mà takhông thể định nghĩa được.Ta có thể hiểu tập hợp là một nhóm các phần tử. Tuynhiên thế nào là một nhóm?Định nghĩa một tập hợp có nghĩa là chỉ ra một cơ chế mà

16-Oct-07TS Trương Bá Hà – Tập hợp và ánh xạ3

Định nghĩa một tập hợp có nghĩa là chỉ ra một cơ chế màtheo đó ta có thể xác định được một phần tử xác định cóthuộc tập hợp đó hay không.

Ví dụ 1 (liệt kê các phần tử thuộc tập hợp)

A={a,b,c}, B={Xuân, Hạ, Thu, Đông},C={e,π,”Albert Einstein”,2009,”Chelsea”}

Định nghĩa tập hợp (tt)Ví dụ 2 (chỉ ra các đ/k mà các phần tử phải thỏa mãn)

Tập số thực { x∈ }�

S = {x∈S|P(x)} : bao gồm các phần tử x sao cho hàmmệnh đề P(x) có giá trị logic là trueS = {x∈S|P(x)} : bao gồm các phần tử x sao cho hàmmệnh đề P(x) có giá trị logic là true


Tập số thực { x∈ }Tập số tự nhiên { x∈ } = {1,2,3,…}Tập số nguyên { x∈ } = {0,±1, ± 2, ± 3,…}

�

�

�

Chú ý

Thứ tự của các phần tử trong một tập hợp là không quan trọng

Quan hệ bao hàm1. Nếu phần tử a thuộc tập S ta viết a ∈ S

2. Nếu phần tử b không thuộc tập S ta viết b ∉ S

3. Tập không chứa phần tử nào được gọi là tập rỗng và ký hiệu là ∅

4. Nếu mọi phần tử của tập A cũng là phần tử của tập B ta bảo tập A làtập con của B và ký hiệu là A ⊂ B hay B ⊃ A


tập con của B và ký hiệu là A ⊂ B hay B ⊃ Avì A ⊂ A và ∅ ⊂ A , A và ∅ là các tập con tầm thường của ANếu B ⊂ A và B ≠ A : B là tập con chân chính của A

5. Tập chứa tất cả các phần tử mà ta quan tâm được gọi là tập vũ trụ vàký hiệu là U

6. Ta luôn có ∅ ⊂ S ⊂ U với ∀ S

Quan hệ bằng nhau

Định nghĩa

Hai tập A và B được gọi là bằng nhau nếu A là tậpcon của B và B là tập con của A

Ký hiệu A = B


Ký hiệu A = B

Ví dụ

1. {e,π} = {π, e}2. {Xuân, Hạ, Thu, Đông} = {Thu, Hạ, Xuân, Đông}

Giản đồ Venn

Một giản đồ Venn được xây dựng với mộttập hợp các đường cong đơn giản khépkín được vẽ trên một mặt phẳng. Nguyêntắc của các giản đồ này là các tập hợpđược đại diện bởi các khu vực trong mốiquan hệ với nhau sao cho tất cả các mốiquan hệ hợp lý có thể của các tập hợp có


John Venn (1834-1923)

British logician and philosopher

thể được chỉ ra trong cùng một giản đồ

Giản đồ Venn của 3 tập hợp A, B và C

Các phép toán trên tập hợp

Định nghĩa phép hợp (union)

A ∪ B = {x | x ∈ A or x ∈ B} A BA


Định nghĩa phép giao (intersection)

A ∩ B = {x | x ∈ A and x ∈ B}

Các phép toán trên tập hợp (tt)

Định nghĩa phép hiệu (difference)

A \ B = {x | x ∈ A and x ∉ B}


Định nghĩa phép bù (complement)

Ac = U \ A = {x | x ∈ U and x ∉ A}A

U \ A

Các phép toán trên tập hợp (tt)

Định nghĩa phép tích Đề Các(Cartersian product)

A x B = {(a,b) | a ∈ A and b ∈ B}

Ví dụ


René Descartes (1596-1650)

French philosopher, mathematician, physicist

Ví dụ

1. {a,b} x {x,y,z} = {(a,x),(a,y),(a,z),(b,x),(b,y),(b,z)}2. x = = {(x,y) | x,y ∈ }� �

2� �

Các tính chất cơ bản của tập hợp (8 luật)

1. Luật lũy đẳngA ∪ A = AA ∩ A = A

2. Luật hấp thụ (luật nuốt)A ∪ (A ∩ B) = A

∩ ∪

5. Luật giao hoánA ∪ B = B ∪ AA ∩ B = B ∩ A

6. Luật kết hợpA ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C

∩ ∩ ∩ ∩


A ∪ (A ∩ B) = AA ∩ (A ∪ B) = A

3. Luật đồng nhấtA ∪ ∅ = AA ∩ U = A

4. Luật bù(A c)c = A

A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ CA ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C

7. Luật phân phốiA ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

8. Luật De Morgan(A ∪ B)c = Ac ∩ Bc

(A ∩ B)c = Ac ∪ Bc

Tập lũy thừa (power set)

Định nghĩa

Tập tất cả các tập con của A được gọi làtập lũy thừa của A

pow(A) = {S | S ⊂ A}


pow(A) = {S | S ⊂ A}

Ví dụ

1. pow({a,b}) = {∅,{a},{b},{a,b}}2. pow(∅) = {∅}

Nghịch lý Ru Xeo – Rusell’s Paradox

Định nghĩa

Cho W = {S | S ∉ S}Vậy S ∈ W ⇔ S ∉ S

Cho S = W ⇒ W ∉ W

Dẫn đến nghịch lý Bertrand Russell (1872-1970)

English philosopher, logician,


Dẫn đến nghịch lýW ∈ W ⇒ W ∉ W

Tập hợp tất cả các tập không thể xem là một tập

English philosopher, logician, mathematician, historian,

and social critic

Kết luận

Nghịch lý anh thợ cạo (Barber Paradox)Một phiên bản của Russell’s Paradox là Barber Paradox hay nghịch lý anh thợ cạo:

Ngày xưa, có 1 ông thợ cạo, sống ở làng Seville. Tại làng đó, tất cả đàn ông đềutự cạo râu hoặc nhờ thợ cạo. Và ông thợ này đã tuyên bố: “Tôi chỉ cạo râu cho nhữngngười đàn ông nào của làng Seville mà không tự cạo râu”.

Rắc rối vì, nếu như thế các đấng nam nhi của làng chia làm 2 nhóm: nhóm tự cạorâu và nhóm không tự cạo râu. Vậy thì thợ cạo thuộc nhóm nào đây?

Nếu thuộc nhóm tự cạo râu (nhóm 1) thì ông không cạo cho những người tự cạorâu, tức là ông không cạo cho ông. Nhưng nếu như vậy thì ông phải thuộc nhóm khôngtự cạo râu (nhóm 2).


tự cạo râu (nhóm 2).Nếu ở nhóm 2 thì ông sẽ cạo râu cho ông vì ông cạo râu cho những người thuộc

nhóm 2. Lúc đó hoá ra ông lại tự cao râu cho mình. Hóa ra, ông là người thuộc nhóm1.

Vậy thì ông thợ cạo sẽ như thế nào?Điều trên có lẽ chỉ xảy ra nếu như người thợ cạo đó không sống ở làng Seville.

Đây là điều không thể, vì ở đầu câu truyện đã nói rõ, người thợ cạo có lẽ sống ở làngSeville. Vậy thì người thợ cạo chỉ có thể là phụ nữ !!! Lại không đúng nốt. Vì trong câuchuyện đã nói rõ có 1 ông thợ cạo.

Định nghĩa ánh xạ

Định nghĩa

Ví dụ

:

( )

f A B

a A b f a B

→

∈ ⇒ = ∈

2( ) ,f x x x= ∀ ∈�

A A

A B

a b

f


Ví dụ

1. X ⊂ A : Miền xác định (domain) của f, ký hiệu là D(f)

2. Y = f(X) = {f(x) | x ∈ X} ⊂ B : Miền giá trị của f , ký hiệu là R(f)

hay Im(f)

3. ∀y ∈ R(f) ta định nghĩa f(-1)(y) = {x ∈ X | f(x) = y} : tạo ảnhtoàn phần của y

2( ) ,f x x x= ∀ ∈�

A B

( )x X y f x B∀ ∈ ⇒ = ∈

Định nghĩa ánh xạ đơn ánh

Định nghĩa

:f X B→cho

A A

X B

x1 y1

f

x2

y2


1 2 1 2

1 2 1 2

:

( ) ( )

( ) ( )

f X B

f

x x X f x f x

f x f x x x

→

∀ ≠ ∈ ⇒ ≠

= ⇒ =

cho

ñöôïc goïi laø ñôn aùnh neáu

hay

X B

A

Định nghĩa ánh xạ toàn ánh

Định nghĩa

:f X B→Cho

Ta coù

A

X B

x y

f


( )

:

( )

| ( )

f X B

f

f X B

hay

y B x X f x y

⊂

=

∀ ∈ ⇒ ∃ ∈ =

Ta coù

ñöôïc goïi laø toaøn aùnh neáu

X B

A

Định nghĩa ánh xạ song ánh

Định nghĩa

:f X B→

A

X B

x y

f


X B

f được gọi là song ánh nếu f vừa là đơn ánh vừa là toàn

ánh, tức là ánh xạ 1-1

Ví dụ

3

:

( )

f

x f x x

→

∀ ∈ ⇒ =

� �

�

Tính chất các ánh xạ

Định nghĩa ánh xạ đồng nhất

:

( )

: X

f X X

x X f x x

I

→

∀ ∈ ⇒ =

Kyù hieäu


: XIKyù hieäu

Định nghĩa ánh xạ bằng nhau

: :

( ) ( )

:

f X Y g X Y

f g

x X f x g x

f g

→ →

∀ ∈ ⇒ =

=

Cho vaø

vaø ñöôïc goïi laø caùc aùnh xaï baèng nhau neáu

Kyù hieäu

Ánh xạ ngược

Định nghĩa ánh xạ khả nghịch

:

: |

f X Y

g Y X fg I va gf I

→

∃ → = =

ñöôïc goïi laø aùnh xaï khaû nghòch neáu


1

: |Y

g Y X fg I va gf I

g f f−

∃ → = =

=

X

ñöôïc goïi laø aùnh xaï ngöôïc cuûa aùnh xaï

Ánh xạ ngược (tt)

Định lý

:f X Y k f→ haû nghòch khi vaø chæ khi laø moät song aùnh

Chứng minh

f fa/ giaû söû laø song aùnh ta c/m khaû nghòch


1| ( )

: : ( ) | ( )

( )( ) ( ( )) ( )

Y

X

y Y x X f x y

g Y X y Y x g y X f x y

fg If

gf x g f x g y x gf

f

I

f

f ⇒ ∀ ∈ ∃ ∈ =

→ ∀ ∈ ⇒ = ⊂ =

⇒ = ⇒

= =

⇒

= ⇒ =

xeùt aùnh xaï

ta coù

(fg)(y)=f

a/ giaû söû laø song aùnh ta c/m khaû n

(g(y))=f(

ghòch

song aùn

x)=ykhaû n

h

ghòch

Ánh xạ ngược (tt)Chứng minh (tt)

Y

X

f f

fg If

gf I

=⇒

=

b/ giaû söû khaû nghòch ta c/m laø song aùnh

khaû nghòch


2 2

2 2

( ) ( ) ( ( )) ( ) :

( ( )) ( ( )) ( ) ( )

( ) ( ) :

X

Y

X X

gf I

y Y y I y fg y f g y f x f

g f g f gf gf

I I f

f

=

∀ ∈ ⇒ = = = = ⇒

⇒ = ⇒ = ⇒

= ⇒ = ⇒

1 2 1 1

1 1

toaøn aùnh

f(x )=f(x ) x x x x

x x x x ñôn aùnh

vaäy song aùnh

Tập tương đương

Định nghĩa

Hai tập A và B được gọi là tương đương nếu giữa A

và B có thể thiết lập một song ánhKý hiệu ~A B

Tính chất của tập tương đương


Tính chất của tập tương đương

:

:

~

~ ~ ~:

~ ~

A

A

A

B B A

B B C A CA

⇒

⇒

1. Tính phaûn xaï

2. Tính ñoái xöùng

3. Tính baét vaø caàu

Tập đếm được

Định nghĩa

A được gọi là tập đếm được nếu ~A �

Chú ý

Nếu A là tập đếm được thì có thể biểu diễn A dưới


Nếu A là tập đếm được thì có thể biểu diễn A dướidạng

1 2 3{ , , ,..., ,...}

nA a a a a=

anh xa

Documents