LICEO NAVAL C. DE C. “MANUEL CLAVERO” TRIGONOMETRIA 5°

- 1 -

ÁNGULOS HORIZONTALES DEFINICIÓN: Son aquellos ángulos ubicados en el plano

horizontal, que en la práctica son determinados por el uso

de la ROSA NAÚTICA.

ROSA NAUTICA: Llamado también compás marino, es

un instrumento de orientación que permite localizar un

punto respecto de otro llamado referencia; haciendo uso

de las llamadas direcciones o rumbos (32) y de los puntos

cardinales (N, S, E, O), formando entre dirección y

dirección un ángulo de; 11°15’

DIRECCIONES NOTABLES: Nos indica la posición en

que se encuentra un punto con respecto al otro, teniendo

como base los puntos cardinales, se obtienen al trazar

bisectrices consecutivas en la Rosa Náutica

Por ejemplo en el gráfico:

mËθ = 11º15’ RUMBOS Y DIRECCIONES Para ubicar la posición de una persona u objeto con

respecto a un punto determinado en el plano horizontal, se

emplean con frecuencia los rumbos o direcciones;

entendiéndose por:

RUMBO: El ángulo agudo horizontal que forma la

dirección de la persona u objeto con respecto al eje

norte - sur, cuando esta se desvía hacia el este (E) u oeste

(O)

DIRECCIÓN: La línea recta sobre la cual se encuentra la

persona u objeto con respecto a una Rosa Náutica,

quedando determinada dicha dirección por su rumbo.

� El rumbo de “A” con respecto a “P”

Es “θ” al este del norte

� La dirección de “A” con respecto a “P”

Es “NθE” (Norte θ del Este)

DIRECCIONES OPUESTAS: El opuesto de una dirección dada, se obtiene cambiando

las direcciones que aparezcan por sus respectivos opuestos,

sin cambiar el ángulo.

DIRECCIÓN DIRECCIÓN OPUESTA

NαE SαO

N4

1NE S

4

1SO

SO NE

ENE OSO

NOTA: En todo problema donde se incluyan ángulos

verticales y horizontales a la vez, se deberá bosquejar

diagramas tridimensionales para tener una mejor visión y

ubicación del problema.

PRACTICA DIRIGIDA

01. Calcular el mayor ángulo formado por las direcciones:

SE4

1 S y N

4

1NE.

A) 250° B) 210° C) 225°

D) 270° E) 185°

02. Si desde “A” se observa a “B” al NαE ¿En que

dirección se halla “A” respecto a “B”?

A) NαE B) SαE C) NαO

D) SαO E) NαS

03. Un joven sale de su casa y hace el siguiente recorrido:

24m al N30°O y luego una cierta distancia al E53°N,

hasta ubicarse al Norte de su casa, ¿Qué distancia

recorrió en el último tramo?

A) 10m B) 20m C) 30m

D) 25m E) 15m

04. Un niño sale de su casa y hace el siguiente recorrido:

40m al Norte, 60m al Este y una cierta distancia al

S37°O, hasta ubicarse al Este de su casa. ¿A que

distancia de su casa se encuentra?

A) 10m B) 20m C) 30m

D) 25m E) 15m

05. Desde los puntos “A y “B” se divisa un punto “C” al

N10°E y N50°O respectivamente. Si desde “A” se

divisa a “B” al N70°E a 20m de distancia. ¿Qué

distancia hay entre “B” y “C”?

A) 20m B) 10m C) 40m

D) 320 m E) 310 m

N

S

E O P

θ

A

LICEO NAVAL C. DE C. “MANUEL CLAVERO” TRIGONOMETRIA 5°

- 2 -

06. Una gordita con intensión de adelgazar decide hacer

una caminata recorriendo inicialmente 40 m hacia el

Oeste, después camina 20 m en la dirección N30°E,

luego sigue por el NE, pero lamentablemente, sufre un

desmayo. ¿Qué distancia recorrió en el último tramo?.

A) 15 2 B) 3 2 C) 30 3

D) 15 3 E) 60

07. Luis se encuentra a 16m de Manuel en la dirección

S60°O y Sara se encuentra a 12 m de Manuel en la

dirección N30°O. Hallar la distancia entre Luis y Sara.

A) 20 B) 15 C) 10

D) 13 E) N.A.

08. Un auto parte en la dirección NE y recorre 40 km,

luego se dirige hacia el este, recorriendo una distancia

“d” y finalmente se dirige hacia el E53°S, llegando a

un punto ubicado al este del punto de partida; calcule

el valor de “d”, si el auto se desplazo en total 90 km.

A) 10 km B) 20 km C) 30 km

D) 40 km E) 50 km

09. Una persona sale de su casa y se dirige al sur,

recorriendo 18 km en esa dirección, luego se va hacia

el oeste y recorre una distancia igual al doble de la

anterior, finalmente avanza 60 km en la dirección

N37°O; determine que distancia la separa de su casa.

A) 60 km B) 64 km C) 72 km

D) 78 km E) 80 km

10. Si desde un punto se observan dos árboles “A” y “B”

en los rumbos O37°N y E53°B respectivamente: ¿Cuál

debe ser la distancia entre los dos árboles, si desde

“A” se vuelve a observar “B” a 16° al Norte del Este y

la distancia del punto de observación inicial al árbol

“B” es de 20 m?.

A) 15 B) 20 C) 25

D) 30 E) N.A

11. Dos móviles parten desde un mismo punto, el primero

con dirección N α° E y el segundo con rumbo S 2α° E,

cuando el primero recorre 20 m y el segundo 21 m, la

distancia que los separa es de 29 m. Calcular “α”.

A) 15° B) 18° C) 30°

D) 37° E) 45°

12. Un móvil recorre 40 km en la dirección N53°O; luego

40 2 km en la dirección SO y finalmente 60 km

hacia el Este. ¿A que distancia se encuentra el móvil

con respecto a la posición inicial?

A) 20km B) 25 km C) 30 km

D) 35 km E) 40 km

13. Dos barcos salen de un puerto en las direcciones

S37°O y N53°E, recorriendo espacios iguales, si la

distancia que los separa es de 14 2 m. ¿Cuál es el

espacio recorrido?

A) 10m B) 20m C) 25m

D) 15m E) 30m

14. Desde un punto “A” parten dos personas una en

dirección N37°E y la otra en dirección Este, luego de

cierto tiempo la segunda persona observa a la primera

ubicada al NO y a una distancia de 4 2 m, obtenga

la suma de las distancias recorridas por ambas

personas hasta el momento de la observación.

A) 3m B) 6m C) 9m

D) 12m E) 15m

15. Desde dos puntos A y B ubicados al Sur y al Este de

un poste, se ve su parte más alta con ángulos de

elevación de 45° y 30°. Si la distancia AB es 20m.

¿Cuál es la altura del poste?

A) 10m B) 20m C) 40m

D) 320 m E) 310 m

16. Williams al salir de su casa se dirige hacia su

universidad siguiendo la dirección N30°E, pero en el

camino se arrepiente y se va en busca de Norma en la

dirección S60°E y la encuentra justo al Este de su

punto de partida. Si el recorrido total que hizo

Williams es 273 m, calcular la distancia entre su casa y

el punto de encuentro.

A) 200 B) 300 C) 400

D) 3200 E) N.A.

17. Desde el borde superior de un edificio se observa los

puntos A y B en las direcciones Sur y Este bajo un

ángulo de depresión de 45° y 30°. Si la altura del

edificio es de 20m. Calcular la distancia entre los

puntos A y B.

A) 30m B) 50m C) 40m

D) 520 m E) 240 m

18. Un faro de 34m de altura desde su parte más alta se

observa 2 barcos con ángulos de depresión de 30° y

45° respectivamente uno al Sur y el otro al Este.

Determinar la distancia entre los barcos.

A) 64m B) 66m C) 68m

D) 70m E) 72m

19. Dos torres están en la misma dirección “NE” de una

persona. Esta persona camina 200m y una de las

torres está en la dirección Norte y la otra al “NO” de

dicha persona. Hallar la distancia entre las torres si la

persona caminó en dirección Este.

A) 100m B) 50m C) 150m

D) 250 m E) m2100

20. Al Este, Oeste, Norte y Sur de un árbol se encuentran:

Dalila, Marco, Ulises y Galeno, quienes observan la

parte superior del árbol con ángulos de elevación de

30°, 37°, 45° y 53° respectivamente. ¿Quién está más

cerca del árbol?

A) Dalila B) Marco C) Ulises

D) Galeno E) FD.

LICEO NAVAL C. DE C. “MANUEL CLAVERO” TRIGONOMETRIA 5°

- 3 -

21. Un ratoncito sale de su agujero y hace el siguiente

recorrido: camina 30m con rumbo N30°E, luego 10m

hacia el Este; luego 215 m al SE, luego 20m al

Oeste y finalmente camina hacia el Sur hasta un

punto que se encuentra al Este de su agujero. ¿A qué

distancia del agujero se encuentra?

A) 10m B) 20m C) 15m

D) 25m E) 220 m

22. Se tiene dos puntos ubicados al Norte y Oeste de un

poste a una misma distancia. Si del poste se ubica un

punto “P” sobre la línea que une los dos primeros

puntos, al N37°O. Calcular la distancia del punto “P”

al poste si la distancia entre los puntos es de 214 m

A) 5m B) 10m C) 15m

D) 2m E) 7m

23. Desde un punto ubicado al Oeste de una torre se

observa lo alto de la misma con un ángulo de

elevación de 45°. De aquí nos desplazamos hacia el

S37°E hasta ubicarnos al O37°S de la torre; y

observamos lo alto con un ángulo de elevación “θ”.

Calcular “Tgθ”.

A) 0,25 B) 3,25 C) 1,15

D) 1,25 E) 2,25

24. Desde un terminal terrestre parten dos ómnibus hacia

el Norte y Este, a la misma velocidad. Luego de un

cierto tiempo, parten del mismo terminal otro ómnibus

en la dirección N37°E hasta ubicarse sobre la línea

que une a los otros dos ómnibus. Si la distancia que

separa a los dos primeros ómnibus es de 221 km.

¿Cuánto recorrió el tercer ómnibus?.

A) 5 B) 10 C) 15

D) 20 E) 25

25. Un joven observa la parte superior de un poste de luz,

en la dirección Este y con una elevación angular “θ”

cuya tangente es 9/8, si el joven se desplaza en la

dirección S53°E hasta un punto ubicado exactamente

al Sur del poste, y observa que el nuevo ángulo de

elevación es “φ”, calcular “Tgφ”.

A) 1/2 B) 2/3 C) 3/2

D) 2 E) 4/3

26. Los autos A y B parten simultáneamente desde puntos

diferentes y con la misma velocidad; el auto “A” parte

en la dirección N60°E y el auto “B” lo hace en la

dirección O60°N, determine la distancia que separaba

inicialmente a estos autos sabiendo que el auto “A”

recorrió 28 km.

A) 4 km B) 8 km C) 12 km

D) 16 km E) 20 km

27. Un paracaidista entes de saltar observa desde una

altura de 12m el punto donde caer, con un ángulo de

depresión de 45°, y en una dirección SE; pero al

momento de saltar cae con un ángulo de inclinación

de 30° en una dirección SO. Calcular a que distancia

cayó del punto fijado.

A) 6m B) 18m C) 30m

D) 12m E) 24m

28. Desde un helicóptero que esta a 50 m sobre el nivel

del mar, se observa una lancha hacia el este con un

ángulo de depresión de 45° y hacia el sur se observa

un barco con un ángulo de depresión de 30°; calcule

la distancia que separa al barco de la lancha.

A) 50 m B) 60 m C) 80 m

D) 75 m E) 100 m

29. Un alumno del Liceo propone el siguiente problema:

“Si estuviese al sur del Liceo vería su parte mas alta

con un ángulo de elevación de 37° y si me desplazo al

oeste una distancia igual al doble de la que me

encontraba inicialmente, la observaría con un ángulo

de elevación “θ”. ¿A que es igual Ctgθ?

A) 3

5 B)

3

52 C) 5

D) 3

54 E)

3

55

30. Pepe desea ir a su academia que se encuentra al EθS

de el, pero primero va a la casa de María situado a

“d” m de el en la dirección SθO. Luego ambos

deciden ir al cine, situado a “D” m al sur de ellos para

finalmente ir a la academia situado a “x” m al este del

cine. Hallar x

A) DTgθ + dSecθ B) DCtgθ + dCscθ

C) DSecθ + dTgθ D) dCtgθ + DCscθ

E) DCscθ + dSecθ 31. Una persona caminando hacia el NE observa una

casa en la dirección N15°E. Cuando han transcurrido

15 minutos la persona es observada desde la casa en

dirección S75°E y a 250 m de distancia. Calcular la

velocidad de la persona.

A) 2 km/h B) 2,5 km/h C) 3 km/h

D) 4 km/h E) 5 km/h

32. Un avión que viaja a una altura constante de 3120

m, es visto desde un punto A de su trayectoria con un

ángulo de elevación de 37° y después de 3 seg, lo ven

al norte con ángulo de elevación de 53°, desde un

punto B. Situado en la dirección O30°S de A. Calcular

la velocidad del avión en m/s, sabiendo además que

viaja de este a oeste.

A) 80 B) 150 C) 200

D) 180 E) N.A.

33. En un instante dado un tren que viaja en línea recta

tiene un extremo al NO y el otro extremo a 15° al

norte del este de un campesino. ¿Con qué ángulo

miraba el campesino al tren completo?.

A) 60° B) 75° C) 90°

D) 105° E) N.A.