Ángulos en la circunferencia-iii

LVARO M. SNCHEZ VSQUEZ PROF. MATEMTICA y FSICA Pgina 1

CIRCUNFERENCIA

EN ESTA UNIDAD APRENDERS A: Identificar ngulos del centro y ngulos inscritos en una circunferencia. Relacionar la medida del ngulo del centro con la del correspondiente ngulo inscrito. Relacionar las medidas de ngulos interiores y exteriores en una circunferencia con las medidas de los arcos que subtienden. Aplicar la nocin de semejanza en la demostracin de relaciones entre segmentos de cuerdas, secantes y tangentes en una circunferencia.

CMO CONTENIDOS DE LA UNIDAD

APRENDIZAJES ESPERADOS

INDICADORES

Identificacin de ngulos del centro y ngulos inscritos en una circunferencia,

demostracin del teorema que

relaciona la medida del ngulo del centro con la del correspondiente ngulo inscrito.

Aplicacin de la nocin de semejanza a la demostracin de relaciones entre segmentos en cuerdas y secantes en

una circunferencia y a la homotecia de figuras planas.

Medicin de arcos. ngulos del centro y ngulos inscritos. ngulos semi inscritos. ngulos interiores y ngulos exteriores a una circunferencia. Proporcionalidad entre las cuerdas de una circunferencia.

Proporcionalidad entre las secantes de una circunferencia. Proporcionalidad entre las secantes y tangentes de una

circunferencia.

Identificar ngulos del centro y ngulos inscritos en una circunferencia.

Relacionar la medida del ngulo del

centro con la del Correspondiente ngulo inscrito. Aplicar la nocin de semejanza en la

demostracin de relaciones entre segmentos de cuerdas, secantes y tangentes en una circunferencia.

Identifican ngulos del centro y ngulos inscritos en una circunferencia.

Relacionan la medida del ngulo del

centro con la del Correspondiente ngulo inscrito. Aplican la nocin de semejanza en la

demostracin de relaciones entre segmentos de cuerdas, secantes y tangentes en una circunferencia.


EJE TEMTICO: GEOMETRA UNIDAD: NGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA

La circunferencia es la ms sencilla y familiar de las curvas y constituye, desde tiempos remotos, un elemento de suma

importancia para el arte, el diseo y la arquitectura. Hace aproximadamente dos mil quinientos aos, en Grecia ya haba matemticos preocupados por estudiar los

elementos y relaciones que se dan en la circunferencia. Eratstenes es particularmente recordado por haber

establecido por primera vez la longitud de la circunferencia de la Tierra (252.000 estadios, equivalentes a 40.000 kilmetros) con un error de slo 90 kilmetros respecto a

las estimaciones actuales.

DEFINICION:

Una circunferencia, es el conjunto de todos los puntos del plano, tales que su distancia a un punto fijo llamado centro es la misma para todos los puntos del conjunto.

Esta distancia, es a la que llamamos radio, y el segmento que une dos puntos, pasando por el centro, se le denomina Dimetro, el cual equivaldra a dos veces el radio

NOTA: No se debe confundir con el crculo, el cual, es la superficie compuesta por los puntos de la circunferencia y los que se encuentran dentro de ellos.

drAB

rBOAO

quededuceseanteriorloDe

dimetroABd

radioBOr

radioAOr

2

2

:

)(

)(

)(


NGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA

ANGULO CENTRAL: Su vrtice se ubica en el Centro, y sus lados son dos radios

El ngulo del centro, tiene igual medida que el arco que subtiende, y viceversa. Nota: El arco es BA, y no AB, puesto que los arcos se miden en sentido antihorario

ANGULO INSCRITO: Su vrtice se ubica en la Circunferencia y sus lados son

cuerdas.

El ngulo Inscrito tiene por medida, la mitad del arco que subtiende.

Teorema. La medida de un ngulo inscrito es igual a la mitad de la medida del ngulo del centro, siempre que a ambos se les oponga el mismo arco o arcos

congruentes. Hiptesis. C(O, r) ACB es ngulo inscrito en la circunferencia

AOB es ngulo del centro de la circunferencia es arco que se opone a ambos ngulos

Tesis: 2

1


Figura Caractersticas Medida

Vrtice en la circunferencia. Los lados son cuerdas de

ella.

ACB subtiende a el centro de la circunferencia

est en un lado del ngulo

m( ACB)=2

1m( AOB)

2

1

Vrtice en la circunferencia.

Los lados son cuerdas de ella. ACB subtiende a El centro de la circunferencia est en el

interior del ngulo

m( ACB)=2

1m( AOB)

2

1

Vrtice en la circunferencia.

Los lados son cuerdas de ella. ACB subtiende a El centro de la

circunferencia est en el exterior del ngulo

m( ACB)=2

1m( AOB)

2

1

Demostracin.

a. El centro de la circunferencia est en un lado del ngulo inscrito

ACO issceles de base AC ( OCyOA radios)

2 (ngulo exterior)

2

1


b. El centro de la circunferencia est en el interior del ngulo inscrito.

AOC y BOC son issceles de bases BCyAC respectivamente

() 2121 En AOC 11 2 (ngulo exterior)

En BOC 22 2 (ngulo exterior)

2121 22 (por axioma de adicin)

)( 2121 2 Factorizando

Reemplazando 2

Por tanto 2

1

c. El centro de la circunferencia est en el exterior del ngulo inscrito

Trazamos el dimetroCD

OBC issceles, de base BC )( 2121 2 (ngulo exterior del tringulo)

22 11

Por el primer caso 11 2

Luego, 222 11

2 (por axioma de cancelacin)

Por lo tanto, 2

1

ANGULO INTERIOR: Es el ngulo formado por la intercepcin de dos cuerdas cualesquiera, su vrtice se ubica en el interior de la circunferencia.

La medida del ngulo interior, es igual, a la semisuma de los arcos que intersecta en la circunferencia


ANGULO EXTERIOR: Es el ngulo formado por secantes y/o tangentes, cuyo vrtice se ubica fuera de la circunferencia.

La medida del ngulo exterior, es igual, a la semidiferencia de los arcos que

intersecta en la circunferencia ANGULO SEMINSCRITO: Su vrtice se ubica en la circunferencia, pero sus lados

son una tangente y una cuerda

La medida del ngulo semi-inscrito, es congruente, a la medida del ngulo inscrito

que subtiende el mismo arco, por tanto seria la mitad del arco que subtiende

Corolarios 1. Todos los ngulos Inscritos que subtiendan un mismo arco, son congruentes.

2


2. Todo Angulo Inscrito en una semicircunferencia, es recto.

3. Los ngulos Opuestos en un cuadriltero cualquiera, inscrito en la

circunferencia, son suplementarios (suman 180)

4. La recta tangente es perpendicular al radio en el punto de tangencia

5. El ngulo que forman dos rectas tangentes a una circunferencia es suplementario con el arco menor que determinan las rectas en la circunferencia

x + = 180

rT


6. Dos lneas paralelas secantes a la circunferencia, la interceptan en dos arcos congruentes

DEMOSTRACIN DE TEOREMAS

Teorema. En una misma circunferencia (o en circunferencias congruentes), a arcos congruentes corresponden cuerdas congruentes.

Hiptesis.

CDyAB son cuerdas correspondientes

Tesis.

Demostracin. Consideremos OAB y OCD, en ellos se cumple que: =

Luego, OAB OCD (por postulado LAL) Por lo tanto.

ngulos semiinscritos en una circunferencia.

Son aquellos ngulos cuyo vrtice est en la circunferencia y cuyos lados corresponden a una cuerda y una tangente


Teorema. La medida de un ngulo semiinscrito es igual a la mitad de la medida del ngulo del centro, si ambos subtienden el mismo arco o arcos

congruentes. Hiptesis. ABC es ngulo semiinscrito talque m( ABC) =

AOB es ngulo del centro tal que m( AOB) = Ambos ngulos subtienden arco

Tesis. 2

1

Demostracin

ABO es issceles de base AB

TOB (Tangente) Tenemos:

180218022

180290

11

111

/

2

222 11

Por lo tanto 2

1

CUADRILTEROS INSCRITOS A UNA CIRCUNFERENCIA

Cuadrilteros inscritos en una circunferencia Un cuadriltero ABCD est inscrito en una circunferencia si sus vrtices son puntos de ella

En la figura se puede apreciar que ABCD es un cuadriltero inscrito en una circunferencia ya que A, B, C, D )r,O(C

Teorema.

Si un cuadriltero est inscrito en una circunferencia, entonces sus ngulos opuestos son suplementarios

Hiptesis C(O,r) ABCD es un cuadriltero inscrito

,,, son las medidas de sus ngulos interiores

Tesis:

180

180


Teorema recproco. Si los ngulos opuestos de un cuadriltero son suplementarios, entonces este

cuadriltero es inscriptible en una circunferencia. Observacin. El cuadrado, el rectngulo y el trapecio issceles siempre pueden

inscribirse en una circunferencia Observacin. Todo tringulo se puede inscribir en una circunferencia

Observacin. Todo polgono regular es inscriptible en una circunferencia

Ejemplos.

1. Si 7598 y Calcule y

2. Si la medida del arco CBA es 200, calcule el ABC


3. Si EBC = 76 y FCB = 110, cunto mide ?


GUA EJERCICIOS: DESARROLLO

1. En la figura AB es dimetro de la circunferencia y el arco mide el doble del

arco . Cul es la medida del ngulo ABC?

2. En la figura, las cuerdas CDyAB son perpendiculares y el arco mide 35.

Cunto mide el arco ?

3. Cul es la medida del ngulo de acuerdo con los datos de la figura?


4. El tringulo ABC issceles de base AB est inscrito en la circunferencia y el arco

mide 100. Cul es la medida del ngulo ?

5. Si se sabe que 4535 y , cul es la medida del ngulo x de la figura?

6. El arco de la figura mide 94 y el arco mide 108. Cul es la medida del

ngulo ACB?


7. BPyAP son tangentes a la circunferencia en A y B, respectivamente, y ACB?

8. Cules son los valores de x e y de la figura?

9. En la figura, AB es dimetro de la circunferencia, y las medidas de los arcos

estn en la razn 1: 2: 3, respectivamente. Cul es el valor de x?


10. En la figura, AB es dimetro de la circunferencia, y = 58. Cul es el valor

de x?

11. En la figura, AD es dimetro de la circunferencia, y los arcos

son congruentes. Cul es la medida del ngulo BAE?

12. Cul es la medida del ngulo PAC de la figura si la recta PQ es tangente a la

circunferencia en el punto A, el ngulo ACB mide 65 y el arco mide 30?


13. La recta PQ es tangente a la circunferencia en el punto T. Los arcos

miden 135 y 55, respectivamente. Cul es la medida del ngulo TQR?

14. La rectaPC es tangente a la circunferencia de centro O en el punto C. El

ngulo AOB mide 126 y . Cul es la medida del ngulo ACP?

15. El ngulo APD de la figura mide 75 y el arco mide 95. Cul es la medida

del arco ?


16. El ngulo ADC de la figura mide 64, y el ngulo APC mide 34. Cunto mide

el arco ?

17. El cuadriltero ABCD est inscrito en la circunferencia. Cunto mide el ngulo

ADC?

18. En la figura, el ngulo MPQ mide 27 y el arco mide 42. Determine la

medida del arco


19. Segn los datos de la figura, Cul es el valor de ?

20. la cuerda CD es dimetro de la circunferencia. El arco mide 115 y el arco

mide 12. Determine la medida del arco y del BPD.

21. El arco mide 182, el ngulo APB mide 42 y AP es tangente a la

circunferencia en A. Cunto miden los arcos , respectivamente?


22. En la figura, las cuerdas BCyAD se intersectan en el punto P; los arcos

miden 200 y 104, respectivamente. Cunto mide el ngulo APB?

23. En la figura, la recta PB es tangente a la circunferencia en el punto B, y el ngulo ACB mide 76. Cunto mide el ngulo PBC si el tringulo ABC es issceles

de base AB ?

24. En la figura, ABCDE es un pentgono regular inscrito en la circunferencia;

PByPD son tangentes en B y D, respectivamente. Cul es la medida del BPD?


GUA DE EJERCICIOS

1. En la figura, DE es tangente a la circunferencia de centro O en el punto E y

BDBC . Si EAB = 10, cul es el complemento del ngulo ?

A) 20 B) 30

C) 40 D) 50 E) 60

2. En la figura, Arco AB = Arco CD y O es centro de la circunferencia. Entonces,

cul(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) x = y

II) x + y = 20

III) ACB = 2

x

A) Slo I B) Slo II C) Slo III

D) Slo I y II E) Slo I y III

3. En la circunferencia de centro O de la figura, OAD = 20. Entonces, el ACD mide

A) 40 B) 50

C) 60 D) 70 E) 80

4. En la circunferencia de centro O de la figura, el ngulo CAB mide 40. Cul es la medida del ngulo OCB?

A) 20 B) 30

C) 40 D) 50 E) 60

B

E C

A

D

O

x y 40

D C

B A

O

O O

D

C

B

A

O B

A

C


5. En la figura, si AOB = 56, entonces + 3 - 2 =? A) 28 B) 36

C) 42 D) 56 E) 112

6. En la figura, se tiene un semicrculo de centro O y ABC = 40. El valor del x es:

A) 20 B) 25 C) 40

D) 50 E) 60

7. En el ABC de la figura se ha dibujado la circunferencia inscrita a l. E, F y D

son los puntos de tangencia, entonces x = A) 73

B) 58 C) 43 D) 21,5

E) 17

8. ABes dimetro de la circunferencia de centro O. Si BDOC y CAB = 40,

entonces ABD =

A) 10 B) 20 C) 22,5

D) 30 E) 40

A

C

x

F

E

D

B

52

94

O

B

D A C


9. En la circunferencia de centro O, ODOC . Si COD = AOB + 38, Cunto

mide el AOD si AOB = BOC? A) 104 B) 142

C) 166 D) 176 E) 256

10. En la circunferencia de centro O, AB //CD y AB : AD = 1:2. AOC = A) 135

B) 120 C) 90 D) 60

E) 45

11. En la circunferencia de centro O, MNPO es un rombo. NPO = A) 30

B) 45 C) 60 D) 120

E) No se puede determinar

12. En la circunferencia de la figura, AC y AD son secantes, BD y CE son

cuerdas. Si arco CD = 100 y el ngulo DFC es el cudruplo del ngulo BAD,

entonces arco BE = A) 20

B) 30 C) 40 D) 60

E) 80

M

N

P

O

E

F A

D

B C


13. En la circunferencia de centro O, AB // CD , COE = 30 y EOD = 70,

entonces la medida del DOB = A) 20

B) 40 C) 60 D) 70

E) 80

14. En la circunferencia de centro O de la figura, x = A) 4 90 B) 4 180 C) 90 - 4

D) 2 45 E) 2 90

15. El cuadriltero ABCD de la figura, est inscrito en la circunferencia de centro

O. Si PCB = 80 y ADC = 110, entonces x = A) 10 B) 20

C) 30 D) 40 E) No se puede determinar

16. En la figura, la circunferencia tiene centro 0 y dimetro AB . Entonces, cul es la medida del ngulo ?

A) 20 B) 30

C) 45 D) 60

E) 90

110

O

x

P A B

D

C


17. En la circunferencia de centro O de la figura, TA es tangente en A, TC // AB y

ATC = 30. Si AC es dimetro, entonces ACB =

A) 60 B) 45

C) 35 D) 30 E) 20

18. En la circunferencia de la figura, si APB = 100, DQC = 120 y DB es

dimetro, entonces AMD = A) 20

B) 40 C) 50 D) 55

E) 60

19. En la circunferencia de centro O, si BAO = 50, entonces BCA= A) 25

B) 40 C) 50 D) 60

E) 80

20. En la circunferencia de centro O de la figura, si CM es cuerda y

ACM + CMB = 115, entonces APC = A) 35

B) 45 C) 65 D) 75

E) 85

T

A

B

C

O

Q

P

A B

C D

M

A

B C O

A B

C

P

O

M


21. En la figura, AB es dimetro y CE es tangente en D a la circunferencia.

Si ACD = 32, entonces ADE=

A) 42 B) 44 C) 48

D) 52 E) 61

22. En la circunferencia de centro O de la figura, ODAB y ADO = 60.

Entonces ACB = A) 30

B) 60 C) 70 D) 80

E) 120

23. En la figura, si NMT = 30 y NQT = 20, entonces MNL = A) 10

B) 20 C) 30

D) 35 E) 40

24. En la figura, el arco AB es 10

1 de la circunferencia de centro O. Si AC es la

bisectriz del OAB, entonces AOC =

A) 72 B) 90 C) 108

D) 135 E) 144

C

A

B

D E

C

D

A B

O

N M

Q

L

T

O

A B

O

C


25. En la figura, CG es tangente en F a la circunferencia. Si GCE = 130 y

Arco FA = 160, entonces AFC = A) 110

B) 100 C) 90 D) 80

E) 70

26. En la circunferencia de la figura, S es punto medio del arco QR.

Si PQR = 71 y PRQ = 51, entonces QRS = A) 61

B) 58 C) 29,5 D) 29

E) 28

27. En la circunferencia de centro O de la figura, las cuerdas BDyAC forman un

ngulo de 60. Si DOC = 80, entonces ADB =

A) 20 B) 30 C) 40

D) 60 E) 80

28. En la figura, AB es dimetro de la circunferencia de centro O. Cul es la

medida del ngulo x, si ODOC ?

A) 15 B) 30 C) 45

D) 60 E) 75

E

C D A

F

G

D C

B A

80

60

O


29. En la circunferencia de centro O, y son ngulos complementarios,

entonces x =

A) 60 B) 80

C) 120 D) 150 E) 300

30. En la figura, el rectngulo ABCD est inscrito en la circunferencia de

centro O. Si el arco AB = 1

4 arco BC y L es una recta tangente a la

circunferencia en A, entonces el EAD mide

A) 45 B) 90 C) 36

D) 72 E) 144

31. En la circunferencia de la figura, est inscrito un polgono regular de seis

lados. El valor del ngulo x es A) 30

B) 45 C) 60 D) 120

E) Falta informacin

32. En la circunferencia de centro O de la figura, si APD = 80 y CED = 50, entonces Arco BC =

A) 150 B) 110

C) 80 D) 60 E) 50

x

O

x

80

50

P

C

D

O

B

A

A

D

C

B

E

L O


33. En la figura, ABCD es un cuadriltero inscrito en la circunferencia. Si

ABC = 134, ACB = 34 y arco DC = 122, entonces el valor del x es A) 95 B) 68

C) 61 D) 56 E) 27

34. En la circunferencia de centro O, de la figura se han trazado las cuerdas

BEyCD,AB de modo que CD//AB . Si la medida del ngulo obtuso AOE es

142, entonces la medida del ngulo x es

A) 71 B) 109 C) 142

D) 152 E) 161

35. En la circunferencia de centro O de la figura, el arco SPQ = 220. Si PR es

bisectriz del QPS, entonces SPR =

A) 140

B) 80 C) 70 D) 55

E) 35

36. En la circunferencia de centro O de la figura, AB es dimetro y AB//CD .

Entonces, la medida del AED es

A) 60 B) 75 C) 120

D) 135 E) 150

A B

D

C

E x

O A

C

E

D

B

x

O Q

R S

P

O

A

B

C

D 30

E


37. En la figura, AB es dimetro y O centro de la circunferencia, cunto mide el

? A) 20

B) 25 C) 40 D) 100

E) 140

38. En la figura, DA es tangente en A a la circunferencia de centro O, AC es

dimetro y AB//DC . Si ADC = 30, entonces la medida de ACB es

A) 75 B) 60

C) 45 D) 35 E) 30

39. En la figura se tiene que AB y CE son dimetros. Si AEC = 37,5 y

el arco DE = 80, entonces ARC = A) 25 B) 30

C) 37,5 D) 50 E) 75

40. En la figura, Arco AB = Arco CD y O es centro de la circunferencia. Entonces, cul(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) x = y

II) x + y = 20

III) ACB = 2

1x

A) Slo I B) Slo II C) Slo III

D) Slo I y II E) Slo I y III

D

C

B A

80

O

B D

A

C

O

E

C

A

R

O

D B

x y 40

D C

B A

O


41. En la circunferencia de centro O de la figura, OAD = 20. Entonces, el

ACD mide A) 40 B) 50

C) 60 D) 70 E) 80

42. En la circunferencia de centro O de la figura, el ngulo CAB mide 40. Cul es la medida del ngulo OCB?

A) 20

B) 30 C) 40 D) 50

E) 60

43. En la circunferencia de centro O de la figura, OBC = 80 y Arco BC = arco

AB 20. La medida del x es

A) 40 B) 50

C) 60 D) 80 E) no se puede determinar

44. Las circunferencias de centros O y O de la figura, son tangentes en B. Si

BCABAC , cul es la medida del ACD?

A) 20 B) 30 C) 45

D) 50 E) 70

O O

D

C

B

A

O B

A

C

x

80

O

B

C

A

O O A

B C

D

20


45. En la circunferencia de la figura, arco AB = arco BC = 60. Entonces,

x + y = A) 120 B) 100

C) 90 D) 80 E) 60

46. En la figura, se puede determinar la medida del x inscrito en la circunferencia si:

(1) ABC = 70.

(2) AB es dimetro.

A) (1) por s sola

B) (2) por s sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por s sola, (1) (2)

E) Se requiere informacin adicional

47. En el cuadriltero ABCD inscrito en la circunferencia, se puede determinar el

ADB si:

(1) Arco AD = Arco BC

(2) AB es dimetro.

A) (1) por s sola

B) (2) por s sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por s sola,(1) (2)


48. En la circunferencia de centro O de la figura, ABC es un tringulo inscrito. Se puede determinar el OAB si: (1) ACB es equiltero.

(2) CAO = 30 A) (1) por s sola

B) (2) por s sola C) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por s sola, (1) (2) E) Se requiere informacin adicional

A

B

C

x

D C

A

B

130

A

B

x

y

C

A B

O

C


49. En la figura, AB es dimetro de la circunferencia de centro O. Se puede conocer la medida del ngulo OCB s:

(1) Se conoce la medida del ngulo CAO (2) Se conoce la medida del ngulo OBC

A) (1) por s sola B) (2) por s sola C) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por s sola, (1) (2) E) Se requiere informacin adicional

50. En la circunferencia de centro O de la figura, se puede calcular la medida del

BDO s: (1) Arco DA Arco AB y Arco DA = 20

(2) DBC = 80 A) (1) por s sola

B) (2) por s sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por s sola, (1) (2)



CIRCUNFERENCIA DE APOLONIO

Recordemos que las bisectrices de dos ngulos adyacentes suplementarios son perpendiculares.

En la figura 1 vemos que es lo que ocurre con las bisectrices interior y exterior

correspondientes al mismo vrtice de un tringulo.

Si observamos la figura 2, vemos que los puntos I, E y C pertenecen a una misma

circunferencia cuyo centro O es el punto medio del segmento IE , de modo que:

radioOEOIOC

Esta circunferencia recibe el nombre de circunferencia de Apolonio, y en

cualquier punto C de ella se cumple que: a

b

BC

AC

'

'

La circunferencia de Apolonio es el lugar geomtrico del tercer vrtice de los

tringulos que tienen la misma base y la razn constante entre los otros dos lados (a: b).

- Arco capaz (figura). Es el LG de los puntos que son vrtice de un ngulo cuyos lados pasan

por dos puntos A y B, extremos de un segmento. Es un arco de circunferencia.

- Construccin del arco capaz: Por el extremo del segmento se traza una lnea que forme el ngulo complementario al que se pide. Se traza

la mediatriz y la interseccin de ambas lneas es el centro de la circunferencia.


La circunferencia de los 9 puntos o de Feuerbach de un tringulo es la que pasa por:

- Los puntos medios de los lados del tringulo. - Los pies de las tres alturas. - Los puntos medios de los segmentos que unen el Ortocentro con los vrtices.

El centro de esta circunferencia est en la recta de Euler - Es el punto medio del segmento que determinan el Ortocentro y el Circuncentro.

Ángulos en la circunferencia-iii

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