Ángulos diedros, triedros y poliedros
TRANSCRIPT
![Page 1: Ángulos diedros, triedros y poliedros](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051016/55a36fa11a28ab0f6f8b47e1/html5/thumbnails/1.jpg)
Ángulos Diedros, Triedros y PoliedrosRomina de Oliveira
![Page 2: Ángulos diedros, triedros y poliedros](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051016/55a36fa11a28ab0f6f8b47e1/html5/thumbnails/2.jpg)
Ángulo Diedro Convexo
Dados cuatro puntos no
coplanares A, B, C y D, se
llama ángulo diedro
convexo ABCD, de arista BC,
a la figura formada por los
puntos comunes a dos
semiplanos: el limitado por el
plano ABC que contiene al
punto D y el limitado por el
plano BCD que contiene al punto A.
P es un punto interior, ya que pertenece al
diedro, aunque no a sus caras; mientras
que Q es un punto exterior, ya que no
pertenece al diedro.
![Page 3: Ángulos diedros, triedros y poliedros](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051016/55a36fa11a28ab0f6f8b47e1/html5/thumbnails/3.jpg)
Elementos
Observe la similitud entre los elementos de los ángulos planos y los ángulos diedros:
˄
Ángulo: aob Diedro: εϕ
Vértice: o Arista: a
Lados: semirrectas oa y ob Caras: semiplanos ε y ϕ
![Page 4: Ángulos diedros, triedros y poliedros](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051016/55a36fa11a28ab0f6f8b47e1/html5/thumbnails/4.jpg)
Sección de un ángulo diedro
Se observa la sección plana o
intersección de un diedro αβ
con un plano que corta su
arista. Dicha sección es el
ángulo MNP cuyos lados
pertenecen a las caras y su
vértice a la arista.
Se llama sección de un diedro al
ángulo que determina en el
mismo un plano que corta a su
arista
![Page 5: Ángulos diedros, triedros y poliedros](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051016/55a36fa11a28ab0f6f8b47e1/html5/thumbnails/5.jpg)
Sección Normal
Una sección de un diedro se
llama normal cuando sus
lados son perpendiculares a la
arista
En este caso el ángulo MNP es
sección normal del diedro αβ si los
lados NM y NP son perpendiculares
a «a»
La sección normal de un diedro
se obtiene como la intersección de éste
con un plano perpendicular a la arista
CONSECUENCIA: todas las secciones
normales de un diedro son iguales
![Page 6: Ángulos diedros, triedros y poliedros](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051016/55a36fa11a28ab0f6f8b47e1/html5/thumbnails/6.jpg)
Amplitud de un Diedro
Se llama amplitud de un diedro a la amplitud de su sección normal
Un diedro es congruente, mayor o menor que otro, si la sección normal del primero es congruente, mayor o menor que la del segundo, respectivamente
![Page 7: Ángulos diedros, triedros y poliedros](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051016/55a36fa11a28ab0f6f8b47e1/html5/thumbnails/7.jpg)
Diedros Consecutivos
Dos diedros son
consecutivos cuando
tienen solamente en
común la arista y una
cara.
Ej: αβ y βγ son
consecutivos
![Page 8: Ángulos diedros, triedros y poliedros](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051016/55a36fa11a28ab0f6f8b47e1/html5/thumbnails/8.jpg)
Diedros Complementarios y Suplementarios
Diedros Complementarios Diedros Suplementarios
Dos diedros son complementarios Dos diedros son suplementarios
cuando su suma es igual a un diedro cuando su suma es igual a dos
recto. diedros rectos.
Ej: αβ y γδ son complementarios Ej: α´β´ y γ´δ´ son suplementarios
si αβ + γδ = 1 d. R (un diedro recto) si α´β´ + γ´δ´ = 2 d. R
![Page 9: Ángulos diedros, triedros y poliedros](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051016/55a36fa11a28ab0f6f8b47e1/html5/thumbnails/9.jpg)
Diedros Adyacentes y Opuestos por la Arista
Diedros Adyacentes Opuestos por la Arista
Dos diedros son adyacentes cuando Dos diedros son opuestos por la arista
son consecutivos y sus cuando las caras de cada uno son los
caras no comunes son semiplanos semiplanos de las caras del otro.
opuestos.
Ej: αβ y βγ son adyacentes Ej: αβ y α´β´ son opuestos por la arista
![Page 10: Ángulos diedros, triedros y poliedros](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051016/55a36fa11a28ab0f6f8b47e1/html5/thumbnails/10.jpg)
Consecuencias
Si dos diedros son adyacentes, sus secciones normales son ángulos adyacentes
Los diedros adyacentes son suplementarios
Los diedros opuestos por la arista son congruentes
![Page 11: Ángulos diedros, triedros y poliedros](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051016/55a36fa11a28ab0f6f8b47e1/html5/thumbnails/11.jpg)
Clasificación
Diedro Recto: es igual a su adyacente Diedro Llano: tiene por
Ej: αβ es recto porque αβ = α´β caras semiplanos
opuestos y sus puntos
interiores pertenecen
Diedro Agudo: es menor que un diedro a un semiespacio.
recto. Ej: γδ es agudo porque γδ ˂ αβ
(αβ de la primer figura)
Diedro Cóncavo: es
Diedro Obtuso: es mayor que un aquel formado por los
diedro recto y menor que un llano. puntos de las caras de
Ej: εϕ es obtuso porque εϕ > αβ un diedro convexo
ABC (αβ de la primer figura) ABCD y todos sus
puntos exteriores
![Page 12: Ángulos diedros, triedros y poliedros](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051016/55a36fa11a28ab0f6f8b47e1/html5/thumbnails/12.jpg)
Bisector de un Ángulo Diedro
Se llama bisector de un diedro al semiplano interior que lo divide en
dos diedros congruentes
Ej: β es semiplano
bisector de α1α2
entonces α1β = βα2
![Page 13: Ángulos diedros, triedros y poliedros](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051016/55a36fa11a28ab0f6f8b47e1/html5/thumbnails/13.jpg)
EJERCICIO 1
Nombra dos ejemplos de:
a) Diedros agudos
b) Diedros rectos
c) Diedros obtusos
d) Diedros llanos
e) Diedros opuestos por el
vértice Datos: la figura es un ortoedro
f) Diedros adyacentes A>B (aristas)
g) Diedros complementarios α: cara anterior
no consecutivos γ: cara posterior
h) Diedros congruentes β y δ: caras laterales
π1, π2, ε1, ε2 semiplanos diagonales
![Page 14: Ángulos diedros, triedros y poliedros](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051016/55a36fa11a28ab0f6f8b47e1/html5/thumbnails/14.jpg)
Teorema de Thales
Si tres o más planos
paralelos son cortados
por dos o más
transversales, la razón
entre dos segmentos de la
primera es igual a la razón
entre los segmentos
correspondientes de las
restantes
![Page 15: Ángulos diedros, triedros y poliedros](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051016/55a36fa11a28ab0f6f8b47e1/html5/thumbnails/15.jpg)
Teorema de Thales
Si α // β // γ y R, T y S son
secantes, entonces:
𝑎𝑎´
𝑎´𝑎´´=
𝑏𝑏´
𝑏´𝑏´´=
𝑐𝑐´
𝑐´𝑐´´
𝑎 𝑎´
𝑎𝑎´´=
𝑏𝑏´
𝑏𝑏´´=
𝑐𝑐´
𝑐𝑐´´
𝑎´𝑎´´
𝑎𝑎´´=
𝑏´𝑏´´
𝑏𝑏´´=
𝑐´𝑐´´
𝑐𝑐´´
![Page 16: Ángulos diedros, triedros y poliedros](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051016/55a36fa11a28ab0f6f8b47e1/html5/thumbnails/16.jpg)
EJERCICIO 2
¿En qué casos puedes
asegurar que α//β//γ?
aa´=5cm
a´a´´=15cm
b´b´´=2cm
bb´=6cm
aa´´=12cm
a´a´´=8cm
bb´=6cm
b´b´´=12cm
![Page 17: Ángulos diedros, triedros y poliedros](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051016/55a36fa11a28ab0f6f8b47e1/html5/thumbnails/17.jpg)
EJERCICIO 3
Sea α//β//γ; R y S secantes
aa´ = 2x+3cm
a´a´´ = 4x-4cm
bb´ = 2x-3cm
b´b´´ = 2x
Halla el valor de:
a) X
b) aa´, a´a´´, bb´, b´b´´
c) Comprueba tus resultados
![Page 18: Ángulos diedros, triedros y poliedros](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051016/55a36fa11a28ab0f6f8b47e1/html5/thumbnails/18.jpg)
Ángulos Triedros
Dadas tres semirrectas no
coplanares vr, vs y vt se llama
ángulo triedro a la
figura formada por los
puntos comunes a los
diedros convexos de aristas
vr, vs y vt.
Es decir, el ángulo triedro es la
interseción de tres diedros
cuyas aristas concurren en un
punto
![Page 19: Ángulos diedros, triedros y poliedros](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051016/55a36fa11a28ab0f6f8b47e1/html5/thumbnails/19.jpg)
Notación
En símbolos se anota: tr v. vr, vs, vt
Abreviado: tr v. rst
y se lee «triedro de vértice v y aristas vr, vs y vt»
![Page 20: Ángulos diedros, triedros y poliedros](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051016/55a36fa11a28ab0f6f8b47e1/html5/thumbnails/20.jpg)
Elementos
Observe la similitud entre las definiciones y propiedades de triángulos y triedros:
Triángulo: abc Triedro: tr v. abc (v: vértice)
Vértices: a, b, c Aristas: va, vb, vc
Lados: ab, bc, ca Caras: avb, bvc, cva
Ángulos: abc, bca, cab Diedros: d. va, d. vb, d. vc
![Page 21: Ángulos diedros, triedros y poliedros](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051016/55a36fa11a28ab0f6f8b47e1/html5/thumbnails/21.jpg)
Propiedades
En todo triedro cada cara es menor que la suma de las otras dos y mayor que su diferencia
La suma de las caras de un triedro es menor que cuatro rectos
![Page 22: Ángulos diedros, triedros y poliedros](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051016/55a36fa11a28ab0f6f8b47e1/html5/thumbnails/22.jpg)
EJERCICIO 4
Indica en qué casos los datos
pueden corresponder a las caras
de un triedro. En caso contrario
explica por qué:
a) b) c)
Áng. avb = 40° Áng. avb = 120° Áng. avb = 90°
Áng. bvc = 135° Áng. bvc = 130° Áng. bvc = 80°
Áng. cva = 25° Áng. cva = 90° Áng. cva = 190°
![Page 23: Ángulos diedros, triedros y poliedros](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051016/55a36fa11a28ab0f6f8b47e1/html5/thumbnails/23.jpg)
Congruencia de Triedros
Si los diedros y las caras correspondientes de dos diedros son congruentes, entonces los triedros son congruentes
![Page 24: Ángulos diedros, triedros y poliedros](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051016/55a36fa11a28ab0f6f8b47e1/html5/thumbnails/24.jpg)
Ángulos Poliedros
La definición de poliedro contiene a la de triedro como caso particular:
3 semirrectas no coplanares que 3 o más semirrectas no coplanares
tienen un mismo origen v determinan que tienen un mismo origen v
un ángulo triedro. determinan un ángulo poliedro.
Tr. v. abc áng. Poliedro v. abc … n
Vértice: v Vértice: v
Aristas: va, vb, vc Aristas: va, vb, … , vn
Caras: avb, bvc, cva Caras: avb, bvc, … , nva
![Page 25: Ángulos diedros, triedros y poliedros](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051016/55a36fa11a28ab0f6f8b47e1/html5/thumbnails/25.jpg)
Propiedades
Se generaliza para los ángulos poliedros las propiedades enunciadas para los triedros:
En todo ángulo poliedro cada cara es menor que la suma de las restantes
La suma de las caras de un ángulo poliedro es menor que cuatro rectos
![Page 26: Ángulos diedros, triedros y poliedros](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051016/55a36fa11a28ab0f6f8b47e1/html5/thumbnails/26.jpg)
EJERCICIO 5
¿En qué casos los datos pueden corresponder a un poliedro v. abcd?
a) b) c)
Áng. avb=25° Áng. avb=35° Áng. avb=90°
Áng. bvc=42° Áng. bvc=98° Áng. bvc=103°
Áng. cvd=108° Áng. cvd=103° Áng. cvd=45°
Áng. dva=41° Áng. dva=49° Áng. dva=120°
![Page 27: Ángulos diedros, triedros y poliedros](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051016/55a36fa11a28ab0f6f8b47e1/html5/thumbnails/27.jpg)
Secciones de un ángulo poliedro
Se llama sección plana
de un ángulo poliedro a
la intersección de un
plano y un ángulo
poliedro.
Si el plano corta a todas
las aristas del ángulo
poliedro y no pasa por el
vértice, la sección plana es
un polígono
![Page 28: Ángulos diedros, triedros y poliedros](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051016/55a36fa11a28ab0f6f8b47e1/html5/thumbnails/28.jpg)
Si un ángulo es
seccionado por dos
planos paralelos que
corten a sus aristas, se
obtienen dos
polígonos semejantes
![Page 29: Ángulos diedros, triedros y poliedros](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051016/55a36fa11a28ab0f6f8b47e1/html5/thumbnails/29.jpg)
EJERCICIO 6
Datos:
π//π´
ab=3cm bc=4cm
a´b´=4,5cm a´c´=9cm
a) Calcla ac y b´c´
b) ¿Qué puedes decir de
los triángulos vab y va´b´?
c) Calcula vc´ siendo vc=8cm