ângulos autor antonio carlos carneiro barroso 01072009
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Ângulos autor Antonio Carlos
O ÂNGULO E SEUS ELEMENTOS Duas semi-retas que não estejam
contidas na mesma reta, e que tenham a mesma origem, dividem o plano em duas
regiões: uma convexa e outra não-convexa. Cada uma dessas regiões, junto com
as semi-retas, forma um ângulo. Assim, as duas semi-retas determinam dois ângulos:
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Cont.
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Definição.
Todo ângulo possui dois lados e um vértice. Os lados são as semi-retas que determinam. O vértice é a origem comum dessas semi-retas.
O ângulo convexo, de vértice O e lados , é indicado por: AÔB, BÔA ou Ô.
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Cont.
Ângulos Observe agora dois casos em que as
semi-retas de mesma origem estão contidas na mesma reta. Nesses casos, formam-se também ângulos.
As semi-retas coincidem. Temos aí o ângulo nulo e o ângulo de uma volta.
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As semi-retas não coincidem. ângulos rasos ou de meia- volta.
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Cont.
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Ângulo é duas semi-retas que têm a mesma origem.
MEDIDA DE UM ÂNGULO A medida de um ângulo é dada pela
medida de sua abertura. A unidade padrão de medida de um ângulo é o grau, cujo símbolo é º.
Tomando um ângulo raso ou de meia-volta e dividindo-o em 180 partes iguais, determinamos 180 ângulos de mesma medida. Cada um desses ângulos representa um ângulo de 1º grau (1º).
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O transferidor
Para medir ângulos utilizamos um instrumento denominado transferidor. O transferidor já vem graduado com divisões de 1º em 1º. Existem dois tipos de transferidor: Transferidor de 180º e de 360º.
O grau compreende os submúltiplos
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Unidades.
O minuto corresponde a do grau. Indica-se um minuto por 1'.
1º=60' O segundo corresponde a do minuto. Indica-se
um segundo por 1''. 1'=60''Logo, podemos
concluir que: 1º = 60'.60 = 3.600''Quando um ângulo é
medido em graus, minutos e segundos, estamos utilizando o sistema sexagesimal.
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Ângulos.
Como medir um ângulo, utilizando o transferidor
Observe a seqüência O centro O do transferidor deve ser colocado
sobre o vértice do ângulo. A linha horizontal que passa pelo centro deve
coincidir com uma das semi-retas do ângulo . Verificamos a medida da escala em que passa
a outra semi-reta .
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Leitura de um Ângulo.
Observe as seguintes indicações de ângulos e suas respectivas leituras:
15º (lê-se "15 graus'') 45º50' (lê-se ''45 graus e 50
minutos'') 30º48'36'' (lê-se ''30 graus, 48 minutos
e 36 segundos'') Observações Além do transferidor, existem outros instrumentos que medem
ângulos com maior precisão. Como exemplos temos o teodolito, utilizado na agrimensura, e o sextante, utilizado em navegação.
A representação da medida de um ângulo pode também ser feita através de uma letra minúscula ou de um número.
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Ângulo agudos
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Determine a medida do ângulo AÔB na figura:
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Solução.
Medida de AÔB = x Medida de BÔC = 105º Como m ( AÔC) é 180º, pois é um ângulo
raso, temos: m (AÔB) + m (BÔC) = m (AÔC) x + 105º = 180º x = 180º - 105º x = 75º Logo, a medida de AÔB é 75º.
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Determine a medida do ângulo não-convexo na figura:
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Solução.
Verificamos que o ângulo não-convexo na figura (x) e o ângulo convexo (50º) formam, juntos, um ângulo de uma volta, que mede 360º. Assim:
x + 50º = 360º x = 360º - 50º x = 310º Logo, o valor do ângulo não-convexo é 310º.
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Construção.
Ângulos Como construir um ângulo utilizando
o transferidor Observe a seqüência utilizada na
construção de um ângulo de 50º: Traçamos uma semi-reta .
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Colocamos o centro do transferidor sobre a origem da semi-reta (A).
Identificamos no transferidor o ponto (C) correspondente à medida de 50º.
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Cont.
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Cont.
Traçamos a semi-reta , obtendo o ângulo BÂC que mede 50º.
Os ângulos de 30º, 45º, 60º e 90º são ângulos especiais.
Eles podem ser desenhados com esquadro.
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TRANSFORMAÇÃO DE UNIDADES
Como vimos, quando trabalhamos com medidas de ângulos, utilizamos o sistema sexagesimal.
Observe nos exemplos como efetuar transformações nesse sistema:
Transforme 30º em minutos. Solução Sendo 1º = 60', temos: 30º = 30 . 60'= 1.800 'Logo, 30º = 1.800
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Cont.
Transforme 5º35' em minutos. Solução 5º = 5 . 60' = 300' 300' + 35'= 335' Logo, 5º35'= 335'.
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Cont.
transforme 8º em segundos. Solução Sendo 1º = 60', temos: 8º = 8 . 60'= 480 'Sendo 1'= 60'', temos: 480'= 480 . 60'' = 28.800'' Logo, 8º = 28.800''.
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Cont.
Transforme 3º35' em segundos. Solução 3º = 3 . 60'= 180' 180' + 35' = 215' 215' . 60'' = 12.900'' Logo, 3º35'= 12.900''
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Cont.
Transforme 2º20'40'' em segundos. Solução 2º = 2 . 60' = 120' 120' + 20' = 140' 140'. 60''= 8.400'' 8.400'' + 40'' = 8.440'' Logo, 2º20'40'' = 8.440''
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Cont.
Ângulos Transformando uma medida de
ângulo em número misto Transforme 130' em graus e minutos. Solução
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Solução:
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Transforme 150'' em minutos e segundos.
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Transforme 26.138'' em graus, minutos e segundos
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Medidas fracionárias de um ângulo
Transforme 24,5º em graus e minutos. solução 0,5º = 0,5 . 60' = 30' 24,5º= 24º + 0,5º = 24º30' Logo, 24,5º = 24º30'.
Transforme 45º36' em graus. solução 60' 1º 36' x x = 0,6º (lê-se ''seis décimos de
grau'') Logo, 45º36'= 45º + 0,6º = 45,6º.
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Transforme 5'54'' em minutos
Solução 60'' 1' 54'' x x = 0,9'
( lê-se ''nove décimos de minuto'') Logo, 5'54'' = 5'+ 0,9'= 5,9'
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OPERAÇÕES COM MEDIDAS DE ÂNGULOS.
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Cont.
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Subtração
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90º - 35º49'46''
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80º48'30'' - 70º58'55''
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Multiplicação por um número natural
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5 . ( 12º36'40'')
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Divisão por um número natural
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( 45º20' ) : 4
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( 50º17'30'' ) : 6
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ÂNGULOS CONGRUENTES
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Cont.
Verifique que AÔB e CÔD têm a mesma
medida. Eles são ângulos congruentes e podemos fazer a seguinte indicação
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Cont.
Dois ângulos são congruentes quando têm a mesma medida.
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ÂNGULOS CONSECUTIVOS
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Os ângulos AÔC e CÔB possuem: Vértice comum: OLado comum:
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Os ângulos AÔC e AÔB possuem: Vértice comum: OLado comum:
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Os ângulos CÔB e AÔB possuem: Vértice comum: OLado comum:
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ÂNGULOS ADJACENTES
Os ângulos AÔC e CÔB não possuem pontos internos comuns
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Cont.
Os ângulos AÔC e AÔB possuem pontos internos comuns
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Cont.
Os ângulos CÔB e AÔB possuem pontos internos comuns
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Definição:
Dois ângulos são adjacentes quando são consecutivos e não possuem pontos internos comuns.
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Duas retas concorrentes
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BISSETRIZ DE UM ÂNGULO
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Cont.
Verifique que a semi-reta divide o ângulo AÔB em dois ângulos ( AÔB e CÔB ) congruentes.
Nesse caso, a semi-reta é denominada bissetriz do ângulo AÔB.
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Definição.
Bissetriz de um ângulo é a semi-reta com origem no vértice desse ângulo e que o divide em dois outros ângulos congruentes.
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Construção com o uso do compasso.
Centramos o compasso em O e com uma abertura determinamos os pontos C e D sobre as semi-retas
,
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Cont.
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Cont.
Centramos o compasso em C e D e com uma abertura superior à metade da distância de C a D traçamos arcos que se cruzam em E. Em seguida
Traçamos , determinando assim a bissetriz de AÔB.
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Ângulo agudo é o ângulo cuja medida é menor que 90º. Exemplo
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Ângulo obtuso é o ângulo cuja medida é maior que 90º. Exemplo
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Ângulo reto é o ângulo cuja medida é 90º. Exemplo:
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RETAS PERPENDICULARES
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Duas retas concorrentes que não formam ângulos retos entre si são chamadas de oblíquos. Exemplo:
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ÂNGULOS COMPLEMENTARES
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Dois ângulos são complementares quando a soma de suas medidas é 90º.
Os ângulos que medem 42º e 48º são complementares, pois 42º + 48º = 90º.
Dizemos que o ângulo de 42º é o complemento do ângulo de 48º, e vice-versa.
Para calcular a medida do complemento de um ângulo, devemos determinar a diferença entre 90º e a medida do ângulo agudo dado.
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Complemento.
Para calcular a medida do complemento de um ângulo, devemos determinar a diferença entre 90º e a medida do ângulo agudo dado.
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Resolva.
Qual a medida do complemento de um ângulo de 75º?
Solução Medida do complemento = 90º - medida do
ângulo Medida do complemento = 90º - 75º Medida do complemento = 15º Logo, a medida do complemento do ângulo de
75º é 15º.
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Dizemos que esses ângulos são adjacentes complementares
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Observe os ângulos AÔB e BÔC na figura abaixo: ÂNGULOS SUPLEMENTARES
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OPV.
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Resolva.
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Cont.
x + 60º = 3x - 40º ângulos o.p.v x - 3x = - 40º - 60º -2x = - 100º x = 50º Logo, o valor de x é 50º
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Antonio Carlos Carneiro Barroso Professor de Matemática Graduado pela UFBA Pós graduado em Metodologia e Didática Trabalho no Colégio Estadual Dinah
Gonçalves em Valéria Salvador –Bahia Meu blog
http://ensinodematemtica.blogspot.com Salvador 01/07/2009