Журнал экспериментальной и теоретической физики

Т. 48 1962 Вып. 3(9)

УГЛОВОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ФОТОЭЛЕКТРОНОВ С К-ОБОЛОЧКИ

В. Г. Горшков, А. И. Михайлов

Получено угловое распределение для фотоэлектронов с К-оболочки при энергиях{-квантов больших0,5 Мех. Относительная точность расчетов имеет порядок (а7)?. Учтеновлияние экранирования. Сечение для фотоэлектронов, вылетающих в направлении падаю-щих фотонов, может быть представлено в аналитическом виде с относительной точностьюпорядка а2. Результаты численных расчетов совпадаютс экспериментом в пределах ошибокизмерения.

1. Введение

В последнее время большое количество работ было посвящено получениюформул для сечения релятивистского фотоэффекта,справедливых для среднихи тяжелых элементов. Путем‘использования борновского ряда для функциивылетающего электрона Гаврилой [1] была получена формула для угло-вого распределения и полного сечения, содержащая первую поправку по-рядка а2 к известной формуле Заутера[2]. Нагель [3] получил аналогич-ный результат, используя «модифицированную» функцию Фарри — Зом-мерфельда — Мауэ (ФЗМ). Однако эти формулы пригодны только для2 < 40. При помощи функции ФЗМ Бойером [4] и Праттом |5] (последнийиспользовал асимптотический вид этой функции) были получены выра-жения для полного сечения, пригодные для численных расчетов исправедливые для очень больших энергий при любых 1. Эти выражениясоответствуют нулевому приближению в разложении сечения по т/Ё.

В настоящей работе получено угловое распределение фотоэлектроновс учетом поправочных членов, имеющих порядок (а2)? относительно глав-ного члена. В качестве волновой функции электрона конечного состояниябыл использованряд(см. формулу (24) работы[8]), являющийся обобщениемфункции ФЗМ. Общее выражение для углового распределения содержитнеэлементарные однократные интегралы и имеет очень громоздкий вид.Аналитическая формула может быть получена лишь для фотоэлектронов,вылетающихв направлении падающих фотонов. Первые два члена в разло-жении сечения по ай исчезают в этом случае, как и в работе Гаврилы[1],так что главный член для фотоэлектронов, вылетающихвперед, имеет поря-док (42)? относительно максимума углового распределения. Следующийпоправочный член имеет порядок ай относительно главного и положителенпри средних энергиях. В работе учтено также влияние экранирования.При энергиях фотонов ббльших 500 Ке\, член, соответствующий наличиюэкранирования, оказывается меньше первого поправочного члена.

2. Волновые функции электронов

Выражение для дифференциального сечения фотоэффекта имеет вид(см. [7], стр. 342):

4 = (21)*-_ У |<, 1А |4 Ро (Е — & — ту) р =вре

(1)

= ла У | <УМАЧЬРаЯ,вре

992 В. Г. Горшков, А. И. Михайлов

4 ^

(== 1, @ =, А=ТА + 144);

Е=Е-+т 2=Ю- ту —т, т=УИ1- 027, п = тай.(2)

В этих формулах риЕ = Ур* -{т? — импульс и энергия электронав ко-нечном состоянии, ту — энергия электрона на К-оболочке, & — импульс‘фотона; |ф,> и А — волновые функции вылетающего электрона и фотона,

нормированные на 6-функцию от импульса; |4,> — волновая функцияК-электрона, нормированная на единицу; 4®, — дифференциал телесногоугла вылетающего электрона; суммирование производится по поляриза-циям электронов.

Функция |ф,> в координатном пространстве может быть представленав виде (см. [7], стр. 101, 109, 346)

<г|фь> = М, {г +1хй} ег—°—щ,; (3)

_ Нат) х 1/11 92 (92) 5№ =гота тэ, ИЕ62о),

а, ветру 92% 4-0 (9474), 1 = тай. (4)

Здесь «; — матрицы Дирака, иь — биспинор, соответствующий покояше-муся электрону.

Принимая во внимание, что

со

Г в) _ Г —гЛаэпня е №аХ,

0

и переходя в (3) к импульсному представлению, получим

з 4 1<У|4фь> = (2л) "Мь Г» лаЯ-А“ (5)

где символ Г, обозначает следующий оператор:

= г, (— 2)м = г. + ‹(- 2) мА +0, (5)Г. = (- ж+5%) У = ау. (56)

Учет влияния экранирования на функцию |4,) может быть произведен

по методу Слэтера[8], т. е. заменой 2 на 2.55 = 2 —0,3, однако даже длямалых 7 поправка, возникающая при такой замене, лежит за пределаминашей точности, поэтому мы не будем ее учитывать.

Оператор волновой функции фотона в импульсном пространстве имеет

вид < Ау) =е<—К| у», гдее — вектор поляризации фотона (ё = 4е).Вследствие этого имеем

‹НА [> = \< |У> <\[фь> 430 = (2л)"МьеГ» <Уд| К> ив, (6)где

41 = 1.1, 9, =Г— 5 (6а)‹«ПУз|$>а

Для получения волновой функции сплошного спектра в экраниро-ванном кулоновском поле ядра представим последнее в виде

Угловое распределение фотозлектронов с К-оболочки 993

И = Ц, - (0вьгде Ц, — кулоновское поле, а И, — добавочное поле,связанное с наличием экранирования. Следуя [] и учитывая (ба), пред-ставим Жи 0, в виде

О|[$> = — ай «НУ. |5», «ПО: |$> = — ай у аг < Ур, |$> =

. = ()

= — а21,<ПУд $), = У мМ=б Уу=т2“а,

где —

а, = 0,10, а» = 0,55, аз = 0,35, а. = — 1, (7а)

Ь, — 6,0, 5. — 1,20, Ьз — 0,30, ва = 0.

Волновую функцию в первом приближении по полю И, (И, — а 2%)можно записать в виде[$]

|$‚> = [> + 60:1 $,>. (8)

Используя полученные ранее результаты [$] (см. также [°], формулы (6),(17)), можно представить |ф„> — точную волновую функцию в кулоновскомполе — в виде ряда по степеням «7 п:

М ^. ^. ^

|Ф>> = а {$2> + а2 |9» + (а2)* СУ| ФЕ» + (а2)8СУ, СУ91>-...} ир,(9)

Мр = ев Г (1 — |, Е = а2Е/р. (92)В формулах (8) и (9) и, — биспинор Дирака, С — функция Грина одно-родного уравнения Дирака:

«аи3)7—

Функции |9) и |ФЬ> в импульсном пространстве имеют вид[°}

< 9= —2 2? ИФ,(#) >|. = 9%, (10а)—

У

<=да 29° <ИФ, (#) > |.„=-— ФР, (106)

(0+1+)—х\&

<,(> = в $ (>) <НУнньгр =

1 че+ =? =_ ,

2 Ч7, + = | (Чл. + р)" — (р-+ =} = <Фр(12) |), (10в)

где г = р; Ур не действует на ги Ё. Контур интегрированияв (10в) пред-ставляет собой замкнутую кривую, обходящую один раз против часовойстрелки точки 0 и 1. Внеинтегральное выражение в (10в) получено путемвычисления вычетов за пределами контура.

В (10а) — (10в)

<Ф, [> = <НФ,> „ЕтаФУТа>25 ЕЕ

)Первыедва члена (9) представляют собой функцию ФЗМ; нетрудно также показать,что третий член (9) в координатном пространстве может быть приведен к виду, используе-мому Нагелем [3].

17 жэтх, мэ

994 В. Г. Горшков, А. И. Михайлов

т. е. знак комплексного сопряженияне действуетна {ви &. Если представитьволновые функции (10а), (106) в виде борновского ряда теории возму-щений(см. [19], формула(5)), то нетрудно убедиться, что приведенная опе-рация эквивалентна изменению последовательности всех матриц Диракав числителе на обратную при неизменном знаменателе. Величина <фр|г»

в координатном пространстве соответствует функции с асимптотикой в видеплоской и сходящейся волны[$].

При помощи (6) и (9) получим следующее выражение для матричногоэлемента, входящего в (1) 2:

<АА» = (2л)* Мьи, <, [Улан | К > Гаиь = УЗ/яМ»МьирТиь (1)

Т = <® | Уюь[КГ - а2 «ФЕ[Ио ег, +

+ (2< Рибу„ПК2Т, + (42° «а Робьбу18 (— т) +

+ а2т, 9» йо, бУн 12 (— бт) о (#29). (12)В третьем члене(12) оператор Г» (5а) заменен на Г, (56), в двух послед-них членах оставлен только первый член оператора Г,. Подобная замена,как нетрудно видеть, эквивалентна отбрасыванию членов порядка (а7)“.

Разложение функции |4?) по а2 начинается с плоской волны (19°> =

= |р> -- о (а2)), поэтому первый член (12) содержит вклад, нё исчезающийпри а.7 ->0. Однако этот вклад пропорционален 6(К — р) и обращается внуль при учете закона сохранения энергии(2). Первыйчлен, таким образом,эффективно пропорционален а7 и имееттот же порядок,что и второй. Сле-довательно, для получения сечения фотоэффекта с относительной точно-стью порядка (7)? необходимо выписать матричный элемент до членовпорядка (а.2)3, что и сделано в (12). Как будет показано ниже(см. раз-дел 4), при К ||р первый неисчезающий член (12) оказывается пропор-циональным (@2)?. В этом случае с помощью (12) можно вычислить сече-ние только с относительной точностью порядка ай.

3. Матричные элементы и параметры разложения

Формула (12) представляет собой разложение матричного элемента(11) по ай. Однако каждыйчлен (12) содержит еще два параметра, про-порциональные ай, а именно, п = тай и &=а2Е/р, разложение по которымдопустимо не при любых энергиях. В настоящей работе мы будем такжепроводить разложение по \, что упрощает вычисления, но, как будет по-казано ниже, сужает область применимости результатов.

Выделим с помощью(11.7) нулевые вкладыв трех последних членах (12)и отбросим члены порядка \(а2)3, тогда, пользуясь (П.8) — (П.12), сможемпредставить (12) в виде

Т = То + а2Т, + (@2)"Т, + (2)? Тз + о2Ть; (13)

То = <УгоЕТ» = 2, (— в) | а.№(4)"-0

со

ре(ет(2)т+1(9). 089 =>0

*? Здесь ‘и в дальнейшем все операторы со стрелкой налево действуют только налево.

Угловое распределение фотоэлектронов с К-оболочки 395

^ <= ь ® а ® с ‘а и. *т,= <®оч2» = — | ЧА.(45) 2Г=— [5 (22) 2+0

&.= г.

5(5) ]^- р Е _й `

Тз = (9 |УзбУ| К» еГ = м5. (*) Е8+

о

+3 [2. (®)+

"“.—>8

+ Зааае-ю+

211

п/р1 со аи= ^= .:

+А—.(“) У, ег. (138)0

т, = <Ф 1 йб,бУн ИК8 (— т) =ФГЮияё+

_ 1 мда [щ)%Но (т = [194 4^ а.(11) @Ё — т) +9 9

1 со ^ ^ау с а о т ^ , .

+4), о(8) У, в — р“, (13г)

^ ^ 5 4 а ° к —# ^

Т, = 1, (9%| РаубУн [КУ ё (— =) та, (5;) ве: (134)

=кИР — (АА), = №(1—9) — ф+ Л +0),

с ЕК(Е— у) —р—р(Л + Й)/р, —.

Аз = [р — #2 (1 — у] у — 1? (1—9), —(46,9 = (а, 6, р

(а, 6) = ар, =. (13е)

Как видно из (13), все матричные элементы представляются в виде интегра-лов от функций, содержащих выражения вида

(а/5)*, (аль). (14)

Основной вкладв эти интегралы дает область вблизи нижних пределов инте-грирования, где оба приведенных выражения превращаются в

(а/ь)^ (=, =?— р-+ М), Ч=К-Р). (15)

Выражение(15) в явном, внеинтегральном виде выделяется также (13а),(136), если пренебречь членами порядка о и отброситьв (136) второй членв Г, (56). Принимая во внимание закон сохранения энергии (2), найдем,что разложение (15) по п соответствует разложению по параметрам т/д(из 4) и 2рт/(р? — Е? — 12) — рай/Ё (из В,). Таким образом, разложениепо п можно применять по крайней мере тогда, когда 1/4, раё/в < 1. Заме-тим, что в интегральных членах (13) при удалении от нижних пределовпараметры разложения, связанные с п, уменьшаются, что приводит к воз-оеложения этих членов по 1} в более широких пределах, ‘чем

а

17*

996 В. Г. Горшков, А. И. Михайлов

Принимая, далее, во внимание, что на основании (2) р? — А? — п? ——Ат >> 0, представим (14) в виде

рт —мЕ —ехр{& агсЁа | —ао &

(+) = ра—#8Наибольшим параметром разложения, связанным с Ё, как видно из (16),является лЁ?. Разложение по этому параметру существенно ограничи-вает допустимую величину 2 даже при очень больших энергиях (лёЁ`>1при 7 >> 44, Е-+ оо). В связи с этим мы не будем разлагать(15) по Ё.

Как уже указывалось, выражение (15) выделяется явно в виде множи-теля только в двух первых членах (13а), (136). Однако интегралы (13),содержащие выражение (14), невозможно вычислить без разложения этихвыражений по Е. Поэтому выделим (15) множителем перед всеми членами(13), при этом (14) под интегралами заменяется на

а ь и а ы &

Уе/=) (7)Вследствиетого, что главныйвкладв интегралы(13) дается областью вблизинижних пределов интегрирования, где основания степеней (17) мало отли-чаются от единицы, параметры, возникающие при разложении (17) по &,оказываются малыми.

Выделяя множитель (15) из (13) и разлагая по Ё выражение вида(17),получим:

@5 я

5

[3| е-а2т ев", (16)

Т = @/5)*{Ть + а2Т, + (а2)Т, + (@2)Ть - о2Т}; (18), ^ 1 {

тии[29 (4 -%)- 9+— —рады}. ом

. 0 ^ ль т^[ 9 Е хот ту ^б[2245724пе(4-2) +4+и), (189

таеет} р е —

7[22, 9) т — 0+1, 0$|++19(0) (— т) еМь + Ле, (18в)

т, =, ©) (— п) + ниТв, (18г)

1 —# .^Ть=т,—а, ТаЕ е, (18д)

где для Т, и Т, имеем (4%, 6», со) = а,6, ©) |о. ВеличиныУ,в (18а) — (18г)

означают следующие интегралы:

1 ет ч].Бах| -- 2%о аТЕ —л т] ; (19)(ия+)

$ Величина г" из (46) умножается, вообще говоря, в (14) на е”М? из (9а),

однако в сечении опять возникает множитель е"®, что приводит к появлению прежие-го параметра лёЁ.

Угловое распределение фотоэлектронов с К-оболочки 99;

со со ;

=[этотмя|| Е лы (20)

с

ь= [91 ж+9%} |. (21)

дм=тен; (22)о

яте|

а Гра. Е р р9 (22а)РР [79 пены яв)

А = вр— (Кр);

= \ ат“|-м5и (0); (23)0

1 соамо | Чад-леколек 09лу: о

1 со =.ау —_ м 2

мг°\4а п=о = 7 = ЛР. ео

Интегралы У; и 4(0) (19) и (22а) входят в члены (18), пропорциональ-ные (а2)?. Остальные интегралы содержатсяв членах порядка (а7)3. В двой-ных интегралах (24) и (25) интегрирование по А может быть легко выпол-нено. Однако остающиеся интегралы по у содержат под знаком логарифмадва корня

91 =(1—9) — р}*, Л= {1 —ВУф}и в общем случае не берутся в конечном виде.

Подставляя (18) после вычисления всех производных и разложенияпо 1]в (11), затем (11) в (1) и выполняя суммирование по поляризациям элек-тронов при помощи формулы (см.[17])

Хх [4В =Е ЗРТ (Й — т) Т (в — т),Вррь

7 = Нат, Т = аГ*ть (26)

получим следующее выражение для углового распределения фотоэлектро-

нов:

1 (6, соз? ф) = 40/4© = (а2)? М {Е - па20 - (а2)*Н}, (27)

@трарЕарЕ 2 КР Зртё атр? з пМ = ММ (®) ВЕ СЕВ= 28 М8МЬ |(>) | ‚ (28)

где

К 2 2с050 =, 05 ф = зб, Мр = О,

№ (4/6) определены в (4) и (15), (16); Ри б — функции, полученные

358 ва В: Г. Горшков, А. И. Михайлов

Гаврилой [1] (определяются соответственно формулами (93) и (94) в [2].ыражение для в (27) содержит неэлементарные однократные интегралы

и имеет чрезвычайно громоздкийвид. Поэтому мыне будем приводить явныйвид Н. После вычеркивания Н формула (27) будет отличаться от формулы(92) из [] только отсутствием разложения по лЁ. Формула(27) без третьегочлена понадобится нам в следующем разделе.

4. Сечение для фотоэлектронов, вылетающих вперед

Выражение для Т (18) может быть целиком представлено в аналитиче-ской форме три К.| р. В этом случае 41. = А (1 — у) —р, и интегралы (24)и (25) могут ‘быть выражены через элементарные функции. Вычислениеградиентов в (18а) — (18г), представляющее в общем случае очень утоми-\ельную работу, ‘также значительно упрощается.

Используя (2) и следующие соотношения (К || р):

еЁ = ве, те = — ета, р = Кр/А,

3. — «7К/Е (для (21) — (25)); Тайчь —= ць,

ИрЕеиь —= — РРиеиь = — иор (1 + =) ешь о (“*2°), (29)

разлагая (18) попи вычисляя градиенты в (18а) — (18г), получим

Т=2(®)° + {то + а2х, + (а2)*т, + (@2)т }е, (30)

= 29(а а) — РИ|(52), (30а)

и=а( “2(1-21), (306)

= 29 п3 (т 19] 9тур руттьта 2 (4 9) - тя-я+ттд Ед; ра? Ев,аЕ эра + Е+ Ма (0—

_ Её [(4ву 4%.| — 12989 {+тд?ёЛ(0) +2р

(+2)ии]т—№ 0 — 290.

=

(08)м=

—

Ио3 2

2Дай = 261-57 (м, (8). (30г)=

В (30в) введены следующие обозначения (см. (19) — (25)):

(ших-5)-+ (+4), ви

левИди:$), (32)

540) =а(Чиа), (33)

Угловое распределение фотоэлектронов: К-оболочки 999

У=[С++8=Им—№2), (34)

И = (учи, (35)

о т—Ишенм(ш 1}, (36)

Чевяа)—2 (37)ИЛИ

`ооозцыви рымснй-ре.&Л(0) =Е [т.В— ТА—т—2—®], (39)

= — м, (0= зикг (А м: Пи =-ТУчИ,(40)

У—итА— 24.п— м|, (41)

и=(п+у!), ви=-чичиь (42)

ееШемви"В+Г, (=)— 21,(4)-+

+21, (—+1ие+.вине

4р? поыы2авЫ -

+ * 47% 8 бр е

(Ея Еол №в 1

ввва

- Ут ([чч(У] ы- 5,(УТ)сеУЗ)мину.

2р в й 2р маВ = шпшапм2,(2.) +5,

1 2р 2 4ыы9ЕР№ В=р-А.

Функции Ф и[ьв (43) — (47) имеют вид2

1 © А+ 1Фок > (1а=>2+(-,,

п Е=0<

1, (а) = —\4х (м. №] формула (8)о

(43)

(44)

(45)

(46)

(47)

(48)

(49)

Как видно из (30а) — (30г), главным членом(30) является ту, но не ть,которбе оказывается одного порядкас т.. Это приводит к.тому, что Е и С

1000 В. Г. Горшков, А, И. Михайлов

в (27) становятся равными нулю при 0 =0. Член экранирования(30г) прибольших энергиях (4 — 1) оказывается самым малым в (30) вследствие на-личия параметра “/м = 137 2*^/121 2.

Подставляя (30), (11) в (1) и учитывая, что на основании (26) и (30)

Уив="=ТРо (279,ВреБ

получим

Ко)= за |, = (@2)* МЕ {Е; + ла20, + ла}, (50)

рев], 56, = Пу 2 Ве (т, + т=

=я(1— 3%) [1+2 Вет, —2 (1—т <-) пт, |, (52)

Ё6, = 1870 Вет! = 1,47 м (1-2)*.121 4 2 (53)

Здесь К = 25Е“/т?р?4\, д=р— А, П=р- А, Мопределено в (28),т, дается формулой (30 в).

Заметим, что выражение, эквивалентное первому члену (50), рассматри-валось Нагелем |]. Формулы(51) — (53) значительно упрощаются, еслипровести разложение по 1/е = т/Е и ограничиться членами порядка 1/е?:

Ра = & (п? + 4) — 21221 | в? (13 — 2—4 ш2—4п г)] =

= 0,87—1,23 271 - (0,63 — 0,25 пг) е-, (51)

б: = [1+ 5 я? ++ (1 — №2)] +121л— 112 + 2К +2 Ш2 +

+ 10 — ше] те[2—члШ2—2К —зШ=—

—ш2 ше — 1? .] = — 0,115 - (1,43—0,125 [п е) г-1 —

— (0,118 - 0,274 ше — 0,125 п?е) г-?, [5

6, = 1,47(1 + 0,5 21+ 0,25 =-2), (537)где

1К=г. = 0,916 — постоянная Каталана.

о

Главные члены в (51) — (53), не содержащие 1/е, возникают только из(13а) и (136); это находится в согласии с выводами Бойера[4] и Пратта[$],предполагавшими, что (13а), (136) представляют амплитуду фотоэффекта(13) с точностью до 1е.

Экспериментально обычно измеряется отношение числа фотоэлектронов«вперед» к числу фотоэлектронов в максимуме углового распределения.Такое отношение для неполяризованных фотонов (со5? ф = 1.) можно по-лучить с относительной точностью порядка ай, используя (27) и (50):

х (6, 2,0) =10==2»кдРь +12 (6— =)12, , (54)тах

Угловое распределение фотоэлектронов с К-оболочки 1001

ГДе /[тах› Етах» Стах — функции /, Р, С из (27) приб = 9 шах, со3* ф = 1/.

Приведем выражениедля (54) при двух значениях энергии фотона:

х (0,662 Ме,2, 15°) = (а7)?0,432 (1 -| 1,35=7 -+- 0,1027”), (55)

х (1,332 Меу,2,10°) = (2): 0,918 (1-1,10 м2 -+ 0,104 2*). (56)

Выражение (55) получено по формулам (50) — (53). В случае (56) ре-зультаты, подсчитанные по формулам (50) — (53) и (51’) — (53’), совпадаютс точностью до нескольких процентов.

10 [ж* /(@)/1тах

48 {111932 кеУ

#5. и

‚ А =662 кеУ

4+

вг|- $ 120 40 50 80 100 2

На рисунке сплошными кривыми нанесены величины отношений (55),(56) в зависимости от 2. Штрих-пунктирные кривые представляют собой ре-зультатырасчетов без учета экранирования. Пунктирные кривые полученыэкспериментально Римским-Корсаковым и Смирновым [1] (точками данызначения измерений). Крестиком приведено значение отношения (54), из-меренное Халтбергом [1] при Ё = 0,662 и 2 = 92.

5. Обсуждение результатов

В заключение заметим, что все приближенные выражения для сеченияфотоэффекта, полученные в предыдущих работах, содержатся в формулах(13а) — (13д). Так, нерелятивистская формула Штоббе [13] может быть по-лучена, если использовать только формулу (13а) при в =0 и Г,= —0/0\.Результат Заутера [?] получается из (1За) и (136) после разложения повсем параметрам, содержащим аб, и удержания только нулевого члена.Крайне релятивистские выражения Бойера [4] и Пратта [|8] содержатся в(13а) и (136), если в этих формулах не проводить разложений по ай. Фор-мулы Гаврилы[1] и Нагеля [3] могут быть получены, если к (13а), (136) до-бавить первыйчлен (13в), при этом требуется вычисление только двух ин-тегралов /: и ./.(0) из (19) и (22а).

Запись сечения фотоэффектав виде(13а) — (13д) позволяет сравнительнопросто выявить параметры разложения, связанные с а7. Как показанов раз-деле 3, разлагать (13) по соответствующему параметру можно только вопределенной энергетической области. Наличие в величинах Н из формулы(27) неберущихся однократных интегралов показывает, что выражение длявторой поправки порядка(2)? к формуле Заутера не может быть представ-лено в аналитической форме без разложения по каким-либо новым парамет-рам.

В случае фотоэлектронов, вылетающих вперед, следует подчеркнутьналичие равенства (30а), объясняющего обращениев нуль Р и С в формуле

1002 В. Г. Горшков, А. И. Михайлов

(27) (см. [1]). Именно это равенство позволяет вывести выражение для сече-ния вылета фотоэлектронов вперед без учета дополнительного члена вволновой функции (9). При рассмотрении данного случая этотфактне былотмечен Нагелем [3].

Хорошее совпадение полученных результатов с экспериментальнымиданными в области тяжелых элементов можно объяснить тем, что при со-ставлении отношения (54) относительные ошибки (50) и (27) погашают

друг друга.Авторыблагодарныпроф.Л.А. Сливу,Б. А. Волчкуи А.А. Римскому-

Корсакову за полезные дискуссии.

ПРИЛОЖЕНИЕ

В формулу(12) входит как составная часть матричный элемент вида

(т #— 4.,) 488$ = — <НИдСУн К —<ПУрбУн к = а (ат. А?) (52 — р — #2)(92,1?)

©

.^ . , 45

={"-#- г» т} оувтЕ = ак + 2.Б, Чи ЕК. (П.1)

Трехмерный интеграл может быть вычислен с помощью формулы(3) из [$]

1

1 4$ = (4. —тя\ (95 НА) (9 — р — 1) (+ 2 АЗИИ 9, 0

№ = [р* — № (1 — 9)] у— 2 (1—9). (1.3)

Подставляя (П.2) в (П.1), получим

1

$ = 5, + $» $."<ка — 4),

— мЕ и’!|Фапичьжи —> (П.4)

зе—58

А! = {1— № (1—9) — 1(1—9}^.Заменяяво втором интеграле (П.4) переменную п’ нал: 1’=-—{А'а^/(1—и),представим (1.1) в виде

=6%паС«НУлчнь К (1—9). (П.5)0о

Для преобразования трех последних членов (12) нам потребуется явныйвид разложенияпо у выражения — 05/01. Для получения этого разложениясделаем замену переменной в 5, (П.4), положив Л--Ёу =(Ё-р) Ё, при этом

Вр9е _ А Е г ау—5: = т (-3,)= \ 9 <ИУда[К (1 — 9)>. (1.6)

Учитывая, что ‚подынтетральная функция (П.6) в новой переменной зави-сит только от 12, выполним дифференцирование по нижнему пределу в (1.6)и (П.4). Заменяя после этого нижний предел (П.6) нулем и возвращаясь к

Угловое распределение фотоэлектроновсК-оболочки — — 1003

старой переменной у, получим^ 1д —# р

— 915 = пира«НИИ + "(т(- 5): | , +1'/р'— ”

1: 4А]СНУлна [К (1 — > + о (т) =

0

=ИУ+0(9). (П.7)Преобразование матричных элементов (12) можно выполнить, исполь-

зуя соотношение (см. [%] формулы (П.1))

ое Изны 1«ПУннаПР (4 < [Уньны Ю. (1.8)т

С помощью определения (106) и (П.8) получим

«ОИоно 1 К» = 299<,(АЕ= а-1< (п.9)#

<[ИодК > = 27° ( арЕ «Фь (р) | К> = | а(=$ ) ;(П.10)т а

а=ффю, б=П— фр), с=а— рр, (П.11)ВЕЛИ 9=К— р.

Используя тождества

Наа = —а, \ 4 \ а (№) = АаМ1 (4%) (МО) —0, Асю).А о0

с помощью (П.5) и (П.8) аналогично получим

1^ 4 4 у (Е т)

<,бун [К= 28-5 ау {-^та +о 0

Ук+=5| ^4*} <, (А+) [ка -— у) =

аааДаа, оо 0 0 0

а, = р—к (1—9)— (А+ 2, ЕР—9) —Ф-+А А),а =К(1 — 1) —р— рр! (А А). (11.13)

Физико-технический институт им. А..Ф. Иоффе Поступила в редакциюАкадемии наук СССР 2 апреля 1962 г.

Литература

[1] М. Сбауг![а. Р|уз. Веу., 113, 514, 1959; Миочо Сип., 15, 691, 1960.]

[2] Е. Заиц{фег. Апп: Рвучк, 111454, 1931._[3] В. Маве!. Агк. Руяк, 18, 1, 1960.[4] К. Н. Воуег. РВуз. Вех., 7,475, 1960.

[5] Ю. Н.Рга+1. Рьуз. Веу., 117, 1017,1960.

1004 В. Г. Горшков, А. И.. Михайлов

[6] В. Г. Горшков, ЖЭТФ,40, 1481, 1961.[7] А, И. Ахиезер,В. Б. Берестецкий. Квантовая электродинамика, Гостех-

издат, 195).

[8] 1, $1 атег. Рвуз. Веч., 36, 57,1930.[9] В. Г. Горшков, ЖЭТФ,441, 977, 1961.

[10] В. Г. Горшков, ЖЭТФ, 39, 1411, 1960.ППА. А. Римский - Корсаков, В.В. Смирнов, ЖЭТФ, 42,67, 1962.[12] $. Нци1+Б ег. Агк. Еузк, 15, 307, 1959. $. Ни| Бега, В. Маве!,

Р. О15зоп. Агк. Вуз, 20, 555, 1961.

[13] М. З4оБЪЬе. Апп. 4. РВуз., 7, 661, 1930.

АМСОТАВ О15ТВОТ!ОМ ОЕ РНОТОЕГЕСТВОМ$ РВОМ ТНЕ К-$НЕМ,.

У. (. богзйвоу, А. Г. МЕваЙоэ

ТЬе апешаг @15Н1ЪиНоп оЁ рНо‘юе[есйгопз гот +пе К-зНе! 15 оМатей {ог 1-ацапитепегетез аЪоуе 0,5 Меу. Тне гёаНуе ассигасу о! {Бе са\си!аНопз 15 о! Не огЧ4ег оЁ (а2)з,

Тре еНесф о{ зсгеепгия 1$ фаКеп {14 ассош\. ТНе сгоз$ зес{оп {ог роофоес#гопз етей т$пе ЧтесНоп о? Не шосЧеп{ рНофюпз сап Бе гергезет{ей {п ап апайуНс Гогт \ИВ а геа-Нуе ассигасу оЁ {Ве ог4ег о[ а2. ТНе гези!#з оЁ 4Не питег!са| са1сшШа#опз автее мп НеехрегипепчЦ№Мп {Пе еггогз о! {Пе теазигетел(,