ANEXO

Sea z una variable su incertidumbre se representa como , y si queremos representarla como una medicin

sera ( ) .

Si la variable o funcin en cuestin depende de 2 o ms variables, su incertidumbre depender de la estructura

o comportamiento de la funcin como se explica en la tabla # 1:

Funcin(f) Incertidumbre de la funcin (f)

= + = + = = +

= 2 = 2 = 2 = 2

Tabla # 1

Ejemplos

Se define a = + + , si = (. . ) , = (. . ) y

= (. . )

Calcule ( )

Entonces el procedimiento para este caso sera:

= 1 + 2 + 3

= 3.55 + 12.32 + 26.4 = 42.27 (Recuerde el proceso de suma con cifras significativas y decimales)

= 42.3 (El resultado debe tener 1 decimal por lo que usamos reglas de redondeo)

Ahora la incertidumbre:

= 1 + 2 + 3

= 0.05 + 0.02 + 0.2 = 0.27 (Recuerde el proceso de suma con cifras significativas y decimales)

= 0.3 (El resultado debe tener 1 decimal por lo que usamos reglas de redondeo)

Por lo tanto la representacin de la medicin sera:

= (42.3 0.3)

Se define la siguiente funcin = ( )/, si = (. . ) calcule el rea ( )

Primero encontremos el valor medido de A

=

4 2

=

4 (12.5)2 =

4 (12.5)(12.5)

= 122.718463 (Recuerde las reglas en la multiplicacin y el redondeo de cifras significativas)

= 123 cm (El resultado debe tener 3 cifras significativas por lo que usamos reglas de redondeo)

Para la incertidumbre

A =

4(2 D D)

A =

4 (2)(12.5)(0.3)

A = 5.890486226 (Recuerde las reglas en la multiplicacin y el redondeo de cifras significativas)

A = 6 cm (El resultado debe tener 3 cifras significativas por lo que usamos reglas de redondeo)

Por lo tanto la representacin de la medicin seria:

(AA) = (1236) cm2

Ahora qu sucede si nuestra funcin no se encuentra especificada en la tabla #1, como por ejemplo que la

funcin dependa de 2 o ms variables, entonces en estos casos se puede aplicar la propagacin de errores

usando derivadas parciales.

La derivada parcial de una funcin es derivar la funcin respecto a una variable que tenga incertidumbre,

manteniendo las otras variables como constantes, y repetir este proceso tantas veces como tantas variables con

incertidumbre haya.

Pero Cmo se deriva en primer lugar?

Propiedades de la derivada

Este tema es bastante amplio sin embargo solo se abarcara las propiedades necesarias para este curso. Sea K

una constante, f(x) y g(x) funciones que dependen de x y el smbolo para representar la derivada entonces:

La derivada de una constante respecto a una variable es cero

= 0

La derivada de una funcin f(x) multiplicada por una constante K, es decir K f(x) se puede escribir de la

siguiente manera:

()

=

()

Si se suman o se restan 2 o ms funciones que dependen de la misma variable y se desea obtener la

derivada de dicha expresin por ejemplo z(x)= f(x) g(x), la derivada de z(x) seria:

=

(() g(x))

=

(())

(g(x))

x

Si tengo una variable elevada a un exponente distinto de la unidad, para ese caso en particular se utiliza

lo siguiente:

1

=

( 1)

Ejemplos

Calcule la derivada de:

a) f(x) = 3

()

=

3

= 32

b) f(x)= 54

()

=

54

= 5(4)3 = 203

c) Si f(x)= 35 y g(x)= 46 halle la derivada f(x) + g(x)

(() + ())

=

()

+

()

=

3 5

+

4 6

= 3(5)4 + 4(6)5 = 154 + 245

Hasta el momento se ha explicado a breves rasgos el desarrollo de la derivada de una funcin, sin embargo lo

que se necesita para hallar la propagacin de errores es el uso de derivadas parciales y sumar el valor absoluto

de estas derivadas.

Sea c= a*b, entonces para hallar la incertidumbre de c, seria:

= |

| + |

|

Por ejemplo ( ) = (. . ) y ( ) = (. . )

Calcule ( )2

Para el valor de c

= = (1.317)(2.7)

= 3.5559 (Recuerde la multiplicacin y el redondeo de cifras significativas)

= 3.6

Para el valor de c

= |

| + |

|

= |() | + |() |

= (0.001)(2.7) + (0.1)(1.317)

= 0.0027 + 0.1317 (Recuerde la multiplicacin y el redondeo de cifras significativas)

= 0.003 + 0.1 = 0.103 = 0.1

= 0.1

La representacin de la medicin seria

(c c) = (3.6 0.1) 2

Ahora que sucedera si tuviera una funcin como esta

Sea ( ) = (. . ) y ( ) = (. . ) y se define a la funcin z como

= /. Encuentre ( )

El valor de z seria

=

=

46.5

1.3= 35.76923077

= 36

Debido a que z es una funcin que realiza la operacin matemtica de divisin, por lo tanto se puede

representar o reescribirla de la siguiente manera

=

= 1

Como el procedimiento de propagacin de errores utiliza el valor absoluto en las derivadas parciales, el

signo del exponente no debe afectar el clculo ms no el valor del exponente como tal.

= |

| + |

|

= | 1| + |(1) 2|

= |

| + |

(1)

2|

= 0.1

1.3+

(46.5)(0.1)

(1.3)(1.3)

= 0.076923076 + 4.65

1.69

Aplicar reglas de redondeo y cifras significativas en suma y divisin

= 0.08 + 5

1.7

= 0.08 + 2.941176471 = 0.08 + 3 = 3.08 = 3

= 3

Por lo tanto la medicin se representara de la siguiente manera:

(z z) = (36 3) m s

Ejemplo 3

Un pndulo simple se usa para obtener el valor de la aceleracin de la gravedad (g), usando g

lT 2

donde el periodo T es ( 02.024.1 )s y la longitud es de )002.0381.0( m Cul es el valor de este

resultado (g) con su incertidumbre absoluta y relativa?

Dada la frmula del pndulo simple, necesitamos primero despejar la variable de la gravedad

= 2

2 = 42

= 42

2

Con la variable despejada procedemos a reemplazar los datos:

= 42

2= 42

0.381

1.242= 9.78 2

Ahora procedemos a calcular la utilizando derivadas parciales:

Recuerde cuando son dos o ms variables se aplica derivadas parciales

= |

42

2 | ( )

= |

82

3| ( )

Por lo tanto la incertidumbre de la gravedad es:

= |42

2| + |

82

3|

=42(0.002)

1.242+

8 2(0.381)(0.02)

1.243

= 0.08

1.54+

0.6

1.91

= 0.05 + 0.3

= 0.3

Ya que la incertidumbre slo tiene 1 decimal de precisin lo debemos ajustar a la precisin del valor medido

de la gravedad que tiene 2 decimales de precisin. Por lo tanto la gravedad con su respectiva incertidumbre es:

= (9.78 0.30) 2

Finalmente, la incertidumbre relativa de la gravedad se define como:

100% =

0.30

9.78 100 = 3.1%

Ejemplo 4:

En un experimento sobre la conservacin del momento angular, una estudiante necesita encontrar el momento

angular L de un disco uniforme de masa M y radio R cuando gira con velocidad angular con respecto a su eje. La estudiante realiza las siguientes mediciones: M = (1.10 0.01) kg; radio R =(0.250 0.005)m;

velocidad angular = (21.5 0.5 )rad/s, utilizando la ecuacin 22

1MRIL . Cul es el valor del

momento angular y su incertidumbre?

El valor del momento angular sera:

= 1

22 =

1

2 (1.10)(0.2502)(21.5) Recuerde el resultado debe tener 3 cifras significativas.

= 0.739 2

, valor medido

Ahora procedemos a calcular la incertidumbre del momento angular

Recuerde cuando son dos o ms variables se aplica derivadas parciales

= |

1

2 2 | ( )

= |

1

2 2 | ( )

= | |( )

Entonces la incertidumbre del momento angular sera:

= |1

2 2 | + |

1

2 2 | + | |

= 1

2 (0.2502)(21.5)(0.01) +

1

2 (1.10)(0.2502)(0.5) + (1.10)(21.5)(0.250)(0.005)

= 0.007 + 0.02 + 0.03

= 0.06 ; Valor de la incertidumbre

En este caso especial la incertidumbre tiene dos decimales y en el valor medido tres decimales, por lo cual

existen varios mtodos que permiten registrar la medicin indirecta. Vamos a considerar que usted coloca los

ceros adecuados en la incertidumbre de tal forma que se ajuste al nmero de decimales del valor medido, esto

aplica siempre que usted haya respetado las reglas de cifras significativas y reglas de redondeo durante el

proceso de todos los clculos.

Por lo tanto el momento angular y su incertidumbre sern:

= (0.739 0.060) 2

;

Ejemplo 5:

Se quiere determinar el volumen de un paraleleppedo utilizando su masa y densidad: Masa= (980.171

0.001) g; Densidad del acero medida = (7.850 0.001) g/cm3. Reportar el valor del volumen del cuerpo con su

respectiva incertidumbre en cm3

=

=

= 980.171

7.850

= 124.9 3

= |

1

| ( )

= |

2 | ( )

= 1

+

2

= 1

7.850(0.001) +

980.171

(7.850)2(0.001)

= (0.0001) + (0.02)

= 0.02 3

Ya que la incertidumbre tiene 2 decimales de precisin la debemos ajustar a la precisin del valor medido del

volumen que tiene 1 decimal de precisin.

En lugar de colocar el valor de 0.02 escribiremos 0.1 ya que este es el valor de orden superior inmediato ms

cercano pero que es aproximadamente igual y que tiene 1 decimal. Por lo tanto el volumen con su respectiva

incertidumbre es:

= (124.9 0.1)3