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Reduccin de una forma cuadrtica a la forma diagonal

El objetivo es que dada una ecuacin general de segundo grado en dos

variables que tenga trmino mixto,

022 =+++++ FEyDxCyBxyAx

transformarla a una ecuacin sin dicho trmino

022 =++++ FyExDyCxA

para identificar la cnica que representa tal ecuacin

Teorema. Toda forma cuadrtica 22 2 CyBxyAx ++++++++ puede transformarse

mediante una rotacin de coordenadas ++++======== uyuxyxUyx ),(),(

a una forma diagonal 222

1 yx + donde 21 , son las races de la ecuacin 0)()( 22 =+ ACBCA y u es un vector unitario ortogonal

a ),( 1 BA . Demostracin.

Si ),( 21 uuu = , entonces

12

21

uyuxy

uyuxx

++++====

====

Como 2222 22 yCyxBxACyBxyAx ++++++++====++++++++

Se debe satisfacer

),(2

),()(

),(2

1212

2

121

2

2

2121

2

221

2

1

2121

2

221

2

1

CuBu BuAuuCuuBuAuC

CuBu BuAuuBuuuACBuB

CuBu BuAuuCuuBuAuA

++=+=

++=+=

++=++=

Podemos definir la transformacin ),(),(),(),( yCxByBxACByBAxyxL ++++++++====++++====

Entonces escribimos

)(uLuA ==== , )(uLuB ==== y )( ==== uLuC

Para que )(uLuB ==== sea cero, u y )(uL deben ser paralelos, es decir uuL =)(

Que en coordenadas es ),(),(),(),(),( 2121212121 uuCuBu BuAuCBuBAuuuL =++=+=

O lo que es lo mismo )0,0(),( 221121 =++ uCuBu uBuAu

O tambin 0),( = BAu 0),( = CBu

Esto significa que u es ortogonal tanto a ),( BA como a ),( CB Es decir ),( BA y ),( CB son paralelos, o

2

0)()(

0)(

0),(),(

0),(),(

22

22

=+

=+++

=

=

ACBAC

ACACB

CBAB

CBBA

Esta ltima ecuacin, se conoce como ecuacin caracterstica de la forma

cuadrtica.

Resolvemos la ecuacin de segundo grado

2

4)(

2

42

2

442

2

)(4)(

22222

22222

BCAACBCACAAC

ACBCACAACACBCAAC

++=

+++

++++=

+++=

La cual siempre tiene solucin porque 04)( 22 + BCA ; las races 21 , se llaman races caractersticas de la forma cuadrtica

Para 1 = se satisface uuL 1)( = , por * , que sustituimos en

11 )()( === uuuLuA Ahora se probar que 2=C De las expresin ))((0)()( 21

22 ==+ ACBAC Tenemos ACCA =+=+ 2121 Como 0),( 1 = CBu por **

),(

),(),(),(

2

221

BAu

BAuABuCBu

=

==

Por lo tanto 0),( 2 =

BAu

Es decir u solucin de la ecuacin 0),( ==== BAu con 2 = Y como ),( 2 BA y ),( 2CB son paralelos,

u es solucin de la

segunda ecuacin 0),( ==== CBu Por lo tanto = uuL 2)(

De aqu que 22 )()( ===uuuLuC

En el caso general para transformar

FEyDxCyBxyAx +++++ 22 2 en FyExDyCyxBxA +++++ 22 2

Los coeficientes FED , , se obtienen como sigue:

).(21 EDuEuDuD ====++++==== ),(12 EDuEuDuE ====++++==== FF ====

Ejemplo. Transformar la ecuacin con una rotacin adecuada, e identificar

la cnica que representa

081616565 22 =+++ yxyxyx

3

8 ,16 ,16 ,5 ,3 ,5 ======================== FEDCBA

0)2)(8(1610)259(10)()( 2222 ==+==+ ACBCA Tomando 8,2 21 == u un vector unitario ortogonal a )3,3()3,25(),( 1 == BA

====

2

1,

2

1u ,

====

2

1,

2

1u luego calculamos

)(uLuA ==== , )(uLuB ==== y )( ==== uLuC

Para ello

====++++====++++====

++++========

2

2,

2

2)5,3(

2

1)3,5(

2

1)5,3()3,5(

),(),(),()(

21

2121

uu

CBuBAuuuLuL

====++++====++++====

2

8,

2

8)5,3(

2

1)3,5(

2

1)5,3()3,5()( 12 uuuL

22

2,

2

2

2

1,

2

1)( ====

======== uLuA

02

2,

2

2

2

1,

2

1)( ====

======== uLuB

82

8,

2

8

2

1,

2

1)( ====

======== uLuC

(((( )))) 016,162

1,

2

1),( ====

======== EDuD

(((( )))) 2162

3216,16

2

1,

2

1),( ========

======== EDuE

Entonces

08216822 2222 ====++++++++++++====++++++++++++++++++++ yyxFyExDyCyxBxA o

(((( )))) 424484)222(4

04284

22

22

22

====++++++++

====++++====++++++++++++

====++++++++++++

yx

yyx

yyx

( ) 124

22

=++

yx

que corresponde a una elipse

Ejemplo. Transformar la ecuacin con una rotacin adecuada, e identificar

la cnica que representa

0555244 22 =+++ yxyxyx

5 ,5 ,52 ,4 ,2 ,1 ====== FEDCBA

4

0)5(5)44(5)()( 2222 ====+ ACBCA Tomando 5 ,0 21 ==

u un vector unitario ortogonal a )2,1()2,01(),( 1 == BA

=

5

1,

5

2u ,

=

5

2,

5

1u luego calculamos

)(uLuA ==== , )(uLuB ==== y )( ==== uLuC

Para ello

( )0,0)4,2(5

1)2,1(

5

2)4,2()2,1(

),(),(),()(

21

2121

==+=

+==

uu

CBuBAuuuLuL

=+=+=

5

10,

5

5)4,2(

5

2)2,1(

5

1)4,2()2,1()( 12 uuuL

( ) 00,05

1,

5

2)( =

== uLuA

( ) 00,05

2,

5

1)( =

== uLuB

55

10,

5

5

5

2,

5

1)( =

== uLuC

( ) 55,525

1,

5

2),( =

== EDuD

( ) 05,525

2,

5

1),( =

== EDuE

Entonces

05552 222 ==+++++ xyFyExDyCyxBxA

12 += xy obtenemos una parbola

Ejemplo. 055585611244 22 =+++ yxyxyx

En este caso 55 ,58 ,56 ,11 ,12 ,4 ====== FEDCBA

0)5)(20(10015

)44144(15)()(

2

222

=+=+=

=+

ACBCA

Tomando 20 ,5 21 ==

u un vector unitario ortogonal a )12,9(),( 1 = BA

=5

3,

5

4u ,

=5

4,

5

3u luego calculamos

)(uLuA ==== , )(uLuB ==== y )( ==== uLuC

5

Para ello

( )3,4)11,12(5

3)12,4(

5

4)11,12()12,4(

),(),(),()(

21

2121

=+=+=

+==

uu

CBuBAuuuLuL

( )16,12)11,12(5

4)12,4(

5

3)11,12()12,4()( 12 =+=+=

uuuL

( ) 53,45

3,

5

4)( =

== uLuA

( ) 03,45

4,

5

3)( =

== uLuB

( ) 2016,125

4,

5

3)( =

== uLuC

( ) 1058,565

3,

5

4),( =

== EDuD

( ) 8058,565

4,

5

3),( =

== EDuE

Entonces

05580102052 2222 =+++=+++++ yxyxFyExDyCyxBxA

0558010205 22 =+++ yxyx o

( )

14

)1()2(

4)2(4)1(

16111444)12(

0111624

22

22

22

22

=

=+

+=+++

=+++

xy

yx

yyxx

yxyx

obtenemos una hiprbola

BIBLIOGRAFIA

- Haaser, LaSalle, Sullivan. Anlisis Matemtico Vol. 1 y 2, Trillas.

- Lehmann, C. Geometra Analtica, Limusa.

- Kindle H. Joseph. Geometra Analtica. Mc Graw Hill.

- Borbolla, Geometra Analtica, Esfinge.

- Larson, Hostetler, Edwars. Clculo Vol. 2, Mc Graw Hil