analyse numérique exercices annales l3
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Exercices de Licence - Analyse numeriqueM. Bergounioux
Feuille no 1 : Generalites
1 Normes matricielles
1. Pour p ! 1 , on definit sur Rn la norme de Holder ( ou p-norme ) par :
"x"p = (|x1|p + · · · + |xn|p)1/p .
Montrer l’inegalite de Minkowski :!
n"
i=1
|xi + yi|p#1/p
#!
n"
i=1
|xi|p#1/p
+
!n"
i=1
|yi|p#1/p
,
et l’inegalite de Holdern"
i=1
|xi yi| # "x"p"y"q ,
ou1p
+1q
= 1. En deduire que x$ "x"p est bien une norme.
2. On definit aussi sur l’ensemble des matrices m% n a coe!cients dans R la norme induite :
"A"p = sup!x!p=1
"Ax"p .
Montrer que si D = diag ( µ1, · · · , µk) est une matrice m % n diagonale a coe!cients dans R(avec k = min (m,n)) alors :
"D"p = maxi
|µi| .
3. Montrer que "A"1 = maxj
n"
i=1
|aij | , quand A est une matrice carree d’ordre n.
4. On definit, pour une matrice A de format m% n sur R ( ou C) le nombre :
"A"sc =$ m"
i=1
n"
j=1
|aij |2% 1
2 ( Norme de Schur) .
(a) Verifier que " "sc est une norme et que "A"2sc = tr (AtA) (ou tr(A"A))
(b) Si A et B sont deux matrices de format respectifs m% n et n% p alors :
"A B"sc # "A"sc "B"sc
1
(c) Montrer que "A"sc est invariante par transformation orthogonale (ou unitaire)
(d) Montrer que si A est une matrice carree de format n on a :
|A"2 # "A"sc #&
n"A"2 .
(e) " "sc est-elle une norme matricielle induite ?
5. Soit "A"# la norme matricielle induite par la norme vectorielle "x"# = maxi
|xi|.
Etablir alors que : "A"# = maxi
"
j
|aij |.
6. Soient u et v deux vecteurs , u ' Rm et v ' Rn . Montrer que si A = uvt alors :
"A"2 = "A"sc = "u"2 "v"2 et "A"# = "u"# "v"1 .
7. A toute norme matricielle , telle que "A B" # "A" "B" on peut toujours associer une normevectorielle qui lui soit compatible .
Montrer qu’on a alors : "A" ! !(A) ( rayon spectral )
8. Soit H une matrice hermitienne definie positive . Montrer que l’application qui a x associe"x"H = (Hx, x)1/2 definit bien une norme vectorielle.
Soit " "H la norme matricielle associee. Calculer "A"H et retrouver le resultat classique"A"22 = !(A" A) avec H = Identite.
9. Montrer que :
(a) limk$+#
Ak = 0( !(A) < 1
(b) Pour toute norme matricielle :
limk$+#
"Ak"1/k = !(A)
2 Suites de matrices
1. Soit B une matrice carree telle que "B" < 1 . On definit Cn par :
Cn = I + B + B2 + · · · + Bn .
Montrer que limn$+#
Cn = (I )B)%1
2. Soit A une matrice carree et Bn definie par :
Bn =n"
k=1
Ak
k!.
(a) Montrer que la serie&
Bn converge vers une limite qu’on notera exp (A).
(b) Montrer que det (exp (A)) = exp (tr (A))
(c) Montrer que exp(A + B) = exp(A) exp(B) si et seulement si AB = BA.
2
3 Methode de Gauss
1. Rappeler la methode de Gauss et evaluer le nombre d’operations necessaires pour resoudre unsysteme lineaire.
2. Soit A une matrice reelle d’ordre n.
(a) Construire la matrice elementaire de Gauss L1 = I +"(1)et1 ou "(1) ' Rn et "(1)1 = 0, "(1)2=0
de facon que A1 = L%11 AL1 ait la structure suivante :
A1 =
'
((((((((()
# | # . . . #
# | # . . . #
) | ) ) )0 |... | #
0 |
*
+++++++++,
, ou # designe des termes non nuls .
(b) En deduire qu’il faut n) 1 matrices elementaires de Gauss pour construire une matrice H
de la forme Hessenberg semblable a A ou H = L%1AL et L = L1L2 . . . Ln%1.
(c) Montrer que le cout de cette transformation est de56n3 additions et multiplications.
3
Feuille d’exercices no 2 : Methodes iteratives pour les systemes lineaires
M(n, n) designe toujours l’ensemble des matrices carrees d’ordre n.
1. Montrer que si la matrice A = M )N est singuliere alors on ne peut pas avoir !(M%1N) < 1meme si M est reguliere.
2. Soit A une matrice hermitienne inversible mise sous la forme A = M )N ou M est inversible .On appelle B = I ) (M%1A) la matrice de l’iteration associee au systeme Ax = b. On supposeque M + M" )Aest definie positive .
Montrer que si x est un vecteur quelconque et y = Bx alors :
(x | Ax)) (y | Ay) = (x) y | (M + M " )A)(x) y)) .
En deduire que !(B) < 1 si et seulement si A est definie positive .
3. Soit a ' R ; la matrice A est definie de la maniere suivante :
A =
'
()1 a a
a 1 a
a a 1
*
+, .
(a) Pour quelles valeurs de a la matrice A est-elle definie positive ? Peut-on en deduire lesvaleurs de a pour lesquelles la methode de Gauss-Seidel est convergente ?
(b) Ecrire la matrice J de l’iteration de Jacobi . Pour quelles valeurs de a la matrice de Jacobiconverge-t-elle ?
(c) Ecrire la matrice L1 de l’iteration de Gauss-Seidel . Calculer !(L1) .
Determiner les valeurs de a pour lesquelles la methode de gauss-Seidel converge et cellespour lesquelles elle converge plus vite que la methode de jacobi.
4. On donne deux matrices reelles regulieres A, B d’ordre n et a, b deux vecteurs de Rn .
(a) On construit les deux iterations suivantes :
xo , yo ' Rn
(1)
-xk+1 = Byk + a
yk+1 = Axk + b .pour k = 0, 1, . . .
Donner une condition necessaire et su!sante de convergence des deux suites xk et yk
(b) On pose zk =
!xk
yk
#ou zk ' R2n . Expliciter les matrices C et c telles que :
zk+1 = Czk + c et comparer ! (C) et ! (AB) .
On considere maintenant les deux iterations suivantes :
(2)
-xk+1 = Byk + a
yk+1 = Axk+1 + b .
4
(c) Donner une condition necessaire et su!sante de convergence de (2).
(d) Mettre comme precedemment (2) sous la forme zk+1 = Dzk + d . Expliciter D et d etcomparer ! (D) et ! (AB) .
(e) Comparer les taux de convergence des algorithmes (1) et (2) .
5. A est une matrice hermitienne reguliere et A = M ) N est une decomposition de A telle queM" + N soit definie positive. On associe a la matrice A la methode iterative :
M x(k+1) = N x(k) + b (1)
pour la resolution de A x = b.
(a) On suppose que A est definie positive et on definit le produit scalaire < x, y >A par< x, y >A = (Ax,y) (ou ( , ) designe le produit hermitien habituel ).On note " "A la norme associee a ce produit scalaire : "x"2
A = (Ax, x) .Montrer que "(I )M%1A)x"A < "x"A . En deduire que (1) est convergente.
(b) On suppose desormais que la methode (1) est convergente et on pose B = I ) M%1A.
Montrer que :
• C = A(M")%1(M + M" )A)M%1A est hermitienne definie positive.
• A = C + B"AB.
En deduire que A = C ++#"
k=1
(B")k C Bk.
• Conclure que A est definie positive.
Est-ce que le resultat precedent s’applique a la methode de Gauss-Seidel ? Peut-on retrouver unresultat classique de convergence?
6. Methode de Richardson.- Pour resoudre l’equation Ax = b, on propose la methode suivante:
xn+1 = xn + $n(b)Axn)
ou $n sera calcule dans la suite de l’exercice .
(a) Montrer que en = A%1b) xn verifie la relation :
en+1 = (I ) $nA)en
En deduire que en = Pn(A)eo ou Pn est un polynome de degre au plus n et verifiantPn(0) = 1.
(b) Montrer que si la matrice est symetrique , alors :
"Pn(A)"2 = maxi
|Pn(%i)|
5
ou les %i sont les valeurs propres de A. En deduire que le meilleur choix des $i pour quemax
!N&t&!1
|Pn(t)| soit le plus petit possible est :
1$i
=%1 + %N
2+
%1 ) %N
2cos(
2i) 1n
.&
2)
(c) Montrer que "Pn(A)"2 # 2(.
K(A)) 1.K(A) + 1
)n ou K(A) est le nombre de conditionnement de
A.
On suppose que la matrice A est symetrique, definie positive.On note (%1, . . . ,%n) les valeurs propres de la matrice A rangees par ordre croissant : 0 < %1 #%2 # . . . # %n.
(a) Montrer que la methode iterative proposee est convergente si et seulement si 0 < $ <2%n
.
(b) Montrer qu’il existe 0 < $" <2%n
tel que
!(I ) $"A) = min{!(I ) $A) ; 0 < $ <2%n
} .
Calculer $" et exprimer !(I ) $"A) a l’aide du conditionnement '2(A) de la matrice A
relatif a la norme euclidienne.
6
Feuille d’exercices no 3 : Methodes iteratives pour les systemes lineaires
M(n, n) designe toujours l’ensemble des matrices carrees reelles d’ordre n.
1 Methode de relaxation
Soit A = (aij ' M(n, n) une matrice symetrique inversible dont les coe!cients diagonaux sont nonnuls. On introduit la matrice diagonale D = diag(aii)1&i&n.Soit b ' Rn. Pour resoudre le systeme Ax = b, on se donne ( > 0 et on considere la methode iterativedite de relaxation.
1. Montrer que si les matrices A et2(
D )A sont definies positives, alors la methode iterativeconverge.
2. Dans cette question, on suppose que aii > 0 pour tout i et que la methode iterative converge.On notera D1/2 la matrice d’elements diagonaux (
&aii) et D%1/2 son inverse.
(a) Soit S = D%1/2AD%1/2. Comparer les valeurs propres des matrices D%1A et S. Commentleurs vecteurs propres se correspondent-ils ?
(b) Montrer que le spectre de B" = I ) (D%1A est inclus dans l’intervalle ] ) 1, 1 [.
(c) En deduire que l’on a xtAx > 0 et xt 2(
D )Ax > 0 pour tout vecteur propre x de B".
(d) En conclure que les matrices A et2(
D )A sont definies positives.
3. Soient µ1 # . . . # µn les valeurs propres de la matrice J = I ) D%1A. On suppose qu’ellesappartiennent toutes a ] ) 1, 1 [.
(a) On note f(() le rayon spectral de B". Montrer qu’il est minimal pour une valeur particuliere(o. Preciser (o et f((o.
(b) Montrer que si la matrice A est tridiagonale, le spectre de J est symetrique par rapport a0. Est-il pertinent dans ce cas la de relaxer la methode de Jacobi.
2 Algorithme du Gradient a pas constant
On veut resoudre le systeme Ax = b, x ' Rn (avec A symetrique, definie, positive) par une methodede gradient a parametre constant. Soit x la solution de ce systeme. On propose l’algorithme suivant :
/01
02
• xo, ro = b)Axo
• xk+1 = xk + $rk
ou rk = b)Axk
$ est un reel constant .
7
1. Soit ek = xk ) x ( pour k ! 0) ; montrer que ek = (I ) $A)keo, ( pour k ! 0).
2. Soient 0 < %n # %n%1 # · · · # %1 les valeurs propres de A. Montrer que l’algorithme converge si
et seulement si 0 < $ <2%1
.
3. Montrer que le meilleur choix de $ est : $opt =2
%1 + %net qu’alors :
!(I ) $opt) =%1 ) %n
%1 + %n
3 Gradient conjugue
1. On note (x, y) le produit scalaire euclidien de Rn, xty sous forme matricielle, ui le vecteur propreassocie a une valeur propre %i et Wk le sous-espace engendre par les k vecteurs propres (ui)1&i&k.
On appelle Quotient de Rayleigh de la matrice A l’application de Rn) {0} vers R definie par:
RA(x) =(Ax, x)(x, x)
Montrer que :
• %k = RA(uk).
• %k = minx'Wk
RA(x).
• %k = maxx'W!
k"1
RA(x).
Pour x *= 0 et % scalaire quelconque, on definit ) = Ax) %x.
Montrer que
mini'{1,···,n}
|%) %i| #")"2"x"2
et que ) est minimum au sens de la norme euclidienne pour % = RA(x) .
2. Soit A une matrice carree d’ordre N symetrique , definie positive .
Deux vecteurs u *= 0 et v *= 0 sont dits A-conjugues si (Av|u) = 0.
(a) Montrer que si les vecteurs vo, v1, · · · , vN%1 sont A-conjugues, ils forment une base de RN .
(b) On definit les deux suites de matrices suivantes :
Ck =k%1"
i=0
vivti
(Avi|vi)
Dk = I ) CkA .
Montrer que pour 0 # j # k ) 1 :
/01
02
CkAvj = vj
Dkvj = 0Dt
kAvj = 0.
Que valent alors DN et CN ?
8
(c) Supposons que vo, v1, · · · , vk%1 soient connus .
Si Dk = 0 , que peut-on conclure ?
Sinon , soit v ' Rn tel que Dkv *= 0 . Montrer que vk = Dkv est A-conjugue par rapport avo, v1, · · · , vk%1.
(d) Ecrire un algorithme qui a partir de vo ' Rn){0}, donne, construit la suite v1, v2, · · · , vN%1.
Pour cela on pourra considerer, tant que le Dk *= 0, un vecteur de la forme Dkei ou ei estle ieme vecteur de la base canonique.
En deduire un algorithme pour calculer A%1 .
9
Feuille d’exercices no 4
Soit N un entier superieur a 1 et h = &/(N + 1). On considere le probleme discretise de Laplace-Dirichlet : etant donne (fi)1&i&N trouver (ui)1&i&N tel que
)(ui+1 + ui%1 ) 2ui)/h2 = fi, uo = uN+1 = 0. (2)
Le but du probleme est de trouver une methode iterative de resolution de (6).1. Calcul preliminaire
1. Monter que (6) est equivalent a la resolution de
Au = f (3)
ou on explicitera la matrice A = (aij)1&i,j&N et ou u et f sont les vecteurs de composantes(ui)1&i&N et (fi)1&i&N .
2. Montrer que tous les vecteurs propres vk et toutes les valeurs propres %k de A sont donnes parles formules
(vk)i = sin(i kh), %k =4h2
sin2
3k h
2
4.
3. Calculez la plus petite et la plus grande valeur propre de A et leur rapport. Comment secomporte-t-il pour N $ ++ ?Qu’en deduisez-vous ?
2. Methode iterative de resolution de (7)On definit les matrices D et E par
dij = aij*ij , eij = )aij si i *= j, 0 sinon.
Pour resoudre (6)-(7), on construit la suite de vecteurs u(n) definis par
D u(n+1) = f + E u(n) .
1. Comment s’appelle cette methode ? montrer qu’elle definit e"ectivement la suite u(n).
2. Soit J = I )D%1A; montrer que
u(n+1) = D%1f + J u(n) .
3. Calculer les vecteurs propres et valeurs propres µk de J .
4. Calculez le rayon spectral !(J).Les calculs des questions 3 et 4 de cette section servent dans la suite.
3. Convergence de la methode
10
1. Soit u la solution de (7) et e(n) = u) u(n). Montrez que
e(n) = Jne(o).
2. Montrer que"e(n)"/"e(o)" # "Jn"
ou " · " designe la norme euclidienne (et la norme matricielle induite).
3. Montrer que"Jn" # (cos h)n = sn .
En deduire que la methode converge.
4. On pose n = k (N + 1)2. Montrer que pour k fixe,
sn $ exp()k&2
2) pour N $ ++. (4)
5. Calculez approximativement k de facon a reduire l’erreur sur u(n) de 10%8 lorsque N est tresgrand. Justifiez que l’on peut utiliser (8).
6. Quel est le cout de la methode pour realiser un calcul a 10%8 pres en partant d’une donnee u(o)
telle que "u(o)" = 1.
7. Comparez ceci aux autres methodes que vous connaissez.
11
Feuille d’exercices no 5
Probleme 1.: une methode iterative du type directions alternees.
Soient A 'Mn(R) symetrique, definie positive et b ' Rn.On decompose la matrice A sous la forme
A = r I + H + V ,
ou r ' R, r > 0, H et V sont des matrices de Mn(R) symetriques telles que r I + H et r I + V soientinversibles.On considere la methode iterative pour la resolution du systeme Ax = b definie par
/01
02
xo ' Rn donne, et pour tout k ' N(r I + H)xk+1/2 = )V xk + b ,
(r I + V )xk+1 = )Hxk+1/2 + b .
(5)
On rappelle que le rayon spectral d’une matrice M est note !(M).
1. Montrer que la methode iterative (5) converge si et seulement si
!5(r I + V )%1H(r I + H)%1V
6< 1 .
2. Soient B =1rH et C =
1rV .
(a) Montrer que les matrices B (I + B)%1 et C (I + C)%1 sont symetriques.
(b) montrer que
!5(r I + V )%1H(r I + H)%1V
6# !
5B (I + B)%1
6!
5C (I + C)%1
6.
(c) Montrer que !5B (I + B)%1
6< 1 si et seulement si
12I + B est definie positive.
(d) En deduire que , si les matricesr
2I + H et
r
2I + V sont definies positives, la methode
iterative (5) converge.
Probleme 2.
Soient A = (aij) ' Mn(R) une matrice telle que aii *= 0 pour tout 1 # i # n et b ' Rn (n ! 2).
Pour tout x = (x1, . . . , xn)t ' Rn, on note "x"2 la norme euclidienne sur Rn, "x"1 =n"
i=1
|x|i et
"x"# = max{|x|i, i = 1, . . . , n}.Pour x(o) ' Rn donne, on construit une suite de vecteurs (x(k))k'N par recurrence : on pose r(k) =b ) Ax(k), on choisit i = i(k) ' { 1, . . . , n } tel que |r(k)
i | = "r(k)"# et on definit x(k+1) composantepar composante : /
01
02x(k+1)
i = x(k)i +
r(k)i
aii,
x(k+1)j = x(k)
j , j *= i, 1 # j # n .
12
1. On designe par Ai ' Rn la i-eme colonne de la matrice A. Montrer que pour tout k ' N
r(k+1) = r(k) ) r(k)i
aiiAi .
Quelle est la valeur de r(k+1)i ?
2. Dans cette question, on suppose de plus que
n"
j=1,j (=#
|aj#||a##|
< 1 ,
pour tout 1 # " # n. (On dit que A est a diagonale strictement dominante sur les colonnes).
(a) Etablir que , pour tout k ' N, on a :
"r(k+1)"1 #
'
)1) 1n
7
81)n"
j=1,j (=i
|aji||aii|
9
:
*
, "r(k)"1 ou i = i(k) .
(b) Justifier que le systeme lineaire Ax = b admet une solution unique que l’on notera x", puismontrer que la suite (x(k))k'N converge vers x".
3. Dans cette question, on suppose que A est symetrique, definie positive.
(a) Etablir, que pour tout k ' N, on a
;A%1r(k+1), r(k+1)
<=
;A%1r(k), r(k)
<) "r
(k)"2#ai(k)i(k)
,
ou (·, ·) designe le produit scalaire euclidien sur Rn.
(b) Verifier que, pour tout e ' Rn tel que "e"2 = 1, on a
(Ae, e)5A%1e, e
6! 1 .
En deduire qued(A) "A%1"2 ! 1 ,
ou d(A) = max{ajj , 1 # j # n }.
(c) Pour tout x ' Rn, on note "x"A"1 =5A%1x, x
61/2. Montrer que
"r(k+1)"A"1 #3
1) 1n d(A) "A%1"2
41/2
"r(k)"A"1 ,
pour tout k ' N.En deduire que la suite (x(k))k'N converge vers la solution x" du systeme lineaire Ax = b.
13
Examen - Decembre 2000
Les documents ne sont pas autorises. Les deux problemes sont independants.Exercice 1
Soient u et v deux vecteurs non nuls de Rn.
1. Ecrire les coe!cients de la matrice A = u vt
2. Quelle est le noyau de A ? Quelle est l’image de A ?
3. On suppose que v est colineaire a u ;
(a) Quelles sont les valeurs et vecteurs propres de A ?
(b) Calculer le rayon spectral de A + $ I , $ ' R, (I represente la matrice Identite).
4. On suppose que v n’est pas colineaire a u .
(a) Quels sont les valeurs propres de A ?
(b) Quels sont ses vecteurs propres ?
(c) Ecrire la matrice A dans une base du type (u, v,w1, · · · , wn%2) ou vt wi = 0.
(d) Rappeler la methode de Gauss-Seidel . Pour cette methode, calculer la matrice des iterationsappliquee a A$ = A + $ I (pour resoudre un systeme lineaire de la forme A$ x = b).
(e) Pour quelles valeurs de $ cette methode converge -t’elle ?
(f) Dans la base (u+v, u)v) pour n = 2, pour quelles valeurs de $ la methode de Gauss-Seidelconverge-t’elle ?
Exercice 2
On considere des methodes iteratives de resolution du type
Ax = b
sous la forme :xk+1 = Bxk + c
Soit la matrice : !2 )1)1 2
#
1. Calculer la matrice BJ de la methode de Jacobi et la matrice BG de la methode de Gauss-Seidel
2. Calculer les valeurs propres de BJ et de BG
3. Les methodes de Jacobi et de Gauss-Seidel convergent-elles pour cette matrice ?
14
4. Calculer les taux de convergence asymptotiques des deux methodes et comparer leurs vitessesde convergence .
On considere maintenant la methode SOR ou B vaut :
BS = (D ) (E)%1[(1) ()D + (F ]
avec A =
7
=8)F
D
)E
9
>:
5. Calculer BS dans le cas particulier precedent .
6. Calculer le determinant de BS . Que se passe-t’il pour ( = 2 ? Est-ce particulier a cette matriceA ?
7. Calculer la trace de BS et donner les deux valeurs propres de BS lorsqu’elles existent.
8. Pour 1 # ( # 4) 2&
2, indiquer pour quelle valeur de ( ces deux valeurs propres sont egales.
9. Calculer alors le rayon spectral de BS et comparer les taux de convergence de SOR et Gauss-Seidel .
On rappelle que le taux de convergence d’une methode est le rayon spectral de la matrice associee.
15
Examen - Juin 2001
Les documents ne sont pas autorises.Soit N un entier superieur a 1 et h = &/(N + 1). On considere le probleme discretise de Laplace-Dirichlet : etant donne (fi)1&i&N trouver (ui)1&i&N tel que
)(ui+1 + ui%1 ) 2ui)/h2 = fi, uo = uN+1 = 0. (6)
Le but du probleme est de trouver une methode iterative de resolution de (6).1. Calcul preliminaire
1. Monter que (6) est equivalent a la resolution de
Au = f (7)
ou on explicitera la matrice A = (aij)1&i,j&N et ou u et f sont les vecteurs de composantes(ui)1&i&N et (fi)1&i&N .
2. Montrer que tous les vecteurs propres vk et toutes les valeurs propres %k de A sont donnes parles formules
(vk)i = sin(i kh), %k =4h2
sin2
3k h
2
4.
3. Calculez la plus petite et la plus grande valeur propre de A et leur rapport. Comment secomporte-t-il pour N $ ++ ?Qu’en deduisez-vous ?
2. Methode iterative de resolution de (7)On definit les matrices D et E par
dij = aij*ij , eij = )aij si i *= j, 0 sinon.
Pour resoudre (6)-(7), on construit la suite de vecteurs u(n) definis par
D u(n+1) = f + E u(n) .
1. Comment s’appelle cette methode ? montrer qu’elle definit e"ectivement la suite u(n).
2. Soit J = I )D%1A; montrer que
u(n+1) = D%1f + J u(n) .
3. Calculer les vecteurs propres et valeurs propres µk de J .
4. Calculez le rayon spectral !(J).Les calculs des questions 3 et 4 de cette section servent dans la suite.
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3. Convergence de la methode
1. Soit u la solution de (7) et e(n) = u) u(n). Montrez que
e(n) = Jne(o).
2. Montrer que"e(n)"/"e(o)" # "Jn"
ou " · " designe la norme euclidienne (et la norme matricielle induite).
3. Montrer que"Jn" # (cos h)n = sn .
En deduire que la methode converge.
4. On pose n = k (N + 1)2. Montrer que pour k fixe,
sn $ exp()k&2
2) pour N $ ++. (8)
5. Calculez approximativement k de facon a reduire l’erreur sur u(n) de 10%8 lorsque N est tresgrand. Justifiez que l’on peut utiliser (8).
6. Quel est le cout de la methode pour realiser un calcul a 10%8 pres en partant d’une donnee u(o)
telle que "u(o)" = 1.
7. Comparez ceci aux autres methodes que vous connaissez.
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1
Universite d’Orleans Licence de Mathematiques
Unite MA6.07 2001/2002
Feuille de revision
1. Soit ! une racine double de la fonction f , c’est-a-dire f(!) = f !(!) = 0.
(a) En tenant compte du fait qu’on peut ecrire la fonction f comme
f(x) = (x! !)2 h(x), ou h(x) "= 0 ,
verifier que la methode de Newton pour l’approximation de la racine ! est
seulement d’ordre 1.
(b) On considere la methode de Nexton modifiee
xn+1 = xn ! 2f(xn)f !(xn)
.
Verifier que cette methode est d’ordre 2 si on veut approcher !.
2. On cherche les zeros de la fonction
f(x) =12
sin!" x
2
"+ 1! x .
(a) Verifier qu’il y a au moins un zero x" dans l’intervalle [0, 2].
(b) Verifier que x" est un zero de multiplicite 1.
(c) Ecrire la methode de Newton pour trouver le zero x" de la fonction f et calculer
la premiere iteration a partir de la valeur initiale xo = 1.
(d) Verifier que cette methode est d’ordre 2.
3. On se donne la fonction
f(x) = x3 ! 2 x! 5
sur l’intervalle [1, 3]
(a) Montrer qu’il y a au moins un zero dans l’intervalle [1, 3].
(b) Montrer que ce zero x" est unique.
(c) Ecrire la methode de Newton pour trouver le zero x" de la fonction f .
(d) En interpretant cette methode comme une methode de point fixe, montrer
qu’elle est d’ordre 2.
2
4. Polynomes Orthogonaux d’Hermite
Soit la famille de polynomes definie de la facon suivante :
Hn(x) = (!1)nex2 dn
dxn[e#x2
].
On note Pn l’ensemble des fonctions polynomiales de degre n de R dans R. On
designe par E l’ensemble des fonctions de R dans R telles que#
Rf(t)2e#t2 dt < +# ,
muni du produit scalaire
(f, g) =#
Rf(t) g(t)e#t2 dt .
(a) Montrer que Hn $ Pn ; calculer Ho et H1.
(b) Pour tout n % 2 et x $ R, donner l’expression de Hn(x) en fonction de
Hn#1(x), Hn#2(x) et n.
(c) En deduire le terme de plus haut degre de Hn ainsi que H2n(0).
(d) Pour tous (n, m) $ N & N tels que m ' n calculer (Hn, xm). En deduire
(Hn,Hm) pour tous (n, m) $ N& N .
1
Universite d’Orleans Licence de MathematiquesUnite MA6.07 2002/2003
Examen - 30 avril 2003 - Session 1- 2hLes documents ne sont pas autorises. La calculatrice est recommandee.
Les exercices sont independants.
1. Calculer! 1
0x e!x dx par la methode de Gauss-Legendre a 2 points et par la formule de
Simpson qui demande 3 evaluations fonctionnelles. Laquelle est la plus precise?
2. Soit a resoudre ln(x) + x = 0.
(a) Montrez que cette equation a une solution unique sur [0,1].(b) Par dichotomie, donnez la racine avec deux decimales significatives. Combien d’iterations
sont-elles necessaires? Pouvait-on le prevoir?(c) Par la methode de Newton (en partant de 1), donnez la racine avec deux decimales
significatives. Combien d’iterations sont-elles necessaires ? Comparez avec le resultatprecedent.
3. Soit f de R dans R de classe C" dont la derivee et la derivee seconde ne s’annulent pas auvoisinage de a verifiant f(a) = 0. On considere les suites xn et yn definies par la donnee dexo et les relations :
yn = xn !f(xn)f #(xn)
,
xn+1 = yn !f(yn)f #(xn)
.
On suppose que ces suites convergent vers a et que "n # N, xn $= a et yn $= a.
(a) Donner une interpretation geometrique de ces suites.(b) E!ectuer un developpement limite a l’ordre 2 de f(a)! f(xn) puis demontrer que
limn$+"
yn ! a
(xn ! a)2=
f”(a)2f #(a)
.
(c) E!ectuer un developpement limite a l’ordre 2 de f(a)! f(yn) puis demontrer que
limn$+"
xn+1 ! a
(xn ! a)(yn ! a)=
f”(a)f #(a)
.
(d) Demontrer que les suites xn et yn sont d’ordre au moins 3.
Correction de l’examen du 30 avril 2003
Exercice 2
Exercice 3