analyse nach harmonischen schwingungen mechanisches modell
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Analyse nach harmonischen Schwingungen
Mechanisches Modell
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Inhalt
• Analyse eines unbekannten Systems auf Eigenschwingungen
• Amplituden Signal• Phasen - Signal
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Versuch
• „Erzwungene mechanische Schwingung“
• Beobachtung von Amplitude und Phase als Funktion der Antriebsfrequenz
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Zwei über eine Feder gekoppelte Oszillatoren:Antrieb (rot) und angetriebener Oszillator (blau) mit
unbekannter Mechanik
Mechanisches Modell für die Fourier-Analyse: Ein Antrieb mit variabler Frequenz ist elastisch an das unbekannte System gekoppelt
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Antriebsfrequenz kleiner als eine Eigenfrequenz des unbekannten Systems
Kopplungsfeder wird wenig beansprucht, Praktisch gleichphasige Auslenkung bei Antrieb und unbekanntem System
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Antriebsfrequenz höher als eine Eigenfrequenz des unbekannten Systems
Kopplungsfeder wird stark beansprucht, praktisch gegenphasige Auslenkung bei Antrieb und unbekanntem System
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Antriebsfrequenz gleich einer Eigenfrequenz des unbekannten Systems
Jede Schwingung überträgt Energie vom Antrieb in das unbekannte System, die Amplitude wächst an, die Phasen-verschiebung beträgt π/2
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Analyse eines unbekannte, mechanischen Aufbaus auf Eigenschwingungen
• Ein Antrieb mit variabler Frequenz regt ein unbekanntes System zu „erzwungenen Schwingungen“ an
• Die Antriebs-Frequenz wird von Null an langsam gesteigert
• Die „Antwort“ des unbekannten Systems wird beobachtet:– Amplitude und – Phase
• Nur bei der Frequenz einer Eigenschwingung zeigt das angeregte System „Resonanz“:– Amplitude steigt– Phase springt
• Jede harmonische Schwingung ist durch– Frequenz, – Amplitude – und Phase
charakterisiert
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Resonanz
• Resonanz, falls Antriebsfrequenz gleich Eigenfrequenz– Die Amplitude wächst bei jeder Schwingung
und führt ohne Dämpfung zur „Resonanzkatastrophe“
• Unabhängig von der Dämpfung „springt“ die Phase an der Resonanzstelle
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Erzwungene Schwingung und Fourier-Transformation
• Gegeben sei eine beliebige periodische Funktion – sie entspricht dem „unbekannten System“
• Diese Funktion wird in eine Summe von Sinus Funktionen mit individuellen– Frequenzen– Amplituden– Phasen zerlegt – entsprechend dem Antrieb mit variabler
Frequenz und Beobachtung der „Antwort“ des Systems
• Für die Zerlegung einer Funktion gibt es ein mathematisches Verfahren, die „Fourier-Transformation“
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Das Signal sei eine „Schwebung“
Die Periode der Schwebung ist – in diesem Beispiel – etwa das 20-fache der Periode der Ausgangs-Signale
f=0,05 [Hz]
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Fourier-Analyse: Test des Systems auf Eigenschwingungen
0,00,5
1,0
1,5
2,01,4
1,21,0
0,80,6
0,40,2
0,0
0
2
4
Am
plitu
de
Dämpf
ung
Antriebsfrequenz/Eigenfrequenz
Antriebsfrequenz < νResonanz_1
Antriebsfrequenz = νResonanz_1
Antriebsfrequenz = νResonanz_2
Antriebsfrequenz > νResonanz_2
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Fourier-Analyse: Test auf Eigenschwingungen, Ergebnis für die Phase
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,02,5
2,01,5
1,00,5
0,0
0
50
100
150
Pha
se z
wis
chen
Ant
rieb
und
Osz
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or
Däm
pfung
Antriebsfrequenz/Eigenfrequenz
Antriebsfrequenz = 0,2 Hz : Phasensprung 360° Artefakt, kein Amplitudensignal
0,8 < Antriebsfrequenz [Hz ]<1,1: Phasensprung und Amplitude zeigen „Treffer“
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Ergebnis der automatischen Fourier-Analyse (per Mausklick „FFT“)
• Die Zerlegung des (Schwebungs-) Signals zeigt zwei benachbarte Frequenzen• Beide sind viel höher als die Frequenz der Schwebung
ν=0,95 Hz ν=1,00 Hz
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Zum Vergleich. Analyse einer einzigen Sinus Kurve, T=1,00 [s]
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Ergebnis der automatischen Fourier-Analyse (per Mausklick „FFT“)
• Bei Zerlegung einer einzigen Schwingung steigt das Amplitudensignal - wie zu erwarten - bei einer einzigen Frequenz
• Analog zur Resonanz einer erzwungen Schwingung „springt“ die Phase
ν=1,00 Hz
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0,00,5
1,0
1,5
2,01,4
1,21,0
0,80,6
0,40,2
0,0
0
2
4
Am
plitu
de
Dämpf
ung
Antriebsfrequenz/Eigenfrequenz
Amplitude einer erzwungenen Schwingung in Abhängigkeit von dem Verhältnis zwischen Antriebs- und Eigenfrequenz und der Dämpfung. Die Resonanzkurve wird mit abnehmender Dämpfung schärfer
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0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,02,5
2,01,5
1,00,5
0,0
0
50
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Antriebsfrequenz/Eigenfrequenz
Phase zwischen Antrieb und Schwingung des Systems in Abhängigkeit von dem Verhältnis zwischen Antriebs- und Eigenfrequenz und der Dämpfung.
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Zusammenfassung
• Die Fourier-Analyse testet das System auf Eigenschwingungen
• Mechanisches Modell: Ein Antrieb mit variabler Frequenz regt das System zu „erzwungenen Schwingungen“ an
• Bei der Frequenz einer Eigenschwingung zeigt das angeregte System „Resonanz“:– Amplitude steigt– Phase springt
• Jede harmonische Schwingung ist durch– Frequenz, – Amplitude – und Phase
charakterisiert
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finis