Analyse des correspondances multiples

Sexe Revenu Preference

s1 F M A

s2 F M A

s3 F E B

s4 F E C

s5 F E C

s6 H E C

s7 H E B

s8 H M B

s9 H M B

s10 H M A

Tableau protocole : 3 questions, 7 modalités

Sexe:F

Sexe:H

Rev:M

Rev:E Pref:A Pref:B Pref:C

s1 1 0 1 0 1 0 0

s2 1 0 1 0 1 0 0

s3 1 0 0 1 0 1 0

s4 1 0 0 1 0 0 1

s5 1 0 0 1 0 0 1

s6 0 1 0 1 0 0 1

s7 0 1 0 1 0 1 0

s8 0 1 1 0 0 1 0

s9 0 1 1 0 0 1 0

s10 0 1 1 0 1 0 0

Tableau disjonctif complet

DEPARTEMENTS BLE VIN LAIT

DEP 1 NON ROUGE PEU

DEP 2 OUI ROSE MOYEN

DEP 3 OUI BLANC MOYEN

LA DISJONCTION EST UNE CODIFICATION EN DONNEES BINAIRES

CREATION D’UNE VARIABLE POUR CHAQUE MODALITE

BLE VIN LAIT

DEPARTEMENTS OUI NON ROUGE ROSE BLANC PEU MOYEN BCP

DEP 1 0 1 1 0 0 1 0 0

DEP 2 1 0 0 1 0 0 1 0

DEP 3 1 0 0 0 1 0 1 0

La disjonction complète

Sexe Revenu Preference Effectif

F M A 2

F E B 1

F E C 2

H E C 1

H E B 1

H M B 2

H M A 1

Tableau d’effectifs ou tableau des patrons de réponses

Sexe:F

Sexe:H

Rev:M

Rev:E Pref:A Pref:B Pref:C

FMA 2 0 2 0 2 0 0

FEB 1 0 0 1 0 1 0

FEC 2 0 0 2 0 0 2

HEC 0 1 0 1 0 0 1

HEB 0 1 0 1 0 1 0

HMB 0 2 2 0 0 2 0

HMA 0 1 1 0 1 0 0

Tableau disjonctif des patrons de réponses

F H M E A B C

Sexe:F 5 0 2 3 2 1 2

Sexe:H 0 5 3 2 1 3 1

Revenu:M 2 3 5 0 3 2 0

Revenu:E 3 2 0 5 0 2 3

Preference:A 2 1 3 0 3 0 0

Preference:B 1 3 2 2 0 4 0

Preference:C 2 1 0 3 0 0 3

Tableau de Burt

BLE VIN LAITOUI NON Rouge Rosé Blanc Peu Moyen Bcp

0 1 1 0 0 1 0 01 0 0 1 0 0 1 01 0 0 0 1 0 1 0

OUI 0 1 1 2 0 0 1 1 0 2 0NON 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0Rouge 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0Rosé 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0Blanc 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0Pau 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0Moyen 0 1 1 2 0 0 1 1 0 2 0Bcp 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

MATRICE DE BURT

t XX

t XXTous les tris simplesTous les tris croisés

Si X est une matrice disjonctive complèteLa Matrice de BURT est t XX

Le tableau de BURT

Analyse des correspondances multiples

Effectuer l'analyse des correspondances multiples, c'est effectuer l'analyse factorielle des correspondances du tableau disjonctif complet, muni des relations K<Q> (modalités emboîtées dans les questions) et I<K<q>> (individus emboîtés dans les modalités de chaque question).

Rouanet et Le Roux

Propriété de l’analyse des correspondances (simple)

Lorsqu’il y a deux variables qualitatives réunies dans un tableau disjonctif X = [X1|X2], l’analyse factorielle des correspondances du tableau disjonctif est équivalente à l’analyse des correspondances du tableau de contingence N = TX1 X2

2 K QQ

Nombre de modalités Nombre de questions

Nombre de questions

Valeur du Phi-2 :

Contributions absolues des modalités colonnes à l’inertie :

Q

fMCta k

k

1)(

Distances entre profils lignes :

d22 (Patron i,Patron i')

1

Nb de Questions

1

fréquence de la modalité k

Somme étendue à toutes les modalités faisant partie de l'un des deux patrons, sans faire partie des deux patrons

Distance d’une ligne au profil moyen

d22 (O, Patron i)

1

Nombre de Questions

1

fréquence de la modalité k

1

Somme étendue à toutes les modalités faisant partie du patron i

d22 (Mk, Mk' )

Effectif de k Effectif de k' 2 Effectif de la combinaison k & k '

Effectif de k Effectif de k ' / Effectif total

Distances entre profils colonnes :

Distance d’une colonne au profil moyen :

d22 (O, Mk )

1

fk 1

n

nk 1

Effectif total

Effectif de k 1

d22 (Mk, Mk' )

1

fk

1

fk ' 2

fkk'fk fk '

nk nk' 2nkk'nknk' /n

1) Indépendance des modalités Mk et Mk' :

),(),(),( '22

'2

kkkk MOdMOdMMd

Autrement dit, dans l'espace multidimensionnel, le triangle OMkMk'

est alors un triangle rectangle en O.

2) Si les modalités Mk et Mk' s'attirent, l'angle ', kk OMOM

est un angle aigu.

3) Si les modalités Mk et Mk' se repoussent, l'angle ', kk OMOM

est un angle obtus.

4) Si l'effectif conjoint nkk' des modalités Mk et Mk' est nul (en particulier

si Mk et Mk'sont deux modalités d'une même question) :

2),(),(),( '22

'2 kkkk MOdMOdMMd

Valeurs Propres et Inertie de toutes les Dimensions (Protocole dans Mini-ACM.stw) Table d'Entrée (Lignes x Colonnes) : 7 x 7 (Table de Burt) Inertie

Totale = 1,3333

ValSing. ValProp. %age %age Chi²

1 0,776426 0,602837 45,21275 45,2128 25,37943

2 0,680961 0,463708 34,77810 79,9909 19,52211

3 0,450509 0,202959 15,22190 95,2128 8,54456

4 0,252646 0,063830 4,78725 100,0000 2,68724

Valeurs propres

Valeurs propres : décroissance lente -> taux d’inertie modifiés de Benzécri

  ValProp. 1/Q (VP-1/Q)^2 %age

1 0,6028 0,3333 0,0726 81,04%

2 0,4637 0,3333 0,0170 18,96%

3 0,2030      

4 0,0638      

Somme 1,3333   0,089630  

Calcul des taux modifiés :

Tra cé 2 D d e s C o o rd o n n é e s C o lo n n e ; D im e n s io n : 1 x 2

Ta b le d 'En tré e (L ig n e s x C o lo n n e s ) : 7 x 7 (Ta b le d e Bu rt)

Se xe :F

Se xe :H

R e ve n u :M

R e ve n u :E

Pre fe re n ce :A

Pre fe re n ce :B

Pre fe re n ce :C

-2 ,0 -1 ,5 -1 ,0 -0 ,5 0 ,0 0 ,5 1 ,0 1 ,5

D im e n s io n 1 ; Va le u r P ro p re : ,6 0 2 8 4 (4 5 ,2 1 % d 'In e rtie )

-1 ,5

-1 ,0

-0 ,5

0 ,0

0 ,5

1 ,0

1 ,5

Dim

en

sion

2; V

ale

ur P

rop

re : ,4

63

71

(34

,78

% d

'Ine

rtie)

Mini-exemples

Deux questions à deux modalités chacune.

Cas 1 : les effectifs des modalités sont donnés par :

A1 A2 Total

B1 50 50 100

B2 50 50 100

Total 100 100 200

Prévoir la forme de la représentation par rapport au premier plan factoriel.

Tracé 2D des Coordonnées Colonne ; Dimension : 1 x 2Table d'Entrée (Lignes x Colonnes) : 4 x 4 (Table de Burt)

A:A1 A:A2

B:B1

B:B2

-1,5 -1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 1,5

Dimension 1; Valeur Propre : ,50000 (50,00 % d'Inertie)

-1,5

-1,0

-0,5

0,0

0,5

1,0

1,5D

imen

sion

2; V

aleu

r P

ropr

e : ,

5000

0 (5

0,00

% d

'Iner

tie)

Réponse :

Mini exemple 2 : les effectifs des modalités sont donnés par :

A1 A2 Total

B1 80 20 100

B2 80 20 100

Total 160 40 200

Tracé 2D des Coordonnées Colonne ; Dimension : 1 x 2Table d'Entrée (Lignes x Colonnes) : 4 x 4 (Table de Burt)

A:A1A:A2

B:B1

B:B2

-2,5 -2,0 -1,5 -1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0

Dimension 1; Valeur Propre : ,50000 (50,00 % d'Inertie)

-1,5

-1,0

-0,5

0,0

0,5

1,0

1,5D

imen

sion

2; V

aleu

r P

ropr

e : ,

5000

0 (5

0,00

% d

'Iner

tie)

Mini exemple 3 : les effectifs des modalités sont donnés par :

A1 A2 Total

B1 72 48 120

B2 48 32 80

Total 120 80 200

Tracé 2D des Coordonnées Colonne ; Dimension : 1 x 2Table d'Entrée (Lignes x Colonnes) : 4 x 4 (Table de Burt)

A:A1

A:A2

B:B1 B:B2

-1,5 -1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 1,5

Dimension 1; Valeur Propre : ,50000 (50,00 % d'Inertie)

-1,5

-1,0

-0,5

0,0

0,5

1,0

1,5D

imen

sion

2; V

aleu

r P

ropr

e : ,

5000

0 (5

0,00

% d

'Iner

tie)

Mini exemple 4 : les effectifs des modalités sont donnés par :

A1 A2 Total

B1 80 50 130

B2 50 20 70

Total 130 70 200

Tracé 2D des Coordonnées Colonne ; Dimension : 1 x 2Table d'Entrée (Lignes x Colonnes) : 4 x 4 (Table de Burt)

A:A1

A:A2

B:B1

B:B2

-1,5 -1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 1,5

Dimension 1; Valeur Propre : ,54945 (54,95 % d'Inertie)

-0,8

-0,6

-0,4

-0,2

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2D

imen

sion

2; V

aleu

r P

ropr

e : ,

4505

5 (4

5,05

% d

'Iner

tie)

Mini exemple 5 : les effectifs des modalités sont donnés par :

A1 A2 Total

B1 73 56 129

B2 40 32 72

Total 113 88 201

Tracé 2D des Coordonnées Colonne ; Dimension : 1 x 2Table d'Entrée (Lignes x Colonnes) : 4 x 4 (Table de Burt)

A:A1

A:A2

B:B1

B:B2

-1,2 -1,0 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8

Dimension 1; Valeur Propre : ,50499 (50,50 % d'Inertie)

-1,0

-0,8

-0,6

-0,4

-0,2

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2D

imen

sion

2; V

aleu

r P

ropr

e : ,

4950

1 (4

9,50

% d

'Iner

tie)