analyse de stabilité d'un système de saint-venant et étude
TRANSCRIPT
BABACAR TOUMBOU
ANALYSE DE STABILITÉ D'UN SYSTÈME DE SAINT-VENANT ET ÉTUDE D'UN MODÈLE DE
SÉDIMENTATION
Thèse présentée à la Faculté des études supérieures de l'Université Laval
dans le cadre du programme de doctorat en mathématiques pour l'obtention du grade de Docteur és sciences (Ph.D)
FACULTÉ DES SCIENCES ET DE GÉNIE UNIVERSITÉ LAVAL
QUÉBEC
2009
@babacar toumbou, 2009
11
Résumé Nous faisons dans la première partie de ce document l 'analyse de dispersion d un modèle
linéaire de shallow-water. Notre étude est basée sur l analyse de Fourier. Le schéma tem
porel utilisé est celui d ' Adams-Bashforth à trois pas. La discrétisation en espace est faite
avec les paires d 'éléments finis P1NC - P 1 et RTo . La relat ion de dispersion obtenue
avec chacune de ces deux paires d éléments finis permet de représenter graphiquemen
le module des racines et de faire une étude de stabilité.
Nous présentons dans la deuxième part ie un t héorème d 'existence de solution d un
modèle 2-D de sédimentation couplant un système de Saint -Venant avec une équation de t ransport de sédiments. Cette partie est composée de deux chapitres. Dans le premier
chapitre on établit le modèle couplé. On intègre les équations tridimensionnelles de
Navier-Stokes sur la hauteur de la colonne d'~au tenant compte d 'une bathymétrie
variable en espace et en temps. Ceci nous permet d 'obtenir la partie Saint-Venant du
modèle. Une équation de transport de sédiments relative à la bathymétrie sera couplée au système de Saint-Venant obtenu. Dans le chapitre 4 nous démontrons un t héorème
d 'existence de solution du modèle couplé. La résolution théorique du modèle couplé se
fait en posant le problème dans des espaces de dimension finie. Puis nous résolvons le
problème de dimension finie associé en utilisant un théorème de point fixe de Brouwer.
Enfin, nous montrons que les limites des suites de solutions du problème de dimension
finie satisfont les équations du modèle couplé initial.
Une étude numérique d 'un modèle couplé plus général que celui présenté théorique
ment dans les chapitres 3 et 4 est faite au chapitre 5. les schémas discrets en temps
d'Euler implicite et de Crank Nicholson sont utilisés et trois triplets d 'éléments finis
sont explorés dans cette partie numérique. Il s'agit des triplets suivants: Pl - Pl - Pl '
P2 - Pl - Pl et MINI - Pl·
Abstract
We perform the dispersion analysis of a linear shallow water model in t he first part
of the document . Our study is based on Fourier analysis. We used t he Adams-Bashforth
scheme with three steps as time discretisation scheme. The spacial discret isation is done
with the finite element pairs P[Vc - P1 and RTo . The dispersion relation obtained
with each of these two finite element pairs allows to plot the modulus of each of their
resulting roots. Finally, we compair these two finite element pairs in terms of stability
and spurious modes.
We present in the second part an existence theorem of a 2-D sedimentation model
which couples a Saint-Venant system with a sediment transport equation. This part
contains two chapters. In the first one we establish the coupled model. In fact , we
integrate the 3-D Navier-Stokes equations over the height of the water column taking
into account the bed evolution in space and in time. This allows us to obtain the Saint
Venant part of the model. A sediment transport equation related to the bathymetry
will be coupled with the obtained Saint-Venant system.
In the second chapter we prove an existence theorem of the cou pIed model. To solve
the theoretical model we set the problem in finite dimension al spaces. We use a Brouwer
fix point theorem to obtain a solution of the finite dimension al problem. Consequently,
we show that the limits of the sequences solution of the finite dimensional problem
satisfy the model equations.
A numerical study of a more general coupled model is do ne in chapter 5. An implicite
Euler and a Crank Nicholson temporal discretisatjon schemes are used and three finite
element combinations "are explored. They are Pl - Pl - Pl ' P2 - Pl - Pl and MINI - Pl·
Avant-propos
J 'exprime ma reconnaissance et mes vifs remerciements à mes encadreurs les pro
fesseurs Daniel Le Roux de l 'université Laval du Québec et Abdou Sène de l université
Gaston Berger de Saint-Louis, pour leur disponibilité et leur appui académique constant
à mon endroit durant ma thèse. Je salue leurs conseils et suggestions qu ils m 'ont donnés
pendant ces années. Je remercie mon directeur de thèse le professeur Daniel Le Roux
pour son soutien financier ainsi que l'Agence Universitaire de la Francophonie (AUF)
qui m'a accordé une bourse de formation à la recherche de 2004 à 2007.
Je tiens également à remercier le directeur du département de mathématiques et de
statistique de l'université Laval le professeur Roger Pierre, le directeur du Laboratoire
d 'Analyse Numérique et Informatique (LANI) le Professeur Mary Teuw Niane qui est
aussi le Recteur de l 'université Gaston Berger de Saint-Louis et le directeur du Groupe
Interdisciplinaire de Recherche en Éléments Finis (G IREF) le professeur André Fortin,
pour m'avoir accepté au sein de leur laboratoire ~
Je réserve un remerciement particulier à ma femme Fatou Fall et à mon ami Zanin
Kavazovic qui n'ont cessé de m'encourager, de m'assister dans les moments les plus
difficiles. Je leur marque mon estime et mon profond respect.
Je confonds dans ces mêmes remerciements les membres du LANI, du GIREF, tous
mes amis, mes promotionnaires, mes parents, mes frères et soeurs.
Je remercie mes parents qui ont beaucoup fait pour moi et qui continuent de me
·soutenir dans tous les domaines. Ces remerciements sont formulés à l 'endroit de ma
belle famille pour la confiance et le respect qu 'elle voue à ma modeste personne. Je leur
exprime toute ma satisfaction.
Dédicaces
À mes parents
À ma femme
À ma f amille
À mes amis
Table des matières
Résumé ii
Abstract iii
Avant-Propos iv
Liste des tableaux viii
Table des figures ix
1 Introduction 1
1 ANALYSE DE STABILITÉ 6
2 Stability analysis of AB3 scheme for P-fc - Pl and RTo - Po in SW 7 2.1 Introduction. .................... 7
2.2 The continuous model and its exact free solutions. 9
2.3 The discrete model. . . . . . . 10 2.3.1 Time discretization ... . ......... .
2.3.2 Spatial discretization ............ .
2.4 Computation of the discrete dispersion relations ..
2.4.1 The P-fc - Pl pair. .... .
2.4.2 The RTo - Po pair. .... .
2.5 Analysis of the dispersion relations.
2.5.1 The P-fC - Pl case.
2.5.2 The RTo - Po case. "2.6 Conclusion. ........ .
II ÉTUDE THÉORIQUE
3 Établissement du modèle couplé
3.1 Passage de Navier-St okes à Saint-Venant
10
Il
16
17
22
25
26
28
28
31
32
33
vii
3.1.1 Intégration de l'équation de continuité .. '. . . . . . . . . . .. 33
3.1.2 Intégration de l'équation de conservation de la quantité de mou-
vement ...... .
3.2 Estimations préliminaires
4 Résultats théoriques d'existence du modèle couplé 4.1 Théorème d 'existence ................ .
4.1 .1 Estimations...................
,4.1.2 Passage à la limite dans les équations de conservation
4.1.3 Résolution du problème de dimension finie
4.1.4 Positivité de hn et de Hn . . . . . . . . .
4.1.5 Démonstration du théorème d existence. 4. 2 Conclusion.....................
III ÉTUDE NUMÉRIQUE
5 Étude numérique du modèle couplé 5 .1 Introduction..........
5.2 Formulation faible du modèle .. .
5.3 Tests Numériques ......... .
5.4 Modèle numérique avec Euler Implicite
5.4.1 Cas du P2 - Pl - Pl
5.4.2 Cas du MINI - Pl ...... .
5.4.3 Cas du Pl - Pl - Pl . . . . . . 5.5 Modèle numérique avec Crank Nicholson
5.5.1 Cas du P2 - Pl - Pl
5.5.2 Cas MINI-Pl
5.5.3 Cas du Pl - Pl - Pl 5.6 Comparaison entre Euler Implicite et Crank Nicholson
5.7 Conclusion .
6 Conclusion
Bibliographie
34
37
44 44
46
53
64
68 69
70
71
72 72
74 77
79
79
83 85
86 87
88 89 90 93
95
98
Liste des tableaux
5.1 Erreur pour n = 1 avec Euler implicite pour P2 - Pl - Pl· 82
5.2 Erreur pour n = 2 avec Euler implicite pour P2 - Pl - Pl· 82
5.3 Erreur pour n = 3 avec Euler implicite pour P2 - Pl - Pl. 82
5.4 Erreur pour n = 1 avec Euler implicite pour MINI - Pl .. 84
. 5.5 Erreur pour il = 2 avec Euler implicite pour MINI - Pl .. 85
5.6 Erreur pour n = 3 avec Euler implicite pour MINI - Pl .. 85
5.7 Erreur pour n = 1 avec Euler implicite 'pour Pl - Pl - Pl. 86
5.8 Erreur pour n = 2 avec Euler implicite pour Pl - Pl - Pl· 86
5.9 Erreur pour n = 3 avec Euler implicite pour Pl - Pl - Pl. 86
5.10 Erreur pour n = 1 avec Crank Nicholson pour P2 - Pl - Pl· 87
5.11 Erreur pour n = 2 avec Crank Nicholson pour P2 - Pl - Pl· 87
5.12 Erreur pour n = 3 avec Crank Nicholson pour P2 - Pl - Pl· 88
5.13 Erreur pour n = 1 avec Crank Nicholson pour MINI - Pl .. 88
5.14 Erreur pour n = 2 avec Crank Nicholson pour MINI - Pl .. 89
5.15 Erreur pour n = 3 avec Crank Nicholson pour MINI - Pl .. 89
5.16 Erreur pour n = 1 avec Crank Nicholson pour Pl - Pl - Pl· 89
5.17 Erreur pour n = 2 avec Crank Nicholson pour Pl - Pl - Pl· 90
5.18 Erreur pour n = 3 avec Crank Nicholson pour Pl - Pl - Pl· 90
Table des figures
2.1 Compact support of t he p{"e basis function at node 3. . . . . . . . . . 13
2.2 Compact support of t he RTo basis function at node 3. . . . . . . . . .. 14
2.3 Compact support of t he discrete surface-elevation basis functions ?/Je and velo city basis functions 'P3 'P 4 ' and 'P6 for t he PINe - Pl pair. 1 7
2.4 Compact support of the discrete surface-elevat ion basis functions Çl and
Ç2 ' and velocity basis functions cp 4' CP5 and cPg. . . . . . . . . . . . . .. 22 2.5 The continuous solutions EtN == ei ôtwfN, j == 1, 2, 3, for the p{"e - Pl
pair with ~t == ~tliml == 6.643 s, and the RTo - Po pair with ~t == ~tlim2 == 6.029 s. ............................. . 26
2.6 The discrete solutions IEjl , j == 1, 2, 3, ... , 21 , for the p{"e - Pl pair , with
~tliml == 6.643 sand c == 2 X 10- 2 ~tliml' . . . . . . . . . . . . . . . .. 27
2.7 The discrete solutions IEjl , j == 1, 2, 3, ... , 15, for the RTo - Po pair , with
~tliml == 6.029 sand c == 2 X 10-2 ~tlim2' . . . . . . . . . . . . . 29
3.1 Schéma montrant la hauteur d 'eau sur une bathymétrie variable. 33
5.1 Conditions au bord pour la vitesse u == (u , v). . . . . . . . . . . 77
5.2 Composante X de la Vitesse Exacte. ................ 79
5.3 À gauche on a la position des noeuds dans le triangle de référence et à
droite le support des fonctions de base des éléments finis P2 et Pl ' res
pectivement . Les supports sont de 6 triangles pour un sommet intérieur
S pour chacun des deux éléments finis et de 2 triangles pour un noeud
milieu d 'arête A pour P2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 80
5.4 À gauche on a la position des noeuds dans le triangle de référence et
à droite le support des fonctions de base de l 'élément fini Pl bull e. Les
supports sont de 6 triangles pour un sommet S et de 1 triangle pour un
noeud barycentre B. 84
Chapitre 1
Introduction
Le modèle linéaire de Saint-Venant (SV) est obtenu par intégration vert icale des
équations tridimentionnelles de Navier-Stokes sous les conditions de Boussinesq et
de pression hydrostatique. Ces équations de SV peuvent représenter plusieurs classes
d 'ondes: les ondes inertie-gravité, les ondes de Kelvin et les ondes planétaires (Rossby)
[9 , 29]. Elles ont été employées pour tester des schémas numériques pour des problèmes
relatifs à l 'environnement parmi lesquels l 'océanographie et l 'atmosphère. Plusieurs ré
sultats théoriques et numériques ont été obtenus dans ce domaine dans les dernières
décennies. En outre, les équations de SV souffrent de modes parasites induits par le
couplage entre les équations de conservation de la quantité de mouvement et celle de
conservation de la masse. Ces modes parasites sont souvent des modes pression, vitesse,
et / ou Coriolis et sont "rencontrés dans la plupart des schémas de différences finies et
dans les formulations de Galerkin. Ils sont principalement induits par un placement
inapproprié des variables sur le maillage · et/ou par un mauvais choix des espaces des
fonctions d'approximations [1, 2, 3, 18, 19, 30, 33, 34, 40, 41 , 42, 44]. Pour pallier à ce
problème, une analyse de dispersion est introduite pour détecter ces modes et en déter
miner la forme. Une telle analyse a été élaborée, principalement en éléments finis, tant
sur les maillages uniformes [18 , 19,41] que sur les maillages non structurés [4 , Il , 33].
Cette analyse de dispersiqn est faite , dans toutes les références citées ci-dessus, en sup
posant que le temps est continu. Dans la première partie du document , une expansion
en modes de Fourier plus générale est appliquée sur les variables d 'espace et de temps
dans le cas des ondes de type inertie-gravité. Ce travail peut être considéré comme
une extension de [12] où un modèle 1-D de SV est analysé en utilisant des éléments
finis linéaires en espa,ce et les schémas en temps de Leap fiog et d 'Adams-Bashforth à
deux pas. Ici , les propriétés de stabilité des équations 2-D de SV linéair.es utilisant un
schéma temporel d 'Adams-Bashforth à trois pas et les paires d'éléments finis pre - Pl
et RTo - Po sont analysées. À cette fin nous avons résolu des polynômes de degré 21
Chapitre 1. Introduction 2
et 15, respectivement, dont les coefficients sont des expressions très complexes incluant
des centaines de milliers de termes, et plusieurs paramètres.
Le but de ce travail est de s'assurer que les discrétisations en espace et en temps
employées sont stables. La simulation de la plupart des problèmes physiques en environ
nement nécessite généralement des temps de simulation très longs. On souhaiterait donc
pouvoir utiliser un modèle explicite en temps qui permette de calculer les solutions du
modèle de SV sans résoudre de système linéaire. De plus on veut un schéma de discréti
sation en temps qui soit stable pour l équation d advection. C 'est pour ces raisons qu 'on
étudie ici le schéma explicite d 'Adams-Bashforth à trois pas. Pour obtenir un schéma
explicite en · espace il suffit d 'utiliser la technique de condensation de masse pour la
matrice masse pression de P-fc ~ Pl et la matrice masse vitesse de RTa - Pa puisque la matrice masse vitesse prc et la matrice masse pression de RTo - Po sont naturellement
diagonales. De plus il a été montré dans [17] que les ondes de gravité et de Rossby sont
peu affectées par la procédure de condensation de masse. Dans la troisième partie de
cette thèse, la partie numérique, le couplage d'un système non linéaire de SV avec une
équation de transport de sédiments n 'est discrétisé qu 'avec des schémas temporels à
un pas : les schémas temporels d'Euler Implicite et de Crank Nicholson. Cependant ,
nous prévoyons d'étendre ce travail en utilisant le schéma explicite d'Adams-Bashforth
à trois pas dans un avenir proche, en se basant sur l'étude de stabilité menée ici.
Après l 'étude analytique effectuée dans la première partie de cette thèse on s 'intéresse
à des aspects plus théoriques en analysant l'existence d'un modèle couplant un système
de SV avec une équation de transport de sédiments. Le système non linéaire de SV est
obtenu p'ar intégration la verticale des équations tridimentionnelles de Navier-Stokes.
Plusieurs résultats théoriques d'existence ont été montrés pour le système de SV. Dans
[28] un théorème d'existence pour un modèle de SV incluant un terme de rotationel est
obtenu. Dans [5], l'existence de solutions faibles globales d 'un problème visqueux de SV
avec un terme de friction est démontrée. L'état de l'art des modèles de sédimentation
dans les rivières est passé en revue dans [43]. Quelques informations sur les problèmes
de sédimentation en ingénierie dans les estuaires et les mers, incluant des modèles de
laboratoire et des modèles numériques sont données dans [32].
Dans [15] , la partie transport de sédiments de notre présent travail est explorée
numériquement. Une équation générale y est établie mais les auteurs ont traité un
cas part'iculier en faisant un choix simplifié des paramètres physiques. Ils ont ainsi
développé une méthode de Galerkin discontinue pour la résolution numérique. D'autres
méthod~s numériques pour des modèles couplés de sédimentation sont développées dans
[25, 27]. Dans [25] une méthode de volumes finis employant un maillage non structuré de
triangles est adoptée alors que dans [27] la discrétisation en espace est faite en ut ilisant
Chapitre 1. Introduction 3
une méthode spectrale basée sur les polynômes de Chebyshev et un schéma implicite
en te.mps est considéré.
En utilisant une approche consistant à considérer un mélange fluide-solide Bürger
[7] a adopté un modèle bidimensionnel de sédimentation. Il a obtenu des résultats t héo
riques pour le modèle 1-D. Dans [7] les équations de conservation de la masse et de
conservation de la quantité de mouvement sont données pour la partie fluide et pour la
partie solide du modèle. Une variable cP représentant la fraction de volume de la partie
solide est introduite et le couplage est obtenu en prenant comme fraction de volume du
fluide 1 - cP.
Cependant , le couplage entre un système de SV et une équation de transport de sédiments est un domaine de la recherche où des résultats théoriques d existence de solution
sont presque inexistants. Dans cette étude, nous èouplons un système de SV avec une
équation de transport de sédiments. La partie SV de notre modèle est obtenu en in
tégrant les équations tridimentionnelles de Navier-Stokes sur la hauteur de la colonne
d 'eau en tenant compte de la variation du fond (le fond est représenté par une fonction
scalaire qui dépend du temps et de l'espace).
Nous travaillons dans la suite avec la forme non conservative décrite ci-dessous
à(T}à~ ç-) + V . (hu) = 0, (1.1)
au Cl 1 -a + u· \lu + -ez x u == -g\l'T] + -h (Ts - Tf) + v\l . (\lu). (1.2) t P P
Ce choix repose sur le fait que nous àurons à utiliser la méthode des éléments finis pour
la résolution numérique de notre système couplé.
Nous allons réécrire autrement la forme non conservative (1.1) - (1.2). En effet , grâce
à la relation h == Hl + 'T] - ç où Hl est une constante réelle indépendante de x et de
t, nous avons ('T] - ç)t == ht == ~~. On suppose que Tf et Ts sont négligeables devant
les autres termes de l'équation de conservation de la quantité de mouvement (1.2). On
ajoute une source notée f dans le second membre de (1.2).
Chapitre 1. Introduction 4
La partie SV est décrite ci-après
ht + \7 . (hu) == 0 dans Q == Ox ]0, T[ , (1.3)
C glui Ut + (u· \7)u + g\7(h - H) - v~u + ~k!\ u + c2 ~h u + c3u == f (1.4)
P c
u == 0 sur aox ]0, T[ , (1.5)
h(O) == ho dans 0 , u(O) == Uo dans 0 (1.6)
où h(x t) est la hauteur de la colonne d eau, H(x t) décrit l évolution du fond , comme
le montre la figure 3.1. La vitesse de l 'écoulement est u == (u v) f est la résultante des
force extérieures, v est le coefficient de viscosité, g est l'accélération de la gravitat ion
et T est un nombre réel strictement positif. Les constantes Cl ' C, C2 et c3 représentent
respectivement la force de Coriolis, le coefficient de Chézy et les coefficients de frict ion
non linéaire et linéaire. D'autre part, pour l'équation de transport de' sédiments, nous
partons du modèle général suivant décrit dans [15]
çt + \7 . (Aluln-Iu) == 0 dans Q. (1. 7)
Dans l'équation (1.7) , nous commençons par prendre n == 1 et A == h(x , t). Notons que
dans [15], le modèle (1.7) est résolu numériquement avec n == 1 et A constante. En
plus, les' auteurs n'ont pas développé de résultat théorique dans [15]. Nous comptons
appliquer le modèle numérique, couplage entre le système de SV et une équation de
transport de sédiments, dans des lacs (comme le lac de Guiers au Sénégal) et dans des
océans. De ce fait, nous supposons que TJ « H et I\7TJI « 1\7 HI. Rappelons que ces
hypothèses sont valables dans des modèles de lac et d 'océan. Ave~ ces hypothèses, nous
sommes en mesure de prendre A == H(x, t). Ce qui revient à remplacer A par H(x , t) dans (1.7). Par ailleurs, nous avons que .la somme H (x, t) + ç (x, t) est une constante
qui ne dépend ni de l'espace, ni du temps. De ce fait, çt == - Ht . Au regard de toutes
ces considérations, l'équation (1.7) devient
Ht - \7 . (Hu) == 0 dans Q,
avec H(O) == Ho dans O.
(1.8)
(1.9)
Le système (1.8) - (1.9) est ainsi notre partie transport de sédiments que nous couplons
avec celui de SV (1.3) - (1.6) pour obtenir le modèle couplé (1.3) - (1.6) et (1.8) - (1.9)
que nous étudions dans cette présente thèse.
Une étude numérique d'un modèle plus général que celui .considéré dans la partie théorique est faite dans la dernière partie du document. A cet effet , une discrétisation en
Chapitre 1. Introduction 5
espace et en temps s 'impose. Nous utilisons la méthode des éléments finis pour la dis
crétisation en espace. L'idée d 'utiliser la méthode des éléments finis se justifie par le
fait que cette méthode est devenue très populaire depuis les dernières décennies et se
voit plus adaptée que celle des différences finies surtout pour des modèles non linéaires.
Notons cependant que d 'autres méthodes de discrétisation en espace telles que les vo
lumes finies et Galerkin discontinues peuvent être litilisées. Étant donné que le système
de SV que nous utilisons est non conservatif, la méthode des volumes finies qui 'est une
méthode conservative, n'est pas àdaptée à notre modèle car elle ne s applique que sur
des systèmes conservatifs. Précisons q~e les méthodes de volumes finis et de Galerkin
discontinue intègrent le calcul des flux sur les faces des éléments en utilisant le saut
des inconnues sur chaque face. Notre étude étant effectuée sur les triplets d éléments
finis Pl - Pl - Pl ' P2 - Pl - Pl et MINI - Pl dont chacun est composé d 'espaces d 'éléments finis continus, il n 'est donc pas nécessaire d adopter une méthode
discontinue étant donné que les flux sur les inter-éléments sont nuls. Par conséquent
nous utilisons la méthode des éléments finis continus pour la discrétisation en espace.
Notre triplet d'inconnues est dans cet ordre la vitesse de l 'écoulement , la hauteur de la
colonne d'eau et l'épaisseur de la couche de sédiments noté par (u, h, H). Les schémas
temporels utilisés sont ceux d'Euler implicite et de Crank Nicholson. Ces deux schémas
en temps sont ch~isis pour leur caractère implicite permettant d'utiliser un plus grand
pas de temps que les schémas explicites, mais il a fallu résoudre un système linéaire
coûteux en temps de calcul.
Dans cette partie du document nous faisons un test numerlque utilisant un pas de
temps fixe. Pour certains tests de validation on peut adopter un pas de temps variable
pour réduire le temps de calcul. Dans ce cas, le pas de temps est allongé dans des zones
où la solution ne varie presque pas (zones planes par exemple). Dans d'autres cas, le pas
de temps variable est utilisé pour des modèles localement instables. Le pas de temps
est donc diminué à une échelle qui permettra d' 0 btenir une meilleure précision dans ces
zones instables.
Notre test consiste à fournir une solution exacte du modèle couplé. On calcule donc
les seconds membres de chaque équation du système avec Maple en utilisant cette solu
tion exacte. Ensuite, on 'développe un code à l'aide de MEF++ (Méthode des Eléments
Finis en C++) puis on se sert du logiciel Vu pour la visualisation des composantes de la
solution. Enfin, une analyse d'erreur est faite pour comparer Euler implicite et Crank
Nicholson.
Première partie
ANALYSE DE STABILITÉ
6 ·
--~~~----------------------
Chapitre 2
Stability analysis of AB3 scheme for prc - Pl and RTo - Po in SW
2.1 Introduction.
The shallow-water (SW) model is derived from the Navier-Stokes equations by verti
~al integration under Boussinesq and hydrostatic pressure assumptions. This simplified
set of equations retains much of the dynamical complexity of three-dimensional flows on
the rotating Earth and it can represent several classes of wave motions: inertia-gravity,
Kelvin and planetary (Rossby) waves [9 , 29]. The SW model has thus been employed
to test numerical schemes (as a prototype of the primitive equations) for a variety of
problems of coastal and environmental engineering, including oceanic, atmospheric and
groundwater flows. A number of theoretical and numerical results have been obtained
in thisarea in the past few decades.
As fot the primitive system, the SW model suffers from spurious solutions than
usually arise due to the coupling between the momentum and continuity equations.
The spurious modes usually take the form of surface-elevation, velocity, and/or Coriolis
modes. They are small-scale artifacts introduced by thè spatial discretization scheme
which do not propagate but are trapped within the model grid, leading to noisy solu
tions. Their appearance is encountered in most of finite-difference (FD) and Galerkin
formulations and is mainly due to an inappropriate placement of variables on the grid
·and/or a bad choice of approximation function spaces [1 , 2, 3, 18, 19, 30, 33, 34, 40, 41,
42, 44].
Chapitre 2. Stability analysis of AB3 scheme for p{'c - Pl and RTo - Po in SW 8
In the past few years, the Galerkin type methods have appeared to be promising
alternatives to classical FD schemes for river, costal and ocean modelling. lndeed trian
gular elements offer the enhanced flexibility of using grids of variable sizes shapes and
orientation for representing the boundaries of complex domains and a natural treatment
of boundary conditions. In or der to select appropriate spatial discret~zation schemes
dispersion analysis have been performed to ascertain the presence and determine the
form of spurious modes as weIl as the dispersive nature of the Galerkin mixed formula
tion of the 2-D linearized SW equations.
Such analysis have been conducted on both uniform. [18, 19, 41] and unstructured
meshes [4 , Il , 33] and mainly for finite element (FE) discretization schemes. They illus
trate how phase and group velocity can help in the selection of a spatial discretization
scheme. In particular, the p{'c - Pl and RTo - Po pairs have been identified as a pro
mising compromise for the discretization of the inviscid linear SW equations, provided
the grid resolution is high relative to the Rossby radius of deformation for the RTo - Po scheme [19].
In [17] it is found that the p{'c - Pl and RTo - Po FE schemes are mostly unaffected
by mass lumping as far as the propagation of gravit y waves is concerned. Only the
modes with a wavelength sm aller than 4h are slowed down by the numerical schemes
while the others remain mostly unaffected. For the propagation of Rossby waves, the
dispersion errors due to mass lumping remain small for these pairs, with the exception
of the smallest wavelength, on both regular and unstructured meshes. The RTo - Po
and p{'c - Pl pairs can thus be advantageously lumped in SW simulations without
sacrificing the model 's accuracy and dispersion properties, for sufficiently fine resolution.
Because the p{'c basis functions are orthogonal, and the surface elevation is constant
for the RTo - Po pair, the lumping only needs to be performed for the continuity and
momentum equations for the p{'c - Pl and RTo - Po pairs, respectively. The resulting
model would then combine the advantages of both fast and simple FD schemes, and
unstructured and flexible FE ones.
The above analysis have been performed by assuming time is continuous. In the
present study, a Fourier expansion is conducted more generally for the space and time
variables in the case of the inertia-gravity waves. This work can also be considered as an
extension of [12] where the 1-D SW model is analysed using linear finite elements and
the Leap frog and second order Adams-Bashforth time discretization schemes. Here, the
stability properties of the 2-D linear SW discretized equations employing the explicit
third or der Adams-Bashforth time stepping scheme and the p{'c - Pl and RTo - Po FE
pairs are analysed. The third order explicit Adams-Bashforth scheme allows to compute
the solution of the SW model without solving a linear system; and it is employed here
Chapitre 2. Stability analysis of AB3 scheme for Pt'c - Pl and RTo - Po in SW 9
in the purpose of using the mass lumping procedure described above. However, the
lumping is not performed in the present analytical study to keep it more general.
The paper is organized as follows. The linear SW equations and the exact free
solutions are presented in Section 2.2. The discrete model , including the time and
space discretizations procedures are obtained in Section 2.3. The computation of the
discrete dispersion relations is performed in Section 2.4 and the results are analysed in
Section 2.5. Some concluding remarks complete the study.
2.2 The continuous model and its exact free solu
tions.
Let 0 be the model domain 'Yith boundary r === an and T a positive real number.
The inviscid linear SW equations are expressed in Cartesian coordinates [16] as
Ut + fk 1\ U + TU + 9 "V 'r}
'r}t + H"V . U
0,
0 ,
(2.1)
(2.2)
where U === (u , v) is the velocity field and 'r} is the surface elevation with respect to the
reference level z === o. The Coriolis parameter f, the bottom friction coefficient T , the
gravitational acceleration 9 and the mean depth H are assumed constant. Note that 'r}
would be the pressure in the Navier- Stokes system. The term k 1\ U === (-v, u) is the
cross product between k, the unit vector in the vertical direction, and u. In this study,
periodic or no normal fiow (u . n === 0) boundary conditions are assumed.
The free modes of (2.1)- (2.2) are examined by perturbing about the basic state
u === v === 'r} === O. Because the governing equations are linear, with constant coefficients,
the solution may be examined by considering the behavior of one Fourier mode. The
velocity field u and the surface elevation 'r} are written as
u === û ei(wt+k x+l y) , 'r} === fj ei(w t+k x+l y) , (2.3)
where û and fj are the amplitudes, w is the angular frequency, and k and l are the wave
numbers in the x- and y-directions, respectively.
Substitution of (2.3) into (2.1) and (2.2) leads to the following system for the am-
- --- ------------,
Chapitre 2. Stability analysis of AB3 scheme for prc - Pl and RTo - Po in SW 10
plitudes iw +7 -1 ig-k û
1 iw +7 igl V == o. (2.4)
iHk iHI 'lW f}
For a nontrivial solution to exist the determinant of the matrix in the left hand si de
(LHS) of (2.4) must vanish. This leads to the so-called dispersion relation
Solving (2.5) leads to three solutions for the frequency. The first one is the geostro
phic mode, and it would correspond to the slow Rossby mode on a jJ-plane while the other two solutions correspond to the free-surface gravitational modes with rotational
correction. These three solut ions are denoted by wtN, j == 1 2, 3.
2.3 The discrete model.
The discretization of (2.1) and (2.2) is now performed in t ime and space in sec
tions 2.3.1 and 2.3.2, respectively. The third or der Adams-Bashforth time stepping
scheme is used in section 2.3.1 and the FE method is employed in section 2.3.2 with
the prc - Pl and RTo - Po pairs.
2.3.1 Time discretization.
Equations (2.1) and (2.2) are rewritten on t he form
~(t) == F(t , Y) , (2 .6)
where
with F2 (t, Y) == H\7· u .
For a given t ime step ~t == tn+ l - tn , the discretization of (2.6) using the third order
Adams-Bashforth scheme is of the form
(2.7)
Chapitre 2. Stability analysis of AB3 scheme for pte - Pl and RTo - Po in SW Il
where yn and Fn are approximations of Y(tn) and F(tn, Y(tn)) respectively. Equa
tion (2.7) leads to
u n+l = un + ~t (_ 23 F n + 16 F n- l - 5 F n- 2) 12 III (2.8)
'lln+l = 'lln + ~t ( _ 23 p,n + 16 p,n-l _ 5 p,n-2) . " "12 2 2 2 (2.9)
Because (2.8) and (2.9) are linear equations with constant coefficients, we seek periodic solutions of the form
'Tl n = 'Tl ( x) e iwtn
) n = 1, 2, 3 , ... , (2.10)
where u( x) and 'r}( x) are the amplitudes of the velocity field and surface elevation
respectively, with x = (x,y), and tn = nb.t. By inserting the Fourier expansions (2.10)
into (2.8) and (2.9) , we obtain
where
~t ~t a u - f- a k 1\ u -: 9 - ri \7'11 = 0
3 12 2 12 2', ,
~t al 'Tl - H - a2 \7 . u = 0,
12
We now perform the spatial discretization using the Galerkin FE method.
2.3.2 Spatial discretization.
(2.11 )
(2.12)
We first introduce the weak formulation, then describe the two FE pairs that are employed in this study, i.e. the pfc - Pl and RTo - Po pairs, and finally present the
Galerkin FE discretization using these pairs.
The weak formulation.
Two weak formulations are proposed in the sequel to correspond with the two FE pairs employed here and described in section 2.3.2.
Chapitre 2. Stability analysis of AB3 scheme for pte - Pl and RTo - Po in SW 12
Formulation 1. Let 'TJ be in a subspace C of HI(n) and let each component of t he
velocity field belong to a subspace V of L 2 (n). We multiply (2.11) and (2.12) by test
functions cp( x) and 1jJ ( x) belonging to V 2 and C, respectively, and we integrate over
the domain n to obtain
a3 ru. cpdx - fÉlt a2 r (k /\ u)· cpdx - 9 Élt a2 r \7T)' cpdx = 0 ln 12 ln 12 ln
al r T) 'lj; dx- H Élt a2 r \7. u 'lj; dx = o. ln 12 ln
The second term in the LHS of (2.15) is integrated by parts. It yields to
1 !1t 1 · !1t lr al 'TJ 1jJ dx + H - a2 u . \l1jJ dx - H - a2 u . n 1jJ dO" == O. n 12 n 12 r
(2.14)
(2.15)
(2.16)
By applying the boundary conditions used in this paper, the boundary term cancels
in (2.16) and we obtain
al r T) 'lj; dx + H Élt a2 ru. \7'lj; dx = o. ln 12 ln (2.17)
Formulation 2. Let u belongs to W , a subspace of H(div , 0) , and 'TJ belongs to Q, a subspace of L2(n). The functional space H(div , n) is the space of functions belonging
to (L2(n))2 whose divergence belongs to L2(n). The weak formulation is obta~ned by
multiplying (2.11) and (2.12) by test functions ljJ(x) and ç(x) belonging to W and Q, respectively, and by integrating over the domain
a3 ru. 4>dx - fÉlt a2 r (k /\ u) . 4>dx - 9 Élt a2 r \7T)' 4>dx = 0, (2.18) ln 12 ln 12 ln
al r T) ç dx - H Élt a2 r \7. u ç dx = O. (2.19) ln 12 ln
Here, the third term in the LHS of (2.18) is integrated by parts and the boundary
integral vanishes due to the boundary condition assumption. This leads to
1 !1t 1 !1t 1 . a3 u . ljJ dx - f - a2 (k 1\ u) . ljJ dx + 9 - a2 'TJ \l . ljJ dx == o. (2.20) n 12 n 12 n
The finit~-element pairs.
We now describe the two FE pairs which are employed in this study, namely the
pte - Pl and RTo - Po pairs. Conventional FE terminology is adopted and the nomen
clature Pm - Pn means that velocity components and surface elevation are, respectively
represented as piecewise-defined polynomials of degree m and n.
Chapitre 2. Stability analysis of AB3 scheme for pre - Pl and RTo - Po in SW 13
The pre - Pl pair. The pre FE [8 , 14, 37] has velocity nodes at triangle midedge
points, and those are represented by the symbol • in Figure 2.1. Linear basis functions
are used to approximate the two velo city components on the element s two-triangle
support. For example, the compact support of the pre linear basis function at node 3
in Figure 2.1 , is made up of triangles KI == (A D , C) and K 2 == (A C, B). The basis
function is zero outside the support triangles ADC and ACB and discontinuous along
si des AB, BC AD, and DC. It takes the values 1 at node 3 and along the tFiangle side
AC, 0 at velocity rlodes 1, 2, 4 5, and -1 at surface-elevation nodes Band D. Since
this particular representatioÏl of velocity is only continuous across triangle boundaries
at midedge points, and discontinuous everywhere else around a triangle boundary, this
element is termed nonconforming (N C) in the FE literature. Standard piecewise linear continuous basis functions (Pl) are used to approximate the surface elevation at triangle
vertices (represented by the symbol 0 in Fig~re 2.1).
A 5 B
2 4
D c
FIG. 2.1 - Compact support of the pre basis function at node 3.
The x- or y-component of the pre basis function <p( x) are denoted cp( x) , while
1jJ (x) refers to the linear continuous Pl basis function. Over a given triangle K we have
the following relation between cp (x) and 1jJ (x)
CPp == 1 - 21jJs'
if p is the midedge velocity node of K facing the surface elevation vertex s of K. For
example, in Figure 2.1 we have CP3 == 1 - 21jJD on KI an~ CP3 == 1 - 21jJB on K 2 ·
An useful property of the pre element is that the velocity mass matrix is diagonal,
due ta the orthogonality property of the pre basis functions. This leads to
1 Aq CPpCPq dO == -8pq ,
n 3 (2.21 )
where Aq is the area of the support ofcpq and 6pq is the Kro~ecker delta. For example,
on KI we have
L, <Pi 2 dx = ~1 , for i = 1, 2, 3, and JK
I
<P3 <Pi dx = 0, for i = 1 2.
Chapitre 2. Stability analysis of AB3 scheme for prc - Pl and RTo - Po in SW 14
The velocity and Coriolis mass matrices are t hus diagonal, a desirable and unusual
property of t he FE method t hat greatly enhances comput at ional efficiency. Finally
anot her property of t he prc basis functions
(2.22)
simplifes t he calculation of the integrals in t he sequel.
The RTo - Po pair. This lowest-order Raviart-Thomas element [31] is based on flux
conservation on element edges and has normal velocity components at t riangle midedge
points . The velocity RTo basis functions are piecewise linear and t hey are defined wit h respect t o t he orientation of t he chosen normal vector n t o t he faces .
n A B
5 K 2 0
n n n 2 3 4
0
D KI n C
FIG. 2.2 - Compact support of the RTo basis function at node 3.
For instance, in Figure 2.2 , the expression of the velocity basis funct ion 4J3 is
X-XD if x E KI ' 2meas(KI) ,
4J3(X) = X -xB if x E K2 ' (2.23)
2meas(K2) ,
0 ot herwise,
where XD and X B are the coordinates of the points D and B , respectively. Finally, the
RTo - Po pair has a piecewise-constant representat ion of surface elevation.
Galerkin finite-element discretizations.
The Galerkin method approximates the solut ion of (2.14) (2.17) and (2.19)-(2.20) respectively, in finite dimensional sûbspaces. Consider a FE t riangulation ~, of t he
Chapitre 2. Stability analysis of AB3 scheme for plNe - Pl and RTo - Po in SW 15
polygonal domain 0 , where h is a representative meshlength parameter that measures
resolution. For the' purposes of the following analysis , it suffices that we consider a
uniform mesh made up of biased right triangles as in Figures 2.1 and 2.2 and h is thus
taken as a constant in the x- and y-directions.
For the pte - Pl pair we denote by Vh and Ch the finite-dimensional -subspaces
of V and C, respectively. The discrete solution u h belongs to the finite-dimensional
subspace Vh x Vh defined to be the set of functions u h whose restriction on a triangle K of ~ belongs to Pl (K) X Pl (K), with u h being continuous only at the midpoint of each face of ~ and Pl (K) denotes the set of polynomials of degree one defined on triangle
K. The discrete solution rJh belongs to the finite-dimensional subspace Ch defined to
be the set of functions 'rJh whose restriction on a triangle K of ~ belongs. to Pl (K).
We then expand the velocity field u h = (uh , vh ) and the surface elevation rJh over a
triangle K with respect to the linear basis functions CPi and 'lfJj belonging to Vh and Ch
respectively,
U h = L UiCPi, .
iEIK
rJh = L rJj'lfJj , jEJK
(2.24 )
where 1 K and J K denote the sets of midside nodes and vertices of K, respectively. We
replace 'lfJ EC and <.p E V x V by the corresponding FE test functions 'lfJh E Ch and
<.ph E Vh X Vh in (2.14) and (2.17), respectively, and we obtain
(2.25)
(2.26)
where Uh and rJh are defined in (2.24).
For RTo - Po pair, let Wh and Qh be the finite-dimensional subspaces of W and Q, respectively. The discrete solution uh belongs to the finite-dimensional subspace Wh
defined to be the set of functions Uh whose restriction on a triangle K of ~ belongs to
the Ravi art-Thomas vector FE space of lowest order
where Po(K) denotes the set of piecewise constant polynomials on triangle K. The
nodal values of the RTo velocity field are located at the midpoint of each face. For a
--- -- ------------- --
Chapitre 2. Stability analysis of AB3 scheme for PINC - Pl and RTo - Po in SW 16
midpoint node i located at face ei , this nodal value named Ji ' is defined as
(2.27)
and Ji is weIl defined since U h . n is continuous at the face ei.
The discrete solution TJh belongs to the finite-dimensional subspace Q h defined to
be the set of functions TJh whose restriction on a triangle K of ~ belong to Po (K) and
its nodal values are located at th~ barycenter of each triangle K of ~. The discrete
velocity field and surface elevation are expanded over each triangle K of ~ with respect
to the basis functions CPi and çj belonging to Wh and Q h respectively
U h == L JiCPi (2.28) i EIK
where 1 K and BK denote the set of midside nodes and barycenters of K , respectively. By replacing ç E Q and cp E W by the corresponding FE test functions Çh E Qh and CPh E Wh in (2.19) and (2.20), respectively, we obtain the discrete formulation
(2.29)
(2.30)
where U h and TJh are defined in (2.28).
We now compute the discrete dispersion relations.
2.4 Computation of the discrete dispersion relations.
The discrete dispersion relations are obtained for the p['c - Pl and RTo - Po in sections 2.4.1 and 2.4.2, respectively, and the dispersion analysis is performed in
section 2.5.
As previously mentioned, the following analysis will co:qsider a uniform mesh made
up of biased right triangles, and h is thus taken as a constant in the x- and y-directions.
Because nodal unknowns may be located on different types of nodes i.e. vertices faces
Chapitre 2. Stability analysis of AB3 scheme for PINC - Pl and RTo - Po in SW 17
and barycenters, selected discrete equations for each type of node have to be retained.
The p['c - Pl and RTo - Po pairs lead to considering three discrete momentum equations
at the three possible types of faces, Le. , horizontal, vertical , and diagonal (written as
H , V , and D , respectively, in the following). Only one discrete continuity equation
is considered for the p['c - Pl pair at a typical vertex node (written as S in the
following) , while two discrete equations are needed for the RTo - Po pair to take into
account the two possible types of barycenters (corresponding to lower left and upper
right triangles). For the two pairs the typical nodes belonging to the same set (vertices
faces , and barycenters) are hence distributed on a regular grid of size h.
2.4.1 The pre - Pl pair.
In this section we employ (2.25) and (2.26) to compute the discrete dispersion rela
tion. The velocity and surface-elevation node locations are shown in Figure 2.3.
G 12 F
A B
FIG. 2.3 - Compact support of the discrete surface-elevation basis functions rzPc, and
velocity basis functions 'P3' 'P 4' and 'P6 for the p['c - Pl pair.
At the surface-elevation node C , for rzPh == rzPc, (2.25) becomes
(2.31 )
Since the compact support of the basis function rzPc is made up of the six surrounding
triangles containing the vertexC, equation (2.31) becomes
(2.32)
where triangles Kj ' j == 1, ... ; 6 are shown in Figure 2.3.
Chapitre 2. Stability analysis of AB3 scheme for pre - Pl an-d RTo - Po in SW 18
We first evaluate t he t erm r 'TJh ?/Je dx. by expanding 'TJh over KI as JK I
and using (2.33) we obt ain
r TJh ?/Je dx ~ TJA r ?/J A ?/Je dx + TJD r ?/JD ?/Je dx + TJe r ~ dx . JKI JK I JKI
JKI
To evaluate each integral in (2.34), we employ the following formula
r m eas(K) ( ) JK p(x)dx = 3 p(Sd + P(S13) + P(S23 )
(2.33)
(2.34)
(2.35)
where K being a given triangle and 512 , 513 , 523 are the midpoint nodes at t he three faces of K. P2 (K) denotes the space of polynomials of degree less t han 2 or equal to
2 defined over K. The formula (2.35) is exact for polynomials belonging to P2 (K ) and defined over K , and since ?/Jj ' j ~ A , B , C, ... , belongs to Pl (K) , using (2.35) we obtain
J, m eas(K1) ( ) -TJh ?/Je dx ~ TJA + TJD + 2 TJe .
KI 12
Because aIl the triangles K of ~ are identical we denote by m eas(K) triangle area, and hence (2.36) reads
L, 7]h 'l/Jc dx = ~: (7]A + 7]D + 2 7]c ),
then by summing the integrals over the compact support of ?/Je we obtain
We now compute the term ln Uh • \l'I/Jc dx written as
r r 8?/Je r 8?/Je Jo u h . \l?/Jc dx ~ Jo uh 8x dx + Jo vh 8y dx.
In order to evaluate the first term in the right hand side (RHS) of (2.39)
r 8?/Je ~ r 8?/Je Jf U h -8 dx == ~ Jf U h T dx , o x j=l Kj X
(2.36)
h2 /2 t he
(2.37)
(2.38)
(2.39)
(2.40)
we expand U h over each triangle Kj ' j == 1, ... , 6. For instance over KI we have
(2.41 )
Chapitre 2. Stability analysis of AB3 scheme for p{'c - Pl and RTo - Po in SW 19
Since 'l/Jc belongs to Pl (K) , the derivatives atxc and atyC are constant over a given
triangle K , and for example, over KI we have
o 7j;c 1 YD ~ YA
ax KI = 2 m eas(KI) (2.42)
a'l/Jc x D - xA
oY IKI = ~ 2 m eas(KI) . (2.43)
By using (2.35) and (2.42) , we obtain
r a'l/Jc h Jn u h ax dx = "6 (u2 + u 3 + ug + u8 + 2 u6 - u4 - u 5 - u IO - U II - 2 u7 ) · (2.44)
In a similar manner , we use (2.35) and (2.43) and get
1 a'l/Jc h . Vh -a dx= -(V6 +V2 +V4 +VI +2V3-V7-VII-V9-VI2-2 vIO)'
n y 6 (2.45)
By adding (2.44) and (2.45) , equation (2.39) is rewritten as
ln Uh·\l7j;C dx = ~(U2+U3+U9+U8+2U6~U4~U5~UlO~Ull ~2u7 +v6 + v2 + v4 + VI + 2 v3 - v7 - VII - vg - V12 - 2 vIO )·
Thus , equation (2.31) finally leads to
al (flA + flD + flB + flE + flF + flG + 6 flc )
~t . + H a2 6h (u 2 + u3 + ug + u8 + 2 u6 - u4 - u5 - u10 - U II - 2 u7 )
, ~t +H a2 6h (v6 + v2 + v4 + VI + 2v3 - v7 - VII - vg - Vl2 - 2v10 ) = O. (2.46)
In order to compute the discrete momentum equations at nodes 3, 4 and 6, lying on
. vertical, diagonal and horizontal faces , respectively, equation (2.26) is rewritten in the
x- (with 'Ph = ('Ph' 0)) and y (with 'Ph = (O,'Ph)) directions as
L (a3 r Uh (f!h dx + fllt a2 r vhl.fJh dx ~ g llt a2 r °a'rJh 'Ph dX) = 0,(2.47) JK 12 JK 12 JK x KETh
L (a31 Vhl.fJh dx ~ fllt a21 Uhl.fJhdx ~ g llt a2 J, ~flhl.fJhdX) = 0.(2.48) KET
h K 12 K 12 K Y
Equations (2.47) and (2.48) are then evaluated at velocity nodes 3, 4 and 6 by replacing
the pfc test function 'Ph by 'Pi' i = 3, 4, 6, and expanding u h and 'rJh over each triangle
of the compact support of 'Pi' i = 3 4 6. We then obtain the six following discrete
Chapitre 2. Stability analysis of AB3 scheme for pfe - Pl and RTo - Po in SW 20
momentum equations at nodes 3, 4 and 6
L (a3 r Uhi{J3 dx + j b.t a2 r Vh i{J3 dx ~ 9 b.t a 2 r 8a"lxh <P3 dX) ' = 0 (2.49) i=12 JK i 12 JKi 12 JKi
L (a3 r v h i{J3 dx ~ jb.t a 2 r Uhi{J3 dx ~ 9 b.t a 2 r 8a"lh <p3 dX) = 0 (2.50) i=12 JK i 12 JK i . 12 JK i y
L (a3 r Uhi{J4 dx + jb.t a 2 r Vh i{J4 dx ~ 9 b.t a 2 r 8a"lXh <p4 dX) = 0 (2.51 ) i=2,3 JKi 12 JK i 12 JK i
L (a3 r Vh i{J4 dx ~ jb.t a 2 r Uhi{J4 dx ~ 9 b.t a 2 r 8a"lh <p4 dX) = 0 (2.52)
i=2,3 JKi 12 JKi 12 JKi y
L (a3 r u hi{J6 dx + jb.t a 2 r v h i{J6 dx ~ 9 fit a 2 r 8aT)h <P6 dX) = 0 (2.53) i= l ,6 lKi 12 lKi 12 lKi x
L (a3 r Vh i{J6 dx ~ j b., t a 2 r u hi{J6 dx ~ 9 b.t a2 r 8a"lh <P6 dX) = O. (2.54) i=1 ,6 JK i 12 JK i 12 JK i y
We first compute each term in (2.49). The discrete velo city and surface elevat ion are
expanded over KI and K2 ' (see Figure 2.3) as
U~ = U2<P2 + U3<P3 + U6<P6 , "lh = "lA'l/J A + "le 'l/Je + "lD 'l/JD;
U~ = U l <Pl + U3<P3 + U4<P4 , "l~ 7= "lA 'l/J A + "lB 'l/JB + "le 'l/Je ,
(2.55)
(2.56)
where u~ and "l~ refer to the discrete velocity and surface-elevation expansions over K i
i = 1, 2, respectively. We then obtain
(2.57)
The evaluation of the third term in the LHS of (2.49) leads to
(2.58)
(2.59)
Moreover,
(2.60)
Again, employing (2.35) and (2.42) 'leads to
(aTJh h ) lK
2
8x i{J3 dx = 6(1]B ~ 1]A . (2 .61 )
Chapitre 2. Stability analysis of AB3 scheme for pte - Pl and RTo - Po in SW 21
Hence, we have
By combining (2.57) and (2.62) equation (2.49) reads
f ~t 9 ~t a3 u 3 + 12 a2 v3 - 24h a2 (rJB - TJA + rJe - rJD) == O.
The same 'procedure allows us to evaluate (2.50)-(2.54) and this leads to
f ~t 9 ~t a3 V 3 - 12 a2 U 3 - 24h a2 (2 TJe - 2 rJA) == 0
f ~t 9 ~t a3 u4 + 12 a2 v4 - 24h a2 (rJB - rJA + rJE - rJe) == 0,
f ~t 9 ~t a3 v4 - 12 a2 u4 - 24h a2(rJe - rJA + rJE - rJB) == 0
f ~t 9 ~t, a3 u6 + -- a2 v6 - -h a2(2 rJe - 2 rJD) == 0,
12 24 f ~t 9 ~t
a3 v6 - 12 a2 u6 - 24h a2(rJe - rJA + TJG - rJD) == O.
(2.62)
(2.63)
(2.64)
(2.65)
(2.66)
(2.67)
(2.68)
As for the continuous case, the discrete velocity and surface-elevation nodal values
are searched by considering the behaviour of one Fourier mode. The discrete solutions
corresponding to (u j ' vj , rJj) == (il, V, ij) ei(kxj+ZYj) are sought at node j, where (u j ' vj , rJj)
are the nodal u~knowns that appear in the selected discrete equations and (il , v, ij) are
amplitudes. The (xj ' Yj) coordinates are expressed in terms of a distance to a reference
node.
Note that, as previously mentioned, we need to consider three possible types of
faces, i.e., horizontal, vertical, and diagonal (written as H, V, and D, respectively) and
only typical vertex node (written as S). This leads to distinguish three amplitudes for
the velocity field denoted by u D , Uv and u H and only one amplitude named rJs for the
surface-elevation. We set u F == (u D , uv, u H ).
Substitution of the Fourier mode into (2.46), the discrete continuity equation and (2.63) - (2.68), the six discrete momentum equations, leads to the following 7 x 7 square matrix
system for the Fourier amplitudes
Chapitre 2. Stability analysis of AB3 scheme for pre - Pl and RTo - Po in SW 22
il == ( ;t . f~~ a 2 ) , O2 == ( 00 00 ) , . -1 12 a2 a3
- t and B* == B t he conjugate transpose of B , a4 == 3 + cos kh + cos lh + cos(k - l )h, and
. kh lh b == sin - cos -
l 2 2 ' lh kh
b == sin - cos -2 2 2 '
kh (k - l )h b == sin - cos ---
3 2 2
lh b4 == sin 2 '
kh b5 == sin-
2
. lh (k - l) h b6 == SIn ----: cos .
2 2
For a nont rivial solut ion t o exist the determinant of t he 7 x 7 mat rix system (2.69)
must vanish. The computation of t his determinant leads t o a polynomial in E == ei w ôt
of degree twenty one and hence twenty one solut ions are 0 bt ained for t he frequency. The behavior of t hese solut ions is analysed in section 2.5.1.
2.4.2 The RTo - Po pair.
In this section (2.29) and (2.30) are employed to compute the discrete dispersion
relation. The velocity and surface-elevation node locations are shown in Figure 2.4 wit h
the chosen normal directions gi ven in Figure 2.2.
l 15 H 16 G
K8 K6 14 10
D F
7
A K3
E B 2
FIG. 2.4 - Compact support of the discrete surface-elevation basis functions Çl and Ç2'
and velocity basis functions c/J 4' c/J5 and c/Jg.
Equation (2.29) is first discretized at the two typical surface-elevation nodes cor
responding to lower left and upper right triangles and identified with triangles KI and K2 ' respectively, in Figure 2.4. Note that the piecewise-constant basis function çj (j == 1, 2, 3, ... ) is associated with node Kj and takes the value one on Kj and zero el
sewhere. Further, we also identify 7Jh over triangle K j with the piecewise-constant nodal
val ue TJ j ' j == 1 2, 3 ...
Chapitre 2. Stability analysis of AB3 scheme for pre - Pl and RTo - Po in SW 23
At the surface elevation node KI ' for Çh == Çl ' (2.29) becomes
al r 'rJl dx - H D.t a 2 r V· U h dx = O. JK1 12 JK1
By expanding u h over triangle KI as
where meas(Kl ) has been replaced by its value h2/2.
At the surface elevation node Ç2 ' for Çh == Ç2 ' (2.29) becomes
al r 'rJ2 dx - H D.t a2 r V· U h dx = o. J~ 12 J~ .
Again, u h is expanded over K 2
and (2.73) is rewritten as
#
(2.70)
(2.71 )
(2.72)
(2.73)
(2.74)
(2.75)
By using (2.23) we obtain \7 . CPj == ±2/ h2 over the triangle containing the nodal index
j, and the sign depends on the direction of the chosen normal. For example, we have
, 2 \7 . CPl == \7 . CP7 == - \7 . CP6 == - h2 over KI'
2 \7 . CP5 == \7 . CP8 == - \7 . CP6 == h2 over K 2 ·
Inserting (2.76) and (2.77) into (2.72) and (2.75) leads to
HD..t 01 'TIl + 6h2 a2 (Jl - J6 + J7 ) == 0,
H D..t · al 'TI2 + 6h2 a2 ( -J5 + J6 - J8 ) == O.
(2.76)
(2.77)
(2.78)
(2.79) .
We now discretize equation (2.30) at the three typical velocity nodes corresponding
to the three possible types of faces i.e. horizontal vertical and diagonal. Here the discretization is performed at no1es 4, 5 and 9, and hence the compact support of
Chapitre 2. Stabi1ity analysis of AB3 schem e for pro - Pl and RTo - Po in SW 24
t he velocity basis functions at t hese nodes involves t riangles K 2', K 3' K4' and K5 ' T he
discrete velocity u h is first expanded over t riangles K 2' K3' K4' and K5 as
u~ == J5CP5 + J6CP6 + J8CP8;
u~ == J2CP2 + J4CP4 + J5CP5'
u~ == J3CP3 + J4CP4 + JgCPg,
u~ == JgcPg + J11 CP11 + J12 CP 12
(2.80)
(2.81 )
(2.82)
(2. 83)
where u{, j == 2 3 4, 5, refers t o t he discrete velocity field uh over t riangle Kj' In the
sequel we also denote by TJ~ t he piecewise-constant value of TJh over K j ' j == 1 2 3 ...
We replace CPh by cp 4 CP5 and CPg respectively, in (2.30), and t he t hree corresponding equations are 0 btained
a3 L J, uh · CP4 dx - ftlt a2 L J, (k 1\ uh) . CP4 dx i=3,4 K i 12 i=3,4 K i
fj.t "r . +g 12 a2 L if TJ~ \7 . CP4 dx == 0,
i= 3,4 K i
U 3 i~5 Li uh . cPg dx - f~; a2 i~5 Li (k 1\ uU . cPg dx
fj.t "J, . +g - a2 L TJ~ \7 . CPg dx == O. 12 i= 4,5 K i
By using (2.80)-(2.83) we have
r u~. CP5 dx == r (J5CP5 + J6CP6 + J8CP8) . CP5 dx , iK2 iK2 •
and applying (2.23) leads t o
(2 .84)
(2.85)
(2.86)
(2.87)
(2.88)
The above procedure permits to compute the integrals in (2.84)-(2.86) and we finally
obtain t he following discrete momentum equations at nodes 4, 5 and 9, respectively,
0,(2.89)
0, (2.90)
0. (2.91)
Chapitre 2. Stability analysis of AB3 scheme for ptC - Pl and RTo - Po in SW 25
Again, the discrete velocity and surface-elevation nodal values are searched by conside-
. ring the behaviour of one Fourier mode. Note that , as previously mentioned, we need
to consider three possible types of faces , i.e. , horizontal , vertical , and diagonal (written
as H , V , and D , respectively) and two typical barycenters corresponding to lower left
and upper right triangles (written as BI and B2 ' respectively). This leads to distin
guish three amplitudes for the normal velocity, denoted by J D ' Jv and J H ' and two
amplitudes named TlBI and TlB2
for the surface-elevation. We set J F == (J,D ' Jv J H) and
rJ B == (Tl BI ' Tl B2 )·
Substitution of the Fourier mode into (2.78) and (2.79) , the two discrete continuity
equations and (2.89) - (2.91), the three discrete momentum equations leads to the
following 5 x 5 square matrix system for the Fourier amplitudes
(2.92)
where
a3 f bot - 12 a2 a5
f bot 12 a2 a6
C==~ 3
f bot 12 a2 a5 2a3 -(a3 - f ~i a2 ) a7
f bot - 12 a2 a6 -(a3 + f ~i a2 ) a7 2a3
D == bot ( d~ -d3 -dl ), 12 == ( ~ ~ ) , 12 -d2 d3 dl
with kh
a5 == cos 2' lh
a6 == cos 2' _ (k-l)h
a7 - cos 2 '
d - i(k-2l)!! 1 - e 6, d
2 == ei(k+l) ~ , d
3 == e i (2k-l) ~ .
Again, for a nontrivial solution to exist, the determinant of the 5 x 5 matrix system (2.92) must vanish. The computation of this determinant leads to a polynomial in E == ei
w bot of
degree fifteen, and hence _fifteen solutions are obtained for the frequency. The behavior
of these solutions is analysed in the next section.
2.5 Analysis of the dispersion r·elations.
The discrete dispersion relations for the P[Vc - Pl and RTo - Po pairs are polynomials of degree twenty one and fifteen , respectively, and it is not possible to obtain the root s
-~-~-~------------------------,
Chapitre 2. Stability analysis of AB3 scheme for pte - Pl and RTo - Po in SW 26
Ej ' j == l , 2, 3, ... , analytically. However , by using Maple it was possible to compute
t hem numerically and to study t he stability of the two proposed schemes.
We set (H, h) == (10 m,500 m) or (H, h) == (4 km, 10 km) , since these values cor
respond to typical parameters used in estuary modelling and for oceanic flows , respec
t ively. In bot h cases, by assuming 9 == 10 m S-2 , t he Courant number is c == '1: ~t == 2 x 10- 2 ~t . The Coriolis parameter is held constant and evaluated close to 45°N with
f == 10- 4 S-l , and t he bottom friction coefficient T is set t o 10-6 S-l. As shown in the
sequel, t he influence of t he above numerical values has a small impact on t he stability
of t he two schemes. As in [21], t he values of kh and lh vary over t he domain [0 7r].
1.00
0.99
Ù 0.98 ~ ~ ~ 0.97
1.00 ~O
0.99 1
hO 0.98
~ 0.97
0.99
0.98
0.97
1.00
0.99
0.98
0.97
1t
1t
' !lt AN FIG. 2.5 - The continuous solutions .EtN == e't W j , j ==. 1, 2, 3, for t he pre - Pl pair
wit h ~t == ~tliml == 6.643 s, and the RTo - Po pairwith ~t == Atl im2 == 6.029 s. .
2.5.1 The pfe - Pl case.
For t his scheme, among t he 21 roots of the dispersion relat ion, only t he root named
E3 is conditionally stable, while the others remain stable, i.e. they have a modulus
smaller or equal to one, whatever t he choièe of the parameters. The chosen t ime step ,
named here ~tliml ' corresponds to the maximum value of ~t for which IE31 ~ 1. Wit h
t he previously chosen parameters we obtain ~tliml == 6.643 s.
In order to compare t he numerical solut ions Ej ' j == l , 2 3, ... , 21 wit h t he solutions
Chapitre 2. Stability analysis of AB3 scheme for p{'c - Pl and RTo - Po in SW 27
. ~t AN EtN == et Wj j == 1 2, 3 of the continuous dispersion relation (2.5) the root s Et N
j == 1, 2 3, are evaluated at ~t == ~tliml == 6.643 s, and shown in Figure 2.5.
0.99
0.98
0.97
0.96
1.00
0.99
0.98
0.97 1t
1t
0 .99 0.98 0.97 0.96 0.95 0.94
0.7
0.4
0.0
FIG. 2.6 - The discrete solutions IEjl, j == 1, 2,3, ... , 21 , for the p{'c - Pl pair, with
~tliml == 6.643 sand c == 2 X 10-2 ~tliml'
The three first roots , Ej ' j == 1,2, 3, with IEll == IE21, correspond to the analytic ones. We see in Figure 2.6 that only IE31 is close to the analytical solution, however this
root is conditionally stable for ~t :S 6.643 s. The conjugate roots Ej' j == 4,5 , 6, ... , Il remain stable whatever the choice of the chosen parameters. The ten remaining roots
have a constant absolute value, independent of kh and lh, since 1 E12 1 == 1 E131 == 1 and
the four conjugate pairs Ej' are such that IEj 1 == 0.0201 for j == 14, 15, 16, ... , 21.
The choice of other values for c, with c == 2 X 10-1 ~t (e.g. H == 10 m and h == 50 m
in estuary modelling) and c == 2 X 10-3 ~t (e.g. H == 4 km and h == 100 km for oceanic
flows) yields essentially the same results than those shown in Figure 2.6. lndeed, the
relative errors on ~tliml and on the maximum value of IE31 are less than 10- 6 in bot h
Chapitre 2. Stability analysis of AB3 scheme for pre - Pl and RTo - Po in SW 28
cases. Finally, other values of the Coriolis parameter f and bottom friction coefficient T
have also be employed, with f and T ranging from 10-4 S-l to 0 S-l , and from 10-6 S- l
to 10-4 S-l , respectively. Again, the relative errors on D..tliml and on the maximum value
of 1 E31 are very small and less than 10-4.
2.5.2 Th~ RTo - Po case.
For this scheme, among the 15 roots of the dispersion relation, only the conju
gate roots named E lo and Ell are conditionally stable, while the others remain stable
whatever the choice of the parameters. The chosen time step, named here D..tZim2 ' corres
ponds to the maximum value of D..t for which IElol == IElll ::; 1. With the parameters
previously chosen, i.e. c == 2 X 10-2 D.t , f == 10-4 S-l , and T == 10-6 S- l we obtain
D..tZim2 "== 6.029 s.
The numerical solutions Ej ' j == 1,2,3, ... , 15 are shown in Figure 2.7 and they are
compared with the solutions of (2.5) displayed in Figure 2.5 for D..t == D..tZim2 == 6.029 s.
Again, the three first roots, Ej ' j == 1,2,3, with IEll == IE21 , correspond to the
analytic ones. In Figure 2.7, only IE31 is close to the analytical solution, although it is
slightly damped. Contrary to the pre - Pl case previously examined, all the roots now
depend on kh and lh.
The choice of other values, for c, with c == 2 X 10-1 D..t and c == 2 X 10-3 D..t , yields , as
for the pre - Pl case, essentially the same results than those shown in Figure 2.7. In
both cases, the relative errors on D..tZim2 and on the maXimUlTI value of 1 ElOi are again less than 10-6 . Finally, when f and T vary, as in section 2.5.1, from 10-4 S-l to 0 S-l ,
and from 10-6 S-l to 10-4 S-l, respectively, the relative errors are again less than 10-4 .
2.6 Conclusion.
This study examines the dispersion relation and spurious mode behavior for FE
solutions of the 2-D linearized SW equations based on the examination of the pre - Pl and Rro - Po FE pairs. The third order Adams-Bashforth scheme is -implemented
as the time stepping technic. For each pair, the frequency wavenumber or dispersion
relation is obtained numerically and analysed, and the stability properties are compared
Chapitre 2. Stability analysis of AB3 scheme for p{'c - Pl and RTo - Po in SW 29
IEII == IE2 1 IE31 IE41 == IE51
0.99 1.00 0.5
0.98 0.97 0.97 0.3
0.95 0.96
1t 0.93 1t 0.1 0.95
kh Ih
IE61 == IE71 IE 81 == IEgl IEIOI == IEIII
o. 1.0 1.0
O.
0 0.5 0.5
0.0 1t
0.0 O.
Ih Ih
IE12 1 == IEl31 IEl4 1 == IE151
0.35 0.97
0.33 0.92
0.31 0.87
FIG. 2.7 - The discrete solutions .IEjl , j ~tliml == 6.029 sand c == 2 X 10-2 ~tlim2'
1, 2, 3, ... , 15, for the RTo - Po pair , with
graphically with the continuous case to illustrate the main points of interest. It is shown
that for each pair, only one root of the dispersion relation is conditionally stable, while
the other roots remain stable whatever the choice of the parameters. For both pairs, a
maximum bound for the time step is computed in order to keep the conditionally stable
roots bounded. For the p{'c - Pl and RTo - Po pairs, this maximum bound for the
time step is 6.643 sand 6.029 s, respectively, and it has been found quite insensible to
the variation of the physical parameters employed in this study.
The preceding analysis illustrates how dispersion analysis can help in the selection
of spatial and time discretization schemes. It was reported in [1 7] that the ptC - Pl and
RTo - Po pairs can be advantageously lumped in SW simulations without sacrificing
the model 's accuracy and dispersion properties, for sufficiently fine resolution. Because
the p{'c basis functions are orthogonal, and the surface elevation is constant for the
RTo - Po pair, the lumping only needs to be performed for the continuity and momentum
equations for the p{'c - Pl and RTo - Po pairs, respectively. The resulting models would
Chapitre 2. Stability analysis of AB3 scheme for pre - Pl and RTo - Po in SW 30
then combine the advantages of both fast and simple FD schemes and unstructured
and flexible FE ones, and this will be investigated in a further study. Finally because . of its restrictive nature, due to the use of constant vàlues for h and H , such an analysis
should be only one step of the analysis process.
Deuxième partie
ÉTUDE THÉORIQUE
31
Chapitre 3
~
Etablissement du modèle couplé
Nous partons des équations tridimensionnelles de Navier-Stokes suivantes
8w -+V·u=O 8z '
8u 8u Cl 1 - + (u· V)u + w- + - ez x u = --Vp at 8z p p a au
+V . (vVu) + -(v-) , az 8z
8p 8z = -pg ,
(3.1 )
(3.2)
(3.3) .
où p est la pression, u représente les deux premières composantes de la vitesse, west sa
troisième composante verticale, Cl la force de Coriolis , ez est le vecteur unitaire pointant
vers le haut de l'axe Oz, p est la masse volumique, V = (%x' ty ) est le vecteur gradient,
v est le coefficient de viscosité, 9 désigne l 'accélération de la pesa.nteur.
Les équations (3.1) et (3.2) désignent respectivement celles de cont'inuité et de conserva
tion de la quantité de mouvement. L'équation (3.3) vient de l'approximation hydrosta
tique de la pression qui remplace ici la troisième équation de conservation de la quant ité
de mouvement. Elle est obtenue en négligeant l 'accélération verticale.
La partie Saint-Venant ,de notre modèle couplé est obtenue en intégrant ces équations
de Navier-Stokes (3.1)-(3.3) sur la hauteur de la colonne d 'eau. La section 3.1 décrit le
passage de Navier-Stokes 3D à Saint-Venant 2D.
Chapitre 3. Établissement du modèle couplé 33
3.1 Passage de Navier-Stokes à Saint-Venant
Dans cette section, nous intégrons terme par terme les équations (3.1)-(3.3) afin
d 'obtenir la première partie du modèle qui est le système de Saint-Venant 2D.
En intégrant l'équation (3.3) entre z et T) == T)(x t) il vient
p(T)) - p(z ) == -pg(T) .- z).
Ce qui implique que
p(z ) == p(T)) + pg(T) - z).
p( T)) désigne la pression atmosphérique et sera notée dans la suite par Patm '
Intégration des équations de Navier-Stokes sur la verticale
On pose
u == ~ jTJ U dz. h -H
(3.4)
La hauteur de la colonne d 'eau est notée h == H +T); T) est l'élevation au niveau de z == 0
h H Hl .
FIG. 3.1 - Schéma montrant la hauteur d'eau sur une bathymétrie variable.
ç == Hl - H est l'épaisseur de la couche de sédiments, Hl est la constante mesurant la
distance entre le fond et le niveau z == o.
3.1.1 Intégration de l'équation de continuité
jTJ 8w jTJ
(-8 +\7.u)dZ ==[W]~H+ \7·udz. -H z -H
(3.5)
Chapitre 3. Établissem ent du modèle couplé 34
Rappelons d 'abord la formule de Leibnit z pour l 'opérateur vectoriel \7.
Formule de Leibnitz pour l'opérateur \7
\l·i: udz = i: \l·udz +u("7) ·\l("7)-u(-H) ·\l(-H). (3 .6)
En utilisant la formule de Leibnitz (3.6) on obt ient
i: \l . u dz = \l . (hu) - u ("7) . \l ("7 ) - u( - H) . \l(H).
Par ailleurs, on sait que la vitesse scalaire est la dérivée totale de la posit ion. Comme west la vitesse vert icale, donc sur l 'axe (Oz), on obt ient
Ce qui conduit à
et
dz w(t , x , y, z) == dt'
w(t , x, y , TJ) dTJ dt aTJ at + U ( TJ ) . \7 TJ
dH w(t ,x, y, -H)==- dt
. aH == - at - u(-H)· \7H.
(3.7)
(3.8)
En injectant ces deux équations dans l 'intégrale de l'équation de cont inuité (3.5) , on a
8("78~ ~) + \l . (hu) = O.
3.1.2 Intégration de l'équation de conservation de la quantité
de mouvement
On intègre terme par t erme l'équation de conservation de la quantité de mouvement
(3.2). Intégrons le terme s' ez x u. Rappelons que VI x V 2 désigne le produit vectoriel ent re
p
les deux vecteurs VI et V 2 de ']R3. Précisons d 'abord la validité de l 'expression ez x u qui calcule le produit vectoriel du vecteur ez == t(O, 0, 1) qui est un vecteur de li{3 avec
Chapitre 3. Établissement du modèle couplé 35
le vecteur u qui est pourtant un vecteur de 1R 2 . Le vecteur u de 1R 2 est complété par
zéro à la troisième composante, ce qui en fait un vecteur de 1R3 et c'est après cela que
le calcul du produit vectoriel va se faire. L intégration de s'ez x u donne p
~ez x u dz = ~ez x (hu). fT] C C
- H p P
1 On intègre le terme -- \Jp en remplaçant p par son expression dans (3.4) pour obtenir
p
fT] 1 fT] 1
--\Jpdz = --(\JPatm + pg\J(7] - z )) dz . - H P -H P
Comme la pression atmosphérique (Patm) est supposée .constante, il vient
fT] 1
-- \Jp dz = -gh \J7]. -H P
Intégrons le terme ! (v ~; ) .
jT] a au au T] ~ (v-;:;-) dz = [v-;:;- ]-H
-H uZ uZ uZ
au au = v oz (7]) - v oz (-H).
On pose
Ce qui fait que
fT] a au 1
-(v-) dz = -(Ts - Tf). -H oZ oz p
au au Intégrons enfin le terme 8t .+ (u . \J)u + w oz . Ecrivons d'abord la relation suivante
\J. (u 0 u) = (u· \J)u + u \J . u.
Ce qui implique que (u . \J)u = \J . (u 0 u) - u \J . u.
u 0 v désigne le produit tensoriel entre les vecteurs u et v et est défini par
avec 2
U = I: U i e i
i=l
2
V = I: V i e i ·
i=l
Chapitre 3. Établissement 0 du modèle couplé
Par ailleurs a(wu) au ' aw
az == w az + u az .
Nous obtenons donc au a(wu) aw
w az == oz - u oz .
Il s 'ensuit que
au au au at +(u.\7)u+w
az ==8t+\7.(U 0 u)
+ à(wu) -u(V.u+ àw). oz az
Notons que d 'après l'équation (3.1) on a V . u + ~: = o. Par conséquent
jry au au jry au
-H ( 8t + (u . \7)u + w az ) dz == -H 8t
jry a(wu)
+ _H(\7·(u 0 u )+ oz )dz .
En appliquant la formule de Leibnitz (3.6) , on aboutit à la relation suivante
0jry ou 0 au o(hu) OTJ (- + (u· \7)u + w-) dz == -- - u(TJ)--H at az at at
aH - u( -H)- - u(TJ) 0 u(TJ) . \7TJ - u( -H) 0 u( -H) . \7 H
at
+ V . i: u @ u dz + w(1])u(1]) - w( -H)u( -H).
En utilisant les équations (3.7) et (3.8) on obtient
jry au ou o(hu) jry
(-a +(u.\7)u+w-o
)dz ==-a-+\7· u 0 udz. -H t z t - H
Comme
j ry U 0 udz==hu 0 U+jry (u-u) 0 (u-u)dz , - H -H
on a
jry au au o(hu)
(-a +(u.\7)u+w-o
)dz==-a-+\7·(hu 0 u ) - H t z t 0
+ V . i: (u - u) @ (u - u) dz .
D'où
a(hu) c -a - + \7 . (hu 0 u) + ~ez x (hu) == -gh\7TJ
t P h 1
- -\7Patm + -(Ts - Tf) + du, p p
36
(3.9)
Chapitre 3. Établissement du modèle couplé 37
avec du = -\7 . L:(u - u) Q9 (u - u) dz + L: \7 . (v\7u) dz .
On approxime du par vh\l . (\lu). On obtient le système de Saint-Venant suivant
8('Y)8~ ç) + \7 . (hu) = 0,
a(hu) C -a - + \l. (hiL ® u) + ~ez x (hu) =
t P 1
- gh\l7] + -(Ts - Tf) + vh\l . (\lu). p
Pour simplifier les notations on utilisera dans toute la suite u au lieu de u.
La forme conservative de ce système s'écrit
a( 7] - ç) + \l . (hu) = 0 at '
a(hu) C -a - + \l. (hu ® u) + ~ez x (hu) =
t P · 1 '
- gh\l7] + -(Ts - Tf) + vh\l . (\lu). p
Et la forme non conservative de ce système est
(3.10)
(3.11 )
(3.12)
(3.13)
8('Y)8~ Ç) + \7. (hu) = 0, (3.14)
au Cl 1 -a + u· \lu + -ez x u = -g\l7] + -h (Ts - Tf) + v\l . (\lu). (3.15) t p . P
Nous passons maintenant aux estimations à priori dans la section 3.2.
3.2 Estimations préliminaires
Soit 0 un ouvert borné de JR 2 de frontière ao. Notons par n la normale extérieure
à ao. On pose V = (HJ(O))2 et on définit Il.11 comme étant la norme de L2(O) ou
de (L2(O))2. Soit {VI, ... , V n , ... } une base hilbertienne de V, V n E (HP(O))2 , P 2 3 et
Vn = V ect{ VI, ... , vn } le sous-espace vectoriel de V engendré par les n premières com
posantes de la base. Pour un(t) E Vn, nous avons un(t) = Li=l , ... ,n ai(t)vi' Considérons
Chapitre 3. Établissement du modèle couplé 38
le problème de dimension finie suivant
hn,t + \7 . (hnun) === 0 dans Q, (3.16)
(3.18)
Un === 0 sur BOx]O T[ , hn(t === 0) === hn,o ~ 0 (3.19)
(3.20)
La méthode que nous proposons ici repose sur les estimations a priori. En utilisant la
formulation variationnelle (3.17) , nous déduisons que le terme général de la suite (un) est borné dans LOO(O, T; (L2(0))2) n L2(0, T; V). De plus nous établirons que (hn , Hn) est borné dans (LOO(O, T; LI(0)))2. Nous aurons aussi à estimer le terme hnloghn et nous
montrerons qu'il est borné dans LOO(O, T; LI(O)). Cette dernière estimation, combinée
aux estimations précédentes, nous permettra d'appliquer des résultats de compacité
qui nous seront utiles pour obtenir des convergences plus fortes. Le théorème de com
pacité deLions-Aubin sera utilisé pour montrer que le terme non linéaire (un· \7)Un qui présentait plus de difficultés à être estimé converge faiblement vers (u . \7)u dans
L~ (0, T; (L~ (0) )2).
Nous partons de la forme variationnelle suivante
k Un,t' V + k(Un ' V)un , V + kgV(hn - Hn)' v - v k 6un · v (3.21)
Cl 1 1 glunl 1 1 + - k 1\ Un . V + C2 ~h Un· V + C3 Un . V === f . v, po oC n 0 0
V V E vn .
En remplaçant V par un(t) dans (3.21), on obtient
r Unt.un + {(Un "\7)Un oUn + r g\7(hn -Hn) "Un - r vt6.un "un (3.22) Jo' Jo Jo Jo
Cl 1- 1 glunl 1 1 + - k 1\ Un " Un + C2 ~h Un" Un + C3 Un " Un === f " Un· po 0 C nO 0
Nous évaluerons dans ce qui suit chaque terme de l'équation (3.22) afin d'en tirer des
estimations.
Chapitre 3. Établissement du modèle couplé
Commençons par évaluer le terme ln Un t . Un dx. Nous avons
Evaluons le terme ln gVhn . Un dx.
ln Vhn . Un dx = ln ;n Vhn . (hnun)
= l0 V(logh~ ) . (hnun)
= -ln loghn V . (hnun)
39
(3.23)
après intégration par parties. En utilisant l'équation (3.16) et ce qui précède nous
obtenons
Calculons maintenant l'expression :t ln (hnloghn - hn).
Comme V (ln (hnloghn - hn) dx) = 0, on a
da ' dt ln (hnloghn - hn) dx = 8t ln (hnloghn - hn) dx.
On utilise à nouveau la formule de Leibnitz (3.6) et on obtient
Nous avons
(3.25)
Chapitre 3. Établissement du modèle couplé
L'évaluation du terme -g k V Hn . Un se fait de manière similaire. Nous avons
-k V Hn . Un = - k ~n V Hn . Hnun
= - k V(logHn) . Hnun
= ln logHn V . (Hnun).
L'équation (3.18) implique que
En utilisant le même raisonnement que précédemment il vient que
Evaluons le terme -v ln L'o.un . Un·
40
(3.26)
où A : B désigne le produit doublement contracté entre une matrice A == (Aij)l~ i,j ~p
et une matrice B == (Bi j )l~i ,j~P et est défini comme suit
Ce qui implique que
Comme k 1\ Un . Un == 0 on a
p p
A : B == L L A i j B ij .
i=l j=l
Cl i - k 1\ Un . Un == O. P n
Evaluons le terme ln f . Un· L'inégalité de Cauchy-Schwatz montre que
Rappelons l'inégalité suivante due à Young: soit a E IR et b E IR, nous avons
(3.27)
(3.28)
(3.29)
Chapitre 3. Établissement du modèle couplé 41
En appliquant l'inégalité (3.29) avec a == Il unllv et b == Ilfll(H-l(0))2, nous obtenons
Ilfll (H- l(o))21I u nllv :::;: ~ Ilun II~ + 2~ 11f11(H-l(o))2, 'lÀ > O.
Il en résulte que
(3 .30)
Evaluons enfin le terme k (un' 'V)Un . Un· En écrivant Un = (Un, vn) et x = (x y) nous avons
En posant Un == (u~ , v~), on obtient
Or Un E V donc
Ce qui implique que
D'où
De plus,
r Un' n da == O. . Jao
. (3.32)
(3.33)
Rappelons l 'inégalité de Gagliardo-Nirenberg'suivante : soit w E HJ(O) , alors il existe
une constante réelle K > 0 telle que
(3.34)
En remplaçant successivement w par Un et Vn dans l'inégalité de Gagliardo - Niren
berg (3.34) , il existe des constantes réelles Cl et C2 telles que
Il Un 1114 (0) ::; C 111 Un Il HJ (0) Il Un Il , IIvn Il14(0) ::; C2 I1 vn IlHJ (0)lI vn ll ·
(3.35)
(3.36)
Chapitre 3. Établissement du modèle couplé .42
En additionnant (3.32) et (3.33) ut ilisant (3.35) et (3.36), l 'équation (3.31) implique
que
où C == Cl + C2 .
En intégrant (3.16) et (3.18) sur D, on obtient
ln hn,t dx = - ln \7 . (hnun) dx
== - r hnu n · nda. Jan
Sachant que U n E (HJ(rl))2 , donc
De plus,
r hn t dx == dd r hn dx. Jn ' t Jn
Ce qui implique que
Par conséquent, en intégrant l 'équation (3;39) sur (0, t) , t E]O, T[ , nous obtenons
ln hn(x , t) dx = ln hn,o(x) dx.
De même, nous avons
et
ln Hn(x , t) dx = ln Hn,o(x) dx.
(3.37)
(3.38)
(3.39)
(3.40)
(3.41 )
(3.42)
(3.43)
Nous venons ainsi d 'évaluer tous les termes de l 'équation (3.22). Il suffit d 'utiliser les
estimations ci-dessus à savoir (3.23) , (3.25) , (3.26) , (3.27) , (3.28) , (3.30) et (3.37) pour
obtenir l 'estimation préliminaire suivante
· !
Chapitre 3. Établissement du modèle couplé 43
On pose Bn(t) = 2v - À - Gllun(t)1I et on intègre (3.44) sur ]0, t[. Nous obtenons l'estimation suivante
!llun (t)11 2 + 9 r hn(t)loghn(t) dx + 9 r Hn(t)logHn(t) dx + (3.45) 2 Jo. Jo. .
c2 l ln g~~;~3 + C3lllunl12 + ~ l Bn(s)lIun(s)ll~ds ::; ~llun, oI12 +
2\ lllf(s)II~H- l (!1))2dS + 9 ln hn,ologhnodx + 9 ln Hn,ologHn,odx.
Chapitre 4
Résultats théoriques d'existence du modèle couplé
Dans ce chapitre nous démontrons un théorème d'existence de solution du modèle
couplé. Nous faisons les estimations a priori puis nous utilisons des résultats de compa
cité tels que ceux d 'Aubin et de Dunford-Pettis.
4.1 Théorème d'existence
Nous présentons dans ce qui suit le théorème d'existence dont la preuve nécessite
l 'utilisation de quelques lemmes. Nous démontrons d'abord les lemmes 4.1.1 , 4.1.2 et
4.1.3 dans la section 4.1.1 dans lesquels nous donnons des résultats d 'estimations des
termes apparaissant dans les équations du problème de dimension finie. Dans la sec
tion 4.1.2 nous prouvons les lemmes 4.1.4 et 4.1.5 qui permettent de passer à la limite
dans les équations de continuité (3.16) et (3.18) et de conservation de la quantité de ,
mouvement (3.17), respectivement. Dans la section 4.1.3 nous montrons, à travers le
lemme 4.1.6 , que le problème de dimension finie (3.16) - (3.20) possède une solution. En
plus, nous donnons quelques résultats de régularité du vecteur solution de ce problème
de dimension finie dans la section 4.1.4 puis nous démontrons la positivité de hn et Hn.
Nous terminons avec la preuve du théorème d 'existence dans la section 4.1.5.
Nous énonçons à présent le théorème d 'existence du modèle couplé (1.3) - (1.6) et (1.8) -
(1.9) .
Chapitre 4. Résultats théoriques d 'existence du modèle couplé 45
Théorème 4.1.1. Si les données Uo E V , (ho , Ho) E (L2(O)) 2, ho ~ 0, Ho ~ 0, et f vérifient
1 2 2 r ~llfIIL2(o ,T ;H- l (n)2) + lIuoli + 2g ln hologho dx (4. 1 )
r 4g (D - À)2 +2g ln HologHo dx + -;-meas (O) < C , avec D == 2v - À,
pour un certain T > 0 assez petit alors le problème (1. 3) - (1.6) et (1.8) - (1.9) admet
une solution (u , h, H) satisfa isant les régularités suivantes
u E L2(0 , T , V) n LOO (0 T ; (L2(O))2) ,
(h , H) E LOO (O , T ; Ll(O)) X LOO (O , T ; Ll(O)).
(4.2)
(4 .3)
La preuve de ce théorème 4.1.1 requiert plusieurs étapes. A cet effet , nous démon
trons six lemmes. Dans la section 4.1.1 nous démontrons d 'abord les lemmes 4.1.1 4.1.2
et 4.1.3 qui donnent des résultats d 'estimations des suites de solutions du problème de
dimension finie (3.16) - (3.20). Dans la section 4.1.2 nous montrons comment passer à la
limite dans les équations de continuité (3.16) et (3.18) et de conservation de la quantité
de mouvement (3.17) à travers les lemmes 4.1.4 et 4.1.5 , respectivement . En ut ilisant
ces précédents lemmes, nous montrons dans la section 4.1.3 grâce au lemme 4.1.6 , que le
problème de dimension finie (3.16) - (3.20) possède une solution. En plus , nous donnons quelques résultats de régularité du vecteur solution de ce problème de dimension finie
dans la section 4.1.4 puis nous démontrons la positivité de hn et Hn. Nous terminons
avec la preuve du théorème d 'existence dans la section 4.1.5.
En utilisant la relation (4.1) nous allons montrer que inftE]o,T[ Bn (t) ~ À pour À assez petit. En effet , si les données du problème (3.16) - (3.20) vérifient l 'inégalit é (4.1) alors
nous en déduisons que Ilun,oll < De)..' Par ailleurs , nous montrerons dans la section 4.1.4 que la composante Un de la solution du problème de dimension finie (3.16) - (3.20) est
continue sur [0, T]. En utilisant la continuité de Un et le fait que lIun ,oll < De).. nous en
déduisons qu 'il existe t l > 0 telle que
(4. 4)
On pose T == t l . Comme Bn(t) == D - Cllun(t)lI , en utilisant l'inégalité (4.4) on obtient
Bn(t) ~ À pour tout tE]O , T[ et pour tout n E N. (4.5)
En passant à l 'inf sur t E]O, T[ dans le premier membre de l'inégalité (4.5) on montre
que
inf Bn(t) ~ À > 0 pour t out n E N. tE] O,T[
(4.6)
Chapitre 4. Résultats théoriques d 'existence du modèle couplé 46
On pose
B n = inf Bn(t) et B = inf B n. tE]O,T[ nEIN
(4.7)
En combinant les relations (4.6) et (4.7) on ' montre que
B 2: À > O.
Sur ce, nous sommes maintenant en mesure de présenter des résultats d 'estimation du
problème de dimension finie (3.16) - (3.20). Ces résultats d 'estimation sont donnés dans
la Section 4.1.1.
4.1.1 Estimations
Nous donnons ici des estimations des termes apparaissant dans les équations (3.16)
- (3.20). En utilisant ce qui précède nous obtenons l'estimation d 'énergie suivante
Ilun (t)112 + 2g ln hn(t)loghn(t) dx + 2g ln Hn(t)logHn(t) dx+ (4.8)
2c2 rt r gl~:13 + 2c3 r IIun l1 2 + B r Ilun(s)llirds :s; Ilun ,oI12+ Jo Jn C n Jo Jo
~ IlfII12(o ,T;(H- l(fl))2)ds + 2g ln hn,ologhn,o dx + 2g ln Hn,ologHn,o dx.
Comme les constantes réelles C2 et c3 sont positives ainsi que hn l 'inégalité (4.8) implique
que
Cette estimation d'énergie (4.9) nous permet d'énoncer les . lemmes suivants.
Lemme 4.1.1. Soit n un ouvert borné de :IR?, hn 2: 0 et M > 0 tels que
(4.10)
Alors
Chapitre 4. R ésultats théoriques d 'existence du modèle couplé 47
Preuve Fixons t E]O, T[ et posons
nt = {x En: hn ( x, t ) 2: 1} , n; = {x En: 0 :::; hn ( x , t ) < 1}.
Auparavant , mont rons que xlogx 2: - ~ , Vx 2: O . .
Pour x > 0, on pose f( x ) = x log(x) prolongé par zéro au point x = O. Nous savons
que f est dérivable et "que f' (x) = log (x) + 1 pour t out x > O. Ce qui implique que f
est décroissante sur l 'intervalle ]0, ~ [ et croissante sur 1 intervalle ] ~ +00[. La fonction
f atteint son minimum au point x = 1 qui est égal _ 1 . e e
Comme hn 2: 0 (on le prouvera dans la section 4.1.4) alors hnloghn > implique que
En intégrant la relat ion (4.11) sur nt nous obtenons
k--hn(t)loghn(t) dx :s; ~meas (n). t
donc
Par ailleurs ,
En combinant les relations (4.12) et (4.13) il vient que
·1 2 Ihn(t)loghn(t)1 dx :::; M + ~meas(n) < 00. n e
1 e Ce qui
(4.1 1 )
(4.12)
( 4.13)
(4.14)
En passant au suprémum sur t E]O, T[ à gauche de l'inégalit,é (4.14) nous obtenons
• Notons qu'en suivant la même démarche on mont re que
Il faut préciser que l 'hypot hèse (4.10) du lemme 4.1.1 est sat isfaite si on considère
l 'inégalit é (4.9) et l 'inégalité (4.11).
Les résultats obtenus au lemme 4.1.1 nous permettent d 'énoncer le lemme suivant .
Chapitre 4. Résultats théoriques d 'existence du modèle couplé 48
Lemme 4.1.2. On suppose que les données un,o, hn,o, Hn,o et f du problèm e de dimension fin ie (3.16) - (3. 20) satisfont (4.1) et que (hn 0, Hn 0) E (L2(0))2. Alors
Un est borné dans L2(O , T ; V) n LOO(O , T ; (L2(0))2) , (4 .15)
hn est borné dans LOO (O , T; LI(O)) ,
hnloghn est borné dans LOO (O , T ; LI (0)) ,
Hn est borné dans LOO (O , T ; LI(O)) ,
HnlogHn est borné dans LOO (O , T ; LI(O)).
( 4.16)
( 4. 17)
(4.18)
( 4.19)
Preuve: Nous prouvons ici les point s (4.15) et (4.16) sachant que la preuve de
(4.18) se fait de la même manière que celle de (4.16) et que les points (4.17) et (4.19)
ont été prouvés au lemme 4.1.1.
Prouvons d 'abord le point (4.15). En utilisant les inégalités (4.9) et (4.11) nous obtenons
Ilun(t)11 2 + B lIIUn(s)ll~ds ::; ~llfll~2(O ,T ; (H- l(11))2) + Ilun,ol1 2 (4.20)
+2g r hn ologhn ° dx + 2g r Hn ologHn ° dx + 4g m eas(O) , Vt. Jo. ' , Jo. ' , e
En passant au suprémum sur' t E]O, T[ dans le membre de gauche de l 'inégalité (4.20) il
vient que
Comme
et
sup Ilun(t)112 + Bsup rt
Ilun(s)ll~ds ::; ~llfllL2(O ,T ; (H- l(l1))2) + Ilun,ol1 2 t t Jo /\
+2g r hnologhno dx+2g r HnologHnodx+ 4gmeas(O). Jo. ' , Jo. ' , e
s~p Ilun(t) 11 2 = Ilunllloo (o,T;(L2(l1))2)
sup ft Ilun(s)lI~ds == Ilunlli2(OT'V) , t Jo ' ,
il s'ensuit que
Ilunllloo (o,T;(L2(11))2) + Bllunllh(o,T;V) ::; ~11f11~2(O ,T ; (H- l(11))2) + lIun,ol12
+2g r hn ologhn ° dx + 2g r Hn ologHn ° dx + 4g m eas(O). Jo. ' , Jo. ' , e
Ce qui p"rouve le point (4.15).
Prouvons enfin le point (4.16). L'équation (3.41) implique que
10 hn(t , x ) dx = 10 hn o(x ) dx. (4.21 )
Chapitre 4. Résultats théoriques d 'existence du modèle couplé 49
En passant au suprémum sur t E]O, T[ dans l'équation (4.21) et tenant compte du fait
que hn 2: 0, nous obtenons
Par suite, nous avons (4.16). • Après avoir donné quelques estimations des suites de solutions u n' hn Hn, hnloghn et
HnlogHn du problème de dimension finie dans le lemme précédent nous présentons des
résultats de convergence des suites de solutions unhn, unHn , hn et Hn dans le lemme
suivant.
u nhJ1 est borné dans [}(O, T; (L I (O))2) ,
unhn ~ al dans LI(O, T; (L I (O))2) faiblement,
unHn est borné dans L2(0 , T; (L I (O))2) ,
unHn ~ (3 dans LI(O, T; (L I (O))2) faiblem ent.
( 4.22)
( 4.23)
(4.24)
( 4.25)
De plus on peut extraire de Hn , hn et Un des suites notées encore Hn , hn et Un telles
que
khnOdxdt-----+ khBdxdt pourtoutOEL1 (O ,T ;LOO (0,)) ,
k HnO dxdt -----+ k HO dxdt pour tout 0 E L 1(0, T; LOO (0,) ).
( 4.26)
( 4.27)
Preuve: Nous prouvons uniquement les points (4.22) , (4.23) et (4.26) vu que les
autres points se démontrent de manière identique que ceux cités ici.
Prouvons d 'abord le point (4.26). On utilise le théorème de Dunford-Pettis (voir [6])
pour montrer que hn est dans un compact faible de LI (Q). Pour cela nous devons
vérifier que
V E > 0:38 > 0 telle que L hn dx dt < E V AcQ et meas(A) < 8.
Pour un nombre réel k > 0, 'nous avons
1 1 1 Iloghnl hn dxdt = hn dx dt + hn dxdt.
A An{lhn(x ,t)l<k} An{ l hn(x,t ) l~k } Iloghnl
D'une part , on obtient
r hn dxdt < k m eas(A). } An{lhn(x t)l<k }
Chapitre 4. Résultats théoriques d 'existence du modèle couplé
D'autre part , en prenant (x, t) E {Ihn(x t)1 ~ k} , nous avons
1 1 ---<-Iloghnl - Ilogk l·
Comme hnloghn est borné dans LOO(O , T ; LI(D)) , il existe C > ° telle que
j hnlloghnl dxdt < C. An { lhn (x ,t) l'2k}
Ce qui implique que
j h Iloghnl d d C n X t < --.
An{ lhn (x ,t)l '2k} Iloghnl Ilogkl
Par suite,
L hn dxdt < kmeas(A) + IlO~kl'
50
( 4.28)
Le second membre de l'inégalité (4.28) peut être rendu aussi petit que l'on veut ( par
exemple on prend cS = k\ pour k assez grand) , donc hn est dans un compact faible de
LI (Q). Par conséquent, il existe h et une suite extraite de hn notée encore hn telles que
hn ---t h LI (Q) faiblement.
Maintenant nous prouvons que
Nous utilisons quelques techniques développées dans [28]. Pour B E LI(O, T; LOO(D)) , on
définit TR(B) comme suit
Nous avons TR(B) E LOO(Q). Comme hn converge vers h dans LI(Q) faiblement , nous
obtenons
Notons que
où 1 P est la fonction caractéristique définie sur
Chapitre 4. Résultats théoriques d 'existence du modèle couplé 51
Ainsi
J,}B - TR(B))lhn - hl dxdt :::; 10 Ihn - hl dxIIBllu"" (fl )1pdt.
Ce qui implique que
Il en résulte que .
Par ailleurs , (hn - h) est borné dans LOO(O T; L1(D)) , donc il existe C > 0 telle que
Par conséquent ,
( 4.29)
Le membre de droite de l'inégalité (4.29) tend vers zéro quand R tend vers l infini. En
utilisant la relation
r (hn - h)B dxdt == r (hn - h)(B - TR(B)) dx dt + r (hn - h)TR(B) dx dt JQ . JQ JQ
on obtient
Il s'ensuit que
10 hnB dxdt -----> JQ
hO dxdt quand n ----+ 00.
Démonstration de (4.22). Nous allons utiliser les inégalités suivantes
Il existe a positif tel que, pour u E (HJ(D))2 , on ait
où K est un réel strictement positif. ( 4.30)
Cette inégalité est due à Trudinger-Moser, voir [45].
Pour tout a E R~, b E R+ , C E R~, nous avons
. b ab :s; C(a laga + exp(C - 1)). (4.31 )
_____ --- - - - - --- - - -------1
Chapitre 4. Résultats théoriques d 'existence du modèle couplé 52
En appliquant (4.31) avec a == hn b == Œlunl2 et C == Ilunllt,r nous obtenons
Ce qui implique que
( r r lunl2 ) Ilunllv Jnhnloghndx+Jnexp(allunll~ -l)dx ::;
IIUnllv( k hnloghndx + KI} OÙ KI = ~K m eas(n).
e
Nous avons
klhnUnl::; IIUnllv(khnlOghndX + KI). En utilisant les relations (4.15) et (4.17) on obtient
k Ihnunl est borné dans L2 (0 , T).
Par suite
ce qui prouve (4.22).
Démonstration (4.23). Nous prouvons d'abord que
y = {Unhn : un E L2(0, T; V), hn ~ 0, (hn, hnloghn) E (LOO(O , T; L I (n)))2} est dans
un compact faible de L 1 (O , T; (L 1 (O))2). La relation (4.22) entraine qu'il existe une
constante C > 0 telle que
Ilhn u n II L2(O ,T ;(Ll(n))2) < C.
Or, en utilisant l'inégalité de Schwartz, on a que
donc Y est borné dans Ll(O, T; (L 1(O))2). Maintenant, on utilise le théorème de Dunford
Pettis. Pour cela, on doit prouver que
VE > O,:::lb > ° tel que L unhn dxdt < E VA c Q et m eas(A) < b.
Pour E > 0, on pose a == hn , b == Iunl et C == Ellunllv dans (4.31) et on obtient
Chapitre 4. Résultats théoriques d 'existence du modèle couplé
Iunl On pose s = lIunllv'
s Si - :s; as2
, avec a vérifiant (4.30), alors E
s Si - > as2 alors
E
De ce fait
Or a vérifie (4.30) , donc
alunl2
exp( Ilunll~) est borné dans LOO(O, T; L1(n)).
53
De plus, hnloghn est borné dans LOO(O , T; LI(O)) et lIunllv est borné dans L2(0 , T) , ce
qui fait que
Il en résulte que
( 4.32)
Le membre de droite de l 'inégalité (4.32) tend vers zéro quand E tend vers zéro (par 1
exemple prendre V8 == exp(--2) ). Il s'ensuit que Y est dans un compact faible de aE
LI(O, T; (L I(O))2). Par conséquent, il existe al E LI(O, T; (L I(O))2) tel que
unhn -t al dans LI(O, T; (LI (O))2) faiblement.
En faisant le même raisonnement on montre aussi qu'il existe f3 E LI (0 , T; (L l ( 0) ) 2) tel
que
•
4.1.2 Passage à la limite dans les équations de conservation
Dans cette sous-section nous démontrons essentiellement les' lemmes 4.1.4 et 4.1.5. Le lemme 4.1.4 permet le passage à la limite dans le~ équations de continuité c'es
Chapitre 4. Résultats théoriques d 'existence du ,modèle couplé 54
. à dire l équation de conservat ion de la masse du fluide et celle de conservation de la
couche de sédiments. Dans le lemme 4.1.5 on fait le passage à la limite dans l 'équation
de conservation de la quantité de mouvement.
Lemme 4.1.4. Soient Un , hn et Hn trois suites vérifiant
Alors
Un E L2(0 , T ; H m (n)2) , m 2: 3,
hn E LOO (O , T ; L1(n)) , hn 2: 0,
hn,t + \7 . (unhn) == 0,
Hn E LOO (O , T ; L1(n)) , Hn 2: 0,
Hn,t - \7 . (unHn) == ° Un ---t u dans L2 (0 , T ; V) fa iblement,
hn ---t h dans L2 (0 , T ; L1 (n) ) fa iblement ,
unhn ---t al dans L2(0 , T; (L1(n))2) faiblement,
Hn ---t H dans L2 (0 , T ; L 1(n)) faiblement,
unHn ---t (3 dans L2(O , T; (L1(n))2) faiblem ent.
uH == (3 .
Preuve Soit cP E D(n) , on pose
prolongé par zéro à l'extérieur de n. Nous avons ·
Ensuite on régularise par convolution de la variable d'espace en posant
où p6 est une suite (appelée suite régularisante) vérifiant
Pour 6 assez grand, n => supp( v~) car v~ est à support compact.
Nous utilisons les convergences suivantes que nous démontrerons plus tard
v~hn ---t vnhn dans L1(0 , T ; (L1([2))2) fort quand 6 ~ 00 ,
v~hn ---t v 6h dans (D'(Q))2 quand n ~ 00.
( 4.33)
( 4.34)
( 4.35)
( 4.36)
( 4.37)
( 4.38)
( 4.39)
( 4.40)
(4.41 )
( 4.42)
( 4.43)
( 4.44)
( 4.45)
( 4.46)
Chapitre 4. Résultats théoriques d 'existence du modèle couplé 55
Montrons maintenant que vnhn ~ vh dans (D'(Q))2 lorsque n ----t 00. Pour cp E
(D(Q))2 nous avons
10 (hn V n - hv) . </J = JQ
(hn V n - hn v~) . </J + 10 (hn v~ - hv6). </J (4.47)
+ 10 (hv6 - hv) . </J .
En utilisant (4.45) il vient que
h(hnVn ~ hnv~). </J -t 0 quand J -+ 00 ,
10 (hv6 - hv) . </J -t 0 quand J -+ 00.
Si on considère (4.46) on montre que
h(hnV~ - hv8) . </J -t 0 quand n -+ 00.
En combinant (4.47) - (4.50) nous obtenons
On fait le même raisonnement pour montrer que
Démonstratioh de 4.45. On fixe T > 0 et on pose
Si Iv~ - vnl :::; T , alors
E = {(X , t) E Q : Iv~ - vnl > T} ,
C(E) = {(X , t) E Q : Iv~ - vnl ::; T}.
1 hnlv~ - vnl :S TllhnIILl(OToLl(O)) C(E) , ,
:S CIT
( 4.48)
( 4.49)
( 4.50)
(4.51 )
Si Iv~ - vnl > T, on applique l'inégalité (4.31) avec C == Ellv~ - vnllv. On obtient
Chapitre 4. Résultats théoriques d 'existence du modèle couplé
Afin d 'appliquer l 'inégalité (4.30) on considère
{ ()
1 v~ - v ni 1 } El = x , tEE: Il V~ - v n Il ~ ta .
Si · (x , t) E El , alors
d 'où
1 <5 1 Il <5 Il ( ( 1 V~ - v n 1
2 )) hn V n - V n ~ E V n - V n v hnloghn + exp Ct Ellv~ _ vnllt- - 1 .
En utilisant l 'inégalité (4.30) on montre qu 'il existe K > 0 telle que
Si
( ) ()
{ ()
1 v~ - v n Il} x , t E C El = x , tEE: Ilv~ _ vnll < ta
alors
hnlv~ -vnl ~ Ellv~ -Vnllv(hnloghn+exP(Ct~2 -1))Il existe KI > 0 et K 2 > 0 telles que
r hnlv~ - vnl ~ KIE + EK2 exp( ~ - 1hjmes(C(Ed). }C(El) aE
56
( 4.52)
On majore maintenant Jmes( C(EI )) en fonction de 6. D'après des résultats classiques
de la convolution <5 1 k IIvn - V n IlL2(Q) ::; bl.lvnIlL2(o,T;V) ::; J
car V n est borné dans L 2 (0, T; V). D'autre part, puisque (x, t) E E
Par suite
vmes(C(EI )) < r5~' On obtient alors la majoration indépendante de n
J <5 - 1 k
hnlvn - vnl ::; KIE + EK2 exp(-2 - 1)~. C(El) aE uT
( 4.53)
Ce qui conduit à
( 4.54)
Chapitre 4. Résultats théoriques d 'existence du modèle couplé" 57
Finalement, en additionnant les inégalités (4.51) et (4.54) on obtient
( 4.55)
Le second membre de l'inégalité (4.55) peut être rendu aussi petit que l on veut indé
pendamment de n (prendre <5 = exp(a~2)). Ce qui prouve (4.45). Démonstration de 4.46. Montrons que pour tout cp E D( Q)
On a
( 4.56)
Le second membre de l'égalité (4.56) , où 6. et l désignent le laplacien et l identité a
bien un sens puisque la base est suffisamment régulière et qu 'on peut prendre' m = 5
pour obtenir
D 'autre part,
implique que
Ce qui prouve, d'après l'équation (3.16) , que
h E L2(O T' W- 1,1(O)) n ,t " .
Or (-D, + 1)-2 envoie W-1,1(O) dansW1,1(O) qui s 'injecte continument dans L 2 (O) et
(-D, + 1)-2 envoie L1(O) dans H1(O) donc la suite hn vérifie
(-6. + 1)-2(hn ,t) borné dans L2(O, T; L2(O)),
(-6. + 1)-2(hn ) borné dans L2 (O, T; H1(O)).
D'où en appliquant le théorème de compacité d 'Aubin on obtient
Enfin,
donne
Chapitre 4. Résultats théoriques d 'existence du modèle couplé 58
En utilisant le théorème de Rellich-Kondratsev on obtient
Ce qui implique que
D 'où
10 hn v~ rP -----+ JQ
hvo rP pOUf tout rP E D ( Q),
Remarques:
- on choisit de ne faire que les preuves pour hn étant donné que celles pour Hn se font de façon similaire.
- les deux suites v~ et hn ne sont pas définies sur le même ouvert. Pour pallier à
cette contrainte il suffit de prolonger hn par zéro dans IR, 2 pour donner un sens
à v~hn' De plus la suite hn qui en résulte converge aussi dans L2(0 , T ; L1(IR,2)) fai blement.
Après avoir démontré comment passer à la limite dans les équations de conservation de
la masse dans le lemme 4.1.4, nous allons énoncer le lemme suivant qui nous permet de
passer à la limite dans les équations de conservation de la quantité de mouvement.
Lemme 4.1.5. Soit (Uri , hn, Hn) tel que
hn ~ h dans L 2 (0, T; L 1(0)),
hn,o E Cl (0), hn,o -----t ho dans L 1 (0),
~ ln Un,t 'v + ln Un ' V'un ,v + 9 ln V'hn 'v - 9 ln V' Hn' V
1 C1l 1 glunl -v Lun·v+- kl\un .v+C2 --Un'V n p n . n c2 hn
+C3 ln Un ' V = ln f ' v, \:Iv E Vn ,
un(t = 0) = Un ,O E Vn n (Hm (0))2 , m 2: 3,
Un ,o -----t Uo dans V ,
Hn ~ H dans L 2 (0 , T; L 1 (0)) ,
Hn ,o E C1 (Q) , Hn ,o -----t Ho dans L 1(0) ,
et que Un vérifie la majoration
( 4.57)
( 4.58)
( 4.59)
(4.60)
(4.61 )
( 4.62)
( 4.63)
( 4.64)
Chapitre 4. Résultats théoriques d 'existence du modèle couplé
Alors on peut extraire de Un une sous-suite notée encore Un , telle que
Un ~ U dans L 2 (0 , T; V) ,
Un ---t U dans LOO(O, T; (L 2 (O) )2) faible étoile,
Un t est borné dans L~ (0 , T; (H- 3 (O) )2) ,
(Un . V) Un ~ (U . V) U da ns L ~ (0 T; (L ~ (D) ) 2) ,
U vérifie
59
( 4.65)
( 4.66)
( 4.67)
'( 4.68)
~ f Ut' v + f(u.V)u.v+g f Vh . v - g f VH · v (4.69) 2 ln ln ln ln .-v f Lu.v+ C1 f kAu.v+c
2 f glu1u.v
ln p ln ln c2h
+ C3 ln u·v = ln f· v , \Iv E (H3(n)? n v.
Preuve
Nous prouvons les points (4.67) et ' (4.68).
Démontrons d 'abord (4.67). Pour estimer Un ,t nous devons estimer tous les autres termes
de l'équation de conservation de la quantité de mouvement (3.17). Parmi les termes en
question pour cette équation seuls les termes (un' V)un , Vhn et V Hn restent à être
estimé.
Commençons par estimer le terme (un' V)un . Nous avons vu que Un est borné dans
LOO(O, T; (L2(D))2) n L2(0, T; V), donc VUn est borné dans L2(0 , T; (L2(O))4).
En utilisant l 'inégalité de Gagliardo-Nirenberg
et le fait que Un est borné dans LOO(O, T; (L 2 (D))2), on montre que l'injection de V
dans (L4 (O))2 est continue. Ce qui implique que
Par suite,
Un est borné dans LOO(O, T; (L2(D))2) n L2(0, T; (L4 (D))2).
Montrons que (un' V)un est borné dans L~ (0 , T; (L~ (D) )2).
4 loT 4 Un . V Un 3 4 4 == Un t ·V Un t 3 4 dt.
,,( )" L 3 (O ,T ;(L 3 (n )) 2) 0 Il ( () ) ()" (L 3 (n )) 2
Chapitre 4. Résultats théoriques d 'existence du modèle couplé 60
Nous
Ce qui fait que
Il (Un' \7)Un Il ~ 4 4 = fT f Iun(t) . \7un(t) 1 ~ dx dt. L3 (O,T;(L3 (n ))2) Jo Jn
Evaluons d 'abord la quantité ln IUn . \7unl ~ dx.
3 En posant p == 3 et q == - on obtient , grâce à l'inégalité de Rülder , la relation suivante
2
D'une part ,
4
== Ilun ll(L4(n))2'
D'autre part ,
D'où
ln IUn . \7unl~ dx :::; Ilunll~L4(n)J2II\7unll~L2(n))4'
En utilisant l'inégalit'é de Gagliardo-Nirenberg (3.34) , on obtient
Ce qui implique, en considérant l'inégalité (4.70), que
(4.70)
Chapitre 4. Résultats théoriques d 'existence du modèle couplé 61
et par suite
k Iun · VUn l ~ dx S C~ llunll !L2 ( !1 ))21IVun ll (L2 (!1))4 . Nous obtenons donc
Par conséquent
Ce qui entraine que
Il s 'ensuit que
Auparavant , on avait montré que
et que V'Un est borné dans L2(0 , T; (L2(0))4).
Ce qui prouve que (un' V')un est borné dans L~ (0, T; (L~ (0) )2).
Estimons les termes V'hn et V' Hn' Comme les deux inconnues hn et Hn vér~fient
les même types d 'équations nous donnons seulement l 'estimation du terme V'hn. Nous avons hn est dans LI (0) pour presque tout t et que l'injection de LI (0) dans le dual de
CO est continue. De plus, en dimension deux l'injection de H 2(0) dans CO est continue,
donc par dualité,. l'injection du dual de CO dans H-2(0) est continue. D'où l'injection
de LI(O) dans H-2(0) est continue. Or
Ce qui implique que
De plus V'hn est borné dans L2(0 , T; (H- 3 (0))2).
En utilisant l'équation de conservation de la quantité de mouvement (3.17) on obtient
Un ,t est borné dans L ~ (0 , T ; (H- 3(0))2)
Chapitre 4. Résultats théoriques d 'existence du modèle couplé 62
ce qui prouve (4.67).
On a démontré que (un· V')un est borné dans L~(O , T; (L~(0))2). On peut en extraire
une suite, notée encore (un·V')un, convergeant faiblement vers e dans L~ (0 T· (L ~ (0))2) .
Démontrons (4.68). On utilise le théorème de compacité d Aubin pour montrer que
la limite faible e de (un· V')un est égale à (u . V')u. Nous appliquons à présent le
théorème de compacité d 'Aubin ( voir [22]) en prenant
Nous avons que
4 Po == 2, Pl == 3'
et que l'injection de Bo dans B est compacte. On pose
muni de la norme
Ilvllw == IIvIlLPO(O,T ;Bo) + IIvtIlLPl(O,T ;Bl)·
W muni de la norme Il.lIw est un espace de Banach. De plus W c ijo(O , T ; B) , et
que 1 < Pi < 00 pour i == 0, 1 ; donc en appliquant le théorème de compacité d 'Aubin
on montre que l'injection W C ijo(O , T; B) est compacte. Ce qui entraine que
(4.71 )
On peut maintenant montrer que
4 4 2 dans L3 (0, T; (L3 (0)) ).
JQ((Un.'V)Un - (u.'V)u)· v = h(UnUn,x - UUx)Vl+ ( 4.72)
JQ(VnUn,y - VUy)Vl + h(UnVn,x - UVx)V2 + h(VnVn,y - VVy)V2'
On fait la majoration de chacun des intégrales se trouvant au second membre de (4.72).
Chapitre 4. Résultats théoriques d 'existence du modèle couplé 63
ce qui implique que
lIun,x IIL2 (Q) IIVIIILOO (Q) Il Un - UIIL2(Q)
+1 k(un,x - Ux)UV11·
Or Un est borné dans L 2 (0 , T ; V) , donc il existe K > ° indépendant de n tel que
D'où, en utilisant (4.71) , on obtient
Et grâce à la rel,ation
Un --+ U dans L 2 (0 , T; V)faibl em ent ,
on montre que
1 k(un,x - Ux)U~ll---> 0, quand n -> 00.
D'après ce qui précède, nous avons
On utilise le même raisonnement pour montrer que
et que ·
Par suite
4 4 2 dans L3 (0, T; (L3 (0)) ).
La preuve de (4.69) se fait en combinant (4.26) , (4.27) et (4.65)-(4.68). •
Chapitre 4. Résultats théoriques d 'existence du modèle couplé 64
4.1.3 Résolution du problème de dimension finie
Dans cette sous-section nous démontrons que le problème de dimension finie (3.16) -
(3.20) possède une solution à travers le lemme 4.1.6.
Lemme 4.1.6. Le problème de dimension finie (3.16) - (3. 20) possède une solution
vérifiant
Un E L2(0 , T ; Vn) n LOO(O , T ; (L2(n))2) ,
( hn, H n) E (Cl ( Q) ) 2 ,
-4g l - e- m eas (r2) :S IlunIIIoo(O,T;(L2 (n) )2) + 2g s~p Jn hn(t)loghn(t) dx
+ 2gsup f Hn(t)logHn(t) dx + Bllunlli2(OT'V) t ln ' ,
1 22 :S ~ IlfIIL2(O,T;(H- l(n))2) + Ilun,oll
+ 2g ln hn,ologhn,o dx + 2g ln hn,ologhn,odx.
(4.73)
( 4.74)
(4.75)
Preuve du Lemme 4.1.6. Nous appliquons le théorème du point fixe de Brouwer
de la manière suivante. On fixe w E L2(0 , T; Vn ) n LOO(O , T; (L2(n))2) , Vn étant muni
de la norme de HP(n)2 avec p 2 3, et on résout le problème
kt ~ \7 . (wk) == ° dans nx]O, TL , k(t == 0) == hn,o in n,
pour avoir k. Ensuite on résout le problème
-lt + \7 . (wl) == 0 in nx ]0, T[ ,
l (t == 0) == H n , ° in [2
et on obtient l. Puis on résout le problème variationnel
( 4.76)
(4.77)
(4.78)
(4.79)
f U n t. v + f (w.\7)un .v+ f g\7(k-l).v-v f DUn'V (4.80) ln ' Jn ln Jn + Cl r k 1\ Un . V + C2 r 9 l:V
k 1 Un . V + C3 r Un' V = r f· V ,
P Jn Jn c Jn ln \:j v E Vn ,
un(t == 0) == un,o, (4.81)
ce qui donne Un. On montre que l'application
Chapitre 4. Résultats théoriques d'existence du modèle couplé 65
possède un point fixe. B' (0, R) est la boule fermée de centre 0 et de rayon R de
L 2 (0, T; Vn ). Pour vérifier les conditions du théorème du point fixe de Brouwer 1r doit
appliquer un convexe compact dans lui même et doit être continue.
On obtient ce résultat en utilisant la topologie faible de L2(0 , T; Vn). Comme L2(0 T' Vn) est un espace de Banach réflexif donc le théorème de Banch-Alaouglu nous dit que la
boule unité fermée de L 2 (0 , T; Vn ) est faiblement compacte. Ce qui se généralise aisé
ment sur tout fermé born~ de L 2 (0 , T; Vn ).
Résolvons d'abord les systèmes (4.76) - (4.77) et (4.78) - (4.79). Nous présentons uni
quement la résolution du système (4.76) - (4.77) car celle pour le système (4.78) - (4.79)
se fait de manière identique. On utilise la méthode de Galerkin pour résoudre (4.76) -(4.77).
Soit w E L2 (O , T; Vn ) et hn ,û E L2 (fJ). Nous allons montrer que (4.76) - (4.77) possède
une solution appartenant à LOO(O, T; L2(n)). On prend une base régulière {Pm}mEN de L 2 (n). Ceci est possible car D(n) qui est l 'ensemble des fonctions Coo à support
compact dans n est dense dans L 2 (n). Soit km apartenant au sous espace de L 2(n) engendré par les m premières fonctions de base de {Pm}mEN noté vect{pbp2 , ... ,Pm}. On considère le problème variationnel suivant
r km t Pi dx + r \7 . (w km) Pi dx == ° V Pi , i == 1, ... , m ; Jn ' Jn km(O) == hOm,
( 4.82)
( 4.83)
où hOm est la projection de hn,o dans vect{pl , P2 , ... , Pm}. Alors km vérifie la majoration
(4.84)
Et on peut extraire de km une sous-suite notée encore km convergeant vers k dans
LOO(O , T; L2(n)) faiblement étoile.
D 'autre part, w E L 2 (0, T; Vn ), donc la suite .
et converge vers wk dans L2 (0, T; (L 2 (n) )2) faiblement. Ce qui prouve que
kt + \7 . (w k) == O.
De plus, kt -\7 . (wk) est dans L2(0,T;H- 1(n)), ce qui implique que
k E W 1,2(0, T; H-1(n)). Comme l'injection de W1,P(0, T) dans CO([O , T]) est compacte
pour 1 < P :::; 00 , donc k est continue de [0, T] à valeurs dans H-1(n) et k(t == 0) a
un sens dans H-1(n). En utilisant (4.83), on obtient k(t == 0) == hn,o. Par le même
raisonnnement on montre que
lt - \7 . (wl) == 0, l(t == 0) == Hn,o.
1 .
Chapitre 4. Résultats théoriques d 'existence du modèle couplé 66
Montrons maintenant que l'application 7r vérifie les conditions du théorème de point
fixe de Brouwer. En utilisant les majorations
En remplaçant v par Un dans (4.80) on obtient
On intègre sur ] 0, T [ et il en résulte
+ 2g1 ln V(k - 1) . uni·
On montre qu'il existe une constante réelle strictement positive K telle que
Ainsi , en utilisant les inégalités de Schwartz et de Young sur certains termes de (4.87)
on obtient
2vllun III2(0,T;V) :s: Ilun,01l2 + ~ II! IIIoo (o,T;(H-1 (11))2 + '\'Ilun III2(0,T;V) (4.88)
+ (gTllhnol12 + gT. IIHnoI12) exp(2 fT Il'17. w(s)IILOO(n)ds) a ' E ' Jo
+ 2K loT Ilwllvllllunll~ + (gO! + gE)llunIII2(0,T;V)'
On déduit de (4.88) que
2vllunllh(0,T;V) :S:llun,0112 + ~ Ilfllloo (o,T;(H-l(I1)2 + '\'llunIII2(0,T;V) (4.89)
+ (gT Ilhn 011 2 + gT IIHn 0112) exp(2 fT Il'17 . w( s) Il Loo (l1)ds ) a ' E ' Jo
Chapitre 4. Résultats théoriques d 'existence du modèle couplé 67
Il s'ensuit que U n == 1T( w) vérifie
où A == 21/ - À - ga - gE - 2Kllw IILOO(O,T;V) ' À a et E sont des constantes réelles strictement posit ives choisies de telle sort e que A soit positif.
Or w E B'(O, R) donc pour avoir U n E B'(O, R) , car 1T doit appliquer un compact
sur lui même, il s~ffit d 'avoir grâce à (4.90) l'inégalit é suivante
(4.91 )
Rappelons que, pour t fixé dans [0 , T], w(t) appartient à Vn muni de la norme de HP(D)2 avec p ~ 3. Par conséquent , \7 . w(t) est borné dans LOO(D). De plus, T est choisi assez
petit dans le théorème d 'existence (4.1). Il s'ensuit que l 'inégalité (4.91) est satisfaite.
Ce qui montre que l'image de B' (0 , R) par l'aplication 1T est une partie de B' (0, R ). Il reste donc à montrer que l'application 'if est continue. Rappelons qu 'on utilise la t opo
logie faible de L 2 (0 , T ; Vn ). On considère une suite w m de B'(O, R) qui converge vers w
faiblement dans L2 (0 , T; Vn ) et on montre que u~ == 1T( wm) converge faiblement vers
Un == 'if(w) dans L 2 (0 , T; Vn). Notons par km et lm les solutions de (4.76) - (4.77) et (4.78) - (4.79) , respectivement ,
où l'on a remplacé w == wm. Puisque km(t == 0) == hn,o et lm(t == 0) == Hn,o, donc km et lm vérifient les majorations (4.85) et (4.86) , respectivement. Ce qui implique
que km converge vers hn dans LOO(O , T; L2 (D)) faiblement étoile. De plus hn vérifie
hn,t + \7. (whn) == ° et hn (t == 0) == hn,o. lm converge vers Hn dans LOO (0 , T ; L2 (D))
faiblement étoile et Hn vérifie Hn,t - \7 . (wHn) == ° et Hn(t == 0) == Hn,o . . La solution u~ de (4.80) - (4.81) obtenue en remplaçant k == km et l == lm converge
vers Un == 1T(W) dans L2(0 , T ; Vn) faiblement et on a un(t == 0) == u n,o, Ce qui prouve que l'application 1T est continue. Il s'ensuit que 1T possède un point fixe noté
Un E L2 (0 , T; Vn). Ainsi en remplaçant w par le point fixe un dans (4.80) les valeurs
correspondantes de k et de l sont notées hn et Hn , respectivement. Ce qui permet
d 'obtenir la relation (3.17). •
Chapitre 4. Résultats théoriques d 'existence du modèle couplé 68
4.1.4 Positivité de hn et de Hn
Nous donnons dans cette sous-section quelques résultats de régularité de la solution
du problème de dimension finie (3.16) - (3.20). En utilisant ces résultats de régularité
on montre que hn et Hn sont positives.
Étant donné que Un est une combinaison linéaire d 'éléments de (Hm (D) ) 2 m 2: 3 alors Un E Wl , ~(O , T; (Hm(D))2) , m 2: 3. D'où
D 'autre part , hn vérifie
Par conséquent,
Un raisonnement similaire montre aussi que
car
Nous démontrons uniquement que hn 2: 0 car la preuve de Hn 2: 0 se fait de manière
identique. On pose
no = { x En: hn,o (x) = 0 }
et
Ce qui fait que
et donc Q == (00 x ]0, T[) U (0+ X ]0, T[).
Soit (x , t) E Q alors (x, t) E Dox]O, T[ ou (x, t) E O+x]O, T[.
Rappelons le résultat important obtenu en exploitant l'équation de conservation de la
masse du fluide (3.16)
Ihn(x , t)1 = hn o(x) exp( rt
-V . un(s)ds). , Jo
Chapitre 4. Résultats théoriques d 'existence du modèle couplé 69
Si (x, t) E 0 0 x ]0, T[ alors /hn(x , t) / == O. Ce qui implique que hn(x , t) == O.
Si (x, t) E O+x]O, T[ alors /hn(x , t)1 > O. Comme hn E Cl ([O ,T], CO(O)) et hn i- ° dans 0+ x ]0, T[ , on a hn garde un signe constant sur 0+ x ]0, T[. Or la fonction hn,o est
positive et non nulle, donc il existe X o E 0 tel que hn,o(xo) == hn(xo , O) est strictement
positif. Il s 'ensuit que hn(x , t) est strictement positif pour tout (x , t) E 0 + x ]0, T[.
Il s'ensuit que
hn(x ,t) ~ ° V(x , t) E Ox]O,T[.
De la même manière on montre que
Hn(x , t) ~ 0 V(x , t) E nx]O T[. •
4.1.5 Démonstration ·du théorème d'existence
Nous allons utiliser tous les résultats produits par les différents lemmes prouvés
dans les sections précédentes pour démontrer le théorème d'existence (4.1.1) de la sec
tion 4.1.1. Cette démonstration est donnée dans ce qui suit.
Démonstration du théorème (4.1.1)
L'exploitation de (4.23) et de (4.43) permet de montrer (1.3). On utilise ensuite (4.25)
et (4.44) pour obtenir (1.8). La relation (4.69) implique (1.4). Il reste donc à prouver
que la condition au bord (1.5) et les conditions initiales (1.6) et (1.9) sont vérifiées. En
utilisant (4.40) et (4.42) on a
unhn ----+ uh dans L1(0, T; (L 1(O))2) faiblement,
unHn ----+ uH dans L1(0, T; (L1(0))2) faiblement.
Ce qui implique que
\7 . (uh) E L2 (0, T; W- 1,1(0)), \7. (uH) E L2 (0, T; W- 1,1(0)).
En utilisant les équations de conservation de la masse du fluide (1.3) et de la couche de
sédiments (1.8) , on obtient
On montre que
Chapitre 4. Résultats théoriques d 'existence du modèle couplé 70
Par ailleurs, nous utilisons l'injection suivante
W1 ,P(0 , T) c C([O, T]) est compacte si 1 < p :S 00 (voir [6]). ( 4.92)
D 'où h est continue de [0 , T] à valeurs dans W-1,1(O). De ce fait , h(t = 0) a un sens
dans W-1,1(O). En considérant (4.58) on prouve que h(t = 0) ~ ho. Par le même
raisonnement , on montre que H(t = 0) a un sens dans W - 11(O) et grâce à (4.63) on
obtient H(t = 0) = Ho. Pour terminer , il reste à montrer que u(O, x) a un sens dans un
espace à préciser et que u(O, x) égale à uo(x). Nous avons vu précédemment que
et que
u E L2(0 , T; (L2(O))2) C L ~ (0 , T; (H- 3 (O))2).
Ce qui entraine que u E Wl, ~(O , T; (H- 3 (O))2). Et grâce à l'injection (4.92) nous avons
u est continue de [0, T] à valeurs dans (H- 3 (O))2. Ce qui implique que u(O x ) a un
sens dans (H- 3 (O))2. En utilisant (4.61) on obtient u(O, x) = uo(x).
Par suite (u , h, H) est solution de (1.3)-(1.9). •
4.2 Conclusion
Cette étude théorique nous a permis d'obtenir un résultat très important sur le
modèle couplant un système de Saint-Venant avec une équation de transport de sé
diments qui est un domaine jusque-là pas très connu. Ainsi, ce résultat contribuera
nécessairement à une meilleure compréhension de ce domaine.
Troisième partie
ÉTUDE NUMÉRIQUE
71
Chapitre 5
~
Etude numérique du modèle couplé
5.1 . Introduction
L'établissement d 'un code non linéaire pour les modèles couplant un système de
Saint-Venant avec une équation de transport de sédiments nécessite un t ravail fort
complexe sur le plan numérique. Beaucoup d 'auteurs se contentent soit de résoudre
numériquement la partie Saint-Venant , soit de résoudre seulement une équat ion de
transport comme dans [15]. Remarquons que dans [15] une équation de transport linéaire
a été étudiée en utilisant la méthode de Galerkin discontinue.
Dans notre présent travail , nous utilisons la méthode des éléments finis pour la
discrétisation en espace. Comme nous avons à étudier un modèle couplant un système
de Saint-Venant avec une équation de transport de sédiments, nous avons alors trois
inconnues à calculer à savoir la hauteur d 'eau, la vitesse de l'écoulement et l 'épaisseur
de la couche de sédiments. Dès lors , au lieu d 'utiliser des paires d 'éléments finis comme
à l 'accoutumée dans l'étude des systèmes de shallow-water, nous aurons des triplets
d 'éléments finis à considérer. Nous nous intéressons ici à trois triplets d 'éléments finis
Pl - Pl - Pl ' P2 - PI - Pl et MINI - Pl' Notre triplet d 'inconnues est dans cet ordre: la vitesse de l'écoulement , la hauteur de la colonne d 'eau et l 'épaisseur de la
couche de sédiments, et il est noté par (u , h, H).
Force est de préciser que l 'étude du triplet prc - Pl - Pl n 'a pas encore abouti
à des résultats concluants. Il faut noter que son étude est plus complexe que celle des
autres t riplets cités ci-dessus. Le principal problème pour ce triplet réside sur l 'inté
gration . par parties du terme de divergence de l'équation de conservation de la masse
car le champ vitesse appart ient à l 'espace d 'élément s finis p['c . Deux façons de faire
Chapitre 5. Étude numérique du modèle couplé 73
cette intégration par parties sont possibles. La première consiste à faire cette opération
à partir de l'équation continue, ce qui laisse apparaître une intégrale sur le bord du
domaine. Cette dernière s 'annule généralement en appliquant les conditions front ières
et la conservation de la masse est ainsi garantie. La seconde façon consiste à écrire
d 'abord l 'intégrale sur le grand domaine comme somme d 'intégrales sur les t riangles
de la partition puis faire l 'intégration par parties à partir des intégrales sur chaque triangle. Cette approche permet d 'obtenir des intégrales sur les faces des triangles d 'un
terme incluant u· n faisant référence au produit scalaire entre le champs vit esse u avec
la normale n. Toute la complexité du problème se trouve dans le choix de l interpo
lation du terme u . n. Nous avons d 'abord exploré la première façon de faire et nous
avons obtenu quelques résultats là dessus mais ces derniers ne sont pas conformes à
notre attente. Une des raisons de cette non conformité aux résultats escomptés serait le fait de ne pas considérer les intégrales sur les faces des triangles ce qui favoriserait
l 'accumulation d 'erreurs. C 'est pour cette raison que nous n'avons pas intégré la partie
concernant le triplet p['c - Pl - Pl dans notre document de thèse. Toutefois, nous
sommes en train d'explorer la deuxième approche et nous espérons obtenir des résultat s
plus convainquants dans un bref délai.
Dans cette étude, nous choisissons comme schémas temporels Euler implicite et Crank
'Nicholson. Les raisons qui motivent ce choix sont déjà expliquées dans l 'introduction
générale du document. La méthode des éléments finis est celle que nous adoptons pour
la discrétisation en espace. Nous utilisons dans ce chapitre les trois triplets d 'éléments
finis cités précédemment comme schémas de discrétisation en espace.
Dans cette présente étude nous résolvons le modèle non linéaire suivant
ht + V· (ahu) == f h dans Q == Ox]O, TL (5.1) Cl glui .
Ut + (u· V)u + gV(h - H) + -k 1\ u + .C2 ~h u + c3u == lu , (5.2) . p c
Ht + V· (c4 Iul n-
I Hu) == fH dans Q. (5.3)
Les conditions au bord pour la vitesse u sont données par
u(x , 0, t) == u(x , S, t) == ° V(x, t) E [0; L] x ]0, TIu[S; P] x ]0, T[, (5.4)
u(O, y, t) == ue(O, y, t), V(y , t) E [0; S] x ]0, T[, (5.5)
où u e est la vitesse entrante. Remarquons qu'il n 'y a pas de condition imposée sur la
vitesse à la sortie.
Des conditions de Dirichlet sont imposées sur la hauteur d'eau h et sur la couche de
Chapitre 5. Étude numérique du modèle couplé
sédiments H. Nous avons
h(x , t) = he(x , t) V(x , t) E anx ]0, T[ ,
H(x , t) = He(x , t) V(x , t) E anx]O, T[ ,
où he et He sont des fonctions connues.
Les conditions initiales sont données par
u(O) = ua dans n, H(O) = Ho et h(O) = ho dans n.
74
(5 .6)
(5.7)
(5 .8)
(5 .9)
Les conditions aux limit es (5.6)-(5.7) étant de Dirichlet on fait un relèvement en posant
h = h - he et H = H - He
dans les systèmes (5.1)-(5.3) et (5.6)-(5.7). En particulier, on obtient
h(x ,t) = 0 V(x ,t) E anx]O,T[ ,
H(x , t) = 0 V(x , t) E anx]O, T[.
5.2 Formulation faible du modèle
(5.10)
(5.11 )
(5.12)
On obtient la formulation variationnelle en multipliant chacune des équations (5.1)
(5.3) par une fonction test <.ph ' 'Pu et <.pH appartenant aux même espaces que la hauteur d 'eau h, la vitesse u et l'épaisseur de la couche de sédiments H, respectivement. On
obtient le système suivant
Chapitre 5. Étude numérique du modèle couplé 75
En considérant les relations (5.11) et (5.12), les termes de bord des équations (5.13) et (5.15) s 'annulent et il s'ensuit que
(5 .16)
(5.17)
(5.18)
Pour résoudre un modèle non linéaire (5.16)-(5.18) numériquement plusieurs approches
sont possibles. On peut faire la semi discrétisation en temps du système puis gérer les différents termes pour obtenir un problème linéaire par rapport aux inconnues au
prochain pas de temps. On illustre cette approche avec l'équation suivante
ht + V . (a hu) = O. (5 .19)
Cette équation (5.19) aurait pu être résolue avec le schéma d 'Euler Implicite présenté
sous l'une des' deux formes suivantes
hn+l _ hn ---- + V . (a hn+lun) = 0
~t ' (5. 20)
(5. 21 )
Le choix de l'une ou de l'autre des deux discrétisations (5.20) et (5.21) peut conduire
à des instabilités selon le modèle physique étudié. Une deuxième approche consiste à écrire la solution cherchée comme somme de la solution actuellement obtenue plus
une correction, qui n 'est rien d 'autre que le processus de linéarisation de Newt on. En
d 'autres termes, on écrit
h = hC + bh, H = HC+bh , u = u C + bu, (5.22)
où hC, H C et u C représentent les dernières valeurs de la hauteur d'eau h , de la couche de
sédiments H et de la vitesse de l'écoulement u obtenues par l'approximation , respec
tivement. Leurs corrections respectives sont bh, bH et bu. Cette approche permet de
faire une linéarisation en enlevant les termes d 'ordre 2 qui s'en découlent. On illustre
cette approche avec les termes u . Vu et V . (a hu). En utilisant (5.22) on a
(5.23)
On enlève le terme bu· Vbu qui est un terme d'ordre 2 dans (5.23). Ainsi; la linéarisation
de (5.23) est donnée par
(5 .24)
Chapitre 5. Étude numérique du modèle couplé 76
On utilise la même démarche que pr~cédemment pour linéariser le terme \7 . (a hu). Après avoir simplifié le terme d 'ordre 2, nous obtenons
(5 .25)
Il est important de souligner que les termes (u· \7)u et \7 . (hu) sont d abord linéarisés
comme indiqué dans (5.24) et (5.25), respectivement avant d 'effectuer les calculs. Par
contre, certains termes non linéaires du système (5.16)-(5.18) ne seront pas linéarisés .
Avec chacun de ces termes on choisit l 'inconnue qu 'il faut t raiter implicitement tandis
que les autres inconnues seront considérées comme explicites. Ainsi , une inconnue est
considérée comme principale si elle est traitée de manière implicite. On note par u P
l 'inconnue principale associée à la vitesse u. Nous résolvons le système suivant après
avoir choisi les inconnues principales
(5.26)
(5.27)
(5.28)
Les termes r hti.ph dx , r Ut . 'Pu , r g\7(h - H) . 'Pu '- r Cl k /\ u . 'Pu , r C3u . 'Pu et ln ln ln ln p ln ln H t'P H dx de (5.26)- (5.28) n 'ont pas été identifiés par la puissance p car ils sont li
néaires et ne présentent aucune ambiguité. Il en est de même pour les termes ln (u . \l)u . <Pu et -ln hu . \l'Ph dx qui sont déjà linéarisés dans (5.24) et (5.25) ,
respectivement. Ainsi, nous présentons brièvement les outils utilisés pour coder le mo
dèle étudié.
Pour coder les intégrales obtenues dans (5.26)-(5.28) nous utilisons un logiciel construit
au GIREF (Groupe Interdisciplinaire de Recherche en Éléments Finis). Le GIREF est
un laboratoire du Département de Mathématiques et de Statistique de l'Université
Laval qui regroupe des étudiants, des enseignants et des chercheurs scientifiques. Un
logiciel nommé MEF ++ (Méthode des Éléments Finis en C++) a été développé dans
ce laboratoire. ComIl).e l 'indique son nom le code de calcul MEF ++ permet de résoudre,
en utilisant la méthode des éléments finis , plusieurs types de problèmes parmi lesquels
on peut citer les problèmes d 'écoulement d'eau, d'élasticité et de viscoélasticité. La
philosophie utilisée avec MEF++ est qu'on calcule toujours par correction. Par
conséquent, les corrections bh, bH et bu deviennent les inconnues de notre problème.
Chaque intégrale apparaissant dans (5.26)-(5.28) est ainsi appelée terme de formulation selon le langage adopté avec MEF++.
Chapitre 5. Étude numérique du modèle couplé 77
Nous avons construit un code en utilisant MEF++ avec chacun des triplets d 'élé
ments finis Pl - Pl - Pl ' P2 - Pl - Pl et MINI - Pl. Des tests numériques sont maintenant presentés.
5.3 Tests N ulllériques
Pour tester le modèle on se donne une solution exacte (uexacte hexacte Hexacte) définie par
U exacte ( X, y , t) . = (y (1 - y) , 0);
Hexacte(X' y , t) = 1000 - t;
hexacte(X' y , t) = Hexacte(X ' y , t) + 50.
(5.29)
(5.30)
(5.31)
La vitesse exacte définit un écoulement de type Poiseuille. Les constantes apparaissant
dans (5.1)- (5.3) sont définies par a = 1, Cl = C2 = C3 = 10-2 , C4 = -1. On résout p
le modèle (5.1)- (5.9) ,.en tenant compte du relèvement (5.10) , avec comme conditions
initiales
U(O) = u exacte(O) dans 0 ,
H(O) = Hexacte(O) = 1000 et h(O) = hexacte(O) = 1050 dans 0
(5.32)
(5.33)
et comme conditions aux bords pour la vitesse celles données par (5.4)-(5.5). On re
marquera que dans le modèle théorique d'existence étudié dans [38] nous avons a = 1,
c4 = -1 et n = 1. Pour les tests numériques, nous considérons les cas n = 1, 2 et 3.
Concernant la friction non linéaire, à la différence de celle considérée dans [38] , nous
ajoutons un facteur l/h avec le coefficient de Chézy c ~ 50. On pose u e = Uexacte,
y ue = y(l-y)
ve=D
u=D
o L
FIG. 5.1 - Conditions au bord pour la vitesse U = (u, v)
he = hexacte et He = Hexacte dans (5.5)-(5.7) , respectivement.
Chapitre 5. Étude numérique du modèle couplé 78
La solution exacte qu 'on veut reproduire est (Uexacte ; h exacte; Hex'acte) définie dans (5.29) -(5.31). Les seconds membres fh,fu et fH sont directement calculés avec le logiciel Maple
utilisant les solutions exactes pour h , H et U données dans (5.29) - (5.31). Ils sont définis
comme suit
fh(x , y , t) == f H(x , y, t) == -1 ; f u(x , y , t) == (fU X (x , y , t) , fUY( x y , t))
JU X(x , y, t) = y(l - y) (C3 + c2 (lO:O _ t) y(l - y)),
fUY(x , y , t) == Cl y(l - y).
Le domaine en ~space défini dans la figure 5.1 est un rectangle de longueur 10 et de
largeur 1. On obtient un maillage uniforme de ce domaine. Ce maillage comporte 5120 éléments et il est constitué de triangles (carrés coupés en deux). Les pas d 'espace en
abscisse et en ordonnée sont notés .6.x et .6. y , respectivement. On obtient .6.x == .6.y == 0.125. Nous adoptons une résolution à pas de temps fixe .6.t == 0.1. Une autre approche
qui consiste à utiliser un pas de temps adaptatif est possible mais nous ne l 'explorons
pas dans ce document. Avec une résolution à pas de temps fixe on ne peut pas à priori
savoir si un schéma temporel d'ordre deux se comporte mieux qu 'un schéma d 'ordre
un. Par contre, si on fait une subdivision successive du pas de temps par 2, 4 , 8
on voit que les erreurs obtenues avec le schéma d'ordre un sont divisées pas 2, 4, 8,
respectivement alors que celles obtenues avec le schéma d 'ordre deux sont divisées par
4, 16, 64, respectivement. Nous avons fait des tests numériques dans ce sens et les
résultats obtenus sont en parfait accord avec la théorie qui stipule que l 'erreur pour un
schéma d 'ordre un ' est ene (h) alors que celle pour un schéma d'ordre deux est en e (h 2 ).
Nous n 'avons pas jugé nécessaire d 'intégrer ces résultats vérificatifs dans ce document.
Dans cette partie nous faisons des simulations sur cinq semaines pour chaque valeur
de n == 1,2, 3 avec les trois triplets utilisant les schémas temporels d'Euler Implicite
et de Crank Nicholson, respectivement. Une analyse d'erreur permettra de comparer le
comportement des schémas d'Euler Implicite et de Crank Nicholson. Comme on veut
reproduire la solution exacte, on prend comme condition de départ , pour la résolution,
une solution très proche de la solution exacte. C'est pourquoi on fait une méthode
de Newton à chaque itération jusqu'à atteindre une précision fixée à E == 10-9. Cette
précision étant obtenue, on récupère la dernière solution obtenue par l'approximation
qu'on appelle solution actuelle notée SC. Elle servira de condition initiale au prochain
pas de temps. En d'autres termes, si on se po~itionne en un temps t n on fait plusieurs
itérations de Newton jusqu'à atteindre la précision E imposée et la solution actuelle SC
correspondante sert de condition initiale au pas de temps t n +l.
Nous faisons seulement la représentation graphique de la composante x , notée UX,
de la vitesse exacte, pour t == 5 semaines étant donné que les valeurs exact es pour
Chapitre 5. Étude numérique du modèle couplé 79
la hauteur d 'eau h , l 'épaisseur de la couche de sédiments H et la composante y de la
vitesse exacte UY, pour t = 5 semaines, sont des constantes dont les valeurs peuvent
directement être déduites de (5.29)-(5.31). Les résultats obtenus pour la simulation du
modèle couplé sont résumés dans des tables donnant la valeur absolue du maximum de
l'erreur commise sur les composantes de la solution numérique pour chacun des triplets
P2 - Pl - Pl' MINI - Pl et Pl - Pl - Pl' utilisant les schémas temporels d'Euler Implicite et de Crank Nicholson, respectivement. Ces tables sont données
pour n = 1, 2 et 3 dans chaque cas. L'erreur à un instant t donné est définie comme
étant le maximum de la différence, en valeur absolue entre la valeur exacte et la valeur
numérique à cet instant t. Nous avons fait des observations de cette erreur sur chacune
des cinq semaines pour les cas cités ci-dessus. Nous faisons ces études avec Euler impli
cite et avec Crank Nicholson dans les sections 5.4 et 5.5 , respectivement. Les résultats obtenus avec chacun des schémas temporels seront comparés dans la section 5.6.
o 0.D5 0.1 0.15 D.2 Oo!
FIG. 5.2 - Composante X de la Vitesse Exacte.
5.4 Modèle nUll1érique avec Euler Ill1plicite
Dans cette partie, nous étudions chacun des triplets d'éléments finis cités ci-dessus
considérant comme schéma temporel celui d'Euler Implicite.
5.4.1
L'espace de Pk' k E {l, 2} est défini comme suit
où Pk(K) est l 'espace des restrictions à K des polynômes de degrè k à deux variables.
Chapitre 5. Étude numérique du modèle couplé 80
Elément fini s
Support des fonctions de base
3 . s
6~ 142
3
s
l 2
FIG. 5.3 - À gauche on a la position des noeuds dans le triangle de référence et à
droite le support des fonctions de base des éléments finis P2 et Pl' respectivement . Les
supports sont de 6 triangles pour un sommet intérieur S pour chacun des deux éléments
finis et de 2 triangles pour un noeud milieu d'arête A pour P2 .
Chapitre 5. Étude numérique du modèle couplé 81
Les fonctions de base de Pl sont données dans le triangle de référence de la figure
5.3 par
cPl (x , y) == 1 - (x + y) ,
cP2(X , y) = x, cP3(X , y) = y.
(5.34)
(5.35)
(5.36)
Pour P2 les fonctions de base sont données dans le triangle de référence de la figure 5.3
par
cPl (x, fj) = (1 - (x + fj)) ( 1 -2 (x + fj) ),
cP2( X, y) = x(2x - 1) ,
cP3(X , y) == y(2y - 1) ,
cP4(X , fj) = 4x (1 - (x + fj)),
cP5(X, y) = 4xy,
cP6(X , fj) = 4fj (1 - (x + fj)).
(5.37)
(5.38)
(5.39)
(5.40)
(5.41 )
(5.42)
Les· fonctions de base de Pk respectent la propriété de Lagrange et on a Pk C Hl (0) k E {l , 2}.
Les résultats numériques obtenus en étudiant le triplet P2 - Pl - Pl sont représentés sous forme de tables. Chaque table fournit l'erreur sur chacune des composantes de la solution numérique pour n = 1, 2, 3. Les cinq observations sur cette erreur sont faites à
chaque semaine.
On note par Erreur cette erreur. Toutes les tables produisent des résultats pour t =
1 semaine , 2 semaines, ... , 5 semaines. La table 5.1 se lit: erreur sur.1a composante x,
UX, de la vitesse est égale à 3.3131 x 10-10 à t ~ 1 Semaine. On la note Erreur(U X , t =
1) = 3.3131 X 10-10 . De même, on a Erreur(UY, t = 2) = 2.058 X 10-10, Erreur(H, t =
5) == Erreur(h, t = 5) = 0.12423 X 10-7 , etc ... Toutes les autres tables se lisent de la
même manière que la table 5.1.
Commentaires sur P2 - Pl - Pl
Précisons que le calcul de l'erreur sur la hauteur d 'eau h et sur-la couche de sédiments
H donne les mêmes résultats et ceci pour chacun des triplets d'éléments finis. C'est pour
cette raison que nous avons représenté sur une même colonne l'erreur commune pour h
et H. Par conséquent , nous parlerons de l'erreur commise soit sur l'une soit sur l'autre dans la suite.
Chapitre 5. Étude numérique du modèle couplé 82
TAB. 5.1 - Erreur pour n = 1 avec Euler implicite pour P2 - Pl - Pl .
Erreur UX/10- 10 UY/10- 10, h&H/10-7
Semaine 1 "3.3131 1.5195 0.024575
Semaine 2 9.9769 2.058 0.049564
Semaine 3 9.6332 2.8243 0.074747
Semaine 4 10.262 1.8757 0.099745
Semaine 5 10.652 1.2915 0.12423
TAB. 5.2 - Erreur pour n = 2 avec Euler implicite pour P2 - Pl - Pl.
Erreur UX!lO-IO UY/IO- 1O h&H/IO- 7
Semaine 1 3.3185 1.5126 4.038
Semaine 2 9.9304 2.0876 5.5081
Semaine 3 9.5385 2.8259 5.4206
Semaine 4 10.225 1.9478 6.1468
Semaine 5 Il.056 1.1349 8.1543
L'observation des trois tables 5.1 - 5.3 montre que les erreurs sur les composantes x
et y de la vitesse évaluées à chaque semaine sont presque identiques pour n = 1, 2 et 3.
Les différences se notent plutôt sur la hauteur d'eau. En effet , en comparant la hauteur
d'eau des tables 5.1 - 5.3 on voit que l'erreur commise pour n = 1 est 50 (resp. 30) fois
plus petite que celle commise pour n = 3 au cours des deux premières semaines (resp
trois dernières semaines). De plus, l'erreur sur la hauteur d'eau pour n = 3 est 2 fois
plus petite que celle pour n = 2 et ceci pour chacune des cinq semaines. Il ressort de
ces commentaires que le cas n = 1 approche plus précisément la solution exacte que le
cas n = 3 qui à son tour donne de meilleurs résultats que le cas n = 2 pour le triplet
TAB. 5.3 - Erreur pour n = 3 avec Euler implicite pour P2 - Pl - Pl.
Erreur UX/10- 10 UY/10- 10 h&H/10-7
Semaine 1 3.3 1.5117 1.9051
Semaine 2 9.9716 2.0581 2.5891
Semaine 3 9.6065 2.8164 2.7418
Semaine 4 10.243 1.8356 3.0536
Semaine 5 10.873 1.1396 3.8036
Chapitre 5. Étude numérique du modèle couplé 83
P2 - Pl - Pl avec Euler implicite.
5.4.2 Cas du MINI - Pl
L'élément MINI correspond à la paire d'éléments finis Pl bulle - Pl: L'espace de
Pl bulle est défini comme suit
rP E Bulle (K) est tel que rP == 0 sur a K et rP == 1 au barycentre de K. On peut' avoir
plusieurs choix de fonctions bulle respectant ces deux contraintes. Dans le triangle de
référence on peut définir une fonction bulle cubique de la façon suivante
(5.43)
Une autre pos~ibilité est de choisir des fonctions bulle linéaires par morceaux. On' dé
compose alors le triangle de référence k en trois sous triangles en son barycentre et on
impose une fonction linéaire sur chacun des trois sous triangles de k.
Les fonctions de base de Pl bulle à bulle cubique sont données dans le triangle de
référence de la figure 5.4 par
rPI (x, y) == 1 - (x + y),
CP2 ( x, y) == x, rP3 ( x, y) == y,
cfJ4(X, f)) = 27 (1 - (x + f))) xf).
(5.44)
(5.45)
(5.46)
(5.47)
Les fonctions de Pl bulle ne respectent pas la propriété de Lagrange, car les fonctions
rPi' i == 1, 2,3 ne valent pas zéro au point barycentre, mais vérifient Pl bulle C Hl (O.). Voici les tables concernant les résultats obtenus avec le triplet MI NI - Pl.
Chapitre 5. Étude numérique du modèle couplé 84
s Support des fonctions de base
3 s
\ '1.
l 2
FIG. 5.4 - À gauche on a la position des noeuds dans le triangle de référence et à
droite le support des fonctions de base de l 'élément fini Pl bulle. Les supports sont de 6
triangles pour un sommet S et de 1 triangle pour un noeud barycentre B.
TAB. 5.4 - Erreur pour n == 1 avec Euler implicite pour MINI - Pl'
Erreur UXj10-4 UYj10- 5 h& Hj10- 7
Semaine 1 1.9252 2.3163 1.1289
Semaine 2 2.8501 2.9751 0.63009
Semaine 3 4.4148 5.8971 1.0942
Semaine 4 8.1708 10.269 2.2082
Semaine 5 15.624 19.968 4.4884
Commentaires sur MINI - Pl
Pour le triplet MINI - Pl utilisant Euler implicite, on constate que le cas n == 1 donne de meilleurs approximations que le cas n == 3. Ce dernier approche mieux la
solution exacte que le cas n == 2. On note aussi une croissance des erreurs avec n , d 'une
part , et en fonction -du temps pour chaque valeur de n , d'autre part , sauf le cas n == 1
où elle fait défaut avec la hauteur d'eau.
Chapitre 5. Étude numérique du modèle couplé 85
TAB. 5.5 - Erreur pour n == 2 "avec Euler implicite pour MINI - Pl'
Erreur UX/IO- 4 UY/IO- 5 h&H Semaine 1 2.1936 2.3186 0.33622
Semaine 2 3.1018 3.2651 0.48666
Semaine 3 4.9493 6.4723 0.71415
Semaine 4 9.6738 11.845 0.96176
Semaine 5 18.652 24.334 1.6086
TAB. 5.6 - Erreur pour n == 3 avec Euler implicite pour MINI - Pl'
Erreur UX/IO-4 UY/IO- 5 h&H Semaine 1 2.0039 2.2516 0.074953
Semaine 2 2.897 3.0283 0.092821
Semaine 3 4.4931 6.0443 0.13226
Semaine 4 8.473 10.405 0.16375
Semaine 5 16.416 21.173 0.24434
L'élément Pl est déjà défini dans la section 5.4.1. Par conséquent , nous ne faisons pas de commentaire sur ses propriétés et celles de ses fonctions de base. Par contre, la
particularité de ce triplet est qu'il possède des modes parasites de type pression induits par la discrétisation en espace (pour le système de Stokes comme pour le modèle de
SV). Ces modes parasites ne sont probablement pas excités ici du fait de la présence de
la matrice masse vitesse. Mais, il suffit d'une bathymétrie un peu raide pour exciter ces
modes [19]. De plus, si le problème est stationnaire ces modes parasites de type pression
apparaissent. C'est pourquoi la paire Pl - Pl n'est pas souvent utilisée, à moins qu'une
procédure de stabilisation soit employée [10, 24].
Nous donnons dans ce qui suit les résultats obtenus avec le triplet Pl ~ Pl - Pl
utilisant Euler implicite.
Commentaires sur Pl - Pl - Pl
Avec Pl - Pl - Plon a les même conclusions sur le comportement de l'erreur en
fonction de n , mais à des proportions différentes, que dans le cas du P2 - Pl - Pl et
Chapitre 5. Étude numérique du modèle couplé
TAB. 5.7 - Erreur pour n == 1 avec Euler implicite pour Pl - Pl - Pl.
Erreur
Semaine 1
Semaine 2
Semaine 3
Semaine 4
Semaine 5
UX/10-4
2.2392
8.6403 23.561
51.697
108.06
UY/10- 5
5.2863
14.168
30.707
48.828
136.35
h& H/10- 7 ---j
2.4682 12.001
28.971
74.675
113.64
TAB. 5.8 - Erreur pour n == 2 avec Euler implicite pour Pl - Pl - Pl.
Erreur UX/10- 4 UY/10- 5 h&H -----i
Semaine 1 2.4162 5.8864 0.13641
Semaine 2 9.8663 15.802 0.56175
Semaine 3 28.517 33.648 1.4845
Semaine 4 60.474 62.339 3.5139
Semaine 5 133.78 169.89 7.709
86
du MINI - Pl. Nous avons aussi noté une croissance des erreurs pour chaque valeur de n au cours des semaines 1, ... ,5.
5.5 Modèle numérique avec Crank Nicholson
Le schéma temporel de Crank Nicholson est un B-schéma particulier où l'on a pris
() == ~. C'est donc un schéma implicite. Nous avons étudié le modèle avec ce schéma
TAB. 5.9 - Erreur pour n == 3 avec Euler implicite pour Pl - Pl - Pl.
Erreur UX/10-4 UY/10- 5 h&H ----1
Semaine 1 2.2555 5.509 0.033873
Semaine 2 8.9549 14.532 0.13512
Semaine 3 24.711 31.732 0.41677
Semaine 4 52.351 50.781 0.83373
Semaine 5 114.96 141.76 1.3851
Chapitre 5. Étude numérique du modèle couplé 87
t emporel de Crank Nicholson pour chacun des t rois t riplets d 'éléments finis
la sect ion 5.4. Les résult ats sont présentés dans ce qui suit.
étudiés dans
Nous ét udions le t riplet P2 - Pl - Pl avec comme schéma temporelle Cr
son. Les tables suivantes donnent les erreurs sur ce t riplet ut ilisant ce schém
ank Nichol-
a temporel.
T A B. 5.10 - Erreur pour n == 1 avec Crank Nicholson pour P2 - Pl - Pl·
E rreur UX/10- 10 UY/10- 10 h & H/10- 11
Semaine 1 3.3386 1.4669 2.8649
Semaine 2 10.324 , 2.1701 5.6048
Semaine 3 12.062 2.9735 8.5834
Semaine 4 15.485 3.459 17.508
Semaine 5 39.696 4.1421 22.521
TAB. 5.11 - Erreur pour n == 2 avec Crank Nicholson pour P2 - Pl - Pl ·
Erreur UX/10- 10 UY/10- 10 h&H/10- 7
Semaine 1 3.6297 1.5509 4.0025
Semaine 2 10.873 3.2459 5.7101
Semaine 3 12.13 3.0293 5.8098
Semaine 4 15.618 3.0444 6.3666
Semaine 5 40.335 4.2575 8.603
Commentaires sur P2 - Pl - Pl
omposantes L'observat ion des trois tables 5.10 - 5.12 montre que les erreurs sur les c
x et y de la vitesse évaluées à chaque semaine sont à peu près identiques p
et 3. Comme dans le cas .du schéma d 'Euler implicite, les différences se n
hauteur d 'eau. En effet , en comparant la hauteur d'eau des tables 5.10 - 5
que l'erreur commise pour il == 1 est au moins 103 fois plus petite que ce
our n == 1, 2
otent sur la
.12 on voit
Ile commise
'pour n == 3 pour chacune des cinq semaines. De plus, l 'erreur sur la hauteur d 'eau pour
1
:
Chapitre 5. Étude numérique du modèle couplé 88
TAB. 5.12 - Erreur pour n == 3 avec Crank Nicholson pour P2 - Pl - Pl.
Erreur UX/10- 10 UY/10- 10 h&H/10-7
Semaine 1 3.6522 1.5416 1.9099
Semaine 2 10.802 3.2076 2.7936
Semaine 3 12.091 2.9595 2.8205
Semaine 4 15.983 3.3861 3.1724
Semaine 5 39.223 4.1741 3.9666
n = 3 est 2 "fois plus petite que pour n = 2 et ceci pour chacune des cinq semaines. On en déduit que le cas n = 1 approche plus exactement la solution exacte que le cas n =
3 pour le triplet P2 - P.I - Pl avec Crank Nicholson. Ce dernier cas est plus précis
que le cas n = 2 pour ce même triplet utilisant ce schéma temporel.
5.5.2 . Cas MINI - Pl
Les résultats obtenus avec le triplet MINI - Pl pour le schéma temporel de Crank
Nicholson sont représentés dans les tables suivantes.
TAB. 5.13 - Erreur pour n = 1 avec Crank Nicholson pour MINI - Pl'
Erreur UX/10- 4 UY/10- 5 h& H/10-7
Semaine 1 0.83214 1.275 0.19398
Semaine 2 2.7588 2.9622 0.38837
Semaine 3 5.1188 5.7778 0.56768
Semaine 4 8.9983 10.934 1.1043
Semaine 5 17.023 23.819 2.0756
Commentaires sur MINI - Pl
Polir le triplet MINI - Pl avec Crank Nicholson, on constate que les résultats
obtenus pour n = 1 sont meilleurs que ceux obtenus pour n = 3. Ce dernier approche
mieux la solution exacte que le cas n = 2. On note aussi une croissance des erreurs avec
n , d'une part, et en fonction du temps pour chaque valeur de n, d'autre part~ De plus,
on observe un très grand écart entre l'erreur sur la hauteur d'eau pour n = 1 et 'celle
pour n = 3. Cette erreur pour n == 1 est au moins 6 x 105 fois plùs petite que pour il = 3. Cette dernière est au moins 6 fois plus petite que celle pour n = 2. On en déduit
Chapitre 5. Étude numérique du modèle couplé 89
TAB. 5.14 - Erreur pour n == 2 avec Crank Nicholson pour MI NI - Pl'
Erreur UX/10- 4 UY/10- 5 h&H
Semaine 1 0.92749 1.3985 0.076167
Semaine 2 3.1097 3.2629 0.31867
Semaine 3 5.8274 6.2534 0.74306
Semaine 4 10.209 13.15 1.3563
Semaine 5 20.014 28.042 2.1468
TAB. 5.15 - Erreur pour n == 3 avec Crank Nicholson pour MINI - Pl'
Erreur UX/10-4 UY/10- 5 h&H
Semaine 1 0.85772 1.3081 0.01255
Semaine 2 2.8522 3.039 0.048274
Semaine 3 5.3103 5.8933 0.10519
Semaine 4 9.1392 Il.539 0.18256
Semaine 5 17.817 25.037 0.28022
que le cas n == 1 est meilleur que le cas n == 3 qui lui aussi est plus précis que le cas n
== 2 pour le triplet MINI ...:..- Pl avec Crank Nicholson.
5.5.3
Les erreurs commises sur chacune des composantes de la solution exacte sont re
présentées dans les tables suivantes pour le . triplet Pl - Pl - Pl avec comme schéma
temporel celui de Crank Nicholson.
TAB. 5.16 - Erreur pour n == 1 avec Crank Nicholson pour Pl - Pl - Pl'
Erreur UX/10- 4 UY/10- 5 h& H!10-7
Semaine 1 2.2271 4.6501 3.42
Semaine 2 8.1372 12.3 9.5912
Semaine 3 21.454 24.477 15.973
Semaine 4 46.567 44.536 28.537
Semaine 5 95.975 139.47 88.651
Chapitre 5. Étude numérique du modèle couplé 90
TAB. 5.17 - Erreur pour n == 2 avec Crank Nicholson pour Pl - Pl - Pl.
Erreur UX/10-4 UY/10- 5 h&H Semaine 1 2.3912 5.1664 0.14256
Semaine 2 9.1525 13.677 0.55432
Semaine 3 24.091 27.589 1.3312
Semaine 4 56.877 58.781 3.1136
Semaine 5 107.44 118.33 5.8379
TAB. 5.18 - Erreur pour n == 3 avec Crank Nicholson pour Pl - Pl - Pl'
Erreur UX/10-4 UY/10- 5 h&H Semaine 1 2.2718 4.8356 0.032709
Semaine 2 8.4267 12.684 0.14532
Semaine 3 22.205 25.454 0.35409
Semaine 4 91.392 47.342 0.75462
Semaine 5 94.319 129.22 1.6147
Commentaires sur Pl - Pl - Pl
Avec Pl - Pl - Plon a les mêmes conclusions sur le comportement de l 'erreur
en fonction de n que dans les cas du P2 - Pl - Pl et du MINI - Pl ' avec Crank
Nicholson. On note une croissance des erreurs pour chaque valeur de n au cours des
cinq semaines. L'erreur commise sur la hauteur d'eau pour n == 1 est 104 fois plus petite
que celle pour n == 3 pour les semaines 2, ... ,5. Pour la première semaine cette erreur
pour n == 1 est 95 x 103 fois plus petite que celle pour n == 3. Pour chacune des cinq
semaines, l 'erreur sur la hauteur d'eau avec n == 3 est au moins trois fois plus petite
que celle pour n == 2. On conclut que le cas n == 1 est meilleur que celui pour n == 3 qui
lui aussi est plus précis que le cas n == 2 pour Pl - Pl - Pl avec Crank Nicholson.
5.6 Comparaison entre Euler Implicite et Crank Ni
cholson
Dans cette partie nous effectuons une comparaison entre les résultats obtenus avec
Euler Implicite et ceux obtenus avec Crank Nicholson. Cette comparaison se fait avec
Chapitre 5. Étude numérique du modèle couplé 91
chacun des trois triplets étudiés P2 - Pl . - Pl MIN l - Pl et Pl - Pl - Pl pour chaque valeur de n == 1, 2, 3. En d 'autres termes , les observations réalisées avec
le triplet P2 - Pl - Pl dans le cas du schéma temporel d'Euler implicite seront
confrontées à celles réalisées sur -ce même triplet dans le cas de Crank Nicholson. Cette
même approche sera adoptée pour les triplets MINI - Pl et Pl - Pl - Pl·
- Pour P2 - Pl - Pl L'erreur sur la composante x (resp. sur la composante y) de la vitesse pour Euler
implicite est plus petite que celle obtenue pour Crank Nicholson à chacune des cinq
semaines pour le cas n == 1 à l 'exception de la première semaine pour la composante
y de la vitesse où .l 'erreur est plus faible pour Crank Nicholson que pour Euler
implicite. Les tables 5.1 et 5.10 montrent que les erreurs sur les composantes de
la vitesse ne diffèrent pas beaucoup pour les deux schémas temporels au cours des
quatre premières semaines. A la cinquième semaine, les erreurs sur les composantes
de la vitesse pour Euler implicite sont trois fois plus petites que celles pour Crank
Nicholson avec n == 1. Quant à l 'erreur sur la hauteur d'eau, elle est au moins 55 fois plus petite avec Crank Nicholson qu 'avec Euler implicite pour chacune des
cinq semaines.
Pour le cas n == 2, les erreurs sur les composantes de la solution sont plus petites
avec Euler implicite qu 'avec Crank Nicholson pour chacune des cinq semaines
sauf celle commise à la première semaine sur la hauteur d 'eau. En considérant le8
tables 5.2 et 5.11 on voit que l'erreur sur chacune des composantes de la solution
varie très faiblement selon qu'on utilise Euler implicite ou Crank Nicholson.
Pour n == 3 les erreurs sur les composantes de la solution sont plus petites avec
Euler implicite qu'avec Crank Nicholson pour chacune des cinq semaines. Comme
dans le cas n == 2, la variable de l'erreur sur chacune des composantes de la solution
est presque négligeable comme le montre lès tables 5.3 et 5.12.
- Pour MINI - Pl En se reférant aux tables 5.4 et 5.13 on remarque que les erreurs sur les compo
santes x et y de la vitesse pour Euler implicite sont plus faibles que celles pour
Crank Nicholson aux deux premières semaines alors qu'on assiste à l'effet contraire
aux deux dernières semaines pour n == 1. A la semaine 3 on note que l'erreur sur
la composante x (resp. sur la composante y) de la vitesse est plus petite (resp.
plus grande) avec Euler qu'avec Crank Nicholson. Tout de même, la variation de
ces erreurs est assez faible pour ces deux schémas temporels. En ce qui concerne
l'erreur sur la hauteur d'eau, elle est 5.8 fois, 1.6 fois, 1.9 fois, 2 fois et 2.1 fois plus
petite avec Crank Nicholson qu'avec Euler implicite pour les semaines 1, 2, ·" ,'5,
respectivement.
Pour n == 2, la lecture des tables 5.5 et 5.14 permet de dire que les erreurs sur
les composantes de la solution sont plus petites (resp. plus grandes) avec Crank Nicholson qu 'avec Euler implicite à la première semaine (resp. aux deux dernières
Chapitre 5. Étude numérique dL! modèle couplé 92
semaines). Aux semaines 2 et 3, l'erreur sur la composante x (resp. sur la com
posante y) de la vitesse est plus petite (resp. plus grande) avec Euler implicte
qu 'avec Crank Nicholson. L'erreur sur la hauteur d 'eau est plus grande pour Eu
ler implicite que pour Crank Nicholson à la semaine 2 alors qu 'on note l 'inverse à la semaine 3.
En exploitant les résultats fournis dans les tables 5.6 et 5.15 il vient que les
erreurs sur les composantes de la solutions sont plus petites (resp. plus grandes)
avec Crank Nicholson qu 'avec Euler implicite à la première semaine (resp. aux
deux dernières semaines) pour n = 3. A la semaine 2, l 'erreur sur la composante
x (resp. sur la composante y) de la vitesse est plus faible (resp. plus fort e) dans le
cas de Crank Nicholson que dans le cas d 'Euler implicite tandis que le contraire
se produit à la semaine 3. L'erreur sur la hauteur d 'eau obtenue pour Crank
Nicholson est plus petite que celle obtenue pour Euler implicite aux semaines 2
et 3.
- Pour Pl - Pl - Pl Les tables 5.7. et 5.16 montrent que, pour n = 1, les erreurs sur les composantes
de la solution sont plus petites pour le cas de Crank Nicholson que pour celui
d'Euler implicite pour presque chacune des cinq semaines. Les exceptions sont
notées à la semaine 1 sur la hauteur d'eau (resp. semaine 5 sur la composante y
de la vitesse) où on obtient une erreur plus petite avec Euler implicite qu 'avec
Crank Nicholson. Il n'y a pas une grande variation de ces erreurs pour ces deux
schémas temporels.
En considérant les tables 5.8 et 5.17 on remarque que, pour n = 2, les erreurs sur
les composantes de la solution sont plus petites pour le cas de Crank Nicholson
que pour celui d'Euler implicite pour presque toutes les cinq semaines sauf à la semaine 1 où on note une erreur sur la hauteur d 'eau plus petite avec Euler
implicite qu 'avec Crank Nicholson. La variation de ces erreurs pour ces deux
schémas temporels demeure très faible.
Pour le cas n = 3, l'erreur sur la composante x de la vitesse est plus petite (resp.
plus grande) pour Euler implicite que pour Crank Nicholson pour les semaines 1
et 4 (resp. pour les semaines 2, 3 et 5) alors que l'erreur sur la composante y de la
vitesse est plus faible avec Crank Nicholson qu'avec Euler implicite pour toutes
les cinq semaines. L'erreur sur la hauteur d'eau est plus petite (resp. plus grande)
pour Crank Nicholson que pour Euler implicite pour les semaines 1, 3 et 4 (resp.
pour les semaines 2 et 5). Dans ce cas aussi, la variation de l 'erreur est faible.
Chapitre 5. .Étude numérique du modèle couplé 93
5.7 Conclusion
L'étude comparative entre les deux schémas temporels Euler implicite et Crank
Nicholson à pas de temps fixe permet de donner les informations suivantes.
D 'abord, avec P2 - Pl - Pl ' on a vu que les erreurs, pour n = 2 et 3, sur les
composantes x et y de la vitesse et sur la hauteur d 'eau sont plus petites dans le
cas d'Euler implicite que dans celui de Crank Nicholson sur chacune des cinq semaines
excepté la semaine 1 où l'erreur sur la hauteur d 'eau est plus grande pour Euler implicite
que pour Crank Nicholson. Pour le cas n = l , les erreurs sur 'les composantes x et y de
la vitesse sont plus faibles pour Euler implicite que pour Crank Nicholson sur chacune
des quatre dernières semaines. D 'ailleurs , on observe que cette erreur est 3 fois plus
petite pour Euler implicite que pour Crank Nicholson à la semaine 5. Quant à l 'erreur
sur la hauteur d'eau, elle est au moins 55 fois plus petite avec Crank Nicholson qu 'avec
Euler. implicite. De plus, les erreurs sur les composantes x et y de la vitesse ne varient
pas beaucoup selon qu'on utilise Euler implicite ou Crank Nicholson. Par conséquent ,
avec P2 - Pl - Plon peut considérer que le schéma de Crank Nicholson est meilleur
que celui d 'Euler implicite pour le cas n = 1 alors que pour n = ~ , 3 on estime que
le schéma d 'Euler implicite est plus précis que celui Crank Nicholson pour le problème
étudié.
Ensuite, avec MINI - Pl' on constate que pour n = 1 les erreurs sur les composantes
de la vitesse pour Euler implicite sont inférieures (resp. supérieures) à celles pour Crank
. Nicholson pour les semaines i et 2 (resp. semaines 4 et 5). L'erreur sur la hauteur d 'eau
est plus faible pour Crank Nicholson que pour Euler implicite allant de 1.6 à 5.8 fois
plus petite aux semaines 1 et 2, respectivement. Pour n = 2 et 3 on constate que les
erreurs sur les composantes de la solution sont plus petites (resp. plus grandes) avec
Euler implicite qu'avec Crank Nicholson à la semaine 1 (resp. aux semaines 4 et 5).
On en déduit que pour le modèle étudié avec MINI - Pl' Euler implicite semble être
plus précis que Crank Nicholson pour les cas n =2 et 3 alors que le contraire semble se
produire pour le cas n = 1.
Pour le triplet Pl - Pl - Pl' les erreurs sur les composantes de la solution pour n
= 1 sont plus faibles avec Crank Nicholson qu'avec Euler implicite pour presque toutes
les cinq semaines sauf pour la semaine 1 (resp. semaine 5) où on note que l 'erreur sur
la hauteur d'eau (resp. sur la composante y de la vitesse) est plus petite avec Euler
implicite qu'avec Crank Nicholson. Pour le cas n = 2, les erre~rs sur les composantes de
la solution pour Crank Nicholson sont inférieures à celles obtenues avec Euler implicite
excepté l 'erreur obtenue sur la hauteur d'eau à la semaine 1 où Crank Nicholson a la
Chapitre 5. Étude numérique du modèle couplé 94
plus grande erreur. Pour n == 3, l 'erreur sur la composante x de la vitesse est plus petite
(resp. plus grande) avec Euler implicite qu 'avec Crank Nicholson pour les semaines
1 et 4 (resp. semaines 2 3 et 5) alors que l'erreur obtenue sur la composante y de la
vitesse avec Crank Nicholson est plus faible que celle obtenue avec Euler implicite pour
chacune des cinq semaines. Quant à l'erreur sur la hauteur d'eau, elle est inférieure
(resp. supérieure) pour Crank Nicholson que pour Euler implicite aux semaines 1, 3 et
4 (resp. 2 et 5) pour n == 3. Par conséquent, le schéma de Crank Nicholson peut être
considéré comme plus précis que celui d Euler implicite pour les cas n == 1, 2 et 3 pour
le modèle étudié avec le triplet Pl - Pl - Pl'
Enfin remarquons que la durée de cinq semaines de simulation pourrait être aug
mentée dans des tests ultérieures pour être plus réaliste. Néanmoins, la présente étude permet de dégager les caractéristiques principales des schémas employés ici.
Chapitre 6
Conclusion
Ce travail nous a permis de faire une étude sur trois volets différents de l'analyse
numérique que sont l'analyse de stabilité, l'étude théorique d'existence de solution et la simulation numérique.
La première partie, qui traite de l 'analyse de stabilité, nous a permis de mieux com
prendre le comportement des deux paires d 'éléments finis pre - Pl et RTo - Po en
résolvant les équations linéaires de SV et en utilisant un schéma d ' Adams-Bashfort h
à trois pas comme schéma de discrétisation temporelle. Nous avons noté que les deux
paires d 'éléments finis pre - Pl et RTo - Po sont conditionnellement stables. La paire
d 'éléments finis pre - Pl est stable pour un nombre de Courant c < 2 * 10- 2 * 6tl
alors que RTo - Po est stable pour un nombre de Courant c < 2 * 10-2 * 6t2 . Les valeurs
6t l et 6t2 représentent les valeurs du pas de temps pour lesquelles pre - Pl et
RTo - Po atteingnent leur limite de stabilité, respectivement. Ces valeurs sont données
par 6t l == 6.643336 s et 6t2 == 6.029036 s.
Quant à l 'étude théorique, elle a permis de démontrer un résultat d 'existence de so
lution d 'un modèle non linéaire de sédimentation couplant un système de Saint-Venant
avec une équation de transport de sédiments. Nous avons d'abord établi le système
de Saint-Venant en intégrant les équations tridimensionnelles . de Navier-Stokes sur la
hauteur de la colonne d 'eau en tenant compte de la variation en espace et en temps de
la bathymétrie.
L'équation de transport de sédiments que nous considérons est obtenue à partir de
[15]. Une équation générale y est établie. Les paramètres de cette équation dépendent
de la physique du problème étudié.
Chapitre 6. Conclusion 96
Le modèle couplé étant établi, on démontre un théorème d 'existence de solution.
On pose le problème dans des espaces de dimension finie et on utilise la méthode des
estimations a priori pour le résoudre. La démonstration de plusieurs lemmes permet
d'obtenir des estimations. Certaines des difficultés que nous avons rencontrées sont liées
tout d 'abord aux estimations des termes hnloghn et un . "Vun, qu 'on a réussi à obtenir.
La partie la plus difficile était de voir comment combiner certaines estimations afin d 'obtenir le maximum de résultats de compacité. Ainsi , des résultats de compacité tels
que ceux de Lions-Aubin et de Dunford-Pettis ont permis d 'obtenir des convergences
plus fortes. L'utilisation de la méthode de point fixe de Brouwer permet de résoudre le problème de dimension finie.
Ensuite, comme on a la présence d 'un terme loghn dans nos estimations, il fallait aussi montrer que hn est positif. Certains auteurs utilisent la méthode des caractéris
tiques pour prouver cette propriété. C 'est le cas de Pierre Orenga dans [28] avec comme
modèle de travail un système de Saint-Venant. Nous avons préféré utiliser notre propre
démarche pour démontrer la positivité de hn dans la section 4.1.4.
Enfin, pour résoudre le théorème d'existence, les résultats de convergence obtenus
dans les différents lemmes favorisent le passage à la limite dan,s les équations du modèle
couplé. Ce qui termine la partie théorique du document.
En ce qui concerne la partie numérique, un modèle plus général que celui étudié théo
riquement dans la deuxième partie de ce travail a été développé. Les schéma temporels
utilisés sont ceux d 'Euler implicite et de Crank Nicholson. La discrétisation en espace
est faite avec les trois triplets d'éléments finis que sont Pl - Pl - Pl' P2 - Pl - Pl et MINI - Pl' Pour comparer ces différents triplets d'éléments finis nous sommes partis
d 'une solution exacte pour condition initiale. Nous avons constaté que P2 - Pl - Pl
combiné avec le schéma de Crank Nicholson est meilleur que celui combiné avec Euler
implicite pour le cas n == 1 alors que pour n ==' 2, 3 on estime qu'il est meilleur avec le schéma d'Euler implicite qu'avec Crank Nicholson pour le problème étudié. Pour le
triplet MINI - Pl ' nous avons vu que le schéma d'Euler implicite semble être plus
précis que celui de Crank Nicholson pour les cas n ==2 et 3 alors que le contraire semble
se produire pour le cas n == 1. Nous avons également observé que le schéma de Crank Nicholson peut être considéré comme plus précis que celui d'Euler implicite pour les
cas n == 1, 2 et 3 pour le modèle étudié avec le triplet Pl - Pl - Pl'
Enfin, nous comptons poursuivre l'étude numérique en utilisant des schémas en temps
explicites et d'autres triplets d 'éléments finis. Le schéma temporel ciblé est celui d 'Adams
Bashforth. En particulier, nous aimerions confirmer les r~sultats obtenus dans la pre
mière partie de cette thèse, concernant la limite de st.abilité du schéma d 'Adams-
Chapitre 6. Conclusion 97
Bashfort h à trois pas pour les paires PINe - Pl ' et RTo - Po. Cette étude a été faite
dans le cadre d 'un modèle de SV linéaire. Nous aimerions la poursuivre dans le cas
du modèle couplé SV - équation de transport sédimentaire, et nous envisageons donc
d 'écrire aussi un code de calcul pour le triplet RTo - Po - Po. Enfin, il est également cru
cial de poursuivre les simulations numériques au-delà ~es cinq semaines de simulation
considérées ici , afin d 'obtenir des résultats plus réalistes.
Bibliographie
[1] A. J. Adcroft , C. N. Hill , J. C. Marshall , A new treatment of the Coriolis terms
in C-grid models at both high and low resolutions, Mon. Weather Rev. 127 (1999) pp. 1928- 1936.
[2] M. L. Batteen, Y. J. Han, On the computational noise of finite-difference schem es
used in ocean models, Tellus 33 (1981) , pp. 387- 396.
[3] J. M. Beckers, Selection of a staggered grid for inertia-gravity waves in shallow
water, Int. J. Numer. Fluids 38 (2002) , pp. 729- 746.
[4] P. E. Bernard, J. F. Remacle, V. Legat , Modal analysis on unstructured m eshes
of the dispersion properties of the Pfc - Pl pair, Ocean · Modelling (2008) doi :10.1016jj.ocemod.2008.03.005.
[5] D. Bresch, B. Desjardins, Existence of Global Weak Solutions for a 2D Viscous
Shallow Water Equations and Convergence to the Quasi-Geostrophic Model, Commun. Math. Phys. , 238 (2003), pp. 211-223.
[6] H. Brezis, Analyse fonctionnnelle , théories et applications, Dunod, Paris 1999.
[7] R. Bürger, Phenomenological foundation and mathematical theory of
sedimentation-consolidation processes, Chem. Eng. J. 80 (2000) , pp. 177-188.
[8] M. Crouzeix, P. A. Raviart, Conforming and non-conforming finite-element me
thods for 80lving the stationary Stokes equations, RAIRO Anal. N umer. 7 (1973) , pp. 33- 76.
[9] B. Cushman-Roisin, Introduction to Geophysical Fluid Dynamics, Prentice- Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1994.
[10] S. Danilov, G. Kivman, and J. Schroter, A finite-element ocean model : Principles
and evaluation, Ocean Modelling, 6 (2004) , pp. 125-150.
[Il] C. M. Cossard, R. L. Kolar , Phase behavior of a finite volume shallow water algo
rithm, Proceedings of CMWR XIII Volume 2 : Computational Methods Surface Water Systems and Hydrology, L.R. Bentley et al (eds.) (2000) , pp. 921- 928.
BIBLIOGRAPHIE 99
[12] W. G. Gray, D. R. Linch, Time-stepping schemes for jinite-element tidal model
computations, Advances in water resources 1 (1977) , pp. 83- 95.
[13] E. Hanert and al. , An efficient Eulerian finite element method for the shallow water
equations, Ocean Modelling 10 (2005) , pp. 115-136.
[14] B. L. Hua, F. Thomasset, A noise-free finite-element scheme for the two-layer
shallow-water equations, Tellus 36 A (1984) , pp. 157- 165.
[15] E. j. Kubatko , J. J. Westerink, C. Dawson,An unstructured grid morphodynamic
model with a discontinuou? Galerkin method for bed evolution, Ocean Modelling
15 (2006) , pp. 71-89.
[16] P. H. LeBlond, L.A. Mysak Waves in the ocean Elsevier Amsterdam 1978.
[17] D. Y. Le Roux, E. Hanert , V. Rostand, B. Pouliot, Impact of mass lumping on
gravit y and Rossby waves in 2D finite-element shallow-water models, Int. J. Numer.
Fluids, accepted, in press, FLD-07-0361.
[18] D. Y. Le Roux, B. Pouliot , Analysis of numerically-induced oscillations in two
dimensional finite-element shallow-water models, Part II : Free planetary waves SIAM J. Sei. Comput. 30 (2008), pp. 1971- 1991.
[19] D. Y. Le Roux, V. Rostand, B. Pouliot , Analysis of numerically-induced oscillations
in 2D finite-element shallow-water models, Part l : Inertia-gravity waves, SIAM J.
Sei. Comput. 29 (2007), pp. 331- 360.
[20] D. Y. Le Roux, A. Sène, V. Rostand, aIJ-d E. Hanert , On some spurious modes
ussues in shallow-water model using a linear algebra approach, Ocean Modelling,
10 (2005) , pp. 83-94.
[21] D. Y. Le Roux, Dispersion relation" analysis of the pfc - Pl finite-element pair in
shallow-water wodels, SIAM J. Sei. Comput. 27 (2005) 394- 414.
[22] J. L. Lions, Quelques méthodes de résolution des problèmes aux limites non li
néaires, Dunod, Paris 1969.
[23] J. L. Lions, E. Magenes, Problèmes aux limites non homogènes et applications,
Dunod, Paris, 1968.
[24] D. R. Lynch and W. G. Gray, A wave-equation model for finite-element tidal com
putations, Comput. Fluids, 7 (1979), pp. 207-22S·
[25] J. Murillo, J. Burguete, P. Brufau and P. Garcia-Navarro, Co up ling between shallow
1ljater and solute fiow equations : analysis and management of source terms in 2D Int. J. Numer. Meth. Fluids, 49 (2005) , pp. 267-299.
BIBLIOGRAPHIE 100
[26] N. N aofumi, K~ Masamichi , Application of two-dimensional weighted fin ie- .
difference method to shallow-water fiow, Proceedings of J. S. C. Engineers, 747
(2003) , pp. 125-:134.
1
[27] A.A. Németh, S.J.M.H. Hulscher , R.M.J Van Damme, Simulating offshore sand
waves, Coastal engineering, 53 (2006) , pp. 265-275.
[28] P. Orenga, Un théorème d 'existence de solutions d 'un problème de shallow water
Arch. Rational Mech. Anal. , 130 (1995) , pp. 183-204.
[29] J. Pedlosky, Geophysical Fluid Dynamics, Springer-Verlag, New York, 1987.
[30] D. A. Randall , Geostrophic adjustement and the finite-difference shallow-water
equations, Mon. Wea. Rev 122 (1994) , pp. 1371~1377.
[31] P. Ravi art , J. Thomas, A mixed finite element method for 2nd order elliptic pro
blems, In : Galligani, 1. , Magenes, E. , (Eds) , Mathematical Aspects of the Finite
Element Methods, Lecture Notes in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, (1977) ,
pp. 292- 315.
[32] L. C. V. Rijn , Principles of Sedimentation and Erosion Engineering in R ivers,
Estuaries and Coastal Seas, Aqua Publications, The Netherlands, 2005.
[33] V. Rostand V., D.Y. Le Roux, G.F. Carey, Kernel analysis of the discretized fi
nite difference and finite element shallow-water models, SIAM J. Sci. Comput . 31
(2008) , pp. 531- 556.
[34] V. Rostand, D. Y. Le Roux, Raviart- Thomas and Brezzi-Douglas-Marini finite
element approximations of the shallow-water equations, Int. J. Numer. Methods
Fluids 57 (2008) , pp. 951-976.
[35] S. Sigurdsson, Treatment of the convective term in starggered finite element
schemes for shallow water fiow, In Computational Methods in Water Resources IX, Vol. 1 : Numerical Methods in Water Resources, Russel T. F. , Ewing R. E. , Brebia C. A., Gray WG, Pinder GF (eds). Computational Mechanics Publications,
Elsevier Applied Science: (1992) , pp. 291-298.
[36] Y. N. Skiba and D. M. Filatov, Conservative arbitrary order finite difference
schemes for shallow-water fiows , Elsevier Science Publishers B. V. Amsterdam,
The Netherlands, 218 (2008), pp. 579-591.
[37] F. Thomasset, Implementation of finite element methods for Navier-Stokes equa
tions, Springer-Verlag, Berlin, 1981.
BIBLIOGRAPHIE 101
[38] B. Toumbou et al., A shallow-water sedimentation model with friction
and Coriolis : An existence theorem, J. DifferentiaI Equations v 1.87 doi :10.1016jj.jde.2007.12.010, (2008) , pp. 1-21.
[39] B. Toumbou, D. Y. Le Roux et A. Sène, An existence theorem for a 2-D coupled
sediment shallow-water model, C. R. Aead. Sei. Paris, Ser. I 344 , (2007) , pp. 443-446 .
. [40] R. Walters , Numerically induced oscillations in jinite-element approximations of
the shallow-water equations, Int. J. Numer. Methods Fluids 3 (1983) pp. 591- 604 .
. [41] R. A. Walters, G. F. Carey, Analysis of spurious oscillation modes for the shallow
water and Navier-Stokes equations, Comput. Fluids Il (1993) , pp. 51- 68.
[42] R. Walters and G. F. Carey,. Numerical noise in ocean and estuarine models, Ad
vanees in water resourees 7 (1984) , pp. 15- 20.
[43] S. Y. Wang, W. Wu, Computational simulation of river sedimentation and
morphology- A riview of the state of the art, International Journal of Sediment Researeh, 20 (2005), pp. 7-29.
[44] R. T. Williams, On the formulation of the jinite-element prediction models, Mon. Wea. Rev. 109 (1981) , pp. 463- 466.
[45] Li, Yuxiang; Ruf, Bernhard, A shap Trudinger-Moser type inequality for unbounded
domains in IRn , Indiana Univ. Math. J. 57, no. 1 (2008), pp. 451-480.