analiticka geometrijaˇ - personal.pmf.uns.ac.rs · predstavljanje tacke u polarnim koordinatamaˇ...
TRANSCRIPT
Analiticka geometrija
Predavanje 6
Polarne koordinate
Novi Sad, 2019.
Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 6 1 / 11
Polarne koordinate
P 7−→ par polarnih koordinata (r , θ), gde jer = d(O,P) udaljenost tacke P od pola Oθ je ugao od pocetnog kraka dopoluprave p(OP) suprotno od smerakazaljke na satu (pozitivan smer )primetimo, r ≥ 0 i θ ∈ R
Napomena: Ponekad se dozvoljava i da jer < 0; na primer (r , θ) = (−2,
π
3)
Ako nije drugacije naglašeno, mi cemo uvekpretpostavljati da je r ≥ 0
Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 6 2 / 11
Osobine polarnih koordinataPol O nema dobro definisane polarne koordinate; O(0, θ), θ ∈ RSvaka tacka u ravni P ima beskonacno mnogo prezentacija
P(r , θ) = P(r , θ + 2kπ), k ∈ Zpredstavljanje tacke u polarnim koordinatamanije jedinstveno
pravougli koordinatni sistem←→ polarni koordinatni sistem
x = r cos θy = r sin θ
r =√
x2 + y2
θ = arctgyx
Primer 6.1 Odrediti jednacinu kružnice x2 + (y − 3)2 = 9 u polarnimkoordinatama
Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 6 3 / 11
Osobine polarnih koordinata
Primer 6.2 Odrediti sledece geometrijske figure i napisati njihove jednacine upravouglim koordinatama
r cos θ = −4, r2 = 4r cos θ, r =4
2 cos θ − sin θ
Primer 6.3 i Napomena: ponekad je jednostavnije koristiti polarne a ponekadpravougle koordinate. Na primer, odrediti:
polarne koordinate pravougle koordinater cos θ = 2 x = 2r = 1− cos θ x4 + y4 + 2x2y2 + 2x3 + 2xy2 − y2 = 0
Primer 6.4 Nacrtati sledece geometrijske objekte:
r = 1; θ = θ0; 1 ≤ r ≤ 2 ∧ 0 ≤ θ ≤ π/2;
r ∈ [0,2] ∧ θ = π/4; 2π/3 ≤ θ ≤ 5π/6
Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 6 4 / 11
Osobine polarnih koordinataPolarne i pravougle koordinate i simetrije u ravni
simetrija u odnosu na x−osujednacinu krive moraju zadovoljiti:pravougle koordinate: (x , y) i (x ,−y)polarne koordinate: (r , θ) i (r ,−θ)
simetrija u odnosu na y−osujednacinu krive moraju zadovoljiti:pravougle koordinate: (x , y) i (−x , y)polarne koordinate: (r , θ) i (r , π − θ)
simetrija u odnosu na (0,0)jednacinu krive moraju zadovoljiti:pravougle koordinate: (x , y) i (−x ,−y)polarne koordinate: (r , θ) i (r , π + θ)
Napomena: Postojanje dve simetrije implicira postojanje trece
Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 6 5 / 11
Osobine polarnih koordinataPrimer 6.5 (Kardioid) Nacrtati krivu r = 1− cos θ, θ ∈ [0,2π)
Primer 6.6 Nacrtati krivu r2 = 4 cos θ, θ ∈ [0,2π), koristiti da je r ∈ R
Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 6 6 / 11
Osobine polarnih koordinata
Zbog nejedinstvenosti prezentacije u polanim koordinatama, ponekadnije jednostavno odrediti tacke preseka geometrijskih objekata datihjednacinama u polarnim koordinatama
Primer 6.7 Odrediti tacke preseka krivih r = 1− cos θ i r2 = 4 cos θ, gde jeθ ∈ [0,2π), r ∈ R
Iz datog sistema jednacina sledi:
r = 1− r2
4⇔ r2 + 4r − 4 = 0⇔ r = −2± 2
√2
S obzirom na kardioid, za tacku u preseku važir ≥ 0⇒ θ = arccos(3− 2
√2) = ±80◦
Dakle, dobijamo tacke P1,2(−2 + 2√
2,±80◦)
Šta je sa tackama P3 i P4?
U primeru 6.5. P3(0,0), dok u 6.6. P3(0,π
2)!
U primeru 6.5. P4(2, π), dok u 6.6. P4(−2,0)!
Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 6 7 / 11
Jednacina prave u polarnim koordinatama
r0
r= cos(θ0 − θ)
r cos(θ0 − θ) = r0, θ ∈[θ0 −
π
2, θ0 +
π
2
]
Primer 6.8 Odrediti pravougle koordinate prave r cos(θ − π/3) = 2
Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 6 8 / 11
Jednacina kružnice u polarnim koordinatama
Posmatramo kružnicu sa centrom u C(r0, θ0) poluprecnika a
Iz Kosinusne teoreme dobijamo
a2 = r20 + r2 − 2r0r cos(θ − θ0)
na kraju, iz jednacine odredujemo opseg(interval) kojem pripada ugao θ
Primer 6.8 Odrediti jednacinu kružnice u polarnim koordinatama sa centrom uC(2, π) poluprecnika a = 2; i nacrtati je
Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 6 9 / 11
Jednacine konusnih preseka u polarnim koordinatama
Neka je fokus F postavljen u koordinatni pocetak a odgovarajuca direktrisaoblika x = k , k > 0. Tada znamo da za proizvoljnu tacku P sa konusnogpreseka važi d(P,F ) = e · d(P,D), gde je D projekcija tacke P na direktrisu
Dakle, za tacku P(r , θ) važi
d(P,F ) = r id(P,D) = k + d(F ,B) = k − r cos θ,
te je jednacina konusnog preseka
r = e · (k − r cos θ)⇒ r(1 + e cos θ) = ek
r =ek
1 + e cos θ, k > 0
Napomena: Za e ∈ (0,1) dobijamo elipsu, za e = 1 parabolu, a za e > 1hiperbolu
Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 6 10 / 11
Jednacine konusnih preseka u polarnim koordinatama
Primer 6.9 Odrediti jednacine konusnih preseka kojima je fokus ukoordinatnom pocetku, a direktrisa je oblika x = k , k < 0
r =ek
e cos θ − 1, k < 0
Primer 6.10 Odrediti jednacine konusnih preseka kojima je fokus ukoordinatnom pocetku, a direktrisa je oblika y = k , k > 0
r =ek
1 + e sin θ, k > 0
Primer 6.11 Pokazati da je sa r =a(1− e2)
1 + e cos θdata jednacina elipse sa
fokusom u koordinatnom pocetku i direktrisom oblika x = k , k > 0; zatimprimetiti da kada e→ 0 dobijamo jednacinu kružnice
Milica Žigic (DMI, PMF, UNS 2019) Analiticka geometrija predavanje 6 11 / 11