analisis y seleccion de elementos mecanicos pdf

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA

MECÁNICA Y ELÉCTRICA

SECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO E

INVESTIGACIÓN

“DETERMINACIÓN DE LOS ESFUERZOS EN DIENTES DE UNA

RUEDA TIPO CATARINA POR LOS MÉTODOS FOTOELÁSTICO Y DEL

ELEMENTO FINITO”

TESIS DE MAESTRÍA QUE COMO REQUISITO PARA OBTENER EL GRADO DE

MAESTRO EN CIENCIAS CON ESPECIALIDAD EN INGENIERÍA MECÁNICA

PRESENTA:

ING. JORGE RODRÍGUEZ VALDEZ

DIRIGIDO POR:

M. EN C. GABRIEL VILLA Y RABASA

México D.F. 2006

TESIS DE GRADO I ÍNDICE GENERAL

ÍNDICE GENERAL PÁG.

ÍNDICE GENERAL I

ÍNDICE DE TABLAS V

ÍNDICE DE FIGURAS Y FOTOGRAFÍAS VI

RESUMEN IX

ABSTRACT X

OBJETIVO XI

JUSTIFICACIÓN XII

ANTECEDENTES XIII

INTRODUCCIÓN XV

CAPÍTULO I

ESTUDIO DE LAS TRANSMISIONES TIPO CADENA CATARINA

1.1 TRANSMISIONES DE CADENA 2

1.1.1 Cadenas para elevación 3

1.1.2 Cadenas para transporte 3

1.1.3Cadenas de transmisión de potencia 4

1.2 RUEDAS CATARINAS 6

1.2.1 Tipos de ruedas catarinas 6

1.2.2 Características dimensionales de las ruedas catarinas 7

1.2.3 Selección de la cantidad de dientes de la catarina 11

1.3 COMPARACIÓN DE LAS RUEDAS PARA CADENAS DE RODILLOS Y LOS

ENGRANES DE DIENTES RECTOS 11

1.4 PRINCIPALES FALLOS EN LAS RUEDAS PARA CADENAS DE RODILLOS 13

1.5 EXPOSICIÓN DE LA PROBLEMÁTICA A RESOLVER 16

1.6 REFERENCIAS 18

TESIS DE GRADO II ÍNDICE GENERAL

CAPÍTULO II

CONCEPTOS DEL METODO FOTOELASTICO

2.1 GENERALIDADES 20

2.2 LUZ Y POLARIZACION 21

2.2.1 Naturaleza de la luz 21

2.2.2 Polarización de la luz 22

2.2.3 Obtención de luz polarizada plana 23

2.2.4 Obtención de luz polarizada circular 25

2.3 Aparatos Fotoelásticos 26

2.4 TEORÍA DE LA FOTOELASTICIDAD 28

2.4.1 Refracción 28

2.4.2 Birrefringencia fenómeno de aparición 29

2.4.3 Retraso relativo 30

2.4.4 Relaciones básicas de la birrefringencia en materiales. 31

2.4.5 Deducción de la fórmula fundamental de la fotoelasticidad 32

2.4.6 Familias de franjas en el método fotoelástico 33

2.4.7 Determinación del orden de franja 36

2.4.8 Método de compensación de tardy 38

2.4.9 Propiedades del material utilizado para la fotoelasticidad bidimensional 38

2.4.10 Materiales más utilizados en la fotoelasticidad bidimensional 39

2.4.10.1 Homalite 100 39

2.4.10.2 Policarbonato 39

2.4.10.3 Resinas epóxicas. 40

2.4.10.4 Goma de uretano. 40

2.4.11 Método de compensación 41

2.4.12 Paso del modelo al prototipo 41

2.5 INTERPRETACIÓN DE LOS RESULTADOS 42

2.5.1 Calibración del material 42

2.5.2 Esfuerzos en los bordes 43

2.6 MÉTODOS DE SEPARACIÓN DE ESFUERZOS PRINCIPALES 44

TESIS DE GRADO III ÍNDICE GENERAL

2.6.1 Método de la diferencia de esfuerzos cortantes 44

2.7 Referencias 46

CAPÍTULO III

GENERALIDADES DEL METODO DEL ELEMENTO FINITO

3.1 GENERALIDADES 48

3.2 ASPECTOS HISTÓRICOS 48

3.3 DISCRETIZACIÓN DEL DOMINIO 49

3.3.1 Formas básicas de los elementos 50

3.3.2 Proceso de discretización 54

3.3.2.1 Tipo de elemento 54

3.3.2.2 Tamaño del elemento 55

3.3.2.3 Ubicación de los nodos 57

3.3.2.4 Número de elementos 58

3.3.2.5 Simplificaciones por la configuración física del cuerpo

y de la carga 58

3.4 ETAPAS BÁSICAS EN EL MÉTODO DEL ELEMENTO FINITO 59

3.5 PROGRAMA ANSYS 60

3.6 Referencias 61

CAPÍTULO IV

DETERMINACION DE LOS ESFUERZOS DEL DIENTE APLICANDO LOS METODOS

FOTOELASTICO Y DEL ELEMENTO FINITO

4.1 DETERMINACIÓN DE LOS ESFUERZOS EN EL DIENTE MEDIANTE EL MÉTODO

FOTOELÁSTICO 63

4.1.1 Equipo utilizado para la prueba 63

4.1.2 Características de la rueda catarina del diente a analizar 65

4.1.3 Construcción y tipo de material de la probeta 65

4.1.4 Calibración de la probeta 66

TESIS DE GRADO IV ÍNDICE GENERAL

4.1.5 Determinación de los esfuerzos en el diente 69

4.2 DETERMINACIÓN DE LOS ESFUERZOS EN EL DIENTE MEDIANTE

EL MÉTODO DEL ELEMENTO FINITO 73

4.3 ANÁLISIS COMPARATIVO DE LOS RESULTADOS

DEL MÉTODO EXPERIMENTAL y NUMÉRICO 75

CONCLUSIONES 77

RECOMENDACIONES DE TRABAJO FUTURO 78

ANEXO A 79

TESIS DE GRADO V ÍNDICE DE TABLAS

ÍNDICE DE TABLAS

PÁG.

CAPÍTULO I

N/A

CAPÍTULO II

Tabla 2.1 Longitudes de onda de luz visible 22

Tabla 2.2 Secuencia de colores producidos con luz blanca en campo oscuro 37

CAPÍTULO III

N/A

CAPÍTULO IV

Tabla 4.1 Especificaciones de la rueda catarina 65

Tabla 4.2 Resultados de la prueba de calibración 67

Tabla 4.3 Valores de franja para algunos materiales fotoelástico 68

Tabla 4.4 Resultados del análisis experimental 76

Tabla 4.5 Resultados del análisis numérico 76

TESIS DE GRADO VI ÍNDICE DE FIGURAS

ÍNDICE DE FIGURAS Y FOTOGRAFÍAS PÁG.

CAPÍTULO I

Figura 1.1 Cadena común para elevación 3

Figura 1.2 Cadena de travesaños 3

Figura 1.3 Cadena desmontable o de unión por ganchos 4

Figura 1.4 Cadena articulada de extremos cerrados 4

Figura 1.5 Cadena articulada de clavijas 5

Figura 1.6 Cadena de rodillos 5

Figura 1.7 Cadena silenciosa 6

Figura 1.8 Tipos de ruedas catarinas 6

Figura 1.9 Ejemplos de ruedas de hileras múltiples [1.9] 7

Figura 1.10 Vista frontal de los dientes de la rueda 8

Figura 1.11 Vista lateral de los dientes de la rueda 10

Figura 1.12 Vista longitudinal y transversal de la rueda completa 10

Figura 1.13 vista de los dientes de un engrane recto 12

Figura 1.14 Rueda desgastada por condiciones normales de trabajo 13

Figura 1.15 Efectos de una cadena demasiado tensa sobre la rueda 14

Figura 1.16 Efectos de una cadena demasiado floja en la rueda 14

Figura 1.17 Efectos de los desalineamientos de rueda y cadena 15

Figura 1.18 Colocación correcta e incorrecta de una transmisión horizontal 15

Figura 1.19 Colocación correcta e incorrecta de una transmisión de ejes

extremadamente distanciados 15

CAPÍTULO II

Figura 2.1 Ejemplos de luz no Polarizada 20

Figura 2.2 Ejemplos de luz polarizada 21

Figura 2,3 Polarización plana por reflexión 21

Figura 2.4 Polariscopio Plano 27

Figura 2.5 Polariscopio circular 28

TESIS DE GRADO VII ÍNDICE DE FIGURAS

Figura 2.6 Efectos de la luz sobre una placa con características de doble refracción 29

Figura 2.7 Isocromáticas en campo claro y en campo oscuro en un anillo circular

sometido a compresión 34

Figura 2.8 Franjas isóclinas en un modelo de arco cargado en el centro 35

Figura 2.9 Método de compensación 41

CAPÍTULO III

Figura 3.1 Elemento unidimensional 50

Figura 3.2 Elementos bidimensionales 51

Figura 3.3 Elemento cuadrilateral construido por 2 ó 4 triángulos 51

Figura 3.4 Elementos tridimensionales 52

Figura 3.5 Elementos Axisimétricos 52

Figura 3.6 Elementos parabólicos 53

Figura 3.7 Tipo de elemento para una estructura 54

Figura 3.8 Elementos sólidos para una viga cuadrada 55

Figura 3.9 Tamaño del elemento para una viga cuadrada hueca 56

Figura 3.10 Tamaños de elementos para una placa con agujero central 56

Figura 3.11 Ubicación de los nodos en discontinuidades 57

Figura 3.12 Placa con agujero en el centro con simetría geométrica y en cargas 58

Figura 3.13 placa simplificada a una cuarta parte de su geometría 59

CAPÍTULO IV

Fotografía 4.1 polariscopio circular 63

Fotografía 4.2 Componentes del polariscopio modelo SSM-AJ 64

Figura 4.1 Modelado del diente 65

Fotografía 4.3 Diente finalizado 66

Figura 4.2 Datos de la placa fotoelástica 68

Fotografía 4.4 Campo de isocromáticas en el diente 69

Fotografía 4.5 Parte del diente sometida a tensión 70

Fotografía 4.6 Parte del diente sometida a compresión 71

Fotografía 4.7 Isóclinas a 10 grados 72

TESIS DE GRADO VIII ÍNDICE DE FIGURAS

Fotografía 4.8 Isóclinas a 20 grados 72

Figura 4.3 Mallado realizado en el diente 74

Figura 4.4 Resultados de los esfuerzos en el diente 74

Figura 4.5 Resultados de las deformaciones en el diente 75

TESIS DE GRADO IX RESUMEN

RESUMEN

En la presente investigación se desarrolla el estudio del campo de esfuerzos en los

dientes de una rueda tipo catarina, en la cual se pretende conocer las magnitudes de

estas tensiones que se presentan después de la aplicación de una carga estática,

mediante el uso de 2 metodologías: la fotoelástica y la del elemento finito.

Habiéndose obtenido las dimensiones reales se procede a realizar el modelado en

Ansys para el análisis numérico, después se escalan los parámetros a unas medidas

razonables con el fin de realizar una probeta fotoelástica para el análisis experimental.

Al final de las pruebas se analizan las conclusiones que los ensayos arrojaron mediante

el estudio comparativo de ambos métodos con la finalidad de encontrar la diferencia en

los resultados obtenidos en este trabajo.

TESIS DE GRADO X ABSTRACT

ABSTRACT

In this project, the objective is to determinate the stress field in the sprocket’s teeth, a

static load is applied on the tooth in order to find the stresses magnitudes. This work is

analyzed by photo-elastic and finite element methods.

The numerical and experimental methods are described to evaluate the stress field in

two cases. Also, the characteristics of the equipment are mentioned. Photoelastic

pictures of the test are showed, in which the stress distribution is observed.

Finally with the results of two methods error will be calculated to validate the stresses

values and find the regions where the concentration stresses are located.

TESIS DE GRADO XI OBJETIVO

OBJETIVO GENERAL

Determinar la distribución de esfuerzos en los dientes de una rueda tipo catarina

mediante la aplicación de una carga puntual por los métodos fotoelástico y del elemento

finito

Objetivos específicos:

• Mediante la fabricación de una probeta semejante al diente en estudio, aplicar

una carga estática con el fin de conocer el campo de esfuerzos que se genera

mediante el desarrollo de la prueba fotoelástica.

• Por medio del modelado del diente en el programa Ansys 9.0, que es un software

de propósito general para el estudio de elemento finito, calcular los esfuerzos

que se generan por la aplicación de dicha carga

• Desarrollar un análisis comparativo de los 2 métodos para verificar la diferencia

en los resultados que pueda obtenerse.

TESIS DE GRADO XII JUSTIFICACIÓN

JUSTIFICACION

El desarrollo de esta investigación parte del hecho que los resultados que se obtengan

puedan servir para el diseño de este tipo de ruedas dentadas.

Cabe mencionar que lo que motivo a este proyecto, fue una rueda catarina que sirve

como elemento de transmisión de potencia para una autoclave que ayuda a la cocción

del mezcal en una planta ubicada en el estado de Oaxaca, la cual actualmente se

encuentra con sus dientes desgastados debido al tensado inadecuado que presenta.

Por último se busca dar continuidad a los trabajos realizados en la SEPI-ESIME-

ZACATENCO con respecto al estudio de las ruedas dentadas para su óptimo

funcionamiento.

.

TESIS DE GRADO XIII ANTECEDENTES

ANTECEDENTES

Las ruedas dentadas son elementos que ayudan a la transmisión de potencia entre

ejes. Debido al contacto continuo que experimentan sus dientes, estos sufren desgaste

a determinado tiempo, por lo cual se han realizado trabajos con el fin de que estos

tengan un mejor desempeño. Trabajos realizados en ruedas dentadas son los que se

exponen a continuación:

Urriolagoitia [1], en 1970, realizó un análisis en los dientes de un engrane tipo novikov,

en donde mediante el uso del método experimental de la fotoelasticidad y del método

del elemento finito, determinó los esfuerzos que se presentaban en los dientes,

obteniendo unos valores muy semejantes.

Villa [2], en su tesis de maestría del año 1992 realizada en la SEPI-ESIME-

ZACATENCO trabajó con engranes rectos, con sus cálculos demostró la equivalencia

de los métodos tradicionales AFNOR y AGMA para el diseño de engranes, además

propuso un procedimiento para el diseño de engranes mediante el uso del MEF. Otro

de los puntos que se consideraron en esta investigación fue el de la probable dirección

de propagación de la fractura en el engrane, donde se llegó al resultado de que la

dirección de la propagación esta definida por la curva isocromática.

En 1992, Matías [3] en la unidad de posgrado de la UNAM, determinó los esfuerzos en

las raíces de los dientes de porciones de engrane y de engrane completo, mediante el

método fotoelástico y por el método AGMA. Sus resultados del análisis estático fueron

muy aproximados.

TESIS DE GRADO XIV ANTECEDENTES

Hernández [4], en 1997 en la unidad de posgrado de la UNAM, desarrolló pruebas

utilizando dientes de engrane para la determinación del orden de franja, los resultados

con respecto al proporcionado por el fabricante fueron muy cercanos. Estas pruebas

fueron tanto ópticas, mediante el uso de la fotoelasticidad, como de instrumentación.

En 2004, Sandoval [5] en la SEPI-ESIME-ZACATENCO realizó estudios fotoelásticos y

del elemento finito en engranes rectos pertenecientes a una bomba hidráulica. En sus

pruebas realizadas para determinar los esfuerzos, aplicando una carga constante y una

repartida, obtuvo resultados muy similares con un error menor al 10%.

.

TESIS DE GRADO XV INTRODUCCIÓN

INTRODUCCIÓN

La presente investigación consta básicamente de 4 capítulos, las características de

estos apartados se mencionan a continuación:

En el capitulo1 se estudiarán a las cadenas y las ruedas catarinas, básicamente se

verán sus tipos, características y su construcción, además se presentarán y analizarán

los principales fallos en las ruedas dentadas para cadena aunado al hecho de que se

expondrá la problemática a resolver en esta investigación.

En el capítulo 2 se desarrollaran los temas relacionados con el método fotoelástico, se

iniciará viendo la forma en que se obtiene la luz polarizada, sus tipos y características

para después estudiar los principales aparatos con que se realizan los ensayos. Una

vez concluido lo anterior se parte al análisis de los temas relacionados con la

fotoelasticidad tales como, las familias de franjas, la deducción de la formula que

gobierna a este procedimiento, el paso del modelo al prototipo, etc. La interpretación de

los resultados y la separación de la diferencia de esfuerzos, son temas con los que se

concluye este apartado.

El estudio del análisis del elemento finito, es un tema que se abarca en el capítulo 3

donde se verá un poco de la historia de este método, para después conocer como se

discretiza un dominio mediante el uso de estas pequeñas subregiones, conocer sus

etapas básicas y además comentar brevemente el paquete Ansys que es un software

orientado al uso de este método.

Finalmente en el último capítulo se determinará los esfuerzos mediante la

fotoelasticidad y el elemento finito, además de analizar el posible porcentaje que de

estos se generen.


TESIS DE GRADO 1 CAPÍTULO I

CAPÍTULO I




1.1 TRANSMISIONES DE CADENA [1.2, 1.3, 1.4]

Las cadenas junto con las bandas y engranes son las formas más comunes de

transmitir potencia de un eje a otro. Este tipo de transmisiones (cadena-catarina) se

utilizan por lo regular cuando el torque y/o la temperatura alcanzan magnitudes altas.

Cuando la distancia entre ejes es grande la aplicación de este tipo de transmisión es

también recomendable.

Otra característica básica de estas transmisiones es que su relación de velocidad es

constante debido a que no presenta deslizamientos, además tienen un ciclo de vida,

aunque menor que el de los engranes, de nivel aceptable y poseen la capacidad de

transmitir potencia a varios ejes desde una misma fuente motriz

Las cadenas pueden clasificarse como sigue:

1. Cadena para elevación

a) Cadena común

b) Cadena de travesaños

2. Cadena para transporte

a) Desmontable o de unión por ganchos

b) Articulada, de extremos cerrados

3. Cadenas de transmisión

a) Articulada, de clavijas

b) De rodillos

c) De eslabones dentados



1.1.1 Cadenas para elevación

La forma común para la cadena de elevación es la que consiste de eslabones ovalados,

tal como se muestra en la figura 1.1. El otro tipo de cadena de este tipo es la de

travesaños (Ver figura 1.2) que tiene la particularidad que no se aplasta ni se enreda

tan fácilmente como la cadena común.

Figura 1.1 Cadena común para elevación

Figura 1.2 Cadena de travesaños

1.1.2 Cadenas para transporte

Como ya se comento, puede ser del tipo desmontable o de unión por ganchos, ejemplo

de esta se muestra en la figura 1.3, o del tipo articulado de extremos cerrados, como la

que es mostrada en la figura 1.4.

El diseño de los dientes de la catarina para este tipo de cadenas se da en gran parte de

forma empírica, teniendo cuidado de que el diente posea una forma y un espaciado tal



que, la cadena entre y salga de la catarina con cierta suavidad y sin interferencia, aún

después de que por alguna circunstancia sea estirada o que esta presente desgaste.

Las cadenas de esta clase generalmente se utilizan a menudo para transmitir potencia

a velocidades bajas, como en el caso de la maquinaria agrícola. Por último, cabe

mencionar que estas cadenas están hechas de eslabones fundidos de hierro maleable,

y carecen de las cualidades de marcha suave de las cadenas hechas más

cuidadosamente.

Figura 1.3 Cadena desmontable o de unión por ganchos

Figura 1.4 Cadena articulada de extremos cerrados

1.1.3 Cadenas de transmisión de potencia

Las articuladas de clavijas, de rodillos y silenciosa son los tres tipos conocidos de esta

clase de cadenas. Estos tipos de cadenas generalmente están elaboradas de acero,



maquinadas con precisión, las partes que se desgastan están endurecidas, y corren

sobre catarinas que están diseñadas cuidadosamente.

La figura 1.5 muestra una cadena articulada de clavijas. Las cadenas de este tipo se

emplean para la transmisión de fuerza a velocidades relativamente bajas, así como

también en un momento dado, se pueden emplear como cadenas de transporte.

Figura 1.5 Cadena articulada de clavijas

Debido a que la cadena de rodillos es la más utilizada dentro de la industria y de que

los dientes a analizar en esta investigación pertenecen a ruedas que trabajan con este

tipo de cadena, se analizarán algunas características de las mismas. Está constituida

por eslabones los cuales son de dos tipos: eslabones de pernos y eslabones de rodillos.

La distancia lineal que existe entre los rodillos se le conoce como “paso” y el “ancho” es

una medida del espacio interior entre placas de eslabón (Figura 1.6).

Figura 1.6 Cadena de rodillos

Las cadenas pueden ser fabricadas con simple, doble, triples o cuádruple cantidad de

hileras. Las dimensiones de los parámetros anteriores se pueden localizar en los

manuales del fabricante, como por el ejemplo el elaborado por la compañía Martin

sprocket and gear. [1.9]



Cuando se requiere transmitir cargas más pesadas de lo que es posible con cadenas

de rodillos del mismo paso, o bien cuando se desee el menor grado de ruido, la cadena

silenciosa es la solución normalmente utilizada (Ver figura 1.7). Este tipo de cadena no

tiene rodillos, pero los eslabones están fabricados para que estos puedan engranar

directamente con los de la rueda dentada.

Figura 1.7 Cadena silenciosa

1.2 RUEDAS CATARINAS [1.3, 1.5]

1.2.1 Tipos de ruedas catarinas

Las cadenas, en la transmisión de potencia, conducen y son conducidas por ruedas

dentadas denominadas “ruedas catarinas”. Las ruedas dentadas de esta clase se

presentan principalmente en cuatro tipos de estándares: El tipo A no tiene cubo, el tipo

B tiene cubo de un lado, el tipo C presenta cubo de ambos lados y el tipo D posee un

cubo desmontable, en la figura 1.8 se muestran ejemplos de estas divisiones de ruedas.

TIPO A TIPO B



TIPO C TIPO D

Fig. 1.8 Tipos de ruedas catarinas

Además de la clasificación anterior estas ruedas, estas pueden poseer hileras múltiples

como se muestra en la figura 1.9, esto último dependerá del número de ramales o

hileras que contenga la cadena.

Rueda con hileras dobles Rueda con hileras triples

Fig.1.9 Ejemplos de ruedas de hileras múltiples [1.9]

1.2.2 CARACTERÍSTICAS DIMENSIONALES DE LAS RUEDAS CATARINAS [1.6]

Aspectos fundamentales en la constitución física de estas ruedas son sus

especificaciones dimensionales las cuales se muestran a continuación en la figura 1.10



Fig. 1.10 Vista frontal de los dientes de la rueda

La explicación de los parámetros mostrados en la figura anterior (1.10) se detallan a

continuación:

• Ángulo de presión α el cual esta dado por:

6035z

α °= °+ (1.4)

• Ángulo del semipaso γ el cual se calcula mediante:

180z

γ °= (1.5)

• Ángulo β es hallado por:

5618z

β °= °− (1.6)

• Número de dientes de la rueda (z)



• Diámetro del rodillo (dr)

Otros parámetros que se aprecian en la figura y que son característicos de cada rueda

son los siguientes:

Paso de la cadena (p)

Es la distancia lineal entre rodillos adyacentes

Diámetro de paso (d)

Es el diámetro del círculo que pasa por los centros de los rodillos y se encuentra

mediante:

( )180

pdsen z

=°

(1.1)

Diámetro de la raíz (dp)

Es el diámetro del círculo que contiene a la parte inferior del espacio del diente y esta

dado por:

´p rd d d= − (1.2)

Diámetro de exterior (ds)

Es el diámetro del círculo que encierra la parte exterior de los dientes de la rueda y se

halla por la expresión:

1800.6sd p ctgz°⎛ ⎞= +⎜ ⎟

⎝ ⎠ (1.3)



Radio de curvatura de la altura de la cabeza (r)

Este radio de curvatura esta comprendido desde el círculo de paso hasta el diámetro

exterior de la rueda

Radio de curvatura del pie (r1)

Radio de curvatura que parte del diámetro de la raíz hasta el diámetro de paso

Una vez analizado los dientes de la rueda en la figura 1.10, se visualizará de una

manera lateral en la figura 1.11, en la cual se aprecia que en la sección A es para una

fila de dientes, la B es para dos filas de dientes y C es para tres hileras de dientes.

Fig. 1.11 Vista lateral de los dientes de la rueda

Por último en la siguiente figura (1.12), se observará a la rueda completa, tanto

longitudinal como transversalmente, con sus parámetros establecidos dentro de la

misma:

Fig. 1.12 Vista longitudinal y transversal de la rueda completa



Donde:

e= espesor del diente

hf= altura del pie del diente

hs= altura de la cabeza del diente

R= radio de curvatura del diente

1.2.3 SELECCIÓN DE LA CANTIDAD DE DIENTES DE LA CATARINA [1.7]

Con el fin de que la rueda dentada tenga una larga vida y una operación suave se

recomienda que el número de dientes sea mayor a 17 pero menor a 67. En los casos

en que por limitación de espacio o se esté trabajando a velocidades bajas se puede

utilizar ruedas con una cantidad menor a 17 dientes. Otra recomendación es que con la

selección de las ruedas, no debe de exceder de 7 la relación de velocidad.

1.3 COMPARACIÓN DE LAS RUEDAS PARA CADENAS DE RODILLOS Y LOS ENGRANES DE DIENTES RECTOS [1.8]

Sin duda alguna, dentro de los engranes, los engranajes de talla recta son los más

populares por su relativa sencillez y facilidad para fabricarse e instalarse dentro de una

transmisión de potencia, motivo por el cual sus dientes se toman como referencia para

realizar una comparación con los de las ruedas catarinas. Para realizar dicho

comparativo se hará con la siguiente figura (1.13):



Fig. 1.13 vista de los dientes de un engrane recto

Entre las principales similitudes que hay entre los dientes de ambas ruedas, es que

ambos contienen los círculos de paso, exterior y el de la raíz, también hacen referencia

a una cabeza y a una raíz o pie, además de tener asociados un paso o separación

entre dientes adyacentes.

Sin duda alguna la gran diferencia entre ambos tipos de dientes es el perfil los dos

poseen, en la catarina el perfil esta maquinado sobre la necesidad de la adaptación del

rodillo en las ranuras cilíndricas que existen entre los dientes de la rueda, por otro lado

en los engranes, estos cuentan con un perfil que tiene forma de una curva conjugada

de tipo evolvente, con la cual cuando dos engranes están enlazados y giran, se

establece una relación de velocidad angular constante entre ellos y además la acción

resultante es muy suave.

De no ser como se acaba de explicar, existirían cambios en la velocidad a lo largo de la

acción conjunta de los engranajes generando aceleraciones que provocarían

vibraciones y ruido peligrosos para el sistema.



1.4 PRINCIPALES FALLOS EN LAS RUEDAS PARA CADENAS DE RODILLOS [1.1]

Las ruedas catarinas presentan distintos tipos de fallas en su geometría debido

principalmente, al contacto que tienen con la cadena. Estas fallas pueden darse de las

siguientes maneras:

a) Por condiciones normales de servicio

Al igual que los eslabones de la cadena, las ruedas también sufren un desgaste normal,

el cual está caracterizado por la aparición de una acanaladura en el fondo del diente, de

forma tal que éste adquiere la apariencia de un gancho.

La figura 1.14 muestra la zona en que se esta localizando el desgaste y el lado del

diente en que se presente esta falla dependerá del sentido de giro que posea la rueda.

Por último cabe mencionar que cuando la cadena está desgastada, ésta acanaladura

en la rueda ocurre más cerca de la parte superior del diente.

Fig. 1.14 Rueda desgastada por condiciones normales de trabajo

b) Errores en el montaje

Las fallas que se presentan por un mal montaje son las que se exponen a continuación:



1. Cuando la cadena está demasiado tensa provoca sobrecargas que pueden llevar

a rupturas por fatiga o desgastes excesivos. En el caso particular de los dientes,

los desgastes que se presentan no ocurren en toda la superficie del diente sino

que solo son en su extremo superior (ver figura 1.15) y de no corregirlos pueden

ocasionar la ruptura del diente.

Fig. 1.15 Efectos de una cadena demasiado tensa sobre la rueda

2. Cuando la cadena está demasiado floja se presenta el fenómeno del salto de la

cadena que conlleva a desgastes y a una posible ruptura (ver figura 1.16)

Fig. 1.16 Efectos de una cadena demasiado floja en la rueda

3. Desalineamientos de las ruedas y de la cadena (figura 1.17) producen defectos

de paralelismo en la transmisión que provocan desgastes anormales tanto en las

ruedas como en los eslabones de la cadena.



Fig. 1.17 Efectos de los desalineamientos de rueda y cadena

4. La colocación incorrecta del ramal tensado es otra problemática que se presenta,

ésta se ejemplifica de una mejor manera en la figura 1.18, donde en una

transmisión horizontal, la rotación de los dientes debe ser tal que el lado flojo se

localice en la parte inferior para prevenir que la cadena se pellizque con los

dientes. En la figura 1.19 donde se tiene una transmisión con ejes distanciados,

al igual que en la figura 1.18, debe preverse el giro de los dientes para que

debido a la separación, no se presenten fallos prematuros.

Fig.1.18 Colocación correcta e incorrecta de una transmisión horizontal

Fig.1.19 Colocación correcta e incorrecta de una transmisión de ejes

extremadamente distanciados

5. La sujeción incorrecta de las ruedas dentadas en el eje, pueden producir

desgaste tanto en la rueda como en la cadena.



c) Incorrectas condiciones de servicio y mantenimiento

Entre las principales condiciones de falla debidas a un mal servicio y mantenimiento

tenemos las que se describen a continuación:

1: Sobrecargas de manera continúa o transitoria en el servicio ocasionan desgastes.

2. Velocidad de trabajo más alta de la prevista que también provocan desgastes.

3. Vibraciones exteriores elevadas que originan sobrecargas en la transmisión.

4. Sometimientos a temperaturas elevadas anormales que conducen a aumentos en el

desgaste y disminuciones en la resistencia a la fatiga.

5. Fallos en los cojinetes de apoyo pueden traer un desalineamiento transitorio de la

cadena y de las ruedas.

6. Defectos en el lubricante o en la mala lubricación propician desgastes.

7. Cuerpos extraños alojados entre las cadenas y en las ruedas pueden traer como

consecuencia la ruptura de los mismos.

1.5 EXPOSICION DE LA PROBLEMÁTICA A RESOLVER

Presentadas las principales fallas en las ruedas para cadena, se prosigue a describir el

objetivo del presente trabajo, el cual consiste en determinar el campo de esfuerzos que

existe en los dientes de la rueda catarina.

Debido a que todos los dientes están sometidos a condiciones similares de carga y que

su configuración física es simétrica, se pretende realizar un estudio de forma estática en

uno de los dientes de la rueda; analizando así, la problemática que se presenta debido

al impacto de la cadena, por condiciones normales de trabajo, en contra de estos. El

procedimiento básicamente es mediante la aplicación de una carga puntual sobre el

perfil del diente donde, cabe mencionar, pertenece a una rueda para cadena de rodillos.



Este estudio se realizará mediante 2 métodos, uno experimental y otro numérico. El

experimental es mediante el empleo de la técnica fotoélastica en la cual se diseñara un

banco de pruebas que pueda ayudar a que el modelo sea sometido a las condiciones

de carga explicadas en el párrafo anterior. Con respecto al modelo, éste se fabricará de

forma semejante al que presenta un diente de catarina, con el fin de obtener resultados

similares a los reales.

Con respecto al método numérico, se pretende realizar el estudio en el programa

ANSYS, el cual es un paquete de propósito general para el análisis de elemento finito,

donde se dibujará primeramente el diente para después obtener la distribución de

esfuerzos que se genera debido a las cargas que se emplean sobre él.

Una vez terminados los dos análisis, se verificaran los resultados obtenidos y el posible

porcentaje de error que estos presenten.



1.6 Referencias [1.1] Calero Pérez Roque, “Fundamentos de mecanismos y máquinas para ingenieros”, ED. Prentice hall [1.2] Shigley Joshep Edward “Diseño en ingeniería mecánica” 5ª Edición ED. MC. Graw Hill. [1.3] Norton Robert L. “Diseño de maquinaria” 1ª Edición ED MC Graw Hill [1.4] Aguirre Esponda Guillermo “Diseño de elementos de máquina” 1ª Edición ED. Trillas [1.5] Orthwein William C. “Diseño de componentes de máquinas” 1ª. Edición ED. CECSA [1.6] Gazzaniga L., “El libro de los engranajes”, Ed. Científico medica [ [1.7] Hamrock Bernard J. “Elementos de máquina” ED MC Graw Hill [1.8] Mott Robert L. “Diseño de elementos de máquina” 2ª Edición ED. Prentice hall [1.9] Manual Martin Sprocket & Gear

CONCEPTOS DEL MÉTODO FOTOELÁSTICO

TESIS DE GRADO 19 CAPÍTULO II

CAPÍTULO II




2.1 GENERALIDADES [2.1, 2.2]

La fotoelasticidad es una técnica experimental para el análisis de esfuerzos y

deformaciones, que resulta particularmente útil para elementos que poseen una

geometría complicada, condiciones de carga complejas o ambas situaciones. En tales

casos, el análisis por los métodos analíticos resulta complicado e incluso casi imposible,

motivo por el cual, se puede realizar el estudio por un método experimental.

El nombre de fotoelasticidad refleja la naturaleza de este método experimental: foto

implica la utilización de rayos luminosos y técnicas ópticas, mientras que elasticidad

denota el estudio de los esfuerzos y deformaciones en los cuerpos elásticos.

El análisis fotoelástico además es utilizado con cierta frecuencia, cuando se necesita

información sobre los esfuerzos y las deformaciones en una zona extensa de un

cuerpo. Proporciona una visión cuantitativa de las áreas sometidas a grandes

esfuerzos, además de mostrar las regiones donde se presentan esfuerzos de magnitud

baja en las que el material está mal aprovechado (Campo completo).

En cuanto a la historia de este método, principia con los trabajos en 1816 del ingles Sir

David Brewster, quién realizó estudios en un cristal sometido a esfuerzos y observó un

patrón de colores los cuales fueron examinados en luz polarizada.

Entre 1920 y 1940, la fotoelasticidad fue la forma más utilizada para el análisis

experimental de esfuerzos y tanto fue su uso que varias investigaciones sirvieron como

base para la construcción de gráficas de concentraciones de esfuerzos.



2.2 LUZ Y POLARIZACION 2.2.1 Naturaleza de la luz [2.3]

En los tiempos de Isaac Newton se pensaba que la luz estaba solo constituida por

corrientes de partículas llamadas corpúsculos, las cuales eran emitidas por fuentes de

luz. Para 1665 se comenzaron a descubrir pruebas de que la luz contenía propiedades

ondulatorias. Posteriormente, en 1873, James Clerk Maxwell realizó estudios acerca de

la existencia de las ondas electromagnéticas y determinó la rapidez en que se

propagaban. Este cálculo aunado con los experimentos de Heinrich Hertz, probaron que

se podía suponer a la luz como una onda electromagnética.

A pesar de las demostraciones acerca de la naturaleza ondulatoria de la luz, esta no lo

es todo. Ciertas situaciones relacionadas con la emisión y absorción de la luz prueba

que la energía transportada por las ondas luminosas es depositada en paquetes

conocidos como fotones o cuantos, demostrando así que la luz también tiene un

aspecto corpuscular. En 1930 con el desarrollo de la electrodinámica cuántica, las

propiedades ondulatorias y corpusculares acerca de la naturaleza de la luz,

aparentemente contradictorias, están contempladas por esta teoría. Un planteamiento

ondulatorio puede explicar la propagación de la luz y un modelo corpuscular su emisión

y absorción.

Para el análisis del método fotoelástico es útil la teoría ondulatoria de acuerdo a la cual

las propiedades de la luz, intensidad y color, están en función de la amplitud y longitud

de onda, respectivamente. En la tabla (2.1) se muestran las longitudes de onda

aproximadamente, expresadas en nanómetros, relacionadas con los colores del

espectro visible.



Tabla 2.1 Longitudes de onda de luz visible

400 a 440 nm Violeta 440 a 480 nm Azul 480 a 560 nm Verde 560 a 590 nm Amarillo590 a 630 nm Naranja 630 a 700 nm Rojo

.

2.2.2 Polarización de la luz

a) Luz No polarizada

La luz no polarizada es aquella que no tiene preferencia por algún modelo de vibración

sea lineal, circular o elíptico, sino que es una mezcla desordenada de estos. Ejemplos

de esta condición en que se manifiesta la luz son los presentados a continuación:

Figura 2.1 Ejemplos de luz no Polarizada

b) Luz Polarizada [2.4]

La luz polarizada es aquella cuya vibración transversal tiene un modelo simple y

ordenado. En la figura 2.2 se presentan los modelos instantáneos (izquierda) y

seccional (derecha) de algunas situaciones que presenta un haz polarizado, los cuales

son:



a) linealmente en dirección horizontal

b) linealmente en dirección vertical

c) circularmente en sentido derecho

d) circularmente en sentido izquierdo

Fig. 2.2 Ejemplos de luz polarizada

2.2.3 Obtención de luz polarizada plana [2.3, 2.4]

El método usual para producir luz polarizada cuenta básicamente de tres etapas: a)

producción de luz no polarizada, b) dividirla en 2 componentes polarizadas y c) eliminar

una de sus componentes. El elemento que divide el haz y separa una de ellas se

conoce como polarizador.

Para la creación de luz polarizada plana los mecanismos más utilizados son:



a) Por reflexión: Cuando se incide luz no polarizada a cierto ángulo con respecto a

la normal sobre una superficie no metálica, se provoca que una parte del haz

sufra refracción (Ver sección 2.3.1) y la otra reflexión, la parte del rayo que fue

reflectada quedará parcial o totalmente polarizada. El único ángulo donde se

presenta la total polarización es el conocido como ángulo de Brewster o ángulo

de polarización (ecuación 2.1).

tan p i fn nθ = (2.1)

θp= ángulo de polarización

ni = índice de refracción del medio inicial del rayo

nf = índice de refracción del medio final del rayo

En la figura 2.3 se ejemplifica esta forma de polarización, donde se cuenta con una

placa de vidrio la cual posee un índice de refracción de 1.5 por lo tanto su ángulo de

incidencia es de 56.3°.

Fig. 2,3 Polarización plana por reflexión



b) Por cristales naturales: En ciertos cristales como el espato de Islandia (carbonato

de calcio) se presenta esta condición de polarización.

c) Por filtro dicroico: Conocido también como filtro polaroid es una forma económica

de obtener luz polarizada plana. Inventado por Edwin Land su fabricación

empieza con la obtención de una larga hoja transparente que sea químicamente

activa (por lo regular es alcohol polivinílico). Esta hoja es calentada y estirada a

una longitud deseada produciendo cierta alineación en sus moléculas polímeras.

Por último la hoja se sumerge en yodo provocando que los átomos del yodo se

orienten en largas hileras emulando a las de su anfitrión.

Con el filtro terminado se procede a enviar luz sobre el y, a consecuencia de la

conductividad del yodo, la componente paralela a las moléculas es absorbida

mientras que la perpendicular atraviesa a través de ellas consiguiendo así la

polarización de la luz.

2.2.4 Obtención de luz polarizada circular

La forma de obtener este tipo de luz es mediante el envío de luz polarizada plana a

través de unas placas conocidas como retardadores de 90°, que por las características

que la constituyen, provocan que la situación de polarización plana se convierta en

circular. El funcionamiento de este tipo de placas es el siguiente:

Retardador de 90°

El retardador de 90° o placa de cuarto de onda es un dispositivo que transforma la luz

linealmente polarizada en circularmente polarizada y viceversa. Puede emplearse una

placa de calcita aunque regularmente se utilizan hojas de cuarzo, mica u hojas

birrefringentes de plástico polímero.



La función del retardador es la de dividir el haz incidente en 2 componentes linealmente

polarizadas y retardar un de ellas un cuarto de ciclo, de tal forma que, el patrón

seccional del haz emergente es un conjunto de 2 movimientos armónicos simples que

se encuentran en ejes perpendiculares y que están desfasados 90° uno del otro.

Cabe mencionar que el patrón del haz combinado en la mayor parte de los casos toma

una forma de elipse. Esta se convierte en círculo si se rota la placa de tal modo que sus

ejes queden en las direcciones de vibración con respecto al haz incidente a +45 y -45,

en esta condición las componentes presentan igual magnitud.

2.3 Aparatos Fotoelásticos [2.5]

El análisis fotoelástico, en su parte experimental, requiere de un banco fotoelástico el

cual posea un dispositivo que produzca y detecte luz polarizada, el instrumento que

reúne estas características es conocido como polariscopio, dicho banco requiere

también un equipo que pueda someterle cargas al modelo. El polariscopio se puede

encontrar en 2 tipos: Polariscopio plano y Polariscopio circular.

a) Polariscopio Plano

EL polariscopio plano es el mostrado en la figura 2.4 y está conformado por las

siguientes partes:

1. Lente colimadora:

Esta lente es adyacente a la fuente luminosa y queda exactamente en uno de sus

focos con la finalidad de conseguir un haz de rayos paralelos.



2. Polarizador

Consiste por lo general de una placa de tipo polaroid. Su funcionamiento es el

siguiente: Cuando el polarizador recibe al rayo incidente, como se explicó con

anterioridad (ver sección 2.2.3), lo divide en dos componentes que oscilan en planos

perpendiculares y uno de ellos es absorbido. De tal forma que la luz que sale del

polarizador vibra en un solo plano.

3. Analizador

El analizador posee características similares a las del polarizador, de manera que si

se posicionan de forma cruzada, es decir; con sus ejes de polarización

perpendiculares entre sí, un observador colocado por detrás del analizador no podrá

apreciar luz alguna (campo oscuro). Por otro lado, si los ejes de polarización del

polarizador y el analizador están paralelos la luz se podrá transmitir a través de ellos

(campo claro).

Fig. 2.4 Polariscopio Plano



b) Polariscopio circular

Cuando se adhieren dentro del polariscopio plano dos placas de cuarto de onda (Ver

sección 2.2.4) entre polarizador (P) y modelo (M) y entre modelo y analizador (A), se

obtendrá un dispositivo conocido como polariscopio circular. La primer placa de cuarto

de onda (λ/4) se coloca de forma tal que sus 2 ejes de polarización perpendiculares

entre si, formen con el eje de polarización del polarizador un ángulo de 45°. La siguiente

placa se coloca con los ejes cruzados respecto a los de la primera (figura 2.5).

Fig. 2.5 Polariscopio circular

2.4 TEORÍA DE LA FOTOELASTICIDAD

2.4.1 Refracción [2.6]

Cuando la luz atraviesa un medio para llegar a otro, parte de la luz se refleja en la

frontera entre los 2 medios y el resto pasa al otro medio. SI un rayo de luz incide a

cierto ángulo con respecto a la superficie, este se desviará a medida que entre al nuevo

medio. Dicha desviación se le denomina “refracción”. De esta forma, el índice de

refracción de un material óptico n es el cociente de la velocidad de la luz c en el vacío y

la velocidad v del material expresado en la ecuación 2.2:

n c v= (2.2)



La luz se desplaza en un material con mayor lentitud que en el vacío, de manera que el

índice de refracción en cualquier material es mayor a la unidad.

2.4.2 Birrefringencia fenómeno de aparición [2.7]

En ciertos materiales, el Índice de refracción varía dependiendo de las direcciones de

los ejes de propagación y polarización. Por otro lado, en esos materiales, la luz

polarizada es transmitida a una velocidad que será diferente a la que posee una onda

polarizada en otro plano.

Suponiendo que se tiene un rayo de luz el cual posee una polarización arbitraria y éste

se incide hacia una placa de material que posee ciertas características ópticas. Con una

observación cuidadosa de la placa, ésta mostrará que la luz refractada está constituida

por 2 componentes que se encuentran separadas y están polarizadas en forma plana,

las cuales se encuentran mutuamente perpendiculares y están desfasadas una con

respecto de la otra. Esto último es debido a que las componentes pasan a través de la

placa a distintas velocidades (ver figura 2.6). Esta eventualidad descrita se le conoce

como birrefringencia o doble refracción

Fig. 2.6 Efectos de la luz sobre una placa con características de doble refracción



2.4.3 Retraso relativo

La diferencia de fase o retraso relativo entre los dos haces emergentes de una placa

birrefringente pueden ser analizados de la siguiente forma: Teniendo que 1n y 2n son

los dos índices principales de refracción de la placa y 0n es el índice de la componente

de inmersión, las resultantes del retraso absoluto pueden ser obtenidos mediante las

ecuaciones 2.3 y 2.4:

( )1 01

0

n n dR

n−

= (2.3)

( )2 02

0

n n dR

n−

= (2.4)

Donde “d” es el espesor de la placa

Ahora para calcular la diferencia de fase, que está expresada como una distancia, es

simplemente la resta entre los retrasos absolutos. Por lo que el retraso relativo es:

1 2R R R= − (2.5)

Por lo regular, se recomienda que R sea determinado como una fracción “N” o un

múltiplo de longitud de onda (λ). Esto es mostrado a continuación:

N R λ= (2.6)

La constante “N” es conocida como orden de franja.



2.4.4 Relaciones básicas de la birrefringencia en materiales.

En algunos materiales la birrefringencia ocurre naturalmente. Ejemplos son la calcita y

el nitrato de sodio. Estos materiales son usados en la construcción de polarizadores de

tipo birrefringente como es el prisma de Nicol. En otra amplia clase de materiales, la

birrefringencia puede ser ocasionada por esfuerzo o deformación. Ejemplos donde se

presenta es en cristales o en ciertos plásticos.

Teniendo que 1σ y 2σ son los esfuerzos principales en una placa bidimensional

construida de un material de características linealmente elásticas, algunos

experimentos mostraron lo siguiente:

a) Los ejes principales de refracción corresponden con los ejes de esfuerzos

principales.

b) Cada índice de refracción principal es una función lineal de las dos componentes

de esfuerzos.

El retraso absoluto puede ser expresado en términos de los esfuerzos mediante el uso

de los coeficientes fotoelásticos absolutos 1C y 2C ; Recordando que “d” es el espesor

de la placa, las ecuaciones de las componentes del retraso absoluto que se obtienen

son las siguientes (2.7 y 2.8):

( )1 1 1 2 2R C C dσ σ= + (2.7)

( )2 2 1 1 2R C C dσ σ= + (2.8)



Ahora para determinar el retraso relativo, sustituiremos las expresiones anteriores (2.7 y

2.8) en la ecuación 2.5 obteniendo:

( )( )1 2 1 2 1 2R R R C C dσ σ= − = − − (2.9)

Cabe mencionar que los coeficientes fotoelásticos absolutos no son comúnmente

usados, pero estos ayudan a definir a una constante empírica Cσ denominada

coeficiente óptico de esfuerzo. Esto se ve mostrado a continuación:

1 2C C Cσ = − (2.10)

Finalmente, sustituyendo la fórmula anterior (2.10) en la ecuación 2.9, se encontrará

una forma más simple para determinar el retraso relativo.

( )1 2R C dσ σ σ= − (2.11)

2.4.5 Deducción de la fórmula fundamental de la fotoelasticidad.[2.5]

Despejando la ecuación 2.11, en términos de la diferencia de esfuerzos principales:

( )1 2R

C dσ

σ σ− = (2.12)

Con la expresión 2.6, de la cual se despeja en términos de R y se sustituye en la

anterior (2.12):

( )1 2NC dσ

λσ σ− = (2.13)



Agrupando la longitud de onda y el coeficiente óptico de esfuerzos se determinará una

constante conocida como valor de franja:

f Cσ

λ= (2.14)

Para finalmente obtener la expresión fundamental de la fotoelásticidad:

( )1 2Nfd

σ σ− = (2.15)

2.4.6 Familias de franjas en el método fotoelástico [2.2, 2.8]

En los espectros fotoelásticos se pueden obtener dos clases de franjas: las franjas

isocromáticas y las franjas isóclinas, a continuación se describen éstas cada una con

más detalle:

a) Franjas isocromáticas

Las franjas isocromáticas son el lugar geométrico de los puntos en que se tiene la

misma diferencia de esfuerzos principales. Estas líneas isocromáticas, proporcionan el

valor del orden de franja en toda la extensión del modelo y se pueden determinar por

medio de la ecuación 2.15.

Hay dos clases de fotografías isocromáticas, unas se identifican por estar en campo

claro y otras por estar en campo oscuro. El significado de las líneas es esencialmente el

mismo, pero su orden es ligeramente diferente. En la situación de campo oscuro, la

secuencia de las líneas se cuenta como sigue: 0, 1, 2, 3, etc., mientras que en un caso

de campo claro, la secuencia de las líneas se contabilizan de la siguiente forma: ½, 1½,

2½, 3½, etc. Por lo tanto, si se superpusieran ambas fotografías, las líneas de una



fotografía coincidirían con las de la otra. La figura 2.7 muestra la combinación de los

espectros, tanto en campo claro como en oscuro.

Fig. 2.7 Isocromáticas en campo claro y en campo oscuro en un anillo circular sometido

a compresión

b) Franjas isóclinas

Las franjas isóclinas son el lugar geométrico de los puntos que tienen la misma

inclinación de los esfuerzos principales. En la figura 2.8(a) se muestra una imagen

fotoelástica obtenida en un polariscopio plano. En ella se tiene a una isóclina de cero

grados y al conjunto de bandas isocromáticas. Evidentemente la imagen resulta

ambigua, puesto que no se puede distinguir la curva isóclina de las isocromáticas.

Este problema puede reducirse al mínimo utilizando iluminación blanca. Con ella la

imagen fotoelástica es coloreada en todos los puntos, excepto aquellos en que N =0.

Para la situación en que los esfuerzos principales son paralelos a los ejes del



polarizador y analizador, hay una extinción para todas las longitudes de onda y la

isóclina será siempre negra. La figura 2.8 (b) muestra la misma isóclina de cero grados

pero fotografiada con luz blanca.

(a) (b)

(c) (d)

Fig. 2.8 Franjas isóclinas en un modelo de arco cargado en el centro. (a) y (b) a 0°,

(c) a 10° y (d) a 20°

Si se mantienen el polarizador y el analizador en posición cruzada y se rotan

conjuntamente hasta los 90°, permaneciendo la carga constante, pasará una franja

isoclina por cada punto del modelo. Esto es evidente, pues en algún momento durante

la rotación, los ejes del polarizador y analizador deberán ser paralelos a las direcciones

de los esfuerzos principales en todos y cada uno de los puntos del modelo. Para



determinar las direcciones de los esfuerzos principales, en los puntos del modelo, se

deben registran las franjas isóclinas para sucesivas posiciones angulares del

polarizador y analizador perpendiculares.

En las figuras 2.8(c) y 2.8 (d) se muestran imágenes de las isóclinas tomadas con el

polarizador y analizador cruzados girados a 10 y 20°. Normalmente, las curvas isóclinas

se dibujan en papel translúcido, directamente de la pantalla de la cámara, para

incrementos de giro de 5 a 10°, ya que no están justificadas fotografías para muchos

incrementos.

2.4.7 Determinación del orden de franja [2.9]

Los métodos empleados para determinar el orden de franja que se presenta en los

materiales con recubrimiento birrefringente depende de la calidad del recubrimiento y

de la exactitud requerida en el análisis. Consecuentemente, si la respuesta ofrecida por

el recubrimiento es extensa (4 o más franjas), la luz monocromática puede ser usada

para obtener fotografías de los patrones de franjas isocromáticas tanto en campo claro

como en campo oscuro. Por otro lado, si el patrón de franjas exhibido está entre 2 ó 4

franjas, una solución podría ser el uso del patrón de colores que se producen con la luz

blanca. Este conjunto de colores es el resultado de la atenuación y extinción de 1 ó más

colores del espectro de este tipo de luz.

Las franjas que sean observadas, representan el color complementario producido por la

porción transmitida de la luz blanca. En la tabla 2.2 se muestra la secuencia de franjas

de colores producida por un creciente campo de esfuerzos. Cabe mencionar que el tono

exacto del color estará en función del espectro de luz blanca y de las características de

grabación que tenga el filme utilizado, de cualquier forma la lista es muy adecuada para

las observaciones que se presenten.



Tabla 2.2 Secuencia de colores producidos con luz blanca en campo oscuro

Color Retraso,nm Orden de franja

Negro 0 0

Gris 160 0.28

Blanco 260 0.45

Amarillo 350 0.60

Naranja 460 0.79

Rojo 520 0.90

1ª franja de paso 577 1.00

Azul 620 1.06

Azul-verde 700 1.20

Verde-amarillo 800 1.38

Naranja 940 1.62

Rojo 1050 1.81


Verde 1350 2.33

Verde-amarillo 1450 2.50

Rosa 1550 2.67


Verde 1800 3.10

Observando la tabla 2.2, es evidente que con el uso de la luz blanca, se aumenta el

número de franjas que pueden ser identificadas. Por ejemplo, en el intervalo 0< N< 3.10

existen 18 bandas de colores que pueden ser utilizados para establecer ordenes de

franja fraccionales.



2.4.8 Método de compensación de tardy

Este método tiene como principal característica, que no requiere de ningún equipo

adicional más que el uso del polariscopio para obtener el valor del orden de franja en

un punto del modelo. El mecanismo consiste en alinear los ejes de polarización con los

ejes de esfuerzo principal y trabajando en campo oscuro, se procede a rotar

únicamente al analizador hasta que el punto analizado coincida con una franja de paso.

Una vez que se tiene lo anterior el valor de orden de franja N se calcula mediante la

siguiente ecuación (2.16):

180N n γ= ± (2.16)

Donde:

n = orden de franja de paso cercano

γ = ángulo de giro del analizador

2.4.9 Propiedades del material utilizado para la fotoelasticidad bidimensional

Uno de los factores más importantes del método fotoelástico, es la selección de un

material apropiado para el modelo a analizar. Desafortunadamente, un material ideal no

existe, por lo que se debe de elegir de una lista de polímeros disponibles al que mejor

se ajuste a las necesidades de la prueba.

La siguiente lista nos muestra las propiedades que un material fotoelástico tiene que

poseer.

El material debe:



1. Ser transparente con respecto a la luz empleada en el polariscopio

2. Presentar sensibilidad con respecto a los esfuerzos y a las deformaciones

3. Poseer características de linealidad con respecto a las propiedades de esfuerzo-

deformación y a las del orden de franja.

4. Poseer isotropía y homogeneidad ópticas

5. No exhibir comportamiento viscoelástico

6. Tener un alto módulo de elasticidad

7. Poderse maquinar por los métodos convencionales

8. Ser libre de esfuerzos residuales

9. Estar disponible a un precio razonable

2.4.10 Materiales más utilizados en la fotoelasticidad bidimensional [2.9]

2.4.10.1 Homalite 100

El homalite 100 es una resina poliéster la cual se vacía entre dos placas de vidrio para

construir hojas muy largas. El material posee las características de estar libre de

esfuerzos residuales, la superficie de las hojas son de buena calidad óptica y puede

maquinarse con el router.

El valor de franja del material puede considerarse para tiempos que sobrepasen los 10

minutos como una constante, con la aclaración que no se puede llegar a altos niveles

de orden de franja sin que el modelo sufra fractura. Por otro lado, debido a que la

absorción de humedad que tiene es muy lenta, las consecuencias por el envejecimiento

que pueda presentar por varios días aún en condiciones de prueba muy húmedas, no

generarán daño significativo. Por último se debe mencionar que este material posee un

bajo índice de sensibilidad.



2.4.10.2 Policarbonato

Es un polímero duro y dúctil el cual fluye antes de la fractura. Es elaborado por medio

de extrusión y está disponible en grandes hojas que poseen buenas características

superficiales, lamentablemente la extrusión produce en las hojas una situación de

birrefringencia residual. Para eliminar la problemática anterior se recomienda realizar un

templado de tiempo extendido.

Este material presenta también entre sus propiedades, un alto índice de sensibilidad, un

grado bajo de deslizamiento a temperatura ambiente y es relativamente libre de efectos

de envejecimiento.

2.4.10.3 Resinas epóxicas.

Las resinas epóxicas son producto de la condensación de epiclorohidrin y un fenol

polihídrico. Estas resinas se caracterizan como materiales frágiles, y son más fáciles de

maquinar que el poliéster y los policarbonatos. Muchos de los epóxicos son menos

sensibles que los policarbonatos, pero poseen mejor sensibilidad óptica que el Homalite

100.

Este material presenta deslizamiento, aproximadamente de la misma cantidad que un

Homalite 100 o policarbonato. Aunque es susceptible a efectos del envejecimiento, la

velocidad de difusión de agua dentro de la resina es suficientemente alta que permite

una saturación en más o menos 2 meses.

2.4.10.4 Goma de uretano.

Es un material que puede vaciarse entre placas de vidrio para producir una placa de

color ámbar con superficies de calidad óptica. Su sensibilidad de deformación es tan

baja que pueden despreciarse los efectos del envejecimiento.



Para finalizar se mencionará que este material presenta muy poco deslizamiento óptico

o mecánico y que puede ser maquinado también con el router.

2.4.11 Método de compensación

Este procedimiento se realiza mediante la colocación de un instrumento conocido como

compensador a través de la trayectoria óptica próxima al modelo, esto se ve reflejado

en la figura 2.9. El elemento activo del compensador consiste normalmente en una cuña

de un cristal con birrefringencia permanente, que se traslada sobre cualquier punto del

modelo hasta la compensación, es decir, anulación del retraso relativo. La simple cuña

y el compensador Babinet-Soleil son ejemplo de este tipo de instrumentos.

fig. 2.9 Método de compensación

2.4.12 Paso del modelo al prototipo [2.2]

En muchos problemas prácticos de elasticidad, con las fuerzas situadas en los bordes,

los esfuerzos dependen solamente de la forma y de las fuerzas exteriores más no de



las propiedades físicas del material, excepto claro, que el material sea homogéneo e

isótropico.

Un modelo debe ser geométricamente semejante al prototipo pero no necesariamente

del mismo tamaño; las cargas deben de estar distribuidas de forma semejante, pero

pueden diferir en magnitud a través de un coeficiente de proporcionalidad.

Supuesto lo anterior, los esfuerzos en el modelo y en el prototipo satisfacen la siguiente

ecuación (2.16):

P m mp m

m p p

P a dP a d

σ σ= (2.17)

Donde:

P mP P es el factor de escala de la carga

m pa a es el factor de escala de una dimensión cualesquiera

m pd d es el factor de escala del espesor El subíndice “m” pertenece al modelo y “p” al del prototipo 2.5 INTERPRETACIÓN DE LOS RESULTADOS [2.5]

2.5.1 Calibración del material

La diferencia entre los esfuerzos principales ( )1 2σ σ− en cada punto del modelo es

proporcional al orden de franja N en dicho punto. La incógnita aquí es la determinación

del valor de franja, la cual puede obtenerse mediante una prueba en la que se puede

utilizar un modelo muy simple y esta puede consistir en someter a una barra a tensión o

una viga a flexión pura. Una vez realizado el ensayo mediante la ecuación 2.17 se

obtiene el valor de franja:



( )1 2df

Nσ σ−

= (2.17)

Por último se puede mencionar que normalmente se cortan barras para la calibración

de la misma lámina o placa del material fotoelástico de la probeta a estudiar y

realizándose también con la misma fuente luminosa del ensayo, ya que f está en

función del material del modelo y de la longitud de onda de la luz utilizada.

2.5.2 Esfuerzos en los bordes

La magnitud de ( )1 2σ σ− puede obtenerse como ya se comento, en cualquier punto del

modelo mediante la obtención del campo de las isocromáticas. Sin embargo, en

determinados puntos es posible calcular los valores por separado de los esfuerzos

principales, como es el caso de los puntos del contorno donde una de ellas es nula y la

otra, según la ecuación 2.15 será:

Nfd

σ = (2.18)

Para separar en cualquier otro punto del modelo los esfuerzos principales, es decir,

para calcular cada una de ellas, es necesario recurrir a otros métodos que nos

proporcionen los valores independientes de los esfuerzos principales. En el siguiente

subcapítulo (2.6) se analizará un procedimiento para resolver esta situación presentada.



2.6 MÉTODOS DE SEPARACIÓN DE ESFUERZOS PRINCIPALES [2.9]

2.6.1 Método de la diferencia de esfuerzos cortantes

Se basa en la integración numérica de las ecuaciones diferenciales de equilibrio (2.19),

las cuales se presentan a continuación:

0yxxx zxxF

x y zτσ τ∂∂ ∂

+ + + =∂ ∂ ∂

; 0xy yy zyyF

x y zτ σ τ∂ ∂ ∂

+ + + =∂ ∂ ∂

; 0yzxz zzzF

x y zττ σ∂∂ ∂

+ + + =∂ ∂ ∂

(2.19)

para problemas de esfuerzo plano se pueden reducir a:

0yxx

x yτσ ∂∂

+ =∂ ∂

; 0y xy

y xσ τ∂ ∂

+ =∂ ∂

(2.20)

donde las componentes normal y tangencial del esfuerzo en cualquier punto del modelo

están asociadas con ,x yσ σ y xyτ respectivamente. Después estas ecuaciones (2.20),

mediante la integración ya mencionada, se transforman en:

( )0yx

x x dxyτ

σ σ∂

= −∂∫ ; ( )

0

xyy y dy

xτ

σ σ∂

= −∂∫ (2.21)

y las cuales pueden aproximarse de forma numérica por:

( )0yx

x x xyτ

σ σΔ

= − ΔΔ∑ ; ( )

0

xyy y y

xτ

σ σΔ

= − ΔΔ∑ (2.22)

En las expresiones anteriores, los términos ( )0xσ y ( )0yσ representan esfuerzos

conocidos en puntos frontera que han sido seleccionados como puntos de inicio para el



proceso de integración. Usualmente, los puntos seleccionados son los que aparecen en

los bordes debido a que ahí, como ya se explico con anterioridad, uno de los esfuerzos

vale cero y con la información isocromática se puede empezar a realizar dicho cálculo.

El parámetro xyτ puede obtenido en cualquier punto interior del modelo mediante la

expresión (2.23):

(2 )2xyNf send

τ θ= (2.23)

Una vez conocido uno de los valores, por ejemplo el de xσ , el valor de yσ puede

obtenerse mediante:

( )1 2 cos(2 )y xσ σ σ σ θ= − − (2.24)

Por último mediante el uso de la siguiente expresión (2.25), se obtienen los valores por

separado de los esfuerzos principales:

( ) ( ) ( )1 2 1 21 1,2 2 2x y x y

Nfd

σ σ σ σ σ σ σ σ= + ± − = + ± (2.25)



2.7 Referencias

[2.1]Juvinall, Robert, “Engineering considerations of stress, strain and strength”, ed. MC Graw Hill [2.2] Tuppeny, W., “Análisis experimental de tensiones”, 1ª edición, Ediciones URMO [2.3]Sears Francis W., “Física universitaria Vol. 2”, 9ª edición, ED. Addison Wesley [2.4]Shurcliff William A., “Luz polarizada”, 1ª edición, ED. Reverte mexicana [2.5]Ortiz Berrocal Luis, “Elasticidad”, 3ª edición, ED. Mc.Graw Hill [2.6]Giancoli Douglas C., “Física principios con aplicaciones”, 4ª edición, ED. Prentice Hall [2.7] Cloud, Gary, ”Optical methods of engineering analysis”, 1ª edición, Cambridge university press [2.8] Durelli, A. “Aplicaciones del análisis de esfuerzos”, ED. Prentice may [2.9] Rally, James W. “Experimental stress analysis”, 3a edición, ed. Mc Graw Hill

GENERALIDADES DEL MÉTODO DEL ELEMENTO FINITO

TESIS DE GRADO 47 CAPÍTULO IV

CAPÍTULO III




3.1 GENERALIDADES [3.1]

El método del elemento finito ha llegado a ser una herramienta poderosa en la solución

numérica en un amplio número de problemas de ingeniería. Las aplicaciones van desde

el análisis de esfuerzos y deformaciones en automóviles, aeronaves, edificios y

estructuras de puentes hasta el análisis en los campos de flujo de calor, de fluidos,

magnético, filtraciones, etc.

Con los avances en la tecnología de las computadoras y de los sistemas CAD, pueden

modelarse problemas complejos con relativa facilidad. En una computadora pueden

probarse varias configuraciones alternas con diversas configuraciones alternas antes de

construir el prototipo. Todo esto sugiere que se debe modernizar empleando estos

desarrollos para entender la teoría básica, las técnicas de modelado y los aspectos

computacionales del método del elemento finito.

En este método de análisis, una región compleja continua se discretiza en formas

geométricas simples llamadas elementos finitos. Un proceso de ensamble de estos

elementos, cuando se consideran debidamente las cargas y restricciones, da lugar a un

conjunto de ecuaciones. La solución de esas ecuaciones da los desplazamientos

nodales. A partir de esto se encuentran las deformaciones unitarias. Empleando las

relaciones constitutivas se evalúan los esfuerzos y con las teorías de falla se

determinan las condiciones de falla.

3.2 ASPECTOS HISTÓRICOS

Las ideas básicas del método del elemento finito se originaron gracias a los avances en

el análisis estructural de las aeronaves. En 1941, Hrenikoff presentó una solución de

problemas de elasticidad usando elementos barra. Clough fue el primero en acuñar y

emplear el término elemento finito en 1960.



En los primeros años de la década de 1960, los ingenieros usaron el método para

obtener soluciones aproximadas en problemas de análisis de esfuerzos, flujo de fluidos,

transferencia de calor y otras áreas. A finales de la década de 1960 y principios de la

siguiente, el análisis por elemento finito se aplicó a problemas no lineales y de grandes

deformaciones.

Las bases matemáticas se fijaron en la década de 1970. Nuevo desarrollo de

elementos, estudios de convergencia y otras áreas afines pertenecen a esta categoría.

Actualmente, los avances en las computadoras y la disponibilidad que estas presentan,

han puesto a este método al alcance de estudiantes e ingenieros que trabajan en

industrias pequeñas.

3.3 DISCRETIZACIÓN DEL DOMINIO [3.2]

En la mayoría de los problemas de ingeniería, se requiere hallar los valores de un

campo variable, tales como desplazamientos, esfuerzos, temperatura, presión y

velocidad, como una función de las coordenadas espaciales (x, y, z). Asimismo, en el

caso de los problemas de estado transitorio, el campo variable tiene que ser hallado en

función tanto de coordenadas (x, y, z) como del tiempo.

El primer paso del análisis del elemento finito comprende la discretización del dominio

en pequeños subdominios denominados elementos finitos.

Una variedad de procedimientos pueden ser utilizados para modelar un dominio

mediante el uso de elementos finitos. Diferentes métodos de división del dominio

involucran distintos tiempos de procesamiento computacional que guían

frecuentemente a diversas aproximaciones para la solución de los problemas físicos.



3.3.1 Formas básicas de los elementos

Las formas, tamaños, números y configuraciones de los elementos tienen que ser

escogidos cuidadosamente, ya que deben de ser lo más semejantes al cuerpo

analizado, para no incrementar el tiempo computacional de la solución. La mayoría de

las selecciones del tipo de elemento es dictaminada por la geometría del cuerpo y por el

número de coordenadas independientes necesarias para describir el sistema.

Si la geometría, propiedades del material y el campo variable del problema pueden ser

descritas en términos de una sola coordenada espacial, se pueden utilizar elementos

lineales o unidimensionales como el mostrado en la figura 3.1(a). La distribución de

temperatura en una barra, la presión distribuida en una tubería y la deformación de una

barra por carga axial son ejemplos que pueden ser modelados mediante el uso de estos

elementos.

Cabe mencionar que aunque estos elementos poseen una sección transversal, ellos

pueden ser analizados como un elemento lineal (figura 3.1 (b)). Para un análisis simple,

a los elementos unidimensionales se les colocan 2 nodos, uno en cada extremo, con el

correspondiente valor de campo variable escogido como incógnita.

Figura 3.1 Elemento unidimensional



Cuando la configuración y otros detalles del problema puedan ser descritos en términos

de 2 coordenadas espaciales independientes, se pueden usar los elementos mostrados

en la figura 3.2.

Figura 3.2 Elementos bidimensionales

El elemento básico utilizado para el análisis bidimensional es el elemento triangular.

Mediante la unión de 2 ó 4 elementos triangulares se puede construir el elemento

cuadrilateral (ó sus otras derivaciones el rectángulo y el paralelogramo), como se

aprecia en la figura 3.3.

Figura 3.3 Elemento cuadrilateral construido por 2 ó 4 triángulos



Sí la geometría, propiedades del material y otros parámetros del cuerpo pueden ser

descritos en tres coordenadas espaciales independientes, la región puede modelarse

mediante el uso de elementos tridimensionales como los que se muestran en la figura

3.4. Cabe decir que el elemento básico tridimensional es el tetraedro.

Figura 3.4 Elementos tridimensionales

Algunos problemas, que son tridimensionales, pueden ser descritos en una ó dos

coordenadas independientes. Tales problemas pueden ser analizados mediante el uso

de elementos axisimétricos, como los que se presentan en la figura 3.5.

Figura 3.5 Elementos Axisimétricos



Para los problemas de discretización que poseen curvas en su geometría, los

elementos parabólicos son una solución. Los elementos típicos de esta clase son los

que se observan en la figura 3.6.

Figura 3.6 Elementos parabólicos

Cabe mencionar que la modelación de estos últimos elementos fue posible mediante la

adición de nodos a la mitad de sus lados.



3.3.2 Proceso de discretización

Las múltiples consideraciones para realizar el proceso de discretización están

expuestas a continuación:

3.3.2.1 Tipo de elemento

Frecuentemente el tipo de elemento para ser utilizado será, evidentemente, de acuerdo

con el problema físico en cuestión. Por ejemplo, si el problema involucra el análisis de

una estructura bajo ciertas condiciones de carga como la de la figura 3.7(a), el tipo de

elemento para modelar la situación es obviamente el elemento línea o barra como se

observa en la figura 3.7 (b).

(a).Estructura original (b).Idealización utilizando elementos barra

Figura 3.7 Tipo de elemento para una estructura

De manera similar, en el caso del análisis de esfuerzos en una viga como la que se

presenta en la figura 3.8 (a), la modelación puede ser hecha mediante el uso de

elementos tridimensionales sólidos como los que se ven en la imagen 3.8 (b).



(a).Viga Original (b) Idealización utilizando elementos

tridimensionales.

Figura 3.8 Elementos sólidos para una viga cuadrada

De cualquier forma, en algunos casos, el tipo de elemento para ser empleado en el

modelado, puede no ser evidente, por lo que se debe escoger en base al juicio o a la

experiencia de la persona que realiza el estudio.

3.3.2.2 Tamaño del elemento

El tamaño de los elementos afecta directamente el resultado de la solución y por lo

tanto tiene que ser escogido con cuidado. Sí el tamaño de los elementos es pequeño, la

solución final se espera que resulte más exacta. De cualquier forma, se tiene que

recordar que el uso de elementos muy pequeños también implica más tiempo

computacional.



Para el caso del análisis de esfuerzos de una viga cuadrada hueca, como la que se

ilustra en la figura 3.9 (a), el tamaño de todos los elementos puede ser

aproximadamente del mismo tamaño (Figura 3.9 (b)). Pudiendo ser en este caso

elementos tipo cascarón.

(a). Viga original (b) Idealización en elementos finitos.

Figura 3.9 Tamaño del elemento para una viga cuadrada hueca

Algunas veces, se pueden utilizar elementos de diferentes tamaños en el mismo

cuerpo. Un ejemplo de esta situación es el presentado en la figura 3.10 (a), donde se

realiza un análisis de esfuerzos en una placa a tensión con un agujero en el centro,

para su modelado, se pueden usar elementos de distintos tamaños como los

empleados en la figura 3.10 (b).

(a). Placa original (b). Idealización utilizando diferentes tamaños

Figura 3.10 Tamaños de elementos para una placa con agujero central



Cabe mencionar que el tamaño de los elementos puede ser más pequeño cercano al

agujero que en los lugares más alejados a este, debido a que en esa zona es esperado

que se encuentre la concentración de los esfuerzos.

En general, en las regiones donde se espere un excesivo cambio del campo variable,

se debe utilizar una malla más fina.

3.3.2.3 Ubicación de los nodos

SÍ los cuerpos no presentan cambios abruptos en su geometría, propiedades del

material y condiciones externas (como cargas, temperaturas, etc.), estos pueden ser

divididos en igual número de partes y por lo tanto el espacio entre nodos puede ser

uniforme. De otra manera, si existen algunas discontinuidades en el problema, los

nodos tienen que ser introducidos obviamente, en esas discontinuidades. Esto último se

ejemplifica en la figura 3.11

Cambio abrupto en la distribución Cambio abruto en la sección transversal

de carga de una viga

(a) Discontinuidad en carga (b) Discontinuidad en la geometría

Viga bimetálica Placa cargada con ruptura en la parte media

(c) Discontinuidad en las propiedades (d) Discontinuidad en el material

del material

Figura 3.11 Ubicación de los nodos en discontinuidades



3.3.2.4 Número de elementos

El número de elementos que son seleccionados para la modelación depende de la

exactitud deseada, del tamaño de los elementos y del número de grados de libertad

involucrados. Por otro lado, se sabe que un incremento en el número de elementos

generalmente significa resultados más precisos; pero cabe mencionar que, para

cualquier problema en estudio, se llegará a una cierta cantidad de elementos que

aunque sean aumentados en número, ya no podrán mejorar la exactitud del problema.

3.3.2.5 Simplificaciones por la configuración física del cuerpo y de la carga

Sí la configuración física del cuerpo es simétrica al igual que las condiciones de carga,

se puede considerar únicamente una parte del cuerpo para el modelado en elemento

finito. En la figura 3.12 se ejemplifica lo anterior, donde solamente la mitad de la placa

con agujero es considerada para el análisis, debido a que presenta simetría tanto en su

geometría como en las cargas que se le aplican.

(a) Placa original (b) Placa simplificada

Figura 3.12 Placa con agujero en el centro con simetría geométrica y en cargas



A consecuencia de que a lo largo de la línea AA no hay desplazamiento horizontal de

los nodos correspondientes, la condición que u =0 debe de ser colocada mientras se

obtiene la solución y dichos nodos solo tienen movimiento vertical. Cabe decir, que el

ejemplo mostrado en la figura 3.12, se puede considerar hasta un cuarto de la placa

para el análisis debido a su geometría (figura 3.13). En este caso los nodos sobre el

corte B-B, no tendrán movimiento vertical v=0 y solo se considera su desplazamiento

horizontal.

Figura 3.13 placa simplificada a una cuarta parte de su geometría

3.4 ETAPAS BÁSICAS EN EL MÉTODO DEL ELEMENTO FINITO [3.1]

El análisis por elementos finitos implica tres etapas de actividad: preprocesamiento,

procesamiento y posprocesamiento. El preprocesamiento es la preparación de datos,

como las coordenadas nodales, la conectividad, las condiciones frontera y la

información sobre cargas y material.

La etapa de procesamiento esta relacionada con la solución de ecuaciones que

resultan de la evaluación de las variables nodales. Cantidades como los gradientes o

los esfuerzos pueden evaluarse en esta etapa.

La fase de posprocesamiento es donde se presentan los resultados. En general, en

esta etapa se calculan y se muestran la configuración deformada, las formas modales,



la distribución de la temperatura y/o esfuerzos. Un análisis completo por elemento finito

es una interacción lógica de las tres etapas.

La preparación de los datos y su procesamiento necesitan de un esfuerzo considerable

si todos los datos van a ser manejados manualmente, debido a lo tedioso del manejo de

los datos y la posibilidad de incurrir en errores al incrementar el número de elementos.

3.5 PROGRAMA ANSYS [3.4, 3.6]

Ansys es un paquete computacional de propósito general enfocado al modelado de

elemento finito, el cual numéricamente resuelve una amplia variedad de problemas

mecánicos que incluyen análisis estáticos y dinámicos tanto lineales como no lineales,

además soluciona problemas de transferencia de calor y de fluidos, así como también

problemas electromagnéticos.

En la etapa de preprocesamiento se definen los Keypoints, líneas, áreas o volúmenes

según lo requiera el problema. En esta fase también se define el tipo de elemento y las

propiedades geométricas y del material, además se realiza la malla en líneas, áreas o

volúmenes según se necesite. La malla puede generarse manualmente o de manera

directa empleando los algoritmos integrados al paquete y que se formulan a partir del

álgebra booleana. Las etapas de procesamiento y posprocesamiento, explicadas en la

sección anterior (3.4), se pueden realizar automáticamente con este software.

Esta versión 9.0 del programa ansys reúne características como:

El modelo puede tener hasta 16,000 nodos y 12,000 elementos y los problemas que

pueden estudiarse son de tipo: Estructural (Análisis estático, dinámico, modal,

armónico), térmico (térmico transitorio y continuo), de campo magnético (transitorio,

armónico y estático), de campo eléctrico, mecánica de fluidos, acústica y de campo

electromagnético.



3.6 Referencias

[3.1] Chandrupatla, Tirupathi.“Introducción al estudio del elemento finito en ingeniería”. 2ª edición, Ed. Prentice Hall.1999 págs.1-2,412 [3.2] Rao, Singiresu.“The finite element method in engineering”.3ª edición.Ed. Butterworth Heinemann. Págs 43-52 [3.3] Segerlind, Larry. “Applied finite element analysis”, 2a edición. Ed. John Wiley and Sons. Págs.51-56 [3.4] www.mece.ualberto.ca/tutorials/Ansys/ [3.5] www.cae.wisc.edu [3.6] Moaveni, Saeed. Finite element analysis theory and application with ansys. 2a edición, Ed. Prentice Hall.2003. Págs.345-348

DETERMINACIÓN DE LOS ESFUERZOS DEL DIENTE APLICANDO

LOS MÉTODOS FOTOELÁSTICO Y DEL ELEMENTO FINITO


CAPÍTULO IV

DETERMINACIÓN DE LOS ESFUERZOS EN EL DIENTE APLICANDO LOS MÉTODOS

FOTOELÁSTICO Y DEL ELEMENTO FINITO




4.1 DETERMINACIÓN DE LOS ESFUERZOS EN EL DIENTE MEDIANTE EL MÉTODO FOTOELÁSTICO

4.1.1 Equipo utilizado para la prueba

El dispositivo empleado para la realización de las pruebas es un polariscopio circular

modelo SSM-AJ de la serie 060, el cual posee una capacidad de carga de 2500N y

pertenece a la marca Interface. (Ver fotografía 4.1)

Fotografía 4.1 polariscopio circular

El polariscopio cuenta principalmente con los siguientes componentes:




1 Fuente de luz (fotografía 4.2a)

1 Polarizador (fotografía 4.2a)

1 Analizador (fotografía 4.2a)

2 Placas de cuarto de onda (fotografía 4.2b)

1 Marco de carga (fotografía 4.2b)

1 Celda de carga (fotografía 4.b)

1 Indicador de carga (fotografía 4.2c)

1 manivela para la rotación de los discos (fotografía 4.2d)

1 botón seleccionador del tipo de luz (fotografía 4.2d)

(a) Elementos básicos (b) Placas de ¼ de onda, marco y

celda de carga

(c) Indicador de la carga aplicada (d) Selector de luz y manivela para

giro de discos

Fotografía 4.2 Componentes del polariscopio modelo SSM-AJ




4.1.2 Características de la rueda catarina del diente a analizar

En la siguiente tabla (4.1), se engloban las principales especificaciones de la rueda

dentada en estudio:

Tabla 4.1 Especificaciones de la rueda catarina

No. de dientes 18 Tipo B

Diam. exterior 31.858 cm Diam. de paso 29.254 cm Diam. de raíz 26.396 cm No. de cadena 160

Paso 5.08 cm Material Acero inoxidable

Diam. de maza 17.78 cm Largo de maza 6.985 cm

4.1.3 Construcción y tipo de material de la probeta

El primer paso para la construcción de la probeta, fue elaborar un dibujo en la

computadora del diente a analizar (fig 4.1), terminada la figura se adquirió una placa

fotoelástica con medidas de 25.4 cm x 25.4cm, la cual es un policarbonato, en la

sección 2.6 se pueden observar las características que presenta este tipo de material,

que el distribuidor identifica como PSM-1.

(a) Catarina completa (b) Diente a analizar

Figura 4.1 Modelado del diente




El tercer paso fue adherir el dibujo en la placa, para después mediante el uso de una

sierra circular se realizará el corte del perfil del diente dejando unos milímetros, esto

con la finalidad de concluida esta etapa, utilizar un router para aproximar al diente a la

medida deseada. Una vez maquinado en el router el perfil de la probeta, se procedió a

realizar un acabado más fino mediante el uso de lijas, la probeta construida es la que se

muestra en la fotografía 4.3. Por último, cabe mencionar, que la elaboración de la

probeta se realizó en los talleres de máquinas herramientas de la Escuela Superior de

Ingeniería Mecánica y Eléctrica Unidad Zacateco.

Fotografía 4.3 Diente finalizado

4.1.4 Calibración de la probeta

Como ya se explico en la sección 2.5.1, la finalidad que tiene la realización de la prueba

de calibración es para conocer el valor de franja f . La probeta utilizada se sometió a

un esfuerzo de tensión simple y presentaba un espesor de 35.99 10x m− y un ancho de 350 10x m− . El esfuerzo axial inducido sobre el material a consecuencia de la carga se

puede representar por la siguiente ecuación (4.1):

1 *P

a dσ = y 2 0σ = (4.1)




Donde:

P = carga

a = ancho

d = espesor

Sustituyendo estos valores en la ecuación 2.15 obtenemos:

*P Nf

a d d= (4.2)

Despejando en términos del valor de franja f se tiene:

*Pf

a N= (4.3)

Sustituyendo los valores obtenidos de la prueba en la ecuación anterior (4.3), se pudo

establecer el valor de la constante f . A continuación se muestra una tabla con los

resultados de dicho ensayo:

Tabla 4.2 Resultados de la prueba de calibración

P (carga) N (Orden de franja) f (valor de franja)

317.65 0.8 7941.25

631.33 1.80 7014.77

695.15 2.32 5992.67

Cabe mencionar que la manera de obtener el orden de franja fue mediante el método

de compensación de tardy, este procedimiento fue explicado en la sección 2.4.8. Ahora




bien, sacando el promedio de los valores de f obtenidos de la prueba, obtenemos el

valor de franja del material que es el siguiente:

6.98f = KN/m – orden de franja

Para validar este dato, la observación de la figura 4.2 y la tabla 4.3 serán de gran

ayuda. En la primera se muestra los datos de la placa del proveedor en donde, en la

parte inferior, se indica el valor de franja del material utilizado, mientras que en la

segunda se tiene el valor de f comúnmente usado para algunos materiales

fotoelásticos.

Figura 4.2 Datos de la placa fotoelástica

A consecuencia de que el valor de franja esta en el sistema ingles, se procederá a

realizar el cambio a su equivalente en el sistema internacional:

6 21 10 0.304840 * 7.006

145 12x N m mf psi in

psi in⎛ ⎞⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠KN/m – orden de franja

Tabla 4.3 Valores de franja para algunos materiales fotoelástico

Material f

Homalite 100 23.6 KN/m

Policarbonato 7.0 KN/m

Resina Epóxica 11.2 KN/m

Goma de Uretano 0.18 KN/m




Observando la tabla 4.3 tenemos que el policarbonato tiene un valor de 7.0f = KN/m.

Debido a que este valor por las tres situaciones presentadas es al que más se dirigen

los 3 valores, es el que será utilizado para análisis posteriores.

4.1.5 Determinación de los esfuerzos en el diente

Para la realización de las pruebas fotoelásticas, se utilizó el laboratorio de análisis

experimental de esfuerzos de la SEPI-ESIME-ZACATENCO que es donde se encuentra

el equipo para los ensayos. Primeramente se coloco la probeta en el marco de carga,

para después empezar a colocar carga sobre el perfil del diente.

El incremento de carga fue gradual hasta llegar a un momento en que la escena

fotoelástica contaba con una distribución de franjas las cuales se apreciaban de una

buena forma. Cabe mencionar que también se tomaron fotografías de magnitudes de

cargas previas, para ver como se presentaba el campo de esfuerzos en ese instante,

estas se localizan en el anexo A.

Para el análisis del diente, se obtuvieron 2 clases de fotografías: las que comprenden a

las isocromáticas y las de las isóclinas. En la fotografía 4.4, se aprecian las franjas

isocromáticas resultantes después de aplicar una carga estática de 52 N.

Fotografía 4.4 Campo de isocromáticas en el diente




Realizando un acercamiento con la cámara a la parte del diente sometida a tensión

obtenemos la escena que en la fotografía 4.5 se presenta:

Fotografía 4.5 Parte del diente sometida a tensión

Observando la fotografía anterior (4.5), se aprecia que la última franja en aparecer es

de color rosa, por lo que verificando la tabla 2.2 se tiene un valor de 2.67 para este

color, por lo que este dato se sustituye en la ecuación 2.15, la cual para fines del

cálculo se rescribe a continuación:

( )1 2Nfd

σ σ− = (2.15)

Recordando que 7.0f = KN/m y el espesor del modelo es de 35.99 10x m− , se tiene lo

siguiente:

( ) ( )( )1 2 3

7.0 / 2.675.99 10KN mNf

d x mσ σ −− = =




Finalmente

( ) 6 21 2 3.12 10 / 3.12x N m MPaσ σ− = =

Una vez analizada la parte de tensión prosigue el estudio del área de compresión la

cual es presentada en la fotografía 4.6.

Fotografía 4.6 Parte del diente sometida a compresión

Analizando la fotografía la última franja apenas esta apareciendo, pero mediante una

observación cuidadosa y observando la secuencia de colores que se presenta en la

imagen, se puede determinar que la franja es de color rosa, con lo cual se tiene lo

siguiente:

( )1 2Nfd

σ σ− = (2.15)

Sustituyen valores:

( ) ( )( )1 2 3

7.0 / 2.675.99 10KN mNf

d x mσ σ −− = =




Con lo que:

( ) 6 21 2 3.12 10 / 3.12x N m MPaσ σ− = =

Una vez analizados los espectros isocromáticos, se continúa el análisis con el estudio

de las franjas isóclinas las cuales fueron tomadas para 10 (Fotografía 4.7) Y 20 grados

(Fotografía 4.8), con el fin de conocer la inclinación que presentan los esfuerzos

principales.

Fotografía 4.7 Isóclinas a 10 grados

Fotografía 4.8 Isóclinas a 20 grados




Ahora primeramente, se dibujan líneas en color café que siguen la trayectoria de las

isóclinas para poder así conocer la dirección de los esfuerzos principales en el modelo

analizado. Revisando ambas imágenes, se observa que las franjas se dirigen hacia la

zona de la curva del pie del diente, la cual se puede asumir es la región donde los

esfuerzos se concentran, pudiendo ser esta una causa de que por esa ubicación, se

localice una falla en los dientes.

4.2 DETERMINACIÓN DE LOS ESFUERZOS EN EL DIENTE MEDIANTE EL MÉTODO DEL ELEMENTO FINITO La vía para determinar los esfuerzos en el diente mediante este método fue con la

ayuda del paquete Ansys, que como se explicó en el capítulo 3, es un software de

propósito general para el estudio de elementos finitos. Primeramente se comenzó con

la realización del preprocesamiento, en el cual se fijaron las coordenadas nodales para

después crear el área del diente.

Concluido el modelado del diente, se prosiguió a realizar la malla (ver figura 4.3) donde,

cabe mencionar, que se realizó un refinamiento en las partes donde se espera que se

localice la concentración de los esfuerzos. También en esta fase se colocaron las

condiciones frontera y la información sobre la carga y lo referente al material.

Para finalizar esta etapa, cabe aclarar, que la malla fue realizada con elementos

triangulares debido a que, por el área a analizar, se adaptan de una buena manera al

contorno del diente, constando esta de 3409 nodos y 1632 elementos.

Una vez concluida la fase anterior, se inicio el procesamiento, el cual se realizó con la

ayuda del menú solution y del comando solve, con lo que esta parte del análisis quedo

terminada.




Figura 4.3 Mallado realizado en el diente

Por último, en la etapa del posprocesamiento se obtuvieron las imágenes de los

resultados de los campos de esfuerzos (figura 4.4) y las deformaciones (figura 4.5) en

el diente.

Figura 4.4 Resultados de los esfuerzos en el diente




Figura 4.5 Resultados de las deformaciones en el diente

Analizando la figura 4.4 en la parte sometida a tensión se aprecia que esta zona

presenta este tono de color , el cual observando la barra de resultados nos muestra

que para ese color se tiene la magnitud siguiente: 20.304 07E N m+ esto es igual a

3.04MPa .

Ahora para la zona de compresión, se aprecia que al igual que en la parte de tensión,

se tiene un color , por lo tanto la magnitud en esta área es de 3.04MPa .

4.3 ANÁLISIS COMPARATIVO DE LOS RESULTADOS DEL MÉTODO EXPERIMENTAL y NUMÉRICO

Con la terminación de la prueba fotoelástica y el estudio en elemento finito, se

encontraron resultados con respecto al campo de esfuerzos debido a la aplicación de la




carga sobre el perfil del diente de la rueda catarina. A continuación se presentan tablas

en las que se con los resultados de los análisis experimental y numérico:

Tabla 4.4 Resultados del análisis experimental

Zona sometida a tensión 3.12 MPa

Zona sometida a compresión -3.12 Mpa

Tabla 4.5 Resultados del análisis numérico

Zona sometida a tensión 3.04 MPa

Zona sometida a compresión -3.04 Mpa

Después de visualizar ambas tablas se procede a calcular el porcentaje de error de

ambos métodos:

100*3.04% 100% % 100% 97.4% 2.56%3.12

Error ⎛ ⎞= − = − =⎜ ⎟⎝ ⎠

Al ser un porcentaje de error de menos del 5% podemos ver que ambos análisis se

complementaron de manera satisfactoria y que los resultados obtenidos se pueden

asumir como validos y confiables, con lo que ambos procedimientos son seguros para

conocer la distribución de esfuerzos en un área determinada.

TESIS DE GRADO 77 CONCLUSIONEWS

CONCLUSIONES

Se cumplió satisfactoriamente el objetivo del proyecto debido a que los resultados tanto

por el método experimental como pro el numérico resultaron muy semejantes,

presentando un error menor al 5%.

La zona de la concentración de esfuerzos se presenta en la misma región en ambos

estudios, con lo que se recomienda verificar si en esa ubicación existe algún

tratamiento térmico para en caso de no presentarlo, proponer alguno que se adecue a

las necesidades de la rueda.

La diferencia que puede existir entre los valores es debido a que en el análisis en Ansys

como es un paquete computacional lo consideran ideal, por el contrario en el análisis

fotoelástico al ser una prueba física en ocasiones los materiales presentan

imperfecciones que el ojo no alcanza a percibir, razón por la cual existe un porcentaje

de error que en este caso no fue de una magnitud muy elevada la cual se muestra en la

sección 4.3 referente al análisis comparativo de los resultados

Aunque el método fotoelástico tiene varias décadas de que fue implementado todavía

aporta resultados muy confiables como los obtenidos en esta investigación. Por el lado

del método del elemento finito se confirma que el software implementado para su

análisis cada día lo elaboran más completo.

Una observación que es imprescindible para la fotoelasticidad en dos dimensiones nos

dice que los esfuerzos que se tienen de un prototipo elaborado en plástico, deben ser

relativamente semejantes a los que se obtengan de un modelo metálico, siempre que el

modelo sea de la misma geometría y de las mismas condiciones de carga que el del

prototipo a analizar.

TESIS DE GRADO 78 RECOMENDACIONES

RECOMENDACIONES

Para las futuras investigaciones con respecto a este tipo de ruedas dentadas,

comprobar que la tendencia aquí mostrada hacia las magnitudes y la propagación de

esfuerzos son semejantes a las obtenidas a las realizadas en este proyecto.

Se puede hacer estudios de análisis de fractura y de mecánica de la fractura para

complementar el estudio de los esfuerzos en las catarinas y así poder tener una

información más completa que pueda servir para el diseño de las mismas.

En el caso del análisis experimental tratar de utilizar un compensador que nos permita

tener una visión más clara de la distribución de esfuerzos que se esta presentado en el

modelo analizado.

Por último, tratar de comprobar por otros métodos experimentales que los resultados

que se puedan obtener convergen con los del presente estudio. En el caso del método

numérico intentar realizar el estudio por otro paquete computacional, como el Cosmos

que es un software que también está orientado al estudio de los elementos finitos.

TESIS DE GRADO 79 ANEXO A

ANEXO A

Fotografía isocromática con carga de 13 N

Fotografía isocromática con carga de 26 N

TESIS DE GRADO 80 ANEXO A

Fotografía isóclina a diez grados con carga de 13 N

Fotografía isóclina a diez grados con carga de 26 N

analisis y seleccion de elementos mecanicos pdf

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