analisis stabilitas dan optimal kontrol pada model …
TRANSCRIPT
1
ANALISIS STABILITAS DAN OPTIMAL KONTROL PADA MODEL
EPIDEMI TIPE SIR DENGAN VAKSINASI
Oleh
Ikhtisholiyah
1207 100 702
Dosen Pembimbing
Dr. Subiono, M.Sc
ABSTRAK
Pemodelan matematika dan teori banyak digunakan dalam kehidupan sehari-hari, salah satunya teori
kontrol optimal diterapkan pada pengendalian berbagai jenis penyakit. Pada tugas akhir ini pengendalian
optimal tidak diterapkan pada penyakit yang khusus, akan tetapi digunakan untuk pola penyebaran penyakit
yang mempunyai model epidemi tipe SIR (Susceptible-Infected-Recovery). Untuk menegendalikan pola
penyebaran penyakit ini, diperlukan suatu vaksin. Vaksin adalah bahan antigenik yang digunakan untuk
menghasilkan kekebalan aktif terhadap suatu penyakit sehingga dapat mencegah atau mengurangi pengaruh
infeksi. Pada tugas akhir ini pengendalian penyakit yang mempunyai model epidemi tipe SIR dilakukan dengan
vaksinasi untuk meminimalkan individu rentan (S) dan terinfeksi (I) serta memaksimalkan individu yang
sembuh (R) secara bersamaan. Kontrol optimal diperoleh dengan menerapkan Prinsip Minimum Pontryagin.
Kata Kunci : Model SIR, vaksinasi, kendali optimal, Prinsip Minimum Pontryagin
I. PENDAHULUAN
Penyakit measles (campak), mumps (gondong),
rubella (campak jerman) dan poliomyelitis (polio)
merupakan penyakit infeksi yang sangat berbahaya.
Penyakit tersebut disebabkan oleh virus yang dapat
menyebar melalui kontak langsung dengan
penderita, udara, batuk atau bersin dan kotoran
mausia [5].
The United Nations Children’s Fund
(UNICEF) [6] menyebutkan bahwa penyakit
tersebut dinilai berbahaya karena dapat
menyebabkan komplikasi, kerusakan otak dan
organ tubuh lain., cacat seumur hidup, kelumpuhan
dan kematian. Menurut UNICEF [6], sekitar 30.000
anak di Indonesia meninggal dunia setiap tahun
karena penyakit measles. Sedangkan menurut
World Health Organization (WHO) [8], sekitar
242.000 anak diseluruh dunia meninggal dunia pada
tahun 2006 karena penyakit measles. Sementara itu,
menurut UNICEF [7], sekitar 302 anak di Indonesia
mengalami kelumpuhan karena penyakit
poliomyelis. Besarnya jumlah kematian dan
kelumpuhan karena penyakit poliomyelis dan
measles menunjukkan bahwa penyakit tersebut
memang sangat berbahaya dan harus dicegah
penyebarannya.
Perkembangan ilmu pengetahuan di bidang
matematika juga turut memberikan peranan dalam
mencegah meluasnya penye-baran penyakit.
Peranan tersebut berupa model matematika yang
mempelajari penyebaran penyakit yang bersifat
endemi dengan memperhatikan faktor kelahiran dan
kematian. Model yang dimaksud adalah model
epidemi tipe SIR (Susceptible-Infected-Recovery)
klasik. Model epidemi tipe SIR klasik telah
dikenalkan oleh Kermack dan McKendrick pada
tahun 1927. Pada model epidemi SIR klasik,
populasi dibagi menjadi tiga kelompok yaitu
populasi yang rentan terhadap penyakit
(susceptible), populasi yang terinfeksi dan dapat
sembuh dari penyakit (infected), populasi yang
telah sembuh dari penyakit (recovery). Secara
garis besar, model epidemi tipe SIR klasik
menggambarkan alur penyebaran penyakit dari
populasi susceptible menjadi infected melalui
kontak langsung maupun perantara lain.
Selanjutnya, populasi infected yang mampu
bertahan terhadap penyakit akan sembuh dan
memasuki populasi recovery. Pada sebagian kasus,
terdapat penyakit yang dapat memasuki kondisi
endemi yakni kondisi dimana penyakit menyebar
pada suatu wilayah dalam kurun waktu yang sangat
lama. Kondisi endemi tersebut dapat terjadi pada
penyakit measles, mumps, rubella, dan
poliomyelistis.
Berdasarkan data WHO [8], penyebaran
penyakit dapat ditekan dengan program vaksinasi.
Sampai saat ini, program vaksinasi masih dipercaya
sebagai cara yang efektif dalam menekan
penyebaran penyakit. Menurut WHO [8],
pemberian vaksin Measles Mumps Rubella (MMR)
terbukti mampu menekan jumlah kematian yang
disebabkan oleh penyakit measles, mumps, rubella
sekitar 68% pada tahun 2000-2006. Penurunan yang
signikan juga ditunjukkan pada penyakit
poliomyelitis yang dapat ditekan penyebarannya
2
dengan pemberian vaksin Oral poliomyelitis
Vaccine (OPV).
Dengan menganalisis suatu penyakit, maka
akan didapatkan titik kesetimbangan dan kestabilan
dari model epidemi suatu penyakit, sehingga dapat
diketahui arah pertumbuhan penyakit ini. Dan
dengan diketahui pola penyebaran penyakit,
pemerintah dapat memprediksi perkembangan suatu
penyakit sehingga dapat segera mengambil
kebijakan untuk mencegah terjadinya wabah
penyakit menular pada suatu daerah. Hal ini
nantinya berkaitan erat dengan pengendalian sistem
epidemi tersebut.
Pada penelitian sebelumnya, Anggraeni Eka
[1] telah mendapatkan penyelesaian numerik dan
menganalisis perilaku model epidemi tipe SIR
dengan vaksinasi tetapi tidak membahas kontrol
atau vaksinasi yang optimal dalam mengatasi
pencegahan penularan penyakit tersebut.
Pada tugas akhir ini akan dibahas tentang
analisis stabilitas pada penyakit yang mempunyai
model epidemi tipe SIR dan akan didapatkan
kontrol / vaksinasi yang optimal untuk
meminimalkan individu rentan (S) dan terinfeksi (I)
serta memaksimalkan individu yang sembuh (R)
secara bersamaan dengan menggunakan Prinsip
Minimum Pontryagin.
II. TINJAUAN PUSTAKA
2.1. Model Epidemi Tipe SIR
Model epidemi klasik adalah model SIR
dengan dinamika penting (kelahiran dan kematian)
yang diberikan oleh :
Untuk mendapatkan strategi vaksinasi yang
optimal, dalam tugas akhir ini digunakan teori
kontrol optimal serta digunakan model yang
disajikan dalam [9] untuk mengurangi jumlah
individu yang rentan dan terinfeksi serta
meningkatkan jumlah individu yang sembuh.
Dalam sistem persamaan diferensial pada
(2.1)-(2.3), digunakan tiga variabel state S (t), I (t)
dan R (t). Untuk masalah kontrol optimal,
digunakan variabel kontrol u(t) ∈ Uad yang
mempresentasikan proporsi jumlah individu rentan
yang diberikan vaksin pada saat t., disini
. Dengan adanya
pengontrol u(t), maka konstrain sistem dinamik dari
persamaan diferensial pada (2.1)-(2.3) menjadi :
Tujuan akhir dari masalah kontrol optimal dari
model epidemi tipe SIR adalah untuk mendapatkan
bentuk yang optimal sehingga meminimalkan
fungsi objektif dengan kontrol :
(2.7)
dengan
populasi susceptible (yang rentan terhadap
penyakit) pada saat t
populasi infectious (yang terjangkit
penyakit dan dapat menularkan penyakit
pada saat t.
populasi recovery (yang telah sembuh /
bebas penyakit) pada saat t.
konstanta positif untuk menjaga
keseimbangan ukuran S(t) dan I(t).
bobot parameter positif
prosentase jumlah individu rentan yang
diberikan vaksin pada saat t.
jumlah populasi keseluruhan
laju kelahiran dan kematian yang
dianggap sama tiap satuan waktu
koefisien transmisi
laju kesembuhan dari individu terinfeksi
2.2. Titik Setimbang dan Kestabilan Lokal
Suatu sistem persamaan diferensial berbentuk
Sebuah titik merupakan titik
kesetimbangan dari sistem persamaan (2.8) jika
memenuhi , ,
.
Kestabilan asimtotis lokal merupakan
kestabilan dari sistem linier atau kestabilan dari
linierisasi sistem tak linier. Kestabilan lokal pada
titik kesetimbangan ditentukan oleh tanda bagian
real dari akar-akar karakteristik sistem dari matriks
Jacobian yang dihitung di sekitar titik
kesetimbangan. Untuk sistem tak linear harus
dilinearkan sehingga didapatkan bentuk sistem
linear.
2.2.1 Linearisasi Linearisasi adalah proses hampiran
persamaan diferensial non linear dengan bentuk
linear. Tinjau kembali persamaan (2.8) dimana X,
Y dan Z adalah persamaaan nonlinear dan
adalah titik kesetimbangan dari
persamaan (2.8). Selanjutnya akan dicari
pendekatan linear disekitar dengan
3
melakukan ekspansi menurut deret Taylor disekitar
titik sebagai berikut :
Karena adalah titik kesetimbangan,
maka berlaku
sehingga persamaan (2.9) menjadi
Bila dilakukan subtitusi
maka
sehingga diperoleh :
Persamaan (2.10) ini merupakan hasil
linearisasi dari persamaan (2.8) disekitar
. Persamaan tersebut dalam bentuk
matriks dapat ditulis :
dalam hal ini matriks
disebut matriks Jacobian
disekitar titik kesetimbangan
2.2.2 Akar- akar Persamaan Karakteristik
Definisi 2.1[2] Jika J adalah matriks berukuran n x n maka
vektor taknol dinamakan vektor karakteristik dari J
yang memenuhi :
Jx = x (2.12)
untuk suatu skalar . Skalar dinamakan nilai
karakteristik dari J dan x dikatakan vektor
karakteristik yang bersesuaian dengan .
Untuk mencari nilai karakteristik matriks J
yang berukuran n x n, maka dapat dituliskan
kembali Persamaan (2.12) sebagai
Jx =Ix
atau secara ekivalen
( J - I ) x = 0 (2.13)
Supaya menjadi nilai karakteristik harus ada
penyelesaian taknol dari Persamaan (2.13),
sehingga persamaan tersebut akan mempunyai
penyelesaian taknol jika dan hanya jika
det ( J - I ) x = 0 (2.14)
atau dapat ditulis
| J - I | = 0
Misalkan jika matriks dengan
, , ,
dan maka dapat
diperoleh
Atau
Dengan akar-akar karakteristik
2.3. Kestabilan Routh – Hurwitz
Pada permasalahan tertentu kestabilan titik
setimbang tidak bisa diamati karena tanda bagian
real nilai eigen tidak mudah ditentukan, oleh karena
(2.5)
4
itu perlu digunakan metode lain untuk menentukan
tanda bagian real nilai eigen . Sebagai contoh
untuk matrik yang berukuran dengan
tanda bagian real nilai eigen dapat ditentukan
dengan menggunakan kriteria kestabilan Routh-
Hurwitz (Routh-Hurwitz Stability Criterion).
Kriteria kestabilan Routh – Hurwitz adalah
suatu metode untuk menunjukkan kestabilan sistem
dengan memperhatikan koefisien dari persamaan
karakteristik tanpa menghitung akar-akar
karakteristik secara langsung.
Jika diketahui suatu persamaan karakteristik
dengan orde ke-n sebagai berikut :
.
Kemudian susun koefisien persamaan
karakteristik menjadi :
Tabel 2.1 Tabel Routh – Hurwitz
dengan
Dengan menggunakan akar karakteristik (nilai
eigen ), sistem dikatakan stabil atau mempunyai
bagian real negatif jika dan hanya jika elemen –
elemen pada kolom pertama
memiliki tanda yang sama.
2.4. Masalah Kontrol Optimal
Pada prinsipnya, tujuan dari kontrol optimal
adalah menentukan signal yang akan diproses
dalam plant dan memenuhi konstrain fisik.
Kemudian, pada waktu yang sama dapat ditentukan
ekstrim (maksimum/minimum) yang sesuai dengan
kriteria performance index.
Gambar 2.1 Skema Kontrol
Pada gambar tersebut optimal control adalah
mendapatkan optimal control (u* ), tanda *
menyatakan kondisi optimal yang akan mendorong
dan mengatur plant C dari keadaan awal sampai
keadaan akhir dengan beberapa konstrain. Kontrol
dengan keadaan dan waktu yang sama dapat
ditentukan ekstrim berdasarkan performance index
yang diberikan. Secara umum, formulasi yang dapat
diberikan pada permasalahan kontrol optimal
adalah:
1. Mendiskripsikan secara matematik artinya
diperoleh metode matematika dari proses
terjadinya pengendalian (secara umum dalam
bentuk variabel keadaan).
2. Spesifikasi dari performance index.
3. Menentukan kondisi batas dan konstrain fisik
pada keadaan (state) dan atau kontrol.
Pada umumnya, masalah kontrol optimal dalam
bentuk matematik dapat diformulasikan sebagai
berikut. Dengan tujuan mencari kontrol yang
mengoptimalkan (memaksimumkan atau
meminimumkan) performance index:
(2.15)
Dengan kendala
(2.16)
Performance index merupakan ukuran kuantitas
dari performance suatu sistem. Performance index
(2.15) dikatakan dalam bentuk Lagrange ketika
, dalam bentuk Mayer ketika
Kontrol merupakan kontrol optimal, jika
disubtitusikan ke dalam sistem dinamik (2.16) akan
memperoleh state yang optimal dan pada saat
yang sama juga mengoptimalkan performance
index (2.15).
2.5. Prinsip Minimum Pontryagin
Prinsip Minimum Pontryagin merupakan suatu
kondisi sehingga dapat diperoleh penyelesaian
kontrol optimal yang sesuai dengan tujuan.
(memaksimalkan performance index).
Berikut ini, akan dibahas contoh kasus yang
menjadi ide dasar untuk membantu mendapatkan
penyelesaian optimal control pada suatu model.
Diberikan permasalahan dengan suatu kontrol yang
terbatas sebagai berikut:
untuk dapat ditulis
sedemikian hingga dengan menggabungkan
5
persamaan (2.17) dan (2.18) dengan pengali
lagrange dapat diperoleh
misalkan adalah integral dari sampai untuk L
padahal
sehingga diperoleh
berarti untuk bernilai minimum dapat ditulis
seperti berikut
maka dengan mengurangkan kedua persamaan
diatas akan diperoleh
karena mempunyai nilai awal
maka
kemudian dilakukan ekspansi deret Taylor terhadap
persamaan (2.22) sedemikian hingga menjadi
untuk
dengan mengasumsikan bahwa ,
sehingga dapat ditulis kembali
dengan memilih yang memenuhi (2.24)
sehingga persamaan (2.23) dapat direduksi menjadi
sedemikian hingga untuk merupakan solusi
yang optimal maka
untuk itu, dibutuhkan suatu kemungkinan untuk
memodifikasi yang memenuhi persamaan
(2.25). Jika kontrol optimal adalah pada batas
bawah untuk maka modifikasi control ,
jadi dibutuhkan , sehingga .
Dengan cara yang sama, jika kontrol optimal pada
batas atas maka bentuk modifikasi kontrol ,
jadi dibutuhkan , sehingga .
Kesimpulannya
jika
jika
jika
supaya persamaan (2.24) konsisten untuk semua
, karena itu dipilih
Jika
Jika
Jika
…………………………………………….(2.26)
atau ekuivalen dengan
berakibat
berakibat
berakibat
berarti jika penyelesaian persamaan (2.17)-
(2.19) maka harus terdapat fungsi sedemikian
hingga memenuhi persamaan (2.18),
(2.19), (2.24) dan (2.26).
2.6 Simulasi
Simulasi pada model epidemi tipe SIR, akan
diselesaikan dengan menggunakan DOTcvpSB
versi R2010_E3 (Dynamic Optimization Toolbox
Control Vector Parameterizations in System
Biology) merupakan salah satu toolbox matlab
6
untuk optimisasi dinamik dalam bidang biologi,
yang dibuat oleh Thomas Hirmajer, dkk, dari
Instituto de Investigaciones Marinas-CSIC.
DOTcvpSB menggunakan pendekatan parameter
vektor kontrol (Control Vektor Parameterization)
untuk menyelesaikan masalah dinamik optimisasi
integer campuran dan kontinu. DOTcvpSB sudah
berhasil diterapkan untuk menyelesaikan beberapa
masalah dalam bidang sistem biologi dan teknik
bioproses. DOTcvpSB diimplementasikan dalam
software Matlab yang juga didesain untuk sistem
operasi komputer yang berbasis windows dan linux
[3].
III. METODE PENELITIAN
Metode yang digunakan untuk memecahkan
permasalahan dalam tugas akhir ini adalah sebagai
berikut:
1. Mencari Titik Setimbang
2. Analisis Stabilitas Model Epidemi tipe SIR.
3. Penyelesaian Optimal Kontrol
4. Simulasi
5. Analisis Hasil Penyelesaian dan Simulasi.
IV. ANALISIS DAN PEMBAHASAN
4.1 Deskripsi Model dan Asumsi
Model epidemi tipe SIR yang akan dibahas
mempunyai asumsi-asumsi sebagai berikut:
a. Populasi dibagi menjadi 3 kelompok yaitu :
S(t) adalah populasi susceptible (individu-
individu yang rentan terhadap penyakit)
pada saat t.
I(t) adalah populasi infectious (individu-
individu yang terjangkit penyakit dan
dapat menularkan penyakit, tetapi belum
menunjukkan adanya gejala penyakit
awal) pada saat t.
R(t) adalah populasi recovery (individu-
individu yang telah sembuh/bebas
penyakit) pada saat t.
b. Diasumsikan adalah laju kelahiran yang
sama dengan laju kematian. Sedangkan N
adalah jumlah populasi keseluruhan dari
populasi susceptible, infectious, dan recovery,
jumlah poupulasi yang lahir dalam populasi
tiap satuan waktu selalu konstan. Jumlah
populai yang lahir proposional dengan total
populasi N. oleh karena itu, jumlah populasi
yang lahir dalam populasi adalah . Jumlah
populasi yang lahir tersebut akan memasuki
kelompok S(t).
c. Berdasarkan asumsi laju kelahiran sama
dengan laju kematian, maka jumlah populasi
yang mati pada setiap kelompok proposional
dengan jumlah populasi pada masing-masing
kelompok. Oleh karena itu, jumlah kematian
pada kelompok masing masing
sebesar .
d. adalah laju besarnya populasi yang
terinfeksi dimana adalah koefisien transmisi
yang merupakan konstanta yang menunjukkan
tingkat kontak sehingga terjadi penularan
penyakit, individu rentan memperoleh infeksi
pada per kapita dan laju
kejadian/timbulnya penyakit standar pada
populasi yang terinfeksi .
e. adalah laju kesembuhan dari individu yang
telah terinfeksi.
f. u(t) yang mempresentasikan prosentase
populasi rentan yang divaksinasi per unit
waktu.
Sehingga persamaan untuk :
Populasi Susceptible
yakni, besarnya laju populasi yang rentan
dipengaruhi oleh jumlah populasi yang lahir
dalam populasi dan akan menurun dengan
adanya laju kematian alami serta laju
populasi yang terinfeksi .
Populasi Infected
yakni, besarnya laju populasi yang terinfeksi
dipengaruhi oleh laju populasi yang terinfeksi
dan akan menurun dengan adanya
populasi yang sembuh serta laju kematian
alami .
Populasi Recovery
yakni, besarnya laju populasi yang sembuh
dipengaruhi oleh laju kesembuhan dari populasi
yang terinfeksi dan akan menurun dengan
adanya laju kematian alami .
4.2 Titik Setimbang Model
4.2.1 Titik Setimbang Bebas Penyakit Titik kesetimbangan bebas penyakit (
disease-free equilibrium) adalah suatu
keadaan dimana tidak terjadi penyebaran
penyakit menular dalam populasi.
Titik tersebut didapatkan pada saat I(t)=0
yakni suatu keadaan dimana tidak terjadi
infeksi/penularan pada populasi.
Sehingga didapatkan titik setimbang bebas
penyakit yaitu
4.2.2 Titik Setimbang Endemi
Titik setimbang endemi (endemic
equilibrium) yaitu suatu kondisi dimana
7
terjadi penyebaran penyakit menular di dalam
populasi tersebut.
Didapatkan dari .
Sehingga didapatkan titik setimbang endemi
yaitu :
1 , 1 + −1 .
4.3 Kestabilan Lokal
4.3.1 Kestabilan Lokal Titik Setimbang Bebas
Penyakit
Pada titik setimbang
matrik jacobiannya adalah
Nilai eigen diperoleh dari :
0=0 maka
sehingga didapatkan nilai eigen
Karena laju kematian alami untuk nilai
maka , sedangkan untuk
belum dapat ditentukan
tandanya (dapat bernilai positif atau negatif).
Oleh karena itu, akan dicari bilangan
Reproduksi Dasar terlebih dahulu.
Dari persamaan (2.1) - (2.3) dapat dicari
Basic Reproductive ( ), dimana
bertujuan untuk mengetahui dinamik
penyebaran penyakit, artinya apakah
penyakit tersebut terjadi endemi (wabah
penyakit) atau tidak. Berdasarkan nilai
eigen dapat dianalisa sebagai berikut :
dengan , Sedangkan
akan bernilai positif jika dan
bernilai negatif jika .
Oleh karena itu, Basic Reproductive ( )
adalah :
Dari nilai maka akan didapatkan nilai
sebagai berikut :
a. Jika atau
Akan didapatkan bahwa nilai eigen dari
dan , maka berdasarkan sifat
stabilitas titik setimbang dilihat dari akar – akar
karakteristiknya (nilai eigen ) maka titik
setimbang tidak stabil.
b. Jika atau
Akan didapatkan bahwa nilai eigen dari
, maka berdasarkan sifat
stabilitas titik setimbang dilihat dari akar – akar
karakteristiknya (nilai eigen ) maka titik
setimbang stabil asimtotis.
4.3.2 Kestabilan Lokal Titik Setimbang Endemi
Pada titik setimbang dengan :
Nilai eigen diperoleh dari :
maka
persamaan karakteristiknya adalah :
misalkan :
8
dengan mensubtitusikan nilai-nilai pada
persamaan (4.1) sehingga diperoleh :
apabila persamaan diatas ditulis dalam bentuk
umum polynomial orde 3 menjadi :
Selanjutnya untuk mendapatkan akar-akar
karakteristik (nilai eigen ) dari polynomial derajat
3 digunakan kriteria kestabilan Routh-Hurwitz
untuk menentukan kestabilannya
polynomial orde 3 mempunyai akar negatif pada
bagian realnya jika dan hanya jika elemem-elemen
dari kolom pertama pada tabel Routh-Hurwitz
mempunyai tanda yang sama.
Sehingga didapatkan ketika berakibat
. maka titik setimbang
endemi yaitu :
adalah stabil asimptotik.
4.4 Penyelesaian Kontrol Optimal
Pada penyelesaian kontrol optimal ini akan
dibahas tentang penyelesaian menggunakan kontrol
optimal untuk mendapatkan vaksinasi yang optimal
dengan fungsi tujuan sebagai berikut :
Model tersebut dapat diselesaikan dengan
menggunakan optimal kontrol dimana variabel
kontrolnya adalah u dan variabel keadaannya
Sedangkan konstrainnya adalah :
Dengan kondisi batas
Hal pertama yang harus dilakukan adalah
menentukan fungsi Hamiltonian
)
Berdasarkan Prinsip Minimum Pontryagin,
maka harus memenuhi persamaan state
, co-state dan kondisi stationer.
1. Persamaan State
Dengan kondisi batas sebagai berikut :
2. Persamaan co-state
Dengan kondisi batas sebagai berikut
3. Kondisi Stationer
Karena , sehingga diperoleh
Dengan mensubstitusikan persamaan (4.11 )
maka didapatkan sistem yang optimal
9
0 100 200 300 400 500 600100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
1100
Time(day)
Recovere
d I
ndiiduals
0 100 200 300 400 500 600
0
200
400
600
800
1000
1200
Time(day)
Susceptible
Indiv
iduals
0 100 200 300 400 500 600
0
200
400
600
800
1000
1200
Time(day)
Infe
cte
d I
ndiv
iduals
4.5 Simulasi
Tabel 4.1 Parameter dan Nilainya [9]
Parameter Nilai
0.95
0.053
0.001
1075
1
20
Tabel 4.2 Parameter Komputasi [9]
Parameter Komputasi Simbol Nilai
Waktu akhir 600 hari
Batas bawah kontrol
0
Batas atas kontrol 0.9
Initial condition
populasi susceptible 800
Initial condition
populasi infected 175
Initial condition
populasi recovery 100
Pemberian vaksinasi
HASIL SIMULASI
Gambar 4.1 Populasi Susceptible ( rentan )
Tanpa Kontrol
Gambar 4.2 Populasi Infected ( yang terinfeksi )
Tanpa Kontrol
Gambar 4.3 Populasi Recovered ( sembuh ) Tanpa
Kontrol
Gambar 4.4 Populasi Susceptible ( rentan ) Dengan
Kontrol
Gambar 4.5 Populasi Infected (yang terinfeksi)
Dengan Kontrol
0 100 200 300 400 500 6000
200
400
600
800
1000
1200
Time(day)
Suscetible
Indiv
iduals
0 100 200 300 400 500 6000
200
400
600
800
1000
1200
Time(day)
Infe
cte
d I
ndiv
iduals
10
0 100 200 300 400 500 6000
200
400
600
800
1000
1200
Time(day)
Recverd
Indiv
iduals
0 100 200 300 400 500 600
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Time(day)
Contr
ol V
ariable
s
u
1
Gambar 4.6 Populasi Recovered (sembuh) Dengan
Kontrol
Dari hasil analisis pada Gambar 4.1 – Gambar
4.6 menunjukkan bahwa populasi yang rentan
(susceptible) terjadi penurunan pada awal periode
dengan kontrol yang optimal berupa pemberian
vaksin dan nilai cost function dan
pada saat populasi yang terinfeksi (infected)
berkurang mengakibatkan populasi yang sembuh
(recovered) meningkat pada awal pengendalian
sampai akhir periode pengendalian. Dengan kondisi
seperti ini dapat diketahui bahwa selama 600 hari /
20 bulan populasi yang terinfeksi menurun karena
pemberian kontrol . Dan ini berarti bahwa
penyebaran penyakit yang mempunyai model
epidemi tipe SIR dapat ditekan dengan kontrol yang
optimal sebagai berikut :
Gambar 4.7 Kontrol
Untuk kontrol yaitu prosentase jumlah
populasi rentan yang diberikan vaksin pada saat t
pada awal periode pengendalian adalah maksimal
yakni sebesar 0.9, kemudian bergerak menurun dan
konstan pada saat kurang lebih 60 hari / 2 bulan
sampai pada akhir periode pengendalian sehingga
setelah itu hanya 0.3 dari populasi rentan yang
harus diberikan vaksin. Hal ini mengakibatkan
pemberian vaksin pada individu yang rentan
semakin berkurang karena populasi ini mulai
mengalami kesembuhan.
Hasil dari penerapan kontrol / pemberian vaksin
yang dilakukan dalam mengendalikan
populasi yang terinfeksi memberikan suatu hasil
yang optimal dengan fungsi objektif yang
minimum.
V. PENUTUP
5.1 Kesimpulan
Dari analisis yang dilakukan pada model
epidemi tipe SIR, maka akan diperoleh kesimpulan
sebagai berikut :
1. Pada analisis stabilitas dapat diketahui bahwa
Kestabilan lokal titik setimbang bebas
penyakit bersifat
stabil asimtotis untuk sedangkan untuk titik
setimbang endemik
bersifat
stabil asimtotis untuk .
2. Pada optimal kontrol dapat diketahui bahwa
Pada model pengendalian epidemi tipe SIR
dengan kontrol vaksinasi diselesaikan dengan
menerapkan Prinsip Minimum Pontryagin dan
dapat diketahui bahwa nilai kontrol yang
optimal didapat :
dengan
prosentase populasi rentan yang
diberikan vaksin pada saat t.
3. Hasil simulasi dengan DOTcvpSB menunjukkan
keefektifan pengendalian dengan kontrol
vaksinasi dapat mengurangi populasi yang
terinfeksi sehingga penyebaran penyakit dapat
ditekan dan meminimumkan biaya dalam
pemberian vaksin.
5.2 Saran
Pada penelitian ini tidak dibahas mengenai
analisis kestabilan global dari model epidemi tipe
SIR, dan diasumsikan laju kelahiran sama dengan
laju kematian serta tidak diperhatikan masa
inkubasi, oleh karena itu penulis menyarankan pada
pembaca yang tertarik masalah ini agar pada
penelitian selanjut-nya menyertakan analisis global
dari model epidemi tipe SIR dan memperhatikan
masa inkubasi serta laju kelahiran yang tidak sama
dengan laju kematian.
DAFTAR PUSTAKA
[1] Anggraeni, E. (2010), Penyelesaian Numerik
dan Analisis Perilaku Model Epidemi Tipe SIR
dengan Vaksinasi Untuk Pencegahan Penularan
Penyakit. Tugas Akhir S1 Jurusan Matematika ITS
Surabaya.
11
[2] Finizio, N. dan Landas, G. 1988. Ordinary
Differential Equations with Modern Applications.
California: Wadsworth Publishing Company.
[3] Hirmajer, T., Canto, E.B., dan Banga, J.R.,
(2009), DOTcvpSB: a Matlab Toolbox for Dynamic
Optimization in Systems Biology, User’s Guide
Technical Report, Instituto De Investigaciones
Marinas [IIM-CSIC], Spanyol.
[4] Kamien, M.I. dan Schwarz, N.L. 1991.
Dynamics Optimization: The Calculus Of
Variations and Optimal Control In Economics And
Management. Norh Holland. Amsterdam.
[5] Nugroho, Susilo. (2009). Pengaruh Vaksinasi
Terhadap Penyebaran Penyakit Dengan Model
Endemi SIR. Tugas Akhir S1 Jurusan Matematika
Universitas Sebelas Maret.
[6] UNICEF, Going the extra mile: UNICEF
Indonesia immunization drive reaches remote areas
http://www.unicef.org/indonesia/reallives_7295.ht
ml. Diakses pada tanggal 21 juni 2011, pukul 22.00
WIB.
[7] UNICEF, Polio: stories from West Java,
http://www.
unicef.org/indonesia/reallives_2956.html. Diakses
pada tanggal 21 juni 2011, pukul 22.00 WIB.
[8] WHO,Measles,http://www.who.int/mediacentre/
factsheets/fs286/en/. Diakses pada tanggal 21 juni
2011, pukul 22.00 WIB.
[9] Zaman. Gul, Hyo Jung. Il, Yang. H.K, 2010
Stability Analysis And Optimal Vaccination Of An
SIR Epidemic Model, Biosystem. 93 (2008) 240-
249.