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Calculo en dominio del tiempo y de la frecuencia
GMC
Analisis Sısmico de Estructuras:
Procedimientos de Calculo - Analisis en eldominio del tiempo y en el dominio de la
frecuencia
Jose M.a Goicolea
Depto. Mecanica de Medios Continuos y Teorıa de Estructuras
08/04/02
J.M. Goicolea Analisis Sısmico de Estructuras
Calculo en dominio del tiempo y de la frecuencia
Bibliografıa
♠ M Geradin, D. Rixen: Mechanical Vibrations, 2nd. ed.,
Wiley 1997.
♠ D.E. Newland: An introduction to random vibrations and
spectral analysis, 2nd. ed., Longman, 1984
♠ R.W. Clough, J. Penzien: Dynamics of Structures, 2nd.
ed., McGraw-Hill, 1993.
♠ J.L. Humar: Dynamics of Structures, Prentice-Hall, 1990.
♠ A.K. Chopra: Dynamics of Structures, Prentice-Hall,
1995.
♠ J. Miquel, A. Barbat: Estructuras sometidas a acciones
sısmicas: calculo por ordenador, CIMNE, Barcelona,
1988.
J.M. Goicolea Analisis Sısmico de Estructuras
Calculo en dominio del tiempo y de la frecuencia
Metodos de solucion de las ecuaciones
dinamicas
Analisis modal
• Problemas lineales:
Mx + Cx + Kx = f(t)
• Calculo en el dominio del tiempo o de la frecuencia
• Estudio aleatorio
Integracion directa en el tiempo
• Caso general, no necesariamente lineal;
Mx + p(x, . . .) = f(t)
• Estudio determinista
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Calculo en dominio del tiempo y de la frecuencia
Integracion directa en el tiempo
Resolucion, mediante discretizacion en el tiempo, de las
E.D.O. anteriores.
t0, t1, . . . , tn, tn+1, . . .
∆tn+1/2 = tn+1 − tn
Metodos explıcitos
• Conocidos (xn, xn) + ec. dinamica en tn =⇒ xn+1
• Condicionalmente estable (∆t ≤ ∆tcrit)
Metodos implıcitos
• Conocidos (xn, xn) + ec. dinamica en tn+1 =⇒ xn+1
• Incondicionalmente estable (∆t no limitado)
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Calculo en dominio del tiempo y de la frecuencia
Metodos explıcitos: Euler
♥ Caso de 1 g.d.l.
xn+1 = xn + xn∆t
xn+1 = xn + xn∆t
• “forward” Euler (hacia delante): a partir de tn : → tn+1
• Error: ε = O(∆t) (orden 1).
♥ Caso de n g.d.l.
xn+1 = xn + M−1 · (fn − pn)∆t
• Matriz de masa concentrada (MIJ = mIδIJ , I no
sumado):
xn+1I = xn
I +fn
I − pnI
mI∆t
• ¡ecuaciones desacopladas para cada nodo!
J.M. Goicolea Analisis Sısmico de Estructuras
Calculo en dominio del tiempo y de la frecuencia
Metodos explıcitos: diferencias centrales
♥ Caso de 1 g.d.l.
xn+1/2 = xn−1/2 + xn∆t
xn+1 = xn + xn+1/2∆t
• A partir de tn : → tn+1, pero velocidad en n + 1/2.
• Error: ε = O(∆t2) (orden 2).
♥ Caso de n g.d.l.
xn+1/2 = xn−1/2 + M−1 · (fn − pn)∆t
• Matriz de masa concentrada (MIJ = mIδIJ , I no
sumado):
xn+1/2I = x
n−1/2I +
fnI − pn
I
mI∆t
• ¡ecuaciones desacopladas para cada nodo!
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Calculo en dominio del tiempo y de la frecuencia
Metodos explıcitos: Ciclo de calculo
1.— Fuerzas internas pn
a. elementos finitos:
p(e)ai =
∫Ω(e) σij
∂Na
∂xj︸ ︷︷ ︸Bja
dV,
((e) elemento, a nodo local, i, j comp.)
Ensamblaje: pAi = ANel
(e)=1p(e)ai
b. diferencias finitas:
pAi =∫
∂√A
σijnjdS
(A n.o de nodo global)
a
b
c
(e)
∂PA
A
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Calculo en dominio del tiempo y de la frecuencia
Metodos explıcitos: Ciclo de calculo (2)
2.— nuevas coordenadas:
xnA =
fnA − pn
A
mA
xn+1/2A = x
n−1/2A + xn
A∆t
xn+1A = xn
A + xn+1/2A ∆t
3.— Deformaciones y gradientes
• Elementos Finitos:
εn+1/2ij =
12
na∑a=1
(x
n+1/2ja Na,i + x
n+1/2ia Na,j
)
• Diferencias Finitas:
εn+1/2ij =
12
(x
n+1/2i,j + x
n+1/2j,i
)
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Calculo en dominio del tiempo y de la frecuencia
Metodos explıcitos: Ciclo de calculo (3)
4.— calculo de tensiones
Ley constitutiva incrementalσ= F (ε, ε, . . .)
Con pequenas rotaciones,σ= σ;
con grandes rotaciones, termino corrector (p. ej. Jaumann):
σ =σ −σ · ω + ω · σ
σn+1 = σn + σn+1/2∆t
5.— Incremento del tiempo
tn+1 = tn + ∆t; n ← n + 1
si tn+1 < tfinal, volver al paso 1.
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Calculo en dominio del tiempo y de la frecuencia
Metodos explıcitos: Ciclo de calculo (4)
Observaciones:
Algoritmo Elemento por Elemento, todas las operaciones
se realizan a nivel local y no se necesita ensamblar
ninguna matriz de coeficientes global.
Sencillez y Robustez de los algoritmos.
Por limitacion del algoritmo, la informacion no puede
recorrer mas de un elemento cada ∆t. Si fısicamente la
velocidad de propagacion de las ondas es mayor
(c > h/∆t), entonces sera inestable.
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Calculo en dominio del tiempo y de la frecuencia
Amortiguamiento en integracion explıcita
♠ Algoritmo con diferencias centrales:
xn+1/2 =(
M∆t
+C2
)−1 [(M∆t
− C2
)xn−1/2 + fn − pn
]
♠ Amortiguamiento de Ray-
leigh: Algoritmo desacoplado.
C = αM + βK
ζ =α
2ω+
βω
20
0.5
1
1.5
2
2.5
3
0 1 2 3 4 5
ζ
ω
rigidez (β)
masa (α)
Rayleigh
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Calculo en dominio del tiempo y de la frecuencia
Estabilidad condicional en metodos explıcitos
♠ Intervalo de tiempo crıtico: debe ser ∆t < ∆tcrit.
♠ Mediante analisis en frecuencias se deduce la condicion
∆tcrit =2
ωmax,
donde ωmax es la frecuencia propia maxima del modelo.
♠ En la practica se traduce en la
Condicion de Courant:
∆tcrit =h
c
h : dimension mınima del elemento
c : velocidad propagacion ondas
(tiempo que tardan las ondas en re-
correr un elemento)
ch
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Calculo en dominio del tiempo y de la frecuencia
Familia de metodos implıcitos β-Newmark
♦ Formulas de integracion:
xn+1 = xn +∫ tn+1
tn
x(τ) dτ
xn+1 = xn + ∆txn +∫ tn+1
tn
(tn+1 − τ)x(τ) dτ
♦ En funcion de los parametros (γ, β) se pueden proximar las
integrales como:
xn+1 = xn + (1− γ)∆txn + γ∆txn+1
xn+1 = xn + ∆txn + ∆t2(12− β)xn + ∆t2βxn+1
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Calculo en dominio del tiempo y de la frecuencia
Metodo trapezoidal
♦ β-newmark con (β = 1/4, γ = 1/2): Aceleracion media
constante en el intervalo (n, n + 1)
a =(xn+1/2
)=
xn + xn+1
2.
xn+1 = xn +xn + xn+1
2∆t
xn+1 = xn + xn∆t +12xn + xn+1
2∆t2
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Calculo en dominio del tiempo y de la frecuencia
Regla trapezoidal
♦ Caso lineal (sin amortiguamiento):
M · xn+1 + K · xn+1 = Fn+1
(4
∆t2M + K
)· xn+1 = Fn+1 + M ·
(4
∆t2xn +
4∆t
xn + xn
)
• Rigidez aparente: K = 4∆t2
M + K• Incondicionalmente estable
♦ Caso no lineal:
M · xn+1 + p(xn+1) = fn+1
Resolucion numerica (Newton): Rigidez tangente
Kt =∂p∂x
∣∣∣∣n+1
.
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Calculo en dominio del tiempo y de la frecuencia
Metodo HHT-α
♠ Se basa en el metodo β-Newmark, pero promediando las
fuerzas elasticas, amortiguamiento y exteriores entre dos
instantes de tiempo sucesivos con un parametro α:
M · xn+1 + αp(xn) + (1− α)p(xn+1) = αfn + (1− α)fn+1
♠ Para α = 0 se recupera el metodo β-Newmark.
♠ Incondicionalmente estable si
α ∈ [0, 13 ], γ = 1
2 + α, β = 14 (1 + α)2.
♠ Para α 6= 0 introduce cierto nivel de amortiguamiento
numerico en las altas frecuencias. esto suele ser beneficioso
en la dinamica estructural, ya que las altas frecuencias
generalmente son erroneas y producen ademas problemas
numericos.
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Calculo en dominio del tiempo y de la frecuencia
Caracterısticas Metodos Explıcitos
condicionalmente convergente =⇒ ∆t pequeno
pocas operaciones por cada ciclo
estructura sencilla del algoritmo. Fiable y Robusto.
ecuaciones desacopladas. No almacena matrices globales,
ni resuelve sistemas de ecuaciones simultaneas.
tamano memoria crece linealmente con modelo (decisivo
para 3D).
no sirve para calculos estaticos (salvo: relajacion
dinamica).
CLASE DE PROBLEMAS:
Problemas de dinamica rapida: propagacion de ondas,
frecuencias altas
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Calculo en dominio del tiempo y de la frecuencia
Caracterısticas Metodos Implıcitos
incondicionalmente convergente =⇒ ∆t puede ser grande
mayor numero de operaciones por ciclo
estructura mas compleja del algoritmo. Menos robusto
para casos no lineales acusados (convergencia).
resuelve sistema de ecuaciones simultaneas, almacenando
matrices globales.
tamano memoria crece cuadraticamente con modelo.
Imprescindible solucion out of core para 3D.
sirve para calculos estaticos, haciendo M = 0.
CLASE DE PROBLEMAS:
Problemas de vibraciones inerciales: frecuencias mas
bajas
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Calculo en dominio del tiempo y de la frecuencia
Desarrollo en Serie de Fourier
• Sistema lineal con excitacion periodica (g(t + nT0) = g(t)):
mx + cx + kx = g(t)
• Desarrollo en serie de Fourier: siendo Ω0 =2π
T0,
g(t) = a0 +∞∑
n=1
an cos(nΩ0t) +∞∑
n=1
bn sen(nΩ0t) (1)
• multiplicando (1) por cos(mΩ0t) o sen(mΩ0t) e integrando:
a0 =1T0
∫ T0/2
−T0/2
g(t) dt; an =2T0
∫ T0/2
−T0/2
g(t) cos(nΩ0t) dt; (2)
bn =2T0
∫ T0/2
−T0/2
g(t) sen(nΩ0t) dt (3)
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Calculo en dominio del tiempo y de la frecuencia
Respuesta a una carga periodica
• Sistema lineal:
respuesta a carga combinada = combinacion de respuestas
• Suponemos que la carga periodica es indefinida:
regimen permanente.
• respuesta a carga armonica (sin amortiguamiento):
p(t) = p0 sen(Ωt) ⇒ u(t) = p01/k
1− β2sen(Ωt); (4)
p(t) = p0 cos(Ωt) ⇒ u(t) = p01/k
1− β2cos(Ωt) (5)
• respuesta a carga periodica g(t) desarrollada por (1):
u(t) =a0
k+
∞∑n=1
an1/k
1− β2n
cos(nΩ0t) +∞∑
n=1
bn1/k
1− β2n
sen(nΩ0t) (6)
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Calculo en dominio del tiempo y de la frecuencia
Forma exponencial del desarrollo de Fourier
• Notacion exponencial compleja (eiθ def= cos θ + i sen θ):
sen(nΩ0t) =einΩ0t − e−inΩ0t
2i; cos(nΩ0t) =
einΩ0t + e−inΩ0t
2(7)
• Sustituyendo en desarrollo de Fourier (1):
g(t) = a0 +∞∑
n=1
aneinΩ0t + e−inΩ0t
2+
∞∑n=1
bneinΩ0t − e−inΩ0t
2i
= a0 +∞∑
n=1
einΩ0t
(an
2+
bn
2i
)+
∞∑n=1
e−inΩ0t
(an
2− bn
2i
)
=n=∞∑
n=−∞cneinΩ0t;
(cn =
1T0
∫ T0/2
−T0/2
g(t)e−inΩ0t dt
).
(8)
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Calculo en dominio del tiempo y de la frecuencia
Respuesta a funcion periodica en forma
exponencial
• Respuesta a funcion armonica:
p(t) = p0einΩ0t ⇒ u(t) = p0H(nΩ0)einΩ0t (9)
H(nΩ0) =1/k
(1− β2n) + 2iζβn
, βn =nΩ0
ω0(10)
• Respuesta a funcion periodica g(t) (8):
u(t) =∞∑−∞
cnH(nΩ0)einΩ0t (11)
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Calculo en dominio del tiempo y de la frecuencia
Respuesta a carga no periodica
g(t)
T0
t
• Funcion periodica ficticia incluyendo intervalo de ((silencio)).
∆Ω def= Ω0 =2π
T0; (T0 →∞ ⇒ ∆Ω → 0); nΩ0 = n∆Ω = Ωn
cn =1T0
∫ T0/2
−T0/2
g(t)e−iΩnt dt
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Calculo en dominio del tiempo y de la frecuencia
Transformada de Fourier
• Al hacerse T0 →∞, la variable Ωn se vuelve continua:
G(Ωn) def= cnT0 =∫ T0/2
−T0/2
g(t)e−iΩnt dtT0→∞=⇒ G(Ω) =
∫ ∞
−∞g(t)e−iΩt dt
(transformada (directa) de Fourier)
• Por otra parte, el desarrollo en serie serıa:
g(t) =1T0︸︷︷︸
∆Ω/(2π)
∞∑−∞
G(Ωn)eiΩnt T0→∞=⇒ g(t) =12π
∫ ∞
−∞G(Ω)eiΩt dΩ
(transformada inversa de Fourier)
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Calculo en dominio del tiempo y de la frecuencia
Calculo mediante la transformada de Fourier
a) Transformacion de g(t) al dominio de la frecuencia
G(Ω) =∫ ∞
−∞g(t)e−iΩt dt;
(g(t) =
12π
∫ ∞
−∞G(Ω)eiΩt dΩ
)(12)
b) Respuesta en el dominio de la frecuencia
H(Ω) ·G(Ω) (13)
c) Transformada inversa al dominio del tiempo
u(t) =12π
∫ ∞
−∞H(Ω)G(Ω)eiΩt dΩ (14)
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Calculo en dominio del tiempo y de la frecuencia
Respuesta a impulso unidad
• carga instantanea (impulso): g(t) = δ(t),∫∞−∞ δ(t) dt = 1.
G(Ω) =∫ ∞
−∞δ(t)e−iΩt dt = 1;
h(t) =12π
∫ ∞
−∞H(Ω) · 1 · eiΩt dt
• Sabemos que:
h(t) =1
mωDe−ζω0t sen(ωDt); H(Ω) =
1/k
(1− β2) + 2iζβ
• Pareja de transformadas de Fourier:
h(t) ⇐⇒ H(Ω)
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Respuesta a carga armonica
• carga armonica unitaria: g(t) = cos(Ω0t),
G(Ω) =∫ ∞
−∞cos(Ω0t)e−iΩt dt = 0 si Ω 6= Ω0;
lımΩ→Ω0
G(Ω) = ∞;∫ ∞
−∞G(Ω) dΩ = 1.
(delta de Dirac: G(Ω) = δ(Ω− Ω0))
• Respuesta mediante transformada de Fourier:
u(t) =∫ ∞
−∞H(Ω)δ(Ω− Ω0)eiΩt dΩ = H(Ω0)eiΩ0t
=1/k
(1− β20) + 2iζβ0
eiΩ0t
(β0 =
Ω0
ω0
)
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Transformada discreta de Fourier
• Muestreo discreto con N intervalos iguales n = 0, . . . , N − 1:
∆t = T0/N ; t = 0, ∆t, 2∆t, . . . , (N − 1)∆t;
∆Ω =2π
T0=
2π
N∆t; Ω = 0, ∆Ω, 2∆Ω, . . . , (N − 1)∆Ω.
G(n∆Ω) =N−1∑
k=0
g(k∆t)e−ik∆tn∆Ω∆t =N−1∑
k=0
g(k∆t)e−2πikn/N∆t
g(k∆t) =12π
N−1∑n=0
G(n∆Ω)e2πikn/N∆Ω
• Respuesta:
u(k∆t) =12π
N−1∑n=0
G(n∆Ω)H(n∆Ω)e2πikn/N∆Ω (15)
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Transformada rapida de Fourier (FFT) (I)
• Convolucion discreta en el tiempo (N2 FLOPsa):
u(k∆t) =N−1∑m=0
g(m∆t)h[(k −m)∆t]∆t
• Convolucion discreta en frecuencia (2N2 + 2N FLOPs):
G(n∆Ω) =N−1∑
k=0
g(k∆t)e−ik∆tn∆Ω∆t;
H(n∆Ω) =N−1∑
k=0
h(k∆t)e−ik∆tn∆Ω∆t
u(k∆t) =12π
N−1∑n=0
H(n∆Ω)G(n∆Ω)e2πikn/N∆Ω
aProductos de numeros reales (FLOP: Floating Point Operation)
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Calculo en dominio del tiempo y de la frecuencia
Transformada rapida de Fourier (FFT) (II)
• J.W. Cooley & J.W. Tukey (1965): Algoritmo de calculo
para Transformada discreta, aprovechando propiedades
armonicas de las funciones.
• FFT (Fast Fourier Transform): En un principio para
N = 2γ, siendo γ ∈ N.
• FLOPsΩ: 4(
3N2 log2 N + N
)
N 2 8 32 128 1024
FLOPst/FLOPsΩ 0.20 0.36 0.94 2.78 16.00
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Calculo en dominio del tiempo y de la frecuencia
Sistemas con n GDL: dominio de la frecuencia
M · q + C · q + K · q = s p(t) (16)
Sup. excitacion armonica, p(t) = eiΩt; La respuesta es
q(t) = HeiΩt;
(−Ω2M + iΩC + K) ·H = s
H(Ω) = (−Ω2M + iΩC + K)−1 · s
• Resolucion: 2n ecuaciones reales para calcular H para cada
valor dado de Ω. (Geradin: resolucion por descomposicion
espectral)
• Serie de Fourier o FFT: valido para carga cualquiera
• Necesario cuando parametros dep. de Ω (amort. histeretico)
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