analisis matricial de una cercha de 3 elementos

8/19/2019 Analisis Matricial de una Cercha de 3 elementos.

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TRABAJO DE ANALISIS ESTRUCTURAL II

ANALISIS MATRICIAL: MATRIZ DE RIGIDEZ

MARTÍNEZ GUZMÁN JOSUÉ DAVID

CARLOS COLMENARES

DOCENTE

UNIVERSIDAD DE LA GUAJIRA

FACULTAD DE INGENIERÍAPROGRAMA DE INGENIERÍA CIVIL

RIOHACHA – LA GUAJIRA

2015



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TALLER 1(7%/35%)

Asignatura: Análisis Estructural II11/09/15Tema: Análisis Matricial- Método de las Rigideces

Analizar la siguiente cercha sabiendo que:

1. Los elementos son de acero Es= 200000 MPa

2. Los 3 Elementos tienen la siguiente sección transversal:

Dexteriror = 10 cm

Espesor = 0.55 cm

3. C.C = Tres (3) últimos dígitos de la cedula.

Determinar:

A. Reacciones y desplazamientos (si los hay) en los apoyos.

B. Desplazamiento del punto donde se aplica la fuerza.

B

A

C



3

DESARROLLO.

Primero que todo, especificamos el valor de la fuerza, correspondiente a los

últimos 3 dígitos de mi Tarjeta de Identidad, y se establece el sistema Global

(Flechas en negro) con sus ejes cartesianos (Líneas punteadas color violeta).

Para realizar el análisis matricial y hallar los desplazamientos en los nodos y

reacciones en apoyos que produce la fuerza es necesario hallar las matrices de

rigidez locales para cada elemento (1,2 y 3). Luego, hallar las matrices

transformaciones para los elementos 1 y 2, debido a que sus sistemas localesestán inclinados con respecto al eje horizontal del sistema global, lo que no se

hace con el elemento 3, ya que su eje horizontal local coincide con el eje horizontal

global. Con esto se hallan las matrices globales correspondientes a cada uno de

los elementos para posteriormente realizar un ensamblaje y hallar la matriz global.

[ ] = ∗ 1 0 1 00 0 0 0 1 0 1 00 0 0 0

1 Matriz de Rigidez local. E= Modulo de elasticidad del material del elemento, A=

área de la sección transversal del elemento y L= longitud del elemento.

[ ] = cos sin 0 0 s i n cos 0 00 0 cos sin 0 0 si n cos 2

387 Kg

3 m

1

2

5

6

3

4

Y

X



4

Matriz transformación. = ángulo del inclinación del sistema local del elemento

con respecto al sistema global.

Para hallar las matrices de rigidez globales para cada elemento empleamos lasiguiente ecuación:

[ ] = [− ][ ][ ] 3 Matriz Global. [ − ]= Matriz inversa de la matriz transformación. [ ]= Matriz de

rigidez local. [ ]= Matriz transformación.

Antes de empezar a hallar las matrices locales, determinamos el A, que es igual

en todos los elementos. (Se emplea la fórmula de la corona circular)

Circunferencia mayor. (D=10 cm)

Espesor (0.55 cm) = 4 4 Circunferencia menor.

Donde D= Diámetro de la circunferencia mayor y d= diámetro de la circunferencia

menor.

Como tenemos D= 10cm, hallamos d:

= 2 = 1 0 20.55 = 8 . 9 ; 4 ; = 4 10 8.9 = 1 6 . 3 2 = 1 . 6 3 2 ∗ 1 0−

Este sería el área a emplear en la solución de mis matrices de rigidez.



5

ELEMENTO 1.

De (1) tenemos la matriz de rigidez local del elemento 1:

[ ] = 2 0 0 0 0 0 0.001632 2 + 3 ∗ 1 0 1 00 0 0 01 0 1 00 0 0 0

[ ] = 9 0 . 5 2 0 9 0 . 5 2 00 0 0 0 9 0 . 5 2 0 9 0 . 5 2 00 0 0 0

De (2) tenemos la matriz transformación del elemento 1:

[ ] =(

c o s t a n− 32 si n tan − 32 0 0 s i n t a n − 32 c o s t a n − 32 0 0

0 0 cos tan−

32 si n tan

−

32 0 0 si n tan − 32 c o s t a n − 32 )

[ ] = 0 .55 0.83 0 00.83 0.55 0 00 0 0. 55 0 .830 0 0.83 0.55

Inversa de T1.

[− ] = 0. 55 0.83 0 00. 83 0 .55 0 00 0 0.55 0.830 0 0.83 0 . 55



6

De (3) tenemos la matriz de rigidez global para el elemento 1:

[ ] = 0.55 0.83 0 00.83 0 . 55 0 00 0 0 .55 0. 830 0 0 .83 0 .55 ∗ 9 0 . 5 2 0 9 0 . 5 2 00 0 0 0 9 0 . 5 2 0 9 0 . 5 2 00 0 0 0 ∗ 0. 55 0.83 0 00.83 0.55 0 00 0 0.55 0 .830 0 0.83 0 .55

[ ] =

27. 85 41. 78 27 .85 41 .7841. 78 62. 67 41 .78 62 .6727 .85 41 .78 27. 85 41. 7841 .78 62 .67 41. 78 62. 67

ELEMENTO 2.


[ ] = 2 0 0 0 0 0 0.001632

3

+ 3

∗ 1 0 1 00 0 0 01 0 1 0

0 0 0 0

[ ] = 7 6 . 9 3 0 7 6 . 9 3 00 0 0 0 7 6 . 9 3 0 7 6 . 9 3 00 0 0 0



7

De (2) tenemos la matriz transformación del elemento 2:

[ ]=

(

c o s 1 8 0 tan − 33 si n 180 tan − 33 0 0 s i n 1 8 0 tan− 33 c o s 1 8 0 tan − 33 0 00 0 cos 180 tan− 33 si n 180 t an− 0 0 si n 180 tan − 33 c o s 1 8 0 t an−

[ ] = 0. 7 0.7 0 00. 7 0.7 0 00 0 0.7 0 .70 0 0.7 0.7

Inversa de T2.

[− ] = 0.7 0. 7 0 00. 7 0. 7 0 00 0 0.7 0. 70 0 0. 7 0. 7

De (3) tenemos la matriz de rigidez global para el elemento 2:

[ ] = 0. 7 0.7 0 00.7 0.7 0 00 0 0. 7 0.70 0 0.7 0.7 ∗ 7 6 . 9 3 0 7 6 . 9 3 00 0 0 0 7 6 . 9 3 0 7 6 . 9 3 00 0 0 0 ∗ 0. 7 0.7 0 0 0. 7 0.7 0 00 0 0.7 0.7

0 0 0.7 0.7

[ ] = 38. 46 38 .46 38 .46 38. 4638 .46 38. 46 38. 46 38 .4638 .46 38. 46 38. 46 38 .4638. 46 38 .46 38 .46 38. 46



8

ELEMENTO 3.


[ ] = 2 0 0 0 0 0 0.001632 5 m ∗ 1 0 1 00 0 0 01 0 1 00 0 0 0

[ ] = 6 5 . 2 8 0 6 5 . 2 8 00 0 0 0 6 5 . 2 8 0 6 5 . 2 8 00 0 0 0

Como el eje horizontal del elemento 3 coincide con el eje horizontal del sistema

global, no es necesario realizar matriz transformación, es decir, la matriz de rigidez

local del elemento 1 será igual a su matriz de rigidez global, así:

[ ] = [ ]

[ ] = 6 5 . 2 8 0 6 5 . 2 8 00 0 0 0 6 5 . 2 8 0 6 5 . 2 8 00 0 0 0

Ahora, nos queda ensamblar para encontrar la matriz de rigidez global de todo el

sistema. Realizamos el grafico para observar que GDL locales de los elementos

coinciden con los GDL del sistema global.

1

2

5

6

3

4

3

4

1

2

1

2

12

3

43

4

387 Kg

Elemento 3



9

Elemento Local Global

1

1 5

2 6

3 1

4 2

2

1 3

2 4

3 1

4 2

3

1 5

2 6

3 3

4 4

Al ensamblar, nuestra matriz de rigidez global total queda así:

[ ] =(

66.31 3 .32 38 .46 38.46 27 .85 41 .783. 32 101 .13 38.46 38 .46 41 .78 62 .6738 .46 38.46 103 .74 38 .46 65 .28 038.46 38 .46 38 .46 38.46 0 027 .85 41 .78 65 .28 0 93.15 41. 7841 .78 62 .67 0 0 41.78 62. 67 )

Al dividir la matriz K en 4 partes, no queda algo así:

[ ] =

Notamos que K11, nos resulta como una matriz cuadrada.

Para hallar los desplazamientos que desconocemos, tenemos la siguiente formula:

[ ] = [ − ] ∗[ ]; [ ] = ; [ ] = 5Desplazamientos desconocidos. [ ] es la matriz de fuerzas conocidas, donde

entran F1, componente horizontal de la fuerza aplicada al nodo A; F2, componente

vertical de la fuerza aplicada al nodo A; y F3, que vale 0 ya a que no opone reacción

a una fuerza aplicada a ese apoyo en sentido horizontal (x). [ ] Es la matriz de



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desplazamientos desconocidos, entre los cuales entran U1, en el nodo A producido

por la fuerza F1; U2, en el nodo A producido por la fuerza F2; y U3, en B.

Hallamos el valor de la Fuerza aplicada en el nodo A en Mega Newton.

= 3 8 7 = 3 8 7 1 ∗ 1 0− = 3 , 8 7 = 3 , 8 7 1 ∗ 1 0− = 0 . 0 0 3 8 7

Hallamos las componentes de la fuerza aplicada en el nodo A.

c o s 2 2 ° = 0.00387 ; = 0 . 0 0 3 5 8 8 2 ℎ , , = 0 . 0 0 3 5 8 8 2

s i n 2 2 ° = 387 ; = 0 . 0 0 1 4 4 9 7 ℎ , , = 0 . 0 0 1 4 4 9 7 Entonces, [Fc] nos queda así:

[ ] = 0.00358820.0014497

0

Teniendo K11:

[ ] = 66. 31 3.32 38. 463.32 101. 13 38 .4638.46 38 .46 103. 74 Inversa de K11:

[−

] = 0. 0206 0.0041 0.0091

0.0041 0 .0123 0. 00610. 0091 0.0061 0.0153



11

De (5), tenemos que:

[ ] = 0. 0206 0.0041 0 .0091 0.0041 0. 0123 0.00610. 0091 0.0061 0 .0153 ∗ 0.00358820.00144970

[ ] = 0.00006793150.000003119690.00002380945 =

Esto me quiere decir que:

U1= 6.794 m en el nodo A hacia la izquierda, pues resulta negativo, en la dirección1.

U2= 0.293 m en el nodo A hacia abajo, pues resulta negativo, en la dirección 2.

U1= 2.409 m en el apoyo B hacia la izquierda, resulta es negativo, en la dirección

3.

Cabe resaltar que los desplazamientos U4, U5, y U6, no aparecen aquí debido a

que son puntos que están fijos y como ofrecen resistencia a moverse, generan

reacciones a las fuerzas aplicadas, y por lo tanto, esos puntos no se desplazan en

esas direcciones.

Para hallar las reacciones que me crean los apoyos B y C en los sentidos 4, 5 y 6,

utilizaremos la fórmula:

[ ] = [ ] ∗ [ ]; [ ] = [ ] = 6 K21 la sacamos de la matriz de rigidez global K.

[ ] = 38 .46 38.46 38.46 2 7 . 8 5 4 1 . 7 8 6 5 . 2 841.78 62.67 0



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De (6) tenemos entonces que:

[ ] = 38.46 38. 46 38. 46 2 7 . 8 5 4 1 . 7 8 6 5 . 2 841. 78 62. 67 0 ∗ 0.00006793150.000003119690.00002380945

[ ] = 0.0015760.0035760.003033 =

Como conclusión tenemos lo siguiente:

Reacción F4= 0.001576 MN en el apoyo B hacia abajo, pues resulta negativo, en

la dirección 4.Reacción F5= 0.003576 MN en el apoyo C hacia la derecha, pues resulta positiva,

en la dirección 5

Reacción F6= 0.003033 MN en el apoyo C hacia arriba, pues resulta positiva, en

la dirección 6.

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